math4

4.5 Chebyshev Potynomials (Optional) Chebyshev เปป็ นนนักคณณิ ตศาสตรร์ททที่มทชชที่อเสท ยงชาวรนัสเซท ย Chebyshev คณิดววาบางครนัรงพหหุ นาม การคณิด แบบ Lagrange และ Newton ยนังไมวดทพอ เขาจจึงพยายามหาจหุดททที่เหมาะสม เขาไดด้เลชอกฟนังกร์ชนนั มา 2 เทอมบน ชววง f(x) = [-1, 1] ในชววง ในเมชที่อ (1) และ Q(x) คชอพหหุนามดทกรท N+1:

(2)

ใชด้ความสนัมพนันธร์

ตาราง 4.11

Chebyshev Polynomials T0 through T1(x) T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) = 2x2-1 T3(x) = 4x3-3x T4(x) = 8x4-8x2+1 T5(x) = 16x5-20x3+5x T6(x) = 32x6 -48x4+18x2-1 T7(x) = 64x7-112x5+56x3-7x

Chebyshev ไดด้หาททที่มาของควาตามตารางทนัรง 8 ควาของจหุด โดยควาททที่ไดด้มทคหุณสมบนัตณิดงนั นทร คหุณสมบนัตณิของ Chebyshev Polynomials 1. ความสนัมพนันธร์การหมหุนเวทยนรอบเปป็ นอนหุกรม กทาหนด T0(x)=1 และ T1(x)=x และใชด้สมการ 2. ตนัวชทรแนะควาสนัมประสณิ ทธณิธ สนัมประสณิ ทธณิธ ของ X N ใน

คชอ 2N-1 เมชที่อ N

โดยททาใหด้มทควานด้อยลง

เมชที่อ k = 2,3…

1

(3)

3. ควาเทวากนันของสมการ เมชที่อ N = 2M, T2M(x) เปป็ นเลขคคว

(4)

เมชที่อ N = 2M+1, T2M+1(x) เปป็ นเลขคทที่

(5)

4. การแทนททที่หรช อการเปรท ยบเททยบบนชววง [-1,1] 5. ควาเฉพาะ TN(x) = 0 ในชววงบน [-1,1] จทานวน TN(x) = 0 จะมททร งนั หมด N ควาในชววง [-1,1]

เมชที่อ

(6)

เมชที่อ k = 0,1,…,N -1

(7)

ควาททที่ไดด้ออกมานนัรนเรท ยกววา Chebyshev abscissas (nodes)

6. ควาททที่เกณินขอบเขต

รค ป 4.15 เมชที่อ

(8)

คคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 1 เปป็ นสมการททที่ใชด้บวอยแตวมทขอด้ จทากนัดใชด้ในสมการททที่มทควาสค ง เชวน T3(x) = 2xT2(x)T1(x) ใชด้ ควา T1(x) และ T2(x) ในตาราง 4.11

คคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 2 เปป็ นการพณิสคจนร์สงนั เกตการความสนัมพนันธร์หมหุนเวทยนของอนหุกรม 2 มทควาเปป็ น 2 เทวาควา ของสนัมประสณิ ทธณิธ ของ TN-1(x) = TN(x) คคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 3 กทาหนดโดยแสดงววา T2M(x) รวมในเลขคคว ของ X และ T2M+1(x) รวมในเลขคทที่ของ X คคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 4 พณิสคจนร์ววาใชด้ตรท โกณแสดงใหด้ดงนั นทร

แทนใน

และ

และไดด้

ททาใหด้เขด้าใจงวายดด้วย และแทนททที่ใน

และ สมมตณิ

การททาขนัรนแรกของ 2 สมการของ Chebyshev Polynomials คชอ



(9)

