CALCULO DIFERENCIAL ACTIVIDAD 3: Continuidad de funciones. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Dada Dada la func funció ión n
x 2 + 4 f ( x ) = ax + b − x 2 − 5
si si
x ≤1
1< x ≤ 2
si
2 ≤ x
que f ( x ) es continua en x0 = 1 y x1 = 2 . Es equivalente a deci que
! f"#$ queda co%o co%o
José Javier Sánchez Sánchez Herrera Herrera Matricula: AL12508920
hallar el valores de
a
y b de tal forma
CALCULO DIFERENCIAL ACTIVIDAD 3: Continuidad de funciones. f ( x) =
15 x + 17 x 2 + 4 x 3
−
2. Dada la función
x + 5
continua en x ≠ −5 . ¿Qué valor dee
tomar f ( −5) !ara que la función sea continua en x0 = − 5 " &e eval'a f"#$ en
La f"#$ no est( definida
sin e%)a*o %ediante una
si%+lificaci,n se +ude eli%ina una discontinuidad +aa que sea continua en
En efecto se cu%+le a-oa +aa conclui evalua%os esta funci,n en queda
lim [ f ( x0 + h) − f ( x0 ) ] = 0 #. Demostrar que f ( x ) es continua en x0 si y sólo si h→0 . Es equivalente %enciona que
&u+on*a%os que f es continua tene%os que Co%o
+o esto queda
&u+on*a%os que ! tene%os que Donde
es un +unto fi/o donde +o esto queda
Esto se conviete +o lo %encionado co%o 0ue esto f es continua en
José Javier Sánchez Herrera Matricula: AL12508920
esto si*nifica que
CALCULO DIFERENCIAL ACTIVIDAD 3: Continuidad de funciones. f ( x) = x3 − 4 x + 4
$. Dada la función % demostrar que e&iste O)seve%os que f es continua en el intevalo ceado
c ∈ [ −3,0 ]
tal que f (c) = 0 . ade%(s
+oque es un +olino%io Dado que
Resulta que 1ode%os a+lica el teoe%a del valo inte%edio conclui que de)e -a)e al*'n c en
tales que
f +osee al*'n 2 en el
intevalo ceado Es deci El 2 es un nu%eo ente 4 De -ec-o +ode%os locali5a una a65 con %ao +ecisi,n a+licando el teoe%a de valo inte%edio Una a65 se de)e enconta ente
De %odo de una a65 se encuenta en el intevalo El valo de la a65 se a+o#i%a a
'. Demostrar que la ra() cuadrada de un n*mero real !ositivo e&iste. &ea a R Consideando este con/unto Es un con/unto eal acotado su+eio%ente +o a tiene al %enos el ele%ento7 el 2 a que 1o las +o+iedades de los n'%eos eales tiene un su+e%o en R lla%8%oslo
A-oa su+on*a%os que no es la a65 cuadada de a7 es deci7 que su cuadado es distinto de a7 co%o todo ele%ento de C tiene el cuadado cu%+li6a
José Javier Sánchez Herrera Matricula: AL12508920
se
CALCULO DIFERENCIAL ACTIVIDAD 3: Continuidad de funciones. +uesto que los n'%eos acionales son densos en R e#isten nu%eos acionales
los cuadados de los acionales ta%)i8n son densos en R. !a que con el al*oit%o de la a65 cuadada7 +ode%os calcula con cuantos deci%ales de +ecisi,n quea%os la a65 cuadada acional +o e#ceso de
-asta que el cuadado de esta sea tan cecano a %9n que sea %eno que
1ode%os enconta un n'%eo acional
entonces
tal que
a que
lue*o el su+e%o de C "que es $ de)e se %ao o i*ual que
+eo de la cadena de desi*ualdades de ai)a +ode%os entesaca
1eo
e%os lle*ado a un a)sudo +oque no +uede se a la ve5 %enos %ao o i*ual que
Lue*o la su+osici,n de que no ea la a65 cuadada de a es
falsa entonces e#iste la a65 cuadada de a que es el su+e%o de C +. ,ea f ( x ) una función definida en todos los n*meros reales tal que f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Demostrar que f ( x ) es continua en ¡ . &ea 0uee%os de%osta que
Tene%os que
Entonces
José Javier Sánchez Herrera Matricula: AL12508920
donde
CALCULO DIFERENCIAL ACTIVIDAD 3: Continuidad de funciones.
Ade%(s considee%os que donde
Entonces lle*a%os a
Es f continua en 1o lo tanto f es continua en todas +ates continua en los Reales siendo a)itaia
