Mecˆ anica Quˆ anica antica antica Obra coletiva
Sum´ ario 1 In Intr trod odu¸ u¸ cao c˜ a ˜o
5
2 Pr´ e-requisitos e requisitos paralelos
6
3 O princ´ıpio da incerteza
7
4 O conceito de estado
9
5 O princ´ princ´ıpio de superposi¸c˜ ca ˜o
10
6 Operadores 12 6.1 Valor m´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.22 Adic˜ 6. c¸ao a˜o e subtra¸c˜ cao a˜ o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 A ener energi gia a e a equa equa¸¸c˜ c˜ ao de Sch ao Schr¨ r¨ odinger 18 7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.22 A derivad 7. adaa no no tempo de um ope operrad adoor . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 O co com mut utad ador or de pˆ e qˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8 Estados estacion´ arios
24
9 Po¸co quadrado unidimensional infinito
26
10 Exemplos simples 10.1 Po¸co c o quadrado unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Cone Conectan ctando do as solu¸c˜ co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 A equa¸c˜ cao a˜ o da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 10.4 .1 Con Condi¸ di¸ co˜es de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . c˜
29 29 31 37 39 43
1
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11 Algumas t´ ecnicas matem´ aticas 45 11.1 A fun¸c˜ ca˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12 O esp ectro cont´ınuo
47
13 O oscilador harmˆ onico 50 13.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 14 Operadores unit´ arios e simetrias 59 14.1 14 .1 Ex Exem empl plos os de ope opera rado dore ress un unit it´´ario a rioss . . . . . . . . . . . . . . . . 61 14.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 15 Rota¸c˜ co ˜es e o momento angular
63
16 Autofun¸ co c˜ ˜es do momento angular 16.1 As autofun autofun¸c˜ c¸oes o˜es da componente z do momento angular . . . . . 16.2 Autof Autofun¸ un¸c˜ coes o˜es simultˆaneas aneas do momento angular total e da comp onente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Const Constru¸ ru¸c˜ cao a˜o dos harmˆonic o nicos os es esff´eric e ricos os . . . . . . . . . . 16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67 67
17 Potenciais com simetria central
75
18 O ´ atomo de Hidrogˆ enio 18.1 Dete Determin rminando ando o comport comportamen amento to 18.2 As solu¸c˜ coes o˜es da equa¸c˜ ca˜o radial . 18.3 Algum Algumas as propriedade propriedadess do ´atom a tomoo 18.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . .
76 78 79 83 86
assint´ assint´ otico . . . . . . . . . de hid de hidro roggˆenio e nio . . . . . . . .
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19 A nota¸c˜ ao de Dirac
68 70 74
87
20 O Spin 20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Int Intera¸ era¸c˜ cao a˜o Eletromagn Eletromagn´´etica: etica: Formali ormalismo smo Hamiltoni Hamiltoniano ano 20.3 20 .3.1 .1 Ap Apˆˆendi e ndice ce:: O teo teore rema ma de Eu Eule lerr . . . . . . . . . 20.44 Ac 20. Acop opla lame men nto do do spin spin com com o cam campo po magn magn´´etic e ticoo . . . .
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91 92 96 98 102 102
21 As desigualdades de Heisenb erg 104 21.1 A rela¸c˜ cao a˜ o de in inccerte tezza en energ rgia ia x te tem mpo . . . . . . . . . . . . . 106
2
22 Teoria das perturba¸c˜ co ˜es 109 22.1 Pe Perturb rturba¸ a¸c˜ cao a˜o de estados estacion´arios . . . . . . . . . . . . . . 109 22.2 Exe Exemplo mplo trivial: trivial: Oscil Oscilador ador Harmˆ onico com perturba¸c˜ onico cao a˜o linear 113 22.3 Corr Corre¸ e¸c˜ coes o˜ es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 23 Perturba¸c˜ co ˜es de um n´ıvel degenerado 23.1 Reobtendo as f´ormulas gerais . . . . . . . . . . 23.2 23 .2 Qu Quan ando do o n´ n´ıv ıvel el ´e de dege gene nera rado do.. . . . . . . . . . . . 23.3 O efeito efeito Zeeman Zeeman anˆomalo . . . . . . . . . . . . 23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.1 Unidad Unidades es e fatores de conve convers˜ rs˜ao . . . . . 23..4.2 Exerc´ıcio re 23 resolvido . . . . . . . . . . . . 23.4.33 Exerc 23.4. Exerc´´ıcio resolvido reso lvido (Enrico ( Enrico Fermi, 1954) 1954) 23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . 23.4.5 23.4 .5 Sol Solu¸ u¸c˜ co˜es de alguns problemas . . . . . . 23.4 23 .4.6 .6 Mai aiss exerc rc´´ıc ıcio ioss re reso solv lvid idos os . . . . . . . .
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115 . 116 . 117 . 120 . 121 . 122 . 124 . 126 . 129 . 130 . 133
24 Perturba¸c˜ co ˜es dep endentes do temp o
134
25 Perturba¸c˜ c˜ao ao per eri´ i´odica odica pr´ oxima ` a ressonˆ ancia
138
26 For¸cas de van der Waals 26.1 Int Introdu¸ rodu¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.1 26.2 .1 A equa equa¸c¸˜ao a o de van de derr Waa Waals ls . . . . . . . . . . . 26.3 Causa da Coes˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.2 Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Rela¸c˜ c˜ao com a energia do do po pon nto ze zero . . . . . . . . . . 26.5 Tratamento perturbativo perturbativo das for¸cas c as de de van van de derr Waa Waals ls . 26.6 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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142 . . 142 . . 142 . . 143 . . 143 . . 145 . . 145 . . 146 . . 149 . . 153
27 Sistemas comp ostos 155 27.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 28 Part´ıculas idˆ enticas 161 28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 28.1.1 28.1 .1 Adi Adi¸c˜ c¸a˜o de de mom omeento s angu angullar arees . . . . . . . . . . . . . 163
3
29 O caso quase-cl´ assico 29.1 Regr Regraa de transi¸ transi¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3 Exe Exemplo: mplo: oscil oscilador ador harmˆ harmˆ onico . . . . . . . . . . . . . . . . .
164 . 170 . 171 . 172
30 O po¸co duplo.
173
31 Sistemas de dois n´ıveis
177
32 A mol´ ecula da amˆ ecula onia
181
33 A Mecˆ anica Quˆ antica Relativista 181 33.1 Int Introdu¸ rodu¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 33.2 A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger livre . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 33.3 A equa¸c˜ ca˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 33.4 A equa¸c˜ ca˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 33.4.1 Int Interpr erpreta¸ eta¸c˜ cao a˜ o prob obaabil´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184 33.4.2 Dete Determina¸ rmina¸c˜ ca˜o das mat atrrizes de Di Dirrac . . . . . . . . . . 185 33.4.3 Form ormula¸ ula¸c˜ cao a˜o covariante da equa¸c˜ ca˜o de Dirac . . . . . . 187 33.4 33 .4.4 .4 Cor orre ren nte de Pro roba babi bili lid dad adee . . . . . . . . . . . . . . . . 188 33.4.5 33.4 .5 Sol Solu¸ u¸c˜ coes o˜es espe especi ciai ais: s: pa part rt´´ıc ıcul ulaa em em repou repouso so . . . . . . . . 188 33.4.6 33.4 .6 Sol Solu¸ u¸c˜ coes o˜ es de energia negativa . . . . . . . . . . . . . . . 190 33.4.7 Int Intera¸ era¸c˜ cao a˜o com com o campo campo ele eletro tromagn magn´´etico etico . . . . . . . . . 190 33.5 A anti-mat´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 33.5.1 33.5 .1 As solu solu¸c˜ c¸o˜es de onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . 191 33.5. 33. 5.22 A fun¸ fun¸c˜ cao a˜ o de onda do buraco . . . . . . . . . . . . . . . 192 34 Apˆendic end ice e Mat Matem´ em´ atico 1 34.1 Operado Operadores res e suas represen representa¸ ta¸c˜ co˜es matriciais . . 34.1.1 Transf ransforma¸ orma¸c˜ co˜es entre bases . . . . . . . 34..1.2 Mat 34 atrrizes equivalentes . . . . . . . . . . . 34.1 34 .1.3 .3 Au Auttoval alor orees de de uma mat atri rizz . . . . . . . . 34.2 Diagona Diagonaliza¸ liza¸ ca˜o de uma matriz . . . . . . . . . . c˜ 34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
193 . . . 193 . . . 195 . . . 196 . . . 197 . . . 199 . . . 201 . . . 203
35 Apˆ endice matem´ atico 2 35.1 A equa¸c˜ ca˜ o d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2 O Oscilador Oscilador Harmˆ Harmˆ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.3.1 Comport Comportamen amento to Assint´ Assint´ otico . . . . . . . . . . . . 35.4 Apˆendice endice do apˆ endice: O M´ endice: etodo do Ponto Sela . . . . . etodo
204 . . 204 . . 207 . . 210 . . 214 . . 219
4
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35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
´ tica geom´ 36 Apˆendic end ice e 3: O etrica 223 36.1 Equa¸c˜ co˜ e s d e M a x w e l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 36.2 A equa¸c˜ ca˜ o d o e i k o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 36.3 Ex E xemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.4 n ´e constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36..5 Dois meios hom 36 homog ogˆˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.6 Simetria esf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 36.8 Lentes esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 36.9 A primeira primeira refra¸ refra¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 36.10A segun segunda da refr refra¸ a¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 36.11A equa¸c˜ cao a˜ o dos focos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1
Introd odu uc¸˜ ao
Estas notas destinam-se destinam-se a auxil auxiliar iar o estu estudo do dos alunos que est˜ ao assistindo ao assistindo o meu curso, um curso introdut´orio orio de mecˆanica anica quˆantica antica no quarto semestre do Curs Cursoo de Ci Ciˆˆencias encias Mole Molecular culares es da Univ Universi ersidade dade de S˜ao a o Pau Paulo lo.. Es Est˜ t˜ ao ao evoluindo para um livro, mas ainda n˜ao a o o s˜ao. ao. Em particular, n˜ao ao h´a qualquer pretens˜ao ao de originalidade. Trata-se aqui de conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Em particular, apoiamo-nos extensamen extensamente te na refer referˆˆencia encia principal, Landau, Lifshitz, [3] partes do qual s˜ao ao aqui reproduzidas, mudando-se apenas ap enas a l´ıngua. Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ısico-qu´ımica ımica onde utiliza utilizaram ram m´etodos etodo s de d e mecˆanica anica quˆantica antica no estudo da espectroscopia atˆomica omica e molecular, o que os coloca em uma situa¸c˜ cao a˜o ins´olita: olita: fize fizeram ram os exerc´´ıcios antes exerc a ntes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸ preo cupa¸c˜ao ao de apresentar uma formula¸c˜ cao a˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆanica anica quˆantica antica que s˜ao ao mais usadas em f´ f´ısico-qu´ımica. ımica. Isto explica porqu porque, e, por p or exemplo, n˜ao ao tratamos de fenˆomenos omenos de espalhamento e porque, por outro lado, tratamos de simetrias, momento angular e m´etodos etodos perturbativos em maior detalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre. Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11] e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheram estrat´egias egias diferentes: dif erentes: Wichmann realiza reali za um soberbo sob erbo tour tour pela pela fenomenologia da f´ısica moder moderna, na, e n˜ao ao faz praticamente c´alculos alculos quˆanticos; anticos; Nussenzveig, que ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆ anica quˆantica, anica antica, seleciona um n´ucleo ucleo muito mais restrito da mat´eria, eria, essencialm essencialmente ente sistemas de dois n´ıveis, 5
e produz pro duz um extrato de alta qualidade dos princ princ´´ıpios da teoria. Ambos quase n˜ao ao usam matem´atica atica que n˜ao ao seja de dom dom´´ınio p´ublico ublico.. Am Ambos bos s˜ ao forteao mente recomendados como leitura paralela. O volu olume me 3 das famosas famosas Feyn eynman man Lec Lectur tures[ es[13] 13] ´e um out outro ro cas caso. o. O esplˆ esp lˆendid end idoo livr l ivroo de Feynma Feynman n ´e, e, ao cont contr´ r´ario ario do que se diz, um texto avan¸cado, cado, requerendo ou um talento excepcional, excepcional, para aproveit´a-lo a-lo como primeiro texto, ou um consider´avel avel grau de maturidade em f´ısica, para acompanhar os vˆoos oos do mestre. mestre. Os alunos alunos podem come¸ come¸car car a lˆe-lo, e-lo, diria eu, ap´os os uns dois meses deste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso. Mais pr´oximo oximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650 p´aginas, aginas, est´a o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante. Se fosse mais curto eu n˜ao ao precisaria produzir estas notas. Finalment Finalm ente, e, a influ influˆˆencia encia do livro onde eu estu estudei, dei, Landau Landau,, Lifsh Lifshitz[3] itz[3],, ´e dominante e deliberada. Em minha opini˜ao ao trata-se do melhor texto existente iste nte.. Con Contudo, tudo, foi esc escrito rito para estu estudan dantes tes supostam supostamen ente te em n´ıve ıvell mais avan¸cado cado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso do magn´ıfico ıfico “Land “Landau”. au”. Principa Principalmente lmente nos primeiro primeiross cap ca p´ıtulos, segui fielmente o grande texto russo, com as adapta¸c˜ coes o˜es que se fizeram necess´arias. arias. Uma alternativaa `a altura ternativ a ltura do “Landa “ Landau” u” existe exist e agora, a gora, em portuguˆ p ortuguˆes: es: o magn ma gn´´ıfico livro do professor Toledo Piza[17].
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Pr´ e-requisitos e requisitos e-requisitos requisitos paralelos paralelos
Solicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, o cap´´ıtulo 1 do Volume II cap IIII das d as Feynman Lectures on Physics, Physics , que cont´em em um umaa excelente excelen te descri¸c˜ cao a˜o da experiˆencia encia da difra¸c˜ cao a˜o por duas fendas, conhecida como experiˆencia enc ia de Young , reali realizada zada com el el´´etrons, etrons, em lugar da luz (que Young usou). Quando eu conseguir conseguir realizar realizar isto t˜ao ao bem quanto Feynman, este pr´e-requis e-re quisito ito ser´a subs substit titu u´ıdo po porr um cap´ıtulo ıtul o intro introdut dut´ o´rio adicional. A orio previs˜ ao de tempo para que isto aconte¸ca ao ca ´e de, mais ou menos, da ordem da idade do universo. Dos req requis uisito itoss par parale alelos los,, o mai maiss impo importa rtant ntee ´e o es estud tudo. o. A mec mecˆˆanica anica qˆuantica uantica ´e uma experiˆencia encia nov novaa e estranha, mais estranha do que a teoria da rel relati ativid vidade ade,, e re reque querr h´abitos abitos de pensame pensamento nto nov novos, os, que precisam ser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜ao a o dizer ao longo da 1 vida . Estudar s´o perto da prova n˜ao ao basta, ´e quase in´util. util . Jean Die Dieudo udonn´ nn´e, e, grande matem´atico atico franc francˆˆes es da esc escola ola Bourb Bourbaki, aki, menc menciona, iona, em seu grande 1
“The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their properties properties and uses” (Dirac).
6
tratado Treatise on Analysis[16], Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸c˜ c˜ ao do abstrato.. Tam abstrato amb´ b´ em aqui pre em precis cisamos amos dela. De fato, Dir Dirac, ac, em sua gran grande de obra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ısica desde os Principia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. For this reason a boo ookk on the new physics, physics, if not pur purely ely descriptive descriptive of experimental work, must be essentially mathematical . Outro requisito paralel paraleloo ´e a leitura de um u m livro li vro de d e qualidade, qua lidade, al´em em destas dest as notas. Sugiro desde logo a leitura do pref´acio acio e dos par´agrafos agrafos 1, 2, 3 e 4 do livro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸co do curso.
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O princ´ princ´ıpio da incert incerteza eza
A “experiˆencia encia de Young” para el´etrons, etrons, em particul particular ar a forma¸c˜ cao a˜o de uma figura figu ra de interf interferˆ erˆencia enci a mesm mesmoo qua quando ndo o feix feixee de el´etrons etro ns ´e t˜ t ˜ao ao rarefeito que n˜ao a o h´a d´uvida uvida de que os el el´´etrons etrons ch chegam egam um a um na tela, mostra que a f´ısic ısicaa dos el´etrons etro ns ´e inco incompa mpatt´ıvel com o con conceito ceito de tra trajet´ jet´oria. oria. N˜ ao existe, na mecˆanica anica quˆantica, antica, o conceito de trajet´ oria Isto ´e o conte conte´ u udo ´do do princ pri nc´´ıpio da incerteza, um dos fundamentos fund amentos da mecˆanica anica quˆantica, antica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927. A maneira de se obter informa¸c˜ coes o˜es sobre um sistema quˆantico antico (que chamaremos,, par mos paraa sim simpli plific ficar, ar, de el´etro ron n ) ´e realizar intera¸c˜ coes o˜es entre ele e objetos cl´assicos, assicos, denominados denominados aparelhos. aparelhos. Por hip´ hipotese o´tese esses aparelhos podem ser descritos pela mecˆanica anica cl´assica assica com a precis˜ao ao que quisermos. quisermos. Quando um el´ etron int etron interage erage com um apare aparelho, lho, o estad estadoo dest destee ´ultimo ultimo ´e modificado. A natureza e magnitude dessa modifica¸c˜ cao a˜o dependem do estado do el´etron, etron, e servem, por isso, para caracteriz´a-lo a-lo quantitativ quantitativamen amente. te. A int intera¸ era¸c˜ cao a˜o entre o el´etron etron e o aparelho ´e denominada medida. Um aparelho n˜ao ao precisa ser macrosc´ opico. O movimento de um el´etron opico. etron numa cˆamara amara de Wilson ´e observado por meio da trajet´oria oria neb nebulo ulosa sa que ele dei deixa; xa; a es espess pessura ura de dessa ssa trajet´oria oria ´e grande, comparada com as dimens˜ oes atˆomica oes omicas. s. Qua Quando ndo a tra jet´oria oria de um el´etron etron ´e determina determinada da com essa baixa precis˜ao, ao, ele ´e um ob objeto jeto inteiramente cl´assico. assico. A mecˆanica anica quˆantica, antica, ao menos em seu est´agio agio atual, ocupa um lugar pouco pou co usual entre as a s teorias f´ısicas: ela cont´em em a mecˆanica anica cl´assica assica como um caso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecer a sua linguagem.
7
O problema t´ıpico da mecˆanica anica quˆantica antica consiste em predizer o resultado de uma medida a partir dos resultados de um certo n´umero umero de medidas anteriores. Al´em em disso, vere veremos mos mais tarde que, em compara¸c˜ c˜ao ao com a mec mecˆˆanica anica cl´assica, assica, a mecˆanica anica quˆantica antica restringe r estringe os valores das quantidades qu antidades f´ısicas medidas (por (p or exemplo, a energia ). Os m´etodos etodos da mecˆanica anica quˆantica antica permitem a determina¸c˜ cao a˜o desse dessess valores val ores admi admiss ss´´ıveis. O processo de medida na mecˆanica anica quˆantica antica tem uma propriedade muito importante: a medida sempre afeta o el´etron etron medido, e ´e imposs imposs´´ıvel, por quest˜oes oes de princ princ´´ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´etron etron arbitrariamente pequeno p equeno (como ( como pode p ode ser suposto sup osto na n a f´ f´ısica cl´ cl ´assica). assica). Quanto mais exata a medida, mais intenso ´e o efeito sobre o el´etron, etron, e ´e somente em medidas de pouca prec precis˜ is˜ ao que o efeito da medida sobre o el´etron ao etron pode p ode ser considerado pequeno. ´ um dos postulados fundamentais da mecˆanica E anica quˆantica antica que as coordena de nada das, s, ou se seja ja,, a pos posi¸ i¸c˜ cao a˜o de um el el´´etron etron pode semp sempre re ser dete determin rminada ada 2 com precis˜ao ao arbitr´aria aria . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t ∆ t, sejam feitas medidas sucessiv sucessivas as das coordenadas co ordenadas de um el´etron. etron. Os resultados n˜ao ao estar˜ao, ao, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´ario, ario, quanto menor o valor de ∆t, mais descont descont´´ınuos e desordenad de sordenados os ser˜ao ao os resultados, de acordo com o fato de que n˜ao ao existe uma trajet´oria oria para o el´etron. etron. Uma tra jet´oria oria razoavelmente lisa s´o ´e obtida o btida se as coo coordenadas rdenadas do el´etron etron forem medidas com pouca prec precis˜ is˜ ao, como no caso de uma cˆamara ao, amara de Wils Wilson. on. Par Paraa infor informa¸ ma¸c˜ coes o˜es sobre o que ´e uma cˆamara amara de Wilson, veja http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28
Se, mantendo-se imutada a precis˜ao ao das medidas de posi¸c˜ cao, a˜o, diminuirmos os intervalos ∆t ∆t entre as medidas, ent˜ao ao medidas adjacentes dar˜ao ao valores vizinhos `as as coorden coordenadas. adas. Con Contudo, tudo, os resu resultados ltados de uma s´erie erie de medi medidas das sucessivas, embora estejam em uma regi˜ao ao reduzida do espa¸co, co, estar˜ao ao distribu trib u´ıda ıdas, s, ness nessaa regi regi˜ao, a˜o, de uma forma totalmente totalmente irregular, irregular, e nun nunca ca em cima de uma curva curva lis lisa. a. Em particu particular lar,, qua quando ndo ∆t ∆t tende a zero, os resultados das medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta. Ora, a velocidade tem a dire¸c˜ cao a˜o da reta que, na f´ısica cl´assica, assi ca, ´e obtid o btidaa nesse n esse limite. Esta circunstˆancia ancia mostra que, na mecˆanica anica quˆantica, antica, n˜ao ao existe a velocidade loci dade da part p art´´ıcula no sentido cl´assico assico do termo, ter mo, isto ´e, e, o limite de (∆ (∆r/∆ r/ ∆t) quando ∆t ∆t 0. Enquant Enqu anto, o, na mecˆ anica cl´assica, anica assica, a part part´´ıcula tem posi¸c˜ cao a˜o e velocidade bem defi definid nidas as em cad cadaa ins instan tante te,, na mec mecˆˆanica anica quˆantica antica a situa¸c˜ cao a˜o ´e be bem m
→
2
Isto n˜ao ao est´a em contradi¸c˜ c˜ao a o com as rela¸c˜ coes o˜es de incerte incerteza. za. Elas Elas dizem que n˜ao ´e poss´ıvel ıvel determinar dete rminar simultaneamente simultanea mente posi¸ po si¸c˜ c˜aaoo e momento .
8
diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadas de um el´etron etr on,, ent˜ e nt˜ao ao sua velocidade velo cidade ´e totalmente indefinida. ind efinida. Se, ao contr´ co ntr´ario, ario, determina-se determina -se a velocidade velo cidade de um el´etron, etron, ent˜ao ao ele n˜ao ao pode ter uma posi¸c˜ cao a˜o definida no espa¸co. co. Ass Assim, im, na mecˆ mecˆanica anica quˆantica, antica, a posi¸c˜ coes o˜es e a velocidade de um el´etron etr on s˜ao ao quantidades que n˜ao ao podem ter, simultaneamente, valores definidos.
4
O con concceito de de es estado
Na mecˆanica anica cl´assica assica conhece-se o estado de um sistema quando s˜ao ao conhecidas todas as posi¸c˜ coes o˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em um determinado instante. A partir desses dados ´e poss poss´´ıvel predizer todo to do o futuro fut uro,, e re recon constr struir uir todo o pas passad sadoo do sis siste tema. ma. Ou seja, con conhec hece-s e-see o es es-tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maior precis˜ ao poss´ıvel ao ıvel (no ( no caso da mecˆanica anica cl´assica assica essa precis˜ao ao ´e to tota tal) l).. Na mecˆanica ani ca quˆantica antica tal desc descri¸ ri¸c˜ cao a˜o ´e imposs imposs´´ıvel, uma vez que as coordenadas e as velocidades n˜ao ao podem existir existir simult simultane aneame ament nte. e. Ass Assim, im, a descri¸c˜ cao a˜o de um estado na mecˆanica anica quˆantica antica ´e feita em termos de menos quantidades do que na mecˆanica anica cl´assica. assica. Segue-se disso uma conseq¨ uˆencia uˆ muito mu ito impo importa rtant nte. e. Enq Enquan uanto to a des descr cri¸ i¸c˜ cao a˜o cl´assica assica permite prever o movimento futuro com total precis˜ao, ao, a descri¸c˜ cao a˜o menos detalhada da mecˆanica anica quˆantica antica n˜ao ao permite essa precis˜ao. ao. Isto significa significa que, mesmo que se conhe¸ca ca o estado de um el´etron, etron, seu comportamento em instantes sucessiv sucessivos os ´e, e, em princ´´ıpio, incerto. A mecˆanica princ anica quˆantica antica n˜ao ao pode fazer previs˜ oes exatas. oes Para um dado estado inicial do el´etron, etron, uma medida subseq¨uente uente pode dar v´arios arios resultado resultados. s. O problema t´ıpico da mecˆanica anica quˆantica antica ´e determinar a probabilidade de se obter cada um dos resultados poss p oss´´ıveis, ao realizar uma medida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valor pode ser 1, e a de todos os outros zero!). Os processos de medida na mecˆanica anica quˆantica antica podem ser divididos em duas classes. classes. Em uma, que cont´ cont´em em a maiori maioriaa das medi medidas, das, est˜ ao aquelas ao que, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais ou menos prov´aveis. aveis. A outra classe cont´em em medidas tais que, dado um qualquer dos resultados poss p oss´´ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual a medida d´a, a, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜ao dita ditass previ p reviss´ıveis ıveis,, e desempenham um papel importante na formula¸c˜ cao a˜o da mecˆanica anica quˆantica. antica. As propriedades propried ades f´ısicas do sistema s istema que s˜ s ˜ao ao determinadas determinadas por p or medidas desse tipo s˜ao ao chamadas quantidades f´ f´ısicas ou observ´ aveis do siste aveis sistema.(V ma.(Ver er Landau Landau,, Lifshitz) Veremos no n o que segue seg ue que, dado um u m conjunto conju nto de quantidades qua ntidades f´ısicas, ısicas, nem 9
sem pre ´e po sempre poss´ ss´ıvel ıvel med´ı-la ı- lass simu simulta ltanea neament mente, e, is isto to ´e, e, nem sem sempre pre ´e po poss´ ss´ıvel ıvel que todas tenh tenham am valore aloress defin definidos idos ao mesm mesmoo tempo. Vimos que este ´e o caso para a posi¸c˜ cao a˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo. Um papel fund fundamen amental tal ´e dese desempenha mpenhado do por conj conjunt untos os de quan quantidad tidades es f´ısicas com a seguinte propriedade: elas podem p odem ser medidas simultane simultaneamente amente mas, se elas tˆem em todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´ısica independente pode ter um valor definido nesse estado. Tais conjunt co njuntos os de quantid qu antidades ades f´ısi ısicas cas s˜ao ao denominados conjuntos completos de observ´aveis aveis compat´ compat´ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸c˜ cao a˜o m´axima axima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema.
5
O princ princ´ ´ıpio de superposi¸ superposi¸c˜ ao
Seja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆantico antico 3 , e dq o produto das diferenciais dessas coordenadas 4 . Po Porr exempl exemplo, o, se q = x,y,z , dq = dxdydz.. dxdydz O estad estadoo de um sist sistema ema ´e desc descrito rito por uma fun¸c˜ cao a˜o complexa ψ(q) das coordenadas. O quadrado do m´odulo odulo dessa fun¸c˜ cao a˜o determina a distribui¸c˜ cao a˜o de probabilidades dos valores das coordenadas:
{
}
2
|ψ(x , y , z)z)| dxdydz ´e a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre os valores das coordenadas entre x e x + dx cao a˜o ψ dx,, y e y + dy dy,, z e z + dz dz.. A fun¸c˜ ´e den denom omin inad adaa fun¸c˜ c˜ ao de onda do onda do sistema. O con conhec hecime iment ntoo da fun fun¸¸c˜ cao a˜o de onda permit permite, e, em princ princ´´ıpio, calc calcular ular a probabilidade dos v´arios arios resultados de qualquer medida (n˜ao ao necessariame necessariamente nte das coordenadas). Essas probabilidades s˜ao ao express˜oes oes bilineares em ψ e ψ∗ (* representando a opera¸c˜ cao a˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo
dqψ((q )∗ φ(q)ψ(q) dqψ
ou
dqψ((q)∗ dqψ
∂ ψ (q ) ∂q
por exemplo. exemplo. O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨uˆ uˆenci en ciaa, a fun¸c˜ cao a˜o de onda ´e uma fun¸c˜ cao a˜o tamb´em em do tempo tempo,, ψ (q, t). Se a fun fun¸c˜ cao a˜o 3
Abuso Abuso de linguag linguagem em.. Todos os sistema sistemass s˜ ao ao quˆantic anticos. os. A express express˜ao ˜ao correta seria “sistema incorretamente descrito pela f´ısica cl´assica”. assica”. 4 Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas.
10
de onda o nda ´e conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸c˜ cao a˜o completa, que ela est´a, a, em princ prin c´ıpio, determinad determinadaa em cada instante i nstante sucessivo. suces sivo. A dependˆencia encia precisa da fun¸c˜ cao a˜o de onda com o tempo ´e dete determin rminada ada por uma equa¸c˜ cao a˜o denominada equa¸c˜ c˜ao ao de Sch Schr¨ r¨odinger odinger . A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquer valor, ´e 1. Devemos, ent˜ao, ao, ter
|
ψ(q) 2 dq = 1 ,
|
pois a integral acima ´e exatamen exatamente te esta probabilidade. Seja ψ (q ) a fun¸c˜ cao a˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸c˜ cao a˜o ψ′ (q ) = ψ(q)eiα onde α ´e um numero u ´ mero real. Como as probabilidades dos v´arios arios resultados s˜ao ao express˜oes oes da forma dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) e como
dqψ ∗ (q)φ(q )ψ(q ) =
dqψ ′∗ (q )φ(q )ψ′(q) ,
vemos que ψ′ (q ) ´e uma descri¸c˜ cao a˜o da fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema t˜ao a o boa quanto ψ(q ). Diz Diz-s -see , por isso isso,, qu quee a fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o de onda de um sistema est´a definida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´e fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o de onda de um 5 ′ sistema, ψ (q ) tamb mb´´em ´e. Seja S um siste sistema ma f´ısico que pode exis existir tir tan tanto to num estado de fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ1 (q) como no estado de fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ2 (q). A medida medida de uma uma quantid qua ntidad adee f´ısica ısi ca f d´a, a, por hip´otese, otese, o resultado f 1 , com probabilidade 1, se o sistema estiver em ψ1 , e o resultado f 2 , tamb´ ta mb´em em com co m probabil p robabilidade idade 1, se o sistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜ao ao que: (1)Toda fun¸c˜ cao a˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜ao a o n´ umeros complexos, umeros ´e tamb´ t amb´em em um est estad adoo do sis sistem tema. a. (2)Neste estado, uma medida de f dar´a ou o resultado f 1 ou o resultado f 2 . 5
Na realidade, h´a quantida qua ntidades des f´ısicas ısi cas tamb´em em da d a forma for ma
dqψ ∗ (q)φ(q)ξ (q )
onde ξ (q) ´e outra fun¸c˜ cao a˜o de onda. Como essas quantidades tamb´em em devem permanecer p ermanecer inalteradas, inalte radas, ´e necess´ario ario acrescentar acrescentar que a trasforma¸ trasforma¸c˜ caao ˜o ψ′ (q) = eiα ψ(q) deve ser tal que o mesmo α ´e usado us ado para p ara todas as fun¸ f un¸c˜ coes ˜oes de onda.
11
Este post postulado ulado ´e denomina denominado do princ princ´´ıpio de super superposi posi¸c˜ c¸ao. a˜o. Seg Segue ue dele dele que a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger deve ser linear em ψ . Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estado do sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possui uma descri¸c˜ cao a˜o completa.6 Ent˜ao ao as probabilidades das coordenadas q1 , da parte 1, s˜ao ao independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte 2. Se Seja ja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as fun¸c˜ coes o˜es de onda o nda das partes 1 e 2, respectiv respectivamente. amente. Ent˜ ao, ao, ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) , pois, ent˜ao, ao, 12 (q1 , q2 )
|ψ
2
2
| = |ψ (q )| |ψ (q )| 1
1
2
2
2
o que significa que as probabilidades s˜ao ao independentes. Se, al´em em disso, essas partes n˜ao ao interagirem, vale ainda a rela¸c˜ cao a˜o ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)
6
Ope perradores
Seja f uma quantidade qua ntidade f´ısica ısica que qu e caracteriza caracter iza o estado esta do de um sistema quˆantico. antico. Os valores que uma dada quantidade f´ f´ısica pode assumir s˜ao ao chamados de autovalores autov alores . O conjunto dos autov a utovalores alores ´e o espectro. Na mecˆanica anica cl´assica assica 7 as quant quantida idades des f´ısi ısicas cas s˜ao ao co cont´ nt´ınuas ınu as.. Na mecˆanica anica quˆantica, antic a, n˜ao ao neces necessar sariaiamente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont cont´´ınuos. Vamos supor, sup or, para simplificar, simplificar, que o espec espectro tro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜ao ao denotados por f n , (n = 0, 1, 2.. ). A fun fun¸¸c˜ cao a˜o de onda do sistema, no estado ..). em que f tem o valor f n , ser´a denotada por ψn . Essas fun¸c˜ coes o˜es s˜ao ao chamadas autofun¸c˜ c˜oes de f f .. Para cada uma delas,
dq ψn 2 = 1
| |
Um dos prin princc´ıpio ıpioss b´asicos asicos da mecˆanica anica quˆantica ant ica ´e est este: e: (I) O conjunto das autofun¸c˜ coes o˜es de uma quantidade f´ısica f ´e compl co mpleto. eto. Ist Istoo ´e, e, dada uma fun¸c˜ cao a˜o de onda qualquer ψ do sistema, po podemos demos expand expand´´ı-la em autofun¸c˜ c˜oes de f assim: ψ= an ψn
n
6
Isto quer dizer que a fun¸c˜ c˜ao ao de onda de cada uma das partes tem um “futuro” totalmente previs´ previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜aaoo independentes. independentes . 7 Natura non facit saltus, saltus , Isaac Newton.
12
onde os an s˜ao a o n´ umeros complexos. umeros (II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valor dada da p or an 2 . f n ´e da Em conseq¨ uˆencia, uˆ enci a, devemo devemoss ter
| |
an 2 = 1
| n
|
pois n an 2 ´e a probab probabilidade ilidade de, medindomedindo-se se f f ,, obter-se qualquer um dos valores valo res po poss´ ss´ıveis. ıvei s. Temos, ent˜ao, ao, o resultado
|
|
n
an a∗n =
dqψψ∗
Por outro lado, temos ψ∗ = logo,
dqψψ∗ =
∗
an ψn∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ
n
=
n
=
n
de onde se conclui que an = Finalmente, usando ψ = an =
m am ψm ,
∗
de onde se conclui que
dqψn
an
ψn ψdq
an an
∗
ψn ψdq
temos
amψm =
m
an ψn dq
∗ am
m
ψn ψm dq
dqψ n∗ ψm = δnm
Diz-se ent˜ao ao que as autofun¸c˜ coes o˜es s˜ao ao ortogon ortogonais. ais.
6.1
Valor m´ edio edio
Vamos introdu introduzir zir agora a gora o conceito con ceito de valor m´edio edio f da qua q uantid ntidad adee f´ f´ısi ısica ca f em um dado estado. Sejam f n os valore valoress poss´ p oss´ıveis ıveis de f f ,, ou seja, seus autovalores 13
. Se Seja jam m an 2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado em quest˜ao. ao. Define-se ent˜ao ao o valor m´edio edio como
| |
f =
f n an
| |
n
2
Usa -se tamb´em Usa-se em a nota nota¸c˜ c¸ao a˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encontrar uma express˜ao ao para f em termos da fun¸c˜ cao a˜o de onda do estado considerado. Seja ψ esta fun¸c˜ cao. a˜o. Par Paraa fazer isso vamos vamos associar a` quant quantida idade de f´ısic ısicaa ˆ ˆ linear f que atua sobre as fun¸c˜ coes o˜es de onda. Seja f ψ a fun¸c˜ cao a˜o f um operador linear ˆ ˆ obtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f f ,, que
f =
dqψ ∗ (fˆψ)
para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamo es tipulamoss que as quantidades qu antidades f´ısicas deveriam ser express˜oes oes bilineares na fun¸c˜ cao a˜o de onda). Ent˜ao, ao, f =
n
onde usamos an = que
f n an a∗n =
∗ dqψ
an f n ψn
n
a nteriormente. nte. Vemos, primeiramente, primeiramente, dqψ ∗ ψn , obtido anteriorme
fψ =
an f n ψn
n
Ora, ψ=
an ψn ,
n
de maneira que f ´e line linear, ar, e que fˆψn = f n ψn Sumarizando: fˆψn = f n ψn f ˆ = dqψ ∗ fˆψ an =
dqψn∗ ψ
dqψn∗ ψm = δnm
(1) (2) (3) (4)
Os valore valoress assumidos por uma quantidade f´ısica ısica s˜ ao reais. Portanto, os valao ores or es m´edios edi os f de uma quantidade f´ısica s˜ao ao tamb´em em reais, como se vˆe de 2 (exerc´ıcio f´acil), acil), que, se o estado for uma autof = n f n an . Note-se (exerc´ fun¸c˜ cao a˜o de f valorr m´edio edi o f coincide com o autovalor de f nesse estado. f ,, o valo
| |
14
Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadores associados asso ciados a quantidades f´ısicas: f =
∗ dqψ ∗ fˆψ = f =
dqψ ∗ fˆψ
∗
(5)
Ora,
∗ dqψ ∗ (fˆψ) =
∗
∗ ψ (fˆψ)dq =
ψ (fˆψ )∗ dq =
ψf ˆ∗ ψ∗ dq
(6)
onde f ˆ∗ ´e definido assim: se fˆψ = φ, ent˜ao ao f ˆ∗ ´e o opera operador dor tal que f ˆ∗ ψ ∗ = nt˜˜ao, φ∗ .8 Ent ˆ = ψf ˆ∗ ψ∗ dq ψ∗ fψdq
ˆ. Sejam ψ e φ fun¸c˜ Vamos definir o operador transposto t f ˆ do operador f coes o˜es f . tˆ arbit´arias. arias. Ent˜ao ao f ´e ta tall qu quee
∗
ψ ( f ˆ)φdq = t
φfˆψ ∗ dq
Por exemplo, para ψ = φi,
ψ f ˆ∗ ψ ∗ dq =
∗
ψ (t f ˆ∗ )ψdq
Da condi¸c˜ cao a˜o de realidade de f f ,, Eq.(6), temos
∗
ˆ = ψ fψdq
ψf ˆ∗ ψ∗ dq =
∗
ψ (t f ˆ∗ )ψdq
(7)
Comparando os dois extremos vemos que ˆ)∗ f ˆ = (t f f ) Operadores com esta propriedade s˜ao ao ditos hermiteanos. Logo, os operadores associados asso ciados a quantidades qua ntidades f´ısicas s˜ao ao operadores lineares hermiteanos. Podemos, formal formalmente, mente, considera considerarr quantidades f´ısicas complexas complexas,, isto ´e, e, cujos autovalores s˜ao ao com comple plexos xos.. Por ex exemp emplo, lo, dad dadas as as coordenad coordenadas as x e y ,podemos considerar a quantidade x + iy iy.. Seja f uma quantidade desse ∗ tipo, e seja f a quantidade cujos autov autovalores alores s˜ao ao os complexo-conjugados dos ` autovalores autov alores de f f .. A quantidade f corresponde o operador f ˆ. Denotemos por ∂ Por exemplo, seja f ˆ = i ∂x . Ent˜ao, ao, dado ψ qualquer, temos fˆψ = ∗ ∂ f ˆ∗ deve ser tal, ent˜ao, ao, que f ˆ∗ψ ∗ = ( i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ˆ∗ = i ∂x . ∂x ∂x
8
−
−
15
−i
∂ψ ∂x .
O operador
o perador or ´e denominado denomi nado f ˆ+ o operador correspondente `a quantidade f ∗ . Este operad ˆ o adjunto de f f .. O valor m´edio edio da quantidade f ∗ ´e da dado do p or
∗
ψ f ˆ+ ψdq
f ∗ =
onde apenas adaptamos a defini¸c˜ cao a˜o de m´edia edia de um oper operador. ador. Ora, ˆ f = ψ ∗ fψdq logo,
∗
f = Mas
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ | | | | ∗ ∗ ∗ ˆ ψ fψdq
f =
n
Ou seja,
ψ f ˆ ψ dq =
=
f n an 2 =
f n an
2
= f
n
ψ f ˆ+ ψdq =
Comparando, temos
ψ (t f ˆ) ψdq
ψ (t f ˆ) ψdq
f ˆ+ = (t f ˆ)∗
Em palavras, o adjunto ´e o transposto do conjugado. A condi¸c˜ cao a˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como ˆ) = f ˆ∗ (t f f ) pode agora ser escrita:
f ˆ = f ˆ+
e os operadores hermiteanos s˜ao ao aqueles aquel es que coincidem co incidem com os adjuntos. a djuntos. Da Da´´ı serem chamados tamb´em em de auto-a auto-adjuntos. djuntos. Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸c˜ coes o˜es de um operadorr herm erado hermitean iteanoo pode ser demonstrada demonstrada diretamente diretamente.. Sejam f n e f m dois ˆ. Se autovalores diferentes do operador hermiteano f Seja jam m ψn e ψm as autof . fun¸c˜ coes o˜es correspondentes. correspondentes. Ent˜ ao, ao, fˆψn = f n ψn fˆψm = f m ψm
∗ , temos Multiplicando a primeira por ψm ∗ fˆψn = ψ∗ f n ψn = f n ψ∗ ψn ψm m m 16
(8) (9)
e
dqψ ∗ fˆψn = f n m
∗ ψn dqψm
(10)
∗ = Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplic multiplicando ando por p or ψn , temos ψn f ˆ∗ ψm ∗ . Integrando, f m ψn ψm
Mas
∗ = f dqψn f ˆ∗ ψm m
dqψ ∗ fˆψn − m
∗ = dqψ n f ˆ∗ ψm
∗ dqψn ψm
ˆ+
∗ = (f n − f m ) dqψ n f ψm
ˆ)∗ ψn = dqψ ∗ (t f f ) m
(11)
∗ dqψn ψm
dqψ ∗ f ˆ+ ψn = m
(12)
∗ fˆψn dqψ m
pois f ˆ ´e hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´e zero. Conseq¨uenteuentemente, ∗ dq = 0 (f n f m ) ψn ψm
−
e, como f n = f m , segue que
6.2
∗ =0 dqψn ψm
(n = m)
Adi¸c˜ cao a ˜o e subtra¸c˜ c˜ ao de op ao opera erador dores es
Sejam f e g duas quantidades f´ f´ısicas que podem ter valore valoress definidos simulˆ taneamente. Sejam f e gˆ seus operadores. operadores. Os autovalore autovaloress da soma f + g s˜ao ao f + a soma dos autovalores de f e de g . Considere o operador f ˆ + ˆg, e sejam ψn as autofun¸c˜ coes o˜es comuns a f ˆ e gˆ. En Ent˜ t˜ao, ao , fˆψn = f n ψn gˆψ n = gn ψn gψ e, portan portanto, to,
(f ˆ + ˆg)ψn = (f n + gn )ψn
Este resultado pode ser generalizado para fun¸c˜ coes o˜es de onda quaisquer, assim: (f ˆ + ˆg)ψ = fˆψ + ˆgψ gψ Neste caso, tem-se f + g =
∗
ψ (f ˆ + ˆg)ψdq =
∗
ˆ + ψ fψdq
17
∗
ˆψdq = f + g ψ ggψdq
A multiplica¸c˜ cao a˜o de opera o peradores dores ´e definida defi nida assim: ˆgˆ)ψ = f ˆ(ˆgψ) (f f ˆ f (ˆ gψ ) Suponhamos Suponham os que ψn seja autofun¸c˜ cao a˜o comum a f ˆ e gˆ. En Ent˜ t˜ao, ao , ˆ(ˆgψ ˆ(gn ψn ) = gn fˆψn = gn f n ψn f ˆgψ f ˆ gˆψn = f f (ˆ gψn ) = f f ( e
gˆfˆψn = gˆ(fˆψn ) = gˆ(f n ψn ) = f n (ˆgψ gψ n ) = f n gn ψn
Logo, para as autofun¸c˜ coes o˜es simultaneas, temos ˆgˆ (f f ˆ
− gˆf f )ˆ)ψ
n
=0
Isto n˜ao ao ´e suficiente para se concluir que o operador f ˆgˆ f ˆ
− gˆf ˆ = 0 .
Contudo, como o conju Contudo, conjunt ntoo das autofun¸c˜ coes o˜es ψn ´e completo completo,, temos, dada uma fun¸c˜ cao a˜o de onda arbitr´aria, aria, que
ψ=
an ψn
n
e
ˆgˆ (f f ˆ
− gˆf f )ˆ)ψ =
ˆgˆ an (f f ˆ
n
− gˆf ˆ)ψ
n
=0
ˆgˆ gˆf ˆ ´e zero como operador, pois lev Logo, o operador f levaa qualquer fun¸c˜ao f ˆ ao valor zero. zero. Not Note-s e-see que isto foi de demon monstr strado ado para doi doiss oper operador adores es que possuem um conjunto completo de autofun¸c˜ coes o˜es comuns. No caso geral, esse comutador, ˆgˆ gˆf ˆ [fˆ, gˆ] f f ˆ
−
≡ −
´e dife diferente rente de zero zero..
7
A en energia e a eq equac˜ c¸˜ ao de Sch ao chr¨ r¨ odinger odinger
A fun¸c˜ cao a˜o de onda determina completamente o estado f´ f´ısico do sistema. Isto significa que, dada a fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜ao ao somente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜ao ao descritas, mas tamb´ em as propriedades em qualquer instante subseq¨uente em uente (tudo isso, naturalmente, em termos do conceito de descri¸c˜ao ao completa admitido pela mecˆanica anica quˆantica). antica). Matematicamen Matematicamente te isto quer dizer que a derivada primeira 18
no tempo, ∂ψ no instante t ´e determi det erminada nada pel peloo valor valo r de ψ no mesmo instante. ∂t Como a teoria t eoria ´e linear, lin ear, essa rela¸c˜ cao a˜o ´e tamb´ t amb´em em lin linea ear. r. Vamos esc escrevˆ revˆe-la e-l a as assim sim:: ¯ ih
∂ψ ˆψ =H ∂t
(13)
ˆ ´e um operado onde H op eradorr line linear ar a ser determinado. determinado. A mane maneira ira mais direta de ˆ descobrir a natureza de H ´e impor oˆr que, no limite cl´assico, assico, as leis de Newton ˆ sejam obtidas. obtidas. Usand Usandoo argume argument ntos os de mecˆ anica avan¸cada anica cada mostra-se que H deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos momento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸c˜ cao a˜o pi =
−i¯h ∂q∂
(14)
i
A equa¸c˜ cao a˜o (13) ´e denomina denominada da equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger , e desempenha, na mecˆanica anica quˆantica, antica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na mecˆanica anica cl´assica. assica.
Exemplos: (2) A part´ıcula ıcula livre unidime unidimensiona nsional: l: E = pˆ = 2
pˆ
=
ˆ = H ˆψ H
p2 2m
−i¯h ∂x∂ −i¯h ∂x∂ −i¯h ∂x∂ 2
2
− 2¯hm ∂x∂ 2 2
=
2
− 2¯hm ∂ ∂xψ2
Equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger completa: i¯h
∂ψ = ∂t
2
2
− 2¯hm ∂ ∂xψ2 .
(2) A part´ıcula ıcula livre l ivre tri-dime t ri-dimensiona nsional: l: E = pˆx
=
pˆy
=
1 p2 + p2y + p2z 2m x ∂ i¯h ∂x ∂ i¯h ∂y
− −
19
(15)
pˆz
−i¯h ∂z∂
=
ˆ = H ˆψ H
−
¯h2 2m 2
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
− 2¯hm ∇ 2ψ
=
Equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger completa: ∂ψ ¯h2 2 = ψ (16) ∂t 2m (3) Part Part´´ıcula sobre a a¸c˜ c˜ao ao de um potencial: Seja V V ((x,y,z x,y,z)) a energia potencial da part´ıcula. ıcula. Na mecˆanica anica quˆantica antica o operador energia ˆ potencial, V V ((r) ´e defin definido ido por por:: i¯h
− ∇
ˆ (r )ψ (r ) V V (
≡ V V ((r)ψ(r)
ˆ (r ) sobre a fun¸c˜ ou seja, a a¸c˜ cao a˜o do operador V V ( cao a˜o ψ(r ) consiste simplesmente em multiplic´ a-la pelo n´ a-la umero V umero V ((r). Exemplo: Oscilador harmˆonico onico unidimensional: ˆ (x)ψ (x) = V V ( ˆψ H
7.1
=
1 2 kx ψ(x) 2 ¯h2 2 1 ψ + kx2 ψ 2m 2
V ((x)ψ (x) = V
− ∇
Exerc´ Exerc ´ıcios
1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸c˜ coes o˜es de H , com autovalores 0). Seja Ψ( Ψ(x, t = 0 ) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x). E 1 e E 2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Determinar Ψ(x, Ψ(x, t) para t > 0. Solu¸c˜ cao: a˜o: Temos i ˆ (17) ψ (x, t) = e− h¯ Ht ψ (x, t = 0) Portanto, i
ˆ
i
i
Ψ(x, t) = e− h¯ H t (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h¯ E 1t ψ (x, t = 0)+a Ψ(x, 0)+a2 e− h¯ E 2 t ψ2 (x, t = 0) (18) (a) Mostre que, nas condi¸c˜ coes o˜es acima, exp
− h¯i Hˆ tψ (x) = exp − h¯i E tψ (x) 1
1
(b) Demonstre a Eq.(17). (c) As fun¸c˜ coes o˜es exp i(k1 x ω1 t), exp i(k2 x
−
20
1
− ω t) e exp −i(k x + ω t) s˜ao ao solu¸c˜ coes o˜es 2
1
1
estacion´ arias da equa¸c˜ arias cao a˜o de Schr¨odinger oding er de uma um a part par t´ıcula livre. li vre. Escreva essa equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger e mostre que isso ´e verdade verdade.. A soma das trˆes es ´e uma solu¸c˜ cao a˜o da mesma equa¸c˜ cao, a˜o, logo ´e a fun¸c˜ cao a˜o de onda de um estado de part´´ıcul part ıculaa livr livre. e. Se o siste sistema ma se enc encont ontra ra nest nestee esta estado, do, quais os valore aloress da energia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual ´e a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidades relativas, em vez de em probabilidades simplesmente?
2.A fun¸c˜ cao a˜o de onda o nda de uma part part´´ıcula livre de massa m, em movimento ao longo do eixo x, ´e, em t = 0, dada por 2α ψ(x) = π
1/4
e−αx
2
(19)
(a) Verifique se ela est´a normalizada. (b)Usando
π − k2 (20) e 4α α −∞ expanda ψ (x) (da Eq.19) em autofun¸c˜ coes o˜es simultˆaneas aneas do momento e da energia , exp ikx ao for escrita ikx.. Se a expans˜ao
∞
2α π
2 dxe−αx e−ikx =
1/4
∞ 2 e−αx = dka(k )eikx dka( −∞
mostree que mostr 1 2α a(k ) = 2π π
1/4
π − k2 e 4α α
e que, portanto, 1 2α ψ(x, t) = 2π π
1/4
k2 ihk h ¯ k2 t π dke− 4α eikx e− 2m α −∞
∞
(21)
(c) Agora, num esfor¸co co de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a Eq.(20) trivialm trivialmente ente modificada mo dificada). ). Vocˆe deve achar 1/4
2α ψ(x, t) = π
αm m x2 h ¯t e− m+2iαht 2iα¯ht ¯t m + 2iα h
(22)
(d)Verifique que a fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸c˜ cao a˜ o de Schr¨odinger odinger para a part part´´ıcula livre.
21
7.2 7. 2
A deri deriv vad ada a no tempo tempo de de um oper operad ador or
ˆ˙ ´e a deriv Diremos que um operador f derivada ada no tempo do operador f ˆ se, sendo ˆ˙ o valo ˆ˙ nesse valorr m´edio edi o de f ˆ num estado arbitr´ario, ario, e f valorr m´edio edi o de f f ˆ o valo mesmo estado, tivermos d ˆ ˆ˙ (23) f = f dt Explicitando, devemos ter
d ˆ d f = dt dt
dqψ ∗ fˆψ =
∂ f ˆ ∗ dqψ ψ+ ∂t
ψ∗ ˆ dq f ψ + ∂t
∂ψ dqψ ∗ f ˆ ∂t
(24)
Usando a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger , obtemos ∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗ = H ψ ¯ ∂t h ∂ψ iˆ = Hψ ¯ ∂t h
−
Usando esses resultados em (24), temos d ˆ f = dt
∂ f ˆ i dqψ ∗ ψ + ∂t
¯ h
∗ ∗ ˆ ψ dq H
fˆψ
−
i ¯ h
ˆψ dqψ ∗f ˆ H
(25)
O term termoo que con cont´ t´ em a deriv em derivada ada parcial do operador s´o existe quando a express˜ao a o do op erador opera dor cont´em em parˆ p arˆametros ametros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´essemos essemos uma part´ıcula ıcula livre de massa vari´avel, avel, seu hamiltoniano seria ˆ = H
−
¯h2 2 2m(t)
(26)
∇
e a derivada em quest˜ao ao seria dada por ˆ ∂ H ¯h2 dm 2 = ∂t 2m2 (t) dt
∇
Na grande maioria dos casos este termo ´e inexistente. i nexistente.
ˆ ´e herm Voltando a` Eq.(25), e usando o fato de que H hermitea iteano, no, temo temoss
∗ ∗ ˆ ψ dq H
fˆψ =
ˆ fˆψ = dqψ ∗ H
ˆ fˆψ dqψ ∗ H
(27)
e, conseq¨uentemente, uentemente, d ˆ f = dt
∗ ψ
∂ f ˆ i ˆ ˆ + H f ¯ ∂t h 22
−
i ˆˆ f H ψ ¯h
(28)
Como, por defini¸c˜ cao, a˜o,
d ˆ f = dt
temos que
dqψ ∗ fˆ˙ψ
ˆ˙ = ∂ f ˆ + i ˆ ˆ f H f ¯ ∂t h
−
ˆ f ˆH
(29) ˆ
Como dissemos, di ssemos, o caso mais import im portante ante ´e aquele em que ∂ ∂tf = 0 (diz-se ent˜ao ao que o operador n˜ao ao tem dependˆencia encia expl expl´´ıcita no tempo tempo.) .) Neste caso, i ˆˆ ˆ f ˙ = H f ¯ h
ˆ f ˆH
(30)
f ˆ = const constante ante .
(31)
−
ˆ˙ = 0, e ˆ f ˆ] = 0, f Vemos ent˜ao ao que, se [H, f ]
Na mecˆanica anica quˆantica, antica, a constˆancia ancia de uma quantidade f´ısica no tempo temp o quer dizerr isto: que o valor m´edio dize edio dessa quan quantidad tidadee inde independe pende do tempo. Conˆ ˆ ˆ ] = 0, logo, se H ˆ n˜ao sidere o operador H . Temos, evidentemente, que [ H , H ao depende explicitamente do tempo, ˆ˙ = i [H ˆ , H ˆ] = 0 H ¯ h
(32)
ˆ = 0. A quantidade f´ e dtd H f´ısica associada ao hamiltoniano ´e a energia . Logo, a energia se conserva, na mecˆanica anica quˆantica. antica.
Como
ψ2 dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸co, co, temos que
|
|
d 0= dt
dq ψ
2
||
d = dt
dqψ ∗ ψ =
∂ψ ∗ ∂ψ ψ + ψ∗ ∂t ∂t
(33)
Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸c˜ao ao de Schr¨odinger odinger , temo temos: s: i 0= ¯h
ˆ ∗ ψ∗ − dqψ H
ˆψ dqψ ∗ H
= =
i ¯h i ¯h
ˆ )∗ ψ − dqψ ∗ (t H
ˆ+ ψ∗ H
ˆ = H ˆ + , ou seja, que H ˆ ´e her Segue ent˜ao ao que H h ermit mitea eano. no.
