Matfin_exercícios

MBA EM GESTÃO EMPRESARIAL

MATEMÁTICA FINANCEIRA EXERCÍCIOS

Ricardo Araújo

MAtemática Financeira - Exercícios

1

JUROS COMPOSTOS: 1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Determine o valor acumulado no final deste período.

3

n

3

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 3 = C0 × (1 + i ) = 80.000 × (1 + 0, 025)3 = 80.000 × (1, 025 ) = $86.151, 25

Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN

80.000 CHS CHS PV 3 n 2,5 2, 5 i 86.151 151,, 25 FV → $ 86.

2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $239.018,51 o montante acumulado. Determinar o valor do empréstimo.

n

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ C0 =

M n

(1 + i )

n

=

239.0 239 .018 18,51 ,51 (1 + 0, 02) 02)9

=

239.0 239 .018 18,51 ,51 9

(1, 02 )

= $200.000, 00

Usando as teclas financeiras da HP-12C:


2

f FIN

239.018,51 CHS CHS FV 9 n 2i 200.000,00 00 PV → $ 200.000,

3) Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um montante de $60.000,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. n

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 11 = C0 × (1 + i )11 ⇒ 60.000 = 40.000× (1+ i )11

60.000  60.000  ⇒ (1 + i ) = ⇒ 1+ i =   40.000  40.000  11

1 11

 60.000  111  ⇒ i =   − 1 × 100% ⇒ i = 3, 75% a .m. 4 0 . 0 0 0    

Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN CHS FV 60.000 CHS

40.000 PV 11 n a.m.. i → 3,75% a.m

4) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor dos juros ao final deste período. 8

n

8

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 8 = 18.000 × (1+ i ) ⇒ M 8 = 18.000× ( 1, 015) = $20.276, 87 J8 = M8 − C0 = 20.27 20.276,87 6,87 − 18.0 18.000 00 = $2.27 $2.276,87 6,87 ou Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J8 = 18.000× (1, 015) − 1 = $2.276, 87 8

n










3

Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN CHS PV 18.000 CHS

8 n 1, 5 i FV → 20.276,87

18.000 − → $2.276,87

5) Uma aplicação que rende taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de 50 meses, juros no valor de $359.998,70. Calcular o valor da aplicação.

Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J50 = C0 × (1 + i) − 1 50

n









359.998,70 50 ⇒ 359.998, 70 = C0 × (1+ 0, 018) − 1 ⇒ C0 = ⇒ C 0 = $250.000, 00 50   (1, 01 018) − 1  

6) Uma pessoa aplica $120.000,00 a uma determinada taxa de juros ao mês, durante 18 meses. Se o valor dos juros auferidos ao final deste período é de $67.159,05, qual o valor da taxa de juros desta operação?


4

Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J18 = C0 × (1+ i) − 1 18

n









67.159, 05 = 120.000× (1+ i ) − 1 ⇒ ( 1+ i ) − 1 = 18



18







67.159,05 120.000

 67.159, 05    67.159, 05  ⇒ (1 + i ) =  + 1 ⇒ (1 + i ) =    + 1 1 2 0 . 0 0 0  120.000      18

1 18

  67.159,05   118  50% a.m. ⇒ i =    + 1 − 1 ×100% ⇒ i = 2, 50 120.000      

7) Uma dívida de $50.000,00 irá vencer em 4 meses. O devedor está oferecendo pagar uma taxa de juros composta de 2% ao mês ao credor caso haja a antecipação do pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

n

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 4 = C0 × (1 + i ) 4

4

50.000 = C0 × (1+ 0, 02) ⇒ 50.000 = C 0 × ( 1, 02) C 0 =

50.000 (1, 02) 4

4

= $46.192,27

Usando as teclas financeiras da HP-12C:


5

f FIN

50.000 CHS FV 4 n 2i PV → $ 46.192,27

8) Calcular o montante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de 1 ano e 5 meses.

n

17

17

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 17 = C0 × (1 + i ) ⇒ M 17 = 600.000× (1+ 0, 023) 17

⇒ M 17 = 600.000 × (1, 023) ⇒ M 17 = $883.155,19


600.000 CHS PV 17 n 2,3 i FV → $ 883.155,19

9) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira $20.000,00 resgatando $23.850,37 oito meses depois. Calcular a taxa mensal de juros auferida nesta aplicação. n

8

8

8

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 8 = C0 × (1 + i ) ⇒ 23.850, 37 = 20.000× ( 1+ i ) ⇒ ( 1+ i ) =

23.850,37 20.000

1  23.850, 37  18   23.850, 37  8 ⇒ (1 + i ) =   ⇒ i =  20.000  − 1 × 100% ⇒ i = 2, 23% a .m .  20.000    


6


20.000 CHS PV 23.850,37 FV 8 n i → 2, 23% a.m.

10) Determinar a taxa de inflação anual em um ano que registrou as seguintes taxas mensais: 1,20%; 0,45%; -0,52%; 1,85%; 0,77%; -0,34%; 2,08%; 1,36%; 3,15%; -1,10%; 3,20%; 0,66%. n

 (1 + i )

n

= (1 + 0,012) × (1+ 0,0045)× (1− 0,0052)× (1+ 0,0185)× (1+ 0,0077)× (1− 0,0034)×

i =1

×(1 + 0,0208) × (1 + 0,0136)× (1+ 0,0315)× (1− 0,011)× (1+ 0,032)× (1+ 0,0066)= 13,42% a .a .

11) Determinar a taxa de inflação anual em um ano que registrou as seguintes taxas mensais: 0,75%; 0,49%; -0,31%; 2,42%; 0,13%; -0,68%; 1,44%; -0,95%; 2,35%; 1,77%; 0,54%; 0,63%. n

 (1 + i)

n

= (1 + 0,0075) × (1+ 0,0049)× (1− 0,0031)× (1+ 0,0242)× (1+ 0,0013)× (1− 0,0068)×

i =1

×(1 + 0,0144) × (1 − 0,0095)× (1+ 0,0235)× (1+ 0,0177)× (1+ 0,0054)× (1+ 0,0063)= 8,85% a .a .

12) Calcular o montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 2,5% a.m. e n = 2 anos


7

f FIN

80.000 CHS PV 2,5 i 24 n FV → $144.698,08

b) i = 6% a.b. e n = 1 ano e 8 meses f FIN

80.000 CHS PV 6 i 10 n FV → $143.267, 8 2

c) i = 12% a.a. e n = 108 meses f FIN

80.000 CHS PV 12 i 108 ENTER 12 / n FV → $221.846,30

13) Determinar o juro de uma aplicação de $100.000,00 nas seguintes condições de taxa e prazo: a) i = 1,5% a.m. e n = 1 ano f FIN

100.000 CHS PV 1,5 i 12 n FV ← 119.561,82

100.000 − → $19.561,82

f FIN

100.000 CHS PV 1, 5 i 12 n FV ← 119.561,82 RCL PV → −100.000, 00

+ → $19.561, 82


8

b) i = 3,5% a.t. e n = 2 anos e 6 meses f FIN

100.000 CHS PV 3,5 i 10 n FV ← 141.059,88

100.000 − → $41.059,88

f FIN

100.000 CHS PV 1,5 i 12 n FV ← 141.059,88 RCL PV → −100.000, 00

+ → $41.059, 88

c) i = 5% a.s. e n = 3 anos f FIN

100.000 CHS PV 5 i 6 n FV ← 134.009,56

100.000 − → $34.009,56

f FIN

100.000 CHS PV 5 i 6 n FV ← 134.009, 56 RCL PV → −100.000, 00

+ → $34.009, 56

d) i = 4,2% a.q. e n = 84 meses f FIN

100.000 CHS PV 4, 2 i 21 n FV ← 237.258,67

100.000 − → $137.258,67

f FIN

100.000 CHS PV 4, 2 i 21 n FV ← 237.258,67 RCL PV → −100.000,00

+ → $137.258, 67

14) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um montante de $7.385,81 ao final de 7 meses. f FIN

6.600 CHS P V 7.385,81 FV 7 n i → 1, 62% a.m.


9

15) Uma aplicação de $78.000,00 gerou um montante de $110.211,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo da aplicação. Solução com auxílio da HP-12C: f FIN

