MATEMATICAS_FINANCIERAS_2011-2[1]

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS

102007 – MATEMÁTICAS FINANCIERAS

GIRARDOT Enero de 2011

1


LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Gráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas vencidas Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipados

39

Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas

50

Gráfico 4. Distribución Beta 2

119

Gráfico 5. Distribución Beta

127

Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectos

142

49

2


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente al Curso Académico de Matemáticas Financieras, es un rediseño al texto escrito por el Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta decisión con base en el levantamiento del estado del arte del material que se venía trabajando hasta enero de 2005; en los últimos tres años ha sido revisado continuamente por el director del curso virtual, Doctor Alexander Beltrán Echeverry quién se desempeña como tutor en el CEAD de Girardot. El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementos estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que sirva como soporte pedagógico al curso de Matemáticas Financieras, el cual está estructurado por el sistema de créditos académicos. Como material didáctico, su intencionalidad es apoyar el trabajo académico de los aprendientes en función del aprendizaje y el desarrollo cognitivo y meta-cognitivo de los aprendientes, en correlación con las intencionalidades formativas del curso

3


INTRODUCCIÓN

El administrador de empresas puede desenvolverse profesionalmente en el nivel operativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de la administración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel medio como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al logro de las metas corporativas. La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de las matemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades en el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicio profesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a las problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre evaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursos financieros. Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientas financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas que conforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas prácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a la comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es el mayor atractivo del estudio de esta rama de las matemáticas aplicadas. Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación de proyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera de una organización o como miembro activo de su comunidad.

4


CONTENIDO Pág. Introducción

4

UNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO Justificación

7 7

Objetivo General

7

Objetivos Específicos

7

Capítulo Uno. Interés

9

Lección 1

Conceptos

9

Lección 2

Concepto de interés simple

11

Lección 3

Concepto de interés compuesto

22

Lección 4

Tasas de interés

32

Lección 5

Conversión de tasas

40

Ejercicios para profundización de las temáticas

53

Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas

56

Lección 6 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas Lección 7 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas Lección 8 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas Lección 9 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas Lección 10 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas Fijas vencidas con interés anticipado Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables

56

Lección 11 Gradientes Aritméticos y Geométricos Lección 12 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente Lección 13 Gradiente Aritmético Creciente y Decreciente Lección 14 Amortizaciones Lección 15 Perpetuidades Resumen de la Unidad Uno Ejercicios para profundización de las temáticas

63 69 72 78 91 92 93

58 59 60 61 63

5


UNIDAD DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION Justificación

95 95

Objetivo General

95

Objetivos Específicos

95

Capitulo Cuatro. Clases de evaluaciones y criterios de decisión Lección 16 Evaluación de proyectos sociales

97 97

Lección 17 Criterios para evaluar proyectos de inversión

103

Lección 18 Valor Presente Neto –VPN

106

Lección 19 Tasa interna de Retorno –TIR

108

Lección 20 Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE

111

Capitulo Cinco. Análisis de Riesgos en los proyectos de inversión Lección 21 Sistemas de Análisis

113 113

Lección 22 Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión

114

Lección 23 Métodos para Evaluar el Riesgo en la Evaluación de proyectos de Inversión Lección 24 Distribución Beta 2

116

Lección 25 Distribución Beta

130

Capítulo Seis. Alternativas Mutuamente Excluyentes

135

Lección 26 Alternativas Mutuamente Excluyentes

135

Lección 27 Tasa Verdadera

138

Lección 28 Tasa Ponderada

142

Lección 29 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de Descuento Lección 30 Proyectos con vidas diferentes

145

Resumen de la Unidad Dos

151

Ejercicios para profundización de las temáticas

152

Glosario

156

Bibliografía y Cibergrafía

160

122

149

6


UNIDAD UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

Justificación Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como: interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el principio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.

Objetivo General A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para su aplicación en las cuestiones financieras.

Objetivos específicos  Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto  Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés nominal dada o viceversa.  Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos  Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre saldos mínimos  Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal  Determinar una expresión matemática que calcule del valor de la primera cuota para con base en el sistema de amortización se puedan calcular las restantes  Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de amortización diferentes

7


CAPÍTULO

UNO

INTERÉS

LECCIÓN UNO CONCEPTOS En la sociedad primitiva los seres humanos se autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no se cazaba más de lo que se consumía. El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se caracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada por carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc. Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generaban excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus necesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación. Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad de alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida, debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otro individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería la existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se debía fijar cuántas unidades del producto ―A‖ serían necesarias para adquirir el producto ―B‖, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega para obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del otro bien.

Concepto de Interés El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más actores por el intercambio de bienes y servicios. La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y las limitantes del intercambio que generaba la ―necesidad recíproca‖, fue haciendo germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para negociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el precio de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hasta llegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, como instrumento de intercambio.

8


De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones se llaman INTERÉS. Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero tienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e importa joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al mercado perfumes importados de Francia. Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero los dos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de $300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo. Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes, podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre una inversión en ―X‖ tiempo, o sea:

Utilidad Interés = Inversión

Siendo el interés del comerciante en joyas del comerciante en perfumes

= 3% mensual y el interés = 5% mensual.

Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite $10.000.000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al 5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior a la que rinden sus inversiones.

9


LECCIÓN DOS INTERÉS SIMPLE Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente $300.000 con $10.000.000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente, es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente: MES 1 2 3 . . N

Si:

DINERO INVERTIDO $10.000.000 $10.000.000 $10.000.000

GANANCIA $300.000 $300.000 $300.000

$10.000.000

$300.000

DINERO ACUMULADO $10.300.000 $10.600.000 $10.900.000

Utilidad Interés = Inversión

Utilidades = 3% x $10.000.000 = $300.000 en cada período, para este caso, cada mes. Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma: Dinero invertido = P Tasa de Interés = i Utilidad = Inversión x Tasa de interés Utilidad = Pi

10


MES

DINERO

INVERTIDO

UTILIDADES

1 2 3 . .

P P P

Pi Pi Pi

n

P

Pi

Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi) por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde el momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades de cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento en que realizó la inversión. Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidades acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicial más las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre de MONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de la siguiente forma: P F n

= = = %i =

Valor de la inversión ó valor actual Valor futuro Número de períodos Tasa de interés

F = inversiones + Utilidades Acumuladas

F = P + Pin F = p (1 + in)

11


Nótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sino siempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hay reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS SIMPLE. Ejemplo 1 ¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy $4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera: Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años, semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o sea 60 meses. i = 3% mensual F

60 meses P = 4.000.000

F = P (1 + in) F= $4.000.000 (1 + 0.03 (60)) F= $11.200.000 Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7.200.000 en los 5 años y adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4.000.000.

SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo considerado.

12


Ejemplo 2 Armando Rico recibió hoy $3.450.000 del Banco de Bogotá por una inversión que realizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuánto dinero invirtió don Armando? Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en meses, para que los elementos estén en la misma base.

0

i=2% mensual

F = 3.450.000

18 meses = 3 Semestres

P

Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:

F = P (1 + in) F = $3.450.000

porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades

I = 2% mensual N = 3 semestres = 18 meses Entonces,

3.450.000 = P (1 + 0,02 (18)) 3.450.000 = P (1 + 0,36)

13


P = $2.536.764,71 Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses. Ejemplo 3 Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000, que debe pagar en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000, calcular la tasa de interés simple del préstamo.

P = 3.000.000 18 meses

0

F = 3.850.000

Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:

F = 3.850.000 0

18 meses P = 3.000.000

14


Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:

F = P (1 + in) 3.850.000 = 3.000.000 (1 + i% (18))

Expresándolo en términos porcentuales se tiene,

Ejemplo 4 Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón Solano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo? Gráfico para Armando Mendoza P = 7.000.000

i = 2% mensual

0 F = 10.500.000

15


Gráfico para Beatriz Pinzón Solano F = 10.5000.000 i = 2% mensual 0

P = 7.000.000 Reemplazando en la ecuación se tiene:

F = P (1 + in) 10.500.000 = 7.000.000 (1 +(2%)n) Recuerde que

2% = 0,02

1,5 – 1 = 0,02n 0,5 = 0,02n

n = 25 meses Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.

Ejemplo 5 Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y $5.000.000 en año y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le prestó el Banco Santander a Sofía? Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa de interés, se tiene:

16


6 meses = un semestre Un año = dos semestres Año y medio = tres semestres

Gráfico para el Banco Santander

3.000.000

0

1

4.000.000

5.000.000 Semestre s

3

2

i = 10% semestral P Gráfico para Sofía Vergara

i = 10% semestral 0

1

2

3

Semestre

P 3.000.000

4.000.000

5.000.000

17


Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente. Cada pago que hace Sofía, se considera dentro del total de la cuota, una parte correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.

F = P (1 + in)

Analizando cada pago independiente se tiene:

Pago 1 = P1 =

= $2.727.272,73

Pago 2 = P2 =

= $3.333.333,33

Pago 3 = P3 =

= $3.846.153,85

Por lo tanto el valor del préstamo sería:

PT = P1 + P2 + P3 PT = $ 2.727.272,73 + $ 3.333.333,33 + $ 3.846.153,85 P T = $ 9.906.759,91

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Ejemplo 6 Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1.000.000; dentro de tres meses, ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000. ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el Banco es del 1% mensual simple? Gráfico para Natalia

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 F=? meses

1.000.000

1.000.000 1.500.000

1.700.000

i = 1% mensual, 1% = 0.01

Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el mismo período de tiempo que la tasa de interés. Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente por lo tanto se tiene: Ahorro o inversión #1 = F1 Ahorro o inversión #2 = F2 Ahorro o inversión #3 = F3 Ahorro o inversión #4 = F4 La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #1 dura exactamente en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.

F1 = P1 (1 + in) F1 = 1.000.000 (1 + 0,01(12)) = $1.120.000

19


La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #3 dura exactamente en el banco 9 meses (12 meses-3meses), por tanto n = 9.

F2 = P2 (1 + in) F2 = 1.000.000 (1 + 0,01(9)) = $1.090.000 La inversión o ahorro de $1.500.000 que hace Natalia en el período #6 dura exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.

F3 = P3 (1 + in) F3 = 1.500.000 (1 + 0,01(6)) = $1.590.000

La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace en el período # 10 dura exactamente en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2. F4 = P4 (1 + in) F4 = 1.700.000 (1 + 0,01(2)) = $1.734.000 Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será: F = F1 + F2 + F3 + F4 F = $5.534.000 Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que intervienen en la ecuación original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguiente manera:

20


VALOR FUTURO

VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES

NUMERO DE PERIODOS

21


LECCIÓN TRES

INTERÉS COMPUESTO

En el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales para todos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando se trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.

Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inició el capítulo, donde la inversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierte estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el siguiente resultado:

MES

DINERO INVERTIDO

GANANCIA

DINERO ACUMULADO

1

$10.000.000

10.000.000 * 0,03 = 300.000

10.00.000+300.000 =10.300.000

2

$10.300.000

10.300.000 * 0,03 = 309.000

10.300.000+309.000 = 10.609.000

3

$10.609.000

10.609.000 * 0,03 = 318.270

10.609.000+318.270 =10.927.270

. . n Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:

P=

Inversión

%i=

Tasa de Interés

Utilidad =

Inversión X i = Pi

F=

Valor futuro

22


MES

DINERO INVERTIDO

1

GANANCIA

DINERO ACUMULADO

P (i)

P + Pi = P(1 +i)

P(1+i) (i)

P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

P P(1+i)

2

P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3 3

P(1+i)2

P(1+i)2(i)

4

.

.

.

.

.

.

. P(1+i)n

n

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interés compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como: F = P (1+i)n Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el siguiente ejercicio: Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a una tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10.000.000 inicialmente: F = P (1+i)n F= $10.000.000 (1+0,03)3 F = $10.927.270 Valor que coincide con los $10.927.270 obtenidos en la primera tabla. En conclusión, la gran diferencia del interés compuesto radica en la reinversión de utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el caso de doña Linda con una inversión de $10.000.000 al 3% mensual, se obtienen los siguientes resultados: Interés simple: dinero acumulado al tercer mes $10.900.000 Interés compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10.927.270

23


Ejemplo 1 ¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy $4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual? El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera: Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años, semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o sea 60 meses. i = 3% mensual

F 60 meses

P = 4,000,000

F = P (1 + i )n F = 4.000.000 (1 + 0, 03)60 = $ 23.566.412,42 Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de $11.200.000 Ejemplo 2 Armando Rico recibió hoy $3. 450.000 del Banco de Bogotá por una inversión que realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto, ¿Cuánto dinero invirtió don Armando? Como se explicó anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

En razón de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en meses, para que los dos elementos tengan la misma base:

24


0

F = 3.450.000

i = 2% mensual

P

18 meses = 3 semestres

Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene: F = P ( i + i) n F = $ 3.450.000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades i= 2% mensual n= 3 semestres = 18 meses Entonces, $ 3.450.000 = P (1 + 0.02) 18 $ 3.450.000 = P (1,42824624758)

P = $2.415.549,84 Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses. Ejemplo 3 Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000 que debe pagar en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000 calcular la tasa de interés del préstamo.

P = 3.000.000 18 meses

0

25


Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo. Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente: F = 3.850.000 0

18 meses P = 3.000.000

Reemplazando los datos de la ecuación se tiene

Hacemos la división y podemos sacar raíz 18 a ambos lados

En términos porcentuales,

i = 1,3955% mensual

Ejemplo 4 Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón Solano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?

26


Gráfico para Armando Mendoza

P = $ 7.000.000 i = 2% mensual

F = $10.500.000 0 Gráfico para Beatriz Pinzón Solano F = $10.500.000 0

i = 2 % mensual

P = $ 7.000.000 Reemplazando en la ecuación se tiene: F = P (1 + i ) n 2% = 0,02 10.500.000 = 7.000.000 (1 + 0.02) n

Aplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuación se tiene: Por propiedades de logaritmos , la n pasa a multiplicar

0,17609125 = n . (0,0086001717)

27


n = 20,47 meses Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en meses.

Ejemplo 5 Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $ 3.000.000 dentro de 6 meses, $ 4.000.000 dentro de un año y $ 5.000.000 en año y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto dinero le prestó el Banco Santander a Sofía? Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa de interés, se tiene: 6 meses = un semestre un año = dos semestres año y medio = tres semestres

:

Gráfico para el Banco Santander 5.000.000 3.000.000 0

1

2

3

semestres

i = 10% semestral P

28


Gráfico para Sofía Vergara

i = 10% semestral

0

P

1

3.000.000

2

4.000.000

3

semestres

5.000.000

Del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente. Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una parte correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo: en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.

Analizando cada pago independientemente se tiene: Pago 1 = P1 =

= $2.727.272,73

Pago 2 = P2 =

= $3.305.705,12

Pago 3 = P3 =

= $3.756.574

29


Por lo tanto, el valor del préstamo sería: P = P1 +P2 +P3

P = $ 9.789.631,86 Ejemplo 6 Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1.000.000; dentro de tres meses, ahorrará $ 1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $ 1.700.000. ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el Banco es del 1% mensual compuesto?

Gráfico para Natalia

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 F =? meses

1.000.000

1.000.000

1.500.000

1.700.000

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente, por lo tanto se tiene: Ahorro o inversión # 1 = F1 Ahorro o inversión # 2 = F2 Ahorro o inversión # 3 = F3 Ahorro o inversión # 4 = F4

30


La inversión o ahorro de $1.000.000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12 F1 = P1 (1+ i)n F1 = 1.000.000 (1+0,01) 12

= $1.126.825,03

La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período 3 dura exactamente en el banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9 F2 = P2 (1+ i)n F2

= 1.000.000(1+ 0,01)9 = $1.093.685,27

La inversión o ahorro de $ 1.500.000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en el banco 6 meses (12 meses - 6 meses) por lo tanto n = 6 F3 = P3 (1+ i)n F3

= 1.500.000 (1 + 0,01)6 =$1.592.280,22

La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente en el banco 2 meses (12 meses - 10 meses) por lo tanto n = 2 F4 =P3 (1+ i)n F4 = 1.700.000 (1 + 0,01)2 =$1.734.170 Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:

F = F1 + F2 + F3 + F4 F = $5.546.960,53

31


Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que intervienen en la ecuación original de INTERES COMPUESTO, quedando de la siguiente manera:

VALOR FUTURO

VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES

NUMERO DE PERIODOS

32


LECCIÓN CUATRO TASAS DE INTERÉS El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura es: i%. Tasa de Interés Nominal Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.

Tasa de Interés Efectiva Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones. La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será esto cierto? Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase; que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba y antiguo compañero de la universidad. Él le ofrece que le pagará por los $100 millones una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doña Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital colombiana, hace el siguiente cálculo:

33


Plazo: Tasa de interés:

Un año 40% anual

Liquidación de interés:

Trimestre vencido

Inversión: Número de liquidaciones por año: Tasa trimestral o del período:

$100 millones 4 40% / 4 = 10%

TRIMESTRE 1 2 3 4 TOTAL

SALDO INICIAL 100,00 110 121 133,10

INTERESES i = 10% $10,00 $11,00 $12,10 $13,31 $46,41

SALDO FINAL $ 110,00 $ 121,00 $ 133,10 $ 146,41

La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46,41 en el año, si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) o rentabilidad de en un año Si el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habría obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las liquidaciones en el año). Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente, semestralmente, etc.