7.3 7. 3
− H ˆ
ˆψ dqψ ∗ H
ψ
O co com mut utad ador or de pˆ e qˆ
Como pˆx =
−ih¯
∂ , ∂x
temos
[ˆx, ˆ( ih ¯) x, pˆx ]ψ(x) = x
−
∂ψ (x) ∂ψ( ∂x 23
− (−ih¯ ) ∂x∂ (xψ xψ((x))
(34)
que leva a [ˆx, ¯hψ(x) x, pˆx ]ψ (x) = ihψ(
(35)
Logo, temos a igualdade entre operadores: [ˆx, ¯ ˆ1 x, pˆx ] = ih
(36)
onde ˆ1 ´e o operador unidade, definido por p or ˆ1ψ = ψ
(37)
qualquer que seja ψ. Obviamente Obviamen te isto vale tamb´ em para as outras componentes. Numa forma em geral. temos: [ pˆi , qˆ j ] = i¯h (38) hδδij ˆ1
−
S˜ao ao as chamadas rela¸c˜ c˜ oes de Heisenberg .
8
Estados estacion´ arios arios
Na equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger ¯ ih
∂ψ((r , t) ∂ψ ˆ ψ(r, t) =H ∂t
(39)
procuremos solu¸c˜ coes o˜es da forma ψ(r , t) = u(r)T T ((t) ,
(40)
que s˜ao ao um produto de uma fun¸c˜ cao a˜o s´o de r por uma fun¸c˜ cao a˜o s´o de t. Explicitando a forma do hamiltoniano, ˆ = H
¯ 2 2 h + V V ((r ) 2m
− ∇
(41)
reescrevemos a Eq.(39) assim: ∂ ¯ u(r)T ih T ((t) = ∂t
¯ 2 2 h u(r)T T ((t) + V V ((r)u(r)T T ((t) 2m
(42)
¯ 2 2 h T ((t) T u(r) + V V ((r )u(r)T T ((t) 2m
(43)
− ∇
que pode ser reescrita: dT (t) dT ( ¯hu(r) = ihu( dt
−
∇
24
Dividindo por u(r)T T ((t), temos 1 dT ¯ = ih T dt
−
1 h ¯ 2 2 u + V V ((r) u 2m
(44)
∇
O primeiro membro n˜ao ao depende de r, ou seja, s´o pode depender de t. Ele ´e igual ao segundo membro, que n˜ao ao pode depender de t. Logo Logo,, o pri primei meiro ro membro n˜ao ao depende nem de r nem de t: n˜ao ao dpende ent˜ao ao de nada: ´e constant const ante. e. O segundo membro, membro, por for¸ca ca da equa¸c˜ cao, a˜o, ´e igual i gual ao primeiro primeiro,, e ent˜ao ao tamb tamb´´em em constante constante.. Designemos esta constante por p or E . Tere eremo moss ent˜ao ao ¯ ih ou
1 dT = E T dt
dT = T que ´e integrada facilmente, dando
(45)
− h¯i Edt
(46)
i
T (t) = K e− h¯ Et T ( Logo,
(47) i
ψ(r , t) = K u(r)e− h¯ Et
(48)
Note-se que i ∂ ∂ ˆ ψ(r, t) = ih ¯ ψ(r, t) = ih ¯ H Ku((r)e− h¯ Et = Eψ Ku Eψ((r, t) ∂t ∂t
o que mostra duas coisas importantes: i 1. Os ψ(r , t) da forma u(r)e− h¯ Et s˜ao ao autofun¸c˜ coes o˜es do hamiltoniano. 2.E 2. autovalor alor do hamiltoniano, e, portanto, p ortanto, a energia do sistema, quando E ´e o autov neste estado. Estados da forma
i
ψ(r , t) = u(r)E − h¯ Et
(49)
s˜ao ao chamados estados estacion´arios. arios. O nome ´e devido ao fato de que a densidade de probabilidade de posi¸c˜ cao, a˜o, psi( psi(r, t) 2 , ´e independente do tempo, pois ∗ i i (50) ψ(r, t) 2 = u(r)e− h¯ Et u(re re− h¯ Et = u(r) 2
|
|
i
|
|
|
|
pois e− h¯ Et 2 = 1. Os estados estacion´arios arios s˜ao ao extremamente importantes na descri¸c˜ cao a˜o quˆantica antica da natureza, n˜ao ao s´o por represen representarem tarem os estados que tˆem em energia definida,
|
|
25
mas tamb tamb´´em em porque p orque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜ ao os ao estados estacion´arios, arios, ´e completo. Isto significa que qualquer estado pode ser representado como uma combina¸c˜ cao a˜o linear de estados estacion´arios. arios. A determina¸c˜ cao a˜o dos estados estacion´arios arios de um dete determina rminado do hamil hamiltonitoniano ´e feita normalmente no rmalmente resolvendo-se reso lvendo-se a equa¸c˜ cao, a˜o, dita equa¸c˜ c˜ao ao de Sc Schr hr¨¨odinger odinger independente do tempo, ˆ u(r) = Eu (51) H Eu((r) Resolver esta equa¸c˜ Resolver cao a˜o significa n˜ao ao s´o determinar u(r), mas o par(E par(E , u(r)). ˆ O n´umero umero E autoval tovalor or de H associado a` autofun¸c˜ cao a˜o u(r). Problemas desse E ´´e o au H associado tipo s˜ao ao chamados, em matem´atica, atica, problems de autovalores .
9
Poco c¸o quadrado unidimensional infinito
Este ´e o proble problema ma mais simples en envol volve vendo ndo um siste sistema ma localiz localizado. ado. Uma part´´ıcula mov part move-se e-se livremen livremente te ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que, nas posi¸c˜ coes o˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´aveis: aveis: exige exige-se, -se, isto ´e, e, que a probab probabilidade ilidade de a part part´´ıcula estar fora do intervalo 0 x a seja estritame estr itament ntee 0. Formalm ormalmen ente te isto se realiza exigindo exigindo que a fun¸c˜ cao a˜o de onda da part part´´ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamen infinitamente te espessas. Portan Portanto, to, ψ(x) = 0 para x a e para x 0. Procuremos os estados estacion´arios. arios. Na regi˜ao ao interna `as as paredes, temos
≤ ≤
≥
−
≤
¯ 2 d2 h ψ(x) = Eψ Eψ((x) 2m dx2
(52)
onde E ´e um numero u ´ mero positiv positivoo ou nu nulo. lo. (O “fundo “fundo do po¸co” co” ´e o ponto de energia zero, por defini¸c˜ cao). a˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como
−
2m d2 ( ) = ψ x Eψ (x) Eψ( dx2 ¯2 h
e, introduzindo k2 =
2m E ¯2 h
(53)
(54)
temos
d2 ψ(x) = k 2 ψ(x) 2 dx Esta ´e uma equa equa¸¸c˜ cao a˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸c˜ cao a˜o gera ge rall ´e: e:
−
ψ (x) = A sin kx + B cos kx.
26
(55)
(56)
Temos, adicionalmente, as condi¸c˜ coes o˜es de contorno ψ (0) = ψ(a) = 0
(57)
Para satisfazer ψ (0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automaticamente em x = 0. En Ent˜ t˜ ao, antes de usar a segunda condi¸c˜ ao, cao a˜o de contorno, temos (58) ψ (x) = A sin kx A segunda condi¸c˜ cao a˜o de contorno exige que A sin ka = 0
(59)
e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ nπ,, com n inteiro qualquer. Logo, devemos ter (60) ka = nπ ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma kn =
nπ a
(61)
onde acrescen acrescentamos tamos um ´ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸c˜ coes o˜es da equa¸c˜ c˜ao ao de Sch Schr¨ r¨odinger odinger (52) que satisfazem as condi¸c˜ coes o˜es de contorno (57) s˜ao ao nπ (62) ψn (x) = A sin x a com n = 0, 1, 2 . . ..9 Note-se que ´e a condi¸c˜ cao a˜o de a fun¸c˜ c˜ao ao de onda se anular em x = a que restringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´a que
¯ 2 kn2 ¯ 2 n2 π 2 h h = E n = . 2m 2m a2
(63)
Diferentemente do que acontece na f´ısica cl´assica, assica, a energia n˜ao ao varia continuamente: do valor E n passa-se, a seguir, ao valor E n+1 , e E n+1
−
¯ 2 π2 h (n + 1)2 E n = 2 2m a
2
−n
¯ 2 π2 h = (2n (2 n + 1) 2m a2
(64)
Temos, isto ´e, e, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para a energia est˜ao ao sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´e, e, ter 9 Na realidade realidade inteiros inteiros negativos s˜ao ao tamb´ tamb´em em admitidos, mas, como sin −nπ x = nπ x a
−sin
a
, as fun¸c˜ coes o˜es de onda onda corres correspond ponden entes tes a n negativos s˜ao a o as mesmas que as de n positivos, positivos, pois ψ(x) e ψ (x) representam o mesmo estado.
−
27
localiza¸c˜ cao a˜o restrita a uma parte finita do espa¸co. co. Sistemas que podem estar em to toda da a par parte, te, como par partt´ıcul ıculas as livr livres, es, tˆem em esp espectr ectroo cont cont´´ınuo. ´ util E u ´ til normalizar as fun¸c˜ coes o˜es de onda: os postul p ostulados ados interpre interpretativ tativos os ficam mais simples, quando isto ´e feito. Para tanto, vamos exigir que a
| 0
ou
|K Usando a rela¸c˜ cao a˜o
dx ψn (x) 2 = 1 a
2
0
|
dx sin2
1 nπx sin = 1 2 a
|
(65)
nπx =1 a
(66)
−
2
2nπx cos a
obtemos
|K | 2
2
a
− 0
2
dx 1
2nπx cos a
2
|K | =
2 a
2
a
− a
0
2 , a
2nπx dx cos a
2
|K | a = 1 = 2
(67) j´a que a fase da fun¸c˜ cao a˜o de onda
Logo, K = e podemos escolher K = ´e ar arbi bitr tr´´aria. aria. Assim, 2 nπx sin ψn (x) = a a leitor n˜ao ao ter´a dificuldades em mostrar o resultado mais geral:
| |
a
0
dxψn∗ (x)ψm (x) = δnm
(68)
(69)
que exibe a ortogonalidade das fun¸c˜ coes o˜es de onda correspondentes a energia s diferentes. A fun¸c˜ cao a˜o de onda completa para esses estados estacion´arios ar ios ´e ent˜ao ao ψn (x, t) =
2 nπx − i E nt sin e h¯ a a
2 2 2
(70)
n π com E n = ¯h2ma 2 . Estado Est adoss n˜ ao estac ao estacion´ ion´ arios, na re arios, realid alidade ade es estad tados os qua quaisq isque uer, r, podem se serr obtidoss por com obtido combina¸ bina¸c˜ coes o˜es lineares desses ψn (x, t).
28
10 10.1
Exem Ex empl plos os si simp mple less Po¸co co quadrado unidimensional
Uma part part´´ıcula de massa m se move sob a a¸c˜ cao a˜o de um campo de for¸cas cas que confere `a part p art´´ıcula uma energia poten potencial cial V V ((x) tal que V (x) = V (
−
V 0 para 0 para
|x| < a |x| > a
(71)
como descrito na figura. V ((x) V
a
−a
x
E<0 I
II
III
V = V 0
Vamo amoss con consid sidera erarr pri primei meiro ro o cas casoo E < 0, on onde de E ´e a ener energia gia total da part´´ıcula. No caso part cas o cl´assico, assico, a part part´´ıcula n˜ao ao pode atingir as regi˜oes o es I e III. 2 2 De fato, sua energia total ´e E = mv /2 + V V ((x), ou seja, mv /2 = E V V ((x). 2 Nas regi˜oes o es I e III temos V V ((x) = 0, o que daria mv /2 = E . Mas E < 0, o que daria uma energia cin´etica etica negativa, impo imposs ss´´ıvel.10 Na regi˜ao a o II n˜ao ao h´a problema problema,, poi poiss ter ter´´ıamos
−
mv2 = E + V 0 E + 2
(72)
e ´e po poss ss´´ıvel ter energ energia ia cin´etica etic a po positi sitiva va mesm mesmoo com E < 0. 10
O leitor p oderia se surpreender com a id´eia eia de que uma part´ part´ıcula possa p ossa ter energia negativa, mas esta ´e uma situa¸c˜ cao ˜ao bastante comum. Considere a “part´ “part´ıcula” Terra, em seu movimento movimento em redor da “part´ “part´ıcula” Sol. A energia total da Terra ´e negativa! De fato, precisamos realizar trabalho para lev´a-la a-la ao “infinito” (livr´a-la a-la da a¸c˜ cao ˜ao do Sol) e deix´a-la, a-la, l´a, a, em repouso, repouso, ou seja, com energia energia total total zero. Logo Logo,, fornece fornecemos mos energia energia `a Terra para lev´a-la a-la a um estado de energia zero. Sua energia inicial era, portanto, menor do que zero!
29
A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para os estados estacion´ari rioos ´e
Para x <
−
¯ 2 d2 h + V V ((x) φ(x) = Eφ Eφ((x) 2m dx2
−a ou x > a, temos V V ((x) = 0, e − 2h¯m ddxφ = Eφ Eφ((x) 2mE dφ = − φ dx ¯ h 2
(73)
2
(74)
2
2
2
2
Pondo
=
2m E φ ¯2 h
| |
(75)
2m E ¯2 h
(76)
d2 φ = κ2 φ 2 dx
(77)
φ = C e−κx + A eκx .
(78)
κ= temos
| |
cuja solu¸c˜ cao a˜o ge gera rall ´e Para x > 0 o termo em eκx ´e inadequado, pois daria uma probabilidade de localiza¸c˜ cao a˜o da part part´´ıcula tendendo a infinito para x . Logo, Logo, temo temoss de ′ tomar C = 0. Assim,
→∞
φ(x) = C e−κx para x > 0 .
(79)
Por um raci racioc´ oc´ınio ınio an´alogo, alogo, φ(x) = A eκx para x < 0 .
(80)
Nas solu¸c˜ coes o˜es acima C e A s˜ao ao constantes arbitr´arias, arias, a determinar posteriormente. Na regi˜ao ao interna, V ca˜o ´e V ((x) = V 0 , e a equa¸c˜
−
− ou
¯ 2 d2 φ h = (E + V 0 )φ(x) E + 2m dx2
d2 φ 2m = 2 (V 0 dx2 ¯ h
Pondo q=
− |E |)φ(x)
2m (V 0 ¯2 h
− |E |)
(81) (82)
(83)
temos a solu¸c˜ cao a˜o geral φ(x) = B sin qx + B ′ cos qx 30
(84)
10.2 10 .2
Cone Co nect ctan ando do as so solu lu¸¸c˜ coes o ˜es
A energia potencial V cao a˜o descont descont´´ınua, e por por-V ((x) descrita acima ´e uma fun¸c˜ tanto n˜ao-diferenci´ ao-diferenci´ avel, nos pontos x = a e x = a. A equa avel, equa¸¸c˜ cao a˜o diferencial deve ser, ent˜ao, ao, tratada como 3 equa¸c˜ coes, o˜es, uma para cada regi˜ao ao onde V V ((x) ´e cont´ınua ınu a e di difer ferenc enci´ i´avel. avel. Por iss issoo a res resolv olvemo emoss sep separa aradam damen ente te par paraa as regi˜oes oes I, II e III. I II. O poten potencial cial descont descont´´ınuo ´e uma u ma idealiza idealiza¸¸c˜ cao a˜o de um potncial semelhante, mas de “bordas arredondadas”, alguma coisa assim: V ((x) V
−
a
−a
x
E<0 I
II
III
V = V 0
A raz˜ao ao pr´atica atica para tratar o potencial idealizado, e n˜ao ao o “rea “real”, l”, ´e que ass assim im ´e muito mai maiss f´acil acil resolver a equa¸c˜ cao a˜o diferencial. Landau[3] trata, no exerc exerc´´ıcio 5 do 23, um problema do tipo acima, em que o potencial ´e V 0 V ((x) = V . cosh2 αx ´ poss´ıvel E ıvel determin determinar ar os n´ıveis de energi energiaa e as fun¸c˜ c˜oes oes de onda dos estados estacion´arios, arios,
§
−
mas o uso de fun¸c˜ c˜oes oes hiperg hi pergeom´ eom´etricas etrica s torna desaco desaconselh´ nselh´avel avel seu tratamento em um curso introdut´ orio. orio.
O pre¸co co que se paga pa ga pelo p elo uso u so de um potencial p otencial descont descont´´ınuo ´e: e: como “ligar “ ligar”” entre si as solu¸c˜ coes o˜es das trˆes es regi regi˜˜oes? oes? A matem´atica atica nos d´a a chave: como a equa¸c˜ cao a˜o diferencial ´e de segunda ordem, sua solu¸c˜ c˜ao ao ´e det determ ermin inad adaa da dando ndo-se, em um ponto, o valor da fun¸c˜ cao a˜o e de sua derivada primeira. Ent˜ao, ao, para conectar as regi˜oes, oes, proc procede edemos mos assim: assim: em um pon ponto to comum comum as a`s regi˜oes o es I e II (este po ponto nto ´e x = a) exigimos que φI = φII e dφI /dx = dφII /dx /dx,, onde solu lu¸c˜ c¸ao a˜o na regi˜ao a o I, e φII ´e a so solu lu¸c˜ c¸ao a˜o na regi˜ao ao II. Para conectar as φI ´e a so regi˜oes oes II e III, agimos da mesma forma:
−
φII (a) = φII I (a) e
dφII (a) dφII I (a) = dx dx 31
Em x = a, C e−κa = B sin qa + B ′ cos qa κa
Em x =
−a,
−κC e−
(85)
− qB ′ sin qa
(86)
Ae−κa = B sin qa + B ′ cos qa κAe−κa = qB cos qa + qB ′ sin qa
(87) (88)
= qB cos qa
−
´ uma quest˜ao E ao de t´ecnica ecnica determinar as a s constantes. Dividindo (85) por (87) temos: C B sin qa + B ′ cos qa B tan qa + B ′ = = (89) A B sin qa + B ′ cos qa B tan qa + B ′ Pondo tan qa = t, temos C tB + B ′ = (90) A tB + B ′ Dividindo (86) por (88) temos
−
−
−
−
C qB cos qa qB ′ sin qa = A qB cos qa + qB ′ sin qa
−
ou
C tB ′ B = A tB ′ + B
−
(91)
(92)
Combinando (90) e (92), temos C tB + B ′ tB′ B = = A tB + B ′ tB′ + B
−
−
(93)
De onde se tira sem dificuldade que (t2 + 1)BB 1)BB ′ = 0
(94)
Isto nos informa que temos ou B = 0 ou B ′ = 0. Par araa B = 0 as fun¸c˜ coes o˜es s˜ao, ao, na regi˜ao ao a x a, cosenos, ou seja, s˜ao ao fun¸c˜ coes o˜es pares de x. Par araa ′ ao senos, ou seja, fun¸c˜ coes o˜es ´ımp ımpares ares de x. Vamos tratar os dois casos B = 0, s˜ao separadamente.
− ≤ ≤
(i) B ′ = 0 (fun¸c˜ coes o˜es ´ım ımpa pares res). ). φ(x) = B sin qx para x < a φ(x) = C eκx para x < a φ(x) = C e−κx para x > a
||
−
32
−
(95) (96) (97)
Note que A = C , pois φ(a) = φ( a), j´a que a fun¸c˜ ca˜o ´e ´ımpar. Para x = a temos as rela¸c˜ coes: o˜es:
− −
B sin qa = C e−κa qB cos qa = κC e−κa
(98) (99)
−
´ desnecess E desnecess´´ario ario fazer uso das rela¸c˜ coes o˜es em x = a, porque, sendo a fun¸c˜ cao a˜o ´ımpar, elas repetem as rela¸ r ela¸c˜ coes o˜es em x = a. Divid Dividindo indo a de cima pela de baixo, obt bt´´em-s em -se: e: q tan qa = (100) κ ´ esta equ¸c˜ E cao a˜o que ir´a determinar para que valores da energia existem estados estacion´arios arios nesse po¸co. co. Equ Equa¸ a¸c˜ coes o˜es deste tipo (que n˜ao a o s˜ao ao equa¸c˜ coes o˜es 11 alg´ al g´ebri eb rica cass , e s´o em raros casos podem po dem ser resolvidas resolvidas analiticamen analiticamente. te. Este n˜ao ao ´e, e, infel infelizme izmente nte,, um desses raros casos. Recor Recorre-se re-se ent˜ ent˜ao a o a solu¸c˜ coes o˜es num´erica eri cas. s. Nes Neste te pa parti rticul cular ar cas caso, o, po por´ r´em, em, ´e poss´ p oss´ıvel ıvel usa usarr um u m m´etodo eto do gr gr´´afico afico que ilustra muito bem b em as caracter caracter´´ısticas gerais da solu¸c˜ cao. a˜o. Em primeiro primeiro lugar, vamos vamos escreve escreverr (100) de outra forma. Int Introduzo roduzo as vari´aveis aveis ξ = qa e η = κa ao tais que κa,, que s˜ao
−
−
ξ 2 + η 2 = q2 a2 + κ2 a2 = a2 (q2 + κ2 ) ou ξ 2 + η2 =
2m 2 2 V 0 a ¯h
(101)
(102)
Nessas vari´aveis, aveis, a equa¸c˜ cao a˜o (100) fica tan ξ = Mas η 2 = a2
− ηξ
2m V 0 ¯2 h
(103)
−ξ
2
(104)
,
logo,
−
ξ = η
2m 2 ξ 2 V 0 a ¯ h
−
−ξ
2
−
1 2
(105)
e a equa¸c˜ cao a˜o (103) se escreve tan ξ = 11
2m ξ 2 V 0 a2 ¯ h
−
−ξ
2
−
1 2
Uma equa¸c˜ c˜ao ao alg´ al g´ebrica ebrica tem a forma de um polinˆomio omio igualado a zero.
33
(106)
Cada solu¸c˜ cao a˜o desta equa¸c˜ cao a˜o d´a um valor de ξ , e, portanto, um valor de q, ou seja, de E . Esta ´e, e, por p or isso, a equa¸c˜ cao a˜o para os autovalores da energia . A id´eia eia ´e a seg segui uinte: nte: tra tra¸¸co co os gr´aficos aficos da fun¸c˜ cao a˜o tan ξ e da fun¸c˜ cao a˜o que est´a no segundo membro membro de (106). Onde as curvas curvas se cortem estar˜ ao os valores ao de ξ que s˜ao ao as solu¸c˜ coes o˜es de (106). Para tra¸car car a curva da fun¸c˜ cao a˜o que est´a no segundo membro, vamos estudar um pouco suas propriedades. Vamos analisar a fun¸c˜ cao a˜o
| |
f (ξ ) = f (
2m 2 ξ 2 V 0 a ¯ h
−
−ξ
2
−
1 2
− A− −
=
2
ξ
ξ
2
1 2
(107)
Sua derivada pode ser escrita, ap´os os alguma algebra, a´lgebra, 2
A (A − ξ ) e ´e sempre negativa, tornand tornando-se o-se −∞ para ξ = A, is isto to ´e f ′ (ξ ) =
ξ=
−
2
2
(108)
3 2
2m V 0 a ¯2 h
(109)
O gr´afico afico abaixo cont cont´´em em as curv curvas as y = tan ξ e y = f coes o˜es da f ((ξ ) As solu¸c˜ equa¸c˜ cao a˜o − 12 2m 2 2 tan ξ = ξ 2 V 0 a (110) ξ ¯ h
−
−
s˜ao ao as interse¸c˜ coes o˜es dessas dessas duas curvas. curvas. Como ξ = qa e q = 2¯hm2 (V 0 E ), os valores de ξ que satisfazem a equa¸c˜ cao a˜o acima permitem calcular os valores de E corr corresponde espondente ntes. s. Esse Essess ser˜ao ao os valore aloress poss poss´´ıv ıveis eis para a ener energia gia do sistema.
34
−| |
π 2
3π 2
π
A
2π ξ
1 2
Na figura, as curvas cont c ont´´ınuas s˜ao ao a fun¸c˜ c˜ao ao y = tan ξ e a curva pontilhad p ontilhadaa ´e a fun¸c˜ c˜ao ao y = f f ((ξ ). Os pontos 1 e 2 correspondem `as solu¸c˜ c˜oes oes da equa¸c˜ c˜ao. ao.
Vemos assim que o n´umero umero de autov autovalores alores da energia para os estados ´ımpares π ´e finito, fini to, po podendo dendo ser nulo (se ( se < 2 ).
A
(ii)B = 0 (solu¸c˜ (ii)B coes o˜es pares). Neste caso as equa¸c˜ coes o˜es ficam: C e=κa κC e−κa A e −κa κA e −κa
−
= B ′ cos qa = qB ′ sin qa = B ′ cos qa = qB ′ sin qa
−
(111) (112) (113) (114)
Comparando (111) com (113) vemos que A = C . Dividindo (114) por (113) temos, ent˜ao, ao, κ = tan qa (115) q e, introduzindo de novo as vari´aveis aveis ξ = aq e η = κa κa,, tan ξ = 35
η ξ
(116)
com
2ma2 (117) ξ2 2 V 0 ¯ h de maneira que a equa¸cc˜ao a˜o que determina os autov autovalores alores da energia ´e η=
1 tan ξ = ξ
−
2ma2 V 0 ¯2 h
−ξ
2
(118)
.
Seja
Temos que ξ
≤A
1 2ma2 1 f ((ξ ) = f ξ2 2 V 0 ξ ξ ¯ h (ξ > 0) e f ainda, f (( ) = 0, e, ainda,
lim f f ((ξ ) =
ξ
→0
df = dx
− ≡
A − 2
ξ2
(119)
A
∞ 1 1 − √A − ξ − ξ A − ξ 2
2
π 2
2
2
π
(120) 2
paraa todo todo ξ < 0 par
3π 2
A
(121)
2π ξ
A figura mostra algumas solu¸c˜ coes o˜es da equa¸c˜ cao a˜o para os autovalores da energia . S˜ao ao as interse¸c˜ coes o˜es entre a curva pontilhada e o gr´afico afico da tangent tangente. e. NoteNote-se se que, por pequeno que seja , sempre haver´a ao menos uma solu¸c˜ c˜ao. ao.
A
Podemos concluir ent˜ao a o que o po¸co co quadrado possui sempre solu¸c˜ coes o˜es de energia ener gia negativa. negativa. Os autovalore autovaloress da energia de tais estad estados os s˜ao ao discretos e em n´umero umero fini finito. to. O me menor nor valor, valor, cor corre respon sponden dente te ao estado fundamental , ocorre para um estado cuja fun¸c˜ cao a˜o de ond ondaa ´e par. 36
10.3
A equa¸c˜ c˜ ao da co ao continui ntinuidad dade e
O interpreta¸c˜ cao a˜o probab probabil il´´ıstica da mecˆanica anica quˆantica antica ´e introduzi i ntroduzida da pelo pos pos-12 2 tulado de Born , que diz que ψ(x,y,z x,y,z)) dxdydz ´e a probabilidade de a part´´ıcula, cuja fun¸c˜ part cao a˜o de onda ´e ψ(x , y , z), z), estar, em um determinado instante, num elemento de volume dx dy dz em torno do ponto de coordenadas x , y , z. z. Queremos examinar o que ocorre com ψ(x,y,z x,y,z)) 2 quando o movimento da pa part´ rt´ıcula ıcu la ´e leva levado do em co conta nta.. A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger diz que
|
|
|
∂ψ ¯ = ih ∂t
|
¯h2 2 ψ+Vψ . 2m
(122)
− ∇
Tomando-se o complexo conjugado, termo a termo, temos ∂ψ ∗ ¯ = ih ∂t
−
¯ 2 2 ∗ h ψ + V ψ∗ . 2m
(123)
− ∇
Multiplicando Multiplic ando (122) `a direita por ψ∗ e (123) `a esquerda por ψ e sub subtra´ tra´ındo ın do,, obtemos ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂ ψ 2 ¯ ¯ψ = ih ¯ = ih ψ + ihψ h ∂t ∂t ∂t
||
−
¯ 2 2 h ( ψ )ψ ∗ 2m
∇
− ψ∇ ψ∗ 2
(124)
O segundo membro pode ser posto numa forma mais transparente, notando que . ψ ∗ ψ = ψ∗ . ψ + ψ∗ 2 ψ (125)
∇
ou
∇
∇ ∇
∇
2 ψ = ∇ . ψ∗ ∇ ψ ψ∗ ∇
ψ . ψ
ψ 2 ψ∗ = . ψ ψ
ψ. ψ
−∇ ∗ ∇ ∇ ∇ ∗ −∇ ∇ ∗
(126)
Tomando o complexo conjugado desta rela¸c˜ cao: a˜o:
∇
Subtra´ındo ındo (127) de (126), ( 2 ψ)ψ ∗
∇
ψ 2 ψ∗ = . ψ ∗ ψ
− ∇
∇
(127)
ψ ψ ∗
∇ − ∇
Levando (128) ao segundo membro de (124), chega-se a ∂ ψ 2 ¯ = ih ∂t
||
12
−
¯ 2 h . ψ∗ ψ 2m
∇
ψ ψ ∗
∇ − ∇
(128)
(129)
Max Born, grande f´ısico te´orico orico alem˜ao, ao, professor em G¨ottingen, ottingen, de quem Werner Werner Heisenberg Heisenberg era assistente assistente,, quando quando criou a mecˆ anica anica quˆantica antica
37
Introduzin Int roduzindo do as nota¸c˜ coes o˜es ρ = j =
|ψ |
2
(130)
¯ h ψ ψ 2mi
∗∇
− ψ ψ
∗ ∇
(131)
temos, ent˜ao, ao,
∂ρ + . j = 0 (132) ∂t que tem a forma da equa¸c˜ cao a˜o da continuidade, conhecida seja da mecˆanica anica dos fluidos, onde explicita a conserva¸c˜ cao a˜o da massa do fluido, seja do eletromagnetismo, onde faz o mesmo para a conserva¸c˜ cao a˜o da carga. Poder Poder´´ıamos ent˜ao ao dizer que ela expressa, aqui, a conserva¸c˜ao ao de probabilidade. Assim Ass im com como, o, no el eletr etroma omagne gnetis tismo, mo, a equ equa¸ a¸c˜ cao a˜o da continuidade fornece detalhes sobre como se d´a a conserva¸c˜ cao a˜o da carga 13 , na mecˆanica anica quˆantica antica ela faz o mesmo com a probabilidade. Aqui con conv´ v´em em adotar uma lingua linguagem gem que, em embora bora eq¨ uivale nte, ´e mai uivalente, maiss familiar famili ar do que a que usamos at´e agora. Suponham Suponhamos os que, em ve vezz de uma partt´ıcul par ıcula, a, cons consider ider´´assemos asse mos um conj conjunto unto de r´eplicas epli cas da part´ıcula, ıcul a, idˆenticas, entica s, ou seja, com a mesma fun¸c˜ cao a˜o de onda, e inde independen pendentes, tes, isto ´e, e, que n˜ao ao interage int eragem. m. Sejam N essas r´eplicas. eplicas. Se normalizarmos a fun¸c˜ cao a˜o de onda de modo que (133) d3r ψ (r) 2 = N ,
∇
|
N V V =
|
estendendo-se a integral a todo o espa¸co, co, e con consid sidera erarmo rmoss um vo volum lumee V delimitado delimita do por uma super superff´ıcie S fechada, a integral V
d3r ψ(r ) 2
|
(134)
|
dar´a, a , n˜ao ao a probabilidade de uma part part´´ıcula estar em V umero N V V ,, mas o n´umero V de par partt´ıcul ıculas, as, das N existentes, que est˜ao ao dentro de V V .. Seja n o campo das normais externas `a sup s uper erff´ıc ıcie ie S . Temos dN V V = dt
V
∂ρ 3 d r = ∂t
− ∇ V
13
. j d3r =
−
S
j.n dS
(135)
Por exemplo, ela diz que o seguinte fenˆomeno viola a conserva¸c˜ cao ˜ao da carga: uma carga desaparece desaparece aqui e aparece, imediatame imediatamente nte depois, depois, na nebulosa de Orion. Isto porque a equa¸c˜ cao a˜o da continuidade exige que o desaparecimento de uma carga de dentro de um volume seja acompanhado pela p ela passagem da carga atrav´ es es da superf´ superf´ıcie que delimita esse volume. Como isto ´e v´alido alido para qualquer qualquer volume, a implica¸ implica¸c˜ c˜ao ao ´e que, qu e, para uma carga ir de um ponto ao outro, ela deve passar, continuamente, por posi¸c˜ coes ˜oes intermedi´arias. ari as. Da´ı o nome “equa¸c˜ cao ˜ao da continuidade”.
38
onde, na ultima u ´ ltima passagem, fizemos uso do teorema do divergen divergente. te. SupondN V V hamos que N V ca com o tempo. Ent˜ao ca ao dt < 0, e V decres¸
.n dS > 0. j
(136)
S
A Eq Eq.( .(136 136)) me mede de,, por porta tant nto, o, o n´ umero de part umero part´´ıcul ıculas as que, na unida unidade de de 14 tempo, saem do volume V superff´ıcie S (este saem , para V ,, atravessando a super ser mais preciso, ´e o n´umero umero de part part´´ıculas que saem menos o de part part´´ıculas que entram entram,, por uni unidad dadee de tempo). tempo). Dep Depree reende nde-se -se disso que, se dS ´e um trecho infinitesim i nfinitesimal al de uma um a superf sup erf´´ıcie, e se n for uma normal a ela, ent˜ao ao j .ndS ´e o numero u ´ mero (resultant (resultante) e) de part part´´ıculas que atrav atravessam essam dS por unidade de tempo tem po no sentid sentidoo indicado indicado pela normal. normal. Se o n´ umero for negativo, o fluxo umero majorit´ ario ser´a no sentido de n. ario
−
10.4 10 .4
A bar barre reir ira a de de pote potenc ncia iall
Uma par partt´ıcul ıculaa de d e mass m assaa m se move num campo de for¸cas, cas, com uma energia potencial da forma
V ((x) V
V 0
E I
I I a
−a 14
III
na superf´ Note que (136) cont´ em em apenas ap enas os valores de j su perf´ıcie ıci e S .
39
x
ou, V ((x) = V
V 0 para 0 para
|x| < a |x| > a
sendo sua energia total E localiz localizada ada entre 0 e V 0 . Vamos procurar seus estados estacion´arios. arios. Para especificar mais o problema, digamos que a part´ part´ıcula incide sobre a barreira vindo da esquerda. Se estiv´essemos essemos tratand tratandoo de estados esta dos loca l ocalizados lizados (pacotes de onda ), ), a caracteriza¸c˜ cao a˜o deste particular problema (incidˆencia encia da esquerda para a direita) seria ser ia tri trivia vial. l. Mas Mas,, par paraa es estad tados os est estaci acion´ on´ arios, isto ´e, arios, e, tais que a probab probabililidade de posi¸c˜ cao a˜ o n˜ao ao depende do tempo, isto ´e mais sutil sutil.. Reco Recorramos rramos a uma imagem cl´assica assica.. Pa Para ra consegu conseguir ir um fenˆ omeno an´alogo omeno alogo (isto ´e, e, sem dependˆencia encia tempo temporal) ral) na mecˆanica anica cl´assica, assica, precisamos recorrer a muitas part´´ıculas, incidindo sobre a barreira da esquerda para a direita. Imaginemos part um fluxo fl uxo cont´ cont´ınuo dessas des sas part p art´´ıculas. Depo Depois is de um certo tempo, teremos uma figura que n˜ao ao se altera mais, constitu constitu´´ıda por um certo n´umero umer o de par partt´ıcul ıculas as incidindo incid indo sobre a barre barreira, ira, superpost superpostas as a um fluxo de part part´´ıcul ıculas as refle refletidas tidas por ela. Em Embora bora cada part´ part´ıcula esteja se mov movendo, endo, o conju conjunto nto todo parec parecee parado, no regime estacion´ario. ario. O fato de as part part´´ıcula ıculass vire virem m da esqu esquerda erda pode ser descoberto, neste regime estacion´ario, ario, pelo fato de que h´a par p artt´ıc ıcul ulas as refletidas `a esquerda da barreira. Passemos ao caso quˆantico. antico. No regime estacion´ario ario esperamos ter, como no caso cl´assico, assico, ondas incidentes e ondas refletidas, `a esquerda da barreira. Mas, e esta est a ´e a principa principall diferen¸ d iferen¸ca ca introduzida pela mecˆanica anica quˆantica antica neste proble pro blema, ma, pode ha have verr ond ondas as saindo da barre barreir ira, a, no la lado do direi direito to.. O que caracteriza, ent˜ao, ao, o problema estacion´ario ario como advindo de uma part part´´ıcula incidente da esquerda para p ara a direita di reita ´e que, do lado direito di reito da barreira, b arreira, existem apenas apen as part pa rt´´ıculas afasta afastando-se ndo-se da barreira. ba rreira. Para x > a temos as regi˜oes oes I e III, I II, onde a part part´´ıcula n˜ao ao est´a sujeita a nenhuma for¸ca. ca. Nestes casos,
||
− ou
¯ 2 d2 ψ h = Eψ 2m dx2
(137)
d2 ψ = dx2
(138)
onde usamos k2
2
−k ψ
≡ 2mE ¯h 2
(139)
A solu¸c˜ cao a˜o geral de (138) ´e ψ(x) = A eikx + A′ e−ikx 40
(140)
e ´e um estado estacion estacion´´ario, ario, portanto, com dependˆencia encia temporal dada por uma exponencial:
ikx
ψ(x, t) = A e onde
i + A′ e−ikx e− h¯ Et
(141)
¯ 2 k2 h E = 2m
(142)
A corrente de probabilidade ¯ ih j = ψ ψ∗ 2m
∇
− ψ∗∇ ψ
d´a, a, para a as parcelas que constituem a fun¸c˜ao ao (140): (i)Para ψ(x) = exp ikx (k > 0), ¯ ih dψ∗ j = ψ 2m dx
−
dψ ψ∗ dx
=
¯k hk h =v m
(143)
ou seja, eikx represen representa ta uma part part´´ıcula com velocidade positiva, mov movendo-se endo-se da esquerda para a direita. (ii) Para ψ(x) = exp ikx part´´ıcula se mov movee da dire dire-ikx,, temos v < 0, e a part ita para a esquerda.
−
Para fixar o nosso problema, diremos ent˜ao ao que, na regi˜ao ao I teremos Para x <
−a
ψ (x) = AE ikx + A′ e−ikx
(144)
que inclui a part part´´ıcula incidente (exp ikx ). ikx)) e a refletida (exp ikx ikx). Na reg regi˜ i˜ ao III ten ao tender der´´ıam ıamos os a supo suporr qu quee a fun fun¸c˜ c¸ao a˜o de on onda da fo foss ssee ze zero ro,, baseando-se na mecˆanica anica cl´assica, assica, poi poiss uma part part´´ıcula cl´assica assica n˜ao ao pode atravessar a barreira: na zona II ela teria uma energia cin´ etica negativ etica negativa! a! Por Por´´em, em, se fizessemos esta hip´otese, otese, n˜ao ao enco encontrar´ ntrar´ıamos ıamo s solu solu¸c˜ c¸ao. a˜o. Pomos, ent˜ao, ao,
−
Para x > a ψ (x) = C eikx
(145)
que descreve uma part part´´ıcula que, vindo da esquerda, ultrapassou a barreira. Finalmente, dentro da barreira (regi˜ao ao II), a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od inge gerr ´e
−
¯ 2 d2 ψ h + V 0 ψ = Eψ 2m dx2 41
(146)
ou com
d2 ψ = κ2 ψ 2 dx
2m (V 0 E ) . ¯2 h A solu¸c˜ cao a˜o geral desta equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od inge gerr ´e κ2 =
−
ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx com κ > 0 .
(147) (148)
(149)
Vamos denominar “fun¸c˜ cao a˜o de onda incidente” ao termo A e ikx ,
(150)
“fun¸c˜ cao a˜o de onda refletida” ao termo A′ e−ikx , e “fun¸c˜ cao a˜o de onda transmitida” ikx ao termo C e . A densidad densidadee de corrente incidente ´e ¯k 2 h hk (151) jI = A . m Definimos ¯k ′ 2 h hk (152) jR = A m como a densidade de corrente refletida, e ¯k 2 h hk (153) jT = C m como a densidade de corrente corrente transmitida. transmitida. En Ent˜ t˜ao, ao, devemos ter (para que n˜ao ao desap desapare¸ are¸cam cam pa part´ rt´ıcula ıcu las), s),
| |
| | | |
jI = jT + jR . Definido os coeficientes de reflex˜ao ao e transmiss˜ao ao por jR R = jI jT T = jI podemos en ent˜ t˜ao ao escrever a rela¸c˜ cao a˜o entre as correntes como R + T = 1
(154)
(155) (156)
(157)
Note que a dens densidade idade de corrent correntee den dentro tro da barre barreira ira ´e zero (calc (calcule!) ule!).. Logo, usand usandoo ∂ρ + . j = 0 (158) ∂t vemos que, dentro da barreira, ∂ρ = 0, ou seja, ρ ´e constante. co nstante. Logo, n˜ao ao h´a ∂t varia¸c˜ cao a˜o no n´ umero de part umero p art´´ıculas, dentro da d a barreira. b arreira.
∇
42
10.4 10 .4.1 .1
Cond Co ndi¸ i¸ coes c˜ o ˜es de contorno
A continuidade das fun¸c˜ coes o˜es de onda e suas derivadas em x = as seguintes condi¸c˜ coes: o˜es: (i) Para x = a:
−a e x = a d´a
A e−ika + A′ eika = B eκa + B ′ e−κa ikA e−ika ikA′ eika = κB eκa + κB ′ e−κa
(159) (160)
−
−
−
(ii) Para x = a: C eika = B e−κa + B ′ eκa ikC eika = κB e−κa + κB ′ eκa
(161) (162)
−
Dividindo (161) por (162): 1 = ik
B e−κa + B ′ eκa κB e−κa + κB ′ eκa
(163)
−
de onde se tira (ik + κ)e−κa B + (ik (ik
κa
− κ)e
B′ = 0
(164)
Como a fun¸c˜ c˜ao ao de ond ondaa dentro da bar barreir reiraa ´e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx
(165)
temos, escrevendo B ′ em termos de B ,
−
κ + ik −2κa κx ψ(x) = B e κx + e e κ ik
−
onde se vˆe que q ue o termo dominante ´e a expon exponencial encial decrescente exp Voltando a` equa¸c˜ cao a˜o (161) (161),, obt´em-se em-se facilmente que 2κ (ik−κ)a C = e B κ ik 4κ2 C 2 = 2 B κ + k2 Vamos introduzir as quantidades
X =
A′ A
Y =
C A
Z = 43
B A
−κx κx.. (167)
−
e
(166)
(168)
B′ ′ = Z A
(169)
As equa¸c˜ coes o˜es (159), (159),(160), (160),(161) (161),, (162) (162 ) ent˜ao ao ficam: e−ika + X eika ikeika ikX eika Y eika ikY eika
= Z eκa + Z ′ e−κa = κZ eκa + κZ ′ e−κa = Z e−κa + Z ′ eκa = κZ e−κa + κZ ′ eκa
−
− −
(170) (171) (172) (173)
Como Z ′ /Z = B ′ /B ,temos /B,temos Z ′ =
κ + ik −2κa e Z κ ik
(174)
−
Introduzindo Introdu zindo os s´ımbolo ımboloss auxiliares a uxiliares W = eκa + e
κ W ′ = ik
κ + ik −3κa e κ ik
(175)
−
κ + ik −3κa eκa + e κ ik
−
podemos, ap´os os alguma algebra, a´lgebra, obter
−
16κ2 16κ E −2κa T = Y = 2 κ + k 2 W + W ′
| |
2
| | |W − W ′| R = |X | = |W + W ′|
(177)
2
2
2
(178)
2
e
16κ 16 T κ2 −2κa = 2 e R κ + k2 eκa
k2 3κa 2 (κ2
| − e− |
de onde se vˆe que o compo comportamento rtamento assint´otico otico de T R
(176)
∼ e−
4κa
T R
+ k2 )
(179)
´e da dado do po porr (180)
que reve revela, la, ao mesmo tempo, a inevitabilidade do tunelament tunelamentoo (a ausˆ a usˆencia encia de tunelamento seria T /R = 0) e se trata de um efeito pequeno, para valores apreci´aveis aveis de a. Posteriormente, quando estudarmos a aproxima¸c˜ cao a˜o quase-cl´assica, assica, seremos capazes de obter express˜oes oes mais simples para o tunelamento.
44
11 11.1
Alguma Alg umass t´ ecn icas matem´ ecnicas ma tem´ ati cas aticas A fun¸c˜ c˜ ao del ao delta ta de Dir Dirac ac
Considere a fun¸c˜ cao a˜o δǫ ( p ), definida assim: p), δǫ ( p p)) = 0 pa para ra p > ǫ δǫ ( p p)) = 0 para para p < ǫ 1 δǫ ( p p)) = para ǫ
−
−
Temos, claramente,
∞
−∞
δǫ ( p p))dp =
Seja f cao a˜o cont´ınua. ınua. Ent˜ao, ao, f (( p p)) uma fun¸c˜
∞
−∞
1 f ( p′ ′ f ( dp = 2ǫ 2ǫ p−ǫ 0, esta ultima u ´ ltima integral d´a
f (( p′ )δǫ ( p − p′ )dp′ = f
No limite para ǫ
→
1 dp = 1 −ǫ 2ǫ ǫ
p +ǫ
(181)
p+ǫ
p ǫ
−
f ( p′ )dp′ f (
(182)
2ǫf ǫf (( p p)) de forma que a Eq.(182) pode ser escrita
∞
−∞
f ( p′ )δǫ ( p p′ )dp′ = f f ( f (( p p))
(183)
−
A fun¸c˜ cao a˜o delta de Dirac, δ ( p definid a, simboli simbolicamente, camente, como o limite, para p)) ´e definida, 0, da fun¸c˜ cao a˜o δǫ ( p ). Sua Suass pro propri prieda edades des,, que podem ser mot motiv ivadas adas por ǫ p). esse limite, podem ser sintetizadas assim:
→
∞
−∞
∞
−∞
δ (x)dx = 1
dx f (x)δ(x
δ(x) = 0 pa para ra x = 0
− a)
= f f ((a)
Nessas rela¸c˜ coes o˜es a integral n˜ao ao precisa realmente ir de a . Bas Basta ta que que seja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da fun¸c˜ao ao delta se anula.
−∞ ∞
Estritamente, tal fun¸c˜ c˜ao a o n˜ao ao existe existe.. Trata-s rata-see de um s´ımbol ımboloo que abrevia muito os c´alculo alculos. s. At Atend endo-s o-see `as as regras exibidas, nenh nenhum um dano ´e causad causado, o, a n˜ao a o ser `a l´ ogica, a ogica, v´ıtima usual. A teoria que justifica essas opera¸ op era¸c˜ coes o˜es e restitui a implacabilidade da l´ogica ogica foi desenvolvida pelo grande matem´atico atico francˆ f rancˆes es Laurent Laur ent Schwartz, e se s e chama “teoria “te oria das da s distribui¸c˜ c˜oes”. oes”. Para um tratament tratamentoo adequado da “fun¸c˜ c˜ao ao delta” recomendamos as notas que se encontram no site do professor Jo˜ao Carlos Alves Barata Barata,no ,no endere¸co: co:
45
http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Nota http://denebola.if.usp.br/ ~jbarata/Notas_de_aula/ar s_de_aula/arquivos/nc-cap1 quivos/nc-cap12.pdf 2.pdf
Outras rela¸c˜ coes o˜es importantes envolvendo a “fun¸c˜ cao a˜o delta” s˜ao ao as seguintes: 1 ∞ δ (x) = dkeikx 2π −∞ δ ( x) = δ(x) 1 δ (f f ((x)) = df δ(x x0 ) ,sendo f (x0 ) = 0
−
−
| |
dx x=x0
1 δ (x) a δ (r) = δ(x)δ (y )δ(z)
δ (ax ax)) =
(184) (185) (186) (187)
||
(188)
onde, nesta ultima, u ´ ltima, se tem r = x i + y j + z k.
11.2 11. 2
Inte In tegra grall de Fou ourie rierr
A int integral egral de Fourie ourierr ´e instr instrumen umento to funda fundamen mental tal na mecˆ anica quˆ anica antica. antica. Trata-se de uma extens˜ao ao das s´eries eries de Fourier que permite obter expans˜oes oes de fun¸c˜ coes o˜es que n˜ao ao s˜ao ao peri´ p eri´odicas. odi cas. Este n˜ao ao ´e o lug lugar ar par paraa se s e adqu a dquir irir ir fluˆencia enc ia no uso, e uma boa compreens˜ao ao dos m´etodos etodo s da an´alise alise de Fourier. O leitor dever´a dedicar algum estudo a este t´opico, opico, presente em todos os livros de f´ıs ısic icaa-ma mate tem´ m´atica. atica. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics. Physics . Um bel b el´´ıssimo livro de matem´ mat em´atica atica sobre este mesmo tema, ´e K¨ K ¨orner, orner, Fourier Analysis, Analysis, um dos livros mais bonitos que j´a li. A integral, ou transformada, de Fourier de uma fun¸c˜ao ao f u ma fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o f ((x), ´e uma ˜ coes o˜es f ((k ) a ela ligada pelas rela¸c˜ f f (x) = f ( f ˜(k ) = f (
∞ −∞ ∞
˜(k )eikx dkf f (
(189)
1 f ((x)e−ikx f 2π −∞
(190)
Pode-se verificar a consistˆencia encia dessas rela¸c˜ coes o˜es com o uso da fun¸cao cao δ(x): f (x) = f ( f (x) = f ( =
1 dk 2π 1 f ((y ) f 2π
∞ ∞ −∞∞ −∞ −∞∞ − −∞
f (y )δ (x f (
46
dyf ((y)e−iky eikx dyf
ik((x−y ) dkeik
y ) = f ( f (x)
A transformada de Fourier de uma fun¸c˜ cao a˜o constante, f f ((x) = K , ´e: 1 ∞ 1 ∞ ikx − ˜ ( ) = = f (k f dxKe K dxe−ikx = K δ(x) 2π −∞ 2π −∞
ou se seja, ja, a tra transf nsform ormada ada de Four ourier ier de uma con consta stant ntee ´e um m´ultipl ultiploo de resultado importa importante nte ´e a trans transformad formadaa de Fourie ourierr de delta((x). Um outro resultado delta αx2 − uma gaussiana: seja f . Sua transfor transformada mada de Fourier ´e f ((x) = exp ˜(k) = 1 f ( f 2π
π − k2 e 4α α
ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana ´e outra gaussiana.
12
O espectro con contt´ınuo
ˆ ´e A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger de um sistema f´ısico de hamiltoniano H ¯ ih
∂ψ ˆψ =H ∂t
Suponhamos Suponham os que ψ seja um estado estacion´ario, ario, ou seja, que i
ψ(r, t) = ψ(r)e− h¯ Et Inserindo-se esta express˜ao ao na equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨ S chr¨oding od inger er , ob obt´ t´em-se em- se uma u ma equa e qua¸¸c˜ao para ψ(r), qu quee ´e ˆ ψ(r) = Eψ (191) H Eψ((r ) , conhecida como equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger independente do tempo. tempo. Res Resol olvˆ vˆe-la e- la ´e determinar o par (ψ(r), E ), ), onde E ´e um numero. u ´ mero. Paraa exe Par exemplifi mplificar, car, vamos trata tratarr um caso mut mutoo simp simples: les: uma part part´´ıcul ıculaa livre, de massa m, que se move ao longo do eixo x. Neste caso 2 ˆ = pˆ = H 2m
e a Eq.( Eq.(191 191)) ´e
−
−
¯ 2 ∂ 2 h 2m ∂x2
¯ 2 d2 ψ h = Eψ . 2m dx2
Introduzindo k2 =
2mE ¯2 h
47
(192)
podemos reescrever a equa¸c˜ cao a˜o acima assim: d2 ψ = dx2
2
−k ψ
(193)
,
cuja solu¸c˜ cao a˜o ge gera rall ´e ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
(194)
com A e B arbitr´arios. arios. Existe solu¸c˜ cao a˜o para todo k , e, como ¯ 2 k2 h E = , 2m existe solu¸c˜ cao a˜o para todo E 0. Diz-se ent˜ao ao que o esp espect ectro ro ´e cont´ınuo. ınu o. ˆ um operad Seja O op erador or asso as socia ciado do a uma um a quantida qua ntidade de f´ısica ısic a de espectr esp ectroo cont´ınuo. ınuo. Escreveremos a equa¸c˜ cao a˜o de autovalores assim:
≥
ˆ f = Of ψf Oψ
(195)
ond e o ´ınd onde ındice ice f agora varia varia continuam continuamen ente. te. Como veremos veremos mais tarde, as autofun¸c˜ c˜oes oes ass assoc ociad iadas as a um u m esp e spectr ectroo cont´ınuo ınuo n˜ao ao s˜ao ao normaliz´aveis, avei s, ist istoo ´e, e, n˜ao ao ´e pos posss´ıvel impo imporr para elas a condi¸c˜ cao a˜o
|
ψf 2 dq = 1
|
Exemplo: a fun¸c˜ cao a˜o de onda de um estado estacion´ario ari o de uma par partt´ıcul ıculaa livre, li vre, cuja parte espacial vimos na Eq.(194), ´e i
ωt)) = Aeikx e− h¯ Et ψ(x, t) = Aei(kx−ωt
onde usamos ω =
E . h ¯
Ent˜ao ao 2
|ψ(x, t)| = |A| e, por isso,
(196)
∞
−∞
2
∞ | |
dx ψ (x, t) = A
|
|
2
2
−∞
dx =
∞
!
A seg seguir uir vamos de desco scobri brirr uma man maneir eiraa de nor normal maliza izarr ade adequ quada adamen mente te as autofun¸c˜ c˜oes oes lig ligada adass a um esp espectro ectro cont cont´´ınuo. Seja ψ uma fun¸c˜ c˜ao ao de ond ondaa norm normali aliz´ z´avel. avel. A expans˜ao ao dela em autofun¸c˜ coes o˜es ˆ , cu da quant quantida idade de f´ısic ısicaa O cujo jo es esp p ec ectr troo ´e co cont´ nt´ınuo, ınu o, ´e ψ=
df af ψf
48
(197)
Queremos que af 2 df seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de ˆ , o valor obtido esteja entre f e f + df Logo go,, af 2 df = 1. Da mes mesma ma O f .. Lo 2 forma, dq ψ(q) = 1. Segue que
| | | |
|
∗
∗
(198)
df a∗f ψf ∗ ,
(199)
af af df =
e, como ψ∗ = tamb´ ta mb´em em qu quee
∗
af af df =
|
ψ ψdq
df a∗f ψf ∗ ψdq =
∗ df af
dqψf ∗ ψ
(200)
Comparando o primeiro termo com o ´ultimo, ultimo, temos af =
dqψf ∗ ψ
(Fourier Fourier))
(201)
que permite calcular os coeficientes da expans˜ao ao ψ = df af ψf . Rescrevendo Rescrev endo a expans˜ao ao acima como ψ = df ′ a′f ψf e usando-a na Eq.(656), temos (202) af = dqψf ∗ df ′ af ′ ψf ′ = df ′ af ′ dqψf ∗ ψf ′ Mas
af =
df ′ af ′ δ(f
− f ′)
(203)
− f ′)
(204)
Comparando as duas ultimas u ´lti mas,, obt´em-se em-s e
dqψf ∗ ψf ′ = δ (f
que ´e a rela¸c˜ cao a˜o de ortogonalidade para autofun¸c˜ coes o˜es do espectro cont cont´´ınuo. Conseq¨ uentemente, as rela¸c˜ uentemente, coes o˜es b´asicas asicas para o espectro es pectro cont cont´´ınuo s˜ao: ao: ψ =
∗
ψ ψdq = af =
∗
df af ψf
(205)
df af 2
| |
(206)
dqψ f ∗ ψ
(207)
− f ′)
(208)
ψf ψf ′ dq = δ(f
49
13
O os osci cila lado dorr ha harm rmˆ o onico ˆnico
Uma part part´´ıcula de massa m executa movimento unidimensional sob a a¸c˜ cao a˜o de uma for¸ca ca el´astica astica kx onico. Sua ene onico. energi rgiaa kx.. Isto ´e um oscilador harmˆ 1 2 2 p ot otenc encia iall ´e V porta tan nto to,, a eq equa¸ ua¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para V ((x) = 2 mω x , e. por estados estacion´ario ´e
−
2
− 2h¯m ddxψ + 12 mω x ψ = Eψ 2 2
2
(209)
k Note-se que ω = m . A Eq.(209) pode ser escrita na forma
1 2m Daqui Daq ui se vˆe que
¯ d h i dx
2
+ (mωx (mωx))2 ψ = Eψ
ˆ = 1 H 2m Considere Consi dere os operador operadores es
a± =
¯ d h i dx
√21m
(210)
2
¯ d h i dx
+ (mωx (mωx))2
(211)
± imωx
(212)
Um c´alculo alculo simples mostra que a− a+ =
1 2m
¯ d h i dx
2
1 + (mωx (mωx))2 + ¯h hω ω 2
de maneira que, usando (211),
a− a+
−
1 ¯ ω ψ = Eψ h hω 2
(213)
(214)
Um outro c´alculo alculo simples resulta em [a− , a+ ] = hω ¯ω h
(215)
A Eq.(214) d´a 1 ¯ ω ψ = Eψ a− a+ a+ a− + a+ a− h hω 2 1 [a− , a+ ] + a+ a− ¯ ω ψ = Eψ h hω 2 1 ¯ ω ψ = Eψ a+ a− + hω h 2
−
− −
50
(216)
Lema 1: Se Lema Seja ja ψ um estado estacion´ario ario do oscilador harmˆonico onico de energia ao a+ ψ ´e um u m esta estado do esta estacion cion´´ario ario de energia E + ¯hω. E . Ent˜ao E + hω . Dem.: 1 1 ¯ ω (a+ ψ) = a+ a− a+ ψ + hω( ¯ ω (a+ ψ) a+ a− + hω h h 2 2 1 1 = a+ a− a+ ψ + hωψ ¯ ωψ = a+ (a− a+ a+ a− + a+ a− ) ψ + hωψ ¯ ωψ h h 2 2 1 = a+ [a− , a+ ]ψ + a+ a− + hω ¯ ω ψ = a+ [¯hωψ + hω)( ¯ ω )(a h hωψ + Eψ Eψ]] = (E E + h a+ψ) 2 Ou, ˆ (a+ ψ ) = (E + ¯hω)( (217) H E + hω )(a a+ψ )
−
Analogamen Analoga mente te se mostr mostraa que ˆ (a− ψ) = (E H
− hω)( ¯ ω )(a h a− ψ )
(218)
Lema 2: A energia do oscilador harmˆonic icoo ´e 0. Dem.: Dem .: Es Esta ta demonstr demonstra¸ a¸c˜ cao a˜o depe depende nde de um Lem Lema, a, dem demons onstra trado do mai maiss adi adi-15 ˆ ante, junto a` Eq.(2 Eq.(290). 90). Com Comoo H pode ser escrito como a soma de dois operadores hermiteanos ao quadrado,
≥
ˆ = H
2
2
√ pˆx 2m
+
m ωx 2
ˆ segue que H 0. Com Comoo os aut autov ovalor alores es de um operador operador s˜ao ao casos particulares de seus valores m´edios edios (quando os estados s˜ao ao as autofun¸c˜ coes), o˜es), a desigualdade desigua ldade acima pro pro´´ıbe a existˆencia encia de autovalores negativos do hamilto hamilto-niano. Em decorrˆencia encia disso, deve haver h aver um estado ψ0 tal que
≥
a− ψ0 = 0
(219)
De fato, se n˜ao ao fosse assim, dada qualquer autofun¸c˜ cao a˜o do hamiltoniano do oscilador harmˆonico, onico, a aplica¸c˜ cao a˜o a ela do operador a− geraria uma outra autofun¸c˜ cao a˜o , de energia menor, o processo podendo se repetir indefinidamente, at´e se chegar a energia s negativas, o que ´e proibid proibido. o. Explicitamente esta ´ultima ultima equa¸c˜ ca˜o ´e
1 ¯ dψ0 h 2m i dx
√ 15
− imωxψ
0
=0
O leitor h´a de perdoar esta pequena viola¸c˜ cao ˜ao da causalidade...