เมชที่อ k = 2,3,…,N-1 จากสค ตร ใชด้ใน ถจึงสาเหตหุททที่กาท หนดทนัวที่ ไป

เมชที่อ คคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 5 และ 6 เปป็ นผลททที่ตามมาของคคุณสมบบัตติ ขข้ อททท 4 Minimax เซตตทที่าสหุ ดของควาสคงสหุ ดในการคทานวน Chebyshev นนักคณณิ ตศาสตรร์ชาวรนัสเซท ยททาใหด้ มทควานด้อยลงโดยมทขอบเขตจทากนัด ขอบเขตขนัรน สค ง มทรคปแบบมาจากผลของควาสคงสหุ ดของ มากกววา x ในชววง [-1, 1] และควาสค งสหุ ด มากกววา x ในชววง [-1, 1] ททาใหด้ควานด้อยลงดด้วยการคคณควาสค งสหุ ด Chebyshev คด้นพบววา ควรใชด้ ทฤษฎทบท 4.6 สมมตณิกาท หนด N เลชอกความเปป็ นไปไดด้ระหววาง Q(x) ในสมการททที่ (2) และเลชอกความเปป็ นไป ไดด้ระหววางจหุดททที่แตกตวาง ในชววง [-1, 1] ของ 2 เทอม คชอเลชอกคหุณสมบนัตณิททที่ มทลกนั ษณะเฉพาะ นอกจากนนัรน (10) การพติสสูจนน การพณิสคจนร์สามารถหาไดด้ใน ททที่มาการอด้างอณิง [29] ตาราง 4.12 วณิธท Lagrange Coefficient Polynomials ใชด้รคปแบบ P3(x) เปป็ นพชรนฐานบนความเทวากนัน รค ป แบบเดทยวกนันจหุดททที่ทาท ใหด้เกณิดชวองววาง

ผลททที่ตามมาชทรแจงไดด้โดยวณิธทการแทรกขด้อมคลของ Lagrange ผณิดพลาดขนัรนตทที่าสหุ ด

บนชววง [-1, 1] ควาททที่

การไดด้มาของจหุด ของ TN+1(x) ดนังตนัวอยวาง ดคไดด้จาก Lagrange Coefficient Polynomials ใชด้รคปแบบพชรน ฐานแยกจหุดททที่เทวากนันและจหุด Chebyshev นทาควา Lagrange Polynomials ดทกรท N=3 มาเขทยนไดด้ (11) Equally Speed Nodes แยกจหุดททที่เทวากนัน (รค ปแบบเดทยวกนัน) ถด้า เปรท ยบเหมชอนพหหุนามของดทกรท ททที่ N=3 บนชววง [-1, 1] แยกจหุดททที่เทวากนัน และ ททาไดด้งวายโดยใชด้เครชที่ องคณิดเลข การสนับเปลทที่ยนของควาใน สค ตรททที่ (8) ของสว วนททที่ 4.3 และททาใหด้งวายจะไดด้ผลตนัวเลข สนัมประสณิ ทธณิธ ในตาราง 4.12 Chebyshev Nodes (จหุด) เมชที่อ เหมชอน Lagrange ดทกรท N=3, ใชด้จหุด Chebyshev และ , ตนัวเลขสนัมประสณิ ทธณิธ ยาวสามารถหาโดยคอมพณิวเตอรร์ , ผลททที่ไดด้หลนังจากททที่ทาท ใหด้งวายแลด้วแสดงในตาราง 4.13 ตนัวอยวาง 4.14 เปรท ยบเททยบ Lagrange Polynomials ดทกรท N=3 ททที่ไดด้มาโดยใชด้ตวนั เลข สนัมประสณิ ทธณิธ ในตาราง 4.13 และ 4.14 ตามลทาดนับ ใชด้แยกจหุดททที่เทวากนัน ททาใหด้ไดด้ 2 เทอม

นทที่ คชอควาททที่หามาไดด้โดยหาควาในฟนังกร์ชนนั

ตาราง 4.13 ควาสนัมประสณิ ทธณิธ ใชด้รคด้แบบพชรนฐาน

ในจหุด Chebyshev

และใชด้ตวนั เลขสนัมประสณิ ทธณิธ

ในตาราง 4.12 และสมการเสด้นตรงรวมกนัน

แบบเดทยวกนัน เมชที่อใชด้จหุด Chebyshev ททที่ไดด้มาไดด้ดงนั นทร ขข้ อสบั งเกต ควาสนัมประสณิ ทธณิธ แตกตวางจากควาของ ฟนังกร์ชนนั

จากนนัรนตนัรงตนัวเลชอกของสนัมประสณิ ทธณิธ

นทร คชอผลททที่ตามมาจากการใชด้ จหุดททที่แตกตวางและควาใน

ในตาราง 4.13 คชอใชด้สมการเสด้นตรงรว วมกนัน

สทาหรนับการเปรท ยบเททยบของความถคกตด้องแมวนยทาของ และ รค ปททว 4.16 (a) และ (b) ตามลทาดนับ, ควาททที่ผณิดพลาดควาสค งสหุ ด ควาสค งสหุ ดททที่ผณิดพลาด