34


TASA

FORMA DE LIQUIDACIONES

40%

Semestre vencido

40%

Trimestre vencido

40%

Bimestre vencido

40%

Mes vencido

40%

Día vencido

Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería igual a 40% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral; si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40% anual trimestre vencido, es decir:

Plazo: Tasa de interés: Liquidación de interés: Inversión: Número de liquidaciones poaño: Tasa trimestral o del período:

Un año 40% anual Semestre vencido $100 millones 2

SEMESTRE

SALDO INICIAL

INTERESES

SALDO FINAL

1

100

20

120

2

120

24

144

Total

44

Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20

35


Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120

;

El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre. Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24 Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144 Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44% es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión. En relación con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de la reinversión de las utilidades o intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que se llama tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés simple y la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tiene en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí. Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se expresa de la siguiente forma:

ie =

Tasa de interés efectiva

ip =

Tasa periódica Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado

n=

Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente: 1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual? Tasa periódica =

ip

Tasa anual

ip = ———————————————

=

0,10 = 10 % trimestral

# de períodos en el año

=

0,4641 o 46,41% efectivo anual

36


Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral

n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre ie = (1 + 0.10)2 - 1 = 0,21 = 21% efectiva semestral 2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual

n = número de liquidaciones = 2 ie= (1 + 0,20)2 - 1 = 0,44 ó 44% efectiva anual Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual: NÚMERO DE TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN LIQUIDACIONES DE INTERESES POR AÑO

i PERIÓDICA

40%

Semestre vencido

2

20% semestral

40%

Trimestre vencido

4

10% trimestral

40%

Bimestre vencido

6

6,67% bimestral

40%

Mes vencido

12

3,33% mensual

40%

Día vencido

360

0,11% diario

Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las restantes: 40% anual bimestre vencido

Número de liquidaciones en un año: 6 ie anual = (1+0,0667)6 - 1 = 0,4732

37


40% anual mes vencido

Número de liquidaciones en un año: 12 ie anual = (1+ 0,0333)12 - 1 = 0,4816

40% anual día vencido

Número de liquidaciones en un año: 360 ie anual = (1+ 0,001111)360 - 1 = 0,4914 De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras: TASA ANUAL

FORMA DE LIQUIDACIÓN DE INTERESES

NUMERO DE LIQUIDACIONES POR AÑO

TASA EFECTIVA

40%

Semestre vencido

2

44,00%

40%

Trimestre vencido

4

46,41%

40%

Bimestre vencido

6

47,32%

40%

Mes vencido

12

48,16%

40%

Día vencido

360

49,14%

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada 8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:

38


40% anual liquidando intereses cada 12 horas

ip = 0,40

/ 720 = 0,0005555 n = 360 x 2 = 720 períodos ie anual = (1 + 0,0005555)720 - 1 = 0,491659 Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas

ip = 0,40 / 1080 = 0,00037037 n = 360 x 3 = 1.080 periodos

ie anual

= (1 + 0,00037037)1080 - 1 = 0,491714

Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse, es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico siguiente. 60.000% T A S A S E F E C T I V A S

50.000%

40.000%

30.000%

20.000%

10.000%

0.000%

0

2

4

6

8

10

12

14

NUMERO DE CAPITALIZACIONES

Gráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas vencidas

39


Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés continuo, que se expresa así:

ie = ei - 1

e

La letra es la sigla del número de Euler o constante de Napier, tan importante como y es equivalente a 2,718281…. (No confundir con la e de efectiva en ie )

Que para el caso del 40% anual se obtiene: i e = e 0,40 -1 = 2 ,7182810,40 - 1 i e = 0,49182

Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula anterior se conoce con el nombre de interés continuo o capitalización continua. Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de interés efectiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir, considera la reinversión de utilidades.

40


LECCIÓN CINCO CONVERSIÓN DE TASAS El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente; este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permite solucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja (ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés. Ejemplo 1 Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestral equivalente? Este ejercicio se puede resolver de varias formas: Primera forma

i= 40% anual trimestre vencido i

periódica = i anual /

i

periódica = i trimestral = 0,40 / 4 =0,10

# períodos en el año

Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual

ie = tasa de interés efectiva anual Donde n es el número de liquidaciones en el año. La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al año se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:

ie= (1+0,10) 4 -1 = 0,4641 Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de calcular la efectiva anual.

ie = ( 1 + ip )n - 1 0,4641 = ( 1 + isemestral ) 2 -- 1 n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)

41


1,4641 = ( 1+ isemestral ) 2

1,21 = 1 + i semestral 1,21 -1 = i semestral 0,21 = 2 1 %

Segunda forma i = 40% anual trimestre vencido i periódica = i trimestral =

= 0,10

Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre aparece adyacente a la tasa de interés anual. Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuación de tasa efectiva.

ie = (1+ip) n -1 i semestral = (1 + i trimestral ) 2 - 1 i semestral = (1 + 0,10 ) 2 - 1 = 0,21 Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.

Ejemplo 2 Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:

a. La tasa semestral equivalente. b. La tasa mensual equivalente.

42


a. Tasa Semestral Primera forma i = 30% anual bimestre vencido Bimestre = cada 2 meses

i periódica = i bimestral =

= 0,05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.

ie = (1+ ip ) n -1 ie

= (1 + 0,05) 6 - 1 = 0,3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral

ie

= (1+ ip) n -1

0,34 = ( 1 + i semestral )2-1 1,34 = (1+ i semestral)2

1,157625 =1 + i semestral 1,157625 -1 = i semestral 0,157625 = i semestral 15,7625% = i semestral

43


Segunda forma i = 30% anual bimestre vencido Bimestre = cada 2 meses i periódica = i bimestral =

= 0,05

ie = (1+ i periódica) n -1

La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la semestral.

i semestral =(1 + 0,05 ) 3 - 1 = 0,157625

ó

15,7625%

n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.

b. Tasa mensual Primera forma i periódica = i bimestral =

= 0,05

ie = (1+ 0,05)6 - 1 = 0,3400 Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual

ie = 0,34 i

= ( 1 + i periódica)n - 1

0,34 = (1 + i mes )12

-1

n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12 veces en el año. 1,34 = (1 + i mes )12

1,02469 = 1 +i mes 1,02469 – 1 = i mes 0,02469 = i mes 2,469% = i mes

44


Segunda forma i = 30% anual bimestre vencido i periódica = i bimestral =

= 0,05

Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:

ie

= (1 + i periódica) n - 1 = ( 1 + i mes )2 – 1

0,05

La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la bimestral.

1,05 = (1+ i mes) 2

1,02469 = 1 + i mes 1,02469 - 1 = i mes 0,02469 = i mes i mes = 2,469% Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es muy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismo sucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa quincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaría como efectiva. Ejemplo 3 Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7.000.000 que debe pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 24% anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Pastor al Banco Popular? P = 7.000.000 2 años

0

i = 24 % anual semestre vencido

F=?

45


Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en semestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión: correspondiente. Primera forma Se debe hallar la tasa de interés efectiva anual para que coincida con el período del plazo que está dado en años, por lo tanto: iea = (1+ i periódico) n -1 i periódica = i semestral =

= 0,12

iea = (1+ 0,12) 2 -1= 0,2544 F =P(1+ i ) n F = 7.000.000 (1+ 0,2544) 2 F = $11.014.635,52 • Segunda forma i = 24% anual semestre vencido i periódica = i semestral =

= 0,12

Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente manera:

P = 7.000.000 1

2

3

0

semestres F =?

i = 12% semestral F =P(1+ i ) n F = 7.000.000(1+ 0,12)4

4

= $ 11.014.635,52


 Tasas anticipadas Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado. Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita el dinero sino hasta dentro de un año. $ 40 millones “hoy” Interés anticipado

$ 100 millones de devolución de la inversión en Un año

$ 100 millones inversión

En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico: $100 millones 1 año

$60 millones (Inversión)

En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia (ver capítulo 1) se puede hallar el interés: F= P (1 + i) n F = $100.000.000,oo P = $60.000.000,oo n = 1 año $100.000.000 = $60.000.000 ( 1 + i ) 1 = ( 1+ i ) 1,6667 = 1+ i i = 1 , 6667 - 1 = 0,6667 = 66,67% anual


Lo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual año anticipado ó el 66,67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición dada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobre inversión se obtiene lo siguiente

i=

=

=

= 0,6667 ó 66,67%

Si se expresa en términos porcentuales se tiene:

i=

=

= 0,6667 ó 66,67% anual

De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula: i vencido =

ia ----------------(1- ia)

donde: iv = i vencido ia = interés anticipado i vencido = Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son anticipadas. Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales correspondientes.

TASA ANUAL

LIQUIDACIÓN DE INTERESES

40%

Semestre anticipado

40%

Trimestre anticipado

40%

Bimestre anticipado

40%

Mes anticipado

40%

Día anticipado

40%

Cada 12 horas anticipado


(1) 40% anual semestre anticipado i periódica = i semestral anticipada = i semestre vencida =

=

= 20% semestre anticipado

= 0,25

i efectiva anual = (1 + 0,25)2 -1 = 0,5625 (2) 40% anual trimestre anticipado i periódica = i trimestral anticipada = = 10% trimestre anticipado i trimestre vencido =

= 0,111111

i efectiva anual = (1+0,11111) 4 -1 =0,524157 (3) 40% anual bimestre anticipado i bimestral anticipado = = 6,67% i bimestral vencida =

= 0,07143

i efectiva anual = (1 + 0,07143)6 - 1 = 0,51282484 (4) 40% anual mes anticipado i mes anticipado = = 0,03333 i vencida =

= 0,03447919

i efectiva anual = (1 + 0,03447919)12 - 1 = 0,50196949 (5) 40% anual día anticipado i día anticipado = = 0,001111 i vencida =

= 0,00111235

i efectivo anual = (1 + 0,00111235)360 - 1 = 0,4921565 (6) 40% anual cada 12 horas anticipado i cada 12 horas anticipado = = 0,00055556 i vencida =

= 0,00055586

i efectiva anual = (1+ 0,00055586)720 - 1 = 0,49199053


Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:

Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipados Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas, se puede obtener el siguiente resumen

TASAS VENCIDAS

TASAS ANTICIPADAS

Tasa nominal

# de liquidaciones por año

T.E.A.

Tasa nominal

#de liquidaciones por año

T.E.A.

40% anual A. V.

1

40,00%

40% anual A. A.

1

66,67%

40% anual S.V.

2

44,00%

40% anual S.A.

2

56,25%

40% anual T.V.

4

46,41%

40% anual T.A.

4

52,42%

40% anual B.V.

6

47,32%

40% anual B.A.

6

51,28%

40% anual M.V.

12

48,16%

40% anual M.A.

12

50,20%

40% anual D.V.

360

49,14%

40% anual D.A.

360

49,22%

Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a medida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual i logrando como tasa máxima la capitalización continua ( ie= e - 1). El comportamiento


de las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de liquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva máxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidación. En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y anticipada.

Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas  Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la anticipada.


Ejemplo Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual. Primera forma i = 20% anual trimestre anticipado iperiódica

= itrimestral anticipada =

=0,05

i vencido = i trimestre vencido = i trimestre vencido =

=

i trimestre vencido = 0,052631578 iea

= (1 + i periódica) n- 1

iea

= (1 + 0,052631578)4 - 1

iea = 0,2277 o 22,77% Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual i ea = (1 + i periódica) n - 1 0,2277 = ( 1+ imes )12 - 1 1,2277 = ( 1 + imes ) 12

1,017244 = 1 + imes 1,017244 – 1 = imes 0,017244 = imes imes = 1,7244%


Segunda forma i = 20% anual trimestre anticipado iperiódica = i trimestral anticipada = 0,20 / 4 = 0,05 i vencido =

i anticipado / (1- i anticipado)

i trimestre vencido =

i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado)


0,05 / (1 – 0,05) = 0,05 / 0,95


0,052631578

Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede considerar como efectiva. i trimestre vencido =

0,052631578

i ea = (1 + i periódica) n- 1 0,052631578 = (1+ imes) 3- 1 1,052631578= (1+ imes) 3

1,017244 = 1+ i mes 0,017244 = i mes

i mes= 1,7244%


EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS 1. Sandra Muñoz canceló hoy $7.560.000 al Banco de Bogotá por un préstamo que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si: a. La tasa de interés es del 3% mensual simple b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto c. La tasa de interés es del 4% mensual simple 2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000; si canceló $13.500.000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si: a. La tasa de interés es del 2% mensual simple. b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto. c. La tasa de interés es del 2,5% mensual simple. 3. Pastor Bueno desea tener $20.000.000 dentro de 2 años para la cuota inicial de un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros: Hoy, ahorra $1.000.000 Dentro de 2 bimestres, $ 3.000.000 Dentro de 8 meses, $ 5.000000 Dentro de 1 año, $ 2.000.000 Dentro de año y medio, $7.000.000 El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes: Plan A: i = 1% mensual simple Plan B: i = 2% mensual compuesto Plan C: i = 2,5% bimestral simple Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en el mismo período a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes. b. ¿Cuál es el mejor plan? 4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que se desarrollaron anteriormente en el módulo, comparar el ejemplo 1 de interés simple con el ejemplo 1 de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.


5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular: a. Tasa trimestral b. Tasa semestral

6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular: a. Tasa trimestral; c. Tasa efectiva anual;

b. Tasa semestral d. Tasa trimestral anticipada

7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y graficarla en una hoja Excel. Obtener conclusiones: a. 25% anual semestre vencido

b. 25% anual trimestre vencido

c. 25% anual bimestre vencido

d. 25% anual mes vencido

e. 25% anual día vencido

f. 25% anual año anticipado

g. 25% anual semestre anticipado

i. 25% anual bimestre anticipado

h. 25% anticipado

anual

trimestre

j. 25% anual mes anticipado

8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular: a. Tasa mensual b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral 9. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5 millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anual semestre anticipado. 10. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio. Si Linda pagó hoy a Armando $12.133.450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes vencido, calcular el valor el préstamo.


11. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés fuera del 32% anual bimestre anticipado? 12. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se ha propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo: Hoy, ahorra $1.500.000 Dentro de 2 trimestres, $6.000.000 Dentro de 18 meses, $5.000.000

Dentro de 2 bimestres, $4.000.000 Dentro de un año, $3.000.000

Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de $23.500.000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual trimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del vehículo?


CAPÍTULO DOS

EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS

Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de préstamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama anualidades o rentas (no importa si la cuota fija es anual, semestral, trimestral o mensual, se seguirá llamando anualidad). La relación que existe entre las cuotas fijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.

LECCIÓN SEIS EQUIVALENCIAS ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS Cuotas fijas = A Valor futuro = F N = Número de períodos i% = Tasa de interés por período Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un : futuro F, considere que el señor Armando Casas tiene excedentes de liquidez cada período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se harán al final de cada período a una tasa de interés del i %. Gráficamente el comportamiento del problema sería el siguiente:

0

1

2

3

4

n-2

F n-1

12 n

Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro. Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n-1 que tiene un valor de $A sí se considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).


Si tomamos el ahorro de $A en el período n-2 su valor futuro será A(1+i)2, para el período n-3 se obtendría A(1+i) 3, para el período n-4 se obtendría A(1+i) 4 y así sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A sería A(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porque toda cantidad elevada a la cero es igual a uno. Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se obtiene: F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1)

Ecuación # 1

Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene lo siguiente: F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuación # 2 Si restamos la ecuación #1 de la ecuación #2 se obtiene: Ec #2 - Ec #1

F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ......... + A(1+i) (n-1) + A(1+i)n F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + …...... + A(1+i) (n-1)

F(1+i) - F = A(1+ i) n - A , despejando se tiene F + Fi - F = A(1+ i) n - A F + Fi - F = A [(1+i)n -1] Fi = A[(1+i)n -1] Fórmula 1

La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o anualidad.


LECCIÓN SIETE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmula número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la fórmula base de las Matemáticas Financieras.

Fórmula 2

De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma: Fórmula 3

Fórmula 4


LECCIÓN OCHO EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas anticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos como referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se realizan anticipadamente o sea: F

0

1

2

3

4

n-3

n-2

n-1

n

El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con respecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se consideran anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con base en el diagrama anterior sería: F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i) obtenemos la ecuación número 2. F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1) Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones, como se hizo para determinar la fórmula 1 se obtiene:

Fórmula 5


LECCIÓN NUEVE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se puede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada, simplemente reemplazando F por P( 1+ i ) n despejamos P Fórmula 6

De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor presente o del valor futuro, simplemente transponiendo términos.

Fórmula 7

Fórmula 8

Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.


LECCIÓN DIEZ EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS CON INTERESES ANTICIPADOS Este caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas pero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir el préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del crédito y los intereses correspondientes al primer período. En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la última cuota no se pagarían intereses, sino que la totalidad del valor pagado sería abono a capital. La equivalencia a usar en este caso sería: Fórmula 9

A continuación se tratan expuestas anteriormente.

casos prácticos relacionados con las equivalencias

Ejemplo 1 Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por diez millones de pesos para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas. Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:

$10.000.000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 Meses

0 A= ? I = 3%

Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la fórmula 4


P = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000 i = 3% n = 12 meses Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A

Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03

A= $1.004.620,85

Lo que significa que doña Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a $1.004.620,85 durante 12 meses.


CAPÍTULO TRES EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES LECCIÓN ONCE GRADIENTES El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; o incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de gradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos. Gradiente Aritmético Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco. Gráficamente el problema se expresa así: $ 15.000.000

0

6 semestres

A A+100.000 A+200.000 A+300.000 A+400.000 A+500.000

El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticas financieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P( 1 + i)n, que para el problema planteado sería de la siguiente manera:


1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:

2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las cuotas, es decir :

3. Hallar el valor de A Podemos empezar resolviendo los denominadores, así:

Vamos a separar los elementos del numerador y a dividir cada uno de ellos por su respectivo denominador; por ejemplo en el segundo término voy a separar la letra A del valor $100.000 y a cada uno de ellos lo divido en 1,3225, entonces divido 1A en 1,3225 y $100.000 también en 1,3225 (Ejemplo ) Quedando

Agrupamos los términos comunes y obtenemos:

A = $3.753.834,56

Para que le coincida el resultado, utilice Excel. Si trabaja solo con tres o cuatro decimales se desviará un poco de la respuesta.

Este sería el valor de la cuota # 1 y aumentándole $100.000 cada semestre, obtendremos el valor de las siguientes cuotas. Alternativamente se pueden utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que se derivan de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo el problema se puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excel herramientas de la siguiente forma:


Hoja de Excel A

1 2 3

B Semestre Flujos de caja

0 1

-15.000.000 20

———— >

4 5

2 3

=B3+100.000 =B4+100.000

7 8

4 5 6

=B5+100.000 =B6+100.000 =B7+100.000

C

D

E

F

G

Valor préstamo Colocar cualquier valor

=VNA (0,15; B3:B8)+B2

El primer paso es colocar sobre la hoja de cálculo los ingresos y desembolso de dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, los ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de $15.000.000; como es un desembolso para el Banco, le colocamos signo negativo, los ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solo sabemos que se incrementan en $100.000 cada uno de ellos. Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la columna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y egresos de la transacción para la entidad financiera comenzando con el valor del préstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que hace el cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor, pero con signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el pago 2 sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el pago 3 como =B4 +100.000 y así sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se formularía como =B7 +100.000 como muestra la figura. Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transacción, se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del valor presente neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (15% semestral), que quedan de la siguiente forma: = VNA (0,15; B3:B8) + B2 TASA DE INTERÉS


0,15 B3 :B8 B2:

que corresponde al 15% de tasa de interés. es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente. valor del préstamo

Seguidamente, se busca en el menú principal del Excel herramientas, y allí se selecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú (En Excel 2007 o 2010, esta opción la encuentra en el menú Datos---Análisis Y si---Buscar Objetivo) DEFINIR CELDA: CON EL VALOR: PARA CAMBIAR CELDA: En definir la celda transacción.

se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de la

Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda la transacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor del préstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. En nuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a la tasa de interés del 15% deben ser iguales a los $ 15.000.000 del préstamo, este concepto debe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre el préstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO. Para cambiar la celda: se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor en nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20. En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera: DEFINIR CELDA:

G5

CON EL VALOR:

O

PARA CAMBIAR CELDA: B3

Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagos debe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presente neto, debe aparecer cero. ( Ver video ) La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:


A

1 2 3 4 5 6 7 8 9

B

C

D

E

F

G

Semestre Flujo de Caja 0 1 2 3 4 5 6

-15.000.000,00 3.753.834,56 3.853.834,56 3.953.834,56 4.053.834,56 4.153.834,56 4.253.834,56

0.00

Gradiente Geométrico Otra forma alterna de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando una cuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino en un porcentaje ejemplo 10%. Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que recibió un préstamo de su amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3 cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un 10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno:

A(1,10) A 1

2

A(1,10)(1,10)= A (1,21)

3

semestres

Tasa de interés: 20% semestral $ 5.000.000

El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vista en el capítulo 1, es decir, de la siguiente forma: Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a don Pastor.


