MCDI_U4_A2_

Calculo Diferencial

UNIDAD 4 ACTIVIDAD 2 RAZÓN DE CAMBIO Y TANGENTE DE CURVA

10 m

2m

1. Un recipiente en for! "e cono in#erti"o "e  "e !$t%r! &  "e r!"io e't( $$eno con %n $)*%i"o+ e'te '%fre %n! !#er)! & e$ $)*%i"o 0.8 m3 /s

coien,! ! f$%ir con %n! #e$oci"!" "e

. -Con *% #e$oci"!" 4m

/!0! e$ $)*%i"o c%!n"o ! "e'cen"i"o 1

2

V = π ·r · h 3

1

40 π 

3

3

Vo= π · 4 · 10=

En

3

m

t   el v del cubo será

V  (t )=

40 π  3

−0 . 8 t 

Luego h(t)

( t ) r¿ ¿ 1 ( )π · ¿ 3

Tenemos que r ( t ) 2 1 = = h ( t ) 10 5 r ( t ) =

h ( t ) 5

 "e !$t%r!

¿ t  ¿ ¿ ¿ t  ¿ ¿ ¿2 h¿ ¿ r¿ ¿ Sustituyendo

[ h ( t ) ] = 40 π −0 . 8 t  π· 3

() 1 3

25

75

h ( t ) = 3

(

3

 40 π  3

)

− 0 . 8 t 

π 

√ 3

75

h ( t )=

(

 40 π  3

)

−0 . 8 t 

π 

cuando tiene 6m de altura, calculamos t

√ 3

6

=

75

(

40 π  3

)

−0 . 8 t 

π 

75

=

216

216 π  75

 40 π  3

)

−0 . 8 t 

π 

=

=

0 . 8 t 

(

40 π  3

 40 π  3

−0 . 8 t 

−

216 π 

( 40 · 25 −216 ) π  75

75

=

=¿

784 π  75

(= ) 10 8

t 

784 π 

=¿

75

7840 π 

196 π 

600

15

=

 derivando ' 

h (t )=

¿−(

( )[

20

π 

75

1

(

40 π  3

π 

3

)

[

)

−0 . 8 t 

75

(

40 π  3

)

− 0 . 8 t 

π 

]

]

−2 3

·

(

)

−75 · 0 . 8 π 

−2 3

Entonces

' 

h

(

196 π  5

)=−( ) 20

π 

[

75

(

40 π  3

−0.8

(

196 π  5

π 

La altura de un cilindro que tuviera 0.8

))

]

−2

0.8 m

3

(  )[

=−

20

π 

−2

−2

1000 −784 ]

3

=

−20 [ 216 ] 3 π 

=

−20 −5 = =−0.17683 36 π 

3

 seria

3

1.44 π 

= 0.1768388257 m / s

Tiene signo

−¿  ya que la altura decrece 3

−0.1768388257 m / s

2. 3e inf$! %n $o/o en for! e'fric! "e o"o *%e '% #o$%en 'e 3 m3 / min

increent! con %n! #e$oci"!" "e 10 m

"i(etro c%!n"o 'te e' "e



. -A *% r!,5n !%ent! e$

9 π 

V ( t )= 3 t 

la derivada es dV  =¿ 3 dt  volumen como funcin del diámetro

()(

V  (d )=

 4

3

π 

d 2

3

)

derivamos con res!ecto a t

()

2

2

dV  dV   dd 4 d 1  dd  π d  dd = ·  = π · 3 · ·  = · 2 2 dt  2 dt  dd dt  3 dt  dd dV  2  = · dt  dt  π d 2 dV  =3 dt  6 dd  = 2 dt  π d

derivada cuando

d =10  será

6 3 dd = = 2 dt  d =10 π 10 50 π 

25 m

6. Un ni7o 0%e! con %n p!p!$ote ! *%e e't( ! %n! !$t%r! "e 0.75 m/s

corrien"o ori,ont!$ente con %n! #e$oci"!" "e . 3i i$o *%e '%0et! e$ p!p!$ote e't! ten'o+ -! *% r!,5n 'e !f$o0! c%!n"o $! $onit%" 60 m

"e$ i$o '%e$to e' "e  x ( t )=0.75 t  dx  = 0.75 dt 



2

2

 x + 25 =h

2

 x =√ h −625 2

 derivada de " res!ecto de t dx dx dh h dh  =  ·  = 2 · dt  dh dt  √ h −625 dt  dh 0.75 √ h −625  = dt  h 2

0.75 √ 60 −625 dh = 60 dt  h=60 2

dh = 0.6817 m / s dt  h=60

50 m/s

4. Un e$ic5ptero #%e$! !ci! e$ norte con %n! #e$oci"!" "e

 ! %n!

