GEOMETRI EUCLID OLEH: PINTA DENIYANTI SAMPOERNO
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2007
A. PENGERTIAN PANGKAL Pengertian pangkal adalah pengertian yang tidak didefinisikan. Pengertian berikutnya didefinisikan berlandaskan pada pengertian pangkal. Yang termasuk pengertian pangkal adalah: a. Titik; sebuah titik tidak memiliki lebar atau panjang, hanya menunjukkan sebuah tempat. b. Garis; sebuah garis tidak memiliki lebar, tetapi dapat diperpanjang di kedua arahnya. c. Himpunan; himpunan adalah kumpulan yang dibatasi dengan jelas. Guna dari pengertian pangkal adalah untuk menghindari sirkulus in definiendo dan regresus in infinitum yaitu berputar-putar dalam pendefinisian dan pendefinisian yang terus mundur. B. DEFINISI Definisi adalah suatu pengertian yang diungkapkan dengan kalimat yang jelas dan mempunyai format sebagai berikut: adalah
Yang Didefinisikan
Genus Proksimum
Diferensia Spesifika
Genus Proksimum adalah keluarga/jenis terdekat dari sesuatu yang didefinisikan, sedangkan Diferensia Spesifika adalah ciri-ciri khusus yang membedakan sesuatu yang didefinisikan dari keluarga terdekatnya.
Definisi 1: Sebuah ruas garis adalah himpunan bagian garis yang anggotanya terdiri atas dua buah titik pada garis tersebut dan semua titik diantaranya. Definisi 2: Sebuah sinar adalah himpunan bagian garis yang anggotanya terdiri atas sebuah titik tetap dan semua titik yang terletak sepihak terhadap titik tersebut. Definisi 3: Sinar berlawanan adalah dua sinar yang berlainan dari sebuah garis yang memiliki titik pangkal bersekutu. Definisi 4: Sebuah sudut adalah gabungan dua buah sinar yang mempunyai titik pangkal bersekutu. Definisi 5: Titik tengah ruas garis adalah titik yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama ukurannya. Definisi 6: Bisektor ruas garis adalah garis yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama ukurannya. (40) B
A
C
AB (dibaca ruas garis AB) AB AC (dibaca garis AB atau garis AC) AC (dibaca sinar AC) L = KLM = MLK (dibaca sudut L) L merupakan gabungan LK dan LM
K
L
M
1
C. MENALAR DEDUKTIF Menalar deduktif adalah menalar dengan menggunakan pengertian pangkal, definisi, postulat dan dalil sebagai alasan dari penarikan kesimpulan untuk mendapatkan kebenaran yang konsisten. Ada dua cara untuk penyebutan definisi sebagai alasan penarikan kesimpulan yaitu definisi atau lawan definisi. 1. Jika diketahui Kesimpulan
sebelum kata adalah sesudah kata adalah
akan didapat dengan alasan
DEFINISI
Contoh: Diketahui : P titik tengah AB Kesimpulan : m AP = m PB Alasan : Definisi: Titik tengah ruas garis adalah titik yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama ukurannya.. 2. Jika diketahui sesudah kata adalah Kesimpulan
sebelum kata adalah
akan didapat dengan alasan
LAWAN DEFINISI
Contoh: Diketahui : m AP = m PB Kesimpulan : P titik tengah AB Alasan : Lawan definisi: Titik tengah ruas garis adalah titik yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama ukurannya.. Jenis-jenis Sudut Definisi 7: Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih dari 0 dan kurang dari 90. Definisi 8: Sudut siku-siku adalah sudut yang ukurannya 90. Definisi 9: Sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih dari 90 dan kurang dari 180. Definisi 10: Sudut lurus adalah sudut yang ukurannya 180. [Karena sisi sebuah sudut lurus adalah sebuah garis, maka garis dapat dinyatakan sebagai sudut lurus] Sudut Berkomplemen dan Sudut Bersuplemen Definisi 11: Dua sudut yang berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 90. Definisi 12: Dua sudut yang bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 180. Definisi 11A: Dua sudut yang berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya adalah ukuran sudut siku-siku.
2
Definisi 12A: Dua sudut yang bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya adalah ukuran sudut lurus. A S D B
C
m ABC = 90 m ABD + m DBC = 90 ABC sudut siku-siku
P
Q
R
m PQR = 180 m PQS + m SQR = 180 PQR sudut lurus [karena PR adalah sebuah garis]
Dua Garis Saling Tegak Lurus Definisi 13: Dua garis yang saling tegak lurus adalah dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut siku-siku. Definisi 14: Bisektor sudut adalah sinar yang titik pangkalnya adalah titik sudut tersebut dan dengan sisi-sisi sudut tersebut membentuk dua sudut yang sama ukurannya. (58) Sudut-sudut yang Kongruen dan Ruas Garis yang Kongruen Definisi 15: Ruas garis yang kongruen adalah ruas garis yang sama ukurannya. AB CD m AB = m CD atau AB = CD Definisi 16: Sudut yang kongruen adalah sudut yang sama ukurannya. X Y m X = m Y Definisi 5A: Titik tengah ruas garis adalah titik yang memisahkan ruas garis menjadi ruas garis yang kongruen. Definisi 6A: Bisektor ruas garis adalah garis yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang kongruen. Definisi 14A: Bisektor sudut adalah sinar yang titik pangkalnya adalah titik sudut tersebut dan dengan sisi-sisi sudut tersebut membentuk dua sudut yang kongruen. (68)
D. POSTULAT dan DALIL Postulat adalah pernyataan pangkal yang tidak dibuktikan. Guna dari postulat adalah untuk menghindari sirkulus in probando dan regresus in infinitum. Dalil adalah pernyataan yang harus dibuktikan dan buktinya harus menggunakan penalaran deduktif. Seperti halnya definisi, postulat dan dalil digunakan pula sebagai dasar penarikan kesimpulan pada penalaran deduktif untuk mendapatkan kebenaran yang konsisten. Dalil tidak memiliki lawan dalil, tetapi jika diperlukan pernyataan yang berlaku berlawanan dengan suatu dalil maka dibuat dalil baru sebagai lawan dalil tersebut.
