MATSM17G7B.pdf

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

Matemática BÁSICO Jael del Valle Elgueta

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN AÑO 2017

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

Matemática

BÁSICO

Jael Raydoret del Valle Elgueta Licenciada en Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile Profesora de Educación Básica mención Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile Profesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile

En las ceremonias de los pueblos originarios de Chile se emplean distintos símbolos espirituales. Uno de ellos es el kultrun, utilizado en las ceremonias mapuche. En la cosmovis cosmovisión ión de este pueblo, la forma semiesférica representa la mitad del universo.

La Guía didáctica del docente Matemática 7.° básico , es una creación del Departamento de Estudios pedagógicos de Ediciones SM, Chile.

Dirección editorial

Dirección de arte

Arlette Sandoval Espinoza

Carmen Gloria Robles Sepúlveda

Coordinación Coordinac ión editorial

Coordinación de diseño

María José Martínez Cornejo

Gabriela de la Fuente Garfias

Coordinación área Matemática

Diseño de portada

Carla Frigerio Cortés

Estudio SM

Edición

Diseño y diagramación

Catalina Manosalva Iturriaga Gladys Osorio Railef María Antonieta Santis Ávalos

Madelaine Inostroza Inost roza Vargas

Autoría

Jael del Valle Elgueta

Fotografía

Archivos fotográficos SM Jefatura de producción

Andrea Carrasco Zavala

Corrección de estilo y prueba

Juan Diego Gómez

Esta guía corresponde al Séptimo año de Educación Básica y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 614/2013, del Ministerio de Educación de Chile. ©2015 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia ISBN: 978-956-349-951-3 / Depósito legal: 260989 Se terminó de imprimir esta edición de 7900 ejemplares en el mes de octubre del año 2016. Impreso por A Impresores. Quedan rigurosamente prohibidas, das, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público

Presentación

La nueva Ley General de Educación señala que los cursos de �° y �° básico� así como �° y �° medio pasan a formar parte del ciclo de formación general de la Educación Media que “tiene por finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación general y desarrolle los conocimientos� habilidades y actitudes que le permiten ejercer una ciudadanía activa e integrarse a la sociedad (…)�� Este ciclo busca formar a los y las estudiantes de Chile para que participen en una “sociedad democrática� con responsabilidad y en un marco de libertad y respeto a los derechos fundamentales” �� por lo tanto� debe entregar los recursos cognitivos y no cognitivos para desempeñarse en la sociedad de manera informada� responsable y autónoma� La propuesta editorial que tiene en sus manos (Texto del estudiante� Guía didáctica del docente� Cuaderno de ejercicios y Recursos digitales complementarios)� busca aportar en la implementación de las Bases curriculares para la Educación Media exponiendo por un lado� al estudiante a experiencias de aprendizajes que van en busca de desarrollar el pensamiento crítico� reflexivo y analítico y� por otro� entregando al docente herramientas que le permitan ser un mediador y un guía en este proceso� apoyando a los y las estudiantes con material complementario para realizar una mejor implementación de las experiencias en el aula� Las Bases Curriculares se centran en las habilidades y se estructuran a partir de los Objetivos de Aprendizaje� Son objetivos terminales�

Explican lo que el estudiante debe aprender�

OA Describen desempeños observables�

Relacionan conocimientos� habilidades y actitudes�

Finalmente� es importante considerar que en esta era de la información ya no solo es relevante el saber o contenido� sino lo que se hace con esa información (saber hacer) y cómo se regulan las emociones y actitudes en la realización de un trabajo (el saber ser)� De aquí la relevancia que adquiere el trabajo de las habilidades y actitudes en este nuevo currículo como ejes centrales en la formación de la persona integral�

1

Bases curriculares 7.° básico a 2.° medio. Ministerio de Educación. 2013. 2 Ídem anterior.

Índice

5

Presentación de la propuesta editorial Estructura del Texto del estudiante y su relación con la estructura de la GDD

XX

Visión global del año

12

Unidad 1

Números

15

Planificación de la unidad ................................................ 16 Orientaciones al docente ................................................. 22 Sección 1: Números enteros ....................................... 23 Sección 2: Fracciones, decimales y porcentajes .... 30 Sección 3: Potencias .....................................................38 Información complementaria disciplinar ..................... 43 Información complementaria didáctica ....................... 44 Actividad complementaria .............................................. 45 Evaluación de la unidad ....................................................46 Banco de preguntas ........................................................... 49 Solucionario de la unidad ................................................. 50

Unidad 2

Álgebra y relaciones proporcionales 53

Planificación de la unidad ................................................ 54 Orientaciones al docente .................................................. 58 Sección 4: Álgebra.........................................................59 Sección 5: Relaciones proporcionales .....................66 Información complementaria disciplinar ..................... 75 Información complementaria didáctica ....................... 76 Actividad complementaria .............................................. 77 Evaluación de la unidad ....................................................78 Banco de preguntas ........................................................... 81 Solucionario de la unidad ................................................. 82

4

Unidad 3

Geometría

87

Planificación de la unidad ................................................ 88 Orientaciones al docente .................................................. 96 Sección 6: Polígonos .....................................................97 Sección 7: Círculo y circunferencia .........................102 Sección 8: Construcciones geométricas ................107 Sección 9: Plano cartesiano ......................................113 Información complementaria disciplinar ...................119 Información complementaria didáctica .....................120 Actividad complementaria ............................................121 Evaluación de la unidad ..................................................122 Banco de preguntas .........................................................125 Solucionario de la unidad ...............................................126 Unidad 4

Estadística y probabilidad

133

Planificación de la unidad ..............................................134 Orientaciones al docente ................................................140 Sección 10: Muestreo y representación de datos 141 Sección 11: Medidas de tendencia central ........... 147 Sección 12: Probabilidad ..........................................153 Información complementaria disciplinar ...................158 Información complementaria didáctica .....................159 Actividad complementaria ............................................160 Evaluación de la unidad ..................................................161 Banco de preguntas .........................................................164 Solucionario de la unidad ...............................................165

Anexos: Material fotocopiable

171

Bibliografía

176

Índice

Presentación de la propuesta editorial El modelo didáctico del Texto del estudiante está basado en el proceso de aprendizaje que se inicia con una toma de conciencia de los propios procesos de pensamiento tanto creativo (generar ideas) como crítico (analizar y evaluar ideas) donde se despierta una necesidad o propósito de aprender un conocimiento o desarrollar una habilidad para dar respuesta o satisfacer esta necesidad (1). Dentro de las teorías cognitivas del aprendizaje, podemos considerar que un contenido matemático generalmente es una combinación entre un c oncepto, una habilidad y una actitud (2). Lo anterior es lo que consideramos como un ob jetivo de aprendizaje, por lo tanto para cada una de estas partes es necesario un tratamiento pertinente y adecuado. Cada lección del Texto comienza con una pregunta dirigida a un contenido específico que está definido por un propósito relacionado con el objetivo de aprendizaje planteado. De esta manera las y los estudiantes pueden contar con la primera condición de la metacognición, conocer los objetivos. Pero lo anterior no es suficiente, se agrega una segunda pregunta ¿Para qué? la cual muestra una aplicación cercana que da sentido a la lección creando una experiencia de aprendizaje adecuada y significativa. En el caso de aquellos aprendizajes que requieren de un procedimiento a seguir, se presenta la construcción de un modelo de acción mental para que los y las estudiantes, por medio de la observación, puedan reproducir este modelo y a través de una serie de pasos, se produzca un modelamiento del proceso favoreciendo la interiorización de la estrategia. Por otra parte, para aquellos aprendizajes que involucren conceptos se presenta un taller grupal para conectar con la estructura de acogida del alumno y alumna para descubrir, a través de preguntas, sus representaciones implícitas sobre el contenido para luego proporcionar una estructura lógica que le dé sentido al concepto, incluyendo un desarrollo claro y preciso de los conceptos fundamentales del objetivo, con los debidos ejemplos y contraejemplos. La organización de las actividades permite desarrollar en las y los estudiantes una autonomía progresiva y una profundización y transferencia de los conocimientos. (3) Finalmente se realiza una síntesis del conocimiento, recogiendo lo fundamental en una estructura gráfica que ayude a crear una representación mental. Se favorece la metacognición que según J. H. Flavell (3), especialista en psicología cognitiva, hace referencia al conocimiento de los propios procesos cognitivos, de los resultados de estos procesos y de cualquier aspecto que se relacione con ellos; es decir el aprendizaje de las propiedades relevantes que se relacionen con la información y los datos. Al iniciar y terminar cada sección se presentan actividades cuyos objetivos son crear una instancia de reflexión para que las y los estudiantes desarrollen a largo plazo un proceso de metacognición que requiere, entre otras cosas, conocer los objetivos deseados, autoobservación del propio proceso de elaboración de conocimientos y la evaluación de los resultados para saber hasta qué punto se han logrado los objetivos. De esta manera se logran mejores y sólidos aprendizajes en las y los estudiantes. (1) Pozo,

J. I. (2002) Teorías cognitivas del Aprendizaje. Ciudad: Madrid, Ediciones

Morata Batanero, C, Font, V. (2003). Fundamentos de la enseñanza y aprendi zaje de las matemáticas para maestro. Ciudad: Granada. Universidad de Granada. (2) Godino, J.,

(3) Flavell, J.. (1979). Metacognition and cognitive monitoring: A new area of cogniti-

ve-developmental inquiry . Stanford. American Psychologist, 34, 906 – 911.

Matemática 7.º básico

5

Estructura del Texto del estudiante y su relación con la estructura de la GDD Para comprender la articulación entre la Guía y el Texto se presenta un paralelo entre ambas propuestas� Cuando corresponda� se incluye también el cuaderno de ejercicios y los recursos digitales complementarios�

Guía didáctica del docente

Texto del estudiante

Inicio

Las unidades de la Guía presentan una propuesta de planificación general que considera� entre otros aspectos� los objetivos de aprendizaje desarrollados en la unidad del Texto del estudiante� Unidad de Guía

Cada unidad del Texto se trabaja en torno a tres momentos� el inicio� el desarrollo y el cierre� A continuación� se presentan los principales componentes de cada uno de ellos� También en estas páginas se presentan las secciones, ¿Qué aprenderé? y ¿Cuál es su importancia?

Al inicio de la unidad de guía se revela el propósito y los objetivos de la respectiva unidad del Texto� Texto�

La entrada de unidad se presenta mediante una imagen central motivadora� a partir de ella se proponen una serie de preguntas tendientes a explorar algunas ideas previas�

La guía comienza proponiendo un modelo didáctico en el que se basa el desarrollo del Texto� Texto� Para tener una visión global del año� la Guía didáctica presenta una tabla en la que se consideran los objetivos de aprendizaje� los objetivos transversales y los tiempos asignados�

6


Guía didáctica del docente Secciones de la unidad de Guía

Texto del estudiante Secciones de la unidad de Texto

Cada sección se complementa con el Cuaderno de ejercicios.

Pienso mis procesos

Orientaciones metodológicas sobre el inicio de la sección

Actividades sugeridas Para que los y las estudiantes puedan reconocer y registrar sus motivaciones� establecer planes de trabajo� y trazarse metas� se propone la sección Pienso mis procesos�

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Apoyo a las actividades de inicio y cierre de cada unidad


7

¿Cómo se articulan los componentes de esta propuesta?



Orientaciones metodológicas para ¿Qué debo saber?

En la sección ¿Qué debo saber?, se exploran y registran las ideas y nociones previas de los y las estudiantes, mediante una serie de actividades motivadoras.

Desarrollo

Cada lección se complementa con las actividades del Cuaderno de ejercicios.

Orientaciones y recomendaciones a las actividades del texto, además de la presentación de otras actividades.

8


Cada lección se inicia mediante una actividad, cuya finalidad es aproximarse a los nuevos conceptos a través de la observación y el planteamiento de preguntas.


Texto del estudiante Mural

Conecta los objetivos vistos con una situación real.

Propósitos y recomendaciones a las actividades del Mural

Propósitos y recomendaciones a Resolución de problemas

Cuaderno de ejercicios

A través del Texto se presentan diferentes estrategias de resolución de problemas que se complementan con el Cuaderno de ejercicios y con las orientaciones metodológicas de la Guía. Cierre

La sección ¿Cómo voy? es la oportunidad para conocer cómo se han incorporado los nuevos aprendizajes.

Orientaciones metodológicas y para evaluaciones de proceso.

La sección Desafío de integración presenta problemas relacionados con las habilidades y contenidos de la sección.


9

¿Cómo se articulan los componentes de esta propuesta?


Orientaciones metodológicas para Vuelvo a mis procesos.

Orientaciones metodológicas para el cierre.

10



Cada sección termina con Vuelvo a mis procesos que se relaciona directamente con Pienso mis procesos del comienzo y tienen como objetivo crear una instancia de reflexión para las y los estudiantes.

La síntesis corresponde a una instancia donde se destacan las nociones esenciales de la unidad y se muestra cómo se relacionan entre sí.

Para cerrar la unidad, se propone una instancia evaluativa

Guía didáctica del docente En cada unidad de la Guía se incluyen actividades complementarias, evaluaciones fotocopiables y banco de preguntas, junto con el solucionario de todas las actividades presentadas.

En cada unidad de guía se incluyen ventanas didácticas y de profundización disciplinar y didáctica que permiten actualizar y conocer estudios e investigaciones recientes, además de una bibliografía y páginas web recomendadas.

Importante

Tanto en el Texto del estudiante como en la Guía didáctica del docente los enlaces a páginas web se realizan por medio de un código que permite resguardar la permanencia de la información como la pertinencia de la misma� Para esto� tanto el y la estudiante como el y la docente deberán ingresar el código que se indica en la página http�//codigos�auladigital�cl


11

Visión global del año UNIDAD

1 Números

UNIDAD

Tiempo estimado: 60 horas

Álgebra y 2 relaciones Tiempo estimado: 54 horas proporcionales

Objetivos de aprendizaje


OA1 Mostrar que comprenden la adición y la sustracción de números enteros: – repr representa esentando ndo los números números enteros enteros en la recta numérica – repr representá esentándola ndolass de manera concreta, concreta, pictórica y simbólica – dándol dándole e significado significado a los símbolos símbolos + y – según según el contexto. – resolv resolviendo iendo problemas problemas en contextos cotidianos cotidianos..

OA6 Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y formular reglas y propiedades y construir ecuaciones. OA7 Reducir expresiones algebraicas, reuniendo términos semejantes para obtener expresiones de la forma: ax + by + cz (a, b y c ∈ ℤ). OA8 Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas: – reali realizando zando tablas tablas de valores para relaciones relaciones proporcionales – grafi graficando cando los los valores valores de la tabla tabla – explic explicando ando las característi características cas de la gráfica gráfica – resol resolviendo viendo problema problemass de la vida diaria y de otras asignaturas.

OA2 Explicar la multiplicación y la división de fracciones positivas: – utiliza utilizando ndo representacio representaciones nes concretas, concretas, pictóricas pictóricas y simbólicas – relac relacionán ionándolas dolas con la multiplicación multiplicación y la división de números decimales. OA3 Resolver problemas que involucren la multiplicación y la división de fracciones y de decimales positivos de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma manual y/o con software educativo). OA4 Mostrar que comprenden el concepto de porcentajes: – repr representá esentándolo ndolo de manera manera pictórica pictórica – calcul calculando ando de varia variass maneras maneras – aplicá aplicándolo ndolo a situaciones situaciones sencillas sencillas..

OA9 Modelar y resolver problemas diversos de la vida diaria y de otras asignaturas, que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales de la forma: – ax = b; x/a =b a, b y c ∊ ℤ; a ≠ 0 – ax < b; b; ax> ax> b; b; x/a x/a < b; x/a > b a, b y c ∊ ℤ; a ≠ 0

OA5 Utilizar potencias de base 10 con exponente natural: – usando los términos potencia, base, base, exponente, exponente, elevado – definien definiendo do y usando el exponente exponente 0 en el sistema sistema decimal – expresando números naturales naturales en notación científica científica (sistema decimal) – resolviendo problemas, usando la notación científica. científica.

Actitudes – Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios de otras asignaturas. – Demostrar curiosidad e interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.

12


– Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor en la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales.

UNIDAD

3 Geometría

UNIDAD


Estadística y 4 probabilidad




OA10 Descubrir relaciones que involucran ángulos exteriores o interiores de diferentes polígonos. OA11 Mostrar que comprenden el círculo: – describiendo las relaciones entre entre el radio, el diámetro y el perímetro del círculo • estimando de manera in tuitiva el perímetro y el área de un círculo – aplicand aplicando o las aproximaciones aproximaciones del del perímetro y del del área en la resolución de problemas geométricos de otras asignaturas y de la vida diaria – identi identificán ficándolo dolo como lugar geométrico geométrico..

OA15 Estimar el porcentaje de algunas características de una población desconocida por medio del muestreo. OA16 Representar datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas, utilizando gráficos apropiados, de manera manual y/o con software educativo. OA17 Mostrar que comprenden las medidas de tendencia central y el rango: – determinando las las medidas de tendencia central para realizar inferencias sobre la población – determinando la medida de tendencia tendencia central central adecuada para responder un problema planteado – utiliz utilizándolos ándolos para para comparar comparar dos poblaciones poblaciones – determ determinand inando o el efecto de un dato dato que es muy difediferente a los otros.

OA12 Construir objetos geométricos de manera manual y/o con software educativo: – líneas líneas,, como las perpendiculares, perpendiculares, las paralelas paralelas,, las bisectrices y alturas en triángulos y cuadriláteros – puntos, como como el punto medio de un un segmento, segmento, el centro de gravedad, el centro del círculo inscrito y del circunscrito – triáng triángulos ulos y cuadriláteros cuadriláteros congruentes congruentes.. OA13 Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios. OA14 Identificar puntos en el plano cartesiano, usando pares ordenados y vectores de forma concreta (juegos) y pictórica.

OA18 Explicar las probabilidades de eventos obtenidos por medio de experimentos de manera manual y/o con software educativo: – estimá estimándolas ndolas de manera manera intuitiva intuitiva – utilizando frecuencias relativas • relacionándolas con razones, fracciones o porcentaje. OA19 Comparar las frecuencias relativas relativas de un evento obtenidas al repetir un experimento de forma manual y/o con software educativo, con la probabilidad obtenida de manera teórica, usando diagramas de árbol, tablas o gráficos.

Actitudes – Trabajar en equipo en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas. – Mostrar una actitud crítica al evaluar evaluar las evidencias e informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos cuantitativos en la comprensión de la realidad social.

– Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la comunicación en la obtención de información, dando crédito al trabajo de otros y respetando la propiedad y la privacidad de las personas.


13

A D D I N

U

1

Números Propósito de la unidad El hilo conductor de esta unidad es el eje de números. Las secciones y lecciones están organizadas de acuerdo a la ampliación de los conjuntos numéricos, ya que, hasta sexto básico los y las estudiantes han trabajado solo con números naturales, fracciones y decimales positivos. Por lo tanto, este año los y las estudiantes ampliarán el ámbito numérico conocido (de naturales a enteros) y con ello extender las operaciones de adición y sustracción, haciendo que esta última cumpla la propiedad de clausura en este nuevo conjunto numérico. La unidad comienza representando los números enteros en la recta numérica. Además, se justifica su uso incluyendo variados contextos de la vida cotidiana en que estos números son utilizados. Una vez que las y los estudiantes reconocen e interpretan los números enteros, se les propone las operaciones de adición y sustracción a través de talleres grupales. Esto les permitirá deducir las regularidades que se producen con los signos. La segunda sección se enfoca en la profundización de la operatoria con fracciones y decimales, haciendo el nexo entre las fracciones decimales y su representación decimal. Luego se trabaja la división y multiplicación con estos números, para finalizar en el uso y aplicación de los porcentajes, incluyendo su utilización en la vida cotidiana como el IVA, valor neto y valor de venta de un producto. Previo al uso de porcentaje, es necesario que los estudiantes manejen la operatoria con fracciones y decimales y la representación de fracciones a decimales y viceversa, para luego presentarles los porcentajes en su forma fraccionaria y decimal. Para finalizar, en la sección 3, focalizamos el uso de las potencias de base 10 y exponente natural, para expresar cantidades muy grandes, y el uso de la notación científica. Este tema se incluyó al final debido a que la representación de la notación científica necesita que los estudiantes manejen la multiplicación de decimales por potencias de 10. El orden de las lecciones tiene por función comenzar con lo que los estudiantes manejan y conocen para ampliar y profundizar en los conocimientos.

Organización de la unidad El siguiente esquema muestra, en una panorámica general, cómo se organizan los contenidos de la unidad en el Texto del estudiante. Números Sección 1

Sección 2

Sección 3

Números enteros y su representación

Fracciones y decimales positivos

Potencias de base 10 y exponente natural

Adición y sustracción

Multiplicación y división

Representación decimal

Propiedades de la adición

Porcentaje y sus aplicaciones

Notación científica

Resolución de problemas


15

Planificación de la unidad Sección 1: Números enteros Objetivos de aprendizaje

Mostrar que comprenden la adición y la sustracción de números enteros: • Representando los números enteros en la recta numérica. • Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica. • Dándole significado a los símbolos + y – según el contexto. • Resolviendo problemas en contextos cotidianos.

Lección

Lección 1: ¿Cómo es el conjunto de los números enteros?

Tiempo

3 horas

3 horas Lección 2: Habilidades: ¿Cómo se pueden representar Modelar: Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y de la y ordenar los números enteros? vida diaria. 3 horas Lección 3: Representar: Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y sim¿Cómo sumar números entebólicas. ros? Actitudes: 3 horas Lección 4: Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas ¿Cómo restar números enteros? de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios de otras asignaturas. Lección 5: 2 horas ¿Cuáles son las propiedades de la adición de números enteros? Páginas especiales de la sección 1 Actividad

16

Páginas del Texto del estudiante

Tiempo

Inicio de sección

8y9

1 hora

¿Qué debo saber?

10 y 11

1 hora

Mural

30 y 31

1 hora

¿Cómo voy?

32 y 33

2 horas


34

1 hora

Vuelvo a mis procesos

35

½ hora

Unidad 1 Números

1 Páginas del Texto del estudiante

Indicadores de evaluación

12 a 15

• Relacionan cantidades de la vida diaria con números enteros; por ejemplo: en el ámbito

de temperaturas, cuentas corrientes, niveles de profundidad en el mar o en minas subterráneas, cargas eléctricas, líneas de tiempo, superávit y déficit, balances financieros, etc. 16 a 19

• Posicionan y representan números enteros positivos y enteros negativos en escalas, como

la recta numérica y en diagramas, como en termómetros.

20 a 23

• Explican la adición y la sustracción de números enteros con procesos reales de la vida

diaria; por ejemplo: aumento y baja de temperaturas, depósito y retiro de dinero en cuentas, etc. • Representan la adición de números enteros de manera concreta (rebajar una deuda, reducir un déficit, disminuir la profundidad, etc.), pictórica (recta numérica) y simbólica.

24 a 27

28 y 29

• Distinguen entre el signo de números enteros y el símbolo de la adición o la sustracción. • Resuelven problemas en contextos concretos, de manera mental y de manera algebraica.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas y motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar los números enteros con situaciones lúdicas y de recreación. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la sección. Desarrollo de una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


17

Planificación de la unidad

Sección 2: Fracciones, decimales y porcentajes Objetivos de aprendizaje

Lección

Tiempo

Explicar la multiplicación y la división de fracciones positivas: Lección 6: 3 horas • Utilizando representaciones representaciones concretas, pictóricas y simbólicas. ¿Cómo se relacionan las frac• Relacionándolas con la multiplicación y la división de números decimales. ciones con los números decimales? Habilidades: 3 horas Representar Elegir y utilizar represen representaciones taciones concretas, pictóricas y simbólicas.

Actitudes: Demostrar curiosidad e interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.

Lección 7: ¿Cómo se multiplican y dividen fracciones?

Resolver problemas que involucren involucren la multiplicación y la división de fracciones y de decimales positivos de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma manual y/o con software educativo). Habilidades: Resolver problemas Utilizar estrategias básicas. Actitudes: Trabajar Tra bajar en equipo, en forma forma responsable responsable y proactiva proactiva respetando respetando los aportes aportes de todos, manifestando disposición a entender sus argumentos. Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje: • Representánd Representándolo olo de manera pictórica. • Calculando de varias maneras. • Aplicándolo a situaciones sencillas. Habilidades: Resolver problemas Utilizar estrategias básicas. Actitudes: Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios de otras asignaturas.

3 horas

Lección 8: ¿Cómo se multiplican y dividen decimales?

Lección 9: ¿Qué es y cómo representar un porcentaje? Lección 10: ¿Cómo calcular porcentajes?

3 horas

3 horas

3 horas Lección 11: ¿Cómo se utilizan los porcenta jes en la vida cotidiana?

Páginas especiales de la sección 2 Actividad

18


Tiempo

Inicio de sección

36 y 37

1 hora

¿Qué debo saber?

38 y 39

1 hora

Mural

66 y 67

1 hora

¿Cómo voy?

68 y 69

2 horas


70

1 hora


71

½ hora

Unidad 1 Números


40 y 41

Indicadores de evaluación • Relacionan una fracción con su decimal equivalente. • Comprenden que tanto el decimal como la fracción son expresiones equivalentes para

representar una misma cantidad. 42 a 47

• Explican la regla de la multiplicación de fracciones, utilizando representaciones pictóricas. pictóricas. • Aplican las reglas de la multiplicación de fracciones en ejercicios rutinarios. rutinarios. • Representan la división de una fracción por otra fracción con material concreto o en la • • •

48 a 53

• • •

recta numérica. Aplican las reglas de la división de fracciones en ejercicios rutinarios. Establecen la relación entre la multiplicación de un número decimal (fracción) por un número natural. Descubren la “regla” “regla” de división entre números decimales (amplificar el divisor para tener un número natural). Representan concretamente la división por un número decimal. Crean problemas de la vida cotidiana que se modelan y se resuelven con operaciones matemáticas en el ámbito de números enteros y fracciones. Identifican procedimientos de la vida diaria con operaciones matemáticas; por ejemplo: agregar y reducir con sumar y restar, repartir con dividir, etc. • Crean problemas a partir

de datos.

54 a 57

• Representan el porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica.

58 a 61

• Relacionan porcentajes conocidos con sus respectivas divisiones. divisiones. • Calculan mentalmente el porcentaje de un valor, aplicando la estrategia de la división

o de la multiplicación. 62 a 65

• Resuelven problemas que involucran porcentajes en situaciones de la vida real (IVA,

ofertas, préstamos, etc.).

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas, motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia para determinar el manejo de prerrequisi prerrequisitos tos de la sección. Conectar los porcentajes a situaciones reales de la actualidad de nuestro país. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la sección. Desarrollo de una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


19


Sección 3: Potencias Objetivos de aprendizaje

Lección

Utilizar potencias de base 10 con exponente natural: • Usando los términos potencia, base, exponente, elevado. • Definiendo y usando el exponente 0 en el sistema decimal. decimal. • Expresand Expresando o números naturales en notación científica (sistema decimal). • Resolviendo problemas, problemas, usando la notación científica.

Lección 12: ¿Cómo representar números utilizando potencias de base 10?

Habilidades: Resolver problemas Utilizar estrategias básicas. Comunicar y argumentar Evaluar la argumentación de otros dando razones.

Lección 13: ¿Cómo se relacionan las potencias de base 10 con el sistema decimal?

Tiempo

3 horas

Actitudes: Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas Lección 14: ¿Qué es la notación científica? de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios de otras asignaturas.

3 horas

3 horas



Tiempo

Inicio de sección

72 y 73

1 hora

¿Qué debo saber?

74 y 75

1 hora

Mural

88 y 89

1 hora

¿Cómo voy?

90 y 91

2 horas


92

1 hora


93

½ hora


Tiempo

Sintetizo mis aprendizajes

94

½ hora

Refuerzo mis aprendizajes

95 y 96

1 hora

¿Qué aprendí?

97 a 99

2 horas

Páginas finales de la Unidad 1 Actividad

20

Unidad 1 Números


76 a 79

Indicadores de evaluación • Representan potencias de base 10 de manera concreta, pictórica y simbólica. • Reconocen potencias como productos de factores iguales, identificando la base y el

exponente.

80 a 83

• Transforman potencias de base 10 en números naturales y viceversa. • Descomponen números en potencias de base 10. • Identifican los valores posicionales del sistema decimal como potencias y completan

tablas posicionales. 84 a 87

• Describen la relación entre los números escritos en sistema métrico decimal y su no-

tación científica. • Resuelven problemas que involucran notación científica.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas, motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar las potencias de base 10 a situaciones reales de la actualidad de nuestro país. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la sección. Desarrollo de una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.

Objetivo

Observaciones

Instancia de síntesis y metacognición Instancia de refuerzo y profundización de los conocimientos y habilidades adquiridas de la unidad. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.


21

Orientaciones al docente Inicio de unidad »

Componentes Texto del estudiante páginas 6 y 7.

Prerrequisitos de la unidad • Orden, comparación, ubicación en la recta numérica y operatoria con números naturales. • Adiciones y sustracciones con fracciones y números decimales. • Porcentaje como razón. Propósito Durante la unidad, los estudiantes abordarán el con junto de los números enteros, incluyendo la adición y sustracción de estos, la multiplicación y división de fracciones y números decimales, el cálculo de porcentajes y la utilización de la notación científica. Para contextualizar a los estudiantes, la imagen que da inicio a esta unidad busca evidenciar la utilidad de los números para la interpretación o la comunicación de nuestro entorno o de situaciones de la vida cotidiana. En este caso en particular, se busca sensibilizar al estudiante con respecto a los cambios que ha experimentado nuestra capa de ozono, sobre todo en la región de la Antártica, utilizando para ellos números negativos y porcentajes. »

»

Orientaciones didácticas Para complementar la información, puede señalar que durante marzo del 2015 la península Antártica tuvo un alza en su temperatura máxima, llegando a los 17,5 °C registrados en la estación argentina, Esperanza. Esto llamó mucho la atención pues un día antes, la misma estación había registrado como temperatura máxima 4,7 °C. Con respecto a las temperaturas mínimas captadas por la comunidad científica, el récord se registró en agosto del año 2010, cuándo la temperatura mínima fue –93,2 °C. El récord anterior había sido de –89,2 °C el año 1983, registrados por una expedición rusa.

Actividades sugeridas Nivel 1 Para complementar la actividad del inicio de la unidad puede presentarles la siguiente información a sus estudiantes: “Los continentes y mares de nuestro planeta absorben el 50 % de la radiación del Sol, pero con distinta intensidad de acuerdo a su ubicación. Por ejemplo, en el caso del agua de los océanos la temperatura disminuye desde el ecuador, donde alcanza los 30 °C, hacia los polos llegando a –2,2 °C en promedio. Esto se debe a los distintos ángulos con que el globo terrestre recibe los rayos solares (latitud). También influye en la temperatura la salinidad del agua, ya que debido a esto el congelamiento del agua se produce a temperaturas inferiores a –2 °C, a diferencia del agua dulce que lo hace a los 0 °C. Es por esto, en nuestra Antártica, la temperatura alcanza en promedio los –1 °C sin congelarse.” Fuente: Mar de chile en: www.mardechile.cl

A partir del párrafo anterior solicite a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades: a. Expliquen qué significa la oración: “Los continentes y mares de nuestro planeta, absorben el 50 % de la radiación del Sol”. b. ¿Cómo interpretarían las temperaturas 0 °C, –1 °C, –2 °C? ¿Cuál de ellas piensan que es más baja y por qué? Nivel 2 Visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P018 y proyecte a sus estudiantes el gráfico que se muestra a continuación:

A partir de esta información, pida a sus estudiantes que respondan las siguientes preguntas: • El año 2010, ¿la temperatura mínima fue menor o mayor

que la de 1983? • ¿Cuáles temperaturas corresponden a números natura-

les?, ¿cuáles no? ¿por qué? • ¿Qué representa el signo (–) en este caso? • ¿Qué temperatura es mayor, –2 °C o –1 °C?

22

Unidad 1 Números

Luego, pídales que interpreten los valores que aparecen en el gráfico, alturas, porcentajes, etc. dándole sentido a la importancia que tiene conocer y aplicar los contenidos de esta unidad.

Sección

1

»

Tiempo estimado: 20 a 22 horas.

Números enteros

s o d i Componentes g u r c a e R Texto del estudiante páginas 8 y 9. m r Recurso digital complementario: p l t a e m e n ¿Y si solo existieran los números naturales? i t

1

Actividades sugeridas

l

c

o

»

• • • • •

o

i

Propósito Conocer los números enteros y dar significado a los signos positivo y negativo. Representar y ordenar números enteros. Sumar números enteros. Restar números enteros. Facilitar las operaciones con números enteros.

Nivel 1 Completa el crucigrama con los resultados en palabras y en la columna central podrás descubrir el nombre de la primera sección del texto. a b c d e f

Inicio de sección Las lecciones de esta sección están trabajadas a través de talleres donde las preguntas orientarán el razonamiento de los y las estudiantes para comprender las características del nuevo conjunto numérico y las regularidades de su operatoria. Todas las actividades que se incluyen están enfocadas en los indicadores de evaluación declarados al inicio de esta unidad. Luego de responder las preguntas que aparecen en la página 8 consulte a sus estudiantes ¿qué representa una temperatura de 0 °C? La intención es entender que dicho número no siempre representa la ausencia de algo, sino que también puede ser una referencia; en el caso de las temperaturas, el 0 se considera como un referente, en ningún caso significará que no hay registro de la temperatura, o que no hace frío ni calor. Resignificar el 0 como un referente permitirá comprender de mejor manera la ubicación de estos números en la recta numérica, que corresponde a una de las lecciones de esta sección. Puede complementar esta actividad con el recurso digital complementario cuyo propósito es motivar la comprensión de los números enteros y relacionarlos con situaciones de la vida diaria.

¿Qué debo saber? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 10 y 11. Propósito Detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos.

g h i j k l m n

a. b. c. d. e. f. g.

90 : 10 _1 + _4 3 6

5 • 2 • 100

40 : 8 + 1 50 : 50 + 2 2•2+4

12 : 4 – 1

h. i. j. k. l. m. n.

30 : 15 + 4 20 : 4 2+5•2+8

36 : 6 + 60 : 12 + 2 2+0•3–2 40 : 5 – 7 • 1 8 • 3 – 18

Nivel 2 Resuelve el siguiente problema. Para hacer pulseras y venderlas, Andrea compra 10 paquetes de elásticos cada mes. En los últimos cinco meses compró cada paquete de elásticos a $ 600. Ella realizó 5 pulseras con cada paquete y las vendió a $ 150 cada una. Ella cada mes vendió todas las pulseras y ahorró sus ganancias. Al sexto mes , compró los paquetes de elásticos en oferta: 2 por $ 1000. Si ese mes Andrea gastó $ 6000 en paquetes de elásticos y vendió todas las pulseras que hizo, ¿cuánto dinero tiene de ganancias considerando los seis meses de trabajo?

Orientaciones didácticas Para reforzar cada uno de los indicadores de evaluación incluidos en las actividades de estas páginas, puede realizar las siguientes actividades sugeridas.


23

Orientaciones al docente

Lección 1: ¿Cómo es el conjunto de los números enteros? »

»

Actividades sugeridas Nivel 1 Utilizando el siguiente texto, solicite a sus estudiantes que cambien su versión escribiendo el inverso aditivo de cada número que aparezca, cambiando también su sentido. Solicite que compartan cómo les quedó el relato:

Componentes Texto del estudiante páginas 12 a 15. Cuaderno de ejercicios páginas 6 y 7. Propósito Conocer los números enteros y dar significado a los signos positivo y negativo.

Miguel vive en el 5.° piso de su edificio. Durante el verano tiene problemas en la mañana ya que la temperatura en su departamento alcanza los 30 °C. Como no tolera el calor retirará $ 25 000 de su cuenta de ahorro para comprar un ventilador en una tienda que se encuentra en el segundo subterráneo del centro comercial.

Orientaciones didácticas Una manera de introducir el conjunto de números enteros es preguntarles ¿tiene solución la ecuación x + 1 = 0? Si bien es importante que los alumnos contextualicen a los números enteros, en particular a los negativos, también lo es saber que su existencia es producto de la necesidad de la misma disciplina para resolver ecuaciones como la antes señalada. Es importante precisar que los números negativos no son una exclusividad de los números enteros, para ello puede profundizar un poco más a partir de la situación propuesta en la sección Argumenta y comunica de la página 13 del Texto del estudiante. Fuente: La investigación didáctica sobre los números enteros: estado de la cuestión”, Eva Cid, departamento de matemática, Universidad de Zaragoza. En: www.unizar.es/galdeano/preprints/2003/preprint25.pdf

Información complementaria

↔

↔

Fuente: “Emergencia de los números enteros”, Aurora Gallardo y Abraham Hernández. En: www.matedu.cinvestav.mx/~maestriaedu/docs/asig5/ Agallardo.pdf

Habilidades En los ejercicios 4, 8 y 9, entre otros, se desarrolla la habilidad de representar con los siguientes indicadores: • Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica, entre otros). • Relacionar y contrastar información entre distintos niveles de representación. • Representar y ejemplificar utilizando analogías, metáforas y situaciones familiares para resolver problemas.

24

Unidad 1 Números

Lección 2: ¿Cómo se pueden representar y ordenar los números enteros? »

»

Es importante que los estudiantes comprendan los números enteros (positivos y negativos) por medio de metáforas o haciendo alusión a situaciones de la vida. La utilidad del huso horario es una de ellas. También se puede explicar la existencia de estas dualidades como lo hicieron los chinos utilizando el ying y el yang, lo que permitía entender a los números positivos y negativos como opuestos, facilitando posteriormente su cálculo. Así lo hacían notar cuando jugaban con fichas de color rojo (ying negativo) y negro (yang positivo), donde se evidenciaba que al haber más fichas ying que yang ganaba lo negativo, pues estas fichas eliminaban a todas las positivas.

»

Nivel 2 ¿Es posible que –x sea un número positivo? Compartan sus respuestas.

Componentes Texto del estudiante páginas 16 a 19. Cuaderno de ejercicios páginas 8 y 9. Propósito Representar y ordenar números enteros.

Orientaciones didácticas Los modelos de desplazamiento son algunos de los recursos con los que es posible trabajar los números enteros. Entre ellos, se encuentra la recta numérica. Como los estudiantes ya han ubicado números naturales, no les es ajeno su uso, pero como ahora se incluyen los números negativos, es importante señalar la función que cumple el 0 en la recta numérica. En este caso, no representa la ausencia o anulación de una cantidad, sino que sirve como referencia para ubicar dichos números de forma correcta, en el caso de la recta horizontal: a la izquierda los negativos y a la derecha los positivos. Vale mencionar que en el texto predomina la presencia de rectas numéricas horizontales, sin embargo también se pueden representar de forma vertical, tal como se muestra en los termómetros de las paginas 14 y 15, o en la situación de la página 17. Por tal motivo es que se sugiere transferir las conclusiones planteadas en la sección "para concluir" a este tipo de rectas numéricas y definir por ejemplo, que en este caso un número es mayor que otro si se encuentra más arriba. Comprender y caracterizar las rectas verticales favorecerá la comprensión de otras representaciones, como por ejemplo, el plano Cartesiano.

1 Errores frecuentes Uno de los errores frecuentes que cometen los alumnos a la hora de comparar números negativos es que homologan el procedimiento que realizan con los números naturales o con los números enteros positivos. La recta numérica es uno de los recursos que pueden utilizar para evidenciar que un número es mayor o menor que otro, pero también puede hacer uso de situaciones, por ejemplo, deudas y haberes, si alguien debe una cantidad, aunque esta tenga un valor absoluto mayor, no deja de ser deuda. Otros ejemplos para abordar serían las temperaturas: Cuando bajan, hace frío; mientras que cuando suben, hace calor, entre otras.

Nivel 2 a, b, c y d son números enteros ubicados en la recta numérica. a se encuentra dos unidades a la derecha de b, d está ubicado una unidad al lado izquierdo de b, c se ubica una unidad al lado derecho de a y b se encuentra una unidad a la izquierda del cero. ¿Cuál es la ubicación de cada número en la recta numérica y cuál es su orden desde el mayor al menor?

Lección 3: ¿Cómo sumar números enteros? »

Información complementaria El uso de la recta numérica como la conocemos hoy no siempre fue así. En un inicio, al momento de querer ubicar los números negativos, como carecían de significado y se les consideraban números absurdos, no se colocaban en la misma recta numérica que los números naturales, sino que en una semirrecta en sentido opuesto y paralela a la que incluía los números naturales, ya que se pensaba que eran números de distinta naturaleza. Fuente: Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números ne gativos”, Eva Cid, Departamento de matemática, Universidad de Zaragoza. En www.ugr.es/~jgodino/siidm/cangas/Negativos.pdf

Actividades sugeridas Nivel 1 Presente el siguiente laberinto a sus estudiantes y pídales que busquen una ruta desde la entrada hasta la salida. La condición es que cada número que se esco ja, siguiendo la línea, debe ser mayor que el anterior. Entrada

El uso de vectores no es arbitrario a la hora de representar adiciones y sustracciones de enteros en la recta numérica. Con ellos la idea de desplazamiento se hace más evidente y, de esta forma, los estudiantes entienden o al menos logran recordar o dar sentido a las adiciones de dos enteros de igual o distinto signo. El uso de la recta numérica para operar sirve como un modelo gráfico, permitiendo que el alumno o la alumna pueda reconstruir las “reglas o regularidades” de la adición de enteros dejando de lado la memorización. Cuando los alumnos ya se encuentren familiarizados con el procedimiento, se recomienda reemplazar la ubicación del primer sumando por un punto, en lugar de una flecha, y desde ahí realizar el desplazamiento que indique el segundo sumando.

Errores frecuentes Por lo general, los estudiantes suelen confundir las generalidades para sumar enteros con las generalidades de la multiplicación de enteros cuando abordan este procedimiento. De ahí la importancia del recurso de la recta numérica para evitar estos errores en el futuro.

–3

–9

–1

–7

0

–4 –12 –2

–11

–20

Fuente: Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos”, Eva Cid Castro. En: www.quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/ nr_460/a_6233/6233.pdf

3 1

Propósito Resolver adiciones de números enteros.

Orientaciones didácticas

–5

–8 –6

»

Componentes Texto del estudiante páginas 20 a 23. Cuaderno de ejercicios páginas 10 y 11.

Salida

Habilidades En el ejercicio 15 de la página 23 podrá abordar la habilidad de resolver problemas, indague acerca de la estrategia que utilizaron sus alumnos para completar cada cuadrado mágico. »


25


En el ejercicio 17 podrá abordar la habilidad de comunicar y argumentar con el indicador: explicar y fundamentar los procedimientos utilizados. Actividades sugeridas Entra

Nivel 1 Presénteles el siguiente ejemplo:

–8

Regla +

5

–3

Sale

Los alumnos deben señalar cuál es la regla para que al entrar un número, salga el que se indica en la salida. a. Entra

b. Entra

10

–9

Regla +

Regla +

–3

–10 –4

–9 –3

–8 –2

–7 –1

4 10

5 11

6 12

0 1 7

2 8

3 9

Lección 4: ¿Cómo restar números enteros? »

»

26

Componentes Texto del estudiante páginas 24 a 27. Cuaderno de ejercicios páginas 12 y 13. Propósito Restar números enteros.

Unidad 1 Números

Errores frecuentes Por lo general los estudiantes suelen aplicar las reglas de la adición a la sustracción sin expresar el sustraendo como el opuesto aditivo del número correspondiente. Por ejemplo: (–5) – (–6) = (–11). El uso de la recta numérica en este caso puede ayudar a evitar este error por parte de los alumnos. Utilice los ejercicios 4 de la página 26 del texto como remedial para este tipo de dificultad.

Sale

Nivel 2 Este juego se realiza con dos dados y se puede jugar en parejas, tríos o cuartetos. Se necesita una tabla con los números del –12 al 12. La ac tividad consiste en lanzar los dados y sumarlos utilizando los signos que convengan para asignarse el valor de uno de los casilleros que forman la tabla. Pueden hacer uso de una recta numérica para corroborar los resultados. Si al momento de tirar los dados, cualquier combinación que se haga, el resultado ya se encuentra ocupado, pierde su jugada. Gana quien haya conseguido mayor número de casilleros del tablero. –11 -5

El taller que se presenta en la página 24 tiene como ob jetivo que los estudiantes grafiquen en la recta numérica las distancias recorridas por el pelícano. Sugiera que lo hagan en la recta numérica vertical que aparece al lado de la imagen. Comente con sus estudiantes la importancia de expresar el sustraendo como la adición del inverso aditivo de dicho número antes de expresar la sustracción en la recta numérica. Esto hace ver que la sustracción no siempre implica quitar, sino también calcular la diferencia entre números o completar cantidades.

–3

Sale

–12 –6


Actividades sugeridas Nivel 1 Un clavadista se lanza desde una plataforma ubicada a 20 metros de altura y alcanza al sumergirse una profundidad de 5 metros. ¿Cuál es la distancia entre el punto de lanzamiento y el de mayor profundidad alcanzada por el clavadista? Nivel 2 Gabriel compró unos cubos. El cubo azul baja la temperatura del agua en que se sumerge en 1 °C cada cinco minutos y el cubo rojo la sube 2 °C cada ocho minutos. Para comprobar lo anterior, tomó un vaso con agua que estaba a –6 °C y sumergió en él, el cubo rojo hasta alcanzar una temperatura de 4 °C. Luego sumergió el cubo azul hasta alcanzar los 0 °C. ¿Cuántos minutos debe durar su experimento para que sean efectivas las características de los cubos?

1 Lección 5: ¿Cuáles son las propiedades de la adición de números enteros? »

»

Nivel 2 Solicite a sus estudiantes que resuelvan el siguiente problema, registrando las propiedades de la adición que aplicaron.

Componentes Texto del estudiante páginas 28 y 29. Cuaderno de ejercicios páginas 14 y 15. Propósito Facilitar las operaciones de los números enteros a partir de sus propiedades.

Miguel tiene un videojuego donde debe atrapar frutas. Cada fruta tiene un puntaje asignado y el puntaje de una etapa se calcula sumando el de las frutas que se atrapan en ella. El puntaje de cada fruta es: Manzana (M): 10 puntos Uva (U): –5 puntos Frutilla (F): 0 puntos El juego consiste en tres etapas. El puntaje final del juego se obtiene sumando los puntajes de las dos etapas con mayor puntaje, y restando a esta suma el puntaje de la etapa con menor puntaje. Estas son las frutas obtenidas por Miguel en cada etapa:

Orientaciones didácticas Comience la lección pidiéndole a sus estudiantes que expliquen cómo resolvería el siguiente ejercicio: (–4) + 8 +(–6) + 6 – 2 Seguramente muchos de ellos lo resolverán agrupando los números negativos y luego los positivos. Deténgase en ese punto y explíqueles que existen propiedades de la adición que permiten realizar estas agrupaciones y que el conocimiento de ellas nos asegura resolver correctamente el ejercicio. Luego, realice un ejemplo numérico por cada una de las propiedades descritas antes de que los y las estudiantes completen la tabla de la página 28 del texto del estudiante. Previo a que realicen ejercicios de adiciones y sustracciones, explíqueles que utilizando la asociatividad, pueden agrupar los términos de igual signo, para luego operarlos como una adición de dos sumandos con distinto signo. De lo contrario, deben resolver los ejercicios de izquierda a derecha.

Errores frecuentes

Actividades sugeridas Nivel 1 Muestre los siguientes triángulos. Las y los estudiantes deberán seleccionar la operación que deben realizar para obtener el resultado encerrado.

0

–4

–12 –

+ –4

¿Cuál fue el puntaje final obtenido por Miguel?

Mural: ¡Cuidado con los personajes medievales! »

»

Es típico que los estudiantes cometan errores como el siguiente: 3 – 5 + 7 – 8 = 3 – 12 – 8 = –9 – 8 = –17, por eso es importante hacer hincapié en el correcto uso de la propiedad asociativa, incorporando el uso de paréntesis.

+

Etapa 1: M, M, U, F, M, F. Etapa 2: U, U, F, M, U, U. Etapa 2: U, M, F, M, F, M.

–7

4 –

+ 5

0

– 4

Componentes Texto del estudiante páginas 30 y 31. Propósito Utilizar los números enteros en actividades lúdicas y de recreación.

Orientaciones didácticas Además del juego que aparece en el texto del estudiante, puede utilizar las actividades de conexión con la Geografía que aparece en la página 28 de esta Guía. Con ellas podrá desarrollar o evaluar la habilidad de indagación definida por los Estándares Nacionales de la Educación en Ciencias de los Estados Unidos, como una actividad polifacética que implica hacer observaciones; plantear preguntas; examinar libros y otras fuentes de información; utilizar instrumentos para reunir, analizar e interpretar datos; proponer respuestas, explicaciones y predicciones; y comunicar los resultados. Estas actividades también le permitirán desarrollar en sus estudiantes la actitud del trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.


27


Actividades de conexión con Geografía

e. ¿Cuál es la equivalencia aproximada entre las unidad de longitud pies (ft) y metros (m)?

Nivel 1 Trabaje con sus estudiantes la siguiente infografía sobre la mina San José que aparece en el Anexo al final de esta guía, en la página 171. A partir de la infografía responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué número expresa la profundidad a la que se encuentra el refugio de emergencia? b. ¿Qué procedimiento permite conocer la distancia entre el lugar del derrumbe y la del refugio? ¿Cuál es este valor?

¿Cómo voy? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 32 y 33. Cuaderno de ejercicios páginas 16 y 17. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento.

Orientaciones didácticas Estas páginas son una instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento. Actitudes Los problemas del apartado Desafío de Integración (página 33 del Texto del estudiante) buscan promover las actitudes de perseverancia y flexibilidad a la hora de resolver problemas matemáticos. Otórgueles la instancia para comentar sus desarrollos. »

Nivel 2 A partir de la siguiente imagen de la Fosa de las Marianas, que puede encontrar en la página 171 del anexo de esta guía, realice las siguientes preguntas: a. ¿Qué distancia en metros tiene la zona del Abismo? b. ¿Qué profundidad máxima tiene la Fosa? c. ¿Cuál es la diferencia entre la longitud de la zona de Medianoche y la de la zona del Mundo Nubloso? d. ¿A qué profundidad está la Cuenca Oceánica?

28

Unidad 1 Números

Actividades sugeridas Nivel 1 Para cada una de las propiedades, pida a sus estudiantes que señalen dos números que cumplan con ella: a. b. c. d. e. f. g.

Menores o iguales que 0. Menores o iguales que –8. Mayores o iguales que –10. Que sumados den cero. Mayores o iguales que –8. Menores o iguales que –10. Que sumados den –1.

1 Orientaciones didácticas

Actividades sugeridas Nivel 2 Oliver ha consultado en un cajero automático los últimos movimientos de su cuenta corriente y obtuvo la siguiente información:

Banco de los chilenos Consulta de los últimos movimientos en cuenta corriente Tarjeta número 143730701

En esta ocasión se utilizará la estrategia “hacer un diagrama”. Pídales a sus estudiantes que antes de resolver el problema, evidencien la información que no es relevante para dar respuesta a la pregunta. Comenten los métodos de cálculo que emplearon. También pueden hacer uso de la recta numérica para llevar a cabo este diagrama de forma horizontal. Puede complementar el trabajo de estas páginas con las páginas 18 y 19 del cuaderno de ejercicio donde también podrá promover la metacognición en sus estudiantes luego de haber terminado esta sección.

FECHA

CONCEPTO

IMPORTE

Errores frecuentes

12/10

Saldo

xxxxxxxx

10/10

Giro

– $ 12 000

Por lo general, los estudiantes suelen contar los inicios de los diagramas, en lugar de contar el salto hacia la siguiente unidad. Hágales ver, dando un paso, que solo así se puede contar el inicio de un segmento.

5/10

Compra

– $ 25 900

4/10

Giro

– $ 10 000

1/10

Depósito

$ 55 000

29/9

Pago tarjeta

– $ 150 000

28/9

Saldo

–$ 200 000

Actividades sugeridas Nivel 1 Presente el siguiente problema a sus estudiantes: Sofía estaba buceando a cierta profundidad del mar y descendió 5 metros para ver unos corales. Finalmente ascendió 6 metros para juntarse con sus amigos que también estaban buceando y se encontraron a –12 metros. ¿A qué profundidad se encontraba Sofía inicialmente? Nivel 2 Presente el siguiente problema a sus estudiantes:

Al parecer la máquina estaba mala y no le pudo dar su saldo final. Calcúlalo e interpreta el resultado.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos »

»

Una sala de congelamiento comienza a funcionar a las 8:00 de la mañana con una temperatura de 15 °C. Su temperatura debe llegar a los –35 °C para mantener en buen estado los alimentos que debe congelar. La sala baja su temperatura 5 °C cada 10 minutos, sonando una alarma que avisa de este descenso. ¿Cuántas veces suena la alarma desde que comienza a funcionar la sala hasta que llega a la temperatura ideal?

