Actividad 2. Aplicación de los axiomas de números reales
Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales x, y , z ∈ ¡
x < y
z <
0
xz
>
yz
1. Dado , donde y , demuestre que Para demostrar que xz - yz > 0. Vemos que xz - yz = -z!-x!"y!= -z!y-x!. #omo x $ y tenemos que y- x > 0 y tam%i&n tenemos que -z > 0 osea z $ 0. 'l (roducto de dos números (ositivos es (ositivo luego -z!y - x! > 0 y asi demuestra que xz - yz > 0 . 0< x< y x, y , z , w ∈ ¡ 0< z
entonces
0$x$y
⟹
.
x-y! ϵ R+ ⟹
0$z$)
⟹
zy-x!"z-)!x ϵ R+
z-)! ϵ R+
*%tendremos zy + )x ϵ R" (or la deinicin de $ se tiene que xz $ y) x, y ∈ ¡
3. Demuestre por inducción matemáticas que dados n
x < y
demostrar que
n
0< x<
y
tales que
n∈¥
para cualesquiera
.
egún el (rinci(io de induccin matem/tica dice que se de%en de cum(lir con el axioma de tricotoma dice que x n=yn, xn>yn y xn$yn y solo una de ellas es verdadera. xn-yn ϵ R" - xn-yn! ϵ R" yn-xn!=0 'sto signiica que1 xn $ yn se demuestra xn>yn xn=yn x +
4. Resolver la ecuación
2x − 5
=1+ x
.
x"2x-3=4"x 5x-3=4"x 5x=4"3"x 5x=6"x 5x-x=6 2x=6 x=672 x=5 com(ro%acin sustrayendo x 5"25!-3=4"5 5"6-3=8 9-3=8 8=8 0≤ x
2
− x − 12
. Resolver la desi!ualdad
.
Re(lanteamos la desigualdad x2 + x -42> 0 actorizamos la ecuacin cuadr/tica x"5!x-8! > 0 x + 1 x − 1
". Resolver la desi!ualdad
x"4 >2 x-4
x"4
≥
2x-4!
x"4
≥
2x-2
x-2x -x x
≥ ≤
≥
-5 5
-2-4
≥
2
.
x y
=
x x, y ∈ ¡
y
y ≠
0
#. Demuestre que para cualesquiera y . :a condicin y =0 tiene un solo o%jetivo y es asegurar que los cocientes existan 2
x + 4 x + 10 <
$. Resolver la desi!ualdad
0
.
Lo primero que tendremos que realizar es una igualar la ecuación a cero para determinar la solución y dar los intervalos
X2+4x+1!
∗
1 10
√ 4 − 4 (¿) −4 ± 2
( ) x =¿ 2 1
x
=
−4 ± √ 16 −40
x
=
−4 ± √ −24
2
2
"omo podemos o#servar aqu$ no se tienen ra$ces reales ya que
√ −24 no es
un n%mero real& esto nos indica que para ning%n numero real x sucede la igualdad x 2+4x+1!' (enemos entonces& que para cada n%mero real x se cumple x2+4x+1) o #ien x 2+4x+1* como x!
