MATEMÁTICAS R. Cantoral • R. Ma. Farfán • G. Montiel • J. Lezama • G. Molina G. Cabañas • A. Castañeda • M. Sánchez • G. Martínez-Sierra EPSA / McGraw-Hill
www.mcgraw-hill-educacion.com
1
º
Matemáticas Primer grado
S ERIE ERIE Desarrollo del pensamiento matemático Directora de la obra ROSA MARÍA FARFÁN MÁRQUEZ
Autores MARÍA G UADALUPE UADALUPE CABAÑAS S ÁNCHEZ ÁNCHEZ RICARDO CANTORAL URIZA A POLO POLO CASTAÑEDA A LONSO LONSO ROSA MARÍA FARFÁN MÁRQUEZ JAVIER LEZAMA A NDALÓN NDALÓN G USTAVO USTAVO MARTÍNEZ-S IERRA IERRA JUAN G ABRIEL ABRIEL MOLINA ZAVALETA G ISELA ISELA MONTIEL ESPINOSA MARIO S ÁNCHEZ ÁNCHEZ A GUILAR GUILAR
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
I
Publisher de la división: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial: José Ashuh Monayer Coordinador editorial: Rodrigo Bengochea Editores: Laura Berra Colín y Alejandro Nava Alatorre Supervisión de producción: Alejandro Rodrigo G. Mejía Supervisión de portada: Patricia Pantoja Valdez Diseño de interiores, composición y formación: TROCAS Fotografía: José Luis Sandoval Velázquez Velázquez Ilustraciones: Ismael Vázquez Sánchez
U. (Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN), Autores: Ricardo Cantoral U.
Rosa Ma. Farfán (Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN), Gisela Montiel E. (Programa de Matemática Educativa, Cicata-IPN), Ma. Guadalupe Cabañas S. (Centro de Investigación en Matemática Educativa, UAG: Universidad Autónoma de Guerrero), Javier Lezama A. (Programa de Matemática Educativa, Cicata-IPN), Apolo Castañeda A. (Programa de Matemática Educativa, Cicata-IPN), Gustavo Martínez-Sierra (Centro de Investigación en Matemática Educativa, UAG), Mario Sánchez A. (Programa de Matemática Educativa, Cicata-IPN) y Juan Gabriel Molina Z. (Programa de Matemática Educativa, Cicata-IPN). Los autores de esta obra agradecen la colaboración de las siguientes personas:
Cecilia Crespo C. (Instituto Superior del Profesorado “Dr. “Dr. Joaquín V. González”, Argentina), Olda Nadinne Covián C. (Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN), Martha Maldonado R. (Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN), Raciel Velásquez Velásquez A. (Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN), Iván Maldonado R. (Facultad de Letras Españolas, Universidad Veracruzana). Veracruzana).
Matemáticas Primer grado Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS RESERVADOS © 2008, respecto a la primera edición por: McGRAW-HILL/INTERAM McGRA W-HILL/INTERAMERICANA ERICANA EDITORES, S.A. DE D E C.V. C.V. A Subsidi Subsidiary ary of The The McGr McGraw-H aw-Hill ill Companies, Inc. Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 10: 970-10-6769-X ISBN 13: 978-970-10-6769-7
1234567890
09765432108
Impreso en México
Printed in Mexico
II
Contenido
III
IV
C o n t en i d o
Palabras al alumno, a la alumna ¿Sabías que las matemáticas son parte importante de la cultura de los pueblos y nos ayudan a interpretar el mundo y sus relaciones, además de permitirnos transformarlo? Ejemplos de esto último son la construcción de presas, hospitales y carreteras, pues se requiere del conocimiento y de la aplicación de las matemáticas para realizarlas. Asimismo, habrás notado que las matemáticas están presentes en muchas de las actividades que realizas cotidianamente: cuando compras en la tienda o pesas o mides algunos objetos; cuando reflexionas sobre la forma de las nubes o de los árboles; cuando platicas y construyes argumentos válidos y en otras actividades más. Sin duda las matemáticas pueden resultar toda una aventura para ti pues: • Suelen plantearte divertidos retos intelectuales. • Debes buscar y construir caminos para resolver los problemas. • Te permiten realizar labores en equipo para construir en común una estrategia ante un dilema; para ello, debes reflexionar reflexionar,, colaborar y dialogar dialogar.. • Te fortalecen el entusiasmo y la autoestima, ya que te preparan para encarar las dificultades que se te presenten en la vida. El estudio de esta disciplina contribuye al desarrollo de algunas de tus habilidades y competencias complejas, ya que: • Te permiten plantear y participar en situaciones-problema. • Te ayudan a comunicarte con eficacia con las y los demás. • Requieren del manejo de diversas técnicas, como el cálculo mental, el empleo de procedimientos abreviados, abreviados, la visualización y la estimación numérica. • Exigen pensar y actuar de manera independiente o autónoma; es decir, pensar y actuar por ti misma o por ti mismo. • Favorecen la colaboración solidaria entre compañeras y compañeros. • Te adentran al mundo de los avances tecnológicos. Además de todo esto, las matemáticas te serán de gran utilidad para realizar juegos cada vez más inteligentes, cuidar de tu salud, proteger el medio ambiente y defender tus derechos o los de tu comunidad. Tu curso cubre tres ejes: • Sentido numérico y pensamiento algebraico. • Forma, espacio y medida. • Manejo de la información. Este libro, Matemáticas Primer Grado, de la serie Desarrollo del Pensamiento Matemático, fue concebido con un objetivo primordial: desarrollar tu pensamiento matemático para que continúes exitosamente tus estudios. Su estructura consta de cinco bloques que agrupan 38 lecciones y contiene temas diversos con problemas y ejercicios que resultarán de tu interés y podrás realizarlos en tu salón de clases o en tu casa, individualmente o en equipo. Deseamos finalizar esta página deseándote un gran éxito en este curso. Las y los autores
IV
Contenido
V
Palabras al profesor, a la profesora Estimadas y estimados colegas: Este libro, Matemáticas Primer Grado, de la serie Desarrollo del Pensamiento Matemático, tiene como propósito principal servir de apoyo al aprendizaje de sus estudiantes. Se trata de una propuesta probada en el salón de clases y novedosa para la educación secundaria porque asume a las matemáticas como parte de la cultura y, en esa medida, no restringe su enseñanza a las técnicas “clásicas” de repetición y memorización. Esta propuesta también es novedosa porque utiliza estrategias de aprendizaje basadas en teorías didácticas contemporáneas, en las cuales se requiere la participación más activa del profesor y sus alumnos. Dos principios guían la propuesta de Matemáticas Primer Grado: Principio 1. Las matemáticas son parte fundamental de la cultura. Principio 2. Nadie aprende un concepto o un procedimiento matemático sin vivir un proceso de adaptación a la situación que lo hace necesario. La estructura de la obra consiste en cinco bloques que agrupan 38 lecciones que desarrollan los tres ejes de la enseñanza de esta asignatura: • Sentido numérico y pensamiento algebraico. • Forma, espacio y medida. • Manejo de la información. Cada bloque inicia con una introducción que puede ser la base para solicitar a las y los estudiantes su participación y dar pie al debate matemático propiamente dicho. En esta página se incluyen los aprendizajes esperados. Cada lección cuenta con las secciones siguientes: • Para aprender: en ella se introducen los conceptos a través de situaciones-problema; situaciones-problema; se espera del alumno una acción deliberada y dirigida por la situación. Es fundamental que ellas y ellos piensen individualm individualmente ente la actividad y luego la discutan en pequeños equipos, pues sabemos que el diálogo ayuda al razonamiento. • Los conocimientos: en esta sección se trata de poner en evidencia las formulaciones y justifica justi ficacion ciones es de de aquell aquelloo que que se hizo hizo en la la secci sección ón anteri anterior or.. El pro profesor fesor cond conduce uce un proproceso de “puesta en común” o búsqueda de acuerdos con sus estudiantes. • Los métodos: el objetivo de esta sección es dejar establecida la parte básica de lo que han aprendido los y las estudiantes; aquello a lo que pueden volver cada vez que necesiten reforzamiento reforzamiento.. • Para hacer: se compone de problemas y ejercicios fundamentales para consolidar los conocimientos, profundizarlos y sintetizarlos. Etapas que van de lo simple a lo complejo y de la diversidad a la síntesis, que es una forma progresiva de articular los conocimientoss de los alumnos. conocimiento La resolución de los problemas y ejercicios no se circunscribe al salón de clases, pues algunos de ellos pueden realizarse fuera de él. Por último, estimados y estimadas colegas, queremos apuntar que el enriquecimiento de este libro precisa de sus experiencias y sugerencias, que siempre serán bienvenidas. ¡Éxito! Las autoras y los autores
V
VI
C o n t en i d o
Conoce tu libro Te introduce al estudio del bloque
Números naturales
Lección 1
En esta lección aprenderás a identificar las propiedades del sistema de numeració numeraciónn decimal y a contrastarlas con las de otros sistemas numéricos, posicionales posicionales y no posicionales.
A lo largo de la historia la humanidad se ha visto en la necesidad de utilizar diversos diversossistemas de numeración para contar y administrar sus bienes. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (figuras) que representan los números con que contamos y medimos las cosas, y que nos ayudan a hacer operaciones y cálculos (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones).
Conocerás, desde el principio, el tema que estudiarás y los objetivos de la lección
En esta lección estudiaremos las ideas fundamentales en que se basan los sistemas de numeración; en particular, el sistema de numeración decimal.
0
1
2
3
5
6
7
8
4
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Números mayas
Para aprender Activi Act ividad dad 1 Cont Contando ando manzana manzanass Cuenta el número de manzanas que aparecen en cada uno de los siguientes recuadros.
Tema introductorio
Encuentra, junto con tus compañeros y compañeras, posibles estrategias para contar el número de manzanas y anótalas en tu cuaderno.