Componentes Texto del estudiante páginas 34 y 35. Cuaderno de ejercicios páginas 18 y 19. Propósito Aplicación en la resolución de problemas de los aprendizajes de la sección. Instancia de síntesis y metacognición.


29


Sección

2 »

»

• • • • • •

Fracciones, decimales y porcentajes

Componentes Texto del estudiante páginas 36 y 37. Recurso digital complementario: Fracciones, decimales y porcentajes.

R

s o

u r

c

e

d i g

i t a

o

¿Qué debo saber?

i m r p l t a n e m e

o

Propósito Convertir fracciones a números decimales y viceversa. Multiplicar y dividir fracciones. Multiplicar y dividir decimales. Comprender los porcentajes. Calcular porcentajes. Aplicar porcentajes en diferentes contextos.

Cada lección presenta una o varias situaciones donde se plantean problemas concretos en los cuales es necesario los conocimientos y habilidades que están involucrados en los propósitos de cada lección. A través de pasos específicos se modela el razonamiento matemático para dar solución al problema presentado y respuesta a la pregunta previamente hecha. Tanto las situaciones presentadas en el desarrollo del contenido como las actividades presentes están enfocadas y basadas en los indicadores de evaluación propuestos para estos aprendizajes y declarados al inicio de esta unidad. El inicio de la sección busca hacer notar la necesidad de los números decimales y fracciones para representar medidas no enteras, por ejemplo, al medir la masa de frutas y verduras. Puede explicarles que esta necesidad data de hace mucho tiempo, ya que estos números fueron utilizados por babilonios, egipcios y griegos tanto para poder realizar divisiones cuyo cociente no era entero como para representar medidas de longitud. Estos eran los llamados números quebrados, cuya notación se la debemos a Leonardo de Pisa, durante la edad media. Pídales que piensen situaciones donde utilizarían estos números, además de las ya citadas. Fuente: “Historia y didáctica de los números racionales e irracionales”, Francisco Luis Flores Gil, 2008.

El contexto mostrado en este apartado pretende motivar y mostrar la utilidad en un contexto real de las fracciones, como lo es la frecuencia que se producen al tocar notas en un piano.

Unidad 1 Números

Utilice el recurso digital complementario que incluye una actividad para reforzar conocimientos previos acerca de fracciones, números decimales y porcentajes.

l

c

Inicio de sección

30


»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 38 y 39. Propósito Activar conocimientos previos y prerrequisitos.

Orientaciones didácticas A continuación se incluye una tabla resumen de los indicadores de evaluación respectivos a los prerrequisitos. Indicador

Pregunta

Reconocer fracciones y números decimales.

1, 2, 3 y4

Sumar y restar fracciones.

Sumar y restar números decimales.

Remedial

Puede utilizar la actividad sugerida.

5y6

Refuerce el procedimiento de igualar denominadores, haciendo hincapié en el mcm y en la amplificación o simplificación.

7, 8, 9 y 10

Recuerde que pueden utilizar una tabla de posiciones para realizar el cálculo.

Actividad sugerida Esta actividad puede ser trabajada en coordinación con la clase de Música. Las notas musicales también pueden ser representadas por fracciones. Pida a sus estudiantes que respondan las preguntas. Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea a. ¿Qué fracción de una nota redonda es una blanca, negra, corchea y semicorchea? b. ¿A cuántas corcheas equivalen una redonda?

1


Lección 6: ¿Cómo se relacionan las fracciones con los números decimales? »

»

Actividades sugeridas Nivel 1 Escriba con números decimales las siguientes representaciones.

Componentes Texto del estudiante páginas 40 y 41. Cuaderno de ejercicios páginas 20 y 21. Propósito Expresar fracciones como números decimales y viceversa.

a.

c.

b.

d.

Orientaciones didácticas Otras estrategias que puede presentar a sus estudiantes en esta lección pueden ser: • Para transformar una fracción a expresión decimal, se debe realizar la división entre el numerador y el denominador de la fracción, si se desea, antes se puede simplificar de dicho número. Por ejemplo, para trans9 , el estudiante debe simplificar dicha fracción formar _ 24 3 y luego dividir estos valores, 3 : 8 para hasta obtener _ 8 obtener 0,375. • Para transformar un decimal finito a fracción decimal, basta que el estudiante lea el número. Por ejemplo; 0,003

_

se lee “tres milésimos” que al ser escritos como fracción decimal son 3 puede recomendarle que simplifique 1000 la fracción siempre que sea posible. Habilidades En el ejercicio 7 de la página 41 del Texto del estudiante, la situación aborda la habilidad de comunicar y argumentar, pero previo a ello el estudiante deberá analizar lo planteado para luego concluir que en el primer caso es posible convertir un decimal a dos fracciones distintas pero equivalentes y que en el segundo caso puede que algunos argumenten que no es posible, ya que 0,1 o 0,10 es el mismo decimal, pues los ceros a la derecha no se consideran, o bien son distintos decimales pero equivalentes entre sí, ya que podrían argumentar que el primero es una décima en cambio el segundo son 10 centésimas.

Nivel 2 Un profesor les dijo a sus estudiantes que podían me jorar las notas de sus trabajos realizando tres tipos de actividades las que equivaldrían a décimas para su nota final. Los trabajos tienen asignadas las siguientes alzas de notas: 4 de punto. • Trabajo de investigación: se suman _ punto.

¿En cuántas décimas puede subir la nota en cada caso? ¿Qué trabajo realizarías tú? Justifica.

Lección 7: ¿Cómo se multiplican y dividen fracciones? »

»

Errores frecuentes Los estudiantes suelen tener dificultades a la hora de transformar números decimales a fracción, ya que consideran todas las cifras del número para completar con ceros la potencia de 10 que servirá como denominador de la fracción decimal. Hacer hincapié en que solo deben considerar la parte decimal.

_ 500

• Ejercicios de cálculo, se suman 300 de punto.

»

Actitudes La actividad número 9 requiere de las actitudes “de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos” ya que debe entender que la situación propuesta no puede ser resuelta utilizando una notación decimal, sino una fraccionaria.

_ 200

5 • Ensayo sobre un matemático, se suman 40 de

»

Componentes Texto del estudiante páginas 42 a 47. Cuaderno de ejercicios páginas 22 y 23. Recurso digital complementario: Multiplicación de fracciones. Propósito Multiplicar y dividir fracciones.

Orientaciones didácticas Hágales ver que muchas de las características que tienen los números naturales no son extensibles a la multiplicación y división de fracciones. Pregúnteles ¿siempre al multiplicar dos fracciones el producto será mayor que los factores? ¿Siempre al dividir fracciones el cociente es menor? En el caso de esta última, es muy importante hacer 1. la diferencia entre dividir por 2 y dividir por _ 2


31


El recurso complementario digital le servirá para traba jar de forma pictórica la multiplicación de fracciones. En él, los estudiantes podrán visualizar gráficamente la multiplicación de fracciones y así comprender de mejor manera el algoritmo que se utiliza de forma simbólica para este procedimiento.

Errores frecuentes

Orientaciones didácticas Es importante que los estudiantes comprendan que una cantidad decimal tiene siempre una expresión fraccionaria equivalente, pregúnteles: ¿una fracción siempre se puede transformar en número decimal? Por ello pueden transformar los números decimales a fracción en el caso de tener dificultades con los algoritmos y operar con fracciones en lugar de hacerlo con números decimales.

Los estudiantes suelen confundir el procedimiento de multiplicar o de dividir una fracción por un número natural con el proceso de amplificar y simplificar. Por ejemplo, 2 , tienden a resolverlo multiplicando al multiplicar 3 • _ 6 numerador y denominador por 3, tal como lo realizan al amplificar por 3 una fracción. Lo mismo sucede con la división. En esos casos se sugiere que muestre representacio2 no nes gráficas que permitan visualizar que 3 veces _ 6 tiene por resultado 6 . 18

Errores frecuentes Como ya se comentó antes, los estudiantes suelen hacer extensibles las propiedades de los números naturales a otros conjuntos numéricos, por ejemplo, pensando que al multiplicar dos números se obtiene siempre uno mayor. Para la multiplicación de números decimales póngales el siguiente ejemplo: dibuje un rectángulo de base 5 cm y altura 1 cm y otro de base 5 cm y altura 0,8 cm. Luego, recuérdeles que el área de un rectángulo es base por altura. Esta representación gráfica hará evidente que al multiplicar por un número menor que 1, el producto (en este caso el área de los rectángulos) deja de ser mayor que los factores.

_

Habilidades El ejercicio 18 de la página 47 del texto del estudiante puede utilizarlo para promover el uso de habilidades de orden superior como lo es el resolver problemas buscando regularidades. »

Fuente: “Matemática. Fracciones y números decimales, apuntes para la enseñanza 7°”. En www.sermaestro.com.ar/m7_docente.pdf

Actividades sugeridas Nivel 1 Resuelve el siguiente problema.

_

Andrea tiene 18 kg de arroz en un frasco grande y ar5 1 mará paquetes de _ kg ¿Cuántos paquetes enteros le 4 alcanzan? ¿Cuántos kilogramos de arroz sobran? ¿Qué fracción de la cantidad que había en el frasco grande es el arroz que sobra? Nivel 2 Responde. ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 4? Justifica tu respuesta.

Lección 8: ¿Cómo se multiplican y dividen decimales? »

»

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Componentes Texto del estudiante páginas 48 a 53. Cuaderno de ejercicios páginas 24 y 25. Propósito Multiplicar y dividir decimales.

Unidad 1 Números

Habilidades Con el ejercicio 13 de la página 53 del texto del estudiante, puede promover las habilidades de verificar una conjetura. »

Actitudes En el ejercicio 12 de la página 53 del texto del estudiante puede abordar la actitud de demostrar curiosidad, interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato. »

Actividades sugeridas Nivel 1 Resuelve el siguiente problema: Javiera tiene un bidón con 7,6 litros de jugo y quiere servir el jugo en vasos de 0,25 litros. ¿Cuántos vasos puede llenar? El último vaso que sirvió Javiera no queda lleno, ¿con cuánto jugo quedó? Nivel 2 Solicite a sus estudiantes que comenten acerca de lo siguiente: ¿Es posible que al multiplicar un número por sí mismo, el resultado sea menor que el número?

1


Lección 9: ¿Qué es y cómo representar un porcentaje? »

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forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas. Actividades sugeridas

Propósito Comprender los porcentajes.

Nivel 1 Observa la siguiente imagen:


Composición química de la corteza terrestre

Es importante que las y los estudiantes establezcan la relación entre porcentaje y fracción irreductible, sobre todo 3, _ 1, _ 1, _ 1 , ya que son de uso con las siguientes fracciones _ 2 4 4 5 común y las más utilizadas con respecto a los porcentajes. Complemente la representación de un porcentaje con las siguientes estrategias: • El 50 % de un número corresponde a la mitad. • El 25 % de un número corresponde a la cuarta parte • El 75 % de un número corresponde a las tres cuartas

partes. • El 10 % de un número corresponde a la décima parte del número.

Errores frecuentes

Responde las siguientes preguntas: a. ¿A qué fracción irreductible corresponden los porcentajes de oxígeno y silicio presentes en nuestra corteza? b. ¿Cómo expresarías en cifras decimales el porcentaje de calcio en la corteza? ¿Cómo lo harías utilizando fracciones? Nivel 2 Dibuja una bandera de forma rectangular con las siguientes características: • 50 % de ella es roja. • Del 50 % que queda, un 30 % es azul, un 10 % es blanca y un 10 % es verde.

Los estudiantes suelen tener dificultades al expresar como porcentajes los números decimales con una cifra decimal, por ejemplo; 0,6 lo interpretan como 6 % en lugar de hacerlo como el 60 %. Recomiéndeles completar con ceros los números decimales hasta obtener dos cifras en la parte decimal y así poder interpretar correctamente el porcentaje. Por otra parte, suelen confundirse cuando los porcentajes están en decimales, por ejemplo,

_

_

2,5 % y no logran representarlos como fracción, escri2,5 biendo 25 ya que la expresión no les es natural. 100 100 Pero lamentablemente esto les lleva al error de expresar el porcentaje en decimal como 0,25 en vez de 0,025. Por lo tanto, sugiérales que el porcentaje lo transformen a decimal dividiendo por 100 y que para ello desplacen la coma dos lugares a la izquierda completando con ceros.

Lección 10: ¿Cómo calcular porcentajes? »

Habilidades En el ejercicio 11 de la página 57 del texto del estudiante se fomenta la habilidad de comunicar y argumentar a través de explicar y fundamentar soluciones propias y los procedimientos utilizados. »

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Componentes Texto del estudiante páginas 58 a 61. Cuaderno de ejercicios páginas 28 y 29. Propósito Calcular porcentajes.

Actitudes Con el ejercicio 12 de la página 57 del texto del estudiante puede fomentar la actitud de trabajar en equipo, en »


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Errores frecuentes

Puede reforzar un procedimiento ya conocido por los estudiantes que consiste en calcular el porcentaje de un número escribiendo dicho porcentaje como fracción o número decimal y este valor multiplicarlo por el número al que se le calculara el porcentaje. Otra sugerencia a la hora de identificar el porcentaje que representa un valor de otro, consiste en plantear la razón entre los valores, realizar la división de dicha razón y multiplicar el valor por 100. Por ejemplo, qué porcentaje es 24 de 40. Al establecer la razón, simplificar y luego dividir se obtiene 0,6 que puede multiplicarse por 100 o interpretarse a simple vista como 60 %. Complemente las estrategias utilizadas en el texto con las siguientes: • Para calcular el 50 % de un número, divida el número en 2. • Para calcular el 25 % de un número, divida el número en 4. • Para calcular el 75 % de un número, divida el número en 4 y multiplíquelo por 3. • Para calcular porcentajes múltiplos de 10, por ejemplo 40 % divide el número en 10 y luego multiplíquelo por 4. Hacer hincapié en que al calcular un porcentaje menor al 100 %, el resultado debe ser menor a la cantidad en juego, puesto que corresponde a una porción de dicha cantidad. Cuando el porcentaje sea mayor al 100 %, sucederá lo contrario. Comente con sus estudiantes que al realizar una disminución porcentual existen dos procedimientos:

Generalmente las dificultades se producen cuando el estudiante no tiene claro cuál es el 100 % dentro de la situación problema. Sea insistente en que para cada situación que dé de ejemplo siempre pregunte cuál es el 100 %. Las representaciones gráficas suelen servir en este tipo de dificultades. Actividades sugeridas Nivel 1 José quiere comprar un auto. En la automotora "A" el costo del auto que quiere es de $ 5 900 000 y le hacen un 2 % de descuento, mientras que en la automotora “B” el mismo auto tiene un valor de $ 6 400 000 y le hacen un descuento de 7 %. ¿Dónde le conviene comprar el auto? ¿De cuánto es la diferencia? Nivel 2 Ximena es la profesora de inglés del 7.°A, donde hay 40 alumnos. Ella obtuvo los siguientes resultados en la prueba coeficiente dos de su asignatura: Distribución de notas prueba de inglés

• calcular el porcentaje antes de restar. • restar la cantidad luego de calcular el porcentaje.

Para el aumento porcentual se procederá de igual manera, solo que en vez de restar se deberá sumar.

a. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de un 4,0? b. ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre un 4,0 y un 6,0?

Información complementaria Para calcular mentalmente porcentajes, se recomienda descomponer el número en porcentajes de 10 % y luego sumar los resultados. Por ejemplo, para calcular el 35 % de 400, se calcula el 10 % de 400 que es 40, como hay tres 10 %

Lección 11: ¿Cómo se utilizan los porcentajes en la vida cotidiana?

sería 40 • 3 que es 120 y a eso sumamos el 5 % que es la

mitad de 40, o sea 20, y el resultado queda en 140. Habilidades En los ejercicios 14 y 15 de la página 61 del texto del estudiante se fomenta la habilidad de comunicar y argumentar a través de explicar y fundamentar soluciones propias y los procedimientos utilizados. Actitudes Con el ejercicio 13 de la página 61 del texto del estudiante puede fomentar la actitud de demostrar curiosidad, interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.

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Unidad 1 Números

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Componentes Texto del estudiante páginas 62 a 65. Cuaderno de ejercicios páginas 30 y 31. Propósito Aplicar porcentajes en diferentes contextos.

Orientaciones didácticas Puede también trabajar con sus estudiantes el aumento porcentual. Coménteles que al incrementar un porcenta je este deja de ser el 100 %. Por ejemplo, el costo de un libro representa el 100 %, al aplicarle el IVA, lo que pagan

1


las personas es un 119 % de su valor. Lo mismo ocurre con la disminución porcentual, sobre la remuneración total de una persona o sueldo bruto se realizan los descuentos legales (7 % de salud y, aproximandamente, 13 % de ahorro previsional), así una persona recibe de su sueldo bruto un 80 % aproximadamente, lo que se denomina sueldo líquido. Actividades sugeridas Nivel 1 En las noticias del día 15 de marzo de 2015 se informó que el grupo etario de la tercera edad se incrementó en un 9 %. ¿Qué quiere decir este porcentaje? Si la población anciana durante el 2014 era de 2,6 millones de personas. ¿Cuántos ancianos hay con el incremento? Comente con sus estudiantes cómo afecta esta noticia a las políticas públicas del país. Nivel 2 Mariela se compró un departamento que costaba 50 millones de pesos. Al pedir el crédito en el banco, el costo de su vivienda se incrementó en un 50 %. Este aumento lo verá reflejado en los dividendos que deberá pagar mes a mes durante 20 años. Si las cuotas son de igual valor, ¿cuánto debe pagar en cada dividendo? Si decide pagar por adelantado 15 millones de pesos, ¿qué porcentaje de la deuda total pagó?

Actividades sugeridas Nivel 1 Presente la siguiente información a sus estudiantes: Población de Chile llega a 17,8 millones, es más vieja y suma más inmigrantes. Hoy los extranjeros son 24 por cada 10 mil habitantes; en 2002 eran 9. Las personas de más de 60 años representan el 15 % del total. En 2020 serán el doble. Fuente: Noticia del Diario Financiero, en www.df.cl

Respondan a partir de lo anterior. a. Escriban la cifra exacta de habitantes que tiene nuestro país. b. Calculen la cantidad de personas ancianas que arroja el estudio. ¿Cuántas personas habrá en el año 2020? c. Señalen la razón que representan los extranjeros en nuestro país. ¿Qué porcentaje representan? ¿Cuál fue el incremento? Nivel 2 A partir del gráfico, que puede obtener en el anexo al final de esta guía (página 172) responden las preguntas que aparecen a continuación.

Mural: La energía solar, fuente inagotable »

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Componentes Texto del estudiante páginas 66 y 67. Propósito Conectar los porcentajes en situaciones de la actualidad chilena.

Orientaciones didácticas Comente a sus estudiantes que la actividad 2 se puede responder a partir de la información que aparece en el recuadro “Copiapó, sede de la planta fotovoltaica más grande de Latinoamérica”. La actividad 3 es de investigación, así que considere llevarlos a la sala de computación o bien pedirles que realicen la actividad en sus casas. La actividad 4 es de reflexión y la idea es que comenten las respuestas en un plenario. Actitudes Estas páginas abordan la actitud de trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas.

a. ¿Cuántos litros de agua consume mensualmente un niño que tiene entre 4 y 8 años? b. ¿En qué porcentaje se incrementa o disminuye la cantidad de agua consumida al comparar hombres y mujeres de entre 9 y 13 años? c. ¿Qué fracción irreductible representa la cantidad de agua que consume un bebé de entre 6 y 12 meses de edad? d. ¿En qué porcentaje aumente la cantidad de agua que consume un bebé de 6 a 12 meses con un niño de 1 a 3 años?

»

Link de interés Para más información acerca de la ingesta de agua visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P031.


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¿Cómo voy? »

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Nivel 2 Francisco debe decidir dónde comprar un equipo industrial. ¿En cuál de las siguientes tiendas le conviene comprar para ahorrar dinero? Tienda 1 El equipo cuesta $ 12 000 000, pero le hacen un descuento del 12 %. Tienda 2 El equipo cuesta $ 11 000 000, pero le hacen un descuento del 4 %.

Componentes Texto del estudiante páginas 68 y 69. Cuaderno de ejercicios páginas 32 y 33. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento.

Orientaciones didácticas Realice todas las relaciones posibles entre fracciones, números decimales y porcentajes. En un cuadro de síntesis recuérdeles que todo porcentaje tiene su notación fraccionaria y decimal, ya que un porcentaje es una razón con consecuente 100 y toda razón se puede escribir como fracción y toda fracción tiene su representación decimal. Por ejemplo, 75 % se expresa como número decimal: 0,75; como fracción decimal es 75 y como fracción irreductible 100 3 , fracción que se puede escribir como la razón 3 : 4, es _ 4 obteniéndose nuevamente el número decimal, el que puede ser interpretado como porcentaje. Tener esta visión le permitirá al estudiante hacer uso de variadas estrategias de cálculo y de la interpretación de un valor.


_

Errores frecuentes Es posible que los estudiantes tengan dificultades para dividir fracciones. Se sugiere recordarles que el número por el que deben multiplicar el dividendo es el inverso multiplicativo del divisor. Para que quede claro, puede proponer el siguiente ejercicio, donde los estudiantes deben identificar 2 : 4 : 3. los divisores de las divisiones que se presentan: _ 3 15

_

Actividades sugeridas Nivel 1 Sofía destina un cuarto de su sueldo líquido para pagar el arriendo de su casa. Ella gana un sueldo bruto de $ 800 000 y su arrendador subió el arriendo del departamento a $ 184 000. ¿Cuánto debiera ganar como sueldo bruto Sofía para poder pagar el arriendo destinando la misma fracción de su sueldo? ¿En qué porcentaje se incrementó el valor del arriendo? Considere que los descuentos legales corresponden a un 20 %.

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Unidad 1 Números

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Componentes Texto del estudiante páginas 70 y 71. Cuaderno de ejercicios páginas 34 y 35. Propósito Aplicación en la resolución de problemas de los aprendizajes de la sección. Instancia de síntesis y metacognición.


La estrategia de resolución de problemas es hacer un diagrama el cual es muy similar al que utilizan en el método Singapur, que consiste en representar la situación a través de barras. En el caso de los porcentajes, esta estrategia cobra relevancia cuando se habla de incrementos o de descensos porcentuales.

Link de interés Visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P033a. En ella se presentan situaciones para operar con números naturales en niveles más pequeños, los que permiten entender cómo funciona el método Singapur y cómo hacer uso de las barras para representar las situaciones problemas. Usted podrá adecuar su uso al trabajo con porcentajes.

1


En relación a la página Vuelvo a mis procesos que corresponde a una instancia de metacognición se sugiere el artículo llamado "Metacognición: un camino para aprender a aprender" en el que se aborda el tema de la metacognición como una alternativa viable para formar alumnos autónomos, sobre la base de una educación que potencia la conciencia sobre los propios procesos cognitivos y la autorregulación de los mismos por parte de los estudiantes, de manera tal, que les conduzca a un “aprender a aprender”, es decir, a autodirigir su aprendizaje y transferirlo a otros ámbitos de su vida.

Link de interés Para saber más acerca del artículo anterior visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P033b. Actividades sugeridas Nivel 1 1. Nicolás trabaja con boleta de honorarios. Esto significa que por cada boleta que emite, el Servicio de Impuestos Internos le retiene el 10 % de dinero. Él ha dado boletas por $ 1 000 000, por $ 800 000 y por $ 560 000. Si le devolverán en abril del año siguiente la totalidad de lo retenido y él ocupará un cuarto para arreglar su bicicleta y el resto lo dejará en el banco. a. ¿Cuánto dinero recibe de la devolución de impuestos? b. ¿Cuánto dinero ocupará en la reparación de la bicicleta?

Nivel 2 1. Gabriela es profesora. El año 2015, ella trabajó 40 horas a la semana y por su buen desempeño, el colegio decidió aumentar su contrato a 44 horas a la semana el año 2016. A partir de esta información, responde: a. ¿En qué porcentaje se incrementó las horas de trabajo de Gabriela? b. El nuevo contrato indica que por cada 0,75 horas Gabriela tiene 15 minutos para corregir y preparar material para sus clases. ¿Cuántas horas debe preparar clases y cuántas horas dedicará para hacer las clases en sala? ¿Qué porcentaje representa cada situación? 2. Marcelo recibe un aumento de $ 36 400, lo que corresponde al 7 % de su ingreso mensual. ¿Cuál es el total de su ingreso mensual después del aumento? 3. Al aumentar $ 100 000 en un 40 % y luego disminuir lo obtenido en un 40 %, ¿cuánto dinero se obtiene? ¿Por qué no se obtiene el mismo valor? 4. El precio de una propiedad es 2 500 UF. Si se debe pagar un pie del 10 % y el resto con un crédito hipotecario. ¿Cuál es el monto de dinero que se pagará con el crédito? Considere que 1 UF = $ 25 629,09 valor al 01/01/2016.

2. A Pablo le han descontado el 30 % del valor de una chaqueta. Si pagó $ 27 860, ¿cuál era el precio de la chaqueta sin descuento? 3. Emilia vende collares. Cada collar tiene un costo de $ 550 y ella quiere ganar el 20 % de lo que invierte. ¿A qué precio debe vender cada collar? 4. El precio sin IVA de un producto es $ 456 000. ¿Cuál es el precio de venta del producto? Recuerda que el IVA es un recargo del 19 %.


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Sección

3 »


Potencias

Componentes Texto del estudiante páginas 72 y 73. Recurso complementario digital: Potencias.

Orientaciones didácticas s o u r c

e

R

d i g

i t a

c

l

o

i m r p l t a e m e n

o

Propósito • Representar potencias de base 10. • Relacionar las potencias de base 10 con el sistema decimal. • Expresar números en notación científica. »

Inicio de sección Las lecciones de esta sección están trabajadas a través del planteamiento de situaciones que despiertan la necesidad de abordar los objetivos de aprendizajes involucrados. Mediante el modelamiento del razonamiento matemático se da solución al problema presentado y respuesta a la pregunta previamente hecha. Las actividades presentes están enfocadas y basadas en los indicadores de evaluación propuestos para estos aprendizajes y declarados al inicio. El trabajo con grandes números permite mostrar la necesidad de utilizar alguna notación que simplifique las expresiones de dichas cantidades y esa es, precisamente, una de las utilidades de las potencias. Según el marco curricular, se deben trabajar potencias con exponente positivo, pero sería igual de conveniente presentarles situaciones donde se deben expresar cantidades muy pequeñas, como la medida de las partículas subatómicas. Por ejemplo, el electrón tiene un radio que mide 0,000000000000000024 metros, lo que expresado como potencia es 2,4 • 10 -17 m. Recuerde cómo leer grandes números, por ejemplo, la distancia de Neptuno al Sol es 4 504 300 000 000 m, lo que se lee: cuatro billones quinientos cuatro mil trescientos millones. Puede complementar las actividades de estas páginas con el recurso digital complementario que tiene como propósito reforzar conocimientos previos para el estudio de potencias de base 10 con exponente natural.


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Componentes Texto del estudiante páginas 74 y 75. Propósito Activar conocimientos previos y prerrequisitos de la sección.

Unidad 1 Números

Los y las estudiantes deben tener un buen dominio de los números naturales de más de seis cifras, además de saber ejecutar las cuatro operaciones con números decimales. A continuación un resumen de los indicadores de esta actividad de detección del manejo de los prerrequisitos. Indicador

Pregunta

Remedial

Identifica el valor Puede utilizar la actividad 1, 2, 3, 4, posicional de las cisugerida. 5y6 fras. Calcular áreas.

Multiplicar y dividir números decimales.

7

Recuerde el cálculo de superficies de cuadrados y rectángulos en diferentes ámbitos numéricos.

8 y9

Recuerde los procedimientos vistos en la lección 8.

Actividades sugeridas A partir de la siguiente información responde las preguntas. Un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz recorre en un año. Para poner en perspectiva esto, digamos que la velocidad de la luz es de 300 000 kilómetros por segundo. El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18 000 000 km por minuto. Luego, nuevamente multiplicado por 60, lo transforma en 1 080 000 000 kilómetros por hora. Multiplicado por 24 resulta que la luz viajó 25 920 000 000 Finalmente, multiplicado por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9 460 000 000 000 kilómetros. De manera tal que cada vez que les pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros. Es lejos.” Fuente: Matemática... ¿Estás ahí?, Adrián Paenza, Editorial Siglo Veintiuno Editores, 2005.

a. ¿Cómo se lee el número que la luz recorre en un día?

1 Actividades sugeridas

b. ¿Qué otro procedimiento utilizarían para calcular la distancia que recorre la luz en una año? Coméntenlo. c. ¿Consideran los ceros al realizar el procedimiento? ¿En qué momento lo hacen y por qué?

Nivel 1 Ordena de forma decreciente los siguientes números: 10 000 000 ; 104 ; 1000 ; 1 000 000 ; 1012 ; 10 0 ; 10 ; 100 000 ; 108. Nivel 2 Antonio tenía $ 108, y como ya estaba viejo y enfermo decidió hacer un testamento. A sus 10 hijos les dejó $ 106 a cada uno. Tenía 102 trabajadores y a cada uno le dejó $ 105. Si sobraba dinero, lo donaría a una escuela rural en la localidad de Dalcahue, en la isla de Chiloé. A partir de lo anterior responde: a. ¿Cuánto le tocó a cada persona del testamento? b. ¿Se le pudo donar dinero a la escuela de Dalcahue? ¿Cuánto?

Lección 12: ¿Cómo representar números utilizando potencias de base 10? »

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Componentes Texto del estudiante páginas 76 a 79. Cuaderno de ejercicios páginas 36 y 37. Propósito Representar potencias de base 10.

Orientaciones didácticas Puede comentar a sus estudiantes la historia del tablero de ajedrez, también extraída del texto “Matemática… ¿Estás ahí?”. La historia es la siguiente: El caso típico es el de los granitos de arroz con los que el Rey de un condado quería premiar a un súbdito que le había hecho un favor y le había salvado la vida. Cuando éste le dice que lo único que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un granito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, dieciséis en el quinto, treinta y dos en el sexto, y así, duplicando cada vez hasta recorrer todos los cuadraditos del tablero, el Rey descubre que no alcanzan los granitos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los alrededores) para poder satisfacer la demanda de su “salvador”. Si bien la situación no plantea una potencia de base 10, si permitirá que sus estudiantes puedan plantear la potencia y explicar por qué fue tan buen negocio para el granjero y no para el rey. Haga la relación con el crecimiento exponencial de la escala de Richter.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen pensar que las potencias de base 10, al expresar el valor que representan, se le deben agregar ceros al 10 de acuerdo al exponente, por ejemplo, 104 sería igual que 100 000, por eso es recomendable que represente la multiplicación de dos potencias de 10 para que los estudiantes se den cuenta que los ceros totales corresponden al exponente. Por ejemplo, al multiplicar 100 • 100 se obtiene 10 000, que es la suma de

los ceros de ambos factores lo que es equivalente a 10 4. Habilidades En el ejercicio 13 de la página 79 podrá evaluar la habilidad de resolución de problemas, además de plantear un ejercicio con un contexto potente y actual como es las fotografías satelitales. »

Lección 13: ¿Cómo se relacionan las potencias de base 10 con el sistema decimal? »

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Componentes Texto del estudiante páginas 80 a 83. Cuaderno de ejercicios páginas 38 y 39. Propósito Relacionar las potencias de base 10 con el sistema decimal.

Orientaciones didácticas Los estudiantes han realizado la descomposición de acuerdo al valor posicional desde primero básico, de modo que el procedimiento inicial no debiera tener dificultades. Deles espacio para que realicen esta antes de escribir como potencia de base diez la descomposición y luego de esto solicíteles que compartan las estrategias y las regularidades detectadas con cada posición para su escritura con potencia de base 10.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen descomponer en orden creciente un número y si falta alguna posición suelen completarla aunque no esté. Al momento de componer suponen que la descomposición presentada también está en orden y escriben la cantidad con los dígitos que aparecen sin fijarse en las potencias de 10. De ser así, es importante presentarles descomposición en desorden y que la multiplicación entre 0, que presentaría la ausencia de un dígito para la posición, y la potencia de 10 dé como resultado cero y no otro número.


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Actividades sugeridas Nivel 1 Escribe la potencia de 10 por la que se debe multiplicar el número para obtener el valor posicional correspondiente. a. 6 • = 60 000 b. 17 • = 170 000 000 c. 70 • = 700 000 000 d. 254 • = 25 400 000 000

Con los ejercicios 10 y 11 de la página 87 puede abordar “Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos cuantitativos en la comprensión de la realidad social.” Actividades sugeridas Nivel 1 Solicite a sus estudiantes que escriban en notación científica las distancias que recorre la luz señaladas en las Actividades sugeridas de la sección ¿Qué debo saber? de esta guía. Les debe recordar el texto.

Nivel 2 Nicolás ha separado ciertas cantidades de dinero utilizando monedas y billetes de $ 1, $ 10, $ 100, $ 1000 y $ 10 000. Escribe las cantidades de dinero que se muestran a continuación.

Nivel 2 Corrige los errores en las siguientes equivalencias. a. b. c. d.

a. 5 • 10 + 7 • 10 + 7 • 10 b. 8 • 103 + 9 • 103 + 5 • 104 c. 5 • 102 + 7 • 102 + 8 • 102 0

4

4

Lección 14: ¿Qué es la notación científica? »

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Componentes Texto del estudiante páginas 84 a 87. Cuaderno de ejercicios páginas 40 y 41. Propósito Escribir números en notación científica.

1,003 • 107 =10 000 003 3,99 • 103 = 399 000 5,3007 • 108 = 5 300 000 007

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Componentes Texto del estudiante páginas 88 y 89. Propósito Conectar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección con situaciones reales.

Orientaciones didácticas Uno de los usos de las potencias de base 10 es en las transformaciones de las unidades de medida de longitud. Para responder a la pregunta 2b de la actividad del mural, considere las siguientes equivalencias: Metros

Potencia

1 km3

1 000 000 000

109

Errores frecuentes

1 hec3

1 000 000

106

Suelen confundir la notación científica con cualquiera que posea una potencia de base 10. Debe quedarles muy claro que la notación científica tiene ciertas características y que a pesar de ser correcta la expresión en base 10 de un número, para que corresponda a notación científica debe respetar las reglas. El tipo de notación con la que más se confunde es la ingeniera, por ejemplo,

1 dam3

1000

103

1

100

1 dec3

0,001

10-3

1 cm3

0,000001

10-6

0,000000001

10-9

243 000 000 escrito como notación científica es 2,43 • 10 8 mientras que para la notación ingeniera seria 243 • 10 6.

40

2,3 • 104 = 230 000

Mural: Volcanes, la gran manifestación de la naturaleza

Orientaciones didácticas Puede comentarle a sus estudiantes que fue Arquímedes el primero en escribir un número utilizando la notación científica. Esto quedó registrado en su escrito “El contador de Arena”, donde comenta cómo representar una estimación sobre la cantidad de granos de arena en el universo. Su estimación llegó hasta 10 63, muy similar al exponente que resulta en la historia del tablero de ajedrez.

Actitudes

Unidad 1 Números

Volumen

1 m3

1 mm3 »

Habilidades

En esta actividad se está evaluando habilidades como resolver problemas y argumentar y comunicar soluciones.



Nivel 1 Resuelve la siguiente situación.

Nivel 1 Calcula y explica tus procedimientos. a. b. c. d.

Se estima que en el universo hay cerca de 2 300 átomos, considerando que 2 10 es cercano o aproximado a 10 3, ¿a cuánto equivaldría el número de átomos de nuestro universo escrito como potencia de base 10? Nivel 2 Los pendrive reemplazaron a los disquetes y CD como recurso físico de almacenamiento. Los primeros fueron de 8, 16, 32 y 64 MB (megabytes), llegando incluso a los 256 MB. Hoy en día la capacidad de estos soportes ha crecido mucho, desde los 256 GB (gigabytes) de capacidad ahora hasta incluso de 16 TB (terabytes).

Orientaciones didácticas Coménteles la utilidad que tienen las potencias de base 10 para realizar cálculos multiplicativos con grandes números. Por ejemplo, si se quiere calcular el producto entre 350 000 000 y 6 976 000 000 es mucho más sencillo multiplicar 35 • 107 • 6976 •106 y escribir este producto. El exponente de una potencia de 10 nos permite saber más rápidamente la magnitud del número, por ejemplo, en lugar de contar los ceros para poder comparar dos números, con la notación de potencias decimales o con la notación científica es mucho más sencillo inspeccionar el exponente para realizar estas comparaciones.

5 • 1012 – 5 • 10 6

Somalia 1,2 • 106 Etiopía 1,32 • 106

¿Servirá la ayuda recolectada por lo estudiantes de Chile para cubrir la cantidad de vitaminas que necesitan lo niños de África? Si no es así, ¿cuál es la diferencia?

Componentes Texto del estudiante páginas 90 y 91. Cuaderno de ejercicios páginas 42 y 43. Propósito: Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento.

8,65437 • 105 + 8,65437 • 106

Kenia 1,3 • 106

¿Cómo voy?

»

1,3 • 109 – 2,3 • 105

Nivel 2 Todos los colegios del país en Chile realizaron una colecta para comprar 4,5 • 107 vacunas vitamínicas que permitieran a los niños más vulnerables del continente africano poder mejorar sus condiciones físicas. Los países que quieren apoyar tienen el siguiente número de niños a los que es posible hacerles llegar la vitamina:

Si 1 MB = 106 bytes, realiza las conversiones de las medidas de pendrive señaladas anteriormente.

»

4,768 • 109 + 5,7 • 108


»

Componentes Texto del estudiante páginas 92 y 93. Cuaderno de ejercicios páginas 44 y 45. Propósito Aplicar estrategias de resolución de problemas. Instancia de metacognición.

Orientaciones didácticas Es importante que para aplicar la estrategia usar ensayo y error sistemático, se cuente con más de una alternativa de procedimiento o que se pueda corroborar el resultado para saber si es pertinente la respuesta. Actividades sugeridas Nivel 1

Errores frecuentes Los estudiantes suelen creer que solo se pueden escribir con notación científica aquellos números que tienen cifras 0. Puede mostrarles con un ejemplo que no es así, ya que el número 1 879 753 674 se puede escribir con notación científica así: 1,879753674 • 109.

1. Las siguientes son las masas de algunos planetas: Urano: 8,7 • 1025 kg.

Neptuno: 1 • 1026 kg.

Tierra: 6 • 1024 kg.

Saturno: 5,7 • 1026 kg.

a. ¿Cuántos kilogramos tiene aproximadamente la Tierra con respecto a Urano? b. ¿Cuántas veces la masa de Neptuno es la masa de Saturno?


41




2. Busca las parejas entre el número y su expresión en notación científica, trazando un recorrido desde la entrada hasta la salida.

»

»

ENTRADA 0,00087

–4

8,7 • 10

3 • 10

6

3

3 000 000

0,3 • 10

8,7 • 102

8,7 • 10–3

300 000

3 • 107

30 • 106

25,6

256 • 10–2

2,56

0,017

1,7 • 10–2

8

7

2

44 000 000

4,4 • 10

1,7 • 10

91 • 104

4,4 • 108

8 000 000

80 • 105

6,662 • 10 –3

9,1 • 102

0,00091

8 • 105

8 • 10 3

0,006662

76 500

76,5 • 105

7,65 • 104

7,56 • 104

756

756 • 10–1

765 • 10 0

765 • 10–2

7,65

76,5

7,65 • 101

SALIDA

44 • 10

17 000

7,65 • 106 0,00765 • 106

7 650

Nivel 2 Una persona adulta tiene en la sangre una concentración de glóbulos rojos de 5,6 • 106 por cada mililitro de sangre, y que en total se tiene 4,6 • 103 mililitros de sangre. De acuerdo a esta información, ¿cuántos glóbulos rojos contiene la sangre de una persona adulta?

»

Componentes Texto del estudiante página 94. Recurso digital complementario: Números.

R

c

s o

u r

c

e

d i g

i t a

l

o


o

Orientaciones didácticas Complemente las actividades que aparecen en estas páginas con los siguientes ejercicios:

Sección 1: Números enteros 1. El termómetro de un congelador marca 0 °C. Antes de salir, el dueño disminuye la temperatura para congelar los productos. Con esta acción, la temperatura disminuye 1 °C cada 5 minutos. Luego de 45 minutos, se corta la luz y el congelador aumenta su temperatura 2 °C cada 7 minutos. Luego de 28 minutos, ¿qué temperatura marca el termómetro? 2. Ordena de menor a mayor los resultados obtenidos en las siguientes operaciones. a. −4 + 5 − 7 + 4 − (−4) c. −4 – (3 – 2) – (−5 + (−3)) b. −6 – (−7) + 5 – 3 – 2

Sección 2: Fracciones, decimales y porcentajes

Propósito Realizar una síntesis de los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.

Sección 3: Potencias 1. Si 1 m son 100 cm, 1 km son 1000 m, 1 cm son 10 mm, determina cuántos milímetros hay en 100 km. Escribe tu respuesta en potencia de 10. 2. ¿A qué potencia de 10 equivale 10004?

Orientaciones didácticas Para el mapa conceptual de la sección 2 puede sugerirles los siguientes conceptos: • Fracción • Decimal • Porcentaje Para el mapa conceptual de la sección 3 puede sugerir los siguientes conceptos: • Potencia de base 10 • Notación científica Puede complementar estas actividades de cierre con el recurso digital complementario que tiene como propósito obtener información sobre el desempeño de los alumnos y las alumnas en los aprendizajes clave de la unidad.

42

Unidad 1 Números

Propósito Reforzar los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.

1. La superficie de una mesa rectangular mide 0,96 m 2 y uno de sus lados mide 0,8 m. Se quiere elaborar un mantel que cubra la superficie, sobre un margen de 0,3 m por cada lado. ¿Qué área debe tener el mantel? 2. A una polera se le ha hecho un descuento del 30 %, quedando en $ 3150. ¿Cuál era el precio original?

Sintetizo mis aprendizajes »


¿Qué aprendí? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 97 a 99. Cuaderno de ejercicios páginas 46 y 47. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridos en la unidad.

Orientaciones didácticas Complemente estas páginas con las del Cuaderno de ejercicios.

1

Información complementaria disciplinar La evolución de la división de fracciones La división entre fracciones no es un algoritmo antojadizo que algún matemático se le ocurrió de la noche a la mañana. Todo lo contrario, desde el antiguo Egipto se utilizaba las fracciones para repartir herencias, quedando un registro de esto en el famoso papiro de Hames donde aparecen varias demostraciones de los cálculos realizados en esta época. En dicho papiro, aparece cómo se descomponían las fracciones hasta expresarlas como fracciones unitarias para realizar con ellas el reparto de las herencias antes señaladas. La estrategia era la siguiente: Si b + c es múltiplo de a, entonces:

_a = bc

__ _ _ 1 + 1 b • b+c c • b+c a a

El Chóu-peï, que es otro documento con cálculos matemáticos pero de la antigua China, también incluye cálculos donde se debían dividir números enteros por fracciones e igualmente incluían en sus desarrollos la multiplicación por el 2 , multiplicaban por cuatro antes denominador, por ejemplo al dividir 200 por _ 4 de realizar la división por 2. Durante la Edad Media se tenía la creencia de que las fracciones solo era posible operarlas con otras fracciones, de modo que el cálculo 2_ : 2 4 2 • _ 1 . resultaba ser _ 4 2 Luego de que apareciera la imprenta, se pueden constatar registros de diferentes procedimientos para el cálculo de la división de fracciones. Entre ellos, el realizado por el matemático francés Nicolás Chuquet en el año 1484, el que consistía en reducir las fracciones a común denominador y efectuar el cociente de los numeradores resultantes, por ejemplo:

__

__

5 : _ 5 12 = 5:12 = 5:12 = _ _1 : _4 = 1 • 5 : 4 • 3 = _ 3 5

3•5 5•3

15 15

15:15

1

12

El método del cálculo cruzado ya era utilizado en la aritmética de los tiempos modernos, en textos de Juan Andrés de Zaragoza, escritos alrededor de 1515, se utilizaba esta técnica que consistía en multiplicar numerador y denominador 1•_ 4 se debía multiplide distintas fracciones. Por ejemplo, para multiplicar _ 3 5 1↘_ 4 y por otro _ 1↙_ 4 obteniendo como resultado car cruzado por un lado _ 3 5 3 5 5 . Luego de este proceso, se llega al algoritmo de “multiplicar por el inverso del 12 divisor”. Este método conocido por los árabes en la edad media, fue introducido recién entre los siglos XVI y XVII en occidente y, desde ahí, hasta nuestras salas de clase.

_

Fuente: http://www.mauriciocontreras.es/UN%20ALGORITMO%20MISTERIOSO.pdf


43

Información complementaria didáctica Estrategia para la enseñanza de los números enteros: los contextos La enseñanza de los números enteros debe abordarse a partir de una tridimensionalidad para que el estudiante le dé sentido al aprendizaje de dicho conjunto numérico. Su aproximación debe partir de la dimensión de los contextos en que son utilizados dichos números, en especial los números negativos y el cero. Además de esto, los estudiantes deben hacer uso de la dimensión concreta, representada por la recta numérica como recurso para ordenar, comparar y operar con números enteros, pudiendo ir deduciendo los procedimientos y regularidades asociadas con dichos números. Finalmente, presénteles la dimensión de la abstracción que corresponde a los conocimientos relacionados con los sistemas numéricos, a las formas de escritura de estos con sus propiedades, reglas, símbolos, etc. En esta oportunidad, abordaremos la dimensión contextual como aquella que permite plantear situaciones problemas donde los estudiantes deben darles solución utilizando la adición de números positivos y negativos. Algunos autores distinguen distintos tipos de contextos, entre ellos se cuentan los siguientes: a. Estados, que expresan la medida de una cantidad de una cierta magnitud asociada a un sujeto en un instante —“debo 2”—. b. Variaciones, que expresan el cambio de un estado con el paso del tiempo —“perdí 2”—“. c. Comparaciones, que expresan la diferencia entre dos estados —“tengo 2 más que tú”—“ Estos tres usos de los números dan origen a diferentes tipos de problemas, por ejemplo: en el problema “Un delfín estaba a 5 metros bajo el nivel del mar y bajó 8 metros. ¿Cuál era la posición del delfín después de este movimiento?” corresponde a uno en que se combinan las variaciones con los estados. La importancia de conocer esta nomenclatura radica en la necesidad de poder entender la dificultad de los problemas, los tipos de representaciones que harán los estudiantes y los procedimientos y estrategias de resolución. Algunos estudios indican que los contextos donde se señalan estados iniciales y finales son los más fáciles de abordar y entender por los estudiantes, como lo son el uso del dinero. Un nivel de dificultad mayor lo tienen los problemas que abordan variaciones, como lo son de temperatura y de profundidad en relación al nivel del mar. El uso de fechas resulta tener un grado mayor de complejidad por lo que implica entender el paso del tiempo no como una secuencia creciente si no como una variación. Si bien los contextos en que es posible abordar el trabajo con números negativos es mucho más escaso que el de los positivos, permite tener un mayor grado de interés y preocupación a la hora de organizar las actividades para nuestros estudiantes lo que significa un desafío para nuestra labor. Fuente: http://www.pna.es/Numeros2/pdf/Bruno2009PNA3%282%29Metodologia.pdf http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/009-018.pdf

44

Unidad 1 Números

1

Actividad complementaria Dominó El dominó adaptado es una actividad donde los estudiantes pueden jugar en parejas o en grupos de hasta cuatro integrantes. Al igual que el juego normal, se deben hacer coincidir los números, salvo que en esta ocasión cada uno de ellos resulta luego de realizar una operación aplicando adición y sustracción de enteros, multiplicación y división de fracciones y números decimales o el cálculo de un porcentaje.

_4 • 0

– (8 – 12)

12 : _3 _

_2 • 12

9 + –9

2,5 • 8

_2 • 12

10% de 10

0,7 : 2,8

8 • 0,625

0,25 • 20

3 : 0,6

–9 – –12

–3 – –6

–8 + 8

–9 – –10

_2 : _2

0,26 • 16

0,5 : 0,1

– (–9 + 4)

_1 • _0

12 _6 : _

_1 : _1

2 : 0,5

–10 + 15

0,9 : 0,15

–4 + 10

– (–4 – 2)

12,5 • 0,4

–8 + 9

_1 • 30

20% de 25

0,5 • 6

1,8 : 0,6

_2 • 6

–6 – –12

_1 : _1

10 + –9

90% de 0

_1 : _1

1 24 : _ 4

24 • _ 3 _

–16 + 18

0 – –6

6 – –6

–7 + 7

– (–6 + 4)

7,5 • 0,4

3,6 : 0,6

5:4

0,1 : 0,05

–6 + 9

0,5 • 4

_3 • _6

0 : 0,9

12 + –10

6

3 3

4 6

3 9

e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

8 16

9 2

6 3

5 5

6

2 4

5

4

6

2 8


45

Evaluación de la unidad Nombre

Curso

Parte I: Evaluación de contenidos

Parte II: Evaluación de habilidades

En los ejercicios del 1 al 10, selecciona la alternativa que consideres correcta. (1 punto cada una) 1. ¿En cuál de los siguientes casos la cantidad enunciada se puede representar a t ravés de un número negativo? A. Hay 35 °C de temperatura. B. Hay 4 horas a favor en la carrera. C. La tienda se ubica en el segundo subterráneo. D. Miguel ganó $ 40 000 en la lotería.

8. Escribe una V si la afirmación es verdadera o una F si es falsa. En este caso, indica la respuesta correcta. (4 puntos)

2. ¿Qué relación de orden es correcta? A. –3 > –2 B. –5 > –7 C. –8 < –9 D. 0 < –1 3. Carlos se quiere comprar un departamento que cuesta 1980 UF. Si el valor de la UF en el momento de la compra del departamento es de $ 24 591,09, ¿cuánto dinero cuesta el departamento? A. $ 48 691 962 B. $ 4 869 035,82 C. $ 48 690 358,2 D. $ 4 940 315 820 4. Tres cuartos dividido en un octavo es: A. 6 C. _3 2 B. 8 D. 3 32 5. En un curso hay 9 niñas y 16 niños. ¿Qué porcentaje del curso son niños? A. 16 % C. 56 % B. 36 % D. 64 %

_


46

Fecha

6. ¿Cuántos vasos de 0,2 litros se pueden llenar con una botella de 2,8 litros? A. 1,4 C. 14 B. 7 D. 28 7. Un número es 4 veces la mitad de 0,4. ¿Cuál es el número? A. 0,2 C. 1,4 B. 0,8 D. 1,6

Unidad 1 Números

a.

5 está a la izquierda de 4.

b.

0 es menor que todo número entero.

c.

Así como el 1 es el menor número entero positivo, –1 es el menor número entero negativo.

d.

Un número negativo es menor que otro mientras más alejado esté de cero.

9. Pinta del mismo color las casillas que representan equivalencias entre fracciones, números decimales y porcentaje. (4 puntos)

_1 2 1 25 1 50 _2 5

_ _

0,4

4%

0,04

50 %

0,5

40 %

0,02

2%

10. I d e n t i f i c a l o s e r r o r e s e n l o s s i g u i e n t e s procedimientos y calcula la respuesta correcta. (2 puntos cada ítem) a. 0,5 • 3 = 15 R: Lo correcto es 0,5 • 3 =

b. –7 + –9 – (–10) = –27 R: Lo correcto es –7 + –9 – (–10) = 5 : _2 = 2,5 c. _ 6 3 2

_

R:

2 = Lo correcto es _5 : _ 6 3

1 d. El 30 % del 20 % de 400 es 200.

d.

R: Lo correcto de 30 % del 20 % de 400 es

.

11. Completa la línea con el número que representa cada notación científica. (1 punto cada una) a. En el cuerpo humano hay cerca de 7 • 10 27 átomos. átomos. b. Al unir todos los vasos sanguíneos del cuerpo humano, estos medirían 9,7 • 10 7 metros de longitud. metros.

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3 4

5

6

13. Escribe la multiplicación o división que representa cada región y resuelve. (2 puntos cada uno) a.

c. Una persona consume en su vida cerca de 6 • 104 kilogramos de comida. kilogramos. d. En un día, se mueren y renuevan, cerca de 1,98 •109 células. células. 12. Escribe el cálculo que representa cada recta numérica y resuelve. (2 puntos cada uno)

b.

a. c. –5 –4

–3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

b.

14. Resuelve los siguientes problemas. a. Cierto día, en Punta Arenas se registró una temperatura mínima de −3 °C, y una máxima de 1 °C. ¿En cuántos grados Celsius varió la temperatura? (1 punto)

c.

