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Guía didáctica *

Ejemplar de obsequio

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Matemáticas o c it á m te a m to n e i m a s n e P a i r a d n u c e S

Dirección de contenidos y servicios educativos: Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares:Felipe Ricardo Valdez González Autores: Melisa Vivanco, Erika Barquera Pedraza, Emilio Domínguez Bravo, José Cruz García Zagal, Edgar García Manrique Coordinación editorial:Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición: Cristóbal Bravo Marván, Macbeth Baruch Rangel Orduña, Uriel Jiménez Herrera Coordinación de corrección:Abdel López Cruz Corrección: Eduardo Jiménez Zurita Dirección de arte y diseño: Quetzatl León Calixto Diseño de portada y de la serie: Brenda López Romero Diseño gráfico y diagramación:Maricarmen Martínez Muñoz Coordinación de diagramación:Jesús Arana Trejo Producción: Carlos Olvera, Teresa Amaya

Guía didáctica. Matemáticas 3. Secundaria. Conect@ Estrategias Primera edición, 2012

D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-0336-9 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico Guía didáctica. Matemáticas 3. Secundaria. Conect@ Estrategias se terminó de imprimir en enero de 2012, en Editorial Impresora Apolo, S. A. de C. V., Centeno núm. 150, local 6, col. Granjas Esmeralda, C. P. 09810, México, D. F.

En SM reconocemos que el aprendizaje por competencias requiere transformar las prácticas de enseñanza y contar con recursos didácticos para aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener a la mano información que favorezca nuevas formas de aprender los contenidos; establecer vínculos con los contenidos de otras asignaturas; y favorecer la interacción respetuosa. Poner en práctica estas acciones en clase requiere que el docente tenga claro el aprendizaje que se espera del estudiante; que reconozca el contexto (la historia de la localidad, las prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y la fauna) para integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción con los estudiantes, entre otros aspectos.

n ó i c a t n e s e r P

En SM asumimos este reto junto con los colegios, profesores, alumnos y padres de familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándole una amplia oferta orientada al desarrollo de competencias, la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales.Conect@ es la respuesta para hacer frente a los retos de la sociedad del conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica. En el contexto de la reciente Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), esta guía didáctica tiene el propósito de brindarle recomendaciones prácticas para el tratamiento de los contenidos curriculares de los planes de estudio vigentes, mismos que conforman la Nueva Articulación de la Educación Básica; tiene el propósito fundamental de favorecer la adecuada interpretación y educativo aprovechamiento del libro del alumno y de las secuen cias didácticas que se plantean en este. En esta guía se presentan las respuestas de todas las actividades del libro del alumno, así como sugerencias didácticas que apoyarán su labor docente. Se incluye también la definición relativa a la enseñanza, con base en el modelo de competencias. Además, se explican las sugerencias de evaluación que incluye el libro del alumno, las cuales se han diseñado para evaluar ompetencias. c La dosificación y los conceptos fundamentales del enfoque de la asignatura Matemáticas de puede consultarlos en la reproducción del libro del alumno que se incluye en esta guía. Estas son las características de la guía didáctica. • Facilita la organización de la enseñanza y el seguimiento del aprendizaje. • Explica los elementos del enfoque de enseñanza de Matemáticas en la Educación Secundaria. • Propone una dosificación del curso con base en la carga horaria de la asignatura. • Contiene sugerencias didácticas que consideran los aprendizajes esperados y los estándares curriculares. • Incluye las respuestas de las actividades del alumno y de las evaluaciones ENLACE.

¡Gracias por permitirnos ser su compañero en la aventura de educar la infancia de la Sociedad del Conocimiento!

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e c i d n Í El proyecto Conect@........................................................................... 6 Claves pedagógicas del proyecto Conect@ ................................. 8 Aprender con tecnología ..................................................................16 Matriz de competencias ...................................................................22 Avance programático .......................................................................24 Bloque 1 ....................................................................................................................24 Bloque 2 ....................................................................................................................40 Bloque 3 ....................................................................................................................50 Bloque 4 ....................................................................................................................64 Bloque 5 .................................................................................................................... 78

Libro del alumno con respuestas ..................................................89

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@ t c e n o C o t c e y o r lE p

La educación es un camino apasionante en el que la calidad del viaje importa más que el destino; en el que el proceso de aprendizaje cuenta más que los resultados. La clave no está en la acumulación de datos y saberes enciclopédicos, sino en el desarrollo de habilidades y capacidades para afrontar los retos de un futuro incierto. Hoy enfrentamos un nuevo escenario, un nuevo paradigma impulsado por la irrupción de los medios digitales, en el que han cambiado tanto las necesidades de la educación como los aprendizajes básicos. El rápido desarrollo de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) promueve nuevas formas de enseñanza y aprendizaje complementarias al libro en papel, que resultan de gran interés para potenciar las competencias de los alumnos del siglo XXI.

El mundo educativo se está transformando. En el siglo XX, la educación estaba centrada en las instituciones y su principal objetivo era la certificación formal. En el siglo XXI, en cambio, el modelo educativo se centra en el alumno autónomo y el objetivo es que siga aprendiendo a lo largo de su vida.

Anteriormente, en el currículo, se enfatizaba en los datos y en la formación disciplinaria; en la actualidad, uno de los mayores desafíos educativos consiste en desarrollar competencias para la vida, con el propósito de que los alumnos puedan desenvolverse de manera autónoma. Esto implica enseñarles a integrar y relacionar los distintos aprendizajes, y a saber utilizarlos de manera práctica en contextos reales. La incorporación efectiva de estas competencias en el currículo no essencilla, exige esfuerzo de la comunidad educativa y, sobre todo, del profesorado, quien debe reenfocar su labor para poner énfasis en el desarrollo de competencias.

Es por ello que en México, al igual que en muchos otros países, se ha definido un perfil de egreso de la educación básica y se ha decidido organizarla en un solo tramo educativo. Dicho perfil es preponderante en el proceso de articulación de los tres niveles de la educación básica; es el resultado de desarrollarcompetencias para la vida que darán a los jóvenes la garantía de desenvolverse satisfactoriamente en cualquier ámbito en que elijan continuar su aprendizaje. Para alcanzarlo, los alumnos deben desarrollar este perfil desde su ingreso a la escuela. En SM asumimos este reto junto con las escuelas, profesores, alumnos y padres de familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándo le una amplia y diversa oferta modular orientada al desarrollo de competencias,

la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales. Conect@ es la respuesta para hacer frente a los retos de la Sociedad del Conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica.

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Si bien, Conect@ se apega totalmente a las disposiciones oficiales, no se circunscribe a ellas. La mirada educativa de SM sobre al sociedad que queremos construir enriquece la propuesta y la hace pertinente a las necesidades de las escuelas de hoy.

Conect@ es un proyecto multiplataforma integrado por un conjunto de productos y servicios que abarca todos los grados de la educación básica. La oferta de Conect@ está constituida por 62 libros impresos y digitales: cincuenta curriculares y doce complementarios. Estos 62 libros abarcan los tres niveles educativos: 18 para preescolar, 30 para primaria y catorce para secundaria; y están organizados en cuatro campos de formación: 1. lenguaje y comunicación (Conect@ Palabras), 2. pensamiento matemático(Conect@ Estrategias), 3. exploración y comprensión del mundo naturaly social (Conect@ Entornos), y 4. desarrollo personal y para la convivencia (Conect@ Personas). Además, la propuesta se complementa con el portal Conect@ Digital, el cual ofrece un espacio de interacción con recursos específicos para alumnos y profesores. Incluye un “Entorno Virtual de Aprendizaje” con más de 1 500 actividades en soporte digital, así como recursos didácticos y acceso a comunidades virtuales para compartir experiencias. Conect@ es mucho más que una colección de libros, por ello, ofrece 270 actividades de formación, además de sesiones de asesoría y evaluación. Al adquirir los libros de Conect@, usted recibirá una conferencia magistral sobre el programa de la Nueva Articulación de la Educación Básica y podrá elegir dos talleres sobre cada campo de formación que haya adquirido. Las asesorías consisten en sesiones de trabajo con nuestro calificado equipo de especialistas educativos para analizar los componentes de Conect@. Respecto a la evaluación, se aplicará un diagnóstico de áreas de oportunidad a los profesores usuarios.

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@ t c e n o C o t c e y o r le p d s a c i g ó g a d e p s e v a l C

Las claves pedagógicas son los principios que guían la aplicación del enfoque de enseñanza por competencias, y han sido desarrolladas con un doble propósito. 1. Ser la estructura sobre la cual se desarrollen los contenidos con el fin de alcanzar los aprendizajes esperados, contribuir efectivamente al logro de estos y de las competencias para la vida. 2. Ser criterios orientadores para el trabajo en el aula con los contenidos del libro para simplificar la tarea docente de crear un ambiente de aprendizaje que promueva competencias genéricas y específicas. 3. En este sentido, la estructura de los libros de Conect@ favorece el cambio de los estilos de enseñanza y apoya la transformación de la práctica docente que exige la Nueva Articulación de la Educación Básica propuesta por las autoridades educativas del país.

Clave 1. Los estudiantes y sus procesos de aprendizaje: estructura de Conect@ El centro y el referente fundamental del proyecto Conect@ es el estudiante. En esta colección se asume como punto de partida que, desde etapas tempranas, es posible generar en el estudiante las siguientes disposiciones y capacidades: continuar aprendiendo a lo largo de la vida; desarrollar habilidades superiores del pensamiento para solucionar problemas; pensar críticamente; comprender y ex-

plicar situaciones desde diversas áreas del saber; manejar información; e innovar y crear en distintos ámbitos de la vida. La investigación educativa ha documentado durante los últimos 25 años que los alumnos tienen conocimientos y creencias respecto a lo que se espera que aprendan, acerca del mundo que les rodea, de las relaciones y de las expectativas sobre su comportamiento. En este sentido, es necesario reconocer la diversidad social, cultural, de capacidades, estilos y ritmos de aprendizaje de los estudiantes, y aprovecharla para generar ambientes que los acerquen al aprendizaje significativo. Por ello, la colección Conect@ está diseñada con base en una variedad de colores atractivos, en portadas que corresponden al mundo iconográfico de los niños y jóvenes, y en ilustraciones claras —cuya incorporación tiene propósitos didácticos y no meramente decorativos—. Además, en Conect@ se utiliza un lenguaje directo que cuestiona a los estudiantes, y se proponen actividades lúdicas, retadoras, orientadas a desarrollar las habilidades correspon dientes a los distintos tipos de pensamiento y al logro de los aprendizajes esperados.

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Clave 2. Organizar el proceso de aprendizaje en función del estudiante y del contenido La visión del aprendizaje como un proceso requiere de diversos momentos de interacción del alumno con los contenidos de estudio, también exige una manera específica de organizar la enseñanza e implica gestionar la clase considerando la dificultad del contenido, las experiencias y conocimientos de los estudiantes, y la meta que se quiere alcanzar. Para ello, es necesario organizar actividades de aprendizaje a partir de las diversas formas de interacción de alumnos y contenido (cualitativo, cuantitativo, integrativo, personal, colaborativo, concreto o abstracto). Las actividades deben representar desafíos intelectuales para los estudiantes, con el fin de que planteen alternativas de solución. Para diseñar una planificación se requiere superar las clases magistrales, unidireccionales y discursivas, y proponer secuencias y proyectos didácticos. Conect@ está organizado en secuencias didácticas que permiten a los alumnos aproximarse, con base en sus conocimientos previos, a los nuevos contenidos de estudio. Este planteamiento reconoce que los estudiantes aprenden a lo largo de la vida y que se involucran en su proceso de aprendizaje. Las actividades incluidas en las secuencias de Conect@ se han diseñado cuidando que las diferentes situaciones de aprendizaje sean interesantes y constituyan un desafío, con el fin de que los estudiantes indaguen, cuestionen, analicen, comprendan y reflexionen. La organización didáctica de las secuencias permite que el profesor lospara niveles de complejidad de cada actividad, asícuestionar? como la función queidentifique debe asumir favorecer el aprendizaje: ¿cuándo debe ¿Cuándo debe promover el trabajo colaborativo? ¿Cuándo es conveniente que favorezca la obtención de conclusiones?, etcétera. Adicionalmente, Conect@ incorpora en varias de sus secciones (entrada y final de bloque y evaluaciones) temas de relevancia social para que los alumnos rela cionen lo que aprenden en la escuela con lo que aprenden en casa y en otros ámbitos. Por ello, en cada una de las asignaturas, niveles y grados se tratan importantes temas que contribuyen a la formación crítica, responsable y participativa de los estudiantes en la sociedad. Estos favorecen aprendizajes relacionados con valores y actitudes, sin dejar de lado la adquisición de conocimientos y habilidades.

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Clave 3. Favorecer la aplicación de un modelo de enseñanza basado en competencias Hacer realidad el aprendizaje basado en el modelo por competencias requiere transformar las prácticas de enseñanza en formas diferentes de interacción de los estudiantes y los contenidos, y contar con diversos recursos didácticos para aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener a la mano información que favorezca nuevas formas de aprender los contenidos del programa; establecer vínculos con contenidos estudiados en otras asignaturas; y favorecer la interacción armónica y respetuosa. Pero poner en práctica estas acciones en clase es problemático y requiere que usted tenga muy claro el aprendizaje que espera del estudiante; que sepa reconocer los elementos del contexto (la historia de la localidad, las prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y la fauna) para integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción con los estudiantes, entre otros aspectos.

Conect@ proporciona, mediante una rica variedad de cápsulas, este tipo de herramientas para que usted las utilice de manera flexible, de acuerdo con las necesidades e intereses de sus alumnos. Cápsulas

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Propósito

En contexto

• Establecer una relación entre los contenidos y algún aspecto de otra asignatura o la vida cotidiana

Conectamos

• Sugerir páginas electrónicas y actividades con TIC

Ya sabemos…

• Apoyar a los alumnos para recordar definiciones, técnicas, descripciones y características de lo aprendido

Reflexionamos

• Plantear preguntas para consolidar la comprensión de los contenidos

Convivimos

• Sugerir actitudes positivas o actividades para aplicar en la comunidad

Una pista

• Sugerir una pista para la resolución de algún problema o actividad con cierto grado de dificultad

Icono

Clave 4. Fomentar el aprendizaje colaborativo La única manera de hacer posible la existencia de aulas inclusivas, en las cuales alumnos muy diferentes puedan aprender juntos, es estructurar en ellas el aprendizaje de forma colaborativa. Difícilmente se pueden practicar y, por lo tanto, aprender, algunas competencias básicas, por no decir todas, si los alumnos no tienen la oportunidad de trabajar juntos en clase, reunidos en equipo, de manera constante. Conect@ propone a las escuelas y a los profesores concretar este tipo de aprendizaje mediante tres formas básicas de interacción de alumnos, y de alumno y profesor.

1. Momentos para la enseñanza personalizada, es decir, que se ajuste a las características de cada estudiante. 2. Momentos de aprendizaje mediante el fomento de la autonomía de los estudiantes, o sea, que sepan aprender de forma independiente. 3. Momentos de aprendizaje cooperativo, es decir, que los estudiantes se ayuden mutuamente. Conect@ incluye diversas actividades de trabajo: proyectos estudiantiles o didácticos, estudios de caso, investigaciones cortas, pero productivas, etc. Este tipo de estrategias didácticas le ofrece a usted la oportunidad de identificar, de manera global, el avance de los alumnos en las competencias para la vida. Además, les permite a estos últimos superar la visión de aprendizajes fragmentados y acercarse al espíritu del aprendizaje competencial.

Clave 5. Favorece la búsqueda, selección y discriminación de información proveniente de soportes distintos (impresos, digitales, orales, etcétera) Los cambios radicales provocados por la tercera revolución industrial —la de las tecnologías de la información y la comunicación— han creado una nueva dinámica social, en la que la noción de conocimiento, cualquiera que sea su tipo, se ha vuelto esencial en los procesos de desarrollo e innovación. En nuestros días, se asume que el conocimiento se ha convertido en objeto de desafíos económicos, políticos y culturales hasta tal punto, que las sociedades cuyos contornos empezamos a vislumbrar pueden calificarse de sociedades del conocimiento. Si bien, la escuela tiene como función promover la formación básica, eso no significa que deba limitarse a impulsar la adquisición de información relativa a las áreas socialmente validadas, sino que tendrá que transformarse en una escuela en la que se comparta el

conocimiento, con el fin de propiciar el desarrollo del ser humano y la vida. Lo anterior exige incorporar en las clases portadores de información variados y con propósitos distintos a los usados comúnmente.

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Como los formatos y medios de acceso a dichos portadores requieren habilidades específicas para su uso, se vuelve necesario incorporarlos, si bien con criterio pedagógico, con urgencia. Será necesario ir más allá del libro de texto e incorporar los acervos de la biblioteca familiar y escolar, recursos multimedia, Internet, periódicos, etcétera. El proyecto Conect@ pone a disposición de usted, profesor, alumnos y padres de familia, adicionalmente a los libros impresos, un entorno virtual de enseñanza y aprendizaje que enfatiza el desarrollo y la aplicación de las habilidades digitales y de las competencias de la sociedad del conocimiento: Conect@ Digital.

Conecta@ Digital está diseñado para apoyar a los profesores de educación básica en la tarea de impulsar los siguientes aspectos de la formación de los estudiantes.

1. Creatividad e innovación 2. Comunicación y colaboración 3. Investigación y manejo de información 4. Pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones 5. Ciudadanía digital Conect@ Digital contiene lo siguiente.

A) Para los profesores • Libros de texto y guías didácticas en soporte digital • Acceso al contenido digital del libro del alumno • Extenso acervo de actividades de refuerzo y ampliación para usarlo de manera flexible, en función de las necesidades de aprendizaje de los alumnos • Herramientas que potencian las presentaciones del libro, para usarlas en pizarrones tradicionales o interactivos • Capa (layer) del profesor, la cual le permite añadir contenidos al libro de texto y, por lo tanto, personalizarlo. • Entorno virtual de aprendizaje que facilita la participación y el seguimiento de los alumnos. • Blogs sobre temas de vanguardia mediante los cuales usted podrá participar en una comunidad virtual de aprendizaje formada por diversas escuelas del país. • Acceso a una comunidad virtual de profesores, en el portal Aprender aPensar, para compartir consideraciones sobre el reto de enseñar a niños y jóvenes del siglo XX. • Contacto con el editor y los autores del libro para que atiendan necesidades específicas de orientación didáctica. • Folletos digitales que lo ayudarán a interactuar con los padres de familia. 12

B) Para los alumnos • Libros de texto en soporte digital, para cada grado, enriquecidos con numerosos y variados recursos interactivos • Acervo de actividades de refuerzo y ampliación para fortalecer el logro de los aprendizajes esperados • Registro del cumplimiento de actividades en el entorno virtual de aprendizaje • Foro para el trabajo personalizado, en el que podrán compartir información con sus compañeros y profesores. • Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres e hijos C) Para los padres de familia • Folletos digitales orientativos que tratan temas de interés sobre la educación • Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres e hijos

Clave 6. La evaluación del aprendizaje como estrategia para retroali mentar el proceso de enseñanza En actualidad,hace la evaluación del aprendizaje permitido consolidar un cambio de la paradigma: dos décadas este tema ha aludía únicamente al examen mediante el cual el alumno obtenía una calificación; hoy se reconoce la importancia de la evaluación como un proceso formativo que se convierte en elemento para la retroalimentación del aprendizaje de alumnos y padres de familia, así como para identificar necesidades específicas de la tarea docente. A diferencia de otros tipos de evaluación, donde se enfatiza la calificación de comportamientos modificados por los alumnos, la perspectiva de Conect@ pone el énfasis en atender los diversos momentos que experimenta el alumno durante el proceso de desarrollo de un aprendizaje. El enfoque de evaluación de Conect@ se centra en la evaluación del aprendizaje pero no se limita a esta, pues también incluye su perspectiva de manera que retroalimente la actividad docente.

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Conect@ ofrece a los profesores esquemas de evaluación que les permiten llevar a cabo una amplia gama de tareas, por ejemplo: el desarrollo de proyectos, la estructuración de portafolios, el trabajo por rúbricas o matrices de desempeño, guías de observación, resolución de problemas en forma individual o grupal, periódico mural e incluso, en algunas ocasiones, exámenes. Estos instrumentos y técnicas posibilitan la interacción de diversos elementos y actores educativos: contenidos cognitivos de un campo con algún referente concreto de la realidad que permita dar sentido a la tarea de evaluar; alumnos, padres de familia, docentes y directivos escolares. La evaluación formativa que propone Conect@ está diseñada para obtener evidencias, elaborar juicios informados y brindar retroalimentación sobre los aprendizajes logrados por los alumnos durante su formación. Además, dicha evaluación constituye el eje para identificar y considerar el logro de los aprendizajes tanto de manera individual como grupal. Los materiales de los alumnos permiten aplicar e integrar los contenidos estudiados, para valorar si han alcanzado los aprendizajes esperados y en qué medida lo han hecho. Lo anterior se concreta mediante secciones fijas de evaluación incorporadas en el libro. En la colección Conect@ se incluyen, a lo largo de la educación básica, rúbricas de verificación, listas de cotejo y control, anecdotario, observaciones directas, textos escritos y dibujos, proyectos colectivos de búsqueda de información, identificación de problemáticas y propuestas de alternativas de solución, redes mentales, esquemas y mapas conceptuales, registros y cuadros para anotar las actitudes observadas en los estudiantes, portafolios de evidencias, reactivos competenciales y reactivos tipo PISA y tipo ENLACE. Seccionesfijasdeevaluación

Evaluación

Descripción • Reactivos tipo PISA para evaluar competencias • Reactivos tipo ENLACE, evaluación con reactivos de opción múltiple

De igual modo, en Conecta@ Digital encontrará recursos de evaluación que pueden ser utilizados de manera flexible.

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Clave 7. El proyecto educativo de SM como marco de Conect@ En SM entendemos que hablar de educación es hablar más de semillas que de frutos, más de siembra que de cosecha; es trazar un rumbo y ponerse en camino. En SM, en conjunto con los profesores, acompañamos a los alumnos en su crecimiento, en todas sus facetas como persona; los conducimos y los nutrimos. Educar implica conducir desde fuera para dejar nacer todo lo que la persona lleva dentro. Educar significa intervenir positivamente, desde la autoridad moral de usted, para hacer crecer. Es así que la escuela de nuestros días se enfrenta a desafíos sin precedentes: se espera que prepare a los futuros ciudadanos que actuarán en ambientes socioculturales y laborales caracterizados por constantes cambios. La parte crítica de dichos desafíos consiste en que los alumnos aprendan de una manera diferente, es decir, que se les oriente al descubrimiento; al manejo de fuentes de información múltiples y en formatos distintos; que tengan la capacidad para trabajar en equipo y que aprendan de la diversidad con la que conviven cotidianamente. Asimismo, se requiere que los estudiantes actúen con referentes éticos y desarrollen identidades sólidas y definidas. En pocas palabras: que se formen en un ambiente orientado al desarrollo de las competencias para el aprendizaje permanente, el manejo de la información y de situaciones, la convivencia y la vida en sociedad. Sin embargo, desarrollar competencias desde la escuela no es una tarea fácil ni inmediata. Se requiere una transformación de las formas de dar clases de los profesores, así como sustituir la función del profesor por el de educador que aprovecha un campo de conocimientos (asignaturas) para fomentar el desarrollo integral de los estudiantes. Se requiere renovar la relación entre la escuela, los alumnos y los padres de familia, de modo que se socialicen las metas de enseñanza, los logros de aprendizaje, las estrategias para atender las diversas necesidades de esta, etcétera. Ese espíritu es el que anima a Conect@. Mediante el portal permite poner en contacto a padres de familia con profesores; a utilizar los recursos digitales en función de las características y necesidades de los estudiantes; y vincula a la escuela con un espacio dedicado a los temas educativos, a los cuales coloca en el centro de la discusión, de los debates y de las alternativas que se están aplicando en múltiples escuelas de México que utilizan estos materiales. En SM estamos conscientes de que el desafío se puede afrontar trabajando juntos, como debe ocurrir en todo proyecto educativo. ¡Gracias por permitirnos ser su compañero de viaje!

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a í g o l o n c e t n o c r e d n e r p A

Vivimos en un mundo caracterizado por los avances tecnológicos que permean cada aspecto de la vida cotidiana. Es un mundo marcado por la competencia y los cambios, en el cual la educación es fundamental para tener acceso a mejores oportunidades en la vida. El uso de las tecnologías de la información y comunicación (T IC) permite que los estudiantes desarrollen tanto competencias educativas como competencias para la vida. El Plan Nacional de Desarrollo establece que “el analfabetismo digital es un barrera decisiva para el acceso de los mexicanos en un mundo globalizado. No basta con saber leer y escribir; para competir exitosamente hace falta también saber utilizar las computadoras”.1 Con la tecnología podemos divertirnos y comunicarnos, aprender y enseñar. Los estudiantes deben adquirir las herramientas básicas que les permitan aprender con ella y, de esta forma, estar preparados para interactuar adecuadamente con los recursos tecnológicos disponibles en la actualidad y los que se desarrollarán en el futuro. El uso didáctico de las tecnologías de la información y la comunicación fomenta los siguientes elementos. Uso de las TIC en la educación básica Desarrollar competencias

Impulsar la

Fomentar

para aprender a lo largo de la vida

comunicación en los la autonomía ambientes colaborativos del estudiante

El plan de estudios 2011 para la educación básica contempla el desarrollo de habilidades digitales como eje transversal de los camposformativos del currículo, con el objetivo de que los estudiantes aprovechen los recursos tecnológicos a su alcance como medios para comunicarse, obtener información y construir conocimiento.

Para ello, la reforma educativa definió Estándares de Habilidades Digitales, fundamentales en el desarrollo de competencias para la vida y la construcción de una ciudadanía digital.

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Plan Nacional de Desarrollo 2007-2012, Estrategia 11.1, p. 188.

1. Creatividad e innovación

6. Funcionamiento

2. Comunicación

y conceptos de las TIC

y colaboración

Estándares de Habilidades Digitales 3. Investigación y manejo de la información

5. Ciudadanía digital

4. Pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones

Para desarrollar estos estándares en la educación básica, el Gobierno Federal creó la estrategia educativa deHabilidades Digitales para Todos (HDT), programa enfocado en brindar las herramientas necesarias para que los estudiantes puedan insertarse en la sociedad del conocimiento a través del desarrollo de sus habilidades digitales.

1. Conocer las TIC y utilizarlas de manera creativa, experimentando formas innovadoras de emplearlas 2. Comunicarse y compartir información con otros, así como trabajar en ambientes colaborativos 3. Buscar, analizar y evaluar la información requerida a través de diferentes fuentes

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4. Reflexionar y encontrar la solución a diversos problemas,aprendiendo a tomar decisiones y hacerse responsable de sus consecuencias 5. Utilizar las TIC de forma responsable y respetuosa, convirtiéndose en un ciudadano digital que contribuya con el desarrollo de su comunidad 6. Emplear las TIC de manera eficaz para transmitir propios contenidos El plan de estudios 2011 señala que las habilidades digitales se encuentran presentes en todos los campos formativos, por lo que no debe ser objeto de una sola materia aislada, sino que debe apoyar decididamente las experiencias de aprendizaje de todas las asignaturas. La apropiación de estas habilidades digitales en los procesos de enseñanza requiere de la formación continua de los profesores con el objeto de que puedan desarrollar las competencias digitales para sus prácticas docentes. Por un lado, es necesario integrar a la escuela las experiencias con tecnología que los estudiantes tienen en su vida cotidiana; por otro, es indispensable que la escuela permita que los estudiantes tengan acceso a la tecnología para reducir la brecha digital. A continuación se mencionan algunas sugerencias para la incorporación de las TIC en los procesos de aprendizaje. Habilidades digitales

Herramientas de colaboración y comunicación

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Recursos

Sugerencias

Correo electrónico, Estos recursos permiten la blogs, foros, chats comunicación instantánea con personas de cualquier parte del mundo. Proveen un espacio en el que se intercambian puntos de vista, experiencias y resultados con otros estudiantes. Teléfonos celulares, Ipads

Pueden ser usados para distribuir diversos contenidos educativos.

Podcasts

Son archivos de sonido en formato mp3 que le permitirán transmitir mensajes o contenidos educativos de fácil acceso para sus estudiantes.

Herramientas Procesadores de productividad de texto, hojas de cálculo, presentaciones

Investigación

Internet

Estas herramientas sirven para crear documentos, bases de datos, identificación de tendencias, presentaciones, entre otras muchas funciones que potencian el trabajo escolar. La Internet ha cambiado la forma de tener acceso a la información. Es muy importante que trabaje con sus alumnos sobre la identificación de fuentes confiables mediante consultas de páginas oficiales; fomente este uso por medio de ligas seguras a portales educativos. Trabaje con ellos el desarrollo del pensamiento crítico para discernir sobre las fuentes de información y que tomen propias decisiones sobre lo publicado en línea.

y manejo de la información

Materiales

HDT, portales

Impulse el uso de los materiales

didácticos digitales

educativos

educativos gratuitos que ofrecen una gran variedad de portales, los cuales pueden ayudarle a trabajar una gran cantidad de contenidos de diversas asignaturas.

Ciudadanía digital

Internet, redes sociales

Fomente la incorporación a las redes sociales con base en principios éticos, para así alcanzar un uso seguro y responsable de la Internet.

La construcción de la ciudadanía digital contempla el uso ético de los recursos informáticos. La Internet ofrece una gran cantidad de información, pero también

de peligros; así pues, los alumnos deben reconocerlos para que puedan protegerse de ellos.

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A continuación, se numeran algunas recomendaciones que ayudarán a los estudiantes a tener una experiencia digital segura. Para navegar seguro 1. Es necesario que protejan la información personal. Comente que los datos personales los identifican como personas, por ello no deben proporcionar esta información a nadie. 2. Si entran a sitios con imágenes o palabras ofensivas, pídales que salgan de ellos y lo comenten con sus padres o tutores. 3. No deben abrir correos electrónicos de desconocidos. Para usar redes sociales y foros 1. Sugiera que entren a foros que traten temas de acuerdo con la edad e intereses de los alumnos. 2. Coménteles que no todo es verdad en Internet. Deben tener cuidado, pues muchos usuarios mienten sobre su verdadera identidad. 3. Si alguien a quien contactaron en línea desea conocerlos personalmente, deben hacerlo del conocimiento de sus padres o sus tutores. 4. Cuando usen redes sociales, deben crear perfiles privados y agregar a sus contactos conocidos. No deben proporcionar sus datos personales. Uso del celular 1. Pida que no proporcionen el número telefónico a extraños. 2. Solicite que no usen el celular para molestar o insultar a otras personas. Videojuegos 1. Sugiera que jueguen solo los que son adecuados para su edad. Además, deben determinar tiempos para las sesiones de juego. Para más información, consulte junto con sus estudiantes la página http://www.clicseguro.sep.gob.mx/index.php

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Los aprendizajes esperados y los estándares curriculares La Nueva Articulación de la Educación Básica está orientada, de manera prioritaria, al desarrollo de las competencias para la vida, a la par del desarrollo de las habilidades, conocimientos y actitudes propias del pensamiento matemático. El programa de articulación tiene el objetivo de unificar los enfoques de enseñanza y secuenciar la profundidad de los aprendizajes durante los cuatro periodos escolares (preescolar, primero a tercer grado de primaria, cuarto a sexto grado de primaria, y secundaria). Los elementos que articulan estos cuatro periodos son el perfil de egreso, los nuevos estándares curriculares y el enfoque de enseñanza de las matemáticas en la educación básica. Este programa de articulación ha generado los estándares curriculares y los vinculó con los aprendizajes esperados. Estos componentes son enunciados o indicadores que definen aquello que los estudiantes deben saber y saber hacer, así como las actitudes que demostrarán durante el proceso de aprendizaje y de exposición de lo aprendido. Los aprendizajes esperados y los estándares son útiles para dar seguimiento al desarrollo de las competencias. Los aprendizajes esperados se consiguen después del estudio de una secuencia de contenidos del programa, que están vinculados entre sí, y se demuestran a través de desempeños concretos de los alumnos en situaciones problemáticas. Por otra parte, los estándares curriculares enmarcan una secuencia de aprendizajes esperados y se definen al término de cada periodo escolar. Debido a su importancia, presentamos los aprendizajes esperados y los estándares curriculares en el avance programático de la guía didáctica, y que están relacionados con los contenidos de estudio del programa. De esta forma, usted podrá efectuar un seguimiento puntual sobre el avance que se espera tengan los estudiantes.

s a c it á m e t a m e d o iu d t s e e d a m a r g o r p l E

Actitudes y valores Uno de los propósitos del programa de matemáticas es que los alumnos muestren disposición positiva hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo. Los estándares curriculares cubren cada uno de los ejes de contenido (Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; Manejo dela información) y abarcan un cuarto rubro que es de reciente incorporación: las actitudes y valores hacia el estudio de las matemáticas. En la serie Conect@ Estrategias hemos incluido una serie de recomendaciones en las cápsulas “Convivimos”, mismas que facilitarán algunas pistas sobre cómo trabajar estos estándares. El enfoque didáctico y las competencias matemáticas El enfoque didáctico para el campo formativo Pensamiento Matemático se fundamenta en la resolución de problemas, pues se busca despertar el interés de los estudiantes mediante secuencias que impliquen situaciones problemáticas con las que reflexionen para desarrollar sus propias estrategias y formulen argumentos que validen sus resultados.

Las competencias que se indican en el programa son: resolver problemas de manera autónoma; comunicar información matemática; validar procedimientos y resultados, y manejar técnicas eficientemente. 21

Matriz de competencias Cada una de las competencias matemáticas se divide en varias subcompetencias. Presentamos un cuadro en el que hacemos una propuesta sobre las subcompetencias que se trabajan principalmente en cada una de las secuencias didácticas de Conect@ Estrategias Matemáticas 3. En este, podrá identificar los aspectos de las competencias matemáticas que se consolidarán conforme trabaja con las secuencias didácticas del libro del alumno.

Resolver problemas Comunicar información mate mática Validar proc edimientos Manejar técnicas de manera autónoma y resultados eficientemente

s a m le b ro p r e v l o s e R

Bloque 1 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7

Bloque 2 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6

22

s o t n e i im d e c o r p r a z li a r e n e G

n ió c lu o s e d

s to n ie im d e c o r p r e c o n o c e R

s e c a c fi e

s a m le b ro p r a e t n la P

n ó i c a m r o f n i r a t n e s e r p e R

a c ti á m te a m

n ó i c a rm fo in r a t e r p r te In

a c ti á m te a m

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n ó i c a rm o f in ri c u d e D

c ra a c o s e d a d e i p ro p irr fe In

n ó i c a u it s a n u e d s a ic t ís r e t

s o t n e i m i d e c o r p r a ic l p x E

s o t n ie im d e c ro p r a c fii t s u J

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s a c i n c té e d o j e n a M

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m o l u c l á c r a tu c e f E

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Resolver problemas Comunicar informa ción mate mática Validar proc edimientManejar os técnicas de manera autónoma y resultados eficientemente

s a m e l b ro p r e v l o s e R

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s e n o i c a m ti s e r a u t c fe E

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s o d a tl u s e r s o l e d



Bloque5 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3

Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6

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o c it á m a r g o r p c e n a v A

Bloque 1 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

• 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

Lección 1

• Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

La medida de un lado

Estrategiasdeenseñanzayaprendizaje

• Se introduce el concepto de ecuación de segundo grado mediante el enfoque geométrico y los conceptos de lecciones anteriores, como la multiplicación de binomios. • Pida a los alumnos que resuelvan la actividad 4 para que discutan ideas y encuentren el camino más corto para solucionarla.

24

Estándar

Indicadoresdedesempeño

• Plantea, a partir de un problema dado, la ecuación no lineal que permite resolverlo.

Lección 2

El número desconocido



• Es importante la participación de los alumnos en la resolución de los problemas. Como las actividades se resuelven sobre todo por ensayo y error, los errores conceptuales se notarán al momento en que participen.

• Encuentra soluciones a ecuaciones cuadráticas con el método de ensayo y error.

• Organice una actividad en la que pasen al pizarrón con sugerencias generales para resolver las ecuaciones.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades

• 9.3.2 Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas

• 9.3.3 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales

• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.

• Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.

• 9.3.4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas

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Lección 3

¿Iguales o diferentes?


• Aproveche las actividades para afianzar la noción de congruencia en matemáticas, así como minimizar los criterios que permiten decidir si dos figuras son congruentes entre sí o no. Recuerde que el tema de congruencia y semejanza de figuras se presta para que los estudiantes expliquen y justifiquen sus afirmaciones o resultados, mediante argumentos que se orienten hacia la demostración formal.

Lección 4


• Comprende las propiedades de las figuras congruentes. • Construye figuras congruentes a una figura dada.

La razón de semejanza



• La actividad de los barcos permite comparar algunos lados y ángulos para saber qué dibujos son semejantes; promueva que midan el resto de los ángulos y lados para ver en qué se parecen y en qué se diferencian los barcos. • Reflexione con ellos si se deben medir todos los lados y ángulos o basta con algunas comparaciones para determinar si hay semejanza. • Es importante comparar y reflexionar las respuestas, sobre todo en la actividad 3, donde las posibles diferencias en el trazo pueden ayudar a comprender mejor la razón de semejanza. • Resalte, en la actividad 5, que todas las figuras en la cancha deben tener la misma proporción respecto a las srcinales y la misma posición.

26

• Identifica figuras semejantes y su razón de semejanza. • Construye figuras semejantes a partir de una razón de semejanza dada.

Lección 5

Rompecabezas


• En la lección anterior se construyeron figuras semejantes con un factor de escala, aproveche esto para orientar la reproducción del rompecabezas. Si observa dificultades en la elaboración de las piezas, sugiérales que encuentren el factor de escala y lean, en grupo, las pistas que consideren necesarias. Propicie que compartan sus estrategias para construir las figuras, ya que les proporcionarán diversas maneras de acercarse al problema y plantear sus soluciones.

Lección 6


• Construye figuras semejantes, dada una razón.

Rectángulos semejantes en el plano cartesiano


• Recuérdeles que el criterio de igualdad de ángulos no es suficiente para determinar la semejanza, ya que por definición todos los rectángulos tienen ángulos rectos; la proporción de los lados correspondientes entre dos rectángulos semejantes debe ser constante; así como la proporción entre los lados perpendiculares de cada rectángulo. • Aproveche el sistema de ejes coordenados para que encuentren las relaciones y hagan las comparaciones. Comente con ellos la utilidad de este sistema para trabajar y construir figuras semejantes.


• Identifica rectángulos semejantes y su razón de semejanza. • Construye rectángulos semejantes respecto a una razón de proporción.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada

• 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras

• Explica el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.

• 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras

Lección 7

• Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

Figuras congruentes


• Las actividades de esta lección están enfocadas a sentar las bases de los criterios necesarios y suficientes para decidir si dos triángulos son congruentes entre sí o no. • Pida a los alumnos que comenten, en grupo, las respuestas que obtengan al trazar la figura con la información brindada por usted. Ambas situaciones (no lograr trazar el cuadrilátero o lograrlo trazar correctamente) presentan una oportunidad valiosa para detectar qué tipo de preguntas sirven para reconocer que la figura es un cuadrilátero, cuáles no dan información acerca de sus características y cuáles resultan redundantes.

28

Estándar


• Construye una figura (triángulo o cuadrilátero) congruente a otra, dadas ciertas condiciones. • Conoce los primeros criterios de congruencia de triángulos.

Lección 8

Condiciones necesarias y suficientes



• En lecciones anteriores los alumnos estudiaron la congruencia y semejanza de rectángulos, y la congruencia de triángulos; en esta actividad deben identificar qué características son necesarias y suficientes para que exista la congruencia. • Es importante que, tanto en esta lección como en la siguiente, expliquen y justifiquen si entre dos triángulos hay una relación de congruencia; deben apoyarse en el uso de los criterios, utilizar y detectar aquellos que sean suficientes para demostrar formalmente los resultados en sus argumentos.

Lección 9

• Distingue las condiciones necesarias y suficientes de los criterios de congruencia.

¿Son semejantes?



• En esta lección se estudian los criterios de semejanza que permiten identificar si dos triángulos son semejantes entre sí. Asimismo, se encuentran las valores de los ángulos o las medidas de los lados dados algunos datos, como la razón de semejanza, la proporción de los lados de un triángulo comparada con la del otro o las medidas de algunos ángulos o lados. • Un error frecuente es que los alumnos no siempre calculan la medida de los lados dada la proporción entre dos lados de manera correcta, por ello se recomienda hacer notar que entre los lados de dos AB A’B’ triángulos ABC y A’B’C’, no es la misma proporción que . AB A’B’

_

_

• Identifica si dos triángulos son semejantes o no. • Distingue las condiciones necesarias y suficientes de los criterios de semejanza.

• Lleve a cabo un juego similar al propuesto en la actividad 3 de la lección anterior; pida a uno de los estudiantes que indique los criterios de semejanza y las proporciones (puede indicar el factor de escala) para que su pareja construya un triángulo semejante al suyo.

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Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares ysituación. algebraicas) que corresponden una misma a Identificación de las quea corresponden una relación de proporcionalidad

• 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas

• 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos

• 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera

• 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa

• 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

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• Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.

• Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

Lección 10

Tablas de valores y gráficas



• Comente con los estudiantes la utilidad de usar gráficas y tablas para relacionar dos conjuntos de cantidades. • Si requiere de más ejemplos, pida que se reúnan en equipo y relacionen, mediante gráficas, los siguientes datos. – La edad de una persona con el peso correspondiente en cada momento y la edad con la estatura – Los meses del año con el número de horas de luz diurna en cada uno – Las horas del día con la temperatura correspondiente en cada una – La longitud del lado de un cuadrado con el perímetro correspondiente – La longitud del lado de un cuadrado con su área

Lección 11

• Analiza la relación entre la regla de correspondencia, la tabla de y la gráfica de unavalores relación.

Tarifas telefónicas


• Es común enseñar las relaciones con actividades en las que los estudiantes deben tabular la expresión algebraica de una relación y construir su gráfica marcando los puntos de los valores obtenidos. Sin embargo, no en todos los casos se culmina con éxito la actividad ni se efectúan investigaciones que permitan desarrollar nociones acerca del concepto de relación. Esto se debe a diferentes factores. Por ejemplo, un estudiante sin un bagaje aritmético adecuado puede encontrar problemas al tabular una expresión algebraica y como consecuencia la construcción de la gráfica correspondiente le resultará imposible. • Detecte el problema cuando muestren dificultad para encontrar una regla de correspondencia, tabular una relación o graficarla. Si se trata de una deficiencia aritmética (o algún otro obstáculo), hay que resolverla antes de continuar con la asimilación del concepto de relación.


• Calcula valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas). • Identifica representaciones que corresponden a una misma situación. • Identifica relaciones de proporcionalidad directa.

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Lección 12

Tiempo, distancia, velocidad



• Organice al grupo para que usen una computadora y vean cómo una función se puede tabular y graficar por este medio. Este tipo de recursos contribuyen a la visualización y validación de la solución del problema, además de ayudarlos a mejorar su capacidad de reflexión, conceptualización y comprensión de los problemas algebraicos verbales.

• Calcula valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas). • Identifica representaciones que corresponden a una misma situación. • Identifica relaciones de proporcionalidad directa.

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden auna relación de proporcionalidad • 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas endiferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas • 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos • 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera • 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con unafunción lineal. Identificac ión de lade relación entre razón y la inclinación o pendiente la recta quedicha la representa • 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades 32



Lección 13

Un nuevo tipo de variación



• En esta lección se introduce un nuevo tipo de relación, la de variación cuadrática. Comente las diferencias que hay entre esta nueva relación y la que los alumnos vieron en cursos anteriores (lineal de la forma y = mx + b). Pregúnteles si hay una relación de proporcionalidad en los problemas que se presentan y cuando hayan contestado la lección, pida que expliquen por qué no la hay. • En el primer problema hay que encontrar un valor a partir de una regla de correspondencia dada; en el segundo, la regla de correspondencia asociada a la situación que se presenta. Puede ser que al inicio resulte complicado, pues no están familiarizados con este tipo de expresiones algebraicas; por ello, solicite que lean de nuevo las características de la pecera y que escriban cómo se representa algebraicamente la relación entre el largo y el ancho.

Lección 14

• Identifica y representa algebraicamente relaciones cuadráticas.

Planes de ahorro I



• En esta actividad se prepara al alumno de manera intuitiva para que compare las funciones conocidas (lineales) con las cuadráticas. • Si detecta dificultades para resolver los primeros problemas, sugiera que usen tablas y esquemas, para que les faciliten el conteo, y determinen el plan de ahorro más adecuado según la situación que se plantee. Esto puede ser útil posteriormente para la representación gráfica de las relaciones.

• Compara el crecimiento de varias funciones.

33

Lección 15

Planes de ahorro II


• Se espera que los alumnos identifiquen que la gráfica de los planes de cuota fija corresponde a una línea recta y que la gráfica de los planes de cuota creciente no. Analice las gráficas y pregunte qué significa que estas partan o no del srcen, y de qué depende que una recta (ahorro de cuota fija) esté más inclinada que otra. • Fomente la reflexión de las tablas y las fórmulas que se presentan al inicio. Analice con ellos, cuando crea conveniente, qué ocurre entre un plazo y otro, y qué cantidad de dinero se aporta entre estos. Compare los planes de ahorro que se presentan en cada caso.

Lección 16


• Compara planes de ahorro. • Obtiene expresiones algebraicas asociadas a los planes de ahorro.

Planes de ahorro III


• Haga que reflexionen sobre la utilidad de las expresiones algebraicas para facilitar el cálculo del ahorro en cierto plazo, además de la comparación entre planes. Comente la ventaja del uso de tablas cuando implica hacer cálculos de plazos mayores. • En caso de haber dudas, discuta con los alumnos los criterios en los que se basa el crecimiento de las funciones.


• Compara el crecimiento de funciones que dependen de la misma variable. • Obtiene expresiones algebraicas asociadas a los planes de ahorro.

• Es importante analizar que, en un principio, las funciones lineales (cuota fija) pueden crecer más rápido que las de cuota creciente; pero • Grafica funciones. con estas últimas, a largo plazo, puede obtenerse un mayor ahorro.

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Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes

• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Lección 17

Estándar

• Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Juan quiere una alcancía


• En esta ocasión se presentan actividades para comprender la representación y el cálculo de probabilidades a partir de la comparación entre resultados favorables y resultados posibles. Haga más actividades que impliquen urnas, volados o dados para ejemplificar. Fomente el análisis con los estudiantes y comente con ellos la equivalencia entre las distintas maneras de representar una probabilidad: relación entre dos números, una fracción, un decimal o un porcentaje.


• Identifica distintas maneras de expresar una probabilidad.

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Lección 18

Laberinto de tubos



• Proponga juegos de azar simples, con dados, monedas y ruletas que fomenten el desarrollo del pensamiento probabilístico de los alumnos, la intuición en fenómenos aleatorios y la necesidad de cuantificar la predicción. No conviene enfocarse a establecer fórmulas y efectuar cálculos complicados, al contrario, debe favorecer la compresión de las nociones básicas de probabilidad. • Motívelos a desarrollar sus propios recursos para representar y simbolizar los resultados de un experimento aleatorio con la finalidad de que comprendan poco a poco los conceptos.

• Comprende que la escala de la probabilidad está entre 0 y 1.

• Hay que recordar que la medida de la probabilidad va de 0 a 1 y puede expresarse con fracciones, decimales o porcentajes. En este último caso, la medida de probabilidad va de 0 a 100%

Lección 19

La ruleta


• Esta lección es propicia para que lúdicamente (mediante la elaboración de una ruleta grande en la que todo el grupo pueda jugar) se formalice que la probabilidad de que un evento ocurra se calcula mediante la fórmula: P(E) = eventos favorables/eventos posibles, donde E es el evento.


• Practica el cálculo de probabilidades sencillas y de probabilidades compuestas.

• Con la ruleta haga hincapié en el cálculo de los eventos compuestos, • Hace predicciones sobre ya sean dobles (dos eventos válidos al mismo tiempo) o mutuamente la probabilidad de que un excluyentes (que solo uno sea posible). suceso ocurra a partir de información. • Para practicar lo aprendido lleve a cabo la siguiente actividad: coloque en una bolsa negra papeles numerados de diferentes colores y pregunte la probabilidad, por ejemplo, de que salga un papel azul con un número impar.

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Lección 20

Independientes o no independientes


• Pida a los estudiantes que investiguen más fenómenos en los que la probabilidad de un evento afecte a otro. • Solicite que analicen casos de juegos de azar conocidos (como la lotería) y que investiguen no solo la probabilidad de ganar un juego de estos sino, por ejemplo, de acertar en una cifra, en dos, etcétera.

Lección 21


• Distingue cuando la probabilidad de un evento afecta la probabilidad de otro. • Calcula probabilidades de eventos dependientes.

Problemas con urnas


• Mencione a los alumnos que como la probabilidad de un evento compuesto por dos eventos independientes se calcula al multiplicar las probabilidades de ambos eventos, si ambas probabilidades son menores que uno, entonces la probabilidad compuesta será menor que las independientes. Esto suena razonable, pues un evento compuesto siempre exige más condiciones y la probabilidad de que estas se den simultáneamente es menor que la probabilidad de que se dé solamente una.


• Calcula probabilidades de eventos dependientes.

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Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.1.7 Diseño de una encuesta odeunla experimento e identificación población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación • Calcula y explica el significado del rango y la desviación media. • 9.4.7 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango”

Estándar

• Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

como medidas de la dispersión

Lección 22

Preguntas adecuadas y no tan adecuadas


• Después de que los estudiantes resuelvan el primer cuestionario, pregunte a cada equipo el porqué de su respuesta. Sugiera que lean, en grupo, el recuadro final y relacionen lo que vieron en la lección con el título de esta. Fomente la reflexión en torno a qué preguntas son adecuadas, cuáles no tanto y por qué.

38


• Identifica criterios para hacer las preguntas adecuadas con el fin de obtener la información deseada.

Lección 23

La presentación más adecuada


• En esta lección se analiza cómo obtener datos y cómo presentarlos de una manera conveniente y clara. • Proponga a los alumnos que formen diferentes equipos en cada actividad para que comparen criterios con otros compañeros y no se acostumbren a un único modo de pensar.

Lección 24


• Elabora una encuesta o trabajo de investigación en que las preguntas permiten recolectar información específica.

Del problema a la comunicación de resultados



• En esta lección se identifican las preguntas que guían a la información correcta, la manera de interpretar la información obtenida y cómo presentarla de forma clara para el receptor final. • Solicite a los equipos que elijan temas diferentes para que observen cómo distintas preguntas y presentaciones son adecuadas según el tipo de información. • Al final de la recolección de datos, cada equipo debe explicar qué información quería obtener con sus preguntas y analizar si fueron las adecuadas. También debe exponer los resultados ante el grupo y comentar acerca del método que siguieron para llevar a cabo su investigación.

• Expone un trabajo de investigación con la información que desea obtener, las preguntas con que la obtiene y la mejor manera de presentar sus resultados.

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Bloque 2 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

Contenidos

Aprendizajeesperado



Lección 25


Estándar


La técnica de factorización I


• En esta lección se introduce otro método para resolver ecuaciones de segundo grado, pues el de ensayo y error no siempre es el más conveniente. Se recomienda solucionar los problemas de las dos maneras: por el método de ensayo y error, y por el método explicado en la lección para que el alumno compare su efectividad. Pida que sustituya las soluciones en la ecuación para comprobar su validez.


• Resuelve ecuaciones de segundo grado mediante la factorización.

Otros recursos. Encuentre una breve explicación de las funciones cuadráticas y sus aplicaciones en la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-25

40

Lección 26

La técnica de factorización II


• En esta lección se relacionan conceptos previos: equivalencia de expresiones, factorizacióny resolución de ecuaciones de segundo grado. Es importante que el alumno note cómo estos términos se entrelazan. • En la actividad 4 se sugiere que el grupo proponga el método para expresar una ecuación de segundo grado en forma general a partir de la ecuación factorizada. Solicite que sustituya los valores obtenidos para verificar si son los correctos.


• Reconoce ecuaciones de segundo grado en su forma general y factorizada, e identifica cuáles son equivalentes. • Encuentra la forma general de una ecuación de segundo grado dada la ecuación factorizada y viceversa.

Otros recursos. Para conocer más acerca de las funciones de segundo grado y su resolución visite la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-26

Lección 27

La técnica de factorización III


• En esta lección se introducen ecuaciones en formas desconocidas para el alumno, como el caso en que el término elevado al cuadrado tiene un coeficiente diferente de 1, por lo que debe aprender a modificar las ecuaciones para llevarlas a la forma conocida y encontrar sus soluciones; este procedimiento es de gran importancia. • Para propiciar la participación, sugiera al grupo que resuelva las ecuaciones en el pizarrón a modo de concurso; así, la factorización de muchas ecuaciones no resultará tediosa y será posible detectar errores y dudas, sobre todo en las operaciones con signos diferentes.


• Factoriza ecuaciones de segundo grado y encuentra sus soluciones.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras

Contenidos

Aprendizajeesperado



Estándar • Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.


• Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.


Lección 28

Trasladando figuras



• Resalte que en una traslación la figura no cambia de tamaño, sentido o posición.

• Comprende el concepto de traslación.

• El concepto de traslación es fundamental en geometría, pues se trata de una transformación en el plano que puede ser vista como una función lineal y satisface las propiedades de dichas funciones.

• Es capaz de trasladar figuras usando escuadras y compás.

Otros recursos. Para profundizar en el estudio de las traslaciones en un plano visite el sitio

www.e-sm.com.mx/GSCM3-28

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Lección 29

Rotando figuras I



• Mediante la guía de usted, el alumno debe ser capaz de imaginar las figuras que resultan de aplicar ciertas transformaciones, como una rotación, o bien, una combinación de rotación con una traslación.

• Comprende los conceptos

• Consulte en Internet páginas del artista gráfico Escher e imprima dibujos que tengan traslaciones y rotaciones de una misma figura; pida al grupo que encuentre los centros de rotación.

• Aprende a rotar una figura.

Lección 30

rotación, ángulo de rotación y centro de rotación.

Rotando figuras II


• En esta lección, además de tratar el tema de las reflexiones, se pretende que el estudiante se dé cuenta de que reflejar dos veces una figura equivale, en rectas paralelas, a una traslación, y en rectas que se cortan, a una rotación. • Guíelo para que aprenda que las transformaciones básicas en el plano son las rotaciones y las traslaciones. • Solicite que identifique simetrías en la naturaleza, o bien en las construcciones hechas por el hombre, y ubique sus ejes.


• Aprende a trazar una figura simétrica a otra respecto a un eje. • Aprende los resultados de componer varias transformaciones en el plano.

Otros recursos. Para leer un artículo breve sobre la simetría en la naturaleza visite la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-30

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras

Contenidos

Aprendizajeesperado



• Utiliza la regla y el compás para realizar diversos • Explica el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.


Lección 31

Estándar

trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

Figuras en movimiento


• Además de pedir al grupo que construya figuras con sus distintos triángulos de cartulina, lleve al salón imágenes en que se apliquen traslaciones, rotaciones y reflexiones de una misma figura para hacer mosaicos; solicite que identifique estas transformaciones. Luego, pida que busque en Internet dibujos construidos mediante transformaciones en el plano.


• Identifica los tres tipos de trasformaciones en el plano (traslaciones, rotaciones reflexiones).

Otros recursos. Para encontrar ejercicios interactivos y jugar con las transformaciones en un plano mediante dibujos visite la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-31

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Lección 32

Diseños con transformaciones



• En las actividades 2, 4 y 6 mencione que la precisión del trazo es importante para que las medidas sean exactas. En la actividad 7 califique la precisión, creatividad y cantidad de simetrías que utiliza el alumno.


Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

Contenidos

Aprendizajeesperado

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• 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

• Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

• Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en la resolución de problemas.

• 9.2.5 Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

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Lección 33

Teorema de Pitágoras



• Use un rompecabezas de un triángulo rectángulo isósceles para mostrar que el área del cuadrado construido sobre su hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidas sobre sus catetos. Para esto dibuje en una cartulina un triángulo rectángulo isósceles y, sobre cada lado, un cuadrado. Recorte cada cuadrado pequeño por las diagonales (en cuatro piezas cada uno) y pida al alumno que coloque las piezas recortadas sobre el cuadrado de la hipotenusa, de forma que agote toda su área.


• Después, pregunte si es posible hacer lo mismo en un triángulo rectángulo que no sea isósceles.

Lección 34

Mostrar o demostrar



• Se recomienda usar algún software de geometría dinámica para los ejemplos propuestos en el libro. • Si observa dificultades en la actividad 2, dé más ejemplos de cómo comprobar si una terna es pitagórica. Las ternas pitagóricas cumplen x + y = z (x e y son las longitudes de los catetos y z, la de la hipotenusa). Las 15 primeras ternas con c ≤ 100 son las siguientes. (3,4,5) (8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65)

(5,12,13) (9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85)

(6,8,10) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89)

(7,24,25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73)

• Mencione que a partir de una terna pitagórica puede obtener otra multiplicando cada termino por un mismo número: por ejemplo, la terna (9, 12, 15) puede obtenerse multiplicando los términos de la terna (3, 4, 5) por 3. Geométricamente, este método equivale a encontrar las medidas de un triángulo semejante; y si el srcinal es un triángulo rectángulo (cumple con el teorema de Pitágoras), el triángulo semejante será también rectángulo (cumplirá con el teorema).

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Eje: Forma espacio y medida Tema: Medida 9.2.5 Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

Contenidos

Aprendizajeesperado


• Aplica el teorema de • Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.


Lección 35

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Pitágoras y las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en la resolución de problemas.

Dos lados conocidos y uno desconocido



• En esta lección se introduce de manera muy básica el concepto de función inversa: la raíz cuadrada es el inverso de elevar al cuadrado, así como la resta es el inverso de la suma; y la división, de la multiplicación. • Es un error común pensar que la raíz de ( a2 + b2) es a + b, así que enfatice que esto no es cierto. Para corroborar lo anterior, tome dos números, por ejemplo 3 y 4, y muestre que la raíz de (32 + 42) es la de 25, es decir 5, y no 7 (3 + 4). • Para reforzar el tema, organice al grupo para que juegue una memoria de tres cartas. Para ello, escoja algunas ternas pitagóricas, escriba en cada tarjeta un número de cada terna y colóquelas boca abajo (puede pegarlas con imanes al pizarrón). En su turno, cada alumno volteará tres tarjetas: si los números forman una terna pitagórica, las tarjetas se dejarán boca arriba y el alumno volteará otras tres; si no, perderá su turno y otro alumno repetirá el proceso. El juego terminará cuando todas las tarjetas se hayan descubierto.

