Mat.op.Financieras

MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Índice Conceptos básicos de la

2

Concepto de Capital Financiero

inversión

3

Comparación de capitales financieros

3

Ley financiera

8

Capitalización simple

Capitalización

14

Capitalización compuesta

22

Introducción

23

Descuento comercial simple

24

Descuento racional simple

26

Descuento racional compuesto

Tipos de interés y rentabilidad

32

Tipos de interés

34

Rentabilidad

Conceptos estadísticos

44

Media y esperanza

46

Varianza y desviación típica

48

Covarianza y correlación

51

Regresión lineal mínimo cuadrática

62

Rentabilidad

66

Riesgo

69

Supuestos de la hipótesis de normalidad

Descuento

Rentabilidad y riesgo

fikai AULA FINANCIERA


Capítulo 1 . Conceptos básico s de la inv ersión 1.1 Fenómeno financi ero. Concepto de Capit al Financiero 1.2 Comparación de capitales fin ancieros 1.3 Ley fin anciera 1.3.1 Operación financiera


1

1.1 Fenómeno financiero. Conc epto de Capital Financiero Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo (satisfaciendo alguna necesidad), o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. De la misma manera dispuestos que estamos dispuestos a gastarlo para una necesidad, estaremos a invertir siempre y cuando la satisfacer compensación económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la compensación por la renuncia temporal del dinero o coste de oportunidad de no disponer del dinero durante un tiempo. Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas: • Por el riesgo que se asume. • Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo. • Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo. La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber: • La cuantía del capital invertido. • El tiempo que dura la operación. • El tanto de interés al que se acuerda la operación. Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

2


1.2 Comp araci ón de capit ales fin anc ieros Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes . Hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C 1 con vencimiento en t 1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

1.3 Ley financiera Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

Para que una operación financiera se realice es necesario que a los intervinientes las cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.

1.3.1 OPERACIÓN FINANCIERA CONCEPTO: Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de un a ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.


3

La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos: 1. Sustitución de capitales . Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s). 2. Equivalencia . Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley financiera. 3. Ap li cac ió n de un a ley fi nanci era . Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses generados.

ELEMENTOS - Personales En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el importe de los intereses. La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambas partes se le denomina lacontraprestación de la operación financiera. En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas. Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo.

- Temporales Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le denomina srcen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se le llamafinal de la operación financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración financiera, durante el cual se generan los intereses.

de la operación

- Objetivos La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.

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CLASIFICACIÓN Según la dur ación: • A corto plazo: la duración de la operación no supera el año. • A largo plazo: aquéllas con una duración superior al año.

Según la ley financiera que opera: • Según la generación de intereses: 1) En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. 2) En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.

• Según el sentido en el que se aplica la ley financiera: 1) De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro. 2) De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente.

Según el nú mero de capitales de que const a: • Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación. • Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.

Según el interés: • A interés explícito: cuando en la operación financiera se producen los intereses al aplicar el tipo de interés. Por ejemplo, un bono a 5 años con pago anual de intereses. • A interés implícito: cuando los rendimientos se calculan sobre el valor nominal y se descuentan de dicho valor nominal. Por ejemplo, una Letra del Tesoro a 12 meses.


5


Capítulo 2. Capitalización 2.1 Capitalización simple 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

Definición y fórmula general Magnitudes derivadas Tantos equivalentes en capitalización simple Números comerciales: concepto y cálculo Interés simple anticipado

2.2 Capitalización compuesta 2.2.1 Definición y fórmula general 2.2.2 Magnitudes derivadas 2.2.3 Tantos equivalentes en capitalización compuesta


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2.1 Capitalización simple Capítulo 2: Capitalización

2.1.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operaciones en régimen de capitalización simple se caracterizan porque los intereses, a medida que se van generando, no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital – el inicial –, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año), salvo que las condiciones de la operación indiquen lo contrario.

CONCEPTO: Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple.

DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN: Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente – capital inicial –, se trata de determinar la cuantía final (C n) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo “n” y tipo de interés “i”).

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los intereses no son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial (C0), al tanto de interés vigente en dicho período. Así pues, la fórmula general del valor de los intereses en capitalización simple, en el caso de que el tipo de interés sea constante, es:

I

=

C0 · i · n

donde: i = Tipo de interés nominal expresado en tanto por uno y referido a un año. n = Duración de la operación, expresada en años.

8


DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido es el siguiente:

Cn = Co + I

sustituyendo los intereses por la expresión I = C 0 · i · n

Cn = Co + (Co · i · n)

Cn = C0 · ( 1 + i · n )

Por tanto:

Siendo el factor de capitalización = (1 + i · n) Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante. Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces

que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).

CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante sería:

n

Cn

=

C 0 · ( 1 + i1 + i2

+

i3

+

... + in ) = C 0 ·( 1 + ∑i j ) j =1


9

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo del montante en C.S. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

Co = 2.000 €

C4 = ?

0

4 años

i = 8% = 0,08

Para calcular el montante utilizamos la expresión:

Cn = C 0 · ( 1 + i · n )

C4= 2.000 · (1 + 0,08 x 4 ) = 2.640 €

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo del montante en C.S. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual simple para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés simple un punto porcentual. En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos la expresión: n

Cn

=

C 0 · ( 1 + i1 + i2

+

i3

+

... + in ) = C 0 ·( 1 + ∑i j ) j =1

C3 = C0 · ( 1+ i1 + i2 + i3 ) = 1000 · ( 1+ 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 1180 €

10


2.1.2 MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiendo de la fórmula del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés (cte), bastará con despejar de la misma:

Cn = Co · ( 1 + n · i ) despejando C0 resulta:

C0 =

►EJEMPLO

Cn 1+ n · i

RESUELTO

Cálculo del capital inicial en C.S. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual simple para ese plazo?

Co = ?

Cn= 1500 € i = 6% = 0,06

0

2 años

Cn 1500 C0 = = = 1339,29 € 1 + n · i 1 + 2 · 0,06

CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos. Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i1 + C0 i2 + … + C 0 in Luego: n

Intereses totales = C · ( i 0

+

1

i

+

... + i ) = C ·

2

n

0

i j=1

j

Si i1 = i2 = … = in = i = cte

Intereses totales

=

I1

+

I2

+ … +

In

=

C0 i

Por último, si conocemos los capitales inicial y final:


+

C0 i

+ … +

C 0 i = C 0 ·n·i

I = Cn - C 0 11

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual? Por suma de los intereses de cada período: Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i = = C0 x i x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 € También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial: C4= 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

I

►EJEMPLO

Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

RESUELTO

n

= 384 – 300 = 84 €

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual? In = C0 · i · n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €

CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida.

Cn Cn

=

C0

· (1 + n · i)

►EJEMPLO

C

C

n = + C0 1 n · i

n C0

RESUELTO

C -1

=

n·i

i

=

-1

0

n

Cálculo del tipo de interés en C.S. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 euros. DATOS: Co= 1000 €

C n = 1500 €

Cn Calculamos i :

i=

C0 n

-1 =

n = 5 años

1500 -1 1000 5

=

0,10 = 10%

CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración mediante la expresión:

Cn n=

12

C0 i

-1 =

Cn - C 0 C0 · i

=

I C0 · i


2.1.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos

equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés efectivo fraccionado ( ik ): El montante obtenido utilizando i : y utilizando ik :

Cn = C0 · (1 + n · i) Cn = C0 · (1 + n·k · ik)

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). Igualamos

C0 · (1 + n · i) = C0 · (1 + n·k · ik)

Y simplificando obtenemos la relación de equivalencia:

i = k · ik

Por tanto, los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales.

2.1.4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO En el caso de una cuenta corriente bancaria es frecuente que, debido a los movimientos deesta dinero, el capital (saldo) variable. Cuando se da circunstancia, para sea calcular los intereses usamos los números comerciales , siendo estos el producto del capital (saldo) por la duración de su periodo:

Ni

=

Ci · ni

De esta forma los intereses de una cuenta corriente, con saldos C i, podemos calcularlos de la siguiente manera:

I = C1 · i ·n1 + C 2 · i ·n 2 Luego: I

=

i·(N1 + N2

+

+

.... + C n · i ·n n

=

i·(C1 · n1 + C 2 · n 2

+

.... + C n · n n )

... + Nn )

2.1.5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El tipo interés simple es anticipado, y lo denotaremos i*, cuando los intereses son prepagables, es decir, al principio del periodo. La relación entre el tipo de interés simple anticipado ( i*) y el tipo de interés al vencimiento ( i ) es la siguiente:

i*

=

i 1+ i · n


, o bien, i =

i* 1- i* · n

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2.2 Capitalización compuesta Capítulo 2: Capitalización

2.2.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los intereses son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes. • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.

DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: C0 Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 · (1 + i) Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 · (1 + i) = C0 · (1 + i) · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)3 Generalizando:

Cn

=

C 0 ·(1 + i)n

siendo (1+ i ) n el factor de capitalización

Al igual que en capitalización simple, la duración (n) siempre ha de estar en la

misma unidad de tiempo que el tipo de interés (i). Esta expresión:

- Permite calcular el capital final o montante (C n) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación.

-

Es aplicable cuando el tipo de interés de la operación es constante. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

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CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante sería: n

Cn

=

C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 · ∏(1 + i j ) j =1

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo del montante en C.C. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

Co = 200 €

C10= ?

0

10 años

i = 5% = 0,05 C10 = 200 · (1 + 0,05 )10 = 325,78 € Si se hubiese calculado en simple: C10 = 200 · (1 + 0,05 · 10) = 300 € La diferencia entre los dos montantes (25,78 €) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo del montante en C.C. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual compuesto para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés compuesto medio punto porcentual. En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos la expresión: n

Cn

=

C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 · ∏(1 + i j ) j =1

C3

=

C 0 ·(1 + i1 )·(1 + i 2 )·(1 + i 3 ) = 1000·(1 + 0,05 )·(1 + 0,055 )·(1 + 0,06) = 1174,21 €


15

2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 · (1 + i)n de donde se despeja C0:

C0

=

Cn n

(1 + i) ►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo del capital inicial en C.C. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

Co = ?

Cn= 1500 €

0

2 años

i = 6% = 0,06

C0

=

Cn

1500

(1 + i)n = (1 + 0,06) 2 = 1334,99 €

CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

I = Cn - C 0 En el caso de i = cte: I = C 0 ·(1 + i)n - C 0

=

C 0 ·[ (1 + i)n - 1)

n

En el casi de i = vble I = C 0 · ∏(1 + i j ) - C 0 j=1

►EJEMPLO

RESUELTO

]

n

=

C0 · [

∏(1

+

ij ) - 1

]

j=1

Cálculo de los intereses en C.C. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual? Calculamos primero el montante C4 = 300 (1 + 0,07) 4 = 393,24 € Luego, los intereses generados serán In = 393,24 – 300 = 93,24 €

16


CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn

Cn = C0 · (1 + i)n

►EJEMPLO

C0

=

(1 + i)n

n

RESUELTO

Cn C0

=

(1 + i)

i=n

Cn C0

-1

Cálculo del tipo de interés en C.C. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros. DATOS: Co= 1000 €

i=n

Calculamos i:

C n = 1601,03 €

Cn C0

-1 =

12

n = 12 años

1601,03 - 1 = 0,04 = 4% 1000

CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración:

Cn

Cn = C0 · (1 + i)n

C0

=

(1 + i)n

log

Cn C0

log C n log C n

►EJEMPLO

log C 0

=

n=

n·log(1 + i)

RESUELTO

=

log(1 + i)n

log C 0

log(1 + i)

Cálculo de la duración en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto. DATOS: Co= 2000 €

C n = 3202 €

log C n Calculamos n: n =

log C 0

log(1 + i)


i = 4%

log 3202 log 2000 =

log(1 + 0,04)

= 12 años

17

2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo,

son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. En capitalización simple se comprobó que los tantos de interés equivalentes son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:

i = k · ik Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones: a) Interés anual del 12% Cn = 1.000 x (1 + 0,12) 1 = 1.120,00 b) Interés semestral del 6% Cn = 1.000 x (1 + 0,06) 2 = 1.123,60 c) Interés trimestral del 3% Cn = 1.000 x (1 + 0,03) 4 = 1.125,51 Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados. Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés efectivo fraccionado ( ik ): El montante obtenido utilizando i : y utilizando ik :

Cn = C0 · (1 + i)n Cn = C0 · (1 + i k) n·k

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). Igualamos

18

C0 · (1 + i)n = C0 · (1 + i k) n·k


Simplificamos: (1 + i)

n

= (1 + ik)

i = (1 + ik )k

Despejando:

1

n·k

(1 + i) = (1 + ik) k

, o bien, ik

=

(1 + i)1/ k

1

TANTO NOMINAL: El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo fraccionado ik en capitalización compuesta. Cuando nos den el valor del tanto nominal jk, calcularemos el efectivo fraccionado de la siguiente forma:

ik

►EJEMPLO

=

jk k

RESUELTO

Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros se invierte durante 10 años al 4% anual nominal devengando los intereses mensualmente. Determinar: a) el tipo de interés efectivo mensual b) el tipo de interés efectivo anual. c) el montante al cabo de los 10 años. DATOS: Co= 2000 €

n = 10 años

j12 12

0,00333 = 0,33%

a) i12

=

=

0,04 12

=

b) i = (1 + i12 )12 1 = ( 1 +

c) C10

=

C 0 ·(1 + i)n

►EJEMPLO

=

j 12 = 4%

0,04 12 ) 1 = 0,04074 = 4,074% 12

C 0 ·(1 + ik )nK

=

2000·( 1 +

RESUELTO

0,04 120 ) 12

=

2981,66 €

Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Un capital de 5.000 euros se invierte durante 2 años y medio al 4% anual nominal capitalizable trimestralmente. Determinar: a) el tipo de interés efectivo trimestral. b) el montante al final de la operación. DATOS: Co= 5000 € n = 2,5 años j 4 = 4% a) i 4

=

b) Cn

j4 4

=

=

0,04 4

=

C 0 ·(1 + i)n

0,01 = 1%

=

C 0 ·(1 + ik )nK


=

5000·( 1 +

0,04 10 ) 4

=

5523,11 €

19


Capítulo 3. Descuento 3.1 Introducción 3.2 Descuento comercial simple 3.3 Descuento racional simple 3.3.1 Tipo de interés en las letras del tesoro

3.4 Descuento racional compuesto 3.4.1 Definición y fórmula general 3.4.2 Actualización periódica de los intereses


21

3.1 Introducción Capítulo 3: Descuento

El descuento bancario es una operación de activo para las entidades financieras y uno de los servicios bancarios de financiación a corto plazo más utilizados por las empresas. La operación consiste en que la entidad financiera adelanta el importe de un título de crédito no vencido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo…), descontando los intereses que corresponden por el tiempo que media entre la fecha del anticipo y la fecha de vencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos. Las figuras que aparecen en la operación son: librador es la persona que emite el documento, tenedor o tomador es la persona legitimada para cobrarlo y librado es la persona obligada al pago. En términos financieros, la entidad anticipa al cliente, el valor actual descontado de un efecto comercial, y a vencimiento, el banco obtendrá el nominal. Se denomina genéricamente efecto comercial a todo tipo de documento que evidencie que existe un crédito a favor de la persona que lo posee, como consecuencia de la práctica habitual de la empresa, contra otra que ha contraído dicha obligación o deuda. Por tanto, las operaciones de descuento o de descapitalización son operaciones financieras en las que se cambia un capital futuro por un capital presente, es decir, se anticipa un capital (Cn,tn) hasta (Co,t0).

Al capital que figura en el documento (letra, factura, pagaré…) o capital futuro se le denomina valor nominal (Cn). El capital en el momento presente, se le llama descontado (C0) .

valor actual

,

valor efectivo

o

valor

La diferencia entre el valor nominal y el valor descontado es el descuento.

D = Cn – C0 El descuento depende, además de la cuantía del valor nominal, del tipo de interés nominal aplicado y del tiempo. Para el cálculo del descuento comercial en días se suele considerar el año comercial de 360 días. Sin embargo, para operaciones de pasivo las entidades financieras utilizan el año natural de 365 días. Vamos a estudiar tres sistemas financieros de descuento: 1. simple. 2. Descuento Descuento comercial racional simple. 3. Descuento racional compuesto o actualización compuesta.

22


3.2 Descuento comercial simple Capítulo 3: Descuento

El descuento comercial simple es el más utilizado en la práctica bancaria y se lleva a cabo para periodos inferiores a un año.

Fórmula general del valor descontado: C0

=

Cn ·(1 - n · i)

siendo (1-n·i) el factor de actualización.

Fórmula general del descuento: D = Cn C 0

=

Cn

Cn ·(1 - n · i) = Cn · n · i

Donde: i = tipo de interés de descuento nominal = tanto de descuento nominal = d Cn= valor nominal C 0 = valor descontado n = periodo de descuento ►EJEMPLO

RESUELTO


Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 800 euros de nominal 80 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tipo de descuento nominal aplicado es del 9% anual, se pide: a) Valor del descuento realizado. b) Valor descontado o efectivo que abona la entidad. DATOS: Cn= 800 €

n = 80 días

d=i= 9%

a) D = Cn · n· i = 800 · 80 · 0,09 = 16 €

360

b) C0 = Cn – D = 800 – 16 = 784 € ►EJEMPLO

RESUELTO


Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 5000 euros de nominal 100 días antes de su vencimiento. Sabiendo que valor descontado o efectivo que abona la entidad es 4785 €, calcular el tipo de interés nominal utilizado. DATOS: Cn= 5000 €

n = 100 días

C

0

= 4785 €

5000 4785

D = Cn · n · i

D

i=

Cn · n ►EJEMPLO

PROPUESTO

= 0,1548 = 15,48%

=

5000 · 100 / 360


Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 1500 euros de nominal 90 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tanto de descuento es del 8% anual, que la comisión del 0,5% y que los impuestos ascienden a 30 euros, calcular el valor efectivo de la letra.


23

3.3 Descuento racional simple Capítulo 3: Descuento

Fórmula general del valor descontado: Partimos de la capitalización simple: Cn = Co · ( 1 + n · i ) y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 siendo

=

Cn (1 + n · i)

1 el factor de actualización. (1 + n · i)

Fórmula general del descuento: D = C n C 0

=

Cn

Cn (1 + n · i)

=

Cn · n ·i (1 + n · i)

3.3.1 TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses, su valor nominal es de 1.000 euros y presentan la peculiaridad de que se emiten al descuento. Es decir, el suscriptor comprar paga menos quevalor el valor nominal del menor título, mientras en el momento delalvencimiento recibe dicho nominal. Este precio enque el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título. De esta manera, el capital invertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se obtienen serán la diferencia entre ese precio de adquisición y el precio que se obtenga por la letra cuando se venda o cuando se amortice (1.000 euros).

Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:

a) Si se emiten a plazos inferiores o iguales a los 12 meses: •

Se calculan aplicando las fórmulas del descuento racional simple.

•

Las emitidas a 12 meses (o 52 semanas) tienen una vida exacta de 364 días.

b) Si se emiten a 18 meses: •

24

Se aplican las fórmulas del descuento racional compuesto.


►EJEMPLO

RESUELTO


Las Letras del Tesoro a 12 meses se adjudicaron a un tipo de interés marginal del 2,975%. ¿Cuál es el precio marginal de la subasta o precio mínimo aceptado? DATOS: Valor nominal = C n= 1.000 €

d = n° de días = 364

Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0

=

i = 2,975%

Cn (1 + n · i)

1.000 C0 = P =

1+

►EJEMPLO

364 · 0,02975 360

= 970,79 euros

RESUELTO


El importe que se abonó por una Letra del Tesoro a 12 meses fue de 980,75 euros. Calcula el tipo de interés de la subasta. DATOS: Valor nominal = C n= 1.000 €


Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0

Sustituimos: 980,75 =

►EJEMPLO

=

P=C

0

= 980,75 €

Cn (1 + n · i)

1000 y despejamos i = 0,01941 = 1,941% 364 (1 + · i) 360

RESUELTO


Un capital de 5000 euros se descuenta 30 días antes de su vencimiento a un 7% anual. Calcular el descuento racional simple y el descuento comercial simple. DATOS: Valor nominal = C n= 5000 €


5000 ·

Descuento racional simple: D = (1 +·nn··ii) Cn

=


30

· 0,07 360 30 (1 + · 0,07) 360

Descuento comercial simple: D = Cn · n · i = 5000 ·

i = 7%

=

29 €

30 · 0,07 = 29,17 € 360

25

3.4 Descuento racional compuesto Capítulo 3: Descuento

3.4.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL En esta ley financiera el descuento se calcula sobre el valor del capital actualizado al inicio de cada periodo.

Fórmula general del valor descontado: Partimos de la capitalización compuesta: Cn = C0 · (1 + i)

n

y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 Siendo

1 (1 + i)n

Cn (1 + i)n

el factor de actualización

Fórmula general del descuento: D = Cn C 0

►EJEMPLO

=

=

Cn

RESUELTO

Cn (1 + i)n

=

Cn · ( 1

1 (1 + i)n

)


Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 10 años. Calcular el valor descontado y el descuento utilizando la ley de actualización compuesta, siendo el tipo de interés el 5% nominal anual. DATOS: Valor nominal = C n= 5000 €

Valor descontado: C 0

=

Cn (1 + i)n

=

duración = 10 años

5000 (1 + 0,05 )10

=

i = 5%

3069,57 €

Descuento = Cn – C0 = 5000 – 3068,57 = 1930,43 €

3.4.2 ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES ►EJEMPLO

PROPUESTO


Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 3 años y medio. Calcular el valor actual de dicho capital siendo el tipo de interés un 6% nominal actualizable semestralmente.

26


►CUESTIONARIO

Capítulos 1- 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

1. ¿Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por ciento de nominal, si calculamos su valor al 3% de interés y faltan 45 días para su vencimiento? A) B) C) D)

97,20 % 99,63 % 98,30 % 100 %

2. Si se realiza un ingreso de 9.000 euros a plazo fijo durante 5 años al 4% nominal anual. Los intereses se abonan trimestralmente y se reinvierten ¿Cuál es el saldo final de la operación? A) B) C) D)

10.981,71 € 11.025,85 € 10.949,87 € 10.988,97 €

3. Si adquiriese Letras del Tesoro a 1 año (exactamente a 360 días en base a 360) por 946€, siendo su valor nominal 1.000€ ¿qué rentabilidad obtendría en cada una de las Letras a 1 año? A) B) C) D)

5,400% 5,708% 5,630% 5,880%

4. Nos ofrecen un depósito en el que se estima una rentabilidad nominal anual del 6% y que trimestralmente abonan los intereses al depósito. Si decidimos aportar 12.000 euros, ¿Cuál será el capital dentro de 4 años? A) B) C) D)

15.309,86 € 15.227,83 € 15.149,72 € 15.245,87 €

5. En una inversión financiera a un año y a efectos de conseguir la mejor rentabilidad al finalizar la operación, ¿Cuál de las siguientes operaciones escogería, suponiendo que las condiciones de la operación se mantengan durante todo el año? A) B) C) D)

Interés nominal del 4,15% pagadero anualmente. Interés nominal del 4,05% pagadero bimestralmente. Interés nominal del 4,10% pagadero trimestralmente. Interés nominal del 4,07% pagadero mensualmente.

6. En las operaciones de capitalización: A) Se adelanta el cobro de un capital. B) Se retrasa la disponibilidad de un dinero. C) Se realiza un descuento sobre el valor nominal. D) Se generan intereses que se van acumulando siempre al capital inicial.

7. Si depositamos un capital de 5.000 € ¿Qué capital final obtendremos, si dicha imposición es a un plazo de 6 meses y es remunerada al 3% anual? A) B) C) D)

5.075 € 5.070 € 75 € Ninguna de las anteriores.


27

8. Una empresa descuenta una letra de 6.000,00€ que vence dentro de 90 días. La entidad bancaria abona por la Letra 5.855 €. Calcula el tipo de interés nominal que aplica la entidad, suponiendo que no existen gastos. A) B) C) D)

9,67 % 10 % 8,32 % Ninguna de las anteriores.

9. Sabiendo que el tipo de interés nominal resultante en una subasta de Letras del Tesoro a 12 meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra. A) 35,55 € B) 964,45 € C) 963,55 € D) 96,445 €

10. ¿Qué capital hay que colocar al 4% de interés nominal anual para obtener, al cabo de cuatro años, otro de 10.000 €? Se supone que el abono de intereses es trimestral y se va acumulando al capital inicial. A) B) C) D)

8.528,21 € 1.471,78 € 8.874,49 € 5.339,08 €

11. Un depósito a plazo de 3 años permite recuperar al inversor 10.500 € por cada 9.000 € de inversión. Calcula el tipo de interés nominal de dicho depósito, sabiendo que los intereses se generan cada semestre y se acumulan al capital. A) B) C) D)

8,01 % 5,20 % 10,54 % 5,50 %

12. En una operación de actualización a interés compuesto, el valor efectivo disminuye a medida que se hace menor: A) La duración de la operación. B) El tipo de interés nominal. C) La frecuencia anual de actualización. D) Ninguna es cierta.

13. Calcular el tipo de interés nominal anual que se está aplicando en un bono cupón cero a 10 años, con cálculo semestral de intereses, si por un nominal de 1.000 € se deben pagar 610 €. A) B) C) D)

6% 4% 5% Ninguna de las anteriores.