78.000 CHS PV 110.211,96 FV 2,5 i n → 14

Solução matemática: n

n

n

M n = C0 × (1 + i ) ⇒ 110.211, 96 = 78.000× ( 1+ 0, 025) ⇒ ( 1, 025) =

⇒ ln (1, 025)

n

110.211,96

78.000  110.211,96  ln   78.000   110.211,96   110.211, 96   = ln   ⇒ n × ln (1, 025) = ln  78.000  ⇒ n = 78.000 ln ( 1, 025)    

⇒ n = 14 meses

16) Um título com valor de resgate de $7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros composta de 2,5% ao mês, pede-se calcular o valor deste título: a) hoje. f F IN

7.200 CHS FV 2,5 i 4 n PV → $6.522,84

b) cinco meses após o seu vencimento. f FIN

7.200 C HS PV 2,5 i 5n FV ← 8.146,14


10

17) Seja uma taxa de juros de 2,5% a.m. Encontre as taxas trimestral, quadrimestral, semestral e anual equivalentes. n

ieq = (1 + i ) − 1 i3 = (1 + i )

3 1

3 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 7, 69% a .t .     4 4 i4 = (1 + i ) 1 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 10, 38% a .q .    

i6 = (1 + i )

6 1

6 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 15,97% a s. .     12 12 i12 = (1 + i ) 1 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 34,49% a.a.    

18) Seja uma taxa de juros de 20,52% a.a. Encontre as taxas mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral equivalentes. n

ieq = (1 + i ) − 1 i1 = (1 + i )

1 12

1 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 12 − 1 × 100% = 1,57% a .m .   

 2 1 i2 = (1 + i ) 12 − 1 ×100% = (1+ 0, 2052) 6 − 1 × 100% = 3,16% a .b .     3 1 i3 = (1 + i ) 12 −1 × 100% = (1 + 0, 2052) 4 − 1 × 100% = 4, 78% a .t .     4 1 i4 = (1 + i ) 12 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 3 − 1 × 100% = 6, 42% a .q.     6 1 i6 = (1 + i ) 12 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 2 − 1 × 100% = 9, 78% a .s .    

19) Admita que um banco esteja pagando 16,50% a.a. de juros na colocação de um título de sua emissão. Apurar a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos (admitir ano comercial, com 360 dias): a) 32 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i32 d = (1+ 0,1650)

32

n







360

− 1 × 100% = 1,37% p / 32 dias 

b) 170 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i170 d = (1+ 0,1650)

170

n








360

− 1 × 100% = 7, 48% p /170 dias  11

c) 250 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i250d = (1 + 0,1650) n





250



360

− 1 × 100% = 11,19% p /250 dias 

360

− 1 × 100% = 18, 49% p / 400 dias 

d) 400 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i400 d = (1+ 0,1650) n



20)



400



Com relação à formação das taxas de juros, pede-se:

a) Em 77 dias uma aplicação rendeu 9,4% de juros. Apurar as taxas mensal e anual equivalentes. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ imensal = (1+ 0, 094)

77 − 1 × 100% = 3,56% a .m .   360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0, 094) 77 − 1 × 100% = 52, 20% a .m .     30

n





b) Um banco cobra atualmente 17,30% a.a. de juros. Para uma operação de 148 dias, determinar a taxa efetiva equivalente que será cobrada. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i148d = (1+ 0,1730)

148

n







360

− 1 × 100% = 6, 78% p /148 dias 

c) Uma empresa está cobrando juros de 4% para vendas a prazo de 32 dias corridos. Determinar a taxa efetiva mensal e anual da venda a prazo. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ imensal = (1+ 0, 04)

32 − 1 × 100% = 3, 75% a .m .   360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0, 04) 32 − 1 × 100% = 55, 46% a .m .     30

n





d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 83,7% ao ano. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0,837) n



21)





44

360

− 1 × 100% = 7, 72% p / 44 dias 

Com relação à formação das taxas de juros, pede-se:

a) Em 102 dias uma aplicação rendeu 11,55% de juros. Apurar a taxa anual equivalente.


12

360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1+ 0,1155) 102 − 1 × 100% = 47, 08% a .a .









b) Um banco cobra atualmente 26,90% a.a. de juros. Para uma operação de 62 dias, determinar a taxa efetiva equivalente que será cobrada. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1 + 0, 269)

62

n







360

− 1 × 100% = 4,19% p / 62 dias 

c) Uma empresa está cobrando juros de 5,60% para vendas a prazo de 35 dias corridos. Determinar a taxa quadrimestral equivalente. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1 + 0, 056)

120

n







35

− 1 × 100% = 20,54% a .q . 

d) Determinar a taxa equivalente para 75 dias de 15,30% ao semestre. ieq = (1 + i ) − 1 ×100% ⇒ i =  (1+ 0,153) n







75 180

− 1 × 100% = 6,11% p/ 75 dias 

22) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nomi nal de 60% ao ano. Determinar o custo efetivo anual desta operação, admitindo que os juros sejam capitalizados: a) Mensalmente.

Taxa mensal proporcional à taxa nominal de 60% a.a

12   1    0,60  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1 + − 1 × 100% = 79, 59% a .a .    12    1   

( )

b) Trimestralmente.

Taxa trimestral proporcional à taxa nominal de 60% a.a.

12   3    0,60  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1+ − 1 × 100% = 74, 90% a .a .    12    3   

( )

c) Semestralmente

Taxa semestral proporcional à taxa nominal de 60% a.a.

12   6    0,60  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1+ − 1 × 100% = 69% a .a .    12    6   

( )


13

23) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 30% ao ano. Determinar o custo efetivo anual desta operação, considerando: a) capitalização mensal;

Taxa mensal proporcional à taxa nominal de 30% a.a

12   1    0,30  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1+ − 1 × 100% = 34, 49% a .a .    12    1   

( )

b) capitalização trimestral;

Taxa trimestral proporcional à taxa nominal de 30% a.a.

12   3    0,30  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1+ − 1 × 100% = 33, 55% a .a .    12    3   

( )

c) capitalização quadrimestral.

Taxa quadrimestral proporcional à taxa nominal de 30% a.a.

12   4    0,30  n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq =  1+ − 1 × 100% = 33,10% a .a .    12    4   

( )

24) Uma pessoa irá necessitar de $200.000,00 daqui a 6 anos. Quanto ela deverá depositar mensalmente num fundo de poupança para obter o montante desejado? Considere que a taxa de juros seja de 1,24% a.m. f FIN

200.000 CHS FV 1,24 i 72 n PMT → D = $1.735,98

25) Sua caderneta de poupança tem hoje um saldo de $5.000,00. A cada mês, a partir de t=1, você deposita mais $300,00. Você pretende aplicar por 12 meses a mesma quantia todo mês. A taxa de retorno de sua poupança é de 1,2% a.m. Quanto você terá ao final do último mês? 12

FV = 5.000 × (1 + 0, 012) +

11

∑  300 × (1 + 0, 012) j = 0

j

 

FV = $9.616,84


14

Com auxílio da HP-12C: f REG

1,012 ENTER

300 CHS PMT

12 y X

12 n

5000 ×

1, 2 i

+ → $9.616,84

FV

26) Quanto acumularia um investidor no fim de 1 ano se fizesse a partir de hoje 12 depósitos mensais de $800,00 em uma instituição financeira que remunera à taxa composta de 4,2% a.m.? FV =

12

∑ 800 × (1 + 0, 042) j =1

j

 

FV = $12.670,1 7 f REG

12 n

g BEG

4, 2 i

800 CHS PMT

FV → $12.670,17

27) Quanto acumularia um investidor no fim de dois anos se fizesse a partir de hoje 24 depósitos mensais de $20.000,00 em uma instituição financeira que paga juros à taxa composta de 3,5% ao mês? F V =

24

∑ 20.000 × (1+ 0, 035)  ⇒ FV = $758.997,13 j

j =1

f FIN g BEG

20.000 CHS PMT 24 n 3,5 i FV → $758.997,13

28) Quanto um investidor deve depositar mensalmente, durante 60 meses, a partir de hoje para dispor de $1.000.000,00 no fim de 5 anos se os depósitos são remunerados à taxa de 2% a.m.? f F IN

1.000.000 FV 61 n

2 i PMT → $8.522, 7 8


15

29) Uma pessoa irá necessitar de um montante de $60.000,00 daqui a 5 anos. Ela deposita hoje $3.000,00 e planeja fazer depósitos mensais no valor de $400,00 numa conta de poupança. Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 5 anos? f FIN

3.000 PV 400 PMT

⇒ i = 2,20% a.m.

