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Mécanique des structures Séance 3 Treillis

Table des matières Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance

1 Objectifs de la séance

Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

2 Définition de « barre » et de treillis

Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona

3 Conditions de stabilité – Maxwell

Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

4 Équations canoniques d’équilibre

Conclusions

5 Calcul des efforts dans les barres – Cremona

6 Calcul des efforts dans les barres – Ritter

7 Calcul des efforts dans les barres – PTV

8 Conclusions









Conclusions




8 Conclusions

Objectifs de la séance Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

• Définition de treillis

• Formule de Maxwell

• Equations canoniques d’équilibre d’un point et application aux treillis • Conditions de détermination cinématique et statique et leur dualité • Méthodes de calcul des treillis (Cremona, Ritter, PTV)









Conclusions




8 Conclusions

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

L’objet poutre a été caractérisé par sa capacité de générer, dans tout point, un état de sollicitation qui se compose éventuellement d’un effort normal, d’un effort tranchant et d’un moment fléchissant.

Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

L’état de sollicitation imaginé pour les poutres est le plus riche qui peut se présenter dans un élément unidimensionnel contenu dans un plan.

Conclusions

Les « barres » sont des éléments unidimensionnels comme les poutres, mais pouvant être sollicités exclusivement par un effort normal.

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona

Cette affirmation peut être vue comme une propriété des barres (elles sont incapables de générer d’autres efforts que les efforts normales) ou du système dans lequel elles se trouvent (aucun effort n’est transmis aux barres tel à engendrer des sollicitations autres que l’effort normal), ce qui ne fait aucune différence du point de vue des définitions et des méthodes qu’on va introduire.

Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

En pratique, une barre est une poutre particulière, montée dans une structure de telle manière à éviter ou réduire le plus que possible les sollicitations de flexion et de cisaillement et – par conséquent – réalisée avec une résistance minimale vis-à-vis de ces efforts.

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Le montage nécessaire à cet effet peut être schématisé comme suit : • une barre est un élément unidimensionnel droit ; • à chaque extrémité d’une barre se trouve une rotule ; • les barres ne sont connectées au reste de la structure ou au sol que par ces rotules à leurs extrémités ; • les chargements sont donnés par de forces qui ne sont pas appliquées sur les barres, mais seulement sur leurs extrémités.


Un treillis est une structure composée exclusivement de barres qui ne sont connectées entre elles ou au sol que par les rotules qui se trouvent à leurs extrémités. Seul ces extrémités, ou nœuds, peuvent être chargées par des forces.









Conclusions




8 Conclusions

Conditions de stabilité – Maxwell Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Bilan des degrés de liberté et des degrés de blocage intérieurs : 3p − i

si le résultat est 3, et les liaisons sont toutes efficaces, le système a 3 degrés de liberté comme un corps rigide : il est isostatique intérieurement. En ajoutant 3 ddb efficaces extérieures on obtient une structure isostatique.


Le nombre i des degrés de blocage intérieurs est donné par 2 fois les couples de barres liées par rotules : dans l’exemple ci-dessous certaines rotules relient 2 barres, d’autres 3, 4 ou 5, avec un nombre de ddb qui varie donc entre 2 (2 barres liées) et 8 (5 barres). Comme règle générale une rotule qui lie b barres introduit 2(b − 1) blocages dans le système.


3p − i = 3 · 25 − 2 · (2 − 1) · 2 − 2 · (3 − 1) · 3 − 2 · (4 − 1) · 8 − 2 · (5 − 1) · 1 = 75 − 72 = 3

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance

Ce calcul est peu aisée. On constate que dans un triangle on réalise la condition d’isostaticité intérieure avec p = 3, i = 2 · 3 :

Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter

3p − i = 3 · 3 − 2 · 3 = 9 − 6 = 3

Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

On peut voir ce même triangle comme 3 points (ayant chacun 2 ddl dans le plan) reliés par 3 liaisons simples (1 ddb par liaison) :

avec un calcul plus rapide.

2n − b = 2 · 3 − 3 = 3

Mécanique des structures Séance 3

Pour la poutre Howe du cas précédent :

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

2n − b = 2 · 14 − 25 = 28 − 25 = 3

La condition 2n − b ≤ 3 est dite condition de Maxwell pour la stabilité des treillis. Elle, avec égalité stricte, est nécessaire pour que un treillis soit isostatique.