3
Dalil ditulis dalam bentuk: JIKA
A
MAKA
B
Tidak semua dalil ditulis dalam bentuk “jika A, maka B”, akan tetapi secara redaksional penulisannya selalu mudah untuk diubah menjadi bentuk “jika A maka B”. Didalam penalaran deduktif bagian A adalah bagian yang “diketahui” sedangkan bagian B adalah bagian “hasil penarikan kesimpulan”.
Postulat 1: Terdapat korespondensi satu-satu antara titik sebuah garis dengan bilangan real. Postulat 1A: Sebuah garis dapat diperpanjang sekehendak kita di kedua arahnya. Postulat 2: Terdapat satu dan hanya satu garis melalui dua buah titik sembarang. Postulat 3: Terdapat sebuah bilangan yang mewakili ukuran sebuah ruas garis. Postulat 4: Terdapat sebuah bilangan dari 0 sampai dengan 180 yang mewakili ukuran sebuah sudut. Definisi 17: Titik B terletak di antara dua titik A dan C, berarti: 1. Titik A, B dan C adalah unsur dari sebuah garis, 2. m AB + m BC = m AC atau AB + BC = AC Definisi 18: Sinar PB terletak di antara sinar PA dan sinar PC, berarti: 1. PA , PB dan PC mempunyai titik pangkal bersekutu, 2. m APB + m BPC = m APC Jumlah dan Selisih Dua Ruas Garis Definisi 19: Jumlah dua ruas garis AB dan BC adalah ruas garis AC jika dan hanya jika titik B di antara titik A & titik C. A
B
AB + BC = AC
C
Definisi 20: Selisih dua ruas garis AB dan BC adalah ruas garis yang jika ditambah kepada ruas garis BC akan didapat ruas garis AB sebagai jumlahnya. A
C
AB – BC = AC
B
(96)
4
Jumlah dan Selisih Dua Sudut Definisi 21: Jumlah dua sudut ABC dan CBD adalah sudut ABD jika dan hanya jika sinar BC di antara sinar BA & BD. A ABC + CBD = ABD C B
D
Definisi 22: Selisih antara sudut ABD dan ABC adalah sudut yang jika ditambah pada sudut ABC akan didapat sudut ABD sebagai jumlahnya. ABD - ABC = CBD
A C B
D
(102)
Postulat 5: [postulat penjumlahan] Jika sama ditambahkan kepada yang sama, maka jumlahnya akan sama. Postulat 5A: [postulat penjumlahan untuk ruas garis] Jika ruas garis yang kongruen ditambahkan kepada ruas garis yang kongruen, maka jumlahnya adalah ruas garis yang kongruen. Postulat 5B: [postulat penjumlahan untuk sudut] Jika sudut yang kongruen ditambahkan kepada sudut yang kongruen, maka jumlahnya adalah sudut yang kongruen. (108) Postulat 6: [postulat pengurangan] Jika sama dikurangkan dari yang sama, maka selisihnya akan sama. Postulat 6A: [postulat pengurangan untuk ruas garis] Jika ruas garis yang kongruen dikurangkan kepada ruas garis yang kongruen, maka selisihnya adalah ruas garis yang kongruen. Postulat 6B: [postulat pengurangan untuk sudut] Jika sudut yang kongruen dikurangkan kepada sudut yang kongruen, maka selisihnya adalah sudut yang kongruen. (114) Postulat 7: [ postulat perkalian] Jika sama dikalikan dengan yang sama, maka hasil kalinya akan sama. Postulat 8: [postulat pembagian] Jika sama dibagi dengan yang sama, maka hasil baginya akan sama. Postulat 8A: [postulat pembagian untuk ruas garis] Setengah dari ruas garis yang kongruen adalah ruas garis yang kongruen. Postulat 8B: [postulat pembagian untuk sudut] Setengah dari sudut yang kongruen adalah sudut yang kongruen. (121)
5
Postulat 9: [postulat sifat refleksi] A=A Postulat 9A: [postulat sifat refleksi untuk ruas garis / sudut]
AB AB
atau A A
Postulat 10: [postulat sifat simetri] Jika A = B, maka B = A Postulat 10A: [postulat sifat simetri untuk ruas garis / sudut] Jika AB PQ , maka PQ AB Jika E F, maka F E Postulat 11: [postulat sifat transitif] Jika A = B dan B = C, maka A = C Postulat 11A: [postulat sifat transitif untuk ruas garis / sudut] Jika AB PQ dan PQ ST , maka AB ST Jika 1 2 dan 2 3, maka 1 3
(136)
E. BUKTI DUA KOLOM Pembuktian dua kolom adalah merupakan serangkaian penalaran deduktif yang menggunakan kemampuan kognisi sintesis dan logika A B (jika A, maka B). Kemampuan kognisi sintesis adalah kemampuan menggabungkan bagian-bagian yang diketahui untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks atau masalah yang harus dibuktikan. Pada pembuktian dua kolom selalu dimulai dengan diketahui, dilanjutkan dengan penjabaran penalaran secara deduktif yang akan menghasilkan kebenaran yang konsisten sehingga didapat kebenaran akhir yaitu masalah yan harus dibuktikan. Pada setiap pembuktian dua kolom, kolom pertama berisi pernyataan, sedangkan kolom kedua berisi argumen atau alasan untuk pernyataan. Contoh: Pernyataan 1. 2.
