Secrearía de Edcación Pública Alonso Lujambio Irazábal
Sbsecrearía de Edcación Básica José Fernando González Sánchez
Dirección General de Desarrollo Crriclar Leopoldo F. Rodríguez Gutiérrez
Dirección General de Desarrollo de la Gesión e Innoación Edcaia Juan Martín Martínez Becerra
Dirección General de Maeriales Edcaios María Edith Bernáldez Reyes
Dirección General de Edcación Indígena Rosalinda Morales Garza
Dirección General de Formación Conina de Maesros en Sericio Leticia Gutiérrez Corona
Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas escolares. Casos y perspectivas fe elaborado por la Dirección General de Desarrollo Crriclar, qe perenece a la Sbsecrearía de Edcación Básica, de la Secrearía de Edcación Pública, con la colabo colaboración ración del Cenro de Inesigación y de Esdios Aanzados del Insio Poliécnico Nacional. Coordinación general
Leopoldo F. Rodrígez Giérrez Noemí García García Coordinación académica por la Secrearía de Edcación Pública
Erneso López Orendain Hgo Balbena Corro Coordinación académica por el Cinesa del Insio Poliecnico Nacional
Erneso Sánchez Sánchez Aores
Ángel Gutiérrez Rodríguez•Universidad de valencia, españa Carmen Batanero Bernabeu•Universidad de Granada, españa Ernesto Sánchez Sánchez•cinvestav, ipn, México Gonzalo López Rueda•escUela norMal sUperior de México Mariana Sáiz Roldan•Universidad pedaGóGica nacional, México Salvador Llinares Ciscar•Universidad de alicante, españa Verónica Hoyos Aguilar•Universidad pedaGóGica nacional
Coordinación ediorial
Gisela L. Galicia Diseño de porada e ineriores
Lordes Salas Alexander Corrección de esilo y formación
Leicia Dáila Acosa Primera edición, 2011 D.R. © Secrearía de Edcación Pública, 2011 2011 Argenina 28, Cenro, CP 06020 Cahémoc, México, DF ISBN: 978-607-46 978-607-467-053-0 7-053-0 Hecho en México MAtERIAL GRAtuItO/PROHIBIDA Su vENtA
Índice Presentación
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Introducción
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1. Didáctica de las matemáticas y el profesor p rofesor
de los niveles básicos
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Inrodcción
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un día en la clase de maemáicas de la maesra Carmen
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Las areas en la clase de maemáicas
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El aprendizaje: la relación enre lo maemáico y lo cogniio
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La clra en el salón de clases
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Conclsión: el papel del profesor en el desarrollo de compeencias
2. Sentido numérico y pensamiento algebraico
31 33
Senido nmérico
33
Pensamieno algebraico
44
3. Forma, espacio y medida Aprendizaje de la geomería drane la edcación básica
55 56
Aprendizaje de la medida de magnides drane la edcación básica 67
4. Manejo de la información
75
Datos, grácas y medidas de tendencia central centra l
75
Azar y probabilidad
88
Relaciones de proporcionalidad
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5. La tecnología para el aprendizaje de las matemáticas
105
Senido nmérico
106
Pensamieno algebraico
110
Forma, espacio y medida
113
Azar y probabilidad
119
Relaciones de proporcionalidad
122
6. Pautas para la formación continua de los profesores de matemáticas
125
tareas profesionales del docene
126
Compeencias docenes
128
Opornidades de aprendizaje profesional para el docene
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tres paas para la formación conina de los profesores de maemáicas
Referencias
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Presentación La Secretaría de Educación Pública ( SEP) edita la colección Teoría y práctica curricular de la educación básica , para continuar apoyando la consolidación de la Reforma Integral de la Educación Básica ( RIEB). Su propósito es impulsar la comprensión de los enfoques, campos formativos, asignaturas y contenidos del currículo nacional, apoyar la enseñanza en los distintos campos formativos y asignaturas en los tres niveles de la educación básica (preescolar ( preescolar,, primaria y secundaria) y, y, al mismo tiempo, convertirse en una herramienta útil para fortalecer la actualización y formación continua de los y las docentes en los distintos espacios disciplinares de la educación básica. Con esta serie, la SEP pretende establecer un diálogo entre la producción vanguardista del conocimiento y su aplicación sistemática en las escuelas de educación básica, como una vía más para promover aprendiza jes pertinentes que contribuyan al logro del perfil de egreso y al desarrollo de competencias para la vida al final de este trayecto formativo. Los títulos que conforman la colección han sido cuidadosa c uidadosamente mente ela borados por especialistas a nivel nacional e internacional en los diferentes campos que integran el currículo de educación básica, a fin de apoyar la 6
comprensión de los procesos de transformación curricular que en el marco de la RIEB experimentan docentes, directivos, personal técnico y de apoyo, apoyo, así como alumnos en los jardines de niños y en los planteles de educación primaria y secundaria. Asimismo, se abordan temas relativos a los campos formativos del currículo nacional de la educación básica de las siguientes asignaturas según su distribución en los planes y programas correspondientes: Matemáticas, Ciencias, Formación Formación Cívica y Ética, Historia, Geografía, Artes, y Educación Física. En cada volumen se presenta un panorama panorama actualizado del desarrollo de las didácticas de las asignaturas así como sus enfoques pedagógicos y las sugerencias para su tratamiento en cada nivel educativo. La colección Teoría y práctica curricular de la educación básica se suma a otras acciones de producción de materiales y desarrollo de actividades de actualización con el compromiso de fortalecer la formación continua de los docentes de educación básica, mediante la promoción del análisis y discusión de temas de apoyo didáctico relacionados con el tratamiento de los contenidos de aprendizaje y sus enfoques, a fin de contribuir a mejorar la calidad de la educación básica en México.
Secretaría Secreta ría de Educación Pública 7
Introducción Esimado profesor, esimada profesora, ése es n maerial de apoyo para s aciidad docene, qe le ofrece información infor mación sobre inesigaciones recienes acerca del aprendizaje y de la enseñanza de las maemáicas; los emas de inesigación qe lo inegran forman pare de algnos programas de esdio de los nieles básicos: preescolar,, primaria y secndaria. La enorme canidad de informes pblicados en preescolar el campo de la didácica de las maemáicas —imposible de inclir en ese olmen— obligaron a los aores a exponer pocos casos, pero han raado de dar na perspecia general de cada eje crriclar. En la medida de lo posible, la elección de los emas y las inesigacione i nesigacioness resmidas cmplen res reqisios: 1) claridad de los problemas propesos y reslados obenidos en la inesigación; 2) aplicabilidad en las sesiones de algún grado de la edcación básica; y 3) releancia didácica, en el senido de aporar reslados aliosos, reconocidos por la comnidad, para la comprensión de los problemas qe enfrena la enseñanza y el aprendizaje de las maemáicas en las alas. En el capítulo 1 se identican los tipos de conocimiento que debe desarrollar n profesor de nieles básicos para ener n desempeño compeene en ss areas docenes. El aor se apoya en n fragmeno de n regisro de obseración qe le permie ilsrar cómo se radcen los conocimienos del profesor sobre conenido
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maemáico, aprendizaje de los almnos y gesión de la clase en la promoción de maemáico, na clra maemáica denro del ala. El capítulo 2 se divide en dos partes: en la primera, se dene el sentido numé rico y se ejemplica cómo desarrollarlo, y se exponen los distintos signicados que oman las fracciones; en la segnda, se ofrece na bree caracerización del pen samiento algebraico y se aborda el ema clásico de ecuaciones de primer grado. Para nalizar, se presenta un estudio sobre la generalización en álgebra. El capílo 3 ambién se diide en dos pares: la primera raa acerca del aprendizaje de la geomería; se expone el modelo de van Hiele sobre desarrollo del razonamieno geomérico; y se aborda el ema de la enseñanza y del aprendizaje de la demosración y la isalización en la edcación básica. La segnda pare, sobre el aprendizaje de la medición, resme esdios del aprendizaje de la medición de longitudes, áreas y volúmenes. volúmenes. Al nal se tratan los errores en el cálculo de áreas, y olúmenes donde se aplica inadecadamene la proporcionalidad. El capílo 4 inclye res aparados: a) Datos, grácas y medidas de tendencia cenral, donde se resmen esdios sobre recopilación y organización de daos; b) Azar y probabilidad presena emas (la percepción de la aleaorieda aleaoriedad, d, por ejemplo), adqisición de nociones (espacio mesral y eenos), así como el aprendizaje y las dicultades de las deniciones de probabilidad; y c) Relaciones de proporcionalidad desarrolla n esqema para organizar siaciones de proporcionalidad proporcionalidad.. En el capílo 5 se reisan breemene diferenes esdios relacionados con el so de la ecnología para desarrollar en los esdiane esdianess el senido nmérico con ayda de calcladoras; el pensamieno algebraico con hojas de cálclo; el razonamieno geomérico con Logo y sofware de geomería dinámica; el razonamieno probabilísico con Probability Explorer y Explorer y TinkerPlots; y para nalizar el razonamien razonamiento to proporcioproporcional, ambién apoyándose en Logo Logo.. En el capílo 6 se enncian y analizan las areas profesionales del docene, lo que permite denir las competencias que debe adquirir durante su formación y dede sarrollo profesional. Se describen las caracerísicas qe es necesario considerar para
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crear opornidades de aprendizaje profesional y, por úlimo, se formlan res paas qe deben segirse para formarse y sperarse de forma conina como profesores de maemáicas. Los aores esperamos qe ese maerial proporcione ideas y conocimienos para planear y llear a la prácica los proyecos de clase, pero ambién qe ofrezca la posibilidad de formarse na perspecia general de la inesigación en edcación maemáica.. Eso permiirá maemáica per miirá al docene de la asignara aproechar las neas aporaciones de la inesigación y conerirlas en casos prácicos en s ala.
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1. Didáctica de las matemáticas y el profesor de los
niveles básicos Erneso Sánchez Sánchez, Cinesa, ipn, México Salador Llinares Ciscar, uniersidad de Alicane, España
Introducción La didáctica de las matemáticas abarca múltiples ámbitos de reexión e indagación, ales como el desarrollo de eorías edcaias, el crríclo, la políica edcaia, la formación de profesores, el aprendizaje y la enseñanza de las maemáicas y el aula de matemáticas. Sin embargo, en este capítulo vamos a identicar identic ar las tareas profesionales que denen la enseñanza de las matemáticas y nos centraremos en los conocimienos de didácica de las maemáicas qe peden ser perinenes para el docene de los nieles básicos en la l a realización de esas areas; es decir, expondremos los conocimienos qe ayden al profesor a comprender las siaciones de enseñanza y de aprendizaje de las maemáicas en las alas de edcación pripr imaria y secndaria, y qe pedan ilizar para la oma de decisiones docenes. En el proceso de enseñanza y de aprendizaje qe ocrre en na clase de matemáticas identicamos tres elementos y sus relaciones, generadas en un contexto sociopolíico deerminado: el esdiane, el conenido maemáico y el profesor (llamado triángulo didáctico, didáctico, véase gura 1.1). De manera especíca, en una sisi ación de enseñanza de las maemáicas, n profesor debe gesionar na pare
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del conenido maemáico con el objeio de qe ss esdianes desarrollen desarrollen diferenes dimensiones de lo qe podemos considerar compeencia maemáica. En esos casos, la didácica de las maemáicas modela y esdia las ineracciones enre esos res elemenos y ss relaciones, y proporciona el conocimieno para inerprear, comprender y omar decisiones en dicha siación (Giérrez y Boero, 2006; Leser, 2007).
Docente
Contenido temático
Estudiantes Contexto
Figra 1.1. Elemenos del proceso de enseñanza y de aprendizaje.
El profesor, por medio de los problemas y las aciidades qe planea a ss esdiantes, implementará implementará un currículo que reeje lo que la sociedad demanda a la for mación maemáica de los esdianes. El programa de maemáicas ( sep, 2006:11) se reere a la competencia matemática en los siguientes términos: una compeencia implica n saber hacer (habilidades) con saber (conocimieno), así como la aloración de las consecencias del impaco de ese hacer (alores y acides). En oras palabras, la manifesación de na compeencia reela la pesa en jego de conocimienos, habilidades, acides y alores para el logro de propósios en n conexo dado. Las compeencias moilizan y dirigen odos esos componenes hacia la consección de objeios concreos; son más qe el saber, el saber hacer o el saber ser [....]. La
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moilización de saberes (saber hacer con saber y con conciencia respeco del impaco de ese hacer) se maniesta tanto en situaciones comunes de la vida diaria como en siaciones complejas, y ayda a isalizar n problema, a deerminar los conocimien conocimien-os perinenes para resolerlo, a reorganizarlos en fnción de la siación, así como a exrapolar o preer lo qe fala.
El objeio de ese libro es proporcionar sgerencias para pensar en clases qe faorezcan el desarrollo de esdianes maemáicamene compeenes. compeenes. Por lo cal, la información de ése y los sigienes capílos se pensó para qe los docenes implemenen diferenes decisiones con fndameno para lograr el mismo objeio: qe los almnos aprendan maemáicas a parir de comprenderlas para llegar l legar a ser cidadanos compeenes; es decir, qe aprendan cómo fncionan las maemáicas para qe las prodzcan por ellos mismos y sepan ilizarlas en asnos de s ida profesional y personal, además de apreciar s rigor y belleza. Para organizar y desarrollar el conenido de ese capílo, nos apoyaremos en n fragmeno de regisro de obseración procedene de na clase de 5º. de primaria (almnos de 10 a 11 años de edad). Ese regisro de la clase de la maesra Carmen es na ventana mediane la cual podemos identicar aspectos de la enseñanza de las matemát matemáticas icas que consiconsi deramos releanes para enender lo qe scede en na clase de esa asignara, e identicar el conocimiento de didáctica que puede ser pertinente para poten ciar la compeencia maemáica de los esdianes.
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Un día en la clase de matemáticas de la maestra Carmen La maesra Carmen aiende n grpo de 5º. grado de edcación primaria. En el segndo bloque del programa de matemáticas de este grado, en el tema “Signicado y uso de las operaciones”, y el sbema “Mliplicación y diisión”, se proponen los “conocimienos y las habilidades” sigienes: 2.4 Enconrar las relaciones D = c × d + r (r < d) y ilizarlas para resolver problemas. Los alumnos ya resuelven de manera ecaz divisiones entre números de arias cifras. Por ejemplo, en el ema de la diisión enera (la diisión inexaca) los esdianes selen realizar, realizar, de manera correca, los cálclos en ejercicios como los sigienes: Realiza esas diisiones y haz la preba: a) 23451 : 4
d) 58788 : 69
b) 48623 : 58
e) 17346 : 23
c) 14030 : 46
f) 5572 : 37
En ese ipo de ejercicios, ej ercicios, los almnos de la maesra Carmen selen ilizar con precisión el algorimo de la diisión y son capaces de realizar la preba de la diisión. Sin embargo, se ha dado cuenta de que, al parecer, algunos alumnos tienen dicultades para responder algnas cesiones. Por ejemplo, anicipar qé an grande a a ser el cociene de la diisión; es decir, deerminar de cánas cifras a a esar compeso el cociene, anes de hacer ningún cálculo y saber justicarlo: ¿cuántas cifras va a tener el cociente del ejercicio a anterior?, ¿cuántas tendrá el cociente del ejercicio f? Cuando realizan el algoritmo de la división, a algunos alumnos se les diculta identicar las nidades con las qe esán rabajando en cada momeno. Así, al realizar la diisión del inciso c, cuando escriben lo que aparece en la gura 1.2, tienen dicultades para responder la prepre gna: ¿Qué tipo de unidad es el 23?, así como para justicar y argumentar su respuesta.
Figra 1.2. Diisión parcial.
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Por todo esto, la maestra Carmen decidió centrarse en los signicados de la relación ariméica inclada a la diisión enera (D = dxc + r). Para el inicio de la clase de hoy, planea a ss almnos los sigienes si gienes problemas: Indica los números qe falan en las sigienes expresiones:
661 = 9 × [_]+4 837 = [_]× 64 + 52 302 = 7 × 42 + [_] La maesra Carmen escribe en el pizarrón las expresiones aneriores y pide a ss almnos qe le digan qé número fala en la primera. Algnos almnos leanan la mano y empiezan a decir números para la primera expresión (27, 43, …). La profesora les pide qe justiquen porqué creen que esos números son los adecuados, y solicita que lo compruecomprue ben. Cuando los alumnos realizan las operaciones con el n de vericar que se cumple la primera igaldad para el número 27, se dan cena de qe lo qe obienen de mliplicar 9 por 27 y lego smarle 4 “esá my lejos de 661”. La maesra Carmen pide a ss almnos qe rabajen en eqipos de dos o res inegranes y bsqen números qe cmplan cmplan las igaligal dades. Insise en qe lego explicarán al reso de ss compañeros lo qe han pensado hasa obener los números: lo qe obienen y el procedimieno qe sigieron. Lego de rabajar drane nos minos, la maesra Carmen propone na discsión grpal para comparir los diferenes procedimien procedimienos os sados para aerigar los números qe falan. La profesora pide al eqipo de Inés qe diga cómo lo hicieron. Inés y Manel an al pizarrón y explican: Inés: Hemos probado diferenes números en la abla del 9 y a lo qe salía le smamos 4. se reere a que la suma no da 661 ). Hemos probado con más Pero no daba igal ( se
números, pero odaía no lo hemos enconrado.
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Maesra: ¿Algien pede planear na forma más rápida de aerigar el número qe fala en la primera igaldad? Además, iene qe explicar por qé el procedimien procedimien-o pensado aydaría a resoler el problema. Lcía: (Levanta (Levanta la mano.) mano.) Cesa mcho la manera en qe el eqipo de Inés y Manel esá probando, y pede ser qe nnca acieren; como 661 son 6 cenenas, si mliplicamos 9 por 100, qe es na cenena, se pasa; se pede probar con 80 (Lucía va al pizarrón y hace las operaciones: operaciones: [9 × 80 + 4]). Al obener 724 se pede probar con 70 (hace ( hace las operaciones [9 × 70 + 4]) y el reslado es 634. Ése ( señala señala el número 70) 70) esá más cerca. Paco: (Levanta (Levanta la mano.) mano.) Se podría probar con 60 (varios ( varios compañeros empiezan a protestar ). ). Edardo: 634 es más peqeño qe 661, pero poco. tenemos qe mliplicar por n número n poco mayor qe 70 para no pasarnos (muestra una lista de números que estuvieron probando en su equipo y los resultados que obtuvieron). Noso-
ros nos dimos cena al mirar odos los números qe habíamos probado y lo qe nos salió. Maesra: (Pregunta (Pregunta a Paco.) Paco.) ¿Comprendes lo qe esá diciendo Edardo? ¿Los demás esán de acerdo? Paco: Es erdad. Para qe salga n número n poco mayor qe 634 debemos mliplicar por n número n poco mayor qe 70. Inés: Yo probé con el 73 y me salió (señala en el pizarrón las operaciones que hizo; véase gura 1.3).
Figra 1.3. Comprobación de la solción a la ecación 661 = 9 × [_] + 4.
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Maesra: ¿Cómo lo obise? Inés: Cada ez qe mliplicamos 9 por 70, y lego por 71 el reslado amena en 9, como de 630 a 661 an n poco más de 30, decidí mliplicar por 3 más ( Se reere a multiplicar por 73.) 73.) qe amenaba en 27. Lo probé y salió. La maesra Carmen resme lo qe han hecho drane los úlimos minos. S objeio es qe obseren qe ordenar y organizar los diferenes números qe probaron, y los reslados qe obieron, les permiió realizar na búsqeda con senido del número qe falaba, eiando así ir probando números sin n crierio claro. Además, resala el úlimo razonamieno razonamieno de Inés, quien se apoyó en el cálculo mental y usó la l a relación entre los números para justicar na decisión. La profesora inena qe ss almnos rasladen s aención del reslado al procedimieno sado. Para reforzar eso, a coninación pregna si algún oro eqipo había ilizado oro procedimieno. Ssana pide la palabra: Ssana: Nosoros pensamos qe eníamos qe bscar n número qe al mliplicarlo por 9 le falaran sólo 4 para llegar a 661. Así qe nosoros bscamos bscamos n número qe mliplicado por 9 fera 657. Maesra: (Se (Se dirige a Susana. Susana.)) ve al pizarrón y explica cómo lo hicieron ( susana ( susana realiza la división que aparece en la gura 1.4).
Figra 1.4. Diisión.
Ssana: 73 es el número qe fala, ya qe al mliplicar 73 × 9 sale 657.
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Maesra: (Se (Se dirige a todo el grupo.) grupo.) ¿Se eniende el procedimieno realizado por el eqipo de Ssana? (l(l os alumnos asienten; asienten; ella enfatiza). enfatiza). Lo releane en la manera en la qe el eqipo de Ssana resolió la area es el hecho dever de ver la la expresión ariméica (661 = 9 x [_] + 4) como n odo, y ver ver el el signo igal indicando la eqialencia enre las dos pares de la igaldad. Ahora bsqen el número qe fala en la sigiene igaldad: (837= [_] x 64 + 52). usen calqiera de los dos procedimienos qe reisaron hasa el momeno.
Del fragmeno del regisro de obseración de la clase de la maesra Carmen podemos identicar cuatro dimensiones que la articulan (Fennema y Romberg, 1999), y que nos permitirán generar una reexión sobre el conocimiento de didáctididáctica de las maemáicas qe es perinene para qe el docene promea el desarrollo de la compeencia maemáica de los esdianes en el ala: • Las caracerísicas de las areas maemáicas (problemas, ejercicios, aciidades). • El aprendizaje: la relación enre lo maemáico y lo cogniio en n conexo social. • El desarrollo de na clra maemáica en la clase: las normas y reglas qe rigen el discrso y la comnicación maemáica maemáica en el ala. • El papel del profesor en el desarrollo de clases de maemáicas qe poencien la generación de la compeencia maemáica.
Las tareas en la clase de matemáticas Las areas consiyen las referencias sobre las qe se aricla la enseñanza y, por ano, son n facor fndamenal qe deerminan el aprendizaje. Se eniende por tareas matemáticas los ejercicios, los problemas o las aciidades de conenido maemáico qe se realizan en la clase (no a lo qe radicionalmene se llama la tarea, tarea, qe consise en ejercicios o problemas para resoler en casa). En segida se resalarán caracerísicas caracerísi cas de las areas en s relación con res aspecos
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fndamenales qe inerienen en la aciidad escolar: el conenido, el aprendizaje y la gesión de la clase. a) Contenido. Contenido. Las areas se elaboran o eligen para ofrecer a los esdian esdianes es opornidades de aprendizaje de los diersos conenidos del Programa de estudio de Matemáticas del grado correspondiene; al hacerlo así, se asme qe los emas y concepos qe el programa prescribe son ideas maemáicas cenrales qe los esdianes reqieren aprender. La area qe la maesra Carmen sgirió a ss esdianes cbre pare de los conocimienos y las habilidades prescrios en el segndo bloqe del 5º. grado del Programa de estudio (sep, 2009) qe indica: 2.4 Encontrar las relaciones D= c × d + r (r < d) y utilizarlas para resolver problemas. problemas . Como se erá más adelane, ese ema es fndamenal para la comprensión de la diisión ariméica. b) Aprendizaje. En la elaboración o elección de las areas es imporane considerar los conocimientos conocimi entos que ya poseen los estudiantes y prever posibles dicultades, di cultades, erroerrores y falsas concepciones qe srjan cando las areas se realicen en el salón de clases. Además, es necesario considerar la rayecoria hipoéica del aprendiza je qe esos peden desarrollar al resoler las areas. En relación con esa cesión, los reslados de las inesigaciones sobre didácica de las maemáicas proporcionan conocimieno acerca de las caracerísicas del aprendizaje maemáico de los estudiantes, se identican y caracterizan dicultades, errores comunes y concepciones de esos en cano a diersos emas de las maemáicas escolares (éase la sigiene sección y los demás capílos de ese libro), inclso proporcionan información sobre cómo los esdianes aprenden las maemáicas. una caracerísica de la area qe eligió la maesra Carmen era qe represenaba n desafío para los almnos, anqe podía resolerse a parir de ss conocimienos preios, pes sólo reqería las operaciones de sma, resa y mliplicación; es decir, emas qe ya se ieron en grados aneriores. Sin embargo, la manera en qe se presenó permiió desarrollar en los esdianes procesos
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maemáicos qe poenciaron s comprensión de la diisión y de la perspecia maemáicos esrcral de las expresiones ariméicas. Así, la forma (c = a × + b) en qe la maesra Carmen presenó las igaldades ariméicas en las areas dadas a ss esdianes, colocando las operaciones a la derecha del signo igual, tenía como objetivo intentar superar el signisigni cado qe mchos almnos de primaria dan al signo igal: i gal: como annciando el reslado de na operación ariméica qe debe realizarse de izquierda a derecha (por ejemplo, la expresión 24 + 73 = diculta que la vean indicando una eqialencia enre las dos pares, porqe llea a inerprear el signo = como el reslado de algna operación). La presenación de las aciidades en la forma en qe la profesora lo hizo inena crear conexos para qe los almnos empiecen a desarrollar na interpretación del signo igual para una equivalen cia matemática y no sólo se ea como na isión operaia (ener qe hacer cenas para bscar n reslado). El conexo ilizado fe el de las relaciones ariméicas en la diisión enera (D = dxc + r) mediane n problema qe resló aseqible y esimlane para ss almnos. En oras palabras, la aciidad propuesta por la maestra Carmen a sus alumnos le permitió enfatizar el signicado de las expresiones aritméticas (por ejemplo: 837 = × 64 + 52) como objetos (esrcras) más qe como procedimienos de cálclo qe deben realizarse. En ese senido, na isión esrcral de la igaldad ariméica es lo qe permiió al eqipo de Ssana generar s procedimieno de solción. c) Gestión de la clase. La elaboración y elección de las areas ambién depende de la concepción qe el profesor enga sobre cómo se crean condiciones en el aula para que los estudiantes aprendan y, por tanto, de la exibilidad y las posibilidades qe ofrecen para ser manejadas en clase. La area elegida por la maesra Carmen debe erse, asimismo, desde la perspecia perspeci a en qe la presenó a ss esdianes y la manera en qe gesionó las respesas de ss esdianes. En ese senido, s elección eso giada por la conicción de qe los almnos aprenden resoliendo problemas y creando n
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ambiene de discsión en clase. En consecencia, esperaba qe los esdian esdianes es se compromeieran con la area y se presenaran diferenes procedimienos de solción e, inclso, reslados disinos. Eso permiiría generar la discsión. Con esas ideas, la profesora fe capaz de omar decisiones con base en las diferenes reacciones de ss esdianes frene al problema. Si pensara qe los almnos aprenden mediane explicaciones y despés ejercicios y prácica, qizá hbiera elegido oro ipo de areas, y planeado s gesión en el ala de manera diferene; por ejemplo, na baería de ejercicios para resoler despés de dar na explicación de cómo hacer n caso general.