14. El tipo de interés nominal de una imposición a plazo de 3 años es el 4% si los intereses se acumulan mensualmente al capital. Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente. A) B) C) D)

4% 4,07 % 3,33% 6,01 %

28


15. Un depósito a plazo ofrece un 5% de interés anual nominal con acumulación trimestral de intereses. Por un capital inicial de 8.000 €, a los dos años y tres meses obtendrá un capital final de: A) B) C) D)

8.952,58 € 8.928,24 € 8.900 € 8.946,34 €

16. Una operación de inversión de 25.000 € a cuatro años al 3,75% nominal con capitalización mensual obtendrá un capital final de: A) B) C) D)

29.039,06 € 28.750,00 € 21.522,74 € 29.045,86 €

17. En una operación en que se descuenta un efecto comercial de nominal 6.000 € y vencimiento a los 60 días a una tasa de descuento del 5% anual, el valor efectivo a percibir es, suponiendo que se aplica la fórmula del descuento simple comercial: A) B) C) D)

5.700 € 5.950 € 5.850 € Ninguna de las anteriores

18. En la misma operación de la pregunta anterior, ¿qué valor efectivo se percibirá si el descuento es por modalidad matemática o racional? A) B) C) D)

5.700,00 € 5.950,00 € 5.950,41 € Ninguna de las anteriores.

19. A que tipo de interés habría que invertir un capital hoy para que se duplique en 10 años: A) B) C) D)

6,25 % 5,53 % 7,18 % 8,11 %

20. En una operación financiera de 1 año, el tipo de interés a vencimiento es del 3%, ¿cuál es el tipo de interés simple anticipado? A) B) C) D)

3,09 % 3% 2,91 % Ninguna de las anteriores.

21. Un cliente abre una cuenta corriente bancaria ingresando 3000 €. El tipo de interés anual simple es del 4%. Al cabo de 10 días ingresa otros 1000 € más y 40 días después retira 500 €. Si 30 días después la entidad financiera liquida los intereses, ¿cuál será su importe? A) B) C) D)

11800 € 32,33 € 6,03 € Ninguna de las anteriores.


29

22. ¿Cuál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta en las operaciones de capitalización? A) B) C) D)

El plazo. La frecuencia de pago de intereses. La reinversión de intereses. No existe ningún criterio.

23. ¿Cual es el criterio para la aplicación de la ley simple o la compuesta en operaciones de descuento? A) El plazo. B) La frecuencia de pago de intereses. C) La reinversión de intereses. D) No existe ningún criterio.

30



Capítulo 4. Tipos de interés y rentabilidad 4.1 Tipos de interés 4.1.1 Tasa nominal y efectiva en interés compuesto 4.1.2 Tipos de interés spot y forward

4.2 Rentabilidad 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6

Rentabilidad nominal y real Rentabilidad Simple Tasa Anual Equivalente (TAE) Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR)


31

4.1 Tipos de interés Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.1.1 TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo fraccionado ik en capitalización compuesta. Por tanto, la relación entre el tanto nominal capitalizable k-esimalmente jk y el tanto efectivo k-esimal es:

ik =

jk

donde k es la frecuencia de capitalización.

k

Como vimos en el capítulo 2, el tipo efectivo anual compuesto = i = (1 + i k )k

1

Luego sustituyendo:

Tipo efectivo anual compuesto

i = ( 1+

jk k

)k - 1

y despejando jk en función de i : 1

Tanto nominal

jk = k · [ (1 + i) k - 1

]

Si k >1 el tipo de interés efectivo anual (i) es mayor que el tanto nominal (j k) Si k = 1, entonces i = j 1

►EJEMPLO

RESUELTO

Tanto nominal y tanto efectivo

Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente a una operación de capitalización al 10% nominal pagadero semestralmente. DATOS: Tanto nominal pagadero semestralmente = j2 = 10% SE PIDE: Tanto efectivo anual = i Utilizamos la expresión: i = ( 1 +

i = ( 1+

32

j2 2

)2 - 1 = ( 1 +

0,10 2

)2

jk k

)k - 1 para k = 2

1 = 0,1025 = 10,25% >10% = j2


4.1.2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD Las operaciones al contado se liquidan a untipo de interés al contado o “spot” y las operaciones a plazo, es decir, contratadas en una fecha pero materializadas en una fecha futura, se liquidan a un tipo de interés a plazo o “forward” . Para vencimientos superiores al año se aplica el interés compuesto, y para vencimientos inferiores a un año el interés simple.

La curva de tipos de interés o curva de rendimientos (yield curve) es la representación gráfica en un eje de coordenadas, de los tipos spot observados en el mercado (eje vertical) asociadas a los vencimientos de los activos (eje horizontal); en un momento dado.

La Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) es la curva construida con los tipos de interés correspondientes a los bonos cupón cero sin riesgo. Esta curva nos proporciona hoy las expectativas sobre la evolución de tipos futuros, es decir, si la expectativa es de evolución de tipos al alza (curva ascendente), a la baja (curva descendente) o de no variación (curva plana). ►EJEMPLO

RESUELTO

Tipo de interés spot

Calcular el tipo spot correspondiente a una operación financiera de duración 2 años, siendo el nominal del activo 1000 euros y el valor efectivo hoy 910,55 euros. DATOS: Valor nominal = Cn = 1000 € Valor efectivo = C0 = 910,55 €

n = 2 años

El vencimiento del activo financiero es superior al año, luego utilizaremos interés compuesto:

Cn = C0 · (1+i)n

sustituyendo: 1000 = 910,55 · (1+i)2

Y despejando: tipo spot asociado al plazo de 2 años = i = 0,0479 = 4,79% ►EJEMPLO

RESUELTO

Tipo de interés forward

Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 6% a 1 año y el B con un rendimiento del 7% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversión a un año, dentro de un año? iA = 6%

0

iforward = ?

1

2

iB = 7% Planteamos la siguiente igualdad: (1 + i A )1·(1 + i forward )1 = (1 + iB ) 2

Sustituimos

(1 + 0,06)1·(1 + i forward )1 = (1 + 0,07) 2 y despejamos i forward = 0,08 = 8%


33

4.2 Rentabilidad Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.2.1 RENTABILIDAD REAL La rentabilidad real de una inversión considera, además de la rentabilidad financiera, otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestión, las comisiones y la tasa de inflación. Para calcular la rentabilidad real, teniendo en cuenta estas variables, utilizaremos la siguiente expresión:

(1 + rREAL ) · (1 + Π ) = (1 + rFF )

Así pues, rREAL =

►EJEMPLO

1 + rFF 1+ Π

siendo

rREAL = La rentabilidad real Π = La tasa de inflación rFF = La rentabilidad financiero fiscal

1

RESUELTO

Rentabilidad REAL

Calcular la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financierofiscal del 4%, siendo la tasa de inflación del 4,5%. DATOS:

rFF = 4%

=Π4,5%

SE PIDE:

r

REAL

=?

Para calcular la rentabilidad real utilizamos la expresión :

rREAL =

1 + rFF 1+ Π

►EJEMPLO

1=

1 + 0,04 - 1 = - 0,0048 = - 0,48 % Rentabilidad real negativa. 1 + 0,045

PROPUESTO

Rentabilidad REAL

Calcular la tasa de inflación sabiendo que una inversión que ha tenido una rentabilidad financiero-fiscal del 6% y una rentabilidad real del 3%.

34


4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS ) La expresión para determinar la rentabilidad simple RS T es:

RS T =

PT + D T - P0 P0

donde

PT:precio del título al final del periodo T DT:suma de los ingresos percibidos durante el periodo T P0:precio del título al inicio del periodo

La rentabilidad simple supone que los dividendos y otros rendimientos se perciben al final del periodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.

►EJEMPLO

RESUELTO

Rentabilidad simple

Hace dos años se adquirieron acciones de una compañía, siendo su cotización 15€. Calcular la rentabilidad simple de cada uno de los dos años de una acción, sabiendo que su cotización al final del primer año fue 18€ y al final del segundo año 17,1€.

15€

18€

0

1

17,1€

2

Para conocer en qué porcentaje se ha revalorizado anualmente la acción calculamos la rentabilidad simple: RS1 =

18 - 15 = 15

►EJEMPLO

20%

PROPUESTO

RS 2 =

17,1 - 18 = 18

- 5%

Rentabilidad simple

Hace 6 meses compramos 100 acciones a 35 €/acción, pagando 44 € de comisión y hoy la acción cotiza a 36,50€. Calcular la rentabilidad simple de la acción, sabiendo que hace 3 meses se cobró un dividendo de 1,20 € por acción.


35

4.2.3

TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE )

El Banco de España, obliga a todas las entidades financieras a incluir este índice desde el año 1990, en que publica la norma 8/1990 sobre “Transparencia de las operaciones y protección de la clientela”. El significado exacto es Tasa Anual Equivalente o Tasa Anual Efectiva. Es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o rendimiento efectivo de un producto financiero, ya que incluye el interés y los gastos y comisiones bancarias. Así, si una operación financiera no tiene comisiones ni gastos, su TAE coincidiría con el tipo de interés efectivo anual. La TAE se calcula de acuerdo con una fórmula matemática estandarizada que tiene en cuenta el tipo de interés nominal de la operación, la frecuencia de los pagos (mensuales, trimestrales, etc.), las comisiones y algunos gastos de la operación. En el caso de los créditos, no se incluyen en el cálculo del coste efectivo algunos conceptos, como los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concede el contrato, los gastos a abonar a terceros o los gastos por seguros o garantías (salvo que la entidad imponga su suscripción para la concesión del crédito). La TAE es muy útil porque permite comparar distintos productos u opciones de inversión, con independencia de sus condiciones particulares. Esto es así especialmente entre productos de igual naturaleza, en los que los restantes elementos, y en particular el riesgo que tienen, son idénticos. Las entidades están obligadas a informar sobre la TAE de sus operaciones en la publicidad que hagan de sus productos, en los contratos que formalicen con sus clientes, en las ofertas vinculantes que realicen y en los documentos deliquidación de operaciones activas y pasivas.

►EJEMPLO

RESUELTO

TAE

Un cliente solicita un préstamo por 4.000 € que debe devolver a final de año en un sólo pago que comprende el capital más los intereses (calculados mensualmente). El tipo de interés nominal del préstamo es del 6% y la entidad financiera deduce los gastos de gestión, por lo que realmente se entrega al cliente 3.950 €. Calcular la TAE. Primero calculamos la contraprestación en t=1 (devolución del capital más intereses, siendo j12 = 6%):

⎛

n 12 Contraprestación = C1 = C 0 ·(1 + i) = P·(1 + i12 ) = 4000·⎜1 +

⎝

0,06 ⎞

⎟ 12 ⎠

12

= 4246,71 €

Y a continuación, calculamos la TAE planteando la siguiente equivalencia financiera: 3950 =

36

4246,71 1 + TAE

Despejando: TAE =

7,51%


4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR ) La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero.

El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y negativos de capital, trasladando todas las cantidades futuras al presente. La expresión que permite calcular el VAN es: N

Qj D0 + ∑ (1 + i) j j =1

VAN =

Donde:

VAN = Valor Actual Neto. Do = Desembolso inicial. Qj = Flujo de Caja en el periodo j. i = tasa de descuento o actualización

La obtención del VAN constituye una herramienta fundamental para la evaluación y gerencia de proyectos, así como para la administración financiera.

La Tasa Interna de Retorno (TIR) es el tipo de descuento que hace igual a cero el VAN. Así pues, para calcular la TIR plantearemos la siguiente ecuación:

N

Qi D0 + ∑ =0 ( 1 + TIR )i i =1

TIR

Esta tasa interna de rentabilidad TIR corresponde a la rentabilidad del inversor, asumiendo que los flujos periódicos se reinvierten a una tasa igual a la TIR.

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo de la TIR

Un cliente adquirió 2.000 participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €. Al cabo de un año vendió 600 participaciones que en ese momento cotizaban a 5 €. Si al cabo de dos años la cotización de la participación del fondo es de 6 €, calcular la TIR de esta inversión. El desembolso inicial de la inversión = D o = 2.000 · 4 = 8.000 € En t = 1, cobra Q 1 = 600 · 5 = 3.000 € En t = 2, cobra Q2 = 1.400 · 6 = 8.400 € Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos planteamos la siguiente ecuación: N

Qi D0 + ∑ =0 (1 + TIR )i i =1


8.000 +

3.000 (1 + TIR )1

+

8.400 (1 + TIR ) 2

=0

TIR = 22,92%

37

4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE ) En el cálculo de la Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) se considera que un capital cobrado puede reinvertirse al tipo de interés vigente. Para calcular la TRE:

Primero, calculamos el montante (Cn) de la inversión capitalizando los flujos de caja al tipo de interés correspondiente.

A continuación, planteamos la siguiente ecuación:

C n = C 0 ·(1 + TRE)n y despejamos la tasa TRE

TRE = n

Cn C0

Si el tipo de interés de reinversión es menor que la TIR



TRE < TIR

Si el tipo de interés de reinversión es mayor que la TIR



TRE > TIR

►EJEMPLO

RESUELTO

1

Cálculo de la TRE

¿Cuál ha sido la rentabilidad efectiva de la siguiente operación si suponemos que el inversor reinvierte los cupones anuales y amortiza el bono a vencimiento? Compra: Vencimiento: Cupón anual: Valor nominal: TIR de adquisición: Precio de compra:

15-05-2001 15-05-2005 4,5% 1.000 € 6,25% 93,97%

Tipos de interés a un año 15-05-2001: 3,50% 15-05-2002: 3,80% 15-05-2003: 4,70% 15-05-2004: 5,25%

Primero calculamos el valor final de los cupones percibidos y del nominal a vencimiento utilizando los tipos de interés dados: Cn=45·(1+0,038)·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,0525)+1045= = 1193,42 €

A continuación, planteamos la siguiente ecuación: C n = C 0 ·(1 + TRE)n y sustituyendo: 1193,42 = 939,7 · (1+TRE)4 Despejando la tasa de rentabilidad efectiva: TRE = 0,06157 = 6,16 % < TIR ya que los tipos de interés de reinversión han sido inferiores a la TIR.

