SEBARAN NORMAL MERUPAKAN SEBARAN YANG SANGAT PENTING BAIK DALAM TEORI MAUPUN PENERAPAN STATISTIKA BANYAK FENOMENA BIOLOGIS YG MEMBANGKITKA MEMBANGKITKAN N DATA YANG SEBARANNYA MENDEKATI NORMAL GRAFIK SEBARAN NORMAL, KURVA NORMAL JUGA DISEBUT KURVA GAUSS BERBENTUK GENTA ATAU LONCENG LOKASI PUSAT KURVA TERLETAK PADA µ, SEDANG GEMUK KURUSNYA KURVA BERGANTUNG PADA BESARNYA σ 2 (RAGAM) RAGAM YG KECIL MENYEBABKAN KURVANYA TINGGI DAN RAMPING, SEDANG RAGAM YG BESAR MENYEBABKAN KURVANYA PENDEK DAN GEMUK.
Distribusi normal merupakan konstruksi matematis,, artinya distribusi ini diturunkan dari matematis teori matematik dan bukannya dari suatu himpunan data yang nyata
KURVA NORMAL
Nilai-nilai pengamatan (X) terletak pada sumbu horizontal dan frekuensi dinyatakan pada sumbu vertikal Bentuk kurva normal dapat berbeda-beda tergantung dari pembuatan skala pada sumbu horizontal maupun sumbu vertikal Beberapa sifat kurva normal teoritis : 1.imetris ! bersifat genta (bell shaped)" bentuk sebelah menyebelah
dari ttk tengan adalah sama" dengan frekuensi tertinggi terdapat ditengah-tengah dan frekuensi lebih rendah terletak di sebelah menyebelah ttk tengah kurva
2.
#nimodal (satu pun$ak)" dalam arti nilai tengah (ratarata)" median dan modusnya mempunyai nilai yang sama% hal ini berarti rata-rata hitung sama dengan nilainilai yang paling sering mun$ul (modus) dan terletah di tengah-tengah (median)% kurva men&adi dua bagian yang sama" yaitu ' populasi mempunyai nilai diba*ah rata-rata dn ' lainnya mempunyai nilai diatas ratarata
+.
,symtotis" artinya bah*a perpan&angan kurva di kedua sisinya sampai tak terhingga dan kurva tidak akan pernah menyentuh sumbu horizontal
Bentuk Kura Bentuk kura yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga ma!am" 1.esokurtik" merupakan bentuk kurva normal yang biasa" artinya bentuknya merupakan
bentuk antara leptokurti$ dan platykurti$" karena penyebaran penyebaran skor biasa dan tidak ter&adi ke&utan-ke&utan yang berarti ./latykurti$" merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan frekuensi
pada skor-skor yang mendekati mendekati rata-rata sangat ke$il. +.0eptokurtik" merupakan bentuk kurva normal yang merun$ing tinggi karena perbedaan
frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat ke$il
Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian a. Kira-kira 68 !uasnya "erada di antara daera# $ % & dan $ ' & ". Kira-kira (5 !uasnya "erada di antara daera# $ % 2& dan $ ' 2& c. Kira-kira (( !uasnya "erada di antara daera# $ % 3& dan $ ' 3&
#ebaliknya " $% & ariat berada dalam kisaran ' ( %,)*+ -$ & ariat berada dalam kisaran ' ( .,-) -- & ariat berada dalam kisaran ' ( /,$*)
NILAI Z Dengan mengetahui nilai rata0rata, kita dapat menyatakan suatu data 1nilai pengamatan2 X − X dalam nilai mentah 1ra3 s!ore 4 5 xi, =dan nilai penyimpangan terhadap rata0rata 1deiation s!ore 6 , dengan melalui deiation s!ore, kita dapat menentukan nilai deiasi relati7nya terhadap standar deiasinya i
i
Nilai deiasi relati7 inilah yg disebut nilai 8
Rumus untuk menghitung nilai Z Z i =
Z i =
xi S d X i − X S d
A*A+ A* A+
Zi =
Y i − µ
σ d & simpangan "aku
Dengan menggunakan nilai rata-rata bobot badan = 48,92 kg dan Standar deviasi 6,37 kg maka seorang mahasiswa !" #ang bobot badann#a $% &g, maka nilai '-n#a adalah '! = $% ( 48,92 ) 6,37 = %,*69$ !rtin#a bahwa +osisi mahasiswa tersebut dlm kurva terletak ada titik ' = %,*69$
9ika mahasis3a mahasis3a 1B2 dengan bobot +% kg, maka nilai 80nya 80nya adalah " 8B 4 +% : +;,-/ < ),=* 4 0.,+%%= Artinya dalam kura mahasis3a tersebut terletak pada titik 8 4 0.,+%%= >erlu diperhatikan diperhatikan bah3a dalam kura 8, sumbu hori?ontal bukan lagi menyatakan nilai 5 i 1nilai pengamatan2, melainkan nilai 8@ Dengan demikian kita dapat merubah nilai mentah menadi 8 Nilai 8 adalah nilai standard, karena nilai rata0ratanya adalah konstan dan besarnya 4 %@ Demikian uga standard deiasinya uga konstan dan besarnya 4 .