60 n 60.000 CHS FV i ← 2,20

30) Uma pessoa deve dois títulos no valor de $25.000,00 e $56.000,00 cada. O primeiro título vence daqui a 2 meses, e o segundo três meses após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 10° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros compostos, determinar o valor deste pagamento único.

Equilibrando os fluxos de caixa em t = 0:

∑

Fluxos (+) =

25.000

(1, 03)

2

+

∑

56.000 5

(1, 03)

=

Fluxos (- ) X 10

(1, 03)

⇒ X = $96.588,60

Note que por se tratar de juros compostos, qualquer outra data poderia ter sido escolhida, sem alterar o resultado calculado anteriormente. Por exemplo, se escolhermos t = 10 meses:

∑

Fluxos (+) =

∑

Fluxos (- )

8

5

25.000 × (1, 03) + 56.000 × ( 1, 03) = X ⇒ X = $96.588, 60


16

31)

Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

a) $35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses; b) $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança que rende 5% ao mês de juros compostos. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimento sem deixar saldo final na conta.

∑ X =

Fluxos (+) =

35.000

(1, 05)

3

+

∑

Fluxos (- )

65.000 5

(1, 05)

⇒ X = $81.163,52

32) Uma dívida de $1.000.000,00 vence daqui a 1 ano. Decorridos 4 meses o devedor propõe pagar $350.000,00 de imediato, $250.000,00 3 meses após e o saldo 3 meses após. Se por ocasião da proposta a taxa de juros corrente no mercado é de 2% ao mês, pede-se indicar o valor do saldo devedor.

∑

lu F xos( + ) =

350.000 4

(1, 02 )

+

∑

250.000

(1, 02)

7

Fluxos (- )

+

X 10

(1, 02 )

=


1.000.000 12

(1, 02 )

⇒ X = $301.709,93

17

33) Uma pessoa, ao comprar um apartamento cujo preço à vista é de $600.000,00 deu 20% de sinal concordando em pagar 3% ao mês de juros compostos sobre o saldo devedor. Se o comprador pagar $200.000,00 2 meses após a compra e $280.000,00 3 meses mais tarde, que pagamento teria que efetuar no fim de 9 meses contados da data da compra?

∑

Fluxos (+) =

∑

Fluxos (- )

( 600.000 − 120.000) =

200.000

(1, 03)

+

2

280.000 5

(1, 03)

+

X 9

(1, 03)

⇒ X = $65.173,89

34) Uma pessoa deve a outra a importância de $15.400,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos: $4.000,00 ao final de 2 meses; $2.500,00 ao final de 5 meses; $3.200,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 2,5% ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.

∑

Fluxos (+) =

∑

4.000

+

15.400 =

(1, 025)

2

Fluxos (- )

2.500 5

(1, 025)

+

3.200

(1, 025)

7

+

X 12

(1, 025)

⇒ X = $8.998, 73

35) Um débito de $350.000,00 contraído há 60 dias está sendo amortizado com um pagamento de $45.000,00 hoje, $130.000,00 de hoje a 3 meses e $85.000,00 de hoje a 8 meses. Que pagamento no fim de 5 meses, contados de hoje, ainda é necessário ser feito para uma taxa de juros composta de 2% a.m.?


18

∑

Fluxos (+) =

∑

2

Fluxos (- )

350.000 × (1, 02) = 45.000 +

130.000 3

(1, 02 )

+

85.000 8

(1, 02)

+

X 5

(1, 02)

⇒ X = $137.006, 95

36) Uma loja oferece duas opções para o pagamento de uma determinada mercadoria que possui preço de $2.000,00: a) desconto de 5% para pagamento à vista ou; b) pagamento sem desconto após 30 dias. Qual a taxa efetiva correspondente do pagamento a prazo? n

n

1

1

= C0 × (1 + i ) ⇒ M 1 = C0 × (1 + i ) ⇒ 2.000 = 1.900× (1+ i )

⇒ (1 + i ) =

 2.000  ⇒i=  − 1 × 100% ⇒ i = 5, 26% a .m. 1.900  1.900  2.000

Resolvendo com auxílio das teclas financeiras da HP-12C: Valor com desconto = 0,95×2.000 = $1.900,00 f FIN

1.900 CHS PV 2.000 FV 1 n i → 5, 26 % a.m.


19

37) Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: a) $ 20.000,00 vencíveis em 35 dias; b) $ 45.000,00 vencíveis em 65 dias; c) $ 70.000,00 vencíveis em 90 dias; Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: a) $ 30.000,00 em 55 dias; b) $ 50.000,00 em 80 dias; c) e o restante em 160 dias. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros composta adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento desconhecido.

Em regime de juros compostos, ambas as propostas de pagamento deverão gerar o mesmo montante em qualquer data. Sendo assim, em t = 0:

∑ ( Fluxos1ª 20.000 35

(1, 025 )

+ 30

proposta em t= 0 ) =

45.000 65

(1, 025)

+ 30

∑ ( Fluxos2ª

70.000

(1, 025)

90

= 30

proposta em t= 0 )

30.000

( 1, 025)

55

+

30

50.000

( 1, 025)

80

30

+

X 160

( 1, 025)

30

⇒ X = $58.867,58

38) Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de desembolso de um financiamento de $75.000,00: VALOR A PAGAR $10.700,00 $17.200,00 $14.500,00 X $9.800,00 $13.300,00 MAtemática Financeira - Exercícios

MOMENTO DO PAGAMENTO 22 dias 47 dias 66 dias 83 dias 102 dias 137 dias 20

Para uma taxa de juros efetiva de 30% a.a., determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 83 dias, considerando o ano comercial.

75.000 =

10.700

(1, 30 )

22 360

+

17.200

(1,30)

47 360

14.500

+

(1,30)

66 360

+

X

(1,30)

83 360

9.800

+

(1, 30)

102 360

+

13.300

(1,30)

137 360

⇒ X = $13.700,34

39) Uma empresa contrata um empréstimo de $48.000,00 e prazo de vencimento de 30 meses. Sendo a taxa de juro anual de 22,50% pede-se calcular o montante a pagar utilizando as convenções linear e exponencial.

M n = C0 × (1 + i ) 

Pela convenção exponencial



n+

m k

M n = 48.000 × (1 + 0, 2250)

2+

6 12

M n = $79.722,60 n

 

M n = C 0 × (1 + i ) ×  1 + i × 

Pela convenção linear



m 



k  2

 

M n = 48.000 × (1 + 0,2250) ×  1 + 0, 2250 ×

6   12 

M n = $80.133, 38 MAtemática Financeira - Exercícios

21

Utilizando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN

f FIN

STO EEX (indicador "C" some do visor)

48.000 CHS PV

48.000 CHS PV

22,50 i

22,50 i

30 ENTER

30 ENTER

12 /

12 /

n

n

FV → $79.722, 60

FV → $80.133,38

(convenção exponencial)

(convenção linear)

40) Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $260.000,00 pelo prazo de 190 dias, e uma taxa composta de 5,5% a.m., pelas convenções linear e exponencial.

Pela convenção exponencial: M n = C0 × (1 + i )

n+

m k

M n = 260.000 × (1 + 0,055)

6+

10 30

M n = $364.954,67

Pela convenção linear: n

 

M n = C0 × (1 + i ) ×  1 + i ×

m



k  6

 

M n = 260.000 × (1 + 0, 055) ×  1+ 0, 055×

10   30 

M n = $365.071,61


22


f FIN


260.000 CHS PV

260.000 CHS PV

5,5 i

5,50 i

190 ENTER

190 ENTER

30 /

30 /

n

n

FV ← 364.954,67

FV ← 365.071,61

(convenção exp onencial )

(convenção linear )

41) Determinar o valor da aplicação de uma operação cujo resgate é de $300.000,00, sabendo-se que o prazo é de 200 dias e a taxa composta é de 6% a.m., pelas convenções linear e exponencial.