R: –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2


47

Evaluación de la unidad

b. Un vaso de precipitado como el de la imagen, fue llenado en un 30 % de su capacidad graduada con agua. ¿Cuántos ml de agua tiene el vaso? (1 punto)

h. En el polo norte se efectuó una expedición y la temperatura, a las 12:00 del día, era de 25 °C bajo cero; luego, a las 15:00 horas, la temperatura aumentó 8 grados; a las 17:00 horas aumentó 3 grados y, finalmente, a las 22:00 horas, la temperatura bajó 9 grados. ¿Qué temperatura se registró a las 22:00 horas? (2 puntos) R: i. Una camisa tiene un valor inicial de $ 5 500. ¿Cuál es el IVA que se debe pagar por ella? (1 punto) R: j. Un taladro cuesta $ 89 250 con IVA incluido. ¿Cuál es su valor inicial? (1 punto)

R: c. Oliver quiere comprar una alfombra y le ofrecen las siguientes posibilidades:

Alfombra 1 1,33 m x 1,9 m

Alfombra 2 1,6 m x 2,3 m

Si necesita comprar la que cubre mayor superficie, ¿cuál de ellas debiera escoger y cuánta es la diferencia con la que cubre una menor área? (2 puntos) R: d. Una polera cuesta $ n menos que un pantalón sin descuento. Si por el pantalón con un 30 % de descuento pagó $ 12 000, ¿qué expresión permitiría calcular el valor de la polera? (2 puntos) R: e. Si el área de un rectángulo es el doble del área de un cuadrado de lado 4 • 10 3 cm, ¿cuál es la medida del largo del rectángulo si este es 2 • 10 2

veces su ancho? (2 puntos) R: f. Si la medida del largo y ancho de un rectángulo aumenta en un 50 %, ¿en qué porcentaje aumenta su área? (2 puntos) e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

48

R: g. Un cuadrado de lado 45 cm tiene en su interior otro cuadrado cuyo lado mide la décima parte del cuadrado anterior. ¿Cuál es la diferencia de área entre ambas figuras? (2 puntos) R:

Unidad 1 Números

R: k. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y equivale a 9,4605 • 10 12 km, aproximadamente. De acuerdo a esta afirmación, ¿cuál es la distancia que representa un año luz? (1 punto) R: l. Un camión transporta 300 cajas con botellas. Si en cada caja hay 100 botellas de 2,5 litros cada una, ¿cuál es la cantidad de litros que transporta el camión? (2 puntos) R: m. Un helicóptero vuela a 200 m sobre el nivel del mar, luego, baja 5 veces 12 m y, por último, asciende 150 m. Por otra parte, un submarino que se encuentra en la superficie se sumerge hasta lograr 250 m bajo el nivel del mar. Luego, sube 4 veces 55 m y, por último, baja 2 veces 95 m. ¿Cuál de los dos medios de transporte está más cerca del nivel del mar? ¿Cuáles son estas distancias? (2 puntos) R: n. Jorge, Erasmo y Miguel ganaron un premio de 84 millones de pesos en un juego de azar, el que se repartirán en el mismo porcentaje del dinero que aportó cada uno para comprar el boleto. ¿Cuánto dinero del premio le corresponde a cada uno si Jorge aportó 5 0 %, Erasmo 3 0 % y Miguel 20 %, considerando que se debió pagar un impuesto del 10 %? (2 puntos) R:

1

Banco de preguntas I. Marca la alternativa que consideres correcta

Planeta

1. El resultado de (–4) + 5 – (–7) es:

A. 12 B. 8

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno

C. 3 D. –2

2. Al ordenar los números –3, 0, –2, 1 se obtiene:

A. B. C. D.

-3 > –2 > 1 > 0 1 > 0 > –2 > –3 –3 < –2 < 1 < 0 0 < 1 < –2 < –3

_

1 : 2 : _ 1 se obtiene: 3. Al resolver la operación_ 5 10 3

A. 3 B. 75 C. 2 150 D. _1 3 4. El cociente entre 1,125 y 0,45 es: A. 4 B. 25 C. 0,4 D. 2,5

_

5. Andrés obtuvo 28,2 puntos de 47 que tenía la prueba. ¿Qué porcentaje de logro obtuvo con su puntaje?

A. B. C. D.

60 % 28,2 % 16 % 6%

40 • 10

0,39 0,72 1,00 1,52 5,20 9,55 19,19 30,11

a. ¿Cuál es la distancia del Sol a Venus en kilómetros?

R: b. ¿Cuál es la distancia del Sol a Urano en kilómetros? R: c. ¿Cuál es la distancia del Sol a Júpiter, en kilómetros? R: III. Resuelve los siguientes problemas.

1. Si Marta tiene en su cuenta bancaria un saldo de −$ 35 000 y realiza un gasto de $ 42 000, ¿cuál será el saldo de su cuenta luego de la compra?

R: 2. Si cierto día se registró una temperatura mínima de −5 °C, y una máxima de 8 °C, ¿cuál fue la variación de temperatura?

R:

6. En un año, una persona pestañea aproximadamente 8 • 106 veces. ¿Qué expresión representa las veces que ha pestañado en su vida una persona de 50 años, aproximadamente?

A. B. C. D.

Distancia (u. a.)

8

40 • 106 4 • 107 4 • 108

II. Considerando la siguiente información responde

las preguntas y escribe tus respuestas en notación científica. 1. Una unidad astronómica (u. a) corresponde a la distancia media entre la Tierra y el Sol y corresponde a 1,5 • 108 km, aproximadamente. El siguiente cuadro muestra las distancias en unidades astronómicas (u. a.) entre el Sol y los planetas del Sistema Solar.

3. José tiene un sueldo de $ 550 000. Si quiere ganar un 50 % más y tiene entrevista con su jefe para pedir un aumento, ¿cuál es el sueldo que debe señalar José que quiere ganar?

R: 4. Camila quiere saber cuánto mide el alto de su casa. Sabe que la superficie de una de las paredes es de 11,48 m 2 y que el largo mide 4,1 metros, ¿cuál será la altura considerando esta información?

R: 5. Manuel tiene en su cuenta corriente un saldo negativo de $ 500 000. Para saldarla vendió una guitarra en $ 650000. Si deposita todo este dinero en su cuenta. ¿De cuánto sería su saldo?

R: 6. Una polera cuesta $ 1 000 menos que un pantalón. Si por el pantalón con un 20 % de descuento se pagó $ 12 000, ¿cuánto cuesta la polera?

R: Matemática 7.º básico

49

Solucionario Inicio unidad (página 22)

¿Cómo voy? (página 28)

Orientaciones didácticas • Fue menor (–93,2 < –89,2). • 14 °C es natural porque es un numero entero positivo, – 89,2 °C representa números decimales porque la parte decimal tiene dígitos distintos de 0. • Temperaturas bajo cero. • –1 °C. Actividades sugeridas Nivel 1: a. La mitad de lo que irradia el sol es absorbido por el mar y queda en él.

Nivel 1: a. 0 y –7 b. –8 y –12 c. –10 y –7 d. 6 + –6 e. –7 y 8 f. –11 y –20 g. 5 + –6 Nivel 2: El saldo de la cuenta es de $ –342 900.

b. Las temperaturas negativas son temperaturas bajo cero. La temperatura más baja es –2 °C. Nivel 2: 1. Por ejemplo, las profundidades debes ser representadas con valores negativos. Los porcentajes como una razón.

SECCIÓN 1: NÚMEROS ENTEROS ¿Qué debo saber? (página 23) Nivel 1: a. nueve b. uno c. mil d. seis e. tres f. ocho g. dos h. seis i. cinco j. veinte k. trece l. cero m. uno n. seis. Nivel 2: 2. Andrea tiene de ganancia $ 10 500.

Lección 1 Nivel 1: Miguel vive en el –5, o sea, el subterráneo de su edificio. Durante el verano tiene problemas en la mañana ya que la temperatura en su departamento alcanza los –30 °C. Como no tolera el frío abonara $ 25 000 a su cuenta de ahorro para ahorrar dinero para una estufa y comprarla en una tienda que se encuentra en el segundo piso del centro comercial. Nivel 2: Sí es posible, siempre que x sea un número negativo. Lección 2 Nivel 1: El camino es: –8, –6, –4, –2, 1, 3 Nivel 2: d(–2) < b(–1) < 0 < a(1) < c(2) Lección 3 Nivel 1: a. –13 b. 6 Lección 4 Nivel 1: 25 Nivel 2: 1 hora. Lección 5 Nivel 1: a. Restar b. Restar c. Sumar Nivel 2: 60 puntos.

Mural (página 27) Nivel 1: a. A los –600 m. Nivel 2: a. 2000 m. c. 2200 m.

50

Unidad 1 Números

b. –300 – (–600) = 300 b. 11 000 m. d. 6000 m. e. 3,3 ft = 1 m.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: –13 metros. Nivel 2: Suena 10 veces.

SECCIÓN 2: FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES ¿Qué debo saber? (página 30) Actividad sugerida a. Blanca es la mitad de la redonda, negra es un cuar to de la redonda, corchea es un octavo de la redonda, semicorchea es un dieciseisavos de la redonda. b. A 8.

Lección 6 Nivel 1: a. 0,625 b. 0,4 c. 0,5 d. 0,75 Nivel 2: En cada caso subirán las notas en 0,8; 0,2 y 0,6. El trabajo de investigación, ya que se obtienen más décimas para subir las notas. Lección 7 2 kg de Nivel 1: Alcanzan 14 paquetes enteros y sobrarán _ 5 arroz. Si el frasco estaba hasta el tope de arroz en un inicio, 1 . el arroz que sobra corresponde a _ 9 4 . Nivel 2: El número es la fracción _ 3 Lección 8 Nivel 1: Puede llenar 30 vasos y le sobrarán 400 cc. Nivel 2: Sí, siempre que el número sea mayor que 0 y menor que 1. Lección 9 7 Nivel 1: a. Oxígeno: 47 ; Silicio: _ 100 25 b. Calcio: 0,035 = 35 = 7 1 000 200 Nivel 2: Una opción es:

_

_ rojo

_

azul blanco verde

Lección 10 Nivel 1: Le conviene comprar en “A” porque le sale más barato y la diferencia es de $ 170 000. Nivel 2: a. 22 alumnos obtuvieron nota menor que un 4,0. b. 10 alumnos entre un 4,0 y un 6,0.

1 Lección 11 Nivel 1: Hay 2 834 000 ancianos. Nivel 2: La cuota del dividendo es $ 312 500. Pagó el 20 % de la deuda.

Mural (página 40)

Mural (página 35)


Nivel 1: a. 17 800 000 b. 2 670 000. En el 2020 5 340 000. c. 3 : 1250; 0,24 %; 0,15 %. Nivel 2: a. 1,7 litros. b. M-H aumenta en 14,29 %; H-M dismi2 litros. d. Aumenta en un 62,5 %. nuye en 12,5 %. c. _ 5

Nivel 1: a. 53,38 • 108 = 5,338 • 109


Nivel 1: a. Un sueldo bruto de $ 920 000. b. En un 15 %. Nivel 2: En ambas tiendas tendrá que pagar $ 10 560 000.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: 1. a. $ 236 000. b. $ 59 000 2. $ 39 800 3. $ 660 4. $ 542 640 Nivel 2: 1. a. En 10 %. b. 33 horas de clase (75 %) y 11 horas de planificación (25 %). 2. $ 556 400 3. $ 84 000. No se obtiene lo mismo porque el 100 % cambia. 4. $ 57 665 452,5

Nivel 1: Equivaldría a 1090 átomos. Nivel 2: Kb = 103 , Mb = 106 , Gb = 109, Tb = 1012

b. 12 997,7 • 105 = 1,29977 • 109 c. 95,19807 • 105 = 9,519807 • 106 d. 4 999 995 • 10 6 = 4,999995 • 1012 Nivel 2: Sí alcanza, porque las vacunas que utilizarán son 3,82 • 106 personas y ellos recolectaron 4,5 • 10 7. La diferencia entre esas cantidades se puede calcular de la siguiente forma: 45 • 10 6 – 3,82 • 106 = 41,18 • 106.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: 1. a. La diferencia entre Neptuno y la Tierra es de 5 • 1025 kg. La masa de Neptuno es 8,7 veces la de Urano. Nivel 2: Hay 2,576 • 1010 glóbulos rojos en la sangre.

Refuerzo mis aprendizajes (página 42)

¿Qué debo saber? (página 38)

Sección 1: 1. –1 °C 2. a. 2 b. 1 c. 3 (3 > 2 > 1) 2 Sección 2: 1. 1,65 m 2. $ 4500 Sección 3: 1. 100 km = 108 mm 2. 1012

Actividades sugeridas a. Veinticinco mil novecientos veinte millones de km en un día. b. Podemos calcular cuántos segundos hay en un año y eso multiplicarlo directamente por la distancia que la luz recorre en un segundo. c. Los ceros se agregan al final de la multiplicación para evitar errores.

1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. B 8. a. F, está a la derecha b. F, solo que todo número entero positivo c. F, no existe número entero negativo menor, son infinitos. d. V 9.

SECCIÓN 3: POTENCIAS

Lección 12 Nivel 1: 100 < 10 < 100 < 1000 < 104 < 100 000 < 1 000 000 < 10 000 000 < 108 < 1012 Nivel 2: a. Cada hijo recibió $ 1 000 000 y cada trabajador recibió $ 100 000. La escuela recibió $ 80 000 000. b. Sí fue posible donarle a la escuela, porque sobraron $ 85 200 000. Lección 13 Nivel 1: a. 104 b. 107 c. 108 d. 107 Nivel 2: a. 1 • 105 + 4 • 104 + 5 • 100 b. 6 • 104 + 7 • 10 3 c. 2 •103 Lección 14 Nivel 1: Distancia que recorre la luz en distintos períodos de tiempo: 3 • 105 en un segundo, 1,8 • 10 7 en un minuto, 1,08 • 1 09 en una hora, 2,592 • 1010 en un día, 9,46 • 10 12 en un año. Nivel 2: a. 2,3 • 104 = 230 000, lo correcto es 23 000. b. 1,003 • 107 =10 000 003, lo correcto es 10 030 000. c. 3,99 • 103 = 399 000, lo correcto es 3 990. d. 5,3007 • 108 = 5 300 000 007, lo correcto es 530 070 000.

Evaluación de unidad (páginas 46 a 48)

_1 2

_1 25

_1 50

_2 5

0,4

4%

0,04

50 %

0,5

40 %

0,02

2%

10. a. No consideró la coma, lo correcto es 1,5. b. Sumo todo, lo correcto es –7. c. Dividió numerador con numerador y denominador con denominador, lo correcto 5 . d. Sumó los porcentajes y calculó el 50 %, lo correcto es _ 6 es 24. 11. a. 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 b. 97 000 000 c. 60 000 d. 1 980 000 000 12. a. 6 + –5=1 b. 5 + 6=1

_

1 • _ 2 = _ 2 b. _ 4 • _ 1 = 4 13. a. _ 5 3 15 2 4 8

c. –6 – 4 = –10

d.5 + 3=-2

2 : _ 1 = 4 c. _ 4 8


51

Solucionario

14. a. Varió en 4 ºC. b. Tiene 150 ml de agua. c. Debe comprar la alfombra a rayas y la diferencia de super ficie es de 1,153 cm2. d. (12 000 • 100) : 70 – n. e. Mide 80 000 cm. f. Aumenta un 200 %. g. La diferencia es 2004,75 cm2.

h. La temperatura fue –23 ºC. i. Se debe pagar $ 1045. j. Costaba $ 75 000. k. Es de 9 460 500000 000 km. l. 75 000 l de bebida. m.Está más cerca el submarino y hay 510 m de distancia. n. Jorge recibe $ 37 800 000, Erasmo $ 22 680 000 y Miguel $ 15 120 000.

Banco de preguntas (página 49) Parte I 1. B

2. B

Parte II 1. a. 1,1 • 108

3. A

4. D

b. 2,9 • 109

Parte III 1. $ 17 000 de saldo. 2. 13 °C de temperatura. 3. $ 825 000 de sueldo. 4. 2,8 m de altura.

5. A

6. D

d. 7,8 • 108 5. $ 150 000 de saldo. 6. $ 14 000 cuesta la polera.

Parte I: Para repasar contenidos Cuenta el puntaje que obtuviste en la parte I de la evaluación. Luego, repasa las lecciones según tu nivel de logro. Contenido

Logrado

Por lograr

Repasa en…

Representación de enteros. (Actividades 1a, 1b, 2)

2 puntos

0 o 1 punto

Lecciones 1 y 2.

Adición y sustracción de números enteros. (Actividades 4b, 6, 8a, 8h, 8m)

4 o más puntos

3 o menos puntos

Lecciones 3, 4 y 5.

Multiplicación y división de fracciones y decimales. (Actividades 1c, 1d, 1f, 1g, 4a, 4c, 7, 8c, 8g, 8l)

6 o más puntos

5 o menos puntos

Lecciones 7 y 8.

Calculo de porcentaje. (Actividades 1e, 3, 4d, 8b, 8d, 8f, 8I, 8j, 8n)

5 o más puntos

4 o menos puntos

Lecciones 9, 10 y 11.

Concepto de notación científica. (Actividades 5, 8e, 8k)

2 puntos

0 o 1 punto

Lecciones 13 y 14.

Parte II: Para practicar habilidades Para practicar las habilidades matemáticas evaluadas en la parte II dirígete al Cuaderno de ejercicios, según tu nivel de logro. Habilidad

Logrado

Por lograr

Practica en…

Representar (Actividades 1a, 1b, 1d, 1e, 1g, 3, 5, 6, 7)

6 o más puntos

5 o m en os puntos

Cuaderno de ejercicios, lecciones 1 y 2.

Modelar (Actividades 8d, 8f)

1 punto

0 punto


Resolver problemas (Actividades 1c, 1f, 8a, 8b, 8c, 8e, 8g, 8h, 8i, 8j, 8k, 8l, 8m, 8n)

8 o más puntos

8 o m en os puntos

Cuaderno de ejercicios, páginas 18 y 19.

Argumentar y comunicar (Actividades 2 y 4)

4 o más puntos

3 o m en os puntos

Cuaderno de ejercicios, lección 5.

RDC Las respuestas a las actividades de los recursos digitales complementarios las encontrará en el documento informativo de cada RDC en la sección Apoyo al docente.

52

Unidad 1 Números

A D D I N

U

2

Álgebra y relaciones proporcionales Propósito de la unidad El hilo conductor de esta unidad es el eje de álgebra y funciones comenzando con lecciones enfocadas a generalizar y expresar patrones o regularidades numéricas y geométricas a través de letras, operaciones aritméticas y símbolos. El propósito de la primera sección es que los y las estudiantes comprendan que las letras representarán algún objeto o elemento que se necesite expresar, mientras que las operaciones darán paso al comportamiento que se requiere establecer con la expresión algebraica. Por otra parte, a través del lenguaje algebraico se introduce la noción de relación entre variables, la qu e permite dar solución a situaciones problemáticas tanto de la vida cotidiana como del ámbito matemático. Luego se presentan situaciones que se modelan con inecuaciones y se muestran las similitudes y diferencias con las ecuaciones. El enfoque es la resolución de ecuaciones e inecuaciones de manera pictórica utilizando balanzas y rectas numéricas, para luego presentar la modelación de problemas utilizando ecuaciones e inecuaciones de forma simbólica. Introducido el lenguaje algebraico, se da paso en la segunda sección, al trabajo con relaciones de dependencia entre variables. Luego, se presentan situaciones de proporcionalidad directa como una forma de introducir el concepto de función lineal. A continuación, aparecen las proporciones inversas mostrando su representación gráfica. Para finalizar, se trabaja con una aplicación de la proporcionalidad directa como es la representación a escala. El orden de las lecciones tiene por finalidad comenzar con la traducción al lenguaje algebraico, conocimiento previo al trabajo con funciones en octavo básico, debido a que al plantear una relación funcional es necesario el uso del lenguaje algebraico para traducir la relación de dependencia. Por otra parte, un manejo adecuado de la operatoria algebraica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones, facilitan el trabajo con el planteamiento de proporciones.

Organización de la unidad El siguiente esquema muestra, una panorámica general de cómo se organizan los contenidos de la unidad en el Texto del estudiante, haciendo hincapié en la resolución de problemas para mostrar la necesidad de utilizar el álgebra en contextos cotidianos. Álgebra y relaciones proporcionales Sección 5

Sección 4

Lenguaje algebraico

Relación de dependencia

Reducción de términos semejantes

Proporcionalidad directa e inversa

Ecuaciones e inecuaciones

Escalas Resolución de problemas


53

Planificación de la unidad Sección 4: Álgebra Objetivos de aprendizaje

Lección

Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.

Tiempo

3 horas

Habilidades: Representar: Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbó- Lección 15: licas para enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, ¿Cómo representar cantidades recta numérica, entre otros). con lenguaje algebraico? Actitudes: Demostrar interés, perseverancia y rigor frente a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales. Reducir expresiones algebraicas, reuniendo términos semejantes para obtener expresiones de la forma: ax + by + cz; donde a, b, c, ∈ ℤ. Habilidades Modelar: Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de otras asignaturas y de la vida diaria. Actitudes: Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos cuantitativos en la comprensión de la realidad social. Modelar y resolver problemas diversos de la vida diaria y de otras asignaturas, que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales d e la forma: ax = b; x/a = b; donde a, b y c ∈ ℤ; a ≠ 0. ax < b; ax > b; x/a < b; x/a > b; donde a, b y c ∈ ℕ; a ≠ 0. Habilidades Modelar: Seleccionar y ajustar modelos, para resolver problemas asociados a ecuaciones e inecuaciones de la forma ax + b > < = c, donde a, b y c ∈ ℤ, comparando dependencias lineales. Actitudes: Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la comunicación en la obtención de información.

3 horas

Lección 16: ¿Cómo reducir términos seme jantes?

4 horas Lección 17: ¿Cómo resolver ecuaciones? 3 horas Lección 18: ¿Cómo resolver inecuaciones? Lección 19: ¿Cómo resolver problemas con ecuaciones e inecuaciones?

4 horas


54


Tiempo

Inicio de sección

102 y 103

1 hora

¿Qué debo saber?

104 y 105

1 hora

Mural

130 y 131

1 hora

¿Cómo voy?

132 y 133

2 horas


134

1 hora


135

1/2 hora

Unidad 2 Álgebra y relaciones proporcionales


106 a 109

Indicadores de evaluación • Representan patrones de manera pictórica y simbólica. • Relacionan expresiones algebraicas con patrones dados. • Expresan patrones geométricos con términos algebraicos, relacionando con puntos y gráficas en

el plano cartesiano. • Relacionan expresiones del lenguaje natural con términos algebraicos. • Representan expresiones algebraicas sencillas de manera concreta (metáfora de máquinas), pictórica (medidas de figuras) y simbólica. • Resuelven problemas de la vida cotidiana que pueden ser resueltos con ecuaciones.

110 a 113

• Representan la adición y la sustracción de variables por la unión y la separación de símbolos pic-

tóricos. • Representan la conmutatividad y la asociatividad de la adición en forma concreta, pictórica y simbólicas. • Reducen expresiones algebraicas en perímetros de figuras geométricas. • Aplican la conmutatividad y la asociatividad de la adición para reducir expresiones algebraicas.

114 a 119

• Representan transformaciones equivalentes mediante modelos concretos de balanzas: agregar o

sacar pesos. • Resuelven ecuaciones e inecuaciones en ejercicios rutinarios, aplicando transformaciones equivalentes. 120 a 123

124 a 129

• Modelan situaciones de la vida diaria con ecuaciones de la forma ax = b o x/a = b. • Modelan situaciones de la vida diaria con inecuaciones de la forma ax< b; ax > b; x/a < b; x/a > b. • Representan la solución de las ecuaciones o inecuaciones en la recta numérica y en el plano car-

tesiano. Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar la sección. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar las ecuaciones e inecuaciones a través de actividades lúdicas. Instancia integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la sección. Desarrollo de una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


55

Planificación de la unidad Sección 5: Relaciones proporcionales Objetivos de aprendizaje

Lección

Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas: • realizando tablas de valores para relaciones proporcionales • graficando los valores de la tabla • explicando las características de la gráfica • resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Lección 20: ¿Cómo se relacionan dos variables? Lección 21: ¿Cómo modelar la proporcionalidad directa? Habilidades: Lección 22: Resolver problemas: Resolver problemas utilizando estrategias. ¿Cómo representar la proporcionalidad directa? Lección 23: ¿Cómo modelar la proporcionalidad inversa? Actitudes: Lección 24: Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la comunicación en ¿Cómo representar la proporcionalidad inversa? la obtención de información. Lección 25: ¿Qué es una escala?

Tiempo

3 horas

3 horas

3 horas

3 horas

3 horas

3 horas



Tiempo

Inicio de sección

136 y 137

1 hora

¿Qué debo saber?

138 y 139

1 hora

Mural

164 y 165

1 hora

¿Cómo voy?

166 y 167

2 horas


168

1 hora


169

1/2 hora


Tiempo


170

½ hora


171 y 172

1 hora

¿Qué aprendí?

173 a 175

2 horas


56



140 a 143

144 a 147

Indicadores de evaluación • • • • • •

Comprenden el concepto de relación entre variables. Identifican variables dependientes e independientes. Representan una relación entre variables a través de una tabla, una expresión algebraica y un gráfico. Reconocen cambios en la vida cotidiana que se desarrollan en forma directamente proporcional. Completan y elaboran tablas de valores que pertenecen a proporcionalidades directas. Confeccionan gráficos que pertenecen a proporcionalidades directas.

• • • •

Reconocen cambios en la vida cotidiana que se desarrollan en forma inversamente proporcional. Explican la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa. Reconocen la proporcionalidad directa e inversa en tablas de valores, gráficos y situaciones reales. Resuelven problemas mediante la proporcionalidad correspondiente.

148 a 151

152 a 155

156 a 159

160 a 163

• Interpretan una escala como una aplicación de la proporcionalidad directa. • Calculan medidas que están en escala. • Resuelven problemas que involucran escalas. Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar la sección. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar las ecuaciones e inecuaciones a través de actividades lúdicas. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la sección. Desarrollo de una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.

Objetivo

Observaciones

Instancia de síntesis y metacognición. Instancia de refuerzo y profundización de los conocimientos y habilidades adquiridos en la unidad. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades de la unidad.


57

Orientaciones al docente Inicio de unidad »


Componentes Texto del estudiante páginas 100 y 101. s o d i g u r a Recurso digital complementario: ¿Por qué R e c estamos usando letras en matemática? m r p l t a e m e n Prerrequisitos de la unidad • Adición y sustracción de números enteros. • Operaciones con fracciones y números decimales. • Ecuaciones e inecuaciones sencillas en ℕ. • Concepto de porcentaje. • Potencias de base 10 y exponente natural. Propósito El propósito de la unidad es introducir el lenguaje algebraico para plantear ecuaciones e inecuaciones y modelar relaciones de dependencia entre variables que permiten la resolución de problemas de la vida diaria y de la matemática. Por otra parte, se espera que los y las estudiantes tengan un manejo inicial en la operatoria de expresiones algebraicas que les permitirá resolver ecuaciones e inecuaciones sencillas y el trabajo con proporciones. i t

l

c

o

»

»

o

i

Orientaciones didácticas La balanza es un recurso utilizado en cursos anteriores para representar y abordar de forma concreta el trabajo con ecuaciones e inecuaciones. Su uso se justifica, ya que permite a los estudiantes dar sentido al procedimiento formal de aplicar la misma operación a los dos miembros de la ecuación o inecuación, para lograr que luego ellos puedan abstraer este procedimiento y así plantear y resolver ecuaciones e inecuaciones incorporando números negativos y fracciones, conjuntos para los que no fue ideada la balanza. De esta forma, y a modo de introducción, es que se busca recordar qué es lo que saben sobre ecuaciones e inecuaciones, además de proporciones, utilizando este instrumento. La resolución de ecuaciones e inecuaciones se traba ja considerando la aplicación de la operación inversa a la que afecta a la incógnita debido a que es más sencillo de relacionar para los y las estudiantes que aplicar la misma operación con el opuesto aditivo o el inverso multiplicativo según corresponda.

Link de interés Para saber más sobre la utilización de la balanza para enseñar ecuaciones e inecuaciones, visite la página http:// codigos.auladigital.cl e ingresa el código GM7054.

58


Nivel 1 Presénteles la siguiente información sobre la matemática en el Antiguo Egipto: El Papiro de Rhind, conocido también como Papiro de Ahmes por el escriba que lo redactó, es un texto egipcio que fue descubierto en el siglo XIX, por el escoses Henry Rhind. En él aparecen varios problemas matemáticos, como lo es el problema 24 que señala lo siguiente: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a 19” y que era resuelto por el método de la falsa posición donde se proponía un valor para dar solución, si no funcionaba se buscaba otro a partir del ya dado. Otro problema es el 68 que señala “repartir 700 hogazas de pan entre cuatro 2, _ 1, _ 1, _ 1 ”. hombres en partes proporcionales a _ 3 2 3 4 Estos ejemplos dan cuenta de cómo ya en aquellos años, se buscaban formas de dar soluciones a problemas que hoy son fáciles de plantear y dar respuesta. Pregúnteles lo siguiente: a. ¿Cómo resolverían el problema 24? ¿Qué dificultad podría tener el método de la falsa posición? b. ¿A qué se refiere el problema 68 con repartir de forma proporcional el pan? Si es posible, pida a los y las estudiantes que le den solución al problema. Nivel 2 A partir del siguiente texto, sobre el origen del símbolo de igualdad, realice las preguntas que se sugieren a continuación: Durante el Renacimiento, Robert Recorde, en el año 1557, hizo uso por primera vez del símbolo de igualdad en uno de los libros sobre matemática que publicó durante esa época. Su uso lo justificó de la siguiente manera: “Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de una misma longitud, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales”. Este fue un gran avance tanto para la aritmética como para el álgebra. Fuente: Molina, M., Castro, E. y Castro, E. (2007). Historia del signo igual. En M. Guzmán, Humanidades y Ciencias. Aspectos Disciplinares y Didácticos. Homenaje a la Profesora Ana Vilches Benavides (pp. 249-261). Granada: Editorial Atrio.

a. ¿Qué uso se le da al signo = en álgebra? Expresen su importancia. b. ¿Qué representa el signo de igualdad entre razones? Escriban ejemplos.

2 Sección

4 »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 102 y 103. Propósito • Representar cantidades usando lenguaje algebraico. • Reducir términos semejantes en expresiones algebraicas. • Resolver ecuaciones utilizando métodos gráficos y algebraicos. • Resolver inecuaciones y representar sus soluciones. • Plantear y resolver problemas que se modelan con ecuaciones e inecuaciones.

Inicio de sección La sección está organizada de manera que los y las estudiantes recuerden lo que saben sobre álgebra, ecuaciones e inecuaciones y así incorporar en su desarrollo los conjuntos numéricos abordados en la primera unidad. Además cada lección está diseñada para que los y las estudiantes modelen el razonamiento a través de pasos específicos, que permiten resolver las situaciones previamente planteadas las cuales evidencian la necesidad de adquirir estos aprendizajes. De esta forma, el trabajo en espiral de los contenidos se hace evidente. En la página 103 puede representar algebraicamente las situaciones presentadas (2x + 500 = y; 4x + 1500 = z) y preguntar ¿qué representa la incógnita? También, puede orientarlos para que establezcan relaciones entre el valor del estuche y el de la mochila, por ejemplo, preguntar ¿a cuántos estuches es proporcional el valor de una mochila? Por ejemplo 2 estuches más $ 2500.


»


Álgebra

Componentes Texto del estudiante páginas 104 y 105. Propósito Detectar el nivel de conocimientos previos y prerrequisitos de esta sección.

Orientaciones didácticas La actividad del recurso digital complementario tiene como propósito reforzar conocimientos previos acerca del uso de letras para generalizar relaciones o patrones; en las fórmulas para el cálculo de áreas y perímetro de figuras planas, en la resolución de ecuaciones de primer grado y en

la aplicación del concepto de razón. La tabla resume los indicadores presentes en las actividades de estas páginas. Indicador

Preguntas

Remedial

1

Recordar las regularidades en la adición y en la sustracción de números enteros.

2, 3 y 4

Puede utilizar las actividades sugeridas de nivel 1.

Resolver operaciones.

Reconocer patrones. Resolver ecuaciones e inecuaciones simples.

5a9

Puede utilizar la actividad sugerida de nivel 2.

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Identifica un patrón y completa la secuencia. a. Posición 1 3 5 9 Término 2 4 6 7 b.

Posición Término

1 1

4 7

5 9

8 19

Puede plantearles “La Conjetura de Collatz” para que analicen la secuencia y conozcan un problema que todavía no tiene demostración: Se debe escoger cualquier número, si es par se debe partir en dos y si es impar se debe aplicar el siguiente patrón, 3x + 1, donde x es el número impar. La conjetura indica que cualquier número que escojan terminará la secuencia siempre en 1. Al obtener un 1 como resultado se termina el patrón. La Conjetura de Collatz no ha podido ser demostrada para cualquier número natural. Nivel 2 Resuelve la siguiente situación. “Durante la edad media, el matemático indio Bhaskara, propuso el siguiente problema: “La quinta parte de un enjambre de abejas se posa en una flor de Kadamba, la tercera en una de Silinda y el triple de la diferencia entre estos dos números se dirige hacia una flor de Kutaja, mientras una abeja sola revolotea atraída por el perfume de un jazmín. Bella niña de ojos de pavo real, dime el número de abejas”. Fuente: http://www.bdigital.unal.edu.co/11739/1/ 98556475.2014.pdf


59

Orientaciones al docente Lección 15: ¿Cómo representar cantidades con lenguaje algebraico? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 106 a 109. Cuaderno de ejercicios páginas 48 y 49. Propósito Representar cantidades usando lenguaje algebraico.

Información complementaria Según el autor Küchemann (1980) el concepto de variable tiene las siguientes interpretaciones por los estudiantes: Letra evaluada: A la letra se le asigna un valor numérico. Letra no utilizada: La letra es ignorada o su existencia es reconocida pero no se le atribuye ningún significado. Letra como objeto: Se considera la letra como una abreviación del nombre de un objeto o como a un objeto en sí. Letra como incógnita específica: La letra representa un número particular pero desconocido y los alumnos son capaces de operar directamente sobre ella. Letra como número generalizado: Se considera que la letra representa o es capaz de asumir distintos valores. Letra como variable: Se considera que la letra representa un rango de valores no especificado y que existe una relación sistemática entre dos conjuntos de valores de este tipo. Luego, Usiskin (1988) postuló los siguientes usos: una variable puede representar, una incógnita específica, esto es, un número desconocido pero específico que puede ser calculado considerando las restricciones dadas; como un número generalizado, es decir un número indeterminado comprendido dentro de un método general; o también puede ser utilizado para representar una relación funcional entre dos cantidades cuyos valores cambian. Más aún, una variable puede utilizarse de diferentes formas en momentos distintos dentro de un mismo problema, es decir, puede tener distintas caracterizaciones. En esta lección trabajaremos con el uso de la variable como número generalizado ya que en una expresión algebraica usamos las letras como un número desconocido, pero que está considerado dentro de una operación.

Errores frecuentes Un error frecuente es la interpretación de la expresión 2n o cualquiera que represente una multiplicación entre dos expresiones, ya que al pedirles que evalúen n = 4, algunos pueden interpretar que el 4 corresponde a la unidad de la expresión en lugar de otro factor, es decir, 24 en lugar de 2 • 4. Por ello, en un principio abuse de

la notación y escriba el signo de multiplicación por un tiempo para posteriormente prescindir de este.

Actividades sugeridas Nivel 1 Pida a sus alumnos que representen algebraicamente las siguientes propiedades de los números naturales: c. d. e. f.

Conmutatividad de la adición. Elemento neutro de la multiplicación. Elemento neutro de la adición. La clausura de la adición.

Nivel 2 Representa algebraicamente las áreas de las figuras: a. Semisuma de sus bases multiplicadas por la altura. b c

a

d

B Trapecio

b. La mitad del producto entre sus diagonales. a

D d

Rombo

Fuente: Revista Suma (1990). Jesús Efedanque. De los números a las letras.

c. Base por altura.

Posibles dificultades Es usual que el estudiante no logre establecer una concordancia entre aquello que se enuncia en lenguaje cotidiano y aquello que se expresa en lenguaje algebraico. Por ejemplo, “el doble de un número aumentado en tres” se puede interpretar como 2(x + 3) o 2x + 3. Esto dependerá del énfasis que el docente le dé a la entonación del lenguaje natural al dictar los ejercicios. Si la expresión se indica por escrito, el uso de la coma soluciona esta dificultad ya que “el doble de un número aumentado en tres” se anota 2(x + 3), y “el doble de un número, aumentado en tres” se anota 2x + 3.

60


c

a

b Romboide


Lección 16: ¿Cómo reducir términos semejantes?


Nivel 1 La edad de Rául es n años y la de Elena, su mujer, es m años. Entre los dos tienen 3 hijos varones, Oliver, Gaspar y Nicolás. Oliver tiene el doble de la edad de su papá, menos 84 años; Gaspar tiene la suma de las edades de sus padres menos 87 años y Nicolás tiene el doble de la edad de su mamá, menos 89 años. ¿Qué expresión representa la suma de las edades de los tres hermanos?

Cuando se identifican términos semejantes generalmente los y las estudiantes solo se fijan en que coincidan las letras pero no si el exponente es el mismo. Haga hincapié dando ejemplos como los que siguen:

Nivel 2 Calcula la superficie total que cubren las siguientes figuras:

»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 110 a 113. Cuaderno de ejercicios páginas 50 y 51. Propósito Reducir términos semejantes en expresiones algebraicas.

3x – 2y + 5x 2 – 4xy + 4y 2 ab2 + ab + a2b + a2b2

a

Por otro lado, al momento de reducir términos seme jantes, los estudiantes tienen dificultades cuando los coeficientes son fraccionarios o decimales. Por ejemplo, si aparece un término 2x – _x , no logran identificar que deben 1 x y que el 2coeficiente del segundo término operar 2 – _ 1 . Incluir2ejercicios de este tipo y hacer las observacioes – _ 2 nes pertinentes, mencionando que la expresión anterior es 1 x. equivalente a 2x + – _ 2

(

a

b

a

)

a a b

a

Errores frecuentes Los términos semejantes son aquellos que tienen idéntico factor literal. Esto quiere decir que, si hay alguna variable combinada con otra, este término será seme jante sólo con aquellos que contengan exactamente la misma combinación de factores literales (incluyendo los exponentes). Realice prácticas o elabore situaciones que involucren operaciones con fracciones o números decimales y así esclarecer cualquier duda antes de comenzar a trabajar en la práctica. Otro error común es el que se lleva a cabo con la operatoria, sobre todo la relacionada con los signos de adición y sustracción. Hacer notar qué operación corresponde a cada término de la expresión. Habilidades El ejercicio 11 de la página 113 del texto del estudiante permite evaluar y poner en práctica la habilidad de modelar y resolver problemas asociados a la reducción de expresiones algebraicas. Guíe a sus estudiantes para que se den cuenta de que deben comenzar de abajo hacia arriba para resolver el desafío. »

Lección 17: ¿Cómo resolver ecuaciones? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 114 a 119. Cuaderno de ejercicios páginas 52 y 53. Propósito: Resolver ecuaciones utilizando métodos gráficos y algebraicos.

Orientaciones didácticas Además del uso de la balanza, se hace uso de la recta numérica para representar de forma pictórica las ecuaciones. Como es la primera vez que utilizan esta representación en este contenido, debe orientar con las siguientes preguntas: ¿qué elementos de la recta numérica representan las incógnitas? ¿Qué elemento representa la igualdad? Para representar ecuaciones que incluyen sustracciones, en lugar de hacer uso de la balanza convencional, puede hacer uso de una con poleas, para que se haga evidente la sustracción en el esquema.


61


Errores frecuentes

Lección 18: ¿Cómo resolver inecuaciones?

Los siguientes son los errores más comunes que tienen los estudiantes al resolver ecuaciones: • Errores que se originan en la transición conceptual de la aritmética al álgebra. Se pueden concretar en: cambio del signo de un miembro de la ecuación sin tener en cuenta el otro; cambio del signo a términos que no se transponen; asignación del mismo valor a la incógnita que a su opuesto; cambio del signo al transponer un factor y transposición y conservación de factor. • Errores debidos a un aprendizaje deficiente de conceptos previos. Se concretan así: hallan en forma incorrecta el resultado de sumas y restas o restas de enteros; hallan en forma incorrecta el signo del resultado de la división de dos enteros cuando éstos son de diferente signo y asignan como resultado de una división, el mismo resultado que para su inverso multiplicativo, cuando el divisor es múltiplo del dividendo. Fuente: Inés de Moreno y Lilia de castellanos, Secuencia de enseñanza para solucionar ecuaciones de 1er grado con una incógnita, revista EMA, 1997, VOL. 2, Nº 3, 247-258.

Actividades sugeridas Nivel 1 Completa los procedimientos que se llevaron a cabo para dar solución a la ecuación: 3x − 5 = x + 9 3x − 5 =x+9 3x = x + 14 3x − x = x − x + 14 2x = 14 2x = 14

_ _

/+ 5 / /:2

»

Componentes Texto del estudiante páginas 120 a 123. Cuaderno de ejercicios páginas 54 y 55. Propósito Resolver inecuaciones y representar sus soluciones.

Orientaciones didácticas Importante es que oriente a sus estudiantes y pregunte: ¿qué diferencias y similitudes tienen las inecuaciones con las ecuaciones?, con el objetivo de evitar algunos de los errores que se describirán más adelante. Procure además, confirmar que sus estudiantes reconocen correctamente los símbolos <, >, ≤, ≥, con lecturas como: • En el cine una película fue calificada de la siguiente manera. Apta para personas > 14 años . • Las medidas de los ángulos interiores de los polígonos convexos son siempre < 180°.

Errores frecuentes Los estudiantes cometen los siguientes errores al resolver inecuaciones: • Dificultades con los símbolos < y > al no poder identificar cuál es menor que y cuál mayor que. • Problemas con la interpretación de la solución, es decir, dan como resuelta la inecuación al obtener x > 4, sin señalar cuáles pueden ser estos valores o representarlos en la recta numérica. En el fondo, suelen pensar que la solución es única al igual que para las ecuaciones. • Suelen pensar que las soluciones solo pueden ser números enteros.

x=7


Nivel 2 Plantea la ecuación para calcular la medida que falta en cada figura.

Nivel 1 Completa los procedimientos que se llevaron a cabo para dar solución a la inecuación y luego representa el resultado en una recta numérica:

a.

Perímetro del rectángulo: 28 cm.

4 cm

b.

Perímetro del triángulo isósceles: 25,2 cm.

x

50º

50º 10 cm

62

»


5x + 2 ≤ 2x − 7 5x + 2 − 2 ≤ 2x − 7 − 2 5x ≤ 2x − 9 5x − ≤ 2x − 9 − 3x ≤ −9 3x ≤ −_ 9 _ 3 3 x −3

/ /− 2x /

2 Nivel 2 Identifica el error que se cometió al resolver la siguiente inecuación: 10x + 6 > 7x − 12 10x + 6 − 6 > 7x − 12 − 6 10x > 7x − 18 10x − 7x > 7x − 18 − 7x 3x > −18 3x − 3 > −18 − 3 x > −21

Actividades sugeridas Nivel 1 Resuelva los siguientes problemas.

/−6

a. Se reparten láminas para completar un álbum entre tres niños. Al segundo le dan el triple que al primero y al tercero el doble que al segundo. Si el total es de 200 láminas, ¿cuántas láminas recibe cada niño? b. Miguel debe consumir como merienda dos galletas y un jugo de frutas. Si debe consumir menos de 150 kcal en esa merienda y la cantidad de kcal que tiene el jugo es de 60 kcal, ¿cuál puede ser la cantidad de kcal que tiene la galleta?

/−7x /−3 x es mayor que −21.

Lección 19: ¿Cómo resolver problemas con ecuaciones e inecuaciones? »

»

Nivel 2 Interpreta el resultado del siguiente problema:

Componentes Texto del estudiante páginas 124 a 129. Cuaderno de ejercicios páginas 56 y 57. Propósito Plantear y resolver problemas que se modelan con ecuaciones e inecuaciones.

Sofía tiene las siguientes notas: 5,0; 6,3 y 5,7. Debe rendir una cuarta prueba, con la que podrá calcular su promedio para saber si se exime o no del examen final. Para ello su promedio debe ser mayor a 5,5. ¿Qué nota puede obtener para eximirse del examen?

Orientaciones didácticas Puede señalar a sus estudiantes las siguientes indicaciones para facilitar el planteamiento de las ecuaciones e inecuaciones: • Asignarle a la variable o término desconocido una letra que la represente. • Identificar las relaciones matemáticas presentes en el problema entre las cantidades que son conocidas y desconocidas. Hay palabras claves que los estudiantes tendrán que reconocer. • Tener presente que siempre debe estar el símbolo de igualdad o desigualdad y por lo tanto buscar entre qué cantidades está. • Interpretar la solución a partir de la pregunta del problema. • Reemplazar el valor encontrado en la ecuación o en la inecuación para evaluar si se dio respuesta al problema. Fuente: http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/ manual/7_Algebra.pdf

Errores frecuentes • Error en la traducción del problema, de lenguaje coti-

diano a lenguaje algebraico. • Que la solución o soluciones encontradas, depende del caso, sea absurda. Por ejemplo, que las medidas de los lados de un cuadrado sea un número negativo. Fuente: http://fqm193.ugr.es/media/grupos/FQM193/cms/ TFM_ReyLopez.pdf

Mural: ¿Quién hace la mejor toma? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 130 y 131. Propósito Conectar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección con actividades lúdicas y de integración.

Orientaciones didácticas Para resolver esta actividad es muy importante que los estudiantes revisen sus operaciones. Solicíteles que comprueben el resultado de la ecuación evaluando la solución obtenida. Actitudes La actitud que busca resaltar esta actividad en los estudiantes es la de trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos, las que puede verificar observando a sus estudiantes. »

Actividades sugeridas Nivel 1 Resuelve el cuadrado mágico, considera que la suma de las filas, columnas y diagonales debe ser igual. x

3

2x

x+5

5

x–3

x–2 x+3 x+2


63


Nivel 2 Puede jugar con sus estudiantes a la cadena del álgebra. Funciona de la siguiente forma:

Actividades sugeridas Nivel 1 Pinta del mismo color las inecuaciones que tengan el mismo conjunto solución.

Material: 20 tarjetas. En lo posible una por cada estudiante o 1 por pareja. Reglas: Participan todos los estudiantes de la clase. Se reparte una tarjeta a cada uno y se da tiempo para que la lean. Comienza un estudiante o pareja que tenga la tarjeta que tiene un 1 en una esquina. leyendo la primera parte de su tarjeta y el que tenga representada la expresión en la segunda parte de su tarjeta se pone de pie, y en el caso de ser una ecuación o una inecuación debe resolverla en la pizarra, Se repite el proceso hasta leer todas las tarjetas.

x – 5 < 10

3x + 6 < 2x + 13

2x + 3 < x + 10

3x – 2 > 4x – 9

4 + x > 2x – 3

x + 12 < 27

Nivel 2 Resuelve los siguientes problemas con ecuaciones. a. La diferencia de edad entre dos amigas es de 3 años y dentro de 1 año una tendrá el doble que el otra. ¿Qué edad tiene cada una? b. El perímetro de un rectángulo mide 56 cm. Calcula sus dimensiones sabiendo que la base mide 8 cm más que la altura. c. Encuentra dos números sabiendo que uno es el triple que el otro y su suma es 80.

Encontrará este juego para un curso de 20 estudiantes en el anexo al final de esta guía, en la página 173.

¿Cómo voy? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 132 y 133. Cuaderno de ejercicios páginas 58 y 59. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección.

Orientaciones didácticas Recuerde a sus estudiantes que para representar algebraicamente una situación, deben primero señalar la letra que representará la incógnita en estudio. A continuación, se presenta un resumen de los indicadores trabajados en las actividades de las páginas del texto del estudiante y su refuerzo en el cuaderno de ejercicios. Actitudes La actitud que se busca desarrollar con las actividades de estas páginas son las de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. »


»

Componentes Texto del estudiante páginas 134 y 135. Cuaderno de ejercicios páginas 60 y 61. Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.

Orientaciones didácticas Una secuencia interesante para mostrar a sus estudiantes es la de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Puede utilizar la historia de los conejos o utilizar imágenes de algunas flores y plantas cuyo crecimiento sigue los números de esta secuencia y que se presentan en la Información complementaria.

Información complementaria Leonardo de Pisa, Fibonacci, es conocido entre los matemáticos por la sucesión de números: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89... que colocó en el margen de su Liber abaci (Libro del ábaco o Libro de cálculo) junto al problema de los conejos que dice así: “Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles, engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado

64


2 número de meses?”. Cada término es la suma de los dos anteriores, pero existe entre ellos otra relación: el cociente entre cada término y el anterior se va acercando al número aúreo, ya conocido por los griegos y aplicado en sus escuturas y sus templos:

_ _

1 + √ 5 = 1,618039... Φ = 2 Los números de la sucesión de Fibonacci también están presentes en la naturaleza. Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas, se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8. Parece que el mundo vegetal tenía programado en sus códigos genéticos del crecimiento, los términos de la sucesión de Fibonacci. Fuente: http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/ naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm

Errores frecuentes Al considerar los primeros números de una secuencia y buscar “el patrón” de formación de esa secuencia se está frente a un error, ya que no existe un solo patrón de formación para una determinada secuencia, sino que un sinnúmero de patrones que responden a la formación de la misma. Por ejemplo: En la secuencia cuyos primeros términos son 1, 2, 3, … y se solicita escribir los siguientes 3 términos, ¿cómo podría seguir completando un estudiante esta secuencia numérica? De muchísimas formas, todo depende del patrón de formación que esté pensando. Un estudiante podría pensar, un patrón de formación es sumar uno a cada término, entonces los siguientes términos son el 4, 5 y 6. Otro estudiante podría decir el siguiente término de esta secuencia se obtiene al sumar los dos anteriores, en este caso, los siguientes términos serían 5, 8, 13. Un alumno más creativo podría decir los siguientes términos son el 10, 29 y 66 lo cual estaría correcto.

Actividades sugeridas Nivel 1 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas. Uno de los integrantes crea un patrón utilizando formas a partir de tiras de lanas o palos de helado, el compañero debe identificar un posible patrón de formación para la secuencia planteada para luego generalizarlo.

Nivel 2 Muéstreles el siguiente relato y pídales que traten de plantear y explicar el siguiente problema utilizando la generalización con patrones: LA PARADOJA DE ZENÓN (Aquiles y la tortuga) Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles. Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja (cuyo enunciado hemos adaptado para facilitar la solución): Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m, la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0,1 m y así indefinidamente. Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Fuente: http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_Zenon.htm


65


Sección

5

»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 136 y 137. Propósito • Relacionar variables dependientes e independientes. • Modelar situaciones que involucran proporcionalidad directa. • Interpretar y graficar la relación de proporcionalidad directa. • Modelar situaciones que involucran proporcionalidad inversa. • Interpretar y graficar la proporcionalidad inversa. • Aplicar la proporcionalidad directa en figuras a escala.

terreno para que el propietario pudiera pagar sobre lo que le quedaba, en proporción al impuesto total que se había fijado”. Fuente: “La Divina proporción”, J. Ignacio Extremiana Aldana, Universidad de la Rioja.

Con esta información, puede consultar a sus estudiantes lo siguiente: • ¿Qué hizo el Rey Sesostris para repartir el territorio de

Egipto? • ¿A qué se refiere con que las personas debían pagar el impuesto de forma proporcional al terreno? • ¿Por qué Sesostris tomó esa medida?

Link de interés Para conocer más acerca de la Divina proporción visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P062.

Inicio de sección Cada lección presenta un propósito, que se explicita a través de una pregunta, basada en cada objetivo de aprendizaje. Luego, se presentan una o varias situaciones donde se plantean problemas concretos en los cuales son necesarios los conocimientos y habilidades que están involucrados en los propósitos de cada lección. A través de pasos específicos se modela el razonamiento matemático para dar solución al problema presentado y respuesta a la pregunta previamente hecha. Tanto las situaciones presentadas en el desarrollo del contenido como las actividades presentes están enfocadas y basadas en los indicadores de evaluación propuestos para estos aprendizajes y declarados al inicio de esta unidad. Los estudiantes recordarán inicialmente lo que han abordado sobre razones en años anteriores y además podrán hacer uso de las habilidades y destrezas adquiridas en secciones pasadas a la hora de operar con números decimales y de modelar situaciones que representen proporciones directas e inversas. Nuevamente, el tratamiento del contenido en forma de espiral se hace evidente. Puede utilizar la siguiente información para introducir la sección y reforzar su propósito: “El rey Sesostris, dividió la tierra entre todos los egipcios de modo que a cada uno le tocó un cuadrángulo de igual tamaño y tomó de cada uno sus ingresos, estableciendo un impuesto que se exigía anualmente. Pero cuando el río invadía una parte de alguno, este tenía que ir a él y notificar lo que había sucedido. Enviaba entonces supervisores, quienes tenían que medir en cuánto se había reducido el

66


Relaciones proporcionales



»

Componentes Texto del estudiante páginas 138 y 139. Propósito Recordar los conocimientos previos y prerrequisitos de la sección.

