STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Capítulo 4: Análisis dimensional y similitud dinámica Ejercicio 4-8
Usando las variables Q, D, ΔH/l, ρ, μ, g como pertinentes al flujo en un tubo liso, arreglarlas en parámetros adimensionales con Q, ρ, μ como variables repetitivas. Resolución
Las variables son 6
[
3
Q L T
−1
], D[ L], Δ H [ LL−
1
L
Las unidades son 3
= 1], ρ [ ML−3 ], μ [ ML−1T −1 ], g [ LT − 2 ] L, M , T
entonces, los parámetros adimensionales son Nº π = 6 – 3 = 3 π1 será
∏1 =
Δ H L
= H/L
1
π2 será
∏ 2 = DQ x ρ x 1
∏ 2 = L( L3T −1 )
x1
2
x3
μ
( ML− ) ( ML− T − ) 3 x2
1 x3
1
entonces 0 + 0 + x 2
+ x3 = 0 1 + 3 x1 − 3 x 2 − x3 = 0 0 − x1 + 0 − x 3 = 0
Para M ⇒ Para L ⇒ Para T ⇒ de aquí
= −1 x 2 = −1 x3 = 1 x1
entonces
∏2 = 2
Dμ Q ρ
= D /Q
π3 será
∏ 3 = gQ x ρ x 1
∏ 3 = LT −2 ( L3T −1 )
x1
2
x3
μ
( ML− ) ( ML− T − ) 3 x2
1
1 x3
entonces Para M ⇒ Para L ⇒
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
0 + 0 + x 2
+ x3 = 0 1 + 3 x1 − 3 x 2 − x3 = 0
1
CAPÍTULO 4
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
− 2 − x1 + 0 − x3 = 0
Para T ⇒ de aquí
=3 x2 = 5 x3 = −5 x1
entonces
∏3 = 3
gQ
3
ρ
μ
5
3 5
= gQ
5
5
/
Ejercicio 4-13
En un fluido que gira como un sólido alrededor de un eje vertical con velocidad angular ω, la elevación de la presión p en una dirección radial depende de la velocidad ω, el radio r y la densidad del fluido ρ. Obténgase la forma de ecuación para p. Resolución
Las variables son 4
[
−1
p ML T
−2
], r [ L], ω [T − ], ρ [ ML− ] 1
3
Las unidades son 3 L, M , T
entonces, los parámetros adimensionales son Nº π = 4 – 3 = 1 π será
∏ = pω x ρ x 1
∏ 2 = ML−1T −2 (T −1 )
x1
2
x3
r
( ML− ) ( L ) 3 x2
x3
entonces Para M ⇒ Para L ⇒ Para T ⇒
1 + 0 + x2
+0= 0 − 1 + 0 − 3 x 2 + x3 = 0 − 2 − x1 + 0 − 0 = 0
de aquí
= −2 x2 = −1 x3 = −2 x1
entonces
∏=
p 2
2
r ω ρ
Entonces p = cte.r
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
2
2
2
CAPÍTULO 4
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Ejercicio 4-18
La velocidad en un punto de un modelo de un canal de alivio para una presa es 1 m/s. Para una razón del prototipo al modelo de 10:1, ¿Cuál es la velocidad en el punto correspondiente en el prototipo bajo condiciones similares? Resolución
Como es un canal la similitud dinámica exige igual número de Froude, entonces 2
2
vm g m lm
v p
=
g p l p
Como la gravedad es la misma 2
2
vm lm 2
v p v p
v p
v p
=
l p
= v m2
lm l p
= vm
= 1,00
l p
lm
m 10 1
s
vp = 3,16 m/s Ejercicio 4-19
El suministro de potencia a una bomba depende de la descarga Q, de la elevación de la presión Δp, de la densidad del fluido ρ, del tamaño D y de la eficiencia e. Encuéntrese la expresión para la potencia por uso del análisis dimensional. Resolución