M n = C0 × (1 + i ) 

Pela convenção exponencial



n+

300.000 = C 0 × (1, 06) C0 =

300.000

(1,06) n

6+

20 30

Pela convenção linear



20 30

 

6

m



k 

 

300.000 = C 0 × (1 + 0, 06) ×  1+ 0, 06 × C0 =


6+

⇒ C 0 = $203.430,23

M n = C0 × (1 + i ) ×  1 + i × 

m k

300.000 20   (1 + 0, 06) ×  1 + 0, 06 ×  30   6

20 



30 

⇒ C 0 = $203.354,00

23


f FIN

300.000 CHS FV


6 i

300.000 CHS FV

200 ENTER 30 /

6 i

n

200 ENTER 30 / n

PV ← 203.430,23

PV ← 203.354,00

(convenção exp onencial )

(convenção linear )

FLUXOS DE CAIXA: VALOR PRESENTE, VALOR FUTURO E ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 42) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 3,5% ao mês. a) 40 prestações mensais, iguais e sucessivas de $1.850,00 cada.  (1 + i )n − 1 PV= PMT ×  n i i 1 + ×  ( )   (1 + 0, 035)40 − 1  PV = 1.850 ×   40  (1 + 0,035) × 0,035  P V = $39.506,88 f F IN

1.850 CHS PMT 3,5 i 40 n PV → $39.506,88

b) 36 prestações mensais, iguais e sucessivas de $900,00 cada, vencendo a primeira ao final do 3° mês.


24

 (1 + i )n − 1 PV 2 = PMT ×   n  (1 + i ) × i   (1, 035)36 − 1  PV 2 = 900 ×   36  (1,035) × 0,035  P V 2 = $18.261,44 P V =

PV 2

(1, 035)

=

2

18.261,44

(1, 035)

2

f FIN

f FIN

900 CH S PMT

CHS FV

3, 5 i

3,5 i

36 n

2 n

PV → $18.261, 44

PV → $17.047,25

P V = $17.047,25

43) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 2,0% ao mês. a) 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $4.200,00; $5.300,00; $7.700,00; $8.400,00 e $10.000, 00.

f REG P V =

4.200 1

(1, 02) +

+

8.400

(1, 02 )

4

5.300

(1, 02) +

2

+

7.700

(1, 02)

3

+

10.000

(1, 02)

5

4.200 g CF J 5.300 g CF J 7.700 g CF J 8.400 g CF J 10.000 g CF J

PV = $33.285,33

2 i f NPV → $33.285, 33

b) 4 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $3.760,00; $5.230,00; $6.740,00 e $8.650,00, vencendo a primeira no final do 5º mês.


25

PV =

3.760

(1, 02 )

5

+

5.230 6

(1, 02)

+

6.740 7

(1, 02)

+

f REG

8.650

0 g CF J 4 g NJ

8

(1, 02)

3.760 g CF J 5.230 g CF J

PV = $21.299,91

6.740 g CF J 8.650 g CF J 2 i f NPV → $21.299,91

44) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 2,5% ao mês. a) 4 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $2.960,00; $4.510,00; $6.450,00 e $10.705,00, com carência de 6 meses.

f REG

0 g CF J 6 g NJ PV =

2.960

(1, 025)

7

+

4.510 8

(1, 025)

+

6.450 9

(1, 025)

+

10.705 10

(1,025)

2.960 g CF J 4.510 g CF J 6.450 g CF J

PV = $19.719,1 4

10.705 g CF J 2, 5 i f NPV → $19.719,14

b) 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $1.450,00; $3.920,00; $4.750,00; $7.860,00 e $9.340,00 a partir de hoje.


26

PV = 1.450 +

+

3.920 1

(1, 025)

7.860 3

(1,025)

+

+

f RE G

4.750

(1, 025)

9.340

(1,025)

2

+

1.450 g CF 0 3.920 g CF J 4.750 g CF J

4

7.860 g CF J 9.340 g CF J

PV = $25.555,88

2,5 i f NP V → $25.555,88

45) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 3,2% ao mês. a) prestações mensais e perpétuas de $1.500,00 cada. PV =

PMT i

⇒ PV =

1.500 0,032

= $46.875,00

b) prestações mensais e perpétuas de $2.000,00 cada, vencendo a primeira no final do 4º mês. PV 3 =

PMT i

=

2.000 0,032

 2.000   0,032  PV 3  PV = =  3 3 (1 + i ) (1, 032 ) PV = $56.864,46

c) prestações mensais e perpétuas de $1.700,00 cada, com carência de 3 meses. PV 3 =

PMT i

=

1.700 0,032

 1.700   0,032  PV 3  PV = =  3 3 (1 + i ) (1, 032 ) PV = $48.334,79 MAtemática Financeira - Exercícios

27

46) Uma TV a cores é vendida nas seguintes condições: preço à vista $800,00. À prazo, 30% de entrada e $580,00 em 30 dias. Determine a taxa efetiva de juros compostos cobrada na venda a prazo. FV=

n

PV × (1 + )i ⇒

⇒ (1 + i ) =

1

FV=

1

PV × (1 + )i ⇒ 580 = 0, 7 × 800× (1+ )i

 580  ⇒i =  − 1 × 100% ⇒ i = 3,57% a .m . 560 560   580

Resolvendo com auxílio das teclas financeiras da HP-12C: Valor financiado = 0,7×800 = $560,00 f FIN

560 CHS PV 580 FV 1 n i → 3,57 % a.m.

47) Um financiamento de $50.000,00 está sendo negociado à taxa de 1,5% a.m. Determine o valor de cada prestação admitindo os seguintes planos de pagamento: a) 6 prestações mensais com três meses de carência; 3

3

PV 3 = PV× (1 + )i = 50.000 × ( 1+ 0, 015) PV 3 =

 (1 + i )n − 1  PMT × ⇒ n i i + × 1  ( ) 

 (1 + i )n × i  PV  3 ×  n i + − 1 1  ( ) 

PMT = 6

(1,015) × 0,015 PMT = 50.000 × (1 + 0, 015) × = $9.177,15 6 (1, 015) − 1 3


28

Resolvendo com auxílio da HP-12C: P-12C: f FIN

f FIN

50000 CHS PV

CHS PV

3n

6 n

1,5 i

1,5 i

FV → PV 3 = $52.283,92

PMT → $9.177,15

b) prestações iguais, vencíveis no final do 3º, 5º e 10º meses.

PV =

PMT 3

(1 + i )

+

PMT 5

(1 + i ) 

50.000 = PMT × 

+

PMT 10

(1 + i )

1 3

 (1, 015)

=

+

1 5

(1, 015)

50.000 PMT 1

+

  10 (1, 015) 

 1  1 + +   3 5 10  (1, 015) (1, 015) (1, 015) 


1

⇒

PMT = $18.206,68

29

48) Uma pessoa deseja comprar um apartamento que custa $300.000,00 à vista. Existem duas opções de pagamento a prazo. Qual é a melhor opção para o comprador? a) $50.000,00 de entrada e 100 prestações mensais, iguais e sucessivas de $5.000,00 cada. Nota-se que esta opção significa financiar $250.000,00 em 100 meses. Restanos calcular qual a taxa de juros mensal aplicada ao financiamento.

=

 (1 + i )n − 1  (1 + i )100 × i  PV×  PMT n  ⇒ 250.000 = 5.000×   ⇒ = ??? 100  (1 + i ) × i   (1 + i ) − 1 

i

A solução analítica deste problema implica em calcular o valor de “i” na expressão acima. Isso é inviável, o que nos obriga a resolver com a HP-12C: f REG

250.000 CHS PV 5.000 PMT

i = 1,58% a.m.

100 n i → 1,58

b) $30.000,00 de entrada e 110 prestações mensais, iguais e sucessivas de $5.500,00 cada.