Compatibilité cinématique Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

Si on considère une barre entre deux nœuds i et j, on note b(ij) le verseur de la direction j − i (c.à.d. b(ij) = (x(j) − x(i) )/ x(j) − x(i) ), les déplacements d(i) et d(j) des deux nœdus engendrent un changement de longueur, inadmissible pour une barre rigide, dont l’expression est :

Équations canoniques d’équilibre

d(j) y

Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

d(j)

j

b(ji)

d(j) x

b(ji) y

Conclusions

(d(j) − d(i) ) · b(ij) = b(ji) · d(i) + b(ij) · d(j) = 0

b(ji) x i

d(i) x

d(i) y d(i) Cette expression peut s’écrire en composantes scalaires pour toutes les barres d’un treillis (ij) (j) (ij) (j) (ji) (i) (ji) (i) bx dx + by dy + bx dx + by dy = 0

Mécanique des structures

(ji) (i)

(ji) (i)

(ij) (j)

(ij) (j)

. . . bx dx + by dy · · · + bx dx + by dy · · · = 0

Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

Et en forme matricielle :

Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

 



...

   . . . b(ji) b(ji) . . . b(ij) b(ij) . . . x y x y     ...

       (b×2n)

         

... (i) dx (i) dy ... (j) dx (j) dy ...

           

...



     0   =       . . . (b×1)

(2n×1)

Cb (b×2n) d(2n×1) = 0(b×1) (On montre les dimensions en indice chaque fois qu’on introduit des matrices)


Les liaisons cinématiques extérieures correspondent à un deuxième ensemble de conditions sur les déplacements des nœuds, qui peut s’écrire sous la forme :

Ce (e×2n) d(2n×1) = 0(e×1)

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre

e ≥ 3 étant le nombre de degrés de blocage introduits par ces liaisons.

Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter

Notons que la présence de l’un ou de l’autre des deux types de liaison possibles dans un nœud h du treillis donne lieu à des équations du type

Calcul des efforts dans les barres – PTV

rotule ⇒ dh = 0 appui simple sur le plan de normale n ⇒ dh · n = 0

Conclusions

qui se traduisent en une élimination des déplacements concernés.

C

C

d

Soit la matrice obtenue de b par ce processus et ¯ la liste des degrés de liberté restants. (Il s’agit d’un processus d’élimination des colonnes correspondantes aux degrés de liberté bloqués par les liaisons cinématiques extérieures si celles-ci agissent sur des directions du repère).

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

Dans les hypothèses : rang

Ce = e < 2n

on peut considérer que la compatibilité cinématique de la structure soit exprimée par le système linéaire homogène condensé

C(b×(2n−e)) d¯ ((2n−e)×1) = 0(b×1) Pour que le treillis soit déterminé du point de vue cinématique, il faut que ce système n’admet que la solution banale,ce qui correspond à la condition

Conclusions

rang

C = 2n − e

pour avoir laquelle il est nécessaire que 2n − b − e ≤ 0


En générale on a le système d’équations homogènes : b (2n×1) = 0((b+e)×1)

C Ce

soit

Calcul des efforts dans les barres – Ritter

((b+e)×2n)

C0 =

Cb Ce

d

;

C0 d = 0


L’étude de la matrice treillis.

C0 permet de s’assurer de la détermination cinématique du


Pour que le treillis soit cinématiquement déterminé il faut que le système homogène (b + e) × 2n : 0 =0

Cd

n’admet que la solution banale, ce qui requiert : rang


C0 = 2n

et donc la condition nécessaire 2n − b − e ≤ 0

d’où la condition nécessaire de Maxwell si e = 3

2n − b ≤ 3


Pour que le treillis soit isostatique intérieurement il faut que le système homogène

Cb d = 0 n’admet qu’une famille de solutions à 3 paramètres, représentant les mouvements de corps rigide du treillis. Cela n’est possible que si rang

Cb = 2n − 3

et donc la condition nécessaire précédente avec égalité stricte.

