MATEMATICAS_DISCRETAS_290150

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO-290150-MATEMÁTICAS DISCRETAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Luis Eduardo Castillo Méndez

290150 – MATEMÁTICAS DISCRETAS LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO (Director Nacional) LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO Acreditador

BOGOTÁ D.C. Abril 2013

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COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrector Académico Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

MÓDULO MATEMÁTICAS DISCRETAS PRIMERA EDICIÓN

© Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

ISBN 2007

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Dedicado a todas aquellas personas que son anclas en mi vida.

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2007 por Luis Eduardo Castillo Méndez docente de la Unad, director del curso Matemáticas Discretas. El documento tiene como antecedentes, la teoría de la información, la lógica, la combinatoria, la teoría e grafos. Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos y lecciones, que permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según el interés del estudiante. Además, el componente práctico para los cursos teóricos de Matemáticas a final de cada unidad.

Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes: • Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). • No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. • Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. • Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. • Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor • Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.


INTRODUCCIÓN El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia. El material está estructurado en tres unidades que son las temáticas macro del curso académico. . El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de las Matemáticas Discretas. La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos conocimientos. Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante posea como conocimientos previos: lógica, teoría de conjuntos y la combinatoria.


El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelos del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios; con respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso. Al final de cada unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de alcanzar las metas propuestas. Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así lograr una efectiva comprensión, interiorización y aplicación de las temáticas estudiadas.


Índice de Contenido Introducción.................................................................................................................. 7 Unidad 1 ARITMÉTICA MODULAR...................................................................... 9 Capítulo 1 DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.....................................................10 Comentario inicial........................................................................................................ 10 Lección 1. Conjuntos.................................................................................................... 11 Lección 2. Partes de un conjunto................................................................................... 13 ¿Qué es un subconjunto?...................................................................... …………………13 ¿Qué son las partes de un conjunto?..............................................................................15 Lección 3. Operaciones entre conjuntos....................................................................... 16 Lección 4. Relación de equivalencia..............................................................................17 ¿Qué es una relación entre conjuntos?.......................................................................... 17 ¿Qué es una relación de equivalencia?.......................................................................... 18 Lección 5. Relación de orden........................................................................................ 21 ¿Qué es una relación de orden?...................................................................................... 21 Representación gráfica de una relación de orden........................................................... 22 Lección 6 Función......................................................................................................... 24 ¿Qué es una función?......................................................................................................24 Tipos especiales de funciones.........................................................................................25 Capítulo 2 DE LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS.............................. 27 Comentario Inicial................................................................................................... 27 Lección 7. El principio de inducción............................................................................. 28 Característica inductiva de los números naturales..........................................................28 Demostración por inducción...........................................................................................29 Lección 8. Divisibilidad y el Algoritmo de Euclides..................................................... 31 Conceptos básicos............................................................................................................31 Algoritmo de Euclides..................................................................................................... 33 Lección 9. Números primos y el Teorema Fundamental de la Aritmética.................... 34 Números primos...............................................................................................................35 Factorización....................................................................................................................35 Lección 10. Congruencias.............................................................................................. 36 Definiciones básicas................................................................................... ……….……..37 Propiedades de las congruencias......................................................... …………….…….38


Autoevaluación de la Unidad 1............................................................................ ……..41 Unidad 2 TÉCNICAS DE CONTEO...................................................................... …42 Capítulo 3 PERMUTACIONES......................................................................... …….43 Comentario inicial....................................................................................... ………….........43 Lección 11. Definiciones básicas...................................................................................44 Enumeración.....................................................................................................................44 Lección 12. Principios básicos de conteo...........................................................................45 Lección 13. Variaciones...................................................................................................47 ¿Qué es un factorial?........................................................................... …………………..47 ¿Qué es una variación?............................................................................................... ….48 Lección 14. Permutaciones........................................................................................ …50 ¿Qué es una permutación?.......................................................................................... ….50 Permutación con repetición donde hay más de un elementos que se repite....................51 Capítulo 4 COMBINACIONES................................................................................53 Comentario inicial....................................................................................... …………….53 Lección 15. Combinatoria.......................................................................................... …53 Definición de combinatoria........................................................................................ …54 Lección 16. Propiedades de la combinatoria.............................................................. …55 Combinatoria con repetición y permutación circular................................... …………….56 Lección 17. Combinatoria con repetición.....................................................................57 Lección 18. Permutación circular............................................................................ ……58 Autoevaluación de la Unidad 2............................................................................ …… 59 Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA..................................................... 60 Capítulo 5 RECURSIÓN........................................................................................... 61 Comentario inicial....................................................................................... …………....... 61 Lección 19.Relación de recurrencia................................................................................... .62 Definición de relación de recurrencia........................................................................ 62 Lección 20. Relación de recurrencia lineal............................................................. …....63 Lección 21. Recurrencia lineal homogénea....................................................................64 Lección 22. Recurrencia lineal no homogénea................................................................65 Capítulo 6 FUNCIÓN GENERADORA............................................................ ……67 Comentario inicial........................................................................................................ .67 Lección 23. Función generadora y sucesión asociada......................................................68 Definición de función generadora................................................................................... 68


Lección 24. Series de Taylor y Maclaurin.....................................................................69 Lección 25. Resolviendo problemas de conteo a través de un polinomio....................... 71 Autoevaluación de la Unidad 3............................................................................ …….73 Unidad 4 INTRODUCCIÓN A GRAFOS.............................................................. ….74 Capítulo 7 GRAFOS............................................................................................ ……...75 Comentario inicial.......................................................................................................... 75 Lección 26. Definiciones básicas..................................................................................... 76 ¿Qué es un grafo simple?..................................................................................................76 ¿Qué es un multigrafo?.....................................................................................................76 ¿Qué es un digrafo?........................................................................................................ ....77 ¿Qué es un multidigrafo?..................................................................................................78 ¿Qué es un grafo?........................................................................................................... ..79 Lección 27. Grafos bipartidos y completos.......................................................................81 ¿Qué es un grafo bipartido?.............................................................................................. 81 ¿Qué es un grafo completo?............................................................................................ .82 Lección 28. Representación de grafos..............................................................................83 Matrices de adyacencias................................................................................................... 83 Matrices de incidencias.................................................................................................... 85 Lección 29. Caminos, ciclos y grafos conexos................................................................ 86 Definiciones básicas........................................................................................................ .86 Grafos conexos................................................................................................................. 87 Lección 30. Grafos eulerianos y hamiltonianos............................................................... 89 ¿Qué es un grafo euleriano?............................................................................................ .89 ¿Qué es un grafo halmitoniano?...................................................................................... .91 Capítulo 8 ÁRBOLES.................................................................................................93 Comentario inicial............................................................................................................ 93 Lección 31. Árboles.........................................................................................................94 Lección 32. Algunas definiciones.................................................................................... 95 Lección 33. Algoritmo en árboles.................................................................................... 96 Autoevaluación de la Unidad 4............................................................................ ……..98

RETROALIMENTACIÓN..........................................................................................99 Referencias............................................................................................................... ….105 Referencias Virtuales....................................................................................................105


Unidad 1

ARITMÉTICA MODULAR

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Capítulo 1

DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos relacionados con el estudio de la matemática discreta.

Objetivos específicos Reconocer relaciones entre conjuntos. Identificar una relación de equivalencia y clases de equivalencia. Identificar una relación de orden.

Comentario inicial En este capítulo se presentan conceptos básicos y notaciones de la Teoría de Conjuntos relacionados con los temas a exponer en este módulo.

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Lección No. 1: Conjuntos Aunque en matemática no existe una definición para conjunto, tenemos que un rebaño, un enjambre de abejas, un ejército, una familia y otros similares nos dan una idea intuitiva de lo que es un conjunto. Como es usual, pero no regla, los elementos de un conjunto se nombran por letras minúsculas y los conjuntos se nombran con letras mayúsculas. Así, tenemos que a  A representa que a es un elemento de A , como también tenemos que b  A representa que b no es un elemento de A . Se puede determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión. Por extensión se determina un conjunto dando una lista de todos los elementos que conforman el conjunto. Y por comprensión se determina un conjunto dando una propiedad o condición que deben cumplir los elementos que conforman el conjunto. Usualmente dicha condición tiene la siguiente estructura: xU : x es P  y se lee “es el conjunto de todos los elementos del conjunto U que satisfacen la propiedad o condición P”. El conjunto U usualmente es llamado conjunto referencial o universal. El conjunto representado por  es el conjunto vacío o sin elementos. También se puede representar por  . Salvo que se indique lo contrario, los conjuntos que se van a considerar en este módulo son finitos, es decir, conjuntos en los que podemos contar sus elementos o en otras palabras, asociarles un número natural que indica la cantidad de elementos que tienen dichos conjuntos.

Ejemplo

1:

Pensemos en el siguiente conjunto A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9  . Como puede apreciarse en el ejemplo, el conjunto A está determinado por extensión, ya que se tiene la lista de 11


los elementos que lo conforman. Sin embargo uno puede escribir el mismo conjunto por comprensión de la siguiente forma: A x  N: x es un dígito  , donde N es el conjunto de los números naturales. También podemos decir por ejemplo 1  A , 11  A , 3  A 100  A y 9  A , entre otras cosas. Ejemplo 2: Pensemos en los planetas del sistema solar y el siguiente conjunto: son los planetas en los que hay evidencia de vida. Si llamamos B a ese conjunto de planetas, entonces por extensión B   La Tierra  y por comprensión B   x S : x es un planeta con evidencia de vida 

,

donde S es el conjunto de los planetas del sistema solar. También podemos decir por ejemplo, que La Tierra es elemento de B , que Mercurio no es elemento de B y que Plutón no es elemento de B , entre otras cosas. Ejemplo 3: El conjunto de todos los libros de una biblioteca pública es un conjunto finito, porque aunque pueden ser muchos libros, hay un número natural que nos indica cuántos hay. Los conjuntos A y B de los ejemplos 1.2.1 y 1.2.2 son conjuntos finitos. El conjunto vacío es finito y su número de elementos es cero. El conjunto de los números naturales y el conjunto de los enteros son ejemplos de conjuntos no finitos.

EJERCICIOS Ejercicio 1: Escriba por extensión los siguientes conjuntos: a. El conjunto de todos los números enteros impares mayores que 0 y menores que 10. Sol: 1,3 ,5 ,7 ,9  b. El conjunto de las letras que son parte de la sigla de la Organización de las Naciones Unidas. 12




Sol:

o, n , u 



Ejercicio 2: Escriba por comprensión los conjuntos del ejercicio 1: Sol: a. x  : 0 < x < 10 , donde Z es el conjunto de los números enteros. b. x C: x es letra en minúscula de la palabra ONU , donde C es el conjunto de las letras del alfabeto español. Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de conjuntos y para cada uno de ellos haga un desarrollo similar al presentado en los ejemplos 1, 2 3 de la lección 1.

Lección No. 2: Partes de un conjunto ¿Qué es un subconjunto? Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B , si todos los elementos de A son elementos de B . La notación de la relación “...ser subconjunto de...” es A B . Un conjunto A no es un subconjunto de B , si existe al menos un elemento de A que no es elemento de B . La notación de la relación “...no es subconjunto de...” es A B . Para todo conjunto A , se tiene que  A y que A A llamados los subconjuntos impropios de A .

y son

Se dice que A y B son iguales, notado A  B , si y solo si A B y B  A . Se dice que A y B no son iguales, notado A  B , si y solo si A B o B A .

13


Pensemos en los conjuntos A a, 0, b , 1, c , 2,3  y B a, l , 0, u , b , 1, i , c , s , 2,3  , A B entonces porque todos los elementos de A están en B , pero B A ya que por lo menos s B y s A . Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Si N es el conjunto de los números naturales y Z es el conjunto de los números enteros, entonces N  . A 1,2 ,3 , a , e , i , o , u  y Ba , e , i , o ,u ,10 ,1 ,5 ,6 ,8  Ejemplo 3: Si entonces A B , ya que por lo menos 2  A y 2  A .

A 1,2 ,3 ,4 ,5 y B 5,3 ,4,1,2 entonces AB . Ejemplo 4: Si C  D . En Si C a , a , b , c , d , e  y Da , b , b , c , d , e entonces ambos casos se puede confirmar la igualdad, verificando la veracidad de la doble contenencia. A 1,2 ,3 ,4 ,5  y B5,3 ,4 ,1 ,2 ,6 ,6  entonces Ejemplo 5: Si A  B porque B  A y si C 1, b,3,d ,5  y Da, b, c ,3 ,5  entonces, también se cumple que C  D porque C  D

EJERCICIOS Ejercicio 1: Proponga dos subconjuntos para el conjunto B del A ejemplo 1 y dos subconjuntos para el conjunto del ejemplo 2. Proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de A del ejemplo B del 1 y proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de ejemplo 2 correspondientes a la lección 2. Ejercicio 2: Proponga un conjunto de tal forma que pueda sacar tres subconjuntos y que pueda sacar tres no subconjuntos. Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de igualdad entre conjuntos y dos ejemplos en donde no haya igualdad entre conjuntos. 14


¿Qué son las partes de un conjunto?

Dado un conjunto A , el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama partes del conjunto A . Partes de A se denota usualmente por P (A) . Cuando A tiene n elementos, el conjunto P(A) tiene 2 n elementos.

Ejemplo 1: Si

A 0,1 

, entonces P (A)  , 0 , 1, A  .

Ba , b , c  , entonces B Ejemplo 2: Si tiene subconjuntos y P (B)  , a , b , c , a , b , a ,c , b , c, B  .

2 8 3

Ejemplo 3: Tomando como referencia el conjunto A del ejemplo 1.2.1, tenemos lo siguiente: el conjunto A tiene 2 10 subconjuntos, 0,1,9,11  0,1,2,4,5,7  , P 0,1,2   P (A) ,  P (A) , 0,1,2  A , 5,6  P 0,2,6  , 1,1,2, 2,1  , 4,5,6,1 3,7,8,9  y muchas otras más relaciones que se pueden sacar!!!.

Ejercicios Ejercicio 1: Considere el conjunto C a, b, c, d  . subconjuntos de C hay? Por extensión, ¿quién es P(C)? Sol: El conjunto C tiene 2 416 subconjuntos.

¿Cuántos

Ejercicio 2: A partir de un conjunto que usted quiera definir, construya 5 ejemplos de ser elemento de partes del conjunto y 5 ejemplos de no ser elemento de partes del conjunto.

15


Lección No. 3: Operaciones entre conjuntos Si consideramos que A y B son subconjuntos de un conjunto U , entonces la siguiente tabla contiene un resumen de las operaciones básicas entre conjuntos: Operación

Nombre

Definició n  x U : x  A x B 

A B A B A-B

Unió n Intersección Diferencia

 x U : x  A x B 

A

Complemento

{x  Uy xA}

 x U : x  A x B 

c

Tabla 1.1.1. Resumen operaciones básicas entre conjuntos.

Dos conjuntos A y B son disyuntos si A B . Las Leyes de Morgan para A y B son (A B) c  Ac  Bc y (A B) c  Ac  Bc .

Si U a , 1, b , 2, c , 3, d , 4, e , 5  , A a , b , 2, d , 4,5  y B a, 1, b , 2, c  entonces A Ba ,1, b , 2, c , d , 4,5  , A Ba ,b , 2  , c A Bd , 4,5  y A 1, c , 3, e .

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Si U a , b , c , d , e , A a , b , d  y B a , d , e entonces A  Ba , b , d , e , A  Ba , d  , B Ae y Bc b , c . Ejemplo 3: Si

U 1,10 ,100 ,1000 ,10000 

,

B 1, 100 , 1000  , entonces A 1,10 ,1000 ,10000  , Ac B c 1,1000  . c

A 100  A B A y

y

Ejercicios Ejercicio 1: A partir del ejemplo 1 encontrar B- A , Bc , (A B) c , Ac  B c , (A B) c y Ac  B c . 16






Sol:

B-A1, c

,

(A B) c  3, e  y (A B) c  1, c, 3,d, 4, e ,5 

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9  , A 3,7,9  , c C 1, 5,8  encontrar  (A B)  (BC)  -A y C c Sol:  A B  BC  - A 1,5} y C = {2,3,4,6,7,9}.

Ejercicio 2:    

B 1,3,4,5 

y



Lección No.4: Relación de equivalencia ¿Qué es una relación entre conjuntos? El producto cartesiano de A y B , notado A X B , es el conjunto  a , b : a  Ab  B  , donde a , b se denomina pareja ordenada . Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del conjunto B . Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas, por lo tanto, R es un subconjunto de A X B . En símbolos a , b es pareja ordenada de la relación R , se R A X B . Si escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R . Ejemplo 1: Si 

A a , b , c 

y B 1,2  entonces:

A X B  (a , 1) , ( a , 2) , (b , 1) , ( b , 2) , ( c , 1) , ( c , 2) 



pero también se tiene que: 

B X A (1, a ) , ( 2, a) , ( 1, b) , ( 2,b) , ( 1, c) , ( 2, c) 



A X B del Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R  (a ,1) , ( b ,2) , ( c ,1)  es una 17


relación de A en B , ya que R A X B . En cambio, el conjunto R1  (a ,1) , ( a ,2) , ( b ,1) , ( 2,2 ) , ( 2, c)  no es una relación deA en B , porque R1 A X B ya que por lo menos (2,2) es un elemento de R1 pero no es elemento de A X B . Ejemplo 3: Sea el producto cartesiano RxR donde R es el 2 conjunto de los números Reales, R 1  x , y  X : x2+y 21  , R2  x , y  X : 3x y 6  y R3  x , y  X : x 0  son ejemplos de relaciones en los reales. Ejercicios Ejercicio 1: Calcule el producto cartesiano A X B , donde: a. A es el conjunto de los números naturales y B el conjunto de las vocales. b. A es el conjunto cuyo elemento es a y B el conjunto de los enteros entre -3 y 3, incluyéndolos. Sol: a. si B a , e ,i , o , u  entonces A X B  a , b : a Nb B  , donde N es el conjunto de los números naturales. Ejercicio 2: De cada uno de los productos cartesianos obtenidos en el ejercicio 1, busque dos ejemplos de relaciones y dos ejemplos de no relaciones. Ejercicio 3: Proponga un ejemplo similar al presentado en el ejemplo 2.

¿Qué es una relación de equivalencia? Una relación  del conjunto A en sí mismo es una relación de equivalencia en A si cumple las propiedades de ser reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación 

es reflexiva, si para todo

a

de

A , se cumple 18


que a  a . Una relación  entonces b a .

es simétrica, si para todo

a b

, con

a b

,

Una relación  es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene que a  c .

Ejemplo 4: Sean 

A  a , b , c 

y

R1 ( a , a) , ( a , b) , ( b , b) , ( b , a) , ( c , c) 



(a , a) ,

una relación en A , es claro que es reflexiva ya que (c , c) son elementos de R1 . Sea R2  ( a , a ) , ( b , b ) , (a , b ) 

entonces es una relación en (c , c )  R 2 .

A

(b , b) y

,

que no es reflexiva porque c  A pero

Ejemplo 5: Sean A , R1 y R2 los mismos del ejemplo 1.5.4, entonces R1 es simétrica porque (a , b) y (b , a) son elementos de R1 . La relación R2 no es simétrica porque (a , b) está en la relación pero (b , a) no está en la relación. A y R1 los mismos del ejemplo 1.5.3, entonces Ejemplo 6: Sean R1 es transitiva porque (a , a) y (a , b) implica (a , b) , (a , b) y (b ,b) implica (a , b) , (a , b) y (b , a) implica (a , a) , (b , a) y (a , b) implica (b ,b) , (b , a) y (a , a) implica (b , a) , finalmente (b ,b) y (b , a) implica (b , a) . De aquí se tiene que R1 es una relación de equivalencia en A .

Toda relación de equivalencia en un conjunto

A particiona al

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conjunto en subconjuntos, tales que ninguno es vacío; la unión de todos ellos es A y son mutuamente disyuntos. Cada conjunto de la partición se llama una clase de equivalencia. En otras palabras, si  es una relación de equivalencia en A entonces para todo a de A se define la clase de equivalencia de a como  a  x  A : x a  . El conjunto formado por todas las clases de equivalencia se llama conjunto cociente, usualmente notado por A .

Ejemplo 7: Retomando nuevamente A y R1 de los ejemplos 4, 5 y 6, se tiene que las clases de equivalencia de la relación R1 en A son  a a , b  b  y  c c  . El conjunto cociente dado por la relación es: A  R1  a  ,  c  . Ejemplo 8: Sea la partición en números enteros dado ser par o impar, está definida por la siguiente relación de equivalencia: si a y b son enteros entonces a está relacionado con b , si y sólo si, a b al dividirlo por 2 el residuo es 0. Las clases de equivalencia de la relación son  0  que representa los enteros pares y  1  que representa los números impares. Luego el conjunto cociente está dado por los elementos  0  y  1 . A 0,1 ,2 ,3  , entonces la relación en A : Ejemplo 9: Si R  0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,0 , 0,1  es una relación de equivalencia, el lector puede verificarlo. Por ser R una relación de equivalencia en A 2  2  y 3  3 . El , las clases de equivalencia son 0  0, 1  1 , conjunto cociente de la relación es A  R 0  , 2  , 3  .

Ejercicio Ejercicio 4: Proponga dos conjuntos y para cada uno de ellos proponga una relación de equivalencia, describa las clases de 20


equivalencia y defina quién es el conjunto cociente de la relación.

Lección No.5: Relación de orden ¿Qué es una relación de orden? Una relación  del conjunto A en sí mismo es una relación de A si cumple las siguientes propiedades: reflexiva, orden en antisimétrica y transitiva. Una relación  que a a .

es reflexiva, si para todo

a

de

A

, se cumple

Una relación  es antisimétrica, si para todo a b y b a entonces a b . En otras palabras, una relación es antisimétrica si para todo a b con a b entonces no es cierto que b a . Una relación  es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene que a c .

Ejemplo 1: Ejemplos de relaciones reflexivas y transitivas pueden ser los mismos presentados en los ejemplos del la sección 1.5. Ejemplo 2: Sea

A 1,2 ,3  y la relación

R

en A definida como

R  (1,1) , ( 1,2) , ( 1,3) , ( 2,2) , ( 2,3) , ( 3,3)  ,

el lector puede verificar sin dificultad que R es reflexiva y transitiva en A . También es antisimétrica porque al tomar (1,2) , (1,3) y (2,3) de R se tiene que (2,1) , (3,1) y (3,2) no están en R . Luego R es una relación de orden en A .

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Ejemplo 3: Sea B = {a, b, c, d}y la relación R en B, R= {(a,a),(a,b),(a,c),(b,c)} es relación de orden

Ejemplo 4: L a relación de contenencia entre conjuntos es una relación de orden.

Ejemplo 5: Las relaciones de orden usual definidas en los números naturales, números enteros, números racionales y números reales son ejemplos de relaciones de orden.

Ejercicio Ejercicio 1: Proponga tres conjuntos y para cada uno de ellos proponga una relación de orden. Justifique.

Representación gráfica de una relación de orden

La representación gráfica usual de una relación de orden es el Diagrama de Hasse que es una gráfica de puntos que representan los elementos del conjunto sobre el cual se le ha definido la relación de orden y el diagrama indica cómo es la relación entre cada uno de los elementos dada por esta misma relación de orden.

Ejemplo 6: Sea la relación de orden definida en el ejemplo 1.6.2 , entonces el diagrama de Hasse para esta relación es:

22


3

2 1 Gráfica 1.1.1. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.2.

Ejemplo 7: Sea el conjunto para el orden usual sobre A es:

1

2

A  1,2 ,3 ,4 ,5 ,

3

el diagrama de Hasse

4

5

Gráfica 1.1.2. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.7.

Ejercicios Ejercicio 2: Construya los diagramas de Hasse para las relaciones de orden del ejercicio 1 de esta lección. Ejercicio 3: Construya los diagramas de Hasse para dos relaciones de orden definidas por usted.

23


Lección No. 6: Función ¿Qué es una función? Se llama función de un conjunto A en un conjunto B , a toda relación de A en B que cumple la condición de que todos y cada uno de los elementos de A está relacionado con un único elemento de B . Si

f es f : AB

una función de A en B , usualmente se denota por . El dominio de una función es el conjunto A y el rango de una función es el subconjunto de B conformado por todos los elementos de B que están relacionados con todos los elementos de A mediante la función f . es una función de A en B , y si x  A le corresponde y B mediante la función f , entonces y es la imagen de x mediante f y se representa por y f x . Si

f

A a , b , c  y B1,2 ,3 ,5  entonces la relación de Ejemplo 1: Si A en B definida por R  (a ,1), (b ,2), (c ,1)  es una función. El 1,2  . dominio de la función esa , b , c y el rango de la función es Se tiene también que la imagen de a es 1 , es decir, f a 1 ; que la imagen de b es 2 , es decir, f b  2 y que la imagen de c es 1 , es decir, f c 1 .

A a , e , i , o , u  Ejemplo 2: Si B en A definida por H  (2,i) función, ya que el elemento 2 A elementos i y o de

y B2,4 ,6 entonces la relación de , ( 2, o) , ( 4, a) , ( 6, u)  no es una de B está relacionado con los .

Ejemplo 3: La relación definida como

A  ( x , y)  X

1 : y 2  , x 1

24


Donde X es el conjunto de los números reales, es una función en los 1

reales de tal forma que se puede escribir: f x 

x2 1

.

Ejercicios Ejercicio 1: Proponga tres ejemplos de funciones y tres ejemplos de no funciones. Ejercicio 2: Encuentre el dominio y el rango de la función del ejemplo 3 de esta lección, justificando su respuesta. Sol: El dominio son los reales y el rango son los reales positivos.