2
Actividades diseñadas para que adquieras los nuevos conocimientos
VI
ConoceContenido tu libro
VII
Desglose de los métodos que hay que conocer
Sección de conocimientos imprescindibles de la lección
Al final se presenta una lección de síntesis y bibliografía
Se te proponen problemas diversos para que practiques los conocimientos adquiridos
VIII
Contenido
Contenido Bloque 1 Contando, midiendo y comparando Lección 1 Lección 2 Lección 3 Lección 4 Lección 5 Lección 6 Lección 7
Números naturales Números fraccionarios y decimales Patrones y fórmulas Leyendo fórmulas Movimientos en el plano Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa I Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional
2 11 20 28 32 39 46
Bloque 2 El planeta azul Lección 8 Lección 9 Lección 10 Lección 11 Lección 12 Lección 13 Lección 14
Diagramas y tablas Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios) Problemas multiplicativos. Para aprender Problemas multiplicativos. Para aplicar Rectas y ángulos Figuras planas: Polígonos Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
52 60 71 79 84 93 102
Bloque 3 Estimar, medir y calcular Lección 15 Relaciones de proporcionalidad. Lección 16 Lección 17 Lección 18 Lección 19 Lección 20
Proporcionalidad directa II Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores constantes de proporcionalidad División de fracciones Ecuaciones Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros
112 119 128 137 146 155
VIII
Contenido Lección 21 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III Lección 22 Porcentajes Lección 23 Diagramas y tablas
IX
162 170 177
Bloque 4 ¿Me acerco o me alejo? Lección 24 Lección 25 Lección 26 Lección 27 Lección 28 Lección 29 Lección 30
Gráficas. Tratamiento de la información Nociones de probabilidad I Números con signo Potenciación y radicación Relación funcional. Situaciones problemáticas Figuras planas: Construcción de círculos Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo
190 202 212 220 232 240 250
Bloque 5 Poesía y matemáticas Lección 31 Lección 32 Lección 33 Lección 34 Lección 35
Estimar, medir y calcular: Área y perímetro del círculo Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano Problemas aditivos Relación funcional Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas Lección 36 Nociones de probabilidad II Lección 37 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad inversa Lección 38 Medidas de tendencia central y de dispersión
258 262 274 285 292 300 309 315
Una síntesis necesaria
325
Bibliografía
342
Conta ndo, midiendo y compara ndo La fotografía muestra a un protozoo llamado paramecio. Es un organismo microscópico y unicelular que se impulsa mediante el movimiento de unas diminutas extensiones que reciben el nombre de cilios, las cuales cubren toda su superficie y le sirven además para atrapar pequeñas partículas alimenticias hacia su interior. Estos protozoos ciliados viven tanto en el agua como en el suelo, donde actúan en la descomposición, estableciendo también relaciones como parásitos de otros organismos. El tamaño promedio de estos organismos es de 0.1 mm de largo. ¡Tan sólo una décima parte de milímetro!
Como resultado del estudio de este bloque se espera que:
• Conozcas las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcas semejanzas o diferencias con respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales. • Compares y ordenes números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos. • Representes sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa. • Construyas figuras simétricas respecto de un eje e identifiques cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan. • Resuelvas problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas. 1
Números naturales
Lección 1
E n esta lección aprenderás a identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y a contrastarlas con las de otros sistemas numéricos, posicionales y no posicionales.
A lo largo de la historia la humanidad se ha visto en la necesidad de utilizar diversos sistemas de numeración para contar y administrar sus bienes. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (figuras) que representan los números con que contamos y medimos las cosas, y que nos ayudan a hacer operaciones y cálculos (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). Los sistemas de numeración pueden clasificarse en: posicionales y no posicionales. Son posicionales aquellos en los que el valor de un símbolo depende del lugar que ocupa en el número. En esta lección estudiaremos las ideas fundamentales en que se basan los sistemas de numeración; en particular, el sistema de numeración decimal. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Números mayas
Para aprender Actividad 1 Contando manzanas Cuenta el número de manzanas que aparecen en cada uno de los siguientes recuadros.
Encuentra, junto con tus compañeros y compañeras, posibles estrategias para contar el número de manzanas y anótalas en tu cuaderno. 2
Números naturales
3
Actividad 2 Más manzanas Ahora cuenta el número de manzanas que hay en cada uno de los siguientes recuadros, formando grupos de cinco manzanas. Comparte las respuestas con tus compañeros y compañeras.
Actividad 3 Muchas más manzanas Ahora cuenta el número de manzanas que están en el siguiente recuadro, primero forma grupos de cinco manzanas; luego, con cinco de estos grupos, crea un nuevo grupo (que tendrá veinticinco manzanas) y finalmente realiza la suma final.
Actividad 4 Sistemas antiguos de numeración El sistema de numeración egipcio
En el tercer milenio antes de nuestra era (hace, aproximadamente, cinco mil años), los egipcios usaban un sistema para describir los números con base diez, empleando jeroglíficos para representarlos:
Los egipcios ocupaban los jeroglíficos que fueran necesarios para representar un número, y podían escribirlos indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras. Al ser indiferente el orden, a veces se escribían de acuerdo con criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, vasijas, entre otros) cuyo número indicaban.
4
Bloque 1
En la siguiente figura aparece el número 276, tal como se encontró en una estela en Karnak, pequeña población de Egipto, situada cerca de la rivera oriental del río Nilo.
El sistema de numeración griego
El primer sistema de numeración griego se desarrolló en el año 600 antes de nuestra era y usaban los siguientes símbolos:
Se disponía de tantos símbolos como fuera necesario para sumar la cantidad adecuada. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se hacían trazos verticales; para el 5, 10 y 100, se recurría a las letras iniciales de las palabras cinco ( pente), diez (deka) y mil (khiloi), respectivamente.
Escribe los siguientes números en el sistema egipcio y en el sistema griego: Número
Siste ma egipcio
Sistema griego
277 213 67
Actividad 5 De diez en diez Cuenta el número de manzanas que aparecen en el siguiente recuadro, integrando primero grupos de diez manzanas (que llamaremos decenas); luego, con diez de estos grupos, haz uno nuevo (que tendrá cien manzanas y que llamaremos centena). Finalmente realiza la suma total de manzanas. ¿Cuántas centenas hay? ¿Cuántas decenas? ¿Cuántas unidades? Anota las respuestas en tu cuaderno.
Números naturales
5
Actividad 6 Debo, pero. . . ¿pago? Si sólo tienes monedas de diez pesos, ¿cuántas requieres para pagar las siguientes cantidades: $50.00, $130.00, $110.00, $160.00, $240.00 y $320.00?
Actividad 7 Sistemas de numeración posicionales El sistema de numeración maya Los mayas construyeron un sistema de numeración de base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto; dos, tres y cuatro puntos servían para el 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema aditivo de base 5, es decir, un conjunto de símbolos en el cual aumenta el valor de cada cifra de 5 en 5. Pero en realidad estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20. En este sistema hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20 20, 20 20 20, . . . según el lugar que ocupe y sumar el resultado. Es, por tanto, un sistema posicional que se escribe de arriba abajo, empezando por el de magnitud mayor. En la siguiente tabla se presentan algunos números decimales representados en el sistema de numeración maya. Número en sistema maya
Número decimal
Justificación
20
1 20 0 1 20
21
1 20 1 1 21
41
2 20 1 1 41
401
1 20 20 0 20 1 1 401
Los conocimientos La idea básica de cualquier sistema de numeración es agrupar las cosas y utilizar un símbolo o figura para designar el número de elementos. En la secuencia de actividades de esta lección, hemos descrito cómo en otros tiempos y culturas se inventaron figuras diversas para representar diferentes números. El sistema decimal de numeración, que nosotros utilizamos, agrupa lo que se quiere contar en grupos de 10. Así, a un grupo de 10 unidades se le llama decena, a un grupo de 10 decenas se le llama centena, a un grupo de 10 centenas se le llama millar, etcétera.