Orientaciones didácticas A continuación se presenta un resumen de los indicadores de evaluación propuestos para estas actividades y sus posibles remediales o actividades de refuerzo. Indicador

Pregunta

Remedial

Multiplicar y dividir números decimales.

1y2

Recordar el procedimiento para multiplicar y dividir números decimales. Puede retomar las lecciones que abordan este contenido en la unidad 1.

Identificar y relacionar razones.

3y4


2


Identificar puntos en el plano cartesiano. Utilizar expresiones algebraicas.

Puede recordar el procedimiento utilizando una cuadrícula, con letras y números, reforzando siempre que se lee primero el eje horizontal y luego el vertical.

5y6

7y8


Actividades sugeridas Nivel 1 Martín invitó a 12 varones y 9 niñas a su cumpleaños. Su mamá compró 24 globos azules y 9 globos verdes para decorar. En la piñata agregó el triple de sorpresas para las niñas en comparación de las que incluía para los niños. a. ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y de niños? b. ¿Cuál es la razón entre los globos azules y verdes? ¿Cómo interpretas esta razón? c. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de sorpresas que se incluyó para los niños en la piñata con respecto al de las niñas? Nivel 2 Representa algebraicamente las situaciones: a. El precio que se paga por el pan si un kilogramo cuesta $ x. b. La cantidad de dinero que recibe una persona por trabajar p horas. c. Las calorías que aporta una porción de z galletas.

Lección 20: ¿Cómo se relacionan dos variables? »

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Componentes: Texto del estudiante páginas 140 a 143. Cuaderno de ejercicios páginas 62 y 63. Propósito: Relacionar variables dependientes e independientes.

Orientaciones didácticas La lección comienza mostrando la relación entre dos variables utilizando la representación en una máquina. Es importante que comience explicando dicha representación con ejemplos simples y cercanos como por ejemplo lo que sucede con una máquina etiquetadora de bebestibles: la botella ingresa a la máquina y es modificada por la máquina, es así como sale de ella con una etiqueta pegada. Para comprender de mejor forma las relaciones entre las variables, puede señalar ejemplos más cotidianos para en-

tender que dichas relaciones son fáciles de identificar y se utilizan a diario, por ejemplo, el precio que se paga por el kilogramo de pan (el valor está en función de la masa del pan), el puntaje de una prueba y las notas, etc.

Información complementaria Pitágoras, uno de los más importantes matemáticos de la Antigua Grecia, logró hallar la relación proporcional entre razones numéricas y las frecuencias del sonido utilizando cuerdas tensadas y flautas de distintos tamaños. Lo anterior también se puede obtener golpeando suavemente con algún objeto de metal diferentes vasos con distintos niveles de agua logrando que el sonido varíe en relación al nivel del agua. Actividades sugeridas Nivel 1 1. Un deportista participa en una competencia de ciclismo con una rapidez constante, recorriendo los primeros 31,5 km en 1,5 horas. Completa la siguiente tabla y responde las preguntas. Tiempo (hr) Distancia (km)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

31,5

a. ¿Cómo se relacionan las variables tiempo y distancia? b. ¿Cuál es el valor de la razón entre la cantidad de horas y la cantidad de kilómetros recorridos en cada registro? 2. Plantea situaciones de dependencia a partir de las siguientes variables. a. b. c. d.

Y: Dinero Y: Distancia Y: Cantidad de pizzas Y: Temperatura

X: Personas en el bus X: Diámetro de una rueda X: Cantidad de personas X: Altura

Nivel 2 Miguel quiere comprar una cámara por Internet que cuesta 250 dólares. Como no tiene dólares, los debe ir a comprar a una casa de cambio. El 6 de agosto el dólar costaba $ 590, mientras que una semana después se encontró con que el dólar estaba a $ 588. a. ¿Qué debiera hacer Miguel, comprar los dólares y la cámara en seguida o esperar? b. ¿De qué depende el costo de la cámara finalmente? c. ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes de esta situación? d. ¿Cómo podemos modelarla?


67

Orientaciones al docente Lección 21: ¿Cómo modelar la proporcionalidad directa? »

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Actividades sugeridas Nivel 1 Resuelve los problemas de proporcionalidad directa.

Componentes Texto del estudiante páginas 144 a 147. Cuaderno de ejercicios páginas 64 y 65. Propósito: Modelar situaciones que involucran proporcionalidad directa.

a. Si los galletones de avena se venden en cajas de cuatro paquetes, a $ 1200 la caja, ¿cuánto costarán 7 paquetes? b. Matilde ganó en cuatro meses $ 300 000. ¿Cuánto dinero ganará en un año si su paga es constante? c. Embaldosar 3 m2 cuesta $ 15 000, ¿cuánto costará embaldosar 25 m2? d. Juan corre 2 km en 7 minutos. ¿Cuántos kilómetros podrá correr en 25 minutos a este ritmo de carrera? Para los casos b y d es importante que las y los estudiantes se den cuenta que no necesariamente las magnitudes son directamente proporcionales y que es necesario mencionar que la razón de ingreso o de tiempo, respectivamente, se mantiene constante.

Orientaciones didácticas Oriente el razonamiento con las siguientes preguntas: ¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad? ¿Da lo mismo en qué orden se haga la división? Haga hincapié en que el cálculo de la constante de proporcionalidad se calcula dividiendo la variable dependiente por la independiente y no al revés, ya que la división no es conmutativa, y por lo tanto no da el mismo resultado. No se ha incorporado el uso del teorema fundamental de las proporciones como procedimiento alternativo para que las y los estudiantes puedan calcular términos desconocidos entre proporciones directas, ya que es un método mecánico de manipulación de símbolos, como lo es la regla de tres. Estos no son apropiados para desarrollar el razonamiento proporcional y no se deberían introducir hasta que los alumnos y alumnas tengan un cierto dominio de otros métodos intuitivos y con un fundamento matemático consistente.

Nivel 2 A partir de la siguiente información, explica cómo se relacionan las siguientes variables a partir de su modelamiento. a. La relación existente entre la presión (P) y el volumen (V ) de un gas que sigue la ley de Mariotte es P • V = k,

donde k es una constante. b. La duración (t) del trayecto de longitud fija recorrida por un móvil (e) a velocidad uniforme (v): v • t = e.

Link de interés El trabajo de Juan Godino y Carmen Batanero en su proyecto Edumat maestro es un gran aporte para este contenido. Para saber más acerca de esta y otras investigaciones visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P064.

Errores frecuentes Los y las estudiantes suelen aplicar técnicas aditivas en lugar de multiplicativas a la hora de resolver proporciones. Por ejemplo, en la imagen se ha aplicado una ampliación del rectángulo y se les pide a los estudiantes determinar el valor del largo del rectángulo resultante. Los estudiantes señalan la mayoría de las veces que este valor es 10 en lugar de 16. Los alumnos tienden a sumar una cantidad en lugar de multiplicar por un factor de escala. x 8 cm 2 cm 4 cm

68


Lección 22: ¿Cómo representar la proporcionalidad directa? »

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Componentes Texto del estudiante páginas 148 a 151. Cuaderno de ejercicios páginas 66 y 67. Propósito Interpretar y graficar la relación de proporcionalidad directa.

Orientaciones didácticas Recuerde a sus estudiantes que en el plano cartesiano se representan pares ordenados de la forma (x, y) donde x representa la variable independiente, e y la variable dependiente. De esta forma, no es al azar la ubicación de las variables y conociendo la ubicación de un punto, es posible modelar la proporcionalidad directa representada en el plano cartesiano.

2


Haga hincapié en que la representación gráfica de las proporciones directas siempre debe pasar por el origen y debe ser una línea recta en el caso que sean variables continuas. En el caso que sea una variable discreta, la gráfica estará compuesta por los puntos que correspondan, es decir, no se debe trazar la recta. Habilidad La actividad número ocho permite que los estudiantes puedan resolver problemas y formular conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. »

Actividades sugeridas Nivel 1 El siguiente gráfico muestra la comisión que gana José por sus ventas. Comisión 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000

»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 152 a 155. Cuaderno de ejercicios páginas 68 y 69. Propósito Modelar situaciones que involucran proporcionalidad inversa.

Orientaciones didácticas Procure que los estudiantes puedan diferenciar entre una proporción directa, una inversa y situaciones que no son proporcionales. Deben entender que no basta con que una variable aumente y otra disminuya para afirmar que estas son proporciones inversas, sino que el aumento y la disminución debe ser en la misma razón. Por ejemplo, si una variable aumenta en tres unidades y otra disminuye en tres unidades, no quiere decir que estas serán proporcionalmente inversas. Muéstreles con una tabla como la siguiente: x

y

6

3

4

5

2

7

Las variables anteriores no son inversamente proporcionales, ya que su producto no es constante.

100 000

0

Lección 23: ¿Cómo modelar la proporcionalidad inversa?

1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000

Precio del producto

a. Escribe en lenguaje algebraico la ecuación que representa la comisión que recibe José por sus ventas. b. Si hace una venta de $ 500 000, ¿cuál sería su comisión? c. ¿Es posible determinar este monto observando el gráfico? Nivel 2 El almacén A vende galletas en paquetes de 7 unidades a $ 1050, mientras que el almacén B lo hace en paquetes de 5 unidades a $ 750. Verifica utilizando un gráfico si el producto que venden dos almacenes por paquete tiene el mismo valor unitario.

Errores frecuentes Los estudiantes con frecuencia tienen problemas a la hora de resolver problemas con proporcionalidad inversa, ya que a menos que se señale que lo es, no reflexionan sobre la relación entre las variables propuestas y a la hora de llevar a cabo el ejercicio lo aplican igual que si fuera una proporción directa. Para ello, y como paso a seguir en la resolución de problemas con proporcionalidad, instaure en sus estudiantes la necesidad de entender primero que todo, la relación que se da entre las variables estudiadas para luego proceder a resolver. Cuando los alumnos aplican la famosa regla de tres, se tiene dificultades en este sentido, a menos que al plantear las razones entre las que se quiere aplicar dicho procedimiento, una de ellas se invierta o se aplique de otra forma.


69



Y

Nivel 1 Una madre reparte entre sus tres hijos $ 140 000 de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 3, 5 y 6 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos? X

Nivel 2 Actividad de conexión: Física En termodinámica, la Ley de Boyle señala que para un gas a temperatura constante se verifica la siguiente relación entre la presión (P) y el volumen (V): “al disminuir el volumen de un cuerpo aumenta la presión y al aumentar el volumen de un cuerpo disminuye la presión”. a. Modela la expresión. b. ¿Cómo se calcula la constante en este caso?

¿Cómo se puede comprobar que los siguientes gráficos representan variables inversamente proporcionales? Nivel 2 Actividad de conexión: Física El siguiente gráfico presenta la relación entre la presión atmosférica y la altura. 36

Lección 24: ¿Cómo representar la proporcionalidad inversa? »

32

Componentes s o d i g u r c Texto del estudiante páginas 156 a 159. a e R Cuaderno de ejercicios páginas 70 y 71. m r p l t a Recurso digital complementario: e m e n Gráfica de la proporcionalidad directa e inversa Propósito Interpretar y graficar la proporcionalidad inversa.

28

i t

l

c

o

»

o

i

Orientaciones didácticas Muéstreles con variados ejemplos que la representación gráfica de la proporcionalidad inversa es una hipérbola y no una línea recta descendente, como suelen pensar. Por otro lado, hágales ver que para graficar una proporcionalidad directa basta con dos puntos para trazar la recta, en cambio para graficar una proporcionalidad inversa hacen falta más de dos puntos para darle forma a la hipérbola. Utilice el recurso digital complementario para construir gráficos de proporcionalidad directa e inversa, interpretando la información que ellos entregan. Actividades sugeridas Nivel 1 Observa los siguientes gráficos. Y

.

70

X


24 ) m20 k ( d u t i t 16 l A

12 8 4 0

200

400 600 Presión (hPa)

800

1000

Fuente: Lutgens y Tarbuck

a. ¿Cómo interpretas la relación entre las variables presión y altura? b. ¿Cuál es la presión atmosférica a 8 km de altura aproximadamente?

2


Errores frecuentes

Nivel 2 Pida a los estudiantes que realicen un plano de su sala de clases, utilizando una escala 1:100 y que compartan sus planos con sus compañeros y compañeras.

Los estudiantes suelen identificar que un gráfico con una curva descendente siempre representa una proporcionalidad inversa. Es importante que le haga ver que se debe corroborar dicha apreciación tomando dos puntos del gráfico y comprobando que al menos estos tengan el mismo producto entre sí. Puede utilizar la actividad complementaria número 1 para evitar estos errores.

Mural: Leonardo da Vinci: la proporcionalidad en su arte »

Lección 25: ¿Qué es una escala? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 160 a 163. Cuaderno de ejercicios páginas 72 y 73. Propósito Aplicar la proporcionalidad directa en figuras a escala.

Orientaciones didácticas Las escalas son una de las aplicaciones de la proporcionalidad directa con la que puede evidenciar la importancia que tiene el dominio de este conocimiento. Muéstreles algún mapa o plano de la ciudad y solicite a un estudiante que mida con la regla la distancia entre dos lugares para luego calcular la distancia real entre ellas utilizando la escala. Si no cuenta con un mapa, puede utilizar algún atlas o pedírselos con anticipación a sus estudiantes.

»

En el arte, la arquitectura y la música el uso de las proporciones es sumamente importante para mantener la armonía. La sección áurea, por ejemplo, es utilizada en todas estas áreas para dar equilibrio a lo que vemos y escuchamos. Leonardo da Vinci es un buen ejemplo para mostrar a los estudiantes que las proporciones no solo son utilizadas en el mundo de las ciencias exactas, como la Física, sino también en esta área.

Link de interés Visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P067, en ella encontrará un documento acerca de las proporciones del cuerpo humano de acuerdo a lo descubierto en el Hombre de Vitrubio. Puede usar esta información para alguna actividad complementaria.

Actitudes Los estudiantes pueden desarrollar la perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos, sobre todo al desarrollar las actividades 5 y 6 de esta lección.

Habilidades La habilidad que se encuentra en juego en esta actividad es la de resolver problemas usando estrategias como evaluar procedimientos y comprobar resultados propios y de otros, de un problema matemático. »

Nivel 1 Construye este puzzle con la escala 1:10. 6 cm 5 cm 2 cm 7

6 cm

7 cm 5 cm

Texto del estudiante páginas 164 y 165. Propósito Conectar con los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección con el arte y la historia.


»


Componentes

Actitudes La actitud que busca resaltar esta actividad en los estudiantes es la de abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios de otras asignaturas. »

9 cm 2 cm 4 cm

2 cm

5 cm


71


Actividades de conexión: Historia y Geografía Nivel 1 En los años 30 del siglo XIX, el Rey de Prusia envió una expedición a Egipto para registrar y publicar todos los monumentos conocidos entonces. El cabecilla de esta expedición, el profesor Lepsius, observó que las figuras de una tumba de Sakkara estaban cubiertas por una cuadrícula. Hoy se conocen más de cien ejemplos similares desde la época de Zoser. Cada lado de un cuadrado de la cuadrícula egipcia es siempre igual a un puño, o sea, a la anchura de la mano. El puño viene a ser, por tanto, el módulo de todas las proporciones, lo que se conoce como el Canon Egipcio.

El recurso digital complementario puede utilizarlo para reforzar la construcción de gráficos de proporcionalidad directa e inversa, interpretando la información que ellos entregan. Actitudes Las actitudes que se buscan desarrollar con las actividades son; perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. »

Actividades sugeridas Nivel 1 En el plano de una habitación se señala que la razón de escala es 4 : 100. Si cierto sofá de base cuadrada en el plano tiene área de 9 cm2, ¿cuál es el área de la base del sofá en la realidad? Nivel 2 Resuelve el siguiente problema. Jael y cuatro amigas se irán a la playa y arrendarán una cabaña por cuatro días. El arriendo diario cuesta $ 55 000. Se repartirán en partes iguales el costo de la cabaña. Cuando se disponen a viajar, dos amigas no pueden ir por encontrarse enfermas. ¿Cómo podría Jael modelar esta situación y calcular cuánto dinero cuesta arrendar la cabaña entre 5 y luego entre 3? Si se quieren sumar al viaje tres amigas que no habían sido consideradas, sale más, menos o igual dinero el arriendo de las cabañas? ¿Por qué?

Los estudiantes pueden dibujar una cuadrícula en papel milimetrado y copiar la figura que aparece en el anexo al final de esta unidad, donde estarán trabajando a modo de escala, utilizando una proporción 1 : 3. Nivel 2 Cuadricula una imagen de una revista y luego reprodúcela haciendo una reducción de ella en la razón 3 : 2.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos ¿Cómo voy? » »

Componentes Texto del estudiante páginas 166 y 167. Cuaderno de ejercicios páginas 74 y 75. s o d i g u r Recurso digital complementario: c a e R Gráfica de la proporcionalidad m r directa e inversa. p l t a e m e n Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección. i t

l

c

o

»

o

i

Orientaciones didácticas Podría realizar un resumen de la sección para que los estudiantes puedan recurrir sin problemas a las estrategias aprendidas por medio de las lecciones. Un esquema, o cuadro de síntesis de los conceptos y procedimientos más importantes, ayudaría a los estudiantes en su estudio.

72


»

Componentes Texto del estudiante páginas 168 y 169. Cuaderno de ejercicios páginas 76 y 77. Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección, en la resolución de problemas. Instancia de metacognición y síntesis.

Orientaciones didácticas El uso de una tabla como estrategia de resolución de problemas permite a los estudiantes poder identificar de mejor manera las variables que aparecen en el problema y establecer las relaciones entre ellas. De esta forma, los estudiantes no solo consideran los datos necesarios para resolver el enunciado, sino también entienden la dependencia entre los valores y así pueden plantear o proponer el desarrollo que los lleve al resultado correcto.

2


Errores frecuentes La ubicación de los términos en la tabla, cuando los estudiantes no están concentrados, suele ser un error que los lleve a resultados incluso absurdos. Por eso, recomiéndeles que el planteamiento de la tabla lo hagan con columnas en lugar de filas y que procuren ubicar correctamente los valores para evitar errores de cálculo.

Para el mapa conceptual de la sección 4 puede sugerir los siguientes conceptos: • Lenguaje algebraico • Expresiones algebraicas • Reducción de términos semejantes • Ecuaciones • Inecuaciones

Refuerzo mis aprendizajes Actividades de conexión: Física Nivel 1 Resuelve el siguiente problema. Para hacer un postre para 6 personas se necesitan los siguientes ingredientes:

»

»

- 3 huevos - 1,5 kg de harina

Componentes Texto del estudiante páginas 171 y 172. Recurso digital complementario: Álgebra y Relaciones Proporcionales. Propósito Reforzar y profundizar los aprendizajes de la unidad.


- 3 tazas de leche - ¼ taza de aceite - ¾ taza de azúcar. María quiere hacer esta receta pero para 4 personas. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita? Nivel 2 El período y la longitud de una onda son inversamente proporcionales. La velocidad de una onda es constante, su período es de 4 segundos y su longitud es de 9 cm. Si aumenta su longitud en 1 cm, ¿de cuánto será su nuevo período?

Puede utilizar el recurso digital complementario para obtener información sobre el desempeño de los alumnos y las alumnas en los aprendizajes claves de la unidad. Además puede utilizar las siguientes actividades como refuerzo.

Sección 4: Álgebra 1. Sea a # b = –2b 2 + a. ¿Cuál es el valor de −1 # –2? 2. ¿Cuál es el valor de la expresión 2ab – 2c para a = 2; b = 3 y c = 0,2? 3. Resuelve la ecuación: 4x – 8 + 9 – 6x = 3x + 6. 4. Resuelve la inecuación 4x – 3 < 5 + x.


»

Componentes Texto del estudiante página 170. Propósito Realizar una síntesis de los aprendizajes de la unidad.

Orientaciones didácticas Para el mapa conceptual que deben realizar los estudiantes de la sección 5 en sus cuadernos puede recordarles lo siguiente: • Relación entre variables → variable dependiente e independiente → relación • Proporción directa

→ cociente

5. ¿De qué manera se diferencian los conjuntos solución de las siguientes inecuaciones? a. 2x < 8 c. 2x > 8 b. 2x ≤ 8 d. 2x ≥ 8

Sección 5 : Relaciones proporcionales 6. Resuelve los siguientes problemas. a. Marcela tenía 8 lápices, le regalaron x, luego, se le perdieron la mitad de los que le regalaron, quedando con 18. ¿Cuántos lápices le regalaron a Marcela?

constante → recta que

pasa por el origen. • Proporción inversa → producto constante → hipérbola


73

Orientaciones al docente b. Si un número es aumentado en 6 es mayor o igual que si al doble del mismo número se le disminuye en 8, ¿cuál es la inecuación que representa la situación? c. El siguiente gráfico representa la relación entre dos variables inversamente proporcionales, ¿cuál es el valor de a? Y

10 a 4 0

5

10

X

¿Qué aprendí? »

»

Componentes: Texto del estudiante páginas 171 a 173. Cuaderno de ejercicios páginas 78 y 79. Propósito: Integrar y evaluar conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.

Orientaciones didácticas Para complementar estas páginas puede usar las siguientes preguntas:

1. En la expresión 4m2 x, ¿cuál es el factor literal? A. 4 B. 2 C. mx D. m2x 2. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un término semejante de 4,7m2 np5? A. mnp B. 4,7 mn2 p5 C. 4,7 nmp D. 214 m2 p5 n 3. Al reemplazar a = −2 y b = 1_ en las siguientes 4 expresiones, ¿cuál es mayor? A. a – b C. –2 • (a – b) B. 2a – b D. –2 • (a + b)

74


_

(x 3 – y3)2 , ¿a cuál de los 2 siguientes enunciados en lenguaje algebraico corresponde? A. La mitad del cuadrado del cubo de la diferencia entre x e y. B. La mitad del cuadrado de la diferencia de los cubos de x e y. C. El cuadrado de la mitad del cubo de la diferencia entre x e y. D. El cuadrado de la mitad de la diferencia de los cubos de x e y.

4. La expresión algebraica

5. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones la solución es 4? A. 5m + 8 = –12 B. 2 + 3x – 5 = 0 C. 6k – k + 4 = 24 D. 3x + 16 + 7x = 24 6. ¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación x + 8 = 43? A. 35 C. 51 B. 43 D. 70 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. La solución de la ecuación 3x – 8x + 5 = 0, es 0. B. La ecuación 3x – 7 = –7 tiene infinitas soluciones. C. La ecuación 4x – 3 = 5x – 3 no tiene como solución el 0. D. Dos ecuaciones distintas pueden tener la misma solución. 8. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación x + 6 ≥ 2x – 8? A. x ≤ 2 B. x ≥ 14 C. x ≤ 14 D. x ≥ 2 9. La inecuación 4x – 3 < 5 + x, tiene como solución: A. x > 2 B. x < 2 C. x > −2 D. x < −2

2

Información complementaria disciplinar Los usos de la variable El concepto de variable tiene variadas interpretaciones de acuerdo a su uso. El Modelo 3UV, propuesto por José Antonio Juaréz López permite entender este concepto a partir de tres ideas: la variable como incógnita específica, como número general y como relación funcional. Estas tres visiones del uso de la variable son indispensables para abordar los contenidos relacionados con ecuaciones y relaciones proporcionales. En la resolución de problemas, cuando la variable es considerada como incógnita específica, se debe identificar un valor desconocido que en el caso de las ecuaciones corresponde a la incógnita que debe ser representada simbólicamente. Para determinar este valor se deben llevar a cabo las operaciones algebraicas o aritméticas necesarias. La variable también puede ser considerada como un número general, esto es, cuando se utiliza para representar simbólicamente patrones en secuencias numéricas y en familias de problemas; por ejemplo cuando se manipula el símbolo para simplificar o desarrollar expresiones algebraicas. Finalmente, la variable es considerada como relación funcional cuando se identifica la correspondencia entre cantidades en sus diferentes representaciones: tabla, gráfica, problema verbal o expresión analítica. También cuando se determinan los valores de la variable dependiente a partir de los de la variable independiente y viceversa. Además, cuando se reconoce la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación en cualquiera de sus formas de representación y cuando se determinan los intervalos de variación de una de las variables cuando se conocen los de la otra. Todas las interpretaciones expuestas del concepto de variable son utilizadas en diferentes contenidos de nuestro, curriculum nacional y de esta unidad. Conocerlas y entenderlas nos facilitaran la tarea a la hora de abordar su conceptualización y formalización en temas como el lenguaje algebraico, las ecuaciones e inecuaciones y las funciones. Fuente: Revista de Didáctica de las matemáticas: Número, 2011. http://funes.uniandes.edu.co/3573/1/Ju%C3%A1rez2011DificultadesNumeros76.pdf


75

Información complementaria didáctica Aprendizaje por medio del error La enseñanza constructivista considera el error como un recurso del proceso de enseñanza aprendizaje. Reconocerlo y aprender de él debiera ser una práctica no solo para la vida, sino también para nuestra disciplina. De esta forma, saber en qué se equivocan los estudiantes, identificando las dificultades que presentan a la hora de resolver inecuaciones, como es el caso en el que nos situaremos, servirá de aprendizaje tanto para la labor docente como para la del estudiante. Para nosotros, los educadores, nos permitirá adelantarnos y saber cómo corregir los errores más frecuentes de nuestros estudiantes en relación a este contendido en lugar de evitarlos. Para ellos, nuestros educandos, servirá como correctivo y como aprendizaje de aquello que es incorrecto de realizar, pudiendo abrir otras miradas o solucionar malas concepciones que pudiesen tener de mucho antes y que gracias a las dificultades que se expondrán, podrá corregirlas y aprender, que es el objetivo de proceso educativo. Algunas de las dificultades o concepciones erradas que dificultan, de parte de los estudiantes, la compresión y resolución de las inecuaciones lineales con una incógnita, propuestas por Garrote, Hidalgo, y Blanco (2004) en el aprendizaje de las desigualdades e inecuaciones son las siguientes: •

•

•

•

•

•

•

•

•

El alumnado tiene problema para establecer diferencias significativas entre los conceptos de inecuación y de ecuación. Hay dificultades para reconocer la equivalencia de las expresiones x < a y x > a. Normalmente los estudiantes resuelven los ejercicios colocando la variable en el miembro izquierdo de la inecuación, ya que si cambian la presentación tienen problemas para interpretarla. Aparecen serias dificultades a la hora de pasar de un enunciado literal a una expresión algebraica, sobre todo si se incluye una doble desigualdad. La interpretación que se hace de la solución de una inecuación tampoco parece ser la más apropiada. Para muchos alumnos, el álgebra es “operar” con números y letras, sin otro objetivo que el de obtener valores para las mismas aplicando algoritmos de resolución. Hay dificultades propias de la aritmética que dificultan la solución de inecuaciones, por ejemplo, el uso de las reglas de signo. El uso que los alumnos hacen de las letras no siempre responde a una necesidad de las mismas, por lo que se llega a utilizarlas sin atribuirles significado alguno. Los alumnos no usan más que el lenguaje algebraico para abordar las diferentes cuestiones planteadas, en parte como consecuencia de la forma en la que los docentes abordan el tema en clase Hay ausencia de significado en el trabajo con inecuaciones. Debe reforzarse el concepto de inecuaciones equivalentes.

Exponer a nuestros alumnos a situaciones en que sabemos cómo abordar de antemano y las dificultades que se pueden presentar permitirá que nuestra práctica e intervenciones sean mucho más pertinentes y que podamos corregir en el momento oportuno estos problemas. Fuente: Garrote, M.; Hidalgo, M. J. y Blanco, L. J. Dificultades en el aprendizaje de las desigualdades e inecuaciones. (2004) http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=44029444001

76


2

Actividad complementaria Reúnanse en grupos de 3 integrantes y realicen el siguiente taller. En una empresa embotelladora de bebidas, existen tres tipos de máquinas envasadoras: - Máquina A: Envasa 45 botellas de 1 litro cada minuto. 1 litro cada minuto. - Máquina B: Envasa 23 botellas de 1 _ 2 - Máquina C: Envasa 15 botellas de 3 litros cada minuto.

1. Expresa en lenguaje algebraico la cantidad de litros que envasa cada máquina en n minutos. 2. En las expresiones anteriores, indica cuales serían la variable dependiente y la independiente. 3. Responde las siguientes preguntas: ¿Cuántas botellas de 1 litro envasa la máquina A en una hora? • ¿Cuántas botellas de 3 litros envasa la máquina C en media hora? • ¿Cuantas botellas en total se envasan en una hora? • Si cada máquina funciona 9 horas al día, ¿cuántas botellas se envasan en una semana? 4. Si se desea aumentar la cantidad de botellas envasadas de la máquina C, de tal forma que a lo más envase 3780 litros de bebida por hora, ¿cuántas botellas cómo máximo puede envasar por minuto? •

5. Modela la relación entre la cantidad de botellas envasadas y el tiempo utilizado para envasar en la máquina C. •

Completa la siguiente tabla: Tiempo (min)

15

30

45

60

Cantidad de botellas envasadas • • •

La actividad anterior, ¿a qué tipo de proporcionalidad corresponde? ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? Representa la situación anterior en un gráfico.



77


Curso


Fecha

b.

En los ejercicios del 1 al 5, selecciona la alternativa que consideres correcta. (1 punto cada una)

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la tercera parte de un número aumentado en 3 unidades? A. 3x + 3 C. _x + 3 3 B. 3x + 3x _ D. 3x + 3

x= x x x

x x

c.

x=

x x x x x

x x

2. ¿Cuál es el valor de la expresión 2abc para a = –2; b = –3 y c = 0,1? A. 1,2

C. 0,6

B. –1,2

D. –0,6

8. Calcula y grafica las soluciones de las inecuaciones. (1 punto cada una)

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un término semejante de 4,7mnp? A. 4,7mn

C. 3m2np

B. –6mpn

D. mnp2

4. Al reducir la expresión 3ab + 5a + 7a – 12ab + b se obtiene: A. 4ab

C. 12a – 9ab + b

B. 15a – 11b

D. 15ab + 12a + b

5. ¿De la reducción de qué expresión resulta 4mn – m? A. 5mn – 9mn – m

C. 5mn – 6m + 4mn

B. 12mn – m – 8mn

D. –mn – 3m + m

Parte II: Evaluación de habilidades 6. Resuelve las siguientes ecuaciones. (1 punto cada una)


78

a. 2x + 1 < 7

x=

b. 3x – 7 < 19

x=

c. x + 6 > 4x – 6

x=

d. 6x – 6 > 5x + 8 – x

x=

9. Identifica la variable dependiente e independiente en cada situación. (1 punto cada una) a. Eddie es un gato que está enfermo. La veterinaria le recetó a su dueña Jael, dos gotas de un medicamento por cada kilogramo de masa que tenga Eddie. Variable dependiente: Variable independiente: b. Felipe compró cierta cantidad de carne que debe repartir entre los invitados de su cumpleaños. Ha decidido que si llega más gente repartirá la carne que tiene entre los asistentes que estén, lo mismo hará si llegan menos.

a. 2x + 5 = 6

x=

Variable dependiente:

b. 3x = 4x – 7

x=

Variable independiente:

c. 8 – x + 2x = 8 – 2x

x=

d. 11 – x = x – 11

x=

7. Plantea las ecuaciones representadas en las balanzas y resuelve, considerando que cada esfera tiene una masa de 1kg. (1 punto cada una) a.

x x


x=

c. María quiere instalar mosaicos en el patio de su casa. La artista que contrató cobra por metro cuadrado. Variable dependiente: Variable independiente:

2 10. Plantea algebraicamente la relación entre las variables de las tablas que se presentan a continuación. (1 punto cada una) a.

x

y

3

c.

x

y

1,5

3

1,2

4

2

4

1,6

5

2.5

5

2

8

4

8

3,2

x

y

2

6

5

15

7

21

8

24

b. Cada vez que Miguel llega tarde a clases, la profesora le quita minutos de su recreo. En la tabla aparecen tres días en los que Miguel llegó tarde. Retraso (min)

3

1

2

Recreo (min)

6

2

4

Y

b.

0

X

12. Resuelve los siguientes problemas. (2 puntos cada una) 11. Grafica los valores de la tabla e identifica si las variables son directa o inversamente proporcionales. (1 punto cada una) a. La tabla muestra la cantidad de comida que se le debe dar a un gato de 3 meses según su masa corporal. Comida (g)

200

125

250

100

Masa (g)

500

800

400

1000

Y

a. 10 kg de jamón cuestan lo mismo que 15 kg de queso. Si 12 kg de queso cuestan $ 48 000, ¿cuánto vale el 1 kg de jamón? R:

b. Un árbol tiene una altura de 4 m dando una sombra de 80 cm. Si se mantiene la razón altura/ sombra, ¿cuál será la sombra de un árbol de 3,5 m? R:

c. Cuando una persona se sumerge a 4 m de profundidad en el agua, ésta ejerce una presión de 220 newton/cm2. Se sabe que la profundidad y la presión son directamente proporcionales. ¿Cuál será la presión a 9 m de profundidad? R:

d. Un automóvil tiene un estanque con una capacidad de 40 litros. Este vehículo consume 8,5 litros cada 100 km. Si se realiza un viaje de 450 km, ¿cuántos litros de bencina consume el vehículo al recorrer dicha distancia? R: 0

X


79


e. ¿Cuál es la altura real de un edificio de seis plantas si la escala del plano con la que fue construido es de 1 : 600 y cada planta mide 3 cm en el plano? R:

f. La altura de una habitación es de 2,5 m. Se quiere dibujar en un plano con una escala de 1 : 100, ¿cuántos centímetros se deberán trazar para representar la altura de la habitación en el plano? R:

g. El ancho real de una calle es de 25 metros. El plano en el que se encuentra dibujada está a escala 1 : 400, ¿cuántos centímetros tendrá en el dibujo? R:

h. El comedor de una casa, que realmente tiene una longitud de 5 m, está representada en un plano por un segmento de 4 cm. ¿A qué escala está dibujado el plano?

m. Las empresas A y B editan libros que sus representantes venden a las escuelas. Un representante de la empresa A cobra $ 10 000 más $ 2000 por libro vendido, mientras que uno de la empresa B cobra $ 12 000 más $ 5000 por libro vendido. ¿Cuántos libros deberá vender un empleado de la empresa A para vender más que un representante de la empresa B? R:

n. Para comprar un regalo, Emilia ha reunido monedas de $ 500 y de $ 100, juntando en total 30 monedas. Si el precio del regalo es menor que $ 54 000, ¿qué número de monedas de $ 100 puede tener como máximo? R:

ñ. Observa el siguiente gráfico que relaciona el tiempo y la cantidad de agua utilizada en el regado de un parque. ) 3 m ( a 40 u g a e d d a d i t n a C

R:

i. El largo de un rectángulo mide dos veces lo que mide el ancho más 3 cm. Si el perímetro del rectángulo es de 15 cm, ¿cuáles son las medidas de su largo y ancho?

0

R:

j. El equipaje de María tiene una masa del doble más 300 gramos que el de Susana. Si ambos equipajes no pueden tener una masa mayor a 2 kg, ¿cuánto debe ser la masa del equipaje de cada una? R:

k. Agustín ha leído un libro de 150 páginas en cuatro días. A partir del segundo día, leyó diez páginas más que el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó cada día? R:


80

l. Si al doble de un número se le suma el triple del mismo número se obtiene 150, ¿cuál es el número? R:

Tiempo (m)

• ¿Qué tipo de proporcionalidad muestra el gráfico? R:

• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? R:

• ¿Cuántos metros cúbicos se consumen luego de 7 minutos de riego? R:

• ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando se han consumido 38 m3 de agua? R:

• ¿Cuántos metros cúbicos se consumirán en una hora de riego? R:


10

2

Banco de preguntas I. Marca la alternativa que consideres correcta.

1. Si p = −2 y m = −10, ¿en cuál de las expresiones el resultado obtenido al valorizarlas es menor? A. p – m B. 2p – m

7. En Física se utiliza la fórmula F = m • a, donde F es la fuerza medida en Newton (N), necesaria para mover un objeto o cuerpo; m es la masa del cuerpo y a es la aceleración del mismo. ¿Cuál será la fuerza de un objeto en movimiento si su masa es 0,4 kg y su aceleración es 15 m/s2? R:

C. –2 • (p – m)

8. Resuelve la inecuación 4x – 3 < 5 + x.

D. –2 • (p + m) 2. Si el lado de un triángulo equilátero mide 4a2 cm, ¿cuál es su perímetro? A. 20a4

C. 12a2

B. 16a4

D. 8a2

3. El precio del pasaje de la locomoción colectiva, en cierto país, era de x pesos. Luego, se produjo un alza de 150 pesos y luego bajó a la cuarta parte de lo que costaba en un principio, quedando finalmente en 750 pesos. ¿Cuánto costaba en un principio el pasaje de la locomoción colectiva en ese país? A. $ 1400

R:

9. Si un número es disminuido en 10, es menor o igual que si al doble del mismo número se le disminuye en 18. ¿Cuáles pueden ser los valores de dichos números? Representa la solución en una recta numérica. R:

10. El siguiente gráfico muestra la relación entre el número de grupos en que se dividirá el nivel de 7.° básico para realizar un trabajo, y la cantidad de alumnos que habrá por grupo. N.º de Grupos 25

B. $ 1200

20

C. $ 800

15

D. $ 600

10

4. En un mapa, se señala que la razón de las distancias es 1 : 20 000 . Si en el mapa un pueblo se encuentra a 7,2 cm, ¿a qué distancia se encuentran dichos pueblos en la realidad, en kilómetros?

5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 N.º de alumnos por grupo

a. ¿Qué tipo de proporción es?

A. 144 000 km B. 14 400 km

R:

C. 144 km

b. ¿Cuál es y a qué corresponde la constante de proporcionalidad?

D. 14,4 km 5. En una fábrica de botellas, por cada 80 botellas, hay 5 defectuosas. ¿Cuántas botellas aproximadamente saldrán defectuosas de 400 botellas fabricadas? A. 20

C. 40

B. 25

D. 45

II. Resuelve los siguientes problemas.

6. A y B son dos magnitudes directamente proporcionales. Cuando A vale 5, B vale 12. ¿Cuánto vale A si B vale 30?

R:

c. Modela la situación presentada en el gráfico. R:

d. Observando el gráfico, ¿cuántos alumnos habrá por grupo si se arman 5, 10 o 20 grupos? R:

e. ¿Será posible armar 15 grupos? Justifica tu respuesta. R:

R:


81

Solucionario Inicio unidad (página 58)

Lección 18

Nivel 1: a. x + _x = 19, la dificultad de la falsa proposición es 7 que es lo mismo que trabajar el ensayo error y puede tomar mucho tiempo llegar a la respuesta correcta. b. En partes proporcionales quiere decir que a cada cual le corresponderá lo que señale la fracción destinada para cada 2 →466, 6 ; _ 1 → 350; _ 1 → 233,3; _ 1 → 175 uno; _ 3 2 3 4 Nivel 2: a. Se espera que los estudiantes relacionen el símbolo con ecuaciones. b. Se espera que los alumnos puedan señalar que cuando dos razones son proporcionales se establece el símbolo de igualdad entre ellas.

Nivel 1: 5x + 2 ≤ 2x – 7 5x + 2 – 2 ≤ 2x – 7 – 2 5x ≤ 2x – 9 5x – 2x ≤ 2x –9 – 2x

Nivel 2: _x + _x + 3 _x – _x + 1 = x 5 3 3 5 x = 15, el enjambre tenía 15 abejas.

)

Nivel 1: a. a + b = b + a b. a • 1 = a

c. a + 0 = a d. a, b ∈ 핅; a + b = c, ∈ b. _ 2 D•d

Lección 16 Nivel 1: 3n + 3m – 260 Nivel 2: 3(ab + a2) : 2 Lección 17 Nivel 1: 3x – 5 = x + 9 3x – 5 + 5 = x + 9 + 5 3x = x + 14 2x = _ 14 _ 2 2 x =7 Nivel 2: a. 2x + 8 = 28

82

Lección 19 Nivel 1: a. El primero recibe 20, el segundo recibe 60 y el tercero 120.

Nivel 1: En el cuadrado mágico x = 4.

¿Cómo voy? (página 64) Nivel 1: x – 5 < 10 2x + 3 < x + 10 4 + x > 2x – 3

c. b • a

3x + 5 < 2x + 13 3x – 2 > 4x – 10 x + 12 < 27

Nivel 2 a. Una tiene 2 años y la otra 5 años. b. Ancho 10 m, largo 18 m. c. Un número es 20 y el otro es 60.

Lección 15

a. B + b • a 2

3 Nivel 2: Se debía dividir por 3 en vez de restar 3. El resultado es x > –6.

Mural (página 63)

Nivel 1: 1. a. (n + 1); b. (2n – 1). 2. Cuando x = 7 → 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Cuando x = 6 → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

_

1 /•_

Nivel 2: La nota debe ser > 5,0.


Nivel 2:

/ –2x

b. Cada galleta debe tener menos de 45 kcal.

SECCIÓN 4: ÁLGEBRA

(

3x ≤ –9

/ –2

핅

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: Respuesta variable de acuerdo a la secuencia realizada. Nivel 2: Respuesta abierta a la discusión de los alumnos y alumnas.

SECCIÓN 5: RELACIONES PROPORCIONALES ¿Qué debo saber? (página 66) /+5 /:2

b. 2x + 10 = 25,2


Nivel 1: a. 3 : 4 b. 8 : 3, por cada 8 globos azules hay 3 globos verdes. c. 1 : 3 Nivel 2: a. Si se compran n kg de pan, se debe pagar $ nx. b. Si por la hora de trabajo se paga $ n, la persona recibirá $ np. c. Si una galleta aporta z cal, la porción de z galletas aporta cz calorías.

2 Lección 20

Nivel 2:

Nivel 1: 1. Tiempo (hr)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Distancia (km) 21

31,5

42

52,5

63

73,5

a. Si la rapidez es constante, a mayor tiempo transcurrido, mayor distancia recorre el ciclista. b. En cada registro, el valor de la razón es 21, lo que significa que la rapidez del ciclista es 21 km/hr. 2. Respuestas variables. Por ejemplo: a. Cantidad de dinero recaudado por concepto de pasajes según la cantidad de personas en un bus. b. Distancia recorrida por una rueda de x cm de diámetro. c. Cantidad de pizzas necesarias para x cantidad de personas. d. Variación de temperatura según la altura en la que se encuentre una persona. Nivel 2: a. R.V., por ejemplo: Miguel puede esperar a que siga bajando el precio del dólar y así comprar una mayor cantidad de estos, pero se arriesga a que la cámara suba de precio o ya no esté a la venta. b. El costo de la cámara depende del valor del dólar. c. La variable independiente es el valor del dólar y la dependiente el valor de la cámara. d. y = 250x

Lección 21 Nivel 1: a. 7 paquetes cuestan $ 2100. b. Ganará $ 900 000. c. Costará $ 125 000. d. Recorrerá aproximadamente 7,1 km. Nivel 2: a. Proporcionalidad directa.

Tienda A ) $ ( o i c e r P

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

0

5

10

15 20

25

Unidades

Tienda B 5000 4500 ) $ 4000 ( o 3500 i c 3000 e r 2500 P 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Unidades

Si se superponen los gráficos se comprueba la igualdad.

Lección 23 Nivel 1: Al de 3 años le da aproximadamente $ 66 667, al de 5 años $ 40 000 y al de 6 años $ 33 333. Nivel 2: a. P = _k b. P • V = k V

Lección 24 Nivel 1: Dando valores a cada eje y calculando la constante. Nivel 2: a. A menor altura mayor presión. b. El valor de la presión atmosférica es de aproximadamente 380 hPa. Lección 25 Trabajo práctico a realizar por los alumnos y las alumnas.

Mural: (página 71) Deben realizar el trabajo de forma práctica en papel milimetrado.

b. Proporcionalidad directa.

Lección 22 Nivel 1: a. C= 0,01v, C es la comisión y v es la venta. b. $ 50 000. c. Sí.

¿Cómo voy? (página 72) Nivel 1: Es de 5625 cm2. Nivel 2: A = 220000 : a, donde A es el arriendo y a es el número de amigas.


83

Solucionario Cuando eran 5 amigas costaba a cada una $ 44 000, cuando eran 3 cerca de $ 73 334. Entre más amigas son, menos cuesta el arriendo.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos 1 taza de Nivel 1: 2 huevos, 1 kg de harina, 2 tazas de leche, _ 6 1 taza de azúcar. aceite, _ 2 Nivel 2: 3,6 segundos.

b.690 c. 4980 d.313 740 4. 21 botellas. 5. x = 15n 6. a.

Tiempo (min) Cantidad de botellas envasadas

Refuerzo mis aprendizajes (página 73) Sección 4 1. 7

b.2x ≤ 8, x = todos los números menores o iguales que 4. c. 2x > 8 x = todos los números mayores que 4. d 2x ≥ 8 x = todos los números mayores o iguales que 4. La diferencia entre los conjuntos solución de a y b es el {4}. Lo mismo sucede con los conjuntos solución de c y d. Sección 5 1. m = 4, n = 4 revisar, p = 9 y q = 22 3 2. a. 20 lápices. b. x + 6 ≥ 2x – 8 c. a = 8

_

225

450

675

900

800 s a d a l a v n e s a l l e t o b e d d a d i t n a C

6. 7. 8. 9.

700 600 500 400 300 200 100

A D C B

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tiempo (min)

Evaluación de la unidad (páginas 78 a 80)

Actividad complementaria (página 77)

1. C

2. A

3. B

4. C

1.

1 6. a. _ 2

b. 7

c. 0

d. 11

Máquina A → x = 45n Máquina B → x = 23 · 1,5n Máquina C → x = 15 · 3n

84

60

900

¿Qué aprendí? (página 74)


45

Cantidad de botellas envasadas por minuto en máquina C

3. x = –1 8 4. x < _ 3 5. a. 2x < 8,x = todos los números menores que 4.

D D C B C

30

b.Proporcionalidad directa. c. 34,5 d.

2. 11,6

1. 2. 3. 4. 5.

15

2. Variable dependiente: cantidad de botellas envasadas. Variable independiente: tiempo utilizado 3. a. 2700


5. B

3 7. a. 2x + 2 = 5; x = _ 2 b. 2x + 6 = 3x + 2; x = 4 3 c. 5x + 3 = 2x + 5; x = _ 2 8. a. x < 3 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2– 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 b. x < 24 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

c. 4 > x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

d. x > 7 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

9. a. x: masa en kg. y: cantidad de gotas. b.x: n.° de asistentes. y: cantidad de kg de carne. c. x: cantidad de metros cuadrados. y: monto de dinero. 10. a. k = 0,5 b.k = 3 c. k = 0,4

1. C 2. C 3. C 4. C

Comida (g)

5. B 6. a. Vale 12,5. 7. 6 N 0

200

400

600

800

1000

1200

Masa (g)

b. Directamente proporcionales Minutos de recreo 7 6 5 4 3 2 1 0

0

• 240 m3

• 9,5 minutos

Banco de preguntas (página 81)

y = 0,5x y = 3x y = 0,4x

11. a. Inversamente proporcionales 300 250 200 150 100 50 0

h.La escala está a 1 : 125. i. El ancho mide 1,5 cm y el largo mide 6 cm. j. El equipaje de Susana no debe pesar más de 566 g y el de María no puede superar los 1132 g. k. Día 1: 22,5 páginas. Día 2: 32,5 páginas. Día 3: 52,5 páginas. Día 4: 82,5 páginas. l. Si el representante de la empresa B vende un libro, el representante de la empresa A debe vender como mínimo 4. m.El número es 30. n.535 monedas de $100 como máximo. ñ. • Directa •4 • 28 m 3.

0,5

1

1,5

8 8. x < _ 3 9. –2 – 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10. a. Es inversa. b. k = 80 c. y = 80 x d. 5, 16 grupos; 10, 8 grupos; 20, 4 grupos. e. No, sobrarían o faltarían alumnos.

_

2

2,5

3

3,5

Retraso

12. a. 1 kg de jamón cuesta $ 6000. b.Dará una sombra de 70 cm. c. La presión será de 495 newton/cm 2. d.Consume 38,25 litros. e. Mide 10 800 cm. f. Mide 2,5 cm en el plano. g.La calle medirá 6,25 cm.


85

Solucionario

Parte I: Para repasar contenidos

Cuenta el puntaje que obtuviste en la parte I de la evaluación. Luego, repasa las lecciones según tu nivel de logro. Contenido

Logrado

Por lograr

Repasa en…

Lenguaje algebraico y reducción de términos semejantes. (Actividades 1, 2, 3, 4, 5)

2 puntos

0 o 1 punto

Lecciones 15 y 16.

Plantear resolver ecuaciones e inecuaciones. (Actividades 6, 7, 8, 12i, j, k, l, m, n)

4 o más puntos

3 o menos puntos


Modelar situaciones que involucran proporcionalidad directa e inversa. (Actividades 9, 10, 12a, b, c, d ).

2 o más puntos

0 o 1 punto


Interpretar y graficar la proporcionalidad inversa y directa. (Actividades 11, 12m)

3 o más puntos

2 o menos puntos

Lecciones 22 y 24.

Aplicar la proporcionalidad directa en figuras a escala (Actividad 12e, f, g, h).

2 puntos

0 o 1 punto

Lección 25.

Parte II: Para practicar habilidades

Para practicar las habilidades matemáticas evaluadas en la parte II dirígete al Cuaderno de ejercicios, según tu nivel de logro. Logrado

Por lograr

Practica en…

Representar (Actividades 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9)

3 o más puntos

2 o menos puntos

Cuaderno de ejercicios, lección 15.

Modelar (Actividad 10)

4 o más puntos

3 o menos puntos


Resolver problemas (Actividad 12)

3 o más puntos

2 o menos puntos

Cuaderno de ejercicios, páginas 60, 61, 76 y 77.

Argumentar y comunicar (Actividad 11)

4 o más puntos

3 o menos puntos


Habilidad

RDC

Las respuestas a las actividades de los recursos digitales complementarios las encontrará en el documento informativo de cada RDC en la sección Apoyo al docente.

86


A D D I N

U

3

Geometría Propósito de la unidad del Texto del Estudiante y de la Guía del Docente El hilo conductor de la unidad es el eje de Geometría, donde se priorizará la medición de ángulos y superficies, para que los y las estudiantes descubran las relaciones entre la suma de ángulos interiores y exteriores de polígonos y conjeturen acerca del área de superficies de triángulos, paralelogramos y trapecios. En la segunda sección, se trabaja con el círculo y la circunferencia en donde descubren de manera experimental la relación entre la medida del diámetro y el perímetro, al encontrar una estimación de π por medio de mediciones concretas. Usan este nuevo conocimiento en la fórmula del área del círculo y en la resolución de problemas relacionados con geometría y la vida real. En la tercera sección los y las estudiantes comprenden que el círculo es un lugar geométrico y emplean este concepto para construir rectas perpendiculares, paralelas, puntos medios y bisectrices con regla y compás y también, triángulos y cuadriláteros congruentes. Por último, se incorpora la noción de vectores representados en el plano cartesiano por medio de juegos de posición; recordando previamente la ubicación de puntos y figuras en el plano cartesiano.

Organización de la unidad El siguiente esquema muestra, en una panorámica general, cómo se organizan los contenidos de la unidad en el Texto del Estudiante, haciendo hincapié en la resolución de problemas. Geometría

Sección 6

Sección 7

Sección 8

Sección 9

Suma de ángulos interiores de un polígono

Círculo y circunferencia

Construcciones de rectas perpendiculares y paralelas

Puntos y figuras en el plano cartesiano

Elementos del círculo Suma de ángulos exteriores de un polígono Área de triángulos y trapecios

Área del círculo y perímetro de la circunferencia

Construcciones de bisectrices, simetrales, transversales de gravedad y alturas

Vectores desplazamiento

Construcciones de circunferencias inscritas y circunscritas Construcciones de triángulos y cuadriláteros Resolución de problemas


87

Planificación de la unidad Sección 6: Polígonos Objetivos de aprendizaje

Lección

Tiempo

3 horas

• Descubrir relaciones que involucran ángulos exteriores o interiores de di-

ferentes polígonos. Habilidades Argumentar y comunicar

Fundamentar conjeturas, dando ejemplos y contraejemplos. Actitudes:

Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales.

Lección 26: ¿Cuánto suman los ángulos interiores y exteriores de un polígono?

3 horas

• Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y

trapecios. Habilidades Modelar

Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de otras asignaturas y de la vida diaria.

Lección 27: ¿Cómo calcular el área de algunos polígonos?

Actitudes:

Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas. Páginas especiales de la sección 6 Actividad

88


Tiempo

Inicio de sección

178 y 179

1 hora

¿Qué debo saber?

