MatemáticasBásicas.pdf

Subido por:

Libros de Ingeniería Química y más

https://www.facebook.com/pages/InterfaseIQ/146073555478947?ref=bookmarks

Si te gusta este libro y tienes la posibilidad, cómpralo para apoyar al autor.

matemáticas BÁSICAS UNIVERSITARIAS

Ignacio Bello Profesor de Matemáticas Hillsborough Community College Tampa, Florida

Revisión técnica Guisele Marcel-Cordero Catedrática, Matemáticas Universidad Central de Bayamón Bayamón, Puerto Rico

(#
%
 '
%
!

%

%
! 
%

%
 !"
Y
%

!
%
  !
%

%
'
%
 
%
!"
i



%
!
%

!
%
$
%
To o

Editor: Guillermo E. Mora G. Gerente General Caribe: Álvaro García Vicepresidente Latinoamérica: Andrés Rodríguez Darrigrande

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSITARIAS

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del editor

DERECHOS RESERVADOS © 2009, respecto de la primera edición en español, por McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. A subsidiary of the McGraw-Hill Companies Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015 torre A, piso 17 Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN-13: 978-970-10-6791-8 ISBN-10: 970-10-6791-6 Traducido de: Basic College Mathematics, Third Edition Copyright © MMVIII por McGraw-Hill Companies, Inc. ISBN-13: 978-007-353344-5 ISBN-10: 007-353344-0

Impreso en

1234567908

Printed in

09765432108

6

Acerca del autor

Ignacio Bello Asistió a la Universidad de South Florida (USF), donde obtuvo un B.A y M.A en matemáticas. Comenzó a enseñar en la USF en 1967 y en 1971 se convirtió en miembro de la Facultad de Hillsborough Community College (HCC) y en Coordinador del Departamento de Matemáticas y Ciencias. El profesor Bello instituyó el programa remedial de USF/HCC, un programa que comenzó con diecisiete estudiantes que tomaron álgebra intermedia y creció a más de ochocientos estudiantes con cursos que cubren Desarrollo del Inglés, Lectura y Matemáticas. Además de la presente serie de libros (Matemáticas básicas universitarias, Álgebra introductoria y Álgebra intermedia), el profesor Bello es autor de más de cuarenta libros de texto, incluyendo Temas de matemática contemporánea (novena edición), Álgebra universitaria, Álgebra y Trigonometría y Matemática para negocios. Muchos de estos textos han sido traducidos al español. Con el profesor Fran Hop, Bello comenzó la Hotline de Álgebra, el único programa televisivo en vivo de ayuda para nivel universitario en Florida. El profesor Bello se presenta en tres programas de televisión en el canal ganador de premios Education Channel. Él ha ayudado a crear y desarrollar la página Web del Departamento de Matemática de la USF (http://mathcenter.usf.edu), que sirve de apoyo para Matemática Finita, Álgebra Universitaria, Álgebra Intermedia y Álgebra Introductoria y clases de CLAST en la USF. Puedes ver las presentaciones y los vídeos del profesor Bello en este sitio Web, así como en http://www. ibello.com. El profesor Bello es miembro de la MAA y la AMATYC y ha realizado muchas presentaciones en relación con la enseñanza de las matemáticas a nivel local, estatal, nacional e internacional.

6

Reconocimientos

Un reconocimiento especial a los evaluadores de la unidad modelo del texto Matemáticas básicas universitarias, en Puerto Rico: Esperanza Vélez G., Universidad de Puerto Rico en Bayamón José G. Rodríguez Ahumada, Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto Metro Luis R. Morera González, Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama

Mariano Martes Pagán, Universidad de Puerto Rico en Bayamón Marta Rosas de Cancio, Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto Metro Rolando Castro, Universidad de Puerto Rico en Humacao

Mi gratitud a los siguientes revisores de la serie Bello por sus muchas sugerencias útiles y puntos de vista. Ellos me ayudaron a escribir mejores libros de texto: Tony Akhlaghi, Bellevue Community College Theresa Allen, University of Idaho John Anderson, San Jacinto College–South Campus Ken Anderson, Chemeketa Community College Tiffany Andrade, Fresno City College Keith A. Austin, DeVry University–Arlington Sohrab Bakhtyari, St. Petersburg College–Clearwater Fatemah Bicksler, Delgado Community College Brenda Blankenship, Volunteer State Community College Rich Bogdanovich, Community College of Aurora Ann Brackebusch, Olympic College Margaret A. Brock, Central New Mexico Community College Gail G. Burkett, Palm Beach Community College Linda Burton, Miami Dade College Jim Butterbach, Joliet Junior College Susan Caldiero, Cosumnes River College Judy Carlson, Indiana University–Purdue University Indianapolis Edie Carter, Amarillo College Randall Crist, Creighton University Mark Crawford, Waubonsee Community College Mark Czerniak, Moraine Valley Community College Antonio David, Del Mar College Robert Diaz, California State University–Northridge Parsla Dineen, University of Nebraska–Omaha Sue Duff, Guilford Technical Community College Lynda Fish, St. Louis Community College–Forest Park Donna Foster, Piedmont Technical College Jeanne H. Gagliano, Delgado Community College Debbie Garrison, Valencia Community College Donald K. Gooden, Northern Virginia Community College–Woodbridge William Graesser, Ivy Tech Community College Edna Greenwood, Tarrant County College–Northwest Campus Ken Harrelson, Oklahoma City Community College Joseph Lloyd Harris, Gulf Coast Community College Tony Hartman, Texarkana College Susan Hitchcock, Palm Beach Community College Kayana Hoagland, South Puget Sound Community College Patricia Carey Horacek, Pensacola Junior College Peter Intarapanich, Southern Connecticut State University Judy Ann Jones, Madison Area Technical College Eric Kaljumagi, Mt. San Antonio College Linda Kass, Bergen Community College Joe Kemble, Lamar University Joanne Kendall, Blinn College–Brenham Bernadette Kocyba, J S Reynolds Community College Theodore Lai, Hudson County Community College Marie Agnes Langston, Palm Beach Community College Kathryn Lavelle, Westchester Community College

iv

Angela Lawrenz, Blinn College–Bryan Richard Leedy, Polk Community College Edith B. Lester, Volunteer State Community College Mickey Levendusky, Pima Community College Sharon Louvier, Lee College Judith L. Maggiore, Holyoke Community College

Quisiera agradecer a las siguientes personas relacionadas con la tercera edición: Timothy Magnavita, Bucks Community College Tsun-Zee Mai, University of Alabama Harold Mardones, Community College of Denver Lois Martin, Massasoit Community College Louise Matoax, Miami Dade College Gary McCracken, Shelton State Community College Tania McNutt, Community College of Aurora Kathryn Merritt, Pensacola Junior College Barbara Miller, Lexington Community College Danielle Morgan, San Jacinto College–South Campus Shauna Mullins, Murray State University Ken Nickels, Black Hawk College Diana Orrantia, El Paso Community College–Transmountain Campus Mohammed L. Pasha, Del Mar College Joanne Peeples, El Paso Community College Faith Peters, Miami Dade College–Wolfson Jane Pinnow, University of Wisconsin–Parkside Marilyn G. Platt, Gaston College Janice F. Rech, University of Nebraska–Omaha Libbie Reeves, Mitchell Community College Tian Ren, Queensborough Community College Karen Roothaan, Harold Washington College Lisa Rombes, Washtenaw Community College Don Rose, College of the Sequoias Pascal Roubides, Miami Dade College–Wolfson Juan Saavedra, Albuquerque Technical Vocational Institute Judith Salmon, Fitchburg State College Mansour Samimi, Winston–Salem State University Susan Santolucito, Delgado Community College Ellen Sawyer, College of DuPage Gretchen Syhre, Hawkeye Community College Kenneth Takvorian, Mount Wachusett Community College Sharon Testone, Onondaga Community College Stephen Toner, Victor Valley College Michael Tran, Antelope Valley College Bettie Truitt, Black Hawk College William L. Van Alstine, Aiken Technical College Julian Viera, University of Texas at El Paso Andrea Lynn Vorwark, Metropolitan Community College–Kansas City Pat Widder, William Rainey Harper College

6

Contenido

Prefacio ix Capítulo

uno

Capítulo

dos

1

6 Números

2

6 Fracciones

cardinales

El lado humano de las matemáticas 1 1.1 Numerales estándar 2 1.2 Ordenar y redondear números cardinales 13 1.3 Suma 23 1.4 Resta 36 1.5 Multiplicación 48 1.6 División 62 1.7 Números primos, factores y exponentes 71 1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 81 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 88 Aprendizaje colaborativo 98 Preguntas de investigación 99 Resumen 99 Ejercicios de repaso 102 Examen 106

y números mixtos

El lado humano de las matemáticas 109 2.1 Fracciones y números mixtos 110 2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 120 2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 129 2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 141 2.5 Suma y resta de fracciones 151 2.6 Suma y resta de números mixtos 161 2.7 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 169 2.8 Ecuaciones y resolución de problemas 176 Aprendizaje colaborativo 187 Preguntas de investigación 188 Resumen 188 Ejercicios de repaso 190 Examen 195 Repaso de los capítulos 1–2 197

v

6

Contenido

Capítulo

tres

Capítulo

cuatro

Capítulo

cinco

vi

3

6

4

6

5

6

Decimales El lado humano de las matemáticas 199 3.1 Suma y resta de decimales 200 3.2 Multiplicación y división de decimales 211 3.3 Fracciones y decimales 223 3.4 Decimales, fracciones y orden de operaciones 232 3.5 Ecuaciones y resolución de problemas 239 Aprendizaje colaborativo 246 Preguntas de investigación 247 Resumen 247 Ejercicios de repaso 248 Examen 251 Repaso de los capítulos 1–3 253

Razón, tasa y proporción El lado humano de las matemáticas 255 4.1 Razón y proporción 256 4.2 Tasas 265 4.3 Resolución de problemas que involucran proporciones 272 Aprendizaje colaborativo 279 Preguntas de investigación 280 Resumen 280 Ejercicios de repaso 281 Examen 283 Repaso de los capítulos 1–4 285

Porciento El lado humano de las matemáticas 287 5.1 Notación de porciento 288 5.2 Problemas con porcientos 298 5.3 Resolver problemas con porcientos usando proporciones 309 5.4 Impuestos, intereses, comisiones y descuentos 313 5.5 Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento 322 5.6 Crédito al consumidor 330 Aprendizaje colaborativo 339 Preguntas de investigación 339

6

Contenido

Resumen 340 Ejercicios de repaso 341 Examen 345 Repaso de los capítulos 1–5 347

Capítulo

seis

Capítulo

siete

6

7

6 Estadísticas

y gráficas

El lado humano de las matemáticas 349 6.1 Tablas y pictogramas 350 6.2 Gráficas de barras y de líneas 357 6.3 Gráficas circulares (gráficas de “pie”) 374 6.4 Media, mediana y moda 386 Aprendizaje colaborativo 397 Preguntas de investigación 397 Resumen 398 Ejercicios de repaso399 Examen 403 Repaso de los capítulos 1–6 406

Medidas y el sistema métrico El lado humano de las matemáticas 409 Longitud: el sistema americano 410 7.2 Longitud: el sistema métrico 416 7.3 Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano 421 7.4 Área: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones 426 7.5 Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones 431 7.6 Peso y temperatura: americano, métrico y conversiones 437 Aprendizaje colaborativo 443 Preguntas de investigación 444 Resumen 444 Ejercicios de repaso 446 Examen 449 Repaso de los capítulos 1–7 451

6 7.1

vii

6

Contenido

8

Capítulo

ocho

c

(4.28  4.0)2  (4.10  4.0)2 c
0.30 m

Y

(4.28,4.10) c (4,4)

X

Capítulo

nueve

Capítulo

diez

viii

9 10

6 Geometría El lado humano de las matemáticas 453 8.1 Líneas, ángulos y triángulos 454 8.2 Hallar perímetros 471 8.3 Hallar áreas 479 8.4 Volumen de los sólidos 488 8.5 Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras 499 Aprendizaje colaborativo 506 Preguntas de investigación 507 Resumen 507 Ejercicios de repaso 511 Examen 515 Repaso de los capítulos 1–8 518

6 Los

números reales

El lado humano de las matemáticas 521 9.1 Suma y resta de enteros 522 9.2 Multiplicación y división de enteros 538 9.3 Los números racionales 546 9.4 Orden de las operaciones 556 Aprendizaje colaborativo 563 Preguntas de investigación 563 Resumen 564 Ejercicios de repaso 565 Examen 570 Repaso de los capítulos 1–9 572

6 Introducción

al álgebra

El lado humano de las matemáticas 575 10.1 Introducción al álgebra 576 10.2 Álgebra de los exponentes 587 10.3 Notación científica 596 10.4 Resolver ecuaciones lineales 602 10.5 Aplicaciones: problemas verbales 611 Aprendizaje colaborativo 624 Preguntas de investigación 625 Resumen 625 Ejercicios de repaso 626 Examen 630 Repaso de los capítulos 1–10 632

Apéndice 1: Apuntes sobre la teoría de conjuntos 635 Apéndice 2: Apuntes sobre conjuntos de números reales y complejos 641 Respuestas seleccionadas RS-1 Créditos fotográficos C-1 Índice I-1 Índice de aplicaciones IA-1

6

Prefacio

Del autor La inspiración de mi enseñanza Nací en La Habana, Cuba, y encontré algunos de los mismos desafíos en matemáticas que los que enfrentan algunos de mis estudiantes actuales, todo mientras intentan sobreponerse a la barrera del idioma. En la escuela superior, fracasé en mi curso de matemáticas de primer año, que en ese momento era un lenguaje muy complejo para mí. Sin embargo, con la perseverancia como una de mis características, obtuve un puntaje de 100% en el examen final la segunda vez que lo tomé. Luego de trabajar en varios oficios (constructor de techos, instalador de láminas de yeso y metal y trabajador en un astillero), terminé la escuela superior y recibí una beca de estudios universitarios. Me inscribí en cálculo y obtuve una “C”. Sin desanimarme nunca, me convertí en un estudiante de matemáticas y aprendí a sobresalir en los cursos que previamente me habían frustrado. Mientras era un estudiante en la University of South Florida (USF), enseñé en una escuela técnica, El Instituto Técnico de Tampa, lo cual fue una decisión que contribuyó a mi resolución de enseñar matemáticas y hacer realidad para mis estudiantes la forma en que instructores brillantes como Jack Britton, Donald Rose y Frank Cleaver lo han hecho conmigo. Mis instructores de matemáticas instalaron en mí la motivación para ser exitoso. He aprendido mucho acerca de la forma en que los estudiantes aprenden y cómo guiar correctamente a través del currículo de desarrollo de las matemáticas que lleva al éxito del estudiante. Creo que he conseguido un alto nivel de guía en mi serie de libros de texto explicando cuidadosamente a los estudiantes el lenguaje de las matemáticas, para ayudarlos a alcanzar el éxito.

Un enfoque viviente para llegar a los estudiantes de hoy Enseñar matemáticas en la University of South Florida fue una gran carrera para mí, pero me desilusionó el material que usé. Estaba en boga un libro bastante impositivo; matemáticamente correcto, pero aburrido. Los estudiantes lo odiaban, los profesores lo odiaban y los administradores lo odiaban. Tomé el desafío de escribir un libro mejor, uno que no sólo fuera matemáticamente correcto, sino orientado a los estudiantes con aplicaciones interesantes –muchas sugeridas por ellos mismos– e igualmente, me atrevo a decir, ¡entretenido! Ese enfoque y filosofía han probado ser un éxito instantáneo y fue el precursor de mis series actuales. Los estudiantes llamaban a mi clase cariñosamente “la hora de la comedia de Bello”, pero trabajaban duro y les iba bien. Dado que mis estudiantes siempre obtenían los puntajes más altos en el examen final común en USF, supe que había encontrado una manera de motivarlos a través de lenguaje del sentido común y con humor, con aplicaciones matemáticas realistas. También quise mostrar a mis estudiantes que ellos podían superar los mismos obstáculos que yo tuve en matemáticas y tener éxito. Si matemáticas fue una materia con la cual algunos de sus estudiantes nunca se sintieron cómodos, ¡ellos no están solos! Escribí este texto teniendo siempre en mente la gran ansiedad que las matemáticas causan a muchos estudiantes, para que ellos encuentren mi tono jovial; además, mis explicaciones son pacientes, y en lugar de hacer que las matemáticas parezcan misteriosas, las hice con los pies en la tierra y fácilmente digeribles. Por ejemplo, luego de explicar los diferentes métodos de simplificar fracciones, les hablo directamente a los lectores: “¿De qué manera deberías simplificar fracciones? ¡de la forma en que tú entiendas!” Una vez que los estudiantes se den cuenta que las matemáticas están bajo su control y no es un lenguaje extraño, se sorprenderán de cuánto más seguros se sienten de ellos mismos.

ix

6

Prefacio Enfoque a un mundo real: aplicaciones, motivación del estudiante y resolución de problemas ¿Qué significa “enfoque a un mundo real”? Hallé que la mayoría de los libros de texto proponen aplicaciones “del mundo real” que no significaban nada en el mundo real de mis estudiantes. ¿Cuántos de mis estudiantes realmente necesitarán calcular la velocidad de una bala (a menos que estén en su camino) o preocuparse en saber cuándo dos trenes viajando en distintas direcciones se cruzarán (ocurriría un desastre si los dos van por los mismos rieles)? Para mis alumnos, tanto tradicionales como no tradicionales, el mundo real consiste en preguntas del tipo, “¿cómo encuentro el mejor plan para mi celular?” y “¿cómo pagaré la matrícula y los cargos si estos aumentan en x%?”. Es por eso que introduje conceptos matemáticos a través de aplicaciones de la vida cotidiana con información real y doy tareas usando situaciones similares y bien fundamentadas (ver la aplicación de Para comenzar que introduce cada tema de la sección y ejercicios de problemas verbales en cada sección). Presentar las matemáticas en un contexto del mundo real me ayudó a superar uno de los problemas que todos enfrentamos como profesores de matemáticas: la motivación de los estudiantes. Ver las matemáticas en el mundo real hace que los alumnos se reanimen en una clase de matemáticas de una forma que no he visto nunca, y el realismo ha probado ser el mejor motivador que he usado. Sumado a ello, el enfoque a un mundo real me permitió mejorar en los estudiantes la destreza de resolución de problemas, porque están mucho más dispuestos a abordar un problema del mundo real que les interese que uno que parece imaginario.

Estudiantes diversos y múltiples estilos de aprendizaje Sabemos que vivimos en una sociedad pluralista, entonces, ¿cómo escribimos un libro de texto para todos? La respuesta es construir un conjunto flexible de herramientas de enseñanza que los instructores y los estudiantes puedan adaptar a sus propias situaciones. ¿Todos sus estudiantes tienen el mismo estilo de aprendizaje? ¡Por supuesto que no! Es por eso que escribí un libro que ayudará a los estudiantes a aprender matemáticas sin importar su estilo personal de aprendizaje. Los estudiantes visuales se beneficiarán de la limpia distribución del texto en la página, del cuidadoso uso de los resaltadores de colores, “Web its” y las lecciones de vídeo en la página de internet del texto. Los estudiantes auditivos ganarán de las lecciones de audio de e–professor de la página de internet del texto y ambos auditivos y estudiantes sociales se verán ayudados por los proyectos de Aprendizaje colaborativo. Los estudiantes aplicados y pragmáticos encontrarán gran cantidad de herramientas hechas para ayudarlos: preexámenes que pueden encontrarse en MathZone que proveen problemas de práctica para cada ejemplo y Pruebas de dominio que aparecen al final de cada sección, para nombrar sólo algunas. Los estudiantes espaciales encontrarán que el Resumen del capítulo está diseñado especialmente para ellos, mientras que los creativos hallarán que las Preguntas de investigación les van naturalmente. Finalmente, los estudiantes conceptuales se sentirán en casa con herramientas como El lado humano de las matemáticas y los ejercicios de ¡Escribe! Todo estudiante que está acostumbrado a abrir su libro de matemáticas y sentir que se enfrenta con una pared de ladrillos encontrará en mi libro que están abiertas muchas puertas que los invitan a entrar.

Una preparación para el álgebra Este texto ofrece dos herramientas adicionales para ayudar a los estudiantes de matemáticas básicas universitarias y los prepara para tomar los siguientes cursos de álgebra: primero, las actividades del “Puente algebraico” aparecen en los márgenes y grupos de ejercicios donde sea apropiado en los capítulos 1 al 3, y proveen una comparación de lado a lado entre las expresiones numéricas y variables; segundo, los capítulos 1 al 3 finalizan en secciones sobre ecuaciones y resolución de problemas que aplican el tema del capítulo al contexto de hallar desconocidos, lo que expone a los estudiantes a los conceptos fundamentales que necesitarán para realizar álgebra en un futuro. x

6

Prefacio

Escuchar las preocupaciones de los estudiantes e instructores McGraw–Hill me dio recursos maravillosos para hacer mi libro de texto más cercano a las preocupaciones inmediatas de estudiantes y profesores. Más allá de haber enviado mi manuscrito para ser revisado por instructores en muchas universidades diferentes, varias veces al año McGraw–Hill realiza simposios y grupos focales con instructores de matemáticas, en los que el énfasis no se pone en la venta de productos, sino en que la editorial escuche las necesidades de los profesores y de los estudiantes. Éstos encuentros me dieron una gran riqueza de ideas en cómo mejorar la organización de mis capítulos, hacer que la distribución de las páginas de mis libros sean más legibles y hallar ejercicios ajustados en cada capítulo para que los estudiantes y los profesores se sientan cómodos usando mi texto, porque incorpora sus sugerencias específicas y anticipa sus necesidades.

El éxito en matemáticas ¿Por qué algunos estudiantes tienen más éxito que otros? Generalmente es porque saben manejar su tiempo y tienen un plan de acción. Los estudiantes pueden usar modelos similares a estas tablas para hacer un calendario semanal de su tiempo (clases, estudio, trabajo, personal, etc.) y un calendario semestral que indique los eventos más importantes como pruebas, informes y otros. Hágalos que intenten hacer el mayor número de sugerencias en la lista “L-I-C-E”, que les sea posible (más grande, versiones imprimibles de estas tablas pueden hallarse en MathZone en www.mhhe.com/bello.) L—Leer o ver el material antes y después de cada clase. Esto incluye el libro de texto, los vídeos que vienen con el libro y todo material especial dado por el instructor. I—Interactuar o practicar usando el CD que viene con el libro (en inglés) o los ejercicios de internet sugeridos en las secciones o buscar tutoría institucional. C— Comentar o estudiar tus tareas y las notas de clase con un compañero/grupo de estudio, con tu instructor o tutor, si está disponible, con un foro de discusión.

Horario semanal Hora

8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00

D

L

M Mi

Calendario semestral J

V

S

Semana

L

M

Mi

J

v

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

xi

6

Prefacio E—Evaluar tu progreso verificando las preguntas de tarea para el hogar en números alternados con la clave de respuesta al final del libro, usando las pruebas de dominio en cada sección como un autoexamen y usando los ejercicios de repaso y los exámenes del capítulo, antes de tomar el examen verdadero. Como los ítems de la lista forman parte de tus hábitos de estudio cotidianos, estarás listo para alcanzar tu éxito en matemáticas.

6

Mejoras en la tercera edición Con base en la valiosa retroalimentación de muchos de los revisores y usuarios a través de los años, las siguientes son las mejoras hechas a la presente edición de Matemáticas básicas universitarias.

Cambios en la organización s %LCAPÓTULOTIENEUNASECCIØNNUEVA%LMÓNIMOCOMÞNMÞLTIPLO s %L CAPÓTULO  FUE REORGANIZADO Y AHORA COMIENZA CON LAS IDEAS BÈSICAS DE geometría: puntos, líneas, ángulos y triángulos (sección 8.1), seguido por el estudio de los perímetros (sección 8.2), las áreas (8.3), el volumen de los sólidos (sección 8.4), las raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras (sección 8.5). s %LCAPÓTULOTIENEUNASECCIØNNUEVAREVISADA QUEHACEÏNFASISENLOSUSOS de los enteros y cómo compararlos y graficarlos en una recta numérica.

Cambios pedagógicos s Las aplicaciones del mundo real—muchos ejemplos, aplicaciones y problemas de información real se agregaron o actualizaron para mantener al corriente los contenidos del libro. s Web its—Ahora se encuentran al margen de los ejercicios y en MathZone (www. mhhe.com/bello) para incentivar a los estudiantes para que visiten sitios de matemáticas mientras están navegando y descubrir los muchos sitios informativos y creativos que están dedicados a estimular una mejor educación en matemáticas. s Rincones de la calculadora—se encuentran antes de los ejercicios y fueron actualizados con información reciente y teclas relevantes de las actuales calculadoras más populares. s Comprobación de conceptos—estos fueron agregados al final de cada sección de ejercicios para ayudar a los estudiantes a reforzar los términos claves y las ecuaciones. s Preexámenes—se pueden hallar en MathZone (www.mhhe.com/bello) y proveen problemas de práctica para cada ejemplo. Las respuestas a estos pueden compararse con los resultados de los exámenes de práctica al final del capítulo para evaluar y analizar el éxito de los estudiantes. s El enfoque RSTUV para la resolución de problemas fue extendido y usado a lo largo de esta edición como una respuesta a los comentarios positivos tanto de los estudiantes como de los usuarios de la edición previa. s ,OSRECUADROSDETraduce esto—aparecen periódicamente antes de los ejercicios de problemas verbales, para ayudar a los estudiantes a traducir frases en ecuaciones, reforzando el método de resolución de problemas. s Comprobación de destrezas—ahora aparece al final de cada conjunto de ejercicios, asegurando que los estudiantes tengan las destrezas necesarias para la siguiente sección. s Exámenes de capítulo (diagnóstico)—al final de cada capítulo da a los estudiantes la retroalimentación y guía necesarias acerca de qué sección, ejemplos y páginas deben revisar. xii

Sección 1.1 1.2

Numerales estándar

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Suma

1.8

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

1.9

Ecuaciones y resolución de problemas

Capítulo

1 uno

Ordenar y redondear números cardinales Resta Multiplicación División Números primos, factores y exponentes

6

Números cardinales*

* Cardinales: Números enteros positivos, incluyendo el cero (ver apéndices 1 y 2)

El lado humano de las matemáticas El desarrollo del sistema numérico usado en aritmética ha sido una tarea multicultural. Hace más de 20,000 años, nuestros ancestros necesitaron contar sus posesiones, su ganado y el paso de los días. Los aborígenes australianos contaron hasta dos, los indígenas suramericanos cerca del Amazonas lo hicieron hasta seis, y los bushmen de Sudáfrica fueron capaces de contar hasta diez, de dos en dos (10  2  2  2  2  2). La primera técnica usada para expresar un número fue la tarja (del verbo francés tailler “cortar”). La tarja, una práctica que alcanzó su nivel de desarrollo más alto con los hacendados británicos, usó piezas de madera de avellana con aproximadamente 6 a 9 pulgadas de largo y una de ancho, con muescas de diferentes tamaños y tipos. Cuando se hacía un préstamo, se cortaban las muescas apropiadas y el palo se partía en dos partes, una para el deudor y otra para el hacendado. De esta manera, las transacciones podían verificarse fácilmente uniendo las dos mitades y viendo si las muescas coincidían, de ahí la expresión: “nuestras cuentas Egipcios, aproximadamente en el año 3000 a.C. cuadran”. El desarrollo de la escritura numérica se debe principalmente a 1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 los egipcios (alrededor del año 3.000 a.C.), los babilónicos (alrededor del Babilónicos, aproximadamente en el año 2000 a.C. 2000 a.C.), los primeros griegos (aproximadamente en el 400 a.C), los hindúes (aproximadamente en 0 1 10 12 20 60 600 el 250 a.C.) y los árabes (alrededor del 200 a.C.). La tabla muestra los Primeros griegos, aproximadamente en el año 400 a.C. números que usaron algunas de estas civilizaciones: En este capítulo estudiaremos operaciones con números cardinales 1 5 10 50 100 500 5000 y su uso en la sociedad actual.

1

2

Capítulo 1

1-2

Números cardinales

1. 1

Numerales estándar

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

del capítulo

Reconocer los números naturales (1, 2, 3, y así sucesivamente).

Debes ser capaz de:

A6

Determinar el valor de posición de un dígito en un numeral.

B6

Escribir un numeral estándar en forma expandida.

C6

Escribir un numeral extendido en forma estándar.

D6

Expresar un numeral estándar en palabras.

E6

Escribir un numeral dado en palabras en forma estándar.

F6

Escribir el número correspondiente a la aplicación dada.

6 Para comenzar En la siguiente caricatura, Pedro ha usado los números 1, 2, 3, y así sucesivamente, como un indicador de millas. ¡Desafortunadamente, olvidó el 4! En nuestro sistema numérico usamos los diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, para crear numerales que representen números cardinales. Número y numeral son conceptos estrechamente relacionados (a veces usamos los términos indistintamente). Un número es una idea abstracta que representa una cantidad, mientras que un numeral es un símbolo que representa un número. En la caricatura, “el cuatro” es un número representado por el numeral 4. En la época de los romanos, el número “cuatro” se representaba por el numeral IV. De igual forma, el marcador en el último indicador de millas es “doscientos uno”, o 201, o CCI, en números romanos. Hemos escrito 201 de dos formas: en forma estándar, 201, y en palabras, doscientos uno. En esta sección aprenderemos cómo escribir numerales de tres formas: estándar, expandida y en palabras; pero antes de hacerlo, exploraremos cómo los dígitos pueden tener diferentes valores dependiendo de su ubicación en un numeral.

Los números naturales 1, 2, 3.., a veces son denotados por el conjunto H1, 2, 3...J Con permiso de John L. Hart FLP y Creators Syndicate, Inc.

La población de la Tierra es

6,511,257,348 Para ver la población actual, inténtalo en http://www.census.gov

A 6 Valor posicional La posición de cada dígito en un número determina el valor del dígito. Mira el reloj de la población mundial. ¿Cuál es el único dígito que falta? ¿Cuáles dígitos se repiten? ¿Cuál es el valor de los dígitos que se repiten? ¡Depende! Para ayudarte con la respuesta, usamos una tabla de valores numéricos en la cual cada grupo de tres dígitos se llama periodo. Llamamos a estos periodos unidades, millares, millones, billones, etcétera. Cada

1-3

1.1

Numerales estándar

3

ie

D

Ci

en

bi llo z b n es M illo il n m es ill Ci o en n es m D ie illo z m ne M ill s ill o n o n es es Ci en m D ie illar z m es M ill ill ar ar es e Ce s nt e D n as ec en U as ni da de s

periodo tiene tres categorías: unidades, decenas y centenas, separadas por comas (casi siempre las comas se omiten en números de cuatro dígitos, como 3248 y 5093). Ahora ubica el número 6,511,257,348 en la tabla:

6 , 5 Billones (o mil millones)

1

1 , 2

Millones

5

7 , 3

Millares

4

8

Unidades

¿Cuál es el valor de 1 (hay dos de ellos)? Puede ser 1 millón o 1 diez millones. El valor de 5 puede ser 50 millares o 500 millones. ¿Entiendes la idea? Sólo lee la columna (arriba) usando la categoría y el periodo en el que aparece el número deseado.

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Hallar el valor de un dígito Teniendo en cuenta la población de la Tierra, halla el valor de a. 6 b. 3 c. 4

Halla el valor de a. 2

b. 7

c. 8

SOLUCIÓN a. El 6 aparece en la columna de los billones; su valor es 6 billones. b. El 3 está en la columna de las centenas; su valor es 3 centenas. c. El 4 está en la columna de las decenas; su valor es 4 decenas. El numeral 6,511,257,348 es un ejemplo de un número cardinal. El conjunto de números cardinales es 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . El número cardinal más pequeño es 0 y el patrón sigue indefinidamente como se indica con los tres puntos (...), llamados puntos suspensivos. Esto significa que no existe un número cardinal más grande. Si se omite 0 del conjunto de números cardinales, el nuevo conjunto de números se llama números naturales. Los números naturales son 1, 2, 3, . . . Como lo prometimos, ahora aprenderemos a escribir números en forma estándar, expandida y en palabras.

B 6 Forma expandida de un numeral El numeral estándar para el último indicador de millas en la caricatura es 201. He aquí otros números estándar: 4372 y 68. Los numerales estándar como 4372, 201 y 68 se pueden escribir de forma expandida así: millares centenas decenas unidades

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. doscientos mil b. 7 mil c. 8 unidades

}

4 3 7 2  4000  300  70  2 2 0 1 200  0  1* 6 8 608 * 201 también se puede escribir en forma expandida como 200  1.

4

Capítulo 1

1-4

Números cardinales

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Escribir números de forma expandida Escribe 4892 de forma expandida.

Escribe 9241 en forma expandida.

SOLUCIÓN 4892  4000  800  90  2

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Escribir números de forma expandida Escribe 765 de forma expandida.

Escribe 197 en forma expandida.

SOLUCIÓN 765  700  60  5

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Escribir números de forma expandida Escribe 41,205 de forma expandida.

Escribe 98,703 de forma expandida.

SOLUCIÓN 41,205  40,000  1000  200  0  5 o  40,000  1000  200  5 Observa que cuando hay ceros en el numeral dado, la forma expandida es más corta.

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

Millas en la vía pública local urbana De acuerdo con las Estadísticas del Departamento de Transporte, en la vía pública estadounidense local urbana el número de millas es de 598,421. Escribe 598,421 de forma expandida.

El número de millas de carreteras públicas locales urbanas es de 89,789. Escribe 89,789 en forma expandida.

SOLUCIÓN 598,421  500,000  90,000  8000  400  20  1

C 6 Forma estándar de un numeral También podemos hacer el proceso contrario, que es escribir la forma estándar para 3000  200  80  9 como 3

EJEMPLO 6 Escribir números en la forma estándar Escribe 7000  800  90  2 en la forma estándar. SOLUCIÓN

2

8

9

PROBLEMA 6 Escribe 9000  200  20  5 en forma estándar.

7000  800  90  2 se escribe 7

8

9

2

EJEMPLO 7 Escribir números en la forma estándar Escribe 70,000  6000  300  20  1 en la forma estándar. SOLUCIÓN 70,000  6000  300  20  1 7

6

,

3

2

PROBLEMA 7 Escribe 10,000  1000  100  10  1 en forma estándar.

se escribe

1

Respuestas a los PROBLEMAS 2. 9000  200  40  1

3. 100  90  7

4. 90,000  8000  700  3

5. 80,000  9000  700  80  9

6. 9225

7. 11,111

1-5

1.1

EJEMPLO 8 Escribe los números en la forma estándar Escribe 90,000  600  1 en la forma estándar.

Numerales estándar

5

PROBLEMA 8 Escribe 50,000  200  6 en la forma estándar.

SOLUCIÓN 90,000  600  1 se escribe 9 0 , 6 0 1 Nota que el cero aparece en el lugar de las decenas y de los millares haciendo el numeral expandido más corto.

D 6 De numerales a palabras El monto del cheque de lotería mostrado aquí es de $294,000,000. ¿Puedes escribir esta cantidad en palabras? Aquí te mostraremos cómo hacerlo, “doscientos noventa y cuatro millones”. Además la cantidad del cheque no es así de larga. De acuerdo con el libro de Guinness Récords la cantidad más grande que se ha pagado en un cheque es de $16,640,000,000 y fue el Gobierno de Estados Unidos que la pagó al Ministerio de Finanzas de la India. ¿Sabes cómo leer y escribir 16,640,000,000 en palabras? Esta cantidad se escribe así: Dieciséis mil seiscientos cuarenta millones (o dieciséis billones seiscientos cuarenta millones)*

El número 16,640,000,000 puede ser ubicada en un cuadro así:

1

6 , 6

billones o mil millones

Un periodo es un grupo de tres dígitos.

4 millones

0 , 0

0

0 , 0

millares

8. 50,206

0

unidades

En cada periodo los dígitos se leen de forma normal (“dieciséis”, “seiscientos cuarenta”) y luego, por cada periodo, excepto las unidades, el nombre del periodo se agrega según corresponda (“billones”, “millones”).

* En Europa y Suramérica un billón es un millón de millones o 1,000,000,000,000.

Respuestas a los PROBLEMAS

0

Capítulo 1

1-6

Números cardinales

EJEMPLO 9

Escribir números en palabras Escribe cada número en palabras.

PROBLEMA 9

SOLUCIÓN

a. 93

a. 85 b. 102 ,682

Ochenta y cinco Primero rotulamos cada periodo para una referencia fácil, como se muestra. Ciento dos mil, seiscientos ochenta y dos.

Escribe cada número en palabras. b. 209,376 c. 75,142,642,893

unidades

millares

︸

c. 13 , 012 , 825 , 476

unidades

millares

millones

︸ ︸︸︸

billones o mil millones

6

Primero rotulamos cada periodo para una referencia fácil, como se muestra. El número en palabras es trece billones, doce millones, ochocientos veinticinco mil, cuatrocientos setenta y seis.

E 6 De palabras a numerales Podemos invertir el proceso en el ejemplo 9 y escribir el nombre de un numeral en la forma estándar, como se muestra a continuación.

EJEMPLO 10 Escribir números en la forma estándar Escribe ciento tres millones ochocientos cuarenta y siete mil seiscientos once en forma estándar. SOLUCIÓN

PROBLEMA 10 Escribe trescientos diez millones seiscientos noventa y dos mil setecientos doce en forma estándar.

La forma estándar es 103,847,611.

EJEMPLO 11 Escribir números en la forma estándar Escribe cuatro mil millones en forma estándar.

Consumo de popcorn

PROBLEMA 11 Los americanos comen un billón ciento veinticinco millones de libras de popcorn. Escribe 1125 millones en la forma estándar. Fuente: The Popcorn Board.

Los estadounidenses comen alrededor de 4 billones de galones de popcorn cada año, con un promedio de consumo por persona cercano a los 15 galones anuales. Es suficiente popcorn para llenar 70 cajas de de cuatro tazas.

SOLUCIÓN

Tenemos que incluir billones, millones, millares y unidades. 4, 000, 000, 000

Respuestas a los PROBLEMAS 9. a. noventa y tres b. doscientos nueve mil, trescientos setenta y seis c. setenta y cinco billones, ciento cuarenta y dos millones, seiscientos cuarenta y dos mil ochocientos noventa y tres 10. 310,692,712 11. 1,125,000,000

1-7

1.1

7

Numerales estándar

F 6 Aplicaciones que implican numerales estándar

Las ideas aquí presentadas se pueden usar en la vida diaria. Por ejemplo, la cantidad de electricidad que se usa en tu casa se mide con un contador eléctrico en kilovatios/horas (kWh) (de hecho, un contador eléctrico tiene seis marcas). Para leerlo, debemos usar la forma estándar del número implicado. Es así como el electrómetro que se muestra abajo se lee empezando por la izquierda y escribiendo las figuras de forma estándar. Cuando la manecilla está entre dos números se usa la más pequeña. De esta forma la lectura es: 5

8

1 0 9

4 5 6

EJEMPLO 12

9 0 1 8 7

2 3

2 1 0 9 2 3

8 7

4

6 5 4

9 0 1 8 7

2 3

2 3

8 7 6 5 4

4 5 6

PROBLEMA 12

Lectura de tu contador eléctrico

Lee el metro.

Lee el metro. 1 0 9

1 0 9

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

1 0 9 2 3

8 7 6 5 4

8 7

2 3

4 5 6

1 0 9 2 3

8 7 6 5 4

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

2 3

8 7 6 5 4

2 3

8 7

4 5 6

9 0 1 8 7

2 3

9 0 1

6 5 4

SOLUCIÓN El primer número es 6 (porque la manecilla está entre 6 y 7, y debemos escoger el número más pequeño) y el siguiente es 3, seguido de 8 y 1. De esta forma, la lectura es 6381 kilovatios-horas.

6Puente algebraico Ahora hemos aprendido a escribir números de forma expandida. En álgebra usamos letras como x, y o z para representar los números. En aritmética escribimos 397 como 300  90  7 o en su equivalente 3  102  9  10  7, donde 102 significa 10  10. Observa las similitudes entre aritmética y álgebra. Aritmética Álgebra Para más aplicaciones de la vida diaria, ver 3  102  9  10  7 3x2  9x  7 la sección Usa tus 8x3  2x2  5x  2 8  103  2  102  5  10  2 conocimientos, en la 3  10  9 3x  9 página 11. Señalaremos más adelante en este capítulo muchas más similitudes y relaciones entre aritmética y álgebra.

Rincón de la calculadora Para el estudiante y el instructor: los ejercicios del RINCÓN DE LA CALCULADORA dan a los estudiantes la oportunidad de ver cómo el material se relaciona con los rasgos de una calculadora científica económica. 1. ¿Cuál es el número más grande que puedes escribir en tu calculadora? Escribe la respuesta como numeral y en palabras. 2. ¿Tienes que usar comas en tu calculadora para ingresar el número 32,456?

Respuestas a los PROBLEMAS 12. 1784

8

Capítulo 1

1-8

Números cardinales

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

6Web IT

Valor posicional En los problemas del 1 al 6, ¿cuál es el valor del número encerrado en el círculo?

Estados con la mayoría de botes registrados

1.

Florida

2.

Michigan

3.

California

4.

Minnesota

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 1.1

946,072 944,800 894,884 853,448

Fuente: Datos de National Marine Manufacturers Association.

5. 853,4 4 8? 6. 853, 4 48

En los problemas del 7 al 10, ¿cuál es el valor del dígito subrayado? Educación y ganancias

$74,602

7.

$51,206

8.

$27,915

9.

$18,734

10.

Posgrado

Bachillerato

Grado de Sin grado de Escuela Superior Escuela Superior

Fuente: Datos del U.S. Census Bureau.

5B6

Forma expandida de un numeral En los problemas del 11 al 30, escribe la forma expandida.

11. 34

12. 27

13. 108

14. 375

15. 2500

16. 8030

17. 7040

18. 3990

19. 23,018

20. 30,013

21. 604,000

22. 82,000

23. 91,387

24. 13,058

25. 68,020

26. 30,050

27. 80,082

28. 50,073

29. 70,198

30. 90,487

> Self-Tests > e-Professors > Videos

1-9

Numerales estándar

Forma estándar de un numeral En los problemas del 31 al 50, escribe la forma estándar. 33. 3008

34. 6005

35. 800202

36. 600306

37. 7001

38. 9004

39. 3000400703

40. 100060010 2

41. 5000200 50

42. 7000500 20

43. 200030

44. 500060

45. 800090

46. 60003

47. 70001

48. 1000300

49. 6000600

50. 800070

En los problemas del 51 al 60, escribe en palabras los numerales.

51. 57

52. 109

53. 3408

54. 43,682

55. 181,362

56. 6,547,210

57. 41,300,000

58. 341,310,000

59. 1,231,341,000

60. 10,431,781,000

De palabras a numerales En los problemas del 61 al 70, escribe los numerales dados en la forma estándar.

61. Ochocientos nueve

62. Seiscientos cincuenta y tres

63. Cuatro mil ochocientos noventa y siete

64. Ocho mil seiscientos veintisiete

65. Dos mil tres

66. Un millón dos mil

67. Dos millones veintitrés mil cuarenta y cinco

68. Diecisiete millones cuarenta y siete mil noventa y siete

69. Trescientos cuarenta y cinco millones treinta y tres mil ochocientos noventa y cuatro

70. Nueve billones novecientos noventa y nueve millones novecientos noventa y siete

5F6

Aplicaciones que involucran numerales estándar

71. Costos de criar un hijo El Departamento de Agricultura de Estados Unidos ha determinado que criar un hijo, desde su nacimiento hasta los 18 años, cuesta alrededor de $173,880. Escribe el numeral 173,880 en palabras.

72. Gérmenes en tu teléfono Un teléfono promedio tiene 25,127 gérmenes por pulgada cuadrada. Escribe el numeral 25,127 en palabras. Fuente: Microbiologist Charles Gerba.

73. Asistencia escolar En un día promedio en Estados Unidos, 13,537,000 estudiantes asisten a la escuela secundaria. Escribe el numeral 13,537,000 en palabras.

74. Precipitación sobre un acre Una precipitación de lluvia de una pulgada sobre un acre de tierra producirá seis millones doscientos setenta y dos mil seiscientos cuarenta pulgadas cúbicas de agua. Escribe este número en forma estándar.

75. Asistencia a la universidad En un año promedio en Estados Unidos, catorce millones novecientos setenta y nueve mil estudiantes están registrados en colegios y universidades. Escribe este número en forma estándar.

76. Reservas petroleras del Medio Oriente Las reservas petroleras certificadas del Medio Oriente son alrededor de seiscientos ochenta y cinco billones de barriles. Escribir este número en forma estándar. Fuente: BP Statistical Review of World Energy.

para más lecciones

5 D 6 De numerales a palabras

www.mathzone.com

32. 603

ir a

31. 708

5E6

9

6Web IT

5C6

1.1

10

Capítulo 1

1-10

Números cardinales

666Aplicaciones G Gastos escolares l proyectados d Los L gastos t escolares l proyectados t d ddell 2006 all 2010 se muestran t en la l tabla. t bl En E los l ejercicios j i i del 77 al 81 escribe los numerales para las cantidades especificadas (costo público anual, público de cuatro años, costo privado anual, privado de cuatro años) en palabras. 77. Correspondiente al 2006

Gastos escolares proyectados

78. Correspondiente al 2007

Inicio del año escolar

Costo público anual

Público proyectado a 4 años

Costo anual privado

Privado proyectado a 4 años

2006 2007 2008 2009 2010

$14,872 $15,542 $16,241 $16,972 $17,736

$63,627 $66,491 $69,482 $72,609 $75,876

$32,044 $33,486 $34,993 $36,568 $38,213

$137,091 $143,260 $149,707 $156,444 $163,484

79. Correspondiente al 2008

Fuente: College Board Annual Survey of Colleges.

80. Correspondiente al 2009

81. Correspondiente al 2010

En los ejercicios del 82 al 85, escribe los nombres de los numerales.

Ingreso medio familiar de raza y origen hispano: 1967 a 2001

82. $29,470: ingreso medio anual de familias afroamericanas en 1999

84. $86,500: promedio de ingresos de los propietarios de una firma afroamericana 85. 954,000: número de afroamericanos de 25 años y más que tienen un título profesional

70

Ingreso (miles de dólares)

83. 823,500: número de negocios de propietarios afroamericanos en Estados Unidos

El ingreso medio no cambió para la familia hispana, pero cayó en otros grupos entre 2000 y 2001 60

Asiático e isleño del Pacífico Blanco no hispano

50

Blanco

53,600 46,300 44,500 33,600 29,500

40 30 20

Negro Hispanos (cualquier raza)

10 0 1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

Año Recesiones

Nota: Ingreso redondeado a los $100 más próximos. Ingreso en dólares en el 2001.

Fuente: Datos tomados de U.S Census Bureau.

En los ejercicios 86 al 90, lee la gráfica de arriba y escribe el nombre del numeral (en la derecha de la gráfica, en color) que describe la situación. 86. Ingreso medio de las familias asiáticas e isleñas del Pacífico

87. Ingreso medio de las familias de blancos no hispanos

88. Ingreso de la familia blanca

89. Ingreso de la familia hispana (cualquier raza)

90. Ingreso de la familia negra

En los problemas del 91 al 94 leer el metro. 92.

91. 1 0 9

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

1 0 9 2 3

8 7 6 5 4

8 7

2 3 4 5 6

1 0 9

9 0 1 2 3

8 7 6 5 4

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

1 0 9 2 3

8 7 6 5 4

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

2 3

8 7 6 5 4

1-11

1.1

93.

Numerales estándar

94. 1 0 9

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

1 0 9 2 3

8 7 6 5 4

8 7

2 3 4 5 6

1 0 9

9 0 1

4 5 6

6 5 4

9 0 1 8 7

2 3

2 3

8 7

6 5 4

666Usa tus conocimientos Escribir E ibi cheques h ¡Revisa! R i !E En llos problemas bl 95 all 99 ll llenar llos espacios i en ell cheque. h 95.

FECHA

PÁGUESE A LA SUMA DE DÓLARES

CONCEPTO

96.

FECHA

PÁGUESE A LA SUMA DE DÓLARES

CONCEPTO

97.

FECHA

PÁGUESE A LA SUMA DE DÓLARES

CONCEPTO

1 0 9 2 3

8 7

9 0 1 8 7

2 3 4 5 6

2 3

8 7 6 5 4

11

12

Capítulo 1

1-12

Números cardinales

98.

FECHA

PÁGUESE A LA SUMA DE DÓLARES

CONCEPTO

99.

FECHA

PÁGUESE A LA SUMA DE DÓLARES

CONCEPTO

666¡Escribe! Para el estudiante y el instructor: Los ejercicios de la sección ¡Escribe! te dan la oportunidad de expresar tus pensamientos de forma escrita. Usualmente pueden responderse en pocas oraciones. Muchas de las respuestas para estos ejercicios no aparecen en la última parte del libro. 100. ¿Cuál es la definición de un periodo?

101. ¿Por qué usamos comas cuando se escriben números largos?

102. En el numeral 5678, ¿cuál es el valor de 5?

103. En el numeral 5678, ¿cuál es el valor de 8?

104. En el numeral 5678, ¿cuál dígito representa las centenas?

105. En el numeral 5678, ¿cuál dígito representa las decenas?

666Puente algebraico Mira los números en la columna aritmética. Usando x en vez de 10, escribe la expresión equivalente en la columna de álgebra. Aritmética 106. 7  10 9  10 3  108 3

2

107. 4  102  8  10  6 108. 2  104

Álgebra

1-13

1.2

Ordenar y redondear números cardinales

13

666Comprobación de conceptos Llena llos espacios Ll i con llas palabras, l b frases f o expresiones i matemáticas ái correctas. 109. 0, 1, 2, 3, . . . son los números 110. Un

.

es una idea abstracta que se usa para representar una cantidad. .

111. 1, 2, 3, 4, . . . son los números

112. Cuando un numeral se escribe como una suma de su valor propio está en forma . 113. Un

número

naturales

numeral

estándar

cardinales

dígitos

expandido

es un símbolo que representa un número.

666Prueba de dominio 114. Escribe 800 + 600 + 90 + 3 en la forma estándar. 115. Escribe el numeral 12,849 en palabras. 116. Escribe 785 en forma expandida. 117. ¿Cuál es el valor posicional de 6 en 689? 118. Escribe “cincuenta y seis mil setecientos ochenta y cinco” en forma estándar. 119. Escribe 305 en palabras.

1 .2

Ordenar y redondear números cardinales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

Encuentra el valor de un dígito en un numeral. (p. 3)

A6

Determinar si un número dado es menor o mayor que otro.

B 6Redondear números cardinales al valor posicional especificado.

C6

Resolver aplicaciones que impliquen los conceptos estudiados.

6 Para comenzar ¿Cuánto mide una presilla? Aproximando a la pulgada más cercana, mide 2 pulgadas.

14

Capítulo 1

1-14

Números cardinales

A 6 Ordenar números Sabemos que 2 es mayor que 1 porque el 2 en la regla está a la derecha del 1. Los números cardinales se pueden comparar usando la siguiente recta: 0

1

2

3

4

5

6

PARA CUALQUIER NÚMERO CARDINAL a Y b 1. a b (léase “a es menor que b”) si a está a la izquierda de b en una recta numérica. 2. a  b (léase “a es mayor que b”) si a está a la derecha de b en una recta numérica. De esta forma, 3 5 porque 3 está a la izquierda del 5 en la recta numérica. Asimismo, 5  3 porque 5 está a la derecha de 3 en la recta numérica. Oraciones como 3 5 ó 5  3 se llaman desigualdades. La desigualdad 3 5 es verdadera, pero la desigualdad 3  8 es falsa.

EJEMPLO 1 Crear expresiones verdaderas Llena los espacios con o  para hacer las desigualdades resultantes verdaderas. a. 27

28

b. 33

SOLUCIÓN

25

Hacemos una recta numérica empezando con 25. 25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

PROBLEMA 1 Completa el espacio con o  para hacer verdaderas las desigualdades resultantes. a. 23

25

b. 31

27

35

Ya que 27 está a la izquierda de 28, 27 28. Ya que 33 está a la derecha de 25, 33  25.

EJEMPLO 2 Ordenar números La gráfica muestra las ciudades con el mayor índice de robos de autos por cada 100,000 personas.

PROBLEMA 2

a. Ordena el número de robos de autos del más pequeño al más grande. b. ¿Qué ciudad tiene la menor cantidad de robos de autos?

b. ¿Cuál ciudad tuvo el mayor número de robos de autos?

Puntos calientes de robos de autos Robos por cada 100,000 personas

Fresno 980

Phoenix 1081

Miami 1048

Fuente: Datos del National Insurance Crime Bureau Study.

SOLUCIÓN a. Para asegurarnos que incluimos los números del 980 al 1081, construimos una recta numérica iniciando en 950 y terminando en 1100, como se muestra en la figura 1.1. 950

>Figura 1.1 Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. b.  2. a. 1081  1048  980 b. Phoenix

1100

a. Ordena el número de robos de autos de mayor a menor.

1-15

1.2

Ordenar y redondear números cardinales

15

Por comodidad, hacemos 50 subdivisiones, es decir, contamos de 50 en 50. La recta luce como la figura 1.2. 950

1000

1050

1100

>Figura 1.2

Luego, los números 980, 1048 y 1081 se ubican en la recta de izquierda a derecha, como se muestra en la figura 1.3. 980 950

1048 1081 1000

1050

1100

>Figura 1.3

Ya que 1048 está a la derecha de 980 y 1081 está a la derecha de 1048, tenemos 980 Fresno



1048 Miami



1081 Phoenix

b. La ciudad con el menor número de robos de autos es Fresno.

B 6 Redondear números cardinales Cuando se halla la longitud de una presilla, puede que se nos pida redondear o aproximar la respuesta a la pulgada más cercana. En este caso, la longitud es 2 pulgadas. Uno de los usos de los números redondos es tratar con los números grandes (tal como la cantidad que el gobierno estadounidense debe en el último año, $6409 billones) o donde los números cambian tan rápido que no es posible dar una cifra exacta (por ejemplo la población de cierta ciudad puede ser alrededor de 250,000) o cuando se calculan respuestas al resolver problemas. Para redondear un número, especificamos el valor posicional del dígito que vamos a redondear y lo subrayamos. Así, cuando se redondea 78 a la decena más cercana, escribimos 7 8 Decenas En la recta numérica significa que contamos de 10 en 10 hasta encontrar el grupo de decenas más cercano a 78, que es 80, como se muestra en la figura 1.4. 78 60

70

80

>Figura 1.4

Cuando se redondea 813 a la centena más cercana, escribe 8 1 3 Centenas y usa una recta numérica con intervalos de 100. Puedes ver que 813 está más cerca a 800, como se indica en la figura 1.5. 813 700

800

900

>Figura 1.5

Cuando se redondea 3500 al millar más cercano, escribe 3 5 0 0 Millares

16

Capítulo 1

1-16

Números cardinales

y usa una recta numérica con intervalos de 1000. Puedes ver que 3500 se sitúa exactamente entre 3000 y 4000, como lo muestra la figura 1.6. 3500 2000

3000

4000

>Figura 1.6

Para hacer la aproximación actual, usamos la siguiente regla:

REGLA PARA REDONDEAR NÚMEROS CARDINALES* Paso 1. Subraya el dígito al que quieres aproximar. Paso 2. Si el primer dígito a la derecha del valor subrayado es 5 o más, agrega uno al dígito subrayado. De lo contrario, no alteres el dígito subrayado. Paso 3. Cambia todos los dígitos a la derecha del dígito subrayado a ceros. De esta forma, para redondear 78 a la decena más cercana, usamos los tres pasos dados. Paso 1. Subraya el valor al que quieres redondear.

7

8 Decenas

Paso 2. Si el primer dígito a la derecha del valor subrayado (el 8) es 5 o más, agrega uno al dígito subrayado. Paso 3. El dígito a la derecha del dígito subrayado se convierte en cero.

7

8  1

El número a la derecha de 7 es mayor que 5, entonces agregamos uno al 7 y obtenemos 8.

8 0 El 8 se convierte en cero

Escribimos la respuesta así: 78 y 80. De esta manera, 78, redondeado a la decena más cercana, es 80. (Ver figura 1.4)

PROBLEMA 3

EJEMPLO 3

Redondeando números cardinales Redondea 813 a la centena más cercana.

Redondea 347 a la centena más cercana.

SOLUCIÓN Paso 1. Subraya el valor al que quieres redondear.

8 1 3

Paso 2. El primer dígito a la derecha de 8 es 1, entonces no cambiamos el dígito subrayado.

8

Paso 3. Luego, cambiamos todos los dígitos a la derecha del dígito subrayado por ceros.

8 0 0

3

Entonces, tenemos 813  800. De esta forma, 813, redondeado a la centena más cercana, es 800. (Ver figura 1.5)

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Redondeando números cardinales Redondea 3500 al millar más cercano.

Redondear 6508 al millar más cercano.

SOLUCIÓN Paso 1. Subraya el lugar que quieres redondear.

3500

*Algunos textos redondean un número terminado en 5 de modo que el último dígito conservado sea par.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 347  300

4. 6508  7000

1-17

1.2

Paso 2. El primer dígito a la derecha del dígito subrayado es 5, entonces sumamos uno al dígito subrayado (obteniendo 4).

4 500

Paso 3. Luego cambiamos todos los dígitos a la derecha del dígito subrayado a ceros.

4000

Ordenar y redondean números cardinales

17

Luego, 3500  4000; así, 3500, redondeado al millar más cercano, es 4000. (Ver figura 1.6)

C 6 Aplicaciones que involucran números cardinales

EJEMPLO 5 Redondear números cardinales Un planeador estimó que en un día promedio 1,169,863 personas toman taxi. Redondear este número al millar más cercano. SOLUCIÓN Paso 1. Subraya el valor al que estamos redondeando.

1,169,863

Paso 2. El primer dígito a la derecha del dígito subrayado es 8 (mayor que 5), entonces agregamos uno al 9, obteniendo 10 y escribimos la respuesta debajo. También lo puedes hacer agregándole 1 a 69 para obtener 70 en la siguiente línea.

1,1610,863 1,170,863

Paso 3. Cambia todos los dígitos a la derecha del dígito subrayado a ceros.

1,170,000

PROBLEMA 5 En un día promedio 6375 parejas se casan en Estados Unidos. Redondea esta cifra al millar más cercano. Fuente: U.S. Census Bureau.

Luego tenemos 1,169,863  1,170,000, lo que significa que 1,169,863 redondeado al millar más cercano es 1,170,000. A veces el mismo número es redondeado en diferentes lugares. Por ejemplo, en un día promedio se ponen 231,232,876 huevos (¡de verdad!). Este número se puede redondear a La centena más cercana

231,232,876  231,232,900

El millar más cercano

231,232,876  231,233,000

El millón más cercano

231,232,876  231,000,000

Usamos esta idea en el ejemplo 6 que debería ser de tu interés.

EJEMPLO 6

Redondeando números cardinales Se ha estimado que para la edad de retiro un graduado de escuela superior ganará $405,648, más que uno que no se graduó. Redondea este número a a. La centena más cercana b. El millar más cercano c. El diez mil más cercano

PROBLEMA 6 Un graduado de universidad ganará $1,013,088, más que un graduado de Escuela Superior. Redondea este número a a. La centena más cercana b. El millar más cercano c. El diez mil más cercano

SOLUCIÓN a. Paso 1. 405,648 Subraya el 6 (centenas)

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 5. 6375  6000

6. a. $1,013,100

b. $1,013,000

c. 1,010,000

18

Capítulo 1

1-18

Números cardinales

Paso 2. 405,648 Cuatro es menor que 5 Deja el 6 como está Paso 3. 405,6 00 ︸

Cambia a ceros Así 405,648 redondeado a la centena más cercana es 405,600. b. Paso 1. 405,648 Subraya el 5 (millares) Paso 2. 406,648 Seis es mayor que 5 (agrega 1 al 5) 516 Paso 3. 406, 000 ︸

Cambiar a ceros Así, 405,648 redondeado al millar más cercano es 406,000. c. Paso 1. 405,648 Subraya el cero (decena de millar) Paso 2. 415,648 Cinco es igual a 5 (agrega 1 al 0) 011 Paso 3. 410,000 ︸

Cambia a ceros Así 405,648 redondeado al diez mil más cercano es 410,000.

EJEMPLO 7 Redondear números cardinales Este año, el carro más vendido en Estados Unidos ha sido el Toyota Camry. Usa el cuadro para redondear los precios especificados. Imagina que tienes un presupuesto de $22,000.

PROBLEMA 7

a. Redondea el precio base del valor real del mercado (VRM) a la centena más cercana. b. Redondea el precio en el VRM del paquete GJ #3 a la centena más cercana. c. Redondea el precio en el VRM del paquete BE a la centena más cercana.

b. el paquete SR.

SOLUCIÓN a. El precio base es $20,080. Para redondear $20,080 a la centena más cercana, subraya las centenas, es decir, 0. Ya que el 8 a la derecha del 0 es mayor que 5, agrega uno al 0. Escribe 1 y cambia los dos últimos números por ceros para obtener el cálculo de $20,100, como se muestra. b. El paquete GJ cuesta $1475. Subraya la centenas, o sea, el 4. Ya que el 7 a la derecha del 4 es mayor que 5, agrega uno al 4. Escribe 5 y agrega dos ceros al final para obtener el cálculo de $1500. c. El paquete BE es $438. Subraya el 4. Ya que el 3 a la derecha del 4 es menor que 5, deja el 4 igual y agrega dos ceros al final para obtener el cálculo de $400.

Respuestas a los PROBLEMAS 7. a. $1000

b. $700

c. $100

Calcula, a la centena más cercana el precio en el VRM de a. el paquete GU. c. el paquete XV.

1-19

1.2

Ordenar y redondear números cardinales

19

PRECIO CON OPCIONES Agregar opciones a este Toyota Camry 2007 LE V6 4dr sedán (3.0L 6cil 6A) Factura

VRM Precios del valor real del mercado

®

Precio base regional

Calcula

PASO 1 Agregar opciones Agregar Código

MSRP

Nombre de la opción

Factura

VRM Precios del valor real del mercado

®

Paquete #3 Información VSC y paquete de bolsa de aire lateral Información Techo corredizo eléctrico Información Paquete #2 Información Bolsas de aire delanteras y tipo cortina Información JBL combo 3 en 1 Premium W Información Acelerador eléctrico ajustable Información

A propósito, el cálculo viene a ser exactamente $22,000.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Ordenar números En los problemas del 1 al 10, llena los espacios con o  para hacer una desigualdad verdadera. 10 120

9. 1001

5B6

1010

6. 808 10. 2002

Redondear números cardinales

16

3. 8 880

7. 999

0

4. 0 990

8. 777

2020

En los problemas del 11 al 30 redondea al valor subrayado.

12. 84

13. 86

14. 47

15. 98

16. 97

17. 103

18. 204

19. 386

20. 476

21. 950

22. 963

23. 2308

24. 6209

25. 6999

26. 8999

27. 9999

28. 9990

29. 9099

30. 9011

770

para más lecciones

11. 73

10

www.mathzone.com

5. 102

2. 6

ir a

1. 8

6Web IT

6Ejercicios 1.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

1-20

En los problemas del 31 al 40, redondea el número dado a la decena, centena y millar más cercanos.

34. 39,990

40. 999,000

6Web IT

para más lecciones

Números cardinales

www.mathzone.com

Capítulo 1

ir a

20

Decenas

Centenas

Millares

31. 586 32. 650 33. 29,450

35. 49,992 36. 349,908 37. 259,906 38. 349,904 39. 289,000

5 C 6 Aplicaciones que involucran números cardinales 41. Digitación rápida El récord de digitación rápida con una máquina de escribir estándar lo tiene Albert Tagora. El 23 de octubre de 1923 digitó un promedio de 147 palabras en un minuto. Redondea 147 a la decena más cercana.

42. Pesca ¿Has ido de pesca últimamente? El pescado más grande que se ha atrapado con caña y cuerda fue un tiburón blanco que pesó 2664 libras. Redondea 2664 a la decena más cercana.

43. Pérdida de peso ¿Tienes un problema de sobrepeso? El hombre más pesado fue Robert Earl Hughes, quien paró la báscula en 1069 libras. Redondea 1069 a la centena más cercana.

44. Levantamiento de pesas El mayor peso levantado por un ser humano fue de 6270 libras, levantado por Paul Anderson, en 1957. Redondea 6270 a la centena más cercana.

45. ¡Fumar en serio! Si fumas 1}12 paquetes de cigarrillos diarios, fumarás alrededor de 10,950 cigarrillos al año. Redondea 10,950 al millar más cercano.

46. Carros usados de Hertz Una encuesta realizada por Hertz muestra que el típico carro usado comprado en un año específico mostró 29,090 millas en el odómetro. Redondea 29,090 al millar más cercano.

47. Población en Nueva York De acuerdo con un censo reciente, el número de personas en la ciudad de Nueva York es de 7,895,563. Redondea este número a la decena de millar más cercana. 49. ¡El dinero del padrino! ¿Viste la película El Padrino? ¡Mucha gente sí! De hecho, durante sus primeros tres años de circulación, la película recaudó $85,747,184. Redondea este número al millón más cercano.

48. Población en Nevada Se encontró que el número de residentes en Nevada es de 2,070,000. Redondea este número a la centena de millar más cercana.

51. Tan barato como Dell Aquí están los precios de tres modelos de computadores Dell. Usa una desigualdad para comparar los precios: a. Del más bajo al más alto

52. Precios de Gateway Aquí están los precios de tres modelos de computadores de Gateway. Usa una desigualdad para comparar precios: a. Del más bajo al más alto

50. Ganancias fílmicas The Sound of Music (El sonido de la música) es otra película famosa. En sus primeros diez años recaudó $83,891,000. Aproxima esta cantidad al millón más cercano.

b. Del más alto al más bajo

b. Del más alto al más bajo

c. ¿Cuál es el modelo más caro?

c. ¿Cuál es el modelo más caro?

d. ¿Cuál es el modelo más barato?

d. ¿Cuál es el modelo más barato?

Tecnología de vanguardia

Desempeño

Asequibilidad

Dimension 8400 Dimension E310 Dimension F510 desde $1019

desde $689

desde $968

Especificaciones técnicas

Gateway GM 5072 desde $1299

Alto desempeño

Gateway GT 5058 desde $899

Valor

Gateway GT 4016 desde $449

1-21

1.2

50

50.7 49.9

52.7 46.1

44.6 44.2

40 27.9

30

30.5 22.7

24.7

20 10 0 Total

Blancos

60

Mujeres 40

Hombres

20

0 25

Hispanos

35

45

55

65

Edad Fuente: NTIA y ESA, U.S. Department of Commerce, using U.S. Census Bureau Current Population Survey Supplements.

Raza Fuente: NTIA y ESA, U.S. Department of Commerce, using U.S. Bureau of the Census Current Population Survey.

Llena los espacios con  o para hacer afirmaciones verdaderas. a. A la edad de 45, el porciento de usuarios femeninos es el porciento de usuarios masculinos.

Llena los espacios con  o para hacer una afirmación verdadera. a. El porciento de hombres negros es el porciento de mujeres negras. b. El porciento de hombres hispanos es mujeres hispanas.

el porciento de

c. El porciento de hombres blancos es mujeres blancas.

el porciento de

b. A la edad de 55, el porciento de usuarios femeninos es el porciento de usuarios masculinos. c. A la edad de 65, el porciento de usuarios femeninos es el porciento de usuarios masculinos.

666Usa tus conocimientos Aquí hay una actividad que no puedes evadir: llenar tu planilla de contribuciones sobre ingresos. El gobierno de Estados Unidos tiene un folleto llamado Publicación 796. Para ayudarte a hacerlo, esta publicación expone: Todos los ítems monetarios que aparecen en tu planilla pueden redondearse a dólares cardinales en tus planillas, siempre y cuando lo hagas para todas las entradas en la planilla.

Usa los conocimientos que has adquirido en esta sección para redondear al dólar los centavos del siguiente formulario. Ingreso Adjunte los formularios W-2 y W-2G. Asimismo, agregue el formulario (s) 1099-R, si el impuesto fue retenido.

7

Sueldos, salario, propinas, etc. Adjunte los formularios W-2 .

8a Intereses no exentos. Adjunte el plan B si es necesario. b Intereses libres de impuestos. No incluir en 8ª línea . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

9a Dividendos ordinarios. Adjunte el plan B si es necesario . b Dividendos cualificados (ver pág. 23).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Reembolso, ingresos, créditos o compensaciones de estado gravables e impuestos de renta locales (ver pág. 23).

11

Pensiones .

12

Ingresos o (pérdidas) comerciales. Adjuntar plan o programación C o C-EZ.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23,899 56 55. 39 06 56.

. .

10

.

.

.

.

.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

.

. .

.

349 48 57.

13a Ganancia (o pérdida) de capital. Adjuntar Plan D si se necesita. Si no, marque aquí b Si se revisa la casilla 13 ingrese distribuciones de capital obtenido después de mayo 5

Si no obtuvo un formulario W-2, ver página 22. Incluya pero no grape ningún pago. Por favor, use también el formulario 1040-V.

14

Otras ganancias o (pérdidas). Adjuntar el formulario 4797. .

15a Distribuciones IRA .

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b Monto gravable (ver pág. 25)

16a Pensiones y rentas vitalicias

1,387 53 58.

b Monto gravable (ver pág. 25)

17

Renta propiedades inmuebles, regalías, sociedades, corporaciones S, fideicomisos, etc. Adjunte el plan E

18

Ingreso o (pérdida) agrícola. Adjuntar el plan F.

19

Compensación de desempleo.

20a Beneficios de seguridad social.

.

.

.

.

.

. .

. .

. .

. .

. .

.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

b Monto gravable (ver pág. 27)

21

Otros ingresos. Mencionar tipo y cantidad (ver pág. 27)................................................................................

22

Sumar las cantidades de la columna izquierda de la línea 7 a la 21. Este es su ingreso total

25,675 63 59.

666¡Escribe! 60. Escribe en tus propias palabras el procedimiento que usarías para redondear un número cuando el dígito de la derecha del número que estás redondeando es menor que 5. 62. Piensa en tres situaciones en las que estimar sea útil.

61. Escribe en tus propias palabras el procedimiento que utilizarías para redondear un número cuando el dígito de la derecha del valor al que estás redondeando es 5 o más.

75

para más lecciones

Asiáticos Negros americanos/ isleños del Pacífico

80

www.mathzone.com

Uso de Internet/e-mail en el trabajo (porcentaje)

Masculino Femenino

ir a

Tasa de uso de Internet (porcentaje)

54. La siguiente gráfica muestra el porcentaje del uso en el trabajo de Internet/e-mail por género y edad.

70 60

21

6Web IT

53. La siguiente gráfica muestra los porcientos de usuarios de Internet por raza y género.

Ordenar y redondear números cardinales

22

Capítulo 1

1-22

Números cardinales

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas. 63. a b significa que a está a la

de b en la recta numérica.

64. Si a está a la derecha de b en la recta numérica, a 65. Para redondear un número especificamos la

b. que estamos redondeando.

66. El primer paso en la regla para redondear números cardinales es estamos redondeando.

el lugar que

67. Cuando se redondea el número H a la decena más cercana, si el número en el H es 5 o mayor, a . 68. a < b y b > a son ejemplos de

derecha

izquierdo

desigualdades

posición

borrar

suma uno



subrayar

redondear

.

666Prueba de dominio 69. Redondea al dígito subrayado: a. 765 b. 364 c. 862 70. Llena los espacios con o  para hacer las desigualdades verdaderas. a. 349 399 b. 57

27

c. 1000

999

d. 1099

1199

71. El ingreso medio de una familia de clase media es $49,773. Redondea $49,773 al millar más cercano. Fuente: Nielsen Media Research.

72. Los ingresos nacionales brutos en taquillas (en millones) de las cinco mejores películas ordenadas alfabéticamente es el siguiente: E.T., $435 El hombre araña, $404 La guerra de las galaxias, $461 La guerra de las galaxias: la amenaza fantasma, $431 Titanic, $601 a. Enumera las cantidades de ingreso por taquillas del más alto al más bajo usando desigualdades. b. Enumera las cantidades de ingreso por taquillas del más bajo al más alto usando desigualdades.

666Comprobación de destrezas ¿Qué clase de carro conduces? Aquí están los seis carros más económicos de este año. Escribe los numerales en palabras. 73. Chevrolet Aveo, $9995 74. Kia Rio, $10,280 75. Hyundai Accent, $10,544 76. Chevrolet Cavalier, $10,890 77. Toyota Echo, $10,995 78. Pontiac Sunfire, $11,460 Fuente: Datos de los ejercicios 73 al 78 obtenidos de Edmunds.com: http://www.edmunds.com

1-23

1.3

1 .3

Suma

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

Usa la información de la tabla en la página 24.

A6

Sumar dos o más números cardinales, reagrupando (llevando) si es necesario.

B6

Usar la suma para hallar perímetros de polígonos.

Suma

23

6 Para comenzar

Configuración

Factura

MSRP

Modelo base Destino

$19,810 $485

$22,260 $485

¿Cuál es el precio de factura por el carro? Para saberlo, tenemos que sumar el precio del modelo base ($19,810) y el recargo de destino ($485). Para responder la pregunta “cuántos”, usamos el conjunto de números cardinales 0,1, 2,3,… y la operación de la suma.

A 6 Sumar dos o más números cardinales La suma se puede explicar contando. Por ejemplo, la suma 62 Después de hacer los ejemplos verás que el precio de factura será $20,295.

puede hallarse usando un conjunto de 6 objetos y otro de 2, uniéndolos y contándolos todos, como se muestra a continuación:


Un conjunto de 6



Un conjunto de 2

Un conjunto de 8

Los números para sumar, en este caso 6 y 2, se llaman sumandos, y el resultado 8 se llama suma o total. Usualmente el procedimiento se escribe así 6

sumando

2

sumando

8

suma

24

Capítulo 1

1-24

Números cardinales

donde usamos el signo más () para indicar la adición. Todos los términos de la suma que necesitas están en la tabla, pero ¡o tú ya conoces estos términos o deberías tomarte un momento para memorizarlos!

SUMA ()

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

2

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

3

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

4

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

5

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

6

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

7

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

8

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

9

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

9

El cero se llama elemento identidad en la adición.

ELEMENTO IDENTIDAD EN LA SUMA

Al sumar cualquier número con 0 da el mismo número, es decir, sumar 0 a un número no cambia el número.

a0a0a

Asimismo, el orden en el que dos números a y b se suman no importa. Esta es la propiedad conmutativa de la suma. De esta forma, 3  2  2  3 y 5  7  7  5. En general.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

El orden de los sumandos no altera la suma.

abba

Intentemos con otro problema: Suma: 46  52  Antes de sumar vemos que la respuesta, a la decena más cercana, debería ser 50  50, o aproximadamente 100. Este tipo de aproximación o estimado puede ofrecer una revisión valiosa de la respuesta. Luego, el problema se escribe de la siguiente forma: columna de las decenas

columna de las unidades

4 6 5 2 Observa que los números se han acomodado verticalmente en columnas con los dígitos de las unidades en la columna de las unidades y los dígitos de las decenas en la columna de las decenas. Primero sumamos las unidades, luego las decenas y así sucesivamente. La forma corta de la suma está a la izquierda y la extendida, a la derecha.

1-25

1.3

En este caso, si la respuesta real (98) se redondea a la decena más cercana, obtenemos nuestra respuesta calculada (100).

EJEMPLO 1

Forma corta

Forma expandida

46  5 2 98

40  6  50  2 90  8  98

sumar decenas

Suma

25

sumar unidades primero

Nuestro cálculo de 100 está cerca a la respuesta real (98).

PROBLEMA 1

Sumando números cardinales

Suma 42  53.

Suma 45  32.

SOLUCIÓN 42 53 95

Paso 1. Calcula la respuesta. A la decena más cercana, sería 40  50 90. Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas.

Observa que la respuesta actual (95) se acerca a nuestro cálculo (90).

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Sumar números cardinales

Suma 341  235.

Suma 236  741.

SOLUCIÓN 341 235 5 76

Paso 1. Calcula la respuesta: a la decena más cercana, sería: 340  240  580. Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas. Paso 5. Suma centenas.

La respuesta (576) se acerca a nuestro cálculo (580). Aquí se muestra otro problema: 56  38  y la forma corta.

Forma corta 1 56  38 94

. Compara la forma expandida

Forma expandida 50  6  30  8 80  14  80  10  4 ︸ ︸  90  4  94

Observa que el 1 “llevado” sobre la columna de las decenas es realmente 10. El 14 se reescribe como 10  4. Aquí hay otra forma de mostrarlo:

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 77

2. 977

26

Capítulo 1

1-26

Números cardinales

Paso 1 56 38 1 4 Suma unidades (6  8  14).

Paso 2

Paso 3

56 38 14 80 9 4 Realiza sumas parciales (14  80  94). El 1 que “llevamos” es el 1 del 14. Por supuesto, deberías hacer tu suma usando la forma corta para hacerlo en menos tiempo.

EJEMPLO 3

56 38 14 8 0 Suma decenas (50  30  80).

Sumar números cardinales

Suma 537  48.

PROBLEMA 3 Suma 243  29.

SOLUCIÓN 1 537  48 585

Paso 1. Calcula la respuesta: 540  50  590. Paso 2. Ubica en columnas. Paso 3. Suma unidades. Recuerda llevar el 1: (7  8  15) Paso 4. Suma decenas. Paso 5. Suma centenas.

Nuestro cálculo (590) se acerca a la respuesta (585).

EJEMPLO 4

Sumar números cardinales

Suma 354  261.

PROBLEMA 4 Suma 263  475.

SOLUCIÓN 1 354 261 615

Paso 1. La respuesta calculada es 350  260  610. Paso 2. Ordena en columnas.

Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas. Recuerda llevar el 1: (5  6  11) Paso 5. Suma centenas. Nuestro cálculo (610) se acerca a la respuesta (615).

EJEMPLO 5

Sumar números cardinales

Suma 823  746.

Suma 632  754.

SOLUCIÓN 823  7 4 6 1569

Paso 1. La respuesta estimada es 820  750  1570. Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas. Paso 5. Suma centenas.

La respuesta calculada (1570) se acerca a la respuesta (1569).

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 272

4. 738

PROBLEMA 5

5. 1386

1-27

1.3

EJEMPLO 6

Suma

27

PROBLEMA 6

Sumar números cardinales

Suma 704  5642.

Suma 813  1702.

SOLUCIÓN 1

Paso 1. En la centena más cercana, el cálculo es 700 5600  6300. (Puedes estimar la respuesta a la decena más cercana, pero ese tipo de estimado está tan desarrollado como el problema original).

704 5642 6 346

Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas. Paso 5. Suma centenas. Recuerda llevar el 1: (7  6  13) Paso 6. Suma millares. Nuestro cálculo (6300) es cercano a la respuesta (6346).

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Sumar números cardinales

Suma 5471  2842.

Suma 3943  4672.

SOLUCIÓN 11 54 7 1 2842 8 3 13

Paso 1. Al millar más cercano, el cálculo es 5000  3000  8000. Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Suma unidades. Paso 4. Suma decenas. Recuerda llevar 1: (7  4  11) Paso 5. Suma centenas. Recuerda llevar el 1: (1  4  8  13) Paso 6. Suma millares.

Observa que nuestro cálculo (8000) se acerca a la respuesta real (8313).

A veces, es necesario sumar más de dos números. El procedimiento es similar al que se explicó previamente. Por ejemplo, para hacer la suma 4272  2367  7489  1273 procedemos de la siguiente forma: 132 4272 2367 7489 1273 15401

Paso 1. Al millar más cercano, nuestro cálculo es 4000  2000  7000  1000  14,000. Paso 2. Ordena en columnas.

suma unidades Paso 3. 2  7  9  3  21 suma decenas Paso 4. 2  7  6  8  7  30 suma centenas Paso 5. 3  2  3  4  2  14 suma millares Paso 6. 1  4  2  7  1  15

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 2515

7. 8615

28

Capítulo 1

1-28

Números cardinales

EJEMPLO 8 Sumar números cardinales Suma 1343  5632  8789  7653.

PROBLEMA 8 Suma 2451  4741  7879  6563.

SOLUCIÓN 221 1343 5632 8789  7653 23,417 Cuando se suma una lista larga de dígitos, a menudo es más fácil buscar pares de números cuya suma sea diez o un múltiplo de diez, y sumarlos primero. Así es como lo haces: 13 4 20 7 10 6 3  3 33

EJEMPLO 9 Sumar números cardinales Suma 16  8  4  5  2.

PROBLEMA 9 Suma 13  6  4  7  8. 13 6 4 7  8

SOLUCIÓN 16 8 4 5  2

20 10 5 35

Existen muchos problemas que requieren de la suma para su solución. En el siguiente ejemplo, ofrecemos uno que puede ser de tu interés.

EJEMPLO 10 Costos de matrícula ¿Cuántos miles de dólares le costará a un residente de Florida matricularse en los semestres de otoño y primavera? Costos y derechos de matrícula

Estudiante de pregrado Matrícula tiempo completo Hospedaje Libros/provisiones SUBTOTAL

Respuestas a los PROBLEMAS 8. 21,634 10. $19,000

9. 38

Residentes de Florida en otoño y primavera

$2700 6450 800

Residentes de fuera del estado en otoño y primavera

$12,240 6450 800

PROBLEMA 10 ¿Cuántos miles de dólares le costará a un residente de fuera del estado matricularse en los semestres de otoño y primavera?

1-29

1.3

Suma

29

SOLUCIÓN Para hallar la respuesta, primero redondeamos cada uno de los números en la primera columna ($2700, $6450 y $800) al millar más cercano, y luego sumamos los millares. 3000 2700 6450

6000

800

1000 $10,000 Observa que podemos sumar 3, 6 y luego 1, así: (3  6)  1  9  1  10 El paréntesis nos muestra que primero sumamos 3 y 6. La misma respuesta o 3  (6  1)  3  7  10 Esta es una ilustración de la propiedad asociativa de la suma. Nos dice que no importa como agrupemos los números, la respuesta es la misma.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA

La agrupación de números (sumandos) no cambia la respuesta final (la suma).

(a  b)  c  a  (b  c)

B 6 Perímetro de los polígonos Un polígono es una figura geométrica plana con muchos lados. Algunos ejemplos de polígonos son los triángulos, los cuadrados, los rectángulos y los pentágonos. La ley asociativa puede ser usada para hallar el perímetro de los polígonos. ¿Qué es el perímetro? Ésta es la definición:

PERÍMETRO

La distancia alrededor de un objeto es su perímetro.

El perímetro de un polígono es la suma de la medida o longitud de todos sus lados.

EJEMPLO 11

Perímetro de un triángulo Halla el perímetro de un triángulo (pul. significa pulgadas).

4 pul.

PROBLEMA 11 Halla el perímetro del triángulo

5 pul. 8 millas

10 millas

3 pul.

SOLUCIÓN

Primero puedes sumar la longitud de los lados 4 y 3, y luego sumar el 5, es decir, (4  3)  5  7  5  12 pulgadas o 4  (3  5)  4  8  12 pulgadas Debido a la propiedad asociativa, la respuesta es la misma.

Repuestas a los PROBLEMAS 11. 24 millas

6 millas

30

Capítulo 1

1-30

Números cardinales

6Puente algebraico Aquí se muestra un ejemplo en el que el álgebra es más fácil que la aritmética. En álgebra trabajamos con expresiones como 3x2  5x  7. Imagina que queremos sumar 4x2  8x  9 a esa expresión. Como en la suma común, ubicamos las dos expresiones en columnas. 3x2  5x  7  4x2  8x 9 7x2  13x  16 Paso 1. Suma los números. Paso 2. Suma las x. Paso 3. Suma las x2. En álgebra, no hay proceso de llevar.

Rincón de la calculadora Para sumar números en una calculadora con lógica algebraica, puedes digitar el problema, presionando las teclas apropiadas. Por ejemplo, para plantear el problema 6 8 . La pantalla te dará la respuesta correcta: 14. Si más de dos números se van a simplemente presionas sumar, el proceso es similar. Por ejemplo, para obtener la respuesta del problema 51, procedemos de la siguiente forma:

La pantalla mostrará la respuesta correcta: 582.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com !

6Ejercicios 5A6

> Practice Problems > NetTutor

1.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Sumar dos o más números cardinales En los problemas 1 al 50, suma.

1.

8 13

2.

6 14

3.

4 17

4.

0 16

5.

4 6 16

6.

5 5 10

7.

10 120

8.

30 130

9.

82 183

10.

71 165

11.

4 53 172

12.

5 93 191

13. 9  51

14. 7  33

15. 011

19. 26  9

20. 39  7

21.

4 13 1 6

22.

5 12 1 5

23.

3 31 147

24.

2 38 161

27.

67 1 58

28.

65 1 25

29.

97 1 35

30.

86 1 24

25.

21 19 1 87

26.

51 39 1 28

16. 7  71

17. 286

18. 320

1-31

1.3

Suma

31

31.

85 1 67

32.

36 198

33.

386 1 14

34.

466 1 89

35.

6347 1 426

36.

7479 1 521

37.

432 11381

38.

795 12160

39.

136 13587

40.

384 14439

41.

4605 1 39

42.

7870 1 46

43.

108 2134 1 98

44.

706 3629 1 83

45.

305 6312 18573

46.

609 6205 19503

47.

82,583 1 8692

48.

99,989 1 3454

49.

63,126 77,684 180,000

50.

89,137 60,470 136,409

666Aplicaciones 51. Descendientes de Kettle El capitán Wilson Kettle, quien murió el 25 de enero de 1963, dejó 11 hijos, 65 nietos, 201 bisnietos y 305 tataranietos. ¿Cuántos descendientes dejó Kettle cuando murió?

52. Peleas de Sugar Sugar Ray Robinson tuvo un récord que incluye 175 victorias, 6 empates y 21 derrotas. ¿Cuántas peleas tuvo en total?

53. Esfuerzo de recuperación La cantidad de materiales recuperados (en millones de toneladas) en un año reciente son: papel y cartón, 37; metales ferrosos, 5; vidrio y plástico, 5; maleza y otros desperdicios, 17. ¿Cuántos millones de toneladas son en total?

54. Personas en avión Un jet jumbo lleva 383 pasajeros y una tripulación de 9 personas. ¿Cuántas personas viajan en el avión?

55. Galones de malteada Una de las malteadas más grandes de la historia empezó con 118 galones de helado de vainilla, 60 de leche y 17 galones de sabor de fresa. ¿Cuántos galones de malteada se mezclaron?

56. Capítulos bíblicos En la biblia judeocristiana, el Antiguo Testamento tiene 929 capítulos, y el Nuevo Testamento, 270. ¿Cuántos capítulos en total tiene la biblia judeocristiana?

57. Altura total del Empire State El edificio de Empire State tiene 1250 pies de alto, y la antena en la punta del edificio, 222 pies. ¿Cuál es la altura total del edificio?

58. Calorías en total Un almuerzo en McDonald’s constaba de una Big Mac (570 calorías), papas regulares (220 calorías), una Sprite de 12 onzas (144 calorías) y un sundae de dulce de leche (350 calorías). ¿Cuál es el total de calorías de este menú?

59. Oro en pepitas La pepa de oro más pura que se ha encontrado pesó 2248 onzas de oro puro, y 32 de impurezas. ¿Cuántas onzas pesó la pepita?

60. ¡Montones de paella! Una de las paellas más grandes que se han hecho incluyó 8140 libras de arroz, 6600 libras de carne, 3300 libras de mejillones, 3080 libras de habichuelas y pimiento, y 440 libras de ajo ¿Cuántas libras de ingredientes se usaron?

Perímetro de los polígonos

61. Perímetro ¿Cuánto tiene que recorrer un bateador cuando pasa por las bases del estadio de béisbol de las ligas mayores que se muestra?

90 pies

62. Perímetro de una cancha de baloncesto ¿Cuál es el perímetro de la cancha estándar de baloncesto que se muestra? Ancho óptimo: 50 pies

5B6

Largo óptimo: 94 pies 90 pies

32

Capítulo 1

1-32

Números cardinales

63. Perímetro de un campo de fútbol americano perímetro del campo de fútbol?

¿Cuál es el

64. Perímetro de la pista de hockey El diagrama sólo muestra la mitad de una pista de hockey. ¿Cuál es el perímetro de toda la pista?

160 pies 85 pies 360 pies

100 pies 65. ¿Sabes qué es un hogan? Es una vivienda tradicional de los indios navajos, construida con la entrada hacia el este. Hay dos clases de hogans: masculino y femenino. El femenino moderno tiene ocho lados y cada pared tiene de ancho alrededor de 8 pies. ¿Cuál es el perímetro de un hogan femenino?

66. El Pentágono es un edificio de cinco lados que alberga el Ministerio de Defensa. Si cada una de las paredes externas tiene 921 pies de largo, ¿cuál es el perímetro del edificio?

666Usa tus conocimientos 67. Individuos y negocios hacen transacciones bancarias. Una transacción común es depositar dinero en una cuenta de ahorros. ¿Cuánto dinero depositó esta persona?

DEPÓSITO CUENTA DE AHORROS EFECTIVO

NOMBRE

MONEDA

NÚMERO DE CUENTA

CHEQUES

FECHA ES PROBABLE QUE LOS DEPÓSITOS NO ESTÉN DISPONIBLES PARA RETIRO INMEDIATO

68. Otra transacción con un banco es depositar dinero en una cuenta de cheques. ¿Cuánto dinero depositó esta persona?

HOJA DE DEPÓSITO EFECTIVO

MONEDA CHEQUES

FECHA ES PROBABLE QUE LOS DEPÓSITOS NO ESTÉN DISPONIBLES PARA RETIRO INMEDIATO

FIRMAR AQUÍ PARA EFECTIVO (SI SE NECESITA)

1-33

1.3

69. Un presupuesto es un plan para calcular cómo se van a gastar tus ingresos (o ahorrar). Halla el cálculo semanal de gastos de la familia A y de la familia B:

Vivienda Comida Ropa Transporte Recreación Ahorros

Familia A

Familia B

$107 98 75 150 90 100

$258 175 130 190 105 150

71. Las enfermedades del corazón son la mayor causa de muerte en Estados Unidos. Hay una prueba simple basada en un estudio hecho en Framingham, Massachusetts, que puede indicarte el riesgo de sufrir un ataque cardiaco o un derrame cerebral. Puedes hallarlo sumando. El cuadro que muestra los factores de riesgo, junto a los resultados para ciertos individuos, se muestra aquí (la persona obtuvo 14 puntos, lo que significa que el riesgo total de tener un ataque o un derrame es promedio). Suma los resultados de A, B y C para determinar el riesgo total para cada uno. Factor de riesgo

Resultado

Fumar

0 No fumador 2 Menos de 20 cigarrillos diarios 4 20 cigarrillos o más diarios

Peso

0 Ideal 2 Más de 10% de sobrepeso 4 Más de 10% de sobrepeso

Presión sistólica

0 Menor que 120 2 120 a 140 4 Sobre 140

Nivel de colesterol

0 Menor que 150 2 150 a 250 4 Mayor que 250

Actividad física

0 Ejercicio regular vigoroso 2 Ejercicio moderado 4 Sedentario

Estrés y tensión

0 Rara vez tenso o ansioso 2 Se siente tenso 2 ó 3 veces al día 4 Extremadamente tenso

Riesgo total

0–4 Bajo 5–9 Por debajo del promedio 10–14 Promedio 15–20 Alto 21–24 Muy alto

Cierto individuo

A

B

C

0 2 2 4 2 4 14

2 0 0 2 4 2

4 2 4 2 4 2

0 2 2 0 0 2

33

Suma

70. Uno de los ítems en el presupuesto es la cantidad de dinero gastada en transporte. Recientemente, el costo total (en centavos por milla) de mantenimiento y operación de diferentes carros y camionetas fue el siguiente: Estándar

Camioneta Compacto de pasajeros

Mantenimiento 6 5 Gasolina y aceite 9 8 Garaje, estacionamiento 3 3 Seguro 7 4 Impuestos, licencia, 2 1 registro Cuántos centavos por milla cuesta mantener: a. ¿Un carro estándar? b. ¿Un carro compacto? c. ¿Una camioneta de pasajeros?

6 11 3 8 2

72. Imagina que quieres comprar un carro. Deberías empezar por aprender a leer una factura de carro, saber cuánto paga el proveedor por el carro y calcular cuánto deberías ofrecerle a éste. (Para hacer esto y muchos otros consejos, ver el link 1-33, en la página de Bello: mhhe.com/bello.) Usando el ejemplo del concesionario que se muestra aquí: a. Halla la lista de precios sugerida. b. Halla el total de costos. c. Halla la lista total de precios (incluyendo las opciones).

Ejemplo de distribuidor de autos PRECIO BASE Cargo de destino Alfombra del piso Paquete de valor preferencial PRECIO DE LISTA SUGERIDO COSTOS EXTRA: Fondo promoción en ventas Asociación de publicidad del proveedor Retención Asistencia de rodamiento del proveedor TOTAL DE COSTOS: PRECIO DE LISTA TOTAL (incluye opciones)

$18,580 $435 $50 $2571

$100 $484 $371 $185

1-34

Números cardinales

74. Ahora que sabes comprar un carro, veamos qué tan lejos podemos llegar. El mapa muestra distancias entre las ciudades (números rojos) en el estado de Florida. Por ejemplo, la distancia que se conduce de Tampa a Orlando es de 82 millas, y de Orlando a Cocoa es de 49 millas. a. Halla la distancia de Tampa a Cocoa, vía Orlando. b. Halla la distancia de Tampa a Ft. Pierce, vía Orlando y Cocoa. c. Halla la distancia desde Bradenton a Miami, vía Palm Beach Oeste. d. Halla la distancia desde Bradenton a Miami, vía Ft. Myres y Naples. ¿Es esta distancia más corta que la obtenida en la parte c?

b. Halla la lista de precios real sugerida por el granjero y la lista de precios que tú obtienes sumando las respuestas de la parte a. c. Halla la lista de precios total. d. ¿Cuál es el ítem más costoso para la vaca básica?

Ejemplo proveedor de vacas

82 6 1:1

Tampa

Cocoa

2 0: 3 21

81 1:19

24 0:20

23 0:21

Lago Wales

Bradenton

Fuerte Pierce

14

1

03

62

2:

1:10

88 3 1:2

193 3:5 7

74 1:14

St. Petersburg

49 0:5 1

8 16 4 3:0

VACA BÁSICA $499.95 Envío y manejo 35.75 Estómago extra 79.25 Tono doble exterior 142.10 Compartimiento de almacenamiento 126.50 de productos Corta pajas para trabajo pesado 189.60 Sistema de drenaje con salida 149.20 alta de 4 espigos Matamoscas automático 88.50 Tapicería en cuero de vaca genuino 179.90 Cuernos de lujo dobles 59.25 Aditamento fertilizador automático 339.40 Ensamblaje de tracción 4  4 884.16 Lavado y cepillado antes de la entrega 69.80 (preparación del granjero) PRECIO DE LISTA SUGERIDO POR EL GRANJERO Margen de ganancia adicional del 300.00 granjero e intereses por pastizaje PRECIO DE LISTA TOTAL (incluyendo opciones) Una vaca vale aproximadamente $2500.

Orlando

106 1:51

95 1:29

e. ¿Cuál es ítem más económico para la vaca básica?

55 1:03

73. ¿Para ti son razonables los costos? Esta es la historia (reimpresa con permiso de Jeff Ostroff y consumer.net). Un granjero había sido estafado por un proveedor de autos local. Un día, el vendedor le dijo al granjero que iba a comprar una vaca. El granjero le dio el precio con la factura de abajo: a. Redondea todos los precios al dólar más cercano.

West Palm Beach

121

Fuerte Myers

2:26

78 1:18

4 20 7 3:5

37

0:40

Naples

124 1:59

Miami

75. Ahora viajemos en California. a. Halla la distancia conducida desde San Francisco hasta Manteca, vía Oakland. b. Halla la distancia desde Monterrey a Los Ángeles, vía San Luis Obispo y Santa Bárbara. c. Halla otra ruta que tenga el mismo número de millas que la parte b.

Oakland

110 3 2:4

92 25 1:

Barstow

63 00 1:

2:16

Needles

2

rn

Blythe

Pacífico 110

San Diego California México

1:46

na

ifo al 96 1:29

izo

C

Indio 84 5 1:4

40

111

11

1:

Ar

73 1:0 5

2:23

San Bernardino

ia

95 2:21

62 0:54 72 5 1:0

87

23 9 0:1

Long Beach

147

2:00

96 1:40

Los Ángeles

Kingman

Baker

65 1 1:0

68 1:22

1:41

110 5 1:4

1 10 0 5 1:

Mojave

El Centro 61 0:66

Yuma

Arizona

Las Vegas

ia

Bakersfield 58 1:0 4

Santa Bárbara

a

rn

Nevada

ad

115 2:30

112 2:39

243 5:51

ev

ifo

6 11 6 1:4

11 6 2:2 7

N al

198 4:18

0 14 7 3 2:

33 0:36

1:05

C

San Luis Obispo

Océano

St. George Beatty

44

2:31

120 2:19

97 46 1:

Paso Robles

Valle de la muerte 102

93

Parque Lone Nacional de Pine las Secuoyas

112 2 2:0

2 22 1 0 4:

70 1:41

2:19

Fresno Salinas

57

1:18

51 5 5 0:

59 1:04

Monterrey

18 0:25

2:39

Tonopah

117 2:55

Bishop

Merced

144

71 1:04

4

San Jose

Pueblo Yosemite

74 9 1:4

58

1:0

Lee Vining 65 16 1:

55 61

65 6 1:3

104 2:20

106

Manteca

63 0:57

40 7 0:3

San Francisco 0:

59

1:04

11 0:09

115 2:34

Capítulo 1

97 1:40

34

1-35

1.3

Suma

35

77. Las carreteras que conectan a San Bernardino, Indio, Blythe, Needles, Barstow, y de vuelta a San Bernardino, forman un pentágono (figura de cinco lados). ¿Cuál es el perímetro de este pentágono?

76. a. Las carreteras entre Los Ángeles, Long Beach y San Bernardino forman un triángulo. El perímetro de este triángulo es la distancia de un viaje ida y vuelta desde Los Ángeles, vía Long Beach y San Bernardino. ¿Cuál es el perímetro? b. ¿Cuál es la distancia, ida y vuelta, entre Long Beach, San Diego y San Bernardino?

78. Halla un pentágono y su perímetro, si empiezas en San Luis Obispo, y regresas a San Luis Obispo.

666¡Escribe! 79. Escribe con tus palabras qué significa el elemento identidad de la suma.

80. Escribe con tus palabras qué significa la ley conmutativa de la suma.

81. Escribe con tus palabras lo que significa la ley asociativa de la suma.

82. La distancia conducida desde Tampa a Cocoa es 82  49 millas. De regreso, la distancia es la misma, 49  82 millas. ¿Cuál propiedad de la adición nos dice que las distancias son las mismas?

83. Tyrone condujo desde San Luis Obispo hasta Los Ángeles, vía Santa Bárbara, (101  96) millas. Luego condujo 62 millas más a San Bernardino

84. El precio P de un carro es su precio base (B) más cargos de destino D. Es decir, P  B  D. Tito compró un Nissan en Smyrna, Tenessee, y no hubo cargo de destino. a. ¿Qué es D? . b. Llena el espacio en la ecuación P  B 

a. Escribe una expresión que ilustre esta situación, y después halla la distancia desde San Luis Obispo hasta San Bernardino.

c. ¿Qué propiedad de la adición justifica que la ecuación de la parte b es correcta?

b. María empezó en San Luis Obispo, pero primero se detuvo en Santa Bárbara, 101 millas. Luego, condujo a San Bernardino, vía Los Ángeles, (96  62) millas. Escribe una expresión que ilustre la distancia que María recorrió. c. ¿Cuál propiedad de la adición justifica que la distancia para Tyrone y María es la misma?

666Puente algebraico 85. Suma 3x  9 y 8x  7. 86. Suma 5x2  7x  8 y 9x2  8x  17. 87. Suma 3x3  8x2  7x  9 y 9x3  8x2  4x  5.

666Comprobación de conceptos Llena l llos espacios i con llas palabras, l b ffrases o afirmaciones fi i matemáticas ái correctas. 88. El resultado de la suma se llama

.

89. En una suma, los números que se suman se llaman

.

90. El hecho de que a  b  b  a se llama propiedad

de la suma.

.

91. La identidad para la suma es el

92. La propiedad asociativa de la suma dice que a  (b  c)  93. La distancia alrededor de un objeto se denomina su

. .

0

a  (b  c)

total

perímetro

(a  b)  c

1

sumandos

área

Suma

asociativa

conmutiva

666Prueba de dominio 95. Suma: 2454  6743  8789  7563

94. Halla el perímetro del triángulo.

96. Suma: 5374  3478  8598  2382 12 cm

15 cm

97. Suma: 712  635 98. Suma: 32  54

9 cm

36

Capítulo 1

1-36

Números cardinales

99. ¿Cuántos miles de dólares (al millar más cercano) le costaría a un residente de Florida registrarse en los semestres de otoño y primavera?

Matrícula de otoño y primavera Residentes de Florida

Matrícula/costos Habitación Alimentación

$2538 $3120 $3330

666Comprobación de destrezas 100. Un hamburger triple de Wendy’s contiene 1040 calorías, 225 gramos de colesterol y 72 gramos de proteínas. a. Redondea 1040 al millar más cercano.

101. Escribe 1040, 225 y 72 en palabras.

b. Redondea 225 a la centena más cercana. c. Redondea 72 a la decena más cercana.

w

1. 4

Resta

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Suma dos números. (pág. 25) 2. Escribe un número en forma expandida. (pág. 4)

Restar un número cardinal de otro, reagrupando (prestando) si es necesario.

6 Para comenzar SUBDIVISIÓN NORTE DEL LAGO COUNTRY

B6

Solucionar aplicaciones que involucren los conceptos estudiados.

O LOTE VAD ER

LOTE LOTE

LOTE LOTE LOTE

LOTE LOTE

LOTE LOTE

RES

ADO LOTE ERV

RES

O

DO LOTE RVA E

AD LOTE ERV

LOTE

RES

RES

E

RES

LOTE

DO LOTE LOTE RVA E

LOTE

RES

DO ADO LOTE LOTE RVA ERV

ADO LOTE ERV

RES

LAGO

LOTE

RES

LOTE

LOTE

LOTE

LOTE

O

AD LOTE ERV

RES

O

AD LOTE ERV

RES

LOTE

LOTE

LOTE

LOTE

LOTE

La subdivisión tiene 33 lotes, de los cuales 10 están reservados. ¿Cuántos lotes están disponibles? Para hallar la respuesta, usamos la operación de la resta, que se indica con un signo menos (), y se escribe diferencia 33  10  23 minuendo

sustraendo

1-37

1.4

Resta

37

Usualmente, el procedimiento se escribe así columna de unidades

columna de decenas 3 3 1 0 2 3

minuendo sustraendo diferencia

Para saber cuántos lotes están disponibles, podrías pensar de esta forma: el número reservado ahora es 10. ¿Cuántos lotes tienen que reservarse antes de que se reserven los 33? Escribimos 10 

33

que sumado con 10 da 33. La respuesta es

lo que significa que hay un número

 23.

A 6 Restar números cardinales He aquí la definición de resta.

RESTA

La resta a  b es un número único c, por tanto, a  c  b

Desde el análisis en la sección Para comenzar, puedes observar que para restar números cardinales, iniciamos con 2 números: el minuendo, que es el mayor de los dos*, y el sustraendo, que es el número restado, y finalmente se obtiene un tercer número, llamado la diferencia. Como lo mencionamos, la suma y la resta se relacionan. Entonces obtenemos, 7  3  4 porque 7  3  4 8  5  3 porque 8  5  3 Porque la suma y la resta se relacionan (son operaciones inversas), puedes usar la suma para revisar tus respuestas en la resta. Por ejemplo, puedes escribir 7 3 ___ ___ ___ 4

EJEMPLO 1

J

y se revisa sumando 347

Restar números cardinales

Resta 13 8.

PROBLEMA 1 Resta 15  9.

SOLUCIÓN 13 8 ___ 5

COMPROBAR 13 8 ___ 5

J

8  5  13 Aquí tienes otro problema: 59  36 ________ Como lo hicimos antes, calculamos que la respuesta a la decena más próxima debería ser 60  40  20. Luego, escribimos el problema con las unidades y las decenas ubicadas en una columna, como se muestra * Restas como 3  7 y 5  8 se discutirán más adelante.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 6

38

Capítulo 1

1-38

Números cardinales

columna de decenas

columna de unidades

5 9 3 6 Como en la suma, los números se ordenan verticalmente en columnas, con los dígitos de las unidades en la columna de las unidades y los dígitos de las decenas, en la de las decenas. La forma corta de la resta está en la izquierda y la expandida, en la derecha.

Forma corta

Forma expandida

59 50 9 36 ()30 6 _________ ____ 23 20 3  23 Podemos comprobar nuestra operación sumando 36  23. Ya que 36  23  59, nuestra respuesta es correcta. Observa que nuestro cálculo (20) se acerca a la respuesta real (23).

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Restar números cardinales

Resta 86 23.

Resta 95 62.

SOLUCIÓN 86 _____ 2 3 63

Paso 1. Calcula la respuesta, 90 20 70. Paso 2. Ordena en columnas.

Paso 3. Resta unidades. (6  3  3) Paso 4. Resta decenas. (8  2  6) Recuerda comprobar tu respuesta sumando 23  63.

Ahora resolvamos el problema 46 28 No podemos restar 8 de 6 y obtener un número cardinal, entonces tenemos que “tomar prestado” 10 del 4 (lo que representa 4 decenas o 40) y pensar en el número 46 (reagrupar o reescribir) como 30  16. Escribimos 3 16 (10  6  16) (40 10  30) /4 /6 2 8 Luego restamos 8 de 16 y 2 de 3, como se acaba de observar. De nuevo, compara la forma corta y la expandida.

COMPROBAR Respuestas a los PROBLEMAS 2. 33

Forma corta

Forma expandida

3 16 4 6 2 8 1 8

30  16 ()20  8 __________ 10  8  18

28  18  46

1-39

1.4

EJEMPLO 3

Resta

39

PROBLEMA 3

Restar números cardinales

Resta 742  327.

Resta 654  239.

SOLUCIÓN A la centena más cercana, la respuesta debería ser alrededor de 700  300  400. Forma corta 3 12

7 /4 2/ 27 3 ______ 4 15

Forma expandida 700  30 12 ()300  20  7 Paso 2. Ordena en columnas. 400  10 5  415 Paso 3. Escribe el 42 en 742 como 30  12 (“prestar 1”), como se muestra. Paso 1. Calcula la respuesta.

Paso 4. Resta unidades. Paso 5. Resta decenas. Paso 6. Resta centenas.

COMPROBAR 327  4 15 _____ 7 4 2 Entonces el resultado es correcto.

A veces, tenemos que reescribir el número en las centenas. Por ejemplo, para restar 81 de 346 procedemos de la siguiente manera: (300  100  200)

2 14 /3 /4 6 8 1 2 6 5

(100  40  140) Paso 1. Calcula la respuesta. Paso 2. Organiza en columnas. Paso 3. Resta unidades. (6  1  5) Paso 4. Reescribe el 340 en 346 como 200  140 (“prestar 1”), mostrado como 2 14. Paso 5. Resta decenas. (14  8  6) Paso 6. Resta centenas.

COMPROBAR 1 81 265 _____ 346 La forma expandida para este procedimiento es

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 415

346 200  140  6 81 () 80  1 200  60  5  265

40

Capítulo 1

1-40

Números cardinales

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Restar números cardinales

Resta 937  53.

Resta 846 72.

SOLUCIÓN 8 13 /9 /3 7  53 ______ 884

Paso 1. Calcula la respuesta. Paso 2. Ordena en columnas. Paso 3. Resta unidades. (7  3  4) Paso 4. Reescribe el 93 en 937 como 80  13 (“prestar 1”), que aparece como 8 13. Paso 5. Resta decenas Paso 6. Resta centenas Existen algunos problemas en los que tenemos que reescribir los números que implican más que uno. Examina el problema de resta 732 453  ________. Forma expandida 700  30 2 ó 700  20 12 ó 600  120 12  50  3 () 400  50  3 () 400  50  3 () 400 ____________ _____________ 9 200  70  9  279 No podemos restar 3 de 2, entonces reescribimos 732 como se muestra en la derecha.

No podemos restar 50 de 20, entonces reescribimos 732 de nuevo.

La forma corta es 12 6 2 12

7 3 2 4 5 3 _______ 2 7 9

EJEMPLO 5

Restar números cardinales

Restar 520  149.

Restar 680 – 295.

SOLUCIÓN Paso 1. Calcula la respuesta a la centena más cercana. Paso 2. Organiza en columnas.

Paso 4. Reescribe 51 como 40  11 y resta 4 de 11. 4 11 10

/5 2 /0 1 4 9 ________ 7 1 COMPROBAR 11

149 3 7 1 5 20 Respuestas a los PROBLEMAS 4. 774

Paso 3. Reescribe 20 como 10  10 (“presta 1”) y resta 9 de 10. 1 10

520 149 _____

5. 385

PROBLEMA 5

52 / 0/ 1 4 9 _______ 1 Paso 5. Resta 1 de 4. 4 11 10

/5 /2 /0

1 4 9 ________ 3 7 1

1-41

1.4

Resta

41

El procedimiento completo se escribe así 4 11 10

/5 /2 /0

1 4 9 3 7 1

EJEMPLO 6 Restar números cardinales Restar 8340  2459.

PROBLEMA 6 Restar 5250  1478.

SOLUCIÓN Paso 1. Calcula la respuesta a la centena más cercana. Paso 3. Reescribe 40 como 30  10 (“prestar 1”) y restar 9 de 10

Paso 2. Organiza en columnas. 8340 22459

3 10

Paso 4. Reescribe 33 como 20  13 (“prestar 1”) y restar 5 de 13. 2 13 10

8 3 /4 /0 22 4 5 9 1 Paso 5. Reescribe 82 como 70  12 (“prestar 1”) y restar 4 de 12. 12 7 2 13 10

8 /3 4 0/ 22 4 5 9 8 1

8/ 3 /4 0/ 22 4 5 9 8 8 1

Paso 6. Resta 2 de 7. 12 7 2 13 10

/

8 3/ 4/ 0/ 22 4 5 9 588 1

COMPROBAR 111

2459 ______  588 1 8 340

Ahora hallemos la diferencia 705 238  ________. Como siempre, escribimos 705 2238 Ya que no podemos restar 8 de 5 y obtener una respuesta de número cardinal, reescribimos 705 como 690  15 y luego restamos así: 6 9 15



/7 /0 /5 2 3 8 4 67

Lo que hicimos fue reescribir

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 3772

705  70 decenas  5  69 decenas  15

42

Capítulo 1

1-42

Números cardinales

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Restar números cardinales

Resta 803  346.

Resta 605 247.

SOLUCIÓN 7 9 13 /8 /0 /3 3 4 6 } 457

Paso 1. Calcula la respuesta. Paso 2. Organiza en columnas. Paso 3. Escribe 803 como 79 decenas  13. Paso 4. Resta unidades. Paso 5. Resta decenas. Paso 6. Resta centenas.

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Restar números cardinales

Resta 7006  6849.

Resta 6002  5843.

SOLUCIÓN 6 9 9 16 /7 /0 /0 /6 6 8 4 9 } 0157

Paso 1. Calcula la respuesta. Paso 2. Organiza en columnas. Paso 3. Reescribe 7006 como 6990  16. Paso 4. Resta unidades. Paso 5. Resta decenas. Paso 6. Resta centenas.

Paso 7. Resta millares. La respuesta se escribe como 157. 111

COMPROBAR

6849  157 7006

B 6 Aplicaciones que involucran resta La resta se usa en la vida diaria. Por ejemplo, si tienes una cuenta de cheques, la hoja de registro te da un récord de tu balance, el monto pagado y a quién se pagó. Para encontrar el balance, necesitamos restar 38 de 213. Esto se hace en el ejemplo 9.

BALANCE ACTUAL

DEPÓSITO

FECHA PARA

POR CONCEPTO DE ESTE CHEQUE OTRO DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 358

8. 159

SALDO

1-43

1.4

EJEMPLO 9 Talonario de chequera bancaria Halla el balance que se lleva en la colilla presentada restando 213 38. SOLUCIÓN Nuevo balance Monto de este cheque Balance que pasa

1 10 13 /2 /1 /3  38 _______ 1 75

Resta

43

PROBLEMA 9 El nuevo balance en una cuenta es de $317. Se hace un cheque por $59 ¿Cuál es el balance que pasa?

resta unidades resta decenas resta centenas De esta forma, el balance que pasa es $175.

EJEMPLO 10 Restar descuento y reembolso El anuncio dice que si restas el descuento y el reembolso ($4043) de la fábrica MSRP ($19,266) obtienes el precio de liquidación $15,233. Usa la suma para comprobar la operación.

PROBLEMA 10 Revisa el precio de liquidación en el siguiente anuncio:

Fuente: Tampa Tribune, 2/23/03, Money, 12. Financiación por 60 meses COMPAÑÍA MSRP: DESCUENTO Y REEMBOLSO:

Precio de liquidación:

COMPAÑÍA MSRP: DESCUENTO Y REEMBOLSO: Precio de liquidación:

Financiación por 72 meses

Financiación por 60 meses

SOLUCIÓN

Recuerda que a  b  c es igual que a  c  b, es decir, $19,266  $4043  $15,233 es igual a $19,266  $15,233 $4043, esto no es verdadero. (¡Suma 15,233 y 4043 para comprobarlo!) ¡El anuncio no es correcto!

6Puente algebraico En álgebra, podemos restar 2x2  3x  6 de 5x2  7x 9. Como siempre, alineamos las expresiones en columnas y restamos, así: 5x2 7x 9 () 2x2 3x 6 _______________ 3x2  4x  3 Paso 1. Resta los números. Paso 2. Resta las x. Paso 3. Resta las x2.

Respuestas a los PROBLEMAS 9. $258

10. No es verdadero; debería ser $10,998

44

Capítulo 1

1-44

Números cardinales

Rincón de la calculadora Restar en una calculadora es fácil. Como en la suma, simplemente presionas las teclas apropiadas, así: para hacer la operación 35 15 ____ . La pantalla muestra la respuesta, 20.

presionas

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Restar números cardinales En los problemas del 1-50, restar.

1.

14 2 6

2.

8 25

3.

13 26

4.

16 2 9

5.

17 2 0

6.

19 2 9

7.

17 2 9

8.

15 27

9.

66 232

10.

53 221

11.

83 220

12.

55 230

13.

90 256

14.

58 240

15.

73 258

16.

96 239

17.

503 2291

18.

605 2332

19.

578 2499

937 2888

21. 725  318

22. 835  608

23. 872  657

24. 742  345

25. 560  278

26. 590  445

27. 905  726

28. 308  199

29. 607  398

30. 804  297

20.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 1.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

31.

5837 23216

32.

6784 23271

33.

4783 21278

34.

6892 24583

35.

6853 22765

36.

4721 21242

37.

5325 22432

38.

9423 22540

39.

3860 22971

40.

4520 23362

41.

7634 2 388

42.

3425 2 137

43.

5073 2 782

44.

6068 2 697

45.

6003 2 289

46.

9001 2 539

47.

13,456 2 7,576

48.

27,333 2 9666

49.

50,000 223,569

50.

80,000 265,687

1-45

Resta

45

Aplicaciones que involucran resta 52. Diferencia de elevación La elevación de Lhasa, Tíbet, es de 12,087 pies sobre el nivel del mar. La Paz, Bolivia, está a 11,916 pies sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la diferencia de altitudes?

53. Autores jóvenes El autor más joven de una publicación registrada comercialmente es Dorothy Straight, nacida en 1958. Publicó su libro en 1962. ¿Cuántos años tenía entonces?

54. Distancia de viaje Al principio de un viaje, el odómetro de un carro marca 37,742 millas y al final muestra 43,224. ¿Cuántas millas tuvo el viaje?

55. Diferencia de caída Las cataratas del Niágara miden 193 pies de altura. Las cataratas Ángel miden 2212. ¿Cuál es la diferencia de altura?

56. Pasar y correr en Miami El equipo profesional de fútbol que más yardas ganó en una temporada es el de Miami, con 6936 yardas en 1984. Si 5018 yardas se ganaron en pases, ¿cuántas se ganaron corriendo?

57. Oferta de motoras Una motora de $3200 está en oferta por $ 2999. ¿Cuánto se puede ahorrar comprándola al precio de oferta?

58. Balance bancario Tu balance bancario es de $347. Si haces cheques por 59 y 39 dólares, ¿cuál es tu nuevo balance?

59. Haciendo dinero Una mujer compró un carro en $4500. Gastó $787 en reparaciones y luego lo vendió por $6300. ¿Cuánto ganó con la venta del carro?

60. Ingresos después de deducciones semana. Las deducciones son: Retención de impuestos $87 Seguridad social $46 Cuotas sindicales $13

para más lecciones

61. Poder real de compra ¡El poder real de compra de tu dólar está bajando rápidamente! ¿Cómo lo calcularás? Aquí están los pasos: Ingreso bruto ajustado Restar impuesto federal

$19.205  3,574

Jane Dough $20,000  4,672

Ingreso menos impuesto federal Restar seguro social

15.631  1.440

 1,500

Ingreso neto Restar 10% del total del ingreso neto por inflación

14.191  1,419

 1,383

Poder real de compra

Un hombre gana $682 por

¿Cuál es su ingreso neto después de estas deducciones? 62. Poder real de compra Joe Worker es soltero y tiene un ingreso bruto ajustado de $19,000. Su contribución federal asciende a $4264 y su contribución por seguro social es de $1273. Su 10% de pérdida por inflación asciende a $1346. ¿Cuál es su poder real de compra?

$12,772

Esto significa que tu ingreso neto de $14,191 comprará solamente $12,772 en bienes este año. Hallar el poder real de compra de Jane Dough usando las cifras dadas.

De acuerdo con Jeff Ostroff y Consumer Net, Inc, cuando compras un carro nuevo, el costo real de distribuidor está dado por: Precio de factura  incentivo de la fábrica para el distribuidor retención de la fábrica Fuente: http://carbuyingtips.com 63. Quieres comprar un Toyota Camry LE V6 con un precio de factura de $19,922. Descubriste que existe una fábrica con incentivo de $500 de distribuidor, y 2% de retención del MSRP ($447). a. ¿Cuál es el costo real de distribuidor? b. Si el representante ofrece venderte el Camry por $22,000, ¿cuánto se está ganando? Estos precios de computadoras se usarán para los ejercicios 65 al 70. A la vanguardia

Desempeño

Asequibilidad

64. Quieres comprar un Toyota Corolla CE usado. En Edmund’s el precio de factura es de $13,853. Edmund’s también muestra un incentivo de $900 de distribuidor, y 2% de retención de $302. a. ¿Cuál es el costo real de distribuidor? b. Si le permites al distribuidor ganar $500 en el negocio, ¿cuánto deberías ofrecer por el carro?

67. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension G310 y uno F310?

Dimension 8400 Dimension G310 Dimension F310 desde $1019 desde $689 desde $968

68. Si tienes suficiente dinero para comprar un Dimension F310, ¿cuánto dinero más necesitas para adquirir el 8400?

65. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension 8400 y uno F310?

69. Si puedes adquirir un Dimension G310, ¿cuánto dinero más necesitas para alcanzar el 8400?

66. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension 8400 y uno G310?

70. ¿Cuál es la diferencia de precio entre la computadora más cara y la más barata?

ir a

51. La estructura más alta del mundo La estructura más alta es la torre de radio Warszawa, de 2117 pies de alto. Si el Empire State mide 1250 pies, ¿cuál es la diferencia entre las dos alturas?

www.mathzone.com

6Web IT

5B6

1.4

46

1-46

para más lecciones

El siguiente cuadro muestra el ingreso de una familia de clase media por raza, y se usará en los ejercicios 71 a 76.

Ingreso (miles de dólares)

Números cardinales

www.mathzone.com

Capítulo 1

71. Halla la diferencia del ingreso familiar entre negros e hispanos en el 2001.

El ingreso medio no cambió para la familia hispana, pero cayó en otros grupos entre 2000 y 2001

72. Halla la diferencia del ingreso familiar entre hispanos y blancos en el 2001.

70 60

Asiático e isleño del Pacífico Blanco no hispano

50

Blanco

53,600 46,300 44,500 33,600 29,500

40 30 20

Hispanos (cualquier raza)

0 1970

1975

1980

1985

1990

1995

74. ¿Cuánto tiene que incrementarse el ingreso familiar de los negros para alcanzar el nivel de asiáticos e irlandeses?

76. ¿Cuáles son las razas que se alejan más en su ingreso familiar?

2000

Año Nota: Ingreso redondeado a los $100 más próximos. Ingreso en dólares en el 2001.

73. Halla la diferencia del ingreso familiar entre blancos no hispánicos y negros en el 2001.

75. ¿Cuáles son las dos razas que se aproximan más en su ingreso familiar?

Negro

10

ir a

Recesiones

Fuente: Datos tomados del U.S. Census Bureau.

La siguiente tabla se usará en los problemas 77 al 80.

Tendencia de precios en universidades Cuatro años pública Dos años pública

Total de matrícula y cuotas

$5491

Cuatro años privada

$2191

$21,235

79. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad privada de 4 años y una universidad pública de 2 años? 80. Si has ahorrado $3000 y quieres ir a una universidad pública de 4 años, ¿cuánto dinero más necesitas? Fuente: Trends in College Pricing, The College Board, http:// www.ed.gov/about/bdscomm/list/hiedfuture/2nd-meeting/ trends.pdf

77. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad pública de 4 años y una de 2 años? 78. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad pública de 4 años y una universidad privada de 4 años?

666Usa tus conocimientos

BALANCE ACTUAL

FECHA PARA

82.

PARA

POR CONCEPTO DE ESTE CHEQUE OTRO BALANCE

DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

BALANCE ACTUAL

FECHA PARA

POR CONCEPTO DE

POR CONCEPTO DE

ESTE CHEQUE

ESTE CHEQUE

OTRO

OTRO

DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

FECHA

DEPÓSITO

81.

BALANCE ACTUAL

DEPÓSITO

U dde llas aplicaciones Una li i más á iimportantes de d lla suma y lla resta ocurre en ell banco. Para ayudar a los clientes a mantener un registro del dinero en sus cuentas de cheques, los bancos ofrecen unos talonarios de cheques, como los presentados a la derecha. La primera línea del talonario muestra que el número del cheque (No.) es 70. “Este cheque” indica que la persona está pagando $120. Ya que el balance actual (la cantidad de dinero en la cuenta) es de $380 y el monto del cheque, $120, restamos 120 de $380, obteniendo $260, el nuevo balance en la cuenta. Entonces, este nuevo balance se ingresa en el talonario número 71, que se muestra abajo en la izquierda. Sigue este procedimiento y halla el nuevo balance en cada una de los talonarios presentados.

DEPÓSITO

6Web IT

Ingreso medio familiar de raza y origen hispano: 1967 a 2001

BALANCE

DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

BALANCE

1-47

1.4

84.

DEPÓSITO

BALANCE ACTUAL

FECHA PARA

BALANCE ACTUAL

FECHA PARA

POR CONCEPTO DE

47

DEPÓSITO

83.

Resta

POR CONCEPTO DE ESTE CHEQUE

ESTE CHEQUE

OTRO

OTRO

BALANCE

DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

BALANCE

DEDUCIBLE DE IMPUESTOS

Un asunto de fuego El punto de ignición de una sustancia es la cantidad de calor que necesita para arder. Por ejemplo, el punto de ignición del gas natural es de 1225°F. Si el punto de ignición de cierta clase de madera es 500°F, la diferencia entre el punto de ignición del gas natural y esa madera es 1225  500 725°F

Punto de ignición de materiales comunes 1400

Temperatura (grados Fahrenheit)

1300

85. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del papel y el algodón (mira la gráfica). 86. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del algodón y el papel celofán. 87. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del papel celofán y el alcohol de madera. 88. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del papel y el alcohol de madera. 89. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del algodón y el alcohol de madera. 90. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del papel y el celofán.

1225

1200 1100 1000 900

800

800 700 600 442

468

Algodón

Papel celofán

500 400

469– 516

363

300 200 100 0 Papel

Madera

Alcohol Gas natural de madera

666Escribe 91. Un problema de resta se puede cambiar a uno de suma. Por ejemplo 20  15  5 significa que 20  15  5. Escribe dos ejemplos más para demostrarlo.

92. ¿Es la resta conmutativa? Explica y da ejemplos de por qué sí o por qué no.

93. ¿Es la operación de la resta asociativa? Explica y da ejemplos de por qué.

94. ¿Existe alguna identidad para la resta? Explica y da ejemplos de por qué.

666Puente algebraico 96. Resta 5x2  3x  6 de 8x2  7x  9.

95. Resta 3x2  6x  2 de 5x2  8x  7. 97. Resta 2x2  5x  3 de 3x3  5x2  7x  9.

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas. 98. La diferencia de a y b es 99. a  b es un número único c, tal que

. .

100. En el problema de resta 106  79  27, el 106 se llama ; el 79, ; y el 27, 101. La suma y la resta son operaciones

.

.

inversas

asociativa

ab

sustraendo

minuendo

cba

conmutativa

diferencia

acb

ba

48

Capítulo 1

1-48

Números cardinales

666Prueba de dominio 102 102. 632  216

103 103. 857  62

104. 720  169

105. 703  257

106. 8006  7859

107. El balance en una chequera es de $347. ¿Cuál es el nuevo balance si haces un cheque por $59?

666Comprobación de destrezas 108. S 108 Suma 28  120 120.

109 109. S Suma 345  5400 5400.

110. Suma 1682349.

111. Escribe 2348 en forma expandida.

112. Escribe 5250 en forma expandida.

1. 5

Multiplicación

6 Objetivos

6 Repasar antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

Usa la información de la multiplicación en la tabla de la página 49.

A6

Multiplicar dos números cardinales.

B6

Multiplicar un número cardinal por cualquier múltiplo de 10, 100, 1000, etc.

C6

D6

Resolver aplicaciones que involucren los conceptos estudiados.

6 Para comenzar ¡Hay algo sospechoso aquí! ¿Cuántas peceras ves en la foto? Para saber la respuesta, puedes hacer lo siguiente: 1. Contarlas. 2. Observa que hay tres peceras en cada fila, luego suma las líneas así: 3  3  3  3  12 3. Multiplicar. producto 4312

Hallar áreas usando la multiplicación. multiplicador o factor

multiplicando o factor

Utilizamos un producto 4  3 para indicar la suma repetida 3  3  3  3. Usamos el signo de la multiplicación () para representarla. Un matemático alemán, llamado Leibniz, quien enseñaba que la  podría confundirse con la letra x, empezó a usar el punto () para indicar multiplicación; así: 4  3 se puede escribir como 4  3 o usando el paréntesis (4)(3).

1-49

1.5

49

Multiplicación

A 6 Multiplicar números cardinales El proceso analizado generalmente se escribe así: multiplicando

3 4 } 12

factores

multiplicador producto

El multiplicando y el multiplicador, que son los números por multiplicar, a veces se llaman simplemente factores. El producto es el resultado de la multiplicación. Todas las multiplicaciones que debes conocer están en la siguiente tabla. Como en la suma, ya deberías conocerlas, si no, tómate el tiempo para memorizarlas ahora.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Igual que la suma, la multiplicación tiene propiedades útiles. Observa en la tabla que cuando cualquier número es multiplicado por cero, el producto es cero. Ésta se llama la propiedad multiplicativa del cero.

PROPIEDAD MULTIPLICATIVA DEL CERO

El producto de un número y cero es cero.

a00 Observa también que cuando un número se multiplica por 1, el producto es el mismo número. Esto se llama la identidad para la multiplicación.

IDENTIDAD MULTIPLICATIVA O DE LA MULTIPLICACIÓN

El producto de un número y 1 es el número.

a1a

Como en la suma, la multiplicación es conmutativa y asociativa.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

Cambiar el orden de los factores no altera el producto.

abba

50

Capítulo 1

1-50

Números cardinales

Ahora intentemos otro problema 3  32  Primero, lo escribimos así: 32 3 Podemos calcular que la respuesta es 30390. Luego, seguimos estos pasos. Paso 1

Paso 2

Paso 3

32  3 6

32  3 6 90

32  3 6 90 96

Multiplica 3 por 2 Multiplica 3 por 30 Suma 6  90 326

3  30  90

6  90  96

La fórmula expandida es 30  2  3 } 90  6  96



El hecho que podamos hacer esta multiplicación se debe a una propiedad llamada distributiva, que dice que al multiplicar un número por una suma podemos multiplicar cada sumando por el número y luego sumamos así:

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

o

a  (b  c)  (a  b)  (a  c) a  (b  c)  a  b  a  c ︸

︸

En nuestro caso, 3  (30  2) 3  (30  2)  (3  30)  (3  2) Observa que la respuesta correcta (96) es aproximadamente igual a nuestro cálculo (90).

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Multiplicar números cardinales

Multiplica 4  37.

Multiplica 6  23.

SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 4  40 160. Luego seguimos los pasos.



Paso 1

Paso 2

Paso 3

37  4 28

37 3 4 28 120

37 34 28 120 148

Multiplica 4 por 7 Multiplica 4 por 30 4  7  28

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 138

4  30  120

Suma 28 y 120 28  120  148

1-51

1.5

Multiplicación

51

El procedimiento para resolver el ejemplo 1 se puede reducir después de algo de práctica. He aquí cómo se hace. Paso 1

Paso 2

2

2

37 3 4 8

37  4 148

4  7  28, escribe 8 y llevas 20.

4  30  120, más el 20 que llevaba es 140; escribe 14.

La forma expandida del procedimiento es 30  7  4 } 120  28  120 20 8  140  8  148



Recuerda que podemos indicar una multiplicación usando el punto; como en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Multiplicar números cardinales

Multiplica 7  46.

SOLUCIÓN

Multiplica 6  53.

La respuesta debería ser alrededor de 7  50 350. He aquí los

pasos.



Paso 1

Paso 2

46 3 7 42

3

Paso 3

46 7 42 280

46 7 42 280 322

3

Multiplicar 7 por 6 Multiplicar 7 por 40 7  6  42

7  40  280

Sumar 42  280 42  280  322

La multiplicación que implica factores de dos dígitos se desarrolla de la misma forma. Así, para multiplicar 32  53, procedemos de la siguiente forma:



Paso 1

Paso 2

53 332 1 06

53 332 106 1590

Paso 3

53 3 32 106 159 1696

Multiplicar 2 por 53 Multiplicar 30 por 53 Sumar 106  1590 2  53  106

Respuestas a los PROBLEMAS 2. 318

30  53  1590 (el 0 en 1590

106  1590  1696 (observa que el 0

usualmente se omite)

en 1590 se omite)

52

Capítulo 1

1-52

Números cardinales

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Multiplicar números cardinales

Multiplica 43  56.

SOLUCIÓN

Multiplica 52  38.

La respuesta debería ser alrededor de 40  60 2400.

Paso 1

Paso 2

1



Paso 3

2

56 3 43 168

56 3 43 168 224

Multiplicar 3 por 56

Multiplicar 40 por 56

3  56  168

56 43 168 224 2408 Sumar 168 1 2240

40  56  2240 (pero el 0 se omite)

168  2240  2408

EJEMPLO 4 Multiplicar números cardinales Multiplica 132  418. SOLUCIÓN

PROBLEMA 4 Multiplica 213  514.

La respuesta debería ser alrededor de 100  400 40,000.

Paso 1

Paso 2

1

Paso 3

Paso 4

2

4 1 8 31 3 2 836

418 3 132 836 1254

418 1 3 2 836 1 2 54 418

418 132 8 36 1254 418 55176

Multiplicar 2 por 418

Multiplicar 30 por 418

Multiplicar 100 por 418

Sumar

30 3 418 5 12,540

100 3 418 5 41,800

2 418 5 836

836 1 12,540 1 41,800 5 55,176

PROBLEMA 5

EJEMPLO 5 Multiplicar números cardinales Multiplica 203  417. SOLUCIÓN

La respuesta debería ser alrededor de 200  400 80,000.

Paso 1

Paso 2

2

Multiplicar 3 por 417

Paso 3

Paso 4

1

4 1 7 3 203 1 2 5 1

417 3203 1251 000

417 3203 1251 000 834

417 203 1251 000 834 84651

Multiplicar 0 por 417

Multiplicar 200 por 417

Sumar

0 3 417 50

200 3 417 5 83,400

1251 1 000 1 83,400 5 84,651

3 417 5 1251 Respuestas a los PROBLEMAS 3. 1976

Multiplica 304  512.

4. 109,482 5. 155,648

1-53

1.5

Multiplicación

53

Por su puesto, puedes saltarte el segundo paso y simplemente multiplicar 417 por 2, escribiendo el 4 en 834 debajo del 2 en 1251 (en vez de ponerlo debajo del 5), como se muestra en la siguiente forma corta. 417 203 1251 Le ponemos un 0 al 834 para mantener las columnas alineadas correctamente. 8340 84651

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

Multiplicar números cardinales Multiplica 350  429.

Multiplica 290  134.

SOLUCIÓN Paso 1

Paso 2

Paso 3

14

429 3350 000

Multiplicar 0 por 429 0 429 5 0

Paso 4

2

429 3350 000 2145

429 3350 000 2145 1287

Multiplicar 50 por 429 50 3 429 5 21,450

429 3 350 000 2145 1287 150150

Multiplicar 300 por 429

Sumar

300 3 429 5 128,700

000 1 21,450 1 128,700 5 150,150 Observa que puedes ahorrar tiempo multiplicando 35 429 y luego agregándole un 0 al resultado.

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Multiplicar números cardinales Multiplica 430  219.

Multiplica 620  318.

SOLUCIÓN Primero, multiplicamos 43 3 219; luego le agregamos 0 al resultado para obtener la respuesta. Paso 1 2

219 3 43 657

Paso 2

Paso 3

3

219 3 43 657 876

Multiplicar 3 por 219 Multiplicar 40 por 219

3  219  657 40  219  8760

219 3 43 657 876 9417 Sumar

657  8760  9417

Agregándole un 0 al resultado 9417 tenemos 94,170. Así, 4303219594,170.

B 6 Multiplicar por múltiplos de 10 Podemos acortar la labor en los ejemplos 6 y 7, porque uno de los números involucrados era un múltiplo de 10, es decir, 10 multiplicado por otro número. La multiplicación que incluye múltiplos de 10 siempre se puede acortar. Si has estado calculando las respuestas en los ejemplos del 1 al 5, el siguiente patrón será fácil de seguir. Respuestas a los PROBLEMAS 6. 38,860

7. 197,160

54

Capítulo 1

1-54

Números cardinales

10330 Agrega un cero. 10660 1003300 Agrega dos ceros. 1006600 100033000 Agrega tres ceros. 100066000 Como puedes ver, para multiplicar un número por 10, 100, 1000, simplemente escribimos el número seguido por tantos ceros como haya en el multiplicando. Aquí hay algunos ejemplos: 20  31 0  2  36 0 30401 0  3  1 0  4 12 00 90701 0  9  1 0  763 00 10080 1 0  1 0  1 0  88 000 200701 0  1 0  2  1 0  714,000 El patrón se halla multiplicando los dígitos que no llevan cero y sumando tantos ceros como aparezcan en ambos factores.

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Multiplicación que incluye múltiplos de 10

Multiplica:

a. Multiplica: 1000  7 b. Multiplica: 30  50 c. Multiplica: 300  70

a. 1000 3 5 b. 40 3 90 c. 700 3 80

SOLUCIÓN a. 1000 3 7 5 7000

b. 30 3 50 5 1500

c. 300 3 70 5 21,000

C 6 Aplicaciones que implican multiplicación A veces debemos multiplicar más de dos factores. Por ejemplo, supongamos que quieres comprar un carro de $10,000. Dejas $1000 en depósito como adelanto y necesitas pedir prestado el resto (digamos que alrededor de 6% de intereses) por 4 años. Con estos términos, tu pago es de $210 por mes. ¿Cuánto terminas pagando por los $9000 que pediste prestados? La respuesta es $210  412

︸ Pago mensual

︸ Número de meses en cuatro años

Hallamos esta respuesta en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Multiplicar números cardinales Multiplica 210  4 3 12. SOLUCIÓN

PROBLEMA 9 Multiplica 120 3 4 3 12.

Primero multiplicamos 210 por 4 obteniendo

210 4 840 Luego, multiplicamos el resultado por 12.  12 1680 840 10080 De esta manera, terminas pagando $10,080 por los $9000 que pediste prestados. 

Respuestas a los PROBLEMAS 8. a. 5000 9. 5760

b. 3600

c. 56,000

1-55

1.5

EJEMPLO 10

Campos de fresa Aquí tienes información acerca de las fresas: Una pinta 15 fresas grandes Un cuarto2 pintas Una canasta8 cuartos Una canasta12 libras a. ¿Cuántas pintas tiene una canasta? b. ¿Cuántas fresas tiene una canasta? c. En el último año 6000 acres de fresas se sembraron. Cada acre dio cerca de 2000 canastas, valoradas en $10 cada una. ¿Cuál fue el valor total de la cosecha?

Multiplicación

55

PROBLEMA 10 a. ¿Cuántas fresas tiene un cuarto? b. ¿Cuánto pesan 16 cuartos? c. Si 8000 acres de fresas se siembran, ¿cuál es el valor de la cosecha?

SOLUCIÓN a. Una canasta8 cuartos, y un cuarto2 pintas. Entonces, usamos la sustitución para intercambiar dos pintas por un cuarto. Así, una canasta8 cuartos8(2 pintas) 16 pintas. Esto significa que una canasta es igual a 16 pintas. b. De nuevo usamos la sustitución para cambiar 8 cuartos por una canasta, 2 pintas por un cuarto y 15 fresas por una pinta. Una canasta 8 cuartos 8(2 pintas)8(2)(15 fresas) Así, una canasta 8(2)(15) fresas 240 fresas. Observa que usamos los paréntesis para indicar la multiplicación: 8(2)(15) fresas significa 8 3 2 3 15 fresas. c. El valor de la cosecha es el producto de 6000 (acres), 2000 (canastas) y $10, que es, 60002000$10$120,000,000 ($120 millones) En el numeral b del ejemplo 10, primero podemos multiplicar 8 por 2 y luego multiplicar el resultado por 15, que es, (82)15. De hecho es más fácil multiplicar 8(215) 830240. No importa cómo agrupemos los números porque la multiplicación es asociativa.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

Cambiar la agrupación de dos factores no altera el producto.

a 3 (b 3 c) 5 (a 3 b) 3 c a  (b  c) 5 (a  b)  c

D 6 Hallar áreas Una aplicación de la multiplicación es hallar el área de una región. El área de una región mide la cantidad de su superficie. Para hallar el área de una figura usamos la multiplicación y hallamos el número de unidades cuadradas que contiene. Las unidades cuadradas se muestran abajo a la izquierda. El área de un rectángulo, por ejemplo, consta del número de unidades que tiene. Si el rectángulo mide 3 centímetros por 4 centímetros, su área mide 3 cm  4 cm 12 cm2 (se lee “doce centímetros cuadrados”), como se muestra en el diagrama. 4 cm

1 pul.

1 pul.

1 cm 3 cm 1 cm

Una pulgada cuadrada (pul.2) Respuestas a los PROBLEMAS 10. a. 30 fresas b. 24 libras c. $160,000,000 ó $160 millones

Un centímetro cuadrado (cm2) Área  3 cm
4 cm  12 cm2

56

Capítulo 1

1-56

Números cardinales

En general, podemos hallar el área A de un rectángulo multiplicando su longitud o base l por la longitud de la altura o ancho a, como se muestra aquí.

El área A de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base (o largo) b por la longitud de su altura (o ancho) a.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

A5b?a

EJEMPLO 11

Calcular el área Una de las tortas de fresa más grandes de la historia se hizo en Plant City, Florida. La mesa que la sostuvo medía 104 pies por 8 pies. ¿Cuál era el área de la mesa?

PROBLEMA 11 El St.Petersburg Times del 27 de septiembre de 2002 publicó que Danny Julian hizo un bizcocho que medía 40 por 38 pies. ¿Cuál es el área de este bizcocho? El bizcocho de 40 por 38 pies fue armado con bizcochos de 18 pulgadas por 25 pulgadas, congelados y pegados como ladrillos con crema de mantequilla que servía como mortero.

El área de la mesa es 104 pies 3 8 pies 5 832 pies2. (De hecho, el pastel tenía 827 pies cuadrados, usó 162,179 fresas, 450 libras de azúcar y 600 libras de crema batida.)

SOLUCIÓN

6Puente algebraico Multipliquemos con álgebra. Por ejemplo, multipliquemos 3 por 2x 1 1. En álgebra usamos paréntesis ( ) y escribimos 3 3 (2x 1 1), ó 3(2x 1 1). Observa cómo funciona la columna aritmética. ¡La columna algebraica trabaja de la misma forma! Aritmética Álgebra Paso 1. Escribe en notación expandida.

Respuestas a los PROBLEMAS 11. 1520 pies2

21  2(10) 1 1  3  3

2x 1 1  3

Paso 2. Multipica 3 3 1. 21 5 2(10) 1 1  3  3 3 3

2x 1 1  3 3

Paso 3. Multipica 3 3 2(10). 21 5 2(10) 1 1  3  3 63 6(10) 1 3

2x 1 1  3 6x 1 3

1-57

1.5

Multiplicación

Supongamos que quieres multiplicar (2x 1 1) por (3x 1 2). Mira la multiplicación de 21 por 32 y observa si hay similitudes. Aritmética Álgebra Paso 1. Escribe en notación expandida. 21 5 2(10) 1 1 2x  1  32 5 3(10)  2 3x  2 Paso 2. Multiplicar 2  1. 21 5 2(10) 1 1  32 5 3(10)  2 2 2 Paso 3. Multiplicar 2 3 2(10). 21 5 2(10) 1 1  32 5 3(10)  2 42 4(10)  2

2x  1 3x  2 2 2x  1 3x  2 4x 1 2

Paso 4. Multiplicar 3(10)  1. 21 5 2(10) 1 1 3 32 5 33(10) 1 2 42 4(10) 1 2 3 3(10)

2x  1 3x  2 4x 1 2 3x

Paso 5. Multiplicar 3(10)  2(10). Observa que 3(10) 2(10)  6 10 10 6 102.

Es decir, 10  10  102. 21 5 2(10) 1 1 3 32 5 3(10)  2 42 4(10) 1 2 63 6(102) 1 3(10)

Observa que (2x)(3x)  6x2.

2x  1 3x  2 4x 1 2 6x2 1 3x

Paso 6. Sumar las columnas. 21 5 2(10) 1 1  32 5 3(10)  2 42 4(10)  2 63 6(102) 1 3(10) 672 6(102)  7(10) 1 2

2x  1 3x  2 4x 1 2 16x2 1 3x 6x2  7x  2

Rincón de la calculadora Como en la suma y la resta, la multiplicación se puede hacer simplemente presionando las teclas apropiadas en la y la respuesta, 12, calculadora. Así, para desarrollar el problema 4  3, simplemente presionamos aparece en la pantalla. Si se quiere multiplicar más de 2 números, el proceso es similar. De esta manera, para obtener la respuesta del ejemplo nueve, que es hallar 210  4  12, procedemos de la siguiente forma: , obteniendo la respuesta, 10080. Observa que debes insertar la coma en esta respuesta para obtener el resultado final, 10,080.

57

58

Capítulo 1

1-58

Números cardinales

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 1.5 5A6 1. a.

Multiplicar números cardinales En los problemas 1 al 34, multiplicar. 3 4

2. a.

3 7 }

b.

9 6

7. a.

7

b.

}

b.

6. a.

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6 }

3. a.

5 9

b.

0 0

8. a.

0 3

b.

}

9 1

4. a.

8 1

b.

7 0

9. a.

4 0

b.

}

}

}

b.

5 2

0 9

b.

1 8

10. a.

1 4

b.

9 8 }

}

}

5 8 }

}

}

}

5. a.

}

}

}

0 6

1 0

}

}

1 4

}

11. 6  8

12. 0  9

13. 1  5

14. 6  1

15. 9  9

16. 1  1

17. 0  1

18. 9  8

19. 4  4

20. 8  8

21.

10 9

22.

}

23.

24.

20 8 }

27.

48

1234 3 }

5B6 35.

28.

32.

4321 4

33.

26.

608 32

30.

35,209 16

34.

39 4

}

}

}

36.

508 23

}

}

83 30

37.

671 350

41.

}

346

40.

420 } 3020 405 } 47. (700)(80)

5C6

29.

53 6

43,802 15

}

Multiplicar por múltiplos de 10 En los problemas 35 al 50, multiplicar. 63

43.

98 15

}

}

}

40 } 39.

25.

}

17 } 31.

90 5

10 5

}

44.

6050 802

249 50

38.

}

2260 200

}

296  60

}

42.

3160 300

}

45. 20 5

46. (30)(90)

49. 300 200

50. 600 900

}

48. 120 30

Aplicaciones que implican multiplicación

51. Zancadas de avestruz Una avestruz avanza 25 pies con una zancada. ¿Cuántos recorre en 8 zancadas? 52. Patrones Copia el patrón y escribe los números que faltan. Verifica tu respuesta multiplicando. a. 111 c. 1 9 2  11 b. 999,999 2  1,999,998 22121 12 9 3 111 999,999 3 2,999,997 3  3  1 2  3  2 1 123 9 4 1111 999,999 4  4 4  1 2 3 4  3 2 1 1234  9 5  1 2 3 4 5 4 3 2 1

1-59

1.5

b. 25 segundos

54. Horas en un día, una semana, un mes a. 3 días

59

Cuántas horas hay en

b. 1 semana

55. Pedir prestado y los intereses Pides prestado $8000 (al 11% de interés) por un periodo de 4 años. La suma de tus pagos mensuales es de $206. ¿Cuánto terminarás pagando por los $8000 prestados? (ver ejemplo 9 de esta sección)

56. ¿Qué tan lejos puedes ir? Un carro puede recorrer alrededor de 28 millas con un galón de gasolina. Qué distancia puede recorrer con a. 2 galones b. 5 galones c. 10 galones

b. 10 años

58. Peso de la Tierra Un objeto pesa 6 veces más en la Tierra que en la Luna. Halla el peso en la Tierra de: a. Un astronauta que pesa 27 libras en la Luna. b. El Rover Lunar usado por los astronautas del Apolo 15, que pesa 75 libras en la Luna. c. Las rocas traídas por la tripulación del Apolo 16, que pesaron 35 libras en la Luna.

59. Consumo de petróleo Para el 2010, el consumo anual de petróleo en Estados Unidos se estima será de 8 billones de barriles. A este paso, ¿cuánto petróleo se utilizará en los siguientes 8 años?

60. Ingesta calórica La ingesta calórica necesaria para mantener tu peso se halla multiplicando tu peso por 15. Por ejemplo, un hombre que pesa 200 libras necesita 15 200 3000 calorías diarias Halla la ingesta calórica para: a. Un hombre de 150 libras. b. Un hombre de 120 libras. c. Un hombre de 170 libras.

5D6

Hallar áreas 62. ¿Alguien nada? Una de las piscinas rectangulares más grandes del mundo está en Casablanca, Marruecos, y tiene 480 metros de largo y 75 de ancho. ¿Cuál es el área de la piscina?

63. Área de un diamante de béisbol Halla el área de la región enmarcada por las líneas de las bases en el diamante de béisbol mostrado.

64. Área de una cancha de baloncesto Halla el área de la siguiente cancha de baloncesto.

90 pies

90 pies

Ancho óptimo: 50 pies

61. ¡Muchos huevos! Una de las tortillas más grandes cocinadas en la historia medía 30 pies de largo y 10 de ancho. ¿Cuál era su área?

Longitud óptima: 94 pies

para más lecciones

57. Semanas Un año tiene 52 semanas. Cuántas semanas tienen a. 5 años

www.mathzone.com

d. 1 año (365 días)

ir a

c. 1 mes de 30 días

c. 30 segundos

6Web IT

53. Distancia recorrida por la luz La luz viaja a 300,000 km/s. Qué distancia recorrería la luz en a. 20 segundos

Multiplicación

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

60

Capítulo 1

1-60

Números cardinales

65. Área de un campo de fútbol

Halla el área del campo de fútbol.

66. Área

¿Cuál es el área de la pista de jockey?

160 pies

85 pies

360 pies 200 pies 67. Árboles Un estadounidense consume el equivalente a 7 árboles en papel, madera y otros productos por año. Si hay cerca de 300 millones de estadounidenses, ¿cuántos árboles se consumen en un año? Fuente: http://members.aol.com 69. Flujo de agua Asumiendo que circulan 5 galones por minuto, ¿cuánta cantidad de agua podría ahorrar Tito en un año (365 días) tomando una ducha diaria de 4 minutos en vez de una de 5? Source: http://www.asheonline.com 71. ¡No lo botes! Un galón de pintura o un cuarto de aceite de motor pueden filtrarse en la tierra y contaminar 250 mil galones de agua potable. Cuando haces cambio de aceite en tu carro, 5 cuartos de aceite de motor se botan accidentalmente y se filtran en la tierra. ¿Cuántos galones de agua potable se pueden contaminar por el derrame? Fuente: http://www.leeric.lsu.edu

68. Flujo de agua Una ducha estándar tiene un flujo promedio de 5 a 10 galones de agua por minuto. La mayoría de la gente toma duchas de 5 minutos. ¿Cuántos galones de agua se usan en un baño de 5 minutos? ¿Cuántos usa una familia de 4 personas en una semana (7 días), asumiendo que cada miembro toma una ducha de 5 minutos? Fuente: http://www.asheonline.com 70. Galones de galones Una tina consume 50 galones de agua. Suponiendo un flujo de 5 galones por minuto, ¿qué cantidad de agua podría ahorrar una persona en 7 días tomando una ducha de 5 minutos en vez de hacerlo en la tina? Fuente: http://www.asheonline.com 72. ¡Ojo con el tanque! Un galón de gasolina regada puede contaminar 750,000 galones de agua. ¿Cuántos galones de agua se pueden contaminar si se filtran 13 galones de gasolina en el suelo? Fuente: http://www.leeric.lsu.edu

666Usa tus conocimientos U problema Un bl dde peso ¿Cuánto C á t ddeberías b í pesar?? H Hay una fó fórmula l para calcular l l ttu peso id ideal. l P Para un hhombre b promedio, di lla fórmula es así: Peso ideal  altura (pulgadas) 3 4 2 130 Para mujeres, Peso ideal  altura (pulgadas)  4  140 Por ejemplo, el peso ideal para una mujer de 70 pulgadas se calcula de la siguiente forma: Peso ideal  70 4 140  280 140 140 73. Usa la fórmula para hallar el peso ideal de un hombre de 6 pies de alto (72 pulgadas).

74. Usa la fórmula para hallar el peso ideal de una mujer de 5 pies y 8 pulgadas de estatura (68 pulgadas).

La cantidad de comida (calorías) necesarias para mantener tu peso ideal depende de tus actividades. Mídete en la siguiente escala.

Para hallar las calorías diarias necesarias para mantener tu peso ideal, usa la siguiente fórmula:

13 14 15 16 17

muy inactivo medianamente inactivo moderadamente activo relativamente activo frecuentemente activo

Calorías necesariaspeso ideal 3 nivel de actividad (de la tabla)

Por ejemplo, para un trabajador de 200 libras, quien en la escala de actividad está en 13, su necesidad calórica se calcula así: Calorías necesarias 200  13 2600 75. Halla las calorías necesarias para un hombre de 150 libras que es: a. Moderadamente activo.

b. Frecuentemente activo.

1-61

1.5

Multiplicación

61

666Escribe 76. Con tus palabras, escribe el procedimiento que utilizas para multiplicar un número cardinal por 10, 100 ó 1000.

77. Con tus palabras, escribe el significado de la propiedad conmutativa de la multiplicación. ¿En qué se parece esta propiedad con la conmutativa de la suma?

78. Con tus palabras, escribe qué significa cuando decimos que 1 es la identidad multiplicativa. ¿Por qué crees que se usa la palabra identidad para describir el número 1? ¿Cuál es la identidad para la suma?

79. Con tus palabras escribe el significado de la propiedad asociativa de la multiplicación. ¿En qué se parece esta propiedad con la asociativa de la suma?

80. ¿Cuál de las propiedades mencionadas (conmutativa, asociativa, identidad), funciona para la resta? Explica y da ejemplos.

666Puente algebraico Multiplica M l i li 81. 5 3 (2x 1 7)

82. 3(4x 1 2)

83. 3x 1 1 por 2x 1 2

84. (2x 1 3)(3x 1 1)

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas. 85. El producto de a y b puede expresarse de tres formas: 86. Cuando escribimos 5 3 4 5 20, el 5 es el el .

,

y

, el 4 es el

y el 20 es .

87. El multiplicando y el multiplicador también se llaman

.

88. La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que 89. La identidad para la multiplicación es 90. a  (b 1c) 

.

.

.

91. La propiedad asociativa de la multiplicación dice que (a  b) c 5 92. El área de un rectángulo de longitud l y ancho a es

.

multiplicando

1

la

a  ( b  c)

(a  b)  c

ab

multiplicador

ab

0

(a)(b)

producto

abac

factores

abba

.

666Prueba de dominio 93. Multiplica 210  5 12.

94. Multiplica 4000  80.

95. Multiplica 450  319.

96. Multiplica 403  319.

97. Multiplica 129  318.

98. Multiplica 53  65.

99. Multiplica 7  56. 101. Una pinta contiene alrededor de 15 fresas grandes y un cuarto equivale a 2 pintas. ¿Cuántas fresas tiene un cuarto?

100. Multiplica 1000  9. 102. Una cancha de voleibol mide 30  60 pies. ¿Cuál es el área de la cancha?

666Comprobación de destrezas 103. Escribe 234 en notación expandida.

104. Escribe 758 en notación expandida.

105. Suma 349 y 786.

106. Suma 1289 y 7893.

107. Resta 728 de 3500.

108. Resta 999 de 2300.

62

Capítulo 1

1-62

Números cardinales

1. 6

División

6 Objetivos

6 Repasar antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Usa la definición de números cardinales. (pág. 3) 2. Usa la multiplicación. (pág. 49)

Escribir un problema de división como uno equivalente de multiplicación.

B6

Dividir un número cardinal entre otro usando la división larga.

C6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

6 Para comenzar

Supongamos que tienes 12 centavos para gastar en estampillas de 3 centavos. ¿Cuántas estampillas puedes comprar? Si tienes 12 centavos, puedes separarlos en grupos iguales de 3. Ya que hay 4 grupos, puedes comprar cuatro estampillas de 3 centavos con los 12 centavos, como se muestra en la fotografía. Hemos separado una cantidad en 4 grupos iguales. Este proceso se llama división. Por supuesto, el problema podría haber sido resuelto dividiendo el dinero disponible (12 centavos) por el costo de cada estampilla (3 centavos).

A 6 Escribir división como multiplicación En matemáticas la frase “doce dividido entre tres” se escribe así:

cociente 12 4 3 5 4 dividendo

divisor

donde 4 es el signo que se usa para indicar la división. En este problema, 12, el número que va a ser dividido, es el dividendo; 3, el número usado para dividir es el divisor; y el 4, el resultado de la división, se llama cociente. La afirmación matemática 12 4 3 5 4 (doce dividido entre tres igual a cuatro) también se puede escribir de la siguiente forma 4 12 }54 12 12Y3 5 4 3qw 3

1-63

1.6

División

63

Esta es la definición.

DIVISIÓN

El cociente a 4 b, donde b Þ 0, es el único número cardinal c, tal que a 5 b 3 c.

¿Cómo puedes comprobar el hecho de que 12Y354? Una forma de hacerlo es la multiplicación. Por definición, 12  3U significa que 123  U Esto hace que la multiplicación sea el proceso inverso a la división. Ubicando el 4 en el U haces que la afirmación 123  U sea verdadera. Igualmente, para hallar 42  6U piensas en “426  U.” Ya que 426  7, 42  67.

EJEMPLO 1 Reescribir la división como multiplicación Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalente; luego, halla la respuesta. a. 36 4 9 5 U

b. 54 4 6 5 U

PROBLEMA 1 Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalente; luego halla la respuesta. a. 63 4 9 5 U

SOLUCIÓN

b. 56 4 8 5 U

a. 36  9U se puede escribir como 36  9U. Ya que 36  94, 36  94. b. 54  6U se puede escribir como 54  6U. Ya que 54  69, 54  69. Igual que la suma y la multiplicación, la operación de la división tiene algunas propiedades importantes.

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DEL 1

1. Para cualquier número cardinal a diferente de cero, a  a  1. Un número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a 1. 2. Para cualquier número a, a  1  a. Cualquier número dividido por uno es igual al número.

PROPIEDAD DE LA DIVISIÓN DEL 0

1. Para cualquier número a diferente de 0, 0  a  0. El 0 dividido por cualquier número diferente de cero es igual a 0. 2. Para cualquier número a, a  0 es no definido. La división por 0 es no definido para los números cardinales.

EJEMPLO 2

Reescribir la división como multiplicación Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalente; luego halla la respuesta si es posible.

a. 8  8U c. 0  8U

b. 8  1U d. 8  0U

Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalente; luego halla la respuesta, si es posible. a. 9 4 9 5 U

SOLUCIÓN a. b. c. d.

PROBLEMA 2

b. 9 4 1 5 U

8  8U se puede escribir como 8  8U. Ya que 8  18, 8  81. 8  1U se puede escribir como 8  1U. Ya que 1  88, 8  18. 0  8U se puede escribir como 0  8U. Ya que 80 0, 0  80. 8  0U se puede escribir como 8  0U. Ya que no existe un número como ese 8  0U, 8  0 no está definido.

c. 0 4 9 5 U d. 9 4 0 5 U

Recuerde: Al dividir 0 por un número diferente de 0, la respuesta es 0 ( 0a 0 si a p0). Al dividir cualquier número diferente de 0 entre 0, la respuesta es no definido a (a p0, 0 no definido). Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 63 5 9 3 U; 7 2. a. 9 5 9 3 U; 1

b. 56 5 8 3 U; 7 b. 9 5 1 3 U; 9

c. 0 5 9 3 U; 0

d. 9 4 0 5 U; significa 9 5 0 3 U, que es no definido en los números cardinales. No puedes dividir por 0.

64

Capítulo 1

1-64

Números cardinales

¿Cómo dividimos 67 entre 13? Ya que queremos saber cuántos grupos de 13 hay en 67, lo podemos hacer con una sucesión de restas, así. Residuo

67 13 ____ 54 13 ____ 41 13 ____ 28 13 ____ 15 13 ____ 2

Primera resta Segunda resta Tercera resta Cuarta resta Quinta resta

De esta manera, hay 5 treces en 67, con un residuo de 2. El residuo es lo que sobra. Entonces escribimos 67 4 1355 r 2 Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

Igual que antes, podemos comprobarlo multiplicando 5 3 13565 y luego sumamos el residuo, 2, al 65, obteniendo el 67 requerido. ¡He aquí un mejor procedimiento!

B 6 División larga Cuando hacemos una división larga usamos la sucesión de restas, pero escribimos el proceso de manera diferente. Usamos el símboloQWpara indicar la división, ubicando el divisor a la izquierda del signo de división QW y el dividendo adentro. Así se grafica: cociente divisorqw dividendo

Ahora queremos hallar el primer dígito del cociente. He aquí cómo hacerlo: 1. Si el primer dígito en el dividendo es mayor o igual que el divisor, divídelo por el divisor y escribe el cociente de esa división directamente encima del primer dígito del dividendo. Si no es el caso, entonces sigue al paso 2. 2. Divide los primeros dos dígitos del dividendo por el divisor y escribe el cociente de esa división directamente encima del segundo dígito del dividendo. Este procedimiento lo ilustramos en el ejemplo 3, en el que dividiremos 786 entre 6.

EJEMPLO 3

Usar división larga

Divide 786 4 6.

SOLUCIÓN 6qw 786 131 6qw 786 26 18 218 06 26 0

Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra. Paso 2. 6 cabe en 7 una vez. Escribe uno sobre el 7. Paso 3. 6 3 156; resta 72651. Paso 4. Baja el 8. Ahora, 6 cabe en 18 tres veces. Escribe 3 sobre el 8. Paso 5. 6 3 3518; resta 18180. Paso 6. Baja el 6. 6 cabe en 6 una vez. Escribe el 1 sobre el 6. Paso 7. 6  16; resta 660.

Así, 786 4 6 5 131. Respuestas a los PROBLEMAS 3. 131

PROBLEMA 3 Divide 917 4 7.

1-65

1.6

División

65

En los ejemplos 1, 2 y 3 los residuos han sido 0. Esto significa que el dividendo es exactamente divisible por el divisor. Por supuesto, no todos los problemas son como éste. Aquí tenemos uno en el que hay un residuo que no es 0. En estos casos continuamos el proceso de la división larga hasta que el residuo sea menor que el divisor.

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Usar división larga

Divide 1729 4 9.

Divide 1367 4 4.

SOLUCIÓN Paso 1. Ubicar el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra. Paso 2. No puedes dividir 1 entre 9; entonces divides 17 entre 9. 9 cabe en 17 una vez. Escribe 1 sobre el 7. Paso 3. 9 3 159; resta 172958. Paso 4. Baja el 2. Ahora 9 cabe en 82 nueve veces. Escribe 9 sobre el 2. Paso 5. 9 3 9581; resta 82811. Paso 6. Baja el 9. 9 cabe en 19 dos veces. Escribe el 2 sobre el 9. Paso 7. 9  218; resta 19181.

9 qw 1729 192 1729 9qw 29 82 281 19 218 1

El residuo 1 es menor que el divisor 9, entonces nos detenemos. La respuesta es 192, con un residuo de 1, y escribimos 1729 4 9 5 192 r 1. Esto es verdadero, porque 1729 5 9 3 192 1 1, como se muestra en el diagrama:  192 9 qw 1729 inicia aquí

5

9 3 192 1 1 5 1729

29 82 281 19 218 1

1

Este es un ejemplo ligeramente diferente.

EJEMPLO 5

Usar división larga

Divide 809 4 8.

PROBLEMA 5 Divide 709 4 7.

SOLUCIÓN 8 qw 809 101 8qw 809 28 009 28 1

Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra. Paso 2. 8 cabe en 8 una vez. Escribe 1 sobre el 8. Paso 3. 8 3 15 8; resta 8 2 8 5 0. Paso 4. Baja el 0. El 0 dividido en 8 es 0. Escribe 0 sobre el 0. Paso 5. Baja el 9. Ahora 8 cabe en 9 una vez. Escribe 1 sobre el 9. Paso 6. 8  18; resta 981. (continúa)

Respuestas a los PROBLEMAS 4. 341 r 3

5. 101 r 2

66

Capítulo 1

1-66

Números cardinales

El residuo 1 es menor que el divisor 8, entonces nos detenemos. La respuesta es 101 con un residuo de 1 y escribimos 809 4 8 5 101 r 1. Esto se puede revisar con el siguiente diagrama: 3 101 qw inicia aquí 8 809 5 28 009 1 28 1 Eso es, 8 3 101 1 1 5 809. Ahora te damos un ejemplo de una división con un número de 2 dígitos.

EJEMPLO 6 Usar división larga Halla el cociente y el residuo para: 1035 4 43.

PROBLEMA 6 Halla el cociente y el residuo de: 1029 4 45.

SOLUCIÓN 24 1035 43qw 286 175 2172 3

Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra.

Paso 2. 43 no cabe en 10. Tratemos de dividir 103 entre 43. Esto debería dar alrededor de 2, ya que 100 dividido entre 50 es igual a 2. Ya que 43 3 2 5 86, cabe 2 veces. Escribe el 2 arriba de 3.

Paso 3. 43 3 2586; resta 103286517. Paso 4. Baja el 5. 49 cabe en 175 cuatro veces. Escribe 4 sobre el 5. Paso 5. 43  4172; resta 1751723.

El cociente es 24 con residuo de 3. Ahora, 3 es menor que el divisor 43, entonces nos detenemos y escribimos 1035 4 43 5 24 r 3. Ya que 43 3 24 1 3  1035, nuestro resultado es correcto.

C 6 Aplicaciones que implican división El salario anual de una persona usualmente se paga mensual, quincenal o semanalmente. En cualquier caso, para hallar la cantidad de dinero que la persona recibe por cada periodo de pago debemos usar la división. Por un salario anual de $19,500 la cantidad que se recibe cada periodo de pago mensual debería ser 19,500 } 12 En el ejemplo7 conoceremos cuánto es.

salario anual meses en un año

EJEMPLO 7

Usar división larga Divide 19,500 entre 12.

SOLUCIÓN 12qw 19500 1625 12qw 19500 212 75 272 30 224 60 260 0

Paso 2. 12 cabe en 19 una vez. Escribe uno sobre el 9. Paso 3. 12 3 1512; resta 1921257. Paso 4. Baja el 5. Ahora 12 cabe en 75 seis veces. Escribe 6 sobre el 5.

Paso 5. 12 3 6572; resta 75723. Paso 6. Baja el 0. Ahora 12 cabe en 30 dos veces. Escribe el 2 sobre el primer 0.

Paso 7. 12  224; resta 30246.

7. $750

Si una persona gana $19,500 al año, el salario bisemanal será $19,500

Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 22 r 39

PROBLEMA 7

} 26 Divide $19,500 entre 26.

1-67

1.6

División

67

Paso 8. Baja el otro cero. El 12 cabe en 60 cinco veces. Escribe 5 sobre el segundo 0.

Paso 9. 12  560; resta 60600. La respuesta es 1625 sin residuo. Así, si una persona gana $19,500 al año, su salario mensual será de $1625.

6Puente algebraico Si entendiste los problemas de división que hemos trabajado, puedes aplicar esta información a los problemas de división en álgebra. Observa las dos columnas. En la izquierda estamos dividiendo 275 entre 13, lo que es 275 5 2 3 102 1 7 3 10 1 5 dividido entre 13 5 10 1 3. En la derecha dividimos 2x2 1 7x 1 5 entre x 1 3. Paso 1.

Paso 2.

Aritmética Ubica el dividendo y el divisor en la forma usual. 13qw 275 No puedes dividir 2 entre 13, entonces usa los primeros dos dígitos en el dividendo y divide 27 entre 13. Escribe 2 sobre el 7. 2 13qw 275

Paso 3.

Multiplica 2 por 13 y resta el resultado (26) de 27, obteniendo 1. Baja el 5. 2 13qw 275 26 15

Paso 4.

Divide 15 entre 13 y escribe la respuesta sobre el 5. Multiplica 1 por 13, escribe el 13 debajo del 15 y resta. El residuo es 2. 21 13qw 275 26 15 13 2

Álgebra

x 1 3qww 2x2 1 7x 1 5 No puedes dividir 2 por x 1 3, entonces divide 2x2 entre x. 2xx 2x2 } 5 2x x 5 } x

Escribe el 2x sobre el 7x. 2x x 1 3qww 2x2 1 7x 1 5 Multiplica 2x por x 1 3 y resta el resultado, 2x2 1 6x del dividendo, obteniendo x. Baja el 5. 2x x 1 3qww 2x2 1 7x 1 5 2x2 1 6x x 15 Divide x en x, y escribe la respuesta, 1, sobre el 5. Multiplica 1 por x  3, escribe el x  3 debajo del x  5 y resta. El residuo es 2. 2x 1 1 x 1 3qww 2x2 1 7x 1 5 2x2 1 6x x15 x13 2

La división es más rápida con la calculadora, especialmente si no hay residuo. Así, para dividir 12 entre 3, presionamos y el resultado, 4, aparece en la pantalla. Si hay residuo, la calculadora te lo da en forma de un decimal.

68

Capítulo 1

1-68

Números cardinales

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

61.6 5A6

Escribir división como multiplicación En los problemas 1 al 20 divide y comprueba usando la multiplicación.

1. 30 4 5

2. 63 4 9

5. 21 4 7

6. 2 4 0

9. 7 4 7

10. 56 4 8

3. 28 4 4 7. 0 4 2 36 11. } 9 32 15. } 8 62 19. } 6

0 14. } 3 45 18. } 9

3 13. } 0 24 17. } 1

5B6

División larga

4. 6 4 1 8. 54 4 9 12. 54 4 6 13 16. } 13 48 20. } 5

En los problemas 21 al 50 usa la división larga para dividir.

qw

21. 6 366

22. 7qw 371

23. 8qw 5048

24. 7qw 6097

2055 25. 4qw

26. 9qw 6013

27. 336 4 14

28. 340 4 17

29. 399 4 19

30. 406 4 13

31. 605 4 10

32. 600 4 27

704 33. } 16

903 34. } 17

805 35. } 81

36. 11qw 341

37. 12qw 505

38. 46qw 508

39. 22qw 1305

40. 53qw 1325

9013 41. 42qw

42. 111qw 3414

43. 123qw 5583

44. 253qw 8096

36,279 45. 417qw

46. 505qw 31,815

47. 50qw 31,500

48. 600qw 188,400

49. 654qw 611,302

50. 703qw 668,553

5C6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Aplicaciones que implican división

51. Acciones vendidas Un corredor de bolsa vendió $12,600 en acciones a $25 cada una. ¿Cuántas acciones vendió?

52. Compra de taquillas La venta de entradas de un juego de fútbol fue de $52,640. Si las taquillas se vendieron a $7 cada uno, ¿cuántas taquillas se compraron para el juego?

53. Lavadas en el lavaplatos Un lavaplatos eléctrico usa 14 galones de agua caliente por carga. Si se usaron 42 galones, ¿cuántas lavadas se hicieron?

54. Calcular millas por galón Un carro recorre 348 millas y utiliza 12 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón usa?

55. Hallar el salario semanal Un profesor gana $31,200 al año. ¿Cuál es el salario semanal? (Hay 52 semanas al año).

56. Costo por hora crédito Un estudiante de medio tiempo en una universidad comunitaria pagó $156 por matrícula. El estudiante estaba tomando 3 horas crédito. ¿Cuál fue el costo de cada hora crédito? 58. Sin gas Estados Unidos usa 23 trillones de pies cúbicos de gas natural al año. Las reservas de gas natural son de 253 trillones de pies cúbicos. Si no se descubren más reservas de gas, ¿cuántos años más tardará en quedarse sin gas natural?

57. BTU para una bombilla de 100 vatios Una bombilla de 100 vatios encendido durante 10 horas usa 11,600 Btu. ¿Cuántos Btu por hora quema el foco? 59. Palabras por minuto en taquigrafía La velocidad de taquigrafía más rápida en condiciones de campeonato es de 1500 palabras en 5 minutos. ¿Cuántas palabras se hicieron por minuto?

60. Pago por palabra Una de las tarifas más altas que alguna vez se pagó a un escritor fue $30,000, a Ernest Hemingway, por un artículo de 2000 palabras acerca de la tauromaquia. ¿Cuánto le pagaron por palabra?

Gastos mensuales En los problemas 61 al 64 halla el gasto mensual para cada una de las categorías. Categoría

Gastos anuales (12 meses)

61.

Ropa y servicios

$1368

62.

Entretenimiento

$1164

63.

Vivienda

$7656

64.

Productos de aseo personal

$336

Fuente: Bureau of Labor Statistics, Consumer Expenditure Survey for persons under 25 http://data.bls.gov/PDQ/outside.jsp?survey = cx.

1-69

1.6

69

División

666Usa tus conocimientos Un problema promedio La idea de un promedio se usa en muchas situaciones. El promedio (media) es el resultado que se obtiene al dividir la suma de dos o más cantidades por el número de cantidades. Por ejemplo, si has tomado tres exámenes y tus puntuaciones fueron 90, 72 y 84, tu promedio para los tres exámenes es: Suma de puntuaciones Número de exámenes

90 1 72 1 84 246 }} 5 } 5 82 3 3

De esta manera, el promedio para las tres evaluaciones es 82. La siguiente tabla muestra el ingreso promedio para una persona con diferente nivel educativo. Por ejemplo, el ingreso promedio para una persona con grado de maestría se obtiene dividiendo el ingreso de su vida, $2,500,000, entre el número de años que una persona promedio recibe ingreso, 40. Ingresos estimados (millones) 2,500,000 Ingreso de vida laboral (40 años) para trabajadores } 5 $62,500 Años 40 de tiempo completo por logro educativo De esta forma, el ingreso promedio es de $62,500 Título de maestría

Años de estudio

Ingreso promedio

Ingreso durante su vida (40 años)

Maestría Bachillerato Asociado Créditos universitarios Escuela Superior Sin Escuela Superior

$62,500

$2,500,000 2,100,000

2.5

Título de bachillerato

2.1

Grado asociado

1.6

Créditos universitarios

1.5

Título de Escuela Superior

1.2

Sin título de Escuela Superior

1.0 0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.

Dólares (en millones) Fuente: Datos extraídos de U.S. Census Bureau.

65. Halla el ingreso promedio para una persona con título de bachillerato.

66. Halla el ingreso promedio para una persona con Grado asociado.

67. Halla el ingreso promedio para una persona con estudios universitarios.

68. Halla el ingreso promedio para una persona con diploma de Escuela Superior.

69. Halla el ingreso promedio para una persona sin título de Escuela Superior.

70. ¿Cuál es la cantidad promedio de calorías de un hamburger? Calcula la respuesta utilizando la siguiente información:

71. Una persona ganó $250, $210, $200, $240 durante cuatro semanas en un mes. ¿Cuál fue el salario promedio semanal? 72. El peso de los jugadores en la línea defensiva de un equipo de fútbol es el siguiente: 240, 237, 352 y 263 ¿Cuál es el peso promedio de estos jugadores? 73. El precio diario de cierta acción durante la semana pasada fue el siguiente: $24, $25, $24, $26 y $26. ¿Cuál fue el precio promedio de la acción?

Burger King: 275 calorías Dairy Queen: 360 calorías Hardee’s

275 calorías

McDonald’s

265 calorías

Wendy’s

350 calorías

74. Las edades de los jugadores de un equipo de baloncesto son las siguientes: 18, 17, 20, 18 y 17 años. ¿Cuál es la edad promedio de los jugadores de este equipo?

666¡Escribe! 75. 75 Ob Observa la l definición d fi i ió de d división di i ió y escribe ib ell procedimiento di i t que usaste para comprobar un problema de división usando multiplicación. Asegúrate de que el procedimiento incluya los ejemplos en los que hay residuo.

76 76. Si di divides id un número ú por síí mismo, i lla respuesta t es 11. C Con tus palabras, escribe por qué esta regla no funciona cuando divides 0 entre 0.

77. Con tus palabras, escribe por qué la división por 0 no está definida.

78. ¿Es la división conmutativa? ¿Por qué ? Da ejemplos.

70

Capítulo 1

1-70

Números cardinales

666Puente algebraico Divide. 79. x2  4x5 entre x  1

80. x2  5x7 entre x  2

81. x2  4x6 entre x  3

82. x2  6x11 entre x  4

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta. 83. El cociente a 4 b (b Þ 0) es el único número cardinal c, tal que 84. Cuando escribimos 20 4 5 5 4, 20 es el . y 4 es el 85. La multiplicación es el proceso 86. a 4 a =

(a Þ 0).

87. a 4 1 =

.

88. 0 4 a =

(a Þ 0).

.

, 5 es el de la división.

divisor

0

1

inverso

abc

cociente

cab

a

dividendo

b  ac

666Prueba de dominio 89. Escribe como un problema de multiplicación y halla la respuesta, si es posible.

90. Escribe como un problema de multiplicación y halla la respuesta, si es posible.

a. 48 4 6 5 U

a. 0 4 8 5 U

b. 37 4 1 5 U

b. 8 4 0 5 U

91. Escribe como un problema de multiplicación y halla la respuesta, si es posible.

92. Escribe como un problema de multiplicación y halla la respuesta, si es posible.

a. 9 4 9 5 U

a. 99 4 9 5 U

b. 7 4 1 5 U

b. 9 4 3 5 U

93. Divide utilizando la división larga. (Muestra el residuo, si hay uno.) a. 792 4 6 5

94. Una persona gana $27,600 anualmente. ¿Cuánto gana esa persona por mes?

b. 1728 4 9 5

666Comprobación de destrezas Llena con , o . para convertir en verdaderas las desigualdades resultantes. 95. 345

354

96. 908

Multiplica: 97. 305  1003

98. 908  1203

809

1-71

1.7

Números primos, factores y exponentes

1 .7

Números primos, factores y exponentes

6 Objetivos

6 Repasar antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Usa la información sobre los factores de la multiplicación. (pág. 49) 2. Aplica el significado de la palabra factor. (pág. 49)

Determinar si un número es primo o compuesto.

B6

Hallar los factores primos de un número.

C6

Escribir un número como un producto de números primos, usando notación exponencial, si es necesario.

D6

71

Escribir dos o más números que contengan exponentes como un producto y luego hallar el producto.

6 Para comenzar Observa los números en las cajas azules (2, 3, 5, etc.). Son los números primos. El espiral se construyó ordenando los números naturales en dirección a las manecillas del reloj y ubicando los números con exactamente dos factores (ellos mismos y el uno) en una caja azul. Como puedes ver, los números primos tienden a formar líneas diagonales. ¿Por qué? ¡Nadie lo sabe! 37

36

35

34

33

32

31

38

17

16

15

14

13

30

39

18

5

4

3

12

29

40

19

6

1

2

11

28

41

20

7

8

9

10

27

42

21

22

23

24

25

26

43

44

45

46

47

48

49

A 6 Números primos y compuestos Como dijimos en la sección 1.5, cuando un número se escribe como el producto de otros números, esos otros números son llamados factores. Así, 2 y 3 son factores de 6, porque 6 5 2 3 3. Observa que 2 3 3 es un ejemplo de una factorización de 6. Igualmente, 1 y 6 son factores de 6 porque 6 5 1 3 6.

NÚMERO PRIMO

Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos factores diferentes, él mismo y el uno.

He aquí unos pocos números naturales escritos como productos de factores: 111 414ó22 212

515

313

616ó23

72

Capítulo 1

1-72

Números cardinales

Como puedes ver: 1 sólo tiene un factor: 1

Recordemos que 4 5 1 3 4 y 2 3 2, 6 5 1 3 6 y 2 3 3.

2 tiene 2 factores:

1y2

3 tiene 2 factores:

1y3

4 tiene 3 factores:

1, 2 y 4

5 tiene 2 factores:

1y5

6 tiene 4 factores:

1, 2, 3 y 6

Ya que el número es primo cuando tiene exactamente 2 factores distintos, él mismo y 1, los números primos en la lista de arriba son 2, 3 y 5. Los otros números (1, 4, 6) no son primos. Observa que 1 no es primo, porque no tiene dos factores diferentes.

NÚMERO COMPUESTO

Un número natural mayor que 1 que no es primo se denomina compuesto.

De esta forma, en la lista anterior 4 y 6 son compuestos.

EJEMPLO 1 Identificar si un número es primo o compuesto Determinar si los números dados son primos o compuestos. a. 14

b. 17

PROBLEMA 1 Determina si los números dados son primos o compuestos. a. 19

SOLUCIÓN

b. 15

a. 14 tiene más de dos factores, ya que 14 5 1 3 14 ó 2 3 7. Así, 14 es compuesto. b. 17 5 1 3 17. Porque 17 tiene exactamente dos factores, él mismo y 1. 17 es un número primo.

B 6 Hallar factores primos En el ejemplo 1 observamos que 14 es un número compuesto con cuatro factores (1, 2, 7, 14), dos de los cuales (2 y 7) son primos. Los factores primos de un número son aquellos factores que son primos. Por ejemplo, los factores de 18 son 1, 2, 3, 6 ,9 y 18, pero los factores primos de 18 son 2 y 3. Los números 1, 6, 9 y 18 no son primos, por tanto, no pueden ser factores primos de 18.

EJEMPLO 2 Hallar factores primos Halla los factores primos de estos números. a. 10

b. 11

PROBLEMA 2 Halla los factores primos de los siguientes números. a. 13

SOLUCIÓN

b. 12

a. 10 5 1 3 10 ó 2 3 5. Los factores de 10 son 1, 2, 5 y 10. De este grupo, 2 y 5 son factores primos. b. 11 5 1 3 11. Sólo tiene un factor primo: 11. Cualquier número primo tiene por lo menos un factor primo, él mismo. Es fácil hallar los factores primos de 10, porque es un número pequeño. ¿Cómo se pueden hallar los factores primos de cantidades más grandes? Para hacerlo, primero necesitamos saber si el número dado es primo. Desafortunadamente, nadie ha descubierto una fórmula simple para hallar todos los números primos. Sin embargo, un matemático griego, llamado Eratóstenes, inventó un procedimiento para identificar Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. primo b. compuesto 2. a. 13 b. 2 y 3

1-73

1.7

Números primos, factores y exponentes

73

todos los números primos menores que un número dado –digamos que 50. Él ubicó todos los números del 1 al 50 en una tabla, como se muestra aquí:

La criba de Eratóstenes 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

Luego pensó lo siguiente: el número 1 no es primo (sólo tiene 1 factor); entonces lo tachó. Luego concluyó que 2 es un número primo, pero ningún número con 2 como factor es compuesto (4, 6, 8, etc.). Luego encerró en un círculo el 2 como número primo y tachó 4, 6, 8, y así sucesivamente. Después, ya que 3 es un número primo, lo encerró y tachó todos los números que tenían 3 como factor, empezando con 9 (el 6 ya estaba fuera). Igualmente, encerró el 5 (siguiente número primo) y tachó los números que tenían 5 como factor, empezando con el 25 (10, 15 y 20 ya estaban fuera). Continuó con este proceso hasta que llegó al 11, observando que todos los números que tenían 11 como factor (2 3 11, 3 3 11, y 4 3 11) se habían eliminado cuando tachó los números que tenían factores de 2 y 3. De ahí que todos los números que faltan son primos. En la tabla están encerrados en un círculo y coloreados.

C 6 Escribir números compuestos como productos de números primos

Ahora estamos listos para escribir un número compuesto como un producto de números primos; es decir, hallar los factores primos de un número (un procedimento que es necesario para reducir y sumar fracciones). Esto se logra dividiendo los primeros números primos 2, 3, 5, 7, 11, y así sucesivamente. Para ayudarte en este proceso, te damos las reglas que te dirán si un número es divisible por 2, 3, 5 (hay reglas que dicen si un número es divisible por 7 u 11, pero son tan complicadas que igual debes tratar de dividir por 7 o por 11. La sección Usa tus conocimientos tiene reglas de divisibilidad adicionales).

REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 2 Un número es divisible por dos si termina en número par (2, 4, 6, 8 ó 0). Por ejemplo, 42, 68 y 90 son divisibles por 2. Cuando un número es divisible por 2, se llama número par, entonces, 42, 68 y 90 son pares. Si un número cardinal no es par (no es divisible por 2), se llama número impar. Así, 43, 71 y 95 son impares.

REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Así, 273 es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos (12) es divisible por 3: 2 7 3 2 1 7 1 3  12

(divisible por 3)

REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 5 Un número es divisible por 5 si termina en 0 ó 5. Por ejemplo, 300 y 95 son divisibles por 5.

74

Capítulo 1

1-74

Números cardinales

Usaremos estas pruebas de divisibilidad para ayudarnos a escribir un número compuesto como un producto de números primos. Esto se llama factorización prima. Tratemos de escribir 24 como un producto de números primos; es decir, hallar la factorización prima de 24. Para hacerlo, dividimos en números primos sucesivos (2, 3, 5, etc.). 2 24 Divide 24 entre 2 (el primer primo) Divide 12 entre 2.

2 12

Divide 6 entre 2.

2

6

3 no puede ser dividido entre 2, entonces lo dividimos entre el siguiente número primo, 3.

3

3 1

Así, 24  2  2  2  3 También puedes usar un árbol de factores así: 24 2  12 2 6 2  3

Escribe 24 como un número primo (2) multiplicado por un número compuesto (12) Escribe 12 como un número primo (2) multiplicado por un compuesto. Escribe 6 como un primo (2) multiplicado por otro número primo. Ahora terminamos, 24 5 2 3 2 3 2 3 3.

Nota: También puedes usar un punto (?) y escribir 24 5 2 ? 2 ? 2 ? 3. En esta sección utilizaremos el signo multiplicación (3) para indicar esta operación. ¿Qué tal si tratamos de escribir 79 como un producto de primos? Esto lo hacemos dividiendo en números primos sucesivos (2, 3, 5, etc.), si es posible. 79 no es divisible por 2 (termina en 9). 79 no es divisible por 3 (7 1 9 5 16, que no es divisible por 3). 79 no es divisible por 5. 79 no es divisible por 7. Si dividimos 79 entre 7 tenemos un residuo de 2.

79 no es divisible por 11. Si dividimos 79 entre 11 tenemos un residuo de 2.

11 7 qw 79 27 09 27 2 7 11qw 79 277 2

Residuo

Residuo

Observa que podemos dejar de dividir aquí, porque dividir entre 11 da un cociente (7) menor que el divisor (11). En general, cuando se hace una prueba para ver si un número es primo, puedes dejar de dividir cuando el cociente es menor que el divisor. Ya que 79 no es divisible por ninguno de nuestros divisores primos, 79 es un número primo.

1-75

1.7

Números primos, factores y exponentes

EJEMPLO 3 Factorización prima: escribir como productos de primos Escribe (si es posible) el número dado como un producto de números primos. a. 45

b. 89

c. 32

SOLUCIÓN 3 45 3 15 5 5 1

Divide entre 3. Divide entre 3. Divide entre 5.

Así, 45 = 3 3 3 3 5 El árbol de factores es 45 3  15 3  5

Escribe 45 como un número primo (3) veces un número compuesto. Escribe 15 como un número primo (3) veces otro primo. Como antes, 45 = 3 3 3 3 5

b. Tratamos de dividir por números primos sucesivos. 89 no es divisible por 2 (termina en 9). 89 no es divisible por 3 (8 1 9 5 17, que no es divisible por 3). 89 no es divisible por 5. 12 89 no es divisible por 7. 7qw 89 27 _____ 19 214 ____ Residuo 5 89 no es divisible por 11.

8 11qw 89 288 ____ 1

Residuo

Ya que el cociente (8) es menor que el divisor (11), nos podemos detener aquí. Porque 89 no es divisible por ninguno de nuestros divisores primos, podemos decir que 89 es un número primo. 32 2 32 c. Divide entre 2. 2 16 Divide entre 2. 2 3 16 2 8 Divide entre 2. ó 2 4 Divide entre 2. 2 3 8 2 2 Divide entre 2. 1 2 3 4 2 3 2

Así,

32 = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 5 3 7 c. Primo

PROBLEMA 3 Factorización prima: escribe (si es posible) el número dado como un producto de números primos. a. 35

a. Debemos dividir entre los primeros números primos 2, 3, 5, 7, etc. Ya que 45 no es divisible por 2, empezamos dividiendo por 3:

b. 2 3 2 3 2 3 2

75

b. 16

c. 97

76

Capítulo 1

1-76

Números cardinales

Productos como 2 3 2 3 2 3 2 3 2 son más fáciles de escribir usando la notación exponencial. Usando esta notación, escribimos exponente

base 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 25

25 se lee “dos elevado a la quinta potencia”

cinco dos

Aquí el 2 se llama base y el 5 se denomina exponente. El exponente 5 nos muestra cuántas veces la base 2 se debe usar como un factor. Igualmente. exponente 3 3 3 3 3 5 33

33 se lee “tres elevado a la tercera potencia” o “tres al cubo”

base y exponente

6  6  62

62 se lee “seis elevado a la segunda potencia” o “seis al cuadrado”

base

EJEMPLO 4

Factorización prima: escribir números con notación exponencial Usa notación exponencial para escribir el número dado como un producto de números primos. a. 18 b. 72

PROBLEMA 4

SOLUCIÓN

a. 27

a. Divide entre 2

2 18

Divide entre 3

3

9 18

Divide entre 3

3

3

}59

1

2 9 }53 3 3 }51 3

Así, 18 5 2 3 3 3 3 5 2 3 32 b. Divide entre 2

2 72

Divide entre 2

2 36 72

Divide entre 2

2 18 36

Divide entre 3

3

Divide entre 3

3

} 5 36

2

} 5 18

2

9 18

}59 2 3 9 5 3 y }3 5 1 } 3

1

3

Así, 72 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 5 23 3 32 23 3 32 se lee “2 al cubo por 3 al cuadrado”. Respuestas a los PROBLEMAS 4. a. 33 b. 2 3 72

Factorización prima: usa la notación exponencial para escribir el número dado como un producto de factores primos. b. 98

1-77

1.7

Números primos, factores y exponentes

77

D 6 Productos que involucran exponentes

A veces tenemos números como 22 3 32 y queremos escribir la respuesta en notación estándar. De esta forma, 22 3 32 5 2 3 2 3 3 3 3 5 36

EJEMPLO 5

Factorización prima: hallar productos que involucran exponentes Escribe los números dados como un producto de factores; luego halla el producto. a. 23 3 32

b. 22 3 53

PROBLEMA 5 Factorización prima: halla los productos escribiéndolos como un producto de factores. a. 22 3 33

SOLUCIÓN

b. 23 3 52

a. 23 3 32 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 5 8 3 9 5 72 b. 22 3 53 5 2 3 2 3 5 3 5 3 5 5 4 3 125 5 500 Ahora observa este patrón. 105  100,000 104 5 10,000 103  1000 102  100 ? 101  0 10  ? Aquí, el exponente de un número, cuya base es 10, nos indica cuántos ceros hay en el producto final. ¿Puedes hallar los valores de 101 y 100? Ya que el exponente nos dice la cantidad de ceros, entonces tenemos 101  10 y 100  1 En general, para cualquier número a, definimos a1 5 a Así, 21 5 2,

EJEMPLO 6

31 5 3,

20 5 1,

a0 5 1, a Þ 0 y

30 5 1.

Factorización prima: hallar productos que involucren exponentes Escríbelos como producto de factores, luego halla el producto. a. 32 3 21

b. 52 3 23 3 70

SOLUCIÓN a. 32 3 21 5 9 3 2 5 18 b. 52 3 23 3 70 5 25 3 8 3 1 5 200

Respuestas a los PROBLEMAS 5. a. 108 b. 200 6. a. 48 b. 500

PROBLEMA 6 Factorización prima: halla los productos escribiéndolos como un producto de factores. a. 31 3 42

b. 22 3 30 3 53

78

Capítulo 1

1-78

Números cardinales

Rincón de la calculadora Podemos determinar fácilmente si un número es primo usando la calculadora. Simplemente dividimos el número por los primeros números primos. Así, para determinar si 79 es primo, dividimos 79 entre 2, 3, 5, 7 y 11. Ya que ninguna de las divisiones es exacta, 79 es un número primo. Respecto a los factores de multiplicación que implican exponentes se puede proceder de dos maneras: Método 1. Por multiplicaciones repetidas. Método 2. Usando la tecla yx si tu calculadora la tiene. Así, para multiplicar 23 3 32 (como en el ejemplo 5), podemos proceder de la siguiente manera: Método 1. 23 3 32 5 Método 2. Si tienes la tecla yx puedes hallar 23 presionando multiplicar esta respuesta por 32, presiona yx secuencia completa es

72 yx yx yx

. La pantalla te mostrará 8. Para . Como antes, la respuesta será 72. La .

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 1.7 5A6

Números primos y compuestos En los problemas 1 al 10, determina si el número es primo o compuesto. Si es compuesto, enumera todos sus factores.

1. 7

2. 28

3. 6

4. 17

5. 24

6. 8

7. 25

8. 26

9. 23

10. 30

5B6

Hallar factores primos

En los problemas 11 al 20, halla los factores primos de cada número.

11. 14

12. 16

13. 18

14. 23

15. 29

16. 30

17. 22

18. 20

19. 21

20. 31

5C6

Escribir números compuestos como productos de números primos En los problemas 21al 30, escribe cada número como un producto de primos usando exponentes. Si el número es primo, indícalo.

21. 34

22. 31

23. 41

24. 48

25. 64

26. 81

27. 91

28. 110

29. 190

30. 200

5D6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Productos que involucran exponentes producto de factores.

En los problemas 31al 40, halla el producto escribiéndolo como un

31. 30  22

32. 103  22

33. 20  100

34. 42  31

35. 52  22

36. 22  50  32

37. 43  21 40

38. 100  32  103

39. 52  23  110

40. 23  52  61

1-79

1.7

Números primos, factores y exponentes

79

666Aplicaciones 41. Números primos menores que 50 son menores que 50?

¿Cuántos números primos

42. Números primos entre 50 y 100 ¿Cuántos números primos hay entre 50 y 100? (Pista: usa una criba de Eratóstenes.)

43. Celulares y exponentes Al final del año 2005, el número de suscriptores de teléfonos celulares fue de 2,000,000,000. Escribe este número como un producto usando exponentes.

44. Reservas de petróleo en Alaska Las reservas de petróleo de Alaska son de 5,000,000,000 barriles. Escribe este número como un producto usando exponentes.

45. Doblando papel Toma una hoja de papel de libreta. Si la doblas por la mitad tienes dos capas. Si la doblas por la mitad de nuevo, tienes cuatro capas. Si la doblas por la mitad otra vez, tienes 8. Esta tabla relaciona el número de pliegues y el número de capas. Completa esta tabla.

46. Patrones de papel ¿Existe un patrón para saber el número de capas usando exponentes de 2? Si lo hay, cuántas capas tendrás después de: a. 6 dobleces b. 10 dobleces

Número de pliegues

Número de capas

0

20  1

1

21  2

2

22  4

3

23  8

4

2 

5

2 

47. Viaje de Pionero Pionero 10, una nave espacial estadounidense sin tripulación, viajó el 2 de marzo de 1972 hacia Júpiter durante 639 días, recorriendo 1,000,000,000 de kilómetros. Escribe la distancia usando exponentes 48. Hemoglobina en los glóbulos rojos Un glóbulo rojo contiene cerca de 3 3 108 moléculas de hemoglobina. Escribe este número como un producto de factores y mutiplícalos. 49. Distancia a la Vía Láctea Nuestro sistema solar está a 3 3 104 años luz del centro de la galaxia de la Vía Láctea. Escribe 3 3 104 como un producto de factores y multiplícalo.

50. Años luz a la Vía Láctea Un año luz (la distancia que la luz recorre en un año a 186,000 millas por segundo) es 6  1012 millas. Ya que estamos a 3  104 años luz del centro de la Vía Láctea, nuestra distancia al centro es de (3  104)  (6  1012) millas. Escribe este número como un producto de factores y multiplícalo.

51. Letras en un manuscrito Una página típica de texto escrito contiene cerca de 3000 5 3 3 103 letras. Así, un manuscrito de 500 páginas tendrá (5 3 102) 3 (3 3 103) letras. Escribe este número como un producto de factores y multiplica.

52. Ingreso por hamburgers Un hamburger grande cuesta ($3 3 100). Si 2 millones = (2 3 106) de estos hamburgers se venden, el ingreso sería ($3 3 100) 3 (2 3 106). Escribe este número como un producto de factores y mutiplícalo.

53. Ceros en un googol La definición de un googol: 1 googol 5 10100. ¿Cuántos ceros tiene un googol? Pista: 102 tiene dos ceros, 103 tiene tres ceros.

54. Exponentes Si un googolplex = 10googol, escribe un googolplex usando potencias de 10.

666Usa tus conocimientos Di id y conquistarás Divide i á (factorización (f i ió prima) i ) P Para escribir ibi un número ú como un producto d t dde primos, i ti tienes que di dividir idi ell número entre 2, 3, 5, 7, etc. Repetimos las reglas para saber, sin dividir, si un número es divisible por 2, 3 ó 5. 55. Un número es divisible por 2 si su último dígito es 2, 4, 6, 8 ó 0. ¿Son estos números divisibles por 12? a. 12 b. 13 c. 20

58. Usa la información de los problemas 55, 56 y 57 para determinar si los números dados son divisibles por 2, 3 ó 5 (por ejemplo, 42 es divisible por 2 y 3, como lo indican las marcas de cotejo).

56. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 462 es divisible por 3, porque 4 1 6 1 2 5 12, que es divisible por 3. ¿Son estos números divisibles por 3? a. 493 b. 112 c. 111 57. Un número es divisible por 5 si su último dígito es 5 ó 0. ¿Son estos números divisibles por 5? a. 125 b. 301 c. 240

Número

a.

42 24

b.

50

c.

19

d.

30

e.

91

Divisible por

2

3





5

80

Capítulo 1

1-80

Números cardinales

59. Un número es divisible por 4 si el número formado por los últimos dos dígitos en el número es divisible por 4. Por ejemplo, 384 es divisible por 4 porque los últimos dos dígitos del número forman el número 84, que es divisible por 4. Por otra parte, el número 319 no es divisible por 4, ya que los últimos dos dígitos forman el número 19, que no es divisible por 4. ¿Son estos números divisibles por 4? a. 420 b. 308 c. 1234

d. 1236

60. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Así, 234 es divisible por 2 y 3 (2 1 3 1 4 5 9, que es divisible por 3. Entonces 234 es divisible por 3). Por otra parte, 368 no es divisible por 6, porque es divisible por 2 pero no por 3 (3 1 6 1 8 5 17, que no es divisible por 3). ¿Son estos números divisibles por 6? a. 432 b. 315 c. 3126

d. 4123

no es divisible por 9, ya que 1 1 3 1 5 1 2  11, que no es divisible por 9. ¿Son estos números divisibles por 9? a. 348 b. 564 c. 2386

63. Un número es divisible por 10 si termina con un 0. Así, 980 y 340 son divisibles por 10, pero 342 y 786 no lo son. ¿Son estos números divisibles por 10? a. 450 b. 432 c. 567

d. 980

64. Christian Goldbach hizo una famosa conjetura (suposición) que todavía no se ha aprobado o desaprobado. Él dijo que cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo, 45212 65313 85315

61. Un número es divisible por 8 si el número formado por los últimos tres dígitos en el número son divisibles por 8. Por ejemplo, 3416 es divisible por 8 porque los últimos 3 dígitos en el número forman el número 416, que es divisible por 8. Por otra parte, 1319 no es divisible por 8, ya que los últimos tres dígitos forman el número 319, que no es divisible por 8. ¿Son estos números divisibles por 8? a. 1424 b. 1630 c. 2360

d. 6570

Escribe cada número par desde 10 hasta 20 como la suma de dos números primos.

d. 2148

62. Un número es divisible por 9 si la suma de los dígitos del número es divisible por 9. Esto significa que 342 es divisible por 9, ya que 3 1 4 1 2  9, que es divisible por 9. Sin embargo, 1352

666¡Escribe! 65 En E 1771 Leonhard L h d Euler, E l un matemático á i suizo, i ddescubrió b ió 65. el número primo 231  1. Éste es un ejemplo de un número primo Mersenne, un primo de la forma 2p  1. El número primo más grande hasta ahora es 213466917  1. a. ¿Crees que este número es par o impar? Escribe las razones.

66 C ú i i o iinfinitos? fi i ?E ib 66. ¿Crees que llos números primos son fi finitos Escribe tus razones. 67. ¿Cuál es la diferencia entre “el número de factores” de un número y “el número de factores primos” de un número? Explica y da ejemplos.

b. ¿Cuántos dígitos crees que tiene este número primo? c. ¿Cuántas líneas crees que se necesitarían para escribirlo?

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta. 68. Un número es divisible por 2 si termina en un número

. de sus dígitos es divisible por 3.

69. Un número es divisible por 3 si la 70. Un número es divisible por 5 si termina en

si es divisible por 2.

71. Un número es 72. a 5

(a Þ 0).

73. a 5

(a Þ 0).

1 0

o en

.

1

suma

a

producto

factores

par

5

0

impar

1-81

1.8

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

81

666Prueba de dominio 74. Halla los factores primos de 40.

75. Determina si los siguientes números son primos o compuestos: a. 41

b. 39

76. Escribe 84 como un producto de números primos.

77. Usa exponentes para escribir el número como un producto de números primos. a. 3600 b. 360

78. Halla el producto: 24  32

79. Halla el producto: 52  22  70

80. Halla el producto: 52  22  33

666Comprobación de destrezas E ió 1.1 1 1 analizamos li ó escribir ibi un número ú f did A í 387  300 1 80 1 77. Ah d hhacer lla fforma En lla sección cómo en forma expandida. Así, Ahora podemos expandida usando exponentes. Para hacer esto, recuerda que 104  10,000, 103  1000, 102  100, 101  10, y 100  1. Así, 387 5 3 3 102 1 8 3 101 1 7 3 100 Escribe cada número en forma expandida usando exponentes. 81. 138

82. 345

83. 1208

84. 3046

1 .8

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

6 Objetivos

6 Repasar antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

Simplificar expresiones usando el orden de las operaciones.

B6

Eliminar símbolos de agrupación dentro de otros símbolos de agrupación.

C6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

1. Usa datos aritméticos (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62) 2. Escribe un número que contenga exponentes como un producto y cómo hallar este producto. (págs. 77-78)

6 Para comenzar Supongamos que las 239 habitaciones de un motel están ocupadas (por simplicidad, no incluye personas extras en las habitaciones) ¿Cómo podemos saber cuánto dinero vamos a recolectar? Para hacer esto, primero multiplicamos el precio de cada habitación ($24, $28 y $38) por el número de habitaciones (44, 150, 45). Luego, sumamos todas estas cifras y obtenemos el resultado. Observa que hemos multiplicado antes de sumar. (¿Obtuviste $6966 como respuesta?)

HOTEL MARQUEE 44 habitaciones $24.00 sencillas 150 habitaciones $28.00 45 habitaciones $38.00 XP4 hasta 12/31

82

Capítulo 1

1-82

Números cardinales

A 6 Orden de las operaciones Si queremos saber la respuesta para 3?41 5, (1) ¿primero sumamos 4 y 5 y luego multiplicamos por 3? ó (2) ¿multiplicamos 3 por 4 y luego sumamos 5? En (1) la respuesta es 27; en (2) la respuesta es 17. ¿Qué tal si escribimos 3 ? (415) ó (3 ? 4)15? ¿Qué significan los paréntesis? A propósito, 3 ? (415) también se puede escribir como 3(4 15) sin el punto de multiplicación ?. Para obtener una respuesta sobre la que podamos ponernos de acuerdo, debemos crear reglas respecto al orden en que llevamos a cabo las operaciones. Las reglas son las siguientes:

ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR) 1. Hacer primero todos los cálculos dentro de los paréntesis (), los corchetes [ ], o las llaves { }. 2. Evaluar las expresiones exponenciales. 3. Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Realizar las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Puedes recordar este orden si recuerdas la sigla p aréntesis e xpresiones exponenciales m ultiplicación d ivisión a dición r esta

P E M D A R

Observa que 8 ? 4 4 2 5 32 4 2 5 16. Resuelta de izquierda a derecha, la multiplicación se hizo antes que la división. Con estas convenciones: 3 ? 22 1 5 5 3 ? 4 1 5 Resuelve exponentes (22 5 2 ? 2 5 4). 5 12 1 5 Multiplica (3 ? 4 5 12). 5 17 Suma (12 1 5 5 17). Igualmente, paréntesis, primero 3 ? (2215)3(415) Para sumar dentro de los 2 resuelve exponentes (2 5 2 ? 2 5 4).

53?9 5 27

Suma dentro de los paréntesis (4 1 5 5 9). Multiplica 3 por 9.

Pero (3 ? 22)15(3 ? 4)15 5 12 1 5 5 17

EJEMPLO 1

Simplificar expresiones numéricas

Simplificar. a. 8 ? 3 2 3

b. 3 1 3 ? 5 3

SOLUCIÓN a. 8 ? 32 2 3 5 8 ? 9 2 3 5 72 2 3 5 69

Respuestas a los PROBLEMAS b. 43

Multiplica dentro de los paréntesis (3 ? 4 5 12). Suma (12 1 5 5 17).

PROBLEMA 1 Simplifica.

2

1. a. 49

Multiplica dentro de los paréntesis, primero resuelve exponentes (22 5 2 ? 2 5 4).

Resuelve exponentes (32 5 3 ? 3 5 9). Multiplica y divide de izquierda a derecha (8 ? 9 5 72). Suma y resta de izquierda a derecha (72 2 3 5 69).

a. 7 ? 23 2 7

b. 23 1 22 ? 5

1-83

1.8

b. 33 1 3 ? 5 5 27 1 3 ? 5 5 27 1 15 5 42

EJEMPLO 2

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

83

Resuelve exponentes (33 5 3 ? 3 ? 3 5 27). Multiplica y divide de izquierda a derecha (3 ? 5 5 15). Suma y resta de izquierda a derecha (27 1 15 5 42).

PROBLEMA 2

Simplificar expresiones numéricas

Simplifica.

Simplifica.

a. 63 4 7 2 (2 1 3)

b. 8 4 2 ? 2 ? 2 1 3 2 1

a. 48 4 6 2 (3 1 1) b. 10 4 2 ? 2 ? 2 1 2 2 1

SOLUCIÓN a. 63 4 7 2 (2 1 3) 5 63 4 7 2 5 5925 54

Resuelve operaciones dentro del paréntesis (2 1 3 5 5). Multiplica y divide (63 4 7 5 9). Suma y resta (9 2 5 5 4).

b. 8 4 2 ? 2 ? 2 1 3 2 1 5 4 ? 2 ? 2 1 3 2 1 5 16 1 3 2 1 5 19 2 1 5 18

Divide 8 entre 2. Multiplica (4 ? 2 ? 2 5 16). Suma (16 1 3 5 19). Resta (19 2 1 5 18).

EJEMPLO 3 Simplificar expresiones numéricas Simplifica 23 4 4 ? 2 1 3(5 2 2) 2 3 ? 2.

PROBLEMA 3 Simplifica. 6 4 3 ? 2 1 2(5 2 3) 2 22 ? 1

SOLUCIÓN 23 4 4 ? 2 1 3(5 2 2) 2 3 ? 2 5 23 4 4 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2 5 8 4 4 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2 5 2 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2 5 4 1 3(3) 2 3 ? 2 541923?2 541926 5 13 2 6 57

Resuelve operaciones dentro del paréntesis (5 2 2 5 3). Resuelve exponentes (23 5 8). Divide 8 entre 4. Multiplica 2 por 2. Multiplica 3 por 3. Multiplica 3 por 2. Suma 4 y 9. Resta 6 de 13.

B 6 Más de un conjunto de símbolos de agrupación

SUPER OFERTA DE SÁBADO CUBRECAMAS KING O QUEEN

COLCHÓN PARA CAMA QUEEN

LÁMPARAS DECORADAS DE TERCIOPELO

Supongamos que quieres comprar dos cubrecamas y dos colchones. El precio de un cubrecama y de un colchón es de $14 1 $88. Así, el precio de dos de cada uno es 2 ? (14 1 88). Si, además, deseas comprar una lámpara, el precio total es [2 ? (14 1 88)] 1 12 Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. 4

b. 21

3. 4

84

Capítulo 1

1-84

Números cardinales

Hemos usado 2 tipos de símbolos de agrupación en la expresión, paréntesis ( ) y corchetes [ ]. Hay otra clase de símbolo de agrupación, llaves { }. Cuando los símbolos de agrupación se presentan dentro de otros símbolos de agrupación, los cálculos más internos son los primeros que se hacen. Así: para simplificar [2 ? (14 1 88)] 1 12, primero sumamos 14 y 88 (los símbolos de agrupación más internos), luego multiplicamos por 2 y finalmente sumamos el 12. Éste es el procedimiento: [2 ? (14 1 88)] 1 12 5 [2 ? (102)] 1 12 5 204 1 12 5 216

EJEMPLO 4

Simplifica expresiones numéricas Simplifica 20 4 4 1 {2 ? 32 2 [3 1 (6 2 2)]}.

Suma 14 y 88. Multiplica 2 por 102. Suma 204 y 12.

PROBLEMA 4 Simplifica. 25  5 1{3 ? 22 [51(41)]}

SOLUCIÓN 20  4 1 {2 ? 32 [31(62)]}

20  4 1{2 ? 32 [314]}Resta dentro de los paréntesis (6 2 2 5 4). Suma dentro del corchete [3 1 4 5 7]. 20  4 1 {2 ? 32 7} Resuelve dentro de la llave los exponentes {32 5 9}. 20  41{2 ? 9 7} Multiplica dentro de la llave {2 ? 9 5 18}. 20  4 1{18 7} Resta dentro de la llave {18 2 7 5 11}. 20  4 111 Divide 20 entre 4 (20 4 4 5 5). 5111 Suma (5 1 11 5 16). 16

C 6 Aplicaciones que implican orden de operaciones

EJEMPLO 5

Hallar el ritmo cardiaco ideal Cuando nadas, gastas menos energía que cuando corres, y obtienes el mismo beneficio. Para calcular tu ritmo cardiaco ideal mientras nadas, réstale tu edad A a 205, multiplica el resultado por 7 y divide la respuesta entre 10. En símbolos, Ritmo ideal [(205A)?7]10 Supongamos que tienes 25 años (A 5 25). ¿Cuál es tu ritmo cardiaco ideal?

PROBLEMA 5 Halla tu ritmo cardiaco ideal mientras nadas si tienes 35 años.

SOLUCIÓN Ritmo ideal

[(205A)?7]10 [(20525)?7]10 [180?7]10 126010 126

Sea A 5 25. Resta dentro de los paréntesis. Multiplica dentro de los corchetes. Divide.

EJEMPLO 6

Calcular costos de vacaciones Estás listo para tu descanso de primavera y quieres ir a las Bahamas con 19 amigos; un total de 20 personas. Una agente de viajes cobra $50 por arreglar el viaje y $400 por persona. Tú tienes un cupón por $100 de descuento en el total. a. Escribe una expresión para el costo total (usando el cupón). b. Evalúa la expresión y halla el costo total.

SOLUCIÓN a. La expresión consistirá en $50 arreglo 1 costo para 20 personas 2 $100 cupón

50

1 20(400) 2 100

Respuestas a los PROBLEMAS

4. 9

5. 119

6. a. 150 1 [25(40) 2 100] b. $1050

PROBLEMA 6 Estás planeando una fiesta para 40 de tus amigos. El alquiler del salón de recreación es de $150 y el proveedor de banquetes cobra, $25 por persona, pero te darán $100 de descuento si pagas por adelantado. a. Escribe una expresión para el costo total, asumiendo que pagas por adelantado. b. Evalúa la expresión y halla el costo total.

1-85

1.8

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

85

b. Usamos el orden de las operaciones para simplificar la expresión.

50 50

1 20(400) 1 8000 8050 7950

2 100 2 100 2 100

Multiplica. Suma. Resta.

Así, el costo total del viaje es de $7950 con el descuento.

6Puente algebraico En álgebra, el orden de las operaciones es el mismo que en aritmética. La única diferencia son las instrucciones. Así, si x3, y4, y z2, se nos puede pedir que evaluemos x1yz. Esto significa sustituir por x, y, y z en la expresión y luego hallar la respuesta. Así, x 1 y 4 z 53142 5312 Primero divide. 55 Luego suma.

Rincón de la calculadora ¿Sabe tu calculadora el orden de las operaciones? Podemos evaluar tu calculadora para ver si lo sabe. Ingresa . ¿Qué respuesta te dio? Debió ser 23 (multiplicar 4 por 5 primero y luego sumar 3. ¿Pero qué tal si la respuesta fuera 35? Esto significa que la calculadora lleva a cabo las operaciones como se ingresan en cambio de seguir el orden de las operaciones. En este caso, la calculadora sumó 3 y 4, y luego multiplicó el resultado, 7, por 5. Si tienes una calculadora como ésta, tienes que ingresar las operaciones en el orden en que quieres que se lleven a cabo. Así, . A veces, puedes arreglar este problema usando paréntesis para indicar qué deberías ingresar y obtendrás 23. operación quieres que se haga primero, es decir

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

2. 3  4 1 6

3. 7132

4. 6192

5. 783

6. 649

ir a

7. 2035

8. 3065

9. 486(312)

5A6

Orden de las operaciones En los problemas 1 al 20 simplifica.

10. 819(415)

11. 3421(62)

12. 3621(52)

13. 6333141

14. 10 222 132

15. 822 2315

16. 9333815

17. 10 52 18(6 4)34

18. 153 312 (52) 18 4

19. 4823(41)193

20. 6332(32)82

Más de un conjunto de símbolos de agrupación

En los problemas 21 al 25 simplifica.

21. 205 1{3 4 [4 1(53)]}

22. 306 1{4 2 3 [3 1(54)]}

23. (2015)[202 (2 212)]

24. (3010)[524 (3 313)]

25. {426(3123) 1[5(3 2)1]}

para más lecciones

5B6

www.mathzone.com

1. 4  5 1 6

6Web IT

6Ejercicios 1.8

> Self-Tests > e-Professors > Videos

para más lecciones

www.mathzone.com ir a

6Web IT

86

Capítulo 1

5C6

Aplicaciones que involucran orden de operaciones

1-86

Números cardinales

26. Pago por cuidado de niños Tienes un trabajo de niñera en el que te pagan $5 por hora. Trabajas 4 horas y te dan una propina de $10.

27. Cortar el césped Estás cortando el césped a $10 por hora. Cortas un césped en 3 horas, pero deben pagarte también $2 dólares por gasolina y aceite.

a. Escribe una expresión para tus ganancias totales. b. Evalúa la expresión para hallar las ganancias totales.

a. Escribe una expresión para tus ganancias totales. b. Evalúa la expresión para hallar las ganancias totales.

¿Hay alguna diferencia entre las calorías de grasa y las de carbohidratos? La respuesta es sí. Cada gramo de grasa contiene 9 calorías, pero cada gramo de carbohidratos sólo tiene 4. Para hallar el porciento de grasa de un plato, sigue este procedimiento:

1. Multiplica el número de gramos de grasa por 9. 2. Divide por el total de calorías y multiplica por 100. 3. Redondea al número cardinal más cercano. Por ejemplo, un salmón en salsa de crema tiene 1024 calorías en total y 76 gramos de grasa. El porciento de calorías de grasa en el salmón es de:

1. 9  76 5 684 2. 684/1024  100 5 66.797 3. El número cardinal más cercano es 67. Así, el 67% de las calorías de este plato provienen de la grasa. 28. Calorías de grasa Un hamburger de un cuarto de libra con queso, papas grandes y un refresco de 6 onzas de McDonald’s tienen cerca de 1200 calorías y 50 gramos de grasa. ¿Qué porciento de calorías proviene de la grasa?

29. Calorías de grasa Tres porciones de pizza de queso y un refresco de dieta de 16 onzas de Domino’s tienen cerca de 510 calorías y 15 gramos de grasa. ¿Qué porciento de las calorías viene de la grasa?

30. Calorías de grasa Un taco y un refresco de 16 onzas en Taco Bell tienen cerca de 1045 calorías y 55 gramos de grasa. ¿Qué porciento de calorías proviene de la grasa?

31. Calorías de grasa Una presa de pollo frito (ala), puré de papa y salsa, ensalada y un refresco de dieta de 16 onzas de KFC contienen cerca de 380 calorías y 19 gramos de grasa. ¿Qué porciento de calorías proviene de la grasa?

Sigue los mismos tres pasos para calcular el porciento de calorías de grasa en los alimentos, pero en el paso 1 multiplica por 4 en vez de 9. 32. Calorías de carbohidratos Media taza de helado de vainilla tiene cerca de 180 calorías y 15 gramos de carbohidratos. ¿Qué porciento de calorías proviene de los carbohidratos?

33. Calorías de carbohidratos Por otra parte, media taza de zanahorias cocinadas tiene cerca de 36 calorías y 8 gramos de carbohidratos. ¿Qué porciento de calorías proviene de los carbohidratos?

34. Calorías de carbohidratos Un hamburger con queso y tocino en Arby’s, papas regulares y un refresco tienen cerca de 1000 calorías y 100 gramos de carbohidratos ¿Qué porciento de calorías proviene de los carbohidratos?

35. Calorías de carbohidratos Un Whopper con queso de Burger King, papas regulares y una bebida mediana tienen cerca de 1380 calorías y 150 gramos de carbohidratos ¿Qué porciento de calorías viene de los carbohidratos?

¿Encontraste alguna proteína en los problemas 28-35? El porciento de calorías de proteínas en la comida se halla siguiendo pasos similares a los de estos problemas. Entonces, un gramo de proteína contiene la misma cantidad de calorías que un gramo de carbohidratos: 4 calorías. Calcular el porciento de calorías de proteínas en la comida Sigue los mismos tres pasos que para calcular el porciento de calorías en los carbohidratos para hallar el porciento de calorías en proteínas en: 36. Calorías de proteínas Un hamburger de McDonald’s (105 gramos) con 280 calorías y 12 gramos de proteínas.

37. Calorías de proteínas Un hamburger de Carl’s Jr. (119 gramos) con 284 calorías y 14 gramos de proteínas.

38. Calorías de proteínas Un hamburger de Sonic Jr. (135 gramos) con 353 calorías y 14 gramos de proteínas.

39. Calorías de proteínas Un McPollo de McDonald’s (147 gramos) con 430 calorías y 14 gramos de proteínas.

40. Calorías de proteínas Un sándwich de pollo de Jack in the Box (145 gramos) con 390 calorías y 15 gramos de proteínas. Fuente: http://www.foodfacts.info/

1-87

1.8

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

87

666Usa tus conocimientos ¿Cuál es la dosis correspondiente de un medicamento para niños cuando se sabe la dosis para adultos? Hay muchas fórmulas que lo dicen. 41. Regla del amigo (para niños menores de 2 años): (Edad en meses ? dosis para adultos) 4 150 5 dosis para niños

43. Regla para jóvenes (para niños entre 3 y 12 años): (Edad ? dosis para adultos) 4 (edad 1 2) 5 dosis para niños

Supongamos que un niño tiene 10 meses y la dosis adulta es una tableta de 75 miligramos. ¿Cuál es la dosis infantil? [Pista: simplifica (10 ? 75) 4 150.]

Supongamos que un niño tiene 6 años de edad y la dosis para adultos de un antibiótico es de cuatro tabletas cada 12 horas. ¿Cuál es la dosis para niños? [Pista: simplifica (6 ? 4) 4 (6 1 2).]

42. Regla de Clarke (para niños mayores de 2 años): (Peso del niño ? dosis para adultos) 4 150 5 dosis para niños

Ahora sabes hacer uso del orden de las operaciones para evaluar expresiones. Éste es un reto mayor: Usa los números 1, 2, 5 y 6 con cualquiera de las operaciones que hemos estudiado y ubícalos entre paréntesis para hacer una expresión cuyo valor sea 24. Aquí hay uno: (1 1 5) ? (6 2 2).

Si un niño de 7 años pesa 75 libras y la dosis para adultos es de cuatro tabletas diarias, ¿cuál es la dosis para niños? [Pista: simplifica (75 ? 4) 4 150.]

Ahora construye tus propias expresiones usando los números dados. 44. 1, 2, 7, 2

45. 2, 3, 3, 8

46. 4, 6, 9, 5

47. 2, 3, 8, 9

666¡Escribe! 48. Un estudiante afirma que la respuesta para 15 1 5 3 10 es 200. ¿Cuál es el error del estudiante? 50. En el problema 49, ¿cuál es la respuesta correcta, 4 ó 7? ¿Cómo podemos hacer que la regla sea más precisa?

49. El orden de las operaciones es PEMDAR, que recomienda la multiplicación antes de la división. ¿Cuál sería el valor de 4/2 ? 2 1 3? El orden de las operaciones también dice que deben ser desarrolladas de izquierda a derecha. Resuelve 4/2 ? 2 1 3 si desarrollamos las operaciones de izquierda a derecha.

666Puente algebraico Evalúa las siguientes expresiones cuando x 5 3, y 5 2, y z 5 4. 51. (x 1 y) (x 1 z)

52. (x 1 z) (y 1 z)

53. x ? z 4 y 2 z

54. x ? z 4 y 2 x

55. 8 ? (z 4 y 1 x 2 z)

56. 9 ? (z 4 y 1 y 2 x)

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta. Debemos recordar el orden de las operaciones cuando se evalúa una expresión, recordando PEMDAR. 57. P significa hacer los cálculos internos de los símbolos de agrupación como .

58. E significa evaluar todas las expresiones

de izquierda a derecha.

59. M significa hacer todas las 60. D significa hacer todas las

de izquierda a derecha.

61. A significa hacer todas las

de izquierda a derecha.

62. R significa hacer todas las

de izquierda a derecha.

.

exponenciales

multiplicaciones

divisiones

paréntesis

adiciones

potencias

restas

666Prueba de dominio 63. Simplificar: 23 4 8 ? 2 1 4(6 2 1) 2 2 ? 3 64. Simplificar: 15 4 3 1 {3 ? 2 2 [4 1 (5 2 3)]} 2

65. Simplificar: 81 4 9 2 (3 1 4)

66. Una agente de viaje cobra $50 por arreglar un crucero para 10 personas, más $500 por persona. Si obtienes un descuento de $100: a. Escribe una expresión para el costo total. b. Evalúa la expresión y halla el costo total.

88

Capítulo 1

1-88

Números cardinales

67. Simplifica: 27 4 3 ? 3 ? 3 1 4 2 1

68. Simplifica: 7 ? 32 2 5

69. Simplifica: 23 1 4 ? 5

666Comprobación de destrezas 70. Halla el producto de 34  22.

71. Halla el producto de 24  32.

72. Escribe el producto de 32  102 en letras.

73. Escribe el producto de 23  32  102 en letras.

74. Escribe 30  102  22 en forma expandida.

1. 9

Ecuaciones y resolución de problemas

6 Objetivos

6 Repasar antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

2. Comprueba la resta usando la suma. (pág. 37)

A6

Resolver ecuaciones usando datos numéricos.

B6

Resolver ecuaciones usando los principios de suma, resta o división dados en el texto.

C6

1. Usa la información aritmética (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62)

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

3. Escribe un problema de división como uno equivalente de multiplicación. (pág. 63)

6 Para comenzar El anuncio dice que puedes ahorrar $30 cuando compras una estufa eléctrica. Si la estufa cuesta $280; ¿cuánto costaba antes? Ya que cuesta $280 y estás ahorrando $30, solía costar más, es decir, $280 1 30 5 $310. Si piensas en el precio anterior como c puedes escribir el problema así: El nuevo precio es el costo anterior reducido en $30: $280 5 c 2 $30 ¿Por cuál número puedes remplazar c para que la afirmación sea verdadera? La respuesta es de nuevo $310.

Estufa eléctrica

en rebaja $30

1-89

1.9

Ecuaciones y resolución de problemas

89

A 6 Resolución de ecuaciones

Oraciones como 280 5 c 2 30 ó 27 5 7 1 x que contienen el signo igual (5) se llaman ecuaciones.

SOLUCIONES La solución de una ecuación es la sustitución que hace la ecuación verdadera. Cuando encontramos la solución de una ecuación decimos que hemos resuelto la ecuación. Así, la solución de

280 5 c 2 30 es 310

porque

280 5 310 2 30

Igualmente, la solución de

27 5 7 1 x es 20

porque

27 5 7 1 20

EJEMPLO 1

Hallar soluciones a ecuaciones por sustitución Hallar la solución de cada ecuación.

PROBLEMA 1

a. x17513 c. 1555x

a. x 1 6 5 15

b. 13 2 x 5 4

c. 24 5 8x

d. 36 4 x 5 9

b. 102x53 d. 244x56

Halla la solución de cada ecuación.

SOLUCIÓN a. Tenemos que hallar un número x tal que, cuando le sumamos 7, obtenemos 13. Puedes hacerlo mentalmente o por sustitución. Si remplazamos x por 5, obtenemos 5 1 7 5 13. ¡Falso! Si remplazamos x por 6, obtenemos 6 1 7 5 13. Verdadero Entonces, la solución de x 1 7 5 13 es x 5 6.* b. Necesitamos hallar un número x que al restarle 10, la respuesta sea 3. Puedes hacerlo mentalmente o por sustitución. Si remplazamos x por 5, obtenemos 10 2 5 5 3. ¡Falso! Como 10 2 5 5 5, necesitamos un número más grande para x. Si remplazamos x por 6, obtenemos 10 2 6 5 3. ¡Falso! Necesitamos un número más grande. Trata con 7. Si sustituimos x por 7, obtenemos 10 2 7 5 3. Verdadero. Entonces, la solución de 10 2 x 5 3 es x 5 7. c. Para resolver 15 5 5x, necesitamos un número que multiplicado por 5 dé 15. Puedes hacerlo mentalmente. El número es 3. Entonces, la solución de 15 5 5x es: x 5 3. d. Aquí necesitamos un número x tal que al dividir 24 entre ese número dé 6. Puedes hacerlo mentalmente o por sustitución. Tratemos con 3. Pero 24 4 3 5 8 (no da 6). Si ahora tratamos con 4, tenemos que 24 4 4 5 6, que es el resultado deseado. La solución es: x 5 4.

B 6 Reglas para resolver ecuaciones Hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones por prueba y error. Necesitamos seguir ciertas reglas. Estas reglas se basan en la idea de ecuaciones equivalentes, las cuales tienen la misma solución.

EQUIVALENCIA Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. x59 b. x59 c. x53 d. x54

Dos ecuaciones son equivalentes si sus soluciones son iguales. * Técnicamente, la solución es 6, pero algunas personas escriben en cambio x 5 6.

90

Capítulo 1

1-90

Números cardinales

Por ejemplo, x17510 es equivalente a x53, pero x53 tiene una solución obvia. Regresemos a la ecuación del inicio de la sección. El nuevo precio es el antiguo precio pero reducido en $30 $280

5

2 $30

c

Para hallar el valor de c incluimos los $30 de rebaja, así, $2801305c230130 310 5 c

ó

Este ejemplo ilustra el hecho de que podemos sumar el mismo número en ambos lados de la ecuación y generar una ecuación equivalente. La idea es:

PRINCIPIO DE LA SUMA

La ecuación a 5 b es equivalente a a 1 c 5 b 1 c.

Así, podemos sumar el mismo número c en ambos lados de una ecuación y obtener una ecuación equivalente.

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Usar el principio de la suma

Resolver.

Resolver.

a. n217520

a. n 2 13 5 17

b. 305m218

b. 20 5 m 2 3

SOLUCIÓN a. La idea es tener n por sí solo en un lado de la ecuación. Entonces, queremos “recuperar” el 17. Lo hacemos sumando 17 en ambos lados. Obtenemos: n 2 17 5 20 n 2 17 1 17 5 20 1 17 Suma 17 en ambos lados. n 5 20 1 17 n 1 0 5 n n 5 37 Suma. La solución es n37. (Revisa: sustituye 37 en la ecuación original para obtener 37217520, afirmación verdadera.) b. Esta vez sumamos 18 en ambos lados, obteniendo 30 1 18 5 m 2 18 1 18 Suma 18. 48 5 m m105m La solución es 48 5 m. (Comprueba: 30 5 48 2 18.) Ahora, supongamos que el precio de la estufa subió $30 y el precio actual es de $280. ¿Cuál era el precio anterior c? He aquí la ecuación c1305280 precio anterior

aumento $30

precio nuevo

Esta vez bajamos el precio restando $30 a ambos lados de la ecuación. Obtenemos c1305280 c1302 3052802 30 c5250 El precio anterior fue $250. Usamos el siguiente principio.

PRINCIPIO DE LA RESTA Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. n530

b. m523

La ecuación a 5 b es equivalente a a 2 c 5 b 2 c.

1-91

1.9

EJEMPLO 3

Usar el principio de la resta

Resolver.

Ecuaciones y resolución de problemas

91

PROBLEMA 3 Resolver.

b. 43518 1 m

a. n115548

a. n 1 10 5 13 b. 39 5 18 1 m

SOLUCIÓN n 1 15 5 48 n 1 15 2 15 5 48 2 15 n 5 48 2 15 n 5 33

a.

Resta 15 en ambos lados . 48 2 15 5 33

La solución es n33. (Puedes comprobarlo en la ecuación original, ya que 33 1 15 5 48.) b. 43 5 18 1 m 43 2 18 5 18 1 m 2 18 Resta 18 en ambos lados. 18 1 m 2 18 5 m 43 2 18 5 m 43 2 18 5 25 25 5 m La solución es m25. (Comprueba: 43518125.) Ahora supongamos que el precio de la estufa se duplicó; ahora cuesta $280. ¿Cuál era el precio c anterior? Ya que el precio anterior c se duplicó y ahora es $280, la ecuación es 2c = 280. Para hallar la respuesta, debemos cortar el precio por la mitad, dividiéndolo entre 2. De esta forma, el precio anterior c era $140. Este ejemplo sugiere que podemos dividir ambos lados de la ecuación entre un número (diferente de cero) y obtener una ecuación equivalente. Éste es el principio.

PRINCIPIO DE LA DIVISIÓN

EJEMPLO 4

La ecuación a 5 b es equivalente a a 4 c 5 b 4 c (c Þ 0).

Usar el principio de la división

Resolver. a. 3x533

PROBLEMA 4 Resuelve.

b. 4856x

a. 4x 5 36 b. 42 5 7x

SOLUCIÓN a. Usamos el principio de la división y dividimos a ambos lados de la ecuación, obteniendo: 3x 5 33 Divide ambos lados entre 3. 3x 4 3 5 33 4 3 Divide 3x entre 3. x 5 33 4 3 Divide 33 entre 3. x 5 11 b. Dividimos ambos lados entre 6, para obtener: 48 5 6x 48 4 6 5 6x 4 6 Divide ambos lados entre 6. Divide 6x entre 6. 48 4 6 5 x Divide 48 entre 6. 85x

C 6 Aplicaciones usando el método LSTUV Ahora que has aprendido a resolver ecuaciones, necesitas saber cómo aplicar este conocimiento para resolver problemas del mundo real. Estos problemas generalmente se plantean en palabras, por lo que se llaman problemas verbales o de relato. Esta es un área en la que muchos estudiantes encuentran dificultades, pero no entres en pánico, vamos a darte un método seguro para abordar problemas verbales. Para empezar, veamos este problema. Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. n53 b. m521 4. a. x59 b. x56

92

Capítulo 1

1-92

Números cardinales

La Torre Sears tiene 1454 pies de alto. La suma de dos antenas aumenta la altura a 1559 pies. ¿Qué altura tienen las antenas? Antes de intentar resolver este problema, analicemos una manera efectiva de resolverlo. El procedimiento es tan fácil como 1-2-3-4-5. MÉTODO LSTUV PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. 2. 3. 4. 5.

Lee el problema cuidadosamente y describe qué se pide (lo desconocido). Selecciona H o una letra para representar lo desconocido. Traduce el problema en ecuación. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Verifica la respuesta.

Éste es el método que realmente debes aprender para dominar los problemas verbales. ¿Cómo recordamos todos estos pasos? Fácil. Observa la primara letra de cada oración (negrilla). ¿Ahora entiendes por qué llamamos este método LSTUV? Para ayudarte aún más, aquí tienes algunas claves para usar el método. 1. Leer el problema. Las matemáticas son un lenguaje. Tienes que aprender a leerlo. Puede que no entiendas o incluso no puedas leer el problema la primera vez. Está bien. Léelo de nuevo, y mientras lo haces, presta atención a las palabras o instrucciones claves como calcular, escribir, construir, hacer, mostrar, identificar, plantear, simplificar, resolver y graficar. (¿Puedes pensar en otras?) 2. Seleccionar lo desconocido. ¿Cómo puedes contestar una pregunta si no sabes cuál es la pregunta? Una buena manera de buscar lo desconocido (variable) es buscar el signo de interrogación y leer el contenido de su izquierda. Trata de determinar qué está y qué hace falta. Recuerda que este es tu problema verbal y puedes usar cualquier letra que desees para lo desconocido. Ésta es una sugerencia: usa h para altura, v para velocidad, p para población, d para distancia, y así sucesivamente. 3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. La resolución de problemas requiere de muchas habilidades y estrategias. Algunas de ellas son buscar un patrón, analizar un problema relacionado, usar una fórmula, hacer tablas, dibujos o diagramas, escribir una ecuación, hacer borradores y adivinar. Cuando resuelves problemas, tu plan debería estar dirigido a escribir una ecuación o desigualdad. 4. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Si estás estudiando una técnica matemática, es casi seguro que tendrás que usarla en la resolución del problema dado. Busca formas en que la técnica que estás estudiando (principios de suma, resta y división) pueda usarse para resolver el problema. 5. Verificar la respuesta. Repasa y revisa los resultados del problema original. ¿La respuesta es razonable? ¿Puedes hallar otra manera? Ahora usemos el procedimiento LSTUV para resolver el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

Resolución de problemas: método LSTUV La Torre Sears en Chicago mide 1454 pies de alto. La suma de las 2 antenas aumenta la altura a 1559 pies. ¿Cuánto miden las antenas?

SOLUCIÓN 1. Leer el problema. Lee el problema detenidamente, no una sino dos o tres veces (leer matemáticas no es como leer una revista; los problemas matemáticos se deben leer varias veces para entenderlos. Está bien en tanto que los entiendas).

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 151 pies

PROBLEMA 5 Supongamos que la Torre Sears tiene 1559 pies de altura. La suma de una antena aumenta su altura a 1710 pies. ¿Qué altura tiene la antena?

1-93

1.9

Ecuaciones y resolución de problemas

93

2. Seleccionar lo desconocido. El problema pregunta la altura de las antenas. ¿Cómo llamarías esta altura? Usaremos h para altura. h es lo que estamos buscando y es lo desconocido. 3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. El problema dice que la Torre Sears mide 1454 pies de altura. La suma de dos antenas aumenta su altura a 1559 pies. Ésta es la traducción: Altura de la Torre Sears 1altura alcanzada con las dos antenas1559 1454 1 h 5 1559 4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Para resolver esta ecuación usamos el principio de la resta y restamos 1454 de ambos lados de la ecuación (de este modo podemos tener h por sí sola al lado izquierdo). 145421454 1 h 5155921454 h 5105

Simplifica

Así, la h de las antenas es de 105 pies. 5. Comprobar la respuesta. Para comprobar la respuesta, recordamos que: la suma de las antenas (105) aumentan la altura a 1559. ¿Es verdad que la altura original (1454) más 105 es 1559? Sí, 1454 1 105 5 1559, ¡entonces nuestra respuesta es correcta! ¡Felicitaciones! Has resuelto tu primer problema usando el método LSTUV Ahora, usa el mismo procedimiento para resolver el problema 5.

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

SOLUCIÓN

Los costos de registro y matrícula T más hospedaje y alimentación R, por un año en una universidad privada de 4 años ascendieron a $29,026. El registro y la matrícula T costaron $13,444 más que el hospedaje y la alimentación R. Usa el procedimiento RSTV para hallar el costo de registro y matrícula T y el costo de hospedaje y alimentación R.

Resolución de problemas: registro y matrícula Durante el último año, los cargos por registro y matrícula, T, más hospedaje y alimentación, R, por un año en una universidad pública de cuatro años ascendieron a 12,127. El hospedaje y la alimentación R cuestan $1145 más que el registro y la matrícula T. ¿Cuáles son los costos de inscripción y matrícula T y de hospedaje y alimentación R?

1. Leer el problema. Esta vez tenemos dos desconocidos. 2. Seleccionar los desconocidos. Los dos desconocidos son: registro y matrícula, T y hospedaje y alimentación, R. 3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. Hay dos oraciones para traducir: “Matrícula e inscripción o registro T hospedaje y alimentación R ascendió a $12,127” Significa que: (1) T 1 R 5 $12,127 “El hospedaje y la alimentación R cuestan $1145 más que la inscripción y la matrícula T ” Significa que: (2) R 5 T 1 $1145 Ya que necesitamos solamente una variable desconocida, sustituimos T 1 1145 para R en (1) De esta forma: (1) T 1 R 5 $12,127 Sustituyendo T 1 (T + $1145) 5 $12,127 4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Para resolver T 1 (T 1 $1145) 5 $12,127 Suma términos similares (T 1 T = 2T ) 2T 1 $1145 5 $12,127 Resta $1145 para despejar T 2T 1 $1145 2 $1145 5 $12,127 2 $1145 Divide ambos lados entre 2

2T T

5 $10,982 5 $5491

Significa que: (2) R 5 $5491 1 $1145 5 $6636 5. Verificar la respuesta. ¿Es verdad que la inscripción y matrícula ($5491) más hospedaje y alimentación ($6636) ascienden a $12,127? Sí, $5491 + $6636 = $12,127. ¡Nuestra respuesta es correcta! Fuente: http://www.ed.gov/about/bdscomm/list/hiedfuture/2ndmeeting/trends.pdf Respuestas a los PROBLEMAS 6. R = $7791, T = $21,235

94

Capítulo 1

TRADUCE 1.

1-94

Números cardinales

De los 995 productos dulces introducidos en el último año, 398 fueron chocolates. Escribe una ecuación para N, el número de dulces que no fueron chocolate.

El tercer paso en el procedimiento LSTUV es TRADUCIR la información en una ecuación. En los problemas 1 al 10 TRADUCE la oración y únela con la ecuación A-O correcta.

7.

Estos son los pasos: 1. Divide P entre 2.2. 2. Multiplica por 24.

Fuente: National Confectioners Assoc.

2.

3.

4.

5.

6.

¿Quién gasta más en ropa femenina? De acuerdo con MapInfo, son las mujeres de Connecticut (C). De hecho, ellas gastan 27 dólares más anualmente por hogar que las mujeres (N) en Nueva Jersey. Escribe una ecuación para C.

B. 69 5 P 1 12

3. Si tus actividades diarias son moderadas, multiplica el resultado del paso 2 por 0.70.

C. T 5 S 1 12 0.70?24W

1} D. C 5 } 2.2 2.2

Si tienes menos de 25 años, tu probabilidad P de completar la universidad es de 69%, es decir, un incremento del 12% sobre la probabilidad de hace 10 años.

E.

S 5 T 1 12

F.

D 5 P 2 100

Puedes comprar una computadora con un descuento de $100. Si el precio original de la computadora fue P, ¿cuál es el precio de descuento D?

H. IMC 5 }2 I.

995 2 398 5 N

¿Quieren ser las mujeres más delgadas o inteligentes? En una encuesta reciente hecha por eDiets.com, el porciento de mujeres T que quieren ser delgadas excede el porciento de mujeres S que quieren ser inteligentes en 12%. Escribe una ecuación para T.

J.

RMB 5 } 2

Cuando corres quemarás 675 calorías cada hora. ¿Cuál es el número de calorías C quemadas en h horas trotando?

Éstas son las calorías que necesitas para funciones básicas.

A. 995 5 N 2 398

24W

4. Suma los resultados de los pasos 2 y 3. Esto es C. 8.

El ritmo metabólico basal (RMB) para un adulto hombre se obtiene multiplicando su peso corporal P por 10 y sumando el doble de su peso a este valor. ¿Cuál es la fórmula para el RMB de un adulto hombre?

9.

El RBM para una mujer se obtiene multiplicando su peso corporal P por 10 y sumando su peso corporal a este valor. ¿Cuál es la fórmula para el RMB de una mujer adulta?

G. RMB 5 2W 1 W P 705H

705P H

K. C 5 675h L.

$100 5 D 2 P

M. RMB 5 10W 1 W N. C 5 N 1 27 O. RMB 5 10W 1 2W

¿Cuántas calorías C necesitas en un día de 24 horas? Depende de tu peso P en libras y tus actividades diarias.

10. El índice de masa corporal (IMC) es un indicador confiable de la grasa corporal para la mayoría de la gente. El IMC se obtiene multiplicando tu peso P por 705 y dividiéndolo entre tu altura al cuadrado H. Nota: Si tu IMC está entre 18.5 y 24.9 ¡estás en el rango normal!

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 1.9 5A6

Resolución de ecuaciones En los problemas 1 al 12, halla la solución de la ecuación, mentalmente o por sustitución.

1. m 1 9 5 17

2. n 1 18 5 29

3. 13 2 x 5 9

4. 19 2 x 5 8

5. 20 5 4x

6. 27 5 3x

7. 9x 5 54

8. 8x 5 88

9. 30 4 y 5 6

10. 45 4 y 5 5

5B6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Reglas para resolver ecuaciones

11. 9 5 63 4 t

12. 7 5 35 4 t

En los problemas 13 a 24, resuelve.

13. z 2 18 5 30

14. z 2 13 5 41

15. 40 5 p 2 12

16. 30 5 p 2 9

17. x 1 17 5 31

18. x 1 12 5 37

19. 30 5 17 1 m

20. 21 5 18 1 m

21. 4x 5 28

22. 7x 5 49

23. 9x 5 36

24. 11x 5 121

1-95

Ecuaciones y resolución de problemas

95

Aplicaciones usando el método LSTUV En los problemas 25 al 50 usa el procedimiento LSTUV para resolverlos.

27. Récord de vuelo humano Glenn Tremml tiene el récord por vuelo humano. La marca anterior la tenía Bryan Allen, quien voló 22 millas a través del Canal Inglés. Si d es la distancia recorrida por Glenn, y Bryan voló 15 millas menos, halla d.

28. Calorías necesarias para mantener el peso El número de calorías que debes ingerir para mantener tu peso p (en libras) está dado por la fórmula: 15p 5 número de calorías Un hombre consume 2700 calorías diarias y mantiene su peso. ¿Cuál es su peso? 30. Los Smith ingleses Hay tres veces más personas de apellido Smith en Estados Unidos que en Inglaterra. Si Estados Unidos tiene 2,400,000 habitantes de apellido Smith, ¿cuántas personas de apellido Smith hay en Inglaterra?

31. Calorías de una Coca-cola Un hamburger de un cuarto de libra en McDonald’s tiene 420 calorías. Si tomas una Cocacola pequeña, el total de calorías es de 570. ¿Cuántas calorías tiene la bebida?

32. Sodio en la Coca-cola Un hamburger de un cuarto de libra contiene 580 mg de sodio. Si tomas una Coca-cola pequeña, el total de miligramos de sodio llega a 620. ¿Cuántos miligramos de sodio tiene la Coca-cola?

33. Calorías de una Coca-cola Un sándwich Whopper contiene 640 calorías. Si tomas una Coca-cola mediana clásica, el número total de calorías alcanza las 920. ¿Cuántas calorías tiene la Coca-cola?

34. Sodio en la Coca-cola Un sándwich Whopper tiene 870 mg de sodio. Si tomas una Coca-cola clásica, el número total de miligramos de sodio llega a 920. ¿Cuántos miligramos de sodio tiene la Coca-cola?

35. Calorías individuales Un hamburger de queso de McDonald’s y unas papas pequeñas contienen 540 calorías. El hamburger tiene 120 calorías más que las papas. ¿Cuántas calorías tiene cada producto de comida?

36. Calorías individuales Un sándwich Whopper y unas papas medianas contienen 940 calorías. El Whopper tiene 340 calorías más que las papas. ¿Cuántas calorías tiene cada producto? Fuente: Olen Publishing.

37. Costo de matrícula En las universidades de dos años, los libros y suministros cuestan cerca de $700. Si le sumas los costos de matrícula, el total es de $2272. ¿Cuál es el costo de la matrícula? Fuente: Datos del The Chronicle of Higher Education.

38. Costos de matrícula, hospedaje y libros Si eres un estudiante en una universidad privada de cuatro años, deberías esperar pagar cerca de $16,080 por un año de matrícula, hospedaje y libros. Si la cantidad para la matrícula y el hospedaje es de $14,680 más que los libros, ¿cuál es el costo de la matrícula y el hospedaje, y cuál el de los libros? Fuente: Datos del the Chronicle of Higher Education.

39. Subsidios y becas El promedio de ayuda financiera combinado entre becas y subsidios es de $3600. Si el dinero de la beca es $400 menos que el de los subsidios, ¿cuál es el promedio de ayuda para becas y subsidios? Fuente: Datos obtenidos de la Oficina Estudiantil de Servicios Financieros.

40. Préstamos y subsidios El promedio de ayuda financiera combinado entre préstamos y subsidios es de $5350. Si el dinero del subsidio es $1150 menos que el de los préstamos, ¿cuál es el promedio de ayuda para préstamos y subsidios? Fuente: Datos de la Oficina Estudiantil de Servicios Financieros.

41. Banca Tito depositó sus ganancias de verano por $1000 en el banco. También tenía cinco cheques de depósito directo por p dólares cada uno.

42. Banca Tito paga mensualmente la cuota del carro por c dólares debitados de su cuenta. Después de tres pagos mensuales, su balance, que era de $2115, bajó a $1212. ¿Cuánto es la cuota mensual por el carro c?

Escribe una expresión para su balance. Su balance bancario indicó que hay $2115. ¿Cuál fue la cantidad p de cada uno de los depósitos de cheques directos?

para más lecciones

29. El peso de un brontosaurio Un brontosaurio, un animal prehistórico, pesaba cerca de 60,000 libras. Esto es cuatro veces el peso promedio de un elefante africano. Si p es el peso de un elefante, halla p.

www.mathzone.com

26. Predicciones de población Se predice que para el 2010 la población mundial será de 6823 millones, 743 millones más que en el año 2000. Si p era la población del 2000, halla p.

ir a

25. Hallar la velocidad del Thrust 2 El carro más rápido es el jet motorizado Thrust SSC, que puede recorrer 763 millas por hora. Es decir, 130 millas más por hora que el Thrust 2. Si s es la velocidad del Thrust 2, halla s.

6Web IT

5C6

1.9

1-96

Números cardinales

43. Banca Tito hizo cuatro cheques por $50, $120, $70 y $65. Si su nuevo balance n fue de $907, ¿cuál fue su balance inicial?

45. Transporte Andrea también necesitaba un seguro para su Crusier. Allstate le dijo que le venderían una póliza con la cobertura que ella quisiera y que lo podía pagar en tres cuotas de t dólares cada una. Si el precio de la póliza fue de $1350, ¿cuál fue la cantidad t que pagó en cada cuota?

6Web IT

ir a

para más lecciones

Capítulo 1

www.mathzone.com

96

44. Transporte Andrea necesitaba transporte para ir a la escuela. Decidió comprar una Cruiser PT y pagarla en cinco años (60 pagos mensuales) al 0% de intereses. Si sus pagos totales ascendieron a $24,000, ¿de cuánto fue su pago mensual?

46. Transporte A Andrea le dijeron que su Cruiser recorre cerca de 22 millas por galón (mpg). Ella quería viajar de Tampa a Miami, una distancia de cerca de 264 millas. ¿Cuántos galones de gasolina necesitará Andrea?

47. Transporte Andrea conduce de Tampa a Miami y pasará por el cruce de Yeehaw. Si la distancia de Tampa al cruce de Yeehaw es de 106 millas, y de Tampa a Miami es de 264 millas, ¿cuántas millas hay desde el cruce de Yeehaw hasta Miami?

48. Transporte Un mapa de Mapquest le indicó a Andrea que el viaje de 264 millas tardaría cerca de 4 horas. ¿Cuál fue el promedio de velocidad de Andrea? (Pista: distancia 5 velocidad promedio 3 tiempo.)

49. Nutrición ¿Sabías que debes quemar cerca de 3500 calorías para perder una libra de grasa corporal? a. ¿Cuántas calorías se necesita quemar para perder 15 libras? b. Supongamos que necesitas 1800 calorías para mantener tu peso diario y reduces tus calorías diarias a 1300. ¿Cuál es el número de calorías quemadas por día? c. ¿Cuántos días tomaría perder 15 libras?

50. Nutrición Puedes quemar calorías haciendo ejercicio. Aquí tienes las calorías que se queman en un minuto de la actividad mencionada. Tipo de ejercicios

Calorías quemadas en un minuto

Caminar (5 mi/h)

3

Correr bicicleta (12 mi/h)

10

Levantar pesas

12

Para quemar 3500 calorías (el equivalente a una pérdida de una libra), cuánto tiempo tienes que (respuesta redondeada al minuto más cercano): a. Caminar a 5 mi/h b. Correr bicicleta a 12 mi/h c. Levantar pesas

En los problemas 51 y 52, sigue el procedimiento del ejemplo 6 y resuelve. 51. Propinas La propina, T, más el costo M de una comida en un restaurante ascendió a $96. Si el costo M de la comida fue de $64 más que la propina T, ¿cuánto costó la propina y cuánto la comida?

52. Inscripción y matrícula La matrícula e inscripción, T, por cursos en la universidad durante un semestre cuestan $290 más que el costo, B de los libros. Si la cuenta total (inscripción y matrícula más libros) asciende a $1150, ¿cuánto costaron la inscripción y matrícula y cuánto los libros?

666Usa tus conocimientos 53. La fórmula para la distancia d que un carro recorre en tiempo t horas a 50 millas por hora es d 5 50t ¿Cuánto tiempo tardará el carro en recorrer 300 millas?

54. La fórmula para velocidad V (en pies por segundo) a la que un objeto se desplaza después de caer por t segundos está dada por V 5 32t ¿Cuánto tiempo tardará el objeto alcanzar una velocidad de 96 pies por segundo?

1-97

1.9

Ecuaciones y resolución de problemas

97

666¡Escribe! 55. Tenemos unos principios de suma, resta y división. Con tus palabras, escribe las razones por las cuales no tenemos principio de multiplicación.

56. Con tus palabras, escribe cuál podría ser el principio de multiplicación.

57. La solución de una ecuación es la sustitución que se hace para que la ecuación sea verdadera. ¿Cuál es la solución de x 1 1 5 2? ¿Tu respuesta satisface la definición de una solución?

58. ¿Cuál es la solución de 5 1 x 5 5? ¿Qué pasa con la solución de 5 1 x 5 5 1 x?

666Comprobación de conceptos Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas. 59. La

de una ecuación es el remplazo que la hace verdadera.

60. Si las soluciones de dos ecuaciones diferentes son iguales, las ecuaciones son . la ecuación a 5 b es equivalente

61. Usando el principio de la a a 1 c 5 b 1 c.

62. La ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación el principio de la resta.

a2c5b2c

equivalente

suma

solución

a 4 c 5 b 4 c; c Þ 0

igual

traducir

igual a

usando

63. Con el principio de la división, la ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación . 64. En el procedimiento LSTUV, la T significa

.

666Prueba de dominio Resuelve: 65. x 1 8 5 17

66. 12 2 y 5 7

67. 20 5 4x

68. 28 4 x 5 7

69. 40 5 38 1 m

70. 49 5 7p

71. x 2 5 5 10

72. 10 5 n 2 19

73. 20 5 x 1 5

74. Se dice que la Torre CN de Canadá mide 362 pies más de altura que la Torre Sears I, que mide 1454 pies de altura. ¿Cuál es la altura de la Torre CN?

Nota: mucha gente no reconoce la Torre CN como el edificio más alto del mundo porque dicen que esta torre no es un edificio. Gran parte de la estructura no es más que una línea de ascensores de concreto, por lo cual no es un edificio. La afirmación anterior se podría refutar.

666Comprobación de destrezas 47

75. Usa la división larga para dividir } 5.

76. 0 4 9 5

98

Capítulo 1

1-98

Números cardinales

6Aprendizaje colaborativo Esta sección requiere tres grupos de estudiantes: alfombradores, jardineros y pintores. Al menos uno de los estudiantes de cada grupo debe tener acceso a un directorio telefónico, a Internet y estar dispuesto a hacer algunas llamadas o conseguir información. Éstas son las dimensiones de las habitaciones con las que trabajaremos: Área Family:

130  150

Sala:

140  150

Comedor:

100  140

Alfombradores Están a cargo de calcular el costo de la alfombra para las tres habitaciones: Family, sala y comedor. 1. Halla el área de cada habitación. 2. Halla el área total de las 3 habitaciones. 3. Halla el costo de un pie cuadrado de alfombra (es probable que tengas que llamar a muchas tiendas o averiguar precios en Internet). 4. Halla el precio del relleno (el acolchado debajo de la alfombra). 5. Halla el costo de los materiales (alfombra más acolchado). 6. Informa el área total al proveedor y solicita un cálculo para la instalación de la alfombra y el relleno. ¿Cuánto te ahorras si lo haces tú mismo? Nota: Cuando calcules el área puedes buscar en la Web una “calculadora de alfombra”. Ésta calculará el área en pies cuadrados y yardas cuadradas.

Pintores Están a cargo de calcular el costo de la pintura para las 3 habitaciones. Pista: cada habitación tiene cuatro paredes (ignora las puertas, ventanas y techo), y asumimos que el techo (y en consecuencia cada pared) tiene 8 pies de altura. 1. Halla el área de las cuatro paredes de cada habitación. 2. Halla el área total de todas las paredes de las tres habitaciones. 3. Halla el costo de un galón de pintura para paredes (llama a varias tiendas de pintura o averigua precios en Internet). 4. Calcula cuántos galones de pintura necesitas. La industria estándar dice que son cerca de 400 pies cuadrados por galón, lo que significa que puedes pintar 400 pies cuadrados de pared con un galón de pintura. Nota: puedes revisar con una calculadora de pintura haciendo una búsqueda en la Web. 5. Halla el costo de la pintura. Por supuesto, necesitas brochas, materiales de limpieza y papel o lona para cubrir el piso. Para más información sobre la medida de las habitaciones y la aplicación de pintura, consulta la Web.

Jardineros No debemos olvidar la parte exterior de la casa, entonces tenemos que instalar el césped. Usualmente, el césped se vende en rectángulos que miden 5 pies cuadrados (15  48 pul.) o por paletas que traen 500 pies cuadrados, cada una. ¡Los tamaños y dimensiones varían! Asumamos que nuestro césped tiene 40 por 50 pies. 1. Halla el área del césped. 2. ¿Cuántas paletas de césped necesitamos?

1-99

99

Resumen del capítulo 1

3. ¿Cuál es el costo de cada paleta (entregada)? Halla el precio del césped llamando a granjas o buscando en Internet. 4. Después de que halles el área del césped, llama a una granja que venda césped y pregunta por el precio de instalación (por pies cuadrados). 5. Halla el precio de instalación para nuestro césped. 6. Compara el precio de instalación y el que daría haciéndolo tú mismo. ¿Cuánto te ahorras si lo instalas tú? Para más información acerca del césped, trata con una búsqueda en la Web.

de 6Preguntas investigación



1. Hay una historia encantadora acerca del uso acumulado de palitos de madera tallados que se mencionan en la sección El lado humano de las matemáticas, al inicio de este capítulo. Descubre cómo su disposición literalmente terminó en la destrucción de las casas antiguas del parlamento en Inglaterra. 2. Escribe un documento detallando el sistema numérico egipcio, la base y los símbolos usados. Enumera las similitudes y diferencias entre el sistema de numeración egipcio y el nuestro (hindo–arábigo). 3. Escribe un documento describiendo el sistema numérico griego, la base y los símbolos usados, y enumera las similitudes y las diferencias entre el sistema numérico griego y el nuestro. 4. Averigua acerca del desarrollo de los símbolos que usamos en nuestro sistema numérico actual. ¿Quién y dónde se inventó el símbolo del 0? 5. Escribe un párrafo en el que analices el desarrollo de los símbolos de agrupación que estudiamos en este capítulo.

6Resumen del capítulo 1 Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

1.1

Números naturales

1, 2, 3, etc.

19 y 23 son números naturales.

Dígitos Números cardinales

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, etc.

0 y 17 son números cardinales.

1.1B

Forma expandida

Numerales escritos con unidades, decenas, centenas y así sucesivamente

278200708

1.2A



a b significa que a está a la izquierda de b en una recta numérica.

5 8 y 0 9 (continúa)

100

Capítulo 1

1-100

Números cardinales

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

1.2A



ab significa que a está a la derecha de b en una recta numérica.

85 y 90

Desigualdades

Afirmaciones que usan o

3 5 y 82

1.2B

Redondear

Redondeando un número dado a un número de dígitos específico

637 redondeado a la decena más cercana es 640; 637 redondeado a la centena más cerca es 600.

1.3A

Sumandos

Números a sumarse

Suma o total Identidad para la suma Propiedad conmutativa de la suma Propiedad asociativa de la suma

El resultado de una suma 0 es la identidad para la suma. abba

En la suma 639, 6 y 3 son los sumandos. La suma de 3 más 6 es 9. 055, 909. 5445

(ab)ca(bc)

(12)31(23)

Polígono

Una región geométrica plana con muchos lados

1.3B

Perímetro

La distancia alrededor un objeto

El perímetro del rectángulo 3 pies 2 pies

En el caso de un polígono, el perímetro es la suma de todos sus lados.

es (3232) pies10 pies.

1.4A

Minuendo Sustraendo Diferencia

En abc, a es el minuendo. En abc, b es el sustraendo. En abc, c es la diferencia.

En 532, 5 es el minuendo. En 532, 3 es el sustraendo. En 532, 2 es la diferencia.

1.5A

Multiplicando Multiplicador Producto Factores

En abc, a es el multiplicando. En abc, b es el multiplicador. En a  b  c, c es el producto. En a b c, a y b son factores.

En 3515, 3 es el multiplicando. En 3515, 5 es el multiplicador. En 3 5  15, 15 es el producto. En 3 5 15, 3 y 5 son los factores.

1.5A

Propiedad multiplicativa del 0 Propiedad conmutativa de la multiplicación

0 a 0 a  0

0  3 0 y 5  0 0

abba

4 7 7 4

Identidad para la multiplicación Propiedad distributiva

1 a a  1 a

1  4 4  1  4

a (b  c) (a  b) (a  c)

3  (20 3) (3  20) (3 3)

1.5B

Múltiplos de 10

10, 100, 1000, etc.

1.5C

Propiedad asociativa de la multiplicación

a  (b  c) (a b)  c

4  (2  3)  (4  2)  3

1.5D

Área de un rectángulo

Multiplicar largo l por ancho a.

El área de un rectángulo de 10 pul*. por 6 pul. es 60 pul.2

*Abreviatura de pulgada: pul

1-101

Resumen del capítulo 1

Sección

Asunto

1.6A

Dividendo

En a  b c, a es el dividendo.

En 15  3 5, 15 es el dividendo.

Divisor

En a  b c, b es el divisor.

En 15  3 5, 3 es el divisor.

Cociente Propiedades divisorias del uno Propiedades divisorias del cero

En a  b c, c es el cociente. 1. a  a 1 (a p 0) 2. a  1  a 1. 0  a 0 (a p 0)

En 15  3  5, 5 es el cociente. 5  5 1 y 9  9 1 7  1 7 y 10  1 10 0  17 0 y 0  3 0

2. a  0 es no definido.

7  0 es no definido.

Un número cardinal que tiene exactamente dos factores diferentes, él mismo y 1 Un número cardinal mayor que 1 que no es primo

17 y 41 son primos.

1.7A

Número primo Número compuesto

Significado

Ejemplo

22 y 48 son compuestos.

1.7B

Factores primos

Los factores de un número que son números primos

Los factores primos de 22 son 2 y 11.

1.7C

Base Exponente

En la expresión bn, b es la base. En la expresión bn, n es el exponente.

En la expresión 23, 2 es la base. En la expresión 23, 3 es el exponente.

1.7D

1 como exponente

a1 a a0  1 (a p 0)

91 9 y 31 3 90  1 y 30 1

0 como exponente 1.8A

Orden de las operaciones PEMDAR de izquierda a derecha (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición, Resta)

1.9A

Ecuación

Una afirmación usando un signo

Solución

La solución de una ecuación es el o los números que hacen las ecuaciones verdaderas.

1.9B

Ecuaciones equivalentes El principio de la suma El principio de la resta El principio de la división

Dos ecuaciones son equivalentes si sus soluciones son iguales. La ecuación a b es equivalente a a c b c. La ecuación a b es equivalente a a c b c. La ecuación a b es equivalente a a 4 c b 4 c (c p0).

1.9C

Procedimiento LSTUV

Leer el problema. Seleccionar el desconocido. Traducir el problema. Usar las reglas estudiadas para resolver el problema. Verificar la respuesta.

36  3  6 (3 4) 5  36  3  6 7  5 12  6 7  5 72 7 5 65  5 70 10 2x y x  2  5 son ecuaciones La solución de 10 2x es 5.

2x 1 3 y 2x 2 son ecuaciones equivalentes. La ecuación x 3 5 es equivalente a x  3 3 5  3. La ecuación x 3 5 es equivalente a x 3 3 5 3. La ecuación 2x 6 es equivalente a 2x 2 6 2.

101

102

Capítulo 1

1-102

Números cardinales

6Ejercicios de repaso del capítulo 1 Si necesitas ayuda con los ejercicios, mira en la sección indicada entre corchetes. 1. 5 1.1A,

B6 Escribe en forma expandida y halla el valor de los dígitos subrayados.

2.

5 1.1C6 Escribe en forma estándar. a. 40 9

a. 127

b. 500  80 6

b. 189

c. 500  3

c. 380

d. 800  10

d. 1490

e. 1000  4

e. 2559

3.

5 1.1D6 Escribe estos números en palabras.

4.

5 1.1E6 Escribe en forma estándar.

a. 79

a. Veintiséis

b. 143

b. Ciento noventa y dos

c. 1249

c. Cuatrocientos sesenta y ocho

d. 5659

d. Mil seiscientos cuarenta y cuatro

e. 12,347

e. Cuarenta y dos mil ochocientos uno

5. 5 1.2A6 Llena los espacios con < o >

6.

para hacer una desigualdad verdadera.

a. 27

29

b. 30

28

c. 23

25

d. 19

39

e. 39

19

5 1.2B6 Redondea a la centena más cercana. a. 2848

b. 9746

c. 3550

d. 4444

e. 5555

7. 5 1.2C6 Redondea el precio del carro a la cen-

8.

tena de dólar más cercana.

5 1.3A6 Suma. a. 3402 8576

b. 2098 2383

a. $21,090

b. $27,270

c. 3099  6547

d. 4563 8603

c. $35,540

d. $26,460

e. 3480 9769

e. $22,990 9.

5 1.3B6 Halla el perímetro de los triángulos. a.

c.

b. 3 pies

3 pies

4 pies

4 pies

5 pies

5 pies

3 pies 1 pie

e.

d.

4 pies

4 pies

5 pies

3 pies

8 pies

10 pies

6 pies

1-103

10.

5 1.4A6 Resta.

Ejercicios de repaso del capítulo 1

11.

5 1.4A6 Resta.

a. 47 18

a. 654 467

b. 36  19

b. 547  458

c. 55 26

c. 952 863

d. 46  37

d. 851  673

e. 93  44

e. 432 246

12. 5 1.4B6 El balance en una cuenta de ahorros es $5403.

13.

Cuánto dinero queda en la cuenta si

5 1.5A6 Multiplica. a. 36 45

a. Se retiran $869

b. 28  49

b. Se retiran $778

c. 47  39

c. Se retiran $989

d. 56  24

d. Se retiran $676

e. 48  92

e. Se retiran $765 14.

16.

5 1.5A6 Multiplica.

15.

5 1.5B6 Multiplica.

a. 123  216

a. 330  234

b. 231  413

b. 220 546

c. 345  654

c. 550  324

d. 231 843

d. 450  124

e. 879  569

e. 490 3 892

5 1.5C6 Una persona tiene un pago mensual de $220. Cuál es la cantidad total de dinero que se le paga, si a. Se requieren 36 pagos b. Se requieren 24 pagos c. Se requieren 48 pagos d. Se requieren 30 pagos

17.

5 1.5D6 Halla el área de una bandeja de bizcocho que mide:

a. 36 pul. por 10 pul. b. 24 pul. por 10 pul. c. 30 pul. por 12 pul. d. 18 pul. por 10 pul. e. 24 pul. por 12 pul.

e. Se requieren 60 pagos 18.

5 1.6A6 Divide (si es posible).

19. 5 1.6A6 Divide (si es posible).

0 a. } 2

2 a. } 0

0 b. } 5

5 b. } 0

0 c. } 12

12 c. } 0

20. 5 1.6A6 Divide. a. 75 5

21. 5 1.6B6 Divide. a. 279 9

b. 84  7

b. 378  9

c. 90  6

c. 824  8

d. 88  8

d. 126  6

e. 68  4

e. 455  7

103

104

Capítulo 1

1-104

Números cardinales

22. 5 1.6B6 Divide. }

23. 51.6C6El salario de una persona es $11,232. Cuánto

recibe la persona en cada periodo de pago si el dinero se paga en

a. 21)967

}

b. 24)1009

a. 9 pagos iguales

}

c. 35)876

b. 12 pagos iguales

}

d. 29)1074

c. 24 pagos iguales

}

e. 51)2450

d. 26 pagos iguales e. 52 pagos iguales

24. 5 1.7A6 Clasifica como números primos o compuestos

25.

(no primos).

a. 40

a. 41

b. 25

b. 26

c. 75

c. 37

d. 128

d. 81

e. 68

e. 2 26.

28.

5 1.7C6 Escribe los números como un producto de números primos.

27.

32.

51.7D6Halla el producto escribiéndolo como un producto de factores.

a. 50

a. 22

b. 34

b. 32

c. 76

c. 53

d. 39

d. 27

e. 81

e. 35

5 1.7D6 Halla los productos escribiéndolos como un

29.

producto de factores.

30.

5 1.7B6 Escribe los factores primos de estos números.

5 1.7D6 Halla los productos escribiéndolos como un producto de factores.

a. 32  53

a. 22  3  80

b. 33  80

b. 52  70  21

c. 32  52  20

c. 33  52  60

d. 50  23  52

d. 52  30  20

e. 42  90  51

e. 50  30  20

5 1.8A6 Simplifica.

31.

5 1.8A6 Simplifica.

a. 7  8  2

a. 30  4  5

b. 6  8  3

b. 31  5  5

c. 5  8  4

c. 32  6  5

d. 4  8  5

d. 33  7  5

e. 3  8  5

e. 34  8  5

5 1.8A6 Simplifica.

33.

5 1.8A6 Simplifica.

a. 48  6  (1  2)

a. 9  3  3  3  3  1

b. 48  8  (2  2)

b. 9  3  3  3  1

c. 48  4  (2  3)

c. 8  2  2  2  2  1

d. 48  3  (2  4)

d. 8  2  2  2  1

e. 48  2  (2  5)

e. 8  4  4  4  1

1-105

34.

5 1.8B6 Simplifica.

Ejercicios de repaso del capítulo 1

35.

a. 20  5  {3  9  [3  (5  2)]} b. 20  5  {4  9  [3  (5  3)]}

105

5 1.8C6 Un mecánico cobra $30 por hora más las piezas para reparar el carro. Si las piezas cuestan $80, halla el costo total para un trabajo que tarda: a. 3 horas.

c. 24  6  {5  9  [3  (5  4)]}

b. 5 horas.

d. 24  4  {6  9  [3  (5  5)]}

c. 2 horas.

e. 24  3  {7  9  [3  (5  1)]}

d. 4 horas. e. 6 horas.

36. 5 1.9A6 Halla la solución. a. x  6  18

38.

40.

42.

44.

37.

5 1.9A6 Halla la solución. a. 10  x  3

b. x  7  18

b. 10  x  4

c. x  8  18

c. 10  x  5

d. x  9  18

d. 10  x  6

e. x  10  18

e. 10  x  7

5 1.9A6 Halla la solución.

39.

5 1.9A6 Halla la solución.

a. 20  4x

a. 28  x  4

b. 20  5x

b. 24  x  4

c. 20  10x

c. 20  x  4

d. 20  20x

d. 16  x  4

e. 20  2x

e. 12  x  4

5 1.9B6 Resuelve.

41.

5 1.9B6 Resuelve.

a. n  10  11

a. 20  m  12

b. n  14  12

b. 20  m  38

c. n  27  13

c. 11  m  14

d. n  48  14

d. 42  m  15

e. n  18  15

e. 49  m  16

5 1.9B6 Resuelve.

43.

5 1.9B6 Resuelve.

a. 33  18  m

a. 3x  36

b. 32  19  m

b. 4x  52

c. 37  19  m

c. 6x  72

d. 39  17  m

d. 7x  63

e. 46  17  m

e. 9x  108

5 1.9B6 Resuelve. a. 10  2x b. 16  4x c. 20  5x d. 36  6x e. 48  8x

45.

5 1.9C6 Un edificio mide 1430 pies de altura. Se puso una antena en el techo. Halla la altura de la antena si el edificio mide ahora: a. 1520 pies de altura. b. 1530 pies de altura. c. 1540 pies de altura. d. 1515 pies de altura. e. 1505 pies de altura.

106

Capítulo 1

1-106

Números cardinales

6Examen del capítulo 1 (respuestas en la página 107) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos útiles que ofrecen soluciones paso a paso para los siguientes problemas.

1. Escribe 348 en forma expandida y halla el valor de 3.

2. Escribe 600  50  2 en la forma expandida.

3. Escribe 76,008 en palabras.

4. Escribe ocho mil quinientos diez en forma estándar.

5. Llena los espacios con o  para que la desigualdad sea verdadera: 18 _____ 13

6. Redondea 3749 a la centena más cercana.

7. El precio de un carro es de $24,795. Redondea $24,795 a la centena más cercana.

8. 501  9786 

9. Halla el perímetro de un triángulo con lados de 24, 18 y 30 pulgadas.

10. 643  465 

11. El balance en una cuenta de ahorros es de $4302. Si se retiran $978, ¿cuánto dinero queda en la cuenta?

12. 420  381 

13. Una persona debe pagar $210 cada mes durante 36 meses. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que paga?

14. Halla el área de un marco rectangular que mide 20 8 pulgadas.

0 15. Divide: a. }9

16. Divide: 328  8

9 b. }0

}

17. Divide: 26) 885

18. El salario anual de una persona es de $15,600. Éste se hace en 12 pagos mensuales iguales. ¿Cuánto recibe la persona cada mes?

19. ¿Es 49 un número primo o compuesto?

20. Escribe los factores primos de 28.

21. Escribe 60 como un producto de números primos.

22. 22  32 

23. 32  5  80 

24. Simplifica 3  22  5.

25. Simplifica 16  4  22  5  1.

26. Simplifica 15  3  {22  3  [2  (3  1)]}.

27. Un mecánico cobra $35 por hora más las piezas para arreglar el carro. Si las piezas cuestan $90 y toma 3 horas hacer el trabajo, ¿cuál es el costo total de la reparación?

28. Resuelve.

29. Resuelve. a. 4x  24

b. 35  7x

a. 10  m  6

b. 30  20  m

30. Un edificio mide 1380 pies de altura. Se puso una antena en el techo, lo que hace que el edificio, junto con la antena, mida 1425 pies de altura. ¿Cuál es la altura de la antena?

Respuestas del examen del capítulo 1

1-107

107

6Respuestas del examen del capítulo 1 Respuesta

Si te equivocaste Pregunta

Revisar Sección

Ejemplos

Página

1. 348  300  40  8; 300

1

1.1

1, 2, 3, 4, 5

3, 4

2. 652

2

1.1

6, 7, 8

4–5

3. setenta y seis mil, ocho

3

1.1

9

6

4. 8510

4

1.1

10, 11

6

5. 

5

1.2

1, 2

14

6. 3700

6

1.2

3, 4

16–17

7. $24,800

7

1.2

5, 6, 7

17–19

8. 10,287

8

1.3

1–7

25–27

9. 72 pul.

9

1.3

11

29

10. 178

10

1.4

1–8

37–42

11. $3324

11

1.4

9, 10

43

12. 160,020

12

1.5

5, 6, 7

52–53

13

1.5

9, 10

54–55

14

1.5

11

56

15

1.6

1, 2

63

16. 41

16

1.6

3, 4, 5

64–66

17. 34 r 1

17

1.6

6

66

18. $1300

18

1.6

7

66–67

19. compuesto

19

1.7

1

72

20

1.7

2

72

21. 2  2  3  5  2  3  5

21

1.7

3, 4

75–76

22. 36

22

1.7

5, 6

77

23. 45

23

1.7

5, 6

77

24. 7

24

1.8

1

82–83

25. 20

25

1.8

2, 3

83

26. 11

26

1.8

4

84

27. $195

27

1.8

5, 6

84–85

13. $7560 14. 160 pul.

2

15. a. 0

b. no definido

20. 2, 7 2

28. a. m16

b. m10

28

1.9

2, 3

90–91

29. a. x6

b. x5

29

1.9

4

91

30

1.9

5

92–93

30. 45 pies

Sección

Capítulo

2.1 2.2

Fracciones y números mixtos

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

2.4 2.5 2.6

El mínimo común múltiplo (MCM)

2.7

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

2.8

2 dos

Fracciones equivalentes: construir y reducir

Suma y resta de fracciones Suma y resta de números mixtos

Ecuaciones y resolución de problemas

6

Fracciones y números mixtos

El lado humano de las matemáticas Como mencionamos en el capítulo 1, el concepto de número cardinal es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de números racionales o fracciones (llamados así porque son razones de números cardinales) se desarrolló mucho después, ya que las tribus sin educación no tenían necesidad de él. Las fracciones evolucionaron durante un largo periodo, estimuladas por la necesidad de ciertos tipos de medidas. Por ejemplo, toma una varilla de 1 unidad de longitud y córtala en dos partes iguales. ¿De qué longitud es cada parte? La mitad, por supuesto. Si la misma varilla se corta en cuatro partes iguales, cada parte será de }14 de la longitud. Dos de estas partes tendrán una longitud de }24, lo que nos dice que }24 = }12 , como lo verás más adelante en este capítulo. Fueron ideas como éstas las que condujeron a desarrollar la aritmética de las fracciones. ¿Cómo se escribían las fracciones? Durante la Edad de Bronce, las inscripciones en los jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de los números cardinales, usando un signo de óvalo alargado. De esta forma, }18 1 y} 20 se escribían así:

y

En este capítulo estudiaremos las operaciones con fracciones que son razones de dos números cardinales y cómo se usan hoy en día.

109

110

Capítulo 2

2-2

Fracciones y números mixtos

2. 1

Fracciones y números mixtos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Comprender los hechos básicos de la aritmética (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62)

A6

Escribir una fracción que corresponda a un diagrama dado.

2. Usar la definición de un número cardinal. (pág. 3)

B6

Clasificar una fracción como propia o impropia.

C6

Escribir una fracción impropia como número mixto.

D6

Escribir un número mixto como fracción impropia.

6 Para comenzar En la historieta, Sally está muy triste con la idea de aprender fracciones. La palabra fracción viene de la palabra latina fractio, que significa “romper” o “dividir”.

PEANUTS reprinted by permission of United Feature Syndicate, Inc. a

E6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

Una fracción es un número (comúnmente escrito como }b , donde a y b son números cardinales y b no es 0) igual al cociente de a dividido entre b. Las fracciones se usan en la vida diaria. Por ejemplo: 1 } 3 7 } 10 3 } 4 3 } 10

de los estadounidenses hacen sus compras en el supermercado de noche. de todas las palomitas de maíz que se consumen se consumen en casa. de todos los tomates de Estados Unidos se cultivan en California. de los chocolates sencillos M&M son de color marrón.

7

3

3

2 } } } Existen infinitas fracciones y algunos ejemplos son }13, } 10, 4, y 10. Mira el símbolo 3 de la taza de medir. El número superior se llama numerador y el inferior, denominador. numerador 2 } denominador 3

El denominador de una fracción nos indica el número de partes iguales en los que se divide un entero y el numerador nos indica cuántas de estas partes se están considerando. Así, }23 nos dice que el entero (la taza) fue dividido en tres partes iguales y que se están usando dos de esas partes.

2-3

2.1

La inflación general (en rojo) es alrededor de }12 de la inflación de los costos universitarios (en verde).

111

Fracciones y números mixtos

A 6 Diagrama de fracciones Para ayudar a comprender las fracciones, podemos representarlas usando un diagrama como el que sigue:

Durante los diez años que terminaron en el 2002, los costos universitarios crecieron mucho más rápido que los costos generales

1 de dos partes está sombreada. Así

1 2

2 de tres partes están sombreadas. Así

está sombreada. 2 3

3 de cuatro partes están sombreadas. Así 5.09%

están sombreadas. 3 4

están sombreadas.

2.52% Inflación general

Inflación en los costos universitarios

Los datos de Inflación general se basan en el índice de precios al consumidor producido por la Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadísticas del Trabajo). Los datos de la inflación en los costos universitarios se basan en el índice del Independent College 500, producido por el Consejo de Exámenes de Admisión Universitarios.

EJEMPLO 1 3 } 5

Uso de diagramas para representar fracciones

1 } 4

Representa y usando un diagrama similar a los que se muestran arriba.

PROBLEMA 1 Representa }25 y }17 en el diagrama de abajo

SOLUCIÓN 3 5 1 4

3 partes sombreadas 5 partes en total 1 parte sombreada
4 partes en total


B 6 Fracciones propias e impropias 3

En el ejemplo 1, las fracciones }5 y }14 son menores que el entero usado. Esas fracciones se llaman fracciones propias.

DEFINICIÓN DE UNA FRACCIÓN PROPIA

Una fracción propia es aquella en que el numerador es menor que el denominador. 3

5

7

99

7 5

14 } } } } } Así, }5, } 16, 32, y 100 son fracciones propias. Por otra parte, algunas fracciones como 7, 1, ó 7 son iguales o mayores que un entero. Esas fracciones se llaman fracciones impropias.

DEFINICIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA

Una fracción impropia es aquella en que el numerador es igual o mayor que el denominador. 5 5 3 5

17

5

3

} } Así, }5, }2, }3, }1, y } 2 son fracciones impropias. Nota que 5 y 3 tienen el valor 1. En general,

Respuestas a los PROBLEMAS 1.

112

Capítulo 2

2-4

Fracciones y números mixtos

ESCRIBIR 1 COMO UNA FRACCIÓN

n } n 5 1 para cualquier número natural n Þ 0 5

3

49

Por otra parte, }1 5 5, }1 5 3, y } 1 5 49. En general,

ESCRIBIR n COMO UNA FRACCIÓN

n } 5 n para cualquier número cardinal n 1

ESCRIBIR CERO COMO UNA FRACCIÓN

0 } n 5 0 para cualquier número natural n Þ 0 ¡Precaución! }0n es no definido.

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Clasificar fracciones Clasifica las siguientes fracciones como propias o impropias. 8 15 17 0 8 c. } a. } b. } d. } e. } 5 16 8 8 1

SOLUCIÓN 15

a. 15 es menor que 16. Así } 16 es una fracción propia (el numerador es menor que el denominador).

Clasificar las siguientes fracciones como propias o impropias. 6 3 19 a. } b. } c. } 6 19 3 0 7 } } d. 3 e. 1

17

b. 17 es mayor que 5. Así } 5 es una fracción impropia. 8

c. 8 es igual a 8. Así }8 es una fracción impropia. 0

d. 0 es menor que 8. Así }8 es una fracción propia. 8

e. 8 es mayor que 1. Así }1 es una fracción impropia.

C 6 Convertir fracciones impropias a números mixtos 17

En el ejemplo 2 mencionamos que } 5 es una fracción impropia. Esta fracción también se puede escribir como un número mixto. Un número mixto es un número que representa la suma de un número entero y una fracción propia.

DEFINICIÓN DE UN NÚMERO MIXTO

Para escribir una fracción impropia como número mixto divide el numerador entre el denominador, obteniendo la parte entera del número mixto. Para la parte fraccionaria del número mixto usa el residuo como numerador y como denominador el mismo de la fracción original. He aquí una gráfica que ilustra el procedimiento. 17: Nota. Esta es la gráfica para } 5 Divide el numerador (17) entre el denominador (5) 2? ¿Ves que este es 3 1 } 5

Fracción impropia

La respuesta (3) es la parte del número entero del número mixto.

17 5 17 4 5 5 3 H} 5

con el residuo como numerador

El residuo es el numerador de la parte fraccionaria.

residuo 2 2 5 3} 5

J

número mixto

parte entera del número mixto mismo denominador de la fracción original Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. Impropia b. Propia c. Impropia d. Propia e. Impropia

(Nota que 3}25 5 3 1 }25, la suma de un número entero y una fracción propia). De igual forma, 5 3 2 8 } 5 1} y } 5 1}. (ver página 161). 5 3 3 5

2-5

2.1

EJEMPLO 3

Fracciones y números mixtos

113

PROBLEMA 3

Escribir fracciones impropias y números mixtos Escribe como números mixtos. 47 23 b. } a. } 5 6

Escribe como números mixtos. 26 a. } 5

47 b. } 6

SOLUCIÓN a. b.

23 } 6 47 } 5

23

5

} 5 3 con un residuo de 5. Así, } 6 5 36. 47

2 } 5 9 con un residuo de 2. Así, } 5 5 95.

D 6 Números mixtos como fracciones impropias También podemos reescribir un número mixto como una fracción impropia. Por ejem1 1 } plo, para escribir 3} 4 como una fracción impropia pensamos en 34 como una suma, 12 donde el 3 se expresa como } 4 , como se ve en el diagrama. 13 1 } 1 } 3} 453145 4





^

Esta es una forma corta de ese procedimiento (trabaja en el sentido de las agujas del reloj, empezando por el denominador.): 1 3} 4

5 mismo denominador

13 } 4

1. Multiplica el denominador (4) por la parte entera del número mixto (3). 2. Suma el numerador de la parte fraccionaria (1). Esta suma es el nuevo numerador. 3. El denominador es el mismo.

Este es el procedimiento para escribir un número mixto como una fracción impropia: 1. Multiplica el denominador por la parte de número entero y suma el numerador. 2. Usa el número obtenido en el paso 1 como el numerador de la fracción impropia. 3. Usa el mismo denominador.

EJEMPLO 4

Escribir números mixtos como fracciones impropias. Escribe como una fracción impropia. 2 1 a. 6} b. 3} 7 9

SOLUCIÓN 7 3 6 1 2 44 2 } 5} a. 6} 7 7 7=

Respuestas a los PROBLEMAS 5 1 3. a. 5} 5 b. 7} 6 58 23 } 4. a. } 4 b. 7

9 3 3 1 1 28 1 } b. 3} 5} 9 9 95

PROBLEMA 4 Escribe como una fracción impropia. 3 2 a. 5} b. 8} 7 4

114

Capítulo 2

2-6

Fracciones y números mixtos

E 6 Aplicaciones con escritura de fracciones Imagina que quieres saber qué fracción de una libra (16 onzas) hay en una lata de 5 onzas. Si la lata contiene 5 onzas y la 5 libra entera son 16 onzas, la respuesta es } 16. Igualmente, una 7 semana (7 días) es } 31 del mes de enero (que tiene 31 días), y el fin de semana (2 días) es }27 de una semana. Nota que en todas estas fracciones el numerador y el denominador se expresan en el mismo tipo de unidad.

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

a. 4 días

Encuentra qué fracción de un mes (30 días) representa cada una las cifras.

Encontrar fracciones de una semana Encuentra qué fracción de la semana (7 días) representa cada una de las cifras. b. 7 días

c. 14 días

SOLUCIÓN a. 4 días 5 }47 de semana 14 c. 14 días 5 } 7 , ó 2, semanas

a. Una semana

7

b. 7 días 5 }7, ó 1, semana

b. 30 días

c. 60 días

¿Qué tipo de aceite utilizas para cocinar? Aquí están los contenidos de grasa de nueve aceites diferentes. Grasas saturadas

Grasas poliinsaturadas

Grasas monoinsaturadas

Aceite de canola

Tipos de aceites

Aceite de alazor o cártamo Aceite de maíz Aceite de oliva Aceite de soya Aceite de maní Manteca de cerdo Grasa de la leche Aceite de coco 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Porciento Fuente: Universidad Estatal de Carolina del Norte.

¿Qué aceite tiene la mayor cantidad de grasa monoinsaturada? ¿Qué fracción aproximada del aceite es monoinsaturada? Dado que las grasas monoinsaturadas están en 7 azul, el aceite con mayor grasa monoinsaturada es el de oliva, que tiene alrededor de } 10 de grasa monoinsaturada. ¿Por qué? La barra representa que el aceite de oliva mide alrededor de10 unidades de longitud, de las cuales 7 están en azul, lo que representa las grasas monoinsaturadas; así Aceite de oliva

7 } 10

Respuestas a los PROBLEMAS 30 60 7 } } 5. a. } 30 b. 30 5 1 c. 30 5 2

7 unidades monoinsaturadas (azul) 10 unidades totales de longitud

2-7

2.1

EJEMPLO 6

Fracciones y números mixtos

Buscando grasas saturadas En relación con la gráfica anterior.

PROBLEMA 6

a. ¿Qué aceite tiene la mayor cantidad de grasas saturadas? b. ¿Qué fracción aproximada de grasas saturadas tiene este aceite?

a. ¿Qué aceite tiene la mayor cantidad de grasas poliinsaturadas?

SOLUCIÓN

b. ¿Qué fracción aproximada de grasas poliinsaturadas hay en este aceite?

115

En relación con la gráfica.

a. El aceite de coco tiene la mayor cantidad de grasas saturadas. b. Alrededor de 9 de las 10 unidades de la barra del aceite de coco están en verde. 9 Así } 10 del aceite de coco son grasas saturadas.

Muchas aplicaciones de las fracciones se relacionan con la idea de proporción. La razón es un cociente de dos números.

PROPORCIÓN

a La razón entre a y b se escribe como la fracción } b (b Þ 0). 19

22 } Por ejemplo, la proporción entre hombres y mujeres en tu salón puede ser } 21 ó 31.

EJEMPLO 7

Razón entre precio y ganancia de la acción La proporción entre precio y ganancia (P/G) de una acción es el precio de la acción dividido entre la ganancia por cada una de las cuotas de capital. Si el precio de la acción es $30 y su ganancia por cuota es $3, ¿cuál es la proporción entre P/G?

SOLUCIÓN

PROBLEMA 7 ¿Cuál es la proporción P/G de la acción cuyo precio es $28 y sus ganancias son de $4 por cuota?

30

La relación P/G es } 3 5 10

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Diagrama de fracciones En los problemas 1 al 10, ¿qué parte de cada objeto está sombreada?

1.

3.

5.

6.

1 yarda

ir a

2.

6Web IT

6Ejercicios 2.1

> Self-Tests > e-Professors > Videos

1 yarda

7.

8.

9.

10. 1 cuarto de galón

www.mathzone.com

4.

para más lecciones

Respuestas a PROBLEMAS 8 6. a. alazor b. } 10 28 7. } 4 57

Capítulo 2

2-8

Fracciones y números mixtos

En los problemas 11 al 20, ¿qué fracción de cada billete de dólar es verde (no está decolorado)? 11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

116

5B6 9 21. } 61 9 26. } 47

5C6

Fracciones propias e impropias En los problemas 21 al 30, clasifica las fracciones como propias o impropias. 61 22. } 9 8 27. } 16

4 23. } 17 14 28. } 1

17 24. } 4 3 29. } 100

8 25. } 41 100 30. } 10

Convertir fracciones impropias a números mixtos En los problemas 31 al 40, escribe las fracciones como números

mixtos. 31 31. } 10

46 32. } 5

8 33. } 7

59 34. } 8

29 35. } 8

19 36. } 2

69 37. } 9

83 38. } 3

101 39. } 10

97 40. } 3

2-9

2.1

Números mixtos como fracciones impropias En los problemas 41 al 50, escribe los números mixtos como fracciones impropias. 1 43. 4} 10

3 44. 5} 11

2 45. 1} 11

2 46. 3} 13

3 47. 8} 10

2 48. 7} 11

1 49. 2} 6

7 50. 9} 8

Aplicaciones con escritura de fracciones 52. Fracción de una hora tos) son 45 minutos?

53. Fracción de una libra Una bolsa de cereales pesa 7 onzas, ¿Qué fracción de una libra (16 onzas) es eso?

54. Fracciones de pizza Una pizza se partió en 8 partes iguales; se comieron 5 partes.

¿Qué fracción de una hora (60 minu-

a. ¿Qué fracción de la pizza se comió? b. ¿Qué fracción de la pizza queda? 55. Horas trabajadas como fracciones Una mujer trabajó 5 horas. Si su día de trabajo es de 8 horas, ¿qué fracción del día trabajó?

56. Fracción de lectura Sam Smart tiene que leer 41 páginas. Ya leyó 31. ¿Qué fracción de la lectura terminó?

57. Ingreso de los contribuyentes Recientemente, el IRS recolectó 51 centavos de cada dólar (100 centavos) de los contribuyentes individuales. ¿Qué fracción proviene de los contribuyentes individuales?

58. Ingreso de los contribuyentes Recientemente, el IRS recolectó 7 centavos por cada dólar (100 centavos) de ingreso de contribuyentes corporativos. ¿Qué fracción de ingresos provino de los contribuyentes corporativos?

59. Minutos en un comercial Un televidente realizó la siguiente tabla para mostrar la duración en segundos de varios comerciales:

60. En Poenix llovió 3 días de un total de 31. ¿Qué fracción de los 31 días es eso?

Completa la tabla llenando con el número en minutos que duró 30 cada comercial. Por ejemplo, el comercial de champú duró } 60 ó }12 minuto.

Duración de comerciales Comercial

Segundos

Minutos 30 } 60

Champú

30

Comida para perros

60

a.

Crema dental

90

b.

Jabón

45

c.

Cereal

15

d.

ó

1

}2

La información que sigue se usará en los problemas 61 al 65. Simplifica tus respuestas. Sobrepoblación en el hogar ¿Tu casa está sobrepoblada? En una encuesta reciente, se descubrió que de cada 98 hogares de Estados Unidos: 25 son de una sola persona. 33 son de dos personas. 16 son de tres personas. 15 son de cuatro personas. 6 son de cinco personas. 2 son de seis personas. 1 es de siete personas o más.

61. ¿Qué fracción de los hogares son de una sola persona? 62. ¿Qué fracción de los hogares son de tres personas? 63. ¿Qué fracción de los hogares son de cinco personas? 64. ¿Qué fracción de los hogares son de cinco o más personas? 65. ¿Qué fracción de los hogares son de seis o más personas? Fuente: U.S. Census Bureau.

para más lecciones

51. Tiempo de dormir Una persona duerme 7 horas. ¿Qué fracción del día (24 horas) duerme?

www.mathzone.com

1 42. 6} 9

ir a

1 41. 5} 7

5E6

117

6Web IT

5D6

Fracciones y números mixtos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

118

Capítulo 2

2-10

Fracciones y números mixtos

La siguiente información se usará en los problemas 66 al 70. Viajes al exterior ¿Irás de viaje próximamente? En una encuesta reciente se descubrió que de cada 99 estadounidenses que viajan al exterior, el destino fue:

66. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Alemania? 67. ¿Qué fracción de los viajeros fue a México? 68. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Italia?

1. 2. 3. 4. 5.

México Canadá Reino Unido Francia Alemania

37 30 8 6 5

6. 7. 8. 9. 10.

Italia Japón España Países Bajos Suiza

5 2 2 2 2

69. ¿Qué fracción de los viajeros fue a España? 70. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Suiza?

Fuente: Infoplease.

71. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el historial de pagos?

Puntajes FICO Cuando se solicita un crédito —tanto de tarjetas de crédito, préstamos para comprar carro o una hipoteca—, los prestamistas quieren saber qué riesgo toman al prestar dinero. La puntuación FICO son los índices de crédito que usa la mayoría de los prestamistas para determinar el riesgo del mismo. ¿En qué se basa esa puntuación? ¡Mira las cinco categorías de la gráfica circular!

Historial de pagos 35/100

72. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en las sumas que se adeudan? 73. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en la duración de su historial de crédito?

74. Duración del historial de crédito 15/100 75. Crédito nuevo 10/100 76. Tipos de crédito usados 10/100

¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el crédito nuevo? ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el tipo de créditos usados? ¿Cuál de las categorías es la más importante para la puntuación?

Sumas adeudadas 30/100 Fuente: http://www.myfico.com

666Usa tus conocimientos En llos problemas bl 77 all 80, iindica di qué ffracción i dde gasolina li ddell tanque ffue usada d y qué ffracción i queda d en ell tanque, cuando: d 77. La señal de la gasolina está en 1 78. La señal de la gasolina está en 2 79. La señal de la gasolina está en 3 80. La señal de la gasolina está en 4

‚ ƒ „ …

¿Cómo sabes cuántas millas por galón recorre tu carro? Miras la proporción de millas recorridas por los galones usados. 200 Así, si tu carro recorre 200 millas con 10 galones de gasolina, significa que recorre } 10  20 millas por galón (mpg). 81. Tu carro recorre 180 millas con 10 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón recorre tu carro?

82. Haces un viaje desde Tampa a Miami, 260 millas. Si usaste 13 galones de gasolina, ¿cuántas millas por galón recorre tu carro?

83. Hiciste un viaje desde Santa Rosa hasta Eureka, una distancia de 210 millas. Usas 10 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón recorrió tu carro?

84. Sabes que puedes hacer un viaje desde Los Ángeles a Long Beach, una distancia de 23 millas, con un galón de gasolina. ¿Cuántas millas por galón recorre tu carro?

2-11

2.1

Fracciones y números mixtos

119

85. Tu carro recorre 25 mpg. Tu tanque de gasolina tiene una capacidad de 14 galones. ¿Qué distancia puedes recorrer con el tanque de gasolina lleno?

86. Quieres viajar desde Los Ángeles hasta Lone Pine, una distancia de 220 millas. Tu carro recorre 20 mpg. ¿Cuántos galones de gasolina necesitas?

87. La distancia de Monterrey a Los Ángeles es alrededor de 340 millas. Tu carro recorre aproximadamente 20 millas por galón y la capacidad del tanque es de 14 galones de gasolina. ¿Puedes hacer el viaje con un solo tanque de gasolina lleno? Explica tu respuesta.

88. Quieres viajar desde Eureka hasta San Francisco, una distancia de 260 millas. Si tu carro recorre 20 mpg y usas exactamente un tanque de gasolina, ¿Cuál es la capacidad de tu tanque?

89. Tu carro recorre 20 mpg. Quieres viajar desde Las Vegas hasta Ely, una distancia de 240 millas. ¿Cuál es la capacidad del tanque más pequeño que te permitiría hacer el viaje a Ely?

90. Tu tanque de gasolina tiene una capacidad de 14 galones. Si quieres ir a San José desde Eureka, una distancia de 322 millas, ¿cuál es el mínimo de mpg que puede recorrer tu carro para que llegues a tu destino utilizando un tanque de ggasolina lleno?

666¡Escribe! 91. Escribe con tus palabras por qué }n0 es no definido. ¿Puede ser n 5 0? Explica.

0

92. Escribe con tus palabras por qué }n 5 0. ¿Puede ser n 5 0?

93. Escribe con tus palabras por qué }n1 5 n. ¿Puede ser n 5 0?

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con la/las l /l palabra/s, l b / frases f o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / a

.

n

suma

a } b

.

numerador

denominador

menor b } a diferencia

0

94. En la fracción }b la a es el 95. En la fracción la b es el

96. Una fracción propia es la fracción en la que el numerador es que el denominador. 97. Una fracción impropia es la fracción en la que el numerador es igual o que el denominador. 98.

0 } n

=

n } 0

99. es

para todo n diferente de cero.

bien

mayor a } b no definida

para todo n. de un número entero

100. Un número mixto es un número que representa la y una fracción propia. 101. La razón entre a y b (b Þ 0) se escribe como una fracción

.

666Prueba de dominio 102. Si el precio de una acción es de $48 y sus ganancias son de $12 por cuota, ¿cuál es la proporción precio/ganancias (P/G) de la acción?

103. ¿Qué fracción de un año son 5 meses?

104. Escribe 7}23 como una fracción impropia.

105. Escribe } 3 como un número mixto.

25

17

17

106. ¿} 18 es una fracción propia o impropia?

107. ¿} 17 es una fracción propia o impropia?

108. Representa }25 dibujando y sombreando una gráfica.

666Comprobación de destrezas Escribe como un producto de números primos usando exponentes. 109. 36

110. 90

111. 28

112. 72

113. 180

114. 200

120

Capítulo 2

2-12

Fracciones y números mixtos

2. 2

Fracciones equivalentes: construir y reducir

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Distinguir el significado de los símbolos  y . (pág. 14)

A6

2. Escribir un número compuesto como un producto de números primos. (págs. 73–76)

Escribir una fracción equivalente a una dada, con numerador y denominador específicos.

B6

Reducir una fracción.

C6

Resolver aplicaciones relacionadas con los conceptos estudiados.

6 Para comenzar

La foto de arriba ilustra que medio (dólar) es equivalente a dos pesetas. En símbolos, lo escribimos 2 1 } } 254 Cuando dos fracciones representan numerales o nombres del mismo número, se dice que las fracciones son equivalentes. 3 El siguiente diagrama muestra que }12, }24, }6, y }48 son fracciones equivalentes.         3

Entonces, }12 5 }24 5 }6 5 }48 y sucesivamente.

A 6 Fracciones equivalentes FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si representan numerales o nombres para el mismo número. Es decir, que ambas fracciones tienen el mismo valor.

La fracción }12 es equivalente a muchas otras fracciones. Siempre podemos obtener fracciones equivalentes para cualquier fracción dada multiplicando el numerador y el denominador de la fracción original por el mismo número diferente de 0. En símbolos,

2-13

2.2

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES

Fracciones equivalentes: construir y reducir

121

Si a, b, y c representan cualquier número, entonces

y

a a?c }5} b b?c

(b Þ 0 y c Þ 0)

a a4c }5} b b4c

(b Þ 0 y c Þ 0)

Esta propiedad significa que se puede multiplicar o dividir el numerador y el denominador a?c a de la fracción }b por el mismo número c, diferente de 0 y obtener la fracción equivalente b ? c a4c o b 4 c. De hecho, es lo mismo que multiplicar (o dividir) la fracción entre 1. Por ejemplo, 1 } 2 132 } } 35332 5 6 3 1 } 133 } } 35333 5 9 4 134 1 } } } 3 5 3 3 4 5 12 3

3

4 } Entonces, }13 5 }26 5 }9 5 } 12. ¿Podemos encontrar una fracción equivalente a 5 con un denominador 20? Para hacer esto tenemos que resolver este problema: ? 3 5 se multiplica por 4 para } } 5 obtener 20. (Recuerda 5 20

que 20 ÷ 5 = 4)

Multiplicamos por 4 Para obtener una fracción equivalente, también multiplica el numerador 3 por 4.

Multiplicar por 4

3 } 5

12 } 20

5

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Encontrar fracciones equivalentes Halla las fracciones equivalentes. 3 6 2 }? } a. } b. } 359 85?

Encuentra las fracciones equivalentes. 5 20 ? 2 } a. } b. } 75} 28 65 ?

SOLUCIÓN a. El denominador, 3, se debe multiplicar por 3 para obtener un nuevo denominador de 9. Entonces, multiplicamos el numerador, 2, por 3. He aquí la gráfica. 23356 2 } 3

5 33359

? } Así, 9

2 } 3

5

6 } 9

33359 (continúa)

Respuestas a los PROBLEMAS 8 5 20 2 } } 1. a. } 75} 28 b. 6 5 24

122

Capítulo 2

2-14

Fracciones y números mixtos

b. El numerador, 3, se debe multiplicar por 2 para obtener el nuevo numerador 6. Entonces, debemos multiplicar el denominador, 8, por 2 (ver gráfica). 33256 3 } 8

5

33256 6 } Así, ?

3 } 8

6 } 16

5 8 3 2 5 16

Ahora, aquí hay un problema un poco diferente. ¿Podemos encontrar una fracción 15 equivalente a } 20 con un denominador de 4? Para hacerlo debemos resolver este problema: 15 } 20

5

? } 4

20 se divide entre 5 para obtener 4

Dividimos entre 5 Divide entre 5

15 } 20

EJEMPLO 2

5

15 se divide entre 5 para obtener 3

3 } 4

PROBLEMA 2

Encontrar fracciones equivalentes Encuentra las fracciones equivalentes. 18 ? 20 4 } } a. } b. } 24 5 8 30 5 ?

Encuentra las fracciones equivalentes. ? 42 } a. } 54 5 18

SOLUCIÓN

6 3 } b. } 20 5 ?

18 4 3 5 6 18 a. } 24

5

? } Así, 8

18 } 24

5

24 4 3 5 8

24 4 3 5 8

20 4 5 5 4

20 4 5 5 4

20 b. } 30

5

4 } ? Así,

20 } 30

5

6 } 8

4 } 6

30 4 5 5 6

B6Simplificar o reducir fracciones Esta regla se puede usar para simplificar o reducir fracciones a su mínima expresión:

REDUCIR A LA MÍNIMA EXPRESIÓN

Respuestas a los PROBLEMAS 42 } 14 2. a. } 54 5 18

6 3 } b. } 20 5 10

Una fracción está reducida a su mínima expresión (simplificada) cuando no hay factores comunes (excepto 1) en el numerador y el denominador.

2-15

2.2

Fracciones equivalentes: construir y reducir

123

140

Por ejemplo, para reducir } 154 a su mínima expresión, procedemos en estos pasos: Dividir 140 entre 2. Dividir 70 entre 2. Dividir 35 entre 5. Dividir 7 entre 7.

2 140 2 70 5 35 7 7 1

140 5 2 3 2 3 5 3 7

2 154 7 77 11 11 1

Dividir 154 entre 2. Dividir 77 entre 7. Dividir 11 entre 11.

154 5 2 3 7 3 11

140 2 3 2 3 5 3 7 } 5 }} 154 2 3 7 3 11

1

Paso 2. Escribe otra vez la fracción usando el numerador y el denominador factorizados.

1

140 2 3 2 3 5 3 7 2 3 5 } 5 }} 5 } 154 2 3 7 3 11 11 1

Paso 1. Escribe el numerador y el denominador como un producto de primos.

Paso 3. Divide el numerador y el denominador por los factores comunes (2 y 7).

1

10 5} 11

La división de 2 por 2 y de 7 por 7 está indicada tachando el 2 y el 7 y escribiendo el cociente 1. Nota que dividimos numerador y denominador por 27514, que es el máximo común divisor (MCD) de 140 y 154. De esta forma, 140 140 4 14 10 }5}5} 154 154 4 14 11 140

A veces, la reducción de } 154 se muestra así: 10 20

140 } 154

Divide primero entre 7.

Luego, entre 2.

22 11 10

El resultado es } 11. Este método ahorra tiempo. ¡Úsalo! 60

De la misma forma, para reducir } 105 a su mínima expresión, procedemos como antes. 1

1

2323335 4 60 } 5 }} 5 } 7 105 33537 1

1

Dividimos numerador y denominador por 3 3 5 5 15, el máximo común divisor (MCD) de 60 y de 105.

o, en su versión simplificada 4 20

60 } 105

primero dividimos entre 3

y después, entre 5.

35 7

EJEMPLO 3 Simplificar fracciones Reduce (simplifica) cada fracción 15 36 a. } b. } 105 90

PROBLEMA 3 Reduce (simplifica). 70 16 b. } a. } 80 155

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 14 1 3. a. } 5 b. } 31

124

Capítulo 2

SOLUCIÓN

1

1

1

335 1 15 a. } 7 335375} 105 5 } 1

2-16

Fracciones y números mixtos

5

15 ó } 105

1

7

dividir primero entre 3 y después entre 5.

35

Nota que dividimos 3 entre 3, y 5 entre 5, obteniendo una respuesta de 1, que aparece en el numerador y denominador de la fracción. También se puede resolver el problema dividiendo el numerador y el denominador entre 15, el máximo común divisor de 15 y 105, obteniendo 15 15 4 15 1 }5}5} 105 105 4 15 7 2 1

1

1

36 2 3 2 3 3 3 3 2 }} } b. } 90 5 2 3 3 3 3 3 5 5 5 1

1

6 18

1

ó

36 90 45 15

Dividir primero entre 2,

luego por 3

y entre 3 nuevamente.

5

El máximo común divisor de 36 y de 90 es 2 3 3 3 3 5 18. También se puede resolver el problema dividiendo el numerador y el denominador por 18, así: 36 36 4 18 2 }5}5} 90 90 4 18 5

C 6 Aplicaciones de fracciones reducidas EJEMPLO 4

Origen de la regla de los 24 segundos para lanzar la pelota ¿Piensas que el baloncesto profesional es aburrido? Danny Biasone (el dueño de los Syracuse Nationals) pensaba que este deporte era aburrido. Biasone pensó que era necesario un reloj que obligue a los jugadores a lanzar la pelota a intervalos regulares y así dar velocidad al juego. Pero, ¿cuántos segundos deberían permitirse entre lanzamientos? Aquí está el razonamiento: En un partido se juegan 48 minutos 48 3 60 5 2880 segundos. En un juego promedio se hacen unos 60 lanzamientos por equipo, o 60 3 2 5 120 2880 lanzamientos en total. De esta forma, Biasone pensó que deben tomarse } 120 2880 } segundos por lanzamiento. Reduce 120 .

SOLUCIÓN Primero notamos que 2880 y 120 terminan en 0, es decir, ambos 288 3 10 288 } tienen un factor de 10. Escribimos } 12 3 10 5 12 . Si notas, 288 es divisible exactamente entre 12 con resultado 24. De otra forma, escribe 288 y 12 como productos de números primos, y cancela los factores iguales en el numerador y el denominador. 2 288 2 12 2 144 2 6 1 1 1 2323232323333 2 72 3 3 }}} 5 24 23233 2 36 1 1 1 1 2 18 3 9 3 3 1 ¡Esa es la forma como fue inventada la regla de los 24 segundos! Respuestas a los PROBLEMAS 7 4. } 3

PROBLEMA 4 280

Reduce } 120.

2-17

2.2

Fracciones equivalentes: construir y reducir

125

6Puente algebraico En álgebra, las fracciones se pueden reducir como en aritmética. Para hacer esto, debes recordar qué significa un expo6x2 nente. Así, x25x  x, x3x  x x, x4x  x  x  x, y así sucesivamente. Para reducir } 3 , escribe 6 y 9 como productos 9x de números primos y usa el significado de los exponentes para reducir x2 y x3. He aquí el procedimiento: 1

1

1

6x2 2?3?x?x 2 }3 5 }} 5 } 3 ? 3 ? x ? x ? x 3x 9x 1

1

1

Rincón de la calculadora Algunas calculadoras están diseñadas para trabajar con fracciones. Si tienes una calculadora así y quieres encontrar 12 x/y una fracción equivalente a } 30 con un denominador de 10, la calculadora tiene una tecla comúnmente marcada 15 x/y 20 y luego presiona escribe 15 y ordena a la que permite reducir fracciones. Para simplificar (reducir) } 20 calculadora que simplifique el resultado presionando SIMP . La calculadora solicitará el factor con el que quieres dividir el numerador y el denominador. Debes saber que quieres dividir el numerador y el denominador por 5, entonces digitas , y aparecerá la respuesta, que es 3/4. Para reducir 1230 a su mínima expresión, escribe 12 x/y 30 y SIMP . 5y La calculadora pregunta: ¿FACTOR? Escribe el 6 y presiona y obtendrás la respuesta de 25. Aquí estás dividiendo el numerador y el denominador de 1230 por 6.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Fracciones equivalentes Encuentra el número que falta en los problemas 1 al 16.

?

1

9. 4}2 5 } 16 4 8 13. } 5 }? 24

5B6

?

10. 5} 5} 10 90 12 4 } 14. } 18 5 ?

Reducir fracciones

?

1

7. 1}3 5 }9 12 }? 11. } 15 5 5 21 }? 15. } 56 5 8

En los problemas 17 al 30, reduce las fracciones a su mínima expresión.

15 18. } 12 21 23. } 28 180 28. } 160

13 19. } 52 18 24. } 24 231 29. } 1001

?

8. 2}5 5 } 15 ? 14 } 12. } 42 5 6 36 ? } 16. } 180 5 5

27 20. } 54 22 25. } 33 91 30. } 455

56 21. } 24 100 26. } 25

para más lecciones

28 17. } 30 56 22. } 21 45 27. } 210

2

7 ? } 4. } 9 5 27

www.mathzone.com

1

5 1 } 3. } 65?

1 }4 2. } 85? ? 7 } 6. } 12 5 60

ir a

? 35} 1. } 5 50 27 35} 5. } ? 5

6Web IT

6Ejercicios 2.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

para más lecciones

Capítulo 2

5C6

Aplicaciones de fracciones reducidas

Fracciones y números mixtos

31. Impuestos personales. Recientemente, 46 centavos de cada dólar (100 centavos) de recaudación provenían de impuestos personales. ¿A qué fracción (reducida) de la recaudación corresponde?

32. Impuestos corporativos. Recientemente, 8 centavos de cada dólar (100 centavos) de recaudación provenían de impuestos corporativos. ¿A qué fracción (reducida) de la recaudación corresponde?

33. Defensa. El presupuesto de defensa de Estados Unidos proyectado para el 2008 es de $460 billones de dólares. El presupuesto total proyectado es de $2760 billones de dólares. ¿Qué fracción (reducida) del presupuesto total se va a gastar en defensa? Fuente: La Casa Blanca.

34. Temperatura. En Alabama, alrededor de 20 días por año (365 días) las temperaturas son de menos de 32 grados Fahrenheit. ¿A qué fracción (reducida) de los días equivale?

35. Temperatura. En West Virginia 100 días del año (365 días), tienen temperaturas de menos de 32 grados Fahrenheit. ¿A qué fracción (reducida) de los días equivale?

36. Uso de agua. Una encuesta reciente determinó que el hogar promedio usa 80 galones de agua por día. Si se llena la bañera, se usan 36 galones. ¿Qué fracción (reducida) del agua que se usa por día equivale a 36 galones? Source: Centro para la Innovación en Ingeniería y Ciencia de la Educación.

37. Cartas. Un juego estándar de barajas contiene 52 cartas. ¿Qué fracción (reducida) de la baraja es cada uno de los siguientes?

38. Béisbol. Un jugador de béisbol logró 210 hits de 630 veces que tuvo el bate. ¿Qué fracción (reducida) de las veces logró el golpe?

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

2-18

126

a. Rojo (26 cartas son rojas). b. Corazones (13 cartas son corazones). c. Reyes (4 cartas son reyes). 3

39. Recetas. Una receta dice que se debe usar }5 de una taza de azúcar. Otra dice }12 taza. ¿Qué receta usa más azúcar? (Ver página 147).

40. Desperdicios. Recientemente, alrededor de 10,000 toneladas de material de desperdicios se lanzaron al océano. De ellas 4500 toneladas eran de aguas negras. a. ¿Qué fracción (reducida) de los desperdicios eran aguas residuales? b. En el año siguiente, }15 de los materiales de desperdicio lanzados al océano eran aguas negras. Proporcionalmente, ¿en que año se arrojaron más aguas negras? (Ver página 147).

La siguiente información se va a usar en los problemas 41al 44. Estudio sobre tareas del hogar. La Escuela de Ecología Humana del Estado de Nueva York, de la Universidad de Cornell, realizó un estudio sobre las tareas del hogar. El estudió encontró que un ama de casa promedio emplea 8 horas por día en tareas del hogar. ¿Y el esposo? ¡Él emplea sólo 96 minutos por día! Aquí está lo que hace el esposo en sus 96 minutos de tareas: Limpieza Trabajo en la cocina Ocuparse de la familia Compras y papeleo

36 minutos 12 minutos 24 minutos 24 minutos

41. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en compras y papeleo? 42. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en limpieza? 43. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en trabajar en la cocina? 44. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en ocuparse de la familia?

La siguiente información se va a usar en los problemas 45 al 47. Big Mac

Un Big Mac pesa 200 gramos y provee

25 gramos de proteína. 40 gramos de carbohidratos. 35 gramos de grasa.

45. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac es proteína? 46. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac son carbohidratos? 47. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac es grasa?

2-19

2.2

Fracciones equivalentes: construir y reducir

127

Dos tajadas de una pizza de queso de Domino’s pesan 140 gramos y proveen:

48. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas es proteína?

Grasas totales (g).

Grasas saturadas (g).

Grasas trans (g).

Colesterol (mg).

Fibras alimenticias (g).

Azúcares (g).

Proteínas (g).

1.5

0

50 1020 54

4

16

25

Sándwich de pollo asado c/ salsa de mostaza y miel (Burger King).

258 450

90

10

2

0

75 1210 53

4

9

37

Carbohidratos (g).

Calorías de grasa.

5.0

Sodio (mg).

Calorías.

45

Porción. (g).

258 350

Información nutricional. El cuadro muestra la información nutricional de un sándwich de pollo Bourbon de Subway y de un sándwich de pollo asado con salsa de mostaza y miel de Burger King. Cada uno de ellos pesa 258 gramos. 51. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son grasas totales en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King. 53. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son carbohidratos en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King. 55. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son azúcares en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King.

52. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son grasas trans en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King. 54. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son fibras alimenticias en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King. 56. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son proteínas en cada uno de los sándwiches? a. Sándwich de Subway. b. Sándwich de Burger King.

666Usa tus conocimientos U razón Una ó no es sólo ól una fracción f ió sino i también bié una forma f de comparar dos o más cantidades. Por ejemplo, si en un grupo de 10 personas hay 3 mujeres y 7 hombres, la razón de mujeres con respecto a los hombres es número de mujeres número de hombres

3 7

}

Por otra parte, si hay 6 mujeres y 4 hombres en el grupo, la proporción reducida de hombres con respecto a las mujeres es 4 6

2 3

}5}

número de hombres número de mujeres

Otra forma de escribir esta razón es “2 de 3”.

57. 57 U Una clase l estáá compuesta por 25 niñas iñ y 30 niños. iñ Encuentra E la razón reducida de niñas con respecto a niños. 58. Analistas de mercado consideran la razón de precio/ganancia (P/G) cuando compran o venden acciones. Si el precio de cierta acción es de $20 y sus ganancias son de $5, ¿cuál es la razón de P/G de la acción?

para más lecciones

6" Pollo Bourbon (Subway).

www.mathzone.com

50. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas es grasa?

ir a

49. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas son carbohidratos?

18 gramos de proteína. 52 gramos de carbohidratos. 6 gramos de grasa.

6Web IT

La siguiente información se va a usar en los problemas 48 al 50.

128

Capítulo 2

2-20

Fracciones y números mixtos

a. Encuentra la razón de maestros y estudiantes en una escuela con 200 maestros y 5600 alumnos.

59. ¿Sabes qué razón de alumnos y maestros había en tu escuela? Por ejemplo, si en tu escuela había 5000 alumnos y 250 maestros, la razón de maestros con respecto a los alumnos es

1 b. Si una escuela desea mantener una razón de } 20 y hay registrados 8000 alumnos, puedes encontrar cuantos maestros se necesitan escribiendo:

250 1 } } 5000 5 20

(maestros que necesitas) (alumnos registrados)

?

1

Razón que deseas } 5} 20 8000

Esto significa que por cada profesor hay 20 alumnos.

¿Cuántos maestros necesitas?

666¡Escribe! 60. Escribe con tus palabras el significado de las reglas fundamentales de las fracciones.

61. ¿Qué significa cuando decimos que dos fracciones son equivalentes? Da ejemplos de fracciones equivalentes.

62. ¿Qué significa cuando decimos que una fracción se reduce a su mínima expresión? Da ejemplos de fracciones que no estén reducidas a su mínima expresión y el procedimiento que debes usar para reducirlas.

63. ¿Hay alguna diferencia entre “simplificar” y “reducir a la mínima expresión? Explica.

64. Escribe el procedimiento que usas para hallar el máximo común divisor (MCD) de dos números.

666Puente algebraico Reduce a su mínima expresión. 8x3 6x

6x3 8x

16x5 32x

12x4 18x

66. }2

65. }2

67. }3

68. }7

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 69. Dos fracciones son número.

si representan numerales o nombres para el mismo

suma simplificada

70. La regla fundamental de las fracciones afirma que para cualquier número a, b y c a distinto de 0, }b 5 .

producto

71. Una fracción es cuando no hay factores comunes (excepto 1) en el numerador y el denominador.

equivalentes

a?c } b?c b?c } a?c

72. Para comparar dos fracciones con diferentes denominadores, escribe las dos fracciones con un denominador igual al de las originales dadas.

666Prueba de dominio 3

?

73. Encuentra la fracción equivalente a }5  } . 25 9

4

24

54

6

. 74. Encuentra la fracción equivalente a }9  } ?

?

75. Encuentra la fracción equivalente a } } . 75 25

76. Encuentra la fracción equivalente a }  }? . 90

20

54

. 77. Reduce } 115

. 78. Reduce } 90

666Comprobación de destrezas Escribe E ib como una ffracción ió iimpropia. i 3

80. 6}7

2

83. 10} 13

79. 3}8 82. 9} 11

5

9

81. 7} 10 2

1

84. 11}5

2-21

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

2 .3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

Escribir un problema de multiplicación como un problema de división (1.6). (págs. 62–63)

A6

Multiplicar dos fracciones.

B6

Multiplicar un número mixto por una fracción y viceversa.

C6

Encontrar el cuadrado o cubo de una fracción o de un número mixto.

D6

Dividir una fracción por otra.

E6

Dividir una fracción por un número mixto.

F6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

G6

Hallar áreas usando la multiplicación de fracciones.

129

6 Para comenzar La foto muestra 3 tazas, cada una contiene }14 de taza de azúcar. ¿Cuánto azúcar contienen todas juntas? Para hallar la respuesta debes multiplicar 3 por }14, eso es, debemos encontrar 1 3?} 4 1 } Tenemos 3 tazas con 4 de azúcar cada una, lo que hace }34 de taza de azúcar. Así, para hallar la respuesta, multiplicamos 3 por }14 y obtenemos 3 1 } 3?} 454 Podemos mostrar la idea gráficamente así:

3 .
^





La gráfica también sugiere que la multiplicación es la repetición de sumas; eso es 3 3 }14 5 }14 1 }14 1 }14. De igual manera, si una receta usa }13 de taza de harina y queremos hacer sólo }12 de la receta, debemos encontrar }12 de }13 (que significa }12 3 }13 porque “de” se traduce como “veces”), eso es, }12 ? }13. Aquí hay una gráfica para ayudarte a hacerlo. 1

1 3

1 3

1 3

1 2

Cada rectángulo en la gráfica representa 1 3

1 } 1 } 1 } 2?356

de

1 3

ó

1 6

130

Capítulo 2

2-22

Fracciones y números mixtos

A 6 Multiplicar fracciones

Nota que también podemos hallar el producto de }12 y }13 así: 1 } 1 1 1?1 } } } 2?3 52?356 De la misma forma, 6 2?3 2 3 } } 5?} 755?75} 35 y, 6 3 3 2 3?2 }?} } } } 2 5 5 2 ? 5 5 10 5 5 6

3

2 } } Nota que simplificamos la respuesta } 10, que obtuvimos cuando multiplicamos 2 ? 5. En general, para multiplicar dos fracciones entre sí, multiplicamos sus numeradores y sus denominadores.

REGLA PARA MULTIPLICAR FRACCIONES El producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones dadas y cuyo denominador es el producto de sus denominadores. En símbolos, a c a?c }?}5} b d b?d

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Multiplicar fracciones

Multiplica. 3 2 } a. } 7 ? 11

Multiplica.

3 2 b. } 5?} 3

2 4 a. } 5?} 7 3 2 } b. } 4?3

SOLUCIÓN 2?3 6 3 2 } } a. } 7 ? 11 5 } 7 ? 11 5 77

3 2 3?2 6 2 } } } b. } 5?} 3 5 5 ? 3 5 15 5 5

Cuando se multiplican fracciones se ahorra tiempo si simplificamos la operación, eliminando los factores comunes del numerador y del denominador antes de multiplicar. Así, 9 para multiplicar }13 por } 10, escribimos 3

3 9 1 } } } 3 ? 10 5 10 1

En lugar de escribir 9 1?9 9 3?3 3 1 } } } } } } 3 ? 10 5 3 ? 10 5 30 5 3 ? 10 5 10 sólo dividimos numerador y denominador por el factor común 3 antes de multiplicar.

Respuestas a los PROBLEMAS 8 1 } 1. a. } 35 b. 2

2-23

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

131

B 6 Multiplicación con números mixtos Para multiplicar por un número mixto, escribe primero el número mixto como una fracción, ya que nuestra regla para multiplicar dice solamente cómo multiplicar fracciones. Ilustramos esto en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2 Multiplicar números mixtos por fracciones Aquí hay una receta para preparar hamburgers. Queremos reducirla a la mitad (usar la mitad de cada ingrediente). a. Halla la cantidad de carne moli,da que se necesita. b. Encuentra la cantidad de carne molida de ternera que se necesita. c. Halla la cantidad de cebolla que se necesita. d. Encuentra la cantidad de sal que se necesita. e. Halla la cantidad de sal de ajo que se necesita. f. Encuentra la cantidad de pimienta que se necesita.

Hamburger

a. Necesitamos }12 ? 1}12 libras de carne molida. Primero 3 escribimos 1}12 como }2, y luego multiplicamos.

1}12 libra de carne molida.

a. Carne molida ________

1 libra de carne de ternera molida.

c. Cebolla ________

1 } 4

de taza de cebollas picadas.

e. Sal de ajo ________ f. Pimienta ________

1 } 3

1

e. Esta vez necesitamos }12 ? }12 de cucharadita de sal de ajo. 1 1 } 1?1 } 1 } } 2?252?254 Necesitamos }14 de cucharadita de sal de ajo. f. Finalmente, necesitamos }12 ? }13 de cucharadita de pimienta. 1 } 1 } 1?1 } 1 } 2?352?356 Entonces necesitamos }16 de cucharadita de pimienta.

Respuestas a los PROBLEMAS

e. de cucharadita.

d. Sal ________

cucharadita de sal de ajo.

2 1 1 } } } 2?252?151 Necesitamos 1 cucharadita de sal.

1 } 6

b. Carne de ternera molida ________

1 } 2

de cucharadita de pimienta. 3 1?3 3 1 1 1 } ? 1} 5 } ? } 5 } 5 } libra de carne molida. 2 2 2 2 2?2 4 b. Necesitamos }12 libra de carne de ternera molida. 1 1 } } 2?152 Entonces necesitamos }12 libra de carne de ternera molida. Recuerda, cualquier número multiplicado por 1 es igual al número original. c. Aquí necesitamos }12 ? }14 de taza de cebolla. 1 } 1 1 } 1?1 } } 2?452?458 Entonces necesitamos }18 de taza de cebolla picada. d. Ahora necesitamos }12 ? 2 cucharaditas de sal. Para multiplicar por un número entero como 2, escribe el número entero como una fracción con denominador 1, es decir, }21. Luego multiplica.

1 c. } 12 de taza

1

Queremos hacer }3 de las hamburgers. Encuentra las cantidades necesarias de cada uno de los ingredientes.

2 cucharaditas de sal.

SOLUCIÓN

2. a. }12 libra.

PROBLEMA 2

b. }13 de libra. d. }23 de cucharadita. f. }19 de cucharadita.

Si multiplicas una fracción por 1, obtienes la misma fracción.

132

Capítulo 2

2-24

Fracciones y números mixtos

¿Qué aprendimos del ejemplo 2?

REGLA PARA MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO MIXTO 1. Para multiplicar una fracción por un número mixto, primero se debe convertir el número mixto en una fracción. Así, Convertir a fracción

22 2 } 44 1 2 } 3} 7} 55 7 } 5 5 35 2. Cualquier fracción multiplicada por 1 es la misma fracción. Así, 3 3 } 1 5 } 19 19 3. Para multiplicar una fracción por un número entero (como 5), se debe escribir el número como una fracción con un denominador 1. De esta manera, escribe 5 5 como }1 y multiplica como se muestra. 1 5 3 3 3 } } } 5} 10 5 1  10 5 2 2 5 55} 1

¿Cómo se multiplican más de dos fracciones? ¡Mira el ejemplo 3!

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Multiplicar números mixtos por fracciones

3 1 } 4 } Halla 3} 4 ? 3 ? 13.

3 5 1 } } Encuentra 2} 3 ? 5 ? 7.

SOLUCIÓN

7

Primero escribimos 2}13 como }3, y procedemos como se muestra: Recuerda que 1 1 1 2?311 57 15 } 7 3 5 2 } } }?} } 3 3 3 3 5?751 1 1 1

La respuesta es 1.

C 6 Exponentes y fracciones ¿Recuerdas qué significa 32? 32  3  3  9 ¿Qué pasa con S}23 D ? 2

S}32 D significa elevar }32 a la segunda potencia. S}23 D 5 }32  }32 5 }49 8 2 a la tercera potencia. Aquí elevamos } S}23 D 5 }32  }32  }23 5 } 3 27 2

3

Usamos estas ideas en el ejemplo 4.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 1

2

2-25

2.3

EJEMPLO 4

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

PROBLEMA 4

Elevar una fracción o un número mixto a una potencia

Evalúa. 3 3 a. } 4

S D

S D

1 b. 1} 5

2

133

Evalúa. 2 3 a. } 5

S D S D

S D 1 b. S1} 4D 2 1 } c. S} 3 D ? S24 D

3 2 1 } c. } 4 ? 13

2

SOLUCIÓN

S D

3 3 27 3 3 3 } } } } a. } 4 5 4 ? 4 ? 4 5 64

2

6

b. Primero escribimos 1}15 como }5. Así, 6 2 6 6 36 1 2 } 1} 5 5 5 5} 5?} 55} 25

S D S D

1 1 3 2 3 3 4 3 1 } } } } } c. } 4 ? 13 5 4 ? 4 ? 3 5 4 1 1

S D S D

D 6 División de fracciones ¡Ahora estamos listos para hacer divisiones!

Henry Serrano, Tampa, Florida

¡En la historieta se dice que 5 se va a dividir en 2 si se le empuja! Esto significa que 2  5 no es un número natural, sino una fracción. Así, Multiplica 2 2  5  } 5

 2 

1 } 5

El divisor está invertido. Nota que para dividir 2 entre 5 multiplicamos 2 por }15, donde la fracción }15 se obtiene de 5 invertir 5  }1 para obtener }15. (En matemáticas, 5 y }15 se llaman recíprocos del otro.) Aquí está la regla que necesitamos:

REGLA PARA HALLAR EL RECÍPROCO DE UNA FRACCIÓN a

Para encontrar el recíproco de }b, se debe invertir la fracción (intercambiar el b a b numerador y el denominador) para obtener }a. Esto significa que }b y }a son recíprocos, con a y b diferentes de cero.

Repuestas a los PROBLEMAS 8 25 } 4. a. } 125 b. 16 c. 1

134

Capítulo 2

2-26

Fracciones y números mixtos

3

5

Así, el recíproco de 5 es }15, el recíproco de }23 es }2, y el recíproco de }4 es }45. Ahora tratemos 5 de resolver el problema 5 4 }7. Si intentamos hacerlo de la misma manera que el proble5 ma anterior, debemos multiplicar 5 por el recíproco de }7, es decir, Multiplica 5  } 7

5

7  5  } 5 Invierte

5

7

5

7

5

Como 5  }1, 5  }5  }1  }5  7. Así, 5  }7  7. Para comprobar la respuesta, recordamos que cualquier problema de división se puede escribir como un equivalente de un proble1 ma de multiplicación. Así, el problema 12  4  Hpuede escribir 12  } 4  H. De la misma forma, 5 5 5} 7  H significa 5  } 7 H 5

¿Qué número podemos poner en el espacio para que 5  7}  H? La respuesta es 7, ya que 5 } 7  7  5.Podemos tener una regla simple para dividir fracciones:

REGLA PARA DIVIDIR FRACCIONES: INVERTIR EL DIVISOR a

c

c

Para dividir }b por }d, se debe invertir el divisor }d y multiplicar. invertir

a c a d En símbolos, } 4 } 5 } ? }c . b d b Nota: también puedes decir esta regla así: a

c

a

c

Para dividir }b por }d, multiplica }b por el recíproco de }d. Por ejemplo: Multiplicar 7

3 4 } 5

5

7 } 1

?

5 } 3

5

35 } 3

Invertir Precaución Para dividir por una fracción, invertimos solamente el divisor y luego multiplicamos. Recuerda que invertir significa cambiar el numerador y el denominador. Así, in3 5 6 vertir }5 da }3, invertir }16 da }1,  6, e invertir 2 da }12. Aquí hay algunos ejemplos más: 3 5 3 7 21 }4} } } } 4 7 5 4 ? 5 5 20 Comprueba 3 5 21 }4} } 4 7 5 20 porque

1 3 3 5 21 }5} } 4 7 ? 20 1 4

invertir

5 5 7 7 5 }4} } } } 11 7 5 11 ? 5 5 11

2-27

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

135

Comprueba 1 5 5 7 } } porque } 11 5 7 ? 11 1

5 7 5 }4} } 11 7 5 11

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

Dividir por una fracción y por un número entero

Divide. 3 2 a. } 54} 7

Divide. 5 3 a. } 74} 8

4 b. } 945

3 b. } 447

SOLUCIÓN Invierte

3 2 3 7 21 } a. } 54} 75} 5?} 2 5 10

4 4 } 1 } 4 } b. } 9 4 5 5 9 ? 5 5 45

E 6 División con números mixtos Como en el caso de las multiplicaciones, si hay números mixtos se deben cambiar a fracciones impropias primero, así: Cambia 1 2} 4

4

3 } 5 5

9 } 4 4

3 } 5 5

3 9 } 4

5 ? } 3 5 1

15 } 4

Invierte

EJEMPLO 6

Divisiones cuando hay números mixtos

Divide. 7 1 } a. 3} 448

PROBLEMA 6 Divide.

1 11 } b. } 12 4 73

3 1 } a. 5} 244 6 1 b. } 7 4 3} 7

SOLUCIÓN 2 7 13 7 13 8 26 1 } } } } } } a. 3} 4485 4 485 4 ?75 7 1 1 1 3 1 22 11 1 11 11 } } } } } } b. } 12 4 73 5 12 4 3 5 12 ? 22 5 8 4 2

F 6 Aplicaciones con multiplicación y división de fracciones

Si estás considerando comprar una casa, necesitas saber de cuánto puedes disponer. El Boletín # 182 de Casas y Jardines (Departamento de Agricultura de Estados Unidos) sugiere que una familia no debe gastar más de 2}12 veces sus ingresos anuales totales en comprar una casa. Respuestas a los PROBLEMAS 40 3 3 22 } } } 5. a. } 21 b. 28 6. a. 3 b. 11

136

Capítulo 2

2-28

Fracciones y números mixtos

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

SOLUCIÓN

Una familia tiene ingresos anuales totales de $41,000. ¿De cuánto pueden disponer para pagar una casa?

Comprar una casa Suponiendo que tu familia tiene un total de $24,000 en ingresos anuales. ¿Qué cantidad podrían disponer para pagar una casa?

ó

1 2} 2 veces 24,000 12,000 5 5 24,000 } ? 24,000 5 } ? } 5 60,000 1 2 2 /

Entonces, tu familia puede comprar una casa de $60,000.

EJEMPLO 8

Capacidad de una botella 6 La botella 2 en 1 contiene 130 gramos de gel. Si usas 1}15 5 }5 de gramo cada vez que te lavas los dientes, ¿Cuántas veces puedes lavarte los dientes con los 130 gramos de la botella?

PROBLEMA 8 ¿Cuántas cepilladas es posible hacer si usas 1}25 gramos cada vez?

Como tienes 130 gramos de gel y usas 1}15 gramos por aplicación, deberías ser capaz de cepillarte 130 4 1}15 veces. Ahora, 6 5 650 1 } 130 4 1}15 5 130 4 }5 5 130 ? }6 5 } 6 5 1083 o alrededor de 108 cepilladas.

SOLUCIÓN

G 6 Aplicaciones: hallar el área Como recordarás de la sección 1.5

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

El área A de un rectángulo se halla multiplicando su largo l por su ancho a.

A5l?a Aplica esta fórmula en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Hallar el área de una habitación Una habitación mide 3}13 yardas por 5}23 yardas. ¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra se necesitan si quisieras cubrir todo el piso? 10

17

170

8

2 } } } El área del piso es: 3}13 ? 5}23 5 } 3 ? 3 5 9 5 189 yd o, casi 19 yd . Se necesitan alrededor de 19 yardas cuadradas de alfombra para cubrir todo el piso.

SOLUCIÓN 2

Respuestas a los PROBLEMAS 6

8. Alrededor de 93 (92}7)

7. $102,500 9.

5 24}9

2

yardas .

PROBLEMA 9 Halla el área de una habitación que mide 4}13 yardas por 5}23 yardas.

2-29

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

137

Rincón de la calculadora Puedes multiplicar y dividir fracciones con una calculadora científica. La dificultad es que la respuesta será en decimales. 3 5 5 5 8 . La pantalla mostrará 0.375, que es la respuesta correcta Así, para multiplicar }5 3 }8 digita 3 pero en forma decimal. Con una calculadora de fracciones con la tecla xYy escribes 3 xYy 5 . El resultado 5 xYy 8 lo presenta como 15/40. ¡Pero la respuesta no está en su forma reducida! Para hacer esto, presiona SIMP . La calculadora pregunta: ¿FACTOR? El máximo común divisor aquí es 5, entonces pone 5 y presiona . Muestra la respuesta de 3/8. También puedes hacer multiplicaciones con números mixtos si sabes cómo deben digitarse. Para hacerlo escribe primero la parte entera del número y luego, la parte fraccionaria. Así, para escribir 3}54, escribe 3 UNIT 4 xYy 5. Si ahora decides multiplicar por 2, sólo digitas 2 . Si quieres que el resultado de 3 8/5 aparezca como un número 3 mixto, presiona AB/C y obtienes 7U3/5, lo que significa 7}5.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Multiplicar fracciones En los problemas 1 al 14, multiplica (reduce las respuestas a su mínima expresión).

2 1 } 18. } 15 ? 22 1 23. 5} 6?12

1 } 1 19. 2} 3 ? 42 1 24. 3} 3 ?6

2

1 4 3 2} 30. a. } 233 5 1 3 3 2} b. } 334 8 5 6 2 34. } 12 ? } 5

S D

S D S D

1 2 28. 1} 4 7 4 2? } 32. } 5 8

S D

3 36. } 5

1 2 27. 2} 2 3 2 2?} 31. } 4 3

2 35. } 3

3

S D S D S D

3

División de fracciones En los problemas 37 al 48, divide (reduce las respuestas a su mínima expresión).

2 37. 5 4 } 3 2 } 6 41. } 37 5 24} 45. } 3 12

3 38. 7} 5 9 3 } 42. } 510 3 1 } 46. } 2 4

4 39. } 56 8 4 } 43. } 515 3 3 } 47. } 44

3 40. } 49 9 3 } 44. } 714 9 3 } 48. } 105

División con números mixtos En los problemas 49 al 60, divide (reduce las respuestas a su mínima expresión).

1 31} 49. } 2 5 1 1 } 53. 6} 222 1 1 } 57. 3} 838

5 1 } 50. } 8 33 5 7 } 54. 1} 828 1 1 } 58. 10} 223

3 3 } 51. 3} 4 8 1 1 } 55. 3} 813 3 2 } 59. 1} 3134

1 3 52. 1} 5 } 5 1 1 } 56. 2} 264 7 7 } 60. 4} 10410

para más lecciones

4 26. } 5

S D

5E6

9 1 } 17. } 4 ? 39 2 22. 5 ? 1} 5

1 } 4 16. 2} 4?7 1 21. 3? 4} 3

S D

2

3 8 1 } } 29. a. } 4 3935 5 6 7 } } b. } 12 3 7 3 5 14 ? } 3 2 33. } 27 7

5D6

5 2?} 5. } 5 3 7 6 } 10. } 3?7

Exponentes y fracciones En los problemas 25 al 36, multiplica.

S D

1 25. } 3

5 4 } 4. } 9?5 3 5?} 9. } 6 5 8 21 } 14. } 2 ?7

Multiplicación con números mixtos En los problemas 15 al 24, multiplica (reduce las respuestas a su mínima expresión).

6 2 } 15. 1} 3?5 3 1 20. 2} 5 ? 2} 7

5C6

6 1 } 3. } 6?7 3 8. } 4?7 14 6 13. } ? } 7 3

www.mathzone.com

5B6

7 2 } 2. } 3?3 2 7. 3 ? } 5 2 21 12. } 7?} 8

ir a

7 3?} 1. } 4 8 6 7 6. } 5?} 6 7 15 } 11. } ? 5 14

6Web IT

6Ejercicios 2.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

138

Capítulo 2

5 F 65 G6

2-30

Fracciones y números mixtos

Aplicaciones con multiplicación y división de fracciones

61. Área de pasto Una granja tiene un área de }23 de millas cua3 dradas y }7 de la tierra es para pastura. ¿Qué área de la granja en millas cuadradas es para pasto?

62. Receta de albóndigas Una receta para hacer albóndigas para 100 personas usa 75 libras de carne. Charlie Chef hizo }23 de la receta a. ¿Cuántas libras de carne usó? b. ¿Para cuántas personas aproximadamente serán receta?

2 } 3

de la

63. Número de asistentes Rosa invitó 90 personas a una fiesta y fueron }45 ¿Cuántas personas fueron a la fiesta?

64. Flotar en el espacio El teniente coronel Aleksey Arkhipovich Leonov fue la primera persona en salir de un satélite artificial 3 durante la órbita. Estuvo en el espacio durante 20 minutos y }5 partes de ese tiempo “flotó” atado a una línea. ¿Por cuánto tiempo flotó en el espacio?

65. Lluvia en Prince George En Prince George llueve o neva un 8 promedio de } 15 de los días de noviembre. ¿Cuántos días llueve o neva?

66. Peso del Rover Lunar en la Luna El peso de un objeto en la Luna es }16 de su peso en la Tierra. ¿Cuánto pesa el Rover Lunar en la Luna si en la Tierra pesa 450 libras?

67. Penetración de un destornillador En cada vuelta, un destor3 nillador entra } 16 de pulgada en la 1madera. ¿Cuántas vueltas se necesitan para hacerlo penetrar 1}2 pulgadas?

68. Papel tapiz Una hoja de papel tapiz cubre 4}12 pies de la pared. 3 ¿Cuántos pliegos se necesitan para cubrir 24}4 pies de pared?

69. Hacer chalecos Pete tiene 10}12 yardas de tela. ¿Cuántos 5 chalecos puede hacer si cada uno lleva }8 yardas de tela?

70. Comprar acciones Una acción se vende por $3}12. ¿Cuántas se pueden comprar con $98?

71. Conversión de unidades Una vara equivale a 16}12 pies. ¿Cuántos pies son 40 varas?

72. Conversión de unidades Muchas carreras de caballos son de 7 furlongs (201.2 m). Si 40 varas son un furlong:

73. Conversión de unidades En el Antiguo Testamento, hay una unidad de medida llamada omer. Un omer son 2}15 litros. ¿Cuántos litros hay en 5 omers? 74. Conversión de unidades En el Antiguo Testamento hay una unidad de peso llamada shekel. Un shekel son 11}25 gramos. ¿Cuántos gramos hay en 10 shekels?

a. ¿Cuántas varas hay en 7 furlongs? b. Si una vara son 16}12 pies, ¿cuántos pies hay en un furlong? c. ¿Cuántos pies hay en una carrera de 7 furlongs? 75. Conversión de unidades Un galón de gasolina pesa 6}15 libras. 3 Si el contenido de tu tanque de gasolina pesa 80}5 libras, ¿cuántos galones de gasolina contiene el tanque?

La siguiente información se usará en los problemas 76 al 80, ¿Cuántas aplicaciones hay en cada tubo o dispensador de Aquafresh? Al aplicar 1 a 1.2 gramos de crema dental por cepillada (los números son aproximados).

Crema dental Se muestra el número de aplicaciones (cepilladas) en cada tubo o dispensador de Aquafresh. Encuentra los gramos de crema dental por cepillada. 76. 90 cepilladas en el dispensador de 120 gramos 77. 160 cepilladas en el dispensador de 180 gramos

DISPENSADORES

TUBOS

90 cepilladas 4.3 oz 4.6 oz 110 cepilladas 6.0 oz 140 cepilladas 6.4 oz 160 cepilladas 1.4 oz 2.7 oz 4.3 oz 4.6 oz 6.0 oz 6.4 oz 7.6 oz 8.2 oz

37 73 100 120 150 170 200 220

cepilladas cepilladas cepilladas cepilladas cepilladas cepilladas cepilladas cepilladas

78. 37 cepilladas en el tubo de 40 gramos 79. 120 cepilladas en el tubo de 130 gramos 80. 220 cepilladas en el tubo de 230 gramos

2-31

2.3

Multiplicación y división de fracciones y números mixtos

139

83. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Chicago, una distancia de 4}23 pulgadas en el mapa.

84. Si la distancia aproximada entre dos ciudades es de 108 millas, ¿cuál es la distancia en el mapa?

85. Si la distancia aproximada entre Indianápolis y Detroit es de 240 millas, ¿cuál es la distancia en el mapa?

86. Si la distancia aproximada entre Indianápolis y Cleveland es de 279 millas, ¿cuál es la distancia en el mapa?

Área

En los problemas 87 al 91, halla el área del sobre. 3

3

88. El sobre de tamaño A-7 mide 5}14 por 7}14 pulgadas.

89. El tamaño comercial 10 mide 4}18 por 9}12 pulgadas.

90. Un sobre postal del correo de Estados Unidos mide 5 por 3}12 pulgadas.

91. La medida máxima internacional de un sobre es de 9}14 por 4}23 pulgadas.

92. Área El ancho de una pantalla es de 13}25 pulgadas y la altura es de 9}12 pulgadas. ¿Cuál es el área?

93. Área El ancho de una pantalla es de 10}12 pulgadas y la altura es de 12}45 pulgadas. ¿Cuál es el área?

94. Área Las dimensiones del 1 1 } organizador Palm® son 3} 10 por 42 pulgadas. ¿Cuál es el área?

3

95. Área El área de una habitación es de 15}4 yardas cuadradas. Si la habitación es de 3}12 yardas de ancho, ¿Cuánto mide de largo?

666Usa tus conocimientos

Con licencia de John L. Hart FLP, y los Creators Syndicate, Inc.

96. Área Un trabajo de remodelación usa 65}12 yardas cuadradas de alfombra. ¿Cuántos trabajos de remodelación podrías hacer con 655 yardas cuadradas de alfombra?

para más lecciones

87. El tamaño A-2 mide 4}8 por 5}4 pulgadas.

www.mathzone.com

82. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Terre Haute, una distancia de 2}14 pulgadas en el mapa.

ir a

81. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Cincinnati, una distancia de 2 }23 pulgadas en el mapa.

6Web IT

Escalas de un mapa La escala de cierto mapa es 1 pulgada 5 36 millas. Si la distancia desde Indianápolis a Daytona en el 9 mapa es de 2 }14 pulgadas, la distancia aproximada es 36 3 2}14 5 36 3 }4 5 81 millas.

140

Capítulo 2

2-32

Fracciones y números mixtos

Modelo a escala Un dibujo a escala o un modelo a escala se usa para representar un objeto que es demasiado grande o demasiado pequeño para poder dibujarlo en su tamaño verdadero. Las fotos de los diccionarios muestran cosas a escala. Por ejemplo, la foto de un pájaro puede ser de 1}14 pulgadas de largo. En realidad el pájaro es 3}12 veces mas largo. Así, el pájaro mide realmente 5 35 5 4} 3 1 1 73} 3} 2 3 1} 45} 2 45} 8 pulgadas de largo 8 97. Heliografías Un proyecto de paisaje muestra un colchón de flores de 6}12 pulgadas de ancho. Si la escala del proyecto es 1 pulgada 5 4 pies, ¿cuál es el ancho del colchón de flores?

98. Heliografías Un conjunto de dibujos de un edificio de 3 oficinas muestra una sala de conferencias de 7}4 pulgadas de largo. Si la escala es 1 pulgada 5 6 pies, ¿Cuál es el largo real de la sala de conferencias?

99. Modelo a escala Una ilustración de una abeja mide 4}12 centímetros de largo. Si la escala es 1 cm 5 }14 cm, ¿cuál es el tamaño de la abeja?

100. La foto de un pájaro en un diccionario mide 1}12 pulgadas de largo. El pájaro en realidad mide 4}12 veces más. ¿Cuánto mide el pájaro?

101. Un azulejo es ilustrado con una longitud de 1}14 pulgadas. Su longitud es 2}12 veces el tamaño de la ilustración. ¿Cuál es la longitud real del pájaro?

666¡Escribe! 102. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar dos fracciones.

103. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar una fracción por 1.

104. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar un número entero por una fracción.

105. Escribe el procedimiento que usas para dividir una fracción por otra fracción.

106. Escribe el procedimiento que usas para dividir una fracción por un número entero distinto a 0.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. a?b } c?d

a ? }c 5 107. } b d

a?d } b?c

a 4 }c 5 108. } b d

a?c } b?d

666Prueba de dominio 3 2 110. Multiplica: } 5?} 3 3 3 112. Halla: } 4 3 2 114. Divide: } 54} 3 8 2 116. Divide: } 5 4 2} 3

Marinada:

S D

1Y4 taza de vinagre balsámico 1Y4 taza de salsa de soya 1Y4 taza de aceite de oliva 3 dientes de ajo picado 109. Arriba está la receta para cuatro porciones de salsa para marinar que usa Bello Burguers. Imagina que quieres servir a ocho personas en vez de a cuatro. ¿Cuánto vinagre balsámico necesitas para la receta actualizada? Fuente: About.com

3 111. Multiplica: 5 ? } 4

S D S D

3 2 1 } 113. Halla: } 4 ? 12 3 2 115. Divide: 1} 54} 5

117. Halla el área de una habitación que mide 3}13 por 4}23 yardas.

666Comprobación de destrezas Escribir como el producto de números primos usando exponentes. 118. 84

119. 128

120. 72

121. 180

122. 105

123. 900

2-33

2.4

2 .4

El mínimo común múltiplo (MCM)

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

Hallar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números.

B6

Hallar el mínimo común denominador (MCD) de dos fracciones y escribir los equivalentes, usando el MCD como denominador.

C6

Comparar dos fracciones.

141

El mínimo común múltiplo (MCM)

1. Escribir un número como un producto de números primos usando exponentes. (págs. 73–76) 2. Escribir una fracción equivalente con un numerador o denominador específico. (págs. 120–122)

6 Para comenzar Alineación de los planetas

Fuente: http://www.space.com

El 5 de mayo de 2000 y el 6 de mayo de 2002, hubo una alineación inusual de Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, como se muestra a la izquierda. Sus órbitas se muestran a la derecha. ¿Cuándo se configurará esta inusual alineación otra vez? Los astrónomos dicen que en los años 2040, 2060 y 2100. Estudiaremos las técnicas que verifican esto, pero por ahora, concentrémonos en Júpiter y Saturno. ¿Cuándo se alinearán otra vez? Júpiter tarda 12 años en dar una vuelta alrededor del Sol, y Saturno, ¡30 años! Miremos el tiempo (en años) que tarda cada planeta en dar la vuelta al Sol en 1, 2, 3, 4 y 5 órbitas.

Júpiter Saturno

1 órbita

2 órbitas

3 órbitas

4 órbitas

5 órbitas

12 30

24 60

36 90

48 120

60 150

Como puedes ver, después de 60 años Júpiter habrá dado 5 órbitas y Saturno 2, lo que significa que ¡tomarán 60 años para que Júpiter y Saturno se alineen otra vez! El número 60 es el mínimo común múltiplo (MCM) de 12 y 30.

142

Capítulo 2

2-34

Fracciones y números mixtos

A 6 Hallar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos números naturales es el número más pequeño que es múltiplo de los dos números. Para encontrar el MCM de dos números, haz una lista de los múltiplos de cada número, compáralas y encuentra el primer múltiplo que aparece en ambas: ese número es el MCM de esos dos números.

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Hallar el MCM de dos números Encuentra el MCM de 8 y 12.

Encuentra el MCM de 6 y 8.

SOLUCIÓN Escribe los múltiplos de 8 y 12 y selecciona el primer múltiplo que aparece en ambas listas. Múltiplos de 8

8

16

24

32

40

Múltiplos de 12

12

24

36

48

60

Como el primer múltiplo que aparece en ambas listas es el 24, el MCM de 8 y 12 es 24.

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Hallar el MCM de dos números Encuentra el MCM de 6 y 10.

Encuentra el MCM de 10 y 12.

SOLUCIÓN Múltiplos de 6

6

12

18

24

30

36

Múltiplos de 10

10

20

30

40

50

60

Como el primer múltiplo que aparece en ambas listas es el 30, el MCM de 6 y 10 es 30. Puedes ahorrar algún tiempo cuando buscas el MCM de dos números si seleccionas el número mayor de los dos y haces la lista de sus múltiplos hasta que llegas a un número que es múltiplo del menor. Así, cuando buscas el MCM de 6 y 10, selecciona el 10 (el mayor de 6 y 10) y haces la lista de los múltiplos de 10 hasta que llegues a un múltiplo de 6 (el menor). Los múltiplos de 10 son 10, 20, 30 (¡Para!). Como 30 es múltiplo de 6, el MCM de 6 y 10 es 30 como antes.

EJEMPLO 3

Hallar el MCM de dos números Encuentra el MCM de 9 y 12.

PROBLEMA 3 Encuentra el MCM de 18 y 12.

SOLUCIÓN Usando nuestro atajo, haz la lista de los múltiplos de 12 (el mayor de los dos números) hasta encontrar un múltiplo de 9. Múltiplos de 12

12

24

36 (¡Para!)

Como 36 es un múltiplo de 9, el MCM de 9 y 12 es 36.

El atajo que usamos nos puede ahorrar aún más tiempo cuando el mayor de los dos números es ya un múltiplo del menor. Por ejemplo, si estás buscando el MCM de 7 y 21 y sigues el procedimiento, haces la lista de los múltiplos de 21, el número mayor, y tan pronto lo haces te das cuenta de que el primer múltiplo de la lista, el 21, es también un múltiplo de 7. Así, el MCM de 7 y 21 es 21. De la misma forma, el MCM de 10 y 30 es 30 y el MCM de 11 y 55 es 55. Esto es porque 30 es múltiplo de 10 y 55 es múltiplo de 11.

Repuestas a los PROBLEMAS 1. 24

2. 60

3. 36

2-35

2.4

EJEMPLO 4

143

PROBLEMA 4

Hallar el MCM de dos números Halla el MCM de 15 y 45.

SOLUCIÓN

El mínimo común múltiplo (MCM)

Encuentra el MCM de 13 y 39.

Dado que 45 es un múltiplo de 15, el MCM de 15 y 45 es 45.

B 6 Escribir fracciones equivalentes con el mínimo común denominador (MCD)

La gráfica muestra los gastos aproximados en una universidad pública. El mayor gasto 3 es en comida, que es } 10 del total. El siguiente gasto es matrícula, 1/4 del total. ¿En cuánto es mayor el gasto de comida a la matrícula? No podemos decirlo exactamente ahora, porque el entero no está dividido en partes iguales. Eso es, partes que son comunes al entero. Si dividimos el entero en 20 partes iguales, podemos comparar fácilmente 5 6 } la matrícula y la comida. La matrícula es } 20 y la comida es 20, por tanto los gastos de comida son mayores a los de la matrícula. Pero, ¿de dónde viene el 20? ¿Recuerdas el mínimo común múltiplo?

Gastos en una universidad pública

Matrícula 1/4

Libros 1/10

Comida 3/10

Matrícula 1/4

Personales 3/20 Habitación 1/5

Comida 3/10

(a)

Libros 1/10 Personales

3/20 Habitación 1/5

(b)

20 es el mínimo común múltiplo de 10 y 4, los denominadores de la porción correspondiente a matrícula (1/4) y de la porción correspondiente a comida (3/10). En general, el denominador más pequeño que nos permite comparar fracciones directamente —es decir, teniendo el mismo denominador—, es el mínimo común denominador (MCD) de las fracciones. Ese número es también el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.

EJEMPLO 5

Escribir fracciones con el MCD como denominador 3 1 } Los gastos personales y de habitación en una universidad pública son de } 20 y 5 de los gastos totales, respectivamente (ver diagrama). 3

1 } a. Encuentra el MCD de } 20 y 5. 3 1 } b. Escribe las fracciones equivalentes a } 20 y 5 usando el MCD como denominador.

SOLUCIÓN 3

1 } a. Como 20 es un múltiplo de 5, el MCD de } 20 y 5 es 20. 3 b. } 20 ya está escrito usando el MCD 20 como denominador.

Para escribir una fracción equivalente a }15 con un denominador 20 tenemos que multiplicar el denominador 5 (así como el numerador 1), por 4 así: 4 1 14 } } 55} 5  4  20

Respuestas a los PROBLEMAS 9 5 } 4. 39 5. a. 30 b. } 30, 30

PROBLEMA 5 Encuentra el MCD de a.

3 } 10

y }16.

b. Escribe las fracciones 3 1 } equivalentes a } 10 y 6 con un MCD como denominador.

144

Capítulo 2

2-36

Fracciones y números mixtos

EJEMPLO 6

Hallar el MCD usando múltiplos 3 a. Encuentra el MCD de }8 y }25 usando múltiplos. 3 b. Escribe las fracciones equivalentes a }8 y }25 usando el MCD como denominador.

PROBLEMA 6 3

a. Encuentra el MCD de }7 y }45 usando múltiplos. 3

b. Escribe }7 y }45 usando el MCD como denominador.

SOLUCIÓN a. Los múltiplos de 8 (el mayor de los dos denominadores) son 8

16 3 } 8

24

32

40

¡Para!

40 es múltiplo de 5.

2 } 5

El MCD de y es 40. 3

b. Para escribir }8 con un denominador de 40 debemos multiplicar el denominador 8 (así como el numerador 3), por 5. 3 3  5 15 }}} Tenemos: 8 8  5 40 16 2 28 } De la misma forma, } 5} 5 ? 8  40 1 1 } Imagina que quieres encontrar el MCD de } 30 y 54. Hacer la lista de múltiplos de 54 lleva mucho tiempo. Aquí hay una segunda manera para encontrar el MCD de dos frac1 1 } ciones. (Estamos buscando el MCD de } 30 y 54.) Primero escribimos 30 y 54 como productos de números primos.

2 30 Divide entre 2. Divide entre 3. 3 15 Divide entre 5. 5 5 1 ¡Para! tenemos 1.

2 54 Divide entre 2. 3 27 Divide entre 3. 3 9 Divide entre 3. 3 3 Divide entre 3. ¡Para! tenemos 1. 1

Así, 30  2  3  5 Así, 54  2  3  3  3  2  33 Ayudará si escribes los mismos números primos verticalmente en una columna. Todos los 2 aquí Todos los 3 aquí Todos los 5 aquí 30  2 3  5 54 2 33

Para hallar el MCD debemos incluir el 2 de la primera columna, el 33 de la segunda y el 5 de la tercera. Así, el mínimo común denominador es 2  33 5  270. He aquí.

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL MCD DE FRACCIONES USANDO NÚMEROS PRIMOS 1. Escribe cada denominador como un producto de números primos usando exponentes. 2. Selecciona la mayor potencia de cada número primo que ocurre en cualquier factorización. 3. El producto de los factores seleccionados en el paso 2 es el MCD.

Respuestas a los PROBLEMAS 15 28 } 6. a. 35 b. } 35, 35

2-37

2.4

El mínimo común múltiplo (MCM)

145

Algunos estudiantes prefieren otro método para encontrar el MCD. Funciona así:

HALLAR EL MCD: MÉTODO ALTERNATIVO USANDO DIVISIONES 1. Escribe los denominadores en una fila horizontal y divide cada número por un primo común a los dos o más números (si alguno de los números no es divisible por ese número primo, encierra en un círculo ese número y pásalo a la siguiente línea). 2. Continúa el proceso hasta que ningún primo divida dos de los cocientes. 3. El MCD es el producto de los primos y los números de la línea final. Paso 1. Divide entre 2. Divide entre 3 (el siguiente primo).

2

30

54

3

15 27 5 9 Paso 2. Ningún número primo divide 5 y 9. Paso 3. El MCD es 2  3  5  9  270 Nota que en ambos casos, el MCD es 270. Podemos usar los dos métodos para encontrar el MCD.

EJEMPLO 7

Buscando el MCD de fracciones 1 1 } y Halla el MCD de } 60 18.

SOLUCIÓN MÉTODO 1 Paso 1. Escribe 60 y 18 como productos de números primos. 60 22 3  5 18  2  32 Paso 2. Selecciona cada número primo a la máxima potencia a la que ocurre (22, 32, y 5). Paso 3. El producto de los factores del paso 2 es el MCD: 22  32  5  180

MÉTODO 2 Paso 1. Escribe los denominadores en una fila y divide por el número primo común los dos números. 2 60

18

3 30 10

9 3

Paso 2. Continúa hasta que ningún número primo divida a ambos cocientes (ningún número primo divide 10 y 3). Paso 3. El producto de los primos y los números al final de la línea es el MCD: 2  3  10  3  180

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 120

PROBLEMA 7 5

1 } Encuentra el MCD de } 40 y 12.

146

Capítulo 2

2-38

Fracciones y números mixtos

Los métodos que hemos estudiado (múltiplos, primos y división) pueden usarse para encontrar el mínimo común denominador (MCD) de más de dos fracciones. Por 1 1 1 } } ejemplo, para encontrar el MCD de } 10, 12 y 8 usamos el atajo del ejemplo 3 y hacemos una lista de los múltiplos del denominador mayor, que es 12, hasta que encontremos un número que sea múltiplo de 10 y de 8. Los múltiplos de 12 son 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 (¡Para!). 1 1 1 } } Dado que 120 es un múltiplo de 10 y también de 8, el MCD de } 10, 12 y 8 es 120. ¿Hay una forma más sencilla? Prueba con el método de la división: Paso 1. Divide entre 2.

2

10 12 8

Divide entre 2.

2

5 6 4 5 3 2

Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo el 5 porque no es divisible por 2 y llévalo a la siguiente línea. Paso 3. El MCD es 2  2  5  3  2  120 cómo antes.

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Hallar el MCD de tres fracciones 1 1 } Encuentra el MCD de }16, } 10 y 9.

SOLUCIÓN

1 1 } Encuentra el MCD de }18 , } 12 y 14.

En este caso, es más fácil usar el método de la división.

Paso 1. Divide entre 2.

2

6 10 9

Divide entre 3.

3

3

5 9

1 5 3 Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo el 9 y el 5 y llevarlos a la siguiente línea. Paso 3. El MCD es 2  3  1  5  3  90.

C 6 Comparar fracciones: ordenar El MCD puede usarse para comparar fracciones. Aquí están los ingredientes para la receta de panecillos dulces y donas de leche.

Panecillos dulces

Donas de leche

3 paquetes de levadura 3 } de taza de agua 4

2 cucharas de margarina

3 } 4 1 } 2

de taza de leche

2 huevos

taza de azúcar

4 tazas de harina

1}12 cucharadita de sal 1 } taza de mantequilla 2 2 huevos 5}12 tazas de harina

Respuestas a los PROBLEMAS 8. 168

3 } 4

de taza de azúcar

2 cucharaditas de polvo de hornear 1 } 2

cucharadita de canela

1 taza de crema de leche 1 } 2

cucharadita de sal

2-39

2.4

147

El mínimo común múltiplo (MCM)

Encontrar cuál receta usa más sal es fácil: ¡Los panecillos dulces! Puedes convencerte 3 3 si escribes 1}12 como }2 y comparas }2 y }12, dos fracciones con el mismo denominador. Aquí está la regla:

COMPARAR FRACCIONES: IGUAL DENOMINADOR Para comparar dos fracciones con el mismo denominador, compara los numeradores. La que tiene el mayor numerador es la mayor. Puedes ver que

1 2

es mayor que

3 2

3 2 1 2

3

Como }2 tiene un numerador 3, que es mayor que el numerador 1 en mayor que 1}2 , así los panecillos dulces usan más sal.

1 } 2

el

3 } 2

es

3

¿Puedes decir cuál receta usa más azúcar? Cómo }12 y }4 no tienen el mismo denominador, escribimos las dos fracciones como equivalentes con el MCD como denominador. 3 12 2 } Dado que 4 es un múltiplo de 2, el MCD de }12 y }4 es 4, entonces escribimos }12  } 2  2  4. 1 } 2 12 } 1 } 2 } } 2224 24 3 } 4 3 Como el numerador en }4, es 3, es mayor que el numerador en }24, que es 2. Entonces, 3 2 1 escribimos }4  }4  }2. Esto significa que la receta de donas de crema de leche tiene más azúcar. Aquí está la regla para comparar fracciones con distintos denominadores.

COMPARAR FRACCIONES: DISTINTOS DENOMINADORES Para comparar dos fracciones con distinto denominador, escribimos las fracciones equivalentes a ambas fracciones con el MCD como su denominador. La fracción con el numerador mayor es la más grande.

EJEMPLO 9

PROBLEMA 9

5 a. } 7

Llena los espacios vacíos con o  para hacer que la desigualdad resultante sea verdadera.

Comparar fracciones Llena los espacios vacíos con o  para que la desigualdad resultante sea verdadera. 4 } 7

3 b. } 5

4 } 7

SOLUCIÓN 5

a. Las dos fracciones tienen el mismo denominador, pero }7 tiene un numerador 5 5 mayor que }47. Así, }7 es mayor que }47, es decir, }7  }47. 3 4 b. Primero debemos escribir }5 y }7 como fracciones equivalentes con el MCD de 35 como denominador. 3 3  ? 3  7 21 } 5} 57} 57} 35 4 ? 4 5 20 4 } 7} 75} 75} 35 3 20 4 }3 21 4 } } Como } 35  35 , 5} 7 S5 es mayor que }7 D

Respuestas a los PROBLEMAS 9. a. 

b.

3 a. } 17 1 b. } 5

2 } 17 2 } 9

148

Capítulo 2

2-40

Fracciones y números mixtos

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 2.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

5 A 6 Hallar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números En los problemas 1 al 10, encuentra el MCM de los números, haciendo una lista de los múltiplos. 1. 8 y 10

2. 6 y 10

3. 16 y 24

4. 21 y 28

5. 9 y 18

6. 30 y 60

7. 14 y 21

8. 80 y 120

9. 30, 15, y 60

10. 15, 20 y 30

5B6 11.

1 } 3

Escribir fracciones equivalentes con el mínimo común denominador (MCD) En los problemas 11 al 20, encuentra el MCD de las fracciones usando múltiplos y escribe las fracciones con el MCD como denominador.

y }16

1 15. }34y } 10 5

7

12.

2 } 5

1 y} 15

16.

7 4 }y } 10 15

13.

1 } 21

y }17

1 1 } 17. }16, } 12 y 24

14.

2 } 9

y }13

18.

7 3 }, } 15 10

y }16

7

11 } 20. }29, } 12 y 24

19. }35, }8 y } 20

En los problemas 21 al 30, encuentra el MCD usando la factorización de factores primos o el método de la división y escribe las fracciones con el MCD como denominador. 21.

1 } 18

1 y} 24

22.

3 } 15

2 y} 45

23.

25.

3 } 4

3

26.

7 } 20

4 y} 15

1 1 } 27. }16, } 12 y 24

y} 10

5

7

31.

1 y} 80

24.

2 } 9

1 y} 12

28.

7 3 }, } 15 10

y }16

7

11 } 30. }29, } 12 y 24

29. }35, }8 y } 20

5C6

1 } 32

Comparar fracciones: ordenar En los problemas 31 al 34, encuentra el mayor de los números.

5 7 }, } 8 8

5 7

32. }9, }9

33.

4 5 }, } 11 11

3

34. }7, }27

En los problemas 35–40, llena los espacios vacíos con < o > para hacer que la desigualdad resultante sea verdadera 35.

2 } 3

4 } 5

36.

5 } 8

1 } 2

37. 1}47

5

1}7

3

38. 8}4

7

8}8

39. 11}27

3

11}8

40. 6}13

666Aplicaciones 41. Transporte ¿Usas transporte público para ir a las escuela? Si los autobuses parten cada 20 minutos y los trenes cada 30 minutos, y tú acabas de perder el autobus y el tren, ¿cuánto tiempo deberás esperar antes de que un autobus y un tren salgan para tu escuela al mismo tiempo?

42. Transporte Los trenes A, B y C parten de la Estación Grand Central cada 10, 20 ó 45 minutos, respectivamente. Si A, B y C acaban de partir, ¿cuál es el mínimo de tiempo que deberás esperar para que todos los trenes estén disponibles a la misma hora?

6}25

2-41

2.4

43. Cigarra ¿Sabes que es una cigarra periódica? Es un tipo de insecto, algunas veces llamado “cigarra”, aunque no están relacionados con las verdaderas cigarras. La fotografía muestra una magicicada de 17 años. El 17 significa que estas especies emergen cada 17 años. También hay magicicadas de 13 años. Si las dos especies emergen este año, ¿cuántos años deberán pasar para que emerjan juntas otra vez?

El mínimo común múltiplo (MCM)

149

44. Cicada ¡Afortunadamente, las cicadas tienen depredadores! Imagina que los depredadores emergen dentro de 3 años y tienes un ciclo de cicadas de 15 años comenzando ahora. a. ¿En cuántos años las cicadas enfrentarán a los depredadores? b. Si tienes un ciclo de magicicada de 17 años que comienza ahora, ¿en cuántos años se enfrentarán con los depredadores de 3 años? 45. Resfriado común No hay cura para eso, pero hay algunas cosas que puedes hacer. La abuela tenía razón—¡La sopa de pollo es buena para la gripe! Una porción cada 6 horas. Pastillas de zinc pueden ayudar a que te mejores más pronto. Una pastilla cada 2 horas. Aspirina, acetaminofén e ibuprofeno para mejorar algunos síntomas. Dos tabletas cada 4 horas. Si empiezas tus tres medicaciones (sopa, pastillas y aspirina) a las 12 P.M., ¿en cuántas horas deberás tomar las tres juntas otra vez?

Magicicada de ciclo de 17 años

46. Resfriado común Si sumado a la sopa (cada 6 horas), las pastillas (cada 2 horas), ) y las aspirinas (cada 4 horas) usas un aerosol nasal cada 12 horas y comienzas las medicamentos a las 12 P.M., ¿en cuántas horas deberás tomar las cuatro medicinas juntas otra vez? Fuente: http://walmart.triaddigital.com/.

47. Tamales y pastelitos El restaurante La Cubanita prepara tamales frescos cada 5 días. Los pastelitos se preparan frescos cada 4 días. Andreas tiene pasteles y empanadillas frescos hoy. ¿En cuántos días se harán nuevamente pasteles y empanadillas frescos?

48. Pasteles y empanadillas La carne usada para rellenar los pasteles y empanadillas se envía cada 2 días. Si todos los ingredientes estuvieran frescos hoy, ¿en cuántos días tendrán pasteles frescos (preparados cada 5 días) y empanadillas frescas (preparadas cada 4 días) rellenos con carne fresca (enviada cada 2 días)?

49. Envíos El envío de wraps es cada 4 días, pero los ingredientes para el suplemento deportivo se entrega cada 3 días. Si los envíos se hicieran hoy, ¿en cuántos días podrían enviarse los wraps y los suplementos deportivos? 50. Envíos El calendario para envíos de los productos es el siguiente: Batidas:

Cada 30 días

Wraps:

Cada 4 días

Bebidas proteicas:

Cada 5 días

Suplementos deportivos:

Cada 3 días

Si todos los productos se enviaran hoy, ¿en cuántos días se enviarían los cuatro productos juntos otra vez?

JJ Smoothy

 
 
  

  
   


  

150

Capítulo 2

2-42

Fracciones y números mixtos

666Usa tus conocimientos Tiempo dde órbita b La tabla bl muestra llos tiempos i dde órbita bi aproximados i d dde Marte, Júpiter, i Saturno y Urano que se usarán en los problemas 51 al 53.

Tiempo de órbita (años terrestres)

Marte

Júpiter

Saturno

2

12

30

51. ¿Recuerdas la alineación de los planetas de la sección Para comenzar? Como puedes ver en la tabla, a Júpiter le toma unos 12 años orbitar alrededor del Sol una vez, y a Saturno, 30 años. Si Marte tarda 2 años en orbitar el Sol y la última alineación planetaria de Júpiter, Saturno y Marte fue en el 2000, ¿en qué año ocurrirá nuevamente la alineación de los tres planetas?

Urano

84

52. Si Júpiter, Urano y Marte estuvieran alineados hoy, ¿cuántos años tardarían para que se alineen otra vez? 53. Si Saturno y Urano estuvieran alineados hoy, ¿cuántos años tardarían para alinearse otra vez?

666¡Escribe! 54. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para encontrar el MCM de tres números usando el método de la división.

56. Escribe con tus palabras el criterio que usas para determinar cuál de los tres métodos usar para encontrar el MCM de tres números.

55. Cuál de los tres métodos mostrados en esta sección será el más eficiente para encontrar los MCM de:

57. Escribe con tus palabras cuál es la relación entre el MCD de varias fracciones y el MCM de los denominadores de la fracción.

a. 5, 10 y 20. ¿Por qué? b. 32 y 40.

¿Por qué?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 58. El

de dos números es el número menor que es un múltiplo de ambos números.

59. El MCD de dos fracciones es también el

de los denominadores de las fracciones.

60. Para comparar fracciones con el mismo denominador, debemos comparar los

.

61. Para comparar fracciones con denominadores diferentes debemos escribir ambas fracciones

con el

como denominador.

666Prueba de dominio 62. Llena el espacio vacío con < o > para hacer verdadera la desigualdad resultante: 63. Llena el espacio vacío con < o > para hacer verdadera la desigualdad resultante: 64. Halla el MCM de 12 y 14. 65. Encuentra el MCM de 15 y 45. 66. Halla el MCM de 10, 3 y 14. 3

67. Escribe fracciones equivalentes a }7 y }45 usando su MCD como denominador. 1 1 } 68. Halla el MCD de } 40 y 18. 1 1 } 69. Encuentra el MCD de }16, } 20 y 9.

4 } 11 3 } 11

5 }. 11 1 } 4.

denominador numeradores MCD MCM

2-43

2.5

Suma y resta de fracciones

151

666Comprobación de destrezas 70. Escribe }18 y }16 con un denominador de 24. 5

3

71. Escribe }9 y }8 con un denominador de 72. 1 1 } 72. Escribe }18, } 12 y 10 con un denominador de 120.

2 .5

Suma y resta de fracciones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Escribe un número como producto de primos usando exponentes. (págs. 73–76) 2. Escribe un número mixto como una fracción impropia y viceversa. (pág. 113)

Sumar dos fracciones con el mismo denominador.

B6

Sumar dos fracciones con distintos denominadores usando el MCD si es necesario.

C6

Usar el MCD para sumar fracciones.

D6

Usar el MCD para restar fracciones.

E6

Encontrar qué fracción de una gráfica circular está representada por una región dada.

6 Para comenzar

Una peseta es equivalente a un cuarto de dólar. La fotografía muestra que 1 cuarto más 2 cuartos son 3 cuartos. En símbolos tenemos: 3 1 } 2 } 112 } } 4145 4 54 Aquí está el diagrama que muestra el porqué.   



  



 

A 6 Sumar fracciones

con igual denominador

Para sumar fracciones con el mismo denominador, suma los numeradores y deja los mismos denominadores. Aquí está la regla:

SUMAR FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Para todo número a, b, y c, donde b Þ 0, a c a1c }1}5} b b b Suma los denominadores a y c, deja el denominador b.

152

Capítulo 2

2-44

Fracciones y números mixtos

Entonces, 113 4 1 3 } } 51} 55 5 5} 5 3 2 312 5 } 7 5} 71} 75} 7 5 115 6 3 1 } } } } } 4 1 4 5 4 5 4 simplificando5 2 6

3

Nota que simplificamos }4 a }2. Cuando trabajas con fracciones (sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas), si es posible, debes simplificar tus respuestas.

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Sumar fracciones con igual denominador

Suma. 2 } 1 a. } 515

Suma. 4 } 2 b. } 919

3 2 } a. } 11 1 11

3 1 } b. } 818

SOLUCIÓN 3 2 } 1 211 } a. } 5155} 5 55

6 2 4 } 2 } 412 } } b. } 9195 9 5953

B 6 Sumar fracciones con distintos denominadores

Imagina que quieres sumar }25 y }14. Como estas fracciones no tienen el mismo denominador debemos escribir }25 y }14 como fracciones equivalentes con el MCD como denominadores de ambas para que podamos usar la regla de la suma. Halla el MCD de los denominadores 5 y 4 de las fracciones: 5

10

15

20 (¡Para!)

20 es un múltiplo de 4

Halla las fracciones equivalentes con el MCD 8 2?4 } } 5 ? 4 5 20

y

1?5 5 }5} 4 ? 5 20

Suma los números y deja igual el denominador común 5 8 1 5 13 8 }1}5}5} 20 20 20 20 Simplifica si es posible: 8 2?4 2 } } } 5 5 5 ? 4 5 20 5 1?5 1 1} 51} 51} 4 4 ? 5 20 } }} 13 } 20

Respuestas a los PROBLEMAS 5 1 4 } } 1. a. } 11 b. 8 5 2

2-45

2.5

Suma y resta de fracciones

153

3

Sumar fracciones con distintos denominadores Si queremos sumar }4 1 }16, debemos 3 3 encontrar el MCD de }4 y }16, que es 12. Escribe }4 y }16 con 12 de denominador 9 3 3?3 }5}5} 4 4 ? 3 12 y 1 } 2 1?2 } } 6 5 6 ? 2 5 12 9

3

2 1 } } } Así, } 12 y 12 son equivalentes a 4 y 6, respectivamente, y tienen el mismo denominador. 3 1 9 1 2 11 9 2 }1} } } } } 4 6 5 12 1 12 5 12 5 12 18

4 } Nota que podemos usar } 24 y 24 como nuestras fracciones equivalentes con el mismo de9 2 } nominador. Sin embargo, no se hizo porque las fracciones } 12 y 12 tienen denominadores menores. Cuando se suman fracciones, siempre tratamos de obtener el mínimo común denominador (MCD). Imagina que insistimos en usar el 24 como nuestro denominador:

3 3 ? 6 18 }5}5} 4 4 ? 6 24 y 4 1?4 } 1 } } 6 5 6 ? 4 5 24 Entonces, 3 1 18 4 }1} } } 4 6 5 24 1 24 18 1 4 22 11 } } 5} 24 5 24 5 12 Por supuesto, tenemos la misma respuesta, ¡pero tuvimos mucho más trabajo! 5 Recuerda, para hallar el MCD de }18 y }6 haz una lista de múltiplos de 8 (el mayor de los dos denominadores) hasta encontrar el primer múltiplo de 6. Múltiplos de 8:

8, 16, 24

Un múltiplo de 6 (6 cabe exactamente en 24)

No es un múltiplo de 6 (6 no cabe exactamente en 8 ni en 16) 5

Así, el MCD de }18 y }6 es 24. En general, tenemos

HALLAR EL MCD DE FRACCIONES Verifica los múltiplos del denominador mayor hasta obtener un múltiplo del denominador menor.

EJEMPLO 2

Sumar fracciones con distintos denominadores

Suma.

5 1 } } 816 5

El MCD de }18 y }6 es 24 (prueba los múltiplos de 8: 8, 16, 24), y 24 5 8 3 3 5 6 3 4. Escribimos 3 133 1 } } } 8 5 8 3 3 5 24 5 5 3 4 20 }5}5} 6 6 3 4 24 Entonces, 20 23 5 3 1 } } } } } 8 1 6 5 24 1 24 5 24

SOLUCIÓN

Respuestas a los PROBLEMAS 13 2. } 24

PROBLEMA 2 Suma. 3 8

1 6

}1}

154

Capítulo 2

EJEMPLO 3

2-46

Fracciones y números mixtos

Sumar fracciones con distintos denominadores

Suma.

PROBLEMA 3 Suma.

7 1 }1} 4 15

3 4

5 9

}1}

SOLUCIÓN

Primero buscamos el MCD. Los múltiplos de 15 (el mayor de los dos denominadores) son Múltiplo de 4 15, 30, 45, 60 No︸ son múltiplos de 4 7

7

(4 cabe exactamente en 60)

105

1 1 4 } } } } Entonces, el MCD de }4 y } 15 es 60, y 4 5 60 y 15 5 60. Entonces

105 109 7 4 1 }1} } } } 4 15 5 60 1 60 5 60

ó

49 1} 60

He aquí el procedimiento que usamos para sumar fracciones con distintos denominadores:

SUMAR FRACCIONES CON DIFERENTES DENOMINADORES 1. Halla el MCD de las fracciones (puedes usar múltiplos, producto de primos o división). 2. Escribe cada fracción como una equivalente con el MCD como denominador. 3. Suma las fracciones y, si es posible, reduce la respuesta.

Ilustramos el procedimiento en el ejemplo 4, donde usamos múltiplos para encontrar el 1 1 } MCD y, en el ejemplo 5, donde primero buscamos el MCD de }18, } 12 y 10 y luego sumamos las fracciones.

C 6 Usar el MCD para sumar fracciones EJEMPLO 4

Hallar el MCD usando múltiplos y sumar fracciones

Suma.

5 1 } } 60 1 18

PROBLEMA 4 Suma. 1 40

5 12

}1}

SOLUCIÓN Los múltiplos de 60 son 60, 120 y 180, entonces el MCD de 60 y 5 1 } 18 es 180. Necesitamos escribir } 60 y 18 con un denominador de 180. Para obtener 1 un denominador de 180, multiplicamos el denominador } 60 (y luego, el numerador) 5 por 3. De la misma forma, multiplicamos el numerador y el denominador de } 18 por 10, obteniendo 1?3 3 5 5 ? 10 50 1 } } } } } } 60 5 60 ? 3 5 180 y 18 5 18 ? 10 5 180 Así, 5 3 50 53 1 } } } } } 60 1 18 5 180 1 180 5 180 (53 es un número primo, por lo que esta fracción no se puede reducir).

Respuestas a los PROBLEMAS 47 11 3. } o 1} 36

53 4. } 120

36

1 1 } ¿Podemos sumar tres fracciones como }18 1 } 12 1 10? Por supuesto. Primero ilustramos cómo hallar el MCD usando todos los métodos (tú eliges el que prefieras).

2-47

2.5

Método 1

155

Suma y resta de fracciones

Método 2

Paso 1. Escribe 8, 12 y 10 como produc- Paso 1. Divide entre 2. 2 8 Divide entre 2. 2 4 tos de números primos. 8 23 2 12  22  3 10 2 5

12 6

10 5

3

5

Paso 2. Selecciona cada primo elevado a la máxima potencia en que ocurre (23, 3, 5).

Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo el 5 y llévalo a la siguiente línea.

Paso 3. El producto de los factores del paso 2 es el MCD, eso es 23355120

Paso 3. El MCD es 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 5 120

Método 3 Nota que también puedes hallar el MCD haciendo una lista de los múltiplos del denominador mayor, que es 12, hasta encontrar un múltiplo de 12 que sea divisible por 8 y 10. Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, y 120 . ¡Por fin! 120 es divisible por 8 y por 10, entonces 120 es el MCD.

EJEMPLO 5

Sumar fracciones con distintos denominadores

Suma.

1 } 1 1 } } 8 1 12 1 10

PROBLEMA 5 Suma. 1 8

1 12

1 9

}1}1}

SOLUCIÓN

El MCD es 120, entonces escribimos las fracciones equivalentes con 120 como denominador. 15 1 ? 10 10 1 ? 15 1 1 1 ? 12 12 1 } } } } } } } } } 8 5 8 ? 15 5 120, 12 5 12 ? 10 5 120, 10 5 10 ? 12 5 120 Entonces, 1 1 } 1 } } 8 1 12 1 10 10 15 12 } } 5} 120 1 120 1 120 15 1 10 1 12 37 5 }} 5} 120 120

D 6 Resta de fracciones Ahora que sabes sumar, la resta no es un problema. ¡Todas las reglas que mencionamos también se aplican! Así, 5 2 522 3 }2} } } 8 85 8 58 7 1 721 6 2 }2} } } } 9 95 9 5953 El siguiente ejemplo muestra cómo restar fracciones que tengan distintos denominadores. Como con la suma, primero encontramos el MCD.

EJEMPLO 6

Restar fracciones con distintos denominadores

Restar. 7 1 } a. } 12 2 18

8 6 } b. } 15 2 25

PROBLEMA 6 Resta. 7 1 } a. } 12 2 10

3 11 } b. } 15 2 20

SOLUCIÓN a. Primero obtenemos el MCD de las fracciones. Como los múltiplos de 18 son 18, 36, el MCD es 36. (continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 29 7 23 } 6. a. } 5. } 72 60 b. 12

156

Capítulo 2

2-48

Fracciones y números mixtos

MÉTODO 1

MÉTODO 2

Paso 1. 12 5 2 ? 3 18 5 2 ? 32 2

Paso 1. 2

12

18

Paso 2. 3

6

9

2

3

Paso 2. Selecciona 2 a la máxima potencia que resulte (22) y el 3 también a la mayor potencia que resulte (32). Paso 3. El MCD es 22?32536.

Paso 3. El MCD es 2?3?2?336

Luego escribimos cada fracción con 36 como denominador. 7?3 7 21 }5}5} 12 12 ? 3 36

y

1 1?2 2 } } } 18 5 18 ? 2 5 36

Así, 7 19 1 21 } 2 21 2 2 } }2} } } 12 18 5 36 2 36 5 36 5 36 8

6

} b. Para hallar el MCD de } 15 y 25 , escribimos los múltiplos de 25, el mayor de los dos denominadores, hasta obtener un múltiplo que sea divisible por 15. Los múltiplos de 25 son 25 50 75

75 es un múltiplo de 15

El MCD es 75. 8 6 } Luego, escribimos } 15 y 25 usando el MCD 75 como denominador 6 8?5 40 6?3 18 8 }5}5} } } } 15 15 ? 5 75 y 25 5 25 ? 3 5 75 6 8 40 18 40 2 18 22 } } } } } Así, } 15 2 25 5 75 2 75 5 75 5 75

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Sumar y restar fracciones

Suma y resta. 5 3 1 } } a. } 9 1 8 2 12

Suma y resta.

7 1 7 } } b. } 8 2 3 1 12

3 1 2 a. } 1 } 2 } 8 6 9

SOLUCIÓN a. Primero obtenemos el MCD de las fracciones.

MÉTODO 1

MÉTODO 2

Paso 1. 9 5 3 8 5 23 12 5 22 ? 3

2

Paso 1. 2 9

8

12

2 9

4

6

3 9

2

3

3

2

1

Paso 2. Selecciona 2 a la máxima potencia en la que ocurre (23) y 3 a la máxima potencia en la que ocurre (32).

Paso 2. Ningún primo divide 3, 2 y 1.

Paso 3. El MCD es 23?325 72.

Paso 3. El MCD es 2 ?2 332 72

Respuestas a los PROBLEMAS 35 23 11 } } 7. a. } 72 b. 24 5 124

7 1 11 b. } 2 } 1 } 8 3 12

2-49

2.5

Suma y resta de fracciones

157

Ahora escribimos otra vez cada fracción con un denominador de 72. 5 5 ? 8 40 3 3 ? 9 27 1?6 6 1 } 5 } 5 }, } 5 } 5 }, } } } 9 9 ? 8 72 8 8 ? 9 72 12 5 12 ? 6 5 72 Así, 40 27 6 40 1 27 2 6 61 5 3 1 }1}2} } } } }} 5 } 72 72 9 8 12 5 72 1 72 2 72 5 7

b. El MCD de }8 ,

1 } 3

y

7 } 12

es 24 7 7 ? 3 21 }5}5} 8 8 ? 3 24 1?8 8 1 }5}5} 3 3 ? 8 24 7?2 7 14 }5}5} 12 12 ? 2 24

Así, 7 1 7 8 27 9 1 21 } 14 } }2} } } } } } 8 3 1 12 5 24 2 24 1 24 5 24 = 8 = 18

E 6 Gráficas y fracciones Una forma común de mostrar información es con un diagrama circular (o de pie) como el que se muestra aquí, que ilustra la fracción de estudiantes con diferentes colores de ojos. Color de ojos de los estudiantes Azul 33/100

Gris 1/10

Marrón 37/100

Verde 1/5

Fuente: Learn.co.uk

EJEMPLO 8

Leer los diagramas circulares a. ¿Qué fracción reducida de estudiantes tienen ojos marrones o azules? b. ¿Qué fracción reducida de estudiantes tienen ojos grises o azules?

PROBLEMA 8 Qué fracción reducida de estudiantes tienen a. Ojos marrones o grises

SOLUCIÓN a. La fracción de estudiantes con ojos marrones o azules es 33 37 1 33 37 }1}5} 100 100 100 70 7 } 5} 100 5 10 b. La fracción de estudiantes con ojos grises o azules es

10 1 como } Escribe } 10 100

Respuestas a los PROBLEMAS 53 47 b. } 8. a. } 100 100

33 1 } } 10 1 100 33 43 10 } } 5} 100 1 100 5 100

b. Ojos verdes o azules.

158

Capítulo 2

2-50

Fracciones y números mixtos

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 2.5

> Self-Tests > e-Professors > Videos

5 A 6 Sumar fracciones con igual denominador En los problemas 1al 10, suma (reduce la respuesta a su mínima expresión). 1 11} 1. } 3 3 7 11} 4. } 9 9 5 11} 7. } 6 6 8 61} 10. } 7 7

5B6

1 } 2 2. } 515 2 } 4 5. } 919 10 2 } 8. } 91 9

Sumar fracciones con distintos denominadores En los problemas 11 al 26, suma usando múltiplos para hallar el MCD (reduce las respuestas a su mínima expresión).

1 1 } 11. } 3 5 4 1 } 15. } 2 5 3 1 } 19. } 2 8 3 2  } 23. } 65 26

5C6

1 } 4 3. } 717 3 5 } 6. } 818 3 5 } 9. } 414

1 } 1 12. } 4 6 5 3 } 16. } 6 10 5 1 } 20. } 12 6 7 11 } 24. } 120 150

Usar el MCD para sumar fracciones

7 11 3  } 27. }  } 10 20 60 7 1 5  }  } 30. } 36 80 90

5D6

Resta de fracciones mínima expresión).

7 3 } 14. } 8 4 1 } 11 18. } 6 12 5 7 } 22. } 24 30 7 1 } 26. } 90 120

1 } 1 13. } 2 6 3 4 } 17. } 7 14 1 1 } 21. } 40 18 7 1 } 25. } 120 180

En los problemas 27 al 30, busca el MCD y suma las fracciones.

7 5 5 } } 28. } 9 12 18

5 8 11 } } 29. } 14 6 9

En los problemas 31 al 50, suma y resta según lo indicado (reduce las respuestas a su

1 32} 31. } 7 7

5 2 } 32. } 828

5 1 } 33. } 626

1 32} 34. } 8 8

5 1 } 35. } 12 2 4

1 } 1 36. } 326

2 12} 37. } 2 5

1 } 1 38. } 426

7 5 } 39. } 20 2 40

3 7 2} 40. } 10 20

7 5 } 41. } 8 2 12

8 2 } 42. } 15 2 25

1 13 2 } 43. } 48 60 3 2 7 2} 2} 46. } 11 11 11

19 7 } 44. } 24 2 60

8 2 1 } } 45. } 92929

3 5 1 } } 47. } 4 1 12 2 6

5 1 1 } } 48. } 61923

7 92} 49. } 2 3

7 11 } 50. } 5 24 3

51. Una tabla de }4 de pulgada de grosor, está pegada a otra tabla 3 1 de }8 de pulgada de grosor. Si el pegamento es de } 32 de pulgada de grosor, ¿de qué grosor es el resultado?

52. Candy Sweet compró }14 de libra de dulces de chocolate y }12 libra de caramelo. ¿A cuántas libras de dulces equivale?

2-51

2.5

3

Gráficas y fracciones

La gráfica circular se usará en los problemas 56 al 58. Hablar con amigos

Tareas Dormir

Mirar TV

La gráfica circular está dividida en 12 partes iguales (tajadas). 56. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para comer? 57. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para mirar TV?

Jugar fútbol

58. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para hacer tareas?

Fuente: Adaptado de Learn.co.uk

La gráfica circular va a usarse en los problemas 59 al 60. La gráfica muestra la fracción del presupuesto que invierte la compañía en sus empleados.

59. ¿Qué fracción de los gastos fue para beneficios o sueldos? 60. ¿Qué fracción de los gastos fue para beneficios o infraestructura?

Gastos de empleados Infraestructura 1/4 Sueldo 9/20 Beneficios 3/10 Fuente: Adaptado de Visual Mining, Inc.

La gráfica circular se usará en los problemas 61 al 62. La gráfica muestra la fracción de los días soleados, lluviosos, nevosos o nublados en cierta ciudad.

61. ¿Qué fracción reducida de los días llueve o neva? 62. ¿Qué fracción reducida de los días está lluvioso o nublado?

Nublado 1/5 Soleado 3/5

Lluvioso 1/10 Nevoso 1/10

La gráfica circular va a usarse en los problemas 63 al 65. La gráfica muestra los medios de transporte que usa la gente para ir al trabajo en Inglaterra.

Medios de transporte en Inglaterra Carro Caminar 1/5 3/10 Autobús 9/20

Bicicleta 1/20

63. ¿Qué fracción reducida de la gente camina o usa el carro? 64. ¿Qué fracción reducida de la gente usa la bicicleta o el carro? 65. ¿Qué fracción reducida de la gente no camina?

para más lecciones

Comer

www.mathzone.com

5E6

3

54. Una encuesta reciente descubrió que } 10 de los norteamericanos trabaja largas horas y fuma, mientras que }15 tienen sobrepeso. Así, la fracción de personas que no son ninguna de éstas es 3 }. ¿Qué fracción representa? 1 2 5}1 2 10

ir a

55. Los huesos humanos son }14 agua, } 10 tejido vivo y el resto 3 minerales. La fracción de hueso que es mineral es 1 2 }14 2 } 10. Encuentra la fracción.

159

6Web IT

53. Un padre dejó }14 de sus bienes a su hija, }12 a su esposa, y }18 a su hijo. ¿Qué cantidad de bienes quedan?

Suma y resta de fracciones

Capítulo 2

2-52

Fracciones y números mixtos

La gráfica circular muestra la fracción de dinero que gasta un típico estudiante de una universidad pública en 5 diferentes áreas y se usará en los problemas 66 al 70. Los gastos totales son de $3000. 66. a. ¿Qué fracción de los gastos se usan en comida e inscripción? b. ¿Cuánto dinero se usa para comida y matrícula?

Gastos anuales en una universidad pública Libros 1/10 Personales 3/20

Matrícula 1/4

Hospedaje 1/5

Comida 3/10

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

160

67. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en comida y hospedaje? b. ¿Cuánto dinero es para comida y hospedaje? 68. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en libros y matrícula? b. ¿Cuánto dinero es para libros y matrícula? 69. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en libros, gastos personales y hospedaje? b. ¿Cuánto dinero es para libros, gastos personales y hospedaje?

6Web IT

70. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa para pagar todo, excepto los libros? b. ¿Cuánto dinero es para todo, excepto libros?

w

666Usa tus conocimientos Hot ddogs, panecillos ll y MCD C En esta sección ió aprendimos di a hallar h ll ell MCD C de d varias i fracciones f i buscando b d los l múltiplos úl i l del d l denominador mayor hasta llegar a un múltiplo del denominador menor. ¡Vamos a aplicar esta teoría para comprar hot dogs y panecillos! ¿Notaste que los hot dogs vienen en paquetes de 10 y los panecillos en paquetes de 8 ó 12? 71. ¿Cuál es el menor número de paquetes de hot dogs (10 por paquete) y panecillos (8 por paquete) que debes comprar para tener la misma cantidad de hot dogs que de panecillos?

72. Si los panecillos se venden en paquetes de 12 y los hot dogs en paquetes de 10, ¿cuál es el menor número de paquetes de hot dogs y de panecillos que debes comprar para tener la misma cantidad de cada uno?

666¡Escribe! 3

73. Cuando sumamos }4 1 }16 mencionamos que podemos usar las 4 18 } fracciones equivalentes } 24 y 24, y luego sumar. Siempre puedes usar el producto de los denominadores como el denominador de la suma. ¿Es esto correcto? ¿Por qué?

74. Escribe con tus palabras el proceso que prefieras para encontrar el MCD de dos fracciones.

75. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para sumar fracciones con distintos denominadores.

76. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para restar fracciones con distintos denominadores.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. b a1} 77. } c c= b a2} 78. } c c=

666Prueba de dominio 7

1 1 } 79. Halla el MCD de } 30 y 18.

1 } 80. Suma: } 10 1 10

81. Suma: }18 1 }16

1 } 82. Suma: } 10 1 4

7

3

1 1 } } 83. Realiza la operación indicada: } 10 1 12 1 8

5

1 } 84. Resta: } 12 2 18

a1c } b a1b } c

a2b } c a2c } b

2-53

2.6

Suma y resta de números mixtos

3

1 1 } } 85. Realiza la operación indicada: } 10 1 12 2 8

86. La gráfica muestra las preocupaciones de la chinchilla mítica. a. ¿Qué fracción de tiempo está preocupada la chinchilla por comer mucho o muy poco? b. ¿Qué fracción de tiempo la chinchilla no está preocupada o actúa en forma extraña?

161

Comer muy poco 1/10

Perder un trozo de piel 1/10

Actuar de forma extraña 2/5

Sin preocupaciones 1/10 Comer mucho 3/10

666Comprobación de destrezas Escribe como una fracción impropia. 1 87. 3} 5

3 88. 5} 11

10 90. 7} 11

7 89. 6} 8

Escribe como un número mixto. 10 91. } 6

45 92. } 6

w

2 .6

Suma y resta de números mixtos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Escribir un número como producto de primos usando exponentes. (págs. 73–76)

A6

Sumar números mixtos con igual denominador.

2. Escribir un número mixto como una fracción impropia y viceversa. (pág. 113)

B6

Sumar números mixtos con distintos denominadores usando la idea de múltiplos para hallar el MCD.

C6

Restar números mixtos con distintos denominadores usando la idea de múltiplos para hallar el MCD.

D6

Usar el MCD de dos o más fracciones para sumar o restar números mixtos.

E6

Usar la suma de números mixtos para hallar perímetros.

6 Para comenzar Precios y rendimientos Bono

Precio

Cambio

Rendimiento

Cambio

2 años

14 99} 32 8 100} 32 6 100} 32 19 99} 32

2 2} 32 6 2} 32 10 2} 32 17 } 232

2.79

0.050

3.94

0.040

4.72

0.040

5.4

0.040

5 años 10 años 30 años Fuente: CNN.Money.

2

14 } El precio de un bono a dos años es 99} 32 y el cambio en el precio es 232. El precio antes 2 más alto o del cambio era } 32

16 14 } 2 1 } } 99 } 32 1 32 5 99 32 5 992 Los números mixtos pueden sumarse o restarse. Primero hacemos la suma con números mixtos que tengan el mismo denominador.

162

Capítulo 2

2-54

Fracciones y números mixtos

A 6 Sumar números mixtos con igual denominador

¿Podemos sumar 3}15 1 1}25? ¡Por supuesto! Podemos cambiar 3}15 y 1}25 a fracciones impropias primero. Como 16 7 2 5112 } 1 5311 } 5 5 y 1} 55 3} 5 5 55} 55} Tenemos Cambiar 3 7 16 1 7 23 1 2 16 } 3} 5 155} 5 5} 5 5 4} 5 1 1} 55} 5 Cambiar También puedes sumar 3}15 y 1}25 verticalmente, así:

Suma las partes enteras.

1 3} 5 2 11} 5 3 4} 5 Suma las partes fraccionarias.

Nota que cuando sumamos números mixtos, la respuesta puede ser un número mixto.

EJEMPLO 1

Sumar números mixtos: denominadores iguales

PROBLEMA 1 1 4 } Suma 3} 9 1 29.

3 1 Suma 2} 7 1 1} 7.

SOLUCIÓN 3 15 10 25 1 4 } } } } } Método 1. 2} 7 1 17 5 7 1 7 5 7 5 37 Método 2. 1 2} 7 3 11} 7 Suma las 4 partes enteras. 3} 7 Suma las partes fraccionarias.

B 6 Sumar números mixtos con distintos denominadores

Si tenemos números mixtos con distintos denominadores, primero debemos encontrar el MCD, como en el ejemplo 2. Respuestas a los PROBLEMAS 5 1. 5} 9

2-55

2.6

EJEMPLO 2

Suma y resta de números mixtos

Sumar números mixtos con distintos denominadores

163

PROBLEMA 2 3 1 } Suma 1} 4 1 6.

3 2 } Suma 1} 4 1 15.

SOLUCIÓN Primero hallamos el MCD. Los múltiplos de 15 (el mayor de los dos denominadores) son: 15, 30, 45, 60

Múltiplo de 4 (el 4 cabe en él)

No︸ son múltiplos de 4 3

3

7

7

105

8

1 2 } } } } } } Así, el MCD de 1}4 y } 15 es 60. Ahora 14 5 4. Entonces, 4 5 60 y 15 5 60. Así,

105 8 113 53 3 2 } } } } } 1} 4 1 15 5 60 1 60 5 60 = 160

EJEMPLO 3

Sumar números mixtos: distintos denominadores

PROBLEMA 3 5 1 } Suma 5} 4 1 16.

3 5 } Suma 3} 4 1 26.

SOLUCIÓN Método 1. Primero convertir a fracciones impropias. 3 15 5 17 } } } 3} 4 5 4 y 26 5 6 El MCD de 4 y 6 es 12, entonces reescribimos las fracciones con este denominador. (Nota que 4 y 6 se dividen en 12) 5 17 17  2 34 3 15 15  3 45 } } } } } } } 3} 4 5 4 5 4 3 5 12 y 26 5 6 5 6  2 5 12 Así, 7 5 45 34 45 1 34 79 3 } } } } } } 3} 4 1 26 5 12 1 12 5 12 5 12 5 612 Método 2. Escribe las partes fraccionarias usando el MCD 12 como su denominador: 3 9 } 3} 4 5 312 10 5 } 12} 6 5 1212

9 33 } S}34 5 } 4  3 5 12 D 5  2 10 } S}65 5 } 6  2 5 12 D

19 19 } 5} 12 5 5 1 12 7 7 } 5 5 1 1} 12 5 612

C 6 Restar números mixtos Las reglas que mencionamos para sumar números mixtos también se aplican para restar números mixtos. Ilustramos el procedimiento en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4

Restar números mixtos: distintos denominadores

5 1 } Resta 3} 6 2 28. Respuestas a los PROBLEMAS 17 11 1 2. 1} 3. 7} 4. } 12 12 18

PROBLEMA 4 1 2 } Resta 4} 6 2 39.

(continúa)

164

Capítulo 2

SOLUCIÓN

2-56

Fracciones y números mixtos

El MCD de 6 y 8 es 24.

Método 1. Primero convertimos a fracciones impropias. 19 1 } 3} 65 6

y

5 21 } 2} 85 8

19

21 } Luego escribimos } 6 y 8 con 24 como denominador multiplicando 19 21 } numerador y denominador de } 6 por 4 y numerador y denominador de 8 por 3. Tenemos

21  3 5 19  4 1 } } } 3} 6 2 28 5 6  4 2 8  3 76 63 } 5} 24 2 24 13 5} 24 Método 2. Escribe las partes fraccionarias usando el MCD 24 como denominador. 15 1 4 } 1 } 14 } 4 No podemos restar } 24 } 3} 4 6 5 324 6 5 6  4 5 24 de } . Tenemos que pedir 24 4 prestado. Escribe 3} 24 15 5 5  3 15 5 como } } } } 22} 28 24 4 8 5 2224 8 5 8  3 5 24 21} 1} 5 2} .

S S

D D

24

24

24

Luego podemos escribir otra vez el problema como 28 4 1 } } 3} 6 5 324 5 224 5 15 15 } } 22} 8 5 2224 5 2224 13 } 24 Nota que la respuesta es la misma con cualquiera de los métodos.

D 6 Suma y resta de números mixtos Finalmente, hacemos un problema con suma y resta de tres números mixtos.

EJEMPLO 5

Sumar y restar números mixtos

3 5 1 } } 1} 9 1 210 2 112 5

SOLUCIÓN

3 3 1 1}8 1 2} 10 2 2} 12 5 5

3

1 } Primero hallamos el MCD de }9, } 10 y 12.

MÉTODO 1

MÉTODO 2

Paso 1. Escribe los denominadores como productos de primos.

Paso 1. Escribe los denominadores en una fila horizontal y divide por el divisor común primo de dos o más números.

95 32  10 5 2 5 12 5 22  3

Paso 2. Selecciona 22, 32 y 5.

2 9 10 12 3 9 5 6 3 5 2 Paso 2. Ningún primo divide 3, 5 y 2.

Paso 3. El MCD es

Paso 3. El MCD es

22  32  5 5 180. Respuestas a los PROBLEMAS 71 5. 1} 120

PROBLEMA 5

2  3  3  5  2 5 180.

2-57

2.6

Suma y resta de números mixtos

165

En ambos casos, el MCD es 180. Ahora reescribimos cada fracción como una fracción impropia con un denominador de 180. 5 9  1 1 5 14 14  20 280 }5}5}5} 1} 9 9 9  20 180 95 10  2 1 3 23 23  18 414 3 }5}5}5} 2} 10 5 10 10 10  18 180 13 13  15 195 1 12  1 1 1 } } } 1} 5 12 5 } 12 5 12 12  15 5 180 Así, 280 414 195 3 5 1 } } } } } 1} 9 1 210  112  180  180  180

280  414  195  }} 180



499 } 180

(Nota que 499  180  2 r 139.)

139  2} 180

E 6 Perímetro Como recuerdas de la sección 1.3, el perímetro de un objeto (figura geométrica) es la distancia alrededor del objeto. Aquí está la definición.

PERÍMETRO

La distancia alrededor de un objeto es el perímetro.

EJEMPLO 6

Encontrar el perímetro 8 8 Las dimensiones de una sala son de 21} 12 pies por 15 pies (nota que 21 significa 8 } 2112 pies). ¿Qué cantidad de zócalos necesitas (rojo) para esta habitación?

SOLUCIÓN

Si descartamos el hecho de que las puertas no necesitan zócalos, simplemente necesitamos calcular el perímetro de la habitación, que es: 8 8 } 21} 12 pies  15 pies  2112 pies  15 pies 8

2 } Primero nota que 21} 12 pies  213 pies. Así necesitamos 2 2 } 21} 3 pies  15 pies  213 pies  15 pies 2 2 }  21} 3 pies  213 pies  15 pies  15 pies 4  42} 3 pies  30 pies 1  42  1} 3 pies  30 pies 1  43} 3 pies  30 pies 1  73} 3 pies de zócalos

S

D

Respuestas a los PROBLEMAS 1 6. 71} 3 pies

SALA

PROBLEMA 6 ¿Qué cantidad de zócalos se necesita si las dimensiones son 208 por 15 pies?

166

Capítulo 2

2-58

Fracciones y números mixtos

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 2.6 5A6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Sumar números mixtos con igual denominador En los problemas 1 al 10, suma. Si es posible, simplifica.

3 1 1. 3} 7  1} 7

3 1 } 2. 3} 9  49

1 3 3. 2} 7} 7

7 1 } 4. 5} 99

3 1 } 5. } 8  58

3 1 } 6. } 8  28

3 4 7. 1} 5  2} 5

5 4 8. 2} 7  5} 7

1 9. 2  3} 7

1 10. 3  4} 8

5B6

Sumar números mixtos con distintos denominadores En los problemas 11 al 20 suma. Si es posible, simplifica.

3 2 } 11. 2} 4  15

3 3 12. 2} 8 5}

3 11 } 13. 1} 10  212

7 4 14. 1} 5  3} 9

3 5 } 15. 1} 4  26

5 4 16. 2} 5  3} 6

1 1 17. 8} 7  3} 9

3 1 } 18. 6} 8  57

1 1 } 19. 9} 11  310

3 1 } 20. 7} 8  19

5C6

Restar números mixtos En los problemas 21 al 34, resta. Si es posible, simplifica.

3 1 21. 3} 7 1} 7

5 3 } 22. 7} 8  38

5 1 } 23. 4} 6  36

3 1 } 24. 5} 8  28

1 1 } 25. 3} 12  14

5 1 } 26. 3} 3  16

4 1 } 27. 3} 2  25

5 1 } 28. 4} 4  36

3 1 } 29. 4} 20  340

9 3 } 30. 8} 10  720

7 5 } 31. 3} 8  112

8 2 } 32. 5} 15  125

13 1 } 33. 3} 60  348

19 7 } 34. 4} 24  460

5D6

Suma y resta de números mixtos En los problemas 35 al 44, suma y resta según lo indicado. Si es posible, simplifica.

8 2 1 } } 35. 3} 9 19 19

3 7 2 } } 36. 4} 11  211 311

3 1 1 } } 37. 3} 4  112  16

5 1 1 } } 38. 2} 6 39 23

1 1 1 } } 39. 4} 2  23 34

3 1 1 } 40. 2} 5  1} 4  52

1 2 1 } } 41. 3} 65 1026 165

7 3 1 } } 42. 1} 62  3155 162

11 43. 14} 45 7 7} 60 8 23} 45

3 44. 10} 26 1 5} 91 1 3} 26





2-59

2.6

Suma y resta de números mixtos

167

666Aplicaciones 45. Temperatura corporal La temperatura corporal normal es 6 98} Fahrenheit. Carlos tiene catarro y su temperatura 10 grados 6 es de 101} 10 grados. ¿Cuántos grados por encima de lo normal tiene?

46. Peso del cerebro humano Un cerebro humano promedio pesa alrededor de 3}18 libras. El cerebro del escritor Anatole France pesaba solamente 2}14 libras. ¿Cuántas libras por debajo del promedio pesaba?

47. Peso del cerebro humano Como se dijo en el problema 46, un cerebro humano promedio pesa aproximadamente 3}18 libras. El cerebro más pesado registrado fue el de Iván Sergeevich 7 Turgenev, un autor ruso. Su cerebro pesaba alrededor de 4} 16 libras. ¿Cuántas libras por encima del promedio pesaba?

48. Distancia recorrida Dora anduvo }4 de milla; luego, 1}23 millas. ¿Cuánto recorrió en total?

49. Ingredientes de una receta Una receta usa 2}12 tazas de harina 3 y }4 de taza de azúcar. ¿Cuál es el número total de tazas de estos ingredientes?

50. Grosor de la madera Una madera de 1}4 pulgadas de gro5 sor está pegado a otro de }8 de pulgada de grosor. Si el grosor 1 del pegamento es de } 32 de pulgada, ¿cuál es el grosor resultante?

51. Peso de los paquetes Sir Loin Stake, un carnicero inglés, vendió paquetes que pesaban }14, 2}12 y 3 libras. ¿Cuál es el peso total de los tres paquetes?

52. Trabajo, cigarrillo y peso Una encuesta reciente encontró que } 10 de los norteamericanos trabaja largas jornadas y fuma, mientras 1 que } 5 tiene sobrepeso. Así, la fracción de personas que no hace 3 o tiene ninguna de estas cosas es 1  }15  } 10. ¿Qué fracción es?

53. Composición de los huesos humanos Los huesos humanos 9 son }14 agua, } vivo. La fracción 20 minerales y el resto tejido 9 de hueso que es tejido vivo es 1  }14  } 20. Encuentra la fracción.

54. Gastos en periódicos Los estadounidenses gastaron $6}12 1 billones en periódicos diarios y $3} 10 billones en periódicos dominicales. ¿Cuántos billones se gastaron en periódicos en total?

55. Promedio de horas de trabajo de canadienses y estadouniden3 ses Los estadounidenses trabajan un promedio de 46}5 horas 9 por semana, mientras que los canadienses trabajan 38} . ¿Cuán10 tas horas más por semana trabajan los estadounidenses?

56. Ayuda de los esposos en las tareas del hogar ¿Los esposos ayudan con las tareas del hogar? Una encuesta reciente estimó que los esposos pasan alrededor de 7}12 horas al día entre semana 3 ayudando en la casa, 2}5 los sábados y 2 horas los domingos. ¿Cuántas horas trabajan los esposos en la casa durante toda la semana?

57. Horas trabajadas Pedro trabajó 15}14 horas el lunes y 9}25 el martes. ¿Cuántas horas trabajó Pedro en total?

58. Lluvia Latasha es una observadora meteorológica del Servicio meteorológico de Estados Unidos. Ella registró 1}12 pulgadas de precipitación el sábado y 2}14 pulgadas el domingo. ¿Cuántas pulgadas de precipitación registró?

5E6

3

3

3

Perímetro En los problemas 59 al 60, halla la cantidad aproximada de zócalos necesaria para las habitaciones dadas (incluye las aperturas de puertas).

59.

60.

ESTACIONAMIENTO PARA 3 CARROS

HABITACIÓN

4

Nota: 114 significa 11} 12 pies.

En los problemas 61 al 64, escribe las operaciones de suma o resta ilustradas y luego suma o resta según lo indicado.

61.



62.



168

Capítulo 2

63.

64.

2-60

Fracciones y números mixtos







666Usa tus conocimientos Un problema de paquetes pequeños de acciones Los corredores de paquetes pequeños de acciones compran paquetes (de 100 acciones) y las dividen en partes desiguales para venderlas a pequeños inversionistas. Cuando venden menos de 100 acciones del capital social (lotes desiguales), los corredores recargan a sus clientes }81 de punto por acción cuando las acciones se venden por fracciones. Así, si tu participación accionaria tiene un valor en el mercado de $5}41, por acción, el corredor te pagará



65. Halla el precio del capital cuyo valor en el mercado es $3}14. 66. Halla el precio del capital cuyo precio en el mercado es $2}14.

w

1 1 1 2 1 1 $5} 4  $} 8  $5  $} 4  $} 8  $5  $} 8  $} 8 1  $5} 8 por acción

Para paquetes de acciones cuyo precio es mayor de $55 por acción, el precio por este servicio es }14 de punto por acción. Así, si el precio cotizado del paquete es $60, el precio por acción al comprar menos de 100 acciones es

67. Encuentra el precio de una acción del paquete cotizada en 3 $62}8. 5

68. Halla el precio de una acción del paquete cotizado a $57}8.

1 1 $60  $} 4  $60} 4

666¡Escribe! 69. ¿La suma de dos fracciones propias es siempre una fracción propia? Explica y da ejemplos.

70 70. ¿La L suma dde ddos números ú mixtos i t es siempre i un número ú mixto? Explica y da ejemplos.

71. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para sumar dos números mixtos.

72. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para restar un número mixto de otro.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 73. Para sumar o restar números mixtos con distintos denominadores, debemos primero hallar el de los denominadores. 74. La distancia alrededor de un objeto es el

MCM MCD

del objeto.

área perímetro

2-61

2.7

Orden de las operaciones y agrupación de símbolos

169

666Prueba de dominio 3 1 } 75. Suma: 2} 4 1 15 3 5 } 77. Suma: 2} 4 1 36 79. Realiza las operaciones según se indica: 7 5 1 } } 2} 9  310  412

3 1 76. Suma: 3} 7  2} 7 3 1 } 78. Resta: 3} 4 2 115 80. Calcula el perímetro del rectángulo: 15

1 2

pies 30

1 4

pies

666Comprobación de destrezas Realiza las operaciones según se indica. 9 5  } 81. } 18 10

3 6 } 82. } 10  28

15 4 } 83. } 5 32

2 .7

Orden de las operaciones y símbolos de agrupación

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

w

A6

Simplificar expresiones que contengan fracciones y números mixtos usando el orden de las operaciones.

B6

Remover símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación.

C6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

10 25 } 84. } 33 11

1. Uso de datos aritméticos (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62) 2. Evaluar una expresión que contenga exponentes. (págs. 77, 82–84) 3. Uso del orden de las operaciones estudiadas en la sección 1.8 para simplificar expresiones. (págs. 82–84)

6 Para comenzar

¿Ejercitas regularmente? Si lo haces, probablemente tomarás tu pulso para saber cuál es tu ritmo cardiaco. Para encontrar el ritmo cardiaco ideal (en pulsaciones por minuto), 7 resta tu edad A de 205 y multiplica el resultado por } 10. Como recordarás de la sección 1.8, usamos paréntesis para indicar qué operación queremos hacer primero. En este caso, primero queremos restar tu edad A de 205:

170

Capítulo 2

2-62

Fracciones y números mixtos

en símbolos, (205A). 7

7

} Luego, multiplica el resultado por } 10, es decir, 10(205A). 7 Así, tu ritmo cardiaco ideal }(205A).

10

Ahora, imagina que tienes 25 años. Esto significa A25, y 7 (20525) Ritmo cardiaco ideal }

10

Para evaluar esta última expresión, usamos el orden de las operaciones estudiado en la sección 1.8. Así, hacemos las operaciones dentro de los paréntesis primero y luego 7 multiplicamos por } 10 como sigue: 7 Ritmo cardiaco ideal  } 10(20525) 7 Resta 25 de 205. 5} 10(180) 7 ? 180 5} Multiplica 7 por 180. 10 1260 5} 7 ? 180 5 1260 10 5 126

Divide entre 10.

Esto significa que tu ritmo cardiaco ideal es 126 pulsaciones por minuto. ¿Hay una manera más fácil de hacerlo? De acuerdo con el orden de las operaciones, podrías dividir 180 entre 10, obteniendo 18, y multiplicar el 18 por 7. El resultado es el mismo, 126.

A 6 Orden de las operaciones El orden de las operaciones que usamos para números cardinales (sección 1.8) también se aplica para fracciones y números mixtos. Estas reglas se repiten para tu conveniencia.

ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR) 1. Hacer primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación ( ), [ ], { }. 2. Evaluar todas las expresiones exponenciales. 3. Hacer las multiplicaciones y las divisiones en el orden que aparecen (de izquierda a derecha). 4. Hacer las adiciones y las restas en el orden que aparecen (de izquierda a derecha).

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Usar el orden de las operaciones

Simplifica.

S D

Simplifica. 32 1 1 } } a. } 3 ? 2 2 12

S D

S D

1 } 22 } 1 a. } 2 ? 3 2 18

3 1 13 } } b. } 2 14?2

S D

3

1 2 } 1 } b. } 3 13?9

SOLUCIÓN

S D

1 } 22 } 1 a. } ? 2 3 2 18 1 } 4 1 } 5} 2 ? 9 2 18 1 4 } 5} 18 2 18 3 5} 18 1 5} 6

S D

S3 D

2 Resolver los exponentes primero }

2

4 5} . 9

S9 D

1 4 4 Resolver las , y  de izquierda a derecha }  }  }. 2

18

3 1 4 Resolver , y  de izquierda a derecha }  }  }. 18 18 18

3 1 Simplificar } a }.

Respuestas a los PROBLEMAS 2 1 } 1. a. } 3 b. 9

18

6

2-63

2 .7

S D

3 1 13 } } b. } 2 14?2 3 1 1 } } 5} 814?2 3 1 } 5} 818 4 5} 8 1 5} 2

EJEMPLO 2

S2 D

1 Resolver los exponentes primero }

3

Orden de las operaciones y agrupación de símbolos

171

5 }18.

Resolver ,  de izquierda a derecha } ? }  }. 3 4

3 8

1 2

1 3 4 Resolver , y  de izquierda a derecha }  }  }. 8

8

8

4 1 Simplificar } a }. 8

2

PROBLEMA 2

Usar el orden de las operaciones

Simplifica.

Simplifica.

S

3 1 1 } 1 } } a. } 4462 215

D

1 } 1 } 1 } 1 b. 8 4 } 2?2?21321

SOLUCIÓN

S

3 5 1 } 1 } } a. } 4462 315

D

1 } 1 } 1 } 1 b. 27 4 } 3?3?31221

3 1 } a. } 4 4 6 2 SD 3 1 7 } } 5} 4 4 6 2 10 9 7 } 5} 2 2 10 38 5} 10 19 5} 5 4 5 3} 5

S D

S D

SS

S

5 1 11} 2 Sumar dentro de los paréntesis: } 5 } 1} 5 10 2 10

7 . D D 5 S} 10 D

18 1 3 4 }6 Resolver 3, y 4 de izquierda a derecha. } 5 }43 ? }16 5 } 5 }29. 4 4

S D

9 2 7 5 45 2 7 5 38. Resolver 1, y 2 de izquierda a derecha } } } } } 2 10 10 10 10 38 a 19. Simplificar } } 10 5

1 } 1 } 1 1 } b. 8 4 } 2?2?21321

8 ? 2. 15} Resolver 3, 4 de izquierda a derecha 8 4 } } 2 1 1

8 2 1 1 1 } } } } 5} 1?1?2?21321

8 ? 2 5 16. Resolver 3, 4 de izquierda a derecha /1 } } 1 1

16 1 1 1 } } } 5} 1 ?2?21321

16 ? 1 ? 1 5 16 5 4. Resolver 3, 4 de izquierda a derecha } } } } 1 2 2 4

1 541} 321

1 5 4} 1. Resolver 1, 2 de izquierda a derecha 4 1 } 3 3

1 5 4} 321

1 2 1 5 3} 1. Resolver 1, 2 de izquierda a derecha 4} 3 3

1 5 3} 3

EJEMPLO 3

Usar el orden de las operaciones

Simplifica.

PROBLEMA 3 Simplifica.

S D

13 1 1 15 1 1 } 1 } } }} } } 2 4} 4?213 222 23?2

S

D

S}21 D 4 }81 ? }21 1 }31 S}23 2 }21 D 2 }31 ? }21 3

SOLUCIÓN

S}12 D 4 }14 ? }21 1 }13S}25 2 }12 D 2 }13 ? }21 Resolver las operaciones dentro de los paréntesis: 1 1 } 1 } 1 1 } 1 5 1 4 } } 5 S} 2 D 4 4 ? 2 1 3(2) 2 S3 ? 2 S}2 2 }2 D5 S}2 D 5 (2). 3

3

1 } 1 } 1 } 1 1 } 1 } 5} 8 4 4 ? 2 1 3(2) 2 3 ? 2 Respuestas a los PROBLEMAS 11 1 2 2. a. } b. 8} 3. __ 3 30 2

S D

1 ^3 5 } 1. Resolver exponentes: } 2 8

(continúa)

172

Capítulo 2

2-64

Fracciones y números mixtos

1 } 1 } 1 1 } 1 } 5} 2 ? 2 1 3(2) 2 3 ? 2

4 1 14} 15} 1?} Resolver divisiones: } 5 }. 8 4 8 1 2

1 } 2 } 1 5} 41326

1?} 15} 1; } 1(2) 5 } 2; } 1?} 15} 1. Resolver multiplicaciones: } 2 2 4 3 3 3 2 6

11 } 1 5} 12 2 6

3 1 8 5 11. 11} 25} Resolver sumas: } } } 4 3 12 12 12

9 5} 12

9. 11 2 } 11 2 } 15} 2 5} Resolver restas: } 12 6 12 12 12

3 5} 4

9 a 3. Simplificar } } 12 4

B 6 Más de un conjunto de símbolos de agrupación

Como recordarás de la sección 1.8, cuando hay símbolos de agrupación dentro de otros símbolos de agrupación (símbolos anidados), los cálculos de los símbolos de agrupación más internos se hacen primero. Ilustramos esto en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Usar el orden de las operaciones

Simplificar.

H S D F S 2

1 1 1 1 } 1 1 } } } 5 4 1} 5 1 12  } 2 2 3 1 22 2 2

Simplifica.

DGJ

H S D F S

1 12 } 1 1 } 1 1 } } } } 6 4 16 1 27  3 2 3 1 23 2 3

DGJ

SOLUCIÓN

H S}21 D 2 F }31 1 S2}12 2 }12 D G J H12  S}21 D 2 F }31 1 2 G J 2

1 1 } 5 4 1} 5 1 12  1 1 5} 5 4 1} 51

2

H H H H J

S D S D J

S D

J J

1 1 12 1 } 5} 5 4 1} 5 1 12  } 2 2 23 1 1 1 1 } 5} 5 4 1} 5 1 12  } 4 2 23 1 1 1 5} 5 4 1} 5 1 3 2 2} 3 2 1 1 } 5} 5 4 1} 51 3 2 1 } 5} 613

S

12} 1 Restar dentro de los paréntesis: 2} 2 2

F

D 5 (2).

G

1 1 (2) 5 2} 1. Sumar dentro de corchetes: } 3 3

S D

1 Resolver los exponentes dentro de las llaves: } 2 1 5 }4 .

S D

2

12 53. S D 5S} 4 D

1 Multiplicar dentro de las llaves: 12  } 4

15} 2. Restar dentro de las llaves: 3 2 2} 3 3 1 Dividir: } 5

4 1}51 5 }51 4 }56 5 }51  }65 5 }61.

1 Sumar: } 6

1 }32 5 }61 1 }64 5 }65.

5 5} 6

C 6 Aplicaciones: promedio Imagina que sacas 8, 9 y 8 en tres pruebas de matemáticas. ¿Cuál es el promedio de las tres pruebas? Aquí está la regla que necesitas:

PROMEDIOS

Los sumandos son los números que van a sumarse (8, 9 y 8).

Respuestas a los PROBLEMAS 17 4. } 21

Para hallar el promedio de un grupo de números, suma los números y divide por el número de sumandos.

Así, para encontrar el promedio de 8, 9 y 8, sumamos 8, 9 y 8 y dividimos entre el número de los sumandos, que es 3. La respuesta es 8 1 9 1 8 25 1 } 5 } 5 8} 3 3 3

2-65

2 .7

Orden de las operaciones y agrupación de símbolos

EJEMPLO 5

Calcular un promedio Ricardo fue a pescar y atrapó 4 peces que pesaban 3 }12, 5}14, 2}12 y 7}14 libras, respectivamente. ¿Cuál es el peso promedio de los cuatro peces?

SOLUCIÓN

173

PROBLEMA 5 Halla el peso promedio de los cuatro peces que pesan 5}14, 6}12, 4}14 y 3}12 libras, respectivamente.

Para calcular el promedio, suma los pesos y divide entre 4. 1 1 1 1 1 5} 1 2} 1 7} 3} 2 4 2 4 }} 4

Para simplificar los cálculos, suma las partes enteras 3, 5, 2 y 7, obteniendo 17, y luego las partes fraccionarias }12 1 }14 1 }12 1 }14 5 1}12. 37 1 1 } 1 1 1 1 } } } 17 1 1} 18} 3} 2 1 54 1 22 1 74 } 2 } 2 } 2 5 5 5 Así, tenemos: }} 4 4 4 4 37 1 37 5 } } } 5} 2  4 5 8 5 48 5

Esto significa que el peso promedio de los cuatro peces es 4}8 libras.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5 A 65B6

S D

Orden de las operaciones En los problemas 1 al 25, simplifica.

2

3

1 1 } 1 3. } 71} 3 2 2

2

2

26. Precipitación en Tampa La precipitación en Tampa, Florida, 1 1 } para enero fue de } 10 de pulgada. Un año después, fue de 22 pulgadas. ¿Cuál es el promedio de precipitación en enero para los dos años? Respuestas a los PROBLEMAS 7 5. 4} 8 libras

27. Precipitación en Tampa La precipitación en Tampa, Florida, 9 para el mes de febrero fue de 2} 10 pulgadas. Un año después fue de 2}45 pulgadas. ¿Cuál es el promedio de precipitación en febrero para los dos años?

para más lecciones

Aplicaciones: promedios

www.mathzone.com

5C6

S D 1 } 1 1 5. } 7  S2 D 2 } 56

1 } 12 } 1 2. } 3 2 16

ir a

S D 1 } 1 1 1 4 } 1 1 } }  6. } 4. } 9  S2 D 2 S3 D 6 S3D 2 1 } 1 1 } 1 } 1 1 } 1 12}  8. } 9. 12 4 6 2 S} 7. } 3265 3 1 2D 2 3 5 5 1 1 } 1 1 } 1 } 1 1 } 1 } 1 4 } 1 } } } 11. } 12. } 10. 18 4 9 2 S} 4 1 6D 3  4 4 2 1 S6 2 2 D 3  6 4 2 1 S5 2 2 D 1 } 1 } 1 1 1 1 1 1 } 1 2 } 1 1 } 1 } 1 1 } 1 14} } } }   } 1 } 2 } 14. } 15. 8 4 } 13. } 10 4 2  2  2 1 S3 2 2 D 2  2  2 2 S3 1 5 D 6 3 3 3 S4 9D 1 } 1 } 1 1 } 1 1 1 } 1 } 4 } 1 1 } 1 1 } } } } 17. } 16. 6 4 } 10 4 5  2 1 8 S5 2 2 D 1 S8 4 4 D 3  3  3 2 S3 1 5 D 1 1 4 1 1 1 1 1 } 1 } 1 } 1 } 1 1 } 1 1 } 1 4} }  1 } } 2 } 1 } 4 } 19. } 18. } 54} 3  3 1 2 S2 2 5 D 1 S8 4 4 D 15 3 3 2 S 5 2 D S 8 4 D 1 1 } 1 1 1 1 1 1 1 1 } 1 1 1 } 1 14} } } } }  1 } } 2 } 1 } 4 } 21. } 20. } 20 4 5 1 H3 4 4 2 F 4 1 S3 2 5 D G J 5 2 2 2 S2 5D S8 4D 3 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 } 1 } 1 14} } } } } 2 } 1 } 2 } 1 } 4 } 23. } 22. H} 30 4 15  H10 4 20 2 F 2  2 1 2 G J 4 2 F 3 S 5 4 D G J 30 6 1 1 1 1 1 1 } 1 } 1 } 1 } 1 1 1 } 1 } 1 1 1 1 4} } } } 25. }  } 4 } 2 }  } 1 } 24. } 4 4 12  6 1 F 5 S3 1 2 D 2 6 G 2 S3 1 2  3 D 30 10 H 2 4 F 3 3 3 G J 1 1 1 } 1. } 51} 6 2 2

6Web IT

6Ejercicios 2.7

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

174

Capítulo 2

2-66

Fracciones y números mixtos

28. Peso de la ceniza El peso aproximado de un pie cúbico de diferentes variedades de ceniza (en libras) es el que sigue: Ceniza negra: 40

29. Peso de los abetos El peso aproximado de un pie cúbico de abetos de diferentes variedades (en libras) es el que sigue:

Ceniza verde: 41}12

Del este: 29 Del oeste: 32}12

Ceniza blanca: 43

Montañoso: 32}5

3

¿Cuál es el peso promedio de un metro cúbico de abetos?

¿Cuál es el peso promedio de un pie cúbico de ceniza? 30. Las tres películas más taquilleras Las tres películas más taquilleras de todos los tiempos y sus ganancias de taquilla neta (en millones de dólares) son:

31. Las tres películas menos taquilleras De las 100 películas más taquilleras, las que ocupan los tres últimos lugares y sus ganancias netas (en millones de dólares) son:

Titanic (1997): 600}45

Rambo: primera sangre (1985): 150}25

La guerra de las galaxias (1977): 460 9 E.T. (1982): 434} 10

Mejor… imposible (1997): 148}12 Gremlins (1984): 148}15

¿Cuál es el promedio de ganancias en taquilla neta para estas tres películas?

a. ¿Cuál es el promedio de taquilla neta para estas tres películas? b. ¿Cuál es la diferencia entre los promedios de las tres últimas películas y las 3 primeras de este grupo de 100 (ejercicio 30)? Fuente: EDI/Filmsources, Variety.

De acuerdo con 32. Horas de sueño por turno laboral Shiftworkers Online, el número promedio de horas de sueño por un periodo de 24 horas para trabajadores por turno laboral es: 3 4}5

Turno nocturno: Turno vespertino: 8}12 Turno diurno: 7}12

33. Dolores nocturnos He aquí lo informado sobre el número de noches por mes, con padecimiento de dolores nocturnos e insomnio en diferentes grupos de edades. 18–34: 6}45 noches por mes 1 35–49: 8} 10 noches por mes 7

50 y mayores: 10} 10 noches por mes

¿Cuál es el número promedio de horas de sueño para los trabajadores de los tres turnos?

¿Cuál es el número promedio de noches por mes en el que se padecen dolores nocturnos e insomnio? Fuente: Encuesta Gallup/ Fundación Nacional del sueño.

Ver TV La tabla muestra el número promedio de horas (por semana) en que ven TV diferentes grupos de edades en tres ciudades canadienses. Esto se usará en los problemas 34 al 40.

Población total

Niños 2–11

Adolescentes 12–17

Hombres 18 y mayores

Mujeres 18 y mayores

Ontario

1 20} 10

13}45

12}45

19}45

23} 10

Manitoba

20} 10

9

14}25

12}45

1 21} 10

24} 10

Saskatchewan

20}12

14} 10

3

12}12

20}15

1 25} 10

9 9

Fuente: Estadísticas de Canadá.

Halla el número promedio de horas por semana en que ven TV 34. La población total.

35. Niños 2–11.

36. Adolescentes 12–17.

37. Hombres 18 y más.

38. Mujeres 18 y más.

39. En promedio, ¿qué grupo ve TV más horas?

40. En promedio ¿qué grupo ve TV menos horas?

2-67

2 .7

Orden de las operaciones y agrupación de símbolos

175

www.mathzone.com

C

Róbalo 5 L2 ? /1200 Lucio

L3 5} 3500

C} Trucha 5 L ? 800 2

L3 Pez walleye (de ojos saltones) 5 } 2700 41. Halla el peso aproximado de un róbalo de 20 pulgadas de largo y con una circunferencia de 15}12-pulgadas.

42. Encuentra el peso aproximado de un lucio de 20 pulgadas de largo.

43. Encuentra el peso aproximado de una trucha de 30 pulgadas de largo y 25 pulgadas de circunferencia.

44. Halla el peso aproximado de un pez walleye de 24 pulgadas de largo.

666Usa tus conocimientos Divisores, promedios, media armónica y ecuaciones

Considera el número 6.

a. 6 tiene 4 divisores: 6, 3, 2 y 1. 6 1 3 1 2 1 1 12 5} 53 b. El promedio de los 4 divisores de 6 es A6  }} 4 4 c. La media armónica H6 de los divisores es 4 4 4 4 6 5 }} 5} 5} ?}52 H6  }} 1 12 1 1 1 1 12 3 6 }1}1}1}

Ahora, interioriza esto,

3

2

1

1 2 }1}1}1} 6

6

6

6

} 6

6  A6  H6  3  2

¿Esto se aplica a todos los números cardinales? 45. Considera el número 8.

a. Encuentra los divisores de 8. (Debes tener 4 de ellos.)

46. Repite el problema 45 usando el número 16. Recuerda, debes tener A16  H16  16.

b. Halla el promedio de los 4 divisores de 8, eso es, A8. c. Encuentra la media armónica de los divisores, eso es, H8. d. ¿Es verdad que A8  H8  8?

666¡Escribe! 47. Hemos estudiado el orden de las operaciones dos veces: en esta sección vimos cómo se aplica a las fracciones, y en la sección 1.8, cómo se aplica a los números cardinales. Escribe con tus palabras los pasos que debes usar para simplificar una expresión usando el orden de las operaciones.

3

48. Cuando simplificamos 16  }8, María multiplicó 16 por 3 y luego dividió por 8. Su respuesta fue 6. Teo dividió 16 por 8 primero y luego multiplicó el resultado, 2, por 3.

a. Escribe con tus palabras quién tiene razón, María o Teo. b. ¿Qué procedimiento es más fácil? ¿El de María o el de Teo?

para más lecciones

Fuente: http://dnr.wi.gov

6

ir a

Fórmulas para el peso del pez (en libras)

6Web IT

Peso de un pez ¿Puedes establecer el peso aproximado de un pez usando una regla? Sí puedes, si usas las fórmulas de abajo y recuerdas que el largo L y la circunferencia C (circunferencia o perímetro) del pez deben ser medidos en pulgadas. Si no tienes una regla flexible que pueda extenderse alrededor del pez, puedes calcular la circunferencia poniendo el doble del alto del pez.

176

Capítulo 2

2-68

Fracciones y números mixtos

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 49. La P en PEMDAR significa hacer todos los cálculos dentro de los

y otros símbolos de agrupación.

adiciones

.

50. La E en PEMDAR significa evaluar todas las expresiones

divisiones

y las divisiones en orden de izquierda a derecha.

51. La M en PEMDAR significa hacer todas las

52. La D en PEMDAR significa hacer todas las multiplicaciones y las

en orden de izquierda a derecha.

y las restas en orden de izquierda a derecha.

53. La A en PEMDAR significa hacer todas las

multiplicaciones exponenciales equivalentes

en orden de izquierda a derecha.

54. La R en PEMDAR significa hacer todas las adiciones y las

restas

paréntesis

666Prueba de dominio S

3 1 1 } 1 } } 55. Simplifica: } 8 4 12 2 4 1 10

1 1 1 1 ?}?}1} 56. Simplifica: 9 4 } 221 3 3 3

D

S D

S D

32 1 1 } } 57. Simplifica: } 3 ? 2 2 18

13 } 2 } 1 58. Simplifica: } 3 13?9

S

S D

5 1 1 13 } 1 } 1 } 1} 1 } } } 59. Simplifica: } 3 43?912 323 23?2

D

H S D F S

1 12 1 1 } 1 1 } } 60. Simplifica: } 7 4 1} 7 1 12 ? } 2 2 4 1 22 2 2

DGJ

1 } 1 1 1 } } 61. Halla el promedio de 2} 2, 54, 32 y 44.

666Comprobación de destrezas Resuelve: 62. x5 5 17

63. x7 5 13

64. 10x 5 3

65. 155x

66. 24x 5 6

2. 8

Ecuaciones y resolución de problemas

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6 B6

C6

Traducir oraciones y frases a ecuaciones matemáticas. Traducir un problema dado a una ecuación matemática; luego resolver la ecuación. Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

1. Uso de los principios de adición o suma, resta, multiplicación y división. (págs. 90-91) 2. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones y números mixtos. (págs. 130-133, 151-159) 3. Usar el procedimiento LSTUV. (pág. 92)

6 Para comenzar En el anuncio que se muestra, se dice que 4 de cada 5 personas —es decir, }54 de las personas—, dicen que las habichuelas Big John saben mejor. Si 400 personas afirmaron eso, ¿podemos hallar cuántas personas fueron encuestadas? Para hacerlo, debemos aprender cómo traducir el problema verbal a matemáticas.

4 de cada 5 personas dicen que las habichuelas Big John saben mejor Apostamos 20 cts. a que usted estará de acuerdo

2-69

2 .8

Ecuaciones y resolución de problemas

177

A 6 Traducir a ecuaciones matemáticas PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS 1. Lee el problema atentamente y decide qué se pregunta (lo desconocido) 2. Selecciona o una letra que represente lo desconocido. 3. Traduce el problema en una ecuación. 4 } de 5

las personas prefieren las habichuelas Big John. Es decir, 400 personas .

︸︸

︸︸

4 } 5

 p 5 400 4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. 5. Verificar la respuesta. ¿Cómo recordar estos pasos? Mira la primera letra de cada oración. Todavía llamamos a esto el método LSTUV. Leer el problema. Seleccionar lo desconocido. Traducir el problema a una ecuación matemática. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Verificar la respuesta. Como puedes ver del cuadro de arriba, tradujimos la palabra “de” como multiplicación () y las palabras “es decir” como 5. Como estas y otras palabras van a usarse más adelante, damos un diccionario para que puedas traducirlas de manera apropiada.

Diccionario de matemáticas Palabra o frase

Traducción

Es, es igual a, equivale, lo mismo De, producto, veces, múltiplo, multiplicar por Adicionar, más de, más, sumar, incremento de, sumado a Sustraer, menos de, menor, diferencia, decrece en restado de, menos, disminuido Dividir, dividido por, el cociente Doble, dos veces, el doble de Mitad, la mitad de, mitad de

5 3o 1 2 4 23ó2 1 1 }3ó} 2 2

Ahora, usemos el diccionario para traducir las siguientes frases: a.

un número multiplicado por 8 ︸︸

b.

la suma de }15 y un número

︸

︸

1 } 5

n8

1n

(Puedes usar cualquier letra en lugar de n.) c.

1 } 3

menos que el doble del número ︸

2  n 2 }13

d.

un número dividido entre 8 ︸︸︸ n

n 4 8 ó }8

178

Capítulo 2

2-70

Fracciones y números mixtos

e.

3 } 4

de una cantidad equivale a 300 ︸︸︸ 3 } 4

︸

 q 5 300

EJEMPLO 1 Traducir palabras en ecuaciones matemáticas Traducir a ecuaciones matemáticas.

PROBLEMA 1

a. 7 más un número es 8. b. La diferencia entre un número y 4 es 1. c. Dos veces un número equivale a 10.

a. 5 más que un número es 6.

Traduce a ecuaciones matemáticas.

b. La diferencia entre un número y 8 es 2. c. 3 veces un número equivale a 12.

SOLUCIÓN a. n 1 7 5 8 b. n 2 4 5 1 c. 2  n 5 10

B 6 Resolver problemas ¿Cómo podemos hallar la respuesta de (a), (b) y (c) del ejemplo 1? Podemos resolverlo usando los principios de la suma, la resta y la multiplicación que estudiamos en la sección 1.9. Para hacer las cosas más fáciles, podemos establecer un principio más general:

PRINCIPIOS PARA RESOLVER ECUACIONES Si c es un número, la ecuación a 5 b es equivalente a: a 1 c 5 b 1 c (principio de la suma) a 2 c 5 b 2 c (principio de la resta) a ? c 5 b ? c (principio de la multiplicación) (c Þ 0) a 4 c 5 b 4 c (principio de la división) (c Þ 0) a b }5} o c c

Así, para encontrar la respuesta de (a), n78, resolvemos esta ecuación usando la resta. n175 8 restar 7. n1727 5 827 ︸ 72750 0 n5 1 Para resolver (b): n245 1 sumar 4. n2414 5 114 ︸ 24 1 4 5 4 2 4 5 0 0 n5 5 Para resolver (c): 2 ? n 5 10 dividir entre 2. 10 2?n 2 }5 } } 51 y 1 ? n 5 n 2 2 2 n5 5 Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. n 1 5 5 6 b. n 2 8 5 2 c. 3  n 5 12

2-71

2 .8

EJEMPLO 2

179

Ecuaciones y resolución de problemas

PROBLEMA 2

Traducir y resolver ecuaciones

Traduce y resuelve.

Traduce y resuelve. 1 } 7

1 }. 2

a. Un número n incrementado por }14 3 es }5. Halla n.

a. Un número x incrementado por da Encuentra x. b. }13 menos que un número y es }25. Encuentra y. 3 c. El cociente de z y 5 es }4. Encuentra z.

b. Un número m menos Halla m.

SOLUCIÓN

1 } 3

3

es }5.

3

a. Traducimos el problema como: Un número x incrementado por }17 da }12 . ︸︸ 1 } 7

x 1

5

c. El cociente de q y 7 es }5. Halla q.

︸

1 } 2

Como }17 se suma a x, restamos }17 de los dos lados y obtenemos 1 1 1 1 } } } x} 7 7 7 2 ︸

0 1 1 x} } 7 2 El MCD de 2 y 7 es 14, entonces escribimos 12 17 } 72  x} 27 7 5 2 } } } 14 14 14



b. Traduce: un número y menos }13 es }25. 1 2 y} } 5 3 1 1 2 1 y} } } } 5 3 3 3

1 Suma }.

︸



3

0 2 1 y} } 5 3 El MCD de 5 y 3 es 15, entonces escribimos cada fracción con un denominador 15 y obtenemos 6 5 23 15 11 } } } } y} 53 35 15 15 15 3

c. El cociente de z y 5 es }4 se traduce como z 3 }5 5 } 4

3 z 5  }5  5  } 4

Multiplica por 5.

15 3  3} z} 4 4

Para resolver los problemas que requieren traducciones, no olvides usar el método LSTUV.

Respuestas a los PROBLEMAS 3 7 3 1 } 1 } 14 } } } 2. a. n 1 } 4 5 5; n 5 20 b. m 2 3 5 5; m 5 15

q 3 1 21 c. } 5 5 4} 75} 5; q 5 } 5

180

Capítulo 2

2-72

Fracciones y números mixtos

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Traducir y resolver ecuaciones

5

Resuelve:

3 ¿}5

¿}6 de qué número es 15?

de qué número es 12? ︸ 3 } 5

SOLUCIÓN

 n  12 3 }  n 12 5 }} 3 } 5

Así,

Divide entre }35.

3 } 5

4

5 3 12 } } n} 3  12  5  12 ? 3  4 ? 5  20 } 1 5

COMPRUEBA

3

¿Es }5 ? 20  12? Sí, 4

3 } ? 20  12 5 1

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Traducir y resolver ecuaciones

¿Qué fracción de 2}12 es 3}14?

Resuelve: ¿Qué fracción

de 1}12 es

︸

︸︸

3 2}4?

3 1 } n  1} 2  24

SOLUCIÓN 3

3

11 Como 1}12  }2 y 2}4  } 4, 3 11 } n} 2 4 3

Dividir por }2,

3 11 } n} 4 2 }} 3 3 } } 2 2

Así, 1

11 3 11 2 11 2 11 } } n} } } ?}} 4 ?3 6 4 2 4 3 2

COMPRUEBA

11 11 ¿Es } 3  } 6 } 4 ? Sí, 2

1

11 3 11 }?}} 6

2

4

2

EJEMPLO 5 Traducir y resolver ecuaciones 3 3 Encuentra un número de manera que }5 del mismo sea 1}4. SOLUCIÓN

Halla un número de manera que }27 del mismo sea 1}12.

3 3 } 5 ? n  1} 4

7 3 } ?n} 5

Escribir 1}34 como

3 7 } ?n } 5 4 }}

Divide entre }35.

4

3 } 5

Respuestas a los PROBLEMAS 13 21 3. 18 4. } 5. } 10 4

PROBLEMA 5

3 } 5

7 } 4

2-73

2 .8

Ecuaciones y resolución de problemas

181

Así, 7 3 7 5 35 n} } } ?}} 5 4 4 3 12

COMPRUEBA

3

35

7

} ¿Es }5 ? } 12  4? Sí, 1

7

3 35 7 } ?}} 5 12

1

4

4

EJEMPLO 6

Encontrar productos 5 ¿Cuál es el producto de 3}12 y 1}7?

SOLUCIÓN ó

1 5 3} ? 1} n 7 2 7 12 }?} n 2 7 6n

PROBLEMA 6 ¿Qué número es el producto de 2}14 y 1}13?

C 6 Aplicaciones con ecuaciones Las ideas presentadas en estos ejemplos pueden usarse para resolver problemas de este tipo: si 7}12 onzas de salsa de tomate cuestan 15 cts., ¿cuánto costarán 10 onzas? Para resolver este problema, hacemos un problema más simple que podemos resolver fácilmente y luego usarlo como modelo. Por ejemplo, si 8 manzanas cuestan 40 cts., ¿cuánto costarán 10 manzanas? 8 manzanas cuestan 40 cts. 1 manzana cuesta 5 cts. 10 manzanas cuestan 5  1050 cts. Ahora, para resolver el problema de la salsa de tomate, procedemos de manera similar, usando el problema de la izquierda como modelo. Solución

8 manzanas cuestan 40 cts. 1 manzana cuesta 40 cts.  8  5cts.

15

7 }12  } 2 onzas cuestan 15 cts. 1 onza cuesta 1

15 2 15 cts.  }  15 ? }  2 cts. 2 15 1

10 manzanas cuestan 5 cts.  10  50 cts.

10 onzas cuestan 2 cts. ? 10  20 cts.

Lo que hicimos aquí fue usar una de las técnicas de resolución de problemas mencionadas en la sección 1.9: crear un problema relacionado o modelo que es fácil de resolver y seguir para resolver el problema dado. Este problema también se puede resolver usando razones y proporciones. Estos temas se abordan en el capítulo 4.

EJEMPLO 7

Costo del detergente 3 Si 1 pinta 6 onzas (1}8 pintas) de detergente líquido cuesta 66 cts., ¿cuánto costarán 2 pintas?

SOLUCIÓN La solución sigue el modelo mostrado. 3 1}8 pintas cuesta 66 cts. 1 pinta cuesta 6 8 11 66 cts.  }  66 cts. ? }  48 cts. 8 11 1

2 pintas cuestan 48 ? 2 cts.  96 cts. Respuestas a los PROBLEMAS 6. 3

7. 96 cts.

PROBLEMA 7 Si 1}14 pintas de detergente cuestan 60 cts. ¿Cuánto costarán 2 pintas?

182

Capítulo 2

2-74

Fracciones y números mixtos

EJEMPLO 8 Correr y el álgebra Una corredora recorre 1}12 millas en 7}12 minutos. ¿Cuánto recorrerá en 10}12 minutos? SOLUCIÓN

PROBLEMA 8 Una corredora recorre 1}12 millas en 6}13 minutos. ¿Cuánto recorrerá en 12}23 minutos?

La solución sigue el modelo aprendido. 15

7}21  } 2 minutos 3

1}21  }2 de milla En 1 minuto, la corredora recorre 1

1

3 15 3 2 1 }}}?}} de milla 5 2

2

2

15

1

5

21 En 10}12  } 2 minutos, la corredora recorre 1 21 21 1 } ?}}  2} de millas 5 2 10 10

Ahora que estamos familiarizados con el modelo que nos ayuda a resolver problemas, nos referiremos otra vez a la sección Para comenzar y resolvemos la ecuación sobre el número de personas que participaron en la encuesta. 4 } ? p  400 5 Divide ambos lados por }45. Esto significa 100

5 4 p  400  }  400 ? }  500 5 4 1

Entonces, 500 personas fueron encuestadas, lo que puede verificarse fácilmente, porque }45 de 500 es 400, eso es, }45  500  400. Resumamos lo que hicimos: a. Aprendimos a traducir palabras en ecuaciones. b. Resolvimos las ecuaciones usando los cuatro principios dados. c. Usamos modelos simples para resolver aplicaciones. Ahora usamos el procedimiento LSTUV para incorporar las técnicas recién mencionadas.

EJEMPLO 9 Monedas ¿Sabes lo que es un dólar Sacagawea? Es una moneda de dólar como la que se muestra. Para que puedan usarse en las máquinas de monedas, estos dólares se diseñaron con la misma forma y peso como un dólar Susan B. Anthony. El dólar Sacagawea consiste en una aleación que es 3Y25 de zinc, 7Y100 de manganeso, 1Y25 de níquel y el resto de cobre. ¿Qué fracción del dólar Sacagawea es de cobre?

SOLUCIÓN Usemos el procedimiento LSTUV para resolver el problema. Las instrucciones están en negrita y las respuestas están más abajo. 1. Leer el problema. Recuerda que debes leer el problema varias veces antes de continuar con el paso 2. La pregunta es: ¿qué fracción del dólar Sacagawea es de cobre? Respuestas a los PROBLEMAS 8. 3 millas

75  3 9. } } 100 4

PROBLEMA 9 ¿Qué fracción será de cobre si la cantidad de manganeso fuera incrementada a 9/100?

2-75

2 .8

Ecuaciones y resolución de problemas

2. Selecciona lo desconocido. Como queremos encontrar la fracción del dólar Sacagawea que es de cobre, dejemos que lo desconocido (lo que estamos buscando) sea c. 3. Traduce el problema a una ecuación o desigualdad. Escribe la información esencial y traduce a una ecuación. Cuando sumamos las fracciones (3y25, 7y100, 1y25, y c) queremos terminar con el (1). 3y25 7y100 1y25 el resto zinc manganeso níquel cobre 3 7 1 } } } 1 1 1 c51 25 100 25 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. Para resolver la ecuación, debemos simplificar (sumar) primero. El MCD de 25, 100 y 25 es 100, entonces escribimos todas las fracciones con un denominador de 100. 7 3 1 } 1 } 1 } 1 c51 25 100 25 12 } 100

1

7 } 100

1

Sumar fracciones. Restar

23 } 100

4 } 1 100

100 c5} 100

23 } 1 100

100 c5} 100

de ambos lados.

100 23 c5} 2} 100 100 77 5} 100

77 Así, la fracción de la moneda que es de cobre es c 5 } . 100 5. Verifica la respuesta. Para verificar la respuesta nota que: 7 77 3 1 } 1 } 1 } 1 } 25 100 25 100 12 7 77 100 4 5} 1 } 1 } 1 } 5 } 51 100 100 100 100 100

TRADUCE ESTO 1.

8 más que un número es 17.

2.

La diferencia entre un número y 10 es 1.

3.

La diferencia entre 10 y un número es 1.

El tercer paso en el procedimiento LSTUV es TRADUCIR la información a una ecuación. En los problemas 1 al 10 TRADUCE la oración y haz corresponder la traducción correcta, con las ecuaciones A–O.

A. n 1 17 5 8 B. 10 2 n 5 1 1 2 5} C. n 2 } 5 5 6 2 D. } n5} 5 2 1 E. n 2 } 5} 5 5 1 1 F. n 1 } 5 } 8

4.

Un número incrementado en }18 da }13.

6. El cociente de un número y 6 es }25.

7. El cociente de 6 y un número es }25.

8.

2 } 3

de un número es 5.

3

1n 5 12 G. 3} } 5 3 2 H. } 5 5n

9. ¿Qué fracción de 1}32 es 3}51?

3

n 1 8 5 17 4 2 J. }n 5 1} 5 3 n 2 K. } 5 } 6 5 1 2 L. } 2 n 5 } 5 5 2 n 5 31 M. 1} } I.

5.

Un número n menos }15 es }25.

3

5

N. n 2 10 5 1 2 O. }n 5 5 3

10. Halla un número tal que }45 de él es 1}23.

183

184

Capítulo 2

2-76

Fracciones y números mixtos

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 2.8 5A6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Traducir a ecuaciones matemáticas En los problemas 1 al 20 traduce a símbolos matemáticos, expresiones o ecuaciones.

1. Es

2. Más

3. De

4. Es igual a

5. Incrementado en

6. Multiplicado por

7. Menos

8. La mitad de un número

9. El doble de un número

10. Restar

11. Un número sumado a 5

12. Un número n menos 7 3

14. El producto de 1}4 y un número

13. Un número menos 7 3

3

15. El cociente de }4 y un número es 5.

16. El cociente de un número y }4 es 5.

17. La mitad del triple de un número es igual a 2.

18. El doble de un número incrementado en 2 es }3.

8

3

19. La mitad de un número disminuido en 4 es igual a }2.

5B6

Resolver problemas

20. Un número restado de 8 es igual al mismo número.

En los problemas 21 al 40 traduce y resuelve. 3

21. Un número m incrementado en }18 da }7. Halla m. 3

3

22. Un número n sumado a }15 da }8. Halla n.

más un número p es 1}4. Halla p.

24.

1 } 5

menos un número x es }47. Halla x.

25. y disminuido en }4 produce }45. Encuentra y.

3

26.

3 } 5

restado de z es 1}8. Encuentra z.

27. u dividido entre 6 da 3}12. Halla u.

28. El cociente de r y 7 es }5. Halla r.

29. El triple de un número t es 2}15. Halla t.

30. La mitad de un número n es 1}23. Encuentra n.

31. ¿1}12 de qué número es 7}12?

32. ¿1}8 de qué número es 2}8?

33. ¿Qué fracción de 1}23 es 4?

34. ¿Qué fracción de 2}12 es 6?

35. ¿Qué parte de 2}12 es 6}14?

36. ¿Qué parte de 1}13 es 3}18?

37. ¿1}13 de qué número es 4}23?

38. ¿3}25 de qué número es 4}14?

39. ¿Qué número es 1}18 de 2}12?

40. ¿Qué número es 1}18 de 2}23?

23.

2 } 5

7

3

5

7

5 C 6 Aplicaciones con ecuaciones (¡Usa el procedimiento LSTUV!) 41. Pan rebanado Laura horneó un pan de 22}12 pulgadas de largo, luego lo cortó en 12 rebanadas grandes. ¿De qué largo sería el pan si fueran 16 rebanadas del mismo grosor que las 12 rebanadas?

42. Receta de pancakes Una receta para 2}12 docenas de pancakes usa 3}12 tazas de leche. ¿Cuántas tazas son necesarias para hacer 1}14 docenas?

43. Receta de galletas Una receta para 2}12 docenas de galleta usa 7 1}8 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para preparar 1}13 docenas de galletas?

44. Bolas de popcorn Dora usó 2}23 tazas de maíz para hacer dos bolas de popcorn. ¿Cuántas tazas necesitaría para hacer 5 bolas?

45. Porciones para un banquete En un banquete 20 personas comieron 15 libras de jamón. ¿Cuántas libras de jamón se hubieran necesitado para alimentar 32 personas, si consumieran igual cantidad de jamón por persona?

46. Musgo para rosales Pedro Moss usa 9 libras de musgo para sus 27 rosales. Si cada rosal obtiene la misma cantidad de musgo, ¿cuántas libras serían necesarias para 30 rosales?

2-77

2 .8

Ecuaciones y resolución de problemas

185

49. Precio del arroz Si 3}14 libras de arroz cuestan 91 cts., ¿cuánto costarán 2}12 libras?

50. Salario por hora Si tú ganas $225 por 37}12 horas de trabajo, ¿cuánto ganarías por 46}12 horas a la misma tarifa?

Taiwán 3/100

Fuente: Oficina de Patentes y Marcas Registradas de Estados Unidos.

51. ¿Qué fracción de las patentes fueron extranjeras?

52. ¿Qué fracción de las patentes fueron otorgadas a otros países?

53. Temperaturas Celsius a Fahrenheit Si sabes la temperatura C en grados Celsius, puedes convertirla a grados Fahrenheit, usando la fórmula 4 F 5 1} C 1 32 5

54. Temperaturas Fahrenheit a Celsius Por otra parte, si quieres convertir de grados Fahrenheit F a grados Celsius C, puedes usar la fórmula 5F 2 160 C5}

¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando en Celsius es de 25 grados?

¿Cuál es la temperatura en grados Celsius cuando en Fahrenheit es de 68 grados?

55. Temperatura Fahrenheit y chirrido de los grillos Si no tienes un termómetro para saber la temperatura F en grados Fahrenheit, ¡siempre puedes usar el número de chirridos de los grillos en un minuto!

56. Temperatura Fahrenheit y chirrido de los grillos Existe otra fórmula para conocer la temperatura F en grados Fahrenheit contando los chirridos, c, que un grillo emite en un minuto. La fórmula es c 2 40 F5} 1 50 4

La fórmula es c F 5 } 1 39 4

Si un grillo emite 120 chirridos en un minuto, ¿cuál es la temperatura?

9

a. ¿Cuál es la temperatura si el grillo emite 120 chirridos en un minuto? b. ¿Es distinta la respuesta que la del ejercicio 55? ¿Cuál es la diferencia?

En los problemas 57 al 64, sigue el procedimiento del ejemplo 9 para resolver los problemas. 57. Mezcla de cemento El cemento para usos generales es bueno para casi todo, excepto para cimientos y pavimento expuesto. Este cemento se hace mezclando }16 partes de cemento, }13 agregado fino y el resto de agregado grueso. a. ¿Qué fracción es cemento?

58. Receta de la mejor limonada La tan famosa mejor limonada 3 incluye 1}4 tazas de azúcar blanca, 8 tazas de agua y 1}12 tazas de jugo de limón. a. ¿Cuántas tazas son en total? b. Si una taza son 8 onzas, ¿cuántas onzas son?

b. ¿Qué fracción es agregado fino? c. ¿Qué fracción es agregado grueso?

c. Si quieres preparar 10 porciones, ¿cuántas onzas hay en cada porción?

d. ¿Cuántas libras de agregado grueso habrá en una bolsa de 50 libras de cemento para usos generales? 59. Receta de ponche de melón de melón requiere

Una receta para preparar ponche

b. Si una taza es de 8 onzas, ¿cuántas onzas son?

6 tazas de jugo de melón

1 } 4

de taza de frambuesas

1 } 2

1 } 3

de taza de azúcar

taza de jugo de limón

a. ¿Cuántas tazas son en total?

c. Si quieres preparar 10 porciones, ¿cuántas onzas hay en cada porción?

para más lecciones

Alemania 7/100 Japón 1/5

Otros Estados Unidos 12/25

www.mathzone.com

Patentes estadounidenses y extranjeras La gráfica muestra la fracción de patentes de servicios (nuevas y útiles) otorgadas en Estados Unidos y en otros países. Éstas se usarán en los problemas 51 al 52.

ir a

48. Costo del producto Si 6}12 onzas de un producto cuestan 26 cts., ¿cuánto costarán 3}12 onzas?

6Web IT

47. Velocidad de carrera Un corredor recorre 1}12 kilómetros en 4}12 minutos. A ese ritmo, ¿qué distancia puede recorrer en 7}12 minutos?

186

Capítulo 2

2-78

Fracciones y números mixtos

60. Volumen de agua Un pie cúbico (pie3) de agua pesa 62}12 libras. Si el agua en un recipiente pesa 250 libras, ¿cuántos pies cúbicos ocupa el agua?

61. Tanque de gasolina de un Corvette Un pie cúbico de gasolina pesa 42}12 libras. La gasolina del tanque de un Corvette’57 pesa 138}18 libras. ¿Cuántos pies cúbicos aproximados caben en un tanque de gasolina del Corvette?

62. Tanque de gasolina de un Corvette Un pie cúbico de etanol pesa 49}13 libras. El etanol del tanque de un Corvette especialmente diseñado pesa 222 libras. ¿Cuántos pies cúbicos aproximados caben en un tanque de gasolina especialmente diseñado?

63. Peso de la gasolina Un galón de gasolina premium pesa 3 6}5 libras. La capacidad del tanque en un Corvette es de 18 galones. ¿Cuál es el peso de la gasolina en un Corvette con su tanque lleno?

64. Peso de la gasolina Un galón de gasolina premium pesa 3 alrededor de 6}5 libras. La capacidad del tanque en un Corvette es de 18 galones. ¿Cuál es el peso de la gasolina en un Corvette 3 si su tanque está }4 lleno?

666Usa tus conocimientos Precio por unidad d d Habrás b á notado d que muchos h supermercados d están á usando d lla id idea dde precio por unidad. d d Esto significa i ifi que cada ítem lleva una etiqueta en la que dice su precio unitario. El precio unitario es el costo dividido por la cantidad. En este caso, costo } onzas El resultado es el costo por onza. Por ejemplo, si 3 onzas de atún cuestan 75 cts., el precio unitario es 75  3  25 cts. Ahora, considera que una lata de atún de 3}12 onzas se vende a 84 cts. El precio unitario es 12

7 1 2 84  3}  84  }  84  } 7  24 cts. 2 2 Es decir, cada onza cuesta 24 cts. Otra lata de atún contiene 4}12 onzas, y su costo es 99 cts., ¿qué lata es la mejor opción para comprar? Como la primera 9 lata de atún cuesta 24 cts. por onza, 4}12 onzas costarán 4}12  24  }2  24  108 cts., lo que es más que 99 cts. También puedes resolver este problema hallando el precio unitario para la lata de 99 cts. Este costo es 9 2 99 2 1  99  }  99  } }  }  11 2 99  4} 2 2 9 1 9 ó 22 cts. por onza. En ambos casos, la segunda lata es la mejor opción de compra. Aquí está el resumen de lo que hicimos para comparar precios: Paso 1. Dividimos el precio del primer ítem por el número de unidades que contiene. Paso 2. Multiplicamos el número obtenido en el paso 1 por el número de unidades que contiene el segundo ítem. Paso 3. Seleccionamos el ítem más barato. En los siguientes problemas, selecciona la mejor opción de compra. 65. Sardinas a 45 cts. por 4}12 onzas

66. Salchichas Viena a 28 cts. por 3}12 onzas

Sardinas a 66 cts. por 5}12 onzas

Salchichas Viena a 33 cts. por 5}12 onzas

67. Atún a 70 cts. por 3}12 onzas

68. Concentrado de jugo de china a 36 cts. por 4}12 onzas

Atún a 98 cts. por 4 onzas 69. Concentrado de limonada a 33 cts. por

Concentrado de jugo de china a 39 cts. por 5 onzas 5}12

onzas

Concentrado de limonada a 29 cts. por 5 onzas

666¡Escribe! 70. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para resolver problemas verbales.

71. Escribe una lista de todas las estrategias que usas para resolver un problema verbal.

72. Cuando lees un problema verbal, ¿qué es lo primero que tratas de determinar?

73. ¿Cómo verificas la respuesta de un problema verbal?

2-79

Aprendizaje colaborativo

187

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con la/las l /l palabra/s, l b / frases f o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. /

a4c5b4c

74. De acuerdo con el principio de la adición para resolver ecuaciones, si c es un número cualquiera, la ecuación a  b es equivalente a .

b1a5c1a a1c5b1c

75. De acuerdo con el principio de la resta para resolver ecuaciones, si c es un número . cualquiera, la ecuación a  b es equivalente a

c2a5b2a

76. De acuerdo con el principio de la multiplicación para resolver ecuaciones, si c es un número cualquiera diferente de 0, la ecuación a  b es equivalente a . 77. De acuerdo con el principio de la división para resolver ecuaciones, si c es un número cualquiera . diferente de 0, la ecuación a  b es equivalente a

a2c5b2c a?b5a?c a?c5b?c b4a5c4a

666Prueba de dominio 3

3

78. Halla un número tal que }5 del mismo sea 3}14.

79. ¿Qué fracción de 1}12 es 3}4?

80. Resuelve: ¿}23 de qué número es 6?

81. Traduce a símbolos: a. Tres veces un número es igual a 9. b. La diferencia entre un número y 5 es 2. c. 8 más que un número es 7. 5

83. ¿Qué número es el producto de 2}12 y 3}7?

82. Traduce y resuelve: a. Un número x incrementado en }18 da }12. Halla x. b.

1 } 4

menos de un número y es }25. Halla y. 3

c. El cociente de z y 4 es }5. Halla z. 84. Una pinta 8 onzas (1}12 pintas) de detergente cuesta 78 cts. ¿Cuánto cuestan 2 pintas?

85. Una corredora recorre 1}12 millas en 8}12 minutos. ¿Cuánto recorrerá si corre 17 minutos?

666Comprobación de destrezas 86. Redondea 185 a la centena más cercana. 88. Redondea 3285 al millar más cercano. 5 2 3 1 1 }  } } } . 90. Simplifica 4 } 7 4 3 8 4

F S

D

G

87. Redondea 185 a la decena más cercana. 5 1 11  3} } 1 . 89. Simplifica 84  } 2 3 3

F S

D G

6Aprendizaje colaborativo Los profesionales de la salud usan muchas proporciones para detectar anormalidades. Forma tres grupos diferentes: biblioteca, Internet y otros. ¿Cuál es la causa principal de muerte en Estados Unidos? ¡Enfermedades cardiacas! Deje a cada grupo encontrar las respuestas a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántas muertes por año se atribuyen a enfermedades del corazón? ¿Cuál es el número total de muertes anuales? ¿Cuál es la proporción de muertes atribuidas a enfermedades del corazón en relación con el número total de muertes? ¿Están de acuerdo las respuestas de los grupos? ¿Por qué? Existen muchas proporciones asociadas con enfermedades del corazón. Miremos dos de ellas: HDL/colesterol y cintura/cadera. 2. Deje que cada grupo halle cuál es la proporción de HDL/colesterol ¿Cuál es el valor recomendado de esta proporción?

188

Capítulo 2

2-80

Fracciones y números mixtos

3. Existe otra forma no invasiva para medir su salud cardiaca. Esta vez, divida los grupos entre mujeres y hombres. Complete el siguiente cuadro: Cintura

Caderas

Proporción

Mujeres

Hombres

8

4 } Para las mujeres, el riesgo de enfermedad del corazón se incrementa cuando cintura/cadera  } 10  5  0.8, para los hombres, cuando cintura/cadera  1. De hecho, cuando cintura/cadera es mayor de 1.0 para hombres y 0.8 para mujeres, el riesgo de enfermedad del corazón o infarto es 5 a 10 veces mayor que para personas con una proporción menor. 

de 6Preguntas investigación

1. Las primeras fracciones egipcias y griegas eran usualmente fracciones unitarias (tenían un numerador 1) ¿Cómo se mostraban esas fracciones? 2. ¿Cómo se indicaban las fracciones en la antigua Roma? 3. Es probable que nuestro método para escribir fracciones comunes se deba esencialmente a los matemáticos hindúes. Nombra dos matemáticos hindúes que escribieron fracciones como lo hacemos hoy, aunque sin la barra. 4. La barra horizontal de la fracción la introdujeron los árabes y es atribuida a un matemático árabe que vivió alrededor del año 1200. ¿Cuál es el nombre de este matemático? 5. Nombra los primeros matemáticos europeos que usaron la barra de las fracciones como se usa hoy. 6. ¿Por qué se introdujo la barra diagonal de las fracciones / (llamada guión oblicuo o vírgula)?

6Resumen del capítulo 2 Sección 2.1

2.1B

Asunto

Significado

Ejemplo a }, b a }, b

a es el numerador.

Numerador Denominador

En una fracción En una fracción

Fracción propia

Una fracción cuyo numerador es menor que el denominador. Una fracción cuyo numerador es mayor o igual al denominador.

Fracción impropia

b es el denominador .

El numerador de }23 es 2. El denominador de }23 es 3. 3 9 }, } 4 11

16

y} 17 son fracciones propias.

17 19 }, } 16 19

y }11 son fracciones impropias.

2-81

Resumen del capítulo 2

189

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

2.1C

Número mixto

La suma de un número entero y una frac- 5}23 y 10}14 son números mixtos. ción propia.

2.2

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si nombran al mismo número.

2 } 4

2.3A

Producto de dos fracciones

a c a?c }?}5} b d b?d

3 2 3?2 6 } 5?} 75} 5?75} 35

2.3D

Recíprocos de fracciones El recíproco de }b es }a. a c a d } 4 } 5 } ? }c División de fracciones b d b

4 } 5

2.4A

MCM (mínimo común múltiplo)

El MCM de dos números naturales es el número menor, múltiplo de ambos números.

El MCM de 10 y 12 es 60 y el MCM de 82 y 41 es 82.

2.4B

MCD (mínimo común denominador)

1 1 } El MCD de dos fracciones es el MCM de El MCD de }14 y } 12 es 12 y el MCD de 9 1 y} los denominadores de las fracciones. 12 es 36.

2.5A

Suma de fracciones

a c a1c }1}5} b b b

3 2 5 } 71} 75} 7

2.5C

MCD de tres fracciones

El número menor que es múltiplo de todos los denominadores.

1 El MCD de }25 y }4 y } 10 es 20.

2.5D

Resta de fracciones

a c a2c }2}5} b b b

3 2 1 __ 2}5}

2.6E

Perímetro

La distancia alrededor de un objeto.

El perímetro del rectángulo es de 9 pulgadas.

a

b

y }12 son equivalentes.

5

y }4 son recíprocos uno del otro. 5 10 5 2 4 } 2 } }4} } } 3 5 5 3 ? 4 5 12 5 6

3

7

7

7

3

1 2

pul.

1 pul.

1 pul. 1

3 2 pul.

2.7

2.8

PEMDAR

Ecuaciones equivalentes

El orden de las operaciones es

Para evaluar 3 ? 2 4 6 1 (2 1 4) 2 22

P (cálculo dentro de paréntesis) E (expresiones exponenciales) M (multiplicaciones) D (divisiones) A (adiciones) R (restas)

P:

3 ? 2 4 6 1 (6) 2 22

E: M: D: A: R:

3 ? 2 4 6 1 (6) 2 4 6 4 6 1 (6) 2 4 11 (6) 2 4 724 3

Cada una de las siguientes ecuaciones es equivalente a a 5 b (c es cualquier número): a1c5b1c a2c5b2c a ? c 5 b ? c (c no es 0) a 4 c 5 b 4 c (c no es 0)

190

Capítulo 2

2-82

Fracciones y números mixtos

6Ejercicios de repaso del capítulo 2 (Si necesitas ayuda con estos ejercicios, mira en la sección que se indica entre corchetes) 1. 5 2.1B6 Clasifica como fracciones propias o im-

2.

propias.

9 a. } 11

0 b. __

5 d. } 8

11 e. } 11

3 c. } 3

8

3. 5 2.1D6 Escribe como fracción impropia. 1 1 2 a. 4} b. 3} c. 4} 5 2 9 3 d. 8} 14

5.

4.

4 5 }? a. } 3 6

3 ? b. } 55} 25

? 14 5 } d. } 21 42

? 3 } e. } 9 5 54

6.

18 b. } 7

14 d. } 4

19 e. } 11

29 c. } 3

5 2.1E6 El precio de una inversión es de $80 por aca. $10

b. $8

d. $40

e. $16

c. $20

5 2.2A6 Encuentra el número que falta para la fracción simplificada

8 ? } c. } 9 5 27

7. 5 2.2B6 Simplifica a su mínima expresión. 6 14 4 a. } b. } c. } 9 35 8 10 8 e. } d. } 95 28

22 a. } 7

ción. Encuentra la proporción P/G de las acciones si sus ganancias por acción son de:

7 e. 7} 8

5 2.2A6 Halla el número que falta.

5 2.1C6 Escribe como número mixto.

8.

2 6 5} a. } 21 ?

4 8 } b. } 10 5 ?

4 24 5 } d. } 48 ?

18 6 } e. } 30 5 ?

6 18 } c. } 24 5 ?

5 2.2B6

12 a. Encuentra el MCD de 12 y 36 y simplifica } 36. 10

b. Encuentra el MCD de 10 y 50 y simplifica } 50. 18

c. Encuentra el MCD de 18 y 45 y simplifica } 45. 28

d. Encuentra el MCD de 28 y 42 y simplifica } 42. 51

e. Encuentra el MCD de 51 y 34 y simplifica } 34.

9. 5 2.3A6 Multiplica (simplifica las respuestas a su

mínima expresión).

2 1?} a. } 3 7 7 3?} c. } 7 9

S D 8 3 ?} c. S} 2 D 27 8 3 ?} e. S} 2D 9 5 2 ?} a. } 6 5 2

2

expresión).

1 4 ? 3} a. } 7 6

3 1 b. } 5 ? 3} 3

4 15 d. } 5?} 8

3 6 ? 1} c. } 7 4

9 1 } d. } 10 ? 24

5 2.3C6 Multiplica. 2

5 2.3B6 Multiplica (reduce las respuestas a su mínima

2 5 b. } 5?} 9

8 7?} e. } 8 7

11.

10.

2 6 ? 4} e. } 7 3

S D 3 14 } d. S} 2 D ? 27 2

3 4 } b. } 2 ?9 2

12. 5 2.3D6 Divide ((reduce las respuestas a su mínima ex-

presión).

6 34} a. } 4 7 5 44} c. } 5 9 12 64} e. } 7 7

3 __ 6 b. } 847 7 5 } d. } 349

2-83

13. 5 2.3E6 Divide (reduce las respuestas a su mínima

expresión).

14. 5 2.3E6 Divide ((reduce las respuestas a su mínima

expresión).

1 } 4 a. 2} 445

1 7 b. 3} 74} 8

1 3 4 1} a. } 5 5

3 4 b. } 7 4 2} 7

4 1 } c. 6} 2 4 13

20 1 } d. 1} 9 4 27

1 3 4 3} c. } 5 5

1 1 d. } 7 4 2} 2

14 1 } e. 4} 7 4 15 15.

191

Ejercicios de repaso del capítulo 2

5 2.3G6 Halla el área de una habitación con las siguientes dimensiones.

1 2 } a. 3} 3 yardas por 43 yardas 1 1 } b. 3} 2 yardas por 42 yardas 1 1 } c. 3} 3 yardas por 42 yardas 1 1 } d. 3} 2 yardas por 43 yardas 1 1 } e. 4} 2 yardas por 52 yardas 17. 5 2.4A6 Encuentra el MCM de a. 11 y 33 b. 17 y 34 c. 57 y 19 d. 40 y 10 e. 92 y 23

1 2 4 3} e. } 8 9 16. 5 2.4A6 Halla el MCM para cada grupo de números. a. 8 y 12 b. 15 y 6 c. 18 y 12 d. 20 y 24 e. 54 y 180

18.

5 2.4B6 Halla el MCD y escribe las fracciones

usando

el MCD como denominador.

3 7 y} a. } 12 16 5 2 y} b. } 15 9 5 5 y} c. } 16 18 4 3y} d. } 7 5 4 5y} e. } 9 15

19.

5 2.4B6 Halla el MCD y escribe las fracciones usando

20.

el MCD como denominador.

5 2.4C6 Llena los espacios con , o . para volver verdadera la desigualdad.

5 1 } 3, } a. } y 4 2 6

1 a. } 3

3 } 10

3 1 } 5,} b. } y 12 9 8

2 b. } 3

3 } 7

11 1 } 13, } y c. } 16 18 12 3 1 1,} y} d. } 10 8 12

4 c. } 5

5 } 7

2 d. } 9

3 } 7

4 } 1 1, } y e. } 5 9 8

3 e. } 8

5 } 32

21.

5 2.5A6 Suma (simplifica la respuesta a la mínima expresión).

22.

5 2.5B6 Halla el MCD y suma (simplifica la respuesta a la mínima expresión).

2 11} a. } 5 5

5 11} a. } 3 6

1 21} b. } 3 3

1 11} b. } 5 9

1 31} c. } 7 7

5 31} c. } 7 6

1 21} d. } 9 9 9 71} e. } 2 2

9 11} d. } 6 20 3 21} e. } 7 15

192

Capítulo 2

2-84

Fracciones y números mixtos

23. 5 2.5B6 Encuentra el MCD y suma (simplifica la respuesta

a la mínima expresión).

16 15 1 } a. } 3 4 5 7 b. } 1 } 2 3 33 17 1 } c. } 16 4 13 19 1 } d. } 3 9 19 91} e. } 9 8 25. 5 2.5D6 Halla el MCD y resta. 3 72} a. } 8 4

24.

5 2.5D6 Halla el MCD de las fracciones y resuelve luego cada una de las siguientes sumas.

1 } 1 51} a. } 2 7 6 12 1 } 1 31} 2 b. } 4 8 12 3 1 51} 2} c. } 8 4 16 1 } 2 41} 2 d. } 5 3 15 3 1 21} 2} e. } 3 4 12 26. 5 2.5E6 Preferencias de música de los estudiantes Alternativa Clásica 1/10 1/50

7 11 2 ___ b. } 12 18 5 7 2} c. } 12 16

Rock 13/100 Country 1/4

3 52} d. } 7 5 5 16 2 } e. } 27 24

Rap 1/2

¿Qué fracción de los estudiantes prefiere?: a. ¿Rap o country? b. ¿Rock o country? c. ¿Alternativa o rock? d. ¿Clásica o rap? e. ¿Alternativa o clásica?

27.

5 2.6B6 Suma.

1 1 a. 4} 5 1 3} 6

28a. 5 2.6C6 Resta. 7 2 } a. 2} 8 2 23

1 1 } b. 2} 3 1 312

3 1 } b. 3} 3 2 15

2 4 c. 4} 7 1 3} 8

1 1 c. 3} 5 2 2} 3

1 1 } d. 5} 3 1 29

5 3 d. 4} 5 2 3} 8

3 5 } e. 3} 8 1 512

5 7 } e. 1} 8 2 19

28b. 5 2.6D6 Suma y resta según lo indicado. 5 1 1 } } a. 2} 9 1 38 2 210 5 1 1 } } b. 3} 9 1 36 2 210 5 1 1 } } c. 4} 9 1 312 2 28 5 1 1 } } d. 5} 9 1 312 2 26 5 1 1 } } e. 6} 9 1 38 2 26

29. 5 2.6E6 Halla el perímetro de una habitación cuyas

dimensiones son:

1 1 } a. 4} 4 yardas por 52 yardas 1 1 } b. 3} 2 yardas por 43 yardas 1 1 } c. 4} 3 yardas por 52 yardas 1 1 } d. 3} 2 yardas por 53 yardas 5 1 } e. 3} 6 yardas por 26 yardas

2-85

Ejercicios de repaso del capítulo 2

30. 5 2.7A6 Simplifica: 22 } 1 1? } a. } 29 2 3

S D 3 1 1 ? } 2} b. } 16 3 S4 D 5 1 1 ? } 2} c. } 36 5 S6 D 6 1 1 ? } 2} d. } 49 6 S7D 7 1 1 ? } 2} e. } 64 7 S8 D

31.

5 2.7A6 Simplifica:

1 } 1 } 1 } 1 a. 4 4 } 2?2?21322

2

1 } 1 } 1 1 } b. 6 4 } 2?2?21323

2

1 } 1 } 1 1 } c. 8 4 } 2?2?21324

2

2

32. 5 2.7A6 Simplifica: 1 1 7 1 1 } 1 } 1 1 34} } } } } a. } 3?413 222 23?2 2

S D S D 9 1 1 } 1 } 1 } 1 } 1 1 4} } } b. S} 3 ? 4 1 3 S2 2 2 D 2 3 ? 2 2D 5 1 1 } 1 } 1 } 1 } 1 1 4} } } c. S} 3 ? 4 1 3 S2 2 2 D 2 3 ? 2 2D 3 1 1 } 1 } 1 } 1 } 1 1 4} } } d. S} 8 ? 2 1 3 S2 2 2 D 2 3 ? 2 2D 1 1 } 1 } 1 } 11 } 1 } 1 1 4} } e. S} 4 ? 2 1 3 S 2 2 2 D 2 3 ? 2 2D 3

3

3

3

34. 5 2.7C6 Halla el peso promedio de 4 peces con

los siguientes pesos

1 } 1 } 1 1 } a. 3} 2, 44, 22 y 74 libras. 1 } 1 1 1 } } b. 4} 2, 54, 32 y 84 libras. 1 } 1 1 1 } } c. 5} 2, 64, 42 y 94 libras.

1 } 1 } 1 1 } d. 10 4 } 2?2?21325 1 } 1 } 1 1 } e. 12 4 } 2?2?21326

33.

5 2.7B6 Simplifica:

H S D F S D G J 1 1 1 1 } 1 1 4 1} } } b. } 5 1 H20 ? S} 2 D 2 F 3 1 S42 2 2 D G J 5 1 1 1 1 } 1 1 4 1} } } } c. } 4 1 H24 ? S2 D 2 F 3 1 S52 2 2 D G J 4 1 1 1 1 } 1 1 4 1} } } } d. } 3 1 H28 ? S2 D 2 F 3 1 S62 2 2 D G J 3 1 1 1 1 } 1 1 4 1} } } } e. } 2 1 H32 ? S2 D 2 F 3 1 S72 2 2 D G J 2 1 12 1 1 } 1 1 4 1} } } } a. } 6 1 16 ? 2 2 3 1 32 2 2 6 2

2

2

2

35. 5 2.8A6 Traduce a ecuaciones matemáticas. a. 8 más un número es 10. b. La diferencia entre un número y 5 es 1. c. El doble de un número equivale a 12. d. Un número dividido entre 2 es 8. e. El cociente de un número y 7 es 3.

1 } 1 1 1 } } d. 6} 2, 74, 52 y 104 libras. 1 } 1 1 1 } } e. 7} 2, 84, 62 y 114 libras. 36.

5 2.8B6

Traduce a una ecuación y resuelve.

37.

5 2.8B6 Traduce a una ecuación y resuelve.

1 } 1 a. Un número p incrementado en } 6 da 3. Halla p.

1 } 2 a. un número r menos } 6 es 7. Halla r.

1 1 b. Un número q incrementado en } 5 da } 4. Halla q.

1 3 b. un número s menos } 5 es } 7. Halla s.

1 } 2 c. Un número r incrementado en } 4 da 5. Halla r.

1 } 4 c. un número t menos } 4 es 7. Halla t.

5 1 } d. Un número s incrementado en } 3 da 6. Halla s. 6 1 } e. Un número t incrementado en } 2 da 7. Halla t.

5 1 } d. un número u menos } 3 es 7. Halla u. 6 1 } e. un número v menos } 2 es 7. Halla v.

193

194

Capítulo 2

2-86

Fracciones y números mixtos

38. 5 2.8B6 Traduce y resuelve. 2 a. El cociente de v y 3 es } 7. Halla v. 3 b. El cociente de v y 4 es } 7. Halla v. 4 c. El cociente de v y 5 es } 7. Halla v.

39. 5 2.8B6 Halla el número. 1 a. ¿} 2 de qué número es 8? 2 b. ¿} 3 de qué número es 4? 3 c. ¿} 5 de qué número es 27? 2 d. ¿} 7 de qué número es 14? 6 e. ¿} 5 de qué número es 12?

5 d. El cociente de v y 6 es } 7. Halla v. 6 e. El cociente de v y 7 es } 7. Halla v.

40.

5 2.8C6 Una aleación consta de 4 metales A, B, C y D. Qué fracción de la aleación es D cuando A, B y C son, respectivamente.

7 1 3,} ,} a. } 25 100 25

6 7 2 } } b. } 25, 100, 25

7 7 3 } } c. } 25, 100, 25

8 7 4 } } d. } 25, 100, 25

9 7 6 } } e. } 25, 100, 25

2-87

195

Examen del capítulo 2

6Examen del capítulo 2 (Respuestas en la página 196) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los siguientes problemas.

1. Clasifica como fracción propia o impropia. 5 a. }34 b. }3 c.

2. Escribe

3

4. El precio del capital accionario es $60 por acción y su ganancia por acción es $5. ¿Cuál es la proporción P/G de las acciones?

5. Llena el espacio para la fracción equivalente: }475 14 } 35

h } 21

a su mínima expresión.

13.

6. Llena el espacio para obtener la fracción equivalente: }25 5 8. Encuentra el MCD de 32 y 48, luego simplifica

1 5 } ? } 6 7 2 1 Multiplica: }43 ? } 16 Divide: 2}12 4 }43

9. Multiplica: 11.

como un número mixto.

8 } 8

3. Escribe 2}7 como una fracción impropia.

7. Reduce

23 } 6

10. Multiplica:

S D

12. Divide: }234

3 } 7 4 } 7

6 } h

32 }. 48

? 2}16

3

14. Divide: }24 1}14

15. Halla el área de una habitación cuyas dimensiones son 4}13 yardas por 5}23 yardas.

16. Halla el MCM de 15 y 20.

17. Halla el MCM de 17 y 51.

} } 18. Encuentra el MCD de }8 y } 12 y escribe 8 y 12 como fracciones equivalentes con el MCD como denominador.

7

3

7

5

7

3

5

} } } } } 19. Halla el MCD de } 10, 4 y 8 y escribe 10, 4 y 8 como fracciones equivalentes con el MCD como denominador. 3

2

21. Suma: }71}7 5

25. Halla el MCD y resta: 27. Suma:

1

22

7 } 15

2

24. Halla el MCD de 6 5 1 } 1 } 2 } 7 6 12 3 } 10

halla:

Deportes favoritos Hockey 1/25 Fútbol 13/50

S}34 D2 2}161

S}13 D3 4}13? }14 1 }13 S}52 2 }12 D 2}13 ?}12

H

4 1}13 1 12 ?

S}12 D2 2 F }13 1 S2}12 2 }12 D G J

Béisbol 9/20

Baloncesto 1/4

1 1 1

31. Simplifica: 6 4}2 ?}2?}21 }132 2

1 } 3

2 1 } 1 } 5 3 6 5 1 }, } y } y luego 7 6 12

26. He aquí los deportes favoritos de un grupo de estudiantes.

2}23

30. Simplifica: }13?

33. Simplifica:

5

20. Llena el espacio con o  para que la desigualdad resultante sea verdad: }23 _______ }47

28. Resta: 5 a. 3}6 2 2}15 b. 2}27 2 1}14 29. Halla el perímetro de una habitación cuyas dimensiones son 3}13 yardas por 5}23 yardas.

32. Simplifica:

7

22. Halla el MCD y suma:

23. Halla el MCD y suma: }31} 7

3}45

5

¿Qué fracción de los estudiantes eligió béisbol o baloncesto? 34. Pedro fue a pescar y atrapó 4 peces que pesaban 3 }12, 5}41, 2}12 y 6}14 libras, respectivamente. ¿Cuál es el peso promedio de los 4 peces?

35. Traduce y resuelve: }17 menos de un número y es }25. ¿Qué número es y?

36. ¿5de qué número es 9?

37. ¿Qué fracción de 1}23 es 2}19?

38. Encuentra un número tal que

39. ¿Qué número es el producto de 1}23 y 2}15?

40. Una moneda está hecha con una aleación que consiste 7 4 1 } } en} 25 de zinc, 100 de manganeso, 25 de níquel y el resto de cobre. ¿Qué fracción de la moneda es de cobre?

3

4 } 5

del mismo sea 1}13.

196

Capítulo 2

Fracciones y números mixtos

2-88

6Respuestas del examen del capítulo 2 Respuesta 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

a. Propia 5 3}6

Si fallaste

b. Impropia c. Impropia

17 } 7

12 12 15 2 } 5

MCD 16;

32 } 48

5 } 42 13 } 14 1 } 9 1 7 } 5 1} 6 6 7 15 } 5 1} 8 8 1 6 } 5 1} 5 5 5 221 } 5 24} 9 9

yardas cuadradas

60 51 MCD 24; MCD 40; .

21 }, 24 28 }, 40

5

2 } 3

10 } 24 30 25 }, } 40 40

5 } 7 13

MCD 15; } 15 101 17 } MCD 21; } 21 5 421 45 17 } MCD 84; } 28 5 128 1 MCD 30; }6 7 14 } 5 } 10 20 7 97 } 5 6} 15 15 49 19 1 } } a. } 30 5 130 b. 128 18 yardas 1 } 8 4 1 } 5 1} 3 3 19 } 36 11 } 12 3 4}8 libras y 2 }17 5 }25;

15 19 4 } 5 1} 15 15 5 2 } 5 1} 3 3 11 2 } 5 3} 3 3 73 } 100

y5

19 } 35

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28a, b 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Repasa Sección 2.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.6 2.6 2.6 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

Ejemplos 2 3 4 5, 6, 7 1 2 3 1, 2, 3 1a 2a 4 5 6a 6b 9 1–3 4 5–7 8 9 1 2 3 5, 7 6 8 1, 2, 3 4 6 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7, 8, 9

Página 112 113 113 114–115 121–122 122 123–124 121–124 130 131 133 135 135 135 136 142 143 143–145 146 147 152 153 154 155–157 155–156 157 162–163 163–164 165 170–171 171 171–172 172 173 179 180 180 180–181 181 181–183

2-89

Repaso de los capítulos 1–2

197

6Repaso de los capítulos 1–2 1. Escribe 438 en forma expandida.

2. Escribe 900 1 80 1 4 en forma estándar.

3. Escribe en palabras el número 74,008.

4. Escribe seis mil setecientos diez en la forma estándar.

5. Redondea 8649 a la centena más cercana.

6. Suma: 903 1 2776

7. Resta: 652 2 498

8. Multiplica: 137 3 319

9. Betty hizo pagos a su préstamo de $310 cada mes durante 12 meses. ¿Cuál es la cantidad total que pagó?

10. Divide: 26 889

11. Escribe los factores primos de 24.

12. Escribe 180 como un producto de números primos.

13. Multiplica: 23 3 4 3 70

14. Simplifica: 36 4 6 ? 6 1 8 2 4

15. Resuelve m: 26 5 m 1 3

16. Resuelve x: 21 5 7x

2 } 3 1 } 24

11 } 2

17. Clasifica

como fracción propia o impropia.

18. Escribe

19. Escribe

como fracción impropia.

20. Llena el espacio en blanco: 10 } 12

como un número mixto.

21. Llena el espacio en blanco para hallar la fracción 18 equivalente: }23 5 } h

22. Reduce

23. Inserta 5, ,, o . para hacer cierta la afirmación:

24. Multiplica:

3 } 4

5 } 6

25. Multiplica:

S}76 D2 ? }491

26. Divide: 3

27. Halla el MCD y suma: 7}13 1 9} 10

28. Resta:

29. Traduce a ecuación y resuelve: un número z menos 6 4 } es }. ¿Cuánto es el número z? 7 9

6 } 7 8}17

2 } 3

5

h } 21

a su mínima expresión. 1 } 2

? 6}13

4 1}13 8

2 1}9 9

1 } 30. Encuentra un número tal que } 10 del mismo es 55.

31. 3}12 libras de azúcar cuestan 49 cts. ¿Cuánto costarían 8 libras?

32. Halla el perímetro de una habitación cuyas dimensiones son 4}13 por 6}23 yardas.

33. Halla el área de una habitación cuyas medidas son 4}13 por 6}23 yardas.

34. Halla el MCM de 16 y 20.

35. Encuentra el MCM de 19 y 76.

} } 36. Halla el MCD de }9 y } 12 y escribe 9 y 12 como fracciones equivalentes con el MCD como denominador.

7

5

3

7

7

5

3

} } } } } 37. Halla el MCD de } 10, 6, y 5 y escribe 10, 6 y 5 como fracciones equivalentes con el MCD como denominador.

5

7

5

Sección 3.1

Suma y resta de decimales

3.2

Multiplicación y división de decimales

3.3 3.4

Fracciones y decimales

3.5

Ecuaciones y resolución de problemas

Capítulo

3 tres

Decimales, fracciones y orden de operaciones

6

Decimales

El lado humano de las matemáticas La introducción de un sistema decimal de moneda hizo que el uso de los decimales se popularizara. Aún nuestro mercado de valores usa decimales, en vez de fracciones, para cotizar el valor de las acciones. Los métodos modernos para escribir decimales se inventaron hace menos de 500 años, pero su uso puede provenir de miles de años atrás. En 1579, el matemático italofrancés, Francois Vieta, sugirió el uso del sistema decimal en su libro Canon Mathematicus. Las tasas de las cuentas NOW, mercado de dinero, estado de cuenta de El uso diario del sistema decimal se popularizó con un libro publicado ahorros, están sujetas a cambios semanalmente. El saldo de la cuenta NOW menor a 1500,cuenta de mercado de dinero con saldo menor en 1586, de Simón Stevin, un matemático holandés nacido en 1548. El a 1000 y el saldo de la cuenta de ahorros menor a 100 devengarán cargos. La tasa anual producida asume que el capital y los intereses quedan en depósito por un año a la misma tasa de interés compuesto libro se llamó acertadamente The Thiende (El décimo). Su objetivo era: diariamente. Serán impuestas multas sustanciales por retiros anticipados de CD y ahorros de Club. Favor contactar la oÛcina de servicio al cliente para mayor información sobre cargos aplicables, términos y otros. “Realizar con una tranquilidad sin precedentes todos los cálculos necesarios entre los hombres, con números enteros y sin fracciones”. Éste también es uno de nuestros objetivos. La notación usada en nuestro sistema decimal ha evolucionado a través del tiempo. El punto decimal que separa la parte entera de la parte decimal pareciera haber sido invento de Bartholomaeus Pitiscus, quien lo usó en sus tablas de trigonometría en 1612. John Napier, un matemático escocés, usó los decimales que conocemos y desarrolló el uso de logaritmos para realizar cálculos complejos. El punto decimal moderno se hizo estándar en Inglaterra en 1619, pero muchos países de Europa todavía usan la coma decimal en vez del punto decimal. (Escriben 3,1416 en lugar de 3.1416.) Bien sea que uses comas o puntos para el decimal, el objetivo sigue siendo el mismo: ¡aclarar dónde está la columna de las unidades! depósito mínimo de apertura cantidad mínima contratada

199

200

Capítulo 3

3-2

Decimales

3. 1

Suma y resta de decimales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Escribir el nombre de un número. (págs. 5–6) 2. Escribir un número en su forma expandida. (págs. 3–4)

A6

Escribir el nombre de un decimal.

B6

Escribir un decimal en su forma expandida.

C6

Sumar dos o más decimales.

D6

Restar un decimal de otro.

3. Trabajar con sumas y restas. (págs. 24, 37–42)

6 Para comenzar ¿Puedes comprar una docena de estudiantes con ID por $7.29? No, ¡pero si eres un estudiante puedes comprar una docena de donas por $7.29! El $7.29 contiene la parte decimal: .29. En el sistema decimal (la palabra en latín para diez) usamos los dígitos para contar de 1 al 9; luego usamos los núi $7 29 en ell aviso i tiene i t meros 1 y 0 para expresar diez, la base dell sistema. El $7.29 un punto decimal que separa la parte entera (7) de la parte decimal (.29). Puedes pensar en $7.29 como $7 y 29 cts. o como

29 $7 y $} 100

1 ya que 1 centavo es una centésima parte de un dólar ($} 100).

A 6 Escribir decimales en palabras En el capítulo 2 representamos la parte entera usando notaciones fraccionarias. También podemos representar la parte entera usando la notación decimal. Un número escrito en notación decimal se llama simplemente decimal. El sistema de números decimales lo introdujo en 1619 d.C. el matemático escocés John Napier. Un decimal consta de tres partes: 1. La parte entera del número. 2. Un punto (.), llamado punto decimal. 3. La parte decimal. Así, en el decimal 247.83 la parte entera del número es 247, y la parte decimal es .83. Cuando usamos el sistema decimal podemos escribir fracciones sin escribir explícitamente el numerador y el denominador. Por ejemplo, en el sistema decimal la fracción 7 decimal } 10 se escribe como el decimal 0.7, y se lee como siete décimos o cero punto 7. Nota que el decimal 0.7 no tiene ninguna parte entera, por lo que ubicamos un cero a la izquierda del punto decimal. En general, la cantidad de cifras decimales en un número es la cantidad de dígitos a la derecha del punto decimal. Así, 0.19 tiene dos cifras decimales y 57.568 tiene tres. ¿Cuántas cifras decimales hay en un número cardinal como 100? Técnicamente 0, pero cuando se trata de dinero, usualmente escribimos $100 como $100.00, lo que lo convierte en decimal.

3-3

3.1

Suma y resta de decimales

201

El cuadro de los valores posicionales usado en el capítulo 1 se puede extender para 1 1 } incluir decimales. Entonces, los valores posicionales son 100, 10, 1, } 10, 100, y así sucesivamente, para ayudarnos a escribir decimales en palabras, como se muestra.

ec as en U as ni da d Ce es nt e D nas ec en U as ni da d Ce es nt e D nas ec en U as ni da de s

en

D

de da

Ce

ni U

nt

as en

ec D

Ce

nt

en

as

s

Nota que los nombres para los valores posicionales a la derecha del punto decimal ter9 41 } minan con mas. Una fracción decimal como } 10 se lee nueve décimas y 100 se lee como 29 cuarenta y un centésimas. ¿Cómo escribimos 7.29 en palabras? Como 7 y } 100 se puede 29 escribir como 7} 100, podemos escribir 7.29 como siete y veintinueve centésimas. Usa el diagrama como ayuda para escribir el nombre de 284.356.

, Billones

, 2

, Millones

Millares

8

4

Unidades

.

1 10

1 100

1 1000

3

5

6

Décimos Centésimos

Milésimos

1 10,000

Diez milésimos.

PARA ESCRIBIR EL NOMBRE DE UN DECIMAL 284 . 356 1. Escribe el nombre para la parte entera del número ︸︸ (a la izquierda del punto decimal). Doscientos 2. Escribe la palabra y para el punto decimal. ochenta y cuatro 3. Escribe el nombre para el número a la derecha y del punto decimal. Trescientos 4. Escribe en palabras el valor posicional del último dígito

cincuenta y seis milésimas

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Escribir un número en palabras Da el nombre de 187.93.

SOLUCIÓN

Escribe el nombre para 147.17.

Ciento ochenta y siete y noventa y tres centésimas

B 6 Escribir decimales en forma expandida Volvamos a $7.29. Puedes pensar en $7.29 como $7 + 2 vellones + 9 centavos ó 9 2 } $7  } 10  100 1 Una moneda de diez centavos de dólar es un décimo de dólar ($} 10) y un centavo es un cen9 1 2 } } tésimo de dólar ($} 100). Cuando escribimos 7.29 como 7  10  100, decimos que 7.29 está escrito en su forma expandida. De la misma forma, el decimal 284.356 se puede escribir en su forma expandida, así: 2 8 4 . 3 5 6 Respuestas a los PROBLEMAS 1. Ciento cuarenta y siete y diecisiete centésimas.

3  5  6 200  80  4  } } } 10 100 1000

202

Capítulo 3

3-4

Decimales

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Usar la forma expandida Escribe 35.216 en su forma expandida.

Escribe 47.321 en su forma expandida.

SOLUCIÓN 3 5 . 2 1 6 2 6 1 } 30  5  } 10  } 100 1000

C 6 Sumar decimales Sumar decimales es similar a sumar números cardinales: alinea los valores posicionales y suma los números en cada valor posicional (centésimos, décimos, unidades, decenas, y así sucesivamente), llevando, si es necesario. Por ejemplo: 0.2  0.7  0.9 7

2 } Esto se debe a que 0.2  } 10 y 0.7  10. Así,

7 27 9 2 } } } 0.2  0.7  } 10  10  10  10  0.9 Si la suma se hace usando una columna vertical, como hicimos con los números cardinales, ubicamos los dígitos de decenas en la columna de las decenas y los de unidades en la columna de dígitos de unidades. Después procedemos como se muestra en el diagrama. Columna del punto decimal

Columna de décimos

0 . 2 0 . 7 0 . 9 Nota que 0.2 y 0.7 no tienen parte entera (decimales puros) y se escriben con un 0 a la izquierda del punto decimal. De la misma forma, 3.2 + 4.6 se suma así:

Forma reducida o corta

Forma expandida o larga

3.2

2 } 3  10

 4.6 } 7.8

6 4} 10 8 8 } 7} 10  710  7.8

Por supuesto, usamos la forma corta para ahorrar tiempo, asegurándonos de alinear los puntos decimales en la misma columna y los dígitos del mismo valor posicional en la misma columna. He aquí la forma de sumar: 4.13  5.24 4.13 5.24 9.37

Paso 1. Alinea los puntos decimales, es decir, escríbelos en la misma columna.

Paso 2. Suma las centésimas. Paso 3. Suma las décimas. Paso 4. Suma las unidades. El resultado es 9.37. Respuestas a los PROBLEMAS 3 2 1 } } 2. 40  7  } 10  100  1000

3-5

EJEMPLO 3

3.1

203

Suma y resta de decimales

PROBLEMA 3

Suma de decimales

Suma 5 + 12.15.

Suma 4 + 12.4

SOLUCIÓN 5.00 1 2 . 1 5 17.15

Paso 1. Nota que 5 = 5. Paso 2. Alinea los puntos decimales. Paso 3. Agrega los ceros posicionales al 5 para que los dos sumandos tengan el mismo número de dígitos decimales.

Paso 4. Suma las centésimas. Paso 5. Suma las décimas. Paso 6. Suma las unidades. Paso 7. Suma las decenas.

Nota que 5 se escribió como 5.00. Esto es posible porque 0 0 } 5.00  5  } 10  100 Así, 5  5.00 ¿Qué pasa si debemos llevar, cuando sumamos, decimales? Y, ¿qué significa?

Forma corta 4.8 3.7 8.5

Forma expandida 8 4} 10 7 3} 10 15 87 } 7} 10  7  10

.8  .7  1.5 Escribe .5, Lleva 1

10 5 } 7} 10  10

1438

5 71} 10



5 8} 10



 8.5 . 8

7

15

} } Nota que en su forma expandida, 0.8  0.7  } 10  10  10. Llevamos 1 (reagrupamos) 15 10 5 5 5 }  }  1  }, dejando el } en la primera columna y lleporque escribimos }  10 10 10 10 10 vando el 1 a la posición de las unidades.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 16.4

204

Capítulo 3

3-6

Decimales

EJEMPLO 4 Suma de decimales Suma 32.663 + 8.58.

PROBLEMA 4 Suma 49.28 + 7.921.

SOLUCIÓN Forma corta

Forma expandida

11 1

6 3 6 } } 32  } 10  100  1000

32.66 3  8. 580 4 1. 24 3

8 0 5 } } 8} 10  100  1000

















3 14 11 } } 40  } 10  100  1000 10 10 3 1 4 } } } }  40  } 10  10  100  100  1000 3 1 4 1 } } }  40  1  } 10  10  100  1000 3 2 4 } }  41  } 10  100  1000  41.243

Por supuesto, ¡debes usar la forma corta para ahorrar tiempo!

También podemos sumar más de dos números que tengan decimales, siempre y cuando continuemos alineando los puntos decimales. Por ejemplo, imagina que debes $3748.74 de una hipoteca, $517.46 de un carro, $229 de tarjetas de crédito y $550.51 en préstamos personales. ¿Cuánto debes? Para hallar la respuesta, debes sumar todas esas cantidades. Hacemos esto en el ejemplo 5

EJEMPLO 5 Suma de decimales Suma $3748.74 + $517.46 + $229 y $550.51 para encontrar cuánto debes. SOLUCIÓN Primero notamos que $229 = $229.00 (si tienes $229, tienes $229 sin centavos: entonces, $229 = $229.00.). Luego procedemos por pasos: 2 12 1

1

3748.74 517.46 229.00 550.51 5045.71

Paso 1. Alinea los puntos decimales.

Paso 2. Suma las centésimas. Paso 3. Suma las décimas. Paso 4. Suma las unidades. Paso 5. Suma las decenas. Paso 6. Suma las centenas. Paso 7. Suma los millares. Entonces, debes $5045.71.

Respuestas a los PROBLEMAS 4. 57.201

5. $14,837.04

PROBLEMA 5 Un estudiante debe $11,022.77 de su hipoteca, $1521.54 de su carro, $674 en tarjetas de crédito y $1618.73 en préstamos personales. ¿Cuánto debe en total?

3-7

3.1

Suma y resta de decimales

205

D 6 Restar decimales La resta de decimales es como la resta de números cardinales, siempre y cuando recuerdes alinear los puntos decimales e insertar ceros posicionales para que los dos números tengan el mismo número de dígitos decimales. Por ejemplo, si ganas $231.47 y haces un pago de $52, tienes $231.47 – $52. Para hallar la respuesta escribimos, 1 12 11

$ 2 3 1 . 47  5 2 . 0 0 1 7 9 . 47

Alinea los puntos decimales. Agrega dos ceros ($52 es lo mismo que $52 sin centavos o $52.00) Los puntos decimales en la misma columna.

Así, te quedan $179.47. Puedes comprobar esta respuesta sumando $52 y $179.47, obteniendo $231.47.

EJEMPLO 6

Resta de decimales Resta 383.43 – 17.5.

PROBLEMA 6 Resta 742.32 – 13.6.

SOLUCIÓN 7 12

14

3 8 3 . 43  1 7 . 5 0 3 6 5 . 93

Paso 1. Alinea los puntos decimales. Paso 2. Agrega un cero. Paso 3. Resta. Los puntos decimales están en la misma columna.

EJEMPLO 7 Resta de decimales Resta 347.8 – 182.231.

PROBLEMA 7 Resta 429.6 – 233.381.

SOLUCIÓN 2 14

9 7 10 10

3 4 7 . 8 0 0 1 8 2 . 2 3 1 1 6 5 . 5 6 9

Paso 1. Alinea los puntos decimales. Paso 2. Agrega dos ceros. Paso 3. Resta. Los puntos decimales están en la misma columna.

Los decimales están en todas partes y ¡debes saber cómo usarlos! Muchas carreteras interestatales tienen señales (como la que mostramos) en sus salidas. Por ejemplo, si quieres saber a qué distancia estás de Shoney’s Inn, simplemente lees la respuesta: 0.5. Por supuesto, se supone que entiendes que las distancias están en millas. Así, cuando sales de la carretera interestatal y viras a la izquierda, estás a 0.5 ó 1/2 milla de Shoney’s Inn.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 728.72

7. 196.219

206

Capítulo 3

3-8

Decimales

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Resta de decimales Usa la foto de la página anterior para encontrar lo siguiente: a. ¿A qué distancia está el Happy Traveler RV Park? b. ¿Qué distancia hay entre el Holiday Inn y el Wingate Inn? c. Si decides caminar desde el Happy Traveler RV Park hasta el Holiday Inn, ¿qué distancia debes caminar?

SOLUCIÓN a. El Happy Traveler RV Park está a 0.8 millas a la derecha. b. El Holiday Inn está a 4.6 millas a la izquierda y el Wingate Inn, a 3.7 millas a la izquierda. Entonces, la distancia desde el Holiday Inn al Wingate Inn es 4.6 – 3.7 millas. H(4.6)

He aquí la resta:

a. ¿A qué distancia está La Quinta Inn? b. ¿Qué distancia hay desde el Holiday Inn hasta el Shoney’s Inn? c. ¿Qué distancia hay desde el Happy Traveler RV Park hasta el Wingate Inn?

W(3.7)

3 16

4.6 3.7 0.9

Alinea los puntos decimales. Resta.

Entonces, el Holiday Inn está a 0.9 millas del Wingate Inn. c. Nota que para ir al Happy Traveler RV Park debes ir a la derecha; pero el Holiday Inn está a la izquierda. Así, la distancia desde el Happy Traveler RV Park al Holiday Inn es 0.8 + 4.6 millas.

He aquí la suma: H(4.6)

RV(0.8)

1

Alinea los puntos decimales. 0.8 4.6 Suma. 5.4 De esta forma, debes caminar 5.4 millas desde el Happy Traveler RV Park para llegar al Holiday Inn.

Respuestas a los PROBLEMAS 8. a. 3.5 millas a la izquierda. b. 4.1 millas. c. 4.5 millas.

6Puente algebraico En esta sección aprendimos a sumar y restar decimales. En álgebra, sumamos y restamos letras (variables). Mira las similitudes. Aritmética Álgebra 0.2  0.7  0.9 0.2y  0.7y  0.9y 1.3  2.5  3.8 1.3y 2  2.5y 2  3.8y 2 12.81  3.05  15.86 12.81y 3  3.05y 3  15.86y 3 ¿Qué pasará si tratamos con y + y²? ¡Nada! No puedes sumar y  y², entonces, para sumar 0.3y +3.1y² y 0.8y +4.9y², primero escribimos la suma en una columna con los exponentes en orden descendente. 3.1y 2  0.3y  4.9y 2  0.8y 8.0y 2  1.1y Suma los coeficientes de las variables de las y. Suma los coeficientes de las variables de las y2.

La resta se hace en forma similar. Así, para restar 0.4y  4.5y 2 from 0.6y  7.8y 2, escribimos ambas expresiones en columnas, en orden descendente. 7.8y 2  0.6y (4.5y 2  0.4y) 3.3y 2  0.2y Restar las y2.

Restar las y.

3-9

3.1

Suma y resta de decimales

207

Rincón de la calculadora Si usas una calculadora para sumar o restar decimales, no tienes que preocuparte por alinear el punto decimal o agregar ceros a la izquierda del decimal, ya que la calculadora alineará los números por ti. Así, para sumar 0.2 y 0.3, presionamos simplemente presionas

. Más aún, para sumar 5 + 12.15 (ejemplo 3), , sin tener que escribir 5 como 5.00

La misma idea funciona con las restas. Así, si ganas $231.47 y haces un pago de $52, te queda $231.47 – $52. Para , y obtienes $179.47. saber cuánto te queda, simplemente presiona

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

En los problemas 1 al 10, escribe el nombre para el número.

Escribir decimales en palabras

3. 13.12

4. 46.78

5. 132.34

6. 394.05

7. 5.183

8. 9.238

9. 0.2172

10. 0.3495

5B6

Escribir decimales en forma expandida

En los problemas 11 al 20, escribe en forma expandida.

12. 4.7

13. 41.38

14. 37.10

15. 89.123

16. 13.278

17. 238.392

18. 312.409

19. 301.5879



20. 791.354

5 C 65 D 6

Sumar y restar decimales

En los problemas 21 al 60, suma o resta según corresponda. 21. 0.4  0.1

22. 0.3 0.2

23. 0.6 0.9

24. 0.4 0.8

25. 0.3 0.1

26. 0.7  0.4

27. 8.3 5.2

28. 7.5 4.4

29. 5  3.2

30. 8  7.3

31. 9 4.1

32. 6  3.5

33. 3.8  1.9

34. 2.6  1.7

35. 1.1  0.8

36. 3.4 0.5

37. 12.23  9

38. 13.24  8

39. 4.6  18.73

40. 7.8 16.31

41. 17.35  8.4

42. 13  7.5

43. $648.01  $341.06

44. $237.49  $458.72

45. 72.03  847.124

46. 13.12  108.138

47. 104  78.103

48. 184  69.572

49. 0.35  3.6  0.127

50. 5.2  0.358  21.005

51. 27.2  0.35

52. 4.6  0.09

53. 19  16.62

54. 99  0.161

55. 9.43  6.406

56. 9.08  3.465

57. 8.2 1.356

58. 6.3  4.901

59. 6.09  3.0046

60. 2.01 1.3045

para más lecciones

11. 3.21

www.mathzone.com

2. 9.6

ir a

1. 3.8

6Web IT

6Ejercicios 3.1

> Self-Tests > e-Professors > Videos

208

Capítulo 3

3-10

Decimales

666Aplicaciones 61. Distancia de viaje Al principio de un viaje, en el indicador de millas de un carro se lee 18,327.2; al final del viaje, se lee 18,719.7. ¿Cuál fue la distancia del viaje?

62. Contenido de nicotina El contenido más alto de nicotina de un cigarrillo sin filtro es 1.7 miligramos. Otra marca contiene 0.8 miligramos. ¿Cuál es la diferencia en la cantidad de nicotina?

63. Gastos totales Una mujer giró cheques por $18.47, $23.48, y $12.63. ¿Cuánto gastó en total?

64. Récord de natación En 1972, Mark Spitz estableció un récord en natación olímpica en los 100 metros estilo mariposa. Terminó en 54.27 segundos. En 1988 Anthony Nesty terminó en 53 segundos. ¿Cuánto más rápido fue Nesty?

65. Récord de trampolín En 1984, Greg Louganis ganó el salto en trampolín en los Juegos Olímpicos, con un puntaje de 754.41. Ganó otra vez en 1988, con un puntaje de 730.80. ¿Cuántos puntos menos hizo en 1988?

66. Cambio de veinte Un hombre compró mercancías que costaban $6.84. Pagó con un billete de $20. ¿Cuánto le devolvieron?

Composición corporal

La siguiente información se va a usar en los problemas 67 al 70.

Por peso, un adulto promedio está compuesto de 43% 26% 17.5% 7%

músculos piel huesos sangre

2.7% 2.2% 2.2% 1.5%

hígado cerebro intestinos pulmones

0.5% 0.5% 0.2% 0.1%

riñones corazón bazo páncreas

Sin embargo, una vieja canción, llamada 16 toneladas, dice lo siguiente acerca del cuerpo de los mineros: Algunas personas dicen que un hombre está hecho de lodo, Huesos, piel, músculo y sangre. Músculo y sangre, piel y huesos, Yo debo mi alma a la tienda de la compañía.

67. ¿Qué porciento de un adulto promedio se compone de piel, músculos, sangre y huesos? 68. Como el peso de todas las partes del cuerpo debe sumar 100% si una persona se compone de órganos, piel, músculos, sangre y huesos. ¿Qué porciento son órganos? 69. Hay otra dificultad con esta información. ¡Suma todos los porciento y ve cuál es el total! 70. ¿Cuánto más que 100% es la cantidad obtenida en el problema 69?

Crédito ¿Sabes cuál es tu puntaje FICO (Fair Isaac Credit Organization)? “Cuando solicitas crédito, los prestamistas quieren saber qué riesgo toman por prestarte dinero. Los puntajes de FICO son los puntajes de crédito que la mayoría de los prestamistas usan para determinar su riesgo de crédito. Tienes tres puntajes FICO, uno de cada una de las tres oficinas de crédito: Experian, TransUnion y Equifax.” Fuente: http://myfico.com/.

Entre más alto sean tus puntajes FICO, pagas menos por comprar a crédito –sin importar si obtendrás un crédito, para comprar una casa, un teléfono celular, un carro o tener tarjetas de crédito. Por ejemplo, para una hipoteca a 30 años por $216,000 con tasa fija: Si tu puntaje FICO® es

Tu tasa de interés es

. . . Y tu pago mensual es

Y tu pago total es

1. 760–850

6.2%

71. $1322.93

$476,258.10

2. 700–759

6.42%

72. $1353.92

$487,414.21

3. 680–699

6.6%

73. $1379.50

$496,623.15

4. 660–679

6.81%

74. $1409.60

$507,453.23

5. 640–659

7.24%

75. $1472.04

$529,929.30

6. 620–639

7.79%

76. $1553.43

$559,228.05

Fuente: http://www.myfico.com/.

En los problemas 71 al 76, halla la diferencia en el pago mensual y la diferencia en el pago total entre personas en las categorías indicadas: 71. Categoría 1 (760–850) y categoría 6 (620–639)

72. Categoría 1 (760–850) y categoría 5 (640–659)

73. Categoría 1 (760–850) y categoría 4 (660 –679)

74. Categoría 1 (760–850) y categoría 3 (680–699)

75. Categoría 1 (760–850) y categoría 2 (700 –759)

76. Categoría 2 (700–759) y categoría 3 (680–699)

3-11

3.1

Suma y resta de decimales

209

666Usa tus conocimientos C d d tu chequera Cuadrando h A Aquíí hhay un estado d dde cuenta bancario enviado a un depositante. El balance de la cuenta es $568.40. Desafortunadamente, este balance puede ser diferente del que el depositante tiene en su chequera.

79. ¿Cuál es el total?

Luego, para hallar el balance, restamos del total los cheques pendientes. 80. Halla el balance.

ESTADO DE CUENTA PÁGINA

Distancia

1

Responde a las preguntas 81 a la 84.

NÚMERO DE CUENTA

1000824431 CHARLES SMITH 206 FAIR LN. FORT KEY, IL 68121

STATEMENT PERIOD DE

PARA

07-06-2006

08-06-2006

Resumen del saldo de la cuenta Número de cuenta Tipo 1000824431 Chequera gratuita

Saldo 568.40

*****************************************************************************************

Resumen de cuenta para cuenta de cheques gratis - 1000824431 Saldo inicial 228.90

+ Depósitos + 450.00

Interés pagado 0.00

-

Retiros 110.50

Cargos - por servicios = 0.00

Saldo final 568.40

*****************************************************************************************

Transacciones de la cuenta de cheques gratis - 1000824431 Fecha

Descripción

07-06 07-27 07-28 07-29 07-30 08-02 08-03

Saldo inicial Cheque Cheque Cheque Depósito Cheque Depósito

Cheques/ Débitos

Depósitos/ Créditos

Saldo 228.90 178.90 148.90 138.40 238.40 218.40 568.40


50.00
30.00
10.50 100.00
20.00 350.00

En el reverso del estado de cuenta hay un formato de conciliación. Muestra tres cheques pendientes por $27.50, $50.00 y $10.00 (cuadro de abajo a la izquierda) ESTE FORMATO ES PARA AYUDARLO A CUADRAR SU ESTADO DE CUENTA CHEQUES PENDIENTES NO CARGADOS A LA CUENTA No.

DÓLARES

CENTAVOS

MES SALDO DEL BANCO MOSTRADO EN ESTE ESTADO DE CUENTA

20 $

AGREGAR
DEPÓSITOS NO ACREDITADOS EN ESTE ESTADO DE CUENTA (SI LOS HUBIERA)

TOTAL

TOTAL

$

RESTAR

$

CHEQUES PENDIENTES

SALDO

$

DEBE ESTAR DE ACUERDO CON EL BALANCE DE SU CHEQUERA LUEGO DE DEDUCIR LOS CARGOS POR FINANCIACIÓN (SI LOS HUBIERE) MOSTRADOS EN ESTE ESTADO DE CUENTA.

SUGERENCIAS PARA HALLAR DIFERENCIAS VUELVA A REVISAR LAS SUMAS, RESTAS Y CORRECCIONES EN ESTE FORMATO DE CONCILIACIÓN Y EN SU CHEQUERA. VERIFIQUE EL TRASLADO DEL SALDO DE PÁGINA A PÁGINA DE SU CHEQUERA. ASEGÚRESE DE HABER RESTADO LOS CARGOS POR SERVICIO, SI LOS HUBIERE, DEL SALDO DE SU CHEQUERA. COMPARE LA CANTIDAD CODIFICADA EN LA ESQUINA INFERIOR DERECHA DE CADA CHEQUE CON LA CANTIDAD REGISTRADA EN SU CHEQUERA.

77. ¿Cuál es la suma de los cheques?

El formato de conciliación muestra dos depósitos de $90.00 y $60.30 que no fueron acreditados. 78. ¿Cuál es la suma de $90.00 y $60.30?

El formato sugiere al depositante sumar el balance y los depósitos que no fueron acreditados para obtener el total. (Ver formato precedente, arriba a la derecha.)

81. ¿Qué distancia hay hasta Wingate Inn? 82. ¿Qué distancia hay desde Shoney’s a La Quinta? 83. ¿Qué distancia hay desde La Quinta al Holiday Inn? 84. ¿Qué distancia hay desde El Happy Traveler RV Park a La Quinta?

210

Capítulo 3

3-12

Decimales

Distancia ¡Muchas carreteras interestatales tienen avisos como el que se muestra indicando a qué distancia está la comida! 85. ¿A qué distancia está McDonald’s? 86. ¿Qué distancia hay desde McDonald’s a Perkins? 87. ¿A qué distancia están Burger King y McDonald’s? 88. Si decides caminar desde la estación 76 a Perkings, ¿cuánto debes caminar?

666¡Escribe! 89. Pedro leyó el número 3805 como “tres mil ochocientos y cinco”. ¿Qué está mal en la forma en que Pedro leyó el número?

90. Nelly leyó el número 18.105 como “dieciocho y cien y cinco milésimas”. ¿Qué está mal en la forma en que Nelly leyó el número?

91. ¿Cuál es la diferencia entre: resta “3 de 4.8”y “6.6 menos 4.8”? ¿Qué respuesta obtienes en cada caso?

666Puente algebraico 92. Suma 0.4y  9.2y 2 y 0.7y  8.2y 2.

93. Suma 3.4y 2  0.5y y 0.7y  7.2y 2.

94. Resta 0.5y  3.9y 2 de 0.8y  4.8y 2.

95. Resta 6.2y 2  0.4y de 7y 2  0.9y.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 96. Cuando se escribe el nombre para un decimal, usamos la palabra decimal. 97. Un decimal consta de tres partes, la parte y la parte .

para el punto

del número, el punto

1 1 }, }, 10 100

1 y} 1000 se llaman fracciones

izquierda

derecha

y

entera

o

del punto

98. El número de cifras decimales en un número es el número de dígitos a la decimal. 99. Fracciones como

decimal(es)

.

666Prueba de dominio 100. Suma: 7  13.18

101. Suma: 38.773  3.69

102. Tus cuentas para este mes son: $47.10 de teléfono, $59.49 de electricidad, $258.20 para el pago del carro, $308 para la renta y $105.27 para gastos varios. ¿Cuál es el total de todas las cuentas?

103. Escribe 41.208 en forma expandida.

3-13

3.2

Multiplicación y división de decimales

211

104. Escribe el nombre para 283.98. 105. Resta: 473.43  18.6 106. Resta: 458.9  293.342 107. ¿A qué distancia está

108. ¿A qué distancia está

de

?

de

?

666Comprobación de destrezas Multiplicar. 109. 23  10

110. 235  100

111. 240  1000

112. Redondea 237 a la decena más cercana.

113. Redondea 3487 a la centena más cercana.

114. Redondea 5480 al millar más cercano.

3.2

Multiplicación y división de decimales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Escribir un decimal en forma expandida. (págs. 201–202)

A6

2. Multiplicar o dividir un número cardinal por una potencia de 10. (pág. 54)

Hallar el producto (multiplicar) de dos decimales.

B6

Hallar el producto de decimales que involucre potencias de 10.

C6

Hallar el cociente (dividir) de dos decimales.

D6

Redondear un número a un número específico de decimales o cifras.

E6

Hallar el cociente de decimales que involucren potencias de 10.

F6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

6 Para comenzar El hombre en la fotografía vendió tres paletas que cuestan 30 cts. ($0.30) cada una. ¿Cuánto es la cuenta total? Para hallar la respuesta debemos encontrar 3 3 0.30 Lo que es 0.90, pero ¿sabes 30 por qué? Como 0.30 5 } 100 y 3 3 5 }1 : multiplicamos 3 90 30 } 3 } 5 } 5 0.90 1 100 100 Nota que pudimos simplemente haber multiplicado 3 3 30 = 90 y luego colocar el punto decimal correctamente en el resultado. Para aprender dónde colocar el punto decimal, mira estas multiplicaciones. El número en color indica cuántos dígitos decimales (dígitos a la derecha del punto decimal) tiene el número.

212

Capítulo 3

3-14

Decimales

3 21 1 1 } } } 0.3 3 7 5 } 10 3 7 5 10 5 210 5 2 1 10 5 2.1︸ ︸ ︸ 1

1

0

3 7 21 0.3 3 0.7 5 } 3} 5} 5 0.21 10 10 100 ︸ ︸ ︸ 1

1

2

7 3 21 } } 0.3 3 0.07 5 } 10 3 100 5 1000 5 0.021 ︸ ︸ ︸ 1

2

3

7 3 21 } } 0.3 3 0.007 5 } 10 3 1000 5 10,000 5 0.0021 ︸ ︸ ︸ 1

3

4

A 6 Multiplicar decimales Cuando multiplicas decimales, el número de dígitos decimales en el producto es la suma del número de dígitos en los factores. Por ejemplo, 0.3 tiene un dígito decimal y 0.0007 tiene cuatro; el producto, 7 3 21 } } 0.3 3 0.0007 5 } 10 3 10,000 5 100,000 5 0.00021 ︸ ︸ ︸ 1 dígito decimal

1 1 4 5 5 dígitos decimales

4 dígitos decimales

tiene 1 + 4 = 5 dígitos decimales. Aquí está la regla usada para multiplicar decimales:

PARA MULTIPLICAR DECIMALES 1. Multiplicar los dos números decimales como si fueran números cardinales. 2. El número de dígitos decimales en el producto es la suma del número de dígitos decimales en los factores. Ahora, hallemos el precio de 3.5 y 5 libras de asado que se vende a $2.29 por libra. Siguiendo la regla que dimos más arriba, tenemos

Deshuesado

ASADO

Precio por 3.5 libras

Precio por 5 libras

2.29 3 3.5 1145 687 8.015

2.29 3 5 11.45

2 dígitos decimales 1 dígito decimal Cuenta 2 1 1 5 3 dígitos decimales desde la derecha en la respuesta

El precio es $8.02.

2 dígitos decimales 0 dígitos decimales Cuenta 2 1 0 5 2 dígitos decimales desde la derecha en la respuesta

El precio es $11.45.

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Multiplica: a.

Multiplica: a.

Multiplicar decimales 2.31 b. 13.813 3 4.2 3 7.1

SOLUCIÓN a.

2.31 3 4.2 462 924 9.702

2 dígitos decimales 1 dígito decimal

Cuenta 2 1 1 5 3 dígitos decimales.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 16.536

b. 62.0772

b. 13.813 3 7.1 13813 96691 98.0723

3 dígitos decimales 1 dígito decimal

Cuenta 3 1 1 5 4 dígitos decimales.

3.12 3 5.3

b. 12.172 3 5.1

3-15

3.2

Multiplicación y división de decimales

213

A veces necesitamos anteponer ceros al producto (escribir ceros antes), para obtener el número necesario de dígitos decimales. Por ejemplo: 0.005 0.016 3 dígitos decimales 3 dígitos decimales 3 3 3 0.23 2 dígitos decimales 0 dígitos decimales .015 48 3 1 0 5 3 dígitos decimales. 32 .00368 3 1 2 5 5 Necesitamos 3 dígitos decimales. Se pone el cero para obtener los 3 dígitos decimales. 5

dígitos decimales. Se ponen dos ceros para obtener 5 dígitos decimales.

15

(Nota que 0.005 3 3 5 } 1000 3 3 5 } 1000 .) La respuesta se escribe 0.015

EJEMPLO 2

La respuesta se escribe 0.00368

PROBLEMA 2

Multiplicar decimales

Multiplica: a.

Multiplica:

5.102 3 21.03

b.

5.213 3 0.0012

b.

5.213 3 0.0012 10426 5213 .0062556

a.

3.201 3 31.02

b.

4.132 3 0.0021

SOLUCIÓN a.

5.102 3 21.03 15306 5102 10204 107.29506

3 dígitos decimales 2 dígitos decimales

3 dígitos decimales 4 dígitos decimales

3 1 4 5 7 dígitos decimales.

3 1 2 5 5 dígitos decimales.

La respuesta se escribe 0.0062556

B 6 Multiplicar por potencias de 10 En muchos casos tenemos que multiplicar decimales por potencias de 10 (10, 100, 1000, etc.). Las reglas para hacerlo son muy simples. Trata de hallar el patrón. 32.314 3 10 5 323.14 32.314 3 100 5 3231.4 32.314 3 1000 5 32314. ¿Hallaste el patrón? He aquí la regla general para multiplicar por potencias de 10.

REGLA PARA MULTIPLICAR POR UNA POTENCIA DE 10 Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000, o una potencia de 10 mayor, corre el punto decimal tantos lugares a la derecha como ceros haya en la potencia de 10 que se está multiplicando. (A veces necesitarás agregar ceros adicionales para mover el punto decimal.)

EJEMPLO 3 Multiplicar por potencias de 10 Multiplica: a. 41.356 3 100 5 ________ b. 32.3  1000 5 ________ c. (0.417) (10) 5 ________ SOLUCIÓN a. 41.356 3 100 5 4135.6

Mueve el punto decimal dos posiciones hacia la derecha. La respuesta es 4135.6.

Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. 99.29502 b. 0.0086772

3. a. 5812 b. 43,100 c. 102.96

PROBLEMA 3 Multiplica: a. 58.12 3 100 5 ________ b. 43.1  1000 5 ________ c. (10.296)(10) 5 ________

(continúa)

214

Capítulo 3

3-16

Decimales

b. 32.3  1000 5 32300

Mueve el punto decimal tres posiciones hacia la derecha y agrega dos ceros adicionales. La respuesta es 2,300.

c. S0.417 D S1 0 D 5 4.17

Mueve el punto decimal una posición hacia la derecha. La respuesta debe escribirse como 4.17.

EJEMPLO 4

Multiplicar decimales en Burger King El aviso de abajo dice que los productos del menú de bajo precio de Burger King (BK) cuestan .99 centavos. ¿Cuál sería el costo de 100 productos del menú de BK?

SOLUCIÓN

PROBLEMA 4 ¿Cuál sería el costó de 10 productos del menú de bajo precio de BK?

Para hallar la respuesta, multiplicamos .99 centavos por 100. .99 centavos 3 100 5 (.99 3 100) centavos 5 99. centavos Corre el punto decimal dos posiciones.

5 99 centavos Así, ¡puedes comprar 100 productos del menú de bajo precio de BK por 99 centavos!

¿Ves cuál es el error en el aviso? Lo que ellos realmente querían decir es que un artículo del menú de bajo precio de BK cuesta 99 centavos (no decimales). ¡Este es un error común!

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

Convertir centavos a dólares y viceversa

a. Si tienes 457 centavos, ¿cuántos dólares tienes? b. Si tienes $5.48, ¿cuántos centavos tienes?

a. Si tienes 692 centavos, ¿cuántos dólares tienes?

SOLUCIÓN

b. Si tienes $7.92, ¿cuántos centavos tienes?

Resolvemos estos problemas por sustitución usando dos hechos:

1. Un centavo es un centésimo de dólar. 2. Un dólar consta de 100 centavos.

1 centavo = $0.01 dólar $1 = 100 centavos

Ahora usamos esos dos hechos y sustituimos para resolver los problemas. a. 457 centavos 5 457 ($0.01) 5 $4.57 sustituir

Así, si tienes 457 centavos, tienes $4.57. b. $5.48 5 5.48 dólares 5 5.48 (100 centavos) 5 548 centavos sustituir

Así, si tienes $5.48, tienes 548 centavos.

C 6 Dividir decimales Ahora estamos listos para hacer divisiones de decimales. En realidad, la división de números decimales es muy similar a la división de números cardinales. Por ejemplo, para hallar el costo por onza del atún del aviso publicitario, necesitamos resolver este problema de división: 52 6.5 Respuestas a los PROBLEMAS 4. 9.9¢

5. a. $6.92 b. 792 centavos

Precio (en centavos) Número de onzas

3-17

3.2

ATÚN EN TROZOS

Multiplicación y división de decimales

215

Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por 10, obtenemos

en agua

52 3 10 520 52 }5}5}58 6.5 6.5 3 10 65

(centavos por onza)

52

Así, } 6.5 5 8, como se puede verificar fácilmente. Como 52 5 6.5 3 8. Este problema puede acortarse usando los siguientes pasos. Paso 1. Escribe el problema en la forma usual de división larga.

52 6.5 qw

Paso 2. Corre el punto decimal del divisor, 6.5, a la derecha hasta obtener un número entero (es lo mismo que multiplicar 6.5 por 10.)

52 65. qw

Paso 3. Mueve el punto decimal del dividendo el mismo número de posiciones como en el paso 2. Es lo mismo que multiplicar el dividendo 52 por 10. Si es necesario, agrega ceros.

52 0 65. qw

Paso 4. Coloca el punto decimal de la respuesta directamente encima del punto decimal del dividendo. Paso 5. Divide exactamente como lo harías con números cardinales. El resultado es 8 centavos por onza, como antes. 1.28

. 65 qw 520. 8. 65 qw 520. 520 ____ 0

Aquí hay otro ejemplo: } 1.6 . Paso 1. Escribe el problema en la forma usual de división larga.

1.6 qw 1.28

Paso 2. Mueve el punto decimal del divisor hasta obtener un número entero.

1.28 16. qw

Paso 3. Mueve el punto decimal del dividendo el mismo número de posiciones como en el paso 2.

16. qw 1 2.8

Paso 4. Coloca el punto decimal de la respuesta directamente encima del punto decimal del dividendo. Paso 5. Divide exactamente como lo harías con números enteros.

Así, 1.28 } 5 0.8 1.6

EJEMPLO 6

Dividir decimales

2.1 Divide } 0.035.

1.4 Divide } 0.035.

SOLUCIÓN 0.035. qw 2 100.

60. 2100. 35 qw 210 _____ 00

Movimos tres posiciones a la derecha el punto decimal en el divisor (y también en el dividendo.) Cuando hacemos esto, debemos agregar dos ceros a 2.1.

Luego, ponemos el punto decimal en la respuesta directamente arriba del que está en el dividendo y procedemos del modo usual. La respuesta es 60: es decir,

2.1 }  60 0.035

REVISA

0.035  60  2.100

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 40

PROBLEMA 6

. 12.8 16 qw .8 16 qw 12.8 12.8 ____ 0

216

Capítulo 3

3-18

Decimales

A veces es necesario escribir uno o dos ceros en el cociente. Ilustramos este procedimiento en el ejemplo 7.

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Dividir decimales

0.0048 Divide } 12 .

0.0065 Divide } 13 .

SOLUCIÓN

︷ 0.0004 12 qw 0.0048 48 ___ 0

Ceros insertados El divisor ya es un número entero, por lo que posicionamos el punto decimal directamente arriba del punto decimal del dividendo y procedemos como se muestra. Así,

0.0048 }  0.0004 12

COMPRUEBA

12  0.0004  0.0048

D 6 Redondear decimales En los ejemplos 6 y 7 el dividendo (numerador) fue divisible exactamente por el divisor (denominador). Si éste no es el caso, debemos dejar de dividir cuando alcancemos un número predeterminado de dígitos decimales y redondear la respuesta. Por ejemplo, si tres latas de sopa cuestan 89 centavos, ¿cuál es el costo de cada lata aproximado al centavo más cercano? El costo será 89 4 3

o

29 3 qw 89 6 } 29 27 ___ 2

¿Qué hacemos ahora? Como ya obtuvimos la parte entera de la respuesta, ponemos un punto decimal después de 89 y continuamos la división hasta obtener un dígito decimal, como mostramos. 29.6 89.0 3 qw 6 } 29 27 ____ 20 18 ___ 2 Ahora aproximamos la respuesta, 29.6, al centavo más cercano, es decir, a 30 centavos. Así, el costo por lata será de 30 centavos. Aquí están los pasos que se usan para redondear números.

REGLA PARA REDONDEAR UN NÚMERO DECIMAL Paso 1. Subraya el número de dígitos o cifras que estás redondeando. Paso 2. Si el primer número a la derecha de la cifra subrayada es 5 o más, suma 1 al número subrayado. De otra forma, no sumes nada al número subrayado. Paso 3. Cambia todos los números a la derecha del número subrayado a ceros si están a la izquierda del punto decimal. De lo contrario, simplemente bórralos. Respuestas a los PROBLEMAS 7. 0.0005

3-19

3.2

Multiplicación y división de decimales

217

He aquí el número 23.653 redondeado a dos y una posiciones decimales, respectivamente. 23.653 se convierte en 23.65 23.653 se convierte en 23.7

El 3 se borra porque es menor que 5. El 6 se aumenta en 1, convirtiéndose en 7, porque el número a la derecha del subrayado es 5.

EJEMPLO 8

Redondear decimales Redondea 234.851 al valor posicional que se especifica. a. A la decena más cercana. b. Un dígito decimal c. Dos dígitos decimales (al décimo más cercano). (al centésimo más cercano).

PROBLEMA 8

SOLUCIÓN

b. Un dígito decimal (a la décima más cercana).

a. Redondea a la decena más cercana, 234.851 se convierte en 230. b. Redondea a un dígito decimal, 234.851 se convierte en 234.9. c. Redondea a dos dígitos decimales, 234.851 se convierte en 234.85.

Redondea 27.752 al valor posicional que se especifica. a. A la decena más cercana.

c. Dos dígitos decimales (a la centésima más cercana).

La regla que acabamos de desarrollar se puede usar para redondear las respuestas en problemas de división. He aquí como.

EJEMPLO 9

Redondear cocientes Divide 80 4 0.14. (Redondea la respuesta a dos dígitos decimales, el centésimo más cercano.)

SOLUCIÓN 0.14. qw 8000. 571.428 8000.000 14 qw 70 } 100 98 } 20 14 ___ 60 56 ___ 40 28 ___ 120 112 ____ 8

PROBLEMA 9 Divide 56 4 0.12. (Redondea la respuesta a dos dígitos decimales el centésimo más cercano.)

Mueve el decimal en el dividendo y en el divisor dos posiciones a la derecha. Agrega tres ceros, como mostramos, para poder redondear a los dos dígitos decimales requeridos. Procede como en la división de números cardinales hasta obtener la parte entera de la respuesta. Como estamos aproximando a dos dígitos decimales, agrega tres ceros al 8000 y continúa dividiendo hasta obtener tres dígitos decimales, como mostramos. La respuesta obtenida, 571.428, cuando se redondea a dos dígitos decimales, se convierte en 571.43 (dado que el dígito a la derecha del 8 subrayado era menor que 5, aumentamos el último dígito subrayado, el 2 en 1).

E 6 Dividir por potencias de 10 La división de decimales por potencias de 10 es muy fácil. Trata de hallar el patrón: 346.31 4 10 5 34.631 346.31 4 100 5 3.4631 346.31 4 1000 5 0.34631 He aquí la regla general para dividir por una potencia de 10.

REGLA PARA DIVIDIR POR UNA POTENCIA DE 10

Respuestas a los PROBLEMAS 8. a. 30 b. 27.8 9. 466.67

c. 27.75

Para dividir un número decimal por 10, 100, 1000, o una potencia de 10 más alta, mueve el punto decimal tantos lugares a la izquierda como ceros haya en el divisor. (A veces es necesario anteponer ceros adicionales para mover el punto decimal.)

218

Capítulo 3

3-20

Decimales

EJEMPLO 10

PROBLEMA 10

Dividir por potencias de 10

Divide:

Divide:

a. 338.4 4 100 c. 3.16 4 10

b. 2.16 4 1000

a. 352.9 4 100 b. 3.27 4 1000 c. 9.35 4 10

SOLUCIÓN a. 338.4 4 100 5 3.384

Mueve el punto decimal dos posiciones hacia la izquierda. La respuesta es 3.384.

b. 2.16 4 1000 5 0.00216

Mueve el punto decimal tres posiciones hacia la izquierda, anteponiendo dos ceros adicionales. La respuesta es 0.00216.

c. 3.16 4 10 5 0.316

Mueve el punto decimal una posición hacia la izquierda. La respuesta debe escribirse como 0.316.

F 6 Aplicaciones con decimales Un folleto llamado Conservation Payback, publicado por Shell, usa divisiones de decimales para saber el tiempo (T) que se necesita para recuperar el costo de una medida de ahorro de energía. Esto se hace dividiendo el costo de adoptar la medida que se toma entre la cantidad ahorrada durante el primer año. Es decir, costo T (tiempo de recuperación) 5 cantidad ahorrada Por ejemplo, un manto aislante para tu calentador de agua cuesta $25. La cantidad ahorrada en electricidad el primer año es $20. Así, el tiempo de recuperación es costo 25 5} 20 ó cantidad ahorrada

1.25 25.00 20 qw 20 ___ 50 4____ 0 1 00 1 00 ____ 0

De esta manera, toma 1.25 años recuperar el costo del manto de $25. Vamos a usar esta fórmula en el ejemplo 11.

EJEMPLO 11 Conservación por aislamiento Se estima que aislar las paredes de una casa en Oregón (si el trabajo lo realiza un contratista) cuesta $478 y ahorrará $168 en costos de calefacción el primer año. A la decena más cercana, ¿cuánto tiempo tomará recuperar el costo total? SOLUCIÓN

De acuerdo con la fórmula, debemos dividir el costo de aislamiento ($478) entre la cantidad ahorrada el primer año ($168). Llevamos la división a dos posiciones de dígitos decimales y luego redondeamos a la décima más cercana. 2.84 478.00 168 qw 336 ____ 142 0 134 4 _____ 7 60 6 72 ______ 88 Cuando la respuesta, 2.84, es redondeada a la décima más cercana, obtenemos 2.8. Así, tomará 2.8 años recuperar los $478 del costo. 2.84

Respuestas a los PROBLEMAS 10. a. 3.529 b. 0.00327

c. 0.935

11. 1.2 años

PROBLEMA 11 En Oregón, un cobertor para aislar un calentador de agua cuesta $27. Esta medida puede ahorrar $22 (en electricidad) el primer año. ¿Cuánto tiempo tomará (a la decena más cercana de un año) recuperar el costo del aislamiento?

3-21

3.2

Multiplicación y división de decimales

219

Rincón de la calculadora Multiplicar y dividir decimales usando una calculadora realmente simplifica las cosas. ¡No tienes que preocuparte por la posición del punto decimal en la respuesta final! Para hacer el ejemplo 2, parte a: multiplica 5.102 por 21.03, presionando y la respuesta final, 107.29506, aparecerá en la pantalla. De la misma forma, para completar la división 80 ÷ 0.14 (redondeado a dos dígitos decimales, como en el ejemplo 9), . La pantalla mostrará 571.42857, dando 571.43 cuando se redondea a presionamos dos dígitos decimales.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

6Web IT

6Ejercicios 3.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Multiplicar decimales En los problemas 1 al 16, multiplica. 2. 0.9 0.2

3. 0.8  0.8

4. 0.7 0.9

5. 0.005  0.07

6. 0.012 0.3

7. 9.2  0.613

8. 0.514 7.4

10. 78.1 108

11. 7.03  0.0035

12. 8.23 0.025

14. 6.1 2.013

15. 0.0031  0.82

16. 0.51 0.0045

9. 8.7  11 13. 3.0012  4.3

5B6

Multiplicar por potencias de 10

En los problemas 17 al 26, multiplica.

17. 42.33  10

18. 36.37 10

19. 19.5  100

20. 18.3 100

21. 32.89  1000

22. 35.35 1000

23. 0.48  10

24. 0.37 10

25. 0.039  100

26. 0.048 100

5C6

Dividir decimales En los problemas 27 al 36, divide.

27. 15qw 9

28. 48qw 6

29. 5qw 32

30. 8qw 36

31. 8.5 4 0.005

32. 4.8 4 0.003

33. 4 4 0.05

34. 18 4 0.006

35. 2.76 4 60

36. 31.8 4 30

5D6

Redondear decimales En los problemas 37 al 46, redondea al valor posicional especificado o al número de dígitos indicados.

37. 34.8 a la decena más cercana

38. 505.6 a la decena más cercana

39. 96.87 a la centena más cercana

40. 241.2 a la centena más cercana

41. 3.15 a 1 dígito decimal

42. 0.415 a 2 dígitos decimales

43. 7.81 a la decena más cercana

44. 7.81 a la décima más cercana

45. 338.123 a la centena más cercana

46. 338.123 a la centena más cercana

5E6

Dividir por potencias de 10 En los problemas 47 al 50, divide.

47. 7.8100

48. 3.51000

49. 0.05100

50. 0.0611000

E n los problemas 51 al 60, divide y redondea la respuesta a dos dígitos decimales, el centésimo más cercano. 51. 13

52. 207

53. 0.060.70

54. 0.050.90

55. 12.243 qw 2.8

5.47 56. 20 qw

57. 8.1561000

58. 7.355100

59. 20 qw 0.545

60. 60 qw 0.386

5F6

Aplicaciones con decimales

61. Costo de llenar un tanque de gasolina ¿Cuál es el costo de llenar un tanque de gasolina de 13.5 galones, si la gasolina cuesta $2.61 por galón? Redondea al centavo más cercano.

62. Costo de llenar un tanque de gasolina ¿Cuál es el costo de llenar un tanque de gasolina de 14.5 galones, si la gasolina cuesta $3.32 por galón?

ir a www.mathzone.com para más lecciones

1. 0.5  0.7

6Web IT

ir a www.mathzone.com para más lecciones

220

Capítulo 3

3-22

Decimales

63. Costo de operación de una central de aire acondicionado El costo de operar una central de aire acondicionado que se usa las 24 horas del día es alrededor de $0.67 por hora. Cuánto cuesta:

64. Costo de operación de un tubo de luz fluorescente El costo de operar un tubo de luz fluorescente de 22 vatios que se usa 12 horas por día es alrededor de $0.0308 por hora. Redondeando al centavo más cercano. Cuánto cuesta

a. operar el aire por 24 horas

a. operar el tubo de luz por 12 horas

b. operar el aire por un mes (30 días)

b. operar el tubo de luz por 30 días (usa el resultado de a).

Medidores de gas En la sección 1.1, aprendimos a leer medidores eléctricos. Los medidores de gas se leen de la misma manera, y los resultados se dan en calorías. 65. Si usas 30 calorías de gas a un costo de $1.8 por caloría, ¿cuál es el precio total de tu consumo?

66. Si usas 50 calorías de gas a un costo de $1.27 por caloría, ¿cuál es el precio total de tu consumo?

67. Imagina que usas 48 calorías de gas. Si las primeras 15 calorías cuestan $1.09 por caloría y las restantes cuestan $1.27 por caloría, ¿cuál es el precio total de tu cuenta de gas?

68. Imagina que usas 50 calorías de gas. Si las primeras 15 calorías cuestan $1.10 por caloría y las restantes cuestan $1.30 por caloría, ¿cuál es el precio total de tu cuenta de gas?

69. Costo de alquiler de una van El costo diario de alquiler de una van de 15 pies en Ryder® es $69.99 más 49 centavos por milla. Si alquilas una van por 3 días y viajas 348 millas, ¿cuál es el precio total del alquiler?

70. Costo de alquiler de un camión Un camión de 20 pies se alquila por $79.99 por día más 49 centavos por milla. Si alquilas un camión por 3 días y viajas 257 millas, ¿cuál es el precio total del alquiler?

Tiempos de descarga (textos, fotografías, vídeo) La tabla muestra un estimado de los tiempos de descarga para textos, fotografías y vídeos. Como los archivos Web en Internet están comprimidos, para obtener el tiempo real de descarga dividimos estos tiempos entre 2. 71. Halla el tiempo estimado de descarga para un texto si usas un módem de 9600 bps (bits por segundo).

Velocidad del módem

Texto (2.2 KB)

Fotografía (300 KB)

7.33 sec

16.6 min

Vídeo (2.4 MB)

72. Halla el tiempo estimado de descarga de una fotografía si usas un módem de 14,400 bps.

2400 bps

73. Halla el tiempo estimado de descarga para un texto si usas un módem de 28,800 bps.

9600 bps

1.83 sec

4.17 min

33.3 min

14,400 bps

1.22 sec

2.78 min

22.2 min

28,800 bps

0.61 sec

1.39 min

11.1 min

74. Halla el tiempo estimado de descarga para un vídeo si usas un módem de 28,800 bps.

2.42 hr

75. ¿Cuál es la diferencia en tiempo cuando descargas un vídeo con un módem de 9600 bps y uno de 14,400?

76. ¿Cuál es la diferencia en tiempo cuando descargas una fotografía con un módem de 14,400 bps y uno de 28,800 bps?

77. Precio de una colonia La colonia concentrada Chantilly se vende por $2.83 la onza. Halla el precio de 3 onzas. Redondea la respuesta a su decena en centavos más cercana

78. Pintas en 7 jeroboams La botella más grande usada en la industria del comercio de vinos y licores es el jeroboam, que contiene 8.45 pintas. ¿Cuántas pintas hay en 7 de estas botellas?

79. Espesor del papel El espesor de una hoja de papel en un directorio telefónico es de 0.0068 centímetros. ¿Cuál es el espesor total del papel en un directorio con 752 hojas?

80. Circulación de la Guía de TV La circulación de la Guía de TV en su punto promedio más alto es de 19,230,000 ejemplares por semana. Si el precio por copia es de $0.75, ¿cuánto dinero en promedio obtiene en ventas cada semana?

81. Economía de combustible El récord mundial de economía de combustible en un circuito de vía cerrada pertenece a Ben Visser, conduciendo una camioneta Opel Caravan de 1959. Recorrió 376.59 millas con un galón de gasolina. ¿Qué distancia podría recorrer con 3 galones?

82. Distancia Lionel Harrison condujo las 1900 millas desde Oxford, Inglaterra, hasta Moscú en un Morris Minor equipado con un tanque de gasolina de 62 galones. Si gastó toda la gasolina, ¿cuántas millas por galón gastó? (redondea la respuesta a la décima más cercana).

83. Costo de refrescos Carlos pagó $1.74 por 6 botellas de refresco. ¿Cuánto costó cada botella?

84. Puntos por juego George Blanda jugó 326 partidos profesionales de fútbol. Anotó 1919 puntos. ¿Cuántos puntos anotó por partido? (redondea al décimo más cercano).

85. Yardas avanzadas El promedio más alto de yardas avanzadas por temporada pertenece a Beattie Feathers. Ganó 1004 yardas en 101 carreras. ¿Cuál fue el número promedio de yardas por carrera? (redondea la respuesta a la décima de yarda más cercana).

86. Pérdida de grasa Para perder una libra de grasa, una persona debe quemar alrededor de 3500 calorías. Al esquiar rápido se usan aproximadamente 15 calorías por minuto. ¿Cuánto tienes que esquiar para perder una libra de grasa, que son alrededor de 3500 calorías? (da la respuesta redondeando a su minuto más cercano).

3-23

3.2

Multiplicación y división de decimales

221

Medida de conservación

Costo (hágalo usted mismo)

Ahorro (el primer año)

Agregar ventanas/puertas con tormenteras (Connecticut)

$790

$155

88.

Aislar paredes del sótano (Connecticut)

$621

$360

89.

Masillar alrededor de las ventanas (Texas)

$41

$18

90.

Aumentar el aislamiento del ático (Texas)

$260

$98

91.

Aislar pisos (Oregón)

$315

$92

92. Reciclaje Reciclar una lata de aluminio ahorra el equivalente a medio galón de gasolina. ¿Cuántos galones de gasolina se ahorran si reciclas siete latas de aluminio? Fuente: http://members.aol.com

93. Ahorro en pañales Un pañal de tela lavado en casa cuesta 3 centavos por uso. Un pañal desechable cuesta 22 centavos por uso. ¿Cuánto ahorras por uso? Si un típico bebé usa 10,000 pañales, ¿cuánto puedes ahorrar (en dólares)? Fuente: http://members.aol.com

94. Lombrices Una libra de lombrices rojas puede consumir media libra de desechos de comida por día. ¿Cuántas libras de desechos de comida pueden consumir 15 libras de lombrices rojas? Si tienes 9 libras de desechos de comida, ¿cuántas libras de lombrices rojas necesitas para consumir las 9 libras? Source: http://www.ilacsd.org

666Usa tus conocimientos A t Antropología l í L La relación l ió entre t lla llongitud it d dde algunos l hhuesos y lla altura lt es tan precisa que, con sólo un hueso seco como pista, los detectives antropólogos pueden determinar aproximadamente la estatura de una persona. El cuadro muestra esta relación para personas cuya estatura es entre 60 y 85 pulgadas. Húmero

Altura (pulgadas) Hombres

(2.89 3 húmero) 1 27.81 (3.27 3 radio) 1 33.83 (1.88 3 fémur) 1 32.01 (2.38 3 tibia) 1 30.97

Mujeres

Radio

(2.75 3 húmero) 1 28.14 (3.34 3 radio) 1 31.98 (1.95 3 fémur) 1 28.68 (2.35 3 tibia) 1 22.439

Fémur

Por ejemplo, imagina que se encuentra un hueso húmero de 16.2 pulgadas de un hombre. La estatura que tenía se determina así:

Estatura

Tibia

(2.89 3 16.2) 1 27.81 5 46.82 1 27.81 5 74.63 pulgadas (Redondeamos el producto 2.89 3 16.2 a dos posiciones decimales.)

Antropología Usa las fórmulas del cuadro para hallar la estatura de la persona. Redondea las respuestas a la décima de pulgada más cercana. 95. Tibia de 16.2 pulgadas (hombre)

96. Tibia de 12.5 pulgadas (mujer)

97. Radio de 8.25 pulgadas (mujer)

98. Radio de 10.3 (hombre)

99. Fémur de 18.8 pulgadas (hombre)

100. Fémur de 16 pulgadas (mujer)

101. Húmero de 15.9 pulgadas (hombre)

102. Húmero de 12.75 pulgadas (mujer)

103. El hueso más largo El hueso humano más largo registrado es el fémur del gigante alemán Constantino. Medía 29.9 pulgadas. Usa el cuadro para hallar su estatura. (En realidad medía 105 pulgadas de alto.) ¿Qué error hay? Lee la última oración arriba del cuadro.

104. Altura de Robert Wadlow El fémur de Robert Wadlow, el hombre más alto registrado, medía 29.5 pulgadas. ¿Qué estatura tenía según el cuadro? (En realidad medía 107 pulgadas de alto.)

ir a www.mathzone.com para más lecciones

87.

6Web IT

En los problemas 87 al 91 usa la fórmula que precede al ejemplo 11 para encontrar el tiempo de recuperación. Da la respuesta redondeando a la décima de año más cercana.

222

Capítulo 3

3-24

Decimales

666¡Escribe! 105. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para redondear un decimal.

106. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para convertir dólares a centavos.

107. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para convertir centavos a dólares.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 108. Cuando multiplicamos decimales, el número de dígitos decimales en el producto es la de dígitos decimales en los factores.

del número

109. Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000, o una potencia de 10 mayor, corre el punto decimal tantas posiciones a la como en la potencia de 10 que estás multiplicando. 110. Al redondear un número decimal, si el primer número a la 5 o más, uno al número subrayado.

restar

suma

divisor

derecha

izquierda

sumar

ceros

de la posición subrayada es

111. Para dividir un número decimal por 10, 100, 1000, o una potencia de 10 mayor, mueve el punto decimal como ceros haya en el . tantas posiciones a la

666Prueba de dominio 113. Divide: 90 4 0.14. (Redondea la respuesta al segundo dígito decimal.)

112. Divide: a. 449.6 4 100 b. 3.14 4 1000 c. 4.23 4 10

0.0060 115. Divide: } 12

114. Redondea 587.752 a a. la decena más cercana. b. al primer dígito decimal. c. al segundo dígito decimal. 2.7 116. Divide: } 0.045

117. Multiplica: a. 32.423 3 10 c. (0.328)(100)

118. Multiplica: a. 6.103 3 21.02 (Redondea la respuesta al segundo dígito decimal.) b. 3.214 3 0.0021 (Redondea la respuesta al segundo dígito decimal.)

119. Multiplica: a. 4.41 3 3.2

b. 48.4 ? 1000

b. 14.724 3 5.1

120. De acuerdo con el Distrito Municipal de Servicios Públicos de Sacramento, puedes ahorrar $48 por año en costos de electricidad si compras una secadora de ropa Energy Star. Si una secadora cuesta $360, ¿cuánto tiempo tomará recuperar el costo total?

666Comprobación de destrezas Halla el número que falta para escribir las siguientes fracciones equivalentes. ? 25} 121. } 5 10

3 ? } 122. } 10 5 100

? 2 } 123. } 125 5 1000

3-25

3.3

3 .3

Fracciones y decimales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6 B6

Escribir una fracción como su decimal equivalente. Escribir un decimal finito como una fracción en forma reducida.

C6

Escribir un decimal periódico (o que se repite) como una fracción.

D6

Resolver aplicaciones usando los conceptos estudiados.

Fracciones y decimales

223

1. Escribir una fracción como una equivalente con un numerador específico. (págs. 120 – 122) 2. Escribir una fracción en forma reducida. (págs. 122 – 124) 3. Escribir el nombre en palabras de un decimal. (pág. 201)

6 Para comenzar El aviso publicitario a la izquierda muestra el precio de 1 galón de gasolina usando la fracción 9/10. Sin embargo, el aviso de la derecha muestra el precio como el decimal 0.9. Si nos dan una fracción, algunas veces podemos hallar su equivalente en decimales multiplicando el numerador y el denominador por un número que haga que el denominador sea una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.) y luego escribir el decimal equivalente. Por ejemplo, 2 2?2 } 4 } 5} 5 ? 2  10  0.4 75 3 3 ? 25 }  }  }  0.75 4 4 ? 25 100 3?8 3 24 }}} 125 125 ? 8 1000  0.024

A 6 Escribir fracciones como decimales Estas conversiones pueden hacerse siempre dividiendo el numerador por el denominador. 0.75 0.4 3 2 } } 4 .0W0 5 5 2 4 5 o 2 .0 5 3 4 4 o QW W3W QW W W 5 4 28 20 20 0 20 0 2 Es decir, } 5 0.4. 5 3 Es decir, } 4 5 0.75.

3 } = 3 4 125 125

ó

0.024 125QW3W.0 W0W0W 2 50 500 500 0

3 Es decir, } 125 5 0.024.

224

Capítulo 3

3-26

Decimales

He aquí la regla:

PARA CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN UN DECIMAL Dividir el numerador por el denominador.

EJEMPLO 1 Convertir fracciones a decimales. Escribir como un decimal. 11 4 11 c. 3 } a. } b. } 5 40 40 SOLUCIÓN 4 a. } 55445

ó

11 b. } 40 5 11 4 40

c. Recuerda que

0.8 5QW4 W.0 W 40 0 ó

PROBLEMA 1 Escribe como un decimal. 3 3 3 c. 5 } b. } a. } 5 40 40

4 Por tanto, } 5 5 0.8.

0.275 40QW 11W 00 .0W W 8 0 3 00 2 80 200 200 0

11 Por tanto, } 40 5 0.275.

11 11 } 3} 40 5 3 1 40 5 3 1 0.275 5 3.275 En todos los ejemplos anteriores obtienes un decimal finito como respuesta. Esto es, cuando divides el numerador por el denominador, tienes un residuo de 0. Sin embargo, este no es siempre el caso. Por ejemplo, para expresar }16 como un decimal, procedemos como antes: 1 } 65146

ó

0.166 6QW1W.0 W0W0W 6 40 36 40 36 4

Si la división se lleva más allá, seguirás obteniendo varios seis en el cociente. El equivalente decimal para }16 es un decimal periódico. El grupo de dígitos repetidos se llama periodo. La respuesta se puede escribir como 1 } 6 5 0.1666 . . . o escribiendo una barra, llamada “vínculo” arriba del periodo, así: 1 } W 6 5 0.16 (la barra significa que el 6 se repite; entonces 6 es el periodo.)

EJEMPLO 2 Convertir fracciones a decimales Escribe }17 como un decimal. Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 0.6 b. 0.075 } 2. 0.285714

c. 5.075

PROBLEMA 2 Escribe }27 como un decimal.

3-27

SOLUCIÓN

3.3

Fracciones y decimales

225

0.142857 W0WWWWW 7Q1. 7 30 28 20 14 60 56 40 35 50 49 1 Nota que el residuo 1 es igual al dividendo original. Esto indica que el cociente se } repite a sí mismo, así, }17 5 0.142857. 1 } 75147

ó

Nota que en el ejemplo 2 podríamos haber redondeado la respuesta al segundo dígito decimal. En ese caso hubiéramos obtenido }1 < 0.14, donde el signo < significa “es 7 aproximadamente igual a”.

B 6 Escribir decimales finitos como fracciones Estamos listos ahora para convertir decimales en fracciones. ¿Recuerdas el nombre para 0.2? 1 2 } 0.2 es dos décimas Así, 0.2 5 } 10 5 5 11 Así, 0.11 5 } 0.11 es once centésimas 100 3 150 } Así, 0.150 5 } 0.150 es ciento cincuenta milésimas 1000 5 20 Nota que 0.2 tiene un numerador, 2, y un 10 como denominador. También, 0.11 tiene un numerador, 11, y un denominador de 100, y 0.150 tiene un 15 de numerador y 1000 como denominador. He aquí la regla:

REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL FINITO EN FRACCIÓN 1. Escribe los dígitos a la derecha del punto decimal como el numerador de la fracción. 2. El denominador es un 1 seguido por tantos ceros como dígitos decimales haya en el decimal. 3. Reduce la fracción, simplificándola.

EJEMPLO 3 Convertir decimales finitos en fracciones Escribe cada decimal como una fracción reducida. a. 0.025

b. 0.0175

PROBLEMA 3 Escribe cada decimal como una fracción reducida. a. 0.050

b. 0.0350

SOLUCIÓN a. 0.025 es veinticinco milésimos. Así 25 1 } 0.025 5 } 1000 5 40 ︸ ︸

3 dígitos

3 ceros

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 7 1 } 3. a. } 20 b. 200

226

Capítulo 3

3-28

Decimales

b. 0.0175 es ciento setenta y cinco diezmilésimos. Así, 7 175 } 0.0175 5 } 10,000 5 400 ︸ ︸

4 dígitos

4 ceros

En caso que un decimal tenga una parte entera, primero convierte la parte decimal a una fracción y luego súmala a la parte entera. Por ejemplo, para escribir 3.17 como una fracción, escribimos 17 17 317 5 3} 5} 3.17 5 3 1 0.17 5 3 1 } 100 100 100 17

317

} Nota que 3.17 es tres y diecisiete centésimas: eso es, 5 3} 100 5 100. ¿Qué piensas que es 891 , por supuesto. Puedes usar esta idea en el ejemplo 4. 8.91? } 100

EJEMPLO 4 Convertir decimales finitos en fracciones Escribe cada uno como una fracción reducida. a. 2.19

PROBLEMA 4 Escribe cada uno como una fracción reducida.

b. 4.15

a. 1.17

b. 4.35

SOLUCIÓN a. 2.19 es dos con diecinueve centésimos. Así, 19 19 219 } } 2.19 5 2 1 } 100 5 2100 5 100 b. 4.15 es cuatro y quince centésimos. Así, 3 3 3 83 15 } } } 4.15 5 4 1 } 100 5 4 1 20 5 420 5 20 20

C 6 Escribir decimales periódicos como fracciones

¿Podemos escribir un decimal periódico como una fracción? ¡Por supuesto! Aquí hay algunos ejemplos; puedes comprobarlos con divisiones. Trata de hallar el patrón: _ 3 1 } 0.3 5 } 953 __ 61 0.61 5 } 99 ___ 123 41 } 0.123 5 } 999 5 333 La regla para hacer esta conversión se da enseguida. Nota que esta regla se aplica a decimales que se repiten inmediatamente después del punto decimal—es decir, decimales _ __ repetitivos que son los periódicos puros como_0.333 . . . 5 0.3, 0.878787 . . . 5 0.87 —pero no a decimales como 0.1666 . . . 5 0.16.

REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL PERIÓDICO PURO EN UNA FRACCIÓN 1. Escribe la parte repetida como el numerador de la fracción (el periodo). 2. El denominador consta de tantos nueves como dígitos en el periodo (la parte que se repite). Por ejemplo,

_

6

2

0.6 5 } 5 }3 9 ︸

Respuestas a los PROBLEMAS 117 4. a. } 100

87 b. } 20

Un dígito

Un nueve

3-29

3.3 __

Fracciones y decimales

227

16

} 0.16 5 99 ︸ ︸

Dos dígitos

Dos nueves

EJEMPLO 5 Convertir decimales periódicos en fracciones Escribe cada uno como una fracción reducida. __

___

a. 0.43

b. 0.102

PROBLEMA 5 Escribe cada uno como una fracción reducida. a. 0.41

b. 0.105

SOLUCIÓN __

___

43

a. 0.43 5 } 99

102

34

b. 0.102 5 } 5} 999 333

D 6 Aplicaciones de números con partes decimales

Como mostramos, los números decimales se pueden escribir como fracciones, por tanto, pueden representar una parte de alguna cantidad. Por ejemplo, si deseamos encontrar que parte decimal de 12 es 3, procedemos de la siguiente manera: ¿Qué parte decimal d de 12

︸

︸

︸

es ︸

3? ︸

d 3 12 5 3 0.25 d 5 3 4 12 5 12Q3. W0W 2____ 4 60 60 ___ 0

Divide ambos lados por 12.

Así, 3 es 0.25 de 12. VERIFICA

0.25 3 12 5 3.

EJEMPLO 6 Hallar la parte decimal de un número ¿Qué parte decimal de 16 es 5? SOLUCIÓN ¿Qué parte decimal d de 16 es 5 ?

︸

︸ ︸︸ ︸

d 3 16 5 5 d 5 5 4 16

Divide ambos lados por 16.

0.3125 5 16qw 5.0000 4____ 8 20 16 ___ 40 32 ___ 80 80 ___ 0 Así, 5 es 0.3125 de 16, lo que puede comprobarse fácilmente, ya que 0.3125 3 16 5 5. Respuestas a los PROBLEMAS 35 41 } 5. a. } 6. 0.4375 99 b. 333

PROBLEMA 6 ¿Qué parte decimal de 16 es 7?

228

Capítulo 3

3-30

Decimales

¿Has desayunado en McDonald’s últimamente? En el ejemplo 7 te daremos una idea de cuánto dinero se gasta en hacerlo.

EJEMPLO 7 Hallar la parte decimal de un número ¡Un restaurante recibe $131,600 por año solamente en desayunos! Si el total ganado es de $940,000 al año. ¿Qué parte decimal de los $940,000 equivale a desayunos? SOLUCIÓN

En este problema queremos saber ¿Qué parte

de ︸

︸

los $940,000

es

u

3

940,000

5

︸

Ahora dividimos 7 por 50.

︸

PROBLEMA 7 Cierto restaurante recibe $128,000 al año en desayunos. La suma total de ventas es de $800,000 al año. ¿Qué parte de los $800,000 son de desayunos?

por desayunos ? ︸

$131,600 131,600 u5} 940,000 1316 5} 9400 329 5} 2350 7 5} 50

0.14 50Q7. 00 50 2 00 2 00 0 Así, 0.14 es la parte decimal de los $940,000 que se gastan en desayunos. Esto significa que $0.14 de cada dólar gastado en este restaurante equivale a desayunos.

Rincón de la calculadora Convertir una fracción en un decimal usando una calculadora es muy sencillo. Así, para expresar }45 como un decimal (ejemplo 1), simplemente recordamos que }45 significa 4 4 5. Digitar nos dará la respuesta correcta, 0.8 (muchas calculadoras no escriben el cero a la izquierda del decimal en la respuesta final). También puedes hacer el ejemplo 2 usando la división.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 3.3 5A6

Escribir fracciones como decimales En los problemas 1 al 10, escribe como decimales.

1 1. } 2

2 2. } 5

11 3. } 16

7 4. } 40

15 6. } 16

9 7. } 10

3 8. } 100

1 9. } 4

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 0.16

> Self-Tests > e-Professors > Videos

9 20

5. } 3 10. } 8

3-31

3.3

229

Fracciones y decimales

6Web IT

En los problemas 11 al 20, escribe como un decimal (redondea a dos dígitos decimales). 7 12. } 6

3 13. } 7

7 14. } 12

8 15. } 3

11 16. } 6

1 17. } 3

2 18. } 3

2 19. } 11

12 20. } 11

Escribir decimales finitos como fracciones En los problemas 21 al 28, escribe como una fracción reducida.

21. 0.8

22. 0.9

23. 0.19

26. 0.060

27. 3.10

28. 2.16

25. 0.030

Escribir decimales periódicos como fracciones En los problemas 29 al 34, escribe como una fracción reducida.

_

_

__

29. 0.5

30. 0.3

31. 0.21

__

__

__

32. 0.19

33. 0.11

34. 0.44

5D6

Aplicaciones de números con partes decimales

Resuelve. 35. ¿Qué parte decimal de 8 es 3?

36. ¿Qué parte decimal de 16 es 9?

37. ¿Qué parte decimal de 1.5 es 37.5?

38. ¿Qué parte decimal de 2.3 es 36.8?

39. Halla un número tal que 0.25 del mismo sea 1.2.

40. Encuentra un número tal que 0.5 del mismo sea 1.6.

41. Halla 2.5 de 14.

42. Encuentra 0.33 de 60.

666Aplicaciones 43. Promedio de bateadas El promedio de bateadas de un jugador de béisbol se obtiene dividiendo el número de hits entre el número de veces que estuvo al bate. Halla el promedio de bateadas de un jugador que consiguió un hit en 3 veces que estuvo al bate (redondea la respuesta a la milésima más cercana).

44. Promedio de bateadas Halla el promedio de bateadas de un jugador con 5 hits en 14 veces que estuvo al bate (redondea la respuesta a la milésima más cercana) (Pista: mira el problema 43).

45. Cumplimiento en fútbol El 21 de septiembre de 1980, Richard Todd intentó 59 pases y concretó o completó 42. Su promedio de cumplimiento fue 42 4 59. Escribe este número como un decimal redondeando a la décima más cercana.

46. Cumplimiento en fútbol Halla el promedio de cumplimiento de Ken Anderson, quien completó 20 de 22 pases en un juego entre Cincinnati y Pittsburgh, el 10 de noviembre de 1974. Redondea la respuesta a la décima más cercana. Fuente: Football.com

47. Costo del trigo Si 11 libras de trigo cuestan $24, ¿cuál es el costo por libra? (redondea la respuesta al centavo más cercano).

48. Días lluviosos en Hawai En Mt Waialeale, Hawai, } 10 de los 9 días del año son lluviosos. Escribe } 10 como un decimal.

5

49. Días soleados en Little Rock En Little Rock, Arkansas, }8 de los 5 días del año son soleados. Escribe }8 como un decimal.

9

50. Un problema de dolor de cabeza He aquí algunas estadísticas interesantes sobre dolores de cabeza. a. Las migrañas afectan a }18 de todos los estadounidenses. Escribe }18 como un decimal. b. Dos tercios de las víctimas de la migraña son mujeres. Escribe }23 como un decimal (redondea la respuesta a su centésimo más cercano). c. Si los dos padres sufren migrañas, tres cuartos de sus hijos 3 también las padecerán. Escribe }4 como un decimal.

1 51. Consumo de pastillas para dormir } 18 de los estadounidenses toma pastillas para dormir al menos una vez a la semana. Escribe la fracción como un decimal (redondea la respuesta a la milésima más cercana).

52. Dientes postizos Uno de cada seis estadounidenses usa un juego completo de dientes postizos. Escribe }16 como un decimal (redondea a la milésima más cercana).

53. Descargar el baño Una casa estadounidense promedio gasta 60 galones de agua al día, de los que 29 se gastan en descargar 29 el baño. Escribe } 60 como un decimal (redondea la respuesta a la milésima más cercana).

54. Groserías en la universidad Un estudiante universitario promedio dice una mala palabra por cada 11 correctas. 1 Escribe } 11 como un decimal (redondea la respuesta a la milésima más cercana).

para más lecciones

5C6

24. 0.20

mhhe.com/bello

5B6

ir a

5 11. } 6

230

Capítulo 3

3-32

Decimales

55. Carreras de Babe En promedio, Babe Ruth hizo un home 1 run } 12 de las veces que estuvo al bate. Escribe esta fracción como un decimal.

56. Compra de casa Una familia gasta 2.5 veces sus ingresos anuales en comprar una casa. Si la familia compró una casa de $75,000, ¿cuál fue su ingreso anual?

57. Compra de casa Una familia gastó 2.3 veces sus ingresos anuales en comprar una casa. Si la familia compró una casa de $92,000, ¿cuál fue el ingreso anual de la familia?

58. Ingresos anuales Una familia gasta $125,000 en la compra de una casa. Esta cantidad representa 2.5 sus ingresos anuales. ¿Cuál fue el ingreso anual de la familia?

59. Ingresos anuales Una familia gasta $69,000 en la compra de una casa. Esta suma representa 2.3 sus ingresos anuales. ¿Cuál fue el ingreso anual de la familia?

60. Consumo de petróleo Recientemente, 0.25 de todo el petróleo que se consumió en el mundo en un día se consumió en Estados Unidos. La cantidad consumida por el país ese día fue de 19.7 millones de barriles. ¿Cuántos barriles se consumieron en todo el mundo?

Puntajes FICO ¿Sabes qué es tu puntaje FICO (Fair Isaac Credit Organization)? “Cuando solicitas crédito—ya sea para una tarjeta de crédito, un préstamo para comprar un carro o una hipoteca—los prestamistas quieren saber qué riesgo están tomando por prestarte dinero. Los puntajes FICO son los puntajes de crédito que la mayoría de los prestamistas usan para determinar su riesgo de crédito. Tu tienes tres puntajes FICO, uno de cada una de las tres oficinas de crédito: Experian, TransUnion y Equifax”. Fuente: http://www.myfico.com

El diagrama muestra la fracción que forma cada una de las categorías en tu puntaje FICO. En los problemas 71 al 74, escribe la fracción como un decimal para cada categoría. 61. Historial de pagos 62. Suma adeudada

Historial de pagos 7/20

63. Duración de tu historial de pagos 64. Nuevo crédito

Sumas adeudadas 3/10

Duración del historial de crédito 3/20 Crédito nuevo 1/10 Tipos de crédito usados 1/10

666Usa tus conocimientos M h productos Muchos d t ((como ell cereal, l la l leche, l h etc.) t ) mencionan i su información i f ió nutricional t i i l por porción. ió P Por ejemplo, j l ell producto 19 contiene 3 gramos de proteína. Si la cantidad diaria recomendada (CDR) de proteína es 70 gramos, el producto 3 19 provee } 70 de tus necesidades de proteína diaria. En los siguientes problemas halla la fracción de proteína CDR (70 gramos) que provee cada producto. Luego, escribe tu respuesta como un decimal, de dos dígitos. 65. Special K, 4 gramos por porción

66. Cornflakes, 2 gramos por porción

67. Espinaca (1 taza), 5 gramos

68. Froot Loops, 1 gramo por porción

69. 1 huevo, 7 gramos

Atornillar El cuadro muestra el tamaño del taladro (columna 2) que se usa para poner un clavo o tornillo en relación con 3 su tamaño (columna 1). Si usas la barrena del tamaño fraccionario más cercano a } 64-de pulgada (tercera columna), el cuadro muestra que el equivalente en pulgadas decimales (columna 4) es .0469 (como verás, ésta es sólo una aproximación). 3

(1)

(2)

(3)

(4)

Para poner este tamaño de clavo:

Usa este tamaño de barrena:

(Fraccionario más cercano:)

Pulgadas decimales

0-80 NF*

3/64"

3/64"

.0469

1-72 NF

#53

1/16"

.0595

3-48 NC* 4-48 NF

#47 #42

5/64" 3/32"

.0785 .0935

Fuente: http://www.korit.com/tapndrill.htm. * NF Rosca fina natural. NC Rosca gruesa nacional.

70. Halla la medida exacta para una barrena de } 64 de pulgada, expresada como decimal. Luego, redondea tu respuesta a cuatro posiciones decimales. 1 71. Halla la medida exacta para una barrena de } 16 de pulgada, escrita como un decimal. Luego redondea tu respuesta a cuatro posiciones decimales. 5

72. Halla la medida exacta para una barrena de } 64 de pulgada, escrita como un decimal. Luego redondea tu respuesta a cuatro posiciones decimales. 3

73. Halla la medida exacta para una barrena de } 32 de pulgada, escrita como un decimal. Luego redondea tu respuesta a cuatro posiciones decimales.

3-33

3.3

Fracciones y decimales

231

74. He aquí algunas fracciones y sus decimales equivalentes. Finitos

Periódicos _ 1 1 } 5 } 5 0.3 3 3 _ 2 2 } 5 } 5 0.6 3 3 _ 1 1 } 5 } 5 0.16 6 2?3 _ 1 1 } 5 } 5 0.1 9 3?3 _ 1 1 } 5 } 5 0.083 12 2 ? 2 ? 3 ______ 1 1 } 5 } 5 0.142857 7 7 __ 1 1 } 5 } 5 0.09 11 11

7 7 } 5 } 5 0.875 8 2? 2?2 3 3 } 5 } 5 0.75 4 2?2 5 5 } 5 } 5 0.625 8 2?2?2 1 1 } 5 } 5 0.5 2 2 3 3 } 5 } 5 0.375 8 2?2?2 1 1 } 5 } 5 0.2 5 5 1 1 } 5 } 5 0.1 10 2 ? 5

Mira el denominador de las fracciones finitas. Ahora observa los denominadores de las fracciones periódicas. ¿Puedes hacer una suposición sobre el denominador de las fracciones finitas?

666¡Escribe! 75. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para convertir una fracción en un decimal.

76. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para convertir un decimal en una fracción. ¿Se aplica la misma fórmula a fracciones finitas y a fracciones periódicas? ¿Cuál es la diferencia?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 77. Para convertir una fracción en un decimal, divide el

por el

.

78. El primer paso para convertir un decimal finito en una fracción es escribir los dígitos a la de la fracción. del punto decimal como el

nueves izquierda periodo

79. El primer paso para convertir un decimal periódico puro en una fracción es escribir un periodo (la parte repetida) como el de la fracción. consiste de tantos

80. Cuando se cambia un decimal periódico puro a una fracción el como dígitos hay en el .

81. Una librería vende $4800 en libros de matemáticas. Si las ventas totales son de $8000, ¿qué parte decimal de las ventas corresponde a libros de matemáticas?

82. ¿Qué parte decimal de 16 es 7?

83. Escribe como una fracción simplificada:

84. Escribe como una fracción simplificada:

b. 0.303

85. Escribe como una fracción simplificada: a. 0.035

b. 0.0375

87. Escribe como un decimal: 3 5

a. }

9

b. } 40

denominador derecha

666Prueba de dominio

a. 0.41

numerador

a. 3.19

b. 2.15 3

86. Escribe }7 como un decimal

232

Capítulo 3

3-34

Decimales

666Comprobación de destrezas Llena en el espacio con , o . para que la desigualdad resultante sea verdadera. 3 88. } 10

4 } 13

3. 4 6 Objetivos Debes ser capaz de:

A6

B6

C6

Comparar dos o más decimales y determinar cuál es mayor. Comparar fracciones y decimales y determinar cuál es mayor. Resolver aplicaciones con fracciones, decimales y el orden de operaciones.

3 89. } 11

2 } 7

3 } 7

4 90. } 9

5 91. } 7

5 } 6

Decimales, fracciones y orden de operaciones 6 Repasa antes de continuar . . . 1. Escribir una fracción como un decimal. (págs. 223 – 225) 2. Dividir un decimal por un número cardinal. (pág. 216) 3. Comprender el significado de una notación para decimales periódicos puros. (pág. 226)

4. Trabajar con el orden de operaciones. (págs. 82 – 84)

6 Para comenzar ¿Cuál de las dos ofertas de Pepsi es mejor? Para responder esta pregunta, podemos hallar el precio de cada lata dividiendo $2.00 entre 8 y $2.99 entre 12, y luego se compara el precio individual de cada lata. 0.25 8qw 2.00 16 40 40 0

Elección de bebida

0.24 12qw 2.99 24 59 48 11

por

Elección de bebida

por

Como 0.25 . 0.24, 12 latas por $2.99 es una oferta mejor.

A 6 Comparar decimales ¿Qué pasa si se comparan 0.251 y 0.25? Podemos hacerlo escribiendo 0.25 como 0.250 y notando que 0.251 . 0.250. Insertamos un 0 al final de 0.25 para convertirlo en 0.250, así ambos decimales tienen tres dígitos. En general, para comparar dos decimales usamos el siguiente procedimiento:

PARA COMPARAR DECIMALES Asegúrate que todos los decimales tengan el mismo número de dígitos decimales (incluye ceros extra a la derecha del punto decimal, si es necesario). Compara los dígitos correspondientes, empezando a la izquierda hasta que dos dígitos sean diferentes. El número con el mayor dígito es el mayor de los decimales.

3-35

3.4

Decimales, fracciones y orden de operaciones

233

Así, para comparar 3.14, 3.15, y 3.1, primero escribimos 3.1 como 3.10. Después escribimos los tres decimales como 3.14 3.15 3.10 Dígitos diferentes

Dígitos iguales

Como el 5 es el dígito mayor en la posición de los centésimos, 3.15 es el decimal mayor. Así, 3.15 . 3.14 . 3.10

EJEMPLO 1 Comparar decimales Organiza en orden de magnitud decreciente (de mayor a menor): 5.013, 5.01, 5.004.

PROBLEMA 1 Arregla en orden de magnitud decreciente: 6.024, 6.02 y 6.002.

SOLUCIÓN Primero escribimos un 0 al final de 5.01 para que los tres números tengan tres dígitos decimales. Luego escribimos: 5.013 5.010 5.004 Así, 5.013 . 5.010 . 5.004 (Nota que tanto 5.013 como 5.010 tienen un 1 en la posición de los centésimos, por lo que los dos son mayores que 5.004. Más aún, como 5.013 tiene un 3 en la posición de los milésimos y 5.010 tiene un 0, 5.013 es mayor.) }

¿Cómo podemos comparar 3.14, 3.14, y 3.14? Como la barra indica la parte que se repite, }

3.14 5 3.141414 . . . }

3.14 5 3.144444 . . . 3.14 5 3.140000

(Nota los 0 agregados)

Las primeras tres columnas (empezando desde la izquierda) tienen los mismos números, 3, 1 y 4, respectivamente. En la cuarta columna (las milésimas) el número mayor es 4 en } } } 3.14. Así, 3.14 es el decimal mayor, seguido por 3.14 y 3.14; es decir, } } 3.14 . 3.14 . 3.14

EJEMPLO 2

Comparar decimales } } Escribe en orden de magnitud decreciente: 3.145, 3.145 y 3.145.

SOLUCIÓN

Escribimos otra vez los números como: } 3.145 5 3.14555 . . . 3.145 5 3.14500 }

3.145 5 3.14545 . . . Empezando por la izquierda, las primeras cuatro columnas tienen los mismos números (3, 1, 4 y 5). En la quinta columna, el número mayor es 5, seguido de 4 y } } luego de 0, correspondiente a 3.145, 3.145 y 3.145, respectivamente. Así, } } 3.145 . 3.145 . 3.145 Respuestas a los PROBLEMAS 1. 6.024 . 6.02 . 6.002 }

}

2. 2.145 . 2.145 . 2.145

PROBLEMA 2 Escribe en orden de magnitud } } decreciente: 2.145, 2.145 y 2.145.

234

Capítulo 3

3-36

Decimales

B 6 Comparar fracciones y decimales ¿Estás observando tu consumo de grasas? Si comes un hamburger de McDonald’s que 11 pesa 100 gramos, 11 de los cuales son de grasa; es decir } 100 del hamburger son grasa. Por otro lado, 0.11009 de un hamburger de Burger King es grasa. ¿Qué hamburger tiene 11 más grasa? Para comparar estos números, escribimos } 100 como un decimal, agregando tres ceros para poder comparar el resultado con 0.11009. Escribimos: 11 } 100 5 0.11000 y 0.11009 5 0.11009 Así, 0.11009 . 0.11000; eso es, el hamburger de Burger King tiene, en proporción, más grasa. He aquí la regla:

PARA COMPARAR UN DECIMAL Y UNA FRACCIÓN Escribe la fracción como un decimal y compárala con el número dado.

EJEMPLO 3 Hallar agua en la Coca–Cola En un caso en la corte llamado Estados Unidos versus cuarenta toneles y veinte 3 barriles de Coca–Cola, el primer análisis indicaba que }7 de la Coca–Cola era agua. Otro análisis mostró que 0.41 de la Coca–Cola era agua. ¿Cuál de los dos análisis indicaba más agua en la Coca–Cola? 3

SOLUCIÓN

Debemos comparar }7 y 0.41. Si dividimos 3 entre 7, obtenemos

0.42 7qw 3.00 28 20 14 6

PROBLEMA 3 4

Un análisis químico indicaba que }7 de una sustancia era petróleo; un segundo análisis, que 0.572 de la sustancia era petróleo. ¿Cuál de los dos análisis mostraba más petróleo?

(Nos detenemos acá porque la respuesta tiene dos posiciones decimales, por lo que podemos comparar 0.42 y 0.41.)

3

Como }7 < 0.42 . 0.41, el primer análisis mostraba más agua en la Coca–Cola.

EJEMPLO 4 Comparar áreas de tierra El cuadro muestra la fracción del área terrestre ocupada por cada continente. 1

1

a. África abarca alrededor de 5} del área terrestre del planeta. ¿Qué es mayor, 5} ó 0.203? 9 }? b. Sudamérica abarca 0.089 del área terrestre del planeta. ¿Qué es menor, 0.089 ó 100 Continente

Área terrestre total

El mundo

1.00

Asia (más el Medio Oriente)

0.30

África

0.203

América del Norte

0.163

Sudamérica

0.089 9 } 100 7 } 100 5 } 100

Antártida Europa Australia (más Oceanía) Fuente: Enchanted Learning.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. El segundo análisis 4. a. 0.163 b. 0.067

PROBLEMA 4 a. América del Norte abarca 4 alrededor de } 25 de área terrestre del planeta. ¿Qué es mayor, 4 } 25 ó 0.163? b. Europa abarca 0.067 del área terrestre del planeta. ¿Qué es 7 menor, 0.067 ó } 100?

3-37

3.4

Decimales, fracciones y orden de operaciones

235

SOLUCIÓN 1

1

a. Para comparar }5 y 0.203, escribimos otra vez }5 como un decimal. Dividiendo 1 entre 5 tenemos: 1 } 5 5 0.20 1 } Luego escribimos 5 5 0.200 y 0.203 Las primeras dos columnas después del decimal (el 2 y el 0) son iguales, pero en la columna de los milésimos, tenemos un 3 para 0.203. 1 Así, 0.203 . } 5 1 Esto significa que 0.203 es mayor que }5. 9

b. Escribiendo } 100 como un decimal, obtenemos: 9 } 5 0.090 100 0.089 9 0.089 , } 100

y Así,

9

Esto significa que 0.089 es menor que } 100.

C 6 Aplicaciones y orden de las operaciones

Relación entre obesidad y cáncer Según un estudio nuevo. la obesidad puede relacionarse con una de cada seis muertes por cáncer. El estudio utiliza el índice de masa corporal (IMC), que mide el peso respecto a la altura. Un IMC de 18.5 a 24.9 es considerado normal y un IMC de 30 o mayor es considerado obesidad. El aumento porcentual en las tasas de mortalidad de todos los cánceres basados en el índice de masa corporal indica

Porcentual

Hombres 70 60 50 40 30 20 10 0

Mujeres

Como puedes ver en la gráfica de la izquierda, existe una relación entre la obesidad (tener sobrepeso) y el cáncer. ¿Cómo medimos la obesidad? Usando el índice de masa corporal (IMC), como se define en el margen. Un IMC de 18.5 a 24.9 es normal, pero si el IMC es mayor que 30, la persona es considerada obesa. Supón que una persona tiene una estatura de 74 pulgadas y pesa 148 libras. ¿Es una persona obesa? De acuerdo con la fórmula, peso 2  74 148 IMC 5 3 703 5 }2 3 703 5 } 74  74 3 19 ? 37 5 19 altura2 74 Como 19 está entre 18.5 y 24.9 la persona es normal. Nota que en este caso 74 fue un factor de 148 en el numerador y 2 3 37 5 74, ena tonces el cálculo fue simple. Para cálculos más complicados de la forma }b 3 n puedes usar uno de estos dos métodos: a

Método 1. Convierte }b a un decimal y multiplica por n. n a Método 2. Escribe n como }1 y multiplica por }b.

30.0-34.9 35.0-39.9

40 o mayor

El índice de masa corporal (IMC) es igual a: Peso (en libras)
703 altura (en pulgadas)2 Fuente: Tampa Tribune, 4/24/03

Por supuesto que puedes hacer los cálculos usando el orden de las operaciones para decimales, el cual, por fortuna, tiene las mismas reglas que se usan para fracciones. Aquí están para tu conveniencia:

ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR) 1. Hacer primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación ( ), [ ], { }. 2. Evaluar todas las expresiones exponenciales. 3. Hacer las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Hacer las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha.

236

Capítulo 3

3-38

Decimales

Usemos los conceptos en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

SOLUCIÓN

Halla el IMC (al número cardinal más cercano) para una mujer de 60 pulgadas de estatura y 180 libras de peso.

Hallar el IMC (índice de masa corporal) Halla el IMC (al entero más cercano) para un hombre de 70 pulgadas de estatura y 250 libras de peso. 25

peso 250 250 IMC 5 3 703 5 }2 3 703 5 } 70  70 3 703 altura2 70

Hombres

7

25

Porcentual

250

Primero divide el numerador y el denominador de } 70  70 por 10 para obtener } 70  7. Luego, es probable que sea más fácil usar el método 2: multiplica 25 por 703 y divide el producto, 17,575, por 490. Obtenemos 35.8 490qw 17575.0 1470 2875 2450 4250 3920 330 Al entero más cercano 35.8 es 36. Así, el IMC es alrededor de 36. Nota que de acuerdo con la gráfica, un IMC de 35 a 39 para un hombre indica 20 por ciento de aumento en las tasas de mortalidad para todos los cánceres.

70 60 50 40 30 20 10 0

30.0-34.9 35.0-39.9

Mujeres

40 o mayor

Un IMC de 36 para un hombre indica un 20 por ciento de aumento en las tasas de mortalidad para todos los cánceres.

Ahora un recordatorio: si hay varias operaciones involucradas, sigue el orden de las operaciones dado en la página 235. Veamos cómo hacerlo.

EJEMPLO 6

Orden de las operaciones con fracciones

S D

S

PROBLEMA 6

S D

S

5 3 1 3 } 1 } 1 } 1 } } Simplifica } 2 44?213 222 .

5 1 1 3 } 1 } 1 } 1 } } Simplifica } 2 44?213 222 .

D

D

SOLUCIÓN las operaciones dentro de los paréntesis: S}12 D 4 }41 ? }21 1 }13 S}25 2 }12 D Hacer S}25 2 }21 D 5 S}24 D 5 (2) 1 1 1 1 } } } 5 S} 1 5} 1 Hacer exponentes: S} 2 D 4 4 ? 2 1 3 (2) 2D 8 3

3

3

1 1 1 } 1 } } 5} 8 4 4 ? 2 1 3 (2)

1 1 4 1 14} Hacer divisiones: } 5}?}5} 8 4 8 1 2

1 1 1 } 5} 2?21} 3 (2)

1 1 1 1?} 2 Hacer multiplicaciones: } 5 }; } (2) 5 } 2 2 4 3 3

1 } 2 5} 413

3 1 8 5 11 11} 25} Hacer sumas: } } } 4 3 12 12 12

11 5} 12 Practicaremos más el orden de las operaciones en los problemas 31 al 46.

Rincón de la calculadora Como mencionamos en el rincón de la calculadora de la sección 3.3, puedes convertir una fracción en un decimal dividiendo el numerador por el denominador. A continuación, puedes comparar el decimal resultante con una fracción. 3 . La calculadora dará Así, en el ejemplo 3, la fracción }7 puede convertirse en un decimal, digitando la respuesta 0.428571428, que puedes comparar inmediatamente con 0.41.

Respuestas a los PROBLEMAS 7 5. 35 6. } 12

3-39

3.4

Decimales, fracciones y orden de operaciones

237

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Comparar decimales En los problemas 1 al 16, arregla el orden en magnitud decreciente, usando el signo .. 3. 0.501, 0.51 y 0.5101

4. 0.60, 0.6007 y 0.607

5. 9.099, 9.909 y 9.999

6. 2.8031, 2.8301 y 2.8013

7. 7.043, 7.403 y 7.430

8. 3.351, 3.35 y 3.6

9. 3.14, 3.14 y 3.14

}

}

10. 2.87, 2.87 y 2.87

}

}

}

}

12. 8.9, 8.9 y 8.99

}

14. 0.99, 0.999 y 0.99

15. 0.88, 0.8 y 0.81

11. 5.1, 5.1 y 5.12 }

13. 0.333, 0.3 y 0.33

www.mathzone.com

2. 0.301, 0.311 y 0.31

ir a

1. 66.066, 66.06 y 66.606

}

}

}

}

16. 3.7, 3.77 y 3.78

17. 19. 21. 23. 25.

Comparar fracciones y decimales

1ó 0.111 } 9 1 0.1666 ó } 6 2 0.285 ó } 7 } 1 0.14 ó } 7 } 1 0.9 ó } 11

18. 20. 22. 24. 26.

En los problemas 17 al 26, determina cuál es mayor.

2 0.23ó } 9 5 0.83 ó } 6 3 0.43 ó } 7 } 3 } 7 ó 0.42 } 1 } 13 ó 0.07

27. He aquí las estaturas de las tres personas más altas del mundo: Nombre

Pies

Pulgadas

Sulaiman Ali Nashnush

8

Gabriel Estavao Monjane

8

1 } 25 3 } 4

Constantine

8

0.8

Ordénalos del más alto al más bajo.

5C6

Aplicaciones y orden de las operaciones

28. Campeones de bateo Los campeones de bateo de la Liga Estadounidense desde el 2002 al 2005 y sus promedios son los siguientes: Año

Liga Estadounidense

Promedio

Equipo

2002

Manny Ramirez

0.349

Boston

2003

Bill Mueller

0.326

Boston

2004

Ichiro Suzuki

0.372

Seattle

2005

Michael Young

0.331

Texas

29. Hallar el IMC Halla el IMC (al entero más cercano) de una persona de 59 pulgadas de estatura y 150 libras de peso. Pista: peso IMC 5 altura 3 703 2

30. Hallar el IMC Halla el IMC (al entero más cercano) de una persona de 61 pulgadas de altura y 100 libras de peso.

¿En qué año fue más alto el promedio? ¿En cuál fue el más bajo? En los problemas 31 al 52, usa el orden de las operaciones. 3 ? 16.64 31. } 4

3 32. } 5 ? 218.14

3 33. 2} 5 ? 4.65

3 34. 1} 4 ? 120.8

10 ? 8.25 35. } 9

11 36. } ? 8.12 6

3 37. 4} 4 2 1.75

38. 40}5 2 18.42

7 2 ? 0.2135 1 } 39. } 4 ? 0.248 7

5 4 40. } 5 ? 685.1 2 } 8 ? 98.08

3 3 } 41. } 4 ? 0.92 2 0.96 ? 8

5 2 42. } ? 0.81 2 0.48 ? } 3 8

3

para más lecciones

5B6

6Web IT

6Ejercicios 3.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

238

Capítulo 3

3-40

Decimales

7 4 ? 128.1 2 31.5 4 } 43. } 5 3

5 3 } 44. } 6 ? 0.2136 2 0.105 4 5

7 5 } 46. 28.07 4 } 3 1 6 ? 24.06

1 } 1 47. 12 4 6 2 } 312

S

5 1 1 } 1 1?} } 49. } 4 1 } 622 3 4 2

S

S

1 1 2 } 1 1 } 1 4} 52. } ? ?}1 } 322 10 2 2 2

S

D

S

D

5 2 } 45. 14.05 4 } 8 1 5 ? 15.5

1 } 1 4 1 1?} 50. } 4 1 } 52} 2 3 6 2

1 } 1 48. 18 4 9 2 } 416

D

S

D

1 } 1 } 1 } 1 1 } 1 } 51. } 643?3?31 429

D

D

666Usa tus conocimientos Los ddecimales L i l se usan para medir di muchas h propiedades i d d fí físicas, i como peso y ttemperatura. t 53. Peso de los metales He aquí los pesos de varios metales en libras por pulgada cúbica. Ordénalos del más pesado al más liviano. Latón Cadmio Cobre Níquel

0.3103 0.3121 0.3195 0.3175

54. Calor específico El calor específico de una sustancia es la cantidad de calor requerida para elevar su temperatura de 1 gramo de sustancia 1°C. He aquí las temperaturas específicas de varias sustancias. Ordena las sustancias de menor a mayor en términos de calor específico (a menor calor específico, menor calor necesario para elevar la temperatura de una cantidad dada de la sustancia) Boro Azúcar Madera

0.309 0.30 0.33

666¡Escribe! 22

55 i i ú 55. D Dos aproximaciones comunes para llos números R son } 7 y 3.141593. ¿Cómo determinarías cuál de estas dos aproximaciones es mayor?

56 56. Ll Llena ell espacio i con . o , para hhacer que la l ddesigualdad i ld d resultante sea verdadera: a. 3.141592

R

b. 3.141593

R

Escribe en tus palabras la razón de tus respuestas.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 57. Para comparar un decimal y una fracción, escribe la fracción como un y compárala con el número dado. 58. Cuando se usa el orden de las operaciones con decimales, primero hacemos todos los cálculos dentro de los . 59. La E en PEMDAR significa que hacemos todas las expresiones

.

derecha

decimal

izquierda

paréntesis

exponencial potencias

60. Cuando resolvemos las operaciones, debemos hacer las multiplicaciones y las divisiones a . en el orden que aparecen, de

666Prueba de dominio 61. Halla el IMC (al entero más cercano) de una persona de 70 pulgadas de altura y 230 libras de peso. Pista:

peso estatura

IMC 5} 2 3 703

7

62. Una enciclopedia dice que } 10 de la superficie de la Tierra está cubierta por océanos. Otra dice que 0.71 del planeta está 7 cubierto por océanos. ¿Qué es mayor, } 10 ó 0.71?

3-41

3.5

63. Tres séptimos de los estudiantes en la clase A son mujeres. La fracción de mujeres en la clase B es de 0.4. ¿Qué clase tiene más mujeres?

Ecuaciones y resolución de problemas

239

64. Escribe en orden de magnitud creciente (del menor al mayor): }

7.146

7.146

}

7.146

65. Escribe en orden de magnitud decreciente (mayor a menor): 8.015

8.01

8.005

666Comprobación de destrezas Halla: 66. 3.4 ? 8.12

67. 4.5 ? 6.31

68. 0.6 4 0.03

69. 3.5 4 0.07

70. 3.8 1 3.2 ? 4 4 2

71. 3.1(4.5 2 0.5) 1 3.2 4 2 ? 4

3 .5 6 Objetivos Debes ser capaz de:

Ecuaciones y resolución de problemas 6 Repasa antes de continuar . . . 1. Usar las reglas y principios usados para resolver ecuaciones. (págs. 90–91) 2. Usar el método LSTUV para resolver problemas. (pág. 92)

A6

Resolver ecuaciones con decimales.

B6

Resolver problemas verbales con decimales.

3. Sumar, restar, multiplicar y dividir decimales. (págs. 202–206, 212–216)

6 Para comenzar La llave del gas tiene Tan bajo como una válvula de rotación $654.99 de 170° para una Blanca instalación de la llama $19 MENSUALES más precisa

Bájale $100 El aviso dice que se rebajan $100 del precio si compras esta estufa de gas por $654.99. ¿Cuál era el precio anterior? $100 más, esto es, $754.99. Si dejamos que c sea el costo anterior, sabemos que: El costo anterior fue rebajado en $100 a $654.99: c 2 100 5 654.99 c 2 100 1 100 5 654.99 1 100

Agrega 100 a ambos lados.

c 5 754.99 Hemos ilustrado el hecho de que puedes sumar un número como 100 a ambos lados de una ecuación y obtener una ecuación equivalente. Ecuaciones como c 2 100 5 654.99 pueden resolverse usando la idea de una ecuación equivalente. Para tu conveniencia, repetimos los principios de los que se trata.

240

Capítulo 3

3-42

Decimales

A 6 Resolver ecuaciones con decimales PRINCIPIOS PARA RESOLVER ECUACIONES La ecuación a 5 b es equivalente a: a 1 c 5 b 1 c principio de la suma a 2 c 5 b 2 c principio de la resta a ? c 5 b ? c principio de la

a4c5b4c a b or }c 5 }c

principio de la división (c Þ 0) (c Þ 0)

multiplicación (c Þ 0)

En efecto, estos principios nos indican que para resolver una ecuación, podemos sumar o restar el mismo número c a ambos lados y multiplicar o dividir ambos lados por el mismo número c diferente a 0.

EJEMPLO 1 Resolver restando un número Resuelve: x 1 7.2 5 9.5.

PROBLEMA 1 Resuelve y 1 6.4 5 9.8.

SOLUCIÓN Como queremos tener a x sola en el lado izquierdo (ahora tiene 7.2 sumado), restamos 7.2 de ambos lados. He aquí el procedimiento: Dado. x 1 7.2 5 9.5 x 1 7.2 2 7.2 5 9.5 2 7.2 Resta 7.2 a ambos lados. x 5 9.5 2 7.2 Resta 7.2 a 9.5. 5 2.3 EJEMPLO 2 Resolver sumando un número Resuelve: y 2 8.2 5 3.9. SOLUCIÓN

PROBLEMA 2 Resuelve x 2 5.4 5 6.7.

Esta vez sumamos 8.2 a ambos lados, así: Dado. y 2 8.2 5 3.9 y 2 8.2 1 8.2 5 3.9 1 8.2 Suma 8.2 a ambos lados. y 5 3.9 1 8.2 Suma 3.9 y 8.2. 5 12.1

EJEMPLO 3 Resolver dividiendo por un número Resuelve: 3.6 5 0.6z.

PROBLEMA 3 Resuelve 6.3 5 0.9z.

SOLUCIÓN Como z se multiplica por 0.6, debemos dividir ambos lados por 0.6. Tenemos: Dado. 3.6 5 0.6z Divide ambos lados por 0.6. 6 3.6 4 0.6 5 0.6z 4 0.6 Divide 3.6 por 0.6. 3.6 0.6qw 3.6 4 0.6 5 z 3.6 65z 0 Así, la solución es 6 5 z, o z 5 6.

EJEMPLO 4

Resolver multiplicando por un número

m Resuelve: 6 5 } 3.2.

SOLUCIÓN Para tener m sola a la derecha, debemos multiplicar ambos lados por 3.2. He aquí el procedimiento: Respuestas a los PROBLEMAS 1. y 5 3.4 3. z 5 7

2. x 5 12.1 4. n 5 12

PROBLEMA 4 n Resuelve 5 5 } 2.4.

3-43

3.5

m 65} 3.2

Ecuaciones y resolución de problemas

241

Dado.

m 3.2 ? 6 5 } 3.2 ? 3.2

Multiplica ambos lados por 3.2.

3.2 ? 6 5 m 19.2 5 m

Multiplica 3.2 por 6.

B 6 Resolver problemas verbales con decimales

¿Tienes acciones? ¿Han subido o bajado de valor? El Promedio Industrial Dow Jones sigue los precios de las 30 acciones más importantes y se supone que indica las tendencias para las acciones individuales.

EJEMPLO 5

Pérdidas de la bolsa de valores El 19 de octubre de 1978, el Promedio Industrial Dow Jones (DJIA) perdió la cifra récord de 508.32 puntos, para cerrar en 1738.42. ¿Cuál era el DJIA el día anterior?

SOLUCIÓN Para resolver este problema, debemos usar el método LSTUV que estudiamos en las secciones 1.9 y 2.8. 1. Lee el problema. Lee el problema (varias veces, si es necesario). 2. Selecciona lo desconocido. Selecciona una letra (digamos d) para representar lo desconocido, el DJIA del 18 de octubre de 1987. 3. Traduce el problema en una ecuación. Traduce el problema en una ecuación. El DJIA perdió 508.32 puntos para cerrar a 1738.42.

PROBLEMA 5 El 20 de octubre de 1987, el DJIA ganó 102.27 puntos, para cerrar en 1840.69. ¿Cuál era el DJIA el día anterior?

d 2 508.32 5 1738.42 4. Usa las reglas que estudiaste para resolver la ecuación. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación. d 2 508.32 5 1738.42 d 2 508.32 1 508.32 5 1738.42 1 508.32 d 5 1738.42 1 508.32 d 5 2246.74

Dado. Suma 508.32 en ambos lados. Suma 1738.42 1 508.32.

Eso es, el DJIA era 2246.74 el día anterior. 5. Verifica la respuesta. Verifica la respuesta. ¿Es verdad que 2246.74 2 508.32 5 1738.42? ¡Sí!, la respuesta es correcta. ¡El DJIA es ahora mayor que 10,000!

EJEMPLO 6

Distancia de viaje Entras a la Interestatal 75 (I-75) por la salida 4 (Miami Gardens Dr.) hacia el norte. ¿Cuál es el indicador de millas después de recorrer el número de millas especificadas? a. b. c. d.

30 millas 120 millas d millas Si tienes una goma explotada en la milla 256.8, ¿cuántas millas m recorriste?

PROBLEMA 6 Halla el número indicador de milla si entras a la I-75 en la salida 111 (Immokalee R) y viajas al norte el número de millas especificado. a. 50 millas b. 75 millas c. m millas d. Si tienes una goma explotada en la milla 263.4, ¿cuántas millas m recorriste?

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 5. 1738.42 c. 111 1 m

6. a. 161 b. 186 d. 152.4

242

Capítulo 3

3-44

Decimales

SOLUCIÓN 1. Lee el problema. Lee el problema cuidadosamente. Hay varias cosas que debes saber: las millas se marcan consecutivamente y en orden ascendente cuando te desplazas hacia el norte, es decir, si empiezas en la salida 4, la marca siguiente (que también puede ser una salida) es 5, luego 6, y así sucesivamente. 2. Selecciona lo desconocido. Lo desconocido es el número del indicador de millas. 3. Traduce el problema en una ecuación. a. Si empiezas en 4 y recorres 30 millas, estás en el indicador 4 1 30 5 34. b. Si empiezas en 4 y recorres 120 millas, estás en el indicador o marca 4 1 120 5 124. c. Si empiezas en 4 y recorres d millas, estás en la marca 4 1 d. ¿Ves el patrón? d. Si empiezas en 4 y recorres m millas, estás en la marca 4 1 m, lo que se da como la marca 256.8. 4. Usa las reglas que estudiaste para resolver la ecuación. Así, 41m 5 256.8 4 1 m 2 4 5 256.8 2 4 resta 4. m 5 252.8 Entonces recorriste 252.8 millas. 5. Verifica la respuesta. La verificación la haces tú. Algunas veces debes usar varios principios para resolver ecuaciones, como se ilustra.

EJEMPLO 7 Calcular cuentas Un cliente recibe su cuenta de teléfono celular por $85.40 (antes de impuestos y otros cargos). ¿Cuántos minutos extra usó el cliente?

Elección de plan

America’s Choicesm 300

Acceso mensual

Tiempo al aire permitido por mes (en minutos)

$35

300

Precio por minuto adicional a los permitidos

$0.45

SOLUCIÓN 1. Lee el problema. Lee el problema cuidadosamente. Nota que la cuenta es por $85.40 y consta de dos partes: $35 por acceso mensual más minutos extra luego de los 300 minutos permitidos. El minuto adicional cuesta $0.45 cada uno. 2. Selecciona lo desconocido. Deja que m sea el número de minutos extra. Como cada uno cuesta $0.45, el costo de los minutos extra m es $0.45 ? m. 3. Traduce el problema a una ecuación. Como mencionamos en el paso 1, la cuenta consta de El acceso mensual más el costo de los minutos extra $35

1

0.45 ? m

Como la cuenta es por $85,40, tenemos la ecuación $35 1 0.45 ? m 5 $85.40

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 62

PROBLEMA 7 Si la cuenta es por $62.90, ¿cuántos minutos extra usó el cliente?

3-45

3.5

Ecuaciones y resolución de problemas

243

4. Usa las reglas que estudiaste para resolver la ecuación. 35 1 0.45 ? m 2 35 5 85.40 2 35 0.45m 5 50.40 50.40 m 5} 0.45 5040 m 5} 45 m 5 112

Resta 35. Divide entre 0.45. Multiplica el numerador y el denominador por 100.

Entonces, el número de minutos extra usados es 112. 5. Verifica la respuesta. La cuenta total es $35 1 $0.45 ? 112. 5 $35 1 $50.40 ó $85.40

TRADUCE ESTO 1.

El costo promedio de matrícula y cargos en una universidad pública de dos años de duración es $2191. Esto representa un aumento del 5.4% del costo del año anterior L.

El tercer paso en el método LSTUV es TRADUCIR la información a una ecuación. En los problemas 1 al 10 TRADUCE la oración y únela con la traducción correcta de las ecuaciones de la A a la O.

6.

El costo de acceso mensual para un plan de un teléfono celular es $39 más $0.45 por cada minuto adicional a los 300 permitidos. Si Joey usa m minutos adicionales a los 300, escribe una ecuación para la cantidad P que pagó Joey.

7.

Si la temperatura corporal, T, de un pingüino fuera de 3.8°F más caliente, tendría la temperatura de una cabra, cuya temperatura es de 103.8°F.

8.

El Instituto de Movilidad Urbana informa que quienes recorren grandes distancias para llegar al trabajo dicen que estarían dispuestos a pagar $13.75 por hora para evitar la congestión de tránsito. ¿Cuál sería el costo, C, para evitar horas, h, de congestión de tránsito?

9.

Como el precio de la gasolina es más alto, los que viajan a su trabajo estarían dispuestos a pagar más de $13.75 por hora para evitar la congestión de tránsito, digamos W dólares por hora. Los viajeros del sur de la Florida pierden 51 horas por año debido a la congestión de tránsito. Escribe una ecuación que nos dé el costo total, C, para los viajeros de la Florida para evitar la pérdida de tiempo por la congestión de tránsito.

Fuente: www.CollegeBoard.com.

2.

El estudiante promedio de una universidad de dos años de duración recibe un subsidio (G) que reduce los costos de inscripción y matrícula de $2191 a un precio neto de $400.

Fuente: www.CollegeBoard.com.

3.

De acuerdo con la Oficina de Censos, una persona con un título de bachiller gana 62% más en promedio que aquellos con sólo un diploma de escuela secundaria. Si una persona con un diploma de escuela secundaria gana h dólares al año, ¿cuál será el pago, b, que recibe una persona con un diploma de bachiller?

Fuente: www.CollegeBoard.com.

4.

En una institución pública de dos años el promedio de costos entre matrícula e inscripción es $2191, lo que es $112 más que el costo, L, del año anterior. ¿Cuál fue el costo de matrícula e inscripción del año pasado?

Fuente: www.CollegeBoard.com.

5.

En la American University, el costo por crédito para los cursos de bachillerato es de $918. ¿Cuál es el costo, C, para un estudiante de bachillerato que toma h créditos?

Source: American University.

A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O.

T 1 3.8 5 103.8 2191 2 G 5 400 P 5 39 1 0.45m D 5 10.9391P 2191 5 L 1 5.4%L b 5 h 1 62%h C 5 13.75h C 5 918h G 2 2191 5 400 h 5 b 1 62%h C 5 51W P 5 10.9391D W 5 51C 2191 5 L 1 112 D 5 10.9391P

10. En el momento de escribir este ejercicio, un dólar de Estados Unidos equivalía a 10.9391 pesos mexicanos. Escribe la fórmula para convertir dólares, D, en pesos mexicanos, P.

244

Capítulo 3

3-46

Decimales

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 3.5 5A6

Resolver ecuaciones con decimales En los problemas 1 al 16, resuelve la ecuación.

1. x 1 8.2 5 9.7

2. x 1 7.3 5 9.8

3. y 1 3.6 5 10.1

4. y 1 4.5 5 10.2

5. z 2 3.5 5 2.1

6. y 2 4.9 5 11.3

7. z 2 6.4 5 10.1

8. z 2 3.7 5 12.3

9. 4.2 5 0.7m

10. 5.6 5 0.8m n 13. 7 5 } 3.4 n 16. 4.5 5 } 3

5B6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

11. 0.63 5 0.9m n 14. 4 5 } 3.6

12. 0.72 5 0.9m n 15. 3.1 5 } 4

Resolver problemas verbales con decimales En los problemas 17 al 44, usa el método LSTUV para resolver.

17. Promedio de calificaciones (PC) El promedio de calificaciones (PC) de un estudiante subió en 0.32. Si el PC del estudiante es ahora de 3.21, ¿cuál era antes?

18. Precio de las acciones El precio de una acción subió en $0.32. Si la acción cuesta ahora $7.31, ¿cuál era el precio anterior?

19. Temperatura de los osos polares Si la temperatura del oso polar fuera 4.7°F más, tendría la temperatura de una cabra, w103.8°F. ¿Cuál es la temperatura de un oso polar?

20. Temperatura de las gaviotas árticas Si la temperatura de una gaviota ártica subiera en 5.9 °C, tendría la temperatura de una cabra, cuya temperatura es de 39.9 °C. ¿Cuál es la temperatura de una gaviota ártica?

21. Basura En la actualidad, un estadounidense promedio produce 2.7 libras más de basura por día que en 1960. Si entonces una persona producía 2.5 libras de basura por día, ¿cuántas libras de desechos produce por día cada persona ahora?

22. Comer vegetales Un estadounidense promedio come 59.6 más libras de vegetales que frutas por año. Si él consume 192.1 libras de vegetales, ¿cuál es el consumo correspondiente de frutas?

23. Perder billones En enero de 1980, los hermanos Hunt tenían $4.5 billones en lingotes de plata. Para marzo, el precio cayó a $4 billones. ¿Cuánto era el valor de su plata en marzo? (el único comentario de Bunker Hunt’s sobre su asombrosa pérdida fue “un billón no es lo que solía ser”.)

24. Fracasos comerciales en el Reino Unido El número de negocios que han fracasado este año en el Reino Unido se predice que aumentará en 5100 para llegar a 25,000 para el año que viene. ¿Cuántos fracasos en negocios se registraron en el Reino Unido este año?

25. Baja en las exportaciones a América Latina En un periodo de siete años, las exportaciones de Estados Unidos a América Latina se redujeron $8,061 billones para llegar a $27,969. ¿Cuántos billones se exportaban antes a América Latina?

26. Puntaje compuesto del ACT Entre 1998 y 2001 el puntaje compuesto del ACT bajó en 0.2 puntos a 20.8. ¿Cuál era el puntaje compuesto del ACT en 1998?

27. Deducciones del seguro social Para hallar las deducciones de seguridad social de tu salario, multiplica tu salario por 0.0751. Si la deducción en un cheque es de $22.53, ¿cuál era el monto del salario?

28. Impuesto Federal al Desempleo Para hallar la deducción para un empleado del Impuesto Federal de Desempleo (FUTA), multiplica el total de los salarios pagados por el patrono por 0.062. Si el total del impuesto es $145.08, ¿cuál era el total de los salarios?

29. Deducciones por millaje El Servicio de Impuesto a la Renta (IRS) permite una deducción de $0.36 por cada milla recorrida por cuestiones de negocios. Si una persona reclama una deducción de $368.28, ¿cuántas millas recorrió la persona?

30. Seguro de salud El primer paso para hallar la deducción por seguro de salud para los trabajadores independientes en el año 2002 es multiplicar el monto anual de las primas de seguro de salud por 0.70. Si este producto es $3348.20, ¿cuál fue el costo total de las primas del seguro de salud al dólar más cercano?

31. Convertir dólares a euros En el momento de escribir este ejercicio, un euro (la moneda oficial de los 12 países miembros de la Unión Europea) valía $1.19 (dólares). Para convertir D dólares a euros, usa la fórmula E 5 } 1.19. Si estás en Inglaterra y tienes $50, ¿cuántos euros tienes?

32. Pagar una comida en Grecia Imagina que viajas a Grecia y tu comida cuesta $142.80 (dólares antes de impuestos). ¿Cuántos euros son?

33. Vino por litro en Francia Compras una botella de 2 litros de vino en Francia. Si un litro es 0.95 cuartos, usa la fórmula Q 5 0.95L para saber cuántos cuartos de vino tienes. Responde a una posición decimal.

34. Comprar gasolina por litro Compras 5 litros de gasolina para tu carro. ¿A cuántos cuartos equivalen? Expresa la respuesta usando una posición decimal.

3-47

3.5

Ecuaciones y resolución de problemas

245

37. Alquilar un camión en Canadá Discount Auto de Canadá alquila un camión pick up por $39.99 por día, más $0.12 por kilómetro. Si tu cuenta por un día de alquiler es de $60.63 (antes de impuestos), ¿cuántos kilómetros recorriste?

38. Alquilar un carro desde la universidad El servicio de Flotas de la Universidad de Minnesota rentará un sedán por $40 por día, más $0.15 por milla. Si los costos por un día suman $74.20 (antes de impuestos y otros cargos), ¿cuántas millas manejaste?

39. Pago parcial de costos totales de una universidad pública La matrícula y los cargos anuales en una universidad pública son 0.30 del costo total anual, C. Tu pago parcial de $9000 consiste en $6000 de préstamos más 0.30C. ¿Cuánto es el costo total anual C?

40. Pago parcial de costos totales de una universidad privada Los cargos del consejo de una universidad privada son 0.10 del costo total anual, C. Tu pago parcial de $17,100 consiste en una beca de $15,200 más el 0.10C. ¿Cuál es el precio total de C?

41. Recaudo de películas Rápido, cuál crees que es la película que recaudó más dinero en la taquilla (al millón más cercano): a. Si sumas los ingresos internos brutos de esta película (T) y los ingresos internos brutos de La guerra de las galaxias (S) tendrás $1062 millones. Traduce esta afirmación a una ecuación. b. Si la película de mayor recaudo bruto T hizo $140 millones más que La guerra de las galaxias (S), traduce esta afirmación a una ecuación. c. La guerra de las galaxias recaudó $461 millones. Halla el recaudo de la más taquillera T. De acuerdo, la T es por Titanic.

42. Películas mejor posicionadas La película más taquillera mencionada en el problema 41 no es la película mejor posicionada (definida como la película que ocupó el número 1 por más fines de semana). El número de fines de semana que ocupó el número 1 como la película mejor posicionada (B) es uno más que los fines de semana que ocupó el número 1 T de Titanic. a. Traduce esta afirmación en una ecuación. b. Si Titanic estuvo en primer lugar por 15 fines de semana, halla B. La película B es E.T.

43. Música Las ventas mundiales de los dos discos más vendidos de todos los tiempos alcanzaron $92 millones. Si un disco vendió T millones y el otro B millones, a. Traduce esta afirmación en una ecuación. b. T vendió $10 millones más que B. Traduce esto en una ecuación. c. Sustituye la ecuación que obtuviste en la parte b en una ecuación en la parte a y resuelve para B. Los discos son Thriller y Back in Black.

44. Música La Asociación Estadounidense de la Industria de la Grabación dice que el número total de copias de los dos discos más vendidos de todos los tiempos alcanzaron 54 millones. Si un disco vendió E millones de copias y el otro T millones: a. Traduce esta afirmación en una ecuación. b. E vendió $2 millones más de copias que T. Traduce esto en una ecuación. c. Sustituye la ecuación que obtuviste en la parte b en la ecuación en la parte a y resuelve para T. Los discos son Thriller y grandes éxitos de los Eagles.

666Usa tus conocimientos La distancia D (en millas) recorrida en un tiempo T (en horas) por un objeto que se mueve a una velocidad R (en millas por hora) se halla en D  R  T. 45. Un carro recorre 137.5 millas en 2.5 horas. ¿A qué velocidad viaja?

46. Un carro recorre 227.5 millas en 3.5 horas. ¿A qué velocidad viaja?

47. En el 2003, Gil de Ferran ganó las 500 millas de Indianápolis, alcanzando una velocidad de 156 millas por hora. ¿Cuántas horas le tomó recorrer las 500 millas? (Da la respuesta al décimo de hora más cercano.)

48. En el 2003, Mark Martin ganó las 600 millas de Coca–Cola, alcanzando una velocidad de 138 millas por hora. ¿Cuántas horas tardó en recorrer las 600 millas? (Da la respuesta a tres dígitos decimales.)

666¡Escribe! 49. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para resolver problemas verbales.

50. Escribe con tus palabras cómo decides qué es lo desconocido en un problema verbal.

para más lecciones

Fuente: http://www.infoplease.com/ipea/A0151020.html.

www.mathzone.com

Fuente: Aclaración de Wikipedia: El disco más vendido no puede ser incluido en lista oficialmente, porque no existe un cuerpo internacional que cuente las ventas globales.

ir a

36. Costo total de operación de un carro y millas recorridas Se estima que los costos operativos para un carro estándar es alrededor de $0.45 por milla. Si el costo suma $6840, ¿cuántas millas recorriste?

6Web IT

35. Costos operativos y millas recorridas Se estima que los costos operativos (gasolina, aceite, mantenimiento y gomas) para un carro estándar de seis cilindros es de 10.8 centavos por milla, eso es $0.108. Si el costo suma $885.60, ¿cuántas millas se recorrieron?

246

Capítulo 3

3-48

Decimales

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 51. El principio de la suma establece que la ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación

.

a4c5b4c

52. El principio de la resta establece que la ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación

.

a1c5b1c

53. El principio de la multiplicación establece que la ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación 54. El principio de la división establece que la ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación

.a2c5b2c . a?c5b?c

666Prueba de dominio n 55. Resuelve: 8 5 } 2.3 56. Resuelve: 4.5 5 0.5r 57. Resuelve: x 2 7.2 5 2.9 58. Resuelve: z 1 5.2 5 7.4 59. Un estudiante retiró $304.57 de su cuenta. Si el balance (el dinero que queda) en su cuenta es $202.59, ¿cuánto dinero tenía originalmente?

60. Si entras a la I–5 por la salida 49 hacia el norte, halla el número del indicador de la milla después de recorrer a. 40 millas. b. 120 millas. c. m millas. d. Si tu carro se descompone y usas el teléfono público en la milla 256.8, ¿cuántas millas recorriste desde que entraste a la I–75?

666Comprobación de destrezas Realiza las operaciones indicadas. 2 11} 61. } 7 5

3 5 } 62. } 8 1 12

3 4 63. 5} 7 2 3} 5

3 4 } 64. 6} 8 2 57

6Aprendizaje colaborativo Imagina que quieres ser más joven (en años) y más delgado (en peso). Podemos ayudarte con eso, pero Planetas Peso Multiplicador Factor eso requerirá de un pequeño viaje. Mercurio 88 días Peso en la Tierra  0.38 Empecemos con el tema de la edad. Venus 224.7 días Peso en la Tierra  0.91 En la Tierra, un año es de 365 días, pero la duración de los años en otros Tierra 365.25 días Peso en la Tierra  1.00 planetas depende de la distancia al Sol Marte 687 días Peso en la Tierra  0.38 a la que está el planeta. La primera Júpiter 11.86 años Peso en la Tierra  2.60 tabla muestra el tiempo que tarda cada planeta hacer una vuelta alrededor del Saturno 29.46 años Peso en la Tierra  1.10 Sol. Ahora imagina que tienes 18 años. Urano 84.01 años Peso en la Tierra  0.90 ¿Cuál es tu edad mercuriana? Como Mercurio gira alrededor del Sol en 88 Neptuno 164.8 años Peso en la Tierra  1.20 días, ¡serías mucho más viejo! (Habrías Plutón* 248.5 años Peso en la Tierra  0.08 dado más vueltas alrededor del Sol). * Plutón no está clasificado como planeta en este De hecho, tu edad mercuriana, M, sería momento. 365 de M  18  } 88  75 años. ¿En qué planeta serías más joven? Dejaremos que eso lo descubras tú. Pista: El denominador tiene que ser en días, por ejemplo, 88 días. Ahora el tema del peso. Supón que pesas 130 libras en la Tierra. ¿Cuánto pesarás en Mercurio? Como el peso depende de las leyes de gravedad del planeta que visitas, tu peso cambiará por el factor que se muestra en la segunda tabla. En Mercurio, tu peso sería: 130  0.38 < 49 libras. Tiempo de revolución alrededor del Sol

3-49

Resumen del Capítulo 3

247

¿En qué planeta tu peso sería mayor? ¡Descúbrelo! Ahora divídanse en tres grupos. El primer grupo manejará los tres primeros planetas (Mercurio, Venus, Tierra), el segundo tomará Marte, Júpiter y Saturno, y, el tercero, Urano, Neptuno y Plutón. Responde las siguientes preguntas con relación a tu grupo y planetas. 1. Halla tu edad y peso en los planetas que se le asignaron a tu grupo. 2. ¿En cuál de los planetas asignados a tu grupo eres mayor y en cuál menor? 3. ¿Cuál es la edad mayor y la menor en todos los grupos? 4. ¿Cuál es el peso mayor y el menor en todos los grupos? 5. Si Ap es la edad en tu planeta, Ae tu edad en la Tierra, y Tp el tiempo que tarda dar una vuelta alrededor del Sol, basado en tus cálculos, halla la fórmula para Ap. 6. Si Wp es el peso en tu planeta, We tu edad en la Tierra y Fp el factor asignado a tu planeta, halla la fórmula para Wp. Como ves, puedes ser más joven y más delgado si haces un pequeño viaje. Puedes revisar tu trabajo en://www.exploratorium.edu/ronh/weight/. 

de 6Preguntas investigación

1. ¿Cuándo apareció por primera vez el punto decimal? ¿En qué año? y ¿Quién lo usó? 2. Escribe una breve descripción del sistema decimal que usamos, cómo funciona, y cómo se usan los decimales. Referencia: http://www.infoplease.com

3. Escribe una breve descripción del sistema decimal Dewey, cómo funciona y para qué se usa. Referencia: http://www.mtsu.edu

4. Escribe un párrafo sobre Bartholomeus Pituscus y las formas en que usó el punto decimal. 5. Escribe un párrafo explicando de dónde viene nuestro sistema decimal y su evolución a través de los años. Referencia: http://www.scit.wlv.ac.uk

6Resumen del capítulo 3 Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

3.1 A

Nombres en palabras

El nombre en palabras de un número es el El nombre de 4.7 es cuatro punto número escrito en palabras. siete décimos.

3.1B

Forma expandida

Numeral escrito como una suma indicando el valor de cada dígito.

3.2B

Multiplicar por potencias de 10

Un producto con un factor de 10, 100, 1000 y así sucesivamente.

93.78 3 100 5 9378

3.2D

Redondear decimales

Escribir un decimal con un número específico de dígitos o posiciones.

6.37 redondeado a su décimo más cercano es 6.4.

3.2E

Dividir por potencias de 10.

Un cociente cuyo divisor es 10, 100, 1000 y así sucesivamente.

386.9 4 1000 5 0.3869

2 78.2 5 70 1 8 1 } 10

(continúa)

248

Capítulo 3

3-50

Decimales

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

3.3B

Decimal finito

Un número cuya parte decimal termina.

3.5, 4.7123, y 3.1415 son decimales finitos.

3.3C

Decimales periódicos

Un número cuya parte decimal se repite indefinidamente.

4.333 . . . y 92.63 son decimales periódicos.

3.4A

Arreglar en orden de magnitud decreciente

Arreglar números del mayor al menor usando el signo . (mayor que)

3.7 . 3.6 . 3.5

3.5A

Decimales equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

x 1 9 5 10 y x 1 9 2 9 5 10 2 9 son equivalentes.

}

6Ejercicios de repaso del capítulo 3 (Si necesitas i ayuda d con estos ejercicios, j i i mira i en lla sección ió que se iindica di entre corchetes.) h ) 1. 5 3.1 A6 Escribe el nombre en palabras. 2. 5 3.1 B6 Escribe en forma expandida. a. 37.4 a. 23.389 b. 22.34 c. 24.564

3.

5 3.1 C6 Suma. a. 8.51 1 13.43

b. 59.09

b. 9.6457 1 15.78

c. 145.035

c. 5.773 1 18.0026

d. 150.309

d. 6.204 1 23.248

e. 234.003

e. 9.24 1 14.28

d. 27.8 e. 29.67

4. 5 3.1 C6 Suma. a. 35.6 1 3.76

7.

5.

5 3.1 D6 Resta.

6.

5 3.2 A6 Multiplica. a. 3.14 ? 0.012

a. 332.45 2 17.649

b. 43.234 1 4.8

b. 342.34 2 18.9

b. 2.34 ? 0.14

c. 22.232 1 5.43

c. 323.32 2 45.045

c. 3.45 ? 0.9615

d. 33.23 1 7.89

d. 365.35 2 17.8

d. 2.345 ? 0.016

e. 39.4217 1 8.34

e. 43.56 2 19.9

e. 3.42 ? 0.3

5 3.2 B6 Multiplica. a. 0.37 ? 1000

b. 0.049 ? 100 c. 0.25 ? 10 d. 4.285 ? 1000 e. 0.945 ? 1000

8.

5 3.2 C6 Divide. 21.35 a. } 0.35 3.864 c. } 0.042 3.7228 e. } 0.041

57.33 b. } 0.91 2.9052 d. } 0.36

9.

5 3.2 D6 Redondea a la décima más cercana.

a. 329.67 b. 238.34 c. 887.362 d. 459.43 e. 348.344

3-51

10.

Ejercicios de repaso del capítulo 3

5 3.2 D6 Divide y redondea la

respuesta a dos dígitos decimales.

11. 5 3.2 E6 Divide. a. 3.12 4 100

a. 80 4 15 b. 90 4 16 c. 48 4 7 d. 84 4 13

249

12. 5 3.2 F6 Halla el precio por lata. a. 6 por lata $1.92

b. 4.18 4 1000

b. 6 por lata $2.04

c. 32.1 4 100

c. 6 por lata $1.80

d. 82.15 4 10

d. 6 por lata $1.68

e. 472.3 4 100

e. 6 por lata $1.62

e. 97 4 14

13.

5 3.3 A6 Escribe como un decimal.

3 a. } 5 5 c. } 2 7 e. } 8

16.

14. 5 3.3 A6 Escribe como un 1 a. } 3 2 c. } 3 1 e. } 9

9 b. } 10 3 d. } 16

5 3.3 B6 Escribe como una

17.

fracción simplificada.

5 3.3 C6 Escribe como una }

d. 0.004

c. 6.55

d. 1.37

c. 0.080

c. 0.6

d. 0.03

}

c. ¿Qué parte decimal de 12 es 6? d. ¿Qué parte decimal de 8 es 6?

}

53.4 A6Arregla

en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo .. a. 1.032, 1.03, 1.003 b. 2.032, 2.03, 2.003

5 3.3 D6 b. ¿Qué parte decimal de 5 es 3?

e. 0.011

20.

b. 0.41

a. ¿Qué parte decimal de 16 es 4?

b. 0.08

a. 0.45

a. $1500

18.

}

}

b. 3.47

una persona era de $300 por mes. ¿Qué parte decimal fue dada para la renta si los gastos totales mensuales eran de

a. 0.38

e. 0.333

a. 2.33

5 3.3 D6 La renta que pagaba

fracción simplificada.

5 b. } 6 2 d. } 7

fracción simplificada.

e. 2.134

19.

15. 5 3.3 B6 Escribe como una

decimal.

e. ¿Qué parte decimal de 16 es 3?

21.

5 3.4 A6 Arregla en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo . a. 1.216,

}

1.216,

1.216

}

b. 2.336,

2.336,

}

2.336

}

b. $1200 c. $2100 d. $1000

c. 3.033, 3.03, 3.032 d. 4.05, 4.052, 4.055

e. $1800 e. 5.003, 5.03, 5.033

c. 3.216,

}

3.216, 3.216

}

4.542, 4.542

}

5.123,

d. 4.542, e. 5.123,

}

}

}

5.123

250

22.

Capítulo 3

5 3.4 B6 Llena los espacios en blanco con , o . para que la desigualdad resultante sea verdadera.

25.

3-52

Decimales

23.

53.4 C6Halla el IMC 5

703 (al entero más cercano) para una persona que es a. 60 pulgadas de alto y pesa 150 libras.

1 a. } 11

0.09

2 b. } 11

0.18

b. 65 pulgadas de alto y pesa 150 libras.

3 c. } 11

0.28

c. 65 pulgadas de alto y pesa 200 libras.

4 d. } 11

0.37

d. 60 pulgadas de alto y pesa 200 libras.

5 e. } 11

0.45

e. 70 pulgadas de alto y pesa 160 libras.

5 3.5 A6 Resuelve. a. y 2 1.4 5 5.9

peso

} altura2 3

26. 5 3.5 A6 Resuelve. a. 4.5 5 0.9y

b. y 2 1.5 5 6.2

b. 5.6 5 0.8y

c. y 2 7.42 5 5.9

c. 3.6 5 0.9y

d. y 2 4.2 5 5.8

d. 7.2 5 0.9y

e. y 2 7.8 5 3.7

e. 4.8 5 0.6y

28. 5 3.5 B6 a. El precio de un artículo rebajado en $4.28 es $39.95. ¿Cuál era el precio del artículo? b. El precio de un artículo rebajado en $3.01 es $39.95. ¿Cuál era el precio del artículo? c. El precio de un artículo rebajado en $7.73 es $39.95. ¿Cuál era el precio del artículo? d. El precio de un artículo rebajado en $6.83 es $39.95. ¿Cuál era el precio del artículo? e. El precio de un artículo rebajado en $9.55 es $39.95. ¿Cuál era el precio del artículo?

24.

5 3.5 A6 Resuelve. a. x 1 3.6 5 7.9 b. x 1 4.6 5 6.9 c. x 1 5.4 5 5.9 d. x 1 6.3 5 9.9 e. x 1 7.2 5 9.9

27. 5 3.5 A6 Resuelve. z a. 6 5 } 4.1 z b. 7 5 } 5.1 z c. 2 5 } 5.4 z d. 6.2 5 } 7.1 z e. 7 5 } 8.1

3-53

Examen del capítulo 3

251

6Examen del capítulo 3 (Respuestas en página 252) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso a paso de muchos de los siguientes problemas.

1. Escribe en palabras el número 342.85.

2. Escribe 24.278 en su forma expandida.

3. 9 1 12.18 5 _____

4. 46.654 1 8.69 5 _____

5. 447.42 2 18.5 5 _____

6. 5.34 ? 0.013 5 _____

7. 0.43 ? 1000 5 _____

252 5 _____ 8. } 0.42

9. Redondea 349.851 a la décima más cercana. 11. 4.18 4 1000 5 _____

10. 70 4 0.15 5 _____ (Redondea al segundo decimal.)

5 13. Escribe } 8 como un decimal.

12. Carlos pagó $1.92 por 6 botellas de refresco. ¿Cuál fue el precio por botella? 1 14. Escribe } 6 como un decimal.

15. Escribe 0.035 como una fracción simplificada.

16. Escribe 3.41 como una fracción simplificada.

}

17. Escribe 0.36 como una fracción simplificada.

18. ¿Qué parte decimal de 12 es 9?

19. El alquiler que una persona paga es $600 por mes. Si los gastos totales de esa persona son de $1800, ¿qué parte decimal corresponde al alquiler?

20. Arregla en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo ..

21. Llena el espacio con , o . para que la desigualdad resultante sea verdadera.

22. Halla el IMC 5 altura 3 703 (al entero más cercano) para una persona que mide 60 pulgadas de alto y pesa 175 libras.

6 } 7 _____ 0.86 23. Resuelve x 1 3.6 5 8.9. z 25. Resuelve 8 5 } 3.1.

}

}

8.216 8.216 8.216 peso

2

24. Resuelve 2.7 5 0.3y.

252

Capítulo 3

3-54

Decimales

6Respuestas del examen del capítulo 3 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1

3.1

1

201

7 8 2 } } 2. 20 1 4 1 } 10 1 100 1 1000

2

3.1

2

202

3. 21.18

3

3.1

3

203

4. 55.344

4

3.1

4, 5

203–204

5. 428.92

5

3.1

6, 7

205

6. 0.06942

6

3.2

1, 2

212 – 213

7. 430

7

3.2

3

213–214

8. 600

8

3.2

6, 7

215 – 216

9. 349.9

9

3.2

8

217

10. 466.67

10

3.2

9

217

11. 0.00418

11

3.2

10

218

12. $0.32 ó 32 cts.

12

3.2

11

218

13. 0.625

13

3.3

1

224

14. 0.16

14

3.3

2

224 – 225

7 15. } 200

15

3.3

3

225 – 226

16. 341 100

16

3.3

4

226

4 17. } 11

17

3.3

5

227

18. 0.75

18

3.3

6

227

19

3.3

7

228

20. 8.216  8.216  8.216

20

3.4

1, 2

233

21.

21

3.4

3, 4

234 – 235

22. 25

22

3.4

5

236

23. x 5 5.3

23

3.5

1

240

24. y 5 9

24

3.5

3

240

25. z 5 24.8

25

3.5

4

240 – 241

1. Trescientos cuarenta y dos y ochenta y cinco centésimos

}

}

19. 0.3 }

}

3-55

Repaso de los capítulos 1–3

253

6Repaso de los capítulos 1–3 1. Escribe 300 1 90 1 4 en la forma estándar.

2. Escribe tres mil doscientos diez en la forma estándar.

3. Escribe los factores primos de 20.

4. Escribe 60 como un producto de números primos.

5. Multiplica: 22 3 5 3 50

6. Simplifica: 49 4 7  7 1 8 2 5

5 7. Clasifica }4 como fracción propia o impropia.

11 8. Escribe } 2 como un número mixto.

3

9. Escribe 5}8 como una fracción impropia. 25 55} 11. } ? 7

S D

7 2 1 } 13. Multiplica: } 2  49 3 2 } 15. Suma: 6} 3 1 88 6 3 17. Traduce y resuelve: un número z menos }7 es }5. Hallar z 1

? 25} 10. } 3 27 1 1 } 12. Multiplica: } 2  56 7 45 } 14. Divide: } 4 4 29 3 1 } 16. Resta: 13} 3 2 14 7 1 18. Encuentra un número del que }8 es 3}2.

19. 3}2 libras de azúcar cuestan 49 centavos. ¿Cuánto costarán 7 libras?

20. Escribe en palabras el número 135.64.

21. Escribe 94.478 en su forma expandida.

22. Suma: 46.654 1 9.69

23. Resta: 241.42 2 12.5

24. Multiplica: 5.98  1.9

25. Divide: 663 0.39

26. Redondea 249.851 a la decena más cercana.

27. Divide: 10 4 0.13 (Redondea la respuesta al segundo dígito decimal.)

28. Carlos pagó $3.04 por 8 botellas de refresco. ¿Cuál fue el precio por botella?

5 29. Escribe }6 como un decimal.

30. Escribe 0.35 como una fracción simplificada

}

31. Escribe 0.78 como una fracción simplificada.

32. ¿Qué parte decimal de 15 es 3?

33. Tito paga una renta de $200 por mes. Si los gastos totales mensuales de Tito son $2000, ¿qué fracción va para la renta?

34. Arregla en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo >:

35. Insertar 5 , ,, o . para hacer que la afirmación sea verdadera: 13 } 0.26 20

36. Resuelve para x: x 1 2.1 5 9.4

37. Resuelve para y: 3.2 5 0.4y

z 38. Resuelve para z: 7 5 } 4.8

5.314

}

}

5.314 5.314

Sección 4.1 4.2 4.3

Capítulo

4cuatro

Razón y proporción Tasas Resolución de problemas que involucran proporciones

6

Razón, tasa y proporción

El lado humano de las matemáticas ¿Cuál Leonardo? No Da Vinci, pero sí Fibonacci, un hombre de pocas caras (no existe retrato de su rostro) pero con muchos nombres: Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Fibonacci o simplemente Fibonacci eran algunos. Fibonacci significa “de la familia Bonacci” o “hijo de Bonacci”, pero a veces se hacía llamar Leonardo Bigollo, “bueno para nada o uno de menos importancia” en dialecto veneciano, o “viajero” en la versión Toscana. Su libro el Liber Abaci (Libro de cálculos), publicado en 1202, iniciaba con la afirmación: “las nueve figuras indias son 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con estas nueve figuras y el 0 se puede escribir cualquier número”. En el capítulo 12 Fibonacci planteó “el problema del conejo”, cuya solución incluía una secuencia de números que ahora se llama la secuencia de Fibonacci. La secuencia es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 . . . . ¿Cómo construyes esta secuencia? ¡Muy fácil! Para obtener el siguiente número, suma los dos últimos. Así, 1  1  2 (Suma los primeros dos números para obtener el tercero) 123

(Suma el segundo y el tercero para obtener el cuarto)

235

(Suma el tercero y el cuarto para obtener el quinto)

358

(Suma el cuarto y el quinto para obtener el sexto)

y así sucesivamente. ¿Quieres aprender más al respecto? ¡Intenta con las preguntas de investigación al final del capítulo! 255

256

Capítulo 4

4-2

Razón, tasa y proporción

4. 1

Razón y proporción

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Reducir una fracción a su mínima expresión. (págs. 122-124) 2. Resolver ecuaciones. (págs. 89-91)

Escribir una razón como una fracción reducida.

B6

Escribir una proporción usando la ecuación apropiada.

C6

Determinar si dos pares de números son proporcionales.

D6

Resolver una proporción.

E6

Resolver aplicaciones que involucren los conceptos estudiados.

6 Para comenzar La foto muestra al escultor Gutzon Burglum midiendo un modelo a escala de los bustos de los presidentes tallados en el Monte Rushmore. Los modelos se crearon a razón de 1 a 12 (1:12) pulgadas, es decir, 1 pulgada en el modelo equivaldría a 1 pie (12 pulgadas) en la montaña. La transferencia de medidas se hizo usando la máquina que se muestra.

A 6 Escribir razones como fracciones reducidas Usamos las razones todos los días. Por ejemplo, la razón profesor-estudiante en tu colegio puede ser de 25 a 1 (25:1) y la razón de hombres a mujeres en tu clase puede ser de 12 a 15.

RAZÓN

Una razón es un cociente de dos números. 12 4 } La razón 12 a 15 también se puede escribir como la fracción } 15 ó 5. Cuando las razones se escriben como fracciones, deben ser escritas en forma reducida. He aquí tres formas de escribir razones.

NOTACIÓN DE RAZONES

Las razones se denotan mediante cada una de las siguientes notaciones:

aab

a:b

a } b

4-3

4.1

EJEMPLO 1 Expresar razones como fracciones Expresa cada una de las siguientes razones como una fracción de forma reducida. a. 1 a 6

b. 2 a 10

c. 4 a 22

SOLUCIÓN

257

PROBLEMA 1 Expresa cada una de las siguientes razones como una fracción de forma reducida. a. 1 a 7

a. La razón 1 a 6 se escribe

Razón y proporción

b. 3 a 15

c. 4 a 18

1 }. 6

2 1 } b. La razón 2 a 10 se escribe } 10  5. 4 2 } c. La razón 4 a 22 se escribe } 22  11.

2 1 } Nota que en el ejemplo 1 (b), } 10 5 5; es decir, el par de números 2 y 10 tienen la misma razón que el par de números 1 y 5.

EJEMPLO 2 Razón de carros a gente en Estados Unidos ¿Es pesado el tráfico en tu ciudad? La razón de carros a gente en Estados Unidos es de 780 por 1000. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida. SOLUCIÓN

78  10 78 39 780 }}}} 1000 100  10 100 50

EJEMPLO 3 Razón de circunferencia a diámetro La razón de circunferencia (distancia alrededor) a diámetro (distancia de punta a punta) de una lata de refresco es de 7.26 pulgadas a 2.31 pulgadas. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida. SOLUCIÓN

La razón es

PROBLEMA 2 La razón de carros a gente en los países bajos es de 418 a 1000. Escribe esta razón en forma reducida.

PROBLEMA 3 La razón de circunferencia a diámetro de una lata de pintura es de 10.78 a 3.43. Escribe la razón como una fracción de forma reducida.

7.26 } 2.31 Ya que es más fácil reducir una fracción sin decimales, multiplica el numerador y el denominador de la fracción por 100, y luego reduce: 7.26 7.26  100 726 242 22 }}}} 77  } 7 2.31 2.31  100 231 La razón de circunferencia a diámetro de toda lata cilíndrica es el número R (pi), 22 que es alrededor de 3.1416. También se aproxima a } 7.

EJEMPLO 4 Razón de la brecha salarial La brecha salarial es un indicador estadístico que se usa a menudo como un indicador del estado de ingresos de las mujeres respecto al de los hombres. a. Las mujeres ganan 73 centavos por cada dólar (100 centavos) que ganan los hombres. Escribe la razón de 73 a 100 como una fracción de forma reducida. b. Las mujeres afroamericanas ganan 64 centavos por cada dólar que gana un hombre blanco. Escribe la razón de 64 a 100 como una fracción de forma reducida.

SOLUCIÓN 73 a. } 100

64 4  16 16 } } b. } 100  4  25  25

Respuestas a los PROBLEMAS 209 1 1 2 22 1. a. } 2. } 3. } 7 b. } 5 c. } 7 9 500

29 4. a. } 50

13 b. } 25

PROBLEMA 4 a. En 1963, las mujeres ganaban 58 centavos por cada dólar que ganaban los hombres. Escribe la razón de 58 a 100 como una fracción reducida. b. Las mujeres hispánicas ganan 52 centavos por cada dólar que ganan los hombres blancos. Escribe la razón de 52 a 100 como una fracción de forma reducida.

258

Capítulo 4

4-4

Razón, tasa y proporción

EJEMPLO 5 Razón de aspecto y HDTV La razón de aspecto de una imagen en un televisor de alta definición (HDTV) es de 16:9, y se define como la razón de ancho y altura del televisor. Un televisor Panasonic tiene 32 }12 de ancho y 22 }23 de alto.

PROBLEMA 5 Un televisor mide 32}12 pulgadas de ancho y 20}23 de alto. a. ¿Cuál es la razón entre ancho y altura del televisor? b. ¿Las dimensiones siguen la razón 16:9?

a. ¿Cuál es la razón del ancho y el alto del televisor? b. ¿Las dimensiones siguen la razón 16:9?

SOLUCIÓN a. La razón ancho (32 }21 ) a altura (22 }32 ) es 65 1 } 65 3 32 } 195 2 2 } } } }  } 2 68 136 2 68 22 } } 3 3 16

195

} b. Cuando se escribe como una fracción, 16:9 es } 9 y 1.8 pero 136 y 1.4. Entonces, las dimensiones del televisor no siguen la razón 16:9.

B 6 Escribir proporciones Una ecuación plantea que dos razones iguales son una proporción. Así, una proporción se define como a b

ESCRIBIR PROPORCIONES

c d

}}

Se lee como “a es a b como c es a d”

Así, la proporción 3 es a 4 como 6 es a 8 se escribe así 3 4

6 8

}}

Igualmente, la proporción 2 es a 9 como x es a 3 se escribe así 2 9

x 3

}}

EJEMPLO 6 Escribir proporciones Escribe cada una de las siguientes proporciones como una ecuación.

PROBLEMA 6 Escribe cada una de las siguientes proporciones como una ecuación.

a. 5 es a 10 como 1 es a 2 b. 5 es a 6 como 15 es a x

a. 4 es a 12 como 1 es a 3 b. 5 es a 8 como 10 es a y

SOLUCIÓN a. 5 es a 10 como 1 es a 2 se escribe así 5 10

1 2

}}

b. 5 es a 6 como 15 es a x se escribe así 5 6

15

}} x

Ya hemos mencionado que la proporción a es a b como c es a d se puede escribir así Respuestas a los PROBLEMAS 195 5. a. } 124 b. No 4

1

6. a. }  }3 12

5

10

b. }8  } y

a b

c d

}}

4-5

4.1

Razón y proporción

259

que es un ejemplo de ecuación. Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por bd, obtenemos a c (bd)}  (bd)} b d o a c (b/d)}  (bd)} b d Es decir, ad  bc Podemos recordar esto más fácilmente usando la siguiente regla:

LA REGLA DEL PRODUCTO CRUZADO

a b

c d

Si }  }

entonces ad 5 bc

Es decir, los productos cruzados formados por la proporción son iguales. a b

}

Por ejemplo,

c d

}

3 4

ad  bc 18 24

}}

significa que 3 ? 24  4 ? 18 y

6 7

x 14

}}

significa 6 ? 14  7 ? x Este proceso se conoce como una multiplicación cruzada.

C 6 Determinar si los números son proporcionales

Podemos usar el producto cruzado para hallar si dos pares de números son proporcionales. Así, para determinar si el par de números 10, 8 y 5, 4 son proporcionales, escribimos 10 ? 5 ?8?5 } } 10 ? 4  8 4 Ya que los productos cruzados son iguales (10 ? 4  40 y 8 ? 5  40), los dos pares son proporcionales, es decir, 10 8

5 4

}}

EJEMPLO 7 Largo y ancho oficial para la bandera Existe una ley que dice que la razón del ancho y el largo para la bandera estadounidense debe ser de 10 a 19. Una de las banderas más grandes mide 210 por 411 pies. ¿Son proporcionales los pares de números 10, 19 y 210, 411? SOLUCIÓN

Escribimos

10 ? 210 }} 19 411

? 10 ? 411  19  210

Pero 10 ? 411  4110 y 19 ? 210  3990; así, los productos cruzados no son iguales y el par de números no son proporcionales. La bandera no satisface la razón de la oficial 10 a 19. Respuestas a los PROBLEMAS 7. No, 10  505  19  255

PROBLEMA 7 La bandera más grande del mundo (superbandera) en el Hoover Dam (ver foto) mide 255 por 505 pies. ¿Estas medidas satisfacen la razón oficial de 10 a 19?

260

Capítulo 4

4-6

Razón, tasa y proporción

D 6 Resolución de proporciones Para resolver proporciones podemos usar los productos cruzados. Por ejemplo, la 3 9 proporción }2  }x se puede resolver así: 3x  2 ? 9 29 x} 3 18 x} 3 x6

Hallar los productos cruzados. Dividir ambos lados por 3 Multiplicar 2 por 9 Dividir 18 entre 3.

Puedes comprobar que 6 es la solución para remplazar x con 6 en la ecuación original, y luego multiplicas en forma cruzada. Escribimos 3 9 }} 2 6 Ya que 3 ? 6  2 ? 9 (los dos productos dan 18), la solución x  6 es correcta.

EJEMPLO 8 Resolver proporciones Resuelve las proporciones: 6 2 x 9 } a. }x  } b. } 5 48

PROBLEMA 8 Resuelve las proporciones:

5 x c. } 7} 14

x 7 } b. } 68

SOLUCIÓN a.

6 2 }x  } 5

6 x c. } 7} 14

6?52?x

Multiplicar cruzado.

6 ? 5  2x 6?5 } x 2 30 }x 2

2x  x . Dividir ambos lados por 2 } 2

15  x

S

D

Multiplicar 6 por 5.

S

D

30  15 . Dividir 30 entre 2 } 2

La solución es x  15. x 9 } b. } 48 8x  4 ? 9 49 x} 8 36 x} 8 9 x} 2

Multiplicar cruzado.

S

D

8x  x . Dividir ambos lados por 8 } 8 Multiplicar 4 por 9. Simplificar dividiendo el numerador y denominador entre 4.

9 La solución es x  } 2. 5 x } c. 7} 14 5 ? 14  7x Multiplicar cruzado. 5 ? 14 7x  x . } Dividir ambos lados por 7 S} D 7 x 7 70 Multiplicar 5 por 14. } 7 x 10  x

8 4 a. }x  } 5

S

D

70  10 . Dividir 70 entre 7 } 7

La solución es x  10. Respuestas a los PROBLEMAS 21 8. a. x  10 b. x  } 4 c. x  12

4-7

4.1

Razón y proporción

261

E 6 Aplicaciones que involucran proporciones EJEMPLO 9 Resolver proporciones Una trabajadora en una línea de ensamble tarda 3 horas en producir 28 piezas. Con ese promedio, ¿cuántas piezas puede producir en 9 horas?

PROBLEMA 9 Un trabajador en una empresa produce 32 piezas en 5 horas. Con ese promedio, ¿cuántas piezas puede producir en 20 horas?

28

SOLUCIÓN

La tasa de producción es de 28 piezas por 3 horas, es decir, } 3. x Si ella produce x partes en 9 horas, la tasa sería }9. Ya que deseamos mantener el 28 promedio } 3, piezas x 28 }} horas 3 9 3x  9 ? 28

3x  252 252 x} 3  84 Así, la trabajadora debería producir 84 partes en 9 horas. Una aplicación importante de razón y proporción es la creación de un dibujo a escala o modelo, es decir, una representación de un objeto que se va a dibujar o construir en tamaño real. La escala ofrece la relación entre las medidas del dibujo o modelo y las del objeto real. Por ejemplo, Mini Me es el clon del Dr. Evil, y se dice que es }18 del tamaño de él. Entonces, la escala es 1 pulgada  8 pulgadas ¿Cuánto mide el Dr. Evil? Lo sabremos enseguida.

EJEMPLO 10

PROBLEMA 10

Resolver proporciones

3

Si Mini Me mide 32 pulgadas y es }7 de pulgada del tamaño del Dr. Evil, ¿cuánto mide el Dr. Evil?

1 } 8

Si Mini Me mide 32 pulgadas y es del tamaño del Dr. Evil, ¿cuánto mide el Dr. Evil?

SOLUCIÓN

Ya que la escala (Mini Me) es de 1 pulgada  8 pulgadas (Dr. Evil), y Mini Me mide 32 pulgadas, escribimos la proporción

8 pulgadas 1 pulgada Mini Me } 5 32 pulgadas  E Dr. Evil 1 ? E  32 ? 8 Multiplicar cruzado. Multiplica 32 por 8. E  256 Así, el Dr. Evil debe medir 256 pulgadas (¡21}13 pies!), lo que es claramente imposible.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 4.1

> Self-Tests > e-Professors > Videos

5A6

Escribir razones como fracciones reducidas En los problemas 1 al 10, escribe la razón dada como una fracción de forma reducida. 1. 3 a 8

2. 4 a 17

3. 5 a 35

4. 8 a 64

6. 40 a 8

7. 11 a 3

8. 13 a 9

9. 0.5 a 0.15

Respuestas a los PROBLEMAS 2 9. 128 10. 74 } 3 pulgadas

5. 32 a 4 10. 0.6 a 0.24

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

262

5B6

Capítulo 4

4-8

Razón, tasa y proporción

Escribir proporciones En los problemas 11 al 18, escribe cada proporción como una ecuación.

11. 1 es a 4 como 5 es a 20

12. 5 es a 16 como 10 es a 32

13. a es a 3 como b es a 7

14. 7 es a a como 8 es a b

15. a es a 6 como b es a 18

16. a es a b como 6 es a 8

17. 3 es a a como 12 es a b

18. 9 es a 18 como a es a b

5 C 6 Determinar si los números son proporcionales En los problemas 19 al 28, determinar si los pares de números son proporcionales. 19. 3, 4 y 5, 6

20. 6, 12 y 4, 8

21. 6, 9 y 8, 12

22. 7, 3 y 9, 4

23. 0.3, 5 y 3, 50

24. 0.9, 7 y 4, 30

25. 6, 1.5 y 8, 2

26. 3, 1.5 y 4, 0.2

27. 3, 1.2 y 5, 0.2

28. 5, 2.5 y 6, 3

5D6

Resolución de proporciones En los problemas 29 al 50, resolver x en las proporciones dadas.

29. 3 es a 4 como 6 es a x

30. 5 es a 8 como 10 es a x

31. 9 es a 10 como 18 es a x

32. 5 es a 7 como x es a 21

33. 8 es a 5 como x es a 30

34. 4 es a 3 como x es a 12

35. 12 es a x como 4 es a 5

36. 18 es a x como 6 es a 5

37. 20 es a x como 4 es a 5

38. x es a 20 como 9 es a 10

39. x es a 21 como 2 es a 3

40. x es a 22 como 4 es a 2

3 x } 41. } 16 4 x 8} 45. } 9 16

5 x } 42. } 21  3

15 5 43. } x } 3

7 14 } 44. } x 6

7 x } 46. } 24

7 14 } 47. } 22  x

18 6 } 48. } 30  x

3.5  }x 49. } 7 4

4.5 x } 50. } 6 8

En los problemas 51 al 60, escribe una proporción que pueda usarse para resolver la variable, luego resuelve. 51. 2 pares de pantalones cortos Bill Blass por $26 8 pares de pantalones cortos Bill Blass por $d

52. 2 pares de pantalones cortos Body Code por $25 5 pares de pantalones cortos Body Code por $d

53. 5 barras energéticas por $4 8 barras energéticas $x

54. Producto de soda, paquete de 12 por $1.98 Producto de soda, paquete de 8 por $x

55. $4.38 por un asado de 4 libras $y por un asado de 6 libras

56. $18 por un filete de 2 libras $y por un filete de 3 libras

57. $9 por un bistec de 3 libras $z por un bistec de 5 libras

58. $3.60 por 5 docenas de bolígrafos Bic punta redonda $2.16 por x docenas de bolígrafos Bic punta redonda

59. $6.95 por un paquete de 5 bolígrafos Sanford Uniball $5.56 por un paquete de x bolígrafos Sanford Uniball

60. $2.88 por un paquete de 6 bolígrafos Staples Outflow $1.92 por un paquete de x bolígrafos Staples Outflow

5E6

Aplicaciones que involucran proporciones

61. Razón de carros a gente en Bermuda La razón de carros a gente en Bermuda es de 340 por 1000. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida. 63. Fallas empresariales Recientemente, la tasa de fallas empresariales en Estados Unidos fue de 114 por 10,000. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida.

62. Razón de carros a gente en Haití La razón de carros a gente en Haití es de 4 por 1000. Escribe esta razón como una fracción en forma reducida. 64. Fallas empresariales durante la Depresión La tasa más alta de fallas empresariales en Estados Unidos ocurrió en 1932, durante la Depresión. La razón fue de 154 por 10,000. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida.

65. Dimensiones del billete de dólar Las dimensiones de un billete de dólar son 6.15 pulgadas de largo por 2.61 de ancho. Escribe la razón de 6.15 a 2.61 como una fracción de forma reducida. 67. Razón estudiantes-maestros en Suecia La razón estudiantesmaestros más baja del mundo está en Suecia: 18 a 1. Si una escuela en Suecia tiene 900 estudiantes, ¿cuántos maestros hay?

66. Notas de emergencia alemana Las notas de emergencia alemana más pequeñas se emitieron en 1920 y midieron 0.70 por 0.72 pulgadas. Escribe la razón de 0.70 a 0.72 como una fracción de forma reducida. 68. Razón estudiantes-maestros en Alto Volta La razón más alta entre estudiantes-maestros en el mundo está en Alto Volta: cerca de 600 a 1. Si una escuela en Alto Volta tiene 1800 estudiantes, ¿cuántos maestros tienen?

4-9

4.1

72. Modelos de avión a escala Si la longitud del modelo de avión mencionado en el problema 71 es de 48 centímetros, ¿cuál es la longitud real de un avión 747?

74. Acciones En un día determinado, la razón de ascenso y descenso en el precio de las acciones es de 4 a 3. Si 150,000 acciones aumentaron, ¿cuántas disminuyeron en precio?

a. Escribe la razón de 85 a 100 como una fracción reducida. b. En un día determinado, 500 llamadas se hicieron al 911. ¿Cuántas llamadas esperarías que no tuvieran ningún problema? (Observa la gráfica.)

Sin problema Hace varios intentos

c. En un día determinado, 102 usuarios reportaron algún problema llamando al 911. ¿Cuántas llamadas en total se hicieron a este número?

Nunca lo logró

76. Llamadas al 911 Como puedes observar en la gráfica, 9 de 100 llamadas al 911 hicieron varios intentos.

Usó otro teléfono

a. Escribe la razón de 9 a 100 como una fracción.

Fuente: Tomado de Anne R. Carey y Keith Carter, USA TODAY.

b. En un día, 300 llamadas se hicieron al 911. ¿Cuántas llamadas esperarías que necesitaran varios intentos? c. En un día determinado, 72 usuarios reportaron que tuvieron que hacer varios intentos para comunicarse con el 911 (ver la gráfica). ¿Cuántas llamadas en total se hicieron al 911?

Esta gráfica se usará en el problema 77.

Densidad demográfica en Estados Unidos Personas por milla cuadrada

21.5 79.6 Nota: Los niveles de densidad para 1990 incluyen Alaska y Hawai, que todavía no eran estados Fuente: Tomado de Anne R. Carey y Keith Carter, USA TODAY.

77. Densidad demográfica en el lago Wobegon En el 2004, la densidad de población de Estados Unidos llegó a 80 personas por milla cuadrada. ¿Cuántas personas esperarías alrededor del lago Wobegon, Minnesota, en un área de 50 millas cuadradas? 78. Densidad demográfica en Atlantis De acuerdo con la descripción de Platón, la población de la ciudad perdida de Atlantis fue entre 6 y 10 millones de personas. Si el área de Atlantis fue de 86,400 kilómetros cuadrados y se supone que la población fue de 8,640,000 habitantes, ¿cuál fue la densidad de la población de la ciudad? Fuentes: atlantishistory.com; Eden—The Andrew Collins website.

79. Densidad demográfica en Macau Una de las ciudades más densamente pobladas es Macau (una región administrativa especial de la República de China), con cerca de 446,250 habitantes, que viven en 21 kilómetros cuadrados de tierra. ¿Cuál es la densidad de la población por kilómetro cuadrado en Macau?

80. Densidad de la población en Mónaco Otra ciudad densamente poblada es Mónaco, con 31,980 habitantes viviendo en 1,95 kilómetros cuadrados de tierra. ¿Cuál es la densidad de la población por kilómetro cuadrado en Mónaco?

81. Razón de aspecto (ancho a altura) La razón de aspecto de una pantalla de computador es de 4:3.

82. Razón de aspecto (ancho a altura) de HDTV aspecto de un televisor es de 16:9.

La razón de

a. Escribe 4:3 como una fracción.

a. Escribe 16:9 como una fracción.

b. Si la pantalla mide 32 pulgadas de ancho, ¿cuál es la altura de la pantalla?

b. Si la pantalla mide 27 pulgadas de alto, ¿cuál es el ancho de la pantalla?

para más lecciones

75. Llamadas al 911 Como puedes observar en la gráfica, 85 de 100 llamadas al 911 no tuvieron problema.

www.mathzone.com

70. Impuesto sobre la propiedad Si la tasa de impuesto predial es de 12 millones ($12 por mil), ¿cuál es el impuesto de una propiedad avaluada en $45,000?

ir a

Esta gráfica se usará en los problemas 75 y 76.

263

6Web IT

69. Tasa de impuesto sobre la propiedad El impuesto sobre la propiedad en cierto estado es de $9 por cada $1000 del valor de tasación (9 millones). ¿Cuál es el impuesto de una propiedad tasada en $40,000? 71. Modelos de avión a escala Un modelo plástico de un avión 747 se construye en una escala de 1 a 144. Si la extensión de las alas del modelo mide 40 centímetros, ¿cuánto mide la extensión real de las alas del avión 747? Recuerda que 100 centímetros es igual a 1 metro. 73. Razón de caída a ascenso de acciones En un día determinado, la razón de caída en precio de acciones a incremento en precio fue de 5 a 2. Si 300,000 acciones cayeron en precio, ¿cuántas aumentaron?

Razón y proporción

264

Capítulo 4

4-10

Razón, tasa y proporción

83. Índice de reto El índice de reto es el número total de pruebas de nivel avanzado (AP) o bachillerato internacional (IB) dados en una escuela en mayo, dividido entre el número de graduados seniors en junio.

84. Índice de desafío El índice de desafío es el número total de pruebas AP o IB impartidas en una escuela en mayo, dividido entre el número de graduados seniors en junio. a. Halla el índice de desafío expresado como una fracción reducida por el Ottawa Hills High en Toledo, Ohio, que sólo dio 154 pruebas AP, pero que también graduó sólo a 78 seniors.

a. Halla el índice de reto o desafío expresado como una fracción reducida por el New Trier High en Winnetka, Illinois, que administró 1918 pruebas AP y graduó a 970 seniors.

b. Escribe la respuesta del numeral a como un decimal aproximado a tres lugares.

b. Escribe la respuesta del numeral a como un decimal aproximado a tres cifras.

Fuente: Para los problemas 83 y 84: http://www.msnbc.msn.com.

666Usa tus conocimientos Las razones se usan en negocios para medir la liquidez (la capacidad para pagar deudas de corto plazo), ganancias y solvencia (capacidad para pagar deudas). Ésta es la definición de algunas de estas razones: activos actuales Razón actual  pasivos actuales

Imagina un negocio que tiene $15,000 en activos actuales; $8,000, en pasivos actuales; $60,000, en activos totales; y $60,000, en pasivos totales. 85. Escribe la razón actual del negocio como una fracción en forma reducida. 86. Escribe la razón deuda-activos para el negocio como una fracción en forma reducida.

ganancias netas Margen de ganancias  ventas netas o utilidades netas pasivos totales Razón de pasivos a activos  activos totales

87. Las ventas netas de un negocio alcanzaron los $50,000. Si las ganancias netas fueron $8,000, ¿cuál fue el margen de ganancias netas?

666 ¡Escribe! 88. Explica con tus palabras la diferencia entre una razón y una proporción.

89. Explica con tus palabras el procedimiento que usaste para resolver una proporción.

90. Explica con tus palabras cómo se pueden usar las proporciones en una receta para preparar tu plato favorito.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 91. Una razón es un

de dos números. ,

92. La razón de a a b se puede escribir de 3 maneras: 93. Una ecuación afirma que dos razones iguales se llaman 94. Si

a } b

c } d

 luego ad  bc se llama la regla del

y .

.

.

a } b b :a

a :b

aab

productos cruzados b } a baa

proporción

cociente

razón

666Prueba de dominio 95. La razón de vehículos registrados a gente en Madison, Wisconsin, es de 170,000 a 210,000. Escribe esta razón como una fracción de forma reducida.

96. La razón de bicicletas a vehículos registrados en Madison, Wisconsin, es de 3 a 2. Si hay 170,000 vehículos registrados en Madison, ¿cuántas bicicletas hay?

97. Escribe cada proporción como una ecuación:

98. Expresa como una fracción de forma reducida:

a. 2 es a 5 como 4 es a 10

a. 3 a 6

b. 5 es a 8 como 15 es a x

c. 1 a 7

99. La razón de ancho a largo de una bandera estadounidense es de 10 a 19. Se hace una bandera que mide 55 por 95. ¿Satisface esta bandera la razón de 10 a 19?

100. Resuelve la proporción: 3 6} a. } x 2 x 5} c. } 7 14

b. 8 a 44

3 5 b. }x  } 6

4-11

4.2

101. Un trabajador puede producir 10 partes en 3 horas. Con este promedio, ¿cuánto tiempo tardará en producir 30 partes?

Tasas

265

102. Una estatua del maestro de matemáticas mide 30 pulgadas de 3 alto. Si la estatua es }7 de la altura del profesor, ¿cuánto mide de alto el profesor?

666Comprobación de destrezas Reduce las fracciones a su mínima expresión. 350 1000

103. }

3.5

4.8

104. } 100

4 .2

Tasas

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

B6

6.4

105. } 3.2

106. } 3.2

1. Aproximar números. (pág. 216) 2. Reducir una fracción a su mínima expresión. (págs. 122-124)

Escribir una tasa como una fracción reducida con las unidades correctas. Escribir tasas unitarias y usarlas para comparar precios.

3. Escribir una fracción como un decimal. (págs. 223-225)

6 Para comenzar La tabla nos ofrece las tasas para imprimir un aviso clasificado. En la sección anterior, usamos razones para comparar cantidades similares, como circunferencia a diámetro (ambas en pulgadas) o ancho a largo (ambos en pies). Cuando una razón se usa para comparar cantidades diferentes, como costo por día o millas por galón, lo llamamos una tasa.

Tasas de clasificados locales sin contrato (tarifas por día) Sin comisión Días

Domingo solamente 1 día 2–5 días 6–10 días 11–15 días 16 1 días

3-líneas min. Tasa por línea

4-pul. min. Tasa por pul.

$5.09 $4.49 $3.69 $3.48 $3.30 $3.09

$71.22 $62.86 $51.74 $48.78 $46.14 $43.26

Fuente: Newspaper Agency Corporation.

A 6 Escribir tasas TASAS

Una tasa es una razón que se usa para comparar dos clases de medidas diferentes.

De acuerdo con el cuadro de la sección Para comenzar, supongamos que quieres publicar un aviso una vez el domingo (primera línea en la tabla). El costo será de $5.09 por $5.09 línea. Esta tasa se escribe } línea . (Nota que entre indica división). Igualmente, si tu carro recorre 200 millas con 8 galones de gasolina, la tasa de millas por galón se puede escri200 millas millas } bir: } 8 galón , 25 galón , 25 millas por galón, 25 mi/gal, o 25 mpg.

266

Capítulo 4

4-12

Razón, tasa y proporción

EJEMPLO 1

Escribir una tasa Una de las tasas más altas alguna vez ofrecida a un escritor fue de $30,000, a Ernest Hemingway, por un artículo de 2000 palabras sobre tauromaquia. Halla la tarifa por palabra (las tasas por palabra para escritores de revista están alrededor de $1.60/palabra) (el artículo se publicó en Sports Illustrated).

SOLUCIÓN

PROBLEMA 1 John Creasey publicó 564 libros en un periodo de 41 años (1932-1973). Al número entero más cercano, ¿a cuántos libros por año equivale?

Queremos hallar cuántos dólares por palabra; entonces, dividimos: 30,000 dólares 5 $15 por palabra 2000 palabras

EJEMPLO 2

Expresar una tasa ¿Cuál es la tasa de millas por galón para tu carro? Dos ingenieros automotores llamados Craig Henderson y Bill Green recorrieron 1759 millas con 17 galones de gasolina (desde el estadio Dodger hasta Vancouver). ¿Cuál fue su tasa de millas por galón? (aproxima la respuesta al número entero más cercano).

SOLUCIÓN

Para hallar las millas por galón, dividimos 1759 entre 17.

103.4 17qw 1759.0 17 ___ 059 51 ___ 80 6___ 8 12 Así, su tasa fue alrededor de 103 millas por galón (alrededor de 103.4).

EJEMPLO 3

Expresar una tasa Una bolsa de 18 libras de abono para césped cubre 5000 pies cuadrados de césped. Al número entero más cercano, ¿cuál es la tasa de cobertura en pies cuadrados por libra?

SOLUCIÓN Aquí queremos pies cuadrados por libra; entonces, dividimos 5000 entre 18 (recuerda entre significa dividir). Tenemos

PROBLEMA 2 Lionel Harrison y E.A. Ferguson recorrieron 1900 millas desde Londres hasta Moscú con 62 galones de gasolina. ¿Cuál fue su tasa de millas por galón? (aproxima la respuesta al número entero más cercano).

PROBLEMA 3 Una bolsa de 18 libras de césped cuesta $6. Al centavo más cercano, ¿cuál es el costo por libra?

277.7 5000.0 18qw 36 ___ 140 126 ____ 140 126 ____ 14 0 12 6 14 Así, la tasa de cobertura es cerca de 278 pies cuadrados por libra 

278 pies cuadrados 1 libra

EJEMPLO 4

.

Expresar una tasa Natasha Bello es una farmacéutica en una droguería. Ella ganaba $861 las primeras 2 semanas del verano. a. ¿Cuál fue su tasa de pago por semana?, es decir, ¿cuánto ganó por semana? b. Si trabajó un total de 82 horas, ¿cuál fue su tasa de pago por hora?

PROBLEMA 4 Rady trabaja en el departamento de matemáticas y ganó $612 las dos primeras semanas del verano. a. ¿Cuánto ganó cada semana? b. Si trabajó un total de 72 horas, ¿cuál fue su tasa de pago por hora?

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 14

2. 31

3. 33 cts.

4. a. $306 semanal

b. $8.50 por hora

4-13

4.2

Tasas

267

SOLUCIÓN a. La tasa de pago por semana es la razón del dinero ganado ($861) dividido entre la cantidad de tiempo que trabajó (2 semanas). $ 861 dólares 5 430.50 semana 2 semanas

o

$430.50 por semana

b. La tasa de pago por hora es la razón del dinero ganado ($861) dividido entre el número de horas que trabajó (82 horas). $861 dólares } 5 10.50 } 82 horas hora

o

$10.50 por hora

10.5 82qw 861.0 82 ___ 41 0 41 0 ____ 0

B 6 Tasas unitarias La mayoría de supermercados te ayudan a comparar precios fijando el precio unitario de los productos.

TASA UNITARIA

Una tasa unitaria es aquella en la que el denominador es 1.

Así, si una bolsa de papas de 5 libras cuesta 90 centavos, el costo por libra es de 18 cts. 90 cts. } 5} 5 libras 1 libra y el precio unitario es de 18 centavos por libra. Observa que por libra indica por una libra.

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

SOLUCIÓN

Una jarra de popcorn para microondas de 10 onzas cuesta $1.89. ¿Cuál es el precio unitario por onza en centavos?

Calcular el precio unitario Una jarra de popcorn gourmet de 30 onzas cuesta $3.99. ¿Cuál es el precio unitario por onza en centavos?

$3.99 399 cts. }5} 30 onzas 30 onzas 13.3 399 .0 30qw 30 99 90 90 90 0 13.3 cts.

Así, el precio unitario es } 1 onza 5 13.3 cts. por onza.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 18.9 cts.

268

Capítulo 4

4-14

Razón, tasa y proporción

Los precios unitarios te ayudarán a hacer la mejor compra al comparar precios. Así, si la jarra de 1}12-libras de popcorn gourmet de X marca se vende a $1.80, ¿es una mejor compra que el popcorn del ejemplo 5? Para comparar precios, debemos hallar el total de onzas de la marca X. Como 1 libra 5 16 onzas, 1}12 libras 5 16 onzas 1 8 onzas 5 24 onzas. El precio por onza de la marca X es 7.5 cts. 180 cts. } 5} 1 onza 5 7.5 cts. por onza 24 onzas Así, la marca X es una mejor compra.

EJEMPLO 6

Calcular el precio unitario Una botella de aceite de maíz gourmet de 12 onzas se vende a $1.99. La botella de 24 onzas marca X cuesta $3.99. ¿Cuál es la mejor compra? Puedes razonar así: Gourmet : 12 onzas se vende a $1.99. Marca X: 24 onzas (el doble) debería costar el doble, o $2 ? 1.99 5 $3.98. Pero la marca X lo vende por $3.99 (demasiado); el aceite de maíz gourmet es una mejor compra. Pero, ¿puedes probarlo? Veamos.

SOLUCIÓN

Comparamos los precios unitarios a la centésima más cercana

de un centavo. 199 cts. Gourmet: } 12 onzas 16.58 12qw 199.00 12 ___ 79 72 ___ 70 60 1 00 96 4 16.58 cts.

Así, Gourmet  } 1 onza 5 16.58 cts. por onza. 399 cts. Marca X: } 24 onzas 16.625 399.000 24qw 24 ___ 159 144 ____ 15 0 14 4 ____ 60 48 ___ 120 120 ____ 0 16.63 cts.

Así, la marca X  } 1 onza 5 16.63 cts. por onza. De esta forma, el aceite de maíz gourmet por $16.58 cts. por onza es una mejor compra. Respuestas a los PROBLEMAS 6. botella de 24 onzas

PROBLEMA 6 Una jarra de salsa de espagueti de 29 onzas cuesta $1.09. La botella de 24 onzas cuesta 89 cts. ¿Cuál es la mejor compra?

4-15

4.2

Tasas

269

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Escribir tasas En los problemas 1 al 10, escribe las tasas que se indican.

4. Millas por galón Un estudiante recorrió 231 millas desde Houston a Dallas. Si gastó 12 galones de gasolina, ¿cuántas millas por galón recorrió su carro?

5. Velocidad del vuelo en avión Un avión voló desde Boston a Chicago en 1.5 horas. Si la distancia aérea entre estas dos ciudades es de 840 millas, ¿cuál fue la velocidad de vuelo del avión?

6. Velocidad de vuelo del avión La distancia aérea entre Nueva York y Dallas es de 1375 millas. Si al avión tarda 2}12 horas en el vuelo, ¿cuál es la velocidad de vuelo del avión?

7. Más vuelo Uno de los vuelos más rápidos en Estados Unidos lo hizo el Capitán Robert G. Sowers. Él voló 2459 millas desde Los Ángeles hasta Nueva York en dos horas. ¿Cuál fue su velocidad de vuelo?

8. Corredor de maratón Uno de los corredores de maratón más rápidos es Balaine Desimo, quien completó 26 millas en 2.1 horas. A la milla más cercana, ¿cuál fue su velocidad de viaje?

9. Velocidad de consumo de tortilla Tom Nall se comió 74 tortillas en 30 minutos en el restaurante mexicano Mariano’s en Dallas, Texas. A la décima más cercana, ¿cuál fue su tasa de consumo por minuto?

10. Tasa de producción de refinería La refinería Amerada Hess en St. Croix produjo 345,000 barriles de petróleo por día. ¿Cuál es la tasa de producción en barriles por hora?

5B6

Tasas unitarias En los problemas 11 al 20, escribe cada tasa como una tasa unitaria.

11. Calorías por gramo de hamburger Un hamburger de McDonald’s tiene 263 calorías y pesa 100 gramos. Halla el número de calorías por gramo.

12. Calorías por gramo de hamburger Un hamburger de Burger King tiene 275 calorías y pesa 110 gramos. Halla el número de calorías por gramo.

13. Tasa de mantenimiento de carros en una hora Una compañía de carros les hace mantenimiento a 90 carros en un día promedio. Si el departamento de servicios funciona 7.5 horas por día, ¿a qué tasa por hora se atienden los carros?

14. Ventas mensuales por persona Un distribuidor de carros tiene 16 vendedores y vendió 104 carros durante el último mes. ¿Cuál fue el número de ventas mensuales por vendedor?

15. Tasa de crecimiento del Bambú ¿Cuál planta conoces que crezca más rápido? Un bambú creció 36 pulgadas en un periodo de 24 horas. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento por hora para esta planta?

16. Tasa de crecimiento diario para plantas de tomate En la feria científica Tsukuba, Japón, se anunció que una sola planta de tomate produjo 12,312 tomates en 347 días. Aproximando a la décima más cercana, ¿cuál fue la velocidad diaria promedio a la cual crecieron los tomates en esta planta?

17. Contenido calórico de los aguacates La fruta con el valor calórico más alto es el aguacate: 1}12 libras de aguacate comestible contienen 1110 calorías. ¿Cuál es la tasa calórica por libra?

18. Contenido calórico de los pepinos La fruta con el valor calórico más bajo es el pepino. 1}12 libras de pepinos tienen 109.5 calorías. ¿Cuál es la tasa calórica por libra de pepinos?

19. Tasa de anotaciones de Wilt Chamberlain Wilt Chamberlain anotó 31,419 puntos en 1045 juegos de baloncesto. A la décima más cercana, ¿cuál fue la tasa de anotaciones por juego?

20. Puntos por temporada Kareem Abdul-Jabbar anotó 38,987 puntos en 20 temporadas. Aproximando al entero más cercano, ¿cuántos puntos anotó por temporada?

Costos de matrícula ¿Has tomado un curso para ampliar tus habilidades personales o profesionales? He aquí algunos cursos, su duración y costo. En los problemas 21al 26, halla el costo por hora, aproximando a la centésima más cercana.

21. 22. 23. 24. 25. 26.

Curso

Costo

Horas

Habilidades de supervivencia en negocios Introducción a Microsoft Word Uso de sitios Web para mejorar tus prioridades ¿Quién se comió mi queso?© Reparación y solución de problemas en los PC Microsoft Windows Profesional

$872 $87 $87 $97 $895 $698

84 8 4 4 35 21

para más lecciones

3. Calcular millas por hora Un carro consume 12 galones de gasolina en un viaje de 258 millas. ¿A cuántas millas por galón equivale esto?

www.mathzone.com

2. Pago de un trabajador de construcción Según las Estadísticas del Departamento de Trabajo, el trabajador de construcción promedio gana $760 semanales y trabaja 40 horas. ¿Cuál es la tasa por hora?

ir a

1. Tasa de pago por hora A un estudiante se le paga a una tasa de $38 por 8 horas de trabajo. ¿Cuál es la tasa por hora?

6Web IT

6Ejercicios 4.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Capítulo 4

4-16

Razón, tasa y proporción

27. Datos de animales Los elefantes comen más de 1400 libras de comida (pasto, granos, frutas y vegetales) por semana. ¿Cuántas libras de comida puede consumir un elefante por día?

28. Datos de animales Un elefante toma 770 galones de agua por semana. ¿Cuántos galones al día puede tomar un elefante?

29. Datos de animales Un cocodrilo americano vive cerca de 40 años. Durante este tiempo le crecen cerca de 3000 dientes. ¿Cuántos dientes por año le salen?

30. Datos de animales Una llama puede desplazarse 60 millas en 3 días. ¿Cuántas millas por día puede desplazarse una llama?

Precios unitarios En los problemas 31 al 36, halla el precio unitario (aproxima a la centésima más cercana) y determina qué tamaño tiene el producto con precio más barato. 31.

32.

Close-Up Gel rojo clásico Regular

6 oz

$2.29

Close-Up Gel rojo clásico Regular

4 oz

$1.59

Smooth ’N Shine Aerosol de reparación instantánea 4 oz Lustrador

Frizz-Ease Aerosol para estilo ondulado 6 oz

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

270

$4.99

$6.99

6Web IT

Efecto rizado

33.

$1.99

Nabisco Galletas Snack Wells Rellenas de crema

$0.99

Nabisco Sociables Galletas horneadas

34.

Walgreens Dulce de fruta

26 oz

Surtido Walgreens Gomas

35.

11 oz

Dry Idea Antitranspirante 2.5 oz y desodorante en roll-on Polvo fresco

Lady Mitchum Antitranspirante 1.5 oz y desodorante en roll-on Esencia de polvo fresco

36. $4.49

7.75 oz

$2.79

8 oz

$2.99

2386720 Advil en tabletas

100 CT

$7.99

2754968 Advil en tabletas

165 CT

$11.99

$3.79

37. ¿Lo más barato siempre es mejor? Como consumidor, probablemente crees que lo más barato siempre es lo mejor. Si es así, lee. a. El líquido lavaplatos Dermassage cuesta $1.31 por 22 oz. Aproximando a la centésima más cercana, ¿cuál es el costo por onza? b. El líquido lava platos White Magic cuesta $1.75 por 32 oz. Aproximando a la centésima más cercana, ¿cuál es el costo por onza? c. Basados en los precios, ¿cuál es la mejor compra, Dermassage o White Magic? ¿Pero cuánto gastas por lavada? Reportes del consumidor estiman que 10 lavados con Dermassage cuestan 10 centavos, mientras que el mismo número de lavadas con White Magic vale 18 centavos. ¡Dermassage es la mejor compra!

38. ¿Lo más barato siempre es mejor? El líquido A&P para lavar lana cuesta 79 centavos por 16 onzas. El Ivory Liquid cuesta $1.25 por 22 onzas. a. Aproximando a la centena más cercana, ¿cuál es el precio por onza del líquido A&P? b. Aproximando a la centena más cercana, ¿cuál el precio por onza de Ivory Liquid? c. Basado en los precios, ¿cuál es la mejor compra? Pero espera. ¿Cuánto tienes que usar? De acuerdo con los reportes del consumidor, 10 lavadas con A&P cuestan 17 centavos, pero 10 lavadas con Ivory Liquid sólo cuestan 12 centavos. Para obtener un artículo sobre estas y otras comparaciones, véanse los Reportes del consumidor en costos de líquidos para lavar.

4-17

4.2

Total

Créditos propuestos o intentados

22

18

40

Fallas, incompletos, perdidos y retiros

2

8

10

20

10

Créditos completados

30 completados/40 propuestos 5 75% de tasa de cumplimiento.

41. Tasas de cumplimiento decimal a. Halla la tasa de finalización con 2 cifras decimales de un estudiante que cursó 50 horas de crédito de los 60 intentos. b. Escribe la respuesta de a con un denominador de 100. c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante, expresado como porciento?

42. Tasa de cumplimiento decimal a. Halla la tasa de cumplimiento a 3 cifras decimales de un estudiante que completó 70 horas de crédito de los 80 intentos. b. Escribe la respuesta de a con un denominador de 100. c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante como porciento?

43. Tasa de cumplimiento La Universidad Estatal de Illinois requiere una tasa de cumplimiento de 67% para solicitar la ayuda financiera. a. Halla la tasa de cumplimiento a 3 cifras decimales de un estudiante que completó 40 horas de crédito de los 60 intentos. b. Escribe la respuesta de a con un denominador de 100. c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante expresada como porciento? d. ¿Cualifica el estudiante para ayuda financiera?

44. Tasa de cumplimiento a. Halla la tasa de cumplimiento con 3 cifras decimales de un estudiante que completó 60 horas de crédito de los 90 intentos. b. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante como porciento? c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante si el numeral a primero se redondea a 2 lugares decimales? d. Recuerda: para cualificar a la ayuda financiera necesitas una tasa de cumplimiento mínima de 67%. ¿El estudiante del numeral b cualifica? e. ¿El estudiante del numeral c cualifica? ¿Te das cuenta lo importante que es redondear?

Fuente: http://www.policy.ilstu.edu.

666Usa tus conocimientos Tasas de clasificados Mira el cuadro al inicio de esta sección. Éste indica cuánto tienes que pagar por línea por un periodo específico. Por ejemplo, si publicas un aviso por 15 días (mínimo 3 líneas), la tasa es de $3.30 por línea. Esto significa que si tu aviso tiene 5 líneas y se publica por 15 días, el costo será de 5  $3.30 15 5 $247.50. Ahora hagamos el proceso contrario. 45. Supongamos que pagaste $348 por un aviso de 10 líneas por 10 días. a. ¿Cuánto pagaste por día? b. ¿Cuál fue tu tarifa por línea por día?

46. Supongamos que pagaste $168 por un aviso de 7 líneas por 8 días. a. ¿Cuánto pagaste por día? b. ¿Cuál fue tu tarifa por línea por día?

666¡Escribe! 47. ¿Siempre una razón es una tasa? Explica y da ejemplos.

48. ¿Siempre una tasa es una razón? Explica y da ejemplos.

49. Con tus palabras, escribe el procedimiento que usas para hallar una tasa unitaria.

50. Cuando dices que tu carro recorre 25 millas por galón, 25 millas por galón es: a. Una razón b. Una tasa c. Una tasa unitaria

para más lecciones

40. Tasas de cumplimiento a. Halla la tasa de cumplimiento escrita como una fracción simplificada por un estudiante que cursó 45 horas de crédito de los 60 intentos. b. Escribe la respuesta de a con un denominador de 100. c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante expresado como porciento?

www.mathzone.com

Este es un 75% de tasa de cumplimiento. a. Halla la tasa de cumplimiento expresada como una fracción reducida para un estudiante que completó 40 horas de crédito de los 50 intentos. b. Escribe la respuesta de a con un denominador de 100. c. ¿Cuál es la tasa de cumplimiento del estudiante expresada como porcentaje? Fuente: http://www.umn.edu.

Primavera

ir a

30 3 3 ? 25 75 }5}5}5} 40 4 4 ? 25 100

Otoño

6Web IT

39. Tasa de cumplimiento La Universidad de Minnesota define la tasa de cumplimiento como el cociente de horas cursadas entre las horas intentadas. Por ejemplo, si has completado 30 horas de crédito de 40 tentativas, tu tasa de cumplimiento es

271

Tasas

272

Capítulo 4

4-18

Razón, tasa y proporción

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 51. Una

es una razón que se usa para comparar 2 clases de medidas diferentes. .

52. Una tasa en la que el denominador es 1 se llama una tasa de

fracción simplificado

tasa proporción

unidad

666Prueba de dominio 53. Un tubo de crema dental de 6 onzas cuesta $2.30. ¿Cuál es el precio unitario en centavos por onza? (responde con una cifra decimal). 55. Un estudiante ganó $508.40 en un periodo de dos semanas. a. ¿Cuál fue la tasa de pago por semana? b. Si el estudiante trabajó 82 horas, ¿cuál fue la tasa de pago por hora? 57. Mikisha recorrió de Tampa a Miami una distancia de 280 millas con un tanque de gasolina. Si su tanque es de alrededor de 13 galones, ¿cuál fue su rendimiento en millas por galón, aproximando al entero más cercano?

54. Una lata de aerosol de 4 onzas cuesta $3.99. Otra marca cuesta $5.49 por 6 onzas. ¿Cuál lata es la mejor compra? 56. Una bolsa de fertilizante Turf Supreme de 50 libras cubre 8000 pies cuadrados. Aproximando al número entero más cercano, ¿cuál es la tasa de cobertura en pies cuadrados por libra?

58. La revista escolar te ofrece $2600 por escribir un artículo de 1500 palabras sobre las actividades del receso de primavera. Aproximando a la centena más cercana, ¿cuál es la tasa por palabra?

666Comprobación de destrezas Resolver. 59. 1853x

60. 1558x

61. 6 ? 5514x

62. 7?812x

63. 6x9?10

64. 9x4?6

4. 3

Resolución de problemas que involucran proporciones

6 Objetivo

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Reducir una fracción a su mínima expresión. (págs. 122-124)

A6

2. Usar el método LSTUV para resolver problemas. (pág. 92)

Resolver problemas que involucran proporciones.

3. Resolver una proporción. (págs. 260-261)

6 Para comenzar La longitud de cada línea es proporcional a la que está encima. Más exactamente, cada línea mide 1.618034… más que la anterior. La razón de la longitud de tu antebrazo, f, y la longitud de tu mano, h (medida desde la muñeca f hasta la punta del dedo del corazón), se escribe }h y 1.618034 . . . . es igual a la razón } 1 Decimos que tu antebrazo y tu mano son d dde razones se ll ó proporcionales. Como podemos recordar, una igualdad llama proporción. f 1.618034 . . . } 5 }} Así, 1 h

4-19

4.3

Resolución de problemas que involucran proporciones

273

Ahora supongamos que la longitud de tu mano es de 7 pulgadas. ¿Cuál es la longitud aproximada, f, de tu antebrazo? Puedes averiguarlo usando el método LSTUV que hemos estudiado, pero tu respuesta debería ser alrededor de 11.3 pulgadas. ¿Esto funciona todo el tiempo? Compruébalo tú mismo. Toma la medida de tu mano, h, y predice la medida de tu antebrazo, f f. ¿Se aproxima la predicción a la medida real? ¿Se aproxima }h a 1.618034…? Practiquemos haciendo uso del procedimiento LSTUV para resolver proporciones.

A6Problemas verbales que involucran proporciones

EJEMPLO 1 Resolución de proporciones: cubrimiento del césped Una libra de semillas cubre 120 pies cuadrados de césped. ¿Cuántas libras se necesitan para sembrar un césped que mide 60 por 50 pies (3000 pies cuadrados)? SOLUCIÓN

Usamos el método LSTUV analizado en la sección 2.8.

1. Leer el problema. Lee el problema y decide qué es lo que pide (queremos saber cuántas libras de semilla se necesitan). 2. Seleccionar lo desconocido. Selecciona una letra para representar lo desconocido (l será el número de libras que se necesitan). 3. Traducir a una ecuación. Traduce el problema en una ecuación. 1 libra cubre 120 pies cuadrados.

PROBLEMA 1 Una libra de semilla de pasto Bahía cubre 100 pies cuadrados de césped. ¿Cuántas libras se necesitan para sembrar un césped que mide 90 por 50 pies (4500 pies cuadrados)?

l libras 120 pies1 libra cuadrados ; l libras cubre 3000 pies cuadrados  3000 pies cuadrados . Así,

l 1 } } 120 5 3000 4. Usar las reglas para resolver. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación. 1 ? 3000 5 120l Multiplicar cruzado. 1 ? 3000 }5l Dividir ambos lados entre 120. 120 25 5 l Simplificar. De esta forma, se necesitan 25 libras. 5. Verificar la respuesta. Verifica tu repuesta. Si sustituimos 25 por l en el paso 3, tenemos: 25 1 } } 120 5 3000 Multiplicación cruzada, 1  3000120  25, que es una afirmación verdadera. Así, nuestra respuesta es correcta. Para facilitar el trabajo, acortaremos los pasos en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 2 Resolución de proporciones: problema de computadoras ¿Has tenido problemas con tu computadora últimamente? Un estudio reciente indicó que 2 de cada 5 familias tienen problemas con la computadora durante el año. Si 3000 familias se encuestaron, ¿cuántas familias tendrían problemas con la computadora?

PROBLEMA 2 Si un estudio revela que 2 de cada 5 familias tienen problemas con su computadora y se sabe que 300 familias son las que tienen problemas con sus computadoras, ¿cuántas familias se encuestaron?

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 1. 45 libras

2. 750

274

Capítulo 4

4-20

Razón, tasa y proporción

SOLUCIÓN 1. Leer. Lee el problema. 2. Seleccionar lo desconocido. Selecciona f para representar el número de familias que tuvieron problemas. 3. Traducir. Traduce: nota que 3000 es el total de familias encuestadas. Así f 2 } 55} 3000 4. Usar productos cruzados. Usa productos cruzados: 2 ? 3000 5 5f 2 ? 3000 } 5f 5 6000 } 5 5f 1200 5 f

Dividir entre 5. Multiplicar. Divide.

Es decir, 1200 familias tuvieron problemas. 5. Verificar. La verificación te queda a ti.

EJEMPLO 3

Resolver proporciones: proteínas en la dieta ¿Tienes suficientes proteínas en tu dieta? Se supone que las mujeres deben ingerir 44 gramos todos los días. Si 2 cucharadas de mantequilla de maní contienen 8 gramos de proteína, ¿cuántas cucharadas necesita una mujer para tener 44 gramos de proteína?

SOLUCIÓN 1. Leer. Lee el problema. 2. Seleccionar lo desconocido. Selecciona c para representar el número de cucharadas que se necesitan. 3. Traducir. Traduce: 2 cucharadas suministran 8 gramos c cucharadas c cucharadas proveen 44 gramos } 44 gramos .

S

D

PROBLEMA 3 Los hombres necesitan 56 gramos de proteína diaria. Si 2 cucharadas de mantequilla de maní ofrecen 8 gramos de proteína, ¿cuántas cucharadas necesita un hombre para tener 56 gramos de proteína?

2 cucharadas S} 8 gramos D;

c 2 } } 8 5 44 4. Usar productos cruzados. Usa productos cruzados: 2 ? 44 5 8c 2 ? 44 } Dividir ambos lados entre 8. 8 5c 88 }5c Multiplicar. 8 11 5 c Divide. Así, se necesitan 11 cucharadas de mantequilla de maní para obtener 44 gramos de proteína. 5. Verificar. La verificación te queda a ti.

EXAMPLE 4 Resolver proporciones: comprar acciones El costo de 50 acciones de 3M (MMM) es de $106.25. A esta tasa, ¿cuántas acciones puedes comprar con $425? SOLUCIÓN 1. Leer. Lee el problema. 2. Seleccionar lo desconocido. Selecciona n para representar el número de acciones que puedes comprar con $425. 50 acciones 3. Traducir. Traduce: 50 acciones cuestan $106.25  $106.25 , n acciones cuestan n $425 S} $425 D. Así, 50 n }5} 106.25 425 Respuestas a los PROBLEMAS 3. 14 cucharadas

4. 400

PROBLEMA 4 El costo de 50 acciones de Comp-UCheck es de $137.50. ¿Cuántas acciones puedes comprar con $1100?

4-21

4.3

Resolución de problemas que involucran proporciones

275

4. Usar productos cruzados. Usa productos cruzados: 50 ? 425 5 106.25n 50 ? 425 }5n 106.25 21,250 }5n 106.25 200 5 n

Dividir ambos lados entre 106.25. Multiplicar. Divide.

Así, se pueden comprar 200 acciones con $425. 5. Verificar. La verificación te queda a ti. Las proporciones se usan en medicina para calcular dosis. Supongamos que conoces la dosis para adultos de cierto medicamento. ¿Cómo puedes saber cuál es la dosis para niños? “La única regla basada en principios científicos y la única que se debe usar” es la regla de Clark. Ésta afirma que la razón del peso del niño Wc al promedio del peso de un adulto Wa es proporcional a la dosis del niño, c, dividida entre la dosis del adulto, a, es decir, Wc c } Regla de Clark a W 5} a

Fuente: Texas Health Science Technology Education.

Usamos esta regla en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Resolver proporciones: dosis de antibióticos para niños La dosis recomendada de antibióticos para un adulto de 150 libras es de 3 píldoras. ¿Cuál es la dosis equivalente para un niño que pesa 50 libras? SOLUCIÓN

Puedes razonar de la siguiente forma:

Adulto de 150 libras: 3 píldoras 50 libras (}13 del peso): }13 (3 píldoras) 5 1 píldora Pero, ¿puedes probarlo? Veamos. 1. Leer. Lee el problema. Tenemos que usar la regla de Clark. 2. Seleccionar lo desconocido. Lo desconocido es la dosis de píldoras para un niño; llamémoslo c. 3. Traducir. De acuerdo con la regla de Clark, Wc c } a Wa 5 } Wc (peso del niño) 550 Wa (peso del adulto) 5150 a (dosis para adultos) 53 píldoras 4. Usar las reglas que hemos estudiado para resolver ecuaciones. Sustituye estos valores en la ecuación: 50 c }5} 150 3 3 ? 50 5 150c 150 5 150c 15c

Multiplicación cruzada. Multiplicar 3 por 50. Dividir entre 150.

Así, la dosis equivalente de antibióticos para un niño de 50 libras es de 1 píldora. 5. Verificar. Para verificar la respuesta, observa que la razón de peso de un niño a 50 1 } peso de un adulto es de } 150 ó 3. De la misma manera, la razón de píldoras tomadas por el niño a píldoras tomadas por adulto es de 1 a 3 ó }13. Respuestas a los PROBLEMAS 1 5. 1} 2 5 1.5 píldoras

PROBLEMA 5 ¿Con los datos del ejemplo 5, calcula cuál es la dosis para un niño que pesa 75 libras?

276

Capítulo 4

4-22

Razón, tasa y proporción

Finalmente, consideremos la fuerza, ¡pero no tu fuerza algebraica sino la de diferentes animales! Los elefantes pueden cargar hasta 25% de su propio peso sobre su espalda; los camellos, cerca de 20%; y las hormigas, alrededor de 3 veces su propio peso. Pero los escarabajos rinoceronte pueden soportar cerca de 850 veces su peso corporal. ¿Qué fuerza es esa? Lo veremos en el ejemplo 6. Fuente: Tomado de edHelper.com.

EJEMPLO 6 Resolver proporciones: escarabajos rinoceronte Un escarabajo rinoceronte pesa 30 gramos y puede cargar 850 veces su peso corporal, es decir. 25,500 gramos. Si una persona pudiera cargar proporcionalmente tanto como el escarabajo, ¿cuánto podría cargar un estudiante de 60 kilogramos?

PROBLEMA 6 Proporcionalmente, ¿cuánto podría cargar un jugador de fútbol americano que pesa 90 kilogramos?

SOLUCIÓN 1. Leer el problema. Queremos saber cuánto puede cargar un estudiante de 60 kilogramos. 2. Seleccionar lo desconocido. Dejemos que W sea el peso del estudiante. 30 La razón del peso corporal al peso cargado por el escarabajo es de } 25,500. Para el 60 estudiante la razón es de } W. 3. Traducir el problema en una ecuación o desigualdad. Queremos que los pesos sean proporcionales, entonces 60 30 }5} 25,500 W 4. Usar las reglas que hemos estudiando para resolver la ecuación. Multiplicación cruzada: 30W60  25,500 Dividir en 30: W51,000 kg Ya que 1 kilogramo es cerca de 2.2 libras, ¡los 51,000 kilogramos representan más de 100,000 libras! Muy fuerte. 5. Verificar. Si los estudiantes pudieran cargar 850 veces su propio peso (como el escarabajo), un estudiante de 60 kilos podría cargar 850  60 551,000 kg.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com !

6Ejercicios 4.3 5A6

> Practice Problems > NetTutor

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Problemas verbales que implican proporciones En los problemas 1al 30 usa el método LSTUV para resolver.

1. Cubrimiento de césped Una libra de hierba y alimento cubre 200 pies cuadrados. ¿Cuántas libras se necesitan para cubrir un césped que mide 60 por 50 pies (3000 pies cuadrados)?

2. Fertilizando el césped Una libra de fertilizante alcanza para 250 pies cuadrados. ¿Cuántas libras se necesitan para fertilizar un césped que mide 70 por 50 pies (3500 pies cuadrados)?

3. Acciones en alza Recientemente, 2 de cada 5 acciones en la bolsa de Nueva York (NYSE) tuvieron alza en el precio. Si se negociaron 1900 emisiones, ¿qué alza tuvo el precio?

4. Acciones en caída Recientemente, 3 de cada 5 acciones en la bolsa de Nueva York tuvieron una caída en el precio. Si se emitieron 1500 acciones, ¿cuántas disminuyeron en precio?

5. El CDR masculino de proteínas El consumo diario recomendado (CDR) de proteínas para hombres en el rango de edad entre 15 y18 años es de 56 gramos al día. Dos onzas de queso cheddar contiene 14 gramos de proteína. ¿Cuántas onzas de queso cheddar se necesitan para suministrar 56 gramos?

6. CDR proteína para niños El CDR de proteína para niños de 7 a 10 años es de 30 gramos diarios. Una taza de leche entera contiene 8 gramos de proteína. ¿Cuántas tazas de leche se necesitan para suministrar el CDR de 30 gramos?

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 76,500 kg

4-23

4.3

277

8. Compra de acciones de Mega Tres acciones de Mega cuestan $144.75. ¿Cuántas acciones se pueden comprar con $1544?

13. Beber agua Puedes mantener tu nivel de fluidos corporales tomando 4 sorbos de agua cada 20 minutos durante ejercicio prolongado. ¿Cuántos sorbos necesitas para ejercitarte 2 horas?

14. Páginas en un documento de 200 palabras Una página digitada a doble espacio tendrá cerca de 250 palabras si se usa una fuente pica. ¿Cuántas páginas habrá en un documento de 2000 palabras a doble espacio usando la fuente pica?

15. Páginas en un documento de 6600 palabras Una página completa digitada a doble espacio tendrá cerca de 330 palabras si se usa la fuente elite. ¿Cuántas páginas habrá en un documento de 6600 palabras a doble espacio usando la fuente elite?

16. Inflación y gasto Un escritor del Nueva York Times estima que un punto de aumento en la tasa de inflación sumará $1.3 billones al gasto federal en el primer año. Si la tasa de inflación crece 3.5 puntos, ¿cuánto dinero se sumará al gasto federal en el primer año?

17. Tasas de interés Un aumento de un punto en las tasas de interés suma $2.3 billones al año al gasto federal. Si las tasas de interés subieran 2.5 puntos, ¿cuánto sumaría al gasto federal?

18. Ventanas necesarias para una casa superaislada Una casa superaislada debe tener 12 pies cuadrados de ventanas por cada 100 pies cuadrados de espacio. ¿Cuántos pies cuadrados de ventanas se necesitan para una casa de 1700 pies cuadrados?

19. Siembra de pasto mezquita Se necesitan 1725 libras de agua para sembrar 1 libra de pasto mezquita (usado para alimentar ganado). ¿Cuántas libras de agua se necesitan para sembrar una paca de 50 libras de pasto mezquita?

20. Gasto en plantas y equipos nuevos Los productores estadounidenses gastaron $150 billones en plantas y maquinaria nuevas, pero $200 billones en fusiones y adquisiciones. Kohlberg, Kravis y Roberts adquirieron Nabisco por cerca de $20 billones. ¿Cuántos billones esperarían gastar en nuevas plantas y maquinaria?

El tamaño por porción de cada una de las pizzas que se muestran es de }14 de pizza. ¿Cuál crees que tiene menos grasa?

21. Pizza La pizza de Charley tiene 13 gramos de grasa por 3 porción. ¿Cuántos gramos de grasa hay en }4 de pizza? 22. Pizza La pizza Peppy tiene 21 gramos de grasa por porción. ¿Cuántos gramos de grasa hay en }12 de pizza?

QUESO EXTRA

23. Pizza La pizza Garden Delight tiene 7 gramos de grasa por porción. ¿Cuántos gramos de grasa hay en toda la pizza?

Fuente: California Project Lean.

24. Estadounidenses con sobrepeso Cincuenta y cuatro de cada 100 estadounidenses se consideran con sobrepeso. Si hay 290 millones de estadounidenses, ¿cuántos se consideran con sobrepeso?

25. Población global de internet En el 2004, 175 millones de personas en Estados Unidos formaban la población global de internet. Si los 175 millones de personas representan }14 de la población global de internet, ¿cuántas personas componen la población global?

26. Cargas de las hormigas cortadoras de hojas Una hormiga cortadora de hojas que pesa 1.5 gramos puede cargar una hoja que pesa 4.5 gramos. Si una persona pudiera proporcionalmente cargar tanto peso, ¿cuánto podría cargar un estudiante de 60 kilogramos?

27. Haciendo removedor de esmalte La fórmula para una molécula de acetona (removedor de esmalte) es C3H6O. Esto significa que por cada 3 átomos carbonos (C) hay 6 de hidrógeno (H) y 1 de oxígeno (O). ¿Cuántos átomos de carbono se deben combinar con 720 átomos de hidrógeno para formar moléculas de acetona?

28. Removedor de esmalte Refiriéndonos al problema 27, ¿cuántos átomos de oxígeno se necesitan para combinarse con 660 átomos de hidrógeno para formar moléculas de acetona?

29. Distancias del mapa a escala La escala en un mapa es 1 pulgada  20 millas. ¿Cuál es la distancia real entre 2 pueblos que están a 3.5 pulgadas de distancia en el mapa?

30. Espacio en el mapa Dos pueblos están a 300 millas de distancia. Si la escala en el mapa es de 1 pulgada 520 millas, ¿a qué distancia están los pueblos en el mapa?

para más lecciones

12. ¡Mesero, mesero! Para asegurarte de que la cena de tu fiesta vaya bien, necesitarás 3 meseros por cada 20 invitados. ¿Cuántos meseros deberías contratar para una fiesta de 80 personas?

www.mathzone.com

11. Obtención de votos Se ha estimado que por cada 10 voluntarios que trabajan en una campaña política, el candidato obtiene 100 votos el día de la elección. Si un candidato tiene 770 voluntarios, ¿cuántos votos puede esperar el día de la elección?

ir a

10. Correo Se ha estimado que 3 de cada 4 piezas de publicidad enviadas por correo se abren y se revisan. Usando esta escala, ¿cuántas piezas de publicidad deberías enviar si quieres que 900 personas abran y vean tu anuncio?

6Web IT

7. Compra de acciones Cincuenta acciones de la corporación Titán cuestan $112.50. ¿Cuántas acciones se pueden comprar con $562.50? 9. Ducharse para dormir Se ha estimado que tomar duchas de 10 minutos equivalen a 1}12 horas de sueño. Usando esta escala, ¿cuánto tienes que ducharte para obtener 6 horas de sueño?

Resolución de problemas que involucran proporciones

Capítulo 4

6Web IT

4-24

Razón, tasa y proporción

Puntajes crediticios ¿Recuerdas un análisis acerca de los puntajes FICO (Organización Crediticia Isaac Fair)? Tus puntajes FICO son los puntajes crediticios que la mayoría de prestamistas usan para determinar tu riesgo de crédito.

Los puntajes FICO® afectan tus pagos mensuales Si tu puntaje de FICO® es

Tu tasa de interés es

760–850

6.28%

En los problemas 31al 34, supón que tienes un excelente puntaje de FICO entre 760 y 850. Tu tasa de interés es de 6.28% y tu pago mensual depende de cuánto dinero pediste prestado. La tabla muestra la tasa que pagas cada mes por mil dólares en un préstamo recibido a 15 años ($8.59) y en uno a 30 años ($6.18). Recuerda, tu tasa de pago se basa en cuántos miles te prestaron. Fuente: http://www.myfico.com/. Préstamo a 15 años

Préstamo a 30 años

$8.59 mensual

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

278

$6.18 mensual

31. ¿Cuál será tu pago mensual en un préstamo de $100,000 a 15 años?

32. ¿Cuál será tu pago mensual en un préstamo de $175,000 a 30 años?

33. ¿Cuál será tu pago mensual en un préstamo de $210,000 a 30 años?

34. ¿Cuál será tu pago mensual en un préstamo de $110,000 a 15 años?

666Usa tus conocimientos Poblaciones o amantes anillando Este P bl i dde vida id salvaje l j ¿Has H visto i t científicos i tífi t dde llos pájaros áj ill d o etiquetando ti t d animales? i l ?E t procedimiento se utiliza para estimar la población de vida salvaje. He aquí cómo funciona. Primero, se captura un número de animales, se marca y se libera. Después, un grupo diferente se captura y se determina la razón de animales marcados al número de capturados. De esta razón se puede calcular el tamaño de la población. Por ejemplo, un equipo de investigación marcó 60 pájaros para identificarlos. Después, capturaron 240 pájaros y encontraron 15 marcados. ¿Pueden ellos estimar el número, n, de pájaros dentro de la población? Saben que la razón de pájaros marcados en relación con el número total de pájaros es de 15 a 240. También saben que esta razón fue de 60 a n. Así, Número marcado

Número marcado

60 15 }5} n 240 Número total

Número total

Resolviendo la proporción se obtiene n 5 960.

35. Los investigadores en Viena Woods marcaron 300 pájaros. En una muestra posterior encontraron que 12 de 980 pájaros estaban marcados. Aproximadamente, ¿cuántos pájaros había en Viena Woods? 36. En el lago Muddy se marcaron 600 peces. Después se hallaron que 12 de cada 480 peces estaban reseñados. Aproximadamente, ¿cuántos peces había en el lago Muddy?

Sigue este procedimiento para resolver los problemas 35 y 36.

666¡Escribe! x

37. Resolvemos proporciones como }2 5 }12 por el método de x productos cruzados. ¿Puedes resolver }2 5 }12 1 1 usando los productos cruzados? Explica.

38. La regla de Clark te ayuda a hallar la dosis para niños de un medicamento con base en una dosis para adultos. ¿La regla te dice cómo administrar el medicamento? Explica.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 39. Cuando se usa el método LSTUV, el paso T significa 40. Para resolver una proporción usamos la regla del

el problema. .

adivinar transponer traducir

producto cruzado álgebra

4-25

Aprendizaje colaborativo

279

666Prueba de dominio Wc

c

} 41. De acuerdo con la regla de Clark } Wa 5 a, donde Wc es el peso del niño, y Wa es el peso del adulto, a es la dosis para adultos y c es la dosis para niños. Si la dosis para adultos (150 libras por persona) de un jarabe contra la tos es de 6 cucharadas diarias, ¿cuál es la dosis para un niño de 50 libras?

42. Una hormiga cortadora de hojas que pesa 1.5 gramos puede cargar una hoja que pesa 3 gramos. Si una persona proporcionalmente pudiera cargar ese peso, ¿cuánto podría cargar un estudiante de 70 kilogramos?

43. Acciones Cincuenta acciones de Mega cuestan $212.50. ¿Cuántas acciones puedes comprar con $850?

44. Proteínas Si una mujer de 120 libras necesita 50 gramos de proteína al día y una porción de pollo de 4 onzas suministra 30 gramos de proteína, ¿cuántas onzas de pollo se necesitan para suministrar los 50 gramos de proteína requeridos?

45. Estudiantes de álgebra universitaria Dos de cada 3 estudiantes pasaron álgebra universitaria con una C o más. Si 600 estudiantes estaban tomando álgebra universitaria, ¿cuántos pasaron con C o más?

46. Semillas de centeno Las semillas de centeno Perennial cubren 250 pies cuadrados por libra. ¿Cuántas libras se necesitan para sembrar un césped que mide 50 por 100 pies (5000 pies cuadrados)?

666Comprobación de destrezas Redondea 245.92 a 47. la décima más cercana.

48. la unidad más cercana.

49. la decena más cercana.

50. la centena más cercana.

6Aprendizaje colaborativo Hay una relación entre los números de la secuencia de Fibonacci, los tan renombrados números de la sección dorada 1 y} 89. Esta información la necesitarás para hacer esta actividad: Los números Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Los números de la sección dorada son: 0.6180339887 . . .

1.6180339887 . . .

y

1 } 89

5 0.01123595 . . .

Forma 3 grupos de estudiantes. Grupo 1. Halla la razón de los números que preceden a cada uno en la secuencia de Fibonacci y escríbelos como decimales de 6 cifras. He aquí algunos: 3 1 } } 5 1.500000 1 5 1.000000 2 5 2 } } 5 1.666666 1 5 2.000000 3 ¿Cuál número es el patrón de aproximación? Grupo 2. Halla la razón de los números que siguen a cada uno en la secuencia de Fibonacci y escríbelos como decimales de 6 cifras. He aquí algunos: 1 2 } } 1 5 1.000000 3 5 0.666666 3 1 } } 5 5 0.600000 2 5 0.500000 ¿Cuál número es el patrón de aproximación? Grupo 3. Organiza los números en la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, … como decimales de esta forma: 0.01 0.001 0.0002 0.00003 0.000005 Halla los siguientes 5 términos y la suma de los 10 términos obtenidos. ¿Qué número es el patrón de aproximación? Escoge cuatro números cualesquiera de la secuencia Fibonacci, digamos, 1 2 3 5 Group 1. Halla el producto del primero y el último número, 1 3 5 5 5 en esta ocasión. Group 2. Halla el doble del producto de los dos números de la mitad, 2 3 (2 3 3) 5 esta vez 12.

280

Capítulo 4

4-26

Razón, tasa y proporción

Grupo 3. Obtén las respuestas del grupo 1 y 2 y elévalos al cuadrado. 52 5 25 TODOS LOS GRUPOS:

de 6Preguntas investigación

y

122 5 144

Haz una conjetura acerca de escribir la suma de las 2 respuestas como un número al cuadrado. Repite el proceso con cuatro números Fibonacci consecutivos diferentes. ¿Todavía funciona la conjetura? 

1. En la sección El lado humano de las matemáticas, al inicio del capítulo se mencionan muchos nombres para Leonardo Fibonacci. Encuentra al menos los dos más usados por él. 2. Halla al menos dos interpretaciones diferentes del nombre Fibonacci. 3. Encuentra el significado de la palabra bigollo en italiano. 4. En la sección El lado humano de las matemáticas se menciona el Liber Abaci, un libro escrito por Fibonacci. Busca el título de otras tres obras que haya escrito y describe su contenido. 5. En la sección El lado humano de las matemáticas se menciona “el problema del conejo”. Plantea el problema e indica cómo se relaciona con la secuencia Fibonacci. 6. Hay al menos 5 problemas famosos más de Fibonacci en el Liber Abaci. Menciona tres de ellos. 7. ¿En qué año murió Fibonacci? 8. Hay un conjunto de números llamado los números de la sección dorada que se relacionan con la secuencia Fibonacci. ¿Cuáles son estos números y cómo se relacionan con la secuencia de Fibonacci?

6Resumen del capítulo 4 Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

4.1A

Razón

Un cociente de dos números

La razón 2 a 3 (también se escribe 2 2:3 ó }3)

4.1B

Proporción

Una ecuación que plantea que 2 razones son iguales

a c } 5 } es una proporción. b d

4.2

Tasas

Una razón que se usa para comparar cantidades diferentes

21 millas } 3 galones

4.2B

Tasa unitaria

Una tasa en la que el denominador es 1

28 millas } 1 galón

4.3A

LSTUV

Método que se usa para resolver problemas en palabras (Leer, Seleccionar una variable, Traducir, Usar las reglas estudias para resolver, Verificar la respuesta)

4-27

Ejercicios de repaso del capítulo 4

281

6Ejercicios de repaso del capítulo 4 (Si necesitas ayuda con estos ejercicios, revisa la sección indicada con corchetes.) 1.

54.1 A6 Expresa cada razón como una fracción reducida a su mínima expresión: a. 1 a 10

2. 54.1 A6 Se da la razón de carros a personas de dife-

rentes países. Escribe cada razón como una fracción en forma reducida.

a. Canadá, 425 carros por cada 1000 personas

b. 2 a 10

b. Bélgica, 325 carros por cada 1000 personas

c. 3 a 10

c. Austria, 300 carros por cada 1000 personas

d. 4 a 10

d. Chipre, 150 carros por 1000 personas

e. 5 a 10

e. Taiwán, 40 carros por 1000 personas 3.

54.1 A6 Se da la razón aproximada de circunferencia a diámetro (distancia alrededor) de una lata de refresco. Escribe esta razón como una fracción en forma reducida. a. 14.52 pulgadas a 4.62 pulgadas b. 14.58 pulgadas a 4.64 pulgadas c. 14.60 pulgadas a 4.65 pulgadas d. 14.64 pulgadas a 4.66 pulgadas

4. 54.1 A6 Se da la razón de hombre a mujer para diferen-

tes países. Escribe esta razón como una razón en forma reducida.

a. Kuwait, 58 a 42 b. Guam, 55 a 45 c. Pakistán, 52 a 48 d. Malasia, 48 a 52 e. Granada, 46 a 54

e. 14.68 pulgadas a 4.67 pulgadas 5. 54.1B6 Escribe las siguientes proporciones

como ecuaciones.

7.

proporcional.

a. 3 es a 7 como 6 es a x

a. 2, 3 y 4, 5

b. 4 es a 7 como 15 es a x

b. 8, 10 y 4, 5

c. 5 es a 7 como x es a 21

c. 5, 6 y 12, 15

d. 6 es a 7 como 33 es a x

d. 12, 18 y 2, 3

e. 7 es a 35 como 5 es a x

e. 9, 12 y 3, 4

54.1D6 Resuelve la proporción:

8. 54.1D6Resuelve la proporción:

1 a. }x 5 } 4 2

x 1 } b. } 652

2 25} a. } x 5

4 2 b. }x 5 } 5

1 c. }x 5 } 8 2

x 1 } d. } 10 5 2

2 65} c. } x 5

10 2 d. } x 5} 5

1 x 5} e. } 12 2 9.

6. 54.1C6Determina si el siguiente par de números es

2 12 5 } e. } x 5

54.1D6 Resuelve las proporciones: x 9 a. } 45} 2

9 x } b. } 4 5 12

9 c. }x 5 } 4 18

9 x } d. } 4 5 36

9 e. }x 5 } 4 6

10. 54.1D6Resuelve las proporciones: 5 x 5 5 }x a. } b. } 75} 14 7 7 x 55} c. } 7 28 x 55} e. } 7 42

5 x d. } 75} 35

282

11.

Capítulo 4

4-28

Razón, tasa y proporción

54.1E6 Una trabajadora de una línea de ensamblaje

12.

tarda 3 horas en producir 27 piezas. A esa velocidad, cuántas piezas produce en:

54.2A6A un famoso escritor se le pagaron $12,000

por un ensayo. Cuál fue su tarifa por palabra, si el ensayo tenía:

a. 1 hora

b. 2 horas

a. 2000 palabras

b. 3000 palabras

c. 4 horas

d. 5 horas

c. 4000 palabras

d. 6000 palabras

e. 6 horas

e. 8000 palabras

13. 54.2A6 Un estudiante hizo un recorrido en carro de

14.

54.2A6Una bolsa de fertilizante cubre 5000 pies cuadrados

a. 18 galones

b. 19 galones

de césped. Redondeando al número entero más cercano, cuál es la tasa de cobertura (en pies cuadrados por libra) si la bolsa contiene: a. 20 libras de fertilizante

c. 20 galones

d. 21 galones

b. 22 libras de fertilizante

400 millas. Redondeando al número entero más cercano, cuál fue la tasa de millas por galón si la cantidad de gasolina usada fue de:

c. 24 libras de fertilizante

e. 22 galones

d. 25 libras de fertilizante e. 50 libras de fertilizante

15. 54.2B6 Una jarra de popcorn cuesta $2.39. Redon-

deando al centavo más cercano, cuál es el precio unitario en centavos por onza, si la jarra contiene:

54.2B6Una botella de aceite de maíz genérico se vende por $1.39. Cuál es la mejor compra, si la marca X de aceite contiene 24 onzas y cuesta:

a. 24 onzas

b. 16 onzas

a. $2.75

b. $2.76

c. 32 onzas

d. 40 onzas

c. $2.77

d. $2.74

16.

e. 48 onzas 17. 54.3A6 Una libra de semillas de grama cubre 120 pies

cuadrados de césped. Halla cuántas libras se necesitan para un césped con las siguientes medidas:

19.

e. $2.79 18. 54.3A6Una encuesta indica que tres de cinco doctores

usaron una aspirina de marca X. Halla cuántos usaron la marca X, si:

a. 60 por 30 pies (1800 pies cuadrados).

a. 3000 doctores fueron encuestados.

b. 70 por 30 pies (2100 pies cuadrados).

b. 4000 doctores fueron encuestados.

c. 90 por 24 pies (2160 pies cuadrados).

c. 5000 doctores fueron encuestados.

d. 60 por 45 pies (2700 pies cuadrados).

d. 6000 doctores fueron encuestados.

e. 50 por 60 pies (3000 pies cuadrados).

e. 8000 doctores fueron encuestados.

54.3A6 El CDR de proteínas para hombres es de 56 gramos por día. Halla cuántas onzas de cierto producto son necesarias para suministrar los 56 gramos de proteínas, si se sabe que a. 3 onzas del producto proveen 8 gramos de proteína. b. 4 onzas del producto proveen 8 gramos de proteína. c. 5 onzas del producto proveen 8 gramos de proteína. d. 6 onzas del producto proveen 8 gramos de proteína. e. 7 onzas del producto proveen 8 gramos de proteína.

20.

54.3A6El costo de 50 acciones de la aerolínea Flyby-Night es de $87.50. Halla cuántas puedes comprar con: a. $350. b. $700. c. $612.50. d. $787.50. e. $1050.

4-29

Examen del capítulo 4

283

6Examen del capítulo 4 (respuestas en la pág. 284) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos útiles que ofrecen soluciones paso a paso para varios de los siguientes problemas.

1. Expresa cada razón como una fracción reducida a su mínima expresión: a. 2 to 7 b. 3 to 18 c. 10 to 58

2. La razón de carros a personas en Australia es 485 por cada 1000. Escribe la razón como una fracción en forma reducida.

3. La razón aproximada de una circunferencia (distancia alrededor) a diámetro (distancia entre los extremos de la tapa) de una lata de refresco es de 15.55 pulgadas a 4.95 pulgadas. Escribe la razón como una fracción en forma reducida.

4. La razón de hombre a mujer en India es 54 a 46. Escribe la razón como una fracción de forma reducida.

5. Escribe las siguientes proporciones. a. 2 es a 7 como 6 es a 21 b. 5 es a 7 como 15 es a x

6. Existe una ley que plantea que la razón de ancho a largo para la bandera estadounidense debe ser de 10 a 19. Una bandera mide 40 por 78 pies. ¿Son proporcionales los pares de números 10, 19 y 40, 78?

5 x } 7. Resolver la proporción } 2 5 20. 9 x } 9. Resolver la proporción } 8 5 12.

6 2 8. Resolver la proporción }x 5 } 5. 5 x 10. Resolver la proporción } 75} 28.

11. A un trabajador en una línea de ensamblaje le toma 3 horas producir 26 partes. A ese ritmo, ¿cuántas partes puede producir en 9 horas?

12. A un escritor famoso le pagaron $12,000 por un artículo de 2000 palabras. Halla la tasa por palabra.

13. Un estudiante recorrió 300 millas con 17 galones de gasolina. ¿Cuál fue el rendimiento de millas por galón? (aproxímalo al entero más cercano).

14. Una bolsa de 18 libras de abono para césped cubre 3000 pies cuadrados de césped. Al número entero más cercano, ¿cuál es la tasa de cubrimiento en pies cuadrados por libra?

15. Una jarra de 30 onzas de popcorn cuesta $2.49. ¿Cuál es el precio unitario en centavos por onza? (redondea al centavo más cercano).

16. Una botella de 12 onzas de aceite de maíz gourmet se vende por $1.39. La botella de marca X de 24 onzas cuesta $2.77. ¿Cuál es la mejor compra?

17. Una libra de semillas de grama cubre 120 pies cuadrados de césped. ¿Cuántas libras se necesitan para sembrar un césped que mide 60 por 40 pies (2400 pies cuadrados)?

18. Una encuesta indicó que 3 de cada 7 doctores usan una marca X de aspirina. Si 2100 doctores fueron encuestados, ¿cuántos usaron la marca X?

19. El CDR de proteínas para hombres es de 56 gramos por día. Dos onzas de cierto producto ofrece 4 gramos de proteína. ¿Cuántas onzas del producto se necesitan para suministrar 56 gramos de proteína?

20. El costo de 50 acciones de la aerolínea Fly-by-Night es de $87.50. ¿Cuántas acciones puedes comprar con $875?

284

Capítulo 4

4-30

Razón, tasa y proporción

6Respuestas del examen del capítulo 4 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1

4.1

1

257

2

4.1

2

257

3

4.1

3

257

4

4.1

4

257

5

4.1

6

258

6. No

6

4.1

7

259

1 7. x 5 } 2

7

4.1

8b

260

8. x 5 15

8

4.1

8a

260

9. x 5 6

9

4.1

8b

260

10. x 5 20

10

4.1

8c

260

11. 78

11

4.1

9, 10

261

12. $6

12

4.2

1

266

13. 18

13

4.2

2

266

14. 167

14

4.2

3

266

15. 8¢

15

4.2

5

267

16. marca X, la botella de 24 onzas

16

4.2

6

268

17. 20 lb

17

4.3

1

273

18. 900

18

4.3

2

273–274

19. 28

19

4.3

3

274

20. 500

20

4.3

4

274–275

5 2 1 1. a. } b. } c. } 7 29 6 97 2. } 200 311 3. } 99 27 4. } 23 5 15 6 2 } 5. a. } b. } x 7 5 21 75}

4-31

Repaso de los capítulos 1–4

285

6Repaso de los capítulos 1–4 1. Escribe nueve mil ochocientos diez en la forma estándar.

2. Escribe los factores primos de 56.

3. Multiplica: 23 3 7 3 40

4. Simplifica: 25 4 5  5 1 7 2 3

9 5. Clasifica }7 como propio o impropio.

6. Escribe

7. Escribe

2 7}3

como una fracción impropia.

S D

32 1 9. Multiplica: } 7 } 9 3 2 } 11. Suma: 7} 3 1 15 7 1 13. Traduce y resuelve: un número c menos }9 es igual a }2. ¿Cuánto es c?

8. 10. 12. 14.

39 } 4

como un número mixto. 1 1 } Multiplica: } 2  37 8 2 Divide: } 5 4 2} 7 7 1 } Resta: 5} 4 2 18 11 1 } Halla un número tal que } 12 de éste sea 710.

15. Escribe el nombre para 241.35.

16. Escribe 44.874 en forma expandida.

17. Suma: 36.454 1 9.69

18. Resta: 342.42 2 13.5 135 20. Divide: } 0.27 22. Divide: 10 4 0.13 (Redondear la respuesta al segundo dígito decimal.)

19. Multiplica: 0.554  0.15 21. Redondea 449.851 a la decena más cercana. 7 23. Escribe } 12 como un decimal.

24. Escribe 0.15 como una fracción simplificada.

25. Escribe 0.84 como una fracción simplificada.

26. ¿Qué parte decimal es 12 de 9?

27. Ordena en orden de magnitud descendente y escribe } } el signo .: 6.435 6.435 6.435

28. Inserta 5, ,, o . para hacer una afirmación verdadera: 7 } 0.89 20

29. Resuelve x: x 1 2.5 5 6.5 z 31. Resuelve z: 9 5 } 6.9

30. Resuelve y: 2.1 5 0.3y

33. Escribe la siguiente proporción: 6 es a 2 como 54 es a x.

34. Existe una ley estatal que afirma que la razón de ancho a largo para la bandera estadounidense debería ser de 10 a 19. ¿Una bandera que mide 50 por 97 pies tiene la razón correcta?

}

35. Resuelve la proporción:

j } 5

6 5} 150

32. La razón de carros a personas en Australia es 495 por cada 1000. Escribe la razón como una fracción en forma simplificada.

20 4 36. Resuelve la proporción: } c 5 } 3

37. Un trabajador en una línea de ensamblaje tarda 9 horas en producir 25 piezas. A esa tasa, ¿cuántas piezas puede producir en 36 horas?

38. Un vendedor recorrió 600 millas con 17 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón recorrió? (Redondea al número entero más cercano.)

39. Una botella de mantequilla de maní de 24 onzas cuesta $2.89. ¿Cuál es el precio unitario en centavos por onza? (Respuesta redondeada al centavo más cercano.)

40. Una libra de abono para césped cubre 120 pies cuadrados de césped. ¿Cuántas libras se necesitan para cubrir un césped que mide 80 por 60 pies (4800 pies cuadrados)?

41. El CDR de proteínas para hombres es de 56 gramos por día. Dos onzas de cierto producto suministran 4 gramos de proteína. ¿Cuántas onzas del producto se necesitan para suministrar 48 gramos de proteína?

42. El costo de 80 acciones de la aerolínea Fly-by-Night es de $87.50. ¿Cuántas acciones puedes comprar con $875.00?

Sección 5.1 5.2 5.3

Notación de porciento

5.4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

5.5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

5.6

Crédito al consumidor

Capítulo

5 cinco

Problemas con porcientos Resolver problemas con porcientos usando proporciones

6

Porciento

El lado humano de las matemáticas ¿Qué es un porciento? Es la forma de expresar proporciones en términos de números cardinales. En este capítulo aprenderás que convirtiendo una proporción o una fracción de a la forma }b a un porciento es tan fácil como 1, 2, 3. Aquí están los pasos: 1. Divide a por b. 2. Multiplica por 100. 3. Agrega el signo %. Por ejemplo, 3 }4 5 0.75 3 100 5 75% Pero, ¿de dónde viene el signo %? Evolucionó de un símbolo introducido en un manuscrito en lugar de “por ciento” o “por cien”. Alrededor italiano anónimo de 1425, en el que el autor usó el símbolo de 1650, el símbolo cambió a }°° y a nuestro moderno %. El símbolo % fue usado en cálculos de intereses, documentos de ganancias y pérdidas, y en impuestos desde finales del siglo XV. En realidad, cuando el emperador romano Augusto impuso un impuesto sobre todos los bienes vendidos en una subasta, la tasa oficial era del 1%. Cuando a finales de ese siglo comenzaron a aparecer los libros de aritmética, se estableció el uso corriente de los porcientos. Si recuerdas tus numerales romanos, recuerda que X se usa para 10 y C, para 100. De esta manera, Giorgio Chiarino (1481) usó “XX. per .C.” para 20 por ciento y “VIII en X perceto” para decir 8 a 10 por ciento.

287

288

Capítulo 5

5-2

Porciento

5. 1

Notación de porciento

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

Convertir un porciento en un decimal.

B6

Convertir un decimal en un porciento.

C6

Convertir un porciento en una fracción

D6 E6

1. Escribir una proporción como una fracción reducida. (págs. 122–124, 256–258) 2. Dividir un número por 100. (págs. 213–217)

6 Para comenzar El aviso dice que puedes tener un condominio con “sólo el 5% de pronto”. El símbolo % (se lee “por ciento”) y significa por cada cien. Así, el aviso establece que por cada $100 de los costos del condominio, el comprador deberá pagar $5 en el momento de la compra.

¡Sólo el 5% de pronto!

Convertir una fracción en un porciento.

Téngalo todo junto en un

Resolver aplicaciones con los conceptos estudiados. La palabra porciento viene de la frase latina “per centum”, lo que significa “por cien” La palabra “per” indica una división, y “centum”, que la división será por 100. Usamos el símbolo % para indicar un porciento. Así, en lugar de decir “5 por cien”, simplemente escribimos 5%. Como recordarás, el 5% puede escribirse en, al menos, tres formas: 1. Como la proporción 5 de 100 5 2. Como la fracción } 100 3. Como el decimal 0.05 En esta sección aprenderemos a convertir estas formas a otras.

A 6 Convertir de porcientos a decimales

Como % significa por ciento, los números escritos como porcientos se pueden convertir a decimales dividiendo por 100, esto es, moviendo el punto decimal dos posiciones a la izquierda (ver el objetivo E de la sección 3.2). Busca los patrones en las conversiones. 37 37% 5 } 100 5 0.37 4 4% 5 } 100 5 0.04 129 129% 5 } 100 5 1.29

5-3

5.1

Notación de porciento

289

Por tanto, para cambiar un porciento a un decimal, usamos esta regla:

CONVERTIR UN PORCIENTO A UN DECIMAL Mueve el punto decimal en el número dos posiciones a la izquierda y omite el símbolo %. Por ejemplo, 93%5.930.93 41%.410.41 147%1.471.47

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Convertir porcientos en decimales Escribe como un decimal. a. 49% b. 23.7%

Escribe como un decimal. a. 47%

b. 493%

SOLUCIÓN a. 49% 5 .49 5 0.49

b. 23.7% 5 .237 5 0.237 Si el porciento dado tiene una fracción, primero escribimos la parte fraccionaria como un decimal y luego movemos el punto decimal dos posiciones a la izquierda. Así, para escri1 bir 12}2% como un decimal, escribimos 1 12} 2% 5 12.5% 5 .125 5 0.125 1 como .5. Escribe } 2

EJEMPLO 2

Convertir porcientos en decimales Escribe como un decimal. 2 1 b. 18} a. 3} 4% 3%

Mueve el punto decimal dos posiciones a la izquierda.

PROBLEMA 2 Escribe como un decimal. 1 1 b. 5} a. 2} 8% 3%

SOLUCIÓN 1 a. 3} 4% 5 3.25% 5 .0325 5 0.0325 } 2 b. Como } 3 5 0.666 . . . 5 0.6, } } 2 } 18} 3% 5 18.6% 5 .186 5 0.186

B 6 Convertir de decimal a porciento Como % significa por ciento, para convertir un decimal en un porciento, primero convertimos los decimales a centésimas, y luego escribimos las centésimas como un porciento. Por ejemplo. 17 0.17 5 } 100 5 17% 2 0.02 5 } 100 5 2% 411 4.11 5 } 100 5 411% Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 0.47 b. 4.93 } 2. a. 0.02125 b. 0.053

290

Capítulo 5

5-4

Porciento

Aquí está la regla que usamos.

CONVERTIR UN DECIMAL EN UN PORCIENTO Mueve el punto decimal dos posiciones a la derecha y agrega el símbolo %. Así, 0.435043.%43% 0.09 5 009.% 5 9%

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Convertir decimales en porcientos Escribe como un porciento. a. 0.05 b. 4.19 c. 81.2

Escribe como un porciento. a. 0.07

b. 3.14 c. 71.8

SOLUCIÓN a. 0.05 5 005.% 5 5% b. 4.19 5 419.% 5 419% c. 81.2 5 8120.% 5 8120%

C 6 Convertir de porciento a fracción

Como % significa por ciento, 5 1 } 5% 5 } 100 5 20 7 7% 5 } 100 23 23% 5 } 100 4.7 4.7% 5 } 100 134 67 } 134% 5 } 100 5 50 Así, podemos convertir un número escrito como un porciento a una fracción usando la siguiente regla:

CONVERTIR UN PORCIENTO A UNA FRACCIÓN Escribe el número con el 100 como denominador, simplifica la fracción y omite el signo %.

EJEMPLO 4

Convertir porcientos en fracciones Escribe como una fracción. a. 49% b. 75%

SOLUCIÓN 49 a. 49% 5 } 100

75 3 } b. 75% 5 } 100 5 4

Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 7%

b. 314%

c. 7180%

41 4. a. } 100

1 b. } 4

PROBLEMA 4 Escribe como una fracción. a. 41%

b. 25%

5-5

5.1

Notación de porciento

291

En caso de que el número tenga una fracción o un decimal, seguimos un procedimiento similar. Así, 25 1 } 12} 2 25 25 25 1 1 1 2 } } } } } } } 12} 2% 5 100 5100 5 2 4 100 5 2 3 100 5 200 5 8 165 33 16.5 16.5 3 10 } } } 16.5% 5 } 100 5 100 3 10 5 1000 5 200 Nota que 16.5 tiene un dígito decimal, por lo que multiplicamos por 10.

EJEMPLO 5 Convertir porcientos en fracciones Escribe como una fracción. 1 b. 15.55% a. 5} 2%

PROBLEMA 5 Escribe como una fracción. 1 b. 4.5% a. 3} 3%

SOLUCIÓN 11 1 } 5} 2 2 11 1 } } } a. 5} 2% 5 100 5 100 5 200 1555 311 15.55 15.55 3100 } } } b. 15.55% 5 } 100 5 100 3100 5 10,000 5 2000

D 6 Convertir de fracción a porciento

¿Cómo escribimos una fracción como un porciento? Si la fracción tiene un denominador 1 que es un factor de 100, es fácil. Para escribir }5 como un porciento, primero multiplicamos el numerador y el denominador por el número que hará 100 al denominador. Así, 20 1 1 3 20 } } 55} 5 3 20 5 100 5 20% De la misma manera, 75 3 3 3 25 }5}5} 4 4 3 25 100 5 75% Nota que en ambos casos el denominador de la fracción era un factor de 100.

EJEMPLO 6 Convertir una fracción en un porciento 4 Escribe }5 como un porciento. 80 4 3 20 } SOLUCIÓN }45 5 } 5 3 20 5 100 5 80%

PROBLEMA 6 2

Escribe }5 como un porciento.

4

En el ejemplo 6 el denominador de }5, el 5, era un factor de 100. Imagina que queremos 1 cambiar }6 a un porciento. El problema aquí es que 6 no es un factor de 100. ¡No te 1 preocupes! Podemos escribir }6 como un porciento dividiendo el numerador 1 por el denominador 6. Divide 1 por 6, continúa la división hasta que tengamos dos dígitos decimales:

Respuestas a los PROBLEMAS 9 1 } 5. a. } 30 b. 200 6. 40%

0.16 1.00 6 qw 6__ 40 36 ___ 4

residuo

292

Capítulo 5

5-6

Porciento

La respuesta es 0.16 con un residuo 4: eso es, 2 16} 3 1 4 2 2 } 5 0.16} 5 0.16} 5 } 5 16} 6 6 3 100 3% 2 De la misma manera, }3 puede escribirse como un porciento dividiendo 2 por 3, obteniendo 0.66 2.00 3 qw 1____ 8 20 18 ___ residuo 2 Así, 2 66} 3 2 2 2 } 5 0.66} 5 } 5 66} 3 3 100 3% Aquí está la regla que necesitamos.

CONVERTIR DE FRACCIÓN A PORCIENTO Divide el numerador por el denominador (lleva la división a dos sitios decimales), convierte el decimal resultante a un porciento moviendo el punto decimal dos sitios a la derecha y agrega el símbolo %.

EJEMPLO 7

Convertir una fracción en un porciento

SOLUCIÓN

PROBLEMA 7 3

Escribe } 16 como un porciento.

5

Escribe }8 como un porciento. Dividiendo 5 por 8, tenemos 0.62 8 qw 5.00 4____ 8 20 16 ___ 4 Así,

5 4 1 1 1 } 5 0.62} } } } 8 8 5 0.622 5 0.622% 5 622%

E 6 Aplicaciones con porcientos EJEMPLO 8

Convertir porcientos a fracciones o decimales Un informe del Consejo Nacional de Investigación recomienda que consumamos más de 55% de calorías en carbohidratos. Escribe 55% en cada forma. a. Como una fracción reducida b. Como un decimal

SOLUCIÓN 55 11 } a. 55% 5 } 100 5 20

Respuestas a los PROBLEMAS 3 3 8. a. } 7. 18} 4% 10 b. 0.30

PROBLEMA 8 El mismo informe recomienda que reduzcamos las grasas totales a menos de 30% de todas las calorías. Escribe 30% en cada forma. a. Como una fracción reducida

b. 55% 5 .55 5 0.55

b. Como un decimal

5-7

5.1

293

Notación de porciento

Como información importante, aquí hay algunas de las equivalencias decimales–fracciones– porcientos más usadas. Equivalencias decimales–fracciones–porcientos 1 }8

Fracción

1

}6

}5

1

}4

1

0.2

0.25

3

2

0.} 3

}8

}5

}2

0.375

0.4

0.5

1 37}2%

40%

50%

4 5

5 6

1

}3

1

Decimal

0.125

0.1} 6

Porciento

1 12}2%

2 16}3%

20%

25%

1 33}3%

Fracción

}

3 5

}

5 8

}

2 3

}

}

}

}

0.6

0.625

0.75

0.8

0.8} 3

7 8

1

0.} 6

3 4

0.875

1.0

60%

62}12%

66}23%

80%

83}13%

87}12%

100%

Decimal Porciento

75%

Debes familiarizarte con la tabla antes de intentar hacer los ejercicios. ¿De dónde puedes obtener todos los carbohidratos del ejemplo 8? ¡Puedes obtenerlos en el Café de Mimi!

EJEMPLO 9

Convertir fracciones, decimales y porcientos El Café de Mimi tiene capacidad para 300 personas sentadas. Si 60 de ellas se pueden sentar en el Salón Jardín, a. ¿Qué fracción de las personas pueden sentarse en el Salón Jardín? b. ¿Qué porciento de las personas pueden sentarse en el Salón Jardín? c. Escribe como un decimal la fracción de personas que pueden sentarse en el Salón Jardín.

SOLUCIÓN a. 60 de 300 se pueden sentar en el Salón Jardín, eso es, 60 1 }5} 300 5 de las personas. 1 b. Para convertir }5 en un decimal, divide 1 por 5 o mira en el cuadro que sigue al ejemplo 8. 1 En cualquier caso, }5 5 20%. 1 c. Para escribir }5 como un decimal, divide 1 por 5 o mira en el cuadro. 1 En cualquier caso, }5 5 0.20.

PROBLEMA 9 El Restaurante Mexicano de Beto tiene una capacidad de 200 personas sentadas. Si 45 de ellas pueden sentarse en el Salón Guadalajara: a. ¿Qué fracción de las personas pueden sentarse en el Salón Guadalajara? b. ¿Qué porciento de las personas pueden sentarse en el Salón Guadalajara? c. Escribe como un decimal la fracción de personas que pueden sentarse en el Salón Guadalajara.

Rincón de la calculadora Algunas calculadoras tienen una tecla especial para porcientos, % , que automáticamente cambiará porcientos a 9 % . La pantalla muestra decimales. Así, para hacer el ejemplo 4 (a): cambia 49% a un decimal, presionando 4 . 3 7 % la representación decimal 0.49. De la misma manera, para cambiar 23.7% a un decimal, presiona 2 y aparecerá la respuesta 0.237. Si no tienes la tecla % , todavía puedes usar la regla dada en el texto, esto es, divide el número por 100. Así, para . 3 7 1 0 0 4 convertir 23.7% a un decimal, presiona 2 . A continuación aparecerá la respuesta: 0.237.

Respuestas a los PROBLEMAS 9 1 } 9. a. } 40 b. 222% c. 0.225

294

Capítulo 5

5-8

Porciento

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 5.1 5A6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Convertir de porcientos a decimales En los problemas 1 al 12, escribe como un decimal.

1. 3% 6. 100% 11. 0.3%

5B6

2. 2% 1 7. 12} 4% 12. 0.1%

3. 10% 1 8. 10} 4%

4. 15%

5. 300%

9. 11.5%

10. 0.09%

Convertir de decimal a porciento En los problemas 13 al 22, escribe como porciento.

13. 0.04

14. 0.06

15. 0.813

16. 0.312

17. 3.14

18. 9.31

19. 1.00

20. 2.1

21. 0.002

22. 0.314

5C6

Convertir de porciento a fracción En los problemas 23 al 36, escribe como una fracción (simplificada).

23. 30%

24. 40%

25. 6%

26. 2%

27. 7%

28. 19%

1 29. 4} 2%

1 30. 2} 4%

1 31. 1} 3%

2 32. 5} 3%

33. 3.4%

34. 6.2%

35. 10.5%

36. 20.5%

5D6

Convertir de fracción a porciento En los problemas 37 al 50, escribe como porciento.

3 37. } 5

4 38. } 25

1 39. } 2

3 40. } 50

5 41. } 6

1 42. } 3

3 43. } 8

7 44. } 8

4 45. } 3

7 46. } 6

81 47. } 100

10 48. } 100

3 49. } 20

7 50. } 20

5E6

Aplicaciones con porcientos

51. Éxito en tu primer año ¿Cuáles cursos son los más importantes para alcanzar el éxito en el primer año de un estudiante? Los resultados están en el cuadro.

52. Características más populares de los teléfonos celulares ¿Cuáles son las características más populares de los teléfonos celulares? Los resultados están en el cuadro.

Cursos básicos de bachillerato para grados universitarios 52%

Cálculo Trigonometría Física Matemática avanzada Fuente: ACT Inc., Information for Life Transitions.

a. Escribe 41% como una fracción y como un decimal. b. Escribe 33% como una fracción y como un decimal. c. Escribe 32% como una fracción reducida y como un decimal. d. Escribe 31% como una fracción y como un decimal.

49% 25% Fuente: Sony Ericson Mobile Communications.

a. Escribe 52% como una fracción simplificada y como un decimal. b. Escribe 49% como una fracción y como un decimal. c. Escribe 25% como una fracción simplificada y como un decimal.

5-9

5.1

295

54. Tiempo en el baño ¿Cuánto tiempo pasas en el baño? Los adultos entre 30 y 70 años pasan una hora al día (casi dos semanas al año) en el baño. Mira la tabla para ver qué es lo que hacen.

6Web IT

53. Teléfono celular Ahora que conoces las características más deseadas en un teléfono celular, ¿dónde no son bien recibidos los celulares? ¡El cuadro te lo dice!

Notación de porciento

ir a

a. ¿Qué fracción simplificada de la gente usa internet?

b. Escribe 47% como una fracción y un decimal c. Escribe 33% como una fracción y como un decimal. 56. Uso de internet De los 210 millones de personas que usan internet, 145 millones lo hacen en la casa. a. ¿Qué fracción de las personas usa internet en la casa?

b. ¿Qué porciento de las personas usa internet?

b. ¿Qué porciento de las personas usa internet en la casa? (redondea al porciento más cercano).

c. Escribe como un decimal (redondeado a su centésimo más cercano) el porciento de personas que usa internet.

c. Escribe como un decimal (redondeado a la centésima más cercana) el porciento de las personas que usa internet en la casa.

57. Uso de internet De los 210 millones de personas que usan internet, 165 millones hicieron una compra en la red. a. ¿Qué fracción de las personas hizo una compra en la red? b. Qué porciento de las personas hizo una compra en la red? c. Escribe como un decimal (redondeado a la centésima más cercana), el porciento de personas que hizo una compra en la red.

58. Propiedad de estaciones de radio ¿Qué estación de radio escuchas y quién es su dueño? De acuerdo con una encuesta de la Administración Nacional de Telecomunicaciones e Información, existen alrededor de 10,000 estaciones de AM y FM en Estados Unidos. Si 170 de ellas son propiedad de afroamericanos, a. ¿Qué fracción reducida de las estaciones es eso? b. ¿Qué porciento de las estaciones es eso? (redondea al porciento más cercano). c. Escribe como un decimal (redondeado a la centésima más cercana) la fracción de estaciones propiedad de afroamericanos.

59. Propiedad de estaciones de radio Los afroamericanos son propietarios de 100 de las 4800 estaciones comerciales de AM en Estados Unidos.

60. Propiedad de estaciones de radio Existen 10,000 estaciones de radio AM y FM en Estados Unidos. Los hispanos actualmente son propietarios de 130 de ellas.

a. ¿Qué fracción reducida de las estaciones es eso?

a. ¿Qué fracción reducida de las estaciones es eso?

b. ¿Qué porciento de las estaciones es eso? (responde al porciento más cercano).

b. ¿Qué porciento de las estaciones es eso? (redondea al porciento más cercano).

c. Escribe como un decimal (redondeado a la centésima más cercano) la fracción de estaciones propiedad de afroamericanos.

c. Escribe como un decimal (redondeado a la centésima más cercana) la fracción de estaciones AM propiedad de hispanos.

61. Propiedad de estaciones de radio Los hispanos son propietarios de 85 de las 4800 estaciones comerciales de AM en Estados Unidos. a. ¿Qué fracción reducida de las estaciones es eso? b. ¿Qué porciento de las estaciones es eso? (redondea al porciento más cercano) c. Escribe como un decimal (redondeado a la milésima más cercana) la fracción de estaciones propiedad de hispanos. Fuente: Administración Nacional de Telecomunicaciones e Información.

62. HAP (Contaminación peligros del aire) ¿Tienes un inventario de contaminantes peligrosos del aire en tu ciudad o en tu estado? En el condado de Hillsborough, se emitieron alrededor de 14,000 toneladas de HAP. Si alrededor de 7000 vinieron de fuentes fijas como plantas energéticas: a. ¿Qué fracción reducida de HAP provinieron de fuentes fijas? b. ¿Qué porciento de HAP proviene de fuentes fijas? c. Escribe como un decimal el porciento de HAP que provinieron de fuentes fijas.

para más lecciones

55. Uso de internet ¿Usas internet? Asume que en la actualidad hay 300 millones de personas en Estados Unidos y 210 millones de ellos usan internet.

Fuente: Yankelovich Partners.

a. Escribe 53% como una fracción y como un decimal.

www.mathzone.com

Fuente: Corporación de Investigación de Opinión de Singular Wireless.

a. Escribe 44% como una fracción simplificada y como un decimal. b. Escribe 20% como una fracción y un decimal. c. Escribe 15% como una fracción simplificada y como un decimal.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

296

Capítulo 5

5-10

Porciento

63. HAP Si alrededor de 4200 toneladas de las 14,000 (ver problema 62) proviene de fuentes móviles como vehículos en la carretera: a. ¿Qué fracción reducida de HAP viene de fuentes móviles?

64. Encuestas En una mítica encuesta de 300 chinchillas, los números siguientes expresan sus inquietudes: a. Comer muy poco, 30. ¿Qué fracción reducida es eso? ¿Qué porciento es eso?

b. ¿Qué porciento de HAP viene de fuentes móviles?

b. Perder un trozo, 33. ¿Qué fracción reducida es eso? ¿Qué porciento es eso?

c. Escribe como un decimal el porciento de HAP que viene de fuentes móviles. Fuente: Agencia de Protección del Medio Ambiente

c. No tienen problemas, 34. ¿Qué fracción reducida es eso? ¿Qué porciento es eso (al porciento más cercano)? d. Comer mucho, 87. ¿Qué fracción reducida es eso? ¿Qué porciento es eso? e. Actuar de forma extraña, 126. ¿Qué fracción reducida es eso? ¿Qué porciento es eso? Si quieres ver un cuadro de estos resultados, ve a: http:// www.one38.org/1000/piecharts/issue03/chinchillas.html.

Encuesta en línea

La siguiente información será usada en los problemas 65 al 68.

Una encuesta de Excite Online hizo la siguiente pregunta: ¿alguna vez tomó medicamentos para que le ayuden a dormir? Los resultados se muestran abajo. Sí 52% (4463 encuestados) No 46% (3993 encuestados) No estoy seguro 0% (44 encuestados) Número de encuestados a la fecha: 8500 Fuente: excite.com

http://poll.excite.com/poll/results.jsp?cat_id=1&poll_id=7

65. De los que respondieron, el 52% dijo que tomó medicamentos para dormir: a. Escribe 52% como una fracción reducida. b. Escribe 52% como un decimal. 66. De los que respondieron, el 46% dijo que no tomó medicamentos para dormir: a. Escribe 46% como una fracción reducida. b. Escribe 46% como un decimal. 67. En la encuesta, el 52% de los que respondieron, dijo sí; 46%, no; y 0%, no estar seguro. ¿El total da 100%? Explica.

68. En la encuesta, 4463 personas de las 8500 que respondieron dijeron sí, y 3993, no. a. Escribe como una fracción (sin reducir), el número de personas que respondieron sí. b. Convierte la fracción de la parte a en un porciento redondeado a la décima más cercana. c. Escribe la fracción sin reducir de las personas que respondieron No. d. Convierte la fracción de la parte c en un porciento redondeado a la décima más cercana. e. ¿Y qué de las 44 personas de las 8500 que respondieron que no estaban seguras? Escribe como un porciento (redondeado a la décima más cercana), el número de personas que respondieron que no estaban seguras. f. ¿Los totales suman 100%?

666Usa tus conocimientos L bú La búsqueda d dde lla ffelicidad li id d Recientemente, R i t t lla revista it P Psicología i l í H Hoy realizó li ó una encuesta t sobre b la l felicidad. f li id d A Aquíí hhay algunas conclusiones de ese informe: 69. Siete de cada 10 personas dijeron que fueron felices en los últimos 6 meses. ¿Qué porciento de las personas es eso?

70. 70% de los encuestados esperaba ser más feliz en el futuro que ahora. ¿Qué fracción de las personas es eso?

71. 0.40 de las personas se sentía sola.

72. Sólo el 4% de los hombres estaban preparados para llorar. Escribe 4% como un decimal.

a. ¿Qué porciento de las personas es eso? b. ¿Qué fracción de las personas es eso? 73. De las personas encuestadas 49% eran solteras. Escribe 49% como a. una fracción

b. un decimal.

5-11

5.1

¿Te preguntas cómo llegaron a algunos de estos porcientos? Ellos usaron sus conocimientos haz lo mismo y llena los espacios de la siguiente tabla que se refiere al estado civil de las 52,000 personas encuestadas. Por ejemplo, en la primera línea 25,480 personas de las 52,000 eran solteras. Esto es 25,480 } 5 49% 52,000

74. 75. 76. 77. 78.

Notación de porciento

Estado civil

Número

Porciento

Soltero Casado (primera vez) Vuelto a casar Divorciado, separado Viudo Cohabitando

25,480 15,600 2,600 5,720 520 2,080

49%

297

666¡Escribe! 79. La tabla que sigue al ejemplo 8 muestra las equivalencias decimales–fracciones–porcientos equivalentes. En la vida real, los porcientos son los más usados. Explica en tus propias palabras por qué piensas que eso es así.

80. Haz una lista de al menos tres actividades de tu vida diaria en que usas porcientos.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 81. Para convertir un porciento en un decimal, mueve el punto decimal y omite el signo % .

sitios a la

82. Para convertir un decimal en un porciento, mueve el punto decimal y agrega el signo % .

sitios a la

83. Para convertir un porciento en fracción, sigue los siguientes pasos: a. Escribe el número sobre b. la fracción resultante c. el símbolo %.

divide

agrega

izquierda

simplifica

omite

multiplica

dos

porciento

derecha

fracción

100

%

84. Para convertir una fracción en porciento, sigue los siguientes pasos: a. el numerador por el denominador b. Convierte el decimal resultante en un c. Agrega el signo

666Prueba de dominio 85. Entre los contribuyentes que le deben dinero al IRS (Servicio de Renta Interna de Estados Unidos), el 82% dice que usarán el dinero de sus cuentas de ahorros o de cheques para pagar sus impuestos. Escribe 82% como a. Una fracción reducida. b. un decimal.

86. Escribe como un porciento: 3 a. } 8

87. Escribe como una fracción reducida: 1 a. 6} b. 6.55% 2% 89. Escribe como un porciento: a. 0.06 b. 6.19

88. Escribe como una fracción reducida:

91. Escribe como un decimal: a. 38%

a. 19%

c. 42.2

90. Escribe como un decimal: 1 a. 2} 2%

3 b. } 5

b. 80% 2 b. 10} 3%

b. 29.3%

666Comprobación de destrezas 92. Multiplica 0.60 3 40 96. Resuelve 50x 5 20

1

93. Multiplica }3 3 87

94. Resuelve R 3 60 5 30

97. Resuelve 15 5 45x

95. Resuelve 0.30x 5 12 98. Resuelve 81,500R 5 8150

298

Capítulo 5

5-12

Porciento

5. 2

Problemas con porcientos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de :

A6

Encontrar el porcentaje cuando se dan la base y la tasa.

B6

Encontrar el porciento cuando se dan la base y el porcentaje.

C6

Encontrar la base cuando se dan el porcentaje y el porciento.

1. Escribir un porciento como una fracción o un decimal. (págs. 288, 290– 291) 2. Usar el procedimiento LSTUV para resolver problemas verbales. (pág. 92) 3. Resolver ecuaciones que tengan decimales. (págs. 240, 241)

6 Para comenzar En la historieta, el presidente de la Junta de Petróleo Mogul desea tener un incremento de 300% en las ganancias. Si tuvo $10 millones de ganancias el último año, ¿en cuánto 300 quiere aumentar sus ganancias? Como 300% 5 } 100 5 3.00 5 3, él quiere aumentar sus ganancias en 300%

de

10

3 3 10 5 30

(millones)

(millones)

Así, el presidente desea aumentar sus ganancias en $30 millones.

D6

Resolver aplicaciones con los conceptos estudiados.

Reimpreso con el permiso de King Features Syndicate.

A 6 Encontrar el porcentaje Como puedes ver del ejemplo en Para comenzar, hay tres cantidades: 1. La base, o total (el estándar que se usa con propósitos comparativos) 2. El porciento (la parte que se compara con la base o el total) 3. El porciento o tasa (la parte que indica la razón del porcentaje respecto a la base) Nota que el porciento o tasa se escribe usualmente usando el signo %, pero el porcentaje es un número. En el ejemplo precedente la base, o total, es $ 10 millones, el porcentaje es 30, y el porciento es 300%. En esta sección, se te va a pedir que encuentres el porcentaje P, el porciento, o tasa, R, o la base B, cuando las otras dos están dadas. Para hacer esto, usaremos el procedimiento LSTUV estudiado en las secciones 1.9, 2.8 y 3.5, en conjunto con el siguiente diccionario.

5-13

5.2

Problemas con porcientos

Palabra

Traducción

Simbolo

de es qué porciento

Multiplica igual variable o letra decimal o fracción

?, 3 5 x, y, h 1 3} 100 ó 0.01

299

Resolvamos un problema: ¿qué número es el 40% de 60? Aquí están los pasos: Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. La base es 60 y el porciento es 40%: necesitamos conocer el porcentaje P. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. 40% de 60 es ¿Qué número? Se traduce como 0.40 3

60 5

H

porcentaje

“es” significa “” total “de” significa “multiplica” porcientos Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación (recuerda escribir todos los porcientos como decimales o fracciones antes de resolver la ecuación). 0.40 3 60 5 P Dado. 245P Multiplica. Así, 40% de 60 es 24. Paso 5. Verifica que la respuesta es correcta. 24 Como } 60 5 0.40 5 40%, nuestra respuesta es correcta.

EJEMPLO 1 Encontrar el porcentaje de un número ¿Qué número es el 60% de 30?

PROBLEMA 1 ¿Cuánto es el 70% de 40?

SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que P sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. 60% de 30 es qué número? 0.60 3 30 5 P Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. 0.60 3 30 5 P Dado. 18 5 P Multiplica. Así, 60% de 30 es 18. Paso 5. Verifica que la respuesta sea correcta. Si el porciento dado tiene una fracción, trata de escribir la parte fraccionaria como un decimal, dividiendo el numerador por el denominador como se muestra en el ejemplo 2.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 28

300

Capítulo 5

5-14

Porciento

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Encontrar el porcentaje de un número Encuentra 12}12% de 80.

Halla 8}12% de 60.

SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que P sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. 1 12} 2% de 80 ¿es qué número? 1 0.12} 2 3 80 5 P 0.125 3 80 5 P Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. 0.125 3 80 5 P Dado. 10.000 5 P Multiplica. 1 } Así, 122% de 80 es 10. Paso 5. Verifica que la respuesta sea correcta. Si el porciento dado tiene una fracción que no puede convertirse en un decimal finito, busca la fracción equivalente en la tabla dada en la sección 5.1 como se muestra en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Encontrar el porcentaje de un número ¿Qué número es el 33}13% de 84?

PROBLEMA 3 ¿Cuánto es el 66}23% de 90?

SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que P sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. 1 número? 33} 3% de 84 es qué De la tabla de la sección 5.1, 33}1% 5 }1 porque 3

1 } 3 3 84 5 P

33}13%

5

100 } 3 } 100

5

100 } 3

?

1 } 100

5

3

1 } 3

Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación 1 Dado. } 3 3 84 5 P 28 5 P Multiplica. 1 } Así, 333% de 84 es 28. Paso 5. Verifica que la respuesta es correcta.

B 6 Encontrar el porciento pronto

Aquí hay otro tipo de problema. Los precios en el anuncio comienzan en $81,500 y puedes pagar $8150 de pronto. ¿Qué porciento es el pronto? Este problema puede ser presentado de diferentes formas. Aquí hay algunas de ellas: ¿Qué porciento es 8150 de 81,500? Encuentra qué porciento de 81,500 es 8150. ¿Qué porciento de 81,500 es 8150?

Respuestas a los PROBLEMAS 2. 5.1

3. 60

5-15

5.2

Problemas con porcientos

301

Como lo hicimos antes, usamos el procedimiento LSTUV para resolver el problema. Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que R sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. ¿Qué porciento de 81,500 es 8150? R 3 81,5005 8150 Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. R 3 81,500 5 8150 8150 1 R5} 81,500 5 } 10

Dado Divide por 81,500.

Como estamos buscando un porciento, debemos convertir porciento.

1 } 10

en un

1 ? 10 10 1 } } R5} 10 5 10 ? 10 5 100 5 10% Así, $8150 es 10% de $81,500. Paso 5. Verifica que la respuesta es correcta ¿Es verdad que el 10% de 81,500 es 8150? Sí (0.10 3 81,5005 8150). Así, nuestra respuesta es correcta.

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Encontrar el porciento de un número Encuentra qué porciento de 40 es 20.

Encuentra qué porciento de 30 es 3.

SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que R sea lo desconocido Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. ¿Qué porciento de 40 es 20? R 3 40 5 20 Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. R 3 40 5 20 Dado. 20 1 } R5} Divide por 40. 40 5 2 Como estamos buscando un porciento, debemos convertir porciento. Así

1 2

}

en un

50 1 ? 50 1 } } R5} 2 5 2 ? 50 5 100 5 50% Así, 50% de 40 es 20. Paso 5. Verifica que la respuesta es correcta ¿Es verdad que 50% de 40 es 20? Sí (0.50 3 40 5 20). Así, nuestra respuesta es correcta. s a st ole ha iérc m

el

AHORRA 20%

Faja corporal y jeans de libre movimiento PRECIO REGULAR

cada uno

Respuestas a los PROBLEMAS 4. 10%

C 6 Encontrar la base Imagina que ahorras $6 cuando compras el artículo del anuncio. Verifica el precio regular (base) del artículo. Para encontrar la respuesta usa el procedimiento LSTUV.

302

Capítulo 5

5-16

Porciento

Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que B sea lo desconocido. Paso 3.Traduce el problema. Como ahorras $6, que es el equivalente al 20%, la ecuación será 20% de B  6 0.20  B  6 Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación. 0.20  B  6 Dado. 6 B} Divide por 0.20. 0.20 6  100 Multiplica el numerador y } 0.20  100 el denominador por 100. 600 Simplifica. } 20  30 (Obtienes la misma respuesta si usas la división larga para dividir 6 por 0.20.) Así, el precio original (regular) del artículo era $30. Paso 5. Verifica que la respuesta sea correcta. ¿Es verdad que el 20% de 30 es 6? Sí. (0.20 30  6). Así, nuestra respuesta es correcta. Hay diferentes maneras de plantear problemas en los cuales la base es desconocida. Por ejemplo, el planteamiento “¿de qué número es 10 el 40% ?”, puede traducirse como 10 es el 40% de un número. Encuentra el número 10 es el 40% de un número. Encuentra el número. Encuentra el número del que el 40% es 10. ¿El 40% de qué número es igual a 10? Resolvemos la base en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

Encontrar la base ¿De qué número es 10 el 40%?

SOLUCIÓN

Como antes, usamos el método LSTUV.

Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que B sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación. ¿De qué número es 10 el 40%? 10 5 0.40 3 B Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación 10 5 0.40 3 B Dado. 10 B5} Divide por 0.40. 0.40 10 ? 100 5} Multiplca por 100. 0.40 ? 100 1000 5} 40 5 25 Simplifica. Así, 10 es el 40% de 25. Paso 5. Verifica que la respuesta es correcta. ¿Es verdad que 10 5 0.40 3 25? Así, nuestra respuesta es correcta.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 250

PROBLEMA 5 ¿De qué número es 50 el 20%?

5-17

5.2

Problemas con porcientos

303

D 6 Aplicaciones con porcientos EJEMPLO 6 Calcular el precio de un artículo El impuesto a las ventas de un artículo fue de $3.64. Si la tasa del impuesto es 4%, ¿cuál era el precio del artículo? SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona la variable para representar lo desconocido. Deja que B sea lo desconocido. Paso 3. Traduce el problema en una ecuación: sabemos que $3.64 es el 4% del precio, entonces 3.64 5 0.04 3 B Paso 4. Usa las reglas que estudiamos para resolver la ecuación 3.64 5 0.04 3 B Dado. 3.64 B5} Divide por 0.04. 0.04 3.64 ? 100 Multiplica el numerador y 5} 0.04 ? 100 el denominador por 100. 364 Simplifica. 5} 4 5 91 Así, el precio era de $91. Paso 5. Verifica que la respuesta. ¿Es verdad que $3.64 = 0.04 3 91? Así, nuestra respuesta es correcta.

EJEMPLO 7 Problemas de porcientos y costos universitarios Natasha es una estudiante de la Universidad de Wisconsin. La matrícula y los cargos para los estudiantes de fuera del estado son alrededor de $10,500. Ella tiene una beca que paga el 58% de los $10,500. a. ¿Cuánto paga la beca y con cuánto debe contribuir Natasha? b. Nastasha tiene ahorrados $4000 para pagar su parte de la matrícula y los cargos de la parte a. ¿Qué porciento de su parte de la matrícula y los cargos pagará ella? c. El Estado de Wisconsin dice que los estudiantes que son del estado pagan solamente el 38% del costo real de la matrícula y los cargos. Si la matrícula y los cargos de los estudiantes del estado cuestan alrededor de $4500, ¿cuál es el costo por estudiante que asume el estado?

SOLUCIÓN a. La beca paga el 58% de los $10,500 Traducción:

0.58

3

10,500 5 $6090

Como la beca paga $6090, Natasha paga el resto, o sea, $10,500 - $6090 = $4410. b. Natasha pagará $4000 de los $4410, eso es, 4000 } 4410 5 91% (al porciento más cercano).

Respuestas a los PROBLEMAS 6. $41 7. a. $5600; $1400 b. 71% (al porciento más cercano) c. $5600

Verifica esto multiplicando 0.58 por 10,500. Ten cuidado con el decimal.

Verifica esto multiplicando 4000 por 4410. Escribe la respuesta al porciento más cercano.

PROBLEMA 6 El impuesto a las ventas de un artículo fue de $3.28. Si la tasa del impuesto es 8% ¿Cuál era el precio del ítem?

PROBLEMA 7 David es un estudiante de la Universidad de Florida del Sur. Los cargos para los estudiantes de fuera del estado son alrededor de $7000. Él tiene una beca que paga el 80% de los 7000. a. ¿Cuánto paga la beca y con cuánto debe contribuir David? b. David tiene ahorrados $1000 para pagar su parte de la matrícula y los cargos de la parte a. ¿Qué porciento de su parte de la matrícula y los cargos pagará el? c. Si la matrícula y los cargos cuestan $1400 y eso representa el 25% de costo total por estudiante para el estado, ¿cuál es el costo por estudiante que asume el estado?

(continúa)

304

Capítulo 5

5-18

Porciento

c. De acuerdo con el problema: Los estudiantes pagan el 38% de la matrícula y los cargos, que es $4500 Traducción:

3

0.38

Divide por 0.38.

5 4500

T

Deja que T sea la matrícula y los cargos

4500 5 } 0.38

T

4500 ? 100 450,000 } Multiplica el numerador y el denominador por 100. 5 } 0.38 ? 100 5 38 5 $11,842.11

Divide 450,000 por 38.

Divide 450,000 por 38 (al centavo más cercano).

Así, el costo para el estado es de $11,842 por estudiante.

TRADUCE ESTO 1.

el 70% de 80 es un número P.

2.

1 12}2% de 200 es un número P.

33}13%

El tercer paso en el método LSTUV es TRADUCIR la información a una ecuación. En los problemas 1 al 10 TRADUCE la oración y asóciala con la traducción correcta de las ecuaciones A –O.

de 60?

3.

¿Qué número es el

4.

¿Qué porciento R de 250 es 25?

5.

¿Qué porciento R de 80 es 40?

6.

30% de B es 40.

7.

¿El 50% de qué número es 20?

8.

0.48 es el 6% del precio P de un artículo.

9.

El impuesto T de un artículo representa el 10% del costo C del artículo.

10. El impuesto T de un artículo es el producto de su precio P y su tasa de impuesto R.

1%  60  P A. } 3 F. 0.125  200  P

B. 0.80  70  P

C. R  80  40

D. 0.70  80  P

G. 20  50  B

I. R  250  25

K. 20  0.50  B

L. T  0.10  C

H. 0.30  B  40 1  60  P M. } 3

N. T  P  R

E. R  40  80 J. 0.48  0.06  P O. P  T  R

Rincón de la calculadora Si tu calculadora tiene una tecla especial % puedes hacer algunos de los problemas de esta sección un poco más rápido. 1 % Por ejemplo, para hacer el ejemplo 2: encuentra el 12}2% de 80 presionando 1 y la pantalla mostrará la respuesta correcta, 10. Nota que la calculadora no piensa por ti. Todavía tienes que saber que }2  0.5 y que “de” significa “multiplicar.” De hecho, los otros dos tipos de problemas en la sección deben ser establecidos usando el procedimiento dado en el texto antes de usar la calculadora. Para hacer el ejemplo 2 sin una tecla % , presiona , y obtienes la misma respuesta, 10.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 5.2 5A6

Encontrar el porcentaje

> Self-Tests > e-Professors > Videos

En los problemas 1 al 14, encuentra el porcentaje.

1. Encuentra 40% de 80.

2. Encuentra 15% de 60.

3. ¿Qué número es 150% de 8?

4. ¿Qué número es 35% de 60?

5. Qué número es 20% de $15?

6. Qué número es 95% de 40?

7. Encuentra 60% de 48.

8. Encuentra 120% de $30.

9. 12}12% de 40 es

10.

8}14%

de 50 es

13. Encuentra

16}23%

. de 120.

11. Encuentra 3.5% de 60. 14. Encuentra

83}13%

de 90.

12. Encuentra 110.5% de 30.

.

5-19

Encontrar el porciento

305

Problemas con porcientos

En los problemas 15 al 32, encuentra el porciento. 17. ¿Qué porciento de 4 es 8?

18. ¿Qué porciento de 21 es 7?

19. Encuentra qué porciento de 50 es 5.

20. Encuentra qué porciento de 40 es 8.

21. ¿Qué porciento de 40 es 5?

22. ¿Qué porciento de 15 es 10?

23. ¿Qué porciento de 22 es 5}2?

24. ¿Qué porciento de 27 es 2}14?

25. 3 es el

26. 20 es el

% de 30.

29. $50 es el

% de $60.

32. $0.25 es el

% de $1.50.

27. 50 es el

% de 25.

30. $90 es el

5C6

% de $270.

1

% de 5.

28. 30 es el

% de

31. $0.75 es el

7}12.

% de $4.50.

Encontrar la base En los problemas 33 al 50, encuentra la base. 34. ¿De qué número el 15% es 45?

35. ¿De qué número el 2}14% es 9?

36. ¿De qué número el 5}12% es 11?

37. ¿De qué número 20 es el 40%?

38. ¿De qué número 60 es el 150%?

33}13%

66}23%

de un número. Encuentra el 40. 20 es de un número. Encuentra el 39. 15 es el número. número. 1 42. Halla el número cuyo 3}41% es 6}2. 43. ¿El 40% de qué número es 7}12?

44. ¿El 140% de qué número es 70?

45. ¿El 4.75% de qué número es 38?

47. ¿El 100% de qué número es 3?

48. ¿El 8% de qué número es 3.2?

5D6

46. ¿El 3.25% de qué número es 39? 49. ¿El

12}12%

de qué número es 37.5?

41. Halla el número cuyo 120% es 20.

1

50. ¿El 33}3% de qué número es 66}23?

Aplicaciones con porcientos La gráfica va a ser usada en los problemas 51 al 52.

51. La población de Estados Unidos en el 2000 era de alrededor de 282 millones de personas. Al millón más cercano, ¿cuántos niños había en el 2000?

Población de niños en descenso

52. En el 2020, la población de Estados Unidos crecerá a 386 millones. Al millón más cercano, ¿cuántos niños se estima que habrá?

Fuente: Data de childstats.gov

Ahorrar dinero

La gráfica va a ser usada en los problemas 53 al 56. 53. Si hubiera 40 miembros en tu familia, ¿cuántos esperarías que corten cupones de descuento? (responde al número cardinal más cercano) 54. Si en una universidad pequeña hubiera 4000 alumnos, ¿cuántos esperarías que reduzcan sus gastos en entretenimiento? 55. De acuerdo con la gráfica, el 38% de las personas encuestadas usa más de una vez el papel de envoltura. Si 95 personas reutilizan el papel de envoltura, ¿cuántas personas fueron encuestadas? 56. De acuerdo con la gráfica, 31% de las personas encuestadas conducen más lejos para encontrar gasolina más barata. Si 93 personas en realidad conducen más lejos para encontrar gasolina más barata, ¿cuántas personas fueron encuestadas?

Fuente: Data de Seguros Progressive.

para más lecciones

33. ¿De qué número el 30% es 60?

www.mathzone.com

16. ¿Qué porciento de 60 es 15?

ir a

15. ¿Qué porciento de 3150 es 315?

6Web IT

5B6

5.2

Depósitos a término fijo

ir a

Ahorros para la Universidad

6Web IT

5-20

Porciento

para más lecciones

Capítulo 5

www.mathzone.com

306

La gráfica se va a usar en los problemas 57 al 60.

Cuentas de ahorros Fondos mutuos Bonos

21%

31%

37%

17%

Formas más populares de ahorrar para la universidad

57. Se encuestaron 280 padres para saber la forma en que ellos ahorran para la educación universitaria de sus hijos. a. Si 112 padres usan cuentas de ahorro para ahorrar para la universidad de sus hijos, ¿qué porciento de los 280 es eso? b. El porciento obtenido en a, ¿es mayor o menor que el 37% que predice la gráfica? 58. Se encuestaron 550 padres para saber la forma en que ellos ahorran para la educación universitaria de sus hijos. a. Si 176 padres usan fondos mutuos para ahorrar para la universidad, ¿qué porciento de los 550 es eso? b. El porciento obtenido en a, ¿es mayor o menor que el 31% que predice la gráfica?

Fuente: Información de investigación de USA TODAY.

59. Si 153 padres ahorraron para la universidad usando CD (Certificados de Depósito) y 153 representa el 17% del número total de padres encuestados, ¿cuántos padres fueron encuestados? 61. Reservas de petróleo América del Norte tiene alrededor de el 5% de las reservas mundiales de petróleo. Esta suma representa 50 billones de barriles. ¿Cuántas son las reservas mundiales de petróleo?

60. Si 105 de los padres usan bonos para ahorrar para la universidad y 105 representa el 21% del número total de padres encuestados, ¿cuántos padres fueron encuestados?

63. Reservas de carbón Europa Oriental y las ex Repúblicas Soviéticas tienen aproximadamente el 30% de las reservas mundiales de carbón. Esta suma representa 300,000 toneladas. ¿Cuántas son las reservas mundiales de carbón?

64. Aumento de la población en Bangladesh En el 2007, Bangladesh tenía una población de 150 millones de personas. Su tasa de crecimiento se estimaba en cerca de 2% anual. ¿En cuántas personas aumentó la población el primer año?

65. Aumento de la población en India En el 2001, India tenía una población de 1 billón de personas. Su tasa de crecimiento era de 1.8% anual. ¿En cuántas personas aumentó la población el primer año?

66. Liberación de monóxido de carbono En un año reciente se liberaron alrededor de 190 millones de toneladas de contaminantes en Estados Unidos. De esta cifra, el 47% era monóxido de carbono. ¿Cuántas toneladas es eso?

67. Transporte de contaminantes De las 190 millones de toneladas de contaminantes que hay en el aire, 50 millones de toneladas se produjeron de fuentes de transporte (autos, buses, etc.). ¿Qué porciento es eso? (redondea la respuesta a su porciento más cercano). 69. Azúcar y agua en la Coca–Cola ¿Sabes quién inventó la Coca– Cola? Lo hizo John Pemberton en 1885. En 1909, un análisis de la Coca–Cola reveló que el 48% de la bebida era azúcar y el 41% era agua. ¿Cuánta azúcar y cuánta agua había en una botella de 16 onzas de Coca–Cola?

68. Porciento correcto en un examen En un examen compuesto de 60 puntos un estudiante tuvo 40 correctos. ¿Qué porciento tuvo correcto? (redondea la respuesta al porciento más cercano).

62. Reservas de gas Europa Occidental tiene aproximadamente el 3% de las reservas mundiales de gas. Esta cantidad representa 60 trillones de metros cúbicos. ¿Cuántas son las reservas mundiales de gas?

70. Precio regular de un artículo en especial El precio de un artículo en especial era el 90% de su precio regular. Si el precio especial era de $18, ¿cuál era el precio regular?

Los puntajes de FICO son los puntajes de crédito que la mayoría de los prestamistas usa para determinar su riesgo de crédito. Entre más altos sean tus puntajes FICO, menos será lo que debes pagar para comprar a crédito. El promedio (la media) del puntaje FICO es de 723. Los porcientos que se muestran están basados en la importancia de las cinco categorías para la población en general.

¿Qué hay en tus puntajes de FICO®? Historial de pagos 35%

Cantidad adeudada 30% Fuente: http://www.myfico.com/

Duración del historial de crédito 15% Crédito nuevo 10% Tipos de crédito usados 10%

Puntajes FICO En los problemas 71 al 74, encuentra tu puntaje FICO si, 71. La duración de tu historial de crédito suma 108 puntos a tu puntaje FICO. 72. Tus créditos nuevos suman 70 puntos a tu puntaje. 73. Las cantidad adeudada suma 213 puntos a tu puntaje. 74. Tu historial de pagos suma 262.5 puntos a tu puntaje.

5-21

5.2

Problemas con porcientos

307

666Usa tus conocimientos C édi Crédito E En muchos h casos es necesario i pedir di di dinero prestado t d para ampliar li ttu poder d dde compra. P Para usar ese di dinero pagas un monto llamado cargo por financiamiento. Asumamos que quieres pedir prestado $100, para devolver $25 por mes más el interés de 1.5% mensual sobre el balance pendiente (el balance pendiente el primer mes es $100; el segundo mes, $100 – $25 = $75, y así sucesivamente). Aquí está lo que tú pagas:

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Interés

Pago total

0.015 3 100 5 $1.50 0.015 3 75 < 1.13 0.015 3 50 5 0.75 0.015 3 25 < 0.38

25 1 1.50 5 $26.50 25 1 1.13 5 26.13 25 1 0.75 5 25.75 25 1 0.38 5 25.38 Pago total $103.76

Así, la compañía de préstamos podría programar cuatro pagos iguales de $25,94 por mes. Nota que pagaste $3.76 ($103.7 – $100 por 4 meses). 75. Imagina que el banco te presta $200 para ser devueltos a $50 por mes, más un interés de 3% del balance impago. ¿Cuál es el interés total que pagas? (pista: no es $6.)

76. Si el préstamo se pagará en cuatro pagos iguales, ¿cuánto pagarás por mes?

77. ¿Qué porciento de $200 es el interés total?

78. ¿Qué préstamo es mejor, éste u otro que cobra el 15% anual?

La siguiente tabla de costos de crédito puede ayudarte a tomar decisiones sobre préstamos e incluso a ahorrar algún dinero en el futuro. Usa los conocimientos que obtengas de ella. Tabla de costos de crédito Aquí hay un resumen de los costos actuales de varios tipos de crédito disponibles, junto con recomendaciones acerca de cada uno.

Tipo de crédito

Costo total Tasa por año

Préstamos para pagar costos universitarios que califican para subsidios federales

3%

Préstamos para pagar costos universitarios con garantía estatal o privada, o con seguridad, pero sin subsidio

7%

Primera hipoteca préstamos para casas plan de pagos mensuales abierto

Planes de crédito de tiendas, incluidos planes de tarjetas de crédito Crédito de compra a 30 días, cualquier plan, incluyendo tarjetas de crédito.

¡Definitivamente sí! Bueno para buenos estudiantes.

4}2 a 12%

Bueno para la mayoría de las familias con un empleo permanente y estable. Sacará la casa de deudas en 20 años o menos, para pago de renta.

10 a 12%

Mejor que refinanciar la primera hipoteca para reparaciones mayores de casas con hipotecas viejas y con tasas bajas que no asegurarán avances. De otra forma, no son recomendables, excepto en casos de extrema necesidad.

6 a 14%

Los más baratos y la forma más satisfactoria para créditos pequeños y financiamiento para compra de autos.

18 a 22%

Bueno, si tienes que hacerlo: verifica ofertas y especiales, pero úsalo esporádicamente.

1

Préstamos para mejoras de vivienda, sin seguro de asociaciones y bancos

Cooperativas de empleados

Recomendación

Bueno, por conveniencia, si el precio de los bienes Nada si pagas es correcto y sabes que puedes pagar la factura a la en 30 días fecha, pero compara los precios con almacenes de pago en efectivo.

Préstamos para carros. 5% y más alto

Ten cuidado con los costos del seguro requerido. Mejor conducir el carro viejo hasta que ahorres lo suficiente para cambiar el carro pagándolo en efectivo. (continúa)

308

Capítulo 5

5-22

Porciento

w

Costo total Tasa por año

Tipo de crédito

Recomendación

Préstamos para electrodomésticos

18% y más alto

En efectivo usualmente lo compras por el 20% ó 30% menos. ¡Ahorra y compra!

Préstamos personales. Confidenciales. No se harán preguntas

30% y más alto

No son recomendables.

Préstamos de amigos, familiares o patrones

?

No son recomendables.

Préstamos de día de pago, prestamistas sin licencia

El cielo es el límite

¡No!

666¡Escribe! 79. ¿Cuántos tipos de problemas básicos de porcientos existen? Explica el procedimiento que usas para resolver cada uno.

80. Escribe con tus palabras la diferencia entre porciento y porcentaje.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. número

porcentaje

82. La parte que se está comparando con la base o total se llama .

base

%

83. La parte que indica la razón del porcentaje con la base es el .

porciento o tasa

81. Cuando se trabaja en problemas con porcientos, el el estándar que se usa para propósitos comparativos.

es

84. El porciento se escribe comúnmente usando el símbolo pero el porcentaje es un .

666Prueba de dominio 85. La matrícula y los cargos en una universidad son $1500. Si la ayuda financiera paga el 53% de la matrícula y los cargos, ¿cuánto paga la ayuda financiera? ¿Cuánto pagas tú?

86. El impuesto de venta de un producto era $1.48. Si la tasa del impuesto es 8%, ¿cuál era el precio del producto?

87. ¿De qué número es 20 el 40%?

88. Una bicicleta cuesta $126. Si el precio de $126 incluye un 30% de descuento, ¿cuál era el precio original de la bicicleta?

89. Halla el 33}13% de 180.

90. ¿Qué porciento de 40 es 10?

91. Halla el 12}12% de 160.

92. ¿Qué número es el 60% de 90?

666Comprobación de destrezas Resuelve R l llas siguientes i i t proporciones. i n 20 5 } 93. } 100 80

30 P 5} 94. } 100 90

40 20 } 95. } 100 5 W

60 30 5 } 96. } n 100

5-23

5.3

309

Resolver problemas con porcientos usando proporciones

w

5 .3

Resolver problemas con porcientos usando proporciones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

B6

C6

1. Escribir un porciento como una fracción. (págs. 290–291) 2. Resolver proporciones. (págs. 260–261)

Encontrar el porcentaje cuando se dan la base y la tasa. Encontrar el porciento cuando se dan la base y el porcentaje. Encontrar la base cuando se dan el porcentaje y el porciento.

6 Para comenzar 25% de descuento en sandalias Las sandalias están en especial con 25% de descuento. 25% menos puede escribirse como una proporción de 25 25 }. a 100, eso es, 100 Las proporciones 1 a 4, 50 a 200, y 73 a 300 son todas equivalentes a la proporción 25 a 100, eso es, Porciento } 100

75 25 50 1 } }} } 100 4  200  300

Todas las existencias de SANDALIAS ADIDAS

Parte } Total

OFERTA

menos

Regular Oferta

En esta sección estudiaremos cómo resolver problemas con porcientos usando proporciones. Compre en línea

A 6 Encontrar un porcentaje usando proporciones

Para resolver problemas con porcentajes usando proporciones, procedemos con los siguientes pasos: Porciento Paso 1. Escribe el porciento como una fracción con denominador 100 } 100

Paso 2. Escribe una segunda razón como Paso 3. Organiza la proporción

Parte } Total

Porciento Parte }} 100 Total

PORCIENTO:

El número con el signo de porciento (%)

PARTE:

El número con la palabra es (numerador)

ENTERO:

El número con la palabra de (denominador)

Como en la sección 5.2, existen tres tipos de problemas: 1. Encontrar el porcentaje (parte) 2. Encontrar el porciento 3. Encontrar la base o el total

310

Capítulo 5

5-24

Porciento

PROBLEMA 1

EJEMPLO 1

Encontrar el porcentaje usando proporciones ¿Cuál es el 20% de 80?

¿Qué número es el 30% de 90?

Nota: La pregunta puede escribirse en forma equivalente como Encuentra el 20% de 80, o ¿Qué número es el 20% de 80?

SOLUCIÓN Resolvemos usando los tres pasos sugeridos: Paso 1. Escribe el porciento como una fracción con denominador 100 Paso 2. Escribe una segunda razón como

20 } 100

Parte } Total

Nota que el número con la palabra de es 80, entonces 80 va en el denomin nador. Si dejamos que n sea la parte la segunda proporción será } 80. 20 n Paso 3. Establece la proporción }5} 100 80 Para resolver la proporción: 1. Multiplica cruzado. 20  80  100  n 20  80 } n 2. Divide por 100. 100 1600 }  16 n 3. Simplifica. 100 De esta forma, 20% de 80 es 16. Verificación: 20% de 80 = 0.20 x 80, lo que efectivamente es 16.

B 6 Encontrar el porciento usando proporciones EJEMPLO 2

Hallar el porciento de un número usando proporciones ¿30 es qué porciento de 90? Nota:

La pregunta puede escribirse igualmente como: Halla qué porciento de 90 es 30, o ¿qué porciento de 90 es 30?

SOLUCIÓN

Resolvemos usando los tres pasos sugeridos: Paso 1. Escribe el porciento como una fracción con denominador 100

Paso 2. Escribe una segunda razón como

Porciento } 100

Parte } Total

Nota que el número con la palabra de es 90. Es el total, entonces 90 va en el denominador. 30 aparece con la palabra es. Es el numerador. Entonces la segunda 30 proporción es } 90. Paso 3. Establece la proporción Para resolver la proporción:

Porciento 30 }5} 100 90

Porciento  90  100  30 100  30 2. Divide por 90. Porciento  } 90 100 1 } 3. Simplifica. Porciento  } 3  333 De esta forma, 30 es el 33}13% de 90. 1. Multiplica cruzado.

Verificación:

1 1 } 33} 3% de 90  3  90, lo que efectivamente es 30.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 27

1

2. 33}3%

PROBLEMA 2 Halla qué porciento de 45 es 15.

5-25

5.3

311

Resolver problemas con porcientos usando proporciones

C 6 Encontrar la base usando proporciones PROBLEMA 3

EJEMPLO 3 Encontrar la base o total usando proporciones Encuentra el número cuyo 40% es 20. Nota:

¿50 es el 40% de qué número?

La pregunta puede escribirse en forma equivalente como ¿20 es el 40% de qué número? o ¿el 40% de qué número es 20?

SOLUCIÓN

Resolvemos usando los tres pasos sugeridos: 40 } 100

Paso 1. Escribe el porciento como una fracción con denominador 100 Parte }} Base o Total

Paso 2. Escribe una segunda razón como

Como 20 aparece junto a la palabra es, 20 es el numerador. 20 } . La segunda proporción es Base

Paso 3. Establece la proporción Para resolver la proporción:

20 40 } 5 }} 100 Base o total

40  Base  100  20

1. Multiplica cruzado.

100  20

Base  } 40

2. Divide por 40.

2000

Base  }  50 40

3. Simplifica.

De esta forma, encontramos un número (50), cuyo 40% es 20. Verificación: 40% de 50 = 0.40  50, lo que efectivamente es 20.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com !

5A6

5.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Encontrar porcentajes usando proporciones En los problemas 1 al 14, encuentra el porcentaje usando proporciones. 2. Encuentra el 15% de 80.

3. ¿Qué número es el 150% de 20?

4. ¿Qué número es el 25% de 60?

5. ¿Cuál es el 20% de $30?

6. ¿Cuál es el 95% de 80?

7. Halla el 60% de 45.

8. Encuentra el 120% de $40.

9. El 12}12% de 60 es

10. El

8}14 %

13. Halla el

5B6

de 60 es 16}23 %

.

de 132.

11. El 3.5% de 60 es 14. Encuentra el

.

83}13 %

.

12. El 110.5% de 80 es

.

de 102.

Encontrar el porciento usando proporciones En los problemas 15 al 32, halla el porciento usando proporciones.

15. ¿Qué porciento es 325 de 3250?

16. ¿Qué porciento es 15 de 90?

17. ¿Qué porciento es 16 de 4?

18. ¿Qué porciento es 7 de 28?

19. Halla qué porciento de 50 es 10.

20. Encuentra qué porciento de 40 es 5.

21. ¿Qué porciento de 40 es 8?

22. ¿Qué porciento de 25 es 10?

23. ¿Qué porciento es 6}2 de 26?

24. ¿Qué porciento es 2}14 de 27?

25. 4 es el

26. 20 es el

27. 50 es el 30. $90 es el

% de 25. % de $3600.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 125

28. 45 es el 31. $0.75 es el

% de 5. % de

7}12

.

% de $4.50.

1

29. $50 es el 32. $0.25 es el

% de 40. % de $60. % de $1.50.

ir a www.mathzone.com para más lecciones

1. Halla el 30% de 80.

6Web IT

6Ejercicios

> Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a www.mathzone.com para más lecciones

312

Capítulo 5

5C6

5-26

Porciento

Encontrar la base usando proporciones En los problemas 33 al 54, encuentra la base usando proporciones.

33. ¿30% de qué número es 90?

34. ¿15% de qué número es 60?

35. ¿2}14% de qué número es 18?

36. ¿5}12% de qué número es 22?

37. ¿60 es el 40% de qué número?

38. ¿30 es el 150% de qué número?

39. 30 es el

33}13 %

de un número. Halla el número.

40. 20 es el 66}23 % de un número. Halla el número.

41. Encuentra el número cuyo 120% es 42.

42. Halla el número cuyo 3}14% es 6}12.

43. ¿40% de qué número es 7}12?

44. ¿140% de qué número es 70?

45. ¿4.75% de qué número es 76?

46. ¿3.25% de qué número es 78?

47. ¿100% de qué número es 49?

48. ¿8% de qué número es 3.2?

49.

1 12}2%

50. 33}13% de qué número es 66}23?

de qué número es 37.5?

1

51. 16}23% de qué número es 8?

52. 66}23% de qué número es 33}3?

53. 50 es el 62}12% de un número. ¿Cuál es el número?

54. 60 es el 37}12% de un número. ¿Cuál es el número?

666Usa tus conocimientos Salud cardiaca ¿Cómo puedes medir tu salud cardiaca? Mirando la razón medida de tu cadera. c

8

Para mujeres: Si } ca  } 10 , el riesgo de enfermedades del corazón aumenta.

c } ca,

donde c es la medida de tu cintura y ca es la

c Para hombres: Si } ca  1, el riesgo de enfermedades del corazón aumenta.

55. Una mujer tiene 24 pulgadas de cintura, ¿qué medida de ca haría que su riesgo de enfermedades cardiacas aumente? 8 24 (Pista: Resuelve } ca  } 10 como una proporción)

56. Una mujer tiene 30 pulgadas de cintura. ¿Qué medida de cadera (ca) haría que su riesgo de enfermedades cardiacas aumente?

57. Un hombre tiene 32 pulgadas de cintura. ¿Qué medida de cadera (ca) haría que su riesgo de enfermedades cardiacas aumente? 32 (Pista: Resuelve } ca  1 como una proporción).

58. Un hombre tiene 40 pulgadas de cintura. ¿Qué medida de cadera (ca) haría que su riesgo de enfermedades cardiacas aumente?

666¡Escribe! 59. ¿Qué método usarías para resolver problemas con porcientos? ¿El método usado en la sección 5.2 o proporciones? Explica por qué.

60. En la sección 5.2, tenemos la fórmula P  R  B. Si la tasa se escribe como una fracción con un denominador de 100, explica porciento porción cómo puedes derivar la proporción  base de 100 P R  B.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 61. Para resolver problemas de porcientos usando proporciones, primero escribimos el porciento como una fracción

.

62. Para resolver problemas de porcientos usando proporciones, establecemos la proporción

Porciento  100

Base

porciento } 100 100 } porciento parte porciento

666Prueba de dominio 63. Establece la proporción y resuelve: ¿cuál es el 40% de 80? 65. Establece la proporción y resuelve:

¿3}12%

de qué número es 21?

64. Establece la proporción y resuelve: ¿Qué porciento de 40 es 30?

w

5-27

5.4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

313

666Comprobación de destrezas Escribe como un decimal. 2 66. 66} 3% 2 69. 16} 3%

1 67. 5} 2% 1 70. 33} 3%

1 68. 8} 4%

w

5 .4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

A6

1. Encontrar el porciento de un número. (págs. 300–301, 310) 2. Redondear al centavo más cercano. (págs. 216–217)

Hallar el impuesto a las ventas y el costo total de un artículo.

B6

Hallar el interés simple de una transacción.

C6

Encontrar el interés compuesto en una transacción.

D6

Hallar la comisión en una venta.

E6

Encontrar el descuento y el precio de venta de un artículo.

F6

Resolver aplicaciones con porcientos.

6 Para comenzar El hombre en la historieta está arruinado por los impuestos. Un impuesto es una suma de dinero que recolecta el gobierno y se calcula como un porciento de una suma total.

© The New Yorker Collection 1951 Piet Hein de cartoonbank.com. Todos los derechos reservados.

A 6 Impuesto a las ventas El impuesto a las ventas en una ciudad de Alabama es de 4%, lo que significa que si compras un artículo que cuesta $60, el impuesto será 4% de $60 ︸

0.04 3 $60 5 $2.40 En general, el impuesto a las ventas es igual al producto de la tasa del impuesto a las ventas y el precio de lista.

314

Capítulo 5

Porciento

5-28

IMPUESTO A LAS VENTAS

Impuesto a las ventas = Tasa del impuesto a las ventas  Precio de lista Eso significa que el impuesto es $2.40. Como el impuesto a las ventas siempre se suma al precio que paga el comprador, el costo total del artículo es la suma del precio de lista del ítem y el impuesto a las ventas.

COSTO TOTAL

Costo total = Precio de lista + Impuesto a las ventas Así, el precio total 5 $60 1 $2.40 5 $62.40

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Encontrar el impuesto a las ventas El impuesto a las ventas en Florida es de 6%. ¿Cuánto deberás pagar por un pantalón que cuesta $18.50?

SOLUCIÓN

Si el impuesto a las ventas es de 5%, ¿cuánto deberás pagar por un par de zapatos que cuestan $33?

Como 6% de 18.50 0.06 3 18.50 5 1.1100

El costo total es $18.50 1 $1.11 5 $19.61.

B 6 Interés simple La idea de porcientos también se usa en la actividad bancaria. Por ejemplo, si depositas $300 en un banco que paga 5}14% anual sobre la cantidad depositada, entonces tu interés simple (la cantidad que el banco te paga por usar tu dinero) al final del año se computa usando la fórmula I5P3T3D Interés simple Principal Tasa Duración

En nuestro ejemplo, I

5

300 Capital (suma depositada)

3

1 5} 4%

3

Tasa de interés anual

1 Duración (años)

Así, I 5 $300 3 0.0525 3 1 5 $15.7500 5 $15.75 Por supuesto, puedes usar la misma idea para pedir prestado dinero al banco. Por ejemplo, si pides prestados $600 por cuatro meses, a un interés anual de 12%, el interés que tienes que pagar es I5P3T3D

Respuestas a los PROBLEMAS 1. $34.65

4 I 5 $600 3 12% 3 } 12 1 5 $600 3 0.12 3 } 3 5 $24

Nota que la duración debe ser en años y 4 meses 4 ó }13 de un año. es } 12

5-29

5.4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

EJEMPLO 2 Hallar el interés simple I Halla el interés simple ganado en una inversión de $1600 a una tasa anual de 9.5%, por tres meses. SOLUCIÓN

1 I 5 P 3 T 3 D 5 $1600 3 9.5% 3 } 4 1 5 $1600 3 0.095 3 } 4 5 $38

3 meses es

3 } 12

315

PROBLEMA 2 Halla el interés simple pagado en un préstamo de $1200 a una tasa anual de 8.5%, por 4 meses.

5 }14 de año.

C 6 Interés compuesto El proceso para calcular el interés sobre el interés ganado se llama interés compuesto. Para ilustrar la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, imagina que inviertes $100 por un año a un interés simple de 7%. Al finalizar el año, tu interés será I 5 PTD, donde P 5 $100, T 5 7% 5 0.07, y D 5 1, ó I 5 100 3 0.07 3 1 5 $7. Ahora imagina que inviertes los mismos $100 a un interés compuesto de 7% cuatrimestral (cuatro veces al año). Aun cuando la tasa anual es de 7% = 0.07, el tiempo es }14 7% del año, por lo que la tasa por cada cuatrimestre es de } 4 5 0.0175. El cálculo del interés compuesto para cada cuatrimestre es el siguiente. $100 3 0.0175 ____________ $1.75

Capital Tasa por cuatrimestre Interés primer cuatrimestre

$101.75 3 0.0175 ____________ $1.780625

Capital ($100 1 $1.75) Tasa por cuatrimestre Interés segundo cuatrimestre

$103.53 3 0.0175 ____________ $1.811775

Capital ($101.75 1 1.78) Tasa por cuatrimestre Interés tercer cuatrimestre

$105.34 3 0.0175 ____________ $1.84345

Capital ($103.53 1 $1.81) Tasa por cuatrimestre Interés cuarto cuatrimestre

Así, el interés compuesto total para los cuatro cuatrimestres es $1.75 1 $1.78 1 $1.81 1 $1.84 < $7.18.

EJEMPLO 3 Encontrar el interés compuesto Encuentra el interés compuesto total y la suma final compuesta de una inversión de $100 al 8% compuesto semestral (dos veces al año), por 2 años. SOLUCIÓN

8% Aquí P 5 $100, T 5 8%, y la tasa semestral es } 2 5 4% 5 0.04.

$100 0.04 $4.00

Capital Tasa semestral Interés primer semestre

3

$104 0.04 $4.16

Capital ($100 1 $4) Tasa semestral Interés segundo semestre

3

$108.16 0.04 $4.3264

Capital ($104 1 $4.16) Tasa semestral Interés tercer semestre

3

$112.49 0.04 $4.4996

Capital ($108.16 1 $4.33) Tasa semestral Interés cuarto semestre

3

El interés compuesto total es $4 + $4.16 + $4.33 + $ 4.50 = $16.99, y la suma compuesta total es $100 + $16.99 = $116.99

PROBLEMA 3 Halla el interés compuesto total y la suma final compuesta de una inversión de $100 al 6% compuesto semestral (dos veces al año), por 2 años.

Respuestas a los PROBLEMAS 2. $34

3. $12.55; $112.55

316

Capítulo 5

5-30

Porciento

En el ejemplo 3, multiplicamos el capital C por la tasa para ese periodo. La tasa por periodo i se define como: Tasa por periodo i Tasa nominal i 5 }}} Número de periodos del año 8%

Así, el 8% compuesto semestralmente rinde i = } 2 = 4% por periodo. Los cómputos en el ejemplo 3 pueden sintetizarse si usas la siguiente fórmula para encontrar la suma compuesta A Suma compuesta A A 5 C(1 1 i)n En esta fórmula, A es la suma compuesta, C el capital, i es la tasa por periodo y n el número de periodos. Aquí está la derivación. Deja que I sea el interés compuesto; C, el capital original; i, la tasa por periodo; y A1 la suma compuesta al final del primer periodo. I 5 Ci

Interés para el primer periodo

A1 5 C 1 I 5 C 1 Ci

Sustituye Ci por 1.

5 C(1 1 i)

Usa la propiedad distributiva.

Al finalizar el segundo periodo, la suma compuesta A2 es A2 5 A1 1 A1i 5 A1(1 1 i)

Usa la propiedad distributiva.

5 C(1 1 i)(1 1 i)

Sustituye C(1 1 i) for A1.

5 C(1 1 i)

Sustituye (1 1 i)2 por (1 1 i)(1 1 i)

2

Si continuamos este procedimiento, después de n periodos An será An 5 C(1 1 i)n.

FÓRMULA PARA EL MONTO COMPUESTO A

El monto compuesto A para una tasa i por periodo aplicado a un capital C por n periodos está dada por

A 5 C(1 1 i)n

Ahora, resolvamos el ejemplo 3 usando esta fórmula. Así, C 5 $100, 8% i5} 2 5 4% 5 0.04, y n 5 2 3 2 5 4 (dos años, semestral). A 5 $100(1 1 0.4)4 5 $100(1.04)4 5 $100 3 1.16985856 < $116.99

5-31

5.4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

EJEMPLO 4 Hallar el monto compuesto usando la fórmula Encuentra el monto compuesto y el interés compuesto cuando se invierten $5000 a un interés compuesto de 6% semestral, por 3 años. SOLUCIÓN

6%

Aquí C 5 $5000, i 5 } 2 5 3% 5 0.03, y n 5 6 periodos.

A 5 $5000(1 1 0.03)6 5 $5000(1.03)6 5 $5000 3 (1.03 3 1.03 3 1.03 3 1.03 3 1.03 3 1.03) < $5000(1.19405230) < $5970.26

317

PROBLEMA 4 Encuentra el monto compuesto y el interés compuesto cuando se invierten $10,000 a un interés compuesto de 8% semestral, por 2 años.

El interés compuesto I 5 A 2 C 5 $5970.26 2 $5000 5 $970.26.

D 6 Comisiones Los porcientos también son usados como incentivos para que los vendedores realicen más ventas. Esto se hace dando a los vendedores una parte de ellas, llamada comisión. Esta comisión se establece como un porciento de los ingresos por ventas. En Florida, por ejemplo, los vendedores de bienes raíces reciben un 7% de comisión por cada venta. Así, si venden una casa valuada en $95,000, la comisión es 7% de $95,000 ︸

0.07 3 95,000 5 $6650 En general, la comisión es igual al producto de la tasa de comisión por el precio de venta.

COMISIÓN

Comisión  Tasa de comisión  Precio de venta

EJEMPLO 5 Hallar comisiones La concesionaria de carros Move–and–Go paga un 8% de comisión a sus vendedores por las ventas que realizan. ¿Cuál será la comisión en la venta de un carro que cuesta $2499.95?

PROBLEMA 5 Encuentra la comisión en una venta de $1599.95 si la tasa de comisión es de 6%.

SOLUCIÓN

La comisión es el 8% de $2499.95: 0.08 3 $2499.95 5 $199.9960 Si redondeamos $199.9960, encontramos que la comisión será de $200.

E 6 Descuentos Como mencionamos antes, los porcientos se usan para atraer compradores a las tiendas. Una oferta de “20% menos”, esto es, un descuento de 20%, significa que los precios 20 1 } regulares fueron reducidos en un 20% 5 } 100 5 5. Así, si el precio regular, o de lista, de un artículo es de $50 y el artículo se ofrece en oferta con un 20% de descuento, el descuento es 20% de $50 ︸

0.20 3 $50 5 $10.00 Precio especial = Precio regular – Descuento 5 $50 2 $10 5 $40 Así, el precio especial del artículo es de $40. Respuestas a los PROBLEMAS 4. $11,698.59; $1698.59 5. $96

318

Capítulo 5

5-32

Porciento

EJEMPLO 6 Encontrar descuentos y precios especiales Encuentra el descuento y el precio especial de un artículo que regularmente se vende por $ 12.50, y se está promocionando con el 10% de descuento. SOLUCIÓN

PROBLEMA 6 Encuentra el descuento y el precio especial de un artículo de $ 8.50, que se vende con el 20% de descuento.

El descuento es de 10% de $12.50: 0.10 3 $12.50 5 $1.25 Así, el precio especial es $12.50 2 $1.25 5 $11.25.

F 6 Aplicaciones de porcientos ¿Sabes qué significa una propina? En restaurantes, los comensales dan propinas de entre el 10% y el 25% del total de la cuenta. A continuación, ilustramos cómo calcular las propinas.

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

SOLUCIÓN

La cuenta total por una comida es de $60.70. Si quieres dejar una propina de 20%, ¿de cuánto sería ésta? (responde al centavo más cercano).

Calcular la propina La cuenta total por una comida es de $38.50. Si quieres dejar una propina de 15%, ¿cuánto deberías dejar? Tenemos que hallar el 15% de $38.50. 0.15 3 $38.50 5 $5.775 5 $5.78 (Al centavo más cercano)

(Por razones prácticas, probablemente dejarás una propina de $5.75 o $6)

Rincón de la calculadora Una calculadora es muy conveniente cuando calculas impuestos, intereses, comisiones y descuentos. Tomemos cada uno de los problemas por separado. Por ejemplo, para resolver el ejemplo 1, encuentra cuánto debes pagar por un ? pantalón que cuesta $18.50, si el impuesto a las ventas es de 6%, simplemente digitando % . La respuesta final, $19.61, aparecerá en la pantalla. Si tu calculadora no tiene una tecla %, podrías tener que usar las teclas M y MR . Estas teclas guardan números en su memoria, y luego los recuerda. Imagina que quieres resolver el ejemplo 1 con una calculadora. Digitas. ? ? M . Aquí la calculadora guardó el 18.50 y tomó 6% de los 18.50. La pantalla muestra 1.11. Ahora digita y la calculadora sumará el número guardado (18.50) a 1.11, MR resultando $19.61, como antes. Si tu calculadora tiene una tecla y x (una tecla de potencia), la cantidad (1.03)6 que aparece en el ejemplo 4 puede yx ? . Obtendrás 1.19405230. obtenerse de la siguiente manera:

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 5.4 5A6

Impuesto a las ventas

> Self-Tests > e-Professors > Videos

En los problemas 1 al 8, resuelve los problemas de impuesto a las ventas.

1. El impuesto a las ventas en Alabama es de 4%. Encuentra el costo total de un carro usado de $3500.

2. El impuesto a las ventas en Florida es de 6%. Encuentra el costo total de una lámpara que se vende a $15.50.

3. El impuesto a las ventas en Georgia es de 4%. ¿Cuál es el precio total de un artículo que se vende a $12.50?

4. Uno de los carros más caros construidos, el Lincoln Presidencial Continental Ejecutivo, cuesta $ 500,000. Si al momento de comprar este carro se debe pagar 7% de impuestos, ¿cuál es el impuesto sobre el carro?

Respuestas a los PROBLEMAS 6. Descuento: $1.70; precio de oferta: $6.80 7. $12.14

5-33

5.4

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

319

8. Un hombre pagó $3520 de impuestos por los ingresos. Su salario anual es de $16,000. ¿Qué porciento de sus ingresos fueron para impuestos?

5B6

Interés simple

Capital

En los problemas 9 al 16, halla el interés simple. 17. En un año, el interés bancario más alto fue el de Brasil, de 106%.

Tasa anual o interés

Tiempo

$200

12%

1 año

10.

$250

16%

3 años

11.

$400

15%

}2 año

12.

$1200

9%

3 meses

13.

$1500

15%

2 meses

14.

$900

13%

4 meses *

b. ¿Cuánto interés simple pagarás por un préstamo de $2500 a dos años usando una tasa de interés de 106%?

1

15.

$300

9%

60 días

16.

$900

16%

30 días*

* Asume que un año tiene 360 días.

5C6

Interés compuesto

18. En junio de 2004, la tasa de inversión (intereses que los bancos se cobran entre sí) fue la más baja en 46 años, de 1%. a. ¿Cuánto ganarías de interés simple si depositaras $600 por un año a esta tasa? b. ¿Cuánto pagarías de interés simple por un préstamo a dos años de $4000 a una tasa de 1%? 19. El señor García tiene un bono de $1000 al 8% de interés anual. ¿Cuánto recibirá de interés simple en dos años? 20. El señor Lang pidió prestado $150 a un interés de 10% por dos años. ¿Cuánto pagó de interés simple?

En los problemas 21 al 25, usa la fórmula del interés compuesto, A 5 C(1 1 i)n.

21. Una compañía pequeña de software invierte $5000 por dos años, a una tasa compuesta de 10% semestral. ¿Cuál será la suma compuesta al finalizar este periodo?

22. Un certificado de depósito por $1000 a 3 años rinde un 12% de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero valdrá al finalizar los 3 años?

23. Douglas Thornton invirtió $50,000 a una tasa compuesta de 10% semestral, por un periodo de 2 años. ¿Qué suma recibirá al finalizar los 2 años?

24. María Rodríguez depositó $1000 en su cuenta el 1 de abril. El banco pagaba el 6% de interés compuesto mensual.

25. Jorge Riopedre compró un certificado de depósito de $500 el 1 de mayo. Si el certificado pagaba el 12% de interés compuesto mensual, ¿cuál era su saldo el 1 de julio?

b. El 1 de junio, María hizo un depósito y su nuevo balance fue de $1500. ¿Cuánto depositó?

5D6

a. ¿Cuál era su balance el 1 de junio?

Comisiones En los problemas 26 al 30, resuelve los problemas de comisiones.

26. Howard Hues, un vendedor de pintura, gana una tasa de 10% por comisiones de venta. ¿Cuál es su comisión si vende $4800 en pinturas?

27. Dan Driver, un vendedor de carros, gana una tasa de 8% por comisiones de venta. ¿Qué cantidad de dinero gana cuando vende un carro de $3500?

28. Connie Dominion, una agente de bienes raíces, vende una casa por $37,000. La tasa de comisión que gana es de 3.5%. ¿Cuánto es su comisión?

29. Carros Toy paga a sus vendedores $500 por mes, más una comisión de 2% por cada venta. Si una persona vende sólo un carro por $6300, ¿cuál fue el salario total mensual de esa persona?

30. Uno de los diamantes más caros vendidos en una subasta lo compró Cartier de Nueva York por $1,050,000. Si el vendedor recibió un 2% de comisión, ¿de cuánto fue su comisión?

5E6

Descuentos En los problemas 31 al 35, resuelve los problemas sobre descuentos.

31. Un artículo regularmente se vende por $14.50. Si está en especial con el 10% de descuento, ¿cuánto tendrás que pagar ahora por ese artículo? 33. Una nevera rayada, cuyo precio regular es de $460, se vendió con un 10% de descuento. ¿Cuál es su precio nuevo? 35. Una factura por $250 ofrece un 2% de descuento si se cancela dentro de 60 días. ¿De cuánto es el descuento?

32. Una lámpara de $15 se vende en especial con el 20% de descuento. ¿Cuál es el precio especial de la lámpara? 34. Mary Smith debe $500 en su cuenta. Pagó la suma total y recibió un 3% de descuento por pago anticipado. ¿De cuánto fue el descuento?

para más lecciones

9.

a. ¿Cuánto interés simple ganarás si depositas $500 por un año a este interés?

www.mathzone.com

7. El precio de compra de un anillo fue de $1500, sin impuestos. El impuesto a las ventas fue de $60. ¿Cuál era la tasa del impuesto a las ventas?

ir a

6. El impuesto a la venta de un carro fue de $150 y la tasa de impuesto a la venta era de 5%. ¿Cuál fue el precio de compra del carro sin impuestos?

6Web IT

5. Uno de los precios más altos pagados por una botella de vino, de cualquier tamaño, fue de $13,200. Si el impuesto a las ventas era de 5%, ¿cuánto fue el impuesto de la botella de vino?

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

320

Capítulo 5

5F6

5-34

Porciento

Aplicaciones de porcientos

36. Propinas La cuenta total de una comida es de $30.40. Si decides dejar una propina de 10%, ¿cuánto deberás dejar? (responde redondeando al centavo más cercano).

37. Propinas La cuenta en un restaurante fue de $80.30. Si el servicio fue excepcionalmente bueno y decidiste dejar una propina de 25%, ¿de cuánto fue la propina? (responde redondeando al centavo más cercano).

38. Propinas Una comida para dos personas en un restaurante elegante costó $ 73.40. Decides dejar una propina de 15% y dividir la cuenta.

39. Propinas Una comida de cumpleaños para 8 personas costó $82.50. Para grupos de ocho o más personas se suma a la cuenta un 15% de cargos por servicio. Al centavo más cercano, ¿de cuánto es el cargo por servicio?

a. ¿De cuánto es la propina? b. Al centavo más cercano, ¿cuánto deberá pagar cada persona? 40. Consejos sobre propinas Imagina que tu cuenta en un restaurante fue de $54. Si quieres dejar un 10% de propina, simplemente mueves el punto decimal una posición a la izquierda en $54, obteniendo $5.40: la propina.

41. Consejos sobre propinas Recibes un buen servicio y dejarás el 25% de propina en tu cuenta de $54. a. ¿Cuánto es la propina b. ¿Hay algún atajo para calcular la propina de 25%? ¡Por supuesto! Duplica el 10% (los $5.40) y luego saca la mitad (}12 de 10% 5 5%). Tu propina es ahora de 20% 1 5% de 25%. Escribe una expresión que resulte en una propina de 25%.

a. ¿De cuánto será la propina si decides dejar el 20%? b. Como el 20% = 2  10%, una forma rápida será duplicar $5.40. ¿Cuál es la propina en este caso? ¿Obtienes la misma respuesta que en la parte a?

42. Consejos sobre propinas Imagina que tu cuenta por una comida es de $64. Llena los espacios de la tabla con la expresión para calcular la propina y luego simplifica la expresión. Verifica sacando el 10%, el 15%, el 20% y el 25% de $74.

c. Simplifica la expresión que creaste en la parte b ¿Obtienes la misma respuesta que en a? 43. Consejos sobre propinas Existe otro atajo basado en el impuesto que se suma a la cuenta. Por ejemplo, imagina que tu cuenta fue de $62 y se le sumó automáticamente el 6% de impuesto a. ¿Cuánto es el impuesto?

10% propina

b. Si quieres dejar una propina de 12%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

15% propina 20% propina

c. Si quieres dejar una propina de 18%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

25% propina 44. Consejos sobre propinas Imagina que tu cuenta fue de $80 y se le sumó automáticamente el 7% de impuestos a. ¿Cuánto es el impuesto?

45. Consejos sobre propina Imagina que tu cuenta fue de $58 más 8%.

b. Si quieres dejar una propina de 14%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

b. Si quieres dejar una propina de 16%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

c. Si quieres dejar una propina de 21%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

c. Si quieres dejar una propina de 12%, ¿cuánto dinero dejarás de propina?

a. ¿De cuánto es el impuesto?

666Usa tus conocimientos Ingresos tributables Más temprano que tarde (probablemente más temprano) deberás pagar al gobierno el impuesto federal sobre los ingresos. Estos impuestos se pagan sobre tus ingresos tributables, a los que se llega siguiendo los pasos del formato 1040 de Impuesto Federal sobre los Ingresos. Después de encontrar tus ingresos tributables, podrían requerirte usar la tabla Y-1. Si los ingresos tributables

El impuesto es Entonces

Tabla Y-1— Casados que rinden planilla conjunta o viudos que cualifiquen

Es mayor de

Pero no mayor de

Esta cantidad

Más este %

Del excedente sobre

$0 $14,000 $56,800 $114,650 $174,700 $311,950

$14,000 $56,800 $114,650 $174,700 $311,950 —

$0.00 $1,400.00 $7,820.00 $22,282.50 $39,096.50 $84,389.00

10% 15% 25% 28% 33% 35%

$0.00 $14,000 $56,800 $114,650 $174,700 $311,950

5-35

5.4

Para obtener las tasas de impuestos más recientes, ve a http://www.irs.gov. Imagina que tus ingresos tributables son de $12,000. Tus impuestos son de 10% de esa cantidad (primera línea, 0 a $14,000): 0.10 3 $12,000 5 $1200

Ingresos tributables

Impuestos, intereses, comisiones y descuentos

321

Si tus ingresos tributables son de $40,000, estás entre $14,000 y $56,800 (segunda línea). Tus impuestos son $1400 1 15% de la suma por encima de $14,000 5 $1400 1 0.15 3 ($40,000 2 $14,000) 5 $1400 1 0.15 3 $26,000 5 $1400 1 $3900 5 $5300

En los problemas 46 al 51, encuentra el impuesto para cada ingreso tributable.

46. $20,000

47. $25,000

48. $50,000

49. $60,000

50. $80,000

51. $100,000

666¡Escribe! 52. ¿Cuáles son las tres variables (factores) que se usan para calcular el interés simple? 54. Qué inversión es mejor para ti: $10,000 invertidos a una tasa de 5% de interés compuesto semestral o $10,000 invertidos al 4% de interés compuesto mensual. Explica por qué.

53. Escribe con tus propias palabras qué sería mejor para ti: tomar un artículo con el 20% de descuento, o tomarlo con un 10% de descuento y luego el 10% de descuento del precio reducido. 55. La mayoría de las personas dan una propina de 10%, el 15% o el 20% del total de la cuenta (ver problema 42). a. En tus propias palabras, explica la regla para encontrar el 10% de cualquier cantidad. (Pista: Es cuestión de mover el punto decimal.) b. Basado en la regla de la parte a, establece una regla que pueda usarse para encontrar el 15% de cualquier cantidad. c. Basado en la regla de la parte a, establece una regla que pueda usarse para encontrar el 20% de cualquier cantidad.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. En los problemas 56 al 59 usaremos la fórmula A 5 C(1 1 i)n. 56. En la fórmula, A representa el 57. En la fórmula, C es el

. .

58. En la fórmula, i es la tasa por

.

59. La tasa por periodo i es el cociente de la tasa nominal y el número de periodos por

mes

interés

periodo

capital

cantidad

año

.

666Prueba de dominio 60. La cuenta total de una comida es de $78.50. Si quieres dejar una propina de 15%, ¿cuánto dinero (al centavo más cercano) deberás dejar como propina?

61. Halla el descuento y el precio especial de un libro que se vende por $80 y se ofrece con el 12% de descuento.

62. Beverly es una agente de bienes raíces en Florida, y vende una casa valorada en $105,000. Si su comisión es de 7%, ¿cuánto ganó de comisión?

63. Halla el monto compuesto y el interés compuesto cuando se invierten $10,000 a una tasa compuesta de 4% semestral por 2 años.

64. Encuentra el interés simple pagado por un préstamo de $1200 al 6% por 3 meses.

65. El impuesto a las ventas en California es de 7.25%. Encuentra el costo total (precio más impuesto) de un par de zapatos deportivos que cuestan $120.

322

Capítulo 5

5-36

Porciento

666Comprobación de destrezas En los problemas 66 al 71 71, da la respuesta al porciento más cercano cercano. 66. ¿Qué porciento de 52 es 30?

67. ¿Qué porciento de 48 es 80?

68. Encuentra qué porciento de 62 es 30.

69. Encuentra qué porciento de 72 es 40.

70. ¿15 es qué porciento de 22?

71. ¿25 es qué porciento de 30?

5. 5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

Encuentra qué porcentaje de un número es otro. (págs. 300–301, 310)

B6

Resolver problemas con porcientos de crecimiento o decrecimiento. Resolver aplicaciones con porcientos de crecimiento o decrecimiento.

6 Para comenzar ¿La matrícula de tu universidad está subiendo? La tabla muestra el crecimiento anual proyectado en matrícula y cargos de pregrados en universidades públicas y privadas de 4 años de duración. ¿Cuál fue el aumento de matrícula y cargos en universidades públicas en un periodo de 10 años? Lo encontraremos ahora. Si los costos siguen subiendo a este ritmo, la matrícula y los cargos se duplicarán en los próximos 10 años.

Crecimiento proyectado anual en matrícula y cargos de pregrado en universidades públicas y privadas de 4 años de duración (1995–1996 a 2005–2006) 35

Dólares (en miles)

A6

30

Privadas 25 20 15

$14,200 $7400

10

Públicas

5 95–96

97–98

99– 00

01– 02

03– 04

05– 06

Año Fuente: Datos de Prudential Financial.

A 6 Porciento de crecimiento o decrecimiento De acuerdo con la gráfica de Para comenzar, para encontrar el crecimiento sobre un periodo de 10 años, mira los costos en 1995–1996 ($7400) y los costos en 2005–2006 ($14,200). El crecimiento es $14,200$7400$6800. El porciento de crecimiento en 1995–1996 es $6800 34 Crecimiento }  }  92% Sobre 95–96 $7400 37

0.918 37 qw 34.000 33 3 70 37 330 296 34

5-37

5.5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

323

Aquí está la regla que usamos

PARA HALLAR UN PORCIENTO DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO 1. Halla la cantidad de crecimiento o decrecimiento 2. Divide por la cantidad original. 3. Escribe la respuesta del paso 2 como un porciento.

EJEMPLO 1

Calcular el porciento de crecimiento En un periodo de 4 años, las ventas de zapatos deportivos subieron de $1.8 billones a $3 billones. Halla el porciento de crecimiento (al porciento más cercano).

SOLUCIÓN

Seguimos los tres pasos dados:

Paso 1. La cantidad de crecimiento es en billones 3.0  1.8  1.2 Paso 2. La cantidad original es 1.8. Dividimos la cantidad de crecimiento (1.2) por 1.8: 0.666 1. 2 000 1.8 qw 108 1 20 1 08 120 108 12 Paso 3. Escribe 0.666 como 67%.

PROBLEMA 1 El último año, las ventas de zapatos deportivos creció de $3 billones a $4.3 billones. Encuentra el porciento de crecimiento, al porciento más cercano.

Los porcientos de crecimiento y decrecimiento se usan en los negocios y en otros campos. Por ejemplo, el Promedio Industrial Dow Jones (DJIA) sigue los precios de 30 acciones líderes y se supone que indica las tendencias de las acciones individuales. El 19 de octubre de 1987, el mercado tuvo el porciento de decrecimiento más grande de la historia (hasta el momento). Ahora calculamos el porciento de decrecimiento de los precios de las acciones.

EJEMPLO 2

Calcular el porciento de decrecimiento El 19 de octubre de 1987, el DJIA bajó de 2246 a 1738. Al porciento más cercano, ¿cuál fue el porciento de decrecimiento?

SOLUCIÓN

Como antes, usamos los tres pasos:

Paso 1. El monto de decrecimiento es: 2246  1738  508 Paso 2. Dividimos el decrecimiento (508) por la suma original (2246): 0.226 2246 qw 508.000 449 2 58 80 44 92 13 880 13 476 404 Paso 3. Escribe 0.226 como 23%. (respuesta en porciento) Por tanto, el mercado disminuyó 23%.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 43%

2. 7%

PROBLEMA 2 La baja más grande en un solo día del DJIA ocurrió el 17 de septiembre de 2001. Ese día, el DJIA bajó de 9606 a 8921. Al número cardinal más cercano, ¿cuál fue el porciento de decrecimiento? Nota: La baja de ese día fue mayor que los 508 puntos del 19 de octubre de 1987. En razón del porcentaje, de todas formas, la baja de octubre de 1987 fue mucho más grande.

324

Capítulo 5

5-38

Porciento

B 6 Aplicaciones con porcientos de crecimiento o decrecimiento

¿Gastas mucho dinero en entretenimiento? En el 2002, hogares con muchos niños gastaron en promedio $2100 anualmente en entretenimiento (esto incluye entradas a parques, teatros, cines, etc., y el costo de televisores, equipos de música, y otros equipos electrónicos). ¿Aumentarán estos costos? Sigue leyendo.

EJEMPLO 3

Calcular el porciento de crecimiento Se estima que las cantidades que se gastan en entretenimiento subirán en un 33}13% en la próxima década. Si hoy estamos gastando $2100 por año, ¿cuánto gastaremos en la próxima década?

SOLUCIÓN Esta vez, debemos encontrar la cantidad de crecimiento. Como ahora gastamos $2100, en una década estaremos gastando 1 2100  33} 3% of 2100 1  2100  } 3  2100 2100  2100  } 3  2100  700

PROBLEMA 3 Las sumas totales que se gastan en viajes de negocios y entretenimiento aumentarán el 21% en un periodo de 2 años. Si este año se gastaron $95 billones, ¿cuántos billones de dólares se gastarán en dos años? (responde al billón más cercano).

 2800 En una década, estaremos gastando $2800.

EJEMPLO 4

Calcular el porciento de crecimiento ¿Realmente conviene tener una educación universitaria? ¡Mira la gráfica! Las barras marrones (abajo) representan las ganancias anuales de todos los trabajadores. Si no fueras un graduado de escuela superior, tus ganancias anuales serían de $18,900. Si tienes un grado universitario, tus ingresos anuales serían de $45,400. ¿Cuál es el porciento de crecimiento en el salario anual por tener un grado universitario comparado con no estar graduado de escuela superior?

SOLUCIÓN Para encontrar el porciento de crecimiento, mira las ganancias de un trabajador con un grado universitario ($45,000). La diferencia es $45,400 2 $18,900 5 $26,500. El porciento creciente es Incremento Sin escuela superior

$26,500 }  140% $18,900

3. $115 billiones

4. 188%

Halla el porciento de crecimiento (al porciento más cercano) en un salario anual entre un trabajador que no se graduó de escuela superior y un trabajador con un grado de maestría.

Promedio de ingresos anuales por nivel educativo 89,400 81,400

Doctorado

1.402 26 500.000 18900 qw 18 900 7 600 0 7 560 0 40 000 37 800 2 200

Así, el porciento creciente en cuanto al pago para alguien con un grado universitario sobre el que no tiene un diploma de escuela superior es de alrededor de 140%. Eso es, un trabajador con un grado universitario gana el 140% ($26,500) más que un trabajador que no se graduó de escuela superior.

Respuestas a los PROBLEMAS

PROBLEMA 4

109,600 99,300

Grado profesional Maestría Universitario

62,300 54,500 52,200 45,400

Grado asociado

38,200 33,000

Algunos créditos universitarios

36,800 31,200

Graduado de escuela Superior Sin graduarse

30,400 25,900 23,400 18,900

Jornada completa trabajadores permanentes Todos los trabajadores

5-39

5.5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

325

Ahora, imagina que quieres comprar un carro nuevo, pero no quieres pagar el precio completo. En cambio, tu meta es pagar el precio de venta al por mayor. ¿Cómo puedes hacerlo? Primero, puedes ir a uno de los sitios de internet más populares y encontrar el precio base y el precio sugerido por el fabricante del carro que quieres. La información en la tabla es para un Honda Accord coupé. A los $100 más cercanos, el precio base es $20,300 y el precio sugerido es $22,600. ¿Cuál es el porciento de crecimiento entre los dos precios? Lo hallaremos en el ejemplo 5. Fuente: Data from Carprices.com. 2006 EX 2dr

EJEMPLO 5

Calcular porcientos de crecimiento Encuentra el porciento de crecimiento entre un precio base de $20,300 y el precio sugerido de $22,600.

SOLUCIÓN Esta vez, la diferencia es: $22,600  $20,300  $2300

Honda Coupe

Accord (2.4L 4cyl 5M)

Precio sugerido

Lista

$22,550

$20,299

PROBLEMA 5 Halla el porciento de crecimiento entre un precio base de un carro de $25,200 y su precio sugerido de $27,700 (redondea la respuesta al porciento más cercano).

Precio al por menor sugerido por el distribuidor PMSD

precio al por mayor $2300 El porciento de crecimiento sobre la base es: }  11% (verifica esto) $20,300

Así, el vendedor está ganando alrededor de 11% (el porciento de crecimiento) sobre el precio base. Si compras el carro del ejemplo 5, ¿cuánto esperas obtener por él al final del año? Se estima que un carro nuevo pierde entre el 15% y el 20% de su valor el primer año. Esta disminución se llama depreciación. Así, si compras el carro del ejemplo 5 por el precio de lista de $20,300, al final de un año el carro se depreciará entre el 15% de $20,300 ($3045) y el 20% de $20,300 ($4060). Por la depreciación, debes esperar obtener entre $17,255 ($20,300 2 $3045) y $16,240 ($20,300 2 $4060) por ese carro un año más tarde. Miremos un ejemplo con información real.

EJEMPLO 6

Calcular el porciento de decrecimiento: depreciación El precio base de un Ford Taurus nuevo es alrededor de $19,000, de acuerdo con el libro Azul Kelley. El precio por mayor de un Ford Taurus con sólo 100 millas de recorrido es de $15,400, $3600 menos de su precio original. ¿Cuál es el porciento de depreciación de este carro?

SOLUCIÓN La diferencia es: $19,000  $15,400  $3600 Nuevo

Usado

$3600 El porciento de decrecimiento sobre la base es: }  19%. $19,000 Así, la depreciación después de recorrer sólo 100 millas en el carro es un enorme 19%. Fuente: Bankrate.com. Respuestas a los PROBLEMAS 5. 10%

6. 25%

PROBLEMA 6 El precio de un carro disminuye de $20,000 a $15,000 después de recorrerlo sólo 500 millas. ¿Cuál es el porciento de depreciación del carro?

326

Capítulo 5

5-40

Porciento

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com !

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 5.5 5A6

> Practice Problems > NetTutor

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Porciento de crecimiento o decrecimiento En los problemas 1 al 13, da la respuesta al porciento más cercano.

1. Un programador de computadoras recibe un aumento de $4000. Si su salario previo era de $20,000, ¿cuál fue el porciento de crecimiento de su salario?

2. Félix Pérez recibió un aumento anual de $1750 del Estado. Si su salario era de $25,000 antes del aumento, ¿qué porciento de aumento recibió?

3. En un periodo de 2 años, el número de hogares con el canal de televisión ESPN fue de 60 a 70 millones. Encuentra el porciento de crecimiento de hogares con ESPN.

4. En un periodo de 2 años, el número de hogares con el canal ESPN fue de 50 a 60 millones. ¿Qué porciento de crecimiento de hogares con ESPN es eso?

5. Se estima que el número de pasajeros en el aeropuerto O’Hare de Chicago aumentará, en un año de 72 a 73 millones. ¿Cuál es el porciento de crecimiento de pasajeros previsto?

6. El número estimado de pasajeros del aeropuerto de Atlanta en el 2005 será de 85 millones, mayor que el del presente, de 80 millones. ¿Cuál es el porciento de crecimiento de pasajeros previsto?

7. Durante un periodo de 2 años, la ganancia promedio por hora de los trabajadores de la construcción creció de $18.27 a $19.02. ¿Cuál es el porciento de crecimiento?

8. Durante un periodo de 2 años, los salarios de los trabajadores gubernamentales aumentaron de $20,687 a $ 21,187. ¿Cuál es el porciento de crecimiento?

9. En los tres primeros meses de un año, el DJIA creció de 10,000 a 10,400. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento?

10. La caída de la bolsa de 1929 mandó los precios de un pico semanal de 380.3, en agosto de 1929, a uno semanal de 41.6, el 4 de julio de 1932. Al porciento más cercano, ¿cuál fue la baja en los precios?

11. Durante el año, el número de reclamos por equipajes extraviados por cada 1000 pasajeros en las 10 aerolíneas más grandes bajó de 4.5 en febrero a 3.85 en marzo. Encuentra el porciento de decrecimiento en los reclamos.

12. De acuerdo con el vicepresidente ejecutivo de United Airlines, un vuelo desde el aeropuerto de La Guardia en Nueva York al aeropuerto O’Hare de Chicago tomó 130 minutos, hace 5 años. Hoy, con aviones de la misma velocidad y viajando la misma distancia, toma 140 minutos. ¿Cuál es el porciento de crecimiento en el tiempo que toma viajar desde Nueva York a Chicago?

13. Durante los primeros 6 meses del año, en United Airlines el número de reclamos por equipaje extraviado por cada 1000 pasajeros disminuyó de 5.07 a 3.66. Encuentra el porciento de decrecimiento en los reclamos.

5B6

Aplicaciones con porcientos de crecimiento o decrecimiento Expresa las respuestas al porciento más cercano.

14. Incremento en supercentros ¿Estuviste alguna vez en una tienda llamada Supercentro? En un periodo de 8 años, el número de supercentros creció de 150 a 1200. ¿Cuál es el porciento de crecimiento en el número de supercentros en un periodo de 8 años? Fuente: ACNielsen.

15. Crecimiento de las tiendas de dólar Desde 1993 a 2006, el número de tiendas de dólar creció de 3650 a 16,000. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento de tiendas de dólar entre 1993 y 2006? Fuente: ACNielsen.

16. Aumento de la población La población total de Estados Unidos crecerá de 288 millones en 2005 a 404 millones en 2050. ¿Cuál es el porciento de crecimiento de la población?

17. Aumento de la población hispana La población hispana en Estados Unidos crecerá de 38 millones en 2005 a 98 millones en 2050. ¿Cuál es el porciento de crecimiento?

18. Aumento en las citas La categoría de contenido pago más grande de internet es personales/citas. El ingreso en esa área creció de $72 millones a $302 millones. a. ¿Cuál es el porciento de crecimiento? b. Si tienes un sitio de internet de cuestiones personales/citas y tus ingresos eran de $10,000, ¿de cuánto esperarías que fueran tus ingresos el próximo año basado en la respuesta a la parte a?

19. Aumento en el contenido en línea El número de consumidores en Estados Unidos que pagan por contenidos en línea creció de 10 a 13 millones a. ¿Cuál es el porciento de crecimiento? b. Si tienes un sitio de internet con 300 clientes que pagan, ¿cuántos clientes esperarías tener el año próximo basado en la respuesta a la parte a?

5-41

5.5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

327

24. Uso de Internet en el trabajo En una encuesta de Pew Internet y el American Life Project, se determinó que 55 millones de norteamericanos usan internet en el trabajo, de 43 millones que usaban internet 2 años antes. a. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento por el periodo de 2 años? b. Si esperas el mismo aumento para tu compañía que en la parte a y hay 500 empleados que usan internet en el trabajo este año, ¿cuántos esperarías que usen internet en el trabajo en dos años?

25. Tasa de certificados de depósitos Un aviso en Bankrate.com establece que puedes invertir $10,000 en un certificado de depósito a una tasa anual de 1.5%. a. ¿Cuánto valdrá tu inversión de $10,000 al final del año? b. Si al finalizar un año tu inversión se reduce en un 28% en impuestos, ¿cuánto valdrá tu inversión de $10,000 en un año, después de los impuestos?

26. Aumento en los precios del Super Bowl Los precios oficiales de los boletos del Super Bowl aumentaron de $375 a $400 en un año reciente. a. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento? b. Si el precio aumenta en el mismo porciento el próximo año, ¿cuánto esperarías que sea el precio del boleto el año próximo?

27. Precio de los revendedores Los revendedores comúnmente venden boletos a un precio mucho más alto que el precio oficial de $400 (ver problema 26). La tabla muestra los precios de los boletos para un Super Bowl reciente, en diferentes días (el día del juego es el domingo). a. ¿Cuál es el porciento de creciViernes $1750 miento entre el preSábado $1700 cio para el viernes y Día del juego $1500 el precio oficial de $400? b. ¿Cuál es el porciento de decrecimiento en el precio entre viernes y sábado? c. ¿Cuál es el porciento de decrecimiento en el precio entre sábado y el día del juego (domingo)?

28. Préstamos de consolidación De acuerdo con la calculadora de FinancialAid.com, si tienes $20,000 en préstamos de estudios con un pago mensual de $217, puedes disminuir tu pago mensual a $123 con un préstamo de consolidación al 3%. a. ¿Cuál es el porciento de decrecimiento en el pago? b. La información sobre los estados de consolidación afirma que la tasa es del 3%. ¿Es este necesariamente un buen negocio? Explica. 30. Cuentas de aire acondicionado Durante los meses de altas temperaturas, si subes el termostato de 72° a 76°, tu cuenta de aire acondicionado descenderá en un 40%. Si tu cuenta de aire acondicionado era de $140 y subiste el termostato de 72° a 76°, ¿de cuánto esperas que sea tu cuenta de aire acondicionado?

29. Préstamos de consolidación siguiente información:

Original Consolidado

Suma

Tasa

$20,000 $20,000

5.5% 3%

Para este problema, mira la Pago Duración mensual

Interés

$217 10 años $6040 $123 17.3 años $5534.80

a. ¿Cuál es el porciento de decrecimiento en el interés pagado entre el préstamo original y el consolidado? b. ¿Cuál es el porciento de crecimiento en el número de años entre el préstamo original y el consolidado? Con esta información, revisa el problema 28 (b).

para más lecciones

23. Visitas a centros comerciales De acuerdo con la compañía de investigaciones ComScore Media Metrix, las visitas de los estudiantes universitarios a sitios de compras en línea creció dramáticamente desde septiembre. Durante la semana que termina el 10 de noviembre, 4.8 millones de estudiantes universitarios visitaron centros comerciales, comparados con los 3.7 millones de la semana que termina el 1 de septiembre. a. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento de visitas? b. Si tienes un sitio de ventas por internet con 6000 visitantes en la semana que termina el 1 de septiembre, ¿cuántos visitantes esperarías la semana que termina el 10 de noviembre basado en la respuesta a la parte a?

www.mathzone.com

22. Planes de viaje en línea ¿Haces tus planes de viaje en la red? La Asociación de la Industria Turística indica que alrededor de 64 millones de norteamericanos buscan opciones de viajes en línea, lo que representa un incremento de 12 millones de los que lo hacían en 1997. a. ¿Cuál es el porciento de crecimiento? b. Si tienes un sitio de internet de reservas de viajes que hizo 7000 reservas en 1997, ¿cuántas esperarías hacer este año basado en la respuesta a la parte a?

ir a

21. Uso de los sitios de internet de los hospitales De acuerdo con un estudio del Manhattan Research, 10.3 millones de consumidores en línea usaron un sitio de internet de hospitales en los tres meses anteriores. El año pasado fueron 3 millones. a. ¿Cuál es el porciento de crecimiento? b. Si eres el administrador de un sitio de internet de un hospital que tuvo 100,000 visitantes en los tres meses anteriores, ¿cuántos visitantes esperarías el año próximo basado en la respuesta a la parte a?

6Web IT

20. Incremento en Turbo Tax En abril, los contribuyentes corren al Turbo Tax para conocer más acerca de sus impuestos. El número de visitantes a Turbo Tax creció de 5.7 a 6.8 millones en un año. a. ¿Cuál es el porciento de crecimiento? b. Si tienes un sitio de internet sobre impuestos que tiene 200 visitantes, ¿cuántos visitantes esperarías tener el año próximo basado en la respuesta a la parte a?

6Web IT

ir a

www.mathazone.com

para más lecciones

328

Capítulo 5

5-42

Porciento

31. Puntuación de GRE verbal Uno de los criterios para aceptar estudiantes en universidades es el puntaje de GRE (examen de inscripción de los graduados). Un estudiante toma la parte verbal del GRE y obtiene una puntuación de 120. El estudiante decide tomar el examen otra vez y obtiene 140 puntos. Al porciento más cercano, ¿cuál es el incremento de la puntuación del estudiante?

32. Puntuaciones cuantitativas del GRE Un estudiante obtiene una puntuación de 115 en la parte cuantitativa del GRE. El estudiante vuelve a tomar el examen y esta vez obtiene 125 puntos. Al porciento más cercano, ¿cuál es el incremento de la puntuación del estudiante?

Costos anuales por empleado en salud Promedios nacionales

Toma como referencia la tabla para las preguntas 33 a la 34. $9,000

Año

2000 2001 2002 2003 2004

Cantidad

271 289 313 233 277

$8,046

$8,000

$7,323 $6,707

$7,000 $5,971

$6,000 $5,000 $4,000

$5,204 $4,101

$4,519

$3,000

33. El costo del entretenimiento La tabla muestra la cantidad de dinero anual que se gasta en entretenimiento (entradas y admisiones) por personas de menos de 25 años. a. El incremento desde 2000 a 2001 fue de $18. ¿Cuál es el porciento de crecimiento al porciento más cercano? b. ¿En qué años ocurrió el mayor incremento en los gastos?

$2,000 $1,000 $0

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006 Proyectado

Fuente: Hewitt Health Value Initiative, http://was4.hewitt.com/hewitt/resource/newsroom/ pressrel/2005/10-10-05_charts. pdf.

c. Al porciento más cercano, ¿cuál fue el incremento? 34. Disminución en los costos de entretenimiento Toma como referencia la tabla y responde las siguientes preguntas. a. ¿En qué años hubo una disminución en la cantidad gastada en entretenimiento? b. Al porciento más cercano, ¿cuál fue la disminución en los gastos? Fuente: Departamento del Trabajo

35. Costos totales en salud por empleado Toma como referencia la gráfica para responder las siguientes preguntas: a. Halla el aumento en los costos totales de salud de 2005 a 2006. b. Al porciento más cercano, ¿cuál fue el incremento en costos de salud de 2005 a 2006?

666Usa tus conocimientos Costos de matrícula en la universidades Los problemas 36 al 40 se refieren a la gráfica de Para comenzar al comienzo de esta sección. Da las respuestas al porciento más cercano. 36. El costo de matrícula en colegios privados en 1995–1996 era de alrededor de $16,900. En 2005–2006, era de alrededor de $34,900. ¿Cuál es el porciento de crecimiento?

37. ¿Cuál fue el porciento de diferencia entre los costos de universidades públicas ($7400) y las privadas ($16,900), entre 1995–1996?

38. ¿Cuál es la diferencia en porciento entre los costos en las universidades públicas ($14,200) y las privadas ($34,900), entre 2005–2006?

39. ¿Se aumentaron los costos de las universidades públicas en el periodo 1995–1996 al 2005–2006 en más del doble? Encuentra la diferencia en los costos entre 1995–1996 y 2005–1006 y responde la pregunta.

40. ¿Se aumentaron los costos de las universidades privadas en el periodo 1995–1996 a 2005–2006 en más del doble? (ver problemas 36 y 38). Encuentra la diferencia en los costos entre 1995–1996 y 2005–2006 y responde la pregunta.

5-43

5.5

Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento

329

666¡Escribe! 41. Imagina que tienes un préstamo de $10,000 al 5% por 10 años con pagos mensuales de $106. Te ofrecen un préstamo al 3% con pagos mensuales de $100 a 10 años. ¿Es éste un mejor préstamo? Explica (pista: El interés en el préstamo al 5% es de $2720; el interés en el préstamo al 3%, $2000).

42. El préstamo al 3% con un pago mensual de $100 del problema 41 puede pagarse en 115 pagos mensuales. ¿Este préstamo es mejor que el original al 5% por 10 años? Explica.

43. Escribe con tus palabras los factores que considerarías al comparar dos préstamos.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 44. El primer paso para encontrar el porciento de un incremento o disminución es encontrar la cantidad de .

crecimiento

original

decrecimiento dinero

45. El segundo paso para encontrar el porciento de un incremento o disminución es dividir la cantidad de incremento o disminución por la cantidad .

666Prueba de dominio Responde al porciento más cercano. 46. El precio base de un carro es de $23,500. El vendedor lo vende por $25,000. ¿Cuál es el porciento de crecimiento sobre el precio base?

47. El precio base de un carro es de $25,000. El precio de venta al por mayor por el mismo carro, y después de usarlo sólo 100 millas es de $22,000. ¿Cuál es el porciento de depreciación de ese carro?

48. El precio de venta al por mayor de un carro es de $20,000. El precio sugerido es de $22,000. ¿Cuál es el porciento del crecimiento entre el precio de venta al por mayor y el precio sugerido?

49. El promedio anual de ganancias de un graduado de secundaria es de alrededor de $26,000. El de una persona con un grado asociado es de $33,000. ¿Cuál es el porciento de crecimiento del salario anual entre un graduado de escuela superior y una persona con un grado asociado?

50. Un estudiante considera que la cantidad para gastar en entretenimiento debe incrementarse en un 20% cada mes para satisfacer sus necesidades actuales. Si el estudiante está gastando actualmente $200 por mes en entretenimiento, ¿cuánto gastará en entretenimiento el mes que viene?

51. En un cierto mes, el DJIA bajó de 9000 a 8000. Al porciento más cercano, ¿cuál fue el porciento de decrecimiento?

52. De 1999 a 2000, la suma total de becas otorgadas a estudiantes por Pell Grants fue de $43.5 billones a $46.9 billones. Encuentra el porciento de crecimiento (al porciento más cercano).

666Comprobación de destrezas Responde al porciento más cercano. 53. Encuentra el interés de una suma de $3550 al 18% por un mes.

54. Halla el interés de una suma de $150,000 al 7.5% por un mes.

55. Encuentra el 1.5% de $260.

56. Halla la suma compuesta A al 4%, si hay $1000 invertidos a un interés compuesto mensual, por dos meses.

57. Halla la suma compuesta A al 8%, si hay $1000 invertidos a un interés compuesto mensual, por dos meses.

330

Capítulo 5

5-44

Porciento

5. 6

Crédito al consumidor

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar... 1. Resolver problemas con porcientos. (págs. 298–302, 309–311)

Debes ser capaz de resolver problemas de aplicaciones con:

A6

Tarjetas de crédito.

B6

Préstamos para estudiantes.

C6

Hipotecas.

2. Hacer operaciones básicas con fracciones y decimales. (págs. 130–133, 151–157, 202–206, 212–216)

6 Para comenzar ¿Qué tarjeta es mejor para ti? Depende de muchos factores, como la tasa de interés (el interés que pagas a la compañía de la tarjeta), el cargo anual (cuánto le pagas a la compañía por usar la tarjeta), el periodo de gracia (el periodo libre de intereses que dan los prestamistas entre la fecha de transacción y la fecha de la factura, usualmente de 30 días). Para aprender lo básico, ¡mira los sitios de internet!

A 6 Tarjetas de crédito ¿Cómo puedes ahorrar algo de dinero con tu tarjeta de crédito? Mira los tres términos que introdujimos en Para comenzar y úsalos para tu conveniencia. Aquí hay tres sugerencias para ahorrar: 1. Toma la tasa de interés más baja posible (a veces está disponible hasta el 0%). 2. Toma una tarjeta que no tenga cargos anuales. 3. Paga tu balance completo dentro del periodo de gracia cada mes. Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.

EJEMPLO 1

Comparar tarjetas de crédito Imagina que tienes una tarjeta con un cargo anual de $25 y una tasa de porcentaje del 18% anual (APR). Si el balance promedio mensual en tu tarjeta es de $500 y pudieras tomar otra tarjeta diferente con un 14% APR y sin cargos anuales, ¿cuánto será tu ahorro si cambias a la segunda tarjeta?

SOLUCIÓN

Estarás ahorrando

4% (18% 2 14%) de $500, ó $20, en intereses y los $25 de cargos anuales. El ahorro total sumará $20 1 $25 5 $45.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. $10

PROBLEMA 1 Imagina que tienes una tarjeta con un cargo anual de $50 y un 10% anual (APR). Si el balance promedio mensual en tu tarjeta es de $1000 y pudieras tomar otra tarjeta diferente con un 14% APR y sin cargos anuales, ¿cuánto serán tus ahorros totales?

5-45

5.6

EJEMPLO 2

Comparar tarjetas de crédito Si el balance promedio mensual en tu tarjeta es de $500, tus cargos anuales de $20, y tu APR es del 14%, ¿tiene sentido cambiar a otra tarjeta de crédito sin cargos anuales y con el 19% de APR?

SOLUCIÓN Con la primer tarjeta pagas: 14% de $500 ó $70, más $20 de cargos anuales. En total, $90. Si cambias a la segunda tarjeta, pagas el 19% de $500 ó $95. Es mejor quedarte con la primera tarjeta.

EJEMPLO 3

Transferencia de balances Desiree pagó sus gastos de vacaciones de $355 con su tarjeta de crédito, que tiene un APR del 18%. Luego, decidió no hacer compras adicionales con esta tarjeta hasta que el balance se pague completamente.

Crédito del consumidor

PROBLEMA 2 Si el balance promedio mensual en tu tarjeta es de $1000, tus cargos anuales de $50 y tu APR es del 12%, ¿tiene sentido cambiar a otra tarjeta de crédito sin cargos anuales y con el 18% de APR?

PROBLEMA 3 Repite el ejemplo 3 si el balance era de $3000 y el APR original del 15%.

a. Si el pago mínimo de esta tarjeta es del 2% del balance total, encuentra el pago mínimo. b. Encuentra la cantidad de intereses y la cantidad que se aplica para pagar el capital cuando se hace un pago mínimo del 2% del total. c. Desiree recibió una oferta especial de una tarjeta con el 10% de APR y sin cargos anuales. ¿Cuánto del pago mínimo del 2% serán intereses y cuánto se aplicará para reducir el capital con la tarjeta nueva? d. Compara las sumas en las que se reduce el capital con las tarjetas con el 18% y el 10%.

SOLUCIÓN a. El pago mínimo es 2% de $3550 5 0.02 3 3550 5 $71. b. El monto de intereses para $3550 al 18% por un mes* es 1 0.18 3 3550 3 } 12 5 $53.25 Como hizo un pago de $71 la cantidad que va a reducir el principal es $71 2 $53.25 5 $17.75. c. Con la tarjeta del 10% de APR, el interés del mes es 1 0.10 3 3550 3 } 12 5 $29.58 La cantidad que va a reducir el principal es $71 2 $29.58 5 $41.42. d. Con la tarjeta con el 18% APR, el principal se reduce en $17.75 (ella debe $3550 2 $17.75 5 $3532.25). Con la tarjeta con un APR del 10%, el principal se reduce en $41.42 (ella debe $3550 2 $41.42 ó $3508.58). * Técnicamente, el interés de las tarjetas de crédito se calcula usando la TDP (tasa diaria periódica), que aquí será 0.18 de } 365 , pero la diferencia para calcular el interés total mensual será muy pequeña.

Ahora, imagina que recibes esta noticia por correo: Oferta por tiempo limitado 0% APR† Tu línea de crédito fue subida ¡a $26,200!

Con estas letras pequeñas al final: †

Respuestas a los PROBLEMAS 2. No 3. a. $60 b. $37.50; $22.50 c. $25; $35 d. $22.50 con la tarjeta del 15%, $35 con la tarjeta del 10%

331

Efectivo en o antes del primer día siguiente a la fecha de cierre en octubre, la tasa diaria periódica (TDP) para avances nuevos de efectivo y para compras nuevas en tu cuenta hasta la fecha de cierre en abril es 0% (correspondiente a un APR de 0%). De ahí en adelante, la TDP promocional para estos balances de adelanto de efectivo será de 0.035589% (correspondiente a un APR del 12.99%) y la TDP promocional para los balances por compras será del 0.035589% (correspondiente a un APR de 12.99%).

332

Capítulo 5

5-46

Porciento

Recordatorio importante: El cargo de transacción para el uso de los cheques de acceso de las tarjetas de crédito, incluidos los cheques adjuntos, es del 3% por cada transacción (min. 5%, máx. $50). Ver su Acuerdo de tarjeta de crédito por cualquier otro cargo de transacción aplicable.

Tú tienes dos tarjetas de crédito con balances de $1000 y $500, respectivamente, cada una con un APR del 9%, y ¡quieres quedar libre de deudas en dos años! ¿Deberías tomar esta oferta para alcanzar tu meta de quedar libre de deudas? Antes de hacerlo, lee la letra pequeña. El límite de tiempo al 0% es de 6 meses (desde finales de octubre hasta abril). Después de ese periodo, tu tasa de interés de la tarjeta nueva será del 12.99% (que redondeamos a 13%). Comparemos las cantidades totales que deberás pagar. Cuidado: ¡Necesitas una calculadora!

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Lee el problema. Ahora tienes dos tarjetas de crédito y quieres comparar los costos totales por un periodo de 2 años de tu tarjeta nueva a un interés del 0% por los primeros 6 meses y de 13% de ahí en adelante por los 18 meses restantes (un total de 24 meses). 2. Selecciona lo desconocido. Tenemos dos cosas desconocidas: (1) la cantidad a pagar por las dos tarjetas al 9% y (2) la cantidad a pagar por la tarjeta nueva al 13%. Ambas cosas deben tomar 2 años. 3. Traduce el problema en una ecuación o una desigualdad. Usaremos la fórmula de la suma compuesta. Para saber la cantidad que tienes que pagar por las dos tarjetas al 9% y por la tarjeta nueva al 13%, y comparar los resultados, usamos la fórmula para la suma compuesta A 5 P(1 1 i)n. 4. Usa las reglas que estudiamos y una calculadora para resolver el 9% problema. Para las dos tarjetas que ya tenías, P 5 $1500($1000 1 $500), n 5 24, i 5 } 12 0.09 24 Así, A 5 1500S1 1 } 12 D 5 $1794.62 Para la tarjeta nueva, no pagas intereses por 6 meses, y luego pagas 13% por 18 meses. A 5 1500S1 1 } 12 D 5 $1821.06 Así, ¡la tarjeta nueva con una tasa introductoria del 0% es más cara! ($1821.06 contra $1794.62.) Pero todavía hay más. Para pagar el total de las dos tarjetas al 9% tienes que hacer 2 cheques, uno por $1000 y otro por $500. El recordatorio importante te dice que el cargo es del 3% de cada transacción, eso es, $30 y $15, un costo adicional de $45. Definitivamente, quédate con las dos tarjetas que tenías, a menos que seas capaz de pagar el total de la nueva en 6 meses al 0% de interés. 5. Verifica la respuesta. La verificación la haces tú. 0.13

18

Ahora que sabes reconocer las mejores condiciones en tarjetas de crédito, concentrémonos en manejar la tarjeta que tienes. Como mencionamos, hay dos cosas para ahorrar dinero: la tasa de interés (APR) que pagas y la cantidad de tu pago mensual. Ambas están controladas inicialmente por la compañía de la tarjeta de crédito y no por ti. Aquí hay algunas tasas corrientes y pagos mensuales: Balance pendiente

Tasa mensual

0–$500

} 12 5 1.5% mensual

Por encima de $500

12% }5 12

Nuevo balance

Pago mínimo

Menor que $200 Mayor que $200

$10 5% de descuento del nuevo balance

Miremos cómo funciona.

18%

1% mensual

5-47

5.6

EJEMPLO 4

Encontrar balances, cargos por financiamiento y pagos Juan recibió el estado de cuenta de su tarjeta de crédito. Su balance anterior era de $280. Hizo un pago de $20 y gastó $60 adicionales. Si paga el 1.5% del balance pendiente como cargo de financiamiento, encuentra a. b. c. d.

El balance pendiente. El cargo por financiamiento. El nuevo balance. El pago mínimo (ver tabla).

Crédito del consumidor

333

PROBLEMA 4 Cecilia tenía un balance anterior de $3500 en su tarjeta de crédito. Realizó un pago de $50 y gastó $200 adicionales. Si paga el 1.5% del balance pendiente como cargo de financiamiento, encuentra a. El balance pendiente. b. El cargo por financiación.

SOLUCIÓN

c. El nuevo balance.

a. El balance pendiente es $280 2 $20 5 $260. b. El cargo por financiamiento es 1.5% de $260 5 0.015 3 260 5 $3.90. c. El nuevo balance es Balance pendiente $260.00 Cargos por financiamiento $3.90 Compras $60.00 Nuevo balance $323.90 d. Como el nuevo balance es superior a $200, la compañía de la tarjeta determina que el pago mínimo debe ser

d. El pago mínimo.

5% de $323.90 5 0.05 3 323.90 5 $16.1950 ó $16.20

B 6 Préstamos para estudiantes La terminología y las ideas de las tarjetas de crédito son muy similares a las usadas cuando se trata de préstamos para estudiantes. El programa federal de préstamos para estudiantes que van a la universidad al menos medio tiempo, se llama Programa de Préstamos Stafford, y las tasas de interés son variables (se ajustan cada 1 de julio), pero son mucho más bajas que las de las otras tarjetas de crédito (tan bajos como del 2.82%, llegando al 8.25%). Hay dos tipos de préstamos Stafford: subsidiados (basados en la necesidad, con el interés pagado por el gobierno federal mientras el estudiante esté estudiando) y los préstamos sin subsidio. El plazo para pagarlos puede ser de 10 años (120 meses) con pagos que comienzan a los 6 meses después de la graduación.

EJEMPLO 5

Préstamo Stafford completo Pánfilo se graduó exitosamente de la universidad luego de obtener las cantidades completas permitidas para los préstamos Stafford: $2625 el primer año, $3500 el segundo, $5500 el tercero y $5500 el último. Un total de $17,125 al 3% anual por 10 años. Su primer pago fue de $165.36.

PROBLEMA 5

a. ¿Cuánto interés y cuánto principal hay en el primer pago? b. Si la tasa de interés fue del máximo, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago fue para intereses comparado con su préstamo al 3% y el pago de $165.36? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $204.10 en comparación con el préstamo al 3% y el pago mensual de $165.36 por el mismo periodo de 10 años?

a. ¿Cuánto interés y cuánto capital hay en el primer pago?

SOLUCIÓN 1

a. Usamos la fórmula I 5 P 3 T 3 D, donde P 5 $17,125, T 5 3%, y D 5 } 12 1 (} 12 de año es 1 mes).

Leticia también se graduó de la Universidad, pero su préstamo Stafforfd totalizó $15,000 a una tasa del 4% por 10 años. Su pago fue de $151.87.

b. Si la tasa de interés fue del máximo, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago hubiera sido para intereses, comparado con su préstamo al 4% y el pago de $151.87? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $183.98, en comparación con el préstamo al 4% y el pago mensual de $151.87 por el mismo periodo de 10 años?

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 4. a. $300

b. $4.50 c. $504.50

d. $25.23

5. a. $50 interés, $101.87 capital b. $53.13 c. $3853.20

334

Capítulo 5

5-48

Porciento

El interés por un mes es 1 I 5 17,125 3 0.03 3 } 12 5 $42.81 La cantidad adeudada después del primer mes es $17,125 2 $122.55 5 $17,002.45.

La diferencia entre el pago de $165.36 y el interés de $42.81, eso es, $165.36 - $42.81 = $122.55, va a reducir el monto de principal. b. El interés a 8.25% para 1 mes sería 1 I 5 17,125 3 0.0825 3 } 12 5 $117.73 La diferencia en interés entre el préstamo de 3% y el de 8.25% es $117.73 2 $42.81 5 $74.92. c. La suma pagada a la tasa del 3% es $165.36 3 120 5 $19,843.20. Como el préstamo es por $17,125, el interés es $19,843.20 2 $17,125 ó $2718.20. La suma pagada a la tasa del 8.25% es de $204.10 3 120 5 $24,492. En un préstamo de $17,125 el interés es $24,492 2 $17,125 5 $7367. Así, a la tasa del 8.25%, el interés es $7367 - $2718.20 = $4648.80 más que a la tasa del 3%.

El interés es la diferencia entre el total pagado ($19,843.20) y el monto del crédito ($17,125).

C 6 Hipotecas (préstamos para vivienda) Una hipoteca es un préstamo a largo plazo (usualmente para comprar una casa) que puedes obtener de un banco, uniones de ahorro, corredores de hipotecas o prestamistas en línea. Como las hipotecas son de altas sumas de dinero, se pagan en periodos largos, usualmente de 15 a 30 años. El análisis de cada pago (la suma que va para pagar el capital, los intereses, etc.), cambia con el tiempo, y se detalla en una tabla de amortización, como la que se muestra más abajo, para una hipoteca por $150,000 a una tasa fija del 7.5% a 30 años.

Tabla de amortización para una hipoteca por $150,000 al 7.5% a 30 años Aquí figura cómo cambian a través de tiempo de un préstamo el capital y los intereses Número de cuota

Monto del pago

Interés pagado

Aplicado a capital

Nuevo balance

$150,000

$1048.82

$937.50

$111.32

$149,888.68

60

$142,086.93

$1048.82

$888.04

$160.78

$141,926.15

120

$130,426.14

$1048.82

$815.16

$233.66

$130,192.48

240

$88,851.22

$1048.82

$555.32

$493.50

$88,357.72

359 $2078.14 (del primero al último)

$1048.82

$12.99

$1035.83

$1042.31

1

Balance de capital

Fuente: Datos de Bankrate.com.

EJEMPLO 6

Intereses en una hipoteca a 30 años Imagina que tienes una hipoteca a 30 años de $150,000 al 7.5%, con un pago mensual de $1048.82. a. ¿Cuánto serían los intereses el primer mes? b. ¿Cuánto de los $1048.82 del pago irían para pagar el principal de $150,000? c. Mira la tabla de amortización y determina cuál es el balance del principal y el nuevo balance en los pagos siguientes, del primero al último.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. a. $500

b. $100

PROBLEMA 6 Imagina que tienes una hipoteca a 30 años de $100,000 al 6%, con un pago mensual de $600. a. ¿Cuánto serían los intereses el primer mes? b. ¿Cuánto de los $600 del pago irán para pagar el capital de $100,000?

5-49

5.6

Crédito del consumidor

335

SOLUCIÓN a. El interés es I 5 P 3 T 3 D, donde P 5 $150,000, T 5 7.5%, y D es 1 1 } 12 (} 12 de un año es 1 mes). 1 Así, I 5 150,000 3 0.075 3 } 12 5 $937.50. ((¡Emocionante! ¡Es exactamente como en la tabla de amortización!) b. El pago es de $1048.82 y el interés es de $937.50, por lo que la cantidad que irá para pagar el capital es $1048.82 2 $937.50 5 $111.32. (¡Otra vez como en la tabla!) c. El balance de principal en el pago 359 es de $2078.14. El nuevo balance es de $1042.31. Cuando pagues eso, ¡habrás pagado todo!

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Pago

$100 $300 $134.39 $145.96 $378.93 $420.50 $500

$10 $190 $25 $55 $75 $100 $300

Balance pendiente

Cargos por financiamiento (1.5%)

Compras

Nuevo balance

www.mathzone.com

Balance anterior

En los problemas 1 al 7, sigue el procedimiento del ejemplo .

ir a

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Tarjetas de crédito

$50 $25 $73.98 $44.97 $248.99 $300 $250

para más lecciones

En los problemas 8 al 16, usa la tabla de abajo para determinar: a. El cargo por financiamiento del mes. b. El nuevo balance. c. El pago mínimo mensual. Balance pendiente

0–$500 Por encima de $500 Nuevo balance

Menor que $200 Mayor que $200

Tasa mensual 18% } 12 12% } 12

5 1.5% mensual 5 1% mensual

Pago mínimo

$10 5% de descuento del nuevo balance

6Web IT

6Ejercicios 5.6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Balance anterior

Compras nuevas

$50.40 $85 $154 $344 $666.80 $80.45 $34.97 $55.90 $98.56

$173 $150 $75 $60 $53.49 $98.73 $50 $35.99 $45.01

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

336

Capítulo 5

5B6

5-50

Porciento

Préstamos para estudiantes

En los problemas 17 al 18, resuelve los problemas de préstamos Stafford.

17. Luego de graduarse, el balance de Marcos de su préstamo Stafford era de $20,000 para pagarlo al 3% por 10 años (120 cuotas). Su primer pago era de $193.12. a. ¿Cuánto interés y cuánto principal hay en el primer pago? b. Si la tasa de interés fue del máximo, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago hubiera sido para intereses comparado con su préstamo al 3% y el pago de $193.12? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $245.31, en comparación con el préstamo al 3% y el pago mensual de $193.12 por el mismo periodo de 10 años?

18. Frances tenía un préstamo Stafford al 2.85% para pagar después de la graduación en 120 cuotas (10 años) de $239.67. a. ¿Cuánto interés y cuánto principal hay en el primer pago? b. Si la tasa de interés fue la máxima, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago hubiera sido para intereses comparado con su préstamo al 2.85% y el pago de $239.67? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $306.63 en comparación con el préstamo al 2.85% y el pago mensual de $239.67 por el mismo periodo de 10 años?

La tabla muestra los estándares estimados de repagos para varios préstamos de diferentes cantidades de dinero a distintas tasas de interés. En los problemas 19 al 22, a. Halla el interés del primer mes para un préstamo de $10,000, $18,500, $20,000 y $23,000, al 6% de interés. b. Encuentra el monto del primer pago que va para pagar el principal de cada uno de los cuatro préstamos. c. Halla el monto total de intereses que serán pagados en cada uno de los cuatro préstamos.

Estándares estimados de pago Tasa de interés:1 Cantidad de préstamo

Número de cuotas2

$10,000 $18,500 $20,000 $23,000

19. 20. 21. 22.

5.00%

120 120 120 120

1. La tasa es como se muestra. 3. Al menos $50.

6.00%

7.00%

8.25%

Pago mensual aproximado3

$106 $196 $212 $244

$111 $205 $222 $255

$116 $215 $232 $267

$123 $227 $245 $282

2. (120) pero los plazos pueden variar.

Fuente: Educaid.com

5C6

Hipotecas (préstamos para vivienda) En los problemas 23 al 24, responde las preguntas sobre hipotecas.

23. Athanassio y Gregoria Pappas quieren un préstamo a 30 años al 7% para comprar una pequeña casa de $50,000 en Tarpon Springs. a. Si pueden conseguir un préstamo por el 95% del valor de la casa, ¿de qué cantidad será el préstamo? b. La diferencia entre el monto del préstamo y los $50,000 es el pronto. ¿De cuánto será éste? c. Si los pagos mensuales son de $316, ¿qué monto del primer pago irá para el principal y cuánto para los intereses?

24. Tim y Frances Johnston quieren obtener un préstamo a 30 años al 9% para comprar una casa de $40,000 en Georgia. a. Si pueden conseguir un préstamo por el 95% del valor de la casa, ¿de qué cantidad será el préstamo? b. La diferencia entre el monto del préstamo y los $40,000 es el pago inicial. ¿De qué monto será? c. Si los pagos mensuales son de $305, ¿qué monto del primer pago irá para el principal y cuánto para los intereses?

Las tablas muestran la lista de amortización de los préstamos que se ofrecen (préstamos a 30 años). En los problemas 25 al 28, a. Halla el interés pagado, el monto aplicado al capital y el nuevo balance en la línea 1. b. Encuentra el interés pagado, el monto aplicado al capital y el nuevo balance en la línea 2.

Amortización del préstamo

25.

Número

Balance de principal

Monto del pago

1 2

$100,000.00 $99,900.45

$599.55 $599.55

Interés pagado: 6%

Aplicado al capital

Nuevo balance

5-51

5.6

337

Crédito del consumidor

6Web IT

Amortización del préstamo Número

$100,000.00 $99,879.85

$536.82 $536.82

Interés pagado: 5%

Aplicado al capital

Interés pagado: 7%

Aplicado al capital

Nuevo balance

www.mathzone.com

1 2

Monto del pago

ir a

26.

Balance de principal

Amortización del préstamo

27.

Número

Balance de principal

Monto del pago

1 2

$150,000.00 $149,877.05

$997.95 $997.95

Nuevo balance

para más lecciones

Amortización del préstamo

28.

Número

Balance de principal

Monto del pago

1 2

$200,000.00 $199,865.80

$1467.53 $1467.53

Interés pagado: 8%

Aplicado al capital

Nuevo balance

Algunas personas (no tú, por supuesto) pueden pensar que si obtienen una hipoteca a 30 años por $125,000 el interés que pagarán se encuentra usando la fórmula del interés simple I 5 C 3 T 3 D, donde I es el interés, C el capital, T la tasa de interés, y D el tiempo en años (ver ejemplo 5). 29. Encuentra el interés simple cuando P 5 $125,000, T 5 0.06, y D 5 30. (Nota: Esta respuesta no es correcta porque una hipoteca usa el interés compuesto en lugar del interés simple). Para ver cuánto interés debes pagar realmente, debes consultar la gráfica. 30. Mira la gráfica para encontrar el interés real pagado en un préstamo a 30 años por $125,000, a una tasa del 10%. Lo más alto de la barra denominada 10% muestra el interés: $269,907. Sin embargo, eso no es lo único que pagas. Debes pagar el capital de $125,000 también, es decir, un total de $394,907. a. Toma como referencia la gráfica y encuentra el interés pagado en un préstamo por $125,000 a 30 años al 9%. b. Encuentra el monto total (interés más principal) de un préstamo por $125,000 a 30 años al 6%.

31. a. Mira la gráfica y encuentra el interés pagado de un préstamo de $125,000 a 6%. b. Encuentra el monto total (interés más principal) en un préstamo de $125,000 al 6%.

Intereses totales pagados en un préstamo por $125,000 a 30 años a varios intereses $300,000 $269,907 $237,080

$250,000 $205,194 $200,000 $150,000

$174,386 $144,798

$100,000 $50,000 $0 6% 7% 8% Fuente: http://michaelbluejay.com/house/loan.html

9%

10%

32. a. Toma como referencia la gráfica y encuentra el interés pagado por un préstamo por $125,000 a 30 años al 8%. b. Halla el monto total (interés más principal) en un préstamo por $125,000 a 30 años al 8%.

338

Capítulo 5

5-52

Porciento

666Usa tus conocimientos 1 I Intereses En E ell ejemplo j l 3 mencionamos i que la l diferencia dif i de d intereses i t all calcular l l los l cargos mensuales l usando d } de un 12 d 1 año y los cargos diarios de } de un año era muy pequeña. ¿Cuán pequeña? ¡Usa tus conocimientos para averiguarlo! 365

33. Imagina que quieres encontrar el interés I 5 C 3 T 3 D de 1 un préstamo al 6% y asumes que D (un mes) es } 12 de un año. ¿Cuál es el interés al centavo más cercano?

34. Repite el problema 33 si T 5 interés?

30 }. 365

¿Cuál es la diferencia de

666¡Escribe! 35. Cuando se usa la fórmula I 5 C 3 T 3 D para el interés simple y el tiempo es un mes, ¿qué es D? ¿Por qué?

36. Cuando se usa la fórmula I 5 C 3 T 3 D para el interés simple y el tiempo es un día, ¿qué es D? ¿Por qué?

37. Si asumes que un año tiene 360 días, la duración es 90 días, y estamos usando la fórmula I 5 C 3 T 3 D, ¿qué es D en forma reducida? ¿Por qué?

38. Existe un procedimiento para encontrar el interés de cualquier monto por 60 días al 6%, si asumimos que el año tiene 360 días. Por ejemplo, el interés sobre $1000 por 60 días al 6% es 6 60 I 5 C3 T 3 D 5 1000 3 } 100 3 } 360 5 $10.00 Escribe con tus palabras cuál debe ser la regla.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s 39. Una hipoteca es un

a largo plazo

40. El dinero de una hipoteca se usa generalmente para comprar una

.

carro

casa

deuda

préstamo

666Prueba de dominio 41. Imagina que tienes un préstamo de $200,000 al 6% por 30 años con pagos mensuales de $1200.

42. Raja tiene un préstamo Stafforfd de $25,000 a una tasa del 3% por 10 años. Su pago fue de $240.

a. ¿De cuánto serán los intereses el primer mes? b. ¿Cuánto de los $1200 irá para pagar los $200,000 del principal?

a. ¿Cuánto interés y cuánto principal hay en el primer pago? b. Si la tasa de interés fue del máximo, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago hubiera sido para intereses comparado con su préstamo al 3% y el pago mensual de $240? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $306 en comparación con el préstamo al 3% y el pago mensual de $240 por el mismo periodo de 10 años?

43. Mida recibió el estado de cuenta de su tarjeta de crédito. Su balance anterior era de $200. Hizo un pago de $50 y gastó $60 adicionales. Si paga el 1.5% del balance pendiente como cargo de financiación, encuentra, a. b. c. d.

El balance impago o pendiente. El cargo por financiación. El nuevo balance. El pago mínimo (ver tabla).

Nuevo balance

Pago mínimo

Menor que $200 Mayor que $200

$10 5% de descuento del nuevo balance

666Comprobación de destrezas En los problemas 44 al 47, encuentra: 1 de 50 5 44. } ___ 2

1 45. } 2 de 100 5 ___

46. 3 ? 100 5 ____

47. 7 ? 100 5 ____

5-53

339

Preguntas de investigación

6Aprendizaje colaborativo ¿Sabes cuáles son las diez carreras universitarias con mayores oportunidades? Las diez ocupaciones que crecerán en forma más rápida entre el 2002 y el 2012 se muestran en la tabla y son las relacionadas con tecnología y medicina/ salud. Si estás tratando de decidir sobre una carrera, explorar las oportunidades disponibles puede ayudarte en tu decisión. Para encontrar una carrera de crecimiento rápido, organízate en grupos y haz lo siguiente: 1. Separa estas diez carreras en dos categorías: técnicas y médicas. Completa en la última columna (% I ) con el porciento de crecimiento para esa carrera. El porciento de crecimiento se encuentra dividiendo la diferencia de los dos números por el número original. 2. Responde las siguientes preguntas: a. Da las dos categorías, ¿qué campo parece tener un porciento de crecimiento más alto? b. En el campo de la tecnología, ¿qué carrera tiene el mayor porciento de crecimiento? ¿Y el menor? c. En el campo de la medicina, ¿qué carrera tiene el mayor porciento de crecimiento? ¿Y el menor? d. Aparte de las oportunidades de empleo, ¿qué otra información quisieras tener sobre las carreras?

10 ocupaciones de mayor crecimiento para graduados universitarios Ocupación

2002

2012

186

292

63

94

Récords médicos y técnicos de información de salud

147

216

Ingenieros en computadoras, aplicaciones

394

573

Ingenieros en computadoras, software de sistemas

281

409

50

73

Entrenadores físicos e instructores de aeróbicos

183

264

Administradores de bases de datos

110

159

Tecnólogos y técnicos veterinarios

53

76

148

212

%I

Sistemas de redes y analistas de información de comunicaciones Asistentes médicos

Asistentes de terapias físicas

Higienistas dentales Fuente: Oficina de Estadísticas del trabajo de Estados Unidos.

de 6Preguntas investigación



La tabla que sigue muestra el total de la población estadounidense y la población afroamericana del censo de Estados Unidos (realizado cada 10 años). 1. Al porciento más cercano, ¿cuál fue la población afroamericana en cada uno de los años listados? 2. ¿En qué año fue más alto el porciento de afroamericanos? 3. ¿Cuál fue el porciento de crecimiento más alto en la población afroamericana? ¿En qué periodo? 4. ¿Cuál fue el porciento de decrecimiento más alto en la población afroamericana? ¿En qué periodo?

(continúa)

340

Capítulo 5

5-54

Porciento

Año

Población total de Estados Unidos

Población afroamericana

1860

31,400,000

4,400,000

1880

50,100,000

6,500,000

1900

76,000,000

9,100,000

1920

105,700,000

10,500,000

1940

131,700,000

13,200,000

1960

179,300,000

17,900,000

1980

226,500,000

27,200,000

2000

281,400,000

36,400,000

Fuente: Información del Censo de Estados Unidos. Todos los números están redondeados.

5. ¡Ahora, un poco de investigación real! Haz una tabla como ésta y responde a las preguntas 1 al 4 sobre la población hispana. Pista: Puedes encontrar parte de la información haciendo una investigación en internet. Busca en “estadísticas del censo”.

6Resumen del capítulo 5 Sección

Asunto

Significado

5.1

Porciento

Por cada cien

5.2

Base (total)

El estándar que se usa para propósitos comparativos La parte que se está comparando con la base o total La parte que indica la razón del porciento respecto a la base

B 5 }PT ; B es la base, P es el porcentaje, T la tasa. P5B3T

Para resolver problemas con porcientos usando proporciones, establece la proporción

1. Para encontrar el 40% de 50, establece la proporción 40 n }5} 100 50 y resuelve la proporción. 2. Para encontrar qué porciento de 50 es 10, establece la proporción Porciento 10 =} 100 50 y luego resuelve.

Porcentaje Porciento (razón) 5.3

Resolver problemas con porcientos usando proporciones

Porciento Porción 5 Base 100

Ejemplo 9 9% 5 } 100

P T5} B

3. Para encontrar un número cuyo 30% es 60, establece la proporción 30 60 }=} 100 Base y luego resuelve. 5.4A

Costo total

Precio de lista 1 impuesto a las ventas

El precio total de un artículo cuyo precio de lista es $200 y la tasa de impuesto es el 5% es: 200 1 200 3 0.05 5 $210.

5-55

Ejercicios de repaso del capítulo 5

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

5.4B

Interés simple

La cantidad pagada por usar dinero

La cantidad que se paga por pedir prestado $100 a un interés simple del 6% por un año es 6 I 5 100 3 } 100 3 1 5 $6

I5C3T3D

5.4C

Interés compuesto La cantidad compuesta total A para una tasa i por periodo aplicada al principal C por n periodos

El cálculo de los intereses sobre el interés ganado A 5 P(1 1 i)n

341

$100 invertidos al 6% de interés compuesto semestral, por un año, gana $6.09 en intereses. La cantidad compuesta A para un depósito de $100, a tres años compuesto al 4% semestral es 4% 6 A 5 100 1 1 } 2

S

D

5.4D

Comisión

Una parte del precio de venta que ganan los vendedores

Una comisión del 5% en una venta de $300 es $300 3 0.05 5 $15.

5.4E

Descuento

Una reducción en el precio regular de un artículo

Un 2% de descuento en un artículo de $500 es $500 3 0.02 5 $10.

5.5A

Porciento de crecimiento y decrecimiento

El porciento de incremento o disminución de una cantidad dada

Si el precio de un artículo aumenta de $10 a $12, el porciento de crecimiento 12 2 10 2 es } 5} 10 10 5 20%.

5.5B

Depreciación

La pérdida de valor de un artículo

Un auto de $20,000, después de dos años está valorado en $18,000. La depreciación del carro es 20,000 2 18,000 2000 } 5 } 5 10%. 20,000 20,000

5.6A

APR

Tasa de porcentaje anual

El APR de las tarjetas de crédito varía del 6% hasta el 18%.

5.6B

Préstamos Stafford

Un tipo de préstamo federal para estudiantes

Las tasas varían y son ajustadas cada julio, pero no pueden exceder del 8.25%.

5.6C

Hipoteca

Un préstamo a largo plazo (usualmente usado para comprar una casa), que puedes obtener de un banco, una financiera, un corredor de hipotecas, o un prestamista en línea

Puedes obtener una hipoteca sobre tu casa a 30 años, al 6% (los términos y las tasas de interés varían.

6Ejercicios de repaso del capítulo 5 ejercicios mira en la sección que se indica entre corchetes) (Si necesitas ayuda con estos ejercicios, 1.

55.1A6

Escribe como un decimal.

a. 39%

b. 1%

d. 101%

e. 207%

c. 13%

3. 55.1A6 Escribe como un decimal. 3 1 1 a. 6}4% b. 71}2% c. 5}8% 1

d. 17}4%

1

e. 52}8%

2. 55.1A6 Escribe como un decimal. a. 3.2% b. 11.2% d. 17.51%

c. 71.4%

e. 142.5%

4. 55.1A6 Escribe como un decimal repetitivo. 1 2 1 a. 6}3% b. 8}3% c. 1}6% 5

d. 18}6%

1

e. 20}9%

342

Capítulo 5

5. 55.1B6 Escribe como un porciento. a. 0.01 b. 0.07 c. 0.17 d. 0.91

e. 0.83

7. 55.1C6 Escribe como una fracción simplificada. a. 17% b. 23% c. 51% d. 111%

e. 201%

9. 55.1C6 Escribe como una fracción simplificada. 2 1 a. 16}3% b. 33}13% c. 62}2% 1

d. 83}3%

5-56

Porciento

e. 87}12%

11. 55.2A6 Halla el porcentaje. a. ¿Qué número es 60% de 30?

6.

55.1B6

Escribe como un porciento.

a. 3.2

b. 1.1

d. 9.1

e. 4.32

8. 55.1C6 Escribe como una fracción simplificada. a. 10% b. 40% c. 15% d. 35%

e. 42%

10. 55.1D6 Escribe como un porciento. 5 1 a. }38 b. }8 c. } 16 3 d. } 16

e.

5 } 16

12. 55.2A6 Halla el porcentaje. a. 12}12% de 80

b. ¿Qué número es 70% de 140?

b. 40}12% de 60

c. ¿Qué número es 40% de 80?

c. 15}12% de 250

d. ¿Qué número es 30% de 90?

d. 10}23% de 300

e. ¿Qué número es 35% de 105?

e. 24}4% de 7000

13. 55.2B6 Halla el porciento. a. ¿Qué porciento de 20 es 5?

3

14. 55.2B6 Halla el porciento. a. Halla qué porciento de 40 es 30.

b. ¿Qué porciento de 50 es 10?

b. Halla qué porciento de 50 es 20.

c. ¿Qué porciento de 60 es 20?

c. Halla qué porciento de 20 es 40.

d. ¿Qué porciento de 80 es 160?

d. Halla qué porciento de 30 es 20.

e. ¿Qué porciento de 5 es 1?

e. Halla qué porciento de 60 es 10.

15. 55.2B6 Halla el porciento. a. ¿20 es qué porciento de 40?

16. 55.2C6 Encuentra la base. a. 30 es el 50% de qué número?

b. ¿30 es qué porciento de 90?

b. 20 es el 40% de qué número?

c. ¿60 es qué porciento de 80?

c. 15 es el 75% de qué número?

d. ¿90 es qué porciento de 60?

d. 20 es el 60% de qué número?

e. ¿30 es qué porciento de 80?

e. 60 es el 90% de qué número?

17. 55.2C6 Halla la base. a. 60 es el 40% de un número. Halla el número.

18. 55.2C6 Halla el número tal que: a. 40% de ese número es 10.

b. 90 es el 30% de un número. Halla el número.

b. 50% de ese número es 5.

c. 40 es el 80% de un número. Halla el número.

c. 70% de ese número es 140.

d. 75 es el 5% de un número. Halla el número.

d. 65% de ese número es 195.

e. 42 es el 50% de un número. Halla el número.

e. 16% de ese número es 40.

19. 55.3A6 Establece la proporción y halla el número. a. ¿Cuál es el 30% de 40?

c. 7.9

20. 55.3B6 Establece la proporción y encuentra el porciento. a. ¿Qué porciento de 800 es 80?

b. ¿Cuál es el 40% de 72?

b. ¿Qué porciento de 110 es 22?

c. ¿Cuál es el 50% de 94?

c. ¿Qué porciento de 70 es 28?

d. ¿Cuál es el 60% de 50?

d. ¿Qué porciento de 180 es 90?

e. ¿Cuál es el 70% de 70?

e. ¿Qué porciento de 40 es 80?

5-57

Ejercicios de repaso del capítulo 5

21. 55.3C6 Establece la proporción y halla el número. a. ¿20 es el 10% de qué número?

22.

55.4A6

En cada problema encuentra el precio total para la tasa de impuesto y el precio.

b. ¿30 es el 12% de qué número? c. ¿45 es el 90% de qué número? d. ¿50 es el 25% de qué número? e. ¿63 es el 18% de qué número?

23. 55.4B6 Halla el interés simple. Monto

a. b. c. d. e. 25.

$100 250 300 600 3000

2 3 2 2 3

55.4C6

Si el interés compuesto es semestral, encuentra el monto compuesto y el interés, cuando se invierten $10,000 al

Tasa de impuesto (%)

Precio

6 4 5 6.5 4.5

$20 50 18 80 300

a. b. c. d. e.

24. 55.4B6 Halla el interés simple.

Tasa Duración anual (%) (años)

10 12 15 9 8.5

Monto

d. 10% a dos años. e. 12% a dos años. 27. 55.4E6 Halla el precio de oferta para cada artículo. Precio regular

Tasa de descuento (%)

a.

$35

40

b.

40

50

c.

60

33}3

d.

90

10

e.

540

15

10 12 8 9 13

2 3 6 8 10

26. 55.4D6 Halla la comisión.

a. 4% a dos años.

c. 8% a dos años.

Tasa Duración anual (%) (años)

$600 600 250 450 300

a. b. c. d. e.

Venta

b. 6% a dos años.

343

Tasa de comisión (%)

a.

$100

8

b.

250

6

c.

17,500

7

d.

300

6.5

e.

700

5.5

28. 55.5A6 Encuentra el porciento de crecimiento de

ventas (al porciento más cercano) de una compañía cuyas ventas subieron de $2 billones a

a. $3 billones. b. $3.1 billones.

1

29. 55.5A6 Al porciento más cercano, cuál es el porciento

c. $3.2 billones. d. $3.3 billones. e. $3.4 billones. 30. 55.5A6 La ventas de los fabricantes ABC actualmente

a. $395 por onza

están en $48 millones anuales. Encuentra las ventas proyectadas para el siguiente año, si las ventas se incrementaran en

b. $390 por onza

a. 16}3%

c. $385 por onza

b. 33}3%

d. $380 por onza

c. 37}12%

e. $375 por onza

d. 66}3%

de decrecimiento en el precio del oro que actualmente se vende a $400 por onza, si el nuevo precio es

2 1

2

e. 83}13%

344

31.

Capítulo 5

55.6A6

Si los cargos por financiación son de 1.5% del balance impago, encuentra el balance impago, el cargo por financiamiento y el nuevo balance. Balance anterior

Pago

Cargos adicionales

$100

$20

$50

a.

32.

5-58

Porciento

b.

$150

$30

$60

c.

$200

$40

$70

d.

$300

$100

$100

e.

$500

$200

$300

55.6B6

Con base en la información de la tabla, encuentra Qué cantidad de intereses y qué cantidad de capital hay en la primera cuota de un préstamo al 3%. Si la tasa de interés fuera del máximo 8.25%, ¿cuánto más de la primera cuota iría para intereses comparado con el préstamo al 3% y su pago mensual correspondiente? ¿Cuánto más de interés total se pagaría en un préstamo a 10 años al 8.25% con el pago mensual que se muestra comparado con el pago mensual del préstamo al 3%? Préstamo Stafford

Tasa Término Primera cuota (al 3%) Primera cuota (al 8.25%)

a.

$5000

3%

10 años

$48.28

$61.33

b.

$10,000

3%

10 años

$96.56

$122.65

c.

$15,000

3%

10 años

$144.84

$183.98

d.

$20,000

3%

10 años

$193.12

$245.31

e.

$25,000

3%

10 años

$241.40

$306.63

5-59

Examen del capítulo 5

345

6Examen del capítulo 5 Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo. (Respuestas en la página 346) 1

1. a. Escribe 37% como un decimal. b. Escribe 17.8% como un decimal.

2. a. Escribe 5}4% como un decimal. b. Escribe 15}23% como un decimal.

3. a. Escribe 0.09 como un porciento. b. Escribe 5.1 como un porciento.

4. a. Escribe 11% como un decimal repetitivo. b. Escribe 60% como un decimal.

5. Escribe 12}2% como una fracción reducida.

7 6. Escribe }8 como un porciento.

7. 70% de 50 ¿qué número es?

8. Encuentra el 10}2% de 80.

1

1

1

9. ¿Cuál es el 33}3% de 96?

10. Encuentra qué porciento de 50 es 30.

11. 40 es 50% de qué número?

12. Establece la proporción y halla el 10% de 40.

13. Establece la proporción y halla qué porciento de 80 es 20.

14. Establece la proporción y encuentra qué número es 40% de 10.

15. Si la tasa de impuesto a las ventas en una ciudad es del 5%, halla el precio total pagado por un par de zapatos que costaban $16.60. 17. Encuentra el interés simple ganado en una inversión de $1200 al 5.5% por 3 meses.

16. Halla el interés simple ganado en una inversión de $500 al 6.5% por dos años.

19. Cuál es la comisión para un vendedor en una venta de $400, si su comisión es del 15%?

20. Halla el precio de oferta de un artículo que se vende regularmente por $19.50 y que se promociona con el 30% de descuento.

21. Las ventas de zapatos deportivos para niños aumentaron de $2 billones a $2.4 billones. Encuentra el porciento de crecimiento, al porciento más cercano.

22. En una semana, el mercado de valores de Londres cayó de 1740 a 1653. ¿Cuál fue el porciento de decrecimiento, al porciento más cercano?

23. Una compañía estima que sus gastos aumentarán en 1 un 33}3% durante el próximo año. Si los gastos actuales son de $81 millones, ¿cuánto gastará la compañía el próximo año?

24. Un estudiante recibió su estado de cuenta de la compañía de la tarjeta de crédito. El balance anterior era de $480, hizo un pago de $50 y realizó compras adicionales por $100. Si los cargos por financiación son del 1.5% del balance impago, encuentra

25. Un estudiante tuvo un préstamo de $20,000 al 4% por 10 años. El primer pago fue de $202.49. a. ¿Cuánto interés y cuánto capital hay en el primer pago? b. Si la tasa de interés fue del máximo, 8.25%, ¿cuánto más del primer pago hubiera sido para intereses comparado con su préstamo al 4% y el pago mensual de $202.49? c. ¿Cuánto más de intereses totales hubiera pagado en el préstamo al 8.25% a 10 años y con un pago mensual de $245.31 en comparación con el préstamo al 4% y el pago mensual de $202.49 por el mismo periodo de 10 años?

18. Halla el monto compuesto y el interés cuando se invierten $10,000 al 6% compuesto semestralmente por dos años.

a. El balance impago. b. Los cargos por financiación. c. El nuevo balance.

346

Capítulo 5

5-60

Porciento

6Respuestas del examen del capítulo 5 Respuesta

1. a. 0.37

Si fallaste

b. 0.178 }

2. a. 0.0525 3. a. 9%

b. 0.156 b. 510% 3 b. }5

11 4. a. } 100

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1

5.1

1

289

2

5.1

2

289

3

5.1

3

290

4

5.1

4

290

5.

1 }8

5

5.1

5

291

6.

1 87}2%

6

5.1

6, 7

291–292

7. 35

7

5.2

1

299

8. 8.4

8

5.2

2

300

9. 32

9

5.2

3

300

10. 60%

10

5.2

4

301

11

5.2

5

302

12

5.3

1

310

13

5.3

2

310

14

5.3

3

311

15. $17.43

15

5.4

1

314

16. $65

16

5.4

2

315

17. $16.50

17

5.4

2

315

18. $11,255.09; $1255.09

18

5.4

3, 4

315, 317

19. $60

19

5.4

5

317

20. $13.65

20

5.4

6

318

21. 20%

21

5.5

1

323

22. 5%

22

5.5

2

323

23. $108 millones

23

5.5

3–6

324–325

24

5.6

1–4

330–331, 333

25

5.6

5–6

333–335

11. 80 Parte } 40 ;

12.

10 } 100

13.

Porcentaje 100

5

40 14. } 100 5

Parte 5 4

20 5} 80; Porciento 5 25%

10 Cardinal

24. a. $430

; Cardinal 5 25

b. $6.45

c. $536.45

25. a. $66.67 interés; $135.82 capital b. $70.83 c. $5138.40

5-61

Repaso de los capítulos 1 y 5

347

6Repaso de los capítulos 1-5 1. Escribe seis mil quinientos diez en su forma estándar.

2. Simplifica: 36 4 6 ? 6 1 7 2 3

7 3. Clasifica }6 como una fracción propia o impropia.

31 4. Escribe } 4 como un número mixto.

5. Escribe 6}9 como una fracción impropia.

5 1 6. Multiplica: S}6 D ? } 25

10 1 7. Divide: } 7 4 8} 3

3 1 8. Traduce y resuelve: }4 menos un número x es }3. ¿Qué número es x?

4

10 1 9. Halla un número cuyos } 11 es 7} 9.

2

10. Escribe en palabras el número 342.41.

11. Escribe 34.773 en forma expandida.

12. Resta: 641.42 2 14.5

13. Multiplica: 5.94 ? 1.5

189 14. Divide: } 0.27

15. Redondea 749.851 a su décima más cercano.

16. Divide: 10 4 0.13 (redondea al segundo dígito decimal)

}

17. Escribe 0.12 como una fracción simplificada.

18. ¿Qué parte decimal de 12 es 3?

19. Ordena en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo .: } } 4.293 4.293 4.293

20. Inserta 5, ,, o . para hacer cierta la afirmación: 13 } 0.25 20

21. Resuelve para x: x 1 2.3 5 6.2

22. Resuelve para y: 1.4 5 0.2y

23. Resuelve para z: 5 5

z } 4.2

24. La razón de carros a personas en Nueva Zelandia es 480 a 1,000. Escribe la razón como una fracción en forma simplificada.

25. Escribe la siguiente proporción: 5 es a 9 como 40 es a x.

f

26. Existe una ley que afirma que “la proporción entre el ancho y el alto de la bandera de Estados Unidos debe ser de 10 a 19”. ¿Una bandera que mide 50 por 97 pies tiene la proporción correcta?

5 27. Resuelve la proporción: }4 5 } 80

12 2 28. Resuelve la proporción: }f 5 }3

29. Un estudiante viajó 300 millas con 16 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón recorrió el estudiante? (redondea al número cardinal cercano).

30. Un paquete de mantequilla de maní de 24 onzas cuesta $2.79. ¿Cuál es el precio unitario por onza? (responde al centavo más cercano).

31. Una libra de semillas de césped cubre 3500 pies cuadrados de tierra. ¿Cuántas libras se necesitan para cubrir un terreno que mide 200 por 70 pies (14,000 pies cuadrados)?

32. La ración diaria de proteína para los hombres es de 56 gramos por día. Cuatro onzas de cierto producto provee de 2 gramos de proteína. ¿Cuántas onzas del producto se necesitan para proveer de los 56 gramos de proteína?

33. Escribe 12% como un decimal.

1 34. Escribe 7}4% como un decimal.

35. Escribe 0.03 como un porciento.

36. 10% de 80 ¿qué número es?

37. ¿Cuánto es el

2 66}3%

de 54?

39. ¿12 es el 60% de qué número? 41. Halla el interés simple ganado en una inversión de $400 al 8.5% por dos años.

38. ¿Qué porciento de 32 es 16? 40. El impuesto a las ventas en cierto estado es de 5%. Halla el precio total pagado por un par de zapatos de $16.

Sección 6.1 6.2 6.3 6.4

Tablas y pictogramas Gráficas de barras y de líneas Gráficas circulares (gráficas de "pie") Media, mediana y moda

Capítulo

6 seis

6 Estadísticas

y gráficas

El lado humano de las matemáticas El análisis estadístico nació en Londres, donde en 1662 John Graunt publicó un libro extraordinario: Observaciones naturales y políticas sobre las leyes de mortalidad. Las causas de muerte (enfermedades raras como caída de mandíbula, impétigo [enfermedad infecciosa], cualquier aflicción grave y repentina y tos) se registraron en ese libro, que se comenzó a publicar regularmente en 1929. A esas enfermedades se las presentó como las “visitas atroces” de Londres. Después de este, tal vez morboso, comienzo del análisis estadístico, muchos matemáticos, entre los que se encuentran varios académicos famosos como Pierre-Simon Laplace (1749– 1827) y Carl Friedrich Gauss (1777–1855), hicieron importantes contribuciones a las ideas básicas de la estadística. Más allá de ello, el análisis de información numérica es fundamental en tantos campos diferentes que se puede hacer una larga lista de científicos en áreas como la biología, la geología, la genética y la evolución, que contribuyeron de manera importante con este estudio. Los bien conocidos nombres de Charles Darwin (1809–1882) y Gregor Mendel (1822–1884) serán, sin duda, incluidos en esa lista.

349

350

Capítulo 6

6-2

Estadísticas y gráficas

6. 1

Tablas y pictogramas

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar... 1. Encontrar el porciento de un número. (págs. 300–301, 310) 2. Determinar qué porciento de un entero es un número dado. (págs. 300–301, 310)

Debes ser capaz de:

A6 B6

Leer e interpretar la información de una tabla.

6 Para comenzar ¿Cuál es tu restaurante favorito de comida rápida? Informes Rasmussen realizó una encuesta telefónica nacional con 1000 adultos. Los resultados pueden mostrarse de diferentes maneras. Una forma es escribir cuántas personas ven positiva o negativamente cada uno de los restaurantes. Una mejor forma, y más eficiente, sería escribir el porciento de adultos que ven cada restaurante de manera positiva o negativa, como se muestra en la tabla.

Leer e interpretar la información de un pictograma.

Positiva

Wendy’s McDonald’s Burger King Kentucky Fried Chicken

73% 66% 63% 62%

Negativa

19% 27% 29% 30%

Fuente: Información de Rasmussen Reports.

Nota: Los porcientos no suman el 100% por causa del redondeo o de la no respuesta.

A 6 Leer e interpretar tablas ¿Podemos sacar alguna conclusión de la información anterior? El restaurante que se ve como el más positivo entre los adultos encuestados fue Wendy’s, con un puntaje del 73%. ¿Cuál fue el menos negativo? ¡Wendy’s otra vez! Muchas situaciones prácticas requieren un resumen compacto y preciso de la información obtenida. Una tabla presentará la información de una manera eficiente usando filas y columnas. Aquí hay un ejemplo.

EJEMPLO 1 Interpretar una tabla: juegos de computadora La tabla muestra el porciento de personas que juegan tanto juegos de computadora como videojuegos. ¿Quién está jugando? Juegos de computadora

Videojuegos

29.7% 28.7% 41.6% 58.1% 41.9%

37.9% 39.5% 22.7% 71.5% 28.5%

Menores de 18 18–35 351 Hombres Mujeres Fuente: Información de ESA.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 37.9% b. 41.6% c. Hombres, 71.5% a 28.5%

PROBLEMA 1 Toma como referencia la tabla y contesta las siguientes preguntas. a. ¿Qué porciento de las personas menores de 18 años se divierte con videojuegos? b. Qué porciento de las personas de 35 años o más lo hace con juegos de computadora? c. ¿Quiénes juegan más videojuegos, los hombres o las mujeres?

6-3

6.1

Tablas y pictogramas

351

a. ¿Qué porciento de las personas menores de 18 años se entretiene con juegos de computadora? b. ¿Qué porciento de las personas de 35 o más lo hace con videojuegos? c. ¿Quién se divierte más con los juegos de computadora, los hombres o las mujeres?

SOLUCIÓN a. La primera fila bajo “Juegos de computadora” (columna 2), indica que el 29.7% de las personas menores de 18 años se entretiene con juegos de computadora. b. La tercera fila bajo “Videojuegos” (columna 3) indica que el 22.7% de las personas de 35 años o más lo hace con videojuegos. c. El porciento de hombres que se divierte con “juegos de computadora” (columna 2, fila 4) es el 58.1%, mientras que el porciento de mujeres es del 41.9%. Así, más hombres utilizan juegos de computadora.

EJEMPLO 2

Interpretar una tabla La tabla muestra el número de accidentes clasificados por gravedad (fatales, heridos, daños a la propiedad) y por mes.

Gravedad del accidente Fatales

Heridos

Daño a la propiedad

Accidentes totales

Mes

Número

Número

Número

Número

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

2,935 2,591 2,869 3,015 3,426 3,320 3,490 3,584 3,233 3,417 3,102 3,271 38,253

147,000 144,000 154,000 150,000 160,000 157,000 155,000 157,000 156,000 162,000 158,000 164,000 1,862,000

413,000 332,000 336,000 320,000 335,000 342,000 333,000 325,000 337,000 375,000 399,000 434,000 4,281,000

562,000 478,000 493,000 473,000 499,000 503,000 491,000 485,000 495,000 541,000 560,000 601,000 6,181,000

Fuente: Millas viajadas por vehículos. Administración Federal de Carreteras. Tendencias de volumen de tránsito (junio de 2005).

a. b. c. d.

¿En qué mes ocurrió la mayor cantidad de accidentes fatales? ¿En qué mes hubo la menor cantidad de heridos? ¿En qué mes ocurrió la mayor cantidad de accidentes? ¿En qué mes ocurrió la menor cantidad de accidentes?

SOLUCIÓN a. La segunda columna muestra el número de accidentes fatales. El número más alto en esa columna es 3584, que ocurrieron en agosto. b. La tercera columna muestra el número de heridos. El número más bajo en la columna es 144,000, que ocurrieron en febrero. c. La última columna muestra el número total de accidentes. En esa columna el número más alto es 601,000, que ocurrieron en diciembre. d. El menor número de accidentes mostrado en la última columna ocurrió en abril, con 473,000 choques. Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. Diciembre

b. Abril

c. Diciembre

d. 154,000

PROBLEMA 2 En relación con la tabla: a. ¿En qué mes ocurrió la mayor cantidad de accidentes con daño a la propiedad? b. ¿En qué mes hubo la menor cantidad de daños a la propiedad? c. ¿En qué mes el total de los choques superó los 600,000? d. ¿Cuántos accidentes con heridos ocurrieron en marzo?

352

Capítulo 6

6-4

Estadísticas y gráficas

B 6 Leer e interpretar pictogramas La información de las tablas anteriores también se puede resumir usando un pictograma, que es un tipo de gráfica que usa símbolos para representar información numérica en una gráfica estadística o financiera. Cada valor está representado por un número proporcional o por el tamaño de las imágenes. Así, si queremos mostrar que a 62 personas les gusta Kentucky Fried Chicken, pero que a 30 no, podemos hacer un pictograma que se vea como éste: Les gusta KFC (favorable) No les gusta KFC (desfavorable)
10 personas a las que les gusta KFC
10 personas a las que no les gusta KFC

EJEMPLO 3 Interpretar pictogramas: infecciones de SARS El pictograma muestra el número actual de personas afectadas con el SARS (síndrome respiratorio agudo súbito), o muertes conocidas en el Hospital Monte Sinaí, en un grupo de oración, y en el Hospital central de York. a. ¿Cuántas personas estaban Hospital Monte Sinaí infectadas en el grupo de Un paciente visitó la clínica de Scarborough: 4 en el Monte Sinaí desarrollaron síntomas. oración? b. ¿Cuántas personas Grupo de oración El hijo de un patriarca del grupo de oración asiste al funeral de su padre, otros dos grupos murieron?

PROBLEMA 3 En relación con el pictograma a. ¿Cuántas personas del personal del Hospital Monte Sinaí se infectaron? b. ¿Cuántos murieron en el Hospital Central de York?

funcionan ahí. Al menos 30 miembros se infectan.

Hospital Central de York Agentes de salud dicen “Mr. D” pudo haber expuesto a docenas. Dos nuevos pacientes mueren en York.

Clave

Infectado

Muerte conocida

Fuente: Información de la revista Time, 5 de mayo de 2003.

SOLUCIÓN a. El grupo de oración tiene 27 personas infectadas (rojo). b. El grupo de oración tiene 3 muertes conocidas (gris).

EJEMPLO 4 Interpretar un pictograma: preferencias de refrescos El pictograma muestra el número de estudiantes que van a un evento determinado y cuya primera opción de refresco fue ACE. Si representa a 100 estudiantes, ¿cuántos estudiantes elijen refresco ACE como su primera opción en el evento específico? a. En el baile b. En la fiesta

Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 4

b. 2

4. 250

PROBLEMA 4 En relación con el pictograma, ¿cuántos estudiantes elijen refresco ACE como primera opción en el juego?

6-5

6.1

Tablas y pictogramas

SOLUCIÓN a.

estudiantes elijen refresco ACE como su opción número 1 en el baile. Como

Baile

5 100 estudiantes,

5 3  100 5 300 estudiantes.

Juego

b. Como 5 100 estudiantes, 5 }12 de 100 5 50 estudiantes. Así, 5 300 1 50 5 350 estudiantes.

Fiesta

EJEMPLO 5 Interpretar un pictograma: cursos en línea ¿Tomaste un curso en línea? La información del pictograma se basa en una encuesta a 144 estudiantes hecha por la Universidad de Phoenix. Ejecutivos o dueños de empresas 10

a. ¿Cuántos estudiantes son gerentes medios?

10

b. ¿Qué categoría tiene menos estudiantes?

10 Fuente: Universidad de Phoenix en línea.

a. ¿Cuántos estudiantes son ejecutivos o dueños de empresas? b. ¿Qué categoría tiene más alumnos? c. ¿Cuántos estudiantes son técnicos o profesionales con licencia?

SOLUCIÓN a. Como 510 ejecutivos o dueños de empresas, 20 ejecutivos o dueños de empresas.

c. Hay 9

90 y

y

significa que hay

) es la de técnicos o

4. Así, hay 94 técnicos o profesionales con licencia.

Nota que la encuesta consistió de 144 estudiantes, por lo que

Respuestas a los PROBLEMAS 5. a. 30 b. Ejecutivos o dueños de empresas

En relación con el pictograma:

Gerentes medios

Técnicos o profesionales con licencia

b. La categoría con más estudiantes (9 profesionales con licencia.

PROBLEMA 5

5 4.

353

354

Capítulo 6

6-6

Estadísticas y gráficas

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 6.1 5 A 6 Leer e interpretar tablas Restaurantes Toma como referencia la tabla para los ejercicios 1 al 4.

Tabla para los problemas 1 al 4 Entre los inversionistas

1. ¿Qué restaurante se vio como el más favorable entre los inversionistas?

Wendy’s McDonald’s Kentucky Fried Chicken Burger King

2. ¿Qué restaurante se vio como el más desfavorable entre los inversionistas? 3. ¿Qué porciento de los inversionistas vio a McDonnald’s como favorable?

Favorable

Desfavorable

75% 69%

18% 26%

66% 62%

28% 31%

Fuente: Información de Informes Rasmussen.

4. ¿Qué porciento de los inversionistas vio a Burger King como desfavorable?

Software

> Self-Tests > e-Professors > Videos

La tabla muestra el número de estudiantes y de profesores que pagan por el software que descargan.

5. ¿Cuántos estudiantes pagan todas las veces?

Tabla para los problemas 5 al 10

6. ¿Cuántos estudiantes no pagan nunca?

Estudiantes

7. ¿Cuántos profesores pagan todas las veces? 8. ¿Cuántos más profesores que alumnos pagan todas las veces? 9. ¿En qué categoría el número de estudiantes y alumnos es el mismo? 10. ¿Qué categoría tiene una mayor diferencia entre estudiantes y profesores?

22 42 52 84

Todo el tiempo La mayoría de las veces De vez en cuando Nunca

Profesores

94 42 32 32

Fuente: Información de la red Ipsos y ClickZ.

E-mail La tabla muestra el número y tipo de spam (correo no deseado que se manda a un gran número de personas para promocionar productos o servicios) recibido por las mismas 200 personas en julio y agosto. 11. ¿Qué tipo de spam tiene el mayor incremento de julio a agosto? 12. ¿Qué tipo de spam tiene el menor (positivo) incremento de julio a agosto? 13. ¿Qué tipo de spam se mantuvo igual en julio y agosto? 14. ¿Qué tipo de spam descendió entre julio y agosto? 15. ¿Qué tipo de spam tuvo el mayor descenso de julio a agosto? 16. ¿Qué tipo de spam tuvo el menor descenso de julio a agosto?

Tabla para los problemas 11–16 Tipo de Spam

Internet Otros Estafas Productos Espiritual Financiera Placer Adultos Salud

Julio

Agosto

14 28 18 40 2 30 16 28 24

22 32 20 40 2 28 14 24 18

Fuente: Información de Erightmail’s Probe Network and ClickZ Network.

5B6

Leer e interpretar pictogramas

Horas trabajadas

Haz referencia al pictograma del reloj de la página 355 para los problemas 17 al 22.

17. ¿Cuántas horas por semana trabajaron los empleados clasificados?

18. ¿Cuántas horas por semana trabajaron los empleados profesionales–gerenciales?

6-7

6.1

355

19. ¿Cuántas horas trabajaron por semana los empleados administrativos? 20. ¿Qué empleados trabajaron más horas por semana?

Profesionalesgerenciales

Administrativos

La siguiente información va a ser usada en los problemas 23 al 30.

“Universo de Medios Digitales” (DMU) las mediciones de Nielsen/ NetRatings que permiten un seguimiento más preciso de los usuarios de internet revelaron cifras de tráfico muy altas en Estados Unidos para Microsoft, AOL Time Warner, Yahoo!, y Google, para un mes reciente. Cada símbolo representa 10 millones de usuarios. Empresa

23. ¿Qué compañía tiene más usuarios? 24. ¿Qué compañía tiene la menor cantidad de usuarios? 25. ¿Cuántos usuarios tiene Yahoo? 26. ¿Cuántos usuarios tiene AOL? 27. ¿Cuántos usuarios tiene Google?

Microsoft

28. ¿Cuál fue la diferencia en el número de usuarios entre Microsoft y AOL?

AOL Time Warner

29. ¿Cuál fue la diferencia en el número de usuarios entre AOL y Yahoo?

Yahoo!

30. ¿Cuál fue la diferencia en el número de usuarios entre Yahoo y Google?

Google

Comida La gráfica muestra el porciento de personas que prefieren las formas indicadas de malvaviscos y se va a usar en los problemas 31 al 36. Cada figura representa 10%. 31. ¿Qué porciento de las personas prefiere los pollitos?

Formas favoritas

32. ¿Cuál es la forma preferida? 60%

59%

33. ¿Cuál es la forma con menor preferencia? 34. ¿Qué porciento de las personas prefiere el hombre de nieve? 35% 24%

35. ¿Cuál es la diferencia porcentual entre la favorita y la menos favorita? 36. Si se encuestaron 500 personas, ¿cuántas prefirieron el hombre de nieve?

Conejitos

Pollitos

Hombres de nieve Corazones

Fuente: Información de Marshmallowspeeps.com.

para más lecciones

Internet

www.mathzone.com

22. Si los empleados cobran extra por horas trabajadas sobre 40, ¿qué categoría de empleados tienen pago por horas extras?

ir a

21. ¿Qué empleados trabajaron menos horas por semana? Clasificados

6Web IT

El pictograma representa el número de horas trabajadas semanalmente por los profesionales–gerentes y los empleados administrativos, respectivamente. Asume que cada símbolo representa 10 horas.

Tablas y pictogramas

356

Capítulo 6

6-8

Estadísticas y gráficas

666 Usa tus conocimientos Nutrición El conocimiento aprendido en esta sección puede usarse para seguir los hábitos nutricionales más sensatos. De todas formas, de vez en cuando podemos desviarnos del plan y… ¡comer hamburgers con queso! Aquí está la información nutricional de hamburgers con queso de cinco restaurantes diferentes:

Información nutricional

Calorías Grasa Sodio Colesterol

Burger King

Del Taco

Jack in the Box

McDonald’s

Wendy’s

360 17 g 805 mg 50 mg

330 13 g 870 mg 35 mg

360 18 g 740 mg 60 mg

330 14 g 800 mg 45 mg

310 12 g 820 mg 45 mg

Fuente: Información de Fast Food Source.com.

37. ¿El hamburger de cuál restaurante tiene menos calorías?

38. ¿El hamburger de cuál restaurante tiene más calorías?

39. Si estás en una dieta baja en sodio, ¿qué hamburger con queso deberías seleccionar?

40. Si estás en una dieta baja en grasas, ¿qué hamburger con queso deberías seleccionar?

666¡Escribe! 41. Escribe con tus propias palabras las ventajas y desventajas de representar información usando pictogramas.

42. Escribe con tus propias palabras las ventajas de usar una tabla en lugar de un pictograma para representar información.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 43. Una ______ presenta información usando líneas y columnas.

pictograma gráfica de barras

44. Un _________ es un tipo de gráfica que usa símbolos para representar información numérica.

tabla

gráfica de líneas

666Prueba de dominio Poder adquisitivo

La tabla ilustra el poder adquisitivo por raza y va a usarse en los problemas 45 al 47.

45. ¿Qué raza tuvo el poder adquisitivo más alto en el 2003? 46. ¿Qué raza tuvo el poder adquisitivo más bajo en el 2007? 47. ¿Cuál fue la diferencia en el poder adquisitivo de los asiáticos entre 2007 y 2003?

Poder adquisitivo por raza en Estados Unidos (en billones de dólares) Blancos Negros Indios Americanos Asiáticos Otros Multirraciales

2003

2007

6756.9 687.7 45.2 344.2 254.9 125.8

8504.8 921.3 63.1 526.0 406.5 164.6

Fuente: Información del Centro Selig.

6-9

6.2

Gráficas de barras y de líneas

357

Transporte El pictograma muestra el medio de transporte usado por los estudiantes para ir a la escuela y va a usarse en los problemas 48 al 52. Cada símbolo representa un estudiante de la clase 48. ¿Cuál es la forma de transporte menos usada?

Cómo vamos al colegio

49. ¿Cuántos estudiantes van en carro? Caminando

50. ¿Cuántos estudiantes van caminando?

En carro En bus

51. Encuentra la diferencia entre el número de estudiantes que van en bicicleta y aquellos que van caminando.

En taxi

52. Si cada símbolo representa 100, ¿cuántos estudiantes van en taxi?

En metro En bicicleta Otros 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fuente: Información de SPA.

666Comprobación de destrezas En los problemas 53 al 58, encuentra: 53. 2% de 725.

54. 4% de 725.

55. 70% de 725.

56. $498 2 $401.

57. 34% 2 9%.

58. 28% 2 8%.

6 .2

Gráficas de barras y de líneas

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

Sumar, restar, multiplicar y dividir números cardinales. (págs. 24, 37, 49, 62)

A6

Leer e interpretar la información de una gráfica de barras.

B6

Dibujar gráficas de barras.

C6

Leer e interpretar la información de una gráfica de líneas.

D6

Dibujar gráficas de líneas.

6 Para comenzar Las gráficas de barras muestran de manera sencilla los resultados obtenidos en el suministro de un medicamento a pacientes. Un estudio reciente, que marca un hito en la terapia de reemplazo hormonal para mejorar los efectos de la menopausia, mostró que había más riesgos que beneficios en el tratamiento. Las personas que llevaron a cabo la encuesta persuadieron a los doctores de que pusieran fin a los experimentos mostrando las estadísticas a través de gráficas de barras y de líneas. Miremos la primera gráfica titulada Riesgos. En ésta, las barras rojas (mujeres que tomaron el medicamento) son siempre más largas que las azules (mujeres que tomaron un placebo: medicina falsa), indicando que más mujeres que tomaron el medicamento sufrieron ataques al corazón, derrames cerebrales, cáncer de seno y coágulos de sangre. Por ejemplo, la barra roja en la categoría de ataques al corazón es de alrededor de 37 unidades de largo (ver la escala a la izquierda: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60), mientras que la barra azul es de alrededor de 30 unidades de largo. Esto significa que 37 mujeres (de 10,000) sufrieron un ataque al corazón mientras tomaban el medicamento, pero sólo 30 (de 10,000) los sufrieron mientras tomaban el placebo. Debemos mirar los números para derrames, cáncer de seno y coágulos de sangre en los ejemplos.

358

Capítulo 6

6-10

Estadísticas y gráficas

Terapia de reemplazo hormonal El medicamento más usado para mejorar los efectos de la menopausia tiene más riesgos que beneficios y los 6 millones de mujeres en Estados Unidos que toman la preparación de estrógeno más progesterona deben consultar a sus doctores de inmediato, determinó un estudio nacional. La investigación encontró que anualmente se dan estos números de enfermedades por cada 10,000 mujeres.

Estrógeno más progesterona

Placebo

60

Número de mujeres

Riesgos

Beneficios

50 40 30 20 10 0

Ataques Derrames Cáncer Coágulos Cáncer Fracturas Cáncer Muertes al corazón de seno de sangre colorrectal de cadera de endometrio Fuente: Información del Periódico de la Asociación Médica de Estados Unidos.

A 6 Leer e interpretar gráficas de barras Una gráfica de barras es una manera conveniente de comparar diferentes categorías usando barras cuyo largo son proporcionales al número de unidades en la categoría. En la gráfica titulada Riesgos, la primera categoría es Ataques al corazón y la segunda categoría es Derrames. Si miras la escala vertical –0, 10, 20, 30, 40, 50, 60–, puedes ver que la barra roja sobre la categoría Derrames es de alrededor de 29 unidades de largo, mientras que la barra azul es de alrededor de 21 unidades de largo. Esto significa que 29 mujeres (de 10,000) sufrieron derrames mientras tomaban el medicamento, pero sólo 21 (de 10,000) tuvieron derrames mientras tomaban el placebo.

EJEMPLO 1

Interpretar gráficas de barras Toma como referencia la gráfica titulada Riesgos para responder las siguientes preguntas. a. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron sobre Estrógeno más progesterona cáncer de seno mientras tomaban el medicamento? Placebo b. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron sobre cáncer de seno mientras tomaban el placebo? Riesgos c. ¿Cuántas mujeres más informaron sobre cáncer de seno mientras tomaban el medicamento?

SOLUCIÓN a. La barra roja sobre la categoría de cáncer de seno que representa las mujeres que tomaron el medicamento es de alrededor de 38 unidades de largo. Esto significa que 38 mujeres informaron padecer cáncer de seno mientras tomaban el medicamento. b. La barra azul es de 30 unidades de largo. Esto significa que 30 mujeres reportaron padecer cáncer de seno mientras tomaban el placebo. c. 38  30  8 mujeres más (de 10,000) informaron padecer cáncer mientras tomaban el medicamento.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. Alrededor de 34 b. Alrededor de 17 c. 17

Ataque Derrames Cáncer Coágulos al corazón de seno de sangre

PROBLEMA 1 Toma como referencia la gráfica titulada Riesgos para responder las siguientes preguntas. a. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron sobre coágulos de sangre mientras tomaban el medicamento? b. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron sobre coágulos de sangre mientras tomaban el placebo? c. ¿Cuántas mujeres más informaron sobre coágulos de sangre mientras tomaban el medicamento?

Fuente: Información del Periódico de la Asociación Médica de Estados Unidos.

En nuestras gráficas usamos barras verticales. Algunas veces, se usan también barras horizontales. En esos casos, las categorías (que clase de ítem) pueden estar en el eje vertical o eje y, mientras que las frecuencias (¿cuántos ítems?) pueden estar en el eje horizontal o eje x. Para aprender todo esto puedes tomarte unas vacaciones. Entonces, ¿dónde iremos? Mira en el ejemplo 2.

6-11

6.2

EJEMPLO 2 Interpretar gráficas de barras La gráfica de barras horizontales te dice a dónde va la gente de vacaciones. Todas las categorías (pasear por lugares Paseo por lugares pintorescos pintorescos, playa o lago, gran ciudad o pueblo pequeño) y las frecuencias se Playa o lago muestran horizontalmente. a. ¿Cuál es el destino más frecuente y qué Gran ciudad porciento de personas lo eligen? b. ¿Cuál es el destino menos frecuente y Pueblo pequeño qué porciento de personas lo eligen? SOLUCIÓN

359

Gráficas de barras y de líneas

PROBLEMA 2 Toma como referencia la gráfica y responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es el segundo destino más frecuente y qué porciento de personas lo elige? b. ¿Cuál es el segundo destino menos frecuente y qué porciento de personas lo elige?

Fuente: Información de Travel Industry Association of America (TIA).

a. El destino más frecuente es el paseo por lugares pintorescos, y lo elige el 70% de las personas. b. El destino menos frecuente es el pueblo pequeño, y lo elige el 59% de las personas.

B 6 Dibujar gráficas de barras

Categorías

x

Ahora que sabemos leer e interpretar una gráfica de barras, debemos ser capaces de dibujarlas nosotros mismos (después que aprendiste cómo hacerlo, puedes usar un software comercial, como Excel, ¡para que lo haga por ti!). Empecemos con las gráficas de barras verticales, en las que las categorías están en el eje horizontal o eje x, y las frecuencias aparecen en el eje vertical o eje y. Deben verse como la que mostramos aquí. Ahora, podrías sentirte avergonzado si no puedes hacer la gráfica de barras verticales, pero, ¿qué te avergonzaría más en tu primera cita? Sigue leyendo y encuéntralo.

EJEMPLO 3 Dibujar gráficas de barras verticales ¿Qué te avergonzaría más en tu primera cita? Dibuja una gráfica de barras verticales usando la siguiente información. Mal aliento (MA) Aparición de acné (AA) Zipper abierto (ZA) Cabello grasoso (CG)

40% 23% 22% 14%

Tropiezos de la primera cita 50 40

Porciento

Para identificar la gráfica que titulamos “Tropiezos de la primera cita”, tenemos cuatro categorías representadas en el eje horizontal. Las frecuencias van de 14 a 40, por lo que hacemos que el eje vertical vaya desde 0 a 50 en intervalos de 10 unidades, como se muestra. Las barras son de 40, 23, 22 y 14 unidades de largo, correspondientes a los porciento dados en la tabla.

¿Ya estás estresado? ¿Qué te genera esta situación? De acuerdo con una encuesta llevada a cabo para Wringley Healthcare’s Surpass por CyberPulse, las causas más comunes que causan estrés son: Dinero (D) Responsabilidades familiares (RF) Fecha límite en el trabajo (FT) Conducir carro al trabajo (CT)

Fuente: Información para Listerine de Wirthlin Worldwide.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 3

22% 22% 7%

40%

Respuestas a los PROBLEMAS

30

23%

22%

20

14%

2. a. Playa o lago; 67% b. Gran ciudad; 60% Qué nos 3.

50 MA

AA

ZA

Tropiezos

CG

estresa

60

10 0

49%

Dibuja una gráfica de barras verticales usando esta información.

Porciento

Frecuencias

y

49%

40 30

22%

22%

20 7%

10 0

D

RF

FT

Causas

CT

360

Capítulo 6

6-12

Estadísticas y gráficas

¿Y acerca de las gráficas horizontales? El procedimiento para dibujar ese tipo de gráficas es muy similar, y lo ilustramos enseguida.

EJEMPLO 4

Dibujar gráficas de barras horizontales ¿Tuviste catarro últimamente? ¿Dónde lo cogiste? Aquí están los lugares de las oficinas donde crecen gérmenes en forma abundante. Dibuja una gráfica de barras horizontales para la información. Teléfonos (T) 29% Tirador de las puertas (P) 28% Baños (B) 24%

PROBLEMA 4 ¿Qué cosas tienen en sus carros los conductores? Aquí está la respuesta de acuerdo con una encuesta de Roper ASW, para Allstate. Cassettes y CD (CCD) Paraguas (P) Dinero (D) Ropa (R)

Fuente: Información de Opinion Research para Kimberly Clark.

72% 59% 36% 26%

Dónde crecen los gérmenes de oficina

SOLUCIÓN Titulamos la gráfica “Dónde crecen los gérmenes de oficina” Esta vez pusimos las categorías (T, P y B) en el eje vertical y las frecuencias en el eje horizontal. Dado que las frecuencias van desde 24 a 29, hacemos que la escala horizontal vaya de 0 a 40 en intervalos de 10 unidades. Para hacer más fácil el trabajo, insertamos líneas verticales separadas en intervalos de 10 unidades. Mostramos la gráfica.

Dibuja una gráfica de barras horizontales para esta información.

29

T

28

P

24

B

0

10

20

30

40

C 6 Leer e interpretar gráficas de líneas Como mencionamos antes, las gráficas de barras son más útiles cuando queremos comparar la frecuencia de diferentes categorías. Si queremos mostrar una tendencia o un cambio a través del tiempo, entonces usamos las gráficas de líneas. Así, para comparar la matrícula y los cargos en universidades privadas de 4 años, las públicas de 4 y 2 años, desde 1975 hasta 2006, usamos la gráfica de líneas que mostramos.

Respuestas a los PROBLEMAS 4.

Cosas en el carro CCD

Dólares constantes (2005)

Matrícula y cargos $25,000

4 años privada

$20,000 $15,000

2 años pública 2005–06
$21,235

1995–96
$15,489 1985–86
$11,019

$10,000 1985–86
$2373 $5000

4 años pública

1995–96
$3554 1995–96
$1666

2005–06
$5491 2005–06
$2191

1985–86
$1154

$0 75– 77– 79– 81– 83– 85– 87– 89– 91– 93– 95– 97– 99– 01– 03– 05– 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 Fuente: Tendencias en los precios de las universidades, 2005, http://www.ed.gov/.

72

P

Como puedes ver, en el periodo 2005–2006, la matrícula más alta fue en las universidades privadas de 4 años: $21,235. La más barata fue la universidad pública de dos años: $2191. Una pregunta crucial para ti es: ¿cuánto puedes ahorrar asistiendo a una universidad pública de dos años de duración en lugar de una privada de 4? Para ver más precios, mira el problema 24.

59

D

36

R

26 0

20

40

60

80

100

6-13

6.2

EJEMPLO 5

Interpretar gráficas de líneas ¿Recuerdas el estudio que mencionamos en la sección Para comenzar? Las cuatro gráficas de líneas de abajo se refieren a los riesgos de algunas enfermedades (escala vertical, de 0 a 0.03) y la duración en que las mujeres han tomado el medicamento (escala horizontal, de 0 a 7 años). a. Estudia las gráficas y determina en qué años (al año más cercano), el grupo de placebo (azul) tuvo menos ataques al corazón que el grupo que tomaba el medicamento (rojo). b. Estudia las gráficas y determina en qué años (al año más cercano) el grupo del placebo tuvo menos coágulos de sangre que el grupo que tomaba el medicamento. c. ¿Cuál fue la única condición en la cual a los pacientes que tomaban el medicamento les fue mejor que a los que tomaban placebo? 0.03

0.03

Derrames cerebrales

0.02

Porciento

Porciento

Ataque al corazón

0.01

0

0

1

2

3

4

5

6

0.02

0

7

PROBLEMA 5 Toma como referencia las gráficas y responde las siguientes preguntas. a. ¿En qué año (al año más cercano) el grupo de placebo (azul) tuvo menos derrames que el grupo que tomaba el medicamento (rojo)? b. ¿En qué año (al año más cercano) el grupo del placebo tuvo menos cáncer de seno que el grupo que tomaba el medicamento? c. ¿En qué años y en qué condiciones los pacientes que tomaban el medicamento estuvieron mejor que los que tomaban placebo?

0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

Años

0.03

0.03

Coágulos de sangre

Cáncer de seno

0.02

Porciento

Porciento

361

0.01

Años

0.01

0

Gráficas de barras y de líneas

0

1

2

3

4

5

6

0.02

0.01

7

0

0

1

2

Años

3

4

Años

Estrógeno más progesterona

Placebo

Fuente: Información del Periódico de la Asociación Médica de Estados Unidos.

SOLUCIÓN a. De 0 a 7 b. De 0 a 7 c. Cáncer de seno (pero sólo en los años 1 a 4).

D 6 Dibujar gráficas de líneas Ahora que sabemos interpretar las gráficas de líneas, debemos ser capaces de dibujarlas nosotros mismos. Vamos a hacerlo a continuación. Respuestas a los PROBLEMAS 5. a. 1 a 7 b. 4 a 7 c. Las pacientes con cáncer de seno están mejor cuando toman el medicamento en los años 1 a 4.

362

Capítulo 6

6-14

Estadísticas y gráficas

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

Dibujar gráficas de líneas ¿Compras CD en la tienda o los descargas de internet? Una encuesta de Price WaterhouseCoopers reveló que los norteamericanos gastaron $10 millones descargando CD de internet en 2003. Aquí están las cifras (en millones) para los siguientes 4 años. Haz una gráfica de líneas con esta información. Año

Millones

2004 2005 2006 2007

$ 30 $125 $300 $600

Año

SOLUCIÓN

Compra de descargas

2000 2001 2002 2003

600

Cantidad (en millones)

Las categorías (años 2004, 2005, 2006 y 2007) están en el eje horizontal, y las cantidades ($30, $125, $300 y $600 millones) están en el eje vertical. Por conveniencia, usamos una escala de $100 millones en el eje vertical. Para graficar el punto correspondiente a 2004, comenzamos en el 2004, subimos 30 unidades y marcamos el punto. Para 2005, vamos al año, subimos 125 unidades y marcamos el punto. Hacemos lo mismo para 2006 y 2007. Finalmente, unimos los puntos con segmentos de línea como mostramos.

¿Hay más o menos crímenes hoy en Estados Unidos? Una encuesta de Gallup llevada a cabo en 4 años sucesivos indicó que el porciento de personas que pensaban que hay más crímenes hoy en Estados Unidos fue como se muestra en la siguiente tabla. Haz una gráfica de líneas de esta información usando una escala vertical de 40, 50, 60, y 70.

500

Porciento

47 43 62 60

400 Fuente: Información de la organización Gallup. 300 200 100 0 2004

2005

2006

2007

Año

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

5A6

Leer e interpretar gráficas de barras En los problemas 1 al 13 responde las preguntas interpretando las gráficas de barras.

1. Medicamento Toma como referencia la gráfica titulada Beneficios. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron padecer cáncer colorrectal a. ¿Mientras tomaban el medicamento (rojo)? b. ¿Mientras tomaban el placebo (azul)? c. ¿Es mejor tomar el medicamento o el placebo?

Placebo

Beneficios 50 40 30 20 10

Respuestas a los PROBLEMAS

Hay más crímenes en Estados Unidos

6.

Estrógeno más progesterona 60

Número de mujeres

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 6.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

0 Cáncer Fracturas colorrectal de cadera

70

Cáncer Muertes de endometrio

Fuente: Información del Periódico de la Asociación Médica de Estados Unidos. 60

50

40 2000

2001

2002

Año

2003

6-15

6.2

a. ¿Mientras tomaban el medicamento (rojo)? b. ¿Mientras tomaban el placebo (azul)? c. ¿Es mejor tomar el medicamento o el placebo?

b. ¿Mientras tomaban el placebo (azul)? c. ¿Es mejor tomar el medicamento o el placebo?

Gastos de regreso a la escuela

5. Gastos ¿Cuál de las tres categorías gasta más para regresar a la escuela? ¿Cuánto gastan?

Universidad Escuela superior Escuela intermedia

6. Gastos ¿Cuál de las tres categorías gasta menos para regresar a la escuela? ¿Cuánto gastan? 7. Gastos ¿Cuál es la diferencia en gastos entre los estudiantes universitarios y los de la escuela intermedia?

Fuente: Información de ICR para Capital One.

Para los problemas 8 al 10 toma como referencia la encuesta a 725 empleados llevada a cabo por Bussiness Week. 8. Estrés ¿Qué cantidad de estrés sientes en el trabajo? Los 725 empleados encuestados por Bussiness Week respondieron: Más o menos como siempre Menos de lo normal

No estaba seguro

a. b. c. d.

No

23%

21%

Sí

5%

Más de lo normal

9. Estrés A los mismos 725 empleados se les preguntó si el estrés afectaba su salud:

No estaba seguro 70%

2%

¿Cuál fue la respuesta más común? ¿Qué porciento se sentía “más o menos como siempre”? ¿Qué porciento “no estaba seguro”? ¿Cuántos de los 725 no estaban seguros si el estrés afectaba su salud? (redondea la respuesta hacia arriba).

59% 20%

a. ¿Qué porciento pensaba que el estrés afectaba su salud? b. ¿Qué porciento no estaba seguro? c. ¿Cuántos de los 725 no estaban seguros si el estrés afectaba su salud?

para más lecciones

Para los problemas 5 al 7 toma como referencia la gráfica de abajo:

www.mathzone.com

4. Medicamento Toma como referencia la gráfica titulada Neutral. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) murieron? a. ¿Mientras tomaban el medicamento (rojo)?

3. Medicamento Toma como referencia la gráfica titulada Neutral. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron sobre cáncer de endometrio?

ir a

a. ¿Mientras tomaban el medicamento (rojo)? b. ¿Mientras tomaban el placebo (azul)? c. ¿Es mejor tomar el medicamento o el placebo?

363

6Web IT

2. Medicamento Toma como referencia la gráfica titulada Beneficios. ¿Cuántas mujeres (de 10,000) informaron fracturas de cadera?

Gráficas de barras y de líneas

6-16

Estadísticas y gráficas

Graduado de escuela superior

Muertes en accidentes de tránsito y grupos etarios de las víctimas

5%

Graduado de escuela superior con algunos créditos universitarios

37% 43%

Posgraduado Fuente: Business Week Online.

ir a

a. ¿Qué categoría tiene más empleados? b. ¿Qué porciento de los empleados tiene sólo un grado de escuela superior? c. ¿Qué porciento de los empleados tiene estudios posgraduados? d. ¿Cuántos de los 725 empleados tienen estudios posgraduados?

6Web IT

12. Muertes en accidentes de tránsito ¿A qué hora ocurren las muertes en accidentes de tránsito? ¡Mira la gráfica!

Hora de las muertes por accidentes de tránsito

Horas del día

Desconocido 0 90
2 80 a 89 70 a 79 60 a 69 50 a 59 40 a 49 30 a 39 20 a 29 16 a 19 13 a 15 1 6 a 12 1 0 0

45 40

36 29 5 20

25

30

35

40 31 5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Niveles de alcohol en la sangre de las víctimas fatales

28 29

15

22

13. Niveles de alcohol en la sangre La gráfica de barras muestra el número de muertes en accidentes de tránsito y los niveles de alcohol en la sangre del conductor.

22 21

10

28 27

a. ¿Qué grupo etario tiene el mayor número de muertes? b. ¿Qué grupo etario tiene la menor cantidad de muertes? c. ¿Hay más muertes de personas que tienen menos de 50 años o de más de 50 años? d. ¿Qué grupo etario sólo tuvo dos muertes? ¿Qué piensas al respecto?

8

5

19 9

Número de muertes por accidentes de tránsito

23

0

17

Grupo etario (Grupo por edad)

15%

Bachillerato

12:01 A.M. – 3:00 A.M. 3:01 A.M. – 6:00 A.M. 6:01 A.M. – 9:00 A.M. 9:01 A.M. – Mediodía 12:01 P.M. – 3:00 P.M. 3:01 P.M. – 6:00 P.M. 6:01 P.M. – 9:00 P.M. 9:01 P.M.–Medianoche Desconocido

11. Muertes en accidentes de tránsito La gráfica muestra el número de muertes en accidentes de tránsito y los grupos etarios (grupos por edad) de las víctimas.

40

Número de muertes Encuentra el número de muertes en accidentes de tránsito entre: a. 12:01 A.M. y 3:00 A.M. b. 3:01 A.M. y 6:00 A.M. c. ¿Cuál es el periodo de tiempo en el que parece haber más muertes? d. Aparte de “desconocido”, ¿cuál es el periodo en el que parece haber menos muertes por accidentes de tránsito?

Número de muertes

Capítulo 6

10. Educación Aquí están los grados académicos de los 725 empleados encuestados:

www.mathzone.com

para más lecciones

364

39

35 30 25 20 13

15 10

5

5 0

14

Negativo

0.01– 0.09 0.10 – 0.19 0.20 – 0.29

2 0.30


Niveles de alcohol en la sangre Fuente: Información del Gobierno del Condado King, Seattle, Wa.

a. ¿Cuál fue el número de muertes con un nivel negativo de alcohol en la sangre? b. En muchos estados, una persona está legalmente ebria si su nivel de alcohol en sangre es 0.10 o más. ¿Cuántas personas estaban legalmente ebrias? (en otros estados, 0.08 o más es legalmente ebrio). c. ¿Cuál fue el nivel de alcohol en la sangre más común para las personas que estaban legalmente ebrias? ¿Cuántas personas tuvieron ese nivel de alcohol en la sangre? Para los últimos informes, ve a http://www.metrokc.gov.

6-17

Dibujar gráficas de barras

a. Dibuja una gráfica de barras verticales para la información.

Concurrencia al cine por grupos de edades

www.mathzone.com

Porciento de frecuencias

83% 54% 43% 37% 27% 20%

b. ¿Qué categoría de edad va más frecuentemente a cine? c. ¿Qué categoría de edad va menos?

Categorías

0 1–2 3–5 6–más

Frecuencias

15% 41% 28% 12%

16. Militares ¿Qué fuerza militar tiene la mayor cantidad de mujeres? Una encuesta del Departamento de Defensa muestra los siguientes números: Categorías

Fuerza Aérea Armada Naval Marina

Frecuencias

19.4% 15.4% 14.4% 6%

Fuente: Información de Bruskin/Goldring Research para Sony Electronics.

a. Dibuja una gráfica de barras verticales para la información

Llamadas no deseadas

b. Cuál es el número más común de llamadas recibidas? c. Qué porciento de las personas no reciben llamadas no deseadas?

a. Dibuja una gráfica de barras verticales para la información.

Mujeres en las fuerzas armadas

b. ¿Qué rama tiene el mayor porciento de mujeres? c. ¿Qué rama tiene el menor porciento de mujeres? d. ¿Puedes usar la información para saber si hay más mujeres en la Fuerza Aérea que en la Armada? Explica tu respuesta.

para más lecciones

Fuente: Información de TELENATION. Marketfacts, Inc.

15. Llamadas telefónicas ¿Cuántas llamadas no deseadas recibes por día? Mostramos el número de llamadas no deseadas recibidas por el porciento dado.

ir a

18–24 25–34 35–44 45–54 55–64 65–más

365

En los problemas 14 al 18, responde las preguntas dibujando las gráficas de barras.

14. Películas ¿Vas seguido a cine? La encuesta muestra el porciento de personas que van al cine al menos una vez al mes. Categorías por rango de edad

Gráficas de barras y de líneas

6Web IT

5B6

6.2

Capítulo 6

6-18

Estadísticas y gráficas

17. Viajes ¿Cuál es la ciudad más cara para viajes de negocios? Una encuesta de Runzheimer International mostró que el precio de tres comidas y hospedaje nocturno en hoteles de categoría de negocios y restaurantes es el siguiente: Categorías

Costo

Londres Ginebra Moscú Manhattan

$498 $410 $407 $401

18. Internet ¿Quién conoce más sobre internet? Una encuesta del USA Today hecha a adultos para responder a la pregunta “¿quién tiene mayor conocimiento de internet?” reveló la siguiente información:

Categorías

Porciento

Niños Adultos Los dos por igual

a. Dibuja una gráfica de barras horizontales para la información.

72% 21% 2%

a. Dibuja una gráfica de barras horizontales para la información.

¿Quién tiene mayor conocimiento de internet?

Gastos diarios de viaje

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

366

b. ¿Cuál es la ciudad más cara? c. ¿Cuál es la ciudad más barata? d. ¿Cuál es la diferencia de precio entre la ciudad más cara y la más barata?

5C6

b. De acuerdo con la encuesta, ¿quién tiene mayor conocimiento? c. Qué porciento de las personas cree que niños y adultos tienen el mismo conocimiento?

Leer e interpretar gráficas de líneas En los problemas 19–24, responde las preguntas interpretando las gráficas de líneas.

19. Precio unitario La gráfica muestra el precio promedio por libra de pollo entero fresco en los últimos cinco años.

20. Precio unitario La gráfica muestra el precio promedio por libra de un pan integral en los últimos cinco años.

Precio del pollo por libra

Precio del pan integral por libra

1.10 1.50

1.40

1.05

Precio

Precio

1.075

1.025

1.30

1 1

2

3

4

5

Año

1.20 1

2

3

4

5

Año a. ¿En qué años el precio fue más alto? b. ¿En qué año el precio fue más bajo? c. ¿En qué año el precio fue de alrededor de $1 por libra?

Fuente: Información de Bureau of Labor Statistics.

a. ¿En qué años el precio fue más alto? b. ¿En qué año el precio fue más bajo? c. ¿En qué año el precio fue de alrededor de $1.30 por libra?

6-19

6.2

a. ¿Cuál fue la tasa de niños que participaron entre 2001 y 2003?

A pesar de que más niños que niñas continúan practicando deportes en la escuela superior, la diferencia de sexos se está reduciendo. Un analista del USA Today encontró que la tasa de niñas que practican deportes de equipo continúa creciendo despacio pero sostenidamente. La tasa total de niños que participan se mantuvo estable durante el mismo periodo.

ir a

www.mathzone.com

b. ¿Cuál fue la tasa de niñas que participaron entre 2001 y 2003?

6Web IT

21. Deportes Mostramos la tasa de niños (azul) y de niñas (rojo) que participan en deportes en la escuela superior.

367

Gráficas de barras y de líneas

Tasas totales de participación 60 50

Porciento

c. ¿Cuál fue la diferencia de la tasa de participación entre niños y niñas entre 2001 y 2003? d. ¿Cuál fue la diferencia de la tasa de participación entre niños y niñas entre 1980 y 1982? e. ¿La diferencia en las tasas de participación fue mayor entre 1980 y 1982 o entre 2001 y 2003?

40 30

10 ’80 –’82

’86 –’88

’92 –’94

’98–’00 ’01–’03

Año Promedio de participación en periodos de tres años, calculados comparando el número promedio de participantes durante ese periodo, dividido por el promedio de población de ese género entre 14 y 17 años. Si los atletas participaron en dos o más deportes durante un año dado, ellos son contados dos o tres veces según corresponda.

22. Delitos Toma como referencia la gráfica y responde las siguientes preguntas.

23. Delitos ¿Y en tu barrio? ¿Te da miedo caminar solo por la noche? Aquí están los resultados de una encuesta reciente de Gallup:

¿Hay más o menos delitos hoy en Estados Unidos 84

84

89

¿Hay un área cerca de donde vives en la que te da miedo caminar solo en la noche?

% Más delitos % Menos delitos

87

% No % Sí

71 64

62 52

47

60

66 67

62

43

61 57 55 55 58 55 57 59 56 56 60 60 52 55

66 69 64 64

35 41

25

41

25

15 5

3

3

4

Ene ’89

Sep ’90

Feb ’92

Oct ’93

21 Jul ’96

Ago ’97

Oct ’98

Ago ’00

Oct ’01

Oct ’02

Oct ’03

a. En octubre de 2003, ¿qué porciento de la gente pensaba que había más delitos en Estados Unidos?, y ¿menos delitos? b. ¿En qué intervalo de tiempo decreció el porciento de la gente que pensaba que había más delitos en Estados Unidos? c. ¿En qué intervalo de tiempo creció el porciento de la gente que pensaba que había menos delitos en Estados Unidos?

48 45 43 40 44 43 42 45 45 42 45 39 39 38 35 36 34 31 35 34 30

Abr ’65

Sep í68

Jun í75

Nov í79

Ene ’82

Ene ’89

Feb í92

Dic ’94

Ago ’97

Oct í01

Oct í03

Fuente: Información de la Organización Gallup.

a. ¿En qué año fue más alto el porciento de personas a las que les daba miedo caminar solas por la noche? y ¿más bajo? b. ¿Cuál es la diferencia porcentual entre las personas a las que les daba miedo caminar solas por la noche y a las que no en octubre de 2003? c. ¿En qué año las personas se sintieron más seguras?

para más lecciones

20

6Web IT

ir a

Capítulo 6

6-20

Estadísticas y gráficas

24. Gastos de matrícula La gráfica muestra los costos anuales de matrícula, cargos, habitación y alimentación para instituciones privadas de 4 años (línea azul) y para instituciones públicas de 4 años (línea roja). a. ¿Cuál fue el costo anual en las instituciones privadas de 4 años de duración entre 1985 y 1986? b. ¿Cuál fue el costo anual en las instituciones públicas de 4 años entre 1985 y 1986? c. ¿Cuál fue la diferencia en el costo anual entre las instituciones privadas y las públicas entre 1985 y 1986? d. ¿Cuál fue el costo anual en una institución privada de 4 años entre 2005 y 2006?

Matrícula, cargos, habitación y alimentación Dólares constantes (2005)

www.mathzone.com

para más lecciones

368

$30,000 $25,000 $20,000

Privadas de 4 años de duración Públicas de 4 años de duración 1995–96
$22,040 2005–06
$29,026

1985–86
$16,026

2005–06
$12,127

$15,000 1995–96
$8550 $10,000

1985–86
$6825

$5000 75– 77– 79– 81– 83– 85– 87– 89– 91– 93– 95– 97– 99– 01– 03– 05– 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06

e. ¿Cuál fue el costo anual en una institución pública de 4 años entre 2005 y 2006? f. ¿Cuál fue la diferencia de costo entre las instituciones privadas y las públicas entre 2005 y 2006?

5D6

Fuente: Tabla 4 e información en línea (collegeboard.com/trends).

Dibujar gráficas de líneas En los problemas 25 al 40, haz una gráfica de líneas para la información dada que representa un periodo reciente de 5 años. (Información: Departamento de Trabajo, Oficina de Estadísticas del Trabajo en http://www.bls.gov.)

¿Cómo puedes comparar estos promedios? 25. Vestimenta La tabla muestra el promedio de dinero que gastan en ropa los hombres entre 16 y 25 años. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 200 a 300 como las cantidades, en intervalos de $10. 1 2 3 4 5

247 221 209 294 262

Promedio de gastos en ropa de los hombres entre 16 y 25 años

26. Vestimenta La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan en ropa las mujeres entre 16 y 25 años. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 350 a 450 como las cantidades, en intervalos de $10. 1 2 3 4 5

434 382 377 405 359

Promedio de gastos en ropa de las mujeres entre 16 y 25 años

6-21

6.2

369

28. Comida en casa La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en comida para la casa. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 2500 a 3000 como las cantidades, en intervalos de $100.

6Web IT

27. Comida en general La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en comida. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 2600 a 4000 como las cantidades, en intervalos de $200.

Gráficas de barras y de líneas

ir a

2838 3075 3354 3213 3724

Promedio de gastos en comida de los menores de 25 años

1 2 3 4 5

2758 2547 2890 2951 2936

Promedio de gastos en comida para la casa de los menores de 25 años

www.mathzone.com

1 2 3 4 5

para más lecciones

29. Fruta fresca La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 en frutas frescas. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 120 a 150 como las cantidades, en intervalos de $5.

1 2 3 4 5

137 124 136 146 142

Promedio de gastos en frutas frescas de los menores de 25 años

30. Vegetales La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en vegetales. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 120 a 150 como las cantidades, en intervalos de $5.

1 2 3 4 5

124 130 146 148 148

Promedio de gastos en vegetales de los menores de 25 años

Capítulo 6

6-22

Estadísticas y gráficas

31. Alojamiento La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en alojamiento. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 5000 a 8000 como las cantidades, en intervalos de $500.

1 2 3 4 5

5860 6151 6585 7109 7585

Promedio de gastos en alojamiento de los menores de 25 años

32. Alojamiento La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas entre 25 y 34 años en alojamiento. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 11,000 a 14,000 como las cantidades, en intervalos de $500.

1 2 3 4 5

11,774 12,015 12,519 13,050 13,828

Promedio de gastos en alojamiento de las personas entre 25 y 34 años

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

370

33. Entretenimiento La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en entretenimiento. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 900 a 1200 como las cantidades, en intervalos de $50.

1 2 3 4 5

1051 974 1149 1091 1152

Promedio de gastos en entretenimiento de los menores de 25 años

34. Entretenimiento La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas entre 25 y 34 años en entretenimiento. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 1700 a 2100 como las cantidades, en intervalos de $50.

1 2 3 4 5

1865 1757 1776 1876 2001

Promedio de gastos en entretenimiento de las personas entre 25 y 34 años

6-23

6.2

371

36. Seguro médico La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas entre 25 y 34 años en seguro médico. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 1000 a 1300 como las cantidades, en intervalos de $50.

6Web IT

35. Seguro médico La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que gastan las personas menores de 25 años en seguro médico. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 400 a 600 como las cantidades, en intervalos de $50

Gráficas de barras y de líneas

ir a

425 445 551 504 530

Promedio de gastos en seguro médico de las personas menores de 25 años

1 2 3 4 5

1236 1185 1170 1256 1286

Promedio de gastos en seguro médico de las personas entre 25 y 34 años

www.mathzone.com

1 2 3 4 5

para más lecciones

37. Salarios La tabla muestra la cantidad promedio de salario que ganan anualmente las personas entre 25 y 34. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 37,000 a 47,000 como las cantidades, en intervalos de $1000.

1 2 3 4 5

37,455 38,548 39,372 42,770 46,301

Salario anual promedio de las personas entre 25 y 34 años

38. Salarios La tabla muestra la cantidad promedio de salarios que ganan anualmente las personas menores de 25 años. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 12,000 a 18,000 como las cantidades, en intervalos de $1000.

1 2 3 4 5

13,098 14,553 16,210 16,908 17,650

Salario anual promedio de las personas menores de 25 años

Capítulo 6

6-24

Estadísticas y gráficas

39. Impuesto a los ingresos La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que pagan por impuesto a los ingresos anualmente las personas entre 25 y 34. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 2100 a 2700 como las cantidades en intervalos de $100. 1 2 3 4 5

40. Impuesto a los ingresos La tabla muestra la cantidad promedio de dinero que pagan por impuesto a los ingresos anualmente las personas menores de 25 años. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 200 a 800 como las cantidades, en intervalos de $100.

2567 2588 2316 2205 2266

Promedio de pagos anuales por impuesto a los ingresos de las personas entre 25 y 34 años

1 2 3 4 5

516 673 630 696 319

Promedio de pagos anuales por impuesto a los ingresos de las personas menores de 25 años

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

372

666Usa tus conocimientos M l uso dde las Mal l estadísticas dí i E En esta t sección, ió mostramos t una manera hhonesta t dde reflejar información estadística por medio de una gráfica de barras. ¡Pero puedes mentir con las estadísticas! Aquí está cómo podría hacerse. En un aviso del periódico para cierta revista, la circulación de la misma fue como se muestra en la gráfica. La altura de las barras en el diagrama parece indicar que las ventas de los primeros 9 meses se triplicaron en el primer cuatrimestre del año siguiente (¡un incremento enorme de 200% en las ventas!).

3,205,000 est. 3,200,000 3,140,709

3,150,000 3,104,729 3,100,000 0 Primeros 9 meses

41. Encuentra el porciento aproximado de aumento de las ventas desde los primeros 9 meses al primer cuatrimestre del siguiente año. ¿Fue de 200%?

Último Primer cuatrimestre cuatrimestre

42. ¿Cuál fue el aumento aproximado en el número de revistas vendidas?

666¡Escribe! 43. Explica con tus propias palabras qué está mal en la gráfica sobre el mal uso de las estadísticas de la sección Usa tus conocimientos.

44. Explica con tus propias palabras cómo las estadísticas pueden usarse de un mal modo o confundir. ¡Concéntrate en los ejemplos con gráficas de barras y de líneas!

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.

barras

45. Una gráfica de barras compara diferentes categorías usando barras cuyas alturas son al número de ítems en la categoría.

líneas

46. Si queremos mostrar una tendencia o cambio a través del tiempo, usamos gráficas de

.

proporcional igual

6-25

6.2

Gráficas de barras y de líneas

373

666Prueba de dominio 47. Seguro La tabla muestra, en 5 años consecutivos, la cantidad promedio de dinero que pagan anualmente por seguro de vehículos los conductores menores de 25 años. Grafica la información usando 1 a 5 como los años y 350 a 500 como las cantidades, en intervalos de $25. 1 2 3 4 5

383 408 449 449 479

Promedio de pagos anuales por seguro de vehículos de las personas menores de 25 años

49. Rangos de edad La tabla muestra el porciento proyectado de los rangos de edad en Estados Unidos para el año 2050. Dibuja una gráfica de barras horizontales de la información usando los rangos de edad como las categorías y los porcientos como las frecuencias en intervalos de 10 unidades. Edad

0–14 15–64 65

48. Pasta dental La tabla muestra el porciento de hombres que extraen la pasta dental desde el fondo del envase, dependiendo de la edad. Dibuja una gráfica de barras verticales para la información usando los grupos de edades como las categorías y los porcientos como las frecuencias, en intervalos de 10 unidades. Edad

21–34 35–44 45–54 55

Fondo

37% 33% 10% 10%

Porciento de hombres que extraen la pasta dental desde el fondo del envase

50. Preferencia de los consumidores La gráfica de barras muestra las preferencias de los consumidores acerca de otros servicios deseados para los cajeros automáticos (ATM). a. ¿Qué otro servicio es el más deseado? b. ¿Cuál es el servicio menos deseado?

Porciento

19% 62% 19% SELLOS

Porciento proyectado de rangos de edad en Estados Unidos para el 2050

CAMBIAR CHEQUES POR EFECTIVO TAQUILLAS PARA EVENTOS

374

Capítulo 6

6-26

Estadísticas y gráficas

51. Economía ¿Están mejorando o empeorando las condiciones económicas? Usa la gráfica de líneas para responder las siguientes preguntas.

80

% Empeorando

70

Porciento

a. ¿Qué porciento de personas respondió mejorando entre octubre 6 y 8? b. ¿Qué porciento de personas respondió empeorando entre enero 10 y 14? c. ¿Cuándo pensaba la mayoría de las personas que la economía estaba empeorando?

90

60 50

47

40

43

30 20 10

% Mejorando

0 Ene May Sep Dic Abr Jun Jul Sep Dic Feb Mar Jun Oct 10 – 10 – 7– 6 – 8 – 3 – 29 – 23 – 5 – 3 – 29 – 12 – 6 – 8 9 11 14 14 10 8 30 15 6 31 26 6

666Comprobación de destrezas En los problemas 52 al 56, encuentra: 52.

1 } 2

de 33

55. 5% de 500.

53. 22% de 500.

54. 4% de 500.

56. 8% de 500.

6. 3

Gráficas circulares (gráficas de “pie”)

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

1. Encontrar el porciento de un número. (págs. 300–301, 310)

A6

Leer e interpretar la información en una gráfica circular.

2. Encontrar qué porciento de un entero es un número dado. (págs. 300–301, 310)

B6

Dibujar gráficas circulares con números y porcientos.

6 Para comenzar ¿Puedes predecir la probabilidad de lluvias usando una gráfica circular (gráfica de “pie”)? La Oficina de Meteorología lo hace en Australia. La predicciones sobre lluvias pueden darse usando información numérica, escrita o como una gráfica circular. Por ejemplo, la tabla que mostramos aquí da las probabilidades de temperatura seca, húmeda o normal basada en el tipo de año (El Niño, normal, La Niña). Año de El Niño

Año normal

50% seco 17% húmedo 33% normal

33.3% seco 33.3% húmedo 33.3% normal

Año de La Niña

17% seco 50% húmedo 33% normal

Si sabes que estamos teniendo un año de El Niño (primera columna), ¿qué puedes decir acerca de las lluvias? La probabilidad que esté seco es de alrededor del 50%; húmedo, del 17%; y normal, del 33%. ¿Puedes predecir qué pasará si estás teniendo un año de La Niña? La información también puede ser resumida usando una gráfica circular. Por ejemplo, la tercera gráfica circular muestra la información para un año de La Niña. La categoría más fácil de graficar es húmedo, porque representa el 50% o la mitad del círculo. La mitad de arriba del círculo muestra seco (17%) y normal (33%). Dado que 17 es alrededor

6-27

6.3

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

375

de un medio de 33, la región sombreada representa que el clima seco es alrededor de la mitad del tamaño de la región normal. En esta sección aprenderemos a interpretar y construir gráficas circulares.

Normal 33%

Seco 50%

Húmedo 17% Año de El Niño

Normal 33.3%

Seco 33.3%

Normal 33%

Seco 17%

Húmedo 50%

Húmedo 33.3% Año normal

Año de La Niña

Fuente: Oficina de Meteorología del Gobierno de Australia.

A 6 Leer e interpretar gráficas circulares Como vimos en Para comenzar, una gráfica circular o gráfica de “pie” es un tipo de gráfica que muestra qué porciento de una cantidad se usa en diferentes categorías, o la proporción de una categoría con respecto a otra. Las gráficas circulares se usan cuando las cantidades exactas son menos importantes que el tamaño relativo de las categorías. ¿Qué describen estas gráficas? Sigamos la rutina hipotética de un estudiante. Te despiertas y debes decidir si vas a tomar tu desayuno.

EJEMPLO 1

Interpretar gráficas circulares La gráfica circular muestra qué tan a menudo la gente desayuna.

PROBLEMA 1 Toma como referencia la gráfica circular y responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué porciento de la gente toma su desayuno todos los días? b. ¿Qué categoría ocupa el sector más pequeño de la gráfica? c. Si fueron encuestadas 500 personas, ¿cuántas tomarían su desayuno algunos días?

Fuente: Información de Quaker Oats Co.

a. ¿Qué porciento de la gente toma su desayuno rara vez? b. ¿Qué categoría ocupa el sector más grande de la gráfica? c. Si fueron encuestadas 500 personas, ¿cuántas tomarían su desayuno casi todos los días?

SOLUCIÓN a. 21% de la gente toma su desayuno rara vez. b. El sector más grande es “todos los días”: ocupa el 38% de la gráfica. c. 22% de la gente toma su desayuno casi todos los días. Si hubieran sido encuestadas 500 personas, necesitaríamos encontrar el 22% de 500 5 0.22 ? 500 5 110. Así, 110 personas de 500 encuestadas hubieran tomado su desayuno casi todos los días.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 38% b. Algunos días; 19% c. 95

Es posible que no hayas tomado tu desayuno porque estás a dieta. ¿Cuántas personas están a dieta? Veamos.

376

Capítulo 6

6-28

Estadísticas y gráficas

EJEMPLO 2

Interpretar una gráfica circular La gráfica está dividida en tres categorías identificadas por colores. Sí es azul, No es morado y No estoy seguro es amarillo. Responde las preguntas que siguen.

¿Estás a dieta o alguien de tu casa lo está? No estoy seguro 3.75%

No 52.66%

Sí 43.59%

Nota que: 43.59%
44% 52.66%
53% 3.75%
4%

Fuente: Información de Insight Express.

a. Qué porciento de los hogares tiene personas que están actualmente a dieta? b. ¿Hay más hogares con personas que están a dieta o que no lo están? c. Si fueran encuestadas 500 personas, ¿cuántas no estarían seguras?

PROBLEMA 2 Toma como referencia la gráfica circular y responde las siguientes preguntas redondeando al porciento más cercano a. ¿Qué porciento de los hogares tiene personas que no están actualmente a dieta? b. ¿Qué diferencia hay entre el porciento de hogares con personas que no están a dieta y los que sí lo están? c. Si fueran encuestadas 500 personas, ¿cuántos hogares tendrían personas haciendo dieta?

SOLUCIÓN a. La categoría azul, que representa los hogares con personas que están a dieta, ocupa el 43.59% o alrededor de 44% del círculo total. Así, el 44% de los hogares tienen personas que están actualmente a dieta. b. Cerca del 44% de los hogares tiene personas que están a dieta, el 53%, no. Así, hay más hogares con personas que no hacen dieta. c. Aproximadamente, el 4% de las personas no están seguras. Si fueran encuestadas 500 personas, esto representaría el 4% de 500  0.04 ? 500  20 hogares. Ahora que tomaste tu desayuno, estás listo para ir a trabajar. ¿Cómo llegarás allí? En el ejemplo 3 comentaremos las posibilidades.

EJEMPLO 3

Interpretar una gráfica circular La gráfica circular muestra el porciento de las personas que usan los distintos medios de transporte para ir al trabajo. a. ¿Cuál es el medio de transporte Conduce solo más común para ir al trabajo? 80% ¿Qué porciento de las personas lo Comparten carro 11% utilizan? Transporte público 5% b. ¿Cuál es el segundo medio más Otros 4% común para ir al trabajo? Fuente: Información de encuesta de la Oficina Nacional c. En un grupo de 500 personas que de Transporte Público. van al trabajo, ¿cuántas esperarías que usaran el transporte público?

SOLUCIÓN a. El medio más común para ir al trabajo es conducir el carro solo. Esto lo hace el 80% de las personas. b. El segundo medio más usado es compartir el carro. c. El 5% de las personas que van al trabajo usa el transporte público. Si hubiera 500 personas, esperaríamos el 5% de 500 5 0.05 ? 500  25 personas utilizarían el transporte público. Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. 53%

b. 9% c. 220

3. a. 11%

b. 4% c. 400

PROBLEMA 3 Toma como referencia la gráfica circular y responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué porciento de las personas comparten el carro para ir al trabajo? b. ¿Qué porciento de las personas usan otras formas de transporte para ir al trabajo? c. En un grupo de 500 personas que van al trabajo, ¿cuántas esperarías que conduzcan solas?

6-29

6.3

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

377

B 6 Dibujar gráficas circulares Ahora que sabes leer e interpretar gráficas circulares que contienen porcientos, debes saber cómo dibujarlas o usar un programa de software ¡para que lo haga por ti! La manera de hacer gráficas circulares es similar 3 partes sombreadas a la que usamos para representar fracciones. Como recordarás 3 del capítulo 2, la fracción }4 puede representarse usando un rec4 partes en total tángulo dividido en cuatro partes iguales y sombrear tres de esas partes, como se muestra: Si en lugar de un rectángulo estuviéramos sombreando un círculo para representar 3 la fracción }4, dividiríamos el círculo en cuatro partes iguales y sombrearíamos 3 de ellas, como mostramos:

¿Recuerdas aquellos que conducen solos al trabajo en el ejemplo 3? ¡Tal vez tú tengas tu propio carro y eres uno de ellos! Podemos hacer una gráfica circular de los gastos asociados con tener un carro. Para hacer eso, sigue los pasos. Paso 1. Haz un círculo.

Paso 2. Divídelo en dos partes iguales.

Paso 3. Subdivide cada una de las dos partes en 5 partes iguales.

Paso 4. Cada una de las subdivisiones 1 representa } 10, 10%.

10%

Ahora, supón que las categorías de los gastos de tu carro el año pasado fueron: Pagos: Gasolina, aceite: Reparaciones y mantenimiento: Total:

$2500 1500 1000 _____ $5000

378

Capítulo 6

6-30

Estadísticas y gráficas

Para hacer una gráfica circular que corresponda con esta información, primero notamos que la diferencia entre este problema y los que resolvimos anteriormente es que los porcientos no se dan. De todas formas, pueden obtenerse comparando cada gasto con el total, como sigue: Pagos 50%

2500 1 }5} 5000 2 5 50% Reparaciones 1500 3 } 5 } 5 30% Gasolina y aceite 20% 5000 10 1000 1 }5} Reparaciones 5000 5 5 20% Luego hacemos un círculo y lo dividimos en 10 regiones iguales, usando 5 pagos, 3 para gasolina y aceite, y 2 para reparaciones y mantenimiento, como se muestra en el margen. Pagos

Gasolina y aceite 30%

EJEMPLO 4

Dibujar una gráfica circular Haz una gráfica circular para mostrar la siguiente información:

PROBLEMA 4 Haz una gráfica circular para mostrar la siguiente información:

Presupuesto familiar (mensual) Ahorros Vivienda Vestimenta Alimentación Otros Total

$ 300 500 200 800 200 $ 2000

Presupuesto familiar (mensual) Ahorros (A) Vivienda (V) Vestimenta (Ve) Alimentación (Al) Otros (O) Total

$ 150 375 225 450 300 $1500

SOLUCIÓN Primero determinamos qué porciento del total representa cada uno de los ítems (categorías). Ahorros Vivienda Vestimenta Alimentación Otros

3 300 } 5 } 5 15% 2000 20 500 1 }5} 2000 4 5 25% 200 1 }5} 2000 10 5 10% 800 2 }5} 2000 5 5 40% 200 1 }5} 2000 10 5 10%

Luego, hacemos un círculo, lo dividimos en 10 regiones iguales y usamos 1}12 regiones para ahorros (15%), 2}12 para vivienda (25%), 1 para vestimenta (10%), 4 para alimentación (40%), y 1 para otros (10%), como se muestra en el diagrama:

Vestimenta

Vivienda 25% 15% 10% 10% Alimentación 40%

Ahorros 1__12 regiones
15%

Respuestas a los PROBLEMAS 4.

Ve 15%

V 25%

Al 30% Otros

A 10%

O 20%

6-31

6.3

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

379

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Leer e interpretar gráficas circulares En los problemas 1–13, responde las preguntas sobre las gráficas circulares. 2. Rutina diaria iguales

La gráfica circular está dividida en 12 partes

Tareas

Medios de transporte para ir al trabajo

Hablar con amigos Mirar TV

Dormir

En carro 20% Caminando 32% En autobus 43%

En bicicleta 5%

Jugar fútbol

Comer

a. ¿Cuál es el medio de transporte preferido? b. ¿Cuál es el medio de transporte menos preferido? c. En Fort Worth, Dallas, alrededor de 91% de las personas conduce al trabajo. ¿Cuál es la diferencia en porciento de personas que conducen al trabajo en Fort Worth, Dallas y en Inglaterra?

3. Queso La gráfica circular muestra los porcientos de diferentes tipos de queso producidos.

¿Cuántas partes (porciones) se usaron durmiendo? ¿Cuántas partes (porciones) se usaron mirando televisión? ¿Qué actividades tomaron la mayor parte del día? ¿Qué actividades tomaron la menor parte? ¿Qué fracción del tiempo se usó comiendo? Recuerda que el “pie” tiene 12 partes iguales (porciones). f. ¿Qué fracción de tiempo se usó haciendo tareas? a. b. c. d. e.

4. León marino ¿Qué come un león marino Steller? La gráfica circular te lo dice.

Tipos de queso producidos Mozzarella 30.6% Suizo 2.8%

Cheddar 36.0%

Todos los otros 13.1% Otros italianos 8.7%

Otros americanos 8.8%

Fuente: Información del Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

a. ¿Qué tipo de queso se produce más? b. ¿Qué tipo de queso se produce menos? c. Si asumes que el queso que se produce más es el más popular, ¿cuál es el segundo queso más popular?

¿Qué come un león marino Steller? Calamares 7% Otros invertebrados 30%

Pescado 63%

Si estás a cargo de alimentar un león marino Steller en el zoológico: a. ¿Qué comida almacenarías más? b. Si compras 100 libras de comida para leones marinos, ¿cuánto sería de calamares? c. Si compras 200 libras de comida para leones marinos Steller, ¿cuántas libras serían de calamares?

para más lecciones

Fuente: Información de Learn.com.uk

www.mathzone.com

Rutina diaria de un estudiante

ir a

1. Medios de transporte ¿Tienes un trabajo? ¿Qué medio de transporte usas para llegar a él? La gráfica circular muestra los diferentes medios de transporte que usa la gente para ir al trabajo en Inglaterra.

6Web IT

6Ejercicios 6.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

380

Capítulo 6

6-32

Estadísticas y gráficas

d. “Otros invertebrados” significa pulpos, camarones y cangrejos, preferiblemente en la misma cantidad. Si compras 300 libras de comida para leones marinos Steller, ¿cuántas libras de cangrejo debería contener?

e. Un león marino Steller pesa alrededor de 2200 libras y come 200 libras de comida cada día. ¿Cuántas libras de pescado comería cada día?

f. Una leona marina Steller, por otro lado, pesa alrededor de 600 libras y come 50 libras de comida cada día. ¿Cuántas libras de calamares come cada día?

g. ¿Cuántas libras de camarones come la leona marina Steller cada día?

5. Uso de agua La gráfica circular muestra el promedio de agua que se usa en las casas en Portland, Oregón.

6. Pizza La gráfica muestra el porciento de ingredientes (por peso) que se usa para preparar una pizza de salchichas.

Promedio de uso de agua en el interior de las casas en Portland, Oregon Otros 5% Escapes. Filtraciones 14% Llave 15%

Para leer más acerca de los leones marinos Steller, ve a http:// tinyurl.com/r1r3.

Champiñón 5%

Salchicha 7% Salsa 13%

Inodoro 27%

Queso 25%

Masa 50%

Lavadora 22% Ducha 17%

a. ¿Dónde se usa más agua? b. Si usas 500 galones de agua, ¿cuánta se usará en la ducha? c. ¿Qué usa más agua, la llave o los escapes? d. Si “otros” usa 10 galones de agua, ¿cuánta agua será usada en las llaves?

a. ¿Qué porciento de la pizza es masa? b. ¿Qué porciento de la pizza es queso? c. ¿Qué ingrediente tiene, por peso, la parte más pequeña de la pizza? d. Si estimas que la pizza pesa cuatro libras, ¿cuántas libras serían de masa y cuántas de queso? e. Si fueras a hacer 100 de estas pizzas de cuatro libras, ¿cuántas libras de queso necesitarías?

7. Basura ¿Miraste tu basura últimamente? Tienes un zafacón promedio si los porcientos son como los que se muestran.

8. Satisfacción en el trabajo La gráfica muestra la satisfacción en el trabajo de 500 trabajadores, de entre 20 y 29 años.

Fuente: Información de la Oficina de Aguas de Portland.

¿Miraste tu basura últimamente? Vidrio 7% Metales 9% Recortes del jardín18%

Plásticos 8%

Otros* 12% Restos de comida 6% Papel 40%

*(Ej.: goma, cuero, textiles, madera, desechos inorgánicos en general) Fuente: Información de la Agencia de Protección del Medio Ambiente de Estados Unidos.

a. ¿Cuál es el artículo con mayor presencia en tu basura? b. ¿Cuál es el segundo artículo de mayor presencia? c. Si tienes 50 libras de basura, ¿cuántas libras de papel esperarías tener? d. ¿Cuántas libras de recortes del jardín? En realidad, probablemente tú recicles ¡y no tengas tanta cantidad de papel!

El trabajo está bien, pero la carrera es incorrecta Paga las cuentas Feliz con la carrera No le gusta el trabajo, pero le gusta la carrera Fuente: Información de Insight Express.

a. ¿Qué porciento de las personas están felices con sus carreras? ¿A cuántas personas equivale? b. ¿Qué porciento de las personas pensaba que había elegido la carrera equivocada? ¿Cuánto es eso? c. ¿A qué porciento de las personas no le gusta el trabajo pero le gusta la carrera que eligió? ¿A cuánto equivale?

6-33

6.3

10. Gobierno Toma como referencia la gráfica que muestra de dónde viene el dinero del Gobierno Federal.

Formas actuales de producción de energía

Hidráulica 6% Gas natural 18%

Carbón 24%

Impuesto a los ingresos (corporativos) 10% Otros 4% Impuesto de las nóminas por Impuestos sobre seguro social 34% el consumo 4%

Petróleo 33% Impuesto a los ingresos (individuales) 48%

Fuente: Información de la Universidad de Michigan.

Fuente: Información del Informe Económico del Presidente.

Gastos

a. ¿De qué fuente el Gobierno Federal recibe más dinero? ¿Qué porciento? b. ¿Cuál es la segunda mayor fuente de dinero del Gobierno Federal? ¿Qué porciento? c. Si la cantidad generada total que recibe totaliza $1700 billones, ¿cuánto se genera por los impuestos a los ingresos corporativos?

La siguiente gráfica se va a usar en los problemas 11 al 13.

11. ¿Cuál es el mayor gasto?

Gastos en una universidad pública

12. ¿Cuál es el segundo mayor gasto? 13. ¿Cuál es el menor gasto?

Personal

Matrícula 25% 15% 10%

Libros

Comida 20% 30% Habitación

5B6 14.

Dibujar gráficas circulares En los problemas 14 al 24, haz una gráfica circular para la información dada. 15.

Gastos de los carros Pagos Gasolina, aceite Reparaciones Llantas Seguro Total

Gastos de los carros

Presupuesto familiar (mensual) $3000 1000 500 200 300 $5000

Ahorros Vivienda Vestido Alimentación Otros Total

$ 150 250 100 400 100 $1000

Presupuesto familiar (mensual)

para más lecciones

a. ¿Qué fuente produce más energía? b. ¿Qué fuente produce menos energía? c. Cuando el combustible fósil (carbón, aceite y gas natural) se quema emite gases que producen efecto invernadero. ¿Cuál de estos tres combustibles fósiles produce menos energía?

www.mathzone.com

Biomasa 14%

¿De dónde viene el dinero del Gobierno Federal?

ir a

Nuclear 5%

381

6Web IT

9. Energía La gráfica circular muestra la descomposición de las formas en que el mundo produce energía.

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

Capítulo 6

6-34

Estadísticas y gráficas

16.

17.

Gastos escolares (por semestre) Habitación Comida Matrícula Viajes Libros

$ 600 1050 690 450 210

Gastos escolares (por semestre)

Tareas del hogar hechas por los esposos (semanalmente) Reparaciones en el hogar Trabajo en la cocina Cuidado de la familia Compras

36 minutos 12 minutos 24 minutos 24 minutos

Tareas del hogar hechas por los esposos (semanalmente)

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

382

18. Vacaciones De acuerdo con una encuesta hecha por US Travel Data Center a 800 personas, los lugares que más gustan para pasar unas vacaciones de verano son: Ciudad Mar Pueblo pequeño Montañas Lagos Parques nacionales

Sedán Grandes Compactos Camionetas Otros Total

248 208 176 80 40 48

Lugares para pasar vacaciones de verano

20. Comida En una encuesta reciente llevada a cabo por Snackfdood Association a 2000 personas, los sabores favoritos de las papas fritas fueron: Regular con sal Barbacoa Crema agria y cebolla Queso cheddar Regular sin sal Otras

19. Carros De acuerdo con un Informe de Roper, 9 de cada 10 personas en Estados Unidos pertenece a una familia en la que un miembro tiene un carro. Aquí está lo que tienen:

1320 248 206 78 36 112

630 522 378 144 126 1800

Tipo de carro que tienen las familias con un carro

Sabores favoritos de las papas fritas

6-35

6.3

Uso personal: Otros usos: Uso para el trabajo:

Redondea al porciento más cercano.

Redondea al porciento más cercano.

Uso de internet de los estudiantes

Uso de Internet de los académicos

23. Software ¿Deberías ser castigado por usar software sin licencia o pirata? El número de académicos que aboga por el castigo indicado en una encuesta de BSA–Ipsos a 200 profesores es: 100 30 28 24 10 8

Redondea al porciento más cercano.

Castigo por el uso de software sin licencia o piratería

24. Software ¿Qué piensan los estudiantes acerca del uso de software sin licencia o pirata? El número de estudiantes que aboga por los castigos indicados en una encuesta de BSA–Ipsos a 1062 estudiantes es: Sin penalidad: Quedarse sin uso de la computadora: A prueba (académica): Suspensión: No están seguros:

350 319 127 32 234

Redondea al porciento más cercano.

Castigo por el uso de software sin licencia o piratería

Fuente: http://www.definetheline.com. Fuente: http://www.definetheline.com.

para más lecciones

Fuente: http://www.definetheline.com.

Fuente: http://www.definetheline.com.

Quedarse sin uso de la computadora: A prueba (académica): Sin penalidad: Multa: Suspensión: No están seguros:

22 0 178

www.mathzone.com

670 360 32

22. Internet ¿Cómo usan internet tus profesores? El número de académicos que utilizan internet para uso personal, escuela y otros usos, de acuerdo con la encuesta llevada a cabo por BSA–Ipsos a 200 académicos, es así:

ir a

Uso personal: Uso para la escuela: Uso para el trabajo:

383

6Web IT

21. internet ¿Cómo usas internet? Una encuesta llevada a cabo por BSA–Ipsos a 1062 estudiantes indicó que el número de alumnos que utiliza internet para uso personal, escuela y trabajo es así:

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

384

Capítulo 6

6-36

Estadísticas y gráficas

666Usa tus conocimientos Polución del agua Algunas de las gráficas circulares que estudiamos fueron divididas en 10 regiones iguales, cada una representando el 10%. Hay otra forma de dibujar estas gráficas. Como debes saber, un círculo tiene 360 grados (que se escribe 360°). Ahora imagina que quieres hacer una gráfica circular para la siguiente información:

Fuentes de contaminación del agua Industrial Alcantarillado urbano Agricultura

60% 25% 15%

¿Cuántos grados corresponderán a cada categoría? Para polución industrial necesitamos o Para el alcantarillado urbano o Para la agricultura tenemos o

60% de 360° 0.60  360°  216° 25% de 360° 0.25  360°  90° 15% de 360° 0.15  360°  54°

Puedes usar un instrumento llamado transportador para medir estos grados, marca las regiones correspondientes en el círculo y finaliza la gráfica. Ahora, las fuentes de polución del aire, como se muestran en la tabla son. Transportes Combustión Industria Otros

40% 20% 15% 25%

Usa tus conocimientos para encontrar el número de grados que corresponden a cada una de las siguientes categorías. 25. Transportes

26. Combustión

27. Industria

28. Otros

666¡Escribe! 29. Escribe una descripción de una gráfica circular (gráfica de “pie”), con tus propias palabras.

30. ¿Cuál es la relación entre las gráficas circulares y los porcientos?

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 31. Una gráfica es un tipo de gráfica que muestra qué porciento de una cantidad se usa en diferentes categorías. 32. Una gráfica circular puede mostrar también la

barra

circular

línea

relación

de una categoría con otra.

proporción

6-37

6.3

Gráficas circulares (gráficas de "pie")

385

666Prueba de dominio La gráfica se va a usar en los ejercicios 33 al 35. El trabajador norteamericano promedio se queda hasta tarde en el trabajo entre 3 y 5 días a la semana. La gráfica muestra el porciento de trabajadores que dice quedarse más tarde en el trabajo y las horas en que lo hacen. 33. ¿Qué porciento de los trabajadores se queda una hora más en el trabajo? 34. ¿Qué porciento de los trabajadores se queda dos horas más tarde en el trabajo? 35. Si tu compañía tiene 500 empleados, ¿cuántos esperarías que se queden tres horas más en el trabajo?

Fuente: Información de Management Recruiters International.

36. Cuando se le preguntó a 1700 adultos, de 20 años o más, qué tan a menudo preparan asados, los resultados fueron los siguientes: 170 dijeron que nunca. 510 dijeron que dos o tres veces al mes. 425 dijeron que menos de una vez al mes. 340 dijeron que una vez al mes. 255 dijeron que una vez a la semana o más. Haz una gráfica circular para esta información.

¿Qué tan a menudo preparas asados?

666Comprobación de destrezas En los problemas 37 al 40, encuentra: 2.41  2.51  2.61 37. }} 3

208  179  150 38. }} 3

1.41  1.45  1.51  1.63 39. }}} 4

157  116  104  99  89 40. }}} 5

386

Capítulo 6

6-38

Estadísticas y gráficas

w

6. 4

Media, mediana y moda

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6 B6

1. Sumar, restar, multiplicar y dividir decimales. (págs. 202–206, 212–216) 2. Redondear números. (págs. 216–217)

Encontrar la media de un conjunto* de números. Encontrar la mediana de un conjunto de números.

C6

Encontrar la moda de un conjunto de números.

D6

Resolver aplicaciones con la media, la mediana y la moda.

6 Para comenzar ¿Cuál es el precio promedio de la gasolina en tu área? En la estación Amoco, el precio promedio es la suma de los tres precios dividido por 3, eso es, $2.51  $2.64  $2.74 $7.89 }}  }  $2.63 3

3

Ahora, ¿cuál es el número en el medio (mediana) para la gasolina Amoco? Es $2.64. ¿Y la mediana de los cuatro precios de la gasolina en Hess? ¿Hay uno? Luego, ¿hay un precio que aparece más que otros? Si miras todos los precios de gasolina que se muestran, el número 2.51 aparece dos veces, es la moda para los precios. Enseguida precisamos estas ideas. *Ver apéndice 1: Apuntes sobre conjuntos.

A 6 Encontrar la media El promedio más común para un conjunto de n números, es la media o promedio. La media es una estadística (un número que describe un conjunto de información) que mide la tendencia central, un tipo de centro para el conjunto de números. Aquí está la definición.

MEDIA

La media (promedio) de un conjunto de n números es la suma de esos números dividido por el número n de elementos del conjunto.

Así, el precio promedio de la gasolina HESS no diesel (regular, plus, premium) es $2.41  $2.51  $2.61 $7.53 }}  }  $2.51 3 3

6-39

6.4

EJEMPLO 1

Calcular la media La tabla ilustra los 5 álbumes de música más vendidos de todos los tiempos. ¿Cuál es el número promedio (media) de álbumes vendidos?

Álbumes más vendidos de la historia 28 millones s E agles sus grandes éxitos 1971–1975, Eagles (Elektra) 26 millones s Thriller, Michael Jackson (Epic) 23 millones s The Wall, Pink Floyd (Columbia) 22 millones s L ed Zeppelin IV, Led Zeppelin (Swan Song) 21 millones s G randes Éxitos Volumen 1 & 2, Billy Joel (Columbia) Fuente: Información de Fact Monster.

SOLUCIÓN Para encontrar la media de los 5 números, sumamos los números y dividimos por 5. Así, la media es

387

Media, mediana y moda

PROBLEMA 1 La tabla ilustra los 5 siguientes álbumes de música más vendidos de todos los tiempos. ¿Cuál es el promedio de álbumes vendidos? 19 millones s Back in Black, AC/DC (Elektra) 19 millones s The Beatles, The Beatles (Capitol) 19 millones s Come On Over, Shania Twain (Mercury Nashville) 18 millones s Rumours, Fleetwood Mac (Warner Bros.) 17 millones s El guardaespaldas (Soundtrack), Whitney Houston (Arista)

28  26  23  22  21 120 }}} } 5 5  24 millones de copias.

EJEMPLO 2

Calcular la media ¿Has estado tomando tu leche? ¿Cuántas calorías consumiste? Si te permitimos que cuentes la leche chocolatada, la tabla muestra el número de calorías por vaso de cuatro tipos de leche. Encuentra el promedio de calorías por vaso.

Cómo se mide la leche en calorías

Chocolate entero

Chocolate reducido

158

150

Chocolate Leche entera bajo en grasas

Fuente: Información de USA Today.

SOLUCIÓN Hay cuatro tipos de leche y contienen 208, 179, 158 y 150 calorías por vaso. Así, el promedio de calorías es: 208  179  158  150 695 }}}  }  173.75  174 calorías 4 4 Recuerda que el símbolo  significa “aproximadamente igual”. Redondeamos la respuesta a la caloría más cercana, obteniendo 174.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 18.4 millones 2. 564.5 ø 565 calorías

Aquí está el contenido calórico de cuatro tipos de hamburgers: Grande genérica (sin mayonesa) McDonald’s Big Mac Burger King Suprema Whataburger

511 590 550 607

Encuentra el promedio de calorías en estos hamburgers.

208 179

PROBLEMA 2

388

Capítulo 6

6-40

Estadísticas y gráficas

Uno de los promedios más importantes en este momento es tu promedio académico general (GPA). Calcular tu promedio académico general es un ejemplo de un promedio valorado. Primero, cada clase que tomas lleva un número de créditos hora, y a cada nota que obtienes se le asigna un peso como: A: 4 puntos; B: 3 puntos; C: 2 puntos; D: 1 punto; F: 0 puntos. Acumulas puntos multiplicando el número de créditos hora en una clase por el valor de tu nota. Por ejemplo, si obtienes una A (4 puntos) en una clase de 3 horas, tienes 4  3  12 puntos. Para una C (2 puntos) en una clase de 4 horas, tienes 2  4  8 puntos. Para encontrar tu GPA divides el número de puntos obtenidos por el número de créditos hora que estás tomando. Aquí hay un ejemplo de la Universidad Estatal de Oklahoma.

PROBLEMA 3

EJEMPLO 3

Calcular el promedio académico general Supón que estás tomando cinco cursos con créditos hora, notas obtenidas y puntos, como se muestran. ¿Cuál es tu GPA?

Curso

Créditos hora

A&S 1111 1 Inglés 1113 3 Psicología 1113 3 Historia 1103 3 Química 1314 4 14 créditos hora

Notas obtenidas

A (4) A (4) B (3) B (3) C (2)

Encuentra el GPA de un estudiante de la Universidad de Texas con los cursos, las notas y los puntos que se muestran. Redondea la respuesta a dos posiciones decimales.

Puntos obtenidos

144 3  4  12 339 339 428 42 puntos obtenidos

Curso

Nota

Inglés Matemáticas Historia Química Quinesiología

A D A B B

Horas

Puntos de grado

3 horas sem.  4 pts.  12 3 horas sem.  1 pt.  3 3 horas sem.  4 pts.  12 4 horas sem.  3 pts.  12 1 hora sem.  3 pts.  3

Fuente: Información de la Universidad de Texas en Brownsville.

SOLUCIÓN Como puedes ver en la tabla, el número de créditos hora en cada curso se da en la segunda columna (14 en total), la nota obtenida y los puntos correspondientes en la tercera columna [A (4), A (4), B (3), B (3) y C (2)] y los puntos obtenidos, el producto de los números, en las columnas 2 y 3, en la última columna (42 en total). Puntos obtenidos 42 } 14  3. Créditos hora Nota que, en general, el GPA puede no ser un número entero. Tu GPA es de:

B 6 Encontrar la mediana Como mencionamos en la sección Para comenzar, hay otro tipo de “promedio” o medida de la tendencia central: la mediana. Aquí está la definición oficial.

MEDIANA

La mediana de un conjunto de números es el número medio cuando los números son ordenados de manera ascendente (o descendente) y hay un número impar de elementos. Si hay un número par de éstos, la mediana es el promedio de los dos números del medio.

Para la gasolina Amoco, el precio medio es fácil de encontrar: 2.64. Si usamos los primeros tres precios del aviso de Hess, el precio medio es 2.51. Pero supón que quieres encontrar el precio medio de los cuatro precios: 2.41, 2.51, 2.61 y 2.45. Aquí hay dos cosas para tener en cuenta: 1. Los precios no están en orden. 2. El número de precios es par, por lo que no hay precio medio. Respuestas a los PROBLEMAS 3. 3.00

6-41

6.4

Media, mediana y moda

389

¡Podemos resolver los dos problemas! 1. Escribe los precios en orden (ascendente o descendente). 2. Para encontrar el número del medio, encuentra el promedio de los dos precios del medio. Así: El medio debe estar aquí

2.41 2.45 2.51 2.61

Saca el promedio de 2.45 y 2.51

2.45  2.51 }  2.48 2

Así, el “número del medio” de 2.41, 2.45, 2.51 y 2.61, la mediana, es 2.48.

EJEMPLO 4

Calcular la mediana 1 445 ¿Cuántos gastas en seguro médico? Las sumas gastadas 2 551 los últimos cuatro años por las personas de 25 años son las 3 504 que se muestran. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de 4 530 dinero gastada en seguro médico por las personas de menos Fuente: Información de la Oficina de 25? de Estadísticas del Trabajo.

SOLUCIÓN Nota que los números no están en orden, entonces escríbelos otra vez en orden ascendente: 445

504

530

551

504 1 530 } 5 517

PROBLEMA 4 Las sumas gastadas los últimos cuatro años por las personas entre 25 y 34 años son las que se muestran. ¿Cuál es la mediana de la cantidad media gastada en seguro médico por las personas entre 25 y 34 años? 1 2 3 4

1185 1170 1256 1286

2

Como tenemos un número par de elementos (4), tomamos el promedio de los dos números del medio. El resultado es la mediana. La mediana es $517.

C 6 Encontrar la moda Mencionamos una medida más de tendencia central, el número que aparece más frecuentemente, llamado moda. Si miramos los precios en la estación Amoco, ningún precio prevalece más que los otros. Lo mismo pasa con los precios de gasolina en Hess. Ahora, miremos los precios en ambas estaciones: 2.51, 2.64, 2.74, 2.41, 2.51, 2.61, 2.45 Hay un número que aparece dos veces: 2.51. Este número se llama moda. Aquí está la definición:

MODA

La moda de un conjunto de números es el número del conjunto que aparece más frecuentemente. 1. Si no hay un número que aparezca más frecuentemente, el conjunto no tiene moda. 2. Si varios números aparecen un número de veces igual, el conjunto de datos tendrá varias modas.

Respuestas a los PROBLEMAS 4. $1220.50

390

Capítulo 6

6-42

Estadísticas y gráficas

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

Encontrar la moda Encuentra la moda de 3, 8, 7, 5, 8.

SOLUCIÓN

Encuentra la moda de:

El número que aparece más frecuentemente (dos veces) es 8, entonces 8 es la moda.

7 4 5 4 3

Nota que un conjunto de números puede tener sólo una media, una mediana, pero puede tener más de una moda. Por ejemplo, el grupo 9 3 4 9 3 7 Tiene dos modas, 9 y 3. Por otra parte, el grupo 9 3 4 5 2 7 no tiene moda.

D 6 Aplicaciones con media, mediana y moda Hemos introducido tres medidas de tendencia central. La siguiente información muestra cómo se comparan: 1. La media La más usada de las tres medidas. Bueno: Un conjunto de información siempre tiene una única media, que tiene en cuenta cada elemento de la información. Malo: Encontrar la media toma más operaciones que las otras dos medidas. Malo: Sensible a valores extremos. Por ejemplo, la media de la información 2, 20 60 } 4, 6, y 8 es } 4 5 5, pero la media de 2, 4, 6 y 48 (en lugar de 8) es 4 5 15, un cambio de 10 unidades frente al valor extremo 48. 2. La mediana Bueno: La mediana siempre existe y es única. Bueno: Requiere muy poco cálculo y no es sensible a los valores extremos. Malo: Para encontrar la mediana, la información debe estar en orden de magnitud y esto puede no ser práctico para conjuntos grandes de datos. Malo: No tiene en cuenta cada uno de los elementos de la información. Por ello, en muchos problemas estadísticos la mediana no es una medida confiable. 3. La moda Bueno: No requiere cálculos. Bueno: La moda puede ser muy útil. Por ejemplo, imagina que un fabricante de zapatos encuesta a 100 mujeres para ver cuál de tres estilos A, B o C, prefiere cada una; 30 mujeres elijen el estilo A, 50 el estilo B, y 20 el estilo C. La moda es 50, y no hay demasiadas dudas sobre el estilo que el fabricante va a hacer. Malo: La moda puede no existir, como en el caso de la información 2, 4, 6 y 8 (no hay moda).

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 4

6-43

6.4

EJEMPLO 6

Encontrar la media, la mediana y la moda Las nóminas de los 10 equipos mejor pagados de la Liga Mayor de Béisbol, aproximada al millón más cercano, están en las últimas columnas de la tabla. a. Encuentra la media de los salarios. b. Encuentra la mediana de los salarios. c. Encuentra la moda de los salarios. d. ¿Por qué la media es mayor que la mediana? Equipo

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Yankees Red Sox Angels White Sox Mets Dodgers Cubs Astros Braves Giants

Media, mediana y moda

391

PROBLEMA 6 Aquí están los salarios de 2005/2006 de seis miembros del equipo de baloncesto de los Lakers de Los Ángeles, redondeados al millón más cercano.

Nómina

Jugador

Salario

$198,662,180 y 199 millones $120,100,524 y 120 millones $103,625,333 y 104 millones $102,875,667 y 103 millones $100,901,085 y 101 millones $99,176,950 y 99 millones $94,841,167 y 95 millones $92,551,503 y 93 millones $92,461,852 y 92 millones $90,862,063 y 91 millones

Kobe Bryant Lamar Odom Vladimir Radmanovic Andrew Bynum Brian Cook

$19,490,625 y 19 millones $13,524,000 y 14 millones $5,632,200 y 6 millones $2,172,000 y 2 millones $3,500,000 y 4 millones

Fuente: Información de Hoopshype.

a. b. c. d.

Encuentra la media de los salarios redondeados. Encuentra la mediana de los salarios redondeados. Encuentra la moda de los salarios. ¿Por qué la media es mayor que la mediana?

Fuente: http://msn.foxsports.com/mlb/story/5476130.

SOLUCIÓN a. La media de los 10 salarios es 1097 199  120  104  103  101  99  95  93  92  91 }}}}}  } 10 10 y110 millones b. Los números son 199 120 104 103 101 5 números

99 95 93 92 91 5 números

200 101  99 } Mediana: } 2 2  100 c. No hay moda. d. La media (110) es mayor que la mediana (100) debido a los salarios más altos de los Yankees de Nueva York. Si los $199 millones de los Yankees de Nueva York se excluye de los cálculos, la media es de alrededor de $100 millones, una cantidad igual a la mediana, y ¡ese hombre estaría feliz de ahorrarse 499 millones!

Rincón de la calculadora Si tienes una calculadora con las teclas 3 (sumatoria) y x (x barra), tienes suerte. El cálculo de la media se ). hace automáticamente. Primero pon la calculadora en el modo estadístico (presiona o 3 3 Para encontrar la media de los números en el ejemplo 2, presiona 3 3 y finalmente x  . La respuesta 173.75 aparecerá automáticamente. Si no tienes las teclas 3 y x , usa los paréntesis y presiona 4 y luego obtendrás 173.75.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. a. 9 millones b. 6 millones

c. No hay moda

d. Porque Kobe Bryant sube el promedio de salarios.

392

Capítulo 6

6-44

Estadísticas y gráficas

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 6.4 5A6

Encontrar la media

1. 1, 5, 9, 13, 17

5B6

En los problemas 1 al 4, encuentra la media (promedio) de los números. 2. 1, 3, 9, 27, 81, 243

3. 1, 4, 9, 16, 25, 36

4. 1, 8, 27, 64, 125

Encontrar la mediana En los problemas 5 al 8, encuentra la mediana de los números.

5. 1, 5, 9, 13, 17

5C6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6. 1, 3, 9, 27, 81, 243

Encontrar la moda

9. 5, 89, 52, 5, 52, 98

7. 1, 9, 36, 4, 25, 16

8. 1, 27, 8, 125, 64

En los problemas 9 al 12, encuentra la(s) moda(s) de los números, si hay una. 10. 29, 25, 22, 25, 52, 8

11. 2, 7, 11, 8, 11, 8, 11

12. 2, 8, 8, 8, 1, 2, 2, 2, 2

5D6

Aplicaciones con media, mediana y moda Precios de la gasolina La siguiente tabla se va a usar en los problemas 13 al 14. Redondea las respuestas al centavo más cercano.

Precios internacionales de la gasolina Más caro

Más barato

Lugar

Precio por galón

Hong Kong Londres, Inglaterra París, Francia Amsterdam, Países Bajos Seúl, Corea del Sur

$5.34 $4.55 $4.41 $4.38 $4.35

Lugar

Precio por galón

Caracas, Venezuela Jakarta, Indonesia El Cairo, Egipto Ciudad de Kuwait, Kuwait Manama, Bahrain

$0.28 $0.74 $0.75 $0.77 $0.82

Fuente: Runzheimer International.

13. a. Encuentra la media, la mediana y la moda de los cinco precios más caros. b. ¿Son cercanos la media, la mediana y la moda? c. ¿Cuál de los tres piensas que es el más representativo de los precios? d. Borra Hong Kong y responde otra vez la pregunta c.

14. a. Encuentra la media, la mediana y la moda de los cinco precios más baratos. b. ¿Son cercanos la media, la mediana y la moda? c. ¿Cuál de los tres piensas que es el más representativo de los precios? d. Borra Caracas y responde otra vez la pregunta c.

15. GPA Encuentra el GPA de un estudiante que toma 13 horas en el Mary Washington College. Valor de las notas: A  4 puntos, B  3 puntos, C  2 puntos, D  1 punto F  0 puntos, ZC  0 puntos. Redondea las respuestas a dos posiciones decimales.

16. GPA Encuentra el GPA (al centésimo más cercano), de un estudiante que toma 13 horas en el Montgomery College. Valor de las notas: A  4 puntos, B  3 puntos, C  2 puntos, D  1 punto, F  0 puntos. Redondea las respuestas a dos posiciones decimales.

Curso

Matemáticas 111 Inglés 101 Psicología 101 Biología 121 Biología 121LB Totales:

Nota

A B D F ZC

Créditos intentados

3.0 3.0 3.0 4.0 0.0 13.0

Fuente: Información del Mary Washington College.

Créditos obtenidos

3.0 3.0 3.0 0.0 0.0 9.0

Curso

Créditos hora (CH)

Física 102 Ciencias sociales 101 Biología 101 Educación física 129 HE107

3 3 4 1 2 } 13

Fuente: Información del Montgomery Collage.

Nota

A C B A B

6-45

6.4

39,468 39,276 40,827 46,778 49,733

a. Encuentra la media, la mediana y la moda del salario de la persona para los cinco años (¡compara con el de la persona en el problema 17!)

1 2 3 4 5

b. ¿Qué es más representativo Fuente: Oficina de Estadísticas del Trabajo. del salario de la persona: la media, la mediana o la moda?

La tabla muestra los salarios de 2006 de los 10 jugadores de béisbol mejor pagados.

a. Redondea los salarios al millón más cercano. b. Encuentra la media, la mediana y la moda de los salarios redondeados.

c. ¿Qué es más representativo del salario de la persona: la media, la mediana o la moda?

Salarios de los 10 jugadores de MLB mejor pagados Jugador

Posición

Equipo

Salario

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

3B SS 1B OF 1B P OF 1B P OF

Yankees Yankees Yankees Giants Astros Yankees Red Sox Rockies Astros Tigers

$25,680,727 $20,600,000 $20,428,571 $20,000,000 $19,369,019 $19,000,000 $18,279,238 $16,600,000 $16,428,416 $16,200,000

Fuente: http://msn.foxsports.com.

20. Salarios anuales ¿Quién gana más, los jugadores de béisbol o los presidentes de las universidades? La tabla muestra los 10 presidentes de universidades mejor pagados de las universidades públicas en Estados Unidos. a. Redondea los salarios a los miles más cercanos. b. Encuentra la media, la mediana y la moda de los salarios redondeados. c. ¿Qué es más representativo del salario de la persona: la media, la mediana o la moda? d. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de los jugadores de béisbol (problema 19) y los presidentes de las universidades?

Shirley Ann Jackson, Rensselaer Polytechnic Institute

$891,400

Gordon Gee, Vanderbilt University

$852,023

Judith Rodin, University of Pennsylvania

$845,474

Arnold J. Levine, Rockefeller University

$844,600

William R. Brody, Johns Hopkins University

$772,276

Michael R. Ferrari, Texas Christian University

$667,901

Steven B. Sample, University of Southern California

$656,420

Jon Westling, Boston University

$656,098

Richard C. Levin, Yale University

$654,452

Constantine N. Papadakis, Drexel University

$650,886

Fuente: Información de The Chronicle of Higher Education.

para más lecciones

19. Salarios de la Liga Mayor de Béisbol (MLB)

Alex Rodríguez Derek Jeter Jason Giambi Barry Bonds Jeff Bagwell Mike Mussina Manny Ramírez Todd Helton Andy Pettitte Magglio Ordónez

20,484 19,935 21,611 22,679 23,845

www.mathzone.com

b. ¿Qué es más representativo del salario de la persona: la media, la mediana o la moda?

1 2 3 4 5

18. Salario promedio anual La tabla muestra el salario promedio anual para cinco años consecutivos de una persona con un grado técnico.

ir a

a. Encuentra el promedio, la mediana y la moda del salario de la persona para los cinco años.

393

6Web IT

17. Salario promedio anual La tabla muestra el salario promedio anual para cinco años consecutivos de una persona con un grado técnico.

Media, mediana y moda

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

394

Capítulo 6

6-46

Estadísticas y gráficas

21. Salarios de la Liga Mayor La tabla muestra los salarios de los 5 jugadores a los que se les paga más de acuerdo con Foxsports. Fuente: http://msn.foxsports.com. a. Redondea los salarios al millón más cercano. b. Encuentra la media, la mediana y la moda de los salarios redondeados. Redondea la respuesta a dos posiciones decimales.

Jugador

Posición

Equipo

Salario

Chan Ho Park Eric Milton Jason Kendall Kaz Matsui Sean Casey

Pitcher Pitcher Catcher 2a base 1a base

Padres Reds A’s Mets Pirates

$15.3 millones $9.8 millones $11.57 millones $8.058 millones $8.5 millones

c. ¿Qué es más representativo de los salarios: la media, la mediana o la moda?

22. Salarios de la Liga Mayor ¿Cuál es la diferencia de salario entre los jugadores a los que se les paga más y a los que se les paga menos en la Liga Mayor de Béisbol, de acuerdo con Foxsports. Fuente: http://msn.foxsports.com. a. Redondea los salarios al millón más cercano.

Jugador

Posición

Equipo

Salario

David Ortiz

Designated Hitter

Red Sox

$6.5 millones

Chris Carpenter

Pitcher

Cardinals

$5 millones

Trevor Hoffman

Pitcher

Padres

$4.5 millones

a

Melvin Mora

3 base

Orioles

$4 millones

Tony Clark

1a base

Diamondbacks

$1.034 millones

b. Encuentra la media, la mediana y la moda de los salarios redondeados. Redondea la respuesta a una posición decimal. c. ¿Cuál es el más representativo de los salarios: la media, la mediana o la moda? d. ¿Cuál es la diferencia de salario entre los jugadores a los que se les paga más (problema 21) y a los que se les paga menos?

23. Salarios anuales ¿Qué grado universitario te hará ganar más dinero? En la actualidad, los grados de ingeniería se ven como los mejores pagados. El salario promedio en 4 campos de la ingeniería se muestra en la tabla. Encuentra la media y la mediana para los cuatro salarios. Fuente: http://www.shreveporttimes.com.

Ingeniería química Ingeniería eléctrica Ingeniería mecánica Ingeniería civil

24. Salarios anuales Otro campo que incrementó los salarios es contabilidad. Por supuesto, depende dónde es el trabajo. K–Force, una firma con base en Tampa, Florida, que provee empleos, informa que los siguientes son los salarios de entrada para los miembros de los equipos de contabilidad en cuatro ciudades.

Boston New York Chicago San Francisco

a. Encuentra la media y la mediana para los salarios en las cuatro ciudades. b. De acuerdo con el Periódico Universitario, “Los recién graduados en contabilidad reciben un promedio de salario anual de $46,188”. ¿Es eso más cercano a la media o a la mediana de la parte a?

$55,900 $52,899 $50,672 $44,999

Fuente: http://www.collegejournal.com.

$41,600 $51,800 $48,700 $53,800

6-47

6.4

25. Internet El cuadro muestra el número de visitantes (en miles) a cinco sitios diferentes de internet. a. Encuentra, a una posición decimal, la media y la mediana del número de visitantes (en miles) a estos cinco sitios de internet desde la casa. b. Encuentra, a una posición decimal, la media y la mediana del número de visitantes (en miles) a estos cinco sitios de internet desde el trabajo.

Media, mediana y moda

395

Visitantes de Estados Unidos a sitios de internet de flores, regalos y recuerdos por lugar, enero de 2006 Total de visitantes (000)

1. 2. 3. 4. 5.

AmericanGreetings.com Hallmark FTD.com 1-800-flowers.com Martha Stewart sites

Todos los lugares

Casa

8,688 6,669 1,935 1,753 1,546

5,560 3,601 1,175 961 904

Trabajo Universidad

2,784 2,745 678 803 608

528 518 173 76 108

Fuente: http://www.clickz.com.

666Usa tus conocimientos M l uso dde las Mal l estadísticas dí R Recientemente i estudiamos di tres medidas did dde lla tendencia d i central: l lla media, di lla mediana di y lla moda. d Todas estas medidas son frecuentemente llamadas promedios. Imagina que el cuadro muestra los salarios en la Compañía Manufacturera Scrooge.

Jefe $100,000

Hijo del jefe Asistente del jefe $50,000 $25,000

26. La compañía Scrooge dice que los trabajadores no deben sindicalizarse; después de todo, dice, el salario promedio es de $22,500. ¿Puedes descubrir que promedio es eso? 28. B. Crooked, el político, quiere el apoyo del sindicato y de la gerencia. Dice que los trabajadores están alrededor del promedio, en lo que respecta al salario. El sueldo promedio es de $8000. ¿Puedes descubrir qué promedio tiene en mente B. Crooked?

Secretarias del jefe $10,000

Trabajadores $6000, cada uno

27. Many Chevitz, el líder sindical, dice que la Manufacturera Scrooge realmente necesita un sindicato. ¡Sólo mira los salarios! Unos escasos $6000 en promedio. ¿Puedes descubrir a qué promedio se refiere?

666¡Escribe! 29. Escribe con tus propias palabras cuál es el significado de una mediana de un conjunto de calificaciones. ¿La mediana es una buena medición de un conjunto de calificaciones? Da ejemplos.

30. Escribe con tus propias palabras cuál es el significado de una moda de un conjunto de calificaciones. ¿Es la moda una buena medición de un conjunto de calificaciones? ¿Es posible que no haya moda en un conjunto de calificaciones? Da ejemplos.

396

Capítulo 6

6-48

Estadísticas y gráficas

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 31. La de un conjunto de n números es la suma de los números, dividido por el número n de elementos en el conjunto.

menor una

de elementos, la de un conjunto 32. Para un número de números es el número del medio cuando los números están ordenados. 33. Para un número

de elementos, la

conjunto de números es el

media

o de un

par

de los dos números del medio.

impar

de un conjunto de números es el número que aparece más 34. La frecuentemente en el grupo.

moda mediana

35. Cuando no hay un número que aparezca más frecuentemente en un conjunto de números, el conjunto no tiene . 36. Un conjunto de números sólo puede tener mediana, pero puede tener más de una

promedio

media y

mayor

.

666Prueba de dominio La tabla muestra el número y tipo de correo no deseado (correo “basura” enviado a un gran número de personas para promocionar productos o servicios) recibido por las mismas 200 personas en julio y agosto. 37. Encuentra la media de correos no deseados recibidos en julio. 38. Encuentra la mediana de correos no deseados recibidos en julio. 39. Encuentra la moda (si existe) del número de correos no deseados recibidos en julio. 40. Nombra las categorías en las cuales el número de correos no deseados recibidos no cambió entre julio y agosto. 41. ¿Qué categoría se incrementó más de julio a agosto?

Tipo de correo no deseado Julio

Internet Otros Estafas Productos Espiritual Financiero Placer Adultos Salud

14 28 18 40 2 30 16 28 24

Agosto

22 32 20 40 2 28 14 24 18

Fuente: Información de Brightmail Probe Network.

42. Encuentra el GPA de un estudiante que toma 13 créditos hora en el College Comunitario Raritan Valley y obtiene las notas y los puntos que se muestran. Peso de las notas: A = 4 puntos, B = 3 puntos, C = 2 puntos, D = 1 punto, F = 0 puntos. Responde a dos posiciones decimales.

Curso

Historia Inglés Psicología Francés

Créditos

Nota

3 3 3 4

W (–) A (4) C (2) D (1)

Nota: W significa que el estudiante no siguió con el curso (lo abandonó). No se computan puntos o créditos. p p

666Comprobación de destrezas En los problemas 43 al 47, multiplica: 1 43. 60 } 12 46. 7.7512

1 44. 11 } 12 47. 8.7512

1 45. 10,560 } 5280

6-49

397

Preguntas de investigación

6Aprendizaje colaborativo Forma dos grupos. Uno investigará las quejas por discriminación racial, y el otro, las quejas por discriminación sexual, como se muestra en las siguientes tablas. Acusaciones basadas en la raza Año 1998

Año 1999

Año 2000

Año 2001

Año 2002

Quejas

28,820

28,819

28,945

28,912

29,910

Resoluciones

35,716

35,094

33,188

32,077

33,199

Beneficios monetarios (en millones)

$32.2

$53.2

$61.7

$86.5

$81.1

Año 1998

Año 1999

Año 2000

Año 2001

Año 2002

Quejas

24,454

23,907

25,194

25,140

25,536

Resoluciones

31,818

30,643

29,631

28,602

29,088

Beneficios monetarios (en millones)

$58.7

$81.7

$109.0

$94.4

$94.7

Acusaciones basadas en el sexo

Fuente: Información de la Comisión de Igualdad de Oportunidades de Estados Unidos.

Responde las preguntas. 1. ¿Cuál fue el número promedio de quejas por discriminación racial y por discriminación sexual de 1998 a 2002? 2. ¿Cuál fue el número promedio de resoluciones por discriminación racial y por discriminación sexual de 1998 a 2002? 3. ¿Cuál fue el promedio de los beneficios monetarios de 1998 a 2002? Discusión

¿Qué beneficio monetario promedio por caso resuelto fue mayor, por raza o por sexo? ¿Por qué?

6Preguntas

de investigación



1. Ve a la biblioteca y busca en periódicos y revistas algunos ejemplos de gráficas de barras y circulares. ¿Hay alguna distorsión en los dibujos? Comenta los resultados. 2. Escribe un breve informe sobre los contenidos de Las leyes de la mortalidad de John Graunt. 3. Escribe un párrafo sobre el uso de las estadísticas en los deportes. 4. Escribe un informe acerca de cómo organizaciones como A.C. Nielsen usan las encuestas para determinar las posiciones (ratings) y las categorías (rankings) de los programas de televisión. 5. Comenta las encuestas de Harris y Gallup, y las técnicas y tipos de estadísticas que usan en sus encuestas. 6. Prepara un informe o una exposición acerca de los usos de las estadísticas en medicina, psicología o en negocios. 7. Investiga y escribe un informe acerca de cómo Gregor Mendel, Sir Francis Galton y Florence Nightngale usaron las estadísticas en sus trabajos.

398

Capítulo 6

6-50

Estadísticas y gráficas

6Resumen del capítulo 6 Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

6.1B

Pictograma

Un tipo de gráfica que usa símbolos para representar data numérica.

Si cada símbolo representa 100 hamburgers vendidos, significa que fueron vendidos 300 hamburgers.

Gráfica de barras

Gráfica que se usa para comparar diferentes categorías, usando barras cuyas alturas son proporcionales al número de elementos en la categoría. La gráfica muestra que la mayoría de los adultos quiere vivir 100 años.

¿Quieres cumplir 100 años? 80 63% 60

Porciento

6.2A

40

32%

20 5% 0 Sí

No

No sabe

Fuente: Información de USATODAY.com.

Gráficas de líneas

Tipo de gráfica que usualmente muestra una tendencia o cambio a través del tiempo. La gráfica de líneas muestra la conformidad o inconformidad de los norteamericanos acerca de los costos del seguro médico.

Costos del seguro médico

Porciento

6.2C

90 90 80 70 60 50 40 30 20 8 10 0 Mayo 93

79

75

71

Inconformes

28

22

20

Conformes Nov 01

Nov 02

Nov 03

Año Fuente: Información de la Organización Gallup.

6.3A

Gráfica circular (gráfica de “pie”)

Un tipo de gráfica que muestra qué porciento de una cantidad es usado en diferentes categorías o la razón de una categoría respecto a otra.

Problemas con las llamadas de teléfonos celulares al 911 Nunca pudo comunicarse 4%

Usó otro teléfono 2%

Hizo varios intentos 9% Sin problemas 85%

La gráfica circular muestra el porciento de personas que tuvieron problemas al llamar al 911.

6-51

Ejercicios de repaso del capítulo 6

399

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

6.4A

Media

La media de un grupo de números es la suma de los números dividida por n.

57 La media de 7, 6 y 8 es } 3

6.4A

Media valorada

La media valorada de un conjunto de n números es la suma de los productos formados por la multiplicación de cada número por su peso asignado, dividido por la suma de todos los valores.

Encontrar el promedio académico (GPA).*

6.4B

Mediana

La mediana de un grupo de números es La mediana de 5, 8 y 15 es 8. La 8 1 10 5 9. el número del medio cuando los números mediana de 5, 8, 10 y 15 es } 2 están ordenados ascendentemente.

6.4C

Moda

El número en un grupo que aparece con mayor frecuencia. Si no existe ese número, no hay moda.

71618

La moda de 3, 4, 5, 7, 4 es 4. El grupo 3, 4, 5, 6 no tiene moda.

*Para encontrar el GPA, primero se multiplica el número de créditos hora de cada asignatura por el peso de la nota obtenida. Luego la suma total de esos resultados se divide por el total de créditos hora aprobados en el curso.

6Ejercicios de repaso del capítulo 6 Si necesitas ayuda con estos ejercicios, mira en la sección que se indica entre corchetes. 1.

5 6.1A6

La tabla muestra cuánto están dispuestos a pagar los consumidores por música digital y las ganancias potenciales que se pueden derivar de eso.

Expectativas del precio de la música digital Precio de una canción digital Porciento del mercado alcanzado Ganancias potenciales

$0.01 89% N/A

$0.50 82% $992.20

$0.99 74% $1772.89

$1.49 42% $1514.44

$1.99 39% $1878.16

Fuente: Información de Clickz Network.

a. ¿Qué porciento del mercado será alcanzado si el precio por canción es $1.49?

b. ¿Qué porciento del mercado será alcanzado si el precio por canción es $1.99?

c. ¿Cuál es la ganancia potencial cuando el precio es de $1.49 por canción?

d. ¿Cuál es la ganancia potencial cuando el precio es de $1.99 por canción?

e. ¿Qué precio por canción alcanzará el mayor porcentaje del mercado? 2.

5 6.1B6

El pictograma muestra el número de hamburgers vendidos por Burger King, Del Taco, Jack in the Box, McDonald’s y Wendy’s. Cada símbolo representa 100 hamburgers. a. ¿Qué marca vendió más? Burger King

b. ¿Qué marca vendió en segundo lugar? c. ¿Cuántos hamburgers de Jack in the Box se vendieron? d. ¿Cuántos hamburgers de McDonald’s se vendieron? e. ¿Cuántos hamburgers de Del Taco se vendieron?

Del Taco Jack in the Box McDonald's Wendy’s

400

3.

Capítulo 6

6-52

Estadísticas y gráficas

5 6.2A6 La gráfica de barras muestra el porciento de personas que descargaron archivos de música de internet para escucharla en otro momento. Edad 12–17

4.

5 6.2B6 En la misma encuesta, el porciento de con-

sumidores que descargaron música y dicen que están comprando más música es la siguiente: Edad

56%

Edad 18–24

12–17 18–24 25–34 35–44

44%

Edad 25–34

29%

Edad 35–44

19% 0

10

20

30

40

50

Porciento

60

70

80

25% 25% 22% 28%

Usa las categorías de edad y los porcientos de 0 a 50 como las frecuencias y realiza una gráfica de barras verticales para la información.

Porciento que contestó sí Fuente: Información de Edison Media Research.

a. ¿Cuál de las cuatro categorías de edad tiene el segundo porciento más alto de personas que descargaron archivos de música?

Consumidores que descargaron música y dicen que están comprando más música

b. ¿Cuál de las cuatro categorías de edad tiene el segundo porciento más bajo de personas que descargaron archivos de música? c. ¿Qué porciento de la categoría 18 a la 24 descargó archivos de música? d. ¿Cuál es la diferencia porcentual de los que descargaron música en las categorías 25 a 34 años y de 35 a 44? e. ¿Cuál es la diferencia porcentual de música descargada entre las categorías de edad que tienen un porciento más alto de descarga de música y la que tiene el menor porciento?

5 6.2B6 La tabla muestra el número de usuarios de te-

6.

léfonos celulares desde 2001 a 2005. Año

Millones

2001 2002 2003 2004 2005

120 140 160 170 180

Usa los años como categorías y los números (en millones) de 100 a 200, a intervalos de 10 unidades, como las frecuencias y realiza una gráfica de barras verticales para la data.

Número de usuarios de teléfonos celulares por año

5 6.2C6 La

gráfica muestra el total de la población mayor de edad (en millones) en Estados Unidos desde 1950 a 2050. 500

Número (en millones)

5.

400 300

Población total

Proyectado

200

65 años de edad y mayores

100 0

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050

Año Fuente: Información del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades.

Cuál fue o será la población total redondeada: a. ¿En 1960? b. ¿En 1970? c. ¿En 1990? d. ¿En 2010? e. ¿En 2020?

6-53

7.

Ejercicios de repaso del capítulo 6

5 6.2C6 Toma como referencia la gráfica del problema

8.

6. Cuál fue o será la población total redondeada de 65 años o mayores en:

a. 1960 b. 1980 c. 2020

401

5 6.2D6 La tabla muestra los gastos proyectados en línea (en billones) para estudiantes universitarios, adolescentes y niños. Realiza una gráfica de líneas de los gastos de niños usando una escala vertical de 0 a 1 billones e intervalos de 0.2 unidades.

Pronóstico de gastos en línea (en billones)

d. 2040

Estudiantes universitarios Adolescentes

e. 2050

2003 2004 2005 2006

$4.5 $5.5 $6.4 $7.4

$1.7 $2.6 $3.6 $4.8

Niños

$0.2 $0.4 $0.7 $1.0

Fuente: Información de Investigaciones Júpiter (octubre de 2001).

9.

5 6.3A6 La gráfica circular muestra el porciento de personas que cree que el lugar más popular para proponer matrimonio es como se muestra en la gráfica.

Pronóstico de gastos en línea para niños

Lugares favoritos para proponer matrimonio No sabe 10% De vacaciones 13% Restaurante 13%

Casa 42%

Lugar público 22% Fuente: Información de StrategyOne para Champagne Korbel.

a. ¿Qué porciento de las personas eligió “restaurante”? b. ¿Qué porciento de las personas eligió “casa”?

5 6.3A6 Toma como referencia la gráfica circular del problema 9. Imagina que fueron encuestadas 1000 personas. Cuántas personas elegirían:

c. ¿Qué porciento de las personas eligió “lugar público”?

a. ¿No sabe?

d. ¿Cuál fue el lugar considerado más popular para proponer matrimonio?

b. ¿En vacaciones?

e. ¿Cuál fue la diferencia de porcientos entre las personas que eligieron la casa como el lugar más popular y los que eligieron un lugar público?

11.

10.

c. ¿En un restaurante? d. ¿En lugares públicos? e. ¿En casa?

5 6.3B6 Realiza una gráfica circular para mostrar las formas en que las personas van al trabajo. Categoría

Conduce solo Comparten carro Transporte público Otro

Porciento

70% 10% 5% 15%

¿Cómo vamos al trabajo?

402

Capítulo 6

6-54

Estadísticas y gráficas

12. 5 6.4A,

B, C6La tabla muestra el precio (en centavos) de 5 hamburgers de restaurantes de cadena de comidas rápidas. Categoría

13.

(en gramos) de cinco hamburgers de restaurantes de cadena de comidas rápidas.

Precio (centavos)

Burger King Del Taco McDonald’s Jack in the Box Wendy’s

56.4A, B, C6La tabla muestra el contenido de grasa

Categoría

79 99 99 99 89

Grasa (gramos)

Burger King Del Taco McDonald’s Jack in the Box Wendy’s

Fuente: Información de Fast Food Source.com.

17 13 18 14 12

Fuente: Información de Fast Food Source.com.

a. Encuentra la media del precio de los 5 hamburgers.

a. Encuentra, al gramo más cercano, la media del contenido de grasa de los 5 hamburgers.

b. Encuentra la mediana del precio de los 5 hamburgers.

b. Encuentra la mediana del contenido de grasa de los 5 hamburgers.

c. Encuentra la moda del precio de los 5 hamburgers. d. Encuentra la media de los primeros 4 hamburgers.

c. Encuentra la moda, si existe, del contenido de grasa de los 5 hamburgers.

e. Encuentra la mediana del precio de los primeros 4 hamburgers.

d. Encuentra, al gramo más cercano, la media del contenido de grasa de los primeros 4 hamburgers. e. Encuentra, al gramo más cercano, la mediana de los primeros 4 hamburgers.

14.

5 6.4A6 Un estudiante está tomando 5 cursos con los

créditos hora y puntos obtenidos que se muestran. A una posición decimal, ¿cuál es el GPA del estudiante? Curso

V W X Y Z

Horas crédito

Notas (puntos obtenidos)

3 3 4 1 3

C(2) B(3) C(2) A(4) A(4)

15.

5 6.4A6 Un estudiante está tomando cinco cursos con

los créditos hora y puntos obtenidos que se muestran. A una posición decimal, ¿cuál es el GPA del estudiante?

Curso

V W X Y Z

Horas crédito

Nota (puntos obtenidos)

3 2 3 4 3

B(3) D(1) C(2) A(4) A(4)

6-55

Examen del capítulo 6

403

6Examen del capítulo 6 Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo (respuestas en la página 405)

1. La tabla muestra cuánto están dispuestos a pagar los consumidores por música digital y las ganancias potenciales que se pueden derivar de eso. Expectativas del precio de la música digital

Precio de una canción digital Porcentaje del mercado alcanzado Ganancias potenciales

$0.01 89% N/A

$0.50 82% $992.20

$0.99 74% $1772.89

$1.49 42% $1514.44

$1.99 39% $1878.16

Fuente: Información de Clickz Network.

a. ¿Qué porciento del mercado será alcanzado si el precio por canción es $0.99? b. ¿Cuál es la ganancia potencial cuando el precio es de $0.99 por canción? 2. El pictograma muestra el número de hamburgers vendidos por Burger King, Del Taco, Jack in the Box, McDonald’s y Wendy’s. Cada símbolo representa 100 hamburgers.

3. La gráfica de barras muestra el porciento de personas que descargaron archivos de música de internet para escucharla en otro momento. Edad 12–17

Burger King

Edad 18–24

Del Taco

Edad 25–34

Jack in the Box

Edad 35–44

McDonald's

56% 44% 29% 19% 0

10

20

30

40

50

60

70

80

Porciento que contestó sí

Wendy’s

Fuente: Información de Edison Media Research.

a. ¿Cuál de las cuatro categorías de edad tiene el segundo porciento más bajo de personas que descargaron archivos de música? b. ¿Qué porciento de la categoría 25 a 34 años descargó archivos de música?

a. ¿Qué marca vendió más? b. ¿Cuántos hamburgers de Wendy’s se vendieron?

Edad

12–17 18–24 25–34 35– 44

Porciento

20% 20% 22% 25%

5. La gráfica muestra el total de la población senior (en millones) en Estados Unidos, desde 1950 a 2050. 500

Número (en millones)

4. En la misma encuesta, el porciento de consumidores que descargaron música y dicen que están comprando más es la siguiente:

400 300

Población total

Proyectado

200 100

65 años de edad y mayores

0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050

Usa las categorías de edad y los porcientos de 0 a 40 como las frecuencias y realiza una gráfica de barras verticales para la información.

Año Fuente: Información del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades.

a. ¿Cuál será la población total proyectada aproximada en el 2030? b. ¿Cuál será la población total proyectada aproximada de personas de 65 años de edad o mayores para el 2020?

404

Capítulo 6

6-56

Estadísticas y gráficas

6. La tabla muestra los gastos proyectados en línea (en billones) para estudiantes universitarios, adolescentes y niños.

Pronóstico de gastos en línea (en billones) Adolescentes

Niños

$4.5 $5.5 $6.4 $7.4

$1.7 $2.6 $3.6 $4.8

$0.2 $0.4 $0.7 $1.0

Fuente: Información de Investigaciones Júpiter (octubre 2001).

Realiza una gráfica de líneas de los gastos de los estudiantes universitarios usando una escala vertical de 1 a 10 billones.

8. Basado en la información del cuadro, realiza una gráfica circular para mostrar las formas en que las personas van al trabajo. Categoría

Porciento

Conduce solo Comparten carro Transporte público Otro

80% 10% 5% 5%

Source: Información de National Public Transportation Survey.

10. Un estudiante está tomando cinco cursos con los créditos hora y puntos obtenidos que se muestran. A una posición decimal, ¿cuál es el GPA del estudiante?

Curso

V W X Y Z

Créditos hora

3 3 4 1 3

Lugares favoritos para proponer matrimonio No sabe 10%

Estudiantes universitarios

2003 2004 2005 2006

7. La gráfica circular muestra el porciento de personas que cree que el lugar más popular para proponer matrimonio es como se muestra en la gráfica.

Nota (puntos obtenidos)

B(3) B(3) C(2) A(4) A(4)

De vacaciones 13% Restaurante 13%

Casa 42%

Lugar público 22% Fuente: Información de StrategyOne para Champagne Korbel.

a. ¿Qué porciento de las personas eligió “de vacaciones”? b. Si se encuestaran 500 personas, ¿cuántas hubieran elegido “de vacaciones”? 9. La tabla muestra los miligramos de colesterol (mg) de 5 hamburgers de cadenas de restaurantes de comidas rápidas. a. Encuentra la media de gramos de colesterol de los 5 hamburgers. b. Encuentra la mediana del contenido de colesterol de los 5 hamburgers. c. Encuentra la(s) moda(s) de los gramos de colesterol de los hamburgers. Categoría

Colesterol (mg)

Burger King Del Taco McDonald’s Jack in the Box Wendy’s Fuente: Información de Fast Food Source.com.

50 35 60 45 45

6-57

Respuestas del examen del capítulo 6

405

6Respuestas del examen del capítulo 6 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1. a. 74%

b. $1772.89

1

6.1

1

350–351

2. a. McDonald’s

b. 350

2

6.1

3–5

352–353

3. a. 35–44 categoría de edad

b. 29

3

6.2

1, 2

358–359

4

6.2

3, 4

359–360

5

6.2

5

361

6

6.2

6

362

7

6.3

1, 2, 3

375–376

8

6.3

4

378

9

6.4

1, 2, 4, 5

387, 389–390

10

6.4

3

388

4.

Comprando más música 40

Porciento

30

25%

20

20%

20%

12 –17

18–24

22%

10 0 25–34

35– 44

5. a. Alrededor de 350 millones b. Alrededor de 50 millones Pronóstico de gastos en línea Gastos (en billones)

6.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2003

2004

2005

2006

Año

7. a. 13%

b. 65

Formas de viajar al trabajo

8.

Transporte público 5% Comparten carro 10%

Otro 5%

Conduce solo 80%

9. a. 47 10. 3.0

b. 45

c. 45

406

Capítulo 6

6-58

Estadísticas y gráficas

6Repaso de los capítulos 1–6 1. Escribe seis mil quinientos diez en forma estándar.

2. Simplifica: 4 4 2  2 1 9 2 6

2 3. Clasifica }9 como una fracción propia o impropia.

4. Escribe

5. Escribe 7. Divide:

2 1}6 15 } 2

25 } 8

como un número mixto.

S6}5 D2 

1

} 36

como una fracción impropia.

6. Multiplica:

4 4 1}6

3 3 8. Traduce y resuelve: }4 menos un número z es }8 . ¿Qué es z?

9. Encuentra un número tal que

8 } 9

del mismo es 4 1}4 .

10. Escribe en palabras el número 352.51.

11. Escribe 64.175 en forma expandida.

12. Resta: 541.42 2 12.5

13. Multiplica: 59.9  0.013

14. Divide:

15. Redondea 749.851 a la décima más cercana.

16. Divide: 80 4 0.13 (redondea a dos dígitos decimales).

}

126 } 0.21

17. Escribe 0. 78 como una fracción simplificada.

18. ¿Qué parte decimal de 30 es 9?

19. Ordena en orden de magnitud decreciente y escribe usando el signo .: 9.568 9.56}8 9.5} 68

20. Inserta 5, ,, o . para hacer cierta la afirmación. 19 } 0.53 20

21. Resuelve para x: x 1 3.7 5 7.9

22. Resuelve para y: 4.5 5 0.5y

23. Resuelve para z: 4 5

z } 3.3

24. La proporción de carros y personas en Nueva Zelanda es 280 a 1000. Escribe la proporción como una fracción en su forma reducida.

25. Escribe la siguiente proporción: 4 es a 7 como 28 es a x.

26. Existe una ley que afirma que “la proporción entre el ancho y el alto de la bandera de Estados Unidos debe ser de 10 a 19”. ¿Una bandera que mide 40 por 76 pies tiene la proporción correcta?

x 27. Resuelve la proporción: }2 5

28. Resuelve la proporción:

2 } 8

10 } p

5

2 } 3

29. Un estudiante viajó 500 millas con 19 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón hizo el estudiante? (redondea al número entero más cercano).

30. Una jarra de popcorn de 20 onzas cuesta $2.49. ¿Cuál es el precio unitario por onza? (responde al centavo más cercano).

31. Una libra de fertilizante cubre 1000 pies cuadrados de tierra. ¿Cuántas libras se necesitan para cubrir un terreno que mide 80 por 50 pies (4000 pies cuadrados)?

32. La ración diaria de proteína para las mujeres es de 52 gramos por día. Tres onzas de cierto producto provee 4 gramos. ¿Cuántas onzas del producto se necesitan para proveer los 52 gramos de proteína?

33. Escribe 67% como un decimal.

3 34. Escribe 3 }4 % como un decimal.

35. Escribe 0.09 como un porciento.

36. ¿Cuánto es el 80% de 60?

37. ¿Cuál es el

66 2}3 %

de 54?

39. ¿12 es el 40% de qué número?

38. ¿Qué porciento de 32 es 16? 40. El impuesto a las ventas en cierto estado es del 4%. Encuentra el precio total pagado por un par de zapatos de $18.

6-59

Repaso de los capítulos 1– 6

41. Encuentra el interés simple ganado en una inversión de $300 al 4.5% por cinco años.

407

42. La siguiente tabla muestra la distribución de familias por ingresos en Racine, Wisconsin. Porciento de familias

Nivel de ingresos

$0–9999 10,000–14,999 15,000–19,999 20,000–24,999 25,000–34,999 35,000–49,999 50,000–79,999 80,000–119,000 120,000 y mayor

3 10 27 33 10 9 4 3 1

¿Qué porciento de las familias en Racine tienen ingresos entre $15,000 y $19,000? 43. La siguiente gráfica representa las lluvias anuales en pulgadas en el condado de Sagamore, entre 2001 y 2006. Encuentra las lluvias para el 2001.

44. La siguiente gráfica representa la temperatura promedio mensual para 7 meses del año. ¿Cuánto más alto es el promedio de temperatura en mayo que en marzo?

50

Grados

Pulgadas

40 30 20 10 0 2001

2002

2003

2004

2005

2006

95 90 85 80 75 70 65 Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Mes

Año

45. El número de horas requeridas en cada disciplina del currículo básico de una universidad se representa en la siguiente gráfica circular. ¿Qué porciento de esas horas son en educación física y artes combinadas?

46. ¿Cuál es la moda del siguiente grupo de números? 2, 23, 16, 21, 12, 2, 9, 2, 6, 2

Historia 15% Inglés 15%

Educación física 30% Matemáticas Artes 20% 20%

47. ¿Cuál es la media del siguiente grupo de números? 3, 2, 30, 17, 2, 2, 2, 18, 3, 4, 16

48. ¿Cuál es la mediana del siguiente grupo de números? 4, 7, 24, 4, 18, 14, 23, 6, 29, 29, 29

Sección 7.1

Longitud: el sistema americano

7.2 7.3

Longitud: el sistema métrico

7.4

Área: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

7.5

Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

7.6

Capítulo

7 siete

Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano

6

Medidas y el sistema métrico

Peso y temperatura: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

El lado humano de las matemáticas Aquí hay una prueba para ti: nombra un país que use el sistema métrico. Casi todos los países lo harán, excepto Estados Unidos. Toma unas románticas vacaciones en Francia. Es un día templado, entonces, harás una caminata de 30 minutos a un pueblo cercano: lleva queso y vino. La temperatura (en grados Celsius, no Fahrenheit), la distancia (en kilómetros, no en millas), el queso (en kilogramos, no en libras), y el vino (en litros, no en cuartos), están todos en el sistema métrico. ¿Cómo pasó esto? Los pesos y las medidas están entre las herramientas más tempranas que inventaron los humanos. Los babilonios y los egipcios medían el largo con el antebrazo, la mano o el dedo, pero el sistema que se usa en Estados Unidos está basado en el sistema inglés. La necesidad de un sistema de mediciones coordinado, único y universal se reconoció hace 300 años por Gabriel Mouton, vicario de la iglesia de St. Paul, en Lyon, Francia. En 1790, la Asamblea Nacional de Francia requirió a la Asamblea de Ciencias de Francia que “deduzca un estándar invariable para todas las medidas y los pesos”. El resultado fue el sistema métrico, que se hizo obligatorio en Francia en 1840. ¿Y en Estados Unidos? En 1789, Thomas Jefferson presentó un informe proponiendo un sistema de medidas basado en el decimal. El Congreso no tomó ninguna acción al respecto de su propuesta, pero más tarde, en 1832, le solicitó al Departamento del Tesoro que estandarizara las medidas que usaban los oficiales de aduanas en los puertos de Estados Unidos. El Congreso no tomó ninguna acción formal acerca de este informe. Finalmente, en 1866, el Congreso legalizó el uso del sistema métrico, y en 1875, Estados Unidos fue uno de los firmantes originales del Tratado del Metro.

409

410

Cápitulo 7

7-2

Medidas y el sistema métrico

7. 1

Longitud: el sistema americano

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

B6

Convertir una medida dada en el sistema americano a su equivalente en el mismo sistema.

Multiplicar o dividir fracciones y decimales. (págs. 130–136, 212–216)

6 Para comenzar En la historieta, Hugo está midiendo la tabla y encuentra que es de 31}21 pulgadas. Cuando medimos un objeto, le asignamos un número para indicar su tamaño, en este caso, 31}21 pulgadas.

Resolver aplicaciones con unidades de longitud del sistema americano.

Reimpreso con el permiso de King Features Syndicate.

También usamos unidades (como pulgadas) al comparar la cantidad que se está midiendo con una medida estándar. Así, toda medida contiene dos cosas: 1. Un número (entero, fracción o decimal) 2. Una unidad } } B es un segmento de unidad. Usando AB como nuestro Imagina que AB A 1 }

estándar, podemos medir otros segmentos como CD. C

1

1

D

1

}

}

Como el segmento CD contiene tres segmentos AB de principio a fin, decimos que el } segmento CD es de tres unidades de largo. Cuando la longitud de un segmento no es un número entero, podemos usar partes fraccionarias para indicar la longitud. Así, la longi} tud del segmento EF es 2}21 unidades. E

1

1

1/2

F

Una regla común muestra las unidades que usamos en nuestra vida de todos los días.

A 6 Convertir unidades de longitud del sistema americano

Hay dos sistemas principales de medición, el sistema americano y el sistema métrico, los que serán cubiertos en la Sección 7.2*. En tiempos antiguos, la mayoría de las unidades se basaban en medidas relacionadas con el cuerpo. Por ejemplo, la pulgada *El sistema americano se llamaba sistema inglés, pero los ingleses se cambiaron al sistema métrico, por lo que llamamos a éste sistema americano.

7-3

7.1

originada con los griegos, quienes la basaron en la punta del dedo (en español la palabra pulgada se deriva de la palabra pulgar). La palabra en latín para pulgada es uncia, que 1 significa } 12, lo que después evolucionó en inch (en inglés.) El pie era la longitud del pie de un hombre, y la yarda era la circunferencia de la cintura de una persona (gird en sajón, que luego evolucionó a yard, en inglés). Se dice que Enrique I decretó que la yarda debería ser la distancia desde la punta de su nariz hasta la punta de su pulgar. El problema con estas unidades es que su tamaño depende de la persona a quien pertenece el dedo, pie o brazo que se usa. Para resolver este problema, la yarda fue definida como la distancia entre marcas de una barra de metal guardada en Londres. El pie era de }13 exacto de esta yarda estándar y 1 la pulgada, exactamente el } 36 de la yarda. Estas relaciones y las abreviaturas que se usan se Unidades de longitud dan en la tabla. del sistema americano Para cambiar de una unidad a otra, podemos hacer 1 pie  12 pulgadas sustituciones, tratando los nombres de las unidades 1 yarda  3 pies como si fueran números. Por ejemplo, para encontrar cuántas pulgadas hay en una yarda, escribimos 1 milla  5280 pies 1 yarda  3 pies  3  (12 pulgadas)  36 pulgadas.

1 pie

IN 1

2

3

4

5

6

7

8

18

IN 1

2

3

4

5

411

Longitud: el sistema americano

9

10

11

12

14

6

7

8

9

13

14

15

38

10

11

16

17

18

19

20

12

21

22

23

24

25

26

58

27

28

29

30

34

31

32

33

34

35

36

78

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 CM

EJEMPLO 1 Convertir yardas a pulgadas 2 yardas  ___________ pulgadas.

PROBLEMA 1 3 yardas  ___________ pulgadas.

SOLUCIÓN 1 yarda  3 pies 2 yardas  6 pies  6  12 pulgadas.  72 pulgadas. Así, 2 yardas  72 pulgadas. ¿Cómo convertimos una unidad menor en una más grande? Por ejemplo, 60 pulgadas  ______ pies 1 Primero, nota que hay 12 pulgadas en un pie; así, en una pulgada hay } 12 de un pie. También 3 pies  1 yarda, así que 1 pie  }31 yarda. Finalmente, 1 milla  5280 pies, así que 1 1 pie  } 5280 milla. La información se resume como sigue:

1 1 pulgada  } 12 pie

1 pie  }13 yarda 1 1 pie  } 5280 milla

Para resolver el problema 60 pulgadas  _________ pies, podemos usar un procedimiento similar al usado en el ejemplo 1. Así,

S

D

60

1 pie  } pie  5 pies 60 pulgadas  60  } 12 12

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 108 pulgadas

Otro método de conversión es con unidades fraccionarias, eso es, fracciones iguales a 1. Por ejemplo, como 1 pie  12 pulgadas, 12 pulgadas pie y 1  12 pulgadas 1 pie

412

Cápitulo 7

7-4

Medidas y el sistema métrico

las dos son unidades fraccionarias. Para usar unidades fraccionarias para convertir 60 pulgadas en pies, usamos la segunda de esas fracciones (porque tiene las unidades deseadas en el numerador). Así, pie 60 60 pul.  60 pul.  1  60 pul   } pie  5 pies 12 12 pul Debemos trabajar los ejemplos usando ambos métodos, la sustitución y las unidades fraccionarias.

EJEMPLO 2 76 pul 

SOLUCIÓN

Convertir pulgadas a pies pies

PROBLEMA 2 40 pul 

pies

︷

76 1 1 } } Método 1. 76 pul  76  } 12 pie  12 pie  6 3 pies Así, 76 pul  6}13 pies. pies 76 1 } Método 2. 76 pul  76 pul  1  76 pul  12 pul  } 12 pie  6 3 pies

EJEMPLO 3 11 pul 

SOLUCIÓN

Convertir pulgadas a pies pies

PROBLEMA 3 7 pul 

pies

︷

1 11 } Método 1. 11 pul  11 } 12 pie  12 pie 11 Así, 11 pul  } 12 pie. pies 11 Método 2. 11 pul  11 pul  1  11 pul  12 pul  } 12 pie

EJEMPLO 4 26 pies 

SOLUCIÓN

Convertir pies en yardas yd

PROBLEMA 4 38 pies 

yd

︷

26 yd  8} 1 2 Método 1. 26 pies  26 } 3 yd  } 3 yd 3 2 Así, 26 pies  8} 3 yd. yd Método 2. Como 3 pies  1 yd, 1  3 pies . Así, yd 26 yd  8} 2 26 pies  26 pies  1  26 pies   } 3 yd 3 3 pies

EJEMPLO 5 15,840 pies 

Convertir pies en millas mi

SOLUCIÓN

PROBLEMA 5 10,560 pies 

mi

︷

15,840 1 } Método 1. 15,840 pies  15,840  } 5280 mi  5280 mi  3 mi Así, 15,840 pies  3 mi. mi Método 2. 15,840 pies  15,840 pies  1  15,840 pies  5280 pies 15,840  } mi  3 mi 5280

EJEMPLO 6 2 pies 

SOLUCIÓN

Convertir pies en pulgadas pul

PROBLEMA 6 4 pies 

pul

︷

Método 1. 2 pies  2  12 pul.  24 pul. Así, 2 pies  24 pul 12 pul Método 2. 2 pies  2 pies  1  2 pies  pies  24 pul

Respuestas a los PROBLEMAS 7 2 1 } } 2. 3} 3 pies 3. 12 pie 4. 123 yardas 5. 2 mi 6. 48 pul

7-5

7.1

413

Longitud: el sistema americano

B 6 Aplicaciones con las unidades americanas de longitud

EJEMPLO 7

Convertir altura de pies a pulgadas ¿Cuánto mides? Probablemente no tanto como Angus MacAskill, el gigante más alto “verdadero” (no patológico), quien medía 7.75 pies. ¿Cuántas pulgadas es eso?

SOLUCIÓN

︷

Método 1. 7.75 pies  7.75  12 pul  93 pulgadas.

PROBLEMA 7 Uno de los humanos más altos fue John Carroll, quien medía 8.75 pies de altura. ¿Cuántas pulgadas es eso?

7.75 12 15 50 77 5 93.00

Método 2. 7.75  7.75 pies  1 12 pul 5 7.75 pies  pies  93 pulgadas.

Antes de intentar hacer los ejercicios, hablemos sobre las estimaciones. Mira el ejemplo 1, en el que estamos convirtiendo 2 yardas en pulgadas. Como la yarda contiene muchas pulgadas (36, para ser exactos), tu respuesta estimada debe ser mucho más grande que 2. De hecho, si recuerdas que una yarda son 36 pulgadas, sería exactamente dos veces 36 ó 2  36  72 pulgadas, como en el ejemplo. Por otra parte, en el ejemplo 5 estamos convirtiendo 15,840 pies a millas. Como 1 un pie es mucho más pequeño que una milla (} 5280 de una milla, para ser exactos), tu 1 respuesta estimada debe ser mucho más pequeña que 15,840, una fracción de eso, } 5280 de los 15,840, para ser exactos. Ahora intenta hacer los ejercicios y ¡recuerda calcular antes de dar la respuesta final! Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 7.1 Convertir unidades de longitud del sistema americano

1. 4 yardas 

pulgadas pies

10. 30 pulgadas 

pies

13. 9 pulgadas  16. 33 pies  19. 5280 pies  22. 5 pies 

28. 3 millas 

5B6

yardas millas pulgadas pies yardas

pulgadas

yardas 

pulgadas

8. 72 pulgadas 

pies

3. 2.5 yardas  6.

1}14

yardas 

9. 84 pulgadas 

pulgadas pulgadas pies

11. 3 pulgadas 

pies

12. 4 pulgadas 

14. 5 pulgadas 

pies

15. 30 pies 

yardas

18. 32 pies 

yardas

21. 4 pies 

pulgadas

17. 37 pies 

yardas

20. 26,400 pies 

millas

pies

23. 1 yarda 

pies

24. 3 yardas 

pies

26. 2 millas 

pies

27. 1 milla 

yardas

29. 1760 yardas 

millas

30. 3520 yardas 

millas

Aplicaciones con las unidades americanas de longitud

31. Refrigerador El espacio para el refrigerador en una casa nueva es de 3 pies de ancho. a. ¿Cuántas pulgadas es eso? b. Si el refrigerador es de 33 pulgadas de ancho, ¿cabrá?

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 105 pulgadas

32. Fútbol americano El gol de campo más largo en la competencia de NFL fue de 189 pies. ¿Cuántas yardas es eso? Dicho sea de paso, el gol de campo fue pateado por Tom Dempsey de los Santos de Nueva Orleans, quienes vencieron a los Leones de Detroit 19 a 17 en la última jugada del partido el 8 de noviembre de 1970. Este récord fue igualado por Jason Elam de los Broncos de Denver el 25 de octubre de 1998.

para más lecciones

25. 1 milla 

pies

5.

2}13

www.mathzone.com

7. 50 pulgadas 

2. 5 yardas 

ir a

4. 1.5 yardas 

pulgadas

En los problemas 1 al 30, llena los espacios.

6Web IT

5A6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

414

Cápitulo 7

7-6

Medidas y el sistema métrico

33. Estufa El espacio para la estufa en una casa nueva es de 2}12 pies de ancho. a. ¿Cuántas pulgadas es eso? b. ¿Cabrá una estufa de 28 pulgadas de ancho?

34. Béisbol Mickey Mantle bateó el home run más largo que se haya medido oficialmente en un juego de la liga mayor: 565 pies. ¿Cuántas yardas es eso?

35. Tíbet Lhasa, la capital de Tíbet, está a 12,087 pies sobre el nivel del mar. ¿Cuántas yardas es eso?

36. Barco militar El U.S.S New Jersey es el acorazado más largo, con 888 pies. ¿Cuántas yardas es eso?

37. Carros El carro más largo producido fue el Bugatti Royale tipo 41. Medía 22 pies y 1 pulgada. ¿Cuántas pulgadas es eso?

38. Guineos Un guineo debe ser de 8 pulgadas de largo para calificar para la marca Chiquita. ¿Cuántos pies es eso?

39. Carreras de caballos Las carreras de caballo se miden en furlongs. Si un furlong son 220 yardas, ¿cuál es el largo en millas de una carrera de 8 furlongs?

40. Altura Una mujer mide 5 pies 8 pulgadas de altura. ¿Cuántas pulgadas es eso?

41. Saltos de perro Uno de los saltos de perro más altos lo realizó un pastor alemán, Young Sabre, quien escaló una pared de 11.75 pies. ¿Cuántas pulgadas es eso?

42. Pájaros La medida de las alas extendidas del pájaro prehistórico volador más largo tenía 24 pies. ¿Cuántas yardas es eso?

43. Altura La mujer promedio mide 5 pies 4 pulgadas de alto. ¿Cuántas pulgadas es eso?

44. Altura El hombre promedio mide 5 pies 9 pulgadas de alto. ¿Cuántas pulgadas es eso?

45. Víboras La velocidad promedio de una víbora es de 2 millas por hora. ¿Cuántos pies por hora es eso?

46. Plantas El agua sube por el tallo de una planta un promedio de 4 pies cada hora. a. ¿Cuántas pulgadas es eso? b. Si una planta mide 72 pulgadas de alto. ¿Cuánto tiempo le llevará al agua viajar desde el fondo a la punta de la planta?

47. Velocidad al caminar Una persona que vive en una ciudad camina en promedio 6 pies por segundo. a. ¿Cuántas yardas por segundo es eso? b. ¿Cuántas yardas caminará en un minuto?

48. Velocidad al caminar Una persona que vive en una ciudad camina en promedio 2 yardas por segundo. a. ¿Cuántos segundos le tomará recorrer 100 yardas? b. ¿Cuántos segundos le tomará recorrer 440 yardas?

49. Postre La Banana Split más larga que se ha preparado es de 4 millas 686 yardas. ¿Cuántos pies es eso? Sin embargo, una Banana Split de 4.55 millas se preparó en Selinsgrove, Pensilvania, en 1988. ¿Cuál es más larga? (pista: 4.55 millas es 4.55  5280 pies).

50. Comida Una de las salchichas más largas que se registró medía 9.89 millas. ¿Cuántos pies es eso? (responde al pie más cercano). El show de salchichas Nowicki hizo una salchicha de 8773 pies de largo. ¿Cuántas millas es eso? ¿Es más larga que la salchicha de 9.89 millas?

51. Velocidad del guepardo Se cree que el guepardo es el animal más rápido de la Tierra. Puede correr a 102 pies por segundo. ¿Cuántas yardas por segundo es eso?

52. Velocidad del antílope Un antílope puede correr 87 pies por segundo. ¿Cuántas yardas por segundo es eso?

53. Carrera de 100 yardas Houston McTear, quien corría para el Colegio Baker de Florida a principios de los años setenta, es el único hombre que corrió la carrera de 100 yardas en 9 segundos. ¿Cuántos pies por segundo es eso? Escribe la respuesta como un número mixto.

54. Viajes Estás viajando y ves la señal. ¿A cuántas yardas de distancia estás del cierre de la carretera? Escribe la respuesta como un número mixto.

55. Viajes Estás viajando por la Carretera Kentucky, pero ésta se termina en 2500 pies.

b. Si estás viajando a 60 millas por hora, te estás moviendo 29 yardas por segundo. ¿Puedes probar eso?

a. ¿Cuántas yardas es eso? Escribe la respuesta como un número mixto.

c. Si estás viajando a 60 millas por hora y la carretera termina en 2500 pies, ¿en cuántos segundos se terminará la carretera? Responde al segundo más cercano.

7-7

7.1

415

Longitud: el sistema americano

666Usa tus conocimientos Récords mundiales Cuando se usa la medida de un objeto para establecer un récord mundial, los resultados y declaraciones pueden ser variados. Por ejemplo, si buscas la “salchicha más larga”, aparecen varias declaraciones. Informamos sobre algunas de éstas: ¡Tú decides cuál es la más larga! Convierte primero cada medida en pies. 56. Una salchicha de 28 millas, 1354 yardas en Ontario, Canadá (1995).

57. La salchicha inglesa Sheffield, de 36.75 millas de largo (octubre de 2000).

58. Una supersalchicha de la que se informa en internet, de 13 millas de largo http://website.lineone.net

666¡Escribe! 59. Escribe con tus palabras cómo piensas que nacieron los nombres de las unidades de medida del sistema americano (pulgadas, yardas, pies y millas).

60. Escribe con tus palabras cómo usas la estimación cuando conviertes de una unidad del sistema americano a otra.

61. Escribe con tus palabras los dos métodos usados en el texto para convertir una unidad de medida americana en otra.

62. ¿Cuál de los dos métodos usados prefieres? Explica por qué.

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con la/las l /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 63. Los dos mayores sistemas de medidas son el sistema 64. La

y el sistema

.

era la circunferencia de la cintura de una persona.

métrico pie metro americano yarda

666Prueba de dominio 65. Tom mide 6.5 pulgadas de alto. Convierte esa altura a pulgadas.

En los problemas 66 al 72, llena los espacios. 66. 6 pies 

pulgadas

67. 31,680 pies 

millas

68. 3 millas 

69. 25 pies 

yardas

70. 11 pulgadas 

pies

71. 75 pulgadas 

72. 31 pies 

yardas

666Comprobación de destrezas R ealiza las operaciones indicadas. 73. 4232  1000

74. 3  10

76. 340  10

77. 100  0.465

75. 83.5  100

pies pies

416

Cápitulo 7

7-8

Medidas y el sistema métrico

7.2

Longitud: el sistema métrico

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar... 1. Multiplicar por potencias de 10 (10, 100, 1000, etc.). (pág. 213)

Debes ser capaz de:

A6

2. Dividir por potencia de 10. (pág. 217)

Convertir una unidad de longitud del sistema métrico a otra unidad de longitud métrica equivalente.

6 Para comenzar En la historieta, la niña está muy triste pensando en el sistema métrico. De hecho, el sistema métrico se usa en casi todos los países del mundo, con una notable excepción: Estados Unidos. El sistema se inventó muchos años atrás, y divide la distancia del Ecuador terrestre al Polo Norte en 10 millones de partes iguales, cada una llamada metro (la definición oficial de un metro es 1,650,763.73 largos de onda de la luz naranja–roja del elemento kriptón). El metro es de alrededor de 39.37 pulgadas, eso es, alrededor de 3}12 pulgadas más largo que la yarda.

PEANUTS reimpreso con permiso de United Feature Syndicate, Inc.

A 6 Convertir unidades de longitud del sistema métrico

El número 10 es muy importante en el sistema métrico, porque cada unidad de longitud en el sistema es 10 veces más largo o 10 veces más corto que la siguiente unidad de medida. La siguiente tabla muestra la relación entre algunas unidades de longitud del sistema métrico. Debes memorizar estos nombres y sus abreviaturas. Kilómetro (km) 1000 metros

Hectómetro (hm) 100 metros

Decámetro (dam) 10 metros

Metro (m) 1 metro

Decímetro (dm) 1 metro

10

Centímetro (cm) 1 metro 100

Milímetro (mm) 1 metro 1000

Estas dos unidades son usadas muy raramente 1 kilómetro

1 hectómetro

1 decámetro

1 metro

1 decímetro

1 centímetro

es 10 hm

es 10 dam

es 10 m

es 10 dm

es 10 cm

is 10 mm

¿Cómo se relaciona el sistema métrico contigo? Cuando estableces la distancia entre dos ciudades, por ejemplo, usas millas; en el sistema métrico usarías kilómetros. Dimensiones lineales más pequeñas, como el tamaño de las herramientas, se medirán en centímetros o milímetros. Como en el sistema americano, las medidas en el sistema métrico tienen

7-9

7.2

Longitud: el sistema métrico

417

un número ( entero, fraccionario o decimal) y una unidad. La regla muestra una de las unidades usadas en el sistema métrico: el centímetro. Para propósitos comparativos, 1 pulgada 5 2.54 centímetros.

Como antes, para cambiar de una unidad a otra, simplemente sustituimos la equivalencia correcta. Por ejemplo, para encontrar cuántos metros hay en 2 km, eso es, para encontrar 2 km 5 _________ m, procedemos de la siguiente manera: 2 km 5 2 ? 1000 m 5 2000 m Podemos hacer el problema usando unidades fraccionarias. Como hay 1000 m en 1 km, 1000 m 15} km entonces 1000 m 2 km 5 2 km ? 1 5 2 km ? } 5 2000 m km Como antes, debemos trabajar los ejemplos usando los métodos de sustitución y de unidades fraccionarias.

EJEMPLO 1 Convertir kilómetros a metros 3 km 5 _________ m SOLUCIÓN

PROBLEMA 1 4 km 5

m

︷

Método 1. 3 km 5 3 ? 1000 m 5 3000 m Así, 3 kilómetros 5 3000 metros.

1000 m 5 3000 m Método 2. 3 km 5 3 km ? 1 5 3 km ? } km Para convertir de una unidad más pequeña a una unidad más grande del sistema métrico, usamos la siguiente tabla: 1 1m5} 1000 km 1 1m5} 100 hm 1 1m5} 10 dam Ahora podemos convertir metros en kilómetros. Por ejemplo, para encontrar cuántos kilómetros hay en 3254 metros, debemos resolver 3254 m 5 _________ km 1 Método 1. 3254 m 5 3254 ? } 1000 km 3254 5} 1000 km 5 3.254 km

S

D

Así, 3254 metros 5 3.254 kilómetros. Recuerda que al dividir por 1000, simplemente movemos el punto decimal tres posiciones a la izquierda. Así 3254 } 5 3.254 1000

3 ceros

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 4000 m

3 lugares

418

Cápitulo 7

7-10

Medidas y el sistema métrico

Método 2. Como

km 15} 1000 m

km 3254 m 5 3254 m ? 1 5 3254 m ? } 1000 m 5 3.254 km

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Convertir metros a decámetros 2 m 5 _________ dam

SOLUCIÓN

3m5

dam

︷

1 Método 1. 2 m  2  } 10 dam 2 } 10 dam  0.2 dam Así, 2 metros  0.2 decámetros. dam 2 } Método 2. 2 m  2 m  1  2 m  } 10 m  10 dam  0.2 dam

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Convertir decámetros a metros 340 dam 5 _________ m

SOLUCIÓN

4 dam 5

m

︷

Método 1. 340 dam  340  10 m  3400 m Así, 340 decámetros  3400 metros. 10 m Método 2. 340 dam  340 dam  1  340 dam  }  3400 m dam

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Convertir metros a centímetros 83.5 m 5 _________ cm

SOLUCIÓN

215 m 5

cm

︷

Método 1. 83.5 m  83.5  100 cm  8350 cm Así, 83.5 metros  8350 centímetros. 100 cm Método 2. 83.5 m  83.5 m  1  83.5 m  } m  8350 cm

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

Convertir centímetros a metros 397 cm 5 _________ m

SOLUCIÓN

581 cm 5

m

︷

1 Método 1. 397 cm  397  } 100 m  3.97 m Así, 397 centímetros  3.97 metros. m Método 2. 397 cm  397 cm  1  397 cm  } 100 cm  3.97 m Después de todos estos ejemplos, probablemente hayas notado que convertir una unidad a otra en el sistema métrico puede hacerse simplemente moviendo el punto decimal. Así, si tenemos en mente la siguiente tabla, podemos hacer todas estas conversiones.

Respuestas a los PROBLEMAS 2. 0.3 dam 4. 21,500 cm

3. 40 m 5. 5.81 m

km

hm

dam

m

1000 m

100 m

10 m

1m

dm 1 } 10 m

cm 1 } 100 m

mm 1 } 1000 m

7-11

7.2

419

Longitud: el sistema métrico

Así, para resolver 315 cm  __________ pensamos “Para ir de centímetros a kilómetros en la tabla, debemos mover cinco posiciones a la izquierda”. Entonces, movemos el punto decimal cinco posiciones a la izquierda, así: 315 cm  .00315 km  0.00315 km De la misma manera, para resolver 58.2 dam  ___________ mm, notamos que para ir de decámetros a milímetros, debemos mover cuatro posiciones a la derecha. Así, 58.2 dam  58 2000 mm  582,000 mm Si necesitas practicar en esto, puedes trabajar otra vez todos los ejemplos usando este método.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Convertir unidades de longitud del sistema métrico En los problemas 1 al 20, usa la tabla para llenar los espacios. dam

m

1000 m

100 m

10 m

1m

1. 5 km 

m

2. 4.2 km 

5. 4 dm 

m

6. 8 dm 

9. 182 cm  13. 3 m 

mm mm

10. 43 cm 

m m m

cm 1 } 100 m

mm 1 } 1000 m

3. 1877 m 

km

4. 157 m 

km

7. 49 m 

dm

8. 1.6 m 

dm

11. 22 m 

cm

12. 4.5 m 

cm

14. 0.35 m 

mm

15. 2358 mm

18. 2.4 cm 

mm

19. 67 mm 

m cm

16. 425 mm 

cm

20. 184 mm 

cm

666Aplicaciones En los problemas 21 al 25, selecciona la respuesta correcta más cercana. 21. Altura de un jugador de baloncesto La altura de un jugador profesional de baloncesto es: a. 200 mm b. 200 m c. 200 cm

22. Dimensiones de la sala Las dimensiones de la sala de una casa común son: a. 4 m por 5 m b. 4 cm por 5 cm c. 4 mm por 5 mm

23. Diámetro de la aspirina El diámetro de una tableta de aspirina es: a. 1 cm b. 1 mm c. 1 m

24. Largo de la carrera de 100 yardas El largo de la carrera de 100 yardas es de alrededor de: a. 100 cm b. 100 mm c. 100 m

25. Largo de un lápiz El largo de un lápiz común es: a. 19 mm b. 19 cm c. 19 m

26. Largo de la cama metros es eso?

27. Diámetro de una tableta El diámetro de una tableta de vitamina C es 6 mm. ¿Cuántos centímetros es eso?

28. Largo de una carrera El largo de cierta carrera es de 1.5 km ¿Cuántos metros es eso?

29. Profundidad de una piscina La profundidad de una piscina es de 1.6 m. ¿Cuántos centímetros es eso?

30. El Arca de Noé El doctor James Strange, de la Universidad del Sur de Florida, quiere explorar el monte Ararat, en Turquía, buscando el Arca de Noé. De acuerdo con el libro del Génesis, las dimensiones del Arca eran las siguientes: largo: 300 cúbitos; ancho: 50 cúbitos; alto: 30 cúbitos. Si un cúbito es de 52.5 cm, da cada dimensión en metros.

Una cama es de 210 cm de largo. ¿Cuántos

para más lecciones

17. 30 cm 

m

dm 1 } 10 m

www.mathzone.com

hm

ir a

km

6Web IT

6Ejercicios 7.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

420

Capítulo 7

7-12

Medidas y el sistema métrico

31. Largo del paso El paso promedio de un corredor es de alrededor de 1 metro de largo. Si un corredor entra a la carrera de 5 kilómetros (usualmente escrito 5k), ¿cuántos pasos da el corredor para llegar a la meta?

32. Largo de una carrera Un corredor dio 10,000 pasos para completar una carrera. Si el paso promedio para el corredor es de alrededor de 1 metro de largo, ¿de qué largo fue la carrera?

33. Altura de los animales Aquí están los promedios de altura de tres animales del zoológico de Zedgwick, Wichita, Kansas:

34. Altura de los pájaros Aquí están las alturas promedio de tres pájaros del zoológico de Zedgwick, Wichita, Kansas: a. 88 cm, 150 cm y 60 cm. Escribe las alturas en metros.

a. 1.1 metros, 3.2 metros y 1.5 metros. Escribe la altura en centímetros. b. Los animales son el elefante africano, un chimpancé y una cebra. ¿Cuál es la altura de cada uno en centímetros?

b. Los pájaros son el águila calva, un cisne trompeta y un pavo cepillo. ¿Cuál es la altura de cada uno en metros? Fuente: http://tinyurl.com

Fuente: http://tinyurl.com 35. Largo de los reptiles Aquí está el largo de tres reptiles del zoológico de Zedgwick, Wichita, Kansas: a. 240 cm, 76 cm y 17 cm. Escribe los largos en metros. b. Los reptiles son una cabeza de cobre, una boa de Madagascar y una salamandra tigre. ¿Cuál es el largo de cada uno en metros?

666Usa tus conocimientos 36 H h d la l parte t de d arriba ib del d l brazo b d una persona. Con C este t hueso h i t un antropólogo t ól 36. Huesos hhumanos El hú húmero es ell hueso de de como pista, puede decir aproximadamente la altura de la persona. Si el hueso es de una mujer, entonces la altura de la persona es de alrededor de (2.75  largo del húmero)  71.48 cm Imagina que se encontró que el húmero de una mujer es de 31 cm de largo. ¿Cuál era la altura aproximada, en centímetros, de la persona?

En el problema 37, conecta cada ítem de la primera columna con la medida apropiada de la segunda. 37. i. ii. iii. iv. v.

Un papel de tamaño carta Un periódico Una tarjeta de crédito Un cheque normal de un banco Un sello postal

a. b. c. d. e.

20 mm  25 mm 54 mm  86 mm 70 mm  150 mm 21.5 cm  28 cm 35 cm  56 cm

666¡Escribe! 38. Explica con tus propias palabras por qué es más fácil cambiar de una unidad a la otra en el sistema métrico que en el sistema americano.

39. Nombra tres unidades métricas de longitud que hayas visto en tu vida diaria y aquello que estaban midiendo.

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 40. Las medidas en el sistema métrico tienen un ________ y una ________.

variable

abreviatura

41. Para cambiar de una unidad a otra simplemente ________ la equivalencia correcta.

sustituye

prefijo

número

unidad

7-13

7.3

Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano

421

666Prueba de dominio En los problemas 42 al 47, llena los espacios. 42. 457 cm 5 _______ m

43. 92.4 m 5 _______ cm

44. 380 dam 5 _______ m

45. 3 m 5 _______ dam

46. 9 km 5 _______ m

47. 2300 m 5 _______ km

666Comprobación de destrezas En los problemas 48 al 53, encuentra el producto. 48. 60 ? 2.54

49. 72 ? 2.54

50. 100 ? 0.914

51. 50 ? 1.6

52. 70 ? 0.62

53. 10 ? 0.4

7 .3

Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Multiplicar y dividir decimales. (págs. 212–216)

A6

2. Realizar operaciones básicas con fracciones y decimales. (págs. 130–136, 151–156, 203–206, 212–216)

B6

Convertir una unidad de longitud americana a una unidad de longitud métrica, y viceversa. Resolver aplicaciones con cambio de unidades del sistema americano al métrico, y viceversa.

6 Para comenzar Dichos métricos ¿Qué crees que pasaría si Estados Unidos adoptara el sistema métrico en este mismo momento? Mucha gente cree que tendría que hacer las conversiones del sistema americano al métrico y del métrico al americano constantemente. ¡Esto no es verdad! Por ejemplo, probablemente compras refresco o agua mineral en botellas de uno y dos litros, pero esto no requiere que conviertas litros a cuartos. Puedes tener un carro importado que es totalmente métrico, pero no necesitas convertir los tamaños de las gomas o el motor al sistema americano. De todas formas, si insistes en convertir, aquí tienes algunos dichos que tal vez quieras convertir al sistema métrico: 1. Una señorita es tan buena como un _______ km. (una milla) 2. No lo tocaría con un palo de ________ m. (10-pies) 3. Él era tan intransigente que no daría _______ cm. (una pulgada) 4. Camina ______ km en mis mocasines. (una milla) ¿Cómo harías esto? ¡Te daremos una tabla de conversiones para que lo sepas!

422

Capítulo 7

7-14

Medidas y el sistema métrico

A 6 Convertir entre el sistema americano y el sistema métrico

Aquí está la tabla que necesitas para convertir medidas de longitud entre el sistema americano y el sistema métrico, y viceversa.

Conversiones del sistema americano al sistema métrico 1 pulgada  2.54 cm* 1 yarda  0.914 m 1 milla  1.6 km

1 cm  0.4 pulgadas 1 m  1.1 yardas 1 km  0.62 millas

Para hacer las conversiones, puedes usar los mismos métodos que comentamos en las secciones 7.1 y 7.2.

EJEMPLO 1 5 pies 

SOLUCIÓN

Convertir pies a centímetros cm

PROBLEMA 1 7 pies 

cm

Recuerda, 1 pie  12 pul

Método 1. 5 pies  60 pul  60  2.54 cm  152.4 cm 2.54 cm  152.4 cm Método 2. 5 pies  60 pul  60 pul  1  60 pul ? pul Así, 5 pies  152.4 cm.

EJEMPLO 2 200 yardas 

SOLUCIÓN

Convertir yardas a metros m

PROBLEMA 2 300 yardas 

m

De la tabla, 1 yd  0.914 m

Método 1. 200 yardas  200 yd  200  0.914 m  182.8 m 0.914 m Método 2. 200 yardas  200 yd  200 yd  1  200 yd ? }  182.8 m yd Así, 200 yardas  182.8 m.

EJEMPLO 3 60 millas 

SOLUCIÓN

Convertir millas a kilómetros km

PROBLEMA 3 70 millas 

km

De la tabla, 1 mi  1.6 km

Método 1. 60 millas  60 mi  60  1.6 km  96 km 1.6 km Método 2. 60 millas  60 mi  60 mi  1  60 mi ? }  96 km mi Así, 60 millas  96 km.

EJEMPLO 4 300 cm 

SOLUCIÓN

Convertir centímetros a pulgadas pulgadas

PROBLEMA 4 200 cm 

De la tabla, 1 cm  0.4 pul

Método 1. 300 cm  300 cm  300  0.4 pul  120 pul 0.4 pul Método 2. 300 cm  300 cm  300 cm  1  300 cm ? } cm  120 pul Así, 300 cm  120 pul. * La pulgada se define como 2.54 cm. Las otras medidas son aproximadas.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 213.36 cm 3. 112 km

2. 274.2 m 4. 80 pul

pul

7-15

7.3

EJEMPLO 5 200 m 

SOLUCIÓN

Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano

Convertir metros a yardas yardas

423

PROBLEMA 5 300 m 

yd

De la tabla, 1 m  1.1 yd

Método 1. 200 m  200 m  200  1.1 yd  220 yd 1.1 yd Método 2. 200 m  200 m  200 m  1  200 m ? } m  220 yd Así, 200 m  220 yd.

EJEMPLO 6 90 km 

SOLUCIÓN

Convertir kilómetros a millas millas

PROBLEMA 6 70 km 

mi

De la tabla, 1 km  0.62 mi

Método 1. 90 km  90 km  90  0.62 mi  55.8 mi 0.62 mi Método 2. 90 km  90 km  90 km  1  90 km ? }  55.8 mi km Así, 90 km  55.8 mi. Antes que vayas a las aplicaciones, recuerda tus estimaciones: Las pulgadas son más largas que los centímetros; entonces, cuando conviertes pulgadas a centímetros, la respuesta debe ser mayor que el número dado. Las yardas son más cortas que los metros; entonces, cuando conviertes yardas a metros, la respuesta deberá ser más pequeña que el número dado. Las millas son más largas que los kilómetros; entonces, cuando conviertes millas a kilómetros, la respuesta deberá ser mayor que el número dado.

B 6 Aplicaciones con unidades de longitud del sistema americano y del sistema métrico

EJEMPLO 7

Convertir pies a centímetros Un hombre mide 6 pies de alto. ¿Cuántos centímetros es eso?

SOLUCIÓN

1 pie  12 pulgadas

PROBLEMA 7 Una mujer mide 5 pies de alto. ¿Cuántos centímetros es eso?

Método 1. 6 pies  72 pul  72  2.54 cm  182.88 cm 2.54 cm Método 2. 6 pies  72 pul  72 pul  1  72 pul ? }  182.88 cm pul

EJEMPLO 8 Convertir yardas a metros Un campo de fútbol mide 100 yardas de largo. ¿Cuántos metros es eso? SOLUCIÓN

PROBLEMA 8 Una piscina mide 50 yardas de largo. ¿Cuántos metros es eso?

Método 1. 100 yd  100  0.914 m  91.4 m 0.914 m Método 2. 100 yd  100 yd  1  100 yd  }  91.4 m yd

EJEMPLO 9

PROBLEMA 9

SOLUCIÓN

Un carro está viajando a 30 millas por hora. ¿Cuántos kilómetros por hora es eso?

Convertir millas a kilómetros Un carro está viajando a 50 millas por hora. ¿Cuántos kilómetros es eso?

︷

Método 1. 50 mi  50  1.6 km  80 km 1.6 km Método 2. 50 mi  50 mi  1  50 mi ? }  80 km mi Así, 50 millas por hora es el equivalente a 80 kilómetros por hora. Respuestas a los PROBLEMAS 5. 330 yd

6. 43.4 mi

7. 152.40

8. 45.7

9. 48

424

Capítulo 7

7-16

Medidas y el sistema métrico

EJEMPLO 10

PROBLEMA 10

SOLUCIÓN

Una de las carreras de los Juegos Olímpicos es el evento de los 200 metros. ¿Cuántas yardas es eso?

Convertir metros a yardas Una piscina olímpica mide 100 metros de largo. ¿Cuántas yardas es eso?

︷

Método 1. 100 m  100  1.1 yd  110 yd 1.1 yd Método 2. 100 m  100 m  1  100 m ? } m  110 yd

EJEMPLO 11

PROBLEMA 11

SOLUCIÓN

Un carro está viajando a 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas millas por hora es eso?

Convertir kilómetros a millas Un carro está viajando a 70 km/hr. ¿Cuántas millas por hora es eso?

︷

Método 1. 70 km  70  0.62 mi  43.40 mi 0.62 mi Método 2. 70 km  70 km  1  70 km ? }  43.40 mi km Así, el carro está viajando a 43.40 millas por hora.

EJEMPLO 12

PROBLEMA 12

Convertir centímetros a pulgadas Un cigarrillo mide 10 cm de largo. ¿Cuántas pulgadas es eso?

SOLUCIÓN

Una regla mide 30 centímetros de largo. ¿Cuántas pulgadas es eso?

︷

Método 1. 10 cm  10  0.4 pul  4 pul 0.4 pul Método 2. 10 cm  10 cm  1  10 cm ? } cm  4 pul

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com

para más lecciones

6Ejercicios 7.3 5A6

Convertir entre el sistema americano y el sistema métrico En los problemas 1 al 12, llena los espacios.

1. 4 pies  4. 20 yardas  7. 20 cm  10. 500 m 

5B6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

2. 3 pies 

cm m pulgadas yardas

5. 90 millas  8. 50 cm  11. 10 km 

3. 30 yardas 

cm km pulgadas millas

6. 100 millas  9. 600 m  12. 400 km 

m km yardas millas

Aplicaciones con unidades de longitud del sistema americano y del sistema métrico

13. Fútbol Steve O’neal, de los Jets de Nueva York, pateó un tanto de 98 yardas el 21 de septiembre de 1969. ¿Cuántos metros es eso? (da tu respuesta a una posición decimal).

14. La piscina más grande La piscina más grande está en Casablanca, Marruecos, y es de 82 yardas de ancho. ¿Cuántos metros es eso? (da tu respuesta a una posición decimal).

15. Monte Everest El monte Everest mide 8848 metros de alto. ¿Cuántas yardas es eso? (da tu respuesta a la centena más cercana).

16. Límite de velocidad El límite de velocidad en una carretera es de 44 millas por hora. ¿Cuántos kilómetros por hora es eso?

17. Límites de velocidad en Europa El límite de velocidad en las carreteras europeas es 100 km/hr. ¿Cuántas millas por hora es eso?

18. Dimensiones del autor El autor de este libro alguna vez tuvo una medidas de 46–30–36 (en pulgadas). ¿Cómo escribirías eso en centímetros? (usa 1 pulgada = 2.5 cm).

19. Concurso de Miss Mundo En un concurso de Miss Mundo, la ganadora tenía unas medidas de 90–60–90 (en centímetros). ¿Cuánto es eso en pulgadas?

20. Dimensiones de la pantalla de TV La pantalla de un televisor mide 24 pulgadas diagonalmente. ¿Cuántos centímetros es eso?

Respuestas a los PROBLEMAS 10. 220

11. 49.60

12. 12

7-17

7.3

Longitud: conversiones del sistema americano al sistema métrico y del métrico al americano

425

21. Venecia Venecia está construida en tablas de madera que se están hundiendo a una tasa de siete centímetros por siglo. ¿Cuántas pulgadas por siglo es eso?

22. Venecia Sin embargo, un estudio reciente realizado por un grupo norteamericano estimó que Venecia se hundió ¡unos enormes 24 centímetros en el último siglo solamente! ¿Cuántas pulgadas es eso? Fuente: http://www.classbrain.com.

23. Shanghai Partes de Shangai se están hundiendo a una tasa de 1 pulgada por año, mayormente como resultado de un boom masivo de la construcción en los últimos 10 años. ¿Cuántos centímetros por año es eso?

24. Louisiana El hundimiento en Luisiana fue de 6 a 20 pulgadas en los últimos 20 años, de acuerdo con Roy Dokka, un profesor del Centro para Geoinformática de la Universidad Estatal de Luisiana. ¿Cuántos centímetros se ha hundido Luisiana en los últimos 20 años?

666Usa tus conocimientos 25. Aviones Un Boeing 747 requiere aproximadamente 1900 metros de pista para despegar. ¿Cuántas millas es eso?

26. Lanzamiento de huevos Una de las distancias más largas registradas de lanzamiento (y atrapada) de huevos crudos, sin que se rompan, es de 320 pies y 4 pulgadas. ¿Cuántos metros es eso?

27. Planeador Probablemente escuchaste la expresión “¡Quédate colgado ahí!”. Bueno, Rudy Kishazy hizo exactamente eso. Se colgó de un planeador que despegó del Monte Blanco y aterrizó 35 minutos más tarde en Servoz, Francia, a una distancia de 15 millas. ¿Cuántos kilómetros es eso?

666¡Escribe! 28. Escribe con tus propias palabras cómo usas las estimaciones para hacer los cálculos de esta sección.

29. Si estás convirtiendo millas a kilómetros, ¿el resultado será más grande o más pequeño que el número de millas que se dieron originalmente? Explica.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. (más grande, más pequeña) igual

30. Cuando convertimos pulgadas a centímetros, la respuesta será que el número original. 31. Cuando convertimos yardas a metros, la respuesta será que el número original.

más grande (más grande, más pequeña)

más pequeña

666Prueba de dominio 32. El cubano José Castelar fue registrado oficialmente en el libro Guinness de los Récords Mundiales por el cigarro cubano hecho a mano más grande: alrededor de 13.5 metros de largo. ¿Cuántas pulgadas es eso?

33. Un carro está viajando a 40 km/hr. ¿Cuántas millas por hora es eso?

34. Una piscina mide 50 m de largo. ¿Cuántas yardas es eso?

35. Un carro está viajando a 60 millas por hora. ¿Cuántos kilómetros por hora es eso?

36. Un campo de fútbol puede ser tan largo como de 130 yardas. ¿Cuántos metros es eso?

37. El estudiante de Escuela Superior Ha Seung–jin, de Corea, mide 7.15 pies de altura. ¿Cuántos metros es eso? (responde a dos posiciones decimales).

En los problemas 38 al 43, llena los espacios. 38. 15 pies 

cm

39. 800 yd 

m

40. 30 cm 

pies

41. 600 cm 

pul

42. 800 m 

yd

43. 20 km 

mi

426

Capítulo 7

7-18

Medidas y el sistema métrico

666Comprobación de destrezas R ealiza las operaciones indicadas. 44. (1000)2

1 45. 27  } 9

7. 4

Área: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

46. 5  4840

Debes ser capaz de:

1. Multiplicar un número entero por una fracción. (pág. 132)

A6

2. Multiplicar y dividir decimales. (págs. 212–216)

Convertir de una unidad métrica de área a otra.

B6

Convertir de una unidad de área del sistema americano a otra.

C6

Convertir unidades de área del sistema métrico al sistema americano, y viceversa.

D6

Resolver aplicaciones con unidades de área americanas y métricas.

47. 4  2.47

6 Para comenzar Imagina que hay un desfile y todos van a ir. ¿Cómo puedes estimar la multitud? Robert Gillette, un reportero de Los Ángeles Times, estima la concurrencia al Desfile del Torneo de las Rosas usando áreas. Primero mide la profundidad del área del lugar en 23 pies (esta profundidad está limitada por una línea azul detrás de donde los espectadores deben estar parados y por el edificio a la espalda de la multitud). Luego multiplica por las 5.5 millas de la ruta del desfile y dobla la cifra, dado que hay espectadores de los dos lados de la calle. Hasta ahí, el cálculo es 23 pies ? 5.5 millas ? 2 Desafortunadamente, la respuesta es en pies 3 millas. Podemos convertir esto a pies cuadrados si recordamos que 1 milla 5 5280 pies. Sustituimos, 23 pies ? 5.5 mi ? 2 5 23 pies ? 5.5 ? 5280 pies ? 2 5 1,335,840 pies2 Eso es, un área de 1,335,840 pies cuadrados está disponible a lo largo de la ruta del desfile. El señor Gillette termina sus cálculos asumiendo que cada espectador ocupa 2 pies cuadrados (2 pies de grosor y 1 un pie de ancho). Dividiendo 2 pies cuadrados en 1,335,840 pies cuadrados da una concurrencia estimada de 1,335,840 pies2 }} 5 667,920 personas 2 pies2

A 6 Convertir de una unidad métrica de área a otra

Algunas veces queremos convertir una unidad de área en otra. Para hacer esto sustituimos la unidad equivalente correcta, como se muestra en los ejemplos.

7-19

7.4

EJEMPLO 1 1 m2 5

SOLUCIÓN

Área: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

Convertir metros cuadrados en centímetros cuadrados cm2

427

PROBLEMA 1 5 m2 5

cm2

Procedemos de la siguiente manera:

1 m2 1(100 cm)2 1(100 cm)(100 cm)10,000 cm2

EJEMPLO 2 1 km2 5

Convertir kilómetros cuadrados a metros cuadrados m2

PROBLEMA 2 2 km2 5

m2

SOLUCIÓN 1 km2 1(1000 m)2 1(1000 m)(1000 m)1,000,000 m2

B 6 Convertir de una unidad de área del sistema americano a otra

Se puede usar un procedimiento similar al cambiar unidades en el sistema usual de Estados Unidos.

EJEMPLO 3 1 pie2 5

SOLUCIÓN

Convertir pies cuadrados a pulgadas cuadradas pulgadas2

PROBLEMA 3 5 pies2 5

pulgadas2

Sustituir, 1 pie21(12 pulgadas.)2 144 pulgadas2

Cuando convertimos de unidades más pequeñas a unidades más grandes en el sistema americano, es ventajoso recordar los siguientes hechos. Como 12 pul 5 1 pie, 2 1 1 1 1 1 2 2 } } } } 1 pul 5 } 12 pie. Entonces, (1 pul) 5 (12 pie) 5 (12 pie) ? (12 pie) 5 144 pie . Eso es, 1 2 1 pul2 5 } 144 pie De la misma forma, 3 pies 5 1 yd y 1 pie 5 }13 yd. Así, 2 1 1 1 1 2 } } } (1 pie)2 5 } 3 yd 5 3 yd ? 3 yd 5 9 yd Eso es, 1 2 1 pie2 5 } 9 yd Resumimos estos dos hechos en la tabla.

S D S D S D

1 2 1 pul2 5 } 144 pie 1 2 1 pie^2 5 } 9 yd

EJEMPLO 4 288 pulgadas2 5

SOLUCIÓN

Convertir pulgadas cuadradas en pies cuadrados pies2 Sustituir,

S

D

1 pie2 288} 1 pie22 pies^2 288 pul2 288 } 144 144

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 50,000 cm2 2

3. 720 pul

2. 2,000,000 m2 4. 3 pies2

PROBLEMA 4 432 pul2 5

pies2

428

Capítulo 7

EJEMPLO 5 27 pies2 5

7-20

Medidas y el sistema métrico

PROBLEMA 5

Convertir pies cuadrados a yardas cuadradas yd2

36 pies2 5

yd2

SOLUCIÓN 1 yd2 3yd2 27 pies2 27} 9 En el sistema americano las áreas grandes son medidas en acres. Un acre son 4840 yardas2, eso es, 1 acre 5 4840 yd2

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

Convertir acres a yardas cuadradas ¿Cuál es el área en yardas cuadradas de un lote de 5 acres?

SOLUCIÓN

¿Cuál es el área en yardas cuadradas de un lote de 20 acres?

Sabemos que 1 acre 5 4840 yd2 5 acres 5 5 ? 4840 yd2 5 24,200 yd2

Así,

C 6 Convertir unidades de área del sistema

métrico al sistema americano, y viceversa

Cuando se usan unidades métricas, medimos áreas grandes en hectáreas. Una hectárea es el área de un cuadrado de 100 metros en cada lado. Así, 1 hectárea 5 10,000 m2

EJEMPLO 7 7 hectáreas 5

PROBLEMA 7

Convertir hectáreas a metros cuadrados m2

SOLUCIÓN

Sabemos que 1 hectárea 5 10,000 m2

Entonces,

7 hectáreas 5 7 ? 10,000 m2 5 70,000 m2

12 hectáreas 5

m2

La relación entre hectáreas y acres es la siguiente: 1 hectárea 5 2.47 acres

EJEMPLO 8 2 hectáreas 5

SOLUCIÓN

Convertir hectáreas a acres acres Como 1 hectárea 5 2.47 acres 2 hectáreas 5 2 ? 2.47 acres 5 4.94 acres

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 4 yd2 7. 120,000 m2

6. 96,800 yd2 8. 14.82 acres

PROBLEMA 8 6 hectáreas 5

acres

7-21

7.4

429

Área: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

D 6 Aplicaciones con unidades de área del

sistema americano y del sistema métrico

EJEMPLO 9

PROBLEMA 9

SOLUCIÓN

La Terminal de Miami de la Corporación Carnival creció de 76 acres a 132 acres para ubicar sus barcos. ¿Cuántas hectáreas es eso? Responde a la hectárea más cercana.

Convertir acres a hectáreas: espacio de cubierta en barcos de crucero El Freedom of the Seas, uno de los barcos de crucero más grandes del mundo, tiene 40,755 acres de cubierta. ¿Cuántas hectáreas es eso? Como 1 hectárea 5 2.47 acres 1 hectárea 1 acre 5 } 2.47 1 hectárea 40.755 acres 5 40.755 ? } 2.47

y

40.755 5} 2.47 hectáreas 5 16.5 hectáreas

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

6Ejercicios 7.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

5. 432 pul2 

m2

5C6

6. 720 pul2 

pies2

9. 2 acres 

2. 4 km2 5

10. 3 acres 

yd2

m2 pies2

3. 2 pies2 5

pul2

4. 8 pies2 

pul2

7. 54 pies2 

yd2

8. 162 pies2 

yd2

yd2

Convertir unidades de área del sistema métrico al sistema americano, y viceversa llena los espacios.

11. 3 hectáreas 

acres 12. 5 hectáreas 

acres 13. 2 hectáreas 

En los problemas 11 al 14,

m2 14. 5 hectáreas 

m2

15. Librerías Una de las librerías más grandes es la sucursal de Barnes and Noble de Nueva York, con 154,250 pies2 de espacio. A la yarda cuadrada más cercana, ¿cuántas yardas cuadradas es eso? 17. Planta de Volkswagen La planta de Volkswagen en Alemania ocupa 1730 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso? 19. Área de una casa El área alfombrada de una casa es de 50 pies de largo y 30 de ancho. a. ¿Cuántos pies cuadrados es eso? b. ¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra es eso? 21. Espacio para convenciones El espacio para convenciones en el Hotel Hilton de Las Vegas cubre 125,000 pies2. ¿Cuántos acres es eso? (responde a dos posiciones decimales). Respuestas a los PROBLEMAS 9. 56 acres, 23 hectáreas

16. Tienda por departamentos La tienda más grande del mundo es R.H Macy and Co., que ocupa 46 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso? 18. Área de Mónaco Mónaco, en la costa sur de Francia, tiene un área de 370 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso? 20. Área de un edificio de ensamblaje de vehículos El edificio de ensamblaje de vehículos (VAB) cerca de Cabo Cañaveral tiene un área de piso de 343,500 pies2. ¿Cuántos acres es eso? (responde a dos posiciones decimales). 22. Área de la azotea para recreación El área de la azotea para recreación en el último piso del Hotel Hilton de Las Vegas cubre 10 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso?

para más lecciones

5 D 6 Aplicaciones con unidades de área del sistema americano y del sistema métrico

www.mathzone.com

1. 3 km2 5

ir a

5 A 6 Convertir de una unidad métrica de área a otra 5 B 6 Convertir de una unidad de área del sistema americano a otra E n los problemas 1 al 10, llena los espacios.

430

Capítulo 7

7-22

Medidas y el sistema métrico

23. Casinos El Circus Circus de Las Vegas cubre un área de 129,000 pies2. ¿Cuántos acres es eso? (responde a dos posiciones decimales)

Todo sobre el Freedom (el barco) 24. Barcos de crucero En la actualidad, el barco de crucero más grande es el Freedom of the Seas, ¡que tiene más de 100 acres de parques al aire libre, espacio para recreación, ejercicios y áreas comunes! ¿Cuántas yardas cuadradas es eso?

25. Barcos de crucero Puedes comprar una “residencia” a bordo de 474 m2. ¿Cuántos pies cuadrados es eso? (Pista: 1 m2 < 11 pies2.) A propósito, el costo de la residencia era de $9,340,600.

26. Barcos de crucero Puedes tener un lugar más pequeño, de 125 m2, con vista al mar por la simple suma de $1,154,500. ¿Cuántos pies cuadrados obtendrás por tu dinero?

666Usa tus conocimientos Á Área M Muchos h problemas bl prácticos á ti en lla casa requieren i algún l ú conocimiento i i t ddell material t i l que estudiamos. t di P Por ejemplo, j l digamos que tu sala es de 12 pies por 10 pies. Su área es 12 pies 3 10 pies 5 120 pies2. Como las alfombras se venden por yardas cuadradas, para alfombrar esta área necesitamos saber cuántas yardas cuadradas tenemos. Aquí está cómo lo hacemos. De una de las tablas, 1 pie2 5 }19 yd2. Así, 120 1 1 2 2 } 2 } 120 pies2 5 120 ? } 9 yd 5 9 yd 5 133 yd Entonces, necesitamos 13}13 yardas cuadradas de alfombra. 27. ¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra necesitamos para alfombrar una habitación de 12 pies por 11 pies?

28. ¿Cuántas yardas cuadradas necesitamos para alfombrar una habitación de 12 pies por 15 pies?

También podemos usar estas ideas al aire libre. Imagina que tu patio es de 30 yardas por 20 yardas. Su área es 30 yardas ? 20 yardas 5 600 yardas2 Si quieres plantar césped nuevo en tu patio, puedes comprar césped en cuadrados que puedes colocar simplemente sobre la tierra. Cada cuadrado de césped es de aproximadamente 1 pie2. ¿Cuántos cuadrados de césped necesitas? Primero conviertes 600 yd2 a pies cuadrados, así, 600 yd2 5 600 ? (3 pies)2 5 600 ? (9 pies2) 5 5400 pies2 Entonces, necesitas 5400 cuadrados de césped. 29. ¿Cuántos cuadrados de césped necesitamos para cubrir un terreno de 50 yardas por 20 yardas?

30. ¿Cuántos cuadrados de césped necesitamos para cubrir un terreno de 40 yardas por 15 yardas?

31. El papel de pared viene en rollos que contienen 36 pies2. Una pared es de 12 pies por 9 pies. ¿Cuántos rollos necesitamos para empapelarla?

666¡Escribe! 32. Un hectómetro son 100 metros. ¿Qué es una hectárea en términos de hectómetros?

33. ¿Cuál es el más grande y por qué? ¿Una yarda cuadrada o un metro cuadrado?

666Prueba de dominio En los problemas 34 al 40, llena los espacios. 34. 2 m2 5

cm2

35. 54 pies2 5

37. 3 pies2 5

pul2

38. 5 km2 5

40. 6 hectáreas 5

2

m

36. 576 pul2 5

yd2 m2

39. 4 hectáreas 5

41. ¿Cuál es el área en yardas cuadradas de un lote de 10 acres?

pies2 acres

7-23

7.5

Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

431

666Comprobación de destrezas 1 42. Multiplica } 2?4

43. Escribe

500 } 240

como un número mixto.

44. Escribe

400 } 240

como un número mixto.

7 .5

Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Dividir por potencias de 10. (pág. 217)

A6

2. Multiplicar fracciones. (págs. 130–133)

Convertir unidades de volumen en el sistema americano al sistema métrico, y viceversa.

B6

Convertir unidades de volumen de una unidad métrica a otra.

C6

Resolver aplicaciones con unidades de volumen americanas y métricas.

6 Para comenzar El empaque de Tropicana de la fotografía contiene 2 cuartos, o 1892 mililitros (ml) (un mililitro es definido por el volumen de un cubo de 1 cm en cada lado). En el sistema métrico la unidad básica de volumen es el litro (l). Un litro es el volumen de un cubo de 10 centímetros en cada lado. El sistema americano usa cuartos para medir el volumen. Del empaque de Tropicana sabemos que 2 cuartos 5 1892 mililitros Así 1 cuarto 5 946 mililitros 1 Como un mililitro es } 1000 de un litro,

1 cuarto 5 0.946 litro Así, un cuarto es ligeramente menor que un litro.

A6Conversión del sistema americano al métrico

Como es usual, las unidades usadas para medir volumen en el sistema de Estados Unidos (americano) son más complicadas. A continuación se presentan para compararlas. Sistema americano

Sistema métrico

8 onzas (oz) 5 1 taza (t) 1 litro (l) 5 1000 mililitros (ml) 2 tazas (t) 5 1 pinta (pt) 1 centímetro cúbico (cm3) 5 1 ml 16 onzas (oz) 5 1 pinta (pt) 2 pintas 5 1 cuarto (ct) 5 32 (oz) 4 cuartos 5 1 galón (gal) 1 cuarto 5 0.946 l 1 l 5 1.06 cuartos

432

Capítulo 7

7-24

Medidas y el sistema métrico

Para realizar algunas conversiones del sistema americano al sistema métrico, puedes capitalizar el hecho de que 1 cuarto es aproximadamente igual a 1 litro (1 qt < 1 l). Por ejemplo, para resolver 1 galón 5 l Puedes pensar así: 1 galón 5 4 qt y como 1 qt < 1 l, entonces 1 galón < 4 l Nota que < significa “es aproximadamente igual a”.

EJEMPLO 1 Llena los espacios. 1 a. } 2 galón <

Convertir unidades de volumen del sistema americano al sistema métrico l

b. 8 onzas <

l

c. 20 galones <

l

PROBLEMA 1 Llena los espacios. 1 a. } 4 galón < b. 16 onzas < c. 10 galones <

SOLUCIÓN a. Como b. 1 galón 5 4 cuartos 1 1 } } 2 galón 5 2 (4 cuartos) 5 2 cuartos Así, }12 galón < 2l.

l l l

Como 32 onzas 5 1 cuarto 1 1 1 } } } 4 (32 onzas) 5 4 cuarto < 4 de l 1 Así, 8 onzas < } 4 de l.

c. Como 1 galón 5 4 cuartos 20 galones 5 20 (4 cuartos) 5 80 cuartos < 80 l Así, 20 galones < 80 l.

B 6 Convertir de una medida métrica a otra Como antes, las conversiones de volumen en el sistema métrico son sólo una cuestión de mover el punto decimal. Aquí hay una tabla para ayudar en el proceso. Kilolitro Hectolitro Decalitro (kl) (hl) (dal) 1000 l

100 l

10 l

Litro (l) 1l

Decilitro Centilitro (dl) (cl) 1 } 10 l

1 } 100 l

Mililitro (ml) 1 } 1000 l

Así, para resolver 5 hl 5 l, vemos que, para ir de hectolitros a litros en la tabla, debemos mover dos posiciones a la derecha. Entonces movemos el punto decimal en 5 dos posiciones a la derecha, y obtenemos 5 hl 5 500 l Eso es, 5 hl 5 500 l.

EJEMPLO 2 8 kl 5

Convertir kilolitros en litros

l

SOLUCIÓN Para ir de kilolitros a litros en la tabla, debemos mover tres posiciones a la derecha, así 8 kl 5 8000 l Respuestas a los PROBLEMAS 1 1. a. 1 l b. } 2. 9000 l 2 l c. 40 l

PROBLEMA 2 9 kl 5

l

7-25

7.5

EJEMPLO 3 481 ml 5

Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

433

PROBLEMA 3

Convertir mililitros en litros

247 ml 5

l

l

SOLUCIÓN Para ir de mililitros a litros en la tabla, debemos mover tres posiciones a la izquierda, así 481 ml 5 0.481 l

C 6 Aplicaciones con unidades de volumen del sistema americano y del sistema métrico

La capacidad también puede medirse usando el método casero, que utiliza medidas comunes como cucharadita, cucharada, onzas líquidas, tazas. Aquí hay algunas equivalencias entre medidas de capacidad comunes y medidas del sistema métrico. A propósito, un mililitro (ml) es la capacidad de un gotero o }15 de cucharadita.

Medidas hogareñas y métricas 1 cucharadita 5 5 ml 1 cucharada 5 15 ml

EJEMPLO 4 Convertir unidades para una receta ¿Quieres hacer tu propio limpiador? El almanaque del viejo granjero da la siguiente receta para un limpiador de horno: 1 } taza 4

2 cucharaditas de bórax

1}12

de amoniaco

tazas de agua tibia

a. ¿Cuántos mililitros de líquido para lavar platos necesitas? b. ¿Cuántos mililitros de bórax necesitas? (Ver http://www.almanac.com/home/cleaners.html)

SOLUCIÓN a. Como es usual, usamos la sustitución para resolver el problema. Necesitamos dos cucharadas de líquido para lavar platos. Sabemos que 1 cucharada 5 15 ml Así, 2 cucharadas 5 2 ? 15 ml 5 30 ml Esto significa que necesitamos 30 ml de líquido para lavar platos. b. Necesitamos 2 cucharaditas de té de bórax. Sabemos que 1 cucharadita 5 5 ml Así, 2 cucharaditas 5 2 ? 5 ml 5 10 ml Esto significa que necesitamos 10 ml de bórax.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 0.247 l 4. a. 60 ml

b. 360 ml

PROBLEMA 4 a. ¿Cuántos mililitros de amoniaco necesitas? b. ¿Cuántos mililitros de agua tibia necesitas?

Limpiador de horno 2 cucharadas de líquido para lavar platos

1 onza líquida 5 30 ml 1 taza 5 240 ml

434

Capítulo 7

7-26

Medidas y el sistema métrico

EJEMPLO 5 Convertir unidades para una receta Una receta para preparar sopa azteca requiere 500 ml de crema de tomate. ¿Cuántas tazas es eso? SOLUCIÓN Sabemos que

240 ml 5 1 taza

PROBLEMA 5 La sopa azteca también requiere 400 ml de consomé. ¿Cuántas tazas es eso?

(ver tabla)

1 taza 1 ml 5 } 240

Esto significa que

500 taza 1 } 500 ml 5 } 240 5 212 tazas

Así,

1 Esto significa que necesitamos 2} 12 tazas de crema de tomate. ¡Probablemente dos tazas harán lo mismo!

Muchas aplicaciones médicas requieren conocimiento del sistema métrico. Por ejemplo, la mayoría de los líquidos en tu farmacia local están etiquetados en litros (l) o mililitros (ml). Las dosis de los medicamentos se dan usualmente en mililitros o centímetros cúbicos (cc) o cm3. Aquí está la relación entre mililitros (ml), cc y centímetros cúbicos. 1 ml 5 1 cm3 5 1 cc

EJEMPLO 6 Conversiones de unidades y medicina Un doctor ordena 20 onzas de fluido intravenoso para un paciente.

PROBLEMA 6 Un doctor ordena 30 onzas líquidas de acetaminofén pediátrico.

a. ¿Cuántos ml es eso? b. ¿Cuántos cc es eso?

a. ¿Cuántos ml es eso? b. ¿Cuántos cc es eso?

SOLUCIÓN a. Primero tenemos que convertir onzas líquidas en ml. Sabemos que 1 onza líquida 5 30 ml Así, 20 onzas líquidas 5 20 ? 30 ml 5 600 ml Esto significa que el médico ordenó 600 ml de fluido intravenoso. b. Ahora debemos convertir ml a cc. Sabemos que 1 ml 5 1 cc Así, 600 ml 5 600 ? 1 cc 5 600 cc Esto significa que el doctor ordenó 600 cc de fluido intravenoso.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 7.5

> Self-Tests > e-Professors > Videos

5 A 6 Conversión del sistema americano al métrico En los problemas 1 al 10, usa el hecho que 1 cuarto < 1 l para llenar los espacios en blanco. 3 galón < 1. } 4 4. 5 litros <

litro cuarto

7. 5 galones < 10. 12 cuartos < Respuestas a los PROBLEMAS 5. 1}23 tazas 6. a. 900 ml

b. 900 cc

litro litro

1 2. } 8 galón < 5. 8 litros < 8. 6 galones <

litro

3. 2 litros <

cuarto

galón

6. 12 litros <

galón

9. 8 cuartos <

litro

litro

7-27

7.5

6Web IT

5B6

435

Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

Convertir de una medida métrica a otra Usa la tabla para resolver los problemas 11 al 30. Decalitro (dal)

Litro (l)

Decilitro (dl)

Centilitro (cl)

Mililitro (ml)

1000 l

100 l

10 l

1l

1 } 10 l

1 } 100 l

1 } 1000 l

11. 177 ml 5

12. 781 ml 5

l

14. 9381 ml 5

l

17. 55 dl 5

15. 205 cl 5

l

18. 49 dl 5

l

20. 11 dal 5

l

l

l

13. 3847 ml 5

l

16. 804 cl 5

l

19. 6 dal 5

l

l

22. 13 hl 5

l

l

25. 5 kl 5

dal

28. 8 dal 5

cl

l

24. 5 kl 5

26. 8 kl 5

dal

27. 4 dal 5

cl

29. 9 dal 5

dl

30. 7 dal 5

dl

31. Una solución de permanganato tiene 200 ml de permanganato y 1800 ml de agua.

32. La solución Lysol tiene 160 ml de Lysol y 3840 ml de agua. a. Cambia 160 ml a litros. b. Cambia 3840 ml a litros.

a. Cambia 200 ml a litros. b. Cambia 1800 ml a litros. 33. Un paciente de 44 libras necesita recibir 1500 ml de fluidos para alcanzar sus necesidades de mantenimiento de fluidos. ¿Cuántos litros es eso?

para más lecciones

21. 7 hl 5

23. 6 kl 5

www.mathzone.com

Hectolitro (hl)

ir a

Kilolitro (kl)

34. Un paciente de 30 kilogramos necesita recibir 1700 ml de fluidos para alcanzar sus necesidades de mantenimiento de fluidos. ¿Cuántos litros es eso?

5 C 6 Aplicaciones con unidades de volumen del sistema americano y del sistema métrico Productos de limpieza La siguiente información para mezclar un limpiador multiusos se va a usar en los problemas 35 al 40. 35. ¿Cuántos ml de bórax tiene el limpiador?

Limpiador multiusos

36. ¿Cuántos ml de soda para lavar tiene el limpiador?

1 cucharadita de bórax

37. ¿Cuántos ml de vinagre tiene el limpiador?

1 } 2

38. ¿Cuántos ml de líquido para lavar platos tiene el limpiador? 39. ¿Cuántos ml de agua caliente tiene el limpiador? 40. ¿Cuántos litros de limpiador resultarán cuando mezcles todos los ingredientes?

cucharadita de soda para lavar (se encuentra en la sección de jabones de ropa de los supermercados) 2 cucharadas de vinagre 1 } de cucharadita de líquido para lavar platos 4 2 tazas de agua caliente Fuente: Información del Almanaque del viejo granjero.

41. Calmantes Biofreeze, un calmante en gel, se vende en un tamaño de 15 onzas líquidas. ¿Cuántos ml es eso?

42. Medicina Stopain en aerosol viene en una botella de 11.25 onzas líquidas. ¿Cuántos ml es eso?

43. Gotas para los ojos Las gotas para ojos Clear Eyes vienen en una botella de 0.5 onzas líquidas. ¿Cuántos ml es eso?

44. Enjuague bucal La dosis de enjuague bucal Periocheck es }8 onza líquida por enjuague. ¿Cuántos ml es eso?

45. Vitaminas Las vitaminas líquidas Centrum vienen en una botella de 240 ml. ¿Cuántas onzas líquidas es eso?

46. Medicina La Mylanta viene en una botella de 720 ml. ¿Cuántas onzas líquidas es eso?

47. Líquidos diarios Un niño que pesa 15 kg requiere 1500 ml de líquidos por día.

48. Líquidos diarios líquidos por día.

1

Un niño que pesa 8 kg requiere 800 ml de

a. ¿Cuántas onzas líquidas por día es eso?

a. ¿Cuántas onzas líquidas por día es eso?

b. ¿Cuántas tazas de líquido por día es eso?

b. ¿Cuántas tazas de líquido por día es eso?

436

Capítulo 7

7-28

Medidas y el sistema métrico

49. Agua diaria ¿Cuánta agua debería beber un paciente cada día? El Instituto de Medicina recomienda que los hombres consuman alrededor de 13 vasos de bebidas por día.

50. Agua diaria ¿Y las mujeres? Ellas deben consumir alrededor de 9 vasos de bebidas por día. a. ¿Cuántos ml es eso?

a. ¿Cuántos ml es eso? b. ¿Cuántas onzas líquidas es eso? b. ¿Cuántas onzas líquidas es eso?

666Usa tus conocimientos 51. Gotas para los ojos La dosis de gotas para los ojos Clear Eyes es de dos gotas por ojo, cuatro veces por día.

52. Enjuague bucal La dosis de enjuague bucal Periocheck es }18 onza líquida dos veces por día.

a. ¿Cuántas gotas por día es eso? b. Si una gota es de 0.2 ml, ¿cuántos mililitros se usan cada día? c. Si Clear Eyes viene en una botella de 15 ml, ¿cuántos días durará la botella? Responde a cuatro posiciones decimales.

a. ¿Cuántos ml es eso? b. Si la botella de Periocheck contiene 10 onzas líquidas, ¿cuántos días durará la botella?

666¡Escribe! 53. Escribe con tus palabras las ventajas del sistema métrico sobre el sistema americano cuando se miden capacidades.

54. ¿Puedes pensar en otras medidas caseras que no fueron mencionadas en el texto? ¿Cuáles son y para qué se usan?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 55. Un mililitro es definido como el volumen de un cubo de un 56. Un

en cada lado.

es el volumen de un cubo de 10 cm en cada lado.

litro

centímetro

pulgada

cuarto

metro

666Prueba de dominio 57. Un doctor ordena 25 onzas líquidas de fluido intravenoso para un paciente.

58. Una receta contiene 600 ml de sopa crema de champiñones. ¿Cuántas tazas es eso?

a. ¿Cuántos ml es eso? b. ¿Cuántos cc es eso? 59. Una solución para limpiar alfombras se hace mezclando }14 de cucharadita de líquido para lavar platos y una taza de agua tibia. ¿Cuántos ml de líquido para lavar platos y cuántos ml de agua necesitas?

Llena los espacios en blanco. 60. a. 3 galones < b. 16 onzas <

l

61. 10 kl 5

l

62. 347 ml 5

l

666Comprobación de destrezas E n los problemas 63 al 66, realiza las operaciones indicadas. 1 63. 80} 16

1 64. 5000} 2000

65. 60.45

5(4132) 66. } 9

l

7-29

7.6

Peso y temperatura: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

7 .6

Peso y temperatura: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar . . .

Debes ser capaz de:

1. Multiplicar fracciones. (págs. 130–136)

A6

2. Multiplicar decimales. (págs. 212–216)

Convertir una unidad de peso del sistema americano a una unidad de peso equivalente.

B6

Convertir una unidad de masa del sistema métrico a otra unidad de masa equivalente.

C6

Convertir una unidad de peso del sistema americano a una unidad de peso equivalente del sistema métrico.

D6

437

6 Para comenzar

© Mediagraphics. Reimpreso con el permiso del North America Syndicate.

Convertir temperaturas de grados Celsius a Fahrenheit, y viceversa.

A 6 Convertir unidades de peso del sistema americano

En la historieta, el prisionero está comiendo 3 porciones de comida por día. Para discutir cuánta comida es eso, necesitamos un sistema de unidades de peso. El sistema americano (también llamado sistema avoirdupois) usa las siguientes unidades de peso:

Unidades de peso del sistema americano 1 1 tonelada 5 2000 libras (lb) 1 libra 5 } 2000 tonelada 1 libra 5 16 onzas (oz)

1 1 onza 5 } 16 libra

Podemos cambiar una unidad a otra en el sistema americano usando la sustitución. Por ejemplo, para resolver 3 lb 5_______ oz Escribimos 3 lb 53 ?(16 oz) 548 oz De la misma manera, para resolver el problema 80 oz _______ lb

438

Capítulo 7

7-30

Medidas y el sistema métrico

Escribimos

S

80 1 lb 5 } 80 oz 80? } 16 lb 55 lb 16 También podemos usar unidades fraccionarias. Como 1 libra contiene 16 onzas,

D

lb 15} 16 oz y 1b 80 oz 80 oz?1 80 oz ? } 16 oz 5 lb

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Convertir libras a onzas

2 lb 5 _______ oz

4 lb 5 _______ oz

SOLUCIÓN 2 lb 52?(16 oz) 532 oz

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Convertir onzas a libras

48 oz 5 _______ lb

SOLUCIÓN

32 oz 5 _______ oz

S

1 1 } 48 oz 5 48 ? } 16 lb 5 48 ? 16 lb 5 3 lb

D

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Convertir toneladas a libras 3 tons 5 _______ lb

2 tons 5 _______ lb

SOLUCIÓN 3 tons 5 3 ? (2000 lb) 5 6000 lb

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Convertir libras a toneladas 5000 lb 5 _______ tons

SOLUCIÓN

S

7000 lb 5 _______ tons

1 1 1 } } 5000 lb 5 5000 ? } 2000 tons 5 5000 ? 2000 tons 5 22 toneladas

D

B 6 Convertir unidades métricas de masa Como es usual, el sistema métrico es más fácil. En este sistema la unidad de masa se llama gramo (nota que escribimos masa y no peso. Hay una diferencia, pero los términos se usan indistintamente)*. Un gramo es la masa de 1 cm3 (1 ml) de agua. Aquí está la tabla que da la información usada para convertir de una unidad a otra en el sistema métrico: kilogramo hectogramo decagramo (kg) (hg) (dag) 1000 g

100 g

10 g

gramo (g) 1g

decigramo centigramo miligramo (dg) (cg) (mg) 1 } 10 g

1 } 100 g

1 } 1000 g

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 64 oz 3. 4000 lb

2. 2 lb 1 4. 3} 2 tons

*El peso se relaciona con la fuerza de gravedad; la masa no. Si pesas 150 libras en la Tierra, sólo pesarás 25 libras en la Luna (la gravedad es menor allí), pero tu masa será la misma que en la Tierra.

7-31

7.6

Peso y temperatura: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

439

Convertir de una unidad a otra es sólo cuestión de mover el punto decimal el número correcto de posiciones. Así, para resolver 3 hg 5 _______ cg Tenemos que mover de hectogramos a centigramos en la tabla: eso es, debemos mover el punto decimal en 3 cuatro posiciones a la derecha, obteniendo 3 hg 5 30,000 cg

EJEMPLO 5

Convertir decagramos a decigramos 4 dag 5 _______ dg

PROBLEMA 5 3 dag 5 _______ dg

SOLUCIÓN Para mover de decagramos a decigramos en la tabla, debemos mover dos posiciones a la derecha. Así, movemos el punto decimal en 4 dos posiciones a la derecha, obteniendo. 4 dag 5 400 dg EJEMPLO 6

Convertir miligramos a gramos 401 mg 5 _______ g

PROBLEMA 6 103 mg 5 _______ g

SOLUCIÓN Para mover de miligramos a gramos en la tabla, debemos mover tres posiciones a la izquierda. Así, movemos el punto decimal en 401 tres posiciones a la izquierda, obteniendo 401 mg 5 0.401 g

C 6 Convertir unidades de peso entre

el sistema métrico y el sistema americano

Ahora estamos preparados para convertir pesos del sistema americano al sistema métrico y viceversa. Para hacer esto, necesitamos la siguiente tabla:

Conversiones del sistema americano al métrico 1 kg 5 2.2 lb

EJEMPLO 7

Convertir kilogramos a libras

3 kg 5 _______ lb

1 lb 5 0.45 kg

PROBLEMA 7 2 kg 5 _______ lb

SOLUCIÓN 3 kg 5 3  (2.2 lb) = 6.6 lb

EJEMPLO 8

Convertir libras a kilogramos

6 lb 5 _______ kg

4 lb 5 _______ kg

SOLUCIÓN 6 lb 5 6  (0.45 kg) = 2.70 kg

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 300 dg 7. 4.4 lb

6. 0.103 g 8. 1.80 kg

PROBLEMA 8

440

Capítulo 7

7-32

Medidas y el sistema métrico

D 6 Convertir de grados Fahrenheit a Celsius, y viceversa

Finalmente, estudiamos las medidas de temperatura en ambos sistemas, el americano y el métrico. La escala de temperatura del sistema americano la inventó el científico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit, en 1714. En esta escala, llamada la escala Fahrenheit, el punto en el cual el agua hace ebullición se estableció en 212 °F (lee “212 grados Fahrenheit”), y el punto en que el agua se congela es en 32 °F. La escala Fahrenheit fue 180
modificada más tarde por Anders Celsius. Esta nueva escala, llamada escala Celsius, se 100
dividió en 100 unidades (la escala Celsius se llama escala centígrados, porque tiene 100 unidades). El punto de ebullición ocurre en los 100 °C (lee “100 grados Celcius”) y el Temperatura 25
77
punto de congelación en 0 °C. Puedes ver cómo se comparan las temperaturas en esas ambiente dos escalas mirando el dibujo. Punto de congelación 0
32
del agua Aquí están las fórmulas para convertir de una escala a la otra. En estas fórmulas C es para la temperatura Celsius y F para las temperaturas Fahrenheit. 100


Punto de ebullición del agua

Celsius

212


Fahrenheit

Comparación entre las escalas de los termómetros en grados Celsius y Fahrenheit

Conversiones de temperatura 5(F 2 32) C5} 9

9C F5} 5 1 32

Nota que 5(F 2 32) significa 5  (F 2 32), 9C significa 9  C, y que F 2 32 está entre paréntesis. Esto significa que cuando F se conoce, F 2 32 se calcula primero. En el punto de congelación de agua, F 5 32 y 5(32 2 32) 5(0) C5} 5} 9 9 50 De la misma forma, en el punto de ebullición del agua, C 5 100 y 900 9  100 F5} 5 1 32 5 } 5 1 32 5 180 1 32 5 212

EJEMPLO 9

Convertir de Fahrenheit a Celsius 41 8F 5 _______ 8C

PROBLEMA 9 50 8F 5 _______ 8C

SOLUCIÓN

De la tabla, 5(F 2 32) 5(41 2 32) 5  9 5} 5} C5} 9 9 9 55 Así, 41 8F 5 5 8C.

EJEMPLO 10

Convertir de Celsius a Fahrenheit

158C 5 _______ 8F

SOLUCIÓN

De la tabla, 9C 9  15 F5} 5 1 32 5 } 5 + 32 5 27 1 32 5 59 Así, 15 8C 5 59 8F.

Respuestas a los PROBLEMAS 9. 10 8C

10. 68 8F

PROBLEMA 10 20 8C 5 _______ 8F

7-33

7.6

441

Peso y temperatura: el sistema americano, el sistema métrico y conversiones

Rincón de la calculadora La fórmula para convertir grados Fahrenheit a Celsius es especialmente apropiada para una calculadora con teclas de pero la calculadora no lo hace todo. Debes saber que para convertir 41°F a grados Celsius, debes paréntesis multiplicar 5 por (F 2 32) y luego dividir por 9. El cálculo del ejemplo 9 es así: 5(41 2 32) F5} 9 Con una calculadora, presiona correcta, que es 5.



y dará la respuesta



4

Si tu calculadora no tiene las teclas de paréntesis, ¡debes saber aún más! Para encontrar la respuesta usando una calculadora sin teclas de paréntesis, encuentra primero 41 2 32 como se explica en el texto. Los cálculos son como esto: 

4



Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Convertir unidades de peso del sistema americano En los problemas 1 al 16, llena los espacios en blanco. 2. 5 lb 5

oz

5. 64 oz 

lb

6. 96 oz 

lb

lb

8. 40 oz  1 11. 2} 2 tons  14. 9000 lb 

lb

9. 4 tons 

lb

lb

13. 3000 lb 

tons

16. 6000 lb 

tons

5B6

3. 4.5 lb 

oz

oz

lb

12. 4.5 tons 

lb

tons

15. 4000 lb 

tons

Convertir unidades métricas de masa Usa esta tabla para resolver los problemas 17 al 30.

1000 g 17. 2 kg 5

100 g cg

10 g

1g

1 } 10 g

1 } 100 g

cg

19. 2 dag 5

dg

22. 6 kg 5

dag

dg

21. 2 kg 5

dag

23. 5 dag 5

g

24. 4 dag 5

g

29. 57 cg 5

g g

1 } 1000 g

18. 4 kg 5

20. 5 dag 5 26. 301 mg 5

miligramo (mg)

27. 30 mg 5 30. 64 cg 5

g

25. 899 mg 5

g

28. 51 mg 5

g

g

5C6

Convertir unidades de peso entre el sistema métrico y el sistema americano En los problemas 31 al 40, llena los espacios vacíos. 31. 4 kg 5

lb

32. 5 kg 5

lb

33. 10 kg 5

kg

36. 8 lb 5

34. 12 kg 5

lb

35. 2 lb 5

37. 10 kg 5

hg

38. 20 kg 5

40. 64 oz 5

kg

hg

39. 16 oz 5

lb kg kg

para más lecciones

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo (kg) (hg) (dag) (g) (dg) (cg)

www.mathzone.com

10. 5 tons 

oz

ir a

1. 3 lb  1 4. 3} 2 lb  7. 72 oz 

6Web IT

6Ejercicios 7.6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

442

5D6

Capítulo 7

7-34

Medidas y el sistema métrico

Convertir de grados Fahrenheit a Celsius, y viceversa En los problemas 41 al 50, llena los espacios vacíos.

41. 59 8F 5

8C

42. 68 8F 5

44. 86 8F 5

8C

45. 113 8F 5

47. 10 8C 5

8F

48. 25 8C 5

50. 30 8C 5

8F

8C 8C 8F

43. 77 8F 5

8C

46. 122 8F 5

8C

49. 35 8C 5

8F

666Aplicaciones 51. Punto de fusión del oro El punto de fusión del oro es de 1000 °C. ¿Cuántos grados Fahrenheit es eso?

52. Temperatura corporal normal La temperatura corporal normal es de 98.6 °F. ¿Cuántos grados Celsius es eso?

53. Fiebre alta 104 °F se considera fiebre alta. ¿Cuántos grados Celsius es eso?

54. Peso

55. Peso Un hombre pesa 160 libras. ¿Cuántos kilogramos es eso?

56. Temperatura del aire La temperatura seca más alta que soportó un hombre con vestimenta pesada en un experimento de la Fuerza Aérea fue de 500 °F. ¿Cuántos grados Celsius es eso?

57. Temperatura en Coimbra En septiembre de 1933, la temperatura en Coimbra, Portugal, subió a 70 °C. ¿Cuántos grados Fahrenheit es eso?

58. Temperatura en el Valle Muerto El 10 de julio de 1913, la temperatura en el Valle Muerto fue de 134 °F. ¿Cuántos grados Celsius es eso?

59. Peso máximo para la categoría supermosca El peso máximo para un boxeador de la categoría supermosca es de 52 kg. ¿Cuántas libras es eso?

60. Peso máximo para la categoría supergallo El peso máximo para un boxeador de la categoría supergallo es de 123}14 libras. ¿Cuántos kilogramos es eso?

Una mujer pesa 48 kg. ¿Cuántas libras es eso?

¿Sabes que hay dos clases de elefantes, el africano y el asiático? Miremos algunos aspectos sobre cada uno de ellos. Fuente: http://www.sandiegozoo.org 61. Elefantes En general, los elefantes salvajes comen todo tipo de vegetación, desde yerba y frutas hasta hojas y corteza (aproximadamente entre 220 y 440 libras cada día). ¿Cuántos kilos es eso? 62. Elefantes Los elefantes del zoológico de San Diego comen menos: alrededor de 125 libras de comida cada día. ¿Cuántos kilogramos es eso? Redondea la respuesta al kilogramo más cercano. 63. Elefantes El elefante más grande del que se tiene información fue un macho adulto africano. Pesaba 10,886 kilogramos. ¿Cuántas libras es eso? Redondea la respuesta a la libra más cercana. 64. Elefantes Al nacer, un elefante pesa de 50 a 113 kg. ¿Cuántas libras es eso? Redondea la respuesta a la libra más cercana. A propósito, el periodo de gestación (embarazo) para los elefantes es de entre 20 a 22 meses.

666Usa tus conocimientos Pesos aconsejables La tabla muestra el peso aconsejable para cierta altura a la edad de 25 años o más. Encuentra estos pesos al kilogramo más cercano.

Hombres

Mujeres

Altura (tacos de 1 pulgada) Pies

65. 66. 67. 68. 69.

5 5 5 6 6

Pulgadas

2 6 10 2 3

Peso Libras

130 142 158 178 184

Kilogramos

Pies

70. 71. 72. 73.

5 5 5 5

Pulgadas

2 6 10 11

Libras

120 135 145 155

Kilogramos

7-35

Aprendizaje colaborativo

443

666¡Escribe! 74. Escribe con tus palabras las ventajas del sistema métrico respecto al sistema americano cuando se miden pesos.

75. ¿Sabes de alguna otra medida de peso? ¿Cuáles son y para qué se usan?

76. Escribe en tus palabras cómo usar las estimaciones para hacer los cálculos de esta sección.

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática t áti correcta/s. t / es la masa de 1 cm3 (centímetro cúbico) de agua.

77. Un

78. En el sistema americano, la temperatura se mide en grados mientras el sistema métrico se mide en grados

.

kilogramo

libra

Fahrenheit

Celsius

gramo

666Prueba de dominio 79. 40°C 5

F

80. 68°F 5

82. 10 lb 5

kg

83. 384 mg 5

85. 12,000 lb 5 88. 6 lb 5

tons

81. 8 kg 5

C

84. 8 dag 5

g

86. 7 tons 5

lb

87. 160 oz 5

lb dg lb

oz

666Comprobación de destrezas Evalúa: 89. 180 2 x, cuando x 5 50

90. 180 2 x, cuando x 5 160

91. 180 2 x 2 59, cuando x 5 47

92. 180 2 x 2 48, cuando x 5 45

6Aprendizaje colaborativo El objetivo de este aprendizaje colaborativo es proponer un método para convertir Estados Unidos al sistema métrico. Forma tres grupos de estudiantes: 1. Usuarios comerciales 2. Usuarios generales 3. Usuarios científicos Preguntas para responder por cada grupo: Grupo 1 (granjeros, fabricantes, productores) 1. ¿Por qué Estados Unidos necesita cambiarse al sistema métrico? 2. ¿Por qué Estados Unidos no acepta el sistema métrico, aun cuando ahora se usa en otros países? 3. ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas del sistema métrico? 4. ¿Cuál sería tu plan para convertir Estados Unidos al sistema métrico? Grupo 2 (uso doméstico, mecánicos, constructores, estudiantes) 1. ¿Cuáles son los beneficios de tener medidas en el sistema métrico en lugar de una combinación del sistema americano y el métrico? 2. Nombra algunos objetos medidos con el sistema americano, otros con el sistema métrico y unos más con ambos. 3. ¿Por qué el gobierno está interesado en cambiar al sistema métrico?

444

Capítulo 7

7-36

Medidas y el sistema métrico

4. ¿Cuál sería tu plan para convertir Estados Unidos al sistema métrico? Grupo 3 (investigadores, estudiantes de profesiones médicas) 1. ¿Cuáles son los beneficios de la adopción de un sistema totalmente métrico en Estados Unidos? 2. ¿Cuán difícil sería para el público general aprender el sistema métrico? ¿Cómo podrías hacerlo más fácil? 3. ¿Por qué el Gobierno Federal está haciendo la transición al sistema métrico? 4. ¿Cuál sería tu plan para convertir Estados Unidos al sistema métrico? Adaptado de: El sistema métrico: Un Web Quest para grados 7–10 de Ciencias. Por Deborah L. Folis

de 6Preguntas investigación



1. ¿Cuándo se hizo legal (pero no obligatorio) el sistema métrico en Estados Unidos? 2. Escribe un párrafo sobre Gabriel Mouton y su contribución a la creación del sistema métrico. 3. ¿De dónde se derivan las palabras pulgada, pie y yarda? 4. ¿Cuándo se aprobó en el Congreso la ley de conversión métrica? 5. Encuentra la definición oficial de: a. La unidad de longitud (metro) b. La unidad de masa (kilogramo) c. La unidad de tiempo (segundo) 6. ¿Qué es el “iron ulna”? ¿Qué distancia representa y qué rey lo usó como medida?

6Resumen del capítulo 7 Sección

Asunto

Significado

7.1A, B

Pulgada

La punta del dedo pulgar, definido como 1 } de pie 12 Largo de un pie de un hombre (12 pulgadas) 12 pulgadas  1 pie La circunferencia de la cintura de una persona, definida como 36 pulgadas 12 pul pie 12 pul } Fracciones que son iguales a 1 pie

Pie Yarda Unidad fraccionaria 7.2A

Ejemplo

5 km  5000 m

Decímetro

1 kilómetro  1000 metros 1 hectómetro  100 metros 1 decámetro  10 metros La unidad básica de longitud del sistema métrico 1 1 decímetro  } 10 metro

Centímetro

1 1 centímetro  } 100 metro

9 cm  } 100 m

Milímetro

1 1 milímetro  } 1000 metro

3 mm  } 1000 m

Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro

3 hm  300 m 4 dam  40 m

7

7 dm  } 10 m 9

3

7-37

Resumen del capítulo 7

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

7.3A

Pulgada

1 pulgada  2.54 cm

2 pulgadas  5.08 cm

Yarda

1 yarda  0.914 m

3 yardas  2.742 m

Milla Centímetro Metro Kilómetro

1 milla  1.6 km 1 cm  0.4 pulgadas 1 m  1.1 yardas 1 km  0.62 millas

5 millas  8.0 km 5 cm  2.0 pulgadas 10 m  11 yardas 10 km  6.2 millas

1 pulgada2

1 } pie2 144 1 } yd2 9

7.4A, B, C

1 pie2 1 hectárea 1 acre

10,000 m2  2.47 acres 4840 yd2

Litro Cuartos Litro

Volumen de un cubo de 10 cm de cada lado 0.946 l 1.06 cuartos

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro

5 kl  5000 l 3 hl  300 l 10 dal  100 l

Decilitro

1 kl  1000 l 1 hl  100 l 1 dal  10 l La unidad básica de volumen en el sistema métrico 1 1 dl  } 10 l

Centilitro

1 1 cl  } 100 l

9 cl  } 100 l

Mililitro

1 1 ml  } 1000 l

3 ml  } 1000 l

7.5C

Cucharadita Cucharada Onza líquida Taza cm3

5 ml 15 ml 30 ml 240 ml cc (centímetro cúbico)

2 cucharaditas  10 ml 2 cucharadas  30 ml 3 onzas líquidas  90 ml 2 tazas  480 ml

7.6A

1 tonelada 1 libra 1 libra 1 onza

2000 lb

2 toneladas  4000 lb 4000 lb  2 toneladas 3 lb  48 oz 32 oz  2 lb

7.5

7.5B

7.6B

1 } 2000

tonelada 16 onzas 1 } 16

libra

20,000 m2  4.94 acres

2 cuartos  1.892 l 4 l  4.24 cuartos

7

7 dl  } 10 l 9

3

10 kg  10,000 g 5 hg  500 g 7 dag  70 g

Decigramo

1 kg  1000 g 1 hg  100 g 1 dag  10 g La unidad básica de masa en el sistema métrico 1 1 dg  } 10 g

Centigramo

1 1 cg  } 100 g

3 cg  } 100 g

Miligramo

1 1 mg  } 1000 g

9 mg  } 1000 g

Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo

445

7

7 dg  } 10 g 3

9

(continúa)

446

Capítulo 7

7-38

Medidas y el sistema métrico

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

7.6C

1 kilogramo

2.2 lb

2 kg  4.4 lb

1 libra

0.45 kg

10 lb  4.5 kg

5(F32) C} 9 (F  la temperatura Fahrenheit) 9C F} 5 32

5 (41 32)  5 C 41 F  } 9

7.6D

Grado Celsius (C) Grado Fahrenheit (F)

(C la temperatura Celsius)

9 10  32 50 C 10 C } 5

6Ejercicios de repaso del capítulo 7 (Si necesitas it ayuda d con estos t ejercicios, j i i mira i en lla sección ió que se iindica di entre t corchetes). h t ) 1.

57.1A6 Encuentra cuántas pul-

2.

gadas hay en:

4.

57.1A6 Encuentra cuántos pies hay en:

a. 2 yardas

a. 12 pulgadas

a. 2 pulgadas

b. 3 yardas

b. 24 pulgadas

b. 3 pulgadas

c. 4 yardas

c. 36 pulgadas

c. 5 pulgadas

d. 6 yardas

d. 40 pulgadas

d. 7 pulgadas

e. 7 yardas

e. 65 pulgadas

e. 14 pulgadas

57.1A6 Encuentra cuántas yar-

5.

57.1A6 Encuentra

cuántas mi-

6.

llas hay en:

57.2A6 Encuentra cuántos metros hay en:

a. 6 pies

a. 5280 pies

a. 2 km

b. 12 pies

b. 10,560 pies

b. 7 km

c. 18 pies

c. 26,400 pies

c. 4.6 km

d. 20 pies

d. 21,120 pies

d. 0.45 km

e. 29 pies

e. 15,840 pies

e. 45 km

57.2A6 Encuentra cuántos me-

címetros hay en:

57.2A6 Encuentra cuántos metros hay en:

a. 2 dam

a. 100 m

a. 200 cm

b. 3 dam

b. 300 m

b. 395 cm

c. 7 dam

c. 350 m

c. 405 cm

d. 9 dam

d. 450 m

d. 234 cm

e. 10 dam

e. 600 m

e. 499 cm

8.

tros hay en:

10.

3.

hay en:

das hay en:

7.

57.1A6 Encuentra cuántos pies

57.3A6

Encuentra cuántos cm

hay en:

11.

57.2A6 Encuentra cuántos de-

57.3A6 Encuentra cuántos metros hay en:

9.

12. 5 7.3A6 Encuentra cuántos kiló-

metros hay en:

a. 30 pulgadas

a. 100 yardas

a. 30 millas

b. 40 pulgadas

b. 200 yardas

b. 50 millas

c. 50 pies

c. 350 yardas

c. 90 millas

d. 60 pies

d. 450 yardas

d. 100 millas

e. 70 pies

e. 500 yardas

e. 250 millas

7-39

13.

Ejercicios de repaso capítulo 7

57.3A6 Encuentra cuántas millas hay en:

16.

14. 5 7.4A6 Encuentra cuántos cena. 2 m

a. 2 km2

b. 50 km

b. 3 m2

b. 3 km2

c. 60 km

c. 4 m

2

c. 4 km2

d. 70 km

d. 5 m2

d. 5 km2

e. 80 km

e. 6 m2

e. 6 km2

57.4B6 Encuentra cuántas pul-

cuadrados hay en:

57.4B6 Encuentra el área, en yardas cuadradas, de:

a. 2 pies2

a. 144 pulgadas2

a. Lote de 1 acre

2

2

b. 288 pulgadas

b. Lote de 3 acres

c. 4 pies2

c. 360 pulgadas2

c. Lote de 2 acres

d. 5 pies

2

2

d. Lote de 1.5 acres

e. 6 pies

2

2

e. Lote de 4 acres

17.

18.

e. 504 pulgadas

57.4C6Encuentra cuántos acres

20.

57.5A6 Encuentra

(aproximadamente) cuántos litros hay en:

21.

57.5B6 Encuentra cuántos litros hay en:

a. 5 hectáreas

a. 7 cuartos

a. 4 kl

b. 4 hectáreas

b. 9 cuartos

b. 7 kl

c. 1 hectárea

c. 10 cuartos

c. 9 kl

d. 3 hectáreas

d. 13 cuartos

d. 2.3 kl

e. 2 hectáreas

e. 2.2 cuartos

e. 5.97 kl

57.5B6 Encuentra

hay en:

57.5C6 Encuentra tazas hay en:

a. 452 ml

a. 4 tazas

a. 120 ml

b. 48 ml

b. 5 tazas

b. 360 ml

c. 3 ml

c. 6 tazas

c. 480 ml

d. 1657 ml

d. 7 tazas

d. 600 ml

e. 456 ml

e. 9 tazas

e. 720 ml

cuántos li-

23.

tros hay en:

57.5C6 Encuentra

57.5C6 Encuentra

24.

57.6A6 Encuentra onzas hay en:

a. 120 onzas líquidas

a. 7 cucharadas

a. 3 libras

b. 180 onzas líquidas

b. 8 cucharadas

b. 4 libras

c. 240 onzas líquidas

c. 10 cucharaditas

c. 5 libras

d. 300 onzas líquidas

d. 11 cucharaditas

d. 6 libras

e. 360 onzas líquidas

e. 13 cucharaditas

e. 7 libras

26.

57.6A6 Encuentra bras hay en:

cuántas li-

29.

57.5C6 Encuentra

cuántos ml

hay en:

cuántos ml

hay en:

28.

57.4B6 Encuentra cuántos pies

d. 432 pulgadas

hay en:

25.

tros cuadrados hay en:

a. 40 km

b. 3 pies

22.

57.4A6 Encuentra cuántos me-

2

gadas cuadrados hay en:

19.

15.

tímetros cuadrados hay en:

447

57.6A6 Encuentra bras hay en:

cuántos ml

cuántas li-

27.

cuántas

cuántas

30.5 7.6A6 Encuentra cuántas tone-

ladas hay en:

a. 16 onzas

a. 2 toneladas

a. 3000 libras

b. 24 onzas

b. 3 toneladas

b. 5000 libras

c. 32 onzas

c. 4 toneladas

c. 7000 libras

d. 40 onzas

d. 5 toneladas

d. 9000 libras

e. 48 onzas

e. 6 toneladas

e. 18,000 libras

448

31.

Capítulo 7

57.6B6 Encuentra

mos hay en:

57.6C6 Encuentra cuántas libras hay en:

a. 1 dag

a. 307 mg

a. 1 kg

b. 3 dag

b. 40 mg

b. 7 kg

c. 5 dag

c. 3245 mg

c. 6 kg

d. 4 dag

d. 2 mg

d. 4 kg

e. 2 dag

e. 10,342 mg

e. 8 kg

cuántos de-

cigramos hay en:

34.

7-40

Medidas y el sistema métrico

57.6C6 Encuentra logramos hay en:

cuántos ki-

32. 5 7.6B6 Encuentra cuántos gra-

35.

57.6D6 Encuentra cuántos grados Celsius hay en:

33.

36.

57.6D6 Encuentra cuántos grados Fahrenheit hay en:

a. 1 lb

a. 32 °F

a. 10 °C

b. 3 lb

b. 41 °F

b. 15 °C

c. 6 lb

c. 50 °F

c. 20 °C

d. 4 lb

d. 59 °F

d. 25 °C

e. 10 lb

e. 212 °F

e. 30 °C

7-41

Examen del capítulo 7

449

6Examen del capítulo 7 (Respuestas en página 450) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo.

1. 5 yardas 5 _____ pulgadas

2. 4 pulgadas 5 _____ pies

3. 25 pies 5 _____ yardas

4. 10,560 pies 5 _____ millas

5. 3 pies 5 _____ pulgadas

6. 5 km 5 _____ m

7. 5 dam 5 _____ m

8. 250 m 5 _____ dm

9. 482 cm 5 _____ m

10. 20 pies 5 _____ cm

11. 300 yardas 5 _____ m

12. 40 millas 5 _____ km

13. 80 km 5 _____ millas

14. 6 m2 5 _____ cm2

15. 432 pulgadas^2 5 _____ pies^2

16. Encuentra el área en yardas cuadradas de un lote de 2 acres.

17. 3 hectáreas 5 _____ acres

18. 3 cuartos < _____ l

19. 3 kl 5 _____ l

20. 393 ml 5 _____ l

21. Una solución limpiadora contiene ¿Cuántos ml es eso?

3 } 4

taza de amoniaco.

22. Una receta requiere 400 ml de caldo. ¿Cuántas tazas es eso?

23. Un doctor ordena 20 onzas líquidas de medicina contra la tos. ¿Cuántos ml es eso?

24. 6 libras 5 _____ onzas

25. 64 onzas 5 _____ libras

26. 4 toneladas 5 _____ libras

27. 7000 libras 5 _____ toneladas

28. 6 dag 5 _____ dg

29. 401 mg 5 _____ g

30. 5 kg 5 _____ libras

31. 5 libras 5 _____ kg

32. 59°F 5 _____ °C

33. 10°C 5 _____ °F

450

Capítulo 7

7-42

Medidas y el sistema métrico

6Respuestas del examen del capítulo 7 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1

7.1

1

411

2

7.1

2, 3

412

3

7.1

4

412

4

7.1

5

412

5. 36

5

7.1

6

412

6. 5000

6

7.2

1

417

7. 50

7

7.2

3

418

8. 2500

8

7.2

2

418

9. 4.82

9

7.2

5

418

10. 609.6

10

7.3

1

422

11. 274.2

11

7.3

2

422

12. 64

12

7.3

3

422

13. 49.60

13

7.3

4–6

422–423

14. 60,000

14

7.4

1

427

15

7.4

4

427

16. 9680 yd

16

7.4

6

428

17. 7.41

17

7.4

8

428

18. 3

18

7.5

1

432

19. 3000

19

7.5

2

432

20. 0.393

20

7.5

3

433

21. 180 2 22. 1} 3 23. 600

21

7.5

4

433

22

7.5

5

434

23

7.5

6

434

24. 96

24

7.6

1

438

25. 4

25

7.6

2

438

26. 8000 1 27. 3} 2 28. 600

26

7.6

3

438

27

7.6

4

438

28

7.6

5

439

29. 0.401

29

7.6

6

439

30. 11

30

7.6

7

439

31. 2.25

31

7.6

8

439

32. 15

32

7.6

9

440

33. 50

33

7.6

10

440

1. 180 1 2. } 3 1 3. 8} 3 4. 2

15. 3 2

7-43

Repaso de los capítulos 1–7

451

6Repaso de los capítulos 1–7 1. Escribe dos mil, novecientos diez en forma estándar. 3. Escribe

31 } 6

2. Simplifica: 4 4 2 ? 2 1 9 2 7 4. Escribe 4}13 como una fracción impropia.

como un número mixto.

5. Resta: 745.42 2 17.5

6. Multiplica: 0.503 ? 0.16

7. Redondea 549.851 a la decena más cercana.

8. Divide: 50 4 0.13 (Redondea la respuesta a dos dígitos decimales). 10. Resuelve para y: 1.6 5 0.4y

9. ¿Qué parte decimal de 12 es 3? z 11. Resuelve para z: 9  } 3.9

12. Existe una ley que afirma que “la proporción entre el ancho y el alto de la bandera de Estados Unidos debe ser de 10 a 19”. ¿Una bandera que mide 50 por 97 pies tiene la proporción correcta?

3 s } 13. Resuelve la proporción: } 3 5 27

14. La ración diaria de proteína para los hombres es de 60 gramos por día. Tres onzas de cierto producto provee 4 gramos de proteína. ¿Cuántas onzas del producto se necesitan para proveer los 60 gramos de proteína?

15. Escribe 12% como un decimal.

16. Escribe 7}14% como un decimal.

17. ¿Qué número es el 40% de 50?

18. ¿Cuánto es el 33}13% de 6?

19. ¿Qué porciento de 28 es 14?

20. ¿6 es el 30% de qué número?

21. Encuentra el interés simple ganado en una inversión de $500 al 8.5% por 5 años.

22. En relación con la gráfica, ¿cuál es la fuente principal de contaminación? Industria 20 % Buses y camiones 55% Carros 25%

23. Haz una gráfica circular para esta información: Familia

Ahorros Vivienda Alimentación Vestimenta

Presupuesto

(A) (V) (Al) (Ve)

(Mensualmente)

$500 $700 $400 $400

24. La siguiente tabla muestra la distribución de familias por ingresos en Tampa, Florida. Nivel de ingresos

$0–9,999 10,000–14,999 15,000–19,999 20,000–24,999 25,000–34,999 35,000–49,999 50,000–79,999 80,000–119,000 120,000 y mayor

Porciento de familias

3 8 19 43 11 7 5 3 1

¿Qué porciento de las familias en Tampa, Florida, tienen ingresos entre $20,000 y $24,999?

452

Capítulo 7

7-44

Medidas y el sistema métrico

25. La siguiente gráfica representa las lluvias anuales en pulgadas en el condado de Sagamore para el periodo 2000–2005. Encuentra las lluvias para el 2005.

26. La siguiente gráfica representa la temperatura promedio mensual para 7 meses del año. ¿Cuánto más alta es la temperatura promedio en julio que en mayo?

50

Grados

Pulgadas

40 30 20 10

95 90 85 80 75 70 65 Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Mes

0 2000

2001

2002

2003

2004

2005

Año

27. La siguiente gráfica circular representa el número de horas requeridas en cada disciplina del currículo básico de una universidad. ¿Qué porciento de estas horas es de matemáticas e inglés combinadas? Historia 24%

28. ¿Cuál es la moda del siguiente grupo de números? 8, 11, 6, 12, 6, 10, 6, 24, 20, 23, 6

Educación física 26%

Inglés 13%

Artes 20%

Matemáticas 17%

29. ¿Cuál es la media de los siguientes números? 11, 3, 4, 12, 1, 7, 1, 25, 1, 22, 1 31. Convierte 12 yardas en pulgadas. 33. Convierte 47 pies en yardas. 35. Convierte 8 pies en pulgadas. 37. Convierte 5 decámetros en metros. 39. Convierte 50 yardas en metros. 41. Convierte 100 kilómetros en millas. 43. Convierte 6 hectáreas en acres.

30. ¿Cuál es la mediana de los siguientes números? 6, 27, 25, 16, 27, 13, 27, 12, 27 32. Convierte 17 pulgadas en pies. 34. Convierte 26,400 pies en millas. 36. Convierte 2 kilómetros en metros. 38. Convierte 150 metros en decímetros. 40. Convierte 66 millas en kilómetros. 42. Encuentra el área en yardas cuadradas de un lote de 4 acres.

Sección 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Capítulo

8 ocho

Líneas, ángulos y triángulos Hallar perímetros Hallar áreas Volumen de los sólidos Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

6

Geometría c

(4.28  4.0)2  (4.10  4.0)2 c
0.30 m

El lado humano de las matemáticas Uno de los matemáticos más famosos de todos los tiempos ha sido Euclides, quien enseñó, alrededor del año 300 a.C., en la UniversiY dad de Alejandría, el principal puerto de Egipto. Desafortunadamente, poco se sabe acerca de la persona de Euclides, ni su lugar ni fecha de nacimiento. Sin embargo, se conocen dos historias sobre él: una en relación con el emperador Tolomeo, quien preguntó si no había una manera fácil de aprender geometría y recibió la respuesta de Euc clides: “No existe un camino real a la geometría”. La otra historia es acerca de un alumno que estudiaba geometría con Euclides y, (4,4) cuando aprendió el primer teorema, preguntó: “¿Pero qué obtengo yo de aprender estas cosas?”. Euclides llamó a un esclavo y dijo: “Dele una moneda, ya que debe obtener ganancias por lo que aprende”. La geometría evolucionó de las ideas más o menos rudimentarias de los antiguos egipcios (alrededor de 1500 a.C.), quienes estaban preocupados por problemas prácticos de medición de áreas y volúmenes. Sin embargo, se limitaron con la geometría que era necesaria para construir edificios y pirámides; ellos se preocupaban poco de las derivaciones matemáticas o de las pruebas de las fórmulas. En este capítulo seguiremos ese modelo. La mayor contribución de Euclides fue la colección y sistematización de la mayoría de los matemáticos griegos de su tiempo. Su reputación se basa principalmente en su trabajo titulado Los elementos, que contiene geometría, teoría de números y algo de álgebra. La mayor parte de los libros de texto en Estados Unidos de geometría simple y sólida contienen esencialmente el material de las partes de geometría de Los elementos de Euclides. Ningún trabajo, excepto la Biblia, fue tan ampliamente usado o estudiado, y probablemente ningún otro trabajo haya influenciado más que éste el pensamiento científico. Desde su primera edición impresa de 1482, se han publido más de mil ediciones de Los elementos, y por más de 2.000 años este libro dominó la enseñanza de la geometría.

453

(4.28,4.10)

X

454

Capítulo 8

8-2

Geometría

8. 1

Líneas, ángulos y triángulos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

1. Sumar, restar, multiplicar y dividir números cardinales. (págs. 24, 37, 49, 62) 2. Resolver ecuaciones. (págs. 89–91, 240–241)

Identificar y nombrar puntos, líneas (paralelas, intersecciones y perpendiculares), segmentos y rayos.

B6

Nombrar un ángulo de tres formas diferentes.

C6

Clasificar un ángulo.

D6

Identificar ángulos complementarios y suplementarios, y encontrar el complemento o suplemento de un ángulo dado.

E6

Clasificar un triángulo.

F6

Encontrar la medida de un tercer ángulo, dadas las medidas de dos ángulos de un triángulo.

6 Para comenzar La pintura Blanco y rojo/Composición en rojo, azul y amarillo fue realizada por Piet Mondrian, uno de los fundadores del movimiento de arte De Stijl, quien lo dejó en 1923. La teoría artística propia de Mondrian fue el “neoplasticismo”, una búsqueda de la armonía y el equilibrio que persiguió todo el resto de su carrera. Este movimiento utiliza líneas negras horizontales o verticales de grosores variados, para crear una red de rectángulos planos, algunos de los cuales se llenaban de blanco o negro, o rojo vivo, azul o amarillo. Este estilo abstracto característico borra completamente toda referencia al mundo real (“¡Árboles! ¡Qué espanto!”, decía Mondrian). En esta sección estudiaremos líneas (paralelas, perpendiculares e intersectadas o intersecadas) como las de la pintura. Si quieres hacer tu propia pintura usando líneas, cuadrados y rectángulos, ve a la máquina de pintura en http://www.ptank.commondrian.

Mondrian, Piet (1872–1944) II: Blanco y rojo, 1937/ Composición en rojo, azul y amarillo, 1937–42. Óleo sobre Lienzo, 23}34  21}78 (60.3  55.4 cm). © 2007 Mondrian/Holtzman Trust c/o HCR International, Warrenton VA Imagen digital © Museo de Arte Moderno/ Licencia de SCALA/ Recursos de Arte, N.Y

A 6 Puntos, líneas y rayos La palabra geometría se deriva de la palabra griega geo (tierra) y metron (medida). Los elementos básicos de la geometría son los puntos, las líneas y los planos. Un punto puede ser visto como una ubicación en el espacio, que no tiene ancho, profundidad, ni longitud. Representamos un punto COMO s Y LO LLAMAMOS CON LETRAS mayúsculas como A, B y C o P, Q y R así: A

s

Punto A

B

s

Punto B

Q

s

Punto Q

R

s

Punto R

8-3

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

455

Podemos usar puntos para hacer líneas. Una línea es un conjunto de puntos que se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Una línea no tiene ancho ni profundidad, pero tiene longitud. Las líneas se nombran con letras minúsculas como l, m, o n o usando dos de los puntos de la línea.

l A

B ___

Linea l

AB

o

@##$ AB

Las flechas en cada punta de las líneas significan que esa línea se extiende indefinidamente en cada dirección. Una parte de una línea que usa A y B como puntos finales es un segmento de línea y se indica con AB. B

A

B

A Segmento de línea AB

La líneas que están en la misma superficie plana (plano), pero que nunca se intersecan (cruzan) se llaman líneas paralelas; mientras que las líneas que se intersecan (cruzan) se llaman líneas intersectadas o intersecadas. El símbolo \\ se usa para indicar que dos líneas son paralelas. B A

A

B

P

Q

@##$ Línea @##$ AB \\ PQ P

Q

P

A

B

D

P B A

D

Q Q

Línea @##$ AB se interseca con @##$ PQ en el punto D.

El ángulo de intersección es en ángulo recto, líneas son perpendiculares (). @##$  PQ @##$. Línea AB

Un rayo es una parte de una línea recta que comienza en un punto y que se extiende indefinidamente en una dirección.

B P Q A Rayo ###$ QP

Rayo ###$ AB

Nota que el punto donde comienza el rayo ###$ QP es Q y el punto donde comienza el rayo ###$ AB es A.

456

Capítulo 8

8-4

Geometría

B 6 Nombrar ángulos La fotografía muestra uno de muchos ejemplos de los antiguos grabados en roca de Hawai (petroglifos) en Waikoloa. Estos grabados contienen imágenes de figuras humanas que varían en complejidad desde simples figuras angulares hasta figuras triangulares y musculares. ¿Cuántos ángulos ves en la fotografía? ¿Escuchaste la expresión “lo estoy mirando desde otro ángulo”? En geometría, un ángulo es la figura que se forma por dos lados con un punto común llamado el vértice. Aquí está la definición.

Un ángulo es la figura formada por dos rayos (lados) con un punto común llamado vértice.

ÁNGULO

Los dos rayos AB y AC se llaman lados del ángulo. Usamos el símbolo  (se lee “ángulo”). Así, el ángulo de la figura puede llamarse C (ángulo alpha), BAC, o CAB. (Nota que la letra del medio designa el vértice.) El ángulo en el margen puede llamarse de las siguientes tres formas:

C Lado Vértice A

a Lado

B

1. Usando una letra o un número dentro del ángulo. Así, llamaremos el ángulo C (“ángulo alpha”). 2. Usando solamente la letra del vértice, como A. 3. Usando tres letras, una de cada rayo, con la letra del vértice en el medio. El ángulo se llamará BAC o CAB. La tabla 8.1 sintetiza los conceptos sobre los que hablamos.

Tabla 8.1 Concepto

Nombre

Un punto muestra una ubicación. sP Una línea se extiende indefinidamente en ambas direcciones.

Punto P

P

Línea AB

@##$ AB

Plano ABC

ABC

A

Notación

B

A C

B

Tres puntos determinan un plano.

8-5

8.1

Tabla 8.1

Líneas, ángulos y triángulos

457

(continuación)

Concepto

Nombre

El segmento de línea AB incluye los puntos finales A y B y todos los puntos entre A y B. A

Notación

Segmento AB

AB

B

Línea AB es paralela a la línea PQ.

La línea AB es paralela a la línea PQ. A

B

P

Q

AB \\ @##$ PQ Línea @##$

P

A

La línea AB es perpendicular a la línea PQ. El símbolo verde indica que las líneas AB y PQ Se intersecan en un ángulo de 90°.

B

D

Línea AB es perpendicular a la línea PQ.

Q

##$ Línea @##$ AB @PQ

A

###$ AB

Rayo AB

El rayo AB se extiende indefinidamente en una dirección que comienza en el punto dado A y se extiende en forma AB. ilimitada en una dirección ###$ B

EJEMPLO 1

Nombrar figuras geométricas Toma como referencia la figura e identifica

Toma como referencia la figura e identifica Q

P

D A

PROBLEMA 1

B R

a. b. c. d. e.

Tres puntos Dos líneas Tres segmentos de línea Un par de líneas que se intersecan Un rayo

a. Tres puntos b. Dos líneas c. Tres segmentos de línea d. Un par de líneas que se intersecan e. Un rayo

SOLUCIÓN a. Los tres puntos en la figura son A, B y D. @##$. (También puedes AB y la línea BD b. Hay dos líneas en la figura: la línea @##$ BD línea @##$ DB.) llamarlas @##$ (continúa) Respuestas a los PROBLEMAS

@##$  @##$ 1. a. P, Q, R b. @##$ PQ y RQ QR c. PQ, PR, y RQ

@##$ se intersecan e. ###$ d. @##$ PQ y RQ PR

458

Capítulo 8

8-6

Geometría

c. AB, AD y DB AB y @##$ BD se intersecan. d. Las líneas @##$ AD (su punto dado es A y se extiende en forma e. Hay sólo un rayo en la figura: ###$ ilimitada en una dirección ###$ AB).

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Nombrar ángulos y vértices Considera el ángulo de la siguiente figura.

Nombra el ángulo que se muestra de tres formas diferentes.

Z

a. Nombra el ángulo de tres formas diferentes. b. Nombra el vértice del ángulo. c. Nombra los lados del ángulo.



X

B Y

SOLUCIÓN

C

A

a. El ángulo puede llamarse B (letra griega beta), X, o YXZ (o ZXY). b. El vértice es el punto X. c. Los lados son los rayos XZ y XY.

C 6 Clasificar ángulos B

Z X

Y

>Figura 8.1

360 A

B

>Figura 8.2 Una revolución completa.

180 C

A

B

>Figura 8.3 El ángulo llano CAB.

170 160 10 20

A

>Figura 8.6 Midiendo un ángulo.

30

70

0

2. I, C, ACB (o BCA)

110

15

Respuestas a los PROBLEMAS

D

40

Centro >Figura 8.5 Un transportador.

0

170 160 10 20

X

>Figura 8.4 El ángulo recto XYZ.

14

30

0

15

40

Y

C

80 90 100 11 0 1 70 20 80 7 0 60 0 10 10 1 13 60 0 0 50 12 50 0 3 1

0

90

80 90 100 11 0 1 70 20 80 7 0 60 0 10 10 13 60 0 1 0 2 50 1 50 0 13

14

Z

Para propósitos prácticos, necesitamos tener una forma de medir ángulos. Primero consideramos la cantidad de rotación que se necesita para girar un lado del ángulo para que coincida con el otro lado, es decir, que caiga exactamente encima de él. La figura 8.1 muestra dos ángulos, CAB y ZXY, con flechas curvas que indican la rotación necesaria para girar los rayos AB y XY para que coincidan con los rayos AC y XZ, respectivamente. Es claro que la cantidad que se necesita para ZXY es mayor que la que se necesita para CAB. Para encontrar cuánto mayor es, debemos medir la cantidad de rotación. La unidad de medida más común para ángulos es el grado. Podemos rastrear el sistema de grados hasta los antiguos babilonios, quienes usaban un sistema de numeración con base de 60. Los babilonios consideraban una revolución completa de un rayo, como se indica en la figura 8.2, y lo dividían en 360 partes iguales. Cada parte es 1 grado, y lo denotaban como1°. Así, una revolución completa es igual a 360°. Una mitad de una revolución completa es 180° y nos da un ángulo llamado ángulo llano (ver figura 8.3). Un cuarto de una revolución completa es 90° y da un ángulo recto (ver figura 8.4). Nota que el cuadrado pequeño en Y es para indicar que ese es un ángulo recto. En la práctica, el tamaño de un ángulo se mide con un transportador (ver figura 8.5). El transportador se ubica con su centro en el vértice del ángulo y el lado recto del transportador a lo largo de un lado del ángulo, como en la figura 8.6. La medida de BAC se lee como 70° (porque es obviamente menor a 90°) y la medida de DAC se lee como 110°. Los instrumentos de medición y de navegación, como el sextante, usan el principio del transportador para medir ángulos con mucha precisión. La medida de BAC se escribe mBAC.

10 2 0 30 170 1 60 40 15 0 14 0

A

10 2 0 30 170 1 60 40 15 0 14 0

C

B

8-7

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

459

Ya hemos nombrado dos ángulos: el ángulo llano (180°) y el ángulo recto (90°). Otros ángulos se clasifican de la siguiente manera: Un ángulo agudo es un ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º. Un ángulo obtuso es un ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.

TIPOS DE ÁNGULOS

Podemos resumir esto clasificando los ángulos de acuerdo con su medida. Aquí está la forma de hacerlo:

TIPOS DE ÁNGULOS

Ángulo recto: Un ángulo cuya medida es 90º. Ángulo llano: Un ángulo cuya medida es 180º. Ángulo agudo: Un ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º. Ángulo obtuso: Un ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.

He aquí algunos ejemplos: Los siguientes ángulos son todos agudos (entre 0° y 90°):

86

24

6

Los siguientes son ángulos obtusos (entre 90° y 180°):

176

105

120

EJEMPLO 3 Clasificar ángulos Clasifica los ángulos dados.

PROBLEMA 3 Clasifica los ángulos dados. 90

45



90 

180 



72

120 .

SOLUCIÓN C es entre 0° y 90°; es un ángulo agudo. D es exactamente 90°; es un ángulo recto. F (delta) es exactamente 180°; es un ángulo llano. I (gamma) es entre 0° y 90°; es un ángulo agudo. W (theta) es entre 90° y 180°; es un ángulo obtuso.

Respuestas a los PROBLEMAS 3. C es un ángulo recto, D es un ángulo agudo, F es un ángulo obtuso, y I es un ángulo llano.

 40 180

135 

460

Capítulo 8

8-8

Geometría

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Clasificar ángulos: ángulos de los eclipses solares ¿Por qué tenemos eclipses solares (cuando la Luna bloquea la visión del Sol)? Porque los ángulos tomados por el Sol (0.52° a 0.54°) y la Luna (0.49° a 0.55°) son casi idénticos. Clasifica estos ángulos. 0.49
a 0.55

El diagrama muestra el sendero de un satélite desde el mediodía hasta las 12:03 P.M. Clasifica los ángulos I, D y F. Mediodía 12:03 p.m.

0.52
a 0.54

Luna

Sol a 2000 g
51

Fuente: Administración Nacional Aeronáutica y Espacial.

d

SOLUCIÓN

Todos los ángulos son menores a un grado, por lo que todos ellos son ángulos agudos.

8000

b
9

6400

D6 Ángulos complementarios y suplementarios

¿A qué distancia está la pierna de la posición vertical?, es decir, ¿cuán doblada está? La respuesta puede obtenerse midiendo el ángulo C. Como puedes ver, la suma de las medidas de los ángulos W y C es 90°. Eso hace a los ángulos W y C ángulos complementarios. Aquí está la definición.



Pierna


Calca

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Se llaman ángulos complementarios a dos ángulos cuya suma es de 90º.* Si A y B son complementarios m A  m B  90º o, su equivalente, mA  90º  mB.

En la siguiente figura, m A  60° y m B  30°, entonces m A  m B  30°  60°  90°. Así, A y B son ángulos complementarios. Nota que m A  90°  m B.

Respuestas a los PROBLEMAS 4. I es un ángulo agudo, D es un ángulo agudo, y F es un ángulo recto.

60 A * Técnicamente, la suma de sus medidas es de 90°.

B

30

8-9

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

461

Se llaman ángulos suplementarios a dos ángulos cuya suma es de 180º*. Si A y B son suplementarios m A  m B  180º o, su equivalente, m A  180º  m B.

ÁNGULO SUPLEMENTARIO

En la siguiente figura, m A  130° y m B  50°, entonces m A  m B  180°. Así, A y B son ángulos suplementarios. Nota que m A  180°  m B.

B

50

EJEMPLO 5 Identificar ángulos complementarios Identifica todos los ángulos complementarios de la figura. 2 28 1

A

PROBLEMA 5 Identifica todos los ángulos complementarios de la figura. 3 20

3 62

62

SOLUCIÓN

130

28

4 2

ƒ y „; „
y …; …
y †; ƒ
y †.

EJEMPLO 6 Encontrar el complemento de un ángulo Halla la medida del complemento de un ángulo de 50º.

70

1 20

70

4

PROBLEMA 6 Halla la medida del complemento de un ángulo de 30º.

? 50

?

30

SOLUCIÓN

La medida de un ángulo complementario de 50º es

90º  50º  40º.

COMPRUEBA

50º  40º  90º.

EJEMPLO 7 Encontrar el suplemento de un ángulo Encuentra la medida del complemento del ángulo ƒ. 1 160

?

PROBLEMA 7 Encuentra la medida del complemento del ángulo „.

2 1

SOLUCIÓN Como ƒ y „ son suplementarios y m ƒ  160º, m „  180º  160º  20º. COMPRUEBA

160º  20º  180º.

* Técnicamente, la suma de sus medidas es de 180°.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. ƒ y „; „
y …; …
y †; ƒ
y †

6. 60º

7. 80º

2 ?

100

462

Capítulo 8

8-10

Geometría

E6Triángulos Ahora que sabemos trabajar con ángulos, ampliamos nuestros estudios a los triángulos (literalmente “tres ángulos”). ¿Cuál es el triángulo más famoso que conoces? Probablemente es el Triángulo de las Bermudas, un área triangular de mar abierto de 1.5 millones de millas, con vértices en Miami, Bermudas y Puerto Rico. ¿Qué tipo de triángulo es el Triángulo de las Bermudas? Ciertamente uno misterioso, Bermudas

62


63


pero, en relación con la geometría, los triángulos se clasifican de acuerdo con los ángulos o el número de lados iguales. Aquí están las clasificaciones:

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS POR SUS ÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS POR SUS LADOS

Triángulo rectángulo: Un triángulo que contiene un ángulo recto

Triángulo escaleno: Un triángulo que no tiene lados iguales (nota que los lados están nombrados con \, \\, y \\\ para mostrar que el largo de los lados son diferentes.)

55

35

90

Triángulo acutángulo: Un triángulo en el que todos los ángulos son agudos Triángulo isósceles: Un triángulo que tiene dos lados iguales

60

45

75

Triángulo obtusángulo: Un triángulo que contiene un ángulo obtuso 30 15 135

Triángulo equilátero: Un triángulo con los tres lados iguales

8-11

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

463

Como puedes ver, los tres ángulos del Triángulo de las Bermudas son agudos, entonces es un triángulo agudo. Más allá de ello, ningún lado es igual en longitud a otro, lo que lo hace un triángulo escaleno. Los triángulos se llaman de acuerdo con sus vértices. Así, el triángulo con vértices A, B y C se llama NABC, y el triángulo con los vértices P, Q y R se llama NPQR. Q

C

A

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Clasificar triángulos Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo con sus ángulos y sus lados. a.

b.

P

R

B

Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo con sus ángulos y sus lados.

c.

a. 45

45

60 60 60

60

60 60

b.

SOLUCIÓN

45

a. El triángulo tiene un ángulo obtuso y no tiene lados iguales: es un triángulo obtuso escaleno. b. El triángulo tiene dos lados iguales y un ángulo recto: es un triángulo rectángulo isósceles. c. El triángulo tiene tres ángulos de 60°; es un triángulo equilátero y también es equiangular.

45

c.

F6Suma de los ángulos de un triángulo ¿Qué notas acerca de la suma de las medidas de los ángulos de los triángulos en el ejemplo 8, 45°  45°  90° y 60°  60°  60°? La suma es 180°. ¡Siempre es así! Aquí hay una forma de mostrar esto. Corta un triángulo en una hoja de papel como mostramos en la siguiente figura. Nombra los ángulos 1, 2 y 3 y córtalos del triángulo. Coloca los vértices de los ángulos 1, 2 y 3 juntos. Ahora, ¡dos de los lados forman una línea recta!

2 3

3

2

1

1

Así, mostramos lo siguiente:

SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO

La suma de la medida de los tres ángulos en cualquier triángulo es 180º.

Respuestas a los PROBLEMAS 8. a. Triángulo equilátero, equiangular b. Triángulo isósceles recto c. Triángulo obtuso, escaleno

464

Capítulo 8

8-12

Geometría

EJEMPLO 9

PROBLEMA 9

SOLUCIÓN

Encuentra el tercer ángulo del Triángulo de las Bermudas que se muestra en la página 462.

Encontrar la medida de un ángulo en un triángulo En un triángulo ABC, m A  47º, m B  59º. Encuentra m C.

Como m A  m B  m C  180º m C  180º  m A  m B  180º  47º  59º  180º  106º  74º Así, m C  74º.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6 1.

Puntos, líneas y rayos En los problemas 1 al 10, identifica y nombra cada figura como una línea, un segmento de línea, un rayo, líneas paralelas, líneas intersectadas, o líneas perpendiculares

R

2.

S

C D

3.

4.

U

D C

T 5.

6. P

D

Q E

7.

D

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

6Ejercicios 8.1

8.

Q

P

C R

F

S

E 9.

> Self-Tests > e-Professors > Videos

F

C

10.

G

P

D A

D

E Q

Respuestas a los PROBLEMAS 9. 180  62  63  55

B

8-13

8.1

465

6Web IT

5B6

Líneas, ángulos y triángulos

Nombrar ángulos En los problemas 11 y 12, nombra los ángulos de tres formas diferentes.

11.

12.

R

Q

 B

www.mathzone.com/bello

A

ir a



P

C

Para los problemas 13 al 16, toma como referencia la figura 8.7. 13. Nombra C de una forma distinta.

14. Nombra EAF de una forma distinta.

15. Nombra D de una forma distinta.

16. Nombra CAB de una forma distinta.

D E C 



F

A

B

para más lecciones

Figura 8.7

5C6

Clasificar ángulos

En los problemas 17 al 22, clasifica los ángulos dados de la figura 8.7.

17. C

18. D

19. DAB

20. DAF

21. FAB

22. BAF

23. Nombra todos los ángulos rectos de la figura 8.7.

24. Nombra todos los ángulos obtusos de la figura 8.7.

25. Nombra un ángulo llano en la figura 8.7.

5D6

Ángulos complementarios y suplementarios

Para los problemas 26 al 36, toma como referencia la figura 8.7.

26. Nombra el complemento de C.

27. Nombra el complemento de D.

28. Nombra un ángulo que es el complemento de EAF.

29. Nombra un ángulo que es el complemento de BAC.

30. Nombra un ángulo que es suplementario de C.

31. Nombra un ángulo que es suplementario de D.

32. Nombra un ángulo que es suplementario de BAD.

33. Si m C  15, encuentra m CAD.

34. Si m D  55, encuentra m DAE.

35. Si m DAE  35, encuentra m D.

36. Si m CAD  75, encuentra m C.

5E6

Triángulos En los problemas 37 al 44, clasifica el triángulo como escaleno, isósceles o equilátero, y acutángulo, rectángulo y obtusángulo

37.

38.

39. 10 6

7

10

40.

4

4

5

42.

41. 3

3

3 5

4

Capítulo 8

6Web IT

8-14

Geometría

43.

44.

9

9

5F6

Suma de los ángulos de un triángulo

45.

En los problemas 45 al 50, halla la medida del ángulo faltante.

46.

97

47. 70

45 120

28 49.

48.

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

466

20

50.

45

42

110

124

51. En un triángulo ABC, m A  37 y m C  53. Encuentra m B.

120

52. En un triángulo ABC, m B  67 y m C  105. Encuentra m A.

666Aplicaciones Ángulos

Clasifica los ángulos que se muestran en las fotografías como agudo, obtuso o recto.

&%   

 .

53. Clasifica C

54. Clasifica D

55. Clasifica I

56. Clasifica F

57. Clasifica H

58. Clasifica N

59. Clasifica O

60. Clasifica W

8-15

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

467

Fuerza del músculo 43


92
Eje

40




Hueso

61. ¿Cuál es la medida del ángulo C? (figura a la izquierda, arriba)

Ángulos y triángulos

40


62. ¿Cuál es la medida del ángulo W? (figura de la derecha arriba)

Para los problemas 63 al 68 toma como referencia el dibujo en piedra.

63. Clasifica C.


64. Clasifica D.



65. Clasifica F.



66. Clasifica f. 67. El cuerpo de la escultura en piedra es en la forma de un triángulo. Clasifica el triángulo.



68. Si el triángulo es un triángulo isósceles y los dos ángulos iguales son de 62°, ¿cuál es la medida de D?

666Usa tus conocimientos Líneas í paralelas l l y una lí línea transversall Hemos estudiado di d llas lí líneas paralelas, l l llas lí líneas dde iintersección ió y llos áángulos. l Usemos ahora nuestro conocimiento para generalizar esas ideas. ¿Qué pasa cuando una línea intersecta un par de líneas paralelas? Una línea que intersecta un par de líneas paralelas se llama transversal. En la figura, las líneas L1 y L2 son paralelas y la línea L3 es una transversal. Piensa que 1 como un “ángulo pequeño” y 2 como un “ángulo grande”

2

1

L1

3

L2

4 5 6 7 8 L3

Existe una regla especial en geometría (el postulado de la transversal) que involucra ángulos y transversales. Dice que si dos líneas paralelas son intersectadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes (iguales), y se indica usando el símbolo . Los ángulos correspondientes de dos líneas paralelas cortadas por una transversal son los ángulos en el mismo lado de la transversal y del mismo lado de las líneas paralelas. Ángulos congruentes son los que tienen igual medida. 1  5,

3  7, 2  6

y

4  8

Los ángulos alternos interiores (los pares de ángulos entre las líneas paralelas y en lados opuestos de la transversal) son congruentes. 3  6 Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 1  4,

y

4  5.

2  3, 5  8

y

6  7

¿Debes memorizar todo eso? ¡De ninguna manera! Piensa en 1 como “un ángulo pequeño” y 2 como “un ángulo grande”. Aquí está la síntesis: Todos los ángulos pequeños son iguales. Todos los ángulos grandes son iguales.

468

Capítulo 8

8-16

Geometría

¿Recuerdas sumar manzanas con manzanas y bananas con bananas? Apliquemos el postulado a las frutas que se muestran en la foto. ¿Qué ángulos son congruentes (iguales)? Si las dos líneas horizontales son paralelas, todos los “ángulos pequeños”: cerezas, limones y fresas son congruentes (tienen la misma medida). A propósito, si el ángulo representado por la cereza es de 60°, entonces el ángulo representado por el melón debe ser de 120°, desde que dos ángulos (cerezas y melón) son ángulos suplementarios. ¿Puedes nombrar el resto de los ángulos que son congruentes (iguales)? (Pista: todos los ángulos grandes son iguales.)

Cereza

Melón

Limón Sandía

Fresa

Piña

La figura se usará en los problemas 69 y 70.

Líneas L1 y L2 son paralelas y L3 es una transversal

69. Asume que m 2  135. ¿Qué es m 1? 70. Si m 2 es un ángulo “pequeño”, lista todos los ángulos que son congruentes con 2.

2

1

L1

3

L2

4 5 6 7 8 L3

Líneas L1 y L2 son paralelas y L3 es una transversal

La figura se usará en los problemas 71–72. 71. Asume que m 2  42. ¿Qué es m 1 ? 72. Si m 2 es un ángulo “pequeño”, lista todos los ángulos que son congruentes con 2.

L1

3

L2

7

1 2 4

5 6 8

L3

Música La gráfica muestra las preferencias musicales de jóvenes adultos de 14 a 19 años. Cada una de las secciones en la gráfica circular (“pie”) muestra un ángulo. Country 10% Rock & roll 13%

Clásica 2% b g

a Alternativa 25%

Rap 50%

Fuente: Estadísticas de Canadá.

73. ¿Qué sección muestra un ángulo llano?

74. ¿Qué sección muestra un ángulo recto?

75. ¿Cuántas secciones muestran ángulos agudos?

76. Un círculo completo cubre 360. El ángulo llano es 50% de 360. ¿Cuántos grados es eso?

77. El ángulo recto cubre 25% de 360. ¿Cuántos grados es eso?

78. Usa los porcientos dados en la gráfica para encontrar m C.

79. Usa los porcientos dados en la gráfica para encontrar m D.

80. Usa los porcientos dados en la gráfica para encontrar m I.

8-17

8.1

Líneas, ángulos y triángulos

469

666¡Escribe! 81. Escribe con tus palabras la diferencia entre una línea y un rayo.

82. Puedes medir el largo de un segmento de una línea. ¿Puedes medir el largo de una línea? Explica.

83. ¿Puedes medir el largo de un rayo? Explica

84. Si el largo de un rayo se da por la letra r y el largo de una línea por la letra L, ¿qué símbolo escribirás (, , ) para hacer que la afirmación r ___ L sea verdadera? Explica tu razonamiento.

85. Escribe con tus palabras el tipo de ángulo que necesitas cuando quieres usar el teléfono de la derecha. 86. De cuántos grados será el ángulo cuando el teléfono no se está usando. 87. ¿Qué ángulo piensas que es mejor para ver la pantalla en el teléfono? Explica.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 88. Un 89. Una 90. Un

llano

muestra una ubicación. se extiende indefinidamente en ambas direcciones.

línea

de línea incluye sus puntos finales.

suplementario .

91. Para indicar que la línea AB es paralela a la línea CD, usamos el símbolo

ángulo

92. Un

se extiende indefinidamente en una dirección.

rayo

93. Un

es una figura formada por dos rayos con un punto común.

punto

94. Un ángulo

es un ángulo cuya medida es 90.

95. Un ángulo

es un ángulo cuya medida es 180.

96. Un ángulo

es un ángulo cuya medida es mayor de 0 y menor de 90.

97. Un ángulo

es un ángulo cuya medida es mayor de 90 y menor de 180.

98. Los

son dos ángulos cuya suma es 90.

99. Los

son dos ángulos cuya suma es 180.

100. La suma de la medida de los tres ángulos de un triángulo es

agudo segmento VV 90 complementario .

180 recto obtuso 

470

Capítulo 8

8-18

Geometría

666Prueba de dominio La figura se usará en los problemas 101 al 105. Q

P

O

N

M

101. Nombra tres puntos de la figura. 102. Nombra dos líneas de la figura. 103. Nombra tres segmentos de línea en la figura. 104. ¿Qué par de líneas parecen ser paralelas en la figura? 105. Nombra un rayo de la figura. 106. En el triángulo ABC, m A  50, m B  30. Encuentra m C. 107. Clasifica cada triángulo de acuerdo con sus ángulos y sus lados. a. P

b.

45

45

c.

N

d.

E 60

130

45

R

Q

60 D

60 F M

108. Halla la medida del complemento del ángulo de 70 que se muestra.

O

109. Encuentra la medida del suplemento del ángulo de 35 que se muestra. ?

35

70

110. Clasifica los siguientes ángulos. a. a.

111. Nombra el ángulo de tres formas diferentes. b. b.

180

E Right C

. D

Straight

c. c.

Obtuse

d. d.

Acute

666Comprobación de destrezas En los problemas 112 al 116, evalúa la expresión. 112. 3.14  100

113. 2  5.1 + 2  3.2

114. 2  400  2  500

115. 4  3}14

116. 5  921

8-19

8.2

8 .2

Hallar perímetros

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6 B6 C6

Hallar perímetros

471

1. Multiplicar decimales y fracciones. (págs. 130–133, 212–214) 2. Sumar decimales y fracciones. (págs. 151–155, 203–204)

Encontrar el perímetro de un polígono. Encontrar la circunferencia de un círculo. Resolver aplicaciones con los conceptos estudiados.

6 Para comenzar Imagina que quieres cercar un terreno. ¿Cuántos pies lineales de cerca necesitas? Para responder esta pregunta, necesitamos encontrar el perímetro (la distancia alrededor) del terreno, sumando las longitudes de los lado. (El símbolo ['] significa pies y ["] significa pulgadas.) El perímetro es:

SE VENDE 534'

ZONA 180'

439'

C ANOGA PARK DR

293' I VE

TÉRMINOS DEL PROPIETARIO

(439 1 180 1 534 1 293) pies, o 1446 pies

A 6 Encontrar perímetros En general, el perímetro es la distancia alrededor de un objeto.

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados. Nota: En un polígono regular todos los lados son iguales en longitud.

La tabla 8.2 te dará una idea de las formas y los nombres de algunos de los polígonos que estudiaremos.

Tabla 8.2 Un polígono regular es un polígono con todos los lados de igual longitud y todos los ángulos de igual medida. Usualmente se denominan de acuerdo con el número de lados que posea. Por ejemplo: Un triángulo es un polígono de 3 lados. Triángulo Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados. Un pentágono es un polígono de 5 lados. Un hexágono es un polígono de 6 lados. Un heptágono es un polígono de 7 lados. Un octágono es un polígono de 8 lados. Heptágono Un eneágono es un polígono de 9 lados. Un decágono es un polígono de 10 lados.

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Octágono

Eneágono

Decágono

(continúa)

472

Capítulo 8

Tabla 8.2

8-20

Geometría

(continuación)

Un trapezoide es un cuadrilátero con exactamente un par de lados opuestos paralelos. Trapezoide

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Paralelogramo

Un rombo es un paralelogramo con todos los lados de igual longitud. Rombo

Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Rectángulo

Un cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales en longitud. Cuadrado

Ahora, estamos listos para encontrar el perímetro de algunos de estos polígonos.

EJEMPLO 1 Perímetro de un polígono Encuentra el perímetro del polígono.

PROBLEMA 1 Encuentra el perímetro del polígono.

5m

4 yardas 2m

2m 4m

1m

SOLUCIÓN

2 yardas 2 yardas 1 yarda

4 yardas

El perímetro es (1 1 2 1 5 1 2 1 4) m 5 14 m

EJEMPLO 2 Perímetro de un rectángulo Halla el perímetro del rectángulo.

PROBLEMA 2 Encuentra el perímetro del rectángulo.

2 cm

3 pies 5 cm 4 pies

SOLUCIÓN

El perímetro es (4 1 3 1 4 1 3) pies 5 14 pies

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 13 yardas

2. 14 cm

8-21

8.2

Hallar perímetros

473

Nota que en el ejemplo 2 sumamos las longitudes dos veces y el ancho dos veces también, ya que un rectángulo tiene dos pares de lados con igual longitud. Aquí está la fórmula:

PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO

El perímetro P de un rectángulo es dos veces el largo l más dos veces el ancho a, eso es,

P52?l12?a

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

SOLUCIÓN

Encuentra el perímetro de un rectángulo de 6.3 pulgadas de largo por 3.4 pulgadas de ancho.

Perímetro de un rectángulo Encuentra el perímetro de un rectángulo de 5.1 cm de largo por 3.2 cm de ancho. P 5 (2 ? 5.1 1 2 ? 3.2) cm 5 (10.2 1 6.4) cm 5 16.6 cm

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Perímetro de un cuadrado Encuentra el perímetro del cuadrado.

Halla el perímetro del cuadrado.

3m

2 yardas

SOLUCIÓN

El perímetro es (2 1 2 1 2 1 2) yardas 5 8 yardas Para encontrar el perímetro del cuadrado en el ejemplo 4 sumamos la longitud de un lado cuatro veces, ya que los cuatro lados de un cuadrado tienen la misma longitud. Aquí está la fórmula:

PERÍMETRO DE UN CUADRADO

El perímetro P de un cuadrado es cuatro veces la longitud de su lado l, eso es,

P54?l

EJEMPLO 5 Perímetro de un cuadrado Encuentra el perímetro del cuadrado.

pies 3_ 4 1

SOLUCIÓN

El perímetro es 1 P 5 4 ? 3} 4 pies 13 54?} 4 pie 5 13 pies

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 19.4 pul 5. 11 cm

4. 12 m

PROBLEMA 5 Halla el perímetro del cuadrado.

2 cm

474

Capítulo 8

8-22

Geometría

EJEMPLO 6 Perímetro de un pentágono Cada uno de los lados extremos del Pentágono construido en Arlington, Virginia, es de 921 pies de largo. ¿Cuál es el perímetro del edificio?

PROBLEMA 6 Halla el perímetro del pentágono. 21 m

21 m

SOLUCIÓN

Un pentágono tiene cinco lados, como se muestra. Así, el perímetro del edificio es 5 ? 921 pies 5 4605 pies.

21 m

21 m 21 m

B 6 Encontrar circunferencias Seguramente conoces la figura geométrica llamada círculo. La distancia alrededor de un círculo se llama circunferencia. La figura muestra un círculo con un centro O. El segmento de línea AB se llama diámetro, d, y OC se llama radio, r. Nota que, en general,

RELACIÓN ENTRE EL DIÁMETRO d Y EL RADIO r

C O

r

A

B d

d d52?r y r5} 2 Esto significa que el diámetro d es siempre dos veces el radio r, y el radio r es la mitad del diámetro. Así, si el diámetro de un círculo es de 8 pulgadas, el radio es la mitad de eso, 4 pulgadas. También, si el radio de un círculo es de 3 centímetros, su diámetro es el doble de eso, 6 centímetros. Ahora imagina que mides la circunferencia C C y el diámetro d de una lata de refresco. Si divides C por d, la razón }d es muy cercana a 3.14159 . . . . (los tres puntos significan que el decimal continúa) Si enconC tramos la razón }d de latas de refresco de diferente tamaño, la respuesta sigue siendo cercana a 3.14159 . . . . De hecho, para cualquier círculo, simbolizamos la razón de C C } por la letra R (pi)—eso es, } 5 R. Multiplicando ambos lados por d nos da d d C d  }d  d  R, o C  R  d. Así,

CIRCUNFERENCIA DE UN CÍRCULO

La circunferencia C de un círculo de un radio r es igual a dos veces pveces el radio r o p veces el diámetro d. En símbolos, C 5 2Rr o C 5 Rd 22

Nota: p es aproximadamente 3.14 o } 7.

EJEMPLO 7 Encontrar la circunferencia Encuentra la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 4 centímetros. Usa 3.14 para R. SOLUCIÓN Como el radio es de 4 centímetros, el diámetro es dos veces eso, u 8 centímetros. La circunferencia es C5Rd 5 3.14  8 cm 5 25.12 cm

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 105 m

7. 31.4 pies

PROBLEMA 7 Halla la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 5 pies. Usa 3.14 para R.

8-23

8.2

Hallar perímetros

475

C 6 Aplicaciones con perímetros y circunferencias

EJEMPLO 8 Distancia recorrida por Venus El planeta Venus gira alrededor del Sol un una órbita casi circular, cuyo diámetro es de aproximadamente 100 millones de kilómetros. Encuentra la distancia recorrida por Venus en una vuelta alrededor del Sol. Usa 3.14 para R. SOLUCIÓN

La distancia recorrida es la circunferencia de C. C5Rd 5 3.14  100 millones de kilómetros 5 314 millones de kilómetros

EJEMPLO 9 Perímetro de un área de ejercicio ¿Escuchaste la expresión “asegura ese perímetro”? Una aplicación de este concepto es establecer la seguridad en una zona con un perímetro dado, en este caso, un área de ejercicios de una correccional que mide 500 por 400 pies. ¿Cuál es la longitud del cable de seguridad que rodea el área de ejercicio?

500 pies Cable de seguridad

Cerca

Área de ejercicios de una correccional

400 pies

Fuente: Información de Fiber SenSys.

SOLUCIÓN El cable tiene la misma longitud que el perímetro del rectángulo que mide 500 por 400 pies. Dado que el perímetro P del rectángulo es P 5 2l 1 2a, el perímetro del área es P 5 2(500 pies) 1 2(400 pies) 5 800 pies 1 1000 pies 5 1800 pies Así, la longitud del cable de seguridad que rodea el área de ejercicios es de 1800 pies. (Nota: Algunas veces se usa más de un cable de seguridad alrededor del perímetro.)

Respuestas a los PROBLEMAS 8. 628 millones de kilómetros 9. 1400 pies

PROBLEMA 8 La órbita de Marte alrededor del Sol es aproximadamente un círculo de 200 millones de kilómetros de diámetro. Encuentra la distancia recorrida por Marte en una vuelta alrededor del Sol. Usa 3.14 para R.

PROBLEMA 9 ¿Cuál será la longitud del cable de seguridad alrededor de un área de ejercicios más pequeña que mide 400 por 300 pies?

476

Capítulo 8

8-24

Geometría

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Encontrar perímetros En los problemas 1 al 20, encuentra el perímetro de los polígonos. 6 pies

1.

6Web IT

3.

3.1 cm 1.2 cm

3 cm

1 6_ 4 pul

4.

5 cm

2.

4 pies

1 5_ pul 8

5.

6.

7. 5.25 cm

8.

3.1 cm 2.2 cm

1 3_ pul 4

3 3_ pul 4

1 5_ pul 2

9.

1 4_ 3 yd

1 5_ pul 2

5.25 cm

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

6Ejercicios 8.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

10.

1 4_ 3 yd

11.

12.

4.5 yd 4 pies

3.9 cm

3 pies

2.9 cm

4.5 yd 2 pies 1 3_ 3 yd

13.

3 2_ 4 yd

14. 2_ 4 yd

17.

3m 2.1 m

3 1_ 8 pies

18.

13.1 m

13.25 pies

2m 2.5 m

19.

20.

14.1 km 17 km

16.1 mi 4 mi

25.2 km 42.3 km

1 2_ 4 pies

1 1_ 2 yd

1 4_ 3 yd

16.

15. 3 1_ 4 yd

3 1_ 4 yd

1

2 yd

1.9 cm

16.1 mi 20.2 mi

8-25

Hallar perímetros

477

6Web IT

5B6

8.2

Encontrar circunferencias En los problemas 21 al 28, encuentra la circunferencia (usa 3.14 para R).

21.

22.

23.

ir a

5 pulgadas

3 cm

24.

1.2 cm

25.

26. 4.1 pulgadas

2.1 m

27.

www.mathzone.com/bello

3.5 pies

28.

para más lecciones

2.4 millas 3.6 km

5C6

Aplicaciones con perímetros y circunferencias

29. Perímetro de la piscina más grande La piscina más grande del mundo está en Casablanca, Marruecos, y mide 450 metros de largo y 75 metros de ancho. ¿Cuál es su perímetro?

30. Perímetro del Edificio de Ensamblaje de Vehículos El edificio rectangular de Ensamblaje de Vehículos en Cabo Cañaveral mide 716 pies de largo y 518 pies de ancho. ¿Cuál es el perímetro de este edificio?

31. Perímetro del astillero más grande El astillero más grande es Okopo N° 1, en Corea del Sur. La estructura rectangular es de 1772.4 pies de largo por 430 pies de ancho. ¿Cuántos pies debes caminar para recorrer todo el perímetro de éste?

32. Perímetro de un mural Uno de los murales más grandes se hizo en Japón y midió 328 por 328 pies. ¿Cuántos pies de marco se requieren para enmarcarlo?

33. Enmarcar la Mona Lisa La Mona Lisa, una pintura hecha por Leonardo Da Vinci, mide 30.5 por 20.9 pulgadas. ¿Cuántas pulgadas de marco (medidas desde adentro) fueron necesarias para enmarcar la pintura?

34. Diamante de béisbol Un diamante de béisbol es realmente un cuadrado. Si la distancia a la primera base es de 90 pies, ¿cuánto debes correr para recorrer todas las bases?

35. Circunferencia de una goma de bicicleta El diámetro de la goma de una bicicleta esde 60 centímetros. ¿Cuál es la circunferencia de la goma? Usa 3.14 para R.

36. Aguja de minutos de un reloj La aguja de minutos de un reloj es de 3 pulgadas de largo. ¿Cuánto se mueve la punta de la aguja en 1 hora? Usa 3.14 para R.

37. Fútbol El campo de fútbol reglamentario que se muestra es un rectángulo de 60 yardas de ancho y 100 yardas de largo. ¿Cuál es el perímetro del campo? Línea de medio campo

40. Fútbol El círculo central es un círculo de 10 yardas de radio. Los defensores deben quedarse por fuera del círculo al momento de comenzar el pase. ¿Cuál es la circunferencia del círculo? (da una respuesta exacta.)

era lat

100 yardas

eas Lín

39. Fútbol El área de gol es un rectángulo más pequeño dentro del “área de penal”, centrado en el arco. Las medidas de esta área son de 20 yardas de ancho por 6 yardas de profundidad. ¿Cuál es el perímetro del área de gol?

10 yardas

les

38. Fútbol El área de penalti es un rectángulo de 44 yardas de ancho y 18 yardas de largo. ¿Cuál es el perímetro del área de penalti?

10 yardas

Área de penal

1 yarda radio

24'

12 yardas Área 6 yardas de gol

8' 20 yardas 44 yardas 60 yardas

Fuente: http://www.sportsknowhow.com.

18 yardas

478

Capítulo 8

8-26

Geometría

Little Rock

46

Ardmore

? ?

Arkansas

Oklahoma

123 2:19

4:3 2

Fort Smith

? ?

14 4

Oklahoma City

200 5:05

14 5 2:4 4

228

100 1:58

Clovis

Amarillo

5 10 9 2:0

Texas

114 2:12

Tucumcari

1 27 6 5:0

Lubbock

23 5 4:4 1

42

5:

8

29

18 3 3:2 7

80 33

xa

Houston 5 12 0 2:4

San Antonio

2:56

141 5 2:4 1:58

0 18 3 3:2

Victoria 95

Del Rio

154 2:55

o

86 1:39

195 3:43

155

s

xic

Beaumont

163 3:14

Austin

121 2:17

1:

Sanderson Te Me

190 3:41

31 9 6:0 1

4 20 0 3:5

43. Halla la distancia viajada cuando sales de Austin, conduces hasta Ft. Worth, luego a Abilene, y de vuelta a Austin.

Louisiana Shreveport

Texas

107 2:01

76

224 2 4:2

197 3:49

Dallas

237 4:33

7

Van Horn

3 22 3 4:1

1

2:1

2:54

Big Spring

Texas El Paso

0:39

151

Abilene 110 2:10

Texarkana Arkansas

176 3:19

31

Fort Worth

71 1:21

New Mexico

12

9

171 3:14

105

11

5 16 7 3:0

274 5:10 2:02

00

4:

Carlsbad

28

9

19

1:26

3:18

42. Halla la distancia viajada si vas desde Dallas a Houston, a Shreveport, y de vuelta a Dallas.

1 2: 46 45

Wichita Falls

3:54

223 4:14

207

175

97 1:49

11

2:

196 3:48

Roswell

2:

41. Halla la distancia viajada si vas desde Laredo a San Antonio y a Del Río, y de vuelta a Laredo.

2:

9

10

Louisiana

Distancia Si estás Di i viajada i j d á viajando i j d en carro, la distancia entre dos puntos se muestra en el mapa de viaje.

Oklahoma

666Usa tus conocimientos

8 18 3 3:3

Corpus Christi

Laredo

Golfo de

52

3:

5

20

Texas Distancias

166 3:15

México

Brownsville

Millas: 196 Tiempo promedio (excluyendo paradas): 3:48

666¡Escribe! 44. ¿Recuerdas la propiedad distributiva del capítulo 1? En esta sección, mencionamos que el perímetro P de un rectángulo es P 5 2l 1 2a. Usa la propiedad distributiva para escribir esta fórmula de una manera distinta.

45. Un rectángulo es de 20 por 10 metros. Comenta tres maneras diferentes en las que puedes hallar el perímetro. ¿Cuál es la más rápida?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 46. El

de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

perímetro

volumen

47. La

de un círculo de un diámetro d es Rd.

área

circunferencia

666Prueba de dominio 48. Halla el perímetro de un área de recreación rectangular que mide 200 por 100 pies.

50. Un edificio pentagonal está construido para que cada lado sea de 700 pies de largo. ¿Cuál es el perímetro del edificio? 52. Halla el perímetro del cuadrado dado.

49. La órbita de Júpiter alrededor del Sol es aproximadamente un círculo con un diámetro de 800 millones de kilómetros. Encuentra la distancia recorrida por Júpiter en una revolución alrededor del Sol. Usa 3.14 para R. 51. Halla el perímetro de un cuadrado cuyo lado es de 5}14 centímetros. 53. Halla el perímetro de un rectángulo de 3.4 centímetros de largo por 1.2 centímetros de ancho.

4 pies

6 pies 5 yardas 55. Encuentra el perímetro del polígono.

54. Halla el perímetro del rectángulo. 5 pies

3 pies

3 pies 5 pies

18 pies

666Comprobación de destrezas Multiplica. 1 56. }2  15  10

1 57. }2  15  20

1 58. }2  13  8

1 59. }2  3  5

1 60. }2  9  7

8-27

8.3

Hallar áreas

8 .3

Hallar áreas

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

Multiplicar fracciones y decimales. (págs. 130–133, 212–214)

A6

Hallar el área de un rectángulo o un cuadrado.

B6

Hallar el área de un triángulo.

C6

Hallar el área de un paralelogramo.

479

6 Para comenzar La foto muestra algunos peces en un acuario. ¿Sabes cuántos peces puedes tener viviendo en un acuario? El número aproximado puede hallarse estimando el área del agua en la superficie. Si el acuario es de 20 pulgadas de largo por 10 pulgadas de ancho, como se muestra más abajo, el área del agua de la superficie es 10 pul  20 pul  200 pul2 (Se lee “200 pulgadas

D6 E6

Hallar el área de un trapezoide.

cuadradas”)

10 pul

Hallar el área de un círculo.

20 pul

A 6 Áreas de rectángulos y cuadrados En el sistema métrico el área de un cuadrado de 1 centímetro por cada lado es 1 cm  1 cm  1 cm2

(Se lee “1 centímetro cuadrado”)

Nota que tratamos la unidad de dimensión, el centímetro, como si fuera un número. Por tanto, cm  cm  cm2 pulgada  pulgada  pulgada2 De la misma forma, en el sistema americano podemos definir el área de un cuadrado de 1 pulgada  1 pulgada  1 pulgada2 Estas dos áreas se muestran en la siguiente ilustración.

1 centímetro cuadrado

1 cm 4 cm

1 pulgada cuadrada

1 pul

1 cm 1 pul

3 cm

Para hallar el área de una figura, debemos encontrar el número de unidades cuadradas que contiene. Por ejemplo, el área de un rectángulo* de 3 centímetros por 4 centímetros es 3 cm  4 cm  12 cm2. Eso es porque un rectángulo así contiene 12 cuadrados de 1 centímetro cuadrado cada uno. ancho a En general, puedes hallar el área de cualquier rectángulo multiplicando su longitud l por su ancho a, como se muestra. largo l *Un rectángulo es un polígono de cuatro lados en el cual los lados opuestos son paralelos y cuyos cuatro ángulos son de 90°.

480

Capítulo 8

8-28

Geometría

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

El área A de un rectángulo es el producto de su longitud l y su ancho a. En símbolos,

Ala

EJEMPLO 1 Área de un rectángulo Halla el área de un rectángulo de 6 por 4 metros. SOLUCIÓN

PROBLEMA 1 Halla el área de un rectángulo de 5 por 8 yardas.

A  l  a  (6 m)  (4 m)  24 m2

Así, el área del rectángulo es de 24 metros cuadrados. El área de un cuadrado es más fácil de hallar porque su longitud y su ancho son iguales. Por ejemplo, si un cuadrado tiene un lado de longitud l, su área es l l  l 2. Lado l

Lado l

ÁREA DE UN CUADRADO

El área A de un cuadrado es el cuadrado de su lado l. En símbolos,

A  l  l  l2

EJEMPLO 2 Área de un cuadrado Halla el área de un cuadrado cuyo lado es de 6 pulgadas de largo. SOLUCIÓN

PROBLEMA 2 Halla el área de un cuadrado cuyo lado es de 8 centímetros de largo.

A  l 2  l l  (6 pul)  (6 pul)  36 pul2

B 6 Área de un triángulo Si conocemos el área de un rectángulo, siempre podemos encontrar el área de un triángulo. Mira la siguiente figura y fíjate si puedes hallar la fórmula para el área del triángulo.

h

altura h base b

b

Dado que el área del triángulo (sombreado) es }12 el área del rectángulo, que es bh, el área del triángulo es }12bh.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

El área A de un triángulo es el producto de }21 de su base b por su altura h. En símbolos,

1 A} 2  b h Respuestas a los PROBLEMAS 1. 40 yardas2

2. 64 cm2

8-29

8.3

481

Hallar áreas

Esta fórmula puede aplicarse para cualquier tipo de triángulo.

Altura h Base b

Altura h

Altura h Base b

Base b

EJEMPLO 3 Área de un triángulo Halla el área de un trozo de tela triangular de 15 centímetros de largo por 10 de alto. SOLUCIÓN

PROBLEMA 3 Halla el área de una pieza de metal triangular de 12 pulgadas de alto y 10 pulgadas de alto.

5 1 1 2 } A} 2  15 cm  10 cm  2  15 cm  10 cm  75 cm

C 6 Área de un paralelogramo Si conoces el área de un rectángulo, puedes hallar el área de un paralelogramo, una figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos. He aquí algunos paralelogramos.

Para hallar el área del siguiente paralelogramo, cortamos la parte triangular y la movemos al otro lado, obteniendo un rectángulo. Como el área de un rectángulo es la longitud por el ancho, el área A de un paralelogramo es b  h. h

h

b

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

b

El área A de un paralelogramo es el producto de su base b por su altura h. En símbolos,

A b h

EJEMPLO 4 Área de un paralelogramo Halla el área del paralelogramo.

PROBLEMA 4 Halla el área del paralelogramo.

2 pulgadas 4 pulgadas 4 pulgadas 6 pulgadas

SOLUCIÓN A  (6 pulgadas)  (4 pulgadas)  24 pulgadas2

Respuestas a los PROBLEMAS 3. 60 pul2

4. 8 pul2

482

Capítulo 8

8-30

Geometría

D 6 Área de un trapezoide Un trapezoide es una figura de cuatro lados que tiene un par de lados exactamente paralelos.

Para hallar el área de un trapezoide, construimos otro igual y colocamos los dos juntos para formar un paralelogramo. a

a

b

h

h

b

b

a

El área del paralelogramo es la longitud de la base (a  b) por la altura (h), o h  (a  b); sin embargo, el área de un trapezoide es la mitad del área del paralelogramo o }21(a  b)h. a h b

ÁREA DE UN TRAPEZOIDE

El área A de un trapezoide es }21 multiplicado por la suma de la longitud de las bases (a  b) y su altura h. En símbolos,

1 A} 2  (a  b) h

EJEMPLO 5 Área de un trapezoide Halla el área del trapezoide. SOLUCIÓN

PROBLEMA 5 Halla el área del trapezoide 3 cm

1 A} 2  (4 cm)  (5 cm  6 cm) 1 } 2  (4 cm)  (11 cm) 4  11 2 } 2 cm  22 cm2

5 cm 4 cm 4 cm

6 cm

5 cm

E 6 Área de un círculo El área de un círculo puede hallarse si conocemos la distancia desde el centro del círculo hasta su borde, el radio r del círculo. La fórmula para hallar el área de un círculo también involucra 22 el número R, el que aproximamos a 3.14 ó } 7.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 16 cm2

radio r

8-31

8.3

ÁREA DE UN CÍRCULO

Hallar áreas

483

El área A de un círculo es el producto de R y el cuadrado del radio r. En símbolos,

A  R  r2 22 Nota: R 3.14 ó } 7.

EJEMPLO 6 Área de un círculo Halla el área de un círculo con un radio de 3 centímetros. Usa 3.14 para R. SOLUCIÓN

PROBLEMA 6 Halla el área de un círculo con un radio de 2 pulgadas. Usa 3.14 para R.

A  (3.14)  (3 cm)2  3.14  (3 cm)  (3 cm)  (3.14)  (9 cm2)  28.26 cm2

EJEMPLO 7 Área de un círculo El Laboratorio de Aceleración Nacional Fermi tiene el acelerador atómico que se muestra en la fotografía. El acelerador tiene un radio de 0.60 millas. ¿Qué área cubre? Usa 3.14 para R.

PROBLEMA 7 La fotografía muestra varios círculos misteriosos de trigo que aparecieron en Rockville, California. El círculo más grande se dice que mide 140 pies de diámetro. ¿Cuál es el área de este círculo? Usa 3.14 para R.

SOLUCIÓN

El área A de un círculo es A  Rr 2, donde r  0.60. Así, el área es A  R(0.60 mi)2  3.14(0.36 millas2) = 1.1304 millas2. Es decir, el acelerador cubre alrededor de 1.1304 millas cuadradas.

Rincón de la calculadora La tecla de cuadrado es especialmente útil cuando se trabaja con problemas de área. Por ejemplo, para hallar el área de un círculo con un radio de 3 centímetros, necesitas hallar (3.14)  (3)2, como en el ejemplo 6. Esto puede . 1 4 3 hacerse digitando 3 . Aparecerá el resultado correcto, 28.26. En otros cursos de matemáticas, puede ser necesaria una aproximación más precisa para R. Si tu calculadora tiene una tecla de R , esta aproximación la hace la calculadora. Así, digitando la tecla de R podría dar 3.1415927 como una aproximación.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. 12.56 pul2

7. 15,386 pies2

484

Capítulo 8

8-32

Geometría

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

En los problemas 1 al 9, halla el área del rectángulo o el cuadrado.

Áreas de rectángulos y cuadrados

1. Un rectángulo de 10 por 15 pies

2. Un rectángulo de 5 por 3 pulgadas

3. Un rectángulo de 2 por 3 pulgadas

4. Un rectángulo de 3 por 2 yardas

5. Un rectángulo de 8 por 9 centímetros

6. Un cuadrado de 5 centímetros en cada lado

7. Un cuadrado de 9 pulgadas en cada lado

8. Un cuadrado de 15 metros en cada lado

9. Un cuadrado de 9 yardas en cada lado

5B6

Área de un triángulo En los problemas 10 al 20, halla el área del triángulo.

10. Un triángulo cuya base es de 6 pulgadas y su altura de 10 pulgadas 11. Un triángulo de 8 centímetros de base y 7 centímetros de altura 12. Un triángulo de 20 milímetros de alto y 10 milímetros de base 13. Un triángulo con 50 milímetros de base y una altura de 7 milímetros 15.

14. 9 cm

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

6Ejercicios 8.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

16.

17.

15 cm

5 pul

9m

13 pul

12 cm 5m

5 pies 4 pies

19.

18.

20.

2 km

6 yd 5 yd

2 km

10 km

4 yd

4 km

5C6

Área de un paralelogramo

21.

En los problemas 21 al 28, halla el área del paralelogramo. 23.

22.

1

3 pul

3 cm 5 pul

12 pul

5m

2 2 cm 1

5 2 cm

8-33

8.3

25.

485

6Web IT

24.

Hallar áreas

26. 5 yd

1 3_ 2 pies

6m 11 yd

ir a

www.mathzone.com/bello

10 m 4 pies

27.

28.

9 yd 6 yd

5 cm

5 yd

7 cm

5D6

Área de un trapezoide En los problemas 29 al 33, encuentra el área del trapezoide. 30.

4 pul

31. Halla el área del lote. 120 pies

2 m

2 pul 3A m

1 7_ 2 pul

45 pies

6Q m 130 pies

32. ¿Cuál es el área del ala del misil en pulgadas cuadradas?

33. ¿Cuál es el área del campo que se muestra?

6 pul

C

21 pies

10 pies

12 pul 18 pies

14 pul

5E6

Área de un círculo

En los problemas 34 al 40, halla el área del círculo. Usa 3.14 para R.

34. Un círculo con un radio de 5 pulgadas

35. Un círculo con un radio de 4 pulgadas

36. Un círculo con un radio de 2 pies

37. Un círculo con un radio de 7 centímetros

38. Un círculo con un radio de 10 milímetros

39. Un círculo con un radio de 1 metro

40. Un círculo con un radio de 3 yardas

En los problemas 41 al 50, halla el área de la parte sombreada sumando o restando las partes individuales. 41.

42.

10 pies 3 pies

43.

2pies 2 pies 6 pies

3 pies

2m 4m

2 pies

8m 3m

2m 4m

12 m 44.

8 pies

12 m 4m

2 pies 8m

4 pies 2 pies 6 pies

2ft 16 m

4m

para más lecciones

29.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

486

Capítulo 8

45.

8-34

Geometría

6 pies 3 pies

4 pies

12 m

46. 4 pies

8m

6 pies

8m

6m

12 m 48. Usa R < 3.14.

47. Usa R < 3.14.

20 pul

40 cm 10 c

5 pul

m 10 cm

20 cm

10 pul 5 pul

10 cm

Semicírculo

Semicírculo (medio círculo) 49. Usa R < 3.14.

50. Usa R < 3.14.

3 cm

5 pul

Semicírculo

l

5 pu

Semicírculo

666Aplicaciones 51. Área del diamante de béisbol Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. ¿Cuál es su área?

52. Área de un campo de fútbol Un campo de fútbol es de 120 yardas de largo y 160 pies de ancho. ¿Cuál es su área en pies cuadrados?

53. Área de una pizza Una de las pizzas más grandes que se ha hecho (en Glen Falls, N.Y.) tenía 40 pies de radio. ¿Qué área cubría la pizza? (Usa 3.14 para R.)

54. Área de una omelet Una de las omelets más grandes que se han preparado en la Universidad de Conestoga, en Ontario, Canadá, medía 30 por 10 pies. ¿Qué área tenía esta omelet rectangular?

55. Área de un cráter El cráter circular más grande que se ha registrado, en el norte de Arizona, es de alrededor de 5200 pies de ancho. ¿Cuál es el área de este cráter? (Usa 3.14 para R.)

En los problemas 56 al 65, usa 3.14 para R y responde a dos posiciones decimales. 56. Área de un plato de comida Halla el área de un plato de comida de 6 pulgadas de diámetro.

57. Área de un círculo de cosecha holandés El círculo de cosecha más grande que se registró en Holanda tenía un diámetro de 12 metros. ¿Cuál es su área?

58. Área del círculo de cosecha más grande El círculo de cosecha más grande registrado en Wiltshire, Inglaterra, tenía un diámetro de 240 metros. ¿Cuál es el área del círculo?

59. Área de una rueda de bicicleta El diámetro de una rueda de bicicleta es de 20 pulgadas. ¿Cuál es el área de la rueda?

60. Área de una pizza Una pizza tiene un diámetro de 18 pulgadas. ¿Cuál es su área?

61. Área de una cortadora de césped Una cortadora de césped autopropulsada se conecta a un polo en el patio trasero con una cuerda de 20 pies. Si la cortadora gira en círculos decrecientes (porque la cuerda se enrolla alrededor del polo), ¿cuál es el área que puede cortar la cortadora?

62. Área de tormenta Una tormenta de verano es de forma circular y tiene un diámetro de 50 millas de largo. ¿Qué área cubre esta tormenta?

63. Área de los sectores en la rueda de la fortuna Una rueda de la fortuna tiene seis sectores, la mitad de los cuales son rojos y la otra, amarillos. Si el radio de la rueda es de 3 pies, ¿qué área cubren los sectores rojos?

64. Área de regado Un rociador de césped rocía agua a 10 pies de cada dirección en que rota. ¿Qué área del césped se está rociando?

65. Área del Carrusel de Disneylandia El Carrusel mágico en Disneylandia de París tiene un radio de alrededor de 27 pies. ¿Qué área cubre?

8-35

8.3

Hallar áreas

487

66. Fútbol El campo de fútbol reglamentario que se muestra es un rectángulo de 60 yardas de ancho y 100 yardas de largo. ¿Cuál es el área del campo? 67. Fútbol El área de penal es un rectángulo de 44 yardas de ancho y 18 yardas de largo. ¿Cuál es el área del área de penal?

Línea de medio campo

10 yardas

Lín eas lat er

ale s

68. Fútbol El área de gol es un rectángulo más pequeño dentro del “área de penal”, centrado en el arco. Las medidas de esta área son de 20 yardas de ancho por 6 de profundidad. ¿Cuál es el área de este espacio rectangular?

100 yardas 10 yardas

Àrea de penal

1 yarda radio

69. Fútbol La dimensiones de un campo para partidos internacionales están dados en metros (m), y son las siguientes:

24'

12 yardas

18 yardas

Área 6 yardas de gol

8' 20 yardas 44 yardas 60 yardas

Longitud: 100 m a 110 m Ancho: 64 m a 75 m ¿Cuál es el área del campo más pequeño permitido?

Fuente: http://www.sportsknowhow.com.

70. Fútbol Usando las dimensiones del problema 69, ¿cuál es el área del campo más grande permitido?

666Usa tus conocimientos Área de figuras irregulares Puedes usar tu conocimiento de las fórmulas estudiadas para hallar áreas de figuras más complicadas. Por ejemplo, el área de la siguiente hoja de metal puede encontrarse sumando el área del rectángulo al área de dos semicírculos (la suma de los dos semicírculos da el área de un círculo). R
2 pul 3 pul 5 pul 2 pul

2 pul 72. Halla el área de cada semicírculo. Usa 3.14 para R.

71. Halla el área del rectángulo. 73. Encuentra el área total.

Algunas veces restamos para encontrar áreas. El área de la siguiente placa es el área de un trapezoide menos el área del rectángulo. 1 3_ 2 pul

3 pul

1 pul

3 pul

5 pul 74. Halla el área del trapezoide.

75. Halla el área del rectángulo.

76. Encuentra el área total de la placa.

666¡Escribe! 77. Una pizza pequeña de 11 pulgadas de diámetro cuesta $8, y una pizza grande de 15 pulgadas de diámetro, $15. ¿Cuál es la mejor opción, comprar dos pizzas pequeñas o una grande? Pista: Halla cuántas pulgadas cuadradas obtienes por cada dólar.

78. ¿Cuál piensas que es una mejor ilustración de un círculo: una moneda de centavo perfectamente redonda o una goma de bicicleta? Explica.

488

Capítulo 8

8-36

Geometría

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 79. El área de un rectángulo de longitud l y ancho a es

.

con base b y altura h es

80. El área de un

. .

81. El área de un paralelogramo con base b y altura h es .

82. El área de un círculo de radio r es

Pr2

Pr

triángulo

2Pr

1 }bh 2

bh

l1a

La

rectángulo

666Prueba de dominio 83. Un círculo de cosecha es de 120 pies de diámetro. ¿Cuál es el área de este círculo? (Usa 3.14 para R.)

84. Halla el área de un círculo con un radio de 10 centímetros. Usa 3.14 para R.)

85. Encuentra el área del trapezoide.

86. Halla el área del paralelogramo.

6 cm 5 pulgadas

4 cm

8 pulgadas

3 cm 87. Halla el área de un trozo de tela de 20 centímetros de largo y 10 centímetros de alto.

88. Encuentra el área de un cuadrado cuyos lados miden 10 pulgadas de largo.

89. Halla el área de un rectángulo de 8 por 3 metros.

666Comprobación de destrezas En los problemas 90 al 94, realiza las operaciones indicadas. 1 10 ? 2 ? } 91. } 2 3 94. (0.62)(0.62)(0.62) (Responde a dos sitios decimales.) 1 90. 3 ? 2 ? } 3

92. (2)(18)(0.333)

8. 4

Volumen de los sólidos

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

93. (0.5)(22)(20)

1. Realizar las cuatro operaciones fundamentales con fracciones. (págs. 130–136, 151–156)

A6

Hallar el volumen de un sólido rectangular.

B6

Hallar el volumen de un cilindro.

6 Para comenzar

Hallar el volumen de una esfera.

¿Qué pan tiene más volumen, el pan cubano (cilíndrico) o el griego (en forma de rosquilla)? Para responder esta pregunta necesitas conocer la fórmula para encontrar el volumen de un cilindro. Antes de hacer eso, aprendamos a calcular el volumen de un simple sólido rectangular con la forma de una caja.

C6

2. Evaluar una expresión que contiene exponentes. (págs. 77, 82 –84)

8-37

8.4

D6

Hallar el volumen de un cono circular.

E6

Hallar el volumen de una pirámide.

F6

Resolver aplicaciones con volúmenes de sólidos.

489

Volumen de los sólidos

A 6 Volumen de sólidos rectangulares El volumen de un sólido rectangular es el número de unidades cúbicas que se necesitan para rellenarlo. En el sistema métrico un cubo sólido de 1 centímetro de cada lado se define como la unidad de volumen, 1 cm 3 1 cm 3 1 cm 5 1 cm3 ( se lee “un centímetro cúbico”). Otras unidades de volumen son el metro cúbico y, en el sistema americano, el pie cúbico y la yarda cúbica (nota que el volumen se mide en unidades cúbicas). Como en el caso de las áreas, el volumen de un objeto sólido rectangular equivale al número de unidades de volumen que contiene. Imagina que tienes un bloque de 3 centímetros de largo, 2 centímetros de ancho y 2 centímetros de alto. Puedes ver que la capa superior tiene tres filas que contienen dos unidades de volumen, es decir, 6 centímetros cúbicos (cm3) en total. Como la capa inferior es idéntica, el volumen de este cubo es de 12 centímetros cúbicos. Este volumen también puede encontrarse multiplicando 2 cm 3 3 cm 3 2 cm 5 12 cm3. En general, el volumen V de un sólido rectangular se halla multiplicando la longitud l por el ancho a por la altura h. Éste también es el área de la base (l ? a) por la altura (h) del sólido. Vl
a
h

2 cm 2 cm

h a

3 cm

VOLUMEN DE UN SÓLIDO RECTANGULAR

l

El volumen V de un sólido rectangular es el producto de su longitud l, su ancho a, y su altura h. En símbolos,

V5l? a ?h

l

︸ Área de la base

EJEMPLO 1

Volumen de un sólido rectangular Halla el volumen de este sólido.

h a

PROBLEMA 1 Halla el volumen de este sólido.

2m 5m

SOLUCIÓN

El volumen es 5 m ? 4 m ? 2 m 5 40 m3.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 48 m3

4m

4m 6m

2m

490

Capítulo 8

8-38

Geometría

En algunos casos, necesitamos hacer algunas conversiones en el sistema para obtener las unidades deseadas en la respuesta. Por ejemplo, el concreto se vende por yarda cúbica (yd3 ). De esta forma, para calcular cuánto concreto se necesita para llenar una caja de madera de 9 pies de largo, 6 pies de ancho y 12 pulgadas de grosor, primero tenemos que escribir todas las medidas en yardas. Así, 9 pies 5 3 yd 6 pies 5 2 yd 1 12 pul 5 } 3 yd El volumen de la caja es 1 3 V 5 l ? a ? h 5 3 yd ? 2 yd ? } 3 yd 5 2 yd

EJEMPLO 2 Volumen de un espacio rectangular ¿Cuántas yardas cúbicas de concreto se necesitan para llenar un hoyo de 10 pies de largo, 6 pies de ancho y 18 pulgadas de grosor? SOLUCIÓN 1 pie 5 12 pul. 1 10 pies 5 3} 3 yd, 1 18 pul 5 } 2 yd

PROBLEMA 2 ¿Cuántas yardas cúbicas de concreto se necesitan para llenar un hoyo de 18 pies de largo, 4 pies de ancho y 9 pulgadas de grosor?

Recuerda que 3 pies 5 1 yd y 6 pies 5 2 yd,

y

De esta forma, el volumen es 1 1 1 3 } } V 5 l ? a ? h 5 3} 3 yd ? 2 yd ? 2 yd 5 33 yd

B 6 Volumen de los cilindros

La mayoría de las latas de refresco está hecha de aluminio y tiene la forma de un cilindro, de alrededor de 5 pulgadas de alto y 2 pulgadas de diámetro. ¿Cómo hallamos el volumen de una lata así? El volumen de un cilindro circular como la lata se encuentra de la misma manera que el volumen de un sólido rectangular: es el producto del área de la base por la altura. Para un cilindro circular de un radio r y altura h, el área de la base será el área de un círculo, es decir, Rr2. Para hallar el volumen, multiplicamos el área de la base (Rr2) por la altura h.

VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR

El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es el producto de R, el cuadrado del radio r, y su altura h. En símbolos,

r h

V 5 R ? r2 ? h ︸ Área de la base

EJEMPLO 3 Volumen de un cilindro Halla el volumen de la lata. Usa 3.14 para R.

PROBLEMA 3

r
1 pul

Halla el volumen de una lata de 6 pulgadas de alto y con un radio de 1 pulgada. Usa 3.14 para R.

SOLUCIÓN

La lata es en forma de cilindro circular, y su volumen es V 5 R ? r2 ? h 5 3.14  (1 pul)2 ? (5 pul) 5 15.7 pul^3

Respuestas a los PROBLEMAS 2. 2 yd3

3. 18.84 pul3

h
5 pul

8-39

8.4

491

Volumen de los sólidos

C 6 Volumen de las esferas

Las dos bolas de bolos tienen forma de esferas. Una esfera es un sólido tridimensional que se define como un conjunto de todos los puntos en el espacio que están a una distancia dada (el radio r) del centro. El volumen de una esfera de radio r se encuentra con la siguiente fórmula.

VOLUMEN DE UNA ESFERA

El volumen V de una esfera de radio r es el producto de }43R y su radio al cubo. En símbolos, V 5 }43R ? r3

EJEMPLO 4 Volumen de una bola de bolos El radio de una bola de bolos es de 10.9 centímetros. Halla el volumen de la bola. Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima de centímetro cúbico más cercana. SOLUCIÓN El volumen de una esfera es V 5 }43 ? R ? r3 4 3 5} 3 ? 3.14 ? (10.9 cm) 4 ? 3.14 ? 1295.029 5 }} cm^3 3 ø 5421.85 cm3

r

PROBLEMA 4 Halla el volumen de la bola de bolos con un diámetro de 4.3 pulgadas. Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima de centímetro cúbico más cercana.

D 6 Volumen de conos circulares ¿Sabes el nombre de la figura geométrica del sombrero que está usando el niño? En geometría, se llama cono circular, pero es probable que lo conozcas como “sombrero de burro (dunce)”, un término que se origina del nombre de un teólogo escolástico del siglo 18, John Duns Scotus. El volumen de un cono circular con un radio r y altura h se da por

VOLUMEN DE UN CONO CIRCULAR

1 El volumen V de un cono de radio r es }3R por el producto del radio al cuadrado y la altura h. En símbolos,

h

1 2 V5} 3R ? r ? h ︸de Área la base

Respuestas a los PROBLEMAS 4. 41.61 pul3

r

492

Capítulo 8

8-40

Geometría

EJEMPLO 5 Volumen de un sombrero de cono Si el sombrero en la cabeza del niño es de 10 centímetros de alto y tiene un radio de 5 centímetros, ¿cuál es el volumen? Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima de centímetro cúbico más cercana. SOLUCIÓN

1 2 El volumen de un cono circular es V 5 } 3R ? r ? h 1 2 5} 3 ? 3.14 ? (5 cm) ? (10 cm)

PROBLEMA 5 Halla el volumen de un sombrero de un disfraz de princesa cuya altura es de 14 pulgadas y tiene un diámetro de 4 pulgadas. Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima de centímetro cúbico más cercana.

ø 261.67 cm3

E 6 Volumen de las pirámides ¿Reconoces la forma de la estructura en la fotografía? Es una pirámide (de la palabra griega pyra, que significa fuego, luz o visible, y la palabra midos, que significa medidas, aun cuando otros estudiosos dicen que el origen del término es la palabra griega pyramis, que significa ¡bizcocho de trigo!). La pirámide de la fotografía es la Gran Pirámide en Giza, construida por el rey Khufus, también conocido como Keops, de 2589 a 2566 A.C. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

El volumen V de una pirámide es el producto de }13 del área de su base A y su altura h. En símbolos,


1 V5} 3 A? h Área de la base

EJEMPLO 6 Volumen de la Gran Pirámide original La base de la Gran Pirámide es un cuadrado con lados que miden 230 metros cada uno. Si la altura de la pirámide es de 147 metros, ¿cuál es el volumen? 1

El volumen de la pirámide es V 5 }3 Ah. El área del cuadrado de base A es 230 m  230 m = 52,900 m2 y su altura h es 147 metros. Sustituyendo por A y h,

SOLUCIÓN

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 58.61 pul3 6. 2,353,158 m3

PROBLEMA 6 ¿Sabes que la Gran Pirámide se ha encogido? En realidad, debido a la pérdida de sus piedras exteriores, la base es ahora de 227 metros y su altura de 137 metros (habiendo perdido 10 metros de altura). Al metro cúbico más cercano, ¿cuál es el volumen actual de la pirámide?

8-41

8.4

Volumen de los sólidos

493

1 V5} 3 Bh 1 2 5} 3(52,900 m )(147 m)

S

147 m 5 (52,900 m2) } 3 5 (52,900 m2)(49 m) 5 2,592,100 m3

D

Así, el volumen de la Gran Pirámide original es de 2,592,100 metros cúbicos. Pero la pirámide se encogió: ¡ver el problema 6 para descubrir cuánto! Fuente: http://www.pbs.org.

F 6 Aplicaciones con volúmenes ¡Tantas aplicaciones y tan poco espacio! La fórmulas que comentamos para el volumen de sólidos pueden usarse para hallar el volumen de una jaula para mascotas (para transportar animales), la cantidad de tierra que se debe remover de un campo contaminado, la cantidad de medicina en una píldora cilíndrica, la capacidad de un horno microondas o un horno tostador, el volumen de cajas o camiones que se usan para mudanzas, ¡y muchas otras aplicaciones! He aquí algunos ejemplos.

EJEMPLO 7 Volumen de tierra removida ¿Cuánta tierra se removió del hueco que se muestra? Da la respuesta en yardas cúbicas.

Aquí, el personal usa equipo pesado para remover tierra contaminada de un sitio. EPA realiza estas remociones a largo plazo para resolver amenazas inmediatas a la salud humana y ambiental.

6 pies

60 pies

3 pies

SOLUCIÓN Dado que la respuesta debe ser en yardas cúbicas, asumimos que el hueco es rectangular de 20 yardas de largo, 2 yardas de ancho y 1 yarda de profundidad. (Nota: 6 pies 5 2 yd y 3 pies 5 1 yd) El volumen de un sólido rectangular es V 5 l ? a ? h 5 (20 yd) ? (2 yd) ? (1 yd) 5 40 yd^3 ¡Esta es la capacidad de dos camiones grandes de basura!

Respuestas a los PROBLEMAS 7. 80 yd^3

PROBLEMA 7 Se cavó una zanja mucho más grande en el fondo. Si las dimensiones de la zanja son de 120 pies de largo por 6 pies de ancho por 3 pies de profundidad. ¿Cuántas yardas cúbicas de tierra se removieron de la zanja?

494

Capítulo 8

8-42

Geometría

EJEMPLO 8 Volumen de una cápsula Las cápsulas son de forma de un cilindro de 12 milímetros de largo con dos medias esferas con un diámetro de 2 milímetros en cada punta. ¿Cuál es el volumen de la cápsula? Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima más cercana de un milímetro cúbico.

PROBLEMA 8 Imagina que las cápsulas son de forma de un cilindro de 10 milímetros de largo con dos medias esferas en las puntas de 2 milímetros de diámetro cada una. ¿Cuál es el volumen de cada cápsula? Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la centésima más cercana de un milímetro cúbico.

SOLUCIÓN Debemos encontrar el volumen V de un cilindro más el volumen de dos medias esferas (lo que hace una esfera completa). r  1 mm El volumen del cilindro es V 5 R  r2  h Aquí, r 5 1 mm y h 5 12 mm, emtonces V 5 3.14  (1 mm)2  (12 mm) 5 37.68 mm3 4 3 El volumen de la esfera es V5} 3Rr 4 3 5} 3  3.14  (1 mm) 4  3.14  1 mm3 5} 3 < 4.19 mm3 El volumen de la cápsula entera es 37.68 1 4.19 5 41.87 mm3.

h  12 mm Respuestas a los PROBLEMAS 8. 35.59 mm3

r  1 mm

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6Volumen de sólidos rectangulares Longitud

Ancho

Altura

1.

8 cm

5 cm

6 cm

2.

15 cm

20 cm

9 cm

En los problemas 1 al 4, halla el volumen del sólido rectangular de las dimensiones que indican. Longitud

Ancho

Altura

1 4} 2 pul }58 pul

3.

1 9} 2 pul

3 pul

4.

1 5} pul 4

3 1} 8 pul

5. La jaula para mascotas mide 26 pulgadas de largo, 19 pulgadas de altura y 16 pulgadas de ancho. ¿Cuál es el volumen de la jaula?

6. La jaula para mascotas es de 16 pulgadas de largo, 10 pulgadas de alto y 11 pulgadas de ancho. ¿Cuál es el volumen de la jaula?

7. Las dimensiones interiores de un horno tostador son de 11 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pulgadas de altura. ¿Cuál es el volumen del interior del horno tostador?

8. Las dimensiones interiores de un horno microondas son de 16 pulgadas por 11 pulgadas por 13 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del interior del horno microondas?

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

6Ejercicios 8.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

8-43

8.4

495

10. ¿Cuántas yardas cúbicas de arena se transportan en un camión de carga cuya área de carga mide 9 por 4 por 3 pies?

13. ¿En qué lugar de tu casa usas más agua? ¡En el inodoro! Si el tanque del sanitario es de 18 pulgadas de largo, 8 pulgadas de ancho y el agua es de 12 pulgadas de profundidad, ¿cuántos galones de agua contiene el tanque de agua? (1 pie^3 5 7.5 galones; responde al galón más cercano.)

14. ¿Cuánto concreto se necesita para construir una carretera de 45 pies de ancho, 1 pie de grosor y 10 millas de largo (1 milla 5 5280 pies)?

5B6

Volumen de los cilindros En los problemas 15 al 20, halla el volumen de un cilindro con el radio y la altura dadas. Usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la décima más cercana.) Radio

Altura

Radio

Altura

Radio

Altura

10 pulgadas

8 pulgadas

17.

10 cm

20 cm

19.

1.5 m

4.5 m

16.

4 pulgadas

18 pulgadas

18.

3.5 cm

2.5 cm

20.

0.8 m

3.2 m

21. Halla el volumen del cilindro grande de 4 pies de alto y un pie de diámetro. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a su centésima más cercana.

23. Cada una de las azucareras es de 5 pulgadas de alto y 3 pulgadas de diámetro. Halla el volumen de una azucarera. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a la centésima más cercana.

22. Halla el volumen del cilindro pequeño de 2 pies de alto y un pie de diámetro. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a su centésima más cercana.

24. ¿Cuál es el volumen del azúcar de las tres azucareras? Nota que una de las azucareras está llena a la mitad. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta al número entero más cercano.

En los problemas 25 al 28, usa 3.14 para R, y redondea la respuesta a la décima más cercana. 25. Un tanque cilíndrico tiene un diámetro de 20 pies y su altura es de 40 pies. ¿Cuál es el volumen?

26. Una barra de acero mide }12 pulgada de diámetro y 18 pulgadas de largo. ¿Cuál es su volumen?

27. Una taza de café tiene un diámetro de 3 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. ¿Cuál es su volumen? Si 1 pulgada^3 5 0.6 onzas líquidas, ¿cuántas onzas líquidas contiene la taza?

28. Una taza de café tiene un diámetro de 3 pulgadas y una altura de 3.5 pulgadas. Halla el volumen y determina si un refresco de 12 onzas líquidas cabrá en la taza (1 pulgada^3 5 0.6 onzas líquidas).

5C6

Volumen de las esferas En los problemas 29 al 32, usa 3.14 para R y redondea la respuesta a la décima más cercana.

29. Un tanque de agua esférico tiene un radio de 24 pies. ¿Cuántos galones de agua contendrá si 1 pie cúbico contiene 7.5 galones?

30. Un tanque de agua esférico tiene un radio de 7.2 metros. ¿Cuántos litros de agua contendrá si 1 metro cúbico contiene 1000 litros?

31. Los tanques de combustible de algunos barcos son esferas, de las cuales sólo las mitades superiores están en la cubierta. Si uno de estos tanques es de 120 pies de diámetro, ¿cuántos galones de combustible contiene (1 pie^3 5 7.5 galones)?

32. Un adorno navideño tiene un diámetro de 2 pulgadas. ¿Cuál es su volumen?

para más lecciones

15.

www.mathzone.com/bello

12. Una bañera mide 4 pies por 6 pies por 3 pies de profundidad. ¿Cuántos galones de agua podrá contener si 1 pie^3 5 7.5 galones?

ir a

11. Un tanque rectangular mide 30 por 3 por 2 pies. ¿Cuántos galones de agua contiene si un pie^3 5 7.5 galones?

6Web IT

9. Se va a cavar una piscina que mida 30 pies por 18 pies por 6 pies. ¿Cuántas yardas cúbicas de tierra deben removerse? (Pista: Cambia primero de pies a yardas).

Volumen de los sólidos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

496

Capítulo 8

5D6

Volumen de conos circulares altura dadas. Radio

8-44

Geometría

En los problemas 33 al 37, halla el volumen de un cono circular con el radio y la

Altura

Radio

Altura

33.

10 pulgadas

6 pulgadas

36.

10 pies

50 pies

34.

18 pulgadas

12 pulgadas

37.

0.6 m

1.2 m

35.

50 pies

20 pies

38. Volumen de un embudo El interior del embudo mide 8 centímetros de diámetro y 7 centímetros de altura. ¿Cuál es el volumen del embudo? Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a la décima más cercana.

5E6

39. Volumen de un embudo más pequeño El interior del embudo mide 7 centímetros de diámetro y 6 centímetros de altura. ¿Cuál es el volumen del embudo? Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a la décima más cercana.

Volumen de las pirámides

40. Volumen de una pirámide La mayoría de la gente asocia las pirámides con Egipto (ver ejemplo 6), pero ¿sabías que hay pirámides antiguas en Teotihuacán, México? La pirámide del Sol tiene una altura de 233.5 pies (alrededor de la mitad de la Gran Pirámide), pero su base cuadrada es de 733 pies de cada lado (la Gran Pirámide es de 756 pies de cada lado). ¿Cuál es el volumen de la pirámide del Sol? Responde al pie cúbico más cercano.

41. Volumen de una pirámide La segunda foto muestra la pirámide de la Luna, también construida en Teotihuacán, México, entre los años 150 y 225 a.C. Su base mide 492 pies de cada lado y su altura es de 138 pies. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

Pirámide de la Luna.

La Gran Pirámide superpuesta sobre la pirámide del Sol.

5F6

Aplicaciones con volúmenes

42. Volumen de cajas ¿Te has mudado de dormitorio o de un apartamento últimamente? Es probable que hayas necesitado cajas con algunas de las dimensiones que se muestran. Da la respuesta en pulgadas cúbicas y también en pies cúbicos (1 pie cúbico  1728 pulgadas cúbicas). a. b. c. d.

Halla el volumen de una caja pequeña. Encuentra el volumen de una caja mediana. Halla el volumen de una caja grande. ¿Qué volumen de las cajas que se muestran (1.5 pies cúbicos, 3.0 pies cúbicos, 4.5 pies cúbicos y 6.0 pies cúbicos) corresponde exactamente con tu respuesta, la caja en a, b o c?

s Caja pequeña 160 3 120 3 120 1.5 pies cúbicos s Caja mediana 180 3 180 3 160 3.0 pies cúbicos s Caja grande 180 3 180 3 240 4.5 pies cúbicos s Caja extra grande 240 3 180 3 240 6.0 pies cúbicos

8-45

8.4

497

8- 5

Dimensiones interiores: 22-3
 7-7
 8-5
(l  a  h) Dimensiones sobre la cabina del camión: 3-3
 7-7
 3-1
(l  a  h) 45. Volumen de los bancos Algunos bancos de la Universidad del Sur de Florida son en forma de una semiesfera (la mitad de una esfera) con un diámetro de 34 pulgadas. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta (a su décimo más cercano) en pulgadas cúbicas y también en pies cúbicos (1 pie^3 5 1728 pulgada^3).

3-1
8-1


Dimensiones interiores: 20-10
 7-6
 8-1
(l  a  h) Dimensiones sobre la cabina del camión: 2-10
 7-6
 3-1
(l  a  h) a. Aproxima las dimensiones interiores del camión a 20 por 7 por 8 pies. ¿Cuál es su volumen? b. Aproxima las dimensiones de la parte sobre la cabina a 3 por 7 por 3 pies. ¿Cuál es el volumen? c. Si tienes un apartamento de dos habitaciones, U–Haul recomienda usar un camión con un espacio mínimo de 1200 pies cúbicos. ¿Este camión se ajusta a las recomendaciones? 47. Volumen del buzón de UPS El buzón de UPS mide aproximadamente 36 pulgadas de altura por 24 pulgadas de ancho por 20 pulgadas de profundidad. Da la respuesta en pulgadas cúbicas y también en pies cúbicos (1 pie^3 5 1728 pulgadas^3). a. ¿Cuál es el volumen del buzón? b. No puedes llenar el buzón hasta el tope. El área en la que puedes colocar tu correo es de sólo 24 pulgadas de alto. ¿Cuál es el volumen del área que puedes llenar?

49. Volumen de un tornado Asume que el tornado en la fotografía mide 300 pies de diámetro y su altura es de 600 pies. ¿Cuál es el volumen de este tornado? Usa 3.14 para ).

a. Si el banco fuera una esfera (en lugar de una semiesfera), ¿cuál sería su volumen? b. Dado que el banco es una semiesfera, su volumen es }12 del volumen de una esfera. ¿Cuál es su volumen?

46. Volumen de un péndulo El péndulo de USF tiene un diámetro de 2 pies. Si suponemos que el péndulo es una esfera, ¿cuánto metal se usó para hacerlo? Usa 3.14 para ) y redondea la respuesta a su décimo más cercano. 48. Volumen de un tornado Los tornados pueden tener un diámetro de entre 300 y 2000 pies. Asume que el tornado en la fotografía es de 1000 pies de diámetro y 2000 pies de altura. ¿Cuál es el volumen de este tornado? Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a la décima más cercana.

para más lecciones

44. Recomendaciones de U–Haul Si tienes un apartamento de dos o tres habitaciones, U –Haul recomienda un camión de 1200 a 1600 pies cúbicos. 2-10
20-10


www.mathzone.com/bello

3-1

ir a

a. Aproxima las dimensiones interiores del camión a 22 por 7 por 8 pies. ¿Cuál es su volumen? b. Aproxima las dimensiones de la parte sobre la cabina a 3 por 7 por 3 pies. ¿Cuál es el volumen? c. Estima que tienes 1300 pies cúbicos de cosas para mudar. En teoría, ¿cabrán tus cosas en el camión? Explica (Pista: no olvides el espacio sobre la cabina del camión.)

6Web IT

43. Volumen de un camión Es probable que hayas necesitado un camión para mudarte. El camión de U–Haul tiene las medidas que se muestran. 3- 3 22-3

Volumen de los sólidos

para más lecciones

www.mathzone.com/bello ir a

6Web IT

498

Capítulo 8

8-46

Geometría

Volumen de zafacones ¿Cuál es el volumen (capacidad) de los zafacones que se usan en tu escuela? El volumen del zafacón consiste de dos partes: el fondo cilíndrico (2.5 pies de altura, 1.5 pies de diámetro) y la semiesfera (la mitad de una esfera) (usa 3.14 para ) y redondea la respuesta a la décima más cercana.) 50. ¿Cuál es el volumen de la parte cilíndrica? 51. ¿Cuál es el volumen de la parte superior de la semiesfera? 52. ¿Cuál es el volumen total del zafacón? 53. El edificio de química tiene tres pisos y hay cuatro zafacones en cada piso. ¿Cuál es el volumen de los zafacones en los tres pisos del edificio de química? 54. Capacidad de basura El camión de basura de USF carga alrededor de 500 pies cúbicos de basura. ¿Cuántos zafacones de basura puede él cargar? (usa el volumen hallado para el zafacón del problema 52.) 55. Camiones que se necesitan para la basura Si asumimos que cada edificio tiene tres pisos y cuatro zafacones por piso, ¿a cuántos edificios puede servir el camión? (Pista: ¿Cuántas cargas de 12 zafacones caben en el camión?)

666Usa tus conocimientos Volumen l ddell pan En lla sección ió Para comenzar, preguntamos: ¿quéé pan tiene i más á volumen? l ? Ah Ahora tenemos llos conocimientos para responder. Usa 3.14 para ) y redondea la respuesta a la centésima más cercana. 56. La forma del pan cubano es casi un cilindro de 20 pulgadas de largo con un diámetro de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen aproximado del pan cubano?

57. La forma del pan griego es casi un cilindro de 8 pulgadas de diámetro y 2 pulgadas de alto. ¿Cuál es el volumen aproximado del cilindro?

58. La respuesta al ejercicio 57 no da realmente el volumen del pan griego, ya que éste tiene un agujero de 3 pulgadas de diámetro en el centro. ¿Cuál es el volumen de este agujero? En realidad, 0, dado que ¡no hay pan adentro! Encuentra el volumen del espacio vacío en el centro del pan y réstalo de la respuesta que obtuviste en el ejercicio 57. ¡Ese es el volumen del pan griego! ¿Es mayor o menor que el volumen del pan cubano del ejercicio 56?

59. He aquí otra forma de hallar el volumen del pan griego. Imagina que haces un corte vertical del pan perpendicular al piso y “estiras” el pan. ¿Qué largo tendrá? Recuerda que el diámetro exterior es de 8 pulgadas.

60. Como el pan griego original era de 2 pulgadas de alto, podemos asumir que tiene un diámetro de 2 pulgadas. Ahora usa tu respuesta del ejercicio 59 (que te dará el largo del pan) y halla el volumen del molde de pan griego. ¿Se aproxima la respuesta a la que obtuviste en el ejercicio 58?

666¡Escribe! 61. Burger King, McDonald’s y otros restaurantes de hamburgers comparan la cantidad de carne que hay en sus hamburgers. Al hacer eso, ¿puedes comparar las circunferencias, el área o el volumen de los hamburgers? Explica.

62. “En los juegos de hombres” un balón de baloncesto es de 29.5 a 30 pulgadas (74.9 a 76.2 centímetros) de diámetro. ¿Qué está mal en esta afirmación? Escribe con tus palabras cómo debería ser.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 63. El volumen de un sólido rectangular de longitud l, ancho a , y altura h es 64. El volumen de un cilindro de radio r y altura h es

.

.

1Rr 2h } 3 Rr3

lah 1Rr 3 } 3

8-47

8.5

65. El volumen de una esfera de radio r es

.

66. El volumen de un cono de radio r y altura h es

499

Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

4Rr3 } 3

Rr 2h .

Rrh

666Prueba de dominio En los problemas 67 al 71, usa 3.14 para  y redondea la respuesta a la décima más cercana. 67. Halla el volumen de un cono circular de 10 centímetros de altura y un radio de 6 centímetros.

68. ¿Cuántas yardas cuadradas de arena se necesitan para llenar un arenero de 9 pies de largo por 3 pies de ancho por 4 pies de profundidad?

69. Halla el volumen de una bola de bolos con un diámetro de 4.2 pulgadas.

70. Encuentra el volumen del sólido. 2m

71. Halla el volumen de una lata de 8 pulgadas de altura y 1 pulgada de radio.

3m

1m

666Comprobación de destrezas En los problemas 72 y 73, valora: 73. 82 112

72. 92 122

8 .5

Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

B6

1. Sumar, restar, multiplicar y dividir números cardinales. (págs. 24, 37, 49, 62) 2. Resolver ecuaciones. (págs. 89–91, 240–241)

Hallar la raíz cuadrada exacta y la aproximada de un número. Usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando los otros lados son dados.

6 Para comenzar En la fotografía del comienzo del capítulo (que aquí se muestra reducida), la longitud c } del brazo del jugador es Ï 0.0884 metros (lee “la raíz cuadrada de 0.0884”) y se obtuvo usando el teorema de Pitágoras. ¿Qué significa la “raíz cuadrada de un número? ¿Qué es el teorema de Pitágoras? Comentaremos ambos temas a continuación. c  q(4.28  4.0)2  (4.10  4.0)2 c  0.30 m

Y

(4.28,4.10)

C6

Resolver problemas de aplicación usando el teorema de Pitágoras.

c (4,4)

X

500

Capítulo 8

8-48

Geometría

A 6 Raíces cuadradas Ya hemos estudiado cómo calcular el cuadrado de un número. Mira la tabla. x

x2

1 2 3 4

1 51 22 5 4 32 5 9 42 5 16 2

9

4 } Números como 1, 4, 9, 16, } 16 y 25 se llaman cuadrados perfectos porque son cuadrados de números enteros o fracciones.

RAÍZ CUADRADA

}

La raíz cuadrada de un número a, indicado con Ïa , es uno de los factores iguales b del número a, es decir, }

Ïa

5 b significa que a 5 b2

}

Nota que Ï a es siempre positivo. }

Recuerda, para hallar } la raíz cuadrada de a (Ïa} ), simplemente encuentra el} número cuyo cuadrado es a. Así, Ï16 5 4 porque16 5 42, Ï25 5 5 porque 52 5 25, y Ï36 5 6 porque 62 5 36. (Ver apéndice 2: Apuntes sobre conjuntos de números complejos)

EJEMPLO 1 }

Halla: a. Ï 64

PROBLEMA 1 }

Hallar raíces cuadradas } b. Ï 121

Halla: a. Ï 49

}

b. Ï 81

SOLUCIÓN a. Necesitamos un número cuyo cuadrado sea 64. El número es 8. }

Así, Ï64 5 8.

COMPRUEBA

82 5 64

b. Esta vez necesitamos un número cuyo cuadrado es 121. El número es 11. }

Así, Ï121 5 11.

COMPRUEBA

112 5 121 }

Ahora imagina que quieres encontrar Ï 122 . ¿Qué número puedes llevar al cuadrado para obtener 122? Desafortunadamente, 122 no es un cuadrado perfecto, por lo que no existe un número entero cuyo cuadrado sea 122. Hay varias raíces cuadradas que no son } } } } } números cardinales o fracciones. Por ejemplo, Ï2 , Ï3 , Ï5 , Ï 6 y Ï7 no son números cardinales. Lo mejor que podemos hacer para estos números en aproximar la respuesta con una calculadora. } 2 Para hallar Ï2 con tu calculadora, oprime o 2 . Verifica el manual de tu calculadora para saber qué método debes usar. Así, } Ï 2 < 1.4142136 < 1.414 (a tres posiciones decimales) }

Ï3 < 1.7320508 < 1.732 (a tres posiciones decimales) }

Ï 5 < 2.236068 < 2.236 (a tres posiciones decimales)

EJEMPLO 2

Aproximar raíces cuadradas } Halla Ï 6 a tres posiciones decimales.

SOLUCIÓN Usando la calculadora, q6W<2.4494897<2.449. COMPRUEBA (2.449)2 5 5.997601, ¡muy cerca de 6! Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 7

b. 9

2. 2.646

PROBLEMA 2 }

Halla Ï7 a tres posiciones decimales.

8-49

8.5

Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

501

B 6 El teorema de Pitágoras En la foto de Para comenzar, la longitud del brazo del jugador es c, el lado más largo (la hipotenusa) del triángulo rectángulo cuyos lados (catetos) miden 0.28 metros y 0.10 metros, como se muestra: c

0.10 m

0.28 m

La relación entre la longitud de los lados a y b y la longitud de la hipotenusa c se da por a2 1 b2 5 c2. Este hecho, probado por el matemático griego Pitágoras hace más de 2500 años, es verdadero para todos los triángulos rectángulos y se expone a continuación.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo con lados de longitud a y b y la hipotenusa c,

a2 1 b2 5 c2

c

a

b

Así, si te dan la longitud de dos lados cualquiera de un triángulo rectángulo, siempre puedes hallar la longitud del tercero usando el teorema de Pitágoras. Nota que el inverso del teorema también es verdadero.

INVERSO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Si a2 1 b2 5 c2, entonces el triángulo dado es un triángulo rectángulo.

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Hallar la longitud de la hipotenusa Halla la longitud c de la hipotenusa del triángulo rectángulo dado.

Halla la longitud c de la hipotenusa del triángulo rectángulo dado.

SOLUCIÓN Usando el teorema de Pitágoras, Sustituyendo a 5 3, b  4 Simplificando Sumando Resolviendo para c

a2  b2  c2 32  42  c2 9  16  c2 25  c2 } c  Ï25  5

3

c

4 8

Así, la longitud de la hipotenusa c es 5.

COMPRUEBA

6

c

3 2  4 2  52

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Hallar la longitud de un cateto Halla la longitud a de un cateto para el triángulo rectángulo dado.

Halla la longitud a de un cateto para el triángulo rectángulo dado.

SOLUCIÓN Usando el teorema de Pitágoras, con b 5 5 y c 5 6 Simplificando Restando 25 de ambos lados Resolviendo para a

a2  52  62 a2  25  36 a2  11 } a  Ï 11

5

a

9

6

a

10

}

Así, la longitud exacta de a es Ï 11 . La longitud aproximada de a, usando una calculadora es 3.317. Respuestas a los PROBLEMAS 3. c 5 10

}

4. a 5 Ï19  4.359

502

Capítulo 8

8-50

Geometría

C 6 Aplicaciones del teorema de Pitágoras Los televisores y los monitores de computadoras se clasifican de acuerdo con la longitud de su diagonal (hipotenusa) de la pantalla o el monitor. Así, una pantalla de 15 pulgadas significa que la diagonal del monitor o la pantalla es de 15 pulgadas. Por ejemplo, la pantalla de una computadora portátil es de alrededor de 12 pulgadas de ancho por 9 pulgadas de altura. ¿Es en realidad un monitor de 15 pulgadas? Lo veremos a continuación.

EJEMPLO 5

PROBLEMA 5

SOLUCIÓN

Halla la longitud de la diagonal de una pantalla de televisión de 16 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de altura.

Hallar la longitud de la hipotenusa Halla la longitud de la diagonal de una pantalla con las siguientes dimensiones.

Usando el teorema de Pitágoras, a2  b2  c2 Sustituyendo a 5 9, b 5 12 92 1 122 5 c2 Simplificando 81  144  c2 Sumando 225  c2 } Resolviendo para c c  Ï 225  15

9

12

Así, la hipotenusa es de 15, y sí tenemos una pantalla de 15 pulgadas.

EJEMPLO 6

Hallar la longitud de la hipotenusa Un diamante de béisbol es en realidad un cuadrado con lados de 90 pies. Al número entero más cercano, ¿qué distancia hay entre la primera base y la tercera?

90 pies

90 pies

SOLUCIÓN

En este caso

Usando el teorema de Pitágoras, Sustituyendo a 5 90, b 5 90 Simplificando Sumando Resolviendo para c

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 20 pul } 6. Ï 7200 < 85 pies

a 5 b 5 90. a2  b2  c2 902 1 902 5 c2 8100  8100  c2 16,200  c2 } c  Ï 16,200 127 pies

PROBLEMA 6 Un diamante de softball es un cuadrado con lados de 60 pies. Al número entero más cercano, ¿qué distancia hay entre home y la segunda base?

8-51

8.5

503

Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Raíces cuadradas

}

En los problemas 1 al 10, halla la raíz cuadrada del número. }

}

2. Ï 144

1. Ï 100

}

3. Ï 196

}

}

7. Ï 400

}

4. Ï289

5. Ï361

}

8. Ï 900

}

10. Ï10,000

9. Ï169

ir a

}

6. Ï 324

6Web IT

6Ejercicios 8.5

> Self-Tests > e-Professors > Videos

}

}

11. Ï 8

}

}

}

17. Ï 29

}

14. Ï17

13. Ï 11

}

16. Ï 27

5B6

}

12. Ï 10

15. Ï23

}

18. Ï 33

}

19. Ï108

20. Ï405

El teorema de Pitágoras En los problemas 21 al 30, halla la hipotenusa c. Da la respuesta a tres posiciones decimales.

21.

22.

6

23.

24.

9

25.

9

12

8 c

c

c

10

para más lecciones

c

c 16

15

12 6

26.

27.

29. 10

28. 14

15

16

30.

40

c

c

c

c

c 61

44 36

12

25

E n los problemas 31 al 38, halla el lado que falta. Da la respuesta a tres posiciones decimales cuando sea apropiado. 31.

32.

13 pul

5 pul

33.

20 pul

14 pies

15 pul

9 pul

34.

16 pul 35.

36. 3 pies

10 pies

37. 4m

9 pies 2 pies

18 pies 38. 6m

3m

4m

www.mathzone.com/bello

E n los problemas 11 al 20, aproxima la respuesta a tres posiciones decimales.

para más lecciones

www.mathzone.com/bello ir a

6Web IT

8-52

504

Capítulo 8

5C6

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Geometría

39. Medidas del cuerpo El diagrama muestra la distancia desde la cadera hasta la rodilla (b < 0.30 m) y la distancia desde la rodilla hasta el tobillo (a < 0.44 m). Usa el teorema de Pitágoras para hallar la distancia (en metros, m) desde la cadera hasta el tobillo si la pierna está flexionada en un ángulo recto. Redondea la respuesta al milésima más cercana. 40. Dimensiones del triángulo El lado humano de las matemáticas, en la página 453, muestra un triángulo como éste. Si las dimensiones del triángulo son las que se muestran, encuentra c y aproxímalo a dos posiciones decimales. ¿Obtienes la misma respuesta que la que se mostró en Para comenzar?

y 1.00

Cadera (4.14, 0.80) 0.80

b 0.60

Rodilla (4.22, 0.5

c 0.40

a 0.20

Tobillo (4.09, 0.09) c

0.00 4.00

0.10

4.05

4.10

4.15

4.20

4.25

x

Fuente: Universidad de Indiana–Universidad Purdue Indianápolis.

0.28 41. Altura de un televisor grande Uno de los televisores más grandes que se han construido fue el Sony 289 Jumbo Tron (¡289 pies de diagonal!). Si la longitud de la pantalla era de 150 pies, ¿Cuál era su altura? Redondea la respuesta al milésima más cercana.

42. Altura de un televisor Una pantalla de televisión de 10 pulgadas (medidas diagonalmente) es de 8 pulgadas de ancho. ¿De qué altura es?

43. Medidas diagonales de una pantalla Una de las pantallas de cine más grande del mundo es el teatro Pictorium en Santa Clara, California. La pantalla rectangular es de 70 pies por 96 pies. ¿Cuál es la medida de la diagonal de la pantalla? Redondea la respuesta a la milésima más cercana.

44. Ancho de un TV LCD Una de las pantallas de TV más grandes del mundo es la Samsung SyncMaster 400T de 40 pulgadas de diagonal. Si la pantalla rectangular es de 20 pulgadas de altura. ¿Cuál es su ancho? Redondea la respuesta al milésima más cercana.

45. Longitud de una caja de DVD Una caja rectangular para DVD tiene 14 centímetros de ancho y 11 centímetros de altura. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de la caja? Redondea la respuesta a la milésima más cercana. 46. Longitud de una cinta transportadora Pedro Mendieta opera la cinta transportadora que se usa para arrastrar los materiales hasta la mezcladora de concreto. Si la cinta termina 40 pies sobre el suelo y comienza a 120 pies de la base del contenedor, como se muestra en la fotografía, ¿qué longitud tiene la cinta? Redondea la respuesta al pie más cercano.

47. Longitud de una cinta transportadora Otra cinta transportadora que es operada por John Taylor termina a 45 pies sobre el suelo, pero comienza a 118 pies de la base del contenedor, como se muestra en la fotografía. ¿Qué distancia recorren los materiales para llegar a la cima de la cinta transportadora? Redondea la respuesta al pie más cercano.

45 pies 118 pies

40 pies

120 pies 48. Viaje en avión El avión que se muestra está ascendiendo en un ángulo de 10°. Si el avión está a 40 pies de alto, y la distancia horizontal desde el avión hasta el final de la pista es de 200 pies, como se muestra en la fotografía, ¿cuántos pies recorrió el avión? Redondea la respuesta al pie más cercano. 40 pies 220 pies

8-53

8.5

49. Puentes El puente Dames Point se extiende sobre el río St. John, en Jacksonville, Florida. El cable más largo que sostiene el puente es de 720 pies de largo y está asegurado a 650 pies del poste que sostiene el cable, como se muestra en la fotografía. ¿Cuál es la altura h del poste? Redondea la respuesta al número entero más cercano.

Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras

505

h pies 720 pies

50. Puentes Si en el problema 49 el cable fuera de 700 pies, ¿de qué altura sería el poste? Redondea la respuesta al número entero más cercano.

650 pies

666Usa tus conocimientos

}

}

}

}

Aproximación Imagina que quieres aproximar Ï18 sin usar tu calculadora. Como Ï16 5 4 y Ï 25 5 5, tienes Ï 16 5 4 } } } } , Ï18 , Ï25 5 5. Esto significa que Ï 18 está entre 4 y 5. Para hallar una mayor aproximación de Ï 18 , puedes usar un método que los matemáticos llaman interpolación. ¡No te asustes por ese nombre! El procedimiento es realmente simple. } } } Si quieres hallar una aproximación de Ï18 , sigue los pasos en el diagrama; Ï 20 y Ï22 también son aproximaciones. 18 2 16 5 2

20 2 16 5 4

22 2 16 5 6

Ï16 5 4

Ï16 5 4

Ï16 5 4

} }

}

}

}

2

Ï18 < 4 1 }9

} 6 Ï 22 < 4 1 } 9 } Ï25 5 5

4

Ï20 < 4 1 }9

}

}

Ï25 5 5

Ï25 5 5

25 2 16 5 9

25 2 16 5 9

25 2 16 5 9

Como puedes ver, } } } 2 6 4 2 Ï 22 < 4} < 4} Ï18 < 4}9 Ï20 < 4} 9 y 9 3 } Por cierto, ¿ves algún patrón? ¿Qué sería Ï24 ? Usando una calculadora, }

}

}

Ï18 < 4.2 Ï20 < 4.5 y Ï22 < 4.7 } } } 6 2 4 Ï 22 5 4} < 4.7 } Ï18 5 4} Ï < 4.2, 20 5 4 < 4.4 9 9 9 Como puedes ver, ¡podemos llegar a aproximaciones muy cercanas! Usa este conocimiento para aproximar las siguientes raíces, dando la respuesta como un número mixto. }

51. a. Ï 26

}

b. Ï 28

}

c. Ï 30

}

52. a. Ï 67

}

b. Ï 70

}

c. Ï73

666¡Escribe! 53. Hallar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas. ¿Puedes encontrar otras dos operaciones inversas?

54. Explica cómo probarías o refutarías que un triángulo dado es un triángulo rectángulo.

666Comprobación de conceptos. Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 55. En todo triángulo rectángulo con lados de longitud a y b y una hipotenusa c,

.

56. Si a y b son longitudes de los lados de un triángulo con una hipotenusa c y a2 1 b2 5 c2 entonces el triángulo debe ser un triángulo .

a2 1 b2 5 c2 escaleno rectángulo isósceles

506

Capítulo 8

8-54

Geometría

666Prueba de dominio 57. Halla la longitud a para el triángulo rectángulo dado. Redondea la respuesta a su milésimo más a cercano.

58. Halla la hipotenusa del triángulo rectángulo dado.

59. Halla la hipotenusa del triángulo rectángulo dado. Redondea la respuesta a su milésimo más cercano.

10 c

9

c

5 }

12

6

}

60. Halla Ï1600 .

5

61. Halla Ï 21 a tres posiciones decimales.

62. La diagonal de un monitor de computador es de 22 pulgadas. Si el monitor es de 12 pulgadas de alto, ¿de qué ancho es? Redondea la respuesta a su milésimo más cercano.

666Comprobación de destrezas En los problemas 63 al 67, resta y verifica con la suma. 63. 50 2 37

64. 38 2 23

65. 23 2 19

66. 53 2 27

67. 92 2 78

6Aprendizaje colaborativo ¿Sabías que la talla de tu sombrero y la talla de tu anillo son casi idénticas? Por cierto, hay un pequeño error aquí. Esto es cierto, sólo para la talla de sombrero de los hombres. La talla de sombrero de las mujeres se mide de forma diferente y ¡más lógica! Las tallas de sombrero de las mujeres son simplemente la circunferencia de la banda interior del sombrero. Sin embargo, nos gustaría ver si existe una relación entre la talla de sombrero de los hombres –para hombres y mujeres– y la talla de los anillos. Forma varios grupos de hombres y mujeres. 1. Mide la circunferencia de las cabezas C(H ) de los participantes. 2. Mide la circunferencia de sus dedos anulares C( f ). 3. Completa la siguiente tabla, donde C(H) es la circunferencia de la cabeza, C( f ) la circunferencia del dedo, d el diámetro del dedo, H la talla de sombrero de hombre y s la talla del anillo. C(H )

C(H ) } R 5 H

C( f )

C( f ) } R 5 d

d 2 0.458 }5s 0.032

4. ¿Hay alguna relación entre H y s? 5. ¿Hay alguna relación entre la talla del sombrero y la de los anillos en las mujeres? Si es así, ¿cuál es?



8-55

Resumen del capítulo 8

de 6Preguntas investigación

507

1. Muchos catedráticos atribuyen el teorema de Pitágoras a, sorpresa, ¡Pitágoras! Sin embargo, existen otras versiones del teorema como las siguientes: La prueba de la antigua China Prueba de Bhaskara Prueba de Euclides Prueba de Garfield

Generalización de Pappus

Selecciona tres de estas versiones y escribe un ensayo acerca de los detalles, si es posible, de cómo apareció, quién fue el autor y qué se afirma en cada uno de los teoremas. 2. Hay diferentes versiones acerca de la muerte de Pitágoras. Escribe un ensayo corto detallando las circunstancias de su muerte, dónde ocurrió y cómo. 3. Escribe un informe acerca de los triples pitagóricos. 4. Los pitagóricos estudiaban aritmética, música, geometría y astronomía. Escribe un informa acerca de la teoría pitagórica de la música. 5. Escribe un informe acerca de la teoría pitagórica de la astronomía.

6Resumen del capítulo 8 Sección

Asunto

Significado

8.1A

Punto

Una ubicación en el espacio.

8.1A

Línea

Un conjunto de puntos que se extienden indefinidamente en ambas direcciones

8.1A

Segmento de línea

Un pedazo de línea usando A y B como sus puntos finales.

Ejemplo P , Q y R son puntos. A

B La línea @##$ AB

A

B Segmento de línea AB

8.1A

Líneas paralelas

Dos líneas en el mismo plano que se extienden indefinidamente en ambas direcciones y nunca se intersectan

B A

Q

P Línea @###$ AB i @###$ PQ

8.1A

Líneas intersectadas

Dos líneas con un punto común

P B A

D Q

Línea @###$ AB interseca @###$ PQ en el punto D.

(continúa)

508

Capítulo 8

8-56

Geometría

Sección

Asunto

Significado

8.1A

Líneas perpendiculares

Dos líneas que se intersectan en ángulos rectos.

Ejemplo P

A

B

D

Q Línea @##$ AB ' @###$ PQ

8.1A

Rayo

Un rayo es una parte de una línea con un punto dado y que se extiende indefinidamente en una dirección.

B

A

Rayo ###$ AB

8.1B

8.1C

Ángulo

La figura que se forma por dos rayos con un punto común llamado vértice. Vértice de un ángulo El punto común de dos rayos. Lados de un ángulo Los rayos que forman el ángulo.

C Lado Vértice A

a Lado

1

Grado

} 360 de una revolución completa

Ángulo llano

La mitad de una revolución completa

180

O

Ángulo recto

Un cuarto de una revolución completa 90

Ángulo agudo

Ángulo obtuso

B

Un ángulo mayor de 08 y menor de 908

45

Un ángulo mayor de 908 y menor de 1808 135

8-57

Resumen del capítulo 8

Sección

Asunto

Significado

8.1D

Ángulos suplementarios

Ángulos cuyas medidas suman 1808

Ángulos complementarios

Ángulos cuyas medidas suman 908

509

Ejemplo  

 

8.1E

Triángulo acutángulo Todos sus ángulos son agudos. Triángulo rectángulo Uno de los ángulos es un ángulo recto.

Triángulo obtusángulo

Uno de los ángulos es un ángulo obtuso.

Triángulo escaleno

Ninguno de sus lados son iguales

15

9 20

Triángulo isósceles

Dos de sus lados son iguales

3

3 2

8.1E

Triángulo equilátero

8.1F

Suma de las medidas La suma de las medidas de todos de los ángulos de un los ángulos de cualquier triángulo triángulo es 1808.

Si en el triángulo ABC, m /A 5 508 y m /B 5 608, entonces m /C 5 1808 2 508 2 608 5 708

8.2A

Perímetro Perímetro de un rectángulo

Distancia de alrededor P 5 2l 1 2a (l 5 longitud, a 5 ancho)

El perímetro P de un rectángulo de 5 pulgadas de largo y 3 pulgadas de ancho es P 5 2 ? 5 pul 1 2 ? 3 pul 5 16 pul

Perímetro de un cuadrado

P 5 4l (l 5 longitud del lado)

El perímetro P de un cuadrado de 3 centímetros de lado es P 5 4 ? 3 cm 5 12 cm.

8.2B

Circunferencia

C 5 Rd 5 2Rr

La circunferencia de un círculo con un radio de 6 centímetros es 2 ? ) ? 6 cm 5 12) cm ø 37.68 cm.

8.3A

Área de un rectángulo A 5 la (l 5 longitud, a 5 ancho)

8.3B

Un triángulo con sus tres lados iguales

Área de un cuadrado

A 5 l2

Área de un triángulo

1 A 5 __ 2 bh (b 5 base, h 5 altura)

El área A de un rectángulo de 4 pulgadas de largo y 2 pulgadas de ancho es A 5 4 pulgadas ? 2 pulgadas 5 8 pulgadas2. El área A de un cuadrado de 5 centímetros de lado es A 5 52 cm2 5 25 cm2. El área A de un triángulo de base de 8 pul y altura de 10 pul es A 5 }21 ? 8 pul ? 10 pul 5 40 pul2. (continúa)

510

Capítulo 8

8-58

Geometría

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

8.3C

Área de un paralelogramo

A 5 bh (b 5 base, h 5 altura)

El área A de un paralelogramo de base de 10 centímetros y altura 15 centímetros, respectivamente, es A 5 10 cm ? 15 cm 5 150 cm2.

8.3D

1 Área de un trapezoide A 5 __ 2 h(a 1 b) (h 5 altura, a y b son las bases)

El área A de un trapezoide de altura de 8 centímetros y bases de 6 y 10 centímetros, respectivamente, es A 5 }21 ? 8 cm(6 cm 1 10 cm) 5 64 cm2.

8.3E

Área de un círculo

A 5 Rr2 (r 5 radio)

El área de un círculo de radio de 6 centímetros es )(6 cm)2, ó 36 ) cm2 ø113 cm2.

8.4A

Volumen de un sólido rectangular

V5l?a?h (l 5 longitud, a 5 ancho, h 5 altura)

El volumen V de un rectángulo sólido de longitud de 5 metros, ancho 6 metros y altura 2 metros es V 5 5 m ? 6 m ? 2 m 5 60 m3.

8.4B

Volumen de un cilindro circular

V 5 )r2h (r 5 radio, h 5 altura)

El volumen V de un cilindro circular de un radio de 3 pulgadas y altura de 2 pulgadas es V 5 ) ? (3 pulgadas)2 ? 2 pulgadas 5 18) pulgadas^3 ø 57 pulgadas3.

8.4C

Volumen de una esfera

4 3 V 5 __ 3 )r (r 5 radio)

8.4D

Volume de un cono circular

8.4E

Volumen de una pirámide

}

5b

8.5A

Ïa

8.5B

Teorema de Pitágoras c 2 5 a2 1 b 2

1 2 V 5 __ 3 )r h

(r 5 radio, h 5 altura)

1 V 5 __ 3 Ah

El volumen V de una esfera de radio de 3 pies es 4 V 5 }3R ? (3 pies)3 5 36R pies3 < 113 pies3. El volumen V de un cono circular de un radio de 2 centímetros y altura de 3 centímetros es 1 V 5 }3) ? (2 cm)2 ? 3 cm 5 4) cm3 < 13 cm3.

(A 5 área de la base, h 5 altura)

El volumen V de una pirámide midiendo 3 pies de cada lado y con una altura de 9 pies es 1 1 V 5 }3 ? 3 pies ? 3 pies ? 9 pies 5 }3 ? 81 pies3 5 27 pies.

La raíz cuadrada de a es el número b tal que a 5 b2.

Ï} 9 5 3 porque 32 5 9 Ï 121 5 11 porque 112 5 121

El cuadrado de la hipotenusa c de un triángulo rectángulo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, a y b.

}

c

b a

8-59

Ejercicios de repaso del capítulo 8

511

6Ejercicios de repaso del capítulo 8 La fi L figura se usaráá en llos problemas bl 1 all 55. A

E

1. 5 8.1A6 Nombra un punto de la figura. a. b. c.

B

D

C

2. 5 8.1A6 Nombra una línea de la figura.

d.

a.

@##$

b.

@##$

e.

3. 5 8.1A6 Nombra un segmento de línea de la figura. a.

b.

c.

d.

4. 5 8.1A6 Nombra un par de líneas paralelas de la

figura.

@##$

e.

5. 5 8.1A6 Nombra un rayo de la figura.

###$ b. ###$ a.

6. 5 8.1B6 Nombra un ángulo de tres formas diferentes: a. C A

C

F

D

E

d.

I I H

e.

O M

F

B

c. G

b.

O N

L J

L K

512

7.

Capítulo 8

8-60

Geometría

5 8.1C6 Clasifica los ángulos como agudo, recto, llano u obtuso. b.

a.

c.

e.

d.

8. 5 8.1D6 Halla la medida del complemento de: a. Un ángulo de 108

10.

11.

9. 5 8.1D6 Halla la medida del suplemento de: a. Un ángulo de 108

b. Un ángulo de 158

b. Un ángulo de 158

c. Un ángulo de 208

c. Un ángulo de 208

d. Un ángulo de 308

d. Un ángulo de 308

e. Un ángulo de 808

e. Un ángulo de 808

5 8.1E6 Clasifica el triángulo de acuerdo con sus ángulos y sus lados. a.

b.

d.

e.

c.

5 8.1F6 Halla m C en el triángulo ABC si:

12. 5 8.2A6 Halla el perímetro de un rectángulo: a. 5.1 metros de largo y 3.2 metros de ancho.

a. m A  30° y m B  40°

13.

b. m A  40° y m B  50°

b. 4.1 centímetros de largo y 3.2 centímetros de ancho.

c. m A  50° y m B  60°

c. 3.5 pulgadas de largo y 4.1 pulgadas de ancho.

d. m A  60° y m B  70°

d. 5.2 yardas de ancho y 4.1 yardas de largo.

e. m A  70° y m B  80°

e. 4.1 pies de ancho y 6.2 pies de largo.

5 8.2A6 Halla el perímetro de un polígono. a.

b.

3m 3m

3m

5 yardas

2 yardas 7 yardas

e.

5 cm 2 cm

2 pul 2 pul

2 pul

3 cm 2 cm 5 cm

5 pies

2 pul

2 pul 2 pul

2 pies 2 pies

2 pies

3 yardas

6m d.

c. 2 yardas

4 pies

8-61

14.

Ejercicios de repaso del capítulo 8

5 8.2B6 Usa 3.14 para ) para hallar la circunferencia de un círculo con un radio:

15. 5 8.3A6 Encuentra el área de

un rectángulo:

16. 5 8.3B6 Halla el área de un

triángulo:

a. 5 m por 6 m

a. 6 cm

a. Con una base de 10 pulgadas y una altura de 12 pulgadas

b. 7 m por 8 m

b. 8 cm

b. Con una base de 8 pulgadas y una altura de 10 pulgadas.

c. 4 pulgadas por 6 pulgadas

c. 10 pulgadas

d. 3 pulgadas por 7 pulgadas

d. 12 pulgadas

513

c. Con una base de 6 centímetros y una altura de 8 centímetros.

e. 9 pulgadas por 12 pulgadas.

e. 14 pies

d. Con una base de 4 metros y una altura de 6 metros. e. Con una base de 2 metros y una altura de 4 metros

17.

5 8.3C6 Halla el área de un paralelogramo: a.

b.

2 pul

c. 1.5 cm 5 cm

3 pul

4m e.

d. 3.5 pies

4m

10 pies 18.

2m

16 m

5 8.3D6 Halla el área de un trapezoide:

a.

b.

3 pul 2 pul

c.

8 pies 6 pies

5m

3m

5 pul 12 pies d.

e.

5 cm

10 m

7 cm

5 8.3E6 Halla el área de un círculo con el radio dado. Usa 3.14 para ). a. 7 pulgadas b. 1 centímetro c. 3 pulgadas d. 2 pies e. 5 yardas

4m 4m

2.5 cm

19.

3m

20.

5 8.4A6

Halla el volumen de

una caja:

a. 2 centímetros de ancho, 6 centímetros de largo y 7 centímetros de alto b. 3 centímetros de ancho, 4 centímetros de largo y 5 centímetros de alto c. 2 centímetros de ancho, 5 centímetros de largo y 4 centímetros de alto d. 3 centímetros de ancho 6 centímetros de largo y 5 centímetros de alto e. 2 centímetros de ancho, 7 centímetros de largo y 5 centímetros de alto

21.

5 8.4B6 Usa 3.14 para ) para hallar el volumen (a la centésima más cercana) de una lata de forma de un cilindro circular con: a. un radio de 1 pulgada y 6 pulgadas de altura b. un radio de 1 pulgada y 7 pulgadas de altura c. un radio de 1 pulgada y 8 pulgadas de altura d. un radio de 2 pulgadas y 9 pulgadas de altura e. un radio de 2 pulgadas y 10 pulgadas de altura

514

22.

Capítulo 8

8-62

Geometría

5 8.4C6 Usa 3.14 para ) para hallar el volumen (al centésimo más cercano) de una esfera con un radio de:

23.

5 8.4D6 Usa 3.14 para ) para hallar el volumen (al centésimo más cercano) de un cono circular con: a. Un radio de 10 pulgadas y 15 pulgadas de altura

a. 6 pulgadas

b. Un radio de 8 pulgadas y 12 pulgadas de altura

b. 7 pulgadas

c. Un radio de 6 pulgadas y 9 pulgadas de altura

c. 8 pulgadas

d. Un radio de 4 pulgadas y 6 pulgadas de altura

d. 9 pulgadas

e. Un radio de 2 pulgadas y 3 pulgadas de altura

e. 10 pulgadas 24.

5 8.4E6 Halla el volumen de una pirámide de 120 metros de altura y con una base cuadrada que mide:

25.

a. 210 metros de cada lado

5 8.5A6 }

a. Ï25

}

}

b. Ï 8

}

c. Ï 12

}

d. Ï 22

e. Ï169

d. 221 metros de cada lado

5 8.5A6 Halla a tres posiciones decimales: a. Ï 2

d. Ï225

c. 220 metros de cada lado

26.

}

b. Ï9

c. Ï121

b. 216 metros de cada lado

Halla:

} } } }

e. Ï 17

e. 225 metros de cada lado

27.

5 8.5B6 Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: a. 5 cm y 12 cm b. 4 cm y 3 cm c. 9 cm y 12 cm d. 12 cm y 16 cm e. 15 cm y 20 cm

28.

5 8.5B6 Halla (a tres posi- 29. 5 8.5B6 Halla (a tres posiciones deciciones decimales) la longitud males, de ser necesario) la longitud del de la hipotenusa de un triángulo lado a para un triángulo: rectángulo cuyos lados miden: a. Con la hipotenusa de 5 y el lado b 5 3 a. 2 cm y 3 cm

b. Con la hipotenusa de 8 y el lado b 5 4

b. 4 cm y 2 cm

c. Con la hipotenusa de 9 y el lado b 5 5

c. 5 cm y 4 cm

d. Con la hipotenusa de 10 y el lado b 5 6

d. 3 cm y 6 cm

e. Con la hipotenusa de 12 y el lado b 5 8

e. 7 cm y 1 cm

8-63

Examen del capítulo 8

515

6Examen del capítulo 8 (Respuestas en página 517) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo.

La figura se usará en los problemas 1 al 5. P

T

R

Q

S

1. Nombra tres puntos de la figura.

2. Nombra dos líneas de la figura.

3. Nombra tres segmentos de línea de la figura.

4. Nombra un par de líneas que parecen ser paralelas en la figura.

5. Nombra un rayo de la figura.

6. Nombra el ángulo de tres formas diferentes. E D

7. Clasifica el ángulo: a.

C

8. b.

c.





   18

d.

Si m C  18° a. ¿Cuál es la medida del complemento de C? Nombra el complemento de C. b. ¿Cuál es la medida del suplemento de C? Nombra el suplemento de C. 9. Clasifica los triángulos de acuerdo con sus ángulos y sus lados. a.

b.

10. En un triángulo ABC, m A 5 47°, m B 5 53°. Halla m C.

c.

11. Halla el perímetro de un rectángulo de 4.1 centímetros de largo y 2.3 centímetros de ancho.

12. Encuentra la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 5 pulgadas. (Usa 3.14 para ).)

13. Halla el área de un rectángulo de 3 por 5 metros.

14. Halla el área de un trozo de tela triangular que mide 10 centímetros de base y 10 centímetros de altura.

20 pul 15. Encuentra el área de un trapezoide. 10 pul 8 pul

16. Encuentra el área de un círculo con un radio de 4 centímetros. (Usa 3.14 para ).)

40 pul

17. Halla el volumen de la caja.

18. Halla el volumen de un cilindro de 6 pulgadas de altura y un radio de 3 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales.

3 pul 2 pul

5 pul

516

Capítulo 8

8-64

Geometría

19. Halla el volumen de una esfera con un radio de 6 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales.

20. Encuentra el volumen de un cono de 9 pulgadas de altura y un radio de 6 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales. }

}

21. Halla Ï3600 .

22. Halla Ï 6 (da tu respuesta a tres posiciones decimales).

23. Halla la longitud de la hipotenusa c.

24. Halla la longitud de a.

6

c

7

a 6

8

25. La longitud diagonal de una pantalla de televisor es de 15 pulgadas. Si el ancho es de 12 pulgadas, ¿qué altura tiene?

8-65

Respuestas del examen del capítulo 8

517

6Respuestas del examen del ca pítulo 8 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1. Escoge cualquiera de las tres: P, Q y R por ejemplo.

1

8.1

1a

457

PR y @##$ TS 2. @##$

2

8.1

1b

457

3. PQ, QR y TS

3

8.1

1c

457–458

4. @##$ PR y @##$ T S parecen ser paralelas

4

8.1

1d

457–458

5. ###$ SQ

5

8.1

1e

457–458

6. /F, /D, /CDE (o /EDC )

6

8.1

2

458

7. a. Agudo c. Obtuso

b. Llano d. Recto

7

8.1

3, 4

459–460

8. a. 72°; D

b. 162°; I

8

8.1

6, 7

461

9

8.1

8

463

10. 80°

10

8.1

9

464

11. 12.8 cm

11

8.2

1, 2, 3, 4

472–473

12. 31.4 pulgadas

12

8.2

7, 8

474–475

13. 15 m2

13

8.3

1, 2

480

14. 50 cm2

14

8.3

3

481

15. 240 pulgadas2

15

8.3

5

482

16. 50.24 cm2

16

8.3

6, 7

483

17

8.4

1, 2

489–490

18. 169.56 pulgadas3

18

8.4

3

490

3

19. 904.32 pulgadas

19

8.4

4

491

20. 339.12 pulgadas3

20

8.4

5

492

21. 60

21

8.5

1

500

22. 2.449

22

8.5

2

500

23

8.5

3

501

24. a 5 Ï13 < 3.606

24

8.5

4

501

25. 9 pulgadas

25

8.5

5, 6

502

9. a. Escaleno recto c. Isósceles agudo

17. 30 pulgadas

3

23. c 5 10 }

b. Escaleno obtuso

518

Capítulo 8

8-66

Geometría

6Repaso de los capítulos 1–8 1. Simplifica: 9 4 3 ? 3 1 5 2 4

2. Resta: 745.42 17.5

3. Redondea 749.851 a la décima más cercana.

4. Divide: 40  0.13 (redondea a dos posiciones decimales).

5. Resuelve para y: 3.6 5 0.6y j ____ 5 7. Resuelve la proporción: __ 5 = 125

z 6. Resuelve para z: 4 5 ___ 4.4 8. Escribe 89% como un decimal.

9. El 50% de 90 ¿qué número es?

10. ¿Qué porciento de 24 es 6?

11. ¿18 es el 30% de que número?

12. Halla el interés simple ganado en $600 invertidos al 6.5% por 2 años.

13. En relación con la gráfica circular, ¿cuál es la fuente principal de contaminación?

14. Traza una gráfica circular para esta información:

Industria 20%

Presupuesto familiar (mensual)

Carros 45%

Ahorros (Ah) Vivienda (Viv) Alimentación (Ali) Vestimenta (Ves)

$200 $900 $400 $500

Autobuses y camiones 35%

15. La siguiente tabla muestra la distribución de familias por ingresos en Portland, Oregón.

$0–9,999 10,000–14,999 15,000–19,999 20,000–24,999 25,000–34,999 35,000–49,999 50,000–79,999 80,000–119,000 120,000 y mayor

Porciento de familias

3 10 27 34 12 6 4 3 1

¿Qué porciento de las familias en Portland tienen ingresos entre $10,000 y $ 14,999?

Grados

Nivel de ingresos

16. La siguiente gráfica representa la temperatura mensual promedio para siete meses del año. ¿Cuánto más alta es la temperatura promedio en julio que en mayo? 95 90 85 80 75 70 65 Mar

Abr

May

Jun

Mes

Jul

Ago

Sep

8-67

Repaso de los capítulos 1 - 8

17. El número de horas requeridas por materia en el currículo básico de la universidad está representado en la siguiente gráfica circular. ¿Qué porciento de estas horas es en matemáticas e inglés combinadas? Historia 20%

519

18. ¿Cuál es la moda de los siguientes números? 1, 18, 5, 18, 9, 8, 26, 28, 18, 7

Educación física 22% Arte 18%

Inglés 23% Matemáticas 17%

19. ¿Cuál es la media de los siguientes números? 5, 7, 27, 24, 27, 27, 27, 18, 25, 6, 27

20. ¿Cuál es la mediana de los siguientes números? 4, 21, 22, 23, 4, 15, 23, 11, 25, 23, 16

21. Convierte 11 yardas a pulgadas.

22. Convierte 9 pulgadas a pies.

23. Convierte 7 pies a yardas.

24. Convierte 5 pies a pulgadas.

25. Convierte 4 kilómetros a metros.

26. Convierte 2 decámetros a metros.

27. Convierte 140 metros a decímetros.

28. Halla el área en yardas cuadradas de un terreno de 10 acres.

29. Encuentra el perímetro de un rectángulo de 5.1 pulgadas de largo por 2.8 pulgadas de ancho.

30. Halla la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 6 centímetros (usa 3.14 para ).)

31. Halla el área de un pedazo de tela triangular con una base de 20 centímetros y una altura de 12 centímetros.

32. Encuentra el área de un círculo con un radio de 8 centímetros (usa 3.14 para ).)

33. Halla el área del trapezoide.

34. Encuentra el volumen de una caja de 2 centímetros de ancho, 4 centímetros de largo y 9 centímetros de alto.

18 pul 7 pul

7 pul 30 pul

35. Halla el volumen de una esfera con un radio de 6 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales.

36. Clasifica el ángulo:

C

37. Si en el triángulo ABC, m /A  20°, y m /B 5 35°, ¿cuál es m /C ? 39. Encuentra la hipotenusa c del triángulo dado:

c

4 3

}

38. Halla Ï3600 .

Sección 9.1 9.2

Suma y resta de enteros

9.3 9.4

Los números racionales

Capítulo

9 nueve

Multiplicación y división de enteros Orden de las operaciones

6

Los números reales

El lado humano de las matemáticas Ya hemos estudiado los números naturales 1, 2, 3 y subsiguientes, pero estos números no son suficientes para las necesidades de la vida diaria. Necesitamos medir temperaturas bajo cero, pérdida de yardas en juegos de fútbol, pérdidas financieras en el mercado de valores. ¡Necesitamos números negativos! ¿Quién y cuándo los inventó y los usó? He aquí una respuesta parcial. China: Los números negativos se usaron desde el siglo I. En sus tablas de cálculo, las barras negras representaban los números negativos y las rojas los positivos. India: Los matemáticos indios de los siglos VI y VII usaban los números negativos. Por ejemplo, Bramagupta (siglo VII) enseñaba la forma de realizar sumas y restas de bienes, deudas e inexistencias, “una deuda rebajada de la nada se convierte en un bien; un bien rebajado de la nada se transforma en una deuda”. Italia: Los números negativos se usaron a finales del siglo XV como soluciones para las ecuaciones. Por ejemplo, los escritos del matemático italiano Girolamo Cardan (1501–1576) incluían números negativos. Francia: A diferencia de Cardan, el matemático francés François Viete (1540 – 1603) sólo dio las soluciones positivas como solución a las ecuaciones. Pero la historia no termina allí. Dividir un entero por otro da lugar a un nuevo número, un número racional. Estos números (a los que también llamamos fracciones) pueden también escribirse como decimales. Podríamos imaginar que nuestro viaje numérico termina en los números racionales. Sin embargo, los Pitagóricos, una sociedad secreta de estudiosos de la antigua Grecia (aproximadamente 540 – 500 a.C.) realizaron un descubrimiento sorprendente: } los números irracionales (Ï2 y P son irracionales). Estos números desafiaron sus conocimientos acerca de las propiedades de los números, porque no pueden escribirse como la proporción de dos números naturales. Nosotros usamos los racionales y los irracionales en un conjunto nuevo de números, llamados números reales. 521

522

Capítulo 9

9-2

Los números reales

9. 1

Suma y resta de enteros

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

1. Construir una recta numérica conteniendo números cardinales. (pág. 14)

A6

2. Verificar un problema de resta con la suma. (pág. 37)

B6 C6

Clasificar, usar, representar, trazar gráficas y comparar enteros. Hallar el aditivo inverso (opuesto) de un entero.

6 Para comenzar En la historieta de abajo, Linus intenta restar cuatro de seis. Él quiere hallar 46H Como recuerdas, 4  6  H puede escribirse como

Hallar el valor absoluto de un entero.

D6

Sumar dos enteros usando una recta numérica.

E6

Sumar dos enteros usando la regla dada en el texto.

F6

Restar enteros sumando inversos.

G6

Resolver aplicaciones con enteros.

46H No podemos hallar un número cardinal H al que se le sume 6 y obtengamos 4. Pensémoslo de esta manera. Digamos que estás en un juego de póquer. Ganas $6 y luego de eso pierdes $2. Si sumas a los $6 la pérdida de $2, comprobarás que todavía estás ganando $4. Entonces, 6  2  4 Así, una pérdida de $2 puede escribirse como 2, y una ganancia de $6 se escribe como 6 (ó 6 si lo prefieres). El número 2 se llama número negativo. He aquí algunas otras cantidades que pueden medirse usando números negativos: 10 grados bajo cero: 10 una pérdida de $5: $5 15 pies bajo el nivel del mar: 15 pies

PEANUTS reimpreso con permiso del United Feature Syndicate, Inc.

A 6 Introducción a los enteros En la sección Para comenzar incluimos un concepto importante para la idea de un número: el concepto de dirección. Para visualizarlo, dibujamos una línea recta, elegimos un punto de esa recta y lo marcamos como 0, el origen (ver figura 9.1.) Luego,

9-3

9.1

Suma y resta de enteros

523

Ni positivo, ni negativo Enteros negativos
5
4
3
2
1

Enteros positivos 0

1

2

3

4

5

>Figura 9.1

medimos intervalos sucesivos iguales a la derecha del 0 y marcamos los puntos divisorios con los enteros positivos (números naturales) en su orden, 1, 2, 3, . . . . Nota que los enteros positivos pueden escribirse como 1, 2, 3, . . . , o como 1,2, 3, . . . . Usualmente escribimos 1 en lugar de 11, 2 en lugar de 12, y así sucesivamente. De la misma manera, el punto a la izquierda del 0, los enteros negativos, se marcan 1, 2, 3, . . . (lee “negativo uno, negativo dos, negativo tres, etc.”). Nota que 0 no es negativo ni positivo. Hemos dibujado nuestra recta de un poco más de cinco unidades de largo en cada lado. Las flechas a cada lado indican que la recta podría haberse dibujado de cualquier longitud que se desee. Los números positivos y negativos se llaman números con signo. ¿Por qué? Porque identificamos los números positivos con el signo  (más) y los negativos con el signo 2 (negativo). ¿Y el 0? El número 0 no es ni positivo ni negativo. Con base en esto introducimos un conjunto nuevo de números llamados enteros. El conjunto de enteros consiste en 1. Los números positivos {1, 2, 3, . . . }. 2. El número 0. 3. Los números negativos {. . . 3, 2, 1}. Así, el conjunto de enteros es I*  {. . . 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 . . .}. Para hacer el ejemplo 1, recuerda que el conjunto de números naturales es N 5 {1, 2, 3, . . .} y el conjunto de números cardinales W 5 {0, 1, 2, 3, . . .}.

Clasificar números Qué números en el conjunto {5, 4, 0, 1, 2, 3} son a. Números naturales b. Números cardinales c. Enteros positivos d. Enteros negativos e. Enteros

PROBLEMA 1

SOLUCIÓN

e. Enteros?

EJEMPLO 1

a. b. c. d. e.

En el conjunto, los números naturales son 1, 2 y 3. Los números cardinales son 0, 1, 2 y 3. Los enteros positivos son 1, 2 y 3. Los enteros negativos son 5 y 4. Los enteros son 5, 4, 0, 1, 2 y 3.

* Algunos autores prefieren llamar E a los enteros.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 4, 5, 7 b. 0, 4, 5, 7 c. 4, 5, 7 d. 3, 1 e. 3, 1, 0, 4, 5, 7

¿Qué números en el conjunto {3, 1, 0, 4, 5, 7} son a. Números naturales? b. Números cardinales? c. Enteros positivos? d. Enteros negativos?

524

Capítulo 9

9-4

Los números reales

Los enteros pueden usarse en muchas situaciones. Algunas se ilustran en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2

Uso de enteros Describe cómo se usan los enteros con base en las siguientes figuras. Elevación del suelo, ciudad de Nueva Orleans

B

Pared de contención a lo largo del río Mississippi

A

Nueva Orleans

30

F 100 90

30

20

C 40

30

80 70

10

50


10 Or Po del illa nt La ch go ar
20 tra in

10

40

UNO

UNO Side of Wainright DR

20

60

0

Wainright DR at L.C. Simon

Derbigny en I-10

Explanada en St. Claude

del

Rib

era


20

Catedral de San Luis


10

Canal St. at river

Mis sis sip p

i

0

23 pies 18 pies proyecto de circulación 17.5 ft B Promedio anual 14 pies Cadena Diseño de elevación montañosa S.P.H 11.5 pies Gentilly Lago normal 1.0 pies de nivel

St. Anthony at Wildair DR

10

río

Elevaciones en pies

20

Protección contra huracanes, dique y pared de contención

Describe cómo se usan los enteros en el siguiente diagrama.

Río Rio Mississippi

Gentilly Boulevard en Allen

A

Desde Canal Street a la altura del río Mississippi hasta el Lakefront en U.N.O.

Lago Pontchartrain

Campus de la Universidad Dillard

a.

PROBLEMA 2

30

0

20 10 0

10

20

Fuente: http://www.publichealth.hurricane.lsu.edu.

b. Golf: Mejores tiros Posición

Nombre

Hasta

Total

1

Sue/Fred

5

22

2

Al/Bob

2

21

3

Cal/Don

2

E

4

Mike/ Tami

5

11

Fuente: http://www.motherhensw.com.

SOLUCIÓN a. Indica las elevaciones de Nueva Orleans b. Los enteros indican los puntajes de golf.

EJEMPLO 3

Uso de enteros Representa una situación de la vida real usando enteros. a. Una cuenta bancaria que está sobregirada por $50 y se hace un depósito de $30. b. La altura de la torre Eiffel y su antena es de 1052 pies. c. La elevación del Valle Muerto, que está a 282 pies por debajo del nivel del mar.

SOLUCIÓN a. $50 y $30 (o simplemente 30) b. 1052 pies (o simplemente 1052 pies) c. 282 pies

PROBLEMA 3 Representa una situación de la vida real usando enteros. a. La deuda nacional es $8,391,014,420,537. b. La altura del edificio Empire State y su barra luminosa es de 1454 pies. c. La elevación del Mar Muerto, que está a 408 metros por debajo del nivel del mar.

En la figura 9.1 de la página anterior, tenemos una figura de una recta numérica. Podemos graficar enteros individuales en una recta numérica como lo hicimos en la sección 1.2. Ilustramos como en el ejemplo 4. Respuestas a los PROBLEMAS 2. Los enteros indican la temperatura en grados Fahrenheit o Celsius. 3. a. $8,391,014,420,537 (¡esto es más de 8 trillones de dólares en deuda!) b. 1454 pies (o 1454 pies) c. 408 metros

9-5

9.1

EJEMPLO 4 Graficar enteros Gráfica los enteros 3, 0 y 5 en una recta numérica.

Suma y resta de enteros

525

PROBLEMA 4 Gráfica los enteros 4, 1 y 3 en una recta numérica.

SOLUCIÓN Dibuja un número en la recta con puntos a espacios iguales, como en la figura 9.1. Para graficar 3 pon un punto grueso en la recta numérica y encima 3. Esta es la gráfica de
3
5
4
3
2
1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

Haz lo mismo para 0 y 5. 5 4 3 2 1

En el capítulo 1 usamos los símbolos (menor que) y  (mayor que) para comparar números. Podemos usar los mismos símbolos para comparar enteros usando una recta numérica. 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

Como puedes ver, los enteros se escriben en orden y van en ascenso a medida que te mueves de izquierda a derecha de la recta numérica. Entonces cada entero es siempre mayor que () cualquier otro entero a su izquierda y es menor que ( ) cualquier entero a su derecha. Aquí está la definición que necesitamos:

MENOR QUE ( ) Y MAYOR QUE ()

Si a y b son dos enteros, a es menor que b si a está a la a b izquierda de b en la recta numérica. En símbolos a b. Esto también significa que b está a la derecha de a. Es decir, b es mayor que a. En símbolos, b  a.

PROBLEMA 5

EJEMPLO 5

Comparar enteros Grafica los enteros y agrega el símbolo , o . para hacer que la afirmación sea verdadera. a. 2 ____ 5

Grafica los enteros y agrega el símbolo o  para hacer que la afirmación sea verdadera. a. 4 ____ 1 b. 2 ____ 0

b. 1 ___ 3

SOLUCIÓN a. Dibuja una recta numérica y grafica 2 y 5, como se muestra. 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

2  5, porque 2 está a la derecha de 5. Así, 2  5. b. Dibuja una recta numérica y grafica 1 y 3. 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

1 3, porque 1 está a la izquierda de 3. Así, 1 3.

Respuestas a los PROBLEMAS

4.

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5.

5 4 3 2 1

0

a. 4 1 b. 2  0

1

2

3

4

5

526

Capítulo 9

9-6

Los números reales

B 6 Números aditivos inversos u opuestos Para todo entero positivo existe un entero negativo correspondiente. Así, asociado con el entero positivo 3, tenemos el entero negativo 3. Como 3 y 3 están a la misma distancia del origen pero en direcciones opuestas, 3 y 3 se llaman opuestos, números aditivos inversos, o simplemente opuestos. De la misma manera, el aditivo inverso (opuesto) de 2 es 2, y el aditivo inverso (opuesto) de 1 es 1, como se muestra en la figura 9.2 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

>Figura 9.2

Así, para cada entero positivo existe un entero negativo correspondiente. 3 y 3 son aditivos inversos (opuestos). 1 y 1 son aditivos inversos (opuestos). Si seguimos el patrón para hallar aditivos inversos (opuestos) tenemos Entero

Inverso

3 2 (1)  1 (2)  2

3 2 1 2 En general,

ADITIVO INVERSO DE UN NÚMERO U OPUESTO

El aditivo inverso de un número a distinto de 0 es 2a y el opuesto de a es (a)  a. Nota: 0  0

PROBLEMA 6

EJEMPLO 6

Encontrar opuestos de un número Halla el opuesto del número. a. 9 b. 7

Halla el opuesto del número. b. 17

a. 17

SOLUCIÓN a. El inverso de 9 es 9. b. El inverso de 7 es (7)  7.

C 6 Valor absoluto Ahora, vayamos otra vez a la recta numérica. ¿Cuál es la distancia entre 3 y 0? La respuesta es 3 unidades.
3

3 unidades
3

3 unidades
5
4
3
2
1

0

1

2

3

4

5

¿Cuál es la distancia entre 23 y 0? La respuesta es también 3 unidades.

Respuestas a los PROBLEMAS 6. a. 17

b. 17

9-7

9.1

Suma y resta de enteros

527

La distancia entre cualquier número n y 0 se llama el valor absoluto del número y se representa con UnU. Así, U23U  3 y U3U  3. Nota que como el valor absoluto representa una distancia, el valor absoluto de un número nunca es negativo.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

El valor absoluto de un número n es su distancia de 0 y se representa con |n|. En general, n, si n . 0

{

si n 5 0

|n| 5 0,

2n,

si

n 0

Valor absoluto de un entero Halla el valor absoluto.

PROBLEMA 7

a. U6U

a. U18U

EJEMPLO 7

b. U7U

Halla el valor absoluto.

c. U0U

b. U8U

c. U0U

SOLUCIÓN a. U6U  6

es 6 unidades desde 0. 6

b. U7U  7

7 es 7 unidades desde 0.

U6U 6

U7U 7

7 6 5 4 3 2 1

c. U0U  0

0

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 es 0 unidades desde 0.

U0U 0 4 3 2 1

0

1

2

3

4

D 6 Suma de enteros usando una recta numérica

Estamos preparados para hacer sumas usando la recta numérica. He aquí el procedimiento para hacerlo.

PARA SUMAR a 1 b EN LA RECTA NUMÉRICA 1. Comienza en 0 y mueve hasta a (a la derecha si a es positivo, a la izquierda si es negativo). 2. a. Si b es positivo, mueve b unidades a la derecha. b. Si b es negativo, mueve b unidades a la izquierda. c. Si b es cero, quédate en a. Por ejemplo, la suma 2 1 3, o (12) 1 (13), se halla moviendo 2 unidades a la derecha, seguido por 3 unidades más a la derecha. Así, 2 1 3 5 5, como se muestra en la figura 9.3. 2
3


2


1

0

3 1

2

3

suma 2  3  5 > Figura 9.3

Respuestas a los PROBLEMAS 7. a. 18

b. 8

c. 0

4

5

6

7

528

Capítulo 9

9-8

Los números reales

EJEMPLO 8

PROBLEMA 8

Sumar enteros

Suma: 5 1 (22)

Suma: 4 1 (23)

SOLUCIÓN Primero mueve 5 unidades a la derecha, seguido por 2 unidades a la izquierda. El resultado final es 3. Así 5 1 (22) 5 3, como se muestra en la figura 9.4.

4 3 2 1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

2 5 3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

3 >Figura 9.4

EJEMPLO 9

PROBLEMA 9

Sumar enteros

Suma: 25 1 3

Suma: 23 1 1

SOLUCIÓN Primero mueve 5 unidades a la izquierda, seguido por 3 unidades a la derecha. El resultado final es 22 como se muestra en la figura 9.5. Así, 25 1 3 5 22.

4 3 2 1

0

3 5 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

2 >Figura 9.5

¿Podemos sumar dos enteros negativos? Por supuesto. Sin embargo, debemos tener cuidado al escribir esos problemas. Por ejemplo, para sumar 23 y 22 debemos escribir 23 1 (22) Necesitamos el paréntesis, porque 23 1 22 es confuso.

EJEMPLO 10

PROBLEMA 10

Sumar enteros

Suma: 23 1 (22)

Suma: 22 1 (21) 4 3 2 1

0

Respuestas a los PROBLEMAS 9.

8.

3

0

4  (3)  1 1

1

1

3

4 4 3 2 1

10.

1

2

3

4

4 3 2 1

2

4 3 2 1

0

1

2

3

4

2 3  1  2

0

1

3 2  (1)  3

2

3

4

1

2

3

4

9-9

9.1

Suma y resta de enteros

529

SOLUCIÓN Primero mueve 3 unidades a la izquierda, seguido por 2 unidades a la izquierda. El resultado es 5 unidades a la izquierda; es decir, 23 1 (22) 5 25. 2 5

4

3 3

2

1

0

1

2

3

4

5

5

E 6 Suma de enteros usando las reglas de la suma

Como viste en estos ejemplos, si sumamos números con el mismo signo, el resultado es un número con ese signo. Así, 2 1 3 5 5 y 23 1 (22) 5 25. Si sumamos números con signos opuestos, la respuesta lleva el signo del número con el mayor valor absoluto, así 5 1 (22) 5 3 pero 25 1 2 5 23 He aquí la regla que lo resume:

PARA SUMAR ENTEROS 1. Si ambos números tienen el mismo signo, suma sus valores absolutos y el resultado de la suma lleva el signo común. 2. Si los números tienen signos opuestos, resta sus valores absolutos y el resultado de la diferencia lleva el signo del número con mayor valor absoluto. Así, 3 1 7 5 10, 4 1 9 5 13, 23 1 (27) 5 210, y 24 1 (29) 5 213. Para sumar 28 1 5 primero notamos que los números tienen signos opuestos. Entonces restamos sus valores absolutos y escribimos la diferencia, el signo del número con mayor valor absoluto. Así, 28 1 5 5 2(8 2 5) 5 23 Usa el signo del entero Resta el entero menor mayor. del entero mayor.

(Puedes pensar acerca de este problema de otra forma. Estás sumando un negativo a un positivo, pero tienes más negativos, entonces la respuesta es negativa. ¿Cuántos negativos más tienes? 3, entonces la respuesta es 23.) De la misma manera, 18 1 (25) 5 1(8 2 5) 5 3 Usa el signo del entero Resta el entero menor mayor. del entero mayor.

EJEMPLO 11

Sumar enteros

Suma: a. 28 1 (26) c. 10 1 (26)

b. 210 1 6 d. 10 1 (23) 1 8 1 (22)

PROBLEMA 11 Suma: a. 29 1 (24) b. 217 1 8 c. 171(28) d. 12 1 (24) 1 5 1 (23)

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 11. a. 213

b. 29

c. 9

d. 10

530

Capítulo 9

9-10

Los números reales

SOLUCIÓN a. b. c. d.

281(26)52(816)5214 2101652(1026)24 101(26)510 2654 Sumamos los positivos 10 y 8 y los negativos (23) y (22), luego sumamos los resultados así 10 1 (23) 1 8 1 (22) 18 1 (25) 5 13

F 6 Resta de enteros Ahora ya estamos preparados para restar enteros. Imagina que un banco usa los enteros positivos para indicar depósitos y los enteros negativos para indicar retiros. Si depositas $4 y luego retiras $6, debes $2. Así 4 2 6 5 4 1 (26) 5 22 Y también, 24 2 3 5 24 1 (23) 5 27 Porque si debes $4, y luego retiras $3 más, debes $7. Estos resultados pueden verificarse usando la definición de resta de enteros. La diferencia a 2 b 5 c significa que a 5 b 1 c.

DEFINICIÓN DE RESTA

Así 4 2 6 5 22 porque 4 5 6 1 (22), y 24 2 3 5 27 porque 24 5 3 1 (27). ¿Y 5 2 (22)? Decimos que 5 2 (22) 5 7 porque si depositas $5 y el banco cancela (resta) un débito de $2 (representado por 22), tu cuenta aumenta en $2. Así 5 2 (22) 5 5 1 2 5 7. Nota que 4 2 6 5 4 1 (26) 24 2 3 5 24 1 (23) 5 2 (22) 5 5 1 2 En general, tenemos la siguiente regla para restar enteros.

PARA RESTAR ENTEROS Para todos los números reales a y b, a 2 b 5 a 1 (2b) Para restar un entero b, sumar su opuesto (2b). Nota que el opuesto de 2a es a, es decir, 2(2a) 5 a. Así 327531(27)524 923591(23)5 6

28235281(23)5211 282(24)52814524

9-11

9.1

EJEMPLO 12

Suma y resta de enteros

531

PROBLEMA 12

Restar enteros

Resta: a. 15 2 6

b. 220 2 3

c. 210 2 (28)

d. 8 2 13

Resta: a. 13 2 7 b. 218 2 4 c. 23 2 (29) d. 7 2 15 e. 5 2 (28) 2 6 1 9

e. 4 2 (25) 2 3 1 7

SOLUCIÓN a. 15 2 6 5 15 1 (26) 5 1(15 2 6) 5 9 b. 220 2 3 5 220 1 (23) 5 2(20 1 3) 5 223 c. 210 2 (28) 5 210 1 8 5 2(10 2 8) 5 22 d. 8 2 13 5 8 1 (213) 5 2(13 2 8) 5 25 e. Usa la definición de resta para escribirlo como un problema de suma, luego suma los positivos juntos y los negativos juntos: 4 2 (25) 2 3 1 7 5 4 1 5 1 (23) 1 7 5

16 1 (23)

5

13

G 6 Aplicaciones con enteros ¿Existe una relación entre la cantidad de educación que recibieron tus padres (logros educativos) y tu puntaje del SAT? Exploraremos esa pregunta es el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 13

Interpretar una gráfica con enteros El cuadro muestra que los puntajes orales para los que tomaron el examen con padres que no alcanzaron a obtener el diploma de Escuela Superior es de 295, es decir, 95 puntos por debajo del promedio (el puntaje en matemáticas fue 514 y el promedio de puntaje oral era 506). Sin diploma Escuela Superior

¿Qué entero corresponde a los puntajes orales de los que tomaron los exámenes cuyos padres obtuvieron un Grado Asociado? ¿Qué significa el entero?


95
76

Diploma de Escuela Superior


34
38

Grado Asociado


14
23

Grado de Bachillerato Nivel Graduado

PROBLEMA 13

19 19 SAT oral SAT matemáticas

53 53


120
100
80
60
40
20

0

20

40

60

80

Puntos

a. ¿Qué entero corresponde a los puntajes orales de los que tomaron el examen cuyos padres tienen un diploma de Escuela Superior? ¿Qué significa el entero? b. ¿Qué entero corresponde a los puntajes de matemáticas de los que tomaron los exámenes cuyos padres tenían un Nivel Graduado? ¿Qué significa el entero? (continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 12. a. 6

b. 222

c. 6

d. 28

e. 16

13. 214. Los puntajes orales fueron 14 puntos por debajo de 506, es decir, 506 2 14 5 492.

532

Capítulo 9

9-12

Los números reales

SOLUCIÓN a. Los puntajes orales de los que tomaron los exámenes cuyos padres tenían un diploma de Escuela Superior aparecen a la izquierda de la barra roja identificada como Diploma de Escuela Superior. El puntaje es 234. Significa que los puntajes orales de los que tomaron los exámenes fueron 34 puntos por debajo del puntaje oral promedio (506). Así, los puntajes orales de los que tomaron los exámenes fueron 506 2 34 5 472. b. Los puntajes de matemáticas de los que tomaron los exámenes cuyos padres tenían un diploma de Nivel Graduado aparecen a la derecha de la barra azul con el nombre de Nivel Graduado. El puntaje es153. Significa que los puntajes de matemáticas de los que tomaron los exámenes fueron de 53 puntos por encima del promedio de matemáticas (514). Así, los puntajes de matemáticas para los que tomaron los exámenes fueron 514 1 53 5 567.

Rincón de la calculadora Algunas calculadoras tienen una tecla que halla los números inversos de un número dado. Por ejemplo, para hallar el opuesto de 9, como en el ejemplo 6a, digita 9 1/2 o 9 CHS y aparecerá la respuesta correcta, 29. Más abajo hay algunos ejemplos de esta sección hechos con una calculadora. Ejemplo 8 Digita

5 1 (22)

Ejemplo 9 Digita

25 1 3

Ejemplo 10 23 1 (22) Digita 3

210 1 6

2

Ejemplo 11(b) Digita

220 2 3

3

Ejemplo 12(b) Digita Ejemplo 12(d) Digita

8 2 13

2

1

2

0

0

1

3

3

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

6Ejercicios 9.1 5 A 6 Introducción a los enteros

> Self-Tests > e-Professors > Videos

El conjunto {25, 22, 0, 1, 3} se usará en los problemas 1 al 3.

1. a. Haz una lista de los números cardinales del conjunto. b. Haz una lista de los números positivos del conjunto. 3. Haz una lista de los enteros del conjunto.

2. a. Haz una lista de los números naturales del conjunto. b. Haz una lista de los números negativos del conjunto.

En los problemas 4 y 5, indica cómo se usan los enteros en la situación dada. 4.

5. Las ciudades más grandes de Estados Unidos

Posición

Ciudad

Estado

Población en 2003

1 2 3 4 5

New York Los Ángeles Chicago Houston Philadelphia

New York California Illinois Texas Pennsylvania

8,085,742 3,819,951 2,869,121 2,009,690 1,479,339

Fuente: http://www.citymayors.com.

Cambios desde 2000

77,464 125,131 226,895 56,059 238,211

9-13

9.1

Suma y resta de enteros

533

6Web IT

En los problemas 6 y 7, escribe el entero que representa la situación. 7. a. Un aumento de $50 millones en el presupuesto.

6. a. Un retiro de $100 de tu cuenta bancaria.

b. Un déficit de $30 millones en el presupuesto.

b. Un depósito de $40 en tu cuenta bancaria.


5
4
3
2
1

b. 21

0

2

1

2

3

4

4


5
4
3
2
1

5

b. 22

2

0

25

1

2

3

4

5

22

0

10. a. 24, 21, 5
5
4
3
2
1

b. 21

24

2

3

4

5

21

5

Números aditivos inversos u opuestos

En los problemas 11 al 14, halla el aditivo inverso (opuesto).

12. 211

11. 0

5C6

1

14. 10

En los problemas 15 al 20, encuentra cada valor.

Valor absoluto

15. | 2 |

13. 217

17. | 211 |

16. | 21 |

5D6

Suma de enteros usando una recta numérica recta numérica).

18. | 215 |

19. | 230 |

20. | 216 |

En los problemas 21 al 30, suma (verifica tu respuesta usando la

21. 2 1 1

22. 3 1 3

23. 24 1 3

24. 25 1 1

25. 5 1 (21)

26. 6 1 (25)

27. 23 1 (23)

28. 22 1 (25)

29. 24 1 4

30. 3 1 (23)

5E6

Suma de enteros usando las reglas de la suma

En los problemas 31 al 40, suma.

31. 23 1 5

32. 218 1 21

33. 8 1 (21)

34. 19 1 (26)

35. 28 1 13

36. 29 1 11

37. 217 1 4

38. 218 1 9

39. 24 1 (18) 1 6 1 (22)

40. 217 1 (15) 1 (26) 1 7

42. 25 2 11

43. 29 2 11

44. 24 2 16

45. 8 2 12

46. 7 2 13

47. 8 2 (24)

48. 9 2 (27)

49. 0 2 (24) 2 3 2 (23)

50. 0 2 4 2 (25) 2 5

5F6

Resta de enteros En los problemas 41 al 50, resta.

41. 24 2 7

5G6

Aplicaciones con enteros

51. Profundidad del suelo oceánico El Monte Pico, en las Azores, está a 7615 pies por encima del nivel del mar. La distancia desde el suelo del océano a la cima del monte es de 23,615 pies. ¿Cuántos pies por debajo del nivel del mar es el suelo oceánico? 53. Diferencias de temperatura La temperatura del Valle Muerto es 53 8C, y en el Monte McKinley es 220 8C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre el Valle Muerto y el Monte McKinley? 55. Diferencias de temperatura La temperatura en el centro de la Tierra alcanza 15000 8C. En la termosfera (la región superior de la atmósfera) es 11500 8C. Halla la diferencia de temperatura entre el centro de la Tierra y la termosfera.

52. Distancia entre alto y bajo El punto más alto de la Tierra es el Monte Everest, 9 kilómetros sobre el nivel del mar. El punto más bajo es la zanja Mariannas, en el Pacífico, a 11 kilómetros por debajo del nivel del mar. ¿Cuál es la distancia entre estos dos extremos? 54. Diferencias de temperatura La temperatura en la troposfera (la capa de aire alrededor de la tierra) es 56 8C, y en el Monte Mckinley es 220 8C. Halla la diferencia de temperatura entre la troposfera y el Monte McKinley. 56. Diferencias de temperatura del agua La temperatura del agua del Mar Blanco es 22 8C. En el Golfo Pérsico es 36 8C. Halla la diferencia de temperatura del agua entre el Golfo Pérsico y el Mar Blanco.

para más lecciones

5B6

0

www.mathzone.com/bello

9. a. 25, 0, 22

8. a. 21, 2, 4

ir a

En los problemas 8 al 10, grafica los enteros en la recta numérica y luego llena los espacios con < o > para hacer que la afirmación sea verdadera.

Capítulo 9

9-14

Los números reales

57. Diferencias de temperatura La temperatura récord en Calgary, Alberta, es 1998F. La más baja es 2468F. Encuentra la diferencia entre estos extremos.

58. Precio de acciones El precio de cierta acción al comienzo de la semana es $42. Aquí están los cambios en el precio durante la semana: 11, 12, 21, 22, 21. ¿Cuál es el precio de la acción al final de la semana? 60. Cambios de temperatura He aquí los cambios de temperatura por hora en cierta ciudad:

59. Viajes del elevador Joe estaba en el piso décimo de un edificio. Se subió al elevador y subió tres pisos, bajó dos, subió cinco y bajó siete. Representando estos viajes como 13, 22, 15 y 27, ¿en qué piso está ahora Joe?

1 PM 2 PM 3 PM 4 PM

12 11 21 23

Si la temperatura inicial fue 158C, ¿cuál era a las 4

PM?

Para los problemas 61–68, usa el cuadro del ejemplo 13. 62. Puntajes de SAT ¿Qué entero corresponde a los puntajes de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un diploma de Bachillerato? ¿Cuál fue su puntaje? 64. Puntajes de SAT Halla la diferencia entre los enteros correspondientes a los puntajes verbales y de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres no obtuvieron un diploma de Escuela Superior. 66. Puntajes de SAT Halla la diferencia entre los enteros correspondientes a los puntajes verbales y de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un Grado Asociado.

61. Puntajes de SAT ¿Qué entero corresponde a los puntajes verbales de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un diploma de Bachillerato? ¿Cuál fue su puntaje? 63. Puntajes de SAT ¿Qué entero corresponde a los puntajes verbales de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un Nivel Graduado? ¿Cuál fue su puntaje? 65. Puntajes de SAT Halla la diferencia entre los enteros correspondientes a los puntajes verbales y de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un diploma de Escuela Superior. 67. Puntajes de SAT Halla la diferencia entre los enteros correspondientes a los puntajes verbales y de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un diploma de Nivel Graduado.

68. Puntajes de SAT Halla la diferencia entre los enteros correspondientes a los puntajes orales y de matemáticas de los que tomaron el examen cuyos padres obtuvieron un diploma posgraduado.

El siguiente cuadro se usará en los problemas 69 al 74. Ingreso neto de granjas La línea roja muestra la gráfica de los ingresos netos de las granjas de la Asociación de Administración de Granjas. ¿Existe una relación entre la categoría de edad y el ingreso neto? Veamos. Comparación de los ingresos netos de las granjas por edad del operador. Asociación de Administración de Granjas, NW 2002 Gubernamentales

25

Ganado

Granos

20

325

Otros

225

15 125

10 5

Venta de granos

25

0 5 10 15 35

75

Ingreso neto de las granjas 36–40

41–45

46–50

51–55

56–60

61–65

66–70

Componentes de VFP (en miles de dólares)

30

Ingreso neto de las granjas (en miles de dólares)

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

534

175 70

Edad del operador Fuente: Información de la Asociación de Administración de Granjas del Noroeste de Kansas.

69. La flecha azul muestra el mayor ingreso neto de las granjas (en miles) de la Asociación de Administración de Granjas (FMA). ¿Cuál fue el ingreso neto de la granja y cuál fue la categoría de edad correspondiente?

70. ¿Cuál fue el ingreso neto más bajo producido y a qué categoría de edad corresponde?

71. ¿A qué categoría de edad las granjas se igualan?

72. Si estás en la categoría 56 – 60, ¿cuál es el ingreso correspondiente?

73. ¿Cuál es el ingreso neto correspondiente a granjeros mayores de 70 años?

74. ¿A qué categoría de edad esperarías tener $5000 en ingresos netos?

9-15

9.1

Suma y resta de enteros

535

ir a

Superávit y déficit estimados y reales (año 02–06)

www.mathzone.com/bello

300 231

Estimado original para el presupuesto del año Monto final

Billones de dólares

200 100 0
100
200


80
158


300


307


400


364


378


427

Año fiscal 2004

Año fiscal 2005


500 Año fiscal 2002

Año fiscal 2003


390 Año fiscal 2006

Fuente: http://newsaic.com.

75. a. ¿Cuál es el estimado original para el año fiscal 2002?

76. a. ¿Cuál es el estimado original para el año fiscal 2003?

b. ¿Cuál es la cantidad final para el año fiscal 2002?

b. ¿Cuál es la cantidad final para el año fiscal 2003?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el estimado original y la cantidad final?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el estimado original y la cantidad final?

77. a. ¿Cuál es el estimado original para el año fiscal 2004?

78. a. ¿Cuál es el estimado original para el año fiscal 2005?

b. ¿Cuál es la cantidad final para el año fiscal 2004?

b. ¿Cuál es la cantidad final para el año fiscal 2005?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el estimado original y la cantidad final?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el estimado original y la cantidad final?

666 Usa tus conocimientos Una pequeña historia

El cuadro que se acompaña contiene alguna información importante sobre fechas históricas.

Fechas históricas importantes 323 a.C. 216 a.C. 476 d.C. 1492 d.C. 1776 d.C. 1939 d.C. 1988 d.C.

Muere Alejandro Magno Aníbal vence a los romanos Caída del Imperio Romano Colón desembarca en América Se firma la Declaración de la Independencia Comienza la Segunda Guerra Mundial Reagan y Gorbachov sostienen una cumbre

Podemos usar enteros negativos para representar los años a.C. Por ejemplo, el año en que murió Alejandro Magno puede escribirse como 2323, mientras que la caída del Imperio Romano ocurrió en 1476 (o simplemente 476).

Para hallar el número de años que transcurrieron entre la caída del Imperio Romano y la derrota de los romanos por Aníbal, escribimos 476 2 (2216) 5 476 1 216 5 692

Caída del Imperio Romano (476 d.C.)

Aníbal vence a los Romanos (216 a.C.)

Años transcurridos

para más lecciones


412

6Web IT

Superávit y déficit La siguiente gráfica compara superávit y déficit estimados del presupuesto (en azul) a los resultados reales (en rojo) y se usará en los problemas 75 al 78.

536

Capítulo 9

9-16

Los números reales

Usa estas ideas para hallar el número de años transcurridos entre los siguientes periodos de tiempo. 79. La caída del Imperio Romano y la muerte de Alejandro Magno.

80. El desembarco de Colón en América y la derrota de los romanos por Aníbal.

81. El desembarco de Colón en América y la firma de la Declaración de Independencia.

82. El año de la reunión entre Reagan y Gorbachov y la firma de la Declaración de Independencia.

83. El comienzo de la Segunda Guerra Mundial y la muerte de Alejandro Magno.

666¡Escribe! 84. Escribe con tus palabras qué significa el aditivo inverso de los enteros.

85. Escribe con tus palabras por qué a y 2a se llaman opuestos.

86. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para sumar dos enteros con diferente signo.

87. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para restar dos enteros con diferente signo.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 88. Los enteros positivos son

. .

89. Los enteros negativos son

90. El entero a es menor que el entero b (a b) si a está a la de b en la recta numérica. 91. b es mayor que a se escribe como

. .

92. El aditivo inverso de a es

de 0.

93. El valor absoluto de un número n es su 94. a 2 b 5 c significa

. su opuesto.

95. Para restar un entero

21, 22, 23

0

derecha

a5b1c

izquierda

b 5 a1 c

0, 1, 2, 3

suma

1, 2, 3, . . .

resta

b
distancia

b>a

diferencia

2a

21, 22, 23, . . .

666Prueba de dominio 96. Halla el opuesto de cada número. a. 19

97. Halla el valor absoluto de cada número. a. | 28 |

b. 223

0

1

2

3

4

5

100. Usa la recta numérica para sumar 22 1 (23). 5 4 3 2 1

102. Resta. a. 14 2 7 c. 28 2 (25)

0

1

2

3

b. 221 2 4 d. 7 2 10

4

c. | 0 |

99. Usa la recta numérica para sumar 24 1 2.

98. Usa la recta numérica para sumar 5 1 (23). 5 4 3 2 1

b. | 4 |

5 4 3 2 1

0

1

2

3

101. Suma. 5

a. 27 1 (25) c. 9 1 (25)

b. 29 1 5

4

5

9-17

9.1

103. La tabla muestra el cambio de porciento del crecimiento del empleo en Oklahoma (rojo) por cuatrimestre. ¿Cuándo fue el cambio de porciento más bajo y cuál fue ese porciento?

Suma y resta de enteros

537

104. Considera el conjunto de números {23, 21, 0, 2, 6} a. Haz una lista de los números naturales del conjunto. b. Haz una lista de los números cardinales del conjunto. c. Haz una lista de los enteros positivos del conjunto.

Crecimiento del empleo (cambio de porciento de año tras año)

Crecimiento del empleo en Oklahoma rezagado con respecto a la nación

d. Haz una lista de los enteros negativos del conjunto. 105. Da un entero que represente la siguiente situación:

5

Oklahoma

4

a. El mercado de valores ganó 80 puntos. b. Un inversionista perdió $100,000.

3 2 1 0
1
2

U.S.


3 Q1 1991

Q1 1993

Q1 1995

Q1 1997

Q1 1999

Q1 2001

Q1 2003

Años Fuente: Corporación Federal de Seguros de Depósito.

106. Describe cómo se usan los enteros en la situación dada.

Torneo Master de Golf 2006 NOMBRE

PUNTAJE

Phil Mickelson


7

Tim Clark


5

Retief Goosen


4

Jose Maria Olazabal


4

Tiger Woods


4

107. Grafica los enteros 24, 0, 21 y 5.
5
4
3
2
1

0

1

2

3

109. Agrega el símbolo . o , para hacer la afirmación verdadera. 0 24 110. Agrega el símbolo . o , para hacer la afirmación verdadera. 0 21

Halla: 112. 32

5

108. Agrega el símbolo . o , para hacer la afirmación verdadera. 24 21

666Comprobación de destrezas 111. 52

4

113. 23 ? 32

114. 52 ? 33

538

Capítulo 9

9-18

Los números reales

9. 2

Multiplicación y división de enteros

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

1. Multiplicar y dividir números cardinales. (págs. 49, 62) 2. Elevar un número cardinal a una potencia dada. (págs. 77, 82–84)

A6

Multiplicar o dividir dos enteros dados.

B6

Elevar un entero a una potencia dada.

C6

Multiplicar más de dos enteros dados.

6 Para comenzar Los científicos de la historieta olvidaron multiplicar números cardinales. Los productos y los cocientes de enteros pueden hallarse de la misma forma que los productos y cocientes de los números cardinales. La única diferencia es que debemos determinar si el resultado es positivo o negativo. Observa el siguiente patrón y mira si puedes descubrir la regla para multiplicar enteros. “Escuchen, pienso que veo donde nos equivocamos, ¿no es ocho por siete cincuenta y seis?” © The New Yorker Collection 1954 Ed Fisher from cartoonbank.com. Todos los derechos reservados.

Este número decrece por 1.

Este número decrece por 3.

Este número decrece por 1.

3  3  9

3  (3)  9

2  3  6

2  (3)  6

1  3  3

1  (3)  3

0  3  0

0  (3)  0

1  3  3

1  (3)  3

2  3  6

2  (3)  6

3  3  9

3  (3)  9

Este número decrece por 3.

9-19

9.2

Multiplicación y división de enteros

539

A 6 Multiplicación y división de enteros Los números que se muestran en rojo representan los productos de enteros con signos opuestos (distintos): su producto es negativo. Los números en azul tienen el mismo signo: su producto es positivo. Recuerda que 0 no es positivo ni negativo. Como la misma regla se aplica a la división (porque como recuerdas a  b  c significa a  b  c), podemos resumir estos comentarios con la siguiente regla:

Reglas de los signo en  y  Cuando se multiplica o se divide números con

La respuesta es

 

Signos iguales Signos opuestos (diferentes)

Podemos explicar por qué la multiplicación de enteros con signos distintos es negativa. Toma (3)  (4). Como el proceso de multiplicación es una repetición de sumas, (3)  (4)  (4)  (4)  (4)  12 Por ejemplo: 7  8  56 3  (8)  24 16  2  8 24  (6)  4

}

7  8  56 3  5  15 30  6  5 27  (3)  9

}

}

Signos iguales, la respuesta es . Signos iguales, la respuesta es .

}

Signos opuestos, la respuesta es . Signos opuestos, la respuesta es .

Cuando multiplicamos números debes recordar el caso especial de multiplicar todo número por 0: la propiedad de la multiplicación de 0.

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE 0

Para todo número real a,

a  0  0 a  0 Esto significa que el producto de todo número real y 0 es 0.

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Multiplicar enteros

Multiplica: a. 9  8 c. 5  (4)

Multiplica:

b. 5  3 d. 7  (6)

a. 6  7

b. 4  2

c. 3  (8)

d. 2  (8)

SOLUCIÓN a. 9  8  72

b. 5  3  15 ︸

Signos distintos

c. 5  (4)  20 ︸

Signos iguales

Respuesta positiva

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a. 42 b. 8 c. 24 d. 16

Respuesta negativa

d. 7  (6)  42 ︸

Signos distintos

Respuesta negativa

Recuerda: }0n no es divisible en los números reales. }0n  0 para cualquier número real n p 0.

540

Capítulo 9

9-20

Los números reales

Ahora estamos preparados para hacer divisiones, pero debemos notar que existen algu17 nos problemas de división cuyas respuestas no son números enteros (prueba } 5 o 18 17  7). En la sección 9.3, comentamos números como } y 18  7; recuerda que la división 5 por 0 no está definida, como se indica a continuación.

DIVISIÓN POR 0

Para todos los números reales a,

a0

a o } 0 no está definido.

Aunque la división por 0 no está definida, siempre podemos dividir 0 entre todo número real a distinto a él. El resultado es 0, como se muestra a continuación.

DIVIDENDOS DE CERO

Para todo número real a distinto de 0

0 } a  0; a p0

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Dividir enteros Divide (si es posible): a. 35  7 c. 24  (12)

0 e. } 10

Divide (si es posible):

12 b. } 4 10 d. } 5 10 f. } 0

a. 42  6 c. 49  (7) 0 e. } 15

18 b. } 9 15 d. } 3 15 f. } 0

SOLUCIÓN a. 35  7  5 c. 24  (12)  2 0 e. } 10  0

12 b. } 4  3 10 d. } 5  2 10 f. } 0 no está definido

B 6 Enteros y exponentes Como recordarás, un exponente es un número que indica cuántas veces un número, llamado la base, se usa como un factor. Así, 22  2  2  4 23  2  2  2  8 ¿Y (2)2? Usando la definición de exponente, tenemos (2)2  (2)  (2 )  4 ︸

signos iguales

Nota que (2)2  4 pero 22  (2  2)  4. (Recuerda que 22 significa el inverso de 22, es decir, 22  4.) Así, 22 p (2)2 (no es igual). ¡El lugar que le corresponde al paréntesis en una expresión es muy importante!

Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. 7 d. 5

b. 2 c. 7 e. 0 f. No definido

9-21




9.2

EJEMPLO 3

Multiplicación y división de enteros

PROBLEMA 3

Enteros elevados a una potencia

Evalúa: a. (3)2

541

Evalúa:

b. 32

a. (4)2

b. 42

SOLUCIÓN a. (3)2  (3)  (3)  9 b. 32  (3  3 )  9 ︸

EJEMPLO 4

PROBLEMA 4

Enteros elevados a una potencia

Evalúa: a. (2)3

Evalúa:

b. 2

3

a. (3)3

b. 33

SOLUCIÓN a. (2)3  (2)  (2)  (2)  4  (2)  8 b. 23  (2  2  2 )  8 ︸

C 6 Multiplicar más de dos enteros Cuando multiplicamos más de dos números con signo, podemos usar algunos ejemplos para determinar el signo del producto final. a. (3)(2)(5)

dos factores negativos

 6(5) 

30

producto 

b. 2(4)(3)(1)(2)

cuatro factores negativos

 8(3)(1)(2) 

24(1)(2)



24(2)



48

c. 1(4)(3)(2)

producto  tres factores negativos

 4(3)(2) 

12(2)



24

producto 

d. 3(2)(1)(5)(3)(1)

cinco factores negativos

 6(1)(5)(3)(1) 

6(5)(3)(21)



30(3)(1)

 

Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 16 b. 16 4. a. 27 b. 27

90(1) 90

producto 

Como puedes ver del patrón, el signo del producto se determina por el número de factores negativos en la multiplicación. Este resultado se resume a continuación.

542

Capítulo 9

9-22

Los números reales

PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR MÁS DE DOS NÚMEROS CON SIGNO Primero, multiplica sus valores absolutos. El signo final es 1. Positivo () si hay un número par de factores negativos. 2. Negativo () si hay un número impar de factores negativos.

EJEMPLO 5 Multiplica: a. 4(7)(1)

Multiplicar números con signo b. (6)(2)(3)

PROBLEMA 5

c. (5)(3)(2)(4)

Multiplica: a. 2(5)(3)

SOLUCIÓN

b. (3)(6) (2)

a. Hay dos factores negativos (7) y (1), que es un número par de factores negativos, por lo que el producto final es positivo. Multiplica el valor absoluto de los números y recuerda que el producto final es positivo.

c. (2)(4)(3)(5)

4(7)(1)  ()4(7)(1)  28 b. Hay tres factores negativos, que es un número impar de factores negativos, por lo que el producto final es negativo. Multiplica el valor absoluto de los números y asigna el signo negativo. (6)(2)(3)  ()(6)(2)(3)  36 c. Tenemos tres factores negativos, por lo que el producto final es negativo. Multiplica el valor absoluto de los números y asigna al producto final el signo negativo. (5)(3)(2)(4)  (5)(3)(2)(4)  120

Rincón de la calculadora Las teclas  o CHS es esencial cuando se multiplican o dividen enteros, como se muestra en los ejemplos 1 y 2. Ejemplo 1 Ejemplo 2 . a. 9  8 Digita 9 a. 35  7 Digita . 3 5 7 4 12 b. 5  3 Digita . 3 b. } Digita . 1 2 4 4 4 c. 5  (4) presenta un problema. Si digitas c. 24  (12) presenta el mismo problema que la parte c , la calculadora da como 4 del ejemplo 1. Si digitas 2 4 1 2 4 respuesta 9. Para obtener la respuesta correcta no obtienes la respuesta correcta. Como antes, el debes digitar . Esta 1/2 4 procedimiento correcto es digitar 2 4 4 vez la calculadora multiplica 5 por el inverso de 4, , lo que da la respuesta correcta, 2. 1 2 1/2 o 4, para obtener la respuesta correcta, 20. d. 10  (5) debe ser hecho como la parte c. Las entradas 7 6 d. 7  (6) Digita . 1/2 correctas son . 1 0 5 4 1/2 e. 10  0 Digita 1 . La 0 0 4 calculadora mostrará ERROR. Los ejemplos con decimales se pueden hacer de la misma forma.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. a. 30

b. 36

c. 120

9-23

9.2

Multiplicación y división de enteros

543

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Multiplicación y división de enteros En los problemas 1 al 30, multiplica o divide. 3. 7  8

4. 10  4

5. 2  (5)

6. 9  (9)

7. 4  (5)

8. 6  (3)

10. 9  (2) 20 13. } 5 30 16. } 10 140 19. } 7

17. 150  (15)

18. 96  (6)

91 20. } 13 98 23. } 7 0 26. } 15 8 29. } 0

21. 98  (14)

11. 10  2

22. 120  (30) 0 25. } 10 0 28. } 3

Enteros y exponentes

92 24. } 4 27. 0  8 30. 5  0

En los problemas 31 al 40, encuentra el valor.

31. (4)

32. 42

33. 52

34. (5)2

35. 63

36. (6)3

37. (3)4

38. 34

39. (5)3

40. 53

2

5C6

Multiplicar más de dos enteros

En los problemas 41 al 50, multiplica.

41. 3(4)(5)

42. 5(2)(3)

43. 4(2)(5)

44. 2(5)(9)

45. 3(5)(2)

46. 3(10)(2)

47. 4(5)(2)(3)

48. 10(3)(6)(2)

49. 2(4)(3)(2)

50. 3(–2)( –1)( –5)

666Aplicaciones 51. Pérdidas de los accionistas Las pérdidas netas de una compañía fue de $6400. Si la compañía tiene 3200 accionistas y las pérdidas se distribuyen equitativamente entre ellos, ¿cuánto dinero perdió cada accionista?

52. Ganancia o pérdida Un promotor de un concierto de rock vendió 9000 entradas a $5 cada una y 3000 entradas a $8 cada una. Si los artistas cobraron $50,000, ¿cuál fue la ganancia o pérdida del promotor?

Usa las siguientes tablas para los problemas 53–56. 1 salchicha de carne de res: 45 calorías 1 tajada de pan: 65 calorías

Correr: 15 calorías (1 minuto)

Nadar: 7 calorías (1 minuto)

53. Calorías Si una persona come 2 salchichas de res con dos tajadas de pan y luego corre por 5 minutos. ¿Cuál es la ganancia o pérdida calórica?

54. Calorías Si la persona del problema 53 también nada por 10 minutos, ¿cuál es la ganancia o pérdida calórica?

55. Calorías Si la persona come 2 salchichas de res y dos tajadas de pan, y luego corre por 8 minutos, ¿cuál es la ganancia o pérdida calórica?

56. Calorías Si la persona en el problema 55 también nada por 15 minutos, ¿cuál es la ganancia o pérdida calórica?

para más lecciones

14. 50  10

9. 7  (10) 14 12. } 2 15. 40  8

www.mathzone.com/bello

2. 9  4

ir a

1. 16  2

5B6

6Web IT

6Ejercicios 9.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

544

Capítulo 9

9-24

Los números reales

57. Dinero Un niño abre una cuenta de ahorros y hace cuatro depósitos de $15 cada uno y tres retiros de $10 cada uno. ¿Cuánto dinero había en la cuenta después de estas transacciones? 5

59. Inversiones Una inversión aumentó su valor en }8. Una mujer invirtió $400. ¿Cuánto aumentó el valor de su inversión?

58. Acciones Un hombre compró 10 acciones. He aquí los cambios en el precio de la acción durante la siguiente semana: 1, 2, 3, 1, 2. ¿Cuánto dinero ganó o perdió en esas 10 acciones? 60. Inversiones Una inversión bajó su valor en }18. Una mujer invirtió $1600. ¿Cuánto decreció el valor de su inversión?

La caída ambiental Espera, espera, no te preocupes: ¡no estamos olvidando el ambiente! La caída ambiental es la tasa de disminución de la temperatura con la altitud (elevación): cuanto más alto estés, más baja será la temperatura. De hecho, la temperatura desciende alrededor de 4ºF (24ºF) por cada 1000 pies de altitud. Fuente: www.answers.com. Llena los espacios en el cuadro: Altitud en (1000 pies)

1 2 61.

5

62.

10

63.

15

Altitud 3 por tasa de cambio

1(4) 2(4)

Cambio en la temperatura

4F 8F

La caída ambiental métrica En el sistema métrico, la caída ambiental es de alrededor de 7C (7 grados Celsius negativos) para cada kilómetro de altitud. Llena los espacios en el cuadro: Altitud en kilómetros

Altitud 3 por tasa de cambio

1 2

1(7) 2(7)

64.

3

65.

5

66.

6

Cambio en la temperatura

7C 14C

67. Pico Pikes Estás en la base del Pico Pikes y la temperatura es de alrededor de 70F. Escalas a la cima del pico, alrededor de 14,000 pies. Da una expresión que te daría la temperatura en la cima (Pista: usa los datos dados para los problemas 61 al 63). ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

68. Monte McKinley El Monte McKinley tiene alrededor de 20,000 pies de alto. Si la temperatura en la base es 70F, ¿cuál es la temperatura en la cima en grados Fahrenheit?

69. Monte McKinley El Monte McKinley tiene alrededor de 6000 metros de altura. Si la temperatura en la base es 20C. ¿Cuál es la temperatura en la cima en grados Celsius? (Pista: Usa los datos dados para los problemas 64 al 67.)

70. Monte Everest Estás en la base del Monte Everest y la temperatura es de alrededor de 20C. Si pudieras escalar hasta la cima, una elevación de más de 8000 metros, ¿qué expresión te daría la temperatura en la cima? ¿Cuál es la temperatura en grados Celsius?

9-25

9.2

Multiplicación y división de enteros

545

666Usa tus conocimientos Dividiendo d d ell átomo La valencia l i (número ( de d oxidación) id i ) de d un compuesto se hhalla ll usando d la l suma de d las l valencias l i de d cada átomo individual presente en el mismo. Por ejemplo, la valencia de hidrógeno es 1, la valencia del sulfuro es 6 y la del oxígeno 2. Así, la valencia del ácido sulfúrico es H2SO4 2(valencias de H)  (valencias de S) 4(valencias de O)  2(1)  (6)  4(2)  2  6 (8)  0 Usa esta idea para resolver los problemas 71 al 75. 71. Halla la valencia del fosfato, PO4, si la valencia de fósforo (P) es 5 y la del oxígeno (O) es 2.

72. Halla la valencia del nitrato, NO3, si la valencia del nitrógeno (N) es 5 y la del oxígeno (O) es 2.

73. Halla la valencia del bromato de sodio, NaBrO3, si la valencia del sodio (Na) es 1, la valencia de bromo (Br) es 5, y la del oxígeno (O) es 2.

74. Halla la valencia del dicromato de sodio, Na2Cr2O7, si la valencia del sodio (Na) es 1, la valencia del cromo (Cr) es 6, y la del oxígeno (O) es 2.

75. Halla la valencia del agua, H2O, si la valencia del hidrógeno (H) es +1 y la del oxígeno (O) es 2.

666¡Escribe! 76. Escribe con tus palabras por qué el producto de dos números negativos debe ser positivo.

77. Escribe con tus palabras por qué el producto de dos enteros con signo diferente debe ser negativo.

78. Escribe con tus palabras por qué la división por 0 no está definida.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 79. Cuando se multiplican o dividen números con el mismo signo la respuesta es

.

.

80. División por cero no está 0 81. Para a p 0, }a 

. .

82. Un exponente es un número que indica cuántas veces se usa la base como un

producto

a

factor

negativo

definido

positivo

0

666Prueba de dominio 83. Halla: a. (10)2

b. 102

84. Halla: a. (10)3

b. 103

85. Halla: a. 42  7

16 b. } 4

86. Halla: a. 4  7

b. 8  4

c. 8  (4)

16 d. } 4

c. 36  (12) 87. Halla: a. (3)(4)(5)

d. 8  (9)

88. Halla: a. (2)(5)(3)(4)

b. (5)(2)(3)

b. (3)(2)(5)(6)

666Comprobación de destrezas Realiza las operaciones indicadas. 12 33} 89. } 5 4

5 6 } 90. } 837

5 7 } 91. } 8  16

11 4} 92. } 9 18

93. 0.32 3 8

94. 0.82 3 9

95. 0.49  7

96. 0.54  9

0.64 97. } 0.8

0.72 98. } 0.09

546

Capítulo 9

9-26

Los números reales

9. 3

Los números racionales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

1. Hallar el inverso y el valor absoluto de un entero. (págs. 526, 527)

A6

Hallar el aditivo inverso de un número racional.

2. Realizar las cuatro operaciones fundamentales con fracciones y decimales. (págs. 130–136, 151–156, 203–206, 212–216)

B6

Hallar el valor absoluto de un número racional.

C6

Sumar dos números racionales.

D6

Restar dos números racionales.

E6

Multiplicar dos números racionales.

F6

Dividir dos números racionales.

G6

Clasificar números reales.

NÚMEROS RACIONALES

6 Para comenzar El aviso del papel multiusos Burlington PrintWorks usa números cardinales (500), números mixtos (8}12) y decimales (0.008/pp.). Estudiamos: Los números naturales: 1, 2, 3, . . . Los números cardinales: 0, 1, 2, 3, . . . Los enteros: . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . . Ahora estamos listos para estudiar los números racionales.

Burlington Papel multiusos 1 8_ 2 
11 500 hojas. Precio/unidad: $0.008/pp. Precio: $3.99

Los números racionales consisten de todos los números que pueden escribirse a en la forma }b, donde a y b son enteros y b Þ 0. a En símbolos, {rur 5 }b, a y b enteros y b Þ 0} La barra “u” se lee como “tal que”.

a

Como todo número de la forma }b puede escribirse como un decimal (dividiendo a entre b), los números racionales incluyen también todos los decimales correspondientes. Más allá de eso, los enteros son números racionales, dado que todo entero a puede escribirse a como }1. Afortunadamente, todo lo que dijimos acerca de los enteros funciona para los números racionales. Ahora comentaremos algunas propiedades que se aplican a estos números racionales.

9-27

9.3

547

Los números racionales

A 6 Números aditivos inversos (opuestos) Como ocurre con los enteros, cada número racional tiene un aditivo inverso (opuesto) y un valor absoluto. La tabla muestra algunos números racionales y sus aditivos inversos. Números racionales

9 } 8 3 } 4 5.9 6.8

Aditivo inverso (opuesto)

9 } 8 3 } 4 5.9 6.8

9 9 } Nota que la suma de inversos es 0. Por ejemplo, } 8  @
8  0 y 6.8  6.8  0.

EJEMPLO 1 Aditivo inverso de un número racional Halla el inverso (opuesto). 5 1 b. 4.8 c. 3} d. 7.2 a. } 2 3

PROBLEMA 1 Halla el aditivo inverso. 3 1 } a. } 4 b. 5.1 c. 94

d. 3.9

SOLUCIÓN a. b. c. d.

5

5

El aditivo inverso de }2 es }2. El aditivo inverso de 4.8 es 4.8. El aditivo inverso de 3}13 es 3}13. El aditivo inverso de 7.2 es 7.2.

B 6 Valor absoluto El valor absoluto de un número racional se obtiene de la misma forma que el valor absoluto de un entero, como se muestra a continuación.

EJEMPLO 2 Valor absoluto de un número racional Halla el valor absoluto de: 3 1 b. 2.1 c. 2} d. 4.1 a. } 7 2 SOLUCIÓN 3 3 a. 
2} 7 5} 7 1 1 c. 
22} 2  5 2} 2

b. 
2.1  5 2.1 d. 
4.1  5 4.1

Respuestas a los PROBLEMAS 3

1. a. }4

b. 5.1

c. 9}14

d. 3.9

1 2. a. } 8 b. 3.4

c. 3}14

d. 8.2

PROBLEMA 2 Halla el valor absoluto de: 1 b. 3.4 a. } 8 1 } d. 8.2 c. 34

548

Capítulo 9

9-28

Los números reales

C 6 Suma de números racionales Los números racionales se suman de la misma manera que los enteros. He aquí la regla.

SUMAR NÚMEROS RACIONALES 1. Si ambos números tienen el mismo signo, suma sus valores absolutos y agrega a la suma el signo común. 2. Si los números tienen signos opuestos, resta sus valores absolutos y agrega a la diferencia el signo del número con mayor valor absoluto. Esto se ilustra en los ejemplos 3 y 4.

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Suma de números racionales Suma: a. 8.6  3.4 b. 6.7  (9.8) c. 2.3  (4.1)

b. 8.3  (9.7)

SOLUCIÓN

c. 1.4  (6.1)

Suma: a. 7.5  2.1

a. 8.6  3.4  (8.6  3.4) = 5.2 b. 6.7  (9.8)  (9.8  6.7) = 3.1 c. 2.3  (4.1)  (2.3  4.1) = 6.4

EJEMPLO 4

Suma de números racionales

PROBLEMA 4

Suma: 3 5 a. } 7} 7

5 2 b. } 5  @
} 8

Suma: 5 7 } a. } 99 5 3 } b. } 4  @
3

SOLUCIÓN 3 5 5 3 2 a. } 7} 7  @
} 7} 7  } 7 b. Como siempre, primero hallamos el MCD de 5 y 8, que es 40. Luego escribimos 5 16 25 2 } } } 5  40 y } 8  40

Así,

5 16 25 25 16 9 2 } } } } } } 5 @
} 8  40  @
40  @
40  40  40

Como ocurre con los números cardinales, la suma de los números racionales es asociativa y conmutativa.

D 6 Resta de números racionales Al igual que con los enteros, definimos la resta como sigue:

RESTA

Para todo número racional a y b,

a  b = a + (b)

Recuerda, esto significa que para restar b, sumamos el aditivo inverso (opuesto) de b. Luego usa la regla para sumar números racionales. Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 5.4 b. 1.4 2 11 } 4. a. } 9 b. 12

c. 7.5

9-29

9.3

EJEMPLO 5

549

PROBLEMA 5

Resta de números racionales

Resta: a. 4.2 (3.1) 4 2 c. } 9  } 9

Los números racionales

Resta:

b. 2.5 (7.8) 5 7 } d. } 64

S D

a. 3.8 (2.5) b. 4.7 (6.9)

SOLUCIÓN

Primero, escribe el problema como una suma, luego usa las reglas de la suma de números racionales. a. 4.2  (3.1)  4.2  3.1 = (4.2  3.1)  1.1 b. 2.5  (7.8)  2.5  7.8 = (7.8  2.5)  5.3 6 2 4 2 } 4 } 2 } } } c. } 9  9  9  9  9  3 d. El MCD es 12: 2 3 10 5 7 21 } }} } 6  12 y 4 12 Así, 2 3 5 7 10 10 21 31 5 7 21 } } } } } } } } } 6  4  6  4  12  12   12  12 = 12

S D

c. }83  }81 d. }87  }65

S D

S D

S D

S

D

E 6 Multiplicación de números racionales La multiplicación de números racionales usa las mismas reglas de signos que la multiplicación de enteros.

Reglas de signos para multiplicación y división Cuando se multiplican dos números racionales con

El producto es

Signos iguales Signos distintos

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

Multiplicar números racionales

Multiplica: a. 3.1 4.2 5 3 } c. } 4  2

Multiplica: a. 2.2 3.2 3 4 c. }  } 7 5

b. 1.2 (3.4) 5 4 } d. } 6  7

S D

Positivo () Negativo ()

S D

S D

b. 1.3 (4) 6 2 d. }  } 7 3

S D

SOLUCIÓN a. 3.1 y 4.2 tienen signos distintos. El resultado es negativo. Así, 3.1  4.2  13.02 b. 1.2 y 3.4 tienen signos iguales. El resultado es positivo. Así, 1.2  (3.4)  4.08 c.

3 }4

y

5 }2

tienen signos iguales. El resultado es positivo. Así,

S D

3 5 15 } } } 4  2  8 d.

5 }

6

y }74 tienen signos distintos. El resultado es negativo. Así,

S D

10 20 5 4 }  } } 7  } 42  21 6 Nota que la multiplicación de números racionales es asociativa y conmutativa. Respuestas a los PROBLEMAS 1 41 } 5. a. 1.3 b. 2.2 c. } 2 d. 24

6. a. 7.04

b. 5.2

12 c. } 35

4 d. } 7

550

Capítulo 9

9-30

Los números reales

F 6 Recíprocos y división de números racionales

La división de números racionales se relaciona con el recíproco de un número. Como recordarás, dos números distintos de cero a y }a1 son recíprocos (o inversos multiplicativos) y su producto es 1. He aquí algunos números y sus recíprocos.

Inverso multiplicativo (recíproco)

Número

3 } 4 5 } 2

RECÍPROCO DE UN NÚMERO

4 } 3 2 } 5

Verifica

3 4 }} 4 31 5 2 } } 2  5  1

S D

a b El recíproco de todo número }b distinto de 0 es }a y el recíproco de }ab es }ab.

Nota que }b  }a  1 y }b  S}a D  1. a

b

a

b

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Encontrar el recíproco Encuentra el recíproco. 8 3 b. } a. } 7 3

Encuentra el recíproco. 7 4 b. } a. } 5 9

SOLUCIÓN 3

7

3

7

a. El recíproco de }7 es }3 porque }7  }3  1 8

3

8

3

b. El recíproco de }3 es }8 porque }3  @
}8  1 Al igual que en la sección 2.3, la idea de un recíproco puede usarse en la división, como sigue:

DIVISIÓN DE RACIONALES

a

c

a

a

c

c

donde b, c, y d s 0.

EJEMPLO 8

Dividir números racionales

Divide: 3 2 a. } 5  } 4 3 6 c. } 7} 7

S D

S D

5 7 } b. } 6  2

SOLUCIÓN

S D S D S D S D

3 8 2 2 4 } } } a. } 5  } 4  5  3  15 5 7 5 10 5 2 } } } } } b. } 6  2  6  7  42  21 3 7 3 6 1 21 } } c. } 7} 7  } 7} 6  42  2

Respuestas a los PROBLEMAS 5

7. a. }4

9

b. }7

a

d

Para dividir }b por }d, multiplica }b por el recíproco de }d; es decir, }b  }d = }b  }c ,

21 8. a. } 20

10

b. } 7

c. }12

PROBLEMA 8 Divide: 3 4 a. } 5  } 7 6 3 b. } 7  } 5 4 8 c. } 5} 5

S D S D

9-31

9.3

551

Los números racionales

Si la división tiene números racionales escritos como decimales, las reglas de los signos, por supuesto, no cambian. Sólo recuerda que es más fácil dividir por un número cardinal 3.6 que por uno decimal. Así, para hallar } 1.8 , multiplica el numerador y el denominador por 10 (1.8  10  18, un número cardinal), obteniendo: 3.6 3.6  10 36 } } } 1.8  1.8  10  18 = 2

EJEMPLO 9 Divide: 4.2 a. } 2.1

PROBLEMA 9

Dividir números racionales

Divide:

8.1 b. } 16.2

9.6 c. } 3.2

SOLUCIÓN 4.2 4.2  10 42 } } a. } 2.1  2.1  10  21  2 9.6 9.6  10 96 } } c. } 3.2  3.2  10  32  3

8.1 8.1  10 81 1 } } } b. } 16.2  16.2  10  162  2

3.6 a. } 1.2 6.5 c. } 1.3

3.1 b. } 12.4

G 6 Clasificar números reales Los números racionales tienen dos propiedades importantes: a

1. Pueden expresarse como una fracción o proporción (racional) de la forma }b, donde a y b son enteros y b p 0. a 2. Cuando el numerador a se divide por el denominador b, el número racional }b se convierte en un decimal finito o en uno periódico. _

_

Por ejemplo, }12  0.5 y }25  0.4 son decimales finitos, pero }13  0.3 y }16  0.16 son decimales periódicos. Puede mostrarse que sólo los decimales que terminan o se repiten pueden escria birse en la forma }b. Un número decimal que no es un número racional es ilimitado y no periódico. Es un número irracional.

NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional no puede escribirse en la forma repite cuando se escribe como un decimal.

a } b

y nunca termina o se

He aquí algunos números irracionales: 0.12345 . . . 0.101001000 . . . } Ï 2  1.414213562 . . . R  3.141592653 . . . } } ¿Y Ï 9 ? Aquí debes recordar que Ï 9  3, que es un número natural (no irracional). Antes de clasificar números reales, miremos la relación entre los números que estudiamos (ver apéndices 1 y 2). Números reales Números racionales {x|x ba , a y b enteros, b  0} Números cardinales {0, 1, 2, 3, ...} Números naturales {1, 2, 3, ...} Respuestas a los PROBLEMAS 1 9. a. 3 b. } 4 c. 5

Enteros {...,
2,
1, 0, 1, 2, 3, ...}

Números irracionales

552

Capítulo 9

9-32

Los números reales

Nota que, en particular, los números reales están compuestos por todos los números racionales y todos los irracionales. Para ver la relación entre estos números, mira los problemas 69 al 72. Por ahora, nota que: Todos los números naturales son números cardinales. Ejemplo: 3 es un número natural y un número cardinal. Todos los números cardinales son enteros. Ejemplo: 0 y 5 son números cardinales entonces 0 y 5 son enteros. Todos los enteros son números racionales. Ejemplo: 3 y 5 son enteros entonces 3 y 5 son números racionales. Todos los números racionales son números reales. 5 5 Ejemplo: }6 y 0.3 son números racionales, entonces }6 y 0.3 son números reales. Todos los números irracionales son números reales. } } Ejemplo: Ï2 es un número irracional, entonces Ï 2 es un número real.

EJEMPLO 10 Clasificar números Clasifica cada número poniendo una marca en la fila apropiada. a.

b.

5.7

7 } 9

c. 0

d. }

Ï8

Número natural

e. 3

f. }

Ï25





g. ___

0.66

PROBLEMA 10 h. 1 1} 4





Entero





























Número real

N C



Número irracional 





E Rac. Irr. R

SOLUCIÓN 5.7 es un decimal finito, entonces es racional y real. 7 a }9 es de la forma }b, entonces es racional y real. 0 es un número cardinal y un entero, racional, y un número real. } Ï8 es infinito y no periódico, entonces es irracional y real. 3 es un número natural y un número cardinal, un entero, un número racional y un número real. } f. ¡Que no te engañen! Ï 25  5, entonces es un número natural, un número cardinal, un entero, un número racional y un número real. __ g. 0.66 es un decimal periódico, entonces es racional y real. 5 h. 1}41 puede escribirse como }4, entonces es racional y real.

a. b. c. d. e.

Respuestas a los PROBLEMAS 10.

a. b. c. d. e. }

f. }

g. h. ___

}27 3.4

8 Ï81 2}34 Ï 2 0.36 0

N
C
E
Rac. 


Irr.



R 





 








 



























 













e. f. g. h. }

___

}27 3.4 8 Ï 81 2}34 Ï2 0.36 0

 

a. b. c. d. }

Número cardinal Número racional

Clasifica cada número poniendo una marca en la fila apropiada.

9-33

9.3

Los números racionales

553

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Números aditivos inversos (opuestos) En los problemas 1 al 6, halla el inverso (opuesto). 3. 6.4

4. 2.3

1 5. 3} 7

1 6. 4} 8

5B6

Valor absoluto En los problemas 7 al 12, halla cada valor.

: : 1: 11. :1} 2

: :

9 8. } 2

4 7. } 5

10. |2.1|

5C6

Suma de números racionales

9. :3.4 :

: :

1 12. 3} 4

En los problemas 13 al 30, halla cada valor. 14. 6.7  2.5

15. 3.2  (8.6)

16. 4.1  (7.9)

17. 3.4  (5.2)

18. 7.1  (2.6)

2 5 19. } 7} 7

5 7 } 20. } 11  11

3 1 } 21. } 44

5 1 } 22. } 66

3 5 } 23. } 4  @
6

5 7 } 24. } 6  @
8

3 1 } 25. } 64

7 1 } 26. } 8 6

1 2 } 27. } 3  @
7

5 8 } 29. } 6  @
9

7 4 30. } 5  @
} 8

3 4 28. } 7 @
} 8

5D6



Resta de números racionales En los problemas 31 al 40, halla cada valor.

31. 3.8  (1.2)

32. 6.7  (4.3)

33. 3.5  (8.7)

34. 6.5  (9.9)

35. 4.5  8.2

36. 3.7  7.9

1 3 
} 37. } 7 @ 7

5 1 } 38. } 6  @
6

5 7 } 39. } 4 6

3 2 } 40. } 34

5E6

Multiplicación de números racionales

En los problemas 41 al 50, halla cada valor.

41. 2.2  3.3

42. 1.4  3.1

43. 1.3  (2.2)

44. 1.5  (1.1)

5 5 } 45. } 6  @
7

3 5 } 46. } 8 @
7

5 3 47. } 5  @
} 12

4 21 48. } 7  @
} 8

6 35 49. } 7} 8

7 15 50. } 5} 28

5F6

Recíprocos y división de números racionales En los problemas 51 al 60, halla cada valor.

4 3 
} 51. } 5 @ 7

4 1 } 52. } 9  @
7

7 2 } 53. } 3  @
6

5 25 } 54. } 6  @
18

5 7 } 55. } 88

8 4 56. } 5} 15

3.1 57. } 6.2 9.8 60. } 1.4

1.2 58. } 4.8

1.6 59. } 9.6

para más lecciones

13. 7.8  3.1

www.mathzone.com/bello

8 2. } 9

ir a

7 1. } 3

6Web IT

6Ejercicios 9.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

554

5G6

Capítulo 9

9-34

Los números reales

Clasificar números reales En los problemas 61 al 68, clasifica cada número marcando en la fila apropiada (ver apéndice 1). 61. }

Ï16

62. 7 1} 9

63. 0

64.

65.

9.2

3

66. }

Ï 11

67.

68.

___

3 1} 4

0.68

Número natural Número cardinal Entero Número racional Número irracional Número real Conjuntos y números Los números naturales (N), los números cardinales (C), los enteros (E) y los números racionales (Q) pueden simbolizarse usando las notaciones de conjuntos. N  {1, 2, 3, . . .} C  {0, 1, 2, . . .} E  {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .} a Q  {r U r  }b, donde a y b son enteros y b p 0} Además, si todos los elementos del conjunto A están también en el conjunto B, decimos que A está contenido en B (o A es un subconjunto propio de B) y se escribe A  B. En los problemas 69 al 72, llena los espacios con el símbolo y escribe el significado donde se indica. 69. N

C significa que cada

70. C

E significa que cada

71. E

Q significa que cada

72. N

C

E

es también un es también un es también un

. . .

Q.

666Usa tus conocimientos E t d de Estados d áánimo i ¿Te T has h encontrado t d con alguien l i simpático i áti hoy, h o has h tenido t id una experiencia i i desagradable? d d bl ? Tal T l vez la l persona con la que te encontraste es muy simpática o tu experiencia fue muy desagradable. Los psicólogos y lingüistas tienen una forma numérica para indicar la diferencia entre simpático y muy simpático, o entre desagradable o muy desagradable. Imagina que asignas un número positivo (2, por ejemplo) al adjetivo simpático, y un número negativo (digamos, 2) a desagradable, y un número positivo mayor que 1 (digamos 1.75) a muy. Entonces, muy simpático significa Muy simpático

(1.75)  (2)  3.50

(1.75)(2) están multiplicados.

Y muy desagradable significa Muy desagradable

(1.75)  (2)  3.50 Aquí están algunos adverbios y adjetivos y sus valores numéricos. Adverbios

Ligeramente Preferiblemente Decididamente Muy Extremadamente

Adjetivos

0.54 0.84 0.16 1.75 1.45

Malvado Repugnante Promedio Bueno Amoroso

2.5 2.1 0.8 3.1 2.4

9-35

9.3

Los números racionales

555

Halla el valor de cada estado de ánimo. 73. Ligeramente malvado

74. Indudablemente promedio

75. Extremadamente repugnante

76. Preferiblemente amoroso

77. Muy bueno

¡Si tienes todas las respuestas correctas, eres 4.495!

666¡Escribe! i negativo i 78 E ib con tus palabras l b por quéé a2 es siempre 78. Escribe (a p 0).

79 ib con tus palabras l b por quéé ((a))2 es siempre i positivo ii 79. E Escribe (a p 0).

a

80. ¿Por qué piensas que a }0 no está definido?

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 81. El aditivo inverso (opuesto) de a es 82. Por la definición de resta, a  b = a y b son números racionales.

. cuando

83. Cuando multiplicamos dos números racionales con el mismo signo, el producto es . 84. Cuando multiplicamos dos números racionales con distinto signo . el producto es a (b p 0). 85. El recíproco de } es b a (b p 0). 86. El recíproco de } es b

b, a s0 } a 1 } a a b, a s0 } a positivo

a }, a s0 b negativo 0 a, b s0 } b a (b)

666Prueba de dominio 13

87. Halla el aditivo inverso de } 10. 90. Halla el aditivo inverso de 5.6.

|

9 93. Halla: 7} 11

|

96. Suma: 5.5  (2.8) 1 1 99. Suma: } 5  @
} 6 5 6 } 102. Resta: } 11  11

S D

105. Multiplica: 2.4  (2.6) 1 108. Halla el recíproco de } 3. 8 4 111. Divide: } 7} 7 3.6 114. Divide: } 1.2

88. Halla el aditivo inverso de 4.7. 6 91. Encuentra: } 17

89. Halla el aditivo inverso de 1}15.

94. Halla: | 3.5 |

95. Suma: 4.6  4.3

97. Suma: 1.1  (2.4)

5 10 } 98. Suma: } 11  11

100. Resta: 5.3  (2.3)

101. Resta: 7.8  1.7

1 } 1 103. Resta: } 86 3 5 } 106. Multiplica: } 89 3 7 109. Divide: } 5} 15 6.4 112. Divide: } 1.6

104. Multiplica: 1.4  6.3

|

|

92. Halla: | 5.9 |

5 2 } 107. Multiplica: } 4  @
5 5 7 } 110. Divide: } 8 @
24 1.5 113. Divide: } 6

556

Capítulo 9

9-36

Los números reales

116. Clasifica los números dados.

115. Clasifica los números dados. a.

b.

3.2

8 } 9

c. 9

d.

a.

}

Ï21

0

Número natural

Número natural

Número cardinal

Número cardinal

Entero

Entero

Número racional

Número racional

Número irracional

Número irracional

Número real

Número real

b. }

Ï49

c. ___

0.34

d. 1 2} 4

666Comprobación de destrezas En los problemas 117 al 120, realiza la operación indicada. 117. 7  9  5

118. 36  3  2

119. 6  3  (3  5)

9. 4

Orden de las operaciones

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6 B6

120. 8  4  2  2  (3  5)

1. Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales. (págs. 548–550) 2. Usar el orden de las operaciones para fracciones. (págs. 82–84, 235)

Evaluar expresiones usando el orden de las operaciones. Evaluar expresiones usando barras de fracción como signos de agrupación.

6 Para comenzar ¿Sabes qué handicap (puntos extras o de cortesía) tienes en bolos? No, ¡no es el hecho que tu bola se va por los canales todo el tiempo! En bolos, “tener handicap es un medio de posicionar a los jugadores y a los equipos en grados de destreza variados con una base lo más equitativa posible, para competir entre ellos” (fuente: Bowl.com). Este handicap se define como 180 menos de tu promedio, multiplicado por 9/10. Imagina que tu promedio es 130, ¿cuál es tu handicap? ¿Es 9 ? 180  130  } 10 o 9 (180  130)  } ? 10 Nota que 9  180  13  9  180  117  63 180  130  } 10 pero 9 9  50  }  45 (180  130)  } 10 10 Para hacerlo preciso, debes usar paréntesis para indicar que tu promedio, 130, debe restarse primero de 180, entonces tu handicap es 45.

9-37

9.4

Orden de las operaciones

557

A 6 Usando el orden de las operaciones He aquí el orden de las operaciones para los números reales.

ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR) 1. Haz primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación ( ), [ ], { }. 2. Evalúa todas las expresiones exponenciales. 3. Realiza las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Realiza las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha.

¡Recuerda realizar las operaciones en el orden correcto!

Antes de pasar a los ejemplos, expliquemos qué significa cada línea. 1. Haz primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación ( ), [ ], { }.

H S5 1 }12 D  F 1  }12 G J

Esto significa que cuando se evalúa sigues los pasos —, ˜ y ™

—

˜ ™

S

1

D S 1 D

— 5 1 }2 5 5}2

5

H S5}21 D 1 F 1  }21 G J

5

H S5}21 D  F }21 G J

Suma dentro de los paréntesis




F

G FG

1 1 ˜ 1  }2 5 } 2

Resta dentro de los corchetes




S 1 D F 1 G

™ 5}2 1 }2 5 6

5 H

6

J

Suma dentro de la llave

2. Evalúa todas las expresiones exponenciales. Este paso es fácil de seguir, ¡sólo mira los exponentes! Cuando ves 23 o 42, evalúalo: 23 5 8 y 42 5 16 3. Realiza las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha. Las palabras clave son en orden. Por supuesto, debes hacerlo de izquierda a derecha. Así, si tienes 12 4 4 2 ve de izquierda a derecha y haz la división 12 4 4 primero. 5 5

12 4 4 2 3 2 6

Primero divide 12 4 4 5 3 Luego multiplica 3  2 5 6

Sin embargo, si tienes 12  2 4 4, multiplica 12  2 5 24 y luego divide entre 4, así: 12  2 4 4 24 4 4 Multiplica 12  2 5 24 6 Divide 24 4 4 5 6 4. Realiza las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha. Otra vez, ve en orden de izquierda a derecha. 32415 5 21 1 5 Primero resta 4 de 3 5 4 Luego haz la suma 1 1 5 5 4 De la misma forma,

31425 7 25 2

Haz primero la suma 3 1 4 5 7 Luego resta 5 de 7

558

Capítulo 9

9-38

Los números reales

EJEMPLO 1

PROBLEMA 1

Evaluar expresiones

Halla el valor de: 8 a. } 993

3 b. 27  } 55

SOLUCIÓN a.

8 } 993  8  3

Halla el valor de: 5 a. } 773 4 b. 20  } 99

M, D: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha ( }89  9  8). S, R: Luego haz las sumas y las restas de izquierda a derecha (8  3  11).

 11 b.

3 27  } 55  27  3

M, D: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha ( }35  5  3). S, R: Luego haz las sumas y las restas de izquierda a derecha (27  3  24).

 24

EJEMPLO 2

PROBLEMA 2

Evaluar expresiones

Halla el valor de:

Halla el valor de: 4 b. 6  2  } 7

a. 6  2  5

SOLUCIÓN a.

6  2  5  3  5

a. 8  2  5 4 b. 8  2  } 7

D: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha. (6  2  3, la división aparece antes, por lo tanto se hizo primero). M: Luego: haz las multiplicaciones (3  5  15).

 15 b.

4 6  2  } 7 4  12  } 7

M: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha . (6  2  12, la multiplicación aparece antes, por tanto se hizo primero).

7  12  } 4

Para dividir entre }47: multiplica por el recíproco }74.

3 7   12  } 4

Simplifica dividiendo 12 entre 4.

21 21

EJEMPLO 3 Halla el valor de

M: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha (3  7  21).

Evaluar expresiones 5 1 } 8  (2)  } 4  3  2:

SOLUCIÓN 5 1 } 8  (2)  } 432 5 1 }  4  } 432 1  5  3  } 2 1  8  } 2 1  7} 2

M, D: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha (8  (2)  4). M, D: Haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha (4  }54  5). S, R: Haz las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha (5  3  8). S, R: Haz las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha (8  }12 = 7}12).

Respuestas a los PROBLEMAS 1. a.8 b. 16

2. a. 20 b. 28

1 3. 16} 2

PROBLEMA 3 Halla el valor de 5 1 } 16  (2)  } 4  7  2:

9-39

9.4

EJEMPLO 4 Expresiones con símbolos de agrupación y exponentes Halla el valor de: 7 a. 63  } b. 8  23  3  1 9  (2  3) SOLUCIÓN a.

b.

7 63  } 9  (2  3) 7  63  } 95

PROBLEMA 4 Halla el valor de: 8 a. 64  } 3  (4  1) b. 27  33  5  2

P: Primero haz las operaciones dentro de los paréntesis (2  3  5). D: Haz la división (63  }79  63  }97  81).

 81  5  86

R: Luego haz la resta (81  5  86).

8  2  3  1  8  8  3  1  1  3  1  2 1

E: Primero haz los exponentes (23  8). D: Luego haz la división (8  8  1). S, R: Luego haz las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha (1  3  2).

3

Orden de las operaciones

R: Haz la resta final.

1

EJEMPLO 5

Expresiones con símbolos de agrupación 2 Halla el valor de 8  4  2  3(5  2)  3  } 3:

SOLUCIÓN 2 8  4  2  3(5  2)  3  } 3  8  4  2  3 (3)

2 3} 3 2 3} 3

 4  3(3)

2 3} 3

M: Luego haz 3(3)  9.

 4 

2 3} 3

2  2. M: y finalmente haz 3  } 3

 4  9

2

S: Ya terminamos con las multiplicaciones y las divisiones, ahora haz la suma de 4 y 9.

 5

2

9

Halla el valor de 4 6  3  4  4(7  5)  5  }: 5

P: Primero haz las operaciones dentro de los paréntesis M, D: Ahora haz las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha: D: Esto significa que hagas 8  4 2 primero. M: Luego haz 2  2  4.

2  2  3(3)



PROBLEMA 5

R: La primera operación es una resta, 5  2  3.

 3

EJEMPLO 6

Expresiones con símbolos de agrupación y exponentes 1 Halla el valor de 8  4  5  3(5  2)2  5  3} 5:

SOLUCIÓN

PROBLEMA 6 Encuentra el valor de: 1 9  3  2 3(4  1)2  5  2} 5

1 8  4  5  3(5  2)2  5  3} 5 1  8  4  5  3(3)2  5  3} 5

P: F (5  2)  (3) G

1  8  4  5  3(9)  5  3} 5

E: S32  9 D

Respuestas a los PROBLEMAS

1  2  5  3(9)  5  3} 5

D: S8  4  2 D

4. a. 29 5. 4 6. 10

 10  27  16  21

1  16) M: (2  5  10, 3(9)  27, 5  3} 5 S, R: (10  27  37, 37 + 16  21)

b. 2

559

560

Capítulo 9

9-40

Los números reales

B 6 Usando barras de fracción como signos de agrupación

Las barras de fracción a veces se usan como signos de agrupación para indicar una expresión que representa un solo número. Par hallar el valor de esa expresión, simplifica arriba y abajo de la barra de fracción siguiendo el orden de las operaciones. Así,



2(3  8)  4 }} 2(4)  10 2(11)  4 } 2(4)  10 22  4 } 8  10 18 } 2



9



S: Suma dentro de los paréntesis en el numerador (3  8  11). M: Multiplica en el numerador [2(11)  22] y en el denominador [2(4)  8]. S, R: Suma en el numerador (22  4  18), y resta en el denominador (8  10  2). D: Haz la división final (recuerda usar las reglas de los signos).

EJEMPLO 7

Usando barras de fracción como signos de agrupación 3(4  8) Halla el valor de 52  }  10  5: 2

SOLUCIÓN

PROBLEMA 7 Encuentra el valor de: 2(6  2) 62  }  15  3 2

Como siempre, usamos el orden de las operaciones. 3(4 8)  10  5  52  } Dado. 2 3(4)  52  } P: Resta dentro de los paréntesis 2  10  5 (4  8  4). 3(4)  10  5  25  } E: Haz los exponentes 2 (52  25, así 52  25). 12  25  } M: Multiplica arriba de la barra de fracción 2  10  5 [3(4)  12].

S

 25  (6)  10  5

12  6 . D: Divide } 2

 25  (6) 

2

D: Divide (10  5  2).



2

S: Suma [25  (6)  31].



31

 29

D

S: Haz la suma final.

Rincón de la calculadora La mayoría de las calculadoras tienen un juego de paréntesis en su teclado. Estas teclas te permitirán especificar el orden exacto en el que quieres que se hagan las operaciones. Así, para hallar el valor de (4  5)  6, digita 4

5

6

y obtienes 26. De la misma forma, si digitas 4

5

6

obtienes 44. Sin embargo, en la mayoría de las calculadoras no podrás encontrar la respuesta al problema 4(5  6) al entre el 4 y el paréntesis. menos que digites el signo de multiplicación Es importante que notes que algunas calculadoras siguen el orden de las operaciones automáticamente y otras no. 3 4 Para hallar cuándo lo hace la tuya, digita 2 . Si tu calculadora sigue el orden de las operaciones, tendrías que obtener 14 como respuesta. Respuestas a los PROBLEMAS 7. 27

9-41

9.4

Orden de las operaciones

561

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Usando el orden de las operaciones

En los problemas 1 al 20, halla el valor de la expresión. 3 3. 7  } 22

9 4. 6  } 22

7 5. } 4 83

3 6. } 4 89

3 7. 20  } 55

6 8. 30  } 55

3 9. 48  } 4  (3  2)

9 10. 81  } 2  (4  5)

2 11. 3  4  } 3  (6  2)

2 12. 3  6  } 3  (5  2)

13. 36  32  4  1

14. 16  23  3  2

15. 8  23  3  5

16. 9  32  8  5

17. 10  5  2  8  (6  4)  3  4

18. 15  3  3  2  (5  2)  8  4

19. 4  8  2  3(4  1)  9  3

5B6

20. 6  3  3  2(3  2)  8  2

Usando barras de fracción como signos de agrupación En los problemas 21 al 34, halla el valor de la expresión. 5  (6  2) 16 22. } } 4 4

2  10 23. 52  } 4  12  4

37 24. 42  } 2  18  9

82 25. 33  4  6  8  4  } 3

93 26. 23  6  6  3  2  } 6

27. 4  9  3  103  2  (6  4)2 2(7  9)  4  3  22 29. (4  6)2  4  } 4 3(8 4) 31. 72  }  10  2  3 4

28. 5  8  4  (7  3)3  2  (9  1)2 4(8  10)  6  4  23 30. (5  10)2  5  2  } 2 6(3  7) 32. 52  } 932 4

3(7  9) 33. (6)2  4  4  }  4  3  22 2

4(6  10) 34. (4)2  3  8  }  3  8  23 2

666Aplicaciones 35. Índice de octano ¿Notaste el índice de octano de la gasolina en la estación de servicio de gasolina? Este índice de octano está dado por R M } 2 donde R es un número que mide el rendimiento de la gasolina usando el método de investigación y M es un número que mide el rendimiento de la gasolina usando el método del motor. Si cierta gasolina tiene R  92 y M  82, ¿cuál es su índice de octano?

36. Índice de octano Si la gasolina tiene R  97 y M  89, ¿cuál es su índice de octano? (ver problema 35).

37. Índice de pulsaciones Si A es tu edad, la tasa mínima de pulsaciones que deberías mantener durante actividades aeróbicas es 0.72(220  A). Cuál es el índice mínimo de pulsaciones que deberías mantener si tienes:

38. Índice de pulsaciones Si A es tu edad, la tasa máxima de pulsaciones que deberías mantener durante actividades aeróbicas es 0.88(220  A). Cuál es el índice máximo de pulsaciones que deberías mantener si tienes

a. 20 años

b. 45 años

a. 20 años

b. 45 años

para más lecciones

4  (6  2) 6 21. }  } 2 8

www.mathzone.com/bello

3 2. } 4 46

ir a

4  5  6 1. } 5

6Web IT

6Ejercicios 9.4

> Self-Tests > e-Professors > Videos

562

Capítulo 9

9-42

Los números reales

Pizza ¿Recuerdas el capítulo sobre medidas: longitud, área y capacidad? ¿Qué unidades de medida usarías para comprar pizza? Unidades cuadradas, ¡por supuesto! La ilustración muestra el precio de cuatro tamaños de pizza: 10 pulgadas, 12 pulgadas, 14 pulgadas y 16 pulgadas. Para tu conveniencia, redondeamos los precios a $8, $10, $12.50 y $15, usa ) < 3.14, y redondea tu respuesta final (en centavos) a una posición decimal.

39. a. ¿Cuál es el área de la pizza de 10 pulgadas? b. ¿Cuál es el precio por pulgada cuadrada de la pizza de 10 pulgadas? 41. a. ¿Cuál es el área de la pizza de 14 pulgadas? b. ¿Cuál es el precio por pulgada cuadrada de la pizza de 14 pulgadas?

PIZZA DE MASA DELGADA (Non Veg Momose) 10" 12" 14" 16" Pequeña Mediana Grande Extragrande ............ ............ ............ ............ QUESO con ........... .....................

$7.85

$9.95

$12.45

$14.95

40. a. ¿Cuál es el área de la pizza de 12 pulgadas? b. ¿Cuál es el precio por pulgada cuadrada de la pizza de 12 pulgadas? 42. a. ¿Cuál es el área de la pizza de 16 pulgadas? b. ¿Cuál es el precio por pulgada cuadrada de la pizza de 16 pulgadas?

666Usa tus conocimientos 43. Agrega cualquier signo de operación (paréntesis, ,, , o ) para que la cadena de números sea igual al número dado.

44. Repite el procedimiento del problema 43 para los números 9 5 6 7  14

3 2 5 6  19 45. ¿Has escuchado sobre el problema de Einstein? La idea es usar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y cualquier combinación de los signos de operaciones (, , , ) para escribir una expresión que sea igual a 100. ¡Sí, los números tienen que estar en orden consecutivo, de izquierda a derecha!

666¡Escribe! 46. Escribe con tus palabras por qué piensas que se necesita el orden de las operaciones. Da ejemplos.

47. Cuando evalúas una expresión, ¿siempre debes hacer las multiplicaciones antes que las divisiones? Da ejemplos que apoyen tu respuesta.

48. Cuando evalúas expresiones, ¿siempre debes hacer las sumas antes que las restas? Da ejemplos que apoyen tu respuesta.

49. Escribe con tus palabras por qué se necesitan los paréntesis cuando se evalúa 2  (3  4) o (2  3)  4.

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. En los problemas 50 al 55, nos referiremos a la primera letra de la operación que corresponde al orden de operaciones. 50. La P en PEMDAR significa

. .

51. La E en PEMDAR significa

.

52. La M en PEMDAR significa 53. La D en PEMDAR significa

.

54. La A en PEMDAR significa

.

55. La R en PEMDAR significa

.

exponente

paréntesis

multiplicación

resta

simplifica

adición

división

excluye

9-43

Preguntas de investigación

563

666Prueba de dominio Halla el valor de cada expresión. 56. 63  9  (2  5) 3  4  18 59. } 4 4(6  12) 82 62. 62  } 3 3 1 2 } 64. 4  (2)  } 2  (3  1)  2

57. 64  8  (4  2)2 4 60. 18  } 55

58. 16  23  3  9 3 61. 12  4  2  2(5  3)  } 44

63. El índice de pulsaciones ideal mientras se hace ejercicio para una persona de A años es [(205  A)  7]  10. ¿Cuál es el índice ideal de pulsaciones para una persona de 35 años?

666Comprobación de destrezas E n los problemas 65 al 68, multiplica de dos formas diferentes: primero usando la propiedad distributiva, y luego sumando dentro de los paréntesis antes de multiplicar. 65. 5(7  2)

66. 2(4  3)

67. 3(4  6)

68. 8(4  5)

6Aprendizaje colaborativo Forme dos o más grupos. 1. Que cada grupo elija tres enteros del 0 al 9 y que formen un número de tres dígitos usando los enteros elegidos. Luego que resten el número con inversión (la inversión de 856 es 658). Luego, si la diferencia es positiva, que le sumen el número con inversión de orden; si es negativa, que le resten el número con inversión de orden. He aquí tres posibilidades para tres números. 856 159 872  658  951  278 198  891

792  297

594  495

¿Qué respuesta obtuvo tu grupo? ¿Todos los grupos obtuvieron la misma respuesta? ¿Cómo crees que funciona esto? 2. Miren los patrones. 99  100  101  102  103  505 992  1002  1012  1022  1032  51,015 Las respuestas 505 y 51,015 son números palíndromos. No te alarmes, sólo significa que 505 y 51,015 se leen de igual manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ¿Continuará el patrón si se usaran seis números en lugar de cinco? Deja que los miembros de tu grupo lo decidan. 3. Mira los siguientes patrones. 10,099  10,100  10,101  10,102  10,103  50,505 10,0992  10,1002  10,1012  10,1022  10,1032  510,151,015 ¿Continuará el patrón si se usan seis números en lugar de cinco? Deja que los miembros de tu grupo lo decidan. 

de 6Preguntas investigación

1. En capítulos anteriores usamos los símbolos tradicionales para indicar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. ¿Quién inventó los símbolos ,,  y  en qué publicaciones aparecieron por primera vez? Nota: Las respuestas pueden no ser únicas; http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Plus para principiantes 2. Escribe un informe sobre Aritmética Mercantil de Juhan Widmann (1489), indicando qué símbolos de operaciones se encontraron en el libro por primera vez y la forma en que se usaron. (continúa)

564

Capítulo 9

9-44

Los números reales

3. También usamos la raya horizontal para indicar fracciones. ¿Quién inventó la raya horizontal para escribir fracciones comunes, y quién fue el primer matemático europeo en usarla? 4. También usamos la raya diagonal de fracción para escribir fracciones como ab. ¿Quiénes fueron los primeros que usaron la barra fraccional diagonal? ¿De qué evolucionó la raya diagonal de fracción?

6Resumen del capítulo 9 Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

9.1A

Enteros positivos Enteros negativos Enteros

1, 2, 3 y siguientes 1, 2, 3 y siguientes . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .

19 y 28 son enteros positivos. 41 y 56 son enteros negativos.

9.1B

Aditivo inverso

El aditivo inverso de a es a.

7 y 7 son aditivos inversos.

9.1C

Valor absoluto

La distancia entre un número y 0

|7| 7 y | 4 |  4

9.1E

Sumar enteros

Si ambos enteros tienen el mismo signo, 2  (7) suma sus valores absolutos y dale a la  (2  7) suma el signo común.  9 Si los enteros tienen signo opuesto, 7  2  (7  2)  5 resta sus valores absolutos y dale a la diferencia el signo del número con mayor valor absoluto.

9.1F

Restar enteros

Para restar un entero de otro, suma el opuesto del número por restarse.

9.2A

Multiplicación y división El producto o cociente de enteros con de enteros signos iguales es  y con signos distintos es .

2  (7)  14 24  (4)  6 2  7  14 24  (4)  6

9.3

Números racionales

Números que pueden escribirse en la a forma }b, donde a y b son enteros y b p 0

3 }, 4

9.3A

Aditivo inverso

El aditivo inverso de a es a.

El aditivo inverso de }4 es }4 y el inverso de 0.53 es 0.53.

9.3B

Valor absoluto

La distancia de un número desde 0

| }34 |  }34 y | 0.7 |  0.7

9.3F

Recíproco

El recíproco de todo número }b distinto de b cero es }a. a c a d }}}} b d b c

División 9.3G

Números irracionales

a

3  9  3  (9)  6

}

7

5}21, }8, 0.23, y 0.6 son racionales. 3

3

3

2 } 3

y }2 son recíprocos.

3 } 4

 S }12 D  }4  S }21 D  }2 3

}

}

3

Ï 2 y Ï 5 son números irracionales. Números que no pueden escribirse en la a forma }b, donde a y b son enteros y b p 0. Cuando se escriben como decimales, los 32.01234 . . . y 0.101001000 . . . son irracionales son no periódicos e infinitos. irracionales (no periódicos e infinitos).

9-45

Ejercicios de repaso del capítulo 9

Sección

Asunto

Significado

9.4

Orden de las operaciones 1. Haz primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación SD, FG, HJ. 2. Evalúa todas las expresiones exponenciales. 3. Realiza las multiplicaciones y las divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Realiza las sumas y las restas en orden de izquierda a derecha.

565

Ejemplo

6Ejercicios de repaso del capítulo 9 (Si necesitas i ayuda d con estos ejercicios, j i i mira i en la l sección ió iindicada di d en corchetes). h ) 1.

59.1A6 Considera el conjunto {6, 4, 1, 0, 2, 5}. a. Haz una lista de los números negativos del conjunto.

b. Haz una lista de los números positivos del conjunto.

c. Haz una lista de los números cardinales del conjunto.

d. Haz una lista de los números naturales del conjunto.

e. Haz una lista de los enteros del conjunto. 2.

59.1A6 Indica cómo se usan los enteros en cada situación. a. Mercados financieros Símbolo

AMEX Nasdaq Dow NYSE

Precio

Cambio

1866 2121 10989 7924

7 1 30 4

b. Termómetros al aire libre

c. América del Norte

40 50

30

20

70

10 0 –10 –20 –30 –40

20,320 pies sobre el nivel del mar

60

0

10

–10

80

20

–20

30

–30

40

–40

Monte McKinley

50

C F

Temperatura exterior

90 100 Nivel del mar 110 120

282 pies bajo el nivel del mar

Valle Muerto

566

Capítulo 9

9-46

Los números reales

d. Elevaciones de Nueva Orleans Río Mississippi 9.8 pies sobre el promedio de la marca de crecida del agua.

e. Cambios en la población

Corte vertical de Nueva Orleans 2000–2050 cambios de la población (en millones) Nivel normal

Pared de contención y dique

Protección contra huracanes, dique y pared de contención

20 pies

12 18 24 29 152

Polonia Portugal Rumania Rusia Arabia Saudita

10 pies

0 pies

Nivel del mar Po

L ntc ago ha rtr
10 pies ain

Nueva Orleans Hasta 7 pies bajo el nivel del mar

La escala horizontal fue comprimida

3. 59.1A6 Escribe un entero que represente la situación. a. La temperatura más alta registrada en Israel, 129F

4. 59.1A6 Grafica los enteros dados en la recta numérica. a. 3, 0, 4

b. La temperatura más baja registrada en Canadá, 63C


5
4
3
2
1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

b. 4, 2, 5

c. Un retiro de $53 de tu cuenta bancaria


5
4
3
2
1

d. Un déficit de $8 trillones en el presupuesto

c. 5, 0, 2

e. El descenso del submarino Kaiko a la parte más baja de la zanja de las Marianas a 10,897 metros bajo el nivel del mar.


5
4
3
2
1

d. 4, 3, 1
5
4
3
2
1

e. 0, 3, 5
5
4
3
2
1

5. 59.1A6 Llena los espacios con o  para hacer que

la afirmación sea verdadera.

7.

6.

59.1B6 Halla el aditivo inverso (opuesto). a. 10

a. 5

1

b. 11

b. 1

3

c. 12

c. 4

2

d. 13

d. 1

5

e. 0

2

59.1B6 Halla el aditivo inverso (opuesto). a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5

e. 14

8.

59.1C6 Halla cada valor. a. 
7 

9. 59.1E6 Suma. a. 8  (5)

b. 
8 

b. 8  (4)

c. 
9 

c. 8  (3)

d. 
10 

d. 8  (2)

e. 
11 

e. 8  (1)

9-47

Ejercicios de repaso del capítulo 9

10. 59.1E6 Suma. a. 12  5

13.

16.

19.

11.

59.1E6 Suma.

12.

59.1F6 Resta.

a. 14  (4)

a. 15  3

b. 12  6

b. 14  (5)

b. 15  4

c. 12  7

c. 14  (6)

c. 15  5

d. 12  8

d. 14  (7)

d. 15  6

e. 12  9

e. 14  (8)

e. 15  7

59.1F6 Resta.

14.

59.1F6 Resta.

15.

59.2A6 Multiplica.

a. 10  (2)

a. 9  14

a. 6  4

b. 10  (3)

b. 9  15

b. 6  5

c. 10  (1)

c. 9  16

c. 6  6

d. 10  (4)

d. 9  17

d. 6  7

e. 10  (5)

e. 9  18

e. 6  8

59.2A6 Multiplica.

17.

59.2A6 Multiplica.

a. 8  (5)

a. 5  (5)

b. 8  (6)

b. 6  (5)

c. 8  (7)

c. 7  (5)

d. 8  (8)

d. 8  (5)

e. 8  (9)

e. 9  (5)

59.2A6 Divide. a. 72  (12)

20.

59.2A6 Divide.

c. 72  (24)

15 a. } 5 25 b. } 5

d. 72  (36)

35 c. } 5

b. 72  (18)

e. 72  (72)

45 d. } 5

18.

567

59.2A6 Divide. 58 a. } 2 48 b. } 2 38 c. } 2 28 d. } 2 18 e. } 2

21.

59.2B6 Halla cada valor. a. (4)2  b. (5)2  c. (6)2  d. (7)2  e. (8)2 

55 e. } 5 22.

59.2B6 Halla cada valor. a. 4  2

b. 52  c. 62  d. 72  e. 82 

23. 59.3A6 Halla el aditivo inverso. 3 } a. 11 4 b. } 11 5 } c. 11 6 d. } 11 7 } e. 11

24. 59.3A6 Halla el aditivo inverso. a. 3.4 b. 4.5 c. 5.6 d. 6.7 e. 7.8

568

Capítulo 9

25. 59.3A6 Halla el aditivo inverso. 1 a. 3} 2

28.

31.

9-48

Los números reales

26.

59.3B6 Halla cada valor.

27. 59.3B6 Halla cada valor.

2 } a. 
11 

1 a. 
3} 4

1 b. 4} 2

3 } b. 
11

1 c. 5} 2

4 } c. 
11 

1 b. 
4} 4 1 c. 
5} 4

1 d. 6} 2 1 e. 7} 2

5 d. 
} 11 

1 d. 
6} 4

6 } e. 
11

1 e. 
7} 4

59.3B6 Halla cada valor.

29.

59.3C6 Suma.

30.

a. 8.7  3.1

a. 6.2  (9.3)

b. 
6.2 

b. 8.7  3.2

b. 6.2  (9.4)

c. 
7.3 

c. 8.7  3.3

c. 6.2  (9.5)

d. 
8.4 

d. 8.7  3.4

d. 6.2  (9.6)

e. 
9.5 

e. 8.7  3.5

e. 6.2  (9.7)

59.3C6 Suma.

32.

a. 2.1  (3.2)

59.3C6 Suma.

33.

1 2 a. } 5  } 9

6 3 }} b. 11 11

c. 2.1  (3.4) d. 2.1  (3.5)

7 3 }} c. 11 11

e. 2.1  (3.6)

8 3 }} d. 11 11 9 3 }} e. 11 11

37.

59.3D6 Resta.

35.

59.3D6 Resta.

a. 5.9  (3.1)

a. 3.2  (7.5)

b. 5.9  (3.2)

b. 3.2  (7.6)

c. 5.9  (3.3)

c. 3.2  (7.7)

d. 5.9  (3.4)

d. 3.2  (7.8)

e. 5.9  (3.5)

e. 3.2  (7.9)

59.3D6 Resta. 5 4 } a. } 63 5 5 } b. } 63 5 7 } c. } 63 5 8 } d. } 63 5 2 } e. } 63

38.

59.3E6 Multiplica.

59.3C6 Suma.

S D 4 1 b. } 5  S} 9D 5 1 c. } 5  S} 9D 7 1 d. } 5  S} 9D 8 1 e. } 5  S} 9D

3 5 }} a. 11 11

b. 2.1  (3.3)

34.

59.3C6 Suma.

a. 
5.1 

36.

59.3D6 Resta.

S D 4 2 } }  S11 b. 11 D 5 2 } }D  S11 c. 11 6 2 } }D  S11 d. 11 7 2 } }D  S11 e. 11

3 2 } }  11 a. 11

39.

59.3E6 Multiplica.

a. 3.1  4.2

a. 3.1  (2.1)

b. 3.1  4.3

b. 3.1  (2.2)

c. 3.1  4.4

c. 3.1  (2.3)

d. 3.1  4.5

d. 3.1  (2.4)

e. 3.1  4.6

e. 3.1  (2.5)

9-49

40.

Ejercicios de repaso del capítulo 9

59.3E6 Multiplica. 2 a. } 3 2 b. } 3 2 c. } 3 2 d. } 3 2 e. } 3

43.

S}32 D S}34 D S}35 D S}37 D S}83 D

b. c. d. e.

1 } 5 1 } 5 1 } 5 1 } 5 1 } 5

S S S S S

1 } 7 2 } 7 3 } 7 4 } 7 5 } 7

44.

D D D D D

b. c. d. e.

59.3F6 Divide.

47.

42.

S}72 D S}73 D S}74 D S}76 D S}78 D

5 } 2 5 } 2 5 } 2 5 } 2 5 } 2

S S S S S

11

5 d. } 11 6 e. } 11 45.

D D

59.3F6 Divide.

48.

3.7

Ï121

}

59.3F6 Divide. 2.2 a. } 1.1 3.3 b. } 1.1 4.4 c. } 1.1 5.5 d. } 1.1 6.6 e. } 1.1

59.3G6 Clasifica los números dados marcando en la(s) fila(s) apropiada(s). b.

59.3F6 Divide. 3 2 } }  11 a. 11 2 } 4 } b. 11  11 5 2 } } c. 11  11 6 2 } } d. 11  11 7 2 } } e. 11  11

D D D

1 } 4 1 } 6 1 } 8 1 } 10 1 } 12

1.1 a. } 2.2 1.1 b. } 3.3 1.1 c. } 4.4 1.1 d. } 5.5 1.1 e. } 6.6

a.

59.3F6 Encuentra el recíproco. 2 } a. 11 3 } b. 11 4 c. }

59.3F6 Divide. a.

2.2 a. } 1.1 3.3 b. } 1.1 4.4 c. } 1.1 5.5 d. } 1.1 6.6 e. } 1.1 49.

59.3E6 Multiplica. 5 a. } 2 5 b. } 2 5 c. } 2 5 d. } 2 5 e. } 2

59.3F6 Divide. a.

46.

41.

50.

c.

d.

e.

0.56

3}15

Ï21

}

Número natural

59.4A6 Halla el valor de: 7 a. } 225 7 b. } 3  3 6 7 c. } 447

Número cardinal

7 d. } 558

Entero Número racional

7 e. } 669

Número irracional Número real 51.

59.4A6 Halla el valor de: a. b. c. d. e.

3 30  } 4  (3 + 4) 3 30  } 5  (3 + 4) 3 30  } 7  (3 + 4) 3 30  } 8  (3 + 4) 3 30  } 9  (3 + 4)

52. 59.4A6 Halla el valor de:

3 a. 64  4  2  3(5  3)  4  } 4

3 b. 64  8  2  3(5  3)  8  } 8 3 } c. 64  16  2  3(5  3)  16  16 3 } d. 64 32  2  3(5  3)  32  32 3 } e. 64  64  2  3(5  3)  64  64

569

53. 59.4B6 Halla el valor de: 3(4  8)  10  5 a. 62 + } 2 3(4  8) b. 72 + }  20  5 2 3(4  8) c. 72 + }  30  5 2 3(4  8) d. 82 + }  40  5 2 3(4  8) e. 92 + }  50  5 2

570

Capítulo 9

9-50

Los números reales

6Examen del capítulo 9 (Respuestas en página 571) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo.

Considera el conjunto de números {4, 3, 0, 3, 4}.

1. a. Haz una lista de los enteros negativos del conjunto. b. Haz una lista de los enteros positivos del conjunto. c. Haz una lista de los números naturales del conjunto. 3. Escribe el entero que representa la situación dada. a. Un buceador está a 30 pies bajo la superficie. b. Un pájaro vuela a 500 pies.

0

1

Halla el aditivo inverso. 9 6. a. }2 Halla cada valor. 4 8. a.  }9 Suma. 10. a. 8.9  4.7  8 2 12. a.  }9  }9 =

| |

2

3

4

Temperatura promedio en MINNEAPOLIS-ST. PAUL Ene.

Abr.

May

3

4

13

20

5. Llena los espacios con o  para hacer que la afirmación sea verdadera. 2 b. 2 5 a. 4

b. 3.8

1 7. a. 4 }4

b. | 3.7 |

1 9. a. 5 }2

|

S

Mar.

6

5

b. 7.3  (9.9) = 5 2 b. }5   }8

Feb.

Fuente: Servicio Nacional Meteorológico. San Francisco. Info. recolectada hasta 1993.

4. Grafica los enteros 4, 0, y 3 en la recta numérica. 5 4 3 2 1

2. Describe cómo se usan los enteros en la situación dada.

b. 9.2

|

b. | 9.2 |

11. 3.5  (5.1) 

D

S D

5 7 b.  }6  }4 

2 1 14. a. }9   }9 

Resta. 13. a. 5.2  (4.1)  b. 1.5  (7.8) = Multiplica. 15. a. 3.1  4.4 b. 1.2  (2.3)

3 9 16. a.  }5  }2

S D

5 5 b. }7   }8

Halla el recíproco. 9 17.  }4 Divide.

S D

S D

3 2 18. a. }5   }4 3.2 20. a. } 19.2

5 7 b.  }6   }2 4.2 b. } 1.4

Halla cada valor. 21. a. (7)2

b. 7

2

Halla cada valor de: 3 23. 90  }4  (6  7) 3 24. 32  4  2  5(5  3)  7  }7 5(4  8)  54  6 25. 32  } 2

3 5 } 19. a.  } 11  11

3.2 b. } 1.6

22. Clasifica cada número marcando en la fila apropiada. a. b. c. d. e. 7.9

Número natural Número cardinal Entero Número racional Número irracional Número real

}

Ï169

}

0.34

9}15

}

Ï23

9-51

Respuestas del examen del capítulo 9

571

6Respuestas del examen del capítulo 9 Respuesta R espuestta

S Sii ffallaste all llastte

R Repasa epasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1

9.1

1

523

2. Escribe una lista de las temperaturas altas promedio en Minneapolis-St. Paul.

2

9.1

2

524

3. a. 30 pies

3

9.1

3

524

4

9.1

4

525

b. 

5

9.1

5

525

b. 3.8

6

9.1, 9.3

6, 1

526, 547

b. 9.2

7

9.1, 9.3

6, 1

526, 547

b. 3.7

8

9.1, 9.3

7, 2

527, 547

b. 9.2

9

9.1, 9.3

7, 2

527, 547

10

9.1, 9.3

11, 3

529–530, 548

1. a. 4, 3 c. 4, 3, 0, 3, 4

4.

b. 3, 4

b. 500 pies

5 4 3 2 1

0

5. a. 9 6. a.  }2 1 7. a. 4 }4 4 8. a. }9 1 9. a. 5 }2

1

2

3

4

5

10. a. 4.2

b. 2.6

11. 8.6 2 12. a. }3

11

9.1, 9.3

11, 3

529–530, 548

9 b.  } 40

12

9.1, 9.3

11, 4

529–530, 548

13. a. 1.1 1 14. a. }3

b. 6.3 31 b.  } 12

13

9.1, 9.3

12, 5

531, 549

14

9.1, 9.3

12, 5

531, 549

15. a. 13.64 27 16. a.  } 10 4 17.  }9 8 18. a.  } 15 3 19. a.  }5

b. 2.76 25 b.  } 56

15

9.2, 9.3

1, 6

539, 549

16

9.2, 9.3

1, 6

539, 549

17

9.3

7

550

5 b. } 21 b. 2

18

9.2, 9.3

2, 8

540, 550

19

9.2, 9.3

2, 9

540, 551

1 20. a. }6

b. 3

20

9.2, 9.3

2, 9

540, 551

21. a. 49

b. 49

21

9.2

3

541

22

9.3

10

552

23. 133

23

9.4

1, 4

558, 559

24. 9

24

9.4

5

559

25. 10

25

9.4

7

560

22.

a.

b. }

c. }

d.

e. }

7.9

Ï169

0.34

9}15

Ï23
































 

572

Capítulo 9

9-52

Los números reales

6Repaso de los capítulos 1–9 1. Simplifica: 9  3  3  5  4

2. Redondea 449.851 al décimo más cercano.

3. Divide: 90  0.13 (redondea a dos posiciones decimales). z 5. Resuelve para z: 6  } 6.6 7. Escribe 23% como un decimal.

4. Resuelve para y: 7.2  0.9y

9. ¿qué porciento de 4 es 2?

c 4 6. Resuelve la proporción: }4  } 64 8. 80% de 40 ¿es qué número? 10. 30 es 40% ¿de qué número?

11. Halla el interés simple ganado en una inversión de $900 al 4.5% por 4 años.

12. Con referencia a la gráfica circular. ¿Cuál es la mayor fuente de contaminación? Industria 20%

Agricultura 50%

Aguas negras 30%

13. Haz una gráfica circular para la información. Presupuesto familiar

(Mensual)

Ahorros (Ah) Vivienda (Viv) Alimentación (Ali) Vestimenta (Ves)

$200 $900 $400 $500

14. La siguiente tabla muestra la distribución de familias por ingresos en Chicago, Illinois. Nivel de ingresos

Porciento de familias

$0–9,999 10,000–14,999 15,000–19,999 20,000–24,999 25,000–34,999 35,000–49,999 50,000–79,999 80,000–119,999 120,000 y mayor

3 6 20 45 12 6 4 3 1

¿Qué porciento de las familias en Chicago tienen ingresos entre $50,000 y $79,999?

Grados

15. La siguiente gráfica representa la temperatura mensual promedio para siete meses del año. ¿Cuánto más alta es la temperatura promedio en junio que en mayo? 95 90 85 80 75 70 65 Mar

16. El número de horas por materia en el currículo básico de la universidad está representada en la siguiente gráfica circular. ¿Qué porciento de estas horas es en arte e inglés combinadas? Historia 11%

Inglés 30% Abr

May

Jun

Mes

Jul

Ago

Sep

Matemáticas 20%

Educación física 22% Arte 17%

9-53

Repaso de los capítulos 1 - 9

573

17. ¿Cuál es la moda de los siguientes números? 8, 30, 6, 1, 26, 24, 6, 10, 6

18. ¿Cuál es la media de los siguientes números? 11, 21, 7, 21, 18, 21, 4, 27, 16, 21, 20

19. ¿Cuál es la mediana de los siguientes números? 4, 2, 23, 19, 3, 2, 29, 10, 2, 2, 14

20. Convierte 9 yardas a pulgadas.

21. Convierte 16 pulgadas a pies.

22. Convierte 17 pies a yardas.

23. Convierte 6 pies a pulgadas.

24. Convierte 170 metros a decímetros.

25. Encuentra el perímetro de un rectángulo de 4.4 pulgadas de largo por 2.3 pulgadas de ancho.

26. Halla la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 8 pies. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a dos posiciones decimales.

27. Halla el área de un pedazo de tela triangular con una base de 16 centímetros y una altura de 20.

28. Encuentra el área de un círculo con un radio de 6 centímetros. Usa 3.14 para  y redondea la respuesta a dos posiciones decimales.

29. Halla el área del trapezoide.

30. Encuentra el volumen de una caja de 5 centímetros de ancho, 4 de largo y 10 de alto.

24 pul 13 pul

9 pul 34 pul

31. Halla el volumen de una esfera con un radio de 9 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales.

32. Clasifica el ángulo:

33. Si en el triángulo ABC, m A  30 y m B  25, qué es m C?

34. Halla Ï 4900 .

35. Encuentra la hipotenusa c del triángulo dado:

36. Halla el aditivo inverso de 4 }4 .

 }

3

c

8 6

37. Halla: U9.8U 1 1 39. Suma: }5   }7 1 1 41. Resta: }5  }6 5 9 43. Divide:  }8  }8

S D

38. Suma: 7.2  (2.6) 40. Resta: 4.2  (8.5) 3 8 42. Multiplica:  }8  }9 44. Evalúa: (9)2

Sección 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Capítulo

10 diez

Introducción al álgebra Álgebra de los exponentes Notación científica Resolver ecuaciones lineales Aplicaciones: problemas verbales

6

Introducción al álgebra

El lado humano de las matemáticas ¿Qué es el álgebra y de dónde viene? La palabra álgebra es la derivación europea de aljabr; parte del título de un libro escrito por Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khowarizmi, nacido en Bagdad, probablemente en el año 820. Algunos historiadores sugieren que alKhowarizmi significa Mohammed, “los hijos de Moisés de Khowarizmi”, y realmente nació en el sur del Mar Aral, en Asia central. Lo que es seguro es que escribió un libro Hisab aljabr w’al-muqabala, “La ciencia de la reunión y la reducción” o “Restaurar y simplificar”, del que se deriva el nombre “álgebra”. ¿Y la “reunión” y la “reducción”? La reducción se lleva a cabo usando dos operaciones: al-jabr y al-muqabala, donde al-jabr significa “conclusión”: el proceso de remover los términos negativos de una ecuación. Usando uno de los ejemplos de al-Khowarizmi, al-jabr cambia x2  40x  4x2 por 5x2  40x. (Ahora hacemos esto simplemente sumando 4x2 a ambos lados de la ecuación). El término al-muqabala significa “balancear”. Así, al-muqabala balancea a

50  3x  x2  29  10x 21  x2  7x

(1) (2)

En términos modernos, simplemente decimos restar 29 y restar 3x a ambos lados de la ecuación (1) para obtener la ecuación (2).

575

576

Capítulo 10

10-2

Introducción al álgebra

10. 1

Introducción al álgebra

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales. (págs. 548, 549)

A6 B6

Identificar los términos de una expresión. Usar la propiedad distributiva para simplificar una expresión.

C6

Usar la propiedad distributiva para factorizar una expresión.

D6

Combinar términos semejantes en una expresión.

E6

Remover paréntesis en una expresión.

6 Para comenzar ¡El afiche usa el lenguaje del álgebra para decirte cómo ser exitoso! Las letras X, Y y Z se usan para datos desconocidos, variables o incógnitas. Por tradición, las letras t, u, v, w, x, y y z se usan frecuentemente para lo desconocido. Por supuesto, usamos los mismos símbolos que en aritmética para indicar las operaciones de suma () y resta (). En álgebra, la multiplicación se indica con el punto, , usando paréntesis, ( ), o simplemente escribiendo las variables una al lado de la otra. Así, el producto de a y b puede escribirse como: a  b,

F6

Si… A  ÉXITO cuando… entonces… X  TRABAJAS AXYZ Y  JUEGAS Z  ESCUCHAS

(a)(b), a(b), (a)b, o ab

Evaluar expresiones.

A 6 Expresiones y términos ¿Cómo expresamos ideas matemáticas en el lenguaje del álgebra? Usando expresiones, ¡por supuesto! Como se afirmó en Para comenzar, en álgebra usamos letras del alfabeto como variables para valores desconocidos. Una expresión es una colección de números y letras conectadas por signos de operación. Así, xy2, x  y, y 3x2  2y  9 son expresiones. En estas expresiones, las partes que van a sumarse o restarse son llamadas términos. 1. La expresión xy2 tiene un término (es un monomio), xy 2. 2. La expresión x  y tiene dos términos (es un binomio), x y y. 3. La expresión 3x2  2y  9 tiene tres términos (es un trinomio), 3x2, 2y y 9 (o simplemente 9, sin el signo ).

EJEMPLO 1 Identificar los términos de una expresión ¿Cuáles son los términos en 5y3  2y  3? SOLUCIÓN

Los términos son 5y3, 2y y 3.

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 8z2, 5z y 2

PROBLEMA 1 ¿Cuáles son los términos en 8z2  5z  2?

10-3

10.1

Introducción al álgebra

577

B 6 La propiedad distributiva Si quieres multiplicar un número real por una suma, puedes sumar y luego multiplicar o multiplicar y luego sumar. Por ejemplo, imagina que quieres multiplicar un número, digamos 7, por la suma de 4 y 5. El producto 7  (4  5) puede obtenerse de dos maneras: 7  (4  5) Sumando dentro de los paréntesis primero 7︸ 9 63 (7  4)  (7  5) ︸ Multiplicando y luego sumando 28  ︸ 35 ︸ ︸ 63 Así, 7  (4  5)  (7  4)  (7  5) Los paréntesis en (7  4)  (7  5) puede omitirse siempre y cuando estemos de acuerdo que las multiplicaciones deben hacerse primero. El hecho de que a(b  c)  ab  ac se llama propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma. También existe la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la resta. Cuando multiplicamos un número real por una diferencia, podemos restar y luego multiplicar o multiplicar y luego restar. Estas dos propiedades se explican a continuación.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN

EJEMPLO 2

Para todo número real a, b y c,

a(b  c)  ab  ac y a(b  c)  ab  ac

PROBLEMA 2

Usar la propiedad distributiva

Multiplica. a. 2(x  2y)

Multiplica.

b. 5(3x  4y)

c. 3(x  2y  z)

a. 3(a  5b)

SOLUCIÓN

b. 6(4a  5b)

a. 2(x  2y)  2  x  2  2y  2x  4y

c. 2(a  3b  c)

b. 5(3x  4y)  5  3x  5  4y  15x  20y c. 3(x  2y  z)  3  x  (3)  (2y) 3  z  3x  6y  3z

C 6 Factorizar sacando el máximo factor común

¿Recuerdas cómo factorizar 15? Para factorizar 15, lo escribimos como el producto 5  3. Así, factorizar es lo inverso de multiplicar.

FACTOR

Factorizar una expresión es hallar una expresión equivalente que es un producto.

Ahora, mira el ejemplo 2(a). Para factorizar 2x  4y, lo escribiríamos como el producto 2(x  2y). De la misma manera, para factorizar 15x  20y lo escribimos como 5(3x  4y). Nota que en cada caso removimos el factor común más grande (máximo) (MFC, para abreviar).

EJEMPLO 3

PROBLEMA 3

Factorizar el MFC

Factoriza. a. 3x  6y

Factoriza.

b. ax  ay  az

c. 10x  20y  30z

a. 5a  15b b. ab  ac  ad c. 6a  12b  18c

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 2. a. 3a  15b

b. 24a  30b c. 2a  6b  2c

3. a. 5(a  3b) b. a(b  c  d) c. 6(a  2b  3c)

578

Capítulo 10

10-4

Introducción al álgebra

SOLUCIÓN a. 3x  6y  3  x  3  2y  3(x  2y) b. ax  ay  az  a  x  a  y  a  z  a(x  y  z) c. 10x  20y  30z  10  x  10  2y  10  3z  10(x  2y  3z) Nota que 5(2x  4y  6z) también es una forma factorizada de 10x  20y  30z pero 5(2x  4y  6z) no está factorizada completamente. Cuando decimos factorizar, debemos factorizar sacando el máximo factor común. Más allá de eso, 5x  30 está factorizada como 5(x  6) y no 5(x  6).

D 6 Combinar términos semejantes* Una de las operaciones fundamentales del álgebra es combinar términos semejantes. Combinar términos semejantes es realmente simple: sólo debes asegurarte de que las partes variables del término que se va a combinar sean idénticas y luego sumar (o restar) los factores numéricos. Así, 2a  3a  (2  3)a  5a y 2b  3b  (2  3)b  5b De la misma manera, 5a  2a  (5  2)a  3a y 5b  2b  (5  2)b  3b Sin embargo, 2a  3a y 5b2  2b no pueden simplificarse, ya que los términos 2a2  3a y 5b2  2b no son semejantes. 2

EJEMPLO 4

Combinar términos semejantes (simplificar)

Simplifica. a. 7x  2x

PROBLEMA 4 Simplifica.

b. 3x  5y  x  4y 3 1 4 2 d. ] 7 x  ] 5 y  ] 7 x  ] 5y

c. 0.2x  0.31y  0.6x  0.23y

SOLUCIÓN a. 7x  2x  (7  2)x  5x Como 5y  x  x  5y b. 3x  5y  x  4y  3x  x  5y  4y  (3  1)x  (5  4)y  2x  9y c. 0.2x  0.31y  0.6x  0.23y  0.2x  0.6x  0.31y  0.23y  (0.2  0.6)x  (0.31  0.23)y  0.4x  0.54y 3 3 1 4 2 1 4 2 d. ] 7 x  ] 5 y  ] 7 x  ] 5 y  ] 7 x  ] 7 x  ] 5 y  ] 5y 3 2 5 1 ] 4 1  ] 7 + 7 x  ] 5  ] 5 y  ] 7 x  ] 5y

S

D S

a. 6a  2a b. 5a  7b  a  2b c. 0.3a  0.21b  0.8a  0.32b 4 2 1 1 d. ] 5a  ] 7b  ] 5a  ] 7b

D

E 6 Remover paréntesis Algunas veces, es necesario remover los paréntesis antes de combinar términos semejantes. Así, para combinar términos semejantes en (4x  2)  (5x  1)

Respuestas a los PROBLEMAS 4. a. 4a b. 4a  9b 3 3 c. 0.5a  0.53b d. ] 5a  ] 7b

Debemos primero remover los paréntesis. Mientras que los paréntesis sean precedidos por un signo más (o sin ningún signo), podemos simplemente remover los paréntesis. Es decir, * Para un desarrollo más riguroso, mira la sección Usa tus conocimientos.

10-5

10.1

Introducción al álgebra

579

REMOVER PARÉNTESIS PRECEDIDOS DE UN SIGNO  O NINGÚN SIGNO Si a y b son números reales, entonces (a  b) = a  b términos semejantes

Así,

(4x  2)  (5x  1)  4x  2  5x  1 términos semejantes

 9x  3 ¿Y (a  b)? Como 1  a  a, así, por la propiedad distributiva, (a  b)  1  (a  b)  1  a  (1)  b  a  b. Es decir, (a  b)  a  b términos semejantes

Así,

(5a  3b)  (4a  7b)  5a  3b  4a  7b 1a  4b términos semejantes

o  a  4b Nota que cuando el paréntesis es precedido por un signo menos, cambiamos los signos de cada uno de los términos de adentro usando la propiedad distributiva. Puedes pensar en esto como multiplicar cada término por 1.

REMOVER PARÉNTESIS PRECEDIDO POR  Si a y b son números reales, entones (a  b)  a  b Estas dos reglas pueden resumirse de la siguiente manera:

REMOVER PARÉNTESIS 1. Si hay un signo más  (o no hay ninguno) antes del paréntesis, simplemente removemos los paréntesis. 2. Si hay un signo menos  antes del paréntesis, éstos pueden removerse cambiando el signo de cada uno de los términos dentro de los paréntesis. Por ejemplo,

(a  7b)  a  7b (2a  4b)  2a  4b (a  3b)  a  3b



(4a  7b)  4a  7b

EJEMPLO 5 Remover paréntesis Simplifica. a. (3a  5b)  (a  2b) b. (5a  2b)  (6a  3b)

PROBLEMA 5

SOLUCIÓN

b. (6a  5b)  (8a  2b)

a. (3a  5b)  (a  2b)  3a  5b  a  2b  2a  3b b. (5a  2b)  (6a 3b)  5a  2b  6a  3b  a  5b Respuestas a los PROBLEMAS 5. a. 3a  2b b. 2a  7b

Simplifica. a. (4a  5b)  (a  3b)

580

Capítulo 10

10-6

Introducción al álgebra

EJEMPLO 6

PROBLEMA 6

Remover paréntesis

Simplifica.

Simplifica.

a. (a  2b)  5a

b. (a  3b)  a 2

a. (2x  5y)  6x b. (2x2  3y)  3x

SOLUCIÓN a. (a  2b)  5a  a  2b  5a  4a  2b b. (a2  3b)  a  a2  3b  a (Nota: a2 y a no están combinados porque no son términos semejantes.)

F 6 Evaluar expresiones Algunas veces, en álgebra debemos sustituir en una expresión una variable por un número. Este proceso se llama evaluar la expresión. Por ejemplo, el número de estudiantes en tu clase es H M, donde H es el número de hombres y M el número de mujeres en tu clase. Si H  20 y M  18, el número de estudiantes en tu clase es 20  18 ó 38. Para hallar la respuesta 38 evaluamos la expresión H  M usando H  20 y M  18.

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

Evaluar expresiones

Evalúa:

Evalúa:

a. x  y cuando x  3 y y  7 b. 4y  x cuando x  2 y y  5 c. (y  z) cuando y  7 y z  4

a. a  b cuando a  4 y b  9 b. 5a  b cuando a  3 y b  5 c. (a  b) cuando a  6 y b  3

SOLUCIÓN a. Sustituyendo x  3 y y  7, x  y  3  (7)  4. b. Sustituyendo x  2 y y  5, 4y  x  4(5)  2  22. c. Sustituyendo y  7 y z  4, (y  z)  (7  4)  11.

EJEMPLO 8 Seguro de vehículos para personas menores de 25 años De acuerdo con la Oficina de Estadísticas del Trabajo, la suma de dinero S (en billones) que gastan anualmente los menores de 25 años en seguros para vehículos es como se muestra en la gráfica en azul y puede aproximarse así S  22.2x  390 (billones) donde x es el número del año (1, 2, 3, 4 ó 5). a. Halla la suma de dinero (en billones) gastada por personas menores de 25 años durante el año 1 evaluando S cuando x  1. b. ¿Cuánto dinero gastan anualmente las personas menores de 25 años en seguros de vehículos durante el año 5?

550

500

400

350

1

6. a. 4x  5y b. 2x2  3x  3y 7. a. 5 b. 20 c. 9 8. a. $352.2 (billones) b. $465 (billones)

La suma A que se gastan anualmente en bebidas alcohólicas está en rojo y puede aproximarse A  28.2x  324 (billones). a. Halla la suma de dinero (en billones) gastada por personas menores de 25 años en bebidas alcohólicas durante el año 1 evaluando A cuando x  1. b. ¿Cuánto dinero gastan anualmente las personas menores de 25 años en bebidas alcohólicas durante el año 5?

450

300

Respuestas a los PROBLEMAS

PROBLEMA 8

2

3

4

5

10-7

10.1

Introducción al álgebra

581

SOLUCIÓN a. Cuando x  1,

S  22.2x  390 se convierte S  22.2(1)  390  $412.2 (billones)

b. Para hallar la suma gastada durante el año 5, sustituye x  5 en S. S 22.2(5)  390 (billones)  111  390 (billones)  $501 (billones)

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Expresiones y términos En los problemas 1 al 6, haz una lista de los términos en las expresiones.

1. 2x  3

La propiedad distributiva En los problemas 7 al 30, multiplica.

7. 3(2x  y)

8. 5(3x  y)

9. 3(a  b)

11. 5(2x  y)

12. 6(3x  y)

13. 8(3x2  2)

14. 7(2x2  5)

15. 6(2x2  3)

16. 2(3x2  4)

17. 3(2x2  3x  5)

18. 5(3x2  2x  2)

19. 5(3x2  2x 3)

20. 6(3x2  5x  4)

21. 0.5(x  y  2)

22. 0.8(a  b  6)

6 23. ] 5 (a  b  5)

2 24. ] 3 (x  y  4)

25. 2(x  y  4)

26. 4(a  b  8)

27. 0.3(x  y  6)

28. 0.2(a  b  3)

5 29.  ] 2 (a  2b  c  1)

4 30.  ] 7 (2a  b  3c  5)

5C6

Factorizar sacando el máximo factor común En los problemas 31 al 40.

31. 3x  15

32. 5x  45

33. 9y  18

34. 11y  33

35. 5y  20

36. 4y  28

37. 3x  27

38. 6x  36

39. bx  by  bz

40. cx  cy  cz

5D6

Combinar términos semejantes En los problemas 41 al 60, combina términos semejantes (simplifica).

41. 8a  2a

42. 3b 9b

44. 5y  9y

45. 8a  2a 2

43. 4x  2x 2

46. 8a3  3a3

para más lecciones

10. 4(a  b)

www.mathzone.com/bello

5B6

3. 3x2  0.5x  6 3 2 1] 4] 3 6. ] 4x  5y  9z

ir a

4. 5y2  0.2y  8

2. 3y  6 3 1] 5. 1]x  ] 4y  8z 5

6Web IT

6Ejercicios 10.1

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

582

Capítulo 10

10-8

Introducción al álgebra

47. 13x  2x

48. 5y  5y

49. 17y2  12y2

50. 4z3  3z3

51. 7x  3y  2x

52. 8x  3y  4x

53. 13x  5  2y  3x  9  y

54. 8a  2b  4  3a  b  7

55. 3.9a  4.5b  3  1.5a  7.5b  4 3a 3b 1b 57. 1]a  ] 5  ] 7  ] 5 7 3x 3 2 b 1x ]b ] ] 59.  ] 8  11  8  11

56. 2.8a  5  4.2b  2  3.8a  1.3b 3 3 1] 4 ] 58. ] 5 a  ] 11 b  5 a  11 b 3 5 2 1] ] 60.  ] 7 x  ] 9a  7x  9a

5E6

Remover paréntesis En los problemas 61 al 70, simplifica.

61. (a  5b)  (7a  8b)

62. (a  3b)  (9b  2a)

63. (2a  b)  (4b  a)

64. (3b  a)  (5a  2b)

65. (b2  2a)  (3a  4b2)

66. (a2  3b)  (4b  3a2)

67. (a2  3b)  (2a2  5b)

68. (b2  3a)  (4b2  7a)

69. (2b2  3a)  (6b2  5a)

70. (3a2  5a)  (7a2  8a)

5F6

Evaluar expresiones En los problemas 71 al 80, evalúa la expresión.

71. m  n cuando m  7 y n  9

72. 5r  s cuando r  4 y s  5

73. (u  v) cuando u  5 y v  3

74. 4y2 cuando y  5

75. 3x2y cuando x  3 y y  5 77. x]  x cuando x  6 3 79. LWH cuando L  2, W  3.2, y H  5

76. 3a  b cuando a  1 y b  4 xy 78. ] 3 cuando x  4 y y  5 5 80. ] 9 (F  C) cuando F  212 y C  32

Libros, mapas, revistas, periódicos y partituras La tabla muestra la suma de dinero que se gasta anualmente (en billones) en un periodo de 5 años en libros y mapas (columna 2) y puede aproximarse por L  1.7x  27.8 (en billones) La tabla también muestra la suma gastada en revistas, periódicos y partituras, y puede aproximarse por R  0.52x  32.3 (billones) donde x es el número de año.

1 2 3 4 5

Libros, mapas

Revistas, periódicos, partituras

28.8 31.6 33.7 34.6 35.8

32.1 33.5 35.0 34.5 34.2

81. Evalúa L para x  1, 2, 3, 4 y 5. ¿Qué tan cercanos son los resultados para los valores que se dan en la tabla? 82. Predice la suma de dinero L que va a gastarse en libros y mapas en 10 años. 83. Evalúa R para x  1, 2, 3, 4 y 5. ¿Qué tan cercanos son los resultados para los valores que se dan en la tabla? 84. Predice la suma de dinero R que va a gastarse en revistas, periódicos y partituras en 10 años. Fuente: Oficina de Análisis Económico de Estados Unidos, Encuesta de Negocios actuales, enero 2004; http://www.census. gov/prod/2004pubs/04statab/arts.pdf.

Seguro de vehículo De acuerdo con la Oficina de Estadísticas del Trabajo la suma de dinero S (en billones) que gastan anualmente las personas entre 25 y 34 años en seguros para vehículos es como se muestra en la tabla y puede aproximarse por S  50.5x  665.7 (billones)

10-9

10.1

583

Introducción al álgebra

Seguros

365 431 393 395 446

86. Predice la suma de dinero S que van a gastar las personas entre 25 y 34 años en seguro de vehículos en 10 años.

La suma anual A gastada en bebidas alcohólicas por personas de entre 25 y 34 años puede aproximarse por A  12.6x  368.2 (billones)

87. Evalúa A para x  1, 2, 3, 4 y 5. ¿Qué tan cercanos son los resultados para los valores que se dan en la tabla?

88. Predice la suma de dinero A que van a gastar las personas entre 25 y 34 años en bebidas alcohólicas en 10 años (ver ejercicio 87).

20

18–24

M  0.15N  7.77 (millones) donde N representa el número de años después de 1989.

15 Millones

89. Usa la ecuación para hallar el número M proyectado de estudiantes matriculados en 2002 (N  13). ¿Qué tan cercanos son los resultados al valor 11.5 que se da en la tabla?

11.5 10

9.9 7.7

5 2.3

90. Usa la ecuación para hallar el número I proyectado de estudiantes matriculados en 2014 (N  25). ¿Qué tan cercanos son los resultados al valor 11.5 que se da en la tabla? 91. La gráfica no muestra un valor proyectado para 2010. Usa la ecuación para predecir la matrícula para 2010 (N  21).

0

93. Usa la ecuación para hallar el número M proyectado de estudiantes matriculados en 2014 (N  25). ¿Qué tan cercanos son los resultados al valor 19.5 que se da en la tabla?

2002

2014 (proyectado)

Matrícula en millones 25 19.5

20

M  0.24N  13.5

16.6 Millones

92. Usa la ecuación para hallar el número M de estudiantes matriculados en 2002 (N  13). ¿Qué tan cercanos son los resultados al valor 16.7 que se da en la tabla?

1989

3.3

3.1

Fuente: Departamento de Educación de Estados Unidos NCES: Sistema de Información integrado de la Educación postsecundaria (IPEDS), “Encuesta de Inscripción de primavera”; http://nces.ed.gov/pubs2005/2005074_1.pdf.

Matrícula total La gráfica muestra la matrícula total de estudiantes (en millones) en instituciones que otorgan grados y se puede aproximar por

donde N representa el número de año después de 1989.

35 y mayores

15

13.5

10 5 0

1989

2002

2014 (proyectado)

666Usa tus conocimientos Propiedades de los número En esta sección estudiaremos las propiedades de la suma y la multiplicación que se usarán para explicar por qué podemos simplificar expresiones. Algunas de estas propiedades se mencionaron en el capítulo 1 y también se aplican a los números reales. La primera de estas propiedades es la propiedad conmutativa, la que mencionamos previamente y que afirma lo siguiente para todo número real a y b.

para más lecciones

Matrícula por edad del estudiante

Matrícula total La gráfica muestra la matrícula total de estudiantes entre 18 y 24 años en instituciones que otorgan grados y se puede aproximar por

www.mathzone.com/bello

Alcohol

705 774 822 872 910

85. Evalúa S para x = 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Qué tan cercanos son los resultados para los valores que se dan en la tabla?

ir a

1 2 3 4 5

Bebidas alcohólicas

6Web IT

donde x es el número de año (1, 2, 3, 4 ó 5).

584

Capítulo 10

10-10

Introducción al álgebra

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

abba Cambiar el orden de dos sumandos no cambia su suma.

Esta propiedad se usa para sumar dos números sin importar el orden en el cual se suman los números. Así, 3773 8448 101  17  17  101 Algunas veces, debemos sumar tres números o más. Por ejemplo, para sumar 4  8 2 primero podemos sumar 4 y 8, y luego sumar 2 a ese resultado; es decir, (4  8)  2  12  2  14 ︸

︸

Para hallar 4  8  2 podemos también sumar 8  2 primero y luego sumar 4 a este resultado, así, 4  (8  2)  4  10  14 ︸

︸

Dado que la respuesta es la misma, vemos que no hace diferencia qué números sumamos primero. Por ejemplo, 3  (4  6)  (3  4)  6 7  (3  6)  (7  3)  6

y

Así, para todo número real a, b y c, tenemos la siguiente propiedad.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA

a  (b  c)  (a  b)  c La forma de agrupar los números (sumandos), no cambia su suma.

He aquí cómo usamos estas dos propiedades para simplificar expresiones como (3  a)  5. (3  a)  5  (a  3)  5 Por la propiedad conmutativa de la suma  a  (3  5) Por la propiedad asociativa de la suma a8 También tenemos propiedad conmutativa y asociativa para la multiplicación. Estas propiedades se explican a continuación.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

abba La forma de agrupar los factores no cambia su producto.

a(bc)  (ab)c El agrupamiento de dos factores no cambia su producto.

Así, 4  5  5  4 y 3  7  7  3. Recuerda, para indicar el producto de 4 y 5, escribimos 4  5. Para indicar el producto de a y b, simplemente escribimos ab. Para simplificar 3(4a) procedemos de esta forma: 3  (4a)  (3  4)a  12a

Por la propiedad asociativa de la multiplicación

De la misma forma, para simplificar (4a)  5 escribimos (4a)  5  5  (4a) Por la propiedad conmutativa de la multiplicación  (5  4)a Por la propiedad asociativa de la multiplicación  20a ¿Cómo simplificamos 3a  5a? Necesitamos la propiedad distributiva.

10-11

10.1

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

Introducción al álgebra

585

a(b  c)  ab  ac Cuando multiplicamos un número por una suma, multiplicamos el número por cada sumando y luego sumamos.

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos escribir ab  ac como se muestra a continuación.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (PARA FACTORIZAR)

ba  ca  (b  c)a Factoriza sacando el máximo factor común para cada término en la expresión.

Ahora, 3a  5a  (3  5)a  8a De la misma manera 5x  (3x  2), escribimos

Por la propiedad distributiva para factorizar

5x  (3x  2)  (5x  3x)  2 Por la propiedad asociativa de la suma  (5  3)x  2 Por la propiedad distributiva para factorizar  8x  2 Para simplificar expresiones con signos negativos delante de los paréntesis, necesitamos la siguiente propiedad:

PROPIEDAD MULTIPLICATIVA DE 21

(1)a  a(1)  a El producto de todo número y 1 es el opuesto del número.

Así (x  3)  1(x  3)  1  x  (1)  3  x  3

Por la propiedad distributiva de la multiplicación

Ahora estamos preparados para simplificar 10  (2x  5). 10  (2x  5)  10  1  (2x  5)

Por la propiedad multiplicativa de 1

 10  1  2x  1  5

Por la propiedad distributiva de la multiplicación

 10  2x  5

Multiplicando

 5  2x Ahora sabes las razones por las que podemos simplificar expresiones.

666¡Escribe! 94. Escribe con tus palabras la diferencia entre factor y término.

95. Escribe con tus palabras el procedimiento que usamos para combinar términos iguales.

96. Escribe con tus palabras el procedimiento que usamos para remover paréntesis cuando el signo + o ningún signo precede una expresión entre paréntesis.

97. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para remover paréntesis cuando un signo (–) precede una expresión entre paréntesis.

586

Capítulo 10

10-12

Introducción al álgebra

666Comprobación de conceptos Llena el/los Ll l/l espacio/s i / con lla/las /l palabra/s, l b / ffrases o afirmación fi ió matemática á i correcta/s. / 98. Una operación.

es un conjunto de letras y números conectados por signos de

99. Las partes que se van a sumar o restar en una expresión se llaman los de la expresión

evaluamos

variables

ab  ac

términos

binomio

monomio

100. Una expresión con dos términos se llama un

.

trinomio

a  b

101. Una expresión con tres términos se llama un

.

ab

ac

oración

a  b

expresión

multiplicamos

102. De acuerdo con la propiedad distributiva, a(b  c) = 103. (a  b) 

.

104. (a  b) 

.

.

la

105. Si sustituimos una variable por un número en una expresión expresión.

666Prueba de dominio 106. Evalúa la expresión cuando x  4 y y  7.

107. Simplifica.

a. x  y

a. (4x  3y)  (x  2y)

b. 5y  x

b. (5x  3y)  (7x  2y)

c. (x  y) 109. Combina términos iguales (simplifica).

108. Simplifica. a. (2x  3y)  6x

a. 7a  3a

b. (x2  5y)  x

b. 5a  3b  a  3b 5 3 4 2a  ] ] c. ] 7b  ] 9a  7b 9

110. Factoriza.

111. Multiplica.

a. 4a  8b

a. 3(a  2b)

b. bx  by  bz

b. 5(2a  3b)

c. 5a  10b  15c

c. 4(a  3b  c)

112. ¿Cuáles son los términos en 5x3  2x  3?



666Comprobación de destrezas Escribe como un producto de factores sin exponentes y multiplica. 113. 32  52  70



114. 23  52  71



115. 103  30  52  81



10-13

10.2

1 0 .2

Álgebra de los exponentes

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

B6 C6

1. Entender el significado de la palabra exponente. (pág. 77) 2. Sumar, restar y multiplicar números. (págs. 548–550)

Escribir un número con un exponente negativo como una fracción y viceversa. Multiplicar expresiones con exponentes. Dividir expresiones con exponentes.

6 Para comenzar Como mencionamos en la sección 1.7, la notación exponencial se usa para indicar cuántas veces se usa una cantidad como factor. Por ejemplo, el área A del cuadrado en la figura puede escribirse como A  x  x  x2

E6

x

El exponente 2 indica que x se usa como factor dos veces. De la misma forma, el volumen V del cubo es Vxxxx

Elevar una potencia a una potencia.

x

A

Se lee “x al cuadrado o x a la segunda potencia.”

3

D6

587

Álgebra de los exponentes

V

Se lee “x al cubo o x a la tercera potencia.”

Esta vez, el exponente 3 indica que la x se usa como factor tres veces.

x x x

Resolver aplicaciones con los conceptos estudiados.

A 6 Exponentes enteros Si un símbolo x (llamado base) se va a usar n veces como un factor, usamos la siguiente definición:

EXPONENTE

x  x  x  . . .  x  xn n factores

exponente

base

Algunas veces a xn se le llama una potencia de x o x a la potencia n. Nota que si la base no lleva exponente, el exponente se asume que será 1; es decir, a  a1, b  b1 y c  c1. Podemos usar enteros como exponentes. Mira el patrón obtenido dividiendo entre 10 en cada paso. 103  1000 102  100 Nota que los exponentes disminuyen en 1 en cada paso. 101  10 0 10  1

588

Capítulo 10

10-14

Introducción al álgebra

Como puedes ver, este procedimiento produce 100  1. En general, aplicamos la siguiente definición.

EXPONENTE CERO

Todo número distinto de 0 elevado a la potencia 0 es 1.

x0  1

para x p 0

1 1 ] 101  ] 10  101 1 1 ] 102  ] 100  102 1 1 ] 103  ] 1000  103

¡SIGUE EL PATRÓN!

Ahora mira lo números en el recuadro de arriba. Nota que obtuvimos 1 1 1 2 3 ] ] 101  ] 10, 10  102, y 10  103 Así, hicimos la siguiente definición:

EXPONENTE NEGATIVO

Si n es un entero positivo, todo número x distinto de cero elevado a la potencia n es el recíproco de xn.

1 xn  ] xn, x p 0 En general, los exponentes negativos no deberían incluirse en la respuesta final (excepto para notaciones científicas), por lo que esta definición te ayuda a simplificarlos. Como xn 1 n y xn son recíprocos. xn  xn  xn ] n  1, x n  ] x x La definición de los exponentes negativos n significa que 1 1 1 ] 62  ]  ] 6  6  36 62 1 1 1 ] 23  ]  ] 2228 23 1 ]  42 42 1 ]  34 34

EJEMPLO 1

Simplificar exponentes negativos Escribe como una fracción y simplifica. a. 62

b. 43

PROBLEMA 1 Escribe como una fracción y simplifica. a. 52

b. 33

SOLUCIÓN 1 1 ] 1  ] a. 62  ]  62 6  6 36

1 1 ] 1 b. 43  ]  ]  43 4  4  4 64

EJEMPLO 2 Escribe usando exponentes negativos. 1 a. ] 54

PROBLEMA 2 1 b. ] 75

Escribe usando exponentes negativos. 1 1 b. ] a. ] 65 74

SOLUCIÓN 1 a. Usando la definición, tenemos ]  54. 54

1  75 b. ] 75

Respuestas a los PROBLEMAS 1 1 ] 2. a. 74 b. 65 1. a. ] 25 b. 27

10-15

10.2

Álgebra de los exponentes

589

B 6 Multiplicar expresiones exponenciales Ahora estamos preparados para multiplicar expresiones con exponentes. Por ejemplo, para multiplicar x2 por x3, primero escribimos x2  x3

xxxxx



 x23

 x5 Es claro que simplemente sumamos los exponentes x2 y x3 para hallar el exponente del resultado. De la misma forma, a3  a4  a34  a7 b2  b4  b24  b6 5 2 ¿Y para multiplicar x por x ? Tenemos: 1 x5  x2  (x  x  x  x  x)  ] xx xx x x 1 ] ] 3  x  x  x  ] 1  x  x  x  x  x  x x  x Sumar exponentes da ¡Igual respuesta ! x5  x2  x5(2)  x3 De la misma forma, 1 ] 1 1 1 x3  x2  ]   ]  ] x5 x3 x2 x32 x5 Sumar exponentes da x3  x2  x3(2)  x5 ¡Igual repuesta de nuevo! Establecemos la regla resultante aquí, para tu conveniencia.

S

LA REGLA DEL PRODUCTO DE EXPONENTES

Para todo número x distinto de 0 y todo entero m y n,

xm  xn  xmn;

Multiplicar expresiones exponenciales Multiplica y simplifica.

a. 2  2 d. y2  y3

b. x  x e. a5  a5

2

xp0

Esta regla establece que al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, se suman los exponentes.

EJEMPLO 3 6

S D D S D

3

4

5

c. 4  4 3

PROBLEMA 3 Multiplica. a. 25  23

b. x5  x3

c. 34  37

d. x3  x4

3

3

e. y  y

SOLUCIÓN a. 26  22  262  28  256 b. x3  x4  x34  x7 1 ] 1 c. 43  45  43(5)  42  ]  42 16 Nota que escribimos la respuesta sin usar exponentes negativos. 1 d. y2  y3  y2(3)  y1  ] y Otra vez, escribimos la respuesta sin exponentes negativos. e. a5  a5  a55  a0  1

Respuestas a los PROBLEMAS 3. a. 4

1

b. x8 c. } 27

1

d. }x

e. 1

590

Capítulo 10

10-16

Introducción al álgebra

C 6 Dividir expresiones exponenciales Para dividir expresiones con exponentes, necesitamos desarrollar una regla para manejar estos exponentes. Por ejemplo, para dividir x5 entre x3, primero escribimos x5 x  x  x  x  x ] xp0  ]] xxx , x3 Como (x  x  x) es común en el numerador y el denominador, tenemos x5 (x  x x) x x ]  x53  x  x  x2  ]] (x x x) x3 Aquí, las x en negrita significa que dividimos el numerador y el denominador por el factor común (x  x  x). Por supuesto, puedes observar inmediatamente que el exponente 2 en la respuesta es simplemente la diferencia de los dos exponentes originales, es decir, x5 ]  x53  x2 x3 Igualmente, x7 ]  x74  x3 x4 y4 41 3 ] y y y La regla usada puede, entonces, extenderse a todos los enteros. Para todo número x distinto de 0 y todo entero m y n,

LA REGLA DEL COCIENTE DE LOS EXPONENTES

xm mn ] xn  x ;

xp0

Esta regla establece que cuando se dividen expresiones exponenciales con la misma base, se restan los exponentes. (Al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor).

Así

24 ]  24(1)  241  25  32 21 x3 1 ]  x35  x2  ] x5 x2 (Escribimos la respuesta sin exponentes negativos).

EJEMPLO 4

Dividir expresiones exponenciales Divide y simplifica. y2 63 x z3 ] ] c. a. ] b. d. ] 5 x 62 y2 z4

SOLUCIÓN 63 a. ]  63(2)  632  65  7776 62 x 1  x15  x4  ] b. ] x5 x4 y2 c. ]  y2(2)  y22  y0  1 y2 z3 d. ]  z3(4)  z34  z1  z z4

Respuestas a los PROBLEMAS 1 4. a. 75  16,807 b. ] y5 c. 1 d. z

PROBLEMA 4 Divide y simplifica. 72 a. ] 73 x3 c. ] x3

y b. ] y6 z4 d. ] z5

10-17

10.2

Álgebra de los exponentes

591

D 6 Elevar una potencia a una potencia Imagina que queremos hallar (53)2. Por definición, (53)2  53  53  533,

56

o

Podemos llegar a esta respuesta multiplicando los exponentes en (53)2, obteniendo 53  2  56. De igual manera, 1 ] 1 1 1 (42)3  ]   ] ] 46 42 42 42 46 Otra vez, podríamos haber multiplicado los exponentes en (42)3, obteniendo 423  46. Usamos estas ideas para establecer la siguiente regla.

LA REGLA DE LA POTENCIA DE POTENCIA

EJEMPLO 5

Para todo número x distinto de 0 y todo entero m y n,

(xm)n  xmn;

xp0

Esta regla establece que cuando elevamos una expresión exponencial a una potencia, se multiplican los exponentes.

PROBLEMA 5

Elevar una potencia a una potencia

Simplifica. a. (23)2

Simplifica.

b. (x2)3

c. ( y4)5

d. (z2)3

a. (53)2 3 6

c. ( y )

b. (x3)4 d. (z3)5

SOLUCIÓN a. (23)2  232  26  64 1 c. ( y4)5  y4(5)  y20  ] y20

1 b. (x2)3  x23  x6  ] x6 d. (z2)3  z2(3)  z6

Algunas veces necesitamos elevar a una potencia varios factores dentro de paréntesis, como en (x2y3)3. Usamos la definición de cubo y escribimos (x2y3)3  x2y3  x2y3  x2y3  (x2  x2  x2)( y3  y3  y3)  (x2)3( y3)3  x6y9 Podemos llegar a la misma respuesta multiplicando cada exponente en x2 y3 por 3, obteniendo x23y33  x6y9. Así, para elevar varios factores dentro de paréntesis a una potencia, elevamos cada factor a la potencia dada, como se muestra a continuación.

POTENCIA DE PRODUCTOS DE POTENCIAS

Para todo número x y y distinto de 0 todo entero m, n, y k,

(xmyn)k  (xm)k(yn)k  xmkynk Esta regla establece que para elevar varios factores dentro de paréntesis a una potencia, se eleva cada factor a la potencia dada.

Respuestas a los PROBLEMAS 1 5. a. 56  15,625 b. ] x12 1 d. z15 c. ] y18

592

Capítulo 10

EJEMPLO 6

10-18

Introducción al álgebra

PROBLEMA 6

Elevar un producto a una potencia

Simplifica.

Simplifica.

2 2 3

2 3 3

a. (x y )

b. (x y )

2 3 2

c. (x y )

a. (x3y2)3 b. (x3y2)3

SOLUCIÓN

c. (x3y2)2

a. (x2y2)3  (x2)3( y2)3  x6y6 x6  ] y6 b. (x2y3)3  (x2)3( y3)3  x6y9 y9  ] x6 2 3 2 c. (x y )  (x2)2( y3)2  x4y6 x4  ] y6

E 6 Aplicaciones: interés compuesto Imagina que inviertes C dólares al 10% compuesto anualmente. Al final del año 1 tendrás tu capital original C más el interés, 10%  C, es decir, C  0.10C  (1  0.10) C  1.10C. Al finalizar 2 años, tendrás 1.10C más el interés 1.10C, es decir, 1.10C  0.10(1.10C)  1.10C(1  0.10)  1.10C(1.10), o (1.10)2C. Si sigues este patrón, al finalizar 3 años tendrás (1.10)3C, y así sucesivamente. He aquí la fórmula general:

INTERÉS COMPUESTO

Si el capital C se invierte a una tasa t, compuesta anualmente, en n años la suma compuesta S será

S  C(1  t)n

EJEMPLO 7

PROBLEMA 7

SOLUCIÓN

Si se invierten $500 al 10% compuesto anualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al finalizar 2 años?

Calcular la suma compuesta Si se invierten $1000 al 10% compuesto anualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al finalizar 3 años? Aquí C  $1000, t  10%  0.10 y n  3. Tenemos S  1000(1  0.10)3  1000(1.10)3  1000(1.331)  $1331

Rincón de la calculadora Si tienes una calculadora científica con una tecla yx (algunos estudiantes la llaman la “tecla de la potencia”), los yx 3 cálculos numéricos de esta sección serán simples. Por ejemplo, he aquí la manera de hallar 53: Digita 5 yx 2 . Aparecerá la respuesta, 125. De la misma forma, para hallar 6 2: Digita . Nota que no  debes digitar 2, pero digitas 2 y  , lo que cambiará el signo de 2 a 2. La respuesta se da como un decimal.

Respuestas a los PROBLEMAS y6 x9 1 6. a. ] b. ] c. } y6 x9 x6y4 7. $605

10-19

10.2

Álgebra de los exponentes

593

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Exponentes enteros En los problemas 1 al 6, escribe como una fracción y simplifica. 3. a. 53

4. a. 72

5. a. 34

6. a. 63

b. x2

b. x3

b. y3

b. y2

b. z4

b. a3

En los problemas 7 al 12, escribe usando exponentes negativos. 1 7. a. ] 23 1 b. ] x3

5B6

1 9. a. ] 45 1 b. ] y5

1 8. a. ]4 3

1 b. ] x4

Multiplicar expresiones exponenciales

1 10. a. ] 56 1 b. ] y6

1 12. a. ] 74 1 b. ] z4

1 11. a. ] 35 1 b. ] z5

En los problemas 13 al 36, multiplica y simplifica.

13. a. 32  33

14. a. 42 42

15. a. 25  27

16. a. 38  35

b. x5  x8

b. x2  x2

b. y3  y8

b. y7  y3

18. a. 54  52

19. a. 61  62

20. a. 32  31

b. x7  x3

b. x5  x2

b. y3  y4

b. y8  y4

21. a. 24  22

22. a. 41  42

b. x3  x7

b. x2  x6

23. x6  x4

24. y7  y2

25. y3  y5

26. x7 x8

27. a3  a8

28. b4  b7

29. x5  x3

30. y6 y2

31. x  x3

32. y  y5

33. a2  a3

34. b5 b2

35. b3  b3

36. a6  a6

5C6

Dividir expresiones exponenciales

34 37. ] 31 y 44. ] y3

5D6

22 38. ] 22 x3 45. ] x1

En los problemas 37 al 50, divide y simplifica. 32 40. ] 33 x3 47. ] x4

41 39. ] 42 x4 46. ] x2

Elevar una potencia a una potencia

para más lecciones

17. a. 46  44

y 41. ] y3 y4 48. ] y5

x 42. ] x4 x2 49. ] x5

x 43. ] x2 y3 50. ] y6

En los problemas 51 al 74, simplifica.

51. (32)2

52. (23)2

53. (31)2

54. (22)2

55. (22)3

56. (31)2

57. (32)1

58. (23)2

59. (x3)3

60. ( y2)4

61. ( y3)2

62. (x4)3

63. (a2)3

64. (b3)5

65. (x3y2)3

66. (x2y3)2

67. (x2y3)2

68. (x4y4)3

69. (x3y2)3

70. (x5y4)4

71. (x6y3)2

72. ( y4z3)5

73. (x4y4)3

74. ( y5z3)4

5E6

Aplicaciones: interés compuesto Redondea al centavo más cercano.

75. Problema de inversión Si se invierten $1000 al 8% compuesto anualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al finalizar 3 años? 77. Problema de inversión Imagina que se invierten $1000 al 10% compuesto anualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al finalizar 4 años?

www.mathzone.com/bello

2. a. 23

ir a

1. a. 42

6Web IT

6Ejercicios 10.2

> Self-Tests > e-Professors > Videos

76. Problema de inversión Si se invierten $500 al 10% compuesto anualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al finalizar 3 años?

594

Capítulo 10

10-20

Introducción al álgebra

666Aplicaciones 78. Distancia recorrida por Pioneer en 10 meses El primer objeto manufacturado que salió del sistema solar fue el Pioneer 10, el que alcanzó una velocidad 5.1  104 kilómetros por hora al alejarse de la Tierra en su viaje hacia Júpiter. Al cabo de 10 meses había recorrido

79. Distancia recorrida por Pioneer en 10 años La mayor velocidad alcanzada por el Pioneer 10 fue de 1.31  105 kilómetros por hora. A esta razón, en 8.7  104 horas (alrededor de 10 años) el Pioneer 10 recorrerá (1.31  105)  (8.7  104), o

(5.1  104)  (7.2  103), o (5.1  7.2)  (10  10 ) km. 4

(1.31  8.7)  (105  104) km.

3

¿Cuántos kilómetros son?

¿Cuántos kilómetros son? 80. Reservas de petróleo y gas Las reservas estimadas de petróleo y gas de Estados Unidos son de alrededor de 2.8  1017 kilocalorías. Si consumimos estas reservas a una tasa de 2.8  1017 2.8 1017 ] 1.4  1016 kilocalorías por año, durarán ] ,ó] 1.4  1016 1.4  1016 años. ¿Cuántos años son?

81. Sitios de internet Durante enero de 2006, casi 3  107 personas visitaron sitios de internet de venta de flores, recuerdos y regalos. En promedio, cada visitante gastó en esos sitios $9 desde el 1 de enero hasta el 9 de febrero. ¿Cuántos millones de dólares se gastaron en sitios de flores, recuerdos y regalos durante ese periodo? Fuente: clickz.com; http://www.clickz.com/stats/sectors/traffic_ patterns/article.php/3585186#table2.

82. Gastos de viaje Un grupo global de 2  106 personas gastó anualmente alrededor de $3.1  104 en viajes en un año. ¿Cuál fue la suma total gastada durante ese año? Fuente: clickz.com; http://www.clickz.com/stats/sectors/ retailing/article.php/3575456#table1.

83. Deuda Nacional de Estados Unidos En la actualidad, la deuda nacional de Estados Unidos asciende a $8.43  1012. Dado que la población de Estados Unidos es aproximadamente $8.43  1012 3  108, la parte de cada persona asciende a ] ¿Cuánto 3  108 . es eso?

84. Deuda Nacional de Estados Unidos Si la deuda nacional de Estados Unidos se redondea a $8.4 1012, el incremento $8.4  1012. ¿Cuántos promedio mensual en la deuda es ] 1.2  10 billones por mes es eso?

666Usa tus conocimientos P i t muchos h patrones t iinteresantes t t en relación l ió con exponentes. t U i i t para hhallar ll lla Patrones E Existen Usa ttus conocimientos respuesta a los siguientes problemas. 85.

12  1 (11)2  121 (111)2  12,321

86. 12  1 22  1  2  1 32  1  2  3  2  1

(1111)2  1,234,321

42  1  2  3  4  3  2  1

a. Halla (11,111)2.

a. Usa este patrón para escribir 52.

b. Halla (111,111)2. b. Usa este patrón para escribir 62. 87.

1  3  22 1  3  5  32 1  3  5  7  42

a. Halla 1  3  5  7  9. b. Halla 1  3  5 7  9  11  13.

88. En este problema, descubre tus propios patrones. ¿Cuál es el número más grande que puedes construir usando el número 9 tres veces? (¡No es 999!)

10-21

10.2

Álgebra de los exponentes

595

666¡Escribe ! 89. Explica por qué no se aplica la regla del producto a la expresión xn  yn.

90. Escribe con tus palabras la diferencia entre la regla del producto y la regla de la potencia.

91. Escribe con tus palabras tres razones diferentes por las cuales x0  1 (x p 0).

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 92. La notación exponencial se usa para indicar cuántas veces una cantidad va a usarse como un . 93. Para x p 0, x  0

.

94. Si n es un entero positivo, xn 

.

95. Si m y n son enteros, xm  xn  xm

96. Si m y n son enteros, ] xn 

P (1 1 n)r

xm?n

factor

xm2n

término

x2m?n

.

P (1 1 r)

n

.

97. Si m y n son enteros, (xm)n 

xm 1 n

r (1 1 P)n

.

98. Si m, n, y k son enteros, (xm  yn)k 

1 1 ] xn xm?ky n?k

.

99. Si el capital C se invierte a una tasa compuesta t anualmente por n años, la suma compuesta S es .

666Prueba de dominio 100. Si se invierten $1000 al 4% compuesto anualmente, ¿cuál será la suma compuesta S al finalizar 2 años?

102. Divide y simplifica. 34 a. ] 32 x4 c. ] x4 104. Multiplica y simplifica.

101. Simplifica.

a. (22)3

b. (x3)2

c. (a3)5

d. (b2)5

103. Simplifica. a b. ] a4

a. (a3b2)4

c4 d. ] c5

c. (a3b4)2

a. 33  32

b. a3  a4

c. 34  35

d. a4  a5

b. (a4b4)3

105. Escribe usando exponentes negativos. 1 1 a. ] b. ] c4 63

e. a7  a7 106. Escribe como una fracción y simplifica.

a. 32

b. 43

666Comprobación de destrezas 107. Halla 7.31101.

108. Halla 7.31102.

109. Halla 7.31104.

110. Halla 7.31105.

596

Capítulo 10

10-22

Introducción al álgebra

10. 3

Notación científica

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

B6 C6

Convertir entre la notación decimal ordinaria y la notación científica. Multiplicar y dividir números en notación científica. Resolver aplicaciones con los conceptos estudiados.

1. Multiplicar y dividir un número por una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.). (págs. 54, 213, 217) 2. Usar las propiedades de los exponentes. (págs. 77, 82–84)

6 Para comenzar ¿Cuántas cosas sabes acerca del Sol? Aquí hay alguna información tomada de un artículo de una enciclopedia. Masa: 2.19  1027 toneladas Temperatura: 1.8  106 grados Fahrenheit Energía por minuto: 2.4  104 hp (caballos de fuerza) Cada número está escrito como un producto de un número entre 1 y 10, y una potencia de 10 apropiada. Esta forma se llama notación científica, que usamos para escribir números que son muy grandes o muy pequeños.

A 6 Notación científica NOTACIÓN CIENTÍFICA

Un número en notación científica se escribe como

M  10n M  un número entre 1 y 10 n  un entero ¿Cómo cambiamos un número cardinal a notación científica? Primero, recuerda que cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 (101  10, 102  100, y así sucesivamente) simplemente movemos el punto decimal tantas posiciones a la derecha como lo indicado por el exponente de 10. Así (Exponente 1, mueve 1 lugar a la derecha.) 7.31  101  73.1 72.813  102  7281.3

(Exponente 2, mueve 2 lugares a la derecha.)

160.7234  10  160723.4

(Exponente 3, mueve 3 lugares a la derecha.)

3

Por otra parte, si dividimos por una potencia de 10, movemos el punto decimal tantas posiciones a la izquierda como lo indicado por el exponente de 10. Así, 7 ] 0.7  7  101 10 8 ] 0.08  8  102 100 y 4.7 4 ] 10,000  00.00047  4.7  10

10-23

10.3

Notación científica

597

PARA ESCRIBIR UN NÚMERO EN NOTACIÓN CIENTÍFICA (M  10n) 1. Mueve el punto decimal en el número dado para que quede un solo dígito a su izquierda. El número resultante es M. 2. Cuenta cuántas posiciones debes mover el punto decimal en el paso 1. Si el punto decimal debe moverse a la izquierda, n es positivo; si debe moverse a la derecha, n es negativo. 3. Escribe M  10n. Por ejemplo, 5.3  5.3  100 87  8.7  101  8.7  10 1

68,000  6.8  104 4

0.49  4.9  101 1

0.072  7.2  102 2

El punto decimal en 5.3 debe moverse 0 posiciones. El punto decimal en 87 debe moverse 1 posición a la izquierda para obtener 8.7. El punto decimal en 68,000 debe moverse 4 posiciones a la izquierda para obtener 6.8. El punto decimal en 0.49 debe moverse 1 posición a la derecha para obtener 4,9. El punto decimal en 0.072 debe moverse 2 posiciones a la derecha para obtener 7.2.

Nota que si la notación estándar de un número (como 68,000) es grande, el exponente de 10 en la notación científica es positivo. Si la notación estándar de un número (como 0.072) es pequeña, el exponente de 10 es negativo.

EJEMPLO 1 Escribir un número en notación científica La distancia aproximada al Sol es de 93,000,000 millas y la longitud de onda de su luz ultravioleta es 0.000035 centímetros. Escribe 93,000,000 y 0.000035 en notación científica. SOLUCIÓN 93,000,000  9.3  107

PROBLEMA 1 La distancia aproximada a la Luna es de 239,000 millas y su masa es 0.0123456 veces la de la Tierra. Escribe 239,000 y 0.0123456 en notación científica.

0.000035  3.5  105

EJEMPLO 2 Escribir un número en notación estándar Un avión jumbo pesa 7.75  105 libras, mientras que una araña casera pesa 2.2  104 libras. Escribe 7.75  105 y 2.2  104 en notación estándar. SOLUCIÓN 7.75  105  775,000 2.2  104  0.00022

PROBLEMA 2 El avión Concorde pesa 4.08  105 libras y un grillo pesa 3.125  104 libras. Escribe 4.08  105 y 3.125  104 en notación estándar.

B 6 Multiplicar y dividir usando notación científica

Considera el producto 300  2000  600,000. En notación científica, escribiríamos (3  102)  (2  103)  6  105

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 2.39  105; 1.23456  102 2. 408,000; 0.0003125

598

Capítulo 10

10-24

Introducción al álgebra

Para hallar la respuesta, podemos multiplicar 3 por 2 para obtener 6 y 102 por 103, obteniendo 105. Para multiplicar números en notación científica, procedemos de una forma similar: 1. Multiplica primero las partes decimales y escribe el resultado en notación científica. 2. Multiplica las potencias de 10. 3. La respuesta, que debe simplificarse, es el producto de los pasos 1 y 2.

EJEMPLO 3

Multiplicar números en notación científica

Multiplica.

PROBLEMA 3 Multiplica.

a. (5  10 )  (8.1  10 ) 3

4

5

b. (3.2  10 )  (4  10 ) 2

a. (6  104)  (2.2  103) b. (4.1  102)  (3  105)

SOLUCIÓN a. Multiplicamos primero las partes decimales. 5  8.1  40.5  4.05  10 Luego multiplica las potencias de 10. 103  104  107 (suma exponentes) La respuesta es (4.05  10)  107, o 4.05  108. b. Multiplica los decimales. 3.2  4  12.8  1.28  10 Multiplica las potencias de 10. 102  105  1025  103 La respuesta es (1.28  10)  103, o 1.28  101(3)  1.28  102.

3.2  105

Las divisiones se realizan de la misma manera. Por ejemplo, ] se halla dividiendo 1.6  102 3.2 por 1.6 (produciendo 2) y 105 por 102, lo que da 103. La respuesta es 2  103.

EJEMPLO 4

Dividir números en notación científica Divide: (1.24  102)  (3.1  103).

PROBLEMA 4

SOLUCIÓN

(2.52  102)  (4.2  103)

Primero, divide 1.24 por 3.1, obteniendo 0.4  4  101. Ahora divide las potencias de 10:

Divide.

102  103  102(3)  1023  101 La respuesta es (4  101)  101  4  100

o

4.

C 6 Aplicaciones con notación científica EJEMPLO 5

Dividir números en notación científica La energía total recibida del Sol cada minuto es 1.02  1019 calorías. Como el área de la Tierra es 5.1  1018 cm2, la cantidad de energía recibida por centímetro cuadrado de la superficie de la Tierra cada minuto (la constante solar) es: 1.02  1019 ] 5.1  1018 Simplifica la expresión.

SOLUCIÓN

Dividiendo 1.02 por 5.1, obtenemos 0.2  2  101. Ahora,  101. Así, la respuesta final es 10  10  10 1 1 (2  10 )  10  2  100  2. Esto significa que la Tierra recibe alrededor de 2 calorías de energía por centímetro cuadrado cada minuto. 19

18

1918

Respuestas a los PROBLEMAS 3. a 1.32  108 b. 1.23  102

4. 6  100 ó 6

5. 2  103

PROBLEMA 5 El ancho del cinturón de asteroides es de 2.8  108 km. La velocidad del Pioneer 10 en atravesar el cinturón de asteroides fue de 1.4  105 km/h. Así, al Pioneer 10 le 2.8  108 tomó ] h atravesar el cinturón 1.4  105 de asteroides.

10-25

10.3

Notación científica

599

Rincón de la calculadora Si tienes una calculadora científica y multiplicas 9,800,000 por 4,500,000, la pantalla mostrará: 4.41 Esto significa que la respuesta es 4.41  1013. 1. La pantalla en la calculadora muestra: 3.34 Escribe este número en notación científica.

5

13

2. La pantalla en la calculadora muestra: 9.97 Escribe este número en notación científica.

6

Para ingresar números grandes o pequeños en una calculadora con notación científica, primero debes escribir el número usando la notación. Así, para ingresar el número 8,700,000,000 en la calculadora debes saber que 8,700,000,000 es 7 9 EEm 8.7  109; luego puedes digitar 8 La pantalla de la calculadora mostrará: 8.7 09 3. ¿Qué se mostrará en la pantalla si ingresas el número 73,000,000,000?

4. ¿Qué se mostrará en la pantalla si ingresas el número 0.000000123?

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

N Notación ió científica i ífi En llos problemas bl 1 all 10 10, escribe ib en notación ió científica. i ífi

1. 68,000,000 (mujeres que trabajan en Estados Unidos)

2. 78,000,000 (hombres que trabajan en Estados Unidos)

3. 293,000,000 (población actual de Estados Unidos)

4. 281,000,000 (población en Estados Unidos en 2000)

ir a

5. 1,900,000,000 (dólares gastados en camas de agua y accesorios en un año)

6. 0.035 (onzas en un gramo)

7. 0.00024 (probabilidad de un cuarteto en póquer)

8. 0.000005 (el peso en gramos de una ameba)

www.mathzone.com/bello

6Web IT

6Ejercicios 10.3

> Self-Tests > e-Professors > Videos

9. 0.000000002 (el peso en gramos de una célula hepática)

10. 0.00000009 (longitud de onda de un rayo X en centímetros)

En los problemas 11 al 20, escribe en notación estándar. 12. 2.87  102 (libras de frutas frescas consumidas por persona por año en Estados Unidos)

13. 8  106 (bagels consumidas por día en Estados Unidos)

14. 22  106 ( empleos creados en la industria de servicios entre ahora y 2010)

15. 6.8  109 (riqueza estimada de las cinco mujeres más ricas)

16. 1.68  1010 (riqueza estimada de los cinco hombres más ricos)

17. 2.3  101 (kilowatios usados por hora por tu televisor)

18. 4  102 pulgadas (1 mm)

19. 2.5  104 (conductividad térmica del vidrio)

20. 4  1011 julios (energía liberada por la división de un átomo de uranio)

5B6

Multiplicar y dividir usando notación científica En los problemas 21 al 30, realiza las operaciones indicadas (da tu respuesta en notación científica).

21. (3  104)  (5  105)

22. (5  102)  (3.5  103)

23. (6  103)  (5.1  106)

24. (3  102)  (8.2  105)

25. (4  102)  (3.1  103)

26. (3.1  103)  (4.2  102)

4.2  105 27. ] 2.1  102

5  106 28. ] 2  103

2.2  104 29. ] 8.8  106

2.1  103 30. ] 8.4  105

para más lecciones

11. 2.35  102 (libras de carne consumidas por persona por año en Estados Unidos)

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

600

Capítulo 10

5C6

10-26

Introducción al álgebra

Aplicaciones con notación científica

31. Consumo anual de vegetales El norteamericano promedio come 160 libras de vegetales cada año. Dado que hay alrededor de 300 millones de norteamericanos, el número de libras de vegetales que se consumen cada año deberá ser: (1.6  102)  (3  108)

32. Consumo promedio de refrescos El norteamericano promedio toma 54.2 galones de refresco cada año. Dado que hay alrededor de 300 millones de norteamericanos, el número de galones de refresco que se consumen cada año deberá ser (5.42  101)  (3  108)

a. Escribe este número en notación científica.

a. Escribe este número en notación científica.

b. Escribe este número en notación estándar.

b. Escribe este número en notación estándar.

33. Basura por persona Estados Unidos produce 250 millones de toneladas de basura cada año. Dado que una tonelada son 2000 libras y hay alrededor de 360 días en un año y 300 millones de norteamericanos, el número de libras de basura producida cada día del año por cada hombre, mujer y niño en Estados Unidos es: (2.5  108)  (2  103) ]] (3  108)  (3.6  102) Escribe este número en notación estándar a dos posiciones decimales.

34. Velocidad de la luz La velocidad de la luz puede medirse dividiendo la distancia del Sol a la Tierra (1.47  1011 metros) por el tiempo que le toma a la luz solar alcanzar la Tierra (4.9  102 segundos). Así, la velocidad de la luz es 1.47  1011 ] 4.9  102 ¿Cuántos metros por segundo es eso? Escribe el número en notación estándar.

35. Energía en un gramo de uranio La fisión nuclear se usa como fuente de energía. La cantidad de energía que libera un gramo de uranio 235 es: 4.7  109 ] 235 kilocalorías Escribe este número en notación científica.

¿Está superpoblado donde vives? ¿Cuántas personas por milla cuadrada viven en tu ciudad? La densidad poblacional es una medida de población por unidad de área. 36. Densidad poblacional La densidad poblacional en el Estado de Nueva York es 3.5  102. Si toda esa gente vive en un área de 5.5  103 millas cuadradas, esto hace que la población del Estado de Nueva York sea de (3.5  102)  (5.5  104 ). ¿Cuánta gente vive en el Estado de Nueva York? Escribe la respuesta en notación estándar y científica.

37. Densidad poblacional La densidad poblacional de París es 9.2  103. Si viven en un área de 1.05  103 millas cuadradas, esto hace que la población de París sea de (9.2  103)  (1.05  103). ¿Cuántas personas viven en París? Escribe la respuesta en notación estándar y científica.

38. Densidad poblacional ¿Y la población en todo el mundo? La densidad de población del mundo es apenas de 43 personas por kilómetro cuadrado. El área terrestre del mundo es 1.5  108, esto significa que la población mundial es (4.3  10) (1.5  108). ¿Cuántas personas es eso? Escribe la respuesta en notación estándar y científica.

39. Densidad poblacional Uno de los lugares más densamente poblados de la Tierra5 es Macau, en China. Su densidad 4.68  10 , lo que significa 4.68  105 habitantes poblacional es } 2.6  10 km2 viviendo en un área de 2.6  10 kilómetros cuadrados. ¿Cuál es la densidad poblacional de Macau? Escribe este número en notación estándar y científica.

40. Densidad poblacional Otro lugar densamente poblado es 4.416  106 Singapur; su densidad de población es } 2 2 , lo que signi6.9  10 km fica 4.416  106 habitantes viviendo en un área de 6.9  102 kilómetros cuadrados. ¿Cuál es la densidad poblacional de Singapur? Escribe este número en notación estándar y científica.

41. Luz solar Como el Sol está a 1.5  1011 metros de la Tierra,11 1.5  10 a la luz le toma viajar a 3  108 metros por segundo, } 3  108 segundos para alcanzar la Tierra. ¿Cuántos segundos es eso? Escribe este número en notación estándar y científica.

42. Luna La Luna está alrededor de 3.9  108 metros de la Tierra.8 3.9  10 A la luz le toma viajar a 3  108 metros por segundo } 3  108 segundos para alcanzar la Tierra. ¿Cuántos segundos es eso?

666Usa tus conocimientos A Astronomía í 43. La notación científica es especialmente útil cuando hay cantidades muy grandes. Por ejemplo, en astronomía encontramos que la velocidad de la luz es 299,792,458 metros por segundo. Escribe 299,792,458 en notación científica.

44. Las distancias astronómicas son tan grandes que se miden en unidades astronómicas (UA para abreviar). Una unidad astronómica se define como la separación promedio (distancia) de la Tierra y el Sol, es decir, 150,000,000 kilómetros. Escribe 150,000,000 en notación científica.

10-27

10.3

45. Las distancias astronómicas también se miden en parsecs: 1 parsec  2.06  105 U. A. Así 1 parsec  (2.06  105)  (1.5  108) kilómetros. Escrito en notación científica, ¿cuántos metros es eso?

Notación científica

601

46. Los astrónomos también miden en años luz, la distancia que recorre la luz en 1 año: 1 año luz  9.46  1012 kilómetros. La estrella más cercana, Próxima Centauri, está a 4.22 años luz. En notación científica y redondeado a dos posiciones decimales, ¿cuántos kilómetros es eso?

47. Dado que 1 parsec  3.09  1013 km (ver problema 45) y un año luz  9.46  1012 km, el número de años luz en parsecs es 3.09  1013 ] 9.46  1012 Escribe este número en notación estándar redondeado a dos posiciones decimales.

666¡Escribe! 48 Escribe con ttuss pal b as el proc di i nto qquee usas sas para escribi 48. palabras procedimiento escribir un número en notación científica.

49 ¿Cuáles ¿C ál s son las l s ventajas ent jas y las desventajas des ent jas de escribir escribi números 49. en notación científica?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 50. Un número en notación científica se escribe como 10 y n es un entero.

, donde M es un número entre 1 y

51. Para escribir un número en la notación científica M  10n, mueve el punto decimal en el número para que quede un solo dígito a su ; el resultado es M.

izquierda n  10M M  10n derecha

666Prueba de dominio 52 52. L La Ti Tierra estáá aproximadamente i d a 99.3 3  107 millas ill del d l Sol, S l y la luz viaja a una velocidad de 1.86  105 millas por segundo. Así, le toma

53. Divide 2.48  102 por 6.2  104. Escribe la respuesta en notación estándar.

9.3  107 ] 1.86  105 segundos para que la luz del Sol alcance la Tierra. Escrito en notación estándar, ¿cuántos segundos es eso? 54. Multiplica y escribe la respuesta en notación estándar: a. (5  10 )  (6.1  10 ) 2

4

55. La vida media del uranio 234 es 250,000 años. Escribe 250,000 en notación científica.

b. (6.4  102)  (2  105) 56. Una de las computadoras más rápidas del mundo en el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore puede realizar un solo cálculo en 0.000 000 000 000 26 segundos. Escribe este número en notación científica.

57. La vida media del uranio 238 es 4.5  109 años. Escribe este número en notación estándar.

58. La longitud de onda de la luz ultravioleta es 3.5  105 cm. Escribe este número en notación estándar.

666Comprobación de destrezas Resuelve las siguientes ecuaciones. 59. x  1  4

1 ] 1 60. x  ] 42

3 1 61. x  ] 5  ] 2

62. x  0.3  0.9

63. x  0.7  0.2

64. 0.4x  0.8

65. 0.3x  0.9

66. 0.4x  0.8

602

Capítulo 10

10-28

Introducción al álgebra

10. 4

Resolver ecuaciones lineales

6 Objetivos

6 Repasa antes de continuar...

Debes ser capaz de:

A6

B6

1. Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales. (págs. 548–550) 2. Resolver ecuaciones. (págs. 89–91, 240–241)

Resolver ecuaciones usando los principios de la suma, resta, multiplicación o división. Resolver ecuaciones lineales usando el procedimiento de cinco pasos dado en el texto.

6 Para comenzar ¿Conoces al hombre de la foto? Es Albert Einstein, quien descubrió la ecuación E  mc2. En esta sección estudiaremos un tipo de ecuación llamada lineal. Una ecuación es una oración que tiene una variable en la cual el verbo “es igual” (o un verbo equivalente). He aquí algunas ecuaciones. Lenguaje español

Álgebra

Uno sumado a x da 7. Uno restado de z equivale a 9 Dos veces un número n es 8.

x17 z19 2n  8 y }2  3

La mitad de y es 3.

A 6 Resolver ecuaciones usando los principios

de la suma, resta, multiplicación o división

Las ecuaciones que se muestran en Para comenzar también se llaman ecuaciones lineales o de primer grado. Las variables x, z, n y y no tienen exponentes, lo que significa que se entiende que el exponente es 1 (x  x1, z  z1, n  n1, y y  y1); esta es la razón por la cual se llaman ecuaciones de primer grado. Podemos resolver (hallar la solución de) estas ecuaciones usando los mismos principios que estudiamos antes.

PRINCIPIOS PARA RESOLVER ECUACIONES La ecuación a  b es equivalente a

o

acbc acbc acbc acbc b a }c  }c

(Principio de la suma) (Principio de la resta) (Principio de la multiplicación, c p 0) (Principio de la división, c p 0)

10-29

10.4

Resolver ecuaciones lineales

603

Así, para resolver una ecuación podemos sumar o restar el mismo número en ambos lados y multiplicar o dividir ambos lados por el mismo número diferente a 0 (exactamente deben hacerse las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación para obtener ecuaciones equivalentes). La idea es obtener una ecuación con una variable (letra) sola a un lado. Practiquemos con estos principios.

EJEMPLO 1

Resolver ecuaciones lineales

Resuelve. a. x  1 3

Resuelve.

1 } 1 b. y  } 32

a. x  6  8 1 1 b. y  } 5} 2

SOLUCIÓN a.

PROBLEMA 1

x  1  3 x  1  1  3  1 x  2

COMPRUEBA

Dado. Suma 1 a ambos lados para que la x quede sola. Simplifica.

Sustituimos x  2 en la ecuación original:

x  1  3 2 1 3 3 Así, nuestra solución x  2 es correcta. 1 1 } Dado. b. y} 32 1 } 1 } 1 } 1 Resta }13 a ambos lados para que la y quede sola. y} 3323 1  3 1  2 Simplifica (necesitamos usar el MCD para }1 y }1, } y} 2 3 2332 3 2 que es 6, escribe ambas fracciones con ese } } denominador y resta). 66 1 } 6 COMPRUEBA Reemplazando y por }16 en la ecuación original, 1} 1 y} 3 2 1 } 1 1 } } 63 2 3 } 6 1 } 2 1 } Así, nuestra solución y  6 es correcta.

EJEMPLO 2 Resuelve. a. x 6

Resolver ecuaciones lineales y b. } 3 4

Resuelve.

c. 3.2z  6.4

SOLUCIÓN a. x  6 1x  6 1  (1x)  1  6 x  6

PROBLEMA 2 a. x  8

y b. } 4 6

c. 1.2z  4.8 Dado. Como x  1x. Multiplica ambos lados por 1. Simplifica (1  (1x) 1x x).

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 3 1. a. x  2 b. y  } 10 2. a. x  8 b. y  24 c. z  4

604

Capítulo 10

10-30

Introducción al álgebra

COMPRUEBA

Reemplaza x por 6 en la ecuación. x  6 (6) 6 6 Así, nuestra solución, x  6 es correcta. Nota que la ecuación 1x  6 puede también resolverse dividiendo ambos lados por 1 (usando el principio de la división). La respuesta continúa siendo x  6. y }4 b. Dado. 3 y 3} Multiplica ambos lados por 3. 3 34 y  12 1  y  12 Reescribe la ecuación. 1  (1  y)  1  12 Multiplica ambos lados por 1. y  12 Simplifica. y COMPRUEBA } 3 4 (12) 4 } 3 12 } 3 4 La solución y  12 es correcta. c. 3.2z  6.4 6.4 3.2z }} 3.2 3.2 z  2

COMPRUEBA

Dado. Divide ambos lados entre 3.2. Simplifica.

Reemplaza z con 2 en la ecuación original. 3.2z  6.4 3.2(2) 6.4

6.4

Así, la solución es z  2.

B 6 Resolver ecuaciones lineales Desafortunadamente, no todas las ecuaciones son tan simples como las que discutimos. Además, debemos conocer qué procedimiento seguir cuando nos enfrentamos a cualquier ecuación lineal. He aquí la forma de hacerlo:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 1. Simplifica ambos lados de la ecuación, si es necesario. 2. Suma o resta el mismo número a ambos lados de la ecuación para que un lado contenga sólo variables. 3. Suma o resta los mismos términos a ambos lados de la ecuación para que un lado contenga sólo números. 4. Si el coeficiente de la variable (el número multiplicado por la variable) no es 1, divide ambos lados de la ecuación por ese número. 5. El número resultante es la solución de la ecuación. Verifica en la ecuación original para asegurarte que la respuesta es correcta.

10-31

10.4

Resolver ecuaciones lineales

605

Recuerda que el objetivo al resolver una ecuación es tener una variable sola (aislada) en un lado de la ecuación. Seguiremos estos pasos para resolver la ecuación 3(x  1)  x  7. Paso 1. 3(x  1)  x  7 Simplifica. 3(x  1)  3x  3 3x  3  x  7 Paso 2. 3x  3  3  x  7  3 Resta 3. 3x  x  4 Resta x. Paso 3. 3x  x  x  x  4 2x  4 4 2x Divide entre 2. Paso 4. }  }2 2 Paso 5. x  2 3(x  1)  x  7 COMPRUEBA 3(2  1) 2  7 3(3) 9 9 Por supuesto, no todas las ecuaciones llevan todos los pasos. Daremos algunos ejemplos para que puedas ver cómo se hace. Una regla general por seguir es la de querer tener las variables en un lado de la ecuación y los números del otro.

PROBLEMA 3

EJEMPLO 3 Resolver ecuaciones lineales Resuelve: 3x  6  10. SOLUCIÓN

Resuelve: 2x  6  9.

Usamos los pasos dados.

3x  6  10 3x  6  6  10  6 3x  4 3x 4 }  } Paso 4. Divide por el coeficiente de x, es decir, por 3. 3 3 4 Paso 5. x   }3 COMPRUEBA 3x  6  10 4 3  } 3 6 10 46 10 Paso 1. La ecuación ya está simplificada. Paso 2. Resta 6 a ambos lados. Paso 3. El lado derecho tiene sólo números.

S D

4

La solución es x = }3.

PROBLEMA 4

EJEMPLO 4 Resolver ecuaciones lineales Resuelve: 2x  5  7.

Resuelve: 3x  5  7.

SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación ya está simplificada. Paso 2. Suma 5 a ambos lados. Paso 3. El lado derecho tiene sólo números. Paso 4. Divide por el coeficiente de x, es decir, por 2. Paso 5.

2x  5  7 2x  5  5  7  5 2x  12 2x }  12 } 2 2 x6 (continúa)

Respuestas a los PROBLEMAS 3 3. x  } 4. x  4 2

606

Capítulo 10

10-32

Introducción al álgebra

COMPRUEBA

2x  5  7 2(6) 5 7 12  5 7

La solución es x = 6.

EJEMPLO 5 Resolver una ecuación lineal con decimales Resuelve: 3x  5.6  x  7.8.

PROBLEMA 5 Resuelve: 3x  2.4  x  8.6.

SOLUCIÓN 3x  5.6  x  7.8 3x  5.6  5.6  x  7.8  5.6 3x  x  2.2 Paso 3. Resta x de ambos lados para que no 3x  x  x  x  2.2 haya variables en el lado derecho 2x  2.2 de la ecuación. 2.2 2x }  } 2 2 Paso 4. Divide por el coeficiente de la variable, es decir, entre 2. x  1.1 Paso 5. Paso 1. La ecuación ya está simplificada. Paso 2. Resta 5.6 a ambos lados.

3x  5.6  x  7.8 3(1.1) 5.6 1.1  7.8 3.3  5.6 8.9

COMPRUEBA

8.9 La solución es x = 1.1.

EJEMPLO 6 Resolver una ecuación lineal que contiene paréntesis Resuelve: 4(x  1)  2x  12.

PROBLEMA 6 Resuelve: 5(x  2)  2x  19.

SOLUCIÓN Paso 1. Simplifica. Paso 2. Resta 4 a ambos lados. Paso 3. Resta 2x de ambos lados. Paso 4. Divide por el coeficiente de x, es decir, entre 2. Paso 5.

COMPRUEBA

4(x  1)  2x  12 4x  4  2x  12 4x  4  4  2x  12  4 4x  2x  8 4x  2x  2x  2x  8 2x  8 8 2x }  } 2 2 x4

4(x  1)  2x  12 4(4  1) 2(4)  12 4(5) 8  12 20 20

La solución es x = 4.

EJEMPLO 7 Resolver una ecuación lineal que contiene paréntesis Resuelve: 20  5(x  2). SOLUCIÓN Antes de resolver la ecuación, recuerda que queremos tener sólo variables en un lado de ella y números en el otro. Respuestas a los PROBLEMAS 5. x  3.1

6. x  3

7. x  2

PROBLEMA 7 Resuelve: 10  2(x  3).

10-33

10.4

Resolver ecuaciones lineales

607

20  5(x  2) 20  5x  10

Paso 1. Simplifica.

20  10  5x  10  10 10  5x

Paso 2. Resta 10 a ambos lados. Paso 3. No hay variables en el lado izquierdo.

5x 10 } 5  } 5 2x x 2

Paso 4. Divide ambos lados entre 5. Paso 5. 20  5(x  2) 20 5(2 2) 5(4) 20

COMPRUEBA

La solución es x = 2.

EJEMPLO 8

Resolver ecuaciones lineales con fracciones

Resuelve.

PROBLEMA 8 Resuelve:

3 1 1 1 } } } b. } 8x  8  2x  2  x

2 a. } 3x  5

SOLUCIÓN a. Dado que todas las x están solas en el lado izquierdo, podemos saltar los pasos 2 1, 2 y 3. El coeficiente de x es }3, entonces podemos dividir ambos lados entre }23. Por la definición de la división de las fracciones, dividir entre }23 es lo mismo 3 2 que multiplicar por el recíproco de }3—es decir, multiplicar por }2. Como es más 3 fácil multiplicar ambos lados por }2, procedemos de esa forma. 2 } Dado. 3x  5 3 2 3 3 }} } 2 3x  2  (5) Multiplica ambos lados por }2. 15 x  } Simplifica. 2 2  COMPRUEBA } 3x 5 15 2 } } 3  2 5 5 15 Así, la solución es x = } 2. b. Podemos empezar combinando términos iguales, pero podemos hacer que el problema sea más fácil si multiplicamos ambos lados por el MCD de todos los términos (8). Este es un paso opcional, pero te ahorrará trabajo. Aquí está el procedimiento. 3 1 1 1 } } } } Dado. 8x  8  2x  2  x 3 1 1 1 } } } 8 } Multiplica ambos lados por 8. 8x  8  2x  8  2 x 3 1 1 1 } } } 8} 8x 8  8 8  2x  8  2 8 x Simplifica. x  3  4x  4  8x 5x  3  4  8x

3 a. } 4x  2 3 1 1 } 1 } } b. } 3x  4  4x  3  2x

S D

S

D

S

D

Ahora, ¿de qué lado de la ecuación deberíamos dejar las x? Es más fácil (porque evita expresiones con signo negativo adelante) dejar las x a la derecha (como regla de oro, deja las x del lado que tiene más de ellas). He aquí el resto del problema. (continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 7 8 b. x  } 8. a. x  } 3 11

608

Capítulo 10

10-34

Introducción al álgebra

5x  3  4  8x

Paso 1. La ecuación está simplificada.

5x  3  4  4  4  8x 5x  7  8x

Paso 2. Resta 4 a ambos lados.

5x  5x  7  8x  5x 7  3x 7 3x  }3  } 3 7 x  }3

Paso 3. Resta 5x de ambos lados. Paso 4. Divide ambos lados entre 3. Paso 5. 7 La verificación la haces tú. La solución es x = } 3.

Cuando resolvimos el ejemplo 8b, introdujimos dos pasos nuevos que se usan al resolver ecuaciones lineales con fracciones: Simplificar las fracciones (multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD) y Remover los paréntesis.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES Despejar fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD. Remover los paréntesis. Sumar o restar números y expresiones para que las variables queden de un solo lado (aislar). Multiplicar o dividir por el coeficiente de la variable.

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

6Ejercicios 10.4 5A6

Resolver ecuaciones usando los principios de la suma, resta, multiplicación o división En los problemas 1 al 26, resuelve la ecuación.

1. x  2  4 1 4 4. } 5x} 5 1 1y} 7. } 5 2 10. y  2.5  6.9 1 13. y  } 5 16. y  5.7 y 19. 3.1  } 4 22. 3.8z  1.9

5. x  1.9  8.9 1 1 } 8. } 3x4 11. x  8 1 14. x  } 7 x 17. } 2 8 x 20. 2.2  } 5 23. 1.2  2.4x

25. 3.6y  4.8

26. 6.4y  3.2

5B6

> Self-Tests > e-Professors > Videos

Resolver ecuaciones lineales

27. 2x  7.1  9.3 30. 21  2.5x1 5 8 1 } 33. } x } 3 3 2 36. 203.3x5.7x2

2. 7  y  5

3 1 } 3. } 4y4 6. y  3.7  9.7 9. x  3.8  9.9 12. y  3 15. x  2.3 y 18. } 3 7 21. 2.1z  4.2 24. 1.8  3.6x

En los problemas 27 al 60, resuelve la ecuación. 28. 3y  7.2  13.8 6 4 3 31. } 5x } 5} 5 3 3 1 } } 34. } 2 4x 2

29. 6.5  3y  3.2 3 2 4 32. } 5y } 5 } 5

37. 211.5y6.5y5

38. 2(x5)12

35. 3.5x51.5x7

10-35

10.4

Resolver ecuaciones lineales

42. x53(x1)

43. y62(y2)

44. 11x4(x1)

45. 1y5(y1)

46. 2x13(x1)

47. 3x12(x1)

48. 5x15x1 3x4 51. } 5 4 54. } 5x3

49. 6x26x2 2 52. } 7y 3 2 55. } 5x3

50. 7x37x3 3 53. } 8y2 3 56. } 7y2

1 } 1 } 2 5 y } 57. } 4 2 3 y 6 3 5 3 4x } } } 60. } 2 6x 2 9

3 9 2 } 4 } 58. } 5x } 3 3 5x

3 5 1 } 1 } } 59. } 2 y 3 4 y 8

62. Combustible En 2004, la producción de etanol alcanzó 3.4 billones de galones, el doble de la producción P para 2000. a. Escribe una ecuación para esta situación. b. ¿Qué principio usaste para resolver para P ? c. Halla el valor para P.

a. Escribe una ecuación para esta situación. b. ¿Qué principio usaste para resolver para I? c. Halla el valor para I. 63. Combustible Los 2.8 billones de galones de etanol produ1 cidos en 2003 fueron sólo } 50 del gas total T usado en Estados Unidos ese año.

64. Combustible La producción de petróleo P en Estados Unidos descendió en 6 millones de barriles por día a 5 millones, de 1980 a 2005. a. Escribe una ecuación para esta situación. b. ¿Qué principio usaste para resolver para P ? c. Halla el valor para P.

a. Escribe una ecuación para esta situación. b. ¿Qué principio usaste para resolver para T ? c. Halla el valor para T.

666Usa tus conocimientos El salario l i semanall d de un vendedor d d se dda por Salario

Comisión



S

Total



C

65. Si la persona gana $66 de comisiones y el pago total fue de $176, ¿cuál fue el salario de la persona?

T

66. Si el salario de la persona fue de $133 y el pago total fue de $177, ¿cuánto gano por comisiones?

Tu balance bancario se da por Depósitos

Retiros



D

R

67. Una persona depositó $308. El balance era de $186. ¿Cuánto dinero retiró la persona de su cuenta bancaria?

Balance



B

68. El balance en una cuenta de cheques era de $147. Los depósitos fueron $208. ¿Cuánto dinero se retiró de la cuenta de cheques?

El peso de un hombre se relaciona con su altura por Peso (libras)

P 69. Un hombre pesa 160 libras. ¿Cuál es su altura?

Altura (en pulgadas)



5A

 190

para más lecciones

61. Combustible Los 2.8 billones de galones de etanol (un tipo de alcohol usado como aditivo del gas) producidos en 2003 aumentaron una cantidad I para alcanzar 3.4 billones de galones en 2004.

www.mathzone.com/bello

41. 6(x1)x6

ir a

40. 8( y1)y2

6Web IT

39. 3( y2)24

609

610

Capítulo 10

10-36

Introducción al álgebra

666¡Escribe! 70. Escribe con tus palabras la diferencia entre una expresión y una ecuación.

3

71. Cuando resolvemos la ecuación }4x  6, ¿sería más fácil 3 multiplicar por el recíproco }43 o dividir ambos lados por }4?

72. Describe con tus palabras la solución de una ecuación. ¿Puedes hacer una ecuación sin solución?

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 73. Una

es una oración que tiene una variable en la que el verbo es igual.

74. Por el principio de la suma, la ecuación a b es equivalente a

.

simplificar a b, c s0 } c  } c

75. Por el principio de la resta, la ecuación a b es equivalente a

.

a c  b  c acbc

.

76. Por el principio de la multiplicación, la ecuación a b es equivalente a

acbc

.

77. Por el principio de la división, la ecuación a b es equivalente a 78. El primer paso en el procedimiento para resolver una ecuación es ecuación.

ambos lados de la

multiplicar ecuación

666Prueba de dominio Resuelve la ecuación. 79. x  3  4 x  3 82. } 4 85. 3x  6  9 88. 30  6(x  2)

1 } 1 80. y  } 42

81. y  7

83. 3.3z  9.9

84. 4x  6  9

86. 4x  6.6  x  7.8 2x 89. } 3  6

87. 3(x  1)  2x  7 3 1x } 1 1x } } 90. } 8  8  2  4 x

666Comprobación de destrezas En los problemas 91 y 92, multiplica: 2  1000 91. } 3

3 92. } 4  500

En los problemas 93 y 94, divide: 93. 67.50  0.25

94. 90.3  0.15

10-37

10.5

Aplicaciones: problemas verbales

1 0 .5

Aplicaciones: problemas verbales

6 Objetivo A 6 Debes ser capaz de

6 Repasa antes de continuar...

resolver problemas verbales usando el procedimiento para resolver ecuaciones.

611

1. Usar el método LSTUV presentado en las secciones 2.8 y 3.5. (pág. 92) 2. Resolver ecuaciones. (págs. 89–91, 240–241, 602–608)

6 Para comenzar ¿Crees que Estados Unidos envió una misión a la Luna? Alguna gente, no; pero la ilustración muestra el Rover Lunar usado por los astronautas del Apollo 15. El peso de este vehículo en la Tierra (450 libras) es 6 veces el peso del vehículo en la Luna. ¿Cuál es el peso del vehículo en la Luna?

A 6 Resolver problemas verbales En esta sección vamos a usar el lenguaje del álgebra y traducir expresiones verbales en ecuaciones. Luego resolveremos estas ecuaciones usando los métodos de las secciones anteriores y el procedimiento LSTUV que estudiamos en la sección 2.8. Repetimos el procedimiento para tu conveniencia.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS VERBALES 1. Leer el problema atentamente y decidir qué se pregunta (lo desconocido). 2. Selecciona H o una letra que represente lo desconocido. 3. Traducir el problema a una ecuación. 4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. 5. Verificar la respuesta. Ahora usamos estos cinco pasos para resolver el problema en Para comenzar. Paso 1. Lee el problema. Decide qué número se pide. En nuestro problema nos preguntan por el peso del vehículo en la Luna. Paso 2. Selecciona p para representar el peso del vehículo en la Luna.

612

Capítulo 10

10-38

Introducción al álgebra

Paso 3. Traduce. De acuerdo con el problema, El peso del vehículo es en la Tierra

6 veces el peso del vehículo en la Luna.

 450 6p Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación 450  6p: 450  6p Divide ambos lados entre 450 6p } } 6 6 p  75

6.

Paso 5. Verifica las demandas del problema. ¿Es el peso del vehículo en la Tierra (450 libras) 6 veces el peso del vehículo en la Luna? Como 450  6  75, nuestra respuesta es correcta. Así, el peso del vehículo en la Luna es 75 libras.

EJEMPLO 1 Resolver problemas: astronautas Uno de los astronautas de la Luna, Eugene “Buzz” Aldrin, pesaba 180 libras en la Tierra. Su peso terrestre era 6 veces su peso en la Luna. ¿Cuánto pesaba en la Luna? SOLUCIÓN

PROBLEMA 1 Otro astronauta, Neil Armstrong, pesaba 162 libras en la Tierra. Ese peso es 6 veces su peso en la Luna. ¿Cuánto pesaba en la Luna?

Procedemos por pasos.

Paso 1. Lee el problema cuidadosamente y decide qué número se pide. Nos piden el peso de Aldrin en la Luna. Paso 2. Selecciona p para representar su peso. Paso 3. Traduce. De acuerdo con el problema, su peso en la Tierra es

6 veces su peso en la Luna.

 180 6p Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación 180  6p: 180  6p 180 6p Divide entre 6. } } 6 6 30  p p  30 Paso 5. Verifica. ¿Es verdad que 180  6  30? Sí, nuestra respuesta es correcta. Así, el peso de Aldrin en la Luna era de 30 libras.

EJEMPLO 2 Resolver problemas: dietas Celeste Geyer, alias Dolly Dimples, bajó 401 libras de peso para llegar a 152 en 14 meses. ¿Cuánto pesaba al comenzar su dieta? SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema cuidadosamente y decide qué número se pide. En este problema queremos conocer el peso de ella al comenzar su dieta. Paso 2. Selecciona p para representar su peso. Paso 3. Traduce. De acuerdo con el problema,

Respuestas a los PROBLEMAS 1. 27 libras

2. 487 libras

ella bajó 401 libras de peso

es

152.

p  401



152

PROBLEMA 2 Paul Kimmelman ostenta el récord de velocidad en reducción de peso. Bajó 357 libras de peso para llegar a 130, en alrededor de ocho meses. ¿Cuánto pesaba al comenzar su dieta?

10-39

10.5

Aplicaciones: problemas verbales

613

Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación p  401  152: p  401  152 Suma 401 a ambos lados p  401  401  152  401 p  553 Paso 5. Verifica la respuesta. Como 553  401  152, nuestro resultado es correcto. Así, el peso inicial era de 553 libras.

EJEMPLO 3 Resolver problemas: antropología ¿Sabes cómo clasifican los antropólogos las diferentes formas de seres humanos? Midiendo su cerebro en centímetros cúbicos. El Homo erectus, del que se identificaron dos subespecies, tenía el cerebro de 1000 centímetros cúbicos, alrededor de }23 del de una persona moderna. ¿Cuántos centímetros cúbicos de cerebro tiene una persona moderna? SOLUCIÓN

PROBLEMA 3 El agua está compuesta de ocho partes de oxígeno y una parte de hidrógeno por peso, lo que significa 8 que }9 del agua son oxígeno. Si la cantidad de oxígeno en una cubeta de agua es 368 gramos, ¿qué cantidad de agua hay en la cubeta?

Paso 1. Lee el problema. Nos pide el número de centímetros cúbicos de cerebro de una persona moderna. Paso 2. Selecciona c para representar ese número. Paso 3. Traduce. De acuerdo con el problema, el Homo erectus tiene un cerebro de 1000 cm3

o

alrededor de }23 de los humanos modernos.

2 }c  1000 3 Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación 1000  2}3 c: 2 1000  } 3c 3 2 3 }  1000  }  } Multiplica ambos lados por el recíproco de }23, }32. 2 2 3c 3000 }c 2 c  1500 Paso 5. Verifica la respuesta. Como 2 500 1000  } 3  1500  1000 nuestro resultado es correcto. Así, una persona moderna tiene 1500 centímetros cúbicos de capacidad cerebral.

EJEMPLO 4 Resolver problemas: rentar un carro El costo diario C de rentar un carro es $20 más $0.25 por milla recorrida. Si m es el número de millas recorridas, entonces C  20  0.25m Un ejecutivo arrienda un carro por un día y paga $87.50. ¿Cuántas millas recorrió? SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Nos pide el número de millas recorridas. Paso 2. Selecciona m para representar ese número. Paso 3. Traduce. De acuerdo con el problema, C  20  0.25m u 87.50  20  0.25m

PROBLEMA 4 El costo diario de rentar un carro se da por C  15  0.20m donde C es el costo por día (en dólares) y m el número de millas recorridas. Una persona rentó un carro por un día y pagó $65. ¿Cuántas millas recorrió la persona?

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 3. 414 g

4. 250 millas

614

Capítulo 10

10-40

Introducción al álgebra

Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación. 87.50  20  0.25m 87.50  20  20  20  0.25m 67.50  0.25m 67.50 }m 0.25

Resta 20. Simplifica. Divide entre 0.25.

2 70 0.25 qw 67.50 50 17 5 17 5 00 Así, m  270. Paso 5. Verifica la respuesta. Como 0.25  270  20  67.50  20  87.50, nuestra respuesta es correcta. Así, el ejecutivo recorrió 270 millas.

EJEMPLO 5 Resolver problemas: tasa de interés Angie compró un certificado de depósito de $10,000 por 6 meses. Al finalizar los 6 meses recibió $650 de interés simple. ¿Qué tasa de interés paga el certificado de depósito? SOLUCIÓN

PROBLEMA 5 Ángel compró un certificado de depósito de $10,000 por 6 meses. Al finalizar los 6 meses recibió $600 de interés simple. ¿Qué tasa de interés paga el certificado de depósito?

Paso 1. Lee el problema. Nos pide la tasa de interés simple. Paso 2. Selecciona la variable t para representar la tasa. Paso 3. Traduce el problema. Aquí necesitamos saber que la fórmula para el interés simple es I  Cta donde I es la cantidad de interés, C es el capital, t es la tasa de interés, y a es el tiempo en años. Para nuestro problema, I  $650, C  $10,000, t es desconocida, y a  1}2 año. Así, tenemos 1 650  (10,000)(t) } 2 650  5000t

S D

Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación. 650  5000t 650 Divide entre 5000. }t 5000 t  0.13  13% Paso 5. Verifica la respuesta. ¿El interés ganado en un certificado de depósito de $10,000 a 6 meses a una tasa de 13% es $650? Evaluando Cta, tenemos

S D

1 (10,000)(0.13) } 2  650 Como la respuesta es sí, 13% es correcto. El certificado paga 13% de interés simple. Es probable que hayas notado el uso frecuente de ciertos términos en las afirmaciones de los problemas verbales. Dado que éstos son usados a menudo, he aquí un pequeño diccionario matemático para ayudarte a traducirlos correctamente.

Respuestas a los PROBLEMAS 5. 12%

10-41

10.5

615

Aplicaciones: problemas verbales

Diccionarios matemático Palabras

Traducción

Ejemplo

Traducción

Añadir, más que, suma, aumentado en, sumado a



Añadir n a 7 7 más que n La suma de n y 7 n aumentado en 7 7 sumados a n

n7

Sustraer, menos que, menor, diferencia, disminuido Restado de



Sustraer 9 de x 9 menos que x x menos 9 Diferencia x y 9 x disminuido en 9 9 restados de x

x9

De, el producto, veces, multiplica por



1 } 2

de un número x El producto de }12 y x 1 } veces un número x 2 Multiplica }12 por x.

Divide, dividido entre, el cociente



Divide 10 entre x. 10 dividido entre x El cociente de 10 y x

Lo mismo, resulta, da, es



6 } 3

1 } 2

x

10 } x

6 } 3

es lo mismo que 2. 6 dividido entre 3 resulta 2. 6 dividido entre 3 da 2. El cociente de 6 y 3 es 2.

2

Antes de intentar resolver algunos problemas más, miremos cómo se usan en la vida real las palabras contenidas en el diccionario matemático. El ejemplo 6 muestra pasajes reales de un artículo titulado Biocombustibles para el transporte: tendencias y hechos seleccionados. Publicado por el Instituto Worldwatch. Vamos a usar el diccionario para traducir cada una de las líneas. Fuente: http://www.worldwatch.org/node/4081.

EJEMPLO 6 Traducir palabras en expresiones matemáticas Traduce las palabras subrayadas a expresiones matemáticas. a. De 2002 a 2004, la demanda mundial de aceite D aumentó en 5.3% b. El consumo C en Estados Unidos se elevó en 4.9% c. Canadá 10.2% SOLUCIÓN a. La palabra clave es aumentó, que significa . La traducción es D  0.053D. b. La palabra clave es elevó, que significa incrementó y . La traducción es C  4.9%. c. Aquí debemos asumir que el consumo en Canadá se elevó en 10.2%, que se traduce como C  10.2%.

EJEMPLO 7 Resolver problemas: enteros Si 7 se suma dos veces a un número n, el resultado es 9 veces el número. Halla el número.

PROBLEMA 6 Traduce las palabras subrayadas a expresiones matemáticas. a. En el Reino Unido, el consumo C aumentó en 6.3%. b. La demanda D en Alemania y Japón, mientras tanto, cayó en 1 porciento y c. 2.6%, respectivamente.

PROBLEMA 7 Si 6 se suma 3 veces a un número n, el resultado es 6 veces el número. Halla el número.

(continúa) Respuestas a los PROBLEMAS 6. a. C  0.063C c. D  2.6%

b. D  1% 7. 2

616

Capítulo 10

10-42

Introducción al álgebra

SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona n para que sea el número. Paso 3. Traduce el problema. Si 7 es

sumado

dos veces al número n

el resultado es

9 veces el número

7  2n  9n Paso 4. Usa el álgebra para resolver la ecuación. 7  2n  9n 7  2n  2n  9n  2n Resta 2n. Simplifica. 7  7n 7 7n Divide entre 7. } 7 7} 1n Paso 5. Verifica la respuesta. ¿Es 7  2(1)  9(1)? Como 7  2  9, nuestro resultado es correcto. La respuesta es 1.

EJEMPLO 8 Resolver problemas: calorías en los hamburgers Un hamburger de McDonald’s y unas papas fritas agrandadas contienen 820 calorías. ¿Qué tiene más calorías, el hamburger o las papas? Las papas, ¡por supuesto! De hecho, las papas tienen casi el doble de calorías que el hamburger, pero no totalmente. La relación exacta es: si doblas las calorías del hamburger y reduces el resultado en 20, tendrás el mismo número de calorías que las papas. ¿Cuántas calorías tiene el hamburger y cuántas tienen las papas? SOLUCIÓN Paso 1. Lee el problema. Paso 2. Selecciona h para que sea el número de calorías en el hamburger y p para el número de calorías en las papas. Paso 3. Traduce el problema. Si doblas las calorías en el hamburger (2h) y reduces el resultado en 20, tendrás el mismo número de calorías que en las papas ( p), es decir, 2h  20  p. Sin embargo, 2h  20  p tiene dos variables. ¿Falta algo? Sí, el 820. Al principio del problema dice que un hamburger de McDonald’s y unas papas fritas contienen 820 calorías. Eso es, h  p  820 Sustituyendo para p h  (2h  20)  820 Paso 4. Usa el álgebra para resolver. 3h  20  820 Simplifica. 3h  840 Suma 20. h  280 Divide entre 3. Para hallar las calorías en las papas, dobla 280 y resta 20 para obtener 540 calorías (2  280  20  540) para las papas. Paso 5. Verifica la respuesta. Como h  280 y p  540, sustituimos esos números en la ecuación original: h  p 820 280  540  820 820  820 Entonces, el resultado para h y p son correctos.

Respuestas a los PROBLEMAS 8. h  320; p  500

PROBLEMA 8 Lo creas o no, si comes un hamburger de Burger King con papas fritas agrandadas, también obtendrás 820 calorías. Sin embargo, si doblas las calorías en el hamburger, obtendrás 140 calorías más de las que tienen las papas. ¿Cuántas calorías tienen cada una?

10-43

10.5

Aplicaciones: problemas verbales

617

Antes de intentar resolver los ejercicios, ¡practica traducir!

TRADUCE ESTO 1.

La cantidad de ayuda financiera F recibida por estudiantes graduados y subgraduados en un año reciente fue de $122 billones más 11% sobre la suma P recibida el año anterior.

2.

Los $23 billones distribuidos por colegios y universidades en ayuda para becas representa 19% del total de los fondos para ayuda financiera F. Fuente: The College Board.

3.

4.

5.

En un año reciente, el promedio de becas federales por estudiante fue $2421, que es mucho menos que los $24,000 de la matrícula y los cargos (IC) en Harvard Una encuesta de T adultos norteamericanos con empleo indicó que }12 de ellos saldan sus deudas cuando reciben dinero extra. Esto representa 1365 de las personas encuestadas. La velocidad V (en centímetros por segundo) de una hormiga es el producto de }16 y la diferencia de C y 4 (C temperatura en grados Celsius).

El tercer paso en el procedimiento LSTUV es TRADUCIR la información en una ecuación. En los problemas 1 al 10, TRADUCE la oración y parea con la traducción correcta, con las ecuaciones A–O.

A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O.

2421  IC  24,000 1 V} 6 (C  4) 2421  IC  24,000 23  0.19F 1 V} 6C  4 C  35  40h y  b  mx N  4(F  40) F = 122  0.11P 72,000  H  (H  10,000) F  122  1.11P C  40  35h N  4F  40 1 }T  1365 2 0.60M  300

6. El número de chirridos N que emite un grillo en 1 minuto es el producto de 4 y la diferencia de F y 40 (F la temperatura en grados Fahrenheit. 7. Los costos C de una empresa de plomería totalizaron $35 por el servicio de visita, más $40 por cada hora h que lleva realizar el trabajo. 8. La ecuación y de una línea es la suma de b y el producto de su inclinación m y la variable x. 9. El número de mujeres de 20 años matriculadas en el centro de estudiantes excede el número de hombres H por 10,000. Escribe una ecuación representando la membresía total de 72,000 estudiantes matriculados. 10. Una encuesta de M mujeres jóvenes, de 15 a 24 años, halló que el 60% ó 300, de ellas tenían una relación de abuso continuado.

Aumenta tus conocimientos en mathzone.com ! > Practice Problems > NetTutor

5A6

Resolver problemas verbales Para los problemas 1 al 30, intenta estimar la respuesta, luego sigue el procedimiento LSTUV dado en el texto para resolver los problemas.

3. En una elección reciente, el candidato ganador recibió 10,839 votos, 632 más que el perdedor. ¿Cuántos votos obtuvo el perdedor?

4. El costo total de un carro usado es $3675. Puedes comprar el carro con $500 de pronto y financiar el resto. ¿Cuánto tienes que financiar?

5. En una elección reciente el candidato perdedor obtuvo 9347 votos, 849 votos menos que el candidato ganador. ¿Cuántos votos obtuvo el ganador?

6. El salario semanal de una mujer después de las deducciones es $257. Si sus deducciones son $106, ¿cuál es su salario antes de las deducciones?

7. El costo de un artículo es $57. Si la ganancia por su venta es $11, ¿cuál es el precio de venta del artículo?

8. En contabilidad, activos

capital  pasivos

Si el capital es $4787 y los pasivos $1688, ¿cuáles son los activos? 10. Se requiere 9 veces más acero que níquel para hacer acero inoxidable. Si se están usando 81 toneladas de acero inoxidable para la construcción de un puente, ¿cuántas toneladas de níquel son necesarias?

para más lecciones

9. Durante ejercicios extenuantes el flujo sanguíneo bombeado por el corazón se incrementa a cuatro veces su tasa normal, alcanzando 40 pintas por minuto. ¿Cuántas pintas de sangre por minuto bombea el corazón cuando está en reposo?

www.mathzone.com/bello

2. Un hombre tomó prestados $600 de una compañía. Hizo un pago que totalizaba $672. Si esta suma son los $600 originales más los intereses, ¿cuánto interés pagó?

ir a

1. Una mujer depositó $300 en su cuenta de ahorros. Al finalizar el año, su balance era de $318. Si esa cantidad representa sus $300 más intereses, ¿cuánto interés ganó durante el año?

6Web IT

6Ejercicios 10.5

> Self-Tests > e-Professors > Videos

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

618

Capítulo 10

10-44

Introducción al álgebra

11. Durante ejercicios extenuantes el número de respiraciones que tiene una persona cada minuto se incrementa a cinco veces la tasa normal, alcanzando 60 respiraciones por minuto. ¿Cuántas respiraciones por minuto debe tener una persona en reposo? 2

12. Los nutricionistas descubrieron que una taza de café tiene 144 mg de cafeína, 3 veces más la cantidad que contiene una gaseosa promedio. ¿Cuántos miligramos de cafeína tiene una gaseosa promedio? 3

13. Cuando un tanque de gasolina está }3 lleno contiene 18 galones de gasolina. ¿Cuál es la capacidad de este tanque?

14. Un hombre tiene derecho a recibir }4 de su salario cuando se retira. Si recibe $570 por mes luego de retirarse, ¿cuál era su salario?

15. La cúpula de la iglesia del pueblo de Equord, Alemania, es } 16 de la altura de la cúpula de la Basílica de San Pedro. Si la cúpula de la iglesia del pueblo tiene 43.75 pies de altura, ¿De qué altura es la cúpula de la Basílica de San Pedro?

1

16. La densidad de una sustancia está dada por la ecuación m d} v donde m es la masa y v es el volumen. Si la densidad del sulfuro es 2 gramos por mililitro y el volumen es 80 mililitros, cuál es la masa del sulfuro?

17. La razón precio/beneficio (P/B) de una acción está dada por la siguiente ecuación M P/B  } E donde M es el precio de mercado de la acción y E son las ganancias. Si la razón P/B de una inversión que gana $3 por acción es $12, ¿cuál será el precio de mercado de la acción?

18. Los tejidos de apoyo (como los huesos, ligamentos, tendones 1 y las grasas) forman }3 del cuerpo. Si una mujer tiene 40 libras de tejidos de apoyo en su cuerpo, ¿cuál es su peso total?

19. El mejor lingüista de todos los tiempos, el cardenal Giuseppe Caspor Mezzofanti, puede traducir 186 idiomas y dialectos. Si puede traducir 42 idiomas más que dialectos, ¿cuántos dialectos puede traducir? 21. Brenda compró un certificado de depósito de $1000. Al finalizar el año, recibió $80 de interés simple. ¿Qué tasa de interés paga el certificado de depósito? 23. Tony invirtió $3000 en bonos municipales. Al finalizar el año, recibió $240 de interés simple. ¿Qué tasa de interés pagaron los bonos? 25. Una compañía de préstamos cobra $588 por un préstamo de $1400 a dos años. ¿Cuál es la tasa de interés que cobra la compañía?

20. Mezzofanti puede hablar 6 más que 3 veces el número de idiomas que usa en entrevistas. Si habla 39 idiomas, ¿cuántos idiomas usa para las entrevistas? (ver problema 19). 22. Hadish depositó $800 en su cuenta de ahorros. Al finalizar el año, recibió $40 de interés simple. ¿Qué tasa de interés pagó la cuenta de ahorros? 24. Pedro compra un certificado de depósito de $10,000, a tres meses. Al finalizar los 3 meses, recibe intereses simples de $350. ¿Cuál es la tasa de interés sobre el certificado? 26. Si 4 veces un número se incrementa en 5, el resultado es 29. Halla el número.

27. Once más dos veces un número es 19. Halla el número. 29. Si a 6 se le suma 7 veces un número, el resultado es 69. Halla el número.

28. La suma de 3 veces un número y 8 es 29. Halla el número. 30. Si el producto de 3 y un número desciende en 2, el resultado es 16. Halla el número.

Los problemas 31 al 38 están basados en una encuesta de Websense Inc. sobre la toma de decisiones en tecnología de la información (TI), y llevada a cabo por Harris Interactive. Fuente: http://www.websense.com. 31. Navegando en el trabajo Los administradores de TI estiman que los empleados pasan alrededor de 5.7 horas a la semana en navegación personal en el trabajo. Los empleados niegan esta afirmación. Ellos dicen que las 5.7 horas son 1.9 veces lo que están dispuestos a admitir. ¿Cuántas horas están dispuestos a admitir los empleados que navegan en el trabajo? 32. Navegando sobre el clima Cuando se les preguntó a los empleados qué tipo de sitios de internet que no son de trabajo visitan, 375 de ellos (75%) dijeron que visitaron sitios relacionados con el clima. ¿Cuántos empleados fueron encuestados?

10-45

10.5

Aplicaciones: problemas verbales

619

6Web IT ir a

33. Espacio de disco no autorizado Los administradores de TI estiman que 7.5% de la capacidad total de espacio de los discos de su organización está llena con archivos no relacionados con el trabajo (como archivos de música y fotografías). Si este 7.5% totaliza 600 gigas de espacio de disco, ¿cuál es el espacio total (en gigas) para esta compañía?

www.mathzone.com/bello

34. Espacio de disco no autorizado Las empresas medianas generalmente tienen un porcentaje mayor de sus discos ocupados por archivos no relacionados con el trabajo: 10.1%. Si este 10.1% del total de espacio de disco son 505 gigas de espacio, ¿cuál es el espacio de disco total (en gigas) de esta empresa mediana?

36. Fraude electrónico (Phising) ¿Sabes que es fraude electrónico? Es un tipo de fraude en el cual el perpetrador tienta a las personas a compartir contraseñas o número de tarjeta de crédito para usarlos ilegalmente. En la encuesta, alrededor de 4 de cada 5 ó 280 administradores de TI informaron que sus empleados tuvieron un atentado de robo electrónico. ¿Alrededor de cuántos administradores de TI fueron encuestados?

No. de seguridad Clave

olvidada

Fuente: www.plus.es.

37. Violación de seguridad ¿Cuáles fueron las violaciones de seguridad que pudieron poner sus trabajos en riesgo? Caída del sistema (CS) debido a virus (50%), pérdida o robo de propiedad intelectual (PI) (44%), violaciones a la seguridad en internet (SI) (38%), y la encuesta dijo 20 encuestados menos repondieron PI que CS 42 encuestados menos respondieron SI que CS Si el número total de respuestas fue 463, ¿cuántos respondieron CS, PI y SI, respectivamente?

38. Pérdida intelectual La pérdida de propiedad intelectual es una preocupación importante entre los administradores de TI. El 40% dice que está muy o extremadamente preocupado (EP), el 35% dice que está algo preocupado (AP), y el 30% dice que no está muy preocupado o nada preocupado (NP). Si hay 35 encuestados menos respondiendo NP que EP, 17 encuestados menos respondiendo AP que EP, y el número total de encuestados es 368, ¿cuántos encuestados están en cada categoría? Los porcientos suman 132%, por lo que, presumiblemente, se permitieron múltiples respuestas.