Tipos especiales de funciones La función f : AB es uno a uno o inyectiva, si para todo x y y x y se tiene que f x  f y . En otra palabras, si A con de f x  f y entonces x y . La función f : AB es sobreyectiva o sobre, si el rango de la función es el mismo conjunto B . La función vez.

f : AB

es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva a la

Ejemplo 4: De nuevo, si A a , b , c  y B1,2 ,3 ,5  entonces la A en B definida por R  (a ,1) , ( b ,2) , ( c ,3)  es relación de una función uno a uno. Pero la relación R1 ( a ,1) , ( b ,2) , ( c ,2)  es una función que no es inyectiva. Ejemplo 5:

Si A h ,i , j  y B1,2  entonces la relación de 25


en B definida por R  (h ,1 ) , ( i ,1) , ( j ,2)  es una función sobreyectiva. Pero la relaciónR 1 ( h ,1) ,( i , 1) , ( j ,1)  es una función que no es sobreyectiva, ya que el rango deR1 no es igual aB . A

 x , y  X : y x 1 , Ejemplo 6: Larelación definida como donde X es el conjunto de los números reales, es una función que es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. Como la relación representa una recta, es claro geométricamente hablando que la función es uno a uno y sobre.

Ejercicios Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de funciones uno a uno, tres ejemplos de funciones sobreyectivas y tres ejemplos de funciones biyectivas. Proponga tres ejemplos de funciones que no sean uno a uno, tres ejemplos de funciones que no sean sobreyectivas y tres ejemplos de funciones que no sean biyectivas. Ejercicio 4: Verifique analíticamente que la función del ejemplo 6 es biyectiva.

26


Capítulo 2

DE LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de los números naturales y números enteros relacionados con el estudio de la matemática discreta.

Objetivos específicos Reconocer y comprender la divisibilidad en números enteros. Identificar el concepto y la utilidad del concepto de congruencia en números enteros.

Comentario inicial En este capítulo se presentan algunos tópicos de los números naturales y de los enteros que tienen que ver con matemática discreta. Se asume que para el lector son conocidas la naturaleza y propiedades de los números naturales y enteros, vistos en cursos anteriores de matemáticas.

27


Lección No. 7: El principio de inducción Característica inductiva de los números naturales Por la mayoría son conocidos los números naturales y su uso más común que es el de contar. La posibilidad de contar está dada por una propiedad propia de los naturales que se llama el Principio de inducción de los números naturales. Para entender el principio de inducción se hace necesario conocer los Axiomas de Peano. Si N es el conjunto de los números naturales, los Axiomas de Peano son como sigue: a. 0  b. Para todo n N existe n+1 . El natural n+1 se llama el sucesor del natural n . c. Si S  tal que 0  S y n  S implica que n+1 S ; entonces S  ; este es el Principio de Inducción de los números naturales. El principio de inducción en los naturales da lugar a lo que se llaman las definiciones inductivas, algoritmos recurrentes y las demostraciones por inducción, estas últimas se verán con detalle en la siguiente sección. Ejemplo 1: Un ejemplo clásico de definición por inducción es x n , donde x es real y n es natural. La definición de x n es como sigue: 0 1 n 1 n x 1 , x  x y para todo n 1 , x  x x . Ejemplo 2: Un ejemplo clásico de algoritmo recurrente es la Serie de Fibonacci dada por a 01 , a 11 y a n 1 a n an 1 , para todo n1 . Los primeros 8 términos de la serie son 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 y 21.

Ejercicios Ejercicio 1: Defina inductivamente Rn , donde Res el conjunto de los números reales y n es natural mayor o igual a 1. 28


Ayuda: Recordar que R2 es igual al producto cartesiano RxR. Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación en la Serie de Fibonnacci.

Demostración por inducción Inspirado en el principio de inducción de los números naturales, existe un mecanismo de demostración denominado demostración por inducción. La Demostración por inducción consiste en verificar una propiedad de la forma P n , donde P es una propiedad acerca de un número natural n . Si S es el conjunto de los números naturales que satisface P n y si i. El natural 1 S y ii. Si para todo k S , con k+1 , k+1  S entonces S es igual al conjunto de los números naturales. Por lo tanto, para demostrar cualquier propiedad que satisface todos los naturales, basta demostrar que el natural 1 satisface la propiedad y que k+1 también la satisface. La parte en la que uno supone que la propiedad es válida para k se llama hipótesis de inducción. Es importante aclarar que en la demostración por inducción no es necesario que 1 S , es posible que la propiedad P n sea válida en los naturales a partir de un natural diferente a 1 en adelante. Si esto es cierto, se dice que P n es cierta para todos los naturales, a partir del natural donde es válido.

Ejemplo 3: Verificar por inducción la propiedad P ( n) definida por n1 . En efecto, la igualdad 1 , 3, 5, 7,…,2n1  n2 , para todo para n1 , se tiene que P ( 1) se cumple, ya que 112 . Ahora supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad, es decir, P( k) es cierta, sólo falta verificar que P ( k+1) es cierta, es decir, hay que verificar que 1 , 3, 5, 7,…2k 1  ( k +1) 2 . 29


Pero esto es cierto, ya que, por hipótesis de inducción 1, 3, 5, 7,…,2 k 1 k 1, 3, 5, 7,…,(2 k 1) +(2k+1)  k 2 +(2k+1)=(k+1) 2 P (k+1) De aquí es cierta y como ya se P( 1) verificó que es cierta, entonces por el principio de inducción, la propiedad P( n) es cierta para todo n 1 . 2

P ( n)definida por

Ejemplo 4: Verificar por inducción la propiedad la igualdad 1 2 3 ... n n n 1

, se tiene que

n+1 , para todo 2

n 1

P( 1) se cumple porque

. En efecto, para

1 1

1+1 2

. Ahora

supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad, es decir, P ( k) es cierta, sólo falta verificar que P ( k+1) es cierta, es decir verificar que 1+2+ 3+...k+1  (k+1)[(k+1)]/2 1+2+3+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k+2)/2

De aquí que P)k+1) es verdadera y ya se verificó que P ( 1) es cierta, por el principio de inducción, la propiedad P (n) es cierta para todo n 1 .

Ejemplo 5: Demostrar que 4n < n 2 - 7 para todo n ≥ 6.

Expresemos con P(n) la proposición 4n < n 2 - 7. Para n=6: P(6) = 4.6 = 24 y 6 2 - 7 = 36 - 7 = 29 Por lo tanto P(6) es verdadera. Suponemos que P(k) es verdadera para k > 6, o sea que cumple 4k < k 2 - 7 4k < k 2 - 7 ⇒ 4k + 4 < (k 2 - 7) + 4 < (k 2 - 7) + (2k + 1)


ya que 2k + 1 > 4 para k ≥ 6 ⇒ 4(k + 1) < (k 2 + 2k + 1) - 7 = (k + 1) 2 - 7 Por lo tanto, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo valor n ≥ 6.

Ejercicios Ejercicio 2: Demostrar que 2n > n2 + 4n + 5 es verdadera para n  7 Ejercicio 3: Probar que n  N: 1.3+2.4+3.5+…+n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6

Lección No. 8: Divisibilidad y el Algoritmo de Euclides Conceptos básicos A partir de la suma y el producto de los números enteros se define la diferencia a b como el entero c tal que a b c . Si a 0 y 31


b ac

para algún c entero, diremos que a divide a b y se simboliza por ab . Esta última definición es equivalente a decir que a es divisor de b o que b es múltiplo de a . Teorema 2.3.1 (Algoritmo de la División) Dados dos enteros a y b con b 0 entonces existen q y r tales que a  b.q + r , donde 0 r ≤b  Además q y r son únicos.

816 , ya que 16 = (8) (2), de aquí Ejemplo 1: 8 divide a 16, esto es se puede decir que 8 es divisor de 16 o que 16 es múltiplo de 8.

Ejemplo 2: 7 NO divide a 10, ya que para todo entero n , se tiene que 10 7 n . Ejemplo 3: Se tiene que 13 y 4 son dos enteros, al aplicar el teorema 2.3.1 tenemos que 13 4 x 3+1 y 0 1≤4 . En forma similar, si tenemos a -117 y a -6, tenemos que 117  6 x 20+3 y 03 ≤ -6. Ejemplo 4: Se tiene que -13 y 4 son dos enteros, al aplicar el teorema 2.3.1 tenemos que 13 4 x 4+3 y 03 ≤ 4. En forma similar, si tenemos a 117 y a -6, tenemos que 117 6 x 19+3 y 03 ≤ −6 .

Ejercicios Ejercicio 1: Encuentre 5 ejemplos de ser divisible y 5 ejemplos de no ser divisible. Ejercicio 2: Use el teorema 2.3.1 siendo a. a 10 y b3 , b. a10 y b3 , c. a10 y b3 , d. a10 y b3 . ¿Qué se puede concluir sobre los resultados? Sol: a. 10 3x3 + 1 y 0 1 ≤ 3 , c. 10  3 x3 +1 y 0 1 ≤ −3.

32


Algoritmo de Euclides El Algoritmo de Euclides es un procedimiento que usa cierto número de veces el algoritmo de la división para obtener el máximo común divisor de dos enteros. El máximo común divisor de a y b se denota por MCD a ,b y es el mayor de los divisores comunes de a y b . El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y enteros a y b son mayores que 0 , (sin pérdida de asumiendo que generalidad, funciona también si a o b son negativos), entonces se siguen los siguientes pasos: i. Se usa el algoritmo de la división para obtener a bq1 + r 1 con 0 r 1 ≤b1. Si r 10 , entonces b a y MCD a , b  b . ii. Si r 10 entonces se divide b por r 1 y se producen enteros q 2 y r 2 que satisfacen br 1 q 1 + r 2 con 0r 2 r 1 . Si r 20 el proceso termina y MCD a ,b  r 1 . iii. Si r 20 se procede como en ii. y el proceso continúa hasta que algún residuo cero aparece. Como a lo más habrá b residuos en este procedimiento, entonces el proceso es finito y el MCD a , b es el último residuo no cero del anterior proceso.

Ejemplo 5: Calcular el máximo común divisor de 80 y 1000, usando el algortimo de Euclides. Primero se divide 1000 entre 80 y tenemos que 1000 80x12+40 , así MCD ( 1000,80)  MCD ( 80,40). Ahora, se divide 80 40 x2+0 . 80 entre 40 y tenemos que Finalmente, MCD ( 1000,80) 40 . Ejemplo 6: Calcular el máximo común divisor de 180 y 256, usando el algortimo de Euclides. Primero se divide 256 entre 180 y tenemos que 33


256  180 x1+76

MCD 256,180  MCD 180,76 . Ahora, se divide , así 180  76x2+28 , así MCD 180 entre 76 y tenemos que 180,76  MCD 76,28 . Enseguida, se divide 76 entre 28 y MCD 76,28  MCD 28,20 . Luego tenemos que 76  28x2+ 20 , así 28 20x1+ 8 y MCD 28,20  MCD 20,8 . Ahora 20  8 x2+4 y MCD 20,8  MCD 8,4 . 8 4x2+0 , Por último, para que finalmente, MCD 180,256  4 .

Ejemplo 7: Calcular el máximo común divisor de -27 y 5, usando el algortimo de Euclides. Primero se divide -27 entre 5 y tenemos que 27 5x 6+3 , así MCD 27,5  MCD 5,3 . Ahora, se divide 5 entre 3 y tenemos que 5 3 x1 +2 , así MCD 5,3  MCD 3,2 . Enseguida, se divide 3 entre 2 y tenemos que 3 2 x 1+1 , así MCD 3,2  MCD 2,1 . Por último, 2  2x1+0 , para que finalmente, MCD 27,5 1 .

Ejercicios Ejercicio 3: Calcular el máximo común divisor de 425 y 51, usando el algoritmo de Euclides. Sol: 1. Ejercicio 2.3.4: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de cualesquiera dos enteros. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o utilice un buscador de la Internet.

Lección No. 9: Números primos y el Teorema Fundamental de la Aritmética

34


Números primos Un número entero p es primo si sus únicos divisores son 1 y p . Un número entero que no es primo y no es 1 se llama compuesto. Dada una familia de enteros, se dice que son primos entre sí, si se tiene que el máximo común divisor de todos ellos es 1

Ejemplo 1: Los números 2, 3 y 5 son ejemplos de números primos porque cada uno de ellos se ajusta a la definición, mientras el número 100 es compuesto porque tiene al número 2 como divisor, entre otros. Los números 7 y 10 son primos entre sí porque MCD 10,7 1

Ejercicio Ejercicio 1 Encontrar los números primos menores que 100. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro buscador de la Internet qué es la Criba de Eratóstenes.

Factorización Teorema (Teorema Fundamental de la Aritmética) n> 1 , Sea entonces existen números primos n p 1 p 2 p3 ... pr y esta factorización es única.

tales

que

El teorema establece la importancia de los números primos. Con estos se construyen los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de manera única. Existe un procedimiento para factorizar un número entero n acorde al teorema 2.3.1. Los ejemplos nos indicarán en una primera instancia cómo es el algoritmo y como ejercicio propuesto, el lector tendrá la tarea de implementar el algoritmo de factorización. 35


Ejemplo 2: Pensemos en factorizar 260. Como es divisible por 2 entonces 260 2x135 , como 135 no es divisible por 2 pero si es divisible por 3, 260 2x3x45. Para 45, tampoco es divisible por 2 pero si 260 2 x3 x 3 x 15. Como 15 no es divisible por 2, por 3, entonces pero si por 3, entonces 260 2 x 3 x 3 x 3 x 5. Como 5 es primo hasta aquí llega la factorización luego 260 2 x 33 x5. Ejemplo 3: Pensemos en factorizar 105. Como no es divisible por 2 pero si por 3 entonces 105 3 x35 , como 35 no es divisible por 2 ni por 3 pero si por 5 entonces 35 5 x 7 . Como 7 es primo hasta aquí llega la factorización, luego 105 3 x 5 x 7 . Ejemplo 4: Pensemos en factorizar 180. Como es divisible por 2 entonces 180 2 x90 , como 90 es divisible por 2 , 90  2 x45 . Como 45 no es divisible por 2 pero si por 3, entonces 45  3 x15 . El número 15 es divisible, no es divisible por 2 pero si por 3, 15 3 x5 . Como 5 es primo hasta aquí llega la factorización, luego 2 2 180 2 3 5 .

Ejercicios Ejercicio 2: Factorizar : a. 135, b.189, e.943 Sol: a. 135 33 5 , c. 385 5 7 11 ,

c.385,

d.448,

e. 943 23 41

.

Ejercicio 3: Implementar un algoritmo de factorización en MAPLE o en otro lenguaje de programación. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro buscador de la Internet.

Lección No.10: Congruencias 36


Definiciones básicas Dados dos enteros a y b con b 0 y un entero m 0 entonces a y b son congruentes módulo m , si ma b . La notación es a  b MOD m . La relación de congruencia es una relación de equivalencia en los números enteros. Esto implica que los enteros se pueden particionar por clases de equivalencia, cada clase está representada por todos lo posibles residuos que se pueden obtener de dividir cualquier entero entre el entero m de la definición anterior. En este orden de ideas, el conjunto cociente de la relación de equivalencia dado por la congruencia es el conjunto definido por a  b MOD m 0  , 1  ,  2  , ,  m1  , donde  k z  :  q , z mq+k  es cada clase de equivalencia y k varía entre 0 y m 1 . De aquí, la íntima relación que hay entre la congruencia en enteros y el algoritmo de la división (Teorema 2.3.1). m 4 , los posibles residuos que resultan Ejemplo 1: Pensando en de dividir cualquier entero entre 4 son 0, 1, 2 y 3 , lo que significa que 4  0  , 1  ,  2  ,  3   y para tener una idea de quién es cada clase de equivalencia tenemos que: 0 z  :  q , z 4 q  ,16, 12,8,4 ,0 ,4 ,8,12 ,16 ,  1 z :  q  , z 4 q 1 ,15,11, 7,3,1 ,5 ,9,13 ,17 ,  2 z  : q , z 4 q 2  ,14, 10,6, 2,2 ,6 ,10 ,14 ,18 ,  

3 z

:q

, z 4 q 3 

,13, 9,5, 1,3 ,7 ,11,15 ,19 ,





Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 1 , calcular la clase de equivalencia a la que pertenece 85. Entonces al usar el algoritmo de la división (Teorema 2.3.1) tenemos que 85 4 21 1 , por lo cual, 851 MOD 4 , indicando que 85 está en la clase  1 .

37


m 11 , calcular a qué clase de Ejemplo 3: Ahora pensando en equivalencia pertenece -12567. Al usar nuevamente el algortimo de la división, tenemos que 12567  11 1143 6 y 12567 6 MOD 11 , indicando que -12567 está en la clase 6  .

Ejercicios Ejercicio 1: Pensando en m 7 , encontrar 7 y definir cuáles son sus clases de equivalencia. Calcular en qué clase están a. 34, b. -34, c.109, d.-109 y e.89 Sol: a. 6  , c. 4  y e. 5 . Ejercicio 2: Verificar que la congruencia es una relación de equivalencia en los números enteros.

Propiedades de las congruencias Lo que sigue a continuación son algunas de las propiedades que tienen las congruencias: 1. Para todo entero a c b c MOD m

c

, se tiene que

a  bMOD m

implica

y ac  bc MOD m

2. Si a  bMOD m y c  dMOD m entonces a c b d MOD m y ac  bd MOD m 3. Si ha , hb , MCD h , m 1 y a bMOD m , a  h b  h MOD m . 4. La ecuación aX bMOD m tiene solución si y sólo si donde d es el MCD a , m . 5. El sistema de congruencias

X b 1 MOD m1 X b 2 MOD m 2

d b ,

, , 38


X b 3 MOD m 3  X b s MOD m s

,

tiene solución única congruente con módulo m 1 m 2 m 3 m s , i , j de 1,2 ,3 , , s  , siempre y cuando para cada MCD mi , m j 1 . (Propiedad conocida con el nombre del Teorema Chino del Residuo). Para el Teorema Chino del Residuo, si las condiciones se cumplen, la solución del sistema es de la forma X  X 0 KP para cualquier K entero, donde

P m 1 m 2 m 3

X 0b 1 P1 q 1 b 2 P 2 q 2

ms

,

P Pi  4 , mi

q i P i1 MOD mi

y

bs P s q s

Ejemplo 3: Calcular la multiplicación usual de los números 423113 y 997891 usando propiedades de la congruencia en módulo 5. En efecto 423113 3 MOD 5 y 9978911 MOD 5 . Por propiedad 2, se tiene que 423113 997891  3 1 3 MOD 5

Ejemplo 4: Calcular a. 2378 + (33) (101) y b. 167 + 46, usando módulo 7. Por un lado tenemos que 33 5 MOD 7 , 1013 MOD 7 , 2378 5MOD 7 , 1676MOD 7 y 46  4MOD 7 . Así, por la propiedad 2: a. 2378 33 101  5 5 3  20 6 MOD 7 y 167 46 6 4 10 3 MOD 7 b. 3X 34 MOD 5 . Ejemplo 5: Resolver la siguiente ecuación Usando la propiedad 1 , se tiene que 3X1 MOD 5 , al aplicar la propiedad 4, MCD 3,5 1 y 11 , tenemos que si hay solución única. Para calcular la solución multipliquemos por 2 la congruencia y se obtiene 6X 2 MOD 5 y como 6X  X 6  X 1 MOD 5  X 1  X , entonces es claro que X 2 MOD 5 , X 5K por lo cual la solución de la ecuación es 2 , para todo K entero. Ejemplo 6: Resolver el sistema

X 2 MOD 3

, 39


X 3 MOD 5 X 2 MOD 7

, .

El lector puede verificar sin dificultad que 3, 5 y 7 son primos entre sí. Hecha esta verificación tenemos que P 3 5 7 105 , P135 , P2 21 y P315 . Ahora usando la propiedad 4, tenemos que q 12 , porque 2 35 70 1 MOD 3 , q 21 porque 1 21  211 MOD 5 y q 31 porque 1 15 151 MOD 7 . De aquí X 0233 , luego la solución para el sistema de ecuaciones es: X 105K 233 , para todo K entero.

Ejercicios Ejercicio 3: Verifique que la congruencia lineal 12x16 20 MOD 6 tiene solución. Ayuda: Use la propiedad 4.

no

Ejercicio 4: Calcule la solución de la congruencia lineal 10x4 3 MOD 7. Ayuda: Use la propiedad 1 y 4. Ejercicio 5: Uno de los usos que tiene el Teorema Chino del Residuo es reducir la cantidades para facilitar cálculos. Pensemos entonces en una manifestación que no pasa del millón de personas y se pidió a los manifestantes que se agrupen de 100 en 100 y sobraron 60. Después se pidió que se agruparan de 99 en 99 y sobró 50. Finalmente se pidió que se organizaran de 97 en 97 y sobran 26 . ¿Cuántos manifestantes hay? Sol: 632660 manifestantes.

40


Autoevaluación de la Unidad 1 1.

Sea n un natural positivo. Dé un ejemplo de una relación de equivalencia sobre Z tal que Z/R sea un conjunto de n elementos. 2. Determine para que valores de n  N es verdadera la desigualdad 2n > n2 + 4n + 5 3. Resolver el sistema X 3 MOD 5 , X 5 MOD 7 X 2 MOD 2

, .

4. Sea el conjunto Z el conjunto de los números enteros, se define la siguiente relación R en los enteros de la siguiente forma: a y b son enteros entonces aRb si a b 0 MOD 3 . Verificar que es una relación de equivalencia.

5. 6.

Resolver el sistema 5X 3 7 MOD 11 . Resolver el sistema X 1 MOD 5

,

X 5 MOD 11

,

X 2 MOD 3

.

41


Unidad 2

TÉCNICAS DE CONTEO

42


Capítulo 3

PERMUTACIONES Objetivo general Comprender algunos conceptos de técnicas de conteo, específicamente lo relacionado con el estudio de las variaciones y de las permutaciones.

Objetivos específicos Dominar reglas básicas de conteo. Entender y utilizar el concepto de variación y permutación. Resolver problemas que involucren el concepto de variación y permutación.

Comentario inicial El propósito de este capítulo es presentar algunos elementos teóricos claves del conteo, de la variación y de la permutación que tienen que ver con la matemática discreta.

43


Lección No. 11: Definiciones básicas Enumeración Como ya se indicó en el Capítulo 2 de la Unidad 1, una de las características principales de los números naturales, además del principio de inducción, es que con ellos podemos contar. Contar en matemáticas es un concepto de mucho cuidado porque involucra ciertos principios, por el tema central de este módulo no es necesario tratarlo con tanto rigor. Con el propósito de no caer en malos entendidos conceptuales, es importante recordar, que salvo se indique lo contrario, los conjuntos que estamos considerando en este módulo son finitos. Por eso diremos que enumerar o contar es asignar un número natural que indique la cantidad de elementos que tiene un conjunto. A este natural se le denomina el cardinal del conjunto. Si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces el cardinal de A es n . El cardinal de A se denota como Card A y para este caso Card A  n .

Ejemplo 1: El conjunto decir, Card A 10 . Ejemplo 2: Para el conjunto

A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 

Ba , e , i , o , u 

Ejemplo 3: Para el conjunto vacío,

tiene 10 elementos, es

,

Card B 5

.

Card  0 .

Ejercicio Ejercicio 1: Proponga cinco ejemplos de conjuntos de cardinalidad 2, dos conjuntos de cardinalidad 3, dos conjuntos de cardinalidad 5 y dos 44


conjuntos de cardinalidad 7.

Lección No. 12: Principios básicos de conteo Para exponer los principios básicos del conteo y para que haya claridad, A y B sólo se van a considerar para los casos de dos conjuntos contenidos en un conjunto referencial U . Si el lector está interesado en aplicar los principios en tres o más conjuntos, puede hacerlo usando el principio de inducción de los naturales. El principio de la adición dice que el cardinal de la unión de dos conjuntos A y B disyuntos es igual a la suma de los cardinales de los dos conjuntos, es decir, Card A B Card A Card B . En el caso que A y B no sean disyuntos, entonces: Card A B Card A

Card B Card A B

El principio de la multiplicación dice que el cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos es igual a la multiplicación de los cardinales de los dos conjuntos, es decir Card A X B Card A Card B . El principio de distribución (o del palomar) dice que si se distribuyen m objetos en n cajas, entonces alguna caja deberá contener una cantidad mayor o igual a

m/n.

El principio de inclusión y exclusión dice que el cardinal del complemento de un conjunto es la cardinalidad del conjunto referencial menos la cardinalidad del conjunto, es decir, Card Ac Card U Card A

Ejemplo 4: En un grupo de 100 estudiantes de computación, se tiene 45


que 50 de ellos están estudiando el sistema operativo Linux-Ubuntu, 60 de ellos estudian el sistema operativo Windows y 20 estudian ambos sistemas operativos. ¿Cuántos estudian un sistema operativo?. Si A representa los estudiantes que estudian Linux-Ubuntu y B los Card A  50 , estudiantes que estudian Windows, tenemos que Card B 60 y Card A B 20 . Para saber la respuesta, se usa el principio de la adición, luego Card A B 90 , es decir, 90 estudiantes estudian un sistema operativo. Ejemplo 5: Se desea saber cuántas palabras de 5 letras se pueden formar, sin importar la coherencia de la palabra. En efecto, sea P el conjunto de todas las palabras de cuatro letra que se pueden formar y sea A el conjunto de las letras del abecedario, usando el principio de la multiplicación, Card P Card A 5275 . Ejemplo 6: En una reunión de 368 personas, hay dos de ellas que cumplen un mismo día. En efecto, Por el principio de distribución hay 368 personas que cumplen en cualquiera de los 365 días del año, luego as del desea saber cuántas palabras de 5 letras se pueden formar, sin importar la coherencia de la palabra. En efecto, sea P el conjunto de todas las palabras de cuatro letra que se pueden formar y sea A el conjunto de las letras del abecedario, usando el principio de la multiplicación, Card P Card A 5275 .

