MDF01

Conceptos b´ asicos asicos Dr. Obed Ob ed Cort´ Cortés es Aburto Aburto Universidad Polit´ ecnica ecnica de Puebla

Mec´ anica anica de Fluidos

Contenido 1

Introducci´ on on ´ Areas de aplicación on

2

Condición on de no deslizamiento

3

4

Cient Cie nt´´ıfic ıficos os de la Mec Mec´ ańica de Fluidos anica Clasificación on de los flujos de fluidos

5

Sistemaa y volumen Sistem volumen de control control

6

Importan Impor tancia cia de las dimension dimensiones es y de las unidades unidades

Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: Identificar los conceptos fundamentales de la mec´ anica anica de fluidos para interpretar sus propiedades y leyes. Resolver problemas prácticos acticos utilizando los conceptos fundamentales de la mec´ anica anica de fluidos.

Introducci´ on

Mec´ anica de Fluidos Se define como la ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos en reposo (est´ atica de fluidos ) o en movimiento amica de fluidos ), y la interacci´ (din´ on de éstos con sólidos o con otros fluidos en las fronteras. El estudio del movimiento de fluidos que son prácticamente incompresibles (como los l´ıquidos, en especial el agua y los gases amica. a bajas velocidades) suele mencionarse como hidrodin´ aulica, que estudia los Una subcategor´ıa de ésta es la hidr´ flujos de l´ıquidos en tubos y canales abiertos. La din´ amica de gases trata del flujo de fluidos que sufren cambios significativos en la densidad, como el flujo de gases a trav´ es de toberas a altas velocidades.

Introducci´ on

amica se La categor´ıa aerodin´ ocupa del flujo de gases (en especial del aire) sobre cuerpos como aviones, cohetes y automóviles a altas o bajas velocidades. Algunas otras categor´ıas como la meteorolog´ıa, la oceanograf´ıa y la hidrolog´ıa tratan de flujos que ocurren de manera natural.

Introducci´ on

¿Qu´ e es un fluido? Una sustancia en la fase l´ıquida o en la gaseosa se conoce como fluido. La diferencia entre un sólido y un fluido se hace con base en la capacidad de la sustancia para oponer resistencia a un esfuerzo cortante (o tangencial) aplicado que tiende a cambiar su forma. En los sólidos, el esfuerzo es proporcional a la deformaci´ on , pero en los fluidos el esfuerzo es proporcional a la raz´ on de deformaci´ on .

Introducci´ on

El ángulo de deformaci´ on α (llamado deformaci´ on por esfuerzo on a la cortante o desplazamiento angular ) aumenta en proporci´ fuerza aplicada F .

Introducci´ on

El esfuerzo se define como fuerza por unidad de área. La componente normal de una fuerza que act´ ua sobre una superficie, por unidad de a´rea, se llama esfuerzo normal, y la componente tangencial se llama esfuerzo cortante. En un fluido en reposo, el esfuerzo normal se llama presi´ on. Y su esfuerzo cortante es cero.

Introducci´ on

Introducci´ on

Con frecuencia gas y vapor se usan como sinónimos. A la fase de vapor de una sustancia se le acostumbra dar el nombre de gas cuando se encuentra por arriba de la temperatura cr´ıtica. Por vapor suele implicarse a un gas que no se encuentra lejos de un estado de condensaci´ on.

Introducci´ on

En las aplicaciones prácticas cualquier sistema de fluido consta de un gran n´ umero de moléculas y las propiedades de ese sistema por consiguiente dependen del comportamiento de ellas. No es necesario conocer el comportamiento de las moléculas del gas ara determinar la presión en el recipiente. Este procedimiento macroscópico o estad´ıstico m´ as elaborado, basado en el comportamiento promedio

de grupos grandes de moléculas, no se utilizará en este curso.

Introducci´ on ´ Areas de aplicaci´ on



Condici´ on de no deslizamiento

Consid´ erese el flujo de un fluido en un tubo estacionario o sobre una superficie sólida que es no porosa (es decir, impermeable al fluido). Todas las observaciones experimentales indican que un fluido en movimiento llega a detenerse por completo en la superficie y adquiere una velocidad cero con relación a ella. Esto es, un fluido en contacto directo con un s´ olido “se pega” a la superficie debido a los efectos viscosos y no hay deslizamiento. A esta caracter´ıstica se le conoce como o n de no la condici´ deslizamiento.


La capa que se pega a la superficie desacelera la capa adyacente de fluido, debido a las fuerzas viscosas entre las capas de ese fluido, la cual desacelera a la capa siguiente y as´ı sucesivamente. Por lo tanto, la condición de no-deslizamiento es responsable del desarrollo del perfil de velocidad.

La región del fluido adyacente a la pared, en la cual los efectos viscosos (y, por consiguiente, los gradientes de velocidad) son significativos se llama capa l´ ımite.


Una consecuencia de la condici´ on de no-deslizamiento es que todos los perfiles de velocidades deben tener valores de cero respecto a la superficie en los puntos de contacto entre un fluido y una superficie sólida.