• Enuncia el teorema de Pitágoras. • Encuentra la medida faltante del lado de un triángulo rectángulo mediante el uso del teorema de Pitágoras.

Otros recursos. Podrá revisar animaciones con distintas demostraciones del teorema de Pitágoras en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-35 47

Lección 36

Problemas diversos



• Revise con el grupo las respuestas de los problemas; para detectar errores en el planteamiento de las ecuaciones o en los métodos de resolución. Sugiera que construya las figuras con regla y compás para comprobar los resultados. • Puede dictar ternas de números enteros que representen las medidas de los lados de distintos triángulos, para que el alumno discuta si el triángulo formado es obtusángulo, acutángulo o rectángulo, y justifique su respuesta con base en el teorema de Pitágoras. Cuide que las ternas correspondan a las medidas de algún triángulo (el número más grande debe ser menor que la suma de los otros dos).

• Resuelve problemas mediante el teorema de Pitágoras, ecuaciones de segundo grado y conceptos de geometría.

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de Probabilidad 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma)

Contenidos

Aprendizajeesperado

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• 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma)

• 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)

• 9.5.6 Análisis de las necesarias para que un juego de azar seacondiciones justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables

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• Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

• Calcula la probabilidad de eventos complementarios,

mutuamente excluyentes e independientes.

Lección 37

Que caiga tres, que no caiga tres


• Pida al grupo que lleve dados y monedas para hacer conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos, y comprobarlos mediante experimentos. • Comente la utilidad de las matemáticas para interpretar y describir situaciones inciertas. Cerciórese de que el alumno comprenda por qué la probabilidad de que un evento ocurra más la probabilidad de que no suceda es siempre igual a 1.


• Expresa en lenguaje matemático la probabilidad de que un evento ocurra. • Sabe que la probabilidad de un evento más la probabilidad de su complemento es igual a 1.

Otros recursos. Para apoyar el estudio de la probabilidad en nivel básico visite el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-37

Lección 38

Pelotas rojas o juguetes azules



• Sugiera al estudiante que trabaje en equipo y comente los procedimientos para detectar posibles errores. • Enfatice que cuando dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B se calcula sumando la probabilidad de que suceda A más la probabilidad de que ocurra B, es decir, P(A o B) = P(A) + P(B). Pero si los dos eventos no son mutuamente excluyentes, entonces se resta la probabilidad de que sucedan ambos eventos, pues ha sido contada dos veces, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B).

• Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

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Bloque 3 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones

Contenidos

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• 9.3.1. Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones

Lección 39

Una fórmula útil



• En esta lección se presenta la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Resalte que este método permite encontrar las soluciones (aunque no siempre son números reales) de cualquier ecuación de segundo grado escrita en la forma general, y que todas las ecuaciones de segundo grado se pueden llevar a esta forma. • Muestre que el discriminante (b2 – 4ac) define si la ecuación tiene soluciones en los números reales y, en caso de que así sea, si son una o dos. • Se recomienda dividir al grupo en tres equipos para resolver ecuaciones; cada uno efectuará un paso y, cuando se resuelva la ecuación, llevará a cabo otro. Por ejemplo, en un caso el primer equipo pone la ecuación en la forma general; el segundo encuentra el discriminante, y el tercero, las soluciones. Para otra ecuación, el segundo equipo la escribe en la forma general; el tercero encuentra el discriminante y el primero, las soluciones.

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• Resuelve ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general.

Lección 40

Algunos problemas


• Es posible que algún equipo tenga dificultades para traducir un problema a lenguaje algebraico, mientras que otro sí pueda plantear la ecuación inicial, pero no sepa cómo pasarla a la forma general. También suele suceder que un equipo obtenga la ecuación en la forma general, mas no sepa resolverla, mientras que otro encuentre las soluciones, pero no sepa cómo interpretarlas. Si observa este tipo de dificultades, promueva el intercambio de ideas para que los equipos resuelvan de manera conjunta los problemas propuestos.

Lección 41



Consolidar la técnica



• Geométricamente, las soluciones de una ecuación cuadrática son los valores de x donde la gráfica de la parábola cor ta al eje x, es decir, donde la y vale cero. Por ejemplo, preguntarse por las soluciones de la ecuación 2 x2 – 8 = 0 equivale a cuestionarse en qué valores de x la parábola y = 2 x2 – 8 interseca al eje horizontal. Como las soluciones de dicha ecuación son 2 y –2, la parábola pasa por los puntos (2,0) y (–2,0). • Si lo considera conveniente, complemente el estudio del tema con apoyo de software para graficar ecuaciones cuadráticas y, así, visualizar qué pasa con las soluciones de una ecuación cuadrática al variar un parámetro o más. Al jugar con el software el alumno notará, por ejemplo, que las ecuaciones donde el coeficiente de x2 es positivo corresponden a parábolas que abren hacia arriba: en este caso si el vértice de la parábola está debajo del eje x, la ecuación tendrá dos soluciones; si se encuentra en este eje, tendrá una solución; y si está arriba de él no habrá ninguna.


• Si observa dificultades al resolver la actividad 2, recuerde cómo afecta el discriminante (b2 – 4ac) a la cantidad de soluciones reales de la ecuación.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.3.2 Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas

Contenidos

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• 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades • 9.3.2 Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas





Lección 42

Congruencia y cuadriláteros


• Al término de la actividad 3, explique los criterios de congruencia de triángulos, con el fin de aclarar cuáles son los que pueden utilizarse en determinada figura. • Muestre más ejemplos en que se utilicen los criterios de congruencia y semejanza en otro tipo de figuras, o use algún software gratuito de geometría dinámica (en Internet hay muchos) para diseñar actividades de congruencia y semejanza de triángulos.

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• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o cualquier figura.

Lección 43

¿Cuánto mide el poste?


• Organice al grupo en equipos y pida que salgan al patio a medir la altura de un objeto inaccesible (un árbol, el aro de una canasta de basquetbol, una ventana, etc.). Solicite que acuerden qué medirán, qué materiales usarán (escuadras, popotes, cintas métricas, gis, cordel, etc.) y cuál será su estrategia. • Permita que diseñen la estrategia que consideren más conveniente, pues solo así podrán identificar las ventajas y desventajas de su método, y modificar lo que sea necesario.

Lección 44


• Calcula la altura de un objeto de difícil acceso utilizando la semejanza de triángulos.

Calculando distancias



• Al final de la lección, puede propiciar una discusión sobre otros métodos para formar triángulos semejantes y encontrar medidas de objetos inaccesibles. • Sugiera que calculen las mismas distancias de la lección anterior, pero ahora con el método del espejo, y que contrasten los resultados. Puede haber diferencias en los datos, pero no muy grandes; en caso contrario, averigüe con el grupo qué se hizo mal y pida que repitan las mediciones mediante los ajustes necesarios.

• Calcula distancias a objetos inaccesibles, utilizando razones de semejanza.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.3.3 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales

Contenidos

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• 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades • 9.3.2 Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas





Lección 45

Paralelas y s egmentos proporcionales

Estrategiasdeenseñanzayaprendizaje • Propicie que el grupo discuta y analice por qué algunos triángulos son semejantes y otros no. Puede guiar la discusión con preguntas similares a las de la lección (“¿Qué pasaría si los rayos del Sol tuvieran una inclinación distinta?, ¿qué pasaría si no fueran paralelos?”, etc.). Aunque comprender el teorema requiere un alto nivel de abstracción, es posible que el alumno identifique en las figuras ángulos iguales, complementarios o suplementarios, así como rectas paralelas y perpendiculares. El estudiante podrá usar sus conocimientos previos y su intuición para justificar la semejanza de algunas figuras. • Plantee en clase un problema ilustrativo que se resuelva usando el teorema de Tales. Por ejemplo: una persona en tierra ve dos barcos que se acercan entre sí. Al observar con detalle, nota que las rectas que unen a ambos mantienen una orientación constante, es decir, son paralelas. ¿Esto significa que los barcos chocarán?

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• Explica en qué consiste el teorema de Tales, con los conceptos vistos en lecciones anteriores.

Lección 46

El teorema de Tales y sus aplicaciones



• En esta lección se presenta una aplicación del teorema de Tales: dividir un segmento de recta en pedazos iguales. • Solicite al alumno que dibuje un segmento de recta cualquiera y, sin medirlo, que lo divida en partes iguales (elija cuántas). Necesitará una regla o unidad de medida arbitraria para fraccionarlo.

• Utiliza el teorema de Tales para dividir un segmento de línea en partes iguales.

• Para evitar que divida el segmento midiéndolo, pida que lo parta en un número primo relativamente grande, por ejemplo, 17 o 23 partes. De esta manera, se complicará la labor y será evidente la utilidad del método propuesto.

Lección 47

Triángulos, hilo, palillos y algo más I



• Aquí se muestran más aplicaciones del teorema de Tales, como encontrar la proporción entre dos segmentos de recta dadas sus longitudes, o dada la proporción y uno de los segmentos encontrar la longitud del otro. • Procure que el alumno entienda el procedimiento para que haga las construcciones correctamente. Recomiende que trace rectas graduadas en el cuaderno, en lugar de reglas, pues al moverse estas surgen errores en los cálculos.

• Aplica el teorema de Tales para encontrar segmentos proporcionales.

• Dibuje las reglas graduadas en el pizarrón o lleve unas de cartulina y péguelas. Su graduación debe ser a gran escala para que todos la vean.

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Lección 48

Triángulos, hilo, palillos y algo más II



• Puede utilizarse la regla de tres para resolver la actividad 3, pero es importante que el alumno no se equivoque al plantearla. Es menos probable que esto ocurra si tiene clara la proporcionalidad de triángulos semejantes, por lo que se recomienda un repaso del tema. • Un recurso posible es dibujar triángulos como los de la actividad 5 en tarjetas grandes, anotar las respuestas en tarjetas pequeñas, repartir

• Aplica el teorema de Tales para resolver problemas geométricos de proporcionalidad.

a la mitad del grupo lasque tarjetas con loslas triángulos y a la otra mitad las respuestas, y pedirles encuentren parejas correspondientes.

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 9.3.4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas

Contenidos

Aprendizajeesperado

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• 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades

• 9.3.2 Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas



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Lección 49

Sombras y otras proyecciones



• Se introduce el concepto de homotecia que per mite crear figuras semejantes con la característica adicional de que los lados correspondientes son paralelos. • La actividad 2 tiene una dificultad elevada, por lo que se recomienda supervisar el trabajo de los equipos, y verificar que comprendan los conceptos que se trabajan.

• Define la homotecia, y menciona sus propiedades.

• La actividad 1 también puede llevarse a cabo con una linterna. Una posible variante es usar figuras parecidas (por ejemplo, distintos tipos de triángulos) y pedir a un alumno que vea las sombras en la pared, mientras su compañero va cambiando las figuras que las producen. Una vez que se hayan utilizado todas, el estudiante que vio las sombras dirá qué figura produjo cada una.

• Identifica dos figuras homotéticas.

Lección 50

Homotecias fraccionarias y negativas



• Aquí se introduce el concepto de razón de homotecia negativa. Es importante notar que cuando la razón de homotecia es negativa, la figura homotética y la srcinal están en lados opuestos del centro de homotecia.

• Dibuja una figura homotética a otra, con • Resulta útil distinguir a simple vista si la razón de homotecia es mayor cualquier razón de o menor que 1, negativa, o mayor o menor que –1 para detectar homotecia. fácilmente errores en los trazos o cálculos. • Organice al grupo en equipos y proporcióneles un nuevo juego de memoria: en la mitad de las tarjetas dibuje la figura srcinal en rojo y su figura homotética en azul; en las demás tarjetas escriba las razones de homotecia correspondientes. En su turno, cada equipo volteará dos tarjetas: si una de ellas tiene figuras homotéticas, y la otra, la razón de homotecia correspondiente, entonces recogerá las tarjetas y volteará otro par; en caso contrario, el turno pasará al siguiente equipo.

• Identifica figuras homotéticas con razón de homotecia negativa, o fraccionaria.

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Lección 51

Cambiando el centro de homotecia



• Esta vez el centro de homotecia no está fuera de la figura, sino dentro de ella. El método para encontrar la razón de homotecia es el mismo; en este tipo de homotecia es más fácil identificar figuras semejantes. • Dibuje en el pizarrón figuras grandes y pida al grupo que describa el proceso para dibujar una figura homotética con razón negativa.

Lección 52

Más sobre homotecia


• En general esta lección es un repaso de los conceptos de homotecia vistos en lecciones pasadas: se trabaja con las propiedades de la homotecia, se construyen figuras con distintas razones de homotecia y se encuentran las razones de homotecia entre figuras. • Puede resultar difícil para el alumno encontrar la razón de homotecia entre dos figuras cuando se conoce la razón con una tercera figura srcinal; para evitar esto, fomente el intercambio de ideas y, si lo considera conveniente, proporcione pistas.

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• Construye e identifica figuras homotéticas donde el centro de homotecia está dentro de la figura.


• Determina la razón de homotecia entre dos figuras. • Encuentra el centro de homotecia de dos figuras dadas.

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y Funciones 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos

Contenidos

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• 8.5.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos • 8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente • 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad • 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas • 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos • 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera



• 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa • 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

Lección 53

Curvas en el plano



• En esta lección se introducen gráficas de funciones no lineales. • Enfatice la relación entre los ejes que representan a la variable independiente x y a la variable dependiente (su valor cambia al variar el dex) y.

• Lee y representa, gráfica y algebraicamente relaciones lineales y cuadráticas.

• Si observa dificultades, proponga graficar más funciones (lineales y no) para identificar las características de cada una. 59

Lección 54

Gráficas cuadráticas


• Si observan dificultades en la actividad 2, pida al grupo que sustituya los valores de x y verifique qué ecuación corresponde a esas soluciones.


• Lee y representa gráfica y algebraicamente relaciones lineales y cuadráticas.

• En la actividad 3 sugiera el trabajo en parejas y, al final, la comparación de los resultados.

Lección 55

En movimiento



• Hay software libre en Internet que puede complementar el trabajo en la actividad 1; pues permite observar las rectas correspondientes a las ecuaciones y responder la pregunta planteada. • En los incisos b) y c) de la pregunta 1 sugiera al alumno que haga la figura del tren en el plano cartesiano para observar las dimensiones dentro del túnel. • En el inciso a) del problema 2 pregunte a quién le caería el sobrante del cohete según su trayectoria, si a Daniel, que se encontraba a 4 m o a Eva, que estaba a 6 m; solicite que justifique su respuesta. • Si nota problemas, proponga efectuar más actividades con algún software para familiarizarse con las distintas ecuaciones a partir de los ejemplos propuestos, e ir introduciendo distintas cantidades con el fin de observar las variaciones.

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Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y Funciones 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 8.5.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos • 8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente • 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad • 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas • 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos • 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado



de recipientes, etcétera • 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa • 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

Lección 56

Llenado de botellas


Indicadoresdedesempeño • Identifica relaciones de

• La interpretación de un fenómeno por medio de su gráfica suele confundir al alumno; por ello, ayúdelo a analizar cómo están relacionadas la altura del agua en el recipiente y la cantidad de líquido que hay en él. Resalte que no siempre cambian de manera proporcional (solo es así cuando el recipiente es un prisma recto o un cilindro). •

proporcionalidad directa a partir del análisis de su tabla de valores o de su gráfica. Interpreta diferentes tipos de gráficas lineales. 61

Lección 57

El movimiento en gráficas



• Mencione al grupo que ahora, a partir de una gráfica, debe extraer información e identificar a qué fenómeno o experimento corresponde dicha gráfica. Esto estimula en gran medida su abstracción matemática.

• A partir de una gráfica, extrae información y reconstruye el acontecimiento.

Otros recursos. Encuentre ejemplos de gráficas relacionadas con la vida cotidiana del alumno en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-57

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar



• 9.5.6 Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables

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• Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Lección 58

Dados y volados


• Proponga al alumno que resuelva los problemas en equipo para detectar errores y contrastar los métodos que usó cada uno. • Si detecta que el grupo no comprende el concepto de eventos independientes, explique que la independencia de dos eventos A y B significa que la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de que el otro suceda. Por ejemplo, en cuanto al sexo de los bebés, el que una pareja tenga un primer hijo varón no modifica la probabilidad de que el siguiente sea varón (sigue siendo de 50%).

Lección 59



Que sea pulsera, y que sea azul



• Resuelve problemas • Lleve a cabo cony el grupo más experimentos de eventos independientes dependientes para que observe cómo, en el primer caso, el que ocurra uno no modifica la probabilidad de que suceda el otro y, en el segundo, el que uno de ellos ocurra sí modifica la probabilidad de que el otro también pase.

que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

63

Bloque 4 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión

• Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión.

Lección 60

Estándar

• Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.

Figuras con palillos



• Se recomienda formar las figuras con palillos para que el alumno distinga qué operación necesita para encontrar el siguiente término de la sucesión y generalice el método para determinar su expresión algebraica. • Divida al grupo en dos equipos y proponga que jueguen al ahorcado: pida que uno escriba en una hoja la expresión de una sucesión y, en el pizarrón, los cuatro primeros términos. Solicite al equipo contrario que mencione los siguientes términos de la sucesión hasta un número n decidido de antemano y deduzca su expresión. Por cada falla o error, se dibuja en el pizarrón una parte del muñeco ahorcado, y si se completa este, el equipo pierde; por el contrario, si deduce la expresión antes de ahorcar al muñeco, los papeles se invierten.

Otros recursos.

Encuentre ejercicios de sucesiones numéricas para el alumno en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-60

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• Encuentra los términos de una sucesión, y su expresión algebraica.

Lección 61

Primeras o s egundas diferencias



• El método de las diferenciaspermite encontrar la expresión de cualquier sucesión cuadrática. Se trata de un método sencillo que probablemente el estudiante entenderá rápido. • Organice tres equipos: al primero dele un papel con la expresión algebraica para generar una sucesión (los alumnos de los otros equipos no deben verla) e indique que irá mencionando los términos uno por uno. Pida al segundo equipo que diga las diferencias entre dos términos consecutivos de la sucesión. Si las primeras diferencias que encontró este equipo no son iguales, el tercero debe decir las segundas diferencias. El que encuentre primero la expresión algebraica gana. Para otra sucesión, proponga que las funciones de los equipos roten, es decir, que el equipo 2 conozca la sucesión y diga los términos; el equipo 3, las primeras diferencias, y el equipo 1, las segundas diferencias.

• Identifica si una sucesión es lineal o cuadrática calculando la diferencia entre sus términos. • Encuentra expresiones de sucesiones lineales.

Otros recursos. Encuentre un resumen de la sucesión de Fibonacci en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-61

Lección 62

El método de las diferencias



• En esta lección se formaliza el método de las diferencias para encontrar la expresión de una sucesión cuadrática. • Use tarjetas grandes para dibujar los primeros dos o tres términos de una sucesión figurativa y pida a un alumno que escriba en el pizarrón otros dos términos, mientras el grupo deduce la expresión algebraica de la sucesión.

• Aprende el método para encontrar la expresión algebraica de una sucesión cuadrática.

• El estudiante debe representar una expresión algebraica dada con figuras de palillos o figuras geométricas.

Otros recursos. Para encontrar juegos con sucesiones visite el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-62

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Lección 63

Números y figuras



• El propósito de esta lección es que el alumno practique y desarrolle su habilidad para encontrar expresiones y términos de sucesiones cuadráticas. • Pida al grupo que proponga expresiones algebraicas y encuentre sus términos en el pizarrón, o que dibuje sucesiones figurativas para encontrar las expresiones.

• Aplica el método de las diferencias para encontrar la expresión algebraica de una sucesión figurativa dados algunos de sus términos.

• Recomiende que en las sucesiones planteadas la diferencia de los términos sea pequeña para que todos pasen al pizarrón.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos

Contenidos • 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos • 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto • 9.5.3 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides • 9.5.4 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

66

Aprendizajeesperado

• Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.

Estándar

• Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.

Lección 64

Girar una figura produce otra figura



• En esta lección se estudian los sólidos de revolución y sus propiedades básicas. Fomente en el alumno la capacidad de anticipar la forma y algunas propiedades de los sólidos antes de crearlos. • Para la actividad 1, pida que lleve popotes, cinta adhesiva y figuras hechas de cartulina. • Organice al grupo en equipos para construir otros sólidos de revolución diferentes a los de la actividad 1 cambiando el eje de revolución de las figuras.

• Construye sólidos de revolución con figuras básicas. • Anticipa las formas y algunas características de los sólidos de revolución.

• Solicite que recorte figuras específicas con formas de jarrón, donas, etcétera.

Otros recursos. Encuentre más información de sólidos de revolución en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-64

Lección 65

¿Cómo se hace un cilindro?


• En esta lección se explican las características que debe tener un desarrollo plano para construir un cilindro específico. Resalte que los lados de los rectángulos que tocan los círculos tienen una longitud igual al perímetro de estos. • Organice al grupo en equipos y pida a cada uno que construya cilindros con diferentes radios y alturas, de modo que se noten los cambios al variar estas medidas.


• Diseña y construye desarrollos planos para cilindros.

Otros recursos. Encuentre más información sobre cilindros y conos en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-65

67

Lección 66

¿Cómo se construye un cono?



• Esta lección se enfoca en la construcción de conos y la relación entre su altura, ángulo central y radio. • Oriente al alumno para que comprenda las características del cono de forma intuitiva.

• Diseña y construye desarrollos planos para conos.

• En actividadpestaña. 5 recuerde que para construir el cono se necesita dejar unalapequeña

Otros recursos. Encuentre más información sobre la construcción de un cono en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-66

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente

Contenidos • 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo


Aprendizajeesperado


• 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto • Resuelve sobre el cateto adyacente problemas que • 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos implican el uso agudos y los cocientes entre los lados de un de las razones triángulo rectángulo • 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente 68

Estándar

trigonométricas seno, coseno y tangente.

• Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.

Lección 67

Ángulo de inclinación y pendiente



• En esta lección se estudia la tangente de un ángulo y su relación con la pendiente de una recta con ese ángulo de inclinación. • Localiza la tangente de un • Proponga al alumno que invente ecuaciones de rectas, y en equipo compare y comente los resultados usando una tabla como la propuesta en la actividad 3.

Lección 68

ángulo.

Triángulos rectángulos en el plano cartesiano


• Aquí se explica que la inclinación de una recta se mide con la pendiente, y esta se calcula dividiendo el avance en y entre el avance en x. • Pida al alumno que a partir de cierto ángulo construya una recta con esa inclinación y obtenga su pendiente. Después, solicite que construya un triángulo rectángulo con un ángulo de esa misma medida y verifique que su tangente sea la pendiente de la recta.


• Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Otros recursos. Encuentre más información sobre la tangente de un ángulo en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-68

69

Lección 69

Más ejercicios sobre tangente y pendiente



• Si lo considera conveniente, aumente el número de casos en la tabla de la actividad 1. • Promueva la discusión grupal para encontrar las reglas de correspondencia.

• Construye una recta con un ángulo de inclinación dado.

• Sugiera un juego por equipos para anticipar la regla de correspondencia de distintas rectas.

Otros recursos. EEncuentre una animación para cambiar el ángulo y la pendiente de una recta en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-69

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo

Contenidos • 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo


Aprendizajeesperado


• 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto • Resuelve sobre el cateto adyacente problemas que • 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos implican el uso agudos y los cocientes entre los lados de un de las razones triángulo rectángulo • 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente

70

Estándar

trigonométricas seno, coseno y tangente.


Lección 70

A veces Pitágoras no alcanza


• En esta lección se analizan las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Se recomienda repasar el redondeo de cifras y diferenciarlo de truncar los decimales, ya que esto da variaciones más grandes en los datos. • Procure que el alumno comprenda los términos cateto opuesto y , sin importar la posición de este, pues cateto adyacente a un ángulo son la base de los conceptos que se presentan. Con las preguntas de la actividad 2 se pretende orientar al estudiante para que analice las relaciones.


• Define las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente. • Resuelve problemas utilizando las relaciones trigonométricas. • Encuentra el seno, coseno y tangente de un ángulo.

Otros recursos. Encuentre animaciones de las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente en la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-70

Lección 71

Semejanza y cocientes iguales


• En esta lección se analizan y comparan las características de triángulos semejantes. Muestre al alumno algún triángulo; pida que construya uno semejante y explique el proceso que siguió para trazarlo.


• Identifica triángulos semejantes.

Otros recursos. Encuentre más información sobre triángulos rectángulos en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM3-71

71

Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Medida 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente

Contenidos

Aprendizajeesperado


• Resuelve problemas que


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implican el uso del teorema de Pitágoras.

• 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto • Resuelve sobre el cateto adyacente problemas que • 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos implican el uso agudos y los cocientes entre los lados de un de las razones triángulo rectángulo trigonométricas seno, coseno y tangente. • 9.4.5 Explicitación y uso de las razones


trigonométricas seno, coseno y tangente

Lección 72

Seno, coseno y tangente



• Solicite al alumno que construya un sextante para medir la altura de objetos inaccesibles con ayuda de las relaciones trigonométricas. Se necesita un transportador, un tubo de cartón, un pedazo largo de hilo, una goma pesada, cinta adhesiva y un flexómetro. • Para construir el sextante, se une con cinta adhesiva el transportador al tubo de cartón por lo largo, se amarra la goma en un extremo del hilo, y el otro extremo se pega con la cinta adhesiva al centro del transportador (en el punto donde se forma el ángulo). • Se observa a través del tubo el objeto que se quiere medir, de modo que su punta apenas se vea. Otro alumno medirá el ángulo que forma la plomada con el transportador, la altura a la que se encuentra el sextante y la distancia al objeto. 72

• Calcula el seno, coseno y tangente de un ángulo.

Lección 73

Dos recursos que se complementan


• Con el sextante se puede encontrar la altura de objetos utilizando las relaciones trigonométricas seno y coseno. Al formarse un triángulo rectángulo y conocer uno de sus ángulos (el que marca el transportador menos 90°), se obtiene la hipotenusa mediante el coseno del ángulo (la distancia al objeto). Con este procedimiento también se calcula el seno, que es la altura del objeto menos la altura a la que se encuentra el sextante.

Lección 74


• Resuelve problemas utilizando las relaciones trigonométricas.

El saber da poder



• La principal dificultad de esta lección está en el planteamiento de las ecuaciones. Los problemas se resuelven en varios pasos, por lo que es probable que el alumno se equivoque. • Revise con el grupo los procedimientos para resolver dudas y corregir errores. • Se propone también otro método para calcular el área de triángulos, con el que se pueden comprobar las respuestas de la actividad 1.

• Resuelve problemas matemáticos utilizando el teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

• Conviene dibujar polígonos regulares con triángulos equiláteros o isósceles calculando los ángulos de estos para formar cada polígono.

Otros recursos. Encuentre más información sobre el teorema de Pitágoras en la página www.e-sm.com.mx/GSCM3-74

73

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. ntificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad • 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas • Expresa • 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones algebraicamente cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos • Lee y representa, gráfica y una relación algebraicamente, lineal o • 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por relaciones lineales y cuadrática entre secciones rectas y curvas que modelan situaciones de cuadráticas. dos conjuntos de movimiento, llenado de recipientes,etcétera cantidades. • 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa • 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

Lección 75

La velocidad como razón de cambio

Estrategiasdeenseñanzayaprendizaje • El concepto de razón de cambio es muy impor tante, ya que muchos conceptos matemáticos y físicos están basados en él. Repase el concepto las veces que sea necesario para que no haya dudas. • Algunos alumnos tienen dificultades para saber qué representa una gráfica o cómo se lee; si lo considera necesario, haga un repaso de cómo graficar y qué significan los ejes. 74

Indicadoresdedesempeño • Explica el concepto de razón de cambio y compara en una gráfica la razón de cambio, en este caso la velocidad, de algunos objetos y su significado.

Lección 76

Variaciones de temperatura



• Es importante que el alumno note que la dirección del cambio en un fenómeno físico define una razón de cambio de diferente signo. • Pida al grupo que proponga fenómenos físicos donde una variable cambie con el tiempo y, si la razón de cambio es constante, sugiera que analice el comportamiento. • Por ejemplo, la profundidad de una alberca cada vez más honda, el radio de un cono cuando se recorre de abajo hacia arriba o viceversa, el aumento de peso de un tráiler que se va cargando a ritmo constante, etcétera.

Lección 77

• Relaciona la inclinación de una recta que representa un fenómeno o acción, con la razón de cambio de sus variables.

La pendiente como razón de cambio



• En esta lección se define formalmente el concepto dependiente y el método para obtener la pendiente de una recta dados cualesquiera dos puntos de esta. Además, se introduce la idea de que la pendiente puede expresarse en forma de una razón o un ángulo.

• Identifica la mayor razón de cambio entre dos variables aunque desconozca la gráfica.

• Lleve un rotafolio cuadriculado que funcione como plano cartesiano para que el grupo trace las rectas correspondientes y aclare sus dudas.

• Encuentra la pendiente de cualquier recta dados algunos puntos de esta.

75

Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos 9.4.7 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersiónIdentificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación • Calcula y explica el significado del rango y la desviación media. • 9.4.7 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión

Lección 78

• Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

El mejor horno


• En esta lección el alumno debe analizar datos y discutir para llegar a una conclusión válida. Pida que organice los datos de mayor a menor y observe su desviación.

76

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• Analiza datos en tablas para llegar a una conclusión válida que permita atacar un problema.

Lección 79

Desviación media


• En esta lección se presenta la desviación media como un recurso para interpretar conjuntos de datos, pues permite analizar un fenómeno y obtener información relevante del mismo. • A lo largo de la lección, se explican las diferencias de la desviación media con el rango como medidas de dispersión y la interpretación que debe dárseles.

Lección 80


• Analiza la distribución de datos de un fenómeno.

Duración de una anestesia y otros problemas



• En esta lección se muestra una situación para que el alumno analice los datos obtenidos y obtenga conclusiones válidas sobre el fenómeno. • Organice el trabajo en parejas. Solicite que elaboren una tabla con los puntajes obtenidos por el grupo en algún examen y analicen la dispersión de los datos.

• Analiza e interpreta datos para obtener conclusiones válidas acerca de una situación dada.

• Pida que comparen la desviación media, así como el promedio del grupo, y presenten sus conclusiones.

77

Bloque 5 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 9.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones

Contenidos

Aprendizajeesperado

• 9.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada

• Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado.

Lección 81


La traducción de los problemas


• En esta lección se profundiza en el planteamiento y la resolución de problemas a partir de los conocimientos adquiridos anteriormente. Para el alumno será más difícil plantear las ecuaciones correctas; por ello, sugiera retomar lo que sabe de traducción del lenguaje común al algebraico. • Lea los problemas con quienes tengan mayores dificultades y ayúdelos mediante preguntas guiadas. • Cuando terminen los ejercicios, propicie que discutan sus métodos en el pizarrón para detectar errores y confusiones en los conceptos.

78

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• Modela matemáticamente situaciones y problemas para resolverlos.

Lección 82

De todo un poco



• En esta lección hay actividades que involucran el planteamiento y la resolución de ecuaciones. En ocasiones será necesario que el grupo traslade el problema a lenguaje algebraico para plantear y resolver la ecuación. Es posible elaborar enunciados parecidos a los que se presentan cambiando solo los valores numéricos. Fomente que sean problemas que involucren situaciones y contextos novedosos. Pida poner especial atención al plantearlos.

• Plantea y resuelve problemas con ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones lineales.

• En algunos problemas hay opciones muy parecidas; esto permite detectar algunos errores comunes.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto

Contenidos • 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos • 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto • 9.5.3 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides • 9.5.4 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

Aprendizajeesperado

Estándar

• Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos • Calcula o cualquiera de cualquiera de las variables las variables que que intervienen intervienen en en las fórmulas las fórmulas de que se utilicen. perímetro, área y Anticipa cómo volumen. cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.

79

Lección 83

Cortes con formas inesperadas



• Guíe al alumno para que aprenda a anticipar la forma de los cortes que se hacen a cuerpos como el cilindro, la esfera y el cono con el objetivo de obtener figuras planas y curvas. • Enfatice el procedimiento en el cono, pues de él se obtienen las curvas cónicas (parábola, hipérbola y elipse) que el estudiante retomará en bachillerato.

• Anticipa la forma y algunas características de los cortes hechos a sólidos tridimensionales.

• Solicite que construya otras figuras en plastilina, haga cortes en diferentes lugares y dibuje en una hoja las figuras obtenidas.

Lección 84

Recipientes cónicos



• Los problemas se resolverán usando conceptos vistos anteriormente: semejanza de triángulos y proporcionalidad . • Es importante que conozcan la fórmula para calcular el volumen del cono. En la lección hay recordatorios al respecto; si considera que falta profundizar más, hágalo con quienes presenten mayores dificultades. • Plantee más preguntas que ayuden al alumno a entender las características del cono. Si observa dificultades, pida que haga un esquema similar al de la actividad 1 con el fin de que tenga más elementos para contestar las preguntas.

80

• Obtiene las medidas de los radios de círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 9.5.3 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos

• Resuelve problemas que planos de conos y cilindros rectos implican calcular el volumen de • 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cilindros y conos cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las o cualquiera de medidas de los radios de los círculos que se obtienen al las variables hacer cortes paralelos en un cono recto que intervienen en las fórmulas • 9.5.3 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen que se utilicen. de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas Anticipa cómo de prismas y pirámides cambia el volumen al aumentar o disminuir • 9.5.4 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o alguna de las dimensiones. de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

Lección 85


El volumen del cilindro


• Esta lección se enfoca en la construcción de cilindros y la obtención de su volumen. Recuerde al alumno que los lados de los rectángulos que tocan los círculos miden lo mismo que el perímetro de estos (tapas). • Organice al grupo en equipos y pida a cada uno que construya cilindros con diferentes medidas. Solicite después que calcule el volumen de los cilindros elaborados por los demás.


• Construye un cilindro con dimensiones específicas. • Calcula volúmenes de cilindros.

81

Lección 86

Un cono a la medida



• Analizar la relación entre un cono con radio de la base y altura iguales a la de un cilindro permite deducir cómo es el volumen del cono. • Como actividad complementaria, mencione que cuando un animal se lastima, se le coloca un cono en su cuello para que no toque o lama su herida. Pregunte qué dimensiones (altura y radio de la base) debe tener dicho objeto el tipo de animal. Aproveche lo visto en la lección 85 para quesegún el grupo reflexione al respecto.

• Calcula el volumen de un cono. • Conoce la relación entre los volúmenes de un cono y un cilindro con altura y radio iguales.

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 9.5.4 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos • 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto

• 9.5.3 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides

• 9.5.4 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

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• Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.


Lección 87

Volúmenes y capacidades


• El alumno resolverá problemas relacionados con el volumen de conos y cilindros. Para ello, primero se le pide aproximar los valores con el fin de estimar el volumen real. Después, debe efectuar los cálculos formales y contrastarlos con su estimación. • Comente el volumen de algunos objetos cotidianos para que los datos obtenidos tengan un significado para el grupo.

Lección 88


• Calcula volúmenes de conos y prismas. • Resuelve problemas relacionados con el cálculo de volúmenes y prismas.

Cilindros y conos imaginarios


• En esta lección se analizan cilindros imaginarios formados al rotar figuras en diferente posición. Al modificar esta se obtiene un sólido de revolución diferente cuyo volumen es distinto. • El alumno anticipará el cambio en la forma de los cilindros al modificar las figuras que los componen. • Guíe al grupo para que construya el sólido de revolución de la actividad 4. Pida que compare los sólidos formados al cambiar el eje de rotación y obtenga su volumen.


• Calcula volúmenes de cilindros y conos. • Compara los volúmenes de los sólidos formados por las mismas figuras en diferentes posiciones.

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Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar

• 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad • 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas • 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos

• Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y • 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones cuadráticas. rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera


• 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa • 9.5.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades

Lección 89

Cantidades que cambian y se relacionan



• Oriente al alumno para que aprenda a disgregar el problema a partir de las preguntas y, con la información obtenida, a plantear la ecuación • Dado un problema, plantea que permite resolverlo. la ecuación que permite resolverlo, y encuentra sus • Comente en plenaria cómo se encontró la respuesta en cada soluciones. problema; esto ayudará al grupo a entender por qué se obtuvo la ecuación correspondiente. 84

Lección 90

Índice de Masa Corporal



• En esta lección se introduce un método para determinar el índice de masa corporal (IMC) con el peso y la altura de una persona; también se muestra cómo calcular el rango de peso en que se encuentra (insuficiente, normal, sobrepeso y obesidad) a partir del IMC. • Al haber visto en grados anteriores conceptos de nutrición, es probable que el alumno tenga elementos sacar conclusiones desde el principio. Sin embargo, convienepara que fomente el intercambio de ideas para recordar los conocimientos previos y entender la relación cuadrática que se expone.

• Analiza y representa geométrica y algebraicamente, relaciones cuadráticas.

• Comente y analice las gráficas junto con el grupo. Plantee preguntas que permitan entenderlas; por ejemplo, “¿Por qué las gráficas son curvas?, ¿por qué cada vez se separan más?”.

Eje. Manejo de la información Tema. Nociones de probabilidad 9.5.6 Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Contenidos

Aprendizajeesperado

Estándar



• Resuelve problemas • Calcula la que implican calcular probabilidad la probabilidad de eventos de eventos complementarios, complementarios, mutuamente mutuamente excluyentes e excluyentes e independientes. independientes.

• 9.5.6 Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables

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Lección 91

Juegos equitativos I



• El propósito principal de la lección es que el alumno reconozca, a partir del cálculo de probabilidades, qué juegos de azar son justos y cuáles no. • Inicie en el grupo una discusión sobre los juegos de azar conocidos; pregunte qué condiciones permiten que un juego sea equitativo o justo, y pida algunos ejemplos. Cuando los estudiantes clasifiquen aquellos que no lo son pregunte qué modificarían para que fueran justos.

Lección 92

• Reconoce un juego de azar escuándo equitativo y cuándo no lo es.

Juegos equitativos II



• Fomente el uso de diversas herramientas de conteo para obtener el número de resultados posibles. • Pida al grupo que formen equipos de tres o cuatro participantes, y que inventen dos juegos: uno que sea equitativo y otro que no lo sea. • Analiza las condiciones para Plantee preguntas que los ayuden a profundizar en el tema y analizar que un juego sea equitativo. los juegos propuestos: “Si se altera el número de participantes, ¿cambiarán las reglas para que un juego siga siendo equitativo?, ¿cuál sería la modificación? ¿Qué cambiarían para que un juego sea equitativo?”.

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Notas

Notas

Matemáticas

DIRECCIÓN DE CONTENIDOS Y SERVICIOS EDUC ATIVOS Elisa Bonilla Rius GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES Felipe Ricardo Valdez González AUTORES David Francisco Block Sevilla, Silvia García Peña Tatiana María Mendoza Von der Borch José Cruz García Zagal COORDINACIÓN EDITORIAL Ernesto Manuel Espinosa Asuar EDICIÓN Macbeth Baruch Rangel Orduña, Cristóbal Bravo Marván, Armando Solares Rojas ELABORACIÓN DE EVALUACIONES TIPO ENLACE , ACTI VIDADES CON TECNOLOGÍA Y SELECCIÓN DE ENLACES WEB Eric Ruíz Flores González, Valentina Muñoz Porras COLABORACIÓN Mónica de Lourdes Valencia (páginas 66, 67, 102, 103, 152 y 153) COORDINACIÓN DE CORRECCIÓN Abdel López Cruz CORRECCIÓN Juan Eduardo Jiménez Zurita DIRECCIÓN DE ARTE Quetzatl León Calixto DISEÑO DE LA SERIE Y DE PORTADA Brenda López Romero COORDINACIÓN GRÁFICA Y DE DIAGRAMACIÓN Jesús Arana, César Leyva Acosta DIAGRAMACIÓN Eliud Reyes Reyes COORDINACIÓN DE ICONOGRAFÍA E IMAGEN Ricardo Tapia ICONOGRAFÍA Penélope Graciela Ubaldo Jurado FOTOGRAFÍA © 2011, Carlos A. Vargas, © 2011, Iván Meza © Thinkstock, 2011, © OTHERIMAGES, 2011 © AFP, 2011, Archivo SM DIGITALIZACIÓN Y RETOQUE Carlos Alberto, López Hernández Dónovan Popoca Jiménez Uriel Flores Moreno PRODUCCIÓN Carlos Olvera, Teresa Amaya

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Matemáticas 3. Secundaria. Conect@ estrategias Primera edición, 2012 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012

Magdalena 211,D. Colonia del Valle, 03100, México, F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-0333-8 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares delcopyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

Presentación ¿Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica más conveniente, decidir si un juego de dados es equitativo e interpretar los datos de una gráfica en una noticia del periódico son algunos de los muchos casos en que hacemos matemáticas. También hacemos matemáticas cuando contestamos preguntas propias de estas; por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5? ¿Las medidas de los lados de un triángulo pueden ser tres números cualesquiera? ¿La suma de dos números impares consecutivos siempre es múltiplo de cuatro? ¿Cómo se calcula el área de una elipse?…

Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen son insuficientes.

Hacer matemáticas es asimismo una buena manera de aprenderlas. Por ello, en este libro te proponemos numerosas cuestiones que pueden resolverse con su ayuda. Nos interesa que aprendas matemáticas y las veas como una herramienta para pensar.

Presentación para el alumno Cuando problemas nuevospor debes sentirte con la libertad de poner en resultados práctica lo que seafrontas te ocurra para resolverlos; ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer cómo proceden tus compañeros y con la ayuda del profesor, irá mejorando la manera en que los resuelves: será cada vez más ordenada, sistemática y comprobable. Es decir, harás mejores matemáticas. Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos y en grupo. • Al afrontar una nueva tarea es bueno que reflexiones; después, es importante que compartas ideas y dudas con los otros. Trabajar en parejas o en equipos puede serte muy útil para avanzar. • Explicar al grupo tus acciones o las de tu equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los resultados son correctos y atender los aportes del profesor te ayudará mucho a aprender. • Después, es importante que, en algún momento, veas si puedes hacer tú solo la tarea. A lo largo del libro se sugiere el trabajo en grupo, en equipo o en parejas. Sin embargo, es el profesor quien indicará el tipo de organización más adecuada para cada momento. Esperamos, igual que todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te anime a exclamar: “¡Esto sí me gusta!”.

Los autores 3

Presentación parael profesor El enfoque didáctico de Conect@ estrategias. Matemáticas 3 En Conect@ estrategias. Matemáticas 3se ha cuidado que las secuencias didácticas propicien de manera significativa el desarrollo de las siguientes competencias. 1. Resolver problemas de manera autónoma 2. Comunicar información matemática 3. Validar procedimientos y resultados 4. Manejar técnicas eficientemente El libro está organizado en cinco bloques de lecciones; cada grupo de estas constituye una secuencia didáctica en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra, lo que no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún punto del mismo tema. En general, cada actividad contribuye al desarrollo de más de una competencia, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

m

Efectúa, en grupo y con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Comparen sus resultados. Si dudan de alguna regla, sustituyan las letras por los valores de la tabla y verifiquen que obtengan igualdades. b) Identifiquen en qué tabla las cantidades de un conjunto no dependen de las del otro. c) Las reglas de correspondencia se pueden escribir usando la letra x para los valores del primer conjunto y y para los del segundo. Por ejemplo, la regla de correspondencia entre las cantidades de la tabla 4 se puede expresar y = 3x + 10. Anoten debajo de cada tabla su regla de correspondencia usando x y y.

Con esta actividad, los estudiantes deben resolver un problema. Al escribir e interpretar instrucciones desarrollan su competencia para comunicar información matemática. Al comparar las reglas tendrán que validar sus procedimientos y resultados. Esta actividad se plantea al finalizar una lección en la que se han trabajado técnicas para evaluar reglas de correspondencia. Si los estudiantes utilizan esto en para graficar las relaciones que se presentan, entonces observará que también está presente la competencia sobre el manejo de técnicas. Debido a esta relación múltiple y compleja entre las competencias y las actividades que las propician hemos optado por marcar, en cada lección, solamente algunas competencias que se favorecen, a fin de patentizar que, al efectuar las actividades que se plantean en el libro, a la vez que los conocimientos matemáticos desarrollan competencias. La alumnos selecciónaprenden de actividades en que se destaca alguna competencia se hizo con la idea de mostrarle a usted la diversidad de actividades relacionadas con cada competencia.

7

En las puestas en común se destacan dos competencias (comunicar y validar), de manera sistemática, mediante el logo. resolver

Resolver. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que este aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan afrontado. Se considera también que, en muchos casos, al afrontar una problemática adecuadamente, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al ideal. Por esto, numerosas lecciones de Conect@ estrategias. Matemáticas 3comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas. Solo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. ¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información suficiente han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan resolverlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución con herramientas más elementales, o bien, que aun cuando no puedan resolverlos identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo. Después de analizar los problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, puede complementar los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que diseñe o tome de otros materiales.

comunicar

Comunicar. Al resolver problemas, los conocimientos se generan muchas veces de manera silenciosa, implícita, al menos parcialmente. Por ello, una fase importante en los procesos de aprendizaje de nociones matemáticas consiste en explicitar esos conocimientos, nombrarlos, representarlos y, también, adoptar convenciones. Para dar lugarMatemáticas a la diversidad deapela procesos relacionados con la comunicación, en Conect@ estrategias. 3se a varios recursos: en cada lección se propone el trabajo en parejas o equipos, o la modalidad de una puesta en común de procedimientos y resultados. En estos momentos los alumnos construyen formulaciones con sus palabras y aprenden de sus compañeros. Cabe recordar que diferentes formas de resolución ponen en juego distintas relaciones entre los datos, y conocer y analizar la resolución de otros ayuda a comprender mejor algunas nociones, a verlas desde distintos puntos de vista. Las puestas en común también constituyen el momento ideal para que usted introduzca las formas convencionales de representación. Además, para atender a la necesidad de crear un lenguaje matemático y perfeccionar su uso, se proponen situaciones en las que, como parte integral de una tarea matemática, los alumnos deben comunicar algo a alguien, como dar instrucciones para que se construya una figura geométrica. Otro aspecto más que suele vincularse con la capacidad de comunicación es la posibilidad de expresar ideas matemáticas e interpretarlas en distintos tipos de representación: gráfica tabular, numérica, geométrica y algebraica, entre otros.

validar

8

Validar. ¿Cómo se sabe, en clase de matemáticas, qué es correcto y qué es incorrecto? ¿Quién lo decide? Otra característica fundamental del quehacer matemático

es el desarrollo de formas de probar que algo es correcto, verdadero. A la vez, esta característica ofrece una oportunidad formativa única: se trata de que el profesor ponga en manos de los alumnos los medios para que aprendan a determinar la validez de sus procedimientos y resultados. No es cuestión todavía de enseñar a los alumnos a que hagan demostraciones formales, pero sí de que sientan la necesidad de probar las aserciones con los recursos a mano. En Conect@ estrategias. Matemáticas 3se proponen dos maneras de validar. • Empíricamente, mediante la prueba, para saber si algo funciona. Por ejemplo, la manera empírica de apreciar si las medidas de una figura a escala son correctas consiste en comparar visualmente su forma con la srcinal; la prueba empírica de que un número es solución de una ecuación consiste en sustituir el valor en la ecuación y ver si se obtiene una igualdad. Estas maneras de “probar” se nombran, frecuentemente, como “verificar”. • Por medio de validación semántica. La principal característica es que descansa en argumentos, por ejemplo, “la suma de dos números impares es par, puesto que si quitas una unidad a cada uno, obtienes dos números pares, y además, un dos…” .

Técnicas. El desarrollo de técnicas y su aplicación en la resolución de problemas constituye

técnicas

otra característica del trabajo en matemáticas. En Conect@ estrategias. Matemáticas 3 se ha puesto especial cuidado en la diversidad de técnicas por varias razones: ocurre con frecuencia que las técnicas más rápidas o más elaboradas para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres); tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos. Otras técnicas, en cambio, aunque más precarias por ser más largas o menos sistemáticas son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso, en ocasiones, las pueden establecer por sí mismos. Estas técnicas cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunas son más económicas que la técnica más avanzada; y además constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que los estudiantes olvidan la más avanzada. A final de cuentas, ¿qué procedimiento es mejor? Esto depende tanto del tipo de problema como de los conocimientos de quien resuelve. Por ello, los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas.

OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA Como apoyo a su labor docente hemos pensado en algunos elementos dirigidos a un aspecto en específico. • Para la planificación de la enseñanza incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones. En esta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases. • Para la evaluación continua indicamos en el índice los contenidos (conocimientos y habilidades) a fin de facilitar su identificación y seguimiento. Esperamos que Conect@ estrategias. Matemáticas 3constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta para sus alumnos.en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas

Los autores

9

Dosificación Ya que el tiempo que dedica a cada secuencia depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones y las eventualidades (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita, podrá trabajar las actividades de “Las matemáticas en…”, así como “Y para terminar…” o adelantar

S E M A N A S 1234

S E U Q O L B

1

Secuencia 1 Problemas con ecuaciones cuadráticas (lecciones 1 y 2)

Secuencia 2 Figuras congruentes o semejantes (lecciones 3 a 6)

Secuencia 3 Criterios de congruencia y semejanza (lecciones 7 a 9)

Secuencia 4 Representaciones de relaciones de proporcionalidad (lecciones 10 a 12)

2

Secuencia 1 Resolución por factorización de ecuaciones cuadráticas (lecciones 25 a 27)

Secuencia 2 Rotación y traslación de figuras (lecciones 28 a 30)

Secuencia 3 Construcción de diseños con simetría axial, central, rotación y traslación (lecciones 31 y 32)

Secuencia 4 Cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo (lecciones 33 y 34)

3

Secuencia 1 Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas (lecciones 39 a 41)

Secuencia 2 Probemas de criterio y semejanza de triangulos (lecciones 42 a 44)

Secuencia 3 Teorema de Tales (lecciones 45 a 48)

Secuencia 4 Construcción de figuras homotéticas (lecciones 49 a 52)

4

Secuencia 1 Expresión general cuadrática para el enésimo término de una sucesión (lecciones 60 a 63)

Secuencia 2 Cuerpos que se generan al girar sobre un eje y desarrollos planos (lecciones 64 a 66)

Secuencia 3 Pendiente de una recta, ángulo que se forma con la abscisa y cociente de catetos (lecciones 67 a 69)

Secuencia 4 Relaciones entre ángulos agudos y cocientes de los lados de un triángulo (lecciones 70 y 71)

Secuencia 2 Secciones que se

Secuencia 3 Fórmulas para calcular el

obtienen al realizar cortes a un cilindro o cono recto (lecciones 83 y 84)

volumen de cilindros y conos (lecciones 85 y 86)

5

10

Secuencia 1 Ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones para resolver problemas (lecciones 81 y 82)

Secuencia 4 Cálculo del volumen de cilindros y conos (lecciones 87 y 88)

Dosificación el trabajo de otros contenidos si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan el eje al que corresponde cada contenido: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en anaranjado Forma, espacio y medida; y en verde Manejo de la información. La redacción de los contenidos ha sido simplificada.

S E M A N A S 56789

Secuencia 5 Relaciones de variación cuadrática (lecciones 13 a 16)

Secuencia 5 Teorema de Pitágoras (lecciones 35 y 36)

Secuencia 5 Gráficas de funciones cuadráticas (lecciones 53 a 55)

Secuencia 6 Eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes (lecciones 17 a 21)

Secuencia 7 Población de estudio y muestreo (lecciones 22 a 24)

Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 68 a 70)

Secuencia 6 Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y complementarios (lecciones 37 y 38)

Evaluación tipo ENLACE

Secuencia 6 Gráficas formadas por rectas y curvas (lecciones 56 y 57)

Secuencia 7 Probabilidad de eventos independientes (lecciones 58 y 59)

Evaluación tipo PISA (páginas 104 a 106)

Secuencia 5 Razones trigonométricas, seno, coseno y tangente (lecciones 72 a 74)

Secuencia 6 Razón de cambio de procesos con funciones lineales (lecciones 75 a 77)

Secuencia 7 Desviación media y rango como medidas de dispersión (lecciones 79 y 81)

Secuencia 5 Variacion lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades (lecciones 89 y 90)

Secuencia 6 Condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo (lecciones 91 y 92)

Evaluación tipo ENLACE



Evaluación tipo PISA (páginas 236 a 238)

11

Índice

Presentación para el alumno .......................................................................................................................... 3 Guía de uso ........................................................................................................................................................... 4 Presentación para el profesor ......................................................................................................................... 7 Dosificación ........................................................................................................................................................... 10

BLOQUE 1 Lección

16 Título

Página

Lección 1

Lm a ediddauenlado

18

Lección 2

Enl úmerodesconocido

20

Lección 3

¿Igualesodiferentes?

22

Lección 4

Larazóndesemejanza

Lección 5

Rompecabezas

Lección 6


Lección 7

Figuracsongruentes

30

Lección 8

Condicionesnecesariasysuficientes

32

Lección 9

¿Sosnemejantes?

Contenido Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

Tema Patrones y ecuaciones

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Lección 10 Tablasdevaloresygráficas

24

Construcción de figuras congruentes o semejantes 26 (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades 28

34

38

Lección 12 Tiempo,distancia,velocidad

40

44

Lección 15 PlanedsaehorrIoI

46

Lección 16 PlanedsaehorroIII

48

Lección 18 Laberintdoteubos Lección 19ruLleata Lección 20 Independientesonoindependientes Lección 21 Problemacsonurnas

Proporcionalidad y funciones Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas Manejo de la información

50 52 54 56 60

Lección 23 Lapresentaciónmásadecuada

62

Del problema a la comunicación de resultados

Las matemáticas en los mapas

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y e ventos mutuamente excluyentes e independientes

Nociones de probabilidad

58

Lección 22 Preguntasa decuadasy not ana decuadas

Lección 24

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad

42

Lección 14 PlanedsaehorrIo

Lección 17 Juanquiereunaalcancía

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada

36

Lección 11 Tarifatselefónicas

Lección 13 Unnuevotipodevariación

espacio Figuras y cuerpos Forma, y medida

Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de Análisis y elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra representación y búsqueda de herramientas convenientes para su de datos 64 presentación 66

Evaluación (TIPO ENLACE)

68

Evaluación (TIPO PISA)

70

Y para terminar...

71

12

Índice BLOQUE 2 Lección

72 Título

Lección 25 LatécnicadefactorizaciónI

Página

Contenido

Tema

74

Lección 26 LatécnicadefactorizaciónII

76

Lección 27 LatécnicadefactorizaciónIII

78

Lección 28 Trasladandofiguras

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

Patrones y ecuaciones


80 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras

Lección 29 RotandfioguraI s

82

Lección 30 RotandfioguraIIs

84

Lección 31 Figurasenmovimiento

Figuras y cuerpos

86

Lección 32 Diseñoscontransformaciones

88

Lección 33 TeoremadePitágoras

90

Lección 34 Mostraodr emostrar

92

Lección 35 Dos lados conocidos y uno desconocido Lección 36 Problemadsiversos

94 96

Lección 37 Quecaigatres,quenocaigatres

98

Lección 38 Pelotasrojasojuguetesazules

100

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

Forma, espacio y medida

Medida

Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma)


Manejo de la información

Las matemáticas en una tira de papel

102


104


106

Y para terminar...

107

BLOQUE 3 Lección

108 Título

Lección 39 Unfaórmulúatil Lección 40 Algunops roblemas Lección 41 Consolidalratécnica Lección 42 Congruenciaycuadriláteros Lección 43 ¿Cuántomideepl oste? Lección 44 Calculandodistancias Lección 45 Paralelasy segmentosp roporcionales

Página 110 112

Contenido

Tema


Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones


Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas


Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales


114 116 118 120 122

Lección 46 El teorema deTales y sus aplicaciones

124

Lección 47 Triángulos, hilo, palillos y algo másI

126

Lección 48 Triángulos, hilo, palillos y algo más II

128

13

Índice Lección 49 Sombrasyotrasproyecciones

130

Lección 50 Homotecias fraccionarias y negativas

132

Lección 51 Cambiandoelcentrodehomotecia Lección 52 Másobrehomotecia Lección 53 Curvaesnepllano

134

Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas


136 138

Lección 54 Gráficacsuadráticas

140

Lección 55 Emnovimiento Lección 56 Llenadodebotellas

142 144

Lección 57 Elmovimientoengráficas

146

Lección 58 Dadvoyoslados

148

Lección 59 Queseapulsera,yqueseaazul

150

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)

Proporcionalidad y funciones Manejo de la información


Las matemáticas en el infinito

152

Evaluación (tipo ENLACE)

154


156

Y para terminar...

157

BLOQUE 4 Lección

158 Título

Lección 60 Figuracsonpalillos

Página

162

Lección 62 Elmétododelasdiferencias

164

Lección 63 Númerofiysguras

166

Lección 64 Girarunafiguraproduceotrafigura

168

Lección 65 ¿Cómosehaceuncilindro?

170

Lección 66 ¿Cómoseconstruyeuncono?

172

Lección 67 Ángulodeinclinaciónypendiente

180

14


Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.


182

Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo

184 186

Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente

Lección 71 Semejanzaycocientesiguales

Lección 74 Eslabedrpaoder

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de 176 una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cocinete del cateto opuesto sobre el cateto adyacente 178

Lección 69 Más e jercicios s obre t angente y p endiente

Lección 73 Dosrecursosquesecomplementan

Eje

174

Triángulos rectángulos en el plano Lección 68 cartesiano

Lección 72 Seno,cosenoytangente

Tema

160

Lección 61 Primerasosegundasdiferencias

Lección 70 AvecesPitágorasnoalcanza

Contenido

188

Medida


Índice Lección 75 Lavelocidadcomorazóndecambio

190

Lección 76 Variacionesdetemperatura

192

Lección 77 Lapendientecomorazóndecambio

194

Lección 78 m Elejohrorno

Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lin eal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa

Proporcionalidad y funciones

196 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la Análisis media (desviación media). Análisis de las diferencias de y representación la “desviación media” con el “rango” como medidas de la de datos 200 dispersión

Lección 79 Desviacióm n edia

198

Duración de una anestesia y otros Lección 80 problemas


Las matemáticas en una hoja de papel

202


204


206

Y para terminar...

207

BLOQUE 5 Lección

208 Título

Página

Lección 81 Latraduccióndelosproblemas Lección 82 Dteoduopnoco

210 212

Lección 83 Cortesconformasinesperadas

214

Lección 84 Recipientecsónicos

216

Lección 85 Evl olumendecl ilindro Lección 86 Unconloam a edida Lección 87 Volúmenesycapacidades

218 220

Contenido

Tema

Resolución de problemas que impliquen el uso de y ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Patrones Formulación de problemas a partir de una ecuación dada ecuaciones


Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides

Medida


222

Lección 88

Cilindrosyconosimaginarios

224

Lección 89

Cantidades que cambian y se relacionan

Lección 90

ÍndicedeMasaCorporal

Lección 91

Juegoes quitativoIs

230

Lección 92

JuegosequitativosII

232

Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas

226 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática 228 entre dos conjuntos de cantidades Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables

Proporcionalidad y funciones



Las matemáticas en reflectores parabólicos

234


236


238

Y para terminar...