El aprendizaje: la relación entre lo matemático y lo cognitivo una amplia clase de inesigaciones en didácica de las maemáicas ofrece conocimienos sobre los procesos de aprendizaje de conenidos maemáicos especícos, muchos referidos a tareas muy precisas. La pregunta fundamental "¿Cómo aprenden los niños contenidos matemáticos?" se multiplica en muchas preguntas en las qe se debe precisar el contenido matemático. matemático. Los esdios de didácica, en relación con el aprendizaje en general, prevén dicultades y falsas concepciones en los estudiantes respecto a contenidos especícos y, a veces, también indican cómo ilizar esos conocimienos en la clase y s poencial para la ealación. La siación de la clase de la maesra Carmen nos sire de ejemplo y nos permie sbrayar aspecos qe reqieren considerarse al analizar el aprendizaje. Esos aspecos son: a) El contenido matemático y las dicultades de comprensión del signo de igaldad; b) Las caracerísicas de la implemenación de las areas; y c) La ealación de la aciidad maemáica de los almnos. a) Contenido matemático y la comprensión de signo de igualdad. En la escela sele aprenderse el aspeco operacional de la diisión; eso qiere decir apren-
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der los pasos qe deben segirse para obener el cociene y el reso de n número qe se diide enre oro. En México, ese procedimieno sele llamarse el método de la casita, casita, cya represenación qeda como se mesra:
Por ejemplo, si se diide 428 enre 12, se obiene como cociene 35 y como reso 8; el procedimieno mediane el cal os esdianes obienen esos números qeda represenado de la sigiene manera: 35 12 428 68 8................(1)
En cambio, la formlación esrcral del algoritmo de la división presena n aspeco diferene; dicha formlación se conoce desde la época de Eclides (300 a. C.) y es la sigiene (en lengaje moderno): Dados dos números eneros posiios B y A, con A > 0, exisen dos eneros q > 0 y r, con 0 ≤ r < A, al qe B = q × A + r
un ejemplo de esa proposición se obiene al aplicarla al ejemplo anerior; signica que dados los números 428 y 12 existen los números 35 y 8 (con 8 < 12) al qe: 428 = 35 × 12 + 8…………..(2) La proposición no nos informa sobre el procedimieno a segir para enconrar el cociene y el reso, pero esablece, de manera precisa, la relación esrcral de
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odos los elemenos presenes en la diisión enera en érminos de na igaldad y de las operaciones de mliplicación y sma. La forma de organizar los elemenos de la diisión con resido recerda latécnica la técnica de comprobaciónde comprobación de na diisión. Es my imporane qe los esdianes asocien la expresión (2) a la represenación del procedimieno de la diisión (1) y iceersa, así como qe el procedimieno (1) los llee a la expresión (2). una manera de esablecer y foralecer esos ínclos es mediane los problemas qe la maesra Carmen propso a ss esdianes, esdiane s, en ese caso, pidiéndoles enconrar el alor falane en expresiones similares a la sigiene: 428 = × 12 + 8 un aspeco qe se resolerá en la proposición del algoritmo de la división de Eclides es qe la diisión se formla sólo en érminos de las nociones de mliplicación, sma e igaldad. Sin embargo, esa noción de igaldad conllea dicultades para los estudiantes. Como ya se mencionó, en relación con la ta rea qe la profesora Carmen sgirió a ss almnos, hay dos formas de enender el signo = : na, como un operador, y, dos, como una relación de equivalencia . El signo de igaldad se inerprea a manera de operador cando se mira la pare izqierda de la igaldad como las operaciones que hay que realizar para obener el alor de la pare derecha; en cambio, se inerprea como na relación de equivalencia cando se eniende a manera de proposición qe es erdadera si las expresiones de ambos lados represenan na misma canidad, y falsa cando represenan canidades disinas. En los problemas qe adminisró la maesra Carmen es necesario er al signo de igaldad como na relación de eqialencia, porqe hay qe enconrar n número qe haga erdadera la igaldad. A mchos niños el problema les pede reslar exraño, inclso sin senido, ya qe peden esar acosmbrados a enconrar el signo de igaldad como n operador y no haber enido nnca
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la opornidad de enfrenarse a problemas en los qe se reqiere enenderlo como na relación de eqialencia. Las dicultades con el signicado relacional del signo de igualdad se prepre senan en esdianes de diferenes nieles, desde primaria hasa bachillerao, como lo mesran arios informes de esdios de didácica, como los de Kieran (1981, 2006), y Baroody y Ginsbrg (1983). Recienemene, Seo y Ginsbrg (2003) llearon a cabo na inesigación con esdianes de taiwán de 2º. grado de primaria. Esos aores analizaron cómo se presena el signo de igaldad en los problemas y ejercicios en los exos; cómo enseña y iliza el signo de igaldad na profesora en ss clases de maemáicas; y las concepciones del signo de igaldad de los niños. En segida resmiremos resmiremos esa úlima pare de la inesigación, qe pare de res enreisa enreisas. s. En la primera enreisa, a los niños se les presenó sólo el signo = y se les pidió qe dijeran qé era; 14 de 16 niños respondieron qe era el “signo de igal”. Cando se les pidió explicar qé qería decir dicho signo, sólo dos sgirieron un signicado relacional (es decir, decir, respondieron que “es igual a”); los otros 14 lo lo inerprearon como n símbolo operador; por ejemplo, res respesas de ipo operacional feron: “el reslado es”, “la sma da”, “el oal es”. En la segnda enreisa, el signo = se presenó en ennciados nméricos canónicos de sma o resa de la forma: a+b=c
o
a–b=c
(por ejemplo: 2 + 3 = 5). Los paricipanes en ese caso dieron las mismas respesas qe en la primera enreisa. Los dos niños qe inerprearon el signo igal como n símbolo relacional en la primera enreisa olieron a responder qe signicaba “lo mismo que” y los 14 niños que lo interpretaron como un operador, lo inerprearon de la misma manera.
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En la ercera enreisa, a los almnos se les presenaron ennciados de la forma: o c=a+b c=a–b (por ejemplo: 5 = 2 + 3) y se les pidió qe explicaran qé qería decir la expresión y el signo de igaldad. 13 de los 16 niños respondieron qe la expresión no decía nada; algnos dijeron qe esaba inerida (“La escribió oleada, maesra”, “Debería ponerla al reés, ¿no?”, ec.). Sólo res niños, qe inerprearon el signo de igal como n operador en las primeras enreisas, aceparon qe la expresión c = a + b enía senido y argmenaron qe ya la habían iso en oro lado. Los dos niños qe en la primera y segnda enreisas ieron el signo de igaldad en s aspeco relacional esieron denro de los 13 qe no le encontraron signicado a la expresión. Los autores deducen que no es suciente ener na idea relacional del signo igal, sino qe es necesario familiarizarse con problemas y siaciones en qe el signo se ilice en s forma relacional. El conocimieno maemáico del algorimo de la diisión y del signo de igaldad, mesran la profndidad de la, aparenemene, simple area qe pso la maesra Carmen a ss esdianes. b) Características de la implementación. implementación. No sólo los conocimienos mencionados feron pesos en jego por la profesora Carmen en s lección; ambién la relación enre lo maemáico y lo cogniio, como n aspeco del aprendizaje, qeda reejada por una concepción de cómo adquieren los niños los conocimienconocimienos y na posición sobre cómo deben enseñarse los conenidos maemáicos. maemáicos. No basta con saber los contenidos y las dicultades del tema, ya que la profesora pdo haber dicado en s clase la relación enre el procedimieno de la diisión y la esrcra del algoritmo de la división e insisir con los niños para que lo aprendieran; haber explicado los signicados del signo de igualdad e ilusilus trar con ejemplos cómo a veces el signicado del signo no es llevar a cabo una operación; preparar na baería de ejercicios con odas las arianes posibles
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y organizarlos del más simple (operacional) al más complejo (relacional); poco a poco enseñarles los procedimienos para resolerlos y despés dejar a los niños resoler, indiidalmene, odos los ejercicios, procrando aydarles cando tuvieran dicultades. Sin embargo, de seguro ella sabe que los conocimientos adquiridos de esta manera no son tan ecaces para desarrollar un pensamiento maemáico, como lo es qe los esdianes resolieran los problemas con ss propios recrsos, conocieran procedimienos de oros y discieran la alidez y calidad de los reslados y procedimienos qe permiieron alcanzarlos. c) Evaluación de la actividad matemática de los alumnos. Deerminar en qé medida los esdianes aprendieron el conenido de la enseñanza para asignarles una calicación ha sido, durante mucho tiempo, el objetivo de la evaluación. Pero, las neas endencias de la ealación sgieren qe s propósio principal es ser un medio para obtener información y llegar a conocer las dicultades y concepciones de los esdianes, y hacer n segimieno de s aprendizaje (Llinares y Sánchez, 1998; Giménez, 1992). Ese conocimieno permiiría al docene ajsar s proyeco de enseñanza para opimizar los reslados. Se mencionó qe el propósio de la ealación es conocer los aprendizajes alcanzados por los estudiantes, pero también las dicultades para aprender los contenidos es pecícos, así como las concepciones que tienen acerca de ellos, esto facilita la oma de decisiones del profesor, ss esraegias para mejorar la clase y la asignación de calicaciones. La area qe la maesra Carmen eligió para rabajar con ss almnos le permiió darse cena de qe los almnos no asocian la expresión c = a × + b con la diisión con resto con resto de c entre a, a, a pesar de qe poseen los anecedenes para hacerlo. también le aydó a obserar qe los esdianes descbren esraegias propias y las peden comparar con oras de ss compañeros y ealarlas. Por ora pare, la pesa en común de los diferenes procedimienos de resolción enconrados por los eqipos en clase crea la opornidad para qe los almnos justiquen sus propuestas; además, con la petición de la maestra Carmen a sus
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esdianes de qe argmenen lo qe se hace, le permie obener información sobre la comprensión de ss almnos de las diferenes ideas maemáicas. Ese aspeco es releane porqe, para ealar la resolción de problemas, la profesora debe ir más allá de recopilar las respesas escrias de ss almnos y apoyarse en las explicaciones qe los diferenes almnos realizan en clase.
La cultura en el salón de clases Se ieron dos aspecos imporanes de la didácica de las maemáicas para la aciidad docene del profesor: la naraleza de las areas y los elemenos para s aprendizaje.. Ahora se adopará n pno de isa más global al cenrar la aención aprendizaje en la noción de cultura matemática en la clase de matemáticas; matemáticas ; ésa inclye n conjunto de signicados compartidos acerca de las interacciones i nteracciones entre los profesoprofesores, los alumnos y el contenido matemático dentro del salón de clases; tales signisigni cados deerminan los comporamienos qe ahí se prodcen y s efeciidad. La clra maemáica en la clase esá deerminada por los sigienes aspecos: aspecos: • Aciidad dirigida hacia ideas maemáicas cenrales. • Deerminadas caracerísicas de la ineracción. • Aciidad cogniia desarrollada a parir del conenido maemáico. maemáico. • Esablecimieno de normas sociomaemáicas. • Aciidad con la qe el profesor ayda a crear normas sociomaemáicas (por ejemplo, cómo se deermina la erdad maemáica maemáica en el ala).
Actividad dirigida hacia ideas matemáticas centrales. centrales. En las diferenes áreas de las maemáicas hay ideas qe son la base para comprender oras mchas nociones maemáicas y qe es deseable qe odos los esdianes adqieran y manejen a n niel más o menos profndo. La mayoría de esas ideas se sgieren en los programas de esdio, aparecen por primera ez en el grado escolar en qe se considera qe los
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esdianes son madros para comprenderlas, y lego se inclyen reieradamene en grados sbsecenes, pero de manera más compleja o elaborada. Por ejemplo, las nociones de número (enero, racional), de gura geométrica, de variable variable,, de probabilidad y de de datos datos,, a parir de s aparición en algún grado escolar se elen a reisar a lo largo de arios grados. Hay oras ideas, llamadas transversales qe esán, o deberían estar, presentes en cualquier grado, que aun cuando no se reeren a contenidos es pecícos forman parte integral de la actividad matemática; tales ideas se identican con las expresiones: resolución expresiones: resolución de problemas, problemas, representación representación,, comunicación comunicación,, manejo de técnicas, técnicas, justicación y argumentación argumentación.. En ocasiones, hay oras ideas qe peden no esar explíciamene en los programas, sin embargo, en la inesigación didácica se reela s imporancia. Ese es el caso de las nociones de igualdad en ariméica y álgebra, visualización en geomería, aleatoriedad en probabilidad y variación en esadística, entre otros. La identicación y selección de las ideas i deas centrales y su posterior tratraamieno aydan a consrir la clra del salón de clases al poner el foco de aención en lo qe es releane para el desarrollo de la compeencia maemáica. La maesra Carmen dirige la aención de ss almnos hacia las ideas maemáicas qe considera releanes en esa siación (organizar información, explicar y evaluar resultados; el signicado del signo = como na eqialencia). Consige esto cuando ella solicita a sus alumnos, de manera sistemática, que justiquen o argmenen argmene n ss decisiones (¿Qué estás pensando para hacer esto? ¿Por qué crees que esto funcionará?). La peición qe hace al grpo, a parir de la primera inerención de Inés y la respesa dada por el eqipo de Lcía, es na manifesación de ese hecho. Lcía propone na explicación matemática que justica la dedecisión qe oma cando se bsca el número adecado qe cmpla la primera igualdad. En esta primera parte de la lección, Lucía sabe que debe justicar las dede cisiones omadas y se apoya en s conocimieno del alor de posición en el sisema de numeración decimal. Aunque la estrategia propuesta no es totalmente ecaz, pone de maniesto que el equipo de Lucía y el de Inés pueden empezar a manejar las ideas maemáicas releanes de esa siación.
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Favorecer determinadas características de la interacción. interacción . una pare imporane de la clra del salón de clases esá deerminada por la manera en qe la profesora es capaz de favorecer una interacción especíca entre los estudiantes, y enre ellos y el conenido maemáico, mediane la colaboración y la discusión discusión.. De esa manera, las caracerísicas de la ineracción se deerminan deer minan por la gesión qe el docene hace de la lección diseñada, ss decisiones ane eenos impreisos ocrridos en clase y la aciidad qe desarrollan los esdianes. Es decir, decir, la clra del salón de clases qeda deerminada por la manera en qe se gesiona y realiza la siación de enseñanza y de aprendizaje. En pariclar, algnas caracerísicas son las sigienes. El docene: • Proporciona deerminado ipo de apoyo para el desarrollo de las areas qe los esdianes deben realizar. • Establece tiempo suciente para que los alumnos mejoren sus propios procediprocedimienos. • Mantiene, permanentemente, permanentemente, la exigencia de que los alumnos argumenten, argumenten, justijustiqen o expliqen de manera adecada los procedimienos qe sigieron.
En el fragmeno de regisro de clase ya descrio, la manera en la qe la maesra Carmen gesionó la siación de enseñanza como de resolción de problemas, permiió resalar aspecos de la relación enre los esdianes, el conenido maemáico y ella misma, qe aydan a desarrollar na deerminada clra maemáica en el ala. Por ejemplo, dio opornidades a ss almnos para hablar de matemáticas y qe organizaran daos de na deerminada manera para les aydara a obener información releane y resoler la l a area. Además, les permiió y dio iempo —al planearles la resolción de la segnda igaldad— para qe compararan la ecacia de los procedimientos que utilizaron en la resolución de la primera igaldad. La posibilidad de poner en fncionamieno los dos procedimienos en la resolción de la segnda igaldad crea el conexo para hablar de las enajas y
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limiaciones de los procedimienos, inrodcir la idea de expresiones equivalentes y sbrayar el poencial de generar y organizar información. Así, la profesora esablece relaciones de apoyo y conanza con los estudiantes. Establecer normas sociomatemáticas. sociomatemáticas . un aspeco inrínseco a la manera en qe se genera la interacción y ayuda a congurar una determinada cultura en el aula de maemáicas maemá icas son las normas sociomaemáicas, sociomaemáicas, reglas —algnas eces implícias— qe rigen la comnicación en el ala y deerminan lo qe los esdianes peden llegar a concebir como na aciidad maemáica erdadera erdadera y lo qe es o no lício hacer en na clase de maemáicas en relación con las maemáicas qe deben aprenderse.. Por ejemplo: aprenderse • El conencimieno de qe el grpo enero debe alorar las ideas expesas y los méodos sados. • Los almnos eligen y compa comparen ren diferenes méodos de resolción. • Los errores al realizar las areas y de comprensión forman pare del proceso de aprendizaje. • La argmenación y la explicación maemáica es la qe fndamena la corrección del error.
En la clase, la maesra Carmen esablece normas de respeo y aloración de las ideas de los demás. De las ideas qe cada eqipo propone p ropone se considera lo qe impora y se sbraya lo qe pede ser genino de cada aproximación. Por ejemplo, con la propesa p ropesa del eqipo de Edardo en la qe se resala el papel qe pede ener el organizar la información de manera adecada para obener información releane y resoler la area; o en la úlima respesa de Inés, donde se resalan las relaciones nméricas en qe se apoyaba s propesa, propesa, así como la esimación y el cálclo menal. Esa forma de acar de manera sisemáica a lo largo del crso permite a los alumnos desarrollar conanza en sí mismos como solucionadores de
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problemas, lo que se traduce en conanza al formular preguntas y hacer propuespropuesas para la resolción de los problemas.
Conclusión: el papel del proesor en el desarrollo de competencias Las areas, el aprendizaje, la gesión y la ealación consiyen componenes componenes principales de la didácica de las maemáicas qe conciernen direcamene a la aciidad del profesor y qe debe considerar a la hora de hacer s proyeco docene. tales componenes se radcen en los sigienes deberes del maesro: • Crear ambienes de aprendizaje en el ala de maemáicas. • Lograr que los estudiantes reexionen sobre las matemáticas que están haciendo. • Propiciar la comnicación de las ideas maemá maemáicas icas qe se prodcen en el ala. • Ealar el niel de comprensión de los concepos maemáicos qe alcanzan ss esdianes.
Para desempeñar ese papel es fndamenal qe el docene conozca el conenido maemáico maemáico qe debe ser aprendido por los esdianes y sepa qé conocimieno didácico posee en relación con dicho conenido, pes esos le permiirán seleccionar areas para generar aciidades maemáicas, gesionar la comnicación y el discrso maemáico en el ala, ealar el desempeño de ss esdianes y enconrar formas de mejorar las areas y s propia gesión de la clase. En los sigienes capílos se describirá n conjno imporane de reslados de la inesigación en didácica de las maemáicas qe forman pare del conocimieno didáctico que es fundamental que el docente adquiera, con el n de que esté mejor preparado para cmplir con las responsabilidades qe se enmeraron anes. En la exposición de ales reslados se enconrarán elemenos de diersos ipos qe podrán ilizase como base para diseñar aciidades de clase, pero cabe
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desacar qe reqieren ciera elaboración para adaparse y aplicarse al enorno especíco en que el profesor desarrolla su actividad. Esta tarea de adaptación será realizada por el docene. El conenido iso en ese capílo pede ser na gía para llear a cabo dicha area.
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2. Sentido numérico y pensamiento
algebraico Erneso Sánchez Sánchez, Cinesa, IPN verónica Hoyos Agilar, uniersidad Pedagógica Nacional Gonzalo López Reda, Escela Normal Sperior de México
Sentido numérico La ariméica iene n lgar priilegiado en las maemáicas de los nieles básicos; los docenes, los elaboradores del crríclo, los inesigadores y odos los qe opinan e inuyen en la educación reconocen su importancia fundamental para la ida diaria, la formación y el desempeño profesional, y cliar el pensamieno cientíco. El aprendizaje y la enseñanza de la ariméica es el área de la didácica de las maemáicas qe más se ha esdiado; las operaciones con n solo dígio, las operaciones con números de dos y más dígios, la esimación, el senido nmérico, la resolción de problemas, son emas de esa exensa área de la didácica. Ese apartado se dedicará especícamente al sentido numérico. El sentido El sentido numérico consise en los conocimienos, las habilidades y las iniciones qe na persona desarrolla acerca de los números y ss operaciones, jno con la habilidad e inclinación hacia el empleo del conocimieno nmérico, de manera exible para formular proposiciones matemáticas, desarrollar estrategias útiles para maniplar números, realizar operaciones y resoler problemas. Algien con senido nmérico iliza los números y méodos caniaios como n medio de comni-
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cación, procesamieno e inerpreación de información; además, esá conencido de qe las maemáicas son úiles y aprecia s belleza. McInosh, Reys y Reys (1992) proponen n modelo en qe se disingen res componenes fndamenales fndamenales del senido nmérico: a) El concepto de número. Consise en el conocimieno de, y la facilidad con, los números. En este componente se incluyen habilidades para identicar, saber y manejar el orden de los números, las diersas represenaciones de n mismo número, las magnides relaias y absolas, y n sisema de esraegias para acoar números. b) Las operaciones con números. números . Es el conocimieno y la facilidad para las operaciones. Inclye la comprensión del efeco de las operaciones en los reslados, el conocimieno de las propiedades de la operaciones (conmaiidad, asociaiidad y disribción), s aplicación en la creación de procedimienos de esimación y cálclo menal, y enender las relaciones qe hay enre las operaciones. c) Las aplicaciones de los números y sus operaciones en la solución de problemas. problemas. Es la aplicación de los conocim conocimienos ienos sobre los números y ss operaciones en siaciosi aciones qe reqieren n manejo caniaio. Inolcra habilidades como deerminar la operación necesaria en relación con el conexo de n problema; ser consciene de qe exise más de n camino correco para enconrar na solción; ser proclive a utilizar métodos o representaciones cada vez más ecientes; y, nalmente, la inclinación para reisar los daos y reslados en fnción del conexo original.
Anqe el senido nmérico implica habilidades complejas, s desarrollo comienza desde anes de ingresar a la escela y coninúa a lo largo de oda la primaria. Exise descripciones dealladas de cómo los niños progresan en la l a habilidad de operar con dígios. thompson (1999) describe el proceso por el qe se pasa para dominar la sma: en el niel más básico ilizan maerial concreo, en n segndo niel, cenan sin maerial reciando la serie nmérica ilizando esraegias cada
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vez más simplicadas hasta llegar a la automatización. Durante el aprendizaje de ese proceso los niños aplican y desarrollan conocimienos ariméicos informales qe el profesor debe saber obserar y poenciar. un ejemplo lo mesran Baroody y tiilikainen (2003), qienes mencionan el caso de Alexi (7 años), qien no había comenzado aún s enseñanza formal de las operaciones. Se le pidió que dijera qué número va en la tarjeta blanca de la gura 2.1.
6 + 3 = Figra 2.1.
El niño dijo qe en la arjea debía ir el 8. Se le pidió qe realizara la sma; enonces conó los 5 dedos de s mano izqierda y agregó oro dedo de la mano derecha, despés agregó oros 3 dedos de la mano derecha y conó; al erminar dijo ddoso ¿Nueve? ¿Nueve? Yo pienso que 4 + 5 son 9. En ese sencillo episodio, los aores en n ejemplo del ipo de opornidades qe el profesor pede ilizar para aydar al niño a enriqecer ss conocimienos ariméicos y senido nmérico; explican qe la respesa 8 pdo haber sido na conjera del niño basada en s conocimieno de qe “el reslado de na sma es más grande qe calqiera de los smandos”; con base en ese speso, los aores comenan comenan qe Alexi iba en la dirección correca. Despés, Despés, el niño realizó el procedimieno de smar con los dedos, probablemene adqirido anes o inenado en ese momeno con base en conocimienos informales preios. Los aores desacan qe algo sorprendene es qe Alexi, como reslado de ejecar s procedimieno, se dio cena de qe la combinación 4 + 5 ambién prodce 9, y enonces asoció las combinaciones 6 + 3 y 4 + 5; esa relación se incorporó a ss conocimienos acerca de la sma; pero ese conocimieno ambién llea a la idea más general de qe smas con diferenes combinaciones de números peden llear al mismo reslado. Ese es n ejemplo del sinnúmero de procesos qe
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ocrren en las aciidades ariméicas de los niños, mismos qe si son deecados y bien encaminados por el profesor, llean al desarrollo del senido nmérico de los esdianes. En calqier ema de ariméica peden peden enconrarse areas, areas, y formas de gesionarlas en clase, para desarrollar el senido nmérico. En pariclar, el esdio de los números decimales es de gran imporancia, por s riqeza, ss aplicaciones y s posición esraégica en el desarrollo de las maemáicas. Para mosrar de manera más concrea en qé consise y cómo se obseran algnos aspecos del senido nmérico de los esdianes con los números decimales, en segida presenamos pare de na inesigación de Reys y Yang (1998), qienes llearon a cabo n esdio con almnos de sexo grado de primaria y segndo grado de secndaria en taiwán. En ese país el sisema de edcación básica es similar al de México. El problema qe se formlaron for mlaron los inesigadores consisió en enconrar las relaciones enre el desempeño de los esdianes en la realización de operaciones por escrio y la posesión o no de n senido nmérico, pes obseraron qe los maesros priilegian el aprendizaje de algorimos y relegan el desarrollo del senido nmérico de ss esdianes. El esdio consisió en aplicar dos prebas a 115 almnos de sexo grado y 119 de segndo grado de secndaria, na para ealar el desempeño con los algorimos escrios, la ora para ealar el senido nmérico. Enconraron n desempeñ desempeño o signicativamente signicativame nte superior en la prueba de algoritmos respecto a la que evalúa el sentido numérico. Con base en los resultados de estas pruebas se clasicó a los es dianes en na de res caegorías de acerdo con s desempeño en las prebas: nieles bajo, medio y alo. Despés se eligieron nee almnos de niel alo y ocho de niel medio para enreisarlos y obserar cómo aplicaban s senido nmérico en la solción de algnos problemas. A coninación eremos ejemplos de los problemas qe ilizaron ya qe mesran cómo se ealúa el senido nmérico y cómo piensan los esdianes de los diferenes nieles.
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La sigiene pregna la inclyen para explorar la componene “El concepo de número”: ¿Cuántos números decimales hay entre 1.42 y 1.43? Los almnos de alo niel de los dos grados no ieron problema en responder qe hay n número innito de decimales, por ejemplo, un estudiante argumentó así: Los decimales pueden ser innitamente extendidos 1.421, 1.4211, 1.42111… Se puede añadir calqier número despés del 2 de 1.42. Esos decimales peden exenderse a mchos oros decimales diferenes enre 1.42 y 1.43. Por ejemplo 1.421, 1.422,… 1.4211… odos esán enre 1.42 y 1.43.
Seis esdianes de ocao grado, de niel medio, creían qe sólo hay nee números decimales enre 1.42 y 1.43; sosenían qe los únicos decimales enre 1.42 y 1.43 son 1.421, 1.422, 1.423… 1.429. Cando se les sgirió qe bscaran oros feron incapaces de hacerlo. Dos esdianes de secndaria de niel medio dijeron qe no había ningún número enre 1.42 y 1.43, no de ellos dijo: ¡No! el scesor de 1.42 es 1.43, por lo ano no hay decimales enre ellos.
un problema del mismo ipo pero referido a fracciones fe el sigiene: ¿Cuántas fracciones hay entre 2/ 5 y 3/ 5? En esa pregna neamene los esdianes del nivel alto dijeron que había un número innito de fracciones entre las fracciones dadas. una respesa fe: 21/5 = 21/50, 22/5 = 22/50… 29/5 = 29/50 son fracciones enre 2/5 y 3/5. Se peden cambiar los denominadores de las fracciones, por ejemplo: 2/5 =
400/1000
y 3/5 =
600/1000,
enonces 401/1000, 402/1000, 403/1000… esán enre 2/5 y 3/5. Por lo tanto, hay un innito de fracciones enre 2/5 y 3/5.
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En cambio, ningún esdiane de niel medio fe capaz de responder correcamene esa pregna; la mayoría creía qe 3/5 es la fracción qe sige a 2/5, por ejemplo: La diferencia enre 2 y 3 es 1. Enonces la fracción qe sige a 2/5 es 3/5. Por lo ano, no hay fracciones enre 2/5 y 3/5.
En relación con la habilidad de conar con n sisema para acoar números, de la ercera componene del modelo iso arriba, se inclyeron pregnas como: - Sin calclar calclar la respesa respesa exaca, exaca, ¿piensas qe el prodco 72 × 0.46 es más qe qe 36 o es menos qe 36? - Sin calclar la respesa exaca, ¿piensas qe 62/5 ÷ 15/16 es mayor qe 62/5 o es menor qe 62/5? - Sin calclar la respesa respesa exaca, ¿crees qe la s sma ma 5/11 + 3/7 es mayor qe 1/2 o menor qe 1/2 ?
Seis de nee esdianes de alo niel ilizaron adecadamene procedimienos para responder respon der,, mienras qe sólo no de niel medio medi o enía n sisema para hacerlo. Los aores conclyeron qe anqe mchos esdianes se desempeñan más o menos bien en algorimos escrios, no han desarrollado s senido nmérico. Se pede conclir ese aparado con la recomendación de qe el profesor inclya en su proyecto de enseñanza actividades especícas para ofrecer la oportunidad a sus estudiantes de desarrollar un sentido numérico; para este n, los problemas mostrados en la inesigación referida peden dar na idea de cómo elaborar esas aciidades. Signicados de las fracciones . El área de las maemáicas elemenales de mayor
riqeza y complejidad es el de las fracciones, razones y proporciones. Esa complejidad se reeja en el hecho de que las fracciones se pueden ver con varios signicados.
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Con ayda de n análisis maemáico y didácico emergen cinco formas en las qe se peden pensar las fracciones: relación fracciones: relación parte-todo, parte-todo, cociente cociente,, medida medida,, operador operador yy razón.. Cabe mencionar qe esas caegorías son úiles para comprender la comple razón jidad de las fracciones, pero no se deben pensar como caegorías exclyenes, pes en n solo problema na fracción podría presenarse con dos o más de los aneriores signicados. En este apartado aclararemos en qué consisten dichos signicados. Las fracciones describen na relación na relación parte-todo cando na nidad o oalidad se descompone en pares igales y la fracción indica na o arias de esas partes. Este es el signicado más elemental de una fracción; los niños aprenden a identicar en una gura —círculo, rectángulo y otras— una parte sombreada coco rrespondiene a na fracción niaria (n medio, n ercio, n caro, ec.), despés a reconocer y omar arias de esas pares. tal acercamieno, anqe imporane, en ocasiones origina algnas ideas erróneas; por ejemplo, en el manejo de la nidad. Mack (1990) informa de n esdio cyo propósio fe enseñar a smar y resar fracciones con base en el conocimieno informal de seis esdianes de 6º. grado. Se enconró qe anqe los escolares conocían represenaciones, procedimienos y símbolos sobre las fracciones, no relacionaban adecadamene esos conocimientos. Una observación importante fue la dicultad que tenían para identic ident icar ar la l a unidad en situaciones representadas representadas de manera manera concreta y de forma simbólica. Aaron piensa qe “como las fracciones son na pare del odo, siempre son menores [que el todo]”. Una idea parecida pudo haber inuido en que la pripri mera respuesta de Julia al problema de la gura 2.2. fuera 5/8.
Figra 2.2. Problema: ¿Qé pare esá sombreada?
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El enreisador le dice qe, en realidad, cada círclo es na pizza, enonces Jlia responde qe hay 11/4 de pizza. Ella asmió en principio e inconscienemene qe la nidad esaba formada por los dos círclos, pero en el conexo familiar de las pizzas, le resultó natural identicar un círculo como unidad. El signicado de las fracciones como cociente ocurre cuando se identican las relaciones enre na siación de diisión y na fracción como represenación de s cociene; de manera simbólica: El coci c ocien ene e de la dii d iisió sión na— : b es igal a la fracción a/b para toda a, a , b en enteros entero s y b =⁄ 0
Este signicado de las fracciones se asocia a las situaciones de reparto equitativo (por ejemplo, inerprear a/b como reparir a reparir a [galleas] enre b [niños]), pero esas siaciones no son sucientes para construir ese signicado. signi cado. En efecto, el signicado abarca oras siaciones y oros esqemas, en especial, el de fracción como cociene se asocia a las siaciones de diisión enre eneros y despés a la diisión enre racionales. Toluk y Middleton (2001) hicieron un estudio sobre la construcción del signicasignicado de las fracciones como cociene por pare de niños de 5º. Con base en ss observaciones proponen un esquema (gura 2.3.), donde representa una progresión y conexiones entre signicados y esquemas de las fracciones y divisiones que culmina en la construcción del signicado de una fracción como cociente. La inerpreación de na fracción como relación parte-todo se io en el aparado anerior. El esqema de cociente como número entero ocrre cando los niños piensan qe el reslado de na diisión es n enero (posiblemene con reso) y peden obenerlo, así como qe na diisión iene senido cando el dividendo es más grande qe el divisor . El esqema de fracción como un reparto equitativo se da al diidir nidades en pares alícoas; anqe los niños son capaces de enconrar solciones a esas siaciones, cando se pide qe las escriban no las simbolizan en forma de fracción. Al principio, las siaciones qe ienen senido para los
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niños son aqellas cyo reslado es menor qe la nidad, porqe no conciben las siaciones de reparo eqiaio como n caso de diisión, an cando sean capaces de enconrar el cociene en érminos de fracciones diidiendo na nidad. El esquema de cociente fraccional ocrre cando los niños escriben en forma for ma de fracción la solción de problemas de diisión en conexos de reparo. El esquema de división como fracción se presena cando se anicipa el cociene de na siación de diisión sin ilizar ningún procedimieno algorímico; los niños llegan a hacerlo despés de qe son capaces de simbolizar la solción de siaciones de reparo con na fracción menor qe no. El esqema se resme en n razonamieno como el sigiene: “si calqier canidad a se diide en b grpos igales enonces el cociene es a/b”. ?
Diisión como número a— : b = a/b para odo a, b Fracción como diisión a/b = a — : b, para oda a/b
Diisión como fracción a— : b = a/b si a/b < 1
Fracción como reparo eqiaio
Cociene fraccional
Fracción como relación pare-odo
Cociene como número enero
Figura 2.3. Progresión de la construcción del signicado de fracción como cociene (tolk y Middleon, 2001).
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Finalmene, el esquema de división como número ocrre al concebir na diisión como fracción y iceersa; eso implica reconocer las diisiones con diidendo mayor qe diisor como fracciones (impropias), y fracciones propias a manera de diisiones con diidendo menor qe el diisor. Las fracciones como medida se dan cando se represena el número de nidades y pares de la nidad de na clase (longid, área, olmen, iempo, ec.) qe cbren o aproximan na canidad cani dad de la misma clase. La coordinación de aciidades de medida con el so de fracciones promee las conexiones enre dos imporanes áreas de las maemáicas. En n esdio cyo objeio era promoer la comprensión de la noción de medida con niños de 5º. grado, Lehrer, Jaslow y Cris (2003) describen na secencia prooípica para desarrollar la noción de medida de longid. En n primer paso, se raó de medir algo caminando; es decir, deerminar na longid a parir de cános pies del niño cabían; lego se ssiyó el pie por na ira de papel y se midió; en n ercer paso, se hicieron sbdiisiones para lograr na mejor aproximación de la medida del objeo; en ese paso enró la fracción como na noción necesaria para coninar el proceso. La aciidad sigió de manera qe se presenaron operaciones con fracciones; por ejemplo, el prodco de fracciones sencillas se presenó cando se habló de: “la miad de la miad de la nidad es n caro de la nidad”. El conexo de aciidades de medida es ideal para la profndización de la noción de fracción. Las fracciones son isas como operador operador cuando cuando actúan para modicar un eses ado o siación. Behr y oros (1993) indican qe los problemas qe san las fracciones como operador selen reqerir solciones de arios pasos; para lo cal ofrecen el sigiene ejemplo: Mchas marcas de chicles enden s prodco en paqees de 5 piezas por paqee. Jana iene 8 paqees. María iene 3/4 pares de lo qe iene Jana. ¿Cános paqees iene María? ¿Cánas piezas iene María?
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Lo qe iene María se pede er como na ransformación de lo qe iene Jana, indicada por el número 3/4 ; ése opera sobre los ocho paqees. Las fracciones jegan el papel de razón de razón cando fncionan para poner en relación dos canidades. La comparación de canidades relaias son caracerísicas de las fracciones como razón; por ejemplo, Lamon (1993) inesigó las esraegias qe los niños desarrollan para resoler el sigiene problema, an anes de esdiar el ema de fracciones. Las niñas se reparen res pizzas y los niños na, ¿qién come más pizza, na niña o n niño?
Figra 2.4.
Comena el caso de Kri, qien resolió el problema diciendo qe a las niñas les oca más, porque los niños reparten una pizza entre tres; si las niñas hicieran lo mismo, si ellas repartieran esta pizza entre tres (marca una pizza y cubre a tres niñas) y esta otra entre tres (marca otra pizza y cubre otras tres niñas) entonces la última niña podría comerse una pizza entera; así que a ellas les toca más (p. 141). Lamon comena qe el procedimieno esponáneo esponáneo qe Kri iliza consise en omar na de las razones como nidad y ésa le sire para reinerprear la ora fracción; de hecho Kri responde la pregna: “¿cánas “¿cánas ‘nidades’ de 3:1 caben en 7:3?” Mchos ejemplos ineresanes ineresanes de las fracciones como operador y razón se presenan en siaciones de razonamieno proporcional, pero ese ema se erá en oro capílo.
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Pensamiento algebraico El álgebra es la rama de las maemáicas qe raa con la simbolización de las relaciones nméricas generales, las esrcras maemáicas y la forma de operar con ésas. De acerdo con Chrismas y Fey (1999), los conceptos, principios y métodos del álgebra constituyen poderosas herramientas intelectuales para representar información cuantitativa y razonar acerca de esa información. En rabajos de inesigación recienes se ha sgerido qe desde la enseñanza primaria se peden, y deben, desarrollar rasgos del pensamieno algebraico (Bo y Rojano, 2009). Es lício decir qe la génesis del pensamieno algebraico algebraico en la primaria comienza con el desarrollo del senido nmérico, qe imos en la primera pare de ese capílo. Sin embargo, radicionalmene se considera qe en la escela secndaria es cando comienza formalmene el aprendizaje del álgebra. Los res emas qe aqí se abordarán, a saber, pensamiento algebraico algebraico,, ecuaciones y generalización generalización,, se bican en ese niel académico. ¿Qué es el pensamiento algebraico? varios experos en didácica del álgebra ofrecen caracerísicas del pensamieno algebraico qe nos dan na idea de la complejidad de ese ipo de pensamieno. Por ejemplo, Greenes y Findell (1998) sosienen qe las grandes ideas del pensamieno algebraico inolcran la representación la representación,, el el razonamiento razonamiento proporcional, proporcional, el signicado de variable, patrones y funciones funciones,, razonamiento inductivo y razonamiento deductivo. deductivo. Por s pare, Kap (1998) señala qe inclye la consrcción y represenación de parones y reglaridades, generalizaciones deliberadas y, más imporane, la exploración acia en la resolción de problemas y la formlación de conjeras. Asimismo, Kieran y Chalogh (1993) resalan la consrcción de signicados para los símbolos y operaciones del álgebra en términos de la aritmética. Kriegler (2000) recoge las expresiones aneriores sobre el pensamieno algebraico, algebraic o, más oras de diferenes aores, y propone n marco para organizarlas, qe en segida se expondrá de forma resmida. Esá formado por dos componenes, el primero pr imero se
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reere a las Herramientas del pensamiento matemático, qe inclye las habilidades de resolción de problemas, represenación y razonamieno; el segndo raa de las Ideas algebraicas fundamentales, qe consise en er el álgebra como ariméica generalizada, n lengaje y herramiena para la modelación y el esdio de fnciones. Herramientas del pensamiento matemático tener habilidades tener habilidades de resolución de problemas es saber qé hacer ane n problema cuando no se sabe qué hacer; es decir, signica poseer estrategias para seguir al no ener n méodo preesablecido para hallar la solción. Por ejemplo, acercarse a la solción por ensayo y error; hacer na lisa; sponer qe ya se iene la solción e inerir los pasos; elaborar n modelo de la siación; formlar y resoler n problema similar, pero más simple, son esraegias de resolción de problemas. Poseer habilidades de representación signica saber describir las relaciones maemáicas y la información caniaia presene en n problema mediane el lenguaje de un sistema (verbal, gráco o simbólico) y llevar ll evar a cabo transformaciotransformaciones denro de ése (como, despejar na ecación) y enre sisemas diferenes (por ejemplo, radcir na relación dada erbalmene a na expresión algebraica o a una gráca). Conar con habilidades de razonamiento matemático signica saber cómo se consera la erdad de las proposiciones a raés de ss ransformaciones, la expresión ípica de n razonamieno es “si eso es ciero, ambién eso es ciero”; por ejemplo, en n proceso de despeje de la incógnia, cando se elimina el érmino independiene de la primera pare de la igaldad 3 x – 2 = 5 obeniéndose 3 x = 7 se realiza n razonamieno de la forma: for ma: Si 3 x – 2 = 5 (es erdadera) enonces 3 x = 7 (es erdadera).
Coniene disingir los razonamienos razonamienos de ipo indcio a los de ipo dedcio, en los primeros se generalizan relaciones presenes en casos pariclares, de manera
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qe la erdad de las proposiciones así obenidas es sólo probable. Por ejemplo, a la pregna: ¿cál es el érmino sigiene de la secencia 3, 5, 7…?, podría responderse con 9, asmiendo qe la secencia es la de los l os números impares, pero ambién se podría proponer qe el sigiene es 11, pes pede pensarse qe la secencia es la de los números primos mayores qe dos. En cambio, en los razonamienos dedcios, la erdad de na proposición se obiene de ora, oras, basada en propiedades generales, así s erdad se hereda de la erdad de las premisas. El ejemplo del despeje de na ecación como la qe imos anes es de ese ipo, porqe se basa en las propiedades generales de los números y del signo de igaldad. Las ideas algebraicas fundamentales Aritmética generalizada (o abstracta). abstracta). La idea del álgebra como ariméica generalizada srge al cenrar la aención en las expresiones algebraicas como generalizaciones de paas o parones ariméicos y, en las idenidades como propiedades generales de las operaciones ariméicas. Por ejemplo, las relaciones y propiedades expresadas en las sigienes idenidades ariméicas: 1 × 2 = 1 + 1; 2 × 3 = 4 + 2;
3 4 = 9 + 3;
4 × 5 = 16 + 4…
se generalizan mediane la expresión: n×(n+1) = n2 + n
Esa idenidad expresa la propiedad qe exhiben las expresiones ariméicas aneriores y, a s ez, represena na aplicación de la propiedad disribia de los números. En esa concepción del álgebra, el concepo de variable es fndamenal, pes precisamene esa noción es la qe permie expresar las propiedade propiedadess ariméicas de manera sinéica. La n en la expresión anerior es na ariable para odos los números narales.
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Lenguaje. El álgebra se considera el lengaje de las maemáicas. En el esdio del lengaje naral se elaboraron nociones como semántica como semántica y sintaxis sintaxis;; el esdio de los aspecos análogos de semántica de semántica y sintaxis del álgebra ha aydado a enender el fncionamieno del álgebra como lengaje. Expresado de manera bree, la semántica se reere a los mecanismos de producción y comunicación de los signisigni cados matemáticos, mientras que la sintaxis se reere a las reglas de formación y ransformación de ennciados y expresiones algebraicas. Por ejemplo, la comprensión y el so del concepo de ariable y de expresiones algebraicas en diferenes conexos, forma pare de la semánica, mienras qe las reglas de combinación y maniplación de las ariables e incógnias lo son de la sinaxis. Herramienta. El álgebra ambién es na (caja de) herramiena(s) para la modelación maemáica maemá ica y el esdio de las fnciones. La búsqeda y generalización de parones y reglas de siaciones en conexos maemáicos y del mndo real, así como ss representaciones en fórmulas, ecuaciones, tablas y grácas, son poderosas herraherra mienas para comprender el mndo y resoler problemas. El so del álgebra en las ciencias en general mesra s poencia en la modelación; n ejemplo sencillo, exraído de la física, es la ley l ey de la caída libre de los cerpos debida a Galileo. Esá dada por la fnción: d = 1/2 g × 2
donde g = 9.8 m/seg 2, es la aceleración aceleraci ón y se conoce como la consane de graiación; d = disancia; = iempo. Esa forma an sineizada de expresar na ley naral compleja, mesra la poencia del álgebra en la modelación de siaciones de la realidad.
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La resolución de ecuaciones de primer grado Las ecaciones lineales son n ema imporane de los crsos de maemáicas de la secndaria; al desarrollarlo comienza a experimenarse la poencia del so de lierales en lgar de números; sin embargo, se enconró qe los esdianes pasan por grandes dicultades antes de dominarlo. La importancia del tema y las dicultades de s aprendizaje han dado lgar a la realización reali zación de na gran canidad de esdios didácicos qe bscan enender y mejorar s aprendizaje. Las inesigaciones sobre la resolción de ecaciones algebraicas pblicadas por Filloy y Rojano (1989), Filloy (1999), Filloy, Pig y Rojano (2008) consiyen aportaciones signicativas de autores mexicanos en esta área de la investigación. En pariclar, en el rabajo de Filloy y oros (2008) se exponen las consrcciones eóricas para explicar procesos generales de aprendizaje perenecienes a la didácica del álgebra. A coninación, se expondrá na de las l as esraegias de enseñanza mencionadas por esos aores (Filloy y oros, 2008: 169-175); na de ellas iliza representaciones geométricas de las ecuaciones para darle signicado a las transtrans formaciones algebraicas (semánica) (semánica) qe llean a la solción, y propone qe na ez enendidas se formlen y aprendan las reglas sinácicas (sinaxis) mediane ejercicio y prácica. De acerdo con los aores, el primer ipo de ecaciones algebraicas a las qe se enfrenará al esdiane son las del ipo Ax + B = Cx, donde A, B, C son eneros posiios dados y C>A. Nóese qe la incógnia aparece en los dos lados de la igaldad, cesión qe diferencia las ecaciones algebraicas de las ariméicas. Las ecaciones del ipo Ax = B, a pesar de conener la incógnia x, se consideran ariméicas, porqe calqier esdiane sin preparación en álgebra podría resolerlas sólo echando mano de ss conocimienos ariméicos. En cambio, en las ecaciones algebraicas es necesario maniplar maniplar y operar la incógnia, lo cal es neamene algebraico. A coninación se describirá n méodo de resolción de la ecación Ax + B = Cx, qe se basa en na represenación geomérica de la ecación.
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Paso A. tradcción de la ecación Ax + B = Cx al modelo geomérico: A
C x
x B
Figra 2.5. Siación de comparación enre Ax + B y Cx en el Modelo Geomérico.
Paso B. Comparación de áreas: A
C x
x B
Figra 2.6. Como C>A, se pede er qe el área Ax podría esar conenida en el área Cx.
Paso C. Realización de acciones concreas; lo qe en el caso del modelo geomé-
rico eqiale a sprimir las áreas qe son eqialenes, como se e en segida: C-A
x B
Figra 2.7. Al sprimir las áreas qe son eqialenes (éase las áreas sombreadas) se obiene qe el área B es eqialene al área (C-A)x.
Paso D. tradcción del modelo geomérico a na nea ecación: (C-A)x = B
Obsérese qe esa úlima ecación ya es na ecación ariméica qe iene menor
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nivel de dicultad, porque se transformó la ecuación algebraica. Finalmente, es posible qe srja na siación problemáica inermedia, qe consise en qe ahora el esdiane qiera inerprear la ecación ariméica en el conexo geomérico qe ha esado operando. Eso se radce, por ejemplo, en el caso de la ecación 3x = 3, a la sigiene siación: 3
x 3
Figra 2.8. Siación inermedia, de radcción de na ecación ariméica ahora al modelo geomérico; por ejemplo, la ecación 3x = 3.
En segida aparece la esraegia de enseñanza (y/o de aprendizaje) de la repetición y la práctica, práctica, con más casos a resoler, pero con números cada ez más y más grandes en la ecación Ax + B = Cx , C>A. Hasa aqí se ha creado n artefacto didáctico para resoler sólo las ecaciones del ipo Ax + B = Cx , C>A. Paso E. Pede srgir la pregna, ¿qé ocrrirá si al almno se le presena na eca-
ción de primer grado de ipo diferene?, por ejemplo, 8x + 5 = 3x + 15? Enonces será necesario realizar n neo proceso de aprendizaje, por descbrimieno, con la misma esraegia de enseñanza qe se mesra en los pasos A al D. Finalmene, se hace noar lo qe se podrá obserar qe q e ocrre con los esdianes, al echar a andar el proceso de resolción qe aqí se describe: qe aparece na serie de endencias cogniias, como la de “abreiación”. Ésa consise en qe los pasos A al D, ahora (despés de ilizar el arefaco didácico y la esraegia de repeición y prácica) se realizan en menos iempo, pes es segro qe los esdianes habrán enconrado formas personalizadas y nieles sinácicos de proceder. proceder.
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Los aores señalan qe las reglas sinácicas qe los almnos prodzcan a lo largo de la secencia de enseñanza lego se aplicarán a la resolción de las neas siaciones. Por ejemplo, la ecación 8x – 3 = 5x + 6, hará qe el profesor regrese neamene al pno E, donde se enfrenaron neas siaciones problemáicas, para oler a desencadenar los pasos A al D, raando de obener na ecación redcida de ipo ariméico. Por úlimo, desde el pno con la esraegia de la repeición y la prácica, se logrará rebasar la ilización de n modelo concreo de resolción para llegar a ilizar n neo lengaje más absraco, cada ez más sinácico y más cercano a los procedimienos conocidos de resolción algebraica. Sobre la generalización en álgebra un ema acal y noedoso del álgebra es el de la generalización. Radford (2006) aborda el ema de s aprendizaje mediane el descbrimieno de parones por pare de los esdianes esdian es de 13 y 14 años de edad. Algnas pregnas pregn as a las qe raa de responder esa inesigación son: • ¿Cómo comprenden los esdianes lo qe es común a n parón? • ¿Cáles son los mecanismos (lingüísicos o de oro ipo) i po) por medio de los cales los esdianes generalizan lo qe obseraron qe es común a odos los érminos de na secencia? • ¿Cómo expresan los esdianes la generalidad?
Para responder se considera la sigiene siación. teniendo en cena las imágenes qe aparecen en segida, se pide a los esdianes (qe esán agrpados en eqipos de 2 a 4 miembros) qe encenren el número de círclos qe deben aparecer en las gura 10 y 100 de la secuencia:
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Figra 2.9
El aor repora qe las esraegias de los esdianes para resoler la area planteada se pueden clasicar en dos categorías: en la primera, la heurística de descbrimieno del esdiane se basa en el ensayo y error. Eso es, el esdiane propone reglas simples, como “2 eces más 1”, “2 eces más 2”, o “2 eces más 3”, y verica su validez para algunos (pocos) casos; por otro lado, el autor hace noar qe la simbolización de la regla pede ariar y presena na de las proisas por no de los eqipos en la clase: “n×2(+3)”. Cando se solició a los esdianes de ese eqipo explicar cómo habían enconrado esa regla, respondieron: “La enconramos por accidene”. Las esraegias qe enran en la segnda caegoría son aqellas en qe los estudiantes buscan algo en común en las guras dadas; por ejemplo, un estudi an an-e, Mel, escribió: “La hilera de arriba siempre iene n círclo más qe el número de la gura, y la hilera de abajo siempre tiene dos círculos más que el número de la gura”, su fórmula fue: “(n+1) + (n+2)=”. En s análisis, Radford indica qe anqe las esraegias de ambas caegorías condcen al so de simbolismo, las herísicas son inconmensrable inconmensrablemene mene diferenes. La úlima descansa en notar notar ciertos ciertos elementos comunes en las guras dadas y en generalizarlos a las guras que siguen en la secuencia. En contraste, la primera descansa sobre na regla formada adiinando. Las reglas formadas de esa manera, de hecho son hipótesis hipótesis.. tal forma de razonamieno fnciona sobre la base de n razonamieno razonamien o probable, cya conclsión a más allá de lo qe esá conenido en ss premisas. En érminos más precisos, es n ipo de indcción simple indcción simple (pes se pede distinguir de otros tipos más sosticados). La comparación de las dos estrateg estrategias ias mencionadass resala na imporane disinción enre indcción y generalización, y mencionada
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sgiere no de los rasgos qe peden consiir el núcleo de la generalización de n parón: la capacidad de noar algo general en lo pariclar. Finalmente, Radford señala que este rasgo por sí solo no es suciente para caraccarac erizar la generalización algebraica de parones y argmena qe, adicionalmene a er lo general en lo pariclar, pariclar, “no debe ser capaz de expresarlo algebraicamene”. Hasa aqí la primera pare del análisis de Radford (2006) acerca de los procesos de generalización de los esdianes. Sin embargo, para erminar la reseña de ese rabajo, es necesario expresar, expresar, al menos, de manera sinéica, qe el aor exiende s análisis de las prodcciones de los esdianes para inclir las palabras qe emien, ss gesos y el rimo en qe expresan ambos componenes. En ese senido, añade qe la generalidad algebraica esá hecha de diferenes esraos, algnos más profndos qe oros. Además, la mea de generalidad qe se pede alcanzar denro de n ciero esrao esá esrechamene relacionada con la forma material qe se sa para razonar para razonar yy expresar expresar lo lo general. El autor plantea entonces, la siguiente denición: Generalizar n parón algebraicamene descansa sobre la capacidad de comprender lo qe de común se ha noado en algnos elemenos de na secencia S, esando consciene de qe lo común se aplica a odos los érminos de S y siendo capaz de sarlo para proeer na expresión direca de calqier érmino de S (en pariclar, de los qe esán más allá del campo percepal).
A coninación se da n ejemplo de ese úlimo ipo de análisis, qe se denoa como semiótico como semiótico.. El autor utiliza el patrón de guras antes mostrado para señalar que existen varias maneras de observar lo que se puede calicar como lo mismo y lo diferente en las guras dadas. Da el siguiente ejemplo: hablando con sus dos comcom pañeros de eqipo, Dog (n esdiane de 14 años) dijo: “Enonces, sólo añadimos ora cosa como ésa”; al momeno en qe pronncia la palabra “ora”, comienza a hacer na secencia de seis gesos con n rimo paralelo. Naralmene, odas las
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guras que se están considerando tienen la misma forma, pero, al mismo tiempo, son diferenes: lo qe las hace diferenes, nos esá sgiriendo Dog, son los dos úlimos círculos dispuestos diagonalmente al nal de cada gura (véase la imagen 2.10.):
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2
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Figra 2.10. Dog resala los dos úlimos círclos en n ineno de noar algo común en los érminos de la secencia.
Radford hace er qe la comprensión de Dog de lo qe es común es diferene de la de Mel (éase líneas arriba); ambién es diferene lo qe Dog expresa al respecto. Así, mientras que Mel vio v io las guras como hechas de dos líneas lí neas horizontales y expreexpresó la generalidad en forma verbal, Doug vio las guras construidas de manera recursirecursi a por la adición de dos círclos diagonales arreglados y expresados dinámicamene, mediane gesos y palabras. En ese ejemplo, Dog comenzó a hacer aparene na esrcra maemáica general y a objeiarla. Para lograrlo, ilizó dos medios semióicos de objeiación: las palabras y los gesos. En conclsión, lo qe se obseró en el salón de clases desde el primer día fe qe el aco percepal de noar algo se desdobla en n proceso mediado por na aciidad mlisemióica (palabras habladas, gesos, dibjos, fórmlas, ec.), en el crso de la cal el objeo qe será iso emerge progresiamene. A ese proceso de noar el aor le llamó proceso de objetivación. La objeiación del conocimieno es n consrco eórico para dar cena de la manera en qe los esdianes se inolcran en algo qe noan y a lo qe dan senido; desde esa perspecia, perspecia, los salones de clases son más bien isos como zonas interactivas de actividades mediadas mediadas que transmiten valores cientícos, éticos, eséicos y oros, clral e hisóricamene formados, qe los esdianes objeian por medio de la participación reexiva y activa.
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3. Forma, espacio y medida Ángel Giérrez Rodrígez, uniersidad de valencia, España Mariana Sáiz Roldán, uniersidad Pedagógica Nacional, México
La enseñanza de la geomería en los nieles no niersiarios radicionalmene ha sido escasa y cenrada en nos pocos polígonos y cerpos espaciales, de los qe se enseñan las caracerísicas físicas desacadas, los principales elemenos y algnas propiedades básicas. Algo similar se pede decir de la enseñanza de las medidas de longid, área y olmen, cenrada en lograr qe los esdianes memoricen el Sisema Mérico Decimal y las fórmlas de cálclo de perímeros, áreas áreas y olúmenes de las principales guras geométricas planas y espaciales. Los nuevos programas ociales mexicanos de educación básica ( sep, 2004, 2006, 2008) raan de corregir esa carencia a parir de amenar el énfasis y la canidad de conenidos de geomería y medida qe los esdianes deben aprender. Para aydar a los profesores a poner en prácica dicho cambio. En ese capílo presenamos información sobre los principales reslados de la Inesigación Inernacional en Edcación Maemáica referenes referenes a los procesos de aprendizaje de los concepos y las propiedades propi edades de geomería y medida para los nieles de preescolar, primaria y secndaria. La información infor mación ofrecida dará lgar a sgerencias didácicas qe siran de apoyo a los profesores.
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El capílo se diide en dos secciones dedicadas a la geomería y a la medida de magnides. La primera sección iene caro pares, en las qe se abordan los problemas del desarrollo del razonamieno maemáico, de la enseñanza de concepos geoméricos, del aprendizaje de la demosración y del papel de la isalización en la enseñanza y el aprendizaje de la geomería geomería.. La segnda sección ambién inclye caro pares, la primera se enfoca a analizar los problemas comnes a las medidas de longitud, supercie y volumen, y las siguientes tres partes se dedican a analizar los problemas pariclares de cada magnid geomérica.
Aprendizaje de la geometría durante la educación básica La geomería esá formada por arios bloqes b loqes de conenidos enre los qe hay na mlid de relaciones. Por ello, s enseñanza y s aprendizaje se basarán en descbrir y explorar esas relaciones. La misión del profesor es organizar la aciidad en clase para dar a los esdianes opornidades de aplicar los conenidos geoméricos qe esdian en siaciones diersas. En esa sección analizamos arios aspecos comnes a odos los conenidos de geomería, ano en el plano como en el espacio. El desarrollo del razonamiento matemático La inesigación didácica mesra claramene qe los niveles de razonamiento matemático de Van Hiele son n exioso modelo de organización de la enseñanza y del aprendizaje de la geomería (Baisa, 2007). Los cinco niveles de razonamiento identicados por el modelo de Van Hiele ofrecen na descripción de las caracerísicas de las diferenes formas de razonamieno maemáico de los esdianes, qe se sceden desde qe esán en preescolar hasa qe alcanzan el máximo desarrollo de s capacidad maemáica, inclso como maemáicos profesionales. Sólo podemos hacer na bree descripción de los nieles 1 a 4, qe son los relacionados con la edcación básica.
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Hay descripciones y análisis más deallados en Brger y Shaghnessy (1986), Jaime (1993), Jaime y Giérrez (1990) y van Hiele (1986). El razonamieno de nivel 1 se caraceriza porqe los esdianes perciben las guras geométricas globalmente y como objetos individuales; sólo razonan sobre propiedades llamativas relacionadas con los elementos físicos de las guras; dan imporancia a propiedades como posiciones, formas o amaños, y no son capaces de generalizar. un esdiane de niel 1 pede decir qe n rombo se diferencia de n recánglo en qe “el recánglo es más largo” o qe “el rombo es más picdo” (Jaime y Giérrez, 1990:307). Los esdianes qe razonan en el nivel 2 ya identican y usan partes y propiepropiedades matemáticas de las guras, pero no son capaces de relacionar unas propie dades con oras; por ejemplo, en n recánglo, no asocian la perpendiclaridad con el paralelismo de los lados. El razonamieno de niel 2 se basa en la obseración de ejemplos para identicar regularidades, que se convierten en propiedades gege nerales, y los propios ejemplos son la demosración o explicación de la eracidad de la propiedad descbiera. Así, por ejemplo, despés de obserar o maniplar arios rombos, descbren qe las diagonales de n rombo son perpendiclares y, desde ese momeno, admien qe las diagonales de calqier oro rombo ambién son perpendiclares sin necesidad necesi dad de más comprobaciones (Jaime y Giérrez, 1990:309). La principal caracerísica del nivel 3 de van Hiele es qe los esdianes aprenden a realizar razonamieno dedcio absraco, si bien odaía no peden leer ni enender demosraciones complejas ni presenadas en lengaje formal. Por ejemplo, enienden la demosración dedcia sal de qe los ánglos de un triángulo suman 180° (gura 3.1), pero no sienten la necesidad de justicar las congrencias de ánglos, porqe ésas son isalmene eidenes (Jaime y Giérrez, 1990:314). Por ora pare, los esdianes peden comprender calqier denición dada en los libros de texto y realizar todo tipo de clasicación entre fa milias de guras geométricas.
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Figra 3.1.
Los esdianes qe razonan en el nivel 4 son capaces de hacer y enender demosraciones maemáicas formales, así como enender las caracerísicas de n sisema axiomáico axiomáico y aspecos más operaios, como la posibilidad de qe n concepto tenga varias deniciones formales diferentes, pero equivalentes. Por ejemplo, un estudiante del nivel 4 admite que se dena un rectángulo como “el cuadrilátero qe iene dos ejes de simería qe pasan por los pnos medios de ss lados” y es capaz de demostrar formalmente que esta denición es equivalente a la usual. Los nieles de van Hiele permien ealar el progreso de la capacidad de razonamieno maemáico de los esdianes a medida qe aanzan a lo largo del sisema edcaio. Giérrez, Giérrez, Jaime y Forny (1991), Jaime (1993) y Giérrez y Jaime (1998) ofrecen ejemplos de cómo realizar esas ealaciones y de reslados de ealaciones ya hechos. El conocimieno de los nieles de van Hiele ambién pede aydar a los profesores a diseñar areas apropiadas para cada niel y a esablecer las condiciones para aydar a ss almnos a ransiar al niel inmediao sperior. van Hiele sosenía qe el progreso por nieles depende en gran medida de la experiencia maemáica qe los esdiane esdianess adqieren gracias a la enseñanza, por eso ambién propso direcrices para el diseño de aciidades. En pariclar, sgiere qe las aciidades de aprendizaje esén organizadas sigiendo cinco fases: información, orienación dirigida, explicación, orienación libre e inegración. En segida se ofrece n ejemplo en el qe se describe na aciidad qe iene las fases propesas por van Hiele y qe sige las “orienaciones didácicas” del
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objetivo de segundo grado de primaria que propone “identicar caras de objetos a parir de ss represenaciones represenaciones planas y iceersa” (sep, Programa de estudio. Segundo grado. Educación básica. Primaria: Primaria : 60). Mchos de los niños de ese grado están en el nivel 2 de Van Hiele: “Identican y usan partes y propiedades matemáti cas de las guras, pero no son capaces de relacionar unas propiedades con otras”. La aciidad sigiene reconoce ese hecho, pero iene el propósio de esablecer condiciones para qe los niños speren el razonamien razonamieno o de dicho niel desacando las relaciones entre guras planas y las caras de los cuerpos geométricos. Información.. Se les presentan guras planas, como cuadrados, triángulos, recInformación rec tángulos, círculos. Se les pregunta el nombre de cada gura; se les da el nombre de una gura y se les pide que la señalen. También se les presentan varios cuerpos sólidos: cbos, pirámides, prismas y cilindros. Se les pregna por el nombre de cada cerpo; si no los conocen se les enseña y se les pide qe los repian. Se les da el nombre de n cerpo y se les pide qe lo localicen; de esa manera el docene se asegra qe aprendan el nombre de cada cerpo. Orientación dirigida. dirigida. Se les pide a los almnos qe ilicen los cerpos gométricos a manera de sellos para estampar guras en papel o tela. Se les pide que identiquen qué guras planas se obtienen estampando sellos con los diferentes cuerpos; que elijan el cuerpo apropiado si se quiere estampar determinada gura (cadrado, círclo, riánglo, recánglo) y qe lo compreben. Imprimirán odas las caras de n solo cerpo y obserarán algnas de ss relaciones. Explicación.. Se les pide a los almnos hablen de lo qe han obserado, qe exExplicación presen las relaciones enre caras y cerpos: “una pirámide iene caras qe son riánglos”, “el cilindro es el único qe sire para esampar círclos” o ennciados similares, y enre las caras de n solo cerpo: “todas ss caras son igales”, “sólo iene caro caras”, ecéera. El profesor endrá qe formlar pregnas para propiciar qe los niños formlen ennciados, pero sin inhibir s liberad de pensamieno y expresión. Orientación libre. libre. Se deja qe los niños hagan esampados propios en los qe combinen libremente las guras. Después se les presentan conguraciones estampaestampa-
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das en las que no se aprecian directamente las guras básicas (triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo) sino que se ven guras compuestas (paralelogramos, rombos, "casitas", etc.) y se les pide que las reproduzcan utilizando los cuerpos disponibles. Integración.. Los niños repasan y resmen lo qe han aprendido acerca de los Integración cerpos y ss caras. El profesor les ayda en esa area señalando aspecos qe considere imporanes de la aciidad, pero sin añadir conocimienos qe no correspondan a experiencias realizadas. El profesor pede, por ejemplo, proporcionar a los niños arjeas en las qe esán escrios nombres de polígonos o cerpos, y oras arjeas en las qe esán escrias propiedades, como número de lados, de caras, de érices, ecéera. Los niños deben colocar las arjeas en s mesa ordenadas y nir mediane líneas las qe engan relación (por ejemplo, la arjea con el nombre de n sólido nida a las arjeas con los nombres de los polígonos de ss caras y a las arjeas con los números de caras o de érices). La enseñanza de nuevos conceptos geométricos Las maemáicas maemáicas no son algo qe exise independiene de los seres sino n prodco social creado para resoler deerminados problemas prácicos (De villiers, 1993; Harel y Sowder, 1998; Clemens y Baisa, 1992). Esa idea da lgar a qe exisan “diferenes maemáicas” en disinos conexos. tal diersidad ambién exise, a menor escala, en el contexto escolar. Un caso importante son las diferentes denideni ciones qe se encenran en los libros de exo de edcación básica de algnas familias de triángulos y cuadriláteros: para Santillana (2006) (gura 3.2) los cuadra dos son recánglos y rombos, y esas res familias son pare de los romboides; pero para sM Ediciones (2007) (gura 3.3) los cuadrados no son rectángulos1 ni rombos, y ningna de las res familias es pare de los romboides.
1
Para los autores de los libros de texto españoles, la frase “iguales 2 a 2” quiere decir que el polígono tiene dos pares de lados (ángulos) congruentes pero siendo cada par no congruente con el otro.
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El rectángulo iene los ánglos recos
El cuadrado iene los caro lados igales y los caro ánglos recos
Figra 3.2. Rombo
Romboide
tiene los 4 lados iguales y los ángulos iguales
tiene los lados iguales 2 a 2 y los ángulos iguales 2 a 2
Figra 3.3.
La diversidad de deniciones lleva a un problema en el contexto de la edu cación básica qe han analizado los inesigadores (Jaime, Chapa y Giérrez, 1992) y qe se relaciona con el niel de razonamieno de los esdianes (Jaime y Giérrez, 1990): los esdianes qe razonan en el niel 1 sólo son capaces de manejar clasicaciones exclusivas, ya que nada más basan su razonamiento en atributos visuales diferenciadores de las guras, que son los más llamativos; así, piensan qe los cadrados no son recánglos, porqe isalmene ienen formas diferenes; los esdianes qe razonan en el niel 2 peden realizar algnas clasicaciones inclusivas, pero no otras, dependiendo de la complejidad lógica de las relaciones; por ejemplo, admien qe cadrados, recánglos y rombos son para-
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lelogramos, pero no qe los cadrados sean recánglos ni rombos (Corberán y Giérrez, 1994). Un ejemplo de actividades que intentan que los estudiantes caractericen las gras por ss propiedades geoméricas geoméricas (lados igales, lados paralelos, ánglos recos, ec.) y no sólo por s forma isal consise en las qe se les pide qe discriminen na propiedad a parir de casos pariclares. Por ejemplo, para niel secndaria, Sánchez, Hoyos, Gzmán y Sáiz (2008) sgieren el sigiene problema para qe los niños traten de dar una denición de paralelogramo, en lugar de tomarla del texto o qe el profesor se las dice: a) Obsera y responde la pregna: Esos son paralelogram paralelogramos os
Esos no son paralelogram paralelogramos os
¿Cuáles de las siguientes guras son paralelogram paralelogramos? os?
b) Con los dos segmenos sigienes dibja n paralelogramo: a
b
c) Dene con tus palabras lo que debe entenderse por paralelogramo.
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Pede obserarse qe el problema anerior es apropiado para realizar na aciidad del niel 2, donde inerengan los elemenos propesos por las fases de van Hiele: información, orienación dirigida, explicación, orienación libre e inegración. Asimismo, se peden diseñar problemas similares para aydar a caracterizar otras guras. Aprender a demostrar en matemáticas Las demosraciones formales se consideran la principal seña de idenidad de las maemáicas. S aprendizaje es n objeio de los úlimos crsos de bachillerao, pero se raa de na aciidad compleja, por lo qe no pede preenderse qe los esdianes aprendan a demosrar anes de erminar el bachillerao si no empiezan mcho anes, inclso desde los primeros crsos de primaria. Los profesores deben pedir a sus alumnos que justiquen sus armaciones, que ex pliqen cómo resolieron los problemas o por qé es ciero el reslado qe obtuvieron; estas justicaciones serán diferentes de las demostraciones forma les, pero s objeio es crear en los esdianes el hábio de dar y pedir razones para asegurar la veracidad de las armaciones que hagan (Gutiérrez, 2007). La investigación didáctica indica que hay varios componentes que conguran la actividad de demostrar y es necesario tenerlos en cuenta al planicar su aprenapren dizaje. Aqí mencionamos sólo los más imporanes, pero Marioi (2006) y Harel y Sowder (2007) ofrecen información sobre los reslados de la inesigación en ese ema. El primer objeio es lograr qe los esdianes eniendan la necesidad de demosrar sigiendo nas reglas preiamene acepadas por la comnidad del salón de clases (Marioi, 2006). De villiers villi ers (1993) propone la coneniencia de qe los esdianes experimenen diersas fnciones de las demosraciones maemáicas, qe corresponden a diferenes necesidades de demosrar. La pare más difícil del proceso de aprender a demosrar es el salo del razonamieno indcio al dedcio; es decir, pasar de considerar los ejemplos espe-
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cícos como elementos de convicción a tomarlos como ayudas para elaborar las demosraciones demosrac iones dedcias, pero sin ser pare de ellas. una aciidad preia a la demosración sgerida para secndaria (o inclso en quinto o sexto de primaria si se modica adecuadamente) fue realizada por Monaghan (2000) a 24 esdianes (de 11 a 16 años). Se les l es pidió responder algnas pregnas como las sigienes: 1. ¿Cál es la diferencia enre n cadrado y n recánglo? 2. ¿Cál es la diferencia enre n recánglo y n paralelogramo?
A la primera pregna caro niños respondieron señalando las similides y no las diferencias de las dos guras, como los dos siguientes: La diferencia es qe el cadrado iene caro ánglos recos y en n recánglo odos los lados opesos son igales (Mahew). Amboss son cadriláeros y ienen Ambo ienen caro lados (Chris).
En esos casos el maesro debe hacerles noar qe anqe lo qe dicen es correcto, mencionan lo que tienen en común las guras y no las diferencias. Puede enonces pedirles na segnda respesa o iniarlos a qe en eqipos las analicen con sus compañeros. Posiblemente, después de la discusión en equipos surjan armaarma ciones propias del niel 1 de van Hiele, qe se enfoqen en la comparación de longides de n lado del recánglo (más larga) y del cadrado (más cora) o en la calidad de horizonalidad qe adqiere el recánglo si se coloca sobre no de ss lados mayores, como scedió con oros 16 de los niños de la inesigación. Por ejemplo: La longid de n cadrado es más cora qe la del recánglo (Celina). un recánglo iene los lados opesos qe son igales. Los de arriba y los de abajo son igales, y el cadrado iene odos los lados y ánglos igales (Ghalib).
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Ane respesas como la de Celina, la maesra (o el maesro) pede dibjar en el pizarrón n recánglo peqeño y n cadrado grande y pregnar: “Con esas guras, ¿ocurre que la longitud del cuadrado es más corta que la del rectángulo? Como ese lado es más coro (señala la base del recánglo), ¿es ese polígono es n cadrado?”. El mismo niño – oro– pede decir algo como: “No, porqe ambién el recánglo iene lados coros” y así, el docene pede de neo inerenir para pedir qe algien responda como lo hizo Celina, la niña del ejemplo: “¿Esás de acerdo?” El profesor debe buscar siempre que los alumnos den justicaciones más exacexacas y sen érminos más precisos (fase de explicación), lo qe permiirá qe en el futuro lleguen a justicar con más precisión sus ideas y sus razonamientos empiecen empiecen a ser del niel sperior. La visualización en el aprendizaje de la geometría Enendemos por isalización (o imaginación espacial) la aciidad menal inelecal qe iene qe er con la creación, el análisis y la ransformación de represenaciones menales de concepos, propiedades o relaciones maemáicos (Giérrez, 1996). Kreskii (1976) y Presmeg (1986) aleran a los profesores acerca de la exisencia de res ipos de indiidos según ss preferencias, de so de la isalización para resoler problemas de maemáicas: a) los isalizadores, qe preeren el uso de representaciones visuales; b) los analíticos, que preeren el uso de represenaciones simbólicas exales, y c) los armónicos, qe san nas oras según sea el caso. Las dicultades en el aprendizaje de la geometría de muchos esdianes esán relacionan con formas de enseñanza qe inhiben ss preferencias de isalización. Profesores y libros de texto continuamente usan dibujos, guras o diagramas en las lecciones de geomería para aydar a ss almnos a comprender los concepos y las propiedades qe deben aprender. Sin embargo, con frecencia los docenes no tienen en cuenta que estos dibujos, estas guras, etc., que representa representan n objetos
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geoméricos —en pariclar, si son represenaciones planas de cerpos espaciales— inclyen codicaciones qe los esdianes deben aprender a “leer”. 1 3
1 1
2 1
a
b
Figra 3.4
Parzysz (1988) nos recerda qe calqier represenación plana qe hagamos de n objeo, o conjno de objeos espaciales, pierde na pare de la información conenida en los objeos; por ejemplo, al dibjar n sólido opaco, na pare del cerpo qeda ocla. Así, la aciidad de inrodcción a la medida del olmen ípica de los exos de primaria, en la qe se pregna a los esdianes cuántos cubos tiene el sólido de la gura 3.4a, puede tener una o varias solu ciones dependiendo del código implício qe sen los esdianes para saber cános cbos esán oclos. Generalmene profesores y libros de exo asmen qe la pare ocla no iene hecos ni proberancias, y conclyen qe el sólido de la gura 3.4a está formado por ocho cubos. Sin embargo, el diagrama de la gu ra 3.4b, qe es na isa sperior del mismo sólido con la canidad de cbos en cada colmna, indica qe realmene iene nee cbos, pes hay n cbo oclo. Esos conenios y formas de represenación son pare de lo qe los esdianes deben aprender. Giérrez (1998) describe de forma deallada el problema del aprendizaje y so de diferenes formas de represenación plana de objeos 3-dimensionales. Es n ben ejercicio ilizar ese ipo de represenaciones de los sólidos en la clase. Primero, a los almnos se les peden dar cbos de madera o plásico y n diagrama como el que aparece en la gura 3.4b y pedirles que construyan la es rcra señalada en el diagrama. diagrama. Poseriormene, se les indica qe dibjen la esrcesr c-
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ra qe han obenido con los cbos, isa desde diferenes pnos, para obener diagramass como el de la diagrama l a gura 3.4a. Después se les sugiere que hagan el proceso inerso; es decir, qe consryan na esrcra con cbos y dibjen n diagrama como el de la gura 3.4b para que otros compañeros la reconstruyan.
Aprendizaje de la medida de magnitudes durante la educación básica Desde na perspecia didácica, algnos aspecos de las diferenes magnides geoméricas peden raarse de forma conjna, pes son elemenos comnes a odas ésas. Los principales son la conseración de la magnid por ransformaciones, la ransiiidad de la medida y la concepción de nidad de medida. Es de esperar qe esas ideas, na ez raadas en na magnid, siran de base en el esdio de oras magnides (Osborne, 1976), anqe los profesores no deben esperar qe ss almnos hagan esas ransferencias fácilmene. Mchos de esos aspecos los esdiaron Piage, Inhelder y Szeminska (1970) y despés oros inesigadores qe corroboraron los reslados de los primeros. un resmen de los reslados de Piage, en orno a las edades en qe los niños consigen la conseración de diferenes magnides, magnides, lo ofrecen Chamorro y Belmone (1991:23): […] parece ser qe la longid, capacidad y masa peden ser comprendidas por niños del ineralo comprendido enre los 6 y 8 años; la noción de supercie y tiempo, hacia los 7 u 8 años, mientras que las de olmen y amplid anglar no podrán ser comprendidas sino hasa los 10 a 12 años.
Aprendizaje de la medida de longitudes una de las magnides qe más se pede rabajar en preescolar, y los primeros años de primaria, es la l a longid. Para lo cal se recomienda hacer comparaciones
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y ordenamienos (en lgar de mediciones) con calqier ipo de nidades, ano de objeos de los propios niños como de pares de ss cerpos. Eso pede reslar ineresane y dierido en primero y segndo grados de edcación primaria. Anqe la recomendación de sar nidades e insrmenos no conencionales para el esdio de la longid se prolonga hasa ercero y caro grados, esa determinación no debe ser inexible. Clements (1999) arma que, al comparar el de la regla con el so de n cordel en niños de ercer grado, los reslados feron casi dos eces mejores cando saron la regla. Nnes, Ligh y Mason (1993) cesionan si el so de los l os insrmenos de medición convencionales debe relegarse hasta el nal de la secuencia tradicional de enseenseñanza. Para ello se basaron en na inesigación qe consisió en poner a niños de 6 a 8 años de edad a comnicarse acerca de siaciones de medición “hablando” por eléfono. Cada no enía n papel con n segmeno de reca dibjado. Ellos jgaban n “jego” cooperaio en el qe el objeio era medir con n objeo, para descbrir si el segmeno de reca en ss hojas era más grande, más coro o igal qe el de s compañero en el oro lado del eléfono. Había res siaciones, cada na de las cales enía n objeo diferene para medir. En cada caso, los compañeros sabían qe enían objeos idénicos; por ejemplo, si el objeo era n cordón, cada no conaba con n cordón de la misma longid qe s compañero. A lo largo de las areas, los segmenos podían ser de la misma longid qe el cordón, el doble, ec. Los compañeros podían sar el cordón y discir la area, ano como qisieran, hasa deerminar deerminar si las recas en ss hojas eran de la misma longid. En la segnda siación, los niños enían reglas marcadas en cenímeros para deerminar hasa dónde podrían sar na regla sin enendimieno. En la ercera siación n niño, en cada pareja, enía na regla roa qe empezaba en el cenímero 4, mienras qe el oro enía na regla normal. nor mal. Ese úlimo experimeno pede llearse al ala como na aciidad relacionada con la medición en ercero y caro grados, así el docene pede comparar los reslados con los de los inesigado i nesigadores, res, mismos qe se resmen a coninación.
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Como reslado de la inesigación se enconró qe la regla radicional respaldó el razonamiento de los niños de manera más eciente que el cordón, pues s desempeño de los niños fe casi dos eces mejor con la regla. Ss esraegias y el lenguaje l enguaje ("es tan larga como", “la línea l ínea pequeña, después del tres”) indicaron qe los niños dan “respesas correcas basadas en procedimienos rigrosos, beneciándose claramente claramente de la representa representación ción numérica en la regla” (Nunes, Light y Mason, 1993: 46). Inclso con la regla rota se desempeñaron mejor qe con el cordón, mosrando qe no sólo esaban “leyendo números”. La siación poco común sólo confndió a los niños alrededor de 20% de las eces. Los inesigadores conclyeron qe las nidades conencionales ya dadas en la regla no hacen más difícil la medición. De hecho, los niños se beneciaron de la representación numénumérica an con la regla roa. En el caso de almnos de secndaria, medir, comparar y sar la medición de longides con nidades e insrmenos conencionales y no conencionales no represena mayor problema. Los problemas en ese niel srgen con la inrodcción de oros concepos, como perímero y área, pes los esdianes los confnden con frecencia (Corberán, 1996; Fringhei y Paola, 1999). Se ha reporado qe almnos de 7°. grado (primero de secndaria en México) creen qe exise na relación direca enre área y perímero; esa creencia parece más resisene al cambio qe la confsión misma enre área y perímero (Moreira y Conene, 1997). un ejercicio para sperar ese ipo de confsión qe pede realizarse con los almnos es consrir recánglos diferenes qe engan como perímero, por ejemplo, 12 cm. Despés se les solicia qe calclen las áreas de odos los cadriláeros qe consryeron y qe comparen y discan los reslados. Algnos niños pede haber consrido n recánglo de 5 por 1 cm, oros no de 4 por 2 cm, algnos más peden haber dibjado n cadrado de 3 cm de lado. Las áreas de odos esos recánglos son disinas. Al hacer los cálclos y comparar mchos niños y niñas pensarán inclso qe han eqiocado los cálclos, porqe para ellos na ez deerminado el perímetro el área también queda ja.
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Aprendizaje de la medida de áreas El esdio del concepo de área inicia en México desde el ercer grado y, al igal qe en la mayor pare del mndo, no se planea en grados aneriores. aneriores. En consecencia, no hay mchas inesigaciones qé reporar sobre ese concepo en esos nieles; sin embargo, Ohred y Michelmore (2000) llearon a cabo n esdio con 115 niños de 1º. a 4º. grado de primaria en Asralia. S objeio era conocer ss ideas iniias sobre ese concepo, ya qe en ese país s esdio comienza hasa 4º. grado. El esdio consisió en enreisar a esos niños proponiéndoles algnas areas de medición. La primera consisió en enregar a cada niño na nidad moible: n mosaico cadrado de 2 cm de lado y na hoja en la qe aparecía dibjado n cadrado de 8 cm de lado y se les pidió qe respondieran cános mosaicos nidad se reqerían para cbrir el cadrado en el dibjo. En la abla 1 se mesran los reslados obenidos por los niños al sar diferenes esraegias. Tabla 1. Resultados de la primera tarea.
Almnos qe obienen respesa
Correca
Esraegias
Incorreca
%
%
Meen el mosaico y cenan, pero no sisemáicamene y no logran cbrir el cadrado.
0
27
Hacen un recubrimiento visual de la supercie a medir medir..
1
6
Me M ee en n el mos osai aico co si sis sem emá áic icam ame en ne e y c cen ena an n ha has sa a c cbr briir el c cad adra rado do..
32
14
usan la regla para medir el mosaico nidad, con la medida hacen marcas en el cadrado grande y mliplican los reslados obenidos.
18
2
En la segnda area se dio a los niños na hoja en la qe aparecía dibjado n mosaico cadrado de 1 cm de lado como nidad y n recánglo de 6 cm por 5 cm, se pidió a los niños decir cános mosaicos se reqerían para cbrir el recánglo. La diferencia fndamenal con la area anerior fe qe ahora el mosaico nidad no se po-
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día moer. moer. Los reslados obenidos y las esraegias ilizadas en esa area se mesran en la abla 2. Ambas areas peden aplicarse en el ala con niños de 3°. y 4°. grado. Tabla 2. Resultados de la segunda tarea.
Almnos qe obienen respesa
Correca
Esraegias
Incorreca
%
%
Hacen n recbrimieno del recánglo dibjando las nidades, pero de forma incomplea.
0
11
Hacen n arreglo de cadrios compleo, pero las nidades no son del mismo amaño ni hay la misma canidad de nidades por renglón.
0
9
Hacen n arreglo de cadrios, pero no lo relacionan con la nidad.
2
29
Miden en na dimensión y de la ora hacen na esimación, despés cenan por renglón.
1
17
Mide Mi den n en en dos dos di dime mens nsio ione ness y ha hace cen n na na s sma ma re repe pei ida da o na na m ml lip ipllic icac aciión ón..
27
4
Aprendizaje de la medida de volúmenes En México, el esdio del olmen se inicia en 5° y 6° grado de primaria, y así es ambién en la mayoría de países, por lo qe no exisen esdios cenrados en ese concepo con niños de grados aneriores. En cambio, se pede consaar qe la noción de capacidad en algnos países se esdia anes qe la de olmen. No deben confndirse esos concepos, an cando esén relacionados. Piénsese qe calqier objeo es sscepible de ser medido en relación con s olmen, pero no en cano a s capacidad, magnid reserada a los recipienes, cajas, ecéera. Poari y Spilioopolo (1996) llearon a cabo n esdio con 38 niños de 5° grado de primaria en Grecia. Enconraron qe algnas caracerísicas físicas de los objeos, ales como esar cerrado o abiero, ser sólido o heco, esar lleno o acío afecan las concepciones de los almnos acerca del concepo de olmen. Ese esdio pone en evidencia que la noción de volumen es rica en signicados y asociaciones
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y apunta hacia las dicultades de su conceptualización. Parte de la investigación de los aores consisió en mosrar a los niños el dibjo de na copa de crisal acía y pregnarles: “¿Qé es el olmen de la copa?”. Lego se les mosraba oro dibjo de la misma copa, pero llena de aga y de neo se les pregnaba sobre el olmen. Tabla 3. Respuestas a ¿qué es el volumen de la copa? Respuesta
Espacio ocpado
Copa vacía
Copa llena
12
Capacidad
9
Crisal
4
Oras
13
Aga
6
Crisal
4
Crisal y aga Capacidad Crisal
2 6 3
Aga (capacidad)
3
Crisal y aga
1
No clasicadas
La abla 3 mesra la frecencia de las respesas. En el caso de la copa acía hbo 4 ipos de respesas. Cando se pregna por la copa llena, algnos niños cambian de opinión respeco a lo qe es el olmen de la copa; por ejemplo, de los 12 qe responden (con relación a la copa acía) qe el olmen es el espacio ocpado por la copa, 6 piensan qe el olmen de la copa llena es el aga qe coniene, 4 qe el crisal y 2 qe el crisal con el aga. El qe el maerial, el peso o el hecho de esar cerrado, abiero, ser sólido o heco inuyan en las concepciones de los alumnos sobre el concepto de volumen, llevó a los aores a sgerir qe algnos concepos maemáicos, como el olmen, deben enseñarse jno con la maeria de Ciencias. Qeda claro qe el olmen es difícil de concepalizar y debe rabajarse coninamene desde la primaria hasa el bachillerao. En la primaria es preferible qe los almnos se enfrenen sólo a problemas en los que no sea necesario cuanticar, pero en que el volumen se presente en con -
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exos diferenes qe los lleen a obserar qe es na magnid qe iene mchas inerpreaciones. Por ejemplo, n problema qe se pede planear a los niños es no en qe se reqiera calclar el olmen de na misma aza en res casos disinos: a) para saber cáno barro necesia n alfarero para hacerla; b) para conocer cál es s capacidad; y c) para enender si es posible acomodar, acomodar, por decir algo, caro de esas azas en na repisa o n meble. Cálculo de medidas y razonamiento proporcional un problema común en el aprendizaje de áreas y olúmenes es el error de aplicar la proporcionalidad direca para calclar el área o el olmen conociendo las proporciones de las magnides lineales; por ejemplo, si algien con ese problema sabe qe el área de n cadrado de lado 2 es 4, enonces cree erróneamene qe el área del cadrado de lado 4 es 8. De Bock, van Dooren, verschaffel y Janssens (2001) propsieron a esdiane esdianess de secndaria el sigiene problema: un pinor de pblicidad necesia 5 ml de pinra para hacer n dibjo de Sana Clas de 40 cm de alo en el aparador de na ienda. i enda. ¿Cána pinra reqerirá para hacer hacer n Sana Clas de la misma forma, pero qe mida 120 cm de alo?
Ese problema se aplicó a los esdianes en res fases scesias. En la primera se les pidió qe lo resolieran. En la segnda se les mosraron respesas correcas e incorrecas de spesos compañeros con ariadas explicaciones para qe las analizaran y respondieran nuevamente al problema, raticando su respuesta anteanterior o recticándola. En la tercera fase se les explicó el razonamiento correcto que había lleado a ss spesos compañeros a elegir la respesa correca (sin decirles qe esa era la respesa correca). La canidad de almnos qe dieron la respesa correca en cada fase de acerdo con el grpo de edad se mesran en la abla 4.
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Tabla 4. Resultados en las tres fases. Grupo de edad
Núm.
Fase 1
Fase 2
Fase 3
12-13 años
18
0
0
3
15-16 años
23
0
1
7
Como se e, del primer grpo de edad sólo la sexa pare cambió s respesa y lo hizo sólo hasa la ercera fase. Del segndo grpo sólo no de 23 esdianes cambió en la segnda fase y en la ercera alrededor de 30%. La creencia errónea de qe el olmen y el área ienen na relación de proporcionalidad direca con ss dimensiones lineales (largo, ancho, alo) se presena inclso en adlos. Por lo ano, debe rabajarse a odos nieles de la edcación básica y de preferencia con apoyo de maerial concreo para qe los esdianes perciban y engan na represenación represena ción realisa de las relaciones inolcradas. El problema qe se ha mosrado como ejemplo pede ser ilizado por los maestros tal y como se presenta aquí. El problema también puede modicarse usando otra gura, como una pintura o una imagen trazada en papel. Para el olmen se peden realizar paralelepípedos con carlina y despés dplicar odas ss dimensiones lineales. Consrir el neo paralelepípedo es na area qe mesra de manera angible qe el olmen amena ocho eces, y no dos o caro como mchos almnos piensan inicialmene.
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4. Manejo 4. Manejo de la inormación Erneso Sánchez, Cinesa, México Carmen Baanero, uniersidad de Granada, España
Ese capílo se diide en res aparados, a saber: a) Datos, grácas y memedidas de endencia cenral; b) Azar y probabilidad; y c) Relaciones de proporcionalidad. En los programas de secndaria esos res grandes emas conguran el eje Manejo de la Información.