Alasan 1. 2.
Berikut ini akan diberikan contoh dari pembuktian dua kolom dan sekaligus sebagai pembuktian dalil 1. Untuk seterusnya setiap dalil harus dibuktikan dan dijadikan sebagai latihan soal! Dalil 1: Jika dua sudut adalah sudut siku-siku, maka dua sudut tersebut kongruen. Sesuai dengan kesepakatan bahwa sebuah dalil dengan sistem penulisan “Jika A, maka B”, berarti A merupakan sesuatu yang diketahui dan B adalah sesuatu yang harus dibuktikan, sehingga penyelesaian pembuktian dalil 1 di atas adalah sebagai berikut:
6
A
D
C
B
E
Diketahui: ABC sudut siku-siku DEF sudut siku-siku Buktikan: ABC DEF F
Bukti: Pernyataan 1. ABC sudut siku-siku 2. m ABC = 90 3. 4. 5. 6.
DEF sudut siku-siku m ABC = 90 m ABC = m DEF ABC DEF
Alasan 1. Diketahui 2. Definisi: Sudut siku-siku adalah sudut yang ukurannya 90 3. Diketahui 4. Definisi (sama dengan no.2) 5. Postulat sifat transitif 6. Lawan definisi: Sudut yang kongruen adalah sudut yang sama ukurannya
Terbukti (148) Dalil 2: Jika dua sudut adalah sudut lurus, maka dua sudut tersebut kongruen. (156) Dalil 3: Jika dua sudut saling bersuplemen dengan dua sudut yang kongruen, maka dua sudut tersebut kongruen. Dalil 4: Jika dua sudut saling berkomplemen dengan dua sudut yang kongruen, maka dua sudut tersebut kongruen. (166) Dalil 5: Jika dua sudut saling bersuplemen dengan sudut yang sama, maka dua sudut tersebut kongruen. Dalil 6: Jika dua sudut saling berkomplemen dengan sudut yang sama, maka dua sudut tersebut kongruen. (174) Definisi 23: Sudut bertolak belakang adalah sudut yang dibentuk oleh dua pasang sinar yang berlawanan. Dalil 7: Jika dua sudut adalah sudut yang bertolak belakang, maka dua sudut tersebut kongruen. Dalil 8A: Jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang kongruen, maka dua ruas garis tersebut kongruen. Dalil 8B: Jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen, maka dua sudut tersebut kongruen. (184)
7
F. POLIGON YANG KONGRUEN Poligon adalah gabungan himpunan titik-titik {P1, P2, …, P n-1, P n} dengan himpunan ruas garis { P1P2 , P2 P3 , …, Pn1Pn , PnP1 } sehingga jika setiap dua ruas garis tersebut berpotongan, titik potongnya adalah salah satu anggota himpunan titik dan bukan titik yang lain.
Poligon Konkaf
Poligon Konveks
Bukan Poligon
Poligon yang digunakan adalah poligon konveks. Definisi 25A: Sudut yang berkawan dari perkawanan dua poligon adalah dua sudut yang titik sudutnya adalah pasangan titik yang berkawan dalam perkawanan antara titik-titik sudut dari dua poligon. Definisi 25B: Sisi yang berkawan dari perkawanan dua poligon adalah dua sisi yang titik-titik ujungnya adalah pasangan titik yang berkawan dalam perkawanan antara titik-titik sudut dari dua poligon. Definisi 26: [definisi poligon yang kongruen] Poligon yang kongruen adalah dua poligon yang memiliki perkawanan satu-satu antara titik-titik sudutnya sehingga: 1. semua sisi yang berkawan kongruen, dan 2. semua sudut yang berkawan kongruen. Definisi 27: Sebuah segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi. G. KEMAMPUAN KOGNISI ANALISIS
A
T
S
B C P Postulat 12: [postulat SDS] Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik sudutnya, dua sisi dan sudut apit pada segitiga pertama kongruen dengan dua sisi dan sudut apit yang berkawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen. Jika AB PT , A P dan AC PS , maka ABC PTS Postulat 13: [postulat DSD] Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik sudutnya, sebuah sisi dan dua sudut pada sisi tersebut pada segitiga pertama kongruen dengan sebuah sisi dan dua sudut yang berkawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen. Jika A P, AC PS dan C S, maka ABC PTS (210) Kemampuan kognisi analisis adalah kemampuan mengurai suatu masalah menjadi bagian-bagian yang diketahui. Pada kognisi analisis digunakan penalaran deduktif dengan menggunakan logika A B, dengan diartikan sebagai “B hanya jika A”. Oleh karena itu dalam setiap analisis harus bertolak atau selalu dimulai dari masalah yang harus dibuktikan.