6
Bloque 1
La siguiente tabla muestra las diferentes agrupaciones utilizadas en el sistema de numeración decimal: Nombre de la agrupación
Cantidad de cosas
Unidad
1
Decena
10
Centena
100
Millar (unidad de millar)
1 000
Otra característica del sistema de numeración decimal es que hace posible contar cualquier cantidad de objetos con los símbolos que se llaman dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Esto se debe a que nuestro sistema de numeración decimal es “posicional”; es decir, resulta importante la posición donde están colocados los símbolos. Para nosotros 12 es diferente que 21, a diferencia de otros sistemas de numeración como el egipcio, en el que, por ejemplo, el 12 podía ser escrito de diversas maneras:
En cambio, en el sistema de numeración decimal se establecen las reglas de posición, por ejemplo, el número 423 representa la unión de 3 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Uno de los aspectos principales de los sistemas de numeración posicional radica en la existencia de un símbolo para representar la ausencia: el cero. Por ello, al escribir una centena utilizamos el número 100, que indica cero unidades, cero decenas y una centena. El significado de la numeración decimal también se puede entender a través de la notación desarrollada de un número. Como 423 representa la unión de 3 unidades, 2 decenas y 4 centenas, podemos escribir: 423 4 100 2 10 3 1 Por lo general, en un sistema de numeración posicional, un número se representa en términos de potencias de un número fijo, llamado base, que puede ser el 10, como en el sistema decimal, o cualquier otro número. La potenciación es la multiplicación de un número por sí mismo tantas veces como lo indique el exponente. En la potenciación se distinguen dos partes: base → 102 exponente 102 10 10 103 10 10 10 104 10 10 10 10 Y como 101 10, podemos escribir los números anteriores en notación desarrollada de la siguiente manera: 423 4 102 2 101 3 1 El sistema de numeración manejado por los mayas tenía como base el número 20, mientras que los babilonios empleaban un sistema posicional de base 60. ←
Números naturales
7
Los métodos 1. Reglas de posición para el sistema decimal:
• El primer dígito, de derecha a izquierda, representa el número de unidades • El segundo dígito, de derecha a izquierda, representa el número de decenas • El tercer dígito, de derecha a izquierda, representa el número de centenas • El cuarto dígito, de derecha a izquierda, representa el número de millares • . . . etcétera. Ejemplo: 5 786 tiene 6 unidades, 8 decenas, 7 centenas y 5 millares 2. Escritura de un número en notación desarrollada:
• • • • •
Se identifica el dígito de las unidades y se expresa su multiplicación por 1 Se identifica el dígito de las decenas y se expresa su multiplicación por 10 Se identifica el dígito de las centenas y se expresa su multiplicación por 100 . . . etcétera. Se expresa la suma (no se hacen las operaciones)
Ejemplo: escribimos 5 786 en notación desarrollada como 5 786 5 103 7 102 8 101 6 1 5 1 000 7 100 8 10 6 1 Vínculo con el espa ñol
Las culturas precolombinas del continente americano aportaron una enorme cantidad de conocimientos al mundo moderno. Actualmente son conocidas sus contribuciones a la herbolaria, filosofía, agronomía, astronomía y matemáticas. Podemos reconocer una fuerte similitud entre su cosmovisión y la construcción que hicieron de la noción del cero. En el caso de las culturas mesoamericanas, la ausencia de dicotomías del tipo bueno-malo favoreció considerablemente la constitución de la noción del cero de una manera original e interesante y, como se ha visto en el caso de la cultura maya, ello les llevó a la invención del sistema de numeración posicional. En una sociedad organizada sobre fundamentos politeístas, la existencia de diversas deidades y de múltiples representaciones de un mismo dios permitió (conceptualmente) que las fuerzas de la naturaleza fueran tratadas como manifestaciones de sus deidades. Al respecto, según se reporta en el museo de sitio del Templo Mayor en la Ciudad de México, Tláloc, el dios de la lluvia o el “señor del agua y la fertilidad” representa el elemento principal de la actividad agrícola, base de la economía mexica. La presencia de esta deidad refleja el culto tan importante que se tenía en el México prehispánico al agua y a la agricultura. Sin embargo, no representa sólo la vida, sino también castiga al hombre con heladas, granizo, aguas “malas”, etc. . . , tiene el poder de destruir. Por tanto, es simultáneamente una deidad de vida y de muerte. Una épica náhuatl narra al respecto: El dios Tláloc residía en un gran palacio con cuatro aposentos y en medio de la casa había un patio con cuatro recipientes llenos de agua. El primero. . . fecundiza la tierra para que dé buenos frutos. El segundo. . . hace nublarse las mieses y hace perderse los frutos. El tercero. . . hace helar y secar las plantas.
8
Bloque 1
El cuarto. . . produce sequía y esterilidad. Tiene el dios a su servicio muchos ministros, pequeños de cuerpo. . . son azules. . . blancos, amarillos o rojos. Ellos, con grandes ollas y con palos en las manos, van a regar sobre la tierra cuando el supremo dios de la lluvia ordena. Y cuando truena es que resquebrajan su cántaro, y si algún rayo cae es que un fragmento de la vasija rota viene sobre la tierra . Épica náhuatl Museo del Templo Mayor, Ciudad de México
Chaac Mool,
Tláloc,
El mensajero de los dioses
Dios de la lluvia
Los enviados del dios Tláloc tenían muy diversas representaciones. Una muy conocida es la de Chaac, o el mensajero de los dioses, que puede encontrarse en diversas culturas mesoamericanas, la mexica o la maya. A diferencia de la forma en que se atribuye en las religiones occidentales la bondad a un Dios y la maldad a su antítesis, los dioses prehispánicos son simultáneamente buenos y malos. El dios de la lluvia, por ejemplo, es el encargado de producir sequía en un territorio, a la par que prodiga abundancia de agua en otro, como narra la épica náhuatl. Permite la siembra adecuada y el usufructo de la tierra; al mismo tiempo, inunda am plios territorios. Esta suerte de juego de contingencias sólo se explica mediante las nociones de conservación y transición. De ahí que quienes idearon representaciones de lo divino, acudiendo a nociones como la transición, pudieron considerar la existencia del cero para representar, a la vez, la transición con la ausencia. El cero real que manejamos hoy día dispone de esta doble naturaleza. En tal sentido, es la noción de transición entre lo uno y lo otro lo que resulta importante en esta visión social del mundo.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Expresa en notación decimal desarrollada los siguientes números:
1 278 547 219 2. De la siguiente lista de números, identifica qué valor posicional tiene cada dígito
subrayado: unidades, decenas, centenas, millares. 45 858 383 473.08923 83 700.303
Números naturales
9
2 747 636 3. Dados los siguientes números, clasifica sus dígitos como se muestra en el ejemplo:
1 293
Unidades
Decenas
Ce ntenas
Millares
3
9
2
1
2 345 273 47 176 6 354 5 4. Calcula las siguientes sumas:
13 135 1357 13579 Éstas son sumas consecutivas de los números impares. Analiza los resultados que obtuviste. ¿Observas alguna regularidad? ¿Hasta qué suma consecutiva el resultado alcanza el millar? Anota las respuestas en tu cuaderno. 5. ¿Qué dígito representa el lugar ocupado por el
998
en la suma:
000
999 22 997
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Argumenta por qué funciona el algoritmo para la suma de números naturales,
anota la respuesta en tu cuaderno. 2. Argumenta por qué funciona el algoritmo para el producto de números naturales, anota la respuesta en tu cuaderno. 3 7 3. Argumenta por qué funciona el algoritmo pa2 1 4 5 ra la resta de números naturales, anota la res2 8 6 1 5 puesta en tu cuaderno. 2 0 4 2 4. El siguiente diagrama muestra un método, 3 0 conocido como árabe, para calcular el producto de 57 y 346. Descubre el método, aplícalo en otros casos y argumenta por qué funciona, 9 1 7 2 2 anota la respuesta en tu cuaderno.
10
Bloque 1
Ejercicios de profundización 1. El sistema de numeración binario es un sistema de numeración posicional de base
2; es decir, agrupa las cantidades en términos de las potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16. . .) y utiliza sólo los números 0 y 1 para representar los números. Por ejemplo: 642 1
4
1
2
0
1
La representación binaria de 6 es 110. De manera inversa, si un número tiene representación binaria 1101, entonces en el sistema de numeración decimal es: 1 23 1 22 0 21 1 1 8 4 1 13 a) Escribe en notación binaria los siguientes números escritos en notación decimal:
12 __________, 7 __________, 20 __________, 16 __________. b) Escribe en notación decimal los siguientes números escritos en notación binaria:
1001 __________, 1010 __________, 1011 __________. 2. Crea tu propio sistema de numeración de base 3. 3. Obtén la lista de enteros positivos del 100 al 999 inclusive, ¿cuál es la cantidad de
ellos que no contienen los dígitos 2, 5, 7 y 8? Anota la respuesta en tu cuaderno.
Ejercicio de síntesis 1. Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: si la suma de los dígitos
de un número es múltiplo de tres, entonces el número es múltiplo de tres, anota la respuesta en tu cuaderno.
Números fraccionarios y decimales
Lección 2
E n esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y determinar el orden de las fracciones.
Las fracciones fueron usadas por los babilonios alrededor del 2000 a.n.e. Las escribían considerando un valor posicional semejante al que empleamos, cuyos denominadores eran potencias de sesenta. El Papiro Rhind, escrito por Ahmes aproximadamente en 1650 a.n.e., fue adquirido por A. H. Rhind en 1860. Registra que los egipcios desarrollaron un tratado sistemático de fracciones propias, en el que manejaron a la unidad como numerador (unitarias). Además, consigna la escritura de varias fracciones unitarias que emplean un símbolo en forma 2
de boca y el denominador debajo de éste. Excepto para la fracción , que 3 tenía un símbolo especial, todas las otras fracciones con numerador diferente a 1 las escribían como suma de fracciones unitarias. Por ejemplo,
3 5
se escribía
1 1 2 10
.
Los hindúes escribían las fracciones como hoy lo hacemos, pero sin la barra horizontal, la cual fue introducida por los árabes.
Para aprender Actividad 1 Midiendo y comparando La fotografía muestra a un protozoo llamado paramecio. Es un organismo microscópico y unicelular que se impulsa mediante el movimiento de unas diminutas extensiones que reciben el nombre de cilios, las cuales cubren toda su superficie y le sirven además para atrapar pequeñas partículas alimenticias hacia su interior. Estos protozoos ciliados viven tanto en el agua como en el suelo, donde actúan en la descomposición, estableciendo también relaciones como parásitos de otros organismos. El tamaño promedio de estos organismos es de 0.1 mm de largo. ¡Tan sólo una décima parte de milímetro! 11
12
Bloque 1
Con una regla, que ha sido ampliada, medimos un paramecio. El entero de referencia es el milímetro, el cual lo dividimos en 10 partes iguales.
1
0
1 mm
10
Otros protozoos como la ameba pueden llegar a medir hasta 0.125 mm. Si lo expresamos como fracción de milímetro, queda: 0.125 125 1 1000 8 Medimos a un paramecio y una ameba. Nuevamente la unidad de referencia es el milímetro. 1 10 0
1 mm
1 8 0
Para ubicar
1 8
1 mm
de milímetro, dividimos el entero en ocho partes iguales.
La siguiente tabla expresa la medida aproximada de algunos protozoos. Protozoo
Urostylamarina Stichotrichagracilis Geleia Aspidiscafjeldi
Medida 6 50
mm
0.1 mm 18 50
mm mm
Números fraccionarios y decimales
13
Ubica sobre la recta la medida de cada protozoo. Recuerda que tienes como entero de referencia a 1 milímetro. 0
1 mm
Actividad 2 Como en los tiempos de los abuelos. . . Tus abuelos te podrán contar que hace muchos años había monedas de 10 centavos y que su “domingo” consistía en cinco o diez de estas monedas para comprar algunas golosinas. Remóntate a esos viejos tiempos y contesta: a) El precio de un paquete de galletas era de 80 ¢, pagando con monedas de 20 ¢, ¿cuántas necesitarías? ___________ ¿Y con monedas de 10 ¢? ___________ b) En las compras de la semana en la lista había productos como: 2 litros de petróleo para la estufa, 65 ¢ cada uno 1 botella de aceite de hígado de pescado 150 ¢ 1 paquete de pilas para el radio y las linternas 120 ¢ Al pagar con monedas de 10 ¢ ¿cuántas necesitarías para las compras de la semana? ____________ ¿y pagando únicamente con monedas de 20 ¢? ____________
Actividad 3 Mucha galleta La empresa Mucha Galleta tiene dos tipos de galletas con fibra de soya a la venta. La primera contiene 0.25 mg de fibra por gramo; la otra tiene un poco más del do ble, 0.60 mg.