Luego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:

Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:

$5.000.000 = 0,83333 A + 0,7638 A + 0,70023 A $ 5.000.000 = 2,2974537037 A A = $2.176.322,42 Este valor es el equivalente a la primera cuota y para encontrar las otras dos simplemente debemos realizar el incremento del 10%, de la siguiente forma: Primera cuota

= $ 2.176.322,42

Segunda cuota = $ 2.176.322,42 *(1,10) = $ 2.393.954,66 Tercera cuota

=

$ 2.393.954,66*(1,10) = $ 2.633.350,13


LECCIÓN DOCE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE Equivalencia entre un valor presente y un gradiente aritmético Se define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta una cantidad g en cada período

n semestres

A+g A+2g A+3g A+4g A+(n-1)g

Obsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como una constante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior. Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por lo cual se puede concluir que en el período n será (n-1)g. Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos que se hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2 componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valor presente se definió de la siguiente forma:

La parte variable se presenta a partir del segundo período, cuando comienza el incremento g, en el tercer período es 2g, en el cuarto es 3g y así sucesivamente hasta n donde el incremento es (n-1)g. Todos estos valores representan el incremento acumulado de la cuota, si se obtuvo el valor presente de la parte fija de la cuota variable, también es posible calcular el valor presente del componente cambiante utilizando para su cálculo la primera equivalencia, como se presenta a continuación:


P = P, + P2 + P3 + P4

Factorizando se tiene lo siguiente:

Llamando X a los términos que se encuentran entre paréntesis se tiene: P = g(X) X=

Ecuación # 1

Multiplicando la ecuación anterior por (1 + i ) se tiene: X(1 + i ) =

Ecuación # 2

Si se resta la Ecuación # 2 - Ecuación #1 se tiene lo siguiente: X(1+i) - X =

-

X + Xi – X = Xi = El último término de la ecuación anterior se puede descomponer en:

Por lo tanto: Xi =


La podemos organizar así: Xi =

Ecuación #3

Todos los términos del segundo miembro de la ecuación a excepción del último corresponden a una serie uniforme de 1 : serie uniforme de 1 entonces, esta serie es una anualidad cuyo factor sería:

Por lo tanto la Ecuación #3 quedaría expresada así:

Al comienzo de esta deducción se determinó que P = g(X) Reemplazando el valor de X, se tiene el valor presente del gradiente aritmético, definido de la siguiente forma: Fórmula 10


LECCIÓN TRECE GRADIENTE ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE En el gradiente aritmético se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuota variable aumenta período a período en una cantidad fija y la segunda cuando es decreciente, en ambos casos se emplea la misma fórmula, pero el planteamiento del problema se hace en forma diferente, como se explica a continuación:

Si se recibe un préstamo de una entidad bancaria y éste debe ser cancelado en cuotas variables, las cuales se incrementan en la misma cantidad en cada período hasta terminar el plazo, se tendría un caso de gradiente creciente; su ilustración mediante un ejemplo sería de la siguiente forma: Linda Plata de Rico recibe un préstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debe ser cancelado en 3 años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 5% semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas; con base en la información anterior determinar el valor de la primera cuota.

El punto de partida de este problema sería la elaboración del gráfico correspondiente:

semestres 0

1

2

3

4

5

6

A A +250.000

A +500.000 A+750.000 A+1.000.000

A+ 1.250.000

Como se había explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componente fijo que para el problema se llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000 que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del préstamo sería


igual al valor presente de la parte fija más el valor presente del componente variable. P1 = Valor presente parte fija P2 = Valor presente parte variable

,

Valor del préstamo = P1+ P2 Tasa de interés = i = 5% semestral;

n=6

P1 = A ( 5,07569206721)

P2 = $ 2.991.998,44 Si

P1 + P2 = $5.000.000

reemplazamos

A ( 5,07569206721) + 2.991.998,44 = 5.000.000 Despejando A se tendría: A( 5,07569206721) = 5.000.000 - 2.991.998,44 A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56

A = $ 395.611,38 El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38 el de la segunda es este último valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, lo que genera un valor de $ 645.611,38 y así sucesivamente hasta el período sexto que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortización del préstamo, con una tasa de interés del 5% semestral


SEMES TRE

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA

ABONO A CAPITAL

SALDO FINAL

1

$5.000.000,00 $250.000,00

$395.611,38

$145.611,38

$4.854.388,62

2

$4.854.388,62 $242.719,43

$645.611,38

$402.891,95

$4.451.496,66

3

$4.451.496,66 $222.574,83

$895.611,38

$673.036,55

$3.778.460,11

4

$3.778.460,11 $188.923,01

$1.145.611,38 $956.688,38

$2.821.771,74

5

$2.821.771,74 $141.088,59

$1.395.611,38 $1.254.522,80

$1.567.248,94

6

$1.567.248,94 $78.362,45

$1.645.611,38 $1.567.248,94

$ 0,00

Gradiente aritmético decreciente En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual ―g‖ con respecto al periodo anterior. Gráficamente se expresaría de la siguiente forma

0

1

2

3

4

5

n

A-(n-1)g A-4g A-3g A-2g A-g A


En este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calcula su valor presente; posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tomó la de mayor valor como constante, se calcula la diferencia entre el valor presente de la parte constante y la del gradiente o parte variable. Un ejemplo que ilustra el concepto anterior se detalla a continuación: ―Juan Pérez recibió un préstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con disminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2% bimestral, calcular el valor de la primera cuota.‖ El diagrama sería el siguiente:

0

1

2

3

4

5

n

A-150.000 A-120.000 A-90.000 A-60.000 A-30.000 A

Primero, se calcula el valor presente de "A" o sea la parte constante.

P 1 =A (5,6014308) Luego, se calcula el valor presente del gradiente

P2 = $ 410.403,90


Finalmente, se calcula el valor de A P 1 -P 2 = $ 2.000.000 A[5,6014308] - 410.403,90 = $ 2.000.000 A[5,6014308] = 2.410.403,90 A = $ 430.319,31 El valor de la segunda cuota sería $ 430,319.31 - $ 30,000 = $ 400,319.31 y así sucesivamente hasta el período 6.

Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente Geométrico La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombre de gradiente geométrico y gráficamente se expresaría de la siguiente forma:

n períodos 0

1

2

3

4

k k (1+0,04)4

k(1+j) 2

k(1+j)

k(1+j)3 k(1+j)

La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un período, y un valor presente está dada por:

%j

en cada

para i diferente de j, y para i = j

Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo: Pedro Rodríguez recibió un préstamo de $5 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 6 cuotas trimestrales con incrementos del 4% trimestral; si la tasa de interés es del 7% trimestral, hallar: a) el valor de la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.


Gráficamente el problema se plantearía así: n períodos

Si i es diferente de j 5.000.000

0

1

2

3

4

5 1

6 trimestres

k k (1+0.04) k (1+0,04)3 k (1+0.04)2 k (1+0,04)4 k (1+0,05)5

$ 5.000.000 = K [ 5,22881704586 ] K = $ 956.239,23 Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral

K = $ 858.333,33


LECCIÓN CATORCE

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS

La amortización de un préstamo indica período a período qué cantidad de la cuota que se paga corresponde a los intereses del préstamo y qué cantidad es el abono a capital. La suma de estos dos componentes es el valor de la cuota. Tablas de amortización El comportamiento de estas variables puede observarse mediante las tablas de amortización, herramienta que adicionalmente permite determinar en un momento dado el saldo del préstamo. Tomemos un ejemplo anterior, en el que se solicita un préstamo de $10.000.000 con una tasa de interés del 3% para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales; se elabora la tabla de amortización y se realiza el análisis correspondiente. La tabla está conformada por los siguientes elementos:  Período: para el ejercicio, es en meses.  Saldo inicial: para el período 1 es el valor del préstamo, o sea $10.000.000. Para períodos posteriores, el saldo inicial del período n será el saldo final del período n-1  Intereses = Saldo inicial x tasa de interés; para el ejemplo los intereses para el primer mes serían iguales a $10.000.000 x 3% o sea $300.000  Valor de la cuota fija A: es el calculado mediante la fórmula, en este caso $1.004.620,85 (Ver página 65 del módulo)  Abonos a capital = Cuota fija - Intereses; para el primer período (mes) del ejemplo sería: Abonos a capital = $1.004.620,85 - $300.000 = $704.620,85 

Saldo final = Saldo inicial - Abonos a capital. Siguiendo con el ejemplo se tendría para el primer mes

Saldo final =$ 10.000.000 - $ 704.620,85 = $ 9.295.379,15

Resumiendo, los encabezados de la tabla de amortización serían:


MES

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA FIJA

ABONOS A CAPITAL

SALDO FINAL

A continuación puede observarse la tabla de amortización correspondiente al ejemplo CUOTAS 12 TASA DE INTERÉS 3% PRÉSTAMO $1O.OOO.OOO

MES SALDO INICIAL INTERESES

CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1

$10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85

$9,295,379.15

2

$ 9,295,379.15

$278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48

$8,569,619.66

3

$ 8,569,619.66

$257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26

$7,822,087.40

4

$ 7,822,087.40

$234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23

$7,052,129.17

5

$ 7,052,129.17

$211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98

$6,259,072.19

6

$ 6,259,072.19

$187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69

$5,442,223.50

7

$ 5,442,223.50

$163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15

$4,600,869.35

8

$ 4,600,869.35

$138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77

$3,734,274.57

9

$ 3,734,274.57

$112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62

$2,841,681.96

10 $ 2,841,681.96

$ 85,250.46

$1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.56

11 $ 1,922,311.56

$ 57,669.35

$1,004,620.85 $946,951.51 $

12 $ 975,360.05

$ 29,260.80

$1,004,620.85 $975,360.05

TOTALES

$2,055,450.26

$12,055,450.26

975,360.05 ($0.00)

$10,000,000.0

Para comprobar si una tabla de amortización fue bien elaborada, el saldo final al terminar plazo debe ser CERO.


Alternativamente podemos utilizar las funciones de la hoja electrónica Excel para calcular el valor de la cuota fija. Para ello empleamos las funciones f(x) financieras de Excel siendo el primer paso hacer clic en f(x), señalar financieras y buscar pago (significa cuota fija, anualidad o renta), hacer clic y aparece la siguiente información:

TIPO = O por ser de modalidad vencida; si hubiera sido modalidad anticipada se colocaría UNO (1) Excel arroja el pago por $1.004.620,85 Ejemplo 2 Considere el ejemplo número 1 pero modifique la forma de pago de vencida a anticipada, es decir, el mismo préstamo de $10.000.000 a un plazo de 12 meses y una tasa de interés del 3%. Para este cálculo se utilizará la fórmula número 8 y obtenemos el valor de la cuota fija cancelada anticipadamente de la siguiente forma:

A = $975.360,05 Para la elaboración de la tabla de amortización de este préstamo, al saldo inicial del período número 1 ó sea el valor del préstamo se le debe restar el valor de la cuota anticipada, es decir $10.000.000 - $ 975.360,05 = $9.024.639,95 A continuación se observa la correspondiente tabla.


MES

CUOTAS

12

PRÉSTAMO

$10.000.000.00

SALDO INICIAL

INTERESES

TASA DE INTERÉS

CUOTA MENSUAL ANTICIPADA

ABONOS CAPITAL

3.00%

SALDO FINAL

1

$9,024,639.95

$270,739.20

$975,360.05 $704,620.85 $8,320,019,09

2

$8,320,019.09

$249,600.57

$975,360.05 $725,759.48 $7,594,259.61

3

$7,594,259.61

$227,827.79

$975,360.05 $747,532.26 $6,846,727.35

4

$6,846,727.35

$205,401.82

$975,360.05 $769,958.23 $6,076,769.11

5

$6,076,769.11

$182,303.07

$975,360.05 $793,056.98 $5,283,712.13

6

$5,283,712.13

$158,511.36

$975,360.05 $816,848.69 $4,466,863.45

7

$4,466,863.45

$134,005.90

$975,360.05 $841,354.15 $3,625,509.30

8

$3,625,509.30

$108,765.28

$975,360.05 $866,594.77 $2,758,914.52

9

$2,758,914.52

$ 82,767.44

$975,360.05 $892,592.62 $1,866,321.90

10 $1,866,321.90

$ 55,989.66

$975,360.05 $919,370.40 $ 946,951.51

11 $ 946,951.51

$ 28,408.55

$975,360.05 $946,951.51 ($0.00)

12 ($0.00)

($0.00)

$0.00

$0.00

($0.00)

Alternativamente se puede utilizar las funciones financieras de Excel para calculare valor de la cuota fija anticipada; para eso entramos por pago y nos aparece el siguiente menú:

82

Tipo = 1 por ser modalidad anticipada y nos arroja el siguiente resultado: A = $ 975.360,05

Ejemplo 3 El señor Armando Casasbuenas recibió un préstamo de $5.000.000 del Banco Sudameris que debe pagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2% para los tres primeros meses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la tabla de amortización correspondiente. Gráficamente el problema se representa de la siguiente forma:

1

2

3

4

5

6

Meses

0

2%

3%

El planteamiento matemático se haría de la siguiente forma: como se trata de cuotas las vencidas la fórmula a emplear sería:

Sin embargo, hay que tener en cuenta que se tienen dos tasas de interés diferentes; para los tres primeros meses es del 2% y para los siguientes del 3%, por lo tanto hay que dividir el problema en dos partes: Primero, se trae a valor presente las tres primeras cuotas con una i = 2%; este valor presente se llamará P1

Luego, se trae a valor presente las tres cuotas siguientes con un i = 3% mensual; este valor presente se llamará P2

La gráfica resume lo que pasó:

♣

$ 5.000.000 1

2

3

4

5

6

0

2%

3%

Al traer a valor presente con tres períodos las cuotas de los segundos tres meses, se cae en el mes 3 (donde está situado el trébol) y se debe estar en el mes cero; como la tasa de esos primeros períodos es del 2%, el mes 3 es un valor futuro con respecto al cero. Para estar en el período cero simplemente se aplica la fórmula matriz de las Matemáticas Financieras o sea:

Por lo tanto : Por el concepto de equivalencia la suma de los valores presentes deben ser, igual al valor del préstamo de $5 millones. $5.000.000 = P1 + P2

$5.000.000 = Resolviendo se obtiene el valor de A $ 5.000.000 = A [2,88388] + A [2,6654636] $ 5.000.000 = A [5,54993469] A= A = $ 901.006,92

Alternativamente, el anterior ejercicio se puede desarrollar utilizando las herramientas de Excel de la siguiente forma Representación de una HOJA DE EXCEL

1

A PRÉSTAMO PAGO1

B -5.000.000 123

2

3 4

PAGO 2 PAGO 3

= $B$2 = $B$2

5

PAGO 4

= $B$2

6

PAGOS

= $B$2

7

PAGO 6

= $B$2

C Colocar cualquier valor

Todas las cuotas son iguales, deben quedar formulado como aparece aquí, debe aparecer 123 para todas las cuotas, pero formulado.

En la celda C8 o en cualquier otra celda colocar el valor presente: + B1 Si copia los datos en la hoja excel según las instrucciones, puede copiar esta fórmula en la celda c8 o la que quiera: =VNA(0,02;B2:B4)+VNA(0,03;B5:B7)/(1,02^3)+B1

Se hace clic en herramientas (en Excel 2007 o 2010, en el menú datos - análisis y si), se señala buscar objetivo y aparece definir celda (donde se coloca el valor presente en este caso $C$8, con el valor cero (por el concepto de equivalencia), cambiando la celda (donde se escribe cualquier valor) en este caso B2 y se hace clic en aceptar. El valor que aparece en los pagos es el valor a pagar por el préstamo de cinco millones ( $5.000.000), y la cuota correspondiente a las condiciones iniciales dadas es de $ 901.006,92. La tabla de amortización que aparece a continuación, tiene en cuenta en la columna de intereses que en los tres primeros meses la tasa es del 2% mensual y en los siguientes 3% mensual.

CUOTAS

6

PRÉSTAMO

$ 5,000,000.oo 3%

MES

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA MENSUAL

3 siguientes

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1

$5,000,000.00 $100,000.00

$901,006.92 $801,006.92

$4,198,993.0 8

2

$4,198,993.08 $ 83,979.86

$901,006.92 $817,027.06

$3,381,966.02

3

$3,381,966.02 $ 67,639.32

$901,006.92 $833,367.60

$2,548,598.41

4

$2,548,598.41 $ 76,457.95

$901,006.92 $824,548.97

$1, 724,049.44

5

$1,724,049.44 $ 51,721.48

5901,006.92 $849,285.44

$

6

$ 874,764.00 $ 26,242.92

$901,006.92 $874,764.00

TOTAL

$406,041.54

$5,406,041.54

$5,000,000.00

874,764.00 $0.0

Ejemplo 4 Utilizando la información del ejemplo 1, calcular cuánto dinero debe al Banco de Bogotá doña Linda Reina después de cancelar la cuota # 7, y cuál es la composición (abonos a capital e intereses) de la cuota # 5. A través de la tabla de amortización de la página 82, se pueden encontrar las respuestas a estas preguntas. El saldo después de cancelar la cuota # 7 es de $ 4.600.869,35 y la composición la cuota # 5 es $211.563,88 de intereses y un abono a capital de $793.056,98, para un total de $1.004.620,85 que es el valor de la cuota. Alternativamente se puede resolver este problema de la siguiente manera: ¿Cuánto debe Linda Reina al Banco de Bogotá, después de cancelar la cuota # 7?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12 Meses

11

0

A = 1.004.620,85 Simplemente observando el gráfico se tiene que doña Linda debe 5 cuotas, por lo tanto el valor presente de ellas en el período 7 es el saldo del préstamo.