51
(220)
dψ0 = dx dψ0 = ψ0
− mω xψ ¯ h − mω xdx ¯ h mω exp − K exp K x 2¯ h 0
ψ0 (x) =
(221)
Esta ´e a fun¸c˜ cao a˜o de onda do estado estacion´ario ario do oscilador harmˆonic o nico. o. A energia desse estado ´e obtida o btida assim: 1 ˆ ψ0 (x) = a+ a− + 1 hω ¯ ω ψ0 (x) = h ¯ ωψ0 (x) H h hωψ 2 2
(222)
Logo, temo temoss
¯ω hω h (223) 2 O estado de energia imediatamente mais alta, chamado de primeir primeiroo estado excitado,, tem a fun¸c˜ excitado cao a˜o de onda E 0 =
ψ1 (x) = a+ ψ0 (x) =
√
ou
m ωx exp 2
ψ1 (x) = K i e possui energia
− −
1 ¯ d h + imωx exp 2m i dx
mω 2 x 2¯h
1 E 1 = (1 + )¯hω hω 2
mω 2 x 2¯ h
(224)
(225) (226)
Mais geralmente, n
ψn (x) = An (a+ ) exp
−
mω 2 x 2¯h
1 E n = (n + )¯hω hω 2 e, com algum esfor¸co, co, pode-se mostrar que 1 4
mω An = ¯ πh
1
n!(¯hω) hω )n
(227) (228)
(229)
Vamos fazer o esfor¸co co mencionad mencionadoo acima. Seja ψ0 (x) a autofun¸c˜ c˜ao ao normalizada do estado fundamental do oscilador harmˆonico. onico. Ent˜ao, ao, ψ0 (x) =
mω π ¯h
1 4
mω 2 x 2¯h
− exp
52
(230)
e seja
n
Temos, obviamente,
ψn (x) = K n (a+ ) ψ0 (x)
(231)
ψn−1 (x) = K n−1 (a+ )n−1 ψ0 (x) ,
(232)
de onde se deduz que ψn (x) = K n a+ (a+ )n−1 ψ0 (x) =
Considere Consid ere a inte integral gral de norma normaliza¸ liza¸c˜ c˜ao ao de ψn (x):
dxψ∗ (x)ψn (x) = n
K n K n−1
K n a+ ψn−1 (x) K n−1
2
dx((a+ ψn−1 )∗ (a+ ψn−1 ) = dx
K n K n−1
(233)
2
dxψn∗ −1 a− a+ ψn−1 (234)
onde usamos o fato de que o adjunto de a+ ´e a− . Pela equa¸c˜ c˜ao ao (214), temos a− a+ ψn−1 = hω( h ¯ ω (n
¯hω − 1 + 12 )ψ −1 + hω ψ −1 = hωψ h ¯ ωψ 2 n
n
n 1
−
(235)
Logo, podemos escrever
n
ψ∗ (x)ψn (x)dx = n
ou
K n K n−1
ψn∗ (x)ψn (x)dx =
Prosseguindo, chegaremos a
2
K n−1 K n−2
2
− − | |
Iterando este procedimento, teremos
K n K n−1
ψ ∗ (x)ψn (x)dx =
2
K n K n−2
¯hωn hωn
(¯ hω )2 n(n hω)
(¯ hω )2 n(n hω)
2
ou seja,
dxψn∗ −2 ψn−2
1)
dxψn∗ −2 ψn−2
dxψ0∗ ψ0 (x) = 1
1 (¯ hω )n n! hω)
K n =
ψn (x) = K n (a+ )n ψ0 (x) =
1)
(236)
(237)
2
ψn∗ (x)ψn (x)dx = K n (¯ hω )n (n!) hω)
Portanto,
dxψn∗ −1 ψn−1
mω π¯h
1 4
1 exp n!(¯hω) hω )n
(238)
(239)
(240)
mω 2 x 2¯h
−
(241)
Um oscilador harmˆonico onico que n˜ao ao oscila oscil a ´e decepcionante. decepci onante. Se calcularmos calcul armos o valorr m´edio valo edi o da d a pos p osi¸ i¸c˜ao, xˆ , nos estados estacion´arios arios do oscilador harmˆonico, onico, que vimos at´e agora, encontrare encontraremos mos (e o leitor deve obter isso por conta pr´ opria! ) (242) xˆ = 0
53
ou seja, nenhuma oscila¸c˜ cao! a˜o! Estados estacion´arios arios n˜ao ao s˜ao ao apropriados para compararr o sistema quˆantico compara antico com o an´alogo alogo cl´assico. assico. Para obter alguma coisa semelhante a um pˆendulo, endulo, devemos estudar pacotes de onda . Os particulares pacotes de onda que vamos estudar agora se chamam estados coerentes. coerentes. Consideremos sider emos as autof autofun¸ un¸c˜ coes o˜es do operador a− , introduzido acima. Como a− n˜ao ao ˆ , as autofun¸c˜ ˆ, comuta com H coes o˜es de a− n˜ao ao ser˜ao, ao, em geral, autofun¸c˜oes de H ou seja, n˜ao ao ser˜ao ao estados estacion´arios. arios. Sejam ent˜ao ao φα fun¸c˜ coes o˜es tais que a− φα = αφα
(243)
Como o operador a− n˜ao ao ´e hermitean hermiteano, o, os autovalores α ser˜ao a o n´ umeros comumeros plexos quaisquer. Lembremos que os estados estacion´arios arios podem ser escritos em termos do estado fundamental assim: ψn (x) =
1
n!(¯ hω )n hω)
(a+ )n ψ0 (x)
(244)
Vai ser importante nos c´alculos alculos que faremos a seguir a seguinte quantidade: (ψn , φα ) =
1
n!(¯ hω )n hω)
((a+ )nψ0 , φα ) = ((a
=
αn
n!(¯ hω )n hω)
1
n!(¯ hω )n hω)
(ψ0 , φα )
(ψ0 , (a− )n φα ) = (245)
Vamos agora expandir φα (x) em estados estacion´arios. arios. Para simplificar a nota¸c˜ c˜ao, ao, vamos introdu introduzir zir a abrevia¸c˜ cao a˜o n
K n = (¯hω) hω )− 2
54
φα (x) =
√ √ √
(ψn , φα )ψn
n
K n αn = (ψ0 , φα )ψn n! n K n αn = C ψn n! n K n αn K n = C (a+ )n ψ0 n! n! n K n2 (αa+ )n = C ψ0 n! n φα (x) = C
n
√
K n2 (αa+)n ψ0 = C n!
1 αa+ ¯ω n! hω h
(246) n
n
(247)
ψ0
A constante C ´e determina determinada da normal normalizandoizando-se se φα (x), como segue: 1 = = = = =
∗ || | | | |
1 αa+ (φα , φα ) = C ¯ω h hω n n! 1 α n 1 α 2 C ¯ω ¯ω h h n n! hω m m! hω 1 α 2n 2 C n!(¯ hω )n hω) 2 2 n hω ) hω) n (n!) (¯ 2n 1 α C 2 n! (¯ hω )n hω) n α2 2 C exp ¯ω h hω 2
n
ψ0 ,
m
m
Logo, C = exp
2
− |α|
2¯ hω hω
1 αa+ ¯ω m! hω h
m
ψ0
((a+ )n ψ0 , (a+ )m ψ0 ) ((a
Voltando a` expans˜ao, ao, φα (x) = exp
− |α|
2
2¯ hω hω
n
αn
n!(¯hω) hω )n
ψn
(248)
Para obter o bter a dependˆencia encia tempo temporal ral de φα (x) precisamos demonstrar um resultado geral:
55
ˆ o hamiltoniano de um sistema f´ısico, e sejam ψn (x) suas autofun¸c˜ Teorema : Se Seja ja H coes. o˜es. Sabemos que i ψn (x, t) = ψn (x)exp E n t ¯h
−
ˆ , ou seja, satisfazem as equa¸c˜ onde os E n s˜ao ao os autovalores de H c˜oes oes ˆ ψn = E n ψn . H Seja φ(x) um estado qualquer desse sistema, e φ(x) =
an ψn (x)
n
ˆ no instante t = 0. Ent˜ao, sua expan expans˜ s˜ao ao nas autofun¸c˜ coes o˜es de H ao, φ(x, t) =
an ψn (x)exp
n
− i E n t ¯h
(249)
onde os an s˜ao ao os mesmos da expans˜ao ao em t = 0. 0. A demonstra¸c˜ c˜ao ao consiste em mostrar que φ(x, t) satisfaz a equa¸c˜ c˜ao ao de Schr¨odinger odinger i¯h
∂φ((x, t) ∂φ ˆ φ(x, t) =H ∂t
com a condi¸c˜ cao a˜o inicial φ(x, t = 0) = φ(x). De fato, ih∂φ( ¯h∂φ(x, t)∂t = i¯h
n
=
an E n ψn (x)exp
n
−
− −
∂ an ψn (x) exp ∂t
i E n t ¯h
ˆ = H
i E n t ¯h
an ψn (x)exp
n
i E n t ¯h
ˆ φ(x, t) =H
A verifica¸c˜ c˜ao ao da condi¸c˜ c˜ao ao inici inicial al ´e trivi trivial. al.
Aplicando este teorema `a Eq.(248), temos φα (x, t) = exp
− |α|
2
2¯hω hω
ou φα (x, t) = exp φα (x, t) = exp
α2 2¯hω hω
n
αn
n!(¯ hω )n hω)
αn
| | − | | − − α2 2¯hω hω
n
n!(¯ hω )n hω)
(αe
n
ψn exp
iωt n
)
n!(¯ hω )n hω)
56
ψn exp
ψn exp
i E n t ¯h
−
(250)
i ¯ ω (n + 1/ 1/2) 2)tt h hω( ¯ h
− − iω t 2
(251)
Comparando Compara ndo com a Eq.(248), Eq. (248), vˆe-se e-se que: φα (x, t) = φα(t) e−
iωt
(252)
2
com α(t) = αe−iωt
(253)
Podemos Podem os agora calc calcular ular xˆ no estado φα (x, t).
xˆ = (φ (x, t), xφ xˆφ (x, t)) = α
α
φα(t) , xφ xˆφα(t)
Da defini¸c˜ cao a˜o de a+ e a− obt´em-se em-s e faci facilment lmentee que xˆ =
(254)
√2−mi ω (a − a−) +
logo,
xˆ =
φα(t) , xφ xˆφα(t)
−i =√
2m ω
φα(t) , a+ φα(t)
−
φα(t) , a− φα(t)
(255)
Mas a− φα(t) = α(t)φα(t) e, como a+ ´e o ad adju junto nto de a− , a+ φα(t) = α∗ (t)φα(t) Logo,
xˆ = √21m ω {α∗(t) − α(t)}
(256)
Pondo α = α exp iδ iδ,, temos
||
α(t) = α e−i(ωt−δ)
||
e
xˆ = √ |α|
ei(ωt−δ)
− ||
i(ωt δ)
− e−
2 sin(ωt sin( ωt mω2
(257) δ) 2m iω e surgiu finalmente a oscila¸c˜ cao a˜o procurada! O valor m´edio edio da posi¸ p osi¸c˜ cao, a˜o, nesse estado, oscila exatamente como no caso cl´assico. assico.
57
= α
−
13.1
Exerc´ Exerc ´ıcios
Para uso nos exerc exerc´´ıcios subseq¨ uentes,, apr uentes aprese esent ntamos amos aqu aquii uma tabe tabela la de fun¸c˜ coes o˜es de onda de estados estacion´arios arios do oscilador harmˆonico. onico.
ψn (x) =
n E n
2
1 ¯ω h hω 2 3 ¯ω h hω 2 5 ¯ω h 2 hω
3
7 ¯ω h 2 hω
4
9 ¯ω h 2 hω
0 1
onde a =
1/2
1 n!2n a π
√
1/2
H n
− x a
e
x2 /2a2
√ − √ − √ − − √ − − √ − − 1
e
x2 /2a2
a π 1/2 2 2 1 2 xa e x /2a 2a π 1/2 2 2 2 1 x 2 4 e x /2a 8a π a 1/2 3 1 x x x2 /2a2 12 8 e 48a 48 a π a a 1/2 2 4 1 x x 12 48 + 16 384a 384 a π a a
e
x2 /2a2
h ¯ . mω
1.(a) Mostre que o parˆametro ametro a que apare aparece ce na tabela ´e igual ao desloca desloca-1 mento m´aximo aximo de um oscilador cl´assico assico de energia 2 hω. ¯ ω. h 2 −x2 /2a2 (b) Verifique que a express˜ao ao (1+bx (1+bx )e satisfaz a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger 5 para o movimento harmˆonico onico simples com energia E = 2 hω. ¯ ω . Qu Qual al o val valor or h para b? 2. Considere o meio-oscilador harmˆ meio-oscilador harmˆ oni co, isto ´e, onico, e, uma par partt´ıcul ıculaa cuja ener energia gia p ot otenc encia iall ´e V ((x) = V , x<0 1 V ((x) = kx2 , x 0 V 2
∞
≥
(a) Compareas fun¸c˜ coes o˜es de onda dos estados estacion´arios arios deste sistema com as do oscilador harmˆonico onico normal com os mesmos valores de m e k. (b) Quais s˜ao ao as energia s permitidas para o meio-oscilador ? (c) Invente um sistema que seria seri a o an´alogo alogo macrosc´opico opico deste sistema quˆantico. antico. 3. Regi˜oes oes classicamen classicamente te proibidas para o oscilador harmˆ onico simples. onico Usando a fun¸c˜ cao a˜o de onda normalizada para o estado fundamental do oscilador harmˆonico, onico, calcule a probabilidade de que uma observa¸c˜ cao a˜o da posi¸c˜ cao a˜o detete a part´ıcula ıcul a numa nu ma regi regi˜ao a˜o classicamen classicamente te proibida. A integral que vocˆ e obter´a n˜ao ao pode ser resolvida resolvida analit analiticame icamente nte.. Olhe o resu resultado ltado num´ erico num erico numaa 58
tabela da error function , ou nos programas Maple ou Mathematica. 4. A tabela exibe as fun¸c˜ coes o˜es H n (x), denominadas polinˆomios omios de Hermite. t2 +2 +2tx tx − (a)Mostre que e ´e uma fun¸c˜ cao ˜ geratriz dos geratriz dos polinˆomios omios de Hermite, isto ´e, que ∞ tn t2 +2 +2tx tx − = e H n(x) n=0 n!
ao men menos os at´e n = 4. Determine H 5 (x). (b) Tomando a derivada desta express˜ao, ao, demonstre as rela¸c˜ coes o˜e s de d e reco r ecorrˆ rrˆencia enc ia d H n (x) = 2nH n−1 (x) dx H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n−1 (x)
−
5. Vale alendo ndo-se -se da express express˜˜ao a o das fun¸c˜ coes o˜es de onda do oscilador harmˆonico, onico, mostre que devemos esperar que
∞
−∞
14
2
dxe−x H n (x)H m (x) =
√π2 n!δ n
mn
Operadores unit´ unit´ arios e simetr arios simetrias ias
As quantidades observ´aveis aveis (resultados de medidas) aparecem, na mecˆanica quˆantica, antica, sob a forma de produtos escalares de estados, (ψ, φ) =
dqψ (q )∗ φ(q ) dqψ(
Um caso particular importante imp ortante ´e um “elemen “elemento to de matriz” de um operador ˆ: O ˆ (q ) dqψ ∗ (q )Oφ Oφ(
Como toda teoria, a mecˆanica ani ca quˆantica antic a admite admi te transfo tra nsforma¸ rma¸c˜ coes o˜es “de linguagem”: por exemplo, quando eu descrevo o mesmo fenˆomeno usando dois sistemas de eixos ortogonais, obtenho descri¸c˜ coes o˜es distintas do mesmo fenˆomeno. omeno. Essas descri¸c˜ coes o˜es devem ser equivalentes, j´a que representam a mesma coisa de ´ como se eu descrevesse o mesmo fenˆomeno em pontos-de-vista distintos. E inglˆ in glˆes es e em al alem˜ em˜ao: ao : as des descri cri¸¸c˜ coes o˜es s˜ao ao diferentes, mas tˆem em o mesmo conte´udo. udo. Como as quantidades f´ısicas s˜ao ao representadas pelos produtos escalares de estados, ´e importante imp ortante o estudo dos operadores que conservam os produtos ˆ que s˜ao escalares, ou seja, dos operadores U ao tais que ˆ ψ, Uˆ φ) = (ψ, φ) (U 59
(258)
ou, mais explicitamente,
dqψ((q )∗ φ(q) = dqψ
dq((Uˆ ψ(q ))∗ Uˆ φ(q) dq
(259)
Um op operad erador or line linear ar ´e unit´ u nit´ario, ario , por p or defin defini¸ i¸c˜ cao, a˜o, se ˆ U ˆ + = U ˆ + U ˆ =1 U
(260)
ˆ um operador unit´ario Seja U ario e considere as transforma¸c˜ coes o˜es de fun¸c˜ coes o˜es de onda: ˆ ψ (q ) ψ ′ (q ) = U ˆ φ(q ) φ′ (q) = U Ent˜ao, ao,
dqψ ′∗ φ′ =
∗ dq Uˆ ψ
Uˆ φ =
ˆ + Uˆ φ = dqψ ∗ U
dqψ ∗ φ
o que mostra que uma transforma¸c˜ cao a˜o implementada por um operador unit´ario ario conserv conse rvaa os produtos esc escalares alares.. Mais detalhadame detalhadamente nte,, cons considere idere o produto escalar ˆ = dqψ ∗ (q)Oφ ˆ (q ) ψ, Oφ Oφ(
Sejam
Podemos escrever
Logo,
ˆ (q) ′ = U ˆ Oφ ˆ (q) = U ˆO ˆ U ˆ +U ˆ φ(q ) = U ˆO ˆ U ˆ † φ′ (q ) Oφ( Oφ Oφ(
∗ ˆ ˆ ˆ+ ˆ dq Uˆ ψ(q ) U OU U φ(q ) =
ˆ )′ = ψ , (Oφ Oφ)
′
ψ′ (q) = Uˆ ψ(q ) ˆ (q ) ′ = U ˆ Oφ ˆ (q ) Oφ( Oφ Oφ(
ˆ = ψ, Oφ ˆ dqψ ∗ Oφ
Podemos interpretar este resultado assim: considere as transforma¸c˜ coes o˜es ψ φ ˆ O
→ ψ′ → ψ′ → Oˆ ′
= = = 60
ˆψ U ˆψ U ˆO ˆ U ˆ+ U
Ent˜ao, ao, temos:
ˆ ′ φ ′ (q ) = dqψ ′∗ (q)O
ˆ (q ) dqψ ∗ (q )Oφ Oφ(
ˆ ′ U ˆO ˆ U ˆ + ´e a tra ˆ pela a¸c˜ ˆ. onde O transfo nsforma rma¸¸c˜ cao a˜o de O cao a˜o do operador linear U ˆ ´e inv ˆ se Diz-se que um operador O invariante ariante por uma transfo transforma¸ rma¸c˜ cao a˜o unit´aria aria U
≡
ˆO ˆ U ˆ+ = O ˆ U ou, equivalentemente, se
14.1
ˆ U ˆ = U ˆO ˆ O
(261)
Exemplos de de operadores unit´ arios arios
O leitor verificar´a sem dificuldade que o operador ˆ1, definido por ˆ1ψ = ψ ´e un uniit´ario. ario. Par Paraa dar exemplos exemplos mais ricos, precisaremos precisaremos definir a expone exponencial ncial de um operador. ˆ Define-se eO assim: ˆ ˆ+ 1O ˆO ˆ+ 1O ˆO ˆO ˆ + ... eO = ˆ1 + O 2! 3!
(262)
ˆ 2 em vez de O ˆO ˆ , etc. A id´eia onde, natur naturalmen almente, te, se pode escr escrev ever er O eia ´e usar a expans˜ao ao da fun¸c˜ cao a˜o exponencial num num´´erica erica como modelo da expans˜ ao ao do operador. operador. Usa Usando ndo-se -se esta esta defi defini¸ ni¸c˜ cao, a˜o, podepode-se se de demon monstr strar ar a impor importan tante te rela¸c˜ cao a˜o de Baker-Hausdorff-Campbell: ˆ ˆ −A ˆ ˆ + [A, ˆ B ˆ ] + 1 [A, ˆ [A, ˆ B ˆ ]] + 1 [A, ˆ [A, ˆ [A, ˆ B ˆ ]]] + ... =B eA Be 2! 3!
(263)
ˆ = 1, temos Uma aplic aplica¸ a¸c˜ cao a˜o imediata ´e esta: esta : para B ˆ
ˆ
eA e−A = 1 ˆ
ˆ
ˆ ˆ1] = 0. Logo, e−A ´e o oper pois [A, operador ador inverso de eA . ˆ ˆ=O ˆ + , ou seja, hermiteano. Considere um operador da forma eiO , com O Temos ent˜ao, ao, ˆ + ˆ+ ˆ eiO = e−iO = e−iO Logo,
ˆ
eiO
ˆ +
eiO 61
=1
ˆ ˆ for hermiteano. ou seja, eiO ´e uni nitt´ario ario se O Exemplo: os seguintes operadores s˜ao ao unit´arios: arios:
i
U (ǫ) = e h¯ ǫ pˆx i
ˆ
(∆t) = e− h¯ H ∆t U (∆t Chama-se operadores unit´arios arios infinitesimais infinitesimais operador operadores es da forma ˆ = 1 + iǫO ˆ U ˆ=O ˆ + . Note-se que um com O u m operad o perador or desse d esse tipo ´e o truncamento da s´erie erie ˆ iǫO que define o operador unit´ario ario e que mant mant´´em em apenas os dois primeiros term te rmos os.. Ou seja seja,, um operad operador or unit´ unit´ ario infi ario infinit nitesi esimal mal sat satisf isfaz az a con condi¸ di¸c˜ cao a˜o de unitar unitaridade idade desd desdee que se desp despreze rezem m term termos os que con contenh tenham am potˆencias encias ˆ ˆ, quadr´aticas aticas de ǫ ou maiore maiores. s. Ex Expli plicit citame ament nte, e, tem temos, os, se U = 1 + iǫO ˆ + = 1 iǫO ˆ, e U
−
ˆ U ˆ + = (1 + iǫO ˆ )(1 U
− iǫOˆ ) = 1 + iǫOˆ − iǫOˆ + ǫ (......)) ≈ 1 2
ˆ um operador invariante por uma transforma¸c˜ Seja B cao a˜o implementada pelo i ˆ operador unit´ario ario infini infinitesi tesimal mal 1 + ¯h ǫO. Ent˜ao ao iǫ ˆ ˆ Bˆ = 1 + O B 1 ¯ h
iǫ ˆ ˆ + iǫ O ˆB ˆ O =B ¯ ¯ h h
−
− iǫh¯ Bˆ Oˆ = Bˆ + iǫh¯ [O,ˆ Bˆ ]
ˆ B ˆ ] = 0. Sumarizando: Logo, devemos ter [O, ˆ invariante pela transforma¸c˜ ˆ = e iǫh¯ Oˆ . Ent˜ao, ˆ O ˆ] = Seja B cao a˜o unit´aria aria U ao, [B, 0. ˆ uma transforma¸c˜ Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano H cao a˜o iǫ ˆ O ˆ = e h¯ uma simetria. unit´aria aria que deix deixaa o hamil hamiltonian tonianoo inv invarian ariante. te. Seja U ˆ˙ = 0, ou, ˆ,O ˆ ] = 0. Ora, isto Ent˜ao, ao, por defini¸c˜ cao, a˜o, [H isto significa significa que o operador operador O em outras palavras,que a quantidade f´ f´ısica associada asso ciada ao a o operador hermiteano ˆ ´e conserv conservada. ada. Desta forma associamos simetrias a leis de conserv conserva¸ a¸c˜ cao a˜ o : a O cada simetria simetria corre corresponde sponde uma quan quantidad tidadee conse conserv rvada. ada. Este resultado, resultado, na f´ıs ısic icaa cl cl´´assica, assica, ´e conhecido como o teorema de Noether.
14.2
Exerc´ Exerc ´ıcios
1.(a)Construa o adjunto do operador real. (b) Mostre que [ [ p,f (r)] = ¯hi f f ((r).
d2 dx2
∇
62
− a exp( exp(ix u ´ mero ix)) onde a ´e um numero
ˆ s˜ao 2. Os trˆes es opera operadores dores Aˆ, Bˆ e C ao dados por ˆ (x) = x3 ψ(x) Aψ Aψ( ˆ (x) = x dψ Bψ( Bψ dx x ˆ C ψ(x) = uψ((u)du uψ
−∞
ˆ B ˆ ] e [B, ˆ C ˆ ]. (i)Calcule [A, ]. (ii)Resolva o problema de autovalores Cˆ ψ (x) = λψ λψ((x) exigindo que ψ(x) seja normaliz´avel. avel. Que restri¸c˜ cao a˜o isto imp˜oe oe sobre λ? 3. Det Determ ermine ine o operador operador unit´ unit´ ario que efetua, sobre a fun¸c˜ ario cao a˜ o de onda de um sistema, uma transla¸c˜ cao a˜o espacial ψ(r ) “vetor or ψ (r + ǫ), onde ǫ ´e um “vet infinitesimal”. Usando o fato de que uma sucess˜ao ao de transla¸c˜ coes o˜es independe da ordem em que s˜ao ao realizadas, demonstre que os operadores de momento comutam. utam. Apro Aprove veite ite para mostr mostrar ar que esses operadores s˜ao ao her pˆx , pˆy e pˆz com miteanos, sem calcular qualquer integral.
→
15
Rotac˜ c¸oes o ˜es e o momento angular
Uma part part´´ıcula de massa m est´a em um estado de fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ(r). sobre o sistema.16 Em sua Vamos executar uma rota¸c˜ cao a˜o infinitesimal δω nova posi¸c˜ cao, a˜o, a fun¸c˜ cao a˜o de onda ser´a
× r).∇ ψ(r) , desprezando-se os termos a partir dos quadr´aticos aticos em |δ ω |. Como = δ ) (δ ω × r ).∇ ω.((r × ∇ ω. ( δ ψ(r + δr ) = ψ(r) + (δ ω
podemos escrever
× ∇ ).ψ .ψ((r) ) ψ(r) 1 + δ ω.((r × ∇ ω. i 1 + δ ω.((r × (−i¯h)∇) ψ(r) ω. ¯ h
ψ (r + δr) = ψ(r) + δ ω.((r ω. = = 16
Eq¨uivalentemente, uivalentemente, uma rota¸c˜ caao ˜o sistema sis tema ´e refer r eferido ido..
(264)
−δω sobre o sistema de eixos em rela¸c˜ c˜ao a o ao qual o 63
i ψ(r + δr ) = 1 + δ ω.((ˆr p) ω. pˆ ) ψ(r) ¯h ˆ Denotando o operadorˆr pˆ por L , temos
×
(265)
×
i ˆ ψ(r + δr ) = 1 + δ ω. L ψ(r) ¯ h
(266)
ˆ O operador L ´e denomina denominado do momento angul angular, ar, e ´e escrito, mais detalha detalhadadamente, como ˆ ˆ x ˆ y j + L ˆ z =L L i+L k Da Eq.(264) se tira a express˜ao ao ˆ = L
−ih¯ˆr × ∇
(267)
ou, para as componentes,
∂ ¯ y ih ∂z ∂ ¯ z ih ∂x ∂ ¯ x ih ∂y
ˆx = L
−
ˆy = L
−
ˆz = L
−
− − −
∂ z ∂y ∂ x ∂z ∂ y ∂x
(268) (269) (270)
ˆ Como L ´e hermiteano (por que?), i ˆ ˆ (δ U ω ) = 1 + δ ω. L ¯h ´e un uniit´ario, ario, e ´e a parte infinitesimal de ˆ
ˆ = e h¯i δ ω.L U que, atuando sobre a fun¸c˜ cao a˜o de onda de um sistema, produz a fun¸c˜ cao a˜ o de onda do mesmo, rodado de δ ω. Exemplo: (1) Rota¸c˜ c˜ao ao em torno do eixo z : usando coordenadas esf´ericas, ericas, uma rota¸c˜ c˜ao ao em torno do eixo z muda o valor da coordenada φ. A rota rota¸¸c˜ c˜ao ao que leva φ em φ + ∆φ ∆ φ ´e car caracte acteriz rizada ada por δ ω = δω z k , com δωz = ∆φ ∆ φ. Logo, U ((δ U ω) = 1 +
i i ˆ ˆz δω z k.L = 1 + ∆φL ¯h ¯h
64
Seja ψ(φ) a fun¸c˜ c˜ao ao de onda do sistema (explicitamos apenas o argumento que ser´a alterado. A fun¸c˜ cao a˜o de onda normalmente depender´a de r, θ e φ, quando o sistema ´e descrito em termos de coordenadas esf´ericas). ericas). A rota¸c˜ c˜ao ao considerada leva ψ (φ) ψ(φ + ∆φ ∆φ). Mas
→
∂ ψ(φ + ∆φ ∆φ) = ψ(φ) + ∆φ ∆ φ ψ(φ) = ∂φ
∂ 1 + ∆φ ∆φ ∂φ
ψ (φ)
para transforma¸c˜ c˜oes oes infinitesimais, e usando a f´ormula ormula dos acr´escimos escimos finitos do C´ C ´alculo. alculo. Outra maneira de escrever es crever isto ´e
i ˆ z ψ (φ) 1 + ∆φL ¯h
ψ (φ + ∆φ ∆φ) =
Comparando Compa rando as duas express˜oes, oes, tira-se facilmente que
−i¯h ∂φ∂
ˆz = L
(271)
ˆ x, L ˆy e L ˆ z em coo A express˜ao ao expl expl´´ıcita dos opera operadores dores L c oorden rdenada adass esf´ es f´ericas erica s pode po de tamb´em em ser obtida diretamen diretamente te da Eq.(270) utilizando as f´ormulas ormulas de transforma¸c˜ cao a˜o r =
x2 + y 2 + z2
arcctan θ = ar arcctan φ = ar
√
x2 + y 2 z
y x
.
Trata-se de um c´alculo alculo simpl simples es mas trabal trabalhoso. hoso. Vamos seguir um camin caminho ho indireto indir eto mas mais ilumi iluminant nante. e. Prim Primeiro, eiro, ´e con conve venien niente te medi medirr o momen momento to ˆ angular em unidades de ¯h, isto i sto ´e, e, introduzir intro duzir o opera o perador dor l tal que ˆ ˆ =h ¯ L l onde , de novo,
ˆ ˆ ˆ ˆ l = lx i + ly j + lz k
ˆ As express˜oes oes para as componentes de ao, como segue de (270), l s˜ao, ˆlx = ˆly = ˆlz =
− −
∂ i y ∂z ∂ i z ∂x ∂ i x ∂y
−
65
− − −
∂ z ∂y ∂ x ∂z ∂ y ∂x
(272) (273) (274)
Por um c´alculo alculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac 17 ob obtˆ tˆem-s em -se: e: [ˆla , ˆlb ] = iǫabc ˆlc
(275)
ˆ Como as componentes ao comutam entre si, n˜ao a o h´a autofun¸c˜ coes o˜es comuns l n˜ao dessas componentes. Introduzindo o momento angular total ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lz observamos que
ˆ 2 ˆ [l , lx ] = [ˆlx2 , ˆlx ] + [ˆly2 , ˆlx ] + [ˆlz2 , ˆlx ]
Como
[ˆlx2 , ˆlx ] = 0 [ˆly2 , ˆlx ] = iˆly ˆlz iˆlz ˆly
(276)
[ˆlz2 , ˆlx ] = iˆlz ˆly + iˆly ˆlz
(278)
−
segue que
(277)
−
ˆ 2 ˆ [l , lx ] = 0
A dire¸c˜ cao a˜o x n˜ao ao tendo nenhum privil´egio, egio, segue que: ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ [l , ly ] = [l , lz ] = 0 , ˆ2 Sendo assim, podemos const construir ruir autofun¸c˜ coes o˜es comuns a l e uma das compoˆ nentes de ao simples de ˆlz em coord co ordenad enadas as esf´ e sf´ericas, erica s, l. Por causa da express˜ao 2 ˆ ˆ escolhemos o par l ,lz . 17
A regra de Dirac diz: sejam A( pi , qi ) e B ( pi , qi ) duas dua s quantidades q uantidades f´ısicas da mecˆ me cˆanica anica ˆ cl´ assica, assica, e seja A, B o produto de Poisson (parˆenteses enteses de Poisson) delas. Ent˜ao, ao, se Aˆ e B s˜ao ao os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecˆanica quˆantica, antica, temos a igualdade simb´olica: olica: ˆ B ˆ ] = ih [A, ¯ A, B
{
}
− {
}
Ou seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidades cl´assicas assicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por ih ¯ . Exemplo: ˆ ˆ ˆ La , Lb = ǫabc Lc . Logo, [La , Lb ] = ihǫ ¯hǫabc Lc .
{
−
} −
66
16
Autofunc˜ c¸oes o ˜es do momento angular
Por raz˜oes oes t´ecnicas ecnicas ´e conveniente introdu introduzir zir os opera operadores dores n˜ao-hermiteanos ao-hermiteanos ˆl+ = lx + iˆly ˆl− = ˆlx iˆly
(279) (280)
−
Seus principais comutadores s˜ao: ao: ˆ 2 ˆ [l , l± ] = 0
(281)
[ˆlz , ˆl+ ] = ˆl+ [ˆlz , ˆl− ] = ˆl−
(282) (283)
−
todas f´aceis aceis de obter. Note-se ainda que 2
ˆl+ˆl− = ˆ l
2
ˆl−ˆl+ = ˆ l
16.1 16 .1
− ˆl + ˆl
z
(284)
− ˆl − ˆl
(285)
2 z 2 z
z
As au auto tofu fun¸ n¸ coes c˜ o ˜es da componente z do momento angular
As autofun¸c˜ coes o˜es de ˆlz s˜ao ao fun¸c˜ coes o˜es ψ(φ) tais que ˆlz ψ(φ) = lz ψ (φ)
(286)
onde lz ´e um numero. u ´ mero. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras vari´aveis, aveis, cao a˜o ψ em geral depende porque s˜ao ao irrelevantes para este r e θ, de que a fun¸c˜ problema. Como ˆlz = i ∂ ∂φ
−
temos, para a Eq.(286),
−i ∂ψ =l ψ ∂φ z
cuja solu¸c˜ ca˜o ´e ψ(φ) = Ke ilz φ . Devemos ainda ter 2nπ)) = ψ(φ) ψ (φ + 2nπ
67
(287)
o que exige que eilz 2nπ = 1 ou seja, que lz seja um n´umero umero inteiro. Vamos denot´a-lo a-lo por m. Ent˜ao, ao, ˆlz eimφ = meimφ
(288)
que ´e satisfeita para qualquer m inteiro, < m < temos 1 exp(imφ exp( ψm (φ) = imφ)) 2π
−∞
∞.
Normal Nor maliza izando ndo,,
√
16.2 16 .2
(289)
Autofu Auto fun¸ n¸ coes c˜ o ˜es simultˆ aneas do momento angul aneas angular ar total e da componente z
Seja ψ(φ) a autofun¸c˜ cao a˜o de ˆlz de autovalor m. Calculemos ˆlz ˆl+ ψm
= (ˆlz ˆl+
= = =
− ˆl ˆl + ˆl ˆl )ψ + z
+ z
m
[ˆlz , ˆl+ ]ψm + ˆl+ ˆlz ψm ˆl+ ψm + mˆl+ ψm (m + 1)(ˆl+ ψm )
Logo, se ˆlz ψm = mψm , ent˜ao ao ˆl+ ψm = Kψ m+1 Analogamen Analoga mente te se mostr mostraa que ˆl− ψm = K ′ ψm−1 Assim, usando os operadores ˆl+ e ˆl− , pode-se varrer todo o espectro do operador ˆlz . Considere o operador ˆ 2 l
− ˆl = ˆl + ˆl
ˆ ´e he Lema:Se Lema: Se O hermi rmitean teano, o,
2 z
2 x
2 y
.
Oˆ ≥ 0 2
para qualquer estado. Demonstra¸c˜ cao: a˜o:
ˆ 2 ψ(q ) = dqψ ∗ (q)O
(290)
ˆ (q) ∗ Oψ ˆ (q ) = dq Oψ Oψ( Oψ(
68
ˆ (q ) 2 dq Oψ Oψ(
|
| ≥0
Em particular, segue que ˆlx2 + ˆly2
≥ 0, logo,
ˆ 2 l
− ˆl ≥ 0 2 z
(291)
ˆ 2 A const constru¸ ru¸c˜ cao a˜o das autofun¸c˜ coes o˜es de l ´e facilitada pelo fato de que a express˜ao ao 2 ˆ de operador ador diferencia diferenciall familia f amiliarr `a f´ıs ısic icaa cl cl´´assica. assica. De fato, um c´alculo alculo l ´e um oper direto leva a ∂ ∂ ˆl± = exp exp ( iφ + i cot θ (292) iφ)) ∂θ ∂φ e, como ˆ 2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆl2 ˆlz
±
±
z
obt bt´´em-s em -see
2
ˆ l =
−
−
1 ∂ 2 1 ∂ ∂ + (sin ) θ ∂θ sin2 θ ∂φ 2 sin θ ∂θ
(293)
Acontece que o laplacea laplaceano no em coo coordenadas rdenadas esf´ericas ericas ´e 2 = 1 r2
∇
1 ∂ 2 1 ∂ ∂ + + (sin ) θ 2 ∂θ sin θ ∂φ 2 sin θ ∂θ
∂ 2 ∂ r ∂r ∂r
ou seja,
∇
2
=
1 ∂ 2 ∂ r r 2 ∂r ∂r
−
ˆ 2 l r2
(294)
(295)
Os f´ısicos do s´eculo eculo XIX resolveram o problema pr oblema de determinar d eterminar as autofun¸ a utofun¸c˜ coes o˜es 2 ˆ 18 de coes o˜es s˜ao a o os harmˆ oni cos esf onicos esf´´ericos eri cos,, Y lm l : essas fun¸c˜ lm (θ, φ), que satisfazem as equa¸c˜ coes o˜es de autovalores ˆ 2 1)Y lm l Y lm lm (θ, φ) = l(l + 1)Y lm (θ, φ) ˆlz Y lm lm (θ, φ) = mY lm lm (θ, φ)
(296) (297)
Os harmˆonicos onicos esf´ericos ericos s˜ao ao muito muito bem con conhe hecid cidos. os. Pa Para ra um estudo estudo deles no contexto cl´assico assico as minhas refer referˆˆencias encias preferidas s˜ao ao Courant [6] e Sommerfeld [9]. Nessas notas, usando t´ecnicas ecnicas que introduziremos a seguir, construiremos explicitamente os Y lm e suficien suficiente te informar lm . Para o momento ´ que l )exp(imφ Y lm imφ)) lm (θ, φ) = K P m (θ )exp( 18
Naturalmente eles n˜ao ao sabiam mecˆanica anica quˆantica, antica, mas estudavam vibra¸c˜ coes ˜oes de corpos el´asticos.Um asticos.Um dos problemas dessa ´area, area, por exemplo, ´e a determina¸ determina ¸c˜ c˜ao ao das d as frequˆ f requˆencias enci as que qu e um tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores : as freq¨uˆ uˆencias enci as emitida emit idass s˜ s ˜ao ao as autofreq¨ uˆenc en cias ia s.
69
ou seja, ´e o produto de uma fun¸c˜ cao a˜o de θ por uma autofun¸c˜ cao a˜o de ˆlz . Uma observ observa¸ a¸c˜ cao a˜o importante: as autofun¸c˜ coes o˜es de ˆlz s˜ao ao as fun¸c˜ coes o˜es ex exp p (imφ imφ)) ˆ 2 para qualquer inteiro m. Quando construi construirmos rmos as autofun¸ coes c˜ o˜es comuns a l ˆ e lz , veremos que m sofrer´ a mais restri¸c˜ coes. o˜es. De fato, como temos ˆ 2 l
− ˆl ≥ 0 2 z
segue que
2 ∗ (q ) ˆ dqY lm l
−
ˆl2 Y lm lm (q ) = l (l + 1) z
2
−m
∗ (q )Y lm dqY lm lm (q ) = l(l + 1)
(298) Portanto, dado l, m n˜ao ao pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido ´e ta tall qu quee l(l + 1) m2
≥
Vˆe-se e-se imed imediat iatamente amente que m = l ´e per permiti mitido, do, mas m = l + 1 ´e proibido. proibi do. Logo, o m´aximo aximo valor permitido de m para as autofun¸c˜ coes o˜es Y lm e m = l. Um lm (q ) ´ argumento an’alogo a n’alogo mostra que o menor ´e m = l. Resumindo,
−
−l ≤ m ≤ l Neste interv intervalo, alo,
ˆ 2 1)Y lm l Y lm lm (θ, φ) = l(l + 1)Y lm (θ, φ) ˆlz Y lm lm (θ, φ) = mY lm lm (θ, φ)
(299) (300)
Assim, para cada l h´a 2l + 1 valores distintos de m.
16.2 16 .2.1 .1
Cons Co nstr tru¸ u¸ c˜ c˜ ao dos ha ao harmˆ rmˆ oni coss esf onico esf´ ´ eri coss erico
Chamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo ˆ ˆ ˆ ˆ = T x i + T y j + T z k T e que satisfazem as seguintes rela¸c˜ coes o˜es de comuta¸c˜ cao a˜o com as componentes do momento angular: ˆb ] = iǫabc T ˆc [ˆla , T (301) onde a costumeira conven¸c˜ cao a˜o indica uma soma sobre os valores do ´ındice ındice c, (1) (2) ˆ e T ˆ dois operadores desse tipo, e, sendo T ˆ j(1) T ˆ j(2) ] = 0 [ˆli , T 70
2
−m ≥0
(302)
ˆ s˜ao, Exemplos: rˆ, pˆ e L Exemplos: ao, todos, operado operadores res ve vetoriai toriais. s. Das rela¸c˜ coes o˜es aci acima ma seg segue, ue, em par partic ticula ular, r, qu que, e, par paraa qu qualq alque uerr oper operado adorr ˆ, vetorial T T , ˆ j T ˆ j ] = 0 [ˆli , T (303) ˆ Seja T um operador vetorial. Ser´a util u ´ til introduzir um “operador escada”, da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ (304) T + = T x + iT y Facilmente se verifica que bem como
ˆ+ ] = T ˆ+ [ˆlz , T
(305)
ˆ+ ] = T ˆz [ˆlx , T ˆ+ ] = iT ˆz [ˆly , T
(306)
− −
(307)
ˆ2 ˆ Vamos agora calcular o comutador [ l , T + ]. Lembrando que ˆ 2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lz e usando as rela¸c˜ coes o˜es acima, temos, ap´os os um pouco de paciˆencia, encia, ˆ 2 ˆ ˆ+ ˆlz [l , T + ] = 2[T
− T ˆ ˆl ] + 2T ˆ z +
(308)
+
ˆ 2 Sejam Y lm coes c˜ o˜es de l e, em particular, seja Y llll aquela com m´aximo aximo lm as autofun¸ valor de m, para um dado l. Vamos mostrar que ˆ+ Y llll = K Y l+1 T +1,l ,l+1 +1
(309)
ˆ 2 l Y ll 1)Y ll ll = l (l + 1)Y ll
(310)
2 ˆ+ (ˆ ˆ ll T l Y ll ll ) = l (l + 1)T + Y ll
(311)
onde K ´e uma cons constante tante.. De fato,
2 ˆ+ˆ Ora, o operador T l pode ser escrito assim: 2 2 ˆ+ˆ ˆ+ˆ T l = T l
2
2
2
2
− ˆ l T ˆ+ + ˆ l T ˆ+ = [T ˆ+, ˆ l ] + ˆ l T ˆ+
(312)
Logo,a Eq.(311) pode ser escrita 2 ˆ 2 ˆ ˆ+ , ˆ [T l ]Y ll 1)Y ll ll + l (T + Y ll ll ) = l (l + 1)Y ll
71
(313)
Usando a Eq.(308), ˆz ˆl+ Y ll 2T ll
− 2T ˆ+ˆl Y − 2T ˆ+Y z ll ll
ll ll
ˆ2 ˆ ˆ ll ) +L (T + Y ll ll ) = l (l + 1)(T + Y ll
(314)
Como ˆl+ Y ll ll = 0, obtemos sem dificuldade que
ou, finalmente,
ˆ 2 ˆ ˆ+ Y ll l (T + Y ll 2 l + 2) 2) (T ll ) = (l (l + 1) + 2l ll )
(315)
ˆ 2 ˆ ˆ+Y ll l (T + Y ll 1)(l + 2)(T ll ) = (l + 1)(l ll
(316)
2
ˆ ˆ+ Y ll que significa que T e au autof tofun un¸¸c˜ c˜ao ao de l de autovalor (l (l + 1)(l 1)(l + 2). Logo, ll ´ ˆ+ Y ll T ll = KY l+1,l+1
(317)
Este resultado mostra que, se determinarmos Y 00 ll para 00 , seremos capazes de construir Y ll qualquer l, sem ter de resolver equa¸c˜oes oes diferenciais.
Para determinar Y 00 00 (θ, φ) note-se que ˆlz Y 00 00 (θ, φ) = 0
(318)
e ˆl− Y 00 00 = 0 ˆl+ Y 00 00 = 0 Da´ı segue s egue faci facilmente lmente que ˆlx Y 00 00 = 0 ˆly Y 00 00 = 0
(319) (320)
Dessas duas e da Eq.(318), segue que i 1 + ǫ¯hˆl j Y 00 00 = Y 00 00 ¯h
(321)
para j = 1, 2, 3. Ist Istoo quer dizer dizer qu quee Y 00 e invariante i nvariante po porr rot rota¸ a¸c˜ coes o˜es infinitesi00 ´ mais em torno dos eixos x, y , z, ou seja, ´e inv invariante ariante por p or qualquer rota¸c˜ cao a˜o infinitesimal. infinites imal. Logo, ´e esfericamente es fericamente sim´etrica, etrica, n˜ao ao podendo depender de θ ou φ. Ma Mass essas essas s˜ a o as suas unicas ao u ´nicas vari´aveis. aveis. Portan Portanto, to, Y 00 e cons c onstante tante.. A 00 ´ menos de normaliza¸c˜ cao a˜o , podemos ent˜ao ao tomar Y 00 00 = 1 ˆ+ associado Considere o operador vetorial ˆr , e vamos construir o operador T a ele, que seria o operador ˆr+ = xˆ + iyˆ 72
Como os operadore Como operadoress xˆ e yˆ s˜ao ao mul multipli tiplicativ cativos, os, vamos come cometer ter um ligei ligeiro ro abuso de nota¸c˜ cao, a˜o, omitindo a “casinha”(acento circunflexo, vers˜ao ao chinesa). Assim, escreveremos, sem a menor cerimˆonia, onia, r+ = x + iy deixando deixan do cla claro ro que se trata de oper operador adores. es. J´a que estamos com a m˜ao a o na r ˆ+ associado massa, vamos estudar, em lugar de r, o operador r . O operador T a el elee ´e ˆ+ = x + iy (322) T r Temos, ent˜ao, ao, x + iy x + iy x + iy = K Y 11 .Y 00 .1 = 00 = 11 (θ, φ) r r r
(323)
ou seja, Y 11 11 (θ, φ) = cte.
× x +r iy = cte. × (sin θ cos φ + i sin θ sin φ)
(324)
ou ainda, Y 11 11 (θ, φ) = cte. De uma maneira geral, teremos:
× sin θ exp( exp(iφ iφ))
x + iy Y llll (θ, φ) = K r ˆ Para obter Y lm lm basta fazer uso do operador l− .
l
(326)
x + iy l r A determina¸c˜ cao a˜o de K ´e feita pela normal normaliza¸ iza¸c˜ cao a˜o dos Y lm lm ,
− −
(327)
sin θdθ Y lm lm (θ, φ) = 1
(328)
ˆ Y lm lm (θ, φ) = K l
2π
π
0
dφ
0
(325)
l m
|
Toma-se usualmente K real, o que fornece a seguinte tabela de harmˆonicos esf´ es f´eric er icos os:: 1 Y 00 00 (θ, φ) = 4π 1 3 2 sin θe±iφ Y 1,±1 = 8π 1 3 2 cos θ (329) Y 1,0 = 4π e assim por diante.
√
∓ 73
16.3
Exerc´ Exerc ´ıcios
1. Prove que [AB,C [ AB,C ] = A[B, C ] + [A, [ A, C ]B 2. Prove que, se [H, [ H, li ] = 0 ent˜ao ao [H, exp ¯hi θhl ¯ li ] = 0, com li i = 1, 2, 3 sendo h as componentes do operador de momento angular. De fato, o resultado vale para qualquer operador que comute com o hamiltoniano H , e, portanto, para o pr´oprio oprio H . Enuncie e comente este ´ultimo ultimo caso. Mais precisamente, mostre i ˆ , exp ˆ ] = 0. que ´e sempre verdade que [ H Ht] Ht h ¯ 3. Mo Most stre re que o ope opera rado dorr ˆ1 + ¯hi ∆θh ¯ ˆli “roda” o sistema de um ˆangulo angulo infinitesimal ∆θ ∆θ em torno do eixo i. A generaliza¸c˜ cao a˜o para ˆangulos angulos θ arbitr´arios arios i i ´e exp ¯h θh ¯ ˆli . Seja U (θ) = exp ¯h θh ¯ ˆli . Vimos no exe exerc rc´´ıcio anterior anterior que, se [H, li ] = 0, ent˜ao ao [H, U (θ)] = 0. Seja ψ tal que H ψ = Eψ ,e consi considere dere Eψ,e ′ ′ ′ Mostre tre que H ψ = Eψ , com o mesmo E ant anterior erior.. Cheg Chegue ue a ψ = U (θ)ψ. Mos uma conclus˜ao ao an´aloga aloga usando o ultimo u ´ltimo resultad resultadoo do exerc exerc´´ıcio 2. 4. Mostre que se a energia potencial de um sistema ´e V V ((r ), independente de ao [H, li ] = 0, para i = 1, 2, 3. θ e φ, ent˜ao 5. Mostramos no curso que 1 (l + m)( )(ll m + 1) m lx m 1 = m 1 lx m = 2 i (l + m)( )(ll m + 1) m ly m 1 = m 1 ly m = 2 que, trocado em mi´udos, udos, quer dizer que
−
| | − | | − 2π
π
dφ
− | | − − | |
−
−
−
1 ∗ lx Y l,m (l + m)( )(ll − m + 1) dθ sin θY lm l,m−1 (θ, φ) =
2 (a) Escreva os demais elementos de matriz dessa forma. (b)Considere o harmˆonico on ico esf´erico eri co Y lm 2). Temos π/2). lm (θ, φ = π/ 0
0
i exp ∆θhl ¯hlx Y lm 2) = Y lm ∆θ,π/2) 2) θ,π/2) lm (θ,π/ lm (θ + ∆θ,π/ ¯ h
Por outro lado, exp acima,
i ∆ h ¯ lx h θhl ¯
= 1 + iδθlx e, usando os elementos de matriz
∆θ (1 + i∆θlx )Y lm 2) = Y lm 2) + i (l + m + 1)(l 1)(l m)Y l,m+1 2) θ,π/2) θ,π/2) θ,π/2) lm (θ,π/ lm (θ,π/ l,m+1 (θ,π/ 2 ∆θ + i (l + m)( )(ll m + 1)Y 1)Y l,m 2) θ,π/2) l,m−1 (θ,π/ 2 Logo,
−
∆θ,π/2) 2) = Y lm 2) + i Y lm θ,π/2) lm (θ + ∆θ,π/ lm (θ,π/
∆θ (l + m + 1)(l 1)(l 2
∆θ + i (l + m)( )(ll 2
−
1)Y − m + 1)Y
74
− m)Y
2) θ,π/2) l,m 1 (θ,π/ l,m
−
2) θ,π/2) ll,m+1 ,m+1 (θ,π/
Verifique cuidado cuidadosamente samente o argumento arg umento acima aci ma (o professo professorr j´a est´a meio velho...) e depo depois is teste-o teste-o no cas casoo par partic ticula ularr l=1. Ne Neste ste caso os har harmˆ mˆonico on icoss esf´ericos eri cos s˜ao: ao: 3 4π
Y 1,0 =
3 8π
Y 1,±1 =
17
1/2
∓
cos θ
1/2
sin θe±iφ
Pot otenc encia iais is com sim simet etri ria a cen centr tral al
Chamam-se assim a ssim os potenciais que, expressos em coordenadas esf´ ericas, s˜ao ericas, ao fun¸c˜ coes o˜es apenas da vari´avel avel radial r . O caso mais importante, naturalmente, ´e o do ´atomo atomo de Hidrogˆenio. enio. Vamos tratar primeiramen primeiramente te o caso geral. g eral.
