Matla Bbb

TUGAS VI PRAKTIKUM METODE NUMERIK PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL 2016-2017

1.

Dengan menggunakan penghampiran selisih terhingga terpusat selesaikan  persamaan differensial sebagai berikut:

    =   2 (0) = (1) = 1 Rentang integrasi = 0 s/d 1 Sertakan pula kurva x,y diagram kartesiusnya.

JAWAB : Untuk menyelesaikan persamaan diatas, langkah yang harus dilakukan adalah : a. Mengidentifikasikan dan memahami maksud soal. Dalam menyelesaikan  persamaan differensial menggunakan penghampiran selisih terhingga dikenal teknik diskretisasi.  b. Rentang integrasi x=0 s.d 1 didiskretisasikan menjadi 10 bagian (N=10). Sehingga didapatkan nilai

Δ adalah sebagai berikut:  N = 10

Δ =  = 0.1

Δ 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c. Kemudian menyelesaikan persamaan berikut dengan menggunakan  penghampiran selisih terpusat.

   

Orde dua

Karena persamaan diatas termasuk persamaan orde dua, sehingga  persamaan tersebut akan berubah menjadi:

  1 (   = ∆ +  2  − ) d. Setelah itu mensubstitusikan penghampiran selisih terpusat itu ke  persamaan differensial.

   =   2      (  2) = 0 1 ( ∆  +  2  − )  (  2) = 0 1 ( ∆  +  2  − ) = (  2) (+  2  − ) = (  2)∆ (+  2  − ) =  ∆ 2∆ (+  2  − )   ∆  = 2∆   Nilai

x=0.1,

kemudian dimasukkan ke dalam persamaan sehingga

menjadi:

(+  2  − )   0.1 = 20.1 (+  2  − )  0.01 = 0.02 Sehingga didapatkan persamaan umum sebagai berikut:

+ 2.01  − = 0.02 e. Memasukkan nilai i dari 1 s.d 9 seperti berikut: -

untuk i = 1

  2.01   = 0.02   2.01 1=0.02   2.01 =0.021.......................(1) -

untuk i = 2 s.d 8 i=2 i=3

x x2

3 2.01   = 0.02.......(2) 4 2.013   = 0.02.......(3)

i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 -

 2.014  3 = 0.02.......(4) 6 2.01  4 = 0.02.......(5) 7 2.016   = 0.02.......(6) 8 2.017  6 = 0.02.......(7) 9 2.018  7 = 0.02.......(8)

untuk i = 9

 2.019  8 = 0.02 12.019  8 = 0.02 8  2.019 =0.021.......................(9) f. Transformasikan sistem persamaan linier di atas menjadi bentuk matriks sebagai berikut:

[

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

 2.01

A

 0.021  0.02 3 0.02 4 0.02  = 0.02 6 0.02 7 0.02 8 0.02 [9 ] [0.021] ] y

C

g. Harga y dapat dihitung dengan metode yang telah dipelajari pada bagian sistem persamaan linier

  =   = − h. Dibawah ini merupakan tampilan M-file untuk menghitung harga vektor y dengan menggunakan MATLAB

Gambar 1. M-file dengan teknik diskretisasi i.

Setelah itu klik save and run dan hasil akan muncul di command window  beserta grafiknya yang bisa dilihat seperti gambar di bawah ini:

Gambar 2. Hasil dari Command Window

Gambar 3. Kurva t vs x

2.

Suatu fenomena difusi-konveksi dapat dideskripsikan dengan PDP berikut ini:

    0 <  < 1,  >0  =      (0, ) =1, >0  >0  (1, ) = 0 , (, 0) = 0 , 0<<1 Jika harga  = 2 5, selesaikan PDP diatas untuk rentang t=0 s.d 5. Buat pula gambar 3-D  ,t,x pada koordinat kubus (kartesius). JAWAB: Untuk menyelesaikan persamaan diatas, langkah yang harus dilakukan adalah : a. Mengidentifikasikan dan memahami maksud soal. Dalam menyelesaikan  persamaan differensial menggunakan penghampiran selisih terhingga dikenal teknik diskretisasi. Sayangnya penerapan pada PDP lebih rumit dan

melibatkan banyak angka. Sebagai penyederhanaan dapat digunakan teknik semidiskretisasi.  b.