38


4.2.6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR ) La Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR) (Time-weighted rate of return) es la rentabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizando la media geométrica de las rentabilidades simples de los diferentes periodos. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada subperiodo de inversión. A continuación, planteamos la igualdad: (1 + TGR)n

=

(1 + RS1 )·(1 + RS 2 )·...·(1 + RSn )

Y por último despejamos la TGR: TGR = n (1 + RS1 )·(1 + RS 2 )·...·(1 + RS n )

1

Esta es la rentabilidad que mide sólo la actuación del gestor quitando la influencia de las decisiones del inversor de aportar o retirar fondos de la cartera. Comparando la TIR y la TGR se puede analizar el grado de acierto de la política de entradas y salidas de capital de la inversión llevada a cabo: ▪ ▪ ▪

Si TIR > TGR, el inversor ha acertado en sus decisiones. Si TIR = TGR, el resultado es indiferente de la política llevada a cabo. Si TIR < TGR, el inversor se ha equivocado en su política.

►EJEMPLO

RESUELTO

Cálculo de la TGR

Un gestor aconsejó a un inversor adquirir participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €. Al cabo de un año las participaciones cotizan a 6 € y a los dos años cotizan a 5 €. Calcular la tasa geométrica de rentabilidad.

Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada año: RS1

=

6-4 4

=

0,5 = 50%

RS 2

=

5-6 6

=

- 0,1667 = - 16,67%

A continuación, planteamos la igualdad: (1 + TGR) 2

=

(1 + RS1 )·(1 + RS 2 ) = (1+0,50)·(1-0,1667) = 1,25 1

Por último, despejamos: TGR = (1,25) 2 - 1 = 11,8 % ►EJEMPLO

PROPUESTO

Cálculo de la TGR

La rentabilidad anual de una cartera ha sido la siguiente: 1er año: 14%, 2° año: 19%, 3er año: -10% y 4° año: 14%. Calcular la rentabilidad geométrica anual de la cartera durante estos 4 años.


39

►CUESTIONARIO

Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD

1. Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 8% a 1 año y el B con un rendimiento del 10% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversión a un año, dentro de un año? A) B) C) D)

El 10% El 12% El 11,5% Ninguno de los anteriores.

2. La rentabilidad efectiva de un bono es mayor que su TIR cuando: A) B) C) D)

El tipo de interés es superior a su TIR. El tipo de interés es inferior a su TIR. El tipo de interés es igual a su TIR. Ninguna de las anteriores.

3. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 4% nominal acumulable trimestralmente es: A) B) C) D)

4% 1% 4,074% 4,06%

4. Una entidad bancaria oferta una póliza de ahorro al 5,35% TAE. ¿Cuál es el interés nominal aplicado, si el abono de intereses es trimestral? A) B) C) D)

5,22% 5,25% 5,46% 5,35%

5. Para calcular el coste o la rentabilidad de una operación financiera teniendo en cuenta la frecuencia de capitalización o descuento y también los gastos y comisiones, se utiliza: A) B) C) D)

Tipo de interés nominal. Tipo de interés efectivo. TAE. Ninguno de los anteriores.

6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: A) La TAE siempre es superior al tipo de interés nominal. B) La TAE la definen, para cada operación, las propias entidades financieras estableciendo los criterios para su cálculo. C) La TAE tiene en cuenta todos los gastos de una operación. D) La TAE puede coincidir, en algún caso, con el tipo de interés efectivo.

7. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 3% nominal acumulable bimestralmente es: A) B) C) D)

3,0000 3,0225 3,0378 0,5000

40

% % % %


8. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por 7.500€ y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos, la ecuación que permite determinar la TIR, i , de la inversión es: A)

180 (1+i)

B)

180

240

+

(1+i) 240

+

(1+i)

2

(1+i)

2

7.540

+

(1+i)

3

7.460

+

(1+i)

3

6.250 = 6.250 =

C) 180 + 240 + 7.500 6.210 = 2 3

D)

(1+i)

(1+i)

180

240

+

(1+i)

(1+i)

(1+i)

7.540 2

=

(1+i)

3

+ 6.250

9. En un préstamo hipotecario sin comisión de apertura que cobra una comisión de cancelación del 1% y cuya tasa de interés nominal es del 6% liquidable mensualmente la Tasa Anual Equivalente será: A) B) C) D)

5% 6% 6,17 % 6,37 %

10. Un cliente solicita a una entidad financiera un crédito por un importe de 4.000 € que debe devolver al final de año en un solo pago que comprende el capital más los intereses, calculados mensualmente. El crédito tiene un tipo de interés nominal del 6% y la cliente entidad3.950 deduce gastos de la gestión, por lo al €. La TAE de operación es:que, en lugar del nominal del crédito, entrega A) B) C) D)

6,51 % 6,17 % 6% 7,51 %

11. Si las rentabilidades obtenidas por un fondo de inversión durante los últimos 3 años han sido, respectivamente, 8’12%, - 3’23% y 5’80%, la tasageométrica de rentabilidadserá: A) B) C) D)

10,69 % 3,26 % 5,34 % 3,45 %

12. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financiero-fiscal del 8% y una tasa de inflación del 4%? A) B) C) D)

4% 3,265 % 3,846 % 3,455 %

13. ¿Cuál es la TIR de un proyecto cuya inversión es de 1.000 € y los flujos de caja son de 300 € (año 1), 400 € (año 2) y 500 € (año 3)? A) B) C) D)

20 % 8’90 % 12’50 % 9’18 %


41

14. Si ésta es la situación del mercado interbancario de depósitos del Euribor: Tipos Tipos Tipos Tipos Tipos Tipos

a a a a a a

1 2 3 6 9 12

mes meses meses meses meses meses

2’25 % 2’27 % 2’30 % 2’41 % 2’53 % 2’66 %

¿Qué previsión está haciendo el mercado de cómo van a estar los tipos de interés para el plazo de 3 meses de hoy en 6 meses? A) B) C) D)

2’630 % 2’506 % 2’737 % Ninguna de las anteriores.

15. ¿Qué es la TIR? A) La tasa de rentabilidad que se va a conseguir en cualquier tipo de inversión, independientemente del tipo de reinversión. B) La tasa anual equivalente a una operación de tipo de interés simple, pero sólo el interés es pospagable o vencido e inmediato. C) La tasa de actualización que hace que el VAN de una inversión sea cero. D) La tasa nominal de una inversión.

16. ¿Cuál será la rentabilidad geométrica anualizada de una inversión que genera los siguientes flujos de caja anuales?

A) B) C) D)

Años

Inicio de inversión

1 2 3

200 € 250 € 350 €

la Fin de inversión

la

250 € 350 € 400 €

26,40% 18,37% 66,67% 25,99%

17. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por 7.500 € y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos y considerando que los dividendos se reinvierten a una tasa del 1’5% anual, la tasa de rentabilidad efectiva de la operación, expresada en término anual, es: A) B) C) D)

6,077 8,742 6,453 8,072

% % % %

18. Si la TIR de una podemos concluir que:cartera en el último semestre ha sido del 8% y la TGR del 13%, A) El inversor se ha equivocado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos de la cartera. B) El inversor ha acertado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos de la cartera. C) El inversor ha acertado en la selección de los títulos que forman la cartera. D) El inversor se ha equivocado en la selección de los títulos que forman la cartera.

42



Capítulo 5. Conceptos estadísticos 5.1 Media y esperanza 5.1.1 Definiciones básicas 5.1.2 Media muestral y esperanza matemática

5.2 Varianza y desviación típica 5.3 Covarianza y correlación 5.4 Regresión lineal mínimo cuadrática 5.4.1 Línea Característica de un Título (LCT)


43

5.1 Media y Esperanza Capítulo 5: Conceptos estadísticos

5.1.1 DEFINICIONES BÁSICAS En todo estudio estadístico, el investigador se interesa en una población que es el conjunto de todas las observaciones de interés. Por ejemplo, el Ministerio de Hacienda, está interesado en conocer los salarios de los trabajadores de España, ya que según su cuantía así será la recaudación que esperará obtener en el próximo ejercicio. En estadística definimos variable como la característica de la muestra o población que se quiere observar. Se clasifican de distintas maneras así distinguimos entre variables cuantitativas y cualitativas; continuas y discretas … Una serie temporal es un conjunto de datos ordenados en el tiempo, tomados a intervalos regulares, procedentes normalmente de una magnitud económica de definición constante a lo largo del tiempo. Los parámetros son cualquier medida descriptiva de unapoblación. Se entiende por medida cualquier magnitud que simplifica o resume en un dato la información contenida en toda la población. Así por ejemplo, el salario de todos y cada uno de los trabajadores de España puede ser descrito de manera resumida por el salario medio de esa misma población. La muestra es una parte representativa de la población. Existen métodos para buscar muestras representativas, dado que cualquier subconjunto de una población siendo una muestra, no tiene porque representar las virtudes o defectos de la población, si la muestra no se ha obtenido mediante procedimientos adecuados.

Estadístico es la medida que describe una muestra. Es una estimación del parámetro de la población. La muestra es importante ya que las poblaciones pueden ser muy grandes y recoger información de estas es muy costoso. Asimismo, las muestras se recogen rápidamente. Por estas razones, trabajar con estadísticos es conveniente. No obstante, presenta algunas dificultades: a) Errores en el muestreo: diferencia entre el parámetro desconocido de la población y el estadístico de la muestra utilizada. b) Sesgo muestral: es la tendencia a favorecer la elección de ciertos elementos de la muestra en lugar de otros posibles. La estadística tiene dos grandes ramas, una se dedica a describir la información cuantitativa o cualitativa recogida que se pretende analizar. Recibe el nombre de estadística descriptiva, es la que recoge, agrupa, resume y presenta los datos obtenidos. La otra rama de la estadística persigue anticipar resultados y analizando la información pretende descubrir informaciones que permiten conocer lo que ocurrirá. Recibe el nombre de estadística inferencial, persigue como su nombre indica, inferir o concluir datos sobre la población a partir de los datos de la muestra.

44


5.1.2 MEDIA MUESTRAL Y ESPERANZA MATEMÁTICA La media muestral se obtiene, a partir de un conjunto de datos muestrales x 1, x 2 ,..., x n , al sumar el conjunto de valores de la variable y dividirlo por el numero de observaciones:

x=

x1 + L + x n n

Por otra parte, si los valores que puede tomar X están sometidos a incertidumbre, estaremos ante una variable aleatoria que puede tomar los valores x 1, x 2 ,..., x n , con probabilidades respectivas P( x 1 ),P( x 2 ),..., P( x n ) . Se define la esperanza matemática o valor esperado de X como:

E( X) = x1·P(x1 ) + x 2 ·P(x 2 ) +L+ xn ·P(xn )

►EJEMPLO RESUELTO

Media y Esperanza

Las cotizaciones de las acciones BBVA en la última semana han sido: 16,01€; 16,35€; 16,22€; 16,21€; 15,94€. Calcular sumedia aritmética.

x=

16,01 + 16,35 + 16,22 + 16,21 + 15,94 = 16,14€ 5

Supongamos ahora que un asesor se plantea determinar la cotización de las acciones BBVA dentro de un mes, y prevé tres posibles escenarios: Escenario Pesimista

Cotización

Probabilidad

15 €

0,20

Normal

16,50 €

0,20

Optimista

17,20 €

0,60

Calcular la cotización esperada (esperanza matemática de la cotización). E( X ) = 15 x0,20 + 16,50 x0,20 + 17,20 x0,60 = 16,62€


45

5.2 Varianza y Desviación Típica Capítulo 5: Conceptos estadísticos

A continuación introducimos medidas estadísticas que nos permitan representar la dispersión respecto a la media de un conjunto de datos. De nuevo distinguimos dos casos: Si hacemos referencia a valores pasados (datos conocidos) o si hacemos referencia a valores futuros (incertidumbre en los datos). A partir de un conjunto de datos muestrales x 1, x 2 ,..., x n , se define la varianza muestral como el promedio de las desviaciones respecto a su media, elevadas al cuadrado:

S2 =

( x1 - x ) 2 + ( x 2 - x ) 2 + L + ( x n - x )2 n

y la desviación típica muestral como la raíz cuadrada de la varianza muestral. Se define es coeficiente de variación muestral como el cociente de la desviación típica muestral y la media muestral. g0

=

S x

Por otra parte, si los valores que puede tomar X son x 1, x 2 ,..., x n , con probabilidades respectivas P( x 1 ),P( x 2 ),..., P( x n ) . Se define la varianza poblacional de X como: σ

2

= ( x 1 - E( X)) 2 ·P( x 1 ) + ( x 2 - E( X)) 2 ·P( x 2 ) + L + ( x n - E( X)) 2 ·P( x n )

y la desviación típica poblacional como la raíz cuadrada de la varianza poblacional. La desviación típica muestral nos indica la dispersión de una variable respecto a su valor promedio (si disponemos de datos históricos), mientras que la desviación típica poblacional nos indica la fluctuación de una variable respecto a su valor esperado (en el caso de valoración de activos es una medida del riesgo). Se define es coeficiente de variación poblacional como el cociente de la desviación típica poblacional y la media poblacional. γ0 =

σ

E( X )

El coeficiente de variación mide la representatividad de la media (cuanto menor sea el coeficiente, más representativa es la media), y nos permite comparar la representatividad de los valores de distribuciones distintas.