−
¯ 2 2 h ψ(r,θ,φ r,θ,φ)) + V V ((r )ψ(r,θ,φ r,θ,φ)) = Eψ Eψ((r,θ,φ r,θ,φ)) 2m
(330)
∇
´e a eq equa ua¸¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para estados estacion´arios arios de uma part part´´ıcula de massa m cuja energia potencial depende apenas da distˆancia ancia a` origem. Utilizando coor coordenadas denadas esf´ericas, ericas, temos
∇
2
onde
ˆ 2 l =
−
=
1 ∂ 2 ∂ r r 2 ∂r ∂r
−
ˆ 2 l r2
(331)
1 ∂ 2 1 ∂ ∂ + (sin ) θ ∂θ sin2 θ ∂φ 2 sin θ ∂θ
(332)
´e o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteri anteriores). ores). Vamos procurar solu¸c˜ coes o˜es da Eq.(331) que sejam da forma ψ (r,θ,φ r,θ,φ)) = R(r )Y lm lm (θ, φ) ˆ2 Como 1)Y lm l Y lm lm = l(l + 1)Y lm , tem-se ¯2 1 h d R(r ) 2 dR ( ) 1)Y lm Y θ, φ r l(l + 1)Y l lm m lm (θ, φ) + 2m r 2 dr dr r2 +V (333) V ((r )R(r )Y lm ER((r)Y lm lm (θ, φ) = ER lm (θ, φ)
−
−
Cancelando Y lm lm ,
−
¯2 1 d ¯ 2 l(l + 1) h h 2 dR + r R(r) + V V ((r )R(r ) = ER ER((r) 2m r2 dr 2mr2 dr
75
(334)
Introduzimos agora a fun¸c˜ cao a˜o u(r ) = rR rR((r) satisfazendo u(0) = 0. Rees Reescre creve vendo ndo a Eq.( Eq.(334) 334) em termos de u(r), ob obt´ t´em-s em-see
−
¯ 2 d2 u ¯ 2 l(l + 1) h h + + V ( V (r) u(r ) = Eu Eu((r) 2m dr2 2mr2
(335)
Esta ´e a chama chamada da equa¸c˜ c˜ ao radial de radial de Schr¨odinger, oding er, e cont´ co nt´em em toda a dinˆamica. amica. Lembrando Lem brando a condi condi¸c˜ c¸ao a˜o u(0) = 0, deco decorrˆ rrˆ encia de que u(r) = rR encia rR((r ) com ao aqueles R(r ) regular na origem (os casos interessantes fisicamente n˜ao s˜ao em que a part part´´ıcula tem probab probabilidad ilidadee zero de estar em qualq qualquer uer lugar que n˜ao ao a origem!), podemos interpretar a equa¸c˜ cao a˜o acima como uma equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes “potenciais”:(a) Uma parede impenetr´avel avel em r = 0, que impede a passagem da part´´ıcula para valores negativos de r. (b) Um potencial do tipo r12 repulsivo, part chamado de potencial centr centr´´ıfugo. (c) O verd verdadeiro adeiro potencial, V V ((r). O potencial centr centr´´ıfugo vem do fato de que a elimina¸c˜ cao a˜o das vari´aveis aveis θ e φ, ´e formalmente eq¨uivalente uivalente a coloca col ocar-se r-se em um sistema sist ema de referˆencia encia que q ue “gira” “g ira” com o sistema f´ f´ısico, ou seja, em um sistema n˜ao-inercial. ao-inercial. Surgem, ent˜ao, ao, as chamadas for¸cas cas de in´ i n´ercia, ercia, das quais a for¸ fo r¸ca ca centr´ıfuga ıfug a ´e a mai maiss po popula pular. r.19
18
O´ ato mo de atomo d e Hidro Hi drogˆ gˆ eni o enio
O n´ucleo ucleo do ´atomo atomo de hidrogˆenio enio ´e cerca cer ca de 2000 vezes mais m ais pesa pesado do do que um el el´´etron. etron. Por iss issoo se pode ign ignora orarr o mo movim vimen ento to do n´ucleo ucleo e descrever o atomo a´tomo simplesmen simplesmente te como um el´etron etron mov movendo-se endo-se com energia potencial Ze 2 . A Eq.(335 Eq.(335)) ´e ent˜ao ao escrita V ((r) = V r
−
−
¯ 2 d2 u ¯ 2 l(l + 1) h h + 2m dr2 2mr2
−
Ze 2 u(r) = Eu Eu((r) r
(336)
Note-se que esta equa¸c˜ cao a˜o descreve mais do que o ´atomo atomo de hidrogˆenio: enio: a intera¸c˜ cao a˜o de um el´etron etron com um campo coulombiano possui tamb tamb´´em em casos em que o el´etron etron n˜ao ao permanece nas proximidades do n´ucleo, ucleo, mas afasta-se indefinidamente indefinidamen te dele: trata-se do espalhamento de um el´ etron por etron p or um campo coulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do el´etron: etron: aqueles em que ele est´a preso ao n´ucleo, ucleo, formando um ´atomo. atomo. O que caracteriza 19
O leitor dedicado gostar´a de investigar por que n˜ao ao aparece tamb´ em em um potencial correspondente `as as for¸cas cas de Coriolis. Coriolis .
76
esses estados, na Eq.(336), ´e que eles possuem p ossuem energia negativa. Portan Portanto, to, estudaremos as solu¸c˜ coes o˜es do problema de autovalores dado pela Eq.(336), com E < 0, e, portanto, E = E . ´ conveniente introduzir vari´aveis E aveis adimensionais. adimensionais. Substituiremos r por
−| |
8m E
ρ=
¯ h
| |r
(337)
e a energia , ou, antes, o seu inverso, por λ=
m Z e2 2 E h ¯
(338)
| |
Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, ρ e λ s˜ao ao quantidades adimensionais. Verifica-se facilmente que d2 u 8m E d2 u = dr2 ¯ 2 dρ2 h
| |
e que a Eq.(336) pode ser reescrita como
− ou, finalmente,
d2 u l(l + 1) + u dρ2 ρ2 d2 u dρ2
−
−
Ze 2 ¯ h
m u= 2 E
l(l + 1) λ u+ 2 ρ ρ
−
| |
− 14 u
1 u=0 4
(339)
(340)
Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares ( u, λ) submetidos a` condi¸c˜ cao a˜o de que lim u(r ) = 0 →∞
r
que corresponde ao fato de que o ´atomo atomo tem dimens˜oes oes finitas. Para resolver este problema utilizaremos uma t´ecnica ecnica devida a Sommerfeld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento comportamento assint´otico, otico, para ρ grande, as solu¸c˜ coes o˜es de Eq.(340) podem ter. Note-se que a equa¸c˜ao ao d2 u dρ2
− 14 u = 0
(341)
coincide com a Eq.(340) para grandes valores de ρ. Podemos, portanto, afirmar que as solu¸c˜ coes o˜es de Eq.(341) devem coincidir com o limite, para grandes coes o˜es da Eq.(340). ρ, das solu¸c˜ 77
18.1
Determi Det erminand nando o o compor comportame tament nto o assin assint´ t´otico otico
Considere a equa¸c˜ cao a˜o
d2 u dρ2
− 14 u = 0
(342)
e vamos multiplicar cada um de seus termos por
du , dρ
obtendo
du d2 u 1 du = u 4 dρ dρ dρ2 O leitor verificar´a facilmente que esta equa¸c˜ cao a˜o ´e a mesma que d dρ ou d dρ Portanto,
2
du dρ
1 d 2 u 4 dρ
=
− du dρ
du dρ
2
2
−
u2 4
=0
(343)
(344)
u2 = K 4
onde K ´e uma constante. Mas tanto u quanto as suas derivadas tendem a ze zero ro no infinito. infinito. Log Logo, o, a con consta stant ntee K deve ser nula, pois, calculada no infinito ´e nula, e tem o mesmo valor em todos to dos os pontos. Conseq¨ uentemente, uentemente, 2
du dρ
e
du = dρ
u2 = 4
(345)
± u2
(346)
As solu¸c˜ coes o˜es dessas equa¸c˜ coes o˜es s˜ao ao u(ρ) = exp
± ρ2
(347)
das quais a que satisfaz os requisitos f´ısicos ısicos de se anular no infinito ´e u(ρ) = exp
− ρ2
(348)
Est e ´e, Este e, ent˜ao, ao, o comportamento assint´otico otico que as solu¸c˜ coes o˜es da Eq.(340) devem ter. 78
18.2
As solu¸c˜ coes o ˜es da equa¸c˜ c˜ao ao rad adia iall
Vamos ent˜ao ao procurar solu¸c˜ coes o˜es da Eq.(340) da forma
− ρ2
u(ρ) = F F ((ρ)exp
(349)
,
omio em ρ. A raz˜ao ao de ser um polinˆomio omi o ´e que o comF (ρ) sendo um polinˆomio F ( portamento assint´otico otico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial, o que ´e gar garantid antidoo se F omio. Uma an´ alise mais fina mostraria alise F ((ρ) for um polinˆomio. que, se se admitisse que F erie infinita, sua soma seria essenF ((ρ) fosse uma s´erie cialmente uma exponencial em ρ, alter alterando ando o comport comportamen amento to assin assint´ t´ otico.20 otico. Seja F ao da forma F ((ρ) uma express˜ao F (ρ) = F (
∞
Ak ρk ,
(350)
k=1
onde a potˆencia encia mais baixa ´e a primeira para assegur assegurar ar que F (0) = 0 . F (0) Derivando termo a termo, temos dF = dρ 2
d F = dρ2
∞ ∞
kAk ρk−1
k =1
k (k
k =1
k 2
− 1) 1)A A ρ− k
Inserindo estas express˜oes oes na Eq.(350), temos
∞
k (k
k=1
k 2
1)A − 1) A ρ− − k
λ kAk ρk−1 + ρ
−
l(l + 1) Ak ρk 2 ρ
=0
(351)
O coeficiente da potˆencia encia k de ρ ´e da dado do p or (k + 2)(k 2)(k + 1)A 1)Ak+2
1)A − (k + 1)A
k+1
+ λAk+1
1)A − l(l + 1)A
k+2
=0
(352)
para que a equa¸c˜ cao a˜o dife diferenc rencial ial seja satisfeita satisfeita termo a term termo. o. Dimin Diminuindo uindo o valorde k de uma unidade, temos uma rela¸c˜ cao a˜o mais conveniente: [(k 1)k Ak+1 [( k + 1)k 20
− l(l + 1)] = (k (k − λ)A
k
(353)
Ver, por exemplo, Dicke, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics , p´ agina agina 161.
79
ou, equivalentemente, Ak+1 k λ = para pa ra k (k + 1)k 1)k l(l + 1) Ak
− −
≥2
(354)
Para os ´ındices ındices mais baixos temos as equa¸c˜ coes o˜es A1 l(l + 1) = 0 [2
− l(l + 1)] A
+ (λ (λ
2
(355)
1)A − 1) A
1
=0
(356)
A equa¸c˜ cao a˜o (354) ´e muito importante. imp ortante. Dela vemos que, para que a s´erie erie se interrompa em algum ponto, tornando-se um polinˆomio, omio, devemos ter que ao inteiros, logo, a condi¸c˜ cao a˜o para que a s´erie erie se interrompa λ = k. Ora, os k s˜ao ´e que exista um inteiro n tal que λ=n Como λ= temos
(357)
m Z e2 =n 2 E h ¯
| |
2 4
|E | = Z 2¯eh m n1 2
(358)
2
ou, eq¨uivalentemente, uivalentemente,
Z 2 e4 m 1 (359) E n = , 2¯h2 n2 que ´e a f´orm o rmul ulaa de Bohr! Bohr! Vol olta tand ndoo ao c´ alculo das autofun¸c˜ alculo coes, o˜es, al´em em da condi¸c˜ cao a˜o λ = n, devemos ter que λ = l, de outra forma, na equa¸c˜ cao a˜o (354), o denominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, n˜ao ao garantindo o anulamento do coeficiente Ak+1 . Portanto devemos ter l = n. Vamos construir as primeiras solu¸c˜ coes. o˜es. Tomemos λ = n = 1 A este valor corresponde a energia Z 2 e4 m E = 2¯ h2 que ´e a energia do estado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆ h idrogˆenio enio (o de energia mais baixa). Para este valor de λ podemos ter l = 0, mas n˜ao ao l = 1. Ent˜ao, ao, das equa¸c˜oes
−
−
[2
−
A1 l(l + 1) = 0 1)A l(l + 1)] A2 = (λ 1) A1
−
80
temos Que A1 ´e indetermin indeterminado, ado, e A2 = 0, assim como os coeficientes de ´ındice mais alto. Temos ent˜ao, ao, para a solu¸c˜ cao, a˜o, F (ρ) = A1 ρ F ( e R(ρ) = A1 exp
(360)
− ρ2
(361)
Em termos de r , usando ρ=
8m E r ¯ h
| |
e introduzindo
¯h2 a0 = , me2 denominado raio de Bohr , obtemos, ap´os os c´alculos alculos simples, ρ=
2Zr na0
Para o estado fundamental, temos, ent˜ao, ao, R1 (r ) = A1 exp
− Za r
(362)
0
quee ´e ta qu tamb´ mb´em em a fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o completa, pois Y 00 e co cons nsta tante nte.. 00 ´ Para λ = n = 2 temos as possibilidades l = 0 e l = 1. Pa Para ra o primeiro primeiro caso, temo temos, s, nov novamen amente, te, A1 inde indeterm terminado. inado. Par Paraa A2 , usamos a equa¸c˜ cao a˜o (353), que d´a 1 2 A2 = A1 1.2 ou seja, 1 A2 = A1 2 A solu¸c˜ cao a˜o ent˜ao ´e ρ2 (363) F ((ρ) = A1 ρ F 2 e ρ ρ exp (364) R(ρ) = A1 1 2 2 Expressando em termos de r , obtemos
−
−
−
−
Zr exp 2a0
−
ψ200 = A1 1
81
−
− 2Zra
0
(365)
onde usamos a nota¸c˜ cao a˜o tradicional para os autoestados do ´atomo ato mo de hid hidrogˆ rogˆenio: enio : ). O leitor, neste ponto, deveria ser capaz de mostrar que ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ). ψ20 20m m = A2
Zr Zr exp( ) Y 0 0 (θ, φ) 2a0 a0
−
(366)
No segundo caso, l = 1,vemos, da Eq.(355), que A1 = 0 enquanto A2 ´e inde indeterm termina inado. do. A3 = 0, assim como os ´ındic ındices es mais altos. Logo, F ((ρ) = A2 ρ2 F A express˜ao ao em termos de r vem a ser Zr √13 Zr exp(− ) 2a a
R21 (r ) = K
0
(367)
0
Como vimos, a fun¸c˜ cao a˜o radial fica definida quando se d˜ao ao os valores de n e araa o ca caso so de l = 1 a dep dependˆ endˆeencia nci a l. Por isso ela ´e denotada por Rnl (r ). Par angular n˜ao ao ´e trivial, poi poiss temos ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ)) = K Rnl (r)Y lm lm (θ, φ)
(368)
√13 Za r exp(− 2Zar )Y
(369)
que, ness nessee caso d´a ψ21 r,θ,φ)) = K 21m m (r,θ,φ
1m (θ, φ)
0
0
com m podendo tomar os valores 1, 0, e -1. Note que a energia fica totalmente determinada por n. Ent˜ao, ao, exceto pelo estado fundamental fundamental,, a cada cad a n´ n´ıvel de energia corresp correspondem ondem mais de um estado do sistema. O espectro ´e dito degenerado (no bom sentido!). Considere, por exemplo, o n´ıvel de d e energia com n = 2. Podemos ter l = 0, que d´a um unico u ´nico estado, ou l = 1, que admite 3 valores de m. No total, total, ent˜ ent˜ ao, h´a 4 estados ao, ´ f´acil neste n´ıvel de energia . Diz-se que o grau de degeneresc degenerescˆˆencia encia ´e 4. E acil 2 provar que o gra grau u de d e degen d egenerescˆ erescˆencia enci a do n´ıvel n ´e n . O numero quˆantico antico n ´e den denom omin inad adoo n´ umero quˆantico antico principal . A seguir apresentamos uma lista das partes radiais de algumas fun¸c˜ coes o˜es de onda do ´atomo ato mo de hidr hidrogˆ ogˆenio. enio .
82
R10(r) = R20(r) = R21(r) = R30(r) = R31(r) = R32(r) =
18.3
Z a0
3 2
− − √ − − √ − √√ 2 exp
Zr a0
2 1
1 Zr 2 a0
3 2
Z 2a0
3 2
Z 2a0
3 2
4 2 Zr 3 a0
3 2
Z 3a0
2 2 27 5
1
1 Zr 2 a0
2
Zr a0
exp
1 Zr 6 a0
exp
exp
1 Zr 3 a0
2
Zr a0
− − − −
(371)
1 Zr 2 a0
2 Zr 2 + 3 a0 27
2 1
Z 3a0
exp
1 Zr exp 3 a0
3 2
Z 3a0
(370)
(372)
1 Zr 3 a0
(373)
1 Zr 3 a0
(374) (375)
Algumas propriedades do ´ atomo de hidrogˆ atomo hid rogˆ enio enio
At´e agora escrevemos as fun¸c˜ coes o˜es de onda assim: ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ)) = K Rnl (r)Y lm lm (θ, φ) Como determinar a constante K ? Uma vez que os harmˆonicos oni cos esf´ericos eric os s˜ao ao normalizados por conta pr´opria, opria, pois 2π
π
0
dφ
0
2 sin θ dθ Y lm lm (θ, φ) = 1
|
|
devemos ter π
∞ 2
0
r dr
0
sin θdθ
2π
0
2
∞ |
dφ ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ)) = K
|
| |
2
0
Exemplo:: para o estado ψ100 , Exemplo
∞ |
|K Usando
2
∞ 0
0
drr 2 exp
− 2aZ r = 1 0
drr 2 exp
3 0
− 2aZr = 4aZ 0
obtemos Z R10 (r ) = a0
83
3 2
2exp
3
− Za r 0
r2 dr Rnl (r ) 2 = 1
|
|
(376)
confirmando o valor da tabela. De posse da express˜ao ao detalhada da fun¸c˜ cao a˜o de onda, podemos fazer perguntas interessantes. Qual ´e a probabilidade de o el´etron etron estar, no estado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆenio, enio, entre r e r + dr d ada por dr?? Ela ´e dada 3
Z P ((r )dr = P a0
4 exp
2Zr 2 r dr a0
−
(377)
Para que valor de r a pro probab babilid ilidade ade ´e m´axima axi ma (pa (para ra idˆenticos entico s dr )? No ponto dr)? de m´aximo, aximo, teremos dP (r ) dP ( = 2r exp dr
2Z r a0
− −
ou 1
r
2 2Z
=0 − rZ a
a0
exp
2Zr a0
−
=0
.
0
Logo,, pa Logo para ra o atomo a´tomo de hidrogˆenio enio (Z = 1) 1),, te temo moss que que a pr proba obabi bili lida dade de 21 m´axima ax ima ´e pa para ra r = a0 , o raio de Bohr! Vamos calcular agora a velocida velocidade de m´edia edia do el´etron etron no estado fundamen fundamen-tal. pˆx = m
Usando pˆx =
2π
0
−ih¯
dφ
∂ ∂x
8ih ¯ Z pˆx = 4πm a0 m
π
0
sin θdθ
∞ 0
pˆx r2 drψ100 (r,θ,φ r,θ,φ)) ψ100 (r,θ,φ r,θ,φ)) m
(378)
1 e Y 00 00 (θ, φ) = √4π , obtemos 4
∞ 0
2
drr exp
2Z r a0
2π
− 0
dφ cos φ
π
0
dθ sin2 θ
(379)
onde usamos x = r sin θ cos φ. Como 2π
0
dφ cos φ = 0
temos que o valor m´edio edio da compo componente nente x da velocida velocidade de do el´etron etron no estado fundament fund amental al ´e 0. Como o esta estado do ´e esfericam esfer icamente ente sim´ s im´etrico, etri co, o mesmo resu resulta ltado do deve valer para as outras componentes. Logo, ˆ p =0 m
21
Exer Ex erc´ c´ıcio ıc io:: no modˆ mo dˆelo el o pr´e-quˆ e- quˆantico antico de Bohr, das ´orbitas orbitas de momento angular L = nh ¯, determine o raio da menor ´orbita orbita estacion´aria. ari a. Vocˆe dever d ever´´a encontrar a0 , o raio de Bohr.
84
Isto post posto, o, podemo p odemoss dizer que e el´etron etron est´ es t´a em repouso, no estado fundamental? Certamente n˜ao! ao! Em qualquer qual quer modˆelo elo cl´ cl assico a´ssico com ´orbita orbita circular (qualquer ´orbita orbita fechada, de fato) o el´etron etron est´a em movimento e sua velocidade m´edia edia ´e zero. ze ro. Para obt obter er mai maiss info i nforma rma¸¸c˜ coes o˜es sobre o que o el´etron etron faz no n o estado esta do fundamen fundam ental tal do atomo a´tomo de hidrogˆenio, enio, vamos calcular sua energia cin´etica etica m´edia. edi a. Ela ´e da dada da p or or:: p2 = 2m
− 2
=
− 2h¯m
∞ 0
drr 2R10 (r)
2π
¯2 h 2m
π
0
dφ
0
dqψ100 (q ) 2 ψ100 (q) =
(380)
∇
sin θdθY 00 00 (θ, φ)
ˆ 2 l r2
− 1 ∂ 2 ∂ r r2 ∂r ∂r
R10 (r)
(381)
=
−
¯2 h 2m
∞ ∞ − − − − ∞ − − ∞ −
¯2 h = 4 2m ¯2 h = 4 2m
0
Z a0 Z a0
d dR10 r2 dr dr Zr dr exp a0
drR10(r) 4
0
4
2
0
2Zr a0
drr exp
Zr a0
2r exp
Z a0
0
Z 2 r exp a0
drr 2 exp
Zr a0 2Z r a0
Usando as integrais
∞ 0
e
∞ 0
2
drr exp
drr exp
a30 4Z 3
2Zr a0
=
2Zr a0
a20 = 4Z 2
−
−
obtemos o resultado, para Z = 1, ¯2 p2 h = 2m 2ma20
(382)
Logo, o el´etron etron n˜ao ao est´a parado. E nem poderia: se tivesse tivesse momento momento perfeitamente definido (no caso, nulo), sua posi¸c˜ cao a˜o teria de ser totalmente indefinida, indefi nida, pelo princ princ´´ıpio da ince incertez rteza. a. Como a ince incertez rtezaa na posi¸c˜ cao a˜o ´e da ordem de a0 e, da Eq.(382), vemos que a incerteza no momento ´e da ordem de a¯h0 , vemo emoss qu quee o prod produto uto das inc incert ertez ezaa ´e da ord ordem em de ¯h. Ou se seja, o el´etron etron tem o m´ınimo movimento exigido pelo princ princ´´ıpio de incerteza. Est´a t˜ao ao pa para rado do qua quanto nto ´e p os osss´ıvel ıvel!! 85
18.4
Exerc´ Exerc ´ıcios
1. Os esta estado doss estac estacio ion´ n´ a rios do ´atomo arios atomo de Hidrogˆenio enio s˜ ao de ao denot notados ados por p or ). A seguinte superposi¸c˜ao: ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ). ψ (r,θ,φ r,θ,φ)) = a1 ψn1l1 m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) + a2 ψn2l2 ,m2 (r,θ,φ r,θ,φ)) com n1 = n2 , l1 = l2 , m1 = m2 , ´e um estado do Hidrogˆenio, enio, que n˜ao ´e um 2 ˆ estado estacion´ario, ario, e n˜ao ao ´e au auto tofun fun¸c˜ c¸ao a˜o nem de Dentro tro deste deste l nem de ˆlz . Den estilo, construa 2 ˆ e ˆ (a) Um estado do Hidrogˆenio enio que seja autofun¸c˜ cao a˜o simultanea de H l , mas n˜ao ao de ˆlz . ˆ e ˆlz , mas (b) Um estado do Hidrogˆ Hi drogˆenio enio que qu e seja autofun autofun¸¸c˜ cao a˜o simultˆanea anea de H ˆ 2 n˜ao ao de l .
2. Uma part´ part´ıcula livre executa movimento movimento unidimensional ao longo do eixo cao a˜o de onda em t = 0 ´e x, e sua fun¸c˜ 2
Ψ(x, 0) = Ae−ax eilx Ψ(x, onde l ´e uma constante real. Determine Ψ( Ψ(x, x, t).
3.(a) Um sistema f´ısico ´e descrito d escrito por um hamilto hamiltoniano niano p 2 ˆ ˆ2 +O H = 2m ˆ ´e hermiteano. onde O hermit eano. Mostre que pˆ ´e hermitean hermiteano, o, e que se um opera operador dor ´e hermiteano, hermitean o, seu quadrad quadradoo tamb´ t amb´em em ´e. e. Finalmente, mostre que os o s autovalores a utovalores da energia do sistema s˜ao ao positivos ou nulos. ´ poss (b) E poss´´ıv ıvel el um operador ser ao mesm mesmoo tempo unit´ ario e herm ario hermitea iteano? no? Exemplo! ˆ )+ = Bˆ + Aˆ+ . (c) Demonstre que ( AˆB ˆ s˜ao ˆ B ˆ ] tamb (d) Demonstre que, se Aˆ e B ao hermiteanos, 1i [A, mb´´em ´e. ˆ ˆ ˆ B ˆ ] = 0, ˆ onde 0, ˆ o operador “zero”, (e) Sejam ddtO e ddtB nulos. Mostre que dtd [O, “zero”, ´e tal que, qualquer que seja a fun¸c˜ cao a˜o de onda ψ(r), ˆ0ψ = 0 Sugest˜ ao: identidade de Jacobi. ao:
86
4.(a) Determine r e r 2 para o el´etron etron no estado est ado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆˆenio. hidrog enio. Expr Expresse esse suas respos respostas tas em term termos os do raio de Bohr a0 . Det Deter er-mine mi ne ta tamb´ mb´em em a0 , que ´e o raio da “´orbita orbita de Bohr” do estado de mais baixa energia , no modelo de Bohr. (b)Determine x e x2 no estado fundamental sem calcular mais integrais, usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental. (c) Determine x2 no estado (n,l,m (n,l,m)) = (2, (2, 1, 1). Not Notee que este estado estado n˜ ao ´e si sim´ m´etr et rico em x,y,z x,y,z..
5. Qual ´e a probabilidade P de que um el´etron etron no estado fundament fundamental al do ´atomo de hidrogˆenio atomo enio seja encontrado dentro do n´ ucleo?? ucleo (a)Primeiro calcule a resposta exata . Denote o raio do n´ucleo ucleo por b. (b) Expanda o seu resultad resultadoo como co mo uma s´erie erie de potˆencias encias no n´umero umero pequeno 2b d e ordem mais baixa ´e c´ubico: ubico: P (4 (4//3)( 3)(b/a ǫ = a0 , e mostre que o termo de b/a0 )3 . Este termo deveria j´a ser uma boa aproxima¸c˜ cao, a˜o, pois b a0 . (c) Alternativ Alternativamente amente,, po poder der´´ıamos pensar que a fun¸c˜ c˜ao ao de on onda da do el el´´etro et ron n ´e essencialmente constante sobre o pequeno volume do n´ucleo, ucleo, de modo que 3 2 (4//3) 3)πb resultadoo ´e efetivamente efeti vamente bom. bom . P (4 πb ψ(0) . Verifique que o resultad 13 8 − − (d) Use b 10 cm e a0 0.5 10 cm para uma estimati estimativa va num´erica erica de P modo, isto representa a fra¸c˜ cao a˜o do tempo em que o el´etron etron se P .. Grosso modo, encontra dentro do n´ucleo. ucleo.
≪
≈
≈
|
|
≈
≈
×
6. Esti Estime, me, a partir do princ princ´´ıpio de ince incertez rteza, a, quan quanto to tempo um l´apis apis pode ficar em equil equil´´ıbrio vertic vertical al sobre a sua ponta. 7. Uma bola perfeit perfeitame ament ntee el´astica, astica, localizada entre duas paredes paralelas, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra. Perfeitamente el´astica astica quer dizer que a energia cin´ etica n˜ao etica ao se alter altera.. a.. Usando a mecˆanica anica cl´assica, assica, calcule a varia¸c˜ cao a˜o da energia da bola se as paredes passam a se apro aproximar ximar,, len lenta ta e unifo uniformem rmemen ente, te, uma da outra. Most Mostre re que esta varia¸c˜ cao a˜o de energia ´e exatamente o que se obt´em em na mecˆanica anica quˆantica antica se o n´ umero quˆantico umero antico principal n da bola permane permanece ce const constant ante. e.
19
A notac˜ c¸˜ ao de Di ao Dirrac
Neste nosso tratamento elementar de mecˆanica anica quˆantica, antica, consideraremos o simbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matem´atico atico n˜aoaotrivial, como uma nota¸c˜ cao. a˜o. Para fazer total justi¸ca ca ao m´etodo, etod o, o leitor faria bem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresenta¸c˜ao ao mais adaptada a` linguagem matem´atica atica contemporˆanea, anea, veja [2]. 87
Um vetor do espa¸co co dos estados ´e descrito por um s´ımbolo , que se pronuncia ket . Um eleme elemen nto do du dual al desse desse espa¸ espa¸co co ´e denotad denotadoo por , e denominado bra produ oduto to escala escalarr dos esta estado doss a e b ´e deno denotad tadoo po porr bra.. O pr b a , e se trata de um bra(c)ket , justificando os nomes. ˆ um operador. Seja O operador. Den Denotar otaremo emoss por o seus autoestados, de modo que ˆ o =oo O
|
| |
|
|
|
|
|
onde os n´ umeros o s˜ao umeros ao os autovalores . Os autoestados do operador de posi¸c˜ cao a˜o
ˆ = xˆ x i + yˆ j + zˆ k s˜ao ao denotados por x . O s´ımbol ımb oloo x o descreve o estado o na representa¸c˜ cao ˜ das co coordenadas ordenadas:: x o = ψo (x) Alguns exemplos:
|
| |
|
ˆ tem seus autoestados, n , e autovalores , E n , ligados pela rela¸c˜ O hamiltoniano H cao a˜o
| ˆ |n = E |n H n
A condi¸c˜ cao a˜o de ortonormalidade desses autoestados ´e escrita
n′|n = δ
nn′
ˆ2 ˆ Os autoestados comuns a l e lz s˜ao ao denotados por lm , e as seguintes equa¸c˜ coes o˜es s˜ao ao satisfeitas:
|
ˆ 2 l lm ˆlz lm
| |
= l(l + 1) lm = m lm
|
|
Seja uma base do espa¸co co dos estados formada pelos kets n , n′ , n′′ , ˆ um operador. ˆ nessa base etc.. e seja etc seja O operador. En Ent˜ t˜ao, ao, os elementos de matriz de O ser˜ao a o os n´ umeros complexos umeros ˆn n′ O
| | |
| |
Note-se que:
a|b a|Oˆ |b
= ( b a )∗ ˆ + a )∗ = ( bO
| | |
Muito importante na nota¸c˜ cao a˜o de Dirac ´e uma class classee de operador operadores es que se escrevem assim: a b
| | 88
e s˜ao ao definidos pela sua a¸c˜ cao a˜o sobre um kets arbitr´ ario ario
| :
|ab|(| ) = b| |a Sejam n aut autoest oestados ados de um operador operador hermit hermitean eano. o. En Ent˜ t˜ a o, a rela¸c˜ ao, c˜ ao de completude se escreve n n = ˆ1
|
| | n
Quando o espectro esp ectro ´e cont´ cont´ınuo, por exemplo, no caso ca so do d o operador op erador de posi¸ p osi¸c˜ cao, a˜o, a soma ´e subst s ubstitu´ itu´ıda ıda po porr uma integ integral ral::
dx x x = ˆ1
| |
O principal uso dessas representa¸c˜ coes o˜es do operador ˆ1 ´e o segu seguinte: inte: seja n n′ um produto escalar. Ent˜ao, ao,
|
n|n′ = n|ˆ1|n′ = n|
| | | ′
dx x x
n
e, como x n = ψn (x),
|
n|n′ =
dxψn∗ (x)ψn′ (x)
mostrando que efetivamente se trata do produto escalar anteriormente introˆ e o seu produto, AˆB ˆ . Seja n uma duzido. duzid o. Consi Considere dere os operadores Aˆ e B base. Os elementos de matriz do operador produto nessa base s˜ao ao
|
n|AˆBˆ |n′
=
′′ ′′ | |
n|Aˆ n n Bˆ |n′ n|Aˆ|n′′n′′|Bˆ|n′ n′′
=
n′′
que exibe a express˜ao ao correta para o produto cl´assico assico de matrizes. Seja n um estado estado qualquer. qualquer. Sua fun¸c˜ cao a˜o de onda na representa¸c˜ cao a˜o das coordenadas coo rdenadas ´e, e, como vimos,
|
ψn (x) = x n
|
Sejam p os autoestados do momento , e
|
d p p p = ˆ1
| |
sua rela¸c˜ cao a˜o de completude. Ent˜ao, ao, a fun¸c˜ cao a˜o de onda de n na representa¸c˜ cao a˜o do mo moment mentoo ´e p n = dx p x x n
|
|
| |
89
que pode ser escrita ψn ( p p) ) =
dx p x ψn (x)
|
Daqui, por compara¸c˜ cao a˜o com um resultado anterior pode-se inferir que 1 i exp p x = p .x (2π (2 ¯ )3/2 ¯ πh h
|
(383)
Uma dedu¸c˜ c˜ao ao direta deste resultado ´e a seguinte:
p| pˆ|x
= p p x d = i¯h p x dx
| − |
Igualando os dois segundos membros, temos
−i¯h dxd p|x = p p|x ou
d p x i = pdx p x ¯h
| |
de onde segue que
p|x = Ae
i ¯ px h
Para determinar A, note-se que
p|xx| p p′ = |A|2 exp i ( p − p′ )x ¯h
e, integrando em x,
dx p|xx| p p′ = |A|2
Mas
Logo, δ( p
dx exp
i ( p ¯h
dx p x x p p′ = p p p′ = δ ( p
| | | ′
− p′ )x
− p′)
p p − p′ ) = |A|22πδ ¯hδ ( p − p′ ) πδ(( − ) = |A|2 2πhδ( ¯h ¯h
Logo, A= e
√1
2π¯h
p|x = √21π¯h e
que ´e a vers vers˜˜ao ao unidim unidimension ensional al da Eq.(38 Eq.(383). 3).
90
i h ¯ px
20
O Spin
Para introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do momento angular. No tratamento anterior, t´ınhamos ınhamos obtido que os autov autovalores alores umeros inteiros, sob o argumento de que as autofun¸c˜ coes o˜es m de ˆlz deviam ser n´umeros ˆ de lz , 1 imφ ψm (φ) = e 2π deviam ser peri´odicas, odicas, de per´ıodo ıodo 2π , na vari´avel avel φ. Est Estee argument argumentoo n˜ao ´e rigoroso, pois a fun¸c˜ c˜ao ao de onda ´e determinada a menos de uma fase. Retomare tom aremos mos o pro proble blema ma agor agora. a. Des Descob cobrir rirem emos os que h´a novas possibilidades para os valores de m e l. Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados que obtivemos anteriormente para o momento angular.
√
2 ˆl+ ˆl− = ˆ l 2 ˆl− ˆl+ = ˆ l
ˆ2 Da rela¸c˜ cao a˜o l
− ˆl + ˆl − ˆl − ˆl 2 z
z
(384)
2 z
z
(385)
− ˆl = ˆl + ˆl 2 z
2 x
2 y
conclu´´ımos que existe um valor m´aximo conclu aximo para ˆ2 o autovalor de ˆlz . Seja l este valor m´aximo, aximo, e ψl a autofun¸c˜ cao a˜o comum a l e ˆlz correspondente. Temos ˆl+ ψl = 0 Logo,
ˆl− ˆl+ ψl = 0
Usando (385),
ˆ 2 l
ou
− ˆl − ˆl 2 z
z
ψl = 0
ˆ 2 1)ψl l ψl = l(l + 1)ψ
ˆ2 Conclui-se que o autovalor de cao a˜o ψl ´e l(l + 1), onde l ´e o l para a autofun¸c˜ m´aximo axim o valor po poss ss´´ıvel para m. Pasaremos a denotar por ψlm as autof autofun¸ un¸c˜ coes o˜es 2 ˆ ˆ comuns a ago ra o menor valor poss poss´´ıvel para m. l e lz . Vamos determinar agora 2 ˆ ˆ Em primeiro lugar, do fato de que [ l , l− ] = 0, segue que 2
− −
ˆ ˆ l l ψlm = ˆl
ˆ 2 l ψlm = l(l + 1) ˆl− ψlm 91
ˆ2 ou seja, o autovalor de todoss os o s ψlm , com l fixo. l ´e o mesmo para todo Seja B o m´ınim ınimoo valor de m. Ent˜ao ao
ˆ 2 l
ˆl− ψlB = 0 ˆl+ ˆl− ψlB = 0
− ˆl + ˆl 2 z
z
ψlB = = 0
1)ψlB = (B 2 l(l + 1)ψ l(l + 1) B 2 + B = 0 (l + B )( )(ll B + 1) = 0
− −
− B)ψ
lB
Esta ultima u ´ ltima tem duas solu¸c˜ coes, o˜es, B = l + 1, que ´e imp imposs´ oss´ıvel, ıvel, po pois is o m´aximo aximo valor de m ´e l, e B = l, que ´e o valor corr correto. eto. Ent˜ao, ao, m est´a no intervalo valoress sucessivos sucessivos diferem diferem de uma unidade: unidade: h´a, a, portanto, l m l, e seus valore 2l + 1 valores de m, para l da dado do.. Em con conse seq¨ q¨ uˆenci uˆ encia, a, 2l + 1 deve ser um n´umero umero inteiro, e temos duas possibilidades:(a)l possibilidades:(a) l ´e intei inteiro, ro, que ´e o caso que j´a hav hav´´ıamos estu estudado. dado. Costu Costuma-se ma-se ch chamar amar esse essess mome momento nto s angula angulares res de momento angular orbital . (b) l ´e um ´ımpar dividido por dois (semi-inteiro semi-inteiro,, na g´ıria dos f´ısicos). Este tipo de momento angular ´e denominado spin . Temos, ent˜ao, ao, spins l = 1/2, l = 3/2, etc.
−≤ ≤
−
Na verdade essa nomenclatura n˜ao ao ´e a usa usada da na n a pr´ p r´atica, atica, embora seja s eja a prefer´ıvel, ıvel, do ponto de vista da matem´atica. atica. Chama-se spin de um sistema o momento angular desse sistema quando em repouso. rep ouso. Um el´etron etron em repouso tem momento angular tal que l = 1/2, um pion em repouso tem momento angular tal que l = 0, e h´a mesons, ditos vetoriais, com ´ costume, por abuso de linguagem, dizer momento angular em repouso tal que l = 1. E que ess essas as par partt´ıcu ıculas las tˆem em spi spin n 1 /2, spin 0, spin 1, etc.
20.1 20 .1
Elem El emen ento toss de de ma matr triz iz
O caso mais importan importante te do spin ´e aque aquele le em que l = 1/2. Ne Neste ste caso caso,, m s´o pode ter os valores +1/ +1 /2 e 1/2, e ´e conv convenien eniente te tratar os operadores de momento angular utilizando suas representa¸c˜ coes o˜es matriciais. matriciais. Par Paraa tanto, ˆ ˆ vamos determinar os elementos de matriz dos operadores lx , ly e ˆlz . Temos, usando a nota¸c˜ cao a˜o de Dirac,
− 2
lm|ˆ l |lm = l(l + 1) e, como
ˆ 2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆlz2 92
− ˆl , z
(386)
2
lm|ˆ l |lm = lm|ˆl ˆl−|lm + lm|ˆl |lm − lm|ˆl |lm 2 z
+
z
Como todos esses elementos de matriz contˆem em o mesmo valor de l, podemos omitir este ´ındice, ou seja, podemos p odemos abreviar a nota¸c˜ cao a˜o para:
m|ˆl |m ≡ lm|ˆl |lm z
z
etc. ˆ 2 2 2 ˆ ˆ Obviamente m lz m = m, m lz m = m e m l m = l(l + 1). Logo,
| | | | | | m|ˆl ˆl−|m = l(l + 1) − m + m 2
+
ou
(387)
m|ˆl ˆl−|m = (l + m)()(ll − m + 1)
(388)
+
A completude dos autoestados de ˆlz permite escrever m′ m′ = ˆ1
|
|
m′
que, inserida em (388), d´a )(ll m ˆl+ m′ m′ ˆl− m = (l + m)(
m′
| | | |
− m + 1)
(389)
e sabemos que m ˆl+ m′ s´o ´e difer d iferente ente de zero se m′ for igual a m (389) se escreve
| |
m|ˆl |m − 1m − 1|ˆl−|m = (l + m)()(ll − m + 1) +
− 1. Logo, (390)
+ Al´em em di diss sso, o, ˆl− = ˆl+ e
m − 1|ˆl−|m = m|ˆl− |m − 1 ∗ = m|ˆl |m − 1 ∗ ,
+
o que permite escrever, de (390),
|m|ˆl |m − 1| +
2
= (l + m)( )(ll
+
− m + 1) .
(391)
Da´ı tira t iramo moss que m ˆl+ m
− m + 1) .
− m + 1)
iα
| | − 1 = e
(l + m)( )(ll
(392)
A escolha de α est´a ligada a` defini¸c˜ cao a˜o precisa dos harmˆonico on icoss esf´erico eri coss Y lm lm (θ, φ). Para a escolha feita anteriormente, Eq.(329), deve-se escolher α = 0. Logo, m ˆl+ m
| | − 1 =
(l + m)( )(ll
93
(393)
− 1|ˆl−|m = (m|ˆl |m − 1)∗, temos ˆ m − 1|l−|m = (l + m)()(ll − m + 1) .
e, como m
+
(394)
Estes s˜ao ao os unicos u ´ nicos elementos de matriz n˜ao-nulos, ao-nulos, de ˆl+ e ˆl− . A partir deles, podemos construir os elementos de matriz de ˆlx e ˆly , pois ˆlx = 1 ˆl+ + ˆl− 2 ˆly = 1 ˆl+ ˆl− 2i
−
(395) (396)
De fato,
m|ˆl |m − 1 x
m ˆlx m
1 m ˆl+ m 2 1 = m ˆl+ m 2 =
| | − 1 + 12 m|ˆl−|m − 1 1 | | − 1 = 2 (l + m)()(ll − m + 1)
1 = m ˆlx m
| | − | |
− 1∗ = 1 (l + m)()(ll − m + 1) 2
(397) (398)
Assim, os elementos de matriz de ˆlx que n˜ao ao s˜ao ao nulos s˜ao ao 1 1 ˆlx m = (l + m)( )(ll 2
m ˆlx m
| | − 1 = m − | |
− m + 1)
(399)
Por um c´alculo alculo an´alogo alogo obtˆem-se em-se os elementos elem entos de matriz ma triz n˜ n ˜ao-nulos ao-nulos de ˆly : m ˆly m
1 ˆly m =
| | − 1 = −m − | |
i (l + m)( )(ll 2
−
− m + 1)
(400)
Usando as express˜oes oes obtidas para os elementos de matriz, vamos construir as matrizes que representam os operadores ˆlx , ˆly e ˆlz . Para este ´ultimo, ultimo, temos que os elementos de matriz n˜ao-nulos ao-nulos s˜ao: ao:
1/2|ˆl |1/2 −1/2|ˆl | − 1/2 z
z
= =
1 2
− 12
(401) (402)
Os valores poss´ıveis ıveis de m se sendo ndo +1/2 e -1/2 -1/2,, as mat matriz rizes es ter ter˜˜ao a o a forma gen en´´eric er ica: a: a1 ,1 a 1 ,− 1 2 2 2 2 (403) a− 1 , 1 a− 1 ,− 1
2 2
2
94
2
onde ai,j = i a j j . Para ˆlz , portanto,
| |
ˆlz =
1 2
0
0
−
1 2
1 = 2
1 0
0 1
0 1
−
1 = σz 2
(404)
onde introduzimos a matriz σz =
1 0
−
(405)
que ´e uma da dass matrizes de Pauli , que ser˜ao ao muito utilizadas no que segue. Verifica-se facilmente que ˆly = =
i 2
1/2|l |1/2 1/2|l | − 1/2 = 0 − 0 −1/2|l |1/2 −1/2|l | − 1/2 1 0 −i
2 i 1 = σy 2
y
y
y
i 2
y
0
(406) (407) (408)
onde introduzimos a matriz de Pauli σy , σy =
0 i
−i
(409)
(410)
0
Por um c´alculo alculo an´alogo alogo chega-se a ˆlx = 1 2
0 1 1 0
1 = σz 2
Temos, portanto,
ˆli = 1 σi (411) 2 para i = 1, 2, 3, sendo (1, (1, 2, 3) = (x,y,z (x,y,z), ), como de costum costume. e. As matrizes matrizes de Pauli s˜ao ao σx = σy = σz =
−
0 1 1 0 0 i 1 0
95
(412)
i 0
(413)
0 1
(414)
−
Representa¸c˜ coes o˜es matriciais de operadores s˜ao ao sempre em rela¸c˜ c˜ ao a uma base. base. Qual ´e a base usada nas represen representa¸ ta¸c˜ coes o˜es matriciais acima? Par Paraa desc descobri-l obri-la, a, basta notar que a matriz que representa ˆlz ´e diagon diagonal. al. Logo, a base ´e a dos ˆ autoestados autoest ados de lz . Explicitamente, temos
1 2
0 1 2
0
0
− −
1 2
0 1 2
1 0
1 = 2
0 1
=
1 0
− 12
0 1
(415) (416)
Desta rela¸c˜ cao a˜o vemos que os autoestados de ˆlz s˜ao ao representados pelas ma1 0 trizes coluna e , qu quee for formam mam uma bas basee das matrize matrizess col coluna una 0 1 a , com a e b arbitr´arios. arios. Re Resta sta especific especificar ar o prod produto uto escala escalarr de dois b estados quaisquer, em termos de suas representa¸c˜oes oes matriciais. Verifica-se a c facilmente que o produto escalar de por ´e da dado do p or b d
∗ ∗ ∗
(a∗ , b )
c d
= a c+b d
De fato, em termos deste produto escalar, os elementos da base,
0 1
20.2 20 .2
(417)
1 0
e
s˜ao ao ortonormais, o que prova a quest˜ao. ao.
As ma matr triz izes es de Pau auli li
As matrizes σx = σy = σz =
−
0 1 1 0 0 i 1 0
(418)
i 0
(419)
0 1
(420)
−
tˆem em propriedades especiais que facilitam o c´alculo alculo das propriedades dos estados de spin 1/2. P1: T r(σx ) = T r(σy ) = T r(σz ) = 0. (Imediata). 96
P2: σx , σy , σz s˜ao ao herm hermitean iteanas. as. (Imed (Imediata) iata) 2 2 2 P3: σx = σy = σz = 1, onde 1=
1 0 0 1
P4:σa σb = δab P4:σ 1 + iǫabc σc , cuja demonstra¸c˜ cao a˜o ´e um exerc exerc´´ıcio simples. Esta propriedade sintetiza a P3 e as seguintes rela¸c˜ coes: o˜es: σx σy σz σx σy σz σx σy
= iσz = iσy = iσx = σy σx
(421) (422) (423) (424)
−
e assim por diante. ´ conveniente introduzir a nota¸c˜ E cao a˜o σ
≡ (σ , σ , σ ) x
y
z
que descreve as σi como componentes de um “vetor” denotado por σ . Usando esta conven¸c˜ cao a˜o se escreve, por exemplo, se a for um vetor ordin´ario, ario, σ .a = ax σx + ay σy + a + zσz ou seja, σ .a ´e uma matriz 2x2. Podemos ent˜ao ao enunciar a P5:(σ .a)( P5:( )(σ. enteses ´e o pro produto duto σ. b) = a. a. b + iσ .(a b), onde o termo entre parˆenteses vetorial ordin´ario. ario. Demonstra¸c˜ c˜ao: ao:
×
σl al σm bm = al bm σl σm = al bm (δlm + iǫlmn σn ) = a. a. b + iσn ǫnlm al bm = a. a. b + iσ.(a
× b)
Teorema: Seja A uma matriz matri z 2x2 complexa qualquer. Ent˜ao ao existem n´ n ´umeros umeros λ0 , λx , λy e λz tais que 1 + λx σx + λy σy + λz σz A = λ0
(425)
Estes n´umeros umeros s˜ao ao unicos u ´ nicos.. Ou seja, seja, 1, σx , σy e σz s˜ao ao uma base do espa¸co co vetorial das matrizes 2x2 complexas. A demonstra¸c˜ cao a˜o consiste em exibir esses n´umeros. umeros. Suponhamos o problema resolvid reso lvido, o, isto ´e: e: A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz
(426)
T r (A) = λ0 T r ( 1) + λx T r (σx ) + λy T r (σy ) + λz T r (σz )
(427)
Tomando o tra¸co co termo a termo, temos:
97
onde usamos T r (λA) = λTr (A), para qualquer n´ umero λ e qualquer matriz A, temos, levando em conta a P1, umero T r (A) = λ0 T r ( 1) = 2λ0
ou
1
λ0 =
2
(428)
T r (A)
(429)
Para calcular λx procedemo procedemoss assim: multiplica multiplicamos mos (426) (426) termo a termo, `a esquerda, por σx , obtendo: σx A = λ0 σx + λx 1 + λy σx σy + λz σx σz
(430)
Ora, os produtos σi σj com i = j, s˜ ao matrizes de tra¸co nulo. Logo, tomando, ao tomando, termo a termo, o tra¸co de (430), temos T r (σx A) = λx T r ( 1) = 2 λx
Ou, λx =
e, procedendo analogamente, analogamente, λi =
1 2
(431)
T r (σx A)
1 2
(432)
T rσ i A)
(433)
Demonstra-se facilmente, usando este m ´ todo, que todo, 1 e as trˆ es matri zes de Pauli s˜ao lin earmente indep endentes. Al´ es em em disso, o espa¸co co vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimens˜ao 4. Logo, o conjunto considerado considerado ´e uma base, e portanto os coeficientes calculados acima s˜ao unicos. unicos. ´
20.3 20 .3
Intera Inte ra¸¸c˜ cao a ˜o Eletrom El etromagn´ agn´ etic a: Formal etica: ormalismo ismo Hamil Hamiltotoniano
O problema que estudaremos aqui ´e o seguinte: uma part part´´ıcula de massa m e B . e carga q est est´´a so sob b a¸c˜ cao a˜o de um campo eletromagn´ etico descrito por E etico Determinarr o Hamilto Determina Hamiltoniano niano da part part´´ıcula. N˜ao ao fosse pelo p elo campo elet eletromagn romagn´´etico, etico, o Hamil Hamiltonian tonianoo ser seria ia o de uma part´ pa rt´ıcula ıcu la li livre vre,, p 2 H = . 2m A for¸ca ca que age sobre uma part part´´ıcula de carga q , devida aos camp campos os el´etrico etrico e ma magn´ gn´etic etico, o, ´e (f (for or¸¸ca ca de Lorentz): = q (E + v F E + c
× B )
Em termos dos potenciais, temos, = E
−∇ φ − 1c ∂ ∂tA
= rotA B Logo, = q F
{−∇ φ − 1c [ ∂ ∂tA − v × rot A ]} 98
Como ´e bem sab sabido ido,,22
∂ A dA . = + ( (v. v. )A dt ∂t = (v. ) (v. , temos rot A v. A v. )A
∇
Como v
×
∇
= q F = q
− ∇
)A ]} (v. {−∇ φ − 1c [ ddtA − (v.v.∇ )A − ∇ (v.v.A ) + ( v. ∇ φ
{−∇ −
1 dA [ c dt
− ∇ (v.v.A )]}
ou seja, = q [ (φ F
−∇ −
Seja U = q (φ
−
1 ). v. A v. c
1 v. v. A) c
−
(434) 1 dA ]. c dt
(435)
Vamos mostrar que a lagrangeana L = T
− U = T − qφ + qc v.v.A
(436)
. Aqui, como descreve o movimen descreve movimento to de uma part part´´ıcula sob a a¸c˜ cao a˜o da for¸ca ca F F . de costume, T representa a energia energ ia cin´etica. etica. De fato, fa to, ∂L = ∂x
∂ q + ( v. −q ∂φ v. A) ∂x ∂x c
∂L ∂L ∂T q = + Ax ∂ ˙x˙ ∂ ∂v x ∂v x c d ∂L d ∂T q dAx = ( )+ dt ∂v x dt ∂v x c dt
≡
Logo, a equa¸c˜ cao a˜o de Lagrange,
∂L ∂x
−
d ∂L dt ∂v x
= 0, d´a
∂ q d ∂T q dA + ( v. )+ −q ∂φ v. A) = ( ∂x ∂x c dt ∂v c dt
x
x
22
No caso improv´avel avel de isto n˜ao ao ser bem sabido por um aluno do CCM, a´ı vai: ∂ A ∂ A dx dA = + + ... dt ∂t ∂x dt
ou seja,
∂ A dA ∂ = + ( (vx + . . .)A dt ∂t ∂x
etc.
99
de modo que d ∂T ( )= q dt ∂v x Mas
(φ
{−∇ −
1 v. v. A) c
−
1 dA c dt
}
x
∂T ∂ 1 2 = ( m v ) = mvx ∂v x ∂v x 2
de maneira que
d ∂T ( ) = (mv˙ )x . dt ∂v x
Logo, mv˙ = q
(φ
{−∇ −
1 v. v. A) c
−
1 dA c dt
}
(437)
. Passemos agora `a constru¸c˜ Conclus˜ ao: L = T qφ ao: + qc v. cao a˜o do hamiltoniano. qφ+ v. A
−
pi =
∂L ∂T q ∂ ) = + (v. v.A ∂ ˙q˙i ∂ ∂ q˙i c ∂ ˙ ∂ ˙ ∂ q˙i ∂ ) = Ai (v. v.A ∂ ˙q˙i ∂
e, ent˜ao, ao,
∂T q + Ai ∂ ˙q˙i c ∂ Precisamos agora de uma propriedade importante das fun¸c˜ c˜oes oes ho homo mogˆ gˆeneas ene as,, o teorema de Euler (ver Apˆendice): endice): pi =
i
q˙i
∂T = 2T ∂ ˙q˙i ∂
Vamos us´a-lo a-lo para calcular o Hamiltoniano H : ∂T + ˙ ∂ ˙ ∂ q i i q = 2T + v. v. A c
H =
q˙i (
q Ai ) c
− T + qφ − qc v.v.A − T + qφ − qc v.v.A
(438)
ou seja, H = T + qφ Ora, pi =
∂T ∂ ˙q˙i ∂
i = m , pois T = + qc A v + qc A mv = p
m v2 . 2
− qc A
100
(439) Logo,
e, finalmente,
1 ( p 2m Em palavras, no Hamiltoniano livre
− qc A )
H =
H =
2
+ qφ
(440)
1 2 p 2m
, e adiciono qφ substituo p por p qc A chamada da substitui¸c˜ c˜ ao m´ınim ın ima a , qφ.. Esta ´e a chama ou acop acopla lame mento nto m´ıni ınimo mo.. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo
−
H =
1 2 p + V V ((r) 2m
onde V energi rgiaa pote potenc ncial ial,, a mes mesma ma re regra gra vale ale.. Adi Adicio cione ne-se -se q Φ e V ((r ) ´e a ene q substitua-se p por p c A. Se hou houv ver v´ v´arias arias part part´´ıculas, de momento s p i , fa¸ca-se ca-se a mesma substitui¸c˜ cao a˜o para cada p i , adicionando-se termos de energia potencial qi φ para cada ca da part pa rt´´ıcula. Essas generaliza generaliza¸c˜ c¸oes o˜es s˜ao ao f´aceis aceis de demonstrar, seguindo exatamente o padr˜ao ao do caso de uma um a part part´´ıcula livre.
−
101
20.3.1 20.3. 1
Apˆ endice: O teorema endice: teorema de Euler
Uma fun¸c˜ cao a˜o f ditaa ho homo mogˆ gˆenea ene a de gr grau au k se f ((x1 , x2 ,...,xn ) ´e dit f (λx1 , λx2 ,...,λxn ) = λk f f ( f ((x1 , x2 ,...,xn )
(441)
Por exemplo, f homo mogˆ gˆenea ene a de gr grau au 2; 2;f 3z2 x + f ((x, y ) = xy ´e ho f ((x,y,z x,y,z)) = x2 y + 3z 5xyz ´e ho homo mogˆ gˆenea ene a de gr grau au 3. O teorema de Euler diz que, se f ´e uma fun fun¸¸c˜ cao a˜o homogˆenea enea de grau k , ent˜ao ao ∂f = kf (442) xi ∂xi i
A demonstra¸c˜ cao a˜o ´e muito simples. Derive a Eq. 441 em rela¸c˜ cao a˜o a λ, e depois tome λ = 1.