Kondisi Dirichlet

Kondisi dirichlet adalah kondisi dimana nilai variabel terikat (T) diketahui  pada nilai variabel bebas (x,t) tertentu. c. Rentang integrasi x=0 s.d 1 didiskretisasikan menjadi 20 bagian (N=20). Sehingga didapatkan nilai

Δ adalah sebagai berikut:  N = 20

Δ =  = 0.05

Δ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

d. Kemudian menyelesaikan persamaan berikut dengan menggunakan  penghampiran selisih terpusat.

     

Orde dua Orde satu

Karena persamaan diatas termasuk persamaan orde dua dan orde satu, sehingga persamaan tersebut akan berubah menjadi:

 1  = 2∆ (+  − )   1   = ∆ (+  2  − )

1

e. Setelah itu mensubstitusikan penghampiran selisih terpusat itu ke  persamaan differensial.

     =       1 ( 1 ( ) =   2      −  ∆  + 2∆ +  − ) f. Memasukkan nilai i = 1 s.d 19 sebagai berikut: -

untuk nilai i = 1

 1 ( 1 ( ) =   2        ∆   2∆    )  1 1 ( ) =   2  1     ∆  2∆ (  1) -

untuk nilai i = 2 s.d 18

   ( ) (  ) =   2     3     ∆ ∆ 3    ( ) ( ) i=3 =   2     4 3   ∆ ∆ 4      ( ) ( ) i=4 =   2      4 3   ∆ ∆   3    ( ) (  4) =   2     i=5 6  4  ∆ ∆ 6    ( ) (   ) =   2     i=6 7 6    ∆ ∆ 7    ( ) (  6 ) =   2     i=7 8 7 6  ∆ ∆ 8    ( ) (  7) =   2     i=8 9 8 7   ∆ ∆ 9    ( ) (  8 ) =   2     i=9  9 8  ∆ ∆     ( ) ( ) i = 10  =   2       9   ∆ ∆   9    ( ) (  ) =   2     i = 11     ∆  ∆     ( ) (  ) =   2     i = 12  3     ∆ ∆ 3    ( ) (  ) =   2     i = 13  3   ∆ 4 ∆ 4    ( ) (  3) =   2     i = 14   4 3   ∆ ∆  i=2



   ( ) (  4) =   2      4  ∆ 6 ∆ 6    ( ) (  ) =   2     i = 16  7 6    ∆ ∆ 7    ( ) (  6) =   2     i = 17  7 6  ∆ 8 ∆ 8    ( ) (  7) =   2     i = 18  9 8 7   ∆ ∆ 9 i = 15 

-

untuk nilai i = 19

 1 1 ( ) =  2     9 8  ∆   2∆ (  8 )  1 1 (02 ) =     9 8  ∆  2∆ (0  8)  1 (2 1 ( ) ) =     9 8  ∆ 2∆ 8 g. Menuliskan persamaan diatas kedalam  M-file  yang pertama seperti pada gambar:

Gambar 4. Tampilan M-file pertama h. Untuk solusi sistem persamaan differensial biasa tersebut digunakan subrutin ode23 yang telah dibahas sebelumnya. Dimana untuk penulisan dalam MATLABnya adalah sebagai berikut: [t,T] = ode23(‘fungsiPDB’,rentang_t,T0)

i.

Menuliskan subrutin ode23 pada M-file kedua seperti pada gambar

Gambar 5. Tampilan M-file kedua  j.

Setelah itu klik save and run dan hasil akan muncul di command window  beserta grafiknya yang bisa dilihat seperti gambar di bawah ini:

Gambar 6. Tampilan hasil dalam Command Window

Gambar 7. Gambar 3-D ,t,x pada koordinat kubus (kartesius)