La fibra dietética (polisacárido no almidonoso [PNA]) proviene de los restos de las paredes de células vegetales. Su diámetro no suele ser superior a 0.5 mm. La fibra dietética ayuda a prevenir la obesidad, reduce el colesterol y el riesgo de enfermedades cardiacas y cálculos biliares. También ayuda a reducir el riesgo de cáncer de intestino. En la siguiente lista se enuncian otras marcas de galletas con diferentes contenidos de fibra por gramo. Selecciona las galletas cuyo contenido de fibra por gramo esté entre las que elabora Mucha Galleta. • • • • • •
Galletas Ricas, contenido de fibra: 0.40 mg. Galletas de Fibra, contenido de fibra: 0.20 mg. Galletas Sonrisa, contenido de fibra: 0.80 mg. Galletas Polvorón, contenido de fibra 0.55 mg. Galletas Nevadas, contenido de fibra: 0.01 mg. Galletas Orejitas, contenido de fibra: 0.3 mg.
14
Bloque 1
a) En tu cuaderno ubica en una recta numérica el contenido de fibra de los dos tipos de galletas de la empresa Mucha Galleta, y señala con color las que elegiste de la lista. b) En tu cuaderno ordena todas las galletas de menor a mayor cantidad de fibra.
Los conocimientos Escrituras fraccionarias de números Las letras a y b representan números enteros cualesquiera, es decir, pueden tomar el valor que tú decidas, la única restricción es para la letra b que no podrá ser cero, esto lo escribimos como b 0. a b a b
Observación;
a
1
es el cociente de a entre b;
a b
a b.
es una escritura fraccionaria.————
a 1 a;
0 b
0b0
Un número puede escribirse de diferentes formas. Por ejemplo: • •
1 4 1 4
, 0.25, y
25 100
25 100
son tres formas de escribir un mismo número,
son la forma fraccionaria de escritura,
• en tanto que 0.25 es su escritura decimal. Observación: si a y b son dos números enteros ( b 0),
a b
es una fracción.
Valor posicional La idea fundamental del sistema decimal de numeración es el valor posicional de los números. Para extender la idea del valor posicional a números fraccionarios, se debe contar con fracciones que sirvan como base para representar las partes. Las unidades fraccionarias a la derecha del punto se llaman décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas. . . , millonésimas. Nombre
Equivale a
Décima Centésima Milésima Diezmilésima Cienmilésima
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
Millonésima
0.000001
15
Números fraccionarios y decimales Igualdad de fracciones
Al multiplicar al numerador y denominador de una fracción por un mismo número entero (excepto el cero), la fracción es equivalente a la primera. a a
b
a k b k
;
a
k b b k
(b 0; k 0)
Ejemplos: 7
3
4
7
21
14
28
35
7
2 5
7
Los métodos Conversión de fracciones a decimales
Convierte el número mixto 4
2 4
a decimal.
El 4 expresa cuatro enteros; la fracción dividir 2 entre 4:
2 4
, dos cuartas partes de otro entero. Al
.5 4 20 0 Entonces, el número decimal es 4.5. Conversión de decimales a fracciones
Utilizamos el valor posicional del decimal para convertirlo a fracción. Ejemplo: convertir el decimal 0.80 a su fracción correspondiente. 0.80
8 10
8 2 10 2
4 5
; por tanto, la expresión fraccionaria de 0.80 es
4 5
.
16
Bloque 1 Comparación de fracciones Método 1
Dividiendo
Ejemplo: comparar 1 4
Método 2
1 4
1
con
8 1
0.25, en tanto que
8
0.125; entonces
1 4
1
.
8
Transformando a fracciones equivalentes con el mismo denominador
Aplicamos la siguiente propiedad: si dos fracciones tienen el mismo denominador, la fracción más pequeña es aquella que tiene el menor numerador. 8
Ejemplo: comparar 8
16
5
10
5
y
y como
7 10 7 10
16 10
, ya que 7 16; entonces
7 10
8 5
.
mismo denominador Observación. En ciertos casos, podemos usar la propiedad si dos fracciones tienen el
mismo numerador, la fracción más pequeña es aquella que tiene el denominador más gran18
de. Ejemplo:
12
18 7
.
Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica
Las cantidades fraccionarias pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad o entero de referencia en tantas partes como indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo el entero o unidad de referencia siempre en 10 partes iguales. Ejemplo:
1 2
0
0.5
1
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. En cada inciso, encierra en un cuadro el número mayor.
a)
1 2
y
f ) 0.1 y
1 8 1 5
b) g)
2 3 4 7
y y
3 2 3 5
c) 0.01 y h)
1 5
1 10
y 0.3
d) i)
3 4 2 5
y y
1 3 2 4
e) j)
3 5 2 5
y 0.2 y
5 12
Números fraccionarios y decimales
17
2. Ordena de mayor a menor los números que se muestran en cada inciso. 1
a)
2
,
1 3
,
1 4
, 0.2
b)
2 3
5
, 0.2,
2
,1
c) 0.01,
1 10
1
,
, 0.3
5
3. En cada inciso, encuentra un número que esté entre los dos números que se dan.
a)
1 2
y
f ) 0.1 y
1 3 1 5
2
b)
y
3 4
g)
y
7
3 2 3 5
c) 0.01 y 1
h)
5
1
d)
10
y 0.3
i)
3 4 2 5
y y
1
e)
3 2
j)
4
3 5 2 5
y 0.2 y
5 12
4. Escribe en el espacio el número que hace falta para que se cumpla la relación de
orden. 1 5
10
2
4
4
5
4
1
5
5
3
5. Clasifica los dígitos y colócalos en la columna que corresponde.
Décimos
Diezmilésimos
Milésimos
Centésimos
Cienmilésimos
129.374 1.2345 2 738.9283 2.3847 1 763.1763
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. ¿Es
5 15
un número fraccionario? Explica por qué y anótalo en tu cuaderno.
2. Una pieza de aluminio de un microscopio tiene un grosor de 0.125 pulgadas y se
permite un rango de error en el grosor de 0.005 pulgadas: a) Ubica en una recta la cantidad de 0.125. Utiliza tu cuaderno para hacer la recta. b) Expresa en forma de fracción dicha cantidad. ___________________ c) Ubica en la recta el rango de error del grosor de la pieza de aluminio. 3. Escribe una fracción que sea mayor que
1 8
y menor que
2 5
.
18
Bloque 1
4. ¿Cuánto es
1 5
de 15? ___________________
5. ¿Qué parte del área del cuadrado corresponde la región coloreada?
6. Se muestra una sucesión de triángulos que se divide al interior en cada etapa. ¿En
cuántas partes se dividirá el triángulo de la octava etapa? ¿Qué fracción representa el total de su área?
7. Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales:
a) 0.027 ______ b) 0.12 ______ c) 0.47 ______ d) 0.125 ______ e) 0.573 ______
Problemas de profundización 1. Ubica las fracciones en el espacio que corresponde, cuidando que se cumpla la
condición. 2
1
6
1
5
4
15
2
_____ _____ _____ _____ 2. Escribe las fracciones que cumplan con la condición. 2 5
_____
4
2
5
8
3. Divide la siguiente figura en ocho partes iguales.
_____
3 4
Números fraccionarios y decimales
19
4. La imagen muestra algunos protozoarios ciliados que habitan en la Laguna de
Términos, Campeche (medidas expresadas en micras). 1. Plagiocamba marina Kahl (0.087) 2. Chaenea limicola (0.142) 3 1
2
3. Enchelys nebulosa (0.103) 4. Trachelocerca coluber (0.910) 5. Litonotus vesiculosus (0.611) 6. Heminotus caudatus (0.852)
4
5
6
7
7. Trachelophyllum clavatum (0.209)
Con esta información, responde las siguientes preguntas en tu cuaderno: a) ¿Cuántos organismos de nuestra tabla son menores a
1 4
de mm?
b) Ubica en una recta las medidas aproximadas de estos protozoos. c) Estima dos fracciones (muy cercanas) que sean los extremos de las medidas de estos protozoos. d) Si dichos organismos pudieran alinearse uno tras otro, ¿qué longitud alcanzarían? ¿Cómo la expresarías en fracción?
Problema de síntesis 1. Una suspensión médica (las suspensiones son mezclas heterogéneas formadas
por pequeñas partículas no solubles que se dispersan en un medio líquido). En 100 ml tenemos 1 de sustancia no soluble y el resto es agua. ¿Cuál es la cantidad 8 de agua en el frasco?
Patrones y fórmulas
Lección 3
E n esta lección aprenderás a identificar los patrones que siguen determinadas listas numéricas y arre-
glos geométricos para expresarlos a través de una regla general. Representarás sucesiones numéricas a partir de un regla dada.
1
2
3
4
5
Observa cómo se ha ido dividiendo el cuadrado original; la superficie en color rosa es en cada etapa más pequeña que la anterior. Si continuamos el proceso de dividir la figura en cuadrados todavía más pequeños, la superficie de color rosa será cada vez más pequeña. . .
