Mecánica cuántica Teoría sumamente acertada para explicar el comportamiento de partículas microscópicas. Esta teoría, creada en la década de los veinte del siglo pasado, por Erwin Schrodinger, Werner Heisenberg y otros, hace posible entender una multitud de fenómenos en donde intervienen átomos, moléculas, núcleos y cuerpos sólidos. Interpretación de la mecánica cuántica La materia y la radiación electromagnética a veces se modelan mejor como partículas y a veces como ondas, dependiendo del fenómeno que se observe. Es posible mejorar la comprensión de la física cuántica si se hace otro enlace conceptual entre partículas y ondas, con el uso de la noción de probabilidad. Primero hay que explicar la radiación electromagnética con el modelo de las partículas. La probabilidad por unidad de volumen de hallar un fotón en una región determinada del espacio en un instante, es proporcional al número N de fotones por unidad de volumen en ese tiempo:
El número de fotones por unidad de volumen es proporcional a la intensidad de la radiación:
Ahora, se enlaza el modelo de partícula y el modelo de onda recordando que la intensidad de radiación electromagnética es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico E para la onda electromagnética:
Igualando el principio y el fin de esta sucesión de proporcionalidades, tiene:
Por lo tanto, para la radiación electromagnética la probabilidad por unidad de volumen de hallar una partícula asociada con esta radiación (el fotón) es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda electromagnética asociada. La cuestión análoga a la ecuación anterior relaciona el cuadrado de la amplitud de la onda con la probabilidad por unidad de volumen de hallar la partícula. En consecuencia, a la amplitud de la onda asociada con la partícula se le llama simplemente amplitud de probabilidad, o función de onda, y se simboliza con
. La función de onda ϕ es matemáticamente separable en espacio y tiempo y se puede
escribir como un producto de una función de espacio ϕ para una particular del sistema y una función del tiempo compleja:
Donde ω=2
es la frecuencia angular de la onda
El cuadrado absoluto | |
, donde
√
es el conjugado de , es siempre real y positivo.
| | Conocida como densidad de probabilidad; Esta interpretación también se puede establecer de la manera siguiente: si dV es un elemento de volumen pequeño rodeando algún punto, la probabilidad de hallar la partícula en el elemento de volumen es:
La función de onda ϕ para una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x se puede escribir como:
Donde
es el número de onda angular de la onda que representa la partícula y, A es una
amplitud constante.
Funciones de onda unidimensionales y valores permitidos Esta sección expone únicamente sistemas unidimensionales, donde la partícula debe estar ubicada a lo largo del eje x, de modo que la probabilidad | | dV, se modifica para convertirse en | |
La
probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo infinitesimal dx alrededor del punto x es:
La probabilidad de hallar la partícula en el intervalo arbitrario
La probabilidad
es:
es el área bajo la curva de | | en función de x entre los puntos x=a y x=b. La
suma de las probabilidades en todos los valores de x debe ser 1:
Cualquier función de onda que satisfaga esta ecuación se dice que está normalizada. La normalización quiere decir, simplemente, que la partícula existe en algún punto en el espacio. Valor esperado de x y está definido por la ecuación:
Es posible hallar el valor esperado de cualquier función f(x) asociado con una partícula si se usa la siguiente ecuación:
La partícula cuántica bajo condiciones frontera Una partícula en una caja Una partícula confinada a una región unidimensional del espacio, un problema de una partícula en una caja. Desde el punto de vista clásico, si una partícula rebota elásticamente hacia atrás y hacia adelante lo largo del eje x entre dos paredes impenetrables separadas por una distancia L, como se muestra en, se modela como una partícula bajo rapidez constante. Si la rapidez de la partícula es u, la magnitud de su cantidad de movimiento mu permanece constante, al igual que su energía cinética. (Recuerde que en el capítulo 39 se usó
u para la rapidez de la partícula y distinguirla de v, la rapidez de un marco de
referencia.) La física clásica no impone restricciones a los valores de la cantidad de movimiento y energía de una partícula. El planteamiento mecánico cuántico para este problema es muy diferente y requiere que se encuentre la función de onda apropiada que sea consistente con las condiciones de esta situación. La representación grafica del problema de la partícula en una caja, muestra la energía potencial del sistema partícula-entorno como función de la posición de la partícula. Mientras la partícula está dentro de la caja, la energía potencial del sistema no depende de la ubicación de la partícula y es posible escoger su valor igual a cero. Fuera de la caja, debe asegurarse de que la función de onda sea cero. Puede hacer esto al definir la energía potencial del sistema como infinitamente grande si la partícula estuviera fuera de la caja. Por lo tanto, la única forma de que una partícula pueda estar fuera de la caja es si el sistema tiene una cantidad infinita de energía, lo que es imposible. La función de onda para una partícula en la caja se expresa como una función senosoidal real.
Donde 𝜆 es la longitud de onda de De Broglie asociada con la partícula. Esta función de onda debe satisfacer las condiciones frontera en las paredes. La condición frontera en porque la función seno es cero cuando x =0. Para la condición frontera en
(0)=0 ya está satisfecha
(L)=0, se tiene:
Que solo puede ser verdadera si:
Donde n =1, 2, 3,. . . En consecuencia, solo se permiten ciertas longitudes de onda para la partícula. Cada una de las longitudes de onda permitidas corresponde a un estado cuántico para el sistema, y n es el número cuántico.
Al normalizar esta función de onda se demuestra que A=√ ⁄ .
La magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula también está restringida a valores específicos que se hallan a partir de la expresión para la longitud de onda de De Broglie.
Se señala la energía potencial del sistema igual a cero cuando la partícula está dentro de la caja. Por lo tanto, los valores permitidos de la energía del sistema, que simplemente es la energía cinética de la partícula, son proporcionados por:
Esta expresión muestra que la energía de la partícula está cuantizada. La energía mínima corresponde al estado fundamental, que es el estado de energía mínima para cualquier sistema.
La partícula cuántica bajo condiciones frontera La ecuación de onda apropiada fue creada por Schrödinger en 1926. Al analizar el comportamiento de un sistema cuántico, el planteamiento es determinar una solución a esta ecuación y luego aplicarle las condiciones frontera apropiadas. La ecuación de Schrödinger, como se aplica a una partícula de masa
m confinada a moverse a lo largo
del eje x e interactuar con su ambiente por medio de una función de energía potencial U(x), es:
Donde
E es una constante igual a la energía total del sistema (la partícula y su ambiente). Porque esta
ecuación es independiente del tiempo, por lo común se le conoce como ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Repaso de la partícula en una caja En la región 0 < x
Dónde:
La solución más general a la ecuación es una combinación lineal de ambas soluciones:
La primera condición frontera en la función de onda es que ϕ (0)=0: Lo cual significa que B=0. Debido a eso, la solución se reduce a: Con la segunda condición frontera, ϕ (L)=0, cuando es aplicada a la solución reducida, se obtiene: Esta ecuación podría satisfacerse si A=0, pero significaría que ϕ=0 en todas partes, lo cual no es una función de onda valida. Se cumple la condición frontera si 𝓀L es un múltiplo entero de
𝓀L=n , donde n es un entero. Sustituyendo 𝓀=√
, es decir, si
⁄ en esta expresión da:
Cada valor del entero n corresponde a una energía cuantizada llamada En. Al resolver para las energías permitidas En:
Si sustituye los valores de 𝓀 en la función de onda, las funciones de onda permitidas
dadas por:
