COMBINATORIA La "Teoría Combinatoria" resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones (ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.
Entre las diferentes diferentes configurac configuraciones iones o agrupacione agrupacioness que podemos podemos formar con con los elementos elementos de un conjunto, conjunto, las más importantes importantes son :
Agrupaciones
Tipo
¿Importa orden?
¿Pueden Elementos Elementos En cada repetirse? por grupo disponibles agrupación...
NO
n
con repetición
SI
n < m, n > m
sin repetición
NO
sin repetición
VARIACIONES
SI
PERMUTACIONES con
SI
repetición
sin repetición
COMBINACIONES
n=m
SI
NO NO
con repetición
SI
n
m
FÓRMULA
REGLA DE MULTIPLICAR Si el objeto A 1 puede ser elegido mediante k 1 procedimientos, luego para cada una de éstas elecciones del objeto A 1 otro objeto A 2 puede ser elegido por k 2 métodos, después cada una de estas elecciones, tanto del A 1 como del A 2, el tercer objeto A 3 puede ser elegido por k 3 procedimientos, etc... incluyendo el m-ésimo objeto A m, el cual puede ser elegido mediante k m métodos, entonces el objeto que figura en la elección de todos los m objetos junto, es decir, el objeto "A 1 y A2 y A3 y ... y Am" puede ser elegido por k1·k2·k3·...·km métodos.
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Ejemplo (Variaciones SIN repetición) : ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 504 números : •
Ejemplo (Variaciones CON repetición) : ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 729 números : ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse. Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :
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Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) : Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. Por tanto, se pueden formar 120 palabras : •
Ejemplo (Permutaciones CON repetición) : ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar. Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :
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Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) : Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
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Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :
En una confiteria confiteria hay cinco tipos tipos diferentes diferentes de pasteles. pasteles. ¿De cuántas cuántas formas se pueden elegir elegir cuatro pasteles)
No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
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Ejemplo (Regla de Multiplicar) : ¿Cuantos números pares de tres cifras se pueden formar, usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse? repetirse?
Al formar un número par de tres cifras A 1A2A3 con ayuda de las cifras dadas, en vez de A 1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de A 2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A 3 cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades. De este modo, conforme a la "Regla de Multiplicar" existen 6·7·4 = 168 procedimientos. Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.
Pautas para la resolución de problemas •
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Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones. (ejemplo 1) Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. (ejemplo 2) Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones. (ejemplo 3)
COMBINATORIA PROBLEMAS
01 02 03 04
¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3,4,5, y 6?
05 06
¿De cuántos modos distintos pueden presentarse diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota?
¿Cuántas columnas rellena un quinielista que juega cinco triples? ¿Y uno que juega siete dobles? ¿Cuántos capicúas de tres cifras se pueden escribir? ¿Cuántos números naturales se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5, sin que se repita ninguno? ¿Cuántos terminan en 5? ¿Cuántos comienzan por 3?
¿Cuántos elementos hay que combinar de dos en dos para que el número de combinaciones sea 190?