เกณิดขจึรนททที่ x = 1 และจะไดด้

, รค ปแบบททที่ผณิดพลาดแสดงในกราฟใน เกณิดขจึรนททที่ X = 0.75490129 และ เมชที่อ

เมชที่อ ขข้ อสบั งเกต ควาสคงสหุ ดททที่ผณิดพลาดใน คชอประมาณชววงททที่ 2-3 ของควาสค งสหุ ดททที่ผณิดพลาดใน พลาด แผวกวด้างออกไป อยวางเทวากนันมากกววาการทณิรงชววง (เวด้นระยะ)

กราฟ 4.16

ควาททที่ผณิด

Runge Phenomenon เราไดด้รคด้ขอด้ ดทของการใชด้ Chebyshev interpolation nodes พณิจารณา Lagrange interpolation ถจึง ในชววง [-1, 1] บนพชรนฐานในขนัรนตทที่าจหุดททที่แยกเทวากนัน, ควาททที่ผณิดพลาด เขด้าใกลด้ 0 ททที่ N เพณิที่มขจึรน สทาหรนับฟนังกร์ชนนั หรช อ โดยมท M เปป็ นควาคงททที่ (คทาตอบคชอ ใชว), ในทนัวที่ ไป (คทาตอบคชอ ไมว) มนันคชอการ

หาอยวางงวาย ฟนังกร์ชนนั ของ

ไมวมทจหุดจบรว วมกนัน ถด้า ความากททที่ผณิดพลาดของเทอม เกณิดขจึรนเมชที่อ นทที่คชอการไมวมทจหุดจบรว วมกนัน เรท ยกววา Runge Phenomenon Lagrange polynomial ของดทกรท 10 ขนัรนตทที่าคชอ 11 แยกจหุด อยวางเทวากนัน สทาหรนับฟนังกร์ชนนั แสดงในรค ป 4.17(a) เกณิด การสลนับททที่เกณิดขจึรนใกลด้ตอนจบของการทณิรงชววง, ถด้าเลข ของจหุดมทควาเพณิที่มขจึรน กลายเปป็ นการสลนับททที่ททที่ใหญวเปป็ น ปนั ญหาททที่เกณิดขจึรนเพราะจหุดเปป็ น การเวด้นชววงททที่เทวากนัน ถด้า Chebyshev nodes ใชด้สณิที่งททที่สรด้างขจึรน มาสอด แทรก ของดทกรท 10 จนถจึง ควาผณิดพลาดจะนด้อยลง ดนังภาพททที่ 14.7(b) ภายใตด้เงชที่อนไข ททที่ใชด้จหุด Chebyshev ควาผณิดพลาด จะไปถจึง 0 เมชที่อ ในทนัวที่ ไป ถด้า และ ตวอเนชที่ องบน ชววง [-1, 1] มนันสามารถพณิสคจนร์ไดด้ววาผลของ จะมทจหุดรว วมแบบเดทยวกนันจนถจึง ตวอเนชที่ องถจึง [-1, 1] ชววงการเปลทที่ยนแปลง บางเวลามนันคชอสณิที่ งททที่จาท เปป็ นถจึงปนัญหาททที่ไดด้รนับทางคณณิ ตศาสตรร์ บนชววง [a, b] และสค ตรปนั ญหาบนชววง [c, d] ททที่ รค ด้จกนั วณิธท ถด้าประมาณควา ถจึง ททที่หามาไดด้บนชววง[a, b] จากนนัรนกป็เปลทที่ยนตนัวแปร

กราฟ 4.17(a)

กราฟ 4.17(b)

ดด้วยปนัญหา คชอ การอด้างถจึงสคตรบนชววง[-1, 1] หรช อ ททที่ไหนมท

และ

(12)

กทาหนดจหุดของ และสอดแทรกจหุดบนชววง

บนชววง[-1, 1] คชอ เมชที่อ

(13)


(14)

โดยใชด้สมการ (12)

ทฤษฎทบท 4.7 การประมาณควาใกลด้เคทยงของ (Lagrange-Chebyshev Approximation Polynomial) สมมตณิ คชอ Lagrange นนันที่ กป็คชอพชรนฐานของ Chebyshev nodes ททาใหด้ในสมการ (14) ถด้า เพราะฉะนนัรน (15) ตนัวอยวาง 4.15 เมชที่อ บนชววง ททที่ (15) สทาหรนับ Lagrange Polynomial สค ตรททที่(12) และ (13) ใชด้ใจการหาจหุด;