Dalam statistika besaran persen atau persentase kurang la?im digunakan, dan yg lebih sering digunakan adalah angka pe!ahan de!imal@ Dengan demikian luas area diba3ah kura normal tidak dinyatakan dengan .%%& melainkan .,%% Artinya luas area di ba3ah ba 3ah kura antara titik rata0rata dan titik . tidak dinyatakan =+,.= & melainkan %,=+.= Dengan tabel 8 kita bisa melihat luas bagian di ba3ah kura normal antara dua nilai 8
Contoh: Dua mahasiswa (A dan B) dengan bobot badan masing-masing 46 kg dan 50 kg. Berapa persenkah mahasiswa g memepunai memepunai bobot badan antara 46-50! Diketahui standar de"iasi 6#$% kg &ntuk pertanaan berikut kita hitung ni'ai dr kedua mahasiswa tersebut ahasiswa A * A + 46 - 4,#/6#$% + - 0#46 0#46 ahasiswa B * B + 50 4,#/6#$% + 0#1% Dengan tabe' kita 'ihat ni'ai bahwa 'uas area di bawah dari negati2 tak terhingga sampai A + -0#46 ada'ah 0#$, 3uas area di bawah kur"a dari negati2 tak terhingga sampai B + 0#1% ada'ah 0#56%5 . 3uas area dibawah kur"a norma' antara B dan A ada'ah (0#56%5 0#$,) + 0#44% Atau nahasiswa g mempunai bobot antara 46-50 kg ada'ah sebanak 4#4%
#OAL "
Apabila data berdistrib berdistribusi usi normal dengan µ 4 $% dan 4 .%@ Maka hitung peluang mun!ulnya nilai0nilai peubah 5 di antara +$ 1.2 dan )/ 1/2@ #impulkan
D78B D 78B& & 8A 8A7 7A-8A7 A-8A7A A C97 C979; 9;
Nilai rataan suatu !ontoh dengan !ontoh yang lain tidak akan sama 1mendekati hampir sama dengan rata0rata populasi, ika se!ara a!ak kita melakukan melakukan beberapa kali mengadakan penarikan sampel dari suatu populasi Kemungkinan rataan !ontoh satu 1.2 akan lebih tinggi dibanding rata0rata populasi 1'2 dan sebaliknya Untuk itu perlu dipahami beberapa teorema yg merupakan dasar dari dar i statistika in7eren!e 1kesimpulan2, 1kesimpulan2, yakni yang berasal dari teorema limit pusat 1Central Limit heory2 yakni "
2
1 4
3
/
eorem eorema a . 6 Nilai0nilai Nilai0nilai rataan rataan dari banyak banyak !ontoh yang berukuran sama 1n0nya sama2, yg diambil dari suatu populasi yg sebarannya normal, uga akan menyebar
>erhitungan sebelumnya berkisar pada pengamatan indiidu, sehingga pada gambar kura di!antumkan standar deiasi 12, 1 2, sedang σ pada rataan !ontoh diganti dengan Ealat baku rata0rata 1 2 x
61
64
6)
)0
)3
)6
)(
Dari !ontoh terlihat bah3a rata0rata seluruh !ontoh 4 rata0rata populasinya 4 *%6 standar σ deiasi dari nilai0nilai rataan !ontoh 1 2 adalah =@ Fal tersebut tersebut menyatakan menyatakan bah3a galat baku baku rata0rata 1#tandard error o7 the mean2 4 = x
Dengan menggunakan menggunakan tabel 8, kita dapat menentukan menentuka n peluang mun!ulnya nilai rataan !ontoh dalam interal tertentu Contoh " Berapakah peluang kita untuk mendapatkan mendapatk an suatu !ontoh dengan rata0rata s!ore antara );0*$G
Oleh karena rata0rata s!ore bersi7at kon kontinue, tinue, maka untuk telitinya perhitungan, digunakan nilai batas ba3ah untuk s!ore yang rendah dan nilai batas atas untuk s!ore yang tinggi, dengan demikian interalnya antara )*,$ : *$,$ Untuk 5 4 )*,$ 6 8 4 )*,$0*%<= 4 0%,;= Untuk 5 4 *$,$ 6 8 4 *$,$0*%<= 4 .,;= Dengan tabel 8 terlihat bah3a s!ore s !ore antara )*,$ : *$,$ adalah 4 %,-))+ : %,/%== 4 %,*)=. Atau *),=.& peluang kita untuk mendapatkan suatu !ontoh dengan rata0rata s!ore antara );0*$G
PERKIRAAN GALAT BAKU NILAI RATA-RATA CONTOH (ETI!ATE TAN"AR" ERROR THE !EAN#