20.4
Acoplamen Acopl amento to do spin com o campo magn magn´ ´ etico etico
Seja
p 2 ˆ + V H = V ((r) 2m o hamiltoniano de uma part part´´ıcula de spin 1/2 e carga e. Note-se que (σ . p p)( )(σ . p p) ) = p. p + iσ .( p p p) ) = p. p
×
(443)
(444)
de maneira que o hamiltoniano acima pode p ode tamb´ em ser escrito em p)( )(σ . p p) ) ˆ = (σ . p + V H V ((r ) 2m
(445)
O acoplamento a coplamento m´ınimo, estudado no par´ p ar´agrafo agrafo anterior, consiste na substie tui¸c˜ cao a˜o de p por p c A, onde A ´e o po potenc tencial ial vetor do camp campoo eletro el etromag magn´ n´etico etico que age sobre a pert pert´´ıcul ıcula. a. Ora, se se reali realiza za essa substitui¸ substitui¸c˜ cao a˜o em (443) ou em (445), obtˆem-se em-se resultados diferen diferentes. tes. Verifica-se que os resultados corretos s˜ao ao obtidos usando-se o hamiltoniano em (445). Fica claro neste ponto, ent˜ao, ao, que o acoplamento do spin com o campo camp o eletromagn´ etico que vamos etico ´ introduzi intro duzirr tem um car´ater ater emp´ırico. ıric o. E s´o quando se utiliza a equa¸c˜ c˜ao a o de Dirac para descrev descrever er o spin do el´etron etron que se obt´em, em, diretamen diretamente te da teoria e sem a necessidade de fazer escolhas, um acoplamento definido (que corresponde aquele a`quele que, aqui, foi escolhido por raz˜oes oes emp´ıricas ıri cas). ). Devemos, ent˜ao, ao, desc descrev rever er as int intera¸ era¸c˜ coes o˜es eletr eletroma omagn´ gn´eticas etica s da part´ıcula ıcul a usando o hamiltoniano
−
ˆ em H em
1 = 2m
e A c
e A c
− − σ. σ. p
σ. σ. p 102
+ V V ((r) + eφ
(446)
Como estam estamos os int intere eressados ssados no campo magn magn´´etico, etico, vamos ignora ignorarr o ultimo u ´ltimo e e termo. Consideremos o termo σ. σ. p c A . σ. σ. p c A . Temos
− − −
e e A . σ. σ. p A = c c e ) e (σ. )( (σ . p (σ . p )(σ . p p)( )(σ . p p) ) p)( )(σ. σ. A σ. A p) ) + c c e2 )( ) = (σ. )(σ. σ. A σ. A 2 c e e + iσ .( p A ) p (A. p 2 p. A p)) + iσ .(A p p) ) + c c e2 A.A c2
− σ. σ. p
= + = +
−
−
−
−
×
×
(447)
Mas,
) + ( A. p ( p. A p)) ψ =
) − ih ∇ ψ −ih¯ ∇ .(Aψ ¯ A. Aψ) −ih¯ (∇ .A )ψ − ih¯ A. ∇ ψ − ih¯ A. ∇ ψ
=
(448)
= 0, temos Escolhendo o gauge em que .A
∇
) + ( A. p ( p. A p)) ψ =
ou,
Temos ainda
−2ih¯ A. ∇ ψ
(449)
) + ( A. p p ( p. A p)) = 2A.
(450)
+ A p ψ = σ. σ. p A
×
×
= σ. σ.
¯ ih
= σ. σ.
¯ ih
= =
× (−ih¯ ∇ ψ) ¯A × ∇ ψ )ψ − A × ∇ ψ − ih (rotA
− ∇ × − −
) + A (Aψ Aψ)
¯ σ . Bψ ih
−ih¯σ.Bψ
(451)
Reunindo tudo, temos e A c
e A c
− − σ. σ. p
σ. σ. p
2
= p
−
e 2 A. p c
−
¯ e2 2 eh σ. σ. B + 2 A c c
(452)
ˆ em O hamiltoniano H e obtido ob tido dividind dividindoo isso por 2m: em ´ p 2 ˆ H em em = 2m
¯ e e h he − mc A. p − σ. σ. B 2mc 103
(453)
Para o caso de um campo uniforme, temos = 1 (B A 2
× r)
(454)
como o leitor verificar´a facilmente. Resulta ent˜ao ao que p 2 ˆ em = H em 2m = r Finalmente, usando L
¯ e e h he − 2mc B.((r × p B. p) ) − σ. σ. B 2mc
× p e s = h¯
p 2 ˆ H em em = 2m
σ , 2
(455)
temos
e e − 2mc L.B − s. s.B mc
(456)
2 2 , que omitimos porque, no tratamento perH´a ainda, ´e claro, o termo ec2 A turbativo, representa uma corre¸c˜ cao a˜o de ordem superior `as as que usualmente se calcula.
21
As des desig igua uald ldad ades es de Hei Heise sen nber berg g
Nesta se¸c˜ Nesta cao a˜o vamos apres apresen entar tar um tratam tratament entoo forma formall do prin princc´ıpio da incerteza, cert eza, e dedu deduzir zir as famosas desigualdades desigualdades de Heisenberg. Heisenberg. A mais famosa dela de lass ´e: e: ∆ pi ∆q j hδ ¯ δij (457) h
≥
Em tod todoo es espa¸ pa¸co c o do dota tado do de um pr produ oduto to es esca calar lar,, val alee a de desi sigu gual aldad dadee de Cauchy-Schwartz, que diz que 2
2
|(ψ, φ)| ≤ |ψ| |φ|
2
(458)
ou, mais explicitamente,
dqψ ∗ (q)φ(q)
2
≤
dqψ ∗ (q)ψ(q)
dq ′ φ∗ (q′ )φ(q ′ )
(459)
ˆ um operador hermiteano, e ψ um estado do sistema. Considere o Seja O operador ˆ ˆ ˆ1 O O onde
−
ˆ )= Oˆ = (ψ, Oψ Oψ)
ˆ (q ) dqψ ∗ (q )Oψ Oψ(
ˆ no estado ψ o n´umero Chama-se Chamase desvio padr˜ao ao de O umero ˆ (∆O)2 = (O (∆O
− Oˆ )
104
2
(460)
ˆ no estado ψ . Se Entre os f´ısic ısicos, os, ∆O ´e denomina denominada da incerteza de O Seja jam m Aˆ e Bˆ operadores hermiteanos, e ψA = (Aˆ ˆ ψB = (B
− Aˆ)ψ − Bˆ )ψ
(461) (462)
(∆A)2 = (ψA , ψA ) (∆A (∆B (∆ B )2 = (ψB , ψB )
(463) (464)
dois estados. ´ imediato verificar que E
Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos 2
2
ψ ψ ≥ |( ψ A
B
A , ψB )
|
2
(465)
Por outro lado, para qualquer complexo z, temos
|z |
2
2
= ( (z)) + ( (z))
ℑ
ℜ
1 ( (z)) = (z 2i
2
2
≥ℑ
Logo,
|≥
|(ψ
A , ψB )
Ora,
2
1 [(ψ [( ψA , ψB ) 2i
2
− z∗) 2
− (ψ
B , ψA )]
(ψA , ψB ) = (Aˆ
− Aˆ)ψ, (Bˆ − Bˆ )ψ ˆ ) − B ˆ (ψ, Aψ ˆ ) − Aˆ(ψ, Bψ ˆ ) + AˆB ˆ = (ψ, AˆBψ Bψ) Aψ) Bψ)
Segue imediatamente que
(ψA , ψB )
−
ˆ B ˆ ]ψ (ψB , ψA ) = ψ, [A,
e, da Eq.(465), que 2
ψ ψ A
B
≥ 2
(466)
2
1 ˆ ˆ [A, B ] 2i
(467)
ou, em nota¸c˜ c˜ao ao mais fam familia iliar, r, 2
(∆A (∆ (∆B A) (∆ B)
≥
2
2
1 ˆ ˆ [A, B ] 2i
que s˜ao ao as rela¸c˜ coes o˜es de incerteza de Heisenberg. ˆ = xˆ. Ent˜ao, Exemplo:: seja Aˆ = pˆx , e B Exemplo ao, 2
2
(∆ px ) (∆ (∆x x)
≥
105
1 2i
2
−ih¯
(468)
2
(∆ px ) (∆ (∆x x) e, finalmente,
2
≥
¯2 h 4
≥ h¯2
∆ px ∆x
Exe xerc´ rc´ıci cio o: de dete term rmin inee ∆ p ∆ px e ∆x para o estado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆenio. enio.
Mostre que: (a) ∆ p ∆ px = √3h¯a .
√
0
(b)∆x = 2a0 . (b)∆x (c) ∆ p ∆ px ∆x = 23 ¯h (d) Con Conclu cluaa que qu e o movim movimento ento do el´etron etro n ´e de incerteza.
21.1
≈ o m´ınim ın imoo pos p oss´ s´ıvel ıve l comp c ompat´ at´ıvel ıve l com c om as re rela la¸¸c˜ coes o˜es
A rela¸c˜ c˜ ao de incerteza energia x tempo ao
A rela¸c˜ cao a˜o de incerteza energia -temp -tempoo ´e de natureza na tureza fundamentalmente f undamentalmente diferente en te daq daquel uelaa da rel rela¸ a¸c˜ cao a˜o de inc incer ertez tezaa posi posi¸¸c˜ cao-mo a˜o-mome men nto . En Enqu quan anto to es esta ta ˆ u ultima ´lt ima ´e cons conseq¨ eq¨uˆ uencia eˆncia do fato de que os operadores p x e x ˆ n˜ao ao comutam, isto n˜ao ao aco acont ntec ecee no cas casoo da ene energi rgiaa -te -tempo: mpo: nem mesmo mesmo ex exist istee um oper oper-ador “tempo” na mecˆanica anica quˆantic antica. a. O tem tempo po que aparec aparecee na equa¸ equa¸c˜ cao a˜o de Schroedinger ´e o tempo marcado por qualquer rel´ogio, ogio, e pode ser determinado, em qualquer caso, com precis˜ao ao arbitr´aria. aria. O fato b´asico asico na obten¸c˜ cao a˜o da desigualdade ∆E ∆t h ¯ (469)
≥
´e o seguinte: devido `a rela¸c˜ cao a˜o de Planck, E = hν , onde ν ´e um umaa fre freq¨ q¨uˆ uˆenci en ciaa, medida da da ener energia gia ´ e semp sempre re temos, na mecˆanica anica quˆantica, antica, que uma medi uma medida de freq¨ uˆ encia(Bohr). A rela¸c˜ cao a˜o de inc incert ertez ezaa 469 de deve ve ser in inte terpr rpreta etada da ass assim: im: uma medida medida perfeita da energia de um sistema (∆E (∆ E = 0) leva um tempo infinito (∆t (∆ t h ¯ ). A expres express˜ s˜ao ao 469 ensina quanto deve durar, no m´ınimo, o processo pro cesso de ∆E medida (a dura¸c˜ ca˜o ´e ∆t) para que a precis˜ao ao obtida seja ∆E ∆E . Para obter 469, consideremos o processo de determinar a freq¨uˆenci en ciaa de uma onda. Mate Matematic maticamen amente te se sabe que a trans transformad formadaa de Fourie ourierr de uma onda nos d´a a informa¸c˜ cao a˜o sobre quais freq¨uˆ uˆencias enci as partic pa rticipa iparam ram da d a constru¸ cons tru¸c˜ cao a˜o da on onda da,, por me meio io de su super perpos posi¸ i¸c˜ cao a˜o de ondas monocrom´aticas aticas (isto ´e, e, de freq¨uˆ uˆencias enci as bem defin definida idas). s). Uma onda plana monocrom´ atica tem sua dependˆencia atica encia tempo temporal ral dada dad a por p or
≥
106
uˆenci en ciaa fo forr ω0 .23 Sua transfo transformada rmada de Fourier ´e eiω0 t , se sua freq¨uˆ
∞
∞ i(ω−ω )t 0 f ((ω ) = f e−iω0 t eiωt dt = e dt , −∞ −∞
(470)
logo, f (ω ) = 2πδ f ( πδ((ω
−ω ) , 0
(471)
mostrando, como era de se esperar, que f z ero excet excetoo par paraa ω = ω0 . f ((ω ) ´e zero 23
Estritamente, ω0 ´e a “fre “f req¨ q¨uˆ uˆencia encia circular”. circular” . A verdadeira freq¨uˆ uˆenci en cia, a, que ´e o invers inve rsoo ω0 do per´ıodo, do , ´e ν = 2π .
107
Na pr´atica, atica, por´em, em, a medida med ida da freq¨ f req¨uˆ uˆenci en ciaa da da ond o ndaa eiω0t ´e feit fe itaa obse o bservan rvando do-se essa onda durante um intervalo de tempo finito, por exemplo, do instante −∆t at´e o inst instante ante ∆2t . Mas ent˜ a o a onda que realmente ob ao obser servamo vamoss ´e 2 indistingu indisti ngu´´ıvel da seguinte onda u:
− ∆2t ∆t ∆t : t ∈ [− , ] 2 2
u = 0 : t< = e−iω0 t
= 0 : t>
∆t . 2
(472)
A transformada de Fourier da onda (472) ´e: e: f ′ (ω ) = ou seja, f ′ (ω ) = ou
1 i(ω
−ω )
f ′ (ω ) = e, ainda,
∆t 2
−∆t 2
ei(ω−ω0 )t dt
(ei(ω−ω0 )
∆t 2
− e−
0
2 ω
sin[(ω sin[(ω
−ω
0
(473)
i(ω ω0 ) ∆2t
)
(474)
− ω ) ∆2t ] 0
sin[(ω sin[( ω − ω0 ) ∆2t ] ′ f (ω ) = ∆t (ω
−
−ω ) 0
∆t 2
(475)
Esta fun¸c˜ cao a˜o tem um gr´afico afico que apresenta um pico pronunciado para ω = ω0 , onde tem o valor 1, e corta o eixo ω , ou seja, atinge o valor zero, pela primeira vez num ponto P tal que, nele, (ω (ω ω0 ) ∆2t = π , ou seja,
−
ω
−ω
0
=
2π . ∆t
(476)
Este valor de ω ω0 pode ser definido como a metade da “largura” de f ′ (ω ). Logo, esta largur larguraa ´e 4π ∆ω = (477) , ∆t onde ∆t ∆t ´e a du dura ra¸c˜ ¸cao a˜o do processo de medida de ω . ∆ω representa a incerteza na freq¨uˆ uˆencia, encia, ou seja, sej a, informa que as freq¨uˆ uˆencias enci as pres presentes entes na ond ondaa u est˜ao ao ∆ω ∆ω entre ω0 e ω0 + 2 . Temos, ent˜ao, ao, 2
−
−
∆ω ∆t = 4π 108
(478)
e, multiplicando por ¯h, ∆E ∆t = 4πh ¯.
(479)
´ claro que podemos, neste mesmo intervalo de tempo, ser mais descuidados E e cometer erros ∆E ∆ E maiores. Logo, o resultado geral ´e ∆E ∆t
22
≥ 4πh¯
(480)
Teo eori ria a da dass per pertu turb rba¸ a¸ coes c˜ o ˜es
Quando calculamos a orbita o´rbita da Terra em torno do Sol, omitimos, de nossas equa¸c˜ coes, o˜es, todos os outros outros planetas planetas.. No entan entanto, to, a atr atra¸ a¸c˜ cao a˜ o de J´upiter, upiter, por exemplo, causa pequenas altera¸c˜ coes o˜es na ´orbita orbita terr terrest estre. re. Par Paraa faze fazerr uma estimativa dessas pequenas corre¸c˜ coes, o˜es, elaborou-se um m´etodo, etodo, na mecˆ anica anica celeste, que permitia a utiliza¸c˜ cao, a˜o, como ponto de partida, da ´orbita orbita terrestre n˜ ao perturbada , isto ´e, e, calculada omitindo-se J´upiter, upiter, calculando-se diretamente as modifica¸c˜ coes o˜es que deviam ser introduzidas na ´orbita orbita n˜ao-perturbada. ao-perturbada. O aperfei¸coament coa mentoo dess d essaa t´ecnica ecn ica levo levou u at´ a t´e mesmo me smo `a descoberta de novos planetas (Netuno, por exemplo, “tra “tra´´ıdo” pela perturba¸c˜ cao a˜o que causava na ´orbita orbita de Urano). A mecˆanica anica quˆantica antica tomou emprestada `a mecˆanica anica celeste essa id´eia, eia, e surgiu assim a teoria das perturba¸c˜ c˜ oes,, que visa, a partir da solu¸c˜ oes cao a˜o conhecida de certos problemas, obter uma solu¸c˜ cao a˜o aproximada de problemas que, em algum sentido, s˜ao ao pr´oximos oximos ao problema resolvido. A teoria quˆantica antica das perturba¸c˜ coes, o˜es, por´em, em, ´e muito mais simples do que aquela cl´assica. assica.
22.1 22 .1
Per ertu turb rba¸ a¸ c˜ c˜ ao de es ao esta tado doss es esta taci cion´ on´ario ar ioss
ˆ 0 um hamiltoniano cujo problema de autovalores j´a resolvemos. ConSeja H hecemos, ent˜ao, ao, as fun fun¸c˜ c¸oes o˜es ψn(0) e os n´ umeros E n(0) tais que umeros ˆ 0 ψ (0) = E (0) ψ(0) H n n n
(481)
ˆ = H ˆ 0 + V ˆ um novo hamiltoniano, muito pr´oximo ˆ 0 , no Seja agora H oximo de H seguinte segui nte sentido: sentido: todos os elem elemen entos tos de matri matrizz V nm cao c˜ a˜o a` base fornm , em rela¸ (0) (0) ˆ ´e mada pelas ψn , s˜ao ao pequenos em rela¸c˜ cao a˜o aos E n Diz-se ent˜ao a o que V ˆ ´e o hamiltoniano perturbado, e que H ˆ 0 ´e o ha uma perturba¸c˜ cao, a˜o, que H hami mill´ intuitivo que, nessas condi¸c˜ toniano n˜ao-perturbado. ao-perturbado. E coes, o˜es, os autovalores ˆ sejam pr´oximos ˆ 0 , o mesmo acontecendo para as autofun¸c˜ de H oximos dos de H coes. o˜es. ˆ Procuraremos simplificar a determina¸c˜ cao a˜o das quantidades associadas a H ˆ 0. utilizando o fato de que elas s˜ao ao corre¸c˜ coes o˜es `as as quantidades associadas a H 109
ˆ se escreve O problema de autovalores de H ˆ ψn = (H ˆ 0 + V ˆ )ψn = E n ψn H V )
(482)
Como o conjunto dos ψn(0) ´e completo, existe a expans˜ao ao ψn =
m
(0) cnm ψm
(483)
e a Eq.(482) pode ser escrita ˆ 0 + V ˆ) (H V )
m
ou
m
(0) = E n cnmψm
ˆ 0 ψ(0) + cnm H m
m
(0) cnm ψm
m
(0) = cnm Vˆ ψm
m
(484)
(0) cnm E n ψm
(485)
(0) Vamos usar agora a ortonormalidade dos ψm . Mu Multi ltipli plican cando do (483) (483) a` es(0)∗ querda por ψk e integrando, temos:
cnm
m
(0) dqψ k
∗ H ˆ ψ (0) + 0 m
Mas
cnm
m
e
m
(0) dqψk
∗ Vˆ ψ (0) = E
n
m
cnm
m
(0)
∗
(0) dqψk ψm
(486)
(0)∗ ˆ (0) (0) dqψk H 0 ψm = E k δkm
Logo, ou
(0)
∗
(0) = δkm dqψk ψm
(0)
cnm δkm E k + (0)
cnk E k +
cnmV km km = E n
m
cnmδkm
(487)
m
cnmV km km = E n cnk
(488)
m
que ´e uma equa equa¸¸c˜ cao a˜o exata ! Vamos agora introduzir as aproxima¸c˜ coes. o˜es. Uma condi¸c˜ cao a˜o b´asica asica para o que segue ´e que qu e cada n´ıvel perturbado p erturbado esteja muito pr´oximo oximo de um unic u ´n icoo n´ıve ıvell n˜ao-perturbado, ao-perturbado, de sorte que ψn seja muito (0) pr´oximo oximo de ψn , etc. Ou seja, ψn = ψn(0) + ...
(489)
onde os pontos denotam termos muito menores. Na expans˜ao ao ψn =
m
(0) cnm ψm
110
(490)
teremos ent˜ao ao cnm = δnm + c(1) nm + ... com c(1) nm
(491)
≪ 1. Ao mesmo tempo, escreveremos E n = E n(0) + E n(1) + . . .
(1)
(492)
com E n(0) 1. E n Usando (491) e (492) na Eq.(488), temos
δnk +
≪
(1) cnk
(0) E k
+
m
(0) δnm
+
c(1) nm
V km km =
E n(0)
+
E n(1)
(1)
(δnk + cnk )
(493)
Tomemos n = k . A Eq.(493), d´a: a:
(1)
(0)
(1)
(494)
n=k
(495)
(0) cnk E k + V kn kn = E n cnk
ou (1)
cnk =
−
V kn kn (0) E k
(0) n
− E
Tomando n = k na Eq.(493), obtemos
(0) (0) (0) (1) (1) E n(0) + c(1) nn = E n + E n cnn + E n nn E n + V nn
(496)
E n(1) = V nn nn
(497)
ou O primeiro resultado importante ´e este: a primeira corre¸c˜ cao a˜o ao autovalor n˜ao ao (0) perturbado E n , ´e o valor m´edio edio do po potenci tencial al per perturb turbado ado,, V nn cao c˜ a˜o de nn , na fun¸ onda n˜ao ao perturbada correspondente `aquele aquele valor de n. A constru¸c˜ cao a˜o da fun¸c˜ cao a˜o de onda perturbada ainda n˜ao ao ´e po poss´ ss´ıvel, ıvel , po pois is (1) (1) temos apenas os cnk para n = k . Falta determinar determinar cnn . Verem eremos os agora que (1) cnn pode ser tomado igual a zero. De fato, temos
ψn =
m
(0) cnm ψm
=
δnm +
m
c(1) nm
(0) ψm
(498)
ou, usando os resultados j´a obtidos, ψn = ψn(0) + = ψn(0)
(0) c(1) nm ψm
− m
V mn mn
(0) m=n E m
111
−
(0) E n
(0) (0) + c(1) ψm nn ψn
(499)
ou
(0) ψn = 1 + c(1) nn ψn
V mn mn
−
(0) m=n E m
−
(0) E n
(0) ψm
(500)
Impondo que ψn seja normalizada a menos de termos de segunda ordem, temos
∗
dqψn (q )ψn (q) =
(1)∗
1 + cnn
dq
(0)∗
ψn
∗ V mn
−
(0)
=n m
= =
Logo,
(0)∗
dqψn
1+
(1)∗
cnn
(0)
ψn
+
(1)
+ cnn
dq
(1)∗
cnn
(0)∗
(0)
Em − En
(1)
+ cnn
(0)∗
ψn
ψm
(1)
(0)
1 + cnn
ψn
−
n m=
V mn mn (0)
(0)
(0)
Em − En
ψm
(0)
ψn
=1
∗ (1) c(1) nn + cnn = 0
(501)
cnn (1) = iα
(502)
ou onde α ´e um numero u ´ mero real. Assim, o primeiro termo de (500) (50 0) ´e ψn = (1 + iα iα))ψn(0) + . . .
(503)
que, nest nestaa orde ordem, m, ´e ind indisti istingu´ ngu´ıvel ıvel de ψn = eiαψn(0) + . . .
(504)
Ou seja, o termo c(1) o contribui para uma mudan¸ca ca de fase de ψn(0) , que, de nn s´ qualquer qualq uer forma, ´e defin definido ido a menos de uma fase fase.. Logo, podemos p odemos legitimalegitima(1) 24 mente por cnn = 0. Os resultados ent˜ao ao s˜ao, ao, at´e prime p rimeira ira ord ordem em , ψn = ψn(0)
V mn mn
−
(0) m=n E m
−
(0) E n
(0) ψm
(505) (0)
24
O leitor arguto estar´a perguntando: mas eu posso mudar a fase s´o do ψn ? A mudan¸ca ca de fase permitida n˜ao ao ´e uma mudan¸ mudan ¸ca ca de fase simultˆanea anea para todos todos os estado estados? s? N˜ao, ao, leitor arguto. Um mesmo estado ´e descrito pela classe de todos os vetores vetores de m´odulo odulo 1 que diferem apenas por uma fase constant. constant. No entanto, entanto, por curiosidade curiosidade,, vamos mostrar mostrar que, que, neste neste caso, a mudan mudan¸¸ca ca de fase pode ser vista como uma mudan¸ca geral de fase. (1) Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para cnn = iα, iα, ´e ψn = (1 + iα) iα)ψn(0)
−
V mn mn (0)
E m
m=n
(0)
− E
(0) ψm
n
Mas, at´e primeira primeir a ordem, isto ´e o mesmo que ψn = (1 + iα) iα)
ψn(0)
−
V mn mn (0)
E m
m=n
112
(0)
− E
n
(0) ψm
E n = E n(0) + V nn nn
22.2 22 .2
(506)
Exempl Exem plo o tri trivi vial al:: Os Osci cila lado dorr Harm Harmˆ ˆ onico com peronico turba¸c˜ c˜ao ao li line nea ar
ˆ 0 = p 2 /(2 Seja H (2m ao-perturbado, e m) o hamiltoniano n˜ao-perturbado, p 2 ˆ + 1/ 1/2( 2(k ∆k )x2 H = k + ∆k 2m ˆ, o o hamiltoniano hamiltoniano pertur perturbado. bado. Nest Nestee caso o problema de auto autov valore aloress de H hamiltoniano hamilt oniano pertur perturbado, bado, pode ser resol resolvido vido exat exatamen amente, te, pois ´e esse essencial ncial-ˆ 0 , com um diferente valor de k . De fato, seus mente igual a H seus aut autov ovalor alores es s˜ao ao ¯ (ω + ∆ω ∆ω )( )(n 1/2) (507) E n = h n + 1/ com ∆ω = ω + ∆ω
∆k k + ∆k m
(508)
´ feita, adicionalmente, a hip´otese E otese de que ∆k k
≪1
de maneira que ∆ω = ω + ∆ω
∆k k 1+ m k
1 2
≈
∆k ω 1+ 2k
(509)
onde usamos o resultado de Newton (sim, Sir Isaac!): (1 + x)α
≈ 1 + αx ,
(510)
para x 1. Logo, podemos escrever
| |≪
∆k ¯ω 1 + E n = h hω 2k pois os termos
m=n
iα
n+
V mn mn (0)
E m
(0)
− E
s˜ao ao de segunda ordem!
113
n
(0) ψm
1 2
(511)
e, portan portanto, to, E n = E n(0)
∆k 1+ 2k
(512)
e, finalmente, lembrando que E n(0) = h ¯ (n + 1/ 1/2), E n(1) = E n(0)
∆k . 2k
(513)
Para o estado fundamental, ¯ ω ∆k hω h 2 2k
(1)
E 0 =
(514)
Vaos agora obter este mesmo resultado usando o formalismo perturbativo ˆ0, Na nota¸c˜ cao a˜o perturbativa, temos, para o estado fundamental de H mω ψ0 (x) = π¯h
e
1 4
e−
mωx2 h 2¯
1 mω V 00 00 = 2 πh ¯
1 2
∞
−∞
Logo, (1)
E 0 =
.
(515)
1 V = ∆k x2 2
Temos
25
(516)
dx x2 e−
mωx2 h ¯
=
¯ω ¯ ∆k hω h h ∆k = 4k 4 mk
√
¯ ∆k h 4 mk
√
(517)
(518)
que coincide com (514).
22.3 22 .3
Corr Co rre e¸c˜ coes o ˜es de segunda ordem
Voltemos `a Eq.( Eq.(488): 488): (0) cnk E k
+
V km km = E n cnk
(519)
m
e escrevamos a expans˜ao a o de ψn nas fun¸c˜ coes o˜es de onda n˜ao-perturbada ao-p erturbadass at´e segunda ordem: (2) (0) (520) ψn = δnm + c(1) nm + cnm ψm
m
´ redundante! Mas, didaticamente, ´e ´util, Sim, leitor arguto. E uti l, porque por que ´e simples sim ples,, e ´e um caso em ue se pode verificar o resultado. 25
114
Analogamente, para as corre¸c˜ coes o˜es `a energia , teremos: E n = E n(0) + E n(1) + E n(2)
(521)
Usando (520) e (521) em (519), temos
(1)
(2)
(0)
δnk + cnk + cnk E k +
=
E n(0)
+
E n(1)
+
E n(2)
m
δnk +
(2) δnm + c(1) km = nm + cnm V km
(1) cnk
+
(2) cnk
Igualando os termos de ordem zero:
(0)
δnk E k = δnk E n(0)
(522)
(523)
Igualando os de ordem um: (1)
(0)
(1)
(0) (1) (2) c(1) km = cnk E m + cnk E n + δnk E n nm V km
(0) (1) cnk E k + V kn kn = cnk E n + E n δnk
(524)
(2)
(525)
E os de ordem 2: (2)
(0)
cnk E k +
m
(1)
As rela¸c˜ coes o˜es de ordem zero e um j´a foram exploradas. Vamos as a`s de ordem 2. (1) Para n = k, temos, lembrando que cnn = 0,
(2) c(1) nm = E n nm V nm
(526)
m=n
ou E n(2) =
−
V mn mn V nm nm
(0) (0) E m − E n
(527)
m=n
∗ e, lembrando que V nm nm = V mn , E n(2)
=
m=n
23
2
|V | E − E mn mn
(0) n
(0) m
(528)
Pert rtur urba ba¸ c¸˜ c˜ oes de um n´ıvel dege oes degenerad nerado o
Recomendamos ao leitor, neste ponto, a leitura do Ap Apˆ ˆ en dice endi ce Ma Mate tem´ m´ at ico atic o 1, que se encontra no fim destas notas. Vimoss que o n´ıvel E n do ´atomo Vimo ato mo de hidr hidrogˆ ogˆenio enio tem uma dege degenere nerescˆ scˆencia encia 2 2 de ordem n . Isto ´e, e, existem n estados diferentes do ´atomo ato mo de hid hidrogˆ rogˆenio enio 2 com energia E n (se contar contarmos mos o spi spin, n, se ser˜ r˜ao ao 2n ). Qu Quan ando do se aplic aplicaa um 115
campo externo ao ´atomo, atomo, pode acontecer de esses estados interagirem de maneira diferente com o campo, e ent˜ao ao a degen d egenerescˆ erescˆencia enci a ´e quebra qu ebrada: da: em 2 lugar de um n´ıvel passaremos pa ssaremos a ter v´arios, ari os, po possivel ssivelmente mente at´e 2n 2 n , se o campo externo for suficientemente complicado. Diz-se, ent˜ao, que a degen d egenerescˆ erescˆencia enci a foi removida. N˜ao ao podemos po demos aplicar apli car cegamente os o s resultados resultado s obtidos obtido s at´e aqui pelo pel o seguinte motivo: a corre¸c˜ cao a˜o de primeira ordem `a fun¸c˜ cao a˜o de onda n˜ao-perturbada ao-perturbada que obtivemos, V mn mn (529) ψn = ψn(0) ψ(0) (0) (0) m E n m =n E m
−
−
(0) cont´em, em, no caso de n´ıveis degenerad degenerados, os, situa¸c˜ c˜oes oes em que E m = E n(0) , para ormula acima, apareceriam denominadores nulos. n = m, ou seja, na f´ormula
23.1 23 .1
Reob Re obte tend ndo o as f´ ormulas gerais ormulas
Para obter as corre¸c˜ coes o˜es correspo co rrespondentes ndentes para p ara n´ıveis ıveis degenerados, degener ados, precisamo precisamoss de uma adapta¸c˜ c˜ao ao do m´etodo eto do anteri anterior or a esta nova situa s itua¸c˜ c¸ao. a˜o. Para evitar um excesso de ´ındices, vamos reobter as f´ormulas ormulas b´asicas asicas sob forma ligeiramente diferente. ˆ o hamilt Seja H hamiltoniano oniano pertur perturbado, bado, e vamos escrevˆe-lo e-lo em uma s´erie erie de potˆencias encias de um parˆametro ametro pequeno, λ, desta forma[10]: ˆ = H ˆ (0) + λH ˆ (1) + λ2 H ˆ (2) + . . . H
(530)
ˆ (1) era denotado por V ˆ , e os demais, H ˆ (2) , H ˆ (3) , etc, eram omitidos. Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H ´ claro que o H ˆ (0) daqui ´ ˆ 0 do tratam Aqui s˜ ao i nclu´ ao ıdos mais por raz˜ ıdos oes est´ oes eticas do que p or real utilidade. E eticas e o H tratamento ento anterior.
Seja φ a fun¸c˜ cao a˜o de onda perturbada, que queremos calcular. Ser´a escrita tamb´ ta mb´em em com comoo um umaa s´erie eri e de po potˆ tˆencia enc iass em λ: φ = φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . .
(531)
e tamb´em em para a energia se escrever´a E = E (0) + λE (1) + λ2 E (2) + . . .
(532)
A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para as quantidades qu antidades pertu perturbadas rbadas ´e ˆ (H
− E )φ = 0
(533)
que, pelo uso das expans˜oes oes acima, se escreve
n
λ
n
ˆ (n)
H
(n)
− E
m
116
m (m)
λ φ
=0
(534)
ou, por extenso,
ˆ (0) H
(0)
− E
ˆ (1) + λ H
(1)
− E
ˆ (2) H
2
+λ
φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . = 0
(2)
− E
× +...
(535)
Igualando a zero os coeficientes da v´arias ari as po potˆ tˆencias enci as de λ, temos
ˆ (0) H ˆ (0) H ˆ (0) H
(0)
− E − E − E
(0) (0)
φ(0) = 0
(536)
ˆ (1) φ(1) + H
ˆ (1) φ(2) + H
(1)
− E − E
(1)
φ(0) = 0
(537)
ˆ (2) φ(1) + H
e assim por diante. Da primeira, tiramos, evidentemente, que
(2)
− E
φ(0) = 0(538)
ˆ (0) φ(0) = E (0) φ(0) H qu e ´e a eq que equa ua¸¸c˜ cao a˜o de autovalores do hamiltoniano n˜ao-perturbado, ao-perturbado, por hip´otese otese j´a completamente resolvida. Na segunda, Eq.(537), multiplicamos `a esquerda por φ(0)∗ (q) e integramos, obtendo
ˆ (0) − E (0) φ(1) (q ) + dqφ ∗ (q) H
(0)
ˆ (1) − E (1) φ(0) (q ) = 0 dqφ ∗ (q) H
(0)
ˆ (0)
(539)
Mas, pela hermiticidade de H , temos
ˆ (0) − E (0) φ(1) (q) = dqφ ∗ (q) H (0)
dq
ˆ (0) H
(0)
− E
(0)
∗
φ (q) φ(1) (q ) = 0 (540)
Logo, de (539),
ou
ˆ (1) − E (1) φ(0) (q) = 0 dqφ ∗ (q ) H (0)
ˆ (1) , E (1) = H
de acordo com o resultado obtido anteriormente.
23.2
Quando o n´ n´ıvel ´ e degenerado. . .
Supo nhamos que o n´ıvel E (0) seja g -veze Suponhamos -vezess degenerado. Isto ´e, e, existem g (0) fun¸c˜ coes o˜es φ j , ( j = 1, . . . , g) g) tais que ˆ (0) φ j(0) = E (0) φ j(0) H 117
(541)
(0)
Neste caso, qualquer combina¸c˜ cao a˜o linear desses φ j ser´a tamb´em em uma fun¸c˜ cao a˜o (0) de onda de energia E . De fato, ˆ (0)
H
g
(0) c j φ j
g
=
j=1 j =1
g
ˆ (0) φ j(0) c j H
=
j=1 j =1
(0) (0)φ j c j E (0)φ
g (0)
= E
j=1 j =1
(0)
c j φ j
j=1 j =1 (0)
A id´eia eia do m´etodo eto do ´e esta esta:: pro procura curarr as combi combina¸ na¸c˜ coes o˜es lineares das fun¸c˜ coes o˜es φ j que sejam tais que o efeito da perturba¸c˜ao ao em primeira ordem seja pequeno. ` A luz da Eq.(529), isto significa que, para compensar os denominadores que (0) se anulam, quando E n(0) = E m com n = m, devemos escolher as combina¸c˜ coes o˜es (0) lineares das φ j que fazem fa zem o numerador corresp correspondente ondente tamb´em em se anular 26 . Suponhamos o problema resolvido, e seja
g
(0)
φ
=
(0)
(542)
c j φ j
j=1 j =1
a combina¸c˜ cao a˜o linear procurada. (0)
Note-se que supomos as φj
normalizadas. normaliz adas. Ent˜ ao a φ(0) da Eq.(542) ser´a normalizada se ao
Considere Consi dere a equa equa¸¸c˜ cao a˜o
ou
ˆ (0) H
ˆ (0) H
(0)
− E (0)
− E
ˆ (1) φ(1) + H
(1)
φ
ˆ (1) + H
(1)
− E
− E
j
|cj |2 = 1.
φ(0) = 0
g
(1)
(543)
(0)
c j ′ φ j ′ = 0
(544)
j ′ =1
(0)
Multiplicando `a esquerda por φ j
(0) dqφ j
∗ e integ integran rando, do, obt´em-se: em-s e:
∗ (q) H ˆ (0) − E (0) φ(1) (q) +
(0) dqφ j
(1)
∗ (q ) H ˆ (1) − E (1)
(0)
c j ′ φ j ′ = 0
j ′
(545) O primeiro termo do primeiro membro ´e zero, usando-se a hermiticidade de ˆ (0) , como na Eq.(540). Ent˜ao ao segue que H
(0) ˆ (1) (0) dqφ j H φ j ′
j ′
− E
(0)∗ (0) dqφ j (q )φ j ′ (q) = 0
(546)
j ′
e, introdu introduzindo zindo o s´ımbolo ˆ (1)′ H jj
≡
(0)∗ ˆ (1) φ(0) dqφ j (q)H j ′ ,
26
Ou seja, as combina¸ combinac˜ ¸c˜oes oes lineares escolhidas devem diagonalizar a matriz de elementos V nm c˜ cao a˜o da Eq.(529). nm , na nota¸
118
podemos escrever (546) como
ˆ (1)′ c j ′ H jj
j ′
ou ainda,
g
j ′ =1
ˆ jj(1)′ H
(1)
− E (1)
− E
c j = 0 pa para ra j = 1, . . . , g
(547)
(548)
δ jj ′ c j ′ = 0 pa para ra j = 1, . . . , g
Este ´e um sistema de g equa¸c˜ coes o˜es hom homogˆ ogˆeneas enea s a g inc´ognitas ognitas (os coeficientes ´ cao a˜o trivial ´e c j = 0 para todo j . E claro que esta solu¸c˜ cao a˜o n˜ao ao c j ), cuja solu¸c˜ tem nenhum interesse f´ f´ısico. Para que existam outras solu¸c˜ coes, o˜es , ´e nec necess ess´´ario ario que ˆ (1)′ E (1) δ jj ′ = 0 (549) H jj
| − | ´e uma ma matri triz, z, |A | ´e o determina determinante nte da matriz.
onde, se Aij ij A equa¸c˜ cao a˜o (549) ´e denominada, por raz˜ oes hist´oricas, oes oricas, equa¸c˜ cao ˜ secular . Vamos a um exemplo. Para g = 2, a matriz em quest˜ao ´e (1) (1) ˆ 11 ˆ 12 H E (1) H (550) (1) (1) ˆ 21 ˆ 22 H H E (1)
−
A equa¸c˜ cao a˜o secular ent˜ao ao d´a: a: (1) (1) ˆ 11 ˆ 12 H E (1) H det (1) (1) ˆ 21 ˆ 22 H H E (1)
−
ou
−
−
(1) ˆ 11 = H
(1)
− E
(1) ˆ 22 H
(1)
− E
(1) (1) (1) ˆ (1) ˆ 11 ˆ 22 ˆ 11 ˆ (1) H ˆ 12 + H E H E (1) + H H 21 = 0 . 11 H 22 H´a duas solu¸c˜ coes, o˜es, 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1) = H 11 + H 22 + 2 1 (1) (1) 2 (1) ˆ (1) (1) ˆ (1) ˆ 11 ˆ 22 ˆ 11 ˆ 12 + + H 4 H H H 22 H H 21 2 (1)2
−
−
(1) ˆ (1) ˆ 21 H H 12 = 0
−
−
−
(552)
1 ˆ (1) ˆ (1) E ′ = H 11 + H 22 + (1)
(551)
(553)
2 1 (1) (1) 2 (1) ˆ (1) (1) ˆ (1) ˆ 11 ˆ 22 ˆ 11 ˆ 12 + H 4 H (554) H H 22 H H 21 2 Logo, o n´ıvel de energia E (0) se desdobra em dois, de energia s E (0) + E (1) e E (0) + E (1)′ . De uma maneira geral, g eral, se a degeneresc degenerescˆˆencia encia for de ordem g , teremos uma equa¸c˜ cao a˜o alg´ebrica ebrica de ordem g , com g solu¸c˜ coes o˜es para E (1) . Se for forem em toda todass diferentes, o n´ıvel se desdobra desdobrar´ r´a em g novos n´ıveis, e a deg degenere enerescˆ scˆencia encia ser´a completamente completamen te removida.
−
−
119
−
23.3 23 .3
O ef efei eito to Ze Zeem eman an an anˆ ˆ omalo omalo
Como aplica¸c˜ cao a˜o vamos calcular a a¸c˜ cao a˜o de uma um a campo ca mpo magn´etico etico fraco sobre o estado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆenio. enio. Sabe-se que quando se liga um camp campoo magn´etico etico externo, o n´ıvel n = 1, que correspo corresponde nde ao est estado ado fundamental, desdobra-se em um par de n´ıveis. A interpreta¸c˜ cao a˜o f´ısic ıs icaa ´e a seguinte: devido ao spin, o el´etron etron comporta-se como um pequeno ´ım˜ ım˜a. a. A energia de intera¸c˜ cao a˜o de um dipolo magn´etico etico de momento de dipolo µ com um camp campoo mag magn´ n´etico etic o B ´e E = µ.B
−
e depende, portanto, da orienta¸c˜ cao a˜o relativa relativa dos dois. Como o spin quˆ antico antico s´o pode ter duas orienta¸c˜ coes, o˜es, correspondentes `as as componentes z iguais a h ¯ 12 ou h ¯ 12 , h´a dois valores poss poss´´ıveis para a energia E , que, grosso modo, modo, ´e adicionada a` ener energia gia do esta estado do funda fundamen mental. tal. Surge Surgem m assim os dois n´ıve ıveis. is. Este fenˆomeno omeno chama-se efeito Zeeman anˆomalo. omalo. Esta interpreta¸c˜ cao a˜o superficial ´e confirmada por uma an´ alise mais cuidaalise dosa, baseada no c´alculo alculo perturbativo. Vimos na equa¸c˜ cao a˜o (456) que o termo de intera¸c˜ cao a˜o do el´etron etron no estado fundamental do ´atomo atomo de hidrogˆenio enio (l = 0), ´e
−
ˆ = H ˆ em V em =
¯ eh − mc s. s.B
(555)
onde s ´e o operador de spin, cuja represen representa¸ ta¸c˜ cao a˜o matricial na base formada pelos esta estados dos χ+ = χ− =
1 0
(556)
0 1
(557)
´e, e, por p or exemplo, exem plo, para a compo co mponente nente x, sx = 12 σx , com σx =
0 1 1 0
(558)
Levando-se em conta o spin, o estado fundamental ´e degenerado, e, por Levando-se p or isso, ´e prec preciso iso utili utilizar zar o formal formalismo ismo dese desenv nvolvid olvidoo espec especialme ialment ntee para este caso. Como s´o o spin interessa neste caso, vamos denotar por H ijem V ij elemento to ij o elemen de matriz gen´erico erico entre autoestados auto estados da proje¸c˜ cao a˜o z do spin spin.. Par araa dar um exemplo n˜ao ao excessivamente trivial, tomaremos o eixo x ao longo da dire¸c˜ cao a˜o do campo magn´etico, etico, suposto sup osto uniforme e constante no tempo.
≡
120
O termo de intera¸c˜ cao a˜o ´e en ent˜ t˜ao ao dado pela matriz V =
¯ h − 2emc σ B
(559)
x
cujos elementos s˜ao ao V 11 11 V 22 22 V 12 12
¯ † eh = χ σx χ+ = 2mc + ¯ eh 0 1 = (0,, 1) (0 1 0 2mc ∗ = eh¯ (1 = V 21 (1,, 0) 2mc
−
−
−
−
¯ eh (1,, 0) (1 2mc
0 1 1 0
0 1
=0
0 1 1 0
0 1
1 0
=0
(560) (561)
=
¯ h − 2emc
(562)
Usando agora as equa¸c˜ coes o˜es (553) e (554), obtemos 1 ¯ eh = 4V 12 E 12 V 21 21 = 2 2mc ¯ eh E (1) ′ = 2mc (1)
−
(563) (564)
Logo, a diferen¸ca ca de ene energia rgia en entre tre os dois n´ıv ıveis, eis, uma ve vezz rem removi ovida da a degen ener eres escˆ cˆenci en ciaa, ´e ¯ eh ∆E = E (1) E (1) ′ = (565) B mc em muito bom acordo com a experiˆ exp eriˆencia, encia, para campo camposs magn´ m agn´eticos eticos fracos.
−
23.4
Exerc´ Exerc ´ıcios
1. No fim desta lista h´a uma tabela de valores de quantidades como a carga e massa do el´ etron, velocidade da luz, ¯h, etc etron, etc.. Con Consul sulte te-a -a para resolv resolver as quest˜oes oes que seguem. (a)Calcule, em ev (eletron (eletronvolts) volts) o potencial de ioniza¸c˜ cao a˜o do ´atomo ato mo de hid hidrogˆ rogˆenio, enio , que ´e a energia necess´aria aria para extrair um el´etron etron do estado fundamental. (b)Calcul (b)C alcule, e, em ev ca de energia entre o estado fundamental e o ev,, a diferen¸ca primeiro estado excitado do ´atomo ato mo de hid hidrogˆ rogˆenio. enio . e¯ h (c) Calcule a raz˜ao ao entre mc B e as quantidades calculadas acima, sendo B o campo magn´etico etico da Terra erra.. Isto dar´a uma id´ eia do tamanh eia tamanhoo do efei efeito to Zeeman anˆomalo omalo (ver Notas Notas)) em rela¸c˜ cao a˜o a duas energia s t´ıpicas do atomo a´tomo de hi hidro drogˆ gˆenio. eni o. 2. Co Cons nsid ider eree o po¸co co qua quadra drado do infi infinit nitoo que estudam estudamos os em det detalh alhe: e: dua duass 121
paredes inpenetr´aveis, aveis, paralelas, a uma distˆancia ancia a uma da outra. Calcule o efeito sobre o estado fundamental de uma mola de constante el´astica astica muito pequena que prende a part part´´ıcula `a parede em x = 0: cor corre¸ re¸c˜ cao a˜o a` energia e `a fun¸c˜ cao a˜o de onda, at´e primeira pri meira ordem. 3. Mesmo problema, mas, agora, o movimento da part´ part´ıcula no po¸co co ´e af afet etad adoo por uma for¸ca ca constante muito fraca, da esquerda para a direita. 4. Qual ´e a dificu dificuldade ldade em int introduzir roduzir a “resi “resistˆ stˆ encia do ar”, isto ´e, encia e, uma for¸ca ca proporcional `a velocidade, dessa forma? 5. Ef Efei eito to Star Stark k no ´atomo atomo de hidrogˆenio: enio: uma perturba¸c˜ cao a˜ o dada por um potencial eletrost´atico atico V = eF z , onde F ´e o modulo o´dulo de campo el´etrico, etrico, age ag e sobre o ´atomo. atomo. Calc Calcule ule os nov novos os n´ıveis de energ energia ia com n = 2. Resposta:
− − − − 23.4.1
me4 1 2¯h2 4 me4 1 2¯h2 4 me4 1 + 3eF 3eF a 2¯h2 4 me4 1 3eF a 2¯h2 4
−
Unidades e fatores de convers convers˜ ˜ ao ao
1 erg = 6. 6.2 1011 eV ¯ = 1, 05 10−27erg.s h c = 3 1010cm/s me = 9, 1 10−28g h ¯ Magneton de Bohr ( 2emc )=9,, 3 10−21 erg/gauss )=9 Campoo mag Camp magn´ n´etico etic o da Terra 0, 3gauss.
× × ×
×
≈
×
6.O pr´oton oton n˜ao ao ´e um ponto. Uma representa¸c˜ cao a˜o aceit´avel avel para par a ele ´e como uma esfera de raio R muito menor do que o raio do ´atomo. atomo. Quando calcula calculamos mos os estados estacion´arios arios do ´atomo atomo de hidrogˆenio, enio, supusemos o pr´ oton como oton um ponto ponto.. Se Seja ja a o raio do ´atomo. atomo. Para R r a, a energia potencial do el´etron etron ´e a mesma, seja o pr´oton o ton um ponto ou uma esfera de raio R.
≤ ≤
122
Mas no intervalo 0 etron ´e diferen diferente. te. r R, a energia potencial do el´etron Calcule o efeito da extens˜ao ao do pr´oton oton sobre os n´ıveis de energia ener gia do ´atomo atomo de hidrogˆenio enio considera considerando ndo como pertur perturba¸ ba¸c˜ cao a˜o a diferen¸ca ca de energia potencial devida `a extens˜ao ao do pr´oton. oton. Mais precisamente: (a)Mostree que o potencial (a)Mostr p otencial pertu perturbador rbador ´e
≤ ≤
V ((r) = V
3e2 2r3
− 0,
2
R
−
r2 3
, r < R, r>R
(b)Calcule a corre¸c˜ cao a˜o a` energia do estado fundamental. De quantos por cento ´e al alte tera rada da?? 7. Considere um oscilador linear unidimensional de massa m e carga e. Sua energia poten potencial cial ´e escrita escri ta como 1 v (x) = mω2 x2 2 e a energia irradi irradiada ada ´e desprez d esprez´´ıvel. Um campo el´etrico etrico fraco, constante no espa¸co co e no tempo, ´e aplicado na dire¸c˜ cao a˜o x. Mostre que, (a) Em primeira ordem de perturba¸c˜ c˜ao, ao, os n´ıveis de ener energia gia n˜ao a o s˜ao ao alterados. (b) Calcule a corre¸c˜ cao a˜o em segunda ordem para o estado fundamental. (c) Resolva o problema exatamente, e mostre que a solu¸c˜ao ao exata coincide com (b). (d) Analise o problema cl´assico assico eq¨ uivalente e compare as solu¸c˜ uivalente coes o˜es exatas para o problema n˜ao-perturbado ao-perturbado e pertur perturbado. bado. 8.A linha espectral de λ = 1850˚ urio resulta da transi¸c˜ cao a˜o de um A do merc´urio 1 estado excitado para o estado fundamental S 0 . Um campo camp o magn´etico etico de 0, 2T divide essa linha em trˆes es componentes comp onentes com uma separa¸c˜ cao a˜o de 0, 0, 0032˚ A entre linhas vizinhas. O que se pode dizer do estado excitado?
coes c˜ o ˜es relativist relativistas as aos n´ıveis 9. (Dedicado a Douglas Cancherini) Corre¸ atˆ omicos. omicos. A energia ener gia de uma part part´´ıcula relativis relativista ta livre l ivre ´e dada dad a pela p ela conhecida express˜ao ao E 2 = p2 c2 + m2 c4
(566)
A parte desta energia que permanece quando p = 0 ´e dita “energia de repouso”, pou so”, e ´e dada pela famos´ıssima ıssima express˜ao ao E = mc2 123
(567)
A diferen¸ca ca entre as energia s dadas por (566) e (567) ´e a ene energia rgia cin cin´´etica eti ca da part´´ıcula. A eq.(566) pode ser escrita part
E = p2 c2 + m2 c4
(568)
e, na maioria dos casos, o termo que descrev descrevee a energia em repouso ´e muito maior do que o outro. Ent˜ao ao podemos proceder assim: E =
m2 c4
p2 c2 1+ 2 4 mc
= mc2
p2 1+ 2 2 mc
1 2
(569)
que pode ser calculada aproximadamente usando a f´ormula ormula do binˆomio omio de Newton: (1 + x)α = 1 + αx +
α(α 1) 2 α(α x +... 2!
−
− 1) . . . (α − p + 1) x
p
p!! p
+ . . . (570)
Usando (570) em (569), temos p2 E = mc + 2m 2
−
1 p4 + ... 8 m3 c2
(571)
Subtra´ındo a energia de repouso de (571), Subtra´ (57 1), temos uma express˜ ao para a enerao giaa cin´ gi ci n´etica eti ca que q ue j´ j ´a inclui algumas corre¸c˜ coes o˜es relativista r elativistas, s, poi poiss a energia cin´etica etica p2 n˜ao-relativista ao-rel ativista ´e dada por 2m . Calculamos Calc ulamos os n´ıv ıveis eis de ener energia gia do ´atomo atomo de hidrogˆenio enio resolv resolvendo endo a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para estados estacion´arios arios com o hamiltoniano 2 ˆ = p H 2m
− Zer
2
(572)
Para avaliar a importˆancia ancia das corre¸c˜ coes o˜es relativistas, relativistas, podemos p odemos utilizar utilizar a teo p4 1 ˆ = ria das perturba¸c˜ c˜oes, oes, considera considerando ndo como pertu perturba¸ rba¸c˜ cao a˜o V . 8 m3 c2 (a) Obtenha a Eq.(571). (b) Calcule a corre¸c˜ cao a˜o a` energia do estado fundamental de um ´atomo atomo hidrogen´ ge n´oide oi de de Z qualquer, e exiba exi ba a dependˆencia encia em Z . Para que valor de Z se teria uma corre¸c˜ cao a˜o de 1%?