Datos, gráfcas y medidas de tendencia central La esadísica ha jgado n papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna al proporcionar herramienas meodológicas generales para recopilar y organizar odo ipo de daos; describir y analizar s ariabilidad, deerminar relaciones enre ariables; diseñar en forma ópima esdios y experimenos, y mejorar las predicciones y la oma de decisiones en siaciones de inceridmbre. Es por eso qe en mchos países, inclyendo México, se incorpora la esadísica en los crríclos de los diferenes nieles escolares, desde el básico hasa el niersiario. Además de s ilidad, se reconoce la necesidad de n razonamieno esadísico en na sociedad caracerizada por la disponibilidad de información y de oma de decisiones en ambienes de inceridmbre.
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Problemáica de la didácica de la esadísica. Baanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994) resumieron los principales errores y las dicultades que los esdianes encenran en las ideas esadísicas elemenales, y hacen la obseración de que tales dicultades no se presentan de un modo aleatorio o imprevisible, sino qe es posible enconrar reglaridades y asociaciones con ariables de las tareas propuestas. Ben-Zvi y Gareld (2004) explican algunas de estas dicultades con base en el desconocimieno qe los esdianes ienen de las maemáicas qe sbyacen ras los concepos y procedimienos esadísicos (fracciones, decimales, proporcionalidad y porcenajes, fórmlas algebraicas). Además, no esán acosmbrados a rabajar con daos de siaciones reales qe, con frecencia, reqieren inerpreaciones y razonamienos de alo niel. La aleaoriedad de las siaciones conllea qe los reslados no sean únicos, presenándose na mayor ariabilidad qe en oras áreas de las maemáicas. Por oro lado, la enseñanza de la estadística no ha tenido en cuenta la especicidad de la materia y se reduce a la exposición de algunas deniciones y a la reproducción de procedimientos algorímicos, lo qe con frecencia crea en los esdianes na fobia hacia la maeria, pes les resla irreleane y abrrida. Como consecencia, los conocimientos y la cultura estadística de la población, son insucientes para enfrentar los reqerimienos de, y desenolerse adecadamene en, la acal sociedad de la información (Gal, 2002). Los inesigadores en edcación esadísica han esdiado esos problemas y ofrecen explicaciones y posibles solciones a algnos de ellos (por ejemplo: Shaughnessy, 1992, 2007; Shaughnessy, Gareld y Greer, 2006; Jones, Langrall y Mooney, 2007). Para eiar el aprendizaje fragmenado de los concepos esadísicos se propone llear a cabo en las alas proyecos esadísicos (Li y Shen, 1992; Baanero y Díaz, 2004) con los qe se espera qe los esdianes: a) identiquen n ema de esdio y formlen na(s) pregna(s); b) coleccionen n conjno de daos releanes para el ema en esdio; c) analicen los daos e inerpreen los reslados en fnción de la pregna planeada; y d) escriban n informe del
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proyeco. una idea imporane en esa propesa es qe, como eremos a lo largo del capílo, se peden diseñar proyecos esadísicos para rabajar en clase desde el preescolar, a diferencia de anes qe sólo se concebía para nieles speriores; ora, es qe los proyecos peden bicarse en conexos y siaciones propias de oras maerias del crríclo (biología, ciencias sociales, edcación física o para la sald, ecéera). Los inesigadores ambién se han preocpado por enender cómo razonan los esdianes, y cómo peden mejorar ss razonamienos, acerca de, y con, conceptos especícos de la estadística estadística.. Las investigaciones revelan que detrás de nono ciones —algnas eces de apariencia sencilla— se esconde na gran complejidad qe srge cando las nociones deben manejarse de manera perinene en diersos problemas y conexos. Es necesario qe los profesores conozcan y manejen al complejidad para qe pedan mejorar s enseñanza. En las sigienes secciones presenaremos presenare mos algnos ejemplos qe mesran conocimienos sobre cómo se razona con ideas esadísicas y para la enseñanza. Recopilación de datos y elaboración de grácas Preescolar. La enseñanza de la recopilación de daos y la lecra y consrcción de grácas sencillas debe iniciarse desde muy temprano, pues es una parte imporane de la compeencia esadísica (Gal, 2002). Esa aspiración es consisene con el hecho de qe los niños peqeños ienen mcho inerés en la información sobre diersos aspecos de s ambiene. una ez qe saben hablar y dibjar, ambién son capaces de llear a cabo proyecos sencillos, qe reqieren coleccionar y regisrar daos, procesarlos y resmirlos. Schwarz y Whiin (2006) mosraron esas capacidades en los niños del kinder (4 años), qienes, con ayda de la maesra, inenaron ss propias pregnas e hicieron na encesa a ss compañeros de grpo.
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Figra 4.1. Represenaciones de daos realizadas por niños de kinder (Schwarz y Whiin, 2006). Figras reprodcidas con el permiso del Consejo Nacional de Profesores de Maemáicas de Esados unidos de América. Aparecidas originalmene en El pensamiento y el razonamiento con datos y azar . azar . Libro del año, 68. Consejo Nacional de Profesores de Maemáicas. ©todos los derechos reserados (Reprined wih permission from thinking and Reasoning wih Daa and Chance: Sixy-eighh Yearbook, Yearbook, copyrigh 2006 by he Naional Concil of teac teachers hers of Mahemaics. © All righs resered).
Los aores informan qe los niños rabajaron en proyecos sencillos relacionados con ss experiencias o las lecciones isas en la clase, formlando pregnas como: ¿Te sabes anudar las agujetas de los zapatos?, ¿Has sembrado ores en un jardín? Además, inenaron formas de llear los regisros de las respesas de ss compañeros, generalmente con dibujos; se muestran tres ejemplos en la gura 4.1. una ez erminada la encesa y regisrados los daos, los niños feron capaces de responder las pregnas de la profesora acerca de los reslados obenidos, leyéndolos en ss propias represenaciones. represenaciones. Primaria.. En este nivel comienza el trabajo con grácos estándar (pictogramas, Primaria grácas de barras, etc.); por ejemplo, Taylor (1997) describe una experiencia con niños de 2º. grado de primaria, qe rabajan n proyeco de la clase de ciencias. Los niños clasicaron distintas piedras (o pedazos de roca) que les proporcionó el profesor, de acerdo con cieros aribos: color, exra (rgosa o sae, rayada o no), ec., y pesaron las piedras con ayda de na báscla y nidades de peso da-
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das por el profesor (ganchios de ropa). La area consisió en anoar la información sobre cada piedra en un registro, como el de la gura 4.2, de modo que al leer los datos de cada piedra se pudiera identicar exactamente. Cada niño debía llenar una la de la tabla indicando los valores de los atributos de las piedras que estudió. Nombre del alumno
Color de la piedra
¿Tiene rayas?
¿Tiene brillantitos?
¿Es suave?
¿Es rugosa?
¿Cambia de color con el agua?
¿Cuánto pesa?
Figra 4.2. tabla para regisrar la información sobre n conjno de piedras.
El profesor también les proporcionó una tira con guras estampadas de gangan chitos de ropa para que los niños recortaran tantas guras como unidades pesaba la piedra para formar un pictograma y luego pasar a la gráca de barras que indiindi caba los pesos de las rocas. Crcio (1987) esdió, con almnos de 4º. grado de primaria a 1º. de secndaria, el efecto que, sobre la comprensión de las relaciones en los grácos, tie nen los sigienes facores: a) conocimiento previo del tema al que se reere el gráco; b) conocimiento previo del contenido matemático del gráco, esto es, los concepos nméricos, las relaciones y operaciones conenidas en el mismo; y c) conocimiento previo del tipo de gráco empleado (gráco de barras, pictopicto grama, ecéera). Secundaria. Brigh y Friel (1998) realizaron n esdio para explorar la forma en qe na mesra de esdianes esdianes de 6º. grado de primaria y 1º. y 2º. de secndaria inerpretan las grácas 1 y 2, además, de cómo establecen relaciones entre ellas. Las ideas de ese esdio peden ilizarse para elaborar n proyeco cyo objeio
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sea investigar el tamaño de las familias de los alumnos en clase. En esta gráca, los daos aparecen desagrpados, conserando el nombre de cada almno, jno con el número de hijos en s familia; por ejemplo, se obsera qe hay dos esdianes (Karina y Ssy) qe en s familia, hay sólo n hijo o na hija, mienras qe en la de Gillermo hay ocho hijos (hombres y mjeres). Número de hijos (hombres y mujeres) en cada familia de los esudianes de la clase
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s o j i h 6 e d 4 o r e m 2 ú N 0 a n i r a K
y s e u m S i a J
l e o J
n á i l u J
a n a s u S
a n i s n o f l A
n a u J
a í r a M
n í u q a o J
a n a u J
a r u a L
o d l a W
a i l u J
l t i h c o X
a r i d n e r E
a t n a m a S
o m r e l l i u G
Esudianes
Figura 4.3. Gráca de estudiantes vs. número de hijos en la familia.
Agrpando los daos y omiiendo el nombre de los esdianes se obiene na gráca de frecuencias (gura 4.4) donde el eje horizontal representa el número de hijos en la familia y el erical el de familias (frecencia) qe ienen ese número de hijos. s a i l 4 i m a 3 f e d 2 o r 1 e m ú N 0
Fr ecuencia ecuencia de familias por número de hijo s
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de hijos
Figura 4.4. Gráca de número de hijos vs. número de familias.
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Los aores presenan fragmenos de enreisas realizadas a caro esdianes de 2º. de secndaria, anes y despés de sesiones de enseñanza. Drane las entrevistas aprendieron a pasar de grácas no agrupadas a grácas agrupadas. Las siguientes preguntas, 1, 2 y 3, referidas a la gráca de datos agrupados (Figura 4.4) les reslaron difíciles a los esdiane esdianes: s: 1. ¿Qué representan la primera y la segunda barra en la gráca de la gura 4.4? 2. ¿Cános esdianes había en el grpo? 3. ¿Cános hijos y cánas hijas hay en oal en las familias de los esdianes del grpo?
Los autores concluyeron que, aunque los estudiantes conocen las grácas, les resla my difícil obener de ellas la información perinene para responder pregnas qe reqieren n conocimieno más profndo. Para inerprear los reslados de exploraciones sobre lecra y elaboración de grácas, es importante notar que la competencia exigida a los estudiantes no es siempre la misma, pues es posible plantear preguntas sobre los grácos de diferente nivel de dicultad; esta observación ha llevado a denir niveles de comprensión de las grácas; Friel, Curcio y Bright (2001) proponen los siguientes: • Leer los datos. Consise simplemene en poner en relación n elemeno de n eje
con el de oro eje, por ejemplo, ej emplo, responder responder a la pregna: “¿Cánas familias ienen un hijo?”, en la gráca de la gura 4.4. • Leer entre los datos. Cuando se es capaz de percibir en el gráco una relación
enre dos sbconjnos de daos; por ejemplo, deerminar isalmene la moda de na disribción en n diagrama de barras. Las pregnas 2 y 3 en la inesigación de Brigh y Friel corresponden a ese niel, pes na ez leídos los daos de las barras los esdianes ienen qe operar con ellos.
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• Leer más allá de los datos. Comparando endencias o agrpamienos y efecan-
do predicciones; por ejemplo, comparar el número más frecene de hijos en las familias de los niños y en las de las l as niñas, o conjerar acerca del número de miembros en la familia de n neo esdiane qe se incorporará al grpo.
Además de las competencias de lectura de los grácos, es importante consiconsi derar el desarrollo de éstas en la construcción de grácos y los errores más frecuenfrecuen es qe comeen los almnos. Monroy (2008) enmeró na serie de errores frecuentes de los estudiantes cuando gracan, que son un conjunto de datos que se pueden clasicar en tres categorías: a) no considerar ni represena represenarr las frecencias de los daos; b) inersión de los ejes; y c) problemas de escala. un ejemplo de la primera caegoría ocrre cando los esdian esdianes es represenan cada alor con na barra proporcional a su magnitud en un tipo de gráca no-agrupada. La inversión de los ejes se presenta tanto en grácas con poca elaboración como en aquellos que identican varias de sus características y los problemas de escala también son diersos. Al respeco, Li y Shen (1992) reporan los sigienes problemas: problemas: a) elegir na escala inadecada para el objeio preendido (por ejemplo no se cbre odo el campo de ariación de la ariable represenada); b) omiir las escalas en algno de los ejes horizonal o erical, o en ambos; c) no especicar el origen de coordecoordenadas; y d) no proporcionar sucientes divisiones en las escalas de los ejes. El tema de datos y grácas es muy importante en el currículo de primaria y secndaria y iene na ala complejidad. Para na bena enseñanza del ema coniene qe el profesor promea proyecos esadísicos con ss esdianes. Medidas de tendencia central y dispersión Primaria y secundaria. secundaria. Srass y Bichler (1988) exploran la comprensión, por pare de almnos de primaria y secndaria (8 a 14 años), de siee propiedades de la media ariméica. todos todos los almnos del esdio sabían calclar la media ariméica y, en la fase de insrcción, se les enrenó en la solción de problemas qe reqerían
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calcularla, pero sin implicar las propiedades. La tarea 1 se reere a la propiedad “La media ariméica se localiza enre ss exremos”. Tarea 1. Los niños en una clase decidieron dar una esta en la l a playa. Todos llevaron papa-
pas para poner al fuego y comer durante la esta. Yael llevó 3 papas, y aportó la mayor canidad. Cando esieron lisos para comer, decidieron renir las papas qe odos llearon y reparirlas eqiaiamene. una ez qe se reparieron cada niño recibió 4 papas. ¿Piensas qe eso pdo haber ocrrido? ¿Por qé piensas qe sí pdo (o no pdo) haber ocrrido? (Srass y Bichler:69).
La tarea 2 se reere a la propiedad “La media aritmética es representativa del conjno promediad promediado”. o”. Tarea 2. Para una esta del grupo, Ruth llevó 5 dulces, Yael 10, Nadav 30 y Ami 25. ¿Po¿Po -
drías decir con n solo número cános cános dlces lleó cada no?
Del análisis de las respuestas concluyeron que hay un progreso signicativo signic ativo conconforme amena el grado qe crsan los esdianes. En general, ienen mejor desempeño en las propiedades: A: “La media ariméica se localiza enre ss exremos”; C: “La media aritmética de un conjunto se modica cuando otro valor distinto de la media se añade al conjno”, y D: “La media ariméica no necesariamene es igal a algno de los alores promediados”. En cambio, s desempeño fe bajo en las areas qe ealúan las propiedades: B: “La sma de las desiaciones de cada alor respeco a la media es igal a cero”; F: “un dao igal a cero debe enerse en cena al calclar la media ariméica”, y G: “La media ariméica es represenaia del conjno promediado”. La propiedad E: “La media ariméica pede ser na fracción sin conrapare en la realidad física” no pdo ealarse con claridad. Esos reslados peden considerarse en el diseño de la enseñanza, bscando qe cada propiedad se aborde en clase de acuerdo con su dicultad.
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Por oro lado, Pollasek, Lima y Well (1981) exploraron cómo razonan esdianes niersiarios frene a problemas de medias ponderadas, al proponerles el sigiene: Hay 10 personas en n eleador, 4 mjeres y 6 hombres. El peso promedio de las mjeres es de 50 kg y el de los hombres de 70 kg. ¿Cál es el peso promedio de las 10 personas del eleador? (Pollasek et (Pollasek et al., al., 1981:195) 1981:195)..
Consaaron qe mchos esdianes niersiarios fallan en dar la respesa correca, porqe más de 60% feron incapaces de calclar correcamene la media ariméica para esos problemas. Conclyeron qe el problema se presena porqe el conocimieno de la media ariméica se redce sólo al cálclo de “smar canidadess y diidirlas enre el número de ésas”, canidade ésas”, sin n conocimieno fncional; fncional; es decir, sin una comprensión signicativa de la media aritmética. Wason Wa son y Moriz (2000) esdian la forma for ma en qe los niños de diferenes edades comprenden el concepo de “promedio” y s so en siaciones de la i da diaria. Realizaron enreisas a almnos de 3º. y 6º. grado de primaria y de 3º. de secndaria en las qe planean pregnas pregnas como: “¿Habías escchado anes la palabra “promedio”? ¿Qué signica para ti?”; “En promedio, las familias australianas tienen 2.3 niños. Explica qué signica para ti esta frase”; “Supongamos que 10 familias tietie nen, en promedio, 2.3 niños; de ellas, la familia Gran ienen 4 y la familia Cooper 1, ¿cános hijos podrían ener las resanes 8 familias?”. Con base en las respesas recibidas, identicaron seis niveles de comprensión de los promedios: • Niel “pre-promedio”. Los niños no san ningún érmino de promedio y sólo imaginan hisorias con ciera relación sobre el conexo de la pregna. • “uso coloqial de n promedio”. uilizan érminos como es normal o es okey. Imaginan ideas relacionadas con el conexo para apoyar ss respesas; por ejemplo, ej emplo, a parir de la pregna responden hisorias como: “Que tienen dos niños grandes y
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otro que no ha crecido todavía”, “el .2 es un niño que tiene 2 años ahora y cuando cumpla 10, contará como 1 y entonces el número promedio de niños será 3” .
• “Esrcra múliple del promedio”. Manejan dos o más ideas como el más común, el de en medio y, en ocasiones, el algoritmo al describir n promedio. promedio. • “Representació “Representación n con promedio”. Se reere directamente al algoritmo de la media en relación con las siaciones. Además, son conscienes de qe la forma f orma decimal de na media es consecencia del algorimo y expresan algna idea sobre la naraleza de la media como represenane de n conjno. • Los esdianes ambién son capaces de aplicar s conocimieno de la media a siaciones complejas, como complear complear n conjno de alores para obener na media dada o calclar na ponderada, pero no ambas. • Hacen odo lo anerior inclyendo las dos úlimas areas mencionadas. mencionadas.
Varias de las dicultades que se observan en los estudios con niños pequeños se elen a enconrar ligeramene disinos con esdianes de bachillerao e inclso niersiarios. Por ejemplo, Mayén (2009) hizo n esdio con almnos de secndaria y bachillerao en México reomando pregnas de inesigaciones aneriores. Sólo 52% de los esdianes de secndaria y 80% de los de bachillerao respondió correcamene a la pregna: “un periódico dice qe 2.2 es el número medio de hijos por familia en México. Explica qué signica para ti esta frase”. Al pedirles un ejemplo concreto de distribudistribución de 10 familias para obener n número medio de 2.2 hijos, el número de respesas correctas en estudiantes de bachillerato bajó a 56%. Otra gran dicultad fue estimar la media (mediana) a partir de una gráca (véase gura 4.5), pues sólo se alcanzaron acieros en secndaria 56 (27%) y 66 (34%) en bachillerao. Íem 9. Obsera el sigiene diagrama de barras qe mesra las enas de bocadillos, de la empresa Bocaa, drane los úlimos seis meses del año pasado. Da n alor aproximado del número medio de bocadillos qe se ende al mes. Da n alor aproximado de la mediana del número de bocadillos qe se ende al mes.
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Canidad 70000 60000 50000 Canidad
40000 30000 20000 10000 0 Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Figra 4.5. Pregna sobre media y mediana en Mayén y oros (2008).
Respeco a la comprensión de la mediana, los almnos enienden qe ésa es el centro de “algo”, pero no siempre comprenden a qué se reere ese “algo”. Cobo y Baanero (2000) aplicaron la sigiene area a esdianes de 14 y 15 años de edad: El peso en kilogramos de 9 niños es 15, 25, 17, 19, 16, 26, 18, 19, 24. ¿Cál es el peso del niño mediano? ¿Cál es la mediana si inclimos el peso de oro niño qe pesa 43 kg?
Para resolerla, se ordenan los daos y se oma el elemeno cenral aplicando directamente la denición de mediana: se obtiene 19; al agregar el dato 43 tam bién se obiene 19. Pero algnos niños dieron como mediana el alor 16 en la primera pare y 21 en la segnda, omando como mediana el alor cenral de la serie sin ordenar los daos. Oros almnos dieron como mediana el alor cenral del rango; es decir 15 +2 26 , para el primer aparado y 15 +2 43 = 29 para el segndo. Mchos profesores selen creer qe la enseñanza de las medidas de endencia central consiste en promover el aprendizaje de sus deniciones y de los procedimienprocedimien tos para obtenerlas, descuidando sus propiedades y signicados. Es probable que esa sea la razón del bajo desempeño qe ienen los esdianes en problemas como los anes mencionados. Para lograr mejores reslados en la enseñanza del ema, al igal que en el caso de las grácas, es conveniente diseñar la enseñanza del tema de me -
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didas de endencia cenral, mediane la organización de proyecos esadísicos en los que la obtención y el uso de estas medidas le resulte signicativo a los estudiantes. Dispersión y variabilidad son concepos poco explorados en los nieles básicos, anqe Shaghnessy (2007) resala la necesidad de rabajar con la idea de ariabilidad desde edades tempranas a n de que los alumnos adquirieran una formación coneniene en esadísica, anqe en realidad es poco lo qe se hace con ese concepo drane oda la edcación básica. En el programa de esdio de secndaria de 2º. grado ( SEP, 2006:61) aparece el sbema “Medidas “Medidas de endencia endencia cenral y de dispersión”; dispersión”; sin embargo, los aparados de “conocimieno y habilidades” y “orienaciones didácicas” no conienen ningún comenario explício sobre la dispersión. No obsane, el conexo del clima en qe se bica la siación de la orienación didácica resla faorable para el raamieno de la ariabilidad. Eso se mesra en n rabajo de Wason (2006), qien rabajó con esdianes de 3º., 6º. y 9º. grado, formlándoles la sigiene pregna: 2 Algnos esdianes obseraron el regisro de las emperaras diarias drane n año en la cidad de tolca y enconraron qe la máxima promedio anal es de 18.5ºC. ¿Qé nos dice esa información acerca de las emperaras en tolca?
La aora describe caro nieles de comprensión de la ariabilidad en las respesas de los esdianes. En el niel más elemenal (0), los esdianes comprenden algo el signicado de promedio, pero no en su sentido de representante representante de un conjno de daos qe arían; por ejemplo: “qe no es an probable qe el clima sea my caliene”, “es algo fresco”. En el niel inermedio (1) comparan la emperara con la de oros lgares; por ejemplo: “No es an caliene como en Colima (32ºC) ni an frío como en la pna del Neado de tolca” o “Es razonablemene 2
Adaptada al contexto mexicano.
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fresco —no ano como en oros países donde niea, ni ampoco my calroso como en tabasco”. En el niel más alo, las respesas qe dan consideran la ariabilidad de las emperaras: “La emperara normalmene oscila alrededor de los 18.5ºC”, “No es my calroso; mchas eces la empera emperara ra alcanza los 18.5ºC”. Watson muestra el tipo de respuestas que se presentan a n de considerar la ariabilidad de manera correca al inerprear n promedio como reslado de alores que uctúan alrededor de él, idea que es muy importante en estadística y coniene rabajarla en la clase.
Azar y probabilidad Cando se le pregna a n profesor cómo cree qe deben rabajarse en el ala los emas de probabilidad sgeridos en los programas, es my probable qe responda qe con la ayda de jegos de azar, azar, como monedas, dados, rleas rle as y rnas. Sin embargo, como mesra Salinas (2007), a eces no saben qé hacer exacamene con los jegos de azar de manera qe emerjan los concepos qe marca el programa (sep, 2006) ni cómo los esdianes llegan a aprenderlos. La inesigación inesigación relacionada con ese ema es my amplia, como se mesra en el libro recienemene ediado por Jones (2005), pero por razones de espacio sólo describimos algnos ejemplos, remiiendo a Baanero y Sánchez (2005) para la descripción de las dicultades especícas de los estudiantes de secundaria en el tema. Al iniciar el esdio de la probabilidad se debe insisir en qe los niños sean capaces de disingir las siaciones aleaorias y las deerminisas. Piage e Inhelder (1951) defendieron qe los niños concebirían el azar como reslado de la inerferencia y combinación de na serie de casas qe, acando independienemenindependienemene, prodcirían n reslado inesperado. En consecencia, pensaron qe hasa qe el niño no comprende la idea de casa, no iene n marco de referencia para identicar los fenómenos aleatorios. Un experimento piagetiano clásico utiliza una bandeja con compartimentos en los extremos (gura 4.6); en uno de los lados se
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ponen ocho bolas blancas y en el oro ocho negras, de modo qe al basclar la bandeja se prodce la mezcla progresia de las dos clases de bolas. Anes de moer la bandeja, Piage pide a los l os niños qe hagan na predicción sobre la posición nal de las bolas. El niño de preescolar (preoperacional ( preoperacional)) piensa qe —despés de moer arias eces la bandeja— las bolas elen a s lgar original, o bien qe el conjno compleo de blancas acabará en el lgar ocpado originalmene por las negras, y iceersa. Piage inerprea esa reacción ípica anes de los 7 años de edad, indicando qe el niño no comprende la naraleza irreersible de la mezcla aleaoria por ener n pensamieno reersible. Además, esa edad no comprende bien la relación enre casa y efeco, ni iene razonamieno combinaorio compleo; en consecencia Piage conclye qe no hay na inición del azar innaa en el niño, como no exisía ampoco en el hombre primiio, qe aribía los scesos aleaorios a casas oclas o a la “olnad de los dioses”.
Figra 4.6. El experimeno de la bandeja: al moer la bandeja, las bolas, qe al principio esán ordenadas, se mezclan progresiamene.
En el periodo de las operaciones concretas (a parir de 7 años de edad), con la adqisición de esqemas operacionales operacionales lógico-maemáicos, lógico-maemáicos, el niño alcanza la capacidad de disingir enre el azar y lo dedcible, anqe esa comprensión no es complea, porqe el pensamieno odaía esá my ligado al niel concreo. En los fenómenos aleaorios los reslados aislados son impredecibles, pero el conjno
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de posibilidades pede deerminarse mediane n razonamieno de ipo combinaorio, con lo qe se ele predecible. Cando se comprende eso aparece la idea de probabilidad expresada por el cociene de las posibilidades de n caso pariclar enre el conjno oal de posibilidades. Por ano, la idea de azar, para Piage, lo mismo qe la de probabilidad, no pede ser oalmene adqirida hasa qe se desarrolle el razonamieno combinaorio; eso es, en la eapa de las operaciones formales, formales, alrededor de la edad en qe se inicia la edcación secndaria. secndaria . Fischbein (1975) rechazó esa opinión de Piage Pi age porqe para él la inición primaria del azar, eso es, la disinción enre fenómenos aleaorios y deerminisas, aparece inclso anes de los 7 años de edad. Además, se basa en la condca de los niños al pracicar jegos de azar, ya qe en jegos sencillos, son capaces de elegir la opción de mayor probabilidad: ambién opina qe la insrcción es necesaria para qe se desarrolle de na forma for ma complea. Espacio muestral es na de las ideas fndamenales descrias por Heiele (1975) para el razonamieno probabilísico; implica reconocer qe en las experiencias de azar hay diferenes posibilidades de obener n reslado, generar odas la posibilidades de manera sisemáica y exhasia, así como obserar la relación enre el espacio mesral y la disribción de los reslados. Benson y Jones (1999) exploraron la simlación como n recrso para qe los niños desarrollaran esa noción. Los insrmenos o generadores aleaorios qe ilizaron son: olar na moneda, lanzar n dado, exraer na bola de na rna con diferenes proporciones de bolas de color, ec. En segida se mesran dos problemas qe saron esos aores en los qe inian a los niños a bscar na forma de simlarlo (ssiir el experimeno real por n disposiio aleaorio qe genere los mismos reslados): Seis niños —Jan, Ken, Lis, Ssana, Caarina y Beariz—, meen n papel doblado con s nombre en na caja para sorear n premio. Sólo hay no. ¿Cómo podrías simlar la siación para deerminar qién gana el jego?
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te an a obseqiar n helado en la cafeería de la escela. tienen res sabores: ainilla, chocolae y fresa, y dos presenaciones: en cono o aso. Enlisa odas las posibles maneras en qe podrían dare el helado. Si el despachador no e pide preferencia, ¿cómo podrías simlar qé helado e dará si lo elige al azar?