Ejercicios Ejercicio 2: Retomando el ejemplo 5 ¿Cuántas palabras de cinco letras se pueden formar, sin importar la coherencia si la segunda letra es una vocal?. Sol: 5 274

Ejercicio 3: En una encuesta a 60 pasajeros de una agencia de transporte terrestre se obtiene la siguiente información: a 24 les gusta el vino, a 39 les gusta las bebidas preparadas y a 33 el té helado. Además a 46


18 les gusta dos de las tres bebidas y a 12 las tres bebidas. ¿Cuántos pasajeros les gusta sólo té? ¿Cuántos pasajeros les gusta exactamente dos de las tres bebidas? Sol: 15 y 18 respectivamente.

Lección No. 13: Variaciones ¿Qué es un factorial? Sea un entero n un número natural, diremos inductivamente hablando que n factorial, notado n ! , se define como 0 !1 y para n>0 , define como n ! n n1 n2 ... 3 2 1 .

Ejemplo 1: Calcular el factorial de 5, 7 y 11. En efecto, 5 !  5 4 3 2 1 120 7 ! 7 6 5 4 3 2 1 5040 11 !  11 10 9 8 7 5 4 3 2 1  39916800

Ejemplo 2: Calcular

5!+ 3! . En efecto, 10 !

5! +3! / 10! = (120)+ (6) / (3.628.800) = 126/ 3.628.800 = 3,4 X 10 -5 = 0,00003472

Ejercicios Ejercicio 1: Implementar un algoritmo que calcule factoriales en MAPLE o en otro lenguaje de programación. Ejercicio 2: Calcular b. 8!/ 5!3!

a. 8! / 2!

y Sol: a. 40318 y b. 56 47


¿Qué es una variación? Una variación de orden r en A es hacer una lista de r elementos distintos de A sin repetir e importando el orden, siendo r Card A . Se usa V n , r para denotar el número de variaciones de un conjunto A , con Card A  n , del cual se van a tomar r elementos sin repetir e importando el orden. V n , r 

n! n (n 1)( n 2) ... ( n r1) nr !

Una variación con repetición de orden r en A es una variación de un conjunto de Card A  n , del cual se van a tomar r elementos con repetición e importando el orden. De aquí se tiene que V n , r n r

Una variación con repetición es también conocida como ordenación con repetición con reemplazo.

Ejemplo 3: Hacer una lista de todas las variaciones de orden 2 para A 1,2 ,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de V 3,2  3 2 6 elementos y son  1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2  . Ejemplo 4: En una carrera de 100 participantes, determinar el número de todos los posibles resultados en el pódium de ganadores (sobre los tres primeros lugares). Como hay 100 participantes cualquiera de ellos puede ser el ganador. Una vez está el ganador quedan 99 que pueden ocupar el segundo lugar y habrán 98 posibles participantes que ocupo en el tercer lugar. Así, el número de todos los posibles resultadoses V 100,3  100 99 98  970200

Ejemplo 5: Hacer una lista de todas las variaciones con repetición de 48


 

orden 2 para A 1,2,3  . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de V 3,2  329 elementos y son  1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 



Ejemplo 6: El ejemplo 1.2.5 la idea es encontrar el número de palabras de cinco letras que se puede formar sin importar la coherencia. Esto se enmarca en una variación con repetición, luego V 27,5 275 .

Ejercicios Ejercicio 3: Proponga un conjunto de 4 elementos de tal forma que usted haga una lista de los posibles arreglos siempre y cuando: a. Sea una variación sin repetición de orden 3. b. Sea una variación con repetición de orden 3.

Ejercicio 4: Calcular pensando en variación con repetición y en variación sin repetición lo que se indique: a. V 2,1 b. V 10,7 c. V 5,3 d. V 154,3 e. V 8,6 Sol: Para b. la variación sin repetición es 604800 y con repetición es 7 10 .

Ejercicio 5: Se va a escoger 4 personas de un grupo de 60 para ocupar cargos de una mesa directiva. En el orden en que se elijan van a ocupar los cargos. ¿De cuántas formas se pueden escoger?.

Ejercicio 6: Un byte es un conjunto de ocho posiciones, donde cada posición se recibe o no un impulso eléctrico. ¿Cuántos bytes se pueden formar?

49


Lección No. 14: Permutaciones ¿Qué es una permutación? Una permutación es una variación en un conjunto A de n elementos de tal forma que r Card A n . En otras palabras, es hacer una lista de todos los elementos distintos de A , importando el orden. Se usa P n para denotar el número de permutaciones de un conjunto A , con Card A  n , en este caso, P nV n , n n ! . Análogamente, una permutación con repetición en un conjunto A es una variación con repetición del conjunto A de tal forma que r Card A n , del cual se van a tomar todos los elementos de A con repetición e importando el orden. De aquí se tiene que n P nV n , n n . En algunos textos, se asume que permutación y variación son la misma cosa. Está en libertad de asumir variación como permutación o viceversa, siempre y cuando el lector tenga claro en donde está la similitud. Ejemplo 1: Hacer una lista de todas las permutaciones para A 1,2 ,3  . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de P 336 elementos y son 

 1,2 ,3 , 1,3 ,2 , 2,1,3 , 2,3 ,1 , 3,1,2 , 3,2 ,1 



Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una mesa de 6 puestos 6 personas diferentes? La respuesta es P 66720 maneras. Ejemplo 3: Hacer una lista de todas las permutaciones con repetición para A 1, 2,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de V 3,2  3327 elementos y son 1,1 ,1 , 1,1 ,2 , 1,1 ,3 , 1,2 ,1 , 1,2 ,2 , 1,2 ,3 , 1,3 ,1 , 1,3 ,2 , 1,3 ,3 ,

50


2,1 ,1 , 2,1 ,2 , 2,1 ,3 , 2,2 ,1 , 2,2 ,2 , 2,2 ,3 , 2,3 ,1 , 2,3 ,2 , 2,3 ,3 , 3,1 ,1 , 3,1 ,2 , 3,1 ,3 , 3,2 ,1 , 3,2 ,2 , 3,2 ,3 , 3,3 ,1 , 3,3 ,2 , 3,3 ,3

Ejercicios Ejercicio 1: Proponga un conjunto de 2 elementos de tal forma que usted haga una lista de los posibles arreglos siempre y cuando: a. Sea una permutación. b. Sea una permutación que admite repetición. Ejercicio 2: Calcular pensando en permutación y en permutación con repetición: a. P2 b. P7 c. P5 d. P3 e. P8 Sol: Para b. la permutación es 5040 y con repetición es 7 7 . Ejercicio 3: Se van a distribuir 4 personas en 4 cargos diferentes que hay en una empresa. ¿De cuántas formas se pueden distribuir estos cargos? Ejercicio 4: ¿De cuántas formas se puede ordenar las letras de la palabra escuela?

Permutación con repetición donde hay más de un elemento que se repite Una permutación con repetición en un conjunto A , con cardinal n , que tiene s elementos que se repiten es una permutación con repetición que considera todos los elementos de A y todos los elementos que se repiten e importando el orden. El número de permutaciones con repetición de un conjunto A con n elementos y con s elementos que se repiten un número n 1 , n 2 ,..., n s de veces, está dado por 51


P n , s

n! n 1 ! n2 !  n s !

Este tipo de permutación es llamada ordenación con repetición sin reemplazo. Ejemplo 4: Hacer una lista de todas las palabras que se pueden escribir al reordenar la palabra ESE. En efecto, en este caso el número de palabras que se pueden formar es

P 3, 2

3 3 elementos, donde 2 2

representa el número de repeticiones de la letra E y las palabras son 

ESE , SEE , EES 



Ejemplo 5: Se quiere formar 5 equipos de 10 jugadores cada uno de un grupo de 50 personas. ¿De cuántas formas se puede elegir los 5 50 !

equipos?. La respuesta es P50,5 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 !

.

Ejercicios Ejercicio 5: En un país se establece un sistema de matriculación de vehículos en el que la matrícula está formada por las tres letras seguidas de tres números. Determinar el número de matrículas que salen. Ejercicio 6: Determinar el número de ordenaciones que hay de las letras de la palabra ladrillo. Sol: 6720

52


Capítulo 4

COMBINACIONES Objetivo general Comprender algunos combinaciones.

conceptos

y

tópicos

relacionados

con

Objetivos específicos Entender y utilizar el concepto de combinación. Resolver problemas que involucren el concepto de combinación.

Comentario inicial El propósito de este capítulo es presentar algunos elementos teóricos claves de combinación que tienen que ver con la matemática discreta.

Lección No. 15: Combinatoria 53

Definición de combinatoria Una combinación de un conjunto A , con

Card A  n

, son todos


los subconjuntos de A que tienen r elementos, donde notación

C n,r

r n

y algunas veces la notación de la forma

. La n

llamada combinatoria, indica el número de subconjuntos de un conjunto que tiene r elementos, luego n! C n,r  n  nr ! r ! r

Ejemplo 1: Hacer una lista de todos los subconjuntos de tamaño 2 para A 1,2 ,3  . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de C3, 2 = 3!/(2! (3-2)!) = 6/(2x1) = 6/2 = 3; los elementos son {(1,2), (1,3), (2,3)}

Ejemplo 2: Un estudiante presenta un examen con 10 preguntas, pero el profesor indica que solo debe escoger 7 preguntas de las 10. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las preguntas?. La respuesta es C10,7 = 10! / 7! (10-7)! = 10! / (7!)(3!) = 3.628.800 / (5040) (6) = 3.628.800 / 30240 = 120

Ejemplo 3: Determinar el número de todas las posibles combinaciones para armar un equipo de baloncesto con 10 personas. Un equipo de baloncesto tiene 5 integrantes activos. C10, 5 = 10! / (5!)(5!) = 3.628.800 / (120) (120) = 3.628.800 / 14.400 = 252

Ejercicios Ejercicio 1: Proponga un conjunto de 2 elementos de tal forma que usted haga una lista de los posibles arreglos siempre y cuando: a. Sea una permutación. b. Sea una permutación que admite repetición. 54


Ejercicio 2: Calcular pensando en permutación y en permutación con repetición: a. P2 b. P7 c. P5 d. P3 e. P8 Sol: Para b. la permutación es 5040 y con repetición es 7 7 . Ejercicio 3: Se van a distribuir personas 4 en 4 cargos diferentes que hay en una empresa. ¿De cuántas formas se pueden distribuir estos cargos?. Ejercicio 4:¿De cuántas formas se puede ordenar las letras de la palabra papaya?.

Lección No. 16: Propiedades de la combinatoria Lo que sigue a continuación son algunas de las propiedades que tiene la combinatoria: n 1. Si r n entonces C n , r  r 0 .

2.

n  n n r r

3.

n  n 1 r 1 r

n1 r

4. Dados los enteros

x,y y

n , con n0 , entonces se

nr r y n r 0 n x y (Teorema del binomio). r n

cumple que

x

Ejemplo 4: ¿Cuántos subconjuntos de dos elementos tiene un conjunto de 100 elementos?. La respuesta es  C100, 98 = 100! / 98! 2! = 100.99.98! /2! 98! = 100.99/ 2 = 4950


(Se está usando la propiedad 2). Ejemplo 5: ¿Cuál es el coeficiente que hace parte del término a 5 b 6 en el binomio (a+b) 11 ?. Usando la propiedad 4, tenemos que el coeficiente es

11 462 . 6

Ejemplo 6: S a b i e n d o que

, calcular

n .

En efecto, usando la propiedad 2,

Se obtiene que n -10 = 7 por lo tanto n = 17

Ejercicios

Ejercicio 4: Sabiendo que

C14,r = C14,r-1

Halle el valor de r

Sol: r 15/2

r 0 n

Ejercicio 5:

r 0 n

1

r

Usando el la propiedad 4, calcular n r

n r

y

.

Ejercicio 6: Consulta que es el Triángulo de Pascal. Una vez hecho esto, qué relación tiene el Triángulo de Pascal con la propiedad 3 y con la propiedad 4. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro buscador de la Internet qué es el Triángulo de Pascal.

