[10.10]
El límite del cociente anterior1, cuando consideramos un intervalo de tiempo que tiende a cero, nos define el concepto de potencia instantánea; esto es, lím
P
Δt→0
dW dt
W Δt
[10.11]
De modo que, si conocemos P en función del tiempo, el trabajo realizado en el intervalo de tiempo Δt = t2-t1 será t2
W
⌠ P dt ⌡t
[10.12]
1
Teniendo en cuenta que dW = F dr, podemos escribir esta otra expresión para la potencia desarrollada por una fuerza: P
dW dt
F
dr dt
F v
[10.13]
donde v representa la velocidad de la partícula a la que está aplicada la fuerza. Vemos que la potencia desarrollada por la fuerza F será positiva, nula o negativa según que los vectores F y v formen un ángulo agudo, recto u obtuso.
Rehusamos escribir ΔW en el numerador de la expresión [10.10] ya que el trabajo se realiza o no se realiza, pero no se incrementa. Dicho de otra forma, el trabajo no es función de estado del sistema. Insistiremos y desarrollaremos con más rigor esta idea en las Lecciones de Termología. 1
§10.4.- Unidades de trabajo y potencia.
251
§10.4. Unidades de trabajo y potencia.- La definición de trabajo de una fuerza nos muestra que el trabajo es dimensionalmente equivalente al producto de una fuerza por una longitud. En el Sistema Internacional de unidades (SI o mks), el trabajo vendrá expresado en newton-metro (N m), unidad que recibe el nombre de julio (joule) y cuyo símbolo es J, en honor al científico británico James P. JOULE (1816-1869), famoso sobre todo por sus investigaciones acerca de los conceptos de calor y energía. En el sistema cgs la unidad de trabajo es la dina-centímetro (dyn cm), unidad que recibe el nombre de ergio, cuyo símbolo es erg. En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilogramo-metro (kg m), unidad que recibe el nombre de kilográmetro, cuyo símbolo es kgm. Es fácil encontrar los factores de conversión entre esas unidades de trabajo:
1 J = 107 erg
y
1 kgm = 9.8 J
En cuanto a la potencia, dimensionalmente equivale al cociente de un trabajo por un tiempo. En el sistema SI (mks), la potencia vendrá expresada en julios/segundo (J/s), unidad que recibe el nombre de watio (W), en honor al ingeniero británico J. WATT (1736-1819). En los sistemas de unidades cgs y técnico las unidades de potencia son el erg/s y el kgm/s, respectivamente, que no reciben nombres especiales. En la técnica son de uso frecuente las siguientes unidades de potencia: el caballo de vapor (CV), el horse power (HP) y el kilovatio (kW) (Cuadro 10.1). Cuadro 10.1.- Equivalencias de unidades de potencia. 1 CV = 75 kgm/s = 736 W 1 HP = 550 lb pie/s = 746 W 1 kW = 1 000 W = 102.04 kgm/s
Naturalmente, el producto de una unidad de potencia por una unidad de tiempo nos dará una unidad de trabajo. Así podemos definir la unidad de trabajo llamada kilovatio-hora (kWh), como el trabajo efectuado durante una hora por una máquina cuya potencia (constante) sea de un kilovatio; esto es 1 kWh = (103 W) (3.6×103 s) = 3.6×106 J §10.5. Energía.- El término de energía, al igual que el de trabajo, tiene en la Física un significado muy preciso. Aunque el concepto de energía es previo, históricamente, al de trabajo, debemos llegar a él mediante un proceso intuitivo y gradual, por lo que puede ser conveniente definirlo, de un modo general, de la forma siguiente:
La energía de un sistema material es una medida de su capacidad para realizar trabajo. La energía es una magnitud física escalar y se mide en las
252
Lec. 10.- Trabajo y energía.
mismas unidades que el trabajo. A partir de esa definición podemos pensar inmediatamente en muchos sistemas materiales que poseen energía. Por ejemplo, a causa de encontrarse en movimiento. Así, un automóvil, un proyectil, el agua que cae por una cascada, el viento ... poseen energía en el sentido de que tienen capacidad para realizar trabajo durante el proceso que los lleve al reposo. La energía que posee un sistema material en razón de encontrarse en movimiento recibe el nombre de energía cinética. Pero también podemos concebir otros sistemas materiales que poseen energía en razón de su posición o de su configuración. Por ejemplo, un metro cúbico de agua situado en la parte superior de la presa de un pantano tiene, como consecuencia de su posición, capacidad para realizar trabajo, moviendo la turbina situada en la parte inferior de la presa, la cuerda tensa de un arco tiene capacidad para realizar trabajo, impulsando a la flecha. La energía que posee un sistema material en razón de su posición o de su configuración, se denomina energía potencial. El metro cúbico de agua mencionado en el ejemplo anterior posee una cierta energía potencial como consecuencia de su posición en el campo gravitatorio terrestre. A esa energía potencial la llamamos energía potencial gravitatoria. También el arco tenso tiene una cierta energía potencial. El sistema constituido por la armadura del arco y la cuerda constituye un sistema elástico y almacena una cierta energía cuando está tenso; dicha energía se llama energía potencial elástica. Los ejemplos anteriores nos demuestran como podemos añadir diferentes calificativos a la energía potencial, de acuerdo con las características de cada sistema material. Siempre podemos pensar en la energía como el resultado de la realización de un trabajo. Así, en el caso del metro cúbico de agua, la energía potencial la adquiere mediante el trabajo que tendríamos que realizar para elevarlo hasta la parte superior de la presa; en el caso del arco, la energía potencial (elástica) la adquiere mediante el trabajo que hay que realizar para tensarlo. Para poner un cuerpo en movimiento hay que realizar un trabajo, y el resultado es que el cuerpo adquiere energía cinética. Estas observaciones nos sugieren la posibilidad de definir operativamente el concepto de energía, a través del trabajo que se ha realizado previamente sobre el cuerpo o sistema material. Estas definiciones operativas, que estudiaremos con detalle en los apartados que siguen, resultan más satisfactorias que la definición general de energía dada al principio de este artículo; aunque, como veremos, son equivalentes a ella. §10.6. Energía cinética.- Consideremos
Figura 10.6
una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza única F, o un conjunto de fuerzas cuya resultante sea F, y describamos su movimiento desde un determinado referencial inercial, como se muestra en la Figura 10.6. Bajo la acción de esa fuerza, o de ese conjunto de fuerzas, la
253
§10.6.- Energía cinética.
partícula adquiere una aceleración, tal que F = ma. Calculemos el trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento de la partícula entre dos puntos, A y B, de su trayectoria: B
WAB
B
⌠ F dr ⌡A
B
⌠ ma dr ⌡A
C
m⌠ ⌡A
C
pero como de
d (v v)
se sigue que
C
B
dv dr dt
d (v 2)
m⌠ v dv ⌡A
[10.14]
[10.15]
2 v dv
1 d(v 2) 2
v dv
[10.16]
y la expresión [10.14] se transforma en B
m⌠ d(v 2) 2 ⌡A 1
WAB
1 2
mv 2
B
1 2
A
2
mvB
1 2
2
mvA
[10.17]
El término ½mv2, que reconoceremos como la mitad de la vis viva definida por Leibniz, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física, que desde hace ya más de un siglo se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante, a la que se le dio el nombre de energía cinética. Representaremos la energía cinética por Ek, de modo que la expresión [10.17] podemos escribirla como B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
1 2
2
mvB
1 2
2
mvA
Ek(B)
Ek(A)
[10.18]
que constituye la expresión del llamado teorema de las fuerzas vivas2, que puede enunciarse de la siguiente forma: El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética. El teorema de las fuerzas vivas, o teorema del trabajo y de la energía cinética como se le conoce actualmente, es de validez general, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas que obren sobre la partícula. La energía cinética de una partícula es una magnitud física escalar, esencialmente positiva, que se mide, obviamente, con las mismas unidades que el trabajo; esto es, en julios (J) en el sistema mks (SI) y en ergios (erg) en el sistema cgs. La expresión [10.18], que relaciona el trabajo realizado sobre una partícula con la variación de su energía cinética, presenta un cierto parecido formal con la expresión
El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniz a aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzas muertas, que no dan lugar a movimiento alguno, como es, por ejemplo, el peso de un cuerpo situado sobre un tablero horizontal. 2
254
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Π
B
⌠ F dt ⌡A
mv B
mv A
pB
[10.19]
pA
que relaciona la impulsión de una fuerza con la variación de la cantidad de movimiento que experimenta la partícula sobre la que actúa (vide §7.7). La diferencia radica en que la impulsión, por ser una integral de tiempo, es útil si conocemos la fuerza en función del tiempo; en tanto que el trabajo, por ser una integral de espacio, es útil si conocemos el valor de la fuerza en función de la posición de la partícula sobre la que actúa, que es una situación que nos encontramos frecuentemente y, por ello, los conceptos de trabajo y de energía desempeñan un papel tan importante en la Física.
Observemos que, por ser relativa al observador la velocidad de una partícula, la energía cinética de la misma también será una magnitud física relativa al observador; esto es, cuando hablemos de la energía cinética de la partícula tendremos que especificar el referencial en el cual se mide. Pero también debemos observar que el trabajo realizado por una fuerza depende del referencial en el que describamos el B
F dr es movimiento de la partícula a la que está aplicada; i.e., la integración ⌠ ⌡A C
función del referencial (inercial) elegido, ya que la trayectoria, y con ella A y B, resulta ser función del referencial que utilizamos para describir el movimiento. De ese modo resulta que el teorema de las fuerzas vivas es válido (de acuerdo con el principio de relatividad de Galileo) en cualquier referencial inercial.
Ejemplo I.- Demostrar la validez del teorema de las fuerzas vivas en todos los referenciales inerciales. Supongamos un vagón de ferrocarril que se mueve con velocidad constante v0 sobre una vía recta y horizontal; consideremos dos observadores, S y S′, en reposo con respecto a tierra y en reposo en el interior del vagón, respectivamente, como se muestra en la Figura 10.7. Evidentemente, al ser v0=cte, o sea a0=0, si el observador S es considerado como inercial, el S′ también lo será. Sea un cuerpo de masa m que se encuentre sobre la plataforma del vagón, y supongamos que se le aplica una fuerza constante F en la dirección del movimiento del vagón (para simplificar el problema, aunque ello no impida que sean generales los resultados que obtengamos). Figura 10.7 En todo instante, la energía cinética del cuerpo de masa m viene dada, en cada uno de los referenciales S y S′ por Ek
1 2
mv 2
Ek
1 2
mv 2
[10.20]
255
§10.6.- Energía cinética.
estando v y v′ relacionadas por
v
v
[10.21]
v0
que sustituida en [10.20] nos conduce a Ek
1 2
mv 2
1 2
m(v
1
v0)2
2
mv 2
1 2
2
mv0
mv0v
1
Ek
2
mv0
2
mv0v
[10.22]
de modo que Ek > E′k La variación de la energía cinética del cuerpo en un desplazamiento A′B′ sobre la plataforma del vagón, lo que corresponde a un desplazamiento AB para el observador S, en cada uno de los referenciales vale respectivamente: 1
ΔEk(A→B)
2
2
1
mvB
2
2
1
ΔEk(A →B )
mAvA
2
mv 2B
1 2
mv 2A
[10.23]
estando relacionadas por ΔEk(A→B)
ΔEk(A →B )
mv0(v B
[10.24]
v A)
Esto es, ni las energías cinéticas, ni las variaciones de las energías cinéticas, tienen el mismo valor en los dos referenciales. Pero lo mismo ocurre con el trabajo efectuado por la fuerza F, aunque ésta es la misma en ambos referenciales inerciales. En efecto, en cada uno de los referenciales, tenemos F (AB)
WAB
Fs
pero
s
WA B s
F (A B )
Fs
[10.25]
[10.26]
v0 t
donde t es el tiempo empleado en el desplazamiento A→B (o A′→B′), de modo que WAB
Fs
F (s
v0 t)
Fs
F v0 t
W AB
F v0 t
[10.27]
resultando que el trabajo efectuado por la fuerza es mayor cuando lo mide el observador S que cuando lo mide el observador S′, lo que está de acuerdo con las correspondientes variaciones en la energía cinética. Podemos desarrollar el último término de la expresión anterior para obtener F v0 t
(ma) v0 t
m v0 (at )
m v0 (v B
v A)
[10.28]
que es el término que aparece en el segundo miembro de [10.24], de modo que podemos asegurar que el trabajo suplementario que se mide en el referencial S es igual a la variación suplementaria de energía cinética que se mide en ese mismo referencial. Por consiguiente, el teorema de las fuerzas vivas es válido en ambos referenciales y, en general, lo es en todos los referenciales ligados por una transformación galileana.
§10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.- Llamamos campo de fuerzas a toda región del espacio en la que una partícula se encuentra sometida a la acción de una fuerza cuyo valor está perfectamente definido en módulo, dirección y sentido. Esto es, la fuerza que actúa sobre una partícula situada en una región del espacio donde está definido un campo de fuerzas será función de las coordenadas que fijan su posición en el espacio y, eventualmente, del tiempo; o sea,
256
Lec. 10.- Trabajo y energía.
F (r ;t)
F
[10.29]
F (x,y,z;t)
En el caso particular de que F no sea función explícita del tiempo, esto es, de que F
F (r)
[10.30]
F (x,y,z)
el campo de fuerzas se llama estacionario. En lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, consideraremos sólo campos de fuerzas estacionarios. Naturalmente, la fuerza que actuará sobre una partícula que esté situada en un campo de fuerzas, dependerá no sólo de su posición (y eventualmente del tiempo) sino de la característica o propiedad de la partícula que la hace sensible al campo. Esto es: de su masa, si se trata de un campo gravitatorio; de su carga eléctrica, si se trata de un campo electrostático ... Por ello, es conveniente definir la intensidad del campo de fuerzas en cada punto del espacio donde esté definido como la fuerza a la que estará sometida una partícula que tenga la unidad de carga sensible al campo (masa gravitatoria o carga eléctrica, en los ejemplos anteriores). Designando por g y E las intensidades del campo gravitatorio y eléctrico, respectivamente, la fuerza a la que estará sometida una partícula, de masa m y carga eléctrica q, será Fg
mg
FE
[10.31]
qE
donde los subíndices g y E hacen referencia a la naturaleza de las fuerzas. Mediante el concepto de intensidad de campo conseguimos asignar a cada punto del espacio donde está definido el campo de fuerzas un vector único; esto es, con independencia del valor de la característica de la partícula sensible al campo. Así, tenemos definido un campo vectorial, que podrá ser representado, como ya sabemos, mediante líneas vectoriales, que en este caso reciben el nombre de líneas de fuerza. Consideremos, ahora, una partícula de masa m situada en un campo de fuerzas al cual es sensible; por ejemplo, un campo gravitatorio, o un campo eléctrico si la partícula tiene carga eléctrica. El trabajo realizado por el campo cuando la partícula se desplaza entre las posiciones A y B, recorriendo una cierta trayectoria C, viene dado por Figura 10.8
B
WAB
⌠ F dr ⌡A
[10.32]
C
Generalmente ese trabajo depende de la trayectoria que sigue la partícula en su desplazamiento entre los puntos A y B. No obstante, existen algunos campos de fuerzas, sumamente importantes en la Física, en los que se verifica que la circulación (o sea el trabajo) entre dos puntos dados es independiente del camino que se siga al hacer la integración curvilínea de [10.32]. Tales campos de fuerzas se llaman conservativos o irrotacionales (por las razones que ya vimos en la Lec. 3.- Análisis vectorial), y las fuerzas definidas por ellos se llaman fuerzas conservativas. En tales campos, la circulación, i.e., el trabajo realizado por el campo, cuando la partícula se
257
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
desplaza entre dos puntos dados se puede obtener calculando la diferencia de valores que toma una cierta función escalar de punto que se llama función potencial. Como veremos en el próximo epígrafe, la energía potencial está relacionada en los campos de fuerza conservativos con el trabajo realizado por el campo en un desplazamiento dado de la partícula. Un criterio alternativo para definir un campo de fuerzas (o una fuerza) conservativa es el siguiente: Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula es cero cuando la partícula recorre cualquier trayectoria cerrada y vuelve a la posición de partida. En efecto, se verifica que F dr
WAB
B
⌠ F dr ⌡A C
A
⌠ F dr ⌡B
0
[10.33]
C
y esto implica que B
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F dr ⌡A
[10.34]
C
o sea que la circulación (el trabajo) entre dos puntos dados, A y B, no depende del camino de integración. Una fuerza no-conservativa es, por Figura 10.9 ejemplo, el rozamiento por deslizamiento. Como la fuerza de rozamiento se opone siempre a la dirección del movimiento, resulta obvio que el trabajo realizado por ella es siempre negativo. Así, cuando un objeto recorre una trayectoria cerrada y regresa a su posición inicial, el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento es negativo. Evidentemente se trata de una fuerza no-conservativa que, puesto que el trabajo realizado por ella es siempre negativo (disipa energía), se dice que es disipativa. Un caso muy importante de campo conservativo es el de una fuerza central; es decir, el campo de una fuerza cuya línea de acción pasa siempre por un punto determinado O, llamado centro de fuerzas o centro del campo, y cuyo módulo es función únicamente de la distancia entre su punto de aplicación (posición de la partícula sobre la que actúa) y el centro del campo. Si tomamos como origen de coordenadas el centro del campo, podemos expresar una tal fuerza central del modo siguiente: F
F (r) e r
f (r) r
[10.35]
Figura 10.10
258
Lec. 10.- Trabajo y energía.
donde no hacemos ninguna hipótesis sobre la forma funcional de F(r) o f(r). Naturalmente, si F y r tienen el mismo sentido, la fuerza F representa una repulsión, ejercida desde el origen, sobre la partícula; en caso contrario F representa una atracción. Es fácil demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo. El campo gravitatorio y el campo electrostático, que son campos centrales, son campos conservativos. Ejemplo II.- Fuerzas centrales.- Demostrar que todos los campos de fuerzas centrales son conservativos. ♦ Para demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo, bastará demostrar que es irrotacional, o sea que ∇×F
∇ × [ f(r ) r ]
0
[10.36]
En efecto, ya que es r = xi + yj + zk, tenemos ⎛ ∂/∂x ⎞ ⎛ x f(r) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ∂/∂y ⎟ × ⎜ y f(r) ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ∂/∂z ⎠ ⎝ z f(r)
∇ × [ f (r )r ]
⎛ ∂f ⎜z ⎝ ∂y
y
∂f ∂x
ya que
y análogamente ♦
∂f ⎞ ⎟i ∂z ⎠
∂f ∂y
⎛ ∂f ⎜x ⎝ ∂z
df ∂r dr ∂x df ∂r dr ∂y
z
∂f ⎞ ⎟j ∂x ⎠
[10.37]
⎛ ∂f ⎜y ⎝ ∂x
df ∂ 2 2 2 x y z dr ∂x y df r dr
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ x
0
x df r dr df ∂r dr ∂z
∂f ∂z
∂f ⎞ ⎟k ∂y ⎠
[10.38]
z df r dr
Resulta conveniente proceder de un modo más intuitivo, sin calcular el rotacional. Para ello, evaluaremos el trabajo realizado por la fuerza central en un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B: B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F(r ) e dr r ⌡A C
B
⌠ F(r ) dr ⌡A
[10.39]
ya que er dr representa la proyección dr del desplazamiento elemental dr en la dirección radial, i.e., dr. Obviamente, la última integral de [10.39] no depende del camino seguido, ya que nos conduce al siguiente resultado B
WAB Figura 10.11
⌠ F(r) dr ⌡A
φ (r)
B A
φB
φA
[10.40]
esto es, el trabajo (la circulación) realizado por el campo es función únicamente de los valores que toma una cierta función escalar de punto en los extremos de la trayectoria.
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
259
Imaginemos, ahora, una fuerza que dependa de la velocidad con que se recorre la trayectoria; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctricamente que se mueve en un campo magnético es función de su velocidad (F=qv×B). ¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? En general no serán conservativas, pero resulta que esas fuerzas fundamentales que dependen de la velocidad si que son conservativas, ya que al ser la fuerza perpendicular a la velocidad (i.e., a la trayectoria), el trabajo realizado siempre será nulo, tanto en una trayectoria cerrada como en una trayectoria abierta. Como sabemos, con independencia de los nombres que demos a las diferentes fuerzas que usamos o simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzas fundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos en nuestra experiencia cotidiana. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y las electromagnéticas. Todas las otras fuerzas pueden considerarse como manifestaciones complejas de esas dos fuerzas fundamentales; por consiguiente, todo proceso debe ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. Hemos dicho anteriormente que la fuerza de rozamiento es disipativa, esto es que el trabajo que realiza siempre es negativo, de modo que cuando la partícula regresa a su posición inicial se ha disipado parte de su energía. En realidad lo que ha ocurrido es que esa energía se ha transformado en algo que no nos es útil (energía calorífica) por lo que la consideramos como perdida desde el punto de vista mecánico; todo es, según se ve, una cuestión de contabilidad. §10.8. Energía potencial.- Consideremos un campo de fuerzas conservativo en el que la fuerza que actúa sobre una partícula sea función tan sólo de la posición de ésta; esto es, F = F(r) = F(x,y,z). Imaginemos un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B, a lo largo de una cierta trayectoria C, y calculemos el trabajo realizado por el campo, B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F dr ⌡A
[10.41]
que, por ser conservativo el campo, sólo depende de las posiciones extremas, A y B, de la partícula y no del camino recorrido por ésta. Es decir, podemos expresar dicho trabajo como la diferencia de valores que toma cierta función escalar en los extremos de dicha trayectoria; dicha función recibe el nombre de energía potencial y la designaremos por Ep, de modo que B
WAB
⌠ F dr ⌡A
[ Ep(B)
Figura 10.12
Ep(A) ]
[10.42]
anteponiéndose el signo negativo para indicar que el trabajo realizado por el campo representa una disminución de su energía potencial; esto es, una disminución de su capacidad para realizar más trabajo sobre la partícula. Evidentemente, la energía
260
Lec. 10.- Trabajo y energía.
potencial tiene las mismas dimensiones que el trabajo, y se medirá en las mismas unidades que éste. En definitiva, podemos dar la definición siguiente: La energía potencial de una partícula en un campo (al cuál es sensible) es una función (escalar) de las coordenadas de la posición que ocupa, de tal modo que el trabajo realizado por el campo durante un desplazamiento de la partícula es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en la posición inicial y en la posición final. Obsérvese que el valor de Ep(B) sólo estará definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces Ep(B)
B
⌠ F dr ⌡A
Ep(A)
[10.43]
Esto es, la energía potencial no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular la diferencia de energías potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Sin embargo, podemos dar significado a la energía potencial en B, Ep(B), haciendo que el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero; entonces Ep(B)
Ep(A)
B
⌠ F dr ⌡A
B
⌠ F dr ⌡A
con Ep(A)
0 [10.44]
Normalmente es conveniente escoger la posición de referencia a la que hacemos corresponder (arbitrariamente) una energía potencial nula en una posición en la que es nula la fuerza que obra sobre la partícula. En el caso del campo gravitatorio y del campo electrostático creado por una masa y una carga puntual, respectivamente, esta circunstancia se presenta a una distancia infinita de dicha masa o carga puntual, de modo que la energía potencial que le corresponde a una segunda masa o carga puntual colocada en dichos campos viene dada por Ep(B)
B
⌠ F dr ⌡∞
∞
⌠ F dr ⌡B
[10.45]
o sea que Ep(B) representa el trabajo que realiza el campo sobre la segunda masa o carga cuando ésta se desplaza desde el punto B hasta el infinito. Lo que equivale a decir, que Ep(B) representa el trabajo que tenemos que efectuar, mediante la aplicación de una fuerza Fap = -F, que equilibre en todo instante a la fuerza intrínFigura 10.13 seca del campo, para traer la masa o carga desde el infinito hasta el punto B. Naturalmente, en el caso de que la fuerza F no sea conservativa, el trabajo que realiza en un desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de las posiciones inicial y final de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada con tal fuerza.
261
§10.8.- Energía potencial.
Resulta conveniente definir el concepto de potencial, asociado a un campo de fuerzas conservativo, en un punto del espacio en el que está definido dicho campo, como la energía potencial asociada a la unidad de carga sensible al campo (masa gravitatoria, carga eléctrica, ...) en dicho punto. Así, denominando por (r) y V(r) los potenciales gravitatorio y electrostático en un punto P (definido por su vector de posición r), en los campos respectivos, tenemos las expresiones: Ep,g(r)
(r)
Ep,e(r)
V(r)
m
[10.46]
q
que definen unas funciones escalares de punto a las que llamamos campos de potencial (gravitatorio, electrostático, ...) o, simplemente, potencial (gravitatorio, electrostático, ...). Teniendo en cuenta la definición dada en §10.7 para la intensidad de un campo de fuerzas, podemos sustituir las expresiones [10.31] en las [10.42]-[10.45] para obtener las relaciones existentes entre la circulación de la intensidad del campo de fuerzas y el campo de potencial asociado. Así, la expr. [10.43] se convierte en (B)
B
B
⌠ g dr ⌡A
(A)
V(B)
V(A)
⌠ E dr ⌡A
[10.47]
para los potenciales gravitatorio y electrostático respectivamente. En un desplazamiento infinitesimal de la partícula, en un campo de fuerzas conservativo, se tiene dEp
F dr
F ds cos θ
[10.48]
donde θ es el ángulo determinado por la dirección de la fuerza y la del desplazamiento elemental3. Podemos escribir [10.48] en la forma F cos θ
dEp
Fs
ds
Figura 10.14
[10.49]
esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento elemental (arbitrario) es igual a la derivada de la energía potencial en esa dirección (derivada direccional de Ep), cambiada de signo. Como vimos en la lección de Análisis vectorial, cuando un vector es tal que su componente en una dirección cualquiera puede expresarse como la derivada direccional de una función escalar de punto en esa dirección, el vector se llama gradiente de esa función. De ese modo, podemos decir que F es el gradiente, con signo negativo, de la función Ep; esto es, F
grad Ep
∇ Ep
[10.50]
En coordenadas cartesianas (x,y,z) las componentes de la fuerza F pueden expresarse, como ya sabemos, por
3
Obsérvese, una vez más, que ds (elemento de longitud sobre la trayectoria) es igual a dr .
262
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Fx
∂Ep
Fy
∂x
∂Ep ∂y
∂Ep
Fz
∂z
[10.51]
En ocasiones estaremos interesados en obtener las componentes de la fuerza F en coordenadas polares planas, en especial en el caso de que F sea una fuerza central. En coordenadas polares planas se utilizan las coordenadas r (radial) y θ (angular) para determinar la posición de una partícula en el plano, como se muestra en la Figura 10.15, siendo er y eθ los versores correspondientes a las direcciones de crecimiento de las coordenadas r y θ, respectivamente. Las componentes polares de un desplazamiento elemental dr son dr
dr e r
r dθ eθ
[10.52]
de modo que, aplicando [10.49], las componentes radial y transversal de la fuerza son Fr
∂Ep
Fθ
∂r
1 ∂Ep r ∂θ
[10.53]
o sea que la expresión del gradiente en coordenadas polares planas es ∇ Ep
∂Ep ∂r
er
1 ∂Ep e r ∂θ θ
[10.54]
Se presenta un caso particularmente importante cuando la energía potencial de una partícula colocada en un campo es función tan sólo de r [esto es, Ep(r)], en lugar de serlo de r y θ [es decir, Figura 10.15 Ep(r,θ)]. Entonces, es obvio que Fθ = 0 y la fuerza sólo tiene componente radial; esto es, se trata de una fuerza central. Recíprocamente, si la fuerza es central, al ser Fθ = 0 se sigue de [10.53] que Ep es independiente de θ, o sea que será Ep = Ep(r). En resumen: La energía potencial asociada con una fuerza central es función tan sólo de la distancia a que se encuentra la partícula del centro de fuerzas y recíprocamente. Ejemplo III.- Energía potencial gravitatoria (I).- El ejemplo más simple de fuerza conservativa lo constituye una fuerza constante que define un campo de fuerzas uniforme. En este caso se encuentra el campo gravitatorio terrestre en una región del espacio no demasiado extensa. Si elegimos un sistema de ejes coordenados de modo que el eje z sea perpendicular a la superficie terrestre, la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa m, esto es, el peso del cuerpo, viene dado por F
mg k
[10.55]
Así, el trabajo realizado por dicha fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre las posiciones A y B es
263
§10.8.- Energía potencial.
B
WAB
B
⌠ F dr ⌡A
⌠ mg dz ⌡A
( mgzB
mgzA )
[10.56]
resultando que dicho trabajo es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo. En consecuencia, el campo gravitatorio terrestre es conservativo y la diferencia de energía potencial entre dos puntos viene expresada por el trabajo realizado por el campo en un desplazamiento del cuerpo entre esas dos posiciones. De [10.56] se sigue la expresión de la energía potencial en una posición cualquiera; esto es,
Ep
[10.57]
mgz
Figura 10.16
de modo que la diferencia de energía potencial entre dos puntos es Ep(A)
Ep(B)
mg (zA
zB)
[10.58]
mgh
donde h representa la diferencia de alturas de las posiciones A y B con respecto a un nivel de referencia arbitrario. Obsérvese que el nivel de referencia de energía potencial nula corresponde, de acuerdo con [10.57], a z = 0, aunque eso es irrelevante y podemos elegir cualquier otro nivel.
Ejemplo IV.- Energía potencial gravitatoria (II).- En el ejemplo anterior hemos considerado sólo una pequeña región del campo gravitatorio terrestre, a fin de poderlo considerar uniforme; las expresiones [10.55] a [10.58] sólo serán válidas dentro de esas limitaciones. Pero, ¿cómo abordaremos el problema en el caso más general? La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra (M) sobre una partícula de masa m que se encuentra situada a una distancia r de su centro es una fuerza central y, por tanto, conservativa, que viene dada por F
G
Mm er r2
[10.59]
La función energía potencial asociada a esta fuerza conservativa puede calcularse utilizando la expresión [10.45], escogiendo la posición de referencia a la que hacemos corresponder una energía potencial nula en el infinito, ya que cuando r→∞ la fuerza que actúa sobre la partícula tiende hacia cero. Entonces Wr→∞
esto es
Ep(r)
Ep(r)
G
Mm r
∞
⌠ F dr ⌡r
∞ dr GMm ⌠ ⌡r r 2
G
Mm r
[10.61]
que es la expresión de la energía potencial gravitatoria de la masa m en el campo gravitatorio creado por la masa M (o viceversa), siendo r la distancia entre sus centros (en el caso de esferas homogéneas). La expresión [10.61] es muy diferente de la [10.57], pero podemos demostrar que ésta es un caso particular de aquélla. En efecto, a partir de [10.61] podemos escribir
Figura 10.17
[10.60]
264
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Ep(r)
Ep(R)
G
Mm R
G
Mm r
GMm
r R Rr
GM R m (r R) 2 r R
[10.62]
que, teniendo en cuenta que GM/R2 = g y que r - R = h, se reduce, en el caso de que R≈r, a Ep(r)
Ep(R)
[10.63]
mgh
Ejemplo V.- Energía potencial elástica.- Otro ejemplo de fuerza conservativa lo constituye la que ejerce un muelle sobre un cuerpo sujeto a él. En el caso de que la deformación del muelle no sea demasiado grande, la fuerza elástica, con el muelle estirado o comprimido con respecto a su longitud natural x0 , viene dada con suficiente aproximación por la ley de Hooke, F = -k(x-x0). El trabajo realizado por esa fuerza en un desplazamiento desde la posición de equilibrio (x0) hasta una posición genérica (x) viene dado por x
Wx →x 0
⌠ F dr ⌡x 0
x
⌠ k(x ⌡x
x0 ) dx
1 2
k (x
[10.64]
x 0 )2
0
que depende tan sólo de las coordenadas x0 y x de los puntos inicial y final. Por ser conservativa la fuerza elástica así definida, dicho trabajo será igual a la disminución de la energía potencial elástica, quedando definida ésta por Ep(x)
Figura 10.18
1 k (x 2
x 0 )2
[10.65]
esto es, proporcional al cuadrado de la deformación del muelle con respecto a su configuración natural. Obsérvese que a la configuración de equilibrio (x=x0) le corresponde una energía potencial elástica nula.