8
Contoh:
U
K V
L o M Diketahui Buktikan Analisis Sintesis Analisis
o W
: LM VW dan KM UW : KLM UVW : KLM UVW hanya jika memenuhi postulat SDS atau postulat DSD : Karena diketahui LM VW dan KM UW : KLM UVW hanya jika memenuhi postulat SDS dan sudut yang harus kongruen adalah M W Aplikasi menggunakan postulat (216) Pembuktian melalui segitiga kongruen (220) (224) Segitiga yang bertumpangtindih (226)
Contoh soal: 1. Buktikan: Δ CDB Δ AEB A
E
2. Buktikan: Δ ADB Δ CDB
A x
A
0
=
/ D
B
B
/
= x
0
C
C
D
Contoh soal aplikasi: 3. A
Diketahui: AB DC B C BE CF
D
Buktikan: Δ ABF Δ DCE B
E
C
F A
4. 2
Diketahui: BE BC AB CD 1 2
E 1
D
B
Buktikan: Δ ABC Δ DBE
C
9
H. SEGITIGA ISTIMEWA Definisi 28: Segitiga sama sudut adalah segitiga yang memiliki tiga sudut kongruen. Definisi 29: Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sebuah sudut siku-siku. Definisi 30: Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi kongruen. Definisi 31: Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi kongruen. Definisi 32A: Bagian dalam sebuah sudut adalah himpunan titik-titik sehingga jika sebuah sinar dengan titik pangkal titik sudut dan melalui sebuah titik anggota himpunan, sinar tersebut akan terletak di antara sisi sudut tersebut. Definisi 32B: Bagian dalam sebuah segitiga adalah himpunan semua titik anggota irisan bagian dalam setiap dua sudut segitiga tersebut. Postulat 14: Sebuah garis yang memotong sisi sebuah segitiga dan masuk ke bagian dalam segitiga akan memotong sisi kedua segitiga tersebut. Postulat 15: Setiap sudut memiliki bisektor. Dalil 9: Jika dua sisi sebuah segitiga kongruen, maka sudut-sudut di depan sisi tersebut kongruen. Dalil 10: Jika dua sudut sebuah segitiga kongruen, maka sisi-sisi di depan sudut tersebut kongruen. Definisi 33: Garis tinggi segitiga adalah ruas garis yang dibuat dari titik sudut dan tegak lurus sisi di depannya. Definisi 34: Garis berat segitiga adalah ruas garis yang dibuat dari titik sudut ke titik tengah sisi di depannya. Definisi 35: Garis bagi segitiga adalah ruas garis yang membagi sebuah sudut menjadi dua sudut yang kongruen dan berujung pada sisi di depannya. (236) Dalil Segitiga yang Kongruen Dalili 11: Jika dua segitiga kongruen dengan sebuah segitiga yang sama, maka dua segitiga tersebut kongruen. Postulat 16: Pada sebuah titik dari garis yang diketahui terdapat sudut yang memiliki titik sudut adalah titik tersebut dan satu sisinya adalah sinar dari garis tersebut sehingga sudut tersebut kongruen dengan sudut yang diketahui. Dalil 12: [dalil SSS] Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya dan tiga sisi segitiga pertama kongruen dengan tiga sisi yang sekawan dari segitiga yang kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen.
10
Contoh soal: 1. A
B
Diketahui: AB CD AD CB Buktikan: A C
C
D
2. S
T
Diketahui: WS XT WT XS W
X
Buktikan: Δ RST samakaki
R
Definisi 36: Lingkaran adalah himpunan semua titik sehingga setiap ruas garis yang menghubungkan sebuah titik anggota himpunan dengan sebuah titik tetap adalah kongruen. Titik tetap disebut pusat lingkaran. Definisi 37: Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan titik sembarang pada lingkaran dengan titik pusat lingkaran. Dalil 13: Semua jari-jari sebuah lingkaran kongruen. (244) Contoh soal: Diketahui: Lingkaran dengan pusat O OC adalah garis berat ke AB O
Buktikan: OC bisektor AOB A
C
B
Segitiga Siku-siku yang Kongruen Dalil 14: [dalil segitiga siku-siku yang kongruen] Jika pada dua segitiga siku-siku terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya, hipotenusa dan sebuah sisi segitiga pertama kongruen dengan hipotenusa dan sebuah sisi yang sekawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga siku-siku tersebut kongruen. (249) (252) I.
TEGAK LURUS
Postulat 17: [postulat substitusi] Jika dua bilangan sama, maka substitusi yang satu untuk yang lain diperkenankan. Definisi 38: Sudut bersisian adalah dua sudut yang mempunyai titik sudut dan sisi bersekutu di antara dua sinar yang titik pangkalnya bersekutu.
11
Contoh soal:
A
D 1
B
Diketahui: AB BC DC BC 1 2 E titik tengah BC BF CG Buktikan : A D
F
G
2
E
C
Dalil 15: Jika dua garis berpotongan dan membentuk dua sudut bersisian yang kongruen, maka dua garis tersebut tegak lurus sesamanya. (262) Definisi 39: Jarak dua bangun geometri adalah ukuran lintasan terpendek antara dua bangun tersebut. Postulat 18: Lintasan terpendek antara dua buah titik adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik tersebut. Dalil 16: Jika dua buah titik masing-masing berjarak sama terhadap ujung-ujung sebuah ruas garis, maka garis yang menghubungkan dua titik tersebut adalah bisektor tegak lurus ruas garis tersebut. Dalil 17: Jika sebuah titik terletak pada bisektor tegak lurus sebuah ruas garis, maka titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik ujung ruas garis tersebut. Postulat 19: Setiap ruas garis memiliki titik tengah. Dalil 18: Jika sebuah titik berjarak sama terhadap ujung-ujung sebuah ruas garis, maka titik tersebut terletak pada bisektor tegak lurus ruas garis tersebut. (274) A
Contoh: P
.