Otra consecuencia es la resistencia al movimiento de una superficie , la cual es la fuerza que un fluido ejerce sobre una


Cuando se fuerza a un fluido a moverse sobre una superficie curva, como el lado posterior de un cilindro, con una velocidad suficientemente elevada, la capa l´ımite ya no puede permanecer adherida a la superficie y, en algún punto, se separa de ella; este o n de flujo. fenómeno se conoce como separaci´

Cient´ ıficos de la Mec´ anica de Fluidos

Arqu´ımedes

Louis Navier

Simon Stevin

Gaspar Coriolis

Galileo Galilei

Henry Darcy

Edme Mariotte

Jean Poiseuille

Evangelista Torricelli

Gothilf Hagen

Blaise Pascal

Osborn Reynolds

Benedetto Castelli

George Stokes

Isaac Newton

William Froude

Daniel Bernoulli

James Francis

Leonard Euler

Lester Pelton

Jean d’Alembert

Clemens Herschel

Riche de Prony

William Strutt

Antonie Chezy

Theodore von Kármán

Clasificaci´ on de los flujos de fluidos

Los flujos en donde los efectos de la fricción son significativos se llaman flujos viscosos En muchos flujos de interés práctico, se tienen regiones (por lo general regiones que no están cercanas a superficies sólidas) en donde las fuerzas viscosas son despreciablemente peque˜ nas en comparaci´ on con las fuerzas de inercia o de presi´ on.

Viscosidad Es una medida de la adherencia interna de un fluido


El flujo de un fluido no limitado sobre una superficie, como una placa, un alambre o un tubo, es un flujo externo. El flujo en un tubo o ducto es flujo interno si el fluido queda por completo limitado por las superficies sólidas. El flujo de l´ıquidos en un ducto se conoce como flujo en canal Los flujos internos están a lleno abierto si ese ducto est´ dominados por la influencia de en forma parcial con el l´ıquido la viscosidad en todo el campo y se tiene una superficie libre. de flujo. En los flujos externos, los efectos viscosos quedan limitados a la capa l´ımite cercana a las superficies s´ olidas y a las regiones de la estela corriente abajo de los cuerpos.


Un flujo se clasifica como compresible o incompresible , dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. En esencia, las densidades de los l´ıquidos son constantes y, as´ı, el flujo de ellos es t´ıpicamente incompresible. Por lo tanto, se suele decir que los l´ıquidos son sustancias incompresibles . Por otra parte, los gases son intensamente compresibles.


Cuando se analizan los cohetes, las naves espaciales y otros sistemas en los que intervienen flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del n´ umero adimensional de Mach que se define como v Velocidad del flujo Ma = = c Velocidad del sonido en donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a una temperatura ambiente al nivel del mar. onico Se dice que un flujo es s´ onico cuando Ma = 1, subs´ onico cuando Ma < 1, supers´ onico cuando Ma > 1 e hipers´


El movimiento intensamente ordenado de un fluido, caracterizado por capas no alteradas de éste se menciona como laminar. La palabra laminar proviene del movimiento de part´ıculas juntas adyacentes del fluido, en “láminas”. El movimiento intensamente desordenado de un fluido, que es com´ un se presente a velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad se llama turbulento .

Un flujo que se alterna entre laminar y turbulento se conoce on. como de transici´


En el flujo forzado, un fluido se obliga a fluir sobre una superficie o en un tubo por medios externos, como una bomba o un ventilador. En los flujos naturales , cualquier movimiento del fluido se debe a medios naturales, como el efecto de flotación, el cual se manifiesta como la elevación del fluido más caliente (y por consiguiente, más ligero) y la ca´ıda del fluido más fr´ıo (el m´ as denso).


El término estacionario implica que no hay cambio en un punto con el tiempo. Lo opuesto a estacionario es no estacionario. El término uniforme implica que no hay cambio con el lugar sobre una región especificada. A menudo se usan los términos no estacionario y transitorio de manera intercambiable, sin embargo no son sinónimos. En Mec´ anica de Fluidos, no estacionario es el término más general que se aplica a cualquier flujo que no sea estacionario, pero transitorio es más com´ un aplicarlo para flujos en desarrollo. odico se refiere a la clase de flujo no El término peri´ estacionario en el cual éste oscila en torno a una media estacionaria.



Imagen instantánea de un movimiento a alta velocidad que revela grandes remolinos que se alternan, y que son vertidos, revueltos y turbulentos, hacia la estela periódicamente oscilante.

Se muestra el mismo campo de flujo, pero la pel´ıcula está expuesta durante un tiempo m´ as largo, de modo que la imagen está promediada respecto al tiempo sobre 12 ciclos.


Un campo de flujo se caracteriza de la mejor manera mediante la distribución de velocidad y, por consiguiente, se dice que un flujo es unidimensional, bidimensional o tridimensional si la velocidad del flujo var´ıa en una, dos o tres dimensiones, respectivamente. La variación de la velocidad en ciertas direcciones puede ser peque˜ na en relación con la variación en otras y se pueden ignorar con error despreciable.


La dimensionalidad del flujo también depende de la selecci´ on del sistema de coordenadas y de su orientación. Un flujo se puede aproximar como bidimensional cuando una de sus dimensiones es mucho más grande que la otra y el flujo no cambia de manera apreciable a lo largo de la dimensión de mayor longitud.


Ejemplo 1. Flujo asim´ etrico sobre una bala Considere una bala que atraviesa por un aire en calma. Determine si el flujo del aire, promediado con respecto al tiempo, sobre la bala es unidimensional, bidimensional o tridimensional.

Sistema y volumen de control

Un sistema se define como una cantidad de materia o una regi´ on en el espacio elegidas para su estudio .

La masa o región que se encuentran afuera del sistema se conocen como alrededores. La superficie real o imaginaria que separa el sistema de sus alrededores se llama frontera. La frontera de un sistema puede ser fija o movible .


