Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles
9. CABLES
9.1. Introducción
En este capítulo se estudian diferentes tipos de cables en cuanto a su distribución interna de tensiones. En general, el capítulo se separa entres apartados, los cuales están referidos a cada uno de los tipos de cables que se estudian, ellos son: Cable con cargas puntuales Cable parabólico Cable catenaria
9.2. Cable con Cargas Puntuales
El cable con cargas puntuales se puede considerar como un problema de varias barras bi-articuladas conectadas en los puntos donde hay cargas aplicadas. Cada tramo es una incógnita ya que tiene una tensión propia asociada. Para calcular estas tensiones se pueden usar las ecuaciones de equilibrio en los nudos y las ecuaciones de equilibrio por secciones. Además, en general se deben calcular las reacciones de los apoyos, para lo cual se dispone de las ecuaciones básicas del equilibrio estático.
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Figura Nº1: Cable con cargas puntuales.
Para mostrar la metodología de trabajo, a continuación se muestra un ejemplo de aplicación.
Ejemplo 1 Para el cable con cargas puntuales dado se pide determinar yB , yC , h, θmáx y Tmáx si se sabe que Dy=100.
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Figura Nº2: Ejemplo 1.
Solución En general en los problemas de cables, independiente de su tipo, las reacciones de los apoyos de los extremos son verticales hacia arriba y horizontales saliendo hacia los extremos.
Haciendo equilibrio general y por secciones:
∑ F = 0 ⇒ ← ∑ M = 0 ⇒ ∑ F = 0 ⇒ → ∑ M = 0 ⇒ → ∑ M = 0 ⇒
Av + 100 − 100 − 50 = 0
⇒ Av = 50
Ah ·2 − Av ·3 = 0
⇒ Ah = 75
Ah − Dh = 0
⇒ Dh = 75
C
75· yC − 100·4 = 0
⇒ yC = 5,333
B
50·3 + 75· yB − 100·7 = 0
⇒ yB = 7,333
Además:
h = yB + 3
⇒ h = 10,333
v
B
h
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Con la geometría y las reacciones definidas se pueden determinar las pendientes y las tensiones de cada tramo.
θ BA
⎛ 2 ⎞ = arctan⎜ ⎟ = 33,69º ⎝ 3 ⎠
θ BC
⎛ 2 ⎞ = arctan⎜ ⎟ = 33,69º ⎝ 3 ⎠
θ CD
⎛ 5,333 ⎞ = arctan ⎜ ⎟ = 53,13º ⎝ 4 ⎠
Del equilibrio del nudo A:
T AB = 50 + 75 = 90,14
Del equilibrio del nudo B:
T BC = 90,14
Del equilibrio del nudo D:
2 2 T CD = 75 + 100 = 125,00
2
2
Como se puede ver, la máxima pendiente es 53,13º en el tramo CD y la máxima tensión también ocurre en CD y es 125,00.
De este ejemplo se pueden concluir varias ideas que son aplicables a todos los tipos de cables.
En primer lugar la máxima tensión siempre ocurre en los puntos de mayor pendiente con respecto a la horizontal, que al mismo tiempo son los más altos. A partir de esto es fácil deducir que los puntos más bajos son los de menor pendiente y tienen menor tensión. Por otra parte, si se analizan las componentes horizontales de tensión de cada tramo, se podrá anotar que son todas iguales y que las componentes verticales son las que varían de acuerdo a la pendiente y lo indicado en el párrafo anterior.
Para los resultados del ejemplo anterior:
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Figura Nº3: Tensiones y pendientes en cables.
9.3. Cable Parabólico
El cable parabólico es un cable que está sujeto a la acción de una carga distribuida uniformemente en la distancia horizontal entre ambo s apoyos.
Figura Nº4: Cable Parabólico.
Para deducir las fórmulas de este tipo de cables se considera el equilibrio de un trozo de cable. Se debe indicar que las fórmulas que se definen a continuación están asociadas a un sistema cuyo origen de coordenadas se encuentra en el punto más bajo del cable.
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Figura Nº5: Equilibrio de un elemento de cable parabólico.
En este caso “w” es la carga distribuida sobre el cable y “ H ” es la tensión horizontal o mínima.
De la figura se deduce que:
T ( x ) = H + w x
Además:
tan θ =
2
w· x H
=
2
2
dy dx
Haciendo suma de momentos en D:
y =
w· x
2
2· H
Que es la ecuación del cable parabólico.
El largo de cable “s D” desde el punto más bajo hasta un punto cualquiera en la coordenada “ x” se puede calcular con la serie infinita:
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⎡ 2 ⎛ y D ⎞ 2 2 ⎛ y D ⎞ 4 ⎤ ... − + s D = x D ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ x D ⎠ 5 ⎝ x D ⎠ ⎥⎦
O con la fórmula:
2 2 ⎡ x 2 −1 ⎛ w· x D ⎞⎤ s D = w ⎢ D x D + H 2 + 1 H 2 sinh ⎜ ⎟⎥ 2w H ⎣ 2 w ⎝ H ⎠⎦
Ejemplo 2 Para el cable parabólico dado se pide determinar la flecha máxima “d ”, la tensión máxima “T máx” y el largo del cable “ℓ”.