239

Glosario ................................................................................................................................................................................................................................. 240 Bibliografía para el alumno ........................................................................................................................................................................................... 242 Bibliografía para el profesor ............................................................................................................................................................................................ 244 15

E U Q O L B

1

Aprendizajes esperados ✓Explica la diferencia entre eventos

complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

16

El ADN resolverá el caso Se ha cometido un asesinato y la policía llega a la escena del crimen. Con sumo cuidado, los científicos analizan todos los detalles. Las pruebas son escasas y e l caso parece difícil. De pronto, la inspectora murmura “Aquí hay un cabello. Rápido, llévenlo al laboratorio para una prueba de ADN. ¡Ya lo tenemos!”. El ADN (ácido desoxirribonucleico) es una molécula presente en el núcleo de las células de todos los seres vivos. Comparando el ADN de dos individuos, los científicos pueden determinar con una certeza superior a 99% si hay parentesco entre ellos. Basta una pequeña muestra de células (cabellos, gotas de sangre, restos de saliva, etc.) para hacer la prueba.

1. La imagen representa una molécula de ADN. Describe su estructura. 2. Además del establecimiento de parentescos, ¿para qué sirve conocer la molécula del ADN?

3. Una secuencia de ADN puede contener cuatro tipos de base nitrogenada: adenina (A), timina (T), citosina (C) y guanina (G), y puede representarse como una palabra larguísima con esas letras (CTAAAGATGAT…). Construye todas las secuencias de una y dos letras que se pueden formar con las cuatro anteriores (se pueden repetir letras). ¿Cuántas secuencias hay? ¿Y con cinco letras?

4. ¿Es probable encontrar dos secuencias idénticas? Comparte tus argumentos con tus compañeros.

5. Investiga qué es el Proyecto Genoma Humano y qué ha aportado al mundo de la ciencia. Averigua también qué controversias ha generado. Escribe tus conclusiones y debátelas con tus compañeros. Para conocer la participación mexicana en el Proyecto Genoma Humano entra a... www.e-sm.com.mx/SCM3-017

de la vida, pues uchsoins táem b i t o s El estudio de la probabilidad es fundamental esn(m teza absoluta). r e c r e n stante confiable aun permite hacer predicciones ba evento ocurra, así edir la probabilidad de que un En este bloque aprenderás a m vos de probabilidad. como algunos conceptos nue 17

BLOQUE

1

Secuencia 1 / lección 1

La medida de un lado

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

Ya has estudiado ecuaciones de primer grado y diferentes problemas que se pueden resolver con ellas. Ahora estudiarás ecuaciones de segundo grado. ¿Cómo son, cómo se resuelven y en qué tipo de problemas se utilizan? Con estas lecciones podrás averiguarlo.

1. Los siguientes enunciados dicen qu é relación hay entr e los rectángulos que ap arecen enseguida. Anota, en equipo, las medidas de los lados usando una literal. La figura C es un ejemplo. Figura A: el largo mide 5 m más que el ancho. Figura B: el largo mide tres veces el ancho. Figura C: el ancho mide 3 m menos que el largo. Figura D: el ancho mide la mitad de el largo.

Área = 234 m2

A

x

x

Área = 1 083 m2

B

+5

x

3x

_ x

C

Área = 550 m2

x

D

–3

Área = 800 m2

x

2

x

2. Formulen, para cada rectángulo anterior , una ecuación que relacione la s medidas de sus lados con el área. Observen el ejemplo.

Figuras

Ecuaciones

A

(x + 5)x = 234; x 2 + 5x = 234 3x (x) = 1 083; 3x 2 = 1 083

B

( – 3) = 550; x2 – 3x = 550

C D

m

(__2 ) = 800; __2 = 800 x

x

2

x

Comparen, con ayuda del profesor,sus resultados con los de sus compañeros. Analicen en qué son diferentes las ecuaciones de primer y segundo grado. Anoten sus conclusiones.

R. P.

18

x x

3. Encuentren, para ca da ecuación de la tabla anterior , un valor de x que la satisfaga. Pueden seguir el procedimiento que quieran y usar calculadora. Hagan lo siguiente.

técnicas

a) Anoten con números el largo y el ancho de los rectángulos (son los mismos de la página

anterior). b) Verifiquen que con las medidas anotadas se obtenga el área indicada.

A

B

Área = 234 m

2

Área = 1 083 m 2

13 m

19 m

18 m

57 m

C

D Convivimos

22 m

Área = 550 m2

Área = 800 m2

Para enriquecer tus conocimientos matemáticos y mejorar su aplicación para resolver problemas es bueno que compares con frecuencia tus Comparen, con ayuda del profesor, las medidas que anotaron con las de sus compañeros. Siprocedimientos con los de tus compañeros.

25 m

m

200 m

400 m

hay diferencias identifiquen los errores y corrijan.

4. Formulen la ecuación desegundo grado quecorresponda a cadaproblema y resuélvanla.

resolver

a) El área de un cuadrado es 182.25 m2. ¿Cuánto mide uno de sus lados?

Ecuación:

x

2

= 182.25

Medida de un lado:

182.25 = 13.5

Practica las ecuaciones de segundo grado en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-019

b) El área de un rectángulo es 358 m2. Si el largo mide el triple que el ancho, ¿cuáles son sus

medidas? Ecuación: 3x (x)

= 3x 2 = 358

Largo:

32.77

Ancho:

10.92

Una ecuación como x2 – 3x = 550 es de segundo grado porque la incógnita está elevada a la po3

tencia 2. En cambio, la ecuación x + 2 = 10 es de tercer grado, pues la incógnita está elevada a la potencia 3.

Un número que satisface la ecuación x 2 – 3x = 550 es 25, porque 252 – 3(25) = 550.

19

BLOQUE

1

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas


El número desconocido

resolver

1. Reúnete con algunos compañeros. Completen la tabla.

Problemas

Ecuaciones

El cuadrado de un número más 11 es igual a 92. ¿Qué número es?

2

x

El cuadrado de un número, menos 15, es igual a x

2

– 15 = 106

106. ¿Qué número es? El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 182. ¿Qué número es?

x

El cuadrado de un número menos el mismo número, más 12, es igual a 144. El cuadrado de un número más el doble del número, menos 5, es igual a 75. ¿Qué número es?

m

+ 11 = 92

2

+ x = 182

Soluciones

=9 = –9 x = 11 1 x

x

= –11 1 = 13 x 2 = –14 x2 x

x 2

x

x

2

– x + 12 = 144

+ 2x – 5 = 75

1

2

x

1

2

x x

= 12 = –11

=8 2 = –10

1

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Revisen si el problema que escribieron corresponde a la ecuación que estaba escrita. b) Revisen si las ecuaciones que escribieron corresponden a los problemas planteados. c) Revisen las soluciones y verifiquen que los números encontrados satisfagan las condiciones

de cada problema. En una ecuación de segundo grado como x2 = 25, una solución es 5, porque 52 = 25. Sin embargo, –5 también es una solución, porque (–5) 2 = 25. Esto significa que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones. En ciertos casos las soluciones son dos números simétricos.

2. Hagan, en la tabla de la actividad 1, lo siguiente. a) Averigüen en qué casos el simétrico de la solución que encontraron también es solución

de la ecuación. Anoten las soluciones.

En el primer caso y en el segundo caso un número y el simétrico son solución. b) En los casos donde el simétrico no solucione la ecuación prueben con otros números

para encontrar la otra solución. 20

3. Una manera de resolver ecuaciones de segundo grado consiste en buscar, por ensayo y error, números que satisfagan la ecuación. Así, por ejemplo, para resolver la ecuación 2 x + 3 x = 28 se puede usar una tabla como la siguiente. x

x

2

2

3x

x

+ 3x

1134 2

4

6

3

9

9

4 –2 –5 –7

16 4 25 49

12 –6 –15 –21

10

18 28 –2 10 28

a) En la tabla se aprecia que cuando x vale 1, x2 + 3x es igual a 4; cuando x vale 2, x2 + 3x es

igual a 10. Prueben con otros valores dex hasta que x2 + 3x sea igual a 28. b) Hay un número negativo que también satisface la ecuación x2 + 3 x = 28. Encuéntrenlo

con la misma tabla. c) La ecuación x2 + 3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Anótenlas. x

1

=

4

x

2

=

–7

4. Encuentren las soluciones de cada ecuación. a) 5x2 = 45 x

1

x

2

c)

2

+ x = 56

1

=7 = –8

x

x x

2

e)

=3 = –3

x

– 13x = 130

x

= 19.62

2

1

b) 4x2 = 1

= _1 2 –1 _ x = 2 2 x

1

d)

= –6.62

2

– x – 56 = 0

1

=8 = –7

x

x x

2

2

f)

x

x

1

x

x

2

técnicas

2

Cuando se tiene una ecuación comox2 = 9, ¿qué operación se aplica en ambos miembros para que resultex = 3?

– 56 = x

=8 = –7

21

BLOQUE

1

Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades

Ya sabemos...


¿Iguales o diferentes? ¿Cuándo se puede decir que dos figuras son iguales? ¿Y que no son iguales pero sí semejantes? Estas son algunas de las cuestiones que estudiarás en esta secuencia.

1. Identifica en la imagen un par de figuras congruentes y un par de figuras no congruentes pero sí semejantes. Cópialas en cada espacio.

En geometría, a las figuras iguales también se les llamacongruentes. Dos figuras son congruentes si, al superponerlas, coinciden en todos sus puntos. Por tanto, si dos figuras son congruentes, todos los ángulos y lados de una son congruentes a los de la otra. Dos figurassemejantes, o a escala una de la otra , tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, como si una fuera fotografía de la otra.

Figuras congruentes

Figuras semejantes

R. P.

m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Vean si están de acuerdo con las figuras semejantes y las congruentes que cada uno propone.

2. Haz lo siguiente. a) Analiza los siguientes triángulos y marca con una palomita los que sean congruentes al triángulo ABC. b) En los espacios libres de la retícula dibuja al menos tres parejas de tr iángulos congruentes, de manera que cada triángulo esté en una posición diferente a la de su pareja.

B

4 C

1

R. P.

3

B

2

A

7 ✔

5

6

8 ✔

22

m

Compara tus respuestas al inciso 2 a) con las de tus compañeros. Si hay dudas, dibujen en sus cuadernos un triángulo igual al ABC, recórtenlo y vean si se puede superponer a los demás. Revisen también algunas de sus parejas de triángulos congruentes.

3. Haz lo siguiente con cada triángulo. a) Elige uno de sus lados. b) Anticipa qué figura se forma al trazar un triángulo igual sobre el lado que elegiste, y anota su nombre en la línea. c) Haz el trazo, con regla y compás, y verifica tu anticipación. Triángulo 1

Triángulo 2

rectángulo o triángulo isósceles

romboide Triángulo 3

Triángulo 4

rombo o paralelogramo m

rombo

Lleva a cabo, en grupo, lo siguiente.

comunicar

a) Comenten qué procedimiento utilizaron para trazar los triángulos congruentes. b) Averigüen cómo tendría que ser un triángulo, para que al trazar sobre uno de sus lados un triángulo congruente, se forme un cuadrado. Hagan los trazos en sus cuadernos y Triángulo rectángulo isósceles verifiquen que se obtenga un cuadrado. 4. Elige un triángulo del ejercicio 2 y determina las figuras que se pueden obtener a partir de él, dependiendo de en qué lado se construya el triángulo congruente. Anota el resultado de tu análisis. Triángulo elegido:

R. P.

Figuras que se pueden obtener:

R. P. 23

BLOQUE

1



La razón de semejanza

1. Observa los barcos del dibujo. ¿Cuáles son semejantes al 1?

F

E

A

D

1

H I

C

I

K

E

F

E

F

G

D

G

3

C

H I

J

A

K

L

J

L

D

B

H

2

J K

L

A

B

A

G

D

C F G

E C B

B

H

4

I

J K

L

2. Contesta las preguntas. a) En el barco 1, el cuadrilátero DEFG es un cuadrado (DE es igual a EF). ¿En qué barcos no pasa esto?

2y4

b) En el barco 1, AB mide lo doble que BC. ¿En qué barcos no sucede esto? c) ¿En qué barcos el ángulo A no es igual al del barco 1?

2y4

2y4

Cuando dos figuras son semejantes, los ángulos de una son iguales a los de la otra, y los lados de una son proporcionales a los lados de la otra. Lados proporcionales quiere decir que… • si en una figura un lado a es igual a otro lado b, en la otra figura ocurre lo mismo. • si en una figura un lado a es dos, tres o n veces mayor que el lado b, en la otra figura, el lado correspondiente a a será ese mismo número de veces mayor que el correspondiente a b.

d) De acuerdo con lo anterior, ¿qué figuras no pueden ser semejantes a la 1?

2y4

Decir quesiempre los ladoselde dos figuras semejantes por son la proporcionales quefiguras, existe un número, mismo, que, multiplicado medida de lostambién lados designifica una de las arroja las medidas de los lados de la otra. Ese número se llama constante de proporcionalidad, factor de escala o razón de semejanza.

24

e) ¿Cuál es el único barco semejante al 1?

3

sus medidas multiplicando las del barco 1?

m

¿Qué factor de escala permite obtener

2

Un cuadrado A mide 4 cm de lado y otro cuaCompara, con ayuda del profesor, tus respuestas de las actividades 3, 4 y 5 con las de tus dro A’, 8.3 cm de lado. ¿A y A’ son semejantes? compañeros. comunicar

3. Lleva a cabo lo siguiente. a) Traza en tu cuaderno un rectángulo A en el que el largo sea el triple del ancho. b) Un rectánguloB está a escala 2 a 1 del rectánguloA, es decir, sus lados tienen el doble de tamaño. Subraya, sin trazar este rectángulo, la oración correcta. En el rectángulo B… el largo es seis veces el ancho. » el largo es tres veces el ancho. » el largo es dos veces el ancho. »

c) Traza el rectángulo B y verifica tu respuesta.

validar

d) Traza en tu cuaderno un rectángulo C semejante al rectángulo A con un factor de escala 4 a 1. ¿Qué relación guardan el largo y el ancho del rectángulo C?

El largo es tres veces el ancho. e) ¿Son semejantes C y B? Argumenta tu respuesta en tu cuaderno.

Sí lo son.

¿Todos los rombos que se construyen con un ángulo de 30° son semejantes?

4. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente. B con respecto a los del rectángulo A es La relación “doble” que guardan los lados del rectángulo una razón de semejanza. También lo es la relación 4 a 1 que guardan los lados del rectángulo C con respecto al rectángulo A.

Por otra parte, en los tres rectángulos semejantes, A, B y C, el largo es tres veces el ancho. Esta razón entre dos partes de un mismo rectángulo se conserva igual en los demás rectángulos semejantes; no tiene un nombre especial.

5. Investiga las medidas reales de una cancha de futbol o de basquetbol y traza en tu cuaderno una semejante. Elige la razón de semejanza que más te convenga. a) ¿Cuánto mide de largo la cancha? b) ¿Y de ancho?

R. P.

R. P.

c) ¿Qué razón de semejanza elegiste?

R. P.

d) ¿Cuáles son las dimensiones de tu dibujo semejante? R.

P.

25

BLOQUE

1


Rompecabezas


1. Reúnete con dos o tres compañeros. Dibujen en un pedazo de cartoncillo un rompecabezas como el que aparece, con las medidas que se indican. Recorten las cm 6 cm 5 piezas y repártanselas.

resolver

Cada uno amplíe a escala sus piezas de manera que, con las de todos, se forme un rompecabezas 6 cm semejante, es decir, con la misma forma que el srcinal pero más grande. Antes de fabricar las piezas, acuerden cómo lo harán. El segmento que en el rompecabezas srcinal mide 4 cm deberá medir 7 cm en la ampliación. m

2 cm

7 cm 9 cm 7 cm

Armen el rompecabezas. Si las piezas no embonan, busquen, en grupo, el srcen del error.

2 cm 4 cm

Una pista Dado que los lados de figuras semejantes son proporcionales debe haber un número que, al multiplicarse por las medidas de una de las figuras, arroje las medidas de la otra. A vecesPor encontrarlo difícil. ejemplo, es para encontrar qué número multiplicado por 5 da 8 se puede… • si a 5 le corresponde 8, averiguar cuánto le corresponde a 1. • averiguar qué fracción de 5 da 8. • dividir 5 entre 8.

2 cm

5 cm

2. Fabriquen una segunda copia del rompecabezas anterior. El lado que mide 5 cm en el srcinal debe medir 8 cm en la copia. Verifiquen que las piezas embonen. 3. Construyan el rompecabezas que se muestra a la derecha, recorten las piezas y repártanselas al azar. Hagan una ampliación a escala: el lado que mide 2 cm debe medir 4 cm en la ampliación. m

cm 8

cm 2 1 cm

7 cm 9 cm

Armen el rompecabezas. Si las piezas no embonan, busquen, en grupo, el srcen del error.

4. A continuación se hace una afirmación.

3 cm

Los rombos, como los cuadrados, tienen sus cuatro lados iguales. Por 9 cm tanto, cualquier rombo es semejante a otro.

1 cm

a) Si consideras que la afirmación es falsa, da un ejemplo que la contradiga. Si consideras que es verdadera, explica por qué.R.

T. dos rombos que tengan sus lados de

4 cm, pero que sus ángulos correspondientes sean distintos. b) Escribe qué condiciones deben cumplir dos rombos para ser semejantes.

Sus ángulos correspondientes deben ser iguales. 1

26

Problema tomado de Brousseau, G. (1981). Problèmes de didactique des décimaux. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 2 (3), 37-127. París: La Pensée Sauvage.

5. Una de las siguientes oraciones es verdadera. Escribe ,Vde verdadero,o F, de falso, según corresponda. Dibuja una figura para mostrar que una oración es falsa y argumenta la veracidad de la otra. Oración 1. Si dos figuras son congruentes, también son semejantes.

V

Oración 2. Si dos figuras son semejantes, también son congruentes.

F

validar

Dibujo que muestra que una oración es falsa:

R. P. Se espera que dibujen dos figuras semejantes.

Argumentación de la veracidad de la otra oración.

R. T. Si dos figuras son congruentes, sus lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes también. Entonces sonsemejantes con razón de semejanza igual a 1.

m

Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas de las actividades 4 y 5 con las de tus com-Aprende más sobre figuras semejantes en… pañeros. En caso de haber diferencias, identifiquen los errores.

6. Traza, en tu cuaderno, una figura semejante a la siguiente. La razón de semejanza debe ser __32 .

www.e-sm.com.mx/ SCM3-027

_2 ¿Qué razón de semejanza permite construir la figura srcinal a partir de la trazada?

m

3

Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

27

BLOQUE

1




1. Reúnete con un compañero. Observen cómo se trazó en el plano cartesiano el siguiente rectángulo: la base sobre el eje x la altura sobre el eje y.

comunicar

y

x

R. T.

a) Tracen en el plano otros rectángulos, con base sobre el eje x y altura sobre el y que sean semejantes al que aparece, es decir, que conserven la misma razón entre la base y la altura. b) Señalen con rojo, para cada rectángulo, el vértice opuesto al que quedó en el srcen. c) Tracen una línea recta que pase por los puntos rojos. d) Si los puntos rojos no quedaron alineados, revisen su trabajo.

28

e) Marquen con rojo otro punto cualquiera en la recta y tracen el rectángulo correspondiente. Este rectángulo es semejante a los otros. Expliquen por qué se puede estar seguro de esto.

Porque los lados tienen la misma proporcionalidad entre sí que los de los otros rectángulos, ya que está en la misma línea el vértice. f ) Anoten, en la tabla, las medidas de la base y la altura de cada rectángulo. Observen que estas medidas corresponden a las coordenadas de los puntos rojos de la recta.

ABCDEFG Base (x)

3

Altura(y)

2

6 4

9 6

12 8

15 10

g) Dado que los rectángulos son semejantes, la razón que guarda la base con respecto a la altura es siempre la misma, es decir, existe un número que, multiplicado por la base de cualquiera de esos rectángulos, arroja la medida de la altura. ¿Cuál es ese número?

_2 3

h) Consideren la relación que a cada medidax de la base de un rectángulo le asocia la medida y de su altura. ¿Cuál es la expresión algebraica de esa relación? y= m

_2 3

x

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Lean la siguiente información. El número __23 , que encontraron en el inciso f), tiene varios significados. • Es la razón que guardan la base y la altura de todos los rectángulos semejantes. • Es la constante de proporcionalidad de la relación que a cada medida de la base le asocia la altura correspondiente, en la familia de rectángulos. • Es la pendiente de la ecuación de la recta a la que pertenecen los puntos rojos.

2. Hagan, en sus cuadernos, lo siguiente. a) Tracen un sistema de ejes cartesianos. b) Tracen un rectángulo con una base de 4 unidades sobre el eje x y una altura de 3 unidades sobre el eje y.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de figuras semejantes.

c) Tracen, en el plano, al menos cinco rectángulos semejantes al anterior, es decir, que guaraltura , y que su base esté sobre el eje x y la altura sobre el y. den la misma razón____ base d) Escriban, para los rectángulos que trazaron, la expresión algebraica de la relación que a cada medida de la base le asocia la medida de la altura.

29

BLOQUE

1


comunicar


Figuras congruentes ¿Cuál es la información mínima que debe darse sobre un cuadrilátero a una persona para que haga otro igual? ¿Y si se trata de un triángulo? ¿Qué información hay que dar si solamente se quiere que sean semejantes? Estas son las cuestiones que estudiarás en esta secuencia.

1. Reúnete con dos o tres compañeros para jugar “Reproduce la figura ”. Cada equipo necesitará un juego de geometría, una hoja blanca para trazar una figura y media hoja para redactar un recado. Su profesor tiene uncuadrilátero irregular ABCD que no mostrará a nadie sinohasta el final. »

»

»

El profesor devuelve a cada equipo su hoja con la información solicitada.

»

Los equipos trazan el cuadrilátero con la información recibida.

»

Cada equipo superpone su cuadrilátero al del profesor para ver si coinciden.

»

m

Cada equipo le solicita al profesor, por escrito, en su media hoja, la información necesaria para dibujar un cuadrilátero igual al suyo. Solo se pueden hacer preguntas que se contesten con una medida, con “sí” o con “no”.

Los equipos cuyos cuadriláteros coincidan obtienen un punto. Aquel que lo logre con el menor número de datos solicitados, gana un punto extra.

Analicen, en grupo, las preguntas que hicieron y contesten en su cuaderno. R. P. a) ¿En qué fallaron las preguntas de quienes no lograron hacer un cuadrilátero igual? ¿Qué información les faltó?

b) ¿Se podrían eliminar algunas preguntas de los que sí reprodujeron la figura, sin afectar al cuadrilátero?

c) Para reproducir un cuadrilátero se necesitan, cuando mucho, cinco medidas. Revisen si ya tienen ejemplos de esto; si no, identifiquen cuáles son esos cinco datos.

2. Lleven a cabo la actividad anterio r con un triángulo. Si pocos triáng ulos coinciden, repitan el procedimiento al menos una vez más. m

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Anoten en su cuaderno, de los mensajes que hayan funcionado, los tres que soliciten menos datos.

b) Revisen si con alguno de los mensajes pueden construir dos triángulos no congruentes entre sí.

30

3. Forma un equipo de tres o cuatro integrantes. Efectúen lo siguiente en sus cuadernos.

Lado AB = 6 cm ✘ Ángulo A = 43° Ángulo C = 89°

Lado AB = 5 cm ✔ Lado BC = 6 cm Lado AC = 7 cm

Lado AB = 11 cm ✘ Lado BC = 10 cm Ángulo A = 60°

Lado AB = 4cm ✘ Ángulo A = 65°

Lado AB = 4 cm ✔ Lado AC= 6 cm Ángulo A = 48°

Ángulo A = 56° ✘ Ángulo B= 75° Ángulo C= 49°

a) A la derecha hay seis grupos de dos o tres medidas de triángulos. Consideren un grupo de datos y prevean, sin hacer trazos, si con los datos se pueden construir triángulos diferentes o si solo se pueden construir triángulos congruentes. Si se pueden trazar varios diferentes, indíquenlo junto al grupo. Hagan lo mismo con los demás. Nombren los lados y ángulos como se muestra.

resolver

Ya sabemos... Dos triángulos son congruentessi al superponerlos coinciden todos sus puntos, sin importar si para ello es necesario girarlos o voltearlos. La de losdeángulossuma interiores un triángulo da 180°.

C

lado BC

B

ángulo A A

b) Elijan un grupo de datos para que cada integrante del equipo construya un triángulo con las medidas indicadas. Intenten que los triángulos sean distintos. Refuerza tus conocimientos sobre congruencia de triángulos en… www.e-sm.com.mx/

c) Comparen sus triángulos y comprueben si acertaron en su previsión: con el grupo de datos, ¿salen triángulos diferentes o congruentes? Si no acertaron, expliquen por qué.

SCM3-031

d) Elijan otro grupo de datos y repitan el proceso. e) Pongan una ✔ junto a los grupos que contengan la información suficiente para que los triángulos sean congruentes y ✗ a los que les falten datos. B m

Hagan, con ayuda del profesor, lo que se indica. a) Vean si todos los equipos tacharon y palomearon los mismos grupos. Si hay diferencias averigüen quién tiene razón.

b) En la figura de la derecha se han construido dos triángulos diferentes,ABC y ABC’, con las medidas de uno de los grupos de datos anteriores. Identifiquen de qué grupo se trata y comprueben si habían previsto que se podrían construir triángulos diferentes.

1

c) Anoten la información que faltaría en los recuadros donde pusieron✗ para que los triángulos que se construyeran fueran congruentes.

1

c

m

m c 0 1

m c 0 1

60 º

A

C

C'

31

BLOQUE

1



Condiciones necesarias y suficientes 1. A continuación hay tres criterios de congruencia para triángulos. Léelos y comprueba si en la lección anterior habías llegado a alguno.

Para asegurar que dos triángulos son congruentes es suficiente que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios. • Que tengan tres lados

L

L

L

iguales (criterio LLL).

L L

• Que tengan dos lados y el ángulo que estos forman iguales (criterio LAL).

L

L

L A

• Que tengan un lado y dos ángulos iguales (criterio ALA).

A

L

L A

A B

B

2. Trabaja con un compañero. A continuación se dan algunas características de varias parejas de triángulos. Dibujen en sus cuadernos, cada vez, dos triángulos diferentes que tengan las características dadas. Cuando no se pueda, revisen si alguno de los criterios de congruencia permite asegurar que los triángulos serán congruentes. Observen el ejemplo. a) ¿Pueden ser diferentes los dos triángulos que se forman al trazar una diagonal en un paralelogramo? No, los triángulos son congruentes por lo siguiente: puesto que ABCD es un paralelogramo, sabemos que AB es paralelo a CD y AC es paralelo a BD. Entonces… »

»

»

el ángulo ABC es congruente al ángulo BCD (marcados en rojo) por ser alternos internos en un sistema de paralelas cortadas por una secante; el ángulo CBD es congruente al ángulo BCA (marcados en azul) por la misma razón; los dos triángulos comparten el lado BC.

B

A

Entonces, se cumple un criterio de congruencia de triángulos. ¿Cuál?

32

D

C

ALA

b) Si dos triángulos isósceles tienen la misma base, ¿necesariamente son congruentes?

No necesariamente c) ¿Pueden ser diferentes los dos triángulos que se forman al trazar la diagonal de un cuadrilátero cualquiera?

sí

d) Si dos segmentos AB y CD se cortan en el punto medio M de ambos, como se muestra en la figura de la derecha, ¿los triángulos ACM y MDB pueden ser diferentes?

No, son congruentes. Los segmentos se cortan en el punto medio de ambos e) Si dos triángulos equiláteros tienen un lado igual, ¿son necesariamente congruentes?

No necesariamente

f) Si dos triángulos tienen bases y alturas congruentes, ¿pueden ser diferentes? Sí g) ¿Pueden ser diferentes dos triángulos que tienen tres ángulos congruentes?

Sí

C A

M

B D m

Comparen, con ayuda de su profesor, sus respuestas con las de sus compañeros.

comunicar

3. Trabaja con un compañero que esté sentado lejos de ti. Cada uno necesitará un juego de geometría (regla, transportador y compás), una hoja blanca y media hoja. a) Cada uno trace un rombo en una hoja blanca sin que el otro lo vea. b) Anoten, en la media hoja, un mensaje dirigido a su pareja con la información necesaria para que construya un rombo congruente al suyo. No se pueden poner dibujos.

c) Intercambien los mensajes y construyan los rombos. d) Comparen sus rombos. Si no coindicen, analicen qué falló. m

Hagan, en grupo y con ayuda de su profesor, lo siguiente. a) Revisen las conclusiones de cada equipo y argumenten sus puntos de vista.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la b) Concluyan qué información se necesita, como mínimo, para que un rombo sea congruenteactividad de triángulos

a otro rombo dado.

33

BLOQUE

1


¿Son semejantes?


1. Trabaja con un compañero. En la tabla están las medidas del triángulo 1 y otros triángulos. Construyan un triángulo tratando que no sea semejante al triángulo 1. Anoten, en la última columna SÍ o NO para indicar si fue posible construir el tríangulo no semejante. Cuando sea posible construirlo, anoten las medidas que faltan.

Ya sabemos...

Lado(cm) Dos figuras semejantes tienen la misma forma. El tamaño puede ser igual o diferente. Si dos triángulos son semejantes, los ángulos de uno son congruentes con los del otro, y los lados de ambos, proporcionales entre sí.

a

b

c

∠A

∠B

∠C

1

4

5

7

101

45

34

m

Una pista

2

101

3

101

45

34

101

45

34

45 136

34

8

10

5

8

10

6

8

7

8

10

8

8

10

b

a

C

c

14

posible un¿Fue triángulo noconstruir semejante al triángulo 1?

101

14 2.5

101

10

34

sí no sí no sí no sí

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Lean y comenten la siguiente información. Para que dos triángulos sean semejantes basta que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios. • Que los tres lados de uno sean proporcionales a los tres del otro. • Que dos ángulos de uno sean iguales a dos ángulos del otro. • Que dos lados de uno sean proporcionales a dos lados del otro, y el ángulo comprendido entre estos lados sea igual. Estas tres condiciones se llaman criterios de semejanza de triángulos.

Sabemos que el triángulo ABC es rectángulo en A y que AH es altura. B H

2. Trabaja con dos o tres compañeros . Analicen las afirmaciones y determinen si son falsas (F) o verdaderas (V). Si son falsas escriban en sus cuadernos un ejemplo que lo demuestre; si son verdaderas, argumént enlo con un criterio de semejanza. A

Verdadera o Falsa

B

Entonces, ∠ BAH + ∠ ABH = 90° (porque…) ∠ BAH + ∠ HAC = 90° (porque….) Entonces, ∠ ABH = ∠ HAC (porque…) Por tanto, los triángulos ABH y HAC tienen dos ángulos iguales.

a. Todos los triángulos rectángulos son semejantes. b. Todos los triángulos isósceles son semejantes. c. Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes. d. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. e. Si se traza la altura correspondiente al lado mayor de un triángulo rectángulo, los dos triángulos interiores que se forman son semejantes entre sí y también semejantes al triángulo srcinal. m

34

B

Ángulo(grados)

Triángulo

4

A

F F F V V

Comparen, con ayuda de su profesor, sus respuestas con las de sus compañeros.

3. Los siguientes triángu los son semejantes. Ca lcula y anota, sin medir , las medidas que A se indican. 78°

BC =

9 cm o

∠

B=

61

∠

B’ =

61o

A’C’ = ∠

A’ =

∠

C’ =

4 cm

El pantógrafo

A’

8 cm

6 cm

o

78

3 cm

41o

4.5 cm

B’

C’ 41°

B 4. Considera el triángulo ABC y haz lo siguiente.

C

Q

A

C

a) Ubica un punto sobre el lado AB y llámalo P. b) Traza una paralela a BC que pase por P.

P

c) La paralela que trazaste corta el lado AC en un punto. NómbraloQ.

En contexto

Instrumento inventado por Christopher Scheiner, a principios del siglo XVII. Se utiliza para reproducir dibujos de forma que el dibujo reproducido es semejante al srcinal. Su funcionamiento es muy sencillo: se recorren las líneas de una figura con un lápiz que va unido a una barra. A la vez, otro lápiz reproduce el recorrido, trazando una figura semejante sobre el papel.

B

sí d) ¿Son semejantes los triángulos APQ y ABC? ∠

R. T. tu respuesta. Argumenta

APQ = ∠ ABC son iguales por ser correspondientes en un sistema de parale-

las cortadas por una secante. Por la misma razón ∠ AQP = ∠ ACB. Entonces, los dos triángulos son semejantes porque sus ángulos correspondientes son iguales. Q

Una pista

5. Analiza las figuras y calcula lo que se pide. a) MN es paralela a PQ. PQ = 50 cm; MN = 30 cm PR = 60 cm; NR = 35 cm

N

Recuerda las propiedades de los ángulos que se forman en un sistema de paralelas.

P

¿Cuánto mide MR?

36 cm

¿Cuánto mide QR?

58.3 cm

M

R A

b) AB es paralela a DE. AC = 15 cm; CE = 10 cm BC = 16 cm; DE = 11 cm AB =

16.5 cm

CD =

10.6 cm

D

C

E

m

B

Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo siguiente. Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados o a su prolongación determina un segundo triángulo semejante al primero.

35

BLOQUE

1


Tablas de valores y gráficas

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad

Las gráficas, las tablas y las expresiones algebraicas sirven para estudiar y comprender el tipo de relación que existe entre dos conjuntos de cantidades. En esta secuencia aprenderás a identificar características de algunas relaciones, como las tarifas telefónicas y la velocidad.

1. Analiza la relación entre los conjuntos de cantidades de cada tabla y haz lo que se indica.

Tabla 1 y

Ya sabemos...

Tabla 2

= 2x + 1

y

Tabla 3

= 3x

y= x+2

x

y

x

y

x

y

0

1

0

0

0

2

1

3

1

3

1

3

2

5

2

6

2

4

3

7

3

9

3

5

a) Anota a qué tabla corresponde cada situación.

Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas el doble, triple, etc.; su correspondiente cantidad aumenta el doble, triple, etc. Lo mismo sucede si una cantidad disminuye a la mitad, a una tercera parte, etcétera.

»

El peso de un perro desde su nacimiento hasta que cumple tres meses.

»

La cantidad de paletas de caramelo y su costo.

»

tabla 1

tabla 2

Las edades de dos hermanos si uno es dos años mayor que el otro.

tabla 3

b) Anota, en la casilla vacía, las expresiones algebraicas de las tablas 1 y 2. c) ¿En qué tabla x y y cambian de manera proporcional?

tabla 2

2. En el plano cartesiano se representaro n algunos pares de coordenadas de la tabla 3 y se unieron con una recta. Esta gráfica y

(2

,

corresponde a la relación y =

) 6

) 5 , (3, 5) (2

x

+2

a) Haz lo mismo con los pares de coordenadas de las tablas 1 y 2. Traza las rectas con colores diferentes.

(2, 4)

b) Una de las tres rectas trazadas pasa por el srcen. ¿A qué tabla

(1, 3) (0, 2)

corresponde?

(0, 1)

a la 2

x

(0, 0)

c) ¿Las cantidades de esa tabla son directamente proporcionales?

Justifica tu respuesta en tu cuaderno. x. Los valores dey son siempre el triple que los de 36

sí

Tabla 4

3. Haz lo siguiente usandola regla de correspondencia y = 2 x – 5. a) Completa la tabla 4. Dale valores a x y efectúa las operaciones correspondientes para obtener los de y. Por ejemplo, si x vale 1, y = 2(1) – 5 = 2 – 5 = –3. b) Representa en el plano cartesiano algunos pares de coordenadas y traza la gráfica de su regla de correspondencia. ¿La relación anterior es de proporcionalidad directa? » »

¿La gráfica pasa por el srcen?

y

y = 2x – 5

(4, 3)

x

y

1

–3

2

–1 1 3

3 4

(3, 1)

x

(2, –1) (1, –3)

no

Una pista

no

4. Elabora, con base en la gráfica, la tabla de valores y encuentra la expresión algebraica. x

En una relación de proporcionalidad directa, al 0 le corresponde el 0.

y

R. P.

Expresión algebraica: y

»

= 2x + 4

¿Por qué la gráfica no corresponde a una relación de proporcionalidad directa?

R. T. Porque no pasa por el srcen (0, 0). 5. Reúnete con dos compañeros y hagan lo siguiente: a) Grafiquen, en sus cuadernos, las siguientes expresiones algebraicas. y = 2x y = 2x + 1 y = 2x – 1 y = 3x y = 3x + 1 b) ¿Cuál es la ordenada al srcen de cada recta?

y = 3x –

1

0, 1, –1, 0, 1, –1

c) ¿Qué expresiones algebraicas representan una gráfica asociada a una relación de propor-

cionalidad directa?

Las de la forma y = mx

d) En las expresiones que representan situaciones de proporcionalidad, ¿cuál es el valor de

la ordenada al srcen? m

0

Una pista La ordenada al srcen tiene dos interpretaciones. Geométrica. Es la ordenada del punto donde la grafica de la recta y interseca el eje Algebraica . Es el. valor de y cuandox vale 0.

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros.

37

BLOQUE

1



Tarifas telefónicas 1. Trabaja en equipo. Las siguientes g ráficas muestran las tarifas de una compa ñía que ofrece diferentes servicios. Respondan las preguntas con base en ellas. Gráfica 1

Gráfica 2

Costo por minuto de una llamada de un celular a otro

Costo por minuto de una llamada de casa a celular

y

y

costo ($)

15

15

10

10

5

5

costo ($)

Ya sabemos... Una consulta hecha en 2004 indicó que en México había poco más de 34 millones de teléfonos celulares. Es decir, prácticamente uno de cada tres mexicanos cuenta con un sistema de comunicación de este tipo. Este porcentaje es mucho mayor en los hombres (43%) que en las mujeres (29%), y decrece en los adultos mayores y en las áreas rurales del país, donde solo 18% declara contar con este servicio.

0

minutos 10

5

x

0

minutos x 10

5

Gráfica 3

Gráfica 4

Costo de llamadas locales (la renta incluye 100 llamadas)

Costo por minuto de llamar de teléfono público a casa

y

y

300 costo ($) 270

costo ($)

15

240 210 180

10

150 120

5

90 60 30 0

minutos x 10

número de llamadas 20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 220

0

5

a) ¿En qué gráfica se muestra una tarifa donde el costo por llamada no depende de los

minutos que dure?

en la 3

b) De las gráficas en las que el costo depende de la duración de la llamada, ¿en cuál cuesta

lo mismo una llamada de 1 min que una de 3 min?

en la 4

c) Explica por qué las cantidades (costo y llamadas) de la gráfica 3 no son directamente

proporcionales.

Porque la gráfica está formada por dos segmentos de

recta que no pasan por el srcen. d) ¿En qué gráfica se indica que se debe pagar aunque no se hagan llamadas?

38

en la 3

2. Completa las tablas con los datos de las gráficas anteriores.

Teléfono de casa a celular

Celular a celular Minutos

Costo

Minutos

1

1.5 3

10

2

4

68

10

15 y

= 1.5x

técnicas

Llamadasl ocales

Teléfonop úblico

Costo

Llamadas

Costo

Minutos

Costo

1

3

10

15

20

150 150

1

5

24 30

100

150

4

110

165

8

5 5 6 10

y

= 3x

Gráfica3

2

Gráfica4

3. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. a) En la tarifa de llamadas locales, lo que se paga por usar el teléfono no es proporcional al

número de llamadas. Da un argumento de R.ello. T. Al

doble de llamadas

no le corresponde el doble de precio. b) ¿En cuáles de las relaciones anteriores el costo de la llamada es proporcional a su dur ación?

En las gráficas 1 y 2 ¿Cómo lo sabes?

En las tablas con cantidades directamente proporcionales hay un número por el que se multiplican las cantidades de una columna para obtener su correspondiente en la otra.

Porque son rectas que pasan por el srcen.

c) Considera las dos relaciones de proporcionalidad. Representa con x el número de minutos

y con y el costo. Anota en la parte inferior de cada tabla su regla de correspondencia. m

Haz, en grupo y con ayuda del profesor, lo que se pide. a) Revisen sus respuestas de las actividades anteriores. b) La gráfica 3 está formada por dos partes, una recta horizontal y una inclinada (trazadas con color rojo). » En la recta horizontal, los valores dex van de 0 a 100, mientras quey siempre vale 150, es decir, el valor de y no depende del de x. Entonces, para valores de x menores o iguales

a 100, la regla de correspondencia de la relación es y = »

150.

Para valores de x mayores a 100, la regla de correspondencia es y =

_3 x 2

c) Anoten las reglas de correspondencia de la relación entre el número de minutos de una llamada de teléfono público y su costo (gráfica 4).

Para valores de x menores o iguales a 3 min, y = Para valores de x mayores a 3 min, y =

x

5.

+ 2. 39

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1



Tiempo, distancia, velocidad 1. La gráfica 1 corresponde al r ecorrido de un tráiler, del Distrito F ederal a la ciudad de Morelia. Lee la bitácora de viaje (informe que el chofer presenta a la empresa sobre el recorrido) e interpreta la gráfica para contestar las preguntas. Gráfica 1

Bitácora de viaje 302 km »

»

»

resolver

Salí del Distrito Federal el viernes 25 de marzo a las 4:30 de la mañana. Me detuve solo dos veces: la primera en Toluca, para cargar diesel y po ner la lona; la segunda en la caseta de cobro, poco antes de Atlacomulco, para almorzar. De Zinapécuaro a Morelia el camino está en reparación.

269 km

ia c n a t is133 km D

60 km

a) ¿De cuántos kilómetros fue el

recorrido?

4:305

302 km

b) ¿Cuánto tiempo duró?

6

6:50

10:30

12:00

Tiempo

7 h con 30 min

c) ¿En qué parte el tráiler avanzó más rápido? d) ¿En cuál avanzó más despacio?

entre las 4:30 y las 5

entre las 10:30 y las 12:00

e) ¿A qué velocidad promedio recorrió el primer tramo de 60 km? f ) ¿Cuánto tiempo se detuvo el tráiler la primera vez? g) ¿Y la segunda?

8:10

120 km/h

1h

1 h con 20 min

h) ¿La distancia que recorre el tráiler y el tiempo transcurrido cambian de manera propor-

cional?

no

Justifica tu respuesta.

La gráfica no es una recta.

i) Completa la tabla para indicar dónde estaba el tráiler y qué hacía el chofer en las horas indicadas.

Hora 5:00 8:00 9:00

40

Lugar en el que se encontraba

Toluca Antes de Atlacomulco Hacia Zinapécuaro

Actividad que llevaba a cabo

cargar diésel almorzar viajando

m

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten lo siguiente: ¿cómo puede averiguarse, a partir de la gráfica, en qué parte el tráiler avanzo más rápido, y en cuál, más despacio?

2. La tabla y las rectas de la grá fica 2 corresponden al movim iento de tres ciclistas, A, B y C, que salieron al mismo tiempo del mismo lugar. Haz lo que se pide y responde las Gráfica 2 preguntas.

Ciclistas Minutos ( x)

Km (

y)

Km (

y)

Km (

20

4

8

12

40

8

16

24

60

12

2

36

y=

__ 51 x

Ciclista

y=

C

__ 52 x

Ciclista

y=

B

A

y)

0000

ia c n a t s i D

B

C

__ 53 x

Ciclista

A

Tiempo

a) Escribe bajo cada columna la regla de correspondencia de la relación y a qué ciclista corresponde. b) ¿Que ciclista avanzó más rápido?

comunicar

el A

c) ¿Qué relación hay entre la velocidad de cada ciclista y la inclinación de su gráfica?

A mayor inclinación de la gráfica, mayor rapidez del ciclista. d) Explica con qué ciclistas la relación entre distancia recorrida y tiempo transcurrido es una

relación de proporcionalidad. En

Conoce más sobre gráficas de relaciones proporcionales en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-041

los tres, pues sus gráficas son rectas que

pasan por el srcen. 3. María y Sonia corrier on durante 30 s para v er quién llegaba má s lejos. Como Mar ía es más pequeña, Sonia la dejó iniciar 15 m adelante. Las rectas azul y verde de la gráfica 3 describen la relación entre el tiempo y la distancia que recorriero n. Responde las preguntas y haz lo que se pide.

50

a) ¿Cuántos metros de ventaja necesita María para que la carrera sea pareja?

Gráfica 3

y

b) Escribe las expresiones algebraicas que relacionen el tiempo transcurrido con la distancia recorrida de cada niña.

María: y

5 x + 15 =_ 6

Sonia: y

5x =_ 3

4. Reúnete con tres c ompañeros. Comparen y comenten sus respuestas. Vean si todos encontraron que, en el último problema, Sonia rebasa a María. Averigüen a los cuántos segundos fue.

Sonia rebasa a María a los

distancia (m) 50 40 30 20 10 0

10

20

30

tiempo (s)

x

18 s. 41

BLOQUE

1

Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas

En contexto


Un nuevo tipo de variación ¿Cómo cambia la distancia que recorre un automóvil cuando su velocidad no es constante? Hasta ahora has estudiado principalmente relaciones cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + b, como la que hay entre distancia y tiempo cuando la velocidad es constante. En este apartado analizarás relaciones diferentes.

1. Si un automóvil viaja a una velocidad de x km/h y frena, la distancia ( y), en metros, que x2 recorre hasta detenerse es aproximadamente y = __x + ___ . 5

Cuando un conductor maneja a 20 millas por hora, un peatón tiene cerca de 5% de probabilidad de morir si es atropellado. A 30 millas por hora, la probabilidad de morir aumenta a 45%; y a 40 millas por hora, el riesgo de morir es de 85%.

200

a) Utiliza la fórmula anterior para completar la tabla. Puedes usar calculadora.

Velocidad a la que viaja un automóvil (km/h)

Distancia necesaria para detenerse al frenar (m)

30

30 ___ 30 900 y = __ + 200 = 6 + ___ = 10.5 5 200

40 90 100

2

_

402 1 600 = 40 + ____ = 8 + ____ 200 = 16 5 200 8 100 90 ____ 902 ____ ___ y = 5 + 200 = 18 + 200 = 58.5 100 ____ 1002 10 000 ______ ___ y = 5 + 200 = 20 + 200 = 70 y

160 ____ 160 25 600 ______ = ___ 5 + 200 = 32 + 200 = 160 2 170 ____ 170 28 900 ______ = ___ 5 + 200 = 34 + 200 = 178.5 2

160

y

170

y

b) Si un conductor aumenta la velocidadde 30 km/h a 40 km/h, ¿cuánto aumenta la distancia

necesaria para detenerse al frenar?

5.5 m

c) ¿Y si el aumento de velocidad es de 90 km/h a 100 km/h? d) ¿Y si el aumento es de 160 km/h a 170 km/h?

11.5 m

18.5 m

e) Explica por qué al aumentar la velocidad aumenta considerablemente el riesgo de un

accidente.

R. T. Porque es mayor la distanciade frenado;además,la distanciade

frenado aumenta más rápido que la velocidad (no cambian de manera proporcional). m

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Lean lo siguiente. A diferencia de las relaciones de proporcionalidad, en el ejemplo anterior, al aumentar la velocidad de 160 a 170 kilómetros por hora, la distancia necesaria para detenerse al frenar aumenta mucho más que cuando la velocidad lo hace de 30 km/h a 40 km/h. Esto se explica porque, en la fórmula, x está elevada al cuadrado . Cuando, en cualquier fórmula, el exponente más grande al que está elevado x es 2, esta se llama cuadrática.

42

2. Un acuario construirá una pecera de 1 m de altura y el largo del doble de lo que mida el ancho. Haz lo que se pide y contesta las preguntas.

1m

a) Escribe cuatro medidas posibles para el largo y el ancho de la pecera.

R. T.

Largo: m1 Largo: m

2

Ancho: 0.5 m

m Ancho: 1

m3 Largo: m 4

mLargo: 2

m1.5

Ancho: Ancho:

b) Completa la tabla de medidas posibles para la pecera.

Medida del ancho (x)

Volumendelapecera(

3.9 m

10.58 m3 5.78 m3 30.42 m3

1.2 m

2.88 m3

2.3 m 1.7 m

y)

c) Encuentra la regla de correspondencia. Si representas el ancho con x, y el volumen con y, la regla es y = (x)(2x) = 2x2. d) Se necesita que las medidas tengan una cantidad entera de centímetros. ¿Podría la

pecera tener un volumen exacto de 2.89 no m3?

¿Por R.qué? T. Porque si

el ancho es 120 cm, el volumen es 2.883; msi el ancho fuera 121 cm,el volumen sería 2.92823. m 3. Se necesita otra pecera de 1.5 m de ancho, cuya altura sea la tercera parte de la medida del largo. Encuentra la regla de correspondencia que relacione el largo ( x) con el volumen de la pecera ( y).

_1 = _1 x 2 2 3

y = (x) (1.5) ( x)

Observa más ejemplos de ecuaciones cuadráticas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-043

4. Para otra pecera, la regla de correspondencia que relaciona la altura (x) con el volumen (y) es y = (2)(3x)(x), o bien y = 6x2.

R. T. a) ¿Qué condiciones podrían haberse pedido?

Que el largo valiera dos y el

ancho fuera el triple de la altura; o bien, que el ancho valiera dos y el largo fuera el triple de la altura. m

Comenta con tus compañeros tus respuestas. En particular vean si encontraron dos opciones posibles. 43

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1



Planes de ahorro I En todos los problemas de esta secuencia puedes usar calculadora. 1. Los alumnos de primer grado planean hacer un viaje al terminar la secundaria. Necesitarán $4 000 y quieren empezar a ahorrar a partir de mayo de su primer año y terminar, a más tardar, en junio del tercero. Como Leonardo quiere ir al viaje, su papá le ha ofrecido tres posibilidades para ayudarle a ahorrar. Darle $130 cada mes » » Darle en un inicio $1 200 y después $15 cada semana Darle lo que pueda cada semana, desde $0 hasta $100. »

resolver

a) ¿Qué plan le conviene a Leonardo?

R. P.

b) Modifica el plan que elegiste para garantizar un ahorro de $4 000.00. Considera la posibilidad de fijar una cuota inicial, el número de cuotas y su distribución temporal (semanal, mensual, etc.), además del dinero a entregar en cada cuota.

000 ______ R. T. Ahorrar $200 al mes, pues $4 $200 = 20. Así acabaría en 20 meses,

es decir, en diciembre del segundo año. 2. Se puede mejorar el seg undo plan guarda ndo los $1 200 pero, en luga r de $15 por semana, reunir $120 al mes. Comprueba que, así, en abril del tercer año Leonardo habrá reunido los $4 000.00. A los planes de ahorro en los que se guarda una cantidad fija cada cierto tiempo (cada semana, cada mes, cada trimestre, etc.) se les llama “planes de cuota fija”. En estos planes puede haber una cuota inicial.

3. Para ahorrar $3400 Leticia empezará con una cuota inicial de $600 y una cuota fija de $200. a) ¿Cuántos plazos debe contemplar?

Catorce

b) ¿Y si la cuota inicial fuera de $400?

Quince

4. Tania y Gilberto ahorrarán, cada uno, $4 000 en doce plazos. La cuota inicial de T ania será de $2 200, y la de Gilberto, de $160. ¿Qué cuota fija necesitan?

Tania, $150; Gilberto, $320 5. Alma y Cynthia también irán al viaje. Cynthia tiene algo de dinero, y sus padres ayudarán con una cantidad fija cada domingo. En cambio, Alma venderá collares a sus amigas para reunir el dinero; ella considera que, aunque el primer mes venderá pocos, con el tiempo ganará cada vez más. 44

a) ¿A quién le conviene un plan de ahorro de cuota fija y por qué?

A Cynthia, pues sus padres le darán una cantidad fija semanal. por qué? pues b) ¿A quién no le conviene un plan de cuota fijaAy Alma,

considera

que cada mes podrá ahorrar más que el anterior. c) Propón una manera más adecuada de ahorrar para quien no le conviene el plan de cuota

fija. m

Aumentar la cuota que se ahorra cada mes.

Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros. Lean lo siguiente. Otro tipo de planes de ahorro son los de “cuota creciente”. En estos, la cuota va aumentando al sumar una misma cantidad a la anterior. Por ejemplo, Alma puede entregar una cuota inicial de $15 y, en el primer plazo, $20; en el segundo, $20 + $20; en el tercero, $20 + $20 + $20; y así sucesivamente.

6. Si Alma escoge el plan de ahorro de cuota creciente que se describe arriba, ¿cuánto llevará ahorrado después de siete meses?

$495

a) Llena la tabla para verificar tu respuesta y calcular lo que Alma llevará ahorrado después de diez meses.

Mes 1

Cuota($) 20 + 15

2

20(2) 40 =

3

20(3) = 60

4 5 6 7 8 9 10

20(4) = 80 20(5) = 100 20(6) = 120 20(7) = 140 20(8)=160

20(9) = 180 20(10) = 200

Ahorroacumulado 35 35 40 + 75 =

75 + 60 = 135 215= 80 +135

215 + 100 = 315 435 120 = 315 +

435 + 140 = 575 575 + 160 = 735 735 + 180 = 915 915 + 200 = 1115

b) Modifica el plan de ahorro de Alma, de manera que siga siendo de cuota creciente, pero

resolver

que permita tener al menos $4 000 en diez meses. Elige la cuota inicial y la del primer plazo.

R. T. Sin cuota inicial, con una cuota de $80 el primer mes, $160 el

segundo, $240 el tercero, etc.; se ahorran $4 400 en diez meses. m

Compara tu plan con los de tus compañeros. Si varios propusieron el mismo, formulen otro en el grupo. 45

BLOQUE

1



Planes de ahorro II 1. Analiza los siguientes planes de ahorro y sus gráficas. » Tania dio una cuota inicial de $1 200 y ha estado ahorrando $150 cada mes. Isabel ahorra lo que le sobra de su mesada. » » Gilberto dio una cuota inicial de $600 y ha estado ahorrando $300 cada mes. Alma dio una cuota inicial de $150 y el primer mes, $200; el segundo, $400; el tercero, » $600; y así sucesivamente. Cada mes ahorra $200 más que el anterior. ahorro acumulado

ahorro acumulado

meses

meses

Isabel

Tania ahorro acumulado

ahorro acumulado

meses

meses

Alma

Gilberto

a) Escribe sobre la línea al ahorro de quién corresponde cada gráfica. m

técnicas

Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, tu respuesta.

2. Resuelve los problemas para obtener la fórmula de cualquier plan de cuota creciente. a) Considera un plan sencillo, donde no haya cuota inicial y la del primer plazo sea $2.

Plazo Ahorro acumulado ($)

1234567 2

6

12

20

30

42

56

Cualquiera de las siguientes expresiones algebraicas permite calcular el ahorro acumulado en el plazo n. » Ahorro acumulado en el plazo n = n(n + 1) » Ahorro acumulado en el plazo n = n2 + n b) Completa la tabla del inciso anterior con la segunda expresión. Calcula también el

ahorro acumulado en el plazo 20.

202 + 20 = 400 + 20 = 420

La expresión usada servirá como base para determinar la fórmula para cualquier plan de cuota creciente. 46

c) Considera un plan donde no haya cuota inicial y la del primer plazo sea de $10. Completa la tabla y calcula el ahorro acumulado en los plazos 20 y n.

Plazo

1234567

Ahorro acumulado ($)

10

30

60

100

210

150

280

$2 100

Ahorro acumulado en el plazo 20 =

R. T. 5(n 2 + n), o cualquiera equivalente

Ahorro acumulado en el plazo n =

Una pista La cuota inicial de $10 es cinco veces la de $2 del inciso anterior. Verifica que lo mismo suceda con el ahorro acumulado en cada plazo en ambos planes.

d) Considera un plan sin cuota inicial y cuya cuota del primer plazo sea de $34. Completa la tabla y calcula el ahorro acumulado en los plazos 20 y n.

Plazo

1234567

Ahorro acumulado ($)

34

102

Ahorro acumulado en el plazo 20 =

340

510

714

952

$7 140 R. T. 150 + 17(n2 + n), u otra equivalente

Ahorro acumulado en el plazo n = »

204

Subraya las expresiones que sirvan para determinar el ahorro acumulado en el plazo n. 17+n(1) n

34 + 1n

17

n2 + 17n

¿Cuál es la fórmula de un plan de ahorro en el que no hay cuota inicial y la cuota del primer plazo es 2 × 13.4?

17n2 + 1

En un plan de cuota creciente, sin cuota inicial y donde C es la cuota del primer plazo, la fórmula para calcular el ahorro acumulado en el plazo n es la siguiente. C 2 __ C Ahorro acumulado en el plazo n es __ (n)(n + 1), o bien __ n + C2 n. 2 2

e) Considera un plan cuya cuota inicial sea de $150 y la del primer plazo de $34. Completa la tabla y calcula el ahorro acumulado en los plazos 20 y n.

Plazo Ahorro acumulado ($)

1234567 184

252

Ahorro acumulado en el plazo 20 = Ahorro acumulado en el plazo n = m

354

490

660

864

1102

$7 290 R. T. 150 + 17(n2 + n), u otra equivalente

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente. En cualquier plan de cuota creciente con cuota inicial C0 y cuota del primer plazo C, la fórmula para calcular el ahorro acumulado en el plazo n es la siguiente. C (n)(n + 1) + C , o bien __ C n2 + __ C n+C . Ahorro acumulado en el plazo n = __ 0 0 2 2 2

Las fórmulas que corresponden a planes de cuota creciente son cuadráticas, porque el exponente más grande al que se eleva x es 2, e s decir, x está elevada al cuadrado .

47

BLOQUE

1



Planes de ahorro III 1. Para resolver los siguientes problemas necesitarás la información del recuadro de la lección anterior.

Ahorro acumulado en el plazo n = __C2 (n)(n + 1) + C0, o bien __C2 n2 + __C2 n + C0. a) Considera un plan de cuota creciente con cuota inicial de $120 y cuota del primer plazo de $70. Plantea la fórmula correspondiente y verifica que el ahorro acumulado en 37

plazos sea $49 330. Ahorro Si no tuvieras la fórmula, ¿cuántas operaciones habrías tenido que hacer para determinar el ahorro acumulado en los 37 plazos?