§10.9. La energía potencial como energía de configuración.- En tanto que la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la fórmula mv2/2, no ocurre lo mismo con la energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energía potencial que, de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, recibe distintos calificativos, tales como los de energía potencial gravitatoria o elástica, vistos en los ejemplos anteriores, y serán distintas sus expresiones; esto es, no existe una fórmula única para expresar la energía potencial. Todo lo más que podemos hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones dadas, como el trabajo que realiza el campo de fuerzas, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones. Pero hay una matización más que debemos hacer al concepto de energía potencial. En los apartados anteriores nos hemos referido a la energía potencial de una partícula en un campo de fuerzas (conservativo) como si esa energía potencial estuviese "almacenada" en la partícula. Así, hablábamos de la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio terrestre como si dicha energía estuviese exclusivamente ligada al cuerpo a través de la posición que ocupa
§10.9.- La energía potencial como energía de configuración.
265
en dicho campo. Esta es una forma simplificada de enfocar la cuestión. Como sabemos, hemos "inventado" el concepto de campo para que nos sirva como "vehículo" de la interacción a distancia entre dos (o más) partículas materiales; la fuerza que "actúa" sobre cada una de las partículas es simplemente un artificio cómodo para representar dicha interacción. Estrictamente hablando, la energía potencial deberá depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada como de las de todas las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Esto es, la energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo concreto, sino que debe considerarse como algo "perteneciente" a todo el sistema en su conjunto; es decir, a todas las partículas interactuantes. Unos ejemplos nos ayudarán a comprender esta idea. Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Como hemos visto anteriormente, podemos afirmar que "la piedra posee una cierta energía potencial", por cuanto que posee una cierta capacidad para realizar trabajo en virtud de su posición. Un poco de reflexión nos descubrirá que debemos considerar esa energía potencial como una propiedad del sistema piedra-Tierra, en su conjunto; es la posición relativa entre las partes del sistema la que determina su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes. Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial. Durante esa "desaparición" de energía potencial se realiza un trabajo y se va incrementando la energía cinética del sistema. La piedra "cae" hacia la Tierra, pero la Tierra "también cae" hacia la piedra, ya que en virtud de la ley de la acción-reacción, la piedra ejerce sobre la Tierra una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la que la Tierra ejerce sobre la piedra. La Tierra adquiere, pues, una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme disparidad de masas, con respecto a algún marco de referencia inercial. Como el cambio de velocidad de la Tierra es sumamente pequeño, su energía cinética adicional (en su órbita) es despreciable en comparación a la de la piedra que "cae"; ésta es la razón por la que tendemos a asignar la energía potencial a la piedra, por cuanto que es ella la que adquiere prácticamente toda la energía cinética a expensas de la energía potencial del sistema. Una situación muy distinta se nos presenta si consideramos dos cuerpos de masas comparables. Imaginemos dos planetoides inicialmente unidos (por su atracción gravitatoria) y que ATLAS4 los separa una cierta distancia, interponiendo su cuerpo entre ellos, empujando a uno de ellos hacia arriba (?) con sus brazos y al otro hacia abajo (?) con sus piernas. El sistema habrá adquirido una cierta energía potencial igual al trabajo que ha realizado Atlas. Aquí resulta evidente que no debemos asignar esa energía potencial a ninguno de los dos planetoides en concreto, sino que debemos considerarla como una propiedad del sistema en su conjunto; esto es, la energía potencial está relacionada con la configuración del sistema. Figura 10.19 Cuando consideramos el sistema total, es decir, la partícula y su medio ambiente (en definitiva, otras partículas), la energía potencial es una magnitud asociada con la configuración del sistema y no con una partícula en concreto. Cuando el sistema evoluciona, bajo la acción de las fuerzas de interacción entre sus partes, desde una configuración a otra, la variación de la energía potencial del sistema (con el signo cambiado) es igual al trabajo efectuado por las
ATLAS o ATLANTE: Divinidad griega que encabezó la lucha de los Titanes contra los dioses, por lo que fue condenado por ZEUS a sostener eternamente sobre sus hombros la bóveda celeste. Acabó su vida petrificado, convertido en la cadena montañosa africana de Atlas, cuando PERSEO le mostró la cabeza de la GORGONA. 4
266
Lec. 10.- Trabajo y energía.
fuerzas de interacción durante ese periodo de tiempo. Podemos imaginar las cosas desde un punto de vista ligeramente diferente. Si queremos modificar la configuración de un sistema (digamos, una masa sujeta a un muelle) deberemos aplicar una fuerza igual y opuesta a la de interacción. Entonces, podemos decir que la energía potencial del sistema es igual al trabajo que debe hacerse por un agente externo para dar al sistema una cierta configuración a partir de una configuración de referencia arbitrariamente elegida. §10.10. Teorema del virial.- Consideremos una partícula de masa m que se encuentra en movimiento bajo la acción de una fuerza F, y sean r y v sus vectores de posición y velocidad en un cierto instante en un referencial dado. La cantidad de movimiento de la partícula es p = mv y, como ya sabemos, dp/dt = F. Definamos ahora el virial de la cantidad de movimiento (vide §2.10) como el escalar
V
[10.66]
r p
Como tanto r como p son funciones del tiempo, también lo será V. Calculemos la derivada temporal de V; tenemos dV dt
r
[10.68]
o sea
dp dt
dr p dt
dV dt
r F
r F
mv 2
[10.67]
2Ek
Calculemos ahora los promedios temporales correspondientes a los dos miembros de la ecuación anterior; esto es: dV dt
r F
2 Ek
[10.69]
El promedio temporal del primer miembro, en un intervalo de tiempo τ, es fácil de evaluar dV dt
1 ⌠τ dV dt τ ⌡0 dt
1 ⌠τ dV τ ⌡0
V(τ )
V(0) τ
[10.70]
En el caso de que el movimiento de la partícula sea periódico, es decir, que tanto sus coordenadas de posición como su velocidad se repitan simultáneamente al cabo de un tiempo T (periodo), y si consideramos un tiempo τ que sea múltiplo del periodo (τ = nT), será V(τ) = V(0), de modo que
267
§10.10.- Teorema del virial.
1
Ek
[10.71]
r F
2
El segundo miembro de esta igualdad recibe el nombre de virial de la partícula o de CLAUSIUS (1812-1888), y la ecuación anterior constituye la expresión del teorema del virial, que en su forma más general (para una partícula) nos dice: El valor medio de la energía cinética de una partícula que tiene un movimiento acotado es igual a su virial. Si la fuerza F es conservativa, entonces existirá una función de energía potencial tal que F = -grad Ep, y el teorema del virial adopta la forma 1
Ek
∂Ep 1 r 2 ∂r
r ∇ Ep
2
[10.72]
Un caso particularmente interesante lo constituye el de una partícula que se mueve en un campo de fuerzas centrales, cuya ley de fuerza es del tipo F ∝ rn; entonces, la energía potencial es función únicamente de la coordenada radial (r), es decir, Ep = krn+1, y será r
∂Ep ∂r
r
dEp dr
r k (n 1) r n
(n 1) Ep
[10.73]
y el teorema del virial expresa una relación entre los promedios temporales de las energías cinéticas y potencial de la partícula: Ek
n 1 Ep 2
[10.74]
En el caso especialísimo de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia (fuerzas gravitatoria, electrostáticas, ...), entonces es n = -2, y el teorema del virial se reduce a su forma más familiar Ek
1 2
Ep
[10.75]
El teorema del virial puede extenderse a un sistema de partículas, y es entonces cuando adquiere un mayor significado e interés práctico. Ello se debe a que este teorema, a diferencia de los que hemos estudiado anteriormente, es de naturaleza estadística, es decir, se refiere a valores medios respecto a intervalos de tiempo muy largos de varias magnitudes físicas (fundamentalmente de las energías cinética y potencial). Evidentemente, cuando estudiamos un sistema compuesto por muchas partículas, tal como un gas contenido en un recipiente, o un átomo de muchos electrones, nos vemos forzados a utilizar ciertos métodos estadísticos para calcular los valores promedio de las magnitudes físicas, sin interesarnos por el comportamiento de cada partícula individual. Una de las aplicaciones más interesantes del teorema del virial es la deducción de la ecuación de estado de los gases ideales y no ideales; en este último caso, como veremos en una lección posterior, las fuerzas Fi, que definirán el virial del sistema abarcarán no sólo las de ligadura (que confinan al gas en el interior del recipiente, en uno de los ejemplos anteriores), sino también las fuerzas de interacción intermoleculares.
268
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Problemas 10.1.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza resultante dirigida a lo largo de dicho eje y que está definida en función del tiempo por la expresión F = (3 + 2t), estando F expresada en newtons y t en segundos. En el instante t = 0 s el cuerpo se encuentra en reposo y en el origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración, velocidad y posición de la partícula en función del tiempo. b) Expresar la potencia desarrollada por la fuerza en función del tiempo. c) Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza durante los cinco primeros segundos del desplazamiento del cuerpo. 10.2.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza resultante dirigida a lo largo de dicho eje y que está definida en función de la posición del cuerpo por F = (3 + 2x), estando F expresada en newtons y x en metros. En el instante inicial, el cuerpo se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración y la velocidad del cuerpo en función de la coordenada x. b) Ídem para la potencia desarrollada por la fuerza. c) Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza durante el desplazamiento del cuerpo desde el origen hasta el punto x = 5 cm. 10.3.- Un proyectil de 5 g de masa que lleva una velocidad de 400 m/s penetra 6 cm en un bloque de madera. ¿Cuál fue la fuerza promedio que ejerció sobre el bloque? 10.4.- Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de un campo de fuerzas definido por F = A (cos ωt i + sen ωt j) donde A y ω son constantes. Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, demostrar que el trabajo que se ha realizado sobre la partícula, transcurrido un tiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.
10.5.- Un disco que pesa 50 g está colocado sobre un tablero horizontal liso. El disco está sujeto a una cuerda flexible y ligera que pasa por un orificio practicado en el tablero. Inicialmente, el disco describe una trayectoria circular, de 40 cm de radio y con centro en el orificio, con una celeridad angular de 30 rpm, para lo que es necesario que sujetemos con la mano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la cuerda para mantener ese movimiento circular? b) Tiramos poco a poco del extremo libre de la cuerda hasta reducir a la cuarta parte el radio de la trayectoria circular y observamos que la celeridad angular experimenta un aumento considerable. ¿Qué trabajo hemos realizado sobre el disco? ¿Se conserva la energía cinética del disco? 10.6.- La fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctricamente que se mueve en un campo magnético viene dada por la fórmula de Lorentz, F = qv×B, donde q es la carga de la partícula, v su velocidad y B la inducción magnética. Supongamos que el campo magnético sea uniforme: a) Describir el movimiento de la partícula. b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza? ¿Cómo varía la energía de la partícula? 10.7.- La fuerza que ejerce el gas contenido en un cilindro sobre el pistón de área A (vide figura) está dada por F = pA, donde p es la presión del gas. a) Buscar una expresión para el trabajo que realiza el gas durante una expansión elemental, esto es, un Prob. 10.7 aumento de volumen dV. b) Si la expansión del gas tiene lugar a temperatura constante (transformación isotérmica, T =cte), la presión del mismo varía con la temperatura de acuerdo con la relación pV = nRT, donde n y R son constantes. Calcular el trabajo realizado por el gas al expandirse isotérmicamente desde un
269
Problemas
volumen V1 hasta un volumen V2. c) Si la expansión tiene lugar de modo que no haya intercambiado calorífico entre el gas y el medio externo que lo rodea (transformación adiabática), la presión varía con el volumen de modo que pVγ = cte, donde γ es una constante. Calcular el trabajo realizado por el gas durante una expansión adiabática. 10.8.- Un automóvil que pesa 750 kg circula por una carretera a nivel (vide figura) con Prob. 10.8 una velocidad 54 km/h cuando su motor desarrolla una potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas las resistencias (rozamiento, resistencia del aire, ...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia deberá desarrollar el motor del automóvil para subir a 54 km/h una cuesta del 10% de pendiente? c) ¿Qué potencia será necesaria para que el automóvil baje a 54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a una velocidad de 54 km/h sin que funcione el motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas de resistencia permanecen constantes). 10.9.- Supongamos que la potencia máxima que puede desarrollar el motor del automóvil del Problema 10.8 sea de 30 CV y que las fuerzas de resistencia mantengan el mismo valor con independencia de la velocidad del automóvil (esta es una suposición muy poco realista). a) ¿Cuál será la velocidad máxima del automóvil en una carretera horizontal? b) ¿Cuál será la velocidad máxima del automóvil cuando suba una pendiente del 10%? c) Ídem cuando baje una cuesta del 3% de pendiente? d) ¿Ídem cuando baje una cuesta del 10% de pendiente? 10.10.- Debemos construir un arrastre de esquiadores constituido por un cable del que puedan asirse, mediante las correspondientes manillas, los esquiadores que han de ser remolcados cuesta arriba. La pendiente en la que ha de actuar nuestro aparato es de 30° y el ángulo (θ) que forman, por término medio, las manillas con la dirección del cable es de 45°. El cable debe moverse con una velocidad de 10 km/h y debe ser capaz de transportar simultáneamente 50 esquiadores. Suponemos que cada uno de los esquiadores pesa, por término medio, 75 kg y que el coeficiente de rozamiento entre los skies y la nieve sea 0.10.
Si admitimos que la eficiencia mecánica del sistema en funcionamiento sea del 80%, ¿cuál deberá ser la potencia del motor que preveamos en nuestro proyecto? 10.11.- Una persona que pesa 70 kg sube corriendo por las escaleras de un edificio, subiendo 100 escalones de 25 cm de alto cada uno, en 2 minutos. a) ¿Qué trabajo ha realizado? ¿Cuál ha sido la potencia máxima desarrollada? b) ¿Cuál sería la respuesta si en lugar de subir, baja por las escaleras? 10.12.- Un ascensor desciende con una velocidad constante de 0.75 m/s. Del techo del ascensor se desprende una de las bombillas de 50 g, que cae sobre el piso del ascensor. La altura de la caja del ascensor es 2.5 m. Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la bombilla y la variación de la energía cinética de la misma, desde que se desprende hasta que se estrella: a) en el referencial ligado a la caja del ascensor y b) en el referencial ligado al edificio. c) Explicar las diferencias existentes entre los resultados de los aparatos a) y b). 10.13.- La fuerza que actúa sobre una partícula está definida por la función F = (x + yz)i + z2j + y2k donde las coordenadas están expresadas en cm y la fuerza en dyn. Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada entre los puntos A(0,0,0) y B(2,4,8) a lo largo de las siguientes trayectorias: a) la línea recta que une los dos puntos dados; b) la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t, y = t2, z = t3 ; c) la línea quebrada definida por los puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0) y (2,4,8), en ese orden. d) ¿Es conservativa esa fuerza? 10.14.- Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas tal que la fuerza que actúa sobre ella es F = (2xy+z3)i + x2j + 3xz2k {S.I.} a) Demostrar que dicho campo de fuerza es conservativo. b) Obtener una expresión para la energía potencial de la partícula en dicho campo. c) Calcular el trabajo que tenemos que realizar para llevar la partícula desde el punto (2,1,3) al (0,0,0). 10.15.- Dado el campo de fuerzas F = (x-y+z)i + (2x+y+3z)j + (5x-2y+z)k
270
Lec. 10.- Trabajo y energía.
y una partícula sensible a dicho campo, calcular el trabajo realizado por el campo cuando la partícula recorre una vez la circunferencia de 4 unidades de radio, contenida en el plano xy y centrada en el origen de coordenadas. 10.16.- Una partícula es atraída por el origen de coordenadas con una fuerza directamente proporcional a su distancia a dicho origen. a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular el trabajo que deberemos realizar sobre la partícula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al (3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radio unidad y centro en (2,0,0). 10.17.- La energía potencial de una partícula de masa m está dada por la expresión Ep
1 2
k (x2
y2)
donde k es una constante. a) Obtener las componentes cartesianas de la fuerza que actúa sobre la partícula. b) Ídem las componentes polares y describir la fuerza en función de la posición de la partícula. c) ¿Cómo clasificaremos esta fuerza? ¿Puede Vd. pensar en algún modelo físico que responda a una fuerza de esta forma? 10.18.- Sea una fuerza definida en coordenadas polares planas por F = f(r)eθ, donde f(r) es una función arbitraria de la coordenada radial r. a) Demostrar que esa fuerza no es conservativa. b) Calcular el trabajo realizado por esa fuerza cuando su punto de aplicación recorre una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas. 10.19.- Un bloque de masa m desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal; el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es µ < tg θ. Considérese que el bloque se encuentre inicialmente en reposo sobre el plano inclinado. a) Expresar en función del tiempo el aumento en la energía cinética del bloque. b) Ídem la disminución de su energía potencial gravitatoria. c) ¿Se compensan los resultados anteriores? En caso negativo, ¿por qué? 10.20.- Una escalera homogénea, de masa m y longitud L, está apoyada sobre una pared vertical lisa y sobre un suelo horizontal rugoso, formando un ángulo θ0 con la horizontal (vide figura). El coeficiente de rozamiento entre el
suelo y el pie de la escalera es µ. Calcular el trabajo que debemos realizar para llevar la escalera a la posición vertical, empujándola horizontalmente a una distancia D de su pie. 10.21.- A partir de la ley de COULOMB para la fuerza electrostática, encontrar la expresión de la energía potencial electrostática. 10.22.- a) Consideremos dos cargas eléctricas idénticas, infinitamente alejadas la una de la otra. ¿Qué trabajo deberemos realizar para aproximarlas, la una a la otra, hasta una cierta distancia l? b) Consideremos, ahora, una tercera carga eléctrica igual a las anteriores. ¿Qué trabajo deberemos realizar para traerla desde el infinito y colocarla en una posición tal que las tres cargas determinan un triángulo equilátero de lado l? 10.23.- Una descripción suficientemente exacta de la interacción entre dos nucleones nos la suministra el llamado potencial de YUKAWA
Ep
r
Ep,0 e
r r0
donde r0≈ 1.5×10-15m y Ep,0≈ 50 MeV (1 eV = 1.6×10-19J). a) Encontrar la expresión correspondiente para la fuerza. b) Para poner de manifiesto el corto alcance de la fuerza nuclear, calcular la relación de fuerza (y de potencial) con respecto a la fuerza (y al potencial) correspondiente a r = r0, r = 2r0 , r = 4r0 y r = 10r0. c) Representar gráficamente los resultados obtenidos en el apartado anterior. ¿Tiene en cuenta el potencial de Yukawa la repulsión entre los nucleones para distancias muy pequeñas (hard-core)? d) Consideremos dos protones; obténgase las relaciones existentes entre las fuerzas electrostática y nuclear para las separaciones anteriormente propuestas. ¿Para que separación son iguales las intensidades de esas dos fuerzas? 10.24.- La energía potencial de una molécula biatómica viene dada, según LENNARD-JONES, en función de la distancia interatómica r, por la expresión
Ep
Prob. 10.20
r0
Ep,0
⎡ ⎞12 ⎢⎛ ⎢ ⎜ r0 ⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎣⎝ r ⎠
⎤ ⎞6 ⎥ ⎛ r ⎟ ⎥ ⎜ 2⎜ 0 ⎟ ⎥ ⎝ r ⎠ ⎦
donde r0 y Ep,0 son constantes. a) Demostrar que r0 es la distancia interatómica cuando la energía potencial es mínima, esto es, correspondiente a la separación de equilibrio. b) De-
Problemas
mostrar que el valor de la energía potencial mínima es -Ep,0. c) Demostrar que la distancia interatómica para la que Ep = 0 es igual a 0.89r0 . d) Representar gráficamente la función Ep(r) frente a r, e) Obtener la expresión de la fuerza interatómica, esto es, F = F(r), f) ¿Cuándo se anula la fuerza interatómica? ¿Cuándo es repulsiva? ¿Cuándo es atractiva? g) Demostrar que las fuerzas interatómica alcanza su valor atractivo máximo para una separación r = 1.11 r0. 10.25.- En el modelo de Niels BOHR (18851962) del átomo de hidrógeno, un electrón de masa m se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción de la fuerza central de Coulomb F
1 4π
0
e2 r2
donde e es la carga eléctrica del electrón y 0 es la permitividad del vacío. a) Obtener las expresiones, en función del radio de la órbita, de las energías cinéticas, potencial y total. La energía total resulta negativa; ¿por qué? b) Verificar el teorema del virial en este sistema. 10.26.- Expresar en función del tiempo las energías cinéticas y potencial correspondientes al sistema constituido por una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k, que cumple la ley de Hooke. a) Calcular los valores medios de dichas energías en el transcurso de un periodo del movimiento. b) Verificar el teorema del virial en este sistema. 10.27.- Una partícula de masa m se mueve en una trayectoria circular de radio R bajo la acción de una fuerza central atractiva directamente proporcional al cubo de la distancia al centro de fuerza. a) Obtener la expresión de la energía cinética de la partícula. b) Ídem de la energía potencial. (Indicación: Utilizar el teorema del virial). 10.28.- Una partícula se mueve bajo la acción en una fuerza central tal que F ∝ rn (n, real). a) Encontrar las expresiones de los valores medios de sus energías cinéticas y potencial en función de la energía total E. ¿Son válidas estas expresiones cualesquiera que sea el valor de E? b) Aplicar los resultados anteriores al caso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas. Analizar y discutir los resultados.
271
272
Lec. 10.- Trabajo y energía.
11.- Conservación de la energía. §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293)
Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía como el resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el punto de vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar una transformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en el campo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema) disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir, se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma de movimiento (cinética); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza un trabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energía cinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial. Desde los tiempos de NEWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertas condiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la configuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, pero que su suma (la energía mecánica total) permanece constante. Sin embargo, bajo otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto del rozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que hay siempre algún objeto que se calienta. La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio de conservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como el ingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. MAYER (1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. JOULE (1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar que la energía no se disipa, sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras. Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún
Manuel R. Ortega Girón
273
274
Lec. 11.- Conservación de la energía.
caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de las ideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza. Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidas en el llamado Principio de la Conservación de la Energía, que junto con el de la conservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lección siguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica. En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para el caso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelante los generalizaremos para incluir los sistemas de partículas. §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerza resultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento; esto es,
Ek(B)
ΔEk
B
⌠ F dr ⌡
Ek(A)
[11.1]
A
Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cambiado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e., ΔEp
Ep(B)
B
Ep(A)
⌠ F dr ⌡
[11.2]
0
[11.3]
A
de modo que, sumando las dos expresiones, resulta ΔEk
ΔEp
Δ(Ek
E p)
lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, o sea su energía total que designaremos por E, es constante; así pues, ΔE
0
con E
Ek
Ep
[11.4]
de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para una partícula del modo siguiente: Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas, la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento, esto es, se conserva. Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas. Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energías cinética y potencial, como en [11.4], o mejor E(r,v)
Ek(v)
Ep(r)
[11.5]
donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de la velocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será
§11.1.- Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.
275
función, en general, tanto de la velocidad como de la posición de la partícula; pero si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la energía total mantendrá un valor constante en el transcurso del tiempo. Este es el significado del principio de conservación. El principio de conservación de la energía nos dice que en tanto que la partícula se mueve y van cambiando las diferentes magnitudes físicas (tales como la velocidad, la aceleración, la cantidad de movimiento, la energía cinética, la energía potencial, ...), existe una magnitud física, la energía total, que permanece constante en el transcurso del movimiento; esto es, La energía es una constante escalar del movimiento. Naturalmente, el principio de conservación de la energía no nos proporciona ninguna información que no esté contenida en la ecuación del movimiento1, F = ma. Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de establecerlo? Con mucha frecuencia nos encontraremos con problemas cuya solución deberemos abordar sin conocer el detalle de las fuerzas de interacción (i.e., la ley de la fuerza); esta situación se encuentra, en forma sobresaliente, en la Física Nuclear y de Partículas Elementales. Pero aun cuando conozcamos con exactitud las leyes de las fuerzas, el principio de conservación de la energía (junto con el de la cantidad de movimiento y el del momento angular, que estudiaremos en la próxima lección) constituye una ayuda conveniente para la resolución de numerosos problemas de interés teórico o práctico. Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, a menudo, de los detalles de una fuerza particular; por consiguiente constituyen un procedimiento para obtener consecuencias muy generales y significativas de la ecuación del movimiento. Así, una ley de conservación nos puede asegurar que algo es imposible; de ese modo, no perderemos el tiempo analizando un pretendido aparato que produzca trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía (móvil perpetuo de primera especie). Por otra parte, aun cuando un problema dado pueda resolverse a partir de las leyes del movimiento, iniciar su resolución a partir de la ecuación [11.5] tiene la ventaja de que esta ecuación es una ecuación diferencial de primer orden (en tanto d2r que la ecuación del movimiento de Newton, F m , lo es de segundo orden) lo dt 2 que significa que ya hemos avanzado un paso hacia la solución del problema; por ello decimos que la ecuación [11.5] constituye una integral primera del movimiento de la partícula.
1
Esto puede comprobarse fácilmente sin más que diferenciar la energía total E; i.e., dE
d(Ek
E p)
dEk
dEp
dEk
F dr
0
que es idéntica a F = ma, ya que dEk de modo que ma dr
F dr
d( 1 mv 2)
d( 1 mv v)
2
0
2
→
F
ma .
mv dv
ma dr
276
Lec. 11.- Conservación de la energía.
Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, aun cuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas que podrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entonces podremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para un sistema de partículas. §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo de aplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada, que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo de dicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula (i.e., no es función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa [∇×F(x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenada de posición de la misma; i.e.,
Ep(x)
x
⌠ F(x) dx ⌡x
Ep(xref)
[11.6]
ref
de modo que la ecuación de conservación de la energía [11.5] puede escribirse como E
1 2
mv 2
Ep(x)
[11.7]
donde E (i.e., la energía total) es una constante del movimiento. La ecuación [11.7] establece una relación entre la velocidad de la partícula y su coordenada de posición. Para completar la solución del problema deberemos determinar la Figura 11.1 posición de la partícula en función del tiempo. Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de la velocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo es v = dx/dt, obtendremos dx dt
v
2
[E
m
Ep(x)]
[11.8]
que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos permitirá determinar la función x(t) siempre que conozcamos la función Ep(x) y las condiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimiento de E (que es una constante) y de x0 = x(t0). La ec. [11.8] se escribe, pues t
⌠ dt ⌡t 0
x
m ⌠ 2 ⌡x
0
dx E Ep(x)
[11.9]
277
§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión.
dx
x
o sea
t
m ⌠ 2 ⌡x
t0
[11.10]
E Ep(x)
0
con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema del movimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos la energía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil si conocemos F(x)), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nos dará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo.
Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m, se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza F = -kx, donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la partícula en función del tiempo; i.e., x(t). Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial: Ep(x)
x
La energía total (constante) es
1 2 kx 2
x
⌠ ( kx) dx ⌡0
Ep(0)
⌠ kx dx ⌡0 1 2 mv0 2
E
con
Ep(0)
0
1 2 kx0 2
siendo x0 y v0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial (t=0). Aplicando el Principio de la Conservación de la energía, llegaremos a la ec. [11.10], i.e., t
t
⌠ dt ⌡0
m ⌠x 2 ⌡x 0
1 2 mv0 2
1 ⌠x ω ⌡x 0
donde
ω2
y poniendo
ψ
escribiremos finalmente
m ⌠x k ⌡x
dx 1 2 kx0 2 dx A2
x2
1 2 kx 2 1 x [arcsen ω A
k m arcsen
x
A2
x0 A
0
→
A sen (ω t
2
x0
sen ψ
⎛m 2 ⎜ v0 ⎝k x arcsen 0 ] A
dx 2⎞ x0 ⎟ ⎠
x2
2
v0
ω2 x0 A
ψ)
que es la función x(t) pedida y que representa un movimiento armónico simple (vide Lec. 13).
278
Lec. 11.- Conservación de la energía.
§11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio.- La ecuación [11.10] puede resultar muy difícil de integrar; sin embargo,
en ocasiones no será necesario realizar dicha integración, pues sólo estaremos interesados en comprender cualitativamente algunas de las características más conspicuas del movimiento de la partícula y, para ello, nos puede bastar con el análisis de la curva que representa gráficamente a la función energía potencial, Ep(x), frente a la coordenada posicional, x, de la partícula. En la Figura 11.2 hemos representado una posible curva de energía potencial2 para un movimiento unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y viene dada por F
dEp dx
[11.11]
Pero dEp/dx es, precisamente, la pendiente de la curva Ep = Ep(x), que es positiva cuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente, la fuerza será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crece y será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Esta circunstancia ha sido indicada en la Figura 11.2 mediante flechas horizontales. En los puntos en los que Ep(x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir en aquellos puntos en los que es dEp/dx = 0, la fuerza será nula; tales posiciones lo serán de equilibrio. Aquellas posiciones (como la x0) en las que Ep(x) presenta un valor mínimo son posiciones de equilibrio estable. Una partícula en reposo en una de tales posiciones permanecerá en reposo en ella; si se la desplaza ligeramente de tal posición se verá sometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición de equilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otras posiciones (como la x0′) en las que Ep(x) toma un valor máximo, con respecto a las posiciones vecinas, el equilibrio es inestable. La partícula permanecerá en reposo en una tal posición; pero si se la desplaza ligeramente de ella aparecerá una fuerza que tiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, en aquellas regiones en las que Ep(x) sea constante el equilibrio será neutro o indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazar ligeramente la partícula que se encuentre en tal región3 (al ser Ep = cte, será F = 0). Consideremos ahora que la partícula tenga una energía total E (que permanecerá constante durante el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) que vendría indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la Figura 11.2. En cualquier posición x, la energía potencial Ep(x) de la partícula vendrá dada por la ordenada de la curva Ep = Ep(x) y la energía cinética de la partícula, será Ek = E - Ep, No debemos confundir la curva de energía potencial (movimiento unidimensional) con las líneas equipotenciales (movimiento bidimensional). 2
Podemos hablar, aún, de otra clase de equilibrio: el equilibrio metaestable, que es un equilibrio estable para pequeñas perturbaciones, pero inestable cuando éstas son un algo mayores. 3
§11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio.
279
Figura 11.2
de modo que vendrá representada por la distancia de la curva Ep(x) (en el punto dado x) a la línea E, como se ilustra en la Figura 11.2 para E=E3. Puesto que la energía cinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría una velocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E, la partícula únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > Ep. Así pues, en la gráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E0; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x0. Con una energía algo mayor, tal como la E1, la partícula puede permanecer en reposo en x0" o bien puede moverse entre los puntos x1 y x2; su velocidad disminuye al acercarse a los puntos x1 o x2, anulándose en ellos, de modo que la partícula se detiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados puntos de retorno. Si la energía es aún mayor, tal como E2, la partícula podrá oscilar en la región definida por los puntos x3 y x4 o en la definida por los puntos x5 y x6; en una o en otra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra, porque ello exigiría pasar por la región x4-x5 en la que su energía cinética sería negativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícula representan pozos de potencial; las regiones prohibidas corresponden a barreras de potencial. Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E3, existen solamente tres puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así, la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x7 y x8 (pozo de potencial) o moverse a la derecha del punto x9 (región ilimitada por la derecha), no pudiendo pasar de una región a otra (barrera de potencial). Para el nivel de energía E4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x11 "rebotará" y se dirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de
280
Lec. 11.- Conservación de la energía.
potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superiores a E5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial) acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial, respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento. §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemos generalizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellas situaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones del espacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posición de la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de las coordenadas de posición de la partícula, esto es, Ep(x,y,z), o mejor diremos Ep(r), sin necesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas. El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por
E
1 2
mv 2
Ep(r)
[11.12]
donde E, que es una constante del movimiento, queda determinada por las condiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7] en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de la partícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec. [11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento. Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso del movimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensional, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversas y, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nos proporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo que dicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E > Ep(r), y que la celeridad v
2 m
[E
Ep(r)]
[11.13]
es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas.
Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anteriormente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones (molécula de Hidrógeno ionizada, H2+). La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por
Ep
⎛ e2 ⎜ 1 4π 0 ⎜⎝ r1
⎞ 1 ⎟ r2 ⎟⎠
[11.14]
donde r1 y r2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dos protones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes
§11.4.- Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.