En n esdio con seis niños de 3º. y 4º. grado, los aores enconraron qe mediane algnas lecciones de enseñanza (qe aydan a familiarizarse con el concepo de simlación), los niños feron capaces de seleccionar correcamene correcamene n generador aleaorio con n espacio mesral eqialene al de la siación en conexo, por ejemplo, en el problema del soreo de n premio enre seis niños, se podría elegir n dado y asignar na cara a cada no para ssiir el soreo de papeles en la caja. un enfoqe basado en la simlación, como lo proponen Benson y Jones, permie na mejor ealación de la comprensión de los concepos de experiencia aleaoria y de espacio mesral. La probabilidad clásica (teórica) se aplica a las experiencias aleaorias qe ienen un espacio muestral nito, cuyos resultados se pueden suponer equiprobables. Es po sible obener esa sposición de n análisis de cada siación concrea; por ejemplo, los dados se consryen con maerial homogéneo para qe sean lo más cercano a n cbo perfeco; per feco; es razonable pensar qe al arrojar n dado con esas caracerísicas caracerísi cas cada cara enga anas posibilidades de caer como calqier ora cara del mismo dado. Si na rna coniene dos bolas, na na de n color y ora de oro, pero idénicas en forma, amaño y peso, y se exrae de la rna na mediane n mecanismo “ciego”, es razonable sponer qe obener la bola de n color iene las mismas posibilidades qe obener la del oro color. En cambio, en n experimeno en el qe se obsera a n jgador de basqebol cando a a realizar n iro libre, hay dos posibles reslados: qe encese o no. En ese caso no se pede sponer qe cada reslado iene las mismas posibilidades de ocrrir qe de no ocrrir, pes para n jgador bien enrenado es más fácil qe aciere a qe falle, pero no es imposible qe falle; enonces
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el espacio mesral no es eqiprobable. Cando el espacio mesral de na experiencia aleaoria es eqiprobable y esá formado de n reslados, la probabilidad de ocrrencia de cada reslado es 1/n . Si se considera n eeno no singlar (formado por más de n elemeno del espacio mesral) s probabilidad es el cociene de los casos qe faorecen al eeno enre el oal de posibles casos de la experiencia (el amaño del espacio mesral). Piage e Inhelder (1975) pensaron qe el niño de preescolar es incapaz de esimar correcamene correcamene las posibilidades a faor y en conra de los scesos aleaorios, y se basaron en qe a esa edad el niño no posee la habilidad de disingir enre el azar y lo dedcible, ampoco el concepo de proporción ni los procedimienos combinaorios. Fischbein (1975) indicó qe, a pesar de ello, sí pede hacer jicios probabilísicos en siaciones sencillas. una de esas siaciones, sada ambién por Piage en ss experimenos, es pedir al niño qe elija, enre dos rnas o cajas con diferene número de bolas blancas y negras, aqella qe ofrezca más posibilidades de obtener una bola blanca (se le proporcionan cajas transparentes con chas de dos colores o bien n dibjo de ésas): En la caja A se metieron tres chas negras y una cha blanca. En la caja B se pusieron dos chas negras y una cha blanca. Si tienes que sacar una cha negra para ganar n premio, sin mirar denro de la caja, ¿cál elegirías?
En el periodo de las operaciones concreas (hasa 7 años de edad), los niños peden resoler problemas qe impliqen comparación de probabilidades de n mismo sceso A en dos experimenos diferenes, sólo en siaciones donde, el número de casos faorables o de casos desfaorables a A son igales en ambos experimenos (ss esimaciones se basan en comparaciones binarias). Lego pasan a resoler problemas en qe los casos se peden poner en correspondencia mediane na proporción. Los adolescenes progresan rápidamene en el cálclo de probabilidades, inclso cando las fracciones qe se comparan ienen diferene
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denominador. Eso se obsera con niños a parir de 12-13 años, e inclso desde 10 años de edad, con la ayda de la insrcción. Oros aores ambién han analizado las esraegias qe sigen los niños al comparar probabilidades. Reprodcimos la abla 1 en qe Cañizares (1997) hace na sínesis de ellas: Tabla 1. Estrategias de los niños para comparar probabilidades. probabilidades. Estrategia
Descripción y edad
Comparación del número de casos posibles.
Consise en elegir la caja qe conenga mayor número de bolas. Es propia de niños my peqeños.
Comparación del número de casos faorables.
Consise en elegir la caja qe conenga más bolas del color faorable. Corresponde al niel preoperacional, en qe el almno no posee aún la capacidad para esablecer relaciones enre el odo y ss pares. Resele el problema correcamene cando el número de casos desfaorables es igal en las dos cajas.
Comparación del número de casos desfaorables.
Se elige la caja con menor número de bolas del color desfaorable. Los niños en el niel preoperacional ilizan esa esraegia cando exise igaldad de casos faorables y cenran s aención, enonces, sobre el número de casos desfaorables. Resele el problema correcamene cando el número de casos faorables es igal en las dos cajas.
Esrae Es raegia giass adii adiias as..
Se eli elige ge la caj caja a donde donde la dif difere erencia ncia enr enre e caso casoss faora faorable bless y des des-faorables sea mayor. Se ienen en cena odos los daos, pero no se san proporciones. Es caracerísico del periodo de operaciones concreas (8-11 años)
Esraegia de correspondencia.
Se esablece la proporción enre el número de casos c asos faorables y desfaorables en na de las cajas y se compara con la composición de la ora, eligiendo la caja qe dé mayor proporción. Aparece drane el periodo de operaciones concreas, se desarrolla en el periodo de operaciones formales (a parir de 12-13 años de edad), para ir rasformándose en na esraegia pramene mliplicaia. Resele el problema correcamene cando hay na proporción sencilla (por ejemplo, 2 a 1) de casos faorables y desfaorables en na de las cajas, pero no en la ora.
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Esraegias mliplicaias.
Consise en la aplicación de la regla de Laplace. Es la más elaborada y reqiere el dominio del cálclo con fracciones. Es necesario esablecer las fracciones formadas por los números de casos faorables y desfaorables para despés comparar las fracciones así obenidas. Es propia del periodo de operaciones formales (a parir de 12-13 años de edad).
Oros ipos.
Hacer referencia a la sere; elegir el color faorio, ecéera.
Se ha consaado qe la noción de probabilidad clásica es simple sólo en apariencia, pes frecenemene los niños ienen ideas propias acerca de las siaciones de azar qe no corresponden a las de la eoría, an cando ésa se les haya enseñado. Por n lado, hay esdianes qe no creen en la eqiprobabilidad de jegos en los qe se sele sponer esa propiedad; oros acepan la legalidad de algnos jegos, pero la relaiizan pensando qe hay eenos faorables a cieras personas en ird de s sere. Green (1983) hizo la sigiene pregna a casi 3 000 niños de enre 11 y 16 años: Cando se arroja n dado ordinario de seis caras, ¿qé número es más difícil de ocrrir? o ¿odas las caras ienen las mismas probabilidades probabilidades de ocrrir?
Green informa qe 17%* de los esdianes de secndaria encesados pensaban qe el 6 ocrriría con menor frecencia. Amir y Williams (1999), en enreisas con niños de 11 a 12 años, informan de comenarios como el sigiene cando se referían al jego de dados: No se pede predecir lo qe as a obener. Algnas eces obengo 6 a la primera, pero oras eces engo qe esperar mcho para qe salga. Mi hermana iene mcha sere, ella obiene el 6 ocho eces segidas…
Reriéndose al lanzamiento de dos dados:
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Hay más probabilidad de obener números diferenes qe el mismo número en ambos dados, pero mi mamá es my bena para obener el mismo número en ambos dados.
Amir y Williams comenan qe, para responder, los niños consideran ideas de res fenes: el conocimieno formal escolar, ss creencias y ss experiencias personales. Por oro lado, en conrase con la renencia a creer qe cieros jegos son eqiprobables, na concepción qe esá en el oro exremo es el sesgo el sesgo de la equiprobabilidad, que consise en asignar la misma probabilidad a los reslados de experiencias inclso en siaciones en qe los reslados no ienen la misma probabilidad. Cañizares (1997) enconró qe 25% y 18% de los esdianes encesados encesados (394) de 10 y 14 años de edad, respeciamene, respondieron a dos reacios de Green de acerdo con el sesgo de la eqiprobabilidad. Los esdios aneriores aneriores nos muestran la complejidad de la denición clásica de la probabilidad, pues su co rreca aplicación se e afecada por las caracerísicas de la siación, las creencias de los niños respeco al azar y la sere, y ss experiencias personales. La probabilidad frecuencial (o esimación experimenal de la probabilidad eórica) de n eeno es na esimación de s probabilidad. S alor eórico sería el límie que se obtiene a partir de realizar efectivamente la experiencia un número innito de eces en la mismas condiciones. Es decir, se hace el experimeno n número deerminado de eces y se calcla el cociene del número de eces qe ocrre el eeno enre el oal de eces qe se repie el experimeno; eso se sige haciendo mienras se amena el número de repeiciones de la experiencia; así se prodce na secencia de frecuencias relativas; si se repitiera la l a experiencia un número innito de veces, la secencia conerge en n número, qe es la probabilidad eórica del eeno. El número es eórico en ird de la sposición de qe el experimeno se repie indenidamente. En la práctica —puesto que no se puede realizar el experimento un número innito de ensayos— sólo se obtiene una estimación de la probabilidad eórica, a parir de la frecencia relaia en n número grande de ensayos. Cando se esiman las probabilidades así se adopa n enfoque frecuencial de la probabilidad.
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un aspeco imporane en ese enfoqe es enender, enender, por n lado, la diferencia enre probabilidad (alor eórico consane qe nnca alcanzamos) y frecencia relaia (esimación experimenal de la probabilidad, qe pede cambiar de na esimación a ora). también es necesario comprender qe los reslados indiidales de na experiencia son impredecibles impredecibles,, mienras qe el comporamieno general de n gran número de reslados sí se pede predecir . El so de software de software edcaio para esadísica y probabilidad ha ampliado mcho las posibilidades didácicas del enfoqe frecencial, pes en la compadora se pueden repetir experiencias simuladas un número suciente de veces, de tal manera qe se pede obserar las endencias (éase capílo 6 de ese libro). Por ejemplo, tarr, Lee y Rider (2006) exploran la noción de probabilidad frecencial, pero en conexión con las nociones de probabilidad clásica y de inferencia esadísica (informal). La aciidad llamada Schoolopoly planea el problema de descbrir enre dados irales, cáles son legales y cáles no, argmenando s decisión. Con el software software,, las parejas de niños podían repeir el experimeno de lanzar los dados las eces qe qisieran, pes el inerés se cenra en las esraegias de los estudiantes. Una pareja armó que un dado era legal con sólo 36 repeticiones de los dados, en la qe obieron la disribción qe se presena en la abla 2; consideraron qe la ariación de los reslados en relación con la disribción niforme no era demasiado grande. En cambio, ora pareja repiió la experiencia 1000 eces con ese mismo dado y enconró la disribción qe se ilsra en la abla 3, donde decidieron qe el dado no era legal. Se le pidió a 24 esdiane esdianess qe oaran por la solción más conincene y 23 se inclinaron por la solción correca de qe el dado no era legal, obenida a parir de 1000 repeiciones. Esa aciidad, conclyen los aores, permie compromeer a los esdianes en discsiones aliosas sobre aspectos importantes de la probabilidad, como la inuencia del tamaño de la mues mues-ra (número de repeiciones) en la precisión de las probabilidades esimadas.
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Tabla 2. Distribución de la pareja que sólo hizo 36 lanzamientos del dado.
1
2
3
4
5
6
1 9
5 18
1 9
1 18
1 4
7 36
Tabla 3. Distribución de la pareja que hizo 1000 lanzamientos del dado.
1
2
3
4
5
6
13%
18.4%
17.8%
20.8%
18%
12%
Las aneriores inesigaciones inesi gaciones mesran areas qe peden ser adapadas para rabajar en el ala desde 3er. grado de primaria hasa la secndaria, así como las dicultades que se presentan para el aprendizaje de los conceptos que están en jego. Si el profesor cena con na gama amplia de areas para desarrollar los conceptos probabilísticos y conoce las dicultades que suelen tener los niños con esos concepos, esará en mejores condiciones de ofrecer a ss almnos benas opornidades de aprendizaje de esa maeria.
Relaciones de proporcionalidad Las fracciones, las razones y las l as proporciones son concepos nméricos de n niel inmediaamene inmediaam ene sperior a los de los números narales y ss operaciones. 1) Hay propiedades propiedades no estructurales de las fracciones que tienen variantes variantes signicasignicaias en relación con las propiedades de los números narales, por ejemplo, en esos el prodco de dos eneros es mayor qe calqiera de ss facores, f acores, mienras qe esa proposición no es ciera para el prodco de fracciones. 2) una razón indica cómo se relacionan (y arían) dos canidades canidades..
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¿Qué es el razonamiento proporcional? En general se eniende como razonamiento proporcional la habilidad para esablecer las relaciones esrcrales en problemas de comparación de razones y de valor faltante, faltante, es por eso qe ambién se le nombra razones nombra razones y proporciones. En los problemas de razones se dan caro canidades a, b, c y d, y se iene qe deera c minar si b es mayor mayor,, menor o igal qe d ; por ejemplo, Karpls (1983) formló el sigiene problema: Jan hace n concenrado para preparar limonada con res ccharadas de azúcar y 12 de jgo de limón. María hace n concenrado con cinco ccharadas de azúcar y 20 de jgo de limón. ¿Cál de los dos concenrados iene n sabor más dlce, el de Jan o el de María? o ¿ambos ienen n sabor igal de dlce?
En los problemas de alor falane se proporcionan res de los caro alores a c de la proporción b = d y el objeio es enconrar el caro alor alor.. un problema de ese ipo es el sigiene: Jan hace n concenrado para preparar limonada ilizando 3 ccharadas de azúcar y 12 de jgo de limón. ¿Cánas ccharadas de jgo de limón necesia María para combinar con 5 de azúcar a n de que el sabor del concentrado que haga sea igual al de Jan? (Karples, 1983).
El pensamiento proporcional no sólo signica dominar la operatividad presente en los problemas de razones y proporciones, sino qe ambién implica reconocer las siaciones en qe la proporcionalidad es perinene. Por ejemplo, en n esdio con almnos de docencia, Cramer, Cramer, Pos y Crrier (1993) propsieron el sigiene problema: Ssana y Jlia corren a la misma elocidad en na pisa circlar. Ssana comenzó a correr anes qe Jlia. Cando Ssana había corrido nee elas al circio Jlia sólo
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había dado res. Sigieron corriendo y despés de n iempo, Jlia había corrido 15 elas, ¿cánas elas lleaba recorridas Ssana?
Fe sorprendene qe 32 de 33 esdianes resolieron el problema como si fera de razonamieno proporcional; por ejemplo: 9:3::x:15 (nee es a res como x es a 15), con ello obieron qe Ssana lleaba recorridas 45 elas; sin embargo, ésa no es la solción, pes como corren a la misma elocidad, drane odo el iempo qe permanecen corriendo ambas recorren las mismas elas; enonces el modelo sería: Si Ssana llea x elas, Jlia llea x – 6 elas. Ssana aenaja a Jlia con seis elas, de donde Ssana lleaba 21 elas recorridas cando Jlia lleaba 15. Los esdianes ambién resolieron oro problema cya solción se alcanzaba mediane méodos proporcionales, obeniendo en ese caso las respesas correcas. De lo anerior se conclye qe el razonamieno proporcional no se redce a conocer y a ejecar las operaciones inolcradas en las siaciones de proporcionalidad, sino es necesario aprender a disingir en las siaciones cándo inerienen relaciones proporcionales y cándo no. Lamon (2007) sugiere renar la denición anterior de razonamiento proporcional agregando qe es necesario, apare de reconocer las relaciones enre las caro canidades (a, b, c, d), obserar dos aspecos: a) la coariación de las canidades en el conexo del problema: si problema: si a aumenta y b y d se mantienen constantes, entonces c aumenta; si a aumenta y b y c se mantienen constantes, entonces d disminuye,, ec.; y b) la inariancia de las razones o los prodcos, en el senido de ener nuye la habilidad de discernir la relación mliplicaia enre dos canidades, así como la de exender la misma relación a oras dos canidades: Si tengo que multiplic multiplicar ar a por r para obtener b, entonces tengo que multiplicar c por r para obtener d, ec. La complejidad de las relaciones proporcionales se mesran con mayor claridad examinando el análisis de los esqemas de proporcionalidad de vergnad.
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Esquemas de proporcionalidad En el análisis de Vergnaud (1983) de las estructuras multiplicativas se identican tres ipos de siaciones: a) isomorsmo de medidas; b) prodco de medidas, y c) proporciones múliples diferenes del prodco. vergnad (1983) sgiere pensar na proporción como na relación mliplicaia enre las canidades de dos espacios de medida, represenándola en n esquema como el de la gura 4.7. M1 y M2 represena represenan n calesqiera dos espacios de medida; a, b, c son las canidades de la proporción, y x es el alor falane. M1
M2
a
b
c
x
Figra 4.7. Esqema de proporcionalidad.
Ejemplo: un ao qe recorre 100 km consme 8 liros de gasolina. Si en n iaje se an a recorrer 6580 km, ¿qé canidad de gasolina será necesaria? una medida es la disancia (canidad de kilómeros) y la ora es el consmo (canidad de combsible en liros), enonces se forma el esqema: Km
Litros
100
8
6580
x
Figra 4.8 Esqema de proporcionalidad del ejemplo.
Freudenthal (1983) señaló que en una proporción se pueden identicar dos ipos de razones: internas y externas. externas. Las razones internas son las qe se esablecen denro del mismo espacio de medida, así a/c, b/x son razones inernas. En na proporción, las mencionadas razones son igales:
100
a = b c x
En cambio, las razones externas son las qe se esablecen enre dos canidades, cada na pereneciene a n espacio de medida diferene; así, por ejemplo: a/b y c/x son razones exernas. En na proporción las razones exernas son igales: a c = b x
una razón inerna es n número; por ejemplo, la razón 100 km/6580 km es el número 0. 0152 (redondeado a 4 cifras). una razón exerna es na magnid, por ejemplo: 100 km/8 l resla en 12.5 kl/l, se lee: “12.5 kilómeros por liro”. Lein (2002) informa infor ma sobre los diferenes ipos de solción qe ofrecen esdianes de 6º. grado de primaria y de 1º. y 2º. de secndaria secndaria al sigiene problema: problema: En n mapa, la escala indica qe 5 cm represena la disancia real de 9 km. La disancia en el mapa enre dos cidades es de 2 cm. Explica cómo pedes obener la disancia real enre esas dos cidades.
Esa pregna se aplicó a 387 esdianes (128 de 6º. de primaria, 144 de 1º. de secndaria y 115 de 2º.) y a odos se les enseñó algo de proporcionalidad. Sólo 90 esdianess (23%) respondieron correcamene el problema (14 de 6º. de primaria; esdiane 39 y 37 de 1º. y 2º. de secndaria, respeciamene). respeciamene). Razones externas (determinando la unidad). Esa esraegia consise en enconrar la razón de km por mino y se pede represenar mediane na secencia de dos esqemas: Km
Cm
Km
Cm
9
5
r
1
r
1
x
2
101
43 esdianes resolieron el problema sigiendo n procedimieno similar a esa esraegia; se ilsran dos respesas qe se consideraron en esa caegoría: Divido 9 por 5 y obtengo 1.8; así, cada centímetro equivale a 1.8 km. Entonces dos centímetros es igual a 3.6 km (1º. de secundaria). 9 ÷ 5 = 1.8, esto es sólo la mitad de la distancia, entonces sumando 1.8 + 1.8 obtenemos 3.6 que es la respuesta correcta (6º. grado).
una forma de er el procedimieno realizado por esos esdianes es la sigiene: 1.8
÷ 9
5
9
5
9
5
x
2
x
2
x
2
÷
x
1.8
1.8
Razones internas (fracciones equivalentes). Ocho esdianes ilizaron n pro-
cedimieno en el qe ilizaron razones inernas. Esa esraegia, esraegia, en opinión de Lain, es similar al procedimieno qe se realiza para deerminar fracciones eqialenes. Se pede represenar mediane el sigiene esqema: Km
Cm
Km
Cm
9
5
9
5
x
2
÷ 2.5 x
÷ 2.5
2
• Diido 5 enre 2 y me da 2.5, enonces diido 9 enre 2.5. Eso me llea a qe la nea escala es 2 cm = 3.6 km (1º. de secndaria).
S relación con las fracciones eqialenes consise en pensar qe 5 9 9 eqialene eqialen e a 2 ; de donde 2.5 = x y enonces x = 2.5 . 102
9 x
debe ser
Productos cruzados. cruzados. Esa regla es la más general, pero no se represena di5 9 recamene en n diagrama. A parir de igalar las razones 2 = x se deria qe 5 × x = 9 × 2; ésa es la regla de los prodcos crzados y de aqí se obiene la solción: x = (9 × 2) 5 En la inesigación de Lain, 27 esdianes ilizaron n procedimieno qe reeja el que se usa para derivar la regla del producto cruzado: se pueden ver en las dos explicaciones sigienes: • 5 es a 9 como 2 es a ? 5/9 = 2/n, 3.6 millas • usaré el prodco crzado. Pongo 5 cm arriba (nmerador) y 9 millas abajo (denominador). Lego pongo 2 cm abajo (denominador) de la segnda fracción y mliplico 9 millas por 2 cm, y diido por 5 (2º. de secndaria). s ecndaria).
Enre las respesas qe no son correcas, Lain enconró dos ipos de errores. uno consise en preender resoler el problema haciendo sólo na operación con dos de los res números inolcrados; 77 esdianes comeieron ese ipo de error. Por ejemplo: “Se oman los 2 cm y se diiden enre 5” (1º. de secndaria); “Se sman 9 km por cada 5 cm” (1º. de secndaria); “Yo resaría 5 de 9” (2º. de secndaria); “Dos veces 9 es igual a 18” (1º. de secundaria). Este tipo de soluciones reejan una asencia de razonamieno proporcional, pes los esdianes desconocen la fnción del ercer número. un segndo ipo de error se presena en las respesas en qe se ilizan los res alores dados en el problema, pero se operan en n orden diferene al de la solción correca; por ejemplo: “Se diiden los 5 cm enre 2 y el reslado se mliplica por 9” (2º. de secndaria); “Primero diidiría 5 enre 9 y obengo na respesa qe mliplico por 2”. Esas respesas respesas mesran qe los esdianes qe las propsieron reconocen qe hay na relación qe afeca los res números; sin embargo, no ienen n méodo para saber cómo organizar los res números de manera coneniene y realizar las operaciones respecias.
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Lain conclye qe es imporane qe los profesores no sólo se conformen con qe los esdianes encenren la respesa a los problemas de proporcionalidad sino que reexionen acerca de lo que hacen matemáticamente y por qué. Se debe enseñar a los esdianes qe hay mchas esraegias álidas para resoler problemas de proporcionalidad, no sólo el méodo de productos cruzados; cruzados; pero calqier méodo qe llee a la solción no debe aprenderse mecánicamene, sino ssenarse con n razonamieno de cómo y por qé fncionan.
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5. La tecnología para el aprendizaje de las
matemáticas verónica Hoyos Agilar, uniersidad Pedagógica Nacional Erneso Sánchez Sánchez, Cinesa, IPN
A nales de los años 80 y durante la década de 1990 se popularizó el uso de la compu compu-adora en los medios académicos. En pariclar, mchos acores relacionados con la edcación maemáica expresaron n gran opimismo en cano al poencial de la nea ecnología para ransformar la forma de enseñar las maemáicas y cómo las aprenden los esdianes (Olie y oros, 2009). Por ejemplo, obseraba Paper (1997) en el rabajo qe realizaban los profesores con las compadoras en algnas escelas, las semillas a parir de las cales se daría el cambio. Las grandes expecaias expecaias sobre las posibilidades de la compadora en la enseñanza y el aprendizaje de las maemáicas no se ieron cmplidas an prono como se esperaba. Los profesores qe ilizaban la compadora hacían lo mismo de siempre sin modicar sus hábitos previamente adquiridos, adquiridos, mientras que otros se resisían a sarla. En opinión de algnos diseñadores de software reolcionarios (como Paper, el creador de loGo), y en conraposición a ss más caras ambiciones en cano al so de lo qe esaban creando, “las compadoras sólo se han sado [en edcación] para ransferir el crríclo radicional de los impresos a la panalla de la compadora compadora”” (Kap, 1992).
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Paralelamene a los procesos de incorporación de la ecnología en las esceParalelamene las, se ha investigado cómo lograr un aprendizaje matemático signicativo en los esdianes con el apoyo de aciidades con calcladoras y sofware didácico y sobre los ipos de aprendizaje qe se peden adqirir con ales aciidades. El reslado de esas inesigaciones pede aydar aydar a los docenes a inegrar de forma prodcia la ecnología en el ala, sin caer en el error de qerer coninar con na enseñanza radicional pero ahora con ayda de compadoras. Anes de coninar es coneniene mencionar qe hay dos proyecos imporanes en México ya se han realizado esferzos desde la Secrearía de Edcación Pública para incorporar la ecnología en el ala, y en pariclar, pariclar, relacionados con la enseñanza de las maemáicas. uno de ellos reside en el proyeco de Enciclomedia y el oro de eMat (Enseñanza de las Maemáicas con tecnología). En el marco de ambos proyecos se prodjeron maeriales de esdio y se realizaron acciones de preparación de maesros y de prácicas con almnos. Para mayor información al respeco, el lecor pede remiirse a las sigienes direcciones elecrónicas: http://et-emat.dgme http://et-em at.dgme.sep.gob.mx/, .sep.gob.mx/, y http://www.inegi.go http://www.inegi.gob.mx/inegi/_cont b.mx/inegi/_contenidos/ enidos/ espanol/ciberhabia/escela/enciclomedia/
Sentido numérico La calcladora elecrónica es el insrmeno más elemenal qe originó a acaloradas discsiones sobre el papel de la ecnología moderna en la enseñanza de las maemáicas. En la década de 1970 había na creencia enre la mayoría de los profesores de qe la calcladora frenaba el aprendizaje maemáico de los esdianes al faciliarles los reslados de las operaciones sin exigirles n esferzo en s realización y, por tanto, en la comprensión de su signicado; en consecuencia, no recomendarecomenda ban s so en la enseñanza. En ese conexo se explica la formlación del problema de la ecnología qe hizo Fredenhal (1981) en no de ss problemas mayores (o principales) de la Edcación Maemáica; el aor lo expresa de forma for ma concisa en la
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pregna: ¿Cómo se pueden usar las calculadoras y computadoras para despertar el entendimiento matemático? Se ssiía así la falsa disynia de si es correco o no sar la ecnología en clase por la pregna más adecada de cómo hacerlo. Fredenhal obsera claramene qe el problema era enconrar aciidades con calcladora qe propiciaran el razonamieno maemáico; maemáico; en el exo ciado menciona como ejemplo de la sigiene aciidad: Jan y María esán jgando con ss calcladoras. Jan comienza en 0 y María en 100. Alernaiamene, Jan sma 2 mienras María resa 3, ¿en dónde se enconrarán? Oro, Jan comienza en 0 y María en 100, alernaiamene Jan sma 3 mienras María sma 2 ¿Dónde la alcanzará Jan? uno más podría ser: A Jan y a María se les pide comparir 100 (digamos canicas) en la razón 2:3, Ellos lo harán por ssracciones alernadas de 2 y 3 o múliplos de ellos, ilizando la calcladora (Fredenhal, 1981).
Otros autores deenden una posición sobre la calculadora que continúan la recomendación recomenda ción de Fredenhal y sosienen qe las calcladoras sí deben ilizarse en la enseñanza, pero despés de qe los esdianes hayan aprendido los algoritmos con lápiz y papel, o más especícamente, una vez que aprendan matemá matemáicas releanes sin la calcladora (Ballheim, 1999). Daremos n ejemplo en orno a la diisibilidad basado en n problema en qe la calcladora jega n papel imporane para promoer el senido nmérico de los esdiane esdianes. s. La divisibilidad. En el programa de Maemáicas de 6°. grado de primaria ( sep, 2009) se sgiere inrodcir los “conocimienos y las habilidades” sigienes: 5.1 Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios
números (p. 82). una aciidad reporada por Gzmán, Kieran y Sqalli (2003) sire para desarrollar el ema de diisibilidad. qe an cando la llearon a cabo con esdianes de los res grados de secndaria, se peden aplicar o adapar para el 6°. de primaria (más adelane se olerá a ese pno). La aciidad es la sigiene:
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toma calqier número enero de 1 a 999 y raa de llearlo a cero en cinco pasos o menos; sa sólo los números del 1 al 9 y las caro operaciones básicas +, –, ×, / para hacer ransformaciones. ransformaci ones. Pedes sar el mismo número más de na ez (Gzmán et al., al., 2003).
Se pede obserar qe el almno necesia poner en jego concepos relacionados con los eneros posiios, como múliplos, facores, números primos, números divisibles entre 2, 3,… 9 para desarrollar estrategias ecaces que lleven al éxito. Por ejemplo, para llear el número 417 a cero, pede comenzar smándole 6 (para lograr qe el reslado sea diisible enre 9), con el qe se obiene 423, qe es diisible enre 9; el segndo paso es diidir 423 enre 9, dando por reslado 47, y el ercero es resar 2, con el qe se obiene 45; el caro es diidir dii dir ora ez enre 9, para obener 5, y el qino y úlimo es resar 5, con lo qe el reslado es 0, logrando así el objeio. El diseño y la ejección de la aciidad ieron como marco a la eoría de las siaciones didácicas de Brossea por qe se consideraron las eapas de iniciación, acción, formulación y validación validación.. Gzmán et al. (2003) propsieron na eapa preia de iniciación; ésa consise simplemene en poner en claro las condiciones de la aciidad, mediane la explicación del problema por pare del maesro y la vericación de que los estudiantes lo entendieron. En la fase de formulación se di ide el grpo en eqipos de 10 almnos y los eqipos compien; los inesigadores les proponen rabajar con los números 430, 729, 864, 498, 181 y 359. La compeencia enre los eqipos permie qe srjan y se formlen esraegias ganadoras. ganadoras. En la fase de validación se incluía incl uía la justicación de las estrategias con base en los conceptos de diisibilidad, múliplo de n número y número primo. La aciidad ermina con na reexión en la que se habla de los números que es difícil, o incluso imposible, llevar a cero en sólo cinco pasos. Floris (2005) esa misma aciidad adapó para rabajar con niños de qino y sexo grados de primaria, mediane la redcción del rango en el cal se elige el número a llear a cero y del número de pasos qe se permien para hacerlo. En
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s esdio propone y analiza la l a aciidad Tres pasos a cero. cero. El lecor pede realizar esa aciidad pregnándose pregnándose si es facible qe odos los números del 1 a 99 lleen a cero en res pasos; cáles es posible llear sólo en dos; cál sería na esraegia ópima, ec. Despés, los lecores qe aienden grpos de qino o sexo grados, peden proponer la aciidad a ss almnos y obserar qé esraegias emplean y cómo la aciidad les ayda a prodcir o reforzar nociones de diisibilidad. Para nalizar con el tema de las calculadoras, es conveniente mencionar mencionar que la eolción de las inesigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de ariméica con calcladora lleó a algnos inesigadores a ener na posición más radical acerca del papel de ese insrmeno en la clase de maemáicas. Ya se mencionó arriba qe hay amplia acepación en inrodcir la calcladora en el ala, siempre qe sea precedida por aciidades de lápiz y papel y para resoler areas desaantes. Ruthven (2009) presenta un proyecto donde va más allá; en Currículo sobre números “conscientes de la calculadora” (‘Calculator-awa ‘Calculator-aware’ re’ number curriculum curriculum)) se esablece el sigiene como no de cinco principios: los métodos tradicionales de cálculo a lápiz y papel no deben ser enseñados; los niños deben utilizar su calculadora para los cálculos que ellos no puedan llevar a cabo mentalmente
(p. 3). Los paricipanes en ese proyeco exploran la manera de rabajar con los niños con aciidades prácicas y de exploración, poniendo aención en el desarrollo del lengaje, animando a los esdian esdianes es a inesigar cómo “rabajan” los números, cenrándose en el cálclo menal y siempre con na calcladora a l a mano, pero sin enseñar los algorimos radicionales a lápiz y papel. Anqe fascinanes no es posible, por fala de espacio, exponer los pormenores del proyeco y los reslados qe se obieron sigiendo esos principios, base mencionar qe ss niños adqirieron benas compeencias maemáicas no menores a las de niños edcados primero con écnicas a lápiz y papel.
