TRIGONOMETRI
1
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut ! Y
y r x = r y = x
Sin r
Cos
y X
O
=
Tan
x
Cosec Sec Cotan
r y r = x x = y
=
Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.
B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perhatikan gambar berikut !
45
60
2
1
2
45
1
30 3
1 Sin 30 =
1 2
1 2 1 Sin 60 = 2
Sin 45 =
1 2 1 Cos 45 = 2 1 Cos 60 = 2 Cos 30 =
2 3
1 3 3 Tan 45 = 1 Tan 60 = 3
3
Tan 30 =
2
Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa 0
30
Sin
0
1 2
Cos
1
1 2
Tan
0
1 3
45
3
3
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
60
1 2
2
1 2
1 2
2
1 2
1
90 3
1
0
3
1
C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi a. Kuadran I (0 < < 90 ) Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan Cosec (90 - ) = Sec Sec (90 - ) = Cosec Cotan (90 - ) = Tan
e. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (270 - ) = - Cos Cos (270 - ) = - Sin Tan (270 - ) = Cotan Cosec (270 - ) = - Sec Sec (270 - ) = - Cosec Cotan (270 - ) = Tan
b. Kuadran II (90 Sin (90 + ) Cos (90 + ) Tan (90 + ) Cosec (90 + ) Sec (90 + ) Cotan (90 + )
< < 180 ) = Cos = - Sin = - Cotan = Sec = - Cosec = - Tan
f. Kuadran IV (270 Sin (270 + ) Cos (270 + ) Tan (270 + ) Cosec (270 + ) Sec (270 + ) Cotan (270 + )
c. Kuadran II (90 Sin (180 - ) Cos (180 - ) Tan (180 - ) Cosec (180 - ) Sec (180 - ) Cotan (180 - )
< < 180 ) = Sin = - Cos = - Tan = Cosec = - Sec = - Cotan
g. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = -Tan Cosec (360 - ) = - Cosec Sec (360 - ) = Sec Cotan (360 - ) = - Cotan
d. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan Cosec (180 + ) = - Cosec Sec (180 + ) = - Sec Cotan (180 + ) = Cotan
< < 360 ) = - Cos = Sin = - Cotan = - Sec = Cosec = - Tan
h. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (- ) = - Sin Cos (- ) = Cos Tan (- ) = - Tan Cosec (- ) = - Cosec Sec (- ) = Sec Cotan (- ) = - Cotan
Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut : Y Sin :+ Sin :+ Cos : Cos : + Tan : Tan : + O Sin Cos Tan
:::+
X Sin Cos Tan
::+ :-
Contoh: (i) Sin 65
= Cos (90 – 65) = Cos 25
(ii) Cos 120
= Cos (180 – 60) = - Cos 60 = -
(iii) Tan 210
= Tan (180 + 30) = Tan 30 =
(iv) Sin 315
= Sin (360 – 45) = - Sin 45 = -
(v) Cos (-60)
= Cos 60 =
1 2
1 3
3
1 2
2
1 2
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
2
D Nilai Periodik Sin ( Cos ( Tan (
+ k.360 ) = Sin + k.360 ) = Cos + k.180 ) = Tan
;k
B
Contoh: (i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40 (ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60 (iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120
Latihan 1 1. Perhatikan gambar di samping! Tentukan : a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B
C
12
5
B 13
A 2. Jika
lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui : 7 4 a. Sin = 0,5 b. Cos = c. Tan = 25 3
3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = … Sin45 4. =… Cos45 5. Tan 30 + Tan 60 = … 6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = … 7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 ! 8. QR = …cm PQ = …cm
R 12 cm P
300
Q
9. AB = …cm
C 15 cm 300 A
B
10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut ! 120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
Sin
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Cos
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Tan
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
3
2
KOORDINAT KUTUB (POLAR) Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya P(r, ) dengan : r = jarak titik O ke titik P = sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X Y
Y
Y
P(x,y)
P(r,
y O
)
P(r cos
r
x
X
O
r X
O
, r. sin
)
y x
X
Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut : (i) Kartesius P(x, y) r= Tan
Kutub P(r, )
x2
y2 y = x
(ii) Kutub Kartesius P(r, ) P(x, y) x = r.cos y = r.sin
Contoh: 1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub ! Jawab:
y 2 = 42 32 5 3 y Tan = = = Tan -1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87 0,75 4 x Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ). r=
x2
2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) ! Jawab: 1 3 ) = -2 3 x = r cos = 4.cos 150 = 4 (2 1 y = r sin = 4.sin 150 = 4 ( ) = 2 2 Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).