Para aprender Actividad 1 Encontrando lugares Si el número de círculos que forman cada figura continúa aumentando de la misma manera:
• ¿Cuántos círculos tendrá la figura que ocupe el lugar 8? _______________________ • ¿Cuántos círculos tendrá la figura que ocupe el lugar 9? _______________________ • ¿Cuántos círculos tendrá la figura que ocupe el lugar 10? ____________________ 20
Patrones y fórmulas
21
Actividad 3 Completando listas numéricas a) De la siguiente lista de números algunos están faltando, complétala
Lista A 1, 2, 3, 4, 5, 6, ____, 8, 9, ____, ____, 12, ____, . . . Lista B ____, 5, 8, 11, 14, ____, 20, ____, 26, ____, ____, . . . b) En la lista A de números de la actividad anterior encontraste cuáles eran los números faltantes. Escribe un mensaje en tu cuaderno para explicarle a tus compañeros cuál es el patrón que encontraste. c) ¿Y cómo le explicarías a tus compañeros el patrón que encontraste en la lista B? Anótalo en tu cuaderno.
Actividad 4 La cooperativa escolar Al grupo de primero “A” le ha tocado encargarse de la cooperativa escolar. Martha, una alumna de ese grupo, es la encargada de vender refrescos. Los refrescos El Negrito valen 6 pesos con 50 centavos (6.5), mientras que los de otros sabores cuestan 5 pesos. Para que Martha no se confunda a la hora de cobrar, ayúdale a completar la siguiente tabla de cobros: Tabla de cobros Cantidad de refrescos
Refre scos El Negrito
Refrescos de otros sabores
1
$6.5
$5
2
$13
$10
3
$19.5
$15
4
$26
5 6 7 8 9
$58.5
• ¿Cuánto debe cobrar Martha si le piden 15 refrescos El Negrito? ________________ • ¿Cuánto cobrará si le piden 25 refrescos de otros sabores? ___________________
22
Bloque 1
• ¿Cuánto debe cobrar si le piden 14 refrescos de otros sabores? ¿Cuánto por 19? __________________________________ y __________________________________ • ¿Qué debe hacer Martha para determinar cuánto cobrar por 25 refrescos de otros sabores, o por un número mayor.
Actividad 5 Identificando la expresión general de patrones a) Considera las siguientes columnas de cuadrados:
Figura 1
Columna:
1
2
3
4
5
Si cada uno de los lados de los cuadrados que forman las columnas mide 1 centímetro por lado, ¿cuál es el perímetro de cada una de las columnas? Escribe los datos en la siguiente tabla. Columna
Perímetro en ce ntímetros
1 2 3 4 5 6 7 10 30
4 6 8
• ¿Cómo calculaste el perímetro de las columnas 10 y 30? Anótalo en tu cuaderno. b) Ahora, atiende a las siguientes columnas de cuadritos:
Figura 2
Columna:
1
2
3
4
5
Patrones y fórmulas
23
¿Cuál es el perímetro de cada una de las columnas? Completa los datos en la ta bla. La diferencia de colores es una clave que te puede ayudar. Columna
Perímetro en cent ímetros
1
8
2
10
3 4 5 6 7 8 9 • ¿Cómo calcularías el perímetro de las columnas 11 y 30? Anota en tu cuaderno. Describe el comportamiento que sigue el perímetro de las figuras, observa cómo varían y encuentra una forma de predecir cuántos centímetros tendrá una nueva figura. En la siguiente tabla se ha agregado una nueva columna. Observa cómo se indican las operaciones (recuerda que primero se realiza la multiplicación, después la suma). Completa esta tercera columna. Columna
Perímetro
Patrón
1
8
6 2 (1)
2
10
6 2 (2)
3
12
6 2 (3)
4
14
62
5
16
...
El patrón general que se siguió fue 6 2 terior, la regla general.
. Escribe, como en el problema an-
24
Bloque 1
c) ¿Cuál es la fracción que representa cada caso?
Figura 3
1
2
3
4
5
Completa la siguiente tabla con la información anterior. Caso
Fracción
1
1 1
2
1 4
3 4 5 9 11 • ¿Cómo calculaste la fracción para el caso 9 y 11? Anota en tu cuaderno. • Argumenta qué debes hacer para determinar cualquier otro caso. Anota en tu cuaderno. d) Carlitos capturó un grillo y jugaba con él, se le ha escapado y se aleja dando saltos de 20 centímetros, mientras Carlitos observa sin seguirlo. Encuentra la regla general y determina la distancia que existirá entre ambos luego de 7 saltos del grillo. Anota la respuesta en tu cuaderno.
Los conocimientos Patrones y fórmulas
Con frecuencia encontramos listas de números o arreglos geométricos, que conservan un determinado comportamiento a los que llamamos patrones numéricos o patrones geométricos. El patrón de comportamiento de sus elementos puede expresarse a través de una regla general o fórmula.
Patrones y fórmulas
25
Ejemplo Considera la siguiente lista de números: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ¿Cuál es el patrón que siguen los números? El primer número es 2, el segundo número es 4, igual con 2 2, el tercero es 6, igual con 2 3. Entonces el patrón es 2 o como se acostumbra en matemáticas 2 n.
Los métodos Reconocimiento de patrones 1. Primero se dispone de un listado numérico o un arreglo geométrico, por ejemplo:
1, 2, 3, 4, 5, . . . 2. Se toman dos valores consecutivos, por ejemplo el primero y segundo términos de la lista, el segundo y el tercero, el tercero y el cuarto y así sucesivamente. 3. Se estudia cómo se pasa de un valor a otro. A veces puede ser que sumes, que restes, multipliques o dividas. 4. Se descubre (o encuentra) una regularidad, que en nuestro ejemplo, al pasar del 1 al 2, del 2 al 3 o del 3 al 4, lo que se hizo fue sumar a cada término una unidad. ¡Aquí tenemos ya una pista! Entonces pasamos a la generalización y proponemos una regla general. Para el ejemplo: tomas un número de la lista y le sumas uno. Si el cuadrito es un término de la lista, el siguiente es 1. El patrón general es el mismo que tienen los números naturales. Elegimos la inicial n para describirlos.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Encuentra la regla general que siguen las siguientes listas numéricas.
Lista A 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, . . . Lista B 48, 46, 44, 42, 40, 38, 36, 34, 32, 30, . . . 2. Escribe los cinco primeros términos que generan las reglas siguientes:
3n 1 (n 1)(n) 2n 1 n
26
Bloque 1
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Dada la siguiente lista de números:
48, 46, 44, 42, 40, 38, 36, 34, 32, 30, . . . ¿Qué valor tendrá el término 13 de la lista? _________________________________ 2. El litro de gasolina cuesta 7 pesos con 20 centavos. Si este precio se incrementara
10 centavos cada mes, ¿cuánto costarían 5 litros de gasolina en 6 meses? ¿Cuál será la fórmula del precio en términos de los meses transcurridos? Anota las respuestas en tu cuaderno.
Ejercicios de profundización 1. Determina la regla general que siguen los siguientes arreglos geométricos. Descri-
be el método que usas en tu cuaderno.
2. En una tienda de comestibles, las naranjas se apilan como muestra la figura, de
forma rectangular. Si la base tiene 50 naranjas a lo largo de una orilla y 30 a lo largo de la otra, ¿cuántas naranjas habrá en el rectángulo? _______________________
3. Si el área del cuadrado que contiene a los que están iluminados es una unidad
cuadrada, ¿cuál es el área del cuadrado que tiene el número 4?
1
2 3 4
Patrones y fórmulas
27
Ejercicios de síntesis 1. Las figuras 0, 1, 2 y 3 constan de 1, 5, 13 y 25 cuadrados unitarios que no se tras-
lapan (superponen). Si se continúa este patrón, ¿cuántos cuadrados unitarios (no superpuestos) habrá en la figura 100? ___________________________________
Figura 0
Figura 1
Figura 2
Figura 3
2. Un hombre desea construir un patio con piso de ladrillo en forma más o menos
triangular. Decide primero colocar una hilera de ladrillos a lo largo de una orilla para formar la base de su triángulo, y después construye cada una de las siguientes hileras con dos ladrillos menos que la anterior. Si hay n ladrillos colocados en la base del triángulo, encuentra una fórmula para el número total de ladrillos usados en la construcción de todo el patio.
Lección 4
Leyendo fórmulas
E n esta lección aprenderás a explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas.
La utilización de fórmulas es una práctica común en nuestra sociedad y se extiende en todas sus esferas, desde el vendedor que necesita saber cuánto ha de cobrar por cierto número de artículos, hasta el astrónomo que le interesa predecir el paso de un cometa por las cercanías de la Tierra.
Para aprender Actividad 1 El costo de varios boletos del metro Completa la tabla escribiendo el costo de la cantidad de boletos: Ca nt idad de boletos
Precio e n pe sos
1 2 3 4 5 6 7
2
Comenta con tus compañeros, ¿cómo determinaron el costo de cada una de las cantidades de la tabla?
Actividad 2 Letras, cálculos y cuadritos Expresado en palabras, el número de cuadritos de cada columna de la figura es igual a multiplicar el número de columna por dos; es decir, número de cuadritos 2 número de columna. 28
Leyendo fórmulas
29
Puedes expresar en forma compacta lo anterior; utiliza la letra N en lugar de “número de cuadritos” y la letra C para referirte a “número de columna”, así la expresión “número de cuadritos 2 número de columna” será reducida a N 2 C.
Columna:
1
2
3
4
5
Con base en las consideraciones anteriores, la tarea consiste en expresar en pala bras las siguientes formas compactas: Forma compacta 1.
N C 5
Forma compacta 2.
N 3 C
Forma compacta 3.
N 2 C 1
Forma compacta 4.
N 2 C 1
Discute con tus compañeros y con el profesor, ¿cómo expresar en forma compacta las expresiones 1 y 2 de la actividad 2?
Los conocimientos Fórmulas
Las expresiones que en la actividad 2 se llaman formas compactas, en la matemática se conocen como fórmulas, por ejemplo la expresión N 2 C en el contexto de la actividad representa las operaciones que se han de realizar para encontrar el número de cuadraditos que tendrá cada columna. Las letras que se utilizan en las fórmulas son llamadas “literales”, utilizadas para representar operaciones generales con números, en el caso del ejemplo, la letra C es una literal. Ejemplo La fórmula que nos permite calcular el área de un rectángulo es A b h, donde A refiere al área, b a la cantidad que mide la base del rectángulo y h lo que mide su altura.