Se puede considerar que los sistemas son cerrados o abiertos , dependiendo de si se elige una masa o un volumen en el espacio fijos para el estudio. Un sistema cerrado (también conocido como masa de control) consta de una cantidad fija de masa y ninguna masa puede cruzar su frontera. Pero la energ´ıa, en forma de calor o trabajo, puede cruzar la frontera y el volumen de un sistema cerrado no tiene que ser fijo. Como un caso especial, cuando no se permite que la energ´ıa cruce la frontera, ese sistema se conoce como sistema aislado. Un sistema abierto, o volumen de control, como es frecuente llamarlo, es una región seleccionada de modo adecuado en el espacio.



Un gran n´ umero de problemas de ingenier´ıa se relacionan con flujo de masa hacia adentro y hacia afuera de un sistema y, umenes de control . como consecuencia, se modelan como vol´ En general, cualquier regi´ on arbitraria en el espacio se puede seleccionar como volumen de control. Un volumen de control puede ser de tama˜ no y forma fijos, como en el caso de una tobera, o bien, puede comprender una frontera m´ ovil.


Importancia de las dimensiones y de las unidades

Las siete dimensiones fundamentales (o primarias) y sus unidades en el SI Dimensi´ on

Unidad

Longitud Masa Tiempo Temperatura Corriente eléctrica Cantidad de luz Cantidad de materia

metro (m) kilogramo (kg) segundo (s) kelvin (K) ampere (A) candela (cd) mole (mol)


Prefijos estándar en las unidades SI M´ u ltiplo

Prefijo

1012 109 106 103 102 101 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12

tera, T giga, G mega, M kilo, k hecto, h deca, da deci, d centi, c mili, m micro, µ nano, n pico, p

−

−

−

−

−

−






Ejemplo 2. Generaci´ on de energ´ıa el´ ectrica mediante una turbina e´ olica Una escuela paga $ 0.09/kWh de energ´ıa eléctrica. Para reducir sus gastos, se instala una turbina e´ olica en la escuela con una potencia nominal de 30 kW. Si la turbina opera 2200 horas por a˜ no a la potencia nominal, determina la cantidad de energ´ıa eléctrica generada por la turbina e´ olica y el dinero ahorrado por escuela por a˜ no.


Ejemplo 3. Obtenci´ on de f´ ormulas bas´ andose en consideraciones relativas a las unidades Se llena un tanque con aceite cuya densidad es ρ = 850 kg/m3 . Si el volumen del tanque es V = 2 m3 , determine la cantidad de masa m en el tanque.




Ejemplo 4. Peso de una libra-masa Usando sólo olo las razones para conversión on de unidades, demuestre que 1.00 lbm pesa 1.00 lbf sobre la Tierra.


Preciso

Exacto


Error de exactitud (inexactitud ) es el valor de una

lectura menos el valor verdadero. En general, la exactitud de un conjunto de mediciones se refiere a lo cercano de la lectura promedio al valor verdadero. En general, la exactitud está asociada con errores fijos que pueden repetirse. Error de precisi´ on on es el valor de una lectura menos el

promedio de las lecturas. En general, la precisión on de un conjunto de mediciones se refiere a lo fino de la resolución on y a la capacidad de repetición on del instrumento. En general, la precisión on está asociada con errores aleatorios que no pueden repetirse. D´ıgit ıgitos os sign signifi ifica cati tivos vos son los d´ıgitos que son relevantes y

tienen significado. significado.


Ejemplo 5. D´ıgitos significativos y el gasto volum´ etrico Josefina está realizando un experimento en el que usa agua de enfriamiento de una manguera de jard´ın. Para calcular el gasto volumétrico que pasa por la manguera, ve cuánto tarda en llenarse un recipiente. El volumen del agua reunida es V = 1.1 gal en un periodo ∆t = 45.62 s, seg´ un se mide con un cronómetro. Calcule el gasto volumétrico del agua que pasa por la manguera en las unidades de metros cúbicos por minuto.

Part I Propiedades de los fluidos

Cualquier caracter´ıstica de un sistema se conoce como propiedad. Las propiedades intensivas son independientes de la masa de un sistema, como la temperatura, la presión y la densidad. Las propiedades extensivas son aquellas cuyos valores dependen del tama˜ no, o extensión, del sistema. La masa total, el volumen total V , y la cantidad total de movimiento son ejemplos de ellas. En general, se usan letras may´ usculas para denotar las propiedades extensivas (la masa m es una excepci´ on importante) y min´ usculas para las propiedades intensivas (las excepciones obvias son la presión P y la temperatura T ).

Las propiedades extensivas por unidad de masa se llaman propiedades espec´ıficas. Algunos ejemplos de propiedades espec´ıficas son el volumen espec´ıfico (v = V /m) y la energ´ıa total espec´ıfica (e = E/m). El estado de un sistema se describe por sus propiedades.

Postulado de estado El estado de un sistema compresible simple queda por completo especificado por dos propiedades intensivas independientes. Dos propiedades son independientes si se puede hacer variar una de ellas mientras que la otra permanece constante.

Densidad y Densidad Relativa

La densidad se define como masa por unidad de volumen . Es decir m ρ= (kg/m3 ) (1) V El rec´ıproco de la densidad es el volumen espec´ıfico v, el cual se define como volumen por unidad de masa . Es decir, v = V /m = 1/ρ. En general, la densidad de una sustancia depende de la temperatura y de la presión. La densidad de la mayor´ıa de los gases es proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. Por otro lado, los l´ıquidos y sólidos en esencia son sustancias incompresibles y la variación de su densidad con la presión suele ser despreciable.