Lección No. 17: Combinatoria con repetición y permutación circular 56


Combinatoria con repetición Una combinación con repetición de un conjunto A de n elementos, es la selección no ordenada de r en r elementos, con posibles repeticiones. La notación CR n , r indica el número de combinaciones con repetición de un conjunto de n elementos tomados de r en r luego CR n , r C n r1, r  n r1 r

Ejemplo 1: Se extrae de una baraja de cartas española 6 cartas de manera simultánea, el número de posibilidades es CR 40,6  40 61  45 8145060 6 6

Ejemplo2: Una persona va a tener 10 invitados y les va a ofrecer 3 bebidas diferentes. ¿De cuántas maneras puede distribuirse las bebidas?. Como son 3 bebidas diferentes para 10 personas, tenemos que el número de posibilidades es CR 3,10  3 101  12 66 10 10

Ejemplo 3: ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x 1 x 2 x 3 x 47 ?. Si se piensa que cada variable de la ecuación es una categoría, entonces cada variable tiene la posibilidad de ser cualquiera de los 8 primeros enteros no negativos (del 0 al 7) , luego el número de soluciones enteras es CR 4,8  4 8 1  11 1320 8 8

57


Ejercicios Ejercicio 1: ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 25 ? Sol: 23751 . Ejercicio 2: ¿De cuántas formas se pueden distribuir 7 balones idénticos en 4 cajas diferentes?. Ejercicio 3: Proponga tres problemas con sus respectivas soluciones, donde se involucre combinación con repetición.

Lección No.18: Permutación circular Una permutación circular de n objetos de orden r es una permutación cuyos elementos están distribuidos en forma circular la idea de una curva cerrada en el que importa el orden. Se denota por PC n , r C n , r r 1 ! .

Ejemplo 4: Se dispone de 10 sillas para sentar 6 personas en una mesa circular ¿De cuántas maneras puede distribuirse las personas en las sillas de la mesa? PC 10,6  10 6

5  25.200

Ejercicio Ejercicio 4: Consultar qué es permutación circular y plantear dos problemas que involucren permutación circular. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro buscador de la Internet qué es permutación circular. 58


Autoevaluación de la Unidad 2

1. Supongamos que se fabrican llaves haciendo incisiones en varias posiciones de una llave virgen. Suponiendo que haya 8 profundidades posibles para las incisiones, ¿cuál es el menor número de posiciones que permite fabricar 1000000 de llaves diferentes? 2. Mario ha sido invitado por Don Pedro a consumir comidas de 4 platos diferentes a elegir entre un menú de 10 platos. El mecenas pagará día tras día mientras la imaginación del comensal alcance a no repetir una comida ya seleccionada en algún día anterior. ¿Por cuántos días, como máximo, subsistirá Mario a costa de Don Pedro? 3. La junta directiva de una asociación está formada por 8 mujeres y 7 hombres. ¿De cuántas formas posibles puede constituirse un comité formado por 3 mujeres y 4 hombres? ¿Y con la restricción adicional de que la Sra. Mercedes y el Sr. García no figuren simultáneamente en el comité? 4. Demuestre que cuando se arrojan tres dados indistinguibles el número de resultados posibles es 56. 5. Usar el Teorema del Binomio para calcular

(1 + x)

4

.

59


Unidad 3

RELACIONES DE RECURRENCIA

60


Capítulo 5

RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta.

Objetivos específicos Conocer y entender las reglas básicas de la recurrencia. Comprender el concepto de recurrencia lineal homogénea y no homogénea. Resolver problemas que involucren recursión lineal.

Comentario inicial Para muchos la recursión es expresar algo sobre sí mismo. Dentro de la matemática discreta y en general en la computación, ciertos algoritmos y programas de cálculo se han facilitado cuando se usa la recursión. Lo que sigue es una introducción a un vasto tema como lo es la recursión, así como su relación con la matemática discreta. 61


Es probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va entrar con el debido detalle en algunos temas.

Lección No. 19: Relación de recurrencia Definición de relación de recurrencia Diremos que una relación de recurrencia para una sucesión a 0 , a1 , a 2 , ... , a n ,... es una expresión que relaciona a n con uno o más términos precedentes a 0 , a1 , a 2 , ... , a n1 , para cualquier n entero mayor o igual que un entero inicial k. Las condiciones iniciales son los primeros términos necesarios para empezar a calcular en una relación de recurrencia. Ejemplo 1: La relación a 11 y a n a n1 2n 1 para todo natural mayor que 1, es un ejemplo de relación de recurrencia.

n

Ejemplo 2: La sucesión de Fibonacci es otro ejemplo de relación de recurrencia definido como sigue: a 11 , a 21 y a n a n1 a n 2 para todo n natural mayor que 2. a 0 2 y a n a n1 0.5 n para todo Ejemplo 3: La relación natural mayor que 0, es otro ejemplo de relación de recurrencia.

n

a 0 0 , a 1  2 y a n 4a n1 4a n2 n2 para Ejemplo 4: La relación todo n natural mayor que 1, es también ejemplo de relación de recurrencia.

Ejercicios Ejercicio1: Proponga dos ejemplos más de relación de recurrencia. 62


Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación las relaciones de recurrencia dados en los ejemplos anteriores.

Lección No. 20: Relación de recurrencia lineal En matemática discreta es usual trabajar con relaciones de recurrencia de tipo lineal de coeficientes constantes. Una relación de recurrencia es de tipo lineal de coeficientes constantes de orden m, si la relación de c m a nm g n , recurrencia es de la forma a n c 1 a n 1 c 2 a n2 c 3 a n3 donde c 1 , c 2 , ... , c m son constantes. Ejemplo 5: La relación a 11 y a n a n1 2n 1 para todo n natural mayor que 1, del ejemplo 1.2.1 es una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden 1. Ejemplo 6: La sucesión de Fibonacci (ejemplo 2) es otro ejemplo de relación de recurrencia de coeficientes constantes de orden 2.

Ejercicios Ejercicio 3: V e r i f i q u e si las relaciones dadas por los ejemplos 1.2.3 y 1.2.4 son relaciones de recurrencia lineal de coeficientes constantes y si es así, diga de qué orden son. Ejercicio 4: Proponga un ejemplo de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden 3.

63


Lección No. 21: Recurrencia lineal homogénea Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden m es homogénea, si g n 0 . Una ecuación característica de una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes homogénea de orden n es una ecuación de la forma nm t nc 1 t n1 c 2 t n2 c3 t n3 cmt y las raíces de esta ecuación se llaman raíces características.

1.3.1 Teorema Sea a n una sucesión definida por recurrencia lineal homogénea como en la definición 4.3, y sean b 1 , b2 , ... , b s las raíces características con multiplicidades r 1 , r 2 , ... , r s , entonces: a n P1 n b 1n P 2 n b2n P 3 n b3n

Donde cada P i n  A0 A1 n

Ar 1 n i

r i 1

P n bn s

s

, con i1,. .. , s .

Ejemplo 1: Retomando la sucesión de Fibonacci a 00 , a 11 y a n a n1 + a n 2 para todo

natural mayor que 2, podemos decir que es una relación lineal homogénea, cuya ecuación característica es 1 5 15 2 , y usando las y t t 1 0 , cuyas raíces son 2 n

2

condiciones iniciales

junto

con

procedimientos

algebraicos

de

simplificación tenemos que



1 a n 5

1 + 5 2

n

  1 5 2

n

,

para todo n natural mayor que 1.

64


Ejercicios a 0 23 y a n 3a n1 Ejercicio 1: ¿Es la siguientes relación lineal homogenea?. Si es así, hacer un desarrollo similar al ejemplo 1.

Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos similares al ejercicio 1

Lección No. 22: Recurrencia lineal no homogénea Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden m es no homogénea, si g n 0 . Aunque no existe una solución general para este tipo de relaciones de recurrencia, existe el método de los coeficientes indeterminados que va a proporcionar una solución particular en función de cómo esté definido g n . g( n) es un polinomio de grado k, entonces a n Qk n nr , donde Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz 1

Si

de la ecuación característica de la relación lineal homogénea asociada. g ( n) es un polinomio de grado k, entonces a n Qk n nr a n , donde Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz a de la ecuación característica de la relación lineal homogénea

Si

asociada. Ejemplo 1: Cuál es la solución de la relación de recurrencia an =6an-1-9an-2+F(n) cuando F(n)=3n, F(n)=n3n?

65


De la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada (an=6an-1-9an-2) tenemos que (r-3)2=0, luego tiene una raíz de valor 3, con multiplicidad 2. Aplicando el teorema con respecto a las funciones F(n) se obtienen las soluciones particulares: Para F(n)=3n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces: Solución particular an(p)=n2(p0)3n. Para F(n)= n3n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces: Solución particular an(p)=n2(p1n+ p0)3n. Ejercicios Ejercicio 1: ¿Es la relación de recurrencia del ejemplo 1.2.4 lineal no homogenea?. Justifique su respuesta. Si es así, hacer un desarrollo similar al ejemplo 1. Sol:

55 a n  n 2 54

n

1 3n2  4n 27

.

Ejercicio 2: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = n2.2n Ejercicio 3: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = (n2+1).3n

66


Capítulo 6

FUNCIÓN GENERADORA Objetivo general Entender cómo se relaciona un problema de conteo con un polinomio usando el concepto de función generadora.

Objetivos específicos Conocer el concepto de función generadora y sucesión asociada. Resolver problemas que involucren el concepto de función generadora.

Comentario inicial El problema de contar algunas veces no resulta tan sencillo. El propósito central de este capítulo es conocer cómo es un problema de conteo con un polinomio. Es básicamente encontrar una generalización del teorema del Binomio.

67


Es muy probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va a tratar con el debido detalle algunos temas.

Lección No. 23: Función generadora y sucesión asociada Definición de función generadora Una serie de sumas de potencias de x , de la forma 

f x n0 an x  a0 a1 x a 2 x n

2

an xn

finita o infinita, se llama función generadora de la sucesión a 0 , a1 , a2 ,... , an ,... formada con los coeficientes de x .

Ejemplo 1: La sucesión a 0 a1 a 2 a3 a 41 y a n 0 para todo n natural mayor que 4, tiene como función generadora asociada a f x 1

x x2 x3 x4

Ejemplo 2: La sucesión asociada a la función generadora f x 1 2x 4x 2 5x 4 7x 7

es la sucesión

1, 2,4,0,5,0,0,7,0,0,0,. .. , 0,0,0,. ..

Ejemplo 3: La sucesión asociada a la función generadora f x  x 1 3x 10x 2 9x 5

es la sucesión

0,1,3,10,0,0,9,0,0,0,. .. ,0,0,0,. ..

68


a 01 y a n a n12 para todo n natural Ejemplo 4: La sucesión mayor que 0, tiene como función generadora a 

n f x n0 2n 1 x

Ejercicios Ejercicio 1:

¿Cuál es la sucesión asociada a la función generadora f x  x x x x3 ? Sol: 0,0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,. .. , 0,0,0,. .. . 4

5

2

Ejercicio 2:

¿Cuál es la función generadora asociada a la sucesión 1,1,1, 1,1,1,1,. .. ?  Sol: f x n0 1 n x n Ejercicio 3: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la sucesión asociada a una función generadora y encontrar dicha función. Ejercicio 4: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la función generadora y encontrar la sucesión asociada a dicha función generadora.

Lección No. 24: Series de Taylor y Maclaurin La serie de Maclaurin y la serie de Taylor son mecanismos muy usados para encontrar la sucesión asociada a una función generadora. Una función generadora f(x) =

, donde an =

f(n) 0 es la enésima derivada de f(x) evaluada en cero.

Una serie de Taylor es toda función de la forma

f x n0 an x a 

n

,

69


a n 

si f x

f

n

a n

, donde

f

n

a

es la n-ésima derivada de la función

evaluada en a .

Las series de Maclaurin son un caso especial de las series de Taylor cuando a 0 .

generadora ya que al m Ejemplo 5: La función f(x) = log (1-x) es función aplicar las series de Maclaurin se tiene que log (1-x) = para x<1 De aquí se deduce que la sucesión asociada es an = -1/n para todo x<1

Ejemplo 6: La función f ( x) e x es función generadora ya que al 

1

x n x y de aquí se aplicar las series de Maclaurin, se tiene que e n0  n

deduce que la sucesión asociada es

 1 a n n  , para todo

n

natural

mayor o igual que 0.

Ejercicios Ejercicio 5: Encontrar la función asociada a la función generadora de a. f (x) = con 1<1; b. f(x) = Sen (x); c. f(x) = Cos (x) ; d. f(x) = EXP (-x) NOTA: En Internet encontrará las series de estas funciones o en un libro de cálculo.

Ejercicio 6: P r o p o n g a otros dos ejemplos de funciones generadoras, de las cuales haya que encontrar la sucesión asociada usando series de Maclaurin. 70


Lección No. 25: Resolviendo problemas de conteo a través de un polinomio Las combinaciones de n elementos tomados en grupos de r elementos son los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton n (a +b) (Teorema del Binomio). Esto permite pensar en encontrar métodos o maneras para resolver problemas de conteo a través de los coeficientes de polinomios. Lo que sigue son dos ejemplos clásicos que permiten mostrar una manera de cómo un problema de conteo se resuelve a través de coeficientes de polinomios.