= $ 4.600.869,35 Para determinar el valor de la cuota # 5, se parte del concepto visto en las tablas de amortización en el que los intereses de una cuota son iguales a la tasa de interés multiplicada por el saldo inicial, el cual es igual al saldo final del período anterior. Se deduce que si se pregunta la composición de la cuota # 5, se debe determinar cuánto se debe después de cancelar la # 4 (saldo final del período # 4), que es simplemente el valor presente de las 8 cuotas que quedan pendientes.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

A = $ 1.004.620,85

Meses 12

=

$7.052.129,17

Este valor sería el saldo final del período 4 que a su vez es el saldo inicial del período 5, por lo tanto: Intereses de la cuota # 5 = Saldo inicial * i% Intereses de la cuota # 5 = $ 7.052.129,17 * 3% Intereses de la cuota # 5 = $211.563,88 Abono a capital cuota # 5 = Cuota fija - Intereses cuota # 5 Abono a capital cuota # 5 = $1.004.620,85 - $ 211.563,88 Abono a capital cuota # 5 = $ 793.056,98 Los valores anteriores coinciden con los obtenidos en la tabla de amortización. Ejemplo 5 Completar la siguiente tabla de amortización: BIMES TRE 1 2

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA MENSUAL

ABONOS SALDO FINAL CAPITAL $840,477.44

$14,708.36

3 4 5 6 La tabla de amortización puede ser completada con los conceptos expuestos en ejemplo 4.

Saldo final del período 1 = Saldo inicial período 2 Intereses período 2 = (Saldo inicial período 2) i% 14.708,36 = 840.477,44 * i% = 1,75% bimestral.

Con base en el saldo final del bimestre # 1, después de pagar la cuota correspondiente a ese período, queda un saldo de $ 840.477,44 y 5 cuotas pendientes. Por lo tanto, y de acuerdo con lo explicado en el ejemplo #4, P = $ 840.477,44

$ 840.477,44 = A $ 840,477.44 = A [4,74785507588] Despejando A A= A = $ 177.022,56 Con el valor de la cuota se puede hallar el valor del préstamo y de ahí en adelante se continúa armando la tabla, de acuerdo con lo aprendido previamente.

P = $ 177.022,56 P =

$1.000.000

n = 6, porque es el plazo del préstamo de acuerdo con lo estipulado en la tabla de amortización. i = 1,75% bimestral Completando la tabla se tiene: BIMES TRE 1

SALDO INICIAL

INTERESES

$1,000,000.00 $ 17,500.00

CUOTA MENSUAL $ 177,022.56

ABONOS CAPITAL $159,526.56

SALDO FINAL $840,477.44

2

$840,477.44

$ 14,708.36

$ 77,022.56 $162,314.20 $678,163.24

3

$678,163.24 $11,867.86

$ 77,022.56 $165,154.70 $513,008.54

4

$513,008.54 $8,977.65

$ 177,022.56 $ 168,044.91 $344,963.64

5

$344,963.64 $ 6,036.86

$ 177,022.56 $ 170,985.69 $173,977.94

6

$173,977.94

$177,022.56 $173,977.94

$3,044.61

$0.00

Ejemplo 6 Justo Sin Plata recibió un préstamo de su primo Armando Rico Plata de $ 10.000.000 que debe pagar en 3 años, cuotas semestrales iguales vencidas con una tasa de interés del 10% semestral, pero los intereses deben ser pagados anticipadamente, calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Sin Plata a su primo Armando y elaborar : tabla de amortización del préstamo. En este caso, se debe utilizar la equivalencia correspondiente a la fórmula 9 que es la específica para este caso.

Para la elaboración de la tabla de amortización se debe tener en cuenta lo siguiente: En la última cuota "A" que se pague en este caso la número 6 no habrá pago de intereses, todo corresponderá a abono a capital, puesto que los intereses han sido calculados anticipadamente. Simbólicamente los abonos a capital se expresarían de la siguiente forma: Abono a capital última cuota período n = A

Abono a capital cuota período que es simplemente la diferencia entre el saldo que es A y los intereses anticipados de ese saldo que serían Ai, de la misma forma se hace para los siguientes períodos. Abono a capital cuota período Y así sucesivamente hasta llegar al período #1 donde: Abono a capital cuota # 1 = A( 1 – i )n-1 Para el ejemplo que se está analizando, los abonos a capital se calcularían de la siguiente forma: El abono a capital de la cuota # 6 que es la última cuota es igual a A o sea $2.134.202,95 puesto que los intereses fueron pagados anticipadamente en la # 5 El abono a capital de la cuota #5 =

= 2.134.202,95(1- 0,10) = $1.920.782,65

El abono a capital de la cuota #4 =

= 2.134.202,95(1- 0,10)2 = $1.728.704,39


= 2.134.202,95(1- 0,10)3 = $1.555.833,95


= 2.134.202,95(1- 0,10)4 = $1.400.250,56


= 2.134.202,95(1- 0,10)5 = $1.260.225,50

Los intereses de cada período serían la diferencia entre la cuota y el abono a capital calculado anteriormente. Intereses = Cuota - Abono a Capital La tabla de amortización para el caso analizado sería la siguiente: Préstamo: $10.000.000 Interés:.... 10% semestral Plazo:...... 6 semestres PERIODO 0

SALDO INICIAL $ 10,000,000.00

INTERESES

$ 1,000,000.00

CUOTA

ABONO A CAPITAL

SALDO FINAL $ 10,000,000.00

1

$ 10,000,000.00

$

873,977.45 $2,134,202.95

$ 1,260,225.50

$

8,739,774.50

2

$ 8,739,774.50 $

733,952.39 $2,134,202.95

$ 1,400,250.56

$ 7,339,523.94

3

$ 7,339,523.94 $

578,369.00 $2,134,202.95

$ 1,555,833.95

$ 5,783,689.99

4

$ 5,783,689:99 $

405,498.56 $2,134,202.95

$ 1,728,704.39

$ 4,054,985.60

5

$ 4,054,985.60 $

213,420.29 $2,134,202.95

$ 1,920,782.65

$ 2,134,202.95

6

$ 2,134,202.95 $

0.00 $2,134,202.95

$2,134,202.95

$

0.00

Nótese que en el período cero se pagan intereses anticipados de $ 1.000.000 Nota: Es importante distinguir entre el uso de la fórmula #8 que corresponde a la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes anticipadas y un valor presente y la fórmula # 9 que es la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes vencidas con intereses anticipados y un valor presente. En la primera se paga el valor de una cuota anticipadamente de manera semejante a una cuota inicial, es decir que se disminuye Ia cantidad prestada inicialmente en una cantidad igual a la cuota (ver ejemplo 2), en la fórmula #9 solamente los intereses son anticipados(Ver ejemplo 7).

LECCIÓN QUINCE PERPETUIDADES Las perpetuidades se presentan cuando no existe un período final n, porque éste es muy grande.

Separando los elementos que constituyen el numerador se tiene:

Simplificando se tiene:

El último término del factor entre paréntesis es cero, cuando n es muy grande; por lo tanto:

A = Pi Ejemplo 7 Armando Rico Bueno desea que su esposa e hijos reciban una cantidad mensual uniforme cuando él se muera, para lo cual ha depositado $30 millones en un fondo a una tasa de 1,5% mensual. Determinar el valor de la mesada. A = Pi A = $30.000.000(1,5%) = $450.000

RESUMEN DE LA UNIDAD UNO

Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de esta unidad estará en capacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto del tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas de índole financiero y realizar los cálculos para las operaciones financieras, a partir del reconocimiento y profundización de las temáticas el estudiante debe deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto y encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés nominal dada o viceversa. El sistema de cuotas constantes y periódicas, conocido más generalmente como anualidades, es el más utilizado en el ámbito financiero en el tratamiento de pago de cuotas o en operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de encontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a una serie de cuotas fijas iguales vencidas o anticipadas. Una serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en cuanto al tiempo, pero aumentar o disminuir en una cantidad constante denominada gradiente. Esto lo que se conoce como cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo de los créditos en el sistema financiero. Con el estudio del capítulo, el aprendiente estará en condiciones de establecer la correspondencia entre una serie de pagos variables y un valor presente.

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS 1. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander de $30 millones para cambiar de vehículo; si el plazo es de 5 años y se debe pagar en cuotas bimestrales vencidas, determinar: a.

El valor de las cuotas si la tasa de interés es del 25% anual, trimestre vencido.

b. ¿Cuál es el saldo de la deuda después de cancelar la cuota # 9? c. ¿Cuál es la composición (capital e intereses) de la cuota # 13? 2. Natalia París recibió un préstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirir un nuevo apartamento; si el interés es del 30% anual semestre vencido y el crédito se debe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7 años, determinar el valor de cada cuota. 3. Beatriz Pinzón recibió un préstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valencia para pagar en 3 años, en cuotas iguales semestrales, determinar el valor de la cuota si las tasas de interés para cada uno de los años son los siguientes: a. Primer año: 8% semestral b. Segundo año: 10% semestral c. Tercer año: 22% anual trimestre vencido. 4. Sandra Muñoz recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000 que debe pagar en 2 años en cuotas trimestrales iguales vencidas, si la tasa de interés es del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y elaborar la tabla de amortización, sabiendo que los intereses se pagan anticipadamente. 5. Natalia París recibió un préstamo de $12.000.000 de su amiga Sofía Vergara para pagar en 5 años en cuotas semestrales variables; si el valor de la cuota se incrementa en $40.000 por período y la tasa de interés es del 20% anual trimestre vencido, hallar el valor de cada una de las cuotas que debe pagar Natalia a Sofía. 6. Juan Valdés recibió un préstamo de Bancafé por $30 millones que debe pagar en doce cuotas trimestrales variables; si la tasa de interés es del 5% trimestral y los incrementos de las cuotas son del 3%, calcular el valor de la primera cuota. 7. Armando Casas Rojas recibió un préstamo del Citibank por $35 millones que debe pagar en 18 cuotas bimestrales variables; si la tasa de interés es del 2% bimestral y la tasa crece el 2% trimestral, calcular el valor de la primera cuota.

UNIDAD DIDACTICA DOS

EVALIUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Justificación La toma de decisiones sobre nuevos productos, mercados, inversiones en activos por adquisición o mejora; compra de empresas y otras estrategias que las organizaciones deben afrontar cada día, permite la aplicación de las herramientas de las matemáticas financieras. Las temáticas de esta unidad, no solo permiten aplicar las herramientas apropiadas mediante el estudio de la unidad anterior sino que además proporciona otras técnicas necesarias para la toma de decisiones en la elección de la mejor alternativa de inversión, mediante la comparación de resultados que se esperan obtener.

Objetivo General Reconocer los criterios, identificar los diferentes métodos y aplicar las herramientas financieras para la evaluación de diferentes alternativas de inversión para establecer las condiciones inequívocas que apoyen la toma de decisiones en la elección de la mejor alternativa en razón de la rentabilidad financiera o de los beneficios para una comunidad específica.

Objetivos específicos  Establecer las diferencias entre las evaluaciones financiera, económica o social  Analizar la importancia de la tasa de descuento en la evaluación financiera  Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen varias alternativas de inversión  Medir el riesgo de una inversión a través de la teoría de probabilidad  Optimizar la utilización de los recursos financieros de las organizaciones

CAPITULO CUATRO CLASES DE EVALUACIONES Y CRITERIOS DE DECISION La evaluación de proyectos permite establecer sus bondades y determinar si es o no conveniente su ejecución. Mediante la evaluación es como se comparan los resultados que se desean obtener con los objetivos fijados previamente y a través de criterios de evaluación definidos. Esencialmente se tienen en cuenta tres tipos básicos de evaluación de proyectos: evaluación económica, evaluación de impacto social y evaluación financiera. La evaluación económica tiene como finalidad medir el impacto de un proyecto sobre el bienestar de los nacionales y determinar la rentabilidad desde la óptica de la economía. Está basada en los flujos de beneficios y costos que afectan en forma positiva o negativa a los individuos de una localidad, región o del país en cuanto a su bienestar individual. En cuanto a la evaluación social y financiera, se debe considerar lo siguiente:

LECCIÓN DIECISÉIS

EVALUACIÓN DE PROYECTOS SOCIALES

La evaluación social complementa la evaluación económica adicionando juicios sobre el valor de redistribuciones del ingreso y sobre el valor de metas que son deseables por su impacto en la totalidad de la sociedad. Características Atendiendo los objetivos de desarrollo del país, la rentabilidad del proyecto se establece mediante la evaluación social. Para lo cual se tienen las siguientes características. a. Distribución geográfica de los beneficios b. Distribución social de los beneficios entre los diversos estados y grupos de la sociedad. c. Distribución de los beneficios entre consumo e inversión. d. Creación de empleo e. Contribución de otros aspectos, como el mejoramiento en las balanzas externas

En general se puede afirmar que la evaluación de un proyecto depende en alto grado del propietario del proyecto. Los proyectos estatales pretenden establecer prioritariamente el impacto positivo que el proyecto tendrá en la comunidad. La explotación de los proyectos sociales no es atractiva para el sector privado por sus altos costos y su poca relevancia en rentabilidad financiera. Igual otros proyectos podrán ser muy atractivos desde el punto de vista financiero, pero no pueden serlo desde el punto de vista social o de la economía nacional. De ahí que para los proyectos de gran envergadura es necesario realizar su evaluación conjugando ambos aspectos: el impacto social y la rentabilidad financiera. Relación beneficio/costo

R B/C-1

Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera como se verá más adelante, su uso es más generalizado en la evaluación de proyectos de interés social o proyectos públicos cuando los fondos para la financiación provienen de organismos internacionales. Para obtener la relación beneficio/costo se realiza el cociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y la sumatoria de los valores actualizados de los egresos. ∑ RB/C = ∑ De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la correspondiente división. Los valores resultantes de la relación B/C deben ser interpretados como sigue: RB/C > 1

El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el VP de los egresos

RB/C < 1

El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al VP de los egresos

RB/C =1

Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de los egresos

CONTRERAS B, Marco Elías . Formulación y evaluación de proyectos. UNAD Bogotá 2004

Costo Capitalizado Su fundamento teórico está en las perpetuidades. Se usa para evaluar proyectos de larga vida generalmente mayores a 15 años, como por ejemplo puentes, carreteras, parques, etc. En perpetuidades: A = P x i, donde, A = Cuota uniforme P = Valor presente

i

= Tasa de descuento

Despejando P, se obtiene lo que se llama costo capitalizado:

Ejemplo El alcalde de Pereira está considerando dos alternativas en su ciudad; la primera, es construir un puente nuevo que tendría un costo de $1.500.000.000 e inversiones adicionales cada 20 años de $60.000.000 y costos anuales de $30.000.000 La segunda opción, es reparar un puente construido hace 50 años, con un costo operativo de $1.300.000.000 e inversiones cada 5 años de $25.000.000 y costos anuales de mantenimiento de $60.000.000. Si la tasa de descuento es del 25% anual, ¿cuál sería la opción menos costosa para la ciudad?

Opción 1:

Construir puente nuevo

El diagrama es el siguiente: 0

20

40

∞ años 30 millones 1.500 millones

30 millones 60 millones

60 millones

P1 = Valor de la inversión inicial = $1.500.000.000 P2 = Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 20 años de $60 millones. Los $60 millones que deben invertirse cada 20 años son un valor futuro con respecto al año cero; por lo tanto se podrían obtener cuotas uniformes de la siguiente manera: A = Cuota uniforme F = Valor futuro

A = $ 174.955,32 Este valor se origina para los primeros 20 años; para el año 40 se repite la inversión y por lo tanto se obtendría la misma cuota uniforme de $ 174.995,32; igual situación se presentaría para el año 60; es decir, las inversiones de cada 20 años, al distribuirlas en cuotas uniformes se vuelven una perpetuidad.

Por lo tanto: P3 =Valor presente de los costos anuales de mantenimiento Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año, por lo tanto: 30.000.000 P3 =

= $120.000.000 0,25

Costo capitalizado opción # 1: P1 = $1.500.000.000 P2 =

$699.821,28

P3 = $120.000.000 Popción1 = Costo capitalizado opción 1 = P1 + P2 + P3 Popción1 = $1.620.699.821,28 Opción 2: reparar puente El diagrama sería el siguiente:

0

20 25 millones

1.300 millones

60 millones

40 25 millones

60 millones

∞ años

P1 = Valor de la inversión inicial = 1.300.000.000 P2= Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 5 años de $25.000.000 El procedimiento es idéntico al empleado en la opción # 1, sino que en este caso las inversiones son cada cinco años. A = Cuota uniforme F = Valor futuro

A = $ 3.046.168,49 Este valor se origina para los primeros 5 años, y como la operación se repite en el año 10, 15, 20, etc. Se obtendrá la misma cifra anualmente, es decir que los $3.046.168,49 se convierten en una perpetuidad, por lo tanto: P2=

P3=

3.046.168,49 = $12.184.674 0,25 Valor presente de los costos anuales de mantenimiento

Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año; por lo tanto: P3=

60.000.000 = $240.000.000 0,25

P opción 2

= Costo capitalizado opción2 = P1 +P2 + P3

P opción 2= 1.300.000.000 + 12.184.674 + 240.000.000 P opción 2= $1.552.184.674 Por lo tanto el Alcalde de Pereira debe seleccionar la opción # 2, por ser menos costosa (costo capitalizado menor).

LECCIÓN DIECISIETE CRITERIOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSÍÓN Las matemáticas financieras a través de su concepto de interés, que no es otra cosa que el valor del dinero en el tiempo, proporciona los conceptos para definir los criterios que servirán de base para tomar decisiones sobre nuevos productos, mercados, clientes, etc., los cuales se constituyen en proyectos o estrategias que toda empresa debe realizar para sobrevivir en una economía de mercado. Adicional a la tasa de descuento, debe tenerse en cuenta en la evaluación de proyectos de inversión el concepto de los "flujos de caja". Su estimación adecuada es fundamental y depende a su vez de investigación objetiva de mercados, estimación idónea de costos, fijación de precios, asignación de maquinaria, selección de recursos técnicos y humanos, entre otros. Otro aspecto importante es la estimación de la vida útil de la inversión, generalmente depende del proyecto, por ejemplo un proyecto para cultivar rosas tiene una duración de 10 años que es la duración de la mata y un cultivo de clavel de 2 a 3 años, que es el tiempo productivo de la planta. Los criterios de decisión en evaluación de proyectos tienen como fuente los flujos de caja y la tasa de descuento. A continuación se explicará cada uno de ellos. 1 Tasa de descuento 2 Costo Promedio Ponderado de Capital –WACC3 Valor presente neto 4 Relación del valor presente de los ingresos y los egresos 5 Tasa interna de retorno 6 Costo anual uniforme equivalente

La confiabilidad de cada uno de estos criterios depende de varios factores los cuales están íntimamente relacionados. Por ejemplo, la certeza de los flujos de caja depende de una acertada estimación de precios, costos, demanda, etc. La estimación correcta de la tasa de descuento puede ser fundamental a la hora de determinar la viabilidad o no de un proyecto de inversión.

Tasa de Descuento En el capítulo 1 cuando se hizo el paralelo entre 2 inversionistas para deducir a partir de esta situación los conceptos de interés y el de tasa de interés de oportunidad, se está planteando implícitamente el concepto de tasa de descuento. Basta recordar el ejemplo de doña Linda Plata de Rico, cuando se planteó que sólo cedería su dinero si la tasa que le ofrecen por su dinero era como mínimo del 3% mensual. La determinación de la tasa de descuento es uno de los elementos fundamentales en la evaluación de proyectos de inversión, pues de ella va a depender la viabilidad del proyecto. Los investigadores en finanzas han concluido que la tasa de descuento debe ser el resultado de seleccionar entre la tasa de interés de oportunidad y el costo ponderado de capital, escogiendo la mayor de las dos para ser más exigentes con el proyecto. Costo Promedio Ponderado de Capital –WACCEs el costo promedio de los recursos propios y externos después de impuestos que requiere un proyecto. En lo que hace referencia al costo de los recursos propios, existen modelos como el CAPM (Capital Assets Pricing Model) que permite acercarse al costo de los recursos propios. Costo promedio ponderado de capital = Ko = WACC

Ko = KdWd + KpWp Kd = Costo de la deuda después de impuestos Wd = % de deuda en relación con el total de recursos Kp = Costo de los recursos propios Wp = % de los recursos propios en relación con el total de recursos Por ejemplo, si el proyecto "YY" requiere $500 millones de inversión de los cuales $200 millones son recursos propios, que tienen una tasa de oportunidad para el inversionista del 23% efectivo anual y la diferencia son recursos externos, con un costo del 27% efectivo anual y una tasa de impuestos del 35%, el costo promedio ponderado de capital será: Wd =

= 60%

Wp = Kd = 27%(1-T) = 27%(1- 0,35) = 0,1755 Kd == 17,55% efectivo anual Kp = 23% Ko = 60%(17,55%) + 40%(23%) Ko = Costo de capital =0,1973 ó 19,73% efectivo anual. La tasa de descuento es el resultado de escoger la mayor de las dos tasas, la de oportunidad del inversionista o costo de recursos propios y el costo promedio ponderado de capital o WACC del proyecto. En el ejemplo anterior es mayor la tasa de oportunidad, por lo tanto la tasa de descuento es el 23% efectivo anual. La razón por la cual se escoge la mayor, es la de ser más "duro" con la evaluación del proyecto y evitar crear falsas expectativas.

LECCIÓN DIECIOCHO

VALOR PRESENTE NETO - VPN

Es el resultado de descontar (traer a valor presente) los flujos de caja proyectados de una inversión a la tasa de interés de oportunidad o costo de capital y sustraerle el valor de la inversión. Si el resultado obtenido genera un remanente positivo, el proyecto es viable en caso contrario no.

Gráficamente se expresaría así:

REMANENTE

COSTO DE CAPITAL O TASA DE OPORTUNIDAD

INVERSION

El diagrama anterior quiere decir que si el proyecto devuelve la inversión genera un interés y adicionalmente genera un remanente, es factible. Ejemplo Armando Rico Plata desea incursionar en un proyecto de transporte masivo para una importante ciudad colombiana, el cual requiere $5.000 millones de inversión. Beatriz Pinzón lo ha asesorado en la elaboración del proyecto y ha estimado los siguientes flujos de caja: Año

FLUJO DE CAJA

Año O

-$5.000.000.000

Año 1

$ 1.450.000.000

Año 2

$1.789.000.000

Año 3

$2.345.000.000

Año 4

$ 3.617.000.000

La tasa de descuento calculada para el inversionista es del 10%

Relación del valor presente de los ingresos y los egresos Relaciona el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos; si el resultado de esta relación es mayor que uno, el proyecto es viable en caso contrario, no. En otras palabras si el cociente valor presente ingresos / valor presente egresos es >1, la inversión es factible. A este criterio se conoce como Relación beneficio/costo Para el proyecto que se está analizando se tendría: Valor presente ingresos =

Valor presente egresos = $ 5.000.000.000 se toma el valor absoluto de la inversión, el cual es el único flujo de egreso o negativo que tiene el proyecto. Si existiera otro flujo negativo, se debe traer a valor presente tal como se hizo con los ingresos, utilizando la tasa del descuento que se utilizó para evaluar.

B/C =

V P ingresos — ——————— VP egresos

=

7.028.987.091 --———------------— = 1,41 5.000.000.000

Como la relación B/C > 1, el proyecto es factible.

LECCIÓN DIECINUEVE TASA INTERNA DE RETORNO - TIR Es la tasa de interés a la cual los flujos de caja descontados y sustraída la inversión, genera un valor presente neto igual a CERO; si esta TIR es mayor que la tasa de oportunidad del inversionista o alternativamente mayor que el costo de capital, el proyecto es viable. El procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno es como sigue:  Se toma una tasa cualquiera "i", eventualmente puede ser la del inversionista y traer a valor presente los flujos de caja estimados. Considérese una i = 20% anual. VPN = - 5.000.000.000 +

=552.064.043,21

 Efectuamos el mismo cálculo del numeral anterior con una nueva tasa; como el VPN obtenido con i = 20% es mayor que CERO, se debe estimar con una tasa mayor, por ejemplo i = 25% VPN = -5,000 +

= - 12.876.800

 Calcular la tasa para la cual el VPN es igual a cero, mediante el método de interpolación, para lo cual se recomienda graficar los resultados de la siguiente forma:

- 12.876.800

0

552.064.043,21

VPN i =25%

cero

i =20%

Luego calcular la diferencia entre las tasas de interés (25% - 20% = 5%) y entre los valores presentes netos (552.064.443,21 – (-12.876.800) = 564.940.843,2), tomando los valores negativos en absoluto. Posteriormente, se toma cualquiera de los dos puntos extremos, por ejemplo tomar el valor presente neto que corresponde a 25% o sea -12.876.800 y obtener la diferencia con el punto focal cero. Con estos datos, se plantea la siguiente regla de tres:

Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564.940.843,2¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $(-12.876.800)

i = 0,11346 % Como la TIR debe estar entre 20% y 25%, por cuanto fueron las tasas de descuento con las cuales se obtuvo el valor presente positivo y negativo respectivamente, y como se tomó el VPN de $(-12.876.800) que corresponde a i = 25% entonces: TIR = 25% - 0,11346 = 24,88% anual Si se hubiera tomado como referencia el otro extremo, o sea i = 2 0% tasa con la cual el VPN es $552.064.043,21 el raciocinio habría sido el siguiente: Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564,94 ¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $552,06?

i % = 4,88%

En tanto se tomó como referencia el 20% y la TIR no puede ser ni menor de 20% ni mayor de 25%, entonces: TIR = 20% + 4,88% = 24,88% anual Valor que coincide con el anterior cuando se hizo el cálculo con el otro extremo. En razón a que el resultado de la TIR es mayor que la tasa del inversionista (10%), el proyecto es viable. Como se observa en el ejemplo anterior, para poder calcular la TIR se requiere haber calculado el VPN con dos tasas diferentes; debe tenerse presente que uno de los resultados del VPN debe ser positivo y el otro negativo para que se pueda utilizar la herramienta de interpolación. En otras palabras, cuando se obtienen dos VPN positivos o dos VPN negativos es imposible calcular la TIR.

 Otra forma de calcular la

TIR

Primero, se debe trabajar con la fórmula del VPN. Luego se deben buscar 2 resultados del VPN que se aproximen lo más posibles al valor CERO, por encima y por debajo, es decir, se debe conseguir un valor del VPN negativo muy cercano a cero y otro VPN positivo muy cercano a cero también. Cómo se hace esto? Probando con distinta tasas de interés. Si se pregunta por qué los valores deben ser cercanos a cero, la respuesta es porque la TIR no es más que aquella tasa que iguala los flujos de efectivo actualizados a la inversión inicial del proyecto o inversión que se quiera realizar. Luego de obtenido lo anterior, se procede a aplicar la siguiente fórmula:

Dónde: i(+): Es la tasa de interés que hace al VPN positivo y cercano a cero i(-): Es la tasa de interés que hace al VPN negativo y cercano a cero VPN(+): Es el VPN Positivo VPN(-): es el VPN negativo

Podemos verificar esta fórmula con los datos del ejercicio anterior así: i(+) = 0,20 i(-) = 0,25 VPN(+) = 552,06 VPN(-) = -12,88



Cálculo del VPN y la TIR con Excel

Alternativamente se puede utilizar la hoja Excel para calcular el valor presente neto y la tasa interna de retorno. Tomando como base la información del proyecto de transporte del señor Armando Rico Plata, completar la hoja de la siguiente forma: A

B

1

0

-5.000.000.000

2

1

1.450.000.000

3

2

1.789.000.000

4

3

2.345.000.000

5

4

3.617.000.000

6

TIR

= TIR (B2:B6)

7

VPN

=VNA(D1;B3:B6)+B2

C Tasa de oportunidad

D 10%

8 Posteriormente, registrar en la celda ―=TIR(B2:B6)‖, incluyendo dentro del rango el valor de la inversión, al teclear ―enter‖ se obtiene la TIR de 24,88%. Para el cálculo del valor presente neto se debe completar la celda con ―=VNA(D1;B3:B6)+B2‖; donde D1 es la tasa de oportunidad del inversionista, es decir la tasa de descuento. Nótese que no se inscribió todo el rango en el paréntesis; en caso de señalarse completamente, el cálculo del valor presente correspondería al periodo -1 y no al período cero. El valor de la inversión debe ser adicionado al valor presente de los flujos, para obtener el valor presente neto del proyecto. Siguiendo este procedimiento el VPN es igual a $2.028.987.091,05

LECCIÓN VEINTE COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE – CAUE Este criterio es muy utilizado cuando se tienen proyectos que solo involucran costos; su base conceptual son las anualidades o cuotas fijas y permite comparar proyectos con diferentes vidas útiles. El criterio de decisión es escoger la alternativa o proyecto que genere menor CAUE.

Ejemplo Almacenes ―El Triunfo‖ está considerando la posibilidad de utilizar montacargas en sus bodegas con el fin de emplearlos en la ubicación de productos en sus estantes; actualmente esta labor se hace manualmente. El gerente general, señor Juan Pérez ha reunido la siguiente información para evaluar las opciones: Alternativa A: adquirir 2 montacargas. Alternativa B: trabajar con una cuadrilla de 8 trabajadores y usar carretillas manuales. Los costos de cada alternativa son: Alternativa A: el valor de los dos montacargas es de $20 millones y para su manejo se requiere de 2 conductores y 2 ayudantes; los primeros devengarán un salario de $500.000/mes cada uno y los otros $300.000/mes. A dichos salarios se les debe adicionar un 50 % por concepto de prestaciones sociales. Para el mantenimiento y los seguros de los dos equipos se requieren $2 millones por año. La vida útil de los montacargas es de 5 años. Alternativa B: el salario de los trabajadores de la cuadrilla es de $3 00.000/mes y un 50% anual por concepto de prestaciones sociales. La tasa de descuento es 20% anual. Con base en la información anterior, se calculan los costos de cada una de las alternativas: Alternativa A: Costos por año: 

Salarios por año conductores = (500.000 x 12 x 2) (1.50) = $ 18,000,000

 

Salarios por año ayudantes (300.000 x 12 x 2) (1 .50) $1 0,800,000 Mantenimiento por año = $ 2,000,000

Total costos por año: $ 18,000,000 + 10,800,000 ± 2,000,000 = 30,800,000

Costo montacargas Costo Anual Uniforme Equivalente =

CAUE

i(1 +i)n (1+i)n - 1

P

= 20,000,000 0.20(1+0.20)5

Montacargas

(1+0.20)5 -1

CAUE

= 20,000,000 [0.33437970329]

Montacargas

CAUE

= 6,687,594.07

Montacargas

Total CAUE = Total costo por año + CAUE Montacargas

Total CAUE = 30,800,000 + 6,687,594.07

Total CAUE = $37,487,594.07

Alternativa B: Costos por año = (30,000,000 x 12 x 8) (1.50) = 43,200,000 CAUE por año = $ 43 ,200,000

De acuerdo con los resultados previos es más económico adquirir los equipos de carga, por lo tanto se debe escoger la alternativa ―A‖.

ANALISIS DE RIESGOS EN LOS PROYECTOS DE INVERSION CAPITULO

CINCO

LECCIÓN VEINTIUNO SISTEMAS DE ANALISIS El análisis de los proyectos constituye la técnica matemático-financiera y analítica, a través de la cual se determinan los beneficios o pérdidas en los que se puede incurrir al pretender realizar una inversión u alguna otro movimiento, en donde uno de sus objetivos es obtener resultados que apoyen la toma de decisiones referente a actividades de inversión. Asimismo, al analizar los proyectos de inversión se determinan los costos de oportunidad en que se incurre al invertir al momento para obtener beneficios al instante, mientras se sacrifican las posibilidades de beneficios futuros, o si es posible privar el beneficio actual para trasladarlo al futuro, al tener como base específica a las inversiones. Una de las evaluaciones que deben de realizarse para apoyar la toma de decisiones en lo que respecta a la inversión de un proyecto, es la que se refiere a la evaluación financiera, que se apoya en el cálculo de los aspectos financieros del proyecto. El análisis financiero se emplea también para comparar dos o más proyectos y para determinar la viabilidad de la inversión de un solo proyecto. Sus fines son, entre otros: a. Establecer razones e índices financieros derivados del balance general. b. Identificar la repercusión financiar por el empleo de los recursos monetarios en el proyecto seleccionado. c. Calcular las utilidades, pérdidas o ambas, que se estiman obtener en el futuro, a valores actualizados. d. Determinar la tasa de rentabilidad financiera que ha de generar el proyecto, a partir del cálculo e igualación de los ingresos con los egresos, a valores actualizados. e. Establecer una serie de igualdades numéricas que den resultados positivos o negativos respecto a la inversión de que se trate. Toda decisión involucra un riesgo y los seres humanos por naturaleza sienten aversión a él. En los negocios las decisiones se ven sujetas a la incertidumbre y al riesgo, los cuales se toman como dos términos sinónimos pero no lo son: el primero es un total desconocimiento del comportamiento de una variable y en el segundo si se conoce, bien sea a través de información histórica, investigaciones de mercado, opiniones de expertos, etc. El análisis del riesgo se puede hacer mediante dos sistemas: distribución Beta 2 y distribución Beta.

LECCIÓN VEINTIDÓS RIESGO PROYECTOS DE INVERSIÓN

E

INCERTIDUMBRE

EN

Uno de los problemas que se presentan en la comprensión de los temas de administración y gerencia es que muchos términos tienen significados múltiples; ejemplo de esto se encuentran con mucha frecuencia en los temas contables y financieros (términos tales como, ingreso, flujo de caja, flujo de fondos, para citar solo tres). En particular, cuando se habla de riesgo e incertidumbre, esta confusión se incrementa porque existe un conocimiento previo -intuitivo tal vez- de lo que es la incertidumbre. ―Para muchos, la incertidumbre es el desconocimiento del futuro; en este contexto se considera que el riesgo y la incertidumbre se producen por la variabilidad de los hechos futuros y por su desconocimiento. Más aun, se nombra a la incertidumbre como la situación en la cual hay un grado (mayor o menor) de desconocimiento del futuro‖ En la literatura se presenta confusión al definir las diferentes situaciones, por ejemplo, Hillier (1963) habla de riesgo e incertidumbre como si fueran iguales, lo mismo sucede con Hespos y Strassman (1965), para sólo citar unos pocos; Morris (1964), por otro lado, hace la distinción entre riesgo e incertidumbre. Lo cierto es que existen grados de incertidumbre y en la medida en que ella disminuye con la información recolectada se puede manejar en forma analítica cada vez más. Los casos de riesgo, tal como lo distingue Morris, son muy particulares y los más comunes están relacionados con situaciones de azar (loterías, ruletas, rifas, etc.) o con decisiones a las cuales se les ha asignado una distribución de probabilidad. Para la incertidumbre, por el contrario, no se posee información suficiente como para asignarle una distribución de probabilidad. Una situación de incertidumbre se presenta cuando se pueden determinar los eventos posibles y no es posible asignarles probabilidades. Hay un nivel de mayor incertidumbre que algunos han denominado incertidumbre dura y se refiere a la situación en que ni siquiera es posible identificar los estados o eventos futuros. Otra manera de definir la incertidumbre es decir que pueden suceder más cosas de las que en realidad ocurrirán. Algunos autores consideran que la incertidumbre es la que ocasiona el riesgo, o sea, ―de acuerdo con el mayor o menor grado de conocimiento que se tenga de lo que ocurrirá en el futuro, habrá mayor o menor riesgo‖. Ahora bien, la situación de ignorancia total, es en realidad una situación irreal como que en la práctica no existe. Algo similar se podría decir de la certidumbre total. ―La rehabilitación de la probabilidad ―subjetiva o a priori‖ ha convertido los casos inciertos en casos aleatorios‖

Cuando además de prever los posibles resultados futuros asociados a una alternativa, se les puede asignar probabilidades -aunque sean subjetivas- a cada uno de ellos, entonces se dice que se encuentra frente a una situación bajo riesgo. El riesgo es aquella situación sobre la cual tenemos información, no sólo de los eventos posibles, sino de sus probabilidades. El riesgo en inversión significa que las rentabilidades no son predecibles, así, ―el riesgo de un activo se define en términos de la variabilidad de sus rendimientos futuros y puede expresarse completamente describiendo todos los resultados posibles y la probabilidad de cada uno. Para activos reales esto es engorroso y a menudo imposible. Para ello se emplea la varianza y la desviación típica para resumir la variabilidad de los posibles resultados. ―Estas medidas son índices naturales de riesgo si la rentabilidad de las acciones se distribuye normalmente‖.