Densidad y Densidad Relativa

A veces, la densidad de una sustancia se da en relación con la densidad de una sustancia conocida plenamente; entonces se le llama gravedad espec´ıfica o densidad relativa, y se define como la raz´ on de la densidad de una sustancia a la densidad de alguna sustancia est´ andar, a una temperatura especificada (por lo general, agua a 4 C, para la cual ρH2 O = 1, 000 kg/m3 ). Esto es ρ GE = ρ r = (2) ρH2 O ◦

El peso de una unidad de volumen de una sustancia se llama peso espec´ıfico y se expresa como γ s = ρg (N/m3 ) en donde g es la aceleración gravitacional.

(3)

Densidad y Densidad Relativa Densidad de los gases ideales

Cualquier ecuación que relacione la presión, la temperatura y la densidad (o volumen espec´ıfico) de una sustancia se llama ecuaci´ on de estado.

Ecuaci´ on de estado del gas ideal P v = RT

o

P = ρRT

(4)

en donde P es la presión absoluta, v es el volumen espec´ıfico, T es la temperatura termodinámica (absoluta), ρ es la densidad y R es la constante del gas. Esta constante R es diferente para cada gas y se determina a partir de R = R u /M , en donde Ru es la constante universal de los gases cuyo valor es Ru = 8.314 kJ/kmol·K= 1.986 BTU/lbmol·R, y M es la masa molar (llamada también peso molecular ) del gas.


En el SI la escala de temperatura termodinámica es la escala Kelvin, y la unidad de temperatura es el kelvin, K. En el sistema inglés, es la escala Rankine, y su unidad de temperatura es el rankine, R. Las diversas escalas de temperatura se interrelacionan por T (K) = T ( C) + 273.15

(5)

T (R) = T ( F) + 459.67

(6)

◦

◦

Es pr´ actica com´ un redondear las constantes 273.15 y 459.67 a 273 y 460, respectivamente.


Para un gas ideal de volumen V , masa m, y n´ umero de moles N = m/M , la ecuación de estado del gas ideal también se puede escribir como P V = mRT o P V = N Ru T . Para una masa fija m, si se escribe dos veces la relación de los gases ideales y se simplifican, las propiedades de un gas ideal en dos estados diferentes se interrelacionan por P 1 V 1 /T 1 = P 2 V 2 /T 2 . En el rango del interés práctico, muchos gases conocidos como aire, nitrógeno, ox´ıgeno, hidrógeno, helio, argón, ne´ on y kriptón, e inclusive gases más pesados, entre ellos bióxido de carbono, se pueden tratar como gases ideales con error despreciable (a menudo, menor de 1 por ciento).


Ejemplo 6. Densidad, gravedad espec´ıfica y masa del aire en un cuarto Determine la densidad, la gravedad espec´ıfica y la masa del aire en un cuarto cuyas dimensiones son 4 m × 5 m × 6 m a 100 kPa y 25 C. ◦

Presi´ on de vapor y cavitaci´ on

Una sustancia que tiene una composición qu´ımica fija en cualquier parte se llama sustancia pura . A una presi´ on determinada, la temperatura a la cual una sustancia pura cambia de fase se conoce como temperatura de saturaci´ on T sat . De manera semejante, a una temperatura dada, la presión a la cual una sustancia pura cambia de fase se on de saturaci´ on P sat . llama presi´ on de vapor P v de una sustancia pura se define como La presi´ la presi´ on ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su l´ıquido a una temperatura dada .

P v es una propiedad de la sustancia pura y resulta ser idéntica a la presión de saturación P sat del l´ıquido (P v = P sat ).


La razón del interés en la presión de vapor es la posibilidad de ca´ıda de la presión del l´ıquido, en los sistemas de flujo de l´ıquidos, por abajo de la presión de vapor en algunos lugares y la vaporización resultante no planeada. on Las burbujas de vapor (llamadas burbujas de cavitaci´ debido a que forman “cavidades” en el l´ıquido) se desintegran conforme son barridas hacia fuera de las regiones de baja presión, con lo que se generan ondas de alta presión extremadamente destructivas. Este fen´ omeno, que es causa com´ un de ca´ıda en el rendimiento e inclusive de la erosión de las aspas del impulsor, se llama cavitaci´ on, y constituye una consideraci´ on importante en el dise˜ no de las turbinas y bombas hidráulicas.


Da˜ no por cavitación en una muestra de aluminio de 16 mm por 23 mm probada a 60 m/s durante 2.5 h. La muestra se colocó en la región de desintegración de las cavidades, corriente abajo de un generador de cavidades que se dise˜ nó de forma espec´ıfica

para producir un elevado potencial de da˜ no.


Ejemplo 7. Presi´ on m´ınima para evitar la cavitaci´ on En un sistema de distribución de agua, se observa que la temperatura de ésta es de aproximadamente 30 C. Determine la presión m´ınima admisible en el sistema para evitar la cavitaci´ on. ◦

Energ´ ıa y calores espec´ ıficos

La energ´ıa puede existir en numerosas formas: térmica, mec´ anica, cinética, potencial, eléctrica, magnética, qu´ımica y nuclear, y su suma constituye la energ´ıa total E (o e con base en una unidad de masa) de un sistema. Las formas de la energ´ıa relacionadas con la estructura molecular de un sistema y el grado de actividad molecular se llaman energ´ıa microsc´ opica . La suma de las formas microscópicas de la energ´ıa se conoce como energ´ıa interna de un sistema y se denota por U (o u con base en una unidad de masa).