Ejemplo 1: Un bibliotecario va a entregar 7 libros a dos personas, de tal forma que a uno le toque al menos 4 libros y al otro le toque al menos 2 libros. ¿De cuántas formas puede entregar los libros el bibliotecario? En efecto, por la manera en que surgen los coeficientes del binomio de Newton, se puede asociar a este problema el siguiente polinomio: f ( x)  x 4 x5 x 2 x 3 . De acuerdo con el problema, el primer factor corresponde el número de libros posibles que le corresponden a la primera persona y esto es 4 o 5. A la segunda persona le corresponden 2 o 3. De aquí surge el planteamiento del polinomio. Al multiplicar estos dos factores tenemos que f (x)  x 6 2x 7 x 8 y como son 7 libros, se tiene que hay 2 formas de entregar los libros. Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 1, ahora son 10 libros, esto significa que f ( x)  x 4 x5 x 6 x 7 x 8 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 , porque a la primera persona le corresponden entre 4 y 8 libros y a la segunda persona le corresponden entre 2 y 6 libros. Al desarrollar el polinomio tenemos que f (x)  x 6 2x 7 3x 8 4x 9 5x 10 4x 11 3x 12 2x 13 x 14 , como son 10 libros, entonces hay 5 formas de entregar los libros.

71


Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga y resuelva un problema similar al presentado en el ejemplo 1.

72


Autoevaluación de la Unidad 3

1. Sea la sucesión recurrente término general de la sucesión.

a n 4a n1 con

a 09 . Encontrar el

2. Dada la sucesión 1,7,21,35,35,21,7,1,0,0,....,0,... ¿A qué función generadora corresponde? 3. Hallar la sucesión asociada a la función generadora f x cos x . 4. Usando coeficientes de polinomios, ¿de cuántas formas se pueden repartir 12 objetos iguales entre cuatro personas. A la primera hay que darle al menos tres objetos, a la segunda al menos 2 objetos, a la tercera y cuarta 1 objeto?

73


Unidad 4

INTRODUCCIÓN A GRAFOS

74


Capítulo 7

GRAFOS Objetivo general Entender los conceptos y definiciones básicas de la Teoría de Grafos.

Objetivos específicos Utilizar las diferentes representaciones de un grafo. Resolver problemas que involucren la Teoría de Grafos.

Comentario inicial Desde su aparición, los grafos han sido de mucha utilidad, por ejemplo en el diseño de modelos de redes de ordenadores, la implementación de un circuito en un tablero plano, distinguir compuestos químicos con la misma fórmula molecular o encontrar el camino más corto entre dos ciudades en problemas de transporte. Lo que se verá aquí es una introducción a través de algunas definiciones y tópicos teóricos de la teoría de los grafos relacionados con la matemática discreta. 75


Lección No. 26: Definiciones básicas ¿Qué es un grafo simple?

 



Un grafo simple G es un par (V , E) , donde V es un conjunto, E llamado conjunto de vértices y es un subconjunto de  a , b  : a , bV a b  , llamado conjunto de aristas. Una arista es el conjunto a , b  Ejemplo 1: Un ejemplo de grafo simple es V 1,2,3 ,4  y E  1,2  , 1,3  , 1,4  . Un diagrama de este grafo es como sigue: 3 1 4

2 Gráfica 1.2.1. Grafo simple del ejemplo 1.2.1

Ejercicio Ejercicio 1: Proponga dos ejemplos de grafo simple y haga sus respectivos diagramas.

¿Qué es un multigrafo?

76


Un multigrafo G es un par V , E , donde V es un conjunto de vértices y E el conjunto de aristas de tal forma que admite aristas con los mismos extremos o aristas con extremos iguales. Ejemplo 2: Un ejemplo de multigrafo es V  a , b , c , d  y E  a , a  , a , b  , a , b  ,  b , c  . Un diagrama de este grafo es como sigue:

a

b d c Gráfica 1.2.2. Multigrafo del ejemplo 1.2.2

Ejercicio Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos de multigrafo y haga sus respectivos diagramas.

¿Qué es un digrafo? Un digrafo es un par V , E , donde V es el conjunto de vértices y E es un subconjunto de V X V D , donde D  x , x : xV  . En este caso las aristas están dirigidas.

Ejemplo

3:

Un

ejemplo

de

digrafo

es

V a , b , c  y 77


E  a , b , a , c , b , c , c , b  . Un

diagrama de este digrafo es como

sigue:

b

a

c

1

Gráfica 1.2.3. Digrafo del ejemplo 1.2.3

Ejercicio Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de digrafo y haga sus respectivos diagramas.

¿Qué es un multidigrafo? Un multidigrafo G es un par V , E , donde V es un conjunto de vértices y E el conjunto de aristas de tal forma que se comportan como un digrafo y que admite aristas con los mismos extremos o aristas con extremos iguales. Ejemplo 4: Un ejemplo de multidigrafo es V a , b , c , d  y E   a , b , b , a , b , c , c , d  . Un diagrama de este multidigrafo es como sigue:

78


a

b d c Gráfica 1.2.4. Multidigrafo del ejemplo 1.2.4

Ejercicio Ejercicio 4: Proponga dos ejemplos de multidigrafo y haga sus respectivos diagramas. ¿Qué es un grafo? Salvo que se indique lo contrario, para nosotros un grafo G es un par V , E , que es un grafo simple o un multigrafo o un digrafo o un multidigrafo. Si  a , b  es la arista de un grafo, los vértices a y b se denominan extremos. Cuando dos extremos de una arista son iguales, se llama bucle. Dos vértices a y b se dicen que son adyacentes, si entre ellos existe la arista a , b  . El grado de un vértice es el número de aristas de las que es extremo. Si v es un vértice, entonces su grado se denota como gr v . Dados dos grafos G  V , E y G'  V ' , E ' , hay isomorfismo entre estos dos grafos, si existe una función biyectiva f entre G y G' , de tal forma que para cada a y b vértices de G , la arista a , b  le corresponde de manera biunívoca la arista  f a , f b  de G' . En G otras palabras, si y G' son isomorfos, entonces son 79


matemáticamente iguales y solo varían en su apariencia. Ejemplo 5: Lo presentado en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 y 1.2.4 son ejemplos de grafos. a , a  , Ejemplo 6: Dado el grafo del ejemplo 1.2.2, se tiene el bucle gr a  4 , gr b 3 , gr c 1 y gr d 0 . También se tiene que a , b  es una arista, entonces a y b son extremos, son adyacentes y los vértices c y d no son adyacentes.

Ejemplo 7: Lo que sigue es un ejemplo de dos grafos que son isomorfos. Como puede apreciarse se puede hacer una correspondencia biunívoca entre vértices y aristas. d 3 1 4

b

a c

2

Gráfica 1.2.5. Ejemplo de grafos isomorfos

Ejercicios Ejercicio 5: Proponga dos ejemplos de grafos y para cada uno de ellos mirar cuáles son los vértices extremos, el grado de cada vértice y cuáles vértices son adyacentes y cuáles no. Ejercicio 6: Proponga dos ejemplos de grafos isomorfos y un ejemplo de dos grafos que no sean isomorfos. Ejercicio 7: Averiguar en qué consiste el problema de los puentes de 80


Königsberg y qué relación tiene con la teoría de grafos. Además averiguar qué son grafos planos. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro buscador de la Internet.

Lección No. 27: Grafos bipartidos y completos ¿Qué es un grafo bipartido? Un grafo es bipartido si es un grafo simple, el conjunto de vértices V se pueden expresar como la unión de dos conjuntos disyuntos V 1 y V 2 de tal forma que cada arista que tiene su vértice en V 1 está conectado si y sólo si con un vértice de V 2 . Un grafo bipartido es regular si para cada uno de los conjuntos de vértices, todos sus vértices tienen el mismo grado, se denota K m , n , donde m y n es el grado de cada conjunto disyunto de vértices.

Ejemplo 1: El siguiente diagrama representa un grafo V1

K 2,2 regular

V2

Gráfica 1.3.1. Ejemplo de grafo bipartido K(2,2) regular

Ejemplo 2: El siguiente diagrama representa un grafo

K 2,3 regular

81


Gráfica 1.3.2. Ejemplo de grafo bipartido K(2,3) regular

Ejercicio Ejercicio 1: Proponga dos ejemplos de grafos bipartidos regulares y un ejemplo de un grafo que no es bipartido. ¿Qué es un grafo completo? Un grafo es completo cuando hay siempre una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota K n .

Ejemplo 3: completos.

Los siguientes diagramas son ejemplos de grafos

Gráfica 1.3.3 Grafos completos, K1, K2, K3, K4 respectivamente.

82


Ejemplo 4: El siguiente grafo no es completo.

Gráfica 1.3.4 Grafo que no es completo.

Ejercicio Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos de grafos completos y ejemplo de un grafo que no es completo.

un

Lección No. 28: Representación de grafos Matrices de adyacencias Además de la representación en diagramas, un grafo se puede representar por medio de una matriz que se llama matriz de adyacencia. Una matriz de adyacencia es una matriz de orden n que representa qué vértices son adyacentes en un grafo con n vértices. Las filas y las columnas representan cada uno de estos vértices y si V a 1 , a2 ,  , a n  es el conjunto de vértices y si A a ij es la matriz de adyacencia, entonces a ij 1 si a i y a j son adyacentes y a ij 0 en el caso que no lo sean. En el caso que existan aristas diferentes con los mismos extremos, a ij toma el valor del número de arista que hay entre a i y a j . En el caso que un grafo no sea digrafo o multidigrafo hay simetría, es decir, a ij a ji

83


Ejemplo 1: La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 1.2.1 es 0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

Ejemplo 2: La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 1.2.2 es 1 2 0 0

2 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 0

Ejemplo 3: La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 1.2.3 es 0 1 1 0 0 1 0 1 0

En este ejemplo hay que tener en cuenta que es un digrafo, por eso no hay simetría. Ejemplo 4: La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 1.2.3 es 0 1 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

En este ejemplo hay que tener en cuenta que es un multidigrafo, por eso no hay simetría.

Ejercicios Ejercicio 1: Proponga cuatro ejemplos de matrices adyacentes. 84


Ejercicio 2: Describa y trace el diagrama de los grafos que representan las siguientes matrices adyacentes.

a.

0 2 1 0 0 1 0 1 0

b.

1 1 1 1 0 1 1 1 0

0 2 0 0

c.

2 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

Matrices de incidencias Una matriz de incidencia es una matriz de orden nm que representa si un vértice hace parte de una arista en un grafo con n vértices y con m arista diferentes. Las filas representan los vértices que previamente han sido ordenados y las columnas representan cada una de las diferentes aristas que han sido previamente ordenadas. Si V a 1 , a2 , , a n  es el conjunto de vértices previamente ordenadas y si A a ij es la matriz de incidencia, entonces a ij 1 si a i es extremo de la arista y ai , a j  y a ij 0 en el caso que no lo sea.

Ejemplo 5: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.1, conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es 1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

Ejemplo 6: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.2, conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es

85


1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

Ejemplo 7: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.3, conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1

Ejemplo 8: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.4, conservando el mismo orden que se enuncian en el ejemplo es 1 1 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

Ejercicio Ejercicio 3: Proponga cuatro ejemplos de matrices incidentes.

Lección No. 29: Caminos, ciclos y grafos conexos Definiciones básicas Sean a y b dos vértices, se dice que hay un camino en el grafo G de a hacia b , si existe una sucesión finita no vacía de aristas a , v 1 , v 1 , v 2  , v 2 , v 3 , ... , v n1 , v n  ,  v n , b  . En este caso a y b se llaman los extremos del camino.

86


El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. Si los vértices no se repiten el camino se dice camino simple. Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama camino cerrado o circuito. Se llama ciclo a un circuito simple. Un vértice a se dice accesible desde el vértice camino entre ellos.

b

, si existe un

Ejemplo 1: De nuevo el grafo del ejemplo 1.2.2, la sucesión E  a , a  , a , b  , b , c  es un camino simple de a hacia b de longitud 3. Es un camino simple pero que no es ni circuito ni ciclo. Ejemplo 2: En el ejemplo 1.2.3, el camino circuito que es ciclo.

 b , c , c , b  es un

Ejercicio Ejercicio 1: Proponga cuatro ejemplos de grafos de los que pueda sacar ejemplos de camino, camino simple, circuito y ciclo.

Grafos conexos Un grafo G se dice conexo, si cada menos por un camino. La relación entre vértices dada por: a hay un camino que los une es de equivalencia de esta relación se llaman grafo.

par de vértices está unido al está relacionado con b si equivalencia. Las clases de las componentes conexas del

Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente: Hallar la matriz de adyacencia A y elevarla a la n1 -ésima potencia, después se calcula la suma de las potencias de A hasta An1 y ver 87


si todos sus elementos son 0. Si es así, el grafo es conexo.

Ejemplo 3: El siguiente diagrama es un ejemplo de un grafo que es conexo.

Gráfica 1.5.1 Grafo que es conexo.

Ejemplo 4: El siguiente diagrama es un ejemplo de un grafo que no es conexo.

Gráfica 1.5.2 Grafo que no es conexo.