R
Q B
Dalil 16: Jika PA PB dan QA QB , maka PQ bisektor tegak lurus AB Dalil 17: Jika PQ bisektor tegak lurus AB dan R pada PQ , maka RA RB Dalil 18: Jika PQ bisektor tegak lurus AB dan RA RB , maka titik R terletak pada PQ Definisi 40: Bidang adalah sebuah permukaan, jika terdapat garis yang dibentuk oleh dua buah titik, maka semua titik pada garis tersebut juga berada pada permukaan tersebut. Definisi 41: Titik koplanar adalah titik-titik yang berada pada satu bidang. Definisi 42: Titik kolinear adalah titik-titik yang berada pada satu garis. 12
Dalil 19: Sebuah garis dan sebuah titik tidak pada garis tersebut dapat membentuk sebuah bidang Dalil 20: Dua garis yang berpotongan dapat membentuk sebuah bidang. J. BUKTI TAK LANGSUNG Definisi 45: Bilangan a lebih dari bilangan b berarti bilangan a sama dengan bilangan b ditambah bilangan c positif. a > b berarti a = b + c, c > 0 Dalil 22A: Ukuran sebuah garis lebih dari ukuran sebagian dari garis tersebut. Dalil 22B: Ukuran sebuah sudut lebih dari ukuran sebagian dari sudut tersebut. Definisi 46: Sudut luar sebuah poligon adalah sudut yang bersisian dan bersuplemen dengan sudut poligon tersebut. Dalil 23: Ukuran sudut luar sebuah segitiga lebih dari ukuran masing-masing sudut dalam yang tidak bersisian. Contoh: A Diketahui: ABC dengan sudut luar ACD B
Buktikan: mACD mA
C
Bukti: Analisis:
P
A M B
1 C
Pernyataan 1. Dibuat titik tengah AC yaitu M 2. Dibuat garis BM 3. Perpanjang garis BM ke titik P sehingga PM BM 4. Dibuat garis PC 5. AM CM 6. AMB dan CMP sudut bertolak belakang 7. AMB CMP 8. AMB CMP
D Alasan 1. Postulat: semua ruas garis memiliki titik tengah 2. Postulat; terdapat satu dan hanya satu garis melalui dua buah titik sembarang 3. Postulat: garis dapat diperpanjang di kedua arahnya 4. Postulat (sama dengan no.2) 5. Definisi: titik tengah ruas garis adalah titik yang memisahkan ruas garis menjadi dua ruas garis yang kongruen 6. Lawan definisi: sudut bertolak belakang adalah sudut yang dibentuk oleh dua pasang sinar yang berlawanan 7. Dalil: jika dua sudut adalah sudut bertolak belakang, maka dua sudut tersebut kongruen 8. Postulat SDS
13
9. Definisi poligon yang kongruen 10. Definisi: sudut yang kongruen adalah sudut yang sama ukurannya 11. Dalil: ukuran sebuah sudut lebih dari ukuran sebagian dari sudut tersebut 12. Postulat substitusi
9. A 1 10. mA = m1 11. mACD > m1 12. mACD > mA Terbukti.
Postulat 21: [Postulat LEM] Law of Excluded Middle Salah satu dari p atau p adalah benar. Tidak ada kemungkinan lain. Postulat 22: [Postulat LC] Law of Contradiction Keduanya, p atau p, tidak dapat benar pada saat yang sama. A
Contoh:
C
D
B
E
Diketahui: AC DE , AB EF dan A D Buktikan: BC DF
F
Bukti: Menurut Postulat LEM: Salah satu dari BC DF atau BC DF adalah benar dan tidak ada kemungkinan yang lain. Misal: BC DF (permisalan selalu merupakan negasi dari yang akan dibuktikan)
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Pernyataan BC DF AC DE AB EF ABC DEF A D A D
Alasan
1. 2. 3. 4. 5.