281
a la intersección de las superficies equipotenciales con el plano del papel, estando los protones separados por una distancia de 2 Å (1 Å = 10-10 m) y expresando las energías potenciales en electrón-voltios (1 eV = 1.602 × 10-19J). Obviamente, las superficies equipotenciales se obtienen rotando la Figura 11.3 alrededor de la línea que une a los dos protones. Cuando la energía del electrón, que será una constante del movimiento que vendrá impuesta por las condiciones iniciales, sea positiva, el electrón no quedará confinado en ninguna región limitada del espacio; se tratará de un electrón libre, i.e., no ligado. Para -29 eV E < 0, el electrón estará confinado en el interior de una superficie casi-esférica, Figura 11.3 centrada en el punto O, de modo que su movimiento será como sí estuviese ligado a un solo centro atractivo de carga +2e. Para E < -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen finito que rodea a uno u otro de los protones pudiendo oscilar o girar alrededor del centro de atracción, según fuesen las condiciones iniciales. En el caso de que E -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen casi esférico, centrado en uno u otro de los protones, y su movimiento será como si solamente existiera uno de ellos. Obsérvese que el electrón no puede encontrarse en equilibrio establece en ningún punto del campo creado por los dos protones (el punto O es de equilibrio inestable4). Esta es una característica interesante de los campos electrostáticos creados por una distribución de carga eléctrica.
Ejemplo III.- Salto de potencial.- Consideremos una separación plana entre dos regiones del espacio. La energía potencial de una partícula de masa m en la región 1 es Ep(1)=cte. y en la región 2 es Ep(2)=cte. Inicialmente, la partícula se mueve en la primera región con una velocidad v1, en una dirección que forma un ángulo θ1 con la normal a la superficie de separación entre las dos regiones. a) Determinar la velocidad (módulo y dirección) de la partícula cuando penetra en la segunda región. b) Representar gráficamente la situación para el caso en que sea Ep(1)
Ep(1)
1 2 mv2 2
Ep(2)
[i]
o sea 2
v2
2
v1
2 [Ep(2) m
de modo que v2 < v1.
4
Ep(1)]
2
v1
2 ΔEp [ii] m Figura 11.4
En realidad lo es de ensilladura, como veremos en el próximo artículo.
282
Lec. 11.- Conservación de la energía.
b) Para determinar la dirección de v2 tendremos en cuenta que es ⎧ ⎪ ⎪ F ⎪ x ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ Fy ⎩
∇Ep(x)
F
∂Ep ∂x ∂Ep ∂y
≠ 0
[iii]
0
de modo que el gradiente de la energía potencial, i.e., la fuerza que actúa sobre la partícula al atravesar la superficie de separación entre las dos regiones, sólo tiene componente en la dirección normal a dicha superficie. En consecuencia, podemos afirma que se conserva la componente transversal de la cantidad de movimiento de la partícula cuando atraviesa dicha superficie; esto es, Figura 11.5
mvy(1)
mvy(2)
v1 sen θ1
→
[iv]
v2 sen θ2
expresión que establece la relación entre los ángulos y las velocidades de la partícula en cada una de las regiones. Sirviéndonos de la expr. [ii], eliminaremos v2 y, después de fáciles operaciones, obtenemos sen θ1
1
sen θ2
2 [Ep(2) mv
Ep(1)]
Ep(2)
1
2 1
Ep(1)
Ek(1)
[v]
que escribiremos en la forma sen θ1
v2
sen θ2
v1
n
con n
1
2 ΔEp
[vi]
2
mv1
que nos recuerda, y de hecho es análoga, a la ley de SNELL para la refracción de la luz, en la que n sería el índice de refracción relativo. Esta analogía nos muestra por qué fue posible explicar los fenómenos de la refracción tanto en el marco de una teoría ondulatoria (ondas de Huygens) como en el de una teoría mecanicista (corpúsculos mecánicos de Newton).
§11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones.- Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante conservativa, función exclusiva de la posición de la partícula. La energía potencial de dicha partícula será función de su posición, y, en coordenadas cartesianas, podemos expresarla por Ep(x,y,z). Entre la fuerza conservativa, F(x,y,z), y la energía potencial, Ep(x,y,z), existe la relación
F o sea
Fx
∂Ep ∂x
Fy
[11.15]
∇ Ep ∂Ep ∂y
Fz
∂Ep ∂z
[11.16]
Definido el equilibrio de la partícula como la ausencia de fuerza neta, la partícula se encontrará en equilibrio en aquellos puntos del espacio en los que
283
§11.5.- Equilibrio en dos y en tres dimensiones.
∂Ep ∂x
0
∂Ep ∂y
0
∂Ep ∂z
0
[11.17]
es decir, en los puntos en los que la energía potencial presente un valor extremo (máximo o mínimo) en las tres direcciones del espacio. En los puntos en los que ∂Ep/∂x sea nula, la partícula se encontrará en equilibrio traslacional en la dirección x, ya que será nula la componente de la fuerza en esa dirección. Las mismas consideraciones podemos hacer para las otras dos direcciones (y,z) del espacio. Obsérvese que la partícula podrá estar en equilibrio con respecto a una coordenada, pero no estarlo necesariamente con respecto a las otras; esto es, podrá ser, por ejemplo, ∂Ep/∂x = 0, pero ∂Ep/∂y ≠ 0 y ∂Ep/∂z ≠ 0. Por ello, cuando se trate de una partícula que pueda moverse en dos o en tres dimensiones del espacio, deberemos analizar sus posibilidades de equilibrio con respecto a cada una de las dos o tres coordenadas que fijan su posición. Como en el caso unidimensional, y para cada una de las coordenadas de posición, el equilibrio de la partícula podrá se estable, inestable o indiferente, según que la energía potencial, en la posición de equilibrio, presente un valor mínimo, máximo o constante con respecto a los que toma en los puntos de un entorno infinitesimal alrededor de dicho punto. Las condiciones anteriores, de mínimo y de máximo relativos, quedan definidas analíticamente por un valor positivo y negativo, respectivamente de ∂2Ep/∂x2 (o de ∂2Ep/∂y2 o ∂2Ep/∂x2). En el caso de que ∂2Ep/∂x2 = 0, el análisis de la situación nos llevará a calcular las derivadas de orden superior, para decidir si se trata de un mínimo o máximo relativos o de un punto de inflexión. En el caso de que el movimiento de la partícula sea tan sólo bidimensional (en el plano xy, por ejemplo) puede resultar útil considerar las llamadas superficies de energía potencial5, que jugarán el mismo papel que las curvas de energía potencial Figura 11.6 en el problema unidimensional. Para ello, representaremos sobre un eje perpendicular al del plano del movimiento (que excusamos ahora de llamarlo eje z) la energía potencial correspondiente a los puntos del plano xy. En la Figura 11.6 hemos dibujado una tal superficie de energía potencial. Una partícula colocada en A, B, C o D permanecerá en reposo; los puntos correspondientes en el plano xy son puntos de equilibrio. El alumno comprenderá fácilmente que el punto A es de equilibrio estable (se trata de un pozo de potencial), en tanto que No debemos confundir las superficies de energía potencial (movimiento bidimensional) con las superficies equipotenciales (movimiento tridimensional). 5
284
Lec. 11.- Conservación de la energía.
los puntos B y C lo son de equilibrio inestable. Obsérvese que el punto D es de equilibrio estable en la dirección aa′ pero que es de equilibrio inestable en la dirección bb′; se dice que el punto D es un punto de ensilladura o de silla de montar o de puerto de montaña, por la analogía que presenta con aquélla o con éste. En la figura no hemos representado ningún plano horizontal (meseta), que correspondería al equilibrio indiferente. §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo.- Una fuerza que dependa solamente de la posición y cuyo rotacional sea nulo se dice que es conservativa, por conducir al principio de conservación de la energía (cinética + potencial). Pero en ciertos casos nos encontraremos con fuerzas que serán función tanto de la posición como del tiempo, esto es F(r,t). Si en un instante cualquiera (esto es, para cualquier valor de t) se anula el rotacional de ese campo de fuerzas (no estacionario), podemos definir una función energía potencial Ep(r,t) (campo escalar no estacionario) como
Ep(r,t)
⌠F(r,t) dr ⌡
[11.18]
de modo que un instante cualquiera, y siempre que ∇×F(r,t) = 0, será F(r,t)
∇ Ep(r,t)
[11.19]
Pero hemos de observar que en estas condiciones no es posible demostrar el principio de conservación de la energía, por no cumplirse la relación [11.2]; esto es, ΔEp
Ep(B; tB)
Ep(A; tA) ≠
B
⌠ F(r,t) dr ⌡
[11.20]
A
pues la integral, en [11.18], que define la energía potencial en el instante t se calcula a partir de la función de fuerza en ese instante; en tanto que el trabajo, en [11.20], se calcula utilizando en cada punto la función de fuerza en el instante en que la partícula pasa por ese punto. En consecuencia, al combinar las expresiones [11.1] y [11.2], que nos dan los cambios en las energías cinética y potencial de la partícula, respectivamente, la energía E = Ek + Ep ya no se mantiene constante en el transcurso del movimiento; así, pues, una fuerza que dependa explícitamente del tiempo, esto es, F(r,t), no es conservativa. §11.7. Fuerzas no conservativas.- Hemos establecido el principio de la conservación de la energía mecánica (cinética + potencial) para una partícula bajo el supuesto de que sobre ella sólo actúan fuerzas conservativas. Tales fuerzas reciben ese nombre, precisamente, porque conducen al principio de conservación de la energía. Pero es fácil encontrar fuerzas que no son conservativas; así, el rozamiento es una de ellas. El rozamiento se opone siempre al desplazamiento de la partícula, de modo que el trabajo realizado, que es siempre negativo, dependerá de la trayectoria seguida y no es nulo en una trayectoria cerrada, cuando la partícula vuelve a su posición inicial. En consecuencia, la energía mecánica de la partícula no se conservará cuando sobre ella actúen fuerzas no conservativas, como puede ser la de rozamiento.
285
§11.7.- Fuerzas no conservativas.
Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas (cuya resultante representaremos por Fc) y fuerzas no conservativas (cuya resultante representaremos por Fnc). El trabajo neto realizado sobre la partícula, cuando se desplaza entre los puntos A y B bajo la acción de la fuerza resultante F = Fc + Fnc, es igual a la variación de su energía cinética; esto es W
Wc
Wnc
[11.21]
ΔEk
donde hemos representado por Wc y Wnc el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas conservativas y no conservativas, respectivamente. El trabajo Wc realizado por las fuerzas conservativas puede expresarse como la variación, cambiada de signo, de la energía potencial (asociada con dichas fuerzas conservativas) cuando la partícula pasa del primer punto al segundo; esto es Wc
Figura 11.7
[11.22]
ΔEp
No podemos decir otro tanto del trabajo Wnc realizado por las fuerzas no conservativas, pues, al depender dicho trabajo del trayecto seguido por la partícula entre los puntos A y B, no podemos asociarle ninguna energía potencial (i.e., ninguna función de punto) a dichas fuerzas. Entonces, la expresión [11.21] puede escribirse en la forma Wnc o sea
ΔEk
Wc
ΔEk ΔE
ΔEp Wnc
Δ (Ek
Ep )
[11.23] [11.24]
de modo que la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula no permanece constante en el transcurso del movimiento, sino que experimenta un cambio igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativas realizan un trabajo positivo, la energía mecánica de la partícula aumenta; en el caso contrario, disminuirá. Obsérvese, por otra parte, que hemos rehusado utilizar el término de total para designar a la energía mecánica, E = Ek + Ep, de la partícula. El concepto de energía total de una partícula sólo tiene significado si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre ella; en el caso de que actúen fuerzas no conservativas, el concepto no será aplicable, por no incluirse todas las fuerzas presentes. Si la fuerza no conservativa es el rozamiento, el trabajo realizado por ella es siempre negativo, de modo que, de acuerdo con [11.24], la energía mecánica de la partícula disminuye en el transcurso del movimiento; esto es, la energía mecánica de la partícula se disipa. El rozamiento es un ejemplo de fuerza disipativa. Pero, ¿qué ocurre con esa energía que se disipa? El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento representa una transformación de energía de una forma a otra; la energía mecánica que desaparece se transforma en energía interna, Uint, y provoca un aumento en la temperatura. Esta transferencia de energía, por corresponder a un
286
Lec. 11.- Conservación de la energía.
movimiento molecular, será, en general, irreversible6. De este modo, el trabajo realizado por el rozamiento (que es siempre negativo) es igual al incremento de la energía interna del sistema (la partícula y su medio ambiente) y podemos escribir Wf
[11.25]
ΔUint
donde el subíndice f hace referencia explícita a que se trata de la fuerza de rozamiento (fricción). De esta forma, la expresión general [11.24], en el caso de que la única fuerza no conservativa que actúa sobre la partícula sea la de rozamiento, puede escribirse como ΔE o sea
Δ(E
ΔUint
0
Uint )
0
[11.26] [11.27]
de modo que la suma de la energía mecánica (de la partícula) y de la energía interna (del sistema) permanece constante (i.e., se conserva) cuando sobre el sistema sólo actúan fuerzas conservativas y las de rozamiento. §11.8. Conservación de la energía.- Hemos definido la energía potencial de una partícula de modo que el trabajo realizado sobre ella por una fuerza conservativa sea igual a la disminución de su energía potencial. En el primer artículo de esta lección demostrábamos que la energía mecánica total de la partícula permanece constante cuando tan sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre ella; ello era debido a que el aumento de su energía cinética quedaba exactamente compensado por la disminución de su energía potencial. De ese modo, establecíamos el principio de conservación de la energía, aunque en una forma muy restrictiva. Por otra parte, hemos visto en el artículo anterior que la energía mecánica de la partícula no permanece constante cuando sobre ella actúan fuerzas no conservativas que realizan un trabajo; pero, eso si, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igual al aumento (o disminución) de la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula [11.24]. Debido a que casi siempre hay presente algún tipo de fuerza no conservativa, principalmente el rozamiento, la importancia del concepto de energía, y el de su conservación, no fue justipreciada hasta el siglo XIX. Entonces se comprendió que la desaparición de energía mecánica macroscópica va siempre asociada con la aparición de energía interna, que normalmente se pone de manifiesto por un aumento de la temperatura. Hoy, sabemos que esa energía interna no es más que la energía cinética y potencial de las moléculas de medio; esto es, energía mecánica microscópica. Con esta generalización del concepto de energía mecánica, de modo que quede incluida la energía interna, la energía mecánica de la partícula (o la de un
Los texto elementales suelen decir que "la energía mecánica que desaparece se transforma en calor". Esta expresión no es rigurosamente correcta, aunque puede disculpársela al estudiante que se inicia en el estudio de la Física. Los conceptos de energía interna y de calor y temperatura, así como el de proceso irreversible, serán desarrollados con rigor en las Lecciones de Termología. 6
287
§11.8.- Conservación de la energía.
cuerpo o sistema de dimensiones finitas) más la de su medio ambiente permanece constante, aún cuando esté presente el rozamiento. Ahora, podemos generalizar nuestros razonamientos anteriores para considerar no sólo las fuerzas conservativas y las de rozamiento sino, también, otras fuerzas no conservativas que no sean precisamente las de rozamiento. Esto es, consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante F que podemos desglosar como F
Fc
f
[11.28]
F nc
donde Fc y Fnc representan, respectivamente, las resultantes de las fuerzas conservativas y no conservativas, y f la de las fuerzas de rozamiento. En el desplazamiento de la partícula, entre dos puntos dados A y B, los trabajos realizados por cada una de esas fuerzas son W
Wc
Wf
Wnc
[11.29]
ΔEk
o sea, el trabajo total es igual a la variación de la energía cinética de la partícula. Pero hemos visto que con toda fuerza conservativa se asocia una energía potencial y que con el rozamiento asociamos la variación de la energía interna, o sea Wc
ΔEp
Wf
[11.30]
ΔUint
de modo que la expresión [11.29] tomará la forma Wnc
ΔEk
Wc
Wf
ΔEk
ΔEp
ΔUint
[11.31]
o sea que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (exclusive el rozamiento) es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula y de la energía interna de su medio ambiente. Vemos que, cuando se incluye la energía interna, la energía total del sistema no siempre permanece constante. Ahora bien, cualquiera que sea Wnc siempre ha sido posible encontrar nuevas formas de energía relacionadas con ese trabajo. Entonces podemos representar el trabajo Wnc en términos de la variación de alguna forma particular de la energía, de modo que [11.32]
Wnc = - Δ(alguna forma de energía) de modo que la expresión [11.31] puede escribirse como [11.33]
ΔEk + ΔEp + ΔUint + Δ(alguna forma de energía) = 0 por lo que la energía total (cinética + potencial + interna + alguna otra ...) permanecerá constante, si nos cuidamos de incluir todas las formas posibles de energía. La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida; la energía total permanece constante. Este enunciado, que es una generalización de la experiencia, constituye el Principio de la Conservación de la Energía. Fue formulado en el siglo XIX, y
288
Lec. 11.- Conservación de la energía.
aunque la prioridad de su descubrimiento fue un tanto polémica (se la disputaron J.R. MAYER (1814-1878) y J.P. JOULE (1818-1889), traeremos aquí una cita de la obra de Mayer (Observaciones sobre las energías de la naturaleza inorgánica): "En innumerables casos vemos que el movimiento cesa sin haber causado otro movimiento o elevado un peso; pero la energía, una vez que existe, no puede ser aniquilada, solamente puede cambiar de forma; y entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía, aparte de las que ya conocemos, cinética y potencial (en terminología moderna), es capaz de tomar? Solamente la experiencia puede conducirnos a una solución."
En ocasiones parecía que este principio de conservación iba a fallar; pero ese aparente fallo incitó a los físicos a la búsqueda de las causas; esto es, a la búsqueda de nuevos fenómenos hasta entonces desconocidos. Y siempre los encontraron. Por ejemplo, la energía de un sistema puede "disiparse" en forma de radiación; así se forman ondas sonoras en un choque entre dos objetos, o se emite radiación electromagnética por una carga eléctrica acelerada. En otras ocasiones, la aparente no-conservación de la energía llevó al descubrimiento de nuevas partículas elementales; este fue el caso del descubrimiento teórico del neutrino (PAULI, 1930) para explicar un aparente fallo del principio de conservación de la energía en los fenómenos de radiactividad β de los núcleos atómicos. Con posterioridad el neutrino fue detectado por COWAN y REINES, en 1956. Así pues, el concepto de energía se ha ido generalizando para incluir otras formas, además de la cinética y potencial, y ha sido esta generalización la que ha permitido relacionar la Mecánica de los cuerpos en movimiento con fenómenos no mecánicos, o en los que el movimiento no se detecta fácilmente. En este sentido, el concepto de energía ha relacionado la Mecánica con las demás ramas de la Ciencia Natural y se ha convertido en una de las grandes ideas unificadoras de la Física. §11.9. Crítica del concepto de energía.- En estas dos últimas lecciones hemos visto como podemos abordar ciertos problemas sobre el movimiento de la partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición de aquélla. Ha sido precisamente este problema el que nos ha llevado al concepto de energía. Atribuimos el movimiento de la partícula a las interacciones que tienen lugar entre ella y su medio ambiente; esto es, otras partículas, en definitiva. Representamos dichas interacciones mediante los conceptos de fuerza y de energía. Tanto la fuerza como la energía son, pues, simples entes físico-matemáticos que no tienen otro propósito que representar convenientemente las diferentes interacciones que observamos en la Naturaleza, de modo que a través de ellas podemos analizar y predecir el movimiento de las partículas y de los sistemas de partículas. El concepto de energía potencial, al igual que el de fuerza, nos permite asociar con cada forma específica de interacción una forma específica de energía, y es precisamente esa relación la que llena de contenido y significado físico a la idea de energía. En las lecciones que siguen, iremos redundando en la idea de que la interacción entre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o de cantidad de movimiento. Cualquiera de ambas descripciones puede resultar útil para representar la interacción. De ese modo, parece como si relegásemos el concepto de fuerza a un papel secundario. En muchos problemas realmente será así (es el caso, como ya hemos dicho varias veces de la Física Atómica y Nuclear), pero no debemos olvidar que, en último extremo, los conceptos de cantidad de movimiento y de
§11.9.- Crítica del concepto de energía.
289
energía han sido desarrollados a partir del concepto de fuerza, aunque no era necesario proceder de ese modo, ya que tanto el concepto de cantidad de movimiento como el de energía pueden considerarse como primarios y autosuficientes. §11.10. Principio de conservación de la masa.- Desde un punto de vista histórico, la primera ley de conservación en la ciencia fue la referente a la conservación de la materia. En su obra De rerum natura, el poeta romano LUCRECIO, contemporáneo de Julio Cesar y de Cicerón, enunciaba lo que puede considerarse como uno de los primeros indicios de un importante principio general de la Ciencia:
"Las cosas no pueden surgir de la nada y, una vez que son, no pueden regresar a la nada." Sin embargo, hemos de hacer notar que existe una gran distancia entre el panegírico de Lucrecio y la moderna ley de conservación de la masa que establece que "... a pesar de los cambios de posición, forma, aspecto, composición química ..., la masa de un sistema cerrado permanece constante." La idea de un sistema cerrado, que surge como una consecuencia del trabajo de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos, fue un requisito previo a la formulación del principio de conservación de la masa. Aunque ya en tiempos de Newton se aceptaba que por encima de los cambios de forma, color, volumen, posición ... hay algo que es duradero y constante (i.e., la masa), el principio de conservación de la masa no fue establecido firmemente hasta mucho tiempo después. La contribución experimental más importante fue hecha por el químico francés Antoine Laurent DE LAVOISIER (1743-1794), quién demostró, por la incontrovertible evidencia de la balanza, que "Debe considerarse como un axioma incuestionable que en todas las acciones del Arte y de la Naturaleza, nada se crea; antes y después del experimento existe la misma cantidad de materia ... y nada ocurre que no sean cambios y modificaciones en las combinaciones de estos elementos."
Sin embargo, a pesar del enfático enunciado de Lavoisier, todavía quedaba lugar a duda. Un químico moderno, que examinase los resultados cuantitativos de los experimentos de Lavoisier y reparase en el grado de exactitud que éste pudo alcanzar con sus aparatos, quedaría en una actitud escéptica frente a la afirmación de que "el aumento de peso de uno coincide exactamente con la pérdida del otro". Sin embargo, la ley era plausible y la mayor parte de los científicos del siglo XIX la aceptaron. A partir de 1890, otro químico, Hans LANDOLT (1831-1910), animado por las dudas expresadas por Lothar MEYER (1830-1895), realizó una extensa investigación experimental sobre la conservación de la masa en las reacciones químicas; en 1909 estableció la siguiente condición: " ... ningún cambio en el peso total puede determinarse en cualquier reacción química ... La prueba experimental de la ley de la conservación de la masa puede considerarse completa. Si existe alguna desviación, deberá ser menor de una milésima de miligramo."
§11.11. Masa y energía.- Si no dispusiéramos de más evidencia válida que la referente a los experimentos con sistemas que reaccionan químicamente, deberíamos
290
Lec. 11.- Conservación de la energía.
llegar a la conclusión de que la ley o principio de conservación de la masa es correcta. Un químico moderno que repitiera los experimentos de Landolt, aun cuando utilizarse el mejor equipo disponible, llegaría a la misma conclusión que aquél; únicamente conseguiría reducir su margen de error. Sin embargo, existen otros tipos de procesos en los que cambia la masa del sistema. Los más importantes son aquéllos que incluyen reacciones entre núcleos atómicos (reacciones nucleares) y entre partículas elementales, tales como la desintegración radiactiva, fisión, fusión, creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula ... En algunos de estos fenómenos, como en los de creación y aniquilación de pares, la masa del sistema puede ser creada y aniquilada por completo. En otros, la masa del sistema simplemente aumenta o disminuye, a partir de un cierto valor inicial. Por otra parte, la masa de una partícula puede incrementarse extraordinariamente cuando se la acelera hasta velocidades próximas a la de la luz. Este efecto, que es un efecto relativista, ya era conocido antes de 1905, fecha en que se publica el primer trabajo de Albert EINSTEIN (1879-1955) sobre la Teoría de la Relatividad Especial: "Sobre la electrodinámica de los cuerpos móviles" (Annalen der Physik 17 (1905) 891-921). El incremento de masa que experimentan las partículas aceleradas a altas velocidades había sido descubierto experimentalmente por W. KAUFMANN, en 1902, desviando en campos eléctricos los electrones de alta velocidad emitidos en la desintegración β de los núcleos radiactivos. En 1905, Einstein llega a la conclusión de que la masa ponderable y tangible de una partícula, cargada o no, crece con la velocidad de acuerdo con la ecuación m0
m 1
[11.34]
v /c 2
2
en donde m0 es la masa de la partícula en reposo con respecto al observador, llamada masa en reposo, y m es la masa de la partícula cuando se mueve con una velocidad v con respecto al mismo observador y es llamada masa relativista. En la Figura 11.8 se representa gráficamente el cociente m/m0 frente a la velocidad de la partícula, medida en unidades Figura 11.8 de la velocidad de la luz (esto es, β=v/c). Obsérvese que para velocidades tales que β > 0.9, la masa relativista es varias veces mayor que la masa en reposo, y que tiende hacia infinito a medida que β tiende hacia 1, o sea cuando la velocidad v de la partícula se aproxima a la velocidad c de la luz. La Dinámica Relativista será objeto de atención en una lección posterior; ahora sólo trataremos de desprender, mediante un razonamiento sencillo, algunas consecuencias interesantes de la ecuación [11.34]. Llamando β al cociente v/c, la ec. [11.34] puede escribirse en la forma
291
§11.11.- Masa y energía.
m
m0 ( 1 β 2 )
[11.35]
1/2
de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio m0 ( 1
m
1 2
3
β2
8
β 4 ...)
[11.36]
Entonces, si v c, o sea si β 1, con muy buena aproximación7 podemos escribir m ≈ m0 ( 1
1 2
β )
1
v2 ) 2c 2
m0 ( 1
2
m0
2
m0v 2
[11.37]
c2
resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento de masa con la velocidad, ya que 1
Δm
m
2
m0
m0v 2
[11.38]
c2
donde podemos identificar el término ½m0v2 con la energía cinética clásica de la partícula; esto es, Δm
Ek
[11.39]
c2
y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad, de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partícula ha aumentado su masa o inercia en la cantidad Ek/c2. Ese es el significado de la ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que es equivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevo al significado físico de la ecuación [11.39]. Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproximación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de que la energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de la cinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él y suministrándole, con ello, una energía potencial elástica Ep, su masa se incrementa en Ep/c2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en este caso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento de masa será Q/c2. En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía establece que por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material su masa se incrementa en 1 J ( 3 × 108 m/s )2
7
1.1 × 10
17
kg
En general, es válida la aproximación (1 + )n = 1 + n , cuando
[11.40]
1.
292
Lec. 11.- Conservación de la energía.
y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificado es la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c2, los cambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muy grandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reacciones químicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de Altas Energías. La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión de Einstein E
[11.41]
(Δm) c 2
puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de la Relatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía, podemos asignar una energía m0c2, llamada energía en reposo, a la partícula de masa m0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarse incluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula). Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservación de la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer esto es considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilación completa, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía "pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad de energía en reposo ( m0c2) más las restantes formas de energía ( E), es constante; esto es ( m0c 2
E)
cte
[11.42]
expresión que podemos considerar como la generalización del principio de conservación de la energía total, o también como una generalización del principio de conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma ( m0
E ) c2
cte
[11.43]
Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal como fue escrito por Einstein ... "La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; a saber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecen con total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en un solo principio."
293
Problemas
Problemas 11.1.- En la obra de Huygens, Horlogium Oscillatorum (1673), encontramos la proposición siguiente: "Cuando un péndulo oscila de modo que su amplitud es de 90°, al pasar por la posición más baja resulta que la tensión del hilo es el triple de la que le correspondería si el péndulo estuviese inmóvil." Demostrar esta proposición.
posición de despegue sería mayor o menor que el anteriormente calculado?
11.2.- En la figura, se representa un péndulo simple, de longitud l, cuyas oscilaciones están limitadas por la existencia de Prob. 11.2 un clavo horizontal situado a una distancia 2l/3 del punto de suspensión y en su misma vertical. Determinar el ángulo Θ desde el que debemos abandonar la masa pendular para que el hilo de suspensión se enrolle en el clavo.
11.6.- Un cable flexible y uniforme, de longitud l, está colgado en una pared vertical pasando sobre un clavo fijo y liso. Inicialmente el cable se encuentra en equilibrio. Calcular la velocidad que adquiere el cable, en el instante en que abandona al clavo, cuando se le separa ligeramente de su posición de equilibrio.
11.3.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremo inferior de un muelle vertical que está sujeto del techo por su otro extremo, y lo dejamos descender lentamente, soportándolo con la mano, lo que hace que el muelle se estire una distancia d. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo si lo hubiéramos dejado caer bruscamente? 11.4.- Una partícula de masa m está situada en la cima de una hemiesfera lisa, de radio R, que está apoyada por su base sobre un plano horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio comienza a deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada en cada instante por el ángulo θ que forma el radio-vector correspondiente con la vertical. a) Tomando el plano de la base como nivel de referencia, expresar las energías potencial y cinética de la partícula en función del ángulo θ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y normal. c) Determinar el valor del ángulo para el cuál la partícula se despega de la hemiesfera. d) En el caso de que existiese rozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la
11.5.- Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza única, que es conservativa. ¿En qué condiciones, si es que las hay, es posible que aumente la energía potencial de la partícula?
11.7.- Considérese una masa puntual m suspendida de un punto fijo O mediante un hilo elástico de longitud natural l y constante elástica k. Supongamos que abandonamos el sistema, con el hilo en su longitud natural y horizontal. a) Demostrar que cuando el hilo pasa por la posición vertical, se habrá alargado una cantidad Δl = 3mg/k; siempre que Δl pueda considerarse mucho más pequeña que l. b) Demostrar, en esas condiciones, que la velocidad de la masa puntual, en el punto más bajo de su trayectoria, es
v
2g ( l
3mg ) 2k
que es menor que la que le correspondería para una cuerda inelástica (k=∞). Explicar físicamente estos resultados.
Prob. 11.8 11.8.- Un pequeño objeto desliza, sin rozamiento, por un carril situado en un plano vertical, que está compuesto por un tramo rectilíneo seguido de un tramo circular de 4 m de radio, y que subtiende un ángulo θ=30° a
294
Lec. 11.- Conservación de la energía.
cada lado de la vertical, como se muestra en la figura. Si el pequeño objeto pesa 20 g y parte del reposo de la posición H = 10 m, calcular la altura máxima (h) que alcanzará después de abandonar el carril. 11.9.- Demostrar que el ritmo o velocidad de variación de la energía cinética de una partícula viene dado por dEk/dt = F v, siendo F la fuerza resultante que actúa sobre la partícula y v su velocidad. Interpretar este resultado. 11.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado de 30° con una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el plano, antes de detenerse, si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 el coeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano hacia abajo, después de haberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál será su velocidad al llegar de nuevo al pie del plano? 11.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. a) Encontrar una expresión general para la altura máxima de la pelota después del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energía y la fracción de pérdida de energía de la partícula después del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la altura máxima de la pelota se reduzca a un 5% de su valor inicial. d) Hacer una estimación del tiempo máximo durante el cuál estará botando la pelota, cuando se la deja caer desde una altura inicial de 5 m. 11.12.- Una masa puntual, m, está unida al extremo superior de una varilla rígida y ligera, de longitud l, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo inferior. Se abandona el sistema a partir de la posición vertical (equilibrio inestable), en reposo. a) Expresar la tensión en la varilla en función del ángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcular el ángulo que formará la varilla con la vertical cuando la tensión en la misma pasa de ser compresora a tensora. 11.13.- Una vagoneta, abierta por su parte superior, que marcha con una velocidad constante de 4 m/s es cargada con 10 t de carbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga, en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extra habrá que aplicar a la vagoneta para que su velocidad permanezca constante durante el proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinética experimenta el carbón? d) Explicar la discrepancia entre los resultados de los dos apartados anteriores.