70 n(n + 1) + 120, 35(37)(38) + 120 = 49 330 = ___ 2

b) Considera los planes de Alma en el problema 6 de la lección “Planes de ahorro I” (el srcinal y el que elaboraste). Plantea y utiliza las fórmulas correspondientes para verificar tus respuestas.

validar

m

Verifica las respuestas en grupo y con ayuda del profesor. Lean lo siguiente. Cuando se usan solo tablas, los cálculos necesarios para determinar la cantidad reunida o para garantizar un ahorro determinado en cierto tiempo se vuelven largos y complicados. Las fórmulas los facilitan mucho. También son útiles para comparar la rapidez con la que crece el ahorro acumulado en distintos planes.

2. Haz lo siguiente para obtener la fórmula de cualquier plan de cuota fija. a) Encuentra la fórmula para obtener el ahorro acumulado en el plazo n, para el caso

donde no hay cuota inicial y la fija es de $25.

Convivimos

Ahorro acumulado en el plazo n = 25n

Es común que las nuevas tareas matemáticas nos parezcan difíciles y cometamos errores. Sin embargo poco a poco, con práctica, se superan las dificultades, y lo que alguna vez pareció incomprensible se ve sencillo.

b) Encuentra la fórmula para el caso donde la cuota inicial es de $100 y la fija, de $25.

Ahorro acumulado en el plazo n =

25n + 100

c) Explica por qué, en un plan de cuota inicial C0 y cuota fija C, el ahorro acumulado en el

plazo n es Cn + C0. Porque

la cuota fija se debe multiplicar por el número de

plazos y sumar a la cuota inicial. 3. Elabora en tu cuaderno dos planes, uno de cuota fija y otro de cuota creciente, donde se garantice un ahorro de $5 000 al cabo de diez plazos (el ahorro no debe pasar de $5 300). m

Compara tus planes con los de tus compañeros. Contesten lo siguiente.

En general, ¿la cuota del primer plazo del plan de cuota creciente fue más alta que la fija del plan de cuota fija? 48

R. P.

4. A continuación se dan las fórmulas de dos planes de ahorro , uno de cuota fija y uno de cuota creciente, donde yn designa el ahorro acumulado en el plazo n. Haz lo que se pide. Efectúa los cálculos necesarios y responde en tu cuaderno. yn = 20n2 + 20n + 18

yn = 500n + 1 000

a) Calcula cuánto se ahorra con cada plan en el primer plazo.

58 y 1 500

b) Sin hacer otros cálculos, ¿el plan que permiteahorrar menos al principio en algún momento permitirá ahorrar más? Sí c) Verifica tu respuesta anterior calculando, en los dos planes, la cantidad ahorrada en los plazos 8, 26 y 37. 1 458 y 5 000; 14 058 y 14 000; 27 938 y 19 500 d) ¿En qué plazo el plan de cuota creciente supera el de cuota fija?

26

e) ¿En qué plazo el plan de cuota fija llega a $7 500? ¿En qué plazo el ahorro del plan de cuota creciente llega a $7 618? 13 y 19 f ) Las siguientes gráficas representan la relación entre el número de plazos y el ahorro acumulado para los dos planes del problema anterior. La azul corresponde al plan de cuota fija y la roja, al de cuota creciente. Revisa si concuerdan con tus respuestas a los incisos anteriores. ahorro acumulado (yn)

20 000

15 000

10 000

5 000

plazo (n) 0

m

5

10

15

20

25

30

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente. Al comparar las dos gráficas se puede ver que conforme n crece, yn también lo hace. No obstante, en la del plan de cuota fija, yn aumenta de manera constante (la cuota es siempre la misma), mientras que en la del plan de cuota creciente, crece cada vez más (la cuota aumenta en cada plazo).

49

BLOQUE

1

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes


Juan quiere una alcancía ¿Puede haber probabilidades mayores a 100%? ¿En qué casos el que un evento ocurra influye en la posibilidad de que lo haga otro? Al analizar un evento A, ¿te has fijado en el evento que consiste en que A no ocurra?

1. Lee la información. En los grados anteriores aprendiste que la probabilidad de un evento es la razón entre el número de resultados favorables y el de resultados posibles. Por ejemplo, si en una caja hay cinco tarjetas con dibujos —de una alcancía, un teléfono, una lámpara, un florero y una pluma— y se toma uno al azar, la probabilidad de sacar el dibujo de la alcancía es un resultado favorable de cinco resultados posibles, es decir, la quinta parte, o bien, 20% del total de resultados. 2. Trabaja en equipo. Consideren la situación y respondan. Juan y Pedro, al mismo tiempo, tomarán una tarjeta al azar. a) ¿La probabilidad de que Juan saque la alcancía esla misma que la planteada en laactividad anterior?

sí

b) Analicen cada frase y respondan en suscuadernos si están de acuerdo. Expliquen por qué. La probabilidad de que Juan saque la tarjeta con el dibujo de la alcancía es… »

» » »

m

40%, porque en lugar de tomar un objeto se tomarán dos; entonces la probabilidad se duplica. falso 10%, porque Pedro puede ganarle la tarjeta; entonces la probabilidad se reduce a la mitad. falso 20%; la probabilidad se mantiene igual. verdadero imposible de saber. falso

Comenten sus respuestas en grupo.

3. A continuación se muestra parte de un diagrama de árbol en el que se representan todos los resultados posibles (la letra A representa la tarjeta con el dibujo de la alcancía; la T, la del móvil; y así sucesivamente) . Completa el diagrama en tu cuaderno y úsalo para determinar la probabilidad de que Juan saque la tarjeta con el dibujo de la alcancía. Juan

A

50

Pedro M L F P

Juan

M

Pedro L F P A

4. Si también Luisa tomara una tarjeta al azar, al mismo tiempo que Juan y Pedro, la probabilidad de que Juan sacara la de la alcancía seguiría siendo la misma. Explica por qué.

R. P.

m

Comenta tus observaciones con tus compañeros. Después, lean lo siguiente.

Explica por qué, al lanzar varias veces un dado, la probabilidad de que en el primer lan1 __ zamiento salga 2 es 6 sin importar cuántos lanzamientos se hagan.

Si solo Juan toma una tarjeta hay un resultado favorable de cinco posibles. Si Juan y Pedro toman un objeto al mismo tiempo, hay 1 × 4 de 5 × 4, es decir, 4 de 20 resultados posibles. Si Juan, Pedro y Luisa toman un objeto, hay 4 × 3 de 20 × 3, es decir, 12 de 60 resultados posibles. En todos los casos los resultados favorables son la quinta parte de los resultados posibles, por lo cual la probabilidad siempre es __15 o 20%.

5. Se tienen varias cajas con pelotas de distintos colores. En todas, la probabilidad de sacar al azar una pelota azul es la misma. Completa la tabla.

Número de caja

Cantidad de pelotas azules

Cantidad de pelotas que no son azules

Total de pelotas

1

20

60

80

2

10

30

3

17

4

44

51 132

40 68 176

6. Completa la tabla. En cada fila se expresa una misma probabilidad de distintas formas.

Con dos números

De un grupo de 50 estudiantes, 10 son hombres.

Del grupo de 50 estudiantes, 15 tienen cabello negro.

Del grupo de 50 estudiantes, a 40 les gusta el futbol.

m

Con una fracción Si se elige al azar un alumno de la lista, hay

Con un porcentaje

5 de probabilidad de que sea hombre.

Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que sea hombre es de 20 %

Si se elige al azar un alumno de la lista, 3 hay __ de probabilidad 10 de que tenga cabello negro.

Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que tenga cabello negro es de 30 %

Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que le

Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que

__1

4 __

guste el futbol es 5

le guste el futbol es de 80 %

Con un decimal Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que sea hombre es 0.2 Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que tenga cabello negro es

0.3 Si se elige al azar un alumno de la lista, la probabilidad de que le guste el futbol es 0.8.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

51

BLOQUE

1


Laberinto de tubos


1. El siguiente laberinto de tubos ayuda a entender la medida de la probabilidad.

A

B

C

G

O

D

H

P

I

Q

E

J

R

K

S

T

F

L

U

M

V

N

W

X

a) Se deja caer una canica por el orificio de arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga por el tubo A?

0.5

b) ¿Y de que caiga por el B?

0.5

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la canica caiga por el tubo E? d) ¿Y por el M?

0.25

0.125

e) Explica por qué la probabilidad de que la canica caiga por el tubo

R. probabilidad de que lo haga por el S.

R es mayor que la

T. Porque si cae en I o en J (que tienen

la misma probabilidad) puede caer en R, en cambio, para caer en S, debe caer forzosamente en J. 52

f) Explica por qué la probabilidad de que la canica caiga por los tubos C, D, E y F es igual.

R. T. Porque hay la misma probabilidad de que la canica caiga en A o en B; si cae por A, hay la misma probabilidad de que caiga en C o en D; y si cae por B, hay la misma probabilidad de que lo haga en E o en F.

Al soltaresto unapuede canicaexpresarse por el orificio mente, así:de arriba es seguro que caerá por el tubo A o por el B. NuméricaProbabilidad de que Probabilidad de que Probabilidad de que caiga por A caiga por B caiga por A o por B 1 __ 2

+

1 __ 2

=

1

Algo que tiene probabilidad 1, es seguro que ocurra.

2. ¿Cuándo se dice que algo tiene probabilidad R. 0? T.

Cuando es seguro que no

ocurra 3. Las siguientes sumas expr esan el total de proba bilidades en cada nivel del la berinto. Complétalas. 1 1 a) De A a B: _ + _ = 1 2 2

_1 b) De C a F: 4 +

4. 5.

41 + 41 + 41 = 1 c) De G a N: 1 + 1111111 + + + + + = 1+ 8 8888888 d) De O a X: 1222 + + + + 222221 + + + + + =1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 _1 ¿Cuál es la probabilidad de que la canica caiga por el tubo S? 16 _1 ¿Y por el R? 8

6. ¿Por qué la probabilidad de que la canica caiga por el tubo R es el doble que la probabilidad de que lo haga por el S?

Porque R tiene el doble de tubos de entrada que S.

En algunos casos pueden haber porcentajes mayores a 100%. Por ejemplo, el precio de un producto puede aumentar 120%. ¿Por qué no puede haber una probabilidad mayor a 100%?

Como podrás notar, la medida de la probabilidad va de 0 a 1 y puede expresarse con fracciones, decimales o porcentaje. Si es con porcentaje, va de 0% a 100%.

m

Compara, con ayuda del profesor, tus resultados de esta lección con los de tus compañeros.

53

BLOQUE

1



La ruleta 1. Los jugadores dela ruleta pueden colocarsus apuestas de varias maneras: pueden apostar a números individuales o a conjuntos de números. Anota al menos tres eventos diferentes a los que se pueda apostar. Evento 1:

R. T. Color rojo

En contexto Evento 2: La función del 0 y el 00 es asegurar un margen de ganancia a las casas de apuestas, ya que si la ruleta se detiene en esos números, la casa gana todas las apuestas. Ningún apostador puede colocar sus apuestas en esos números.

36

00

27

10

25 29 1

2

5 1 3

8

4

1

9 3

2 2

1

1

8

5

6

7 1

R. T. Números impares

2

2 3

1

3 3

0 2

1

7

Evento 3:

R. T. Al número 5

1 1

03 62

2. Trabaja en equipo. Completen la tab la con la probabilidad de cada evento.

Eventos A: La ruleta se detiene en color verde.

C: La ruleta se detiene en color negro.

D: La ruleta se detiene en número par.

54

1

3

B: La ruleta se detiene en color rojo.

1) Al lanzar dos dados que el primero caiga en 5 es un evento simple. Entonces, que la suma de los dos dados sea 7, ¿es un evento compuesto por que involucra los dos dados? Explica por qué esto es falso. 2) Que la suma de los dos dados sea 7 es un evento simple. Entonces, obtener 5-5, que también involucra los dos dados, ¿es también un evento simple? Explica por qué esto es falso.

13

2

1

9

82

2

41

32

4

Probabilidad

_2 38

18 _ 38 18 38

_ 20 _ 38

E: La ruleta se detiene en número impar.

18 _

F: La ruleta se detiene en el número 15.

_1

G: La ruleta se detiene en un número menor a 10.

_11

m

0

53

6

38

38 38

Analicen la información con ayuda del profesor. Un evento puede ser la composición de dos o más eventos. En el ejemplo anterior… • el evento A o B ocurre cuando la ruleta se detiene en color verde o rojo. • el evento B y D ocurre cuando la ruleta se detiene en color rojo y en número par. A este tipo de eventos se les llama compuestos.

3. En una jugada, la ruleta se detuvo en el número 6 y un jugador ganó. Anota al menos dos eventos a los que este jugador pudo haber apostado. Evento 4:

R. T. Números pares

Evento 5:

R. T. Color negro

4. Lee la información. Los eventos que determinaste en el problema anterior tienen al menos un elemento en común: el 6. Cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, el evento A y el evento B no tienen elementos comunes, pues no hay una casilla de la ruleta que sea verde y también roja. En cambio, el evento D y el G tienen como elementos comunes los números pares menores a diez: {00, 0, 2, 4, 6, 8}. El conjunto de elementos comunes es la intersección entre los eventos.

5. Inventa, para los eventos A, D y G del problema 2, otro evento (simple o compuesto) cuyos elementos sean exactamente los elementos que no están en el evento. Por ejemplo, para el evento F podría ser “la ruleta se detiene en un número distinto a 15”. Escríbelos en tu cuaderno. 6. Lee lo siguiente. Para cada eventoX existe otro evento Xc que tiene exactamente a todos los elementos que no están en X. Es decir, Xc es que el evento X no ocurra. Los dos eventos, X y Xc, son eventos complementarios. Por ejemplo, los eventos D y E del problema 6 son complementarios.

7. Trabaja en equipo. Completen la tabla.

Eventoscompuestos AoB

Espaciosmuestrales {00, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}

{00,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}

BoG

todos los resultados

AoBoC EoF ByD CyE

m

{1,

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37} {12,14,16,18,30,32,34,36}

{11,

13, 15, 17, 29, 31, 33, 35}

Probabilidad 20 _ 38

24 ___ 38 38 ___ 38 18 ___ 38 8 ___ 38 388 ___

Compara tus resultados de los problemas anteriores con los de tus compañeros.

55

BLOQUE

1


Ya sabemos... La probabilidad de un evento es la razón que guardan los re sultados favorables entre los resultados posibles. Por ejemplo, cuando se lanza un dado de seis caras, la probabilidad de que caiga en 5 es 1 de 6, o 1 bien, __ . 6


Independientes o no independientes 1. Juan lanzó tres veces una moneda y en todas cayó águila. Pedro lanzó una moneda en tres ocasiones y obtuvo águila-sol-sol. Ambos lanzarán su moneda una cuarta vez. ¿Quién tiene más posibilidades de que caiga sol?

Los dos tienen la misma probabilidad. 2. Trabaja en equipo. ¿Qué significa que en un evento compuesto la aparición de uno no afecte la probabilidad del otro evento? Analicen los siguientes casos y contesten las preguntas.

Ca1 so En viajes internacionales, para salir del aeropuerto hay que apretar el botón de un semáforo. Si se prende el foco verde no se revisa el equipaje; si lo hace el rojo, sí. El semáforo se ajustó de manera que fuera igual de probable que se prendiera el rojo o el verde. Se ha encendido el foco verde con cuatro personas de forma consecutiva. ¿La probabilidad de que con la siguiente persona se encienda el foco verde es __1 o 2 menos de __12 ?

Ca2 so En una prueba de opción múltiple, Luis contestó al azar dos reactivos. Cada uno tenía cuatro opciones, de las cuales solo una era correcta. Se está calificando la prueba y Luis acertó en una de las preguntas. ¿La probabilidad de que lo haya hecho en la otra es __14 o menos de __14 ?

Es _1 . 4

Ca3 so Juan lanzará dos dados, uno blanco y uno negro. A Juan le conviene que salga 6 en el dado blanco y 5 en el negro. Lanzó el dado blanco y no cayó 6. ¿La probabilidad de que el dado negro caiga en 5 es __16 o mayor o menor que __16 ?

Es _1 . 6

Es _1 . 2

Convivimos Cuando explicas a otros tus ideas matemáticas, además de ayudarlos, recibes retroalimentación, y aclaras y precisas tus propias ideas.

m

Hagan lo siguiente con ayuda del profesor. a) Comparen las probabilidades que asignaron a los casos anteriores. Si hay diferencias, argumenten sus resultados. b) Analicen los siguientes enunciados y comenten si están de acuerdo con ellos. Caso 1. El que se haya encendido cuatro veces seguidas elfoco verde no afecta la probabilidad asignada a cada foco, que es__21 . Por tanto, la probabilidad de que la siguiente vez se encienda el foco verde sigue siendo__12 . Caso 2. Acertar en una pregunta contestada al azar no afecta la probabilidad de acertar en la otra. Por tanto, la probabilidad de acertar en la siguiente pregunta es __14 , y la de no hacerlo, __34 . Caso 3. Lo que sucede con el dado blanco es independiente de lo que sucede con el negro. 1 __ Por tanto, la probabilidad de que caiga 5 en el dado negro es . 6

56

3. Los casos analizados son ejemplos de eventos independientes, puesto que el que haya ocurrido uno no influye en las probabilidades del otro. Ahora analizará s un evento compuesto por dos eventos que no son independientes. El experimento consiste en lanzar dos dados, uno blanco y otro negro. El evento compuesto es “que la suma sea 10 y que sea un doble, es decir, el mismo número en ambos dados”. Marca en la figura una línea que una los resultados posibles. »

¿Afecta la aparición de un doble el que haya caído la suma 10?

R. P.

_1

»

¿Cuál es la probabilidad de un doble?

»

¿Cuál es la probabilidad de un doble sabiendo que la suma

6

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

5

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 5)

4

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

2

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

1

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

3

_1

es 10?

m

o c n a l b o d a D

6

3

1

2

3 4 Dado negro

5

6

Analiza, en grupo, los siguientes enunciados. Expliquen por qué son ciertos. 6 a) Antes de saber que la suma es 10, la probabilidad de un doble es __ = __16 . 36

¿Por qué?

Son 6 resultados favorables de 36 resultados posibles.

b) Ya se lanzaron los dados y se sabe que la suma es10, entonces la probabilidad de un doble 1 __

Hay un resultado favorables: (5, 5), de tres posibles: (4, 6), (6, 4) y (5, 5).

es 3 . ¿Por qué?

c) Dado que __16 no es igual que __13 , sí afecta la probabilidad de un doble el hecho de haber ocurrido una suma 10. d) Inventen, con el mismo experimento, otro evento compuesto no independiente y escríbanlo.

R. P.

Dos eventos A y B son independientes cuando el hecho de que ocurra A no afecta la probabilidad de que lo haga B. Esto significa que la probabilidad de B es igual a la probabilidad de B sabiendo que se cumple A.

4. Explica por qué, en el problema 1, Juan y Pedro tienen la misma probabilidad de obtener sol en el cuarto tiro.

R. T. Porque los eventos “aguila” y “sol” son independientes. 57

BLOQUE

1



Problemas con urnas 1. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos. De la urna izquierda se sacan las bolas blancas y de la derecha, las negras.

4

5 1

3

5 6

4 2

2

A: Sacar una bola blanca con el número 5. P(A) =

_1

C: Sacar dos bolas, una blanca y una negr a, cuya suma sea 10. P(C) =

_1 12

1

B: Sacar una bola blanca que no tenga el número 5. P(B) =

6

3

6

_5 6

D: Sacar dos bolas, una blanca y una negra, cuya suma sea número par. P(D) =

_1 2

E: Sacar dos bolas, una blanca y una negra, cuya F: Sacar dos bolas, una blanca y una negra, que tengan el mismo número o cuya suma dé 7. 5 suma sea 10 o 3. P(E) = 1 36 P(F) = 3 G: Sacar dos bolas, una blanca y una negra, que tengan el mismo número y cuya suma dé7. H: Sacar dos bolas, una blanca y una negra, que tengan el mismo número y cuya suma P(G) = 0 1 sea 10. P(H)= 36 I: Sacar una bola blanca y una negra con el nú-

_

_

_

mero 5. P(I) =

m

58

_1 36

Comparen, en grupo y con ayuda delprofesor, sus resultados. Si hay diferencias averigüen quién tiene razón.


Descripcióndeloseventos Un evento compuesto por dos eventos mutuamente excluyentes

Eventos E, F, G

Dos eventos complementarios

A, B

Un evento compuesto por dos eventos donde el hecho de que suceda o no uno de ellos sí afecta la probabilidad de que el otro lo haga

G, H

Un evento compuesto por dos eventos donde el hecho de que suceda uno de ellos no afecta la probabilidad de que el otro lo haga

I

Un evento compuesto por dos eventos que no sean mutuamente excluyentes

H

Un evento simple cuya probabilidad sea

_3 36

A

3. En el caso del evento compuesto por dos independientes (o dependientes), verifiquen sus respuesta calculando la probabilidad de que suceda el primer evento, y la probabilidad de que suceda el primer evento sabiendo que sucedió el segundo. Observen si las probabilidades son iguales. m

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Si hay diferencias discutan para averiguar la causa.

4. Anota, en tu cuaderno , un ejemplo de cada c aso (puedes tom arlo del problema 1 o lo puedes inventar). Si en algún inciso supones que no se puede, explica por qué. a) Un evento compuesto por dos eventos que sean independientes, pero que no sean mutuamente excluyentes b) Un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes e independientes c) Un evento compuesto por dos eventos que no sean mutuamente excluyentes ni independientes d) Un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes , pero que no Aprende más sobre sean complementarios. probabilidad en… e) Un evento compuesto por dos eventos que sean complementarios, pero que no sean mutuamente excluyentes


f ) Un evento compuesto por dos eventos que sean complementarios e independientes m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Explica tus procedimientos.

comunicar

59

BLOQUE

1

Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación


Preguntas adecuadas y no tan adecuadas Para saber algo, se puede recabar información por medio de preguntas, pero, ¿con qué preguntas se obtiene información precisa y confiable?, ¿cómo se determina a la población que conviene entrevistar?, ¿cuál es la manera más adecuada para presentar resultados?

1. Contesta el cuestionario.

Nombre:

R. P.

1. ¿Cuál es tu estatura? 2. ¿Estudias mucho? 3. ¿Qué deporte te gusta más? 4. ¿Tienes letra bonita? 5. ¿Cuántas habitaciones tiene tu casa?

2. Reúnete con algunos com pañeros. Comparen sus resp uestas y resuelvan lo qu e resta de la lección. 3. Respondan con respecto a la pregunta 1 de la actividad anterior.

a) La medida que anotó cada uno, ¿corresponde a su estatura con zapatos o sin zapatos, o

con ellos, en algunos casos, y sin ellos, en otros? R.

b) ¿Hace cuánto tiempo se midió cada uno?

P.

R. P.

c) ¿Hubo alguien que no sabía su estatura y dijo un número aproximado? ¿Quién?

R. P. d) Si quisieran saber con certeza la estatura actual de cada uno, ¿sería conveniente tener en

cuenta lo que contestaron en el cuestionario?

R. P.

e) ¿Cómo podrían recabar información precisa y confiable sobre la estatura de cada uno?

midiéndolos

60

4. Consideren, con respecto a la pregunta 2, que un equipo de cuatro alumnos contestó lo siguiente. Alumno A: sí (no estudia en las tardes pero considera que pasar toda la mañana en la escuela es estudiar mucho) Alumno B: sí (además de estar en la escuela, todas las tardes estudia un promedio de tres horas) Alumno C: no (solo estudia en la escuela; al llegar a casa no abre ni un libro) Alumno D: no (estudia todas las tardes pero siente que no es mucho porque su hermano estudia una hora más que él)

a) Comparen sus respuestas con las anteriores y comenten si los criterios para decir si estudian

o no estudian mucho son los mismos.

T. No, no? es b) ¿La pregunta permite saber quiénes estudian muchoR. y quiénes necesario cuantificar la cantidad de “estudio”, en lugar de usar las palabras “mucho” y “poco”.

R.uno, T. ¿qué pregunta formularían? c) Si quisieran saber cuánto estudia cada ¿Cuántas horas estudias al día (o a la semana)?

5. Comenten las preg untas 3, 4 y 5 del cuestionario . Anoten en sus cuadernos pa ra qué podrían servir las respuestas y cómo investigarían esos datos de manera adecuada.

Observa ejemplos de encuestas reales en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-061

Un cuestionario es útil para recabar información. • Las preguntas deben plantearse de acuerdo con el propósito de lo que se investiga. • Para que funcionen bien se debe preguntar exactamente lo que se desea saber, y las preguntas deben ser cortas, fáciles de entender y de responder. Además, deben hacerse de manera que la respuesta sea lo más precisa posible. • En general es recomendable probar el cuestionario con algunas personas antes de aplicarlo a la investigación final. • En algunas ocasiones es mejor recabar información de manera directa en lugar de hacer preguntas (como en el caso de las estaturas de los alumnos).

61

BLOQUE

1



La presentación más adecuada 1. Los siguientes r esultados fueron toma dos de una página de Internet que se dedica a hacer encuestas en México 1.

Las respuestas corresponden a la pregunta “¿Cuál es tu superhéroe favorito?” y hay cuatro opciones (Spiderman, Superman, Batman y El Chapulín Colorado) de entre las cuales el usuario eligió una. Trabaja en equipo. Discutan y anoten en sus cuadernos qué manera es la más adecuada para presentar los resultados de la encuesta y por qué. ¿Por qué las otras presentaciones no son adecuadas? Respondan las preguntas en sus cuadernos. 1. ¿Cuál es tu superhéroe favorito?

2. ¿Cuál es tu superhéroe favorito? 3500

Batman 14%

2865

3000

Spiderman 34%

2500

2283

2154

2000

El Chapulín Colorado 25%

1500 1175 1000 500

Superman 27%

0 Spiderman

3. ¿Cuál es tu superhéroe favorito?

Superman

El Chapulín Colorado

Batman

4. ¿Cuál es tu superhéroe favorito?

3500

¿Cuál es tu superhéroe favorito?

3000 2865 2500 2283

2154

2000 1500 1175

1000

Spiderman

865 2

Superman

283 2

Elchapulíncolorado

2154

Batman

175 1

500 0 Spiderman

Superman

El Chapulín Colorado

Batman

a) Dos presentaciones prácticamente muestran lo mismo. ¿Cuáles?

2y3

b) Una presentación no permite saber si la muestra es representativa. ¿Cuál? 1 c) Una presentación muestra de forma clara la relación entreasl preferencias por las distintas

opciones, por ejemplo, que Spiderman es el favorito de cerca de la tercera parte de los encuestados. ¿Cuál?

1

d) En otra presentación, la relación entre los datos no es fácil de identificar a primera vista.

¿En cuál? 1

62

4

Información recuperada de http://www.lasencuestas.com/index.php?action=results&poll_ident=13

2. Observa las gráficas y responde las preguntas en tu cuaderno.

En contexto

a) En el año 2002, la tasa de mortalidad en menores de cinco años era, en promedio, de 34

por cada 1 000 en los países de América Latina y el Caribe, y de siete por cada 1 000 en los países industrializados. De acuerdo con esto, ¿qué puedes decir de la mortalidad infantil en América Latina y el Caribe? R. T. Es mayor que en países industrializados. b) La gráfica muestra la reducción en la mor-

talidad infantil en los últimos 40 años en América Latina y el Caribe. Con estos nuevos datos, ¿qué puedes decir de la mortalidad infantil en la región?

R. T. Ha disminuído. c) En la década de 1960, en todo el mundo,

uno de cada cinco niños moría antes de cumplir cinco años. En 2002, la tasa es menos de uno de cada doce. La siguiente gráfica muestra las tasas de reducción de la mortalidad infantil en distintas regiones del mundo en los últimos cuarenta años.

Tasa media anual de reducción de la mortalidad infantil en los últimos 40 años2 6% 5% 4% 3%

En el año 2000 los países miembros de las Naciones Unidas celebraron la Cumbre del Milenio, durante la cual se establecieron ocho Objetivos de Desarrollo para el Milenio. Uno fue reducir en dos terceras partes la tasa de mortalidad de los niños menor de cinco años para el año 2015.

2% 1% 1960-1970

1970-1980

1980-1990

1990-2000

Tasa media anual de reducción de la mortalidad infantil en los últimos 40 años

En contexto

6% 5%

La tasa de mortalidad en menores de cinco años en México en 2002 era de 29 por cada 1 000 nacidos vivos, la tasa más baja entre los países en desarrollo con poblaciones superiores a los 100 millones.

4% 3% 2% 1%

»

»

m

2

ECE, CEIY ESTADOS BÁLTICOS

ASIA ORIENTALY EL PACÍFICO

ORIENTE MEDIO Y ÁFRICA DEL NORTE

ASIA MERIDIONAL

PAÍSESINDUSTRIALIZADOS

MUNDO

AMÉRICA LATINAY EL CARIBE ÁFRICA SUBSAHARIANA

Argumenta, con estos datos, que, si bien ha habido un progreso en la reducción de la mortalidad infantil, este es desigual. Presenta al menos un ejemplo de ambas cosas. Si quisieras argumentar que, en África Subsahariana, si bien la reducción de la tasa de mortalidad ha disminuido en lugar deaumentar, dicha disminución no esmuy relevante, ¿qué datos de la gráfica presentarías y cómo?R. P.

Comenta, en grupo, tus resultados de los problemas anteriores.

comunicar

Unicef. (2004).

63

BLOQUE

1



Del problema a la comunicación de resultados 1. Considera la pregunta 1 del cuestionario en la lección “Preguntas adecuadas y no tan adecuadas”. Supón que se quieren conocer las estaturas para un estudio sobre el crecimiento de los adolescentes en México.

a) Escribe en tu cuaderno si estás de acuerdo con cada frase y explica por qué. R. »

»

»

P.

Si se miden estudiantes conviene también medir a los profesores para tener una población más grande. Es importante medir a adolescentes de distintas edades, por ejemplo, alumnos de los tres grados de secundaria. No conviene medir adolescentes de distintas edades porque alguien de doce años puede ser mucho más alto que alguien decatorce y eso puede generar datos confusos o falsos. Es mejor medir a un grupo de niños de diez años varias veces durante cuatro años.

b) El entorno socioeconómico al cual pertenecen los adolescentes que se miden también

influye en los resultados. Responde en tu cuaderno. Menciona un lugar en el que te convendría tomar las medidas de estatura si quisieras probar que los adolescentes han tenido un crecimiento adecuado. Menciona qué poblaciones que debes considerar para saber si hay desnutrición entre la población adolescente.

»

»

2. Considera la pregunta 2 del cuestionario de la misma lección. Irene, Emilia y Julián son tres periodistas . Irene considera que si un alumno no sale bien en la escuela es porque es flojo; Emilia quiere probar que el buen rendimiento de los alumnos no se debe tanto a

cómo les enseñan en la escuela, sino a la carga de trabajo que esta delega; Julián quiere mostrar que la escuela X da una buena formación a sus alumnos sin dejar tareas. Los tres han entrevistado a estudiantes; entre otras cosas, les han preguntado cuántas horas al día estudian, sin contar el tiempo en clase. Escribe en cada frase el nombre correspondiente. a)

m

Irene

ha elegido a alumnos con muy buenas calificaciones de distintas escuelas.

b)

Emilia ha entrevistado a alumnos con distintos niveles de rendimiento de una misma escuela, elegida al azar.

c)

Julián ha entrevistado a alumnos de alto rendimiento de dos escuelas elegidas cuidadosamente, porque en ellas se enseña de manera distinta a la convencional.

Comenta tus resultados a las preguntas 1 y 2 con tus compañeros. Lean la siguiente información. Los resultados que se obtienen en una encuesta o un estudio están estrechamente relacionados con el tamaño (cantidad de personas) y las características de la población que se entrevista o toma como muestra. Por eso, para que un estudio sea confiable, es importante elegir adecuadamente la población.

64

3. Trabaja en equipo. Hagan un estudio a través de un cuestionario corto. Este puede tener una sola pregunta.

Tarea 1. Discutan qué problema les gustaría investigar o qué información les interesaría co-

nocer. Esta puede ser sobre el grupo, la escuela o la comunidad. Describan brevemente el problema en sus cuadernos. Tarea 2. Redacten la(s) pregunta(s) de su cuestionario.

R. P.

Tarea 3. Anoten a cuántas y a qué personas aplicarán el cuestionario.

R. P.

m

Informen, a todos sus compañeros, lo que acordaron para las tareas 1, 2 y 3. Comenten los proyectos en grupo; propongan mejoras y hagan las modificaciones necesarias. Cuando estén de acuerdo, continúen con las siguientes tareas. Estas les llevarán varios días,que así pónganse de acuerdo con el profesor sobre las fechas en que presentarán sus resultados. Tarea 4. Organícense en el equipo para recabar la información

necesaria. Tarea 5. Organicen lo recabado en tablas y gráficas (del tipo que

consideren pertinentes). Tarea 6. Expongan, frente al grupo, los resultados a los que

lleguen. m

Discutan sobre los proyectos presentados. Entre todos hagan un periódico mural para comunicar los resultados.

65

Las matemáticas en... Los mapas ¿Cuál es el menor número de colores con el que se puede iluminar el mapa de la República Mexicana, de tal manera que dos estados que comparten su frontera no queden iluminados del mismo color? Averígualo. Expresa tu solución coloreando el mapa de abajo. Se considera que dos estados comparten frontera cuando tienen una línea común, no cuando solo se tocan en un punto.

frontera no es una frontera

¿Cuál es el mínimo número de colores que necesitaste para iluminar el mapa? “El problema de los cuatro colores” se convirtió formalmente en un problema matemático cuando, en 1850, un estudiante inglés, Francis Guthrie, a quien le gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores. Intuyendo que esto podía ser demostrado, se lo contó a su hermano Frederick, y desde entonces un sinnúmero de matemáticos han tratado de demostrar este teorema. 66

¿Algunos mapas se podrán iluminar con menos de cuatro colores? Inténtalo con las siguientes superficies divididas.

Número de colores:

Cuatro

Número de colores:

Dos

Número de colores:

Dos

Número de colores:

Cuatro

Varios matemáticos dieron demostraciones que resultaron tener errores, pero lo que se logró con el paso de los años y el trabajo de muchas personas, fue demostrar dos cosas fundamentales. »

»

Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores. Cinco colores son más delos necesarios para colorear cualquier mapa correctamente.

Ahora sabemos que podemos encontrar mapas en Geografía y también en Matemáticas. ¿Podrías hacer algunos? No olvides iluminarlos con el menor número posible de colores. En 1996, los matemáticos Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostración del “teorema de los cuatro colores”. Y así acaba la historia, pues hasta ahora nadie la ha refutado. Información recuperada de http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate1o.htm

67


BLOQUE Selecciona la opción correcta. 1.

Si la expresión _____ permite calcular el número de diagonales de un polígono regular 2 de n lados, ¿cuántos lados tiene un polígono regular con 119 diagonales? (n – 3)n

a) 15 2.

b) 16

c) 17

d) 18

¿Qué afirmación es falsa? a) Dos figuras semejantes tienen ángulos correspondientes iguales.

I. 3

b) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 60°

45°

c) Todos los triángulos rectángulos son semejantes entre sí.

5

II.

d) Todos los cuadrados son semejantes entre sí.

3

2 60°

45°

3.

Observa la figuras a la izquierda. ¿Qué polígonos son congruentes?

5

III.

a) I y IV

5

b) II y III

c) II y IV

d) I y III

45° 60°

3

4.

2

IV.

5 45°

¿En qué inciso hay condiciones suficientes para que los triángulos ABC y DEF sean congruentes? a) c = f, b = e, z = u

60°

b

A

C z

x

3

2

b) x = s, y = t , z = u

c

E t

a y

c) c = f, b = e, x = s

B

s u

d) a = b, e = f, u = y x

y

1.5

91.5

2.0

122

2.5

152.5

5.

F

D e

¿A qué relación ( x, y) puede corresponder la tabla? a) La cantidad de días (y) que tardan x obreros en construir un edificio. b) La distancia que recorre un tren y() durante un tiempox a velocidad constante. c) El área de un cuadrado (y) cuyo lado mide x unidades. d) El gasto en gasolina (y) de un coche en el que viajan x personas.

68

f

d

6.

7.

8.

Un fabricante de cereal planea vender su producto en cajas como la siguiente, en la que el largo mide cuatro veces el ancho y la altura, 20 cm. Si denota con x el ancho de la caja, ¿qué expresión le permite calcular el volumen? a) V = 4x2

b) V = 10x2

c) V = 40x2

d) V = 80x2

4x

¿Qué expresión permite calcular el área ( y) del siguiente círculo? x

a) y = 3x2

b) y = 2πx2

c) y = πx2

d) y = (3πx)2

2x

¿En qué inciso se expresan dos eventos, J y K, complementarios para el lanzamiento de un dado? a)Evento J = cae 5 o 6.

Evento K = cae un número menor que 5.

b)Evento J = cae un número non.

Evento K = cae un número mayor que 2.

Evento c) J = cae 4.

Evento K = cae 6.

d) Evento J = cae un número mayor que 3. 9.

20 cm

Evento K = cae un número menor que 3.

Se lanza una moneda dos veces. ¿Qué afirmación es verdadera? a) Si en el primer volado cayó sol es más probable que caiga águila en el segundo. b) Si en el primer volado cayó sol es menos probable que caiga sol en el segundo. c) Si en el primer volado cayó águila casi es seguro que en el segundo caiga sol. d) Que en el primer volado cayera águila no influye en el resultado del segundo.

10.

En un cine se les preguntó a los primeros diez clientes del día su opinión acerca del servicio y la calidad de las películas exhibidas. ¿Por qué los resultados de la encuesta son poco confiables? a) Porque no se preguntó sobre la película favorita. b) Porque se preguntó a pocos clientes. c) Porque la encuesta tenía solo dos preguntas. d) Porque no se preguntó a todos los clientes.

69


BLOQUE

Pongo en juego mis competencias COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

¿Niña o niño? Nuestro ADN está organizado en cromosomas que determinan muchos rasgos del ser humano: hay dos cromosomas en particular, llamados X y Y, que determinan el sexo de un bebé. Las mujeres tienen dos cromosomas X, y durante la fecundación transmiten al embrión uno u otro con la misma probabilidad. Los hombres, por su parte, tienen uncromosoma X y uno Y, y también aportan uno u otro con la misma probabilidad. El resultado es una pareja de cromosomas, que podrá ser XX o XY. Si se da XX, el embrión será una niña; si es XY será un niño.

Pregunta 1. Al momento de la fecundación, ¿cuál es la probabilidad de que el embrión sea niña? ¿Y de que sea niño? ¿Son eventos equiprobables? Pregunta 2. ¿Los eventos “niña” y “niño” son independientes?, ¿son mutuamente excluyentes? Justifica tu respuesta. Pregunta 3. Si una pareja tuvo un primer hijo varón, ¿la probabilidad de que el segundo sea varón es mayor, menor, o igual a 50%? Justifica tu respuesta. Pregunta 4. Cuenta el número de mujeres en tu clase o en tu centro escolar. ¿La frecuencia relativa es 50%? Si no es así, ¿a qué atribuyes la diferencia? Pregunta 5. ¿Dónde es más probable que los nacimientos de niños sean cercanos a 50%: en un hospital pequeño o en uno grande?

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente

El aire que respiramos En la capa más baja de la atmósfera, la troposfera, hay condiciones adecuadas para la vida. En esta zona se encuentran las nubes y casi todo el vapor de agua, y la composición del aire es aproximadamente de cuatro partes de nitrógeno por una de oxígeno. Exceptuando el N 2 y el O 2, el resto de gases constituyen una parte mínima del aire.

Composición química del aire (volumen ocupado)

O2

Nitrógeno Oxígeno

N2

Otros gases

Pregunta 1. En la gráfica circular se muestra el porcentaje de volumen que ocupa cada gas en el aire. Utilízala para completar la tabla. Pregunta 2. En una habitación pequeña caben 12 000 l de aire. Calcula cuántos corresponden a cada gas. Pregunta 3. Uno los gasesencomprendidos en la parte verde0.04%. de la gráfica circular el dióxido carbono (CO ), cuyode porcentaje el aire es aproximadamente ¿Por qué no se es incluyó en lade gráfica la parte

70

Porcentaje

oxígeno 2

correspondiente a este gas?

Gas nitrógeno otros

1%

Y para terminar...

Hagamos un cubo con papiroflexia

Necesitas seis cuadrados de colores. Con cada uno haz los siguientes dobleces. 1

Marca con un doblez una línea que divida a la mitad el cuadrado.

2 Lleva

dos lados del cuadrado hacia el doblez, como se ve.

3

Obtendrás una figura como la siguiente.

4

Voltea la figura y, del lado donde no hay dobleces, haz los siguientes.

5 Obtendrás la siguiente

6

Voltea y obtendrás la siguiente figura.

figura. Márcala por las líneas punteadas.

7 Ensambla las seis

unidades, como se muestra.

paralelogramo

1.

¿Cómo se llama el cuadrilátero que se obtiene en el paso 6?

2.

Cuánto miden sus ángulos?

3.

¿Qué parte del área del cuadrado inicial es el área de la figura del paso 6?

45 y 135 grados

la cuarta parte 4.

Al armar el cubo, sus caras son cuadrados, ¿qué parte del área del cuadrado inicial es el área de cada una de las caras del cubo?

la octava parte

71

E U Q O L B

2 Aprendizajes esperados ✓Explica el tipo de

transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.

✓Resuelve problemas que implican el uso del

teorema de Pitágoras.

72

La simetría en la arquitectura Anish Kapoor es un escultor que se caracteriza por utilizar formas geométricas y simetrías en sus obras. Observa esta espectacular escultura suya: además de ser una figura impactante, refleja los edificios de la ciudad de formas sorprendentes al pasar bajo ella.

1. Investiga sobre este escultor y selecciona sus dostrabajos más geométricos y los dos que más te gusten.

2. La imagen está llena de simetrías. Localiza al menos tres. 3. Busca imágenes de los siguientes seres vivos e identifica en ellas las simetrías que les dan su aspecto exterior: medusa, helecho, oso panda, mariposa, nopal.

4. Enlista al menos cinco edificios u obras públicas de tu ciudad que tengan un alto grado de simetría. Compara tu lista con las de tus compañeros. Elijan por votación los tres que tengan mayor simetría.

5. Observa en la imagen lo limpia que está la plaza y la escultura. ¿Cómo harías que la plaza de tu ciudad o poblado se mantuviera así? El premio Pritzker de arquitectura es el reconocimiento más importante que puede obtenerse en ese campo. En 1980 fue otorgado al arquitecto mexicano Luis Barragán Morfín. Si quieres conocer más sobre su vida y obra, entra a www.e-sm.com.mx/SCM3-073 , a s í c omo e n on frecuencia en la naturaleza . muchas creaciones del ser humano a y ot r a s des importantes de la simetrí a d e i En este bloque conocerás prop nuevas a par tir s a r u g fi r e n e t b o a r a p s s, y las usará transformaciones geométrica de otras.

c Como ves, la simetría aparece

73

BLOQUE

2


Una pista


La técnica de factorización I El ensayo y error es un procedimiento útil para resolver algunas ecuaciones de segundo grado, sin embargo, es necesario conocer otros procedimientos para encontrar más rápido la solución. En esta secuencia conocerás uno de ellos.

1. Trabaja en equipo. La figura A es un rectángulo. Utilicen las medidas indicadas para

averiguar cuánto mide cada lado. Verifiquen que el área sea 38 cm.

Puedes descomponer en factores primos el área (84), y entre esos factores buscar la medida del ancho y el largo.

Figura A

84 cm 2 y el perímetro,

Perímetro = 38 cm Área = 84 cm2

m

Largo =

12 cm

Ancho =

7 cm

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos. b) Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles llevaron al resultado correcto.

2. En la tabla se anotó un razonamiento para encontrar las medidas de los lados de la

figura A. Complétala en equipo. Razonamiento

Si creen que no es correcto, corríjanlo.

Paso 1. Si el perímetro del rectángulo mide 38 cm, entonces el largo más el ancho mide 19 cm.

Sí

Paso 2. Si el largo más el ancho miden 19 cm, esas medidas se pueden representar así: ancho = x largo = 19 +x

No

Si ancho = x entonces largo = 19 – x.

Paso 3. Si el ancho mide x y el largo, 19 + x, el área se puede expresar así: x(19 + x) = 84

No

x(19

No

Si x = 7 A = 7(12) = 84

Paso 4. Por tanteo, se pueden encontrar las medidas buscadas: si x = 1, el área vale 1(20) = 20. si x = 2, el área vale 2(21) = 42.

74

¿Escorrecto?

– x) = 84

m

Hagan, en grupo y con ayuda del profesor, lo siguiente.

comunicar

a) Expliquen por qué si representamos el ancho de la figura A con x, el largo no es 19 + x, sino 19 – x.

Porque si ancho + largo = 19, entonces, despejando,

largo = 19 – ancho, y si ancho =x, entonces largo = 19 – x. Ya sabemos...

b) Sustituyanx por su valor en las siguientes ecuaciones, para verificar que el que encontraron sea correcto. Ancho = x Largo = 19 – x m

Perímetro: 2x + 2(19 – x) = 38

Área: x(19 – x) = 84

Factorizar una expresión algebraica es escribirla como producto de dos o más factores. Por ejemplo, 2 a + 2a = a(a + 2).

Analicen, con ayuda del profesor, la información. Una ecuación de segundo grado puede presentarse con el segundo miembro igual a 0, por ejemplo: x2 + 6x + 8 = 0. Para resolverlas, hay un procedimiento que consiste en factorizar la expresión

x2 + 6x + 8 = 0. de la ecuación al segundo miembro: x2 + 6x = –8. 2.Se factoriza el primer miembro de la ecuación: x(x + 6) = –8. 3.La ecuación anterior muestra que se trata de dos números tales que uno es seis unidades mayor que el otro y el producto de ambos es –8. ¿Qué números pueden ser? Podrían ser –2 y 4 o –4 y 2. 4.Se prueba con es tos valores hasta encontrar los que satisfagan la ecuación.

Paso 1.Se pasa el tercer término Paso Paso

Paso

Con –2 Con 2 x2 + 6x + 8 = 0 x2 + 6x + 8 = 0

(–2) + 6(–2) + 8 = 0 4 – 12 + 8 = 0 0=0 2

(2) + 6(2) + 8 = 0 4 + 12 + 8 = 0 24 ≠ 0 2

Con 4 x2 + 6x + 8 = 0

Con –4 x2 + 6x + 8 = 0

(–2) + 6(4) + 8 = 0 16 + 24 + 8 = 0 48 ≠ 0

(–4)2 + 6(–4) + 8 = 0 16 – 24 + 8 = 0 0=0

2

Las soluciones de la ecuación son x1 = –2 y x2 = –4.

3. Factoriza, enequipo, las ecuaciones, como en el ejemplo anterior.Encuentren, por ensayo

técnicas

y error, las soluciones.

m

a)

2 x – 16x + 63 = 0 x(x – 16) = –63 x1 = 7; x2 = 9

b)

2 x + 9x + 20 = 0 x(x + 9) = –20 x1 = –5; x2 = –4

c)

2 x

– 9x + 14 = 0 x(x – 9) = –14 x1 = 7; x2 = 2

d)

2 x + 5x – 14 = 0 x(x + 5) = 14 x1 = 2; x2 = –7

Comparen, en grupo y con ayuda del profesor, las soluciones encontradas y verifiquen cuáles son correctas. 75

BLOQUE

2



La técnica de factorización II 1. Trabaja en equipo. Analicen la siguiente expresión algebraica y respondan.

(x + 5)(x – 3) = 0 a) En la expresión hay un producto de dos factores que es igual a 0. ¿Qué factores son?

(x + 5) y (x – 3) b) Los dos factores están formados por un término común y dos términos que no son comunes. ¿Cuál es el término común? x ¿Y los no comunes? 5 y –3 c) Aunque no lo parezca, la expresión x( + 5)(x – 3) = 0 es una ecuación de segundo grado. Averigüen y expliquen por qué.

Al multiplicar se obtiene una expresión de

2º grado: (x + 5)(x – 3) = 0 es igual a x 2 + 2x – 15 = 0. d) Si el producto de dos factores es igual a 0, ¿qué se puede decir de esos factores? Marquen la respuesta correcta. » » »

Que si uno de ellos vale n, el otro vale –n. Que si uno de ellos vale n, el otro vale 1n Que al menos uno de ellos vale 0.

e) A partir de la respuesta anterior, ¿qué pueden decir de los factores que integran la expresión (x + 5)(x – 3) = 0? m

Que x + 5 = 0 o x – 3 = 0

Revisen, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de la actividad anterior. En particular comenten cómo demostraron que la expresiónx(+ 5)(x – 3) = 0 es una ecuación de segundo grado.

2. Considera que la expresión ( x + 5)( x – 3) = 0 es una ecuación de segundo grado en la que x + 5 = 0, o x – 3 = 0.

Si x + 5 = 0, ¿cuál es el valor de x? m

–5

Si x – 3 = 0, ¿cuál es el valor de x?

3

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Verifiquen que los valores de x que encontraron en la actividad anterior satisfagan las siguientes expresiones. Ecuación factorizada Ecuación en la forma general x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0

(–5 + 5)(–5 – 3) = (0)(8) = 0 (3 + 5)(3 – 3) = 8(0) = 0 76

(–5)2 + 2(–5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0 (3)2 + 2(3) – 15 = 9 + 6 – 15 = 0

b) Las expresiones (x + 5)(x – 3) = 0 y x2 + 2x – 15 = 0 son equivalentes. Averigüen cómo a partir de una se puede encontrar la otra. R. P. 3. Completa la tabla.

Formageneral x2 + 6x + 5 = 0

x

+ 5) = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 x 1)( (+

x 2 + 5x + 6 = 0 x2 – x – 6 = 0 x2 + x – 6 = 0 x2

Formafactorizada

x

(x + 2)(x – 3) = 0 (x – 2)(x + 3) = 0

2

– 5x + 6 = 0 + (s + t)x + st = 0

(x – 2)(x – 3) = 0 (x + s)(x + t) = 0

Soluciones

x1 x1 x1 x1

= = = =

–1 –2 –2 2

x1

=2

x 2 = –5 x 2 = –3 x2 = 3 x 2 = –3 x2 x2

x1 = –s

=3 = –t

4. Lleva a cabo, en equipo, lo siguiente.

a) Comparen sus respuestas de la actividad anterior. b) Verifiquen que la expresión factorizada (x + s)(x + t) = 0 corresponda a la forma general 2 x + (s + t)x + st = 0. c) Observen que, en la forma general, el número que multiplica xa es la suma s + t, y el tercer término es el productost. + d) Verifiquen que ocurra lo mismo con las ecuaciones de la tabla anterior. Por ejemplo, en la primera sucede que:

( x + 1)(x +5) = 0

x2 + 6x + 5 = 0

x

5. Trabaja con un compañero. Utilicen lo anterior para pasar de la forma general a la forma

técnicas

factorizada. Formageneral x2 + 7x + 12 = 0 x2 + 8x + 15 = 0 x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 14x + 45 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 m

Formafactorizada

+ 4 )( x + 3 ) = 0 (x + 3)(x + 5) = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 (x + 9)(x + 5) = 0 (x + 3)(x + 1) = 0 (x

x1 x1 x1 x1 x1

Soluciones x2 = –3

= –4, = –3, = –2, = –9, = –3,

= –5 = –3 x2 = –5 x2 = –1 x2

x2

En grupo, comparen sus resultados con los de sus compañeros y corrijan sus errores. Observen que en todos los casos se trata de encontrar dos números que sumados den el coeficiente dex y multiplicados, el tercer término. ¿Cuál es la forma factorizada dex2 + 6x = 0? ¿cuáles son los

6. Factoricen las siguientes expresiones.

Forma general

¿Cómo son los números buscados?

x +x–2=0

Forma factorizada (x + 2) (x – 1) = 0

x2 – 2x – 8 = 0

(x – 4) (x + 2) = 0

Sumados dan –2, multiplicados dan –8.

2

Sumados dan 1, multiplicados dan –2.

números buscados? ¿Cuáles son los números buscados en la ecuaciónx2 = 0?

77

BLOQUE

2



La técnica de factorización III 1. La forma general de las ecuaciones de segundo grado es ax2 + bx + c = 0. En esta, a, b y c representan números conocidos y x es la incógnita. Con base en esta información,

en equipo, haz lo siguiente. a) Consideren la ecuaciónx2 + 2x – 15 = 0 para determinar los siguientes valores. a=

1

b=

2

–15

c=

b) Expliquen por qué en una ecuación de segundo grado el valor de a no puede ser 0.

validar

R. T. Porque si a fuera 0, la ecuación ya no tendría términox elevado al cuadrado, por lo que no sería de segundo grado. c) Inventen cuatro ecuaciones de segundo grado expresadas como producto de dos factores con un término común y anótenlas. »

Ecuación 1:

»

Ecuación 3:

R. P.

Ecuación 2: Ecuación 4:

d) Escriban, junto a cada ecuación que inventaron, la misma en la forma general. e) Verifiquen que las soluciones de cada caso sean los opuestos de los términos no comunes de los factores. Por ejemplo, en la ecuación (x + 5)(x – 3) = 0, las soluciones son: = –5 y x2 = 3. 1

x

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Corrijan lo que sea necesario.

2. Completen la tabla.

Forma general

Forma factorizada

x2 – x – 2 = 0

+ 1 )( x – 2) = 0 (x + 2)(x + 5) = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 (x – 4)(x – 3) = 0

x2 + 7x + 10 = 0 2

x + x – 12 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 x2 – 7x + 12 = 0

4x2 + 2x – 6 = 0

78

(x

3) = 0 4(x – 1)(x + _ 2

¿Cómo son los números buscados? Sumados dan –1, multiplicados dan –2. Sumados dan Sumados dan

7 1

, multiplicados dan , multiplicados dan

10 –12

Sumados dan 2, multiplicados dan –3. Sumados dan

Sumados dan

–7 , multiplicados dan 12 1

, multiplicados dan

3 –_ 2

m

Revisen, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de su tabla. En particular, observen cómo resolvieron la última fila.

3. Factoricen cada ecuación y encuentren sus raíces (soluciones).

a)

2 x

Factorización: (x Raíces: x1 c)

2 x

g)

2 x

= 1, x2 = 1

Factorización: Raíces: f)

+ 20)(x – 10) = 0

2 x

3 )(x – _ 3) = 0 4(x – _ 2 2 3 x= _ 2

Raíces: x1 h)

+ 12)(x – 9) = 0

2 x

+ 9)(x – 2) = 0

= –9, x2 = 2

– 2x = 15

Factorización: (x

= –12, x2 = 9

Raíces: x1

Resuelve ecuaciones mediante factorización en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-079

+ 7x = 18

Factorización: (x

+ 3x – 108 = 0

Raíces: x1 m

– 4)(x + 3) = 0

= –20, x2 = 10

Factorización: (x

– 1)(x – 1) = 0

d) 4x2 – 12x + 9 = 0

+ 10x – 200 = 0

Raíces: x1

– 2x + 1 = 0

Raíces: x1

= 4, x2 = –3

Factorización: (x

2 x

Factorización: (x

– x – 12 = 0

Raíces: x1 2 x

– 2)(x – 1) = 0

= 2, x2 = 1

Factorización: (x

e)

b)

– 3x + 2 = 0

¿Cuáles son las soluciones a la ecuación 3 2 __ x + x+ __18 = ?, ¿cuáles 4 son las soluciones a la ecuaciónx2+ 0.3x+0.2= 0?

– 5)(x +3) = 0

= 5, x2 = –3

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Discutan y corrijan lo sea necesario. En particular, observen cómo resolvieron el inciso d). El método de factorización para resolver ecuaciones de segundo grado consiste en lo siguiente. Paso 1. La ecuación debe estar escrita en la forma general, es decir, los tres términos concentrados en el primer miembro y ordenados como x2 + bx + c = 0. Por ejemplo: x2 – 13x – 48 = 0. Paso 2. Se escribe el esquema para un producto de dos factores igualado a 0. ( )( )=0 Paso 3. El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del primer término de la ecuación; en este caso, x. (x )(x ) = 0 Paso 4. Se buscan dos números que sumados den (–13) y multiplicados, (– 48). (x – 16 )(x + 3) = 0 Paso 5. Las raíces son los opuestos de los números encontrados en el paso anterior. x1 = 16 x2 = –3 Si el coeficiente de x2 no es 1 conviene dividir los términos de la ecuación para que sea igual a 1. Por ejemplo, al dividir entre 4 la ecuación 4 x2 + 2x – 6 = 0, queda x2 + __12 x – __32 = 0.

4. Resuelvan las siguientes ecuaciones por el método de factori zación.

a)

x

2

– 9x = –18 Solución: x1

= 6,

x2

=3

b) 9x2 + 4 = 12x Solución: x1

técnicas

= __23 ,

x2

=

2 __ 3 79

BLOQUE

2

Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras

resolver


Trasladandofiguras La traslación y la rotación de una figura son transformaciones en el plano que se estudian desde el punto de vista matemático. ¿Qué propiedades tienen? Esto es lo que estudiarás en esta secuencia. 1. La traslación de una figura puede con-

seguirse moviéndola sobre el plano en una misma dirección. a) Imagina que trasladas el triángulo rojo, es decir, que lo deslizas en una dirección, sin girarlo ni levantarlo del papel, y lo dejas en otro lugar. A

B

✘

D

C

✘

✘

F E

H

✔

G

✔

✘

✔

J

✔

I ✘

K

✘

b) Marca con una ✔ los triángulos que podrían ser el triángulo rojo que trasladaste y con un ✘aquellos que no. Puedes dibujar y recortar un triángulo igual al rojo y simular los deslizamientos. 2. El triángulo A’B’C’ es producto de una traslación del triángulo ABC. C’

a) Traza los segmentos AA’ , BB’ y CC’. b) Verifica, con tus escuadras, que sean paralelos.

A’

B’

C

c) Corrobora que sus medidas sean iguales. d) ¿Cuánto miden?

2.8 cm

A

B

En matemáticas se dice que una figura es una traslación de otra si los segmentos que unen los puntos correspondientes de las dos figuras tienen la misma medida y son paralelos entre sí. La medida del segmento es la magnitud de la t raslación.

80

m

Revisa, en grupo y con la ayuda del profesor, qué triángulos de la actividad 1 son traslaciones validar del triángulo rojo y cuáles no. En cada caso mencionen por qué.

3. La definición de traslación del recuadro anterior proporciona una idea de cómo trasla-

dar figuras geométricas en el plano: por cada vértice de la figura se trazan segmentos iguales y paralelos, cuyos extremos se unen. Observa la muestra.

Al trasladar una figura, ¿cambia su forma?, ¿cambia su tamaño? Si trasladas una figura con lados paralelos y perpendiculares, ¿los mantiene? Si trasladas una figura con un ángulo de 60°, ¿lo conserva?

Construye en tu cuaderno un triángulo y un cuadrilátero, y traza una traslación de cada uno con una magnitud de 5 cm.

técnicas

4. En el siguiente planocartesiano se trasladará el triángulo ABC demanera que elvértice A’

tenga coordenadas (10, 3). a) ¿Cuáles serán las coordenadas deB’? b) ¿Y las de C’?