46


►EJEMPLO RESUELTO

Varianza y Desviación Tipica

Las cotizaciones de las acciones BBVA en las cinco últimas sesiones han sido: 16,01€; 16,35€; 16,22€; 16,21€; 15,94€. La media aritmética es 16,146€. Calcular la varianza y la desviación típica. Cotización ( x i )

( x i - x)

( x i - x )2

16,01

- 0,136

0,018496

16,35

0,204

0,041616

16,22 16,21

0,074 0,064

0,005476 0,004096

15,94

- 0,206

0,042436

Σ=0

Σ = 0,11212

S2 =

0,11212 = 0,022424 5

y

S=

0,022424 = 0,15€

EJMPLO RE ►EJEMPLO RESUELTO

Varianza y Desviación Típica

Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la cotización de BBVA dentro de un mes:

Escenario

Cotización

Probabilidad

Pesimista

15 €

0,20

Normal

16,50 €

0,20

Optimista

17,20 €

0,60

Su cotización esperada es E( X) = 16,62€ . Calcular la varianza y la desviación típica. Escenario Pesimista

Cotización

Probabilidad

( x i - E( X))

( x i - E( X)) 2

p i (·x i - E( X)) 2

15

0,20

- 1,62

2,6244

0,52488

Normal

16,50

0,20

- 0,12

0,0144

0,00288

Optimista

17,20

0,60

0,58

0,3364

0,20184 0,7296

La varianza será: σ 2 = 0,7296 y la desviación típica


σ=

0,7296 = 0€85 ,

47

5.3 Covarianza y Correlación Capítulo 5: Conceptos estadísticos

Hasta este momento hemos definido estadísticos referidos a una única característica estadística. Para estudiar la existencia de relación entre dos variables (p.e. entre un índice bursátil y la cotización de un título), necesitamos definir estadísticos que relacionen dos conjuntos de datos. Dados dos conjuntos de datos asociados de la siguiente manera:

X Y

x1 y1

x2 y2

x3 y3

··· ···

··· ···

xn yn

Se define la covarianza entre X e Y como:

S XY =

( x1 - x)·(y1 - y) + ( x 2 - x)·(y 2 - y) + L+ ( xn - x)·(y n - y) n

La covarianza indica la relación entre la variación de ambas variables y su interpretación es la siguiente:

> Si S XY > 0 , la relación entre ambas variables es directa, es decir, se mueven en el mismo sentido. Si S XY < 0 , la relación entre ambas variables es inversa, es decir, se mueven en > sentido contrario.

> Si S XY = 0 , no hay relación entre las variaciones de ambas variables. La covarianza entre dos variables se ve afectada por las unidades de medida en las que se expresen las variables, lo que hace necesario introducir un estadístico que nos indique la relación entre los datos, sin depender de las unidades en las que se expresen. Se define el coeficiente de correlación lineal entre X e Y como:

rXY =

S XY S X ·S Y

Mide también la relación lineal entre las variables, pero no depende de las unidades de medida y está siempre comprendido entre –1 y 1.

48


INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

Y

> Si rXY ≈ 1

⇒

relación lineal directa y fuerte

Si aumenta el valor de X, aumenta el valor de Y

X

Y

> Si rXY ≈ -1

⇒

relación lineal inversa y fuerte

Si aumenta el valor de X, disminuye el valor de Y

X

Y

> Si rXY ≈ 0

⇒

no se aprecia relación lineal

No se observa relación entre los valores de X e Y.

X


49

►EJEMPLO RESUELTO

Covarianza y Coeficiente de Correlación

Si las cotizaciones al cierre del Ibex-35 y de BBVA durante la segunda semana de septiembre de 2007 han sido:

Ibex35 (X) BBVA (Y)

10/09/07 13726,30 16,01

11/09/07 13965,50 16,35

12/09/07 13980,40 16,22

13/09/07 14077,80 16,21

14/09/07 13861,00 15,94

Sabiendo que la media del Ibex-35 de esa semana es de 13922,20 y la desviación de 119,6626 , y que la cotización media de BBVA es de 16,146 con una desviación de 0,1497, calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal.

xi

yi

(x i - x)

( y i - y)

(x i - x) · (y i - y)

13726,30

16,01

-195,9

-0,136

26,6424

13965,50

16,35

43,3

0,204

8,8332

13980,40

16,22

58,2

0,074

4,3068

14077,80

16,21

155,6

0,064

9,9584

13861,00

15,94

-61,2

-0,206

12,6072

Σ=0

Σ=0

Σ = 62,348

S XY =

62,348 = 12,4696 5

y

rXY =

S XY S X ·S Y

=

12,4696 = 0,6961 119,6626 · 0,1497

= 0,6961, lo que indica que existe relación directa y no muy fuerte entre la cotización del Ibex-35 y la cotización de BBVA.

Interpretación: r XY

►EJEMPLO PROPUESTO

Covarianza y Coeficiente de Correlación

Si las cotizaciones al cierre del Ibex-35 y de Telefónica durante la segunda semana de septiembre de 2007 han sido:

Ibex35 (X) TEF (Y)

10/09/07 13726,30 17,79

11/09/07 13965,50 18,18

12/09/07 13980,40 18,62

13/09/07 14077,80 19,10

14/09/07 13861,00 18,76

Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre las cotizaciones del Ibex35 y Telefónica.

50


5.4 Regresión Lineal Mínimo Cuadrática Capítulo 5: Conceptos estadísticos

La regresión lineal mínimo cuadrática nos proporciona una recta que se aproxima en la mayor medida posible a la nube de puntos que resulta al representar los valores de dos series de datos X e Y. El criterio más extendido para el cálculo de esta recta es el Criterio Mínimo Cuadrático, que consiste en minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado entre los puntos y la recta.

Ecuación de la recta de regresión yˆ( x ) (para estimar los valores de Y a partir de los valores de X)

yˆ = a + b·x , donde a = y - b·x y b =

S XY S 2X

Para analizar la fiabilidad de esta estimación, se utiliza el coeficiente de determinación dado por 2 R 2 = rXY =

S 2XY S 2X ·S 2Y

Sus valores cumplen que 0 ≤R 2 ≤1 y representa la proporción de información de la serie que queda recogida en la recta de regresión (bondad del ajuste).

►EJEMPLO RESUELTO

Regresión lineal mínimo cuadrática

A partir de los datos del ejemplo resuelto anterior sobre la cotización del Ibex-35 y los títulos de BBVA, hallar la recta de regresión que permita estimar la cotización de un título de BBVA cuando el Ibex-35 alcance los 14200 puntos. La recta de regresión lineal es yˆ = a + b·x , donde

b=

S XY S 2X

=

12,4696 119,6626 2

= 0,00087

a = y - b·x = 16,146 - 0,00087 · 13922,20 = 4,034 luego: yˆ = a + b·x = 4,034 + 0,00087·x

Para estimar la cotización de BBVA para un Ibex-35 de 14200, sustituimos en la recta de regresión x = 14200 y obtenemos: yˆ(14200) = 4,034 + 0,00087 · 14200 = 16,39€ Si queremos analizar la fiabilidad de esta estimación, calculamos el coeficiente de 2 2 = 0,6961 = 0,4845 que nos indica que el 48,45% de la determinación R 2 = r XY información queda reflejada en esta recta y por tanto, la predicción no es muy fiable.


51

5.4.1 LINEA CARACTERÍSTICA DE UN TÍTULO (LCT) Un ejemplo práctico de regresión lineal mínimo cuadrática lo constituye la Línea Característica de un Título (LCT) o también llamadoModelo de Mercado de Sharpe. Se toma como variable explicada la rentabilidad de un título “R it“ y como variable explicativa la rentabilidad de la cartera de mercado “R Mt”, realizando la siguiente regresión lineal:

R it = αi + β iR Mt + uit donde Rit y RMt son, respectivamente, las rentabilidades del título i y de la cartera de mercado en el momento t ; αi y βi son la ordenada en el srcen y la pendiente del ajuste ; y uit es la perturbación aleatoria correspondiente al título i en el momento t. Gráficamente:

Línea Característica del Título i R it = αi + β iR Mt + uit

Rit

pendiente=βi

αi

RMt

La pendiente de la recta LCT representada es lo que se conoce habitualmente como el

coeficiente beta del título, que es una medida de la relación entre la evolución de la rentabilidad del título y la del mercado . Las expresiones de βi y de αi obtenidas a través de la regresión lineal son:

βi =

cov(R i , RM ) σ

siendo

σ iM

2 M

=

σ iM 2

α i = E i - β i • EM

σM

=covarianza entre la rentabilidad del título (R i) y la del mercado (RM)

σ M2 = varianza de la rentabilidad del mercado Ei = rentabilidad esperada del título EM = rentabilidad esperada del mercado

52


Distinguimos así entre distintos tipos de valores en función de su beta: ▪Títulos agresivos (β< -1 o β>1). Títulos más arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación mayor en la rentabilidad del título. Son títulos muy sensibles a las oscilaciones del mercado.

▪Títulos defensivos (-1<β<1). Títulos menos arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación menor en la rentabilidad del título. Son títulos poco

sensibles a las oscilaciones del mercado. ▪Títulos

neutros (β=-1 o β=1). Títulos que varían igual que el mercado.

De especial interés, si es que existen, son los títulos con beta negativa (superdefensivos), ya que permitirían reducir el riesgo no diversificable. Su precio habrá de ser forzosamente elevado, con lo que su rentabilidad será reducida. Y por las condiciones del modelo, deberán ser (caso de existir), muy pocos, ya que, lógicamente, la beta de la cartera de mercado (media ponderada de las betas de los títulos que cotizan en el mercado) debe ser la unidad. El coeficiente beta opera sobre el rendimiento de los títulos a modo de mecanismo que filtra, amplifica o transmite sin interferencias las fluctuaciones del mercado, según se trate de activos “defensivos”, “agresivos” o “neutros”. ►EJEMPLO

RESUELTO

Línea Característica de un Título

La rentabilidad media del título A es del 12% y la rentabilidad media de mercado es del 8%. Sabiendo que la varianza de la rentabilidad de mercado es 0,18 y la covarianza entre las rentabilidades del título A y del mercado es 0,23, obtener la Línea Característica del Título. La Línea Característica del título A viene determinada por la expresión: R At = α A + β A R Mt + u At donde: El coeficiente beta del título A respecto al mercado: β A =

σ AM 2 σM

=

0,23 = 1,28 0,18

Estamos ante un título agresivo al ser β >1. El coeficiente alfa del título A: α A = E A - β A ·E M = 0,12 - 1,28 x0,08 = 0,0176

En consecuencia la LCT sería: R At = 0,0176 + 1,28·R Mt + u At


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RESUMEN DE CONCEPTOS > Media aritmétic a: Valor promedio de una serie de datos históricos. >Media poblacional o esperanza: Valor esperado de una variable cuando sólo conocemos sus posibles valores y sus probabilidades.

> Desviación típica muestral: Desviación respecto a la media de una serie de datos históricos.

> Desviación típica poblacional: Desviación respecto a la media de una variable cuando sólo conocemos sus posibles valores y sus probabilidades. RIESGO.

> Covarianza: Mide la relación entre la variación de dos series de datos. Depende de las unidades de medida.

> Coeficiente de correlación: Mide el grado de relación lineal entre dos series de datos. Siempre está comprendido entre –1 y 1.

> Recta de regresión lineal: Recta obtenida a partir de dos series de datos, que nos permite estimar los valores de una de las variables a partir de los valores de la otra.

> Coeficiente de determinación: Proporción de información de dos series de datos que queda reflejada en la recta de regresión.