30

Esta opção é similar à anterior e significa financiar $270.000,00 em 110 meses. Resta-nos calcular qual a taxa de juros mensal aplicada ao financiamento. f FIN

270.000 CHS PV i = 1,73% a.m.

5.500 PMT 110 n i → 1,73

A melhor opção é a “A”, pois oferece a menor taxa de juros. 49) Uma televisão está sendo negociada em termos de uma entrada mais 5 pagamentos mensais de $60,00 cada. Qual deve ser a entrada para que o finananciamento seja equivalente a um preço à vista de $350,00? Considere que a taxa de juros mensal é de 2,5% a.m.

O valor presente das 5 prestações de $60,00 é igual a: PV =

 (1 + i )n − 1 ×  PMT n  ⇒  (1 + i ) × i 

 (1, 025)5 − 1  = 60PV × ⇒ 5  (1, 025) × 0, 025 

PV 75 = $278,

Como o valor total à vista da televisão é igual a $350,00, o valor da entrada é igual a: 00 − $278, 75 ⇒ Entrada = $350,

25 Entrada = $71,

Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN

60 CHS PMT 5 n 2,5 i PV → 278,75 CHS

350 + → $71, 25


31

50) Uma pessoa deseja acumular $15.000,00 ao final de um semestre. Para tanto, deposita mensalmente num fundo a importância de $1.500,00, sendo corrigida à taxa de 3% a.m. Qual deve ser o valor do depósito inicial de forma que se possa obter o montante desejado ao final do período?

 (1 + i )n − 1  FV= Di× (1 + )i + PMT×   i    (1, 03)6 − 1 6 15000 = Di × (1, 03) + 1500 ×   0,03    (1, 03)6 − 1 15000 − 1500×    0,03  Di = n

(1,03)

6

Di = $4.436,48


15.000 CH S FV 1.500 PMT 6 n 5 i PV → $4.436,48

51) São efetuados, a partir do final do 1º mês, 15 depósitos mensais de $5.000,00 num fundo de investimentos que rende juros à taxa de 1,25% a.m. Calcular o montante acumulado ao final de 2 anos.


32

1

 (1 + i )n − 1  PMT × ⇒ i  

FV =

FV 2 =

9

1

1, 0125) ⇒ × (FV

 (1, 0125)15 − 1  × = 5.000  ⇒ FV 1 = $81.931,67 1 FV 0,0125   9

2

671 × ( 1, 0125) ⇒ FV 2 = $91.623,55 81.931, =FV

Com auxílio da HP-12C: f FIN

5000 CHS PMT 1,25 i 15 n FV → FV 1 = $81.931, 67 f FIN CHS P V

1, 25 i 9 n FV → FV 2 = $91.623,55

52) Um veículo é vendido à vista por $30.000,00, ou a prazo com $5.000,00 de entrada e 6 prestações mensais de $4.772,15 cada. Determinar a taxa interna de retorno mensal.


33

A determinação da taxa interna de retorno mensal significa, na verdade, calcular a que taxa foram financiados os $25.000,00 restantes, após o pagamento da entrada de $5.000,00.

( 30.000 − 5.000) =

4.772,15 1

(1 + i )

+

4.772,15

(1 + i )

2

+

4.772,15 3

(1 + i )

+

4.772,15

(1 + i )

4

4.772,15

+

5

(1+ i )

i = ???

A solução analítica deste problema implica em calcular o valor de “i” na expressão acima. Isso é inviável, o que nos obriga a resolver o problema com auxílio da HP-12C: f FIN

25.000 PV 4.772,15 CHS PMT 6 n i → 4,02% a.m.

53) Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $ 126.900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e sucessivos de $ 25.000,00, $ 38.000,00, $45.000,00 e $ 27.000,00.

4

25.000

∑ FC = −126.900 + (1 + j

j = 0

1

+

38.000

IRR ) (1 +

2

+

IRR )

45.000

(1 +

3

+

27.000

IRR ) (1 +

4

=0

IRR )

IRR = ??? f REG

126.900 CHS g CF 0 25.000 g CF J 38.000 g CF J

i = IRR = 2, 47% a.m.

45.000 g CF J 27.000 g CF J f IRR ← 2,47 MAtemática Financeira - Exercícios

34

54)

Determinar a taxa efetiva de juros composta nas seguintes ofertas:

a) Máquina de lavar com preço de $800,00 parcelado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de $141,87 cada, sendo a primeira paga no ato da compra. f FIN

800 CHS PV 141,87 PMT 6 n i → 1,80% a.m.

b) Geladeira com preço de $1.100,00 parcelado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas de $126,01 cada, sem entrada. f FIN

1100 CHS PV 126,01 PMT 10 n i → 2,55% a.m.

55)

Determinar a taxa efetiva de juros mensal das seguintes ofertas:

a) Televisão de $850,00 em 7 x $127,33 sem entrada. f FIN

850 CHS PV 127,33 PMT 7 n i → 1,20% a.m.

b) Geladeira de $1.350,00 em 10 x $147,97, a primeira paga no ato da compra. f FIN

10 n

1.350 CHS PV

g B E G

147,97 PMT

i → 2,10% a.m.


35

56)

Com base no investimento abaixo, pede-se determinar:

a) a taxa interna de retorno; b) o valor presente líquido; A taxa mínima de atratividade do investimento é de 15% a.a.

Invest.

Ano 1

Ano 2

Ano 3

Ano 4

Ano 5

- $12.000

$2.000

$4.000

$4.000

$6.000

$6.000

f REG

12.000 CHS g CF 0 2.000 g CF J 4.000 g CF J 2 g N J 6.000 g CF J 2 g N J f IRR ← 20,20

15 i f NPV ← 1.807,35

Resposta: a) TIR=20,20% a.a.; b) NPV=$1.807,35 57) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar: a) a taxa interna de retorno; b) o valor presente líquido;

Investimento - $ 50.000

Mês 3

Mês 6

Mês 7

Mês 11

Mês 12

$ 7.000

$ 12.000

$ 12.000

$ 17.000

$17.000

A taxa mínima de atratividade do investimento é de 2% a.m.


36

12.000 g CF J 2 g NJ

f REG

50.000 CHS g CF 0 0 g CF J 2 g NJ 7.000 g CF J 0 g CF J 2 g NJ

0 g CF J 3 g NJ 17.000 g CF J 2 g NJ f IRR→ 3,10% a.m.

2 i f NPV → $4.775, 49

Resposta: a) TIR=3,10% a.m.; b) NPV=$4.775,49 58) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar o valor presente líquido. Sua taxa mínima de atratividade é de 2,6% a.m.

Investimento

4º ao 8º meses

12º ao 15º meses

-$40.000,00

$5.250,00

$8.350,00

f FIN

40.000 CHS g CF 0 F J 3 g N J 0 g C

5.250 g CF J 5 g N J 0 g CF J 3 N J 8.350 g CF J 4 g N J 2,6 i f NPV ← 6.146,56

59) Você tem a chance de investir suas economias num projeto que lhe pagará $1.500,00 em cada um dos próximos 6 meses. A taxa mínima de atratividade deste projeto é de 2,5% a.m. O custo para investir (comprar) este projeto é de $10.000,00 à vista. Qual o VPL deste projeto? Você faria o investimento? MAtemática Financeira - Exercícios

37

f REG

10.000 CHS g CF 0 1.500 g CF J 6 g NJ 2,5 i f NPV → −$1.737,81

Como o VPL é negativo, você não deveria fazer o investimento. 60) Uma empresa tem atualmente as seguintes dívidas junto a um banco: $15.000,00, $20.000,00, $23.000,00, $32.000,00 e $40.000,00 vencíveis sucessivamente ao final dos próximos 5 meses. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juros de 5% a.m. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas. O banco está exigindo uma taxa de juros de 8% a.m. para aceitar o negócio. Determine o valor de cada pagamento do refinanciamento.