Permisalan Diketahui Diketahui Dalil SSS Definisi poligon yang kongruen 6. Diketahui
Menurut Postulat LC: Keduanya A D atau A D, tidak dapat benar pada saat yang sama. Karena diketahui bahwa A D, maka pernyataan A D adalah salah. Demikian juga dengan permisalan BC DF menjadi salah. Jadi yang benar adalah BC DF . Terbukti! K. KESEJAJARAN Sejajar I Definisi 47: Dua garis sejajar adalah dua garis yang koplanar dan tidak berpotongan. Definisi 48: Transversal adalah garis yang memotong dua garis di dua titik yang berlainan. 14
Definisi 49: [sudut dalam bersebrangan] Sudut dalam bersebrangan adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis, dua sudut tersebut di daerah dalam, berlainan pihak terhadap transversal dan berlainan titik sudut. Definisi 50: [sudut luar bersebrangan] Sudut luar bersebrangan adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis, dua sudut tersebut di daerah luar, berlainan pihak terhadap transversal dan berlainan titik sudut. Definisi 51: [sudut sehadap] Sudut sehadap adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis, berlainan titik sudut, satu sudut di daerah dalam dan yang lain di daerah luar, tetapi keduanya terletak sepihak terhadap transversal. Sejajar II Dalil 24: Jika dua garis dipotong transversal sehingga sudut dalam bersebrangannya kongruen, maka dua garis tersebut sejajar. Dalil 25: Jika dua garis dipotong transversal sehingga sudut sehadapnya kongruen, maka dua garis tsb sejajar. Dalil 26: Jika dua garis dipotong transversal sehingga sudut luar bersebrangannya kongruen, maka dua garis tersebut sejajar. (328) Sejajar III Postulat 23: Lewat sebuah titik di luar garis yang diketahui terdapat satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Dalil 27: Jika dua garis tegak lurus garis yang sama, maka dua garis tersebut sejajar. Dalil 28: Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut dalam bersebrangannya kongruen. Dalil 29: Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut sehadapnya kongruen. Dalil 30: Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut luar bersebrangannya kongruen. Dalil 31: Jika dua garis sejajar dengan garis yang sama, maka dua garis tersebut sejajar. Dalil 32: Jika sebuah garis tegak lurus salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis sejajar yang lain. Dalil 33: Pada sebuah titik dari garis yang diketahui terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak lurus garis tersebut. Dalil 34: Dari sebuah titik di luar sebuah garis yang diketahui terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak lurus garis tersebut. (338)
15
Contoh soal: A
B E
C
D
Diketahui: AD dan BC berpotongan di E AB // CD EC ED Buktikan : Δ EAB samakaki
L. JAJAR GENJANG Jajar Genjang I Definisi 52: Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi. Definisi 53: Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Definisi 54: Persegi panjang adalah jajar genjang yang memiliki sebuah sudut siku-siku. Definisi 55: Persegi adalah persegi panjang yang memiliki dua sisi yang bersisian kongruen. Definisi 56: Belah ketupat adalah jajar genjang yang memiliki dua sisi yang bersisian kongruen. Definisi 57: Trapesium adalah segiempat yang memiliki satu dan hanya satu pasang sisi yang berhadapan sejajar. Definisi 58: Trapesium samakaki adalah trapesium yang memiliki sisi yang tidak sejajar kongruen. Dalil 35: Sisi-sisi berhadapan sebuah jajar genjang kongruen. Dalil 36: Sudut-sudut berhadapan sebuah jajar genjang kongruen. Dalil 37: Diagonal sebuah jajar genjang saling berpotongan di tengah. Dalil 38: Keempat sisi sebuah persegi kongruen. Dalil 39: Keempat sisi sebuah belah ketupat kongruen. Dalil 40: Sudut alas sebuah trapesium samakaki kongruen. (350) Jajar Genjang II Dalil 41: Jika sisi-sisi berhadapan sebuah segiempat kongruen, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang. Dalil 42: Jika diagonal sebuah segiempat saling berpotongan di tengah, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang.
16
Dalil 43: Jika sebuah segiempat memiliki sepasang sisi berhadapan kongruen dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang. (356) (360) Contoh soal: A 1
B
Diketahui: ABCD trapesium sama kaki dengan AB CD 1 2 Buktikan : ABED adalah jajar genjang
D
E
2
C
M. SUDUT-SUDUT SEBUAH POLIGON Dalil 50: Jumlah ukuran sudut sebuah segitiga sama dengan 180. Dalil 51: Jika dua sudut sebuah segitiga kongruen dengan dua sudut segitiga yang lain, maka sudut yang ketiga kongruen juga. Dalil 52: [dalil DDS] Dua segitiga kongruen jika terdapat perkawanan antara titik sudutnya, dua sudut dan sebuah sisi di depan salah satu sudut segitiga pertama kongruen dengan dua sudut dan sebuah sisi di depan salah satu sudut yang berkawan dari segitiga kedua. Dalil 53: Ukuran sudut luar segitiga sama dengan jumlah ukuran sudut dalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut. Dalil 54: Sudut lancip segitiga siku-siku saling berkomplemen. (392) Definisi 68: Poligon konveks adalah poligon yang ukuran tiap sudutnya kurang dari ukuran sudut lurus. Dalil 55: Jumlah ukuran sudut poligon sisi n adalah : 180 (n – 2). Dalil 56: Jumlah ukuran sudut luar poligon yang terbentuk dengan memperpanjang sisi poligon dengan aturan yang sama, sama dengan 360. (407) N. SEGITIGA SEBANGUN Dalil 57: Jika tiga atau lebih garis yang sejajar memotong sebuah transversal menjadi ruas garis-ruas garis yang kongruen, maka setiap transversal akan dipotong menjadi ruas garis-ruas garis yang kongruen. Dalil 58: Jika sebuah garis memotong di tengah sebuah sisi segitiga dan sejajar dengan sisi kedua, maka akan memotong sisi ketiga di tengah juga. Dalil 59: Jika sebuah garis memotong di tengah dua sisi segitiga, maka garis tersebut sejajar dengan sisi ketiga. (413) 17