−
23.4.2
Exerc´ Exerc ´ıcio resolvido resolvido
1. Considere o po¸co co quadrado infinito usual, com paredes impenetr´aveis aveis em Calcul culee o ef efeit eitoo sob sobre re a ene energi rgiaa de um est estado ado estacion estacion´´ario ario x = 0 e x = a. Cal qualquer de uma mola de constante el´astica astica muito pequena (a energia potencial perturbadora deve ser muito menor do que a separa¸c˜ao ao entre os n´ıveis) 124
que pren prende de a par partt´ıcul ıculaa `a parede em x = 0, em primeira ordem de perturba¸c˜ cao. a˜o. Solu¸c˜ cao: a˜o: os n´ıveis de energia n˜ao-perturbados ao-perturbados s˜ao: ao: ¯2 2 h E n = k 2m n com
nπ a
kn = sendo a fun¸c˜ cao a˜o de onda correspondente ψn (x) =
2 nπ sin x a a
A perturba¸c˜ cao a˜o ´e dad dadaa po porr 1 V ((x) = mω2 x2 V 2 e a separa¸c˜ ca˜o de n´ıvei ıveiss ´e E n
−
¯ 2 π2 2 h E n−1 = n 2ma2
− (n − 1)
2
¯ 2 π2 h = [2n [2n 2ma2
− 1]
A con condi¸ di¸c˜ cao a˜o de val alid idade ade da te teor oria ia da per pertu turb rba¸ a¸c˜ cao, a˜o, mencionada acima, ´e (mostre!) ¯ 2 π2 (2 (2n h n 1) 2 ω m2 a4 Note-se que a condi¸c˜ c˜ao ao dep depende ende do n´ıvel. Uma per perturb turba¸ a¸c˜ cao a˜o pequena para os n´ıveis baixos po pode de n˜ao ao o ser para n´ıveis altos. A corre¸c˜ cao a˜o a` en ener ergi giaa ´e
−
≪
2 E = a
a
0
nπ 1 mω2 2 2 sin x mω x = 2 a a 2
a
0
dx sin2
Para n inteiro a integral a
0
nπx a3 = 2n3 π3 dxx sin 3 3 12n π 12n a 2
2
Obt´em-se em-se assim, para a corre¸c˜ cao, a˜o, (1)
E
mω2 a2 1 = 2 3
125
−
1 2n2 π2
− 3nπ
nπ x a
23.4.3
Exerc´ Exerc ´ıcio resolvido resolvido (Enrico Fermi, 1954)
Efei to Sta Efeito Stark rk no ´ atom o de hidrogˆ atomo hidr ogˆ enio : uma perturb enio perturba¸ a¸c˜ c˜ ao dada por um potencial potenci al eletr eletrost´ ost´ atico V = eF z onde F constante, nte, ´e o m´ odulo do campo el´etrico, etrico, age a ge sobre o atomo. ´ Calcule F ,, consta os novos n´ıveis de energia com n = 2. Solu¸c˜ cao: a˜o: o n´ıvel n = 2 ´e degenera degenerado, do, de ordem 4. As fun¸c˜ coes o˜es de onda correspondentes s˜ao:ψ ao:ψ211 , ψ210 , ψ21−1 , ψ200 . Vamos denot denotar ar os elem elemen entos tos de matriz de V por
211|V |210 =
π
∞ 2
0
r dr
0
sin θdθ
2π
0
∗ (r,θ,φ dφψ211 r,θ,φ))eFzψ210 (r,θ,φ r,θ,φ))
e assim por diante. A equa¸c˜ cao a˜o sec secul ular ar ´e: e: det
| | − −| || | | |
11 V 11 E 10 V 11 1 1 V 11 00 V 11
11|V |10 10|V |10 − E 1 − 1|V |10 00|V |10
11|V |1 − 1 10|V |1 − 1 1 − 1|V |1 − 1 − E 00|V |1 − 1
onde omitimo omitimoss o ´ındice ındice 2, que ´e sempre o mesmo.
eF
11|V |00 10|V |00 1 − 1|V |00 00|V |00 − E
=0
Um ele element mentoo de ma matr triz iz t´ıpi ıpico co ´e
d3rψ rψ211 (r,θ,φ r,θ,φ))zψ210 (r,θ,φ r,θ,φ))
Muitas dessas integrais s˜ao ao nulas por p or causa do seguinte fato: se f f ((x,y,z x,y,z)) = f f (( x, y, z), ent˜aaoo
− − − − a
b
c
−a
dx
−b
dy
−c
dyf (x , y , z) dyf ( z) = 0
A troca de r por r , ou seja, de (x ( x , y , z) ao z) por ( x, y, z ) chama-se invers˜ espacial . Em coordenadas esf´ ericas esta transforma¸c˜ ericas ca˜o ´e:
−
− − −
r θ φ
→ r → π−θ → φ+π
Em rela¸c˜ cao a˜o a` invers˜ao ao espacial, os harmˆonicos oni cos esf´ericos erico s tˆem em a segu seguinte inte tran transsforma¸c˜ cao a˜o (veja a prova abaixo): l Y lm lm (θ, φ) = ( 1) Y lm lm (π
−
126
− θ, φ + π)
Em conseq¨ uˆencia, uˆ encia, as seguintes integrais s˜ao ao nulas:
∗ zψnlm = dqψ nlm
dqz ψnlm 2 = 0
|
|
pois ψnlm 2 ´e par e z ´e ´ımp ımpar, ar, ou seja seja,, o integ integran rando do ´e ´ımpa ımpar, r, send sendoo o interval intervaloo de integra¸c˜ caop a˜op sim´etrico, etri co, po pois is ´e o espa espa¸co c¸o todo. Logo, na equa¸c˜ cao a˜o secular, os elementos de matriz diagonais s˜ao ao todos nulos. Na realidade, realidade, o mesmo fenˆ omeno acontece com os elementos de matriz de omeno z entre estados de mesmo l, por exemplo:
|
|
210|V |211 = 0 A matriz se simplifica para 0
11|V |00 0 −E 10|V |00 = 0 0 0 −E 1 − 1|V |00 00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 −E E
det
−
0 0
Esta equa¸c˜ cao a˜o d´a 4
E
2
− E
|
2
2
V 11, 11,00 + V 00, 00,10 + V 00, 00,1
| |
| |
que tem como solu¸c˜ coes o˜es E = 0, E = 0 e E =
± |
−| 1
2
2 2 V 11, 11,00 + V 00, 00,10 + V 00, 00,1 −1
| |
| |
|
=0
2
Finalmente, notando que [V, [V, lz ] = 0, ´e f´acil acil provar (veja a prova abaixo) que os elementos de matriz de V entre estados de valores distintos de m s˜ao ao nulos. Em conseq¨ uˆenci uˆ en ciaa, E = V 00, 00,10
±|
Usando as fun¸c˜ coes o˜es de onda ψ200 = ψ210 =
|
1 r −r 2 e 2a a 32πa 32 πa3 1 r −r e 2a cos θ 3 a 32πa 32 πa
−
√ √
mostre que os demais valores de E s˜ao: ao: E =
±3eF a
A conclus˜ao ´e qu quee o n´ıvel ıvel n = 2 divide-se em trˆes es n´ıveis: um, com a mesma energia ener gia ant anterio erior, r, que ´e ainda dege degenerad neradoo (de ordem ordem 2), outro com ener energia gia 127
igual a` energia de Bohr adicionada de 3eF 3 eF a, e um terceiro, com a energia de Bohrr subt Boh subtra ra´´ıda de 3eF a. Prova 1: Para maior clareza, vamos vamos denot denotar ar os harmˆ onicos esf´ericos onicos erico s assim: Y lm lm (θ, φ)
≡ Y
lm ( lm
r ), r
onde rr ´e o vetor unit´ario ario na dire¸c˜ c˜ao ao determinada pelos ˆangulos angulos θ e φ. En Enttao, ˜a o, o que queremo que remoss provar ´e que q ue r r l Y lm ) lm ( ) = ( 1) Y lm lm ( r r Para o caso em que l = m, temos
−
Y ll ll (θ, φ) = K
−
l
x + iy r
e, como ( x + i( y ))l = ( 1)l (x + iy iy), ), segue que
−
−
−
r r l Y ll ) ll ( ) = ( 1) Y ll ll ( r r
−
−
Para completar a prova, lembre-se de que l m
Y lm K ((l− ) − Y ll lm = K ll Mas l− = lx
− il
y
e todas todas as com compone ponent ntes es li s˜ao ao invariantes pela invers˜ao ao temporal (por exemplo, lx = ∂ ∂ i y ∂z z ∂y n˜ao ao se altera se os sinais de y e z s˜ao ao invertidos). Logo,
−
−
− − rr ) = K K ((l− )
l m
Y lm lm (
Y ll ll (
− − rr ) = (−1) K K ((l− )
l m
l
r r l Y ll ll ( ) = ( 1) Y lm lm ( ) r r
−
Prova 2: [lz , z ] = 0, logo, [V, Prov [V, lz ] = 0. Con Consid sidere ere o ele elemen mento to de mat matriz riz l, m [V, lz ]l′ , m′ , que ´e obviamente zero, j´a que o comutador ´e zero. Ent˜ao, ao,
|
0 = =
l, m|[V, l ]|l′, m′ = l, m|V |l′′, m′′l′′, m′′|l |l′, m′ −
z
z
l′′ ,m′′
= m′ l, m V l′ , m′
| |
l′′ ,m′′
− ml, m|V |l′ , m′ = 0
l, m lz l′′ , m′′ l′′ , m′′ V l′ , m′
| |
Logo, ( m′
− m) l, m|V |l′, m′ = 0 Daqui se vˆe que, se m = m′ , l, m|V |l′ , m′ = 0, como se queria demonstrar. Sem usar a nota¸c˜ c˜ao ao de Dirac, a prova seria assim: 0 =
dqY l∗′ ,m′ [V, lz ]Y lm lm
128
| |
=
dqY l∗′ ,m′ lz V Y lm lm
= m
dqY l∗′ ,m′ V Y lm lm
= m
′ dqY l∗′ ,m′ V Y lm lm − m
= (m − m′ )
23.4.4 23. 4.4
−
dqY l∗′ ,m′ V lz Y lm lm −
∗
dq (lz Y l′ ,m′ ) V Y lm lm
dqY l∗′ ,m′ V Y lm lm
dqY l∗′ ,m′ V Y lm lm
Prov Pro va sim simula ulada da
atomo de hidrogˆ atomo enio enio 1. Efeito Stark do estado fundamental do ´ O el´etron etro n do ´atomo atomo de hidrogˆenio enio acha-se sob a a¸c˜ cao a˜o de um campo el´etrico etrico externo que lhe confere uma energia potencial eF z . (a) Mostre que o efeito Stark para o n´ıvel n = 1 ´e, e, em primeira ordem de perturba¸c˜ cao, a˜o, nulo. (b) Calcule a contribui¸c˜ cao a˜o de segunda ordem, levando o c´alculo alcu lo at´e ond ondee puder. l (c) A partir de Y llll (θ, φ) = K x+riy , calcule Y 21 determin rminando ando tamb´em em 21 (θ, φ), dete a constante de normaliza¸c˜ cao. a˜o.
2.O ´ atom o dos po atomo pobres bres Um el´etron etro n est´a preso dentro de uma esfera ˆoca oca de paredes impenetr´aveis, aveis, de raio a. N˜ao ao h´a outras for¸cas cas agindo sobre ele. (a) Existem estados estacion´arios arios esfericamen esfericamente te sim´etricos? etricos? (b) Determine os autovalores da energia desses estados. (c) Determine a fun¸c˜ cao a˜o de onda do estado esfericame esfericamente nte sim´etrico etrico de menor energia . (d) Existem estados estacion´arios ari os dess dessee el´ e l´etron etro n que n˜ao ao seja sejam m esfer esferica icamente mente sim´ si m´etri et rico cos? s? 3. Oscilador preso a uma parede Uma par partt´ıcul ıculaa de mass massaa m possui a energia potencial V ((x) = V
1 2 2 kx
∞
x>0 x 0
≤
(a) Escrev Escreva o hamil hamiltonian tonianoo para este sistema. sistema. e determine determine as autof autofun¸ un¸c˜ coes o˜es ψn (x) e autovalores E n . (b) Calcule o valor esperado x para o estado fundamental deste sistema e compare com o valor da mesma quantidade para o oscilador verdadeiro. Comente a diferen¸ca. ca. (c) Mesma coisa para p .
129
4. Um sistema f´ f´ısic ısicoo tem, num cert certoo insta instante nte,, uma fun¸c˜ cao a˜o de onda cuja u unica ´ni ca dep dependˆ endˆencia enci a em φ (quando expressa em coor coordenadas denadas esf´ericas) ericas) ´e dada por um fator 4 Φm (φ) = cos2 φ 3π (a) Quais os poss poss´´ıveis valores para uma medida de ˆlz ? (b)Qual (b)Q ual o valor m´edio edio lz ?
23.4 23 .4.5 .5
Solu So lu¸¸c˜ coes o ˜es de alguns problemas
´ Atomo dos pobres O laplaceano em coordenadas esf´ericas ericas pode p ode ser escrito:
∇ ψ = r1 ∂r∂ 2
2
r2
∂ψ ∂r
ˆ 2 l ψ r2
−
(573)
ˆ2 onde l ´e o operador de momento angular total. A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para estados estacion´arios arios do sistema descrito ´e, ent nt˜˜ao, ao, ˆ 2 ¯2 1 ∂ 2 ∂ψ h l (574) r ψ = Eψ 2m r2 ∂r ∂r r2
−
−
Procuremos solu¸c˜ coes o˜es da forma
ψ (r,θ,φ r,θ,φ)) = R(r )Y lm lm (θ, φ)
(575)
Inserindo esta express˜ao ao em (574), temos, visto que ˆ 2 1)Y lm l Y lm lm = l(l + 1)Y lm ,
−
¯2 1 d ¯ 2 l(l + 1) h h 2 dR + r R(r) = ER ER((r) 2m r 2 dr 2m r 2 dr
(576)
Introduzindo a fun¸c˜ cao a˜o u(r) tal u(0) = 0 e R(r ) =
u(r ) r
a equa¸c˜ cao a˜o (576) d´a, a, para u(r ), a equa¸c˜ cao a˜o d2 u(r ) dr2
− l(l r+ 1) u(r) = − 2h¯m Eu Eu((r ) 2
2
130
(577)
Para maior clare Para clareza, za, vamos apende apenderr o ´ındic ındicee l as `as solu¸c˜ coes o˜es desta equa¸c˜ao. Ent˜ao, ao, reescrevemos: d2 ul (r ) dr2
− l(l r+ 1) u (r) = − 2h¯m E u (r) 2
l
2
l l
(578)
Os ´ıtens ıtens (a) e (b) podem po dem ser respondidos resp ondidos imediatamente. Como as solu¸c˜ coes o˜es s˜ao ao da forma ulr(r ) Y lm coes c˜ o˜e s de si simet metri riaa esf´erica eri ca tˆem em de lm (θ, φ), as eventuais solu¸ corresponder corre sponder a l = 0, j´a que o unico u ´ nico harmˆonico oni co esf´erico eric o com esta sime simetria tria ´e o Y 00 cao c˜ a˜o relevante ´e, e, ent˜ao, ao, (577) com l = 0, ou seja, 00 . A equa¸ d2 u0 (r ) = dr2 onde pusemos k02
2 0 0
−k u (r)
≡ 2h¯m E 2
0
(579)
(580)
A eq.(580) tem a solu¸c˜ cao a˜o geral u0 (r) = A cos k0 r + B sin k0 r
(581)
mas, como u(0) = 0, devemos tomar A = 0. Logo, u0 (r ) = B sin k0 r
(582)
Al´em em diss disso, o, o atomo a´tomo dos pobres tem raio a, e ent˜ao ao a condi¸c˜ cao a˜o adici adicional onal u0 (a) = 0 deve ser imposta. Com isto, obtemos B sin k0 a = 0
(583)
kn0 a = nπ
(584)
cuja solu¸c˜ cao a˜o mai maiss gera gerall ´e onde n ´e um inteiro. Resolve Resolvemos, mos, de novo para maior clareza, apender um novo ´ın ındi dice, ce, n, `as as solu¸c˜ coes. o˜es. Temo emos, s, ent˜ ent˜ ao, mu ao, muita itass sol solu¸ u¸c˜ coes o˜es esfericame esfericamente nte sim´etricas, etricas, caracteri caracterizadas zadas por un0 (r) = B sin kn0 r B sin kn0 r ψn0 (r) = Y 00 00 (θ, φ) r
(585)
sendo as energia s dadas por ¯h2 n2 π2 E n0 = 2m a2 131
(586)
Evidentemente a solu¸c˜ Evidentemente cao a˜o esfer esfericam icamente ente sim´etrica etri ca de menor m enor energ energia ia ´e dada da da por ψ1,0 (r ). As demais quest˜oes oes sobre o ´atomo atomo dos pobres podem ser resolvidas sem dificuldade pelo leitor. As solu¸c˜ coes o˜es sem simetria s imetria esf´erica erica satisfa satisfazem zem a equa¸c˜ cao a˜o d2 ul dr2
− l(l r+ 1) u (r) = −k u (r) 2
l
2
Reescrevendo em termos da fun¸c˜ cao a˜o Rl (r) d2 Rl 2 dRl + dr2 r dr
≡
ul (r) , r
(587)
l
temos
− l(l r+ 1) R = −k R l
2
2
l
(588)
As fun¸c˜ coes o˜es de Bessel esf´ericas ericas s˜ao ao solu¸c˜ coes o˜es da equa¸c˜ cao a˜o diferencial d2 jl (r) 2 djl (r ) + dr2 r dr
− l(l r+ 1) j (r) = − j (r) 2
l
l
(589)
de onde se deduz sem dificuldade que Rl (r) = jl (kr kr))
(590)
Logo, as solu¸c˜ coes o˜es sem sime simetria tria esf´erica erica tˆem em a form formaa ψnlm (r,θ,φ r,θ,φ)) = Ajl (kr kr))Y lm lm (θ, φ)
(591)
A condi¸c˜ cao a˜o de conto contorno rno ´e jl (ka ka)) = 0 ,
(592)
que ´e satisfeita sa tisfeita por certos valores de k, denotados por kn , para os quais (592) ´e satisfeita. satisf eita. Matemati Matematicamente, camente, trata-se tr ata-se ent˜ao ao de fazer com que a quantidade coincida ida com os zeros da fun¸c˜ cao a˜o de Bess Bessel el esf´erica erica jl , que s˜ao ao encontrados ka coinc em tabelas. Sejam z1 < z 2 < .. . < zn . . . n´umeros umeros tais que jl (zi ) = 0 Ent˜ao ao teremos
zi a sendo a energia deste estado estacion´ario ario dada por kil =
¯2 2 h E ilil = k 2m il
132
(593)
(594)
23.4.6
Mais exerc´ exerc´ıcios resolvidos resolvidos
Calcular as corre¸c˜ coes o ˜es relativist relativistas as aos n´ıveis de energia como corre¸c˜ coes o ˜es perturbativas. (Exer (Exercc´ıcio 9, Se¸c˜ cao a˜o 20.4 das notas de aula). Solu¸c˜ cao: a˜o: o hamiltoniano n˜ao-p ao -pert ertur urba bado do ´e p 2 ˆ H 0 = 2m
−
Ze 2 r
enquanto que o perturbado ´e, e, como vimos em aula, ˆ = H ˆ 0 + V ˆ = H ˆ0 H
−
1 p4 8 m3 c2
A corre¸c˜ cao a˜o a` energia en ergia em primeira p rimeira ordem ´e, e, ent˜ao, ao, E (1) =
dqψ n∗ 1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ))
Mas
−
1 p4 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) 8 m3 c2
¯ 4 2 2 ψ p4 ψ = p2 p2 ψ = h
∇∇
e 2 ´e um operador hermiteano (por (p or que?). Ent˜ao, ao,
∇
(1)
E
= = =
− − −
¯h4 8m3 c2 ¯h4 8m3 c2 ¯h4 8m3 c2
∗ ∇ |∇
dqψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) 2 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ))
∇∇
∗ dq 2 ψn1 ,l1 ,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ))
∇
dq 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) 2
|
A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od inge gerr ´e ¯ 2 2 h ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) 2m
− ∇
−
Ze 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) = E n1 ψn1,l1 ,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) r
logo, 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) =
∇
Logo,
−
2mZe 2 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) ¯ 2r h
|∇ ψ 2
=
r,θ,φ)) n1 ,l1 ,m1 (r,θ,φ
2
|
− 2h¯m E 2
r,θ,φ)) n1 ψn1 ,l1 ,m1 (r,θ,φ
=
2mZe 2 2m 2mZe 2 2m ∗ + 2 E n1 ψn1 ,l1 ,m1 (r,θ,φ + 2 E n1 ψn1 ,l1,m1 (r,θ,φ r,θ,φ)) r,θ,φ)) ¯ 2r ¯ ¯2r ¯ h h h h
133
=
2 2 2 4m2 Z 2 e4 2 8m Z e E n1 2 4m 2 ( ) + ( ) + ψn1 ,l1,m1 r,θ,φ r,θ,φ) ψn1 ,l1,m1 r,θ,φ r,θ,φ) r,θ,φ)) 2 4 2 4 4 E n1 ψn1 ,l1 ,m1 (r,θ,φ ¯ r ¯ r ¯ h h h Para a corre¸c˜ cao a˜o da energia temos, ent˜ao, ao,
|
(1)
E
=
|
−
Z 2 e4 2mc2
ou,
|
1 dq 2 ψ r
2
||−
E (1) =
Ze 2 E n1 mc2
2 4
|
2
1 dq ψ r
2
||−
E n21 2mc2
|
dq ψ
||
|
2
1 Ze E − 2Z mce r1 − mc E − 2mc r 2
2
2
2 n1
n1 2
Para uma an´alise alise qualitativ qualitativa, a, podemos por: (1)
E
=
−
Z 2 e4 1 2mc2 a20
−
1 Ze 2 E n mc2 1 a0
− 2E mc
n1 2
Verifique cuidadosamente esses c´alculos alculos (foram feitos `as a s pre press ssas as). ). Em particular, verifique a validade de
r 1r r1 2
= a0 1 = a0 1 = 2 a0
Determine explicitamen explicitamente te a dependˆencia encia total em Z (h´a uma escondida em a0 ?). Justifique o folklore que diz: diz: corre corre¸¸c˜ coes o˜es relativistas s˜ao ao importantes para n´ucleos ucleos pesados, em suas ´orbitas orbitas internas. Como n˜ao ao h´a orbitas, o´rbitas, que hist´oria ori a ´e essa e ssa de “´orbitas orbitas internas”?
24
Pert rtur urba ba¸ c¸˜ c˜ oes dependentes do tempo oes
At´e agora estudamos o efeito de pequenas perturba¸c˜ At´ coes o˜es sobre um sistema f´ısico, sob a hip´ otese de que essas perturba¸c˜ otese coes o˜es fosse fossem m inde independen pendentes tes do tempo, como um campo magn magn´´etico etico const constant ante, e, etc. Muit Muitoo importa importante nte para o estudo das propriedades de ´atomo atomo ´e inv investi estigar gar o que acon acontec tecee com ele quando, por p or exemplo, uma onda eletromagn´etica etica o atinge. A luz do Sol, por p or exemplo, ´e um camp campoo eletromag el etromagn´ n´etico etico que varia muito rapidam rapidamente ente mas ma s que, qu e, em condi¸c˜ coes o˜es normais, ´e muito menos intenso do que os campos el´etricos etricos e magn´ mag n´eticos etico s do pr´oprio oprio atomo. a´tomo. En Ent˜ t˜ ao a luz ´e uma perturba¸c˜ ao cao, a˜o, mas uma perturba¸c˜ cao a˜o dependente do tempo. Seja ˆ = H ˆ 0 + V ˆ (t) H V ( 134
(595)
ˆ 0, n˜aoo hamiltoniano perturbado perturbado,, escrito como a soma de um hamiltoniano H aoˆ perturbado, sobre o qual sabemos tudo, e de uma perturba¸c˜ao ao V V ((t), onde a perturba¸c˜ cao, a˜o, agora, depende dep ende do tempo. Esta ´e uma de depen pendˆ dˆenci en ciaa ex expl´ pl´ıcit ıc ita a no tempo. Vamos explicar por p or meio de um exemplo: suponha dois el´etrons, etrons, interagindo sob a a¸c˜ cao a˜o de seus campos el´etricos. etricos. A repuls˜ ao eletrost´atica ao atica far´a com que, `a medida que o tempo passa, eles estejam cada vez mais longe um do outro. Portan Portanto, to, do ponto-de-vista de cada um dos el´etrons, etrons, o campo camp o do outro outro var varia ia com com o te tempo mpo.. N˜ ao se trata dest ao destaa depend dependˆˆencia encia no tempo, conseq¨ uˆencia uˆ encia do movimento, o que estamos estamo s estudando estuda ndo aqui. a qui. Trata-se de d e uma dependˆencia encia no tempo adicional a dicional a esta, e que aconteceria, por exemplo, se a carga de um dos el´etrons etrons fosse aumentando com o tempo tempo.. Se os dois el´etrons etrons estive esti vessem ssem no int interior erior de um capac capacitor itor cujo campo el el´´etrico etrico fosse alter alter´´avel avel por meio de um reostato, ter ter´´ıamos um campo com de depen pendˆ dˆenci en ciaa ex expl´ pl´ıcit ıc ita a no tempo. Uma onda de luz que incide sobre um el el´´etron, etron, j´a citada acima, ´e outro exemplo de perturba¸c˜ c˜ao ao com dep dependˆ endˆencia enci a expl´ıcita ıcit a no temp tempo. o. Nest Nestee 27 caso, n˜ao ao h´a con conser serva¸ va¸c˜ cao a˜o da energia e o hamiltoniano perturbado n˜ao ao ter´a, a, ˆ 0 os em geral, estados estacion´arios. arios. Sup˜oe-se, oe-se, por´em, em, que o hamilto h amiltoniano niano H tenha, e o ob objetivo jetivo ´e calcular calcu lar as fun¸ fun ¸c˜ coes o˜es de onda do sistema perturbado como corre¸c˜ coes o˜es aos estados estacion´arios arios do sistema n˜ao-perturbado ao-p erturbado.. Sejam i (0) (596) ψk (r , t) = uk (r )e− h¯ E k t as fun¸c˜ coes o˜es de onda dos estados estacion´arios arios do sistema n˜ao-perturbado. ao-perturbado. Ent˜ao ao uma solu¸c˜ cao a˜o arbitr´aria aria da equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para o sistema n˜aoaoperturbado pode ser escrita na forma ψ=
(0)
ak ψk
(597)
k
27
De fato, a f´ormula ormula
ˆ˙ = i [H ˆ,O ˆ] , O h ¯
ˆ , ser modificada, dando precisa, quando h´a dependˆencia expl´ıcita ıcita no tempo no operador opera dor O ˆ ˆ˙ = ∂ O + i [H ˆ,O ˆ] O ∂t h ¯ ˆ , tem-se Aplicando-se Aplicando-se esta ultima u ´ ltima equa¸c˜ cao a˜o ao hamiltonian hamiltonianoo H ˆ ˆ ˆ˙ = ∂ H = ∂ V H ∂t ∂t que ´e diferente diferente de zero. Na mecˆanica anica quˆantica, antica, lembre-se, lembre-se, a conserv conserva¸ a¸c˜ cao a˜o da energia energi a ´e ˙ ˆ sumarizada sumarizada pela rela¸c˜ c˜aaoo H = 0, que, neste caso, n˜ao ao ´e verdadei verd adeira. ra.
135
Vamos agora procurar uma solu¸c˜ cao a˜o da equa¸c˜ cao a˜o pertur perturbada bada ∂ Ψ ˆ 0 + V ˆ ψ ¯ = H ih ∂t na forma de uma soma ψ=
(598)
(0)
(599)
ak (t)ψk
k
onde os ak agora, diferentemente daqueles da Eq.(597), s˜ao ao fun¸c˜ coes o˜es do tempo. Para ser mais esoec´ıfico, ıfico, seja ψn a fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema perturbado que ´e um umaa cor corre¸ re¸c˜ c˜ao ao da fun fun¸c˜ c¸ao a˜o de onda n˜ao ao perturbada ψn(0) . A equa¸c˜ cao a˜o (5 (599 99)) ´e agora escrita assim: (0) (600) ψn = akn (t)ψk
k
(0)
Levando a Eq.(600) `a Eq.(598), e lembrando que as ψk satisfazem a equa¸c˜ cao a˜o (0)
∂ψ ˆ 0 ψk(0) , ¯ k = H ih ∂t obtemos ¯ ih
∂ ∂t
ou
(0) ˆ 0 + V ˆ (t) akn (t)ψk = H V (
k
(0)
¯ ψk ih
k
dakn = dt
(601)
(0)
akn (t)ψk
(602)
k
ˆ (t)ψ(0) akn (t)V V ( k
(603)
k
(0)∗ Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ cao a˜o a` esquerda por ψm e integrando, temos damn ¯ = (604) ih V mk mk (t)akn (t) dt k
onde V mk mk (t) = (0)
E
−E (0)
(0)∗ ˆ iωmk t ψm V ψk dq = V mk mk e (0)
(605)
com ωmk = m ¯h k , s˜ao ao os elementos de matriz da perturba¸c˜ cao, a˜o , incl i nclu u´ınd ındoo as as exponenciais expon enciais que contˆ co ntˆem em a dependˆencia encia tempo temporal. ral. Deve-se notar no tar ainda que, ˆ como V depende explicitamente do tempo, as quantidades V mk ao ta ao tamb´ mb´em em mk s˜ (0) fun¸c˜ coes o˜es do tempo. O fato de que ψn ´e pr´oxima oxima de ψn ´e expr expresso esso po porr anm(t) = δnm + a(1) nm (t)
(606)
Inserindo (606) em (604), temos da(1) ¯ mn = ih dt
δnk V mk mk = V mn mn (t)
k
136
(607)
Note-se que iωmk t V mk mk (t) = V mk mk e
(608)
A equa¸c˜ cao a˜o (607) pode ent˜ao, ao, por causa de (608), ser escrita: da(1) iωmn t ¯ mn = V mn ih mn e dt
(609)
Integran Integ rando, do, obt´em-se: em-s e: a(1) mn (t)
=
−
i ¯ h
iωmn t dtV mn mn e
(610)
O caso mais impo importante rtante ´e de uma u ma perturba¸ p erturba¸c˜ cao a˜o co com m dep d ependˆ endˆencia enc ia peri´ pe ri´odica od ica no tempo, ˆ = Fˆ e−iωt + Ge ˆ iωt (611) V a` qual devemos, evidentemente, impˆor or a condi¸c˜ cao a˜o de hermiticidade. Como ˆ † = F ˆ † eiωt + G ˆ † e−iωt V
(612)
ˆ = V ˆ† , V
(613)
ˆ=G ˆ† F
(614)
e segue que
Para os elementos de matriz, temos a rela¸c˜ cao: a˜o: (G)mn = (F F ))∗mn ,
(615)
−iωt + F ∗ eiωt V mn mn = F mn mn e nm
(616)
ou seja, Usando isto em (610), temos amn (t) = ou amn(t) =
−
−
i F mn mn ¯ h
e, integrando, amn (t) =
− h¯i F
mn mn
i ¯ h
1 i(ωmn
− ω)
(617)
dtei(ωmn +ω)t
(618)
−iωt + F ∗ eiωt eiωmnt dt F mn mn e nm i(ωmn ω )t
dte
−
ei(ωmn−ω)t
137
−
i ∗ F ¯ nm h
− h¯i F ∗
nm
1 i(ωmn + ω )
ei(ωmn −ω)t (619)
ou ainda, amn (t) =
i(ωmn ω )t
−
∗
i(ωmn +ω )t
− F ¯h(ωe − ω) − F h¯ (ωe mn mn
nm
mn
mn
(620)
+ ω)
Esta express˜ao ao assinala que alguma coisa importante acontece quando (0) E m
(0) n
− E
=
¯ω ±hω h
(621)
,
embora, estritamente, a teoria de perturba¸c˜ coes o˜es n˜ao ao se aplique neste caso, j´a que os efeitos s˜ao ao grandes. Em todo to do o caso, ´e claro que a a¸c˜ cao a˜o de um campo perturbador de freq¨uˆ uˆencia encia dada por (621) ´e muito muit o mais intensa do que para quaisquer outras freq¨uˆ uˆencias. enci as. Este fenˆomeno omen o ´e deno denomina minado do ressonˆancia ancia .
25
Pert rtur urba ba¸ c¸˜ ao p eriodica o ´dica pr´ oxima ` a ressonˆ ancia
Considere Consi dere a pertur perturba¸ ba¸c˜ cao a˜o peri´odica odica ˆ = Fˆ e−iωt + Ge ˆ iωt V (0) de freq¨uˆ uˆencia ω tal que E m b´asica as ica ´e (6 (604 04), ),
(0) n
− E
¯ ih
=h ¯ (ω + ǫ) onde ǫ ´e pequen pe queno. o. A equa¸ equ a¸c˜ cao a˜o
dam = dt
com
V mk mk (t)ak
(622)
k
i(ωmk −ω)t ∗ ei(ωmk +ω)t + F km V mk mk (t) = F mk mk e
(623)
Esta express˜ao ao cont cont´´em em expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, ǫ, ´e particularmente pequeno, aparecendo nas combina¸c˜ coes o˜es ωmn ω e ωnm + ω . Como a solu¸c˜ cao a˜o de (604) envolve uma integra¸c˜ cao a˜o do segundo membro no tempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui v´arios arios termos oscilantes, a contribui¸c˜ cao a˜o dominante ´e a daquele termo que oscila menos. A base matem´atica atica rigorosa para isto ´e o lema de Riemann-Lebesgue28 . Podemos, ent˜ao, ao, aproximar as equa¸c˜ coes o˜es (604) por
−
¯ ih
dam i(ωmn −ω )t iǫt = F mn = F mn mn e mn e an dt
(624)
dan ∗ e−iǫt am = F mn dt
(625)
e ¯ ih 28
O leitor achar´a uma descri¸c˜ c˜ao ao breve em http://mathworld.wolfram.com/Riemann-LebesgueLemma.html e uma longa em qualquer livro que trate de integral de Lebesgue.
138
Introduzindo a quantidade auxiliar bn = an eiǫt temos, para (624), ¯ a˙m = F mn ih mn bn .
(626)
Substituindo, em (625), an em termos de bn , ficamos com d ∗ e−iǫtam ¯ ih bn e−iǫt = F mn dt ou
¯ b˙n ih
− iǫb
¯ b¨n ih
− iǫb˙
Derivando mais uma vez,
que, usada em (626), d´a b¨n
n
n
− iǫb˙
n
+
(627)
∗ am = F mn
(628)
∗ a˙m = F mn
(629)
1 2 mn bn = 0 2 F mn ¯ h
|
|
(630)
Trata-se agora de resolver esta equa¸c˜ cao a˜o diferencial linear a coeficientes constan st ante tes. s. Par araa is isto to exist existee um algori algoritm tmoo bem conhe conheci cido do:: co como mo todas as solu¸c˜ coes o˜es de equa¸c˜ coes o˜es deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procurase a solu¸c˜ cao a˜o como uma exponencial gen´erica, erica, escrita como bn = eat com a a determinar. Temos b˙n = aeat e b¨n = a2 eat . Inserindo estas express˜oes oes em (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos a2
− iǫa + h¯1 |F | mn mn
2
2
=0
(631)
que ´e um equ equa¸ a¸c˜ cao a˜o do se segun gundo do grau. As solu¸ coes c˜ o˜es s˜ao ao a=
iǫ
± −
4 h2 ¯
ǫ2
− |F | mn mn
2
2
Para simplificar esta express˜ ao introduzimos algumas abrevia¸c˜ ao coes: o˜es: F mn mn ¯ h ǫ2 Ω = + η 4 η =
139
2
||
(632)
Usando esta nota¸c˜ cao a˜o as solu¸c˜ coes o˜es (632) podem ser escritas ǫ a1 = i + iΩ 2 iǫ a2 = iΩ 2
−
e, portan portanto, to, = ei( 2 +Ω)t b(1) n ǫ b(2) = ei( 2 −Ω)t
(633)
= ei(− 2 +Ω)t a(1) n ǫ a(2) = ei(− 2 −Ω)t
(635)
ǫ
(634)
n
Como an = bn e−iǫt , obtemos ǫ
(636)
n
Finalmente, introduzindo α1 = α2 =
− 2ǫ + Ω ǫ +Ω 2
chegamos a = Aeiα1 t a(1) n = Be −iα2 t a(2) n ¯ α1 iα1 t Ahα h = a(1) m ∗ e F mn ¯ α2 −iα2 t B hα h = a(2) m ∗ e F mn
(637) (638) (639)
−
(640)
onde, para obter as duas ultimas, u ´ ltimas, usamos a eq.(625). Note-se que um par (a ( a(ni) , a(mi) ) representa uma fun¸c˜ cao a˜o de onda (0) a(ni) ψn(0) + a(mi) ψm
(641)
A solu¸c˜ cao a˜o mais geral ´e dada por uma combina¸c˜ cao a˜o linear dessas solu¸c˜ coes, o˜es, para i = 1 e i = 2. Como cada uma j´a foi escrita com uma constante multiplicativa arbitr´aria, aria, temos ψ=
a(1) n
+
a(2) n
ψn(0)
+
140
a(1) m
+
a(2) m
(0) ψm
(642)
ou
ψ = Aeiα1 t + Be−iα2 t ψn(0) +
−
¯ α1 iα1 t B hα ¯ α2 −iα2 t Ahα h h (0) + e e ψm ∗ ∗ F mn F mn
(643)
(0) Como condi¸c˜ cao a˜o inicial, queremos que, para t = 0, ψ = ψm . Tomando t = 0 na eq.(643), vemos que devemos ter
A+B = 0
(644)
¯ h ∗ ( Aα1 + Bα2 ) = 1 F mn
(645)
−
Conseq¨ uentemente, uentemente,
∗ F mn B= A= ¯ (α1 + α2 ) h Note-se ainda que α1 + α2 = 2Ω. A express˜ao ao para ψ ´e, ent nt˜˜ao: ao:
(646)
−
1 (0) ψ= α1 eiα1 t + α2 e−iα2 t ψm 2Ω
−
∗ F mn eiα1 t 2¯ hΩ
− e−iα2t ψn(0)
(647)
(0) O coeficiente de ψm na equa¸c˜ cao a˜o anterior, depois de alguma ´algebra alg ebra,, ´e escri escrito: to: ǫ iǫ cosΩtt − sinΩt sinΩt e−i 2 t cosΩ
e o de ψn(0) d´a
2Ω
(648)
η ∗ −i ǫ t sinΩtt i e 2 sinΩ Ω
(649)
− de modo que ǫ ψ = e−i 2 t
cosΩt cosΩt
−
iǫ (0) sinΩtt ψm sinΩ 2Ω
−
η∗ sinΩtt ψn(0) i sinΩ Ω
(650)
(0) O sistema inicia (em t = 0) no estado ψm . A probabilidade de ele estar, no (0) instante t, no estado ψn , ´e dada da da pelo p elo quadrado do m´odulo odulo do coefici coeficient entee de (0) quee ´e ψn , qu η2 2 η2 sin Ωt = (1 co coss 2Ω 2Ωtt) (651) 2Ω2 ω2
||
|| −
Na ressonˆancia, ancia, isto ´e, e, para ǫ = 0, temos Ω = probabilidade da transi¸c˜ cao a˜o ´e dad dadaa po porr
ǫ2 4
+ η
||
2
= η , logo, a
||
1 (1 cos2 η t) (652) 2 que varia varia periodicam periodicamen ente te entre entre 0 e 1. Ist Istoo sig signifi nifica ca que, na re resso ssonˆ nˆancia, ancia, o (0) (0) sistema realiza transi¸c˜ coes o˜es per peri´ i´odicas odi cas entre ψm e ψn . Note que a freq¨uˆ uˆencia dessas transi¸c˜ coes o˜es n˜ao ao depende de nenhuma das freq¨uˆ uˆencia enc iass pre present sentes: es: ela ´e determinada por η , ou seja, pela intensidade da perturba¸c˜ao.
−
||
141
||
26 26.1 26 .1
Forcas c¸as de van der Waals Intr In trod odu¸ u¸ c˜ ao
O f´ısic ısicoo hol holandˆ andˆes es Joh Johanne anness Did Diderik erik van der de r Waal aals, s, vencedo vencedorr do prˆemio emio Nob Nobel el de F´ısic ısicaa de 1910 “por seu trabal trabalho ho sobre a equa¸c˜ cao a˜o de estado de gases e l´ıquidos” u ¨ idos” propˆos, os, para gases reais, a equa¸c˜ c˜ao ao de est estado ado a p + 2 (V V
− b) = RT
,
(653)
aplic´avel avel a 1 mol. Aqui a e b s˜ao ao as chamadas constantes de van der Waals. Waals. Naturalmente, para a = b = 0, recupera-se a equa¸c˜ cao a˜o de estado para gases ideais. Note-se que a equa¸c˜ cao a˜o de van der Waals (653) mant´em em a sua validade at´e mesmo mes mo nos n os estad e stados os em e m que a fase fas e gasos ga sosaa e a fase l´ıq¨uida uida est˜ao ao em equ equil´ il´ıbrio ıbr io (Ver, para isto, Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Physics, Part 1, pg.232). Van der Waals interpretou a constante b como o volume ocupado pelos ´atomos: em gases rarefeitos atomos: rarefeitos este volume volume pode ser desprezad desprezado. o. A constante constante ca atrativa entre dois ´atomos. atomos. O a estava associada, segundo ele, a uma for¸ca pr´oprio oprio van der Waal aalss sug sugeri eriu, u, mai maiss tar tarde de,, um pote potenci ncial al de in inte tera¸ ra¸c˜ cao a˜ o da forma A exp Br V ((r) = V r onde A e B s˜ao ao constantes. Mais tarde ainda Keesom obteve o potencial
−
−
V ((r ) = V
p21 p22 3kT r6
−
para duas mol´eculas eculas polares (i.´e, e, com dipolos permanentes), com dipolos de m´odulos odulos p1 e p2 . Contudo, Contu do, gas gases es de mol´ m ol´eculas ecul as n˜ n ao a˜o pola polares res tamb´em em apresentam valores n˜aoaonulos para a constante a, de modo que uma for¸ca c a mais geral do que a de Keesom seria necess´aria. aria.
26.2 26 .2
O tra traba balh lho o de de De Deb bye
Em 1920, P. Debye publicou um importante trabalho no Physikalisches Zeitschrift , Vol.21, 178(1920), intitulado As for¸cas cas coesivas de van der Waals, Waals , que reproduzimos, em parte, a seguir. Como se sabe, o grande sucesso da equa¸c˜ cao a˜o de estado de van der Waals baseia-se essencialmente essencialmente na hip´otese otese de uma for¸ca ca atra a trativa tiva entre entr e as a s mol´ mo l´eculas. ecula s. Essas for¸cas cas causam, em adi¸c˜ cao a˜o a` press˜ao ao externa, uma press˜ao ao int intern ernaa que ´e 142
proporcional ao quadrado da densidade. De acordo com van der Waals, estas for¸cas cas de atra¸c˜ cao a˜o exis existem tem en entre tre mol mol´´eculas eculas de qualq qualquer uer tipo, e cons constitue tituem m uma propriedade geral da mat´eria. eria. Parec Parece, e, por isso, de particular intere interesse sse considerar a origem dessa atra¸c˜ c˜ao ao uni univers versal al.. Sabe-se Sab e-se ho h o je com co m certeza cer teza absoluta a bsoluta que a mol´ecula ecula ´e um sistema de cargas ca rgas el´etricas, etricas, e somos so mos levados a pro procurar curar uma origem el´etrica etrica para as for¸cas cas de van der Waals. Waals. Ser´ a certamente desnecess´ario ario considerar detalhes da estrutura molecular. Uma propriedade da mat´eria eria t˜ao ao geral quanto a atra¸c˜ cao a˜o de van der Waals n˜ao ao pode requerer, para a sua explica¸c˜ cao, a˜o, mais do que aspectos estruturais, comuns a todas as mol´eculas. eculas. Mostraremos no que se segue que, de fato, ´e suficient suficientee saber que as mol´eculas eculas s˜ao ao sistemas el´etricos etricos em que as cargas n˜ao ao est˜ao ao rigidamente presas `as as suas posi¸c˜ coes o˜es em repou repouso. so. Uma rela¸c˜ cao a˜o entre a constante de atra¸c˜ cao a˜o de van der Waals, de um lado, e o ´ındice de refra¸c˜ cao a˜o e o alargamento das linhas espectrais, do outro lado, pode ser deduzida na base dessa hip´otese. otese.
26.2 26 .2.1 .1
A eq equa ua¸¸c˜ c˜ ao de van der Waals ao
Come¸camos camos por apresentar algumas rela¸c˜ coes o˜es que ser˜ao ao usadas subseq¨ uenteuentemente...
26.3
Causa da Coes˜ ao ao
Se imagin imaginarmos armos as mol´eculas eculas como sistemas el´etricos etricos r´ıgidos ıgidos,, ent˜ ao haver´a, ao a, naturalmen natur almente, te, uma for¸ca ca agin agindo do en entre tre tai taiss sis sistem temas, as, que mu mudar dar´´a de sinal e de magnitude com a orienta¸c˜ cao a˜ o m´ utua das mol utua mol´´eculas. eculas. Como todas as orienta¸c˜ coes o˜es ocorrem em um g´as, as, a m´edia edia sobre tais orienta¸c˜ coes o˜es precisa ser tomada, afim de computar o termo de atra¸c˜ cao a˜o que aparece na equa¸c˜ cao a˜o de estado. Em termos gerais, na realiza¸c˜ cao a˜o dese processo de m´edia, edia, a probabilidade de uma orienta¸c˜ cao a˜o arbitr´aria aria teria de ser determinada em base ao princ princ´´ıpio de Boltzmann-Maxwell. Quanto mais alta a temperatura, por´ p or´em, em, menos importa po rtante nte ´e a dep dependˆ endˆencia encia na energ energia ia m´utua. utua. No limite de altas temperaturas, todas as orienta¸c˜ coes o˜es ser˜ao ao igualmente prov´aveis. aveis. Obv Obviame iamente nte,, a hip´ otese de otese van der Waals requer que a caracter caracter´´ıstica coes˜ao ao introduzida na equa¸c˜ cao a˜o persista no caso limite. Pode ser mostrado facilmen facilmente te que dois sistemas el´etricos etricos r´ıgidos, em m´edia ed ia,, n˜ao ao exercem for¸ca ca um sobre o outro. O potenc potencial ial que ´e gerado em um ponto p onto distante por uma mol´ecula ecula pode p ode ser considerado como originandose de uma s´erie erie de esferas concˆentricas entricas cobertas por uma camada de cargas el´etricas etricas de densidade dens idade super superficial ficial constante. Se as mol´eculas eculas assumem toda todass 143
as poss´ıveis ıveis orienta¸c˜ coes o˜es no espa¸co, co, cada carga ocupa, na m´edia, edia, todos os pontos da esfera com igual freq¨uˆ uˆencia. encia. Como ´e sabido qye uma esfera com densidade superficial de carga constante afeta pontos de seu esterior como se a carga total estive estivesse sse concen concentrada trada no cent centro, ro, e como a mol´ecula ecula possui p ossui carga total zero, a m´edia edia do potencial no ponto considerado ser´a zero. Assim, n˜ao ao existe for¸ca ca efeti efetiva va na m´edia, edia , entre duas mol´eculas ecul as r´ıgi ıgidas das.. A situa¸c˜ cao a˜o ´e imediata imed iata e essencia esse ncialmente lmente mudad mudadaa se se s e conside con sideram ram mol´eculas ecula s que n˜ao ao s˜ao ao completamen completamente te r´ıgidas. ıgidas. O fato de que cada g´as as tem um ´ındi ındice ce de refra¸c˜ cao a˜o dife diferen rente te de 1 ´e prov provaa da mobil mobilidade idade das carga cargass separ separadas adas da mol´ecula. ecula. Levando isto ist o em considera considera¸c˜ c¸ao, a˜o, ser´a claro que uma u ma dada mol´ecula ecula adquire um momento el´etrico etrico de dipolo no campo E de outra mol´ecula, ecula, e o valor desse dess e momento ´e propo p roporcional rcional a E. Ass Assim, im, surge surge uma energia energia m´utua utua entre as duas mol´eculas eculas que ´e proporci pro porcional onal ao produ p roduto to do d o momento de dipol di poloo pelo campo E, ou seja seja,, ´e quad quadr´ r´atica atica em E. Conseq¨uentemente, uentemente, a for¸ca ca m´edi ed ia n˜ao ao pode se anular. Al´ em diss em disso, o, pode ser visto pron prontamen tamente te que essa for¸ca ca ´e semp sempre re de atra atra¸¸c˜ cao. a˜o. Assi Assim, m, podemos p odemos concluir concluir que descobrimos descobrimos a for¸ca ca que 29 est´a na origem da atra¸c˜ cao a˜o universal de van der Waals A situa¸c˜ cao a˜o pode po de ser ilustrada ilustrada pelo p elo exemplo exemplo seguinte. seguinte. Dois dipolos est˜ ao ao situados em oposi¸c˜ cao a˜o um ao outro.
+
−
+
−
I
−
E
+
−
E
+
II
E
E
(a)Na posi¸c˜ cao a˜o I. Aqui o efeito principal ´e repulsivo. Como conseq¨uˆ uˆenci en ciaa da a¸c˜ cao, a˜o, o campo E sobre as cargas elasticamente acopladas, as ´ultim ul timas as s˜ao ao deslocadas de tal forma que os momentos el´etricos etricos de dipolo s˜ao ao reduzidos. 29
Errado! Veremos eremos mais abaixo que esta for¸ca ca existe, mas que a atra¸c˜ ao ao de van der Waals ocorr oc orree tamb´em em para par a mol´eculas ecul as r´ıgidas ıgi das..
144
Assim, a for¸ca ca repulsiva repulsiva dec decresc resce; e; em outras pala palavras, vras, uma for¸ca ca atrativa aparece como um efeito secund´ario. ario. (b)Na posi¸c˜ cao a˜o II. I I. Aqui o efeito principal ´e atrativo. O campo camp o agora desloca as cargas de modo mo do que os momentos crescem. O efeito principal ´e agora aumentado, ou, dito de outra forma, de novo uma for¸ca ca atrativa foi adicionada como efeito secund´ario. ario. O efe efeito ito pri princ ncipa ipall se an anula ula qua quando ndo se faz a m´ edia sob edia sobre re todas as ori ori-enta¸c˜ coes. o˜es. Como o efeito secund´ ario ´e sempre positivo, ele nunca se anular´a ario na m´edia ed ia.. At´ a aqui as pal palav avras ras de Deby Debye. Com Comoo j´a mencionamos, este efeito que ele descreve efetivamente existe, mas n˜ao ao ´e suficiente: os gases nobres tˆem em ´atomos esse atomos essencial ncialmen mente te inde indeform´ form´ aveis, e, no en aveis, entan tanto, to, se cond condensam ensam,, sob a a¸c˜ cao a˜o da atra¸c˜ cao a˜o de van der Waals. Falta ainda alguma coisa.
26.3 26 .3.1 .1
A teor teoria ia de Lo Lond ndon on
Em 1930, Fritz London(Zeitschrift London(Zeitschrift f¨ ur Physik ,63,245(1930)) utilizou a teoria quˆantica antica das perturba¸c˜ coes o˜es para obter o potencial de intera¸c˜ cao a˜o V ((r ) = V
−
3¯ hω0α2 hω 4r 6
entre dois ´atomos atomos (ou mol´eculas) eculas) idˆenticos, enticos, com freq¨uˆ uˆencia enci a de tra transi¸ nsi¸c˜ cao a˜o ω0 entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, e com polarizabilidade α. O re resul sultad tadoo de London, London, que foi conside considerad radoo um grande grande mar marco co na aplica¸c˜ cao a˜o da mec˜anica anica quˆantica, antica, mostrou que h´a uma for¸ca ca geral de atra¸cao cao entre en tre duas mol´ eculas mesm eculas mesmoo que nenh nenhuma uma possua um mome momento nto de dipolo permanente. ´e suficiente que um momento de dipolo dip olo possa p ossa ser induzido em cada mol´ecula, ecula, isto ´e, e, que cada mol´ecula ecula seja pol polariz´ ariz´avel avel (α (α = 0). Al´em em disso, a for¸ca ca de van der Waals ´e independente da temperatura, propriedade compartilhada pela intera¸c˜ cao a˜o de London, mas n˜ao ao pela de Keesom. A seguir mostraremos que a for¸ca ca de van der Waals, na forma obtida por London, Londo n, po pode de ser atribu´ıda ıda a` energia do ponto zero.
26.3.2
Referˆ encias encias
A leitura da conferˆencia encia que apresentou ao receber o prˆemio emio Nobel ´e fortemente recomendada. As URL’s s˜ao ao http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-lecture.html http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-bio.html
145
Mais curiosidades sobre as for¸cas cas de van der Waals: http://news.nationalgeographic.com/news/2002/08/0828_020828_gecko.html http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A6378230 http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Debye-1920/Debye-1920.html
De grande interˆesse esse e atualida a tualidade de ´e o artigo de S. K. K . Lamoureux, L amoureux, “Casimir force for ces: s: Sti Still ll sur surpri prisin singg aft after er 60 year ears”, s”, Physics Today ,Fev ,Feverei ereiro ro de 2007, pg.40, que considera a for¸ca ca de van der Waals no contexto mais amplo das for¸cas cas de Casimir. Casimir. Em particular, particular, menciona-s menciona-see neste artigo o fato de que a aderˆencia encia que permi permite te `as as lagart lagartixas ixas subir uma pared paredee de vidr vidroo ´e dev devida ida `a for¸ca ca de van der Waals.
26.4
Rela¸c˜ c˜ ao com a energia do ponto zero ao
Quando um g´ as se condensa, ocorre uma not´avel as avel contra¸c˜ cao a˜o de volume, que revela a existˆencia encia de for¸cas cas de coes˜ao ao entre as mol´eculas, eculas, ou ´atomos. atomos. Essas for¸cas cas s˜ao ao as for¸cas cas de van der Waals. Waals. As for¸cas cas de coes˜ao ao de van der Waals depemdem da deforma¸c˜ cao a˜o m´ utua dos ´atomos, utua atomos, de duas maneiras diferentes. Primeiro, a a¸c˜ cao a˜o do campo (devido ao momento de dipolo ou quadrupolo permanente perma nente da mol´ecula, ecula, sobre o dipolo di polo induzido sobre a outra ou tra mol´ m ol´ecula ecula por este mesmo campo) lev leva, a, em m´edia, edia, a uma atra¸c˜ cao: a˜o: um resultado conhecido mesmo antes da mecˆanica anica quˆantica, antica, demonstrado por considera¸c˜ coes o˜es cl´assicas assicas por Debye e Keesom (1921). Da´ı, ı, no entanto e ntanto,, se s e conclu co ncluiria iria que ´atomos ato mos ou mol´eculas ecula s de d e estado est adoss funda f unda-mentais esfericamente sim´etricos etricos (e, portanto, sem dipolos ou quadrupolos permanentes), como os gases inertes, n˜ao ao deveriam apresentar coes˜ao, ao, contrariamente `a exp experiˆ eriˆencia enc ia.. Uma solu¸c˜ cao a˜o para este problema foi apresentada por Fritz London (1930), que mostr mostrou ou que a defo deformabil rmabilidade idade tem um segun segundo do efe efeito, ito, carac caracter ter´´ıstic ısticoo da mec˜anica anica quˆantic antica. a. De aco acordo rdo com est estaa te teori oria, a, exi existe ste um ”mo ”movim vimen ento to do ponto zer zero”, o”, isto ´e, e, mesm mesmoo no estad estadoo de m´ınima ene energia rgia o atomo a´tomo ou mol´ ecula apres ecula apresen entam tam mov movimen imento to de carga cargas, s, de modo que pode exis existir tir um dipolo oscilante, com a freq¨uˆ uˆencia encia do el´etron. etron. Aproximados os atomos a´tomos um do outro, os ”movimentos do ponto zero”dos dipolos agem sempre de modo que o resultado seja uma atra¸c˜ cao. a˜o. Para descrever a intera¸c˜ cao a˜o entre dois ´atomos atomos de hidrogˆ h idrogˆenio enio de forma bem simples, consideremos cada um deles como um n´ucleo ucleo positivo de carga e e um el´etron, etron, de carga e que, por a¸c˜ cao a˜o de um campo eletromagn´tico, tico, est´a oscilando harmˆonicamente onicamente em torno do n´ucleo ucleo fixo. No pri prime meiro iro semestr semestree
−
146
mostra mos que, num mod mostramos modelo elo muito simples do ´atomo, atomo, se o el´etron etron ´e deslocado de uma distˆancia ancia r em rela¸c˜ cao a˜ o ao n´ ucleo, aparece sobre ele uma for¸ca ucleo, ca restitutiva da forma e2 F = r a3 onde a ´e o raio do n´ucleo. ucleo. No caso de um modelo mais real real´´ıstic ıstico, o, a for¸ca ca ainda ter´a essa express˜ao, ao, mas a n˜ao ao ser´a exatamente o raio do n´ucleo. ucleo. Supondo os dois atomos a´tomos idˆenticos, enticos, cada um deles ter´a, a, ent˜ao, ao, por causa da defor deforma¸ ma¸c˜ cao, a˜o, uma energia energia pote potenci ncial al el´ astica,, ou sej astica seja, a, ter teremo emoss ene energi rgias as e2 2 potenciais 2a6 x1 para um atomo a´tomo (x (x1 ´e o desl desloc ocament amentoo do el´etron etro n em rela rela¸¸c˜ cao a˜o e2 2 ao atomo) a´tomo) e 2a6 x2 para o outro. Os n´ ucleos dos ´atomos ucleos atomos est˜ao ao `a di dist stˆancia aˆncia R um do outro. Supondo, apenas para fixar as id´eias, eias, que o ´atomo atomo a` esquerda esquerd a tenha ten ha o el´etron etron desloca des locado do para pa ra a esquerda, e que o da direita tenha o seu deslocamento para a direita, teremos uma energia potencial el´etrica etrica dada por
−
e2 e2 + U = R R + x1 + x2
−
e2 R + x1
−
e2 R + x2
(654)
Estaremos supondo que os ´atomos atomos estejam distantes, ou, mais precisamente, que R xi para i = 1, 2
≫
Podemos ent˜ao, ao, na Eq.(654), expandir cada termo que contenha x1 e x2 em s´erie er ie de potˆenci en cias as de xi /R ormula /R,, o que se faz sem dificuldade usando a f´ormula do binˆomio. omio. Por exemplo, e2 e2 x1 + x2 −1 e2 = 1+ = 1 R + x1 + x2 R R R
−
x1 + x2 (x1 + x2 )2 + R R2
Fazendo o mesmo para e2 /(R + x1 ) e e2 /(R + x2 ) e levando esses resultados em Eq.(654), obtemos, ap´os os uma s´erie erie de cancelamentos, 2e2 U (x1 , x2 ) = 3 x1 x2 R que ´e a energia de intera¸c˜ cao a˜o entre os dois dip´olos. olos. A energia en ergia total do sistema ´e ent˜ao ao dada por 2e2 x1 x2 p21 + p22 e2 2 2 + 3 x1 + x2 + (655) H = 2m 2a R3 Suponhamos por um momento que o termo de intera¸c˜ c˜ao, ao, ou seja, o ultimo u ´ ltimo termo da Eq.(655), seja omitido. Ent˜ao ao cada dip´olo olo iria vibrar com a freq¨uˆ uˆencia
ω0 =
e2 a3 m
147
Na presen¸ca ca do termo de intera¸c˜ cao, a˜o, conv conv´´em em proceder assim: a ssim: procuro uma mudan¸ca ca de vari´aveis aveis tal que o sistema seja reconduzido, nas novas vari´aveis, a dois osciladores independentes. Isto se consegue introduzindo as vari´aveis aveis xs = ps = xa = pa =
√12 (x + x ) √12 ( p + p ) √12 (x − x ) √12 ( p − p ) 1
2
1
2
1
2
1
2
Com isto, o hamiltoniano do sistema se escreve 1 e2 e2 2 2 2 2 H = ps + pa + 3 xs + xa + 3 x2s 2m 2a R
−
x2a
ou, de forma mais clara, 1 2 1 2 e2 e2 e2 2 + + + H = ps + x p s 2m 2a3 R3 2m a 2a3
−
e2 x2a 3 R
(656)
Na Eq.( Eq.(656 656)) vˆe-se e-se que h´a dois osciladores independentes, um de coordenadas primeiro tem a con consta stant ntee el el´´astica astica dada xs e o outro de coordenadas xa . O primeiro e2 e2 e2 e2 por 2a + R3 , e o segundo a tem igual a 2a R3 . Escrevendo
ωs = ωa =
−
2 e2 1 + m a3 R3 2 e2 1 m a3 R3
−
(657) (658)
vemos facilmente que as energias do sistema podem ser escritas E na nb
1 1 1 1 = hω ¯ ωs ns + + hω ¯ ωa na + h h 2 2 2 2
(659)
O estado fundamental desse sistema, que ´e a energia mais baixa que este sistema de dip´olos olos po pode de ter, ter , ´e obtido ob tido pond pondoo ns = na = 0 (´e a energ e nergia ia do ponto p onto zero do sistema). Mesmo que n˜ao ao haja nenhum campo externo atuando sobre o sistema, ele ter´a esta energia, pelo menos. Ela ´e 1 ¯ (ωs + ωa ) E 00 00 = h 2 148
(660)
Usando as Eqs.(657) para explicitar os valores de ωs e ωa , temos
¯ ω0 1 E 00 h 00 = hω
−
a6 +... 2R6
(661)
O primeiro pr imeiro termo ´e uma constante, irrelevante. O segundo seg undo termo ´e da forma 6
a −hω ¯hω 2R
U (R) =
0
6
(662)
e ´e sempre negativo. Ele gera a for¸ca ca
Fvw = ou seja,
Fvw = ou
Fvw =
−∇U (R) 3a6 ˆ ¯ ω0 7 R h hω R
−
e2 3a6 ˆ ¯ R h am R7
−
(663)
ˆ ´e o vetor uni que ´e uma for for¸¸ca ca atrativa (R unit´ t´ario ario na dire¸c˜ cao a˜o radial). Esta ´e a for¸ca ca de van der Waals. Waals. Apesar de ser respons´ avel por um fato corriqueiro, avel macrosc´ opico, como a contra¸c˜ opico, c˜ao ao vol volum´ um´etrica etr ica po porr o cas casi˜ i˜ao ao da condensa¸c˜ c˜ao, el elaa ´e de ca car´ r´ater ater quˆantico, antico, o que se manifesta claramente tanto pelo fato de ser proporcional a h ¯ , quanto pelo fato de ser uma conseq¨uˆ uˆencia encia dir direta eta da ener energia gia do ponto zero dos osciladores harmˆonicos. onicos. Usando o valor de ¯2 h a= me2 pode-se reescrever a eq.(662) na forma e2 a5 U (R) = 6 , R
(664)
que ser´a util u ´ til para comparar com os resultados perturbativos obtidos abaixo.