180 y 181

1 hora

Mural

192 y 193

1 hora

¿Cómo voy?

194 y 195

2 horas


196

1 hora


197

½ hora

Unidad 3 Geometría



182 a 185

• Reconocen polígonos en las caras y en las secciones de poliedros y de prismas, en cruces de • • • • • •

186 a 191

varillas, sombras, etc. Verbalizan reglas para obtener polígonos regulares. Estiman la suma de los ángulos interiores en polígonos y verifican los resultados, midiéndolos. Muestran geométricamente, mediante la descomposición en triángulos, el patrón de la suma de los ángulos interiores en polígonos. Determinan la medida del ángulo del centro de un polígono regular para encontrar la medida del ángulo interior mediante la construcción de un triángulo. Aplican el concepto de ángulo interior de polígonos a situaciones concretas o pictóricas. Resuelven problemas geométricos, aplicando el patrón de la suma de ángulos interiores y exteriores.

• Dibujan cuadriláteros a partir de un triángulo dado. • Reconocen que el área de un triángulo se obtiene por dividir un cuadrilátero por una de sus • • •

• •

diagonales. Transforman paralelogramos en rectángulos de la misma altura por medio de recortes o dibujos, reconociendo que se mantiene la medida del área. Formulan verbal y simbólicamente la regla para calcular el área de paralelogramos. Descomponen concreta o pictóricamente un paralelogramo en dos triángulos con el mismo contenido, verificando que el área de un triángulo se calcula como medio paralelogramo con la misma base y altura. Recortan o dibujan dos trapecios iguales y confeccionan o dibujan un paralelogramo con la misma altura y el doble del área, obteniendo la fórmula del área de un trapecio. Resuelven problemas geométricos y de la vida cotidiana, cuya resolución requiere calcular áreas de triángulos, paralelogramos y trapecios.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar los aprendizajes de la sección a situaciones reales de la actualidad de nuestro país. Instancia de integración y evaluación de los contenidos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


89


Sección 7: Círculo y circunferencia Objetivos de aprendizaje

Lección

Tiempo

Mostrar que comprenden el círculo: 2 horas Lección 28: • describiendo las relaciones entre el radio, el diámetro y el perímetro del ¿Qué son una circunferencia y círculo. un círculo? • estimando de manera intuitiva el perímetro y el área de un círculo. 2 horas • aplicando las aproximaciones del perímetro y del área en la resolución de problemas geométricos de otras asignaturas y de la vida diaria. • identificándolo como lugar geométrico. Lección 29: Habilidades ¿Cuáles son los elementos del Argumentar y comunicar círculo? Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos. Actitudes:

Lección 30: Demostrar curiosidad, interés por resolver desafíos matemáticos, con confian¿Cómo estimar el perímetro de za en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado un círculo? inmediato.

3 horas

3 horas Lección 31: ¿Cómo estimar el área de un círculo? Páginas especiales de la sección 7 Actividad

90


Tiempo

Inicio de sección

198 y 199

1 hora

¿Qué debo saber?

200 y 201

1 hora

Mural

214 y 215

1 hora

¿Cómo voy?

216 y 217

2 horas


218

1 hora


219

½ hora

Unidad 3 Geometría

3


202 y 203

Indicadores de evaluación • Identifican la línea del ecuador, paralelos y meridianos en modelos esféricos. • Miden el diámetro y el perímetro de objetos redondos, como vasos con forma cilíndrica,

latas, corchos, etc. 204 y 205

• Identifican el radio y el diámetro en un círculo. • Reconocen que la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. • Interpretan cuándo es necesario utilizar la medida del diámetro y del radio de un círculo.

206 a 209

• Calculan la relación entre el perímetro y el radio y descubren que siempre resulta casi

el mismo valor (levemente mayor de 3), denominado “ π”. • Aplican la fórmula p = d ∙ π en ejercicios rutinarios y no rutinarios, para resolver problemas que involucran perímetros de círculos, como ecuador, paralelos y meridianos. 210 a 213

• Estiman el área de la circunferencia entre 2r² y 4r², descubriendo que también resulta el

mismo valor aproximado de a ≈ r 2 ∙ 3. • Aplican la fórmula a = r² ∙ π (con π ≈ 3,14) en ejercicios rutinarios y en la resolución de problemas que involucran áreas de círculos. • Resuelven problemas de la vida diaria que implican el cálculo del área de un círculo; por ejemplo: los cultivos circulares para el ahorro de agua en el riego. Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar los aprendizajes de la sección en situaciones complejas como los teselados de Escher y los efectos visuales. Instancia de integración y evaluación de los contenidos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


91


Sección 8: Construcciones Objetivos de aprendizaje

Lección

Tiempo

Construir objetos geométricos de manera manual y/o con software 3 horas educativo: • líneas, como las perpendiculares, las paralelas, las bisectrices y alturas en Lección 32: triángulos y cuadriláteros. ¿Cómo construir rectas perpen• puntos, como el punto medio, el centro de gravedad, el centro del círculo diculares y paralelas? inscrito y del circunscrito de un triángulo. • triángulos y cuadriláteros congruentes. Habilidades Modelar

Lección 33: Usar modelos, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos, para ¿Cómo construir bisectrices y resolver problemas de otras asignaturas y de la vida diaria. alturas?

3 horas

3 horas Lección 34: Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la resolución de ¿Cómo construir transversales problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales. de gravedad y simetrales? Actitudes:

3 horas Lección 35: ¿Cómo construir una circunferencia circunscrita y una inscrita? 3 horas Lección 36: ¿Cómo construir triángulos congruentes?

Lección 37: ¿Cómo construir cuadriláteros congruentes?

3 horas


92


Tiempo

Inicio de sección

220 y 221

1 hora

¿Qué debo saber?

222 y 223

1 hora

Mural

248 y 249

1 hora

¿Cómo voy?

250 y 251

2 horas


252

1 hora


253

½ hora

Unidad 3 Geometría



224 a 227

• Aplican la propiedad del círculo como lugar geométrico para resolver problemas con-

cretos; por ejemplo: la cobertura de una radioemisora, etc. • Construyen la recta perpendicular a un punto en una recta y reconocen que la recta perpendicular a un punto fuera de ella, tiene la distancia mínima entre el punto y la recta. • Experimentan, concretamente o en forma pictórica, que doblando dos veces en dirección perpendicular, se continúa paralelamente a la dirección original, y aplican esto para construir paralelas de una recta. • Construyen la altura en un triángulo isósceles, observando que lo divide en dos triángulos simétricos, y aplican este procedimiento para construir bisectrices.

228 a 231

232 a 235

• Construyen las transversales de gravedad de un triángulo y determinan su centro de

gravedad. • Construyen las simetrales de los lados de un triángulo y determinan el circuncentro. 236 a 239

• Construyen circunferencias inscritas. • Construyen circunferencias circunscritas.

240 a 243

• Calculan la desigualdad triangular para analizar si es posible la construcción de un • • •

244 a 247

•

triángulo. Construyen triángulos a partir de la medida de sus lados. Construyen triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. Construyen triángulos a partir de la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Aplican la construcción de figuras geométricas para resolver problemas de la vida diaria, mediante líneas perpendiculares y paralelas, bisectrices, triángulos y cuadriláteros.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar los aprendizajes de la sección con las tecnologías de la información. Instancia de integración y evaluación de los contenidos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


93


Sección 9: Plano cartesiano Objetivos de aprendizaje

Lección

Identificar puntos en el plano cartesiano, usando pares ordenados y vectores de forma concreta (juegos), pictórica y simbólica. Habilidades Representar

Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas.

Tiempo

3 horas Lección 38: ¿Cómo ubicar puntos en el plano cartesiano?

Actitudes:

3 horas

Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición Lección 39: ¿Cómo desplazar objetos por a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas. medio de vectores? Páginas especiales de la sección 9 Actividad


Tiempo

Inicio de sección

254 y 255

1 hora

¿Qué debo saber?

256 y 257

1 hora

Mural

266 y 267

1 hora

¿Cómo voy?

268 y 269

2 horas


270

1 hora


271

½ hora


Tiempo


272

½ hora


273 y 274

1 hora

¿Qué aprendí?

275 a 277

2 horas


94

Unidad 3 Geometría



258 a 261

• Construyen segmentos y figuras en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, usando

coordenadas enteras. • Dibujan figuras 2D a partir de los pares de coordenadas dadas, y leen y comunican las coordenadas de figuras 2D dadas en el sistema de coordenadas. • Conjeturan la forma y la ubicación de figuras 2D (rectángulo, cuadrado, paralelogramo y trapecio) a partir de los cuatro pares de coordenadas dadas, y las verifican pictóricamente. • Dibujan figuras 2D y descubren que las formas se mantienen si se traslada el sistema, aunque las coordenadas se cambien.

262 a 265

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Instancia para determinar el manejo de prerrequisitos de la sección. Conectar los aprendizajes de la sección con actividades lúdicas y de entretención. Instancia de integración y evaluación de los contenidos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.

Objetivo

Observaciones

Instancia de síntesis y metacognición. Instancia de refuerzo y profundización de los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad. Instancia de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.


95

Orientaciones al docente cular el área y perímetro de figuras planas y ubicar puntos en el plano cartesiano.

Inicio de unidad »

Componentes Texto del estudiante páginas 176 y 177. s o d i Recurso digital complementario: g u r c a e R Geometría a nuestro alrededor. m r Prerrequisitos de la unidad p l t a e m e n • Construcción de triángulos. • Área de superficie de cubos y paralelepípedos. • Traslaciones, reflexiones y rotaciones. • Ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos. • Suma de los ángulos interiores de un triángulo. • Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. i t

l

c

»

»

o

o

i

Propósito El propósito de la unidad es acercar al estudiantes a las construcciones geométricas con regla y compás tanto de rectas como de figuras geométricas, por ejemplo triángulos y cuadriláteros. Con esto se espera que las propiedades más importantes de estos elementos sean deducidas y no memorizadas sin atribuirle algún significado. Por otra parte, está la medición como parte importante de los objetos geométricos. Se comienza encontrando regularidades entre los ángulos interiores y exteriores de polígonos. Luego se deducen áreas de triángulos y cuadriláteros. Se presenta el círculo como lugar geométrico para introducir las construcciones y luego la relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia obteniendo una aproximación del número π. Se utiliza este valor para calcular el área de un círculo. Finalmente se retoman los conocimientos vistos en 5.° básico acerca del plano cartesiano para realizar desplazamientos de figuras a través de vectores.

Orientaciones didácticas Complemente la información de las páginas de inicio, comentándoles a sus estudiantes que la utilización de elementos de precisión se la debemos a los griegos. Euclides, creador del primer modelo axiomático de la geometría, sembró la semilla teórica que pronto se extendió a lo práctico, ya que a partir de sus postulados y de la cantidad de figuras que imaginaron los matemáticos venideros se hizo necesaria la creación de herramientas, como la regla y el compás, para dibujar y plasmar lo pensado. Utilice el recurso digital complementario de inicio de esta unidad para activar las ideas previas y motivar los nuevos contenidos. Planifique una actividad donde el estudiante deberá determinar los elementos de los polígonos, clasificar triángulos y cuadriláteros según la medida de sus lados, cal-

96

Unidad 3 Geometría

Posibles dificultades En el trabajo con el número π se sugiere expresarlo como constante al calcular el área o el perímetro. Por ejemplo; si se pide calcular el área de un círculo de radio 2, basta con que los alumnos determinen que es 4 π. Generalmente se utiliza la aproximación de π como 3,14 pero no es necesario que se profundice en que es un número irracional que tiene infinitos decimales porque es posible que esta información no sea relevante para el alumno, ya que no la utilizará al resolver los problemas propuestos. Actividades Nivel 1

Solicite a sus estudiantes que expliquen el postulado que aparece a continuación y que lo muestren a partir de su construcción. Pídales que investiguen sobre el V postulado de Euclides y que expongan al menos uno de sus corolarios.

“El primer postulado de Euclides permite la construcción de la recta una vez conocida su definición, presupone que nuestra regla es tan larga como deseamos, de modo que podemos trazar la recta determinada por dos puntos dados cualesquiera”. Fuente: Liliana Eva Siñeriz. Los griegos, la heurística, la regla y el compás. Nivel 2

A continuación se indica el nombre de aquellas personas que inventaron instrumentos de medición que utilizamos en la actualidad.

Regla graduada: Pierre Vernier era un matemático francés que inventó instrumentos de medida de gran precisión, como lo es la regla graduada. Compás: los chinos, alrededor del año 2400 a. C., crearon el compás, el que luego fue llevado hasta otros lugares del mundo, como Grecia, para la representación de teoremas geométricos. La escuadra: a Pitágoras se le atribuye la invención de la escuadra, gracias a su trío pitagórico, que era utilizado para construcciones, mediciones, etc . Consulte lo siguiente: a. ¿Cuál es la utilidad de una regla graduada? b. ¿Cuál es la utilidad del compás? c. ¿Para qué sirve una escuadra? ¿Cuáles son sus características?

Sección

6

»

»


Polígonos

Componentes Texto del estudiante páginas 178 y 179. Propósito • Analizar y descubrir relaciones de ángulos interiores y exteriores de un polígono. • Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios.

3


»

Componentes Texto del estudiante páginas 180 y 181. Propósito Recordar conocimientos previos y prerrequisitos de la sección.

Orientaciones didácticas Inicio de sección

Esta sección está compuesta por dos lecciones. Cada una de ellas presenta un propósito, basado en los objetivos de aprendizaje, que se explicita a través de una pregunta. En la lección 26 se presentan dos situaciones, una para que los y las estudiantes deduzcan la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono a través de la triangulación de este y otra para que deduzcan la suma de los ángulos exteriores de un polígono a través de un trabajo concreto. En la lección 27 se presentan tres situaciones, cada una de ellas modela el razonamiento para deducir las expresiones que permiten calcular el área de un triángulo, un paralelogramo y un trapecio. Todas ellas están basadas en descomponer cada polígono para formar un rectángulo, del cual conocemos previamente su área. Tanto las situaciones presentadas en cada lección como las actividades presentes están enfocadas en los indicadores de evaluación propuestos para estos aprendizajes y declarados al inicio de esta unidad. En esta sección se incorpora el modelamiento algebraico para representar la medida de los ángulos interiores de un polígono o para calcular el área de triángulos, paralelogramos y trapecios, contenidos que fueron abordados de manera intuitiva en 5°. Básico y que ahora son formalizados. En la sección Pienso mis procesos guíe el razonamiento preguntándoles ¿Qué tipo de figura 2D compone el panal? ¿Por qué se utiliza ésta y no otra para la construcción de esta estructura? Puede mostrarles domos geodésicos para que observen cómo las diferentes disposiciones de los triángulos pueden formar una estructura curva, al igual que el panal.” El recurso digital complementario tiene como propósito activar las ideas previas determinando los el ementos de los polígono, clasificando triángulos y cuadriláteros según la medida de sus lados, calculando el área y perímetro de figuras planas, y ubicando puntos en el plano cartesiano.

Se sugiere realizar las actividades de estas páginas para detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos en sus estudiantes. A continuación se presenta un resumen con los indicadores involucrados en las actividades y sus posibles remediales. Indicador

Identificar polígonos y sus elementos. Medir y estimar ángulos. Clasificar cuadriláteros y triángulos y calcular sus áreas en cuadrículas.

Pregunta

Remedial

1y2

Recuerde los elementos principales de un polígono, y su clasificación.

3y4

Recordar la medición de ángulos con transportador, la estimación de su medida.

5y6

Recuerde cómo calcular áreas de rectángulos y cuadrados de manera que el cálculo del área a partir de una cuadrícula, sea factible.

Utilice las actividades que aparecen a continuación como refuerzo de estos indicadores de evaluación. Actividades sugeridas Nivel 1

Dadas las siguientes características, determina el nombre del polígono descrito. a. Tiene tres lados y sus ángulos interiores son agudos. b. Tiene cuatro lados y sus ángulos opuestos son obtusos o agudos. c. Tiene cinco lados y sus ángulos opuestos son congruentes y pueden ser obtusos o agudos d. Tiene cuatro diagonales desde un vértice y dos de sus ángulos interiores son obtusos.


97


Errores frecuentes

Nivel 2

Determina si los procedimientos descritos son los correctos para calcular el área de las figuras en las cuadrículas. Justifica tu procedimiento.

Cuando los estudiantes no recuerdan la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, hacen el dibujo de la figura y trazan los triángulos que se forman en su interior, los que no necesariamente corresponden a los que se forman a partir de las diagonales desde un vértice. Por esto es muy necesario que refuerce la idea de los triángulos mostrándoles el error que pueden cometer al hacerlo de cualquier forma.

a. Para calcular el área del triángulo, calculamos el área del rectángulo y luego dividimos en dos el resultado.


b. Para calcular el área del romboide, podemos trasladar la sección a de dicho cuadrilátero al otro extremo y calcular el área como si fuera un rectángulo.

Nivel 1

Calcula la medida de un ángulo exterior de cada polígono. a. Triángulo equilátero b. Rectángulo c. Hexágono regular d. Octágono regular.

a c. Para calcular el área del trapecio rectángulo, podemos duplicarlo, rotarlo en 180° y calcular su área cómo si fuera un rectángulo.

Nivel 2

Completa con las palabras todo, ningún o algún de acuerdo a las proposiciones presentadas. a. En cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es 360°. b. En pentágono cada ángulo interior mide 108°. c. En polígono la suma de sus ángulos exteriores es 180°. d. En hexágono la suma de sus ángulos interiores es de 720°.

Lección 26: ¿Cuánto suman los ángulos interiores

y exteriores de un polígono? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 182 a 185. Cuaderno de ejercicios páginas 80 y 81. Propósito Analizar y descubrir relaciones de ángulos interiores y exteriores de un polígono.

Lección 27: ¿Cómo calcular el área de algunos

polígonos? »

Orientaciones didácticas »

Oriente el razonamiento preguntando ¿cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ¿Por qué se multiplica por 180° la cantidad de triángulos que se forman en un polígono al trazar las diagonales desde un vérti ce? Consúlteles sobre el procedimiento que realizan para calcular la medida de un ángulo interior (en polígonos regulares) y así deducir la fórmula. Para la suma de los ángulos exteriores, dibuje en una cartulina un polígono y trace sus respectivos ángulos exteriores, recórtelos en presencia de sus estudiantes y luego júntelos para que observen que la figura que se forma es un círculo o un ángulo completo y establezcan que la suma de dichos ángulos es 360°. Sugiera que ellos hagan la prueba con otros polígonos.

98

Unidad 3 Geometría

Componentes Texto del estudiante páginas 186 y 191. Cuaderno de ejercicios páginas 82 y 83. Propósito Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios.

Orientaciones didácticas Como este contenido ya ha sido abordado por los estudiantes en cursos anteriores, recuerde la deducción de las fórmulas, preguntando: Si el rectángulo se divide en figuras congruentes trazando una de sus diagonales, ¿qué polígonos se forman? ¿Cómo calcularías el área de un triángulo a par tir del área del rectángulo?

3 Importante es señalar que no en todos los paralelogramos se calcula su área multiplicando la base por la altura; un caso especial es el rombo, cuya área se calcula dividiendo por dos el producto de sus diagonales. Muestre esta fórmula descomponiendo la figura tal como lo presenta el libro en sus páginas de práctica guiada.

Mural: Viaducto de Malleco »

»

Errores frecuentes Los estudiantes suelen cometer errores en el cálculo de área de triángulos, trapecio y rombos si la explicación de porqué se divide en dos el resultado de multiplicar la base por la altura no es significativa. Por ello, se sugiere que recuerde a sus estudiantes cómo deducir dichas fórmulas a partir del cuadrado o rectángulo. Luego, utilizar la fórmula para calcular alturas y bases dadas las áreas de los polígonos abordados, ya que el objetivo de la sección es que los estudiantes las apliquen.

Componentes Texto del estudiante páginas 192 y 193. Propósito Conectar los polígonos y sus elementos en estructuras de ingeniería esenciales en la vida cotidiana.

Orientaciones didácticas Es muy importante que los estudiantes identifiquen la información que tienen antes de poner en ejecución los procedimientos de cálculo, de forma que puedan ordenar los datos y obtener una respuesta correcta.

Link de interés Para mayor información del viaducto Malleco, puede visitar la página http://codigos.auladigital.cl e ingresar el código GM7P095.

Actividades sugeridas Nivel 1

Calcula lo pedido. a. Triángulo de base 3 cm y área 15 cm 2. Calcula su altura. b. Rombo cuya diagonal menor mide 5 cm y su área mide 20 cm2. Calcula la diagonal mayor. c. Trapecio rectángulo cuya altura mide 3 cm, su base mayor mide 4 cm y su área mide 10,5 cm 2. Calcular la medida de la base menor. Nivel 2

Resuelve el siguiente problema. En una mueblería se presenta el siguiente artículo: “mesa escolar trapezoidal con cubierta fabricada con melamina en color a elegir. Medidas: 120 cm de frente por 80 cm de fondo por 80 cm de alto ”. Miguel necesita comprar mesas para la sala de estudio y necesita una que su superficie mida como mínimo 7000 cm 2. ¿Le servirá la mesa que se ofrece en la mueblería?

Habilidades La habilidad que se encuentra en juego en esta actividad es la de usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de la vida diaria. »

Actitudes Esta actividad busca resaltar en los estudiantes una actitud crítica al evaluar las evidencias e informaciones matemáticas y también al valorar el aporte de los datos cuantitativos en la comprensión de la realidad social. »


99



Describe el procedimiento que debes realizar para calcular el área de la figura de color gris oscuro, considerando que el lado de cada cuadrado mide 1 cm. a.

b.

Nivel 2

Calcula el área de cada polígono inserto en el tangrama. Suma las áreas anteriores, ¿coinciden con el área del cuadrado en el cual están insertos? ¿Qué relación existe entre las áreas de los distintos triángulos y cuadriláteros? Menciona al menos 2.

gulos interiores. En los primeros ejercicios de aplicación de esta fórmula es necesario mostrar al estudiante cuál es el sentido de este tipo de ejercicio. Es usual que el estudiante más concreto, crea necesario medir el ángulo faltante con un transportador, obteniendo una respuesta cercana, pero no correcta. Los problemas relacionados con el segundo indicador, los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar las fórmulas de cálculo de área, lo que puede ser resultado de una mala visualización de los conceptos geométricos en la figura. Se recomienda repasar la fórmula y su uso, mostrando las diversas maneras de enfrentarse a un mismo problema, por ejemplo, que para calcular el área de un triángulo se debe conocer la base y la altura que llega este base y no cualquier altura. Así mismo, provocar en el estudiante la necesidad de verificar si el resultado obtenido es razonable o no, con respecto a los datos del problema. Actividades sugeridas Nivel 1 1. Encuentra la medida de un ángulo interior en un

120 mm

nonágono o eneágono regular. 2. La altura de un trapecio es de 5 cm y una de sus bases mide 3 cm. Si su área es 10 cm 2, ¿cuánto mide su otra base?

m m 0 6 m m 0 m 2 1 m 0 3

Nivel 2

La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y su diagonal menor mide 3 cm. Si su base mide 5 cm, ¿cuánto mide su altura?

m m 0 3

30 mm 30 mm

60 mm


¿Cómo voy? »

»


Orientaciones didácticas Tenga en consideración, para las actividades del primer indicador, que cuando los estudiantes se enfrentan a un problema en el que se da la medida de todos los ángulos interiores de un polígono, excepto uno, el cual debe ser encontrado, no creen necesario hallar la suma de los án-

100

Unidad 3 Geometría

»

Componentes Texto del estudiante páginas 196 y 197. Cuaderno de ejercicios páginas 86 y 87. Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.


Para aplicar la estrategia propuesta el estudiante debe tener un buen dominio para plantear ecuaciones y valorizar expresiones algebraicas. Se espera que resuelva la situación planteada expresando una ecuación a partir de la fórmula propuesta para calcular el área de figuras evaluando los términos conocidos y despejando el valor que permita encontrar la solución de dicho problema.

3 Errores frecuentes

Nivel 2

Suelen tener dificultades para establecer la igualdad dada el área de la figura. Para ello se recomienda que se ejemplifique mediante algún problema análogo para que los y las estudiantes puedan idear un paso a paso con la estrategia de resolver el problema por medio de una ecuación.

Resuelve el siguiente problema. a. El área de un trapecio de bases 6 cm y 8 cm, es igual al área de un paralelogramo de base 4 cm y altura 7 cm. ¿Cuál es la medida de la altura del trapecio? b. Calcula la medida del ángulo que aparece en la imagen, sabiendo que el polígono es un hexágono regular.

Actividades sugeridas x

Nivel 1 1. Encuentra la medida del ángulo x en cada polígono

que se muestra a continuación. a.

120º 95º x 110º

c. Se debe encerar una cancha de básquetbol dejando libre el espacio denominado “zona” (trapecio), ya que está recién pintado. Si la persona encargada de encerar cobra $ 3000 por metro cuadrado, ¿cuánto dinero debiera cobrar por encerar la cancha?

x

Zona

b.

120º

75º

x

2. Resuelve los siguientes problemas.

a. La medida de un ángulo interior de un polígono regular es 162°. ¿Cómo se llama el polígono regular? b. El área de un polígono regular es de 30 cm 2 y su altura mide 5 cm. Si la medida de uno de sus ángulos interiores es 60°, ¿cuál es la medida de su perímetro?

m 6 , 3

m 8 2

1,8 m Zona 4m

6m 15 m


101


Sección

7

»

»

Círculo y circunferencia

Componentes Texto del estudiante páginas 198 y 199. Propósito • Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugar geométrico. • Identificar los elementos del círculo. • Estimar el perímetro de un círculo. • Estimar el área de un círculo.

Inicio de sección

En la vida cotidiana se suelen utilizar erróneamente algunos conceptos de la matemática, particularmente de la geometría. Uno de ellos es el círculo. Cuando preguntamos a un niño que nos muestre un círculo, probablemente indicará una pelota o un ula-ula, siendo elementos que representan la esfera y la circunferencia, respectivamente. Atendiendo a esta impresión es que se busca que el estudiante logre establecer propiedades geométricas inherentes a cada figura desde lo cotidiano. La circunferencia y el círculo son figuras geométricas distintas que usualmente son confundidas. Para calcular el perímetro y el área de un círculo, es necesario introducir el número Pi ( π ). El estudio de estos lugares geométricos da pie para trabajar con aspectos de la vida cotidiana, como el planteado en la motivación de esta Sección, donde el círculo aparece como la solución más óptima a un problema de riego. Los y las estudiantes abordarán por primera vez, de manera formal, los conceptos de círculo y circunferencia, así como sus elementos a través de talleres grupales donde se orienta el razonamiento para que los propios estudiantes deduzcan también cómo estimar el perí metro de un círculo. También conocerán y aplicarán el procedimiento utilizado para calcular el área de un círculo a través del modelamiento de pasos para resolver situaciones que generan la necesidad de este cálculo. Por ello es muy importante que el dominio de las operaciones con números decimales se encuentre afianzado para que no sea un inconveniente para el desarrollo de las actividades. Para guiar el razonamiento en la sección Pienso mis procesos, pregúnteles: ¿Qué sucedería con el funcionamiento de una rueda si los rayos fueran de distinto tamaño? ¿Qué forma se genera al girar el segundero de un reloj?

102


Unidad 3 Geometría


»

Componentes Texto del estudiante páginas 200 y 201. Propósito Evaluar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos de la sección.


En las actividades de estas páginas aparece como primer indicador caracterizar números decimales debido a la introducción del número Pi. Este número, de carácter irracional, debe ser aproximado para su utilización, o bien, ser trabajado desde la manipulación algebraica de expresiones. De acuerdo a los resultados de sus estudiantes utilice los remediales que aparecen en la tabla de resumen que se presenta a continuación: Indicador

Pregunta

Remedial

Identificar números 1, 2 y 3 decimales. Calcular áreas y pe4, 5, 6, 7 rímetros de figuras y8 geométricas.

Puede utilizar las actividades sugeridas de nivel 1. Puede utilizar las actividades sugeridas de nivel 2.


Calcula las multiplicaciones y aproxima el resultado a la decena más próxima. a. 3,14 • 6

c. 15,31 • 6

b. 123 • 3,14

d. 3,1416 • 6

Nivel 2

Calcula el área ennegrecida. a. Cuadrado de 4 cm de lado b. El lado del cuadrado mayor mide 6. El lado del cuadrado menor, mide 4 cm. c. Rectángulo cuyo ancho mide 3 cm y cuyo largo mide 10 cm.

3


Lección 28: ¿Qué son una circunferencia y un

Lección 29: ¿Cuáles son los elementos del

círculo? »

»

círculo?

Componentes Texto del estudiante páginas 202 y 203. Cuaderno de ejercicios página 88. Propósito Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.

Orientaciones didácticas Haga hincapié en que el círculo y la circunferencia son lugares geométricos, es decir cada uno es un conjunto de puntos de cumplen determinadas propiedades geométricas. Existen otros ejemplos de lugares geométricos como la mediatriz de un segmento que corresponde a los puntos del plano que equidistan de los extremos de este.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen confundir ambos conceptos o utilizarlos de forma errada. Busque algunas estrategias que puedan afianzarlos, por ejemplo, relacionando el círculo con una superficie y la circunferencia con una línea curva. Actividades sugeridas Nivel 1

Escribe círculo o circunferencia de acuerdo a lo que representa cada objeto. a. Una argolla de matrimonio. b. Un posavasos redondo. c. Un hula-hop. d. Un disco de vinilo.

.

»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 204 y 205. Cuaderno de ejercicios página 89. Propósito Identificar los elementos del círculo.

Orientaciones didácticas Es muy importante que los estudiantes apliquen los conceptos y sus definiciones, ya que en el futuro deberán utilizarlos para abordar contenidos más específicos con respecto al círculo y la circunferencia, como por ejemplo, la proporcionalidad en el círculo y los teoremas de cuerdas, tangentes y secantes en la circunferencia. Comprender que el radio tiene una medida que no varía, independiente de donde se dibuje en el círculo, o que la cuerda que pasa por el centro del círculo corresponde al diámetro, son ejemplos del manejo que los estudiantes deben tener para el nivel. También establecer la relación entre diámetro y radio de forma bidireccional, les permitirá no tener dificultades con el cálculo de perímetros y área. Puede incorporar al contenido otros elementos del círculo como lo son: arco, cuerda, sección del círculo, entre otros, utilizando las siguientes definiciones: Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco. Ángulo del centro: es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella. Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas. Por otra parte, haga hincapié en que tanto el radio como el diámetro no son una longitud en sí mismas sino que poseen una medida.

Nivel 2

Analiza si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tus respuestas. a.

Es posible trazar la circunferencia de un círculo y pintar el círculo de una circunferencia.

b.

El círculo es una línea curva y la circunferencia una superficie.

c.

Al trazar el contorno de una moneda, estoy dibujando su circunferencia.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen identificar incorrectamente el radio o el diámetro del círculo cometiendo errores como los que se dibujan.

Diámetro Radio


103



Actividades sugeridas Nivel 1 1. Analiza si las siguientes proposiciones son correc-

tas. Justifica tu respuesta:

La medida del diámetro es el doble de la medida del radio. b. El segundero del reloj puede considerarse como el radio del círculo del reloj. c. El diámetro siempre pasa por el centro del círculo. a.

Nivel 2

Puede abordar la historia del número pi, señalando el aporte que hicieron los matemáticos de distintas regiones del mundo y en distintos períodos, por ejemplo, el inglés Oughtred (1574-1660) quien decidió denominar con la letra griega π a este número, utilizando la primera letra del nombre con que los griegos bautizaron este número περιφερια, que significa periferia. Fuente: Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi: de la Geometría al Cálculo Numérico. Instituto Superior de Formación del Profesorado. Ministerio de Educación y Ciencia, Madrid, España. Actividades sugeridas Nivel 1

2. En la figura, la circunferencia de centro P tiene radio

4 cm; la circunferencia de centro O tiene diámetro 6 cm y el radio de la menor es la mitad del radio de la mayor. Si las tres circunferencias son tangentes entre sí (se tocan en un solo punto), ¿cuál es el perímetro del triángulo ORP?

Calcula la longitud aproximada de una circunferencia, dadas las siguientes medidas: a. Radio 3 cm. b. Diámetro 9 cm. c. Radio es un cuarto de 12 cm. Nivel 2 Actividad de conexión: Lenguaje y Comunicación

P O R

Lección 30: ¿Cómo estimar el perímetro de un

círculo? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 206 a 209. Cuaderno de ejercicios páginas 90 y 91. Propósito Estimar el perímetro de un círculo.

Orientaciones didácticas La lección se llama estimación del perímetro de un círculo y no cálculo, porque se utiliza una aproximación de π, por lo tanto el perímetro será un valor no exacto. Si bien π es un número que tiene infinitas cifras decimales que nunca se repiten, su cálculo se puede expresar como la constante que relaciona el perímetro P con la medida de la longitud P . Se recomienda explicar el de su diámetro d, es decir, π = _ d por qué del signo ≈ utilizado dar el valor de π en las actividades, iniciando con preguntas como ¿por qué crees que no utilizas el signo = en el valor de π?

104

Unidad 3 Geometría

En el cuento llamado el Principito, de Antoine de Saint-Exupéry, su protagonista vive en una asteroide que mide cerca de 700 π m de circunferencia en su parte más ancha. Si el Principito da una vuelta completa al asteroide en este sector, sus pies habrán recorrido una longitud distinta a la que ha recorrido su cabeza debido a su altura. Si el Principito mide 1,2 metros, ¿cuál es la diferencia entre la medida de la longitud recorrida por su cabeza y la recorrida por sus pies?

3


Lección 31: ¿Cómo estimar el área de un círculo? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 210 a 213. Cuaderno de ejercicios páginas 92 y 93. Propósito Estimar el área de un círculo.

Mural: Ilusiones ópticas »

»

Orientaciones didácticas Señale lo que es inscribir o circunscribir una figura 2D a otra. Por ejemplo, un cuadrado está inscrito en una circunferencia cuando el cuadrado está en el interior y sus vértices se encuentran sobre la circunferencia. Cuando está circunscrito, el cuadrado esta fuera del círculo y sus vértices no pertenecen a la circunferencia.

Errores frecuentes Los y las estudiantes pueden cometer errores al calcular el área de un círculo olvidando elevar al cuadrado o en vez de elevar al cuadrado multiplicar por dos. Hacer hincapié en que las operaciones de elevar al cuadrado y multiplicar por 2 no son equivalentes y solo se obtiene el mismo resultado con el 2. Se recomienda ejemplificar. Actividades sugeridas Nivel 1 1. Calcula el área aproximada.

a. Círculo de radio 6 cm. b. Círculo de diámetro 7 cm. c. Plato con forma circular con un diámetro de 20 cm. 2. Un círculo tiene un área de 225 π cm 2. ¿Cuál es la

Componentes Texto del estudiante páginas 214 y 215. Propósito Reconocer en el arte y en las estructuras artísticas los conceptos vistos en la sección.

Orientaciones didácticas El Op-art es una corriente artística que juega con las formas y los colores para crear “espejismos” ópticos donde se puede observar un movimiento aparente de las figuras gracias a los colores, tamaños y disposiciones de estas. Puede recomendar a sus estudiantes algunos artistas íconos de esta manera de hacer arte como lo son Victor Vasarely o Bridget Riley. Habilidades Una de las habilidades que se encuentran en juego en esta actividad son las de argumentar y comunicar, describiendo relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos. Actitudes La actitud que busca resaltar esta actividad en los y las estudiantes es la de valorar el aporte de la Matemática en la comprensión de la realidad social. »

»

Actividades de conexión: Arquitectura y Arte Nivel 1

Millennium Wheel es una construcción ubicada en Londres que permite ver la ciudad sin problemas gracias a su forma y altura.

medida de su diámetro? Nivel 2 Actividad de conexión: Historia de la Matemática

Presénteles a sus estudiantes el problema 50 del papiro de Rhind sobre el área de un círculo y luego pídales que ellos lo resuelvan con los procedimientos aprendidos en la sección.

“Ejemplo de un campo redondo de diámetro 9 khet (medida de longitud utilizada en Egipto). ¿Cuál es el 1 del diámetro, el resto es área? La solución es tomar _ 9 8. Multiplicar 8 veces 8; son 64. Por lo tanto, contiene 64 setat (medida de área utilizada en Egipto) de tierra”. ¿Por qué piensas que calculaban el área de un círculo de esa manera? ¿Qué relación tiene con el cálculo que realizaste tú?

Indica qué conceptos de los abordados durante la lección puedes identificar en esta estructura.


105


Nivel 2

El Op-art es un movimiento artístico que produce gracias a efectos cromáticos la ilusión de vibración o movimiento en la superficie del cuadro. Utilice esta imagen u otras que pueda proyectar de la página http://codigos.auladigital.cl ingresando el código GM7P102. Luego, realice las siguientes preguntas:


»

Componentes Texto del estudiante páginas 218 y 219 Cuaderno de ejercicios páginas 96 y 97. Propósito Aplicar los aprendizajes de la sección en la resolución de problemas. Instancia de síntesis y reflexión.


a. ¿Qué figuras se han dibujado para llevar a cabo la obra de arte? b. ¿Qué efecto genera para el que ve la obra?

»

»

La estrategia utilizada apunta a la lectura comprensiva del enunciado del problema. La idea es que el estudiante pueda hacer patente la información que aporta el relato y que pueda discriminar entre la información que es relevante de la que no lo es. Puede, además, señalar la historia que tiene este famoso reloj, cuyo mecanismo fue construido en la fábrica Favag de la ciudad de Neuchâtel, Suiza. Fue comprado en el año 1962, con el motivo de embellecer la ciudad de Viña del Mar, ya que Chile en ese año era sede del mundial de fútbol.

¿Cómo voy?

Errores frecuentes

Componentes Texto del estudiante páginas 216 y 217 Cuaderno de ejercicios páginas 94 y 95. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección.

Si bien los estudiantes ya conocen la relación entre diámetro y radio, es bueno que las relaciones para calcular el perímetro del círculo sean aclaradas al comienzo de cualquier actividad: P = d • π o bien P = 2 • r • π. Esto evitará que existan errores del tipo P = 2 • d • π. Actividades sugeridas

Orientaciones didácticas Al introducir el número π se invita al estudiante a trabajar con un número que puede ser escrito a partir de un símbolo, que lo representa en su totalidad, o bien a través de aproximaciones de este. Esta condición es una característica de los números irracionales, conjunto numérico con el que los estudiantes no están familiarizados, lo que les dificultará la comprensión de esta nueva forma de escribir números. La idea de presentar el cálculo del perímetro de un círculo a partir de la noción de razón y de una fórmula, abre alternativas al estudiante que lo invitarán a tomar una decisión. Oriente dicha decisión. El cálculo de área de círculos como contenido aislado no tiene tanta relevancia como su combinación con el cálculo de áreas de otras figuras. Los estudiantes tendrán dificultades en resolver problemas que presenten la composición de una figura a partir de otras. Es importante comenzar este trabajo con problemas simples y luego aumentar la dificultad para un buen entendimiento de este nuevo concepto.

106

Unidad 3 Geometría

Nivel 1

¿Cuál será la superficie que ocupan las flores del reloj de Viña del Mar si la medida de las manecillas del segundero es de 1,5 metros aproximadamente, del centro hasta la punta? Nivel 2 1. De un cuadrado de lado 50 cm, Eliseo quiere cor-

tar un círculo inscrito en él y utilizar como marco el papel que quede sin dicho círculo. ¿Cuál será la superficie del marco y cuál debe ser como máximo la medida de la longitud que debe tener la ilustración de Eliseo para que calce con el marco del papel? 2. Si el radio de un círculo es aumentado al triple,

¿cuánto aumenta su área? Y si su radio es disminuido a la mitad, ¿cuánto disminuye el área? Generaliza tu resultado para factores de aumento y disminución.

3 Sección

8

»

»

Componentes Texto del estudiante páginas 220 y 221. Propósito • Construir rectas perpendiculares y paralelas. • Construir bisectrices y alturas. • Construir transversales de gravedad y simetrales de un triángulo. • Construir la circunferencia circunscrita e inscrita. • Construir triángulos congruentes. • Construir cuadriláteros congruentes.

Inicio de sección

Las lecciones están trabajadas en talleres y modelamientos a través de pasos debido al carácter procedimental de las construcciones, pero también se propone reflexionar, en un trabajo colaborativo, acerca de las características y propiedades de las rectas construidas y su influencia en la resolución de problemas. Durante el inicio de la unidad se presentó el compás como instrumento de construcción, comente que, en Grecia, la manera que se tenía para mostrar muchos de los teoremas, era justamente utilizando regla y compás y que es por ello que cuando se habla de construcciones geométricas se entiende que deben estar presentes dichos instrumentos. Los y las estudiantes abordarán por primera vez las rectas notables del triángulo; no así el trabajo de construcción, ya que este comenzó el sexto básico con la construcción de diferentes tipos de ángulos. También debe considerar el trabajo con software computacionales, como GeoGebra, ya que las construcciones y regularidades necesitan de la precisión y el dinamismo que estos aportan. ¿Qué debo saber? »

»


Construcciones geométricas

Componentes Texto del estudiante páginas 222 y 223. Propósito Detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos.

Orientaciones didácticas A continuación se presenta un resumen con los indicadores involucrados en las actividades y sus posibles remediales o actividades de refuerzo.

Indicador

Pregunta

Medir y clasificar ángulos. 1y2 Identificar rectas paralelas y perpendiculares.

3

Clasificar triángulos y cuadriláteros.

4y5

Identificar figuras congruentes.

6

Remedial

Recordar la clasificación de ángulos según su medida.. Puede realizar la actividad sugerida de nivel 1. Puede realizar la actividad sugerida 1 de nivel 2. Puede realizar la actividad sugerida 2 de nivel 2.

Actividades sugeridas Nivel 1 1. A partir de la figura determina si las siguientes rec-

tas son //, ⊥ o secantes, según corresponda: L1 L2

L3 L4 a. L1 y L3

b. L2 y L3

c. L4 y L3

d. L4 y L1

Nivel 2 1. Determina el nombre del triángulo o cuadrilátero

dadas sus características: a. Triángulo de lados congruentes entre sí. b. Triángulo cuyos lados tienen distintas longitudes y uno de sus ángulos mide 90°. c. Triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos lados de igual medida. d. Cuadrilátero cuyos lados son congruentes y sus ángulos interiores son obtusos y agudos. e. Cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y sus ángulos miden 90°. 2. Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. Todos los triángulos equiláteros son congruentes. b. Si las longitudes de los lados de dos cuadriláteros son iguales, entonces los cuadriláteros son congruentes.


107


Lección 32: ¿Cómo construir rectas perpendicula-

»

»

O


c.

Para las construcciones es necesario que aclare a sus estudiantes el concepto de arco. Explíqueles qué es lo que se traza con un compás cuando no se dibuja una circunferencia completa. Puede también señalar cuál es su notación, AB, que se lee "arco AB".

Nivel 2

Link de interés Para mayor información acerca de las posibles dificultades en la construcciones geométricas puede visitar la página: http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P104

b.

Lección 33: ¿Cómo construir bisectrices y alturas? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 228 a 231. Cuaderno de ejercicios páginas 100 y 101. Propósito Construir bisectrices y alturas.

Orientaciones didácticas Es importante que trabaje en distintos tipos de triángulos las construcciones de las alturas para que los estudiantes puedan identificar por medio del trabajo práctico, qué sucede con el ortocentro; sobre todo para el caso del triángulo rectángulo y del obtusángulo. También es importante que señale a sus estudiantes que la bisectriz se puede trazar en cualquier ángulo. Desde esta sección, e incluso desde la anterior, es importante que los estudiantes comprendan la diferencia entre dibujar y construir, entendiendo este último como una actividad que exige una compleja actividad cognitiva.

Errores frecuentes


Verifica con regla y compás si las siguientes rectas son perpendiculares o paralelas.

Unidad 3 Geometría

G

a.

Luisa Rodríguez, en su publicación "Construcciones: ¿solo con regla y compás?", en actas del 3.° congreso uruguayo de educación matemática 2011, explicita algunos de los obstáculos que pueden tener los estudiantes en las construcciones geométricas: • Existen distintas interpretaciones posibles de un dibu jo, pero solo unas pocas se relacionan con la figura a la que se refiere el problema. • El abuso de las posiciones prototípicas. • La necesidad de cambios de puntos de vista entra en conflicto con la globalidad en la presentación de la información que caracteriza a un diagrama. • La necesidad de considerar elementos no dibujados. El segundo punto es el que genera mayores dificultades en la correcta construcción de rectas paralelas o perpendiculares, por ello haga ejemplos de rectas que no sean solo horizontales o verticales.

108

M

Construye las rectas paralelas y/o perpendiculares en las siguientes figuras para completar los lados que faltan en las imágenes.

Errores frecuentes

C

F N


A

R

Q

Propósito Construir rectas perpendiculares y paralelas.

a.

P

b.

res y paralelas?

B D

Los mayores errores pueden darse cuando los estudiantes no saben distinguir entre tipos de triángulos, por lo que se les dificulta las características del ortocentro o incluso la misma construcción de las alturas, sobre todo cuando el triángulo es obtusángulo. Por ello, evite dar ejemplos utilizando siempre triángulos acutángulos.

3 b. Si un triángulo tiene marcados los puntos medios de sus lados, ¿cómo se pueden trazar sus transversales y simetrales con esta información? c. ¿Las simetrales pueden pasar por los vértices de un triángulo? Argumenta tu respuesta.


Responde. Si se tiene un triángulo isósceles y se quiere dividir por la mitad a partir de uno de sus vértices, ¿cuál de las construcciones sirve para cada vértice y por qué?

Nivel 2

Dibuja un triángulo equilátero y sobre este traza alturas, bisectrices, simetrales y transversales de cada lado. Concluye qué ocurre con cada elemento.

Nivel 2

Construye el objeto geométrico que permite saber si los triángulos que se muestran tienen la misma área o no, sabiendo que la medida de su base es la misma.

Lección 35: ¿Cómo construir una circunferencia

circunscrita y una inscrita? »

Lección 34: ¿Cómo construir transversales de

gravedad y simetrales? » »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 232 a 235. Cuaderno de ejercicios páginas 103 y 103. Propósito Construir transversales de gravedad y simetrales de un triángulo.

Orientaciones didácticas Haga ver a sus estudiantes que las construcciones aprendidas en la primera lección sirven ahora como herramienta para la construcción de simetrales y transversales, evidenciando el trabajo en espiral de los contenidos abordados en nuestra disciplina, ya que en el fondo, los estudiantes deben aplicar el procedimiento para construir rectas perpendiculares para la construcción de simetrales y transversales.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen confundir estas construcciones debido a la semejanza que hay entre ellas. Por eso, es muy importante que refuerce el concepto y las características de cada una, haciendo hincapié en que las simetrales son perpendiculares al punto medio y las transversales no lo son. Actividades sugeridas Nivel 1

Responde las siguientes preguntas. a. En un triángulo cualquiera, si se traza la transversal de gravedad desde cualquiera de sus lados, ¿resultan siempre dos triángulos de igual área?

Componentes Texto del estudiante páginas 236 a 239. Cuaderno de ejercicios páginas 104 y 105. Propósito Construir circunferencias circunscritas e inscritas.

Orientaciones didácticas Los y las estudiantes ya saben construir simetrales y bisectrices, de modo que el trabajo en GeoGebra debiera facilitarse a partir de las herramientas con que cuenta el programa para la construcción del incentro y del circuncentro. Hágales ver qué puntos tocan la circunferencia inscrita y circunscrita en el triángulo explicándoles el concepto de punto tangente en el caso de la primera.

Información complementaria El teorema de los Nueve Puntos sirve para diferenciar entre circunferencias inscritas o circunscritas y las que no son ninguna de estas. Consiste en la circunferencia de Feuerbach, donde los puntos medios de los tres lados de un triángulo, los puntos medios de las rectas que van del ortocentro a los tres vértices y los pies de las alturas quedan en la misma circunferencia (contando los puntos, son 9).

Link de interés Para más información acerca del teorema anterior visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P105.


Proponga a sus estudiantes que tracen un triángulo con tiza en el patio del colegio y que dibujen las simetrales utilizando una huincha de medir, regla y transportador. Luego marcar el circuncentro y comprobar que dicho centro equidista de los vértices del triángulo, midiendo sus longitudes.


109


Nivel 2


Se quiere ubicar una banca en el punto medio del camino que une cada par de árboles de la figura. Además, cada una de ellas debe equidistar de una fuente que se ubicará en el centro del triángulo que forman los tres árboles. Determina la ubicación que debieran tener tanto las bancas como la fuente que se quiere construir.

Nivel 1

A partir de un triángulo equilátero de lado 3 cm, construye un hexágono regular copiando dicho triángulo en los lados que te permitan formar dicho polígono. Nivel 2

A partir de un triángulo rectángulo, desarrolla un procedimiento para construir un cuadrado y explícalo. Lección 37: ¿Cómo construir cuadriláteros con-

gruentes? »

»

Lección 36: ¿Cómo construir triángulos congruen-

tes? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 240 a 243. Cuaderno de ejercicios páginas 106 y 107. Recurso complementario digital: Construcción de triángulos congruentes. Propósito Construir triángulos congruentes.


R

c

s o

u r

c

e

d i g

i t a

l

o


o

Orientaciones didácticas Oriente; ¿Recuerdas el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión y la rotación? ¿Cómo se construye un triángulo? ¿Qué información es necesaria para construirlo? El concepto de figuras congruentes ya es conocido por los estudiantes desde quinto básico, además de saber construir triángulos en el nivel de sexto básico. Para ello refuerce los tipos de isometrías preguntado: ¿qué movimiento se utilizó para obtener la otra figura? Utilice la actividad del recurso digital de esta unidad para complementar la construcción de triángulos congruentes, identificando las condiciones geométricas que permiten la construcción de un triángulo.

Errores frecuentes Para que los estudiantes no tengan dificultad en distinguir la información mínima que necesitan conocer para saber si es posible construir o no un triángulo, plantéeles variados ejercicios, proponiendo entre ellos la construcción de un triángulo conociendo solo dos medidas, o la construcción de uno en que no se cumpla la desigualdad triangular.

110

Unidad 3 Geometría

Componentes Texto del estudiante páginas 244 a 247. Cuaderno de ejercicios páginas 108 y 109. Propósito Construir cuadriláteros congruentes.

Recuerde a sus estudiantes los tipos de cuadriláteros convexos que han visto para que no sea un problema la lógica de su construcción. Pídales que los clasifiquen y que señalen sus características a viva voz y lo que deben tener presente a la hora de su construcción.

Errores frecuentes Como se señaló anteriormente, muchos de los errores que cometen los estudiantes en geometría se deben a los prototipos que tienen con respecto a la imagen de ciertas figuras. Por ello, sería importante que la construcción de los paralelogramos se hiciera en distintas posiciones, sobre todo al construir rombos. Actividades sugeridas Nivel 1 1. Construye un rombo a partir de las medidas de sus

diagonales. (5 cm y 10 cm). 2. Responde:

Si en una circunferencia se inscribe un cuadrado, ¿a qué elemento del cuadrado corresponde la medida del diámetro? Nivel 2

A partir de un rombo, construye un rectángulo de igual área, descomponiendo la figura en triángulos los que luego son reflejados utilizando regla y compás.

3 Mural: Teoremas matemáticos con el uso de

¿Cómo voy?

GeoGebra »

»

»

Componentes Texto T exto del estudiante estudiante páginas páginas 248 y 249. Propósito Utilizar herramientas tecnológicas para comprender y deducir teoremas geométricos.

»

Componentes Texto T exto del estudiante estudiante páginas páginas 250 y 251. Cuaderno de ejercicios páginas páginas 110 y 111. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección.



Los estudiantes construirán el teorema de los nueve puntos utilizando GeoGebra, de esta manera podrán notar, al mover la figura, la diferencia entre figuras inscritas, circunscritas y las que no son ninguna de las anteriores. Pídales que señalen la relación que hay entre el centro de esta circunferencia y las distancias entre el ortocentro y el circuncentro construido. Habilidades La habilidad que se encuentra en juego en esta actividad es la de argumentar y comunicar, explicando y fundamentando resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas. Actitudes La actitud que busca resaltar esta actividad en los estudiantes es la demostrar curiosidad e interés por resolver problemas matemáticos.

La bisectriz y la altura son los elementos secundarios del triángulo más utilizados en problemas de geometría, relativos a la búsqueda de la medida de un ángulo. Es necesario que el estudiante tenga claridad de las propiedades de cada uno de los elementos, puesto que solo su construcción fortalece el entendimien entendimiento to de estos. La simetral y la transversal de gravedad son elementos que tienden a ser confundidos confundidos,, puesto que sus respectivas propiedades son similares. Es necesario que haya claridad de cuáles son, para así evitar confusiones. Haga notar que para construir cuadriláteros no existe un procedimiento general que abarque todas las posibilidades de hacerlo. Asimismo, la cantidad de elementos conocidos variará según el cuadrilátero que se requiera construir. Por lo tanto, es necesario que el estudiante tenga claridad de las propiedades de cada uno de los diversos tipos de cuadrilátero. Para esto es bueno reforzar su clasificación.

