Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones
LUIS CORDOVA MORENO Ing. Tecnología Ambiental Segundo semeste Matícula! ES"#$"%%#&&' Contase(a! T)*++sbO,-d Mateia! CALCULO DIERENCIAL Acti/idad $. A0licaci1n de los a2iomas de n3meos eales
Resuelve Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales x , y , z ∈ ¡
x < y
z <
0
xz
>
yz
1. Dado , donde y , demuestre que .Se tiene que x-y,z ϵ , dado que es cerrado !ajo el "roducto "roducto se tiene que #y-x$z #y-x$z ϵ lo que im"lica que xz- yz% &, es decir xz%yz.
x, y, z, w ∈ ¡
'. Demuestr Demuestre e que "ara cualesquier cualesquiera a 0<
z
<
xz
w
<
0<
tales que
x< y
y
yw
entonces
.
()y)z)*%& "or un lado xz)yz)*z y "or el otro x*)y*)z* dando "or resultado (z)+x*)yz)+y*)*z)+z* (z)y*
x, y ∈ ¡
. Demuestr Demuestre e "or inducci induccin n matemtica matemticas s que dados dados 0
y
x
n
<
y
n
demostrar que "ara cualesquiera 1 si n+ & (n+ si n no es + & x-xn-1 or lo tanto x)y 0nverso multi"licativo #yn$-1)#xn$-1+ 1yn)1xn "or lo tanto x)y.
tales que
n∈/
.
Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones
x +
2x − 5
= 1+ x
2. Resolver la ecuacin (3'x-4+13x x-4+13x x+1343x x+53x x-x+5 'x+5 (+5' (+
.
0≤
2
x − x − 12
4. Resolver la desigualdad
.
('-x-1'6& #x3$#x-2$6& 7aso18 cuando x36& y x-26&. 9uego x6- y x62, la solucin a este caso es la interseccin de los conjuntos #-,:$ y #2,:$ y el conjunto !uscado es #2,:$ 7aso'8 cuando x3;& y x-2;&. 9uego x;- y x;2, la solucin a este caso es la interseccin de los conjuntos #-:,-$ y #-:,2$, y el conjunto !uscado es #:,-$. or tanto la solucin a esta desigualdad es #-:,-$<#2,:$. x + 1 x − 1
5. Resolver la desigualdad (316'#x-1$ (316'x-' x-'x6-'-1 -x6- x;
≥
2
.
Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones x y
=. Demuestre que
=
x x, y ∈ ¡
y
"ara cualesquiera
y ≠
y
0
.
7aso18 cuando x6& y y6& >x>>y>+>x>>y> 7aso '8 cuando x6& y y)&, entonces >x>+x y >y>+-y, como no se sa!e si x3y es "ositivo o es negativo. Se "rocede "or su!casos, cuando x3y6&, entonces >xy>+xy)x-y? cando x3y)& se tiene que >xy>+-#xy$+-xy)x-y, en am!os casos se tiene que >xy>)x-y+x-y+>x>>y>. 7aso. 7uando x)& y y)&, entonces >x>+-x y >y>+-y, luego se tiene que > xy>+-#xy$+-x-y+>x>>y>. or lo tanto, se tiene que >xy>;>x>>y> "ara cuales quiera x,y ϵ R 2
x + 4 x + 10 <
@. Resolver la desigualdad
0
.
Aay que o!servar que "ara cada xϵR se tiene que #x3'x$'6 & y adems B%& lo que im"lica que #'x3'$' 3B%& entonces x'32x31&%&, "or consiguiente no existe xϵR tal que x'32x31&;&. or lo tanto el conjunto solucin es C.