Ejemplo 5: Sea un grafo

G cuya matriz de adyacencias es 0 1 0 A 1 0 1 0 1 0

88


entonces al calcular la matriz I A A2 es igual a la matriz nula, luego el grafo G es conexo. Ejercicios Ejercicio 2: son conexos.

Proponga dos grafos cuyos diagramas evidencien que

Ejercicio 3: Proponga dos grafos cuyos diagramas evidencien que no son conexos. Ejercicio 4: Verificar que el grafo del ejemplo 1.2.1 no es conexo, usando el criterio de la matriz de adyacencia. Ejercicio 5: ¿El grafo K 6 es conexo?. Verificar a través de un diagrama y usando el criterio de la matriz de adyacencia.

Lección No. 30: Grafos eulerianos y hamiltonianos ¿Qué es un grafo euleriano?

Se llama camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Un ciclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice. Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo euleriano. Si un grafo es isomorfo a un solo ciclo, siempre tiene ciclo euleriano.

El Algoritmo de Fleury es un algoritmo de búsqueda de caminos eulerianos en grafos eulerianos. Para grafos no dirigdos, estos son lo pasos generales del algoritmo: 89


(1) Si el grafo es euleriano, a partir de un vértice cualquiera de G, construiremos una cadena simple de forma que no se repitan aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no haya otra alternativa. Al finalizar este proceso, es decir, cuando hayamos agotado todas las aristas, habremos obtenido un recorrido euleriano. (2) Si el grafo contiene un camino euleriano comenzaremos con un vértice de grado impar siguiendo el proceso descrito.

Ejemplo 1: Los siguientes diagramas son ejemplos de un grafo no euleriano y de un grafo euleriano respectivamente:

Gráfica 1.6.1 Ejemplos de grafos eulerianos.

Ejercicios Ejercicio 1: Proponga un algoritmo de búsqueda de caminos eulerianos en grafos o implemente el algoritmo de Fleury para grafos no dirigidos y para grafos dirigidos. Ayuda: Buscar los pasos de este algoritmo en Google. Ejercicio 2: Una vez implementado el algoritmo del ejercicio 1.6.1, aplicarlo en los grafos de los ejemplos 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 y 1.2.4.

90


¿Qué es un grafo halmitoniano? Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano. Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano. A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuándo un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano. Lo que sigue son unas reglas para construir caminos y ciclos halmitonianos: Regla 1. Si G no es conexo, no posee ciclos Hamiltonianos. Regla 2. Si G es un grafo con n vértices, entonces un camino Hamiltoniano debe tener exactamente n − 1 aristas, y un ciclo Hamiltoniano n aristas. Regla 3. Si v es un vértice del grafo, entonces un camino Hamiltoniano debe tener al menos una arista incidente con v y a los más dos. Regla 4. Si v ∈ V tiene grado 2, entonces las dos aristas incidentes con v deben aparecer en cualquier ciclo Hamiltoniano de G. Regla 5. Si v ∈ V tiene grado mayor que 2, entonces cuando se intenta construir un ciclo Hamiltoniano, una vez que se pase por v, las aristas no utilizadas incidentes se dejan de tener en cuenta.

Ejemplo 2: El siguiente diagrama es el ejemplo clásico de construcción de un camino halmitoniano en un grafo K 12 :

91


Gráfica 1.6.2 Ejemplo clásico de construcción de un camino halmitoniano.

Ejercicio Ejercicio 2: Proponga tres ejemplos de grafos en los cuales se les puede extraer un camino halmitoniano y tres ejemplos de grafos en los cuales se pueda extraer un ciclo halmitoniano.

92


Capítulo 8

ÁRBOLES Objetivo general Entender los conceptos y definiciones básicas de árboles.

Objetivos específicos Utilizar las diferentes representaciones de un árbol. Conocer los algoritmos propios en árboles.

Comentario inicial Los árboles son un tipo especial de grafo que desde su aparición han servido en la planeación y en la estructuración de diseños industriales, como en el diseño e implementación de algoritmos, en todos estos ejemplos se aprecia la importancia de la jerarquías.

93


Lección No. 31: Árboles Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos. Un grafo se dice un bosque si sus componentes conexas son árboles. Teorema Sea

G V , E

un grafo. Son equivalentes

a) G es un árbol. b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino. c) G es conexo y toda arista de G es de separación. d) G no tiene ciclos y Card V Card E e) G es conexo y Card V Card E

1 .

1 .

f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito. Ejemplo 1: El siguiente diagrama es un ejemplo gráfico de un árbol

Gráfica 2.2.1 Ejemplo clásico de árbol.

94


Ejemplo 2: El ejemplo 1.2.1 del capítulo 1 es un árbol. Ejercicio Ejercicio 1: Proponga tres ejemplos de grafos que sean árboles.

Lección No. 32: Algunas definiciones Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos . Un árbol generador se puede crear de 2 modos: 1) Suprimir aristas que no sean de separación y 2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de forma que no creemos ningún circuito. Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su peso). Un árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los pesos de las aristas que lo componen es lo menor posible. Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos: Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo. Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean aristas de separación. Puede haber más de un árbol generador de peso mínimo, pero todos deben tener el mismo peso. Un árbol con un vértice sobresaliente o destacado se llama raíz. En este tipo de árbol los vértices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo al vértice adyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del que es hijo. Los nodos sin hijos se llaman hojas.Un árbol se dice n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos. Se llama nivel de un vértice al número de aristas que le separan de la raíz. La raíz tiene nivel 0. Se llama altura de un árbol al máximo nivel de 95


sus vértices.

Ejemplo 1: El siguiente diagrama representa un grafo al cuál le se extrae un árbol generador. El de la izquirda es el grafo y el de la derecha es el árbol generador del grafo.

Gráfica 2.3.1 Un grafo (izquierda) con un árbol generador del grafo (derecha).

Ejercicio Ejercicio 1: Para cada definición vista proponer dos grafos que sean árboles y cumplan la definición.

Lección No.33: Algoritmo en árboles Lo que sigue son algunos algoritmos propios en árboles: es un algoritmo para determinar el camino más corto en un árbol dado un vértice origen al resto de vértices ajustado a un valor de ponderación que tienen previamente las aristas. Este algoritmo es aplicable a grafos. ALGORITMO DE DIJKSTRA

96


es un algoritmo para encontrar un árbol de peso mínimo en un grafo conexo y ponderado. ALGORITMO DE KRUSKAL

es otro algoritmo que encuentra un subconjunto de aristas en un grafo no dirigido para formar un árbol con todos los vértices del grafo donde el árbol es de peso mínimo. ALGORITMO DE PRIM

Ejercicios Ejercicio 1: algoritmos .

Consultar en qué consisten cada uno de los anteriores

Ejercicio 2: Implementar cada uno de estos algoritmos en MAPLE u otro lenguaje de programación. Ayuda: Buscar en Internet, en Wikipedia o en otro buscador. Ejercicio 3: Proponer un ejemplo de aplicación por cada algoritmo .

97


Autoevaluación de la Unidad 4 Con base en la siguiente información se van a responder las preguntas de esta autoevaluación: sea la siguiente matriz una matriz de adyacencia de un grafo simple G  V , E

1. Determinar el número de vértices y el número de aristas de G . 2. Determinar los grados de cada uno de los vértices. 3. Determinar si G es conexo. 4. Determinar si G es euleriano. 5. Determinar, si es posible, un árbol generador de G . 98


RETROALIMENTACIÓN

99


Retroalimentación Unidad 1 1. Para n 1 es cierto porque 1 a 11 a1a 1 . Se supone n n 1 válido para y se desea verificar que para es cierto. Pero esto es cierto porque 1 a

n 1

1 a

n

1 a  1 an 1 a

1 an 1 a 1 a an a 2 n y a 2 n 0 entonces 1 an 1 a 1 a an1 a n 1 luego por transitividad

como

1 a n 1 para todo n . 1 a

n 1

. Como es cierto para n 1 , así es válido

2. Utilizando el Teorema Chino de los Restos se tiene que la solución es de la forma X 68 70K , donde K es un entero. 3. Es reflexiva porque a a 0 MOD 3 , es simétrica porque si a b0 MOD 3 se tiene que ba0 MOD 3 y es trasitiva porque si ab0 MOD 3 y bc0 MOD 3 se tiene que a c ab

b c 0 MOD 3

.

5X 4 MOD 11 4. En efecto 5X 37 MOD 11es quivalente a como 5 9 1 MOD 11 , se multiplica la congruencia por 9 y se tiene que X 3 MOD 11 para concluir que la solución es de la forma X 11K 3 , donde K es un entero.

5. Utilizando el Teorema Chino de los Restos se tiene que la solución es de la forma X 71 165K , donde K es un entero.

100


Retroalimentación Unidad 2 1. El orden entre las posiciones es importante y las incisiones se pueden repetir, por lo que las diferentes llaves corresponden a variaciones con repetición de 8 incisiones elegidas p veces, siendo p el número de posiciones de cada llave. La pregunta del enunciado equivale a hallar el menor valor de p tal que p 8 1000000 usando logaritmos tenemos que ese valor es 7. 2. Como los 4 platos tienen que ser diferentes, no se permiten repeticiones. Sin embargo, del enunciado no queda claro si el orden entre los platos importa o no. Por ello, vamos a considerar las dos posibilidades. Si el orden entre los platos importa, las selecciones son variaciones sin repetición y su número total es igual a V 10,4  10 9 8 7 5040 . En el caso que el orden no importa, las selecciones son combinaciones sin repetición y es 10  210 4

3. Consideramos la selección de hombres y mujeres por separado: se pueden seleccionar 3 mujeres entre 8 de

8 3

formas diferentes

pues el orden no importa pero no se pueden repetir las personas. Se pueden seleccionar 4 hombres entre 7 de Luego el número total es igual a

8 3

7 4

formas diferentes.

7 1960 . Si en el comité 4

particpan el señor y la señora mencionados tenemos que 7 6 420 . Pero como la idea es que ni el señor ni la señora 2 3 101


figuren simultáneamente entonces 1960 420 1540 4. Como los dados son indistinguibles, el orden no importa. Además los resultados de cada dado (de 1 a 6) se pueden repetir. Por tanto, los resultados de los 3 dados son combinaciones con repetición de 6 valores tomados de 3 en 3, cuyo número total es igual 6 31 56 3

5.

4 4 r 2 3 4 1 x r 0 4 x 1 4x 6x 4x x . r

102


Retroalimentación Unidad 3 1. El término general de la sucesión es a n 9 4 n . 2. Cuando se observa la sucesión de 8 términos y que a partir de la mitad se repite entonces la función generadora es f x  1 x 7 porque 1 x 71 7x 21x 2 35x 3 35x 4 21x5 7x6 x 7 . 3. La sucesión asociada a la función generadora f x cos x es a n 

1 2n 

n

, ya que al usar las series de Maclaurin tenemos que 

cos x  n0   

1 n 2n x . 2n 

4. El máximo de objetos que puede tener la primera persona es 8, el máximo para la segunda persona es 7, el máximo para la tercera y cuarta persona es 6, luego el polinomio que representa esta situación es x 3 x 4 x 5 x6 x 7 x 8 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x

x 2 x 3 x 4 x5

x6

2

El coeficiente que acompaña el término de grado 12 del polinomio es la respuesta a la pregunta.

103


Retroalimentación Unidad 4 1. Para responder se va a mirar la sucesión de los grados del grafo, que respetando el orden de las entradas de la matriz, tenemos que los grados son respectivamente 5,1, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 3,3, 2, 2,3 . Así tenemos 15 vértices y 20 aristas. 2. Como ya se indicó en la respuesta 1, los grados son 5, 1, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 3,3, 2, 2, 3 respectivamente. 3. Sí es conexo y basta con hacer un diagrama del grafo para apreciar la conexidad del grafo. 4. El grafo no es euleriano porque tiene vértices de grado impar. 5. Como el grafo es conexo, admite un árbol generador que debe tener 14 aristas. De este modo hay que quitar 7 aristas que van formando ciclos.

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Referencias 

COMELLAS, Francesc, FABREGA, Joseph, SÁNCHEZ, Anna y SERRA, Oriol. Matemática Discreta. Alfa Omega, México, 2.002



GARCIA, Carlos, LOPEZ, Joseph, RUIGJANER, Dolors. Matemáticas Discretas. Prentice Hall, Madrid, 2.002 .



GRIMALDI, Ralph, Matemáticas Discretas y Combinatorias. Tercera Edición, Prentice Hall, México, 1.998 .



REYES, Araceli, Álgebra Superior. Thomson, México, 2.005



ROSEN, Kenneth, Matemática Discreta y sus aplicaciones. Mc Graw Hill, Quinta Edición, España, 2.004 .



SCHEINERMAN, Edward, Matemáticas Discretas. Thomson, México, 2.001

Referencias Virtuales http://www.wikipedia.org/ http://perso.wanadoo.es/ebuitron/mdiscreta.htm http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=5057 http://docencia.udea.edu.co/MatematicasDiscretas/ http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/uce-mate/ap_imd.pdf http://www.escet.urjc.es/~rmunoz/discreta.html

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