30
Bloque 1
Los métodos Utilización de fórmulas a) Primero se dispone de una fórmula, por ejemplo:
N 5 C 1 N representa el número de cuadraditos en una columna, y C el número de columna. b) Si se desea calcular el número de cuadraditos en la columna 7 se sustituye el número 7 en la fórmula y se realiza la operación, se tendrá N 5 7 1 36.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. El señor Rigoberto vende tamales y atole, cada tamal cuesta 6 pesos y cada vaso
con atole 5. Por lo general en los días festivos las personas le compran varios tamales y atoles, así que para saber cuánto cobrar por cada orden ideó algunas fórmulas, escribe en tu cuaderno cuál es si: • Le compran varios tamales. ¿Cómo sabrá cuánto cobrar? • Varios atoles. ¿Cómo sabrá cuánto cobrar? 2. Aplica la fórmula N C 3 y N 5 C 3 a los siguientes números:
• 1, 3, 5, 7, 9 • 1, 2, 3, 4, 5 3. Para las siguientes fórmulas de precio de naranjas, la letra “ n” indica la cantidad
de naranjas, y “P” su precio en pesos. Calcula el precio para 5, 10 y 15 naranjas. ¿Cuánto cuesta cada naranja para cada caso? • P 3n 1 • P (n 1)(n)
Ejercicio para consolidar los conocimientos 1. Dada la siguiente lista de números:
48, 46, 44, 42, 40, 38, 36, 34, 32, 30, . . . propón una fórmula que los genere cuando se le aplica a los números: 1, 2, 3. . . , 10.
Leyendo fórmulas
31
Ejercicios de profundización 1. Determina la fórmula que siguen los siguientes arreglos geométricos:
a)
b)
2. El área del cuadrado que contiene a los que están iluminados es una unidad cuadra-
da; encuentra una fórmula para determinar el área de los cuadrados 1, 2, 3, 4,…
1
2 3 4
Ejercicio de síntesis 1. Encuentra la fórmula que al aplicarse a los números de la lista A genere los núme-
ros de la lista B: Lista A 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Lista B 13, 24, 35, 46, 1, 10, 19
Lección 5
Movimientos en el plano
E n esta lección aprenderás el concepto de simetría, sus movimientos básicos (reflexión, traslación, y rotación); identificación de ejes de simetría, así como los invariantes bajo dichas transformaciones.
Tú, en tu lago, te contemplas a ti mismo.
J. M. Legaré (1823-1859) (A un lirio)
Catedral de San Cristóbal San Cristóbal de las Casas, Chiapas. México
Para aprender Actividad 1 ¿Qué tipo de movimiento? A continuación, en cada inciso encontrarás dos triángulos, uno relleno (gris) que llamaremos el triángulo base y otro sin rellenar (blanco), el triángulo resultante. 32
Movimientos en el plano
33
El triángulo resultante es producto de la realización de ciertos movimientos del triángulo gris. Analiza y determina con tus compañeros el tipo de movimiento que se debió realizar en cada caso para obtener —o llegar— al triángulo resultante. Describe el movimiento en cada caso. a)
b)
c)
d)
____________
____________
____________
____________
e)
f )
g)
_______________
____________________
_______________
Actividad 2 ¡Sin salirse del plano! Si en la actividad anterior consideraste que uno de los movimientos fue levantar el triángulo del plano, descarta esa posibilidad. Entonces, para esos casos, ¿cómo se puede obtener el triángulo blanco a partir del triángulo gris?
Actividad 3 Igual sí. . . ¿pero con respecto a qué? En la siguiente figura encontrarás rectas punteadas que llamaremos ejes. Cada eje divide a la figura en dos partes. Argumenta cómo se relacionan estas partes. Intercam bia las respuestas con tus compañeros y compañeras, contrasten sus argumentos.
34
Bloque 1
Actividad 4 Trazando ejes Regresa a la Actividad 1. Con base en los movimientos que hiciste para obtener el triángulo resultante en cada inciso, traza los ejes de simetría. Argumenta tu respuesta y anótala en tu cuaderno.
Actividad 5 Repitiendo movimientos En la figura siguiente, a la que llamaremos figura base, repite los movimientos que identificaste en la Actividad 1.
A partir de los movimientos que realizaste en la figura, describe cuáles de sus elementos (longitud de los lados, ángulos, forma, posición y tamaño) cambian y cuáles permanecen sin variación.
Los conocimientos Simetría La simetría es una propiedad universal que satisfacen determinadas formas geométricas, expresiones matemáticas y obras humanas que, al ser modificada su posición en el plano, conservan su forma y tamaño. Se manifiesta en diversos contextos, tanto de la vida cotidiana (artesanías, edificaciones, obras literarias y hasta en los modernos automóviles) como en aquellos relacionados con la matemática, la física y la biología. En biología la encontramos en configuraciones naturales, como la siguiente:
En la matemática está presente en las formas geométricas, vinculada a los movimientos de reflexión (simetría axial), traslación y rotación. Simetría axial Cuando hablamos de simetría axial, nos referimos a la reflexión de determinadas formas geométricas con respecto a un eje de simetría. El eje de simetría es una línea imaginaria que divide en dos partes una forma cualquiera, haciendo que sus puntos opuestos sean equidistantes entre sí; además, actúa como un espejo ante la forma a reflejar.
Movimientos en el plano
Ejemplos:
35
Eje de simetría
Propiedades de la simetría En la simetría axial se conservan: • La alineación de puntos. • Las distancias. • La amplitud de los ángulos. • El paralelismo entre rectas. • Las áreas. Cuando una figura es simétrica o simétrica a otra, como sucede en la simetría axial, conserva ciertas propiedades a las que se les conoce como invariantes.
Los métodos Reflexión de un punto Eje de simetría
P m M
m
P es simétrico de P El eje de simetría es perpendicular al segmento PP Como PM m y P ′M m, por tanto la distancia del eje a los puntos P y P es la misma
P
Reflexión de un segmento Eje de simetría B
B
A
A
•
• • •
Dado que A y A son simétricos y también lo son B y B Cada punto del segmento AB tiene su simétrico en el segmento A ′B ′ . Entonces, AB es simétrico con A ′B ′ La longitud de AB es igual a la de A ′B ′ AA ′ es perpendicular al eje de simetría BB ′ es perpendicular al eje de simetría
36
B l o qu e 1 Reflexión de una figura Eje de simetría A B A
C B C
Siendo A simétrico con A; B simétrico con B y C simétrico con C Como A, B, C definen al triángulo, entonces los triángulos ABC y ABC son simétricos Por tanto, los triángulos son iguales (congruentes) y podemos afirmar que sus ángulos son iguales respectivamente y el área se conserva
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. ¿Qué figura muestra todos los ejes de simetría de un rectángulo?
Figura A
Figura D
Figura B
Figura C
Figura E
s imetría en cada una de las siguientes figuras. Argumenta tu 2. Encuentra los ejes de simetría respuesta.
Movimientos en el plano
37
3. Dibuja los simétricos de la palabra México, respecto a los ejes E1, E2, E3.
MÉXICO E1
E3 E2
4. En tu cuaderno construye un logotipo o formato para un sello con las iniciales de
tu nombre que sean simétricos respecto de un eje.
Ejercicios para consolidar la teoría 1. Construye el (los) eje(s) de simetría en la catedral de San Cristóbal de las Casas de
la fotografía que aparece en la página 32. 2. Para cada una de las figuras que se presentan a continuación, traza sus simétricos
respecto a los ejes que se marcan.
3. Corta una hoja de papel (de preferencia que sea papel de china) de 20 20 centí-
metros, y sigue este procedimiento.
4. Con hojas de papel construye para cada inciso una figura que sea simétrica a otra
por simetría axial, de tal forma que: eje de simet simetría ría pase pase por por uno uno de los los lados lados de la la figura figura.. a) El eje de simetr simetría ía divida divida a la la figura figura en dos dos partes partes iguale iguales. s. b) El eje de eje d dee simet simetría ría est estéé fuera fuera de la la figur figura. a. c) El eje
38
B l o qu e 1
Ejercicio de profundización traza sus simétricos respecto a los 1. A partir de la figura que se da a continuación, traza tres ejes que se marcan.
Ejercicio de síntesis 1. Se quiere construir una cisterna para almacenar y distribuir agua a dos centros co-
merciales ( A A y B ), situados del mismo lado de una carretera. Encuentra la posición donde debe construirse la cisterna para que esté lo más cerca posible de los dos centros comerciales, procurando que la suma de las distancias sea mínima. Utiliza el espacio en blanco.
Lección 6
Relaciones de pr proporcionalidad. oporcionalidad. Proporcionalidad directa I
E n esta lección aprenderás a reconocer la relación proporcional directa que puede existir entre dos cantidades. Con ello podrás hacer predicciones, repartos y análisis gráficos, entre otros.
Eratóstenes, quien vivió en Grecia, aproximadamente en los años 284 a 192 antes de nuestra era, abordó di ferentes feren tes problemas. problemas. Entre éstos, éstos, midió la circunferenci circunferenciaa de la Tierra utilizando utilizando un método peculiar peculiar.. Percibió que en Siena, su ciudad natal, a mediodía del solsticio s olsticio de verano, los rayos del Sol incidían perpendicularmente sobre la Tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra. En cambio, notó que en Alejandría, en la misma fecha y hora, las sombras tenían un ángulo cercano a 7.5°. La distancia entre Alejandría y Siena se calculó en 5 250 estadios1 aproximadamente, y dicha cantidad tenía que guardar la misma proporción a la distancia distan cia total total de la Tierra, Tierra, que los 7.5° 7.5° de la sombra a los 360° 360° de la circunfer circunferencia encia total. total. Esto es, 360° es 48 veces 7.5°, y la distancia total de la Tierra Tierra debía ser 48 veces 5 250 estadios. Haciendo Hacien do cálculos, cálculos, Eratóstenes Eratóstenes encontr encontróó que la circunfe circunferenci renciaa total de la Tierra Tierra eran 252 252 000 estadios estadios.2
Alejandría
Siena Alejandría
Vara Sombra Medida que se utilizaba en esa época, donde 1 estadio Aproximadamente 40 000 kilómetros.