Latihan 2 1. Tentukan koordinat kartesius dari : a. (4, 60 ) c. (8, 300 ) b. (5, 120 ) d. (3 2 , 225 ) 2. Tentukan koordinat kutub dari : a. (1, 3 ) c. (-5 3 , 5) b. (6, -2 3 ) d (-3 2 , -3 6 )
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
4
3
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
A Aturan Sinus A c
B
Pada setiap segitiga ABC berlaku : b
a
a sin A
b sin B
c sin C
C
Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui : (i) sisi, sudut, sudut (ii) sudut, sisi, sudut (iii) sisi, sisi, sudut Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus ! Jawab: a b c sin A sin B sin C a. sin B 15. sin 30 15. 12 15 a b 0,375 (i) sin A = b 20 20 40 sin A sin B A = sin-1 0,375 = 22 (ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 . b. sin C 20 . sin 128 20 .0,788 15,76 b c 31,5 cm (iii) c= sin B sin 30 0,5 0,5 sin B sin C
B Aturan Kosinus Pada setiap segitiga ABC berlaku : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui : (i) sisi, sudut, sisi (ii) sisi, sisi, sisi Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus ! Jawab: (i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64 = 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774 c = 27,8 a 2 c 2 b 2 20 2 (27 ,8) 2 30 2 2 2 2 (ii) b = a + c – 2ac cos B cos B = 2ac 2(20 )( 27 ,8) B = 75,7 (iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
274 1112
0,25
5
Latihan 3 1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC ! 2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 . Tentukan DF, F dan DE ! 3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur berikut! a. panjang sisi a b. besar B c. besar C 4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?
4
LUAS SEGITIGA Pada setiap segitiga ABC berlaku : L
ABC
1 .bc.sin A 2 1 = .ac.sin B 2 1 = .ab.sin C 2
=
Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang diapitnya. Rumus luas L
ABC
ABC jika diketahui ketiga sisinya : =
s(s a)(s b)(s c)
dengan s =
1 (a + b + c) 2
Contoh: Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan
B = 30 !
Jawab: L
ABC
1 ac sin B 2 1 = . 4 . 3 . sin 30 2 1 1 = .4.3. 2 2 = 3 cm2.
=
Latihan 4 1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A ! 2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka tentukan luas ABC ! 3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC ! 4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
6
5
RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut Rumus – rumus : 1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin Tanα Tanβ 5. Tan ( )= 1 Tan Tan Tanα Tanβ 6. Tan ( )= 1 Tan .Tan Contoh: 1. Jika Sin a. Sin ( b. Cos ( c. Tan (
=
6 dan Cos 10 ) ) )
=
12 dengan 13
dan
sudut lancip, hitunglah :
Jawab: 6 8 6 ; Cos = ; Tan = 10 10 8 12 5 5 Cos = ; Sin = ; Tan = 13 13 12 a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 6 12 8 5 72 40 = . + . = 10 13 10 13 130 130 b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 8 12 6 5 96 30 = . . = 10 13 10 13 130 130 Tanα Tanβ c. Tan ( )= 1 Tan Tan 6 5 112 112 56 = 8 12 = 96 66 6 5 66 33 1 . 96 8 12
Sin
=
112 130
56 65
66 130
33 65
2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 ! Jawab: Cos 75 = Cos (45 + 30 ) = Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30 1 1 1 1 3 2. 2. = 2 2 2 2 1 1 6 2 = 4 4 1 2) = ( 6 4 3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Jawab: Cos 110 . Cos 25
Sin 110 . Sin 25 !
Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 =
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
1 2
2
7
4. Jika Tan a. Sin ( b. Cos ( c. Tan ( Jawab:
=
3 dan Tan 4 ) ) )
=
8 , untuk 15
dan
3 3 4 Sin = ; Cos = 4 5 5 8 8 15 Tan = Sin = ; Cos = 15 17 17 a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3 15 4 8 45 32 = . . = 5 17 5 17 85 85 b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin 4 15 3 8 60 24 = . + . = 5 17 5 17 85 85 Tanα Tanβ c. Tan ( )= 1 Tan .Tan 3 8 45 32 13 60 60 = 4 15 3 8 24 84 1 . 1 4 15 60 60
Tan
sudut lancip, hitunglah nilai :
=
13 85 84 85
13 84
5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o ! Jawab: Sin 15o = Sin (45o – 30o) = Sin 45o . Cos 30o Cos 45o . Sin 30o 1 1 1 1 3 2. 2. = 2 2 2 2 1 1 = 6 2 4 4 1 = ( 6 2) 4 6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o ! Jawab: Sin 28 Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o = Cos 56o + Sin 56o. Cos 28 Cos 56 .Cos 28 + Sin 56 .Sin 28 = Cos 28 Cos(56 28) Cos 28 1 = Cos 28 Cos 28
B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Rumus – rumus : 1. Sin 2 = 2.Sin . Cos 2. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = 2 Cos2 - 1 = 1 – 2 Sin2 2.Tanα 3. Tan 2 = 1 Tan 2 α SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
8
Contoh: 1. Nyatakan Sin 3 Jawab: Sin 3 = Sin (2 = Sin 2 = 2.Sin = 2.Sin = 3. Sin = 3. Sin = 3. Sin = 3. Sin
ke dalam Sin
!
+ ) . Cos + Cos 2 . Sin . Cos . Cos + (Cos2 - Sin2 ) .Sin . Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3 . Cos2 - Sin3 (1 – Sin2 ) - Sin3 - 3. Sin3 - Sin3 - 4 Sin3 1 3 , buktikan bahwa Sin 180o = 0 ! 2. Dengan menggunakan Sin 60o = 2 Jawab: Sin 180o = Sin (3 . 60o) Berdasarkan hasil contoh 1: Sin 180o = 3. Sin 60o – 4 . Sin360o 1 1 3)–4( 3 )3 =3( 2 2 3 3 3 -4( 3) = 2 8 3 3 3 3 =0 = 2 2 4 3. Jika Sin = dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini ! 5 a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2 Jawab: 4 3 4 Sin = Cos = dan Tan = 5 5 3 4 3 24 a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. . = 5 5 25 3 4 9 16 7 b. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = ( )2 – ( )2 = 5 5 25 25 25 4 8 8 2 8 9 24 2.Tanα 3 3 3 c. Tan 2 = = 2 2 16 7 3 7 7 1 Tan α 4 1 1 9 9 3
C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Rumus – rumus : 1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( 2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( 3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( 4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( +
) ) - ) )
Contoh: 1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah ! a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30o b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15o Jawab: a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 ) = Sin 5 + Sin
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
9
1 [Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )] 2 1 = [Cos 10 + Cos 6 ] 2 c. 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o) = Sin 90o + Sin 30o 1 d. Cos 105o Cos 15o = [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)] 2 1 = [Cos 120o + Cos 90o] 2 2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini ! a. 2.Sin 75o.Cos 15o b. 2.Cos 120o.Sin 30o c. Cos 135o.Cos 15o Jawab: a. 2.Sin 75o.Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o) 1 2 = Sin 90o + Sin 60o = 1 + 2 b. 2.Cos 120o.Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o) 1 1 = Sin 150o - Sin 90o = -1=2 2 1 c. Cos 135o.Cos 15o = [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)] 2 1 1 1 1 1 3 - ]= = [ Cos 150o + Cos 120o] = [( 3 1) 2 2 2 2 4 b. Cos 8 Cos 2
=
D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus Rumus –rumus : 1 1 (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B) 2 2 1 1 3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B) 2 2
1. Sin A + Sin B = 2 Sin
Contoh: 1. Nyatakan dalam bentuk perkalian ! a. Sin 7A – Sin 5A b. Cos 10 + Cos 6 c. Cos x – Cos y Jawab: 1 1 a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos (7A + 5A) Sin (7A – 5A) 2 2 = 2 Cos 6A Sin A 1 1 b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos (10 + 6 ) Cos (10 - 6 ) 2 2 = 2 Cos 8 Cos 2 1 1 c. Cos x – Cos y = -2 Sin (x + y) Sin (x - y) 2 2
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
10
2. Sederhanakan ! a. Sin 150o + Sin 30o b. Cos 125o + Cos 55o Jawab:
c. Cos 200o - Cos 20o d. Sin 75o - Sin 15o
1 1 (150o + 30o) Cos (150o - 30o) 2 2 1 = 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1. =1 2 1 1 b. Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos (125o + 55o) Cos (125o - 55o) 2 2 = 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0 1 1 c. Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin (200o + 20o) Sin (200o - 20o) 2 2 = -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o 1 1 d. Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos (75o + 15o) Sin (75o - 15o) 2 2 1 1 1 2. 2 = 2 Cos 45o Sin 30o = 2. = 2 2 2 a. Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin
Latihan 5 1. Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o !
3 untuk A sudut lancip, dan Cos B = 5 nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut ! a. Sin (A + B) b. Cos (B – A)
2. Diketahui Sin A =
3. Diketahui Sin A = a. Sin 2A
12 untuk B sudut tumpul. Tentukan 13 c. Tan (A – B)
3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut! 5 b. Cos 2A c. Tan 2A
4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus ! 5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut ! a. Cos 75o + Cos 15o b. Sin 75o + Sin 15o 7 4 dan Tan B = , dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan 24 5 nilai dari bentuk trigonometri berikut ! a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tan (A – B)
6. Diketahui Tan A =
7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut ! Cos75 Cos15 Sin7 A Sin3 A a. b. Sin75 Sin15 Sin9 A Sin3 A 8. Diketahui Sin A =
1 , Cos B = 2
3 , A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai 2
Cos (A – B) !
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
11
6
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
A Identitas Trigonometri Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan . 1 1. Cos2 + Sin2 = 1 4. Sec = Cos Sin 1 Cos 2. Tan = 5. Cotan = Cos Tg Sin 2 2 1 6. 1 + Tan = Sec 3. Cosec = 7. 1 + Cotan2 = Cosec2 Sin Contoh: 1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A =
4 dan A sudut 5
lancip ! Jawab: Cos2A + Sin2A = 1 Cos2A = 1 - Sin2A 1 1 4 16 9 5 Cos2A= 1 – ( )2 = 1 Cosec A = = = 4 Sin A 5 25 25 4 5 9 3 Cos A = 1 5 1 25 5 Sec A = = 3 3 Cos A 3 A lancip Cos A = 5 5 1 1 3 4 Cotan = Tan A 4 4 4 SinA Tan A = = 5 3 3 3 CosA 5 5 2. Jika Sin A = dan 90o < A < 180o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A ! 13 Jawab: 5 25 144 Cos2A = 1 - Sin2A = 1 – ( )2 = 1 13 169 169 144 12 Cos A = 169 13 12 Karena 90o < A < 180o maka Cos A = 13 5 5 SinA Tan A = = 13 12 12 CosA 13 3. Buktikan identitas berikut ini ! a. Tan2A + 1 = Sec2A b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = 2 Jawab: a. Ruas kiri = Tan2A + 1 Sin 2 A Sin 2 A Cos 2 A Sin 2 A Cos 2 A 1 = Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A 1 Sec 2 A = ruas kanan (terbukti) = 2 Cos A
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
12
b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A SinA = . Sin A + Cos A CosA SinA.SinA CosA.CosA = CosA CosA 2 2 Sin A Cos A 1 = CosA CosA = ruas kanan (terbukti)
SecA
c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A = 2 (Sin2A + Cos2A) = 2.1 = 2 = ruas kanan (terbukti)
B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana a. Sin x = Sin
b. Cos x = Cos
c. Tan x = Tan
x1 = + k.360 atau x2 = (180 - ) + k.360 ; k x1 = + k.360 atau x2 = - + k.360 ; k x=
+ k.180 ; k
B
B
B
Contoh: 1. Tentukan penyelesaian dari Sin x =
1 ;0 2
x
360 !
Jawab: 1 2 Sin x = Sin 30
Sin x =
x1 = 30 + k.360 k = 0 x1 = 30 x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360 k = 0 x2 = 150
HP = {30 , 150 } 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x =
1 ;0 2
x
360 !
Jawab: 1 2 Cos 3x = Cos 60
Cos 3x =
(i) 3x1 = 60 + k.360 x1 = 20 + k.120 k = 0 x1 = 20 k = 1 x1 = 140 k = 2 x1 = 260 (ii) 3x2 = -60 + k.360 x2 = -20 + k.120 k = 1 x2 = 100 k = 2 x2 = 220 k = 3 x2 = 340 HP = {20 , 100 , 140o, 220o, 260o, 340o} SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
13
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = Jawab: Tan 2x = 3 Tan 2x = Tan 60o 2x = 60o + k.180o x = 30o + k.90o k = 0 x = 30 k = 1 x = 120 HP = { 30 , 120 }
C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A
3 ;0
x
180 !
Cos B dan Sin A
Sin B
Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah : 1 1 1. Sin A + Sin B = 2 Sin (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B) 2 2 1 1 3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B) 2 2 Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 a. Cos 4x + Cos 2x = 0 b. Sin 3x – Sin x = 0
x
360 !
Jawab; 1 1 (4x + 2x).Cos (4x - 2x) 2 2 = 2 Cos 3x.Cos x Cos 4x + Cos 2x = 0 2 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x = 0 atau Cos x = 0 Cos 3x = 0 Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360 x1 = 30 + k.120 k = 0 x1 = 30 k = 1 x1 = 150 k = 2 x1 = 270 (ii) 3x2 = -90 + k.360 x2 = -30 + k.120 k = 1 x2 = 90 k = 2 x2 = 210 k = 3 x2 = 330 Cos x = 0 Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360 k = 0 x1 = 90 (ii) x2 = -90 + k.360 k = 1 x2 = 270 o o o o HP = {30 , 90 , 150 , 210 , 270o, 330o}
a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
14
1 1 (3x + x) Sin (3x - x) 2 2 = 2 Cos 2x.Sin x Sin 3x – Sin x = 0 2 Cos 2x.Sin x = 0 Cos 2x Sin x = 0 Cos 2x = 0 atau Sin x = 0 Cos 2x = 0 Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360 x 1 = 45 + k.180 k = 0 x1 = 45 k = 1 x1 = 225 (ii) 2 x2 = -90 + k.360 x2 = -45 + k.180 k = 1 x2 = 135 k = 2 x2 = 315 Sin x = 0 Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360 k = 0 x1 = 0 k = 1 x1 = 360 (ii) x2 = (180 – 0) + k.360 = 180 + k.360 k = 0 x2 = 180 HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}
b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos
D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x konstanta dan 0 x 360 . Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut : a Cos x + b Sin x = k Cos (x - ) = k (Cos x.Cos + Sin x.Sin ) = k Cos x.Cos + k Sin x.Sin Dari persamaan di atas , diperoleh : k Cos = a k Sin = b 2 a + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2 = k2 (Cos2 + Sin2 ) = k2 . 1
), dengan k suatu
a2 + b2 = k2 , sehingga k = a 2 b 2 k .Sin b k .Cos a b Tan = . Jadi diperoleh dari Tan . a Dengan demikian maka : a Cos x + b Sin x
= k Cos (x - )
dengan k = Tan
a2
b2 b = a
Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan keadaan kuadran di mana berada. SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
15
Contoh: 1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x ! Jawab: -Cos x + Sin x = k Cos (x - ) a = -1 ; b = 1 = ( 1) 2 (1) 2 2 b 1 Tan = = 1 ( di kuadran II) a 1 = 135o Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o) k=
a2
b2
2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x ! Jawab: 8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - ) a=8;b=6 k=
a2
b2
82 6 2 100 10 3 ( di kuadran I) 4
=
b 6 = a 8 o = 36,89 Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)
Tan
=
3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x =
1 2
2 ;0
x
360 !
Jawab: Cos x + Sin x =
1 2
2
a=1;b=1 k=
a2
Tan
=
b2
= 12 12
2
b 1 = 1 ( di kuadran I) a 1
= 45o Cos x + Sin x = k Cos (x - ) 1 2 Cos (x - 45o) = 2 2 1 2 1 Cos (x - 45o) = 2 2 2 Cos (x - 45o) = Cos 60o (i) x1 - 45o = 60o + k.360o x1 = 105o + k. 360o k = 0 x1 = 105o
(ii) x2 - 45o = -60o + k.360o x2 = -15o + k. 360o k = 1 x2 = 345o
HP = {105o, 345o} 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x Jawab: Cos x - 3 Sin x = 1 a=1;b=- 3 k=
a2
b2
= 12
Tan
=
b = a
3 1
(
3) 2
1 3
3 Sin x = 1 ; 0
x
360 !
2
3 ( di kuadran IV)
= 300o SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
16
Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - ) 2 Cos (x – 300o) = 1 1 Cos (x – 300o) = 2 o Cos (x – 300 ) = Cos 60o (i) x1 - 300o = 60o + k.360o x1 = 360o + k. 360o k = 0 x = 360o
(ii) x2 - 300o = -60o + k.360o x2 = 240o + k. 360o k = 0 x = 240o
HP = { 240o, 360o}
Latihan 6 1.
Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !
2.
Buktikan : Sec2x(1 – Sin4x) – 2 Sin2x = Cos2x !
3.
Tentukan himpunan penyelesaian Sin x =
4.
Diketahui Cos x =
5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x =
1 untuk 0 2
x
1 3 untuk 0 2
x
360 !
360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya ! 1 3 untuk 0 3
x
2 !
6.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 ! 1 a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = c. 3 Tan 3x = -1 2 1 7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan x = 1 untuk 0 x 2 ! 2 8.
Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 a. Sin (60o + x) – Sin (60o – x) = 1 b. Sin 5x – Sin x = 0 c. Cos 4x – Cos 2x = 0
x
360 !
9.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0
x
360 !
10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
x
360 !
17