หา Chebyshev nodes และควาผณิดพลาดของสมการ

เมชที่อ ใชด้ขอบเขต

ในสมการ (15) จะไดด้

คหุณสมบนัตณิททที่เกทที่ยวกนับเสด้นตนัรงฉาก,มหุมฉาก(สรด้างสนัมประสณิ ทธณิธ ตนัวดทกรท เอง) ในตนัวอยวางททที่ 4.14 จหุด Chebyshev ททที่ใชด้หาควาระหววาง Lagrange interpolating Polynomial ในทนัวที่ ๆไปททที่บอก เปป็ นนนัย Chebyshev ดทกรท N สามารถหาไดด้โดย บนพชรนฐานควาระหววาง N+1 ททที่ 0 ของ

แตวอยวางไร

กป็ตามเขด้าถจึงโดยตรง การหาควาโดยประมาณถจึงชนัดเจนแนวนอน เสด้น

ททที่ใหด้ในตาราง

รวมกนันกนับ

4.11 ดนังนนัรน Chebyshev interpolating Polynomial เขทยนไดด้ในรค ปดนังนทร (16) ควาสนัมประสณิ ทธณิธ

ในสมการ(16) เปป็ นการหาแบบงวาย โดย หลนักการพณิสคจนร์โดยการตณิดตามคหุณสมบนัตณิเสด้น

ตนัรงฉากใหด้ เมชที่อ

(17)


(18)


(19) (20)

คคุณสมบบัตติขข้อ 4 และหลนักฐาน (18) และ (20) สามารถใชด้พณิสคจนร์การตณิดตามไดด้

ทฤษฎทบท 4.8 (การเทวากนันของ Chebyshev)

ของดทกรท


บนชววง [-1, 1] สามารถเขทยนททที่

จทานวนของ (21) สนัมประสณิ ทธณิธ

คชอการคทานวณดด้วยสคตร (22)

และ

เมชที่อ ตนัวอยวาง 4.16 หาพหหุนาม Chebyshev โดยประมาณควาฟนังกร์ชนนั สนัมประสณิ ทธณิธ คทานวณในสคตรททที่ (22) และ (23) และจหุด

(23)


[-1, 1] ใชด้ควา

ดนังนนัรน พหหุ นาม Chebyshev

คชอ

(24)

ถด้าสมการ (24) ขยายในกทาลนังของ x ผลททที่จะไดด้คชอ

สว วนททที่ไดด้จะคลด้ายกนับ

ในตนัวอยวางททที่ 4.14 ถด้าจหุดประสงคร์ตอด้ งการหา พหหุ นาม Chebyshev จะใชด้สคตร (22)

หรช อ (23) จะดทมากกววากนัน

MATLAB ในการกทาหนดรายการ ใชด้คาท สนังที่ ของคทาสนังที่ ททที่ใชด้ในการกทาหนดรายการกวอนหนด้านทร หนนังสช อ MATLAB จะอธณิ บายคทาสนังที่ อยวางชนัดเจนหรช อบอกอยวางเปป็ นทางการ ตนัวอยวาง คทาสนังที่ ททที่รวดเรป็วในการหาควา

ททที่ควา

เมชที่อ k = 0, 1, … , 5

x= 0 : .1 : .5; eval(‘cos(x)’) ans = 1.0000 0.9950 0.9801 0.9553 0.9211 0.8776 โปรแกรม 4.1 (การประมาณควา Chebyshev ) รค ปแบบและการหาควาพหหุ นามควาระหววาง ของ Chebyshev ของดทกรท N บนชววง [-1,1] ใน

คชอควาขนัรนตทที่าบนจหุด

ฟนังกร์ชนนั [C,X,Y]=cheby(fun,n,a,b) %ใสว ควา - ฟนังกร์ชนนั ในควา string ฟนังกร์ชนนั ในการประมาณควา %

- N คชอ ดทกรท ของพหหุนามควาระหววาง Chebyshev

%

- a คชอจหุดสหุ ดทด้ายทางซด้าย

%

- b คชอจหุดสหุ ดทด้ายทางขวา

%ผลททที่ออกมา - C คชอ สนัมประสณิ ทธณิธ ของพหหุ นาม %

- X ประกอบดด้วยระยะพณิกดนั ตามขวาง

%

- Y ประกอบดด้วยระยะจากแกน x ททที่วดนั ขนานกนับแกน y

ถด้า nargin==2, an-1;b=1;end d=pi/(2*n+2); C=zeros(1,n+1); เมชที่อ k=1;n+1; X(k)=cos((2*k-1)*d); สณิร นสหุ ด X=(b-a)*X/2+(a+b)/2; x=X; Y=eval(fun); เมชที่อ k=1;n+1 z=(2*k-1)*d; เมชที่อ j=1;n+1 C(j)=C(j)+Y(k)*cos((j-1)*z); สณิร นสหุ ด