Remarque Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

C

Le système de matrice b peut être condensé en tenant compte des liaisons Si rang e = 3, on peut considérer le système homogène condensé

C

C¯ (b×(2n−3)) d((2n−3)×1) = 0(b×1) et la dimension nulle de l’espace des solutions correspond à la condition

C

rang ¯ = 2n − 3 et donc, encore une fois, il est nécessaire que 2n − b ≤ 3

Ce .

Exemple Mécanique des structures Séance 3

∆lAC

Objectifs de la séance

dC x

∆lBC

dC y

Définition de « barre » et de treillis

C

Conditions de stabilité – Maxwell





sin α

− cos β sin β A

α

β

 




cos α

dxC dyC





0

=

 

0

B

Cd = 0

det

C = sin(α + β) = 0 ssi α, β = 0, π

la géométrie est alors indéterminée : il existe de déplacements non nul pour de déformations nulles au premier ordre : C A

dC y

B

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis

Pour l’analyse des mouvements possibles d’un système en treillis on procède comme pour les systèmes de poutres, en cherchant les centres de rotation des parties du système.

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

On simplifie le problème en groupant toute partie du système entièrement « triangulée » (composée de triangles) comme un seul corps rigide, et on se réduit à la recherche des mouvements des blocs rigides ainsi identifiés.

Cette procédure correspond, du point de vue algébrique, à la condensation des degrés de liberté du système conduisant à l’étude du rang d’une matrice de plus petite taille.


Dans l’exemple ci-dessus les ddl des nœuds intérieurs aux deux parties indiquées de la structure peuvent s’écrire en fonction des déplacements de l’articulation centrale, réduisant ainsi le système qui initialement compte n = 11, e = 4 et b = 18 (ou n = 9 et b = 18 en éliminant les ddl bloquées par les liaisons extérieures) à un système 2 × 2 dans les seuls déplacements de l’articulation centrale.









Conclusions




8 Conclusions

Condition d’équilibre d’un point Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Principe des travaux virtuels Un corps rigide est en équilibre sous un système de forces si le travail de ces forces est nul pour n’importe quel mouvement virtuel du corps.


Est ce corps rigide en équilibre ?

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis

F1


F1


d


(d)

d

F1

(d)

F3

(d)

F3

F2

d


d F2

Conclusions

d

F2

(d)

F1

(d)

F2

d

F3

d =

(d)

F3

∀

d

⇒

(d)

(d)

d

(d)

- F1 - F2 + F3 = 0


Conséquence du principe des travaux virtuels Pour que un corps rigide soit en équilibre sous un système de forces il est nécessaire que la somme des composantes de ces forces dans n’importe quelle direction soit nulle.

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

En termes algébriques cela s’écrit par l’affirmation que l’expression du principe des travaux virtuels : n X f(i) · d = 0 ∀d i=1

implique la condition, dite « canonique », d’équilibre : n X

Conclusions

i=1

(i)

f

=0

ou

n X i=1

(i)

fd = 0 ∀d,

où n est le nombre total des forces agissantes sur le corps (n = 3 dans l’exemple) et l’indice d indique les composantes des forces dans la direction d.




F1


F1 d

Calcul des efforts dans les barres – Cremona

d


F3

F2

F1

d d

Conclusions

F2 F2

F3

d F3

d



Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre

F1

Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

F3

d F2

F1

F2

F3




F1

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona

d"


F3

F1

d d'

Conclusions

F2

F2

F3


Conséquence du principe des travaux virtuels

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona

Pour que un corps rigide soit en équilibre sous un système de forces il est nécessaire que


la somme des composantes de le polygone formé par les vecces forces dans n’importe quelle ⇔ teurs qui représentent ces forces direction soit nulle. est fermé.

ces deux conditions sont équivalentes ; notez qu’elles sont nécessaires mais qu’elles ne sont pas suffisantes pour l’équilibre.


Exemple de corps rigide qui n’est pas en équilibre sous un système de force qui respecte le critère précédent : il existe de mouvements dans lesquels le travail des forces n’est pas nul.

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona

F1


α


F2

il s’agit de mouvements de rotation autour d’un centre réel, qui sont les seuls à ne pas avoir été pris en compte dans la démonstration précédente.