11.14.- Una bolita de pequeñas dimensiones rueda en un carril circular situado en un plano vertical, como se Prob. 11.14 muestra en la figura. Cuando la bolita pasa por el punto más bajo del carril lleva una velocidad v0. a) ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete la trayectoria circular sin despegarse del carril? b) Sea vmín el valor anteriormente calculado y supóngase ahora que es v0 = 0.837 vmín. Bajo estas condiciones determinar la posición angular θ del punto P en el que la bolita se despega del carril, así como su celeridad en ese instante. 11.15.- Una bolita, de pequeñas dimensiones, de masa m, desliza sin rozamiento por un carril, como se muestra en la figura. La bolita se abandona en reposo en un punto P, situado a una altura h sobre el nivel de referencia, desciende por el carril y prosigue por el interior de la circunferencia vertical de radio R. Deseamos ajustar la posición del punto P de modo que la bolita abandone el carril circular en un cierto punto M y que, en el subsiguiente
Prob. 11.15 movimiento sin ligaduras, vaya a pasar por el centro de la circunferencia (punto O). a) Determinar el valor del ángulo α correspondiente a la posición M en que la bolita se despega del carril circular, así como la velocidad de la bolita en ese instante. b) Determinar la altura h del punto P para conseguir el resultado deseado. Aplicación numérica: R = 50 cm. 11.16.- Una partícula se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza dada por F = -16x + 8x3 (SI). a) Representar gráficamente la función energía potencial Ep(x). b) Analizar el movimiento de la partícula para diversos valores de su energía total. c) Determinar los
295
Problemas
puntos de retorno para E = 4 J. d) Ídem para E = - 4 J.
periodo de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio.
11.17.- La energía potencial de una partícula de 2 g de masa que se mueve sobre el eje x viene dada por Ep = 24x2e-2x, donde x está expresada en cm y Ep en ergios. a) Determinar las posiciones de equilibrio de la partícula, así como las energías potenciales correspondientes a esas posiciones. b) Represéntese gráficamente la función Ep(x) y discútanse los movimientos posibles de la partícula. c) ¿Cuáles son los puntos de retorno correspondientes a una energía total de 2 erg? d) Considérese la partícula en reposo en el punto de coordenada x = 0.5 cm; ¿Cuál será la velocidad de la partícula cuando pase por el origen de coordenadas? e) Calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones de la partícula alrededor de la posición de equilibrio estable.
11.20.- Una partícula de 2 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza que viene expresada por
11.18.- Una partícula, de masa m, se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa que deriva de un potencial dado por a 2 E0
Ep
a2 x2 8a 4 x 4
donde a y E0 son constantes. a) Representar gráficamente Ep(x) y F(x), determinar las posiciones de equilibrio y discutir los movimientos posibles. b) La partícula parte con una velocidad inicial v∞ de un punto muy lejano y dirigiéndose hacia el origen; ¿qué velocidad tendrá cuando pase por el origen? c) Como en el apartado anterior, pero la partícula, al pasar por x=a sufre un choque con otra partícula, durante el cual pierde una fracción α de su energía cinética. ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en el pozo de potencial? d) ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en una de las paredes del pozo? e) ¿Cuáles serán los puntos de retorno si α=1? 11.19.- Una partícula, de masa m, se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza F dada por F
kx
c x3
donde k y c son constantes. a) Expresar y representar gráficamente la energía potencial Ep(x) de la partícula y describir los rasgos más conspicuos del movimiento de la misma. b) Obténgase la solución x(t). c) Determinar el
F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2k con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el punto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto (1,-3,0)? 11.21.- Encontrar y analizar las posiciones de equilibrio de una partícula cuya energía potencial está expresada por a) Ep = x3 + y3 - 3x - 12y b) Ep = 9x2 - 4y2 - 18x + 24y - 25 c) Ep = (x2 + y2 - 4)2 d) Ep = (x2 + y2 - 9) expr[-(x2 + y2) 11.22.- Agrupamiento α. La energía potencial de una partícula α en el interior de un núcleo pesado queda descrita cualitativamente, en función de su distancia al centro del núcleo, por la gráfica que se muestra en la figura. a) Encontrar una función de r que se Prob. 11.22 ajuste a esa gráfica. b) Determinar la fuerza que actúa sobre la partícula α en función de r. c) Describir los movimientos posibles de la partícula α. *11.23.- Pozo de potencial rectangular. Consideremos un pozo de potencial rectangular, de profundidad U0, i.e., una región del espacio en la que la energía potencial de una partícula venga dada por una función Ep(r) tal que Ep(r)=0 para r>R y Ep(r)=-U0 para r≤R. Una partícula, de masa m, incide con una velocidad v0 sobre el pozo de potencial, con un parámetro de impacto s, como se ilustra en la figura, atraviesa el pozo y, tras experimentar dos refracciones, emerge en una dirección que forma un ángulo θ con su dirección inicial. a) Determinar la velocidad de la partícula en el interior del pozo. b) Demostrar que entre el
296
Lec. 11.- Conservación de la energía.
mn = 1.674 928 ×10-27 kg Expresar dichas masas en u y en MeV. (La velocidad de la luz es c=2.997 925×108 m/s).
Prob. 11.23 parámetro de impacto y el ángulo de desviación existe la relación n 2 sen2 s2
R2 1
n2
con
1
n
θ 2
2n cos
θ 2
2 U0 2
mv0
c) Comprobar que la desviación máxima de la partícula al atravesar el pozo de potencial se presenta para s=R y que su valor es cos
θ máx 2
1 n
11.24.- El electrón-voltio.- En Física Atómica y Nuclear se utiliza preferentemente la unidad de energía llamada electrón-voltio (eV) y sus múltiplos (keV, MeV, GeV ...), que se define como el trabajo realizado sobre la carga de un electrón cuando se desplaza entre dos puntos cuya diferencia de potencial es un voltio. Demostrar que 1 eV = 1.602 177×10-19 J. 11.25.- Unidad de masa atómica.- La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa del átomo de Carbono-12. a) Demostrar que 1 u = 1.660 540×10-27 kg (Recuérdese que el número de Avogadro es NA = 6.022 045×1023 moléculas/mol). b) Demostrar que el equivalente energético de 1 u es 931.494 MeV. 11.26.- Las masas del electrón, del protón y del neutrón son, respectivamente me = 9.109 396 ×10-31 kg mp = 1.672 623 ×10-27 kg
11.27.- Un electrón se mueve con una velocidad v = 0.99 c. a) ¿Cuál es su masa relativista a esa velocidad? b) Encontrar la relación entre las energías cinéticas relativista y clásica del electrón para esa velocidad? c) Expresar la energía cinética relativista del electrón en MeV. 11.28.- Un protón, con una energía cinética de 100 keV se lanza frontalmente contra el núcleo de un átomo de plomo (Z=82), que consideraremos fijo. a) ¿Cuál será la distancia de máxima aproximación del protón al núcleo de plomo? b) ¿Son importantes, a esa distancia, las fuerzas nucleares? 11.29.- Energía de enlace de la partícula α. Las masas del protón, del neutrón y de la partícula α (núcleo del Helio-4) son, respectivamente, de 1.007 825 u, 1.008665 u y 4.002 600 u. Con estos datos, calcular la energía que debemos de suministrar a la partícula α para disociarla completamente en sus componentes. Esa energía recibe el nombre de energía de enlace. 11.30.- Se cree que el Sol obtiene su energía radiante mediante un proceso de fusión en el cual, después de unos pasos intermedios, se forman núcleos de helio-4 a expensas de protones y neutrones libres. El proceso es exoenergético y la energía se libera en forma de radiación. a) Calcular la energía liberada en cada proceso de fusión conducente a la formación de un núcleo de helio-4. b) Ídem conducente a la formación de un gramo de helio-4. Exprésense esas energías en MeV y en W h. 11.31.- En el proceso de creación de un par electrón-positrón, un rayo gamma (radiación electromagnética) se materializa en un electrón y en su antipartícula, el positrón, que tiene la misma masa que aquél y cuya carga es de la misma magnitud que la del electrón, sólo que positiva. Calcular, en MeV, la energía mínima del rayo gamma para que pueda producirse la creación del par electrón-positrón.
12.- Momento angular. Fuerzas centrales. §12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Impulsión angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301); §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva (311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler (320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección eficaz de dispersión (324); Problemas (326)
En las lecciones anteriores hemos definido magnitudes físicas tales como la cantidad de movimiento y la energía y hemos establecido, bajo ciertas condiciones, los principios de conservación correspondientes para una sola partícula. En esta lección vamos a definir una nueva magnitud física, el momento angular, y estableceremos el correspondiente principio de conservación. Veremos que el momento angular, al igual que la cantidad de movimiento y la energía es una herramienta eficaz para la resolución de numerosos problemas que se plantean en la Física. Con el principio de conservación del momento angular completaremos la terna de principios de conservación que constituyen la clave y el fundamento de la Mecánica. Es más, estos tres principios de conservación pueden ser considerados como las piedras angulares de la Física actual, siendo válidos en general en todas las teorías físicas. Como culminación de estas lecciones dedicadas a la Dinámica de la Partícula, abordaremos la resolución de un problema clásico: el del movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central. Nos serviremos de este problema para ilustrar la forma en que los principios de conservación de la energía y del momento angular nos permiten resolver un problema dinámico concreto. §12.1. Momento de una fuerza.- Consideremos una fuerza F que actúa sobre una partícula localizada en un punto P del espacio y un punto O fijo en un cierto referencial inercial. Utilizaremos nuestra definición previa del momento de un vector con respecto a un punto (Lección 2) para definir ahora el momento de la fuerza F con respecto al punto O como el producto vectorial del vector de posición de la partícula con respecto al punto O (esto es, r = OP) por el vector F; o sea que, designando por M a dicho momento, tenemos
Manuel R. Ortega Girón
297
298
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
M
[12.1]
r×F
de modo que el momento M resulta ser un vector perpendicular, en cada instante y conforme se mueve la partícula, al plano determinado por el punto O y la línea de acción o recta directriz de la fuerza F (Figura 12.1), su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulo vendrá dado por M
r F sen θ
F bF
[12.2]
donde bF representa la distancia del punto O a la recta directriz del vector F y es llamado brazo de la fuerza con respecto al punto O. La definición anterior presupone que la fuerza F tenga carácter de vector deslizante, asunto sobre el que no insistiremos ahora pero que trataremos en profundidad cuando estudiemos las propiedades de las fuerzas aplicadas a un sólido rígido.
Figura 12.1
Obsérvese que el momento de una fuerza tiene las dimensiones que corresponden al producto de una fuerza por una longitud (ML2T-2) que son las mismas que las del trabajo. Sin embargo el momento de una fuerza y el trabajo realizado por una fuerza son dos magnitudes físicas de significado muy diferente. Repárese, por lo pronto, en que el momento1 es una magnitud vectorial en tanto que el trabajo lo es escalar. Las unidades de momento en los sistemas cgs y mks (SI) son el centímetro dina (cm dyn) y el metro newton (m N), respectivamente, que no reciben nombres especiales2. §12.2. Momento angular.- El momento angular o cinético3 con respecto a un
punto arbitrario O (fijo en un cierto referencial) de una partícula de masa m y velocidad v (en ese mismo referencial), o sea de cantidad de movimiento p = mv, se define como el producto vectorial L
r × mv
r×p
[12.3]
1
El momento de una fuerza recibe también el nombre de momento dinámico o el de momento, simplemente. En este texto preferiremos esta última denominación, siempre que no haya posibilidad de confusión. 2
En el sistema técnico, la unidad de momento es el metro kilogramo (m kg), que tampoco recibe nombre especial. Recordemos que la unidad de trabajo en este sistema es el kilogramo metro (kg m), que recibe el nombre de kilográmetro (kgm). 3
Las dos denominaciones son aceptables, aunque en este texto utilizaremos sólo la primera.
§12.2.- Momento angular.
299
donde r es el vector posición de la partícula con respecto al punto O (r = OP). De acuerdo con la definición anterior, el momento angular de una partícula con respecto a un punto dado es el momento de la cantidad de movimiento de la partícula con respecto a dicho punto (Figura 12.2). El momento angular es un vector perpendiFigura 12.2 cular al plano definido por el punto arbitrario (O) elegido como origen de momentos y la recta directriz de la cantidad de movimiento de la partícula, su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulo es L
r p sen θ
p bp
[12.4]
donde bp es el llamado brazo de la cantidad de movimiento con respecto al punto O elegido y representa la distancia de dicho punto a la recta directriz del vector p. La definición dada para el momento angular presupone que la cantidad de movimiento de una partícula tenga el carácter de vector deslizante.
El momento angular, así como el momento de una fuerza, tiene todas las propiedades correspondientes al momento de un vector deslizante, tal como las estudiábamos en la lección correspondiente. Por ello no insistiremos ahora en esas propiedades; únicamente recordaremos que podemos definir el momento de un vector con respecto a un eje como la proyección sobre el eje del momento de dicho vector con respecto a un punto cualquiera del eje y dejaremos al cuidado del alumno el definir el momento de una fuerza y el momento angular de una partícula con respecto a un eje. Las unidades en que se mide el momento angular en los sistemas cgs y mks (SI) son el g cm2/s y el kg m2/s, respectivamente, que no reciben nombres especiales. En general, el momento angular4 de una partícula cambia en módulo y en dirección conforme ésta se mueve. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula está contenida en un plano y elegimos como centro u origen de momentos un punto O contenido en dicho Figura 12.3 plano (Figura 12.3), la dirección del momento angular permane-
4
Aunque siempre es necesario especificar cual es el origen de momentos elegido, cuando no haya posibilidad de confusión omitiremos dicha mención.
300
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
cerá constante, es decir, perpendicular al plano de la trayectoria, por estar contenidos en él tanto r como p. En estas condiciones, teniendo en cuenta que v = ω × r y ω r = 0, se sigue que L
mr × v
mr × (ω × r )
o sea
L
m r 2ω
m(ω r )
m r 2ω
mr 2 ω
[12.5]
[12.6]
de modo que, en este caso, el momento angular es un vector que tiene la misma dirección que el vector velocidad angular. §12.3. Impulsión angular.- Con el objeto de indagar acerca del significado físico del momento angular de una partícula, estudiaremos como varía L en el transcurso del tiempo. Para ello, calcularemos la derivada del momento angular con respecto al tiempo;
dL dt
d (r × p ) dt
dr ×p dt
r×
dp dt
v×p
r×F
r×F
[12.7]
puesto que F = dp/dt. El primer término del segundo miembro de la expresión anterior es nulo, ya que v es paralelo a p. El segundo término, r × F, es el momento con respecto al centro u origen de momentos O, arbitrariamente elegido, de la fuerza que actúa sobre la partícula. De este modo, hemos establecido una relación importante entre el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza que actúa sobre ella; i.e., M
dL dt
[12.8]
Así, podemos enunciar: La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al momento de la fuerza que actúa sobre ella. Debemos resaltar que la ecuación [12.8] sólo es correcta cuando tanto L como M se evalúan con respecto a un mismo centro u origen de momentos que puede ser elegido arbitrariamente y que deberá estar fijo en un cierto referencial. La ecuación [12.8], que como veremos más adelante es fundamental para la discusión del movimiento de rotación, guarda una gran semejanza formal con la que relaciona la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de una partícula con la fuerza que actúa sobre ella, esto es, con F = dp/dt; con la cantidad de movimiento p reemplazada por el momento angular L y la fuerza F por su Figura 12.4 momento M.
301
§12.3.- Impulsión angular.
De la ec. [12.8] se desprende que el cambio dL en el momento angular de la partícula durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt es igual al producto del momento aplicado por el intervalo de tiempo (infinitesimal) durante el cual actúa, M dt
[12.9]
dL
de modo que dicho cambio dL es paralelo al momento aplicado M. El cambio total en el momento angular durante un intervalo de tiempo Δt = tB - tA vendrá dado por Λ
tB
⌠ M dt ⌡t A
LB
⌠ dL ⌡L
LB
LA
ΔL
[12.10]
A
de modo que aun cuando el primer miembro de [12.9] sólo pueda ser integrado en condiciones muy concretas (cuando conozcamos M en función del tiempo), la integral del segundo miembro conduce siempre a un resultado sencillo; i.e., Λ
ΔL
[12.11]
El primer miembro de [12.10] se denomina impulsión del momento o impulsión angular y la ecuación anterior expresa el siguiente resultado importante: La impulsión del momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la variación del momento angular de la partícula. Este es el enunciado del teorema del momento angular, que se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones y percusiones, es decir en aquellos casos en los que no conocemos la dependencia con el tiempo de la fuerza (y por ende del momento) aplicada a la partícula. El significado del teorema anterior guarda una gran semejanza formal con el teorema de la cantidad de movimiento. La impulsión del momento es una magnitud vectorial (sus unidades son las mismas que las del momento angular) y mide, en cierto modo, la efectividad del momento de la fuerza para producir cambios en el momento angular (o sea, en el estado de rotación). §12.4. Conservación del momento angular de una partícula.- Si el momento aplicado a una partícula es cero, o sea si M = r × F = 0, tendremos que dL/dt = 0, de modo que el momento angular de la partícula permanecerá constante en el transcurso del tiempo.
El momento angular de una partícula es constante en ausencia de momento dinámico. Esta es una forma de enunciar la ley de conservación del momento angular de una partícula. Naturalmente, el momento será nulo si la fuerza aplicada (o la resultante de las fuerzas aplicadas) es nula; esto es, cuando se trata de una partícula libre. Sabemos que el movimiento de una partícula libre es rectilíneo y uniforme (Figura 12.5); esto es, v = cte, o sea, p = cte. El módulo del momento angular de la
Figura 12.5
302
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
partícula libre con respecto a un punto fijo en un referencial inercial es L
mr × v
m r v sen θ
mvb
[12.12]
donde b = r sen θ. Al ser constantes todos los factores involucrados, el momento angular de la partícula libre también será constante. §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.- La condición de que el momento sea nulo también se satisface si F es paralela a r; en otras palabras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido como centro u origen de momentos. Una categoría especial de este tipo de fuerzas está constituida por las llamadas fuerzas centrales; entonces, el punto O recibe el nombre de centro de fuerza. Por ello podemos establecer que
cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su momento angular con respecto al centro de fuerzas es una constante del movimiento, y viceversa. Este resultado es muy importante en razón de que muchas fuerzas de la Naturaleza tienen carácter central. Así, por ejemplo, la Tierra se mueve en torno al Sol bajo la acción de una fuerza central (la fuerza gravitatoria) cuya línea de acción pasa siempre por el centro del Sol; en consecuencia, será constante el momento angular de la Tierra con respecto al Sol. Una situación análoga se presenta en el movimiento del electrón del átomo de Hidrógeno; en este caso, la interacción es esencialmente electrostática y la fuerza que actúa sobre el electrón está dirigida siempre hacia el núcleo; en consecuencia, el momento angular del electrón con respecto al núcleo será constante. El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tiene características muy importantes. Como ya hemos visto, el momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas es constante. El que sea L = cte significa, debido a su carácter vectorial, que lo será en módulo, dirección y sentido. La constancia de la dirección del momento angular significa que la trayectoria de la partícula estará confinada en un plano perpendicular a la dirección del momento angular. En consecuencia, podemos enunciar: La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central se encuentra en un plano que contiene al centro de fuerzas. Este enunciado es de interés histórico en relación con el movimiento planetario y se le conoce como Primera Ley de Kepler. En general, la trayectoria plana podrá ser cerrada o abierta; en principio, dichas trayectorias podrán ser muy variadas. En el caso de que la fuerza central sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la partícula al centro de fuerzas, esto es, F ∝ 1/r2, entonces esas trayectorias u órbitas serán secciones cónicas (circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), como veremos más adelante. Cuando la partícula experimenta un desplazamiento infinitesimal, dr, bajo la acción de una fuerza central, su vector de posición (radio vector) barre un área dS (sombreada en la Figura 12.6). En virtud de la interpretación geométrica del producto vectorial podemos escribir
303
§12.5.- Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.
dS
1 r × dr 2
[12.13]
donde dS es el vector elemento de superficie, que tiene la misma dirección que el momento angular L. Entonces, el área barrida por unidad de tiempo, o velocidad areolar es dS dt
1 dr r× 2 dt
1 r×v 2
[12.14]
siendo v la velocidad de la partícula y, como L = mr × v, se sigue que dS dt
L 2m
[12.15]
que es la expresión de la velocidad areolar en función Figura 12.6 del momento angular. Como el momento angular es una constante del movimiento, también lo será la velocidad areolar, de modo que tenemos el siguiente resultado importante: En el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el radio vector de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto es, el área barrida por unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante. Este enunciado, que como vemos tiene validez general para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales, tiene también interés histórico en relación con el movimiento planetario; en ese contexto se le conoce como Segunda Ley de Kepler. Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual ocupa uno de los focos de dichas elipses. Con objeto de que se conserve el momento angular del planeta con respecto al Sol (que ocupa la posición del centro de fuerzas) aquél deberá moverse más rápidamente en el punto de máxima aproximación (perihelio) que en aquel otro de máximo distanciamiento (afelio) al Sol. En tales puntos, llamados absidales, el radio vector r es perpendicular a la velocidad v, de modo que el módulo del momento angular en ellos es L = mrv cumpliéndose que Figura 12.7
rp vp
ra va
[12.16]
§12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas.- Para facilitar el análisis del movimiento de una partícula deberemos servirnos de
un sistema de coordenadas que sea apropiado a las características generales de dicho
304
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
movimiento. Puesto que nos proponemos estudiar el movimiento de la partícula bajo la acción de una fuerza central, i.e., de una fuerza cuya recta directriz pasa siempre por un punto fijo O (centro de fuerzas) y cuyo módulo es función únicamente de la distancia de la partícula a dicho punto, resultará muy conveniente la adopción de un sistema de coordenadas polares planas con origen en el centro de fuerzas. De ese modo, la fuerza central quedará expresada en la forma F
F(r) e r
[12.17]
siendo er el versor en la dirección del vector de posición r, esto es r
r er
[12.18]
y donde F(r) es una función que representa el módulo de la fuerza, que será una atracción (dirigida hacia el centro de fuerzas) si es F(r) < 0 o una repulsión (desde el centro de Figura 12.8 fuerzas) si es F(r) > 0. En coordenadas polares planas, la posición de la partícula en el plano del movimiento queda determinada por la coordenada radial r (distancia al punto O tomado como origen) y por la coordenada angular θ (ángulo que forma el vector r con una dirección o eje polar preestablecido). Los versores correspondientes son el er y el eθ. El versor er está dirigido desde el origen a la posición que ocupa la partícula. El versor eθ es perpendicular al anterior y marca la dirección de crecimiento del ángulo polar (θ). Tomando el eje cartesiano x como eje polar, las fórmulas de transformación de las coordenadas cartesianas de la partícula y de los versores cartesianos a polares son5: r
x2 ⎧ er ⎨ e ⎩ θ
y2
θ
arctg
y x
cos θ i sen θ j sen θ i cos θ j
[12.19]
[12.20]
Para expresar la velocidad de la partícula en coordenadas polares planas calcularemos la derivada del vector de posición, dado por [12.18], con respecto al tiempo; se obtiene: v
dr dt
d (r e r) dt
dr e dt r
r
de r
[12.21]
dt
A partir de [12.20], por derivación y posterior sustitución, tenemos
5
Dejamos al cuidado del alumno la demostración de estas relaciones y la obtención de las relaciones de transformación inversas.
§12.6.- Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas.
⎧ de r ⎪ dt ⎪ ⎨ ⎪ deθ ⎪ ⎩ dt
sen θ i
(
cos θ i
(
cos θ j )
dθ dt
305
θ˙ eθ
dθ sen θ j ) dt
[12.22]
θ˙ e r
de modo que la velocidad de la partícula es v
r˙ e r
r θ˙ eθ
[12.23]
v
vr e r
vθ eθ
[12.24]
que puede escribirse como
con
vr
r˙
r θ˙
vθ
[12.25]
La componente vr = vr er es paralela al vector r y recibe el nombre de velocidad radial6, en razón a que representa el cambio que experimenta la distancia r de la partícula al punto O por unidad de tiempo. La componente vθ = vθ eθ es un vector perpendicular a r y está asociada al cambio que experimenta la dirección del vector posición r de la partícula, por unidad de tiempo, conforme ésta se mueve; recibe el nombre de velocidad transversal. En el movimiento circular, con centro en O, no hay velocidad radial (vr = 0) ya que r permanece constante, de modo que dr/dt = Figura 12.9 0, y la velocidad es enteramente transversal. Utilizando las componentes radial y transversal de la velocidad podemos escribir para un movimiento plano cualquiera L
mr × v
mr × (v r
vθ )
[12.26]
mr × vθ
ya que vr es paralelo a r. Además, teniendo en cuenta que r = rer y que vθ = rθ˙ eθ, la expresión anterior también puede escribirse como L
mr e r × r θ˙ eθ
mr 2θ˙ (e r × eθ )
mr 2θ˙ k
mr 2 ω
[12.27]
que es la misma expresión que obtuvimos en [12.6].
6
No debemos confundir vr = dr/dt (velocidad radial) con ds/dt (celeridad o módulo de la velocidad) ya que, en general, será dr/dt ≠ ds/dt. Recuérdese que dr = ds y que, en general, d r = dr ≠ ds.
306
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Ahora derivaremos ambos miembros de [12.23] para obtener la expresión de la aceleración en coordenadas polares planas: a
dv dt
r¨ e r
r˙
de r dt
r˙ θ˙ eθ
r θ¨ eθ
r θ˙
deθ
[12.28]
dt
y sustituyendo [12.22] en [12.28] resulta a
( r¨
2 r θ˙ ) e r
( r θ¨
2 r˙ θ˙ ) eθ
[12.29]
que puede escribirse como a
ar e r
[12.30]
a θ eθ
siendo ar y aθ las componentes radial y transversal de la aceleración dadas por ar
r¨
2 r θ˙
aθ
r θ¨
2 r˙ θ˙
[12.31]
El término r¨ procede del movimiento en la dirección radial r; el término -rθ˙ 2 = -vθ2/r se denomina aceleración centrípeta y procede del movimiento en la dirección de θ. En el movimiento circular, referido al centro de la circunferencia, es r = cte, de modo que r˙ = r¨ = 0, resultando que ar = -rθ˙ 2 = -vθ2/r (aceleración centrípeta) y aθ = rθ¨ = rα (aceleración tangencial). En coordenadas polares, la segunda ley del movimiento de Newton, desdoblada en las componentes radial y transversal, se escribe en la forma Fr
m ( r¨
2 r θ˙ )
Fθ
m ( r θ¨
2 r˙ θ˙ )
[12.32]
y proporciona el punto de partida para resolver el problema del movimiento de la partícula en el plano, referido a un origen de coordenadas polares. §12.7. Movimiento producido por una fuerza central.- El estudio del movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas centrales constituye una de las áreas más ricas e interesantes de la Mecánica. El análisis de tales movimientos ha representado en dos ocasiones de la historia de la Física grandes avances en el conocimiento y comprensión de las leyes fundamentales de la Naturaleza: una vez a escala macroscópica, a través de la explicación del movimiento planetario, que condujo a la formulación de lo que hoy llamamos Mecánica Clásica o Newtoniana; y otra vez a escala subatómica, a través de los estudios de RUTHERFORD (1871-1937) sobre la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos, lo que permitió crear una nueva imagen del átomo. La situación que vamos a estudiar en este artículo se presenta frecuentemente en la interacción entre dos partículas; la fuerza que actúa entre ellas está dirigida a lo largo de la recta que las une y depende solamente de la distancia que las separa. Entonces, si convenimos en tomar como origen O una de las partículas, la fuerza que actúa sobre la otra viene dada por [12.17]. Ejemplos de fuerzas centrales atractivas son las fuerzas gravitatorias ejercida por el Sol sobre los planetas o la fuerza electrostática entre un electrón y el núcleo del átomo a que pertenece. La fuerza que ejerce el núcleo atómico sobre una partícula alfa es una fuerza central repulsiva. En muchos casos importantes, el módulo de la fuerza
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
307
central, F(r), es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos partículas. En otros casos, como en ciertos problemas referentes a la estructura e interacciones entre núcleos, átomos complejos y moléculas, se presentan otras formas funcionales para F(r). En §12.5 hemos estudiado algunas características generales del movimiento de la partícula bajo la acción de una fuerza central. Vimos que, en esas condiciones, la trayectoria de la partícula es plana y que su velocidad areolar es constante. Ahora nos proponemos dar más detalles acerca de ese movimiento, estableciendo los métodos generales para determinarlo. Inicialmente, al menos, asumiremos que el cuerpo responsable de la fuerza que actúa sobre nuestra partícula en movimiento es suficientemente másico como para que pueda ser considerado como un centro de fuerzas fijo y que se encuentra en el origen del referencial en el que analizaremos el movimiento. De este modo idealizamos el problema general, el de la interacción mutua (tercera ley de Newton) entre dos partículas, reduciéndolo al del movimiento de una partícula en un campo de fuerzas al cual es sensible. En una lección posterior veremos que, con una pequeña modificación, puede hacerse que la solución que ahora obtendremos sea exacta para el problema general de interacción mutua entre dos partículas de masas similares; entonces ambas partículas estarán en movimiento y no podemos considerar a una de ellas como un centro de fuerzas fijo. Cuando la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central hay dos magnitudes físicas que se conservan durante el movimiento; esto es, dos constantes del movimiento. Una, de carácter vectorial, es el momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas; la otra, de carácter escalar, es la energía total. El momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerza permanece constante en dirección (perpendicular al plano de la trayectoria) y su módulo viene dado por L
m r 2 θ˙
[12.33]
Puesto que toda fuerza central, de la forma F(r)er, es conservativa, y la energía asociada con ella es función tan sólo de la distancia a la que se encuentra la partícula del centro de fuerzas, la conservación de la energía total de la partícula (cinética + potencial) se expresa en la forma 1
E
2
mv2
[12.34]
Ep(r)
Cuando usamos coordenadas polares planas (r,θ), el cuadrado del módulo de la velocidad de la partícula puede expresarse en la forma 2
v2
vr
2
vθ
r˙ 2
2 r 2 θ˙
[12.35]
de modo que la energía total se puede escribir como E
1 2
m r˙ 2
1 2
2 m r 2 θ˙
Ep(r)
[12.36]
˙ obtenida de [12.33], para escribir la ec. dif. del movimiento radial; donde sustituiremos θ, i.e., una ec. dif. en la que no intervenga la coordenada angular θ:
308
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
1
E
2
m r˙ 2
L2 2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
⎞ L2 ⎟ ⎟ 2mr 2 ⎠
[12.37]
de donde despejaremos r˙ para obtener ⎛ 2 ⎜ E m ⎜⎝
r˙
[12.38]
Supongamos que r = r0 para t = 0; entonces, la integración de la ecuación diferencial anterior, desde el estado inicial hasta el correspondiente al tiempo genérico t, conduce a
t
m ⌠r 2 ⌡r
dr [12.39]
0
E
Ep(r)
L2 2mr 2
que expresa t en función de la coordenada radial r de la partícula y de las constantes del movimiento E y L y de r0. En principio, la solución anterior puede invertirse para obtener r como función de t y de las constantes, i.e., r(t), obteniéndose así la solución de nuestro problema dinámico en lo que concierne al movimiento radial. Una vez obtenida la expresión r = r(t) se puede obtener fácilmente la θ = θ(t) correspondiente al movimiento angular. Para ello, basta despejar θ˙ de la expresión [12.33]; θ˙
L mr 2
[12.40]
y proceder a una nueva integración, introduciendo en [12.40] la r(t) obtenida anteriormente; de esa forma, se obtiene θ
θ0
t L ⌠ dt ⌡0 mr 2(t)
[12.41]
Así obtenemos θ en función del tiempo; esto es θ(t). De esta forma queda completamente resuelto nuestro problema dinámico, una vez que hemos podido expresar los movimientos radiales y angulares en función del tiempo. En las expresiones de dichos movimientos intervienen cuatro constantes: E, L, r0 y θ0. Estas constantes no son las únicas que cabe considerar; igualmente pudiéramos haber tomado r0, θ0, r˙0 y θ˙ 0, pero siempre E y L quedan determinadas por ese conjunto. Normalmente resulta más natural y conveniente tomar el conjunto de cuatro constantes que contienen la energía y el momento angular. En muchas ocasiones, la integral [12.39] resulta demasiado engorrosa de calcular y, en el caso de que podamos efectuarla, es difícil despejar r(t) en la ecuación resultante. Generalmente resulta más fácil hallar la ecuación de la trayectoria, i.e., la relación existente entre r y θ (ecuación polar), que determinar las ecuaciones paramétricas del movimiento de la partícula, i.e., r(t) y θ(t). En ocasiones, puede que lo que nos interese realmente sea la ecuación de la trayectoria r(θ). A fin de determinarla, escribiremos
309
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
dθ dr
θ˙ r˙
dθ/dt dr/dt
[12.42]
de modo que sustituyendo las expresiones de r˙ y θ˙ , dadas por [12.38] y [12.40], en la expresión [12.42], resulta dθ dr
L
mr
⎛ 2 ⎜ E m ⎜⎝
2
⎞ L2 ⎟ ⎟ 2mr 2 ⎠
Ep(r)
[12.43]
y separando las variables r y θ e integrando se obtiene θ(r)
L
θ0
2m
r
dr
⌠ ⌡r
r
2
E
[12.44]
L2 2mr 2
0
Ep(r)
i.e., la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares. Recíprocamente, si conocemos la ecuación de la trayectoria, de modo que podamos calcular dθ/dr (o dr/dθ), la ecuación [12.43] nos permitirá calcular Ep(r); Ep(r)
E
L2 2mr 2
⎡ ⎢1 ⎢ ⎣
1 r2
⎤ ⎛ dr ⎞2⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝ dθ ⎠ ⎦
[12.45]
y, a partir de ella, la fuerza, F(r) = - grad Ep. Hemos resuelto el problema, en su aspecto formal, combinando las ecuaciones [12.33] y [12.34] que expresan la conservación del momento angular y de la energía, ilustrando la forma en que los principios de conservación nos permiten abordar la resolución de los problemas dinámicos. Naturalmente, también podemos abordar el problema a partir de las leyes del movimiento de Newton. Para ello tomaremos coordenadas polares planas (r,θ) en el plano del movimiento y con origen en el centro de fuerzas. Puesto que la fuerza es central, tenemos que Fr = F(r) y Fθ = 0, de modo que las ecuaciones del movimiento en las direcciones r y θ son, según [12.32], m r¨
2 m r 2 θ˙
F(r)
m r θ¨
2 m r˙ θ˙
0
[12.46]
Multiplicando por r la segunda ecuación de [12.46] tendremos m ( r 2 θ¨
2 r r˙ θ˙ )
d ( m r 2 θ˙ ) dt
dL dt
0
[12.47]
de modo que esa ecuación expresa simplemente la conservación del momento angular respecto al centro de fuerzas y, una vez integrada, puede escribirse como
310
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
L
m r 2 θ˙
⇒
cte
L mr 2
θ˙
[12.48]
donde L es una constante que deberá ser evaluada a partir de las condiciones iniciales. Sustituyendo el resultado [12.48b] en [12.46a] tendremos la ecuación diferencial del movimiento radial m r¨
L2 mr 3
[12.49]
F(r)
que puede escribirse de una forma más conveniente, para ciertas aplicaciones, si hacemos el siguiente cambio de variable u
1 r
⇒
1 u
r
[12.50]
En efecto, derivado dos veces sucesivas la expr. [12.50b], y teniendo en cuenta [12.48a], tendremos r˙
r¨
dr dt
d ⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠
1 du u 2 dt L d ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ m dt ⎝ dθ ⎠
1 du dθ u 2 dθ dt
r 2 θ˙
L d2u dθ m dθ2 dt
du dθ
L ˙ d2u θ m dθ2
L du m dθ
[12.51]
L 2 d2u m 2r 2 dθ2
de modo que, sustituyendo [12.51] en [12.49], ésta se transforma en ⎡ L 2 ⎢ d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ mr 2 ⎣ dθ2 ⎝ r ⎠
⎤ 1 ⎥ r ⎥⎦
F(r)
[12.52]
que es la ecuación diferencial de la órbita7 si se conoce la ley de fuerzas F(r). Recíprocamente, la ecuación [12.52] nos permitirá determinar la ley de fuerzas F(r) si conocemos la ecuación de la órbita r = r(θ). Obsérvese que la ecuación [12.52] carece de sentido si L = 0; pero entonces, teniendo en cuenta [12.48], se ve que θ = cte y la trayectoria es una recta que pasa por el centro de fuerzas.