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RESUMEN DE FÓRMULAS ESTADÍSTICO

DATOS

Media aritmética

x 1, x 2 ,..., x n

Esperanza

x 1, x 2 ,..., x n P( x 1 ),P( x 2 ),..., P( x n )

Desviación muestral

x 1, x 2 ,..., x n

Desviación poblacional

P( x 1 ),P( x 2 ),..., P( x n )

Covarianza

x 1, x 2 ,..., x n y 1, y 2 ,..., y n

Coef de correlación

x 1, x 2 ,..., x n y 1, y 2 ,..., y n

Recta de regresión

x 1, x 2 ,..., x n y 1, y 2 ,..., y n

Coef de determinación

x 1, x 2 ,..., x n y 1, y 2 ,..., y n

x 1, x 2 ,..., x n


FÓRMULA x=

x1 + L + x n n

E( X) = x 1·P( x 1 ) + L + x n ·P( x n )

S=

( x 1 - x )2 + L + ( x n - x )2 n

σ = ( x 1 - E( X)) 2 ·P( x 1 ) + L + ( x n - E( X)) 2 ·P( x n )

S XY =

( x1 - x)·(y1 - y) + L+ ( x n - x)·(yn - y) n

r XY =

yˆ = a +donde: b·x

S XY S X ·S Y a =xy - b·

2 R 2 = rXY =

b=

S XY S 2X

S 2XY S 2X ·S 2Y

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►CUESTIONARIO

Capítulo 5: CONCEPTOS ESTADÍSTICOS

1. Las muestras s on importantes porque A) En ocasiones las poblaciones son grandes, o muy grandes. B) Recoger información en las poblaciones es costoso. C) Recoger información de las poblaciones requiere mucho tiempo. D) Todas son ciertas.

2. La media aritmética es A) B) C) D)

Una medida alrededor de la cual se sitúan los datos. Una medida de tendencia central. Gráficamente el punto de apoyo de la distribución. Cualquiera de las anteriores.

3. La desviación típica A) B) C) D)

Es la media de las desviaciones al cuadrado de los valores respecto a la media. Es la raíz cuadrada de la varianza. Es la diferencia entre el valor más alto y más bajo. Todas son ciertas.

4. Si el coeficiente de regresión entre X = cotización del Ibex 35 e Y = cotización de AAA es de 1,20: A) B) C) D)

Por cada punto que aumente el Ibex, la cotización de AAA disminuye 1,20 puntos. La correlación entre X e Y esmuy fuerte. Por cada punto que aumente el Ibex, la cotización de AAA aumenta 1,20 puntos. No existe relación entre el Ibex y AAA.

5. Un concesionario automovilístico ha vendido 14, 10, 13 y 19 automóviles en los cuatro últimos trimestres. La desviación típica de ventas trimestral es A) B) C) D)

5 unidades. 3,24 unidades. 14 unidades. 4 unidades.

6. La desviación típica es un dato clave para medir la volatilidad o riesgo en el comportamiento de una variable. ¿Cual de las siguientes fórmulas corresponde a la desviación típica? A) Raíz cuadrada del sumatorio de las distancias de cada dato con respecto a la media, elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos. B) Raíz cuadrada del sumatorio de las diferencias de cada dato con respecto a la media, elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos. C) Raíz cuadrada de la varianza. D) Todas son ciertas.

7. Las cotizaciones de ABC en los cuatro últimos días han sido: 35’10€ 36€ 37’10€ y 37’90€. La desviación típica de estos precios es: A) B) C) D)

36’525. 1’13. 1’063. Ninguna es cierta.

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8. Para comparar distribuciones distintas es posible realizarlo con A) B) C) D)

Las medidas de tendencia central. Con las medidas de dispersión habituales. Con el coeficiente de variación. Todas son ciertas.

9. El coeficiente de correlación está entre –1 y +1, el valor r = –1 indica A) B) C) D)

Relación positiva perfecta. Relación negativa perfecta. Que no existe relación. Ninguna es cierta.

10. La teoría keynesiana del consumo establece que el consumo de las familias es variable dependiente de los niveles de renta de las mismas. Queremos contrastar esta afirmación y para ello estimamos una recta de regresión. Cual de las siguientes afirmaciones es cierta A) Podemos ver que la capacidad explicativa de la renta sobre el consumo es alta por el coeficiente de regresión. B) El porcentaje de variabilidad del consumo explicado por cambios en la renta vendrá medido por el coeficiente de determinación, que toma valores entre –1 y 1. C) El porcentaje de variabilidad del consumo explicado por cambios en la renta viene explicado por el coeficiente de correlación que toma valores entre 0 y 1. D) Ninguna es correcta.

11. Mi cartera tiene un coeficiente de regresión, o también llamado coeficiente beta de sharpe, de 0,5, lo cual se interpreta como A) B) C) D)

Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado. Mi cartera es agresiva. Mi cartera ofrece rentabilidades por encima del mercado. Ninguna es correcta.

12. Si el coeficiente de regresión vale 2,34, el coeficiente de correlación puede valer A) B) C) D)

-2,34 1,34 0,72 -0,72

13. El coeficiente de correlación lineal entre dos variables es r = 0,9. ¿Qué afirmación es falsa? A) La bondad del ajuste es del 81%. El modelo de regresión lineal explica el 81% de la información contenida en los datos observados. B) Ambas variables presentan unarelación positiva . C) Un incremento de la variable independiente se traslada a la variable dependiente con un factor 0,9. D) El coeficiente de correlación lineal es una medida adimensional comprendida entre -1 y 1, independiente de los cambios de escala en las variables.

14. Hemos estimado un modelo de regresión lineal y = 1661+0,792x entre los gastos de consumo y los ingresos anuales de las familias en una zona determinada. Para unos ingresos anuales de 30.000€ el gasto de consumo estimado es A) B) C) D)

23.760 € 35.781 € 25.421 € 34.120 €


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15. Tenemos la siguiente recta de regresión Y = a + b X . Las perturbaciones de la recta de regresión, o errores entre el valor estimado y el calculado deben de cumplir las siguientes condiciones A) Los residuos deben tener media cero, varianza constante (homocedásticos) y dependencia entre ellos. B) Los residuos deben tener media uno, varianza constante (homocedásticos) y dependencia entre ellos. C) Los residuos deben tener media cero, varianza constante (homocedásticos) e independencia entre ellos D) Los residuos deben tener media uno, varianza constante (homocedásticos) e independencia entre ellos.

16. Dos acciones A y B presentan el siguiente comportamiento: el día que A sube un tanto por cien, B baja pero la mitad exacta en porcentaje; el día que A baja un tanto por cien, B sube pero igualmente la mitad exacta en porcentaje. ¿Qué podemos decir sobre el coeficiente de correlación r entre ambas variables y sobre la pendiente de la regresión siendo p el porcentaje de variación diario. A) B) C) D)

r =1 , b= 0,5 r =1 , b= -0,5 r =-1 , b= -0,5 r =-1 , b= 0,5

17. Al estudiar el grado de asociación entre dos variables A) B) C) D)

Calculamos el coeficiente de correlación. Calculamos el coeficiente de regresión. Calculamos el coeficiente de determinación. Todas son ciertas.

18. Queremos analizar como variaría el volumen de inversión en activos financieros que disponen nuestros clientes ante cambios en sus niveles de renta. Para ello planteamos

A) Calcular el coeficiente de regresión en una relación lineal entre renta y volumen de inversión, siendo la renta la variable dependiente. B) Calcular el coeficiente de regresión en una relación lineal entre renta y volumen de inversión, siendo la renta la variable independiente. C) Calcular el coeficiente de determinación en una relación lineal entre renta y volumen de inversión. D) Calcular el coeficiente de correlación en una relación lineal entre renta y volumen de inversión.

19. Mi cartera tiene un coeficiente de regresión o también llamado beta de Sharpe de 0,5, lo cual se interpreta como A) B) C) D)

Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado. Mi cartera sobre-reacciona ante cambios en las rentabilidades del mercado. Mi cartera ofrece rentabilidades por encima del mercado. Mi cartera es defensiva.

20. Se habla de regresión múltiple cuando A) B) C) D)

La variable y es función de una variable explicativa. La variable y es función de dos o más variables explicativas. La variable y es función de dos o más variables dependientes. Todas son ciertas.

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21. Un coeficiente de correlación próximo a -1 indica: A) B) C) D)

Relación directa y fuerte entre las variables. Relación directa y débil entre las variables. La recta de regresión proporciona un buen ajuste. Al aumentar una de las variables, la otra variable disminuye en una unidad.

22. Las rentabilidades anuales observadas en los últimos años para un Fondo de Inversión han sido: 20%, 10%, 0% y -10%. La desviación típica vale: A) 0% B) 11,18% C) 20% D) Ninguna de las anteriores es correcta.

23. El coeficiente de correlación asume, por definición, valores comprendidos entre: A) B) C) D)

–2 y +2. 0 y +1. –1 y + 1, ambos inclusive. –1 y +1 , ambos exclusive.

24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es incorrecta? A) B) C) D)

Es la raíz cuadrada de la covarianza. Puede ser positiva o negativa. Es la media aritmética de las observaciones por raíz de 252 días. Todas las anteriores.

25. Un conjunto de datos ordenados en el tiempo, procedentes normalmente de observaciones tomadas a intervalos regulares, como sucesión de valores que toma una magnitud económica de definición constante a lo largo del tiempo, se denomina: A) B) C) D)

Intervalo de valores. Variable aleatoria. Variable estadística. Serie temporal.

26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el coeficiente de determinación es incorrecta? A) B) C) D)

Es el cuadrado del coeficiente de correlación. Puede ser positivo o negativo. Representa la proporción de información reflejada en la recta de regresión. Toma valores entre 0 y 1.

27. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta? A) B) C) D)

Toma valores positivos. Puede ser positiva o negativa. Es la raíz cuadrada de la covarianza. Es la suma de las distancias al cuadrado de los datos a su media.


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Capítulo 6. Rentabilidad y Riesgo

6.1 Rentabilidad 6.1.1 Rentabilidad histórica de un activo 6.1.2 Rentabilidad esperada de un activo 6.1.3 Rentabilidad histórica y esperada de una cartera

6.2 Riesgo 6.2.1 Volatilidad de un activo 6.2.2 Riesgo de una cartera de valores

6.3 Supuestos de la hipótesis de normalidad


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6.1 Rentabilidad Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

En el ámbito de las inversiones (sean éstas de índole financiera o económica) el análisis de la rentabilidad de las mismas constituye un punto de especial atención. La rentabilidad del accionista es la relación que se establece entre lo que se ha invertido en una determinada acción y el rendimiento económico o resultado que proporciona. El rendimiento que un accionista puede obtener de una acción se mide computando los dividendos percibidos, las plusvalías o revalorizaciones en su cotización, así como las ventajas que puedan obtenerse por el carácter preferente de las ampliaciones de capital vía derechos de suscripción preferente. Podrías considerar dos tipos de rentabilidades:

> Rentabilidad a priori o rentabilidad esperada: se trata de una variable aleatoria de carácter subjetivo que depende de nuestras expectativas. Como variable aleatoria podrá tomar distintos valores, con unas probabilidades determinadas. La esperanza matemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una medida de la rentabilidad, y su varianza nos da una medida de la dispersión o riesgo del activo financiero correspondiente.

> Rentabilidad a posteriori o rentabilidad al final del plazo. Es una magnitud conocida con certeza ya que vendrá determinada por el precio al inicio del periodo, precio al final del periodo y los ingresos percibidos en el periodo. En general, dado un periodo T, se utiliza la rentabilidad simple como medida de la rentabilidad, que estudiamos en el capítulo 4, y se calcula como: RS T =

PT + D T - P0 P0

=

PT + D T P0

1

PT : Precio del título al final del periodo T D T : Suma aritmética de todos los ingresos percibidos durante el periodo T. P0 : Precio del título al inicio del periodo.

A priori, tan sólo se conoce el precio P0, por lo que para calcular la rentabilidad deberemos estimar el resto de elementos.

A posteriori, todos los elementos que intervienen en la expresión anterior serán conocidos, pudiendo determinar la rentabilidad.

Como comentábamos en el capítulo 4, la rentabilidad simple considera que los rendimientos, tales como dividendos, derechos de suscripción, se perciben al final del periodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.

62


6.1.1 RENTABILIDAD A POSTERIORI DE UN ACTIVO La rentabilidad a posteriori es la rentabilidad histórica al final del plazo. Podemos conocer su valor con certeza ya que se calcula con datos históricos de un determinado periodo. ►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad Histórica

Sean las cotizaciones de las acciones AAA, a 31 de diciembre de los años 2001 a 2006 y los dividendos correspondientes a esos periodos:

Cotización Dividendos

2001 21,30

2002 22,70 1,30

2003 20,50 1,25

2004 23,60 1,35

2005 25,00 1,38

2006 26,10 1,40

Calcular: (a) La rentabilidad simple para los años considerados. (b) La rentabilidad anual media aritmética. (c) La rentabilidad anual media geométrica. (a) Para calcular la rentabilidad simple utilizamos la expresión: RS T =

PT + D T - P0 P0

Así pues, la rentabilidad simple para el año 2002 es: RS 2002 = 22,70 + 1,30 - 21,30 = 0,1268 = 12,68 % 21,30 Para el resto de los años, obtenemos las rentabilidades simples anuales:

Rentabilidad

2002 12,68%

2003 - 4,19%

2004 21,71%

2005 11,78%

2006 10%

(b) La rentabilidad anual media aritmética para el periodo 2002/2006 ha sido: RT =

12,68 - 4,19 + 21,71 + 11,78 + 10 = 10,40 % 5

(c) Por último, a rentabilidad anual media geométrica será:

TGR T = 5 (1 + 0,1268)·(1 - 0,0419)·(1 + 0,2171)·(1 + 0,1178)·(1 + 0,10 ) - 1 = 0,10 = 10 %


63

6.1.2 RENTABILIDAD ESPERADA DE UN ACTIVO La rentabilidad a priori es una variable aleatoria de carácter subjetivo que depende de nuestras expectativas. Como variable aleatoria podrá tomar distintos valores, con unas probabilidades determinadas en función de unos escenarios (optimista, normal, pesimista,...), pudiendo incluso utilizar la media histórica como un dato de referencia a tener en cuenta. Una vez realizadas las consideraciones anteriores, se habrá construido una variable aleatoria de la forma:

Escenario 1 2 · n

Rentabilidad R1 R2 · Rn

Probabilidad p1 p2 · Pn

La esperanza matemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una medida de la rentabilidad esperada del activo financiero correspondiente: j =n

E T = R1·p1 + R 2 ·p 2 + L + R n ·p n =

∑R j ·p j j=1

►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad Esperada

En la siguiente tabla se recoge las estimaciones de un gestor sobre la rentabilidades semestrales para un activo A, según diferentes escenarios. Calcular rentabilidad esperada semestral de dicho activo A.