(12, 8)

(16, 3)

c) Traza el triángulo que resultará de la traslación.

B

A

m

Compara las abscisas ( x) del puntoA con A’, del B con B’, y delC con C’. ¿Tienen algo en común? ¿Qué sucede con las ordenadas y()?

C

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten lo siguiente: a una figura A se le aplica unatraslación y seobtiene A’.¿Es posibleque A’sea de mayor tamaño queA? ¿Podría tener forma distinta? No; no. 81

BLOQUE

2


En contexto La idea de rotación se presenta en diversas situaciones por ejemplo,cotidianas; los siguientes objetos rotan: el minutero de un reloj, las canastillas de la rueda de la fortuna y la rueda de una bicicleta.


Rotando figuras I 1. Haz lo que se indica.

a) Recorta, en papel transparente, un círculo del mismo tamaño que el de abajo. b) Colócalo sobre esta hoja de manera que su centro coincida con el punto C. c) Sujétalo de manera que pueda girar sobre su centro (por ejemplo, con la punta del lápiz o con un alfiler). d) Calca en el círculo el triángulo PQR. e) Gira el círculo el ángulo que desees y remarca el triángulo en el lugar donde haya llegado para que se marque en esta hoja. f) Quita el círculo y marca con lápiz el triángulo: has rotado el triángulo PQR. g) Efectúa dos o tres rotaciones más del triángulo.

R. P.

R

P Q C

El ángulo que giraste para rotar el triángulo se llama ángulo de rotación y el punto C se denomina centro de rotación. El centro de rotación puede estar fuera de la figura, ser uno de sus vértices o estar sobre alguno de sus lados o, incluso, dentro de la figura.

82

2. Para hacer tarjetas, Leticia usó la figura de un conejo. Anota en cada tarjeta la transfor-

mación que aplicó a la figura: rotación, traslación o simetría axial.

¡ F e l i c i da de s !

¡Felicidades!

¡Felicidades!

Simetría axial

Rotación

Traslación

3. Encuentra el centro de rotación que transforma un triángulo en otro.

Una pista Copia las figuras y recórtalas. Usa tu lápiz para fijar un punto de la figura y ver si al rotarla se obtiene la otra.

4. Considera que el punto marcado es el centro de rotación y que cada figura girará según

el ángulo indicado. Dibuja en la tercera columna cómo queda la figura. Si es necesario, recorta figuras iguales para que puedas manipularlas. Figurainicial

Anguloderotación

Figurafinal

90°

¿Qué figuras geométricas, al rotarlas 180° con respecto a su centro, quedan en la misma posición?

180°

180°

m

Compara tus resultados de los ejercicios 3 y 4 con los de tus compañeros. 83

BLOQUE

2



Rotando figuras II 1. Traza la figura 2 simétrica a la figura 1 con respecto a la recta r. Después traza la figura 3 simétrica a la figura 2 con respecto a la recta t. Observa que las rectas r y t son paralelas. Figura 2

Figura 1

Figura 3

r

t

a) ¿Qué transformación (rotación, traslación o simetría) permite obtener directamente la figura 3 a partir de la 1 con respecto a un eje?

traslación

b) Considera los lados de los cuadritos como unidades de medida. ¿Qué distancia hay entre un vértice de la figura 1 y su correspondiente en la 3? es igual a dos veces la distancia entre las paralelasr y t.

12

Observa que esa distancia

Cuando una figura se refleja dos veces con respecto a dos rectas paralelas, el resultado final es una traslación de la figura srcinal. La magnitud de la traslación es el doble de la distancia entre las paralelas.

resolver

2. Traza la figura 2 simétrica a la 1 con respecto a la recta r, y la figura 3 simétrica a la figura 2 con respecto a la recta t. r

t

Figura 2 Figura 1 Practica la rotación y traslación de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-084

Figura 3

84

Una pista

a) Observa que la figura 3corresponde a una rotación de la 1. Determina elcentro y el ángulo de rotación. Centro: La

intersección de las rectas.

900

Ángulo de rotación:

b) Comprueba que el ángulo de rotación sea igual al doble del ángulo que forman las rectas (marcado con rojo). m

Revisa, en grupo, tus respuestas. Lean la siguiente información.

Considera que el ángulo de rotación tiene su vértice en el centro de rotación; uno de sus lados pasa por el vértice de la figura 1 y el otro, por el correspondiente de la 3.

Cuando una figura se refleja dos veces con respecto a dos rectas que se cortan, el resultado final es una rotación de la figura srcinal. El centro de rotación es el punto de corte de las rectas y el ángulo de rotación mide el doble que el ángulo que estas forman.

3. La siguiente tabla se refiere a varias transformaciones en el plano. Anota SÍ o NO en las

casillas. Simetría

Rotación Traslación

Escala

¿Se conservan las medidas de los ángulos de la figura?

sí

sí

sí

sí

¿Se conservan las medidas de los lados de la figura?

sí

sí

sí

no

¿Se conserva la forma de la figura?

sí

sí

sí

sí Entra a la página de CONECT@ y descarga

4. Traza el simétrico del triángulo 1 con respecto al eje vertical para obtener el triángulo

2, y el simétrico del triángulo 2 con respecto al eje horizontal.

Observa que el triángulo 3 es una rotación del triángulo 1. a) ¿Cuál es el centro de rotación?

la actividad de rotación de figuras.

Triangulo 2 Triangulo 1

el srcen (0,0) Triangulo 3

b) ¿Cuánto mide el ángulo de rotación?

1800 Cuando una figura se refleja dos veces con respecto a dos rectas perpendiculares se obtiene una rotación de 180º. La rotación de 180º también se denomina simetría central. En este caso, el centro de rotación se llama centro de simetría.

m

Revisa, en grupo, tus resultados de la lección. Comenten la información de los recuadros. 85

BLOQUE

2


Figuras en movimiento

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras

resolver

Ya has estudiado tres transformaciones en el plano: simetría con respecto a un eje, traslación y rotación. ¿Puedes identificarlas en logotipos de empresas, mosaicos, azulejos o pinturas? En esta secuencia notarás cómo estas transformaciones tienen muchos usos en la vida real. 1. Construye en cartulina doce triángulos isósceles como el siguiente. Los ángulos iguales miden 30º y el lado mayor, 5 cm. Reproduce los diseños que se muestran y contesta las preguntas.

a) En la flecha…

Los triángulos 2 y 9 pueden obtenerse a partir de una rotación del triángulo 1. Para cada caso, ¿cuál es el centro de rotación?, ¿cuál es el ángulo de rotación?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

»

¿qué triángulo es simétrico al triángulo 5 con respecto al eje horizontal?

»

¿qué triángulos son traslaciones del triángulo 10?

el 11

1, 3, 5, 8 y 12

b) En el hexágono… 1 »

encuentra dos triángulos que resulten de aplicar una simetría al triángulo 3.

»

2

1, 4 y 6 4

encuentra dos triángulos que resulten de aplicar 3

una rotación al triángulo 1.

5 6

2, 4 y 5

c) En la estrella… 3

4

5

»

6 7

2

Simetría y rotación

8

1 12

11 10

¿qué transformaciones se aplicaron al triángulo 1 para formarla?

9

¿qué transformaciones harías para obtener el triángulo 7 a partir del 2?

»

¿qué transformaciones aplicarías para obtener el triángulo 7 a partir del 4? Descríbelo en tu cuaderno.

m

86

Simetría

»

Simetría y rotación


2. Colorea lo que se indica.

R. P.

Dos triángulos que resulten de aplicar Dos triángulos que resulten de aplicar una simetría al triángulo rojo. una rotación al triángulo azul.

3. Construye, con los triángulos de cartulina que hiciste, los siguientes diseños y dibújalos en tu cuaderno.R. P. a) Un diseño en el que haya seis traslaciones de un mismo triángulo b) Un diseño en el que haya tres rotaciones de un mismo triángulo c) Un diseño en el que haya dos triángulos simétricos con respecto a un eje d) Un diseño con cualquier número de triángulos donde utilices traslaciones m

simetrías, rotaciones y

Muestra a tus compañeros tus diseños.

4. Aplica en la figura azul las transformaciones necesarias para obtener la roja. Utiliza tus instrumentos geométrico s. Indica claramente los trazos de cada trasformación.

comunicar

Sigue practicando la rotación y traslación de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-087

Describe las transformaciones.

Es una rotación

Describe las transformaciones.

Es una rotación y una simetría

87

BLOQUE

2


Diseños con transformaciones

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras

1.Considera la siguiente figura base: Escribe, en cada caso, si para formar el diseño se aplicó a esta figura base una traslación, una rotación o una simetría. Puede tratarse de más de una transformación.

resolver

En contexto Las transformaciones geométricas son ampliamente usadas en elementos arquitectónicos, por ejemplo, al recubrir pisos con mosaicos.

Simetría y traslación

Simetría, rotación y traslación

Rotación y traslación

Rotación y traslación

2. Traza, en una hoja de papel, ocho figuras base como la anterior. El cuadrado debe medir 2 cm por lado. Recórtalas, haz un diseño y pégalo en el siguiente espacio. Anota las transformaciones que apliques.

R. P.

m

88


3. Observa el siguiente diseño. Describe cómo puede construirse.

R. P.

comunicar

Una pista Identifica la figura base y describe las transformaciones necesarias.

4. Traza un triángulo equilátero de 3 cmpor lado. Dibuja dentro algunos motivosy coloréalo a tu gusto. Reprodúcelo doce veces. Construye un diseño usando solamente transformaciones geométricas y pégalo en tu cuaderno. 5. Observa los logotipos. Responde las preguntas.

En contexto Los mosaicos en árabes de la Alhambra, Granada (España), son una muestra del arte que se puede lograr al aplicar traslaciones, rotaciones y simetrías.

m

Responde en grupo: ¿en cuáles hay simetrías, traslaciones o rotaciones? Identifiquen, en el caso de las simetrías axiales o centrales, eje el o centro de simetría. Para las rotaciones ubiquen el centro y el ángulo de rotación.

6. Diseña, para tu escuela, un logotipo donde apliques una o más transformaciones geométricas. 7. Organiza, en grupo , una exposición de logotipos en tu escuela. Elijan el que más les guste.

89

BLOQUE

2

Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo


Teorema dePitágoras El triángulo rectángulo es una figura muy importante porque se relaciona directamente con el teorema de Pitágoras. Te preguntarás, ¿qué es unteorema? ¿Quién fue Pitágoras? ¿En qué consiste el teorema de Pitágoras? Al estudiar esta secuencia podrás responder estas y otras preguntas.

1. Considera como unidad de longitud un lado de cuadrito y como unidad de superficie un cuadrito. Contesta o haz lo que se indica.

A

C

B

a) Coloca letras minúsculas en los lados queforman el ángulo recto del triángulo rectángulo.

A cada lado le corresponde la letra del vértice opuesto. b) Verifica que los lados que forman el ángulo recto sean

lado c es la hipotenusa.

a

y b. Estos se llaman catetos. El

c) Suma las áreas de los cuadrados construidos sobre loscatetos y compara el resultado con

el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. ¿Qué relación hay?

R. T. Tienen la misma área. d) Traza, a la derecha, una figura similar a la anterior con un triángulo rectángulo más grande.

Verifica que se cumpla la relación encontrada en el inciso anterior.

Aprende más sobre el Teorema de Pitágoras en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-090

90

2. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 unidades y otro cuyos catetos midan 3 unidades. Calcula en cada uno el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa y verifica que sea igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

3. La figura es un triángulo pitagórico. Analízala y haz lo que se indica. A

C

B

a) Anota las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.

3

a cateto =

cateto =

b

4

hipotenusa

c

=

5

b) Anota las áreas de los cuadrados construidos sobre estos lados. a2 =

9

b2

=

16

c2 =

25

En contexto

c) Completa las expresiones.

Área del cuadrado construido sobre el cateto cateto b =

a2

+

a

+ área del cuadrado construido sobre el

b2

Área del cuadrado construido sobre la hipotenusa – área del cuadrado construido sobre el 2 cateto a = c

En los triángulos pitagóricos, las medidas de los tres lados son números naturales, tales que,a2 + b2 = c2. El triángulo pitagórico que se muestra se conoce como Triángulo sagrado egipcio y sirvió de base parade construir la pirámide Kefrén, 2 600 años a. n. e.

– a2

Área del cuadrado construido sobre la hipotenusa – área del cuadrado construido sobre el cateto b =

c2

– b2

4. El siguiente triángul o también es p itagórico. H az lo que se indica.

resolver A

a) Calcula el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

100 u2 b) Calcula la medida de la hipotenusa.

10 u

c) Verifica que el cuadrado de la hipotenusa sea igual a la suma

de los cuadrados de los catetos. B m

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

C

91

BLOQUE

2


Mostrar o demostrar

Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

validar

1. Analiza el triángulo rectángulo y haz lo que se indica. A

a) Verifica que c2 = a2 + b2, y por tanto el triángulo ABC sea

rectángulo. c=5

b) Si c2 fuera mayor que a2 + b2, ¿qué tipo de triángulo sería?

b=4

Explica por qué.

Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor de 90º.

C

c) Si c2 fuera menor quea2 + b2, ¿qué tipo de triángulo sería?

Explica por qué.

a =3

B

Triángulo acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90º.

2. Las medidas 3, 4 y 5 para los lados de un trián gulo rectángulo se cono cen como terna pitagórica porque son medidas enteras que satisfacen el teorema de Pitágoras, es decir, el cuadrado de la medida mayor es igual a la suma de los cuadrados de las otras dos. Analiza, en equipo, las siguientes ternas y, sin dibujar los triángulos, anota P en las que sean pitagóricas; O, en las que correspondan a un triángulo obtusángulo; o A, en las que lo hagan a un triángulo acutángulo. Comprueben sus respuestas trazando los triángulos en sus cuadernos. a) 5, 12, 13. d) 16, 30, 34. m

P P

b) 6, 7, 8.

A

e) 13, 15, 23.

c) 5, 8, 11.

O

O

f ) 24, 7, 25.

P

Revisen, en grupo y con ayuda del profesor, sus respuestas. Contesten las siguientes preguntas.

R. T. a) ¿Cómo saben si una terna es pitagórica?

Porque la suma de los cuadrados

de los dos lados menores es igual al cuadrado del lado mayor. R.obtusángulo? T. Porque la b) ¿Cómo saben si una terna corresponde a un triángulo suma de los cuadrados de los dos lados menores es mayor que el cuadrado del lado mayor. R. T.acutángulo? Porque la c) ¿Cómo saben que una terna corresponde a un triángulo suma de los cuadrados de los dos lados menores es menor que el cuadrado del lado mayor. 92

3. Analiza la figura y contesta o haz lo que se indica.

E

a) ¿Cuánto suman las áreas de los cuadrados cons-

Una pista

truidos sobre los catetos?

D

4 u2 + 9 u2 = 13 u2

H

b) Busca una manera de mostrar que el área del cua-

drado construido sobre la hipotenusa equivale a esa suma y explícala.

A

I

C

B

F

G

Para calcular el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa puedes encerrarlo en una figura más grande de la cual sea fácil calcular su área y restar lo que sobre.

R. P.

4. Una manera de mostr ar que el cuadrado co nstruido sobre la hipot enusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es la siguiente. Haz, en equipo, lo que se indica.

1° Dibujen un triángulo rectángulo y nómbrenlo ABC.

técnicas

2° Tracen un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.

C C

A

B

B

A

3° Localicen el centro del cuadrado construido sobre el lado AB.

4° Tracen una paralela y una perpendicular a la hipotenusa que pasen por el centro del cuadrado construido sobreAB.

C

A

B

C

A

B

5° Recorten las cuatro piezas del cuadrado construido sobre AB. 6° Con esas piezas y el cuadrado construido sobreBC cubran el cuadrado construido sobre la hipotenusa. m

Vean, en grupo y con ayuda del profesor, si todos pudieron cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Si alguien no pudo, averigüen a qué se debió. Comparen sus procedimientos y resultados.

93

BLOQUE

2

Explicitación y uso del teorema de Pitágoras


Dos lados conocidos y uno desconocido Si una propiedad se pone a prueba en casos particulares y no se cumple para alguno, se puede afirmar que no es válida para todos los casos. Si se cumple, no podemos asegurar que es verdadera siempre, pero sí sospechar que lo es y buscar una manera de demostrarlo.

1. Existen muchas demostraciones del teorema de Pitágoras. La siguiente es una demostración gráfica que se atribuye al propio Pitágoras. Analízala y haz lo que se indica para que puedas explicar en qué consiste. Observa que las figuras 1 y 2 son iguales. A

En contexto Una demostración matemática es un razonamiento basado en ideas que se dan por ciertas, o en teoremas demostrados.

D H

A

I

C

J

R

K

B1

S

T

M

W

O

B V Z

F

G M

U

L Q

Figura 1

A1

P

Figura 2

a) En la figura 1, une los puntos para que se distingan los cuadrados construidos sobre los catetos y cuatro triángulos iguales al triángulo ABC. b) En la figura 2, une los puntos como creas conveniente para que se distinga el cuadrado construido sobre la hipotenusa y cuatro triángulos iguales al triángulo ABC. c) Completa los siguientes enunciados. Observa el ejemplo. »

»

La figura 1 es igual a los cuadrados construidos sobre los catetos + cuatro triángulos iguales al ABC.

cuatro triángulos La figura 2 es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa + iguales al ABC.

»

Por tanto, la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es

al área del cuadrado de la hipotenusa. 94

igual

2. Trabaja en equipo. Imaginen que en untriángulo rectángulo un cateto midea; otro, b; y la hipotenusa, c; como se muestra en el dibujo. La relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados se puede expresar de tres maneras. Complétenlas. c2 =

a2

+

b2

a2 =

c2 – b2

c a

c2 – a2

b2 =

b

3. Hagan, con base en el triángulo ABC (azul), lo siguiente. B

a) Verifiquen que se cumplan las siguientes relaciones, sustituyendo en cada igualdad el valor de a, b y c.

c=5 a=3

a2 + b2 = c2

c2 = a2 + b2

16 +925 = a2 = c2 − b2

b2 = c2 − a2

9 = 25 – 16

16 = 25 – 9

»

»

¿Cuál es la raíz cuadrada de 52?

5

C

Convivimos Cuando tengas alguna duda, que no te dé pena preguntar. Quien pregunta tiene interés en conocer y aprender.

b) Contesten las preguntas. »

b=4

A

25 16 +9=

¿Cuál es la raíz cuadrada de 202?

20

¿Por qué elevar al cuadrado y extraer raíz cuadrada son operaciones inversas? Contesten en sus cuadernos. R. P.

R. T. ¿Qué otras operaciones inversas conocen?

suma y resta, multiplicación y

¿Crees que el teorema de Pitágoras se cumpla si se trazan semicírculos en los lados del triángulo rectángulo?

división c) Completen, con base en las relaciones anteriores, las siguientes. »

Si c2 = a2 + b2, entonces y

»

Si a = c − b , entonces a = a

=

»

Si b = c − a , entonces b = b

=

c2

=

a2 + b2

y

c

=

a2 + b2

5 cm 3 cm

2

2

2

2

2

2

2

2

c

2

-b y

a

=

c

-b

c

-a y

b

=

c

-

2

2

2

2

2

2

4 cm

a2 ¿Cómo lo demostrarías?

4. Lean la siguiente información. Lo que hicieron en la actividad 1 es una manera de mostrar que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Esta propiedad se llama teorema de Pitágoras y algebraicamente se escribe c2 = a2 + b2. b=9

b=5

c=6 a=

27

a=?

a=

63

c=?

c=

89

c = 12

a=? b=3

a=8

95

BLOQUE

2

Explicitación y uso del teorema de Pitágoras


Problemas diversos 1. Resuelve, en equipo, los siguientes problemas. Hagan lo que se indica. Pueden usar calculadora y dibujar cuando sea necesario.

resolver

a) Primer problema. Caminé hacia el norte 5 km y luego hacia el este 3 km. ¿Cuál es la menor distancia desde donde estoy hasta el punto de partida? 3 km

c m k 5

c

k

=

a2

+ b2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34

m

b) Segundo problema. Una escalera de 5 m de largo se apoya en el piso a 1.5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza sobre esta? 5

m

m b

b 1.5 m

=

c2

− a2 = 52 − 1.52 = 25 − 2.25 = 22.25

c) Tercer problema. Quiero cubrir un piso cuadrado que mide 4 m por lado. Usaré losetas hexagonales de 10 cm por lado. Estas se venden en cajas de 38 losetas. ¿Cuántas cajas debo comprar para que me sobre lo menos posible?

Trece cajas

d) Cuarto problema. Se trata de calcular las dimensiones de un rectángulo donde la diagonal mida 10 cm y la base, 2 cm menos que la altura.

x

1

0

cm

x–2

96

Por el teorema de Pitágoras x2 + (x – 2)2 = 100 x2 + x2 – 4x + 4 = 100 2x2 – 4x – 96 = 0 x2 – 2x – 48 = 0 donde a = 1, b = –2, c = -48 2 ± 4 – 4(1)(–48) Entonces x = _____________

2 _____ 2 ± 4 + 192 = 2______ ± 196 = _________ = 2 ± 14 2 2 2 y se toma el valor positivo de x. x = 8 Entonces el rectángulo tiene medidas de 8 cm y 6 cm.

m

Comenten, con ayuda del profesor, sus resultados de cada problema del inciso anterior. Si hay diferencias averigüen a qué se deben. Contesten lo siguiente. a) De acuerdo con lo que dice el segundo problema, ¿es posible que la altura que alcanza R. T. la escalera sobre la pared sea mayor que la de la escalera? no ¿Por qué?

Se forma un triángulo donde la escalera es la hipotenusa y ningún cateto puede ser mayor que la hipotenusa.

b) Si, en el primer problema, la caminata fuera hacia el norte y luego hacia el oeste, ¿cuál sería el resultado? el mismo ¿Y si fuera hacia el norte y luego hacia el sur? 0,

pues regresearía al mismo punto. c) Si, en el tercer problema, en lugar de losetas hexagonales se utilizaran otras en forma de triángulo equilátero de 10 cm por lado, ¿cuántas cajas habría que comprar? 48 d) Si, en el cuarto problema, la base midiera 2 cm más que la altura, ¿cuáles serían las dimensiones del rectángulo?

las mismas: 6 y 8 cm

2. Muestra que el siguiente triángulo es rectángulo.

0.9

1.5

c

= a2 + b2 1.22 + 0.92 = 1.44 + 0.81 = 2.25 = 1.5

1.2

3. ¿A qué triángulo le puedes calcular su área a partir de la información que se tiene usando el teorema de Pitágoras? Haz el cálculo. isósceles escaleno equilátero

Practica el Teorema de Pitágoras en… ✔

8 cm

8 cm


8 cm

4 x 48 97

BLOQUE

2

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma)


Que caiga tres, que no caiga tres ¿Cómo se calcula la probabilidad de perder una apuesta conociendo la probabilidad de ganarla? ¿Cómo se calcula la probabilidad de que suceda un evento u otro conociendo la probabilidad de que suceda cada uno?

1. Resuelve los siguientes problemas. a) A Gisela le toca tirar dos dados en un juego de mesa. Piensa que es de mala suerte obtner números iguales. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga “buena suerte”?

_5 6

b) Joaquín ha contestado al azar un reactivo de cuatro opciones, de las cuales solo una es

Convivimos

correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte? ¿Y de que no?

Cuando tengas alguna duda, que no te dé pena preguntar. Quien pregunta tiene interés en conocer y aprender.

4

y

_3 4

c) Alfonso lanzará una moneda cuatro veces.Ha apostado que saldrá lo mismo en cada lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda? m

técnicas

_1

14 _ 16

Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo. Si hay diferencias, averigüen quién tiene razón.

2. Lee el procedimiento para resolver el inciso 1 c). En el primer tiro hay dos opciones: águila o sol. Por cada opción hay dos para el siguiente tiro; y así hasta el cuarto. Entonces el espacio muestral está formado por 2 × 2 × 2 × 2 = 16 resultados posibles. Solo en dos aparece la misma cara las cuatro veces: águila-águila-águilaáguila o sol-sol-sol-sol. Así, son 16 – 2 = 14 casos en los que Alfonso perdería la apuesta; la 14 probabilidad es __ . Resuelve los otros dos incisos de manera análoga. 16

comunicar

3. En el siguiente esqu ema se aprecia el espacio muestr al del experiment o que consiste en lanzar dos dados. Además, hay una fila de triángulos, una de rectángulos y otra de óvalos, que señalan, respectivamente, los espacios muestrales de tres eventos, A, B y C. a) Describe los eventos A, B y C. 6

A:

5 4

B:

(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

C:

(1,3), (2,2), (3,1).

3 2 1 1

98

2

3

4

5

6

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

b) Completa la tabla.

Probabilidad de que ocurra

Probabilidad de que no ocurra

_

A= 6

A=

36

B=

C=

m

_6 36 _3

B=

C=

36

30 _ 36 30 _ 36 33 _ 36

Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros.

4. Lee lo siguiente.

La probabilidad de que un evento ocurra más la probabilidad de que ese mismo evento no ocurra es igual a 1. Por ejemplo, la probabilidad del evento M, “Salir 5 al lanzar un dado”, 5 __ es __16 , mientras que la probabilidad del evento N, “No salir 5 al lanzar un dado”, es . Estos 6 dos eventos son complementarios y la suma de sus probabilidades es 1. De manera abreviada, la probabilidad de un evento M se expresa P(M). La probabilidad del complemento de M se expresa P(M c). De manera que, en este caso, P(M) = __16 ; P(Mc) = 1 – P(M) = __56 .

5. Trabaja en equipo. Calculen, con base en los siguientes eventos, las probabilidades que se piden.

resolver

A: al lanzar un dado se obtiene número par. B: al lanzar dos dados, la suma de los números es un número impar. C: al lanzar dos dados, la suma de los números es 10. D: al sacar una bola de una bolsa que contiene tres bolas negras y dos rojas, sale negra.

_1

P(Ac ) =

P(B) =

_1

P(Bc) =

_1

P(C) =

_3 = _1

P(Cc) =

_11

P(D) =

m

_1

P(A) =

2 2

36

3_ 5

12

P(Dc) =

2

2

12 2_ 5

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Si hay diferencias, intercambien opiniones hasta que se pongan de acuerdo. Verifiquen que la suma de la probabilidad de un evento con la de su complemento sea igual a 1.

99

BLOQUE

2

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma)


Pelotas rojas o juguetes azules 1. Laura está en una feria y en uno de los juegos se ha ganado un premio, que elegirá al azar. Hay 160 pelotas y 40 juguetes. Los premios son de tres colores: 80 son rojos; 50, azules; y 70, verdes. De las pelotas, 30 son azules. Calcula las siguientes probabilidades. Si en algún caso crees que no hay información suficiente explica en tu cuaderno por qué.

20 _

a) La probabilidad de que el premio sea un juguete azul.

Una pista

40

b) La probabilidad de que el premio sea una pelota o sea de color azul. La probabilidad más alta que puede tener un evento es 1. Si alguna de las probabilidades quedó mayor a 1, es un resultado incorrecto.

c) La probabilidad de que el premio sea verde o azul.

12 _ 20

d) La probabilidad de que el premio sea un juguete o sea de color rojo.

18 _ 20 Falta informa-

ción. 2. Explica lo siguiente. a) La probabilidad de que el premio sea una pelota o de color azul no es igual a la probabilidad de que sea una pelota más la probabilidad de que sea azul porque

R. T. Hay premios que son pelotas azules.

Ya sabemos...

b) La probabilidad de que el premio sea verde o azul es la probabilidad de que sea verde Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen

más la probabilidad de que sea azul porque R. T.

elementos en común. Por ejemplo, los eventos A = premio verde, y B = premio azul.

No hay premios que sean

verdes y azules. c) En el problema no se dan los datos necesarios para calcular la probabilidad de que el premio sea juguete o de color rojo, pues faltaR.saber T. La

cantidad de pelotas

rojas o de juguetes rojos. Si dos eventos, A y B, son complementarios, entonces P(A o B) = P(A) + P(B). ¿Por qué?

d) La probabilidad de que el premio sea pelota o de color azul es la probabilidad de que sea pelota más la probabilidad de que sea azul menos la probabilidad de que sea pelota azul porque m

R. P.

Comenta tus opiniones con tus compañeros. Lean y comenten la siguiente información. Cuando dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B se calcula sumando la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B. Es decir, P(A o B) = P(A) + P(B). Si los dos eventos no sonmutuamente excluyentes, entonces, a la suma de las dosprobabilidades, hay que restar la probabilidad de que sucedan ambos eventos, pues ha sido contada dos veces. Es decir, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B).

100

3. Alejandra ganó un premio en la feria. Esta vez hay pulseras, peluches y relojes. Los premios son de color lila, rosa, azul cielo o café. No se sabe cuántos premios hay en total ni de cada tipo, pero sí las siguientes probabilidades. P(pulsera) = 14% P(reloj) = 53% P(reloj lila) = 45% P(lila) = 60% P(rosa) = 21% P(rosa o azul cielo) = 28% Calcula la probabilidad de que el premio sea… a) de color pastel.

88%

b) un peluche.

33% c) de color azul cielo.

7%

d) un reloj o algo lila.

68%

4. En el problema anterior se sabe también que la probabilidad de que el premio sea pulsera o rosa es igual a la probabilidad de que sea rosa. Calcula la probabilidad de que el premio sea pulsera o algo de color lila.

0%

5. Alejandra y Federico trataron de adivinar el premio que saldrá. Alejandra tiene 12% de probabilidad de adivinar. Federico tiene 93% de probabilidad de adivinar.

Sí Explica por qué. R.T. Porque a) ¿Las predicciones son mutuamente excluyentes? no pueden ocurrir en forma simultanea. b) Plantea una situación en la que Alejandra y Federico apuesten con las probabilidades anteriores de ganar.

Alejandra apostó a que sale algo color café.

Calcula más probabilidades en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-101

Federico apostó a que sale algo que no es de color azul cielo. 6. Federico va a jugar en la feria. Hay tres puestos que le gustan. En los tres hay pulseras, Una pista pelotas y relojes. Además, si gana un premio, en cualquiera de los puestos la probabilidad de que no sea reloj es de 90%, y la probabilidad de que sea pulsera es de 30%. Calcula Para obtener el 10% de cuántas pulseras y cuántas pelotas hay en cada puesto. una cantidad basta con

Pulseras

Pelotas

60

120

45 90

90 180

Totad l epremios

dividirla entre diez. A partir de 10% es fácil obtener el 30%.

200 150

m

300

Comenta tus resultados de los problemas 3, 4, 5 y 6 con tus compañeros.

101

Las matemáticas en... Una tira de papel Para realizar las siguientes actividades necesitarás cuatro tiras de papel, de 35 cm de largo y 4 cm de ancho, pegamento y lápices de dos colores. • A cada tira pégale sus dos extremos, pero gira media vueltauno de los extremos de dos de ellas antes de pegar, como lo muestra la ilustración de la derecha. • Toma dos de las tiras, una pegada en forma normal y otra con media vuelta, y traza una línea en medio de la tira, terminado donde comenzó. ¿Qué observas?

R. T. El trazo de la normal se da en un solo lado de la tira. El trazo de la que tiene la media vuelta abarca los dos lados de la tira.

• Ilumina las caras de las dos tiras restantes. ¿Qué observas?

R. T. Lo mismo que en el caso del trazo de la línea.

¿Cuántas caras tienen las tiras que pegaste uniendo sus extremos, sin girar la tira?

Dos. ¿Cuántas caras puede decirse que tienen las tiras que pegaste dando media vuelta a uno de los extremos?

Una.

La tira que uniste dando media vuelta, tiene una sola cara y es conocida como “la banda de Möbius”, en honor al matemático alemán August Ferdinand Möbius, quien hizo el sorprendente descubrimiento de que existen superficies que tienen un solo lado, como esta tira. Otra propiedad curiosa de esta banda es que su contorno está formado por una curva simple cerrada.

102

Ahora necesitarás unas ocho tiras de papel de 40 cm de largo y 5 cm de ancho para formar bandas de Möbius y bandas normales. Toma una banda de Möbius y una normal. Córtalas por la mitad, como se muestra. ¿Cuántas bandas obtuviste al cortar la tira de Möbius?Una. La banda que obtuviste, ¿es normal o es de Möbius?De

Möbius.

¿Cuántas bandas obtuviste al cortar la tira normal? Dos. Ahora toma una de las tiras y da una vuelta completa antes de unirla. ¿Cuántas caras tiene?

Dos.

¿Qué pasa si cortas la tiraa la mitad longitudinalmente? R. T. Mantiene las

dos caras.

En la siguiente tabla, anota el resultado de más vueltas y cortes en una tira. Número de medidas o vueltas

Resultado de un corte por el centro

bandas 2

1 banda con 1 vuelta, 2 caras

La mitad de ancho, doble largo

2 bandas entrelazadas con 1 vuelta

La mitad de ancho y el mismo largo

1 banda con 2 caras

La mitad de ancho y doble largo La mitad de ancho y el mismo largo La mitad de ancho y el mismo largo

0

_1 2 1 1 1y_ 2 2 1 2y_ 2

P ro p ie d a d e s

La mitad de ancho y el mismo largo

2 bandas entrelazadas con 2 caras 1 banda con 2 caras

D ib u jo

Haz dos cintas, una normal y otra de Möbius. Únelas formando ángulo recto como se muestra en la ilustración y después corta las dos a lo largo. ¿Qué sucedió? Quedaron

unidas.

Las propiedades que no cambian cuando le aplicas a la banda de Möbius ciertas transformaciones o deformaciones son estudiadas por una rama de las Matemáticas que se llama Topología.

103



Se colocará una banqueta en el perímetro de un terreno rectangular de 50 m × 100 m y se dejará el centro como área verde. El presupuesto alcanza para pavimentar 1 400 m2, y se quiere que el ancho de la banqueta sea uniforme. ¿Qué ancho puede tener la banqueta como máximo? 100 m a) 5 m b) 6 m

X

50 m c) 8 m X

d) 10 m 2.

D

El pentágono de la derecha es regular y su centro es el punto P . ¿Qué resulta al rotarlo 72° con centro en P en sentido contrario a las manecillas del reloj? C D

a)

B

B

A

A

E A

c)

D

E

d)

D A

B

3.

C

B

b)

c)

d)

Eric lanzará un último dado en un juego de mesa. Para ganar necesita un 5 o un numero par. ¿Cuál es la probabilidad de que gane? a) _ + _

3 6

104

C

¿Qué diseño tiene simetría central pero no axial?

a)

4.

B

b) E

E

C P

A

C

D

E

1 6

b) _ – _

3 6

1 6

c) _ + _

5 6

2 6

d) _ – _

5 6

2 6

5.

Se construyeron tres cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo. Si P y Q representan el área de los cuadrados respectivos, y R, la del triángulo azul, ¿cómo están relacionados P, Q y R? a) P 2 = Q 2 + R2

Q

P

90°

b) P = Q + R R

c) P = Q + 2R d) P 2 = Q 2 + 2R2 6.

Para instalar una antena en un poste de 17.6 m de altura se usó una escalera como se muestra en la figura. ¿Qué longitud tiene la escalera si se colocó a 8.6 m de la base del poste? a) 9.5 m b) 15.3 m c) 19.5 m d) 26.2 m

7.

¿Cuánto mosaico se requiere para cubrir la pista de baile?

12 m

a) 144 m2 b) 169 m

5m

2

Pista de baile c) 189 m2 d) 289 m2 Haz lo que se indica. 8.

En cada pareja una figur a es rotación de la otra. Marca el centro de ro tación en cada caso.

105


BLOQUE

Pongo en juego mis competencias COMPETENCIAS Comunicar información matemática

Simetría y belleza Durante mucho tiempo las transformaciones geométricas, como traslaciones, giros y simetrías, han sido utilizadas en la ingeniería, la arquitectura y muchas manifestaciones artísticas. Algunas teorías señalan que esta fascinación por la geometría dinámica y la simetría tiene su srcen en la estructura de los seres vivos. La simetría en la naturaleza es el resultado de un largo proceso evolutivo e, instintivamente, los animales eligen a compañeros lo más simétricos posible.

Pregunta 1. Busca en tu entorno tres objetos que presenten simetría. Dibújalos en tu cuaderno e indica qué transformaciones geométricas utilizaste. Pregunta 2. Escribe una posible ventaja (que no sea puramente estética) que tenga un edificio simétrico sobre otro no simétrico. Pregunta 3. Escribe una posible ventaja (que no sea la preferencia que otros miembros de su especie puedan tener por él) que tenga un animal simétrico sobre otro no simétrico.

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

La cancha de volibol

Sofía y sus amigas trazaron en el patio de su escuela una cancha de volibol como la siguiente.

9m

18 m

Pregunta 1. Utilizando solo cinta métrica, ¿como puede Sofía verificar que la cancha tiene forma rectangular, es

decir, que sus ángulos miden 90°? Pregunta 2. Si la cancha tiene forma rectangular, ¿cuánto mide cada diagonal? Pregunta 3. ¿Cuánto mide la diagonal de media cancha (un cuadrado de 9 cm de lado)?

106

Dibujemos puntos

Y para terminar...

Dibuja en cada tablero cuatro puntos de manera que en cada fila, cada columna y cada diagonal principal haya un solo punto. Por ejemplo, aquí te mostramos dos soluciones.

Hay otras seis soluciones dibujando los puntos en otras casillas. Encuéntralas.

C

D

E

F

G

H

Las ocho soluciones están relacionadas entre sí a través de simetrías y rotaciones. Por ejemplo, observa los puntos de las soluciones A y B, y verás que son simétricos con respecto a la línea roja. Observa que la solución de la derecha se obtiene rotando 90º la solución A. A

B

• Si no has encontrado todas las soluciones disti ntas, prueba con simetrías y rotacio nes para hallarlas. Los ejes pueden ser verticales, horizontal es o inclinados. • Busca las relaciones de simetría y rotación que hay entre todas las soluciones. Te sorprenderá observar que todas las soluciones se pueden obtener a partir de una sola, por medio de una o dos transformaciones.

107

E U Q O L B

3

Aprendizajes esperados ✓Resuelve problemas que implican el uso de

ecuaciones de segundo grado. ✓Resuelve problemas de congruencia y

semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.

108

Familias de lenguas Observa las personas de la imagen. ¿De dónde son? ¿Para qué están reunidos? ¿Qué lengua hablan? En México existen cerca de 300 lenguas diferentes, divididas en once familias lingüísticas. Por ejemplo, el zapoteco, el mixteco y el mazahua pertenecen a la familia lingüística oto-mangue; esto significa que, aunque las tres son diferentes en la actualidad, tienen un srcen común, es decir, surgieron a partir de una misma lengua. La glotocronología es una técnica lingüístico-matemática que, a través de la resolución de ecuaciones, permite saber en qué momento de la historia dos lenguas distintas fueron la misma. Se basa en un dato curioso: 14% de las palabras básicas de una lengua es sustituido cada mil años.

1. Las palabras más habituales suelen escribirse de forma similar en los idiomas que tienen un srcen común. Busca alguna que se escriba de forma parecida en varios idiomas.

2. Supón que tu idioma comienza a dividirse hoy en dos. Si el principio de la glotocronología se mantiene, ¿qué porcentaje de palabras básicas compartirán en 13 000 años?

3. ¿Por qué es importante la preservación de las lenguas indígenas? Si quieres conocer más sobre la clasificación y el srcen de las lenguas indígenas en nuestro país entra a… www.e-sm.com.mx/SCM3-109

incluso ayudan a lver problemas muy variados; omo la evolución c s a c i t á m e t a lejanas a las m estudiar cosas tan aparentemente de las lenguas. ilizando ecuaciones esolver problemas diversos ut En esta bloque aprenderás a r e tipo de ecuaciones. t s e e d leer y construir gráficas de segundo grado, así como a

o Las ecuaciones sirven para res

109

BLOQUE

3



Una fórmula útil Ya aprendiste a resolverecuaciones de segundo grado, mediante tanteo y factorización. –b ±√b2- 4ac ¿Hay otras técnicas? Claro que sí. La fórmulax =_________ es es la fórmula general para 2a resolver una ecuación de segundo grado. La estudiarás en esta secuencia.

1. Analiza, en equipo, el siguiente problema. Hagan lo que se indica. Dos veces el cuadrado de un número más tres veces el mismo, más 9 unidades, da 44. ¿Qué número cumple estas condiciones? a) Formulen una ecuación con la que se resuelva el problema.

2x 2 + 3x + 9 = 44 b) Rescríbanla en la forma general ax 2 + bx + c = 0.

2x 2 + 3x − 35 = 0 c) Anoten los valores de a, b y c.

Convivimos Al trabajar en equipo se dispone de más información, ideas y maneras de abordar y comprender las actividades propuestas. Los puntos de vista de los demás enriquecen el tuyo y, por lo tanto, aumentan las probabilidades de resolver con éxito la tarea.

2

a=

b=

3

c=

–35

d) Sustituyan a, b y c por sus valores en la fórmula general. De momento no hagan

operaciones. x

=

__

–b ±√b2– 4ac = 2a

e) La parte dentro de la raíz,

problema?

b2

__

-3 ± √9 – 4(2)(–35) 2(2)

− 4ac, se llama discriminante . ¿Cuál es su valor en este

289

f ) ¿Cuál es la raíz cuadrada del discriminante en este problema?

√ b2 – 4ac =

17

___ ___

g) Encuentren las dos soluciones de la ecuación.

–b + raíz cuadrada del discriminante = 3.5 2a – b – raíz cuadrada del discriminante x2 = = –5 2a h) Verifiquen que las soluciones cumplan con las condiciones del problema. x1

110

=

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Si hay diferencias identifiquen y corrijan los errores. Recuerden que si el número encontrado cumple con las condiciones establecidas encontraron el resultado correcto. Analicen lo siguiente.

El valor del discriminante de la fórmula general, b 2 − 4ac, puede ser 0, mayor a 0 o menor a 0. • Si b 2 − 4ac = 0, la ecuación tiene una solución. • Si b 2 − 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones. • Si b 2 − 4ac < 0, la ecuación no tiene solución en los números reales.


Ecuación

Valores de los coeficientes a=

2

3x – 5x – 2 = 0

b= c= a=

4x 2 – 3x + 1 = 0

b= c= a=

–4x 2 + 1 = 0

b= c= a=

x 2 – 5x = 0

b= c= a=

x – 3x 2 = 1

b= c=

m

técnicas

Valor del discriminante

¿Cuántas soluciones hay?

3 -5 -2 4 -3 1 –4 0 1

49

dos

−7

ninguna

1 –5 0

25

dos

–3 1 –1

−11

ninguna

dos

16

En contexto En matemáticas, los números reales se representan con la letra R, incluyen a los racionales, los irracionales y los enteros. Ejemplos de números racionales son __35 , __73 , 5. Ejemplos de números irracionales son √2, π. Ejemplos de números enteros son –5, 7, 0.

Comenten, con ayuda del profesor, sus resultados de la tabla. Revisen una fila antes de pasar a otra

3. Analicen el siguiente problema, formulen la ecuación correspondiente en su cuaderno

resolver

y usen la fórmula general para encontrar la solución.

Un terreno rectangular mide el doble de largo que de ancho. Si el largo aumenta 40 m y el ancho, 6 m, el área se duplica. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno srcinal?

El terreno medía 30 m de ancho y 60 m de largo. 111

BLOQUE

3


Algunos problemas


resolver » » »

1. Trabaja en equipo. Hagan lo siguiente en cada problema.

Formulen una ecuación con la que se resuelva el problema. Determinen la o las soluciones. Comprueben que cumplan las condiciones establecidas.

Primer problema. Al abrir un libro encuentro que el producto de las dos páginas que estoy

viendo es 9 312. ¿Qué páginas son?

Las páginas son la 96 y la 97

Convivimos Una estrategia útil para resolver un problema que a primera vista parece difícil es simplificarlo. Por ejemplo, puedes resolver el problema ¿cuántos saludos se dan en total en una reunión con 30 personas? considerando solo dos personas, o tres, cuatro, cinco, etc. De esta manera podrás generalizar la solución a 30 personas.

Segundo problema. Tengo cierta cantidad de canicas. Si las acomodo en filas formando

un cuadrado sobran 36. Si agrego las 36 canicas me faltan 75 para formar otro cuadrado. ¿Cuántas canicas tengo?

Tengo 3 061 canicas

Tercer problema. Se buscan tres números impares consecutivos tales que, si al cuadrado del

mayor se le restan los de los otros, se obtenga 7. ¿Cuáles son?

5, 7 Y 9 Resuelve problemas usando ecuaciones cuadráticas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-112

Cuarto problema.La suma de dos números da 12, y la de sus cuadrados, 74. ¿Qué números son?

Los números son 5 y 7

Quinto problema. Juan compra y vende mercancía con base en el siguiente criterio: si un

artículo cuesta $10.00 le gana 10%; si cuesta $30.00 le gana 30%; si cuesta $ 48.00 le gana 48%. Si vendió un artículo en $56.00, ¿cuánto le costó?

Le costó $40.00

m

112

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Si hay diferencias averigüen quién tiene razón.

2. Armen, con las etiquetas, la ecuación que resuelva los problemas anteriores. Busquen el

técnicas

primer y segundo miembro, y escriban la ecuación en la tabla.

x (x

+ 1)

9 132

56

(x + 1) 2

– 75 (x + x

2

5) 2 –

(x +

+ 36

3) 2 –

(x +

1)

7

74

x2+ (

x+

Problema

12 – x) 2

( __x_ 100 )x

Primermiembro

1°

x (x

2°

x2

3°

x2 +

5°

x

Forma general de la ecuación

+ 1)

=

9 312

+ 36

=

(x + 1)2 – 75

2x – 110 = 0

=

7

–x 2 + 4x + 12 = 0

=

74

2x 2 – 24x + 70 = 0

=

56

0.01x 2 + x – 56 = 0

(x + 5)2 – (x + 3)2 – (x + 1)2

4°

Segundomiembro

(12 – x) 2 ) _ 100

+(

x

x

x2

+ x – 9 312 = 0

113

BLOQUE

3



Consolidar la técnica 1. Contesta las preguntas. a) ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x 2 – kx + 4 = 0 para que las dos raíces sean iguales? k

=4

b) ¿Y en la ecuación x 2 + kx + 12 = 0 para que una solución sea el triple de la otra? k

Ya sabemos... La forma general de la ecuación de segundo grado esAx2 + Bx + C = 0. Si falta el segundo término (Bx) o el tercero (C), se trata de una ecuación incompleta.

c) ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax 2

+ bx = 0?

Dos soluciones

d) ¿Y una del tipo ax 2 + c = 0?

Ninguna solución

2. Inventa tres ejemplos de… a) una ecuación de segundo grado completa con dos soluciones.

R. P. Una pista Piensa en el método de factorización y en el discriminante de la ecuación.

b) una ecuación de segundo grado completa con una solución.

R. P. c) una ecuación de segundo grado completa sin solución.

R. P. técnicas

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. x1

a) 3x 2 – 125 = 0

x2

c) 3x 2 –2x = 0 x1 = 0 2 x2 =

72

g) 4x 2 − 4x + 1 = 0

x

0 1

– 9x + 14 = 0 x x 21 ==

114

x2 – x = 0

x1 = x2 =

3

x2

b) –5x 2 = –45 x1 = 3 x 2 = –3

d)

_

e)

125 _ 3 = 6.45497224 125 =– _ 3 = –6.45497224

=

= 0.5

f) 1 − x(x − 3) = 4 x – 1 x1 = 1 x 2 = –2

=8

4. Resuelve los problemas.

resolver

a) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya base mida 2 cm menos que la altura y

su diagonal, mida 10 cm. A

D

B

C

6 cm de base y 8 cm de altura

Convivimos b) Al agregar 5 m al lado de un cuadrado su superficie aumenta 75 m 2 . Calcula el lado del

cuadrado. A

D

B

C

Tiene 5m de lado

Para avanzar con confianza en tus estudios de matemáticas es importante que cuando algo no te quede claro preguntes a tu profesor o a otros compañeros. De igual forma, cuando hayas comprendido algo compártelo con otros.

c) En un círculo, la distancia entre dos cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Cada

Una pista

una mide 6 cm más que el radio. Determina el radio.

AD y BC son diámetros de la circunferencia

A

B

Tiene 10 cm de radio

C

C

m

D

Comenta tus resultados con tus compañeros. En caso de haber diferencias localicen los errores y corrijan lo que sea necesario.

115

BLOQUE

3


Congruencia y cuadriláteros


¿Cómo usarías la congruencia de triángulos para justificar o deducir propiedades de otras figuras geométricas? ¿Y la semejanza de triángulos para calcular distancias difíciles de medir de manera directa? En esta secuencia aprenderás a hacer actividades de este tipo.

1. Trabaja en equipo . Calquen en una hoja de papel los cuadriláteros que se muestran.

Cuiden que tengan las medidas que se indican. Los triángulos son figuras muy útiles para deducir y probar propiedades de otras figuras geométricas. Por ejemplo, para justificar que en todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos da 360° basta tener presente que cualquier cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos y que la suma de los ángulos internos de un triángulo da 180°.

4 cm

4 cm

3 cm

8 cm

7 cm

7 cm 5 cm

8 cm 5 cm

a) Tracen, en cada uno, una diagonal. Observa el ejemplo en el rec-

C 2

b) Recorta sobre la línea que trazaste y sobrepón los triángulos de manera que coincidan sus lados. Si se puede, los triángulos son congruentes. Toma como referencia el triángulo 2 de la figura derecha y responde, ¿qué lado mide lo mismo que el segmento... »

AB?

ED

AC?

FD

BC?

EF

D

E

tángulo de la derecha. Marca los lados como se indica. Numera los triángulos que se formen.

1

F A

B

Para los triángulos, en las demás figuras, que sean congruentes, contesta las preguntas anteriores en tu cuaderno.

c) Indica en qué cuadriláteros se forman triángulos congruentes y en cuáles no.

Rectángulo, romboide y rombo d) Explica qué propiedad tienen en común los cuadriláteros que anotaste en el inciso anterior y que no la tienen los otros.

Una pista

R. P.

En un paralelogramo los lados opuestos son paralelos.

2. En el paralelogramo dela izquierda setrazaron las diagonalesy se rotularon los vértices con letras.

comunicar A

D

CBD ¿Qué criterio de congruencia garantiza esta relación? Recuerda que solo sabes que la figura es un paralelo

a) Encuentra un triángulo congruente al triángulo ABD.

C

116

B

gramo.

LLL

b) Encuentra un triángulo congruente al triángulo ABC? gruencia explica esta relación?

CDA

¿Qué criterio de con-

LAL

3. Analiza la justificació n de que, en el cuadrado de la derecha, los trián-

gulos ABD y BCD son congruentes. » » »

resolver A

Una pista Los ángulos alternos internos entre paralelas miden lo mismo.

B A

El segmento AB es congruente (mide lo mismo) al segmentoDC. Los segmentos AD y BC son congruentes y; Los ángulos BAD y BCD miden lo mismo por ser ángulos rectos.

B

C

D

∠

A =∠ B

a) ¿Qué criterio de congruencia se usó?

LAL b) Con la información obtenida de la figura determina al menos otro criterio de congruencia para garantizar que los triángulos son congruentes. ¿Cuál es? aplica.

LLL

Explica cómo se

R. P.

4. Dibuja dos triángul os como los de la figura pe ro con las siguien tes especificaciones . » » »

El triángulo ADE debe ser isósceles. E debe ser el punto medio del segmento CD. D debe ser el punto medio del segmento EB.

Una pista

a) Antes de dibujar justifica con alguno de los criterios de congruencia que los triángulos AEC y ABD guardan esta relación.R.

T. LAL. EC es congruente con DB. AE

En los triángulos isósceles los ángulos de la base miden lo mismo.

es congruente con AE. Los ángulos BDA y CEA miden lo mismo. AEC es congruente con ABD

Una pista

b) Haz el dibujo para verificar tu respuesta. 5. En la figura de la derecha, el triángulo ABC es equilátero y los segmentos AF, BD y CE

son congruentes.

Losqué triángulos Encuentra tres triángulos congruentes y explica por lo son. AFE,

En un triángulo equilátero sus tres lados y sus tres ángulos tienen la misma medida.

BDF C

y CED son congruentes entre sí. Los segmentos AF, BD y CE miden los mismo. Los E

segmentos FB, DC y EA miden lo mismo. Los ángulos CAB, ABC yBCA miden lo

D

mismo. Por el criterio LAL, lostriángulos AFE, BDF y CEDson congruentes entre sí. m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten como las obtuvieron.

A

F

B

117

BLOQUE

3


En contexto


¿Cuánto mide el poste? 1. Trabaja en equipo. Armen el siguiente aparato para medir distancias de manera aproxi-

mada, por ejemplo, la altura de un árbol, de un asta bandera o de un edificio. Hagan algunas mediciones. a) Peguen un popote en el lado más largo de la escuadra que tiene forma de triángulo rectángulo isósceles.

El teodolito es un instrumento que se adapta a diferentes usos en el campo de la topografía, entre los que destaca la medición de ángulos horizontales y verticales, la medición de distancias por taquimetría o estadía, y el trazo de alineamientos rectos.

b) Elijan un objeto alto, por ejemplo, un árbol, un poste o un asta bandera. Hagan lo siguiente para medir su altura. »

Posición del globo

»

ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO AZIMUTAL

Uno de ustedes mire a través delpopote, manteniendo uno de los lados pequeños de la escuadra en posición horizontal. Desplácese hacia atrás o hacia adelante hasta que ubique el punto más alto de lo que medirán. Otro de ustedes, con un metro o una cinta métrica, mida la distancia (d) que hay entre la escuadra y el objeto que se medirá, y la altura (h) a la que se encuentra la escuadra, como se ve en el dibujo.

Horizonte = 0º Norte = 0º

?

h

d »

Con esos datos busquen una manera de calcular la altura del objeto seleccionado. Anótenla aquí. Se

h

118

+d=?

forma un triángulo rectángulo escaleno.

d = ? – h

m

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten los diferentes procedimientos que encontraron para calcular la altura aproximada.

2. Trabaja en equipo. Completenel siguiente procedimientopara calcular laaltura del poste.

técnicas

Es probable que algún equipo haya hecho algo similar en la actividad anterior. A

?

C

B h

d

a) Consideren el triángulo ABC. b) Este triángulo ABC es semejante a la escuadra, ¿por qué?

R. T. Porque sus ángulos correspondientes son iguales c) Si es semejante, entonces ¿qué tipo de triángulo es ABC?

Triángulo rectángulo isósceles d) ¿Cuáles son los lados iguales en el triángulo ABC?

BC y AB

e) ¿A qué lado del triángulo ABC corresponde la distancia d? f) Suponiendo que d mide 3 m, ¿cuánto mide AB?

BC

3m

g) Suponiendo que la escuadra se colocó a 1.50 m del piso (medida h), ¿cuál es la altura del poste?

3.00 m + 1.50 m = 4.50 m

3. Resuelve.

a) Usando la misma escuadra, un equipo midió la altura de un árbol. Encontró que d = 4.20 m y h = 1.55 m. ¿Cuánto mide el árbol?

4.2 m + 1.55 m = 5.75 m

b) La escuadra se coloca a una altura (h) de 1.60 m del piso y con ella se ve la punta de un poste de 4.00 m. ¿Cuál es el valor de la distancia d?

Practica la congruencia y la semejanza de triángulos en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-119

4.00 m – 1.60 m = 2.4 m

4. Trabaja en equipo. Usen la escuadra para encontrar la altura del asta bandera de su

escuela, de un árbol, del aro de un tablero de basquetbol, de un poste o de otra cosa. 119

BLOQUE

3


Calculando distancias


resolver

1. Resuelve, en equipo, los problemas.

a) Para medir la altura del árbol de la figura, una mujer colocó un espejo en el piso a 30 m del árbol (punto E). En el se refleja la punta del árbol. Se sabe que los ángulos a y b miden lo mismo. Si AE = 2 m y los ojos de la mujer están a 1.60 m del piso, ¿cuál es la

Una pista

altura del árbol?

Encuentra los triángu-

24 m

los semejantes en cada situación.

A

a

b

B

E

Convivimos

b) La vara mide 1.5 m y su sombra, 1.8 m. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra

Cuando te enfrentes a un problema es importante que sepas que eres libre de intentar diferentes maneras de solucionarlo. Por lo general hay varias maneras de llegar a la respuesta correcta.

de 3 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

25 m

c) Para medir la parte más ancha de una laguna (PQ) se pusieron cuerdas para formar los triángulos PQR y MNR, de manera que MN es paralela a PQ. Si PR = QR = 50 m, PM = QN = 30 m y MN = 20 m, ¿cuál es el ancho de la

Q

P

laguna? m

N

M

50 m

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. 2. Analicen el diagrama a la izquierda inferior y anoten comunicar cómo podría medirse el ancho de un río.

R

R. P.

P

A

O

Q

120

Si AO = 15 m, OB = 10 m y BQ = 9 m, ¿cuál es el ancho del río?

B m

Comenten sus respuestas a la actividad anterior.

13.5 m

3. Lee la información y contesta.

Compás de escala. Un compás de escala es un instrumento que sirve para reducir o amplificar figuras a una escala dada. Puede construirse con dos palos del mismo tamaño que terminen en punta en ambos lados. Se sujetan por el punto C, como muestra la figura, cuidando que se cumplan las igualdades AC = BC, CA’ = CB’, de modo que pueda abrirse y cerrarse. B’

A

C

B A’

a) Este compás es una aplicación de la semejanza de triángulos. ¿Qué triángulos son semejantes en él?

ABC con A’B’C

¿Cómo se sabe que son semejantes? Son triángulos

isósceles, entonces sus lados

tienen la misma proporción, y los ángulos opuestos (ACB y B’CA’) son iguales b) Se construye el compás con dos palos de 15 cm sujetados de modo que AC = BC = 5 cm, y CB’ = CA’ = 10 cm. »

Cuando el compás se abra hasta que la parte AB mida 8 cm, ¿cuánto medirá la parte

A’ B’ ? 16

cm 10 cm

»

Si A’ B’se abre a 20 cm, ¿cuánto lo hace AB?

»

Y si AB mide x cm, ¿cuánto mide A’ B’?

»

ángulos iguales ¿Qué razones de semejanza se aplican en3 este compás?

2x

(propiedades de las paralelas) c) Se desea construir un compás de escala que haga ampliaciones 3 a 1 o reducciones 1 a 3. Anota una posible medida para los palos y dónde deben unirse (punto C).

Palos de 20 cm, unidos en C a 5 cm de un extremo m

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Lean lo siguiente. Toda paralela a un lado de un triángulo que cor ta a los otros lados, o a su prolongación, determina un segundo triángulo semejante al primero.

121

BLOQUE

3

Resolución de problemas geométricos el mediante teorema de Tales

En contexto La radiación solar es una fuente energética alterna. Esta es transformada en energía mediante paneles solares y puede ser usada en diversos entornos, como el doméstico, el agrícola o el espacial.


Paralelas y segmentos roporcionales p ¿Sabías que los rayos del Sol son paralelos? ¿Has observado la sombra de los objetos? Aunque no lo creas, esto serelaciona con las matemáticas y, en particular, con las figuras semejantes y la proporcionalidad de segmentos. En esta serie aplicarás el teorema de Tales, uno de los más importantes de la geometría. Aprenderás a usarlo para calcular medidas sin tener que hacer la medición.

1. Trabaja en equipo. Observen el dibujo.

a) ¿Qué sombra está mal dibujada? b) ¿Por qué?

la del joven

R. T. La hipotenusa de su triángulo no es paralela a la de

los otros dos m

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten lo siguiente con ayuda del profesor. Las sombras de los objetos los alargan o acortan pero conservan sus proporciones, es decir, las razones entre las longitudes del objeto srcinal (el doble, el triple) son iguales a las razones entre las longitudes de la sombra. La sombra es como una copia a escala. Esto ocurre porque los rayos solares son paralelos. Para que la sombra errónea fuera posible, los rayos solares tendrían que ser no paralelos.

2. Observa los triángulos del dibujo. a) ¿Son semejantes?

Sí

¿Cómo lo sabes?

b) ¿Son proporcionales sus lados?

Sí

R. P.

¿Cómo lo sabes?

R. T. Porque son triángulos semejantes c) ¿Serían semejantes si los rayos del Sol no fueran paralelos? ¿Por qué?R.

122

No

T. Cambiarían los ángulos correspondientes

3. En el siguiente dibujo, dos rectas, r1 y r2, están cortadas por un haz de rectas paralelas. Estas no están a la misma distancia entre sí. Los segmentos que se forman sobre r1 miden a, a, 2a y 3a. La medida del primer segmento que se forma sobre r2 , es b.

r2

3b 2b

b b

r1 a

a

2a

3a

Resuelve más problemas geométricos en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-123

¿Se puede saber, sin medir, cuánto miden los otros segmentos que se formaron en r2? Investígalo. Si crees que sí anota las medidas en los recuadros. m

Comenta tus resultados con tus compañeros.

4. Trabaja en pareja. Verifiquen sus resultados anteriores midiendo. Observen si los segmentos determinados guardan siempre la misma proporción. Comenten lo siguiente: ¿pasaría lo mismo si...

m

»

el haz de rectas que corta a r1 y r2 no fueran paralelas?

»

las líneas paralelas tuvieran una inclinación distinta?

»

la recta r2 tuviera un ángulo de inclinación distinto?

Comenten sus respuestas. Observen que los segmentos que se forman sobre r1 no miden lo mismo que los segmentos que se forman sobre r2 pero sí son proporcionales, es decir, la razón que guardan se conserva. »

Una pista Busca triángulos semejantes. Recuerda que los ángulos correspondientes entre paralelas debe ser iguales.

Determinen por qué sucede esto.

En esta lección has estudiado el teorema de Tales : si tres o más paralelas cortan a dos transversales determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.

123

BLOQUE

3



El teorema de Tales y sus aplicaciones 1. Trabaja con un compañero. Resuelvan la actividad sin medir. En la figura, los segmentos OA, AB, BC, CD, DE, EF y FG, que están sobre la recta r1, miden lo mismo. Los segmentos AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’ y GG’ son paralelos entre sí. G

r1

F

En contexto

E

Tales de Mileto vivió en la ciudad de Mileto entre 624 a. n. e. y 546 a. n. e. Fue uno de los “siete sabios” de la antigüedad. Se tiene información sobre sus escritos y su vida apenas por referencias de otros autores. Filósofo de la Escuela Jónica, autor de una cosmología de la que solo conocemos fragmentos, se destacó principalmente por sus trabajos en filosofía y matemáticas. En esta última se le atribuyen las primeras “demostraciones” de teoremas

D C B A O

A’

B’

C’

D’

E’

F’

G’

r2

a) Marquen la afirmación correcta con ✔. Los segmentos OA’, A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’F’ y F’G’ miden lo mismo y son iguales a los segmentos AB, BC, CD, DE, EF y FG. ✔

geométricos mediante el razonamiento lógico, por lo que se le considera el padre de la geometría.

Los segmentos OA’, A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’F’ y F’G’ son iguales entre sí pero no miden lo mismo que los segmentos AB, BC, CD, DE, EF y FG. Los segmentos OA’, A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’F’ y F’G’ no miden lo mismo.

b) Tracen otra recta (r3) que pase por el punto O y que sea cortada por las paralelas. ¿Qué ocurre con los segmentos que se forman sobre r3?

Los segmentos que se forman en r3 miden lo mismo c) Expliquen por qué ocurre lo anterior. El teorema de Tales puede servir.

R. T. Con r1 y r3 ocurre lo mismo que con r1 y r2 d) Midan con su regla para verificar sus respuestas. m

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Lean, con el profesor, lo siguiente.

Toda recta cortada por un haz de paralelas equidistantes (que están a la misma distancia entre sí) queda dividida en segmentos que miden lo mismo.

124

Trabaja con un compañero. Resuelvan, lo siguiente.

resolver

2. Dividan el segmento en siete partes iguales, háganlo sin medir . Para ello analicen la figura anterior y las relaciones entre los segmentos.

P

Q

3. Una estrategia para dividir un segmento en partes iguales es usar una hoja rayada. El segmento rojo dibujado en la hoja azul se dividió en cinco partes iguales. Explica por qué funciona. R. T.

validar

Porque las rayas son

paralelas y son equidistantes. Al cortar al segmento rojo en 5 partes, esas partes son equidistantes también AM 4. Encuentren, sin medir, el punto M de modo que ___ = __32 MB

Una pista ¿En cuántas partes iguales hay que dividir el segmento?

M

A

B

60 cm 5. El dibujo representa un pedazo de reja. Las distancias entre los barrotes son iguales. a) ¿Cuánto mide el barrote más pequeño? b) Justifica tu respuesta.R.

10 cm

T. Las medidas del triángulo más chico son la sexta

parte de las del triángulo mayor m

Una pista El teorema de Tales permite saber que en la figura hay varios triángulos semejantes. Cuando dos son semejantes, conociendo las medidas de uno y la razón de semejanza, se puede conocer las medidas del otro.

Comenta tus respuestas y procedimientos con tus compañeros.

125

BLOQUE

3



Triángulos, hilo, palillos y algo más I 1. Trabaja en equipo. Para las activid ades de esta lección y la siguiente neces itan dos reglas de 30 cm (pueden hacerlas con cartulina), un hilo resistente y palillos (pueden sustituirlos por popotes delgad os o tiras de cartón) que midan… A: 5 cm

B: 6 cm

C: 8 cm

D: 10 cm

E: 12 cm

F: 15 cm

G: 16 cm

Coloquen las reglas sobre una superficie plana, como se muestra en la primera figura. Es importante que el número 30 de la regla horizontal coincida con el 0 de la vertical. Procuren que las reglas no se muevan; si es posible, péguenlas a la superficie con cinta adhesiva. Para los ejercicios sujetarán el palillo en posición vertical según se indique. También colocarán el hilo formando un triángulo con las reglas: desde el 0 de la regla horizontal, pasando por el extremo superior del palillo, hasta tocar algún punto de la regla vertical. técnicas

a) Coloquen el palillo A en el número que marca 10 cm de la regla horizontal como en la segunda figura. Al colocar el hilo, ¿a qué número llega el hilo en la regla vertical?

15 cm

b) Coloquen ahora el mismo palillo en el número que marca 15 cm en la regla horizontal. ¿A qué número llegó el hilo en la regla vertical?

10 cm

c) ¿A qué número llega el hilo al colocar el mismo palillo en el punto 20 cm?

7.5 cm

d) ¿Qué palillo se colocó en el punto 15 cm si el hilo llega a 20 cm en la recta horizontal? Observa la tercer figura

126

El palillo D

2. Hagan lo siguiente.

resolver

a) Completen la tabla antes de colocar el palillo y el hilo. En todos los casos usen un palillo de 10 cm.

Posición del palillo D en la regla horizontal indocumentados Predicción: ¿a qué punto llegará el hilo en la regla vertical?

10 cm

12 cm

30 cm

20 cm

25 cm

Usa el teorema de Tales para determinar cómo son los segmentos.

25 cm

15 cm

Una pista

12 cm

b) Verifiquen sus respuestas usando el hilo. Si identifican algún error encuentren qué lo ocasionó y corríjanlo. m

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de sus compañeros. Tengan en cuenta que las medidas que obtuvieron son siempre aproximaciones pues es inevitable cometer pequeños errores de medición. Acuerden con su profesor un margen de error aceptable.

3. Trabaja en equipo. Supongan que se coloca el hilo del 0 de la regla horizontal hasta el 20 de la vertical. a) Completen la tabla antes de usar las reglas.

Colocar un palillo en la regla horizontal a…

7.5 cm

Predicción: ¿qué palillo debe colocarse para que su extremo superior toque el hilo?

A

cm 9

15 cm

B

12 cm

D

24 cm

C

G

b) Verifiquen con las reglas: coloquen el hilo y los palillos en la posición que eligieron. Observen que se comprueba el teorema de Tales.

m

Los palillos y la regla vertical

»

¿Cuáles son las paralelas?

»

Comenten qué segmentos son proporcionales.

Comenten, en grupo, cómo completaron la tabla antes de usar el material. Si hay diferencias entre las predicciones y su comprobación expliquen por qué: ¿es un error de cálculo o de medición?

127

BLOQUE

3



Triángulos, hilo, palillos y algo más II 1. Trabaja en pareja. Se coloca el hilo desde el 0 de la regla horizontal hasta el 25 de la vertical. a) Averigüen, sin usar material, en qué punto se debe colocar el palillo de 5 cm para que su extremo superior toque el hilo.

6 cm b) Completen la tabla sin usar todavía material.

Palillo Predicción: lugar de la regla horizontal donde se debe colocar el palillo para que su extremo superior toque el hilo

A:5cm

30 cm

D:10cm

25cm

E:15cm

15cm

H:20cm

12cm

c) Verifiquen sus resultados usando el material. resolver

2. Coloquen los palillos que se indican sobre los puntos marcados y deduzcan a qué lugar de la regla vertical llegará el hilo. Hagan su predicción antes de usar material.

Palillo

Predicción: punto dellegará la reglaelvertical al que hilo

cm5 A:

cm6

25 cm

cm6 B:

cm8

22.5 cm

cm 8C:

m

Punto de la regla horizontal sobre el que se coloca)

cm 10

24 cm

15 cm F:

15 cm

30 cm

20 cm H:

25 cm

24 cm

Comenten cómo hicieron sus predicciones. Lean lo siguiente con ayuda de su profesor.

Las reglas y el hilo forman un triángulo; el palillo siempre es paralelo a uno de sus lados y forma un triángulo semejante. Se dice que dos triángulos colocados de esta manera están en “posición de Tales”. En ese caso es posible calcular datos desconocidos a partir de los que se conocen aplicando la proporcionalidad de segmentos.

128

4. Calcula el valor de

en la figura.

x

9 cm

x x

= 6 cm

8 cm 12 cm m

Comenta el procedimientos que usaste con tus compañeros.

5. Calcula, en cada caso, el valor de x.

x

= 6 cm

x

x

x

m

resolver

x

= 8.75 cm

= 6.75 cm

= 5 cm

x

x

= 7.5 cm

= 3.6 cm

20 = ___ 3 cm

x

(b – a)c = ______ b


129

BLOQUE

3

Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.


Sombras y otras proyecciones Ya has estudiado transformaciones geométricas en las que a cada punto del plano se le asocia otro, como la simetría central y la axial. En esta lección estudiarás otra transformación que también relaciona puntos en el plano, pero produce agrandamientos y reducciones: la homotecia.

1. Trabaja en equipo. Lleven a cabo esta actividad en la escuela; si no es posible, organícense para hacerla en la casa de algún miembro del equipo.

»

Recorten un triángulo rectángulo de cartoncillo cuyos catetos (lados que forman el ángulo recto) midan 8 cm y 16 cm. En un lugar con poca luz pongan una vela en un candelabro sobre una mesa. Enciéndanla y coloquen el triángulo entre ella y una pared, de modo que se proyecte su sombra. La vela debe estar a 1 m de la pared.

»

Hagan lo que se indica y contesten las preguntas.

»

Busquen con qué posición se proyecta en la pared una sombra con la misma forma del triángulo. Observen que si giran el triángulo de cierta manera, la sombra se deforma.

Ya sabemos... En los triángulos semejantes sus lados correspondientes son proporcionales; por tanto, conservan la misma forma aunque cambien sus medidas.

Mantengan el triángulo en la posición en la que su sombra sea un triángulo semejante, es decir, en la que no se deforme. a) ¿Qué debe hacerse para que el tamaño del triángulo proyectado aumente?

Acercar el triángulo de cartón a la vela. b) ¿Es posible obtener un triángulo proyectado más pequeño que el de cartoncillo?

No, siempre es más grande o de igual tamaño. c) Verifiquen que la vela esté a 1 m de la pared. ¿A cuántos centímetros de la vela deben poner el triángulo para que los lados del triángulo proyectado midan dos veces lo que los del de cartón?

130

A la mitad del camino entre la vela y la pared

d) ¿A cuántos centímetros de la vela deben poner el triángulo para que los lados del triángulo proyectado midan tres veces lo que los del de cartón?

A un tercio del camino de la vela a la pared (cerca de la vela). 2. Ahora conocerán una explicación matemática del fenómeno anterior.

validar

a) Encuentren los puntosP’, Q’ y R’, haciendo lo siguiente. »

»

» »

Observen que se trazó la recta que pasa por los puntos O y P, y el punto P’ se ubicó en ella de manera queOP’ mida lo triple que OP. Tracen la recta que pasa por O y porQ. Ubiquen Q’ de manera queOQ’mida lo triple que OQ. Hagan lo mismo para ubicar a R’. Unan los puntosP’, Q’ y R’ para formar un triángulo. Este triángulo se llama triángulo homotético de PQR con centro de homotecia O y razón “tres veces”.

P’

P

O

Q

Q’ R

b) Observen que los triángulos PQR y P’Q’R’ parecen semejantes. ¿Esto es una casualidad? Para saberlo, consideren las siguientes parejas de triángulos. OQP y OQ’P’ »

»

¿Por qué son semejantes los triángulos de cada pareja?

OPR y OP’R’

R. P.

Como consecuencia de lo anterior, ¿cuántas veces son mayores los lados de P’Q’R’ que los de PQR?

»

OQR y OQ’R’

R’

3 veces

¿Por qué los triángulos PQR y P’Q’R’ deben ser semejantes?

P´Q´ ____ Q´R´ P´R´ ____ Porque ____ PR = PQ = QR

m

En grupo, y con la ayuda del profesor, lean lo siguiente. Una homotecia de centro O y de razón r es una correspondencia que a cada punto P del plano le asocia el punto P’ de modo que OP’ = r veces OP. OP’ La razón de homotecia es ___ . OP

Dos figuras homotéticas siempre son semejantes.

131

BLOQUE

3



Homotecias fraccionarias y negativas 1. Trabaja en equipo. Tracen dos triángulos homotéticos al siguiente, con centro de homotecia C y las razones de homotecia que se indican. a) Razón de homotecia: __12 . b) Razón de homotecia: 0.75.

Una pista

P A’(0.75)

Analiza la figura que obtuviste en la actividad 2 de la lección anterior. ¿Cómo están colocados los puntos O, P y P’? ¿Cuánto da la división OP’ entre OP?

A’( _12 )

C

C’

B’ C’ R Q

Una pista En la lección anterior observaste que dos vértices correspondientes de figuras homotéticas y el centro de homote-

m

Comenten con sus compañeros de grupo la manera en que realizaron la actividad anterior.

2. Encuentra el centro de homotecia de las parejas de figuras homotéticas. Considera que la figura azul es la srcinal.

cia sonestán colineales, es decir, sobre una misma recta.

a) Cuando la razón de homotecia es mayor a 1, ¿la figura homotética es mayor, menor o igual que la srcinal?

132

Es mayor

b) ¿Y si es menor a 1?

Es menor

c) ¿Cuál es la razón de homotecia si la figura homotética y la srcinal son iguales?

La razón es igual a 1 d) Traza en tu cuaderno un triángulo ABC, ubica un punto fuera de él como centro de homotecia y traza el triángulo homotético deABC con razón de homotecia igual a 1. ¿Qué observas?

R. P.

3. Las siguientes figuras también son homotéticas.

P

O

a) ¿En qué se parecen? Son b) ¿En qué son diferentes?

P’

semejantes, tienen la misma forma

En su orientación

c) Observa que OP y OP’ tienen diferente orientación. En matemáticas esto significa que OP’ la razón de homotecia___ es negativa. ¿Cuál es la razón de homotecia? OP

–2(OP = 2.2 y OP’ = 4.4)

Cuando dos figuras estánde situadas del mismo lado del centro de están homotecia se dice que la homotecia eshomotéticas directa y la razón homotecia es positiva. Si las figuras colocadas de diferente lado del centro de homotecia, entonces se trata de una homotecia inversa y la razón de homotecia es negativa. En la figura anterior la razón de homotecia es –2.

133

BLOQUE

3


Cambiando el centro de homotecia


1. Traza, en equipo, una figura homotética. En cada caso, la razón de homotecia debe ser __12 y el centro de homotecia, el señalado con la letra C.

resolver

Una pista La figura homotética puede quedar dentro de la figura srcinal.

C

C

m

Comparen sus figuras y procedimientos con los de sus compañeros.

2. Trabaja en equipo. Las figuras de cada pareja son homotéticas. Localicen el centro de homotecia y nómbrenlo P.

P

¿Cómo podemos identificar si el centro de homotecia queda dentro o fuera de la figura srcinal?, ¿o si queda en uno de sus vértices?

P P

3. Las siguientes parejas de figuras son semejantes, pero no todas son homotéticas. Identifiquen las que lo sean, ubiquen y marquen el centro de homotecia, y anoten una ✔ en el recuadro.

C ✔

134

C ✔

a) ¿Cómo identificaron las figuras que, además de ser semejantes, son homotéticas?

R. P. b) Anoten una ✔ a las características que tengan las figuras.

Característica Tienen lados correspondientes paralelos.

Figuras homotéticas

Figuras semejantes que NO son homotéticas

✔

✔

Tienen lados correspondientes no paralelos.

✔

Tienen lados correspondientes proporcionales.

✔

✔

Tienen ángulos correspondientes iguales.

✔

✔

Las rectas que unen sus vértices correspondientes concurren en un punto.

✔

m

Comparen sus respuestas a las actividades con las de sus compañeros. Lean y comenten, con ayuda del profesor, lo siguiente.

Dos figuras homotéticas, además de ser semejantes, tienen la característica de que los lados de una son paralelos a los lados correspondientes de la otra . Si son homotéticas, las rectas que unen los vértices correspondientes concurren siempre en un punto: el centro de homotecia. Cuando las figuras son semejantes pero no son homotéticas no sucede lo anterior.

R S

M

A

B

Una semejanza de figuras puede obtenerse a partir de una figura homotética a la que después se le aplica otra transformación (traslación, reflexión o rotación).

T N C P

Por ejemplo, el triángulo MNP es homotético al triángulo ABC, y el triángulo RST es simétrico al triángulo MNP. El triángulo ABC es semejante al t riángulo RST.

135

BLOQUE

3



Más sobre homotecia 1. Traza en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 9 cm y 12 cm. Elige un punto para centro de homotecia y haz lo siguiente.

resolver

a) Traza un triángulo homotética con razón de homotecia igual a −2. b) Traza un triángulo homotético con razón de homotecia igual a __25 . c) Traza un triángulo homotético con razón de homotecia igual a 0.8. 2. Se quiere que los lados del polígono A’B’C’D’E’ midan dos veces y medio lo que los lados del polígono ABCDE. O C C B ’

A

B D

’

E A

’

D

’

a) ¿Cuánto debe medirOE y OE’?

2

y

E

’

5

b) ¿Hay una solución o varias?Una.

Con la razón se sabe el tamaño de la figura y con el signo de la razón se sabe la posición.

c) Argumenta tu respuesta. R.

P.

3. Se trazan cuadrados homotéticos al siguiente. Considera las siguientes razones de homotecia y anota A al cuadrado homotético mayor;B, al que le sigue en tamaño; y así sucesivamente.

136

a) −3

A

_6 b) – 5

C

c) 0.9

E

d) 1

D

e) 1.8

B

P

4. Analiza, en equipo, las siguientes figuras homotéticas. C es el centro de homotecia.

C Figura 3 Figura 2

Figura 1

a) ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto a la 1? b) ¿Y la de la figura 3 con respecto a la 2?

1.95

2

c) ¿Cómo obtendrías la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1 conociendo las razones que hallaste en los incisos a) y b)?

Multiplicándose. 1.95 x 2 = 3.9

5. Traza en tu cuaderno un cuadrado A que mida 4 cm de lado. Elige un centro de homotecia exterior al cuadrado y traza cuadrados homotéticos con las siguientes razones. a) Cuadrado 1: razón de homotecia__12 .

Una pista

b) Cuadrado 2: razón de homotecia__34 . c) Cuadrado 3: razón de homotecia 1__12 Ten en cuenta, en cada caso, el cuadrado que se está considerando srcinal y el homotético, y señala la razón de homotecia correspondiente.

Considerar como cuadrado srcinal a

m

resolver

Considerar como cuadrado homotético a

Cuadrado1

Cuadrado2

Cuadrado1

Cuadrado2

Cuadrado2

Cuadrado3

Razón de homotecia __1 2 3 __ 4

Considera la medida lateral del cuadrado A y las razones de homotecia para que te des una idea sobre la medida de los lados de los cuadrados 1, 2 y 3. El análisis de las razones de homotecia también sirve para decidir a qué distancia conviene ubicar el centro de homotecia.

2

Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros. Con la ayuda de su profesor, lean lo siguiente.

La razón de una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

137

BLOQUE

3

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos


Curvas en el plano ¿Has resuelto problemas en los que la gráfica que representa una situación es no lineal? En esta secuencia identificarás situaciones cuya representación gráfica es una curva. En particular aprenderás a construir e interpretar la grafica de funciones cuadráticas.

1. Considera que las siguientes relaciones entre magnitudes se graficarán en el plano cartesiano. Anota si se obtendrá una línea recta o una curva.

¿Se obtendrá una línea recta o curva?

Relación a) Se graficarán todos los puntos cuya abscisa (x) sea la medida del lado de un cuadrado y la ordenada ( y), el área correspondiente.

curva

b) Se graficarán todos los puntos cuya abscisa (x) sea la medida del lado de un cuadrado y la ordenada ( y), el perímetro correspondiente.

línea

c) Se ubican solo en el primer cuadrante todos los puntos cuyas coordenadas (x, y), al multiplicarse, den siempre 12.

curva

m

Comenta cómo obtuviste tus respuestas con tus compañeros. No es necesario que lleguen a un acuerdo por ahora.

2. Trabaja en equipo. Completen las siguientes tablas y grafiquen los puntos en el plano de la siguiente página. Para ello analicen los valores de las tablas y decidan la escala que más convenga para el plano. Cuando hayan trazado las gráficas verifiquen a partir de ellas sus respuestas a los incisos a) y b) de la tabla anterior.

Lado del cuadrado (x)

Perímetro del cuadrado (y)

Lado del cuadrado (x)

Área del cuadrado (y)

1

4 8 12 16 20 24 28

1

1 4 9 16 25 36 49

2 3 4 5 6 7 8 9

m

138

2 3 4 5 6 7 8

32 36

Comparen sus resultados con los de sus compañeros.

9

64 81

60 50 40 30 20 10

1

234567

3. Completa la tabla con valores para y = x2 +3x + 1.

Valores para x Valores de y = x2+ 3x + 1 11

–5

–4

5

–3

1

–2

−1

–1

−1

0

1

1

5

2

11

a) Localiza y grafica estos puntos en papel milimétrico. b) Explica por qué si tomamos cualesquiera tres puntos de la gráfica de la expresión alge-

R. braica anterior estos no son colineales.

T. La gráfica es una curva, por lo

que no hay tres puntos colineales. m

Ya sabemos... Se dice que tres o más puntos son colineales si están alineados, es decir, si pertenecen a una misma línea recta.

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean lo siguiente con el profesor.

Dependiendo de la relación entre la abscisa y la ordenada de los puntos de una gráfica, esta puede ser una línea recta o una curva.

139

BLOQUE

3



Gráficas cuadráticas 1. Un portero lanza un despeje. En la tabla se registran algunas alturas que alcanzó el balón y el tiempo en elque lo hizo.

comunicar

Tiempo (en segundos)

Altura (en metros)

0

0

a) ¿Las cantidades de la tabla son directa-

En contexto

1

7

2

12

3

15

4 5

16 15

6

12

7

7

8

0

mente proporcionales? En un partido de futbol, cuando el portero toma el balón puede hacer un despeje, es decir, golpearlo lo más lejos y lo más alto posible para iniciar un ataque de su equipo.

Explica por qué. R.

No T. No hay una

constante de proporcionalidad con la que podamos multiplicar cada tiempo para obtener la altura correspondiente. b) ¿Qué gráfica corresponde al problema?

Ya sabemos... Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una el doble, el triple, etc., la cantidad correspondiente también aumenta al doble, el triple, etc. Lo mismo sucede si una cantidad disminuye a la mitad, a su tercera parte, etcétera.

15

15

a d a z n10 a

a d a z n10 a

lc a a r u lt A

lc a a r u lt A

5

0

5

12 345 6 Tiempo transcurrido

Explica por qué la elegiste.

7

8

0

12 345 6 Tiempo transcurrido

7

8

R. P.

Una pista c) Marca con azul, en la gráfica, el tramo donde la pelota vaya aumentando su velocidad, y con color café, aquel donde disminuya.

La pelota se detiene cuando llega a su altura máxima.

d) Hay un instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. ¿Qué velocidad tiene cuando lo hace? m

140

0 m/s


2. Trabaja en equipo. Una de las siguientes expresiones algebraicas está asociada al problema inicial. a) Subrayen cuál es .

y = (x – 4)2+ 16

y = 7x

y = – (x – 4)2 + 16

b) Expliquen por qué eligieron esa expresión.

y=6+x

R. P.

c) Usen la tabla de valores de la página anterior para verificar que la expresión que eligieron sea correcta. Sustituyan la x por cualquier valor de la primera columna y hagan las operaciones para obtener el correspondiente en la segunda.

3. Juan pondrá una malla rodeando una parte de su terreno para formar un corral. Tiene

comunicar

16 m de malla y quiere hacer el corral de forma rectangular o cuadrada. a) ¿Qué medidas debe tener el corral para que el área que abarque sea la máxima posible?

Altura (cm)

Base (cm)

1

7

16

7

2

6

16

3

5

16

4

4

16

5

3

16

6

2

16

12 15 16 15 12

7

1y

16

4 m por lado

b) Completa la tabla para encontrar algunas medidas posibles para el corral. c) Localiza, en el plano cartesiano de abajo, los puntos de la tabla y grafícalos. Finalmente completa la gráfica.

Perímetro Área (cm) (cm2)

Practica las gráficas de funciones cuadráticas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-141

7

d) Un rectángulo con base de 5.5 y altura de 2.5 cm 18

tiene perímetro de 16 cm. ¿Cuál es su área?

13.75 cm

Localiza esta medida en la

gráfica. e) Verifica tu respuesta del inciso a) con la información de la tabla. m

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten si la gráfica quehicieron es una curva o una recta. Lean y comenten lo siguiente:

16

d

14 12 a10 e r Á

8 6 4 2 0

2

4

6

8

10

12

14

x

Medida de la altura

Para justificar que una gráfica no es una línea recta debes tomar tres puntos al azar de ella y verificar que se ubiquen en recta.

141

BLOQUE

3


En movimiento


1. Los ingenieros del sistema ferroviario construirán un túnel para conectar dos ciudades. Deben hacerlo con 10 m de abertura y 5 m de altura.

resolver

7

6

5

4

3 2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a) Subraya la expresión algebraica que sirva para este caso.

x _ + 2x

y=–

2

y=

5

x _ – 2x 2

5

y = 5x 2 + 10

y = –5x 2 + 10x

b) Haz una tabla de valores en tu cuaderno para la expresión que elegiste. Traza la gráfica en el plano cartesiano de arriba y responde. ¿Qué altura tendrá el túnel a 2 m de algún extremo?

»

¿A qué distancias del extremo izquierdo, el túnel tendrá una altura de 4 m?

7.236 m Una pista »

Observa la gráfica y piensa como se vería un tren con las dimensiones indicadas pasando por el túnel.

3.2 m

»

y

2.764 m

¿Pasaría por el túnel un tren con 4 m de ancho y 4 m de altura ?

Explica tu respuesta.

sí

R. P.

c) ¿Cuál es el ancho máximo que podría tener un tren de 3 m de altura para pasar por el túnel? m

142

menos de 6.3245 m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo calcularon el ancho máximo del tren.

2. Comenta lo siguiente en grupo. y

Las gráficas de las expresiones y = ax2 + b + c son curvas llamadas parábolas. En el plano cartesiano hay tres parábolas: una roja, una azul y una verde. La roja esmás cerrada que la azul y ambas están abiertas hacia arriba. La verde es la única que está abierta hacia abajo.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-10

3. Trabaja en equipo. Consideren las siguientes expresiones algebraicas. y =x2

y = –2 x 2

y = 0. 5x 2

2 y = x+ 2

y = 3 x 2+ 1

y = –0.1 x 2

a) Encuentren los valores dey cuando x valga −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3, y hagan, en sus cuadernos, la tabla que corresponda a cada expresión. b) Tracen las gráficas correspondientes en sus cuadernos. c) Observen que las expresiones tienen la forma y = ax1 2 + b. Anoten el valor de a y b de cada caso. m

y = x2

y = –2x 2

–2

a b0

0

y = 0.5x 2

1 0

y = x2 + 2

y = 3x 2 + 1 y = –0.1x 2

–0.1

0.5

2

3 1

0

Comparen sus gráficas con las de sus compañeros y respondan. a) ¿Cómo se relaciona el valor de a con qué tan abierta o cerrada está la parábola?

Entre mayor sea , la gráfica es más cerrada. a

b) ¿Cómo son las parábolas cuando el valor de a es negativo? Abren

La párábola c) ¿En qué influye el valor de b en la parábola?

hacia abajo.

se recorre hacia arriba

o abajo. d) Comenten la información. La gráfica de la expresión y = ax 2 es una parábola con vértice en el srcen . Dependiendo del valor de a, la parábola es más abierta o cerrada: a mayor valor, la abertura es menor, y viceversa. Cuando el valor de a es positivo, la parábola se abre hacia arriba; para valores negativos, hacia abajo. La gráfica de la ecuación y = ax 2 + b corresponde a una parábola con vértice en el punto (0, b), que corta al eje y en el valor de b.

143

3

BLOQUE

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera


Llenado de botellas Un auto avanza durante un tiempo, se detiene y vuelve a avanzar a distinta velocidad… Se vierte líquido en un recipiente angosto en la parte de abajo y ancho en la de arriba… ¿Cómo son las gráficas que representan estas situaciones?

1. Resuelve la actividad en equipo. Necesitarán el siguiente material. »

» »

» »

Un recipiente transparente en el que se pueda verter agua (Procuren que los recipientes del grupo sean distintos, por ejemplo, una botella de refresco, un bote de jabón, etcétera.) Un embudo para introducir agua al recipiente Un recipiente pequeño, por ejemplo, un bote de yogur, una taza, etc.; y una cubeta para sacar el agua que necesiten Una regla graduada Una tarjeta o una hoja de papel para anotar las mediciones

a) Viertan varias veces el líquido en el recipiente grande con el recipiente pequeño lleno, hasta casi llenar el primero. b) Cada vez que viertan el recipiente pequeño registren la altura que alcanza el agua en el grande. c) Hagan en sus cuadernos la gráfica que relacione el número de recipientes pequeños vertidos (eje de las abscisas) con la altura, en centímetros, que alcance el líquido en el recipiente grande (eje de las ordenadas).

Para medir la altura se coloca la regla como muestra la foto. ¿Por qué no se coloca pegada a la orilla del recipiente?

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus graficas con las de sus compañeros. Analicen la relación entre la forma de cada gráfica y la del recipiente grande.

2. Si se graficará la relación “número de tazas vertidas-altura del agua” para los siguientes recipientes, ¿cuál sería una recta? la del recipiente F la del recipiente H

✔

la del recipiente G ninguna

las tres

H G F

144

3. Trabaja en equipo. Cada recipiente se llenó vertiendo agua con una taza pequeña.

A

B

C

D

E

Para cada caso se graficó la cantidad de tazas vertidas con la altura que alcanzó el líquido. Averigüen qué gráfica corresponde a cada recipiente.

A

C

E Altura

Altura

Altura

D

Altura

Número de tazas

Número de tazas

Número de tazas

B

Altura

Númerodetazas m

Númerodetazas

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Expliquen a los demás el porqué de sus elecciones. 4. Las tablas corresponden a dos recipientes donde se vertieron tazas de agua y se fue midiendo la altura del líquido.

Tabla 1

Tabla 2

Líquido (tazas)

Altura (cm)

Líquido (tazas)

1

4

1

Altura (cm) 5

2

8

2

10

3

12

3

15

4

15

4

20

5

17

5

25

En equipo, en sus cuadernos ... a) grafiquen los datos de cada tabla. b) dibujen la forma que podría tener cada recipiente. m

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Si dibujaron distintos recipientes correctos expliquen por qué puede ocurrir esto.

145

3

BLOQUE

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera


El movimiento en gráficas 1. Para ir a su escuela, a 5 km de su casa, Araceli caminó hasta la parada de autobús y espero a que este llegara. El trayecto en autobús duró 15 min y, al bajar, Araceli caminó otros 5 min hasta la escuela. La gráfica muestra la primera parte del recorrido de Araceli, desde que salió de su casa hasta que se subió al autobús. Escuela Parada autobús )s o rt e m ló i k ( a i c n a ts i D

Parada autobús Casa Araceli 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 131 4 15 16 171 8 19 20 21 22 23 24 25 Tiempo (minutos)

a) ¿Cuánto tiempo le tomó a Araceli caminar de su casa a la parada del autobús? Observa más ejemplos de gráficas con secciones rectas y curvas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-146

b) ¿Cuánto esperó al autobús? 2

3 min

min

c) Completa la gráfica del trayecto de Araceli. d) ¿A qué distancia de la casa de Araceli está la parada de autobús? e) ¿Qué distancia recorrió en autobús?

800 m

3 200 m

f ) Si Araceli salió de su casa a las 6:55 de la mañana, ¿a qué hora llegó a la escuela?

7:20 de la mañana 2. Dos autos parten del mismo lugar en la misma dirección. Las gráficas relacionan, para cada caso, el tiempo de recorrido con la distancia desde el punto de salida.

140 130 120 110 100 ) m90 (k 80 a i c 70 n a t 60 is 50 D 40 30 20 10 0

0.5 Auto A Auto B

146

1

1.5 Tiempo (horas)

2

2.5

3

a) ¿En algún momento el auto A aumentó su velocidad?

No

Si tu respuesta es afirmativa, indica cuál fue ese momento. b) ¿Qué auto se detuvo en dos ocasiones?

h total? 1 en segunda?

B

¿Cuánto tiempo estuvo parado

70primera a vez? ¿A qué distancia del srcen se km paró la

¿Y la

a 130 km

c) ¿Se encontraron los autos?

No se sabe.

Soloqué? se puede ¿Por

decir que

terminaron a la misma distancia del srcen. d) ¿Qué auto se alejó más del punto de salida?

B

¿A qué distancia estuvo?

hasta

130 km 40 km/h e) ¿Uno de los autos mantuvo una velocidad constante. ¿Cuál fue esa velocidad? f ) Si ambos salieron a las 14:30, ¿a qué hora el auto B estaba a 30 km del punto de partida?

15:15 g) ¿Cuál era la velocidad del auto A entre las 2:00 y las 2:30 horas después de que salieron?

40 km/h m


3. Inventa, con un compañero, una historia que corresponda a la gráfica. 140

R. P.

120 100 80 60 40 20 0

123456

–20 –40 –60

4. Inventen una gráfica y hagan otra historia en sus cuadernos. m

Comparen sus historias con las de sus compañeros.

147

3

BLOQUE

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)


Dados y volados ¿Cuál es la probabilidad de que un dado caiga en número par dos veces seguidas?, ¿y en número par y luego impar? ¿Cuál es la probabilidad de equivocarse en dos preguntas que se resuelven al azar? En esta secuencia aprenderás a calcular la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes.

1. Si se lanza una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga “águila-águila”? 2. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 6-3? 3. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par en ambos? comunicar resolver

m

Comenta, con tus compañeros, tus procedimientos para resolver el problema anterior.

4. En una caja hay 16 pelotas: ocho rojas, cuatro negras, dos azules y dos blancas. Se harán dos extracciones con reemplazo, es decir, se sacará una pelota, se regresará a la caja y se sacará otra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? b) ¿Y la de que la primera sea roja y la segunda, negra?

técnicas

_1 4

_1 8

5. Tres amigos resolvieron el problema 3 de la siguiente manera. Verónica: “Hay 36 resultados posibles al lanzar dos dados. De esos 9 36, en nueve casos el resultado es par-par. Entonces la probabilidad es 9 de 36, o bien, __ ” 36 1

2

34

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

56 (1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Elisa: Hay tres opciones para que el primer dado sea número par: 2, 4, 6. Por cada una, hay tres opciones para que el segundo dado sea par. Entonces hay 3 × 3 = 9 resultados favorables, de 9 6 × 6 = 36 resultados posibles. La probabilidad es 9 de 36, es decir, __ . 36 Julián: El primer dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Entonces, en la mitad de los resultados posibles, el primer dado cae en número par. Después, el segundo dado puede caer otra vez en 1, 2, 3, 4, 5 o 6, y solo la mitad son pares. Entonces, en la mitad de la mitad de todos los resultados posibles, los dos dados caen en número par, es decir, la probabilidad es __14 . 148

6. Haz lo siguiente. a) Resuelve el problema 4 con procedimientos similares a los de Julián y Elisa. b) El procedimiento de Verónica no es útil para resolver el problema 4. Explica por qué.

Ya sabemos... Para encontrar el resultado de una “fracción de fracción” basta multiplicar entre sí los numeradores y los denominadores. Por ejemplo:

R. P.

4 2 4 × 2 __ __ de __ = ____ = 8. 7

m

Comenta el resultado con tus compañeros.

5

7× 5

35

comunicar

7. En una caja hay pelotas azules, verdes y blancas. No se sabe cuántas hay de cada tipo, pero sí que la tercera parte del total de pelotas son azules. Si se hacen dos extracciones con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener azul en ambas? m

_1 9

Una pista 1 __ La probabilidad no es . 3

Lee y comenta, en grupo, la siguiente información.

En los problemas anteriores, la probabilidad de que los dos eventos sucedan puede obtenerse multiplicando las probabilidades de ambos. Por ejemplo, en el problema 7, la probabilidad de que ambas pelotas sean azules es __13 de __13 = __19 .

8. Resuelve en equipo. En un examen de opción múltiple, para cada pregunta se ofrecen cuatro opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. Completen la tabla.

Preguntas contestadas al azar

Probabilidad de acertar todas

2

16

3

4

_1

Probabilidad de no acertar una

_1 2

_1

_1

64 1 256

3 _1 4

_

149

3

BLOQUE

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)


Que sea pulsera, y que sea azul 1. En una caja hay 20 pulseras y 40 relojes. De los 60 accesorios, 30 son azules; 15, rojos; y 15, verdes. Una persona saca un accesorio al azar. Responde lo siguiente.

resolver

a) Calcula la probabilidad de que el accesorio sea pulsera, y la probabilidad de que sea azul: P(pulsera) =

_1 3

P(azul) =

_1 2

b) Arturo calculó la probabilidad de que el accesorio sea una pulsera azul de la siguiente manera: la tercera parte de los accesorios son pulseras, y de estas, la mitad son azules. Entonces la probabilidad es __12 de __13 , es decir __16 . Arturo cometió un error. Explica cuál es. R.

T. De los 60 accesorios, la mitad son

azules, pero no necesariamente todos los accesorios azules son pulseras. c) Si hubiera ocho pulseras azules, ¿sería verdad que la probabilidad de que el accesorio fuera pulsera azul es __12 de __13 ? d) ¿Y si hubiera diez?

No

No

e) ¿Cuántos relojes rojos debe haber para que la probabilidad de que el accesorio sea un reloj rojo sea igual a la probabilidad de que el accesorio sea reloj por la probabilidad de que el accesorio sea rojo?

10

f ) ¿En cuál de los tres incisos anteriores los eventos son independientes?

e)

2. En una caja hay dos bolas negras y cuatro blancas. Se harán dos extracciones. Responde lo siguiente. a) Calcula la probabilidad de que en la primera extracción la pelota sea blanca y en la Resuelve más problemas de probabilidad en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-150

segunda, negra, considerando que las extracciones son con reemplazo.

_1 3

b) Calcula la probabilidad de que en la primera extracción la pelota sea blanca y en la segunda, negra, considerando que las extracciones son sin reemplazo.

_4 15

c) En el segundo caso, la probabilidad no es el producto de la probabilidad de que sea

R. crees T. Porblanca por la probabilidad de que sea negra. ¿Por qué que pasa esto? que cuando se saca la segunda bola, hay cinco y no seis, como al principio 150

3. Comenta, en grupo, las respuestas a los dos problemas anteriores. Lean y comenten la siguiente información.

comunicar

En el primer problema, para que la probabilidad de que el accesorio sea una pulsera azul sea igual a la probabilidad de que sea pulsera por la probabilidad de que sea azul, se necesita que, puesto que hay __12 de accesorios azules, también __12 de las pulseras sean azules, es decir, que los eventos “pulsera” y “azul” sean independientes. En general, la probabilidad de que sucedan dos eventos es el producto de las probabilidades de cada evento, siempre y cuando ambos sean independientes.

4. En una caja hay pelotas moradas y verdes. En las tablas se registra la posibilidad de obtener siempre moradas cuando se hacen varias extracciones. Una tabla corresponde a extracciones con reemplazo y la otra, a extracciones sin reemplazo. Identifica qué tabla corresponde a la urna 1. Puedes usar calculadora.

Tabla 1

Tabla 2

Número de extracciones

Probabilidad de que todas las pelotas sean moradas

Número de extracciones

Probabilidad de que todas las pelotas sean moradas

1

0.2

1

0.2

2

0.32

2

0.04

3

0.0035

3

0.008

Una pista Divide, en cada tabla, la probabilidad de cada fila entre la de la fila anterior.

Se tienen dos urnas, 3 y 4. La tercera parte de las bolas de la urna 3 y la cuarta de la 4 son verdes. Si se elige una urna al azar, y de ella se toma una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?

4

0.0002

4

0.0016

5. Hay dos eventos independientes: A y B. La probabilidad de que suceda A es __13 , y la probabilidad de que sucedan ambos, A y B, es __16 . ¿Cuál es la probabilidad de que suceda B?

_1 2

6. Se tienen tres eventos: C, D y E. C y D son independientes. Para el evento C hay seis resul1 tados favorables de 30 posibles. La probabilidad de que sucedan C y D es __ . ¿Cuántos 15

resultados favorables hay para D?

_4 3

7. Supongamos que, en un hospital, la probabilidad de que nazca una niña es 60% y un niño, 40%. Si nacen tres bebés, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean niñas?

27 _ 125

En contexto Un estudio efectuado entre 2001 y 2003 en Sao Paulo, Brasil, parece sugerir que la tasa de nacimientos niño-niña se ve influenciada por la contaminación atmosférica. Se encontró que en las áreas menos contaminadas la tasa de nacimiento de niñas era de 48.4%, mientras que en las más contaminadas, de 49.3%, es decir, casi 1% mayor.

151

Las matemáticas en... El infinito ¿Te gustaría dibujar copos de nieve como éstos?

A continuación vas a dibujar uno:

a) Primero dibuja en una hoja un triángulo equilátero; hazlo bastante grande, 18 cm por lado es un buen tamaño

b) Después divide en tres partes iguales cada uno de sus lados

c) En cada lado, substituye el segmento central, por dos segmentos de tamaño idéntico a él, como se indica.

¿Cuál es el perímetro del triángulo inicial? 54 cm

¿Cuál es el perímetro de la figura que te quedó? Puedes usar fracciones o decimales. 72 cm

Esto es sólo el inicio, continuemos. Se trata de repetir los pasos de b) y c) anteriores con cada uno de los doce segmentos de la figura que te quedó: • Divide cada uno de los segmentos en tres partes iguales. • Sustituye el segmento central por dos de tamaño idéntico a él; de esta forma:

.

• Finalmente, sobre la figura que te quedó, repite nuevamente los pasos de b) y c) las veces que puedas… 152

A la figura que has realizado se le llama el “Copo de nieve de Koch” , en honor a Niels Fabian Helge von Koch, quien lo creó en 1904. Cuando el proceso de dividir los lados continúa, el área de la figura no rebasa cierta cantidad, ocupa una región limitada del espacio, es finita. En cambio, su perímetro siempre crece, rebasa cualquier límite, tiende al infinito. Este tipo de figuras se llaman fractales.

¿Quieres seguir dibujando? a) Inicia ahora con un hexágono regular, bastante más grande, como del tamaño de tu hoja. b) Divide en tres partes iguales cada segmento. c) Sustituye el segmento central, por dos de tamaño idéntico a él, como se muestra en el ejemplo.

Como verás, se trata de un procedimiento similar al que seguiste en la actividad anterior, pero ahora el trazo central se hace hacia adentro de la figura. Realiza este procedimiento dos veces más, siempre partiendo del trazo anterior. Si realizas los mismos trazos, pero ahora en un triángulo equilátero, obtendrás la llamada “Anti-isla de Koch”.

Ahora, crea tu propio fractal. Puedes partir de la figura que tú quieras. Para saber más sobre fractales puedes consultar: www.cienciateca.com/fractales.html www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/principal.htm

153



2.

¿Qué ecuación tiene solo una solución? a) x2 – 2x + 1 = 0

b) x2 + 2x – 1 = 0

c) x2 – x + 2 = 0

d) x2 + x – 2 = 0

Para medir la distancia de un barco a la orilla se observó a este desde los puntos A y B, y se tomaron las medidas indicadas en la figura. ¿A qué distancia está el barco de la orilla? a) 5 m ?

b) 10 m

10m

or i lla

10m

c) 15 m A

B

30m

d) 20 m 3.

En la figura, las rectas horizontales son paralelas y equidistantes. ¿Qué afirmación es verdadera? B

A

a) 2AC = CD 4.

C

b) AC = 2CD

D

c) 2AC = 3CD

d) 3AC = 2CD

El cuadrilátero ABCD es homotético al cuadrilátero A’B’C’D’, con centro de homotecia O. Si AB = 5cm y A’B’ = 2cm, OC’= 3cm, ¿cuánto mide OC? A

a) 7.3 cm

5 B

b) 7.4 cm A’

2 B’

c) 7.5 cm O

d) 7.6 cm

3

C’

C

D’ D

154

5.

¿Qué ecuación corresponde a la parábola?

y

a) y = 4x2 b) y = __14 x2

(0, 0)

c) y = –4x2

(–2, –1)

d) y = –__14 x2

(4, –4)

(–4, –4)

6.

Para llenar una alberca de tres niveles como la de la figura se utilizó un flujo de agua constante. ¿Qué gráfica muestra la relación entre el nivel del agua y el tiempo transcurrido? a)

b) nivel de agua (m)

nivel de agua (m)

tiempo (h)

c)

tiempo (h)

d)

nivel de agua (m)

nivel de agua (m)

tiempo (h)

7.

tiempo (h)

Para ganarle a Juan en backgammon, Malaquías necesita que su último tiro sea “doble seis”, es decir, tirar dos dados y que ambos caigan en 6. ¿Qué probabilidad tiene de lograrlo? 2 a) _ 6

8.

x

(2, –1)

1 b) _ 6

c)

_1 12

d)

_1 36

¿Qué puede afirmarse de la razón de homotecia de las figuras a la derecha? a) Que es positiva.

b) Que es negativa.

c) Que es mayor que 0 y menor que 1.

d) Que es mayor que 1.

155


BLOQUE


Esteban y su árbol Hace unos años, Esteban plantó un árbol en su jardín. Desde entonces, cada año registra su crecimiento. Para medir utiliza un método ingenioso: pone un espejo en el suelo, a 4 m del pie del árbol, y se aleja en línea recta hasta ver la punta del árbol reflejada. Luego mide la distancia que hay entre su posición y el espejo, y, mediante semejanza, deduce

B

la altura del árbol. E

Pregunta 1. ¿Cómo son los ángulos de incidencia y de reflexión que se forman en el espejo?

m 5 ,6 1

Pregunta 2. Explica por qué los triángulos ABC y DEC de la figura son semejantes. Pregunta 3. Si los ojos de Esteban están a 1,65 m del suelo, ¿cuál es la altura del árbol?

C

A 4m

D 1,32 m

Pregunta 4. Explica si el método de Esteban funciona o no con un árbol chueco. Pregunta 5. Escoge un elemento de altura inaccesible de tu entorno (un árbol, un edificio, un poste de luz…) y mídelo utilizando el método de Esteban.

Palabras que cambian

COMPETENCIAS Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

La glotocronología es una disciplina que estudia larelación entre las lenguas a lo largo del tiempo. Fue desarrollada por el lingüista Morris Swadesh partiendo de dos principios. • Existe un vocabulario básico en cada lengua, y es relativamente estable. • Las palabras básicas desaparecen de forma constante a una tasa de 14% cada milenio.

Pregunta 1. Dos lenguas emparentadas comparten hoy 86% de sus palabras básicas. De acuerdo con la teoría de Swadesh, ¿hace cuánto tiempo fueron la misma? Pregunta 2. La lengua indoeuropea, de la que proviene el español, tuvo su srcen aproximadamente hace 4 000 años. Aplicando la teoría de Swadesh, ¿qué porcentaje de palabras básicas del indoeuropeo ha sobrevivido en el español? Pregunta 3. Imagina que inventas hoy una lengua con 50 palabras básicas. De acuerdo a la glotocronología, ¿cuántas sobrevivirán en 1 000 años? Pregunta 4. ¿Cuál es la probabilidad de que una palabra básica sobreviva a un periodo de 1 000 años? Pregunta 5. ¿La probabilidad de que una palabra básica sobreviva a un periodo de 4 000 años es mayor al 50%? Explica tu tespuesta.

156

Y para terminar...

Pasar el río

Tres acertijos para pasar el río 1 Un viejo se encuentra a la orilla de un río con un perro, una gallina y una bolsa de maíz. El viejo desea cruzar el río, dispone de una balsa en la que necesariamente debe ir él y es posible que cargue sólo una de las tres cosas que desea pasar. El problema consiste en pasar al perro, a la gallina y a la bolsa de maíz del otro lado, pero cuidando que nunca se quede la gallina con el maíz porque la gallina se lo come, ni el perro con la gallina por que el perro se la come. Escribe un instructivo detallado mediante el cual el viejo pueda pasar en su balsa a la gallina, el perro y el maíz.

2 Ocho excursionistas quieren cruzar un río. No hay puente; solo dos niños que juegan en un bote tan pequeño que sólo puede transportar a un adulto o máximo a los dos niños juntos. Un niño y un adulto lo harían hundirse. ¿Cómo hacer para que crucen todos los excursionistas? Describe cuál es tu solución.

3 Tres misioneros y tres caníbales se encuentran a la orilla de un río que quieren cruzar. El problema consiste en que el río está repleto de pirañas y para cruzar sólo disponen de una canoa de remos a la que le caben sólo dos pasajeros. Los tres misioneros son capaces de remar y los caníbales también. Se debe tener mucho cuidado al cruzar el río, pues si en algún momento, en alguna de las orillas, hay más caníbales que misioneros los caníbales se comerían a los misioneros. ¿Existe algún procedimiento mediante el cual puedan cruzar los seis sin que algún misionero sea devorado? De ser así, escribe un instructivo que permita resolver la situación. Respuestas (en cada caso se indica una de las respuestas posibles): s el a bí nac s od nas aP• l a bí nac nu as er ger eS• s el a bí nac s od nas aP• l a bí nac nu as er ger eS• s or e noi si ms od nas aP• l a bí nac nu y or e noi si mnu as er ger eS• s or e noi si ms od nas aP• l a bí nac nu as er ger eS• s el a bí nac s od nas aP• or e noi si ml e as er ger eS• l a bí nac nu noc or e noi si mnu as aP• 3 oji tr ec A

s á ms ec ev et ei s s os a p s ot s e neti per eS oñi n ort ol e as er ger eS• otl uda nu as aP• oñi n nu as er ger eS• s oñi n s od s ol nas aP• . 2 oji tr ec A

a nill a g al noc oj ei vl e as aP• oj ei vl e as er ger eS• zí a ml e noc oj ei vl e as aP• a nill a g al noc oj ei vl e as er ger eS• orr e pl e noc oj ei vl e as aP• oj ei vl e as er ger eS• a nill a g al noc oj ei vl e as aP• . 1 oji tr ec A

157

4

E U Q O L B

Aprendizajes esperados ✓Utiliza en casos sencillos expresiones

generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. ✓Resuelve problemas que implican el uso de

las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. ✓Calcula y explica el significado del rango y

desviación media.

158

la

Efecto placebo Antes de que un medicamento se comercialice debe superar pruebas que arrojen certeza sobre sueficacia. Una de las más comunes consiste en seleccionar una muestra de enfermos y dividirla aleatoriamente en dos grupos: uno recibe el medicamento, y el otro, sin saberlo, una sustancia en apariencia igual, pero sin ningún poder terapéutico: un placebo. En un estudio sobre el dolor tras la extracción de una muela se formaron tres grupos de 50 pacientes, según el tratamiento recibido, y se observó si disminuyó el dolor. Grupo A (medicamento)

Grupo B (placebo )

Grupo C (sin tratamiento)

Pacientesconmejoría

26

25

12

Pacientes sin mejoría

24

25

38

1. ¿El analgésico resultó efectivo? 2. ¿Qué significa la expresión “efecto placebo”? 3. ¿Por qué doce pacientes mejoraron sin recibir tratamiento? 4. En México, la comercialización de medicamentos está poco restringida, por lo que es fácil adquirir casi cualquier medicamento sin receta. ¿Qué opinas de la automedicación? Para que un medicamento sea aprobado en México es necesario que se demuestre su eficacia mediante estudios clínicos. Para saber más sobre ellos entra a… www.e-sm.com.mx/SCM3-159

imilares es posible e datos tienen distribuciones s Cuándo dos o más conjuntos d efecto sobre su o m s i m l e n e n i e t e u q s o t n i t i s identificar factores externos d to. tendencia. Muchas investigaciones científicas se basan en es o el rango y la m o c s vos parámetros estadístico En este bloque conocerás nue njuntos de datos. o c r a r a p m o c y r a t e r p r e t n i s para desviación media, y los usará

159

4

BLOQUE

Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión

comunicar


Figuras con palillos Has estudiado sucesiones a las que les corresponden expresiones de primer grado, por ejemplo, n + 4 o 7n. En estas lecciones trabajarás con sucesiones a las que les corresponden expresiones de segundo grado. ¿Cómo se identifican?, ¿cómo se calcula el enésimo término?, ¿cómo se encuentra la expresión correspondiente?

1. Trabaja con un compañero. C ompleten la tabla para cada sucesión. P ueden hacer las figuras con palillos. a)

Figura

1

Númerodepalillos

3

2

3

9

6

4

5

100

200

12

15

300

600

4

5

100

200

n

3n

b)

Figura Número de palillos

1

2

3

6

4

8

12

10

202 402 2

n

n

+2

c)

Figura Númerodepalillos

160

1 5

2

8

3 11

4

5

100

200

n

14

17

302

602

3n + 2

d)


1 6

2

3

4

5

9

12

15

18

2

3

4

5

9

16

25

100 303

200

n

603

3n + 3

e)


1 1

4

100 10 000

200

40 000

n

n2

resolver

f)

Una pista ¿Cómo se relaciona el número de palillos verticales con el número Númerodepalillos 3 7 n2 n de figura? ¿Y el número de palillos horizontam Compara tus resultados y procedimientos con los de tus compañeros. En particuar comen- les? ¿Cómo se relaciona el número total de ten las sucesiones de los incisos e) y f). Estudiarán estos tipos de sucesiones en las próximaspalillos?

Figura

1

2

3

4

5

100

200

13

21

31

10101 40201

n

+ +1

lecciones.

161

4

BLOQUE



Primeras o segundas diferencias 1. Haz, en equipo, lo que se indica. a) Completen la tabla para generar una sucesión numérica. Después escriban, en los óvalos azules, las diferencias entre los términos de la s ucesión, por ejemplo 7 – 4 = 3; 10 – 7 = 3. n

1

3n + 1

3(1) + 1

2 3(2) + 1

4

3 3(3) + 1

7

3

4

6

7

8

3(4) + 1 3(5) + 1 3(6) + 1 3(7) + 1 3(8) + 1 13

10

3

3

5

16 3

19 3

22 3

25 3

b) Completen la tabla y los óvalos azules de la misma manera que en el inciso anterior. Escriban, en los óvalos verdes, las diferencias de los números de los azules: 10 − 6 = 4, 14 − 10 = 4. n

2n 2+ 1

1

2

45

2(1)2+ 1 2(2)2+ 1 2(3)2+ 1 2(4)2 + 1 3

9

6

19

4

6

51 18

4

7

8

2(5)2 + 1 2(6)2 + 1 2(7) 2 + 1 2(8) 2 + 1

33

14

10

4

m

3

73 22

4

99 26

4

129 30

4

Comenten, en grupo, sus resultados. Lean lo siguiente.

Lo que está en los óvalos azules se llama primeras diferencias de la sucesión; lo que está en los verdes, segundas diferencias. Observen que en el primer ejemplo las primeras diferencias son iguales pero en el segundo, mientras que las segundas diferencias son iguales , las primeras no lo son.

162

2. Las expresiones de la tabla corresponden a sucesiones. En equipo, efectúa lo q ue se pide. a) Anoten, sin calcular los términos de la sucesión, a partir de la expresión qué diferencias son iguales: las primeras o sólo las segundas.

Expresión 2n n2 + 3n + 1 n2

¿Son i guales l as p rimeras o so lo l as s egundas di ferencias?

las primeras las segundas las segundas

2

5n + 12 1 000n

las segundas las primeras

b) Para verificar, calculen en sus cuadernos los primeros cinco o seis términos de la sucesión e investiguen si las diferencias son iguales.

validar

c) Analicen las sucesiones de la lección anterior y las de esta. Obtengan una conclusión sobre cómo son cuando las primeras diferencias no son iguales pero las segundas sí.

comunicar

R. T. Cuando las primeras diferencias son iguales, la expresión es de primer grado. Si las segundas diferencias son iguales, es de segundo grado. d) Escriban una expresión que corresponda a una sucesión en la que las primeras diferencias sean iguales.

R. T. debe ser de primer grado

diferencias no sean iguales pero las segundas sí. m

Escriban otra en la que las primeras

R. T. debe ser de segundo grado

Comenten, con los demás equipos, los resultados a los que llegaron. 3. Anota, en cada caso, si la expresión que le corresponde al término n de cada sucesión es de primer o de segundo grado. 4, 6, 8, 10,12, 14... 3, 4, 6, 9, 13, 18... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... 10, 14, 18, 22, 26... 6, 8, 12, 18, 26...

primer grado segundo grado primer grado primer grado segundo grado

¿Cómo es la expresión de una sucesión cuyas primeras y segundas diferencias son diferentes pero las terceras, iguales? ¿Podrías dar un ejemplo? A partir de él, ¿podrías generar la sucesión?

Lasde sucesiones cuyaspor primeras diferencias son iguales son sucesiones con una expresión algebraica primer grado, ejemplo, n + 3 o 5n + 2. Las sucesiones cuyas primeras diferencias no son iguales pero las segundas sí, son sucesiones con una expresión algebraica de segundo grado, por ejemplo, n2 + 4 o 4 n2 + 3n − 1.

163

4

BLOQUE


El método de las diferencias


Si en una sucesión las primeras diferencias no son iguales pero las segundas sí lo son, entonces la expresión que le corresponde a la sucesión es de segundo grado y, por tanto, tiene la forma an2 + bn + c.

m

Efectúa, en grupo, todas las actividades de la lección asesorado por el profesor.

1. Completen la ta bla para calc ular los términos de una su cesión general de seg undo grado. Observen los ejemplos. n

1

2

3

an2 + bn + c

a(1)2 + b(1) + c

a(2)2 + b(2) + c

a(3)2 + b(3) + c

4

a+b+c

4a + 2b + c

9a + 3b + c

5

a (4)2

+ b (4) + c 16a + 9b + c

a (5)2

+ b (5) + c 25a + 10b + c

Observen que la sucesión no es numérica sino que sus términos son expresiones algebraicas. La ocuparán para la actividad que sigue. 2. Encuentren la expresión general de la siguiente sucesi ón. 4, 6, 12, 22, 36, 54, 76, 102...

Porque a) Su expresión es de segundo grado. ¿Por qué?

validar

las primeras diferencias no

son iguales pero las segundas sí. b) Entonces, la expresión tiene la forma an2 + bn + c y se necesita conocer los valores de a, b y c. Del lado izquierdo está la sucesión y del derecho, una sucesión general de segundo grado. Calculen las primeras y segundas diferencias de cada una.

Sucesión

4

6

12

6

2

Sucesióngeneraldesegundogrado

22

10

a

b

4a + 2b + c

c

164

4

3b + c

5a + b

3a + b

2a 4

9a

16a + 4b + c

7a + b 2a

c) Analicen cuidadosamente las diferencias en ambas sucesiones. »

Observen lo que escribieron en los óvalos verdes: de ahí se deduce quea2= 4. ¿Cuánto vale a?

»

2

Observen lo que está escrito en el primer óvalo azul de ambas sucesiones: de ahí se deduce que 3a + b = 2. ¿Cuánto valeb?

»

–4

Finalmente, el primer término de la sucesión numérica es 4 y el primer término de la sucesión general es a + b + c; entonces a + b + c = 4. ¿Cuánto vale c?

6

d) Para obtener la expresión que corresponde a la sucesión numérica sustituyan los valores de a, b y c en an2 + bn + c. La expresión queda

2n2 − 4n + 6

e) Comprueben que la expresión sea correcta sustituyendo n por 1, 2, 3, 4... Obtendrán los valores de la sucesión 4, 6, 12, 22, 36, etcétera. Este método para encontrar la expresión de una sucesión se llama método de diferencias. En caso de que sea una expresión de segundo grado, consiste en… 1. Calcular las primeras y segundas diferencias de la sucesión. 2. Las segundas diferencias siempre son iguales a 2a. De ahí se encuentra el valor de a. 3. La primera diferencia entre los dos primeros términos de la sucesión siempre es igual a 3a + b. De ahí se obtiene el valor de b. 4. El primer término de la serie siempre es igual a a + b + c. De ahí se obtiene el valor de c. Una vez que se tienen los valores de a, b y c, se sutituyen en an2 + bn + c.

3. Utilicen el método de las diferenc ias para hallar la expresió n que corresponda a las siguientes sucesiones. Háganlo en su cuaderno.

_1 n2 – _1 n + 4

a) 4, 5, 7, 10, 14...

2

b) 10, 12, 16, 22, 30... c) 5, 10, 20, 35, 55...

2 - n + 10 _5 n2 – _5 n + 5 2 2 n2

4. Encuentren la expresión general para el número de cuadrados de la sucesión.

La expresión es

validar

2n2 – 2n + 1.

¿Qué relación tiene el número de cuadrados verdes con el número de figura? ¿Y el número de cuadrados anaranjados? Encuentra una expresión a partir de analizar los colores de los cuadrados y compárala con la que encontraste por el método de diferencias.

165

4

BLOQUE



Números y figuras comunicar

1. Encuentra la expresión algebraica que corresponda a cada sucesión.

Sucesión

Expresión

Expresión para calcular el número de cuadrados de cada figura

2 _21 n + _21 n

Expresión para calcular el número de palillos de cada figura

5n + 1

Expresión para calcular el número que corresponda a cualquier lugar de la sucesión

2n + 10

12, 14, 16, 18, 20 Expresión para calcular el número que corresponda a cualquier lugar de la sucesión

3, 8, 18, 33, 53

_5 n2 – _5 n + 3 2

2

Expresión para calcular el número de círculos de cada figura

Observa más ejemplos de sucesiones cuadráticas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-166

166

2n – 1

2. Escribe los primeros cinco números de la sucesión que corresponda a cada expresión. n2

,

6

,9

14 ,

21 ,

30 , ...

+b)7 2n

,

9

,11

13 ,

15 ,

17 , ...

2

7,

14,

23 ,

,34 ...

+a)5

c)

2 n– +1 2n

,

3. Encuentra la expresión algebraica para el término

n de la

siguiente sucesión.

2 Expresión n

a) ¿Cuántos triángulos tendrá la figura 80 de la sucesión? b) ¿Qué figura tendrá 10 000 triángulos?

6 400

la 100

c) ¿Alguna figura de la sucesión tendrá 600 triángulos?

No

¿Cómo lo sabes?

validar

No hay un número entero que elevado al cuadrado dé 600. 4. Encuentra la expresión algebraica de la sucesión 4, 6, 10, 16, 24… Expresión n2

–n+4

a) ¿Qué número corresponde al lugar 80 de la sucesión?

m

b) ¿Qué lugar ocupa en la sucesión el 214?

15

c) ¿El número 502 pertenece a la sucesión?

No

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de sucesiones cuadráticas

6 324

¿Cómo lo sabes?

P.R.

Comenta tus resultados y procedimientos con tus compañeros.

167

4

BLOQUE

Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos

Secuencia 2/ lección 64

Girar una figura produce otra figura Los conos y los cilindros tienen características en común; una de ellas es que pueden generarse a partir de girar una figura geométrica. ¿Qué figura debes girar para generar un cilindro? ¿Y un cono? Dado que tienen una cara curva, trazar plantillas para construir cilindros y conos no es fácil, pero al estudiar estas lecciones aprenderás a hacerlo.

1. Trabaja en equipo. Tracen, en una cartulina, un rectángulo de 12 cm × 5 cm; un triángulo rectángulo cuyos lados midan 9 cm, 12 cm y 15 cm; y un semicírculo de 8 cm de radio. Recorten las figuras.

Peguen cada figura en un popote o en un palo pequeño, como se muestra.

Coloquen entre sus manos los popotes, uno por uno, y gírenlos. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera al girar el triángulo?

Un cono b) ¿Y el rectángulo?

Un cilindro

c) ¿Y al girar el semicírculo?

Una esfera

d) Anoten en las flechas las medidas del

cilindro que se genera al girar el rectángulo. Consideren que lo pegaron al popote por el lado mayor.

m

168

10 cm 12 c m

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Corrijan que lo sea necesario.

2. Lee, en equipo, la información. Hagan lo que se indica.

Al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos, la hipotenusa genera un cono. El eje alrededor del cual giró el triángulo se llama eje del cono, y coincide con su altura. La hipotenusa que genera al cono se llama generatriz.

resolver

generatriz altura

radio

a) Anoten, en la figura de la derecha, las medi-

das del cono que se genera al girar el triángulo de la página anterior. Recuerden que lo pegaron al popote por el lado mayor.

15 Otra manera de generar un cilindro es usando un círculo. ¿Qué movimiento (simetría, traslación o rotación) debes aplicar al círculo para generar el cilindro?

12

b) Imaginen que se girará el triángulo de la acti-

vidad 1 tomando como eje de giro el cateto más corto. Anoten en la figura de abajo las medidas del nuevo cono que se genera.

9

15

9

24 m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Lean lo siguiente. Los cuerpos geométricos que se generan al girar una figura geométrica sobre un eje reciben el nombre de cuerpos de revolución. Estos son diferentes a los poliedros porque tienen al menos una cara curva y pueden no tener caras planas.

169

4

BLOQUE


¿Cómo se hace un cilindro?


1. Marca, en los siguientes desarrollos planos, el que sirva para formar un cilindro. Explica por qué los demás no sirven.

validar

✔

Aprende más sobre desarrollos planos en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-170

el lado Los demás no sirven porque

del rectángulo que toca al círculo debe medir

lo mismo que el perímetro del círculo, y los círculos deben ser iguales. m

Revisa, con el profesor, tus respuestas. Contesta la siguiente pregunta en grupo.

¿Qué características debe tener un desarrollo plano para que se pueda construir un cilindro?

R. T. Dos círculos iguales deben tocar lados opuestos del rectángulo. Esos lados deben medir lo mismo que el perímetro de los círculos. El lado del rectángulo que toca al círculo debe ser tangente a este. 170

2. Lleva a cabo,en equipo, losiguiente. Consideren 3.14 como valor deπ. Primero acuerden lo que harán y luego tracen individualmente.

Ya sabemos... El perímetro de un círculo se calcula con la fórmula P = πd o, lo que es lo mismo, P = 2πr, donded es el diámetro yr es el radio del círculo.

a) Tracen la plantilla para construir un cilindro con las siguientes medidas.

Altura del cilindro: 6 cm

Perímetro de la base: 15 cm

b) Recorten y peguen la plantilla para formar el cilindro. c) Comparen su cilindro con el de sus comañeros de equipo. Verifiquen que la altura mida

6 cm y el perímetro de la base, 15 cm. m

Analicen, con ayuda del profesor, los procedimientos que utilizaron para trazar la plantilla y contesten lo siguiente. a) ¿Cuánto mide el rectángulo con el que se forma la cara curva del cilindro?

cm15

Largo:

Ancho:

cm 6

b) ¿Cuál de las medidas anteriores coincide con la altura del cilindro?Ancho c) ¿Cuánto mide el radio con el que trazaron las circunferencias?

Con d) ¿Cómo calcularon la medida del radio? P r=_

el perímetro P = 2

15 = ___ 2π

238 cm

r y despejando

π

2

π

e) Anoten las medidas en el dibujo.

238

6 cm

15 cm f ) Lean lo siguiente.

La cara lateral de un cilindro es un rectángulo con uno de sus lados igual que el perímetro del círculo que es la base del cilindro y el otro igual a la altura del cilindro.

171

4

BLOQUE



¿Cómo se construye un cono? 1. Marca la plantilla con la que se pueda construir un cono. Escribe junto a las otras por qué no se puede.

validar

El círculo es muy pequeño para ser la base del cono

No se puede hacer un cono porque no es un sector circular

El círculo es muy grande para ser la base del cono

2. Haz, con un compañero, lo que se indica. a) Tres de las figuras dibujadas arriba constan de un sector circular y un círculo, elementos

necesarios para construir un cono. Sin embargo, solo en una el arco del sector circular tiene la misma longitud que la circunferencia. ¿Cuál es? Verifiquen que sea la que marcaron en la actividad 1. 172

b) Trabaja en equipo. Lean la información y contesten la pregunta del inciso anterior. Para calcular la longitud de un arco se puede pensar de la siguiente manera: si una circunferencia de 2 cm de radio estuviera completa mediría 2πr es aproximadamente 2(3.14)(2) = 12.56 cm. Esto corresponde a los 360° de la circunferencia completa. En este caso el arco solo abarca un ángulo de 73°, por lo que se plantea el siguiente problema. En una circunferencia con 2 cm de radio, a un ángulo de 360° le corresponde una circunferencia de 12.56 cm. ¿Qué longitud le corresponde a uno de 73°? a rco

r ángulo a central o d 73° a d i r i m o 2c

m

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente.

Una pista

a) Comparen sus resultados de las actividades anteriores.

Recuerda tus lecciones de proporcionalidad:

b) Comprueben, mediante cálculos, en qué figuras de la actividad 1 la longitud de la

la figura circunferencia y la del arco coinciden. ¿Cuál es su En medida?

360° es a 12.56 como 73° es a…

verde y su

medida es de 8.16 cm 3. Haz, en equipo, lo siguiente. a) Tracen, en una hoja blanca o en un pedazo de cartoncillo, la plantilla para construir un

cono con las medidas que se indican. No olviden ponerle pestañas para pegar. Radio del sector circular: 8 cm Ángulo central: 120° b) Recorten la plantilla y armen el cono. c) Comparen su cono con los de los otros equipos para que vean si son iguales. d) ¿Cuál es la altura del cono que construyeron?

7.54

Esta pregunta se analizará en la lección “Un cono a la medida”, del bloque 5. 173

4

BLOQUE

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente


Ángulo de inclinación y pendiente En lecciones anteriores estudiaste que la pendiente de una recta trazada en el plano cartesiano tiene un valor numérico. ¿Cómo se puede determinar? ¿Qué relación hay entre este valor y el ángulo que forma la recta con el eje x? Al resolver esta secuencia podrás responder estas y otras preguntas.

1. Resuelve en equipo. Tres amigos

En contexto Cuernavaca es una ciudad primaveral, repleta de atractivos: misteriosos templos prehispánicos de gran belleza, iglesias y casonas coloniales de aires recargadamente barrocos; además de un ramillete de simpáticos pueblos tradicionales donde se condensa el acervo cultural del estado.

Una pista Puedes prolongar las líneas hasta que lleguen al kilometro 90.

Ya sabemos... Las graficas de las expresiones y = mx + b son líneas rectas. El número b es el punto en el que la grafica corta al eje y; m, la pendiente de la recta.

se reunirán en la ciudad deCuernavaca, en el estado de Morelos. La grafica muestra parte del recorrido de cada uno.

m K n e ia c n a ts i D

Mario Juan Pedro

5 10

40

a) Si Cuernavaca se encuentra en el kilometro 90. ¿Quién llegó primero? b) ¿Quién llegó al último?

60

Juan

Mario

c) ¿Quién iba con mayor rapidez?

Juan

d) ¿Quién iba con menor rapidez?

Mario

2. Las siguientes expresiones algebraicas corresponden a la distancia recorrida ( y) y el tiempo transcurrido ( x) de cada amigo. y = x + 40

y

3 = _x + 25 2

a) Completa la tabla indicando a quién corresponde cada una. b) ¿Quién va con mayor rapidez?

y

Amigo Mario

Juan

y

Pedro

y

=+x

Pendiente de la recta

40

1

_3 = 2 x + 25 3 x + 10 =_ 4

_3

y

c) ¿Quién va con menor rapidez?

Pedro

3 = _x + 10 4

Expresión

Juan

174

20

Tiempo (en minutos)

2 _3 4

m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo siguiente.

En el problema anterior, la pendiente de la expresión algebraica y = mx + b indica la rapidez del automóvil: a mayor pendiente mayor rapidez.

3. Lee lo siguiente. En las rectas azul y roja se ha marcado su ángulo de inclinación. El de la recta azul es de 110° y el de la roja, 66°.

4 3

Observa que el ángulo de inclinación está formado por la recta considerando que se dirige hacia arriba y la parte del eje x que se dirige a la derecha.

2 1

110º

66º 0 1

–3 –2 –1

234567

–1 –2

3. Para cada expresión…

Ya sabemos...

a) haz en tu cuaderno una tabla de valores y traza las rectas en un plano cartesiano. Mide el ángulo de inclinación de cada una. y = 2x y = 2x +

2

comunicar

y

= 4x.

y

1 = _x 2

y

1 = _x 3

y

= 4x – 4

y

1 = _x – 1 2

y

1 = _x + 3 3

Para trazar una recta basta con localizar dos puntos de la misma.

b) completa la tabla. Las ecuaciones deben quedar ordenadas de mayor a menor, con respecto a su ángulo de inclinación con el eje x.

Ecuación de la recta y = 4x –y 4= 4x y = 2x +y =2 2x __1 y = x 2 –y 1= __21 x y

75.96

0

75.96 63.43

0

63.430 0

18.43

Pendiente

4 4 2 2

26.560

__1

0

__1

26.56

= __31 x

+y =3 __31 x m

Medida del ángulo de inclinación

Investiga más sobre ángulos y pendientes de rectas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-175

2

2

18.430

__1

0

__1

3 3

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten la siguiente información.

Dos rectas que tienen la misma pendiente también tienen el mismo ángulo de inclinación. Si una tiene pendiente mayor que otra, entonces tiene un ángulo de inclinación mayor.

175

4

BLOQUE


Triángulos rectángulos en el plano cartesiano


1. En el siguiente plano cartesiano se ha

C

5

marcado con rojo el ángulo de inclinación de la recta azul.

B

4

Por los puntos A, B y C se trazaron rectas paralelas al eje x.

3 A

2

a) ¿Los ángulos marcados con vértice en A, B y C miden lo mismo que el ángulo de inclinación de la recta azul?

1 51.34º –2

Sí

–1

0

1

23

45

–1 –2

b) Argumenta tu respuesta.R.

validar

Una pista

T. Los ángulos formados son correspondientes;

por tanto tienen la misma medida.

Recuerda lo que estudiaste en segundo grado sobre ángulos entre paralelas y una secante.

2. Considera la recta ver de del siguiente plano cartesiano . Se ha trazado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está sobre la recta. 5 R. T. esSustituyendo a) ¿Cómo comprobarías que la ecuación de la recta y = __x + 3? 4

en la ecuación dada los puntos A(0,3) y B(4,8), comprobando que satisfagan la igualdad b) Compruébalo.

_5 c) ¿Cuánto mide la pendiente de la recta?

B

8 7

4

d) Señala, en el triángulo, el ángulo que sea igual al de inclinación de la recta y llámalo A.

6 5

e) Escribe, como fracción, el resultado de dividir la medida del cateto opuesto entre el cateto adyacente del ángulo A.

4 C

3 A

_5 4

2

f ) Compara tu resultado con la pendiente de la recta. ¿Qué 1

observas? –3

–2

–1

0123456 –1

176

Son iguales.

17

3. Haz lo que se indica.

16 15 14

a) Escribe en cada ecuación el color de la recta que le corresponde. y

13 12 11 10 9

negra

=x

8 7

_3 y = x + 8 roja 4 y

6 5 4 3

= 2x + 13 azul

2

b) Anota, en cada triángulo, las medidas del cateto opuesto y del cateto adyacente del ángulo que sea igual al ángulo de inclinación de la recta.

negra 3,3

roja 3,4

1 0 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9 10 11

–1 –2 –3 –4

azul 4,2

–5

c) Calcula el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente y compáralo con la pendiente de la recta.

roja azul m

3 __ 4 4 __ 2

negra

3 __ 3

=1

igual a la pendiente de la recta 3 __

igual a la pendiente de la recta =2

1

4

igual a la pendiente de la recta

2

Compara tus hallazgos con los de tus compañeros. Comenten la siguiente información. Si en el plano cartesiano se traza un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está sobre una recta, se tiene que… • uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo es igual al ángulo de inclinación de la recta. • el cociente del cateto opuesto de ese ángulo entre el cateto adyacente siempre es igual a la pendiente de la recta. A ese cociente se le llama tangentedel ángulo.

4. En el siguiente plano solo se ha trazado un segmento de rectas. Anota, sobre cada caso,

resolver

la pendiente de la recta a la que pertenezca. 7 GA

E

6

C

5 4 B

3

D

2 1 H 0 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

–1

8

9

10

111 I

F

2

13

segmento GH 5 3 segmento AB _ 2 7 segmento EF _ 5 segmento CD 4 2 segmento IJ _ 4

–2 –3

J

177

4

BLOQUE



Más ejercicios sobre tangente y pendiente 1. Haz, en equipo, lo que se pide, con base en la información del plano cartesiano.

y

t r

8

s

7 6 5 4 3 2

a

1 x

1

2

34

56

78

a) Anoten en la tabla los datos que corresponden a la recta r. b) Tracen, en el mismo plano, las rectas t y s, de acuerdo con los datos de la tabla.

Habrá una recta con pendiente 0. ¿Cómo debería ser?, ¿cómo es

c) Completen la tabla.

su ecuación?

Punto donde la recta corta al eje y

Ángulo de inclinación

Pendiente de la recta

Recta r

2

370

Recta t

5

45º

0.75 1

Recta s

m

0

37º

0.75

Regla de correspondencia y

= 0.75x + 2 y=x+5 y

= 0.75x

Revisen, con ayuda del profesor, los datos de la tabla y las rectas que trazaron. Si hay diferencias averigüen a qué se deben y corrijan lo que sea necesario.

2. Lee, con dos compañeros, lo siguiente. Comenten, en grupo y con ayuda del profesor, lo que entendieron. Para calcular el valor de la tangenteque le corresponde al ángulo a se puede proceder de dos maneras. • Primera. Dividiendo la medida del lado opuesto al ángulo a entre la del lado adyacente (el lado que no es hipotenusa). Por ejemplo, en el plano anterior, la tangente de a es __34 . • Segunda. Con una calculadora que tenga razones trigonometricas se pone la medida del ángulo, por ejemplo (37) y luego la tecla de tangente (tan).

178

3. Haz, en equipo, lo que se indica para las siguientes expresiones algebraicas.

resolver

y = –10 x + 2 y = 4x – 4 y=–

_1 x – 1 2

y = 10x + 3 y = –10 x

comunicar

a) Grafiquen, en el plano cartesiano, cada expresión. b) Completen la tabla ordenando las tangentes de mayor a menor.

10

4

–_1 2

Primera

Segunda

Tercera

c) ¿Qué recta está más inclinada? d) ¿Cuál lo está menos?

10

–

–10 Cuarta

Quinta

Primara, cuarta y quinta.

Tercera

e) Expliquen cómo debe ser la pendiente una recta paralela al eje y. Nodedefinida.

Refuerza tus conocimientos sobre la tangente en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-179

La tangente de 900 no está definida. m

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Corrijan cuando sea necesario.

4. En el siguiente plano hay varias rectas. Calcula la tangente del ángulo de inclinación de cada uno, como en el ejemplo. _3 2

-2 _ 5 –13 _ 3 2 _

técnicas

Una pista Si el ángulo de inclinación de una recta es obtuso, su pendiente es negativa.

2 14 _ 1 m


179

4

BLOQUE



A veces Pitágoras no alcanza El teorema de Pitágoras es útil para calcular la medida de un lado en un triángulo rectángulo cuando se conocen las medidas de dos lados, pero, ¿qué hacer cuando solo se conoce un lado y un ángulo? En esta secuencia aprenderás que las razones trigonométricas son útiles para calcular medidas faltantes en un triángulo rectángulo.

1. Trabaja en equipo. Hagan, con base en los siguientes triángulos, lo que se indica. 1

2

3

4

5 40º

40º 40º

40º

40º

a) Expliquen por qué se puede asegurar que los triángulos son semejantes.

Porque sus ángulos son iguales.

validar

b) El cateto marcado con una raya en el triángulo 1 es el cateto opuesto al ángulo de 40°. El

marcado con dos rayas se llama cateto adyacente al ángulo de 40° (porque forma parte del ángulo). La hipotenusa está marcada con tres rayas. Marquen de la misma manera los otros ángulos.

Ya sabemos... Dos triángulos son semejantes si los tres ángulos de uno tienen

c) Midan con regla los catetos y la hipotenusa de cada triángulo para completar la tabla.

la medida que losmisma del otro.

Usen calculadora y redondeen a centésimos.

_ quiere decir medida del cateto opuesto entre medida de la hipotenusa. _ quiere decir medida del cateto adyacente entre medida de la hipotenusa. _ quiere decir medida del cateto opuesto entre medida del cateto adyacente . CO H

CA H

CO

Ya sabemos... CO El cociente___ se llama CA tangente.

CA

Triángulo 1 2 3 4 5 m

180

Cateto Cateto Hipotenusa opuesto adyacente

_ CO

_

H

H

_

CA

CO CA

11.4 0.8 1.3 1.6

1.7 0.9 1.5 1.9

2.2 1.2 2 2.6

0.64 0.67 0.65 0.62

0.77 0.75 0.75 0.73

0.82 0.89 0.87 0.84

2.3

3.1

4.2

0.55

0.74

0.74

Comparen sus tablas con las de sus compañeros. Si hay diferencias grandes averigüen quién tiene razón y corrijan.

2. Determina, co n dos compañer os, si los siguie ntes enunciados son v erdaderos (V) o falsos (F). Usen la información de la tabla anterior. En caso de que un enunciado sea falso ejemplifiqu en, en su cuaderno, con un triángulo que no lo cumpla.

V a) La medida de la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos. b) La medida del cateto opuesto a un ángulo de 40° siempre será mayor que la medida del

cateto adyacente.

F

c) Si se divide la medida del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a un ángulo de

40°, en un triángulo rectángulo, el resultado siempre será aproximadamente 0.84.

V d) Si se divide la medida del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a un ángulo de

45°, de cualquier triángulo rectángulo, el resultado siempre será 1.

V

e) Cuando el ángulo es mayor a 45°, lamedida del cateto opuesto es menor que ladel cateto

F

adyacente. m

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

3. Considera, en equipo, otro triángulo rectángulo (con medidas de lados diferentes a los de la página anterior) con un ángulo de 40°. CO __ CO a) ¿Los cocientes ___ , CA , ___ son diferentes o iguales a los de la tabla anterior? Iguales H H CA

validar

b) Tracen, en sus cuadernos, dos triángulos rectángulo que tengan un ángulo agudo de 40°

para verificar su respuesta al inciso anterior.

técnicas

4. Considera el otroángulo agudo de los triángulos dibujados en página la anterior .

a) ¿Cuánto debe medir? 500 b) Identifiquen el cateto opuesto y el adyacente que correspondan a ese ángulo (50º) en

Una pista

cada triángulo y completen la tabla. Triángulo 1 2 3 4 5 m

Medida del Medida del Medida de la cateto opuesto cateto adyacente hipotenusa

_ _ _ CO

CA

CO

H

H

CA

1.7 0.9 1.5

1.4 0.8 1.3

2.2 1.2 2

0.77 0.64 1.21 0.75 0.67 1.13 0.75 0.65 1.15

1.9 3.1

1.6 2.3

2.6 4.2

0.73 0.62 1.19 0.74 0.55 1.35

En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a uno de los ángulos se convierte en el cateto adyacente del otro ángulo, y viceversa: el cateto adyacente a un ángulo es el cateto opuesto del otro.

Comparen, con ayuda del profesor, su tabla con las de sus compañeros. Vean qué relación hay con la tabla del inciso c del ejercicio 1.

181

4

BLOQUE


Semejanza y cocientes iguales


1. Considera trián gulos rectángulo s con las medidas indica das en cada cartel.

técnicas

Triángulo

Triángulo 3

Triángulo 2

Medida de los catetos: 2 cm y 1.5 cm

Medida de los catetos: 1 cm y 0.75 cm

Medida de la hipotenusa: 2.5 cm


Triángulo 4

Triángulo 5

Medida de los catetos: 8 cm y 6 cm


Medida de la hipotenusa: 10 cm


Triángulo 6

Triángulo 8

Medida de los catetos: 2.5 cm y 6 cm




Triángulo 7

Triángulo 1





a) Usa el triángulo de la derecha como

modelo. Sustituye las medidas de los ocho triángulos anteriores y completa la tabla

Medida del cateto opuesto del ángulo a

Medida del cateto Medida de la adyacente al hipotenusa ángulo a

1345

5

0.75 1.5 6 5

6

2.5

6

6.5

7

15 9

36 12

39 15

2 3 4

8

182

1 2 8 12

1.25 2.5 10 13

Ángulo a

_ CO

_ CA

_

H

H

CA

CO

0.6 0.6 0.6 0.6 0.384

0.8 0.8 0.8 0.8 0.923

0.75 0.75 0.75 0.75 0.416

0.384 0.384 0.6

0.923 0.923 0.8

0.416 0.416 0.75

b) En la tabla hay dos grupos de triángulos: los semejantes entre sí y los que no lo son.

¿Cuáles están en un grupo y cuáles en otro? Triángulos semejantes entrelos sí:

dos grupos de ángulos semejantes entre sí

son (1,2,3,4,8) y (5,6,7) los triángulos Triángulos que no son semejantes entre sí:

(1,2,3,4,8) no son seme-

jantes a los (5,6,7). c) ¿En qué se fijaron para distinguir los grupos?

R. P. 2. Trabaja conun compañero.Tracen, en suscuadernos, los triángulos con las medidas marcadas, midan sus ángulos y verifiquen que los que indicaron sean semejantes entre sí. m


3. Mide los catetos de cada triángulo y completa la tabla considerando el ángulo marcado.

Medida

Medida

_

Triángulo

del cateto opuesto

del cateto adyacente

CA

Medida del ángulo

Verde

1.8 1.8 1.7 1.8

0.94 2.4 4.4 1.8

1.91 0.75 0.38 1

62° 37° 21° 45°

Morado Naranja Azul

a) ¿Cuánto mide el ángulo cuya tangente es 1?

m

CO

resolver

45°

b) ¿Cuánto mide el ángulo cuya tangente es mayor?

90°

c) ¿Cuánto mide el ángulo cuya tangente es menor?

0°

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten, con ayuda del profesor, lo siguiente.

¿La tangente de un ángulo mayor a 45° mide más que 1? ¿Y la tangente de uno menor a 45°?

CO En la secuencia anterior aprendiste que el cociente __ recibe el nombre de tangente. Si la tangente CA de un ángulo en un triángulo rectángulo A es mayor que la tangente de un ángulo en otro triángulo rectángulo B, el ángulo A es mayor que el ángulo B.

183

4

BLOQUE

Explicitación y uso de las razones t rigonométricas seno, coseno y tangente


Seno, coseno y tangente Probablemente habrás notado que en dos o más triángulos rectángulos semejantes, al considerar un ángulo que mide lo mismo en cada uno, la razón o el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente es la misma. En esta secuencia estudiarás estas relaciones.

1. Comenta, en grupo y con ayuda del profesor, lo siguiente. En un triángulo rectángulo, para un ángulo a, los cocientes que estudiaste en la lección anterior reciben un nombre especial.

o t s e u p o o t e t a C

Hipotenusa

• El cociente de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa se llama seno del ángulo a. • El cociente de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa se llama coseno del ángulo a.

Ángulo a Cateto adyacente

• El cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente se llama tangente del ángulo a.

A los cocientes antes mencionados se les llama razones trigonométricas.

2. Calcula las razones trigonométricas para el ángulo indicado en los triángulos. Redondea hasta milésimos.

técnicas

Triángulo 1

¿Qué otros cocientes se pueden hacer con las

Triángulo 2

Triángulo 3

4 cm

medidas laterales de un triángulo rectángulo? Averigua cuáles son y cómo se llaman.

cm 3

cm 5

37º

7 cm

40º

4 cm

6 cm

Triángulo

m

2 cm

16º

Seno

1

Seno(37°)=

2

Seno(40°)=

3

Seno(16°)=

0.602 0.642 0.276

Coseno Coseno(37°)= Coseno(40°)= Coseno(16°)=

Tangente

0.799 0.766 0.961

0.753 0.839 0.287

Tangente(37°)= Tangente(40°)= Tangente(16°)=

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Calculen las razones para el otro ángulo agudo de cada uno de los triángulos anteriores.

Una pista Triángulo El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es igual al coseno deltriángulo. otro ángulo agudo del

Seno

Coseno

1

Seno(

2

Seno(

530)= 0.799 Coseno( 50)=0 0.766 Coseno(

3

Seno(

74)=0

0.961

Coseno(

Tangente

53)=0

0.602 Tangente(

)500 =

0.642 Tangente(

)=

500

1.191

)= 740

Tangente( 0.276

)=

740

3.487

3. Trabaja en equipo. Respondan usando la información de la figura 1.

184

)=53

0

1.327

a) ¿Cuál es el valor del coseno de 70°?

0.342

b) ¿Cuál es el valor del seno de 70°?

0.940

Una pista Como la medida de la hipotenusa es 1, basta con determinar la medida del cateto adyacente.

c) Calculen las medidas que faltan en las figuras 2 y 3. Figura 1

Figura2

Figura3

1 5 0.8

a= 3

a=

0.6 70º

1

0.4 0.2

triángulos rectángulos semejantes. ¿Por qué? En la figura 2, la hipotenusa mide cinco veces lo que en la 1. ¿Cuánto deben medir a y b?

Fig. 2 200 a = 4.698 b = 1.71 Fig. 3 200 a = 2.819 b = 1.026

70º 0.2 m

70º b=

b=

Las figuras 1, 2 y 3 son

0.4

0.6

0.8

1

Una pista

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Analicen sus Dos triángulos son procedimientos. semejantes si sus tres ángulos son iguales.

4. Lee la información.

B

= c 2

ejemplo: En la figura de la izquierda se muestra el triángulo ABC,

= a?

seno de 35° = _________ = __a2 , hipotenusa cateto opuesto

35º A

b = ?

Si se conoce la medida de un lado y la de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, se pueden obtener las medidas de los otros lados. Por

C

entonces, a = 2(sen 35°), aproximadamente 2(0.57) = 1.14. Una vez que se conocen las medidas de dos lados del triángulo rectángulo se puede usar el teorema de Pitágoras para calcular la medida del tercero. El valor sen 35°, que es aproximadamente 0.57, se puede encontrar con una calculadora que tenga razones trigonométricas.

5. Contesta.

¿Cuál es la altura del árbol?

resolver

26 m

40º 20 m

Compara tu resultado con los de tus compañeros. Comenten sus procedimientos.

185

4

BLOQUE



Dos recursos que se complementan 1. Trabaja en equipo. Calculen, en cada triángulo, las medidas marcadas con signo de interrogación. Figura 1

Figura 2

Figura 3

? 5m

30º ? 6.5 m

?

54º 2m

58º

Fig. 1 3.403 m m

Fig 2. 5.629 m

Fig. 3 3.124 m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Respondan las preguntas. a) ¿Qué función trigonométrica permite calcular la medida desconocida en cada triángulo?

Fig. 1:

coseno

Fig. 2:

coseno

Fig. 3:

tangente

x b) Para resolver la Fig. 2, un estudiante hizo lo siguiente: seno de 30° __ = 65 , entonces x = 6.5

(seno de 30°) = 6.5(0.5) = 3.25. ¿En qué se equivocó?La

función indicada es coseno dado que busca el cateto

adyacente. 2. Determina, en equipo, la longitud de la cuerda AB en el siguiente círculo. Ejercita las razones trigonométricas en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-186

A

20 m

120º

20 m

B

Longitud de la cuerdaAB: 186

34.641 m

3. Observa la figura y contesta, ¿a qué altura se encuentra el papalote?

19.2836 m

resolver

30 m ?

40º

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros. Analicen los procedimientos diferentes. Lean lo siguiente. Si se conocen las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo se puede averiguar la medida de los ángulos agudos, con ayuda de una calculadora. Por ejemplo: 5 cm

a

El cateto opuesto mide 2 cm y la hipotenusa mide 5 cm, entonces, Seno de a = __25 = 0.4 Con la calculadora: 0.4 INV Seno = 23.6º

2 cm

4. Calcula, en equipo, la medida de los ángulos a , b y c en los siguientes triángulos rectángulos.

a

2m

7m 8 cm

4m c

a = 34.850 b = 34.850 c = 33.690

b

3m

14 cm

187

4

BLOQUE



El saber da poder El teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas ayudan a resolver problemas en los que se tiene poca información. 1. Resuelve los problemas en equipo. a) Calculen el área del triangulo equilátero.

Con el teorema de Pitágoras h

300

6

se calcula la altura h = 5.196

600

A = b x h = 6 x 5.196= 15.588 m 2 2

_

3

_

2

6m

b) Calculen el área del triángulo isósceles.

ip h

h

650 2

65º 4m

Con las razones trigonométricas: tan(650) = _h 2 h = 2 x tan(650) = 2 x 2.1445 = 4.289 A = 8.578

c) Calculen el área del hexágono regular.

4

h

4m

2

Es el área de seis triángulos equiláteros de 4 m de lado 42 – 22 = h2 h =√ 12 6(4)√12 2 A = _____ 2 = 41.5692 m

c) Calculen el área del pentágono regular.

Está formado por cinco triángulos isósceles iguales

720

tan 540 = _h 2

540 540 4 ip h

4m

m

188

540 2

360

h = 2 x tan(540) = 2.7527 A = 27.527m


2. Resuelve, con dos c ompañeros, lo siguiente. Comp aren sus respuestas co n las de sus compañeros. a) Comparen sus resultados para el área del triángulo equilátero. En particular analicen

cómo calcularon la altura, que debe ser menor a 6 m. b) Hay una fórmula llamada “fórmula de Herón”, con la que se puede calcular el área de un

triángulo sin conocer la medida de la altura. Es la siguiente: A

= ∙s(s – a)(s – b) (s – c)

en la que A representa el área;s, el semiperímetro del triángulo; y a, b y c, las medidas de los lados. Verifiquen que con la fórmula se obtenga el mismo resultado. c) Comparen sus resultados para el área del triángulo isósceles. En particular analicen cómo

obtuvieron la medida de la altura. d) Comparen sus resultados para el área del hexágono regular. En particular expliquen por

qué el problema es muy similar al del triángulo equilátero.

R. P.

e) A continuación se marcan varias medidas que probablemente usaron para calcular el área

del pentágono regular. Anótenlas y palomeen las que utilizaron.

3.4026

4

m

720

540 2.7527

360 2m 189

4

BLOQUE

Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa


La velocidad como razón de cambio ¿Cuánto avanza un automóvil, con rapidez constante, cada 10 min? Si un hielo se descongela, ¿cuánto sube su temperatura cada 15 min? En este apartado estudiarás razones de cambio entre dos tipos de magnitudes y su relación con la pendiente de la gráfica que las representa.

1. Resuelve el siguiente problema.

Sabemos que Alejandro dio un paseo en bicicleta en un camino que tiene un tramo de subida, en el que avanzó muy lento; uno plano, en el que fue más rápido; y uno de bajada, que recorrió mucho más rápido. Lo que no se sabe es qué tramo estaba primero y cuál después. La gráfica indica la distancia que Alejandro recorrió en cada minuto. Analízala y averigua en qué orden recorrió los tramos. Distancia (km)

Convivimos 40

Es común, al resolver un problema nuevo, pensar “esto no me lo enseñaron”. En lugar de pensar así, atrévete a ensayar con tus propios recursos la manera en que puedes solucionarlo, usa dibujos, diagramas, materiales diversos, calculadora, etc. Así desarrollarás habilidades y construirás conocimientos nuevos.

35 30 25

20 15 10 5 0

01

0

20

30

40

50

60

70

80

90

100

a) Escribe a qué tramo corresponde cada parte de la gráfica. morada:

bajada

roja:

plana

verde:

subida

b) Contesta a partir de la gráfica.

190

40 km

»

¿Qué distancia tuvo el trayecto?

»

¿Cuánto tiempo duró?

»

¿Qué distancia había recorrido a los 30 min Alejandro?

120 min 20 km

110

120 Tiempo (min)

c) Completa la tabla.

Segundo tramo

Primer tramo Tiempoenqueserecorrióeltramo

30 min

45min

Tercer tramo 45min

km15

Distanciarecorridaeneltramo

20km

5km

Velocidadpromedioeneltramo

666.66 m/min 333.33 m/min 111.11m/min

d) Verifica tu respuesta al inciso a) a partir de la tabla.

validar

2. Las siguientes rectas son gráficas de la relación entre tiempo y distancia del movimiento de cuatro trenes que van con rapidez constante. y

más veloz

x representa el tiempo en horas y y, la distancia en kilómetros. ) m k ( ia c n a t s i D

a) ¿De qué color es la recta que grafica el movimiento del tren más rápido?

Azul marino

b) ¿Y del más lento?

Rojo

menos veloz

c) Traza en el mismo plano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren más rápido que cualquiera de los anteriores.

x

Tiempo (horas)

d) Traza en el mismo plano cartesiano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren menos rápido que los anteriores. 3. Indica, en equipo, qué frases son verdaderas y cuáles, falsas. Comenten la información que se da al final. Un tren A va más rápido que un tren B si…

V

a) por cada minuto, el tren A avanza más kilómetros que el B. b) el tren A tarda más minutos que el B en avanzar 100 km.

F

c) dado un mismo aumento en el valor de x (tiempo) en la gráficas, aumenta más el valor de y (distancia) en la gráfica del tren A.

V

d) dado un mismo aumento en el valor dey (distancia) en las gráficas, aumenta más el valor de x (tiempo) en la gráfica del tren A.

F

e) la gráfica del tren A es una recta más “acostada” que la del tren B.

F

Para determinar qué movimiento es más rápido no basta con mirar el tiempo transcurrido ni la distancia recorrida; es necesario considerar la relación entre el tiempo y la distancia, por ejemplo,160 km en 30 min; o 320 km/h. Esta relación es una razón, o razón de cambio, y se llama rapidez.

191

4

BLOQUE



Variaciones de temperatura Temperatura (ºC)

1. Considera que un trozo de hielo se calentó bajo ciertas condiciones. Mediante un mecanismo se midió su temperatura durante 6 min. El resultado de las mediciones está representado en la gráfica.

10

5

a) Explica brevemente cómo varió la temperatura durante los 6 min. No olvides mencionar el tramo horizontal.

0

1 23456789

Tiempo (minutos)

R. T. En los primeros 2 s, la tem-5

peratura subió 10 0C; durante 3 s no cambió; y en el último segundo

-10

subió 10 0C.

b) Determina las siguientes razones para saber cuánto varía la temperatura por minuto en cada intervalo de tiempo. En los primeros dos minutos, la temperatura cambió

Conoce más sobre la razón de cambio en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-192

bio fue de

5

10

grados. Entonces, el cam-

grados por minuto.

Entre los minutos 2 y 5, la temperatura cambió

0

grados. El cambio fue de

0

10

grados. El cambio fue de

10

grados por minuto. Entre los minutos 5 y 6, la temperatura cambió grados por minuto.

A las razones que indican la variación de la temperatura por minuto también se les llama razones de cambio de la temperatura.

c) Observa que las razones de cambio de temperatura son diferentes.

192

»

¿En qué intervalo no hubo cambio de temperatura? En

el segundo

»

¿En cuál el aumento de temperatura por minuto fue mayor?En

el tercero

d) La ecuación que relaciona x con y en el primer intervalo es y = 5x − 10. ¿Cuál es la pendiente?

5

¿Qué relación tiene esta pendientecon la razón de cambio que encontraste?

Son iguales 2. Considera la siguiente situación: un recipiente que contiene agua a 20 °C se puso a enfriar en un medio que permite un enfriamiento constante. Se midió la temperatura durante un periodo. Los resultados de estas mediciones están representados en la gráfica de la derecha.

T (ºC) 20

Ya sabemos... En una ecuación del tipo y = mx + b, la m determina la inclinación de la recta, y se llama pendiente de la recta.

15

10

a) ¿Qué sucede con la temperatura conforme el tiempo aumenta? 5

Desciende. b) Calcula las siguientes razones. Expresa la disminución de la temperatura con un signo negativo.

1 23

4 56

7 8 9 10 11

t (minutos)

Entre los minutos 0 y 4: la temperatura cambió

–6

grados en

4

minutos.


–6

grados en

4

minutos.


c) Muestra que las razones son iguales.

–15

grados en

10

minutos.

–6 = _ –6 = _ –15 = _ –3 _ 2 4

4

10

La razón de cambio de la temperatura –3 _ –3 x + 20. ¿Cuál es la pendiente? La ecuación que relaciona x con y es y = __ 2 2

Una pista Calcula cuánto cambia la temperatura cada 2 minutos.

d) ¿Qué representan estas razones? e)

¿Qué relación tiene esta pendiente con la razón de cambio que encontraste?

Es la misma 3. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean esta información.

Una pista Calcula cuánto cambia la temperatura por minuto.

comunicar

Una característica de las rectas es que la razón de cambio es constante. Si cuando x aumenta y también lo hace, la razón de cambio es positiva. En el ejemplo de disminución de temperatura, mientras x aumentaba, y disminuía, por eso la razón de cambio de la recta es negativa. La razón de cambio de una recta es su pendiente.

193

4

BLOQUE


La pendiente como razón de cambio


1. En cada caso están la s coordenadas de d os puntos. A cada punto le corresponde una recta que pasa por él y el srcen. Sin trazar la recta, anota cuál de las dos tiene la pendiente mayor, es decir, cuál se acerca más a la vertical.

resolver

a)

Una pista Dado un punto de coordenadas x(, y), imagina que al desplazarte x unidades sobre el eje horizontal, subes y unidades sobre el vertical. ¿En qué caso la pendiente es mayor: cuando te desplazas 1 para subir 2 o cuando te desplazas 1 para subir 3?

Recta

Pasapor

m

(0, 0) y (1, 2)

n

(0, 0) y (1, 3)

¿Qué recta tiene la pendiente mayor?

¿Cómo lo sabes?

R. P.

n

b) p

(0, 0) y (1, 2)

q

(0, 0) y (4, 8)

R. P.

Son iguales

c) r

(0, 0) y (4, 8)

s

(0, 0) y (3, 8)

R. P.

s

d) Traza las rectas en un plano cartesiano en tu cuaderno y verifica tus respuestas. m


2. En las tablas se han calculado los valores de dos puntos de rectas que no pasan por el srcen.

Recta a

Recta b

x

y

x

y

1

5

2

4

2

9

3

5

a) Anota, en equipo y sin trazar las rectas, cuál tiene mayor pendiente, es decir, se acerca más a la vertical.

La recta a

b) Argumenta tu respuesta.R.

T. La recta a sube cuatro unidades y avanza

una, mientras que la recta b sube solo una unidad cuando avanza una. 194

m

Comenten, en grupo, su respuesta y su argumento. Tracen las rectas en un plano cartesiano y verifiquen sus respuestas. Con su profesor, lean y comenten la información. La pendiente de una recta también es la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas. Así como la pendiente de una recta es constante, su razón de cambio también. Para calcularla se pueden elegir dos puntos cualesquiera de la recta; por ejemplo, si elegimos (6, 11) y (3, 7):

x

(6, 11)

(3, 7)

Por cada vez que x aumenta 3, y lo hace 4. O, lo que es lo mismo, cuando x aumenta 1, y lo hace __43 . El cálculo se puede hacer también así: Razón de cambio = _________ (cambio de x) (cambio de y )

y

Razón de cambio = _____ (6 – 3) (11 – 7)

Razón de cambio = __43

3. En las tablas se han calculado los valores de algunos puntos de las rectas. Anota el valor de su razón de cambio (pendiente).

x

y

x

y

x

y

0

5

0

2.5

0

0

1

7

0.5

3

2

9

1

3.5

3

11

1.5

4

2

1 __

2

2 3 __

6

2 5 __ 2

1

10

4

4. Considera la siguiente recta. ¿Cuál es la razón de cambio (pendiente) de una recta que

forma un ángulo de 45º con el eje x?

1

y

45º x

5. Escribe en tu cuaderno un problema que se resuelva usando la razón de cambio de una recta. Plantéaselo a un compañero y resuelve el que él te plantee. m

Comenta, ante el grupo, cómo obtuviste la respuesta al problema que te plantearon en el ejercicio anterior.

comunicar

195

4

BLOQUE

Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión


El mejor horno Hay situaciones donde lo que interesa de un conjunto de datos es conocer su dispersión (qué tan separados o juntos están entre sí). La desviación media puede ser un recurso útil para el análisis de la dispersión de un conjunto de datos.

1. Para comparar la precisión de horneado de dos hornos de gran tamaño, se puso el termostato de cada uno a 180 °C y se tomó la temperatura (en °C) en distintos puntos.

resolver

Horno A

Horno B

160

200

192

190

188

194

204

185

200

188

162

180

165

196

182

190

198

187

189

192

198

170

194

170

160

193

193

194

170

194

187

166

186

184

164

175

181

187

192

184

a) La temperatura de 180°C es la indicada en el manual como la idónea para el horneado de panqués.

¿Crees que ambos hornos son igual de adecuados para cocinar panqués?

No

¿Por qué?

P. R.

b) Trabaja en equipo. Comenten cómo conviene analizar los datos para tomar una decisión. Distribúyanse el trabajo. Anoten sus conclusiones. Conoce más sobre la dispersión en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-196

¿Qué horno es mejor para elaborar panqués?

¿Por qué? R.

R. P.

P.

c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Lleguen a una decisión común y anoten sus comentarios.

R. P.

196

2. Doña Carmen —experta repostera que elabora panqués en grandes cantidades y que asegura no saber matemáticas—, su marido y su hijo —estudiante de ingeniería— discuten sobre qué horno deben seleccionar para hacer panqués.

Marido: Las temperaturas del horno A varían de 160° a 200°, y las del B, de 170° a 204°. Es mejor el horno B porque hay menos variación. Doña Carmen: En el horno A, mientras unos panqués quedan crudos, otros se queman, y solo algunos salen bien cocidos. En el B, a esa temperatura, se queman los panqués, pero si esta se baja un poco, quedan mejor que en el A. Hijo: El promedio de temperaturas en el horno A es 179.7° y en el B, 189.5°. El más cercano a 180° es el del A, por eso es mejor. Explica, en equipo, con quién estás de acuerdo. Expliquen su respuesta.

R. P.

Una manera de ver qué variación hay en las temperaturas es considerar el rango, es decir, la diferencia entre los valores máximo y mínimo del conjunto de datos. El que en el horno A el rango sea 40 es un primer indicador de que, a pesar de que su promedio de temperaturas sea cercano a 180°, su temperatura parece ser muy irregular. En la siguiente lección aprenderás otra manera de considerar qué tanto varían las temperaturas.

3. Lee la información y responde las preguntas.

El PIBPC de México en 2010 fue de 13 245 dólares, mientras que el salario mínimo, de $58.06 a) Calcula el ingreso anual (en pesos) de una persona que gana el salario mínimo.

$ 21 191.90 b) Considera que un dólar equivale a $13.98. Convierte el PIB PC de México a pesos.

$ 185 165.10 c) ¿A qué se debe la diferencia entre las cantidades que calculaste en los incisos anteriores?

El PIBPC es la relación entre la cantidad total de bienes y servicios generados por un país durante cierto año y el número de habitantes de ese país. Es d ecir, es el promedio de los bienes generados por todos los habitantes.

R. P.

Fuentes: http://hdrstats.undp.org/en/countries/profiles/MEX.html http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/pais/aeeum/2010/Aeeum10_2.pdf

197

4

BLOQUE



Desviación media 1. Una manera de analizar los datos de temperatura obtenidos de los hornos A y B de la lección anterior es calcular la desviación media de cada caso y compararlas. La del horno B se obtiene de la siguiente manera.

• Se calcula la media aritmética del conjunto de datos. • Se calcula la diferencia entre cada dato y la media aritmética (se considera el número sin signo, pues solo interesa saber su distancia a la media aritmética, es decir, la desviación del dato respecto a la media). • Se calcula la media aritmética de esas diferencias, la cual es la desviación media.

Ya sabemos... La media aritmética de un conjunto de datos es su promedio. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el número de ellos.

Dato

Diferencia con respecto a 189.5

194

4.5

190

0.5

193

3.5

175

14.5

204

14.5

198

8.5

193

3.5

181

8.5

185

4.5

187

2.5

194

4.5

187

2.5

200

10.5

189

0.5

170

19.5

192

2.5

188

1.5

192

2.5

194

4.5

184

5.5

189.5 (media aritmética)

5.95 (desviación media)

2. Calcula los datos que faltan para det erminar la desvia ción media del horno A.

Dato

Diferenciarespectoa179.7

Dato

Diferenciarespectoa179.7

198

160

19.7

190

10.3

162

198

187

17.718.3

7.3

196

170

16.3

9.7

200

180

20.30.3

184

4.3

188

8.3

170

166

9.713.7

182

2.3

160

19.7

192

165

12.314.7

194

186

14.36.3

164

Media aritmética

179.7

15.7

Desviación media

12.06

3. ¿De qué manera estos nuevos datos (la desviación media de los hornos) ayudan a ex-

plicar la elección de Doña Carmen y sus observaciones?

m

R. P.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Llegauen a una decisión común.

4. Califica cada oración como verdadera o falsa. Argumenta tu respuesta. La desviación media del horno A es mayor que la que del B porque…

a) hay más medidas de temperatura en el A.

Falsa

b) las medidas del A están más alejadas unas de las otras, más dispersas.

Verdadera

c) la temperatura del A es menos estable, es decir, cambia con el tiempo. Falsa m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lleguen a una decisión común.

En segundo grado estudiaste casos donde las medidas de tendencia central (moda, mediana y media aritmética), al ser valores representativos de un conjunto, no siempre aportan suficiente información, pues no indican la dispersión de los datos. La desviación mediainforma sobre el grado de dispersión de un conjunto de datos respecto a su media aritmética. En el ejemplo de las lecciones anteriores, para que un horno sea eficiente es importante que mantenga una temperatura uniforme y, por tanto, que los datos presenten un grado pequeño de dispersión. El horno A tiene rango de 40 y desviación media de 12.06, mientras que el B, rango de 34 y desviación media de 5.95. Las temperaturas son más uniformes en el horno B; por eso conviene más.

199

4

BLOQUE



Duración de unaanestesia y otros problemas 1. Lee la información y efectúa lo que se pide. En una prueba para investigar la efectividad de dos anestesias locales, se administró una dosis de cada una a 16 personas. En todos los casos se midió la duración del efecto y se registraron los datos. La media aritmética de las duraciones del efecto de la anestesia A es 23 min, y la desviación media, 5.75. La media aritmética de las duraciones del efecto de la anestesia B es 25 min, y la desviación media, 13.5.

a) Califica cada oración como VERDADERA o FALSA. Argumenta tus respuestas en tu cuaderno.

La desviación media del conjunto de datos permite asegurar que… »

a todas las personas el efecto de la anestesia A les duró entre 23 − 5.75 min y 23 + 5.75 min.

»

Verdadera

aunque es necesario probar con más personas, la anestesia A parece tener un uso más controlable que la B.

»

Verdadera

a casi todas las personas el efecto de la anestesia A les duró entre 17 min y 29 min.

Falsa »

validar


b) En la tabla se muestra la duración de la anestesia en las 16 personas. Revisa si la información contradice tu conclusión del inciso a).

Duración del efecto (min)

19

25

22

31

17

17

20

27

23

19

32

14

34

35

22

11

c) Explica en tu cuaderno, según tu respuesta de la primera oración del inciso a), por qué conocer el promedio y la desviación media de un conjunto no permite deducir su rango. resolver

200

2. Observa las gráficas: muestran las variaciones en el salario mensual de cuatro personas durante un año. Analízalas y haz lo que se pide.

16 000

16 000

14 000

14 000

12 000

12 000 10 000

10 000

Gisela

8 000

Nicolás

8 000

6 000

6 000

4 000

4 000 2 000

2 000 0

0 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

20 000 18 000 16 000

25 000 20 000

Tomás

15 000 10 000 5 000 0 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

Paola

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

a) Lee la información sobre cada persona y escribe su nombre en la gráfica que le corresponda. » »

»

»

Tomás percibe un sueldo fijo cada mes. Gisela es una vendedora que recibe sueldo base y comisiones según las ventas que haga, por lo que su ingreso es muy variable. Paola tenía un puesto en una empresa con un sueldo fijo pero a medio año la promovieron, con lo que aumentó considerablemente su sueldo. Nicolás es un estudiante; recibe un sueldo base por ser ayudante de profesor, y, además, participó en un proyecto durante un año por el cual le pagaron en diciembre.

b) De los cuatro conjuntos de sueldos, dos tienen el mismo rango pero distinta desviación

media. ¿Cuáles son?

Nicolás y Tomás

c) Dos conjuntos de sueldos tienen la misma desviación media pero distinto rango. ¿Cuá-

les son?

Gisela y Paola

3. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

comunicar

Como comprobaste en las dos lecciones anteriores, el rango y la desviación media ayudan a ver qué tan dispersos están los datos. No obstante, tienen algunas diferencias. En el problema 2 hay dos conjuntos con el mismo rango pero distinta desviación media, y dos con la misma desviación media pero rango. El rango nosdistinto dice dónde están ubicados los datos, mientras que la desviación media, qué tan separados están del promedio. Estas diferencias son importantes para decidir cuál conviene usar en un problema.

201

Las matemáticas en... Una hoja de papel Mide los lados de una hoja tamaño carta. ¿Cuáles son sus dimensiones?

21.59 x 27.94 Ahora vas a obtener otros tres rectángulos. •• Junta La mitad unacarta hoja por carta. dosde hojas su lado más largo y pégalas (Esto forma una hoja en tamaño doble carta). • Haz otras dos hojas doble carta y júntalas por su lado más largo. ¿Cuáles de los cuatro rectángulos son semejantes? Explica por qué en tu cuaderno.

A y D son semejantes

A Carta

B La mitad de una hoja carta

C Doble carta D Dos doble carta

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. • Siempre que cortamos un rectángulo por la mitad de su lado más largo se obtienen dos rectángulos semejantes al srcinal Falso • Al juntar cuatro rectángulos iguales podemos obtener un rectángulo semejante a esos rectángulos. Verdadero

202

Hay rectángulos tales que, al cortarlos por la mitad de su lado más largo, se obtienen dos rectángulos semejantes al srcinal. ¿Podrás dibujar un rectángulo así? ¿Cómo tienen que ser sus dimensiones? (Ayuda: si tienes un rectá ngulo en el que su lado menor mide 10 cm y su lado mayor mide x cm, ¿cuánto tiene que valer x para que al cortar el rectángulo se obtenga un rectángulo semejante?)

