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Solucionario . Mecánica de Materiales Beer & JohnsonFull description
Solucionario . Mecánica de Materiales Beer & JohnsonDescripción completa
en donde r es la distancia de O al elemento dA dA.. Mientras esta integral es nue vamente una integral doble, es posible en el caso de un área circular elegir elementos del área dA dA en la forma de anillos circulares y reducir el cálculo de JO a una integración única (vea ejemplo A.05). Se nota, de las ecuaciones (A.7) y (A.8), que los momentos de inercia de un área son cantidades positivas. En el sistema SI, los momentos de inercia se expresan en m4 o mm4; en el sistema de unidades utilizado en Estados Unidos, se expresan en pie4 o pulg4. Se puede establecer una importante relación entre el momento polar de inercia JO de un área dada y los momentos de inercia I x e I y de la misma área. Como r 2 5 x2 1 y2, se escribe 2
J O
r
dA
A
A
1 x x
2
2
y2 dA
y2 dA
A.3 Segundo momento o momento de inercia de un área; radio de giro
x2 dA
A
A
o J O
I y
I x
(A.9)
El radio de giro de giro de un área A área A con con respecto al eje x eje x se se define como la cantidad r x, que satisface la relación r x2 A A
I x
(A.10)
donde I x es el momento de inercia de A A con respecto al eje x x.. Resolviendo la ecuación (A.10) para r x, se tiene
B
I x A
r x
(A.11)
De manera similar es posible definir los radios de giro con respecto al eje y y y y al origen O. Se escribe I y (A.12) I y r y2 A r y A J O (A.13) J O r 2O A r O A
B B
Sustituyendo JO, I x e I y en términos de los correspondientes radios de giro en la Sustituyendo J ecuación (A.9), se observa que r O2
r x2
r y2
(A.14)
Para el área rectangular de la figura A.16, halle a) el momento de inercia I x del área con respecto al eje centroidal x x,, b b)) el radio de giro correspondiente r x.
EJEMPLO A.04 y
a )
elemento de área una tira horihoriMomento de inercia I x . Se elige como elemento zontal de longitud b b y y espesor dy dy (figura (figura A.17). Como todos los puntos de la tira tienen la misma distancia y y a a partir del eje x eje x su su momento de inercia con respecto al eje x es dI x Integrando entre y