Si le corps rigide qu’on étudie est réduit à un point ou – ce qui revient au même – toutes les forces convergent dans un seul point, ladite condition est aussi suffisante, car il n’y aura pas de mouvements de corps rigide significatifs qui ne soient pas de translations pures.


Un point est en équilibre dans le plan sous un ensemble de forces si et seulement si le polygone formé par les vecteurs qui représentent toutes ces forces est fermé

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

F1 F5

Conclusions

F4 F5

F2 F4 F3

F1

F3 F2


Notez que cela ne dépend pas de l’ordre dans lequel on prend les forces.

Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

F1

Conclusions

F1 F5

F4

F2 F4 F3

F2

F5 F3









Conclusions




8 Conclusions


Hypothèse : un treillis est en équilibre si et seulement si tous ses nœuds sont en équilibre.

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Conséquence : pour qu’un treillis soit en équilibre il faut et il suffit que la somme des efforts extérieurs et intérieurs soit nulle dans tous ses nœuds.

Méthode de Cremona ou des nœuds : les efforts dans les barres se trouvent en imposant l’équilibre à la translation dans deux directions quelconques de chaque nœud du treillis.

Equilibre des nœuds Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance

On considère un nœud, d’indice i dans un treillis et on écrit l’équilibre de ce (j)nœud, qui (ji) (ij) (j) (i) (i) fait apparaître les efforts N dans les barres (rappel : b = (x − x )/ x − x ) :

Fy(i)

F(i)

Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre


Fx(i)

b(ji) x


b

(ji)

i

X

b(ji) y

b(ji) N (ji) + F(i) = 0

j


j (où la sommation est à prendre sur tout les j connectés à i par une barre). Soit en variables scalaires : X (ji) X (ji) (i) (i) (ji) bx N + Fx = 0 ; by N (ji) + Fy = 0 j

j

et en forme matricielle, si on considère toutes les translations des nœuds qui ne sont pas bloquées par une liaison cinématique extérieure (celles-ci étant en nombre de e) :

SF ((2n−e)×b)N(b×1) + F((2n−e)×1) = 0((2n−e)×1)


Outre que les précédentes, il y a les équations d’équilibre associés aux translations bloquées par les liaisons cinématiques extérieures, faisant entrer en jeu les e ≥ 3 réactions inconnues :

SR (e×b)N(b×1) + R(e×1) = 0(e×1) Ce qui conduit au système 2n × (b + e) :

SF 0 SR I

N R

+

I F=0 0


Soit

S=

SF 0 SR I

,

la condition qui permet de s’assurer de la détermination statique du treillis est rang

S=b+e

ce qui implique la condition nécessaire : 2n − b − e ≥ 0 On voit que les conditions nécessaires de détermination cinématique et statique du treillis se combinent dans : 0 ≤ 2n − b − e ≤ 0

⇒

2n − b − e = 0

condition nécessaire pour que le treillis soit déterminé du point de vue cinématique et statique.

Exemple Mécanique des structures Séance 3

FyC

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

FxC bAC N AC

C

bBC N BC





cos β





A

N AC

  +

 N BC

− sin α − sin β


− cos α

FxC FyC

 =0

B

SF N + F = 0

det

SF = sin(α + β) = 0 ssi α, β = 0, π

la solution est alors indéterminée : il existe de sollicitations non nulles en équilibre avec des forces extérieures nulles.

bAC N AC A

C

bBC N BC B

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

La méthode de Cremona s’applique simplement lorsque dans le treillis il existe une suite de nœuds tels que la solution puisse être obtenue en chaîne : chaque nœud de la suite se présente avec deux efforts normaux inconnus seulement.


Par exemple :

Conclusions

On dit qu’un tel treillis a des nœuds « canoniques ».

Exemple d’application de la méthode de Cremona Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance

F


G

Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter

F

C

D

NAC A

B

NAE


F

R=

NAC A

3 F 2

E

R=

3 F 2

R

NAE

NAE = −

AE 3 AG 3 F ; NAC = F; EG 2 EG 2


F


G


F


F

C

NCE

A


D

NCG

NCA


B E


R=

Conclusions

NAC A

3 F 2

R=

NAE

NCE = − (NCA connu).