»

»



Nivel 1

Construye el siguiente hexágono regular utilizando las siguientes indicaciones: __ Traza el radio OP y las circunferencias ci rcunferencias con centro O y P. P. Considera uno de los puntos de intersección (Q) como centro del hexágono. Traza la circunferencia de centro ___ Q y radio QO QO.. Se obtienen los puntos R y S como intersecciones las __ __con las circunferencias anteriores. Traza __ rectas OP y RS. Construye la recta perpendicular a RS que __ pase por el punto O y otra recta perpendicular a RS que pase por el punto P. P. Marca los puntos donde las rectas perpendiculares intersecan a las circunferencias, nombrándolos A y B. Finalmente une los puntos P, S, B, A, R y O . ‹

›

‹

›

‹

‹

›

›

Nivel 2

Construyen utilizando GeoGebra el siguiente teorema: Teorema T eorema de Napoleón. Napoleón. Si sobre sobre cada cada lado lado de un triángutriángulo arbitrario se construyen triángulos equiláteros (tanto hacia el exterior como hacia el interior del triángulo), los centros de gravedad de cada uno de ellos forman un triángulo equilátero equilátero..

Nivel 1 1. Dibuja distintos triángulos rectángulo, con diversas

medidas y, en todos ellos, dibuja la circunferencia circunscrita. ¿Qué puedes observar? Plantea una afirmación usando los elementos del círculo y la circunferencia. 2. Construye un triángulo con lados 5 cm y 4 cm y un

ángulo formado por ellos de 30°. 3. Construye un triángulo equilátero de lado 4 cm.

¿Qué procedimiento utilizaste? Nivel 2 1. Dos circunferencias se definen concéntricas cuando

sus centros coinciden. ¿En qué tipo de triángulos se da la situación en que la circunferencia inscrita y circunscrita son concéntricas? 2. Elabora un procedimiento para construir un pa-

ralelogramo congruente a uno dado. Determina qué elementos debes conocer para realizar la construcción.


111



»

F

Componentes Texto T exto del del estudiante estudiante páginas páginas 252 y 253. Cuaderno de ejercicios páginas 112 y 113.

D

Propósito Aplicar en la resolución de problemas los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección. Instancia de reflexión y metacognición.

3. Construye los siguientes triángulos. Luego, respon-

de. • 4 cm, 9 cm, 4 cm • 10 cm, 3 cm, 6 cm

Orientaciones didácticas Utilizar problemas sencillos como analogía del que se quiere resolver es una estrategia que puede ser enseñada y vista por los estudiantes a lo largo de la unidad. Basta con que prepare algunas situaciones similares a problemas abordados en clases para que los estudiantes asimilen la aplicación de esta y puedan ver sus ventajas.

• 8 cm, 3 cm, 5 cm

a. ¿Qué pasó en cada caso? b. ¿Qué puedes concluir en relación a las condiciones de cada lado? 4. Construye la circunferencia circunscrita a un trián-

gulo de lados 4 cm, 10 cm, 6,5 cm. 5. Construye un triángulo de medidas 3 cm, 4 cm y

Errores frecuentes Los estudiantes suelen no saber cómo plantearse situaciones parecidas, pero más sencillas que los problemas que deben resolver, es por ello que se sugiere que los estudiantes reemplacen datos en el problema para que puedan verlo aplicado a otros contextos donde se faciliten los procesos para su resolución. En el caso de las construcciones, puede ayudarlos a que limpien la situación dejando en evidencia la construcción a realizar.

5 cm. Luego, construye la circunferencia circunscrita a este. Nivel 2 1. Analiza las siguientes situaciones.

a. En el triángulo ABC, D, E y F son puntos medios. ¿Qué punto del triángulo representa el punto G?

C


F

Nivel 1 1. Con ayuda de__ tu regla y compás, construye la sime-

tral del trazo AB AB.. Marca 3 puntos cualesquiera sobre ella y mide sus distancias a los puntos A y B. ¿Cómo se comportan las distancias?

A

B

2. En los siguientes triángulos, construye las trans-

versales de gravedad y mide las distancias desde el baricentro al vértice y del baricentro al lado. ¿Cómo se comportan dichas distancias?

B

A

112

Unidad 3 Geometría

E

C

A

G

E

D

B

b. Dos rectas paralelas son cortadas por una perpendicular.. Si se traza otra recta secante a las rectas dicular paralelas, ¿qué figura no se podría dibujar con la zona encerrada por las cuatro rectas? 2. Resuelve los siguientes problemas.

a. En una mesa con forma de cuadrado se deja una bandeja con galletas. Si esta debe estar a la misma distancia de las cuatro personas que se ubican en ella, ¿dónde se debiera dejar dicha bandeja y dónde debieran sentarse las personas? b. Sofía tiene una cartulina con forma de cuadrilátero convexo cuyos lados opuestos no son paralelos ni congruentes. De este debe recortar un paralelogramo, ¿cuál podría ser la estrategia de construcción construcció n de dicho paralelogramo?

3 Sección

9

»

»

Tiempo estimado: estimado: 12 a 13 horas.

Plano cartesiano

Componentes Texto T exto del del estudiante estudiante páginas páginas 254 y 255. Propósito • Identificar y ubicar puntos en el plano cartesiano car tesiano.. • Desplazar objetos según un vector. Inicio de sección

El primer propósito se trabaja a través de un taller en donde los y las estudiantes deducen cómo se ubican e identifican puntos en el plano. El segundo propósito se trabaja a través de un paso a paso y a través de situaciones contextualizadas para determinar el vector desplazamiento. Los y las estudiantes abordarán el plano cartesiano consideconside rando todos sus cuadrantes gracias al dominio que tienen de los números enteros negativos. En este no solo ubicarán puntos y caracterizaran figuras, sino también realizarán traslaciones por medio de vectores unitarios.

Link de interés Visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P109, donde se cuenta de forma más extensa cómo Descartes llega a plantear el sistema de coordenadas cartesianas haciendo un recorrido breve por su vida.

Indicador

Pregunta

Identificar elementos de un polígono.

1

Calcular áreas y perímetros de figuras.

2, 3 y 4

Remedial

Puede realizar la actividad sugerida de nivel 1. Puede realizar la actividad sugerida de nivel 2. Recuerde el concepto de figuras congruentes utilizando la traslación, la rotación y la reflexión en cuadrículas.

Reconocer congruencia en traslaciones de figuras. 5


Identifica el nombre de los siguientes triángulos y cuadriláteros dadas las descripciones. De faltar datos indica cuáles son. a. Cuadrilátero cuyos lados tienen igual medida. b. Cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos y un ángulo recto. c. Triáng Triángulo ulo cuyos tres ángulos ángulos miden 60° cada cada uno. d. Triángulo que tiene un ángulo recto y dos lados de igual medida.

¿Qué debo saber? Nivel 2 »

»

Componentes Texto T exto del del estudiante estudiante páginas páginas 256 y 257. Propósito Recordar los conocimientos previos y prerrequisitos de la sección.

Calcula el área de los siguientes triángulos y responde:

C

F

Orientaciones didácticas Para detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos en sus estudiantes se sugiere realice las actividades de estas páginas. A continuación se presenta un resumen con los indicadores involucrados involucrados en las actividades y sus posibles remediales o actividades de refuerzo.

A

B

D

E I

G

H

a. ¿Qué puedes decir respecto a sus áreas? b. ¿Por qué ocurre esto?


113

Orientaciones al docente Lección 38: ¿Cómo ubicar puntos en el plano

Lección 39: ¿Cómo desplazar objetos por medio

cartesiano? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 258 a 261. Cuaderno de ejercicios páginas 114 y 115. Propósito Identificar y ubicar puntos en el plano cartesiano.

Orientaciones didácticas Los estudiantes comienzan a ubicar puntos en el plano cartesiano desde 5.° básico, pero en el primer cuadrante. En esta oportunidad trabajan con los cuatros por lo que es importante que les recuerde el punto de origen y la forma en que se cuentan dichos cuadrantes. Pregúnteles ¿cómo varían los signos de los números que componen las coordenadas de los pares ordenados en cada caso? ¿Es posible ubicar números decimales en el plano cartesiano? ¿Y fracciones? ¿Por qué? Si no obtiene las respuestas adecuadas guíe la conversación en torno a la recta numérica.

Errores frecuentes Un error frecuente es que los estudiantes no consideran el orden de los pares ordenados en el segundo, tercer o cuarto cuadrante como (x, y) por la práctica que ya tienen con el primero. Por eso debe reforzar la ubicación considerando puntos de la forma (–x, y), (–x, –y), (x, –y). Actividades sugeridas Nivel 1

Determina si las siguientes proposiciones son correctas. Justifica.

de vectores? »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 262 a 265. Cuaderno de ejercicios páginas 116 y 117. Propósito Desplazar objetos según un vector.

Orientaciones didácticas Los estudiantes conocen las traslaciones ya que han visto isometrías en años anteriores pero desconociendo el concepto de vector. Por ello es importante hacer énfasis en que solamente a través de un vector se puede llevar a cabo una traslación. También señale cuál es la notación de un punto que ha sido trasladado, explicando por qué aparece el signo ’ llamado apóstrofe y que para nosotros se lee como “prima”, a este modo de notación se les llama distintivos diacríticos.

Link de interés Para mayor información acerca de la notación de vectores visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P110.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen considerar como componentes del vector al punto de donde se ubica la flecha sin considerar si el origen del vector se ubica en el punto (0,0) o en otra posición. Por ello debe recordar que las componentes surgen del “movimiento” que representa éste en el plano cartesiano y no a su posición en él. Hágales ver que esto sí ocurre cuando el inicio del vector se ubica en el origen de las coordenadas cartesianas.

a. El punto (a, b) tiene la misma posición que (–a, b). b. En el tercer cuadrante se ubican los pares ordenados de la forma (a, –b). c. Todos los pares ordenados de la forma (0, b) se ubican sobre el eje de las abscisas. Nivel 2

Responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la coordenada del centro de una circunferencia que pasa por los puntos (10, 3), (7, 6), (4, 3), (7, 0)? b. A partir de los puntos A(14, –2) y B(14, 5) se traza una recta. Se quiere dibujar una recta perpendicular a esta, considerando los puntos C(12, 2) y D(14, x). ¿Cuál debiera ser el valor de x? ¿Por qué?

114

Unidad 3 Geometría


Identifica el vector de traslación en los siguientes casos: a. El punto A(2, 3) luego de ser trasladado resulta el punto A’(5, –3). b. Los puntos D(2, 1), E(5, –1), F(5, 3) fueron trasladados en el mismo vector de traslación del punto D quedando este en las coordenadas (1, 2). ¿Cuáles son las componentes del vector traslación y las coordenadas de los otros puntos al ser trasladados?

3


Nivel 2

5

Resuelve el siguiente problema.

4 3

Felipe ubica el punto P(2, 3) en el plano cartesiano y a partir de él debe realizar tres traslaciones con las que debe formar un cuadrado. ¿Cuáles pueden ser los vectores que realicen este trabajo y cuáles son los puntos que forman este polígono?

2 1 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 –2 –1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 –1 a –2 c –3 d b –4

Mural: Barquitos de papel

–5 »

»


Nivel 2

Puede dibujar un plano cartesiano en la pizarra, en donde dos grupos de estudiantes elijan sus posiciones y, por turnos, deban señalar el vector que desplaza al oponente hacia sus posiciones y, de ser atrapado, se suma como integrante del bando contrario. Algunas de las reglas que puede sugerir son: a. Los vectores de traslación solo pueden tener como números en sus componentes el 1, 2 y 3 ya sea como número negativo o positivo. b. El punto de origen es neutro y no puede ser lugar de intercambio de integrantes. c. El grupo que sume más integrantes pasado cierto tiempo, es el vencedor. d. Cada participante debe señalar un vector a la vez.

Propósito Conectar los contenidos y habilidades de la sección con actividades lúdicas y de entretención.

Orientaciones didácticas La actividad que se describe corresponde a la adaptación de un juego llamado carrera naval, donde los barcos se ubican en un tablero y deben derribarse a partir de las coordenadas que indica el contendor. Hacer de la práctica de las matemáticas una actividad lúdica le permitirá poner en juego lo que los estudiantes conocen en un ambiente mucho más distendido, donde el manejo de las habilidades que implica la ubicación de puntos en el plano es vital para ser el vencedor de la actividad. Habilidades Una de las habilidades que se encuentra en juego en esta actividad es resolver problemas usando un proceso de ensayo y error sistemático.

¿Cómo voy?

»

Actitudes La actitud que busca resaltar esta actividad en los estudiantes es la de trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos. »


Puede elaborar un mapa de la sala de clases en un plano cartesiano donde ubique ciertos hitos de esta. Señalando la ubicación de inicio, puede señalar los vectores con los que deben moverse los estudiantes para encontrar algún tesoro que usted haya escondido. Puede utilizar como ejemplo el plano de la imagen y dar instrucciones de movimiento desde la estrella que marca la partida señalando qué vector se debe usar cada vez para llegar al lugar de la meta.

»

»


Orientaciones didácticas El plano cartesiano se trabaja en todos los niveles superiores. Por lo tanto su entendimiento en cuanto a su uso es fundamental para comprender de mejor manera contenidos que se trabajarán a futuro. Se deben adquirir estrategias que permitan utilizar de buena forma los cuatro cuadrantes. Para esto es necesario que el estudiante entienda la relación que hay con la utilización de la recta numérica. Las transformaciones isométricas pueden ser descritas desde el plano cartesiano a partir de la caracterización de sus elementos. La traslación se presenta como la transformación que mayor facilidad presenta al momento de trabajar con ella. Para su descripción se requiere estudiar el concepto de vector, el cual debe ser diferenciado de un par ordenado, para así evitar confusiones.


115




El trabajo en el geoplano puede ser de utilidad al resolver problemas en el plano cartesiano. Nivel 1

Determine 3 posibles vértices C para que los triángulos ABC tengan área 12 unidades cuadradas.

A

B

Nivel 2

Construye un paralelogramo con igual área al trapecio de la figura, de tal manera que uno de sus vértices sea (−4, 1). Determina las coordenadas de los otros 3 vértices. ¿Hay sólo una posibilidad?

En el artículo de la revista oficial del comité latinoamericano de Matemática educativa llamado “¿Cuántos puntos hay?: Concepciones de los estudiantes en tareas de construcción" escrito por Claudia Acuña el año 2005, se describen las dificultades de los y las estudiantes para aceptar que los puntos representados en el plano cartesiano mediante un rango sean del mismo tipo que aquellos que subyacen en una recta. Se supone que tal problema desaparece si el alumno conoce el concepto abstracto de punto. En este trabajo se propone a estudiantes de 16, 17 y 19 años identificar y describir –por escrito y gráficamente– un conjunto infinito de puntos como una recta. Así, una tarea que podría arrojar información sobre el tipo de recursos que empleaban para describir ese conjunto, hallando que muchos de quienes se refieren a un conjunto infinito lo asocian a las marcas (infinitas o finitas) de las unidades de la escala sobre el eje; frecuentemente, esta es la razón por la que su representación en esta tarea suele ser discreta. Se perfilan tres tipos distintos de respuestas para la interpretación del conjunto señalado; en dos se aprecia la idea de punto abstracto, pero sólo uno establece una solución satisfactoria.

Link de interés Para conocer más acerca de este estudio visite la página la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P112. Actividades sugeridas Nivel 1


»

Componentes Texto del estudiante páginas 270 y 271. Cuaderno de ejercicios páginas 120 y 121. Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.

Orientaciones didácticas El uso de diagramas es pertinente para el trabajo de esta sección, ya que es el mismo plano cartesiano el que funciona como uno. La idea es utilizarlo para representar las figuras que se señalan y a partir de él poder responder las preguntas.

116

Unidad 3 Geometría

María tiene que dibujar un rectángulo de área 8 u2, en el plano cartesiano. Si tiene un cuadrado cuyos vértices no consecutivos se ubican en los puntos A(1, 1) y C(2, 2) y con éste debe dibujar el rectángulo antes señalado, ¿qué traslaciones y con qué vector debe realizarlas para ubicar las coordenadas de dicho polígono considerando las condiciones dadas? Nivel 2

Se dibuja un punto E(3, 4) en el plano cartesiano. Dibuja otro de igual abscisa y mayor ordenada. ¿Cuántos puntos puedes dibujar? ¿Qué se forma al unir los puntos?

3


Sección 6: Suma de ángulos interiores y


exteriores de polígonos

Componentes s o d i Texto del estudiante página 272. g u r c a e R Recurso digital complementario: Geometría. m r p l t a e m e n Propósito Sintetizar los conocimientos y procedimientos adquiridos en la unidad. i t

l

c

o

»

o

i

Orientaciones didácticas Utilice la actividad de cierre del recurso digital 3 de esta unidad que tiene como propósito obtener información sobre el desempeño de los alumnos y las alumnas en los aprendizajes claves de la unidad. Para el mapa conceptual que deben realizar los estudiantes de la sección 8 en sus cuadernos puede sugerirles los siguientes conceptos: • Alturas • Simetrales • Circunferencias circunscritas • Triángulos congruentes

Para el mapa conceptual de las secciones 6, 7 y 9 puede sugerir los siguientes conceptos: • Suma de ángulos interiores • Suma de ángulos exteriores • Área de trapecios

1. Dibuja polígonos de distintos tipos (convexos y de no

más de 7 lados). En ellos, dibuja todas las diagonales posibles y cuéntalas. A partir de estos resultados, busca generalizar un resultado para n lados, y determina cuántas diagonales tiene un polígono de 33 lados. 2. ¿Cuál es la medida de un ángulo exterior de un polígono

regular de 36 lados? Sección 7: Círculo y circunferencia 1. ¿Cuántas circunferencias distintas pasan por dos pun-

tos?, ¿y por tres no colineales? 2. Si se tiene un punto fijo y se dibujan todos los puntos

equidistantes a este, se obtiene una circunferencia. ¿Qué se obtiene si al fijar una circunferencia se dibujan todos los puntos equidistantes a ella? 3. Dos circunferencias son concéntricas, es decir, tienen el

mismo centro. Si una tiene un radio de 2 cm y la otra, de 5 cm, ¿cuál es la menor distancia entre un punto de una circunferencia y un punto de la otra? 4. ¿Cuál es el radio de un círculo cuyo perímetro es 18π cm? 5. Si el diámetro de un círculo es 4 cm, ¿cuál es el área de

un círculo con el doble del radio de la anterior? 6. Calcular el área y perímetro de la figura sombreada. Con-

sidera π

≈ 3,14

y D centro del círculo mayor.

• Área de paralelogramos • Círculo • Circunferencia

5 cm D

• Plano cartesiano • Vector de traslación

Refuerzo mis aprendizajes »

»

Componentes Texto del estudiante páginas 273 y 274. Propósito Reforzar y profundizar los conocimientos y procedimientos adquiridos en la unidad.

7. ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuya área es 36 π cm2? 8. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo radio mide

π

cm?

Orientaciones didácticas Para complementar las actividades que aparecen en estas páginas puede realizar los siguientes ejercicios.


117

Orientaciones al docente 2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Sección 8: Construcciones geométricas

4

1. Elabora una estrategia para dibujar una recta perpendi2.

3.

4.

5.

cular a otra en un punto dado sobre ella. En la construcción de rectas paralelas propuesta en esta lección se utiliza escuadra, regla y compás. Elabora una estrategia para construir una recta paralela a otra dada, utilizando sólo el compás y la regla. Analiza el siguiente enunciado: “El ortocentro de cierto triángulo se ubica fuera de él y en otro triángulo coincide con uno de sus vértices” ¿A qué tipos de triángulos se refiere el enunciado? En un triángulo equilátero, construye sus tres bisectrices y sus tres alturas. ¿Qué puedes afirmar sobre el comportamiento de estos elementos en el triángulo equilátero? ¿Qué puedes afirmar sobre sus puntos de intersección? Dibuja distintos triángulos rectángulo, con diversas medidas y, en todos ellos, dibuja la circunferencia circunscrita. ¿Qué puedes observar? Plantea una afirmación usando los elementos del círculo y la circunferencia.

C

2 1

–1

A

B

2

3

4 B

–3 –4

A

¿Qué aprendí?

»

Componentes Texto del estudiante páginas 275 y 277. Cuaderno de ejercicios páginas 122 y 123. Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la unidad.

4


3

Para complementar la evaluación puede usar las siguientes preguntas de alternativa:

2

D

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

1 – 6 – 5 –4 –3 –2 –1

1

–2

Sección 9: Plano cartesiano

las coordenadas de sus vértices y la longitud de cada lado.

0

– 2 –1

»

1. Calcula el perímetro del polígono ABCD. Para ello, indica

3

0 –1 –2

1 C

2

A. Si dos triángulos tienen igual base e igual altura, entonces tienen igual área. B. Si se disminuye la altura de un triángulo a la mitad, su área disminuye a la mitad. C. Si el perímetro de un triángulo aumenta al doble, su área aumenta también al doble. D. Si la base y la altura de un triángulo disminuyen a la mitad, su área disminuye a la cuarta parte. 2. Si en un rectángulo sus lados disminuyen en la mitad,

¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. Su área y su perímetro aumentan en la mitad. B. Su área y su perímetro disminuyen en la mitad. C. Su área disminuye en un cuarto y su perímetro en la mitad. D. Su perímetro disminuye en un cuarto y su área en la mitad.

118

Unidad 3 Geometría

3

Información complementaria disciplinar Construcciones con “la regla de dos bandas” A continuación se propone una estrategia alternativa a la construcción de figuras geométricas en el plano con regla y compás, utilizando una regla a dos bandas, que es la típica regla que se le solicita a los y las estudiantes. Esta propuesta tiene como fundamento el conflictuar y hacer pensar al estudiante en aquellas construcciones que son y no son posibles de realizar solo con este instrumento, teniendo presente que ya saben hacer algunas con compás y regla. Entre las construcciones que serían fáciles de realizar se encuentra el trazar una recta dados dos puntos. También sería sencillo de llevar a cabo la construcción de rectas paralelas y perpendiculares. Algunas indicaciones son las siguientes: Para trazar un par de rectas paralelas r y s, que pasen respectivamente por dos puntos dados P y Q, se debe tener presente que: Es necesario que el ancho de la regla sea menor que la distancia entre los puntos dados. También hay que destacar que la distancia entre las paralelas r y s es igual al ancho de la regla. De ahora en adelante a cada par de rectas paralelas que tracemos cuya distancia sea el ancho de la regla le llamaremos “banda”. Otro trazado que se puede hacer al usar los bordes paralelos de esta regla, se presenta cuando tenemos una recta a y se quiere trazar una recta paralela a ella: Se apoya uno de los bordes de la regla y se traza la recta paralela a ella en cada uno de los semiplanos que la recta a determina. •

•

También es interesante la construcción de bisectrices utilizando la regla a dos bandas. El siguiente esquema muestra el procedimiento:

Se traza un ángulo con la regla.

Bisectriz

Luego se coloca la regla en cada uno de los lados del ángulo en forma paralela al lado para trazar las bandas.

Se marca el punto de intersección de las rectas marcadas por las bandas.

Se traza la recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto de intersección de las rectas anteriores. Esta recta corresponde a la bisectriz.

Podemos concluir que conocer otras formas de llevar a cabo un procedimiento permite a los y las estudiantes desarrollar la creatividad y poner en práctica sus conocimientos y habilidades. Este es un compromiso que como docentes debemos aceptar y saber cumplir a cabalidad. Esta estrategia que debe ser co nocida y dominada por usted, puede ser la instancia para que sus estudiantes gusten un poco más de nuestra disciplina. Fuente: Chevallard, Bosch y Gascón. Estudiar matemáticas: El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Universidad de Barcelona, 1997.


119

Información complementaria didáctica Modelo de Van Hiele: estrategia para ordenar y enseñar la geometría Van Hiele es un modelo propuesto para la enseñanza de la geometría, que plantea una serie de estadios en los que se pueden clasificar a los alumnos y alumnas, con respecto a lo que saben de esta área, en especial sobre el vocabulario que manejan y cómo entienden y aplican los conceptos geométricos. Estos niveles, son: Visualizar Clasificar Analizar Deducir formalmente Estos estados permiten al docente conocer el grado en que sus alumnos manejan ciertos contenidos y desde ahí proceder para facilitar su aprendizaje y profundización. Junto con estos niveles, señala también fases de trabajo que deben ser ordenadas por el docente, las que son: Informar Orientar de forma libre Orientar de forma dirigida Integrar Explicitar Cada uno de los niveles antes mencionados puede ser abordado por las distintas fases, considerando además, que un estudiante puede estar en el primer nivel, llamado visualización, en relación a un tema y en el tercer nivel, llamado de de clasificación, en otro tema. Para abordar el concepto de circunferencia, es posible utilizar este modelo y así saber, por ejemplo, si los alumnos distinguen una circunferencia de un círculo, diámetro de radio, etc., como también conocer el dominio que tienen de estos conceptos. Una propuesta de cómo aplicar este modelo para este tema en particular se expone en un trabajo de tesis propuesto por Jhon Willy Carmona Moreno, en su tesis para magister titulada “La circunferencia: Una propuesta didáctica usando modelo de Van Hiele y geometría dinámica. Universidad de Colombia, 2011. En él se plantea una secuencia que incluye niveles y fases de trabajo para llevar a cabo el proceso aprendizaje de la circunferencia. Entre ellas se proponen los siguientes indicadores para los conceptos de radio y diámetro, considerando el nivel I de visualización y la fase II de orientación dirigida: “identifican el segmento de línea recta como cuerda, uniendo dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Identifican que el centro no pertenece a la circunferencia, por lo tanto el segmento trazado desde el centro a la circunferencia no es cuerda (se tiene una noción más clara del concepto de radio)”. Por su parte, para los mismos conceptos se propone como un nivel II de análisis, abordado a partir de la fase III de explicitación los siguientes indicadores: “Trazan cuerdas que pasan por el centro, identificando el diámetro. Relacionan el radio y la circunferencia, identificando que el diámetro equivale al doble de la longitud del radio, y la condición de pasar o contener el centro”. De lo anterior se desprende que es posible organizar el contenido que sus estudiantes deben abordar de tal manera que sea posible un dominio de estos los que dependerán tanto de los niveles que vayan superando como de las fases que usted organice para el logro de este objetivo. La propuesta planteada en el trabajo de magister aquí sugerido, puede servir como referente para y orientación en sus prácticas pedagógicas, ya sea en el caso particular de la circunferencia, o como modelo de aplicación de los niveles de van Hiele en una situación real. •

•

•

•

•

•

•

•

•

Fuente: Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría, Fernando Fouz, Berritzegune de Donosti. http://www.xtec.cat/~rnolla/Sangaku/SangWEB/PDF/PG-04-05-fouz.pdf Fases de aprendizaje del modelo educativo de Van Hiele y su aplicación al concepto de aproximación local. http://www.scm.org.co/aplicaciones/revista/Articulos/1008.pdf “La circunferencia: Una propuesta didáctica usando modelo de Van Hiele y geometría dinámica. Universidad de Colombia, 2011. Tesis para magister por Jhon Willy Carmona Moreno.

120

Unidad 3 Geometría

3

Actividad complementaria Reúnete en grupos de 3 integrantes y realicen el siguiente taller.

El Tangram, llamado en la antigua china como "Chi Chiao Pan" cuyo significado es "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Se piensa que fue inventado en la época de la dinastía Tang, en el siglo I, y que debido a esto se le conoce como tangrama. Fuente: http://museodeljuego.org/wpcontent/uploads/contenidos_0000000587_docu1.pdf

1. Observen el siguiente cardiotangrama.

a. Construyan, en sus cuadernos, el cardiotangrama utilizando regla y compás con las medidas dadas. b. Describan el procedimiento que siguieron para construir cada parte del trangrama.

4 cm

4 cm

8 cm

2. A partir de la figura que construyeron respondan las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es el área y el perímetro que ocupa el cardiotangrama? Calcúlenla. R:

b. ¿Qué figuras tienen igual área? ¿Por qué? Justifiquen sus respuestas. R:

c. Utilizando solo las construcciones de los elementos secundarios de los triángulos, muestren que el triángulo que aparece en el cardiotangrama es rectángulo e isósceles. d. En relación al círculo que forman los semicírculos y al cuadrado que forman el romboide, el cuadrado pequeño, el trapecio y el triángulo, señalen, ¿cuál de las dos figuras compuestas tiene mayor área? ¿Por qué? R:

e. ¿Cuánto mide el ángulo interior de cada cuadrilátero que concurre en el centro del cuadrado? R:

f. La imagen que aparece a continuación, ¿tiene la misma área que la del cardiotangrama? Justifiquen sus respuestas.



121


Curso

Fecha

5. Un triángulo de vértices A(1, 2), B(−2, 0), C(0, −1)


En los ejercicios del 1 al 5, selecciona la alternativa que consideres correcta.

se traslada de tal manera que las nuevas coordenadas del vértice B son (1, −1). ¿Cuál fue el vector traslación?

1. ¿Cuál es la medida del ángulo x en la figura?

A. (3, −1)

C. (−3, 1)

B. (−3, −1)

D. (3, 1)

57º

54º

Parte II: Evaluación de habilidades

x 69º

6. Evalúa las siguientes proposiciones. Escribe V si

son verdaderas o F si son falsas. Justifica.

65º

A. 52°

C. 58°

B. 57°

D. 65°

2. La siguiente imagen es un dibujo que representa

el movimiento que realiza un deportista en el lanzamiento del martillo, que es una cuerda con una bola de metal en el extremo, la que al momento de lanzarse dibuja una circunferencia imaginaria. A partir de la imagen, ¿qué representan el martillo junto a los brazos del deportista, en relación a la circunferencia que se dibuja imaginariamente?

a.

Si dos triángulos tienen igual base e igual altura, entonces tienen igual área.

b.

En todo triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra en el exterior de él.

c.

Al construir la altura en un triángulo equilátero se obtienen dos triángulos equiláteros.

d.

La circunferencia circunscrita de un triángulo interseca a los 3 vértices del triángulo.

7. Ubica los siguientes objetos geométricos en el

círculo.

A. Diámetro B. Radio

O

C. Circunferencia D. Círculo 3. Sean r el radio y D el diámetro de una circunferen-

cia. ¿Cuál de las siguientes alternativas NO permite calcular su perímetro? A. 2 • r • π B. D • π C. r2 • π D. (r + r) • π 4. Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares. Se cons-

__

a. Diámetro AB. b. Punto C en la circunferencia. __

c. Radio OP. d. Punto D en la región interior del círculo. 8. Calcula el área de los siguientes polígonos.

a. Polígono OPQR.

truye una recta L3, la cual es perpendicular a L1. ¿Qué se puede afirmar sobre las rectas L2 y L3? e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

122

A. L2 y L3 son paralelas. B. L2 y L3 son perpendiculares.

R 5 cm O

C. L2 y L3 son secantes. D. L2 y L3 se intersecan formando un ángulo de 45°.

Unidad 3 Geometría

R:

20 cm

Q

4 cm 20 cm

5 cm P

3 b. Polígono ABCD.

10. Estima el perímetro de la región sombreada. C

a.

5 cm

5 cm 6 cm

8 cm

D

B

5 cm

5 cm

40 cm

A R:

R:

c. Polígono RSTU T

b.

16 cm

C

S

12 cm

17 cm

15 cm U

20 cm

16 cm R A

R:

d. Polígono DEF

B

R:

F

11. Determina las coordenadas de los vértices faltan-

tes, para que se forme la figura indicada.

12 cm

3 cm

5 cm 4 cm

a. Cuadrado ABCD de vértices A(–2, –3), B(2, –3), C(2, 1).

D

8 cm

E

R:

9. Explica el procedimiento que permite calcular el

área de la región sombreada y calcúlala. 6 cm

a.

D

R:

b. Trapecio DEFG, rectángulo en G, cuyos vértices son D(8, 0), E(7, 2), F(4, 2). R:

c. Rombo OPQR de diagonales P(8, 2) y R(12, 2). R: 6 c m

12. Resuelve los siguientes problemas.

a. Los radios de una rueda de bicicleta miden 50 cm. Un joven que viajaba en ella logró, en un minuto, que las ruedas giraran 40 vueltas. ¿Qué distancia avanzó si pedaleó 2 minutos 45 segundos?

R:

R:

b.

b cm R:

b. En un triángulo ABC, la medida de dos de sus ángulos es 36°. Si se construye una bisectriz relativa al tercer ángulo, ¿qué medida tendrán los ángulos formados? R:


123


c. Una lámpara aporta luz a un espacio de forma circular. Si el radio que da luz es de 1,2 metros, ¿cuál es la superficie que alumbra la lámpara?

i. Javier tiene que determinar cuál de los siguientes triángulos es rectángulo, solo utilizando construcciones geométricas. ¿Qué construcciones puede realizar y cómo las debe aplicar?

R:

N

T

d. Una gimnasta tiene una cinta de 2 metros. Si la hace girar formando circunferencias con todo el largo de la cinta, ¿cuál es el diámetro de las circunferencias que forma? R:

R

S

L

M

R:

e. Un triángulo de vértices A(3, 1), B(5, 1), C(6, 2) se traslada de tal manera que las nuevas coordenadas del vértice B son (1, −1). ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del vértice A? R:

j. José debe buscar un vértice que le permita transformar el triángulo OPQ de coordenadas O(1, 4), P(2, 2) y Q(6, 2) en uno isósceles de igual área. ¿Cuáles debieran ser las coordenadas de dicho vértice? R:

•

¿Cuáles son las nuevas coordenadas del vértice C?

R:

f. La superficie de una mesa está formada por una parte central rectangular cuyo largo mide 1,5 metros y el ancho mide 1 m. A los lados que corresponden al ancho de la mesa se les unen dos semicírculos en cada lado opuesto. ¿Cuánto mide la superficie de la mesa?

k. Se tiene un triángulo inscrito en una semicircunferencia, donde el diámetro corresponde a la base del triángulo. Si se mueve el tercer vértice a lo largo de la circunferencia, ¿el triángulo tiene siempre la misma área? H

F

1,5 m 1m

R:

9

10

11

12

13

G 15

14

R:

l. ¿Pasará lo mismo descrito anteriormente si se inscribe un triángulo en un cuadrado y se mueve el tercer lado a lo largo del lado donde se encuentra inscrito? Explica.

g. Se tiene un romboide CFHG. El ángulo exterior en G mide 30°, ¿cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?

A

E

D

R:


124

h. Al trazar las diagonales de un cuadrado se forman cuatro triángulos isósceles congruentes entre sí. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de los vértices que concurren en el centro del cuadrado? R:

Unidad 3 Geometría

2

3 B

R:

4

5

6 C

3

Banco de preguntas I. Realiza las siguientes actividades.

¿Qué punto del triángulo representa el punto G?

1. Observa la figura. G

D

5. En el triángulo ABC, D, E y F son puntos medios.

F

E

C

C

G

F

A A

B

¿Tienen los triángulos ABG, ABF, ABE la misma área? Justifica tu respuesta. R:

__ __ __ ___ 2. Respecto del cuadrado ABCD, BE = EF = FG = GC.

¿Cuál es el área del sector pintado en la siguiente figura si el lado del cuadrado mide 60 cm? A

E

D

B

R:

6. Dibuja un plano cartesiano, y en él ubica el trián-

gulo OJS cuyos vértices son (11, –3), (11, 1), (9, –1) respectivamente. Traza la circunferencia circunscrita y luego calcula su área considerando que cada unidad del plano cartesiano corresponde a 1 cm. R:

D

el perímetro del triángulo ABC si los seg7. ¿Cuál es__ ___ mentos AE y CD son transversales de gravedad? __ AC = 16 cm __ CE ___= 9 cm AD = 12 cm

C

B

E

F

E

C

G

A

B

D

R: R:

3. Determina la medida de los ángulos interiores de

las siguientes figuras:

8. Indica en qué elemento de la circunferencia o cír-

culo se ubica cada punto en la figura

a. Dodecágono.

M

R:

b. Endecágono. R:

O

c. Decágono

N

P

R:

4. Calcula el perímetro de la figura sombreada. Con-

sidera que los arcos son semicircunferencias y el cuadrado ABCD tiene lado 10 cm. A

D

a. O : b. P : c. M : d. N :

B

C

R:


125

Solucionario Inicio unidad (página 96) Nivel 1: El postulado más famoso es el V. De él surgen los

siguientes corolarios: Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos. Nivel 2: a. Una regla graduada permite dar precisión a las longitudes que se quieran trazar o que se quieran medir. b. El compás permite dibujar circunferencias y arcos de circunferencias. c. La escuadra permite construir ángulos rectos, alturas, simetrales, etc., ahorrando procedimientos que se debieran llevar a cabo con compás.

Coincide el área total de los polígonos con el área del cuadrado en el cual están insertos. Se espera que los estudiantes relacionen o establezcan proporciones entre las distintas áreas de los polígonos, como por ejemplo: 1 : 2 : 3.

•

•

Nivel 1: 1. 140°

2. 1 cm.

Nivel 2: 4 cm.

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: 1. a. 152,5° cada uno. b. 135° 2. a. Icoságono.

b. 36 cm.

Nivel 2: a. 4 cm.

b. x = 60°

c. Debe cobrar $ 1 166 400. SECCIÓN 7: CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

SECCIÓN 6: POLÍGONOS



Nivel 1:

Nivel 1: a. 20 b. 390 Nivel 2: a. 8 cm2

a. Triángulo acutángulo. b. Rombo o romboide. c. Pentágono cóncavo. d. Heptágono convexo. Nivel 2: a. Es correcto y la respuesta es 5 u 2. b. Es correcto y la respuesta es 8 u 2. c. Es incorrecto, ya que estaríamos calculando el área de dos

trapecios, faltaría dividir en dos las áreas para obtener de esa manera el área de un trapecio que sería de 5 u 2. Lección 26

Nivel 1: a. 120° b. 90° Nivel 2: a. Todo. b. Algunos. c. Ningún. d. Todo.

c. 60°

d. 45°

b. 20 cm

2

d. 20 c. 15 cm2

Lección 28

Nivel 1: a. Circunferencia. b. Círculo. c. Circunferencia. d. Círculo. Nivel 2: a. V, porque la circunferencia corresponde al pe-

rímetro del círculo y el círculo corresponde al área de la circunferencia. b. F, es todo lo contrario. c. V, ya que corresponde al perímetro de esta (si la moneda es circular). Nivel 1: 1. a. Correcto, ya que el radio es una longitud que

Nivel 1: a. 10 cm. b. 8 cm. c. 3 cm. Nivel 2: Si le sirve, ya que la superficie que tiene la mesa es

de 8000 cm2. Mural (página 99)

_

Nivel 1: a. Se puede aplicar la fórmula A = B + b

h, dan2 do como resultado 1,5 cm 2. b. Se puede aplicar la fórmula A = b h , dando como re2 sultado 0,5 cm2. Nivel 2: Área triángulos pequeños = 900 mm2. Área triángulos grandes = 3600 mm 2. Área cuadrado = 14 400 mm 2. Área romboides = 1800 mm 2. Área total = 14 400 mm2.

_ ·

Unidad 3 Geometría

c. 90

Lección 29

Lección 27

126


·

va desde el centro del círculo hasta un punto de la circunferencia, mientras que el diámetro es una longitud que va desde un punto de la circunferencia hasta otro, pasando por el centro, lo que equivale a dos radios. b. Incorrecto, ya que el segundero normalmente es más pequeño que el radio del círculo del reloj. c. Correcto, y es por esto que es la mayor longitud que se puede tranzar dentro del círculo. Nivel 2: 2. 18 cm.

3 Lección 30

b. Si son rectas //.

Nivel 1: a. 6π cm Nivel 2: 2,4 π m

b. 6π cm c. 6π cm O

C

L

Lección 31

M B

A

Q

Nivel 1: a. 36 π cm2. b. 12,25 π cm2 c. 100 π cm2. Nivel 2: Si se considera π como 3,14, el área es 63,58 cm 2

P

D

R

c. No son rectas ⊥.

Mural (página 105)

A

Nivel 1: Las personas se sientan en la circunferencia de la

F

rueda. El centro es representado por el pilar que lo sostiene. Los rayos que dan forma a la estructura corresponden al radio del círculo. Nivel 2: a. Círculos con distintos radios y centros. b. Da la idea de movimiento y volumen. Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: 2,25 π m2 Nivel 2: 1. Superficie marco = 537,5 m 2. Longitud de la ilustración

N

M G B

Nivel 2: a. Para este ejercicio se prolongó el segmento de

base para construir las rectas perpendiculares.

50 π cm como máximo. 2. Su área es 9 veces la original, en el caso de triplicarse el radio y es 0,25 veces la original al disminuirse a la mitad su radio. SECCIÓN 8: CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

b.

¿Qué debo saber? (página 107) Nivel 1: 1. a. Rectas ⊥ b. Rectas secantes c. Rectas // d. Rectas ⊥ Nivel 2: 1. a. Triángulo equilátero. b. Triángulo rectángulo escaleno. c. Triángulo obtusángulo isósceles. d. Rombo. e. Rectángulo o cuadrado. 2. a. Falso, ya que sus ángulos siempre serán congruentes

Lección 33

Nivel 1: A los ángulos de la base no les sirve ninguna cons-

trucción, ya que no se forman 2 triángulos congruentes. Al tercer ángulo se le puede construir cualquier bisectrices o alturas y se obtendrán dos triángulos congruentes.

entre sí, no así la longitud de sus lados. b. Falso, porque uno puede ser un cuadrado y el otro puede ser un rombo. Deben tener igual medida de lados y de ángulos. Lección 32

Nivel 1: a. No son rectas //. G

H

A C

B E

F

D


127

Solucionario

Nivel 2

Lección 37 D

A

Dd=106,45

G

Nivel 1: 1. Trazar el BG=108,41

B

E

I

H Diámetro: 127,45

Como no tienen la misma altura, no tienen la misma área. Lección 34

segmento de medida 5 cm. Sobre él trazar una recta perpendicular. Sobre ella copiar la medida del segmento de 5 cm hacia arriba y luego hacia abajo y luego unir los extremos de cada segmento. 2. Corresponde a la diagonal. Nivel 2: Trazar primero las rectas paralelas a la diagonal

menor que pasen por el vértice D.

Nivel 1: a. Es correcto, ya que la transversal divide al trián-

gulo en dos triángulos de igual área. b. Para las transversales de gravedad, basta con unir dicho puntos con el vértice correspondiente (el opuesto al lado) y para construir las simetrales, se deben construir rectas perpendiculares a los lados donde se ubican dichos puntos. c. Si pueden, si el triángulo es isósceles o equilátero, ya que el punto medio coincide con el vértice del lado opuesto. Nivel 2: Todos los segmentos trazados y sus correspondientes puntos de intersección son coincidentes. Lección 35

D A

C

B

Trazar una recta perpendicular al vértice A y que pase por la recta //, marcando el punto E.

E D

en equipo y que sus estudiantes experimenten y solucionen las dificultades con las que se puedan encontrar para realizar la actividad, como por ejemplo trazar la circunferencia que se forma con los vértices y el circuncentro. Nivel 2:

C

A

Nivel 1: a. Con esta actividad se busca potenciar el trabajo

B

Hacer lo mismo con el vértice C.

E

D

F

A C Banca

Banca

B

Fuente

Luego, trazar los vértices TAGC y está construido el rectángulo de igual área que el rombo ALGK.

Banca

Lección 36 C

Nivel 1:

B

128

Nivel 2: Construir una recta

Unidad 3 Geometría

A

C

F

E

A

perpendicular al vértice A usando de ___ __circunferencias radio AB y AD. Luego, unir el punto resultante con los vértices del triángulo .

F

D

G

D


E

D

E

B

Mural (página 111) A

Nivel 1:

S

Q

R A

B

B O

P

3 Nivel 2: Se construyen los

triángulos sobre cada lado del triángulo original utilizando circunferencias. Luego se construyen las transversales de gravedad de cada lado de los triángulos construidos, marcando el baricentro. Se unen los tres baricentros y midiéndolos que comprueba que el triángulo es equilátero. Realice el procedimiento con GeoGebra

F

JO=6,85

I

C

N

Q

J

R

RQ=7,45

L

H

RS=7,45

QS=7,45

A

M

IO=1,14

B

siempre mayor al lado de mayor longitud.

G

4.

5. K Q

N S

N B J

E C A

I M

F B

D

K

circunferencia y ubicar la bandeja en el centro de esta y las personas se deberían sentar en los puntos medios de los lados del cuadrado (costado de la mesa). Opción 2: Se puede circunscribir una circunferencia y ubicar la bandeja en el centro de esta. Las personas se deberían sentar en los vértices del cuadrado (esquinas de la mesa). b. Usar los puntos medios de cada lado del trapezoide.

K α = 30º

F

G

H

I

C BC=4 AB=4

J

L

Nivel 2: 1. a. Representa el baricentro. b. Un romboide. 2. a. Múltiples respuesta: Opción 1: Se puede inscribir una

J`

A

G

R U

2.

CA=4

L

b. La suma de los dos lados de menor longitud debe ser

H J L

3.

K

3. a. No se pudieron construir.

O

corresponde al diámetro de la circunferencia circunscrita.

D L AL = 5

OK=9,73

OL=3,43

I

Nivel 1: 1. La hipotenusa

A

O OM=5,07

NO=4,86

S

P

M

N

E


AN = 4 E

B

2. Están en razón 2:1

SECCIÓN 9: PLANO CARTESIANO

B

¿Qué debo saber? (página 113) Nivel 1: a. Si sus ángulos son rectos es un cuadrado, sino

Nivel 2: 1. En un triángulo equilátero. 2. La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre

ellos. Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos C

Nivel 1: 1. Es la misma me-

dida para un lado que para otro, porque equidistan de los puntos A y B.

18,7 , 1 3 1

A

1 1, 3

Lección 38 Nivel 1: a. No es correcto, porque (a, b) se ubica en un cua-

F E1 3 , 1 D 1 1 , 3

es un rombo. b. Trapecio rectángulo. c. Triángulo equilátero. d. Triángulo rectángulo isósceles. Nivel 2: a. Miden 8 u 2 cada triángulo, por lo tanto son congruentes. b. Porque tienen igual medida de base y altura.

18,7

B

drante distinto que (–a, b). De hecho los puntos se reflejan en relación al eje Y. b. No es correcto, en el tercer cuadrante ambos términos del par ordenado deben ser números negativos. c. No es correcto, ya que esos pares ordenados se ubican sobre el eje de las ordenadas. Nivel 2: a. Es O(7, 3). b. Es 2, para que sea perpendicular a la recta trazada.


129

Solucionario

Lección 39 Nivel 1: a. El vector de traslación es (3, –6) b. El vector de traslación es (–1, 1) y las componentes de los

puntos trasladados son: E’(4, 0), F’(4, 4). _ Nivel 2: A(2, 0) con el vector v = _(0, –3); B(5, 0) con el vector _ r = (3, –3); C(5, 3) con el vector s = (3, 0).

•

1.

2.

›

›

›

Mural (página 115) _ _ _ _ _ Nivel 1:_ Vector c_, vector d_, vector d_ , vector _ c , vector _a , vector _b , vector _a , vector _b , vector _b , vector _b , vector _b , vector _b , vector _b , vector d , vector b , vector b , vector b , vector d , vector b . Nivel 2: Los estudiantes tienen muchas posibilidades de maniobras para el juego. ›

›

›

›

›

›

›

›

›

›

›

3. 4. 5. 6.

›

›

›

›

7.

›

›

›

›

8.


•

Sección 7

Hay infinitas circunferencias que pasen por dos puntos. Sin son tres puntos no colineales existe una única circunferencia. Se obtienen infinitas circunferencias con el mismo centro. Son 3 cm de distancia entre ambas circunferencias. 9 cm. Su área es de 16 π cm2. P = 47,1 cm y A = 58,875 cm2. 12π cm. π3 cm2. Sección 8

1.

Se debe trazar un arco considerando como centro el punto A y que corte a la recta L1 en dos puntos, que se pueden llamar B y C. Estos se marcan y se trazan otros dos arcos AB y AC. Donde se intersequen dichos arcos se marca el punto D y este se une con el punto A, trazando una recta perpendicular a L1. 2. Se debe dibujar una recta que pase por los puntos A __ y B. Luego, se dibuja un punto Q fuera de la recta AB. Trazar una circunferencia cuyo centro sea A y su radio el ___ segmento AQ. Marcar la intersección de la circunferencia con la recta que se construyó, dibujando el punto ___ C. Luego, copie el radio AQ considerando como centro el punto C. Trazar otra circunferencia con centro en Q y ___ radio QA. Marcar el punto donde se intersecan las circun__ ferencias trazadas y llamarlo punto D. Trazar la recta QD y __ que es // a la recta AB. 3. En los triángulos obtusángulos el ortocentro se ubica fuera de la circunferencia y en el caso del triángulo rectángulo, este se ubica en el vértice del ángulo recto. 4. Coinciden tantos los segmentos como los puntos de intersección. 5. Al construir una circunferencia circunscrita en un triángulo rectángulo, se puede observar que el triángulo se posiciona en la mitad de la circunferencia. Por lo tanto, coincide el lado más largo del triángulo con el diámetro de la circunferencia. ⁀

Nivel 1: C

C

C

⁀

‹

A

B

Nivel 2: Hay varias posibilidades de formar un parale-

logramo de igual área.

‹

‹

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: Puede trasladar el punto B(2, 1) con _el vector _ ›

›

g = (7, 0) y el punto (2, 2) también con el vector g . Nivel 2: Se forma una línea lo que significa que las rectas tienen o se forman de infinitos puntos. Refuerzo mis aprendizajes (página 117) •

Sección 6


1.

130

Unidad 3 Geometría

2.

_

Para calcular las diagonales de un polígono se utiliza la n(n − 3) siguiente formula: 2 Desde un vértice: , donde n es el número de lados Diagonales totales: Un polígono de 33 lados tiene 495 diagonales. Cada ángulo exterior mide 10°.

•

Sección 9

2). AB = DC = 3, AD = BC = 7. Perímetro del polígono 20 unidades. 7,5 unidades cuadradas.

¿Qué aprendí? (página 118) 1. 2.

›

›

1. A(−6, 2), B(−5, −1), __−1), D(1, ___ C(1, __ ___

2.

›

C C

3 Actividad complementaria (página 121) 2. a. El área del cardiotangrama es (64 + 16 π) cm2. El perí-

metro del cardiotangrama es (16 + 8 π) cm. b. Los dos piezas que corresponden a un cuarto de círculo tienen la misma área. El romboide y el cuadrado tam-

bién, porque al descomponerlos, ambos están formados por dos triángulos rectángulos que tienen igual área. Cada uno tiene como área 16 cm 2. c. Se deben construir las simetrales de cada lado. Si el circuncentro A D coincide con el punto medio de la hipotenusa, entonces el triángulo E es rectángulo. Si los catetos tienen la misma medida, entonces es un triánB gulo isósceles. Esto se puede comprobar con la abertura del compás. d. La superficie que tiene mayor área es la formada por el romboide, el triángulo, el cuadrado y el trapecio, ya que la superficie que forman los dos semicírculos corresponde a la de un círculo inscrito en el cuadrado que forman las figuras antes señaladas. e. El ángulo interior del romboide mide 135°, el del cuadrado mide 90°, el del trapecio mide 135°. f. Tiene la misma superficie, ya que ocupa las mismas figuras sólo que en distintas posiciones.

lo que se forma al unir ambos semicírculos, cuyo radio b . Finalmente se debe restar el área del círculo al área es _ 4 del rectángulo. La expresión que representa dicha área b2 – b2 π ó _ b2 1 – _ 1π. es _ 2 16 2 8

_

2. B

3. C

4. A

5. A

6. a. Verdadero, tienen igual área independiente de su forma.

11. a. D(−2, 1)

d. Verdadero, porque cada vértice equidista del centro de

c. O(10, 5); Q(10, −1)

c. 1,44 π cm2.

2 d. El diámetro es de _ π e. Las nuevas coordenadas son A’(−1, −1). La nuevas coor-

denadas del vértice C son (2, 0). f. La superficie de la mesa mide(1,5 + 0,25 π) cm2 g. Dos ángulos miden 30° cada uno y los otros dos miden

150° cada uno. h. Cada ángulo mide 90° cada uno. i. Puede construir las simetrales de cada triángulo y si el

circuncentro se ubica sobre el punto medio de uno de los lados del triángulo, entonces este es rectángulo. O puede trazar las alturas y si el ortocentro se ubica en un vértice, entonces el triángulo es rectángulo. j. O(4, 4). k. En el caso del triángulo inscrito en una semicircunferen-

cia su área sí varía, ya que su altura varía al mover el vértice en la circunferencia. l. En el caso del triángulo inscrito en el cuadrado, su área no

varía porque su altura tampoco lo hace. Banco de preguntas (página 125)

C B

D

1. Sí tienen la misma área porque tienen la misma base y

O A

b. G(4, 0)

b. Miden 54° cada uno.

la circunferencia, es decir 7.

b. (8 π + 32) cm.