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Pensamiento algebraico La realización de procesos de generalización simbólica represena para los esdianes no de los principales principal es desafíos para qe logren ransiar de la ariméica al álgebra. Con el adenimieno de las compadoras se olcó la aención de mchos inesigadores en el poencial de las herramienas ecnológicas para apoyar a los esdianes en dicha ransición. Hershkowiz (2002) sgiere qe la ecnología en la enseñanza del álgebra debe apoyar al almno en el desarrollo de procesos de generalización generalización,, matematización y comunicación comunicación.. Se ha enconrado qe los software llamados “hojas de cálculo” pueden inuir positivamente en el desarrollo emprano de esos procesos; por ejemplo, se han realizado diersas inesigaciones y explorado siaciones-problema para rabajar con el programa Excel, sobre emas del álgebra, como fórmulas y sus inversas, inversas, composición de fórmulas (Sherland, 1993), problemas algebraicos verbales (Sherland y Rojano, 1993), los conceptos de variable y función (Deori, Gari y Lem, 2001), enre oros. Las hojas de cálclo, como Excel, ofrecen posibilidades para qe los esdianes maniplen, obseren y generen na gran canidad de ejemplos nméricos; con eso se les facilia el ránsio de rabajar y pensar con números a hacerlo con símbolos. La posibilidad de elaborar secencias nméricas por medio de fórmlas, promee los procesos de generalización, permiiendo n acercamieno fncional al álgebra. Además, conar con arias represenaciones de las relaciones fncionales ayda al desarrollo del simbolismo y la comnicación. tabach, Arcai y Hershkowiz (2008) llearon a cabo n esdio drane n año con esdianes de 1°. de secndaria, en el qe se enfocaron en los procesos de simbolización y generalización qe alcanzaron. Ss pregnas de inesigación feron: 1. ¿Qé clases de generalizaciones simbólicas san los esdianes al comienzo de n crso de álgebra sando hojas de cálclo? 2. ¿Cambia ¿Cambian n las generalizaciones simbólicas a lo largo l argo del crso de n año de dración? Si ese es el caso, ¿de qé maneras?
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3. ¿Los esdianes peden dejar, por iniciaia propia, la ilización de las hojas de cálculo hacia el nal del año escolar? En otras palabras, ¿pueden ser completacompleta mene fncionales en n medio ambiene de papel y lápiz, con expresiones simbólicas explícias?
Para responder esas pregnas se apoyaron en arias areas con las qe rabajaron drane odo el crso. Aqí sólo se mencionará el sigiene problema, relacionado con la compra de n radioransmisor. Los planes de ahorro de cada esdiane se peden dar mediane na expresión qe diga la canidad de dinero en pesos de qe disponen (o qe se debe) más la canidad qe inerirán (o exraerán) por semana; así, los planes de ahorro de diferenes niños se presenan en la sigiene abla, donde x es el número de semanas ranscrridas a parir de na fecha dada: Dina Karin Moshon Danny
7x 10x 30+5x 300 – 5x
Yoni Rbin Eliran Moi
300 60 + 3x –20 + 4x – 70 + 7x
Qieren comprar n Walkie-talkie; es decir, decir, n radiocomnicador qe cesa $400.00 pesos. Deciden qe na pareja lo compre; es decir, renir los ahorros de dos de los 8 niños y, en cano compleen la canidad, canida d, comprar el aparao. El problema es, ¿qé pareja sería la primera en jnar los 400 pesos para comprar el Walkie-t Walkie-talkie? alkie? (tabach, Arcai y Hershkowiz, 2008) 200 8)
Para bscar la solción, los esdianes eligen parejas e inrodcen en la hoja de cálclo la expresión de la sma de ss planes de ahorro. Por ejemplo, de Dina y Karin se podría inrodcir la fórmla: fór mla: “=7*A3+10*A3” (donde A3 genera la scesión de
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los números naturales). En la gura 5.1 se puede observar el despliegue de los planes de ahorro de caro parejas. Como la oalidad de posibles parejas es 28, sería my laborioso inrodcir odos los respecios planes de ahorro, por lo qe los esdianes elaboran procedimientos o criterios para simplicar la tarea. Esá inesigación se hizo a lo largo de n crso de álgebra donde los esdianes aprendieron a ilizar inensiamene el programa Excel y disponían en odo momeno de esa herramiena; sin embargo, al formlarles el problema anerior, y oros problemas, el profesor los dejaba en liberad de elegir el méodo y los insrmenos qe creyeran coneniene para resolerlo, sin sgerirles qe ilizaran Excel.
Figra 5.1. Despliege de los “planes de ahorro” de caro parejas.
Por oro lado, ambién es imporane i mporane mencionar mencionar qe cando se les l es pidió resolerlo, los esdianes aún no habían aprendido a smar expresiones simbólicas ni ampoco a resoler ecaciones lineales. Esa meodología permiió obserar dos aspecos imporanes: la adqisición y el so de nociones algebraicas con ayda del programa Excel y la ransferencia o radcción de cieros procedimienos al lápiz y papel. Los aores informan qe la mayoría de los eqipos (alrededor de
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73%) só hojas de cálclo para resoler el problema al comienzo del año y hacia el nal sólo un cuarto de los equipos (23%) usó hojas de cálculo en un problema matematemático similar. Entonces, alrededor de la mitad de los estudiantes prerieron utilizar méodos escrios (lápiz y papel) en lgar del sofware, an cando la compadora eso compleamene compleamene a s disposición.
Forma, espacio y medida La noción de micromundos computacionales es my imporane en la inesigación qe explora cómo ilizar la ecnología en el ala. un micromndo es n ambiene compacional qe se crea con ayda de n programa para qe el sario explore y consrya ideas. En n micromndo se cena con n conjno de objeos (irales) y no de herramienas (comandos) con los qe se peden consrir y esrcrar neos objeos. Es coneniene desacar la naraleza exploraoria de los micromndos lo qe qiere decir qe esán concebidos para qe el sario dirija ss aciidades libremene hacia la elaboración de neos objeos qe con frecencia son formas “concreas” de concepos absracos. un micromndo féril debe: a) apoyar exploraciones cenradas en problemas; b) ener en cena los reslados de las inesigaciones sobre los aprendizajes maemáicos de los almnos; c) promoer modelos menales de ideas absracas y, d) inducir a la reexión y la abstracción. Para una discusión más amplia sobre la naraleza de los micromndos, se sgiere conslar Sacrisán (2003). La geometría de la tortuga: Logo. El primer ejemplo de micromndo y no de los más poplares es Logo, n lengaje compacional desarrollado en los años 70 por Seymor Paper. El sario pede moer n objeo llamado “orga” en la panalla, sando insrcciones simples (comandos) como av (aanza), Gd (gira a la derecha), Gi (gira a la izqierda) y oros similares; además, iene oros comandos más complejos como REPItE, ec. En los moimienos qe realiza, la orga dibja una línea y así se obtienen guras. Este software tiene la ventaja de ser libre; para
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bajar na ersión en español y ambién para na exposición sisemáica y didácica de cómo ilizarla, consle Sacrisán (2005). Para razar n riánglo eqiláero se iene qe deerminar la longid de los segmenos y ánglos, y saber cómo radcir esas ideas maemáicas al lengaje de programación. En la gura 5.2 se presenta un triángulo y a la derecha una ventana con el programa qe lo generó.
Figra 5.2
La posición inicial de la orga esaba donde se encenra la pna de la echa, pero dirigida hacia arriba. Se le pidió a la tortuga que avanzara 200 pasos hacia arriba, lego qe girara a la derecha n ánglo de 135, despés qe aanzara 283 pasos, en segida qe oliera a girar a la derecha n ánglo de 135; para nalizar se le pidió que avanzara 200 pasos. Fue necesario poner en juego dos coco nocimienos maemáicos imporanes: a) sobre los ánglos para deerminar el giro de 135º y b) el eorema de Piágoras, para deerminar el aance de 283 pasos, con el qe se razó la l a hipoensa. Al sgerir la aciidad, el profesor no proporciona esos conocimienos, deja a los esdiane esdianess qe reselan el problema como pedan; es decir, les permie explorar con ss propios recrsos. Habrá qien proponga qe el primer giro debe ser de 45º, pero al hacerlo se dará cena qe no fnciona, en-
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onces en s esferzo por resoler la area descbrirá o recordará relaciones apropiadas enre los ánglos. Lo mismo scederá para la deerminación de la longid de la hipoensa; algnos esdianes comienzan proponiendo 400, pero al darse cuenta que en la gura de la pantalla no ocurre lo que esperaban, reexionan y a prodcen pregnas e ideas maemáicas. Como se e en el ejemplo, desde qe se comienza a ilizar Logo el profesor pede sgerir a ss esdianes aciidades qe eniendan bien y dan origen a erdaderos problemas, pes ienen la ird de moiar el inerés de los niños. Eso ha propiciado qe se lleen a cabo profndas inesigaciones inesigaciones para mosrar la posibilidad de ías alernaias de enseñanza de la geomería y la ariméica, y para enender los mecanismos de aprendizaje de los niños qe se acian con ales aciidades. una de esas inesigaciones es la de Clemens, Baisa y Sarama (2001), de la cal sólo eremos n problema. En ese rabajo los aores jno con n eqipo de profesores, elaboraron e implementaron un "currículo de geometría" apoyándose con el programa Logo con esdianes de 4°., 5°. y 6°. grado de primaria. Obseraron el aance logrado por n grpo (experimenal) de niños sobre diersas nociones geoméricas ilizando Logo, y lo compararon con el aance de niños de oro grpo (conrol) qe no rabajaron con ese programa. Para medir el desempeño de ambos grpos aplicaron pre y poses. uno de los problemas aplicados en esas prebas fe el sigiene: un barco qe naega en n lago se dirige hacia s desino. Aanza 60 meros, despés gira hacia la derecha 800 y aanza en esa dirección 152 meros; enonces gira 1600 y coninúa 173 meros. Despés de los aneriores desplazamienos el barco qeda arás de la posición en la qe comenzó a irar, ¿qé ánglo iene qe girar para dirigirse neamene hacia s desino? (Clemens, Baisa y Samara, 2001: 59).
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Para enconrar la respesa correca (120°) se reqiere n cidadoso modelo de la siación, del conocimieno de relaciones enre ánglos, como las de ánglos complemenarios, splemenarios e inernos de n riánglo, y de reconocer y saber razar ánglos obsos. El programa ayda en la elaboración de dicho modelo, como se observa en la gura 5.3, donde se tradujo el enunciado del problema al lengaje de Logo. Clemenes y oros (2001) informan qe de los esdianes del grpo conrol, qienes no conocían Logo, sólo algnos de 6°. grado lograron aanzar algo en las solciones correcas en el poses en relación con el prees; es decir, nada más los de 6° grado aanzaron poco en s aprendizaje de los conocimienos necesarios para resoler el problema, mienras qe los de 4° y 5° no obieron ningún aance.
Figra 5.3. Represenación del problema del barco en Logo.
Tampoco hubo diferencia signicativa en el avance de los estudiantes de 4° grado de ambos grpos (experimenal y de conrol); es decir, qe para los niños del grpo experimenal de 4° grado la presencia de Logo no fe n elemeno qe les aydara a aanzar más qe a los niños del oro grpo. En cambio, los grpos de 5° y 6° grado del grupo experimental tuvieron un avance signicativo en relación con los del grpo conrol.
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En n análisis deallado de las respesas, los aores enconraron qe el error más común es creer qe la solción es 240°, la sma de 80° y 120°; los de 4° grado de ambos grpos y los de 5° grado del grpo conrol feron más propensos a comeer ese error despés de la insrcción. Hbo na disminción del número de errores comeidos por los niños del grpo qe lleó Logo y n ameno del error de los niños qe no ieron experiencias con ese programa. En conclsión, el programa Logo ofrece al profesor la opornidad de crear aciidades para el aprendizaje de los esdianes de diersos conocimienos geoméricos y, en general, maemáicos; ales aciidades son erdaderos desafíos para ellos, no obsane qe se compromeen en s solción. Se ha eidenciado qe hay aciidades con Logo qe efeciamene permien a los esdianes n progreso signicativo en relación con aquellos que no tienen la oportunidad de explorarlo; además, es de acceso libre. Por lo ano, se recomienda a los profesores bsqen inclirlo en ss proyecos de clase. La geometría dinámica. dinámica. Por oro lado, se han creado programas de geomería dinámica (Cabri-Géomère, Geomery Skechpad, Geogebra y oros), qe consiyen n ipo de micromndos cyo so, por pare de los esdianes, ambién ha mostrado poseer una fuerte inuencia en su aprendizaje. Los programas de geomería dinámica parecieran ener el objeio de per miir elaborar guras geométricas precisas en la pantalla de una computadora con ayuayu da del ratón. Pero, en opinión de Laborde (1998) y reriéndose a Cabri-Géomètre, es mucho más que un simple editor, ya que qu e el usuario puede tomar con el ratón un
elemento de un diagrama y arrastrarlo y transformarlo dejando intactas las propiedades geométricas que han sido denidas en su construcción, así como observar
114). las propiedades geométricas que se implican de aquéllas (p. 114). En ese sofware hay n conjno de primitivos como pno, segmeno, reca, círclo, ec., qe peden ser razados en la panalla y, a parir de esos, razar oros con relaciones geoméricas deerminadas; por ejemplo: pnos en na reca, recas por dos pnos, na reca perpendiclar a ora o n círclo a raés de dos
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puntos, etc. En la gura 5.4 se presenta una secuencia de tres momentos de una aciidad: en la primera panalla se raza n pno y na reca libremene; en la segunda se elige el comando "recta perpendicular", la cual requiere un punto y una reca para ser razada, y en la ercera aparece la reca perpendiclar pedida. Los primeros dos elemenos (el pno y la reca de la primera panalla de la gura 5.4) se pueden mover libremente con el ratón, pero la tercera recta mantenmanten drá sus propiedades que la denen: pasar por el punto inicial y ser perpendicular a la primera reca.
Figra 5.4. tres momenos en la aciidad de razar na reca perpendiclar.
La posibilidad de arrasre de n objeo primiio y con ése la ransformación del diagrama del qe forma pare, el cal consera s propiedades, es na fene de problemas muy signicativos en Cabri y permite ligar los aspectos teóricos con los isales. Laborde (1998) sgiere res ipos de problemas para desarrollar esa relación enre la geomería eórica y la isalización: • Prodcir diagramas qe conseren propiedades espaciales dadas; por ejemplo, razar n cadrado cya medida del lado sea consane. • Prodcir diagramas qe se ransformen sigiendo si giendo rayecorias dadas; por ejemplo, razar n riánglo eqiláero qe al moer calqiera de ss érices gire en orno de s pno de graedad.
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• Descbrir las propiedades geoméricas de n diagrama dado y reprodcirlo; por ejemplo, dar n rombo inscrio en n riánglo y qe el esdiane lo reprodzca de manera qe las ransformaciones qe se realicen en ambos sean igales.
En conclsión, los programas de geomería dinámica, anqe no odos son igales, proporcionan recrsos qe esán abriendo neos horizones para la enseñanza de la geomería. Es alamene recomendable qe los profesores se apropien y exploen esos recrsos para desarrollar na nea clra geomérica en sus estudiantes. Para este n, puede serle útil saber que en la actualidad la red ofrece n programa de geomería dinámica de acceso libre llamado Geogebra (hp://geogebra.sofonic.com/).
Azar y probabilidad Los dos paqees edcacionales qe se mosrarán ensegida ienen n diseño basado en la inesigación sobre el razonamieno probabilísico de los almnos y en la idea de micromndo compacional. compacional . El objeio de diseñar Probability diseñar Probability Explorer fe crear n ambiene relaiamene abiero qe los almnos pdieran ilizar con facilidad para simlar fenómenos aleaorios, explorar siaciones de azar qe les ineresaran y represenar represenar los reslados de diferenes formas. En el micromndo, las situaciones de azar deben denirse por el usuario y pueden provenir de actividades de enseñanza giada o ser reslado de jegos qe inenen los almnos. Esos ienen a la mano diferenes opciones para crear experimenos qe reprodcen siaciones de probabilidad comnes en los libros de exo (por ejemplo, lanzamieno de monedas, jegos de dados, exracción de canicas de na bolsa), fenómenos del mndo real (como siaciones del clima o de depores) o peden diseñar experimenos de s propia inención. Las representaciones dinámicas disponibles se muestran en la gura 5.5, dondon de se ha ilizado el ejemplo de lanzar n dado 100 eces. Apare Ap are de los reslados
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qe aparecen al azar en la panalla, el almno iene la posibilidad de acceder a res represenaciones más: a) una gráca de sectores que muestra la frecuencia relaia de cada reslado; b) una gráca de barras que muestra la distribución de las frecencias absolas, y c) na abla qe mesra los reslados de los experimenos en caro formas diferenes: frecencia absola (números eneros) y frecencias relaias (fracciones, decimales y porcenajes).
Figura 5.5. Diferentes formas de gracar los resultados de lanzar un dado 100 veces.
Los almnos obserarán cómo an cambiando las represenaciones conforme n experimeno se repie mchas eces; por ejemplo, Drier (2000) informa sobre na experiencia con almnos de 8 y 9 años de edad, qienes jgaron a lanzar na moneda 500 eces. Al comienzo del experimeno, al complear 50 lanzamienos, Dino (9 años) expresó: “¡Hey, mira lo qe pasa!”, cando eía en la panalla la forma en qe cambiaba el diagrama de secores, pes mosraba scesiamene diferenes porcenajes como: (25-75%), (60-40%), (30-70%). Confor-
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me las pruebas aumentaban a 500, el porcentaje de "soles" y "águilas" empezaron a esabilizarse en (50-50%), mosrando sólo lees cambios. Despés cando se le pidió a los almnos qe describieran el proceso de las monedas qe habían experimenado, Dino lo hizo imiando el elo de n pájaro qe al despegar mee mucho las alas para luego planear moviéndolas apenas, con lo cual reejaba la ala ariabilidad ariabili dad qe se presena al comienzo y la esabilidad poserior. poseri or. Él se formó na idea iniia de la ley de los grandes números. Drier (2000) ambién mesra cómo el sofware ayda a los niños a describir espacios mesrales de experiencias aleaorias compesas siriéndoles de andamio para formlar y sperar problemas combinaorios elemenales. Por úlimo, ofrece evidencia de cómo la posibilidad de denir y jugar con experiencias en las qe el espacio mesral no es eqiprobable enriqece las experiencias de azar de los almnos eiando, o aydándoles, a sperar el sesgo de la eqiprobabilidad. TinkerPlots. Ese sofware se desarrolló para aydar a los almnos a realizar inesigaciones con conjnos conj nos de daos y concepos esadísicos (Konold y Miller, 2005). Los almnos peden ilizar el sofware sin necesidad de ener conocimientos previos sobre grácas y sin pensar en términos de variables o ejes. En la realización de aciidades de organización de daos, los almnos ienen la posibilidad obserar parones y endencias así como a responder pregnas formladas por el docene, o ellos mismos, acerca de la información qe los daos proporcionan. En la gura 5.6 se presenta una pantalla del software TinkerPlots TinkerPlots,, qe coniene na base de daos de la emperara y del rimo cardiaco de 130 personas de n hospital (Konold y Miller Mill er,, 2005). En la parte superior izquierda iz quierda hay una cha con datos de una persona; usando las echitas de arriba a la derecha de cada cha se puede ransiar por cada na de las 130 qe conforman la base de daos. A parir de la información se ha obenido n hisograma, pero se psieron oras informaciones en la panalla.
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Figra 5.6. Hisograma de daos sobre emperara del cerpo de 130 personas.
Relaciones de proporcionalidad Como se dijo en el capílo anerior, la proporcionalidad es no de los emas más imporanes de las maemáicas elemenales y, ambién, de los más difíciles de aprender. Algnos inesigadores en edcación maemáica han explorado cómo aproechar la ecnología de las calcladoras y las compadoras para ofrecer oportunidadess a los oportunidade l os estudiantes a n de que desarrollen esquemas de proporcionaproporcionalidad y aprendan a razonar con razones y proporciones. En el primer grado de secndaria se proponen emas de proporcionalidad; por ejemplo: 1.6 Identicar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante" en diversos contextos, utilizando de manera exible diversos proce dimientos (sep, 2006: 30) o 2.7 Identicar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante" en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales (Ibidem Ibidem,, p. 38). Esos conenidos se abordan de manera sencilla, pero original, en rabajos qe inclyen aciidades con ecnología.
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una inesigación en la qe Noss y Hoyles (1996) exploran el ipo de signicados que los niños crean al realizar tareas matemáticas y la inuencia de la computadora para construir esos signicados matemáticos, tuvo como c on on-enido maemáico cenral las nociones de razón y proporción. Esos aores rabajaron con siee niños de 13 años de edad, qienes habían aprendido a ilizar Logo, y a los cáles se les sgirió llear a cabo aciidades qe les llearan a percibir relaciones de proporcionalidad. Mencionan na secencia de res aciidades: la primera consisió en dibjar (con Logo) res leras N con las paas ericales de longid 150, 350 y 100 nidades, respeciamene, respeciamene, y con n ánglo enre las paas ericales y la diagonal de 45°; la segnda fe similar a la primera, pero ahora con n ánglo de 30°; en la ercera area elaboraban n programa general para dibjar leras leras N de calqier amaño con ánglo de 30°, cya enrada sólo era la longid de las paas ericales. El problema de dibjar na N con las caracerísicas qe se indican ilizando regla, transport transportador ador,, lápiz y papel no representa gran dicultad para los niños; sin embargo, en n ambiene Logo, donde se raa de dar insrcciones a la orga para que lo haga, la tarea se vuelve un problema matemático desaante. En efec o, apare del problema de la insrcción precisa para qe la l a orga gire el ánglo conveniente, la dicultad estriba en determinar la longitud de la diagonal para popoder ordenar a la orga qe aance la disancia precisa para qe la N qede bien dibjada; el profesor conrola qe la N dibjada esé denro de cieros límies de precisión. una ez qe logra dibjarla la N, el problema es ilizar lo realizado para dibjar las oras y hacer el programa. Para dibjar la primera N, los esdianes selen proceder por aneo, eniendo como referencia el 150; por ejemplo, en la secuencia de intentos de la gura X se probaron 180 como longitud de la diagonal, después 200 y, nalmente, 210, con ese alor ya resla acepable. una ez qe enconraron las dimensiones conenienes para dibjar na N, el sigiene problema problema es cómo ilizar el reslado obenido obenido para aplicarlo en las
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instrucciones a n de elaborar la N con la pata de longitud 100, luego la de la pata de longid 350 y, en general, para las insrcciones de n programa.
Figra 5.7. tres programas para razar la N probando con diferenes alores de la diagonal.
Los esdianes se planean el problema y desarrollan diferenes esraegias. Noss y Hoyles (1996) obseraron qe los esdianes ienden a elaborar esraegias mliplicaias; es decir, esraegias en las qe enienden qe deben amenar ciera canidad a la longid de la diagonal; por ejemplo, n procedimieno sgerido por n esdiane es: Para una N con ángulo de 45 0 , por cada 50 unidades [en la pata vertical] agregar 25 unidades [en la diagonal] . Una más sosticada se formula así: Hay que agregar una sexta parte del tamaño de la pata vertical; es decir, si decir, si AB es la pata y BC la diagonal diagonal entonces: BC = AB + (1/6)AB. Anqe ales esraegias no son correcas porqe no acieran en enconrar la consane de probabilidad precisa, represenan respesas aanzadas. En efeco, basados en oros esdios sobre proporcionalidad con lápiz y papel, Noss y Hoyles preieron esraegias adiias, pes ésas son my frecenes en problemas similares. En cambio, como lo pnalizan Olie y Lobao (2008), los reslados qe obieron Noss y Hoyles apnaron a qe el so de Logo afecó posiiamene el desarrollo de esraegias mliplicaias y proporcionales para el dibjo de la lera N. De los siee esdianes esdianes qe pariciparon a lo largo de esa experiencia, seis desarrollaro desarrollaron n claras esraegias esraegias proporcionales proporcionales al reconocer qe la diagonal diagonal de la N era más grande y en na canidad proporcional.
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6. Pautas para la formación continua de los profesores de matemáticas Salador Llinares, uniersidad de Alicane, España
Desde hace n iempo se sbraya la l a imporancia del profesor de maemáicas para la enseñanza y la mejora del aprendizaje de las maemáicas de los esdianes. una hipóesis qe sbyace a esa idea es qe cano más compeene sea el profesor hay más posibilidades de qe ss almnos llegen a desarrollar adecadas compeencias maemáicas como cidadanos. Por ora pare, las recomendaciones didácicas emanadas de las adminisraciones públicas, con el objeio de mejorar la enseñanza de las maemáicas, son inerpreadas por los profesores mediane ss concepciones de lo que signica aprender matemáticas, matemáticas, o el papel del docente en el desarrollo de cidadanos maemáicamene maemáicamene compeenes. Es por eso qe la compeencia docene, necesaria para manejar esas neas siaciones de enseñanza, puede implicar una re-conceptualización de lo l o que signica aprender matemáticas, matemáticas, enseñar maemáicas y qé son las maemáicas escolares. Desde esa perspecia, la mejora en el aprendizaje maemáico de los esdianes pasa por el desarrollo de opornidades de aprendizaje profesional profesional del profesor (Ball, Hill y Bass, 2005). Sin embargo, ambién empieza a reconocerse qe el aprendizaje del profesor y el cambio en s prácica práci ca se realizan con base en lo qe él conoce c onoce y hace en s presene; es decir, no es posible romper drásicamene en la prácica. Reconocer ese hecho genera la necesidad de qe las opornidades de aprendizaje del
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profesor se consryan incladas con s propia prácica. Se raaría de propiciar la reconceptualización de las matemáticas escolares, los signicados dados a la enseñanza y al aprendizaje, enre los qe desaca la idea de qe odos los almnos peden aprender maemáicas (Hieber, Morris, Berk y Jamsen, 2007). De esa manera, el desarrollo profesional del docene (como na consecencia de s aprendizaje) iene deerminado por cambios en s conocimien conocimieno, o, ss creencias y en s prácica (Áila, 2004; 2006; Penala, Escdero y Barba, 2006).
Tareas proesionales del docente De manera esqemáica, se peden considerar res sisemas de aciidad qe constituyen las tareas profesionales del profesor y conguran una situación de enen señanza y de aprendizaje de las maemáicas: 1. Seleccionar y diseñar areas maemáicas adecadas. 2. Inerprear y analizar las prodcciones maemáicas de los almnos. 3. Gesionar las ineracciones maemáicas en el ala e iniciar y giar el discrso maemáico qe implica. Seleccionar y diseñar ideas matemáticas adecuadas Iniciar y guir un discurso matemático y gestionar las interacciones matemáticas en el aula
Enseñanza de las matemáticas como una práctica
Interpretar y analizar el pensamiento matemático de los estudiantes
Figra 6.1. Sisemas de aciidad qe ariclan la enseñanza de las maemáicas (Llinares, (Llinares, 2009). 1.