LECCIÓN VEINTITRÉS MÉTODOS PARA EVALUAR EL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN El análisis de riesgo es una técnica que proporciona información vital relativa de decisiones de inversión. Provee una medida del riesgo asociado a un proyecto, una base sobre la cual determinar la conveniencia de llevar a cabo esos adicionales y hace, que estos estudios, sean mucho más efectivos al identificar y ordenar las fuentes de incertidumbre de acuerdo a su impacto sobre la decisión final. El objetivo de este análisis es posibilitar la aplicación de las técnicas más avanzadas de decisión a partir de la previa obtención de la distribución probabilística del VAN por ejemplo o de otro ratio o indicador dado. Por ejemplo se puede obtener: • E(VAN). • Concentración o dispersión del estimador σ : E(VAN ) . • Probabilidad del resultado adverso ( por ejemplo: VAN<0). •E (VAN ≤ 0) ≅ Capacidad de enfrentar pérdidas. • Costo de la incertidumbre (costo de rechazar la decisión o de profundizar en el análisis). El análisis de riesgo permite tomar decisiones aún existiendo aversión al riesgo en el decisor. Calcular la incertidumbre y el costo de la misma es una de las características más importantes que provee este tipo de análisis. El costo de la incertidumbre tienen que ver con las pérdidas que arriesga el empresario al invertir en un proyecto que tiene probabilidades de no ganar o de lo contrario las ganancias que arriesga el empresario por no invertir aún con probabilidades mínimas de ganar. En definitiva la mayor aversión al riesgo le dará a cada empresario su disposición a pagar por aminorar el costo de la incertidumbre. A continuación se hace referencia a los principales métodos utilizados para evaluar el riesgo en el análisis de los proyectos de inversiones. Análisis de riesgo secuencial: Esta herramienta de análisis de proyectos de inversión, cuando se valoran alternativas, es muy empleada y la calidad de la información es vital para una adecuada selección entre las variantes.

Método de la tasa de descuento ajustada al riesgo: ―Para aquellos activos que no tienen antecedentes de precio, o la inversión propuesta no está lo bastante cerca del negocio actual como para justificar el uso del costo de capital de la empresa o de la división se suele ajustar la tasa de descuento de la siguiente forma‖: Tda = Td + p /1 / Donde: Tda: tasa de descuento ajustada al riesgo p: prima por riesgo Esta prima por riesgo recoge factores adicionales que se añaden a la tasa de descuento para compensar cosas que podrían ir mal con la inversión propuesta. Si el flujo de caja del proyecto es arriesgado el procedimiento normal es descontar su valor esperado a la tasa de descuento ajustada al riesgo, la cual reconoce implícitamente que los flujos de caja más alejados tienen menos valor y más riesgo. La razón de ello es que la tasa de descuento compensa el riesgo soportado por períodos y cuanto más alejados del presente estén los flujos de caja mayor será el número de períodos y el ajuste total por riesgo. Esto hace que tenga sentido utilizar una tasa de descuento ajustada al riesgo mientras el proyecto tenga el mismo riesgo de mercado en cualquier punto de su vida útil. ―La principal dificultad de este método se halla en determinar la prima por riesgo (p). Se trata de algo subjetivo que dependerá de la apreciación personal del inversor y por tanto llevara siempre aparejado un elevado margen de arbitrariedad‖. Algunas empresas en el mundo suelen agrupar las alternativas de inversión en clases o grupos de riesgo, a los cuales se aplican tasas de descuento diferenciadas de acuerdo con el nivel de riesgo. Sin embargo tanto la clasificación de los proyectos como la determinación de la tasa de descuento apropiada, siguen presentando un elevado margen de arbitrariedad. Método del equivalente cierto: Un procedimiento alternativo a la tasa de descuento ajustada al riesgo es el método del equivalente cierto que hace ajustes separados para el riesgo y el tiempo. ―El método del equivalente cierto consiste en calcular el rendimiento cierto menor por el que el decisor está dispuesto a cambiar el flujo de caja arriesgado del proyecto. El principal inconveniente de este método se halla en la dificultad de especificar los coeficientes de ajuste para los flujos de caja futuros. Su determinación es tan arbitraria como la especificación de la prima por riesgo en el método anterior.

Tanto el método de la tasa de descuento ajustada al riesgo como el método del equivalente cierto entrañan un elevado margen de subjetividad y en principio parecen equivalentes. El empleo de una misma tasa descuento ajustada al riesgo presupone implícitamente que el riesgo acumulado aumenta a una tasa de constante a medida que se adentra en el futuro lo cual es cierto cuando el riesgo por períodos es constante. En los casos de que el riesgo no aumente uniformemente debería emplearse el enfoque del equivalente cierto que permite efectuar ajustes por riesgo de forma separada en cada período. Análisis de sensibilidad: Aún bajo condiciones de incertidumbre se pueden tomar decisiones más robustas cuando se abordan análisis multifactoriales. ―El análisis de sensibilidad es un método que aún conociendo las probabilidades de los escenarios/factores futuros permite direccionar adecuadamente un posterior diseño de experimento para medir el riesgo en la valoración de un proyecto‖. Entre las múltiples ―variables de test‖ se pueden considerar: • Niveles de venta o demanda • Niveles de precios • Comportamiento de pago de consumidores/clientes • Comportamiento de los inventarios • Nivel de los costos de mano de obra y materiales • Nivel de los costos de mano de obra y materiales • Precio de arrendamiento de los equipos y terrenos • Costo de las inversiones • Retardo de puesta en marcha de inversiones y/o mantenimiento • Tasa promedio del interés del capital invertido • Vida útil económica Veamos a continuación un resumen de la importancia del análisis de sensibilidad en decisiones bajo incertidumbre de inversiones: • Permite determinar las variables (factores/variables de test) que contienen mayor incertidumbre dentro del proyecto. (por ejemplo. Política fiscal, política arancelaria, precios, costos).

• Determinar la sensibilidad (elasticidad) del criterio de evaluación del proyecto respecto a cada variable de test. • Contribuye a identificar fortalezas y debilidades de un proyecto así como oportunidades y amenazas de un proyecto. • Ayuda a definir la importancia de las variables de test (ranking). • Determina el rango de variación de las variables de test de incidencia no uniforme. • Permite calcular los valores críticos de los criterios de decisión empleados. ―El análisis de sensibilidad no tiene por objetivo eliminar la incertidumbre inherente a toda decisión de realizar un proyecto de inversión sino más bien un instrumento que permite cuantificar las consecuencias económicas de una variación inesperada, pero posible, de parámetros importantes‖. Método de análisis por escenarios: Una versión más flexible del análisis de sensibilidad es examinar el proyecto ante diferentes escenarios bajo los cuales se pueda considerar la interrelación entre las variables que determinan la rentabilidad del mismo a los efectos de intentar reducir su riesgo. ―Los escenarios estarán compuestos por hipótesis relativas a las situaciones futuras posibles de cada una de las variables del proyecto, el mercado y la economía en general. Para reducir la incertidumbre se asignan probabilidades de ocurrencia a los distintos escenarios empleando los métodos de expertos. Normalmente las previsiones se dan sobre la base de escenarios particulares, en otras ocasiones, se trabaja con el escenario más probable, el pesimista y el optimista‖. Finalmente, es bueno señalar que el método de escenarios no esta exento de inconvenientes. Todos los escenarios se basan en hipótesis más o menos arbitrariamente establecidas que deben ser contrastadas con la realidad y con las posibilidades reales de ocurrencia. Análisis del punto de equilibrio: Cuando realizamos un análisis de sensibilidad o cuando evaluamos un proyecto ante escenarios alternativos estamos planteándonos hasta que punto sería grave que los estimados de ingresos y costos del proyecto resultasen peores de lo esperado. A menudo este problema se resuelve determinando hasta que nivel pueden caer las ventas antes de que el proyecto comience a producir pérdidas, o sea, genere un VAN negativo. A este tipo de análisis se le conoce como análisis del punto de equilibrio. Una aplicación de este método es planteada por Gabriel Baca Urbina, 1990.

Árboles de Decisión: La técnica de análisis de decisiones con árboles de decisión consiste en efectuar cálculos en cada nodo de azar para encontrar el valor esperado. Ese valor reemplaza al nodo de azar y se compara con cada uno de los demás que parten de un nodo de decisión y se selecciona el mayor. Este valor se asigna el nodo de decisión correspondiente y se llama valor de posición del nodo de decisión. La ventaja de los árboles de decisión es que permiten hacer explícito el análisis de los posibles acontecimientos futuros y de las decisiones. Una de las desventajas de los árboles de decisión es su dificultad cuando se presentan muchas alternativas, lo cual es probable que ocurra si se desea que el modelo se aproxime a la realidad. En este caso el número de cálculos puede crecer en forma desproporcionada. El número de puntos finales crece rápidamente en cuanto el número de nodos crece. ―Esto induce al analista a reducir intencionalmente el número de puntos terminales y los estimativos de la probabilidades son muy escasos y pobres‖. Por lo tanto el uso de este enfoque puede dar unos resultados inadecuados. Hespos y Strassann han propuesto simplificar los árboles asignando distribuciones de probabilidad a los nodos de azar y efectuando un proceso iterativo de simulación. También proponen hacer eliminaciones en el desarrollo del proceso con base en el valor esperado y la varianza de las diferentes distribuciones resultantes. ―O sea, que se eliminarían aquellas distribuciones con mayores (o menores) valores esperados y varianzas simultáneamente (si una distribución tiene menor valor esperado y mayor varianza que otra, se descarta la primera, bajo el supuesto de que se trata de utilidades; si fueran costos se consideraría el mayor valor esperado y mayor varianza) ―. Además sugieren que se descarten en el proceso, valores que no cumplan con ciertos límites preestablecidos. De esta forma el análisis se simplificaría al reducir los eventos. Método de Simulación: La Simulación es una técnica numérica que se utiliza para realizar experimentos a partir de la construcción de un modelo lógico – matemático que describe el comportamiento de los componentes del sistema y su interacción en el tiempo. ―A partir del modelo de simulación se imita el desarrollo del sistema en el tiempo, considerando todos los factores estocásticos que le acompañan y realizando una analogía entre el modelo y el sistema real en las condiciones naturales‖ Los objetivos de la simulación, en términos generales, serán: • Describir un sistema existente • Explotar un sistema hipotético • Diseñar un sistema mejorado. Las ventajas de la simulación están dadas por:

• Permite el estudio y análisis del comportamiento de sistemas en los cuales sería muy costoso o imposible experimentar directamente en ellos. • Permite estudiar los aspectos que sobre un sistema determinado tendrían ciertos cambios o innovaciones sin necesidad de arriesgarse a estudiarlos en el sistema real. • Permite el análisis de determinadas alternativas para seleccionar sistemas de nueva implantación. • Permite resolver problemas analíticos complicados de una forma más sencilla. Como desventajas pueden citarse: • Los resultados que se obtienen de la aplicación de la simulación son, generalmente, estimaciones estadísticas, las cuales están sujetas a la variabilidad y confiabilidad de toda estimación. • La utilización de la simulación está directamente vinculada al uso de la computadora, y para lograr mayor precisión de los resultados, se necesitará mayor tiempo de procesamiento en la computadora; es por esto que la técnica de simulación es bastante costosa en su aplicación.

LECCIÓN VENTICUATRO

DISTRIBUCION BETA DOS

Es una aproximación a la distribución normal, pero achatada a los extremos de la siguiente forma:

f(x) 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

-3

-2

-1

0 VPN Promedio

1

2

X VPN 3

Gráfico 4. Distribución Beta 2

Se deben considerar tres escenarios para cada uno de los flujos de caja del proyecto: El optimista, el más probable y el pesimista. Con base en esta información se calcula el promedio y la varianza de cada flujo de caja utilizando las siguientes ecuaciones: Flujo de caja optimista i

+

4 Flujo de caja más probable i

Promedio flujo de caja período i = 6

+

Flujo de caja pesimista i

Flujo de caja optimista i – Flujo de caja pesimista i

2

Varianza flujo de caja período i = 6

Una vez obtenidos los flujos de caja promedio y su varianza, se traen a valor presente a la tasa de descuento. VPN promedio

= Promedio

Flujo Caja 0+ Promedio Flujo Caja 1/(1+i) + Promedio Flujo

Caja 2/(1+i)2 +……….

+ Promedio Flujo Caja n/(1+i)n

VPN varianza = Varianza Flujo Caja O + Varianza Flujo Caja 1/((1+i))2 + Varianza Flujo

Caja 2/((1+i)2)2 +…..+ Varianza Flujo Caja n / ((1+i)n)2 Ejemplo Con base en la información anterior de los proyectos ―A‖ y ―B‖ del señor Armando Rico, y considerando tres escenarios para cada flujo de caja, determinar el riesgo de cada inversión, asumiendo que el escenario más probable fue el empleado en el capítulo anterior de evaluación de alternativas mutuamente excluyentes. Proyecto A: ESCENARIO ESCENARIO MÁS ESCENARIO PESIMISTA OPTIMISTA PROBABLE

Flujo caja año 0

-4,000

-5,000

-6,500

Flujo caja año 1

2,200

1,450

1,234

Flujo caja año 2

2,400

1,789

1,456

Flujo caja año 3

2,657

2,345

2,178

Flujo caja año 4

4,300

3,617

2,969

Proyecto B: ESCENARIO OPTIMISTA

ESCENARIO MÁS PROBABLE

ESCENARIO PESIMISTA

Flujo caja año 0 Flujo caja año 1 Flujo caja año 2 Flujo caja año 3

-6,500 2,845 2,845 2,845

-7,000 2,345 2,345 2,345

-9,000 2,156 2,156 2,156

Flujo caja año 4

5,259

4,682

4,300

Con base en la información anterior, se deben realizar los siguientes cálculos para el proyecto A: Promedio flujo de caja O = (-4,000 + 4(-5,000)-6,500)/6 = -5,083.33 Promedio flujo de caja 1 = (2,200 + 4(1,450)+1,234)/6 = 1,539 Promedio flujo de caja 2 = (2,400 + 4(1,789)+1,456)/6 = 1,835.33 Promedio flujo de caja 3 = (2,657 + 4(2,345)+2,178)/6 = 2,369.17 Promedio flujo de caja 4 = (4,300 + 4(3,617)+2,969)/6 = 3,622.83 Varianza flujo de caja período O 2 -4000 + 6500

173.611,11

=

= 6

Varianza flujo de caja período 1 =

2.200 – 1.234

2

= 25.921

6

Varianza flujo de caja período 2

=

2.400 – 1.456

2

= 24.753,77

6


2

2.657 – 2.178 6

= 6.373,36


2

4.300 – 2.969

6 = 49.210,03 Resumiendo se tiene:

Flujo caja año 0 Flujo caja año 1 Flujo caja año 2 Flujo caja año 3 Flujo caja año 4

PROMEDIO

VARIANZA

-5,083.33 1,539.00 1,835.33 2,369.17 3,622.83

173,611.11 25,921.00 24,753.78 6,373.36 49,210.03

VPN promedio A = - 5,08 3.33 + 1,539 / ( 1+ 0.10 ) + 1 ,835.33 / ( 1 + 0.10 )2 + 2,369.17 / (1+0.10)3 + 3,622.83 / (1+0.10)4 VPNpromedio A =2,087 VPNVarianza A = 173,611.11 + 25,921 / ((1+ 0.10))2 + 24,753.78 / ((1+0.10)2)2 + 6,373.36 / ((1+ 0.10)3)2 + 49,210.03 / ((1+ 0.10)4)2 VPN varianza A

= 238,495.03

VPN desviación estándar A

= 488,36

(Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)

Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero’? Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene: Z=

0 – 2,087 488.36

Z=

- 2,087

= - 4.2734

488.36 El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en Excel utilizando las funciones estadísticas ―f(x)‖ se selecciona distribución normal estandarizada y se coloca el valor -4,2734 donde dice Z. Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia que es cero, que para el ejemplo es de 0,96257x105 . Como el área total de la curva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería: 1- 0,96257 x 105= 0 .999 O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9% A continuación se efectúan los mismos cálculos con la información del proyecto B, obteniendo los siguientes resultados:

Promedio flujo de caja O = (-6,500 + 4(-7,000)-9,000)/6 = -7,250 Promedio flujo de caja 1 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83 Promedio flujo de caja 2 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 2,396.83 Promedio flujo de caja 3 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83 Promedio flujo de caja 4 = (5,259 + 4(4,682)+4,300)/6 = 4,7 14.50 2 -6.500 + 9.000 6

=

173.611.11

Varianza flujo de caja período O = 2


2.845 – 2.156 6


2.845 – 2.156 6


5.259 – 4.300

13.186.69

2

2.845 – 2.156 6


=

=

13.186.69

2

=

13.186.69

2

=

25.546.69

6

PROMEDIO Flujo caja año 0 Flujo caja año 1 Flujo caja año 2 Flujo caja año 3 . Flujo caja año 4

-7,250.00 2,396.83 2,396.83 2,396.83 4,714.50

VARIANZA 173,611.11 13,186.69 13,186.69 13,186.69 25,546.69

VPN promedio B = -7,250 +2,396.83 / (1+0.10) + 2,396.93 / (1+0.10)2 + 2,396.83 / (1+0.10)3 + 4,714.50 / (1+0.10)4 VPN promedio B = 1,930.64

VPNVarianza B = 173,611.11 + 13,186.69 / ((1+ 0.10))2 + 13,186.69 / ((1+0.10)2)2 + 13,1 86.69 / ((1+ 0.10)3)2 + 25,546.69 / ((1+ 0.10)4)2 VPN varianza B VPN desviación estándar B

=212,877.16 = 461.39

(Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)

Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero? Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene: Z=

0 – 1.930.64 461.39

Z=

- 1.930.64

= -4.1844

461.39 El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en Excel utilizando las funciones estadísticas ―f(x)‖ se selecciona distribución normal estandarizada y se coloca el valor -4,1844 donde dice Z. Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia que es cero, que para el ejemplo es de 1.4305x105 . Como el área total de la curva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería: 1- l.4305 x 105= 0 .999 O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%

Los resultados permiten concluir que los dos proyectos analizados tienen un riesgo mínimo. Con base en la información obtenida se pueden resolver inquietudes en relación con el riesgo de obtener determinados valores del VPN y no solamente de cero como se explicó anteriormente. Se puede calcular por ejemplo la probabilidad de que el valor presente neto sea mayor a $2,500 millones en cada uno de los proyectos. Para el proyecto ―A‖ se efectuaría el siguiente raciocinio: P(VPNA> 2,5 00) =? En primer lugar se debe encontrar el valor de ―Z‖, que consiste en tipificar o estandarizar, es decir, convertir la información en unidades de desviación estándar aplicando la siguiente ecuación: z = VPN - VPN promedio DESVEST VPN

donde, VPN = 2,500, VPNpromedio. =2,087 y DESV ESTVPN = 488.36 2.500 - 2.087

Z=

=

0.85

488.36 que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8012 y una probabilidad. (Probabilidad VPN>2,500) = 1—0.8012=0.1988 o sea que existe un 19.88% de probabilidad de que el VPN del proyecto ―A‖ sea mayor a $2,500 millones. Para el proyecto ―B‖ se tendrían los siguientes resultados: VPN – VPN promedio z= DES VEST VPN

donde, VPN = 2,500, VPN promedio = 1,930.64 y DESVEST VPN = 461.39 2.500 - 1.930.64 Z=

1.23 461.39 Que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8915. Lo que implicaría que la probabilidad mayor a $2,500 millones se expresaría de la siguiente forma: (Probabilidad VPN>2,500) = 1 — 0.8915 = 0.1085 o sea que existe un 10.85% de probabilidad de que el VPN del proyecto ―B‖ sea mayor a $2,500 millones. De lo anterior se concluye que la probabilidad de que los proyectos ―A‖ y ―B‖ den un resultado negativo es muy pequeña, es decir son poco riesgosos. No obstante, si el inversionista señor Armando Rico tiene como meta ganar $2,500 millones en valor presente neto, las probabilidades de obtener esta cifra son muy bajas, 19.88% para el proyecto ―A‖ y el 10.85% para el proyecto ―B‖.