12. a. Recorre una distancia de 5500 π cm.

b. Verdadero, es el único triángulo con 2 alturas externas. c. Falso, se forman dos triángulos rectángulos escalenos.

)

10. a. (30 π + 20) cm.

Evaluación de la unidad (páginas 122 a 124) 1. D

(

P

8. a. 80 cm2.

b. 24 cm2

c. 240 cm2

d. 18 cm2.

altura. 2. 1350 cm2 3. a. 1800° b. 1620° c. 1440° 4. 20 π cm. 5. Corresponde al baricentro o centro de gravedad. 6. 4 π cm2 C

9. a. Se debe calcular el área del cuadrado, luego se debe

calcular el área del círculo inscrito en el cuadrado, cuyo radio mide la mitad de la longitud del lado del cuadrado. Finalmente se debe restar al área del cuadrado el área del círculo. Si se considera π como 3, la región sombreada tiene un área 9 cm 2. b. Se debe calcular el área del rectángulo cuyo largo b , luego calcular el área del círcues b y cuyo ancho es _ 2

7.

A

AC = 16 cm CE = 9 cm E AD = 12 cm D

B

Su perímetro es de 58 cm. 8. a. En el centro.

c. En la circunferencia.

b. En el radio. d. En el exterior del círculo.


131

Solucionario


Logrado

Por lograr

Repasa en…

Determinar ángulos interiores y exteriores de polígonos. 3 o más puntos (Actividades 1, 12b, 12g, 12h) Calcular áreas de triángulos, paralelogramos y trapecios. 3 o más puntos (Actividades 6, 10, 11 y 12)

2 o menos puntos Lección 26.

Identificar elementos del círculo. (Actividades 2, 6b, 7) Estimar el área y el perímetro de círculos y circunferencias. (Actividades 3, 6d, 9, 10, 12 a, 12c, 12d, 12f ) Realizar construcciones geométricas. (Actividades 4, 6c, 12i) Identificar y realizar puntos y traslaciones con vectores en el plano cartesiano. (Actividades 5, 11, 12e, 12j)

2 o más puntos 4 o más puntos

0 o 1 punto Lección 29. 3 o menos puntos Lecciones 30 y 31.

2 puntos

0 o 1 punto

3 puntos

2 o menos puntos Lecciones 38 y 39.

2 o menos puntos Lección 27.

Lecciones 32 a 37.

Parte II: Para practicar habilidades Para practicar las habilidades matemáticas evaluadas en la parte II dirígete al Cuaderno de ejercicios, según tu nivel de logro. Habilidad Representar (Actividades 2, 3, 4, 7, 11) Modelar (Actividades 14d, 14b) Resolver problemas (Actividades 14 i, 14b, f ) Argumentar y comunicar (Actividades 9e, 10e, 11e, 12b)

Logrado

Por lograr

Practica en…

3 o más puntos

2 o menos puntos

1 o más puntos

0 puntos

Cuaderno de ejercicios, lecciones 32 a 37. Cuaderno de ejercicios, lecciones 30 y 31.

2 o más puntos

1 o 0 puntos

3 o más puntos

2 o menos puntos

Cuaderno de ejercicios, páginas 86, 87, 96 y 97. Cuaderno de ejercicios, lecciones 26 y 28.


132

Unidad 3 Geometría

A D D I N

U

4

Estadística y probabilidad Propósito de la unidad del Texto del Estudiante y de la Guía del Docente El hilo conductor de la unidad es el eje de Probabilidad y Estadística y ha sido organizada de la siguiente manera: se comienza con la sección de muestreo y representación de datos donde se trabajan los conceptos fundamentales de un estudio estadístico como lo son la población y muestra representativa. Luego, se organizan los datos en tablas de frecuencias y se dan lineamientos para elegir el gráfico más adecuado para representar un conjunto de datos según sus características. En la segunda sección, se caracteriza un conjunto de datos a través de las medidas de tendencia central y se establecen criterios para comparar conjuntos de datos a través de estos estadígrafos. En la última sección se trabaja con probabilidades, diferenciando entre un experimento determinístico y uno aleatorio. Para este último se define la equiprobabilidad que permite calcular la probabilidad teórica a través de la regla de Laplace y también se trabaja con la probabilidad frecuencial. Finalmente se utiliza el diagrama de árbol para determinar el espacio muestral, lo que permite calcular la probabilidad de un evento.

Organización de la unidad El siguiente esquema muestra, en una panorámica general, cómo se organizan los contenidos de la unidad en el Texto del Estudiante, haciendo hincapié en la resolución de problemas.

Estadística y Probabilidad Sección 10

Sección 11

Sección 12

Población y muestra

Media aritmética

Experimentos determinísticos y aleatorios

Organización de datos en tablas

Moda

Probabilidad frecuencial y teórica

Gráfico más adecuado

Mediana

Diagrama de árbol



133

Planificación de la unidad Sección 10: Muestreo y representación de datos Objetivos de aprendizaje

Lección

Tiempo

3 horas •

Estimar el porcentaje de algunas características de una población desconocida por medio del muestreo. Lección 40:

Habilidades Modelar

¿Qué es una población y Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manual- una muestra? mente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de otras asignaturas y de la vida diaria. 3 horas

Actitudes:

Lección 41: Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros y ¿Cómo debe ser la muestra? manifestando disposición a entender sus argumentos. •

Representar datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas, utilizando gráficos apropiados, de manera manual Lección 42: y/o con software educativo. ¿Cómo organizar datos?

3 horas

Habilidades Representar Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica, Lección 43: entre otros).

¿Qué gráfico utilizar?

Actitudes:

3 horas

Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la comunicación en la obtención de información.


134


Tiempo

Inicio de sección

280 y 281

1 hora

¿Qué debo saber?

282 y 283

1 hora

Mural

302 y 303

1 hora

¿Cómo voy?

304 y 305

2 horas


306

1 hora


307

½ hora

Unidad 4 Estadística y probabilidad


284 a 287

Indicadores de evaluación •

•

•

•

•

•

288 a 291

292 a 295

•

•

•

•

•

•

296 a 301

Infieren sobre la composición de una población incógnita pequeña mediante un muestreo aleatorio reiterado. Plantean temas que interesen a los alumnos para realizar encuestas entre los estudiantes del 7° nivel del colegio; infieren porcentajes representativos de la muestra y luego comparan con la realidad. Identifican las muestras aleatorias y no aleatorias a base de ejemplos dados. Elaboran modelos para el muestreo aleatorio en la población del 7° nivel del colegio. Analizan las muestras obtenidas para ver coincidencias o diferencias. Conjeturan acerca de los resultados posibles de experimentos aleatorios y comparan la conjetura con la realidad.

Confeccionan tablas de frecuencias absolutas y relativas de los datos obtenidos en las muestras. Elaboran el gráfico más conveniente para representar los datos. Sacan datos de los gráficos y los registran en tablas, diferenciando entre la frecuencia relativa y la absoluta. Cambian de un gráfico a otro. Verbalizan y comunican información presentada en gráficos. Plantean, realizan y documentan encuestas, elaborando escalas categóricas de varios temas de interés.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Actividades para detectar el manejo de los prerrequisitos. Conectar los aprendizajes y habilidades adquiridas en la sección con situaciones reales de la actualidad de nuestro país. Actividades de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


135


Sección 11: Medidas de tendencia central Objetivos de aprendizaje

Mostrar que comprenden las medidas de tendencia central y el rango: determinando las medidas de tendencia central para realizar inferencias sobre la población •

•

•

•

Lección

Tiempo

3 horas

Lección 44:

¿Qué es la media aritmética o promedio?

determinando la medida de tendencia central adecuada para responder un problema planteado

3 horas

utilizándolos para comparar dos poblaciones determinando el efecto de un dato que es muy diferente a los otros.

Lección 45:

¿Qué es la moda?

Habilidades Argumentar y comunicar Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos.

3 horas

Actitudes: Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e informaciones mate- Lección 46: máticas y valorar el aporte de los datos cuantitativos en la comprensión de ¿Qué es la mediana? la realidad social.

3 horas Lección 47:

¿Cómo comparar muest ras utilizando las medidas de tendencia central? Páginas especiales de la sección 11 Actividad

136


Tiempo

Inicio de sección

308 y 309

1 hora

¿Qué debo saber?

310 y 311

1 hora

Mural

328 y 329

1 hora

¿Cómo voy?

330 y 331

2 horas


332

1 hora


333

½ hora


4


312 a 315


•

•

316 a 319 •

•

•

Descubren que distribuciones muy dispersas y distribuciones homogéneas pueden tener la misma mediana. Muestran que la mediana no se altera si hay variaciones grandes en los valores extremos. Reconocen la importancia del valor mínimo, del valor máximo y del recorrido para describir oportunamente una distribución de datos cuantitativos. Analizan situaciones y determinan cuál es la medida muy diferente a los otros de tendencia central para efectuar las comparaciones e inferencias sobre la o las poblaciones. Describen la inferencia que se puede obtener de un grupo de datos que es muy diferente a otro en una muestra. Visualizan la medida de tendencia central y el rango en los gráficos correspondientes.

320 a 323

324 a 327

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Actividades para detectar el manejo de los prerrequisitos. Conectar los aprendizajes y habilidades adquiridas en la sección con situaciones reales de la actualidad de nuestro país. Actividades de integración y evaluación de los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.


137


Sección 12: Probabilidad Objetivos de aprendizaje

Lección

Explicar las probabilidades de eventos obtenidos por medio de experimentos de manera manual y/o con software educativo: estimándolas de manera intuitiva Lección 48: utilizando frecuencias relativas ¿Qué es un experimento relacionándolas con razones, fracciones o porcentaje. aleatorio?

Tiempo

3 horas

•

•

•

Comparar las frecuencias relativas de un evento obtenidas al repetir un experimento de forma manual y/o con software educativo, con la probabilidad obtenida de manera teórica, usando diagramas de árbol, tablas o gráficos.

Habilidades Resolver problemas

3 horas Lección 49:

¿Cómo estimar la probabilidad

Utilizar sus propias palabras, gráficos y símbolos matemáticos para presentar mediante la frecuencia relativa? sus ideas o soluciones.

Actitudes:

3 horas

Lección 50:

Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la comunicación en ¿Cómo determinar la probabilila obtención de información, dando crédito al trabajo de otros y respetando dad teóricamente? la propiedad y la privacidad de las personas. 3 horas

Lección 51:

¿Cómo calcular probabilidades usando diagramas de árbol? Páginas especiales de la sección 12 Actividad


Tiempo

Inicio de unidad

334 y 335

1 hora

¿Qué debo saber?

336 y 337

1 hora

Mural

354 y 355

1 hora

¿Cómo voy?

356 y 357

2 horas


358

1 hora


359

½ hora


Tiempo


360

½ hora


361 y 362

1 hora

¿Qué aprendí?

363 a 365

2 horas


138



338 a 341


•

•

•

342 a 345

•

•

•

•

346 a 349

•

•

350 a 353

•

Mediante experimentos, estiman la probabilidad de un evento, registrando las frecuencias relativas. Establecen la probabilidad de un evento mediante razones, fracciones o porcentajes, sea haciendo un experimento o por medio de un problema. Antes del experimento, estiman la probabilidad de ocurrencia y verifican su estimación, usando de frecuencias relativas. Elaboran, con material concreto (como dados y monedas), experimentos aleatorios con resultados equiprobables y no equiprobables. Realizan los experimentos aleatorios con numerosas repeticiones, determinan las frecuencias absolutas relativas y representan los resultados mediante gráficos. Analizan y comunican si se cumple aproximadamente la equiprobabilidad. Determinan la probabilidad de manera teórica y luego comparan con la probabilidad de realizar el experimento. Determinan la probabilidad de un experimento, usando gráficos, diagramas de árbol o tablas. Comparan la probabilidad de un evento según un muestreo, su frecuencia relativa y un gráfico adecuado. Determinan la probabilidad de un problema mediante diagramas de árbol. Calculan la probabilidad de un evento de manera teórica.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas, motivación para comenzar el estudio de la sección. Evaluación de diagnóstico para detectar manejo de prerrequisitos. Utilizar herramientas tecnológicas para calcular probabilidades. Instancia de evaluación del proceso. Desarrollar una estrategia para resolver problemas. Instancia de síntesis y metacognición.

Objetivo

Observaciones

Activación de ideas previas. Motivación para comenzar el estudio de la sección. Instancia de reflexión y metacognición. Evaluación de diagnóstico para detectar manejo de prerrequisitos. Conectar los números enteros a situaciones reales de la actualidad de nuestro país.


139

Orientaciones al docente sin valores de por medio. Por ejemplo, la probabilidad de que mañana sea lunes si hoy es domingo es de un 100 %, mientras que en términos de posibilidad es algo seguro. No podríamos decir entonces, que la posibilidad es de un 100 % o que la probabilidad es algo seguro.

Inicio de unidad »

Componentes Texto del estudiante páginas 278 y 279. Recurso digital complementario: Estudio estadístico.

»

Prerrequisitos de la unidad •

»

R

c

s o

u r

c

e

d i g

i t a

l

o


o

Los y las estudiantes deben saber qué es una variable y cuándo estas son cualitativas o cuantitativas, justificando su elección. También deben tener dominio en la interpretación de gráficos de barras, líneas y circulares, así como también en diagramas de puntos. Junto con ello, deben conocer estrategias y procedimientos de cálculo para estimar y determinar los porcentajes presentes en gráficos circulares.

Propósito En esta unidad los y las estudiantes ampliarán su conocimiento sobre tres temas: muestras y su representación, medidas de tendencia central y probabilidad, tanto experimental como teórica.

Orientaciones didácticas Es importante que haga una distinción entre la matemática y la estadística, señalando que esta no busca establecer generalizaciones ni basar sus argumentos en teoremas o postulados. Por el contrario, busca tomar decisiones o justificar estas a partir de la interpretación de los datos, siendo, por lo tanto, la variabilidad y la incer tidumbre lo que distinguen a la estadística de la matemática. Hágales ver al abordar el tema que presenta el texto del estudiante, la importancia de estar alfabetizados estadísticamente, ya que este conocimiento empodera a las personas al darles herramientas para pensar por sí mismas, hacer preguntas a los expertos y confrontar las ideas con confianza, habilidades necesarias para enfrentar el mundo de hoy. Fuente: Recomendaciones para el curriculum escolar del eje datos y probabilidad. Sociedad chilena de estadística. Sección de educación estadística. Araneda y otros. 2011.

Utilice la actividad del recurso complementario digital para activar las ideas previas y motivar a nuevos contenidos.

Posibles dificultades Utilizar correctamente los conceptos es muy impor tante, ya sea para la estadística o la probabilidad. Por ejemplo, el concepto de probabilidad debe utilizarse para referirnos en términos numéricos a un suceso, es decir, de forma cuantitativa; mientras que los conceptos seguro, posible o imposible se utilizan cuando hablamos de forma cualitativa,

140


Actividades sugeridas Nivel 1 A partir de la tabla responde las preguntas. Galletas tradicionales (100 g)

Galletas saladas (100 g)

436 kcal

464 kcal

74 g

75,8 g

14,5 g

13,1 g

Proteínas

7g

10,8 g

Fibra

3g

3g

Calorías Hidratos de carbono Grasas

a. ¿Cuál de las galletas escogerías y por qué? b. ¿Te sirve esta información? ¿Por qué? c. ¿Qué pasaría si desconocieras esta información o no supieras interpretarla?

Nivel 2 A partir de la información, responde las preguntas. “Globalmente, 1 de cada 5 adolescentes está fuera de la escuela, en comparación con 1 de cada 11 niños en edad escolar primaria. Así que los adolescentes tienen el doble de probabilidad de no recibir una educación que los niños de menos edad. El informe, financiado por la Alianza Mundial para la Educación, también muestra que, a medida que los niños crecen, aumenta el riesgo de que nunca empiecen la escuela, o de que la abandonen”. a. ¿Qué significa la afirmación “los adolescentes tienen el doble de probabilidad de no recibir una educación que los niños de menos edad”?

b. ¿De dónde se obtiene esta proposición? c. ¿Qué importancia tiene esta información? d. ¿Es correcto lo que se señala? Fuente: http://www.unesco.org/

Sección

10

»

»

Muestreo y representación de datos


Componentes

Indicador

Pregunta

Remedial

Texto del estudiante páginas 280 y 281.

Identificar variables.

1

Realice la actividad sugerida de nivel 1.

Interpretar gráficos

2y3


4, 5 y 6

Recuerde qué es un porcentaje, su relación con las fracciones y números decimales.

Propósito •

•

•

•

Identificar población y muestra. Analizar la representatividad de una muestra y estimar el porcentaje de características de la población por medio del muestreo Organizar datos en tablas.

Estimar y determinar porcentajes en un gráfico.

4

Analizar la pertinencia de un gráfico. Utilice las actividades que aparecen a continuación como refuerzo de estos indicadores de evaluación.


Inicio de sección

Nivel 1 Identifica la población y la muestra en cada situación: a. Una universidad quiere saber si el personal que

Las lecciones 40, 41 y 44 están trabajadas a través de un taller grupal que incentiva tanto el intercambio de ideas y estrategias entre los y las estudiantes, como también la capacidad de aprender de forma colaborativa e intuitiva. Por otra parte, las lecciones 42 y 43 son trabajadas a través del modelamiento de pasos debido al carácter procedimental de los objetivos de aprendizajes incluidos en ellas. Puede complementar la información de estas páginas con el siguiente ejemplo: “un estudio señala que en Chile se venden más bicicletas que autos usados”. Hágalos reflexionar de la pertinencia y relevancia de los estudios estadísticos con preguntas como: ¿A quién y de qué manera

afecta esta afirmación? ¿Qué medidas se debieran tomar para que esta alza no cause estragos? Si fueras comerciante, ¿de qué te sirve este estudio?

trabaja en la biblioteca atiende correctamente las consultas de los estudiantes. Para ello, aplicarán una encuesta a 50 estudiantes, diariamente, durante el mes de junio. b. Una cadena de gimnasios aplicará una encuesta a 30 afiliados de cada sucursal para saber el grado de satisfacción de la clase de yoga que imparten. c. Una empresa de jugos quiere lanzar al mercado un nuevo sabor de jugo en Arica, al norte de nuestro país. Para ello, dará a probar su receta en todos los supermercados de la ciudad, con porciones que alcanzan para 100 personas diariamente, por una semana, para saber si el sabor tiene o no una buena aceptación.

Nivel 2 Responde las siguientes preguntas a partir del gráfico.



»

Propósito Detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos.

Orientaciones didácticas A continuación se presenta un resumen de los indicadores de evaluación incluidos en las actividades de est as páginas y sus posibles remediales o actividades de refuerzo.

a. ¿Qué información podemos obtener del gráfico? b. ¿Falta algún dato importante que no se ha mencionado en el gráfico, para poder interpretarlo mejor? c. ¿Qué conclusiones se obtienen de la información presentada en el gráfico?


141


Lección 40: ¿Qué es una población y una muestra? »

Nivel 2 Identifica la variable, población y muestra. Luego responde.

Componentes Texto del estudiante páginas 284 a 287.

Nº de mascotas en las familias de Renca

Cuaderno de ejercicios páginas 124 y 125. »

s a i l 25 i m a 20 f e d 15 d a 10 d i t n 5 a C 0

Propósito Identificar población y muestra.

Orientaciones didácticas Comente los beneficios que tiene extraer un muestra en lugar de realizar los estudios sobre toda la población: •

•

•

•

Las muestras pueden estudiarse con más rapidez que las poblaciones.

1

2 3 4 Nº de mascotas

5

a. ¿Cuántas familias tienen 3 mascotas? b. ¿Cómo saber si es una muestra representativa?

Es menos costoso estudiar una muestra que una población. En la mayor parte de las situaciones el estudio de la población entera es imposible. Los resultados de una muestra son más precisos que los derivados de poblaciones. Esto es por la calidad de los datos, la capacitación de quien recoge los datos; la estimación del error en los parámetros resultantes y la homogeneidad de las muestras.

Fuente: Argimón J, Jiménez J. Métodos de investigación. Madrid. Ediciones Harcourt;2000.

Errores frecuentes Al identificar la población, los y las estudiantes suelen pensar que ésta siempre comprende el territorio nacional, influyendo luego, en la identificación de la muestra, ya que la confunden con la población. Por ello es importante que haga hincapié en que la población depende del tipo de estudio que se quiera llevar a cabo, es decir, tiene variabilidad y que a partir de ella es que se selecciona luego la muestra.

Actividades sugeridas Nivel 1 Determina la variable, la muestra y la población en la siguiente situación: “En un colegio de 800 estudiantes se quiere saber cuántos estudiantes entre 10 y 18 años utilizan celular. Para ello, se seleccionó al azar a tres estudiantes por curso, desde 5.° básico a 4.° medio.”

142

0


Lección 41: ¿Cómo debe ser la muestra? »

Componentes Texto del estudiante páginas 288 y 291. Cuaderno de ejercicios páginas 126 y 127.

»

Propósito Analizar la representatividad de una muestra y estimar el porcentaje de características de la población por medio del muestreo.

Orientaciones didácticas Los conceptos que deben quedar claros a los y las estudiantes son la aleatoriedad y la representatividad de la muestra. Aleatoriedad significa que todos tienen la misma posibilidad de ser escogidos y no se puede predecir qué se obtendrá al escoger un elemento de la muestra, es decir, hay cierta incertidumbre. La representatividad debe entenderse no sólo por el número de la muestra en relación a la población, sino también, que esta debe coincidir con la población. En términos de probabilidad, la ley de los grandes números señala que es necesario extraer varias muestr as para que los resultados o las interpretaciones coincidan con las que nos arrojarían la población directamente.

Errores frecuentes Por lo general, los estudiantes suelen pensar que entre mayor sea el número de la muestra, mayor será su representatividad. Haga hincapié entonces, en qu e la representatividad está directamente ligada con que los resultados de la muestra se asemejen a los de la población.


entregan los datos. Si estos evidencian algunas incongruencias, es porque la confección del instrumento que organiza los datos debe presentar fallas y que por ello es necesario evaluar y revisar. Por ejemplo, que el total de atributos registrados en una tabla dé un valor distinto a la cantidad de datos que se presentaron para su organización.

Nivel 1 La municipalidad de Valdivia quiere hacer un estudio en relación al consumo de agua por grupo familiar. Si se necesita seleccionar una muestra, ¿qué se debe tener en cuenta para hacerlo? Nivel 2 La profesora entrega una bolsa negra con 20 pelotas de distintos colores en su interior a sus estudiantes. Para saber qué color es el que predomina en la bolsa, la profesora les solicita que extraigan muestras y que saquen sus conclusiones. Oliver sacó una muestra con cinco pelotitas y anotó el color que más se repitió. Jael sacó 20 veces una muestra de cinco pelotitas y anotó cada vez el color que más se repitió. ¿Quién realizó un procedimiento correcto?

Actividades sugeridas Nivel 1 Organiza los siguientes datos en una tabla de frecuencias y extrae dos conclusiones. Edad de los estudiantes de 7.° A. 12 – 12 – 12 – 13 – 13 – 13 – 13 – 13 – 12 – 14 – 13 – 13 13 – 12 – 13 – 14 – 12 – 13 – 13 – 13 – 13 – 12 – 12 – 12 13 – 13 – 13 – 13 – 13 – 13 – 12 – 13 – 13 – 12 – 14 – 12 – 13.

Nivel 2 Identifica el error que se cometió en la confección de la siguiente tabla y corrígelo.

Lección 42: ¿Cómo organizar datos? »

Componentes

Números de computadores en las casas de los alumnos de 7.° A.

Texto del estudiante páginas 292 a 295. Cuaderno de ejercicios páginas 128 y 129. Recurso digital complementario: Tablas de frecuencias y gráficos

Propósito

R

c

s o

u r

c

e

1–1–2–1–3–3–3–3–2–2–2–2–2–1–1–1 1–1–1–1–4–3–4–1–1–3–2–2–2–2–2–2 3 – 3 – 1 – 1 – 2 – 4 – 3 – 3.

d i g

i t a

l

o

i m r p l t a n e m e

o

N° Pc

f

fr

Organizar datos en tablas.

1

14

14/39

14


2

13

13/39

27

3

10

10/39

37

4

2

2/39

39

»

Inicie la lección señalando la lógica que tiene ordenar los datos en una tabla, comenzando por la frecuencia absoluta. La frecuencia relativa se puede homologar con el concepto de razón, conocido por los y las estudiantes, ya que deben comparar la frecuencia absoluta de cada categoría con el total del atributo. Finalmente, la frecuencia acumulada nos permite saber, con solo mirar la tabla qué sucede con los datos hasta cierta categoría. Puede usar el recurso digital complementario para profundizar en la organización de datos clasificando y expresando en tablas de frecuencias. En esta actividad, sus estudiantes podrán elaborar gráficos a partir de tablas de frecuencias y extraer e interpretar la información presentada en tablas de frecuencias y en gráficos.

Errores frecuentes El principal error es el de la identificación del atributo en estudio y sus categorías. Por ello es importante que les explique que los estudios estadísticos son cíclicos y que por ello es importante ver los resultados que nos

F

Lección 43: ¿Qué gráfico utilizar? »


»

Propósito Analizar la pertinencia de un gráfico.

Orientaciones didácticas Es importante que los estudiantes comprendan que hay gráficos más adecuados para un tipo de ordenamiento, pero que todos, finalmente, entregan la misma información. Para variables cualitativas, por ejemplo, es recomendable la utilización de un gráfico de barras. En el caso de la frecuencia relativa o porcentual, es recomendable la utiliza-


143


ción de un gráfico circular o de torta, ya que se visualiza una porción de un todo. Para aquellas variables que representan una tendencia en el tiempo, lo más recomendable es un gráfico de líneas.

Actividades sugeridas Nivel 1 Identifica el gráfico que utilizarías para presentar la siguiente información. Justifica tu respuesta. a. El promedio de nota que obtuvo una estudiante des-

La utilización de cada uno de ellos dependerá de la pertinencia que tengan para la representación y el posterior análisis de los datos. El uso del histograma, para variables cuantitativas, se abordará con profundidad en la información complementaria de la unidad.

de 1.° básico a 4.° medio.

b. El número de votos obtenidos por tres candidatos a la presidencia. c. El porcentaje de asistencia de un alumno en el primer semestre.

Errores frecuentes Que un gráfico represente mejor la información que otro, no quiere decir que esa misma información no se pueda representar de otra forma. Por ejemplo, en muchos estudios, se utilizan gráficos de barras para representar porcentajes y esto no quiere decir que la información tenga problemas en su representación.

Nivel 2 Observa el siguiente gráfico, luego responde. Se realizó un estudio mensual sobre los hábitos de lectura de los jóvenes. Lee 2 libros

Al construir gráficos con dos ejes (de barras, histogramas, de línea), la dificultad está dada por los atributos que se le asigna a cada uno. Es decir, en ocasiones se confunde la frecuencia con el atributo y la altura de la barra. Esto suele suceder cuando las variables son cuantitativas o, en el caso de las cualitativas, cuando las categorías del atributo son números.

18 % 5%

Lee 1 libro

Lee 3 libros

26 % No lee

a. Si se entrevistó a 1000 jóvenes, ¿cuántos de ellos leen

Link de interés

1 libro?

b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de aquellos que di-

Para conocer más acerca del uso de gráficos visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P140.

cen no leer? ¿Cuántos jóvenes leen más de 1 libro mensual?

c. Representa la situación en otro gráfico y señala si las conclusiones obtenidas anteriormente varían con esta nueva presentación de los datos.

Mural: Los riesgos del consumo de bebidas energéticas con alcohol »


»

Propósito Conectar los conocimientos adquiridos en la sección con sucesos de la vida real y cotidiana.

Orientaciones didácticas Consulte a sus estudiantes, a partir de la infografía presentada, ¿por qué es importante tener conocimiento de

la información que nos aporta esta noticia? ¿Por qué este medio de comunicación nos presenta la información de esta manera? ¿Facilita o dificultad la comprensión del daño que causa la mezcla de bebidas energéticas y el alcohol, el uso de estos gráficos?

144




Nivel 1 Presente la infografía sobre el uso individual de internet que aparece en el anexo al final de esta guía y consulte lo siguiente: a. ¿Cuál es la variable en estudio? b. ¿Se puede determinar cuál es la población y la

Nivel 1 1. Analiza las siguientes muestras de acuerdo al estudio que se propone a continuación: “Se desea saber las preferencias musicales de la juventud chilena y para ello se decide hacer una encuesta”. a. Se encuesta a 500 jóvenes en el centro de las princi-

muestra?

pales ciudades.

c. ¿Por qué si la información presentada son porcenta-

b. Se pide a los jóvenes que den su opinión en una ra-

jes, no se utiliza un gráfico de torta?

dio de alcance nacional.

d. ¿Qué información se puede obtener de esta infogra-

2. En un zoológico se desean saber cuántos monos hay. Escogen una muestra de 50 monos y los marcan; al día siguiente toman una muestra de 40 monos y observan que 5 de ellos están marcados. ¿Cuál es el total aproximado de monos del zoológico? Nivel 2 Completa la siguiente tabla y luego represéntala en un gráfico de barras. Cantidad de goles de cuatro equipos en la Copa América.

fía y que decisiones se debieran tomar?

Nivel 2 A partir de la infografía acerca del crecimiento de los ciclistas que aparece en el anexo al final de esta guía, consulte lo siguiente: a. ¿Cuál es la variable en estudio? b. ¿Cuál es la población y la muestra del estudio? c. ¿Qué información es posible extraer de este estudio? d. ¿Qué decisiones se debieran tomar? e. Realiza una tabla de frecuencias y registra en ella la

País

cantidad de personas que se transportaba en bicicleta por zona en el año 2001 y otra tabla con para el año 2012. Comparan las frecuencias relativas porcentuales de cada una.

Chile

f

f %

F

8

Argentina

13

Perú

4

Bolivia

3

20 %

¿Cómo voy? »

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos


»

»

Texto del estudiante páginas 306 y 307. Cuaderno de ejercicios páginas 136 y 137.

Propósito Integrar y evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección.

Orientaciones didácticas Los y las estudiantes deben evaluar su desempeño y la apropiación de los objetivos de aprendizaje abordados a lo largo de la sección. Puede realizar una síntesis de los conceptos claves trabajados y revisar con ellos lo que pensaban que significaban en un inicio. Con ello, puede ir despejando dudas y corrigiendo posibles errores.

Componentes

»

Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.


Haga hincapié en que el estudio y trabajo estadístico es cíclico al igual que el método científico, a modo de analogía. Es necesario identificar qué estudiar (la variable), cómo extraer la información (muestra), cómo representar dicha información, extraer e interpretar, criticar los resultados para saber si son coherentes con los datos extraídos y luego evaluar para tomar decisiones o para continuar con la investigación.


145


Link de interés Para conocer más acerca del cómo organizar un conjunto de datos visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P142.

En relación a la sección Vuelvo mis procesos, fomente la metacognición en sus estudiantes, ya que este proceso permitirá que el aprendizaje sea satisfactorio con un menor esfuerzo y con un mejor rendimiento de sus capacidades. La idea es que los y las estudiantes sean capaces no solo de aprender, sino de mejorar esa capacidad adquiriendo estrategias para autorregular su propio aprendizaje y a aprender a pensar mejor. Fuente: Allueva P. Conceptos básicos sobre metacognición. Zaragosa. Consejería de Educación y Ciencia; 2002.

Link de interés Para conocer más acerca de los conceptos básicos sobre metacognición visite la página http://codigos.auladigital. cl e ingrese el código GM7P146.

Actividades sugeridas Nivel 1 1. La población de un país se puede organizar según su edad (organización etaria). Supón que en un país dado entre los 0 y 19 años hay 5 240 000; entre los 20 y los 39 años hay 5 200 000 habitantes; entre 40 y 59 años hay 4 450 000 y entre 60 y 80 años o más hay 2 280 000 habitantes. a. ¿Qué porcentaje de la población se encuentra entre los 0 y 19 años?

b. ¿Hay más personas sobre los 40 años o bajo los 40 años?

Nivel 2 Tomas registró las fechas de cumpleaños de sus compañeros y compañeras para organizar las celebraciones durante el año. 12 de abril, 13 de agosto, 25 de mayo, 4 de julio, 1 de agosto, 3 de agosto, 4 de enero, 5 de marzo, 23 de mayo, 13 de agosto, 1 de julio, 3 de diciembre, 18 de agosto, 1 de diciembre, 4 de septiembre, 7 de agosto, 16 de enero, 30 de abril, 4 de diciembre, 2 de mayo, 6 de agosto. Si para organizar la información debe saber hasta qué mes se encuentran al menos el 50 % de los cumpleaños, ¿qué puede hacer para tomar esta decisión?

146


4 Sección

11 »

Medidas de tendencia central

Componentes


Texto del estudiante páginas 308 y 309. »

Propósito •

•

•

•

Determinar e interpretar la media aritmética o promedio en contextos. Determinar e interpretar la moda en contexto. Determinar e interpretar la mediana en contexto. Comparar dos o más conjuntos de datos a través de las medidas de tendencia central.

Inicio de sección En esta sección se han organizado los objetivos de aprendizaje en cuatro lecciones, que son presentadas a los y las estudiantes por medio de situaciones modeladas a través de un paso a paso, debido al carácter procedimental de los objetivos de aprendizaje. Active ideas previas a través de los conceptos claves de la sección realizando las actividades presentes en estas páginas.



»

Propósito Detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos de la sección.


Para detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos en sus estudiantes se sugiere realice las actividades de estas páginas. A continuación se presenta un resumen de los indicadores de evaluación incluidos y sus posibles remediales o actividades de refuerzo. Indicador


Pregunta

Remedial

Representar e interpretar datos mediante tablas.

1

Puede realizar la actividad sugerida de nivel 1.

Representar e interpretar datos mediante gráficos.

2, 3, 4 y5

Puede realizar la actividad sugerida de nivel 2.

Nivel 1 1. Construye una tabla para representar los siguientes datos. a. Se ha pedido a un grupo de 20 alumnos y alumnas que evalúen la actividad presentada por sus compañeros y compañeras con una escala de 0 a 5, y se registraron los siguientes resultados: 3, 2, 3, 5, 1, 4, 2, 3, 0, 1, 4, 5, 3, 1, 0, 4, 2, 3, 5, 5.

b. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de poleras que llevó cada uno de los integrantes de un grupo scout al campamento de verano. Calcula la media, la moda y la mediana de esta muestra: 2, 2, 3, 4, 3, 5, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 4, 5.

Nivel 2 1. Una encuesta sobre el tipo de transporte que utilizan los habitantes de un barrio, para ir a su centro de trabajo o de estudio, ha aportado los resultados que se muestran en la siguiente tabla. Medios de transporte fa Caminando Metro Autobús Auto particular Taxi

10 14 20 30 4

Construye el gráfico para representar la información de la tabla y crea dos preguntas que se puedan responder directamente a partir de este. 2. Realiza las siguientes actividades a partir del siguiente gráfico circular: Nº de televisores por familia en una muestra de 130 familias 30 familias 30 familias 10 familias

0 Televisor 1 Televisor 2 Televisores 3 Televisores 4 Televisores

20 familias 40 familias

a. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas tiene 2 televisores?

b. ¿Cuántas familias tienen a lo más 1 televisor? c. Construye el gráfico de barras asociado al gráfico circular.


147


Lección 44: ¿Qué es la media aritmética o promedio? »

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Andrea hizo un registro del color de ojos de sus compañeros y compañeras y la edad de estos. ¿Es posible calcular la media aritmética en ambos casos? Justifica. 2. El promedio del 7.° C es de 5,8. ¿Qué quiere decir esta información? Si se escoge un alumno o alumna al azar, ¿qué debiera esperarse? 3. Carolina quiere calcular su promedio de notas de fin de semestre en Matemática: en tres pruebas obtuvo un 6,2; en dos obtuvo un 6,5; en las últimas dos obtuvo un 6,8 y un 7. ¿Qué promedio obtuvo finalmente?


»

Propósito Determinar e interpretar la media aritmética o promedio en contexto.

Orientaciones didácticas La media aritmética es un concepto utilizado por los y las estudiantes, sobre todo como procedimiento de cálculo para obtener el promedio de sus notas, pero es poco comprendido su significado y la información que nos aporta. Para mejorar la comprensión de este concepto, hágales ver que desde pequeños han utilizado la media aritmética, por ejemplo, cuando realizaban repartos equitativos. Puede presentarles la siguiente situación para que ellos interpreten la media: Miguel tiene 4 dulces, María 3 dulces, Ángel 1

Nivel 2 1. La meta de Guillermo es obtener un 6,5 de promedio en Matemática el primer semestre. Ha obtenido tres notas 6,3; dos notas 6,8; y un 6,4. ¿Qué nota debe obtener en la última prueba para lograr su meta? 2. La media aritmética de un grupo de 15 personas es de 20 años. Proponga las edades de este grupo de personas para que se cumpla con este valor.

dulce y Rosa ningún dulce. Si quieren repartir en partes iguales los dulces, ¿cuántos dulces, en promedio, le corresponde a cada uno? Esto es clave para que se entienda la información que aporta la media aritmética. Luego, puede introducir el significado de la media como punto medio, es decir, como aquel valor que se encuentra a igual distancia de los datos superiores y de los inferiores. Por ejemplo, se tienen los números 2, 9 y 13 ¿Cuál es la media de estos valores? La media es 8, ya que se encuentra a 6 unidades del dato inferior (1) y a 6 unidades de los datos superiores (a 1 del 9 y a 5 del 13, 1 + 5 = 6). Lo importante, no solo es que los y las estudiantes sepan calcular este valor central, sino también que sepan interpretarlo. Señalar que el valor de la media puede no estar presente en los datos estudiados, o que sea un número racional a pesar de que los datos sean discretos (valores enteros).

Errores frecuentes La media aritmética, cuando se calcula de una tabla de frecuencias, suele tener complicaciones, ya que los estudiantes suman las frecuencias absolutas y este total lo dividen en el número de categorías, en lugar de multiplicar cada frecuencia por el valor de su categoría, sumar estos valores y dividirlos por el total de datos. Cuando se comete este error, se debe dar el espacio para que los estudiantes lo analicen y detecten la falla para darle sentido a la corrección. Fuente: Significado y comprensión de las medidas de posición central. Carmen Batanero Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, 2000.

148


Lección 45: ¿Qué es la moda? »


»

Propósito Determinar e interpretar la moda en contexto.

Orientaciones didácticas La moda es el dato más repetido (o igual de repetido) en una muestra o conjunto de datos. Por ejemplo, si en una tabla de frecuencias, hay dos que tienen el mismo valor y es el mayor, ese conjunto de datos tendría dos modas (bimodal). Por otro lado, si todos los datos tienen el mismo valor, se puede considerar que el grupo, o bien tiene como moda ese valor o simplemente no tiene moda. La moda es la única medida de tendencia central que se puede determinar tanto para variables cuantitativas como cualitativas.

Errores frecuentes Por lo general, cuando se presenta la información en tablas de frecuencia, los alumnos identifican la frecuencia absoluta como la moda, y no la categoría que tiene la mayor frecuencia absoluta. Para evitar este error, presénteles una situación como la explicada y pídales que señalen cuál es la falla y cómo remediarla.

4



de las edades de un grupo de amigos es 15, por ejemplo, quiere decir que la mitad de ese grupo de amigos tiene 15 años o menos y la otra mitad tiene 15 años o más. Cuando los datos no son tabulados, el principal error es que no se ordenan para identificar la mediana. Cuando los datos son presentados en una tabla de frecuencia los estudiantes suelen ordenar las frecuencias y no las categorías.

Nivel 1 Luego de encuestar a los dos 7.° básicos de cierto colegio acerca de sus gustos en deporte, se obtuvo que en 7.° A el deporte favorito es el fútbol y en 7.° B es el vóleibol. ¿Qué se puede concluir con respecto a la afirmación anterior? Nivel 2 A partir de la siguiente tabla, señala cuál es la media y la moda. Número de hermanos que tienen los alumnos de 7.° A: N° de hermanos 0 1 2

Actividades sugeridas Nivel 1 A partir de los siguientes datos, determina e interpreta la mediana: a. 2, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 4. b. 1, 1, 5, 4, 9, 1, 1, 1 c. 1, 4, 2, 6, 3, 3, 7, 6

f 7 12 5

Nivel 2 Las notas obtenidas por un alumno en la asignatura de matemática son las siguientes: 3,9 ; 5,6 ; 7,0 ; 6,5 ; 4,0. ¿Cuál es la mediana y cómo la interpretarías?

Lección 46: ¿Qué es la mediana? »


»

Propósito Determinar e interpretar la mediana en contexto.

Lección 47: ¿Cómo comparar muestras utilizando las medidas de tendencia central? »

Texto del estudiante páginas 324 a 327. Cuaderno de ejercicios páginas 144 y 145.

Orientaciones didácticas La mediana tiene características numéricas, algebraicas y estadísticas. Dentro de estas últimas se encuentran: •

•

•

•

Es una medida de tendencia central, aunque puede no coincidir con el centro del recorrido. La mediana es un representante o valor típico de un colectivo y proporciona información global sobre la muestra. Es un estadístico resistente: con pequeñas fluctuaciones de la muestra no cambia su valor. Existe mediana en distribuciones en las que los datos son ordinales. Fuente: La mediana en la educación secundaria obligatoria: ¿un concepto sencillo? Belén Cobo y Carmen Batanero UNO 23, 85 96, 2000.

Componentes

»

Propósito Comparar dos o más conjuntos de datos a través de las medidas de tendencia central.

Orientaciones didácticas Las siguientes son algunas consideraciones para interpretar los valores que son más representativos de acuerdo a la distribución de los valores en un gráfico: •

•

Errores frecuentes Los y las estudiantes suelen confundir la media con la mediana. Para ello es importante que comprendan el concepto de mediana, esto es, entender que este valor separa a la muestra o a un grupo de datos en dos, la mitad superior y la mitad inferior. Es decir, si la mediana

•

En una distribución simétrica la mediana coincide con la media y la moda (en distribuciones unimodales), mientras que en una distribución asimétrica estos parámetros no coinciden. Si la distribución es asimétrica, a la derecha el orden en que aparecen es moda-mediana-media, y si es asimétrica, a la izquierda el orden es media-medianamoda (para distribuciones unimodales). Si la distribución es asimétrica es preferible la mediana a la media como medida de tendencia central.


149


Errores frecuentes

Mural: Bullying ¿cómo nos afecta?

El principal error es confundir la media con la moda y la mediana. Cuando los datos son presentados en gráficos, el principal error es querer determinar los valores por medio del cálculo y no por la interpretación de estas representaciones. Determine estrategias para que utilicen estas representaciones y no siempre el cálculo aritmético. Por ejemplo, el docente puede determinar el valor de la media en un gráfico de barras que tengan diferentes alturas haciendo un reparto equitativo de estas.

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Determina la media, la moda y la mediana del siguiente conjunto de datos: 12, 17, 13, 21, 20, 12, 15, 14, 12, 13, 12, 15 Nivel 2 1. Observa el siguiente gráfico. En él, se muestra la cantidad de hermanos que tiene un grupo de niños de 7.° básico. Nº de hermanos de los alumnos de 7.º básico s o n m u l a e d º N

6 5 4 3 2 1 0

0

1

2 3 Nº de hermanos

»


»

Propósito Conectar los conocimientos adquiridos en la sección con sucesos de la vida real y cotidiana.

Orientaciones didácticas La estadística está presente en los medios de comunicación, donde se involucran datos ordenados y representados en tablas, gráficos o expuestos en un artículo. Si bien hemos estudiado tres medidas que permiten dar respuesta a investigaciones y exponer conclusiones frente a un tema, este es recién el comienzo del estudio de la estadística. Acercar a los estudiantes al estudio de un contenido desde la cotidianidad, permite una mejor comprensión de aquello que se les está enseñando.

Actividades sugeridas Nivel 1 Utilizando el gráfico que aparece en la página 174 como material fotocopiable en el anexo de esta unidad, pida a sus estudiantes que a partir de la información respondan:

4

a. ¿Qué puedes decir de la media, la moda y la mediana?

b. ¿Puedes encontrar otra muestra donde suceda lo mismo? Da un ejemplo.

2. Al evaluar las tasas de delito entre dos comunas de Santiago (A, B) un carabinero realizó un estudio y encontró que en la comuna A, la media aritmética de automóviles robados fue de 20, la mediana de 15 y la moda de 10 automóviles. En la comuna B también el promedio de automóviles robados por día fue de 20, pero la mediana fue de 25 y la moda de 30. A partir de esta información, ¿dónde debieran disponer de más patrullas para evitar los delitos? ¿Por qué? Fuente: http://www.estadistica.mat.uson.mx/Actdesc/medidasdecentralizacion.pdf

Imagen de referencia

a. ¿Qué significa que el promedio sea de $ 110 474? ¿Cómo lo calcularon?

b. ¿Podrías determinar la moda de estos valores? Nivel 2 A partir de la información que presenta la infografía, (la puede encontrar como material fotocopiable en el anexo al final de esta guía) determina. a. ¿Con qué medida de tendencia central se puede relacionar la esperanza de vida?

b. ¿Qué representan las brechas de género?

150


4


c. ¿Esta información se extrajo de una muestra o de la población? Justifica.

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Identifica la muestra y la población a partir de la información presente en la tabla. Número de mascotas en las casas de una ciudad Número de mascotas Número de casas 0 1 2 3 4 o más

150 135 110 74 53

2. Un vendedor realizó diez ventas en la última hora. El promedio de dichas ventas fue de $ 75 000. Las ventas de nueve de ellas fueron: $ 48 000, $ 71 000, $ 79 000, $ 95 500, $ 44 500, $ 57 200, $ 75 400, $ 83 400 y $ 97 000. Si uno de los clientes regresó la venta ¿Cuánto equivalía la venta de dicho producto? Nivel 2 1. Los siguientes datos se han obtenido como número de hermanos de 13 alumnos del colegio. 1;2;1;3; 0;1;2;3 ;4;2;0; 1;3 a. Calcula la media, la moda y la mediana. b. ¿Qué datos se pueden agregar a la muestra sin modificar la moda?

c. ¿Y sin modificar la mediana?

¿Cómo voy? »


»

2. Se solicitó a un grupo de personas que calificaran el desempeño del árbitro del partido, de 1 a 6, donde 1 es un desempeño muy malo y un 6 uno muy bueno. Si la media de los datos es 3, la mediana es 4 y la moda es 3. ¿Cuáles podrían ser las respuestas de las personas y de cuántas personas?


Orientaciones didácticas Puede realizar una síntesis de los procedimientos abordados durante la sesión considerando algunas cosas: •

•

•

Diferencia entre media y mediana. Cómo se distribuyen estas medidas en gráficos de barras. Qué columnas de las tablas de frecuencias observar para calcular estos valores.


151




»

Propósito Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.

Orientaciones didácticas En la página de Resolución de problemas, los y las estudiantes deben poner en práctica no solo el conocimiento que poseen de medidas de tendencia central, sino también de planteamiento y resolución de ecuaciones. Por ello, recuerde cómo establecer e identificar la incógnita para dar solución a este tipo de ejercicios. En relación al proceso de metacognición que se sugiere en la página Vuelvo a mis procesos, el docente debe tener presente que los factores afectivos propios tienen una gran influencia en los de los alumnos y en los logros de éstos. Además, pueden explicar gran parte de la atracción y re chazo hacia las matemáticas. A continuación se sugiere u n documento acerca del dominio afectivo de los estudiantes para maestro de la Universidad de Extremadura hacia las matemáticas, describiendo por tanto las actitudes, creencias y emociones que manifiestan hacia dicha disciplina y la transmisión de estas a sus alumnos y alumnas.

Link de interés Para conocer más acerca de esta investigación visite la página http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código

GM7P152.

»

Actitudes

Con esta actividad se busca que los estudiantes demuestren su interés en la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones.

152


Actividades sugeridas Nivel 1 El número de mensajes realizados por Martina en su celular durante tres semanas ha sido: Semana 1: 5 ; 3 ; 4 ; 2 ; 3. Semana 2: 6 ; 9 ; 4 ; 3 ; 6. Semana 3: 7 ; 5 ; 7 ; 3 ; 4. Si ella quiere que el promedio de mensajes en las siguientes tres semanas sea igual al de la quincena anterior y tiene los siguientes mensaje ya enviados durante este período:

Semana 4: 7 ; 5 ; 7 ; 3 ; 4. Semana 5: 6 ; 9 ; 4 ; 3 ; 6. Semana 6: 5 ; 3 ; 4 ; x ; x. ¿Cuántos mensajes debe enviar los días que le quedan? Nivel 2 Se realizó una encuesta a un grupo de 20 hombres de un curso de 7.° básico sobre el número de horas que dedican diariamente a hacer deporte y se obtuvieron los siguientes resultados: 3 ; 4 ; 2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 3 ; 1 ; 4 ; 3 ; 2 ; 0. Si el promedio de horas que realizan quiere ser igualado por el de las alumnas del mismo curso, con el mismo número de alumnas que de alumnos, ¿cuántas horas deben agregar o quitar si su registro es el siguiente?

3;4;2;0;1;0 ;0;1;0;1;1; 2;0;4;3;1;1 ;3;3;0.

4 Sección

12 »


»

Propósito •

•

•

•

Tiempo estimado:

Probabilidad

Describir espacio muestral, evento y casos favorables en experimentos aleatorios. Analizar experimentos equiprobables a través de la frecuencia relativa. Determinar la probabilidad de un evento de manera teórica. Calcular probabilidades mediante diagramas de árbol.

18 a 19 horas.

Orientaciones didácticas Para detectar el nivel de conocimiento de los prerrequisitos en sus estudiantes se sugiere realice las actividades de estas páginas. A continuación se presenta un resumen de los indicadores de evaluación incluidos y sus posibles remediales o actividades de refuerzo. Indicador

Pregunta

Remedial

1, 2 y 3

Recuerde las estrategias vistas para transformar de fracción a decimal y viceversa.

4y5

Recuerde que el promedio es un valor central que está a la misma distancia de los valores inferiores y superiores.

Interpretar tablas de doble entrada.

6y7


Calcular frecuencia relativa y definir conceptos cotidianos.

8y9

Relacionar fracciones, decimales y porcentajes.

Calcular promedios.

Inicio de sección El uso de las probabilidades, como se menciona en el inicio de la sección, tenía como principal contexto los juegos de azar. Hoy sabemos de muchas más aplicaciones, sobre todo en el área de las ciencias, por ejemplo, para saber la probabilidad de que un medicamento falle, o de que un meteorito caiga sobre nuestro planeta. Al ser un contenido denso y difícil de comprender por la complejidad de sus cálculos y por la interpretación de sus resultados, es que se hace necesario que se entiendan bien sus bases. Por ello, las lecciones que abordan este contenido se han desarrollado por medio de talleres que permiten introducir los conceptos que se abordan de acuerdo al propósito de cada lección, para luego continuar con un paso a paso que ejemplifique los procedimientos de cálculo que deben llevar a cabo los y las estudiantes para poder abordar y responder de forma segura las actividades y evaluaciones propuestas. Los conceptos enunciados en este inicio deben relacionarse con los abordados años anteriores y sobre todo con las secciones antes vistas de esta unidad, por ejemplo, los conceptos de muestra y aleatoriedad ya fueron traba jados en la sección 10. Junto con ello, se han propuestos actividades que permitan a los y las estudiantes recordar aquellos saberes que le serán de utilidad para poder incorporar los nuevos.



»

Propósito Recordar los prerrequisitos de la sección.


Actividades sugeridas Nivel 1 Completa la siguiente tabla de doble entrada con los datos que faltan sobre el curso 7.°A. 12 años 13 años Total

Mujer 5

Hombre 15 20

18

a. ¿Cuáles son los atributos que deben ir en la celda vacía? b. ¿Cuántos alumnos hay en el 7.° A?

Nivel 2 Estos fueron los resultados que se obtuvieron al sacar sin mirar una bolita de color desde una caja negra. Verde – verde – azul- rojo – rojo – verde - verde – verde – verde – azul – azul – azul – verde – verde – rojo- azul – rojo – azul – verde – azul – azul- rojoverde – rojo – rojo c. Construye una tabla de frecuencias incluyendo la frecuencia absoluta y relativa porcentual. d. Inventa dos preguntas y compártelas con tus compañeros y compañeras.


153


Lección 48: ¿Qué es un experimento aleatorio? »

Componentes

Lección 49: ¿Cómo estimar la probabilidad mediante la frecuencia relativa? »

Texto del estudiante páginas 338 a 341. Cuaderno de ejercicios páginas 150 y 151. »

Propósito Describir espacio muestral, evento y casos favorables en experimentos aleatorios.


»

Propósito Analizar experimentos equiprobables a través de la frecuencia relativa.