Seleccionar y diseñar tareas matemáticas adecuadas. Implica conocer y organizar el conenido maemáico para enseñarlo. Es n reqisio para el do-
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cene conocer los conenidos maemáicos como objeos de enseñanza y de aprendizaje; ilizar la información de esos conenidos para diseñar, seleccionar y analizar problemas, aciidades y ejercicios como insrmenos de aprendiza je maemáico del almno (por ejemplo, esableciendo nieles de demandas cognitivas en las diferentes actividades), o para modicar secuencias de enseenseñanza preiamene esablecidas. 2. Interpretar y analizar las producciones matemáticas de los alumnos , escrias o erbales, consiye na area releane del docene, pes siúa el aprendizaje de ss esdianes en el primer plano de ss decisiones. Para realizar esa area es necesario ener el conocimieno de la didácica de las maemáicas sobre eorías del aprendizaje y de la consrcción del conocimieno maemáico, así como conocer las caracerísicas del aprendizaje de los concepos y procedimienos maemáicos. En la area de doar de senido el aprendizaje de los esdianes, el docene debe ilizar el conocimieno anerior para obserar las prodcciones de los almnos (orales, escrias, en problemas pnales o en proyecos, enre oros) y sar los conocimienos de didácica de las maemáicas sobre el aprendizaje de esa asignara para diagnosicar —asignar un signicado a las producciones de los alumnos, identicando posibles causas que las justiquen— y proponer justicaciones y procesos de inerención. 3. Gestionar las interacciones matemáticas en el aula e iniciar y guiar el discurso matemático que implica. Gesionar la comnicación y el discrso maemáico en el aula implica conocer e identicar las fases y los tipos de lecciones de matemátimatemáti cas; las caracerísicas qe pede adopar la ineracción en el salón de clases en relación con el aprendizaje maemáico (por ejemplo, las diferenes normas sociomaemáicas, el conrao didácico, ec.); las caracerísicas del discrso maemáico en el ala y s relación con el aprendizaje maemáico y las caracerísicas de la gesión de los debaes como insrmenos de aprendizaje —formlar pregnas qe permian inclar concepciones preias con lo neo y saber sbrayar las
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diferenes aporaciones apoyando el desarrollo de la meacognición en los almnos, además de proponer tareas matemáticamente desaantes, para apoyar su progreso drane la resolción de los l os problemas maemáicos.
Competencias docentes Por competencia docente se enienden los conocimienos, las habilidades y las acPor competencia ides necesarias para llear a cabo las areas profesionales qe consiyen los sistemas de actividad en la enseñanza de las matemáticas (gura 6.1). Se pueden identicar tres dominios de conocimiento del profesor: el dominio de las matemáti cas, el del aprendizaje y el de la enseñanza. Los conocimienos de esos res dominios deben inegrarse para apoyar la realización de las areas de enseñanza. una manera de lograrlo es analizar ss ínclos, de la sigiene forma: 1) conocimieno de maemáicas y la enseñanza; 2) conocimieno de maemáicas y el aprendizaje de los esdianes, y 3) compeencia docene y conexos. Conocimiento de matemáticas y la enseñanza La manera en qe el profesor planea las aciidades a ss almnos y gesiona s ineracción en odo el grpo, y en peqeños eqipos, mesra s conocimi eno sobre las maemáicas. Ese conocimieno le permie reconocer las poencialidades y limiaciones de las diferenes represenaciones y recrsos para enseñar deerminadas ideas maemáicas, además de cómo deben secenciarse los diferenes conenidos en la lección para faciliar el aprendizaje de los esdiantes. El conocimiento de las matemáticas y su enseñanza se pone de maniesto cuando el profesor decide modicar una secuencia de tareas previamente di señadas a parir de las respesas qe dan los esdianes. Los conocimienos de los profesores sobre las maemáicas ambién se maniestan durante la gestión de la enseñanza y la orquestación de situaciones en las qe se poencia el desarrollo del discrso maemáico, cando decide cesiones
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meodológicas como, por ejemplo, desarrollar discsiones meodológicas discsiones de odo el grpo o realizar preiamene sesiones de resolción de problemas en eqipos. En las siaciones de enseñanza, la comnicación maemáica es na imporane herramiena qe faorece el aprendizaje al permiir a los esdianes explicar s pensamieno maemaemáico. Además, las caracerísicas de las ineracciones en el ala deerminan el ipo de aprendizaje qe pede generase en los almnos, ya qe permie realizar las conexiones enre las ideas faoreciendo la reorganización del conocimieno. Finalmente, un tercer contexto donde se maniesta este conocimiento es en el análisis poserior a la lección qe el profesor realiza para deerminar qé ha fncionado o qué cosas es necesario modicar modicar. Conocimiento de matemáticas y los estudiantes un segndo ámbio es la relación enre el conocimieno de las maemáicas y el aprendizaje,, qe genera n conocimieno acerca del aprendizaje de los concepaprendizaje tos matemáticos especícos, junto con un conocimiento de principios generales sobre el aprendizaje de las maemáicas. El conocimiento del profesor de las dicultades de los estudiantes en relación con los conceptos especícos y lo que puede ser fácil o difícil, sobre cómo pueden presenarse esas ideas y cómo deerminar los l os progresos de ss esdianes (la ealación) resla clae en el desarrollo de la lección. De esa manera, el conocimieno del profesor de las ideas que presentan dicultades di cultades a los estudiantes y de cómo ayudarles a sperarlas jno con principios generales acerca de el aprendizaje de las maemáicas se coniere en n conocimieno fndamenal para la enseñanza (en la planicación, para la interacción en el aula y la evaluación de lo sucedido). Este conociconocimieno permie al profesor predecir cómo los almnos se aproximarán al aprendizaje de n ópico maemáico pariclar, anicipar ss errores y cómo inerprear las ideas incompleas. El profesor sa ese conocimieno cando y cando deermina qé hacer en n momeno deerminado en el ala en fnción de las respesas dadas por los almnos a na area pariclar (gesión del conenido maemáico en el ala).
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Hay dos fenes para obener ese conocimieno: 1) los l os reslados de la inesigación sobre el aprendizaje de las maemáicas de los esdianes (ejemplos de dicho conocimieno se reisan a lo largo de ese libro); 2) la propia prácica del profesor.. Para adquirir el conocimiento desde la práctica, no es suciente que sólo esté fesor aeno a las respesas de ss esdianes, se reqiere, qe llee a cabo acciones especícas para elaborar sus observaciones y transformarlas en conocimiento. Los programas de formación y acalización de profesores deben proporcionar opornidades para qe esos aprendan a aprender de ss esdianes de manera sisemáica. Pede serle úil saber el ipo de preocpaciones qe planean los programas de formación; for mación; más adelane se expondrán algnas discsiones al respeco. Competencias docentes y contextos Ser profesor implica poseer na serie de compeencias docenes qe esán incladas a la aciidad de “enseñar maemáicas” y, por ano, con sar, de manera exible, el conocimiento especíco sobre las matemáticas, el aprendizaje y la ges ión del discrso maemáico, y la ineracción en el ala. La compeencia docene del profesor es n reqisio para qe los esdianes aprendan con comprensión. Las diferenes compeencias docenes con relación a la enseñanza de las maemáicas identicadas a partir de una situación especíca de aula deben complementarse con las compeencias ransersales qe permian, al profesor de maemáicas, manejar los aspecos pariclares. Algnas de esas compeencias docenes ransersales ienen qe er con el papel del profesor en conexos con recrsos ecnológicos y mliclrales. Globalmene considerada, esa manera de enender la prácica de enseñar maemáicass y la compeencia docene necesaria iene implicaciones sobre la mamaemáica nera en la qe se diseñan las opornidades de aprendizaje del profesor. Esos diseños peden ser úiles al profesor para qe oriene ss esferzos, ya sea inolcrado en programas de acalización, ya sea en ss esferzos de speración coidiana.
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Oportunidades de aprendizaje proesional para el docente El enfoqe de los diferenes programas de desarrollo profesional peden ariar: cenrarse en las maemáicas qe se moilizan al resoler los problema qe organizan na lección; en las esraegias qe los esdianes desarrollan en siaciones especícas, o en la propia planicación de la lección. Sea cual sea el foco inicial, se comcomparte la idea de que la reexión compartida comparti da de los profesores sobre las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza pede llear a desarrollar s compeencia docene y, por consigiene, la mejora del aprendizaje de las maemáicas de los esdiantes. La idea de la reexión compartida se apoya en el hecho de que a veces es necesario qe los docenes cesionen ss propias creencias acerca de lo qe son las maemáicas escolares, cómo se prodce el aprendizaje y s papel en la enseñanza. Asmiendo qe esas creencias esán enraizadas en prácicas sociales qe han realizado drane mcho iempo, s cesionamieno sólo es posible ambién drane el desarrollo de deerminadas prácicas sociales. Algnos ejemplos de ese ipo de opornidades de aprendizaje profesional se describen a coninación. Un foco sobre las matemáticas de los problemas Koellner y cols. (2007) describen n modelo de desarrollo profesional dirigido a amenar el conocimieno, de los profesores, de las maemáicas para la enseñanza y a mejorar s prácica docene. El modelo consa de n ciclo de res alleres en los qe se crean opornidades para qe analicen n problema de maemáicas desde la perspecia de s poencial para el aprendizaje maemáico de ss almnos. El rabajo en peqeños grpos o eqipos eqip os permie aporar los medios para construir una comunidad de práctica que anima a la reexión sobre la práctica y al aprendizaje de maemáicas. En ese modelo, el análisis de n problema de maemáicas desde la perspecia de la enseñanza y del aprendizaje poencial en los almnos les permie inclar cesiones maemáicas, sobre la gesión de la enseñanza del problema en el ala, y del aprendizaje maemáico preendido en los esdianes.
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Drane el primer aller, los profesores inesigan el poencial de los problemas de maemáicas iéndolos como insrmenos de aprendizaje; por ejemplo, en el conexo de n programa de acalización de profesores en sericio, Gómez y Sánchez (2008) informan de n aller de esadísica qe dirigieron drane 3 años, iempo qe dró el programa. El propósio del aller era doble, por n lado, qe los docenes comprendieran y asimilaran los elemenos de n pensamieno esadísico, en especial, el ciclo investigativo (Ciclo ppdac = “Problema-Plan-D “Problema-Plan-DaosaosAnálisis-Conclsiones”) Análisis-Conclsione s”) y dos tipos de pensamiento: pensamiento: necesidad de los daos y ransnmeración (éase Wild y Pfannkch, 1999); por el oro, qe aprendieran a crear condiciones en su salón de clases a n de que los alumnos adquieran esos elemenelemenos como pare del desarrollo de s pensamieno esadísico. Así desde na noa periodísica qe informa acerca de n problema de sald frecene en los niños de primaria casado por el excesio peso qe cargan en ss mochilas, se derio el problema de determinar si en el salón de clases había estudiantes que cargaran en sus mochilas más de 10% de su peso corporal.
Taller 1 Resolver el problema y planifcar la lección Taller 3 Sobre el pensamiento matemático de los estudiantes
Grabación de la lección implementar el problema Taller 2 Sobre el papel del profesor
Figra 6.2. Ciclo de alleres.
El análisis del problema permie generar opornidades para explorar las posibilidades matemáticas, matemáticas, identicar posibles objetivos a conseguir con su resolución,
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e inenar preer posibles esraegias de los esdianes. Despés del aller 1, los profesores enseñan el problema y graban en ideo las sesiones, recogen el maerial escrio por los almnos y oman noas de lo scedido. Segmenos de esas grabaciones se conieren en maerial para desarrollar oros dos alleres, no cenrado en el papel del profesor (aller 2) y cenrado en el pensamieno maemáico qe manifesaron los esdianes drane la implemenación del problema. La ercera fase (aller 3) se cenra en el pensamieno maemáico de los esdianes, según se maniestó durante la lección. Para ello, el taller usa como material de trabajo vivideoclips seleccionados de las grabaciones de la lección l ección y rabajos de los almnos, y se planean algnas “cesiones claes” desde el pensamieno maemáico de los esdianes qe permien organizar la discsión. El modelo de inerención basado en el ciclo ci clo de resolción de problema repeido de manera reieraia, permie a los profesores desarrollar compeencias docentes especícas que generan un “conocimiento en uso” en situaciones vinculadas a la prácica, al mismo iempo qe peden llegar a alorar la perinencia del conocimieno renido por las inesigaciones i nesigaciones en maemáica maemáica edcaia sado para idenicar lo relevante de las situaciones de enseñanza de esta disciplina. Un foco sobre cómo los estudiantes aprenden matemáticas Algnos programas de desarrollo profesional han peso s foco en la comprensión de los profesores de cómo los esdianes aprenden maemáicas y cómo sar ese conocimieno para giar a ss almnos en s aprendizaje. Cando los docenes discen con oros las esraegias y los procedimienos sados por ss esdianes, o los de oros profesores, conjerando el conocimieno maemáico que puede estar justicando esta manera de proceder, les permite reinterpretar s propia comprensión maemáica. Para qe esas iniciaias engan ss fros, el tipo de tareas a examinar deben ser desaantes y mostrar un rango amplio de respesas de los esdianes. Esas iniciaias de desarrollo profesional peden consisir en la aplicación reierada de ciclos de alleres, cada no cenrado en las
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maemáicas de los problemas, la comprensión de las maemáicas de los esdiantes y, nalmente, la implementación de la lección. Por ejemplo, los profesores peden obserar conjnamene ideoclips en los qe se mesren diferenes respuestas a un mismo problema, indicando diferentes rangos de sosticación (Llina(Llina res y Sánchez, 2005); ambién podría ser qe los docenes de secndaria discan acerca de la comprensión matemática que se inere de las siguientes respuestas y justicaciones dadas a un problema sobre divisibilidad por alumnos de educaeduca ción secndaria (Bodí, 2006). Indica razonadamente, si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas, justicando tu respuesta: El número K = 22 x 3 x 5 x 11 + 3 es: a) Diisible por 5. b) Diisible por 2 y por 4. c) Diisible por 3. d) Diisible por 6. e) Diisible por 15. La respuesta y justicación de Marisa (12 años) Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa
—¿El número K = 2 x 3 x 5 x 11 + 3 es diisible por 5? —Enre 5, mm,..., sí,..., creo qe sí. —used conesó en el cesionario qe no. —Mmm,... pes, yo creo qe sí, porqe aparece n 5. —Comprébelo, por faor faor.. —(Realiza el cálclo de K y diide por 5): No, porqe K no acaba en 0 o en 5. 2
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Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa: Profesor: Marisa:
—Anes dijo qe sí. —No es. —¿K sería múliplo de 2? —No, no acaba en número par par.. —Diga si K es diisible por 3. —Creo qe sí, porqe... Sí es porqe la sma de ss cifras es múliplo de 3. —Diga si K es diisible por 6. —No, porqe por 2 no era, enonces ampoco es por 6. —¿K es diisible por 15? —Mmm... ¿por 15?, sí, no lo sé, engo qe operar operar.. —¿Era diisible por 5? —No, enonces no podría ser diisible por 15. —¿tiene claro qe hay dos smandos. —Sí. —Sin realizar realizar operaciones, ¿podría indicarme si K es diisible por 5? —No sabría decirle, no, endría qe saber por lo menos el número.
La respuesta y justicación de Ángel (12 años) E: Ángel: E: Ángel: E: Ángel: E: Ángel:
—¿K = 22 x 3 x 5 x 11 + 3 es diisible por 5? (Realiza operacion operaciones): es): —Es 663, no es porqe acaba en 3. —¿K es múliplo de 2? —No, porqe 3 no es múliplo de 2. —¿K es múliplo de 4? —Mmm... no, porqe 63 no es múliplo de 4. —¿K es múliplo de 3? —Sí, porqe la sma de ss cifras es 15.
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E: Ángel: E: Ángel: E: Ángel: E: Ángel:
—¿K es múliplo de 6? —(Diide) No. —¿K es múliplo de 15? —Mmm... ampoco porqe 15 sólo iene dos diisores qe son 5 y 3, es múliplo de 5. —¿tiene claro qe hay dos smandos? —Sí. —¿Sabría conesar sin bscar el alor de K? —Mmm, no.
La discsión de los profesores acerca de las maemáicas qe hay derás de ese problema y de las respesas de los esdianes permie cenrar s aención sobre diferenes focos a lo largo de disinos ciclos de alleres. Algnos de esos focos peden ser a) el dominio de alidez maemáica de las respesas; b) las cesiones qe el profesor planea a parir de las respesas para aydar a los almnos a desarrollar na mejor comprensión de esos ópicos maemáicos; c) el ipo de problemas qe sería posible planear desde lo qe se pede aprender sobre el pensamieno de los esdianes en relación con esas respesas, y d) el poencial maemáico de los problemas propesos para el aprendizaje de los esdianes. El uso de casos para apoyar el aprendizaje y la práctica reexiva del profesor Los casos son descripciones de aspecos de la realidad de la enseñanza y del aprendizaje de las maemáicas qe se san para apoyar las discsiones en peqeño y gran grpo de profesores, giados por n formador qe ayda a deerminar el foco, el progreso y los reslados de la discsión. Los casos selen ser iñeas de siaciones de enseñanza en forma de exo escrio, ideoclips o, recienemene, en formao mlimedia qe describen incidenes críicos en la enseñanza. Sea cal sea el formao qe adopa el caso, ese iene na naraleza descripia al cap-
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rar las acciones del profesor y se siúa en conexos pariclares, pariclares, con esdianes especícos y unas matemáticas localizadas en el currículo, lo que facilita la presentapresentación de dilemas de la enseñanza como foco de discsión. La discsión de los casos proporciona opornidades opornidades para desarrollar análisis críicos sobre la enseñanza y el aprendizaje, reexionar acerca de su propia práctica e intercambiar perspectivas con los compañeros, permiiendo ampliar s compeencia docene haciéndoles ser más reexivos en relación con su propia práctica (Planas, Fortuny e Iranzo, 2009). El cadro 1 presena n ejemplo de n caso qe pede dar lgar a n debae enre los docenes para inerprear lo qe scede, la perinencia de la secencia de las areas maemáicas propesas, así como el posible crso de acación a parir de ese momeno. Cuadro 1. El caso de Javi (6-7 años) y la relación entre el desarrollo de estrategias efectivas y el tipo de problemas aritméticos elementales.
Javi tiene 6 años y está al nal del primer trimestre de 1º. de primaria. Du rane el primer rimesre ha reselo “cenas” de smar dos números de n dígio (por ejemplo: 5 + 8), y cenas de smar números de dos dígi os, pero sin llear en las nidades (en algnos casos se lleaba en las decenas), lo qe no planea ningún problema a Jai (por ejemplo: 77 + 51). también realizó resas de dos números de n dígio (por ejemplo: 9 - 5). Oras de las aciidades qe hace es conar de 1 en 1, o de 2 en 2 hacia delane empezando desde n número diferene del no. Asimismo, cena hacia arás de 1 en 1 desde números como el 17. Sin embargo, iene algunas dicultades en contar hacia atrás de 2 en 2 a partir de números como el 17. Además, hizo ejercicios de ordenar de menor a mayor na lisa de números (hasa el 20) y esá sando dibjos del ábaco para represenar números de dos dígios. Finalmene, resolió problemas ariméicos de estructura “cambio-añadir, incógnita cantidad nal”, y “cambio-quitar, incógnita cantidad nal”, con números pequeños. En estos momentos, su
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profesor le pone n “problema de comparación-cános más” con los números 5 y 8. Pepa tiene 5 naranjas, y Alba tiene 8 naranjas.
¿Quién tiene más? ¿Cuántas más? Primero le pregna qién iene más y Jai responde qe Alba, y lego el profesor pregunta "¿Cuántas más?". Jai ane esa nea pregna empieza empi eza a pronnciar “seis, siee, ocho…”, leanando cada ez n dedo, hasa qe iene leanados ocho dedos, y escribe 13 en el folio. Se spone qe Jai ha ido pronnciando las palabras número hasa llegar a 13, leanando cada ez n dedo. Se ha deenido al ener 8 dedos leanados —y haber pronnciado “rece” anqe sea menalmene (es posible qe haya sbilizado la canidad de 8 ane los 8 dedos leanados—; es decir reconoce de golpe qe na mano abiera y res dedos son 8). A coninación escribe 13 en el folio. La esraegia ilizada es conar hacia delane desde n (primer número qe aparece, en ese caso el 5) anas nidades como indica el segndo smando (en ese caso 8), lleando pisas de los qe a conando leanando n dedo cada ez, y deeniéndose cando el número de dedos leanados coincide con el segndo smando (8). Sin embargo, el profesor al ver la dicultad de Javi con el problema de comparación (relación enre la esrcra semánica del problema planeado y la esraegia sada por el almno), cambia el ipo de problema y le presena no de “cambio-qiar, “cambio-qiar, la incógnia la canidad nal”. Jai iene 5 naranjas y se come 3, ¿cánas le qedan? Jai escribe los números y hace na resa dando como respesa 2.
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Lego el docene le pregna oro problema, con la misma esrcra, pero cambiando los números. Ahora con 5 y 8 Javi tiene 8 naranjas y se come 5, ¿ cuántas le quedan?
La esraegia qe Jai iliza en ese problema es la de represenar con los dedos la canidad 8 (leana 8 dedos) y a qiando de no en no hasa na canidad de 5 dedos —se spone qe a pronnciando la secencia nmérica en oz baja desde 1. Al qedarse con 3 dedos leanados, da como respesa 3. La esraegia ilizada pede considerarse de “modelar las canidades y la acción”. Lego escribe na resa (8-5) en erical y escribe el reslado de 3. Cando el profesor compreba qe Jai es capaz de represenarse mentalmente las situaciones de “cambio-quitar incógnita la cantidad nal”, al interpretar la estrategias de resolución que reejan dicha situación, le ele a planear n problema de “comparación-cános más”, con los mismos números del problema anerior (5, 8). Tu madre tiene 8 naranjas. Tu padre 5 naranjas.
¿Quién tiene más? ¿Cuántas más? Jai dice qe s madre es la qe más iene, por lo qe Jai represena bien las canidades del problema, y la relación enre ss magnides. Sin embargo para responder a la segnda cesión, la esraegia qe Jai iliza consise en leanar 8 dedos de golpe (dice “ocho”), y empieza a añadir dedos (se spone qe mienras a leanado cada dedo a pronnciado, menalmene, la scesión nmérica, desde 9 hacia delane. Se para cando iene 5 dedos leanados —y se spone qe ha dicho la palabra “rece”. Jai escribe en s caderno “13”.
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Algnas eces el sopore del caso son ideoclips, lo qe permie ilsrar disinos esilos de enseñanza para analizar las diferencias y cómo se relacionan con los logros de los esdiane esdianes. s. Los ideos no ienen por qé mosrar ejemplos “excelenes” de enseñanza, sino sólo ser isos como opornidades para qe los profesores esdien formas de enseñanza mienras discen el caso y con la posibilidad de generalizar ideas al comparar lo iso en diferenes casos, aprendiendo a concepalizar la enseñanza desarrollando n lengaje más preciso de la prácica. Trabajando juntos para mejorar la práctica de enseñar matemáticas una de las caracerísicas de las opornidades de aprendizaje de los profesores se da cando rabajan jnos para mejorar s prácica. En segida se describe na situación que permite identicar los focos de relevancia para la mejora de la prácprác ica desde la relación con oros docenes, consiyéndose consiyéndose en conexos de formación conina (Llinares, 2003: 190-191). En la descripción de la siación se pone de maniesto cómo los intentos por mejorar el aprendizaje de los estudiante estudiantess relaciona las diferenes areas profesionales del docene (diseñar la enseñanza, inerprear las prodcciones de los almnos y gesionar el discrso maemá maemáico ico en el ala), creando opornidades para el desarrollo de los diersos dominios de conocimieno (sobre las maemáicas, el aprendizaje, la enseñanza) y, por ano, coniriéndose en conexo de aprendizaje del profesor. El signicado de la multiplicación de fracciones Los profesores de na escela decidieron realizar reniones mensales para coordinar la enseñanza de las matemáticas en su escuela; piensan que la reexión conjna les aydará a mejorar s prácica. Ese año se cenrarán en las fracciones, números decimales y razón, n conenido maemáico maemáico qe, anqe se reisa principalmene en 5º. y 6º. grado, se empieza a esdiar desde 3º. y 4º.; inclso algnas ideas iniciales sobre la noción de fracción como na relación enre na pare y el
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odo en conexos de reparir y medir se inrodce en los primeros crsos de edcación primaria. Anonio, el profesor de 6º. comena a ss compañeros qe él sele inrodcir la multiplicación de fracciones y que los alumnos no tienen dicultades en memorizar la regla qe dice: para mliplicar fracciones se mliplican los nmeradores por los nmeradores y los denominadores por los denominadores; sin embargo, esá preocupado por el signicado de esa operación de multiplicar y las dicultades que tienen sus alumnos en identicar correctamente las situaciones en que es ade cado ilizar la mliplicación de fracciones. María, qe da clase en 2º. grado dice que para que los alumnos comprendan el signicado de la suma y resta con números narales les propone problemas, y disce con ss almnos los diferenes procedimienos de resolción qe ss almnos planean. Ella sgiere hacer lo mismo con los almnos de sexo para la operación de mliplicar fracciones, por lo qe planea a ss compañeros enconrar n problema qe peda resolerse con 4 1 la operación 3 x 5 . María propone qe al resoler el problema ilicen dibjos o diagramas para explicar el signicado del algoritmo de la multiplicación. Los docentes empezaron a revisar los libros de exo y maeriales qe enían en la escela para bscar siaciones qe pudieran utilizar como problemas para discutir con sus alumnos los signicados que se inclan al algorimo de la mliplicación de fracciones. Anonio comena qe en las 4 fracciones propesas propesas por María hay na fracción ( 3 ) mayor qe 1 y qe eso pede pede plantear algunas dicultades para encontrar un problema; encontró uno en un libro de exo, pero con las dos fracciones menores qe la nidad: Pedro compró tres cuartos de una pizza y se comió la mitad, ¿qué fracción
de la pizza entera se ha comido? 1
3
María señala qe ese problema pede aydar a presenar la expresión 2 de 4 , pero habría que subrayar que las dos fracciones en esta expresión no signican
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3
lo mismo y la unidad a la que se reeren tampoco es la misma. Mientras 4 es una fracción qe represena na canidad (siendo la nidad la pizza enera), la frac1 ción 2 represena na acción (n operador) qe al aplicarlo sobre la canidad 3 “ 4 de pizza”, prodce n reslado reslado qe es na fracción de de la pizza enera (es decir, el reslado es na fracción qe considera como nidad la pizza enera). Los dibjos qe realizan para explicar ese proceso, son na pizza recanglar por la facilidad de hacer las pares congrenes:
3 4
1 2
de…
de… (
3 4
de…)
María y Anonio coinciden en qe hay siaciones en qe se pede aplicar la multiplicación de fracciones, idóneas para relacionar dos signicados de las fracfrac ciones (na relación de na pare con n odo, y como n operador), además de sbrayar la noción de nidad qe mchas eces esá implícia en el propio manejo de símbolos y que no se insiste lo suciente. También se dan cuenta que cambiancambiando las fracciones en la siación anerior, y comparando los procedimienos, las acciones y las simbolizaciones ilizadas y analizándolas con ss almnos, es posible lograr un buen contexto para introducir algunos signicados para la multiplicación de fracciones. Por ejemplo: Pedro compró
3 4
de una pizza y se comió la mitad de lo que ha comprado,
¿qué fracción de la pizza entera se ha com ido? Pedro compró
4
3
de pizza y se comió
1 de lo que ha comprado, ¿qué 5
fracción de la pizza entera se ha comido?
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Anonio sgiere qe el mismo análisis debería realizarse si la operación fera la multiplicación de números decimales, ya que es importante jarse en el signicado de los números y en el de la operación. María propone er qe saldría si piensan en la operación operación 0’3 x 0’25: • • • •
¿Qué signicados signicados podrían tener los números números 0’3, y 0’25? ¿Qué signicados debería tener la operación de multiplicar? (simbolizada por “x”.) ¿Qué situaciones se podrían plantear pl antear coherentes con dichos signicados? ¿Cómo se podría represena represenarr esa mliplicación?
Este tipo de situaciones pone de maniesto una manera de vincular la reexión sobre la prácica de los profesores con ss inenos de mejorar el aprendizaje de los esdianes y qe se conieren en sí mismas en opornidades de aprendizaje profesional y, por ano, en conexos de formación conina.
Tres pautas para la ormación or mación continua de los proesores de matemáticas Es conveniente subrayar tres ideas desde las reexiones y descripciones realizadas. Esas ideas inenan acenar el principio de qe los profesores necesian llegar a ser aprendices de s prácica más qe aprendices de esraegias y aciidades. Para poder consegir ese principio, los profesores deben desarrollar: desarrollar: • una isión comparida para la enseñanza-aprendizaje de las maemáicas. • una solida comprensión de los conenidos maemáicos qe se enseñan. • una fere comprensión de cómo los esdianes aprenden las maem maemáicas. áicas. • una comprensión comprensión de los diferenes conexos clrales.
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• un senido de sí mismo como profesores profesores de maemá maemáicas icas (dimensión profesional, la enseñanza de las maemáicas como na profesión).
Para consegir esos objeios, las opornidades de aprendizaje de los profesores, ano las consridas ad hoc desde las insiciones, como las generadas de manera aónoma desde grpos de profesores, deberían ener en cena: Idea 1: La imporancia de crear opornidades para qe los profesores rabajen
jnos para mejorar s prácica. oportunidadess de aprendizaje considerando la reexión sobre la Idea 2: Situar estas oportunidade prácica diaria de enseñar maemáicas. Idea 3: La necesidad de fomenar la paricipación acia de los profesores en s propio proceso de aprendizaje profesional. Es coneniene sbrayar qe la coherencia enre los objeios de las opornidades de aprendizaje del profesor (desarrollo profesional) y ss objeios jno con s paricipación colecia, son facores qe se relacionan con mejoras en la compeencia docene. En ese ipo de siaciones, el conocimieno procedene de la didácica de las matemáticas como ámbito cientíco es el elemento integrador en el desa rrollo de iniciaias para la formación conina de los profesores de maemáicas.
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