52 mm 105 mm

841 mm 210 mm

420 mm

A8 m m 4 7

m m 8 4 1

A6 A7

A4

A5

A2

En la mayoría de los países no se utiliza el papel tamaño carta, unA0 formato de papel serie A.seElutiliza tamaño es un pliego de estándar papel de llamado 1 m 2 de superficie, tal que, al cortarlo por la mitad, se obtienen dos rectángulos semejantes al srcinal. El tamaño A1 se obtiene al cortar el A0 por la mitad de su lado más largo. El A2 se obtiene a partir del A1, y así sucesivamente. • Haz una tabla en la que indiques las dimensiones de todos los tamaños, desde A0 hasta A8; verifica que todos son rectángulos semejantes (aproximadamente, porque las dimensiones están redondeadas).

m m 7 9 2

A3

A0

m m 9 8 1 1

m m 4 9 5

A1

• ¿Cuál es el tamaño más parecido al tamaño carta?

A4 • Si tienes un dibujo en tamaño carta y quieres ampliarlo a tamaño doble carta, ¿cómo tiene que ser la ampliación para que el dibujo no se corte?

Al doble. Así lo ancho será el de dos hojas tamaño carta y el largo también. • Si tienes un dibujo en tamaño A3 y quieres ampliarlo a tamaño A1, ¿qué porcentaje tienen las longitudes en el dibujo ampliado con respecto al dibujo srcinal?

200%. Es el doble

• Si tienes un dibujo en tamaño A3 y quieres reducirlo a tamaño A4, ¿qué porcentaje tienen las longitudes del dibujo reducido con respecto al dibujo srcinal?

70.71%

El formato carta sólo se sigue utilizando en México, Estados Unidos, Canadá, Colombia y Filipinas. Se espera que en los próximos años en estos países se haga la transición a la serie A, debido a que es más práctico ese formato porque no se desperdicia papel al hacer las ampliaciones o reducciones entre los distintos tamaños y a que es más conveniente que en todo el mundo se utilice un tamaño de papel estandarizado.

203



¿Qué expresión sirve para calcular el número de cartas de la figura

n

en la sucesión?

a) 2n2 + n

3 1 b) _n2 – _n + 1 2 2 c) 2n2 – n + 1

3 1 d) _n2 + _n 2 2 2.

La siguiente figura muestra el desarrollo plano de un cono. ¿Cuánto mide el radio del círculo pequeño? a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm 120°

12 cms

d) 5 cm 3.

¿Qué pendiente tiene la recta C? 6

a) –1

5

1 b) _ 2

3

y

4

2 1

c) 2

0 –5

d) 3

–4

–3

–2 –1

–1

x

0

1

2

3

4

5

6

–2 –3

4.

En el triángulo KLM se indica la medida de dos ángulos y un lado. ¿Cuánto mide el lado KM? M

a) 3.5 u b) 6 u

3.5 u

c) 7 u d) 10.5 u K 204

3 0°

90° L

5.

¿Qué expresión permite hallar la altura (h) del edificio? a) h = (sen 75º)(6.5) b) h = (6.5)/(tan 75º) c) h = (sen 75º)/(6.5)

75°

d) h = (tan 75º)(6.5) 6.

6.5 m

La gráfica muestra la cantidad de dinero que abona una tienda a sus clientes, dependiendo del importe de compra. ¿Qué parte de la compra se abona al monedero?

Abono a monedero ($) 50

40

a) $10.00 por cada $50.00 de compra

30

b) la mitad de la compra

20 10

c) 20% de la compra

0

1 d) _ de la compra 6 7.

0

50

1 00

15 0

Importe de la compra ($) 2 00 25 0 30 0

La tabla muestra los resultados de una prueba de lectura efectuada a algunos alumnos de la escuela secundaria “Ignacio Manuel Altamirano”, en Zacatecas. María

Palabrasleídasporminuto

151

Ximena 163

Salvador 173

Rodrigo 158

Patricia 181

Pedro 149

¿Qué alumno se alejó más del promedio y cuál fue su desviación? a) Pedro, con una desviación de 13.5 b) Pedro, con una desviación de 30 c) Patricia, con una desviación de 17.5 d) Patricia, con una desviación de 18.5

Valor ($) 120 000

8.

La grafica muestra cómo ha ido cambiando el valor de un coche a partir de su compra. ¿Qué porcentaje del valor srcinal ha ido perdiendo cada año?

100 000 80 000 60 000

a) 5% 40 000

b) 10%

20 000 0

c) 12% d) 20%

Antiguedad (años) 0

12

34

5

6

205


BLOQUE


Atínale al peso

En la feria del pueblo, Jacinto y sus amigos encontraron un concurso peculiar: el concursante estimaba “a ojo” el peso de la persona que atendía el puesto; ganaba si estimaba el peso exacto, o si el error era de 1 kg o menos (margen de error de 1 kg). Si el concursante no ganaba, solo se le avisaba que se había pasado o quedado corto en su estimación. Hicieron las siguientes estimaciones. Persona Peso que estimó Resultado

Jacinto 85 kg Sepasó

Gema 80 kg Quedócorto

Claudio

Alejandro

84 kg

81 kg Sepasó

Quedócorto

Pregunta 1. ¿Quiénes estuvieron más cerca de ganar? Pregunta 2. ¿En que rango está el peso de la persona? Pregunta 3. ¿Qué margen de error les hubiera permitido ganar? Pregunta 4. Al ser el último en jugar, Alejandro tenía información suficiente para ganar. Explica por qué.

Ángulos para orientarse y medir


Los marineros utilizan el sextante para calcular el rumbo de sus naves. Este aparato utiliza la medición de ángulos para conocer la posición de algún astro, que, combinada con la hora del día, permite calcular la latitud en tierra del observador. El sextante mide en grados y puede determinar ángulos comprendidos entre 0° y 60°. Los topógrafos e ingenieros utilizan a su vez el teodolito, un instrumento que permite medir a la vez ángulos horizontales y verticales para calcular distancias inaccesibles. Actualmente disponemos de instrumentos de navegación más avanzados, como el GPS, que nos da nuestra posición con bastante exactitud gracias a un sistema de satélites.

Pregunta 1. ¿Por qué el sextante recibe ese nombre? Pregunta 2. Un topógrafo se coloca a 40 m de distancia de un edificio y observa que el ángulo de inclinación de su línea de visión a la punta del edificio es de 35°. ¿Cual es la altura del edificio? Pregunta 3. Investiga qué significan las siglas GPS y cuántos satélites necesita un GPS para localizar un punto. Explica por qué. Pregunta 4. La mayoría de los barcos modernos utilizan GPS para navegar, sin embargo, aún cuentan con un sextante que puede utilizarse en caso necesario. ¿En que casos resultaría útil el sextante en lugar del GPS?

206

Y para terminar...

El tangram

El tangram es un juego chino muy antiguo que consiste en siete piezas con las que hay que armar figuras usando todas las piezas sin traslaparlas. Actualmente se tienen registradas alrededor de 16 000 figuras distintas que se pueden armar. Para hacer el tangram necesitas cartulina, un cartoncillo duro o foamy. Traza y recorta las siete piezas.

En el siguiente cuento están algunas de las figuras que se pueden armar con el tangram. Intenta armarlas todas. ¿Podrás hacer tus propias figuras y escribir un cuento como éste?

En una bella casa

vivía un niño

con su perro

mucho bailar

, pero cierto día su perro se perdió, y el niño estaba muy triste

dibujos de su perro y se los enseño a todos sus conocidos

a su perro cerca del muelle, el muchacho corrió hasta el muelle

, este niño era muy alegre y le gustaba

, alguien le dijo que

. Hizo

había visto

, el perro al ver a su dueño corrió hacia él

, y los dos felices decidieron realizar una paseo en bote

.

Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/mate3z.htm

Más figuras para armar: http://cte.seebc.gob,mx/webdescartes/taller_de_matematicas/rompecabezas/FigTangC.htm 207

E U Q O L B

5

Aprendizajes esperados ✓Resuelve y plantea problemas que

involucran ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado. ✓Resuelve problemas que implican calcular el

volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. ✓Lee y representa, gráfica y

algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.

✓Resuelve problemas que implican calcular la

probabilidad eventos complementarios, mutuamente de excluyentes e independientes.

208

El arte de la geometría Las esculturas de la imagen forman parte de la obra Reloj Solar, del artista polaco Grzegorz Kowalski. A lo largo del día, varían el tamaño y la posición de las sombras de los conos, lo que da una sensación de movimiento. Esta obra forma parte de la muestra escultórica Ruta de la Amistad , construida con motivo de los Juegos Olímpicos de 1968.

1. Mide, con una regla, un cono de la imagen. Calcula su volumen suponiendo que la imagen está en escala 1:50.

2. Estas estructuras son bastante grandes. ¿Cómo las construyeron? ¿Cómo las transportaron? Propón una respuesta en equipo.

3. Investiga, con un compañero, qué otras esculturas o edificios están construidos con base en formas cónicas o cilíndricas. Elaboren un cartel con imágenes de ellas y preséntenlo a su grupo. El escultor mexicano Enrique Carbajal, mejor conocido como Sebastián, utiliza con frecuencia formas geométricas en sus obras. Una de las más conocidas es El Caballito, ubicado en el Paseo de la Reforma de la Ciudad de México. Para conocer más sobre el trabajo de este escultor entra a… www.e-sm.com.mx/SCM3-209

n sus obras. Conocer uencia cuerpos geométricos e Los escultores utilizan con frec pues permite saber, , s e n o i c c u r t s lanear las con sus dimensiones resulntatiúdtaidl pnaercaepsaria de material, el espacio que ocuparán y su entre otra cosas, la ca peso.

ilindros, y el cambio lcular el volumen de conos y c En este bloque aprenderás a ca . s e n o i s n e m i d s u s e d a n u g al que sufre su volumen al variar 209

BLOQUE

5

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada


La traducción de los problemas Has estudiado ecuaciones de primer grado, de segundo grado y sistemas de ecuaciones lineales. ¿Cuándo se usan unas u otras? Para saberlo hay que traducir el problema y luego resolver la ecuación que resulte. A eso se refiere esta secuencia de lecciones.

1. Considera lo siguiente: “Pedro tiene x años de edad”. Escribe la expresión algebraica correspondiente a cada enunciado. x a) Julián tiene tres veces la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de Julián?

3 3x – 5

b) Luisa tiene cinco años menos que Julián. ¿Cuál es la edad de Luisa?

c) Ricardo tiene cuatro años menos que Pedro. ¿Cuál será la edad de Ricardo en siete años?

x–4+7

2. En una granja hay gallinas , cerdos, conejos y caballos . Escribe la expresión algebraica correspondiente considerando a n como el número de gallinas. a) En la granja hay el mismo número de conejos que de gallinas. ¿Cuántos conejos hay en

la granja?

x = n (x representa a los conejos)

b) El número de cerdos es el doble que el de gallinas. ¿Cuántos cerdos hay en la granja?

Resuelve más problemas con ecuaciones en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-210

y = 2n (y representa a los cerdos) c) En la granja hay cinco caballos más que el número de gallinas. ¿Cuántos caballos hay?

z = n + 5 (z representa a los caballos) d) ¿Cuántos animales hay en la granja?

n + x + y + z = n + n + 2n + n + 5 = 5n + 5

sí

e) Con base en esto, ¿es posible que el total de animales sea 50?

Explica por qué.

R. T. Porque 5n + 5 = 50 tiene solución entera:n = 9 3. Manuel tiene x pesos, y Pilar, y pesos. Formula, en equipo, la ecuación que corresponda a cada enunciado. a) Manuel y Pilar tienen en total $1 500.00. x + y = 1 500

b) Manuel tiene tres veces la cantidad de dinero que tiene Pilar.

x = 3y

c) Si Manuel regalara $375.00, tendría el doble de lo que tiene Pilar.

x – 375 = 2y

d) Si Manuel regalara $375.00 a Pilar, ambos tendrían lo mismo. e) ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 210

x = 1 125, y = 375

x – 375 = y + 375

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados de los ejercicios anteriores con los de sus compañeros. Corrijan lo que sea necesario.

4. Trabaja en equipo. Formulen la ecuación con la que se pueda resolver cada problema y obtengan la solución.

resolver

a) Dos familias compraron boletos para el cine. La familia Pérez compró un boleto de adulto y cuatro de niño, y pagó $190.00; la familia Sánchez compró dos boletos de adulto y dos de niño, y pagó $170.00 ¿Cuánto cuesta un boleto de niño?

x + 4y = 190 x y

y = 35 x

2 + 2 = 170

= 50

b) En el cine, por un boleto de adulto y uno de niño son $90.00. El boleto de adulto cuesta tres y media veces lo que el de niño. ¿Cuánto cuesta cada boleto?

x + y = 90 3.5y = x

Adulto: $70 Niño: $20

c) Pienso un número; le sumo 2.5 y lo multiplico por 5; obtengo 20.5. ¿Qué número es?

x es el número que pienso (x + 2.5)5 = 20.5

x = 1.6

d) Se quieren encontrar dos números consecutivos cuyo producto sea 702.

x (x + 1) = 702 x2 + x = 702

los números son 26 y 27

e) El producto de dos números es 999. La diferencia de esos es 10. ¿Qué números son?

xy = 999 x - y = 10

(10 + y) y = 999 10y + y2 - 999 = 0

Ya sabemos...

los números son 27 y 37 m

Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. a) Analicen las ecuaciones formuladas para cada problema. Si hay errores, corríjanlos. b) Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Si no coinciden, averigüen a qué se debe y corrijan.

Cuando decimos producto hablamos de multiplicación. Cuando decimos diferencia hablamos de resta.

211

BLOQUE

5

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada


De todo un poco 1. Trabaja en equipo. Elijan la ecuación que resuelva el problema y encuentren la solución.

Por cada operación que Irma hace bien, gana dos puntos; por cada operación que hace mal, pierde uno. Hizo 18 operaciones y ganó quince puntos. ¿Cuántas operaciones hizo bien? Hizo 11 operaciones bien. x = 11 2x + (18 – x) = 15

2x – (18 – x) = 15

2x + (18 – x) = 15

2. Elijan la ecuación que resuelva el problema y encuentren la solución.

a) Consideren que la siguiente sucesión de figuras continúa de la misma forma.

Ya sabemos... La expresión que se busca es la regla general de la sucesión.

5

8

1Fig.

2Fig.

b) ¿Cuántos cuadros tendrá la figura 12?

Una pista

13 3Fig.

148 2

c) ¿Qué expresión permite saber el número de cuadrados de cualquier figura?

Puedes formular una ecuación igualando la regla general a 175 y ver si tiene solución entera.

d) ¿Habrá en la sucesión una figura formada por 175 cuadrados?

no

n +4

¿Cómo lo saben?

R. T. n2 + 4 = 175 no tiene solución entera. 3. ¿La línea y = x− 5 pasa por el punto (10, 10)?

no

Expliquen su respuesta.

R. T. En y = x – 5, si se sustituye x = 10, y = 10, 10

≠

10 – 5.

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados de los tres problemas anteriores con los de sus compañeros. Corrijan lo que sea necesario. m

4. Encuentra, en equipo, un par de números que satisfaga la ecuación 7 x − 2y = 38, de manera que un número sea el triple del otro.

6y=

=x

¿Hay más de una solución?

no

2

Expliquen su respuesta R. T.

Se tiene un sistema

de dos ecuaciones, 7x – 2y = 38, y = _1 x, que tiene solo una solución. 3 212

5. El largo de un rectángulo es 4 cm mayor que el ancho, y su área es 96 cm2. ¿Cuánto mide el perímetro?

resolver

P = 2x + 2 (x + 4) A = x(x + 4) = 96 cm x2 + 4x - 96 = 0

x

a=1 b=4 c = -96

x=

-4 + 16 - 4(96) = 4 - 400 = 4 + 20 = 4 + 20 2 2 2 2

x1 = 12 x2 = -8

se toma x positiva

entonces P = 2(12) + 2(12 + 4) = 56 6. Inventen un problema que se resuelva con un sistema de ecuaciones y resuélvanlo.

comunicar

R. P.

7. Inventen un problema quese resuelva conuna ecuación desegundo grado yresuélvanlo.

R. P.

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados de los problemas 5 a 7 con los de sus compañeros. Si hay diferencias, averigüen a qué se deben y corrijan.

8. Elije, en equipo, la ecuación que resuelva el problema y encuentra la solución: después de comer en un restaurante, ocho personas se repartieron una cuenta de $1 300.00, pero tres pagaron $50.00 menos que los demás. ¿Cuánto pagó cada una de las personas que pagaron más?

i) 8x + 50x = 1 300

3x – 150 + 5x = 1 300

ii) 8x − 50x = 1 300

8x = 1 300 + 150 = 1 450

iii) 3x + 5x = 1 300

x = 1 450/8 = 18 125

iv) 3(x − 50) + 5 x = 1 300

Cada una de las personas que pagaron más, pagó $ 18 125

213

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5

Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto


Cortes con formas inesperadas Si tienes un queso con forma de cilíndro y lo cortas a la mitad por el diámetro de una de sus bases, ¿qué figura geométrica es la sección de corte? Y si tienes un cono y lo cortas con un plano paralelo a su base, ¿qué figura geométrica se forma en la sección de corte? ¿Cómo calcularías las medidas de esa figura geométrica?

1. Para esta actividad necesitarás plastilina y una tarjeta de plástico. a) Dibuja la sección de corte que se obtiene al hacer los cortes que se indican.

validar resolver

b) Haz los cortes en un cilindro de plastilina para verificar tus dibujos. 2. Dibuja una línea donde se debería cortar para obtener la sección que se indica abajo. Verifica haciend o los cortes en un cilindro de plastilina.

Aprende más sobre conos y cilindros en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-214

La sección tendrá forma de rectángulo

214

La sección tendrá forma de elipse (óvalo)

3. Imagina que harás cortes con l a tarjeta en un cono de plastilina. a) En cada caso, la figura de la izquierda es una sección de corte. Dibuja dónde se tendría que cortar el cono para obtener la sección indicada.

b) Haz los cortes en un cono de plastilina para verificar tus respuestas. m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo siguiente.

Las curvas que se obtienen al cortar de diferentes maneras un cono reciben el nombre de cónicas. En los casos I y II se obtuvieron la circunferencia y la elipse. En el caso III, la curva de la sección de corte es una parábola; y en el IV, unahipérbola.

Verifiquen que hayan obtenido de la siguiente manera la parábola y la hipérbola. Parábola: la tarjeta debe colocarse paralela a la generatriz.

Hipérbola: la tarjeta debe colocarse perpendicular a la base.

4. Consideren que se harán cortes a una esfera.

Un círculo

a) ¿Qué tipo de figura aparece en la sección de corte? b) ¿Podrán obtener en la sección de corte una elipse?

No

c) ¿Por dónde se debe cortar para obtener el círculo máximo de la esfera?

Por dos puntos opuestos, por ejemplo los polos.

En contexto Es probable que pienses que la parábola y la hipérbola son iguales, pero no es así. En bachillerato profundizarás en el estudio de las cónicas y conocerás las diferencias de estas curvas. Las cónicas están presenten en la naturaleza y en artefactos construidos por el hombre. Los planetas siguen una órbita en forma de elipse alrededor del sol y algunos estadios tienen esta forma. La parábola está presente en los cables de los puentes colgantes, en antenas y radares. La hipérbola se usa en aeronáutica.

215

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5

Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto


Recipientes cónicos 1. Considera un cono de papel. Completa la tabla calculando la medida del radio del círculo que se forma cuando se corta el cono, con un plano paralelo a la base, a la altura indicada.

Altura del corte a partir del vértice (cm)

Radio = 3 cm

Radio del círculo que se forma (cm) __1

1

Una pista

1 3 __

3

Recuerda lo que estudiaste sobre semejanza de triángulos.

validar

2

2

2

4

2

5

5 __

6

3

o n o c l e m d c 6 ra u tl A

2

a) Muestra con un ejemplo que las cantidades de la tabla se relacionan proporcionalmente.

b)

R. T. 0.5 ÷ 1 = _1 y 2 ÷ 4 = _1 2 2 R. T. Dos magnitudes son directamente proporcio¿Por qué sucede esto? nales cuando al multiplicar o dividir una por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

resolver

2. Se hizo un recipiente en forma de cono truncado a partir de un cono de las medidas que indica la figura. a) ¿Cuál es el radio del círculo que hay que poner en la base del recipiente?

Ya sabemos...

b) ¿Cuántos litros de agua le caben al recipiente? V

= 875π cm3 = 2 747.5 cm3, 2.74 l

10 cm

El volumen del cono se calcula multiplicando el área de la base por la altura, y el resultado se divide entre tres. Además, 3 recuerda que 1 cm equivale a un mililitro.

216

5 cm

15 cm

30 cm

3. Una copa tiene forma de cono con una base de 4 cm de radio y una altura de 7 cm. a) ¿Cuánta bebida tiene si faltó 1 cm de la altura para llenarla?

V = 73.45 cm3 b) ¿Cuál es el radio del círculo que forma la superficie del líquido?

3.42 cm 4. Se tiene un cono para helado de 12 cm de altura y 7 cm de diámetro en la base. A partir de un corte se hará un cono más pequeño. Si se quiere que el diámetro de la base del cono pequeño sea de 5 cm, ¿a qué altura se debe hacer el corte?

8.57 cm 5. Considera el siguiente matraz cónico.

6 cm

En contexto

15 cm

El matraz con forma cónica se llama matraz de Erlenmeyer porque fue inventado por Emil Erlenmeyer en 1861. Es muy úitl cuando se quiere controlar la evaporación de líquidos.

a) Observa que a la altura de 15 cm inicia una parte cilíndrica. El radio de la base del matraz es de 5 cm. Se quiere hacer una tapa para cubrir la abertura. ¿Cuál debe ser su radio?

≈

1.43 cm

b) Explica cómo lo calculaste.

21 = _ 6 _ 5 x x = 1.428 m

R. T. De la figura se obtienen las razones.

Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.

217

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5

Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides

resolver


El volumen del cilindro El cilindro y el cono son cuerpos geométricos que suelen ser utilizados en objetos cotidianos. Hay, por ejemplo, latas para envasar alimentos, cubetas de pintura, vasos para tomar agua y barquillos para helado. ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro? ¿Y el de un cono? ¿Qué relación hay entre estos cuerpos? De esto trata esta secuencia.

1. Las siguientes plantillas sirven para construir diversos prismas y un cilindro. Contesta y haz, en equipo, lo que se indica.

prisma triangular

Recuerda cómo calcular el volumen de prismas y pirámides en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-218

prisma heptagonal

prisma rectangular

prisma pentagonal

prisma nonagonal

cilindro

a) Anoten bajo cada plantilla nombre del cuerpo que se forma. b) Observen que, al formarse, todos los cuerpos tendrían la misma altura. ¿Cuál es?

1.5 cm c) Calculen el volumen de los cuerpos que formen tres plantillas. Tomen las medidas

Ya sabemos...

necesarias.

El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura.

R. T. Prisma rectangular = 0.7 x 0.7 x 1.5 = 0.735 cm 3.

Prisma pentagonal = 0.645179 cm3

Cilindro: 1.17 cm

3

R. T. Área del círculo por la altura

d) ¿Cómo se calcula el volumen del cilindro?

del rectángulo m

218

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados. En particular, procuren llegar a una conclusión sobre cómo se calcula el volumen de un cilindro.

2. Lee, en equipo, la siguiente información.

comunicar

Para calcular el volumen de un cilindro se usa el mismo procedimiento que para el de un prisma, es decir, se multiplica el área de la base por la altura. En el caso del cilindro, la base es un círculo, y entonces el volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura. V = πr2h Recuerden que al multiplicar π por radio al cuadrado se obtiene el área del círculo.

3. En la fórmula para calcular el volumen del cilindro, V = π r2h, intervienen tres medidas que pueden variar y un valor constante, es decir, un valor que no cambia. Contesten lo siguiente. a) ¿Cuál es el valor constante? π

≈

3.14

_

b) Si el volumen es 198 cm 3 y el radio, 3 cm, ¿cuánto mide la altura del cilindro?

_

198 = π(3)2h, h = 198 = 198 = 7.006 cm 9π 9(3.14)

_

c) Si el volumen es 196.3 cm 3 y la altura, 10 cm, ¿cuánto mide el radio de la base del cilindro?

2 196.3 = πr2(10), r2 = π196.3 (10) = 6.251 cm , r = 2.003 cm

d) Completen, con base en la fórmula para calcular el volumen del cilindro, V = πr2h, las siguientes fórmulas equivalentes. h= r2 = r

=

_V2 πr _V πh

Ya sabemos... La operación inversa de elevar al cuadrado es la raíz cuadrada.

V __ πh

4. Contesten usando la fórmula del volumen del cilindro. a) ¿Cómo cambia el volumen si el radio de la base se duplica?

Aumenta cuatro veces. b) ¿Cómo cambia el volumen si la altura se duplica?

Aumenta dos veces. c) ¿Cómo cambia el volumen si la altura se duplica y el radio de la base se divide entre 2?

Disminuye _21 , porque cambia en 2(_41 ) = _21 . m

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas de las actividades 3 y 4 con las de sus compañeros. Si hay diferencias, averigüen a qué se deben y corrijan. 219

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5

Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides


Un cono a la medida 1. Trabaja en equipo. Se quiere construir un cono con las medidas que se muestran en la figura A. Para ello se necesita una plantilla similar a la figura B. Contesten las preguntas. Consideren el valor de π como 3.14. Figura A

11.2 cm 10 cm Figura B

5 cm

radio de la base radio de sector ángulo central

a) ¿Cuánto mide el radio de la base del cono? b) ¿Y su altura?

10 cm

c) ¿Cómo se obtuvo la medida 11.2 cm?

con el teorema de Pitágoras

d) ¿Cuánto debe medir el radio del sector?

11.2Escmel lado ¿Por qué?

_

del cono, la distancia del perímetro del círculo a la punta del cono. 70.33 = 360 = 160 ° e) ¿Y el ángulo central de la plantilla? x 31.4

validar m

Una pista La parte de circunferencia que corresponde al ángulo central mide lo mismode que la circunferencia la base del cono, cuyo radio mide 5 cm.

5 cm

_

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Si hay diferencias considerables, averigüen quién tiene razón.

2. Trabaja en equipo. Consideren las medidas de la actividad anterior. a) Tracen la plantilla para construir el cono. b) Recórtenla y armen el cono. c) Verifiquen que la altura del cono mida 10 cm y el diámetro de la base, 10 cm.

220

3. Hagan lo siguiente.

resolver

a) Tracen en una hoja blanca las plantillas para construir un cilindro con las medidas que se indican en la figura A. Figura A

Figura B 1 0 c m

5 cm

1 0 c m

5 cm

b) Recórtenla y armen el cilindro. c) Verifiquen que el cono que construyeron en la actividad anterior y el cilindro tengan la misma base y la misma altura. d) ¿Cuál es el volumen del cilindro?

785 cm 3

e) Utilicen el cono como unidad de medida. Para medir consigan arena, arroz o algún material similar. ¿Con cuántos conos se llena un cilindro si los recipientes tienen la misma base y la misma altura?

con tres

f ) La fórmula para calcular el volumen de un cilindro es V = (πr2)h o bien,

V

= Ah.

Considerando queA representa el área de la basey h, la altura, ¿cuál es la fórmula para calcular el volumen del cono?

Ah 3 _

g) ¿Cuál es el volumen del cono de la figura B?

π(5)2

10 _31 261.66 ≈

h) ¿Cuánto tendría que medir la altura del cono (figura B) para que su volumen fuera igual al del cilindro (figura A)? m

30 cm Si un cilindro y un cono

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. En particular tienen base iguales, ¿qué relación deben vean si establecieron la misma fórmula para el volumen de un cono.

tener sus alturas para que el volumen sea igual? Ejemplifica con valores numéricos.

4. Contesta lo siguiente en equipo. Dos cilindros, A y B, tienen la misma base pero A es el doble de alto que B. ¿El volumen de A es el doble que el de B?

sí

El cilindro A equivale a

Expliquen su respuesta.

tener dos cilindros B, uno sobre otro.

221

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5



Volúmenes y capacidades ¿Cuánta agua le cabe a un vaso cilíndrico? ¿Y a uno de papel con forma de cono? ¿A qué recipiente le cabe más: a uno con forma de prisma o a uno con forma de cilindro?, ¿En cuál de los dos recipientes se ocupa menos material al construirlo? Al resolver esta secuencia podrás responder estas preguntas.

1. Resuelve en equipos: ¿cuántos vasos se llenan con el agua de un garrafón?

R. P.

18 cm

Ya sabemos... 3 cm

1 cm3 equivale a 1 ml. 8 cm 12 cm

2. Anota posibles m edidas para una la ta cilíndrica que pued a envasar un cuarto de litr o de jugo.

Altura

Lata

En contexto Un silo es una estructura que se utiliza para almacenar grano y otros materiales a granel. Los más comunes tienen forma cilíndrica, pero los hay cónicos y esféricos.

10 cm

Radio de la base

Volumen (en cm3)

Capacidad (en litros)

2.82 cm

249.7

_1 4

l

3. Para almacenar granos suele utilizarse un silo.

¿Cuál es el volumen de un silo de 16 m de alto y 6 cm de radio en la base?

602.88 cm3 m

222

Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay diferencias, localicen los errores y corrijan.

4. El peso del cobre es 9 g/cm 3. ¿Cuánto pesa esta pieza de cobre? 0.5 cm 2.5 cm 2m

El tubo pesa

2 250 g.

5. Un fabricante desea hacer un envase cilíndrico de cartón. Dos empleados le propusieron los siguientes recipientes. 4.61 cm 5.64 cm 15 cm Envase 1 10 cm Envase 2

El fabricante elegirá el que requiera menos material. ¿Qué envase le conviene?

El 2

6. El siguiente pisapapeles está hecho de vidrio. a) Se sabe que el vidrio pesa 2.5 g/cm3. Sin hacer cálculos, ¿cuántos gramos pesa el pisapapeles?

335 g

8 cm

10 cm

3 cm

8 cm

b) Haz los cálculos para verificar tu resultado del inciso anterior. 7. Trabaja en equipo. Resuelvan el problema con base en la información de los dibujos a la derecha. a) ¿A qué envase le cabe más líquido? b) ¿En cuál se ocupa más material? m

Al cilíndrico. Vc = 282.6 cm3, Vp = 240 cm3.

En el prisma. Ac = 244.92 cm2, Ap = 288 cm2.

Comparen sus resultados. Si hay diferencias, localicen los errores y corríjanlos.

10 cm

6 cm

4 cm

223

BLOQUE

5



Cilindros y conos imaginarios 1. Consigue una hojade papel tamaño carta. Con ellapuedes hacer doscilindros diferentes.

21 28 28 21 a) Completa la tabla.

Cilindroverde

21 cm 28 = 4.4585cm ___ 2π 1 310.76 cm3

Altura del cilindro Radio de la base Volumen

b) ¿Qué cilindro tiene mayor volumen? m

Cilindroazul

28 cm 2π = 3.3439cm 983.12 cm3

21 ___

el 1

Comenta, en grupo, cómo hiciste los cálculos; en particular, cómo calculaste el radio de la base de los cilindros.

2. Considera un rectángulo de 5 cm de ancho por 6 cm de largo . Gíralo tomando com o eje, primero, el lado de 5 cm y, después, el de 6 cm. a) ¿En qué caso se genera el cilindro de mayor volumen?

en el de = 6 cm r

b) Si hicieras el molde de cartulina de los cilindros que se generaron, ¿para cuál ocuparías más material?

para el segundo cilindro c) ¿Cuál es el volumen del primer cilindro? d) ¿Y del segundo?

224

471 cm3

564.2 cm3

3. Considera la escuadr a en forma de triángulo esca leno. Gírala to mando como eje el cateto mayor y luego el menor.

¿Qué cono tiene mayor volumen?

resolver

El que se forma al tomar como eje el cateto menor

4. Imagina que giras el siguiente triángulo obtusángulo tomando como eje de giro el lado rojo. Dibuja a la derecha el sólido que se genera.

comunicar

Es un cono, con un hoyo en el centro con la

a) Describe el sólido que se generó.

forma de un cono más pequeño.

b) Describe cómo calcularías el volumen de este cuerpo y los datos que se necesitarían.

Calcula más volúmenes de cilindros y conos en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-225

Calcularía el volumen de los conos, y restaría el menor al mayor. Solo se necesitarían las alturas de los conos pues ambos tienen el mismo radio m

Compara tus resultados y procedimientos con los de tus compañeros.

225

5

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Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.


Cantidades que cambian y se relacionan En la vida real hay muchos ejemplos de cantidades que cambian y se relacionan. Con frecuencia esas relaciones se pueden expresar mediante una fórmula.

1. Analiza, en equipo, el problema. Hagan lo que se indica.

Doña Juana vende tamales en el mercado. El precio de venta de cada tamal es $5.00 y su costo de producción, $1.50. Además, doña Juana debe pagar $50.00 diarios por el alquiler del espacio donde los vende. a) ¿Cuánto obtiene de ganancia doña Juana si en un día vende 50 tamales? $125.00 b) ¿Después de la venta de un día doña Juana puede tener pérdida en lugar de ganancia?

sí

¿Por qué?

Puede no vender suficientes tamales para pagar el alquiler.

c) Escriban una fórmula que permita a doña Juana calcular la ganancia o pérdida para cualquier cantidad de tamales vendidos.

x(3.5) – 50 = y

d) Contesten la pregunta usando su fórmula: ¿a partir de qué cantidad de tamales vendidos doña Juana empieza a tener ganancia?

15

e) ¿Cuántos tamales tendría que vender doña Juana para ganar $475.00?

_

ya que x = 475 + 50 = 150 3.5

150

2. Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. En par-

ticular analicen las fórmulas que escribieron y anoten ejemplos sobre los siguientes casos. Son exactamente iguales.

»

Son iguales pero cambian las letras utilizadas.

5t – 1.5t – 50 = g

5x – 1.5x – 50 = y

5t – 1.5t – 50 = g

3.5t – 50 = d

»

Son equivalentes.

»

Son erróneas, porque no relacionan adecuadamente los datos.

5t – 1.5 – 50 = g

226

x(5) – x(1.5) – 50 = y

»

5 – 1.50t = g – 50

3. Trabaja en equipo. La Copa Mundial de F utbol se juega cada cuatro años . En 1986 se

llevó a cabo en México. Contesten lo siguiente. a) Suponiendo que este torneo se siga jugando cada cuatro años, ¿habrá Copa Mundial en el año 2040?

No

¿Por qué?

Porque es cada cuatro años; entonces

sería en 2038 o 2042. La diferencia de años debe ser múltiplo de 4. b) En 1986 se jugó en México la decimotercera (13ª) Copa Mundial de Futbol. ¿En qué año tedrá lugar la trigésima (30ª)?

en el 2054 c) Marquen con una ✔ la fórmula que permita calcular el año (A) en que se jugará la enésima Copa Mundial.

m

A = 4( +n13) + 1986

A = 4(

n + 13) – 1986

A = 4( −n13) − 1986

A = 4(

n − 13) + 1986

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Corrijan si es necesario.

4. La siguiente figura está f ormada por varios cu adrados. Supong amos que el cuadrado

1 mide 0.25 m por lado; el 2, 0.5 m por lado; el 3, 0.75 m por lado; y así sucesivamente. Haz, en quipo, lo que se indica.

1

2

3

4

a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado 1? b) ¿Y el del 4?

5

6

7

(0.25)4 = 1

(1)4 = 4

c) ¿Qué cuadrado mide 2.25 m2 de área?

el 6

d) Escriban una fórmula que permita calcular el área del enésimo cuadrado. A= m

(0.25n)2

Comparen, con ayuda del profesor, sus resultados con los de sus compañeros. Si es necesario, corrijan. 227

5

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Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades


Índice de Masa Corporal 1. En la siguiente tabla está registrado el peso de cuatro personas. Dos tienen peso normal;

las otras tienen peso insuficiente, sobrepeso u obesidad. Peso Claudia

50kg

Arturo

55 kg

Miranda

76kg

Felipe

Con esta información, ¿puedes decir quienes tienen peso normal?

no

Si consideras que sí, escribe quiénes. R. P. falta. Si consideras que no, escribe qué información

70.5kg

R. T. La estatura

2. A continuación aparecen las estaturas de las cuatro personas.

Estatura Claudia

1.60m

Arturo

1.75m

Miranda

1.80m

Felipe

1.56 m

m

Con esta nueva información y lade la tabla anterior, escribe quiénes consideras que podrían ser las dos personas con peso normal.

R. P.

y

Comenta tu respuesta con tus compañeros. No es necesario que lleguen a un acuerdo todavía.

3. El Índice de Masa Co rporal (IMC) es una m edida que relaciona el peso y la tall a de una

persona; se utiliza como recurso para evaluar el estado nutricional. Se calcula a partir de la siguiente fórmula, donde E representa la estatura, en metros, y P, el peso, en kilogramos1 . P IMC= 2

_ E

En la tabla se registran los rangos, determinados por la Organización Mundial de la Salud, en los que una persona es considerada con bajo peso, con peso normal, sobrepeso u obesidad. IM C Menosde18.5 Entre18.5y24.9

Lapersonaseconsideracon… Pesoinsuficiente Pesonormal

Entre25y29.9

Sobrepeso

Apartirde30

Obesidad

a) Determina el índice de masa corporal y el intervalo en que se encuentra cada persona de los problemas anteriores. 1

228

Adaptación de un problema tomado de Diplomado Prácticas Docentes en las Matemáticas de Secundaria. Guía del Instructor. Elaborado por la Universidad de Sonora en colaboración con la SEP, 2011. Autores: Ibarra, S., Villalba, M., Armenta, M., Del Castillo, A., Grijalva, A., Soto, J.L., Urrea, M., Ávila, R.

IM C

Lapersonaseconsideracon…

Peso normal Peso insuficiente Peso normal Sobrepeso

19.53 17.97 23.45 29.01

Claudia Arturo Miranda Felipe

b) Un nutriólogo entrega a sus pacientes la siguiente gráfica, que sirve para que sepan en qué intervalo se encuentran sin hacer cálculos. El punto negro corresponde a la ubicación de Felipe. Como está en la franja verde, se puede ver que tiene sobrepeso. Ubica en la gráfica a las personas que faltan para verificar tu respuesta anterior. »

»

IMC 120 100 80 Peso

Felipe

60 40

18.5 x

2

20

24.9 x

2

0.5

1.0 Estatura

1.5

29.9 x

2

2.0

c) Un paciente que mide 1.67 m ha registrado los siguientes pesos en cinco consultas. Consulta1 77.2 kg

»

Consulta2 71 kg

Consulta3 67 kg

Consulta4 60.5 kg

Consulta5 54 kg

Utiliza la gráfica anterior para determinar qué tipo de recomendación debe hacer médico el

Sus IMC son 27.68 (sobrepeso), 25.45 (sobrepeso), 24.02, 21.69 y 19.36 (peso

Observa más ejemplos de cantidades que cambian y se relacionan en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-229

normal). R. T. Mantenerse en el peso normal. 4. Calcula lo que puede pesar cada persona de los problemas anteriores para tener un IMC de 24.9, es decir, para encontrarse en el límite máximo de peso normal.

Claudia, 63.74 kg; Arturo, 76.25 kg; Miranda, 80.67; Felipe, 60.59. 5. Subraya, de las fórmulas que aparecen a continuación, la que describa la relación entre peso y estatura del problema anterior. P = 24.9E2

P = 24.9E

24.9 P = ___ E2

229

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5

Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

resolver


Juegos equitativos I Algunos juegos de azar no son justos, pues la probabilidad de perder es mayor que la probabilidad de ganar. En estos casos, al modificar algunas condiciones del juego se puede lograr que sea justo.

1. Reúnete con dos compañeros p ara jugar a lanzar dos dado s. Cada uno escoja una de las siguientes opciones para ganar. » Que los dados caigan en número par. » Que los dados caigan en número impar. » Que un dado caiga en número par y el otro, en impar. Antes de empezar a jugar… a) discutan si el juego es equitativo, es decir, si las opciones tienen igual probabilidad de ocurrir. b) cada uno elija una opción para ganar. c) hagan en sus cuadernos una tabla como la siguiente para registrar los resultados.

Frecuencia absoluta

R. T.

15

0.25

15

Dos números impares

15

0.25

15

Un par y un impar

30

0.5

30

Dos números pares

Total

60

Frecuencia relativa

Número esperado de veces

Recuento

1

60

d) Lanzarán 60 veces los dados. ¿Cuántas esperan que caigan dos números pares y dos impares? ¿Y un par y un impar? Antes de jugar, anoten estos números en la quinta columna de la tabla. e) Pongan, en la columna de “Recuento”, marcas que agrupen de cinco en cinco ( ). La frecuencia absoluta es el número de marcas y la relativa, el número de marcas entre el total de lanzamientos. Ahora sí, ¡a jugar! 2. Concentren, con ayuda de su profesor, los resultados del grupo en una tabla dibujada en el pizarrón. Comenten las siguientes preguntas. a) ¿Consideran que el juego es equitativo?

no

R.qué? T. Porque ¿Por

la frecuen-

cia relativa del tercer caso es el doble de cada una de las otras. 230

b) De acuerdo con los resultados de la tabla…

R. T. 0.25

»

¿cuál es la frecuencia relativa del suceso “dos números pares”?

»

¿cuál es la frecuencia relativa del suceso “dos números impares”? R.

»

¿cuál es la frecuencia relativa del suceso “un par y un impar”?

T. 0.25

R. T. 0.50

3. Completa la tabla para que observes los 36 r esultados posibles del experiment o que consiste en lanzar dos dados. Contesta las preguntas.

123456 1

(1,1)

2

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3

5

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

4

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1 ,5)

(1,6)

a) De los 36 resultados posibles… » » »

¿cuántos corresponden a dos números pares? ¿cuántos corresponden a dos números impares? ¿cuántos corresponden a un par y un impar?

9 9 18

b) ¿Cuál es la probabilidad teórica del suceso “dos números pares”?

9 c) ¿Y del suceso “dos números impares”? _ = 0.25 36 18 d) ¿Cuál es la del suceso “un par y un impar”? _ = 0.5

9

= 0.25 _ 36

36 la probabilidad teórica de

Porque e) Explica por qué el juego no es equitativo. los tres casos no es la misma. m

Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros.

4. Haz, con un compañero, lo siguiente. a) Tracen en sus cuadernos una tabla como la de la página anterior, pero considerando solo dos sucesos: “la suma es un número par” y “la suma es un número impar”. b) Cada uno elija uno de los sucesos. Lancen los dados 60 veces y registren los resultados.

Es equitativo, c) Determinen si el juego es equitativo y expliquen por qué.

Ya sabemos... La probabilidad teórica de un evento es la razón que guardan los resultados favorables y los resultados posibles. Por ejemplo, cuando se lanza un dado de seis caras, la probabilidad de que caiga 5 es 1 de 6, o bien, 1/6.

porque la

frecuencia relativa teórica es igual en ambos casos. 231

BLOQUE

5

Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.


Juegos equitativos II 1. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se indica. Juan y María juegan lo siguiente. » Cada uno inicia con 20 fichas. » Lanzan dos dados y calculan la diferencia entre los números que salen. » Si la diferencia es 0, 1 o 2, María gana y Juan le da una de sus fichas. » Si la diferencia es 3, 4 o 5, Juan gana y María le da una de sus fichas. » El juego termina cuando alguno se queda sin fichas. a) Comenten si el juego es equitativo o no. Anoten su conclusión.

No es equitativo.

b) Jueguen y verifiquen si es verdad su conclusión. De nuevo contesten: ¿el juego es equitativo?

no

c) Teóricamente, el juego no es equitativo, porque la probabilidad de que la diferencia sea 0, 1 o 2 es mayor que la de que sea 3, 4 o 5. Para comprobar esta afirmación hagan lo siguiente. Revisen la tabla de la lección anterior,“Juegos equitativos I”,donde aparecen 36 resultadosque es posible obtener al lanzar dos dados. Calculen las diferencias y anótenlas en la siguiente tabla. 123456

Aprende más sobre juegos de azar en… www.e-sm.com.mx/ SCM3-232

1

0 ()

2

( 1)

( )

¿En cuántos de los 36 casos la diferencia es

1 ( ) 2( )

( )0 ( )

12()

( 3) ( ) 4

5

( )3

4

( )2

3

(0 ) ( )1

2

( )

( 2) ( ) 1 ( )

0( ) (1)

4

( 3) 2 ()

(1 )

5

( 4) ( ) 3 ( )

2( ) (1)

( )0

1

6

( 5) ( ) 4 ( )

3( ) (2)

( )1

0

3

( )

0, 1 o 2? en 24 Teóricamente, ¿cuál es la probabilidad de que

24 = _ 2 _

la diferencia sea 0, 1 o 2?

36

3

¿En cuántos de los 36 casos la diferencia es 3, 4 o 5?

en 12

En teoría, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia sea 3, 4 o 5?

_1 3

d) Como pueden notar, María tiene ventaja en el juego, pues su probabilidad de ganar es 2/3, mientras que la probabilidad de Juan es __1 , es decir, María tiene el doble de pro3 babilidades de ganar que Juan. Para que el juego sea equitativo, María tendría que dar más fichas que Juan. Si Juan da una ficha cuando María gana, ¿cuántas fichas debería dar María cuando Juan ganara para que el juego fuera justo?

232

dos fichas

m

Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas con las de sus compañeros. Si hay discrepancias, averigüen quién tiene razón.

2. Juega con un compañero a lanzar dos monedas al aire. Uno gana si las monedas coinciden, es decir, si las dos caen en águila o en sol. El otro lo hace si una moneda cae en águila y la otra en sol. Repitan el experimento 40 veces y registren los resultados en la tabla. Antes de iniciar, cada uno elija un suceso y, en la última columna, anoten lo que esperan que suceda. Suceso

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

A: las monedas coinciden

20 20

20 20

0.5 0.5

20 20

40

40

1

40

B: las monedas no coinciden Total

Número esperado de veces

a) Sumen las frecuencias absolutas de las parejas del grupo y calculen las frecuencias relativas de los sucesos A y B. Anótenlas a continuación. »

Frecuencia relativa del suceso A:

R. T. 0.5

»

Frecuencia relativa del suceso B:

R. T. 0.5

b) ¿Es un juego equitativo?

sí

Porque ¿Por qué?

la probabilidad de que

suceda A es la misma de que lo haga B. 3. Imagina que juegas con un compañero a lanzar tres monedas. En este caso los sucesos serían “Disparejo” (A), si caen dos águilas y un sol, o dos soles y un águila; y “Tres iguales” (B), si caen tres soles o tres águilas. a) Haz en tu cuaderno un diagrama de árbol para encontrar los resultados posibles de este experimento. Deben ser ocho. Contesta lo siguiente. »

De los ocho resultados posibles, ¿cuántos corresponden al suceso A?

»

¿Y al B?

»

Teóricamente, ¿cuál es la probabilidad del suceso A?

»

¿Y la del B?

6

2 0.75

0.25

b) En teoría, la probabilidad del suceso A es el triple que la del B; por tanto, el juego no es equitativo. Una manera de hacerlo equitativo es la siguiente. Complétala. »

Cada vez que se da el suceso A, el jugador recibe

1

fichas.

»

Cada vez que se da el suceso B, el jugador recibe

3

fichas.

233

Las matemáticas en... Reflectores parabólicos En el siguiente diagrama:

A

• El punto A está a la misma distancia del punto F y de la recta d; verifícalo con tu regla midiendo los segmentos punteados.

m 8c 4.

m c 8 . 3

m c 5 . 2

1.5 cm

F

m c 1

1. 5 c m

• Los demás puntos también están a la misma distancia del punto F y de la recta d, verifícalo con tu regla. 3 .6 c m

4 .8 c m

• Marca otros 3 puntos que estén a la misma distancia del punto F y de la recta d.

d

Si continuaras marcando más puntos que estén a la misma distancia de la recta d y del punto F, observarás que todos los puntos ¡forman una parábola! como las que graficaste con las funciones de segundo grado.

Eje

2. 7

m 5c 3.3

cm

1.3 cm

m c 7 . 2

F V

1. 3 c m

3 .3 5 c m

El punto F se llama foco de la parábola y la recta d se llama directriz. El eje de simetría de la parábola es una recta perpendicular a la directriz que pasa por el vértice y por el foco. • Señala tres puntos sobre la parábola y verifica que equidistan del foco y la directriz.

directriz

• ¿Recuerdas que al girar un círculo se genera una esfera? Recorta una superficie que tenga un lado curvo en forma de parábola y un lado recto (como la del dibujo), pega un popote en el eje y hazla girar.

234

Z

El cuerpo que se genera es un sólido de revolución que recibe el nombre de paraboloide de revolución.

X

Y

Las parábolas tienen una propiedad importante con respecto a la luz: Si se tiene un espejo con forma de parábola y sale un rayo de luz desde el foco, cuando el rayo choca con el espejo parabólico en un punto, se refleja y continúa su camino paralelamente al eje de la parábola.

Eje Es decir, todos los rayos que se srcinan en el foco forman un poderoso haz al ser reflejados. De este modo es posible concentrar la luz y proyectarla hacia alguna dirección.

Foco

De manera inversa, si un haz de rayos de luz paralelos al eje penetra en uno de estos espejos, cada uno de esos rayos irán a dar al foco después de reflejarse.

Esta propiedad se aprovecha en los reflectores parabólicos; estos reflectores son paraboloides de revolución. Una aplicación común se encuentra en los faros de los coches y en otros tipos de lámparas. Esta posibilidad de concentrar la luz también se aprovecha en la construcción de telescopios reflectores.

Calentador

Antena parabólica

El comportamiento de las ondas de radio y las ondas electromagnéticas es similar al de los rayos luminosos, por eso se utilizan reflectores parabólicos de metal para concentrar ondas de radio emitidas por fuentes débiles y convertirlas en un haz intenso. Las antenas parabólicas hacen lo contrario: reciben señales débiles y registran en el foco señales relativamente fuertes. En los Juegos Olímpicos la antorcha se enciende utilizando un reflector parabólico que concentra los rayos del sol. 235



2.

La entrada a un circo cuesta $50.00 por adulto y $20.00 por niño. En un día se vendieron 220 boletos y se recaudaron $6 320.00. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? a) 60 de adulto y 160 de niño

b) 62 de adulto y 158 de niño

c) 64 de adulto y 156 de niño

d) 66 de adulto y 154 de niño

Un cono mide 10 cm de altura y 2 cm de radio en la base. Se cortará de manera que el círculo pequeño del cono truncado tenga __14 de la superficie del círculo grande. ¿A qué altura hay que cortar? a) A 2 cm de la base

10 cm

b) A 2.5 cm de la base

¿?

c) A 5 cm de la base 2 cm

d) A 7.5 cm de la base 3.

Manuel tiene dos recipientes, uno cilíndrico y otro cónico. Ambos tienen el mismo radio en su base, pero el cono tiene la mitad de altura. ¿Cuántas veces es mayor el volumen del cilindro que el del cono? a) tres veces

4.

b) cuatro veces

c) cinco veces

d) seis veces

El embudo de la figura está formado por un cono truncado y un cilindro en la punta. ¿Cuál es su volumen? a) 18.06 cm3

4 cm

3 cm 4 cm

b) 19.06 cm3 c) 20.06 cm3

1 cm 2 cm

d) 21.06 cm3 5.

236

1 cm 2

El área de un rectángulo es de 80 cm , y su largo ( x) mide 2 cm más que el ancho. ¿Qué expresión algebraica permite conocer sus medidas? a) x2 – 2x = 80

b) x2 – x = 80

b) x2 + x = 80

d) x2 + 2x = 80

6.

¿En qué inciso se muestran dos resultados (R 1, R2) igualmente probables para el lanzamiento de dos dados? a) R1 = que la suma de ambos dados sea par, R2 = que ambos dados caigan en 6 b) R1 = que la s uma de ambos dados sea 10, R2 = que la s uma de ambos dados sea 4 c) R1 = que la suma de ambos dados sea 12, 2R= que ambos dados caigan en número par d) R = que la suma de ambos dados sea 7, R = que la suma de ambos dados sea impar 1

7.

2

Daniel y Carlos juegan a lanzar dos dados y multiplicar los números que salgan. Daniel gana si el resultado es par; Carlos, si es impar. ¿Quién tiene ventaja? a) Carlos tiene poca ventaja. b) Daniel tiene poca ventaja. c) Daniel tiene mucha ventaja. d) Ninguno tiene ventaja. Considera la gráfica y selecciona la opción correcta

8.

¿Cuál es la ecuación de la recta? a) y = x + 2

b) y = x – 2

c) y = 2x

d) y = –2x

y

8 7 6 5

9.

¿Cuál es la ecuación de la parábola? a) y = 4x2

b) y = x2 + 4

c) y = x2

d) y = –x2

4 3 2

10.

¿En qué puntos se intersecan la recta y la parábola?

1 x

0 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

–1

a) (1, –1) y (4, 2) b) (–1, 1) y (2, 4) c) (1,1) y (2, 4)

d) (–1, 1) y (4, 2)

237


BLOQUE

Pongo en juego mis competencias

Probabilidad engañosa

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

En una ciudad de 10 000 habitantes se ha cometido un robo. La única pista es que el ladrón mide más de 1.90 m; una estatura poco común que solo rebasan 100 de los pobladores. La policía detiene a varios sospechosos cerca de la escena del crimen y comprueba que uno mide 1.94 m. El abogado acusador argumenta lo siguiente: “Hay 9 999 inocentes y de ellos solo 99 miden más de 1.90 m; entonces la probabilidad de que un inocente mida más de 1.90 m es de 99/9 999 ≈ 1%. Como la probabilidad anterior es cercana a 1%, entonces la probabilidad de que el sospechoso sea culpable es cercana a 99%.”

Pregunta 1. ¿Cuántas personas en la ciudad miden más de 1.90 m? ¿Cuántas de ellas son inocentes? Pregunta 2. Calcula la probabilidad de que una persona que mide más de 1.90 sea inocente y compárala con la probabilidad de que una persona inocente mida más de 1.90 m. Pregunta 3. El argumento del abogado es un error típico que se comete en probabilidad, conocido como la “falacia del fiscal”. Investiga en qué juicios reales se convenció al jurado utilizando este tipo de razonamientos erróneos. Pregunta 4. ¿Qué error comete el abogado en su argumentación? Pregunta 5. ¿Qué opinas sobre el mal uso de la probabilidad y la estadística en los juicios y en la prensa?


Un invento útil

En1795, un famoso general europeo ofreció una cantidad considerable de dinero a quien inventara una manera para conservar alimentos frescos durante las largas campañas militares. Así nació la lata, que sigue siendo unrecipiente común para envasar alimentos y otros productos perecederos. Una de las latas más comunes es la de forma cilíndrica, que puede brindar un gran volumen con poco material.

Pregunta 1. Calcula las dimensiones de una lata de forma cilíndrica con una altura de 10 cm y un volumen de 1 000 cm3. Pregunta 2. Calcula la cantidad necesaria de material para fabricar la lata anterior. Sugerencia: imagina el tamaño y la forma de cada pieza desdoblada (tapas y cara lateral) Pregunta 3. Calcula las dimensiones de una lata con forma de prisma rectangular, que tenga la misma altura y el mismo volumen que la lata anterior. Pregunta 4. Calcula la cantidad necesaria de material para fabricar la lata anterior. Pregunta 5. Investiga a qué general famoso hace alusión el texto introductorio, y quién inventó la lata que conocemos actualmente.

238

Y para terminar...

El hotel infinito

En un planeta muy lejano existe un hotel muy peculiar, se llama Hotel Infinito, y esto es porque tiene un número infinito de habitaciones. El planeta está situado en un lugar de mucho tráfico espacial, por lo que no es extraño que el hotel se encuentre lleno. Una noche llegó una exploradora y pidió una habitación; el recepcionista le dijo: “Distinguida señorita, el hotel está lleno, pero no se preocupe, tenemos la solución perfecta”. El recepcionista tomó un micrófono que tenía a su lado y su voz suave sonó en todas las habitaciones: “estimados huéspedes, por favor sean tan amables de fijarse en su número de habitación, súmenle uno y pásense a la habitación con ese número”. A continuación le dijo a la exploradora: “Por favor, señorita, la llevo a su habitación”. • ¿Cuál fue la habitación que ocupó la exploradora?

La número 1

En otra ocasión en la que el hotel también estaba lleno, llegó a la recepción un agente de viajes muy angustiado. La razón de su angustia era que venía con una cantidad infinita de turistas que deseaban alojarse en el hotel. El recepcionista le dijo: “Distinguido amigo, el hotel está lleno, pero no se preocupe, tenemos la solución perfecta”. La voz del recepcionista se escucho en todas las habitaciones: “estimados huéspedes, por favor sean tan amables de fijarse en su número de habitación, multiplíquenlo por dos y pásense a la habitación con ese número”. El recepcionista sonrió al agente de viajes y le dijo: “Listo, sus turistas pueden pasar a ocupar sus habitaciones”. • ¿Cuáles fueron las habitaciones que ocuparon los turistas?

Todas las impares

Un día las primeras 100 habitaciones estaban vacías. Lastimosamente para el recepcionista ese día habían cerrado las escuelas, por lo que tuvo que llevarse al trabajo a sus 100 hijos. Para que no se aburrieran les puso un juego: “escúchenme bien, las 100 puertas de las primeras 100 habitaciones están cerradas, quiero que uno de ustedes vaya corriendo y abra todas esas puertas; luego, quiero que el segundo de ustedes pase por todas las puertas que tengan un número de habitación que esté en la tabla de multiplicar del 2, y que cierre todas esas puertas; quiero que el tercero de ustedes pase por todas las puertas que estén en la tabla del 3 y que, si una puerta está abierta, la cierre, y, si está cerrada, la abra; quiero que el cuarto de ustedes pase por todas las puertas que estén en la tabla del 4 y que, si una puerta está abierta, la cierre, y, si está cerrada, la abra. Y así sucesivamente hasta el último. Al final quiero que escriban una lista con todas las puertas que quedaron abiertas”. • ¿Puedes ayudar a los hijos del recepcionista y hacer la lista con las puertas que quedaron abiertas después de que pasaron los 100 niños? (Ayuda: inténtalo primero con 10 puertas y 10 niños, luego con 30 puertas y 30 niños)

Todas quedan cerradas excepto las que son cuadrados perfectos 239

5 0

Los libros de texto deConect@ Estrategiaestán s disponibles en papel y en soporte digital. Acompañan el desarrollo de lascompetencias matemáticas de los alumnos, desde preescolar hasta secundaria, y siguen las disposiciones curriculares del campo de formación Pensamiento matemático .

6

0

0

6 3

9 1

1 1

7

7

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