Dívida original

PV 1 =

15.000 1

(1, 05) +

+

32.000

(1, 05)

4

20.000

(1, 05) +

2

+

Refinanciamento

f REG

23.000

15.000 g CF J

3

(1, 05)

20.000 g CF J

40.000

23.000 g CF J

5

(1, 05)

32.000 g CF J

PV 1 = $109.962,09

 (1 + i )n − 1 PV 2 = PV PMT × =  ⇒ PMT 1 = n  (1 + i ) × i   (1, 08)10 × 0, 08  09 ×  PMT = 109.962, ⇒ 10  (1, 08) − 1 

40.000 g CF J 5 i

 (1 + i )n × i  PV  1 ×  n  (1 + i ) − 1

f NPV → $109.962,09 f FIN CHS PV

59 PMT = $16.387,

10 n 8 i PMT → $16.387,59


38

61) Uma empresa captou um financiamento de $100.000,00 para ser liquidado em 30 prestações mensais, iguais e sucessivas. Após o pagamento da 16ª prestação, passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco que refinanciasse o seu saldo devedor para 20 prestações mensais, iguais e sucessivas. O empréstimo foi levantado com juros de 3% a.m. e o refinanciamento foi processado cobrando juros de 4,5% a.m. Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento. Originalmente a dívida pode ser representada pelo seguinte fluxo de caixa da figura (a). No entanto, após o pagamento da 16ª prestação ocorre um pedido de refinanciamento. O valor presente do saldo devedor após o pa gamento da 16ª prestação pode ser calculado por meio do fluxo de caixa da figura (b):

Da figura (a): PV =

⇒ P M T 1 =

 (1 + i )n − 1  PMT  ⇒ 100.000 = 1× n  (1 + i ) × i  100.000

 (1, 03)30 − 1    30 × 1, 03 0, 03  (  )

 (1, 03)30 − 1  PMT  1× 30  (1, 03) × 0,03 

⇒ PM T 1 = $5.101,93

Da figura (b): PV =

SD

 (1 + i )n − 1  PMT ⇒ 1× n  (1 + i ) × i 

 (1, 03)14 − 1  PV = 5.101,93 ×  SD 14  (1, 03) × 0, 03 

⇒ PV SD = $57.631,77

O refinanciamento do saldo devedor (PV SD) em 20 prestações mensais à taxa de 4,5% a.m. pode ser visualizado pelo fluxo de caixa da figura (c), a seguir:


39

SD

 (1 + i )n − 1  PMT   ⇒ 57.631,77 = 2× n  (1 + i ) × i 

=PV

⇒ PMT 2 =

57.631, 77

 (1, 045)20 − 1    20  (1, 045) × 0, 045 

 (1, 045)20 − 1  PMT 20   2×  (1, 045) × 0, 045 

⇒ PMT 2 = $4.430, 51


100.000 CHS PV 30 n

f FIN

100.000 CHS PV

3 i PMT → PMT 1 = $5.101,93 f FIN

30 n 3 i PMT ← 5.101,93

CHS PMT

16 f AMORT

14 n

RCL PV ← −57.631,65 (

3 i PV → P V SD = 57.631,73 f FIN

) saldo devedor

f FIN PV

20 n

CHS PV

4,5 i

14 n

PMT ← 4.430,50

4,5 i PM T → PMT 2 = $4.430,51 Método 1

Método 2

62) Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $126.900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e sucessiv os de $25.000,00, $38.000,00, $45.000,00 e $ 27.000,00. MAtemática Financeira - Exercícios

40

f REG

126.900 CHS g CF 0 25.000 g CF J IRR= 2, 47%

38.000 g CF J

.a m .

45.000 g CF J 27.000 g CF J f IRR→ 2,47% a. m.

63) Uma pessoa deve a um determinado banco 24 prestações mensais de $1.350,00. Até o final do 7º mês, não havia efetuado nenhum pagamento. Nesta data, o devedor procura o credor para liquidar toda sua dívida, vencida e vincenda. Para uma taxa de juros de 3% a.m., determinar quanto foi pago.  (1 + i ) N − 1 PMT × + i   1

=X

7

X = 1.350 ×

(1, 03) − 1 0,03

 (1 + i ) N − 1 PMT ×  N   (1 + i ) × i  2

2

17

(1, 03) − 1 + 1.350 × = $28.118,58 17 × 1, 03 0, 03 ( )


f FIN

1.350 CHS PMT 7 n

1.350 CHS PMT 17 n 3 i

3 i FV → $10.344,32

PV ← $17.744,26

+ ← 28.118,58

64) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar o valor presente líquido para o investimento. A taxa mínima de atratividade é de 2,15% a.m.

Investimento

4º ao 10º meses

15º ao 24º meses

-$40.000,00

$4.500,00

$6.200,00


41

f REG

40.000 CHS g CF 0 0 g CF J 3 g NJ 4.500 g CF j 7 g Nj 0 g CF J 4 g NJ 6.200 g CF J 10 g NJ 2,15 i f NPV → $28.192,07

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: 65) Seja um financiamento de $1.000.000 a ser pago em 40 prestações mensais pela Tabela Price. Considerando a taxa de juros de 3% a.m., calcule (alguns resultados numéricos não batem pelas fórmulas e HP-12C): a) o valor de cada prestação; b) a amortização da 1a prestação; c) a amortização da 7a prestação; d) os juros da 15ª prestação; e) o somatório de Amort 17 + ... + Amort 20 f) o somatório de J 25 + ... + J 30 g) o saldo devedor após o pagamento da 33a prestação. Vamos inicialmente resolver o problema por meio das fórmulas. Em seguida faremos uso da HP-12C para checar os resultados obtidos. O sistema de amortização da Tabela Price é idêntico ao SAF. Como neste caso o prazo da taxa de juros coincide com o período de cada prestação (ambos em base mensal), tanto a Tabela Price quanto o SAF produzem os mesm os resultados. Sendo assim:


42

a)

 (1 + i )n × i  =PMT×  PV n  ⇒  (1 + i ) − 1

 (1 + 0, 03)40 × 0, 03  1.000.000 ×  =PMT ⇒ 40  (1 + 0, 03) − 1 

$43.262, 38 =PMT

O fluxo de caixa representativo da operação é o seguinte:

b) Em t = 1: PMT 1 = $43.262,38 J = ×i SD 0 ⇒ 1J = 0,03 × 1.000.000 ⇒ 1J = $30.000,00

1

Amort 1 = PMT $13.262,38 1 − 1J ⇒ Amort 1 = S D 1 = PV− Amort 1 ⇒ SD 1 = $986.737,62

c) Em t = 7: t −1

Amo rt t = Amort 1 × (1 + )i

t −1

= [ PMT− ×i PV] × (1 + )i

Amort 7 = Amort 1 × (1 + 0, 03)

7 −1

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03)

6

Amort 7 = $15.835,98

d) Em t = 15: t −1

Amort t =

Amort 1 × (1 +

)i = [

Amort 15 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)

t −1

PMT − i × PV ] × (1 + i )

15−1

14

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03)

Amort 15 = $20.060,54 J15 = P MT15 − Amort15 ⇒ J 15 = $23.201,84

e) somatório

Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 t −1

Amort Amort t = 1 × (1 + )i Amort 17 =

t −1

= [ PMT− ×i PV] × (1 + )i 17 −1

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $21.282, 23

18 −1

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $21.920, 69

19 −1

= [ 43.262,38 − 0,03× 1.000.000] × ( 1+ 0,03) = $22.578,31

Amort 1 × (1 + 0, 03)

Amort 18 = Amort 1 × (1 + 0, 03) Amort 19 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)


16

17

18

43

Amort 20 =

20−1

Amort 1 × (1 + 0, 03)

19

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $23.255, 66

20

∑ Amort = $89.036,89 i

i =17

Alternativamente pode-se resolver esta questão tendo em mente que no SAF as amortizações formam uma PG de razão (1 + i ) . Logo: a1 × (1 - q n )

Sn =

1− q

(soma de n termos de uma PG)

Neste caso, a1 = Amort17, q = (1 + i ) =1,03 e n = 4. Sendo assim: Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 =

Amort 17 × (1 − 1,034 )

1 − 1,03

=

( Amort ×1, 03 ) × (1 − 1, 03 ) = ( 13.262, 38× 1, 03 ) × ( 1− 1, 03 ) = $89.036,90 = 16

4

16

4

1

1 − 1, 03

f) somatório

1 − 1, 03

J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30

Amort Amort t = 1 × (1 + i )

t −1

t −1

= [ PMT − i × PV ] × (1 + i )

Jt = PMTt − Amo rtt Amort 25 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)

25−1

24

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $26.959, 69

J = PMT 25 − Amort 25 = 43.262,38 − 26.959,69 = $16.302, 69

25

Amort 26 =

26 −1

Amort 1 × (1 + 0, 03)