Ejemplo I.- Determinar la fuerza central bajo la cual una partícula se mueve en una órbita elíptica con el centro de fuerzas en unos de los focos de la órbita. Estas son las órbitas que describen los planetas alrededor del Sol (Primera Ley de Kepler). Comenzamos expresando la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares planas referidas a uno de los focos de la elipse (vide página 318); i.e.,
7
También podemos llegar a la expresión [12.52] a partir de [12.45], sin más que desarrollar dEp(r) F(r) , como el lector comprobará fácilmente. dr
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
r
1
α cos θ
1 r
⇒
1 α
α
311
cos θ
de modo que d ⎛1⎞ ⎜ ⎟ dθ ⎝ r ⎠
α
sen θ
d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dθ2 ⎝ r ⎠
α
cos θ
Entonces, sustituyendo estos valores en la ec. dif. de la órbita [12.52] se obtiene F(r)
L2 ⎛ ⎜ mr 2 ⎝
α
cos θ
1 α
⎞ cos θ ⎟ α ⎠
Figura 12.10
L2 α mr 2
K r2
Así pues, se trata de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la partícula al centro de fuerzas. Esta es, en esencia, la ley de la gravitación universal descubierta por Newton a partir del conocimiento de las órbitas planetarias.
§12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva.- Aunque el problema haya quedado formalmente resuelto, las integrales [12.39], [12.41] y [12.44] o la ecuación diferencial [12.52] suelen ser muy poco manejables en la práctica. No obstante, podemos obtener bastante información cualitativa sobre el movimiento de la partícula en base sólo de las ecuaciones de conservación, aun cuando sea difícil obtener soluciones explícitas. Para ello es conveniente reducir el problema a otro unidimensional equivalente. En la ecuación del movimiento radial [12.37], que no es más que la expresión de la conservación de la energía, aparecen tan sólo r y su derivada temporal r˙, así como las constantes del movimiento E y L. Esta ecuación se parece mucho a la ec. dif. para el movimiento rectilíneo de una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa (vide §11.2), con velocidad dr/dt, si suponemos que, en lo que al movimiento radial se refiere, la partícula dispone de una energía potencial efectiva
L2 2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
[12.53]
de modo que la ecuación [12.37] puede escribirse en la forma E
1 2
m r˙ 2
Ep(r)
[12.54]
donde la cantidad Ep′(r) desempeña el papel de una energía potencial equivalente en el problema unidimensional radial. El término adicional L2/2mr2 tiene en cuenta, en lo que al movimiento radial se refiere, que el vector de posición r está cambiando no sólo en magnitud sino también en dirección en el transcurso del movimiento. Evidentemente, sus dimensiones son las de una energía, y recibe el nombre de energía potencial centrífuga porque la "fuerza" asociada con él, utilizando la expresión del gradiente en coordenadas polares, es
312
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Fcf
⎛ ∂ ⎜ L2 ∂r ⎜⎝ 2mr 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
L2 mr 3
mrθ˙
2
[12.55]
que, siendo positiva, apunta hacia afuera y que es idéntica a la fuerza centrífuga mrω2 en un referencial que girase con una velocidad angular ω igual al valor instantáneo de dθ/dt. Por supuesto que no actúa ninguna fuerza centrífuga sobre la partícula, excepto la que pueda deberse a la energía potencial real Ep(r), en el caso de que la fuerza actuante sea repulsiva. La fuerza centrífuga Fcf = L2/mr3 no es una fuerza real; es una fuerza ficticia o de inercia, que describe la tendencia de la partícula a moverse en línea recta en lugar de hacerlo en una trayectoria curvilínea. Podemos comprender mejor el papel que juega esta fuerza centrífuga si observamos que la ecuación [12.49] puede escribirse en la forma m¨r
F(r)
L2 mr 3
[12.56]
ecuación que tiene exactamente la misma forma que la correspondiente al movimiento de una partícula bajo la "acción" de una fuerza real F(r) más una fuerza centrífuga L2/mr3. Como ya sabemos, la fuerza centrífuga no es realmente una fuerza sino una parte del producto masa × aceleración, traspuesta al segundo miembro de la ecuación del movimiento. Las mismas consideraciones podemos hacer para la energía potencial centrífuga, que no es sino una parte de la energía cinética de la partícula: la porción correspondiente al movimiento transversal con respecto a la dirección instantánea de vector posición r; i.e., ½mvθ2 = ½mr2θ˙ 2. La circunstancia de que esta porción de la energía cinética pueda expresarse como función exclusiva de la posición radial, (esto es, L2/2mr2) nos permite tratar el problema del movimiento radial como un problema unidimensional, independiente del movimiento rotacional (transversal). §12.9. Análisis de diagramas de energía.- Podemos descubrir las propiedades generales del movimiento de la partícula en un campo de fuerza centrales mediante el estudio de las curvas de energía potencial efectiva, en estrecha analogía a como hicimos en §11.3 para el movimiento rectilíneo de la partícula bajo la acción de una fuerza conservativa. Sin embargo, a pesar de la analogía, existen dos diferencias notables entre la utilización del método de las curvas de energía potencial en el problema del movimiento unidimensional y su aplicación al problema bidimensional que es objeto de nuestro estudio, aun cuando dicho problema lo hayamos reducido a un problema unidimensional equivalente (en la dirección radial) con la introducción del concepto de energía potencial efectiva. En primer lugar, debemos observar que la energía E determina por sí sola el carácter del movimiento rectilíneo producido por una fuerza conservativa. En cambio, en el movimiento bidimensional producido por una fuerza central habrá que especificar también el momento angular L de la partícula; i.e., el carácter del movimiento depende tanto de la energía E como del momento angular L. Esto resulta evidente en el diagrama o representación gráfica de la energía potencial efectiva en función de la distancia radial, ya que resultan distintas curvas para distintos valores del momento angular (Figura 12.11). Así pues, tendremos una familia de curvas de energía potencial efectiva, correspondientes a distintos
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
313
valores de L. En cada problema específico deberemos conocer el valor de L (que es una constante del movimiento determinada por las condiciones iniciales), o discutir lo que sucederá para diversos valores del momento angular. Un segundo aspecto a tener en cuenta es que no debemos preocuparnos exclusivamente de analizar el movimiento radial de la partícula (a través del método de la Figura 12.11 energía potencial efectiva), sino que también debemos preocuparnos del movimiento alrededor del centro de fuerzas. Ambos movimientos tienen lugar simultáneamente y el movimiento real (bidimensional) es la superposición de ambos. La rotación del vector de posición r no es uniforme, salvo en el caso de que la trayectoria sea circular, ya que la velocidad angular viene dada por θ˙
L mr 2
[12.57]
de modo que θ˙ disminuye cuando aumenta la distancia radial r. Consideremos ahora un diagrama de energía típico, tal como el que mostramos en la Figura 12.12. La energía total Ep(r) corresponde a una fuerza central que es atractiva para cualquier valor de r; i.e., -dEp/dr es siempre negativa y Ep(r) es una función creciente
Figura 12.12
314
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
(Ep(r)→0 cuando r→∞), como se indica en la curva inferior de trazos. La curva superior de trazos representa la energía potencial centrífuga L2/2mr2 para un valor dado del momento angular L; este término centrífugo es muy pequeño a grandes distancias pero aumenta rápidamente para pequeñas distancias. La curva continua representa la energía potencial efectiva Ep′(r) = L2/2mr2 + Ep(r). En muchos casos de interés físico la energía potencial centrífuga predomina sobre la energía potencial Ep(r) para pequeños valores de r, en tanto que predomina esta última para grandes valores de r; en estas condiciones, la energía potencial efectiva Ep′(r) presentará un valor mínimo relativo, como se muestra en la Figura 12.12, para r = r0. Para ello será suficiente que el potencial atractivo 1) disminuya con más lentitud que 1/r2 cuando r → ∞; 2) tienda a infinito más despacio que 1/r2 cuando r → 0. Obviamente, si el potencial es atractivo, la energía potencial efectiva presentará siempre algún mínimo relativo. Utilizando el diagrama de energías anterior podemos obtener información cualitativa sobre el movimiento de la partícula. Supongamos que la energía total de la partícula sea Ea > 0, como se indica en la Figura 12.12. Está claro que ra será la máxima aproximación de la partícula al centro de fuerzas; de otro modo, si fuese r < ra , Ep′(r) sería mayor que Ea y la energía cinética radial [½m˙r2 = Ea - Ep′(r)] debería ser negativa, lo que representaría una velocidad radial imaginaria. Por otra Figura 12.13 parte, no existe límite superior para r, por lo que se tratará de una órbita abierta e ilimitada. Una partícula que proceda del infinito rebotará en la barrera centrífuga y regresará de nuevo al infinito (Figura 12.13). La diferencia entre Ea y Ep′ es ½m˙r2, o sea proporcional al cuadrado de la velocidad radial, anulándose en el punto de retorno r1. Por otra parte, la distancia entre Ea y Ep en el diagrama es la energía cinética Ek = ½mv2, de modo que la distancia entre las curvas Ep′ y Ep representa el término centrífugo ½mr2θ˙ 2. Así pues, estas curvas proporcionan el módulo de la velocidad así como sus componentes radial y transversal. Basta con esta información para tener una idea aproximada de la forma de la órbita. Para una energía E = 0 se obtiene una descripción análoga a la anterior. Pero si la energía total de la partícula es negativa, tal como E = Eb, la situación es muy diferente. Además del límite inferior r1 existe un límite superior r2 que no puede ser sobrepasado con energía cinética radial positiva; el movimiento estará limitado a una superficie anular definida por las circunferencias de radios r1 (mínima distancia) y r2 (máxima distancia) que corresponden a los puntos de retorno, también llamados puntos absidales. Se trata por lo tanto, de una órbita limitada, aunque no necesariamente cerrada, como se ilustra en la Figura 12.14. El movimiento radial será periódico, con periodo Tr, pero este periodo radial no será, en general, el Figura 12.14 mismo que el periodo de revolución Tθ, por lo que
315
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
la órbita puede no ser cerrada, aunque esté limitada a una región finita del espacio. Si ambos periodos son conmensurables (esto es, si su cociente puede expresarse como el cociente de dos números enteros) la partícula se encontrará al cabo de un cierto tiempo (igual al mínimo común múltiplo de Tr y Tθ) en la misma posición (y con la misma velocidad) en que se encontraba inicialmente y la órbita será cerrada. Obsérvese, además, que la órbita, sea cerrada o abierta, será tangente a las circunferencias absidales en los puntos de contacto, ya que en dichos puntos (absidales) se anula la velocidad radial, pero no así la transversal, dado que el momento angular debe permanecer constante. Si la energía es E0, precisamente en el mínimo de la curva de energía potencial efectiva Ep′, los dos puntos de retorno coincidirán en r0; la órbita será una circunferencia de radio r0. Puesto que, para una órbita circular, es r = cte, o sea r˙ = r¨ = 0, se sigue que la condición [12.56] para una tal órbita es m¨r
F(r)
L2 mr 3
[12.58]
0
o sea que la fuerza aplicada F(r) debe equilibrar a la fuerza centrífuga L2/mr3. Si, por algún mecanismo, una partícula que tiene una energía igual a Eb puede absorber suficiente energía para saltar a un nivel de energía positiva, la partícula se alejará del centro de fuerzas; esto es, la partícula se "disociará" del centro de fuerzas. La energía mínima que tiene que absorber para disociarse del centro de fuerzas es, evidentemente Eb y recibe el nombre de energía de disociación o de enlace. Recíprocamente, si una partícula tiene una energía igual a Ea y, por alguna causa, pierde energía hasta el nivel Eb, la partícula será "capturada" por el centro de fuerzas, en el sentido de que permanecerá en una órbita limitada alrededor de dicho centro. Estas situaciones se presentan, por ejemplo, en los procesos de ionización de los átomos. Obsérvese que los estados ligados (órbitas limitadas) corresponden a energías negativas de la partícula. §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.- La ley de proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia es la más
importante de todas las referentes a fuerzas de tipo central; por ello merece que le dediquemos un estudio detallado. La ley de la fuerza y la energía potencial asociada se escriben en la forma F
K er r2
Ep(r)
K r
[12.59]
donde el nivel cero para la energía potencial se ha escogido a una distancia infinita del centro de fuerzas (i.e., Ep(r) → 0 cuando r → ∞) a fin de evitar un término adicional constante en la expresión de Ep(r). Un ejemplo de este tipo de fuerzas lo constituye la interacción gravitatoria entre dos masas, m1 y m2, separadas por una distancia r; entonces K
G m1 m2
G
6.67 × 10
11
N m 2/kg 2
[12.60]
siendo K negativa, puesto que la fuerza es atractiva. Otro ejemplo importante lo constituye la fuerza electrostática entre dos cargas eléctricas, q1 y q2, separadas por una distancia r;
316
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
K
q1q2 4π
8.854 × 10
0
12
C 2/N m 2
[12.61]
0
donde la carga eléctrica se mide en coulombs (C). En este caso, la fuerza será repulsiva o atractiva según que q1 y q2 sean del mismo o de distinto signo. Comenzaremos determinando la naturaleza de las órbitas correspondientes a la ley de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Para ello, hemos representado en la Figura 12.15 la energía potencial efectiva
Figura 12.15
Ep
L2 2mr 2
K r
[12.62]
correspondiente a diversos valores de K y de L. Para una fuerza repulsiva (K > 0), sólo son posibles energías totales E positivas y sólo serán posibles las órbitas ilimitadas; i.e., la partícula viene desde el infinito hasta el punto absidal y regresa de nuevo al infinito. En ausencia de fuerza (K = 0) la situación es análoga a la anterior, si bien el punto absidal estará más próximo al centro de fuerzas, para un mismo valor del momento angular L; la trayectoria será, obviamente, una recta. Si la fuerza es atractiva (K < 0) con L ≠ 0, el movimiento será ilimitado si E > 0, pero en este caso el punto absidal se halla más próximo del centro de fuerzas que para K > 0. Las órbitas serán como se muestra en la Figura 12.16, donde los segmentos rectilíneos de trazo discontinuo representan el radio vector en el pericentro (punto de la órbita de máxima aproximación al centro de fuerzas). Para una fuerza atractiva (K < 0) y < E < 0, la órbita está limitada por dos puntos absidales: el pericentro y el apocentro (punto de la órbita más alejado del centro de fuerzas). Para K < 0, con L ≠ 0 y E = -mK2/2L2, la órbita es una circunferencia de radio r0 = -L2/mK (demuéstrese). Por último, si K < 0 con L = 0, el problema se reduce al movimiento unidimensional sobre una recta que pasa por el centro de fuerzas. Figura 12.16 Disponemos de diversos métodos para obtener la ecuación de la órbita, siendo el más sencillo la sustitución de [12.59] en la ecuación diferencial de la órbita [12.52]; se obtiene d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dθ2 ⎝ r ⎠
1 r
mK L2
[12.63]
317
§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
1 r
Haciendo el cambio de variable w
mK , la ecuación anterior se convierte en L2 [12.64]
cuya solución inmediata es
w
A cos(θ
θ0 )
[12.65]
siendo A y θ0 las dos constantes de integración. Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la ecuación de la órbita r(θ): 1 r
mK L2
A cos(θ
θ0 )
[12.66]
que puede escribirse en la forma r
con
L2 mK
α
1
α cos(θ
[12.67]
θ0 ) αA
L2 A mK
[12.68]
que es la ecuación general de una sección cónica (hipérbola, parábola, elipse o circunferencia) con un foco en el origen, en la que: La constante θ0 determina la orientación de la órbita en el plano (en lo que sigue tomaremos θ0 = 0, sin perder generalidad en nuestro razonamiento). La magnitud es la excentricidad de la cónica y determina su tipo, como se muestra en el Cuadro 12.1. La cantidad 2α recibe el nombre de latus rectum (ascensión recta) de la órbita; corresponde al valor de r para θ = π/2 y su significado se comprenderá inmediatamente al inspeccionar la forma de los diversos tipos de cónicas (vide página 318). Cuadro 12.1.- Clasificación de las cónicas. si
>1
es una hipérbola
si
=1
es una parábola
si 0< si
<1 =0
es una elipse es una circunferencia
318
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
SECCIONES CÓNICAS.- Ecuación general:
r
α 1
con 2α = ascensión recta;
cos θ = excentricidad
ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias (2a) a dos puntos fijos (F,F′), llamados focos, es constante. r + r′ = 2a; a2 = b2 + c2; c = a; α = a(1- 2) = b2/a
<1
b a 1 2 α/ 1 2 rmín= a - c = a(1- ) = α/(1+ ); rmáx= a + c = a(1+ ) = α/(1- ) rmáx rmín rmáx rmín
a
Figura 12.17
rmáx rmín 2
HIPÉRBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias (2a) a dos puntos fijos (F,F′), llamados focos, es constante. r′- r = 2a; a2 = c2 - b2; c = a; α = a ( 2-1) = b2/a; cosφ
b
a
2
>1 1
1
r+mín= c - a = a( -1) = α/( +1); r-mín= c + a = a( +1) = α/( -1)
rmáx= ∞
Figura 12.18
PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta DD′ fija (directriz). r = d; =1 rmáx = ∞ rmín = α/2; Figura 12.19
§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
319
Deseamos ahora relacionar los parámetros y α de la órbita con las constantes del movimiento E y L; esto es, con la energía total y el momento angular. El parámetro α ya quedó expresado en función del momento angular por [12.68a]; obsérvese que α es negativo (sin significado físico) para una fuerza central repulsiva (K > 0). Por otra parte, como en los puntos absidales (pericentro y apocentro) la energía cinética radial es nula, podemos escribir L2
E
2mr
L2
K rmín
2 mín
2mr
2 máx
K rmáx
[12.69]
y sustituyendo en esta ecuación las expresiones de rmín y de α, dadas por α
rmín
L2 mK
α
1
[12.70]
(vide página 318) se obtiene, después de algunas operaciones, E
mK 2 ( 2L 2
2
→
1)
2
1
2EL 2 mK 2
[12.71]
Tabla 12.1.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
órbita
excentricidad
energía mK 2 ( 2L 2
hipérbola
>1
E
parábola
=1
E=0
elipse
circunferencia
0<
<1
Emín < E
=0
E
Emín
2
1) > 0
mK 2 ( 2L 2
2
1) <0
mK 2 2L 2
Podemos ahora clasificar las órbitas de acuerdo con la energía total E de la partícula en movimiento, como se muestra en la Tabla 12.1. Estos resultados concuerdan con los obtenidos en nuestra discusión cualitativa previa. Cuando la fuerza es atractiva (K < 0), la órbita será una hipérbola (rama +), parábola, elipse o circunferencia según sea E > 0, E = 0, Emín < E < 0 ó E = Emín. Cuando la fuerza es repulsiva (K>0) habrá de ser E>0, y la órbita sólo puede ser una hipérbola (rama -). En el caso de órbitas elípticas e hiperbólicas, el semieje mayor viene dado por a
α 1
2
K 2E
[12.72]
320
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
que, como vemos, depende tan sólo de la energía total de la partícula y no de su momento angular, resultado de gran importancia en la teoría del modelo atómico de Bohr. En cambio, en el caso de órbitas elípticas, el semieje menor α
b 1
L [12.73] 2
2m E
depende de las dos constantes del movimiento (E,L). §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.- Tras una laborioso análisis de las numerosas y precisas mediciones astronómicas realizadas por el gran astrónomo danés Tycho BRAHE (1546-1601), el que fue su discípulo y asistente, el astrónomo alemán Johannes KEPLER8, enunció las leyes del movimiento planetario. Estas leyes empíricas, conocidas como leyes de Kepler, son una descripción cinemática del movimiento de los planetas en el sistema solar y sirvieron de base a Isaac NEWTON (1642-1727) para la descripción dinámica del movimiento planetario y para el descubrimiento de la ley de la fuerza responsable de dicho movimiento, esto es, la ley de la Gravitación Universal. Kepler enunció las tres leyes, esencialmente, en la forma siguiente:
(1) Los planetas describen órbitas elípticas, en las que el Sol se encuentra en uno de sus focos. (2) El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol (radio vector) barre áreas iguales en tiempo iguales; i.e., la velocidad areolar es constante. (3) Los cuadrados de los periodos de revolución de los diversos planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas. La segunda ley de Kepler (constancia de la velocidad areolar) es, como ya vimos en §12.5, un teorema general referente al movimiento bajo la acción de fuerzas centrales. Como acabamos de demostrar en el artículo anterior, la primera ley de Kepler se refiere exclusivamente a fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. A continuación vamos a deducir la tercera ley de Kepler. Con el objetivo de calcular el periodo de revolución en una órbita elíptica, es conveniente escribir la ec. [12.15], referente a la velocidad areolar, en la forma dt
8
2m dS L
[12.74]
Johannes KEPLER (1571-1630). Astrónomo alemán. Había de ser teólogo, pero estudió también Filosofía, Matemáticas y Astronomía. Fue profesor de Matemáticas y de Moral (1594-98) y (1612-26). Fue ayudante de Tycho BRAHE en Praga (1600-01) y, al morir éste (1601), pasó a ser matemático y primer astrónomo del emperador. Bajo la influencia de Coopérnico y de las ideas pitagóricas, realizó sus primeros avances acerca de la armonía del sistema planetario. Recalculó las tablas planetarias de Brahe y, al investigar el movimiento de Marte, encontró sus dos primeras leyes (1609). Además, estudió la teoría de las lentes y los principios del anteojo astronómico.
321
§12.11.- Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.
Ahora, integrado la ecuación anterior para un periodo completo, durante el cual el radio vector barre toda la superficie de la elipse, se tiene T
T
2m ⌠S dS L ⌡0
⌠ dt ⌡0
2m S L
[12.75]
y teniendo en cuenta que el área de la elipse es S = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente, y elevando al cuadrado la expresión [12.75], resulta que 4π 2m 2a 2b 2 L2
T2
[12.76]
Los semiejes mayor y menor de la elipse vienen dados por a
α 1
1 2
2
1
L2 mK
b
a 1
2
[12.77]
La expresión [12.77a] nos permite despejar L2 L2
a (1
2
[12.78]
)m K
Entonces, sustituyendo [12.77b] y [12.78] en [12.76] se obtiene T2
4π 2m 3 a K
[12.79]
La constante K, en la ley de la fuerza gravitatoria, viene dada por [12.60], de modo que T2
4π 2 3 a GM
[12.80]
donde M representa la masa del Sol. El coeficiente de a3 es una constante para todos los planetas del sistema solar, de acuerdo con la tercera ley de Kepler. La ecuación [12.80] permite "pesar" el Sol, si se conoce el valor de G y si conocemos el semieje mayor y el periodo de revolución de cualquier órbita planetaria. Es interesante comprobar [12.80] para el caso de una órbita circular; puede hacerse fácilmente porque en dicho tipo de órbita la aceleración del planeta es exclusivamente centrípeta, ya que el módulo de la velocidad permanece constante, lo que nos permite escribir G
Mm r2
mrω2
→
ω2 r3
GM
[12.81]
que es la misma ec. [12.80].
Debemos destacar que la tercera ley de Kepler, al igual que la primera, es válida solamente para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia; la segunda ley de Kepler es menos restrictiva. En este artículo y en el anterior hemos demostrado las leyes de Kepler a partir de las leyes del movimiento de Newton y de la ley de Gravitación Universal; esto es, hemos supuesto conocida la ley de la fuerza. El problema inverso, esto es, deducir la ley de la fuerza a partir de las leyes de Kepler (vide Ejemplo I) es de mayor importancia histórica, pues así fue como dedujo Newton la ley de la gravitación.
322
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Es de esperar que el movimiento de los planetas se aparte ligeramente del previsto por las leyes de Kepler, ya que el problema que hemos resuelto en los artículos anteriores corresponde a una idealización simplificada del problema físico real. En primer lugar, hemos supuesto que el Sol, como objeto más másico del sistema solar, permanece fijo, definiendo así un centro de fuerzas estacionario; de hecho, el Sol deberá tener algún tipo de movimiento como resultado de las fuerzas con que es atraído por los planetas que se mueven a su alrededor. Este efecto es realmente muy pequeño y puede corregirse por los métodos que introduciremos en una lección posterior (El problema de dos cuerpos). En segundo lugar, sobre un planeta dado actúan también los otros planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas, incluso la de los más pesados, representan una pequeñísima proporción de la del Sol (la masa del planeta Júpiter, el mayor de todos, es 1042 veces menor que la del Sol), la acción de los demás planetas sobre uno dado representará tan sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las órbitas planetarias respecto a las predichas por las leyes de Kepler. De hecho, los planetas Neptuno (ADAMS y LEVERRIER, 1846) y Plutón (LOWEL, 1930) se descubrieron como resultado de sus efectos sobre las órbitas de los demás planetas.
§12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.- Aunque desde un punto de vista histórico el interés de las fuerzas centrales surgió con el estudio de las órbitas planetarias, no hay razón alguna para considerarlas ligadas exclusivamente a ese tipo de problemas; ya hemos mencionado el caso de las órbitas de Bohr. Otro problema interesante susceptible de estudiarse por los métodos desarrollados en esta lección es el de la dipersión de partículas en un campo de fuerzas centrales. En particular, es de especial interés histórico la dispersión de partículas cargadas (v.g., partículas α) por los núcleos atómicos, ya que fueron las experiencias de este tipo las que hicieron posible el descubrimiento del núcleo atómico y la estimación de sus dimensiones, hacia 1910, por RUTHERFORD (1871-1937) y sus colaboradores GEIGER y MARSDEN. Supongamos una partícula ligera, de carga ze, lanzada desde un punto lejano contra otra partícula mucho más pesada, de carga Ze. La partícula pesada permanecerá prácticamente estacionaria, pero la partícula ligera seguirá una trayectoria hiperbólica, de acuerdo con los resultados de los artículos anteriores. Si la fuerza es atractiva (las dos cargas son de distinto signo) la partícula pesada (el centro de fuerzas) quedará en el foco interior de la hipérbola (rama positiva); si la fuerza es repulsiva (las dos cargas son del mismo signo) la partícula pesada quedará en el foco exterior de la hipérbola (rama negativa). Esencialmente el problema es el mismo en los dos casos; sin embargo, nosotros centraremos nuestra atención en el caso de que la fuerza sea repulsiva; esto es,
F
K r2
con
K
Zze 2 >0 4π 0
[12.82]
En las colisiones entre partículas atómicas, la región en la que se desvía la partícula ligera incidente, pasando de una asíntota a otra, es tan pequeña (del orden de 10-10 m) que no puede medirse directamente la distancia de máxima aproximación (pericentro). Lo que si puede medirse es el ángulo de dispersión Θ definido por las direcciones del movimiento de la partícula incidente antes y después de la interacción con la partícula pesada. El ángulo φ que forman las asíntotas de la hipérbola con el eje polar viene dado por cos φ
1
[12.83]
§12.12.- Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.
323
y puesto que Θ
π
2φ
π 2
⇒ φ
Θ 2
[12.84]
será 1
ctg φ 2
tg 1
Θ 2
[12.85]
de modo que sustituyendo en [12.85] la expresión de la excentricidad [12.71], se tiene
tg
Θ 2
mK 2 2EL 2
[12.86] Figura 12.20
Supongamos que la partícula incidente tuviese una velocidad inicial v0 cuya recta directriz pasase a una distancia s del centro de fuerzas; dicha distancia s recibe el nombre de parámetro de impacto. El momento angular y la energía total de la partícula, esto es, las dos constantes de su movimiento, vendrán dadas por E
1 2
2
m v0
L
m v0 s
s 2mE
[12.87]
que sustituidas en [12.86] nos permiten calcular el ángulo de dispersión mediante la expresión tg
Θ 2
K 2E s
[12.88]
en la que podemos sustituir el valor de K, dado por [12.82b], para obtener finalmente el ángulo de dispersión de Rutherford tg
Θ 2
Zz e2 8π 0 E s
Zz e2 4π
2
0
[12.89]
mv0 s
en función del parámetro de impacto s de la partícula incidente. Se ve que el ángulo de dispersión será tanto mayor cuanto menor sea el parámetro de impacto. En un experimento típico de dispersión, un haz de partículas cargadas (por ejemplo, partículas alfa, con z = 2) monoenergéticas atraviesa una lámina delgada (v.g., de oro, con Z = 79). La expresión anterior nos permite conocer (vide §12.13) la proporción de partículas del haz que serán desviadas con un ángulo de dispersión comprendido entre Θ y Θ + dΘ; todas aquellas cuyos parámetros de impacto estén comprendidos entre s y s + ds, como se ilustra en la Figura 12.21. A la inversa, si conocemos la distribución experimental de los ángulos de dispersión, podemos conocer la de los parámetros de impacto correspondientes y a través de ellos hacer una estimación del "tamaño del centro de dispersión". Este fue, en grandes líneas, el razonamiento de Rutherford para explicar la dispersión "de gran ángulo" de partículas alfa por los átomos y que le llevó a formular la teoría nuclear del átomo, en contraposición al modelo atómico de Thomson que imaginaba el átomo formado por electrones negativos en el seno de una masa de carga positiva extendida a todo el volumen del átomo.