Ratio Dan Proposisi Rasio adalah hasil bagi dua pengukuran dengan satuan yang sama. Contoh: ¾ atau 3 : 4 Proposisi adalah persamaan yang mempunyai ruas kiri dan ruas kanan berupa ratio. Contoh: a : b = c : d Dalil 60: [Jika a : b = p : q, maka aq = bp] Setiap proposisi memiliki sifat, hasil kali suku tengah sama dengan hasil kali suku tepi. Contoh: Jika a : b = p : q, maka aq = bp Dalil 61: [Jika aq = bp, maka a : b = p : q] Jika hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali dua bilangan yang lain, maka pasangan pertama bilangan tersebut dapat merupakan suku tepi sedang pasangan yang lain merupakan suku tengah suatu proposisi. Contoh: Jika aq = bp, maka a : b = p : q Dalil 62: [Jika a : b = c : d, maka (a + b) : b = (c + d) : d] Jika empat bilangan real (a, b, c dan d) membentuk proposisi a : b = c : d, maka dapat juga membentuk proposisi (a + b) : b = (c + d) : d Dalil 63: Jika sebuah garis sejajar sebuah sisi segitiga, maka ratio ukuran ruas garis yang sekawan dari dua sisi yang dipotong akan sama. Dalil 64: Jika sebuah garis memotong dua sisi segitiga sehingga ratio ukuran ruas garis sekawan dari dua sisi yang dipotong sama, maka garis tersebut sejajar sisi ketiga. (426) Contoh soal: E
Diketahui: AD bisektor BAC BE // AD
A
Buktikan : B
D
C
CA CD AB DB
Segitiga yang Sebangun Definisi 69: [definisi poligon yang sebangun] Poligon yang sebangun adalah dua poligon yang memiliki perkawanan antara titik-titik sudutnya sehingga: 1. semua sudut yang sekawan kongruen, 2. semua ratio ukuran sisi yang sekawan sama. Dalil 65: [dalil DDD] Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya dan setiap sudut yang sekawan kongruen. Dalil 66: [dalil DD] Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya dan dua sudut yang sekawan kongruen. Dalil 67: [dalil SDS] Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya, ratio dua pasang sisi yang sekawan sama dan sudut apitnya kongruen. Dalil 68: [dalil SSS] Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya dan ratio setiap sisi yang sekawan sama. (436) (442)
18
Contoh soal: 1.
A
Diketahui: AB AC AD BC EF AC Buktikan : Δ ABD Δ ECF
F E
D
B
C
2.
E
Diketahui:
A 1
B
2
D
C
BE BC AC BD
1 2 Buktikan : Δ ABD Δ EBC
Dalil 69: Pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi tegak lurus hypotenusa, kuadrat ukuran sebuah sisi siku-siku sama dengan hasil kali ukuran proyeksi sisi siku-siku tersebut ke hypotenusa dengan ukuran hypotenusa tersebut. A Jika ABC siku-siku di C dan CD garis tinggi, maka (BC)2 = (BA).(BD) dan (AC)2 = (AB).(AD)
D
C
B
Dalil 70: Pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi tegak lurus hypotenusa, kuadrat ukuran garis tinggi sama dengan hasil kali ukuran tiap ruas garis bagian hypotenusa. Jika ABC siku-siku di C dan CD garis tinggi, maka (CD)2 = (AD).(DB) (450) Dalil 71: Kuadrat hypotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi siku-sikunya. Jika ABC siku-siku di C dan CD garis tinggi, maka (AB)2 = (CA)2 + (CB)2 (455) (458) Contoh soal:
A
B
C
Diketahui: BD AD C titik tengah AD m 2 = 45 D
Buktikan : (AB)2 = 8 (AC)2
19
O. LINGKARAN Definisi 70: Talibusur lingkaran adalah ruas garis yang titik-titik ujungnya pada lingkaran. Definisi 71: Garis tengah lingkaran adalah talibusur lingkaran yang salah satu titiknya adalah titik pusat lingkaran. Definisi 72: Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran. Definisi 73: Busur lingkaran adalah himpunan bagian murni lingkaran. Definisi 74: Setengah lingkaran adalah busur lingkaran di depan sudut pusat lingkaran yang berupa sudut lurus. Definisi 75: Busur minor lingkaran adalah busur di depan sudut pusat lingkaran yang berukuran kurang dari 180. Definisi 76: Ukuran setengah lingkaran, ukuran busur minor adalah ukuran sudut pusat di depannya. Definisi 77: Busur mayor lingkaran adalah busur yang memiliki setengah lingkaran sebagai himpunan bagian murni. Definisi 78: Ukuran busur mayor adalah 360 dikurangi ukuran busur minor yang memiliki titik-titik ujung yang sama. Definisi 79: Lingkaran kongruen adalah lingkaran yang memiliki jari-jari kongruen. Definisi 80: Busur yang kongruen adalah busur dari lingkaran yang sama atau dari lingkaran yang kongruen yang memiliki ukuran sama. Dalil 72: Jika dua sudut pusat lingkaran sebuah lingkaran kongruen, maka busur di depannya juga kongruen. Dalil 73: Jika dua busur sebuah lingkaran kongruen, maka sudut pusat lingkaran di depannya juga kongruen. Dalil 74: Jika dua talibusur pada sebuah lingkaran kongruen, maka busur yang sekawan juga kongruen. Dalil 75: Jika dua busur pada sebuah lingkaran kongruen, maka talibusur yang sekawan juga kongruen. (468) Dalil 76: Jika dua talibusur pada sebuah lingkaran berjarak sama terhadap titik pusat lingkaran, maka dua talibusur tersebut kongruen. Dalil 77: Jari-jari lingkaran yang tegak lurus sebuah talibusur membagi talibusur dan busur yang sekawan menjadi dua bagian yang kongruen. Dalil 78: Jika dua talibusur pada sebuah lingkaran kongruen, maka berjarak sama terhadap titik pusat lingkaran. (474)
20
Contoh soal: C
A
B
E
Diketahui: Lingkaran dengan pusat O AC BD
D F
O
Buktikan : AE BF
Garis Singgung Lingkaran & Garis Potong Lingkaran Definisi 81: Garis singgung lingkaran adalah garis yang memiliki satu dan hanya satu titik sekutu dengan lingkaran. Definisi 82: Garis potong lingkaran adalah garis yang memiliki dua titik sekutu dengan lingkaran. Definisi 83: Lingkaran bersinggungan adalah dua lingkaran yang menyinggung di titik yang sama. Postulat 30: Di sebuah titik di lingkaran terdapat satu dan hanya satu garis singgung lingkaran. Dalil 79: Sebuah garis yang tegak lurus jari-jari lingkaran di ujung sebelah luar adalah garis singgung lingkaran. Dalil 80: Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung sebuah garis singgung, tegak lurus garis singgung tersebut. Dalil 81: Sebuah garis yang tegak lurus garis singgung di titik singgungnya akan melalui titik pusat lingkaran. Definisi 84: Ruas garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran adalah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah titik tersebut dan titik singgung lingkaran. Definisi 85: Ruas garis potong lingkaran dari sebuah titik di luar lingkaran adalah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah titik tersebut dan titik potong lingkaran terjauh dari titik tersebut. Dalil 82: Jika dua ruas garis singgung lingkaran dibuat dari sebuah titik di luar lingkaran, maka dua ruas garis singgung tersebut kongruen. (484) Jika m dan k adalah garis singgung lingkaran, maka PA PB
Contoh soal: 1.