1
160 metros.
2
39
40
B l o qu e 1
Para aprender El rompecabezas Aquí se tiene un rompecabezas construido con 4 piezas ( A A, B, C y D ). En equipos de 3 personas fabrica un rompecabezas semejante con las mismas 4 piezas, pero ahora de diferente tamaño. El segmento que mide 3 cm sobre el modelo medirá 6 cm en tu nuevo rompecabezas. Con esta condición, ya tienes la pieza A del nuevo rompecabezas: un cuadrado de 6 cm 6 cm. Paso 1.
3 cm
m c 3
4 cm
A
B
C
m c 5
Recorta el rompecabezas original y reparte las piezas B, C y D, entre los miembros del equipo.
2 cm
D
1 cm
Paso 2.
Cada integrante debe calcular las dimensiones de su s u pieza en el nuevo rompecabezas. • ¿Cu ¿Cuále áless son son las las dimen dimensio siones nes de la la nueva nueva pie pieza za B ? ________________________ • ¿Cu ¿Cuále áless son son las las dimen dimensio siones nes de la la nuev nuevaa pieza pieza C ? ________________________ • ¿Cu ¿Cuále áless son son las las dimen dimensio siones nes de la la nueva nueva piez piezaa D ? ________________________ • ¿Qué operac operaciones iones reali realizaste zaste para halla hallarr las dimen dimensiones? siones? _____ __________ __________ ________ ___
Paso 3.
Reúne las nuevas piezas para formar el rompecabezas. • Dibuja tu nuevo nuevo rom rompecabe pecabezas, zas, indica indicando ndo las las nuevas nuevas dimen dimensiones siones de cada cada pieza. Si el rompecabezas no queda semejante al original, discute con tu equipo las estrategias utilizadas e inténtenlo de nuevo.
Los conocimientos Proporcionalidad Los datos arreglados en una tabla son proporcionales si es posible pasar de una fila a otra multiplicando o dividiendo por un número ( siempre el mismo).
Ejemplo: Cantidad de peras (en kg)
6
8
10
4 2
Costo en pesos
12
16
20
Al coeficiente 2 se le llama coeficiente de proporcionalidad.
8
2
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa I
41
Se dice que dos cantidades son propo proporcio rcionales nales cuando al multiplicar una de ellas por un número dado, la otra queda multiplicada por el mismo número. En matemáticas, expresamos la proporción con la igualdad de dos razones: 3 18
10 60
,
y decimos que 3 es a 18 como 10 es a 60.
Los métodos Métodos para completar una tabla de proporcionalidad Ejemplo: Si se pide completar la tabla.
Medida del lado de un cuadrado (en cm)
3
Perímetro del cuadrado (en cm)
12
5
8
13
Podemos hacerlo de varias formas: Método 1.
Utilizando el coeficiente de proporcionalidad: Medida del lado de un cuadrado (en cm)
3
5 4
Perímetro del cuadrado (en cm)
12
¿?
Para encontrar el coeficiente, hacemos lo siguiente 12 3 4; y con éste calculamos el dato que nos falta: 5 4 20. Por tanto, el perímetro del cuadrado de lado 5 es 20. Método 2.
Sumando o restando dos columnas de la tabla:
Medida del lado de un cuadrado (en cm)
3
5
8
Perímetro del cuadrado (en cm)
12
20
¿?
Como la suma de las dos columnas es el valor de la tercera, 3 5 8. Hacemos la suma de los perímetros correspondientes, 12 20 32 por lo que el perímetro correspondiente al cuadrado de lado 8 es 32. Nota: Para utilizar este método es necesario tener los valores de al menos dos columnas.
42
B l o qu e 1
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Observa la figura. Las proyecciones del rectángulo difieren unas de otras por el
número de cuadros que tienen como base y altura.
c b a Rectángulo
Base Bas e
Altura Altu ra
a
4
6
b
8
12
c
16
24
Si continuáramos las proyecciones, ¿qué tamaños tendrían los nuevos rectángulos? Rectá ngulo ngulo
Ba se
d
32
e
64
f
128
Altura
2. Relaciona cada razón de proporción con el enunciado que la describe.
a)
3 18
10 60
(
) 10 es a 3 como 60 es a 18
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa I
b) c) d)
3 18 10 60 10 3 60 10
60 18 18 3
(
) 60 es a 10 como 18 es a 3
(
) 3 es a 10 como 18 es a 60
(
) 3 es a 18 como 10 es a 60
43
3. Un refresco de lata cuesta $7.00. Aunque hay paquetes de 6, 12 y 24, en la caja de
la tienda cobran por cada uno. ¿Cuál es el costo de cada paquete? Paquete
Refre scos scos
1
6
$
2
12
$
3
24
$
Precio
4. En el centro de la Ciudad de México la mayoría de los estacionamientos cobran
$15.00 la hora o la fracción de hora. Discute con tus compañeros: • ¿C ¿Cuá uánt ntoo paga pagass por por esta estarr med media ia hor hora? a? • ¿C ¿Cu uán ánto to po porr un una hor hora? a? • ¿C ¿Cuá uánt ntoo por por ho hora ra y med media ia?? • ¿C ¿Cu uán ánto to po porr dos dos ho hora ras? s? • Si la máqui máquina na registr registróó la entrada entrada de un auto a las 11:35 11:35 a. m. y su salida a las 7:48 p. m. ¿Cuánto debe pagarse por la estancia completa? 5. Una empresa de alimento para perro tiene en las tiendas de autoservicio paquetes
de 1 kg, 2.5 kg, 5 kg y 10 kg. Cada semana produce 20 toneladas (una tonelada equivale a 1 000 kg) y reparte la misma cantidad de alimento en cada tamaño de bolsa: • ¿Cuán ¿Cuántas tas bolsas bolsas de de 1 kg kg salen salen con con la produ producción cción semana semanal? l? _______ ____________ __________ _____ • ¿C ¿Cuá uánt ntas as de 2.5 2.5 kg? kg? ____ ______ ____ ____ ____ ____ ____ ____ • ¿C ¿Cuá uánt ntas as de de 5 kg? kg? ____ ______ ____ ____ ____ ____ ____ ____ • ¿C ¿Cuá uánt ntas as de 10 10 kg? kg? ____ ______ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. La receta para preparar un pastel de chocolate indica que se deben poner 4 hue-
vos por cada 250 g de harina. El pastelero de un reconocido restaurante necesita una tabla que relacione la cantidad de huevo con la de harina para facilitar la preparación de pasteles de diferentes tamaños.
44
Bloque 1
Ayúdale a completar la tabla. Harina (en g)
250
Huevos
750
1 000
1 500
1 750
2 250
4
2. En una fábrica textil se controla la producción de playeras blancas en tres máquinas.
Minutos
Número de playera s
Minutos
20
7
20
40 1 a n i u q á M
60
40 21
80 100
35
120 140
80
49
20
100
20
9
40 3 a n i u q á M
30
140 160
63
Minutos
Número de playeras
10
60
120
160 180
2 a n i u q á M
Núme ro de playeras
60 80 100
180
45
120 140
40
27
63
160 180
81
• ¿Cuántas playeras hizo cada máquina en la primera hora? ________________ • ¿Cuántas playeras se han hecho a las 2 horas? _________________ • ¿Cuántas a las 3 horas? _________________ • Completa las tablas con la producción de cada máquina. 3. Si en un tren de 15 vagones viajan 660 personas, ¿cuántas viajan en 5 vagones, sa-
biendo que en todos los vagones viaja la misma cantidad de pasajeros? _________ 4. Un amigo va de vacaciones con su abuela. Regularmente transita a 120 km por ho-
ra y tarda en llegar 2 horas con 20 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorre en total? ________________________
Ejercicios de profundización 1. El tanque de gasolina del auto de Daniel tiene una capacidad de 45 litros. Como
su medidor no sirve, pasa a la gasolinera antes de ir a trabajar y llena el tanque de gasolina Magna con $198.00. Si el litro de gasolina cuesta $6.60, ¿cuántos litros traía ya el auto antes de pasar a la gasolinera? ____________
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa I
45
2. Rocío, Lupita y Martha deciden iniciar su propia panadería y vender, entre otros
productos, pan integral. La experiencia casera les indica que un kilogramo de harina les rinde para un kilogramo y medio de pan. Además, por cada kilogramo de harina necesitan 40 g de levadura y 50 g de manteca vegetal. Para cada día de la primera semana piensan hacer 30 kg de pan. ¿Cuánta harina integral, levadura y manteca requieren para hacer el pan de la semana? ____________
Ejercicios de síntesis 1. Si una hora tiene 60 minutos, ¿cuántos minutos tiene el día? ____________ 2. Si un día tiene 24 horas, ¿cuántas horas hay en una semana? ____________ 3. La pipa se tardó 10 segundos en llenar un garrafón de 20 litros. ¿Cuánto tiempo
tardará en llenar un tinaco de 500 litros? ____________ 4. ¿Cuánto pagarás por 100 copias si 4 te costaron $2.00? ____________
Lección 7
Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional
E n esta lección aprenderás a elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto pro-
porcional.
Una tradición pirata consistía en que, una vez obtenido el botín, lo repartían entre cada uno de los piratas. Como entre ellos había jerarquías, resultaba difícil decidir qué proporción le correspondía a cada uno. Una estrategia que solían emplear era la siguiente: entre los piratas elegían al más viejo de todos y le pedían que diseñara una manera de reparto. El pirata lo hacía y luego se sometía su propuesta de reparto a votación; si no ganaba por mayoría simple, era arrojado al mar plagado de tiburones. Después elegían al siguiente más viejo y repetían el proceso, hasta decidirse por alguno de los métodos propuestos. ¿Te gustaría ser el pirata más viejo?