324
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
§12.13. Sección eficaz de dispersión.- En los experimentos típicos de dispersión, un haz homogéneo de partículas monoenergéticas incide sobre un centro de dispersión. Para caracterizar el haz especificaremos la energía E de las partículas y la intensidad I del haz, definida como el número de partículas que por unidad de tiempo atraviesan la unidad de superficie de una sección recta del haz. Puesto que las diferentes partículas del haz presentan diferentes parámetros de impacto, serán dispersadas bajo distintos ángulos Θ. En el caso de partículas atómicas o subatómicas, el parámetro de impacto s no es directamente medible, por lo que deberemos eliminarlo de la expresión [12.88]; en su lugar, haremos aparecer en ella la distribución experimental de los ángulos de dispersión, i.e., la fracción de partículas dispersadas en función del ángulo de dispersión Θ. Sea dN el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo bajo ángulos comprendidos entre Θ y Θ+dΘ, como se ilustra en la Figura 12.21. El cociente
dσ
dN I
[12.90]
se denomina sección eficaz de dispersión y tiene dimensiones de una superficie, como el lector comprobará fácilmente. Cabe imaginarla como el área efectiva que rodea al centro dispersor por la que debe pasar la partícula incidente para ser dispersada un ángulo comprendido en el intervalo (Θ, Θ+dΘ). En el S.I. de unidades se mide en m2; en la Física Atómica y Nuclear se utiliza corrientemente un submúltiplo de esta unidad, que recibe el nombre de barn (b), que equivale a 10-28 m2. La sección eficaz de dispersión queda completamente determinada por la "forma" del campo de dispersión y constituye la característica más importante del proceso de dispersión. Supondremos que la dependencia entre el ángulo de dispersión (Θ) y el parámetro de impacto (s) sea biunívoca; así será si la función Θ=Θ(s) es monótona decreciente, tal como ocurre con la expresada en [12.89]. En estas condiciones, tan sólo se dispersan en el intervalo angular (Θ, Θ+dΘ) aquellas partículas del haz cuyos parámetros de impacto están comprendidos en el intervalo (s, s+ds), como se ilustra en la Figura 12.21. El número de estas partículas es igual al producto de la intensidad del haz por el área de la corona circular de radio s y espesor ds; i.e., Figura 12.21
dN
(2π s ds) I
⇒
dσ
2π s ds
[12.91]
Encontraremos la relación existente entre la sección eficaz de dispersión y el ángulo de dispersión escribiendo la expresión anterior en la forma dσ
⎛ ds(Θ) ⎞ 2π s(Θ) ⎜ ⎟ dΘ ⎝ dΘ ⎠
[12.92]
325
§12.13.- Sección eficaz de dispersión.
donde hemos añadido el signo negativo para tener en cuenta que ds/dΘ es habitualmente negativa, ya que un incremento ds del parámetro de impacto corresponde a una disminución dΘ del ángulo de dispersión. Frecuentemente, dσ se refiere al elemento de ángulo sólido dΩ, en lugar de al elemento de ángulo plano dΘ. El ángulo sólido dΩ definido por dos conos de ángulos en el vértice Θ y Θ+dΘ vale dΩ
[12.93]
2π senΘ dΘ
por lo que de [12.92] se sigue σ(Θ)
dσ dΩ
s(Θ) ds sen Θ dΘ
Figura 12.22
[12.94]
donde σ(Θ) recibe el nombre de sección eficaz diferencial de dispersión. En la Física Atómica y Nuclear tiene gran importancia el concepto de sección eficaz total de dispersión, σt, definido como π
2π ⌠ σ(Θ) sen Θ dΘ ⌡0
⌠ σ(Ω) dΩ ⌡4π
σt
[12.95]
que representa, obviamente, el área efectiva asociada al centro dispersor para dispersar las partículas incidentes un ángulo cualquiera. Uno de los problemas más importantes en los que podemos utilizar las expresiones anteriores es el de la dispersión de partículas cargadas en un campo coulombiano, definido por la expr. [12.82]. Entonces, tal como hemos visto en §12.12, podemos obtener la relación existente entre el parámetro de impacto (s) y el ángulo de dispersión (Θ); i.e., [12.88], que escribiremos en la forma K 2E
s
1 Θ tg 2
κ Θ tg 2
con κ
K 2E
[12.96]
de la que se sigue por derivación ds dΘ
κ 2 sen2
Θ 2
[12.97]
que sustituimos en [12.94] para obtener σ(Θ)
o sea
σ(Θ)
κ κ Θ Θ tg senΘ 2 sen2 2 2 K2 Θ sen 4 2 (4 E)2
1 4
κ2 4 sen4
Θ 2
2 ⎛ 2 ⎞ ⎜ Z z e ⎟ sen 4 Θ ⎜ 8π E ⎟ 2 0 ⎠ ⎝
[12.98]
[12.99]
que es la célebre sección eficaz de Rutherford para la dispersión, deducida originariamente por éste para la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos. Obsérvese que σ(Θ) no depende del signo de K; i.e., las distribuciones de ángulos de dispersión tienen la misma forma para fuerzas atractivas y repulsivas. También debemos destacar que la Mecánica Cuántica, en el caso no
326
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
relativista, llega a un resultado completamente idéntico a éste, lo que cabe considerar como una afortunada circunstancia, ya que, de no haber sido así, se hubiera retrasado notablemente el desarrollo de la Física Nuclear. Si intentamos calcular la sección eficaz total para la dispersión coulombiana, sustituyendo en [12.95] la expr. [12.99], encontraremos que el resultado es infinito. La razón física de ello es fácil de comprender, ya que el campo coulombiano es un ejemplo de "fuerzas de largo alcance"; i.e., sus efectos se extienden hasta el infinito. Así, incluso las partículas del haz que incidan sobre el centro dispersor con un parámetro de impacto muy grande serán difundidas un pequeño ángulo, por lo que contribuirán a la sección eficaz total. Evidentemente, el valor infinito de la sección eficaz total σt no es exclusivo del campo coulombiano; se presentará siempre que el campo dispersor sea distinto de cero para cualquier distancia, por grande que ésta sea. Sólo si el campo difusor se anula a partir de cierta distancia, la sección eficaz total de dispersión será finita. En el caso del campo coulombiano de un núcleo atómico, tal discontinuidad se produce como consecuencia del apantallamiento de la carga nuclear producida por la presencia de los electrones atómicos.
Problemas 12.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg de masa se encuentra en el punto r = 5i m y tiene una velocidad v = 3j m/s. Sobre el cuerpo actúa una fuerza constante F = 4i N. a) Expresar la cantidad de movimiento y el momento angular del cuerpo en función del tiempo. b) Calcular el momento de la fuerza y compararlo con la derivada temporal del momento angular. 12.2.- Una partícula de masa unidad se mueve bajo la acción de una fuerza F = 6ti + 12t2j, donde t es el tiempo. En el instante inicial (t=0) la partícula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. a) Expresar en función del tiempo el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza con respecto al origen de coordenadas. b) Comprobar que M = dL/dt. 12.3.- El movimiento de una partícula de masa m está definido, en función del tiempo, por r = a cos ωti + b sen ωtj donde a, b y ω son constantes. a) Calcular, con respecto al origen de coordenadas, el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza que actúa sobre ella. b) Interpretar físicamente los resultados anteriores. 12.4.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido a un extremo de una
cuerda ligera y flexible que pasa a través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso, como se Prob. 12.4 muestra en la f i g u r a . Sujetamos el extremos inferior de la cuerda y hacemos que se mueva el cuerpo en una trayectoria circular de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento angular y su energía cinética y la fuerza con que debemos tirar hacia abajo para que el movimiento sea posible. b) A continuación, vamos aumentando la tensión de la cuerda hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos del apartado anterior. ¿Qué magnitudes físicas han permanecido constantes? c) Calcular el trabajo que hemos realizado al tirar de la cuerda y compararlo con el cambio que ha experimentado la energía cinética. 12.5.- Probar que el campo de fuerzas F = F(r)er es conservativo, demostrando por cálculo directo que la integral ∫ABF dr a lo largo de
Problemas
una trayectoria cualquiera, entre los puntos A y B, depende sólo de las distancias radiales de dichos puntos al centro de fuerzas. 12.6.- Una partícula se mueve con celeridad constante a lo largo de la parábola de ecuación θ r cos2 k , donde k es una constante. 2 a) Dibujar la trayectoria, determinar la posición del foco de la parábola y calcular los valores del pericentro y del latus rectum. b) Hallar las componentes radiales y transversales de la velocidad y de la aceleración de la partícula. c) Determínense las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria en función de θ. 12.7.- Espirales. Encontrar la ley de fuerza para el campo de fuerzas centrales en el que una partícula se está moviendo sobre cada una de las trayectorias espirales que se indican a continuación, siendo k y α constantes. a) r = k/θ. b) r = k/θ2. c) r = kθ (espiral de Arquímedes) d) r = kθ2 e) r = k exp(αθ) (espiral logarítmica). 12.8.- Una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales definido por F∝rn. a) Encontrar las expresiones de los valores medios de sus energías cinética y potencial en función de la energía total E. ¿Son aplicables estas expresiones para cualquier valor de E? b) Aplicar los resultados anteriores para el caso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas. Analizar y discutir los resultados. 12.9.- La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de un campo de fuerzas centrales (con centro en el origen de coordenadas) es la hipérbola equilátera xy = ½k2. a) Determinar la ley de la fuerza central que produce ese movimiento. b) Expresar la celeridad de la partícula en función de su velocidad en el pericentro (v0) y de su distancia radial al origen de coordenadas. c) Encontrar la expresión de la energía potencial efectiva y analizar el diagrama correspondiente. 12.10.- Las ecuaciones paramétricas polares que describen el movimiento plano de una partícula de masa m en un campo de fuerzas vienen dadas por: r = k·φ(t) y θ = φ(t), siendo k = cte y φ(t) una función del tiempo tal que φ(0) =0. Además, se sabe que la velocidad transversal de la partícula es igual a la inversa de su distancia al origen de coordenadas. a) Demostrar que el movimiento es central. b) Determinar la función φ(t). c) Encontrar la ecuación polar, r =r(θ), de la
327
trayectoria y dibujarla. d) Hallar la ley de la fuerza, F = F(r), que actúa sobre la partícula. e) Obtener las expresiones de la energías potencial y potencial efectiva y analizar, en función de ellas, el movimiento de la partícula. 12.11.- El comandante de una nave espacial, que ha apagado los motores y que se encuentra e n l a s proximidades de una extraña nube de gas, observa que su nave está describiendo una trayectoria circular que penetra a Prob. 12.11 través de la nube, como se ilustra en la figura. También se percata de que el momento angular de la nave con respecto al centro de la nube permanece constante durante el movimiento. Determinar la ley de la fuerza atractiva que está actuando sobre la nave. 12.12.- Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F = -Kr3er, con K>0. a) Obtener la expresión de la energía potencial de la partícula. b) Dibujar el diagrama correspondiente a la energía potencial efectiva. c) ¿Para qué energía y momento angular será la trayectoria una circunferencia de radio R y con centro en el origen? 12.13.- a) Estudiar por el método de la energía potencial efectiva los tipos de movimiento posibles correspondientes a una fuerza central atractiva inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia radial al centro de fuerzas y determinar la energía y el momento angular correspondientes a una órbita circular. ¿Es estable esa órbita? b) Ídem para una fuerza central atractiva directamente proporcional a la distancia radial. ¿Puede Vd. pensar algún modelo físico que corresponda a una fuerza de este tipo. 12.14.- a) Estudiar por el método de la energía potencial efectiva los tipos de movimiento posibles correspondientes a una fuerza central atractiva inversamente proporcional al cubo de la distancia radial al centro de fuerzas. b) Determinar los intervalos de energías y de momentos angulares para cada tipo de órbitas. c) Resolver la ec. diferencial de la órbita para cada tipo de movimiento.
328
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
12.15.- Una partícula se mueve en una órbita elíptica, de eje mayor 2a y excentricidad , de modo que el radio vector desde el centro de la órbita barre áreas iguales en tiempos iguales. a) Demostrar que la ecuación de la elipse en coordenadas polares referidas al centro de la órbita es r2
2 a 2 (1 ) 2 1 cos2θ
b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre la partícula es central y expresarla en función de la masa m de la partícula y del periodo T de revolución. 12.16.- Átomo de Bohr. En el modelo de Niels BOHR (1885-1962) del átomo de hidrógeno, un electrón de masa m se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción de la fuerza central de Coulomb F
1 4π
0
e2 r2
donde e representa la carga eléctrica del electrón y 0 es la permitividad del vacío (constante). a) Obténgase una expresión de la velocidad del electrón en función del radio de la órbita. b) Expresar el momento angular orbital del electrón en función del radio de la órbita. c) Expresar las energías potencial, cinética y total del electrón en función de r. La energía total resulta negativa ¿por qué? d) Introducir el postulado de Bohr de que el momento angular en una órbita circular ha de ser un múltiplo entero de la cantidad h/2π, donde h es la constante de Planck (h = 6.626×10-34 J s), para obtener las expresiones de los radios y energías totales permitidas para el electrón. e) Calcular el radio y la energía del electrón permitidas para el estado fundamental (el de menor energía) del átomo de hidrógeno. ¿Cuánto valdrá la energía de ionización? 12.17.- Sonda espacial. Dos satélites artificiales, de masas M1 y M2, están unidos mediante una sonda de longitud L, como se indica en la figura. Los satélites describen órbitas circulares
Prob. 12.17
de radios R1 y R2=R1+L. a) Determinar el periodo orbital (común) de los satélites. b) Determinar la tensión de la sonda. c) Evaluar los resultados anteriores para el caso de un astronauta (70 kg) unido al Skylab (50 000 kg, 6 800 km) mediante una sonda de 10 m de longitud. d) Calcular la tensión de la sonda para el caso de dos satélites idénticos con M1 = M2 = 50 000 kg, R1 = 6 800 km y L = 1.0 km. 12.18.- Órbita geoestacionaria. Supóngase que se desea establecer en el espacio una base interplanetaria que se mueva en una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra y a una altura tal que permanezca siempre sobre el mismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esa órbita? 12.19.- Un satélite describe una órbita circular ecuatorial, en el mismo sentido de rotación de la Tierra, a una altura de 800 km sobre su superficie. ¿Durante cuanto tiempo permanecerá visible (sobre el horizonte) desde un lugar cualquiera de la Tierra? 12.20.- Fricción atmosférica. Un satélite de 4 000 kg describe una órbita circular de 7 000 km de radio alrededor de la Tierra. a) Al cabo de algún tiempo como consecuencia de la fricción atmosférica, la órbita se reduce a otra circular de 6 600 km. Calcular los cambios que experimentan la velocidad, la velocidad angular, el periodo de revolución y las energías cinética, potencial y total. b) Suponiendo que la resistencia del aire sobre el satélite representa una fuerza promedio de 2 N, calcular el momento de dicha fuerza y estimar el tiempo necesario para la mencionada reducción del radio orbital. c) Hacer una estimación del número de vueltas que ejecuta el satélite durante ese tiempo. 12.21.- Imaginemos que fuese posible construir una torre muy alta (629 km, puestos a imaginar) en el Polo Norte y que desde el punto más alto de ella disparásemos "horizontalmente" un proyectil. a) Discutir el movimiento subsiguiente de dicho proyectil en función de la velocidad v0 que le suministremos en el instante del disparo y estudiar la naturaleza de las órbitas, especificando los valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos a otros. ¿Influye la rotación terrestre en los resultados anteriores? b) Ídem si construyésemos la torre en el Ecuador terrestre. 12.22.- En el Problema 12.21, calcular la velocidad inicial mínima que hay que dar al proyectil para que no caiga sobre la superficie
Problemas
terrestre; esto es, para ponerlo realmente en órbita. 12.23.- Desde un gran satélite en órbita circular, situado a una altura de 629 km sobre la superficie terrestre, se dispara un pequeño proyectil con una velocidad v0 respecto del satélite, en dirección tangencial al movimiento de éste y en el sentido de su movimiento. Discutir el movimiento subsiguiente del proyectil en función del valor de v0, analizando la naturaleza de las posibles órbitas del mismo y especificando los valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos de órbitas a otros. 12.24.- Se pone en órbita un satélite artificial llevándolo a una distancia sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra y proporcionándole una velocidad "horizontal" inicial igual a 1.10 veces la requerida para una órbita circular a esa distancia. a) ¿De qué tipo de órbita se tratará? b) Calcular los parámetros (semiejes, excentricidad, perigeo, apogeo, velocidades ...) de esa órbita. c) Repetir los dos apartados anteriores para el caso de que la velocidad inicial sea 0.90 veces la requerida para la órbita circular. 12.25.- Demostrar que la ecuación general de una cónica, en coordenadas polares planas referidas a uno de sus focos y a sus ejes, puede escribirse en la forma r
1 ±
±
rmin
1
cosθ
donde el doble signo ± se refiere a las ramas positiva y negativa, respectivamente, en el caso de que la cónica sea una hipérbola. 12.26.- Excentricidad de la órbita terrestre. A finales de Diciembre el disco solar se ve bajo un ángulo de 32’36" y a finales de Junio subtiende un ángulo de 31’31". Con estos datos, calcular la excentricidad de la órbita terrestre. 12.27.- Una partícula se mueve en una órbita elíptica bajo la acción de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Sea n el cociente entre las velocidades angulares máxima y mínima en la órbita (n>1); demostrar que la excentricidad de la órbita viene dada por n
1
n
1
329
12.28.- Sputnik III. La distancia máxima a la superficie terrestre a la que se movía el satélite Sputnik III fue 1880 km y la mínima 230 km. Calcular: a) los semiejes y la excentricidad de su órbita; b) el periodo de revolución del satélite; c) las velocidades en el apogeo y en el perigeo. 12.29.- Explorer III. El satélite Explorer III tuvo una órbita elíptica con un perigeo de 175 km sobre la superficie terrestre y una velocidad de 29 620 km/h en su perigeo. Determinar: a) la excentricidad de su órbita, b) su semieje mayor, c) su periodo de revolución y d) su velocidad y altura en el apogeo. 12.30.- Se dispara un proyectil desde un punto de la superficie terrestre con una velocidad absoluta inicial v0 que forma un ángulo φ con la horizontal del lugar de lanzamiento. Despreciar la resistencia del aire y expresar los resultados en función de la masa y el radio de la Tierra (M y R), de la constante de Gravitación G y de las condiciones iniciales φ y v0.a) Calcular excentricidad de la trayectoria del proyectil. b) Determinar la altura máxima sobre la superficie terrestre que alcanza el proyectil antes de caer de nuevo. c) APLICACIÓN NUMÉRICA: v0=3600 km/h y φ=45°. 12.31.- Una partícula de masa m interacciona gravitatoriamente con otra partícula de masa M, siendo M m. Inicialmente, cuando es muy grande la distancia de separación entre ambas partículas, la partícula de masa m se mueve con una velocidad v0 y con un parámetro de impacto s respecto de la partícula M, que permanece estacionaria en todo el proceso. a) Calcular la distancia de máxima aproximación entre ambas partículas. b) Determinar el ángulo que forman las direcciones iniciales y finales de la partícula incidente. c) ¿Qué tipo de trayectoria sigue la partícula incidente? ¿Existe algún valor de v0 al que corresponda una trayectoria cerrada? 12.32.- Masa del Sol. Conocidos los semiejes mayores de las órbitas de la Tierra y de la Luna, 149.6×106 km y 384.0×103 m, respectivamente y los correspondientes periodos de revolución, 1 año y 27.32 días, calcular la masa del Sol en unidades de la masa de la Tierra. 12.33.- Lunas de Marte. Los semiejes mayores de las dos Lunas del planeta Marte, Phobos y Deimos, miden 9.408×10 3 km y 23.457×103 km, respectivamente. El periodo de revolución orbital de Phobos es de 4.65 horas. Con esos datos se deben calcular la masa del
330
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
planeta Marte y el periodo de revolución de Deimos.
Prob. 12.34 12.34.- Transferencia de órbita. Un satélite artificial tripulado (S), provisto de un motor cohete, se encuentra en una órbita circular de 7000 km alrededor de la Tierra y desea acoplarse a una estación espacial (E) que se encuentra en otra órbita circular, de 10 000 km de radio, coplanaria con la del satélite. Para conseguir su objetivo, el astronauta enciende su motor cohete durante un breve intervalo de tiempo, a fin de incrementar su velocidad y alcanzar la estación espacial en el punto A, diametralmente opuesto al de ignición de motores. Obviamente, el astronauta también pretende aproximarse a la estación espacial tangencialmente a la órbita de ésta. a) ¿Cuál deberá ser la velocidad del satélite después del corto periodo de funcionamiento del motor cohete? b) ¿Con qué velocidad llegará al punto A de acoplamiento? c) ¿Qué deberá hacer para acoplarse con la estación espacial? d) Calcular el valor del ángulo θ que forman los radiovectores de la estación espacial y del satélite en el instante en que éste enciende el motor cohete. 12.35.- Un planeta describe una órbita elíptica, de excentricidad 2/2 y un periodo de π años. Calcular el tiempo que invierte el planeta para moverse desde el extremo del latus rectum al extremo del eje menor de su órbita. 12.36.- Se observa un cometa a una distancia de 108 km del Sol y acercándose hacia él con una velocidad de 60 km/s en una dirección que forma un ángulo de 45° con el radio-vector. a) Calcular la excentricidad y la ascensión recta de la órbita del cometa. b) ¿Qué tipo de órbita es? c) Calcular la distancia de máxima aproximación del cometa al Sol. 12.37.- a) Calcular el tiempo durante el que permanecerá en el interior de la órbita terrestre (supuesta circular, de radio R) un cometa que describa una trayectoria parabólica en el plano
de la eclíptica. b) Calcular el tiempo máximo de permanencia. 12.38.- Chatarra espacial. Un satélite artificial se encuentra en una órbita circular de radio 2R alrededor de la Tierra, siendo R el radio de la Tierra. Un trozo de chatarra espacial, cuya masa es el 5% de la del satélite, se encuentra describiendo la misma órbita pero en sentido contrario. Se produce una colisión frontal entre el satélite y la chatarra y, como consecuencia de ella, el satélite, con la chatarra incrustada, cambia de órbita. a) ¿De qué tipo será la nueva órbita? b) Calcular los parámetros de la nueva órbita (excentricidad, semiejes, perigeo, apogeo, ...) c) ¿Caerá el satélite sobre la superficie terrestre? 12.39.- Precesión de la órbita. a) Discutir el movimiento de una partícula en un campo de fuerzas centrales atractivas de magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia para el caso en que se superponga una fuerza atractiva cuya magnitud sea inversamente proporcional al cubo de la distancia de la partícula al centro de fuerzas; esto es, k r2
F(r)
λ r3
siendo k y λ constantes positivas. Considerar los casos L2>mλ, L2=mλ y L2
Ep(r)
⎧ 0 ⎨ ⎩ ∞
si r > R si r < R
b) Obtener la sección eficaz total. 12.42.- Un potencial de fuerza central que encontramos frecuentemente en la Física
Problemas
Nuclear es el llamado pozo rectangular, definido por ⎧ ⎨ ⎩
Ep(r)
0 U0
si r > R si r ≤ R
a) Demostrar que la sección eficaz diferencial de dispersión está dada por
σ (Θ)
Θ ⎞⎛ Θ⎞ ⎛ 1⎟⎜n cos ⎟ ⎜n cos n2R2 ⎝ 2 2⎠ ⎠⎝ 2 Θ ⎛ 2 Θ ⎞ 4 cos n 2 n cos 1⎟ ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠
con
n
1
2U0 2
mv0
b) Obtener la sección eficaz total de dispersión. 12.43.- a) Analizar la dispersión producida por una fuerza central repulsiva inversamente proporcional al cubo de la distancia (i.e., F = k/r3, con k>0). b) Demostrar que la sección eficaz diferencial de dispersión es σ (Θ)
π 2k (π Θ) 2 2E Θ (2π Θ)2 sen Θ
donde E es la energía de la partícula.
331
332
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Apéndices.
A.- Resultados de los problemas.
335
B.- Índice alfabético.
351
Manuel R. Ortega Girón
333
334
Lecciones de Física
A.-
Resultados de los problemas.
1.- Álgebra vectorial. 1.1.
a) B=0 b) A B c) A⊥B d) A⊥B
1.2.
s/c
1.3.
3 (i 3
⎛A λ ⎜ ⎝A
j
70.53° 1.14. 52, 8, -34
1.15.
3.5u-2.5v-0.5w
1.16.
a=(2 2 4); b=(1 -4 1)
1.17.
X
C A2
1.18.
X
C×A A2
mA
1.19.
X
c A A2
1 (C×A) A2
1.20.
a) prod. esc. diagonales b) prod. vect. diagonales.
1.21.
7.8 unid. de área
k)
B⎞ ⎟ B⎠
1.4.
OP
1.5.
s/c 1.6. s/c
1.7.
sen(α cos(α
1.8.
A = 2u+u+3w
1.9.
A = 10e+b con b=-3i+4j+7k
1.10.
a) A B=B C=C A=0; A×B=71C b) eA=(1.39 0.82 -0.51) eB=(0.35 0.37 1.29) eC=(0.90 -1.06 0.06)
β) β)
1.13.
senα cosβ cosα cosβ
cosα senβ senα senβ
2
x
1.22.
(V×A)
y
1 2
1.24.
3.7
4
z
y
5
z
1 1.25. a)
5 1 3 3
14 7
1.11.
s/c
1.26.
18x+6y-3z+18=0
1.12.
a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55° e) 2.92 f) (18 -14 2) g) (0.79 -0.61 0.087)
1.27.
x+2y+3z-21=0
Manuel R. Ortega Girón
m cualquiera
2 1
x
1.23.
V cualquiera
5 4 2
335
336
Resultados de los problemas
x
1.28.
20 3
y
1 14
1.29.
6x-11y+3z+7=0
1.30.
-6/11 1.31.
1.32.
s/c 1.33. 2 3
1.35. s/c
z 20
25 / 57
a) (3.23 1.60 4.00) b) (0.23 3.60 4.00)
1.41.
⎡ 2 cos θ x′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A
1
s/c
2.- Vectores deslizantes. 2.1.
a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c
2.2.
a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1) c) 15/19 (2 3 -5)
2.3.
4,
2.4.
s/c 2.5. s/c
2.6.
a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)
2.7.
a)
3
x
5
2
5 6 6
b) 6
2y
1 2 1
1 2 1
d)
6 6
1 22
a) (4 -3 2), (3 1 1)
2.13.
(4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0); (0.00 -0.32 -0.95) en (3.16, -8.43 0.00)
2.14.
(0 1 0) en (0, 0, 0); (0 0 1) en (1, -1, 0) 155x 142 155y 59 155z 33 5 7 9
2.16.
(0 2 0) en (0, 0, -0.50)
2.17.
(0 0 1) en (0, 1, 0)
2.18.
a) A=8πaλk; M0=6πa2λ(4j+3k) b) x=-3, y=0; {8πaλk;18πa2λk}
2.19.
{(1 3 2); 2.5(1 3 2)} en (9, -1, -3)/14
2.20.
s/c
2.23.
a) 14; x+3y+2z=14 b) (1.07, 3.07, 1.86)
2.24.
a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo
2.25.
s/c
2.21. s/c
3.1.
2 5;
3.3.
s/c
3.4.s/c
2.8.
a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no está definido.
2.9.
(0 -1 1)
3
3.2. s/c
3.5. s/c
3.6. s/c
2
a) (t /2+t t /3 t )+C b) (4.5 3 3) ∂A ∂x
∂2A ∂x 2 3.9.
8 33 11
2
3.8.
13
2.22. s/c
3.- Análisis vectorial.
3.7.
1 2 1
5 6 6
2.12.
z 2
6
c)
a) F1=0, F2, F3=F4 b) F1=F3, F2=0, F4=0
2.15.
⎤ sen2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦ ⎤ cos2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦
⎡ 2 sen θ y′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A 1 1⎤ 2 x′y′ ⎡⎢ ⎥senθ cosθ 2 B2 ⎦ ⎣A 1.42.
2.11.
1.37. s/c
1.38. s/c 1.39. (2 4 3) 1.40.
(-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)
b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)
1.34. a) 27 b) -27
1.36. (0 -3 -18)
2.10.
r
2yi r0
v0t
un proyectil
2xyi
zj ∂2A ∂x∂y
3z 2k 2xi
...
1 2 gt k ; disparo de 2
3.10.
s/c
3.11.
a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)
337
Resultados de los problemas
3.12.
paraboloides de revolución de eje z
3.13.
a) si b) radiales
3.14.
a) s/c b) φ(a) = -a2;
3.15.
a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12 f) -11/60 g) no
3.16.
12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)
3.18.
q/
3.19.
a) 2r b) (y3, z3, x3) c) (2xy/z3, x2/z3, -3x2y/z4) d) [sen(yz)-yzsen(xz), xzsen(yz)+cos(xz), xycos(yz)-xysen(yz)] e) (-xsenx+cosx+yz, xz, yz]
3.20. 3.21.
0
4.5.
a) x=3+2t+t3 cm b) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s 1 v c) v
a) 0 b)
2
14
3 1 ; 2 14
3.23. a) 3r b) (12/5)πR
3.24.
a) ∇×A=0 b) φ=(x4+y4+z4)/4+xyz+φ0 c) 18.5
3.25.
a) 12 b) φ=x+y+z+xyz+φ0 c) 12
3.26.
a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)
3.27.
a) 4 b) φ=x2+y2+z2+xyz+φ0 c) 4
3.28.
A=-er/r2; (-1, 0, 0)
3.29.
a) φ=r+cte b) 0
3.30.
s/c 3.31. s/c 3.32. s/c
3.33.
a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇×A=0 e) φ=k/r f) s/c
3.34.
4πkR5
x=3.07 sen(3t+1.35); v=9.21 cos(3t+1.35)
4.8.
3.75 10-3 m-1; 267 m
4.9.
a) x2+y2=R2; antihorario b) r v=0 c) a=-ω2r d) r×v=ωR2k=cte
4.10.
a)
x2 a2
2.34 m
4.2.
a) 2.54 s, 19.18 m b) -4.90 m/s; +4.90 m/s
4.3.
amín
(v1
v 2)
2
b 2cos2ω t
ω 2ab a 2sen2ω t 1 ρ
(a 2sen2ω t
h2 2
h 2x˙ 1
x¨ 2
4.12.
b 2cos2ω t ab b 2cos2ω t)3/2
x1x˙ 1
x˙ 2
2
x1
a) y
2
(h 2
x1 )x1x¨ 1 2
(h 2
v a
4.1.
b 2) senω t cosω t
an
e) κ
x1 )3/2
⎛π ⎞ 4 sen⎜ x⎟ ⎝2 ⎠ 4 16π 2cos2π t 4π 2senπ t
2
4.13.
2v0 cos2θ0
(tgθ0
g cosα
tgα)
4.14.
a) tgθ0=h/D b) v0 <
4.15.
ysomb
4.16.
D
2
2d
(S.I.)
1 b) r v≠0 c) a=-ω2r
ω 2(a 2
at
b)
4.- Cinemática de la partícula.
y2 b2
a 2sen2ω t
4.11.
a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0
k ln
4.7.
5
A
kx
t t 2.078 ln t0 0.618 b) 37.08 min c) 672 m
d) 2
1 ln(1 kv0t) k d) s/c e) 1/300 m-1
kt b) x
a) x
4x+4y-z=6 1
1 v0 v0 e
a)
4.6.
(ley de Gauss)
3.22.
3.35.