25

= [ 43.262,38 − 0,03 × 1.000.000] × ( 1+ 0,03) = $27.768,48

J = PMT 26 − Amort 26 = 43.262,38 − 27.768,48 = $15.493,90

26

Amort 27 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)

27 −1

26

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $28.601, 53

J = PMT Amort 27 − 27 = 43.262,38 − 28.601,53 = $14.660,85

27

Amort 28 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)

28−1

Amort 29 =

Amort 1 × (1 + 0, 03)

29−1

27

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $29.459, 58 J 28 = PMT Amort 28 − 28 = 43.262,38 − 29.459,58 = $13.802,80 28

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $30.343, 37

J = PMT 29 − Amort 29 = 43.262,38 − 30.343, 37 = $12.919, 01

29

Amort 30 =

30−1

Amort 1 × (1 + 0, 03)

29

= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $31.253, 67

J = PMT 30 − Amort 30 = 43.262,38 − 31.253, 67 = $12.008, 71

30 30

∑ J = $85.187,96 i

i = 25


44

Alternativamente esta questão pode ser resolvida tendo-se em mente que: PMT 25 + PMT 26 + PMT 27 + PMT 28 + PMT 29 + PMT 30 = 6 × PMT J25 + Amort 25 + J 26 + Amort 26 + J 27 + Amort 27 + J 28 + Amort 28 J + Amort PMT + 29J + Amort 29 + 30 30 = 6 × J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 × PMT−

30

∑

Amort i

i = 25

J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 ×

Amort 25 × (1 − 1, 036 ) PMT− 1 − 1,03 Amort × 1, 03 ) × (1 − 1, 03 ) ( PMT− 24

J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 ×

6

1

1 − 1,03

(13.262,38× 1,03 ) × ( 1− 1,03 ) = 6 × 43.262, 38 − 24

J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30

6

1 − 1,03

J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = $85.187,97

g) Em t = 33:  (1 + i )n −t − 1  SDt = PMT ×   n −t  (1 + i ) × i   (1 + 0, 03)40−33 − 1  SD33 = 43.262, 38 ×   ⇒ SD33 = $269.536,86 40−33 × 0, 03   (1 + 0, 03)


1.000.000 CHS PV 40 n 3 i PMT → $43.262,38 (valor da prestaçã o do SAF )

1 f AMORT → $30.000, 00 ( J 1 ) X ⇔ Y → $13.262,38 ( AMORT 1 )


45

5 f AMORT → $143.787, 77 (J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 ) 1 f AMORT → $27.426, 40 ( J 7 ) X ⇔ Y → $15.835,98 ( AMORT 7 )

7 f AMORT → $177.853,82 ( J8 + J9 + J10 + J11 + J12 + J13 + J14 ) 1 f AMORT → $23.201,84 ( J 15 ) 1 f AMORT → $22.600,02 ( J 16 ) 4 f AMORT → $84.012,63 ( J17 + J18 + J19 + J 20 ) X ⇔ Y → $89.036,89 ( Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 )

4 f AMORT → $84.012, 63 ( J21 + J22 + J23 + J24 ) 6 f AMORT → $85.187, 96 ( J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 ) 3 f AMORT → $30.287,11 ( J31 + J32 + J33 ) RCL PV → −$269.536,73 (SD33 )

66) Seja um financiamento de $1.000.000 a ser pago em 50 prestações mensais pelo SAC. Considerando a taxa de juros de 5% a.m., calcule: a) o valor de cada amortização. AMORT =

PV n

=

1.000.000 50

= $20.000,00

b) os juros da 32ª prestação. JT =

PV n

× ( n− t+ 1) × i⇒ J32 =

1.000.000 50

× (50 − 32 + 1)× 0, 05 ⇒ J32 = $19.000, 00

c) o saldo devedor após o pagamento da 20ª prestação. SDT =

PV n

× (n − t ) =

1.000.000 × (50 − 20) ⇒ SD20 = $600.000,00 50

d) a 45ª prestação.

45

PV

× 1 + ( n − t + 1) × i  n  1.000.000 PMT = × 1 + ( 50 − 45 + 1) × 0, 05 ⇒ 50

PMT t =

45

00 = $26.000,PMT

67) Seja um financiamento de $2.000.000 a ser pago em 100 prestações mensais pela Tabela Price. Considerando a taxa de juros de 3,4% a.m., calcule:


46

a) o valor de cada prestação; b) a amortização da 15a prestação; c) os juros da 32ª prestação; d) o somatório de Amort 60 + ... + Amort 75 e) o somatório de J 80 + ... + J 87 f) o saldo devedor após o pagamento da 95a prestação. f FIN

2.000.000 CHS PV 100 n 3,4 i PMT → $70.489,25 (valor de cada prestação) 14

∑ J = $943.145,88

14 f AMORT →

i

i =1

1 f AMORT → $ 66.514,08 ( J 15 ) X ⇔ Y → $3.975,17 ( Amort 15 ) 31

∑ J = $1.042.312,16

16 f AMORT →

i

i =16

1 f AMORT → $63.471,38 ( J 32 ) 27 f AMORT →

59

∑ J = $1.590.253,17 i

i =33

16 f AMORT →

75

∑ J = $755.478,94 i

i = 60

X ⇔ Y →

75

∑ Amort = $372.349,06 i

i =60

4 f AMORT →

79

∑ J = $153.353,43 i

i = 76

8 f AMORT →

87

∑ J = 248.866,16 i

i =80

8 f AMORT →

95

∑ J = 152.252,00 i

i =88

RCL PV → −$319.168,45 (SD95 )

68) Seja um financiamento de $500.000,00 a ser pago em 50 prestações mensais pelo SAC. Considerando a taxa de juros de 4,5% a.m., calcule: a) o valor de cada amortização. AMORT =

PV n

=

500.000 50

= $10.000,00


47

b) os juros da 20ª prestação. Jt =

PV n

×(

n− t+ 1) × i⇒ J 20 =

500.000 50

× (50 − 20 + 1) × 0, 045 ⇒ J 20 = $13.950, 00

c) o saldo devedor após o pagamento da 35ª prestação. SDt =

PV n

× (n

− t ) ⇒ SD35 =

500.000 50

× (50 − 35) ⇒ SD35 = $150.000, 00

d) a 43ª prestação.

43

PV

× 1 + ( n − t + 1) × i  n  500.000 × 1 + ( 50 − 43 + 1) × 0, 045 ⇒ = PMT   50

PMT t =

43

= $13.600,PMT 00

DESCONTOS: 69) Calcular o valor atual no desconto racional simples nas seguintes condições: a) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto:

$20.000,00 4 meses 40% a.a.

b) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto:

$48.000,00 5 meses 72% a.a.

c) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: 70)

$35.000,00 3 meses 36% a.a.

A =

A =

A =

N

1+ d × n

N

1+ d × n

N

1+ d × n

=

=

=

20.000 4 1 + 0, 40 × 12 48.000 5 1 + 0, 72 × 12

35.000 3 1 + 0,36 × 12

= $17.647,06

= $36.923,08

= $32.110,09

Calcular o desconto comercial simples nas seguintes condições:

a) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 64.000 × 0, 327 ×

$64.000,00 140 dias 32,7% a.a. 140


360

= $8.138, 67 48

b) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 85.000 × 0, 35 ×

$85.000,00 20 dias 35% a.a. 20 = $1.652, 78 360

c) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 120.000 × 0, 45×

$120.000,00 80 dias 45% a.a. 80 360

= $12.000, 00

71) Um título de valor nominal de $37.000,00 é descontado comercialmente 5 meses antes de ser pago. A taxa de desconto é de 3,5 % a.m. Calcular o valor liberado, o valor do desconto e a taxa efetiva de juros mensal da operação. A = N × (1 − d × n) = 37.000 × (1− 0, 035× 5) = $30.525, 00 D= N− A⇒ D= 37.000 − 30.525 ⇒ D= $6.475,00 f FIN