En los problemas 39 al 42, refiérete a otra encuesta sobre virus y enfermedades que causan, llevada a cabo por Harris Interactive. Fuente: http://www.harrisinteractive.com. 39. Cobertura de la encuesta La encuesta cubrió 1373 niños y adolescentes. El número de adolescentes encuestados (13 a 18) excedió el número de preadolescentes (8 a 12) en 227. ¿Cuántos adolescentes y cuántos preadolescentes se encuestaron? 40. VIH/SIDA A los niños se les preguntó si era posible que ellos o alguno de sus amigos contraigan VIH/SIDA. He aquí los resultados: el número de adolescentes que respondieron “sí” excedió el número de preadolescentes en 56. Si el número total de respuestas positivas fue 216, ¿cuántos adolescentes y cuántos preadolescentes respondieron sí? 41. Hepatitis C Treinta y cinco adolescentes más que preadolescentes respondieron “sí” cuando se les preguntó si era posible que ellos o alguno de sus amigos contrajera hepatitis C. Si el número total de respuestas positivas (“sí”) fue 173, ¿cuántos adolescentes y cuántos preadolescentes respondieron “sí”? 42. Antibióticos Esta vez 61% de los preadolescentes (349.53 de ellos), respondió “sí,” mientras que 59% de los adolescentes (472 de ellos) estuvo de acuerdo. ¿Cuántos preadolescentes y cuántos adolescentes fueron encuestados?

para más lecciones

35. Total de personas La encuesta cubre exactamente a 851 personas: 149 más empleados que administradores de TI. ¿Cuántos empleados y cuántos administradores de TI se encuestaron?

Capítulo 10

10-46

Introducción al álgebra

Los problemas 43 al 50 se basan en el artículo: ¿Cuántas calorías necesita tu cuerpo? Fuente: http://www.primusweb.com. 43. Tasa metabólica basal Una de las formas para responder a esa pregunta es hallando tu tasa metabólica basal (TMB), que es el número de calorías que necesitas por día para mantener el peso. Para hombres, la TMB se define de la siguiente manera: multiplica tu peso corporal P (en libras), por 10 y suma el doble del peso corporal al valor. a. Escribe la fórmula de la TMB para los hombres. b. Un hombre necesita 1800 calorías por día para mantener su peso. ¿Cuál es su peso?

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

620

44. TMB para mujeres adultas La TMB para mujeres es diferente a la de los hombres. Para hallar la TMB para una mujer multiplica su peso corporal P (en libras) por 10 y suma el peso corporal a ese valor. a. Escribe la fórmula de la TMB para las mujeres. b. Una mujer necesita 1320 calorías por día para mantener su peso. ¿Cuál es su peso?

45. Ejercicio y pérdida de peso ¡Una forma de perder peso es hacer ejercicio! La actividad física contribuye entre el 20% y el 30% del gasto total de energía corporal. Si quemas 700 calorías a través del ejercicio y eso representa el 20% de tu gasto calórico semanal G: a. Escribe una ecuación para el gasto calórico G de la semana. b. ¿Cuál es tu gasto calórico G por una semana? c. Para perder una libra, necesitas quemar 3500 calorías. Si tu gasto calórico es como en la parte b, ¿cuántas libras perderás esa semana?

46. Gasto calórico de diferentes actividades y pesos Imagina que tu peso es 150 libras. Actividad (una hora)

100 lb

150 lb

200 lb

Correr bicicleta, 6 mph

160

240

312

Correr bicicleta, 12 mph

270

410

534

Trotar, 7 mph

610

920

1230

a. Escribe una fórmula para el número de calorías C que usarás en h horas de correr bicicleta a 6 mph. b. Usa la fórmula para hallar el número de calorías C que usarás en correr bicicleta por 3 horas a 6 mph. c. Una persona gasta 1230 calorías corriendo bicicleta a 12 mph. Consulta la tabla, escribe una ecuación para el número de calorías que se gastan en correr bicicleta por h horas y halla cuántas horas la persona corrió.

10-47

a. Escribe una fórmula para el número de calorías C que usarás en h horas trotando a 7 mph.

Aplicaciones: problemas verbales

621

48. Requerimientos calóricos Una forma más sencilla de estimar tus necesidades calóricas diarias para mantener tu peso es usar estas fórmulas:

c. ¿Quién gastará más calorías corriendo a 7 mph: una persona de 100 libras trotando por 3 horas o una persona de 150 libras trotando a 7 mhp por 2 horas?

Para personas activas: A  20P, donde P es tu peso en libras Halla los requerimientos calóricos para una persona de 140 libras que es a. Sedentaria b. Moderadamente activa c. Activa

49. Peso Una persona consume 2380 calorías por día. Toma como referencia las fórmulas del problema 48 y halla el peso de la persona si es b. Moderadamente activa c. Activa

Los problemas 51 y 52 están basados en “Tu peso en otros mundos.” Fuente: http://www.exploratorium.edu. 51. Peso ¿Quieres bajar de peso instantáneamente y sin hacer dieta? ¡Múdate a Plutón! Tu peso P en Plutón es de sólo 0.067 de tu peso T en la Tierra.

52. Peso Si quieres subir de peso instantáneamente y sin hacer dieta, múdate a Júpiter. Tu peso J en Júpiter será de 253.3 veces tu peso T en la Tierra.

a. Escribe una fórmula para tu peso P en Plutón.

a. Escribe una fórmula para tu peso J en Júpiter.

b. Si tu peso en la Tierra es 150 libras, ¿cuánto pesas en Plutón?

b. Si tu peso en la Tierra es 150 libras, ¿cuánto pesas en Júpiter?

c. Si tú pesas 9.39 libras en Plutón, ¿cuál es tu peso en la Tierra?

c. Si tu pesas 40,528 libras en Júpiter, ¿cuánto pesas en la Tierra?

Para verificar las respuestas a los problemas 51 y 52, o si quieres saber cuánto pesas en otros planetas, puedes ir al sitio de Internet: http://www.exploratorium.edu.

para más lecciones

a. Sedentaria

50. Peso El número recomendado de calorías diarias para mantener el peso para un hombre de 50 años es 2300. El peso recomendado para un hombre promedio de 50 años es 150 libras. ¿Cuál de las tres categorías del problema 48 (S, M, A) puede mantener este hombre de 50 años y mantener su peso?

www.mathzone.com/bello

Para personas moderadamente activas: M  17P, donde P es tu peso en libras

ir a

Para personas sedentarias: S  14P, donde P es tu peso en libras

b. Usa la fórmula para hallar el número de calorías C que usarás trotando por 3 horas a 7 mph. Relájate: ¡no tienes que hacer esto todo de una vez!

6Web IT

47. Gasto calórico por trotar Imagina que tu peso es 150 libras.

10.5

Capítulo 10

10-48

Introducción al álgebra

Los problemas 53 al 56 se basan en el libro de agricultura Haciendo un perfil del consumo de comida en Estados Unidos. Fuente: http://www.usda.gov. 53. Disponibilidad de calorías por persona por día ¿Cuántas calorías C están disponibles por persona por día? De acuerdo con el Departamento de Agricultura de Estados Unidos, la respuesta es 3800, pero 1100 de esas calorías se pierden porque se descomponen, se desperdician o mientras se cocinan, dejando 2700 calorías diarias por norteamericano. El número aproximado de calorías C se da por la siguiente fórmula: C  18t  2170, donde t es el número de años desde 1970. a. ¿Cuántas calorías estaban disponibles por persona por día en 1970 (t  0)? b. ¿Cuántas calorías estaban disponibles por persona por día en 2000 (t  30)? c. Usa la fórmula para predecir cuántas calorías por persona por día estarán disponibles en 2020 (t  50).

6Web IT

ir a

www.mathzone.com/bello

para más lecciones

622

54. Predecir calorías disponibles Usa la fórmula C  18t  2170 del problema 53 para hallar: a. ¿Cuántos años tomarán para alcanzar C = 3000 por persona/ día? Responde al número cardinal más cercano. b. ¿En qué año será esto? 56. Consumo de comida En el problema 55 usamos la fórmula L  0.07t  3.3, donde t es el número de años desde 1970, para predecir el consumo de ternera y cordero. a. Predice (al número cardinal más cercano), cuántos años le tomará a L para ser 0. b. Con base en tu respuesta a la parte a, ¿puedes usar la fórmula para t  47? ¡Inténtalo para t  50!

55. Consumo de comida ¿De qué tipo de comida está experimentando disminución en su consumo? Ternera y cordero, por ejemplo. La fórmula para el número de libras L de ternera y cordero consumidas per cápita se da por la siguiente ecuación L  0.07t  3.3, donde t es el número de años desde 1970 a. ¿Cuál fue el consumo per cápita anual de ternera y cordero en 1970? b. ¿Cuál será el consumo anual per cápita de ternera y cordero en 2010? ¡Observa la baja!

Los problemas 57 y 58 se basan en Signos Vitales 2006 –2007, Instituto Worldwatch. 57. Biodiésel Biodiésel es el nombre de un combustible alternativo limpio y no contaminante, producido de fuentes domésticas renovables. La producción P (en millones de litros) puede aproximarse por P  526.2t  893, donde t es el número de años desde 2000 a. Usa la fórmula para hallar la producción de biodiésel en 2000 (t  0). b. Usa la fórmula para hallar la producción de biodiésel en 2005 (t  5). c. Usa la fórmula para predecir la producción de biodiésel en 2010 (t  10).

58. Población mundial La población de la Tierra es ¿Conoces cuál es la población mundial? Puedes ir al sitio de internet y hallarlo, pero seguro es Fuente: http://opr.princeton.edu. mayor que 6 billones y en crecimiento. He aquí una aproximación a la población mundial P (en billones): P  0.073t  6.08, donde t es el número de años desde 2000. a. Usa la fórmula para prdecir la población mundial en 2010 (t  10).

6,528,777,630

b. Usa la fórmula para predecir cuántos años llevará para que la población mundial alcance los 7 billones. Responde al número cardinal más cercano.

10-49

10.5

Aplicaciones: problemas verbales

623

Los problemas 59 y 60 se basan en un informe de Prensa Asociada. Fuente: The Associated Press; http://www.msnbc.msn.com. 59. Población de Estados Unidos La fórmula para estimar la población de Estados Unidos (en millones) es P  2.7t  300, donde t es el número de años desde 2006

60. Población de Ucrania ¿Existe algún lugar en el mundo donde la población esté disminuyendo? ¡La respuesta es sí! Ucrania (búscalo en un mapa y tal vez descubras por qué). La fórmula para la población en Ucrania (en millones) es

a. Usa la fórmula para predecir la población de Estados Unidos (en millones) en 2010 (t  4).

P  0.46t  46, donde t es el número de años desde 2006

b. ¿En cuántos años (después de 2006) la población de Estados Unidos alcanzará los 500 millones?

a. Usa la fórmula para predecir la población de Ucrania en 2006 (t  0). b. Usa la fórmula para predecir el número de años que tomarán para que la población de Ucrania sea 0.

Responde al número cardinal más cercano. c. ¿En qué año la población de Estados Unidos alcanzará los 500 millones?

c. ¿Es esta una respuesta realista?

666Usa tus conocimientos Nú Número dde oxidación id ió ¿Sabes S b por quéé ell agua es ttan común ú en lla Ti Tierra?? E Es porque ell hid hidrógeno ó y ell oxígeno, í llos elementos que componen el agua, son muy comunes y se combinan muy fácilmente. El número que indica cómo se combina un átomo con otros en un compuesto se llama valencia (en libros de química moderna el término valencia se reemplazó por número de oxidación). Por ejemplo, la fórmula para el agua es H 2O

Indica el elemento hidrógeno

Indica dos átomos de hidrógeno

Indica el elemento oxígeno (un átomo)

La valencia del hidrógeno es H y la del oxígeno es 2. Así, si tenemos dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno, la valencia del compuesto es H2O 2(H)  1(2)  0 Resolviendo para H,

La valencia de un compuesto estable es siempre 0 . H 1

En los problemas 61 al 64, imagina que todos los compuestos son estables. 61. Halla la valencia del cromo (Cr) en el dicromato de sodio, Na2Cr2O7, si las otras valencias son Na  1 y O 2.

62. Encuentra la valencia del bromo (Br) en el bromuro de sodio, NaBrO3, si las otras valencias son Na 1 y O  2.

63. Halla la valencia de fósforo (P) en el fosfato, PO4, si la valencia del oxígeno es O 2.

64. Encuentra la valencia del nitrógeno (N) en el nitrato, NO3, si la valencia del oxígeno es O 2.

666¡Escribe! 65. Cuando se lee un problema verbal, ¿qué es lo primero que intentas determinar? 67. En el ejemplo 8, la información que se necesita para resolver el problema estaba allí, pero debes buscarla. En la vida real, puede estar presente información irrelevante. Encuentra algunos problemas con información irrelevante y señálala.

66. ¿Cómo verificas tu respuesta en un problema verbal?

624

Capítulo 10

10-50

Introducción al álgebra

666Comprobación de conceptos Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s. 68. El procedimiento usado para resolver problemas verbales consta de los pasos

.

traducir

LSTUV

69. En el procedimiento, la L significa

.

resolver

leer

70. En el procedimiento, la S significa

.

recitar

seleccionar

71. En el procedimiento, la T significa

.

verificar

transponer

72. En el procedimiento, la U significa

.

ver

usar

73. En el procedimiento, la V significa

.

666Prueba de dominio 74. Un hamburger con queso de McDonald’s y unas papas pequeñas contienen 600 calorías. Si doblas el número de calorías de las papas, obtienes 90 calorías más que en el hamburger con queso. ¿Cuántas calorías tienen un hamburger con queso y unas papas?

75. Si a 12 se le suma el doble de un número, el resultado es 5 veces el número. Halla el número.

76. Ronaldo compró un certificado de depósito de $10,000 a 6 meses. Al finalizar los 6 meses, recibió $200 de interés simple. ¿Cuál es la tasa de interés que paga el certificado?

77. El costo (en dólares) de rentar un carro es $30 más $0.25 por milla recorrida. Si el costo de la renta por un día sumó $110, ¿cuántas millas se recorrieron?

78. Michael Hebranko bajó de peso 900 libras para llegar a un peso de 200 libras, con la ayuda del programa de Richard Simmons. ¿Cuánto pesaba al comienzo de su dieta? ¡Él recobró la mayoría del peso y debieron abrir una ventana para llevarlo al hospital!

79. Una roca lunar pesa 30 libras en la Luna. ¿Cuál será su peso en la Tierra si los objetos pesan 6 veces más en la Tierra de lo que pesan en la Luna?

6Aprendizaje colaborativo Adaptado de: La historia del álgebra http://teacherexchange.mde.k12.ms.us/teachnett/history-of-algebra.htm Forme tres grupos: GRUPO 1. Recopila información sobre al-Khowarizmi. GRUPO 2. Crea una línea de tiempo para mostrar cuándo se desarrollaron los conceptos de al-Khowarizmi en relación con otros eventos históricos significativos. GRUPO 3. Halla ejemplos de los conceptos algebraicos desarrollados por al-Khowarizmi. Cada grupo hará una búsqueda en internet para hallar los matemáticos e historiadores que se han llamado los padres o fundadores del álgebra y preparará un informa impreso o electrónico para presentar a la clase. Cada grupo incluirá: un navegador, un escritor/registrador, un matemático y un reportero. Navegador—Navega en internet buscando motores de búsqueda. Trabaja con el registrador para investigar y registrar la información necesaria para tu tema. Escritor/registrador—Registra la información sobre tu tema y las direcciones de los sitios de internet donde se encontró la información. Trabaja con el navegador y el registrador para preparar un informe (en formato impreso o electrónico) de los hallazgos de tu grupo. Matemático—Trabaja con el navegador y el registrador para encontrar sitios que contengan ejemplos de problemas matemáticos del tema asignado. Elige dos ejemplos de internet que puedas compartir con la clase; luego crea un problema con el que puedas mostrar el tema a la clase. Reportero—Trabaja con los otros miembros de tu grupo para crear una presentación, usando software o copias impresas tradicionales, que presentarán a la clase. 

10-51

Resumen del capítulo 10

de 6Preguntas investigación

625

1. Halla más cosas acerca de al-Khowarizmi (por ejemplo, su lugar de nacimiento exacto y la fecha de su nacimiento) y escribe algunos párrafos sobre él y su vida. Incluye los títulos de los libros que escribió y los tipos de problemas que aparecían en esos libros. 2. Una deformación latina de al-Khowarizmi se interpretó como “el arte de computar con numerales hindúes –arábigos”. ¿Qué concepto moderno se deriva de la palabra y qué significa en matemáticas el concepto? 3. Otra traducción de la palabra jabr es “el ajuste de huesos rotos”. Escribe un párrafo acerca de la forma en que la palabra llegó a España como algebrista y el contexto en el que se usó el concepto. 4. En su libro, al-Khowarizmi mencionó seis tipos de ecuaciones que pueden escribirse con cuadrados, raíces cuadradas y constantes. ¿Cuáles son los seis tipos de ecuaciones? 5. Los trabajos de al-Khowarizmi se continuaron en el mundo islámico. En la primera década del siglo XVII, se escribió un libro importante sobre el álgebra titulado El maravilloso. ¿Quién fue el autor de ese libro, cuál fue su título original y qué temas abarcaba?

6Resumen del capítulo 10 Sección

Asunto

10.1

Variables o desconocidos Letras que se usan en lugar de números

En x  4  7, x es la variable, o lo desconocido.

10.1A

Expresión

Una colección de números y letras conectados por signos de operaciones

xy 2  2 x  3 es una expresión.

10.1B

Propiedad distributiva

a(b  c)  ab  ac

3(x  5)  3x  15

10.1C

Factorizar

ax  bx  (a  b)x

3x  6y  3(x  2y)

10.1E

Remover paréntesis

2(a  b)  2a  b

(2x  5)  2x  5

10.2A

Exponentes enteros

1 xn  } xn , n es un entero, x p 0.

1 1 32  }2 y x5  }5 x 3

10.2B

Regla del producto de los xm  xn 5 xmn, m y n son enteros, x p 0. exponentes

x5  x3  x53  x8

10.2C

xm mn Regla del cociente de los } xn  x , m y n son enteros, x p 0. exponentes

x7 }3 x73  x4 x

10.2D

Regla de los exponentes elevados a una potencia Regla del producto de los exponentes elevados a una potencia

Significado

(xm)n  xmn, m y n son enteros, x p 0. (xmyn)k 5 xmkynk m, n, k son enteros, x, y p 0.

Ejemplo

1 (x2)3  x23  x6  }6 x x15 (x3y4)5  x15y20  } y20 (continúa)

626

Capítulo 10

10-52

Introducción al álgebra

Sección

Asunto

Significado

Ejemplo

10.2E

Interés compuesto

S  C(1  t)n, donde S es el total luego de n años de un capital C invertido a una tasa t compuesta anualmente.

Si C  $1000 invertidos por n  3 años a una tasa de t  6% 5 0.06, el total es S  1000(1  0.06)3.

10.3A

Notación científica

Un número está expresado en notación científica cuando está escrito como M  10n, M número entre 1 y 10, n un entero.

6.27  104 está expresado en notación científica.

10.4

Ecuación lineal

Una ecuación en la que la variable aparece sólo al primer grado.

x  7  2x  9 es una ecuación lineal.

10.4B

Procedimiento para resolver ecuaciones lineales

1. Simplifica la ecuación, si es necesario. 2. Suma o resta el mismo número a ambos lados de la ecuación para que un lado contenga sólo variables. 3. Suma o resta los mismos términos a ambos lados de la ecuación para que un lado contenga sólo números. 4. Si el coeficiente de la variable (el número multiplicado por la variable) no es 1, divide ambos lados de la ecuación por ese número. 5. El número resultante es la solución de la ecuación. Verifica en la ecuación original para asegurarte que la respuesta es correcta.

10.5A

Procedimiento para resolver problemas verbales

Lee el problema. Selecciona lo desconocido. Traduce el problema. Usa el álgebra para resolver la ecuación. Verifica la respuesta.

6Ejercicios de repaso del capítulo 10 i ayuda d con estos ejercicios, j i i mira i en la l sección ió indicada i di d en corchetes). h ) (Si necesitas 1. 510.1A6 Haz una lista de los

términos en la expresión.

2. 510.1B6 Multiplica. a. 2(x  2y)

3. 510.1B6 Multiplica. a. 4(x  2y  z)

a. 6x3  3x2  7x  7 b. 3(x  2y)

b. 5(x  2y  z)

c. 4(x  2y)

c. 6(x  2y  z)

d. 5(x  2y)

d. 7(x  2y  z)

e. 6(x  2y)

e. 8(x  2y  z)

b. 5x3  4x2  6x  6 c. 4x3  5x2  5x  5 d. 3x3  6x2  4x  4 e. 2x3  7x2  3x  3

10-53

Ejercicios de repaso del capítulo 10

5. 510.1C6 Factoriza. a. 40x  50y  60z

4. 510.1C6 Factoriza. a. 3x  12y

7.

b. 3x  15y

b. 30x  40y  50z

c. 3x  18y

c. 20x  30y  40z

d. 3x  21y

d. 10x  20y  30z

e. 3x  24y

e. 10x  10y  20z

627

6. 510.1D6 Combina términos

semejantes (simplifica). a. 3x  5y  x  4y b. 4x  5y  x  3y c. 5x  5y  x  2y d. 6x  5y  2x  4y

510.1D6 Combina términos

8. 510.1D6 Combina términos

a. 0.3x  0.31y  0.5x  0.23y

9 3 2 1x} } } a. } 13 y  11x  13 y 11

semejantes (simplifica).

b. 0.3x  0.32y  0.6x  0.23y c. 0.3x  0.33y  0.7x  0.23y

semejantes (simplifica).

8 3 2 2x} } } b. } 13 y  11x  13 y 11

e. 7x  5y  3x  4y

9. 510.1E6 Simplifica. a. (4a  5b)  (a  2b) b. (5a  5b)  (a  2b) c. (6a  5b)  (a  2b) d. (7a  5b)  (a  2b)

d. 0.3x  0.34y  0.8x  0.23y

7 3 2 3x} } } c. } 13 y  11x  13 y 11

e. (8a  5b)  (a  3b)

e. 0.3x  0.35y  0.9x  0.23y 6 3 2 4x} } } d. } 13 y  11x  13y 11 3 5 2 5 x} } } e. } 13 y  11 x  13 y 11

10.

510.2A6 Escribe con exponentes positivos y simplifica. a. 22

b. 23

4

5

c. 2

d. 2

510.2B6 Multiplica y simplifica. a. 2 2 3

5

c. 23 27

b. 2 2 3

6

d. 23 28

510.2C6 Divide y simplifica. x2 a. }5

b.

x2 c. }7

x2 d. }8

x x

x2 e. }9 x

1 b. } 24 1 d. } 26

14. 510.2B6 Multiplica y simplifica. a. y3 y5 b. y3 y6 c. y3 y7

d. y3 y8

e. y3 y9

e. 23 29

16.

exponentes negativos. 1 a. } 23 1 c. } 25 1 e. } 27

e. 26

13.

11. 510.2A6 Escribe usando

x2 }6 x

x

17. 510.2C6 Divide y simplifica. y2 y2 a. } b. } 4 y y5 y2 y2 c. } d. } 6 y y7 y2 e. } y8

12. 510.2B6 Multiplica y simplifica. a. x3 x4 b. x3  x5 c. x3  x6

d. x3  x7

e. x3  x8

15. 510.2C6 Divide y simplifica. 24 25 a. } b. } 22 22 27 26 d. } c. } 22 22 28 e. } 22 18. 510.2D6 Simplifica. a. (22)1 b. (22)2 c. (22)3 e. (22)5

d. (22)4

628

Capítulo 10

19. 510.2D6 Simplifica. a. (y4)2 b. (y4)3 c. (y4)4

10-54

Introducción al álgebra

20. 510.2D6 Simplifica. a. (z3)2 b. (z3)3 c. (z3)4

d. (y4)5

23.

c. (x2y3)4 d. (x2y3)5 2 3 6

e. (x y )

510.3A6 Escribe en notación estándar.

510.3A6 Escribe en notación

510.2D6 Simplifica. a. (x3y2)2

b. (x3y2)3

c. (x3y2)4

d. (x3y2)5

e. (x3y2)6

24.

científica.

b. (x2y3)3

25.

d. (z3)5

e. (z3)6

e. (y4)6 22. 510.2D6 Simplifica. a. (x2y3)2

21.

510.3A6 Escribe en notación científica.

a. 44,000,000

a. 0.0014

b. 450,000,000

b. 0.00015

c. 4,600,000

c. 0.000016

d. 47,000

d. 0.0000017

e. 48,000,000

e. 0.00000018

26. 510.3A6Escribe en notación

27.

estándar.

a. 7.83  103

a. 8.4  102

b. 6.83  104

b. 7.4  103

c. 5.83  105

c. 6.4 104

d. 4.83  106

d. 5.4  105

e. 3.83  107

e. 4.4  106

510.3B6 Realiza las operaciones indicadas y escribe la respuesta en notación científica. a. (2  102)  (1.1  103) b. (3  102)  (3.1  104) c. (4  102)  (3.1  105) d. (5  102)  (3.1  106) e. (6  102)  (3.1  106)

28.

510.3B6 Realiza las operaciones

29.

indicadas y escribe la respuesta en notación científica.

31.

510.3B6 Realiza las operaciones

30.

indicadas y escribe la respuesta en notación científica.

510.4A6 Resuelve. 1 } 1 a. y  } 32

a. (1.1  103)  (2 105)

a. (1.15  103)  (2.3  104)

1 1 } b. y  } 42

b. (1.1  104)  (3  105)

b. (1.38  102)  (2.3  104)

1 1 } c. y  } 52

c. (1.1  103)  (4  106)

c. (1.61  103)  (2.3  105)

1 1 } d. y  } 62

d. (1.1  103)  (5 107)

d. (1.84  104)  (2.3  104)

1 1 } e. y  } 72

e. (1.1  104)  (6  108)

e. (2.07  103)  (2.3  104)

510.4A 6 Resuelve. y a. } 2 3

y b. } 3 3 y c. } 4 3 y d. } 5 3 y e. } 6 3

32.

510.4A6 Resuelve.

33.

510.4B6 Resuelve.

a. 1.2z 2.4

a. 3x  5  10

b. 1.2z  3.6

b. 3x  5 13

c. 1.2z  4.8 d. 1.2z 7.2 e. 1.2z  8.4

c. 3x  5 15 d. 3x  5 18 e. 3x  5 21

10-55

Ejercicios de repaso del capítulo 10

34. 510.4B6 Resuelve. a. 2x  6  10

37.

39.

35.

510.4B6 Resuelve.

36.

510.4B6 Resuelve.

a. 4x  5.4 2x 9.6

a. 36  3(x  1)

b. 2x  6  12

b. 5x  5.4 3x  9.6

b. 27  3(x  1)

c. 2x  6  14

c. 6x  5.4 4x  9.6

c. 24  3(x  1)

d. 2x  6  16

d. 7x  5.4  5x  9.6

d. 21  3(x  1)

e. 2x  6  18

e. 8x  5.4 6x  9.6

e. 18  3(x  1)

510.4B6 Resuelve. 2 x  3 a. } 7

38. 510.4B6 Resuelve. 3 3x 1 2x 1x  } } } a. } 82 4 4

2 x  5 b. } 7

3 5x 1 3x 1x  } } } b. } 82 4 4

2 x  7 c. } 7

3 7x 1 4x 1x  } } } c. } 82 4 4

2 x  9 d. } 7

3 9x 1 5x 1x  } } } d. } 82 4 4

2 x  11 e. } 7

3 11x 1 6x 1x  } } } e. } 8 2 4 4

510.5A6 El costo diario C de alquiler de un carro es $30 más $0.20 por milla recorrida. Si m es el número de millas recorridas, entonces C  30  0.20m. Halla el número m de millas recorridas si el alquiler diario costó: a. $70.40 c. $70.80 e. $71.40



b. $70.60 d. $71.20

40.

629

510.5A6 Un inversionista compró un certificado de depósito de $1000 por 6 meses. Qué tasa de interés pagó el certificado de depósito si al finalizar los 6 meses el inversionista recibió intereses por: a. $30

b. $40

c. $50

d. $60

e. $70

630

Capítulo 10

10-56

Introducción al álgebra

6Examen del capítulo 1 0 (Respuestas en página 631) Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos prácticos que proveen las soluciones paso por paso de muchos de los problemas de abajo.

1. Haz una lista de los términos en la expresión 6x3 2 3x2  8x 2 9.

2. Multiplica. a. 3(x  2y) b. 4(x  2y  z)

3. Factoriza. a. 4x 2 8y b. 30x 2 40y 2 50z

4. Combina términos semejantes (simplifica). a. 4x 1 6y 2 x 1 4y 3 3 4 b. 2} x 1 }5 y 1 }7 x 2 }5 y 7

5. Simplifica: (4a 1 5b) 2 (a 1 2b).

6. Escribe como una fracción con exponentes positivos y simplifica: 324.

7. Multiplica y simplifica. a. x2  x6 b. 43  426

8. Divide y simplifica. 24 a. } 22 2

x3 b. }7 x y23 c. } 26

c. y3  y26

y

10. Simplifica. a. (x4y22)3 b. (x23y4)23

9. Simplifica. a. S22 D4 b. (y4)24 c. (z23)23 11. Escribe en notación científica. a. 88,000,000 b. 0.0000013

12. Escribe en notación estándar. a. 6.57 3 104 b. 9.4 3 1023

13. Realiza las operaciones indicadas y escribe la respuesta en notación científica. a. (3 3 102) 3 (7.1 3 103) b. (3.1 3 103) 3 (3 3 1026) c. (1.84 3 1023) 4 (2.3 3 1024)

14. Resuelve. 3 3 a. y 1 } 5 }

15. Resuelve. a. 24x 1 9 5 14 b. 2x 2 6 5 12

16. Resuelve. a. 3x 1 4.4 5 x 1 8.6 b. 4(x 1 1) 5 2x 1 12

17. Resuelve.

1 1 1 1 18. Resuelve. }4 x 2 }8 1 }2 x 5 }2 1 x

a. 12 5 3(x 1 1)

3 b. }5 x 5 25

19. El costo diario C de rentar un carro es $30 más $0.20 por milla recorrida. Si m es el número de millas recorridas, entonces C 5 30 1 0.20m. Si la persona pagó $70.60 por la renta diaria, ¿cuántas millas recorrió la persona?

8

4

2y b. } 5 6 2

c. 21.8z 5 5.4

20. Toni compró un certificado de depósito de $1000 por 6 meses. Al finalizar los 6 meses recibió $50 de interés simple. ¿Qué tasa de interés pagó certificado de depósito?

10-57

Respuestas del examen de práctica del capítulo 10

631

6Respuestas del examen del capítulo 1 0 Respuesta

Si fallaste

Repasa

Pregunta

Sección

Ejemplos

Página

1. 6x3; 23x2; 8x; 29

1

10.1

1

576

2. a. 3x 1 6y

b. 24x 1 8y 2 4z

2

10.1

2

577

3. a. 4(x 2 2y)

b. 10(3x 2 4y 2 5z) 5 1 b. }7 x 1 }5 y

3

10.1

3

577–578

4

10.1

4

578

5

10.1

5, 6

579–580

6

10.2

1

588

7

10.2

3

589

c. y3

8

10.2

4

590

c. z9

9

10.2

5

591

4. a. 3x 1 10y 5. 3a 1 3b 1 1 } 6. } 81 34

1 b. 43  } 64 1 b. }4 8. a. 26  64

1 c. }3

7. a. x8

y

x

1 b. }16

9. a. 28  256

y

x12 10. a. }6

x9 b. }12

10

10.2

6

592

11. a. 8.8 3 107

b. 1.3 3 1026

11

10.3

1

597

12. a. 65,700

b. 0.0094

12

10.3

2

597

13. a. 2.13 3 106

b. 9.3 3 1023

13

10.3

3, 4

598

14

10.4

1, 2

603

15

10.4

3, 4

605–606

16

10.4

5, 6, 7

606–607

17

10.4

5, 6, 7

606–607

y

y

c. 8 3 10 ó 8 0

3 14. a. y 5 }8

b. y 5 212

5 15. a. x 5 2 }4 b. x 5 9 16. a. x 5 2.1 b. x 5 4 17. a. x 5 3

25 b. x 5 2 } 3

c. z 5 23

5 18. x 5 2 }2 19. 203

18

10.4

8

608

19

10.5

1–4

612–614

20. 10%

20

10.5

5

614

632

Capítulo 10

10-58

Introducción al álgebra

6Repaso de los capítulos 1–10 1. Simplifica: 49 4 7  7 1 8 2 5

2. Divide: 80 4 0.13 (redondea a dos posiciones decimales).

3. Escribe 23% como un decimal.

4. 90% de 40 ¿es qué número?

5. ¿Qué porciento de 8 es 4?

6. 6 es 30% ¿de qué número?

7. Halla el interés simple ganado en una inversión de $300 al 7.5% por 5 años.

8. La siguiente tabla muestra la distribución de familias por ingresos en Portland, Oregón.

9. El número de horas por materia en el currículo básico de la universidad está representado en la siguiente gráfica circular. ¿Qué porciento de estas horas es en arte y matemáticas combinadas? Educación física 20%

Historia 22%

Inglés 18%

Arte 25%

Matemáticas 15% 10. ¿Cuál es la moda de los siguientes números? 10, 5, 5, 12, 5, 7, 23, 24, 5, 5, 9

Nivel de ingresos

Porciento de familias

$0–9999 10,000–14,999 15,000–19,999 20,000–24,999 25,000–34,999 35,000–49,999 50,000–79,999 80,000–119,000 120,000 y mayor

3 8 26 34 11 9 5 3 1

¿Qué porciento de las familias en Portland tienen ingresos entre $120,000 y mayores? 11. ¿Cuál es la media de los siguientes números? 2, 16, 1, 28, 1, 30, 1, 25

12. ¿Cuál es la mediana de los siguientes números? 9, 5, 6, 10, 29, 7, 14, 14, 14

13. Convierte 4 yardas a pulgadas.

14. Convierte 17 pulgadas a pies.

15. Convierte 17 pies a yardas.

16. Convierte 7 pies en pulgadas.

17. Convierte 240 metros a decímetros.

18. Encuentra el perímetro de un rectángulo de 4.8 centímetros de largo por 2.8 centímetros de ancho.

19. Halla la circunferencia de un círculo cuyo radio es de 9 pulgadas. (Usa 3.14 para ).)

20. Halla el área de un pedazo de tela triangular con una base de 10 centímetros y una altura de 16.

21. Encuentra el área de un círculo con un radio de 3 centímetros (usa 3.14 para ).)

22. Encuentra el volumen de una caja de 7 centímetros de ancho, 5 de largo y 3 de alto.

23. Halla el volumen de una esfera con un radio de 12 pulgadas. Usa 3.14 para ) y da tu respuesta a dos posiciones decimales.

24. Clasifica el ángulo.

 }

25. Si en el triángulo ABC, m A 5 35° y m B 5 25°, ¿Cuál es mC?

26. Halla Ï8100.

27. Encuentra la hipotenusa h del triángulo dado.

28. Halla el aditivo inverso de 23}5.

9

h

12

4

10-59

Repaso de los capítulos 1 - 10

29. Halla: | 23.5 |

S D

30. Suma: 24.7 1 (26.8)

1 2 1 2} 31. Suma: } 5 8

32. Resta: 23.8 2 (24.1)

2 2 33. Resta: 2} 2} 5 7

7 9 } 34. Multiplica: } 87

10 3 35. Divide: 2} 4} 7 7

36. Evalúa: (27)2

37. Multiplica: 5(4x 2 8y)

38. Factoriza: 60x 2 30y 2 40z

39. Simplifica: (2x 1 y) 2 (7x 2 2y)

40. Escribe como una fracción con exponentes positivos y simplifica 922.

41. Multiplica y simplifica: x2  x5

42. Simplifica: (3x3y22)2

43. Escribe en notación científica: 0.000000024

44. Escribe en notación estándar: 2.82 107

45. Divide y expresa la respuesta en notación científica: (2.695 3 1023) 4 (7.7 3 104) 47. Resuelve para x: 9x 2 10 5 8 49. Resuelve para x: 16 5 4(x 2 9)

5 46. Resuelve para x: } x 5 235 7 48. Resuelve para x: 2x 2 4 5 x 1 3

633

6

Apéndice 1

Apuntes sobre la teoría de conjuntos Colaboración: Dra. Guisele Marcel Cordero En nuestra primera entrevista de trabajo queremos vestir con un set (conjunto) de chaqueta y pantalones de color oscuro. Luego, con el primer sueldo, comprar un set (conjunto) de cubiertos de plata para mamá, una cajita roja con un set (conjunto) de herramientas para papá y para el carro un set (conjunto) de artículos para limpiarlo y brillarlo. Por experiencia, sabemos que un conjunto es una colección de objetos. En las matemáticas se trabaja con colecciones de objetos, pero los objetos que generalmente se toman en consideración son los conjuntos de números. Por ello, uno de los objetivos fundamentales de este curso de matemáticas es conocer mejor el “Universo” de los Números Reales. Jorge Cantor, matemático alemán, contribuyó al desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX. Sin embargo, no fue sino hasta la mitad del siglo XX que se le dio la importancia que dicha teoría tiene en los conceptos fundamentales de las matemáticas. Los conjuntos son utilizados en múltiples ramas de las matemáticas, especialmente en sus aplicaciones.

Descripción del concepto de conjunto bien definido En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos “bien definidos”. Esto significa que existe una regla que nos permite decidir cuándo un elemento es o no es miembro del conjunto. Ejemplo 1 P es el conjunto de jugadores con uniformes azules. Juan es un jugador que tiene un uniforme verde. Entonces, Juan no es miembro del conjunto P. Los conjuntos, generalmente, son identificados por letras mayúsculas y los elementos en el conjunto con letras minúsculas que se escriben entre llaves “{ }”, o si es posible, enumerando sus elementos dentro de las llaves, separándolos por una coma. Las llaves sustituyen la palabra “conjunto” cuando se utiliza la escritura de símbolos, como en los datos del ejemplo 2. Los objetos que forman el conjunto se llaman elementos o miembros del conjunto. Es importante saber que: – Un conjunto es finito si el número de elementos es cero o es un número natural. Ejemplo 2 Si A  { 5, 7, 9}, N  {1, 2, 3, …} y B  { } El número n(A) de elementos de A es n(A)  3, porque A consiste de 3 elementos: el 5, el 7 y el 9. – Esto dice que el cardinal del conjunto A es 3. El número de elementos de B  { } es n(B)  0. Como B no tiene elementos, B es llamado conjunto vacío o nulo. El símbolo para identificar a B es, F  { }, y n(F)  0, pero 0 m F porque el vacío no tiene elementos En el ejemplo 2, el cardinal del conjunto B  { }  F es 0, esto es, n(B)  n(F)  0 El conjunto N tiene tres puntos al final, esto significa que es un conjunto infinito, ya que no llegamos al último elemento. – Un conjunto infinito es el que tiene un número no determinado de elementos. Nunca obtenemos el último elemento. 635

6

Apéndice 1

¿Cuál es el cardinal del conjunto N? ¡Te encantará saberlo! ¡Investiga! Ejemplo 3 conjunto tal que conjunto mm m Si el conjunto M = {xU x es un número cardinal, 0  x  10} Léase: M es el conjunto de toda x, tal que x representa cada uno de los números cardinales mayor o igual que cero y menor o igual que diez. Esta es otra forma de describir los conjuntos. Para este ejemplo, también podemos situar los elementos del conjunto M en una línea recta desde el cero hasta el 10, como en el siguiente dibujo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Otra forma de escribir el conjunto M es indicando la lista de sus elementos entre llaves, separados por una coma. M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} o también M = {0, 1, 2, ... ,10} Los tres puntos suspensivos indican el espacio para los elementos que no están escritos, pero que por la descripción del conjunto M sabemos que sí le pertenecen o sea que 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 hasta el 10, todos son elementos del conjunto M. El conjunto M es otro ejemplo de un conjunto finito, con once elementos. ¡Observa!, todos los elementos de este conjunto son números cardinales. Si te detienes en las páginas 551-552 y estudias con mucho cuidado el diagrama de los números reales, así como el ejemplo 10, y luego en la página 554 los problemas del 61 al 72 , estarás listo para entender mejor los conjuntos. En el conjunto infinito de los números reales encontramos diferentes tipos de números reales; ellos forman los subconjuntos de los números reales, algunos de los cuales ya conocemos, cómo son: Los números naturales: N  {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. El conjunto de los números enteros positivos, sin incluir el cero. Los números cardinales: W  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. El conjunto de los números enteros positivos pero con el cero. Los números enteros: J  {... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. El conjunto que incluye los números enteros positivos, los enteros negativos y el cero. – Al conjunto de los números racionales, le pertenecen los números que pueden expresarse a en la forma }b donde a, b, representan números enteros y b p 0. El conjunto de los números racionales es también un conjunto infinito, pero no es tan fácil de enumerar sus elementos como en el conjunto de los números enteros. – La definición del conjunto de los números racionales es: a Q  {}b U a, b son enteros, con b p 0} Ejemplo 4 Algunos ejemplos de números racionales: 20 47 =1 }, }, }, 5 3 3

3 }, 1

=5, } 4

0 17 }, } 11 3

Sugerencia: Usa la calculadora científica para escribir en notación decimal las fracciones del ejemplo 4 ( no olvides que debes dividir el numerador por el denominador en cada fracción y analizar el patrón de cada respuesta). Cuando hayas terminado la asignación de convertirlos en decimales, usando la calculadora, observa los resultados. 636

6

Serán:

20 }  4; 5 3 } 1

 3;

47 }  15.66666… ; 3

=1 }  =0.3333… 3

=5 0 }  =1.25; } 4 11

17 }  5.6666… 3

 0;

Apéndice 1

a

¡Recuerda!, números racionales son los que se pueden expresar en la forma }b (o sea, en forma de fracción), donde a, b, son números enteros y b p 0. No olvides que en los números reales el denominador no puede ser cero porque la división por cero no está definida para los números reales. Entonces al escribir los números racionales en la forma decimal, obtenemos un número entero, un decimal exacto (4, 3, =1.25, 0) o un decimal repetitivo (15.66666…, =0.3333…, 5.6666…) como puedes observar en los ejemplos dados. – Ahora le toca el turno al conjunto de los números irracionales; son los que no son a racionales por lo tanto no se pueden expresar en la forma }b , y su expresión decimal es infinita, no es exacta ni repetitiva. Ejemplo 5 }

}

}

}

}

Algunos ejemplos de números irracionales, Î3 , Î17 , Î2 , Ï7 , Ï27 , P, e. Asignación especial: Halla con la calculadora científica las raíces cuadradas, y los números para P, e, del ejemplo 5. ¡Recuerda!, números irracionales son los que no son racionales. Cuando hayas terminado } } } } } esta asignación de escribir en forma decimal: Ï3 , Ï17 , Ï2 , Ï7 , Ï27 , P, e, podrás observar que por ser irracionales, la parte decimal de cada respuesta siempre tiene infinitas cifras decimales y no son exactas ni repetitivas. ¡Verifica tus hallazgos! Resumiendo: Podríamos decir que el conjunto de los números reales () está dividido en: los racionales (a los que generalmente se les asigna la letra Q) y los irracionales (a los que generalmente se les asigna la letra I). Dentro de los racionales están: los enteros negativos (Z) y los enteros positivos (E) y el cero. Los enteros positivos sin el cero son naturales (N) y los enteros positivos con el cero son los cardinales (W). De la unión  del conjunto de los enteros positivos (E), con el conjunto del cero y con el conjunto de los enteros negativos (Z) obtenemos el conjunto de los enteros J. Escrito en símbolos es, E  {0}  Z  J  {..., =4, =3, =2, =1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Las letras usadas pueden variar según el autor. Unión se escribe: . Es importante observar también que la unión de J con el conjunto de las fracciones F es Q, esto es, J  F = Q. Recuerda: F es el conjunto de las fracciones, o sea, de los números que se pueden escribir a en la forma }b, donde a, b son números enteros y b p 0. Ahora podemos ver que:   Q  I. En palabras “El conjunto de los números reales es igual al conjunto de los números racionales (Q) unión con el conjunto de los números irracionales (I)”. Estos son solamente algunos de los conjuntos de los números reales (llamados subconjuntos). A medida que avances en tus estudios matemáticos, conocerás más subconjuntos, todos interesantes y apoyos necesarios para el progreso de la humanidad. Ahora, estudiemos brevemente, como parte de la introducción a la teoría de conjuntos, otros asuntos de relevancia.

Nomenclatura* usual de los conjuntos de los números: J Enteros N Naturales I Irracionales Q Racionales W Cardinales  Reales C Complejos F o { } Conjunto vacío *Pueden variar de un autor a otro.

637

6

Apéndice 1

– Conjuntos iguales, dos conjuntos son iguales si tienen los elementos exactamente iguales. Ejemplo 6 Sea A  { m, s, f, r } y B  { f, r, m, s, } entonces, A  B SOLUCIÓN Los elementos de A son iguales a los elementos de B, estos es: m, s, f, r están en ambos conjuntos, aunque escritos en diferente orden. Ejemplo 7 Si A= {x U x es un número entero, =2 x  7} DATO En palabras, A es el conjunto de los números enteros que son mayores que =2 y menores o iguales a 7, esto es: A  {=1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) 4 ;A. En palabras, el cuatro es elemento o pertenece al conjunto A. SOLUCIÓN Sí, por la descripción del conjunto A (dato) b) Los elementos de A son: 1, 0 , 1, 2, 3, …, 7. SOLUCIÓN Sí, porque los puntos suspensivos entre 3 y 7 indican los enteros 4, 5 y 6, los cuales completan el conjunto A  {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7} c) 1 ; A , 5 ; A, 7 ; A SOLUCIÓN Sí, los tres pertenecen al conjunto A (por dato) d) 2 m A, 8 m A. En palabras: 2 y 8 no pertenecen al conjunto A. SOLUCIÓN 2 m A y 8 m A no pertenecen al conjunto A porque no están incluidos en la descripción del conjunto A. Verifica si es correcto. e) 0 m N SOLUCIÓN Cero (0) no es elemento de los números naturales (N) por definición de números naturales. f) 0 ; A en este ejemplo, 0 ; W, 0 ; Q, 0 ; R SOLUCIÓN 0 ; A cierto, por dato de este ejemplo. 0 ; W cierto, porque estamos usando W para nombrar los números cardinales, que incluyen el cero. 0 ; Q cierto, porque el cero (0 ) es un número entero y los enteros son elementos de Q por definición. 0 ; , cierto, porque el cero (0) es elemento de Q y Q es un subconjunto de los reales (). g) P m Q, 0 m conjunto de los irracionales. SOLUCIÓN P m Q cierto, porque P es un número irracional. 0 m conjunto de los irracionales porque cero (0) es un número racional. 638

6

Apéndice 1

– Unión de conjuntos: Conjunto A unión conjunto B. En símbolos A  B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A, o al conjunto B, o a ambos. En símbolos, A  B  {x U x ;A o x ;B} Ejemplo 8 Sea A  {m, s, f, r} y B  {f, s, g, a} entonces, A  B {m, s, f, r, g, a} – Intersección de conjuntos: Conjunto A intersección conjunto B. En símbolos A  B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A, y al conjunto B, o sea a ambos. En símbolos, A  B = {x ;U x ;A y x ;B} Ejemplo 9 Sea A  {m, s, f, r} y B  {f, s, g, a} entonces, A  B {s, f} Ejemplo 10 Verifica si es correcto: a) Q  I  F Si I representa el conjunto de los irracionales b) Q  I   c) N  W  N d) N  W  W – Subconjuntos: El conjunto A es subconjunto del conjunto B, en símbolos A  B, si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B. Ejemplo 11 a) Si A  {1, 3, 4} y B  {1, 3, 4, 7, 8, 9} entonces A  B pero B q A esto es, conjunto B no es subconjunto de A. b) Q   porque todos los números racionales son números reales.

639

6

Apéndice 2

Apuntes sobre conjuntos de números reales y complejos Colaboración: Dra. Guisele Marcel Cordero Ya hemos hablado del conjunto N de los números naturales, o números para contar, que podemos escribir como N  {1, 2, 3, 4, …} (números para contar). – Si incluimos al cero (0) en el conjunto de los números naturales, tenemos el conjunto W de los números enteros positivos o conjunto de los números cardinales. W  {0, 1, 2, 3, 4, …} (números cardinales). ¡Observa!, el conjunto de los números naturales N es un subconjunto de los números cardinales, en símbolos, N  W – El conjunto de los enteros positivos, el cero y el conjunto de los enteros negativos, unidos todos, forman el conjunto de los enteros, J = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} ¡Observa! a) El conjunto de los enteros negativos  J b) {0}  J c) El conjunto de los enteros positivos  J – El conjunto de los números racionales Q lo podemos definir como el conjunto de todos los números que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero o empleando la definición: a Q  {}b : a, b son enteros, con b p 0} ¡Observa!, por esta definición, los números racionales incluyen todos los números fraccionarios, como cociente de enteros con el denominador diferente de cero y también incluyen a todos los números enteros. Luego podemos decir que: a) El conjunto de los enteros J es un subconjunto de Q. En símbolos, J  Q b) {0}  Q c) El conjunto de los números fraccionarios F es un subconjunto de Q. En símbolos, FQ Ya hemos estudiado que todo número racional puede ser expresado como un decimal repetitivo y también podemos probar que todo decimal repetitivo representa un número racional, pero los decimales no repetitivos no representan números racionales, sino irracionales. ¡Recuerda!, los números irracionales son los que no son racionales; es decir, cuando los números irracionales se escriben en forma decimal son infinitos, no repetitivos. (En símbolos se usará I para referirse al conjunto de los números irracionales). ¡Importante!, de la unión del conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I), obtenemos el conjunto de los números REALES (). En símbolos   Q v I Pero Q  I  F (los conjuntos Q e I son conjuntos disjuntos). Luego podemos decir que: a) El conjunto de los números racionales Q es un subconjunto de . En símbolos Q   641

b) {0}   c) El conjunto de los números irracionales I es un subconjunto de . En símbolos I   Hasta ahora, el conjunto de los REALES era el CONJUNTO UNIVERSAL o UNIVERSO de los números usuales en los ejercicios y aplicaciones diarias de nuestras matemáticas, pero llegó el tiempo de pensar que aún falta mucho por aprender de los reales. } } } ¿Qué pasará cuando busquemos Ï1 ; Ï4 ; Ï9 o cuando queramos resolver la ecuación, x²  16  0 o sea encontrar el número que elevado al cuadrado y sumado con 16 dé igual a cero? En los números reales no hay solución para éstos y múltiples problemas más. Por lo } Ï tanto, tomando por ejemplo 1 no hay número real cuyo cuadrado sea 1. } Ï1  1 porque 1²  1  1  1 (repasa los ejemplos de la pág. 500) Fíjate} } Si Ï1 fuera 1, entonces (1)²  1  1 tuviera que ser 1, ya que Ïa  b 2 quiere decir} que b  a } Para Ï1 se introdujo el símbolo i  Ï1 con lo cual i²  1 la i es llamada la unidad imaginaria del conjunto de números llamados números complejos, los cuales contienen los números reales como subconjunto. Al conjunto de los números complejos generalmente se le asigna la letra C. Los elementos de los números complejos tienen la forma: a  b i, donde a, b son números reales, i es la unidad imaginaria. Algunos ejemplos de números complejos son z1  } Ï4  2i; z2   4i, z3  8  7i Los números complejos realmente son fascinantes, espero que te gusten cuando los estudies. ¡Observa! z3  8  7i para designar los números complejos como en este ejemplo, generalmente se usa la z con subíndice, el número consta de una parte real, en este ejemplo el 8, pero podría ser cualquier número real incluso el cero, seguido de una parte imaginaria 7i con un coeficiente real que también podría ser el cero. Si el número tiene la forma, por ejemplo y  5  0i  5, ya sabemos que ese es un número natural (real). Si el número tiene la forma, por ejemplo y  0  23 i  23 i, ya sabemos que ese es un número imaginario (complejo). Luego podemos decir que: a) Los números reales  son un subconjunto de los números complejos C:   C b) 0 es un número complejo: {0} C c) Los números irracionales I son un subconjunto de los números complejos C: I  C d) Los números racionales Q son un subconjunto de los números complejos C: Q  C

642

6

Respuestas seleccionadas

Los corchetes que preceden las respuestas para los ejercicios de revisión del capítulo indican el capítulo, sección y el objetivo que debes revisar para ahondar en el estudio. Por ejemplo [3.4 C] que aparecen antes de las respuestas significa que esos ejercicios corresponden al capítulo 3, sección 4, objetivo C.

Capítulo 1 Ejercicios 1.1 1. 2 3. 800 5. 40 7. Decenas 9. Unidades 11. 304 13. 100  8 15. 2000  500 17. 7000  40 19. 20,000  3000  10  8 21. 600,000  4000 23. 90,000  1000  300  80  7 25. 60,000  8000  20 27. 80,000  80  2 29. 70,000  100  90  8 31. 78 33. 308 35. 822 37. 701 39. 3473 41. 5250 43. 2030 45. 8090 47. 7001 49. 6600 51. Cincuenta y siete 53. Tres mil cuatrocientos ocho 55. Ciento ochenta y un mil trescientos sesenta y dos 57. Cuarenta y un millones trescientos mil 59. Un billón, doscientos treinta y un millones trescientos cuarenta y un mil 61. 809 63. 4897 65. 2003 67. 2,023,045 69. 345,033,894 71. Ciento setenta y tres mil, ochocientos ochenta 73. Trece millones, quinientos treinta y siete mil 75. 14,979,000 77. Catorce mil ochocientos setenta y dos dólares; sesenta y tres mil seiscientos veintisiete dólares; treinta y dos mil cuarenta y cuatro dólares; ciento treinta y siete mil noventa y un dólares 79. Dieciséis mil doscientos cuarenta y un dólares; sesenta y nueve mil cuatrocientos ochenta y dos dólares; treinta y cuatro mil novecientos noventa y tres dólares; ciento cuarenta y nueve mil setecientos siete dólares 81. Diecisiete mil setecientos treinta y seis dólares; setenta y cinco mil ochocientos setenta y seis dólares; treinta y ocho mil doscientos trece dólares; ciento sesenta y tres mil cuatrocientos ochenta y cuatro dólares 83. Ochocientos veintitrés mil quinientos 85. Novecientos cincuenta y cuatro mil 87. Cuarenta y seis mil trescientos dólares 89. Treinta y tres mil seiscientos dólares 91. 5182 kilovatios por hora 93. 7001 kilovatios por hora 95. 9799.00 97. Veintiocho mil, novecientos 99. Noventa mil, ochocientos 103. 8 105. Siete 107. 4x2  8x  6 109. Cardinales 111. Naturales 113. Numeral 115. Doce mil, ochocientos cuarenta y nueve 117. Cientos 119. Trescientos cinco

Ejercicios 1.2 1. 3.  5. 7.  9. 11. 70 13. 90 15. 100 17. 100 19. 400 21. 1000 23. 2000 25. 7000 27. 10,000 29. 9000 31. 590; 600; 1000 33. 29,450; 29,500; 29,000 35. 49,990; 50,000; 50,000 37. 259,910; 259,900; 260,000 39. 289,000; 289,000; 289,000 41. 150 43. 1100 45. 11,000 47. 7,900,000 49. $86,000,000 51. (a) $689 $968 $1019; (b) $1019  $968  $689; (c) Dimensión 8400; (d) Dimensión E310 53. (a) ; (b) ; (c)  55. $23,900 57. $349 59. $25,676 63. Izquierda 65. Posición 67. Suma uno 69. (a) 770; (b) 360; (c) 900 71. $50,000 73. Nueve mil novecientos noventa y cinco dólares 75. Diez mil quinientos cuarenta y cuatro dólares 77. Diez mil novecientos noventa y cinco dólares

Ejercicios 1.3 1. 11 3. 11 5. 16 7. 30 9. 165 11. 129 13. 60 15. 11 17. 34 19. 35 21. 23 23. 81 25. 127 27. 125 29. 132 31. 152 33. 400 35. 6773 37. 1813 39. 3723 41. 4644 43. 2340 45. 15,190 47. 91,275 49. 220,810 51. 582 53. 64 55. 195 57. 1472 pies 59. 2280 61. 360 pies 63. 1040 pies 65. 64 pies 67. $483 69. Familia A: $620; Familia B: $1008 71. A  10 (promedio); B  18 (alto); C  6 (por debajo del promedio) 73. (a) Precio de vaca básica, 500; envío y manejo,

$36; estómago extra, $79; Tono doble exterior, $142; compartimiento de almacenamiento de productos, $127; corta pajas para trabajo pesado, $190; sistema de drenaje con salida alta de 4 espigos, $149; matamoscas automático, $89; tapicería en cuero de vaca genuino, $180; cuernos de lujo dobles, $59; aditamento fertilizador automático, $339; ensamblaje de tracción y manejo 4  4, $884; lavado y cepillado antes de la entrega (preparación del granjero), $70; margen de ganancia adicional del granjero e intereses por pastizaje, $300; (b) $2843.36; $2844; (c) $3143.36; (d) Ensamblaje de tracción y manejo 4  4 ($884.16); (e) envío ($35.75) 75. (a) 74 millas; (b) 337 millas; (c) via Salinas, Paso Robles, y Bakersfield 77. 482 millas 83. (a) (101  96)  62; 259 millas; (b) 101  (96  62); 259 millas; (c) La propiedad asociativa de la suma 85. 11x  16 87. 12x3  16x2  11x  14 89. Sumandos 91. 0 93. Perímetro 95. 25,549 97. 1347 99. $9000; la respuesta exacta es $8988 101. Mil cuarenta; doscientos veinticinco; setenta y dos

Ejercicios 1.4 1. 8 3. 7 5. 17 7. 8 9. 34 11. 63 13. 34 15. 15 17. 212 19. 79 21. 407 23. 215 25. 282 27. 179 29. 209 31. 2621 33. 3505 35. 4088 37. 2893 39. 889 41. 7246 43. 4291 45. 5714 47. 5880 49. 26,431 51. 867 pies 53. 4 55. 2019 pies 57. $201 59. $1013 61. $12,445 63. (a) $18,975; (b) $3025 65. $51 67. $279 69. $330 71. $4100 73. $16,800 75. Blanco no hispanos y blanco 77. $3300 79. $19,044 81. 210 83. 122 85. 79°F 87. 332°F 89. 358°F 95. 2x2  2x  5 97. 3x3  3x2  2x  6 99. a  c  b 101. Inverso 103. 795 105. 446 107. $288 109. 5745 111. 2000  300  40  8

Ejercicios 1.5 1. (a) 12; (b) 21 3. (a) 9; (b) 8 5. (a) 40; (b) 72 7. (a–b) 0 9. (a) 8; (b) 4 11. 48 13. 5 15. 81 17. 0 19. 16 21. 90 23. 160 25. 318 27. 816 29. 19,456 31. 3702 33. 563,344 35. 2520 37. 12,450 39. 145,320 41. 452,000 43. 1,223,100 45. 100 47. 56,000 49. 60,000 51. 200 pies 53. (a) 6,000,000 km; (b) 7,500,000 km; (c) 9,000,000 km 55. $9888 57. (a) 260; (b) 520 59. 64 billones de barriles 61. 300 pies2 63. 8100 pies2 65. 57,600 pies2 67. 2,100,000,000 árboles (2 billones, 100 millones de árboles) 69. 1825 galones 71. 1,250,000 galones 73. 158 libras 75. (a) 2250; (b) 2550 81. 10x 35 83. 6x2  8x  2 85. a b, a  b, y (a)(b) 87. Factores 89. 1 91. a (b  c) 93. 12,600 95. 143,550 97. 41,022 99. 392 101. 30 103. 200  30  4 105. 1135 107. 2772

Ejercicios 1.6 1. 6 3. 7 5. 3 7. 0 9. 1 11. 4 13. No definido 15. 4 17. 24 19. 10 r 2 21. 61 23. 631 25. 513 r 3 27. 24 29. 21 31. 60 r 5 33. 44 35. 9 r 76 37. 42 r 1 39. 59 r 7 41. 214 r 25 43. 45 r 48 45. 87 47. 630 49. 934 r 466 51. 504 53. 3 55. $600 57. 1160 59. 300 61. $114 63. $638 65. $52,500 67. $37,500 69. $25,000 71. $225 73. $25 79. (x  3) r 2 81. (x  1) r 3 83. a  b  c 85. inverso 87. a 89. (a) 48  6  H; 8; (b) 37  1  H; 37 91. (a) 9  9  H; 1; (b) 7  1  H; 7 93. (a) 132; (b) 192 95. 97. 305,915

RS-1

RS-2

Ejercicios 1.7 1. Primo 3. 1, 2, 3, 6 5. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 7. 1, 5, 25 9. Primo 11. 2, 7 13. 2, 3 15. 29 17. 2, 11 19. 3, 7 21. 2  17 23. Primo 25. 26 27. 7  13 29. 2  5  19 31. 4 33. 1 35. 100 37. 128 39. 200 41. 15 43. 2  109 45. 24  16; 25  32 47. 109 49. 30,000 51. 1,500,000 53. 100 55. (a) Sí; (b) No; (c) Sí 57. (a) Sí; (b) No; (c) Sí 59. (a) Sí; (b) Sí; (c) No; (d) Sí 61. (a) Sí; (b) No; (c) Sí; (d) No 63. (a) Sí; (b) No; (c) No; (d) Sí 69. Suma 71. Par 73. 1 75. (a) Primo; (b) Compuesto 77. (a) 24  32  52; (b) 23  32  5 79. 100 81. 1  102  3  10  8 83. 1  103  2  102  8

Ejercicios 1.8 1. 26 3. 13 5. 53 7. 5 9. 3 11. 10 13. 21 15. 18 17. 8 19. 10 21. 10 23. 20 25. 27 27. (a) 3  10  2; (b) $32 29. 26% 31. 45% 33. 89% 35. 43% 37. 20% 39. 13% 41. 5 miligramos 43. 3 tabletas cada 12 horas 45. (8  2)(3  3) 47. (8  2)(9  3) 49. 7 51. 35 53. 2 55. 8 57. Paréntesis 59. Multiplicación 61. Suma 63. 16 65. 2 67. 84 69. 28 71. 144 73. Siete mil, doscientos

Traduce esto 1. I

3. B

5. C 7. D

(a) 2, 5; (b) 5; (c) 3, 5; (d) 2; (e) 2, 17 26. [1.7C] (a) 2  5  5 o 2  52; (b) 2  17; (c) 2  2  19 o 22  19; (d) 3  13; (e) 3  3  3  3 o 34 27. [1.7D] (a) 4; (b) 9; (c) 125; (d) 128; (e) 243 28. [1.7D] (a) 1125; (b) 27; (c) 225; (d) 200; (e) 80 29. [1.7D] (a) 12; (b) 50; (c) 675; (d) 25; (e) 1 30. [1.8A] (a) 54; (b) 45; (c) 36; (d) 27; (e) 19 31. [1.8A] (a) 50; (b) 56; (c) 62; (d) 68; (e) 74 32. [1.8A] (a) 5; (b) 2; (c) 7; (d) 10; (e) 17 33. [1.8A] (a) 29; (b) 11; (c) 17; (d) 9; (e) 11 34. [1.8B] (a) 25; (b) 35; (c) 45; (d) 57; (e) 64 35. [1.8C] (a) $170; (b) $230; (c) $140; (d) $200; (e) $260 36. [1.9A] (a) x  12; (b) x  11; (c) x  10; (d) x  9; (e) x  8 37. [1.9A] (a) x  7; (b) x  6; (c) x  5; (d) x  4; (e) x  3 38. [1.9A] (a) x  5; (b) x  4; (c) x  2; (d) x  1; (e) x  10 39. [1.9A] (a) x  7; (b) x  6; (c) x  5; (d) x  4; (e) x  3 40. [1.9B] (a) n  21; (b) n  26; (c) n  40; (d) n  62; (e) n  33 41. [1.9B] (a) m  32; (b) m  58; (c) m  25; (d) m  57; (e) m  65 42. [1.9B] (a) m  15; (b) m  13; (c) m  18; (d) m  22; (e) m  29 43. [1.9B] (a) x  12; (b) x  13; (c) x  12; (d) x  9; (e) x  12 44. [1.9B] (a) x  5; (b) x  4; (c) x  4; (d) x  6; (e) x  6 45. [1.9C] (a) 90 pies; (b) 100 pies; (c) 110 pies; (d) 85 pies; (e) 75 pies

Capítulo 2 Ejercicios 2.1

9. M

Ejercicios 1.9 1. m  8 3. x  4 5. x  5 7. x  6 9. y  5 11. t  7 13. z  48 15. p  52 17. x  14 19. m  13 21. x  7 23. x  4 25. 633 millas por hora 27. 37 millas 29. 15,000 libras 31. 150 33. 280 35. Papas fritas 210, hamburger con queso 330 37. $1572 39. Subsidios $2000, becas $1600 41. 1000  5p; $223 43. $1212 45. $450 47. 158 49. (a) 52,500; (b) 500; (c) 105 51. Propina $16, comida $80 53. 6 horas 57. 1; sí 59. Solución 61. Suma 63. a  c  b  c; c p 0 65. x  9 67. x  5 69. m  2 71. x  15 73. x  15 75. 9 r 2

Ejercicios de repaso 1. [1.1A, B] (a) 100  20  7; siete; (b) 100  80  9; 80; (c) 300  80; 300; (d) 1000  400  90; 1000 (e) 2000  500  50  9; 2000 2. [1.1C] (a) 49; (b) 586; (c) 503; (d) 810; (e) 1004 3. [1.1D] (a) Setenta y nueve; (b) Ciento cuarenta y tres; (c) Mil doscientos cuarenta y nueve; (d) Cinco mil seiscientos cincuenta y nueve; (e) Doce mil trescientos cuarenta y siete 4. [1.1E] (a) 26; (b) 192; (c) 468; (d) 1644; (e) 42,801 5. [1.2A] (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)  6. [1.2B] (a) 2800; (b) 9700; (c) 3600; (d) 4400; (e) 5600 7. [1.2C] (a) $21,100; (b) $27,300; (c) $35,500; (d) $26,500; (e) $23,000 8. [1.3A] (a) 11,978; (b) 4481; (c) 9646; (d) 13,166; (e) 13,249 9. [1.3B] (a) 7 pies; (b) 11 pies; (c) 14 pies; (d) 12 pies; (e) 24 pies 10. [1.4A] (a) 29; (b) 17; (c) 29; (d) 9; (e) 49 11. [1.4A] (a) 187; (b) 89; (c) 89; (d) 178; (e) 186 12. [1.4B] (a) $4534; (b) $4625; (c) $4414; (d) $4727; (e) $4638 13. [1.5A] (a) 1620; (b) 1372; (c) 1833; (d) 1344; (e) 4416 14. [1.5A] (a) 26,568; (b) 95,403; (c) 225,630; (d) 194,733; (e) 500,151 15. [1.5B] (a) 77,220; (b) 120,120; (c) 178,200; (d) 55,800; (e) 437,080 16. [1.5C] (a) $7920; (b) $5280; (c) $10,560; (d) $6600; (e) $13,200 17. [1.5D] (a) 360 pulgadas2; (b) 240 pulgadas2; (c) 360 pulgadas2; (d) 180 pulgadas2; (e) 288 pulgadas2 18. [1.6A] (a–c) 0 19. [1.6A] (a–c) No definido 20. [1.6A] (a) 15; (b) 12; (c) 15; (d) 11; (e) 17 21. [1.6B] (a) 31; (b) 42; (c) 103; (d) 21; (e) 65 22. [1.6B] (a) 46 r 1; (b) 42 r 1; (c) 25 r 1; (d) 37 r 1; (e) 48 r 2 23. [1.6C] (a) $1248; (b) $936; (c) $468; (d) $432; (e) $216 24. [1.7A] (a) Primo; (b) Compuesto; (c) Primo; (d) Compuesto; (e) Primo 25. [1.7B]

RS-2

RS-2

Respuestas seleccionadas

5

3

3

1 2 4 2 } } } } } } 1. }12 3. }13 5. } 12 7. 4 9. 4 11. 4 13. 4 15. 4 or 1 17. 3 19. 1 21. Propia 23. Propia 25. Propia 27. Propia 29. Propia 5 6 36 1 1 2 1 41 } } } } } } 43. } 31. 3} 10 33. 17 35. 38 37. 79  73 39. 1010 41. 7 10 13

45. } 11

83

13

47. } 10

7

49. } 6

60

7

51. } 24

90

53. } 16

3

45

5

51

55. }8 57. } 100 3

15

25

1 1 } } } } } } } 59. (a) } 60  1; (b) 60  2  12; (c) 60  4; (d) 60  4

63. 77.

6 } 98

3 } 49

3 37 2 } } o 65. } 98 67. 99 69. 99 0, 1 79. }24 o }12, }24 or }12 81. 18 340 No. Necesitas } 20  17 galones

71.

7 } 20

73.

3 } 20

61. } 98 75.

1 } 10

83. 21 85. 350 millas

y el tanque tiene 14. 87. 89. 12 galones 95. Denominador 97. Mayor 99. No definido 5 a 1 2 2 } 111. 22  7 101. }b 103. } 12 105. 83 107. Impropia 109. 2  3 2 2 113. 2  3  5

Ejercicios 2.2 14 1. 30 3. 30 5. 45 7. 15 9. 72 11. 4 13. 12 15. 3 17. } 15 7 3 3 3 23 1 1 2 1 } } } 19. }4 21. }3  2}3 23. }4 25. }3 27. } 14 29. 13 31. 50 33. 6 20 1 1 1 1 1 }; (b) }; (c) } 39. La primera receta 41. } 43. } 35. } 37. (a) 73 2 4 13 4 8 7 13 5 5 9 53 1 } } } } } 45. }8 47. } 40 49. 35 51. (a) 258; (b) 129 53. (a) 43; (b) 258 8 3 5 3x 2x 1 } } } } 67. } 55. (a) } 129; (b) 86 57. 6 59. (a) 28; (b) 400 65. 4 3 15 3 27 4 } } 79. } 69. Equivalentes 71. Simplificada 73. } 8 25 75. 25 77. 23 132 79 } 81. 10 83. } 13

Ejercicios 2.3 21 1. } 32

3. }17

17. 7 19. 29. 41. 53.

2 }; 15

5. }23 21 } 2

 1 } 2

6

7. }5  1}15 10}12

9. }12

3

11. }2  1}12

25 1 } 27. } 4  64 15 1 2 } } 35. 37. } 2  72 39. 15 2 47. 1 49. }5 51. 10 4 2 } 1 59. } 33 61. 7 milla cuadrada 84 4 } 67. 8 vueltas 69. } 5  165 o 16 1 1 75. 13 77. 1}8 79. 1} 12 81. 96

21. 13 23. 62 25.

31. }13

2 (a) (b) 33. } 21 7 3 8 3 1 } 43. }  1} 45. }  1} 5 5 9 2 2 13 3 75 11 }  2} 55. }  2} 57. 5 5 32 32

63. 72 personas 65. 16 días chalecos 71. 660 73. 11

13. 4 15. 2

20

1 } 9

8 } 27

5

2 } } millas 83. 168 millas 85. } 3  63 pulgadas 87. 2532 pulgadas 3 1 } } cuadradas 89. 3916 pulgadas cuadradas 91. 436 pulgadas cuadradas 93. 134}25 pulgadas cuadradas 95. 4}12 yardas a c 97. 26 pies 99. 1}18 cm 101. 3}18 pulgadas 107. } 109. }12 taza b d 15 27 140 5 3 } } 115. 4 117. }  15} yd2  3 113. 111. } 4 4 32 9 9 119. 27 121. 22 32 5 123. 22  32  52

RS-3

Ejercicios 2.4 3

1 } 3. 48 5. 18 7. 42 9. 60 11. 6; }26, }16 13. 21; } 21, 21 15 2 4 2 1 24 25 14 4 3 } 17. 24; }, }, } }, }, } 21. 72; }, } , 19. 40; 15. 20; } 20 20 24 24 24 40 40 40 72 72

1. 40

5

15 6

2 4 2 1 24 14 } } } } } } } } } 23. 160; } 160, 160 25. 20; 20, 20 27. 24; 24, 24, 24 29. 40; 40, 40, 40 7 5 31. }8 33. } 11 35. 37. 39. 41. 60 minutos 25

43. 221 años 45. 12 horas 47. 20 días 49. 12 días 51. Le toma 60 años, entonces en 2060 53. 420 años 57. Son lo mismo. 15 28 40 27 } } } 59. LCM 61. LCD 63.  65. 45 67. } 35, 35 69.180 71. 72, 72

Ejercicios 2.5 1. }23

7

8

13

2 11 } } } } 3. }7 5. }23 7. 1 9. 2 11. } 15 13. 3 15. 10  110 17. 14 29 19 23 50 5 316 158 32 } } } } } } } 21. } 360 23. 130 25. 360 27. 60  6 29. 126  63 263 3

3

47

5

1 11 } } } } 33. }23 35. }16 37. } 10 39. 40 41. 24 43. 240 45. 9 47. 1 13 37 5 9 3 1 1 1 } 51. }  1} pulgadas 53. } 55. } 57. } 59. }  2 49. } 6 6 32 32 8 20 6 4

61. }15

63. }12

7

9

67. (a) }12; (b) $1500 69. (a) } 20; (b) $1350

65. } 10

ab

71. 4 paquetes de hotdogs, 5 paquetes de panecillos 77. } c 7 67 31 55 16 2 } 89. } 91. 1} } } 79. 90 81. } 24 83. 120 85. 120 87. 5 8 3

53

79.

5

65. $3}18

81.

67. $62}8 69. No 73. MCD 1 } 4

83.

13

7

128 } 75

o

49

75. 2} 60

7

77. 6} 12

53 1} 75

Ejercicios 2.7 13

19

13

7

7

1 1 } } } } } } 1. } 60 3. 84 5. 0 7. 30 9. 6  16 11. 2 13. 36 52 7 63 17 6 35 3 1 } 17. } 19. } 21. }  1} 23. }  4} 25. 0 15. }  3 5 5 15 15 80 20 8 8 17 11 1 } } 27. 2} 20 pulgadas 29. 3130 libras 31. (a) $14930 millones; 8 8 1 } } (b) $349} 15 millones 33. 815 noches 35. 146 horas por 11 semana 37. 20} 30 horas por semana 39. Mujeres de 18 años y 7 mayores 41. 5}16 libras 43. 23} 16 libras 45. (a) 8, 4, 2, 1; 15 3 32 2 } } } (b) A8  } 4  34; (c) H8  15  215; (d) Sí 49. Paréntesis 83 3 25 83 } } } 51. Multiplicaciones 53. Sumas 55. } 20 420 57. 36 59. 162 7 61. 3}8 63. x  6 65. x  3

Ejercicios 2.8 Traduce esto 1. I 3. B 5. C 7. D 9. M 1.  3.  5.  7.  9. 2 n 11. 5n 13. n7 3 3 3 n 15. }4  n  5 17. }12  3 n  2 19. }2  4  }2 21. m  }18  }7; 17 3 27 7 3 31 2 4 11 } } } } } } } } m  56 23. p  5  14; p  20  120 25. y  4  5; y  20  1} 20 u 1 1 11 1 1 } } } } } } 27. 6  32; u  21 29. 3  t  25; t  15 31. 12n72; n5 5 12 2 1 1 1 } } } } } 33. n1}234; n } 5  25 35. n2264; n 2  22 7 45 13 } 37. 1}13  n4}23; n }2  3}12 39. 1}182}12n; n }  2 16 16 5 1 41. 30 pulgadas 43. 1 taza 45. 24 libras 47. }2  2}2 km 49. 70¢ 13 1 1 1 1 } } } } 51. } 25 53. 77 55. 69F 57. (a) 6; (b) 3; (c) 2; (d) 25 59. (a) 712; (b) 56}23; (c) 5}23 61. 3}14 63. 118}45 libras 65. 4}12 onzas 67. 3}12 onzas 69. 5 onzas 75. a  c  b  c 77. a  c  b  c 79. 2}12 81. (a) 3n  9; (b) n  5  2; (c) n  8  7 83. 9}27 85. 3 millas

87. 190

9

89. 6

28

115

63

22 } } } 3. [2.1D](a) }2; (b) } 9 ; (c) 5 ; (d) 14 ; (e) 8

4. [2.1E] (a) 8; (b) 10;

(c) 4; (d) 2; (e) 5 5. [2.2A] (a) 8; (b) 15; (c) 24; (d) 28; (e) 18 6. [2.2A] (a) 7; (b) 5; (c) 8; (d) 8; (e) 10 7. [2.2B] (a) }12; (b) }23; 2 1 1 2 2 } } } } (c) }25; (d) }27; (e) } 19 8. [2.2B] (a) 12, 3; (b) 10, 5; (c) 9, 5; (d) 14, 3; 3 3 2 2 1 1 } } } } (e) 17, }2 9. [2.3A] (a) } 21; (b) 9; (c) 3; (d) 2  12; (e) 1 10. [2.3B] 17

3

81

1 1 2 } } } } } } (a) } 21  121; (b) 2; (c) 2  12; (d) 40  240; (e) 4 11. [2.3C] (a) 15; 7 7 7 36 2 1 11 } } (b) 1; (c) }3; (d) }6  1}6; (e) 2 12. [2.3D] (a) }8; (b) } 16; (c) 25  125; 15

45

13

176

29

169

1 1 } } } } } } } (d) } 7  27; (e) 2 13. [2.3E] (a) 16  216; (b) 49  349; (c) 8  3 435 43 3 1 1 1 4 2 } 14. [2.3E] (a) }; (b) }; (c) }; (d) };  4 21}8; (d) }2  1}2; (e) } 98 98 2 17 16 35 16

5

(e) } 225

3

15. [2.3G] (a) 15}9 yardas cuadradas; (b) 15}4 yardas cuadradas; (c) 15 yardas cuadradas; (d) 15}16 yardas cuadradas; 3

} } 1. 4}47 3. 2}47 5. 5}12 7. 4}25 9. 5}17 11. 2} 60 13. 460 15. 412 16 5 7 39 21 2 2 } } } } } } 17. 11} 63 19. 12110 21. 27 23. 13 25. 16 27. 10 29. 40 47 5 3 11 2 11 } } } } } 31. 2} 24 33. 240 35. 4 37. 33 39. 512 41. 12130 43. 1860 5 3 3 1 } } } 45. 3 47. 1} 16 libras 49. 34 tazas 51. 54 libras 53. 10 7 13 3 5 1 5 2 } } } } } } 55. 7} 10 hora 57. 2420 59. 52 pies 61. 38 4; 38 63. 23  18; 31 2} 180

1. [2.1B] (a) Propia; (b) Propia; (c) Impropia; (d) Propia; 8 (e) Impropia 2. [2.1C] (a) 3}71; (b) 2}74; (c) 9}32; (d) 3}21; (e) 1} 11

(e) 24}4 yardas cuadradas

Ejercicios 2.6

1 1} 24

Ejercicios de repaso

38

5

19. }8 31. }27

RS-3

Respuestas seleccionadas

16. [2.4A] (a) 24; (b) 30; (c) 36; (d) 120; (e) 540 17. [2.4A] (a) 33; (b) 34; (c) 57; (d) 40; (e) 28 9 6 25 45 40 } } } } } 92 18. [2.4B] (a) 48, } 48, 48; (b) 45, 45, 45; (c) 144,144, 144; 15 28 25 12 9 6 10 } } } } } } (d) 35, } 35, 35; (e) 45, 45, 45 19. [2.4B] (a) 12, 12, 12, 12; 30 8 27 117 8 132 12 45 10 } } } } } } } } (b) 72, } 72, 72, 72; (c) 144, 144, 144, 144; (d) 120, 120, 120, 120; 72 160 45 } } } (e) 360, 360, 360, 360 20. [2.4C] (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; 3 (e)  21. [2.5A] (a) }5; (b) 1; (c) }47; (d) }13; (e) 8 22. [2.5B] 7 53 37 1 14 11 } } } } } (a) 6; 6 16; (b) 45; 45; (c) 42; } 42 142; (d) 60; 60; 51 17 109 31 1 1 } 23. [2.5B] (a) 12; }  9}; (b) 6; }  5};  (e) 105; } 105 35 12 12 6 6 101 5 58 233 17 4 }; (d) 9; } 6}; (e) 72; }  3} 24. [2.5D] (c) 16; }  6 16 16 9 9 72 72 67 19 5 21 4 1 1 } } } } } } (a) } 84; (b) 24; (c) 16  116; (d) 1; (e) 3  13 25. [2.5D] (a) 8; 19 13 83 3 19 23 13 4 } } } } } } } (b) } 36; (c) 48; (d) 35; (e) 216 26. [2.5E] (a) 4; (b) 50; (c) 100; (d) 25; 3

5 23 7 11 4 } } } } 27. [2.6B] (a) 7} 30; (b) 512; (c) 728; (d) 79; (e) 88 28a. [2.5C] 5 26 13 39 23 209 11 } } } } } } (a) } 24; (b) 15  115; (c) 15; (d) 40; (e) 72 28b. [2.6D] (a) 3360; 28 37 17 37 1 } } } } (b) 4} 45; (c) 572; (d) 636; (e) 772 29. [2.6E] (a) 192 yardas; (b) 15}23 yardas; (c) 19}23 yardas; (d) 17}23 yardas; (e) 12 yardas 30. [2.7A] 5 3 1 } } (a) }19; (b) }18; (c) }19; (d) } 49; (e) 32 31. [2.7A] (a–e) 3 32. [2.7A] 89 25 19 7 3 17 121 2 } } } } } } } (a) } 96; (b) 96  196; (c) 32; (d) 3; (e) 4  14 33. [2.7B] (a) 21; 5 13 3 3 11 } } } (b) }6; (c) } 15; (d) 12; (e) 1 34. [2.7C] (a) 48 libras; (b) 58 libras; 3 3 3 (c) 6}8 libras; (d) 7}8 libras; (e) 8}8 libras 35. [2.8A] (a) n  8  10; n n (b) n  5  1; (c) 2n  12; (d) }2  8; (e) }7  3 36. [2.8B] 3 1 1 1 1 1 1 1 2 } } } (a) p  }6  }3; p  }6; (b) q  }5  }4; q  } 20; (c) r  4  5; r  20; 5 6 5 1 1 1 (d) s  }3  }6; s  }2; (e) t  }2  }7; t  } 14 37. [2.8B] 19 3 23 1 22 1 4 } } } } } } (a) r  }16  }27; r  } 42; (b) s  5  7; s  35; (c) t  4  7; t  28; 5 6 19 5 1 22 1 1 } } } } } (d) u  }3  }7; u  } 21  121; (e) v  2  7; v  14 114 6 3 5 v v 12 } 38. [2.8B] (a) }3  }27; v  }7; (b) }4  }7; v  } 7  17; 20 5 30 6 v v v 6 } } } } } } (c) }5  }47; v  } 7  27; (d) 6  7; v  7 ; (e) 7  7; v  6 39. [2.8B] 77 61 } (a) 16; (b) 6; (c) 45; (d) 49; (e) 10 40. [2.8C] (a) } 100; (b) 100; 53 9 33 }; (e) } ; (d) (c) } 100 20 100

(e) } 25

Repaso acumulativo capítulos 1–2 1. 400  30  8 2. 984 3. Setenta y cuatro mil ocho 4. 6710 5. 8600 6. 3679 7. 154 8. 43,703 9. $3720 10. 34 r 5 11. 2, 3 12. 22  32  5 13. 32 14. 40 15. 23 16. 3 9 5 17. Propia 18. 5}12 19. }4 20. 14 21. 27 22. }6 23. 19 9 19 16 1 1 } } } } } 24. } 6  36 25. 36 26. 14 27. 30; 630 28. 663 6

82

29. z  }7  }49; z  } 63 33.

8 28}9

2

yardas

7

30. 5}9

31. $1.12 32. 22 yardas 28 15

} 34. 80 35. 76 36. 36; } 36, 36

25 18

21 } } 37. 30; } 30, 30, 30

RS-3

RS-4

RS-4

Respuestas seleccionadas

Capítulo 3

Ejercicios 3.5

Ejercicios 3.1

Traduce esto

1. Tres y ocho décimas 3. Trece y doce centésimas 5. Ciento treinta y dos y treinta y cuatro centésimas 7. Cincuenta y uno y ciento ochenta y tres milésimas 9. Dos mil ciento setenta y dos diezmilésimas 3 8 2 1 } } } 11. 3 } 10  100 13. 40  1  10  100 3 1 2 } } } 15. 80  9  10  100  1000 3

9

2 } } 17. 200  30  8  } 10  100  1000 5 8 7 9 }  }  } 21. 0.5 23. 1.5 25. 0.2  19. 300  1  } 10 100 1000 10,000 27. 3.1 29. 1.8 31. 4.9 33. 1.9 35. 0.3 37. 21.23 39. 23.33 41. 8.95 43. $989.07 45. 919.154 47. 182.103 49. 4.077 51. 26.85 53. 2.38 55. 3.024 57. 6.844 59. 9.0946 61. 392.5 millas 63. $54.58 65. 23.61 67. 93.5 69. 103.4% 71. $230.50; $82,969.95 73. $86.67; $31,195.13 75. $30.99; $11,156.11 77. $87.50 79. $718.70 81. 3.7 millas 83. 1.1 millas 85. 2.3 millas 87. 0.2 millas 89. “Y” significa un punto decimal, pero éste es un número cardinal. 91. 1.8 en ambos casos 93. 10.6y 2  1.2y 95. 0.8y 2  0.5y 97. Entera, decimal, 0 2 } decimal 99. Decimal 101. 42.463 103. 40  1  } 10  100 8 }  1000 105. 454.83 107. 1.6 millas 109. 230 111. 240,000 113. 3500

Ejercicios 3.2 1. 0.35 3. 0.64 5. 0.00035 7. 5.6396 9. 95.7 11. 0.024605 13. 12.90516 15. 0.002542 17. 423.3 19. 1950 21. 32,890 23. 4.8 25. 3.9 27. 0.6 29. 6.4 31. 1700 33. 80 35. 0.046 37. 30 39. 100 41. 3.2 43. 10 45. 338.12 47. 0.078 49. 0.0005 51. 0.33 53. 0.09 55. 0.23 57. 0.01 59. 0.03 61. $35.24 63. (a) $16.08; (b) $482.40 65. $54.00 67. $58.26 69. $380.49 71. 0.915 segundos 73. 0.305 segundos 75. 5.55 minutos 77. $8.50 79. 5.1136 cm 81. 1129.77 millas 83. $0.29 ó 29¢ 85. 9.9 87. 5.1 89. 2.3 91. 3.4 93. 19¢; $1900 95. 69.5 pulgadas 97. 59.5 pulgadas 99. 67.4 pulgadas 101. 73.8 pulgadas 103. 88.2 pulgadas; la tabla no se aplica 109. Derecha, ceros 111. Izquierda, divisor 113. 642.86 115. 0.0005 117. (a) 324.23; (b) 48,400; (c) 32.8 119. (a) 14.112; (b) 75.0924 121. 4 123. 16

Ejercicios 3.3 1. 0.5 3. 0.6875 5. 0.45 7. 0.9 9. 0.25 11. 0.83 13. 0.43 19 31 3 } } 15. 2.67 17. 0.33 19. 0.18 21. }45 23. } 100 25. 100 27. 10 5 7 1 } 29. }9 31. } 33 33. 9 35. 0.375 37. 25 39. 4.8 41. 35 43. 0.333 45. 0.7 47. $2.18 49. 0.625 51. 0.056 53. 0.48 } 55. 0.083 57. $40,000 59. $30,000 61. 0.35 63. 0.15 65. 0.06 67. 0.07 69. 0.10 71. 0.0625; 0.0625 73. 0.09375; 0.0938 77. Numerador, denominador 79. Numerador 303 7 3 41 } } } 81. 0.6 83. (a) } 100; (b) 1000 85. (a) 200; (b) 80 87. (a) 0.6; (b) 0.225 89. 91.

Ejercicios 3.4 1. 66.606  66.066  66.06 3. 0.5101  0.51  0.501 5. 9.999  9.909  9.099 7. 7.430  7.403  7.043 } } } 9. 3.14  3.14  3.14 11. 5.12  5.1  5.1 } } } 13. 0.3  0.333  0.33 15. 0.8  0.88  0.81 17. }19 19. }16 } } 2 21. }7 23. 0.14 25. 0.9 27. Constantino  Monjane  Nashnush } 29. 30 31. 12.48 33. 12.09 35. 9.16 37. 3 7 39. 0.495 41. 0.33 43. 148.3 45. 28.68 47. 1}16 or }6 49. }12 7 22 } 51. } 53. Cobre  Niquel Cadmio  Bronce 55. 7 36 57. Decimal 59. Exponencial 61. 33 63. A 65. 8.015  8.01  8.005 67. 28.395 69. 50 71. 18.8

RS-4

1. E

3. F

5. H

7. A

9. K

1. x  1.5 3. y  6.5 5. z  5.6 7. z  16.5 9. m  6 11. m  0.7 13. n  23.8 15. n  12.4 17. 2.89 19. 99.1°F 21. 5.2 23. $0.5 billones 25. $36.03 billones 27. $300 29. 1023 31. Sobre 42 33. 1.9 35. 8200 37. 172 39. $10,000 41. (a) T  S  1062; (b) T  S  140; (c) T $461  $140  $601 millones 43. (a) T  B  92; (b) T  B  10; (c) B  41 45. 55 millas por hora 47. 3.2 51. a  c  b  c 53. a  c  b  c 19

55. 18.4 57. 10.1 59. $507.16 61. } 35

22 63. 1} 35

Ejercicios de repaso 1. [3.1A] (a) Veintitrés y trescientos ochenta y nueve milésimas; (b) Veintidós y treinta y cuatro centésimas; (c) Veinticuatro y quinientos sesenta y cuatro milésimas; (d) Veintisiete y ocho décimas; (e) Veintinueve y sesenta y siete centésimas 9 4 } 2. [3.1B] (a) 30  7  } 10; (b) 50  9  100; 5 3 3 9 }; (d) 100  50  }  };  (c) 100  40  5  } 100 10 1000 1000 3 (e) 200  30  4  } 1000 3. [3.1C] (a) 21.94; (b) 25.4257; (c) 23.7756; (d) 29.452; (e) 23.52 4. [3.1C] (a) 39.36; (b) 48.034; (c) 27.662; (d) 41.12; (e) 47.7617 5. [3.1D] (a) 314.801; (b) 323.44; (c) 278.275; (d) 347.55; (e) 23.66 6. [3.2A] (a) 0.03768; (b) 0.3276; (c) 3.317175; (d) 0.03752; (e) 1.026 7. [3.2B] (a) 370; (b) 4.9; (c) 2.5; (d) 4285; (e) 945 8. [3.2C] (a) 61; (b) 63; (c) 92; (d) 8.07; (e) 90.8 9. [3.2D] (a) 329.7; (b) 238.3; (c) 887.4; (d) 459.4; (e) 348.3 10. [3.2D] (a) 5.33; (b) 5.63; (c) 6.86; (d) 6.46; (e) 6.93 11. [3.2E] (a) 0.0312; (b) 0.00418; (c) 0.321; (d) 8.215; (e) 4.723 12. [3.2F] (a) $0.32 ó 32¢; (b) $0.34 ó 34¢; (c) $0.30 ó 30¢; (d) $0.28 ó 28¢; (e) $0.27 ó 27¢ 13. [3.3A] (a) 0.6; (b) 0.9; (c) 2.5; (d) 0.1875; (e) 0.875 14. [3.3A] (a) 0.3; (b) 0.83; 19 3 41 } } (c) 0.6; (d) 0.285714; (e) 0.1 15. [3.3B] (a) } 50; (b) 100; (c) 5; 3 333 233 347 131 137 } 16. [3.3B] (a) }; (b) }; (c) }; (d) }; (d) } ; (e) 100 1000 100 100 20 100 1067

5

8

80

4 11 } } } } (e) } 17. [3.3C] (a) } 500 11; (b) 99; (c) 999; (d) 999; (e) 999 18. [3.3D] (a) 0.25; (b) 0.6; (c) 0.5; (d) 0.75; (e) 0.1875 19. [3.3D] (a) 0.2; (b) 0.25; (c) 0.142857; (d) 0.3; (e) 0.16 20. [3.4A] (a) 1.032  1.03  1.003; (b) 2.032  2.03  2.003; (c) 3.033  3.032  3.03; (d) 4.055  4.052  4.05; (e) 5.033  5.03  5.003 21. [3.4A] (a) 1.216  1.216  1.216; (b) 2.336  2.336  2.336; (c) 3.216  3.216  3.216; (d) 4.542  4.542  4.542; (e) 5.123  5.123  5.123 22. [3.4B] (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)  23. [3.4C] (a) 29; (b) 25; (c) 33; (d) 39; (e) 23 24. [3.5A] (a) x  4.3; (b) x  2.3; (c) x  0.5; (d) x  3.6; (e) x  2.7 25. [3.5A] (a) y  7.3; (b) y  7.7; (c) y  13.32; (d) y  10; (e) y  11.5 26. [3.5A] (a) y  5; (b) y  7; (c) y  4; (d) y  8; (e) y  8 27. [3.5A] (a) z  24.6; (b) z  35.7; (c) z  10.8; (d) z  44.02; (e) z  56.7 28. [3.5B] (a) $44.23; (b) $42.96; (c) $47.68; (d) $46.78; (e) $49.50

Repaso acumulativo capítulos 1–3 1. 394 2. 3210 3. 2, 5 4. 22  3  5 5. 20 6. 52 1 } } 7. Impropia 8. 5}12 9. } 10. 18 11. 35 12. } 8 12  212 13. 4 81 7 6 3 51 16 1 1 } } } } } } } 14. } 20  420 15. 1524 16. 1112 17. z  7  5; z  35  135 18. 4 19. $0.98 ó 98¢ 20. Ciento treinta y cinco y sesenta y cuatro 7 8 4 } } centésimas 21. 90  4  } 10  100  1000 22. 56.344 23. 228.92 24. 11.362 25. 1700 26. 250 27. 76.92 7 26 1 } } 28. $0.38 o 38¢ 29. 0.83 30. } 20 31. 33 32. 0.2 33. 10 34. 5.314  5.314  5.314 35. 36. x  7.3 37. y  8 38. z  33.6 43

31

7

RS-5

RS-5

Respuestas seleccionadas

Ejercicios 4.1 3

8

5

10

a

b

a

b

11 } } } } 1. }8 3. }17 5. }1 7. } 9. } 11. }14 } 3 3 20 13. 3  7 15. 6  18 3 12 17. }a  } 19. No 21. Sí 23. Sí 25. Sí 27. No 29. x  8 b 31. x 20 33. x 48 35. x 15 37. x 25 39. x 14 128 41. x 12 43. x 9 45. x } 47. x 11 49. x 6.125 9 8

}

28

Capítulo 4

5

8

y

4.38

2 } } } } } 51. } 26  d; d  104 53. 4  x ; x  6.40 55. 4  6; y  6.57 9 6.95 5.56 17 57 205 } } } } 57. }3  }5z ; z  15 59. } 5  x ; x  4 61. 50 63. 5000 65. 87 67. 50 69. $360 71. 5760 cm ó 57.60 m 73. 120,000 17 4 } 75. (a) } 20; (b) 425; (c) 680 77. 4000 79. 21,250 81. (a) 3; 959 15 4 } } 91. Cociente (b) 24 pulgadas 83. (a) } ; (b) 1.977 85. 87. 485 8 25 17 5 15 2 4 } } } 99. Sí } 93. Proporción 95. } 21 97. (a) 5  10; (b) 8  x 7 3 } 101. 9 horas 103. } 20 105. 2

Ejercicios 4.2 1. $4.75 3. 21.5 5. 560 millas/hora 7. 1229.5 millas/hora 9. 2.5 tortillas/minuto 11. 2.63 13. 12 15. 1.5 pulgadas/hora 17. 740 calorías/libras 19. 30.1 puntos por partido 21. $10.38 23. $21.75 25. $25.57 27. 200 29. 75 31. 38¢/onzas; 40¢/ onzas; primero 33. 8¢/onzas; 9¢/onzas; primero 35. $1.80/onzas; $2.53/onzas; primero 37. (a) 6¢; (b) 5¢; (c) Magia blanca 80 83 } 39. (a) }45; (b) } 100; (c) 80% 41. (a) 0.83; (b) 100; (c) 83% 66.7 43. (a) 0.667; (b) } ; (c) 66.7%; (d) ¡Técnicamente, no! 100 45. (a) $34.80; (b) $3.48 51. Tasa 53. 38.3¢/onzas 55. (a) $254.20; 15 (b) $6.20 57. 22 59. x  6 61. x  } 63. x  15 7

}

25. } 33 26. 0.75 27. 6.435  6.435  6.435 28.  29. 4 30. 7 6 54 21 1 } } 34. No 35. j  } 36. c  15 31. 62.1 32. } 5 50 33. 2  x 37. 100 38. 35 millas por galón 39. 12¢/onzas 40. 40 41. 24 42. 800

Capítulo 5 Ejercicios 5.1 1. 0.03 3. 0.10 5. 3.00 7. 0.1225 9. 0.115 11. 0.003 13. 4% 3

3

} 15. 81.3% 17. 314% 19. 100% 21. 0.2% 23. } 10 25. 50 7 9 17 1 21 } 31. } 33. } 35. } 37. 60% 39. 50% 29. 27. } 75 100 200 500 200

41. 83}13%

43. 37}12% 45. 133}13% 47. 81% 49. 15% 33 8 31 41 } } } 51. (a) } 100; 0.41; (b) 100; 0.33; (c) 25; 0.32; (d) 100; 0.31 3 7 11 1 } } } 53. (a) } 25; 0.44; (b) 5; 0.2; (c) 20; 0.15 55. (a) 10; (b) 70%; 11 1 } (c) 0.70 57. (a) } 14; (b) 79%; (c) 0.79 59. (a) 48; (b) 2%; 17 3 } (c) 0.02 61. (a) } 960; (b) 2%; (c) 0.018 63. (a) 10; (b) 30%; 13 (c) 0.30 65. (a) } 25; (b) 0.52 67. No, debido al redondeo 49 69. 70% 71. (a) 40%; (b) }25 73. (a) } 100; (b) 0.49 75. 5% 77. 1% 81. Dos, izquierda 83. (a) 100; (b) Simplifica; 13 131 41 } } (c) Omite 85. (a) } 50; (b) 0.82 87. (a) 200; (b) 2000 89. (a) 6%;

(b) 619%; (c) 4220%

91. (a) 0.38; (b) 0.293 93. 29 }

95. x  40 97. x  }13 o 0.3

Ejercicios 5.2

Ejercicios 4.3 1. 15 libras 3. 760 5. 8 15. 20 17. $5.75 billones 25. 700 millones 27. 360 33. $1297.80 35. 24,500 41. 2 Cucharaditas por día

7. 250 9. 40 minutos 11. 7700 13. 24 19. 86,250 21. 39 23. 28 29. 70 millas 31. $859.00 37. No 39. Traducir 43. 200 45. 400 47. 245.9 49. 250

Ejercicios de repaso 3

17

1 1 2 1 } } } } } } 1. [4.1A] (a) } 10; (b) 5; (c) 10; (d) 5; (e) 2 2. [4.1A] (a) 40; (b) 40; 729 1468 3 3 292 732 1 22 } } } } } } } (c) } 10; (d) 20; (e) 25 3. [4.1A] (a) 7 ; (b) 232; (c) 93 ; (d) 233; (e) 467 29 23 3 6 13 12 11 } } } } } } 4. [4.1A] (a) } 21; (b) 9 ; (c) 12; (d) 13; (e) 27 5. [4.1B] (a) 7  x ; 5 6 33 7 5 x 12 } } } } } (b) }47  } x ; (c) } 7  21; (d) 7  x ; (e) 35  x 6. [4.1C] (a) No; (b) Sí; (c) No; (d) Sí; (e) Sí 7. [4.1D] (a) x  2; (b) x  3; (c) x  4; (d) x  5; (e) x  6 8. [4.1D] (a) x  5; (b) x  10; (c) x  15; (d) x  25; (e) x  30 9. [4.1D] (a) x  18; (b) x  3; (c) x  2; (d) x  1; (e) x  6 10. [4.1D] (a) x  5; (b) x  10; (c) x  20; (d) x  25; (e) x  30 11. [4.1E] (a) 9; (b) 18; (c) 36; (d) 45; (e) 54 12. [4.2A] (a) $6; (b) $4; (c) $3; (d) $2; (e) $1.50 13. [4.2A] (a) 22; (b) 21; (c) 20; (d) 19; (e) 18 14. [4.2A] (a) 250; (b) 227; (c) 208; (d) 200; (e) 100 15. [4.2B] (a) 10¢; (b) 15¢; (c) 7¢; (d) 6¢; (e) 5¢ 16. [4.2B] (a) Marca X; (b) Marca X; (c) Marca X; (d) Marca X; (e) Genérico 17. [4.3A] (a) 15 libras; (b) 17}12  17.5 libras; (c) 18 libras; (d) 22}12  22.5 libras; (e) 25 libras 18. [4.3A] (a) 1800; (b) 2400; (c) 3000; (d) 3600; (e) 4800 19. [4.3A] (a) 21 onzas; (b) 28 onzas; (c) 35 onzas; (d) 42 onzas; (e) 49 onzas 20. [4.3A] (a) 200; (b) 400; (c) 350; (d) 450; (e) 600 13

Repaso acumulativo capítulos 1–4 3

23

1. 9810 2. 2, 7 3. 56 4. 29 5. Impropia 6. 9}4 7. } 3 3 7 7 23 11 1 4 1 } } } } } } 8. } 9. } 7 49 10. 10 11. 915 12. 38 13. c  9  2; c  18 41 14. 7} 55 15. Doscientos cuarenta y uno y treinta y cinco centésimas 8 7 4 } } 16. 40  4  } 10  100  1000 17. 46.144 18. 328.92 } 3 19. 0.08310 20. 500 21. 450 22. 76.92 23. 0.583 24. } 20

Traduce esto 1. D 3. M 5. C 7. K 9. L 1. 32 3. 12 5. $3 7. 28.8 9. 5 11. 2.1 13. 20 15. 10% 17. 200% 19. 10% 21. 12}12% 23. 25% 25. 60 27. 200 29. 83}13 31. 16}23 33. 200 35. 400 37. 50 39. 45 41. 16}23 43. 18.75 45. 800 47. 3 49. 300 51. 73 millones 53. 23 55. 250 57. (a) 40%; (b) más 59. 900 61. 1000 billones de barriles 63. 1,000,000 toneladas cortas 65. 18 millones o 18,000,000 67. 26% 69. 7.68 onzas de azúcar; 6.56 onzas de agua 71. 720 73. 710 75. $15 77. 7}12% 79. Tres 81. Base 83. Porciento 85. $795; $705 87. 50 89. 60 91. 20 93. n  16 95. W  50

Ejercicios 5.3 1. 24 3. 30 5. $6 7. 27 9. 7.5 11. 2.1 13. 22 15. 10% 17. 400% 19. 20% 21. 20% 23. 25% 25. 80 27. 200 29. 83}13 31. 16}23 33. 300 35. 800 37. 150 39. 90 41. 35 43. 18.75 45. 1600 47. 49 49. 300 51. 48 53. 80 Porciento 55. h 30 pulgadas 57. h 32 pulgadas 61. } 100 63. 32 } 65. 600 67. 0.055 69. 0.166

Ejercicios 5.4 1. $3640 3. $13.00 5. $660; $13,860 7. 4% 9. $24 11. $30 13. $37.50 15. $4.50 17. (a) $530; (b) $5300 19. $160 21. $6077.53 23. $60,775.31 25. $510.05 27. $280 29. $626 31. $13.05 33. $414 35. $5 37. $20.08 39. $12.38 41. (a) $13.50; (b) 2  5.40 }12 5.40; (c) $13.50, Sí 43. (a) $3.72; (b) 2  $3.72  $7.44; (c) 3  $3.72  $11.16 45. (a) $4.64; (b) $9.28; (c) $6.96 47. $3050 49. $8620 51. $18,620 53. 20% 55. (a) Mueve el punto decimal una posición a la izquierda 57. Capital 59. Año 61. $9.60; $70.40 63. $10,824.32; $824.32 65. $128.70 67. 167% 69. 56% 71. 83%

RS-5

RS-6

RS-6

Respuestas seleccionadas

Ejercicios 5.5

Repaso acumulativo capítulos 1–5

1. 20% 3. 17% 5. 1% 7. 4% 9. 4% 11. 14% 13. 28% 15. 338% 17. 158% 19. (a) 30%; (b) 390 21. (a) 243%; (b) 343,000 23. (a) 30%; (b) 7800 25. (a) $10,150; (b) $7308 27. (a) 338%; (b) 3%; (c) 12% 29. (a) 8%; (b) 73% 31. 17% 33. (a) 7%; (b) 2003–2004; (c) 19% 35. (a) $723; (b) 10% 37. 128% 39. $6800; no 45. Original 47. 12% 49. 27% 51. 11% 53. $53.25 55. 3.9 57. $1013.38

1 } 1. 6510 2. 40 3. Impropia 4. 7}4 5. } 6. } 9 36 7. 35 3 13 37 1 } 10. Trescientos cuarenta y 9. 7 8. x  }4  }3; x  } 12 45 7 7 } dos y cuarenta y un centésimas 11. 30  4  } 10  100 3 12. 626.9213. 8.910 14. 700 15. 749.9 16. } 1000 4 76.92 17. } 33 18. 0.25 } } 19. 4.293  4.293  4.293 20. 21. x  3.9 22. y  7 5 40 12 1 } } 26. No 27. f  } 28. f  18 23. z  21 24. } 25 25. 9  x 4 29. 19 millas por galón 30. 12¢/onzas 31. 4 libras 32. 112 onzas 33. 0.12 34. 0.0725 35. 3% 36. 8 37. 36 38. 50% 39. 20 40. $16.80 41. $68

Ejercicios de repaso 1. [5.1A] (a) 0.39; (b) 0.01; (c) 0.13; (d) 1.01; (e) 2.07 2. [5.1A] (a) 0.032; (b) 0.112; (c) 0.714; (d) 0.1751; (e) 1.425 3. [5.1A] (a) 0.0625; (b) 0.715; (c) 0.05375; (d) 0.1725; (e) 0.52125 } } } } } 4. [5.1A] (a) 0.063; (b) 0.086; (c) 0.0116; (d) 0.1883; (e) 0.201 5. [5.1B] (a) 1%; (b) 7%; (c) 17%; (d) 91%; (e) 83% 6. [5.1B] (a) 320%; (b) 110%; (c) 790%; (d) 910%; (e) 432% 17 23 51 201 111 1 } } } } } 7. [5.1C] (a) } 100; (b) 100; (c) 100; (d) 100; (e) 100 8. [5.1C] (a) 10; 3 7 5 5 7 21 1 1 }; (e) } 9. [5.1C] (a) }; (b) }; (c) }; (d) }; (e) } ; (d) (b) }25; (c) } 20 20 50 6 3 8 6 8 3 1 1 1 1 10. [5.1D] (a) 37}2%; (b) 62}2%; (c) 6}4%; (d) 18}4%; (e) 31}4% 11. [5.2A] (a) 18; (b) 98; (c) 32; (d) 27; (e) 36.75 12. [5.2A] (a) 10; (b) 24.3; (c) 38.75; (d) 32; (e) 1732.5 13. [5.2B] (a) 25%; (b) 20%; (c) 33}13%; (d) 200%; (e) 20% 14. [5.2B] (a) 75%; (b) 40%; (c) 200%; (d) 66}23%; (e) 16}23% 15. [5.2B] (a) 50%; (b) 33}13%; (c) 75%; (d) 150%; (e) 37}12% 16. [5.2C] (a) 60; (b) 50; (c) 20; (d) 33}13; (e) 66}23 17. [5.2C] (a) 150; (b) 300; (c) 50; (d) 1500; (e) 84 18. [5.2C] (a) 25; (b) 10; (c) 200; (d) 300; (e) 250 30 Parte 40 Parte 50 Parte } } } } } 19. [5.3A] (a) } 100  40 ; 12; (b) 100  72 ; 28.8; (c) 100  94 ; 47; 60 Parte 70 Parte Porciento 80 }; 30; (e) }  }; 49 20. [5.3B] (a) }  }; (d) }  100 50 100 70 100 800 Porciento Porciento 28 Porciento 90 22 } }  }; 40%; (d) }  } 10%; (b) } 100  110; 20%; (c) 100 70 100 180 Porciento 80 10 20 12 } } } } ; 50%; (e) } 100  40; 200% 21. [5.3C] (a) 100  entero; 200; (b) 100 30 90 45 25 50 18 63 } } } } } } } entero; 250; (c) 100  entero; 50; (d) 100  entero; 200; (e) 100  entero ; 350 22. [5.4A] (a) $21.20; (b) $52; (c) $18.90; (d) $85.20; (e) $313.50 23. [5.4B] (a) $20; (b) $90; (c) $90; (d) $108; (e) $765 24. [5.4B] (a) $10; (b) $18; (c) $10; (d) $27; (e) $32.50 25. [5.4C] (a) $10,824.32; $824.32; (b) $11,255.09; $1255.09; (c) $11,698.59; $1698.59; (d) $12,155.06; $2155.06; (e) $12,624.77; $2624.77 26. [5.4D] (a) $8; (b) $15; (c) $1225; (d) $19.50; (e) $38.50 27. [5.4E] (a) $21; (b) $20; (c) $40; (d) $81; (e) $459 28. [5.5A] (a) 50%; (b) 55%; (c) 60%; (d) 65%; (e) 70% 29. [5.5A] (a) 1%; (b) 3%; (c) 4%; (d) 5%; (e) 6% 30. [5.5A] (a) $56 millones; (b) $64 millones; (c) $66 millones; (d) $80 millones; (e) $88 millones 31. [5.6A] (a) $80; $1.20; $131.20; (b) $120; $1.80; $181.80; (c) $160; $2.40; $232.40; (d) $200; $3; $303; (e) $300; $4.50; $604.50 32. [5.6B] (a) $12.50; $35.78; $21.88; $1566; (b) $25; $71.56; $43.75; $3130.80; (c) $37.50; $107.34; $65.63; $4696.80; (d) $50; $143.12; $87.50; $6262.80; (e) $62.50; $178.90; $109.38; $7827.60

RS-6

58

6

Capítulo 6 Ejercicios 6.1 1. Wendy’s 3. 69% 5. 22 7. 94 9. La mayoría de las veces 11. Internet 13. Productos, espirituales 15. Salud 17. 50 19. Alrededor de 22 21. Administrativo 23. Microsoft 25. 70 millones 27. 35 millones 29. 5 millones 31. 59% 33. Corazones 35. 36% 37. Wendy’s 39. Jack in the Box 43. Tabla 45. Blancos 47. $181.8 billones 49. 7 51. 3 53. 14.5 55. 507.5 57. 25%

Ejercicios 6.2 1. (a) 10; (b) 16; (c) Medicamento 3. (a) Alrededor de 4; (b) Alrededor de 5; (c) Medicamento 5. Universidad; $413 7. $294 9. (a) 59%; (b) 20%; (c) 145 11. (a) 20 a 29; (b) 1; las respuestas pueden variar; (c) Menos de 50 años; (d) 90; población menor 13. (a) 39; (b) 29; (c) 0.20–0.29; 14 15. (a)

Llamadas no deseadas 50

Frecuencia (porcientos)

1. $90; $1.35; $141.35 3. $109.39; $1.64; $185.01 5. $303.93; $4.56; $557.48 7. $200; $3; $453 9. (a) $1.28; (b) $236.28; (c) $11.81 11. (a) $5.16; (b) $409.16; (c) $20.46 13. (a) $1.21; (b) $180.39; (c) $10 15. (a) $0.84; (b) $92.73; (c) $10 17. (a) $50; $143.12; (b) $87.50; (c) $6262.80 19. (a) $50; (b) $61; (c) $3320 21. (a) $100; (b) $122; (c) $6640 23. (a) $47,500; (b) $2500; (c) $38.92; $277.08 25. (a) $500; $99.55; $99,900.45;(b) $499.50; $100.05; $99,800.40 27. (a) $875; $122.95; $149,877.05; (b) $874.28; $123.67; $149,753.38 29. $225,000 31. (a) $144,798; 1 1 } (b) $269,798 33. $5.00 35. } 12 37. 4 39. Préstamo 41. (a) $1000; (b) $200 43. (a) $150; (b) $2.25; (c) $212.25; (d) $10.61 45. 50 47. 700

41%

40

(b) 28%

30 20

15%

12%

10 0

1–2

0

3–5

6–y más

Número de llamadas 1–2; (c) 15 17. (a)

Gastos diarios de viaje $401

Manhattan

Ciudad

Ejercicios 5.6

3

Moscú

$407

Ginebra

$410 $498

Londres

0

100

200

300

400

500

600

Costo por día (3 comidas y hospedaje por noche)

RS-7

Promedio de gastos en ropa de los hombres entre 16 y 25 años

25. 300

294

Suma en dólares

290 280 270

262

260 250

Promedio de gastos en entretenimiento de los menores de 25 años

33. 1200

1100 1050

1091

1051

1000 974 950

247

240 900

230

1

221

220

2

3

4

5

Año

210

209

200

1

2

3

4

Promedio de gastos en seguro médico de las personas menores de 25 años

35.

5

Año 600

4000

Suma en dólares

Promedio de gastos en comida de los menores de 25 años

27.

3800 3724

Suma en dólares

1152

1149

1150

Suma en dólares

(b) Londres; (c) Manhattan; (d) $97 19. (a) 3 y 4; (b) 5; (c) 5 21. (a) Alrededor de 47%; (b) Alrededor de 33%; (c) Alrededor de 14%; (d) Alrededor de 20%; (e) 1980–1982 23. (a) 1982; 2001; (b) 28%; (c) 2001

3600 3354

3400 3200

530 500

504

450

3213

3075

551

550

445 425

3000

400

2838 2800

1

2

3

4

5

37.

Año 29.

1

2

3

4

5

Año

2600

Salario anual promedio de las personas entre 25 y 34 años

Promedio de gastos en frutas frescas de los menores de 25 años

47,000

46,301

46,000 146

145 142

140 137

136

135 130

Suma en dólares

150

Suma en dólares

RS-7

Respuestas seleccionadas

45,000 44,000 42,770

43,000 42,000 41,000 40,000 38,000

125

37,000

124 120

1

2

3

4

39,372

38,548

39,000 37,455 1

2

3

4

5

Año

5

Año

Promedio de gastos en alojamiento de los menores de 25 años

31. 8000

7585

Suma en dólares

7500 7109 7000 6585 6500 6151

6000 5860 5500 5000

1

2

3

Año

4

5

RS-7

RS-8

RS-8

Respuestas seleccionadas

39.

Promedio de pagos anuales por impuesto a los ingresos de las personas entre 25 y 34 años

15.

Suma en dólares

Ahorros 15%

2588

2567

Otros 10%

Vestido 10%

2700 2600

Presupuesto familiar (mensual)

Alimentación 40%

2500

Vivienda 25%

2400 2316

2300

2266

2200

17.

2205

2100

1

2

3

4

Trabajo en la cocina 12.5%

Cuidado de la familia 25%

5

Año 41. 3%; No

Tareas del hogar hechas por los esposos (semanalmente) Reparaciones en el hogar 37.5%

45. Proporcional

47.

Promedio de pagos anuales por seguro de vehículos de las personas menores de 25 años 19.

500 479

475

Suma en dólares

Compras 25%

Camionetas 8%

450 425

Compactos 21%

408 400

Grandes 29% 1

2

3

4

5

Año

21.

Uso de internet de los estudiantes Uso para el trabajo 3%

Porciento proyectado de rangos de edad en Estados Unidos para el 2050

49.

Uso personal 63%

19%

65


Edad

Sedán 35%

383

350

Otros 7%

449

449

375

Uso para la escuela 34%

62%

15 – 64

23.

19%

0 –14

0

10

20

30

40

50

60

Porciento 51. (a) 47%; (b) 57%; (c) Septiembre 7–10 53. 110

55. 25

Ejercicios 6.3 1. (a) Bus; (b) Bicicleta; (c) 71% 3. (a) Cheddar; (b) Suizo; (c) Mozzarella 5. (a) Sanitario; (b) 85 galones; (c) Grifo; (d) 30 galones 7. (a) Papel; (b) Cortadora de césped; (c) 20 libras; (d) 9 libras 9. (a) Petróleo;(b) Nuclear; (c) Gas natural 11. Comida 13. Libros

RS-8

Tipo de carro que tienen las familias con un carro

70

Castigo por el uso de software sin licencia o piratería Suspensión 5% Multa 12% Sin penalidad 14%

No están seguros 4% Quedarse sin uso de la computadora 50%

A prueba (académica) 15% 25. 144 27. 54 31. Círculo 33. 34% 35. 65 37. 2.51 39. 1.5

RS-9

}

1. 9 3. 15.16 5. 9 7. 12.5 9. 5 y 52 11. 11 13. (a) Media: $4.61, mediana: $4.41, moda: ninguna; (b) No; (c) Las respuestas pueden variar; (d) Media y mediana 15. 1.85 17. (a) Media: 43,216.4, mediana: 40,827, moda: ninguna; (b) Las mediana de las respuestas puede variar. 19. (a) Rodríguez $26,000,000, Jeter $21,000,000, Giambi $20,000,000, Bonds $20,000,000, Bagwell 19,000,000, Mussina $19,000,000, Ramírez $18,000,000, Helton $17,000,000, Pettitte $16,000,000, Ordóñez $16,000,000; (b) Media: $19,200,000, mediana: $19,000,000, moda: $20,000,000; $19,000,000; $16,000,000; (c) Las tres son buenas mediciones porque están muy cerca (las respuestas variarán) 21. (a) Park $15,000,000, Milton $10,000,000, Kendall $12,000,000, Matsui $8,000,000, Casey $9,000,000; (b) Media: $10,800,000, mediana: $10,000,000, moda: ninguna; (c) Las respuestas pueden variar. 23. Media: $51,117.50, mediana: $51,785.50 25. (a) Media: 2440.2 (miles), mediana: 1175 (miles); (b) Media: 1523.6 (miles), mediana: 803 (miles) 27. Moda 31. Media 33. Par, mediana, promedio 35. Moda 37. 22.2W 39. 28 41. Internet 43. 5 45. 2 47. 105

7. [6.2C] (a) Alrededor de 12,500,000; (b) Alrededor de 25,000,000; (c) Alrededor de 50,000,000; (d) Alrededor de 75,000,000; (e) Alrededor de 80,000,000 8. [6.2D]

Pronóstico de gastos en línea para niños Cantidad (billones de dólares)

Ejercicios 6.4

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2002

2003

2004

2005

2006

2007

Año 9. [6.3A] (a) 13%; (b) 42%; (c) 22%; (d) Hogar; (e) 20% 10. [6.3A] (a) 100; (b) 130; (c) 130; (d) 220; (e) 420

Ejercicios de repaso 1. [6.1A] (a) 42%; (b) 39%; (c) $1514.44; (d) $1878.16; (e) $0.01 2. [6.1B] (a) McDonald’s; (b) Wendy’s; (c) 200; (d) 550; (e) 100 3. [6.2A] (a) Edades 18–24; (b) Edades 25–34; (c) 44%; (d) 10%; (e) 37% 4. [6.2B]

Consumidores que descargaron música y dicen que están comprando más música

11. [6.3B]

Formas en que vamos al trabajo Transporte público 5% Otro 15%

Comparten carro 10%

50 40

Porciento

RS-9

Respuestas seleccionadas

Conduce solo 70%

30

25%

28%

25%

22%

20

12. [6.4A, B, C] (a) 93 centavos; (b) 99 centavos; (c) 99 centavos; (d) 94 centavos; (e) 99 centavos 13. [6.4A, B, C] (a) 15 gramos; (b) 14 gramos; (c) Ninguno; (d) 16 gramos; (e) 16 gramos 14. [6.4A] 2.8 15. [6.4A] 3.0

10 0

12–17

18–24

25–34

35–44

Repaso acumulativo capítulos 1–6

Edad

13

5. [6.2B]

Número de usuarios de teléfonos celulares por año

1 4 } } 1. 6510 2. 7 3. Propia 4. 3}18 5. } 6. } 6 25 7. 5  15 3 3 9 25 1 8. z  }4  }8, z  }8  1}8 9. 4} 32 10. Trescientos cincuenta y dos y 7 5 1 } } cincuenta y un centésimas 11. 60  4  } 10  100  1000 9

26

180

2005 170

Año

2004 160

2003 140

2002

Capítulo 7

120

2001 100

12. 528.92 13. 0.7787 14. 600 15. 749.9 16. 615.38 17. } 33 } } 18. 0.3 19. 9.568  9.568  9.568 20. 21. 4.2 22. 9 7 28 4 1 } } 26. Sí 27. x  } 28. p 15 23. 13.2 24. } 25 25. 7  x 2 29. 26 millas por galón 30. 12¢ 31. 4 libras 32. 39 onzas 33. 0.67 34. 0.0375 35. 9% 36. 48 37. 36 38. 50% 39. 30 40. $18.72 41. $67.50 42. 27% 43. Alrededor de 26 pulgadas 44. 7 grados 45. 50% 46. 2 47. 9 48. 18

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Número de usuarios (en millones) 6. [6.2C] (a) Alrededor de 175,000,000; (b) Alrededor de 200,000,000; (c) Alrededor de 250,000,000; (d) Alrededor de 300,000,000;(e) Alrededor de 325,000,000

Ejercicios 7.1 3

1. 144 3. 90 5. 84 7. 4}61 9. 7 11. }14 13. }4 15. 10 17. 12}13 19. 1 21. 48 23. 3 25. 5280 27. 1760 29. 1 31. (a) 36 pulgadas; (b) Sí 33. (a) 30 pulgadas; (b) Sí 35. 4029 yardas 37. 265 pulgadas 39. 1 milla 41. 141 pulgadas 43. 64 pulgadas 45. 10,560 pies por hora

RS-9

RS-10

RS-10

Respuestas seleccionadas

1. 5000 3. 1.877 5. 0.4 7. 490 9. 1.82 11. 2200 13. 3000 15. 2.358 17. 300 19. 6.7 21. c 23. a 25. b 27. 0.6 29. 160 31. 5000 pasos 33. (a) 110 cm, 320 cm, 150 cm; (b) Elefante africano: 320 cm, chimpancé: 110 cm, cebra: 150 cm 35. (a) 2.40 m, 0.76 m, y 0.17 m; (b) cabeza de cobre: 0.76 m, salamandra tigre: 0.17 m, boa de Madagascar: 2.40 m 37. (i) d; (ii) e; (iii) b; (iv) c; (v) a 41. Sustituir 43. 9240 45. 0.3 47. 2.3 49. 182.88 51. 80 53. 4

(e) 60,000 15. [7.4A] (a) 2,000,000; (b) 3,000,000; (c) 4,000,000; (d) 5,000,000; (e) 6,000,000 16. [7.4B] (a) 288; (b) 432; (c) 576; (d) 720; (e) 864 17. [7.4B] (a) 1; (b) 2; (c) 2.5; (d) 3; (e) 3.5 18. [7.4B] (a) 4840 yd2; (b) 14,520 yd2; (c) 9680 yd2; (d) 7260 yd2; (e) 19,360 yd2 19. [7.4C] (a) 12.35; (b) 9.88; (c) 2.47; (d) 7.41; (e) 4.94 20. [7.5A] (a) 7; (b) 9; (c) 10; (d) 13; (e) 2.2 21. [7.5B] (a) 4000; (b) 7000; (c) 9000; (d) 2300; (e) 5970 22. [7.5B] (a) 0.452; (b) 0.048; (c) 0.003; (d) 1.657; (e) 0.456 23. [7.5C] (a) 960; (b) 1200; (c) 1440; (d) 1680; (e) 2160 24. [7.5C] (a) 0.5; (b) 1.5; (c) 2; (d) 2.5; (e) 3 25. [7.5C] (a) 3600; (b) 5400; (c) 7200; (d) 9000; (e) 10,800 26. [7.5C] (a) 105; (b) 120; (c) 50; (d) 55; (e) 65 27. [7.6A] (a) 48; (b) 64; (c) 80; (d) 96; (e) 112 28. [7.6A] (a) 1; (b) 1.5; (c) 2; (d) 2.5; (e) 3 29. [7.6A] (a) 4000; (b) 6000; (c) 8000; (d) 10,000; (e) 12,000 30. [7.6A] (a) 1.5; (b) 2.5; (c) 3.5; (d) 4.5; (e) 9 31. [7.6B] (a) 100; (b) 300; (c) 500; (d) 400; (e) 200 32. [7.6B] (a) 0.307; (b) 0.040; (c) 3.245; (d) 0.002; (e) 10.342 33. [7.6C] (a) 2.2; (b) 15.4; (c) 13.2; (d) 8.8; (e) 17.6 34. [7.6C] (a) 0.45; (b) 1.35; (c) 2.7; (d) 1.8; (e) 4.5 35. [7.6D] (a) 0; (b) 5; (c) 10; (d) 15; (e) 100 36. [7.6D] (a) 50; (b) 59; (c) 68; (d) 77; (e) 86

Ejercicios 7.3

Repaso acumulativo capítulos 1–7

1. 121.92 3. 27.42 5. 144 7. 8 9. 660 11. 6.2 13. 89.6 15. 9700 17. 62 19. 36-24-36 21. 2.8 pulgadas por siglo 23. 2.54 cm 25. 1.178 o alrededor de 1.2 27. 24 29. Mayor 31. Más pequeña 33. 24.8 35. 96 37. 2.179 39. 731.2 41. 240 43. 12.4 45. 3 47. 9.88

1. 2910 2. 6 3. 5}61 4. } 5. 727.92 6. 0.08048 7. 549.9 3 8. 384.62 9. 0.25 10. y  4 11. z  35.1 12. No 13. 3}1 14. 45 onzas 15. 0.12 16. 0.0725 17. 20 18. 2 19. 50% 20. 20 21. $212.50 22. Buses y camiones 23.

47. (a) 2 yardas por segundo; (b) 120 yardas 49. 23,178; las 4.55-millas  24,024-pies 51. 34 yardas por segundo 53. 33}31 pies por segundo 55. (a) 833}31 yardas; (b) Para probar esto, debes saber que 1 milla  1760 yardas (ver problema 27) 60(1760 yardas) 176 yardas 60 millas } 3600 segundos  6 segundos hora 1 833 }3 yardas (c) 29 yd/ segundo  29 segundos 57.



29 yardas segundo

194,040 pies

63. Métrico y Americano 65. 78 67. 6 71. 6}14 73. 4.232 75. 8350 77. 46.5

69. 8}13

Ejercicios 7.2

13

Ejercicios 7.4 1. 3,000,000 3. 288 5. 3 7. 6 9. 9680 11. 7.41 13. 20,000 15. 17,139 17. 8,373,200 19. (a) 1500; (b) 166}32 21. 2.87 23. 2.96 25. 5214 27. 14}32 29. 9000 31. 3 1 } 33. Un metro cuadrado. 35. 6 37. 432 39. 9.88 41. 48,400 43. 212

Ahorros Vivienda Alimentación

Vestimenta

Ejercicios 7.5 1. 3 3. 2 5. 2 7. 20 9. 8 11. 0.177 13. 3.847 15. 2.05 17. 5.5 19. 60 21. 700 23. 6000 25. 500 27. 4000 29. 900 31. (a) 0.2 litros; (b) 1.8 litros 33. 1.5 35. 5 37. 10 39. 480 41. 450 43. 15 45. 8 47. (a) 50 fl onzas por día; (b) 6}41 tazas por día 49. (a) 3120 mililitros; (b) 104 fl onzas 51. (a) 16; (b) 3.2; (c) 4.6875 55. cm 57. (a–b) 750 59. 1.25; 240 61. 10,000 63. 5 65. 2.7

Ejercicios 7.6 1. 48 3. 72 5. 4 7. 4.5 9. 8000 11. 5000 13. 1.5 15. 2 17. 200,000 19. 200 21. 200 23. 50 25. 0.899 27. 0.030 29. 0.57 31. 8.8 33. 22 35. 0.9 37. 100 39. 0.45 41. 15 43. 25 45. 45 47. 50 49. 95 51. 1832 53. 40 55. 72 57. 158 59. 52  2.2  114 61. 100 to 200 63. 23,949 65. 59 67. 71 69. 83 71. 61 73. 70 77. Gramo 79. 104° 81. 17.6 83. 0.384 85. 6 87. 10 89. 130 91. 74

Ejercicios de repaso 1. [7.1A] (a) 72; (b) 108; (c) 144; (d) 216; (e) 252 2. [7.1A] (a) 1; 5 5 7 1 1 1 } } } } } (b) 2; (c) 3; (d) 3}31; (e) 5} 12 3. [7.1A] (a) 6; (b) 4; (c) 12; (d) 12; (e) 16 2 2 4. [7.1A] (a) 2; (b) 4; (c) 6; (d) 6}3; (e) 9}3 5. [7.1A] (a) 1; (b) 2; (c) 5; (d) 4; (e) 3 6. [7.2A] (a) 2000; (b) 7000; (c) 4600; (d) 450; (e) 45,000 7. [7.2A] (a) 20; (b) 30; (c) 70; (d) 90; (e) 100 8. [7.2A] (a) 1000; (b) 3000; (c) 3500; (d) 4500; (e) 6000 9. [7.2A] (a) 2; (b) 3.95; (c) 4.05; (d) 2.34; (e) 4.99 10. [7.3A] (a) 76.2; (b) 101.6; (c) 1524; (d) 1828.8; (e) 2133.6 11. [7.3A] (a) 91.4; (b) 182.8; (c) 319.9; (d) 411.3; (e) 457 12. [7.3A] (a) 48; (b) 80; (c) 144; (d) 160; (e) 400 13. [7.3A] (a) 24.8; (b) 31; (c) 37.2; (d) 43.4; (e) 49.6 14. [7.4A] (a) 20,000; (b) 30,000; (c) 40,000; (d) 50,000;

RS-10

24. 43% 25. Al rededor de 34 pulgadas 26. 5 grados 27. 5 2 } 30% 28. 6 29. 8 30. 25 31. 432 pulgadas 32. 1} 12 pies 33. 153 yardas 34. 5 millas 35. 96 pulgadas 36. 2000 m 37. 50 m 38. 1500 decímetros 39. 45.7 m 40. 105.6 km 41. 62 millas 42. 19,360 yardas2 43. 14.82 acres

Capítulo 8 Ejercicios 8.1

1. Rayo ###$ RS 3. Segmento de línea TU 5. Línea @##$ PQ o @##$ QP CD \\ @##$ EF 9. Línea @##$ EF se intersecta con la línea @##$ CD en el 7. Línea @##$ punto G. 11. F, P, QPR 13. BAC o CAB 15. EAF o FAE 17. Agudo 19. Recto 21. Llano 23. DAB, DAF 25. FAB 27. DAE 29. CAD 31. EAB 33. 75° 35. 55° 37. Rectángulo escaleno 39. Acutángulo escaleno 41. Acutángulo isósceles 43. Obtusángulo escaleno 45. 558 47. 158 49. 258 51. 908 53. Agudo 55. Agudo 57. Obtuso 59. Agudo 61. 458 63. Obtuso 65. Recto 67. Isósceles Acutángulo 69. 458 71. 1388 73. Rap 75. 3 77. 908 79. 368 81. Un rayo tiene un punto final, una línea no tiene un punto final. 83. No 89. Línea 91. || 93. Ángulo 95. Llano 97. Obtuso 99. Suplementario 101. P, Q, M 103. PQ, ON, NM 105. ###$ PN 107. (a) Obtusángulo escaleno; (b) Rectángulo isósceles; (c) Acutángulo equilátero; (d) Acutángulo isósceles 109. 1458 111. W, C, DCE o ECD 113. 16.6 115. 13

Ejercicios 8.2 3

1. 20 pies 3. 8.6 cm 5. 16}4 pulgadas 7. 21 cm 9. 17}13 11 1 } yardas 11. 9 pies 13. 11} 12 yardas 15. 74 pies 17. 78.6 m

RS-11

RS-11

Respuestas seleccionadas

19. 98.6 km 21. 9.42 cm 23. 10.99 pies 25. 13.188 m 27. 7.536 millas 29. 1110 m 31. 4404.8 pies 33. 102.8 pulgadas 35. 188.4 cm 37. 320 yardas 39. 52 yardas 41. 489 millas 43. 564 millas 47. Circunferencia 49. 2512 millones de km 15 51. 21 cm 53. 9.2 cm 55. 21 pies 57. 150 59. } 2

Ejercicios 8.3 1. 150 pies2 3. 6 pulgadas2 5. 72 cm2 7. 81 pulgadas2 9. 81 yardas2 11. 28 cm2 13. 175 mm2 15. 10 pies2 3 17. 30 pulgadas2 19. 20 km2 21. 15 pulgadas2 23. 13}4 cm2 25. 60 m2 27. 45 yardas2 29. 11}12 pulgadas2 31. 5625 pies2 33. 195 pies2 35. 50.24 pulgadas2 37. 153.86 cm2 39. 3.14 m2 41. 24 pies2 43. 28 pies2 45. 30 pies2 47. 957 cm2 49. 3.87 cm2 51. 8100 pies2 53. 5024 pies2 55. 21,226,400 pies2 57. 113.04 m2 59. 314.00 pulgadas2 61. 1256.00 pies2 63. 14.13 pies2 65. 2289.06 pies2 67. 792 yardas2 69. 6400 m2 71. 15 pulgadas2 73. 27.56 pulgadas2 75. 3 pulgadas2 77. Dos pizzas pequeñas 79. la 81. bh 83. 11,304 pies2 85. 18 cm2 87. 100 cm2 10 89. 24 m2 91. } 93. 220 3

Ejercicios 8.4 3

128}14

3

3

1. 240 cm 3. pulgadas 5. 7904 pulgadas 7. 440 pulgadas3 9. 120 yardas3 11. 1350 galones 13. 8 galones 15. 2512.0 pulgadas3 17. 6280.0 cm3 19. 31.8 m3 21. 3.14 pies3 23. 35.33 pulgadas3 25. 12,560.0 pies3 27. 28.3 pulgadas3; 17 onzas 29. 434,073.6 galones 31. 6,782,400.0 galones 33. 628.0 pulgadas3 35. 52,333.3 pies3 37. 0.5 m3 39. 76.9 cm3 41. 11,134,944 pies3 43. (a) 1232 pies3; (b) 63 pies3; (c) No; 1300 . 1295 45. (a) 20,569.1 pulgadas3 ø 11.9 pies3; (b) 10,284.6 pulgadas3 ø 6 pies3 47. (a) 17,280 pulgadas3 5 10 pies3; (b) 11,520 pulgadas3 ø 6.7 pies3 49. 14,130,000 pies3 51. 0.9 pies3 53. 63.6 pies3 55. 7.9 edificios 57. 100.5 pulgadas3 59. 25.1 pulgadas 63. lah 65. }43Rr3 67. 376.8 cm3 69. 38.8 pulgadas3 71. 25.1 pulgadas3 73. 185

Ejercicios 8.5 1. 10 3. 14 5. 19 7. 20 9. 13 11. 2.828 13. 3.317 15. 4.796 17. 5.385 19. 10.392 21. 11.662 23. 15 25. 20 27. 47.170 29. 45.122 31. 12 pulgadas 33. 12 pulgadas 35. 2.236 pies 37. 4.472 m 39. 0.533 m 41. 247.024 pies 43. 118.811 pies 45. 17.804 cm 47. 126 pies 49. 310 pies 3 5 1 2 2 2 } } 51. (a) 5} 57. 8.660 11; (b) 511; (c) 511 55. a 1 b 5 c 59. 7.810 61. 4.583 63. 13 65. 4 67. 14

Ejercicios de repaso 1. [8.1A] (a) A; (b) B; (c) C; (d) D; (e) E 2. [8.1A] (a) @##$ AB; (b) @##$ EC 3. [8.1A] (a) AB; (b) AD; (c) DB; (d) ED; (e) DC AB y @##$ EC 5. [8.1A] (a) ###$ AD; (b) ###$ BD (las respuestas pueden 4. [8.1A] @##$ variar) 6. [8.1B] (a) C, A, CAB o BAC; (b) F, D, EDF o FDE; (c) I, G, HGI o IGH; (d) L, J, KJL o LJK; (e) O, M, NMO or OMN 7. [8.1C] (a) Agudo; (b) Agudo; (c) Recto; (d) Llano; (e) Obtuso 8. [8.1D] (a) 808; (b) 758; (c) 708; (d) 608; (e) 108 9. [8.1D] (a) 1708; (b) 1658; (c) 1608; (d) 1508; (e) 1008 10. [8.1E] (a) Acutángulo equilátero; (b) Acutángulo isósceles; (c) Recto isósceles; (d) Obtusángulo escaleno; (e) Rectángulo escaleno 11. [8.1F] (a) 1108; (b) 908; (c) 708; (d) 508; (e) 308 12. [8.2A] (a) 16.6 m;(b) 14.6 cm; (c) 15.2 pulgadas; (d) 18.6 yardas; (e) 20.6 pies 13. [8.2A] (a) 15 m; (b) 19 yardas; (c) 15 pies; (d) 17 cm; (e) 12 pulgadas 14. [8.2B] (a) 37.68 cm; (b) 50.24 cm; (c) 62.8 pulgadas; (d) 75.36 pulgadas; (e) 87.92 pies 15. [8.3A] (a) 30 m2; (b) 56 m2; (c) 24 pulgadas2; (d) 21 pulgadas2; (e) 108 pulgadas2

16. [8.3B] (a) 60 pulgadas2; (b) 40 pulgadas2; (c) 24 cm2; (d) 12 m2; (e) 4 m2 17. [8.3C] (a) 6 pulgadas2; (b) 7.5 cm2; (c) 8 m2; (d) 35 pies2; (e) 64 m2 18. [8.3D] (a) 8 pulgadas2; (b) 60 pies2; (c) 12 m2; (d) 15 cm2; (e) 28 m2 19. [8.3E] (a) 153.86 pulgadas2; (b) 3.14 cm2; (c) 28.26 pulgadas2; (d) 12.56 pies2; (e) 78.5 yardas2 20. [8.4A] (a) 84 cm3; (b) 60 cm3; (c) 40 cm3; (d) 90 cm3; (e) 70 cm3 21. [8.4B] (a) 18.84 pulgadas3; (b) 21.98 pulgadas3; (c) 25.12 pulgadas3; (d) 113.04 pulgadas3; (e) 125.60 pulgadas3 22. [8.4C] (a) 904.32 pulgadas3; (b) 1436.03 pulgadas3; (c) 2143.57 pulgadas3; (d) 3052.08 pulgadas3; (e) 4186.67 pulgadas3 23. [8.4D] (a) 1570 pulgadas3; (b) 803.84 pulgadas3; (c) 339.12 pulgadas3; (d) 100.48 pulgadas3; (e) 12.56 pulgadas3 24. [8.4E] (a) 1,764,000 m3; (b) 1,866,240 m3; (c) 1,936,000 m3; (d) 1,953,640 m3; (e) 2,025,000 m3 25. [8.5A] (a) 5; (b) 3; (c) 11; (d) 15; (e) 13 26. [8.5A] (a) 1.414; (b) 2.828; (c) 3.464; (d) 4.690; (e) 4.123 27. [8.5B] (a) 13 cm; (b) 5 cm; (c) 15 cm; (d) 20 cm; (e) 25 cm 28. [8.5B] (a) 3.606 cm; (b) 4.472 cm; (c) 6.403 cm; (d) 6.708 cm; (e) 7.071 cm 29. [8.5B] (a) 4; (b) 6.928; (c) 7.483; (d) 8; (e) 8.944

Repaso acumulativo capítulos 1–8 1. 10 2. 727.92 3. 750 4. 307.69 5. y  6 6. z 17.6 7. j  5}1 8. 0.89 9. 45 10. 25% 11. 60 12. $78 13. Automóviles 14. Vivienda

Ahorros

Familia

Vestimenta

15. 10% 16. 5 grados 17. 40% 18. 18 19. 20 20. 21 3 21. 396 pulgadas 22. }4 pies 23. 2}13 yardas 24. 60 pulgadas 25. 4000 m 26. 20 m 27. 1400 dm 28. 48,400 yardas2 29. 15.8 pulgadas 30. 37.68 cm 31. 120 cm2 32. 200.96 cm2 33. 168 pulgadas2 34. 72 cm3 35. 904.32 pulgadas3 36. Agudo 37. 1258 38. 60 39. c 5 5

Capítulo 9 Ejercicios 9.1 1. (a) 0, 1, 3; (b) 1, 3 3. 25, 22, 0, 1, 3 5. Indica cambios en la población desde el 2000 7. (a) 1$50 millones (o $50 millones); (b) 2$30 millones 9. (a)


5
4
3
2
1

0

1

2

3

4

5

(b) ., . 11. 0 13. 17 15. 2 17. 11 19. 30 21. 3 23. 1 25. 4 27. 6 29. 0 31. 2 33. 7 35. 5 37. 213 39. 8 41. 211 43. 220 45. 24 47. 12 49. 4 51. 16,000 pies 53. 73C 55. 35008C 57. 1458F 59. Noveno piso 61. 119; 525 63. 153; 559 65. 4 67. 0 69. Alrededor de $27,000; 36–40 71. 46–50 73. Alrededor de2$12,000 75. (a) $231 billones; (b) 2$158 billones; (c) $389 billones 77. (a) 2$307 billones; (b) 2$412 billones; (c) $105 billones 79. 799 81. 284 83. 2262 89. 21, 22, 23, . . . 91. b . a 93. distancia 95. suma 97. (a) 8; (b) 4; (c) 0 99. 2 101. (a) 212; (b) 24; (c) 4 103. Q1 2003, 22% 105. (a) 180 puntos u 80 puntos; (b) 2$100,000 107. 5 4 3 2 1

109. .

0

1

2

3

4

5

111. 25 113. 72

RS-11

RS-12

RS-12

Respuestas seleccionadas

Ejercicios 9.2 1. 32 3. 256 5. 210 7. 20 9. 70 11. 5 13. 24 15. 25 17. 210 19. 220 21. 7 23. 14 25. 0 27. 0 29. No definido 31. 16 33. 225 35. 2216 37. 81 39. 2125 41. 60 43. 40 45. 230 47. 120 49. 248 51. $2 53. 15 ganancia 55. 100 ganancia 57. $30 59. $250 61. 5(24); 220ºF 63. 15(24); 260ºF 65. 5(27); 235ºC 67. 70ºF 214(4) o 70ºF 1 14(24); 14ºF 69. 222ºC 71. 23 73. 0 75. 0 79. Positivo 81. 0 83. (a) 100; (b) 2100 85. (a) 6; (b) 24; (c) 23; (d) 4 87. (a) 60; (b) 30

9

10

89. }5

91. } 7

7

Ejercicios 9.3 7

1. 2}3 3. 6.4 15. 25.4 31

29. 2} 18 43. 2.86 1 57. 2}2 or

1

4

1

5. 23}7 7. }5 9. 3.4

11. 1}2 13. 24.7

1 17. 28.6 19. 21. 23. 2} 12 4 31. 22.6 33. 5.2 35. 23.7 37. }7 25 15 21 1 } 51. 2} 45. 2} 42 47. } 20 4 49. 2 4 1 20.5 59. }6 3 }7

1 2}2

61. 63. 65. }

Ï16

0

3

7 } 12

13 2} 21

25. 27. 29 39. 2} 12 41. 27.26 4

5

53. }7 55. 2}7

67. }

0.68

Número natural



Número cardinal







Entero







Número racional



















Número irracional Número real

69. Š, número natural, número cardinal 71. Š, entero, número racional 73. 21.35 75. 23.045 77. 5.425 81. 2a 83. Positivo 13 6 9 b 1 85. }a, a p 0 87. 2} 10 89. 1} 5 91. } 17 93. 7} 11 95. 20.3 7 1 1 } } 97. 23.5 99. } 30 101. 29.5 103. 224 105. 6.24 107. 22 9 109. }7 111. 22 113. 0.25 o }14 115. (a) (b) (c) (d) 8 9 Ï} 3.2 } 21 9

Número natural



Número cardinal

 

Entero Número racional















Número irracional Número real 117. 58

(a) (b) (c) (d)

4

95. 0.07 o } 5 100 97. 0.8 o }

93. 2.56

población desde 2000 hasta 2050 (en millones) 3. [9.1A] (a) 129 8F; (b) 263 8C; (c) 2$53; (d) 2$8 trillones; (e) 210,897 m 4. [9.1A]



119. 4

Ejercicios 9.4 1. 2 3. 24 5. 217 7. 17 9. 59 11. 22 13. 21 15. 1 17. 0 19. 222 21. 1 23. 224 25. 233 27. 11,800 29. 21 31. 31 33. 36 35. 87 37. (a) 144; (b) 126 39. (a) 78.5 pulgadas2; (b) 10.2 centavos 41. (a) 153.86 pulgadas2; (b) 8.1 centavos 43. Una respuesta posible: 3 1 2 ? 5  6 45. Una respuesta posible: 1 1 (2 2 3 2 4 2 5 1 6 1 7 1 8) ? 9 47. No 51. Exponente 53. División 55. Resta 57. 212 59. 221 61. 5 63. 119 65. 45 67. 30

(e)

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

5. [9.1A] (a) ,; (b) .; (c) ,; (d) ,; (e) . 6. [9.1B] (a) 210; (b) 211; (c) 212; (d) 213; (e) 214 7. [9.1B] (a) 9; (b) 8; (c) 7; (d) 6; (e) 5 8. [9.1C] (a) 7; (b) 8; (c) 9; (d) 10; (e) 11 9. [9.1E] (a) 213; (b) 212; (c) 211; (d) 210; (e) 29 10. [9.1E] (a) 27; (b) 26; (c) 25; (d) 24; (e) 23 11. [9.1E] (a) 10; (b) 9; (c) 8; (d) 7; (e) 6 12. [9.1F] (a) 218; (b) 219; (c) 220; (d) 221; (e) 222 13. [9.1F] (a) 28; (b) 27; (c) 29; (d) 26; (e) 25 14. [9.1F] (a) 25; (b) 26; (c) 27; (d) 28; (e) 29 15. [9.2A] (a) 224; (b) 230; (c) 236; (d) 242; (e) 248 16. [9.2A] (a) 40; (b) 48; (c) 56; (d) 64; (e) 72 17. [9.2A] (a) 225; (b) 230; (c) 235; (d) 240; (e) 245 18. [9.2A] (a) 229; (b) 224; (c) 219; (d) 214; (e) 29 19. [9.2A] (a) 26; (b) 24; (c) 23; (d) 22; (e) 21 20. [9.2A] (a) 3; (b) 5; (c) 7; (d) 9; (e) 11 21. [9.2B] (a) 16; (b) 25; (c) 36; (d) 49; (e) 64 22. [9.2B] (a) 216; (b) 225; (c) 236; 3 5 6 4 (d) 249; (e) 264 23. [9.3A] (a) 2} 11; (b) 2} 11; (c) 2} 11; (d) 2} 11; 7 (e) 2} 11 24. [9.3A] (a) 3.4; (b) 4.5; (c) 5.6; (d) 6.7; (e) 7.8 1 1 1 1 1 2 25. [9.3A] (a) 3}2; (b) 4}2; (c) 5}2; (d) 6}2; (e) 7}2 26. [9.3B] (a) } 11; 3 5 6 4 1 1 1 (b) } 11; (c) } 11; (d) } 11; (e) } 11 27. [9.3B] (a) 3} 4; (b) 4} 4; (c) 5} 4; 1 1 (d) 6}4; (e) 7}4 28. [9.3B] (a) 5.1; (b) 6.2; (c) 7.3; (d) 8.4; (e) 9.5 29. [9.3C] (a) 25.6; (b) 25.5; (c) 25.4; (d) 25.3; (e) 25.2 30. [9.3C] (a) 23.1; (b) 23.2; (c) 23.3; (d) 23.4; (e) 23.5 31. [9.3C] (a) 25.3; (b) 25.4; (c) 25.5; (d) 25.6; (e) 25.7 1 3 5 6 2 4 } 32. [9.3C] (a) } 11; (b) } 11; (c) } 11; (d) } 11; (e) } 11 33. [9.3C] (a) 245; 16 31 11 26 } } } (b) 2} ; (c) 2 ; (d) 2 ; (e) 2 34. [9.3D] (a) 22.8; (b) 22.7; 45 45 45 45 (c) 22.6; (d) 22.5; (e) 22.4 35. [9.3D] (a) 4.3; (b) 4.4; (c) 4.5; 5 6 7 8 9 (d) 4.6; (e) 4.7 36. [9.3D] (a) } 11; (b) } 11; (c) } 11; (d) } 11; (e) } 11 13 5 19 7 3 37. [9.3D] (a) 2} 6 ; (b) 2} 2; (c) 2} 6 ; (d) 2} 2; (e) 2} 2 38. [9.3E] (a) 213.02; (b) 213.33; (c) 213.64; (d) 213.95; (e) 214.26 39. [9.3E] (a) 6.51; (b) 6.82; (c) 7.13; (d) 7.44; 8 10 16 4 14 (e) 7.75 40. [9.3E] (a) }9; (b) }9; (c) } 41. [9.3E] 9 ; (d) } 9 ; (e) } 9 5 15 10 15 20 11 } } } ; (c) 2 ; (d) 2 ; (e) 2 42. [9.3F] (a) 2} (a) 2}7; (b) 2} 7 7 7 14 2; 7 7 11 11 11 11 43. [9.3F] (a) 2}5; (b) 2} (b) 2} 5 ; (e) 2} 3 ; (c) 2} 4 ; (d) 2} 6 10; 7 7 7 (c) 2} 15; (d) 2} 20; (e) 2} 25 44. [9.3F] (a) 10; (b) 15; (c) 20; (d) 25; 2 2 1 2 1 (e) 30 45. [9.3F] (a) 2}3; (b) 2}2; (c) 2}5; (d) 2}3; (e) 2}7 1 46. [9.3F] (a) 22; (b) 23; (c) 24; (d) 25; (e) 26 47. [9.3F] (a) }2; 1 1 1 1 (b) }3; (c) }4; (d) }5; (e) }6 48. [9.3F] (a) 22; (b) 23; (c) 24; (d) 25; (e) 26 49. [9.3G]

(a) 3.7

(b) }

Ï121

Número natural



Número cardinal



Ejercicios de repaso

Entero



1. [9.1A] (a) 26, 24, 21; (b) 2, 5; (c) 0, 2, 5; (d) 2, 5; (e) 26, 24, 21, 0, 2, 5 2. [9.1A] (a) Cambio de precios en los mercados financieros; (b) Temperatura exterior; (c) Puntos más altos y más bajos en América del Norte; (d) Elevaciones en Nueva Orleans; (e) Cambio estimado de

Número racional

RS-12





(c)

(d)

(e)

0.56

3}15

Ï21



 

Número irracional Número real

}











RS-13

50. [9.4A] (a) 12; (b) 13; (c) 14; (d) 15; (e) 16 51. [9.4A] (a) 47; (b) 57; (c) 77; (d) 87; (e) 97 52. [9.4A] (a) 29; (b) 13; (c) 5; (d) 1; (e) 1 53. [9.4B] (a) 40; (b) 51; (c) 49; (d) 62; (e) 77

Repaso acumulativo capítulos 1–9 1. 10 2. 450 3. 692.31 4. y 8 5. z 39.6 6. c }14 7. 0.23 8. 32 9. 50% 10. 75 11. $162 12. Agricultura 13.

Vivienda

Ahorros

11. x 5 28

14. 4% 15. 2 grados 16. 47% 17. 6 18. 17 19. 4 20. 324 pulgadas 21. 1}13 pies 22. 5}23 yardas 23. 72 pulgadas 24. 1700 dm 25. 13.4 pulgadas 26. 50.24 pies 27. 160 cm2 28. 113.04 cm2 29. 261 pulgadas2 30. 200 cm3 31. 3052.08 3 pulgadas3 32. Obtuso 33. 125° 34. 7035. 10 36. 4}4 2 11 } 37. 9.8 38. 9.8 39. } 40. 4.3 41. 35 30 9 42. }13 43. }5 44. 81

Ejercicios 10.1 3. 23x2; 0.5x; 26 11. 210x 1 5y

13. y 5

19. y 5 212.4

1 } 5

3

5. x 5 27

7. y 5 } 10 9. x 5 6.1

15. x 5 22.3

21. z 5 22

10

37. y 5 2 47. x 5 1

17. x 5 216

23. x 5 2}12 ó 20.5

27. x 5 1.1 29. y 5 1.1 31. x 5 } 3 12 39. y 5 210 41. x 5 } 5 20 49. x 5 0 51. x 5 2} 3 11 59. y 5 } 61. (a) 2.8 1 6

}

25. y 5 }43 o 1.3

6

33. x 5 }5

35. x 5 1 10

43. y 5 2} 45. y 5 1 3 16

15

53. y 5 2} 55. x 5 } 3 2

57. y 5 }12 I 5 3.4; (b) Principio de la 1 resta; (c) I 5 0.6 (billones de galones) 63. (a) } 50T 5 2.8;

85. x 5 5 87. x 5 4 5.

1 }x; 5

3 2}4y; }18z

13. 24x2 1 16

17. 6x2 1 9x 1 15 19. 215x2 1 10x 1 15 29.

3. y 5 2}12

(b) Principio de la multiplicación; (c) T 5 140 (billones de galones) 65. $11067. $122 69. 70 pulgadas 73. Ecuación 75. a 2 c a b 5 b 2 c 77. c} 5 }c, c p 0 79. x 5 21 81. y 5 27 83. z 5 23

Capítulo 10 1. 2x; 23

1. 6.8 3 107 3. 2.93 3 108 5. 1.9 3 109 7. 2.4 3 1024 9. 2 3 1029 11. 235 13. 8,000,000 15. 6,800,000,000 17. 0.23 19. 0.00025 21. 1.5 3 1010 23. 3.06 3 104 25. 1.24 3 1024 27. 2 3 103 29. 2.5 3 1023 31. (a) 4.8 3 1010; (b) 48,000,000,000 33. 4.63 35. 2 3 107 37. 9.66 3 106  9,660,000 personas 39. 1.8 3 104 personas por km2 5 18,000 personas por km2 41. 5 3 102 5 500 segundos 43. 2.99792458 3 108 45. 3.09 3 1013 47. 3.27 51. Izquierda 53. 40 55. 2.5 3 1 105 57. 4,500,000,000 59. x 5 23 61. x 5 2} 10 63. x 5 20.5 65. x 5 23

1. x 5 22

Vestimenta

9. 3a 2 3b

Ejercicios 10.3

Ejercicios 10.4

Alimentación

23.

RS-13

Respuestas seleccionadas

6 6 }a 2 }b 1 6 25. 22x 1 2y 2 8 5 5 5 5 5 2}2a 1 5b 2 }2c 1 }2 31. 3(x 1 5)

7. 6x 1 3y 15. 212x2 1 18 21. 0.5x 1 0.5y 2 1.0

27. 20.3x 2 0.3y 1 1.8 33. 9(y 2 2) 35. 25(y 2 4)

37. 23(x 1 9) 39. b(x 2 y 1 z) 41. 10a 43. 6x 45. 10a2 47. 11x 49. 5y2 51. 5x 1 3y 53. 10x 2 3y 2 4 55. 2.4a 2 3b 2 7 5 b 61. 26a 2 13b 63. a 2 5b 57. }74a 2 }54b 59. }41x 2 } 11 65. 23b2 1 5a o 5a 2 3b2 67. 3a2 2 2b 69. 24b2 1 8a o 8a 2 4b2 71. 22 73. 28 75. 135 77. 8 79. 32 81. 29.5, 31.2, 32.9, 34.6, 36.3 83. 32.82, 33.34, 33.86, 34.38, 34.9 85. 716.2, 766.7, 817.2, 867.7, 918.2 87. 380.8, 393.4, 406, 418.6, 431.2 89. 9.72 millones 91. 10.92 millones 93. 19.5 millones 99. Términos 101. Trinomio 103. 2a 1 b 105. Evaluada 5 107. (a) 3x 1 y; (b) 22x 1 5y 109. (a) 4a; (b) 4a 1 6b; (c) }9a 1 }17b 111. (a) 3a 1 6b; (b) 10a 2 15b; (c) 4a 1 12b 2 4c 113. 9 25 ? 1 5 225 115. 1000 ? 1 ? 25 8 5 200,000

Ejercicios 10.2 1 1 1 1 1 1 23 } } } } } 1. (a) } 16; (b) x2 3. (a) 125; (b) y3 5. (a) 81; (b) z4 7. (a) 2 ; 23 25 25 25 25 (b) x 9. (a) 4 ; (b) y 11. (a) 3 ; (b) z 13. (a) 243; (b) x13 1 1 1 1 1 5 } } } } 15. (a) 4; (b) y 17. (a) 16; (b) x4 19. (a) 216; (b) } y7 21. (a) 64; 1 1 1 1 1 2 2 0 } } } } } (b) x10 23. x 25. y 27. a5 29. x2 31. x2 33. a5 35. b 5 1 1 1 1 1 3 3 } } 37. 243 39. } 45. } 51. 81 64 41. y2 43. x x2 47. x7 49. x y6 x9 1 1 1 1 6 } } } } } 53. 9 55. 64 57. 9 59. x9 61. y6 63. a 65. y6 67. } x4 1 1 12 12 } 69. } 75. $1259.71 77. $1464.10 x9y6 71. x12y6 73. x y

79. 11,397,000,000 km 81. $270,000,000 5 $270 millones 83. $28,100 85. (a) 123,454,321; (b) 12,345,654,321 87. (a) 52 5 25; (b) 72 5 49 93. 1 95. xm1n 97. xm?n a12 b12 1 1 10 } } 99. P(1 1 r)n 101. (a) 64; (b) } 103. (a) } x6; (c) a15; (d) b b8 ; (b) a12; a6 23 24 107. 73.1 109. 73,100 (c) } b8 105. (a) 6 ; (b) c

89. x 5 29

2000

91. } 93. 270 3

Ejercicios 10.5 Traduce esto 1. K 3. A 5. B 7. F 9. J 1. $18 3. 10,207 5. 10,196 7. $68 9. 10 11. 12 13. 27 galones 15. 700 pies 17. $36 19. 72 21. 8% 23. 8% 25. 21% 27. 4 29. 9 31. 3 horas 33. 8000 gigas 35. 500 empleados, 351 Administradores de TI 37. 175 SD, 155 LS, 133 IS 39. 800 adolescentes, 573 preadolescentes 41. 104 adolescentes, 69 preadolescentes 43. (a) TMB 5 12P; (b) 150 libras 45. (a) 700 5 0.20O; (b) 3500 calorías; (c) 1 libra 47. (a) C 5 920 h; (b) 2760 calorías; (c) La persona de 150 libras 49. (a) 170 libras; (b) 140 libras; (c) 119 libras 51. (a) P 5 0.067E; (b) 10.05 libras; (c) 140 libras 53. (a) 2170; (b) 2710; (c) 3070 55. (a) 3.3 libras; (b) 0.5 libras 57. (a) 893 millones de litros; (b) 3524 millones de litros; (c) 6155 millones de litros 59. (a) 310.8 millones; (b) 74 años; (c) 2080 (2006 1 74) 61. 6 63. 8 69. Lee 71. Traducir 73. Verificar 75. 4 77. 320 millas 79. 180 libras

Ejercicios de repaso 1. [10.1A] (a) 6x3; 23x2; 7x; 27; (b) 5x3; 24x2; 6x; 26; (c) 4x3; 25x2; 5x; 25; (d) 3x3; 26x2; 4x; 24; (e) 2x3; 27x2; 3x; 23 2. [10.1B] (a) 2x 1 4y; (b) 3x 1 6y; (c) 4x 1 8y; (d) 5x 1 10y; (e) 6x 1 12y 3. [10.1B] (a) 24x 1 8y 2 4z; (b) 25x 1 10y 2 5z; (c) 26x 1 12y 2 6z; (d) 27x 1 14y 2 7z; (e) 28x 1 16y 2 8z 4. [10.1C] (a) 3(x 2 4y); (b) 3(x 2 5y); (c) 3(x 2 6y); (d) 3(x 2 7y); (e) 3(x 2 8y) 5. [10.1C] (a) 10(4x 2 5y 2 6z); (b) 10(3x 2 4y 2 5z); (c) 10(2x 2 3y 2 4z); (d) 10(x 2 2y 2 3z); (e) 10(x 2 y 2 2z) 6. [10.1D] (a) 2x 1 9y; (b) 3x 1 8y; (c) 4x 1 7y; (d) 4x 1 9y; (e) 4x 1 9y 7. [10.1D] (a) 20.2x 1 0.54y; (b) 20.3x 1 0.55y; (c) 20.4x 1 0.56y; (d) 20.5x 1 0.57y; 7 5 6 4 } } } (e) 20.6x 1 0.58y 8. [10.1D] (a) } 11x 1 13 y; (b) 11x 1 13 y; 6 5 7 8 3 4 } y; (d) }x 1 } y; (e) }x 1 } y (c) } x 1 11 13 11 13 11 13 9. [10.1E] (a) 3a 1 3b; (b) 4a 1 3b; (c) 5a 1 7b; (d) 8a 1 3b;

RS-13

RS-14

RS-14

Respuestas seleccionadas

1 1 1 } } (e) 7a 1 8b 10. [10.2A] (a) }41; (b) }81; (c) } 16; (d) 32; (e) 64 11. [10.2A]

(c) y 5 212; (d) y 5 215; (e) y 5 218 32. [10.4A] (a) z 5 22;

(a) 223; (b) 224; (c) 225; (d) 226; (e) 227

(b) z 5 23; (c) z 5 24; (d) z 5 26; (e) z 5 27 33. [10.4B]

12. [10.2B] (a) x7;

1 1 } (b) x8; (c) x9; (d) x10; (e) x11 13. [10.2B] (a) }14; (b) }18; (c) } 16; (d) 32; 1 (e) } 64

14. [10.2B]

1 (a) } y2;

1 (b) } y3;

1 (c) } y4;

1 (d) } y5;

1 (e) } y6

15. [10.2C] (a) 64;

1 1 1 } } (b) 128; (c) 256; (d) 512; (e) 1024 16. [10.2C] (a) } x3; (b) x4; (c) x5;

5

8

10

13

16

} } (a) x 5 2}3; (b) x 5 2}3; (c) x 5 2} 3 ; (d) x 5 2 3 ; (e) x 5 2 3

34. [10.4B] (a) x 5 8; (b) x 5 9; (c) x 5 10; (d) x 5 11; (e) x 5 12

1 1 2 3 4 5 6 } (d) } 18. [10.2D] x6; (e) x7 17. [10.2C] (a) y ; (b) y ; (c) y ; (d) y ; (e) y

35. [10.4B] (a) x 5 2.1; (b) x 5 2.1; (c) x 5 2.1; (d) x 5 2.1; (e) x 5 2.1 36. [10.4B] (a) x 5 11; (b) x 5 8; (c) x 5 7; (d) x 5 6;

1 1 1 } } (a) 4; (b) 16; (c) 64; (d) 256; (e) 1024 19. [10.2D] (a) } y8; (b) y12; (c) y16;

} } (e) x 5 5 37. [10.4B] (a) x 5 2} 2 ; (b) x 5 2 2 ; (c) x 5 2 2 ;

1 1 6 9 12 15 18 } (d) } y20; (e) y24 20. [10.2D] (a) z ; (b) z ; (c) z ; (d) z ; (e) z x6

x9

x12

x15

x18

} } } } 21. [10.2D] (a) } y4; (b) y6; (c) y8 ; (d) y10; (e) y12 6

x

x

x

8

10

12

x

x4

22. [10.2D] (a) } y6 ;

23. [10.3A] (a) 4.4 3 107; (b) 4.5 3 108;

} } } (b) } y9; (c) y12; (d) y15; (e) y18

(c) 4.6 3 10 ; (d) 4.7 3 10 ; (e) 4.8 3 107 24. [10.3A] (a) 1.4 3 1023; 6

4

(b) 1.5 3 1024; (c) 1.6 3 1025; (d) 1.7 3 1026; (e) 1.8 3 1027 25. [10.3A] (a) 7830; (b) 68,300; (c) 583,000; (d) 4,830,000; (e) 38,300,000

26. [10.3A] (a) 0.084; (b) 0.0074; (c) 0.00064;

(d) 0.000054; (e) 0.0000044 27. [10.3B] (a) 2.2 3 105; (b) 9.3 3 106; (c) 1.24 3 108; (d) 1.55 3 109; (e) 1.86 3 109 28. [10.3B] (a) 2.2 3 1022; (b) 3.3 3 1021; (c) 4.4 3 1023; (d) 5.5 3 1024; (e) 6.6 3 1024 29. [10.3B] (a) 5 3 100 ó 5; (b) 6 3 101; (c) 7 3 101; (d) 8 3 1021; (e) 9 3 100 ó 9 30. [10.4A] (a) y 5 }16; 3 5 1 } } (b) y 5 }14; (c) y 5 } 10; (d) y 5 3; (e) y 5 14 31. [10.4A] (a) y 5 26; (b) y 5 29;

RS-14

21

35

49

63 77 5 5 } 38. [10.4B] (a) x 5 2}; (b) x 5 2}; (d) x 5 2} 2 ; (e) x 5 2 2 2 2 5 5 5 (c) x 5 2}2; (d) x 5 2}2; (e) x 5 2}2 39. [10.5A] (a) m 5 202;

(b) m 5 203; (c) m 5 204; (d) m 5 206; (e) m 5 207 40. [10.5A] (a) 6%; (b) 8%; (c) 10%; (d) 12%; (e) 14%

Repaso acumulativo capítulos 1–10 1. 52 2. 615.38 3. 0.23 4. 36 5. 50% 6. 20 7. $112.50 5 8. 1% 9. 40% 10. 5 11. 13 12. 10 13. 144 pulgadas 14. 1} 12 pies 15. 5}23 yardas 16. 84 pulgadas 17. 2400 dm 18. 15.2 cm 19. 56.52 pulgadas 20. 80 cm2 21. 28.26 cm2 22. 105 cm3 23. 7234.56 pulgadas3 24. Recto 25. 1208 26. 90 27. 15 28. 3}45 29. 3.5 30. 211.5 9 10 11 24 } } } 36. 49 37. 20x 2 40y 31. } 40 32. 0.3 33. 235 34. 28 35. 2 3 9x6

1 1 1 } } } 38. 10(6x 2 3y 2 4z) 39. 25x 1 3y 40. } 92  81 41. x7 42. y4 28 28 43. 2.4 3 10 44. 28,200,000 45. 3.5 3 10 46. x 249 47. x 2 48. x 7 49. x 13

6

Créditos fotográficos

Capítulo 1

Capítulo 7

Página 1: © Anne Gransden/SuperStock, Inc; 5: © AP Photo/Gail Oskin; 6: © Brand X Fotos/Creatas/Corbis; 13: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo;19: © The McGrawHill Companies, Inc./Connie Mueller, Fotógrafo; 23: © Reuters/ Corbis; 32(izquierda): Cortesía NPS/Canyon de Chelly National Monument;, 32(derecha): © Hisam F. Ibrahim/Getty Imágenes RF; 48: © Todd Pearson/The Image Bank/Getty Imágenes; 55: © Dale Wilson/ Masterfile; 56: Cortesía de The Florida Strawberry Festival ®; 62, 88: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo; 96: Cortesía Ignacio Bello.

Página 409: © Richard Cummins/Corbis; 410: © Photodisc/Getty Imágenes; 411: © Photos at Your Place/http://PhotosatYourPlace. com; 414(derecha): © Photodisc/Getty Imágenes; 414(izquierda): © Flat Earth Imágenes RF; 417: © Photodisc/Getty Imágenes; 426: © Chromosohm Media Inc./The Image Works; 430: Cortesía Michel Verdure/Royal Caribbean International; 431: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo; 442: © Creatas/ PunchStock RF.

Capítulo 2 Página 109: © Edward Cohen/SuperStock; 110, 114, 116: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo; 118, 120, 129, 136: Cortesía Ignacio Bello; 139(arriba): © Steve Cole/Getty Imágenes/V51, 139(izquierda): © Ryan McVay/Getty Imágenes; 139(derecha): © Nicholas Eveleigh/ Superstock; 148(izquierda): © John A. Rizzo/Getty Imágenes RF; 148(derecha): © Imagen Source/Getty RF; 149(izquierda): Cortesía USDA ARS; 149(derecha): © Spike Mafford/Getty Imágenes RF; 151: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo; 169: Cortesía Ignacio Bello; 182: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Emily y David Tietz, Fotógrafo.

Capítulo 3 Página 199: © Robert Brenner/Edición de fotografía; 200: Cortesía Jim Goetz; 205, 209, 210, 211 ( odas), 214, 223(ambas): Cortesía Ignacio Bello; 239: © Tony Freeman/Edición de fotografía.

Capítulo 4 Página 255: © Susan VanEtten/Edición de fotografía; 256(izquierda): © Underwood & Underwood/Corbis; 256(derecha): © C. Borland/ PhotoLink/Getty Imágenes RF; 258: © The McGraw Hill Companies, Inc./Connie Mueller Photo; 258: © Libre de regalías/Corbis; 259: © Tom Pantages adaptación/Cortesía BLM; 261: © Corbis/Sygma; 272, 273: © Gary Meissner Goldennumber.net; 276: © Pam Gardner, Frank Lane Picture Agency/Corbis.

Capítulo 5 Página 287: © Alan Schein Photography/Corbis; 293: Cortesía Ignacio Bello; 314(arriba): © Ryan McVay/Getty Imágenes/VOS56; 314(abajo): © Lake County Museo/Corbis; 317: © Bill Bachmann/ Investigadores de fotografía, Inc.; 325: Cortesía Honda; 330: © Alan Schein Photography/Corbis.

Capítulo 6 Página 349: Cortesía Biblioteca Nacional; 353(izquierda): © Ryan McVay/Getty Imágenes/V114; 353(derecha): © C. Borland/ PhotoLink/Getty Imágenes/V23; 353(más abajo): © Steve Cole/Getty Imágenes/SS38; 379: © David Job/The Image Bank/Getty Imágenes; 386(ambas), 389(ambas): Cortesía Ignacio Bello; 391: © AP/Wide World Photos/Chris O’Meara.

Capítulo 8 Página 453: © DavidYoung-Wolff/Edición de fotografía; 454: Mondrian, Piet (1872–1944) II: Blanco y Rojo, 1937/ Composición en Rojo, Azul 3 7 y Amarillo, 1937 –42. Óleo sobre lienzo, 23}4  21}8 (60.3  55.4 cm). © 2007 Mondrian/Holtzman Trust c/o HCR International, Warrenton VA Imagen digital © Museo deArte Moderno/ Licencia de SCALA/ Recursos de Arte, N.Y; 456: © Michael T. Sedam/Corbis; 460, 466(izquierda, derecha), 467(arriba izquierda, arriba derecha): © David YoungWolff/Edición de fotografía; 467(abajo): © Michael T. Sedam/Corbis; 479: © Vol. 24/PhotoDisc/Getty Imágenes. 483(izquierda): Cortesía de Fermi National Accelerator Lab/U.S. Departamento de Energía de Estados Unidos; 483(derecha): © San Francisco Chronicle Corbis SABA; 489(izquierda, derecha), 490(arriba, abajo): Cortesía Ignacio Bello; 491(izquierda, derecha): Viz-A-Ball es una marca registrada de la corporación de Brunswick Bowling & Billiards Corporation. U.S. Patent No. 6,524,419 y 6,691,759; 491(abajo): © Burazin/Masterfile; 492(arriba): Cortesía de elope Inc; 492(abajo): © Libre de regalías/Corbis; 493: Cortesía de EPA; 494(arriba): © Photodisc/Getty Imágenes; 494(al centro a la izquierda): © David Young-Wolff/Edición de fotografía; 494(al centro a la derecha): © Michael Newman/Photo Edit; 494(abajo izquierda): © Bill Aron/ Edición de fotografía; 494(abajo derecha): © Felicia Martinez/Photo Edit; 495(arriba izquierda): Cortesía de UltraTech International; 495(arriba derecha, pirámide de Giza): Cortesía Ignacio Bello; 495(abajo): © Lawrence Lawry/Getty Imágenes/ V56; 496(arriba izquierda): Cortesía Ignacio Bello; 496(arriba derecha): © David Young-Wolff/Photo Edit; 496(Abajo a la izquierda, pirámide del sol): © Neil Beer/PhotoDisc/Getty Imágenes; 496(Abajo a la izquierda): © Digital Vision/Getty RF; 496(abajo derecha): © Danny Lehman/ Corbis RF; 497(izquierda, más abajo a la izquierda): Cortesía Ignacio Bello; 497(abajo izquierda): © Libre de regalías Corbis/V188; 498(arriba): © Michael Newman/Edición de fotografía; 498(abajo): Cortesía Ignacio Bello; 499: © David Young-Wolff/Edición de fotografía; 502: © Steve Cole/Getty Imágenes/V51; 504(izquierda, derecha, abajo): Cortesía Ignacio Bello; 505: Cortesía HNBT.

Capítulo 9 Página 521: © Robert George Young/Masterfile; 532: © F. Vnoucek/ Peter Arnold, Inc; 546: © David Young-Wolff/Edición de fotografía; 556: © Rim Light/PhotoLink/Getty Imágenes/V27.

Capítulo 10 Página 575: © Neal & Molly Jansen/Superstock; 596: Cortesía Ignacio Bello; 602: © Science Source/Investigación de fotografía, Inc; 611: Cortesía de Nasa/James B. Irwin; 618: © Adam Crowley/PhotoDisc/ Getty Imágenes; 619(arriba): © TRBfoto/PhotoDisc/Getty Imágenes; 619(abajo): © Flat Earth Imágenes RF; 620(arriba, abajo): © Libre de regalías/Corbis; 621(izquierda, derecha): © JPL/NASA; 622: © Mitch Hrdilcka/PhotoDisc/Getty Imágenes.

C-1

6 [ ] símbolo, 557 { } símbolo, 557

A Aborígenes australianos, 1 Adición, 24 Aditivo inverso, 526, 547, 548 Álgebra, 453, 575 Análisis estadístico, 349 Ángulo(s), 456, 458, 462 agudo, 459 alternos internos, 467 complementarios, 460 congruentes, 467 correspondientes, 467 llano, 458, 459 nombrar, 456 obtuso, 459 opuestos por el vértice, 467 recto, 458, 459 suma de los, de un triángulo, 463 suplementarios, 461 tipos de, 459 Árabes, 1 Área, 55, 479 de rectángulos y cuadrados, 479 de un círculo, 482, 483 de un cuadrado, 480 de un paralelogramo, 481 de un rectángulo, 56, 136, 480 de un trapezoide, 482 de un triángulo, 480 Aritmética, 1, 109

B Babilónicos, 1 Balance pendiente, 307 Barras de fracción, 560 Base, 76 encontrar la, 301 Bigollo, Leonardo, 255 Bushmen de Sudáfrica, 1

C Cardan, Girolamo, 521 Cargo por financiamiento, 307 Cero, 24 Chiarino, Giorgio, 287 China, 521 Círculo: área de un, 482, 483 circunferencia de un, 474 Circunferencia(s): encontrar, 474 de un círculo, 474 Cociente, 62 Comisión, 317 Costo total, 314 Crédito, 307 Cuadrado(s), 472 área de un, 480 perfectos, 500 perímetro de un, 473 Cuadrilátero, 471

D Darwin, Charles, 349 Decágono, 471 Decimal(es), 199, 200, 521 aplicaciones con, 218 coma, 199 como fracciones, 226 comparar, 232 convertir, en fracciones, 225 dividir, 214 fracciones como, 223 infinito, 224 multiplicar, 212 notación, 200 periódico, 224 problemas verbales con, 241 punto, 199, 200 redondear, 216 resta de, 205 sistema, 199, 200 sumar, 202 Denominador, 110, 112, 130 Depreciación, 325 Descuento, 317 Diámetro, 474 Diferencia, 37, 530 Dividendo, 62, 64 Dividir por potencias de 10, 217 División, 62, 63, 66 con números mixtos, 135 de fracciones, 133 de números racionales, 550 de racionales, 550 larga, 64 por 0, 540 Divisor, 62, 64

E Ecuación(es), 89, 259, 575, 602, 605 aplicaciones de, 181 con decimales, 240 con fracciones, 608 lineales, 604 o de primer grado, 602 principios para resolver, 602 Edad de Bronce, 109 Egipcios, 1 Elemento identidad, 24 en la suma, 24 Eneágono, 471 Enteros: aplicaciones con, 531 multiplicación y división de, 539 multiplicar más de dos, 541 negativos, 523, 530 positivos, 523, 530 y exponentes, 540 Eratóstenes, la criba de, 73 Escala: celsius, 440 centígrados, 440

Índice

Escribir, tasas, 265 Escritura numérica, 1 Esferas, 491 Estadística, 249 Euclides, 453 Evaluar expresiones, 580 Exponente, 76, 587, 588 negativo, 588 Expresión, 576

F Factor(es), 49, 71, 577 árbol de, 74 primos, 72 Factorización, 71, 577 Fibonacci, Leonardo, 255 Fracción(es), 109, 110, 227, 256 comparar, 146, 147 diagrama de, 111 dividir, 134 división de, 133 equivalentes, 120 escritura de, 114 gráficas y, 157 impropia, 111, 112, 113 MCD de, 144 multiplicar una, 132 multiplicar, 130 principios para resolver, 178 propia, 111, 112 resta de, 155 sumar, con igual denominador, 151, 152, 154 y decimales, comparar, 234 Francia, 521 Friedrich Gauss, Carl, 349

G Geometría, 453, 454, 456 Grados Fahrenheit, 440 Gráfica(s): circular(es), 374, 375, 377, 378 de barras, 357, 358 de líneas, 360 de “pie”, 374, 375 dibujar, 361 Gramo, 438 Graunt, John, 349

H Hectárea, 428 Heptágono, 471 Hexágono, 471 Hindúes, 1 Hipoteca, 334 Hipotenusa, 501

I Identidad multiplicativa o de la multiplicación, 49 Impuestos, a las ventas, 313, 314 India, 521 Indígenas suramericanos, 1

I-1

6

Índice

Ingresos tributales, 320 Interés: compuesto, 315, 592 simple, 314 Italia, 521

J Jefferson, Thomas, 409 Jeroglíficos egipcios, 109

L Lados, 456 Laplace, Pierre-Simon, 349 Ley asociativa, 29 Libra, 437 Línea(s), 454, 455 Líneas intersectadas o intersecadas, 455 Litro, 431 Logaritmos, 199 Longitud, unidades de, 416

M Masa, 438 Máximo común divisor, 123 Mayor que (>), 525 MCD, 141-143 de fracciones, 144, 153 hallar el, 145 para sumar fracciones, 154 Media, 386 mediana y moda, aplicaciones con, 390 Mediana, 388 Medida(s), 409 de capacidad caceras comunes, 433 del sistema métrico, 433 Mendel, Gregor, 349 Menor que (<), 525 Método LSTUV, 91, 92, 177 Metro cúbico, 489 Mililitro, 431 Mínimo común: denominador (MCD), 143, 146, 153 múltiplo (MCM), 141, 142, 143 Minuendo, 37 Moda, 389 Monto compuesto A, 316 Mouton, Gabriel, 409 Multiplicación, 48, 51, 53, 55 con números mixtos, 131 de números enteros, 549 de números racionales, 549 Multiplicador, 49 Multiplicando, 49 Propiedad: asociativa de la, 584 conmutativa de la, 584 distributiva de la, 585

N Napier, John, 199, 200 Notación: aplicaciones con, 598

I-2

científica, 596, 597 exponencial, 76 Numerador, 110, 112, 130 Numeral, 2 estándar, 3 Número(s): aditivos inversos, 526 cardinal(es), 1, 2, 3, 109, 170, 202, 287, 538, 548 clasificar, 551 compuesto, 72 decimales, 227 división, 550 entero, 112 irracional(es), 521, 551 mixto, 112, 113, 131, 161 multiplicación, 549 natural(es), 3, 72, 521 negativos, 521 positivos y, 523 primo, 71 racional(es), 109, 521, 546, 547, 551, 552 real(es), 552, 576 redondear, 15 restar, 163 suma y resta de, 164 sumar, 162 suma de, 548

O Octágono, 471 Operaciones: inversas, 37 orden de las (PEMDAR), 82, 170, 235, 557

P Paralelogramo, 472 área de un, 481 PEMDAR, 82, 170, 235, 557 Pentágono, 471 Perímetro, 29, 165, 471 de los polígonos, 29 de un cuadrado, 473 de un polígono, 471 de un rectángulo, 472 Periodo, 2, 5, 224 Peso(s), 409 sistema de unidades de, 437 Pictograma, 352 Pie, 411 cúbico, 489 Pirámide, 491 Pisa, Leonardo de, 255 Pisano, Leonardo, 255 Pitiscus, Bartholomaeus, 199 Planos, 454 Polígono, 29 regular, 471 Por ciento, 287, 288 Porcentaje(s), 309

encontrar el, 298 Porciento(s), 287, 288, 298, 317 a decimal(es), 288 aplicaciones con, 292 aplicaciones de, 318 convertir: de crecimiento o decrecimiento, 322, 323, 324 de decimal a, 289 de fracción a, 291, 292 encontrar el, 300 un, a una fracción, 290 Potencia(s), 213, 587 de productos de potencias, 591 Precio(s) unitario(s), 267, 268 Préstamos para estudiantes, 333 Principio: de la división, 90 de la resta, 90 de la suma, 90 Procedimiento LSTUV, 298, 301 Producto, 49, 130 cruzado, 259 regla de, 259 Promedio, 69, 172, 386, 388 valorado, 388 Propiedad: Asociativa: de la multiplicación, 55, 584 de la suma, 29, 584 Conmutativa: de la multiplicación, 49, 584 de la multiplicación de 0, 539 de la suma, 24, 584 Distributiva, 50, 579 de la multiplicación, 585 fundamental de las fracciones, 121 para la multiplicación, 577 por factorizar, 585 Multiplicativa: de 1, 585 del cero, 49 Proporción(es), 115, 258, 261, 309, 272, 275, 287 encontrar la base usando, 311 escribir, 258 problemas verbales que involucran, 273 resolución de, 260 Pulgada(s), 411, 423 Punto(s), 454 de ebullición, 440

R Racionales, división de, 550 Radio, 474 Raíz cuadrada, 500 Rayo, 455 Razón(es), 115, 127, 256, 261 notación de, 256 Recíproco de un número, 550 Recta numérica, 527 Rectángulo(s), 472

6 área de un, 480 perímetro de un, 472 y cuadrados, área de, 479 Reducir, 122 Regla: de la potencia de potencia, 591 del cociente de los exponentes, 590 del producto de exponentes, 589 Residuo, 64 Resta, 37, 42, 548 definición de, 530 Rombo, 472 Rotación, 458

S Segmento de línea, Signos opuestos, 529 Símbolo(s): %, 287, 288 anidados, 172 de agrupación, 172 Simplificar, 122 Sistema(s): americano, 410, 422, 437, 489 al métrico, 431 avoirdupois, 437 de mediciones, 409 de unidades de peso, 437 métrico, 409, 410, 416, 421, 422 Solución, 89 Stevin, Simón, 199 Suma, 23, 24, 37, 38, 49 Propiedad: asociativa de la, 584

conmutativa de la, 584 Sumandos, 23 Superficie, 55 Sustraendo, 37

Índice

isósceles, 462 obtusángulo, 462 rectángulo, 462, 501 suma de ángulos de un, 463

T

U

Tabla, 350 de amortización, 334 Tarja, 1 Tarjeta(s) de crédito, 330, 333 Tasa(s), 265 unitaria, 267 Temperatura(s): bajo cero, 521 Celsius, 440 conversiones, 440 Fahrenheit, 440 Teorema de Pitágoras, 501 aplicaciones del, 502 inverso del, 501 Teoría de números, 453 Términos, 576 semejantes, combinar, 578 Tonelada, 437 Total, 23 Trapezoide, 472 área de un, 482 Tratado del Metro, 409 Triángulo(s), 471, 462 acutángulo, 462 área de un, 480 de las Bermudas, 462 equilátero, 462 escaleno, 462

Unidad(es): cúbicas, 489 fraccionarias, 411

V Valor(es): absoluto, 526, 542, 547 de un número, 527 del dígito, 2 posicional, 15 Vértice, 456 Vieta, Francois, 199 Volumen(es): aplicaciones con, 493 conversiones, 432 de cilindros, 490 de conos circulares, 491 de las esferas, 491 de pirámides, 491 de sólidos, 488, 493 rectangulares, 489 unidad de, 489

Y Yarda(s), 411, 423 cúbica, 489

I-3

6 Animales Alturas de, 420 Chirridos de grillos, 185 Consumo de comida de los elefantes, 270, 442 Cuenta de la pecera, 48 Diente de lagarto, 270 Dieta del león de mar, 379, 380 Fuerza de la hormiga cortadora de hojas, 277, 279 Fuerza del rinoceronte escarabajo, 276 Longitud de los reptiles, 420 Peces en un acuario, 479 Periodos de cicadas, 149 Peso de los peces, 175 Población salvaje, 278 Preocupaciones de la chinchilla, 161, 296 Salto de perros, 414 Tamaño de los elefantes, 442 Tamaño de los pájaros, 414, 420 Tasa de viaje de la llama, 270 Velocidad de la serpiente, 414 Velocidad del antílope, 414 Velocidad del guepardo, 414 Volumen de jaula para mascotas, 494 Zancadas del avestruz, 58

Casa y jardín Alfombras, 98, 139, 430 Área de campo, 485 Área de pasto, 138 Área de un plato de comida, 486 Área de una casa, 429 Área de una habitación, 136 Basura, 244, 380, 600 Cobertura de abono para césped, 266, 276, 283, 285 Cobertura de césped, 430 Cobertura de fertilizante, 282, 406 Cobertura de semillas, 273, 279, 282, 283, 347 Cobertura del musgo, 184 Compra, 135 – 136, 230 Compra de camas, 83 Compra de una casa, 230 Correo no deseado, 277 Costo de iluminación, 220 Costo del aire acondicionado, 220 Desechos de comida, 221 Enmarcar, 477 Hipoteca a 30 años, 334 – 335, 337 Hipotecas, 334 – 335, 336 – 337, 338, 341 Ingreso, 534 Jardinería, 98 Lavadora de platos, 68 Lectura de medidor de electricidad, 7 Limpiador de alfombras, 436 Limpiador de horno, 433 Limpieza, conversión de unidades, 433, 435, 449, 450 Longitud de una cama, 419 Longitud de una piscina, 424 Medidor de electricidad, 7, 11 Medidor de gas, 220

Índice de aplicaciones

Mover un refrigerador, 413 Mover una estufa, 414 Pago por cortar el césped, 86 Papel de pared, 430 Participación del marido en tareas del hogar, 167, 382 Participación en una tarea, 167, 382 Penetración de un destornillador, 138 Perímetro de una habitación, 165, 167 Perímetro de una piscina, 477 Pintura, 98 Préstamo para vivienda, 334 – 335, 336 – 337, 338, 341 Reciclar, 31, 221 Regar, 277 Regar el césped, 486 Subdivisión de lotes, 36 Superinsolación, 277 Tamaño de la sala, 419 Tamaño de un anillo, 506 Tamaño de una habitación, 136, 139, 165, 167 Tamaño de una piscina, 59, 477 Tasa de crecimiento de la planta de tomates, 269 Tiempo de trabajo en el hogar, 126 Tiempo en el baño, 295 Uso de agua en el sanitario, 229 Uso de agua en la casa, 380 Venta de vacas, 34 Volumen de microondas, 494 Volumen de tierra removida, 493 Volumen de un horno tostador, 494 Volumen de un zafacón, 498 Volumen de una bañera, 495 Volumen de una piscina, 495 Volumen de un sanitario, 495 Zócalos, 165, 167

Ciencia Agua Oxígeno en, 613 En plantas, 414 Aguja de minutos del reloj, 477 Alineación planetaria, 141 Altura de las cataratas, 45 Antropología, 221, 420, 613 Área de acelerador atómico, 483 Área de un cráter, 486 Astronomía, 141, 150, 598, 601 Aumento de la población, 306, 326, 566 Biodiésel, 622 Calor específico, 238 Cinturón de asteroides, 598 Círculos de cosecha, 483, 486 Cobertura oceánica, 238 Contaminación, 60, 295, 296, 306, 384, 451, 518, 572 Contaminación del agua, 384 Contaminación del aire, 295, 296, 306 Conversiones Celsius – Fahrenheit, 440 Conversiones Fahrenheit – Celsius, 440 Demografía de estado civil, 297 Densidad de población, 263, 600

Distancias, en el espacio, 79 Eclipses solares, 460 Edad y conocimiento de internet, 366 Elevación, 45, 414, 424, 524, 544, 565, 566 Espacio de disco, 619 Espacio, pesos en el, 59, 138, 246 – 247, 621 Fechas históricas, 535, 536 Flujo de agua, 60 Genealogía, 31 Horas en días, semanas, meses, 59 Horas, fracciones de, 117 Lectura del termómetro, 524, 565 Luz, distancia recorrida por, 59 Metalurgia, 195 Monóxido de carbono, 306 Número de oxidación, 623 Órbita de Júpiter, 478 Oro, punto de fusión del, 442 Periodo de órbita, 150 Peso de las cenizas, 174 Peso de los abetos, 174 Peso de los metales, 238 Peso de la gasolina, 186 Peso del oro, 31 Pesos Aconsejable, 442 De la ceniza, 174 De la gasolina, 186 De la Luna, 612 De los metales, 238 De los peces, 175 En el espacio, 59, 138, 246 – 247, 621 Fracciones de, 114, 117 Población, 20, 305, 400, 403, 532, 622, 623 Población hispana, 326 Población infantil, 305 Problema de Einstein, 562 Producción de energía, 381 Profundidad del océano, 533 Punto de fusión del oro, 442 Punto de ignición, 46, 47 Recorrido de los satélites, 460 Recorridos planetarios, 475, 478 Regla de Clark, 87, 279 Reservas de carbón, 306 Sol, energía recibida del, 598 Tasa de crecimiento, 269 Tasa de crecimiento del bambú, 269 Tasa de hundimiento de Luisiana, 425 Tasa de hundimiento de Shangai, 425 Tasa de hundimiento de Venecia, 425 Temperatura del agua, 533 Temperatura, 126 Corporal, 167, 442 Conversión, 185, 440, 442 Diferencias, 533, 534 Uranio, 600 Uso de agua en la planta, 414 Valencias atómicas, 545, 623 Velocidad de la luz, 600 Venus, distancia recorrida por, 475 Viaje al espacio, 79 Volumen de un péndulo, 497

IA - 1

6

Índice de aplicaciones

Clima Área de tormenta, 486 Cantidad de lluvia, 9, 138, 167, 173, 407, 452 Días lluviosos, 229 Días soleados, 229 En internet, 618 Inundaciones, 524, 566 Lluvias anuales, 375, 407, 452 Predicciones de lluvia, 375 Temperatura 126, 407, 442, 452, 518, 533, 570, 572 Tipos de, 159 Volumen de un tornado, 497

Comida Área de una omelet, 59, 486 Área de una pizza, 486, 487, 562 Banana split, 414 Bolas de popcorn, 184 Calorías, 31, 95, 269, 543 Calorías de carbohidratos, 86 Calorías de grasa, 86, 220 Calorías de la leche, 387 Calorías de proteína, 86 Calorías del hamburger, 387, 616, 624 Calorías individuales, 95 Comida, 622 Consumo de desayuno, 375 Consumo de popcorn, Estados Unidos, 6 Consumo de tortillas, 269 Consumo de vegetales, 244, 600 Contar fresas, 55 Contenido de agua en los refrescos, 234, 306 Contenido de azúcar en los refrescos, 306 Contenido de carne del hamburger, 498 Contenido de colesterol, 404 Contenido de colesterol del hamburger, 404 Contenido de grasa, 114, 277, 402 Contenido de grasa del hamburger, 402 Contenido de sodio, 95 Contenido nutricional, 127, 230, 356 Contenido nutricional del hamburger con queso, 356 Conversiones de unidades de una receta, 433, 434, 449, 450 Costo del arroz, 185 Costo del trigo, 229 Dulces, 94, 158, 355 Formas, 355 Frecuencia de asados, 385 Gastos, 369 Gastos en fruta fresca, 369 Gastos en vegetales, 369 Ingredientes de una pizza, 380 Longitud de una salchicha, 415 Malteada, 31 Paella, 31 Pan para hotdogs, 160 Peso de, 126, 127 Precios de hamburgers, 402 Preferencias de papas fritas, 382

IA - 2

Preferencias de refrescos, 352 – 353 Producción de queso, 379 Proporciones de una receta, 167 Receta de albóndigas, 138 Receta de donas, 146 Receta de galletas, 184 Receta de limonada, 185 Receta de ponche de melón, 185 Receta de pancakes, 184 Receta de panecillos, 146 Receta de pasteles, 149 Receta de sopa de tomate, 434 Receta del hamburger, 131 Regar la cosecha, 277 Restaurante favorito de comidas rápidas, 350, 354 Tajada de pan, 184 Tamaño de la banana, 414 Tamaño de las porciones, 184, 277 Tamaño de pizzas, 562 Venta de hamburgers, 399, 403 Volumen de una azucarera, 495 Volumen de una taza de café, 495 Volumen del pan, 498

Construcción Altura de edificio, 31, 45, 524 Altura de la antena, 92, 106 Área del casino, 430 Arrojar desechos, 126 Carpintería, 158, 167 Cercar, 471 Diques, 524, 566 Edificio Empire State, 31 Grosor de la madera, 158, 167 Heliografías, 140 Mezcla de cemento, 185 Modelo a escala, 140, 263 Poste de un puente, 505 Tamaño de una librería, 429 Volumen de los bancos, 497 Volumen de un camión de carga, 495

Cumplimiento de la ley Conducir ebrio, 364 Fatalidades de tránsito, 364 Fatalidades de tránsito y alcohol en la sangre, 364 Límites de velocidad, 424 Llamadas al 911, 263, 398 Llamadas al 911 de teléfonos celulares, 263, 398 Piratería de software, 354, 383 Severidad de choque de carros, 351 Tasa de criminalidad en Estados Unidos, 362, 367

Deportes Altura de un jugador de baloncesto, 419 Área de penal del fútbol, 477, 487 Área de un campo de fútbol, 486, 487 Área de un diamante de béisbol, 59, 486 Área de una cancha de baloncesto, 59

Boxeo, 31 Carreras de caballos, 414 Cartas, 126 Cumplimiento en fútbol, 229 Distancia de home run, 414 Distancias de un diamante de béisbol, 502 Distancias de un diamante de softball, 502 Estadísticas del béisbol, 126 Golf, 466, 524, 537 Gomas de bicicletas, 477 Home runs, 230 Jugar cartas, 126 Lanzamiento de huevos, 425 Largo del paso, 420 Largo de una carrera, 419, 420 Levantamiento de pesas, 467 Longitud de un campo de fútbol, 425 Participación de niños y niñas en, 367 Participación por sexos en deportes 367 Pases, en fútbol, 45 Pateadas en fútbol, 424 Perímetro de un campo de fútbol, 477 Perímetro de un diamante de béisbol, 59, 477 Perímetro de un estadio de béisbol, 31 Perímetro de una cancha de baloncesto, 31 Pesca, 20 Peso de un boxeador, 442 Precio de los boletos para el Super Bowl, 327 Preferencias, 195 Profundidad de una piscina, 419 Promedio de bateadas, 229, 237 Proporción de bicicletas a personas, 264 Puntos extras de cortesía en bolos, 556 Puntos por partido, 220 Récord de clavados, 208 Salarios en el baloncesto, 391 Salarios en el béisbol, 391, 393, 394 Tamaño de pista de hockey, 32, 60 Tamaño de un astillero, 477 Tamaño del campo de fútbol, 32, 60, 413 Tasa de puntuación en el baloncesto, 269 Tenis, 466 Tiempo de baloncesto, 124 Trotar, 621 Velocidad de carrera, 182, 185, 414 Volumen de una bola de bolos, 491

Educación Ahorrar dinero, 305, 544 Ahorrar para, 306 Asistencia, 9 Becas, 95, 303 Becas Pell, 329 Conocimiento de internet por edad, 366 Costos, 28 – 29, 46, 68, 93, 95, 96, 143, 160, 243, 245, 269 – 270, 303, 308, 322, 324, 328, 360, 368, 381, 382 Costos universitarios, 10, 306 Cuenta de carta manuscrita, 79 Discriminación sexual, 397 En línea, 353 Estadísticas de matrícula, 583

6 Éxito en cursos en el primer año, 294 Ganancias, 8, 17, 243, 324, 329, 394 Ganancias estimadas, 69 Gastos en materiales de estudio, 363 Gastos en volver a la escuela, 363 Horas básicas de currículo, 407, 452, 519, 572, 632 Índice de desafío, 264 Largo de un lápiz, 419 Obtención de grado, 364 Páginas en papel, 277 Préstamos, 307 – 308, 314 – 317, 319, 327, 329, 333 – 335, 336 – 337, 338, 341, 344, 345 Préstamos de consolidación, 327 Promedio de puntaje de calificaciones, 244, 392, 396, 402, 404 Proporción de estudiantes mujeres a varones, 239, 281 Puntaje GRE, 328 Puntajes ACT, 244 Puntajes de SAT, 534 Rutina diaria, 379 Tasa de éxito de curso, 294 Tasa de finalización de curso, 271 Tasa de finalización, en la universidad, 271 Uso de internet por profesores, 383 Uso inapropiado del lenguaje, 229 Viajar al trabajo, 243, 376, 401, 404

Entretenimiento Altura de un televisor, 504 Área de pantalla, 139 Área total de un barco, 430 Asistencia al cine, 365 Bebidas alcohólicas, dinero gastado en, 580 Capacidad de asientos, 293 Capacidad de asientos en restaurante, 293 Capítulos bíblicos, 31 Compra de taquillas, 68 Costo de vacaciones, 84 Descarga de música, 400 Descargar música, 362, 403 Dimensiones de pantalla de televisión, 424 Espacio de cubierta de un barco de crucero, 429 Ganancias del cine, 20, 174, 245 Gasto, 324, 328, 329, 370 Horarios de televisión, 174 Lugar de propuesta de matrimonio, 401, 404 Medidas de miss mundo, 424 Medidas del universo de media digital, 355 Métodos de compra de música, 362 Música digital, 399, 403 Papel doblado, 79 Preferencias de música, 192, 468 Razón de aspecto, 258, 263 Reventa de boletos, 327 Rueda de la fortuna, 486 Tamaño de la pantalla de cine, 504 Televisión, hogares alcanzados, 326 Tipo de vacaciones, 359, 382 Uso de juegos de computadora, 350 Uso de juegos de vídeo, 350 Venta de música, 245, 387

Índice de aplicaciones

Estudios sociales Demografía por edad, 373, 401 Discriminación racial, 397 Edad y asistencia al cine, 365 Edad y fatalidades de tránsito, 364 Participantes encuestados, 176 Poder adquisitivo por raza, 356 Récords mundiales, 415 Robo de carros, 14 Vergüenzas de la primera cita, 359 Votos recibidos, 617

Finanzas Acciones en la bolsa, 68, 168 Balance de cuenta, 103 Balance en cuenta de cheques, 42 – 43, 45, 46, 319, 524 Brecha salarial, 257 Cálculo de cuenta, 242 Cargos de financiamiento, 307, 314 317, 331 – 333, 335, 341, 344, 345 Certificado de depósito, 319, 327, 614, 618, 624, 630 Comisiones por ventas, 317, 319, 321, 341, 343, 345 Compra en la bolsa, 274, 277, 279, 282, 283 Condiciones económicas, 374 Costo de vacaciones, 84 Deducciones de impuestos, 244 Depósitos, 96 Depósitos bancarios, 96 Depósitos de cheques, 32 Depósitos en cuenta de cheques, 32, 533 Depreciación, 325, 341 Devolución de impuestos, 21, 45 Educación e ingreso, 17 Escribir un cheque, 11–12, 96 Ganancia de la inversión, 319 Impuesto a la propiedad, 263 Impuesto al consumo, 318 Impuesto a las ganancias, 319, 320 – 321, 372 Impuesto a las ventas, 303, 308, 313 – 314, 318, 319, 321, 340, 343, 347, 406 Impuestos corporativos, 126 Inflación, 277 Ingreso, 45, 264, 298, 543 Ingreso anual, 230, 371, 393 Ingreso de contribuyente, 117, 126 Ingreso del hogar, 10, 46 Ingresos estimados, 69 Ingreso neto, 45 Ingreso tributable, 320 – 321 Interés compuesto, 315 – 317, 319, 321, 341, 343, 345, 592, 626 Invertir, 161, 321, 544, 593 Liquidez, 264 Niveles de ingreso, 407, 451, 518, 572, 632 Pago de impuestos, 297 Pagos mensuales, 103 Partes desiguales, 168 Pérdidas en la bolsa, 543, 544

Poder adquisitivo, 45 Precio de bonos, 161 Precios en la bolsa, 241, 244, 263, 276, 323, 326, 345, 534 Precios de la plata, 244 Precio de computadoras, 20, 45 Presupuesto familiar, 378, 381, 518, 572 Presupuestos, 33, 68, 305, 324, 328, 329, 368, 369, 370, 378, 381, 451, 518, 533, 535, 572 Puntajes de crédito, 118, 208, 230, 278, 306 Salario, 66–67, 68, 69, 106, 230, 326, 371, 393, 395, 609, 617 Solvencia, 264 Tasa de porcentaje anual, 330 – 333, 341 Tasas de impuesto, 319, 320 – 321 Tasas de interés, 54, 59, 307 – 308, 314 – 317, 319, 321, 329, 330 – 333, 333 – 335, 335, 336 – 337, 338, 341, 343, 344, 345, 347, 407, 451, 592, 614, 618 Transferencia de balances, 331 – 332 Venta de carros, 18–19, 20, 23, 33, 34, 43, 45

Geometría Altura de estatua, 265 Altura de un televisor, 504 Altura del poste del Puente Dames, 505 Ángulos del eclipse solar, 460 Área de círculo de cosecha, 483, 486 Área de Mónaco, 429 Área de un campo de fútbol, 487 Área de un diamante de béisbol, 486 Área de un edificio, 429 Área de una rueda de bicicleta, 486 Área de una tormenta, 486 Área del acelerador Fermi, 483 Área del carrusel de Disneylandia, 486 Área terrestre, 234 Circunferencia, 257, 281, 283 Diámetro, 257, 281, 283 Dimensiones del billete de dólar, 262 Distancia recorrida por Venus, 475 Escala En dibujos, 261 En heliografías, 140 En mapas, 139, 277 En modelos, 140, 263 Espesor del papel, 220 Longitud de papel, 277 Longitud de una cinta transportadora, 504 Medidas de la bandera de Estados Unidos, 259, 264, 283, 285, 347, 406, 451 Ángulos del Triángulo de las Bermudas, 462 De petroglifos, 456, 467 Perímetro de la piscina más grande, 477 Perímetro de un campo de fútbol, 477 Perímetro del área de ejercicios, 475 Perímetro del astillero más grande, 477 Perímetro del diamante de béisbol, 477 Perímetro del marco de la pintura de la Mona Lisa, 477 Volumen de la pirámide de Giza, 492 Volumen de la pirámide de la Luna, 496

IA - 3

6

Índice de aplicaciones

Volumen de la pirámide del Sol, 496 Volumen de un buzón de UPS, 497 Volumen de un camión de basura, 498 Volumen de un camión de u–haul, 497 Volumen de un cono, 492 Volumen de un embudo, 496 Volumen de un microondas, 494 Volumen de un tanque de agua esférico, 495 Volumen de un tornado, 497 Volumen de un zafacón, 498 Volumen de una azucarera, 495 Volumen de una bola de bolos, 491 Volumen de una botella, 136 Volumen de una caja, 496 Volumen de una cápsula, 494 Volumen de una jaula para mascotas, 494 Volumen de una lata de refresco, 490 Volumen de una pirámide, 496 Volumen del agua, 186

Gobierno Campañas políticas, 277 Deuda nacional, 524, 594 Gastos en defensa, 126 Ingresos del Gobierno Federal, 381 Ingresos por impuestos, 117, 126 Longitud de un acorazado, 414 Militares, mujeres, 365 Mujeres en las fuerzas militares, 365 Pentágono (edificio), 32 Propiedad intelectual, 619 Reservas de crudo, 9, 79, 306 Reservas de petróleo, 594 Violación de seguridad, 619

Medicina y salud Altura de los humanos, 414 Cáncer de colon, 362 Causas de estrés, 359 Composición de los huesos, 159, 167 Composición del cuerpo, 208 Consumo calórico, 59, 69, 86, 622 Consumo de agua, 435, 436 Consumo de calorías, 94, 96, 220 Consumo de carbohidratos, 292 Consumo de refrescos, 600 Consumo de líquidos, 435, 436 Consumo de pastillas para dormir, 229, 296 Consumo de proteína, 274, 276, 279, 282, 283, 285, 347, 406, 451 Conteo de calorías, 31 Costos de seguro médico, 328, 371, 389, 398 Depresión, 296 Diámetro de una aspirina, 419 Dientes postizos, 229 Dolor nocturno, 174 Dosis, 87, 275 Dosis de antibióticos, 275 Dosis de un medicamento, 87, 275 Duchas para dormir, 277 Ejercicio, 94, 96, 169, 467, 617, 618, 620, 621 Estrés y salud, 363

IA - 4

Factores de riesgo de enfermedad cardiaca, 33 Fiebre, 442 Fumar, 20, 159, 167, 208 Gérmenes en el teléfono, 9 Gérmenes en la oficina, 360 Gotas para los ojos, 435, 436 Hacer dieta, 612 Hemoglobina, 79 Índice de masa corporal, 94, 235, 236, 237, 238, 250, 251 Infección de hepatitis C, 619 Infección de VIH, 619 Infección por SARS, 352 Levantamiento de pesas, 20 Líquidos intravenosos, 434, 435, 436 Longitud de los huesos, 221, 420 Medidas del cuerpo, 504 Migrañas, 229 Obesidad, 277 Pérdida de peso, 20, 60, 95, 621, 624 Peso corporal, 442 Peso corporal deseable, 442 Peso del cerebro, 167 Peso ideal, 442 Proporciones del cuerpo, 272 – 273 Relación cáncer – obesidad, 235 Relación obesidad–cáncer, 235 Remedios contra la gripe, 149 Riesgo de cáncer de endometrio, 363 Riesgo de cáncer de seno, 361 Riesgo de derrames, 361 Riesgo de enfermedad, 361 Riesgo de fractura de cadera, 363 Ritmo cardiaco, 84, 169 Salud cardiaca, 312 Seguro, 244 Sistema métrico, 434 Tamaño de la cintura y enfermedades cardiacas, 312 Tasa de dieta, 376 Tasa de metabolismo, 94, 620 Tasa de pulsaciones, 561 Temperatura corporal, 167, 243, 244, 442 Terapia de reemplazo hormonal, 357 – 358, 362 Tiempo de sueño, 117, 174 Uso del sitio de internet de un hospital, 327 Vitaminas, 435 Volumen de una cápsula, 494

Negocios Amortización, 334 –335, 336 –337 Análisis del tiempo transcurrido, 159 Aumento de las ventas, 323, 343 Aumento de los gastos, 345 Capacidad de compra, 45 Carreras de crecimiento acelerado, 339 Carreras de crecimiento rápido, 339 Comisiones, ventas, 317, 319, 321, 341, 343, 345 Costos operativos, 245 Escribir un cheque, 11 –12, 96 Estrés de trabajo, 363 Estrés en el trabajo, 363

Exportaciones, 244 Fracasos, 244, 262 Gastos de una empresa, 159 Horario de entregas, 149 Impuesto a la propiedad, 263 Impuesto corporativo, 126 Ingresos, 79 Interés simple, 314 –315, 319, 321, 341, 343, 345, 347, 407, 451 Longitud de una cinta métrica, 504 Número de empleos, 537 Precio al por mayor, 325, 329 Precio de los bonos, 161 Precio del oro, 343 Presupuestos, 33, 68, 305, 324, 328, 329, 368, 369, 370, 378, 381, 451, 518, 533, 535, 572 Producción de una refinería, 269 Pronto pago, 288, 300 – 301 Propiedad de estaciones de radio, 295 Salario por hora, 185, 269 Tarifa de costo por palabra, 266, 283 Tasa de fabricación, 261, 265, 282, 285 Tasa de producción de una fábrica, 261, 265, 282 Tasas de cambio, 243, 244 Trabajo hasta tarde, 385 Uso del e–mail, 21 Velocidad de escritura, 20 Velocidad taquigráfica, 68 Ventas por empleado, 269 Ventas totales, 228 Viajes, ciudades más costosas, 366

Temas del consumidor Almacenes de dólar, aumento en, 326 Almacenes Supercentro, aumento en, 326 Balance de chequera, 209 Bienes, 159 Cambio, 208 Cantidad de crema dental, 138 Capacidad de una botella, 136 Características de teléfonos celulares, 294 Carros, cosas dentro, 360 Ciudades, salarios en varias, 394 Compra de carro usado, 20 Conservación de energía, 218, 221, 222 Conversiones de dólares y centavos, 214 Costo de criar un hijo, 9 Costo de detergente, 181 Costo de renta, 249, 251, 252, 370 Costo de rentar carro, 220, 245, 613, 624, 630 Costo unitario, 181, 186, 251, 267 – 268, 270, 272, 282, 283, 347, 366, 406 Cuentas de teléfonos celulares, 242, 243 Deducciones de seguridad social, 244 Descuentos, 317 –318, 319, 321, 341 Dimensiones de teléfonos celulares, 469 E–mail no deseado, 354, 396 Enjuague bucal, 435, 436 Fabricación de ropa, 138 Felicidad, 296 Gasto en alojamiento, 370

6 Gasto en línea, 401, 404 Gasto en periódico, 167 Gasto en tienda de comestibles, 369 Gastos en vestimenta, 94, 368 Gastos mensuales, 68 Gastos totales, 208 Herencia, 159 Horario de trenes, 148 Horas de trabajo, 167 Horas trabajadas, 117, 167, 354–355 Estados de ánimo, 554 –555 Impuesto al desempleo, 244 Ingresos y ubicación, 394 Libros, dinero gastado en, 582 Llamadas telefónicas no deseadas, 365 Longitud de un cigarro, 425 Métodos de extracción de crema dental, 373 Monedas, 182 Número de asistentes, 138 Pago a niñera, 86 Partes desiguales, 168 Pintas en una canasta, 55 Población de internet, 277 Precio de la gasolina, 386, 388 – 389, 392 Precios de carros, 102, 325, 329 Precios de computadoras, 20, 45, 94 Precios de venta, 88, 239, 309, 317 – 318, 319, 321, 345 Preferencias de refrescos, 352–353 Preferencias en los servicios de los cajeros automáticos, 373 Problemas de computadora, 273 – 274 Producción de petróleo, U.S., 609 Propiedad de carro, 382 Propiedad de los carros por tipo, 382 Propinas, 96, 318, 320, 321 Proporción de carros y personas, 257, 262, 264, 281 Proporción de precio y ganancias, 128 Puntajes de crédito, 118, 208, 230, 278, 306

Índice de aplicaciones

Raza y poder adquisitivo, 356 Registro de botes, 8 Removedor de esmalte de uñas, 277 Reventa de boletos, 327 Satisfacción en el trabajo, 380 Seguro de salud, 244 Seguro del carro, 96, 373, 580, 582 – 583 Sitios de internet para citas, 326 Tamaño de carro, 414 Tamaño de computadora, 139 Tamaño de la aspirina, 419 Tamaño de sombrero, 506 Tamaño de tienda por departamentos, 429 Tarjetas de crédito, 330 –333, 335, 338, 344, 345 Tasa de avisos clasificados, 265, 271 Tasa de pago, 266, 267, 269 Teléfonos celulares, 79 Uso apropiado de teléfonos celulares, 295 Uso de agua, 126, 380, 495 Uso de cupones, 305 Uso de energía, 68 Uso de internet, 21, 295, 326, 355, 383, 395, 594, 618 Uso de software para impuestos, 327 Uso de taxi, 17 Usuarios de teléfonos celulares, 400 Velocidad de computadora, 601 Velocidad de descarga, 220 Velocidades de internet, 220 Venta de carros, 18–19, 20, 23, 33, 34, 43, 45 Venta de revistas, 372 Visitas a centros comerciales, 327

Transporte A la escuela, 357 Al exterior, 118 Al trabajo, 159, 376, 379, 401, 404 Altitud, 544, 565 Capacidad de tanque de gasolina, 186 Capacidad de un avión, 31 Consumo de petróleo, 59, 230

Costo de gasolina, 219, 223 Demanda de aceite, 615 Desecho de aceite del motor, 60 Distancia en el tanque de gasolina, 59, 119 Distancia entre destinos, 209, 210 Distancia recorrida, 34, 119, 209, 210, 220, 241, 245, 478 Distancias, 34, 241, 245, 478 Distancia de viaje, 45, 208 Elevador, 534 Escala de un mapa, 139, 277 Fatalidades de tránsito y alcohol, 364 Gastos, 594 Gastos del carro, 377 – 378, 381 Horarios de los buses, 148 Índice de gas octano, 561 Lectura de tanque de gasolina, 118 Longitud de despegue de los aviones, 425 Longitud de pistas, 425 Manejo del equipaje en el aeropuerto, 326 Mapas, dinero gastado en, 582 Millas de gasolina, 68, 119, 220, 266, 269, 282, 347, 406 Negocio, 366 Número de pasajeros de las aerolíneas, 326 Planificación de viajes en línea, 327 Planificación en línea, 327 Problemas de equipaje, viaje en avión, 326 Producción de etanol, 609 Promedio de velocidad, 96 Récord de vuelo, 95 Reservas de gas, 306 Robo de carros, 14 Tiempo de vuelo, 326 Transporte público, 148 Uso de taxi, 17 Velocidad de caminata, 414 Velocidad del motor de un carro, 95 Velocidad, promedio, 96 Velocidades de avión, 269 Volumen de tanque de combustible, 495 Volumen de un camión, 497

IA - 5