4.4.
v0
g
2g
2v0
2
2 H s sen θ0
x2
Dg sen 2θ0
338 4.17. b)
at
Resultados de los problemas
a) y4=2x3 96t 3
36t
16t 2 4.18. 4.19.
4.27.
24t 2
an
9
16t 2
9
b)
54.7° s/c 4.20. s/c 4.21. s/c
4.22. a)
k A 2sen2θ B 2cos2θ 1 cosθ
a) v x˙ 2 A2
y˙ 2 B2
k2 cosθ)2
(1
4.28.
(-11 11 -12); (-6 8 -12)
4.29.
9.59° NO, 592 km/h
x2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜x 2p ⎠ ⎝
k2 2 ⎞ ⎛ t 0 ⎟ ⎜ kt 2p ⎠ ⎝
4.30.
111 km/h; 627 km/h
r
4.31.
s/c
v
k ⎞ ⎛ x 0 ⎟ ⎜k p ⎠ ⎝
k2 ⎞ ⎛ t 0 ⎟ ⎜k p ⎠ ⎝
4.32.
a) x(θ) y(θ)
a
k2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜0 p ⎠ ⎝ kx p2
c) κ
4.23.
k
an x2
1 ρ
p2 p
(p
2
2
x 2)3/2
a) s/c b) v
;
ρ0
ω 2R 2
a)
1 5
b2
cosω t
c)
1 4 senω t 5
2
R
b ω 2R
a) r
R senθ b) no k π R π 1 vf
a) Hmáx
R
b) senθ
a) at=(4 4 2)/3; at=2; an=(4 -2 -4)/3; an=2 b) ρ=4.5
4.26.
a) κ b) τ
2 (1 2t 2)2
0.22
2 2t 2)2
0.22
(1 1 1
1 2 x 1 2 x
6y 6y 3y
1
y
2/3 2 z 2/3 2 z 2/3 1 z
2
1 1 y 1 2 y
3z 6z 6z
2 13 5
8R 2v 2 (2l π R)3
at
c) k>π+1;
v0
R 2g
2g
2v0
2
Rg 2
v0
4 cosω t 3 , τ=4/25; 25/4
4.25.
d) 6x 3x 6x
2Rv 2l π R
2
4.34.
senω t 0 , κ=3/25; ρ=25/3
c) x
c) vt
ω 2R
a
3 senω t 3 cosω t 4
b)
b) tf
p 4.33.
R
l2 2Rv
x2
c) at=0, an=ω2R d) ρ 4.24.
2
2Rvt
l2
l
θ
2
b) at
R senθ (l Rθ)cosθ (l Rθ)senθ Rcosθ
5.- Cinemática del sólido rígido. 5.1.
a) no b) si c) si
5.3.
s/c
5.6.
a) (-9 0 0) b) (0 -54 27)
5.7.
(7 2 -6)
5.8.
a) ω=(0 1 3); vO=(-9 6 -2) z b) x 2 ; y 2.7
5.4. s/c
5.2. avA/b
5.5. s/c
vmín=0 c) (-10 9 -3)
0.9 ; 3
339
Resultados de los problemas
5.9.
a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en (1,0,0) b) x-1 = y = -z
5.10.
s/c
5.11.
a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2y-z=6 d) {(0 1 2);2(0 1 2)}
5.25.
5.12.
a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+z=2 d) {(-1 0 1);(0 0 0)}, rodadura
5.13.
(0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...
5.14.
a) a=1, b=1, c=0 b) {(0 0 1);(0 0 0)} c) x=0, y=1
5.15.
a) (-2 2 0); (-2 2 3) b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)
5.16.
16.5°
5.18.
a) s/c v0 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎝
x l2
2 l2
b) ω c) aB
⎛ ⎜ 2 vM sen⎜θ0 ⎝
x2
⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠
⎞ 2vM ⎟ t⎟ l ⎠
⎛ senθ cos2θ l vA ⎜⎜ vB cos3θ a/l a a ⎜⎜ 0 ⎝ ⎛ 2 3 cos2θ ⎞ ⎟ ⎜ l vA ⎜ ⎟ cos3θ 3 senθ cosθ ⎟ ⎜ a2 ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝
5.20.
6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s
5.21.
a) vC=ωl, aC=ω2l/2
a
θ ⎛ ω l ⎜cos 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ 2 2 (ω 1 ω 2) R cosφ α1R senφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1R senφ α1R cosφ ⎠ 2ω 1ω 2R senφ
α2R cosφ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
θ ⎞ 0⎟ 2 ⎠
ω l⎛ θ θ ⎞ cos 0⎟ ⎜sen 2 ⎝ 2 2 ⎠
5.22.
(ω[R+h] 0 0); (α[R+h] -ω2h 0)
5.23.
a) generatriz de contacto b) (ωR 0 0); (0 0 0) c) (ωy -ωx 0); (-ω2x -ω2[y-R] 0) d) (0 0 0); (0 ω2R 0)
⎛ (ω 2 2Ω 2)r ⎜ ⎜ αr ⎜ ⎜ 0 ⎝
⎛ ω r senφ ⎜ ⎜ ω r cosφ ⎜ ⎜ Ωr (1 cosφ ) ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2Ω 2)r cosφ ⎞⎟ ⎟ αr cosφ ω 2r senφ ⎟ ⎟ 0 ⎠
αr senφ
(ω 2
a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/s b) x=-20/(20π+0.1); y=0; v=82.93 m/s
5.28.
a) mov. helicoidal tangente b) 636.23 m/s; 394 784 m/s2
5.29.
a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s; 0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s
d)
vA ω
⎛ ω R senθ ⎜1 ⎜ ⎝ cosω 9
sen
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ a ⎟ ⎠
5.27.
Ω
2
aC
⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ωr ⎜ ⎝ 2Ωr
v
x2
vA cos2θ0
b) v B
a
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
b)
a l
a) cos3θ0
v
⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝
l v0
vM
5.19.
a) v
vM
a) ω1=20π rad/s; ω2=10π rad/s b) 628 cm/s; 45228 cm/s2
5.26.
5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2
b)
c) vB
5.24.
cosθ 9
⎞ ⎟ ⎟ sen2θ ⎠
sen2θ
5.30. vA
aA
⎞ ⎛ R cosθ ω R senθ ⎜1 ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎟ l R sen θ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ l 2cos2ω t R 2sen4ω t ⎟ ω 2R ⎜⎜cosθ R ⎟ (l 2 R 2sen2θ)3/2 ⎠ ⎝
5.31.
20 cm/s; 30 cm/s2
5.32.
0.16 s; 79.4°
340
5.33.
Resultados de los problemas
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
a) 0 2v0 0 ; ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
b) v0 0 0 ;
3r 3 0
v
3r
r
v
c)
⎞ ⎟ 0 0 ⎟ ⎠
2
4v0
2 0
⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠
vB
⎛ senθ ⎜ ⎜ v senθ ⎜ cosθ ⎜ ⎝ 0
vB
⎛0 ⎜ ⎜ v senθ ⎜ 1 ⎜ ⎝0
5.41. Prob. 5.34 5.34.
5.35.
5.36.
2ω R sen
ωt 2
a
a) at
ω 2R cos
an
ω 2R sen
b) ρ
1 κ
ωt 2
ωt ; 2
ρ
con
e
5.39.
5.40.
ω 2R
4R
⎛ ωy ⎞ ⎛ ω 2x αy ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v ⎜ ω x⎟ a ⎜ ω 2(y R) αx⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝ a) OP
5.38.
5.42.
c) v
5.37.
2r cos(ω t
θ )e 2
θ ) sen(ψ 2
⎛ ⎜ cos(ψ ⎝
b) v
2ω r sen(ω t
c) a
ω OP
θ ⎞ ) 0 ⎟ 2 ⎠
θ )e 2
base: circunferencia, radio h/2 y centro en C; ruleta: circunferencia radio h y centro en O′. base: coincide con el aro; ruleta: circunferencia, radio 2R, centro en A. h
ruleta: h 2x′2 b) ω
h2
hv v 2t 2
2vA
a) ω
R
sen2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B′
θ 2
6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. 6.1.
86 164 s
6.2.
a) permanece vertical b) hacia atrás: tgθ=a/g c) hacia adelante: tgθ=a/g d) hacia el exterior
6.3.
a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s
6.4.
a) 37 s b) 333 s c) 83 s
6.5.
3.11 s
6.7.
a) x′=0, y′=-(6t+t2) b) v′=(0 6-2t 0); a′=(0 -2 0)
6.8.
verá al otro acercarse en una dirección constante.
6.9.
s/c
6.10.
a) OO′=½a0t2; OO″=v0t+½a0t2
6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h
b) x′=x-½a0t2; x″=x-v0t-½a0t2 c) v′=(vx-a0t vy vz); v″=(vx-v0-a0t vy vz)
1 2 x h y′2 (y′2
a) 7ω antihorario b) ω/3 antihorario c) base: x2+y2=(20R/7)2; ruleta: x′2+y′2=(R/7)2 d) vs=20ωR/21
ωt 2
2
a) base: y
⎞ ⎛ senθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a B vω ⎜ cosθ ⎟ ⎟ ⎜ ⎠B′ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
b) base: y2=2R(x-R/2); ruleta: y′2=2R(x′+R/2)
a) s/c b) vide figura
4 R sen
⎞ ⎛ sen2θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a vω ⎟ ⎜ cos2θ B ⎟ ⎜ ⎠B ⎝ 0
d) a′=(ax-a0 ay az); a″=(ax-a0 ay az) h 2)
e) x=½a0t2; x′=0; x″=-v0t
341
Resultados de los problemas
6.11.
1 4π
a) S: F e
e2 k ; S′: igual h2
0
µ0 e 2v k ; S′: no 4π h 2
b) S: F m hay
7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 7.1.
x=(3t2-2t3) cm; v=(6t-6t2) cm/s
7.2.
r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s
7.3.
a) s/c b) F=-mω2r
7.4. s/c
2
7.5.
mg x
Ft v
4 0
mgv
Fn
g 2x 2
v
4 0
2 0
7.18.
a) 680.3 m b) 560 kg
7.19.
a) 48.19° con la vertical b) c) 0.125 R
2 gR 3
7.20.
a) (12000 20785 0) kg m/s b) 163.3 kg (centrípeta)
7.21.
a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N
7.22.
a) s/c b) 3 ms c) 60 cm
7.23.
a) -100 000 kg m/s, -50 000 N b) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) se conserva cant. mov. Tierra-auto.
7.24.
F
7.25.
a) 16 N b) -16 N
7.27.
8.08 g
7.29.
a) 5v0(1/e-1)=-126.4 N b) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N
g 2x 2
2ρ
2
A 7.26. 44.041 g
7.28.
7.6.
a) 9.8 N b) 19.6 N
7.30.
a) pB=kt b) pB=kt-p0 c) FA=-k; FB=k
7.7.
a) 55.36 m b) 9800 N
7.31.
a) 11.74 km/h b) 260.870 kN
7.32.
a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s
l g
2π
7.8.
T
7.9.
a) v
±
b) t
π x0
mx0
2
2k
7.10.
2k m
1 x
7.33. a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s; b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s; c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s; d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s; e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;
1 x0
7.34.
vf
g L
L2
tf
L g
ln
b2
L
L2 b
b2
7.11.
0.78 s
7.12.
a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero
7.13.
a) "caída libre" b) parando motores
7.14.
a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m
7.15.
84.6 min 7.16. M = mv2/rg
7.17.
a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg
8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg
7.35. a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kg c) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kg e) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kg g) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kg h) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kg i) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kg j) 2.45 m/s2; 3.75 kg 7.36.
a) no hay mov. b) ídem c) 0; 4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2
7.37.
a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg
342
Resultados de los problemas
8.- Las fuerzas de la Naturaleza. 8.1.
4π 4 GM
k
2L sen θ
q
8.3.
a) s/c b) xmín
4π 0mg tgθ 1 4π
2Qq 2
mv0
0
8.4.
a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg
8.5.
0.466
8.6.
a) a1
6F 9m1 4m2
6F
3(3m1 9m1
a2
2 a 3 1
a2
2 a 3 1
2m2)
4m2
8.17.
a) v
2gr senθ
N
b) v
2gr
3mg
a) F
8.8.
a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2
8.9.
a) 69.68° b) 1.01 m/s2
8.10.
a) 80 cm b) no
8.11.
a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora a) 23° b) 5.12 m/s
2gy0
v0
N
3mg senθ
(4y0
N0
1)mg
8.19.
a) 0 b) -0.412 m/s c) 1.412 m/s2
8.20.
a) a0=g tgθ b) 2.63 m/s2
8.21.
tgθ=g/a0
8.22.
a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°
8.23.
a) g/µ b) 4.9 m/s2; 2 h/g
8.24.
a)
8.25.
s/c
8.27.
a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kg c) 61 kg; 70.7 kg; 15 kg d) 200 kg; 173.2 kg e) 173.2 kg; 200 kg f) 193.2 kg; 273.2 kg
8.28.
17.98°; 10.67° (con la vertical)
8.29.
a) T
8.30.
68.786°; 0.842mg
µ mg b) 26.6° µ senθ cosθ
8.7.
8.12.
s/c
8.18.
8.2.
b) a1
8.16.
2
m2 m1
(M
m1
m2) g b)
m2g 2 (m1
m2)
8.26. 58.2 kg
mg b) ½mg cotgθ 2 senθ 8.31. s/c
2
8.13. a)
9.- Sistemas de referencia en rotación.
N1 N (senθ µ cosθ) µN1 N (cosθ µ senθ) m1(g a1) N (senθ µ cosθ) µN2 m2a2 N2 N (cosθ µ senθ) m2g a1 a2 tg θ
b) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268 8.14.
a) v a x b) vlím
8.15.
mg ⎛ mg ⎞ ⎟e ⎜v0 k k ⎠ ⎝ kt mg ⎞ k ⎛ ⎟e ⎜g k ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ m(vlím v0) vlímt ⎜ k ⎝ mg k
a) s/c b) t
2.996 α
x
kt m
⎞ ⎟ 1⎟e ⎠
2.046
9.1.
s/c
9.2.
vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)
9.3.
a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no
kt m
Prob. 9.3
vlím α
9.4.
x=V0tcosωt; y=-V0tsenωt: x2+y2=(V0t)2
343
Resultados de los problemas
9.5. a) (0 ΩR+2ωr 0); (ω2r-(ΩR+ωr)2/(R-r) 0 0) b) (ωrsenθ ΩR+ωr(1-cosθ) 0); (-ω2rcosθ-(ΩR+ωr)2/(R-r) -ω2rsenθ 0) 9.6. a) (-(Ω+ω)rsenθ ωR0+(Ω+ω)rcosθ 0); (-ω2R0-(Ω+ω)2rcosθ -(Ω+ω)2rsenθ 0) b) ω/Ω=r/(R0-r); (-(R02/r-R0+2r)ω2 0 0) 9.7. v abs
a abs
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
9.8.
a)
⎞ ⎟ ⎟ α1R senφ (ω ω )R cosφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ α1R cosφ ω 1R senφ ⎠ α2R cosφ
a abs
2ω 1ω 2R senφ 2 1
v abs ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
2 2
v cosθ r
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
9.13.
⎞ ⎟ ⎟ cosθ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ω 2r(1 v2 senθ r
a
9.14.
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
(-ωR -2v 0); (4ωv-αR -ω2R -v2/r)
9.10.
(2v-ΩR 0 0); (0 -3v2/R-Ω2R+4Ωv -v2/r)
9.11. v abs
a abs
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ v(1 r cosθ ⎜ R ⎜ ⎜ ω r senθ ⎜ ⎜ ⎝ ω r cosθ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v r cosθ) ⎟⎟ (1 ω 2r cosθ R R ⎟ ⎟ 2 ω r senθ ⎠ 2ω v
r senθ R
cosθ)
⎞ ⎟ ⎟ (ω ω )r cosθ 2ω 1v0 senθ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1r senθ 2ω 1v0 cosθ ⎠ 2ω 1ω 2r senθ 2 1
2ω 2v0 cosθ
2 2
v ω R cosλ 0
a) v
b) (-2ωr 0 v); (0 -v2/r-2ω2r 0) c) (-ωr -v 0); (2ωv -ω2r -v2/r) d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ωr v 0); (-2ωv -ω2r v2/r) 9.9.
ω 2r (1 2
⎞ ⎛ ω 2r cosθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v0 cosθ ω 1r senθ⎟ ⎟ ⎜ ⎜v senθ ω r cosθ⎟ 1 ⎠ ⎝0
v
⎞ cosθ) ⎟ ⎟ v senθ ⎟ ⎟ v cosθ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ 2ω v cosθ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v ⎟ senθ ω 2r senθ ω v senθ ⎟ r ⎟ ⎟ ⎟ 3 v2 cosθ ⎟ 2 r ⎠
v2 cosθ 2r
ω r (1
2ω v senθ 2
9.12. ⎛ v senθ ω r senθ ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ v cosθ ω r (1 cosθ) ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 3 v senθ ⎜ 2 ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a
ω 2R senλcosλ ⎞⎟ 2ω v senλ ⎟⎟ ⎟ ω 2R cos2λ ⎠ 0 2mω v senλ 0
b) F cor
c) v=(-40 355.8 0) m/s; a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2; Fcor=(0 3.75 0) N 9.15.
27° 9.16. 0.33
9.18.
a) 16.7 m b) 16.7°
9.19.
z
9.20.
3’ 21"; plomada
9.21.
λ=43° 46’; βmáx=2° 29’
9.22.
s/c
9.23.
a)
ω2 2 (x 2g
t
1 l ln ω
v
ω
l2
9.17. 112.6 km/h
y 2)
l2 b b2
b2
344
Resultados de los problemas
2mω 2 l 2
b) Ncor
10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J; 1.488 J c) ref. inerciales.
b2
9.24.
s/c 9.25. 1.75 cm
9.26.
a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h
9.27.
a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm
9.28.
a) acor=0.0469 cm/s2, Oeste; Fcor=4.69 N, Este b) dcha. meridiano.
9.29.
efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.idavuelta=484 g
9.30.
a) 0.34 b) Fcf=1332 dyn; Fcor=113 dyn
9.31.
a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s
10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 erg c) 130 erg d) no 10.14. a) ∇×F=0 b) Ep=-(x2y+xz3) c) 58 J 10.15. 48π
10.17. a) F=-k(x y 0) b) F=-kr c) central; ley de Hooke.
C
1 2
1 t 2
1 2 t ; 6
1 t ; 3 1 2 t x 4
3 t 2
3 2 t 2
1 3 t 3
a v
b) P
a) a
1 2
1 m (senθ 2
µ cosθ) g 2t 2 senθ
10.20. W
1 mgL (1 2
senθ0
10.21. Ep
1 4π
3 (3 3 c) 152.5 mJ b) P
1 3 t 18
v 2x) 3x
3 3
3x
10.22. a)
1 4π
x2
0
2µ cosθ0)
qq′ r
0
q2 1 b) l 4π r
r0 r
2
0
Ep,0 e
2q 2 l r/r0
b) vide tabla c) vide figura; no d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r0
x2
10.3.
6.67 kN
10.5.
a) 19.739 mN b) 592 mJ; no
10.6.
a) helicoidal uniforme, R=mv/qB, m (v B) b) 0; no paso h 2π qB 2
10.7.
ΔEp
10.23. a) F 1 x ; 3
µ cosθ)2 g 2t 2
c) no; ΔE=Wf
c) 133.3 J 10.2.
1 m (senθ 2
10.19. a) ΔEk
10.- Trabajo y energía. a)
F dr≠0 b) 2πRf(R)
10.18. a)
b)
10.1.
10.16. a) si b) 4k
10.4. s/c
a) W=pdV b) nRTln(V2/V1) c) (p1V1-p2V2)/(γ-1)
10.8.
a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V. d) 6.7%
10.9.
a) 162 km/h b) 65 km/h c) 294 km/h d) no hay límite.
10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W
Prob. 10.23 10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura
e) F(r)
⎡ ⎢⎛ ⎞12 12Ep,0 ⎢⎜ r0 ⎟ ⎢⎜ ⎟ r ⎣⎝ r ⎠
f) r=r0; r
⎤ ⎛ ⎞6⎥ ⎜ r0 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝r⎠⎦
345
Resultados de los problemas
Tabla Prob. 10.23 r/r0
F(r)/F(r0)
Ep(r)/Ep(r)
2
1.38×10-1
1.84×10-1
4
7.78×10-3
1.24×10-2
10
6.79×10-6
1.23×10-5
11.5.
inicialmente es v F en sentidos opuestos
11.6.
v
11.8.
2.90 m 11.9. s/c
gl/2
11.7. a) s/c b) s/c
11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s 11.11. a) hn=fnh0 b) -ΔEn=mg(1-f)fn-1; -ΔEn/En-1=1-f c) 28 botes d) 38.36 s 11.12. a) N=mg(2cosθ-2) b) 38.2° 11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masa variable 11.14. a) vmín
5gR b) 30°;
gR/2
11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m
Prob. 10.24 10.25. a)
1 8π
Ek
0
e2 r
1 8π
E
0
e2 r
10.26.
1 1 mω 2A 2 kA 2 4 4
1 kR 4 b) Ep 2
0
e2 r Prob. 11.16
1
b)
10.27. a) Ek
1 4π
Ep
1 kR 4 4
11.16. a) vide figura b) pozo de potencial c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848 d) -2.109; 2.109 11.17. a) x=0, Ep=0, estable; x=1, Ep=3.25, inestable b) vide c) -0.229; 0.455; 1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s
10.28. a)
n n
1 E 3
2 n
3
E
b)
11.- Conservación de la energía. 11.1.
s/c 11.2. 80.4°
11.3. 2d
11.4.
a) Ep=mgRcosθ; Ek=mgR(1-cosθ) b) at=gsenθ; an=2g(1-cosθ) c) 48.2° d) mayor
Prob. 11.17 11.18. a) -a√2; 0; +a√2 F(x)
a 2E0
16a 4x 4a 2x 3 2x 5 (8a 4 x 4)2
346
Resultados de los problemas
2
b) v0
v∞ 1
d) α >
E0
4mv
2
9mv∞
e) ±a; ±1.87a
2
1
2
4E0
1
E0 2 ∞
1
c) α >
4m
4E0
2
9mv∞
Prob. 11.18 kx 2 2
11.19. a) Ep
b) x 2
E k
E2
c 2x 2 ck
k2
sen(ω t
θ0)
Prob. 11.21 Prob. 11.19 b) F c) ω
2π T
2
k m
11.23. a) v
11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa 11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable; (-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), silla c) (0,0), inestable; x2+x2=4, estable d) (0,0), estable; x2+y2=9, inestable 11.22. a) Ep
(ar
2
b) e
cr 2
A
2
a
bc ac
11.24. s/c
2acr (r 2 2
v0
A 2) e
2 U0 m
cr 2
c) s/c
b) s/c c) s/c
11.25. a) s/c b) s/c
11.26. s/c
11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV 11.28. a) 1.18 pm b) no 11.29. 28.3 MeV/c2
347
Resultados de los problemas
11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV; 190 GW h
d) F
L 2 ⎛ 6k m ⎜⎝ r 4
e) F
L 2 (1 α2) mr 3
11.31. 1.022 MeV
12.- Momento angular. Fuerzas centrales. 12.1.
a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t2) kg m2/s b) (0 0 -12t) m N; igual
12.2.
a) (0 0 t6); (0 0 6t5) b) (0 0 6t5)
12.3.
a) (0 0 mabω); (0 0 0) b) fuerza central; tray. elíptica.
12.4.
a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg; 3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s; 1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg
12.5.
s/c
12.6.
a) rmín=k; 2α=4k
12.8.
n 1 E n 3 óv. limitados
a) F
E
2 n
L2 r b) v mk 4 ⎛ 2 1 k 2 mv0 ⎜⎜ 2 2 ⎝r
c) Ep′
K r3
a)
b)
1⎞ ⎟ r3 ⎠
v0 k
3
Em
2E r
⎞ r2 ⎟ ⎟ k4 ⎠
Prob. 12.9.....c)
Prob. 12.6.....a)
b) vr c) ar d) at
12.7.
θ 2 2 v θ v2 θ θ cos4 aθ sen cos3 2k 2 2k 2 2 v2 2k 3θ cos ρ 0 an 2k 2 θ cos3 2
v sen
θ 2
vθ
v cos
Prob. 12.10.....e) 12.10. a) L=cte b) φ (3t/k 2)1/3 c) r=kθ ⎞ ⎛ ⎜ 2mk 2 m ⎟ d) F ⎟ ⎜ 5 r3 ⎠ ⎝ r
a) F
L2 mr 3
K r3
e) Ep
b) F
L2 ⎛ 2 mk ⎜⎝ r 2
k⎞ ⎟ r3 ⎠
12.11. F
c) F
⎛ L 2 ⎜ 2k 2 m ⎜⎝ r 5
⎞ 1⎟ ⎟ r3 ⎠
⎛ m ⎜ k2 2 ⎜⎝ r 4
12.12. a) Ep
⎞ 1⎟ ⎟ Ep′ r2 ⎠
K r5 1 Kr 4 b) vide fig. 4
mk 2 2r 4
348
Resultados de los problemas
L2>mk: 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]
c)
L2=mk: 1/r = A (θ-θ0) (espiral) L2
12.15. a) s/c b) F(r)
c) c) E
3 KR 4 4
L
e2 me 2r b) L 2 4π 0 4π 0r 2 e e2 ; Ek ; 4π 0r 8π 0r e2 ; estado ligado 8π 0r
12.16. a) v 2
Prob. 12.12.....b)
R 3 mK
Ep E
12.13. h2
d)
0
rn
π me 2
5.292×10
n2
1 2 2 8 0h 2 n
En
kr
11
n2 m
13.6 eV n2
me 4
e) 52.92 pm; -13.6 eV 12.17. a) T 2 Prob. 12.13.....a) a)
Ep E0
b)
k 3
6r0
;
R
k ; 3r 3
r0
mk ; L2
L0
mk ; inestable r0
kr 2 ⎛ L 2 ⎞1/4 ; r0 ⎜ ⎟ ; 2 ⎝ mk ⎠ 2 2 kr0 ; L0 r0 mk ; estable
Ep E0
4π 2 M1R1 GM M1
b) F
2 1
M2R2 M2 2
R2
⎛ R2 ⎜ M2R2 ⎜ R12 ⎝
GMM1M2 M1R1
R1 ⎞ ⎟ 2 R2 ⎟⎠
c) 1.55 h; 2.66 mN d) 1.55 h; 95.1 N 12.18. 42 175 km = 6.62RT 12.19. 16 min 26 s 12.20. a) 225 m/s; 9.95×10-5 rad/s; -8.2 min; 6.9 GJ; -13.8 GJ; -6.9 GJ b) 1.36×107 m N; 125.2 h c) 81 12.21. a) v0=0, rectilínea (vertical); 0
Prob. 12.13.....b)
12.14. a) Ep′ b)
L 2 mk 2mr 2
órb. circular: L2=mk, E=0
12.23. v0>3 127 m/s, hipérbola; v0=3 127 m/s, parábola; v0<3 127 m/s, elipse. 12.24. a) elipse b) =0.21; a=2.53R; b=2.48R; rmín=2.00R; rmáx=3.06R; α=2.42R
349
Resultados de los problemas
c) =0.19; a=1.68R; b=1.65R; rmín=1.36R; rmáx=2.00R; α=1.62R
12.37. a) t
Ttierra 6π
(1
Θ ⎛ cosΘ)3/2 ⎜3 tg 2 ⎝
tg3
Θ⎞ ⎟ 2⎠
b) Θ=90°; 77.51 d
Prob. 12.24 12.25. s/c
12.26. 0.0169
12.27. s/c Prob. 12.38
12.28. a) 0.1111; 7 426 km; 7 380 m b) 1 h 46 min 6 s c) 6 556 m/s; 8 194 m/s 12.29. a) 0.1109 b) 7 362 km c) 1.75 h d) 6 586 m/s; 8 178 km 12.30. a)
GMR
a
2
b) r máx
2
2GM
Rv0
2
Rv0 (Rv0
1
2
12.38. a) elipse b) =0.181; α=1.637R; rmín=1.386R; rmáx=2.000R; a=1.693R; b=1.665R; c=0.307R c) no
2GM cos2φ )
G 2M 2 R
hmáx
a (1
)
c) a=3 211 km; =0.9921; hmáx= 25.95 km 4
s 2v 0
12.31. a) rmín GM b) θ
2 arctg
GM 2
G 2M 2
Prob. 12.39
4
s 2v0
c) hipérbola (+); no
sv0
12.32. 330 813MT 12.33. 1.758×1024 kg; 18.31 h 12.34. a) 8 188 m/s b) 5 732 m/s c) aumentar velocidad hasta 6 316 m/s d) 1 h 4 min 58 s e) 38.94° 12.35. t
S ab
12.36. a) =1.401; α=135.5×106 km b) hipérbola (+) c) 56.44×106 km
Prob. 12.39.....b)
12.39. a) Ep′
L 2 mλ 2mr 2
k r
350 b)
Resultados de los problemas
r
Ω cos β (θ
1
⎧ ⎪ ⎪ Ω ⎪ ⎪ con ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β ⎩
L2
αβ 2
L 2A mk
αA 1 L
L2
θ0) mλ > 0 mk
mλ > 0
12.40. 262 fm 12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = πR2 12.42. a) s/c b) σt = πR2 12.43. a) s/c b) s/c
B.- Índice alfabético acción a distancia 152, 161, 179, 180 aceleración absoluta 225, 241 aceleración angular 109, 122-124, 136, 137, 138, 139, 226, 241 aceleración centrípeta 152, 166, 229, 230, 306 aceleración complementaria 225 aceleración de arrastre 222, 225 aceleración de Coriolis 225 aceleración debida a la gravedad 229 aceleración gravitatoria aparente 153, 165, 238, 239 aceleración gravitatoria efectiva 229, 230, 234 aceleración instantánea 93 aceleración media 93 aceleración normal 96, 97, 123, 137, 225, 228 aceleración relativa 158, 225 aceleración tangencial 96, 97, 123, 124, 225, 306 acelerómetro 218 ácidos nucléicos 4 Adams 322 adherencia 203, 204 adhesión 198 adiabática 268 adición de velocidades 156 afelio 303 alcance del proyectil 99, 105 álgebra vectorial 17, 19, 32, 41, 64, 335 Ampère 88 análisis vectorial 17, 21, 61, 248, 256, 261, 336 analogía 53, 136, 282, 284, 312 ángulo de dispersión 323-325 ángulo de rozamiento 202 ángulo formado por dos vectores 26 ángulo sólido 325 ángulos directores 26 aniquilación 290, 292 anticiclón 233 apantallamiento 326 apantallamiento de la carga nuclear 326
apocentro 317, 319 apogeo 329-331 área de contacto 202-204 área de la elipse 321 areolar 303, 307, 320, 321 Aristóteles 87, 144, 146 Aristóteles (384-322 a.c.) 144 armonía 1, 320 Arquímedes 327 arrastre 222-225, 269 ascensión recta 317, 318, 331 asíntotas de la hipérbola 323 astrofísica 14 Atlante 265 Atlas 265 átomo de Hidrógeno 270, 302, 328, 329 Avogadro 296 axial 27 axoides 109, 121, 122, 129 balanza 166, 182, 184, 243, 289 bariones 195 barn 324 barrera de potencial 279 base vectorial 19, 22-24, 34-39, 89, 130, 131, 213 Bernoulli 88, 205 Biología 2, 13, 14 Bohr 9, 270, 319, 322, 328 borrasca 233 bóveda celeste 265 Bowden 203 Brahe 320 brazo 42, 45, 140, 241, 298, 299 brazo de la fuerza 298 brazo del par 45 caída libre 7, 15, 144, 165, 166, 221, 235, 236, 341 cálculo de fluxiones 146, 191 cálculo diferencial 146, 191 cálculo vectorial 39 cambio de base vectorial 19, 34, 35 cambio de referencial 210 campo conservativo 68, 80, 257
Manuel R. Ortega Girón
351
352
Apéndice B.- Índice alfabético.
campo de fuerzas 74, 255-262, 264, 266, 268, 269, 284, 307, 322, 327, 328, 331 campo de fuerzas centrales 257, 258, 266, 322, 327, 331 campo de potencial 261 campo eléctrico 19, 68, 83, 245, 256 campo escalar 61, 62, 71-74, 79, 80, 82, 284 campo estacionario 62 campo gravitatorio 48, 61, 71, 84, 99, 175, 180, 207, 242, 245, 252, 256, 257, 260, 262-264, 273 campo gravitatorio de la Tierra 175 campo gravitatorio uniforme 48 campo irrotacional 79, 80 campo solenoidal 76, 77 campo uniforme 62 campo vectorial 61, 63, 65-80, 82-84, 256 campos de fuerzas centrales 258 cantidad de movimiento 141, 161, 168, 169, 170, 171, 177-181, 183, 184, 246, 253, 265, 274, 275, 282, 288, 289, 297-301, 327, 341 cantidad de movimiento de una partícula 168, 177, 299, 300 Caos 1, 15 carga eléctrica 71, 187, 191, 192, 194, 197, 216, 245, 256, 260, 270, 281, 288, 316, 328 Carnot 88 caucho 202 celeridad 92-94, 97, 105, 107, 112, 113, 123, 136, 137, 139, 148, 149, 159, 166, 183, 218, 237, 241, 268, 280, 294, 295, 305, 327 celeridad angular 113, 123, 136, 237, 241, 268 célula 4, 5 centro de curvatura 96, 134 centro de dispersión 324 centro de fuerzas 229, 257, 262, 271, 302, 303, 304, 307, 309-311, 313-317, 322, 323, 327, 328, 331 centro de gravedad 48, 242 centro de reducción 43-46, 49-51, 58, 120 centro de un sistema de vectores paralelos 41, 47, 48, 56 centro del campo 257 centro instantáneo de rotación 88, 128, 130, 133 Chasles 109, 120
choque 179, 183, 184, 246, 288, 295 choques 179, 181 cicloide 88 Ciencia 1-3, 6-15, 87, 145, 146, 165, 288, 289 Ciencia y Tecnología 14 cinemática de la partícula 85, 87, 337 cinemática del sólido rígido 85, 109, 240, 338 circulación 61, 66-69, 73, 74, 78, 79, 83, 233, 247, 256-258, 261 circulación de un campo vectorial 79 circunferencias absidales 315 Clausius 266 coeficiente de rozamiento 201, 202, 204, 205, 216-218, 220, 242, 243, 269, 270 coeficiente de rozamiento cinético 201, 202, 217 coeficiente de rozamiento estático 201, 202, 220, 242 coeficiente de viscosidad 206, 217 cohesión 198 cohetes 165 colisión frontal 331 colisiones 170, 171, 246, 301, 323 colisiones elásticas 246 combinación lineal 39, 205 cometas 5 componentes de la fuerza 248, 261 componentes de la velocidad 139, 236 componentes de un vector 19, 22, 35, 36, 37, 40, 64 componentes intrínsecas 87, 95-97, 106, 139, 327 componentes intrínsecas de la aceleración 87, 95, 97, 106, 139 composición de rotaciones 109, 115 conceptos físicos 1, 10, 11, 246 condición cinemática de rigidez 109, 110, 111, 115, 136 condición de equilibrio 215 condición de paralelismo 28, 47, 63 condición de perpendicularidad 25 condición geométrica de rigidez 109, 110, 111, 112 condiciones iniciales 101, 236, 245, 276, 279-281, 310, 313, 330 configuración de equilibrio 264 cónicas 302, 317-319 conmensurables 315 cono fijo 122 cono móvil 122 conservación de la energía 141, 273, 274, 275-277, 280, 281,
Apéndice B.- Índice alfabético.