F

NCA

R

3 F 2

C

NCE

CE EG

NCG

F ; NCA + NCG =

CG EG

F


F



NGC

F


NGD

C

F D

NGE

A

B


G

E

R=

3 F 2

R=

3 F 2

Conclusions

NAC A

NAE

R

F

NCA C

NCE

NCG NGE NGD G

F

NGC

NGD = NGC ; (NGD + NGC )v = NGE + F


F


G


F


F

NDG

C

D

NDB


NDE

A


B

E


R=

Conclusions

NAC A

NAE

3 F 2

R=

R

F

NCA

NDE

C

NCE

NDG D

NCG

NDB

NGD NGE

G

NGC

(déjà calculé)

3 F 2

F

F


F


G


F

F

C

D

NBD


A

B

NBE


E


R=

Conclusions

NAC A

NAE

3 F 2

R=

R

F

NCA

NDE

C

NCE

NBE

NDG

B

D

NCG

NDB

NGD NGE

G

NGC

(déjà calculé)

3 F 2

F

F

NBD

R


F


G


F


C

D

NEG NEC

A


F

NEA R=

Conclusions

NED NEB

E

3 F 2

NAC NAE NED NEC

R=

3 F 2

NDE

C

NCE E

F

NCA

R

A

B

NEB NEA

NEG

NBE

NDG

B

D

NCG

NDB

F

NGD NGE

G

F

NGC

NEC = NED ; (NEC + NED )v = −NEG

NBD

R

Exemple d’application de la méthode de Cremona Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre

F

F

G

G

F

F

C

D

R

B

F

E


R=

3 F 2

NAC

R

A

NAE

F

NCA

E

NEC

NDE

C

NGE

Conclusions

B

NDB

F

NBD

R

G

NAE

G

F

3 F 2

NAE NED NEC

F

NCA

NDE

C

NCE E

R

3 R= F 2

NEB NEA NEG

NBE

NDG

B

NCG

NDB

NGD NGE

G

NGC

F

F

NBD

F

NBD

G

R

NAE NED

3 F 2

NED NEC

E

F

NCA

B

NDB

F

NBD

R

NGD NGE

NEB NEA NEG

G

F

NGC

NDE

R F R

NDB

NGD NGE

G

NGC

F

C

D

NBE

NDG

B

F

F

NBD

R

B

F

E

F

R

A

NAE NED NEC

F

NCA

NDE

C

NCE E

R

3 R= F 2

3 F 2

NAC R

F

A

R=

D

NCG

F F

C

NEB NEA NEG

NBE

NDG D

NCG

G

3 R= F 2

NCE

E

NDE

C

F

F

E

NAE

F

NCA NCE

NEC

D

R

R

A

F

C

A

F R

3 R= F 2

3 F 2

NAC

NGC

F

NAC R

B

F R

E

F

NBE

B

F

D

B

R=

NDG

A

R=

D

F R

NDB

F F R

NGE

NEB NEA NEG

F

C

A

NGD

F

E

R

D

NCG

G

B

NDE

C

F

D

R

E

NEC

C

F

NCA NCE

NED

F

F

A

R

A

F F

3 R= F 2

3 F 2

NAC

NGC

F

NAC

D

E

NBE

NDG

A

R=

C

B

F

NGD

NEB NEA NEG

F

A

R=

D

NCG

NCE

NED


R

3 R= F 2

G

F F

A

F

NEB NEA NEG

NBE

NDG

B

D

NCG

NDB

NGD NGE

G

NGC

F

F

NBD

R

F

Exemple d’application de la méthode de Cremona Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre

F


G


F

F

C

D

F


A

B E

3 R= F 2

N

3 R= F 2

N

BD

CG E

R

ND NAE N NBE

NGE

Conclusions

C NA

N

CE

DG

F R

F

Explication algébrique des nœuds canoniques Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter

F F

F h


h/2

Conclusions

l/2 l

Explication algébrique des nœuds canoniques Mécanique des structures

F

Séance 3

G


F


D


h

E

3 F 2





                  

F h/2

l/2 l

DG

CD

AC CG

BC

F

B

A

BE

F

C


Conclusions

F

AD

EG

CE

3 F 2





c C · · · · · · ·  s S · · · · · · ·   · −C C c · · · · ·    · −S S −s · · · · ·    · · −C · C 0 · · ·    · · −S · −S −1 · · ·    c · · −c · 0 c −c ·    −s · · s · 1 s −s ·    · · · · −C · −c · C   · · · · S · −s · −S   · · · · · · · −c −C  · · · · · · · s S