Escenario

Rentabilidad

Probabilidad

Pesimista Normal Optimista

-4% 3% 10%

0,20 0,50 0,30

ET= -4%·0,20 + 3%·0,50 + 10%·0,30 = 3,7% semestral Para expresar la rentabilidad en términos anuales aplicamos una regla proporcional, suponiendo que la inversión se comporta de la misma forma a lo largo del año y que los intereses obtenidos no se reinvierten. La rentabilidad anualizada esperada, si dividimos el año en N periodos, será:

E1= N· EN Para anualizar rentabilidades mensuales N=12, semanales N=52 o diarias N=250. ►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad Anualizada

Anualizar la rentabilidad semestral del ejemplo anterior

> E2 = 3,7% semestral

64

E1 = 2·E2 = 7,4 % anual


6.1.3 RENTABILIDAD ESPERADA DE UNA CARTERA La rentabilidad de una cartera será igual a la media ponderada de las rentabilidades de los activos que la componen. Se ponderarán las rentabilidades por el peso específico que cada activo tiene en la cartera. Dada una cartera formada por n títulos, con rentabilidades esperadas E 1, E2, ... En y pesos específicos x1, x2, ..., xn respectivamente, la rentabilidad esperada de la cartera, denotada Ep, : n

E p = x 1·E 1 + x 2 ·E 2 + L + x n ·E n =

X j ·E j ∑ j=1

> x 1 , x 2 , ..., x

n son las proporciones de los respectivos activos en la cartera, por tanto se cumple que x 1 + x 2 +...+ xn = 1.

>Para formar una cartera con la máxima rentabilidad con unos activos determinados, hay que invertir todo el capital en el título que ofrezca la mayor rentabilidad esperada. ►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad Esperada de una Cartera

Sea una cartera compuesta por 20.000 € en acciones, 5.000 € en depósitos bancarios y 15.000 € en bonos. Las rentabilidades esperadas son respectivamente 12%, 4% y 5%. Calcular la rentabilidad esperada de la citada cartera.

Activo (i)

Inversión

R. Esperada

Peso(xi)

Acciones Depósitos Bonos

20.000 € 5.000 € 15.000 €

12% 4% 5%

0,5 0,125 0,375

TOTAL

40.000 €

1

La rentabilidad esperada de la cartera será: E p = x 1·E 1 + x 2 ·E 2 + L + x n ·E n = 0,5·12 + 0,125·4 + 0,375·5 = 8,375 % Es evidente que si disponemos de 40.000€ para formar una cartera con estos tres activos, obtendremos el mayor rendimiento esperado si destinamos los 40.000€ a la compra de acciones, pero esta elección tendría un mayor riesgo que el reparto srcinal.


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6.2 Riesgo Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

Según la R.A.E., el término riesgo significa contingencia o proximidad de un daño. En términos financieros, entenderemos el “daño” como la posibilidad de obtener una rentabilidad negativa, o bien de ganar menos de lo esperado. Incertidumbre sobre el futuro. Grado de incertidumbre que acompaña a un préstamo o a una inversión. Posibilidad de que el rendimiento efectivo obtenido de una inversión financiera sea menor que el rendimiento esperado. Convencionalmente, se suele utilizar como medida del riesgo la variabilidad en la tasa de los rendimientos que se obtienen de la inversión, medida por la desviación típica o el coeficiente de variación. Por tanto, definiremos riesgo como la incertidumbre que acompaña a una inversión. Es la posibilidad de que el rendimiento efectivo obtenido de una inversión financiera sea menor que el rendimiento esperado. Convencionalmente, se suele utilizar como medida del riesgo la variabilidad en la tasa de los rendimientos que se obtienen de la inversión, medida por la desviación típica.

6.2.1 VOLATILIDAD DE UN ACTIVO Se define la volatilidad de un activo como la desviación típica de su rentabilidad. Se denota T y mide el grado de dispersión de la rentabilidad respecto a la rentabilidad esperada.

►EJEMPLO RESUELTO

Volatilidad de un Título

Con los mismos datos que en el ejemplo visto en el apartado 6.1.2., calcular la volatilidad del activo A.

Escenario

Ri

pi

Ri-ET

(Ri-ET)2

pi·(Ri-ET)2

Pesimista Normal Optimista

-0,04 0,03 0,10

0,20 0,50 0,30

- 0,077 - 0,007 0,063

0,005929 0,000049 0,003969

0,0011858 0,0000245 0,0011907

Calculamos primero la varianza, haciendo la suma de la última columna y obtenemos 2 σ = 0,002401 Extraemos la raíz cuadrada y obtenemos la volatilidad σ = 0,049 = 4,9 %. De manera análoga a la rentabilidad anualizada, podemos plantearnos el cálculo de la volatilidad anualizada de un título haciendo: σ1= N ·σN

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6.2.2 RIESGO DE UNA CARTERA DE VALORES Para calcular la volatilidad de una cartera, no sólo debemos tener en cuenta las volatilidades de cada uno de los títulos, sino que debemos considerar también el grado de correlación que presentan entre sí los títulos que la componen. Se define la volatilidad de una cartera como la desviación típica de la rentabilidad de la cartera y se denota P.

> Expresión de la volatilidad de una cartera formada pordos valores: σ P = x 12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22 + 2·x 1·x 2 ·σ 12

Como ρ 12 =

σ 12

σ12

σ 1·σ 2

= ρ12 ·σ1·σ 2 Sustituyendo en la volatilidad σP

σ P = x12 ·σ12 + x 22 ·σ 22 + 2·x1·x 2 ·ρ12 ·σ1·σ 2 CASOS PARTICULARES: ρ12

= -1

σP =

x12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22 - 2·x1·x 2 ·σ 1·σ 2 = ( x1·σ1 - x 2 ·σ 2 ) 2 = x1σ1 - x 2 σ 2

En este caso podemos construir una cartera de riesgo nulo σP = 0 : σ2

x1 = σ1

ρ12

=0

σP =

y

+ σ2

σ1

x2 = σ1

+ σ2

x12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22

En este caso la cartera de mínimo riesgo será la siguiente:

x1 =

ρ12

=1

σP =

2 σ2 2 σ1

+

2 σ2

y

x2 =

2 σ1 2 σ1

2

+ σ2

x12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22 + 2·x1·x 2 ·σ 1·σ 2 = ( x1·σ1 + x 2 ·σ 2 ) 2 = x1σ1 + x 2 σ 2

En este caso la cartera de mínimo riesgo estará formada en su totalidad por el título de menor riesgo.


67

> Expresión de la volatilidad de una cartera formada portres valores: σ P = x 12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22 + x 23 ·σ 32 + 2·x 1·x 2 ·σ 12 + 2·x 1·x 3 ·σ 13 + 2·x 2 ·x 3 ·σ 23

> Si la cartera está formada por más de tres títulos, la expresión se generaliza análogamente. Como puede observarse el riesgo de una cartera depende en gran medida de la correlación entre los títulos que la componen.

►EJEMPLO RESUELTO

Volatilidad de una Cartera

Sea una cartera P formada por un40% de acciones, un 30% de Bonos y un 30% de Depósitos. La rentabilidad esperada, la volatilidad y la correlación entre las acciones, bonos y depósitos vienen recogidas en la siguiente tabla. Calcular la volatilidad de la cartera P.

Activo

Peso

R. Esperada

Riesgo

Acciones Bonos Depósitos

0,4 0,3 0,3

12% 5% 4%

20% 8% 3%

Correlaciones Acciones 1 0,35 0,07

Bonos 0,35 1 0,2

Depósitos 0,07 0,2 1

Calculamos primero las covarianzas entre las rentabilidades de los diferentes valores, según la expresión σij =

ρij·σi·σj.

σ12 =

0,35·0,20·0,08 = 0,0056 σ13 = 0,07·0,20·0,03 = 0,00042 σ23 = 0,2·0,08·0,03 = 0,00048 Aplicar la fórmula de la volatilidad de una cartera de tres títulos, obteniendo: 0,42 ·0,22 + 0,32 ·0,082 + 0,32 ·0,032 + 2·0,4·0,3·0,0056 + 2·0,4·0,3·0,00042 + 2·0,3·0,3·0,00048

luego σP=

0,0085882 = 0,09267

►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad esperada y volatilidad de una cartera

Un gestor construye una cartera P con dos títulos (1 y 2) que tienen un coeficiente de correlación entre sus rentabilidades de 0,35. Las rentabilidades esperadas son del 20% y 10%, y las volatilidades del 28% y del 16% respectivamente. Obtener la rentabilidad y la volatilidad de una cartera compuesta por un 30% de 1 y un 70% de 2. EP = 0,30·0,20 + 0,70·0,10 = 0,13 = 13% σP =

68

0,30 2 · 0,28 2 + 0,70 2 · 0,16 2 + 2 · 0,30 · 0,70 · 0,35 · 0,28 · 0,16 =16,18%


6.3 Supuestos de la hipótesis de normalidad E(x)+2 σ Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

En la práctica, se acepta que una serie de datos referida a la rentabilidad de un activo o una cartera sigue una Ley Normal, que se caracteriza por dos parámetros: la rentabilidad esperada (esperanza matemática) y la volatilidad (desviación típica).

a = 2,5% a + b = 16%

b

b

a E(x)-2σ

a E(x)-σ

E(x)

E(x)+σ

En el caso de que la rentabilidad de un activo o de una cartera se ajuste a una ley normal de media E y desviación típica σ, podemos afirmar que:

> Hay aproximadamente una probabilidad del 68% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E-σ y E+σ. El 32% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+σ (16%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E-σ (16%).

> Hay aproximadamente una probabilidad del 95% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E-2σ y E+2σ. El 5% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+2σ (2,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E-2σ (2,5%).

> Hay aproximadamente una probabilidad del 99% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E-3σ y E+3σ. El 1% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+3σ (0,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E-3σ (0,5%). ►EJEMPLO RESUELTO

Consecuencias de la Hipótesis de Normalidad

Una cartera tiene una rentabilidad esperada del 15% con una volatilidad del 10%. Hallar intervalos alrededor de la rentabilidad media con probabilidades del 68% y del 95% respectivamente. Si aceptamos que la rentabilidad sigue una ley Normal, podemos afirmar que:

> Existe una probabilidad

del 68% de que la rentabilidad se encuentre entre 15 - 10 y 15 + 10. Por tanto, el intervalo (5% , 25%) concentra una probabilidad del 68%.

> Existe una probabilidad del 95% de que la rentabilidad se encuentre entre 15 - 2·10 y 15 + 2·10. Por tanto, el intervalo (-5% , 35%) concentra una probabilidad del 95%.


69

►RESUMEN DE CONCEPTOS

> Rentabilidad Simple de una inversión: Variación porcentual que experimenta el valor de un activo durante un periodo.

> Rentabilidad Histórica de un activo: Determinada por el precio al inicio del periodo, precio al final del periodo y los ingresos percibidos en el periodo. Para calcular la rentabilidad media de un periodo de varios años, se utiliza la media geométrica de las rentabilidades anuales.

> Rentabilidad Esperada de un activo: Al inicio de la inversión, sólo se conoce el valor de P0, por lo que habrá que hacer estimaciones sobre los otros valores para estimar la rentabilidad. Es la esperanza matemática de la rentabilidad.

> Rentabilidad Esperada Anualizada de un activo: Es la rentabilidad anual que se obtendría suponiendo que los intereses obtenidos no se reinvierten y que el comportamiento de la inversión se va a repetir a lo largo del año.

> Rentabilidad Esperada de una cartera: Media ponderada de las rentabilidades de cada uno de los títulos, ponderada por los pesos de los títulos en la composición de la cartera.

> Riesgo: Incertidumbre que genera la fluctuación de la rentabilidad de un activo en torno a su rentabilidad esperada

> Volatilidad de un título: Medida del riesgo. Desviación típica de la rentabilidad. > Volatilidad de una cartera: Medida del riesgo de una cartera. No coincide con la media ponderada de las volatilidades de cada título.

> Consecuencias de la hipótesis de normalidad: Si la rentabilidad sigue una Ley Normal, la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre E - σ y E + σ es del 68% y la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre E - 2σ y E + 2σ es del 95%.