284, 286, 287, 288, 292, 297, 307, 311, 345 conservación de la masa 273, 289, 290, 292 conservación del momento angular 274 constante de Coulomb 192 constante de gravitación universal 190, 191 constante de Planck 328 constante del movimiento 276, 280, 281, 302, 303, 313 constante elástica 270, 293 coordenada radial 267, 269, 304, 308 coordenadas cartesianas 34, 36, 38, 47, 48, 55, 62, 63, 66, 75, 77, 78, 92, 94, 171, 248, 261, 280, 282, 304 coordenadas polares 20, 261, 262, 269, 297, 303, 304, 306, 307, 309, 311, 312, 328, 329 coordenadas polares planas 20, 261, 262, 269, 297, 303, 304, 306, 307, 309, 311, 329 Copérnico 6 corrientes marinas 233 cosenos directores 26 coulomb 192, 200, 247, 270, 328 Cowan 288 crítica del concepto de energía 273, 288 cuerda tensa 252 curvatura 96, 97, 99, 105-107, 134, 139, 232, 240, 327 D’Alembert 88, 187, 214, 215 De Motu Corporum Percussione 246 De Rerum Natura 289 definición operacional 11, 146 deformación elástica 201 derivada de un vector 61, 63-65, 82 derivada direccional 72, 83, 261 derivada temporal 125, 223, 224, 266, 311, 327 descubrimiento del neutrón 13 desintegración radiactiva 290 día sidéreo 152, 159 día solar medio 159 diagramas de energía 297, 312 Diálogo 157 diferencia de potencial 296 diferencia de vectores 19, 21 dina 167, 170, 251, 298 dinámica de la partícula 141, 297 dinámica relativista 290 dinamómetro 150, 161, 162, 166, 176, 212, 229 dirección de la plomada 231, 242
direcciones ortogonales 127 directriz 19, 58, 298, 299, 302, 304, 318, 323 disociación 315 dispersión 297, 306, 322-326, 331 dispersión de partículas 306, 322, 325, 326, 331 dispersión de partículas alfa 306, 326 dispersión de partículas cargadas 322, 325 divergencia de un campo vectorial 61, 74, 75, 76, 80 doble producto vectorial 19, 32, 40 Doppler 153 Eclíptica 331 ecuación de continuidad 84 ecuación de estado 267 ecuación de la órbita 310, 317 ecuación de la trayectoria 91, 105, 107, 248, 309, 311 ecuación del movimiento 105, 214, 227, 228, 232, 234, 275, 276, 311, 312 ecuación diferencial de la órbita 310, 317 ecuación diferencial de segundo orden 187, 245 ecuaciones de transformación de Galileo 155, 156 ecuaciones diferenciales 63 Ecuador 152, 153, 183, 230, 231, 233, 242, 243, 329 efecto Doppler 153 efecto gravitatorio 229 Einstein 3, 11, 12, 145, 158, 169, 290, 292 eje de rotación de la Tierra 239 eje de simetría 138, 139 eje instantáneo de rotación 109, 119, 120, 121, 122, 127, 128, 137, 138, 139, 222, 225, 226 eje instantáneo de rotación y deslizamiento 109, 119-122, 137, 139 eje polar 153, 159, 242, 304, 323 elasticidad 198 electrón 3, 4, 144, 184, 193, 196, 266, 270, 280, 281, 296, 302, 306, 328 electrón-Voltio 296 elemento de superficie 69, 70, 78, 303 elemento de volumen 74-77 elementos químicos 4 elipse 19, 40, 83, 105, 107, 182, 311, 317, 318-321, 328, 348, 349 energía cinética 245, 246, 252-255, 264, 265, 266, 268-271, 273-275,
353
354
Apéndice B.- Índice alfabético.
278, 279, 285-287, 291, 294, 295, 296, 312, 314, 319, 327 energía de disociación 315 energía de enlace 296 energía de interacción 195, 247 energía de ionización 329 energía en reposo 292 energía interna 285-287 energía mecánica 273, 274, 284-287 energía potencial 245, 252, 256, 259, 260, 261-267, 269-271, 273, 274, 275-278, 280-288, 291, 293, 294, 295, 311-316, 328 energía potencial centrífuga 312, 313 energía potencial como energía de configuración 245, 264 energía potencial efectiva 311-316, 328 energía potencial elástica 252, 263, 264, 291 energía potencial electrostática 270 energía potencial gravitatoria 252, 262, 263, 264, 270, 273 energía total 270, 271, 274-278, 285, 287, 292, 295, 307, 313, 314, 319, 323, 327, 328 envolvente 106 Epicuro 179 equilibrio de la partícula 282, 283, 295 equilibrio estable 278, 283, 295 equilibrio indiferente 284 equilibrio inestable 278, 281, 283, 294 equilibrio metaestable 278 ergio 251 esclerónoma 208 espacio absoluto 11, 88 espacio curvo 21 espacio vectorial 32, 33, 89 espacio y tiempo 13 espiral 327, 348 espiral de Arquímedes 327 espiral logarítmica 327 estabilidad del equilibrio 273, 277 estado fundamental 328 estática de la partícula 187, 214 estrellas fijas 154, 221 estudio experimental del rozamiento 200 éter 9, 10 Euler 88 excentricidad 107, 317, 318, 320, 323, 328, 329-331 experimentación 7, 8, 88, 144, 162, 201, 202 experimento de Rutherford 331
fenómenos físicos 2, 37, 50, 87, 88, 145, 157, 165 Fermat 15 fermi 194, 196 Filosofía Natural 2, 146, 165 Física Atómica 87, 145, 288, 296, 324, 325 Física Atómica y Nuclear 87, 145, 288, 296, 324, 325 Física Clásica 13 Física Moderna 10, 13 Física Nuclear 195, 247, 275, 326, 331 fisión 13, 290 flecha del torsor 50 flujo de un campo vectorial 61, 69, 70 flujo entrante 70, 75 flujo saliente 70 foco 19, 317, 318, 323, 327 focos de la elipse 311 fórmula de Lorentz 193, 268 fotón 179, 292 Foucault 221, 237-240, 243 Franklin 192 frecuencia 205, 229, 230, 275 frecuencia angular 230 fricción 185, 188, 206, 212, 219, 220, 286, 329 fuerza atractiva 192, 194, 197, 311, 317, 328, 331 fuerza central 257, 258, 261-263, 270, 271, 297, 302, 304, 306, 307, 311, 312, 313, 315, 319, 320, 327, 328, 330, 331, 346 fuerza centrífuga 221, 228-230, 232, 312, 315 fuerza centrípeta 229 fuerza conservativa 262-264, 282, 286, 287, 295, 311, 312 fuerza de Coriolis 221, 228, 231-233, 235, 236, 238, 242, 243 fuerza de inercia 211-213 fuerza de ligadura 200, 208, 213, 218 fuerza de reacción 208 fuerza de rozamiento 148, 149, 182, 188, 198-206, 257, 259, 285, 286 fuerza de van der Waals 197 fuerza eléctrica 160, 191, 194 fuerza electromagnética 191, 193 fuerza electrostática 191-194, 270, 306, 316 fuerza externa 149, 150, 197 fuerza ficticia 212, 228, 229, 231, 232, 312
Apéndice B.- Índice alfabético.
fuerza gravitatoria 71, 166, 181, 188-191, 193, 194, 263, 269, 302, 321 fuerza inercial 228 fuerza magnética 191, 192 fuerza normal 188, 200, 201, 237 fuerza repulsiva 194, 197, 316 fuerza resultante 162, 165, 168-170, 175, 198, 206, 210, 214, 267, 268, 274, 282, 285, 287, 294 fuerza y masa 146, 165 fuerzas activas 206, 208, 209 fuerzas aplicadas a un sólido rígido 298 fuerzas centrales 141, 181, 257, 258, 266, 297, 302, 303, 306, 321, 322, 327, 331, 346 fuerzas conservativas 245, 255, 256, 273, 274, 278, 284-287 fuerzas de cohesión 198 fuerzas de contacto 188, 198 fuerzas de corto alcance 189 fuerzas de largo alcance 189, 326 fuerzas de ligadura 187, 206, 208, 209 fuerzas dependientes de la velocidad 181 fuerzas elásticas 198, 206 fuerzas fundamentales 187-189, 192, 196, 204, 258, 259 fuerzas moleculares 187, 196-198, 203 fuerzas muertas 253 fuerzas no conservativas 273, 284-287 fuerzas nucleares 187, 189, 194-197, 296 fuerzas pasivas 198, 209 fuerzas reales 209-211, 213, 221, 227, 228 fuerzas vivas 253-255 función arbitraria 84, 269 función continua 62, 66, 71 función escalar de punto 68, 73, 75, 256, 258, 261 función potencial 61, 68, 73, 74, 83, 256 función vectorial de punto 77, 79 Galileo 2, 3, 6, 7, 14, 15, 87, 143-149, 154-160, 171, 173, 174, 254, 289 Galileo Galilei (1564-1642) 146 Geología 13, 14 geometría euclidiana 20, 21 Gibbs 21 Gorgona 265 grupo 5, 32, 33, 118, 119, 126, 127, 154 grupo abeliano 32, 33 grupo cinemático 118, 119, 126, 127 hadrones 195, 196 Hamilton 80 Heaviside 21
Heisenberg 9 hélice 83, 118, 119, 139, 241 Helmholtz 273 hipérbola 317-320, 323, 327, 329, 348, 349 hipótesis 8, 21, 49, 88, 99, 144, 158, 159, 173, 179, 188, 191, 217, 257 hodógrafa 94, 107 Hooke 162, 190, 198, 246, 263, 271, 344 Horlogium Oscillatorum 293 Huygens 171, 179, 246, 282, 293 Ímpetu 168 impulsión 161, 169-171, 183, 253, 297, 300, 301 impulsión angular 297, 300, 301 ingravidez 161, 165, 166, 182, 183 integral curvilínea 66, 67, 70, 247, 248 integral de superficie 69, 70, 75, 77 integral primera del movimiento 275 intensidad de un campo de fuerzas 261 intensidad del campo gravitatorio 242 intensidad del haz 325 interacción a distancia 180, 264 interacción débil 187, 189, 194, 196 interacción fuerte 189, 194, 196 interacción mutua 175, 177, 307 interacción universal 196 interacciones fundamentales 5, 188, 189, 195 invariancia de las leyes de la mecánica 161, 171, 173 invariante escalar 44-46, 50-52, 57, 119, 120, 127, 136 invariante vectorial 44, 117 isótopos 4 Joule 251, 273, 288, 291 julio 251, 289 Júpiter 146, 242, 322 kaones 195 Kaufmann 290 Kelvin 9 Kepler 6, 190, 216, 297, 302, 303, 311, 320, 321, 322 Johannes Kepler (1571-1630) 320 kilográmetro 251, 298 kilogramo 161, 163, 166, 167, 170, 243, 251, 298 kilogramo patrón 161, 163, 167 kilopondio 167 kilovatio 251 kilovatio-hora 251 La Nueva Física 6 Lagrange 208
355
356
Apéndice B.- Índice alfabético.
Landolt 289, 290 latitud 165, 166, 229, 230, 236, 237, 239, 242, 243 latus rectum 317, 327, 331 Lavoisier 289 Leibniz 246, 253 Lennard-Jones 270 Leonardo da Vinci 2, 200 leptón 196 leptones 195, 196 Leverrier 322 ley asociativa 32, 33 ley conmutativa 32, 34 ley de adición de velocidades 156 ley de Gauss 337 ley de Hooke 162, 198, 246, 263, 271, 344 ley de la acción-reacción 161, 179-181, 246, 265 ley de la elasticidad 198 ley de la Gravitación Universal 2, 190, 311, 320 ley de la inercia 141, 143, 146-152, 154, 161, 168, 340 ley de las áreas 297, 302 ley de Stokes 205 ley distributiva 33 leyes de conservación 275, 292 leyes de Kepler 190, 297, 320, 322 leyes de la mecánica 12, 143, 145, 146, 161, 171, 173, 195 leyes de las fuerzas 145, 146, 187-189, 275 leyes de Maxwell 159, 174 leyes del movimiento 2, 136, 143, 145, 146, 147, 149, 165, 181, 187, 188, 190, 209, 221, 245, 275, 309, 320, 322 leyes empíricas 189, 205, 320 leyes macroscópicas 200 ligadura 187, 200, 206-209, 213, 218, 267 ligaduras 206-209, 294 línea de acción 257, 298, 302 líneas de fuerza 71, 256 líneas equiescalares 62 líneas vectoriales 63, 69-71, 73, 75, 82, 256 longitud de onda 10 Lorentz 159, 174, 193, 268 Lowel 322 lubricantes 205 Lucrecio 289 Luna 6, 90, 188, 190, 191, 330 macroscópico 3, 200, 203
magnitud vectorial 20, 23, 61, 125, 169, 298, 301 magnitudes escalares 19, 70 magnitudes vectoriales 19, 20, 34, 131, 171 Marte 144, 320, 330 masa en reposo 169, 290, 292 masa gravitatoria 71, 256, 260 masa inercial 88 masa relativista 290, 296 masa variable 345 masa y energía 273, 289 matriz 24, 26, 35 Maxwell 159, 174 Mayer 273, 288 Mecánica Clásica 88, 89, 141, 143-146, 159, 164, 168, 169, 187, 188, 196, 211, 245, 306, 340 Mecánica Cuántica 145, 195, 196, 326 Mecánica Matricial 9 Mecánica Relativista 145, 147, 155, 169 Mercurio 10, 181 mesón 4 mesones 195 metales 204 método científico 1, 5, 6, 13-15 Meyer 289 Michelson 158 microscópico 3, 187, 200, 203 modelo mecánico 9 modelos 1, 9, 10, 15 modelos abstractos 10 modelos mecánicos 9 módulo de la aceleración 94, 123, 230 módulo de la velocidad 92, 93, 100, 113, 119, 120, 134, 305, 307, 314, 322 módulo de un vector 26, 36 mol 4, 5, 13, 145, 188, 196-198, 203, 204, 205-207, 270, 280, 286, 292, 296, 307 molécula de Hidrógeno 280 moléculas no-polares 197 moléculas polares 196, 197 momento angular 274, 275, 297-303, 307-310, 313, 315, 316, 319, 323, 327, 328, 346 definición 298 momento angular de una partícula 297, 299, 300, 301 momento angular orbital 328 momento cinético véase: momento angular 298 momento de la resultante 44, 51, 57 momento de un par 45
Apéndice B.- Índice alfabético.
momento de un vector 41-44, 53, 297, 299 momento de un vector respecto a un eje 41, 42 momento de un vector respecto a un punto 41 momento de una fuerza 297-299 momento dinámico 298, 301 momento dipolar 145, 197 momento resultante 43-50, 52, 53, 57, 58, 117, 118 momento resultante general 43, 46, 50 Morley 158 móvil perpetuo 275 movimiento absoluto 157, 158 movimiento angular 308 movimiento armónico 277 movimiento armónico simple 277 movimiento circular 113, 135, 151, 268, 305, 306 movimiento curvilíneo 97, 149, 151, 229 movimiento de los planetas 6, 12, 146, 320, 322 movimiento de rodadura 121 movimiento de rotación 109, 113, 115, 117, 118, 134-136, 138, 153, 233, 237, 241, 300 movimiento de rotación del sólido rígido 113, 136 movimiento de traslación 89, 109, 111, 112, 117, 118, 128, 173, 210, 228 movimiento de traslación del sólido rígido 112 movimiento de un proyectil 99 movimiento del sólido rígido 109, 117, 118, 127, 128 movimiento general del sólido rígido 119, 122, 136 movimiento helicoidal 109, 118-120, 122, 137 movimiento interno 198 movimiento planetario 302, 303, 306, 320 movimiento radial 308, 310-313, 315 movimiento rectilíneo 93, 101, 102, 101, 105, 136, 147, 149, 150, 165, 276, 277, 311, 312 movimiento relativo 90, 102, 126, 155, 156, 158, 173, 199, 202, 221, 222, 232, 237 movimiento relativo a la Tierra 221, 232, 237 movimiento rototraslatorio 109, 117, 118, 120 movimiento uniforme 98, 143, 158, 199
movimiento uniformemente acelerado 125, 150, 226 muelle 150, 161-163, 181, 188, 189, 212, 246, 263-265, 270, 293 Mundo 1-3, 7, 8, 12, 15, 143 muones 195 Naturaleza 1-3, 6-8, 11, 13-15, 24, 27, 32, 68, 71, 87, 88, 141, 144, 145, 149, 158, 163, 181, 187, 189, 194, 198, 201, 204-206, 221, 238, 245, 253, 256, 264, 267, 273, 288, 289, 302, 306, 316, 329, 341 Neptuno 322 neutrino 179, 184, 196, 288 neutrón 3, 4, 13, 179, 194, 196, 296 neutrones 4, 5, 189, 194, 195, 296 Newton 2, 3, 6, 9-12, 20, 141, 143, 144, 145-147, 149, 151, 158, 159, 161-175, 177-181, 187, 189, 190, 191, 200, 205, 209, 211, 212, 213, 216, 221, 229, 245, 246, 251, 273, 275, 282, 289, 298, 306, 307, 309, 311, 320, 322, 341 Sir Isaac Newton (1642-1727) 146 nieve carbónica 205 núcleo atómico 3, 4, 12, 13, 189, 193, 194, 306, 322, 326 nucleón 9, 194 nucleones 3, 189, 194-196, 270 número de Avogadro 296 observación 6-8, 10, 143, 148, 149, 158, 201 observador inercial 150, 230, 232, 237 observador no-inercial 150, 209, 211, 228, 229, 232 odómetro 94 ondas sonoras 288 operador 61, 80, 125 operador nabbla 61, 80 operador vectorial 80 órbitas circulares 9, 329 órbitas elípticas 297, 303, 319, 320 órbitas hiperbólicas 297, 322 órbitas limitadas 315 órbitas planas 297, 302 origen de momentos 299, 300, 302 paquete de energía 292 par de fuerzas 57 par de rotaciones 116, 117 par de vectores 41, 45, 49, 51 parábola 99, 100, 106, 207, 218, 317, 318, 319, 320, 327, 348 parámetro de impacto 295, 296, 323, 324, 325, 326, 330, 331
357
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Apéndice B.- Índice alfabético.
partícula alfa 306 partícula libre 148-150, 154, 168, 215, 301, 302 partículas elementales 3, 13, 179, 188, 189, 193-196, 275, 288, 290 partículas raras 196 Pauli 288 péndulo cónico 229 péndulo de Foucault 221, 237-240, 243 péndulo simple 182, 293 pequeñas oscilaciones 112, 182, 239, 295 peralte 242 pericentro 316, 317, 319, 323, 327 perigeo 329-331 perihelio 181, 303 periodo 13, 152, 154, 182, 183, 216, 237, 242, 265, 266, 271, 295, 315, 321, 322, 328-330 periodo de revolución 152, 242, 315, 321, 322, 329, 330 permitividad del vacío 192, 270, 328 Perseo 265 peso aparente 161, 165, 166, 183, 242 peso real 183 piones 195 pivotamiento 109, 126, 127 Planck 145, 328 planetas 3-6, 12, 143, 145, 146, 165, 179, 303, 306, 311, 320-322 plano central 41, 55, 56, 59 plano de oscilación 237-239, 243 plano del movimiento 128-130, 283, 304, 309 plano normal 40, 54, 55, 243 plano osculador 95, 97, 99, 106 planos del movimiento 127, 128 plasma 4 Platón 6, 144 plomada 218, 230, 231, 242, 343 Plutón 322 Poincaré 10, 158 poise 206 polea 105, 185, 217 polo 43, 46, 128-132, 153, 232, 233, 237, 329 polo Norte 232, 233, 237, 329 Poncelet 109, 121, 122 positrón 296 potencia 2, 197, 205, 245, 250, 251, 267, 268, 269, 328 potencia instantánea 250 potencia media 250 potencial 61, 68, 73, 74, 79, 83, 84, 195, 245, 252, 256, 259-267,
269-271, 273-288, 291-296, 307, 311, 312, 313-316, 327-329, 331, 345 potencial de Yukawa 195, 270 pozo de potencial 279, 283, 295, 296, 345 pozo rectangular 331 precesión 115, 181, 237, 239, 331 precesión del péndulo de Foucault 239 precesión del perihelio 181 primera ley de Kepler 302, 311, 321 principio de conservación del momento angular 297 principio de D’Alembert 187, 214, 215 principio de equivalencia 291 principio de Fermat 15 principio de liberación de Lagrange 208 principio de relatividad 143, 156-159, 254 principio de relatividad de Galileo 143, 156, 158, 254 principio de superposición 109, 114, 115 producto escalar 19, 24-27, 35, 36, 39, 53, 66, 69, 71, 110, 119, 247, 248 producto mixto 19, 30, 31 producto vectorial 19, 27-30, 32, 36, 39, 40, 42, 53, 97, 136, 297, 298, 299, 302 puntos absidales 315, 317, 319 radiación 189, 288, 296 radiación electromagnética 288, 296 radio de curvatura 96, 97, 105, 106, 134, 327 radio del universo 5 radio vector 302, 303, 316, 320, 321, 328 ramas de la Física 1, 12 reacción normal 148, 175, 198, 202, 208 reacción química 289 reacción vincular 206, 213 reacciones 164, 242, 289, 290, 292 reacciones nucleares 290 reacciones químicas 164, 289, 292 recta directriz 58, 298, 299, 302, 304, 323 reducción canónica 50, 51 referencial absoluto 222 referencial del laboratorio 153, 154, 221, 232, 235, 237-239 referencial inercial 143, 150-154, 160, 178, 198, 210, 211, 213-215, 221, 227-229, 232, 234, 237, 240, 252, 254, 297, 302 referencial móvil 133, 222-228, 232
Apéndice B.- Índice alfabético.
referencial no-inercial 151, 210, 211, 213, 221, 228, 230, 231 referencial relativo 222 referencial solidario 127 regla de la mano derecha 29, 45, 114, 298, 299 regla del tornillo 27, 114 Reines 288 relatividad del movimiento 87, 88 representación vectorial de superficies 19, 29 resultante de un sistema de vectores 44, 52, 57, 58 rigidez 109-112, 115, 136 rodadura 109, 121, 122, 126-128, 132, 138, 200, 338 rotación de la Tierra 99, 153, 165, 183, 232, 237, 239, 240, 329 rotación de pivotamiento 127 rotación de rodadura 127 rotación intrínseca 115 rotacional 61, 77-80, 258, 284, 312 rotacional de un campo vectorial 61, 77, 78, 79, 80 rotaciones 34, 36, 37, 109, 115-117, 120, 121, 127, 136, 137, 172, 221 rozamiento cinético 199, 201, 202, 204, 217 rozamiento de Newton 205 rozamiento de Stokes 205 rozamiento estático 199-202, 204, 216, 218, 220, 242 rueda sin deslizar 127, 138, 139 Rutherford 297, 306, 322, 324, 326, 331 satélites de Júpiter 146 Schrödinger 9 sección eficaz 297, 324-326, 331 sección eficaz de dispersión 297, 324, 325 sección eficaz de Rutherford 326 sección eficaz diferencial 325, 331 sección eficaz total 325, 326, 331 sección recta 324 secciones cónicas 302, 318 segunda ley de Kepler 303, 321, 322 segundo 21, 33, 36, 44, 45, 68, 76, 79, 82, 92, 95, 113, 119, 122, 130, 132, 145, 150, 158-160, 170, 184, 187, 206, 210, 211, 225, 228, 239, 245, 251, 255, 266, 275, 285, 300, 301, 312, 313, 322 semieje mayor 319, 322, 330 semieje menor 319 serie de Taylor 77
simetría 138, 139, 171 simetría de las leyes de la mecánica 171 sistema aislado 178 sistema cerrado 289, 292 sistema cgs 167, 251, 253 sistema de fuerzas 57 sistema de referencia 38, 88, 89, 172, 173, 174, 221 sistema de referencia inercial 221 sistema del laboratorio 152 Sistema Internacional 166, 192, 251 sistema mks 166, 253 sistema solar 5, 153, 154, 165, 232, 246, 266, 320-322 sistema técnico 167, 251, 298 sistemas de partículas 214, 274, 288 sistemas de unidades 161, 166, 251 sistemas de vectores 41, 43, 48, 49, 54, 58 sistemas de vectores deslizantes 41, 43, 49, 58 sistemas de vectores equivalentes 41, 48 Sobre la electrodinámica 290 Sol 3, 5, 6, 88, 90, 153, 154, 159, 179, 180, 189, 216, 232, 246, 296, 302, 303, 306, 311, 320-322, 330, 331 sólido rígido 20, 85, 109-122, 125, 127, 128, 130, 134-137, 139, 214, 222, 224, 225, 240, 298, 338 Stokes 61, 78, 79, 83, 205 suma de vectores 22, 24 sumideros 71, 84 superficie libre 217, 242 superficie lisa ideal 148 superficies equiescalares 62, 82 superficies equipotenciales 280, 283 superposición de movimientos 109, 114 suspensión 216, 229, 237, 293 Taylor 6, 77 temperatura 8, 10, 11, 19, 61, 164, 204, 206, 268, 285, 286 tensión 8, 176, 182-185, 198, 212, 217, 219, 229, 230, 237, 238, 293, 294, 327, 329 tensión superficial 8, 198 teorema de Chasles 109, 120 teorema de Gauss 61, 76, 84 teorema de la cantidad de movimiento 170, 301 teorema de las fuerzas vivas 253-255 teorema de Stokes 61, 78, 79, 83 teorema de Varignon 44, 48, 51 teorema del momento angular 301
359
360
Apéndice B.- Índice alfabético.
teorema del virial 245, 265-267, 270, 271 teoría cuántica 9, 13 Teoría de la Relatividad 13, 158, 159, 169, 174, 290, 292 teoría de la relatividad especial 158, 159, 169, 290 teoría ondulatoria 282 tercera ley de Kepler 216, 321, 322 Thompson 14, 273 tiempo absoluto 88 tiempo de vuelo 101 Tierra 2, 4, 5, 7, 13, 88-90, 99, 104, 107, 144, 150-153, 158-160, 165-167, 175, 179, 180, 183, 188-191, 209, 221, 230, 231-240, 242, 243, 254, 263, 265, 266, 302, 329-331, 341 Torricelli 88 torsión 106 torsor 50, 52, 58 trabajo 5, 11, 15, 21, 141, 187, 188, 200, 245, 247-260, 262-265, 267-270, 273-275, 284-287, 289-291, 294, 296, 298, 327, 344 trabajo fisiológico 250 transformación adiabática 268 transformación de Galileo 143, 154-156, 159, 160, 171, 173, 174 transformación de Lorentz 159 transformación isotérmica 268 trayectoria absoluta 222 trayectoria de arrastre 222 trayectoria relativa 222 triedro directo 23, 27, 31, 39, 97 triedro intrínseco 97 triedro inverso 31 triedro móvil 87, 97 unidad de masa atómica 296 unidades de fuerza 162 unidades de potencia 251 unidades de trabajo 245, 250, 251 valor medio 171, 184, 231, 249, 266 van der Waals 197 Varignon 44, 48, 51 vector axial 27 vector de módulo constante 82 vector de posición 19, 37, 38, 47, 71, 82, 83, 84, 90-92, 94, 98-101, 105, 110, 114, 182, 190, 210, 222, 223, 238, 240, 260, 297, 302, 304, 312, 313, 320 vector deslizante 41, 42, 57, 298, 299 vector libre 45, 112 vector ligado 54
vector opuesto 21 vector superficie 29, 30 vector unitario 22, 39, 92 vectores deslizantes 17, 20, 41, 43-47, 49, 50, 52, 54, 56-58, 117, 119, 121, 336 vectores paralelos 41, 47, 48, 56, 59 vectores perpendiculares 118 velocidad absoluta 157, 158, 223, 224, 226, 241, 330 velocidad angular 109, 113-122, 124, 125, 127, 129, 136-140, 151, 152, 153, 222-224, 226, 228, 230, 234, 236, 238-242, 300, 312, 313, 327, 329 velocidad angular de la Tierra 152, 153, 236, 238, 239, 242 velocidad areolar 303, 307, 320, 321 velocidad de arrastre 222-224 velocidad de la luz 145, 158, 169, 180, 184, 290, 296 velocidad de traslación 112, 116-118, 122 velocidad instantánea 92, 122, 217 velocidad límite 217, 218 velocidad media 91-93, 104 velocidad radial 305, 314, 315 velocidad relativa 103, 155, 159, 201, 223, 224, 225 velocidad transversal 305, 328 versor 22, 26, 27, 39, 42, 47, 72, 92, 95, 96, 97, 106, 114, 124, 125, 190, 247, 304 versor binormal 106 versor normal 27, 106 versor tangente 92, 95, 106, 247 vibraciones 158, 202 virial 41, 53-56, 59, 245, 265-267, 270, 271 virial de la resultante 55 virial de un vector 41, 53, 54 vis viva 246, 253 viscosidad 8, 198, 205, 206, 217 voltio 296 watio 251 watt 251 Weizsäcker 11 Zeus 265