La energ´ıa macrosc´ a relacionada opica de un sistema est´ con el movimiento y la influencia de algunos efectos externos: la gravedad, el magnetismo, la electricidad y la tensión superficial. La energ´ıa que un sistema tiene como resultado de su movimiento en relación cn alg´ un marco de referencia se llama energ´ıa cin´ etica . La energ´ıa que un sistema tiene como resultado de su elevación en un campo gravitacional se llama energ´ıa potencial.


Energ´ıa potencial Energ´ıa cin´ etica

v 2 EC = m 2

EP = mgz (7)

por unidad de masa EC v 2 ec = = m 2

por unidad de masa ep =

(8)

en donde v denota la velocidad del sistema en relación con alg´ un marco fijo de referencia.

(9)

EP = gz (10) m

donde g es la aceleración gravitacional y z es la elevación del centro de gravedad de un sistema en relación con alg´ un plano de referencia seleccionado de manera arbitraria.


En la vida cotidiana se hace referencia a las formas sensible y latente de la energ´ıa interna como calor y se habla acerca del contenido de calor de los cuerpos. Sin embargo, en ingenier´ıa, esas formas se conocen como energ´ıa t´ ermica para impedir cualquier confusi´ on con la transferencia de calor . La unidad internacional de energ´ıa es el joule (J) o el kilojoule (1 kJ = 1,000 J). En el sistema inglés, la unidad de energ´ıa es la unidad t´ ermica brit´ anica (BTU). Las magnitudes del kJ y la BTU son casi idénticas (1 BTU = 1.0551 kJ). Otra unidad ampliamente conocida de la energ´ıa es la calor´ıa (1 cal = 4.1868 J).


En el análisis de los sistemas en los que se tiene flujo de fluidos, con frecuencia se encuentra la combinaci´ on de las propiedades u y P v. Por conveniencia, esta combinación se conoce como entalp´ıa h; es decir P h = u + P v = u + ρ

(11)

en donde P/ρ es la energ´ıa de flujo , también llamada trabajo de flujo, la cual es la energ´ıa por unidad de masa necesaria para mover el fluido y mantener el flujo.


La energ´ıa interna u representa la energ´ıa microscópica de un fluido no fluyente, por unidad de masa, en tanto que la entalp´ıa h representa la energ´ıa microscópica de un fluido fluyente por unidad de masa.


Un sistema que carece de efectos como el magnético, el eléctrico y la tensión superficial, se llama sistema compresible simple. La energ´ıa total de un sistema compresible simple consta de tres partes: energ´ıa interna, cinética y potencial. En t´ erminos de una unidad de masa, se expresa como e = u + ec + ep El fluido que entra o sale de un volumen de control tiene una forma adicional de energ´ıa: la energ´ıa de flujo P/ρ. Entonces la energ´ıa total de un fluido fluyente en términos de una unidad de masa es efluyente

P v 2 = + e = h + ec + ep = h + + gz ρ 2

kJ/kg (12)

donde h = P /ρ + u es la entalp´ıa, v es la velocidad y z es la elevación del sistema en relación con alg´ un punto externo de


Los cambios diferenciales y finitos en la energ´ıa interna y la entalp´ıa de un gas ideal se pueden expresar en t´ erminos de los calores espec´ıficos como du = c v dT

y

dh = c p dT

(13)

donde cv y c p son los calores espec´ıficos a volumen constante y a presión constante del gas ideal. Si se utilizan los valores de los calores espec´ıficos en la temperatura promedio, los cambios finitos en la energ´ıa interna y la entalp´ıa se pueden expresar de manera aproximada como ∆u = c v,prom ∆T

y

∆h = c p,prom ∆T

(14)


Para las sustancias incompresibles , los calores espec´ıficos a volumen constante y a presión constante son idénticos. Por lo tanto, c p ∼ = c v ∼ = c para los l´ıquidos y el cambio en la energ´ıa interna de éstos se puede expresar como ∆u = cprom ∆T . Nótese que ρ = constante para las sustancias incompresibles, la diferenciación de la entalp´ıa h = u + P/ρ da dh = du + dP/ρ. Si se integra, el cambio en la entalp´ıa queda ∆h = ∆u +

∆P ∼ ∆P c ∆T + = prom ρ ρ

(15)

Por lo tanto, ∆h = ∆u ∼ = c prom ∆T para los procesos a presión constante y ∆h = ∆P/ρ para los procesos a temperatura constante de los l´ıquidos.

Coeficiente de Compresibilidad

El volumen (o la densidad) de un fluido cambia respecto a una variación en su temperatura o su presión. Los fluidos suelen expandirse cuando se calientan o despresurizan, y se contraen cuando se enfr´ıan o presurizan. La cantidad del cambio de volumen es diferente para fluidos diferentes y se necesita definir las propiedades que relacionan los cambios en el volumen con los cambios en la presión y en la temperatura.