สณิร นสหุ ด C=2*C/(n+1); C(1)=C(1)/2;

แบบฝจึ กหนัด เรชที่ อง การหาพหหุนามของ Chebyshev 1.ใชด้คหุณสมบนัตณิขอด้ 1 (a) T4(x) จาก T3(x) และ T2(x) วณิธททาท Tk(x) = 2xTk-1(x) -Tk-2(x) T4(x) = 2xT3(x)-T2(x) T3(x) = 4x3-3x

ตาราง

T2(x) = 2x -1 T4(x) = 2x (4x3-3x)-(2x2-1) 2

= 8x4-6x2-2x2+1 = 8x4-8x2+1 (b) T5(x) จาก T4(x) และ T3(x) วณิธททาท

2. ใชด้คหุณสมบนัตณิขอด้ 1 (a) T6(x) จาก T5(x) และ T4(x) วณิธททาท

4.11

(b) T7(x) จาก T6(x) และ T5(x) วณิธททาท

3. พณิสคจนร์สคตรคหุณสมบนัตณิขอด้ ททที่ 2 วณิธททาท พณิสคจนร์สคตร แสดงววา

แสดงววา สนัมประสณิ ทธณิธ

คชอ 2

4. พณิสคจนร์สคตรคหุณสมบนัตณิขอด้ ททที่ 3 วณิธททาท

,

(ฟนังกร์ชนนั คคว) ในชววง [-1, 1]

แสดงววา (ฟนังกร์ชนนั คทที่) ในชววง [-1, 1]

,

แสดงววา

5. หาควาสค งสหุ ดและตทที่าสหุ ดของ วณิธททาท

มาจากกราฟรค ปททที่ 4.15 นทา

แทนใน

(จหุดตทที่าสหุ ด) นทา

แทนใน

(จหุดสคงสหุ ด)

6. หาควาสค งสหุ ดและตทที่าสหุ ดของ บอกใบด้ วณิธททาท

และ

มาจากกราฟรค ปททที่4.15 นทา

แทนใน

(จหุดตทที่าสหุ ด)

นทา

แทนใน

(จหุดสค งสหุ ด) 7. หาควาตทที่าสหุ ดและสคงสหุ ดของ บอกใบด้ วณิธททาท

และ

นทา

แทนใน


แทนใน


มาจาก

แทนใน

(จหุดสค งสหุ ด) 8. ใหด้

บนชววง [-1, 1]

(a) ใชด้ควาสนัมประสณิ ทธณิธ พหหุนามในตาราง 4.13 ททที่หามาไดด้จากควาประมาณพหหุ นาม Lagrange Chebyshev ใหด้

จากตารางททที่ 4.13 ไดด้

(b) หาควาขอบเขตททที่ผณิดพลาด จากสมการททที่ 15

จาก

แทนควาในสมการททที่ (1)

9.ใหด้


(a) ใชด้ควาสนัมประสณิ ทธณิธ พหหุนามในตาราง 4.13 ททที่หามาไดด้จากควาประมาณพหหุ นาม Lagrange Chebyshev ใหด้

จากตารางททที่ 4.13 ไดด้


แทนควาในสมการททที่ (1)

10. ดทกรท N = 2 จากรค ปแบบ

ถด้า node แสดงววาควาสนัมประสณิ ทธณิธ พหหุนาม

ตารางขด้อ 10

11. ใหด้


(a) ใชด้สมนั ประสณิ ทธณิธ ในขด้อ 10 ททที่ไดด้ในการประมาณควาพหหุ นาม Lagrange Chebyshev วณิธททาท

จากขด้อ 10 ไดด้


จาก แทนควาในสมการททที่ (1)

12. ใหด้


(a) ใชด้สมนั ประสณิ ทธณิธ ในขด้อ 10 ททที่ไดด้ในการประมาณควาพหหุ นาม Lagrange Chebyshev วณิธททาท จากขด้อ 10

จากตารางขด้อ 10 ไดด้


จาก แทนควาในสมการททที่ (1)

ในขด้อ 13-15 ใชด้การเปรท ยบเททยบ Taylor กนับ Lagrange Chebyshev พลาด 13.

พหหุนาม Lagrange Chebyshev คชอ

พหหุ นาม Taylor

; แทน x=1

Lagrange Chebyshev

จาก แทน x=1 จะไดด้

บนชววง [-1, 1] หาควาขอบเขตททที่ผณิด

14.



; แทน x=1

Lagrange Chebyshev


15.



; แทน x=1

Lagrange Chebyshev


math4

Recommend Documents