LECCIÓN VEINTICINCO

DISTRIBUCIÓN BETA

Alternativamente la distribución Beta proporciona otro instrumento adicional para medir el riesgo; ésta ofrece varias alternativas de conformación de la población. En el caso de la distribución Beta 2 se habla de una distribución normal achatada hacia los extremos; en este caso la media de la población puede estar posicionada a la derecha o a la izquierda, centrada, plana o puntiaguda, y dependiendo de su conformación se asignan los valores de a y b como puede verse en el gráfico siguiente. La combinación de estos dos parámetros da la dirección hacia la derecha o a la izquierda de la curva. Cuando son iguales se presenta simetría y la magnitud de su valor indica si los datos están concentrados; si a y b = 5 la distribución es puntiaguda, o si a y b =1 la distribución es más plana porque existe más dispersión. ( Ver gráfico).

Gráfico 5. Distribución Beta En esta distribución, ―A‖ es el límite superior del rango o sea el valor presente neto de los flujos de caja optimista, ―B‖ es el límite inferior del rango o sea el valor presente neto de los flujos de caja pesimista y ―X‖ es el punto entre el límite

superior (optimista) y el límite inferior (pesimista) en que desea estar el inversionista. La información requerida para medir el riesgo de los dos proyectos es el siguiente: Proyecto A: ESCENARIO OPTIMISTA -4,000 2,200 2,400 2,657 4,300

Flujo caja año 0 Flujo caja año 1 Flujo caja año 2 Flujo caja año 3 Flujo caja año 4

ESCENARIO PESIMISTA -6,500 1,234 1,456 2,178 2,969

VPN optimista = -4,000 + 2,200 / (1+010) + 2,400 / (1+0.10) 2 +2,657 / (1+0.10)3 + 4,300 / (1+0.1 0) 4

VPN optimista = 4,916.67

VPN pesimista = -6,500 + 1,234 / (1+0.10) + 1,456 / (1+0.10) 2 + 2,178 / (l+0lo) 3 + 2,969 / (1+0.1 0) 4

VPN pesimista = - 510.65 Proyecto B:

ESCENARIO OPTIMISTA ESCENARIO PESIMISTA Flujo caja año 0 Flujo caja año 1 Flujo caja año 2 Flujo caja año 3 Flujo caja año 4

-6,500 2,845 2,845 2,845 5,259

-9,000 2,156 2,156 2,156 4,300 2

VPN Optimista = -6,500+2,845 / (1+0,10) + 2,845 / (1+0,10) + 2,845 / ( 1+ 0,10) 4 + 5,259 / (1+0,10)

VPN

= 4,167.06

Optimista

3

VPN pesimista = - 9,000 + 2,156 / (1+0.10) + 2,156 / (1+0.10)2 + 2,156 / (1+ 0.10)3 + 4.300 / (1+0.10)

4

VPN pesimista = - 701.39 Para la medición del riesgo & y ß, son definidos por el analista de acuerdo con lo que considere, es la tendencia de la concentración o dispersión que exista en la información. Para los proyectos del señor Armando Rico se consideran varias alternativas. Los límites inferior y superior fueron hallados previamente, cuando se calcularon los valores presentes netos pesimista y optimista de los proyectos ―A‖ y ―B‖ que se pueden resumir en la siguiente forma:

PROYECTO "A" PROYECTO "B" VPNpesimista VPN optimista

.

parámetro A parámetro B

-510.65 4,916.67

-701.39 4,167.06

X, es el punto entre el límite inferior y el límite superior en que desea estar el inversionista, que en este caso sería cero (O), por cuanto se desea estimar la probabilidad de que el VPN de los dos proyectos sea mayor que cero.

Los resultados obtenidos para cada proyecto, asignando diferentes valores a los parámetros & y ß son los siguientes:

Proyecto A:

OPCIÓN X

&

ß

A

B

DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD BETA (VPN>0)

1

0

5

5

-510.65

4,916.67 0.067%

99.933%

2

0

3

3

-510.65

4,916.67 0.720%

99.280%

3

0

2

2

-510.65 4,916.67 2.489%

97,511%

4

0

1

1

-510.65 4,916.67 9.409%

90,591%

5

0 1.5

5

-510.65

4,916.67 20.726%

79,274%

6

0

1.5

-510.65

4,916.67 0.0002%

99,998%

7

0 1.5

3

-510.65

4,916.67 11.249%

88,571%

8

0

3

1.5

-510.65

4,916.67 0.176%

99,824%

9

0

1

2

-510.65 4,916.67 17,932%

82,068%

10

0

2

1

-510.65

99,115%

5

4,916.67 0.885%

Provecto B: OPCIÓN X &

ß

A

B

DISTRIBUCIÓN BETA

PROBABILIDAD

(VPN>0)

1

0

5

5

-701.39 4,167.06 0.470%

99.530%

2

0

3

3

-701.39 4,167.06 2.381%

97.619%

3

0

2

2

-701.39 4,167.06 5.629%

94.371%

4

0

1

1

85.593%

5

0 1.5

5

-701.39 4,167.0 14.407% 6 -701.39 4,167.06 34.725%

6

0

1.5

-701.39 4,167.06 0.016%

99,984%

7

0 1.5

3

-701.39 4,167.06 20.001%

79.999%

8

0

3

1.5

-701.39 4,167.06 0.618%

99,382%

9

0

1

2

-701.39 4,167.06 26.738%

73.262%

10

0

2

1

-701.39 4,167.06 2.076%

97.294%

5

65.275%

La distribución Beta puede hallarse en Excel con funciones estadísticas ―f(x)‖ distribución Beta; se deben completar los parámetros X, &, ß, A y B y el resultado es la probabilidad acumulada hasta el punto ―X‖; como el objetivo es que sea mayor que cero (0); para este caso entonces, la probabilidad (VPN>O) va a ser 1 menos la probabilidad acumulada hasta ―X,’. Los resultados obtenidos en los cuadros previos con todas las opciones a y b dadas, muestran que los dos proyectos son viables y presentan bajísimo riesgo. La distribución con & = 1.5 y ß = 5 fue la que presentó menor probabilidad para los dos proyectos; este resultado es obvio puesto que presentaría los datos más concentrados a la izquierda que corresponde al escenario pesimista.

CAPITULO SEIS ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES

LECCIÓN VEINTISÉIS EXCLUYENTES

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE

Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir que una excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada caso: si se trata de un proyecto de inversión social, se tendrá en cuenta el criterio de beneficio/ costo, costo capitalizado, etc.; en lo que se refiere a proyectos de inversión financiera debe examinarse con base en los criterios financieros vistos también con anterioridad. Comparación de alternativas Cuando se trate de escoger entre una alternativa u otra, es decir que una excluye a la otra, los criterios más usados son: el valor presente neto (VPN), tasa interna de retorno (TIR) y la relación beneficio-costo. Suponga que el señor Armando Rico opcionalmente al proyecto de transporte, tiene la posibilidad de invertir en un proyecto turístico en la población de Tocaima (Cundinamarca); la información de los proyectos es la siguiente:

Flujo de caja año 0

PROYECTO ―A‖ TRANSPORTE 5,000

PROYECTO ―B‖ TURISTICO 7,000


1,450

2,345

Flujo de caja año2

1,789

2,345


2,345

2,345


3,617

4,682

AÑO

Considerando una tasa de descuento de 10% resultados para cada uno de los proyectos: anual, se obtendrían los siguientes

Proyecto A: VPN= - 5,000+ 1,450 / (1 +0.10)+1,789 / (1 +0.10) 2+2,345 / (1 +0.10) 3+ 3,617/ (1 +0.l0) 4 = $2,028.99

Proyecto B: 2

3

4

VPN = - 7,000 + 2,345 / (1 +0.10) +2,345 / ( 1+ 0.10) + 2,345/( 1 +0.1 0) +4,682/ (1+0. l0) = $ 2,029.54

Los proyectos anteriores también se pueden evaluar a través de la tasa interna de retorno mediante tanteo (sistema de interpolación ya explicado) o alternativamente utilizando Excel como se describe a continuación: A

B PROYECTO A

C PROYECTO B

2

0

-5,000

-7,000

3

1

1,450

2,345

4

2

1,789

2,345

5

3

2,345

2,345

6

4

3,617

4,682

7

VPN

8

TIR

1

D E TASA DE 10% DESCUENTO

Valor presente neto = VNA (tasa de descuento, rango flujo de caja sin incluir el año 0) + flujo caja año cero. Tasa interna de retorno = TIR (rango de todos los flujos de caja). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: A

2

0

B PROYECTO A -5000.00

3

1

1,450.00

2,345.00

4

2

1,789.00

2,345.00

1

C PROYECT OB -7,000.00

D E TASA DE 10% DESCUENTO

5

3

2,345.00

2,345.00

6

4

3,617.00

4,682.00

7

VPN

2,028.99

2,029.54

8

TIR

24.88%

21.32%

Obsérvese que si se toma el criterio de valor presente neto es mejor el proyecto B que el A, por cuanto el resultado del primero es de $2,029.54, mientras el del segundo $2,028.99. Sin embargo, si tomamos el criterio de la tasa interna de retorno, es mejor el proyecto A, por cuanto la TIR es de 24.88% o mientras el proyecto B es de solo 21.32%. En forma similar a lo que se explicaba en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico en el capítulo de interés compuesto, donde se suponía que ella reinvertía sus beneficios en su negocio y que esa reinversión la realizaba a la misma tasa de interés que los anteriores, igualmente pasa con los proyectos del señor Armando Rico: la evaluación con el criterio de valor presente neto está suponiendo que se reinvierte a la tasa de descuento, que para el ejemplo es del 10% anual, mientras si el criterio utilizado es la tasa interna de retorno, se supone que reinvierte a esta tasa, que para el proyecto ―A‖ es de 24.82% anual y para el proyecto ―B‖ es de 21.32% anual. De acuerdo con los resultados anteriores se presenta una aparente contradicción entre los dos criterios de decisión; esto lleva a un nuevo concepto el de tasa verdadera, que se explica a continuación.

LECCIÓN VEINTISIETE

TASA VERDADERA

Descubierto el origen del problema entre los criterios de decisión: valor presente neto y tasa interna de retorno, es simplemente que la inversión del dinero generado por el proyecto no es la misma para los dos sistemas, se dispone del criterio tasa verdadera, la cual se calcula tomando como base los fondos generados por el proyecto a la misma tasa de descuento. Lo anterior significa que para el caso del señor Rico, el flujo de caja de $ 1,450 del proyecto ―A‖ que se genera al final del año 1, serán reinvertidos en los años 2, 3 y 4 al 10% anual; el flujo de caja del año 2 será reinvertido en los años 3 y 4 y así sucesivamente. En el ejemplo, la situación sería la siguiente:

Proyecto A: Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1 Valor flujo de caja # 1: $1,450 F1 = 1,450 (1+0.10)3= $1,929.95 Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2 Valor flujo de caja # 2: $ 1,789 F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69 Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3 Valor flujo de caja # 3: $2,345 F3 = 2,345 (1+0.10)= $2,579.50 Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período # 4 F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4

Valor flujo de caja # 4: $3,6 17 F4= 3,617(1±0.10)0 = $3,617 F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4 F = F1+ F2 + F3+ F4 F= 1,929.95 + 2,164.69 + 2,579.50 + 3,617 F= $10,291.14 La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:

0

4

10,291.14

5,000

Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR la primera equivalencia o sea:

F = P(1+i) n 10,291.14

= 5,000 (1+i)4

10291.14 --------------- = (1+i)4 5000 2.058228 = (1+i) 4 4

2.058228 = 4

(1+i) 4

1,1977 = 1 + i 1,1977 - 1 = i i = 19.77% Proyecto B:

verdadera del proyecto

utilizando

 Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea periodo 4 F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1 Valor flujo de caja # 1: $2,345 F1= 2,345(1+0.10)4 = $3,121.20 Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2 Valor flujo de caja # 2: $2,345 F2 = 2,345 (1+0.10)2 = $ 2,837.45 Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3 Valor flujo de caja # 3: $2,345 F3= 2,345 (1+0.10) = $2,579.50 Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4 F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4 Valor flujo de caja # 4: $4,682 F4= 4,682 (1+0.10)0 = $4,682 F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4 F = F1+ F2 + F3 +F4 F = 3,121.20 ± 2,837.45 ± 2,579.50 ± 4,682 F=$13,220.15

La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:

0

4

13,220.15

7,000

Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR primera equivalencia o sea:

verdadera del proyecto

utilizando la

F = P(1+i)n 13,220.15

= 7,000

(1+i)4

13,220.15 = (1+i)4 7,000 1,88859 = (1+i)4 4

1.88859

1,17229 1,17299

4

(1+i)4

= - 1 =

1 + i i

i = 17.229%

Nótese que con la tasa verdadera se obtiene una rentabilidad para el proyecto ―A’ de 19.77% y de 17.229% para el proyecto ―B‖ En el cuadro anexo se resume la información obtenida con los diferentes criterios:

CRITERIO

PROYECTO A

PROYECTO B

VPN

2,028.99

2,029.54

TIR

24.88%

21.32%

TlR verdadera

19.78%

17.23%

Del cuadro anterior se deduce con el criterio del valor presente neto, el mejor proyecto es el ―B‖, mientras que con los criterios de tasa interna de retorno y tasa verdadera el mejor proyecto es el ―A‖.

LECCIÓN VENTIOCHO

TASA PONDERADA

La reinversión de los fondos generados por el proyecto a la tasa de descuento, no eliminó en nuestro ejemplo, la discrepancia entre los dos criterios valor presente neto y la tasa de retorno verdadera. Si se observan cuidadosamente los dos proyectos, existe una diferencia en el valor de la inversión inicial: en el ―A‖ es de $5,000, mientras en el ―B‖ es de $7,000. Lo anterior quiere decir que para poder hacer comparables los criterios se requiere: 1. Que la reinversión se realice a la misma tasa de descuento. 2. Que las dos inversiones sean iguales. Para obviar el problema anterior surge el concepto de tasa de retorno ponderada, que toma como referencia el proyecto que tenga mayor inversión; esta nueva variable se define como dinero disponible. Para el ejemplo del señor Armando Rico, el proyecto ―A‖ requiere de una inversión de $5,000 millones mientras el ―B‖ de $7,000 millones; si los dos proyectos se están analizando como alternativas de inversión, se parte del supuesto que el señor Rico debe tener $7,000 millones disponibles. El cálculo de la TIR Ponderada para el proyecto ―A‖ implica cumplir con el supuesto de la reinversión de los fondos generados en el proyecto hasta el final de la vida del mismo, empleando la tasa de descuento. Es decir, se sigue con el mismo procedimiento empleado en el cálculo de la TIRverdadera: F1 = 1,450(1+0.10)3 = $1,929.95 F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69 F3 = 2,345 (1+0.10)1 = $2,579.50 F4 = 3,617(1+0.10)0 = $3,617.00

En el proyecto ―A‖ solo se invierten $5,000 millones, pero el dinero disponible del señor Rico es $7,000, por lo tanto los $2,000 millones restantes se deben invertir a la tasa de descuento de la siguiente forma:

0

4

F5 =?

2,000

F5= 2,000(1+0.10)4= $2,928.20 F = F1+ F2+ F3 + F4 + F5

F = 1,929.95 +2,164.69 +2,579.50 +3,617 +2,928.20 F= 13,219.34 Por lo tanto la TIRPonderada del proyecto ―A‖.

0

4

2,000

F = P(1+i)n 13,219.34 = 7,000 (1+ i)4 13,219.34 = (1+ i)4 7,000 1,88848 = (1+ i)4 1.88848= (1+ i)4 i = 17.227% TlRponderada e A = 17.227% anual

13,219.34

En razón a que el proyecto ―B‖ no tiene excedentes, el cálculo de su TIR pondera equivale a la TIRverdadera que de acuerdo con lo explicado previamente equivale a 17.229%

El siguiente cuadro resume la información obtenida con los diferentes criterios:

CRITERIO

PROYECTO

A

PROYECTO

VPN

2,028.99

2,029.54

TIR TIR verdadera

24.88% 1 9.78%

21.32% 17.23%

TIR ponderada

17.227%

17.229%

B

Obsérvese que con la TIR ponderada la decisión es idéntica a la del valor presente neto; la razón es que ambos criterios consideran dos supuestos básicos: reinversión a la tasa de descuento e igual valor de las inversiones.