NAC NAD NDG NCD NGE NCG NCE NBC NBE

               =                 

la solution du problème s’obtient en traitant les lignes deux à deux

0 (v ) −RA 0 F 0 F 0 0 0 F (h) −RB (v ) −RB

                    









Conclusions




8 Conclusions


La méthode se base sur l’idée d’imaginer des coupes du treillis, laissant les efforts normaux des barres coupées équilibrer le système ainsi obtenu. Les passages qui suivent démontrent le bien fondé de cette méthode à partir de l’écriture directe du PTV.












Conclusions




8 Conclusions


Calcul par application directe du principe des travaux virtuels

Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

• Approximation des petits déplacements

• Calcul de l’effort normal dans la membrure d’un treillis • Calcul de l’effort normal dans le montant d’un treillis

• Calcul de l’effort normal dans la diagonale d’un treillis


F/2


l


F

1

F l

F l

F l

F l

3

5

7

9

2

4

6

8

F l

F l

F/2 l

h

A

B


F/2


l


F

1

F l

3

F l

5

F l

7

h

F l

F l

F l

F/2 l

9

N68 2

A

4

6

8

B


F/2


l


C1


F

1

F l

3

F l

5

C12

F l

7

l

2

A

F l

F l

F/2 l

9

1

h

F

2 4

6

8

C2

B


F/2

F

F

F

F

F

F

F

F/2


l


C1


1

l 3

l 5

l

C12

7

l

l


2

2 4

6

8

C2 lα

C 1'

α 2lα 3lα

β 8 h 5

A

Conclusions

l

9

1

h

l

4lβ

B

C 2'

1'

2' 6' & 7'

1"

2"

γ

C "2

8 hγ 5

2lβ β lβ

3lβ

7"

C "1 hβ


F/2

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis

l


C1

F l

3

F l

5

F l

C12

7

F l

2

F l

F l

l

2 4

6

8

C2 lα α 2lα 3lα

β 8 h 5

A

C 1'

F/2

9

1


Conclusions

1

h



F

4lβ

B

C "1 hβ

1"

2"

γ

C "2

8 hγ 5

2lβ β lβ

3lβ

7"

C 2'

1'

2' 6' & 7'

β=

5 3 α; γ = β = α 5 3

3 8 Wˆ = (6 + 10 )Flα − N68 hα = 0 ∀α ⇒ N68 = 5 5

15 2 Fl

h

Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter

Si on considère une poutre sous le même chargement et liaisons extérieures que le treillis, on note que la section de la poutre correspondante au nœud 7 (centre de rotation relative entre les deux parties du treillis après suppression de la barre N68 ) est sollicitée par le moment fléchissant M tel que (on rappelle que dans ce cas α + β = 58 hα) : 3 8 15 Wˆ = (6 + 10 )Flα − M hα = 0 ∀α ⇒ M = Fl . 5 5 2


Ceci montre que N68 =

M . h


F/2


l


F

1

F l

3

F l

5

F l

7

F l

F l

F l

F/2 l

9

N67

h 2

A

4

6

8

B


F/2

F


l

F l

F l

F l

F l

F l

F l

F/2 l

α


1


5

2

C1

4

9

5" & 7"

2

∞

6

C2

lα α 2lα

C "1 C "2

8

B

6'

3lα 4lα 5lα 7'

2lα α lα

3lα

C 2' 2'

hα

1" & 2"

A 1'

C 1'

7

C12

1

h


3


F/2


l


1

F l

3

2

C1

5

4

F l

7

F l

F l

F l

F/2 l

5" & 7"

2

∞

6

hα

1" & 2"

C "1 C "2

8

C2

A

lα α 2lα

α

9

C12

1'

C 1'

F l

1

h


F

B

6'

3lα 4lα 5lα

2lα α lα

3lα

C 2' 2'

7'

3 Wˆ = 12Flα + N67 (3 + 5)lα = 0 ∀α ⇒ N56 = F 2


Pour une poutre sous le même chargement et liaisons extérieures on obtient la valeur de l’effort tranchant sur la section correspondante au montant supprimé dans le treillis : 3 Wˆ = 12Flα + V (3 + 5)lα = 0 ∀α ⇒ V = F , 2 et donc N67 = V . L’effort normal dans un montant est identique à l’effort tranchant sur la section correspondante dans la poutre équivalente. Cet effort est égale à la résultante de toutes les forces et les réactions extérieures qui se trouvent d’un coté ou de l’autre de la section.