Los fluidos act´ uan como s´ olidos elásticos respecto a la presión. Por lo tanto, de una manera an´ aloga al módulo de elasticidad de Young de los sólidos, es apropiado definir un coeficiente de compresibilidad κ (llamado también m´ odulo de compresibilidad de volumen o m´ odulo de elasticidad de volumen) para los fluidos como κ =

−v

 ∂P   ∂P  ∂v

=ρ

T

∂ρ

(Pa)

(16)

T

También se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como: κ =

∆P ∼ ∆P = ∆v/v ∆ρ/ρ

(T = constante)

(17)



Un valor grande de κ indica que se necesita un cambio también grande en la presión para causar un peque˜ no cambio relativo en el volumen y, de este modo, un fluido con un κ grande en esencia es incompresible. Los cambios peque˜ nos en la densidad de los l´ıquidos pueden causar fen´ omenos interesantes en los sistemas de tuber´ıas como el golpe de ariete (caracterizado por un sonido que semeja al que se produce cuando se “martillea” un tubo). Este se presenta cuando un l´ıquido en una red de tuber´ıas encuentra una restricción abrupta del flujo (como una v´ alvula cerrada) y se comprime de manera local. Las ondas ac´ usticas producidas se propagan y se reflejan a lo largo de éste, lo hacen vibrar y que emita el conocido sonido.


Para un gas ideal, P = ρRT y

 ∂P  ∂ρ

κgas ideal = P

= RT =

T

P , as´ı ρ

(Pa)

(18)

Si se hace la sustitución κ = P en la definici´ on del coeficiente de compresibilidad y se reordena se obtiene ∆ρ ∆P = ρ P

(T = constante)

(19)

El inverso del coeficiente de compresibilidad se llama compresibilidad isot´ ermica α y se expresa como

  1 ∂v

1 α= =− κ v

∂P

T

=

  1 ∂ρ

ρ

∂P

(1/Pa)

T

Representa el cambio relativo en el volumen o la densidad

(20)

Coeficiente de Compresibilidad Coeficiente de expansi´ on volum´ etrica

La densidad de un fluido depende con mayor fuerza de la temperatura que de la presión, y la variación de la densidad con la temperatura causa numerosos fen´ omenos naturales, como los vientos, las corrientes en los océanos, el ascenso de columnas de humo de las chimeneas, el manejo de globos de aire caliente, y de all´ı la frase “el aire caliente sube”.


Para cuantificar estos efectos se necesita una propiedad que represente la variaci´ on de la densidad de un fluido con la temperatura a presi´ on constante .

Coeficiente de expansi´ on volumétrica β También llamado expansividad volumétrica, se define como β =

  1 ∂v

v

∂T

P

=−

  1 ∂ρ

ρ

∂T

(1/K)

(21)

P

También se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como β ≈

∆v/v ∆ρ/ρ =− ∆T ∆T

(a P constante)

(22)


Un valor grande de β para un fluido significar´ a también un cambio considerable en la densidad con la temperatura, y el producto β ∆T representa la fracción de cambio en el volumen de un fluido que corresponde a un cambio en la temperatura de ∆T a presión constante. Para un gas ideal β gas ideal

1 = T

donde T es la temperatura absoluta .

(1/K)

(23)


En el estudio de las corrientes de convección natural, la condición de la masa principal de fluido que rodea las regiones finitas calientes o fr´ıas se indica con el sub´ındice “infinito” (∞) para que sirva como recordatorio de que éste es el valor a una distancia en donde no se siente la presencia de la región caliente o fr´ıa. En estos casos, el coeficiente de expansi´ on volumétrica se puede expresar de manera aproximadama como (ρ β ≈ − T

∞

ρ)/ρ − T

−

∞

o

ρ

∞

−

ρ = ρβ (T

∞

−

T )

(24)

en donde ρ es la densidad y T es la temperatura del fluido inmóvil alejado de la parcela de fluido caliente o fr´ıo. ∞

∞


Se pueden determinar los efectos combinados de los cambios en la presión y en la temperatura sobre el cambio de volumen de un fluido cuando se toma el volumen espec´ıfico como una función de T y P . Si se diferencia v = v(T, P ) y se utilizan las definiciones de los coeficientes de compresi´ on y de expansión α y β se obtiene dv =

 ∂v  ∂T

dT +

P

 ∂v  ∂P

dP = (β dT − αdP ) v

(25)

T

Entonces el cambio relativo en el volumen (o la densidad) debido a cambios en la presión y temperatura se puede expresar de manera aproximada como ∆v ∆ρ ∼ =− = β ∆T − α∆P v ρ

(26)


Ejemplo 8. Variaci´ on de la densidad con la temperatura y la presi´ on Considere agua inicialmente a 20 C y 1 atm. Determine la densidad final del agua (a) si se calienta hasta 50 C a una presión constante de 1 atm y (b) si se comprime hasta alcanzar la presión de 100 atm a una temperatura constante de 20 C. Tome la compresibilidad isotérmica del agua como α = 4.80 × 10 5 atm 1 . ◦

◦

◦

−

−


Viscosidad

Cuando dos cuerpos s´ olidos en contacto se mueven uno con respecto al otro, se crea una fuerza de fricción en la superficie de contacto en la direcci´ on opuesta al movimiento. La situación es semejante cuando un fluido se mueve con respecto a un sólido o cuando dos fluidos se mueven un con respecto al otro. Parece que existe una propiedad que representa la resistencia interna de un fluido al movimiento o la “fluidez”, y esa propiedad es la viscosidad. La fuerza que un fluido fluyente ejerce sobre un cuerpo en la dirección del flujo se llama fuerza de arrastre, y la magnitud de ésta depende, en parte, de la viscosidad.