26.5 26. 5
Trat ratam amen ento to perturba perturbativ tivo o das for¸cas c as de van de derr Waals
Para obter uma express˜ao a o para as for¸cas cas de van der Waals via teoria das perturba¸c˜ coes, o˜es, precisaremo p recisaremoss do seguinte s eguinte resultado, resul tado, demonstra demonstrado do no Apˆ A pˆendice: endice:
149
a corre¸c˜ cao a˜o de segunda ordem `a energia n˜ao ao perturbada, que denotaremos por dadaa po porr W 2 , ´e dad ˆ n 2 m V (665) W 2 = E E m n n =m
|
| | | −
onde m ´e o esta estado do n˜ao ao perturbado e os E i s˜ao ao as energias dos n´ıveis n˜ ao ao perturbados. Suponhamos que os n´ucleos ucleos de dois ´atomos atomos de hidrogˆ h idrogˆenio, enio, um localizad lo calizadoo na origem, o outro no ponto com vetor de posi¸c˜ cao a˜o R, estejam no eixo z. O el´etron etro n do prim primeiro eiro ´atomo atomo est´a em r1 , e o do outro em R + r2 .
|
r1
r2 R
1
2
O hamiltoniano para este sistema ser´a escrito ˆ = H ˆ 0 + V ˆ H 2 ¯ h e2 e2 ˆ0 = 21 + 22 H 2m r1 r2 2 2 e e e2 ˆ + V = R + r2 r1 R r1 R
−
(666)
∇
∇ − −
|
− |−| − |−|
(667) e2 R + r2
|
(668)
Os atomos a´tomos n˜ao ao perturbados est˜ao ao em seus estados fundamentais, de sorte ˆ que o autoestado de H 0 ´e da dado do p or u0 (r1 , r2 ) = u100 (r1 )u100 (r2 ) onde
3
(669)
1 2 r 2 exp u100 (r,θ,φ r,θ,φ)) = Y 00 00 (θ, φ) a0 a0 ˆ possa ser tratado perturbativamente, suporemos Para que o potencial V o caso em que R a0 , onde a0 ´e o raio de Bohr, o que acarreta que rR1 e rR2 s˜ao ao ambos muito menores do que 1. ˆ em potˆencias Neste caso, expandindo V encias de 1/R (com o uso da f´ormula ormula do binˆomio omio de Newton) teremos, ap´os os v´arios arios cancelamentos, e desprezando 4 termos da ordem de (r/R ( r/R)) e menores,
−
≫
e2 V = 3 (x1 x2 + y1 y2 R 150
− 2z z ) 1 2
(670)
ˆ m = 0, pois a fun¸c˜ Note inicialmente que m V cao a˜o de onda u0 (r1 , r2 ) ´e uma ˆ fun¸c˜ cao a˜o par de r1 e de r2 , enquanto que V (com (comoo mos mostra tra a Eq.( Eq.(670 670)) )) ´e ´ımpar ımpa r em r1 e em r2 . Ass Assim, im, o te termo rmo que iremos iremos cal calcul cular, ar, a cor corre¸ re¸c˜ cao a˜o de segunda ordem `a ener energia, gia, ´e o term termoo domin dominant antee na abordage abordagem m pertur perturbativ bativa. a. Como 2 6 ˆ , teremos uma intera¸c˜ ele depender´a de V cao a˜o do tipo 1/R 1/R . Olhando, Olhand o, na eq.( eq.(665), 665), a expr express˜ ess˜ ao para W 2 , que denotaremos por W ao W ((R), temos ˆ n 2 m V (671) W 2 = , E n n =m E 0
| |
|
| | | −
onde vemos que W positivo tivo e o denomiW ((R) ´e negativa, pois o numerador ´e posi nador nad or ´e nega n egativo, tivo, j´a que E 0 < E n , para todo n = 0. Logo, trata-se de uma intera¸c˜ cao a˜o atrativa e proporcional a 1/R 1/R6, para grande R. Est Estas as conclus conclus˜˜oes oes permanecem v´alidas alidas para qualquer par de ´atomos atomos cujos estados fundamentais sejam n˜ao-degenerados ao-deg enerados e esfericamente sim´etricos. etricos. ´e po poss´ ss´ıvel ıvel (A (A.. Uns Unsol old, d, 43,563(1927)) obter um limite superior para a quantidade positiva W substitu´´ındo, em (671), todos os E n (com n = W ((R), substitu ˆ n∗ ´e di 0) pela energia do estado excitado mais baixo para o qual 0 V dife fere rente nte de zero. Vamos denot´a-la a-la por E n∗ . De fato, neste caso teremos
−
ˆ n 0 V
| |
n=0 =0
| |
2
=
| |
ˆ n n V ˆ 0 0 V
| n
2
ˆ 0 0 V
| − | |
| |
ˆ2 0 = 0 V
|
ˆ 0 0 V
2
| − | |
(672)
ˆ 0 = 0, e, levando em conta que 0 V
| |
0|V ˆ |0 −W W ((R) ≤ E − E 2
n∗
(673)
0
O estado n∗ ´e aquele a quele em que ambos os ´atomos atomos est˜ao ao em estados com n´umero umero quˆantico antico principal n = 2, de modo que
−
E n∗ =
−2 8ea
e
2
e2 2a0
E 0 =
2 0
ou ainda
3e2 E n∗ E 0 = 4a0 Do resultado obtido acima chega-se a
(674)
−
e4 2 2 2 ˆ 4z12 z22 + 2x 2x1 x2 y1 y2 V = 6 x1 x2 + y12y22 + 4z R
151
− 4x x z z − 4y y z z 1 2 1 2
1 2 1 2
(675)
Todos os termos do tipo 0 x1 x2 y1 y2 0 s˜ao ao nulos, pois s˜ao ao fun¸c˜ coes o˜es ´ım ımpa pares res de cada coordenada. Por exemplo,
|
|
0|x y x y |0 = 0|x y |00|x y |0 1 1 2 2
1 1
(676)
2 2
e
0|x y |0 1 1
= K = K
∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ dx1
−∞
dz1 x1 y1 exp
dy1
dz1
dy1 y1
−∞
−∞
dx1 x1 exp
−
2 x21 + y12 + z12 a0
−
2 x21 + y12 + z12 a0
e a integral em x1 d´a zero, pois o intervalo de integra¸c˜ cao a˜o ´e si sim´ m´etrico etr ico e o 2 2 integr int egran ando do ´e ´ımp ımpar ar.. J´a os termos quadr´aticos, aticos, como x1 x2 , d˜ao ao 2 2 1 2
2 1
2 2
0|x x |0 =0|x |00|x |0 e
1 0 0 = 3 onde usamos x21
| |
4 d rr u100 (r) = 3 3a0 3
2
2
|
|
u100 (r) =
2 3/2 a0
∞ 0
drr 4 exp
(677)
− 2ar = a 0
2 0
(678)
− ar )Y
exp(
00 0 0 (θ, φ)
0
Ent˜ao ao 2 2 1 2
4 0
(679) 0|x x |0 = a obtendo-se o mesmo valor para 0|y y |0 e 0|z z |0 Em conseq¨ uˆenci uˆ en ciaa, 2 2 1 2
2 2 1 2
4
ˆ 2 0 = 6a40 e 0 V R6
| |
(680)
e
8e2 a50 (681) W ((E ) W R6 Usando o m´etodo etodo variacional ´e poss´ıvel ıvel determinar um limite superi superior or para Mechanics, 3rd. edition edition,, pg.262). pg.2 62). Obt´em-se em-se W ((R) (Schiff, Quantum Mechanics, W
≥−
W (R) W (
≤−
6e2 a50 R6
e, portan portanto, to,
(682)
8e2 a50 6e2 a50 (683) W ((R) W R6 R6 C´alculos alculos variac variacionais ionais mais detalhados mostram que o coeficiente num´erico erico em W aproximadamente mente 6, 50. W ((R) ´e muito aproximada
−
≤
≤−
152
26.6
Apˆ endice endice
Teoria das perturba¸c˜ coes o ˜es ˆ o, o Suponhamos que saibamos tudo sobre o sistema cujo hamiltoniano H hamiltoniano n˜ ao perturbado. Nosso intere ao interesse sse ´e utilizar este conhecimen conhecimento to para obter solu¸c˜ coes o˜es aproximadas para o sistema cujo hamiltoniano ´e ˆ = H ˆ 0 + V ˆ H
(684)
ˆ , dito a perturba¸c˜ onde V c˜ ao,, ´e pequeno. ao p equeno. Podemos, para tornar mais simples V , ˆ , com λ pequeno. No final dos as dedu¸c˜ coes, o˜es, escrever a perturba¸c˜ cao a˜o como λV V , c´alculos alculos tomaremos λ = 1. ˆ 0 , denotadas por uk (r), satisfar˜ao As autofun¸c˜ coes o˜es da energia de H ao ˆ 0 uk = E k uk H
(685)
o que identifica os E k como sendo os n´ıveis ıveis de d e energia ener gia n˜ao ao perturbados. As fun¸c˜ coes o˜es de onda e n´ıveis de energia perturbados p erturbados ser˜ao ao escritos ˆ = Wψ Hψ
(686)
e, expa expandid ndidos os em s´eries erie s de po potˆ tˆencias encia s de λ, d˜ao ao ψ = ψ0 + λψ1 + λ2 ψ2 + λ3 ψ3 ... W = W 0 + λW 1 + λ2 W 2 + λ3 W 3 + ...
(687) (688)
e, colocados na Eq.(684), levam a
ˆ 0 + λV ˆ (ψ0 + λψ1 + ... H ...)) (W 0 + λW 1 + ... ...)) (ψ0 + λψ1 + ... ...))
(689)
Igualando os coeficientes das mesmas potˆencias encias de λ, obtemos
ˆ0 H
0
0
0
0 0
0
= 0
1
= (W 1
0
0
2
=
1
1
+ W 2 ψ0
0
3
=
1
2
+ W 2 ψ1 + W 3 ψ0
− W ψ ˆ H − W ψ ˆ − H W ψ ˆ − W ψ H
(690)
ˆ )ψ − V V ) ˆ )ψ (W − V V ) ˆ )ψ (W − V V )
(691) (692) etc
(693)
A primeira equa¸c˜ cao a˜o nos diz que ψ0 ´e uma das aut autofu ofun¸ n¸c˜ coes o˜es n˜ao ao perturbadas, e W 0 ´e o seu autovalor. Tomemos ψ0 = um , e W 0 = E m . Supo Suponha nhamos mos que que ao seja degenerado. um n˜ao 153
Nas segunda das equa¸c˜ coes o˜es acima, podemos substituir
→ ψ′ = ψ
ψ1
1
1
+ K 1 ψ0
sem violar a equa¸c˜ cao. a˜o. Escolhamos K 1 de modo tal que (ψ1′ , ψ0 ) = 0 e passemos a chamar ψ1′ de ψ1 . Na terceira equa¸c˜ cao a˜o podemos substituir
→ ψ′ = ψ
ψ2
2
2
escolher K 2 de forma que
+ K 2 ψ0 ,
(ψ2′ , ψ0 ) = 0
e passar a chamar ψ2′ de ψ2 , e assim por diante. diante. Dest Destaa forma, teremos teremos fun¸c˜ coes o˜es coes o˜es acima e s˜ao, ao, todas, ortogonais a ψ0 . ψs (s = 0) que satisfazem as equa¸c˜ Nas eq equa¸ ua¸c˜ coes o˜es (690) e seg seguin uintes tes,, tom tomemo emoss o prod produto uto escalar escalar,, ter termo mo a termo, por ψ0 . Tomemos como exemplo a terceira delas. Teremos
ˆ0 ψ0 , (H
− W )ψ 0
2
que tem como resultado
=
ˆ )ψ ψ , (W − V V )
−
ψ0 , Vˆ ψ1 + W 2
0= ou
0
1
1
+ (ψ (ψ0 , W 3 ψ0 )
(695)
W 2 = ψ0 , Vˆ ψ1
e, de maneira geral,
W s = ψ0 , Vˆ ψs
(694)
−
(696) (697)
1
Por outro lado, ψ1 pode ser expandida nas autofun¸c˜ coes o˜es n˜ao ao perturbadas, ψ1 =
n
a(1) n un
(698)
Levando (698) `a segunda das equa¸c˜ coes o˜es (690), temos ˆ0 a(1) H n
n
− E
m
um = W 1
Mas a(1) uˆenci uˆ en ciaa de m = 0, como conseq¨ (ψ0 , ψs ) = 0
154
− V ˆ
um
(699)
De (699) segue ent˜ao, ao, sem dificuldade, tomando o produto escalar com uk , que ˆ m k V (1) (700) ak = E m E k Levando este resultado `a (696),e lembrando que ψ0 = um,
| | −
ˆ | | E k|V −|mE |k
ˆ W 2 = m V
m
k =m
ou W 2 =
k =m
ˆ k k V ˆ m m V E m E k
| | | | −
ou ainda,
(702)
2
| | ˆ m k V
W 2 =
(701)
k
k =m
E m
(703)
− E
k
que ´e o resultado que foi usado no texto.
27
Sist Si stem emas as co compo mpost stos os
Qual ´e a probab probabilidade ilidade de, lan¸cando-se cando-se um dado, obter-se o n´umero umero 3? Todo o mundo sabe sab e que ´e 1/6. Qual ´e a probabilidade de, lan¸cando-se cando-se o mesmo dado duas vezes, obter-se duas vezes o n´umero umero 3? Como s˜ao ao eve eventos ntos independentes, penden tes, a probab probabilida ilidade de ´e o produto, 1/36, portan portanto. to. Cons Consider ideree agora o seguinte problema: lan¸ca-se ca-se o dado uma primeira vez, obtendo-se n1 . Qu Qual al ´e a probabilidade de que, num segundo arremesso, a leitura, n2 , seja maior do que n1 ? Ou seja, qual ´e a probabilidade de, arremessando-se um dado duas vezes, obter-se o par (n ( n1 , n2 ), com n2 > n1 ? Ag Agor oraa n˜ ao se trata de eventos ao independentes, e a probabilidade n˜ao ao ´e um simples produto. pro duto. Num sistema formado por duas part part´´ıculas, dizemos que elas s˜ao ao independentes se a probabilidade de uma estar em uma certo elemento de volume for independente da posi¸c˜ cao a˜o da outra. Neste caso, cada part´ part´ıcula possui p ossui a sua pr´opria opria fun¸c˜ cao a˜o de onda. onda. Sej Sejam am ψ1 (r1 ) e ψ2 (r2 ) essas fun¸c˜ coes o˜es de onda onda.. En Ent˜ t˜ a o a fun¸c˜ ao cao a˜o de onda do sistema ´e, e, simplesmente, ψ (r1 , r2 ) = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 )
(704)
De fato, desta forma a probabilidade de a part part´´ıcula 1 estar entre r1 e r1 + d3r1 e da part part´´ıcula 2 estar entre r2 e r2 + d3r2 ´e da dada da po porr 2 3
3
2
2 3
3
|ψ(r , r )| d r d r = |ψ(r )| |ψ (r )| d r d r 1
2
1
2
1
155
2
2
1
2
(705)
e a probabilidade do eve evento nto composto (part (part´´ıcula 1 aqui e pa part´ rt´ıcul ıc ulaa 2 al ali) i) ´e o produto das probabilidades dos eventos individuais, o que caracteriza, na linguagem das probabilidades, a independˆencia encia dos even eventos. tos. Se as part part´´ıculas interagem interagem,, essas probabilidades n˜ao a o s˜ao ao mais independentes, e a fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema composto n˜ao ao ´e mais o produto das fun¸c˜ coes o˜es de onda dos sistemas elementares. Sejam (706) ψn (r1 ), n = 1, 2 . . . fun¸c˜ coes o˜es que formam uma base do espa¸co co E 1 de estados da part part´´ıcula 1, e φn (r2 ), n = 1, 2 . . .
(707)
fun¸c˜ coes o˜es que formam uma base do espa¸co co E 2 de estados esta dos da part p art´´ıcula 2. Consideremos o conjunto dos produtos ψn (r1 )φm (r2 )
(708)
para todo todoss os valores poss´ıveis ıveis de n e m. O conjunto conjunto de todas as combina¸ combinac˜ c¸oes o˜es lineares, com coeficientes co eficientes complexos, com plexos, desses produt pr odutos, os, ´e um espa¸co co vetorial30 . Os elementos desse espa¸co co vetorial s˜ao, ao, ent˜ao, ao, express˜oes oes da forma Ψ(r1 , r2 ) = Aψ1 (r1 )φ1 (r2 ) + Bψ 2 (r1 )φ3 (r2 ) , Ψ(
(709)
por exemplo. Mais geralmente, Ψ(r1 , r2 ) = Ψ(
n
Anmψn (r1 )φm (r2 )
(710)
m
onde os Anm s˜ao a o n´ umeros complexos. umeros O produto escalar escalar nest nestee espa espa¸¸co co ´e definido assim: para elementos elem entos da base, b ase, (ψn (r1 )φm (r2), ψn′ (r1 )φm′ (r2 )) = (ψ (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 ))
(711)
A extens˜ao ao a um elem elemen ento to geral ´e feit feitaa usand usandoo a biline bilinearida aridade de do produto escalar esca lar,, isto ´e, e, (a + b, c) = (a, c) + (b, ( b, c) (a, b + c) = (a, b) + (a, ( a, c)
(712) (713)
Desta maneira, (Ψ(r1 , r2 ), Ψ′ (r1 , r2 )) = (Ψ(
m,n m′ ,n′
A∗nm Bm′ n′ (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) (714)
30
Dito produto produto tensorial dos espa¸cos cos E 1 e E 2 , e denotado, quando se quer assustar os estudantes, por E 1 E 2 .
⊗
156
onde
(ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) =
d3r1 ψn (r1 )∗ ψn′ (r1 )
(715)
e assim por diante. Os mesmos resultados se aplicam no caso de se ter, em lugar de duas ou mais part part´´ıculas, dois ou mais conjuntos de vari´ aveis independent aveis independentes. es. Por exemplo, uma part part´´ıcula livre no espa¸co co tridimensional, descrita por coordenadas cartesianas. cartesianas. As coordenadas coordenadas x, y e z s˜ao ao independentes, e a fun¸c˜ cao a˜o de onda da part part´´ıcula ´e escrita, num estado de momento definido, ψ(x,y,z x,y,z)) = ei(kx x+ky y+kz z) = eikx x eiky y eikz z .
(716)
Outro caso semelhante sem elhante ´e o do spin. Na mecˆanica anica quˆantica antica n˜ao-rela ao- relativ´ tiv´ıstica ısti ca (e na ausˆencia encia de campos magn´eticos) eticos) as coordenadas espaciais e as vari´ aveis aveis de spin s˜ao ao indepe independen ndentes: tes: a probab probabilidad ilidadee de um el´ etron estar em uma etron determinada posi¸c˜ cao a˜o e ter, por exe exemplo, mplo, componente componente z do spin igual a +1/2, ´e o produto prod uto das duas du as probabilida prob abilidades. des. A fun¸c˜ c˜ao ao de on onda da de um el´etro et ron n ´e ent ent˜˜ao ao o produto (717) ψ(r)χσ onde χσ ´e uma u ma das duas matrizes coluna
1 0
ou
0 1
e ψ(r ) ´e a fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o de onda espacial. Se o hamiltonia hami ltoniano no de um sistema si stema for fo r constitu´ıdo ıdo de um u m termo que depende d epende das coordenadas espaciais e outro que depende das vari´aveis aveis de spin, por exemplo ¯ 2 2 ¯ h eh ˆ + (718) H = σz B 2m 2mc ˆ entre dois estados do tipo que com B constante, o elemento de matriz de H aparece apa rece na eq.( eq.(717 717), ), ´e
− ∇
†
+ = +
¯ 2 2 h ψ2 (r ) χ− 2m
∗ − ∇ ∗ † − † − ∗ − ∇ † − ∗
ˆ ψ2 (r )χ− ) = χ+ (ψ1 (r)χ+ , H
d3rψ rψ1 (r )
¯ eh B 2mc
d3rψ rψ1 (r)ψ2 (r ) χ+ σz χ 3
χ+ χ
d rψ rψ1 (r)
χ+ σz χ
¯ eh B 2mc
157
¯ 2 2 h ψ2 (r) + 2m
d3rψ rψ1 (r)ψ2 (r)
(719)
A extens˜ao ao deste formalismo para um n´umero umero arbitr´ario ar io de pa part´ rt´ıcul ıc ulas as ´e ´obvio, obvio, e fica ao encargo do leitor. Como um exemplo final, vamos examinar de novo o ´atomo ato mo de hidr hidrogˆ ogˆenio, enio , mas sob um aspecto aspecto mai maiss re reali alista sta:: a in inter tera¸ a¸c˜ cao a˜o de uma part part´´ıcula de massa +e, o pr´oton, oton, com um el´etron etron de massa m1 e carga -e -e. O nosso m2 e carga +e tratamento anterior deste mesmo problema considerava a massa do proton (que ´e cerca de 2000 2 000 vezes maior ma ior que a do el´etron) etron) como infinita, desprezand desprezando, o, assim, a rea¸c˜ cao a˜o do el´etron etron sobre o proton. Uma descri¸c˜ cao a˜o mais acurada do problema, ent˜ao, ao, consi considera dera um siste sistema ma de duas part part´´ıcul ıculas as ligada ligadass por um potencial potenci al coulombi coulombiano. ano. Sejam r1 e r2 as posi¸c˜ coes o˜es do el´etron etron e do pr´oton, oton, respectiv respec tivamen amente. te. O potenci potencial al coulom coulombiano biano ser´a da forma V V (( r1 r2 ), e a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger ser´a
| − |
−
¯ 2 2 h 2m1 r1
∇ −−
¯h2 2 ψ (r1 , r2 ) + V V (( r1 2m2 r2
∇
| − r |)ψ(r , r ) = Eψ Eψ((r , r ) 2
1
2
1
2
(720) Introduzimos as novas vari´aveis aveis r = r1 r2 = m1r1 + m2r2 R m1 + m2
−
(721) (722)
sendoo as trans send transforma forma¸c˜ c¸˜oes oes inversa inversass dad dadas as po porr m2 r + R M m1 = r + R M
r1 = r2
−
(723) (724)
com M = m1 + m2 . como a posi¸c˜ Reconhecemos R cao a˜o do centro-de-massa, na mecˆanica anica cl´assica. assica. A outra vari´avel, avel, r , ´e, e, obviamente, a posi posi¸¸c˜ cao a˜o do el´etro etro em rela¸c˜ c˜ ao ao pr´oton. oton. Na mecˆanica anica cl´assica assica sabemos que essas vari´aveis aveis s˜ao ao ind indepe epende ndent ntes es:: enquanto o movimento relativo pode complicar-se `a vontade, o centro-de-massa segue serenamente seu movimen movimento to retil´ retil´ıneo e uniforme. Isto nos sugere, na mecˆanica anica quˆantica, antica, procurar solu¸c˜ coes o˜es da equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger (720) que . Mas sejam produtos de uma fun¸c˜ cao a˜o de r por uma fun¸c˜ cao a˜o de R Mas,, primeiro primeiro,, vamos escrever (720) em termos dessas novas vari´aveis. Ap´os os um c´alculo alculo n˜ao ao muito mu ito com compli plicad cado, o, de descr scrito ito abai abaixo xo em let letras ras mai maiss mi´ udas, obtemos, para udas, (720), ¯h2 2 ) ψ (r, r, R 2µ r
− ∇
−
¯ 2 2 h ) + V ) = Eψ ) ψ (r, r, R V (( r )ψ(r, r, R Eψ((r, r, R 2M
∇
||
158
(725)
Aqui aparece a nova vari´avel avel µ, a massa re reduzida duzida , definida por 1 1 1 = + . µ m1 m2 Procuremos Procure mos agora solu¸c˜ coes o˜es da forma ) = φ(r)χ(R ) . ψ (r, r, R
(726)
Inserindo o segundo membro de (726) em (725) obtemos ¯ 2 2 h )V ) χ(R) φ(r ) χ(R) + χ(R V (( r )φ(r) = Eφ Eφ((r )χ(R 2M R (727) que pode ser reescrita assim:
¯ 2 2 h φ(r) 2µ r
− ∇ −
−
∇
¯h2 1 2 φ(r ) + V V (( r ) 2µ φ(r) r
| | − E = −
∇
||
¯ 2 1 2 h χ(R) ) R 2M χ(R
∇
(728)
O segundo membro n˜ao ao depende de r, e ´e igual ao prime primeiro iro mem membro, bro, que n˜ao ao depende de R. Lo Logo, go, o se segu gund ndoo me mem mbr broo n˜ ao depende nem de r nem ao , ou de R o u seja, ´e constante. O primeiro membro, por conseg¨uint ui nte, e, ´e ta tamb mb´´em em constante. Logo, ¯ 2 1 2 h (729) χ(R) = K ) R 2M χ(R
−
∇
−
com K constante. Isto ´e a mesma coisa que
∇
2 χ(R) R
onde pusemos k 2 = ser escrita
2M K . h2 ¯
=
) = −k χ(R ) − 2h¯M Kχ Kχ((R 2
2
(730)
Isto ´e permitido, com k real, porque (730) pode 2 P ) = Kχ ) χ(R Kχ((R 2M
(731)
hermiteano. Logo, K ´e pos com P osit itivo ivo.. Voltando a` eq.(730), sua solu¸c˜ ca˜o ´e
) = Aeik.R χ(R
(732)
com Conclu Con clui-s i-see que o ce cent ntroro-de de-mas -massa sa mo mov ve-s e-see com comoo uma k 2 = 2¯hM 2 K . part´´ıcul part ıculaa livre em estad estadoo de momen momento to bem defin definido. ido. Exis Existe, te, portan portanto, to, um sistema de refer referˆˆencia encia inercial em que o centr centro-de-massa o-de-massa est´a em repouso.
||
159
Para φ(r) temos agora a equa¸c˜ cao a˜o
−
¯ 2 1 2 h φ(r) + V V (( r ) 2µ φ(r) r
| | − E = −K
∇
(733)
ou
¯ 2 h (734) r) + V V (( r )φ(r) = (E K )φ(r ) r φ( 2µ Desta equa¸c˜ c˜ao ao vemos que, `aparte aparte o movimento do centro-de-massa, o problema foi reduzido a um problema de uma part pa rt´´ıcula, de massa µ, que se move sob a a¸c˜ cao a˜o de um campo que lhe d´a uma energia potencial V V (( r. A partir de 31 agora basta reproduzir, mutatis mutandis , a solu¸c˜ cao a˜o anterior para o ´atomo atomo de hi hidro drogˆ gˆenio. eni o.
− ∇
||
−
|
Vamos agora ao c´alculo alculo prometido prometido acima. Tudo est´a em escrever 2r1 em termos de , a mesm r e R mesmaa taref tarefaa deve devendo ndo ser realiza realizada da tam tamb´ b´em em para 2r2 . Trab rabalh alhand andoo com as componentes ao longo do eixo x j´ a podemos adivinhar a express˜ao ao geral. Temos
∇
∇
∂ ∂ m1 ∂ = + ∂x 1 ∂x M ∂X . Usamos onde, como ´e ´obvio, obvio, x ´e a compo componente nente de r, e X a componente de R Usamos,, nesta nesta primeira prime ira passag passagem, em, a rela¸c˜ cao a˜o ∂ ∂x ∂ ∂X ∂ = + ∂x 1 ∂x 1 ∂x ∂x 1 ∂X Logo,
ou
∂ 2 = ∂x 21
∂ m1 ∂ + ∂x M ∂X
∂ m1 ∂ + ∂x M ∂X
∂ 2 ∂ 2 m1 ∂ 2 m21 ∂ 2 = +2 + ∂x 21 ∂x 2 M ∂x∂X M 2 ∂x 2
com uma express˜ao ao an´aloga aloga para
∂ 2 , ∂x 2 2
∂ 2 ∂ 2 = ∂x 22 ∂x 2 Portanto,
que ´e dada por 2
2
2
∂ m ∂ − 2 mM 2 ∂x∂X + 22 2 M ∂x
1 ∂ 2 1 ∂ 2 + = m1 ∂x 21 m2 ∂x 22
1 1 + m1 m2
∂ 2 1 ∂ 2 + ∂x 2 M ∂X 2
que, somada `as as contribui¸c˜ c˜oes oes an´alogas alogas das outras componentes, d´a o resultado utilizado acima. 31
Um latinzinho faz sempre bem! Quer dizer, mudando o que deve ser mudado.
160
27.1
Exerc´ Exerc ´ıcios
1. Calc Calcule ule o raio m´edio edio ( r ) do “´atomo ato mo de hid hidrogˆ rogˆenio enio muˆonico”, onico”, em que o el´etron etro n foi subs substitu´ titu´ıdo ıdo po porr um µ− , uma part part´´ıcula que tem as mesma propriedad pri edades es elet eletroma romagn´ gn´eticas etica s que q ue o el´etron, etro n, a n˜ n ˜ao ao ser a massa, ma ssa, que ´e 480 4 80 vezes a mass massaa do el´etron. etro n. 2. Calcule o espectro, esp ectro, raio m´edio, edio, e tudo que lhe ocorrer, o correr, do positrˆonio, onio, um “´atomo” atomo” formado por um positron e um el el´´etron. etron. O p´ ositron tem a mesma ositron massa que o el el´´etron, etron, e a carga igual `a do pro proton ton.. Des Despre preze ze o fe fenˆ nˆomeno omeno de aniquila¸c˜ cao a˜o pa part´ rt´ıcula ıcu la-a -anti nti-p -par artt´ıcu ıcula la..
28
Partt´ıc Par ıcul ulas as idˆentic ent icas as
Na mecˆanica anica quˆantica antica se diz que duas d uas part part´´ıculas s˜ao ao idˆenticas enticas se a oper opera¸ a¸c˜ cao a˜o de trocar uma pela outra n˜ao ao tem qualquer efeito f´ısico no sistema ao a o qual pertencem perten cem:: n˜ao ao h´a maneira de realizar uma medida f´ f´ısica que detete se tal mudan¸ca ca foi realizada. Para explorar as conseq¨uˆ uˆencias encias disso de maneira formal, introduzimos o operador P 12 tro ca de part part´´ıculas. Seja ψ (r1 , s1 ; r2 , s2 ) 12 de troca uma fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema onde inclu inclu´´ımos as vari´ aveis de spin, si . O aveis operador de troca atua assim: P 12 r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ (r2 , s2 ; r1 , s1 ) 12 ψ (
(735)
ˆ deve ser Se as part part´´ıculas s˜ao ao verdadeiramente idˆenticas, enticas, o hamilton h amiltoniano iano H sim´etrico etri co em rela rela¸¸c˜ cao a˜o as a`s vari´aveis aveis de posi¸c˜ cao a˜o e spin das par partt´ıcul ıculas as idˆenticas, entica s, de maneira que n˜ao ao haja qualquer mudan¸ca ca na energia do sistema quando a troca ocorre. Neste caso, ˆ r1 , s1 ; r2 , s2 ) = P 12 ˆ r2 , s2 ; r1 , s1 ) = H ˆ P 12 P 12 r1 , s1 ; r2 , s2 ) 12 H ψ ( 12 H ψ ( 12 ψ ( ou seja,
ˆ [P 12 12 , H ] = 0
(736) (737)
para todo hamilto hamiltoniano niano sim´etrico etrico pela troca de part part´´ıculas idˆenticas. enticas. Seja ψ (1 (1,, 2) uma autofun¸c˜ cao a˜o do operador P 12 12 : (1,, 2) = αψ (1,, 2) P 12 αψ(1 12 ψ (1
(738)
(1,, 2) = ψ(2 (2,, 1) P 12 12 ψ (1 (2,, 1) = ψ(1, (1, 2) P 12 12 ψ (2
(739) (740)
Temos
161
logo, (1,, 2) = α2 ψ(1 (1,, 2) ψ (1 de onde se tira que α = que
(741)
±1. Logo Logo,, as aut autofu ofun¸ n¸c˜ coes o˜es do operador P
12 12
(1,, 2) = ψ (1 (1,, 2) P 12 12 ψ (1
s˜ao ao tais (742)
ou (1,, 2) = P 12 12 ψ (1
(1,, 2) −ψ(1
(743)
is to ´e, isto e, s˜ao a o as fun¸c˜ coes o˜es pares e ´ımpares pela troca de um par de part part´´ıculas d ˆ idˆenticas. entica s. Como [P 12 0 , e o valor m´edio edio de P 12 12 , H ] = 0, o operador dt P 12 12 = 0, 12 ´e constante, o que se estende para os autov autovalores alores . Portan Portanto, to, o autov autovalor alor de e uma constante do movimento. P 12 12 ´ Partt´ıcul Par ıculas as para as quais a eq.( eq.(742) 742) s˜ ao ditas bosons , e sa ao sati tisf sfaz azem em a esta´´ıstica de Bose-Ei esta Bose-Einstein; nstein; part part´´ıculas para as quais a eq.(743 eq.(743)) ´e satisfeit satisfeitaa s˜ao ao ditas f´erm rmio ion ns, e satisfazem sati sfazem a estat´ıstica ıstica de Fermi-Dirac. Empirica Empiricamente mente se verifica que os bosons s˜ao ao part part´´ıcul ıculas as de spin int inteiro, eiro, enq enquan uanto to que os f´ermi er mion onss s˜ao ao part part´´ıculas de spin 1/2, 3/2, etc. Os el´etrons etrons s˜ ao f´ermions ao ermi ons,, os f´otons otons s˜ao ao bosons .
28.1
O princ´ princ´ıpio de Pau Pauli li
O tipo de estat estat´´ıstica satisfeita por uma part part´´ıcula tem conseq¨uˆ uˆencia enc iass be bem m definid defi nidas as sob sobre re seu movime moviment nto. o. Exa Examin minem emos os a fun¸c˜ cao a˜ o de onda de dois f´ermions ermions idˆenticos, enticos, e imaginemos ima ginemos que eles el es ocupassem o cupassem ambos a mesma posi posi¸c˜ c¸ao, a˜o, tendo o mesmo valor para a componente z do spin. Ou seja, r1 = r2 e s1 = s2 . Ent˜ao, ao, se a fun¸c˜ cao a˜o de onda do sistema for ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) =
−ψ(r , s ; r , s )
(744)
−ψ(r , s ; r , s )
(745)
2
2
1
1
Nas condi¸c˜ coes o˜es acim acima, a, ter´ıamos ıam os ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) =
1
1
1
1
ou ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = 0
(746)
mostrando que a probabilidade de dois f´ermions ermions ocuparem o cuparem o mesmo estado (o estado, aqui, ´e completamen completamente te definido pela posi¸c˜ cao a˜o e pela componente z do spin) spi n) ´e zero zero.. Ist Istoo ´e deno denomina minado do prin princc´ıpio de exclu exclus˜ s˜ao, ao, ou princ princ´´ıpio de Pauli. Um exemplo impo importante rtante ´e o seguinte: considere dois el´etrons etrons movendo-se em um campo de for¸cas, cas, como, por exemplo, no ´atomo atomo de H´elio. elio. Desprezand Desprezandoo a intera¸c˜ cao a˜o entre os el´etrons, etrons, e denotando deno tando por u1 e u2 dois estados estacion´arios arios 162
de 1 el´etron etron nesse campo, a fun¸c˜ cao a˜o de onda de um estado estacion´ario ario admiss´ mi ss´ıvel ıvel ser seria ia ψ=
√12 [u (r , s )u (r , s ) − u (r , s )u (r , s )] 1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
(747)
A fun¸c˜ cao a˜o de onda (747) satisfaz a propriedade P 12 12 ψ =
−ψ
(748)
e se anula identicamente se u1 = u2 . Em contraposi¸c˜ cao, a˜o, o “estado” de fun¸c˜ cao a˜o de onda 1 [u1(r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) + u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (749) ψ′ = 2 que tem a propriedade ′ ′ (750) P 12 12 ψ = ψ
√
n˜ao ao ex exist istee na nat nature ureza, za, ass assim im com comoo nen nenhu hum m out outro ro que n˜ao ao est estej ejaa an antis tis-simetrizado. A express˜ao ao costumeir costumeiraa desta lei ´e que qu e du duas as par partt´ıc ıcul ulas as id idˆˆenti en ticas cas de spin semi-inteiro n˜ ao podem estar em um estado em que se movem na mesma “´ orbita” e com os spins paralelos. paralelos . Dois el´etrons etrons podem estar na mesma “´orbita”, orbita”, desde que seus spins sejam anti-paralelos32 . No atomo a´tomo de H´elio, elio, se ignorarmos a intera¸c˜ cao a˜o entre os el´etrons, etrons, tudo se passa como se cada el´ etron estivesse sob a a¸c˜ etron cao a˜o de uma campo coulo coulombi mbiano, ano, e as fun¸c˜ coes o˜es de onda individuais de cada el´etron etron seriam as de um el´ etron etron do atomo a´tomo de Hidrogˆenio enio (com a diferen¸ca ca que Z = 2). 2). En Ent˜ t˜ ao, nessa aproxao, ima¸c˜ cao, a˜o, no estado fundamental, poderia hav haver er dois el´etrons etrons no estado ψ100 , um com “sp “spin in para cima”, cima”, o out outro ro com “spin para baixo”. baixo”. O ele eleme ment ntoo de ıtio.. Na mesm mesmaa aprox aproxima ima¸c˜ c¸ao a˜o (de desprezar a intera¸c˜ cao a˜o entre os Z = 3 ´e o L´ıtio el´etron etr ons), s), n˜ao ao seria poss´ıvel ıvel adicio adicionar nar mais um el´etron etron no estado n = 1. Este ´ claro que desprezar a teria de ser acomodado em um estado com n = 2. E intera¸c˜ cao a˜o entre os el´etrons etrons ´e tanto mais grav gravee quanto mais numerosos eles s˜ao, ao, de modo que vamos parar por aqui.
28.1 28 .1.1 .1
Adi¸ Ad i¸ c˜ c˜ ao de momento s angulares ao
O problema ´e este: dadas duas part part´´ıculas em estados de momento angular bem definido, qual o valor, ou valores, do momento angular do sistema compostoo pelas duas? post duas? Com Comoo a sol solu¸ u¸c˜ cao a˜o ´e cons consider ideravelmente avelmente t´ecnica, ecnic a, vamos nos limitar aqui a dar os resultados. 32
Linguagem Linguagem de mesa de bar. Corretamen Corretamente, te, isto se diria assim: dois el´etrons etrons podem estar em estados ψnlm para os mesmos valores de n, l e m, desde que suas componentes z do spin tenham sinais opostos. Mas n˜ao ao se fala fala assim num num bar. bar. . .
163
Seja ψl1 ,m1 o estado de uma das part part´´ıculas, e ψl2 ,m2 o estado da outra. 2 ˆ Isto quer dizer que, se li e lˆi z (i = 1, 2) forem os operadores de momento angular total e componente z do momento angular, teremos ˆ2 1)ψl1,m1 l 1 ψl1 ,m1 = l1 (l1 + 1)ψ lˆ1 z ψl1 ,m1 = m1 ψl1 ,m1 ˆ2 1)ψl2,m2 l2 ψl2 ,m2 = l2 (l2 + 1)ψ lˆ2 z ψl2 ,m2 = m2 ψl2 ,m2
(751) (752) (753) (754)
Considerando agora o sistema composto, teremos que o momento angular total pode ter todos os valores entre l1 + l2 e l1 l2 , variando de um em um. Para a componente z do mome momento nto angular total, a regra ´e mais simples: a componente z do momento angul angular ar total ´e a soma alg´ebrica ebrica das compo componentes nentes m1 e m2 .
| − |
Exemplo: dois el´etrons Exemplo: etrons em estad estados os de mome momento nto angular orbit orbital al 0, portan portanto to tend tendoo como momento angular apenas o spin, s˜ao ao considerados como um sistema: em que estado (l, ( l, m) se encontram? A resposta resp osta ´e: e: h´a duas possibilidades. possibilidades. O momento momento angular total pode ter 1 1 1 1 1 qualquer dos valores 2 + 2 , 2 + 2 1,. . . , at´ e ating atingir ir 2 12 , ou o u seja, s eja, os valores poss´ıveis ıveis s˜ao ao 1 e 0. Assim, o estado de momento angular do sistema composto ser´a, em geral, uma superposi¸c˜ cao a˜o de um estado de momento angular total 1 com um estado de momento angular total 0. . Para saber mais, mais, temos de olhar para as component componentes es z dos spins individuais. Se os dois el´etrons etrons tiverem spins paralelos, ent˜ ao m1 + m2 ser´a 1 ou 1. Esses valores s˜ao ao ao incompat´´ıveis com momento angular total 0, de maneira que, neste caso, pode-se incompat po de-se afirmar que os el´ etrons forma etrons formam m um siste sistema ma compost compostoo de mome momento nto angular total l = 1. 1. Se as as componentes z tive tiverem rem sinais opostos opostos,, por´em, em, o mome momento nto angular total pode po de ser tan tanto to l = 1 quanto l = 0. Um estudo mais detalhado detalhado permite determinar determinar as probabilidades, probabilidades, neste caso, de se achar, numa medida de momento angular total, cada um desses valores poss´ po ss´ıveis ıve is..
−
| − |
−
Para um tratamento completo desta quest˜ao, ao, veja [3].
29
O caso caso quase-cl´ quase-cl´ assico assico
Iniciamos o nosso curso com o estudo do ´atomo atomo de Bohr, centrado na regra de quantiza¸c˜ cao, a˜o, para ´orbitas orbitas circulares, L = n¯h com n inteiro, que d´a, a, para a energia , me4 1 E n = , 2¯h2 n2
−
164
(755)
(756)
a famosa f´ormula ormula de Bohr. Na ve verdade rdade,, (756) ´e o caso partic particular, ular, para ´orbitas orbitas circ circulare ulares, s, das regras de Bohr-Sommerfeld , que podem ser enunciadas assim: seja um sistema peri´odico odico desc descrito rito por coorden coordenadas adas gene generaliz ralizadas adas qi , i = 1, . . . , n. ao n. Ent˜ao
pi dqi = ni h
(757)
onde h ´e a constante de Planck, e os ni s˜ao ao inteir inteiros. os. No caso caso do atomo a´tomo de hidrogˆenio, enio, o movimento, em orbita o´rbita circular, pode ser inteiramente descrito pela coorden coordenada ada angula angularr θ, do par (r, (r, θ) de coordenadas polares no plano da ´orbita. Como a lagrangeana do sistema ´e orbita. m L = (r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) 2
−
Z e2 r
(758)
temos que
∂L = mr2 θ˙ = L (759) ˙ ∂ θ onde L ´e o mom momento ento ang angula ular. r. Al´em em dis disso, so, pθ ´e constante, poi poiss a vari´avel avel θ n˜ao ao aparece na lagrangeana. Ent˜ao, ao, pθ =
pθ dθ =
2π
0
Ldθ = 2πL = nh
ou seja, L=n
h 2π
(760)
(761)
que ´e a regra r egra de Bohr usual. Estamos agora muito distantes dessa vers˜ao ao simples de uma mecˆanica anica ´ quˆantica. antica. Orbitas n˜ao a o existem, de modo que a regra de Bohr nem pode ser enunci enunciada, ada, com o vocabul´ario ario da mecˆ anica quˆantica. anica antica. No entanto,(75 entanto,(756) 6) permanece v´alida, alida, embora obtida de maneira totalmente diferente. Nesta se¸c˜ cao a˜o quer queremos emos inv investi estigar gar se exis existem tem condi condi¸¸c˜ coes o˜es em que a regra de Boh Bohrr se seja ja apr aprox oxima imadam damen ente te v´ a lida. alid a. Si Sist stem emas as qu quee sa sati tisf sfaz azem em a es essa sass 33 condi¸c˜ coes o˜es ser˜ao ao chamados quase-cl´ assicos . No esti estilo lo que temo temoss ad adot otado ado sistematicamente, estudaremos este problema no contexto dos estados estacion´arios arios e, para simplificar, para sistemas unidimensionais. Uma par partt´ıcul ıculaa de mass m assaa m possui uma energia potencial U (x). A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para estados estac estacion´ ion´ ar ioss ´e: ario e:
−
¯ 2 d2 ψ h + U (x)ψ = Eψ 2m dx2
33
(762)
O m´etodo eto do trata tr atado do nesta nes ta se¸ se ¸c˜ cao a˜o ´e tamb´ ta mb´em em con c onhec hecid ido o como co mo Aproxima¸c˜ cao ˜ WKB (Wentzel, WKB (Wentzel, Krames, Brillouin).
165
que, naturalmente, pode ser escrita como ¯ 2 d2 ψ h + (E (E 2m dx2
− U )ψ = 0
(763)
Procuraremos solu¸c˜ coes o˜es escritas na forma i
ψ = e h¯ σ
(764)
onde σ ´e um umaa fu fun¸ n¸c˜ cao a˜o complexa, e tal que
|σ| ≫ ¯h
(765)
.
Note-se que, sendo σ complexa, temos 1
i
i
ψ = e h¯ (σr +iσi ) = e− h¯ σi e h¯ σr
(766)
´ a condi¸c˜ ou seja, (764) ´e uma express˜ ao geral para a fun¸c˜ ao cao a˜o de onda. E cao a˜o (765) que nos dirige ao caso que nos interessa, j´a que ´e uma realiza¸c˜ cao a˜o do limite formal ¯h 0, supostamente a situa¸c˜ cao a˜o em que a mecˆanica anica quˆantica antica tende `a mecˆanica anica cl´assica assica (as rela¸c˜ coes o˜es de incerteza inexistem, nesse limite). Inserindo na eq.(763) a express˜ao ao (764), obtemos a seguinte equa¸c˜ cao a˜o para cao a˜o de Schr¨odinger): odinger): σ (completamente equivalente `a equa¸c˜
→
1 2m
dσ dx
2
−
¯ d2 σ ih = E 2m dx2
− U
(767)
Vamos agora utilizar a condi¸c˜ cao a˜o (765). (765). Su Supon ponha hamo moss qu quee ex exis ista ta a ex ex-pans˜ao ao 2 ¯h ¯ h (768) σ = σ0 + σ1 + σ2 + . . . i i
com σ0 , σ1 , σ2 finitos (ou seja,de m´odulos odulos muito maiores do que ¯h). En Ent˜ t˜ ao ao (765) estar´a garantida desde que σ0 ¯. h
| |≫
i
Exemplo: ψ (x) = e h¯ px , a fun¸c˜ c˜ao ao de onda de um estado estacion´ario ari o de par partt´ıcu ıcula la liv livre, re, ´e tal que i i ψ = e h¯ px = e h¯ σ (769) de onde segue que σ = px
(770)
A condi¸c˜ cao a˜o (7 (765 65)) ´e px ¯hkx hkx = ¯h ¯h
166
≫1
(771)
´e gar garanti antida da se kx
≫ 1. Ela falha, portanto, para k = 0.0 .
Utilizando (768) em (767), obtemos
′
1 ¯ ¯ h h σ0 + σ1′ + 2m i i
2
−
2
σ2′ + . . .
¯ d2 ¯ ih h + σ σ1 + . . . = E 0 2m dx2 i
− U
(772) onde a deriva¸c˜ cao a˜o em rela¸c˜ cao a˜o a x ´e denotada por um . Igu Igualan alando do os coeficoeficientes da potˆencia encia 0 de ¯h, temos
′
1 2 (σ0′ ) = E 2m que d´a σ0 = A rela¸c˜ cao a˜o
− U (x)
±
2m(E
− U )dx
(773)
(774)
p2 + U E = 2m
permite escrever p(x) = p(
2m(E
− U (x))
de maneira que (774) pode ser escrita σ0 =
±
p(x)dx
(775)
Voltando a` (772), igualemos ig ualemos os coeficiente coeficientess da potˆ p otˆencia encia 1 de ¯h: 2σ0′ σ1′ + σ0′′ = 0
(776)
Como, de (775), σ0′ = p(x) , temos
σ0′′ p′ ′ σ1 = − ′ = − 2σ0
ou σ1 =
(777)
2 p
1 log p − 12 log p = log √ p
(778)
Temos, port portanto, anto, at´e esta aproxima¸c˜ cao, a˜o, σ=
p(x)dx + 167
¯ 1 h log i p
√
(779)
ou
i e± h¯
ψ (x) =
pdx
(780)
√ p
Mais precisamente, a solu¸c˜ cao a˜o geral ´e dada por uma combina¸ cao c˜ a˜o linear das solu¸c˜ coes o˜es exibidas acima, ou seja, ψ (x) = C 1
e
i h ¯
pdx
√ p
+ C 2
i e− h¯
pdx
√ p
(781)
As condi¸c˜ coes o˜es de validade da aproxima¸c˜ cao a˜o quas quase-cl e-cl´´assica assi ca s˜ao ao obtidas insistindose em que, na equa¸c˜ cao a˜o (767), o segundo termo do primeiro membro seja muito menor que o primeiro isto ´e: e:
|
i¯ h d2 σ 2m dx2 1 dσ 2m dx
|
Isto ´e equi equivalente valente a
|| ≪ ′′ ′ ≪ ≪
¯ h ou ainda,
1
2
σ σ2
¯ d h dx p( p(x)
1
(782)
(783)
1
(784)
Aqui encontramos mais uma vez uma situa¸c˜ cao a˜o importante em que a aproxima¸c˜ cao a˜o quase quase-cl´ -cl´ assica n˜ao ´e v´alida: assica alida: quando o momento se anula, a eq.(784) n˜ao ao ´e sat satisfe isfeita ita.. Suponhamos que a nossa part part´´ıcula possua p ossua uma energia potencial p otencial U (x), e que sua energia total seja E . Como temos p(x) = p(
2m (E
− U (x))
vemos que, nos pontos em que E = U (x), p(x) ´e ig igua uall `a zero, e a aproxima¸c˜ao quase-cl´ assica falha. assica
168
U (x)
x E
a
b
Na figura acima vemos os pontos a e b, em que E = U (x), e a aproxima¸c˜ cao a˜o quase-cl´ assica falha. Classicamente s˜ao assica ao os pontos em que a part part´´ıcula p´ara ara e volta, os “pontos de retorno”’. Nas vizinhan¸cas cas desses pontos n˜ao ao podemos utilizar a express˜ao a o (78 (781) 1).. H´ a uma s´erie erie de m´etodos etodo s para contornar esta dificuldade. O mais elementar ´e o seguinte seguinte:: seja x0 um ponto de retorno, ou seja, E U (x0 ) = 0. A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od ingger ´e
−
−
¯ 2 d2 ψ(x) h + (U (U (x) 2m dx2
− E ) ψ(x) = 0
Expandindo a fun¸c˜ cao a˜o F F ((x)
(785)
≡ U (x) − E em torno do ponto x , temos ( x − x )F ′ (x ) F ((x) = F F F ((x ) + (x 0
0
0
0
(786)
com F F ((x0 ) = 0. Como F F ((x0 ) = 0, temos U (x)
− E = (x − x )U ′(x ) 0
0
(787)
Logo, nas vizinhan¸cas cas do ponto de retorno, a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od ingger ´e
−
¯h2 d2 ψ(x) + U ′ (x0 )( )(x x 2 2m dx
− x )ψ(x) = 0 0
(788)
qu e ´e a eq que equa ua¸¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para uma part p art´´ıcula sobre a a¸c˜ cao a˜o de uma for¸ca ca constante. Mas esta equa¸c˜ c˜ao ao po pode de ser s er resol r esolvida vida exat exatamente amente (veja Apˆendice), endi ce), de maneira que podemos proceder assim: a uma certa (pequena) distˆancia do 169
ponto de retorno, usamos a fun¸c˜ cao a˜o de onda quase-cl´assica. assica. Mais para para perto do ponto de retorno, usamos a solu¸c˜ cao a˜o exata (788). Tudo o que precisamos fazerr ´e achar, faze acha r, dentre d entre as solu s olu¸¸c˜ coes o˜es de (788),aquela que se acopla continuamente com a solu¸c˜ cao a˜o semi-cl´assica. assica. Este m´etodo etodo utiliza fun¸c˜ coes o˜es transcendentes (a fun¸c˜ cao a˜o de Airy, por exemplo), e um pouco de an´alise alise complexa, complexa, o que est´a acima do n´ıvel deste curso. Assim, sendo, limitar-nos-emos a enviar o leitor ao apˆendice, endice, para os detalhes do c´alculo, alculo, e a dar a regra de transi¸c˜ cao, a˜o, l´a obtida. Nas regi˜oes oes classica classicamente mente inacess´ıveis, ıveis, temos E U (x) < 0, logo,
− p((x) = 2m(E − U (x)) = i 2m(|E − U (x)|) . p
(789)
Uma repeti¸c˜ cao a˜o simples dos c´alculos alculos leva a ψ(x) = C 1
| |
1 p(x)|dx e− h¯ | p(
p p
Temos,portanto,
√ − | | | | i
ψ (x) = C 1 ψ (x) = C 1
29.1 29 .1
+ C 2
p
1
e
i
pdx
e h¯
h ¯
+ C 2
e− h¯
p(x) dx p(
(790)
pdx
E > U (x)
√ p
+ C 2
| | | | p p
p(x) dx p(
p p
e
1 h ¯
e
1 h ¯
| | | |
(791)
p(x) dx p(
E < U ( U (x)
p p
(792)
Regr Re gra a de tr tran ansi si¸¸c˜ ao
Vamos nos limitar a enunciar a regra de transi¸c˜ cao, a˜o, ilustrando-a com exemplos. Seja x = a um ponto de retorno, ou seja, tal que E = U (a). Ent˜ao, ao, C
| → √C cos 1 pdx − π ¯ 4 p h E < U (x) → E > U (x)
1 e− h¯ |
x
| |
2 p p
a
pdx
170
x
a
(793)
29.2 29 .2
Exem Ex empl plo o
U (x)
x E
a
b
A figura acima mostra um po¸co co de potencial e os pontos, b e a, de retorno de uma part part´´ıcula de massa m e energia E . ` sua direita a fun¸c˜ Considere o ponto de retorno a. A cao a˜o de onda deve decresc decr escer er expone exponencial ncialmen mente, te, j´a que se trata de uma regi˜ao ao classicamente proibida, com E < U (x). De Den ntr tree as solu¸ solu¸c˜ coes o˜es de (794), a que nos serv servee ´e escrita C − h¯1 x | p p|dx a e , 2 p p logo, a` esquerda de a, teremos
| |
1 C cos ψ (x) = ¯ p h
x
√
a
p dx
−
π 4
(794)
` sua esquerda temos uma regi˜ao Passemos ao ponto de retorno b. A ao classicamente proibida. Devemos, ent˜ao, ao, ter uma fun¸c˜ cao a˜o de onda que, `a medida que nos aprofundamos nessa regi˜ao ao (ist (istoo ´e, e, `a medida que x se torna mais e mais negativo), decresce decresce exponencialmente. exponencialmente. Dentre as catalogadas em (794) a que tem essas proprieda propriedades des ´e C
1 e− h¯ |
x
| |
2 p p
b
p dx
|=
171
C
x
| | | |
2 p p
e
1
h ¯
b
p dx p
(795)
logo, a fun¸c˜ cao a˜o de onda `a direita de b ser´a 1 C cos ψ (x) = ¯ p h
x
√
b
p dx
π 4
−
(796)
Conseq¨ uentemente temos, na regi˜ao uentemente ao b x a, as express˜oes oes (794) e (796) para a fun¸c˜ cao a˜o de onda. Essas duas express˜oes oes devem ent˜ao ao coincidir:
≤ ≤
1 C cos ¯ p h
√
x
b
p dx
π 4
−
1 C ′ = cos ¯ p h
x
√
a
p dx
−
π 4
(797)
Tomando x = a, obtemos 1 C cos C cos ¯ h
a
b
p dx
−
π 4
= C ′ cos
π 4
(798)
que leva a 1 ¯h
a
b
1/2) 2)π p dx = (n + 1/ π
(799)
C = ( 1)n C ′
−
A regra de BohrBohr-Somme Sommerfel rfeld d con cont´ t´em em uma int integral egral num circ circuito uito fec fechado. hado. Neste caso, isto seria
p dx = 2
a
b
1/2)2 2)2π ¯ = (n + 1/ 1/2) 2)h p dx = (n + 1/ πh h
(800)
Obtemos uma rela¸c˜ cao a˜o que coincide com a regra de Bohr para grandes valores de n, quando se pode desprezar o termo 1/ 1 /2.