F/2


l


F

1

F l

3

F l

5

F l

F l

7

9

6

8

F l

F l

F/2 l

N56

h 2

A

4

B


F/2

F


l

F

F

l

l

F l

F l

F l

F l

F/2 l

α


1


5

2

C1

9

5" & 7"

2

∞

4

6

lα α 2lα

5lα

C "1 C "2

8

C2 5' & 4'

4lα

B

2lα α lα

3lα

C 2' 2' 7' & 6'

hα

1" & 2"

A 1'

C 1'

7

C12

1

h


3


Allongement de la diagonale :

Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell

d

u

u d

y


h


x

v

Conclusions

d'

v

d' l

 

x v

=



y u

=

h d

⇒ x = dh v

l d

⇒ y = dl v

⇒

d0 − d ≈

hv + lu d


Pour le cas de l’exemple :

Séance 3

2lα


7


hα


5

5lα


6 4

Conclusions

5lα déplacements des nœuds d’extrémité : u = hα ; v = 5lα + 2lα , d’où d0 − d ≈

8lh α. d


F/2

F

F

F

F

F

F

F

F/2


l

Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV

1

l 3

l 5

2

C1

7

l

l

6

1'

5' & 4'

lα α 2lα

5lα

C "1 C "2

8

4lα

B

2lα α lα

3lα

hα

1" & 2"

C2

Conclusions

α

2

A

C 1'

l

5" & 7"

∞

4

l

9

C12

1

h

l

C 2' 2' 7' & 6'

8lh 3 d d Wˆ = 12Flα − N56 α = 0 ∀α ⇒ N56 = F = V d 2 h h

Commentaires Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Conclusions : 1 les membrures reprennent le moment fléchissant ; l’effort normal dans les membrures est donné par le moment fléchissant divisé par la hauteur de la poutre ; 2 les montants reprennent l’effort tranchant ; l’effort normal dans les montants est égale à l’effort tranchant dans la poutre ; 3 les diagonales reprennent aussi l’effort tranchant, mais l’effort normal est d’autant plus important qu’elles sont inclinées, seulement la projection verticale de cet effort étant égale à l’effort tranchant dans la poutre.

Dualité Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

Si on retire une barre d’un treillis isostatique on obtient un mécanisme. Dans le système de matrice une des distances entre barres change, le terme de droite n’est plus nul et on peut écrire :

C

C dˆ¯ = aˆ ⇒ dˆ¯ = C−1aˆ où un seul élément de la liste a ˆ est 6= 0, l’inversion étant possible car rang C = b = 2n − e. On écrit le PTV pour un treillis isostatique dans lequel on enlève virtuellement la barre ij (ˆ a est un vecteur ayant seulement la composante correspondante à ij non nulle) : ˆ¯ − N (ij) a ˆ (ij) Wˆ = F · d ˆ et a On tient compte de la relation entre F et N et entre d ˆ: Wˆ = −N · STF C−1 a ˆ−N·a ˆ = 0 ∀a ˆ et on en déduit :

STF = C

−

ou

SF = −CT

Les matrices de compatibilité cinématique et d’équilibre statique ont le même contenu d’information.









Conclusions




8 Conclusions

Conclusions Mécanique des structures Séance 3 Objectifs de la séance Définition de « barre » et de treillis Conditions de stabilité – Maxwell Équations canoniques d’équilibre Calcul des efforts dans les barres – Cremona Calcul des efforts dans les barres – Ritter Calcul des efforts dans les barres – PTV Conclusions

• Définition de treillis

• Formule de Maxwell

• Equations canoniques d’équilibre d’un point

• Conditions de détermination cinématique et statique et leur dualité • Méthodes de calcul des treillis (Cremona, Ritter, PTV)

mecstslides3-150722032726-lva1-app6891.pdf

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