Viscosidad

Viscosidad

El fluido en contacto con la placa superior, se pega a la superficie de ésta y se mueve con ella a la misma velocidad, y el esfuerzo cortante τ que act´ ua sobre la capa de fluido es F (27) τ = A En el flujo laminar estacionario, la velocidad del fluido entre las placas var´ıa de manera lineal entre 0 y v , y as´ı, el perfil de velocidad y el gradiente de velocidad son y u(y) = v 

y

du v = dy 

(28)

Viscosidad

Los fluidos para los cuales la razón de deformaci´ on es proporcional al esfuerzo cortante se llaman fluidos newtonianos. La mayor´ıa de los fluidos comunes, como el agua, el aire, la gasolina y los aceites son newtonianos. La sangre y los plásticos l´ıquidos son ejemplos de fluidos no newtonianos. En el flujo tangencial unidimensional de fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante se puede expresar mediante la relación lineal du τ = µ (N/m2 ) dy

(29)

donde µ es el coeficiente de viscosidad o viscosidad din´ amica (o absoluta) del fluido, cuya unidad es kg/m·s, o N·s/m2 (o Pa·s)

Viscosidad

Una unidad com´ un de la viscosidad es el poise, el cual equivale a 0.1 Pa ·s (o el centipoise ). La viscosidad del agua a 20 C es 1 centipoise por lo que sirve como una referencia u ´til. ◦

Viscosidad

La fuerza cortante que act´ ua sobre una capa de fluido newtoniano (o, por la tercera ley de Newton, la fuerza que act´ ua sobre la placa) es du F = τ A = µA dy

(30)

donde, una vez más, A es el área de contacto entre la placa y el fluido. Entonces la fuerza F , requerida para mover la placa superior a una velocidad constante de v al mismo tiempo que la placa inferior permanece estacionaria es v F = µA 

(31)

Viscosidad

Para los fluidos no newtonianos, la relación entre el esfuerzo cortante y la razón de deformación no es lineal. La pendiente de la curva en el diagrama de τ en du función de se conoce dy como viscosidad aparente del fluido.

Viscosidad

Los fluidos cuya viscosidad aparente se incrementa con la razón de deformaci´ on (como las soluciones con almidón o areana suspendidos) se conocen como fluidos dilatantes o espesantes al corte , y los que exhiben el comportamiento opuesto (el fluido que se vuelve menos viscoso a medida que se le somete un corte m´ as intenso, como algunas pinturas, las soluciones de pol´ımero y los fluidos con part´ıculas suspendidas) se conocen como fluidos seudopl´ asticos o adelganzantes al corte . Algunos materiales, como la pasta de dientes, pueden resistir un esfuerzo cortante finito y se comportan como un sólido, pero se deforman de manera continua cuando ese esfuerzo sobrepasa el del punto de fluencia, y en consecuencia, se comportan como un fluido.

Viscosidad

En mec´ anica de fluidos y transferencia de calor, con frecuencia aparece la razón de la viscosidad dinámica a la densidad. Por conveniencia, a esta razón se le da el nombre de viscosidad cinem´ atica ν y se expresa como ν = µ/ρ. Dos unidades comunes de la viscosidad cinemática son m2 /s y el stoke (1 stoke ) 1 cm2 /s = 0.0001 m2 /s). Para los l´ıquidos , la viscosidad dinámica y la cinemática son prácticamente independientes de la presión.

Viscosidad

La viscosidad de un fluido es una medida de su “resistencia a la deformación”. La viscosidad se debe a la fuerza de fricción interna que se desarrolla entre las diferentes capas de los fluidos a medida que se obligan a moverse una con relación a las otras. En los l´ıquidos, la viscosidad se origina por las fuerzas de cohesión entre las moléculas mientras que en los gases por las colisiones moleculares, además de que ésta var´ıa mucho con la temperatura

Viscosidad

Variación de las viscosidades din´ amicas (absolutas) de fluidos comunes con la temperatura a 1 atm. Es más dif´ıcil mover un objeto en un fluido de viscosidad alta, como el aceite de motor, que en uno de viscosidad baja, como el agua. En general, los l´ıquidos son mucho m´ as viscosos que los gases.

Viscosidad

Ejemplo 9. Determinaci´ on de la viscosidad de un fluido Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscos´ımetro construido con dos cilindros concéntricos de 40 cm de largo. El diámetro exterior del cilindro interior es de 12 cm y la brecha entre los dos cilindros es de 0.15 cm. El cilindro interior se hace girar a 300 rpm y se mide el par de torsión que resulta ser 1.6 N·m. Determine la viscosidad del fluido mediante la fórmula 2πR 3 ωL T = F R = µ  4π 2 R3 nL ˙ =µ 

(32) (33)

Tensi´ on superficial y efecto de capilaridad

Una gota de sangre forma una joroba sobre un vidrio horizontal

Una gota de mercurio forma una esfera casi perfecta y se puede hacer rodar del mismo modo que una bola de acero, sobre una superficie lisa


Las gotas de la lluvia o del roc´ıo se cuelgan de las ramas o de las hojas de los árboles

Un combustible l´ıquido inyectado en un motor forma una niebla de gotas esféricas


El agua que gotea de un grifo con fuga cae como gotas esféricas

Una pompa de jab´ on que se lanza al aire toma una forma esférica


En estas y otras observaciones, las gotas de l´ıquido se comportan como peque˜ nos globos esféricos llenos con ese l´ıquido y su superficie act´ ua como una membrana el´ astica estirada sometida a tensión. La fuerza de tracci´ on que causa esta tensión act´ ua paralela a la superficie y se debe a las fuerzas de atracción entre las moléculas del l´ıquido. La magnitud de esta fuerza por unidad de longitud se llama tensi´ on superficial σs y se expresa en la unidad N/m (o lbf/ft en unidades inglesas). Este efecto también se conoce como energ´ıa superficial y se expresa en la unidad equivalente de N·m/m2 o J/m2 . En este caso, σs representa el trabajo de estiramiento que se necesita para hacer que aumente el área superficial del l´ıquido en una cantidad unitaria.