29.3 29. 3
Exemp Exe mplo: lo: osci oscilad lador or har harmˆ mˆ onico onico
Neste caso a energia ener gia poten potencial cial ´e 1 U (x) = mω2 x2 2 e
1 (801) p((x) = 2m E p mω2 x2 2 Os pontos de retorno acontecem quando a energia coincide com a energia potenc po tencial ial,, isto ´e 1 E = mω2 x2 2 172
−
o que acontece para x =
e temos, ent˜ao, ao,
p dx =
± √√ 1 ω
2E . m
1
2E
ω
m
− ω1
2E
A integral que aparece em (799) ´e
√
2mE
m
− m ω x dx = πE ω 2
2 2
(802)
πE = (n + 1/ 1/2) 2)π ¯ πh ω
(803)
1/2)¯hω E = (n + 1/ hω ,
(804)
ou em completa com pleta coincidˆencia encia com o resultado exato!
30
O p oco c¸o duplo.
A energia potencial U (x) consiste de dois po¸cos cos de potencial p otencial sim´etricos, etricos, separados arad os por uma barreir barreira. a. Na figura figura aba abaixo ixo os po¸cos cos s˜ao ao as regi˜oes oes I e II, e a barreira tem altura U 0 . Se a barreira fosse impenetr´avel, avel, haveria n´ıveis de energia relativos ao movimen movimento to da part´ part´ıcula em um ou outro dos dois po¸ p o¸cos, cos, ou seja, duas fam fam´´ılias de n´ıveis iguais, uma em cada po¸co. c o. O fato fato de que que o tunelamen tunelamento to atrav atrav´´es es da barreira existe na mecˆanica anica quˆantica antica faz com que cada um dos n´ıveis relativos ao movimen movimento to em um dos po¸ p o¸cos cos se separe em doiss n´ıveis pr´oximos, doi oximos, correspondendo agora a estados da part part´´ıcula em que ela est´a nos dois po¸cos. cos. U (x)
I I
I U 0 E 2
E 0 E 1
a
x
A determina¸c˜ cao a˜o deste desdobramen desdobramento to de n´ıveis ´e simples no caso em que ´ o qu se pode usar a aproxima¸c˜ cao a˜o quase cl´assica. assica. E quee faremo faremoss agora. agora. Um Umaa 173
solu¸c˜ cao a˜o aproximada da equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨ odinger para a energia potencial U (x), odinger desprezando a probabilidade de passagem pela p ela barreira, po pode de ser constru constru´´ıda com a fun¸c˜ cao a˜o quase-cl´assica assica ψ0 (x), que descreve o movimento com uma certa energia E 0 em um dos po¸cos cos (digamos, o po¸co co I), e que ´e exponen ex ponencialmente cialmente decrescente em ambos os lados do po¸co co I. A normaliza¸c˜ cao a˜o aproximada desta fun¸c˜ ca˜o ´e ∞ 2 (805) ψ0 dx = 1
0
Portanto, para ψ0 , temos satisfeita a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger d2 ψ0 2m + 2 (E dx2 ¯ h
− U (x)) ψ (x) = 0 0
(806)
no seg seguin uinte te sen sentid tido: o: par paraa x < 0 a equa¸c˜ cao a˜o ´e aproximad aproximadamente amente satisfeit satisfeitaa porque, tanto ψ0 (x) quanto sua derivada segunda, nesta regi˜ao, ao, s˜ao ao aproximadamente nulas. Estare Estaremos mos usando, usando, sem mencionar mencionar mais, os seguin seguintes tes fatos: no
caso de um sistem sistemaa unidim unidimension ensional al confin confinado, ado, isto ´e, e, impedid impedidoo de alcan¸car car o infinito, a fun¸c˜ c˜ao ao de onda pode ser tomada como real, e os n´ıveis ıveis de energ energia ia n˜ao s˜ao ao degenerados.
O produto ψ0 (x)ψ0 ( x), para x > 0, ´e desprez desprez´´ıvel. O pot potencial encial como um
−
todo to do ´e sim´etrico etr ico.. A equ equa¸ a¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger d2 ψ 2m + 2 (E dx2 ¯ h
− U (x)) ψ(x) = 0 (807) permanece v´alida alida quando se troca x por −x. Lo Logo go,, se se ψ(x) ´e uma fun¸c˜ cao a˜o de onda, ψ (−x) tamb tamb´´em em o ´e, e, para o mesmo valor de E . Como n˜ nao a˜ o h´a degeneres dege nerescˆ cˆencia, encia , temo temoss
para ra α real ψ( x) = eiαψ (x) pa
(808)
ψ(x) = eiα ψ( x) = e2iα ψ(x)
−
(809)
ψ( x) = ψ(x)
(810)
−
Logo, e portanto e2iα = 1, de onde segue que α = nπ uˆenci en ciaa, nπ.. Temos, em conseq¨uˆ
−
ou ψ( x) =
−
−ψ(x)
174
(811)
As autof autofun¸ un¸c˜ coes o˜es da energia deste sistema s˜ao, ao, port portan anto, to, fun fun¸c˜ c¸oes o˜es pares ou ´ım ımpa pares res de x. Isto ´e uma conseq¨ uˆencia uˆ enc ia de que U ( x) = U (x). As fun fun¸¸c˜ coes o˜es de onda corretas, na aproxima¸c˜ cao a˜o quase-cl´assica, assica, s˜ao ao obtidas constru´ındo, ındo, a partir de ψ0 , as fun¸c˜ coes o˜es ψ1 , sim´etrica etr ica,, e ψ2 , anti a nti-s -sim´ im´etrica etr ica::
−
ψ1 (x) = ψ2 (x) =
√12 [ψ (x) + ψ (−x)] √12 [ψ (x) − ψ (−x)] 0
0
(812)
0
0
(813)
Note que a fun¸c˜ cao a˜o ψ0 (x) n˜ao ao ´e au auto tofu fun¸ n¸c˜ cao a˜o do hamiltoniano com a energia potencial U (x), sim´etrica: etri ca: ´e a fun¸c˜ cao a˜o de onda que ter ter´´ıamos de a barre barreira ira fosse impenetr´avel. avel. Tanto que ψ0 ( x) ´e des despre prezz´ıvel ıvel,, enq enqua uanto nto que ψ0 (x) n˜ao ao o ´e. e. De novo, como os n´ıveis n˜ao a o s˜ao ao degenerados, devemos ter energia s diferentes para ψ1 e ψ2 . Sejam
−
d2 ψ1 2m + 2 (E 1 dx2 ¯ h
− U (x)) ψ (x) = 0
(814)
− U (x)) ψ (x) = 0
(815)
1
a equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odinger para ψ1 , e d2 ψ2 2m + 2 (E 2 dx2 ¯ h
2
aquela para ψ2 . Multip Multiplic licand andoo (806) por ψ1 e (814) por ψ0 e sub subtra´ tra´ındo ın do,, temos 2m (816) ψ1 ψ0′′ ψ0 ψ1′′ + 2 (E 0 E 1 ) ψ0 ψ1 = 0 ¯ h ou 2m d (ψ1 ψ0′ ψ0 ψ1′ ) = 2 (E 1 E 0 ) ψ0 ψ1 (817) dx ¯ h Integrando de 0 a :
−
−
−
−
∞
∞ 0
d dx (ψ1 ψ0′ dx
∞ 2m ′ − ψ0ψ1 ) = 2 (E 1 − E 0) dxψ0ψ1
¯ h
′ ∞ = 2m (E 1 − E 0) √1 0 − ψ0 ψ1 )0 2
(ψ1 ψ ′
¯ h 2m (E 1 ¯2 h
∞ ∞ √ 2
0
))(819) (819) dxψ0 (ψ0 (x) + ψ0 ( x))
−
− E ) 12 ψ onde usamos o fato de ψ (x)ψ (−x) ser muito pequeno. pequeno. ≈
0
(818)
0
0
2 0
Lembrandoo que as Lembrand fun¸c˜ coes o˜es que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos m (0)ψ (0)ψ (E 1 E 0 ) (820) ψ0 (0) ψ1′ (0) ψ1 (0) ψ0′ (0) = 2¯ h2 0
0
√
−
175
−
Seja f f ((x) uma fun¸c˜ c˜ao ao par. Ent˜ao, ao,
f ( x) = f f ( f ((x)
(821)
−
Consideremos agora a fun¸c˜ cao a˜o
df (x) dx .
Trocando x por df (x) dx
−x,
→ − df (dx−x)
(822)
Logo, df ( x) = dx
−
− df dx(x)
(823)
ou seja, se f ´e pa parr, f ′ ´e ´ımpar.
Voltando a` (820), ψ1 (0) =
√
1 2 [ψ0 (0) + ψ0 (0)] = [
√
2ψ0 (0)
(824)
enquanto ψ1′ = 0 ,
(825)
levando a
¯2 h (0)ψ (826) E 1 E 0 = ψ0 (0) ψ0′ (0) m Repetindo agora o c´alculo alculo com ψ2 e ψ0 , obtemos, ao longo dos mesmos passos,
−
E 2
−
−
¯2 h (0)ψ E 0 = ψ0 (0) ψ0′ (0) m
(827)
Subtra´ Sub tra´ındo, ınd o, obt obtemos emos
2¯ h2 E 2 E 1 = ψ0 ψ0′ (0) m Um c´alculo alculo mais refinado leva ao resultado
−
−1 E 2 − E 1 = C e h¯
a
| | −a
p dx p
(828)
(829)
onde C ´e uma con constant stante, e, e a e a s˜ao ao indicados na figura. A eq.(829) torna expl´´ıcito o papel do tunelamen expl tunelamento to na separa¸c˜ cao a˜o dos n´ıveis de energia .
−
176
31
Sistemass de dois Sistema dois n´ n´ıv ıveis eis
Embora os sistemas da natureza tenham, em geral, um grande n´umero umero de n´ıve ıveis is,, h´a situa¸c˜ c˜oes oes em que apenas dois deles s˜ao ao relevant relevantes. es. Um exemplo exemplo importante impo rtante ´e este: est e: uma onda eletromag eletromagn´ n´etica, etica, mono monocrom´ crom´atica, atica, de freq¨uˆ uˆencia 1) incide sobre um ´atomo atomo (de infinitos i nfinitos n´ıveis de d e energia ener gia ), ω + ǫ (com ǫ/ω que tem, entre eles, dois de energia s tais que E 1 E 2 = hω. ¯ ω . A freq¨uˆ uˆencia h da onda ´e muito pr´oxima oxima da diferen¸ca ca de n´ıveis dividida por h ¯ . Most Mostramos ramos anteriormente anteriormen te que, neste caso, apenas os n´ıveis E 1 e E 2 participam do processo, sendo, os outros, “espectadores”, que podem, para este fim espec esp ec´´ıfico, ser ignorados. Nesta se¸c˜ cao a˜o vamos estu estudar dar siste sistemas mas ideal idealizado izadoss que tˆ em some em somente nte dois n´ıveis de energi en ergiaa . Sup Supond ondoo que qu e esses ess es n´ıveis ıveis n˜ao ao sejam degenerados, conclui-se que todo conjunto completo e linearmente independente de vetores de estado destee siste dest sistema ma possui p ossui apenas dois elementos: elementos: o conjunto conjunto de todos os esta estados dos forma, com as opera¸c˜ coes o˜es usuais de adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ cao a˜ o por um n´umero umero complexo, um espa¸co co vetorial complexo de dimens˜ao ao 2, e o hamiltoniano, bem como todos os operadores lineares, podem ser representados por matrizes complexas 2 2. A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odinger odi nger ´e escri escrita ta
≪
−
×
¯ ih
∂χ = Hχ ∂t
(830)
e, supon supondo-s do-see que o ham hamilt iltoni oniano ano n˜ ao depend ao dependaa expl explicit icitamen amente te do tempo, pode-se-a integrar formalmente, obtendo i
χ(t) = e− h¯ Ht χ(0) .
(831)
Por causa da simplicidade do sistema, ´e poss poss´´ıvel escrev escrever er explicitamen explicitamente te o i operado oper adorr exp ( ¯h H t). Os autoestados da energia , E 1 e E 2 satisfazem as equa¸c˜ coes o˜es
−
| |
H E 1 H E 2
| |
= E 1 E 1 = E 2 E 2
(832) (833)
| |
e todo estado χ pode ser expandido em termos deles 34 : χ(t) = χ(t) = ( E 1 E 1 + E 2 E 2 ) χ(t)
|
| | | | |
34
(834)
Como ´e usual usua l entre os f´ısicos, ısico s, estaremos, esta remos, indiferentemente, indife rentemente, denotando denotand o o estado e stado por p or χ ou χ . Em geral geral usa-se usa-se esta esta ´ultima ultima forma quando se vai fazer uso de algum dos truques da genial nota¸c˜ cao a˜o de Dirac
|
177
= E 1 χ(t) E 1 + E 2 χ(t) E 2 = C 1 (t) E 1 + C 2 (t) E 2
|
| |
|
|
(835)
|
Uma fun¸c˜ cao a˜o f hamiltoniano niano ´e definida defini da assim: f ((H ) do hamilto
f ((H ) χ(t) = C 1 (t)f f f ((H ) E 1 + C 2 (t)f f ((H ) E 2 = C 1 (t)f f ((E 1 ) E 1 + C 2 (t)f f ((E 2 ) E 2 (836)
|
|
|
|
|
Usando-se Usand o-se esta opera¸c˜ cao a˜o mostra-se facilmente que f (H ) = f f ( f ((E 1 )
ˆ ˆ E 2 ˆ1 H E 1 ˆ1 H + f f ((E 2 ) E 2 E 1 E 1 E 2
− −
− −
(837)
que, usada para o operador de evolu¸c˜ cao a˜o temporal, d´a: a: 1
i
e− h¯ Ht = +
E 2
− E
1
ˆ H E 2
− E
1
− − E 2 e
i E t h ¯ 1
i E t h ¯ 2
e
− E e− 1
− e− h¯i E 1t
i E t h ¯ 2
(838)
De posse deste resultado, podemos formular a pergunta: suponhamos que o sistema se encontre, em t = 0, em um estado χ(0) . Qual ´e a probab probabilidade ilidade de que, decorridos t segundos, ele permanecer no mesmo estado? Se, em t = 0, 0 , o esta estado do ´e χ(0), teremos, no instante t,
|
i
χ(t) = e− h¯ Ht χ(0)
(839)
e, usando a express˜ao ao acima, i χ(0) χ(t) = E 2 e− h¯ E1 t E 2 E 1
−
Seja
− E 1e− ¯ E2t + e i h
i h
i h
− ¯ E2 t − e− ¯ E1 t E 2
− E 1
ˆ χ(0) H
χ(0) = C 1 E 1 + C 2 E 2
|
(840)
(841)
|
ent˜ao, ao, i i C 1 E 1 + C 2 E 2 χ(t) = E 2 e− h¯ E 1t E 1 e− h¯ E 2t E 2 E 1 i i e− h¯ E 2 t e− h¯ E 1t = (C 1 E 1 E 1 + C 2 E 2 E 2 ) E 2 E 1
|
− − −
|
−
|
(842)
|
A probabilidade de o sistema, em t, estar no mesmo estado, ´e obtida assim: existe uma base do espa¸co co dos estados formada por χ(0) e outros estados, ortogonais a ele. Expandimos χ(t) nesta base:
| |χ(t) = a(t)|χ(0) + . . . 178
|
(843)
A probab probabilidade ilidade pedid pedidaa ´e a(t) 2 . Ora,
| | (844) χ(0)|χ(t) = a(t)χ(0)|χ(0) = a(t) . Logo, a probabi probabilidade lidade ´e |χ(0)|χ(t)| . Vamos calcular calcular χ(0)|χ(t), a ampli2
tude de probabilidade. probabilidade. Usando (839), temos
χ(0)|χ(t)
1
=
i
E 2 e− h¯ E 1 t
− E e− 1
i E t h ¯ 2
E 2 E 1 i i e− h¯ E 2t e− h¯ E 1t ˆ χ(0) + χ(0) H E 2 E 1
−
− −
| |
(845)
Como ˆ (C |E + C |E ) = |C | E +|C | E χ(0)|H ˆ |χ(0) = (C ∗ E | + C ∗E |) H H ( 1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
Ent˜ao, ao,
χ(0)|χ(t)
= +
1 E 2
i
E 2 e− h¯ E 1 t
− E e−
− E |C | E + |C | E e− 1
1
2
1
2
2
1
i E t h ¯ 2
i E t h ¯ 2
− e− E − E
2
2
i E t h ¯ 1
(846)
1
Suponhamos Suponham os que C 1 2 = 1 e C 2 2 = 0. Ent˜ao, ao, ap´os os uma algebra a´lgebra simples,
| |
| |
χ(0)|χ(t) = e−
i E t ¯ 1 h
(847)
logo,
|χ(0)|χ(t)|
2
=1
(848)
isto ´e, e, um sistema que est´a num estado estacion´ario ario perman permanece ece nele (da (da´´ı se chamar estacion´ario!). ario!). ´ E f´acil acil mostrar que os estados estacion´arios arios s˜ao ao os unicos u ´nicos que possuem esta propriedade. De fato, se i
χ(t) = e− h¯ Ht χ(0) χ(0) = C 1 E 1 + C 2 E 2
|χ(t) χ(0)|χ(t) |χ(0)|χ(t)| 2
= = =
|
| |E + C e− |E C e− |C | e− + |C | e− |C | + |C | + 2|C | |C | cos h¯1 (E − E )t i E t h ¯ 1
1
1 1
2 4
1
i E t h ¯ 1
2
2
4
179
i E t h ¯ 2
2
2
1
2
i E t h ¯ 2
2
2
2
1
2
(849) (850) (851) (852) (853)
Para que χ(0) χ(t) 2 = 1 para todo t, temos de ter ou C 1 = 0 ou C 2 = 0. Em qualquer qua lquer dos d os casos cas os o outro coeficiente co eficiente ´e de m´odulo odulo 1, pois C 1 2 + C 2 2 = 1. Logo, χ(0) = E 1 ou χ(0) = E 2 . Tomemos agora uma base arbitr´aria aria do espa¸co co dos estados, formada por expandido,, nesta base, como φ1 e φ2 . O estado χ(t) ´e expandido
|
|
| | | | | | | | | | |χ(t) = (|φ φ | + |φ φ |) |χ(t) = φ |χ(t)|φ + φ |χ(t)|φ (854) 1
1
2
2
1
1
2
2
Introduzindo a nota¸c˜ cao a˜o
χi (t) temos
≡ φ |χ(t) , i
|χ(t) = χ (t)|φ + χ (t)|φ 1
1
2
(855)
2
A equa¸c˜ cao a˜o de Schr¨odin od inge gerr ´e ∂ χ(t) ˆ χ(t) = χ1 (t)H ˆ φ1 + χ2 (t)H ˆ φ2 ¯ = H ih ∂t e, tomando os produtos escalares com φi , ∂ ¯ ih φ1 χ(t) = χ1 (t) φ1 H φ1 + χ2 (t) φ1 H φ2 ∂t ∂ ¯ ih φ2 χ(t) = χ1 (t) φ2 H φ1 + χ2 (t) φ2 H φ2 ∂t Denotando φi H φ j por H ij ij , temos ∂χ1 ¯ = H 11 ih 11 χ1 + H 12 12 χ2 ∂t ∂χ2 ¯ = H 21 ih 21 χ1 + H 22 22 χ2 ∂t Para estados estacion´arios, arios, H 12 Logo,, os el eleme ement ntos os de 12 = H 21 21 = 0. Logo coes c˜ o˜es entre estados. H 21 21 e H 12 12 promovem as transi¸ De fato, seja φ1 um dos estados da base.
|
|
|
| | | | |
| | | |
|
| | | |
(856)
(857) (858)
(859) (860) matriz mat riz
|
|φ (t) 1
i
= e− h¯ Ht φ1 =
| |φ E e− E − E 1
(861) i E t h ¯ 1
i e− E t − 2 − E 1e h¯ +
i E t h ¯ 2
− e− E − E
i E t h ¯ 1
ˆ φ1(862) H
| Qual ´e a probabilidade de que, em algum t, o sistema se encontre em |φ ? 2
2
1
2
1
2
A amplitu amplitude de ´e dada por
i
i
e− h¯ E 2t e− h¯ E 1t ˆ φ1 (863) φ2 φ1 (t) = φ2 H E 2 E 1 N˜ao ao h´a transi¸c˜ cao a˜o se H 21 21 = 0. As equa¸c˜ coes o˜es (863) s˜ao ao as Eqs.(8.43) do Volume III das “Feynman Lectures on Physics”, que as utiliza para um grande n´umero umero de aplica¸c˜ coes o˜es interessantes.. Vamos fazer o mesmo. essantes
|
− −
180
| |
32
A mol´ mol´ ecula da amˆ ecula amonia o ˆnia
A mol´ecula ecul a de amˆonia, onia, N H 3 , ´e fo form rmad adaa por trˆes es ´atomos atomos de hidrogˆenio enio e um de nitrogˆenio, enio, dispo dispostos stos nos v´ertices ertices de uma pirˆamide, amide, como mostra a figura. Esta mol´ecula ecula pode ser excitada excitada de mu muitos itos modos: pode ser posta a girar, por exemplo, em torno de um eixo passando pelo p elo nitrogˆenio enio e perpendicular `a base oposta, que ´e um eixo de simetria, ou pode-se tamb´ em excitar seus em muitos modos normais de vibra¸c˜ cao. a˜o. Aqu Aquii vamos conside considerar rar uma tra transi nsi¸c˜ c¸ao a˜o que ´e particularm pa rticularmente ente interessante porq porque ue n˜ n ˜ao ao pode existir classicamente. Na f´ısic ıs icaa cl cl´´assica, assica, as duas config configura¸ ura¸c˜ coes o˜es exibidas acima s´o podem se transformar uma na outra por rota¸c˜ cao a˜o da mol´ecula. ecula. Na mecˆanica anica quˆantica, antica , po por´ r´em, em, o nitro ni trogˆ gˆenio eni o po p o de tunelar tunelar para para o outro lado, uma transi¸c˜ cao a˜o que n˜ao ao pode p ode existir classicamente. Como problema an´alogo, alogo, considere o po¸co co duplo mostrado na figura abaixo. Para energia s como E 0 , classicamente, o problema se reduz a um unico u ´ nico po¸co. co. Ou seja, para energia energia inferiores inferiores a V m, classicamente, temos dois po¸cos cos independentes. Se o potencial for sim´etrico, etrico, teremos os mesmos n´ıveis de energia de um de do outro lado da barreira. Na mecˆanica anica quˆantica, antica, por´ p or´em, em, existe o tunelamen tunelamento to entre os dois po¸cos. cos. Em conseq¨uˆ uˆencia enci a diss disso, o, os n´ıveis de ener energia gia individuais dos po¸cos cos deixar˜ao ao de existir, e aparecer˜ao ao n´ıve ıveis is do po¸ co duplo. co duplo.
33 33.1 33 .1
A Mecˆ ani ca Quˆ anica antic a Relativ antica Rela tivist ista a Intr In trod odu¸ u¸ c˜ ao
Estas notas reproduzem parte das transparˆencias encias apresentadas no curso de ver˜ao ao de 2003 do Insti Instituto tuto de F´ısic ısicaa da USP USP.. A parte relativa relativa `a equa¸c˜ cao a˜o de Dirac e `a antianti-mat´ mat´eria eria ´e repr reprod oduzid uzidaa in toto. toto. Re Resol solve vemos mos substit substituir uir a parte que tratava de neutrinos e do problema solar por indica¸c˜ coes o˜es `a literatura existen existente, te, principalmen principalmente te na interne internet, t, que ´e de facil acesso e excelente qualidade. Para o estudo do problema dos neutrinos solares, recomendamos o endere¸co: co: http://www.hep.anl.gov/ndk/hypertext/nuindustry.html
Muitas outras informa¸c˜ c˜oes oes sobre o tema, e sobre f´ısica em geral, podem p odem ser encontradas no meu site: http://hfleming.com
181
O estudo da equa¸c˜ cao a˜o de Dirac na linha aqui apresentada encontra-se em Sakurai, “Advanced Quantum Mechanics”, Addison-Wesley Press e em T. D. Lee, “Particle Physics and Introduction to Field Theory”. Um tratam tratamen ento to elem elemen entar, tar, mas de quali qualidade, dade, sobre a f´ısic ısicaa dos neut neutrinos rinos encontra-se em C. Sutton, “ Spaceship Neutrino”
33.2
A equa¸c˜ c˜ ao de Sch ao Schr¨ r¨odinger odinger livre p E p 2 2m
p 2 Ψ = E Ψ 2m
33.3
→ −ih¯ ∇ ∂ → ¯ ih ∂t → (−i¯h∇ ).(−ih¯ ∇ ) = − ∇ → − 2h¯m ∇ Ψ = ih¯ ∂ ∂tΨ h2 ¯ 2m
1 2m
2
2
2
A equa¸c˜ c˜ ao de Kle ao Kleinin-Gor Gordon don E 2 E 2 Ψ 2 2 ∂ Ψ ¯ h ∂t 2 m2 c2 Ψ ¯2 h
−
2
2
−
= p 2 c2 + m2 c4 = ( p 2 c2 + m2 c4 )Ψ =
−c ¯h ∇ Ψ + m c Ψ 2 2
2
2 4
= 0
A equa¸c˜ cao a˜o de Klein Klein-Gordo -Gordon n ´e de segun segunda da ordem no tempo, o que cria dificuldades com o postulado b´asico asico da Mecˆanica anica Quˆantica antica que diz que o estado de um sistema est´a compl completame etamente nte determinado determinado (inc (inclusiv lusivee em sua evolu¸c˜ cao) a˜o) se se conhece a fun¸c˜ cao a˜o de onda em um instante qualquer. Al´em em disso, a conserva¸c˜ cao a˜o da probabilidade, expressa pela equa¸c˜ c˜ao ao da continuidade ∂ρ + div j = 0 ∂t
(864)
´e sati satisfei sfeita ta par paraa 1 ∂ Ψ∗ Ψ ρ = c ∂t
182
− Ψ∗ ∂ Ψ ∂t
j = c Ψ∗ Ψ ∂ρ + div j = 0 ∂t
Ψ Ψ∗
∇ − ∇
Problemas 1. ρ pode ter qualquer sinal. 2.A equa¸c˜ cao a˜o de Klein-Gordon n˜ao ao ´e de primeira ordem no tempo.
33.4
A equa¸c˜ c˜ ao de Di ao Dira racc
Procura-se: equa¸c˜ cao a˜o relativista de primeira ordem no tempo. Uma express˜ao ger eraal ´e: e: 1 ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ imc + αy + αz + (865) αx β Ψ = ¯ ∂x ∂y ∂z h c ∂t onde αx , αy , αz e β s˜ao ao matri matrizes zes quadradas 4x4, e Ψ ´e uma matriz coluna de 4 elementos.
Exemplo: αx Ψ =
A E I M
B F J N
C D G H K L O P
∂ Ψ1 /∂x ∂ Ψ2 /∂x ∂ Ψ3 /∂x ∂ Ψ4 /∂x
(866)
Em termos dos elementos de matriz a equa¸c˜ ca˜o ´e:
σ
1 ∂ Ψρ ∂ Ψσ ∂ Ψσ ∂ Ψσ imc (αx )ρσ + (α (αy )ρσ + (α (αz )ρσ + (β )ρσ Ψσ = ¯ ∂x ∂y ∂z h c ∂t
Todos os elementos das α’s e de β dev devem em ainda ser determinad determinados. os. Par Paraa isso vamos impˆor or a condi¸c˜ cao a˜o que, para cada componente componente Ψ ρ , valha a equa¸c˜ cao a˜o de Klein-Gordon, ou seja,
∇ − 2
1 ∂ 2 m2 c2 Ψρ = 2 Ψρ c2 ∂t 2 ¯ h
A motiva¸c˜ cao a˜o ´e a segui seguinte nte.. Consi Considere dere as equa¸c˜ coes o˜es de Maxwell (escritas no sistema siste ma CGS, como todo f´ısico que se prez prezaa faz!) na ausˆ encia de cargas e encia 183
correntes: = 0 divB = 0 divE
= rotE
− 1c ∂ ∂tB
= rotB
1 ∂ E c ∂t
´ um sistema de equa¸c˜ E coes o˜es lineares, de primeiro grau, que mistura as v´arias arias e B . Tomando o rotacional da ultima componentes de E u ´ ltima e usando a pen´ultima, ultima, E e obtemos 1 ∂ 2 B rot rotB = c2 ∂t 2 ou 2 .B 2 B = 1 ∂ B c2 ∂t 2 que ´e a mesma coisa que 2 2 Bρ = 0
−
∇ ∇ −∇
−
para todo ρ. Obt´em-se, em-se, de modo mo do an´alogo, alogo, que 2
2
E ρ = 0
para todo ρ. Ora, a teori teoriaa de Maxw Maxwell ell ´e relat relativis ivisticam ticamen ente te inv invarian ariante, te, e essa essass duas u ultimas ´ ltimas rela¸c˜ coes o˜es mostram uma propriedade que essas equa¸c˜ coes o˜es devem satisfaze isf azer. r. Mas elas elas n˜ao a o s˜ao ao sen˜ao ao as equa¸c˜ coes o˜es de Klein-Gordon para m = 0. Logo, justifica-se a exigˆencia encia de que, para cada componente compo nente de Ψ, a equa¸c˜ cao a˜o de Klein-Gordon seja satisfeita. Resumindo, se Ψ ´e uma solu¸c˜ c˜ao ao da equ equa¸ a¸c˜ cao a˜o de Dirac, exigiremos que
2
2
−
m2 c2 Ψρ = 0 ¯2 h
para todo ρ.
33.4.1 33. 4.1
Inter In terpre preta¸ ta¸ c˜ao c˜ ao pr prob obab abil´ il´ısti ıs tica ca
Preliminarmente precisamos de uma interpre Preliminarmente interpreta¸ ta¸c˜ cao a˜o proba pro babil´ bil´ıstic ıs tica. a. Go Gosta starr´ıa ıamo moss de ter Ψ∗σ Ψσ ρ=
σ
184
por ser esta uma quantidade positiva e que generaliza o ρ = Ψ 2 da teoria de Schr¨odinger. odinger. Como d3 xρ = 1
| |
(se a integral ´e sobre todo to do o espa¸co), co), teremos d dt
ρd3 x = 0 =
∂ Ψ∗σ ∂ Ψσ 3 Ψσ + Ψ∗σ dx ∂t ∂t
σ
Da equa¸c˜ cao a˜o de Dirac se tira 1 ∂ Ψρ = c ∂t
3
−
mc k ∂ Ψσ + i β ρσ αρσ ρσ Ψσ ¯ ∂x h k k=1
σ
Inserindo esta na pen´ultima, ultima, 0 =
− − c
σ
λ
c
σ
λ
3
∂ Ψ∗λ imc ∗ 3 k ∗ + dx ασλ Ψσ β σλ Ψσ Ψ∗λ ¯ ∂xk h k=1 3
3
dx
k Ψ∗σ ασλ
k=1
∂ Ψλ ∂xk
− imc β ¯ h
∗
σλ σ λ Ψσ Ψλ
de onde segue que
∗ = β λσ β σλ λσ k k ∗ ασλ = αλσ , ou seja, β e as α’s s˜ao ao hermiteanas. Mais precisamente, temos que, com ρ =
σ
Ψ∗σ Ψσ
j = c (Ψ∗ α Ψ) onde α componentes onentes (αx , αy , αz ), vale ´e o “vetor” de comp ∂ρ + div j = 0 ∂t
33.4.2 33. 4.2
Deter Det ermin mina¸ a¸c˜ c˜ ao das matrizes de Dirac ao
Reescrevendo a equa¸c˜ cao a˜o de Dirac como αi
∂ Ψ imc + β Ψ ¯ ∂x i h 185
− 1c ∂ ∂tΨ = 0
(867)
(onde o primeiro termo representa uma soma sobre i) e multiplicado `a esquerda pelo operador 1 ∂ ∂ imc + + α j β + β ¯ ∂x j h c ∂t temos, ap´os os alguns cancelamentos, ∂ 2 Ψ imc j ∂ Ψ imc i ∂ Ψ + + + αα α β βα ¯ ¯ ∂x j ∂xi h ∂x j h ∂xi 1 ∂ 2 Ψ m2 c2 2 =0 β Ψ c2 ∂t 2 ¯2 h j
i
−
−
Para que isto se reduza a
2
2
−
m2 c2 Ψ=0 ¯2 h
devemos ter: β 2 = 1 + βα i = 0 αi β β + αi α j + α j αi = 2δij Uma solu¸c˜ cao a˜o para essas equa¸c˜ coes o˜es pode ser constru constru´´ıda da seguinte maneira: sejam 1 0 I = 0 1
− 0 1 1 0
σ1 = σ2 = σ3 =
0 i
i 0
1 0
0 1
−
As matrizes de Dirac s˜ao ao matrizes 4x4 definidas, em termos das anteriores, assim: αk = β =
k
0 σ σk 0 I 0
186
0 I
−
ou, mais explicitamente,
α1 =
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
e assim por diante.
33.4.3 33. 4.3
Form ormula ula¸¸c˜ c˜ ao covariante da equa ao equa¸ c¸˜ c˜ ao de Di ao Dira racc
Queremos colocar a equa¸c˜ cao a˜o de Dirac numa forma em que o tempo e as coordenadas apare¸cam cam simetricamente. simetricamente. Nota¸c˜ cao: a˜o: = = = =
x1 x2 x3 x4
x y z ict
Assi m, o invaria Assim, invariante nte relati rel ativ v´ısti ıstico co x2 + y 2 + z2 ou xµ xµ , que ´e a mesma coisa que
2 2
−c t
´e es escr crit itoo x21 + x22 + x23 + x24 ,
4
xµ xµ
µ=1
A euq¸c˜ cao a˜o de Di Dira racc ´e: e: αi
1 ∂ Ψ ∂ Ψ imc + =0 β Ψ + ¯ ∂x i h c ∂t
∂ Ψ onde αi ∂x ´e uma ab abrev revia ia¸¸c˜ cao a˜o para i 3
i=1
αi
∂ Ψ ∂xi
Multiplicando a equa¸c˜ cao a˜o de Dirac `a esquerda por ( iβ ) e introduzindo a nota¸c˜ao
−
γ 4 = β γ k = iβα k
−
187
para k = 1, 2, 3, temos γ i
∂ Ψ mc ∂ Ψ + Ψ + β =0 ¯ ∂xi h ∂ (ict ict))
ou γ µ
∂ Ψ mc + Ψ=0 ¯ ∂x µ h
com γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δµν
33.4.4 33. 4.4
Corren Cor rente te de de Proba Probabil bilida idade de
Seja Ψ uma solu¸c˜ cao a˜o da equa¸c˜ cao a˜o de Dirac. Definindo Ψ(x) Ψ(x
≡ Ψ†(x)γ
4
Ent˜ao ao obt´em-se, em-s e, da equa equa¸c˜ c¸ao a˜o de Dirac, ∂ Ψ γ µ ∂xµ
− mc Ψ=0 ¯ h
O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade, probabilidade , jµ 1 ∂j µ = ∂x µ c
≡ iΨγ Ψ ´e tatall que µ
∂ρ + div j = 0 ∂t
que ´e a forma 4-dimensional da equa¸c˜ cao a˜o da continuidade.
33.4 33 .4.5 .5
Solu So lu¸¸c˜ coes o ˜es especi especiais: ais: part part´ ´ıcula em repouso rep ouso
Para uma part part´´ıcula em repou repouso, so, pk Ψ = 0 onde pk ´e o opera operador dor “comp “componente onente k do momento ”. Equivalentemente, ∂ Ψ −i¯h ∂x =0 k
para k = 1, 2, 3. Logo, para a part part´´ıcula em repouso, Ψ(r, t) = Ψ(t Ψ( Ψ(t) Com isso, a equa¸c˜ cao a˜o de Dirac fica: γ 4
∂ Ψ = ∂x4
− mc Ψ ¯h
188
Explicitamente, temos
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−
0 0 0 1
−
1 ∂ ic ∂t
Ψ1 (t) Ψ2 (t) Ψ3 (t) Ψ4 (t)
Autoestados Auto estados da energia en ergia tˆem em a forma
=
− mc ¯ h
Ψ1 (t) Ψ2 (t) Ψ3 (t) Ψ4 (t)
− mc ¯ h
a b c d
i
Ψ(t) = Ψ(0)e Ψ(t Ψ(0)e− h¯ Et Logo, para essas fun¸c˜ coes, o˜es, 1 ic
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−
0 0 0 1
−
a b c d
∂ − i Et e h¯ = ∂t
Cancelando as exponenciais reduz-se a E ¯hc hc Logo,
a b c d
− −
=
mc ¯h
a b c d
−
E = mc2 c = d=0 ou seja, as solu¸c˜ coes o˜es s˜ao ao Ψ(t) = Ψ(t
a b 0 0
1 0 0 0
− e
i mc2 t h ¯
Todas estas podem ser escritas como combina¸c˜ coes o˜es lineares de Ψ1 (t) = e Ψ2 (t) =
0 1 0 0
189
− − e
e
i mc2 t h ¯
i mc2 t h ¯
e
i Et h ¯
33.4 33 .4.6 .6
Solu So lu¸¸c˜ coes o ˜es de energia negativa
Surpreendentemente, por´em, em, a equa¸c˜ cao a˜o E ¯hc hc
a b c d
−−
=
mc ¯h
a b c d
admite a classe de solu¸c˜ coes o˜es E = mc2 a = 0 b = 0 como se verifica facilmente. Logo, temos ainda como solu¸c˜oes oes as comb combin ina¸ a¸c˜ coes o˜es lineares 0 i 2 0 Ψ3 (t) = e h¯ mc t 1 0 e 0 i 2 0 Ψ4 (t) = e h¯ mc t 0 1
Note que se trata de solu¸c˜ coes o˜es correspondente correspondentess a part part´´ıculas livres e em repouso. Al´em em das solu¸c˜ coes o˜es esperadas, com energia E = mc2 , encontramos outras, totalmente inesperadas, com energia de repouso dada por E = mc2 !
−
33.4 33 .4.7 .7
Inte In tera ra¸¸c˜ cao a ˜o com o camp campo o eletromagn´etico etico
Usando, na equa¸c˜ cao a˜o de Dirac γ µ
∂ Ψ mc + Ψ=0 ¯ ∂xµ h
o aco acopla plamento mento m´ıni ınimo, mo, pµ
→ p − ec A µ
µ
(veja
). >).
190
Como
−i¯h ∂x∂
pµ =
µ
Aµ obt bt´´em-s em -se: e:
33.5
∂ ∂xµ
−
(Ax , Ay , Az , iφ iφ))
≡
ie mc Ψ=0 Aµ γ µΨ + ¯hc ¯h hc
A anti-mat´ eria eria
A proposta de Dirac para resolver o problema dos estados de energia negativa ´e: e: todos os estados de energia negativa est˜ao ao preenchidos, e esta situa¸c˜ ca˜o ´e o que chamamos v´acuo. acuo. Isto faz sentido sentido porque os el el´´etrons etrons s˜ao ao f´ermio erm ions, ns, e, como se sabe, “s´o cabe um f´ ermion em cada estado”. Viv ermion Vivemos emos no meio dos estados de energia negativa mas n˜ao ao os vemos. No entanto, quando um desses el´etrons etrons de energia negativa recebe energia suficiente para pular para um estado de energia pos positiva itiva (esta (est a energia ´e, e, no m´ınimo, 2mc2 ), deixa, no “mar de estados de energia negativ negativa” a” um buraco, e este ´e observado (como uma part part´´ıcula de energia energ ia positiva p ositiva e carga posi positiva, tiva, isto i sto ´e, e, opos o posta ta `a do d o el´ el´etro et ron) n).. Logo, quando um el´etron etron de energia negativa pula para um estado de energia positiva, pos itiva, aparecem duas coisas: o pr´oprio oprio el´etron, etron, agora “vis “vis´´ıvel”, e o buraco: chama-se isso de produ¸c˜ cao a˜o de um u m par pa r el´etron-p etro n-p´´ositron. ositron. O buraco deixado pelo el´´etr el et ron ´e um p´ositron, ositro n, o primeiro exemplo de anti-mat´ anti- mat´eria. eria.
33.5 33 .5.1 .1
As so solu lu¸¸c˜ coes o ˜es de onda plana
Estas solu¸c˜ coes, o˜es, que s˜ao ao estados de momento e energia definidos e arbitr´arios, arios, podem ser obtidas das de repouso por transforma¸c˜ coes o˜es de Lorentz. Lorentz. Vamo amoss ´ nos limitar a apresentar uma tabela delas. E um exerc exerc´´ıcio simples verificar que as express˜oes oes a seguir efetivamente satisfazem as equa¸c˜ coes o˜es de Dirac. Energia positiva: Ψ=
(1)
u ( p p) ) =
i mc2 (1 Et)) u(1,,2) ( p p) )e h¯ (p .x−Et EV
E + mc2 E + 2mc2
191
1 0 p3 c E +mc2 ( p1 +ip2 )c E +mc2
u(2) ( p p) ) =
E + mc2 E + 2mc2
Energia negativa: Ψ=
(3)
| | | |
u ( p p) ) =
33.5 33 .5..2
0 1 ( p1 ip2 )c E +mc2 p3 c E +mc2
− −
i mc2 (3 u(3,,4) ( p p) )e h¯ (p .x+|E |t) E V
E + mc2 2mc2
u ( p p) ) =
(4)
| |
E + mc2 2mc2
p3 c e +mc2 ( p1 +ip2 )c E +mc2
| −| −| | −| | − | | 1 0
( p1 ip2 )c E +mc2 p3 c E +mc2
0 1
A fu fun¸ n¸ c˜ c˜ ao de onda do buraco ao
Dada a equa¸c˜ cao a˜o
∂ ie mc Ψ=0 (868) Aµ γ µΨ + ¯hc ¯h ∂xµ hc queremos mostrar que, para cada Ψ que a resolve, existe uma Ψ c qu quee ´e sol s olu¸ u¸c˜ cao a˜o de: ∂ ie mc c + Aµ γ µ Ψc + Ψ =0 ¯c ¯ ∂xµ hc h h com a propriedade Ψc = S c Ψ∗
−
onde S c ´e ant antii-uni unit´ t´ario ario35. Vamo amoss deter determin minar ar S c . Tom oman ando do o co comp mple lexo xo-conjugado da equa¸c˜ c˜ao ao de Dir Dirac, ac, temo temoss
∂ ie + Ak γ k∗ Ψ∗ + ¯c ∂x k h hc
−
∂ ∂x4
−
ie mc ∗ Ψ =0 A4 γ 4∗ Ψ∗ + ¯c ¯ h hc h
Aplicando S c a` esquerda, termo a termo, tomando o complexo conjugado e aplicando, aplic ando, a` esquerda, (S ( S c∗ )−1 , obtemos
∂ ∂xk
ie ∂ ie mc + A4 (S c∗ )−1 γ 4∗ S c∗ Ψ + Ψ=0 Ak (S c∗ )−1 γ k∗ S c∗ Ψ + ¯c ¯c ¯ h hc ∂x4 h hc h 35 S c S † = S † S c = 1, mas S c (λΨ) = λ∗ S c Ψ
− c
−
c
192
Para que esta equa¸c˜ cao a˜o reproduza Eq.(868), devemos ter (S c∗ )−1 γ k∗ S c∗ = γ k (S c∗ )−1 γ 4∗ S c∗ = γ 4
−
A solu¸c˜ ca˜o ´e S c = γ 2 com S c = S c∗ = (S c∗ )−1 . Logo, Ψc = γ 2 Ψ∗ Exemplo: Ψ=
Ψc = γ 2 Ψ∗ = e
i mc2 1 Et)) u ( p p) )e h¯ (p .x−Et EV
−
i mc2 4 u ( p p) )e h¯ (−p .x+|E |t) EV
−
(Ψc )c = Ψ
Assim, dada uma solu¸c˜ cao a˜o Ψ de energia negativa E , Ψc ´e uma sol solu¸ u¸c˜ c˜ao de energia ( E ), ), positiva, de momento p p, , carga e e spin no sentido oposto. Trata-s rata-see do buraco, que ´e um p´ositron. ositron.
−
34 34.1 34. 1
−
−
Apˆendi en dice ce Matem´ Matem´ atico atic o1 Operado Oper adores res e suas suas rep repres resen enta¸ ta¸c˜ coes o ˜es matriciais
ˆ um operador linear num espa¸co Seja O co vetorial E sobre os n´umeros umeros complexos. plex os. Seja ei , com i = 1, . . . , n, co, que, portanto, n, uma base desse espa¸co, ˆ tem dimens˜ao ao n. Aplic Aplicando-s ando-see O a um elemento da base, por exemplo, ei , tem-se um novo vetor do espa¸co, co, que pode ser expandido na base dada. Esta expans˜ ao ´e esc ao escrit ritaa n ˆ (869) Oei = O ji e j
{ }
j=1 j =1
ˆ onde os O ji s˜ao a o n´ umeros complexos, denominados elementos de matriz de O umeros na base ei . Seja v um vetor qualquer de E , tal que
{ }
n
v =
viei .
i=1
193
(870)
Temos ˆv = O ˆ O
n
n
viei =
i=1
e, usando (869), ˆv = O
ˆ ei vi O
(871)
i=1
n
n
(872)
vi O ji e j
i=1 j j=1 =1
ˆ , ´e A equa¸c˜ cao a˜o (872) mostra que, de posse dos elem elemen entos tos de matri matrizz de O posss´ıvel determina pos determinarr a a¸c˜ cao a˜o deste operador operador sobre sobre qua qualqu lquer er vetor. vetor. Ou seja, escolhida esco lhida uma base, o operador pode po de ser subs substitu titu´´ıdo pelo conj conjunt untoo de seus elemen elem entos tos de matri matriz. z. Con Conve vencion nciona-se a-se escr escrev ever er o conju conjunt ntoo dess desses es elem elemen entos tos de matriz da seguinte forma:
O=
O11 O12 O21 O22 .... .... On1 On2
... O1n ... O2n ... .... ... Onn
(873)
ˆ v em Uma segunda maneira de ler a eq.(872) ´e : as componentes comp onentes do vetor O rela¸c˜ cao a˜o a` base dada s˜ao a o os n´umeros umeros complexos ˆv O
n
j
=
(874)
O ji vi
i=1
Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos s˜ao as suas componentes, v1 v2 (875) v ... vn
⇔
podemos representar a a¸c˜ cao a˜o de um operador sobre um vetor assim:
ˆv O
⇔
O11 O12 O21 O22 .... .... On1 On2
... O1n ... O2n ... .... ... Onn
v1 v2 ... vn
(876)
onde, para calcular o segundo membro, usam-se as regras de produtos de matrizes usuais. O leitor, como exerc exerc´´ıcio, po poder´ der´a mostrar que a representa¸c˜ cao a˜o matricial ˆ 1O ˆ 2 , produto dos operadores O ˆ1 e O ˆ 2 , ´e dada pelo produto, do operador O 194
ˆ1 e O ˆ 2 , nesta orno sen sentido tido de matri matrizes zes,, das matrizes que repr represen esentam tam O dem. Reco Recordem rdemos os que o produto das matrizes matrizes A, de elementos Aij e B , de elementos Bij , ´e a matriz de elementos n
(AB AB))ij =
Aik Bkj
(877)
k=1
regra que pode ser obtida facilmente da equa¸c˜ao ao (869). i uma segunda base. Podemos escrever Seja f
{ }
n
ˆ f i = O
j=1 j =1
j (Of ) ji f
(878)
ˆ) enquanto que, em rela¸c˜ cao a˜o a` primeira (para o mesmo O ˆ ei = O
n
(Oe) ji e j
(879)
j=1 j =1
i ˆ nas bases f onde indicamos com Of e Oe as matrizes que representam O e ei respectivamente. As matrizes Of e Oe representam o mesmo operador em bases distintas. distintas. Matr Matrizes izes com esta propriedades propriedades s˜ao ao ditas equivalentes equivalentes.. O que caracteriza matrizes equivalentes?
{ }
{ }
34.1.1 34. 1.1
Tran ransfo sforma rma¸c˜ c¸oes o ˜es entre bases
Um elemento qualquer da base (f) pode ser expandido na base (e): i = f
f mi em mi
(880)
r grs f
(881)
m
e analogamente,
es =
r
Logo, segue que es =
r = grs f
r
ou
grs
r
es =
f mr em mr
m
f mr em mr grs
m
(882)
(883)
r
de onde segue, imediatamente, que
f mr mr grs = δms
r
195
(884)
Invertendo Inv ertendo os papeis das bases (e) e (f (f), ), obt´em-se, em-se, da mesma maneira,
grm f mi mi = δri
(885)
m
Seja F a matriz cujos elementos s˜ao ao f mi ao grm . ao mi , e G aquela cujos elementos s˜ Ent˜ao ao as equa¸c˜ coes o˜es (884) e (885) s˜ao ao escritas, respectivamente, FG = 1
(886)
GF = 1
(887)
e Quando, entre duas matrizes, existe este par de rela¸c˜oes, oes, uma ´e o inverso da outra. Ou seja, (888) G = F −1 ou, equivalentemente, F = G−1
(889)
A condi¸c˜ cao a˜o necess´aria aria e suficiente para que uma matriz tenha inv inverso erso ´e que seu determinante seja diferente de zero.
34.1.2 34.1. 2
Matrizes Matri zes equi equiv valen alentes tes
ˆ , ou seja, duas Sejam Of e Oe duas representa¸c˜ coes o˜es matriciais do operador O matrizes equivalentes. equivalentes. Temos i = ˆ f O
j
j = (Of ) ji f
j
(Of ) ji
f ljlj el
(890)
rl
Por outro lado, i = O ˆ f ˆ O
f mi em = mi
m
ˆ em = f mi mi O
m
f mi mi
m
(Oe )lm el
(891)
l
Igualando (890) e (891), temos
j
f ljlj (Of ) ji =
m
(Oe)lm f mi mi
(892)
ou, na linguagem das matrizes, F Of = Oe F
(893)
Oe = F Of F −1
(894)
ou, na forma mais comum,
196
Em palavras, duas matrizes A e B s˜ao ao equivalentes se existir uma matriz n˜ao-singular ao-sin gular (isto ´e, e, que qu e tem inversa) F tal que A = F BF −1
(895)
Uma rela¸c˜ c˜ao ao desse tipo entre matrizes A e B ´e dita tamb´em em uma tra transnsforma¸c˜ cao a˜o de eq¨uivalˆ uivalˆencia, encia, ou de semelhan¸ca. ca. A riquez riquezaa de sinˆ sinˆonimos onimos revela a idade do problema! Ex ercc´ıc Exer ıcio ios: s: ˆ possui inverso e se a representa¸c˜ 1. Mostre que, se o operador O cao a˜o matricial dele em uma ˆ −1 nesta mesma base determinada determin ada base ´e a matriz A, ent˜ao ao a representa¸c˜ c˜ao ao matricial de O ´e a mat matri rizz A−1 . 2. Mostre que duas matrizes equivalen equivalentes tes tˆem em o mesmo tra¸co e o mesmo determinante. Por isso essas duas quantidades s˜ao ao ditas invariantes de uma matriz.
34.1.3 34. 1.3
Autov Aut ovalo alores res de uma uma matriz matriz
ˆ um operador linear e v = 0 um vetor tais que Sejam O
ˆ v = λv O
(896)
ˆ , e que λ onde λ ´e um numero u ´ mero complexo. complexo. Diz-s Diz-see que v ´e um autovet autovetor or de O ˆ . A equa¸c˜ ´e um autovalor de O cao a˜o acima pode ser escrita assim: ˆ O
− λˆ1 ˆ − λˆ1 operador oper ador O
v = 0
(897)
ˆ = Suponhamos Suponham os que o tenha ten ha in inv vers erso, o, de denot notado ado por U 1 − ˆ λˆ1 . Ent˜ao, ˆ `a esquerda de (897), temos ao, aplicando-se U O
−
ˆ O ˆ U
− λˆ1
v = v = 0
(898)
o que ´e absurdo absurdo,, poi poiss v , como autovetor, deve ser n˜ao-nulo. ao-nulo. Conc Conclui-s lui-see que ˆ ˆ o operador O λ1 ´e singula singular, r, ou seja, n˜ao ao tem inverso. Em conseq¨uˆ uˆencia, suas representa¸c˜ coes o˜es matricia matriciais is tamb´em em n˜ao ao ter˜ao ao inverso. A vers˜ao ao matricia matriciall da eq.(897) ´e
−
j
(Oij
ij ) v j
− λδ
=0
(899)
ˆ em onde Oij ´e o elemento elem ento ij da matriz O, que representa o operador O alguma base, e δij ´e o ele element mentoo ij da matriz que representa o operador ˆ1. 197
Em conseq¨uˆ uˆencia encia da conc conclus˜ lus˜ao ao acima, o primeiro membro da eq.(899) deve ser uma matriz singular (sem inverso). Logo, devemos ter det (Oij
ij )
− λδ
=0
(900)
que ´e uma maneira simplificada de dizer que o determinan determinante te da matriz cujo elem el emen ento to ge gen´ n´eric er icoo ´e Oij λδij ´e ze zerro. Esta equa¸c˜ cao, a˜o, λ sendo a inc´ognita, ognita , ´e uma equa¸c˜ cao a˜o alg´ebrica ebrica de ordem igual a` dimens˜ao ao n do espa¸co, co, ou, o que ´e o mesm mesmo, o, igual `a ordem da matriz. Em prin prin´´ıpio tem n solu¸c˜ coes, o˜es, mas n˜ao ao necessariamente necessariamente distintas. Estas solu¸c˜ coes o˜es s˜ao ao os autovalores do operador, e s˜ao ao tamb´em em chamadas de autovalore aloress da matri matrizz que representa representa o operado operador. r. A equa¸c˜ cao a˜o (900) ´e conhecida como equa¸c˜ c˜ ao secular .
−
198
34.2 34 .2
Diag Di agon onal aliz iza¸ a¸ c˜ c˜ ao de uma mat ao matriz riz
Neste cap cap´ ´ıtulo, ıtulo, difer diferentemente entemente do que oc ocorreu orreu nos anterior anteriores, es, omitir omitiremos emos os sinais de somat´ oria,, usand oria usando o a co conven¸ nven¸c˜ cao ˜ de que ´ındices ındices rep repetidos etidos indicam a soma sobre todos os valores valo res dess desses es ´ındices ındices..