Las variables son 6
[
2
P ML T
−3
], Q[ L T − ], D[ L], Δ p[ ML− T − ], ρ [ ML− ], e[1] 3
1
1
2
3
Las unidades son 3 L, M , T
entonces, los parámetros adimensionales son Nº π = 6 – 3 = 3 π1 será
∏1 = e 1
π2 será
=e
∏ 2 = PQ x Δ p x 1
∏ 2 = ML2T −3 ( L3T −1 )
x1
2
x3
ρ
( ML− T − ) ( ML− ) 1
2 x2
3 x3
entonces
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
3
CAPÍTULO 4
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007 1 + 0 + x 2
+ x3 = 0 2 + 3 x1 − x 2 − 3 x3 = 0 − 3 − x1 − 2 x2 + 0 = 0
Para M ⇒ Para L ⇒ Para T ⇒ de aquí
= −1 x 2 = −1 x3 = 0 x1
entonces
∏2 = 2
P QΔ p
= P/Q p
π3 será
∏ 3 = DQ x Δ p x 1
∏ 3 = L( L3T −1 )
x1
2
x3
ρ
( ML− T − ) ( ML− ) 2 x2
1
3 x3
entonces Para M ⇒ Para L ⇒ Para T ⇒
0 + 0 + x 2
+ x3 = 0 1 + 3 x1 − x 2 − 3 x3 = 0 0 − x1 − 2 x 2 + 0 = 0
de aquí
= −0,5 x 2 = 0,25 x3 = −0,25 x1
entonces
∏3 = 3
D 4 Δ p Q4
ρ 1/4
=D p 1/2 1/4 Q
Ejercicio 4-21
Un modelo de medidor Venturi tiene dimensiones lineales de un quinto de las del prototipo. El prototipo opera con agua a 20 ºC y el modelo con agua a 95 ºC. Para un diámetro de garganta de 600 mm y una velocidad en la garganta de 6 m/s en el prototipo, ¿qué descarga se necesita a través del modelo para que se tenga similitud? Resolución
Como es una tubería la similitud dinámica exige igual número de Reynolds, entonces
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
4
CAPÍTULO 4
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Dm v m
=
ν m
vm
vm
D p v p ν p
=
D p
ν m
Dm
ν p
v p
2 ⎡ −6 m ⎤ ⎢ 600,00mm 0,311 × 10 s ⎥ m =⎢ ⎥ 6,00 2 s ⎢ 600,00mm 1,007 × 10 −6 m ⎥ ⎢⎣ 5 s ⎥⎦
= 9,86
vm Qm
= Am v m
m s
0,6m ⎞ = ⎛ ⎜ ⎟ 4 ⎝ 5 ⎠
2
π
9,86
m s
3
Qm = 0,10 m /s Ejercicio 4-32
Un modelo a escala 1:5 de un sistema de tuberías de una estación de bombeo se va a probar para determinar las pérdidas totales de carga. Se dispone de aire a 25 ºC, 1 atm. Para una velocidad del prototipo de 500 mm/s en una sección de 4 m de diámetro con agua a 15 ºC, determínese la velocidad del aire y la cantidad del mismo necesarias y cómo las pérdidas determinadas en el modelo se convierten en pérdidas en el prototipo. Resolución
Como es una tubería la similitud dinámica exige igual número de Reynolds, entonces Dm v m
=
ν m
vm
vm
D p v p ν p
=
D p
ν m
Dm
ν p
v p
2 ⎡ −5 m ⎤ ⎢ 4,00m 1,70 × 10 s ⎥ m =⎢ 0 , 50 ⎥ 2 s ⎢ 4,00m 1,141 × 10 −6 m ⎥ ⎢⎣ 5 s ⎥⎦
La viscosidad cinemática del aire se obtuvo de la figura C.2 de Mecánica de los fluidos (Streeter) vm = 37,25m/s
Qm
= Am vm
4,00m ⎞ = ⎛ ⎜ ⎟ 4 ⎝ 5 ⎠
2
π
37,25
m s
3
Qm = 18,72 m /s
Como las pérdidas dependen del número de Reynolds y este es el mismo para modelo y prototipo las pérdidas serán las mismas.
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
5
CAPÍTULO 4