70


►RESUMEN DE FÓRMULAS

CONCEPTO

DATOS

FÓRMULA

Rentabilidad Simple

PT=Precio final DT=Dividendos P0=Precio final

Rentabilidad Geométrica

RS1,RS2, ..., RSN

TGR N = N (1+ RS1 )·L·(1+ RSN ) - 1

Rentabilidad Esperada

R1, ..., Rn p1, ..., pn

E T = R1·p1 + R 2 ·p 2 + L + R n ·p n = ΣRj·pj

Rentabilidad Esperada Anualizada

N = número de períodos en los que dividimos el año

E1= N· EN

Rentabilidad esperada de una cartera

x ,..., x proporciones 1

n

E ,..., E rentabilidades 1

RS T =

PT + D T - P0 P0

E p = x 1·E1 + x 2 ·E 2 + L + x n ·E n = Σxj·Ej

n

Volatilidad de un título

R1, ..., Rn p1, ..., pn

Volatilidad Anualizada

N = número de períodos en los que dividimos el año

σ p = (R1 - E T ) 2 ·p1 + L + (R n - E T ) 2 ·p n

σ1=

N ·σN

x , x proporciones

Volatilidad de una cartera (2 títulos)

1

σ

1

2

, σ volatilidades

σP =

x 12 ·σ 12 + x 22 ·σ 22 + 2·x 1·x 2 ·σ 12

2

x , x , x proporciones Volatilidad de una cartera (3 títulos)

Consecuencias de Normalidad

1

σ

1

σ

2

3

, σ , σ volatilidades

ij

2

3

σP = x12·σ12 +x22·σ22 +x32·σ32 +2·x1·x2·σ12+2·x1·x3·σ132·x2·x3·σ23

covarianzas

E, σ


P(E-σ , E+σ)= 0,68 P(E-2σ , E+2σ)= 0,95 P(E-3σ , E+3σ)= 0,99

71

►CUESTIONARIO

Capítulo 6: RENTABILIDAD Y RIESGO

1. Aunque en finanzas vinculamos el concepto de riesgo a un determinado estadístico, ¿cuál de las siguientes definiciones podría también aproximar el concepto de riesgo? A) Posibilidad de obtener una rentabilidad negativa. B) Existencia de una elevada fluctuación de la rentabilidad del activo respecto al valor de su rentabilidad esperada. C) Posibilidad de obtener una rentabilidad inferior a la que ofrece el activo libre de riesgo. D) Todas podrían aproximarse al concepto de riesgo.

2. Con criterio de buen gestor elija entre las siguientes opciones A) B) C) D)

Una cartera formada por 20 títulos con rentabilidad media del 3% y volatilidad 2%. Un activo con rentabilidad media del 3%y volatilidad 2%. Una cartera formada por 10títulos con rentabilidad media del 3% yvolatilidad 2%. Dependerá de las preferencias del usuario.

3. A la hora de calcular la rentabilidad de una cartera A) No influirá el nivel de correlación entre los activos. B) Se calcula como media ponderada de las rentabilidades de los activos, considerando la ponderación como el peso del activo en la cartera. C) Nunca podrá superar la rentabilidad del activo más rentable. D) Todas son ciertas.

4. La cartera de un inversor esta constituida únicamente por 4 títulos. Sabiendo que en la cartera todos los títulos tienen el mismo peso y que sus rentabilidades respectivas son iguales a 3,2%, 3,6%, 4% y 2,4% ¿cuál es la tasa de rentabilidad global de la cartera? A) B) C) D)

3,3% 3,6% 2,4% 3,10%

5. Indique cuál es la rentabilidad total anualizada de un fondo que ha obtenido un 6% en su primer año, y un 12,5 % en su segundo año. A) B) C) D)

9,25% 18,50% 9,20% 9,50%

6. Un mercado de acciones presenta una desviación típica mensual con respecto a su rentabilidad igual al 2%. ¿Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación de la desviación típica anual de dicho mercado? A) B) C) D)

24% 21% 7% 10%

7. Cuando en finanzas hablamos de volatilidad o riesgo de un instrumento financiero, ¿a qué operador estadístico nos es tamos refiriendo? A) Raíz de la varianza. B) Desviación típica. C) A la raíz del sumatorio de las desviaciones con respecto a la media al cuadrado, dividido entre el número de datos D) Todas son ciertas.

72


8. Esta mañana ha llegado a nuestra oficina un cliente y nos ha pedido que le construyamos una cartera con dos instrumentos financieros, tratando únicamente de maximizar su rentabilidad. Las rentabilidades medias son del 5% y del 7%, y volatilidades del 2,5% y del 3% respectivamente. ¿Cuál sería la ponderación asignada a cada uno de los instrumentos? A) El óptimo estaría en un 50% de cada uno. B) No hay una cartera óptima en este caso. C) Crearía una cartera únicamente con el instrumento más rentable. D) Tendría que tener en cuenta la correlación para maximizar la rentabilidad.

9. Rentabilidad y riesgo son dos conceptos estrechamente vinculados en la gestión de toda cartera. ¿Cuál de las siguientes opciones sería la más deseable desde el punto de vista de la racionalidad económica? A) B) C) D)

Cartera A: Rentabilidad muy alta / Volatilidad menor que cero. Cartera B: Rentabilidad alta /Volatilidad menor que cero. Cartera C: Rentabilidad cero / Volatilidad cero. Cartera D: Rentabilidad alta /Volatilidad cero.

10. El objetivo de la diversificación dentro de una cartera será obtener A) B) C) D)

Aumentos de la rentabilidad. Una rentabilidad media unido aun determinado riesgo medio. Incrementos del número de títulos. Reducción del riesgo.

11. Considera una cartera P de acciones A, B y C con las si guientes características: Acción A B C

Nº de Acciones en la Cartera P 20 10 40

Precio por acción Rentabilidad en € Esperada 1000 10% 2000 2% 1500 18%

Varianza

Beta

0,01 0,04 0,09

0,6 -0,2 1,4

¿Cuál es la rentabilidad esperada de la cartera P? A) B) C) D)

13.20% 8.80% 10.00% Ninguna de las respuestas anteriores.

12. Un título con una rentabilidad esperada del 10% y una volatilidad del 6% que siga una Ley Normal tiene una probabilidad aproximada del 68% de que su rentabilidad oscile entre: A) B) C) D)

Un 4% y un 16% Un -8% y un 48% Un -2% y un 22% Un 0% y un 34%

13. Los activos A y B tienen una desviación estándar de 10% y 20% respectivamente. La correlación entre elpor activo A ydel B activo es de A -1.y ¿Cuál será ladeldesviación cartera compuesta la mitad por la mitad activo B? estándar de una A) B) C) D)

10% 15% 5% 30%


73

14. Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta. A) B) C) D)

Es la raíz cuadrada de la varianza. Puede ser positiva o negativa. Es la media aritmética de las observaciones. Ninguna de las anteriores es correcta.

15. Conocido un conjunto de datos distribuidos normalmente, de media 35000 y desviación típica de 4540. ¿Qué porcentaje de observacion es están entre 35000-39540? A) 68% B) 9,05% C) 47,5% D) Ninguna de las anteriores. 16. Un mercado de acciones presenta una desviación típica semanal con respecto a su rentabilidad igual al 3 % ¿Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación de la desviación típica anual de dicho mercado? A) B) C) D)

150 % 21 % 10 % 25 %

17. Conocido un conjunto de datos distribuidos normalmente de media 35000 y desviación típica de 4540. ¿Qué porcentaje de observaciones están entre 35000-44080? A) B) C) D)

81,90% 9,05% 47,5% Ninguna de las anteriores.

18. ¿Qué método es el más adecuado para medir la rentabilidad obtenida por un gestor en el pasado? A) B) C) D)

Media aritmética. Composición o media geométrica. TIR. Plusvalías latentes.

19. Dos acciones A y B presentan una desviación típica anual con respecto a su rentabilidad igual, respectivamente, al 20% y al 12%, así como un coeficiente de correlación entre rentabilidades igual a 0. ¿Cuál sería la desviación típica de una cartera que contuviera ambos títulos igualmente ponderados? A) B) C) D)

14,22% 0% 11,66% 16%

20. Si las rentabilidades anuales deun fondo han sido: 40%, 10%, -2% A) B) C) D)

Su desviación típica es de 17,66. Su desviación típica es de 3,9. Su desviación típica es de 5,2. Ninguna de las anteriores.

21. Entre dos activos cualesquiera, se considera más arriesgado: A) B) C) D)

El que tenga mayor volatilidad. El que tenga menor liquidez. El que tenga menor coeficiente de correlación. El que tenga mayor rentabilidad esperada.

74


22. La volatilidad de un activo se mide mediante: A) B) C) D)

La varianza. La desviación típica. La covarianza. El coeficiente de correlación.

23. Cuanto más bajo sea el coeficiente de correlación entre dos activos de una cartera: A) B) C) D)

Mayor será la varianza de la cartera. Mayor será la rentabilidad de la cartera. Menor será la varianza de la cartera. No depende de la correlación.

24. Supongamos que la variable aleatoria "rendimiento esperado" de un activo financiero sea continua y presente una distribución normal de frecuencias. Si la media de los rendimientos referidos a un período temporal dado es el 9% y la desviación estándar es el 3%, ¿cuál es la probabilidad de que el rendimiento del activo se sitúe entre el 3% y el 15%? A) B) C) D)

Cerca del 50% Cerca del 68% Cerca del 99% Cerca del 95%

25. Una inversión por un valor de 6.534 € ha reportado unos dividendos semestrales de 243€, 240€ y 105€. Al año y medio se ha liquidado la inversión por un valor de 7.012€. La rentabilidad simple obtenida ha sido: A) B) C) D)

7,31% 9% 16,31% 10,60%


75

►SOLUCIÓN

DE LOS CUESTIONARIOS Módulo 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

CAPÍTULOS 1, 2 y 3

CAPÍTULO 4

CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 6

1

B

1

B

1

D

1

2

A

2

A

2

D

2

D A

3

B

3

D

3

B

3

D

4

B

4

B

4

C

4

A

5

C

5

C

5

B

5

C

6

B

6

D

6

D

6

C

7

A

7

C

7

C

7

D

8

A

8

B

8

C

8

C

9

B

9

C

9

B

9

D

10

A

10

D

10

D

10

D

11

B

11

D

11

D

11

A

12

D

12

C

12

C

12

A

13 14

C B

13 14

B C

13 14

C C

13 14

C A

15

D

15

C

15

C

15

D

16

A

16

D

16

C

16

B

17

B

17

D

17

A

17

C

18

C

18

A

18

B

18

B

19

C

19

D

19

C

20

C

20

B

20

A

21

B

21

C

21

A

22

C

22

B

22

B

23

A

23

C

23

C

24

D

24

D

25

D

25

C

26

B

27

A

►BIBLIOGRAFÍA

Módulo 1: Fundamentos de la Inversión

ALEGRE ESCOLANO, P. y otros (1990): "Ejercicios resueltos de Matemáticas de las Operaciones Financieras". Ed. AC, Madrid.

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BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (2001): "Curso de Matemáticas Financieras: Análisis Financiero Fundamental, Rentas y Constitución de Capitales". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.

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BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (1992): "Curso de Matemáticas Financieras: Operaciones de Préstamos, Operaciones de Empréstito obligaciones". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.

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BETZUEN, Amancio; BILBAO, Alberto; GOMEZ, Rosalía; DE LA PEÑA, J.Iñaki(1994): "Matemática Financiera: Ejercicios resueltos". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao. DE PABLO LOPEZ, A. (1994): "Matemática de las operaciones Financieras". Vol. 1 y 2. Ed. UNED. Madrid. GONZALEZ CATALA, V. (1991): "Enfoque práctico de las Operaciones de la Matemática Financiera". Ed. Ciencias Sociales. Madrid. Bárcena, M.J.; Fernández, K.; Ferreira, E. y Garín, M.A. (2003). Elementos de Probabilidad y Estadística Descriptiva. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, UPV/EHU. J. Arteche et al. (2000). Ejercicios de estadística I. Elementos de Probabilidad y Estadística. Servicio Editorial de la UPV/EHU. Martín Pliego, F.J.; Ruiz Maya, L. (2004). Estadística I: Probabilidad, Editorial AC, 2ª edición. Madrid. Martín Pliego, J.M. Montero Lorenzo y F.J.; Ruiz Maya (2002). Problemas de Probabilidad, Editorial AC, Madrid.

Tusell, F. y Garín, A. (1991). Ejercicios de Probabilidad e Inferencia Estadística. TébarFlores, Madrid.

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Martín Pliego, F.J. (1994). Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Editorial AC., Madrid. “Estadística aplicada a los negocios y la economía”. Allen L. Webster. Tercera Edición. Mc Graw-Hill: Irwin- Mc Graw-Hill.2000 “Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos”. George C. Canavos. Editorial Mc Graw Hill. 1997 “Probabilidad y Estadística”. Ronald E. Walpole y Raymond H. Myers. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill.


Mat.op.Financieras

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