30.525 CHS PV 37.000 FV 5 n i → 3,92% a.m. 1   5  1 1 1 n 5  ⇒ (1 + i ) = ⇒ i =  (1 + i ) =  − 1 × 100% ⇒ i = 3,92% a.m. 1 0,035 − × 5)  (1 − d × n ) (1 − 0, 035 × 5) (      

72) Sendo de 5% a.m. a taxa de desconto comercial simples, pede-se calcular a taxa efetiva de juros mensal da operação para os seguintes prazos de desconto (utilize a figura a seguir como auxílio para visualização da operação):


49

a) 1 mês. A = N× (1 − d× n) = 100 × (1 − 0, 05 × 1) = $95, 00 f F IN

95 CHS PV 100 FV 1 n i → 5,26% a.m. i=

d

1 − d

⇒i=

0,05 ⇒ i = 0, 0526 ou 5, 26% a.m. 1 − 0, 05

b) 2 meses. A = N × (1 − d × n) = 100 × (1 − 0, 02 × 5) = $90, 00 f FIN

75 CHS PV 100 FV 5 n i → 5,41% a.m. 1   2  1 1 1 n 2  ⇒ (1 + i ) = ⇒ i =  (1 + i ) =  − 1 × 100% ⇒ i = 5,41% a.m. 1 − 0, 05 × 2)  (1 − d × n ) (1 − 0, 05 × 2 ) (      

c) 3 meses. A = N × (1 − d × n) = 100 × (1 − 0, 05× 3) = $85, 00 f F IN

85 CHS PV 100 FV 3 n i → 5,57% a.m.


50

1   3  1 1 1 n 3  ⇒ (1 + i ) = ⇒ i =  (1 + i ) =  − 1 × 100% ⇒ i = 5,57% a.m. 1 − 0, 05 3 × (1 − d × n ) (1 − 0, 05 × 3) ( )      

73) Um banco concede empréstimos de acordo com o conceito de desconto bancário. São propostas duas alternativas a um cliente, em termos de taxa de desconto e prazo. Determine a taxa implícita mensal de cada proposta de empréstimo. Obs: Note que, diferentemente do que fizemos na questão anterior, não é necessário assumir nenhum fluxo de caixa auxiliar para a resolução deste tipo de questão. a) d = 25,2% ao ano e prazo de 15 meses. n

(1 + i ) =

15 1 1 ⇒ (1 + i )12 = (1 − d × n ) 1 − 0,252 × 15 12

(

   1 ⇒ i =    1 − 0, 252 × 1512 

(

)

    − 1 × 100% ⇒ i = 35, 35% a.a. ou 2, 55%a.m.     12 15

)

b) d = 31,4% ao ano e prazo de 18 meses. n

(1 + i ) =

18 1 1 ⇒ (1 + i )12 = (1 − d × n ) 1 − 0,314 × 18 12

(

   1 ⇒ i =    1 − 0, 314 × 1812 

(

)

    − 1 × 100% ⇒ i = 52, 88% a.a. ou 3, 60%a.m.     12 18

)

74) Um banco auferiu uma rentabilidade efetiva de 37,40% a.a. em operações de desconto bancário. Calcule a taxa de desconto mensal para operações nos seguintes prazos (Você pode assumir o diagrama a seguir como auxílio à visualização da operação):


51

a) 10 meses. f FIN

100 CHS FV

D = N − A = 100 − 76,74 = 23,26

37,40 i

D = N × d × n ⇒ 23,36 = 100 × d × 10

10

⇒ d = 2,33% a.m.

n

12 PV → $76,74

Alternativamente:

(1 + i )

n

10 1 = ⇒ (1 + 0,374 )12 = d n × 1 −  ( )

1

10  1 − d × 12   

⇒ d = 27, 91% a.a. ou 2, 33% a.m.

b) 14 meses. f FIN

100 CHS FV

D = N − A = 100 − 69,03 = 30,97

37,40 i

D = N × d × n ⇒ 30,97 = 100 × d × 14

14

⇒ d = 2,21% a.m.

n

12 PV → $69,03

Alternativamente:

(1 + i )

n

14 1 = ⇒ (1 + 0,374 )12 =  (1 − d × n )

1

14  d − × 1   12  

⇒ d = 26,55% a.a . o u 2, 21% a.m.

75) Um banco desconta um título de valor nominal $100.000,00 45 dias antes do vencimento. O banco está cobrando uma taxa de desconto comercial simples de 5% a.m. e 1,5% de despesa administrativa. Qual o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva de juros mensal da operação? A = N − N × d × n − N × t ⇒ A = N × (1 − d × n − t) A = 100.000 × (1 − 0, 05×

45 30

− 0, 015) ⇒ A = $91.000, 00 45 30

A× (1 + )i = N⇒ 91.000 × (1 + i) n


= 100.000 ⇒ i= 6, 49% a.m .

52

Ou pela HP − 12C f F IN

91.000 CHS PV 100.000 FV 45/30 n i → 6, 49 % a.m.

Alternativamente: 1

n

(1 + i ) =

(1 − d × n − t )

⇒ (1 + i )

45

30

=

1 45   1 − 0, 05 × 30 − 0, 015   

30    45      1  − 1 × 100% ⇒ i = 6, 49% a .m. ⇒ i =  45      1 − 0, 05 × − 0, 015        30   

76) Qual a taxa de juros efetiva anual de um título descontado à taxa de desconto de 18,50% a.a. 65 dias antes de seu vencimento? Arbitre N = $1.000,00 A = N × (1 − d × n) = 1.000 × (1 − 0,185 ×

65 ) = 966,60 360

f FIN

966,60 CHS PV 1.000 FV 65 n 360 i ← 20,70% a.a.

Alternativamente:

(1 + i )

n

65 1 360 = ⇒ (1 + i ) =  (1 − d × n )


1

65  1 − 0,185 × 360   

⇒ i = 20, 70% a.a. ou 1,58% a.m.

53

77) Uma empresa devedora de três títulos de $50.000,00 cada e cujos vencimentos são hoje e daqui a 2 e 5 meses, deseja substituí-los por um único título com vencimento para 6 meses. Pede-se:

a) o valor deste título para uma taxa de desconto comercial simples de 6% ao mês. N × (1 − 0,06× 6) = 50.000 + 50.000× (1− 0,06× 2)+ 50.000× (1− 0,06× 5) N =

50.000 + 50.000× (1− 0,06× 2) + 50.000× (1− 0,06× 5) ⇒ N = $201.562,50 (1 − 0,06× 6)

b) o custo efetivo mensal desta empresa.

ATOTAL =

∑N

i ×

(1 −

d× ni ) = 50.000 + 50.000 × (1 − 0, 06 × 2 ) + 50.000 × (1 − 0, 06 × 5 )

i

ATOTAL = $129.000,00

f REG

79.000 CHS g CF 0 0 g CF j 50.000 g CF j

custo efetivo = 7,13% a.m.

0 g CF j 2 g Nj 50.000 g CF j f IRR → 7,13 MAtemática Financeira - Exercícios

54

78) Uma empresa devedora de três títulos de $70.000,00, $80.000,00 e $90.000,00 com vencimentos daqui a 3, 4 e 5 meses, respectivamente, deseja substituí-los por um único título com vencimento daqui a 8 meses. Pede-se:

a) o valor nominal deste título para uma taxa de desconto bancário de 4% a.m. N × (1 − 0,04 × 8) = 70.000× (1− 0,04× 3) + 80.000× (1− 0,04× 4)+ 90.000× (1− 0,04× 5)

⇒ N =

70.000 × (1 − 0,04× 3) + 80.000× (1− 0,04× 4)+ 90.000× (1− 0,04× 5) ⇒ N = $295.294,12 (1 − 0,04 × 8)

b) o custo efetivo mensal desta empresa.

ATOTAL =

∑N

i ×

(1 −

d× ni ) = 70.000 × (1 − 0, 04 × 3) + 80.000 × (1 − 0, 04 × 4 ) + 90.000 × (1 − 0, 04 × 5 )

i

ATOTAL = $200.800,00 f REG

200.800 CHS g CF 0 0 g CF j 2 g Nj 70.000 g CF j

⇒ custo efetivo = 4,48% a.m.

80.000 g CF j 90.000 g CF j f IRR → 4,48 MAtemática Financeira - Exercícios

55

Matfin_exercícios

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