Las fuerzas de atracción que se aplican sobre la mol´ ecula interior por las moléculas que la rodean se equilibran entre s´ı debido a la simetr´ıa. Las fuerzas de atracción que act´ uan sobre la molécula en la superficie no son simétricas y las fuerzas de atracción que se aplican por las moléculas de gas que están arriba suelen ser muy peque˜ nas. Existe una fuerza de atracción neta que act´ ua sobre la molécula en la superficie del l´ıquido, la cual tiende a jalar de las moléculas que están en la superficie hacia el interior del l´ıquido


Esta fuerza se equilibra por las fuerzas de repulsi´ on provenientes de las moléculas que están debajo de la superficie y que están siendo comprimidas. El efecto de compresión resultante hace que el l´ıquido minimice su área superficial. Esta es la razón de la tendencia de las gotas de l´ıquido de alcanzar una forma esférica, la cual tiene el área superficial m´ınima para un volumen dado.


Algunos insectos pueden aterrizar sobre el agua o , inclusive, caminar sobre ella

Las agujas peque˜ nas de acero pueden flotar sobre el agua

Estos fenómenos son posibles por la tensión superficial que equilibra los pesos de estos objetos.

Tensi´ on superficial y efecto de capilaridad on

La pel´ el´ıcul ıculaa de l´ıquid ıqu idoo tiend tie ndee a jalar del alambre movible hacia dentro, para minimizar su área area superficial. Necesita aplicarse una fuerza F sobre F sobre ese alambre movible, en la dirección on opuesta, para equilibrar este efecto de tirón. on. La tensión on superficial se puede expresar como F σs = 2b

(34)


En el alambre con forma de U, la fuerza F permanece F permanece constante conforme se jala del alambre movible para estirar la pel´ pel´ıcula y aumentar su área area superficial. Cuando se tira del alambre movible una distancia ∆x ∆x, el área area superficial aumenta en ∆A = 2b∆x, y el trabajo W realizado W realizado durante este proceso de estiramiento es W W = Fuerza uerza × Dist Distan anci ciaa = F ∆ F ∆x = 2bσs ∆x = σs ∆A Este resultado tambi´ también en se puede interpretar como la energ´ıa superficial superficial de la pel´ el´ıcula se incrementa en una cantidad σs ∆A durante este proceso de estiramiento .


La tensión on superficial de un l´ıquido disminuye disminuye con la temperatura temperatura y llega a cero en el punto punto cr´ cr´ıtico (por tanto, tanto, a temperaturas por arriba del punto cr´ cr´ıtico no se tiene una interfaz inter faz marcad marcadaa l´ıquidoıqui do-v vapor) ap or).. La tensión on superficial de una sustancia puede cambiarse de manera considerable por la presencia de impurezas . Por lo tanto, se pueden agregar ciertos productos qu´ qu´ımicos, llamados surfactantes , a un l´ıquido para disminuir su tensi´ on on superficial. Una interfaz curva indica una diferencia de presi´ on on (o “salto de presión”) on”) de un lado al otro de ella, y se encuentra la presión on m´ as as elevada en el lado cóncavo. oncavo.


Se puede determinar el exceso de presi´ on ∆P dentro de una gota o burbuja, por arriba de la presión atmosférica, cuando se considere el diagrama de cuerpo libre de la mitad de ellas

Nótese que la tensión superficial act´ ua a lo largo de la circunferencia y la presi´ on act´ ua sobre el a´rea.


El equilibrio horizontal de fuerzas para la gota da 2

(2πR)σs = (πR )∆P gota

→

∆P gota

2σs = P i − P o = R

(35)

y para la burbuja 2

2(2πR)σs = (πR )∆P burbuja

→

∆P burbuja

4σs = P 1 −P o = (36) R

donde P i y P o son las presiones dentro y fuera de la gota o burbuja, respectivamente.

Tensi´ on superficial y efecto de capilaridad Efecto de capilaridad

Otra consecuencia interesante de la tensión superficial es el efecto de capilaridad, el cual es el ascenso o descenso de un l´ıquido en un tubo de diámetro peque˜ no insertado en un l´ıquido. Esos tubos angostos o canales de flujo confinado se llaman capilares. La superficie libre curva de un l´ıquido en un tubo capilar se llama menisco.



La intensidad del efecto de capilaridad se cuantifica por el ´ angulo de contacto (o de mojadura ) φ, definido como el ´ angulo que la tangente a la superficie del l´ıquido forma con la superficie s´ olida en el punto de contacto .

Se puede determinar la magnitud del ascenso por capilaridad en un tubo circular a partir de un equilibrio de fuerzas sobre la columna cil´ındrica de l´ıquido de altura h en el tubo

2σs h = cos φ (37) ρgR

MDF01

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