Rumus untuk memperkir memperkirakan akan nilai standard error o7 the mean, dengan S satu kali menggunakan data dari pengambilan pengambil an !ontoh 1 2 kar karena ena data 1angka22 diambil dari sampel adalah 1angka x
S x =
Sd N
Misal6 dari satu pengambilan sampel dengan N4.%%, X 1 didapatkan nilai rata0rata 1 2 4 $),+ dengan #d 4 =,)@ Berapakah nilai perkiraan galat baku baku rata0ratanya G S x =
+" 1
=
"+
Kegunaan mengatahui galat baku rata0rata adalah untuk menetapkan selang keper!ayaan keper!ayaan untuk nilai rata0 rata populasi
ELANG KEPERCA$AAN #alah satu perma permasalahan salahan dalam statistika statisti ka in7eren!e adalah bagaimana membuat pendugaan
.@
Karena nilai0nilai rataan !ontoh tersebar normal, maka pemahaman tentang peluang dan luas area di ba3ah kura normal dapat diterapkan terhadap distribusi nilai0nilai rataan !ontoh I 6 tentukan interal yang berpusat pada nilai rata0 rata populasi 1µ2 dimana %,-$ dari nilai rataan !ontoh terletak dalam selang tersebut
entukan titik di atas dan di ba3ah dimana nilai0 nilai rataan !ontoh terdapat dalam selang tersebut /@ Dengan menggunakan nilai 8 1 1abel abel 82 diperoleh bah3a area diba3ah kra normal seluas %,-$ dengan pusatnya di tengah0tengah, terdapat antara titik J.,-) dan 0.,-)
=@ Dapat dikatakan bah3a %,-$ nilai0nilai rataan !ontoh σ terletak antara 0.,-) X
σ X
dan J.,-)
σ X +@ Dapat dikatakan bah3a peluang mendapatkan nilai rataan !ontoh, se!ara a!ak, antaraσ antara 0.,-)σ dan J.,-) X
X
adalah %,-$ #ILANE KI>IRCA KI>IRCA AAN %,-$ 4 -$ & #alah satu !ara yang umum digunakan untuk menyatakan menyatak an nilai rata0rata populasi adalah dengan menyatakan selang keper!ayaan -$&
Dengan !ara tersebut kita menentukan suatu selang yg bila seandainya kita mengulangi pengambilan sampel tersebut banyak kali maka, -$& dari interal0 interal yang didapatkan akan men!akup nilai rata0 rata populasi Disebutkan bah3a peluang untuk mendapatkan nilai 8, se!ara a!ak berkisar antara 0.,-) dan .,-) adalah %,-$, pernyataan tersebut dapat dituliskan sbb " >10.,-) 8 .,-)2 4 %,-$ Dibaca : Peluang bahwa nilai Z sama dengan atau lebih besar dari -1,96 dan sama dengan atau lebih kecil dari 1,96 adalah 0,95
Nilai Z ( X X ) 2 S , sehingga 8 dalam persamaan di atas dengan X ) 2 S ( X diganti =
i
−
d
i
−
d
>erlu diingat bah3a kita ki ta tidak membahas data indiidual, melainkan data dari banyak kali X karena pengambilan sampel, oleh X itu, 5i diganti dengan dan diganti dengan 1µ2 i
Dengan demikian persamaan menadi " X i − µ ) ≤ +1"3) = "' P ( −1"3 ≤ σ X
>ersamaan akhir "
P ( X − 1"3σ X ≤ µ ≤ X + 1"3σ X ) =
"3'
Iample "Fitung selang ke keper!ayaa per!ayaan n -$& dari rata0rata bobot badan penduduk laki0laki indonesia de3asa, melalui .%% orang laki0laki indonesia de3asa sebagai sampel yang diambil se!ara a!ak@ a!ak@ Rata0rata 4 $- dan #d4)
.@
Fitung
/@
1 − 1"3 S X dan + 1"3 S X #elang keper!ayaan keper!ayaan -$& terletak t erletak antara titik
S x =
=
"
=@
Maka batas ba3ah selang keper!ayaan -$& adalah $-0 1.,-)%,)2kg 4 $*,;/ kg dan batas atas adalah $-J1.,-)%,)2kg4)%,.; kg
+@
Dapat disebutkan bah3a selang keper!ayaan -$& untuk rata0 rata bobot badan penduduk laki0laki indonesia de3asa dari sampel kita adalah antara $*,;/ dan )%,.; kg@
#impulan lain bah3a dari sekian peluang interal yang kita buat, -$& dari padanya akan memiliki nilai µ yang berada didalamnya #oal " Dengan data yang sama buat selang keper!ayaan -- &