70 m

!$t%r! "e + en e'e in't!nte+ e$ r!&o "e $%, "e %n f!ro %/ic!"o en $! tierr! 'e7!$! $! p!rte inferior "e$ e$ic5ptero. 3i $! $%, "e !ntiene 'e7!$!n"o !$ e$ic5ptero+ -con *% #e$oci"!" ir! e$ r!&o "e $%, 1500 m

c%!n"o e$ !#i5n 'e enc%entr! ! %n! "i't!nci! ori,ont!$ "e '%r "e$ f!ro

 H  ( t ) 70

=

50 t 

5 t 

70

7

=

α ( t )=arctan

( ) 5 t  7

 !$

 H (t )= 50 t  dH  =50 dt   H  ( α ) 70

=tan ( α )

 H (α )= 70 · tan ( α )

Luego dH  dH   dα  dα  50= = ·  = 70 ( 1+ t an2 α ) · dt  dα  dt  dt  dα  50 5  = = 2 dt  70 ( 1 + t an α ) 7 ( 1 + t an 2 α )

#uando está a $%&& m 1500 70

=

150 7

'or lo tanto dα   = dt 

5

=

2

7 (1 +

150 2

7

)

35 22549

rad / s

 f ( x) = x 2

−

2x

8. D!"! $! f%nci5n + !$$!r $! ec%!ci5n "e $! rect! t!nente ! "ic! f%nci5n *%e e' p!r!$e$! ! $! rect! nor!$ *%e p!'! por e$ p%nto ( 3,3 )

.  y = yo −

m=

[  ( ) ]( −

−1 f  ( xo )

1

f   xo

 x  xo )

queda f ' ( x )=2 x −2 f ' (3 )=6 − 2= 4

m=

 − 1 −1 = '  4 f  ( 3 )

f ' ( xo )=

−1 4

2 xo

−2 =

2 xo

=

2 xo

=

−1 4

−1 4

+2

7 4

7

 xo =

8

() ()

 yo =

2

7

−2

8

7 8

=

7

 49 64

−

63

( ,− ) El !unto es 8 64  la recta tangente es  y =

 y =  y =

−63 64

()

−

1 4

−63  x − + 64

4

− x

49

4

−

64

7

( x − ) 8

7 32

14 8

=

−112 −63 =

49

64

64

 xy 2

9. :!$$!r $! ec%!ci5n "e $! rect! t!nente ! $! f%nci5n ( 1,1)

en e$ p%nto

2

.

3

 x y + 4 x  y + x / y + 2=0

*erivando 2

2

3

 y + x · 2 yy ´ + 12 x  y + 4 x  y ´ +

 y − xy ´   y

2

=0

 +hora des!earemos y- en esa e"!resin x 3 2 2  y ´  2 xy + 4 x − 2 =− y −12 x  y − y  y

( (

 y ´ 

)

2 x

3

3

)

2

y + 4 x  y − x =−( y 2 + 12 x2  y + y ) 2  y 3

2

− y ( y + 12 x + 1)  y ´ = 2 x y + 4 x  y − x 3

3

2

derivada en el !unto ($,$)  y ´ =

−14 5

recta tangente en un !unto  y = y 0 + f ´ ( x 0)( x − x0 )  y =1 −  y =

14 5

−14 5

( x −1 )

 x +

19 5

( x , y ) 0

0

−

4 x3 y +

x  y

+

2=0

;. :!$$!r $! ec%!cione' "e $!' rect!' t!nente & nor!$ ! $! f%nci5n  f ( x ) = x 3 − 2 x

 en e$ p%nto "on"e $! rect! t!nente ! "ic! f%nci5n en  x

=

1

 inter'ect! ! $! r(fic! "e i'! f%nci5n.  y = yo + f ' ( xo )( x − xo )

tangente en ".$ f  ( 1)= 1−2=−1 2

f ' ( x )=3 x −2 f ' (1)= 3−1= 1

 y =−1 + 1 ( x −1 )= x −2

 la otra es 3

 x −2 x = x −2 3

 x −3 x + 2 =0

#on  x =−1 /$ 0102 . 3 #on ".2 4/602.3 2 #on  x =− /4 0 6 0 2 . & ,el !unto de interseccin tiene coordenada  y =(−2 ) −2 (−2 )=−8 + 4 =−4 3

el otro !unto de interseccin es

(−2,−4 )

 x =−2

#onsiderando que la derivada era 2

f ' ( x )=3 x −2 f ' (−2 )=12 −2=10

La recta tangente en (/2,3) será  y =−4 + 10 ( x + 2 )

 y =10 x + 16

 la recta normal tiene ecuacin  y = yo −

[  ( ) ]( −

 y =−4 −

 y =  y =

− x 10

− x 10

1

 x  xo )

f   xo

( )( + )

− −

1

10

 x

2

42 10 21 5

 f ( x) =

<. :!$$!r $!' ec%!cione' "e $!' rect!' t!nente' ! $! f%nci5n

 x − 1  x + 1

π  

*%e 'e!n *%e foren %n (n%$o "e

tan

( )= () () π  4

f  ( x )=

sen

=

cos

 π  4

 π 

sen 45 º   =1 cos 45 º 

4

2  x −1 → f ´ ( x )=  x + 1 ( x + 1)2

Entonces

4

 con re'pecto ! $! ori,ont!$

1=

2

( x + 1 )2

( x + 1) =2 → x + 1 =± √ 2 → x =−1 ± √ 2 2

 x 1=−1 + √ 2 x 2=−1 −√ 2

Entonces f  ( x 1 )= f  ( x 2 )=

−2+ √ 2 √ 2

=1 −√ 2

−2−√ 2 = + 1 √ 2 −√ 2

recta tangente en un !unto

( x , y ) 0

 y = y 0 + f ´ ( x 0)( x − x0 )

Luego en

(−1+ √ 2, 1−√ 2 )  es

 y =1 −√ 2 + 1 ( x −(−1 + √ 2))  y = x + 2 + 2 √ 2

0