Figura Nº6: Ejemplo 2.
Solución
x A + x B = 60
(1)
y B − y A = 4
(2)
La fórmula de cable parabólico es:
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y =
w· x
2
2· H
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⇒ y A =
w· x A
2· H
2
(3)
y B =
y
w· x B
(4)
2· H 2
2
w· x B w· x A − =4 2· H 2· H
Reemplazando (3) y (4) en (2):
x B − x A = 8· H (5) w 2
2
Reemplazando (1) en (5):
(60 − x A ) 2 − x A2 =
Desarrollando:
450 − 15· x A =
H
Además, en x A θ=45º, o sea:
tan 45º =
w· x A
=1
H
8· H w
w
Reemplazando esta última ecuación en la penúltima se tiene que: x A = 28,125
H = 22.500
Y reemplazando hacia atrás:
x B = 31,875 y A = 14,063 y B = 18,063
La flecha máxima está es igual a “ y B”: B
La tensión máxima está en “B”:
d = 18,063
2 2 2 T máx = 800 31,875 + 22.500 = 34.007,35
El largo se calcula con cualquiera de las fórmulas dadas:
l
= 70,35
9.4. Cable Catenaria
El cable catenaria es un cable que está sujeto a la acción de una carga distribuida uniformemente en el largo de cable entre ambos apoyos (peso propio).
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Figura Nº7: Cable Catenaria.
Para deducir las fórmulas de este tipo de cables se considera el equilibrio de un trozo de cable. Se debe indicar que las fórmulas que se definen a continuación están asociadas a un sistema cuyo origen de coordenadas se encuentra “c” unidades más abajo del punto más bajo del cable.
Figura Nº8: Equilibrio de un elemento de cable catenaria.
En este caso “w” es la carga distribuida sobre el cable y “ H ” es la tensión horizontal o mínima.
De la figura se deduce que:
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T ( x) = H + w s 2
2
2
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c =
Introduciendo la constante:
Además:
O sea:
dx = ds·cos θ =
dx =
ds
1+
s
2
H
H T
⇒ T ( x) = c 2 + s 2
w
ds =
w·c w c +s 2
2
ds =
ds
1+
s
2
c
2
(*)
c2
Eligiendo el origen de coordenadas “c” unidades más abajo del punto más bajo del cable e integrando (*) desde “C ” (0, c) hasta “ D” (x, y):
1 ⎛ s ⎞ x = c·sinh − ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
⎛ x ⎞ ⇒ s = c·sinh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
Que es la ecuación que relaciona el largo de cable CD y la distancia horizontal entre C y D.
Por otro lado:
dy = dx·tan θ =
O sea:
w·s w·c
dx =
⎛ x ⎞ dx = sinh ⎜ ⎟·dx c ⎝ c ⎠ s
⎛ x ⎞ dy = sinh ⎜ ⎟·dx ⎝ c ⎠
(**)
Integrando (**) desde “C ” (0, c) hasta “ D” (x, y):
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⎛ ⎛ x ⎞ ⎞ y − c = c⎜⎜ cosh⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ⎝ c ⎠ ⎠ ⎝
⎛ x ⎞ ⇒ y = c·cosh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
Que es la ecuación de una catenaria de eje vertical.
Se puede demostrar además que:
c = y − s
Y que:
T ( y ) = w· y
2
2
2
Ejemplo 3 Para el cable dado se pide determinar “T máx“ y el largo “s“ del cable si se sabe que w=10.
Figura Nº9: Ejemplo 3.
Solución
La ecuación de la catenaria:
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⎛ x ⎞ y = c·cosh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
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En A:
⎛ x ⎞ c + 6 = c·cosh⎜ A ⎟ ⎝ c ⎠
(1)
En B:
⎛ x ⎞ c + 10 = c·cosh⎜ B ⎟ ⎝ c ⎠
(2)
Además:
x A + x B = 60
(3)
De (1):
x A = c·arccos h⎜
De (2):
x B = c·arccos h⎜
⎛ c + 6 ⎞ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎛ c + 10 ⎞ ⎟ ⎝ c ⎠
Reemplazando estas dos últimas expresiones en (3):
⎛ c + 6 ⎞ ⎛ c + 10 ⎞ ⎟ + c·arccos h⎜ ⎟ = 60 ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
c·arccos h⎜
De la que se despeja:
c = 58,48
Reemplazando hacia atrás:
x A = 33,73 x B = 26,27
La tensión máxima ocurre en B:
T máx = w· y B T máx = 10·68,48
⇒ T máx = 684,8
El largo del cable es:
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⎛ x ⎞ s = c·sinh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
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⎡
⎛ 26,27 ⎞ ⎛ 33,73 ⎞⎤ ⎟ + sinh⎜ ⎟⎥ ⎝ 58,48 ⎠ ⎝ 58,48 ⎠⎦
sT = 58,48·⎢sinh⎜
⎣
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⇒ sT = 62,79
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