Actividad 2. Operaciones Operaciones de Conjuntos Conjuntos Al finalizar finalizar esta actividad actividad podrás podrás resolver problemas problemas utilizando utilizando las las operaciones operaciones de conjuntos: conjuntos: intersección, intersección, unión, complemento, diferencia y diferencia simétrica. Con base en ello, realiza lo siguiente: 1. Si A y B son conjuntos, analiza cada una de las siguientes definiciones: I. Definimos la intersección de A y B como { + y lo denotamos: . Conjuntos: A= {3,4,5,6,7} B={6,7,8,9,} Utilizamos el Diagrama de Venn: A
II.
Definimos la diferencia de A y B como * ⁄ + y lo denotamos: . Si A se considera como un conjunto universo, entonces se denota como .
Utilizando el mimo diagrama entonces .=8,9 III.
Definimos la unión de A y B como * ⁄ + y lo denotamos: .
Utilizando el mimo diagrama entonces = 3,4,5,67,8,9 2. Si * ⁄ +, * + , * ⁄ +, * ⁄ +. Resuelve los siguientes ejercicios: a. Calcula: ( ) ( ). A= a,b,c,d,e,f,g,h a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l. ,i,j,k,l. B=a,e,i,o,u C=b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,ñ,p,q,r,s,t,v,w,x,y,z. * + = { b,c,d,f,g,h,j,k,l} * + ( ) = { b,c,d,f,g,h,j,k,l} * + * + * + ( ) {o,u,a,e,i,b,c,d,f,g,h,j,k,l}
b. Si * + , calcula , el resultado de esta operación es un conjunto muy importante y lo denotaremos con el símbolo: .
D Esto quiere decir que es un conjunto vacío. El conjunto vacío es denotado por los símbolos: ó Y cuando no hay intersección se dice que es un Conjunto disjunto porque no tienen elementos en común. Ejemplo: Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; es decir, si
c. Calcula ( ) , , ,( ) , ( ) , ( )
d. Investiga y establece las Leyes de De Morgan Leyes de Morgan Son una parte de la Lógica proposicional, analítica y fueron creadas por Augustus de Morgan. Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes). Casos: ¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de sus miembros negados ¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados (P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P v ¬ Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros. (P v Q) ≡ ¬(¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros
3. Resuelve los siguientes problemas: a. En una fiesta 34 personas comieron mole, 28 comieron barbacoa, 27 comieron carnitas, 16 comieron mole y carnitas, 14 comieron mole y barbacoa, 12 comieron barbacoa y carnitas y 7 comieron mole, barbacoa y carnitas, si todas las personas comieron al menos uno de los alimentos. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
Considerare los siguientes conjuntos:
34 Mole (M) 16 Mole y Carnitas ( ( ) 28 Barbacoa (B) 14 Mole y Barbacoa ( ) 27 Carnitas (C) 12 Barbacoa y Carnitas ( ) 7 Mole, Barbacoa y Carnitas ( ) Diagrama de Venn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Mole () () ( ) ( ) ( ) Personas únicamente comieron mole.
Diagrama de Venn
Barbacoa () () ( ) ( ) ( ) Personas únicamente comieron barbacoa.
Carnitas () () ( ) ( ) ( ) Personas únicamente comieron carnitas.
( ) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? Respuesta: 54 Personas
b. En una evaluación en una escuela de matemáticas aplicada a 100 estudiantes, 75 aprobaron Cálculo diferencial y 60 aprobaron Geometría analítica, si 40 aprobaron los dos exámenes. ¿Cuántos estudiantes no aprobaron ningún examen?
Considerare los siguientes conjuntos:
() ( ) () ( )
100 Estudiantes (U) 75 Aprobaron Calculo Diferencial (C) 60 Aprobaron Geometría Analítica (G) 40 Aprobaron los dos exámenes ( ) X= Reprobados
() () ()
Los estudiantes que no aprobaron ningún examen fueron 5.
c. Denotamos la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B como ( ) ( ) , expresa la solución del problema anterior utilizando la diferencia simétrica.
A={35 Estudiantes que únicamente aprobaron Calculo diferencial, 40 Estudiantes que aprobaron calculo diferencial y geometría analítica } B={20 Estudiantes que únicamente aprobaron geometría analítica, 40 Estudiantes que aprobaron calculo diferencial y geometría analítica} Como sabemos la diferencia simétrica solo son los elementos que están fuera de la intersección. A * +
Nota: Quedo en espera de sus observaciones. Un favor me podría retroalimentar en cómo puedo r esolver o cual es la respuesta al inciso c ) del problema 2.