El concepto de aleatoriedad ya fue abordado en la primera sección de esta unidad cuando se habló de muestras aleatorias, por lo tanto el concepto ya no es ajeno para nuestros estudiantes. Se les dijo en esa oportunidad que la aleatoriedad, en una muestra, es cuando las personas u ob jetos que son elegidos tienen todos la misma posibilidad de serlo; amplíe la idea ahora señalando que además no es posible determinar quién o qué será elegido a la hora de hacer una elección aleatoria. Este concepto se utiliza mucho en los sistemas de audio, cuando se escoge la opción “música aleatoria” donde lo que sucede es que saldrán canciones sin ningún orden establecido y será imposible saber cuál sonará considerando que todas tienen la misma posibilidad de ser escogidas por el sistema. De esta forma, un experimento aleatorio puede dar lugar a diferentes resultados y no podemos predecir cuál de ellos será el que ocurra. Su opuesto es el experimento determinístico el que solo tiene una posibilidad de ocurrencia y esa es la que sucederá.

La probabilidad por frecuencias relativas, también llamada empírica, puede ser utilizada para determinar la probabilidad de ocurrencia de cualquier experimento, ya sea a priori o a posteriori. Sin embargo, hay situaciones en que no es posible realizar un estudio probabilístico por este medio, esto ocurre cuando las muestras con las que se está haciendo el experimento desaparecen luego del primer registro. Por ejemplo, si un niño quiere saber cuál es la probabilidad de que al extraer un dulce de la bolsa, sale de cierto sabor y se come el dulce cada vez que lo saca. Es importante que señale esto, porque la probabilidad teórica tiene situaciones muy evidentes en que no es posible calcularla, sin embargo, las situaciones en que no se puede aplicar la probabilidad empírica son pocas.

Errores frecuentes Identificar o distinguir un suceso determinístico de uno aleatorio causa problemas en los y las estudiantes porque suelen cuestionarse más de la cuenta dicho evento. Por ello debe quedar claro que el evento determinístico solo tiene una posibilidad de ser, a diferencia del aleatorio. Por ejemplo, dejar caer una piedra es determinístico porque lo único que puede pasar es que caiga y no otra cosa. Señalar que día es mañana si hoy es lunes, también es un evento determinístico, no así señalar que día es mañana si no sé que día es hoy.

Actividades sugeridas Nivel 1 Encuentra la cardinalidad del espacio muestral de lanzar simultáneamente un dado y una moneda. Nivel 2 Encuentra la cardinalidad del espacio muestral del lanzamiento de 3 monedas. Luego, determina en cuántas ocasiones se obtendrán 2 sellos.

Por otro lado, es importante señalar que el número de muestras que se obtengan para determinar una probabilidad por frecuencias relativas es muy importante, ya que mientras más muestras se realicen, estas se aproximaran más a la población y será posible determinar y calcular una probabilidad representativa. Esta es la Ley de los Grandes Números, ya se mencionó ésta en la sección 10 sobre muestras y sería interesante que lo discutiera con sus estudiantes.

Errores frecuentes Al sacar una bolita roja de una urna donde hay 4 amarillas, 3 verdes y 1 roja, la equiprobabilidad no está dada por que todas las bolitas estén en la misma cantidad, sino porque la probabilidad de ser escogidas sin mirar es la misma (una no es más grande que la otra, o sus texturas son diferentes, etc). Este principio es fundamental, ya que sin él no es posible aplicar la regla de Laplace o la probabilidad teórica de la siguiente lección.

Actividades sugeridas Nivel 1 Lanza un dado varias veces y registra en la tabla el número de veces que obtuviste 5. Repeticiones

10

20

40

60

Nº de veces obtenido el 5

¿A qué valor tiende la frecuencia relativa?

154


100

4 Nivel 2 Un grupo de niños se ha dado cuenta que la moneda con la que juegan tiene algo especial. Elaboraron una tabla con el número de lanzamientos y las frecuencias relativas de obtener caras: Repeticiones Frecuencia relativa

10

20

40

60

100

0,25

0,3

0,31

0,33

0,33

¿Dónde se debiera poner más atención para ver si efectivamente esta grasa influye en el cáncer de páncreas?"

Errores frecuentes Los y las estudiantes presentan dificultades para determinar el número de casos favorables y posibles de un experimento, y debido a esto, el cálculo de la probabilidad teórica es errático. Para evitar este error, enfatice las estrategias abordadas en la lección 49 y esta para encontrar estos valores, ya sea haciendo un diagrama, una tabla, etc.

¿A qué probabilidad tiende el suceso “obtener cara”? ¿Qué puedes concluir?

Lección 50: ¿Cómo determinar la probabilidad teóricamente? »

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Al lanzar un dado no cargado: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número


»

primo? b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?

Propósito Determinar la probabilidad de un evento de manera teórica.


Nivel 2 1. En una caja hay 16 bolitas rojas, 18 bolitas verdes y el resto son azules. Si la probabilidad de sacar una bolita roja es 0,4, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita azul?

Es importante que facilite a sus estudiantes contextos en que el uso de la probabilidad tenga sentido. Iniciar su cálculo en contextos lúdicos se hace lógico, pero además incluya contextos científicos donde su uso también adquiere relevancia. Según Freudenthal, impulsor de la fenomenología didáctica, “los diferentes concepto o estructuras matemáticas, sirven para organizar los fenómenos o contextos en que aparecen. Dichos fenómenos y contextos pertenecen a la vida real y, por ello, su aprendizaje es más fácil si se apoyan en las situaciones en si ocurren” (Aprendizaje de la probabilidad y estadística en secundaria. Ricardo García García. 2012 – 2013. Tesis de magister.) un ejemplo de esto puede ser el siguiente ejercicio propuesto en la misma tesis: “el ministerio de salud de cierto país está haciendo una investigación sobre la incidencia en la población de ciertas grasas en la aparición de cánceres pancreáticos. Una de estas grasas es la aflatoxina. Cuando en la sangre hay un contenido elevado de esta grasa, puede provocar cáncer de páncreas. Para llevar a cabo la investigación se hacen unos análisis a toda la población de dos pueblos pequeños, Villanueva y Santa Rosa, los resultados de los análisis fueron los siguientes:

Villanueva Santa Rosa

Habitantes con Habitantes con la aflatoxina alta la aflatoxina baja 50 300 75

450

Si se escogiera una persona al azar de cada pueblo, ¿en cuál de ellos sería más probable que esta tuviera la aflatoxina alta?

2. En un parque de diversiones se tienen dos laberintos por los que se lanza una bolita y se debe apostar, a priori, en qué canasto caerá. A qué laberinto le apostarías y porqué en las siguientes situaciones: a. La bolita llega a un canasto par. b. La bolita llega al canasto 2. c. La bolita llega al canasto 3. A

1

2 3

B

4

1

2

Lección 51: ¿Cómo calcular probabilidades usando diagramas de árbol? »


»

Propósito Calcular probabilidades mediante diagramas de árbol.


155


Orientaciones didácticas El uso del diagrama es un apresto para luego calcular el espacio muestral por medio del principio multiplicativo y las técnicas combinatorias en cursos superiores. Considere también, que en cursos más pequeños sirve como recurso pictórico para representar multiplicaciones, de modo que no es algo ajeno para los y las estudiantes. A partir de las posibilidades que aporta el diagrama, es que se debe plantear la relación entre casos favorables y casos posibles.

tiempo y permite poder concentrar la atención de las y los estudiantes en comprender cómo se debe interpretar los resultados obtenidos en lugar de concentrar las fuerzas en el cálculo.

¿Cómo voy? »

Texto del estudiante páginas 356 y 357. Cuaderno de ejercicios páginas 158 y 159.

Errores frecuentes »

El diagrama de árbol tiene sentido cuando se necesita calcular el número de combinaciones posibles entre algunas opciones de elementos. No sirve cuando nos piden encontrar los casos posibles de un experimento que consta de un solo grupo de elementos y las combinaciones de este. Un error frecuente es no saber interpretar la información que aporta el diagrama; sugiera a sus estudiantes escribir las combinaciones dadas por el diagrama para ordenar la información y no cometer errores a la hora de calcular la probabilidad.

Actividades sugeridas Nivel 1 En el grupo de danza de María hay tres niños, Miguel, José y Renato y dos niñas además de ella, Rosa y Juana. ¿Cuál es la probabilidad que a María le toque bailar con José, que es el niño que le gusta?

Componentes


Orientaciones didácticas Antes de comenzar las actividades repase los siguientes conceptos con sus estudiantes, a t ravés de las siguientes preguntas: ¿Qué significa equiprobabilidad? ¿Cómo se

calcula la probabilidad teórica? ¿Qué es la probabilidad empírica? Cuando se trabaja con la ruleta para determinar probabilidades, hágales ver que más que la región, lo que importa a la hora de lanzarla, es que el ángulo que tienen las superficies sea el mismo para todas, ya que es la flecha la que determina el color o número a salir y esto se relaciona más con el ángulo que con la superficie. Por ejemplo: 8 2

6

Nivel 2 4

1. Se tiene una urna con pelotitas numeradas del 1 al 3 y otra con cinco pelotitas que tienen inscritas las vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita de cada caja salga 3e? 2. Al lanzar dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un sello y una cara?

Propósito Conectar los conocimientos adquiridos en la sección con el uso de herramientas computacionales.


5

4

3



156

2

6

Nivel 2 Hay dos cajas con bolitas todas del mismo tamaño, peso y textura, lo único distinto es el color. En la caja A hay 4 bolitas rojas, 2 azules y 1 verde. En la caja B hay 6 rojas, 4 azules y 2 verdes. ¿En qué caja es más probable sacar una bolita roja?

Componentes

Excel u otros programas computacionales son herramientas útiles para agilizar cálculos de probabilidades, poder mostrar a los estudiantes cómo se asemeja la probabilidad experimental con la teórica. De esta forma se ahorra

1

Nivel 1 Antonia jugará a “Lanzar el dado y obtener número par”. Para ello debe elegir entre un dado de seis caras y uno de doce caras. ¿Cuál debiera escoger y por qué?

Texto del estudiante páginas 354 y 355. »

8


Mural: Simulando experimentos aleatorios con Excel »

7

»


4 »

Propósito


Aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en la sección en la resolución de problemas. Instancia de reflexión y metacognición.

Orientaciones didácticas El uso de casos sencillos permite que el estudiante no se abrume con el procedimiento a realizar y pueda ver con más claridad los pasos que debe seguir, pero a menor escala. Esta estrategia incentiva la perseverancia y promueve la creatividad al decidir qué elementos del problema considerar para armar la estrategia utilizando valores que le permitan evidenciar el proceso que debe seguir, para luego aplicarlo con los datos verdaderos.

Errores frecuentes

Actividades sugeridas Nivel 1 1. Las ventas, diferenciadas por género, de una librería durante los últimos seis meses, se representan en el siguiente gráfico de barras. Venta de una librería en un período de 6 meses

s o r b i l e d d a d i t n a C

El principal error que pueden cometer los y las estudiantes es considerar como respuesta los resultados obtenidos al resolver el problema con los valores que se utilizaron para detectar el proceso, que no son los valores reales del problema. Para ello, se debe hacer hincapié en que se debe contestar la pregunta del problema y así se dará cuenta que los valores obtenidos no son coherentes con lo solicitado.

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Hombres Mujeres

1

2

3

4

5

6

a. ¿Cuál es la población y la muestra de este pequeb. c.

Actividades sugeridas Nivel 1 Una máquina con tres sobres de helado y cuatro tipos de salsas, prepara helados de forma aleatoria al colocarle una moneda de $ 500. Los sabores del helado son vainilla, frutilla y chocolate y el de las salsas es de frambuesa, manjar, chocolate y naranja. Si Javiera echa una moneda a la máquina, ¿cuál es la probabilidad de que le salga un helado de chocolate y salsa de chocolate?

d.

e.

ño estudio? Calcula la media, moda y mediana por género. ¿Es correcto afirmar que más libros fueron comprados por hombres que por mujeres en el período considerado en el gráfico? Si del registro de ventas se escogiera al azar un libro comprado durante este periodo, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido adquirido por una mujer? Si usted fuera dueño o dueña de esta librería, ¿qué decisiones tomaría a partir de esta información?

Nivel 2 1. En un centro deportivo se necesita encuestar a 50 deportistas. La siguiente tabla muestra la cantidad total de deportistas por rama deportiva.

Nivel 2 Jael debe escribir una contraseña utilizando solo los números 123 en cualquier orden y repitiéndolos si quiere. ¿Cuál es la probabilidad de que Jael haya escogido la contraseña 333?

Ramas deportivas Deporte Cantidad de deportistas Tenis Natación Vóleibol

¿Qué aprendí? »

El recurso digital complementario tiene como propósito obtener información sobre el desempeño de los alumnos y las alumnas en los aprendizajes claves de la unidad. Además puede complementar estas páginas con estas actividades:

60 40 52

Componentes

a. ¿Cuál es la variable presente en la tabla?, ¿cuál es

Texto del estudiante páginas 363 y 365.

el atributo y sus categorías? b. Si se escogiera al azar un deportista, ¿qué sería más posible que saliera? c. ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger un deportista al azar este sea nadador?

Cuaderno de ejercicios páginas 162 y 163. Recurso digital complementario: Estadística y probabilidad.

R

c

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i t a

l

o


o


157

Información complementaria disciplinar Histograma vs gráfico de barras El gráfico de barras y el histograma, aparentemente parecieran ser iguales y por lo tanto, representar la misma información. De ser así, no sería necesaria la distinción entre ellos y definitivamente, uno estaría demás. Pues bien, dichas representaciones efectivamente tienen distintos propósitos. A partir de la clasificación de las variables en dos categorías, cualitativas y cuantitativas, es que podemos hacer la primera distinción entre estos tipo de gráficos. Los de barra se utilizan para representar variables cualitativas, en particular las ordinales, mientras que el histograma tiene como función representar tanto variables cuantitativas discretas como continuas. El gráfico de barras tiene un eje horizontal donde se representan las diferentes categorías del atributo que se estudia de la variable en observación y sobre él se levantan las columnas o barras cuya altura es proporcional a la frecuencia de cada categoría. Sin embargo, es posible representar, también, variables cuantitativas discretas, no siendo de exclusividad este tipo de variable para los histogramas. Lo que no es correcto representar con un gráfico de barras son las variables cualitativas nominales, lo ideal es utilizar un gráfico de torta para ello. La finalidad de este tipo de gráfico es representar y así mostrar la magnitud de las diferencias entre las categorías de la var iable. Por su parte, el histograma representa la distribución de las frecuencias de variables cuantitativas continuas. Aquí, además de la altura, es también importante el área de la barra cuyo grosor depende del intervalo representado cuando la variable es continua, en este caso, como los intervalos no tienen por qué ser todos iguales (aunque es lo más habitual), tendrá un área mayor aquellos intervalos mayores. También es importante señalar que a part ir del histograma se pude trazar el polígono de frecuencia, que se obtiene a par tir de la representación de variables continuas en el histograma y que se genera a partir de la unión de las marcas de clase de cada barra del gráfico. Estos puntos se ubican en el centro de cada barra, que al unirse forman una línea que permite identificar cierta tendencia de los datos agrupados y con ellos poder tomar mejores decisiones. Otra gran diferencia entre el gráfico de barras y el histograma radica en que el primero representa solo los valores de las variables que son observadas al hacer el estudio. Mientras que el histograma representa todos los valores posibles que existen dentro de los intervalos, aunque no se haya observado ninguno de forma directa. Con esta información ya no se cometerán errores ni se titubeará a la hora de escoger el gráfico adecuado a partir de la información recogida. Nada es al azar. Fuente: http://asesorias.cuautitlan2.unam.mx/Laboratoriovirtualdeestadistica/DOCUMEN TOS/TEMA%201/7.%20HISTOGRAMAS.pdf

158


4

Información complementaria didáctica Estadística y TICS, una propuesta didáctica de trabajo colaborativo La escuela es una réplica a escala de lo que acontece en nuestra sociedad; para bien o para mal, todo lo que cambia, lo que permanece, lo que mejora o empeora en nuestro mundo, se reproduce luego en la escuela. En este sentido, y considerando la importancia que tienen las tecnologías y el aprender a trabajar colaborativamente, es que no podemos dejar de incluirlos en nuestro quehacer pedagógico. El uso de las TICS se hace evidente, ya sea como conocimiento en sí mismo o como recurso facilitador de otros saberes. El objetivo de este artículo es mostrar una propuesta de trabajo para abordar conocimientos estadísticos de 7.° básico, incorporando algunas herramientas tecnológicas para su comprensión y aplicación, y mostrar cómo se pueden generar los espacios para que los y las estudiantes puedan debatir y compartir ideas con sus pares, a través del trabajo colaborativo. Para profundizar en esta materia puede leer los artículos: “Enseñanza de estadística con recursos TIC” de Lorena Verónica Belfiori, en donde se presenta más detalladamente la secuencia didáctica que aquí se menciona. Luego, “La evaluación del trabajo colaborativo con las herramientas 2.0” de Anna García, 2008. Este artículo se refiere a la importancia y los beneficios que tiene el trabajo en equipo, donde se señala como aspectos favorables, por ejemplo, que “el aprendizaje colaborativo incrementa la motivación de todos los integrantes del grupo hacia los objetivos y contenidos del aprendizaje; el aprendizaje que consigue cada individuo del grupo incrementa el aprendizaje del grupo y sus integrantes alcanzan mayores niveles de rendimiento académico; favorece una mayor retención de lo aprendido, la diversidad de conocimientos y experiencias del grupo contribuye positivamente al proceso de aprendizaje". De acuerdo a lo anterior, el objetivo de esta propuesta es generar en el aula una instancia para que los y las estudiantes puedan reflexionar, discutir, dudar, conjeturar, encontrar soluciones a problemas y generar otros, utilizando la tecnología para cálculos estadísticos, así como el trabajo colaborativo para facilitar el aprendizaje. La estrategia propuesta se organiza de la siguiente manera: Cuatro clases de 120 minutos cada uno. Los trabajos grupales siempre finalizan con una puesta en común de lo realizado ya sea para mostrar los resultados arribados y las producciones realizadas, o para debatir conclusiones. Primer taller: Interpretar información por medio de una planilla de cálculo electrónica cada dos alumnos, con preguntas para contestar en base al análisis de ciertos gráficos. En esta actividad se pone en juego el aprender a partir del método socrático (al igual que los talleres presentados durante la unidad) ya que el proceso de "enseñanza-aprendizaje" ocurre cuando al educando se le enfrenta a una situación problemática que le exige recuperar conocimientos anteriores necesarios para la comprensión de un tema nuevo. Segundo taller: Presentación de video con medidas de tendencia central. Tercer taller: uso del Excel y del programa infosat para registrar datos. Cuarto taller: actividad de cierre. Trabajan en grupos con las computadoras haciendo uso de dos archivos en forma simultánea. Esta manera de organizar una clase con tics puede tener muchas variantes, lo importante es atreverse y organizar con tiempo el material que le permita a los y las estudiantes poder aprender y trabajar con tecnología y colaborativamente. •

•

•

•

•

•

Fuente: Enseñanza de estadística con recursos TIC Lorena Verónica Belfiori Instituto San Francisco de Asís. Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación. Buenos Aires, 2014.


159

Actividad complementaria En el anexo de esta guía encontrará un set de círculos y una hoja como la que aparece a continuación. Con estos dos materiales realice, la siguiente actividad: Color

M1

+m2

+m3

+m4

+m5

+m6

+m7

+m8

total

_

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__

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

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__

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__

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__

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5

10

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50

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5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Entregue el set de círculos por cada tres o cuatro estudiantes dentro de un sobre o de una bolsa que estos no puedan ver. Entrégueles una hoja a cada grupo. Luego, indíqueles las siguientes instrucciones:

1. Saquen cinco círculos, de forma aleatoria y registren en la primera columna (M1) sus resultados. 2. Consulten a distintos grupos sus resultados, los que anotan sumando los resultados anteriores, por ejemplo, si en la primera extracción obtuvieron dos 2 , si al primer grupo que consultaron les salió 1 blanco, círculos blancos, serían _ 5 lo suman al suyo y en la columna que sale +m2 anotan esta suman obteniendo 3 , si al siguiente grupo consultado le salieron 3 círculos de color blanco, 10 en la columna que dice +m3, debieran anotar 6 y así sucesivamente. 15 3. No se puede repetir ninguno grupo y deben anotar todos los que alcancen en su hoja.

_

_

4. Con los resultados de la hoja respondan las siguientes preguntas: a. ¿Qué medidas tomaron para que el experimento fuera aleatorio? b. ¿Cuántos colores hay en la bolsa? ¿Todos supieron en la primera extracción que habían tres colores?

c. ¿Qué resultados obtuvieron en su primera muestra?, ¿qué sucede si solo nos quedamos con esta para determinar la probabilidad de que al extraer un círculo, este sea blanco?

d. ¿Cómo interpretas las columnas +m2 y +m3? e. ¿Qué tipo de probabilidad es la que estamos trabajando? f. De acuerdo a las muestras registradas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer un círculo, este sea blanco? e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

160

g. Saquen los círculos y calculen la probabilidad de cada color por medio de la probabilidad teórica. ¿Qué relación hay entre esta y la probabilidad por frecuencias relativas?

h. En este experimento, ¿cuál sería la población?, ¿cómo se obtuvo la muestra y cómo sabemos que esta es representativa y aleatoria?


4


Curso

Parte I: Evaluación de contenidos En los ejercicios del 1 al 8, selecciona la alternativa que consideres correcta. (1 punto cada una)

1. ¿A qué corresponde la siguiente definición: “Es el conjunto de todos los elementos que cumplen con una o varias características de un objeto de estudio”? A. Rango B. Muestra

C. Variable D. Población

2. Una librería desea saber qué tipos de libros prefieren los niños. ¿Cuál de las siguientes muestras es la más adecuada para el estudio? A. Un grupo de 40 niños de un colegio. B. Un grupo de 40 adultos elegidos entre varias comunas.

C. Un grupo de 3 niños que transitan cerca de la librería.

6. ¿Cómo se puede determinar la amplitud de un intervalo? A. Restando el mayor y el menor valor de la variable. B. Dividiendo el mayor y el menor valor de la variable.

C. Calculando el cociente entre la suma del mayor y menor valor de la variable, y el número de intervalos.

D. Calculando el cociente entre la diferencia del mayor y menor valor de la variable y el número de intervalos.

7. En relación a la mediana de un conjunto de datos, es siempre correcto que: A. es el dato central. B. es el promedio entre los datos centrales. C. corresponde a uno de los datos. D. señala el 50 % de la muestra.

D. Un grupo de 40 personas de la comuna donde se encuentra la librería.

3. En una fábrica de calcetines se toman diariamente 20 pares de ellos para realizarles un control de calidad y verificar si son o no defectuosos. ¿Cuál es la variable considerada? A. La fábrica de calcetines. B. Los calcetines fabricados diariamente. C. Los 20 pares seleccionados para el control de calidad.

D. Calidad de los calcetines, defectuosos o no defectuosos.

4. De una población de 200 000 personas, 80 000 son mujeres. Si se considera una muestra proporcional de 400 personas, ¿cuántos son hombres? A. 80

C. 160

B. 120

D. 240

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Entre mayor es la frecuencia relativa de un evento, es más probable que ocurra.

B. Si la frecuencia relativa asociada a un evento es 0,6, entonces la frecuencia de que no ocurra es 0,6.

C. Al lanzar una moneda varias veces, la frecuencia relativa del evento cara tendería a 0,5.

D. Si la frecuencia relativa asociada al evento de sacar una bolita roja de una tómbola es 0,5 y la bolita menos probable de ser extraída es blanca, entonces hay, al menos, una bolita de otro color.

Parte II: Evaluación de habilidades 9. En un centro deportivo se necesita encuestar a 50 deportistas. La siguiente tabla muestra la cantidad total de deportistas por rama deportiva. (1 punto cada una)

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Una muestra es un subconjunto de la población. e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

Fecha

B. Las variables estadísticas pueden ser cualitativas o cuantitativas.

C. En una muestra se deben considerar elementos de la población y elementos fuera de ella.

D. Entre más grande sea la muestra en un estudio, esta será más representativa de la población.

Ramas deportivas Deporte

Cantidad deportistas

Fútbol Básquetbol Atletismo Tenis Natación Vóleibol

150 70 30 60 40 50


161


a. ¿Cuántos deportistas de la muestra no son futbolistas?

11. Completa la siguiente tabla de frecuencia y luego responde. (1 punto cada una)

R:

Deportes preferidos

b. ¿Cuántos deportistas juegan básquetbol o tenis? R:

c. ¿Cuál es el deporte preferido? R:

d. ¿Cuántos deportistas más juegan tenis que vóleibol? R:

e. ¿Se puede calcular el promedio de los datos? ¿Por qué?

Deporte

f

Fútbol Básquetbol Atletismo Tenis Natación Vóleibol Total

24 2 7 8 4 5

F

f%

f r (fracción)

a. ¿Cuántas personas prefieren fútbol o básquetbol?

R:

R:

10. La siguiente tabla resume la cantidad de mascotas que posee un grupo de familias del sector centro de Chillán. (1 punto cada una) . Cantidad de mascotas Número de mascotas Cantidad de familias 0 1 2 3 4 5

6 10 12 5 4 3

b. ¿Qué porcentaje de los encuestados prefiere hándbol? R:

c. ¿Qué deporte es el preferido? R:

d. ¿Cuál es la mediana de los datos? R:

12. A partir del gráfico responde las preguntas. (1 punto cada una)

a. ¿Cuántas familias tienen más de 3 mascotas?

Venta de colaciones en una semana

R:

Colaciones vendidas

b. ¿Cuántas familias tienen menos de 2 mascotas?

30 25 20 15 10 5 0

R:

c. ¿Qué porcentaje de las familias tiene menos de 4 mascotas? R:

s s o e v e s e é r c l t s e s r r n e n a i L u M M J u e V i e

d. ¿Cuántas mascotas en promedio tienen las familias de la muestra? ¿Es un valor representativo?

Días de la semana

R: e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

162

e. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de mascotas que tienen las familias?

a. ¿Entre qué días se produce el mayor aumento de ventas?

R:

f.

Compara la media y la mediana obtenidas, ¿qué puedes concluir acerca de cuál valor es más representativo de los datos? R:


R:

b. Observando el gráfico, ¿es posible determinar si la media es mayor que la mediana? ¿Por qué? R:

4 13. Resuelve los siguientes problemas.

g. ¿Cuál es el espacio muestral de lanzar dos

(2 puntos cada una)

monedas?

a. Al completar la tabla, ¿qué cantidad de estudian-

R:

tes tiene menos de 3 hermanos?

Número de hermanos que tiene un grupo de estudiantes Número de f F hermanos 1 2 3 4

3 8 4 3 Total (n) = 18

R:

b. El cuarto medio A obtuvo 585 puntos como promedio en la PSU y el cuarto medio B obtuvo 608 puntos como promedio. Si la cantidad de estudiantes que rindió la prueba de estos cursos son 30 y 36 respectivamente, ¿cuál es el promedio obtenido por ambos cursos en conjunto? R:

c. En relación al conjunto de datos 7, 5, 2, 3, 4, 3, 1,

h. Respecto del experimento aleatorio de elegir un papel de entre 15 enumerados del 1 al 15, ¿cuántos casos son favorables al evento de extraer un número primo? R:

i. Se escriben las letras de la palabra PAN cada una en una tarjeta distinta y se mezclan. Si una persona las ordena de izquierda a derecha, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir tres tarjetas se forme la palabra PAN? R:

j. Respecto a la pregunta anterior, ¿cuál es la probabilidad de que la palabra formada comience con A? R:

k. Respecto del siguiente gráfico circular, calcula las frecuencias relativas de cada categoría y la probabilidad asociada a escoger una de ellas. Luego, indica qué categoría tiene mayor probabilidad.

6, ¿qué dato se puede agregar sin que se modifique el valor de la moda?

Nº de televisores por familia en una muestra de 130 familias 30 familias

R:

30 familias

d. Camila obtuvo en Ciencias las notas 5,4 y 6,3. Bárbara quiere obtener el mismo promedio y obtuvo 5,8 en su primera evaluación. ¿Cuál debiera ser su segunda nota? R:

e. ¿Cuál es la mediana en los datos? 5, 3, 6, 2, 4, 3, 1 R:

f. Al extraer al azar una bolita de la caja, ¿qué bolita se debiera extraer para que las posibilidades de los eventos A: extraer una bolita blanca y B: extraer una bolita gris no sean iguales?

10 familias

0 Televisor 1 Televisor 2 Televisores 3 Televisores 4 Televisores

20 familias 40 familias R:

l. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de poleras que llevó cada uno de los integrantes de un grupo scout al campamento de verano. Calcula la media, la moda y la mediana de esta muestra: 2, 2, 3, 4, 3, 5, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 4, 5. R:

m. La contraseña de una persona en su correo electrónico personal consta de 6 letras. ¿Cuántas posibles palabras pueden servir como contraseña? Sabiendo que la primera letra es v, ¿cuál es la probabilidad de que al escribir una palabra con estas características sea la contraseña correcta?

R:

R:


163

Banco de preguntas I. Marca la alternativa que consideres correcta.

1. La tabla muestra la cantidad de días a la semana que asisten a la piscina municipal los habitantes de cierta comuna. Días

Frecuencia

0 1 2 3 4 5 6 7

2 4 5 8 6 3 2 2

I. El 25 % de los asistentes va a la piscina 3 veces a la semana. II. La frecuencia relativa de “7 días” es 0,0625. III. La frecuencia acumulada de “4 días” es 6. IV. 28 asistentes van, a lo más, 5 días a la semana. A. I y II C. I, II y IV B. I, II y III

D. I, II, III y IV

2. Se desea saber las preferencias musicales de la juventud chilena y para ello se decide hacer una encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedimientos asegura una muestra representativa? A. Se encuesta a 500 jóvenes en el centro de las principales ciudades.

B. Se consigue en el registro civil una lista de todos los jóvenes del país y se seleccionan 4000 al azar.

C. Se pide a los jóvenes que den su opinión en una

Notas

Frecuencia

1 2 3 4 5 6 7

1 4 5 6 9 12 8

I. La moda es 5. II. La media es mayor que 5. III. La mediana es 5. A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III II. Realiza las siguientes actividades.

5. ¿Cuál es la media aritmética del conjunto de medidas 2, 2, 8, 0, 10, 0, 8, 3, 8, 6? R:

6. ¿Cuál es la moda del siguiente conjunto de datos? 4, 5, 2, 7, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5 R:

7. Se encuestó a un conjunto de 8 familias para conocer el número de personas en cada grupo familiar. Los resultados fueron los siguientes: 5, 6, 5, 4, 2, 6, 3, 5. ¿Cuál es la mediana de los datos?

radio de alcance nacional.

D. Se invita a los jóvenes a participar en sus comunas habilitando formularios y buzones.

3. En un lago se desean saber cuántas truchas hay. Escogen una muestra de 50 peces y marcan aquellos que sean truchas; al día siguiente toman una muestra de 40 peces y observan que 5 de ellos están marcados. El total aproximado de truchas en el lago es: A. 100

C. 400

B. 50

D. 800

4. Si la tabla adjunta corresponde a las frecuencias de las notas de matemática de un curso de 45 estudiantes, entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

164


R:

8. Al lanzar un dado se obtiene como resultado un número par. ¿Cuál es la probabilidad que este sea mayor que 3? R:

9. Si se elige al azar un número entero positivo entre los primeros 20, ¿cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 24? R:

10. ¿Cuántas “palabras” que no empiecen por conso nante se pueden formar revolviendo las letras de la palabra PABLO? R:

4

Solucionario Inicio unidad (página 140) Actividades sugeridas Nivel 1: a. Una respuesta podría ser las tradicionales porque tienen menos Kcal. Otra respuesta podría ser las saladas porque tienen menos grasas. b. Una respuesta podría ser: Sí, ya que entrega la información nutricional de las galletas. c. Una respuesta podría ser. No sabría qué tipo de alimento estoy consumiendo.

Nivel 2: a. Una respuesta podría ser: Que si la probabilidad de que un niño de menos edad no reciba educación es 20 %, el que un adolescente no reciba educación es 40 %. b. En las razones 1 : 5 y 1 : 11. c. La importancia radica en que con estos resultados se focalizan de mejor manera la ayuda a la comunidad y se generan políticas públicas más efectivas. d. Sí, es correcto.

SECCIÓN 10: MUESTREO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS

a. 15 familias. b. No se puede saber. Debe cumplir con la aleatoriedad, tamaño adecuado, con características parecidas entre ellas.

Lección 41 Nivel 1: La elección debe ser al azar, las características de las familias elegidas debe ser representativas de la población. El número de familias elegidas debe ser adecuado.

Nivel 2: Jael tiene una muestra más representativa que Oliver.

Lección 42 Nivel 1: Edad de estudiantes de 7.°A Edad

f

F

f%

12

12

12

32,4 %

13

22

34

59,5 %

14

3

37

8,1 %

La mayoría de los estudiantes tiene 13 años. Hay más estudiantes con 12 años que con 14 años.


Nivel 2:

Nivel 1: a. Población: Los estudiantes de la universidad.

La frecuencia absoluta no suma 40, ya que el último valor de la frecuencia acumulada es 39. Faltó contabilizar un dato.

Muestra: 50 estudiantes. b. Población: Todos los afiliados de todas las sucursales que realizan clases de yoga. c. Población: Los habitantes de Arica. Muestra: 100 clientes de los supermercados de Arica.

Nivel 2: a. El gráfico muestra el área que cubren los distintos componentes de la Tierra, entre el agua, las montañas y la tierra. b. El nombre de los ejes. c. La mayoría de nuestro planeta está cubierto por agua salada. La menor parte es agua dulce por lo tanto es un recurso que debemos cuidar.

Lección 40 Nivel 1: Variable: Cantidad de estudiantes que utilizan celular. Población: Estudiantes entre 10 y 18 años. Muestra: Tres estudiantes de cada curso desde 5.° básico a 4.° medio.

Nivel 2: Variable: Número de mascotas. Población: Las familias de la comuna de Renca. Muestra: 80 familias.

Lección 43 Nivel 1: a. Un gráfico de línea debido a que la variable se está estudiando a través del tiempo. b. Puede ser un gráfico de barras, o un pictograma. c. Un gráfico circular.

Nivel 2: a. 510 jóvenes. b. 0,26. 230 jóvenes. c. En el gráfico de barras la información requerida anteriormente es más directa de obtener en el caso de la cantidad de jóvenes de acuerdo a la cantidad de libros que lee, que en el gráfico circular, ya que para este gráfico se tuvo que calcular de acuerdo a los porcentajes entregados. Cantidad de libros que leen los jóvenes s 600 e n e v 500 ó j e400 d d a300 d i t n200 a C

100 0

510 260 180 50 No lee

Lee 1 libro Lee 2 libros Lee 3 libros Cantidad de libros


165

Solucionario Mural (página 144)


Nivel 1: a. El porcentaje de internautas en cada uno de los países

Nivel 1: 1. La muestra más representativa es la b, ya que

mencionados. b. No aparece esa información, por lo tanto no se puede determinar. c. Porque se quiere mostrar una jerarquía ( Top 10 y Top 5), un orden entre el mayor porcentaje y el menor que no se apreciaría en un gráfico circular. d. Cada vez más gente utiliza Internet. El uso masivo de Internet permite una comunidad más conectada en todo el mundo, por lo tanto, en aquellos países cuyo porcentaje es bajo se debe promover el uso de esta herramienta.

abarca la población y es aleatoria. 2. 400 monos. Nivel 2: País

f

f%

Chile Argentina Perú Bolivia

8 5 4 3

40 % 25 % 20 % 15 %

Nivel 2: a. El primer gráfico presenta la variable: cantidad de viajes

en bicicleta. El segundo gráfico presenta la variable: kilómetros de ciclovías. El tercer gráfico presenta el crecimiento de la cantidad de viajes en bicicleta. b. Población: personas de Santiago que viajan en bicicleta. Muestra: personas que viajan en bicicleta de 38 comunas. c. Cada vez hay más viajes en bicicletas. d. Se debieran crear más ciclovías. El uso se bicicletas ha ido en aumento. Promover el uso de bicicletas en aquellas zonas que menos crecimiento tuvieron. e. Uso de bicicletas 2001 Zona

f

F

f%

Norte

68 332

68 332

20,8

Oriente

22 772

91 104

27,7

Poniente

75 889

166 993

50,8

Centro

10 170

177 163

53,9

Sur

88 876

266 039

80,9

Suroriente

62 941

328 980

100,0

F

8 13 17 20

Goles de la Copa América

s e l o g e d d a d i t n a C

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Chile

Argentina Perú País

Bolivia

Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: a. Aproximadamente 30,5%. b. Hay más personas bajo los 40 años. Nivel 2: Por ejemplo, Tomas puede ordenar los datos en una

escala temporal y buscar el dato central.

SECCIÓN 11: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ¿Qué debo saber? (página 147) Nivel 1: 1. a.

Uso de bicicletas 2012

Calificación de la presentación

Zona

f

F

f%

Zona

f

F

Norte

122 838

122 838

18,2

Oriente

179 016

301 854

44,7

Poniente

128 334

430 188

63,6

Centro

31 983

462 171

68,4

Sur

126 686

588 857

87,1

Suroriente

87 152

676 009

100,0

0 1 2 3 4 5

2 3 3 5 3 4

2 5 8 13 16 20

f%

10,0 25,0 40,0 65,0 80,0 100,0

b. La moda y la mediana es 4 poleras. La media aritmética es 3,7 poleras.

166


4 Nivel 2:

Nivel 2: 1. a. La distribución es simétrica, por lo tanto la

1.

media, moda y mediana coincidirán en su valor. b. Sí, por ejemplo, 0, 0, 0, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2. 2. En la comuna B, ya que las medidas de tendencia central son mayores a las de la comuna A, sobre todo la mediana y moda que no se ven afectadas por valores extremos.

Medios de transporte s a i l i m a f e d d a d i t n a C

50 40 30 20 10 0

Caminando

Metro

Autobús Auto particular Taxi

¿Cuál es el medio de transporte más utilizado? ¿Cuántas personas se van caminando? b. 50 familias. 2. a. Aproximadamente 30,8%. c. Número de televisores por hogar a t u l o s b a a i c n e u c e r F

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Mural (página 150) Nivel 1: a. Significa que en promedio las familias gastan esa can-

tidad en el supermercado. Se suman los desembolsos de las familias y se divide por el total de familias encuestadas. b. No tiene moda. Nivel 2: a. Con la media aritmética. b. La brecha es la diferencia que hay entre la esperanza de

vida de hombres y mujeres. Al parecer esta brecha ha ido en disminución al transcurrir los años. c. La población. 1

2 3 Cantidad de televisores

4

Lección 44 Nivel 1:

1. En el caso del color de ojos no porque es una variable cualitativa. En el caso de la edad sí, porque es una variable cuantitativa. 2. Que la mayoría de los alumnos del curso tienen esta nota o cercana. Al elegir un estudiante al azar debería tener un promedio cercano a este valor. 3. Aproximadamente un 6,5. Nivel 2:

1. Debe sacarse por lo menos un 6,0. 2. Pueden tener todas 20 años. Pueden ser: 18, 22, 19, 21, 20, 20, 15, 25, 19,19, 21, 21, 18, 22, 20.

Lección 45 Nivel 1: En cada curso se obtuvo como moda el fútbol y el vóleibol. Nivel 2: La moda es 1 y la media es 0,9 hermanos. Lección 46 Nivel 1: a. La mediana es 3,5. b. La mediana es 1. c. La mediana es 3,5. Nivel 2: La mediana es 5,6 es la nota central.

¿Cómo voy? (página 151) Nivel 1:

1. La población es el total de familias de la región Metropolitana. La muestra son 522 familias encuestadas. 2. Equivale a $ 99 000. Nivel 2: 1. a. En promedio tienen cerca de 2 hermanos, la moda es

1 hermano y la mediana es 2 hermanos. b. Se puede agregar un cero. c. Se pueden agregar dos alumnos que tengan tres herma-

nos, o uno que tenga cuatro hermanos y otro que tenga cuatro. 2. Las personas consultadas podían ser 11, con las siguientes notas: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Pueden haber otras respuestas. Resolución de problemas y Vuelvo a mis procesos Nivel 1: Puede enviar dos mensajes un día y dos el otro día,

o un día enviar 3 y otro enviar 1. Nivel 2: Puede una alumna aumentar en 2 horas sus ejercicios y otra alumna aumentar en 4 horas y así el promedio sería igual al de los hombres que es 1,8 minutos.

Lección 47 Nivel 1: La moda es 12. La mediana 13,5. La media aritmética 14,6.


167

Solucionario

SECCIÓN 12: PROBABILIDAD

Nivel 2:

1. ¿Qué debo saber? (página 153)

A

Nivel 1: 1.

1

Mujer

Hombre

5

5

13

15 20

12 años 13 años Total

18

f%

Verde Rojo Azul

10 7 8

40 % 28 % 32 %

3

_

¿Qué aprendí? (página 157) 1. a. La población es el público que va a la librería y la b.

d. e.

c. 33 %

2. a. Cualquiera de los dos laberintos porque ambos tienen un 50 % de probabilidades. b. Es mejor apostar al B ya que hay más posibilidades de que la bola llegue al canasto 2, 50 % contra 25 %. c. Solo en el laberinto A, porque la probabilidad en el B es de 0 %. Es un evento imposible.

Lección 51 JUANA RENATO MIGUEL JOSÉ


2

colate y salsa de chocolate es de 8 %. Nivel 2: La probabilidad es de 5 % ( 1 ). 21

Nivel 2: 1. Es 0,15.

168

3 1

Nivel 1: La probabilidad que salga un helado de sabor cho-

c.

La probabilidad es de 11 %.

2


Lección 50

RENATO MIGUEL JOSÉ

3 1

1. Cualquiera de los dos porque en ambos dados la proba3 y 6 ). bilidad de obtener un número par es de 50 % ( _ 6 12 2. En la caja A, la probabilidad de obtener rojo es de 57 %, mientras que en la caja B es de 50 %. Tiene más posibilidades de obtener rojo en la caja A.

6 Nivel 2: Lanzar la moneda y que salga cara tiene una probabilidad de un 33 % . Eso quiere decir que la moneda está cargada en favor del sello.

RENATO MIGUEL JOSÉ

2


sible calcular el promedio? ¿Es cierto afirmar que las personas que prefieren rojo o azul son más del 50 %? Lección 48 Nivel 1: La cardinalidad del espacio muestral es 12. Nivel 2: La cardinalidad del espacio muestral es 8 y en tres ocasiones se obtendrán dos sellos. Lección 49 1. Nivel 1: Tiende a _

ROSA

3 1

_

f

MARÍA

2

U

Nivel 1:

Color

b. 33 %

3 1

O

2. La probabilidad es de 50 %.

b. Las preguntas pueden ser: ¿cuál es la moda? ¿Es po-


2

I

La probabilidad es de 7 %.

a. Edad, para la columna; género para la fila. b. Hay 38 alumnos. Nivel 2: 1.

Nivel 1: a. 50 %

E

muestra, es la gente registrada durante seis meses. Para los hombres, la media mensual es aproximadamente de 933,3 libros, la mediana es de 800 libros y la moda es de 800 libros. Para las mujeres, la media mensual es de 900 libros, la mediana es de 1000 libros y la moda es de 1000 libros. Es correcto, ya que los hombres compraron 5600 libros y las mujeres 5400. Aproximadamente 0,49. Podría hacer ofertas diferenciadas con la literatura más requerida por las mujeres y por los hombres en los diferentes meses del año.

Nivel 2:

1. a. La variable es el deporte que practican algunos de-

portistas del centro deportivo. El atributo es el deporte y sus categorías son tenis, natación, vóleibol. b. Es más probable escoger un tenista. c. Es aproximadamente 0,26.

4 Actividad complementaria (página 160) 4. a. Entre ellas deben estar, no mirar, revolver la bolsa, que lo hicieran distintas personas, etc. b. No necesariamente. Si la respuesta fuese Sí, deberían saber que hay 3 colores. c. No es posible obtener una probabilidad experimental que se acerque a la teórica porque hay muy pocas iteraciones del experimento. d. La suma de los resultados de la muestra 2 y la muestra 3. e. Probabilidad experimental o frecuencial. f. Debería ser un valor cercano a 0,25. g. Mientras mayor es la iteración del experimento las frecuencias relativas se acercan a la probabilidad teórica. h. La población es la totalidad de círculos y sus colores. La muestra se obtuvo al extraer 5 círculos de la bolsa. Es aleatoria porque se obtuvo al azar, sin mirar y todos los círculos son equiprobables. Es representativa porque se extrajo varias veces por cada uno de los grupos, por lo tanto abarca en número a la población.

12. a. Martes y viernes. b. No es posible porque no es asimétrico. 13 a. 11 estudiantes. b. El promedio de ambos cursos es 597,5 puntos. c. El dato 3. d. Debe sacarse un 5,9. e. La mediana es 3. f. Una gris o una blanca. g. Ω = {cc, cs, sc, ss} h. 13 casos favorables. 1 . i. La probabilidad es _ 6 1 . j. La probabilidad es _ 3 k. Frecuencias relativas:

_ _ _ _ _

0 televisores 3 13 2 1 televisor 13 2 televisores 2 13 3 televisores 4 13 4 televisores 1 13

Evaluación de la unidad (páginas 161 a 163) 5. C 6. D 7. D 8. B a. No son futbolistas 250 deportistas. b. 30 deportistas. c. El fútbol. d. 10 deportistas. e. No se puede porque la variable no es cuantitativa. 10. a. 7 familias. b. 16 familias. c. 82,5 %. d. El promedio es 2, que sí es representativo, porque la mayoría de las familias tienen esta cantidad de mascotas. e. La mediana es 2. f. Ambos son iguales y representativos. 11. 1. 2. 3. 4. 9.

D D D D

Deporte

f

F

fr(%)

fr

Fútbol Básquetbol Vóleibol Hándbol Tenis de mesa

24 2 7 8 4

24 26 33 41 45

48 % 4% 14 % 16 % 8%

0,48 0,04 0,14 0,16 0,08

Natación Total

5 50

50

10 %

0,1

_

l. La que tiene mayor probabilidad es 3 televisores. m. La probabilidad es

1 14 348 997

Banco de preguntas (página 164) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

C B B C La media es 4,7. La moda es 5. La mediana es 5. 2 La probabilidad es _ 6 9. La probabilidad es 7 20 10. La probabilidad es 1 12

_ _

a. 26 personas. b. Un 16 %. c. El fútbol. d. No se puede calcular porque los datos no tienen un

orden creciente.


169

Solucionario


Logrado

Por lograr

Repasa en…

Población y muestra. (Actividades 1, 2, 3, 4, 5)

3 o más puntos

2 o menos puntos

Lecciones 40 y 41.

Representación de datos. (Actividades 6, 11a, 11b)

2 o más puntos

0 o 1 punto

Lecciones 42 y 43.

Medidas de tendencia central. (Actividades 8, 9e, 10d, 10e, 10f, 11c, 11d)

4 o más puntos

3 o menos puntos


Gráfico más adecuado. (Actividad 12b)

1 punto

0 punto

Lección 47.

Probabilidades. (Actividades 13; f, g, h, i, l ,m )

3 o más puntos

2 o menos puntos

Lecciones 48 y 49.

Parte II: Para practicar habilidades Para practicar las habilidades matemáticas evaluadas en la parte II dirígete al Cuaderno de ejercicios, según tu nivel de logro. Habilidad

Logrado

Por lograr

Practica en…

Representar (Actividades 9, 11a y 12, 14 a)

3 o más puntos

2 o menos puntos

Cuaderno de ejercicios páginas 148, 149, 150 y 151.

Modelar (Actividades 14d, 14b)

1 o más puntos

0 punto

Cuaderno de ejercicios páginas 178 y 179.

Resolver problemas (Actividades 14 i, 14b, f)

2 o más puntos

0 o 1 punto

Cuaderno de ejercicios, Resolución de problemas.

Argumentar y comunicar (Actividades 9e, 10e, 11e, 12b)

2 o más puntos

0 o 1 punto

Cuaderno de ejercicios páginas 144, 145, 146 y 147.



170


Anexos: Material fotocopiable UNIDAD 1 Sección 1

UNIDAD 4 Sección 11

Página: 28

Página: 151

Mural Actividades sugeridas

Mural Actividades sugeridas

Nivel 1 Para acceder al grafico visite la página http://codigos. auladigital.cl e ingrese el código GM7P167a.

Nivel 2 Para acceder al gráfico visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P173b.

UNIDAD 1 Sección 1 Página: 28 Mural Actividades sugeridas

Nivel 2 Para acceder al grafico visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P167b.



171

Anexos: Material fotocopiable UNIDAD 1 Sección 2 Página: 35 Mural Actividades sugeridas

Nivel 2 Para acceder al grafico visite http://codigos. auladigital.cl e ingrese el código GM7P168a.


Nivel 1 Para acceder a esta imagen visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P168b.

UNIDAD 4 Sección 10 Página: 141 ¿Qué debo saber? Actividades sugeridas

Nivel 1 Para acceder al grafico visite http://codigos.auladigital.cl e ingrese el código GM7P168c. e l b a i p o c o t o f l a i r e t a M

172



Nivel 2

El doble de un número. x : y= 8 – 6

La mitad de un número. 2x + 3

El doble de un número aumentado en tres. _x = 5 2 El triple de un número disminuido en cinco equivale al número aumentado en 4. 2x > x + 10

La diferencia entre dos números. 4x + 2y

El doble de la suma entre un número y siete

El doble de un número aumentado en uno 3x > x – 4

La diferencia entre un número y cuatro es menor que tres. 3x – 5 = x + 4

La quinta parte de un número es ocho. x–y

x–4<3

El cuádruple de un número aumentado en el doble de otro. 2(x + 7)

La suma entre un número y su sucesor es menor que el triple del número. _x < 8 5

La quinta parte de un número es menor que ocho.

El triple de un número disminuido en cinco equivale al número aumentado en cuatro. 8 – 2x = 3x

El doble de un número es mayor que dicho número aumentado en diez.

El cociente entre dos números es igual a la diferencia entre ocho y seis. 15 : 3< xy

_x = 8 5

2x + 1 La diferencia entre diez y el doble de un número es igual al número disminuido en tres. x (x + 1) < 3x

La tercera parte de quince es menor que el producto Ocho disminuido en el doble de un número es menor que el triple del número. de dos números. _x 10 – 2x = x – 3 2 La mitad de un número es igual a 5.

_x + 8 ≤ x – 1 3

La suma entre la tercera parte de un número y ocho es menor o igual que 1. 2x


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Anexos: Material fotocopiable UNIDAD 3 Sección 7 Página: 104 Lección 29: Actividades sugeridas

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UNIDAD 4 Página: 160 Actividad complementaria

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A continuación, se presentan algunas de las lecturas sugeridas por el Centro de Recursos para el Aprendizaje (CRA) para los y las estudiantes de 7° básico en la asignatura de Matemática. • Flores, C. y Pérez, C. (2011). Ejercicios de razonamiento

matemático, competencias escolares de matemáticas, vol.2. Chile: Sello editorial Universidad de Concepción. • Muñoz, H. (2011). Primeros pasos en álgebra. Vol. 1: El

significado del signo igual. Chile: LOM Ediciones.

• Maroto-Vargas, A. ( 2013). Propuesta para la enseñanza y aprendizaje de las inecuaciones lineales . Revista Educación, 37 (2).

• Muñoz, H. (2011). Primeros pasos en álgebra. Vol. 2: Ini-

• Molina, M., Castro, E. y Castro, E. (2007). Historia del signo igual. En M. Guzmán, Humanidades y Ciencias. Aspectos Disciplinares y Didácticos. Granada: Atrio.

• Muñoz, H. (2011). Primeros pasos en álgebra. Vol. 3: Sím-

• Paenza, A. (2005). Matemática... ¿Estás ahí? . Argentina:

Siglo Veintiuno. • Rodríguez, L. (2011). Construcciones: ¿solo con regla y compás?. Actas del 3er Congreso Uruguayo de Educación Matemática (CUREM 3) . • Sans, A. (2008). La evaluación del trabajo colaborativo con las tecnologías 2.0. Santiago de Chile: Universidad

Andrés Bello.

176

• Siñeriz, L. (2007). Los griegos, la heurística, la regla y el compás. En M. Pochulu y R. Abrate, Experiencias, propuestas y refl exiones para la clase de Matemática .


ciación al empleo de letras en expresiones algebraicas. Chile: LOM Ediciones. bolos y convenciones en el lenguaje algebraico. Chile: LOM Ediciones. • Muñoz, H. (2011). Primeros pasos en álgebra. Vol. 4:

Expresión y alcances de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Chile: LOM Ediciones. • Pickover, C (2011). El libro de las matemáticas. Holanda:

Ilus books. • Varios Autores (2007). Apuntes de matemáticas. España.

MATSM17G7B.pdf

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