m
k C
A
A P
O
P
B
E
Diketahui: PC dan PD adalah garis singgung AB garis singgung di titik E
B
Buktikan : PA + PB + AB = PC + PD
D 21
2.
C
A
Diketahui: Lingkaran dengan pusat A dan B CD garis singgung di titik P
P
B
Buktikan : PA melalui B D
Hubungan Antar Sudut dan Busur Lingkaran Definisi 88: Bagian dalam lingkaran adalah himpunan titik-titik sehingga sebuah garis yang dibuat melalui titik anggota tersebut akan memotong lingkaran di dua titik yang berlainan sedang titik tersebut terletak di antaranya. Definisi 89: Bagian luar lingkaran adalah himpunan titik dari bidang yang bukan anggota bagian dalam lingkaran atau bukan titik pada lingkaran. Definisi 90: Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya adalah titik dari lingkaran dan sisi-sisinya memuat talibusur lingkaran. Dalil 88: Ukuran sudut keliling lingkaran sama dengan setengah ukuran busur yang dicakupnya. Dalil 89: Sudut keliling di depan busur setengah lingkaran adalah sudut siku-siku. Dalil 90: Ukuran sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan talibusur adalah setengah ukuran busur yang dicakupnya.
O
m ABC = ½ m AB
A C
B Dalil 91: Jika titik sudut sebuah sudut terletak di dalam lingkaran, ukuran sudut tersebut adalah setengah jumlah ukuran dua busur yang dicakup oleh sudut yang bertolak belakang.
A
E B D
mABC = ½ (m AC + m ED)
C Dalil 92: Jika titik sudut sebuah sudut terletak di luar lingkaran dan sisi sudut tersebut mencakup busur lingkaran, maka ukuran sudut tersebut adalah setengah selisih dari ukuran busur-busur yang dicakupnya.
22
A
D
m APB = ½ (m AB – m DC) P
B
C
Dalil 93: Jika beberapa sudut keliling sebuah lingkaran mencakup busur yang sama, maka sudut-sudut keliling tersebut kongruen. (504) (506) Contoh soal: 1. A Diketahui: Lingkaran dengan pusat O D
E
Buktikan : AE : ED = BE : EC
C
O B
D
2.
F
B
Diketahui: AD AE
A
DF EG C
G
Buktikan : ABC samakaki
E
Talibusur, Ruas Garis Singgung dan Ruas Garis Potong Lingkaran A
A
P
E B Gambar 1
A
C
C D
B
P
B
Gambar 2
D
C
Gambar 3
Dalil 94: Jika dua talibusur sebuah lingkaran berpotongan di dalam lingkaran, maka hasil kali ukuran ruas garis pada talibusur pertama sama dengan hasil kali ukuran ruas garis pada talibusur kedua. (Gambar 1) AE.EB = CE.ED Dalil 95: Jika ruas garis singgung dan ruas garis potong sebuah lingkaran dibuat melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka kuadrat ukuran ruas garis singgung lingkaran sama dengan hasil kali ukuran ruas garis potong lingkaran dengan ukuran bagian ruas garis potong yang terletak di luar lingkaran. (Gambar 2) PA2 = PC.PB 23
Dalil 96: Jika dua garis potong lingkaran dibuat melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka hasil kali ukuran ruas garis potong lingkaran dengan ukuran bagian ruas garis potong yang terletak di luar lingkaran untuk tiap garis potong lingkaran sama. (Gambar 3) PB.PA = PC.PD (516) Contoh soal: 1. Diketahui: Lingkaran dengan pusat A dan B AB bisektor CD dan EF
E C P
Q
B
A
D
Buktikan : CD // EF
F
2. C
B
Diketahui: PC dan PD adalah garis potong kedua lingkaran
A P F
Buktikan :
E
D
PA PF PC PD
3. A
D
Diketahui: AB BC DC BC Buktikan : AB DC
B
C
24