Por lo tanto, cuando se evalúen proyectos mutuamente excluyentes se debe utilizar como criterio de decisión el valor presente neto o la TIR ponderada

LECCIÓN VEINTINUEVE SENSIBILIDAD DE LOS PROYECTOS A DIFERENTES TASAS DE DESCUENTO Dependiendo de la tasa de descuento que se utilice, un proyecto puede ser factible o no; de ahí la importancia de los conceptos costo de capital (WACC) y tasa de interés de oportunidad en la determinación de tasa de descuento. Continuando con el ejemplo del señor Armando Rico, el cuadro anexo detalla el cálculo del VPN para cada uno de los proyectos utilizando diferentes tasas de descuento:

TASA DE DESCUENTO PROYECTO "A" 5% 3,005.04 7% 2,591.33 9% 2,209.18 10% 2,028.99 12% 1,688.62

PROYECTO "B" 3,237.91 2,725.90 2,252.73 2,029.54 1,607.79

14%

1,372.87

1,216.35

16% 20%

1,079.50 552.06

852.44 197.61

25%

-12.88

-504.81

Obsérvese que para tasas de descuento inferiores o iguales a 10% anual es mejor el proyecto ―B‖ que el ―A‖, mientras que para tasas de descuento mayores al 12% es mejor ―A‖ que ―B‖. Esto quiere decir, que hay un punto de corte donde las dos alternativas son indiferentes o sea es la tasa de descuento a la cual es indiferente invertir en ―A‖ o en ―B‖. Gráficamente se expresaría así:

Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectos

El punto de indiferencia puede calcularse planteando dos ecuaciones cuyo objetivo es que los dos valores presentes sean iguales, donde la variable a encontrar sería la tasa de descuento i%. Matemáticamente esto se representaría así: 4

VPNA = -5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+i)2+ 2,345/(1+i)3+ 3,617/(1+i) VPNB = -7,000 + 2,345/(1+i)+ 2,345/(1+i)2+ 2,345/(1+i)3+ 4,682/(1+i)4

En el punto de corte las dos alternativas son iguales, es decir: VPNAA = VPNBB -5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+)2+ 2,345/(1+i)3+3,617/(1+)4 = -7,000 + 2,345/(1+i) + 2,345/(1+i)2 + 2,345/(1+i)3 + 4,682/(1+i)4

El cálculo anterior se puede hacer por tanteo o alternativamente empleando Excel, utilizando la siguiente metodología Considerar 6 decimales A

B

C

1

Tasa de descuento

10%

2 3

Proyecto A

Proyecto B

4

Flujo caja 0

-5,000.00

-7,000.00

5

Flujo caja 1

1,450.00

2,345.00

6

Flujo caja 2

1,789.00

2,345.00

7

Flujo caja 3

2,345.00

2,345.00

8

Flujo caja 4

3,617.00

4,682.00

9

VPN

2,028.99

2,029.54

10

Diferencia VPN

=C9-D9

VNA($C$1,C5:C8)+C4

D

VNA($C$1,D5:D8)+C4

Posteriormente se busca la opción ―herramientas‖ en el menú principal de Excel y se selecciona ―buscar objetivo‖, donde se requiere completar la siguiente información:

DEFINIR CELDA:

C10

CON EL VALOR:

0

PARA CAMBIAR LA CELDA:

C1

La celda C1O es la diferencia entre los dos valores presentes y debe contener cero (0) porque corresponde al punto de corte donde los VPN de los dos proyectos son iguales; el resultado debe actualizar la celda donde está la tasa de descuento, o sea C1. Es importante tener presente que el valor presente debe estar formulado para que se pueda emplear la herramienta ―buscar objetivo‖.

Los resultados se detallan en el cuadro anexo, una vez realizado el procedimiento descrito: Considerar 6 decimales 1

A

B

C

1

Tasa de descuento

10.013052%

2 3

Proyecto A

Proyecto B

4

Flujo caja 0

-5,000.00

-7,000.00

5

Flujo caja 1

1,450.00

2,345.00

6

Flujo caja 2

1,789.00

2,345.00

7

Flujo caja 3

2,345.00

2,345.00

8 9 10

Flujo caja 4 VPN Diferencia VPN

3,617.00 2,026.68 0

4,682.00 2,026.68

D

De acuerdo con la información anterior se deduce que la tasa de descuento que hace los dos proyectos iguales es 10,013052%; para esta tasa el VPN de las dos alternativas es de $2,026.68

LECCIÓN TREINTA PROYECTOS CON VIDAS DIFERENTES En la evaluación de inversiones se presenta el caso de analizar proyectos con vidas económicas diferentes, al comienzo de este capítulo se tomaron dos ejemplos relacionados con la floricultura: rosas y claveles, las primeras tenían una vida de 10 años, mientras los claveles de 2 años, estos casos requieren un tratamiento especial para que su comparación tenga los mismos parámetros. La propuesta de los investigadores en esta temática, ha sido igualar las vidas utilizando el mínimo común múltiplo del número de años, como medio que iguala las vidas y suponiendo que la inversión se repite periódicamente en ese lapso de tiempo. En el caso analizado, el mínimo común múltiplo es de 10 años; por lo tanto, la inversión de rosas se realiza una sola vez en ese período y la de claveles 5 veces, una cada 2 años. Ejemplo Juan Pérez debe decidir si realizar entre el proyecto ―X‖ o el proyecto ―Y‖ que tienen los siguientes flujos de caja proyectados:

PROYECTO ―X‖

PROYECTO ―Y‖


-100

-120

Flujo de caja año l

40

90


100

180


160

La tasa de descuento que utiliza el inversionista para evaluar sus proyectos es del 15% anual.

Solución El proyecto ―X‖ tiene una vida de 3 años y el proyecto ―Y‖ de 2 años , el mínimo común múltiplo de las vidas sería 6 años, por lo tanto hay que suponer que el proyecto ―X‖ se repite 2 veces en ese lapso de tiempo y el proyecto ―Y‖ 3 veces. Los flujos de caja de los proyectos quedarían de la siguiente forma:

FLUJOS DE CAJA

PROYECTO "X" PROYECTO "Y"

Flujo de caja año 0 Flujo de caja año 1 Flujo de caja año 2 Flujo de caja año 3 Flujo de caja año 4 Flujo de caja año 5 Flujo de caja año 6

-100 40 100 160-100 = 60 40 100 160

-120

90 180-120 = 60 90 180-120 = 60 90 180

Nótese que en el proyecto ―X‖ la inversión se repite al final del año 3, por eso el —100 y en el proyecto ―Y‖ la inversión se repite al final de los años 2 y 4, por eso el —120. El VPN de los 2 proyectos sería: VPNX = - 100 + 40/(1+0.15) + 100/(1+0.15)2 + 60/(l+0.15)3 + 40/(1+0.15)4 + 100/(1+0.15)5 + 160/(1+0.15)6 = $191,61 VPNy = -120 + 90/(1+0.15) + 60/(1+0.15)2 + 9O/(l+0.15)3 + 60/(1+0.l5)4 + 9O/(1+0.15)5 + 180 / (1+0.15)6 = $219,68

Por lo tanto, es mejor el proyecto ―Y‖ por tener mayor valor presente neto.

RESUMEN UNIDAD DOS

La evaluación de un proyecto es el procedimiento mediante el cual se comparan los resultados esperados, con los objetivos predeterminados y mediante la utilización de criterios específicos de evaluación. El estudio de la unidad y las interactividades propuestas desarrollarán en el aprendiente las competencias para definir si un proyecto se realiza o no. A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas y la aplicación de las herramientas financieras, el estudiante estará en condiciones de establecer las diferencias concretas entre las evaluaciones financiera, económica y social, definir los criterios de decisión a usar e identificar el método más conveniente a aplicar para la toma de decisiones cuando se tienen varias alternativas de inversión. En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever su ocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas, inclusive, a su desaparición. Mediante el estudio de esta unidad se apropiará la metodología para el análisis del riesgo en una inversión, a partir de la teoría de probabilidad y así poder determinar el riesgo de una inversión y utilizar los resultados matemáticos como criterio para la toma de decisiones

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

1. Justo Sin Plata desea evaluar la viabilidad de un proyecto agroindustrial para invertir el dinero que le dejo un tío suyo hace unos meses, su amigo Pastor Bueno experto financiero ha realizado los siguientes cálculos:

MILLONES DE PESOS

AÑO

VALOR

Flujo de Caja 0

-2,500

Flujo de Caja 1

0

Flujo de Caja 2

1,250

Flujo de Caja 3

1,250

Flujo de Caja 4

4,500

Flujo de Caja 5

4,500

Si la tasa de descuento para don Justo es 27% anual, determinar la viabilidad del proyecto. a) Utilizar como criterio de evaluación el valor presente neto b) Utilizar como criterio de decisión la TIR c) Utilizar como criterio de decisión la relación beneficio/costo. 2. Antanas Mockus con base en su política de bienestar de la comunidad, ha considerado la posibilidad de dotar a la capital de un nuevo parque al occidente de la ciudad, para lo cual ha planteado al concejo dos opciones: Opción 1: Construir un nuevo parque con una inversión de $12.000 millones, unos costos anuales de mantenimiento de $400 millones e inversiones cada 20 años de $1.000 millones. Opción 2: Reparar un parque ya existente con una inversión de $ 11.000 millones, unos costos anuales de mantenimiento de $550 millones e inversiones cada 15

años de $1.200 millones. Si la tasa de descuento es del 12% anual, determinar qué decisión debe tomar el alcalde. 3. Juan Pérez debe decidir si reparar su vehículo actual o comprar uno nuevo de la misma marca pero último modelo; la reparación le costaría $4.000.000 y le duraría 4 años más; el nuevo le costaría $12.000.000 y tendría una vida útil de 7 años, los costos anuales de mantenimiento serían de $1.000.000 para el actual y de $300.000 para el nuevo; si la tasa de descuento para don Juan es del 18% anual, ¿cuál será la mejor opción?

4. Determinar la viabilidad económica del siguiente proyecto:

AÑO

FLUJO DE CAJA (MILLONES)

0

-2,000

1

300

2 3

600 1,200

4

1,500

5

7,000

Si la tasa de descuento es del 20% anual, utilizar:  

VPN TIR

5. Sofía Vergara tiene los proyectos que se resumen en la tabla anexa. Si la tasa de descuento es del 15% anual, en qué proyecto debe invertir Sofía. Utilizar como criterios de decisión VPN y TIRponderada. Hallar la tasa de descuento para la cual las dos alternativas son indiferentes y hacer el gráfico correspondiente.

PROYECTO A

PROYECTO B

Flujo de caja 0 Flujo de caja 1 Flujo de caja 2 Flujo de caja 3 Flujo de caja 4 Flujo de caja 5

-18,000 4,000 4,000 4,000 8,000 8,000

-23,000 4,000 6,000 7,000 8,000 9,000

Flujo de caja 6

8,000

10,000

6. Evaluar los siguientes proyectos mutuamente excluyentes:

PROYECTO "R" PROYECTO"S" Flujo de caja año 0 Flujo de caja año 1 Flujo de caja año 2

-1345 0 800

Flujo de caja año 3 Flujo de caja año 4

1600 2400

-1500 1000 1250

Tasa de descuento = 12% anual 7.

Determinar el riesgo del siguiente proyecto:

AÑO

FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA PESIMISTA OPTIMISTA MÁS PROBABLE

0

-3,500

-2,000

-1,800

1 2 3 4 5

200 500 800 1,350 1,650

300 600 1,200 1,500 1,700

500 700 1,350 1,600 1,900

a) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa de descuento es del 20% anual.

b) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa de descuento es del 12% anual. 8. Sofía Vergara tiene los siguientes proyectos: Provecto A: AÑO

FLUJO DE CAJA OPTIMISTA FLUJO DE CAJA MÁS PROBABLE

FLUJO DE CAJA PESIMISTA

0 1

-20,000 3,000

-18,000 4,000

-17,000 4,500

2 3 4

3,000 3,000 7,000

4,000 4,000 8,000

4,500 4,500 8,500

5 6

7.000 7.000

8,000 8,000

8,500 8,500

Provecto B:

AÑO 0 1 2 3 4 5

6

FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA PESIMISTA OPTIMISTA MÁS PROBABLE -25.000 3.000

-23,000 4,000

-21,500 4,500

5.500 6.500 7,000

6,000 7,000 8,000

6,500 7,500

8.250 9,300

9,000 10.000

9,000 10,000 11,000

Calcular el riesgo para cada uno de los proyectos, utilizando distribución Beta 2 y Beta, si la tasa de descuento es del 15% anual.

GLOSARIO

Acreedor: El que tiene derecho a que se le satisfaga una deuda u obligación. Actualización: Operación de búsqueda del equivalente actual a un capital financiero futuro. Amortización: Acción de redimir o extinguir el capital de un censo, préstamo u otra deuda. Anualidad: Importe anual de una renta o carga periódica, como la de amortización o la de capitalización. Banco: Entidad financiera con un fin exclusivamente lucrativo. Beneficio financiero: Resultado obtenido entre ingresos por participaciones en otras empresas, valores mobiliarios, inversiones financieras y gastos financieros. Bolsa: Institución económica en la que se produce la contratación de toda clase de títulos valores. Caja de ahorros: Entidad financiera con fines lucrativos y sociales. Capital: Conjunto de recursos aportados por el o los dueños de una empresa individual a la misma. Capital final: Importe o cuantía final. Capital inicial: Importe o cuantía inicial. Capitalizar: Búsqueda del capital equivalente en el futuro a uno que tenemos hoy Capitalización: Operación mediante la cual se produce el aumento de un capital. Comisión: Cuantía pagada por la labor de intermediación. Compra: Adquisición de un bien, servicio u obligación a cambio de un pago. Comprador: El que compra.

Corretaje: Comisión pagada a los corredores o intermediarios por su intervención en una operación. Contraprestación: Prestación que debe una parte contratante por razón de la que ha recibido o debe recibir de la otra. Cotizar: Pagar una cuota. Depósito: Fondos ingresados en una institución de crédito por un cliente para la obtención de intereses. Descuento: Procedimiento financiero que consiste en la venta de particulares a entidades financieras de efectos comerciales. Deudor: El que está obligado a satisfacer una deuda. Devengo: Momento en que nace la obligación de pagar. Disponibilidad: Conjunto de fondos o bienes disponibles en un momento dado. Efectivo: Monedas y billetes de banco en manos de personas físicas o jurídicas. Efecto comercial: Valor utilizado en las operaciones de comercio por el que a favor del tenedor se incorpora un derecho a crédito y a cargo del deudor una obligación futura de pago. Entidad financiera: Corporación bancaria (bancos y cajas de ahorros). Fraccionamiento de pago: División de una cantidad única en varias. Franquicia: Concesión de derechos de explotación de un producto, actividad o nombre comercial, otorgada por una empresa a una o varias personas en una zona determinada. Fecha de disponibilidad: Momento en el que se dispone de algo. Inflación: Crecimiento generalizado y continuo de los precios de los bienes y servicios a lo largo del tiempo. Interés: Pago por el uso de capital ajeno. Cobro por la prestación de capital. Interés anual: Pago por el uso de capital ajeno en un año o cobro por la prestación de capital en un año.

Interés compuesto: Los intereses se van acumulando. Interés efectivo: Tipo de interés que se aplica en un periodo de tiempo. Interés nominal: Tipo de interés anual al que se realiza una entidad financiera. Interés simple: Los intereses no se van acumulando. Interés subanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo inferior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo inferior a un año. Interés superanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo superior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo superior a un año. Inversión: Desembolso de dinero utilizado para la compra de bienes de producción destinados a obtener un beneficio. Inversión financiera: Capacidad de poder satisfacer las obligaciones contraídas. Inversor: El que invierte. Letra de cambio: Elemento crediticio por el que un acreedor o librador ordena al deudor o librado que pague una determinada cantidad a una persona concreta. Librado: Persona contra la que se gira una letra de cambio. Librador: El que libra una letra de cambio. Liquidación de intereses: Acción de liquidar los intereses. Liquidez: Relación entre el conjunto de dinero en caja y de bienes fácilmente convertibles en dinero, y el total del activo, de un banco u otra entidad. Montante: Importe, cuantía. Operaciones combinadas: Operaciones que utilizan interés simple y compuesto. Pagaré: Papel de obligación por una cantidad que ha de pagarse a tiempo determinado. Periodo subanual: Espacio de tiempo inferior al año. Periodo superanual: Espacio de tiempo superior al año.

Prestamista: El que da dinero a préstamo. Prestatario: El que recibe el préstamo. Prestación: Renta, tributo o servicio pagadero al señor, al propietario o a alguna entidad corporativa. Prestamista: El que realiza el préstamo. Préstamo: Contrato mediante el cual un particular se obliga a devolver el dinero que le ha sido prestado. Prestatario: El que recibe el préstamo. Prima: Cantidad extra de dinero que se da a alguien a modo de recompensa, estímulo, agradecimiento, etc. Productividad: Relación entre lo producido y los medios empleados, tales como mano de obra, materiales, energía, etc. T.A.E.: Tasa anual efectiva. Tipo de interés o tasa: Remuneración recibida por los ahorradores a cambio de prestar sus fondos a quien los necesita. Tenedor: Persona que tiene o posee algo, especialmente la que posee legítimamente alguna letra de cambio u otro valor endosable. Tesorería: Parte del activo de un comerciante disponible en metálico o fácilmente realizable. Tomador: Persona a la orden de quien se gira una letra de cambio. Valor efectivo: Valor que tendrían en este momento los efectos o valores en cuestión si se procediera a su venta o negociación. Valor nominal: Importe que representa el valor del activo financiero y que aparece en él aunque no tiene por qué ser su valor real. Vencimiento: Cumplimiento del plazo de una deuda, de una obligación, etc. Vencimiento medio: Se caracteriza por una condición optativa complementaria, que consiste en la igualdad de los nominales.

Venta: Cesión de un bien, derecho u obligación a cambio de un cobro.

BIBLIOGRAFÍA AYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financleras.- - Mc Graw Hill, 1976. CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980. CARDONA, Alberto Matemáticas financieras. -- Editorial Interamericana SA., 1986. CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.- - Semiflash, 1998.

CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión. 3R Editores, 2001. EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- Prentice Hall, 1998. FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - American Economic Review. Junio, 1995. GARCÍA, Jaime Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita.Pearson, 2000. GUTIÉRREZ, Luis Fernando Finanzas prácticas para países en desarrollo.- Norma, 1995. HESS, P. y BICKSLER, J./ Capital Asset Prices versus Time Series Models as predictors of Inflation.- -Journal of Financial Economics. December, 1975.

HILLIER, Frederick! The derivation of probabilistic information for the evaluation of risk investments.- - Management Science. Vol. 11, N0 3, 1963. INFANTE VILLAREAL, Arturo Evaluación financiera de alternativas de inversión. NELSON, C. y SCHWERT G. William! Short-term Interest rates as predictors of Inflation: on testing the hipothesis that the real rate is constant. - -American Economic Review. Junio, 1977.

VÉLEZ P., Ignacio Decisiones de inversión enfocado a la valoración de empresas.CEJA, 2001.

CIBERGRAFIA www.banrep.gov.co

:

www.mincomercio.gov.co

Banco de la República

Ministerio de Comercio Industria y Turismo

http://www.eumed.net/cursecon/ecolat/cu/2008/cgcs.htm

MATEMATICAS_FINANCIERAS_2011-2[1]

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