Para aprender Actividad 1 El viaje en equipo Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000.
Museo Nacional de Antropología e Historia, D. F.
46
Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional
47
¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto? Anota las respuestas en tu cuaderno. El reparto que elaboraron fue el siguiente: a) Contaron el número de playeras que vendió cada uno, y obtuvieron la siguiente tabla: Nombre
Número de playeras
Carina
6
Carmen
8
Emilio
2
María
10
Mauricio
4
b) Después de completar su tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. ¿Qué diferencias encuentras con el reparto que ustedes diseñaron en grupo? _____________ c) ¿Qué características en común encuentras entre los dos tipos de reparto?
________________________________________________________________ d) Con tus compañeros forma equipos de tres personas. Elaboren una situación como la que se describe anteriormente, en la que tengan que hacer uso de un reparto proporcional. Discutan entre ustedes y con su profesor.
Los conocimientos Reparto proporcional El reparto proporcional tiene como fin distribuir entre los participantes una cantidad en proporción a un cierto número de datos.
En matemáticas, una proporción alude a la igualdad que se establece entre dos razones, como se muestra a continuación: 10 35
2 7
Si tomamos, en general, los números a, b, c y d que cumplan con la igualdad a b
decimos que a es a b, como c es a d.
c d
48
Bloque 1
Los métodos Retoma el enunciado de la Actividad 1. Hay que repartir en total $2 000, proporcionalmente al número de playeras que vendió cada miembro del equipo. Tenemos en total 30 playeras y sabemos cuántas vendió cada uno. Si queremos saber qué cantidad le corresponde a Carina, formemos una relación proporcional. 6 playeras Carina 30 playeras en total
$2 000
en la que es la cantidad que nos dará el valor que le corresponde proporcionalmente a Carina, de acuerdo con el número de playeras que vendió. Si tenemos dos cantidades proporcionales, los productos cruzados de sus razones son iguales. 6 playeras Carina 30 playeras en total
$2 000
De esto resulta: 6 2 000 30 Esto quiere decir que si alguna de las cuatro cantidades es desconocida, como en este caso, suponemos que son proporcionales y establecemos una regla de tres. De modo que podremos calcular la cantidad desconocida multiplicando los extremos que conocemos (6 2 000) y dividiendo por la cantidad que nos queda (30).
6 2 000 30
400
Por tanto, la cantidad de dinero que recibirá Carina será de $400.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. De la Actividad 1 de esta lección, determina la cantidad que corresponde al resto
de los miembros del equipo. 2. Marcela, Carlos y Javier invierten $1 850, $2 300 y $4 000, respectivamente, en el
videoclub del barrio. En tres años consecutivos han hecho un reparto proporcional de las ganancias por año con respecto a lo que aportaron en sus inicios.
Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional
49
a) La siguiente tabla te muestra lo que ganaron por año. Escribe en los espacios libres la cantidad que recibió cada uno. S ocios
1er. año
2do. año
3er. a ño
25 249
27 500
20 000
Marcela Carlos Javier Ganancias
b) ¿Cuáles serían sus ganancias en el cuarto año, si su ganancia aumentó un tercio de la ganancia del primer año? ______________________________________ 3. Una empresa va a otorgar un estímulo de $10 500 a tres de sus empleados, direc-
tamente proporcional a sus años de servicios. ¿Qué cantidad de dinero le corresponderá a cada uno según sus años de servicio? Emple ados
Años de servicio
Abraham
8 años de servicio
Beatriz
10 años de servicio
Carlos
6 años de servicio
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Investiga en casa cuál es la cantidad total de dinero que ingresa por mes y en tu
cuaderno haz los cálculos para distribuirlo de acuerdo con los gastos que cubren por lo regular, como renta, comida, vestido, etcétera. 2. Un abuelo desea repartir 18 000 pesos proporcionalmente al número de nietos que
le han dado sus tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirá Eduardo y anótalo en tu cuderno. 3. Un grupo de tres amigas compraron una pizza mediana para compartir. La pizza
está dividida en 8 porciones. Le tocan dos porciones a cada una y sobran dos. a) ¿Cómo deben repartir proporcionalmente las dos porciones que quedan? _________________________________________________________________ b) ¿Cómo sería el reparto si las porciones de la pizza fueran 13? ____________________________________________________________________
50
Bloque 1 4. Con los datos del ejercicio anterior, ¿cómo podrían repartir las dos porciones res-
tantes de una manera no proporcional? _____________________________________
Ejercicio de profundización 1. Tres compañeros compraron 8 panes y pagaron en total 24 pesos. Carlos se sirvió
3 panes, René uno y Miguel 4. ¿Cuánto le corresponderá pagar a cada uno? ________________________________________________________________
Ejercicios de síntesis 1. Apolo y Gabriel están jugando. Cada uno coloca sobre la mesa 32 monedas.
Acuerdan que el primero que consiga tres puntos ganará el total de la apuesta. Por algún motivo, el juego debe interrumpirse cuando Apolo lleva obtenidos dos puntos y Gabriel uno, ¿cómo debe repartirse la apuesta inicial? ________________ Esta situación tiene un origen histórico. Aparece ligada a los problemas que abordaron originalmente Pascal y Huygens en el siglo XVII, lo cual derivó en el título de nuestra lección. Conviene abordar esta actividad de una manera cooperativa. Sugerimos que formen equipos de tres compañeros para comentar y discutir posibles estrategias de solución al problema. 2. Una tradición pirata consistía en que, una vez obtenido el botín, lo repartían entre
cada uno de los piratas. Como entre ellos había jerarquías, resultaba difícil decidir qué proporción le correspondía a cada uno. Una estrategia que solían emplear era la siguiente: entre los piratas elegían al más viejo de todos y le pedían que diseñara una manera de reparto. El pirata lo hacía y luego se sometía a votación; si no ganaba por mayoría simple, era arrojado al mar plagado de tiburones. Después elegían al siguiente más viejo y repetían el proceso, hasta decidirse por alguno de los métodos propuestos. Si fueras pirata, ¿te gustaría ser el más viejo? Imaginen que el salón es el barco pirata y ustedes sus tripulantes. Elijan al “más viejo” y procedan de acuerdo con la estrategia de estos piratas:, claro: ¡sin tirarse al mar! ¿Cuáles métodos resultaron aceptados después de jugar el juego de los piratas? ______________________________________________________________________
El planeta azul
A la Tierra se le llama comúnmente el planeta azul debido a su gran extensión de océanos y mares. Dos terceras partes de la superficie son agua; el resto, tierra firme. Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta sólo 3% es agua dulce, y apenas la mitad de ésta tiene la propiedad de ser potable. El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregulador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reacciones bioquímicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras. Además, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. ¿Tú cómo cuidas el agua? Como resultado del estudio de este bloque se espera que:
• Resuelvas problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. • Resuelvas problemas que implican efectuar multiplicaciones con números decimales. • Justifiques el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Resuelvas problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.
51
Diagramas y tablas
Lección 8
En esta lección aprenderás a tratar con la información, a comunicar ideas con base en ellas y a emplear
diagramas, gráficas y tablas para representar situaciones cotidianas. La era actual se caracteriza por el manejo de grandes cantidades de información, la cual debe ser transformada para volverse conocimiento.
Josefina es la abuelita de Olda, mi compañera de grupo. Olda me cuenta que su abuelita vivió en Mérida y tuvo cuatro hijos, tres mujeres y un hombre. Las mujeres se llamaron Verónica, Elsa y Rosa Elena, y el hombre Eduardo. A su vez, Verónica tuvo dos hijas, Emilia y Alejandra; Elsa tuvo un hijo que se llamó Enrique; y Rosa Elena, la tercera de las hijas de la abuelita Josefina, tuvo un hijo y una hija, Ema y Ramiro. Eduardo, el hijo varón de Josefina, tuvo a su vez tres hijas, Olda, Evelia y Gisela. Ahora no sabemos si Olda tendrá hi jos ni tampoco cuántos hijos tendrán sus hermanas. Este relato, además de contarse como una historia narrada verbalmente, también puede ser usado para or ganizar la información en forma de tabla. Veamos una posibilidad:
Josefina
1a. 2a.
Verónica
Elsa
Rosa Elena
Eduardo
3a.
Emilia y Alejandra
Enrique
Ema y Ramiro
Olda, Evelia y Gisela
4a.
Para aprender Con frecuencia no se conoce lo suficiente un fenómeno como para construir un modelo matemático y utilizarlo para deducir tales fórmulas; sin embargo, podemos disponer de datos que nos permitan entender su comportamiento. En estos casos, lo que procede es hacer observaciones y construir una tabla o un diagrama para explorar las relaciones entre los valores de las variables.
52
Diagramas y tablas
53
Actividad 1 El árbol genealógico a) Construye tu árbol genealógico, en tu cuaderno elabora una tabla como la que
muestra la descendencia de la señora Josefina en el ejemplo de entrada de esta lección, pero ahora tienes que empezar con una de tus abuelitas y terminar con la lista de tus primas y primos. Si te falta información consulta a un familiar mayor. b) Formen equipos de tres compañeros y exploren otras formas posibles de organizar la información de la actividad anterior.
Actividad 2 ¿Qué significan? Busquen en sus diccionarios el significado de las palabras diagrama y tabla. Si encuentran distintas interpretaciones, comenten en pequeños grupos lo que entienden por cada una de ellas.
Actividad 3 Los volados Formen parejas con sus compañeros para jugar el juego de los “volados”. El juego consiste en saber cuáles son todos los resultados posibles al tirar tres volados consecutivos. Por ejemplo, al tirar tres veces seguidas una moneda al aire, se podrían obtener tres águilas seguidas, pero también podrían surgir otras opciones. Piensen en cuáles y cuántas son. Antes de tirar una moneda y jugar este juego, exploren mentalmente cuáles son todas las opciones posibles. Elijan una forma para representar la información obtenida.
Actividad 4 Tablas de resultados En el torneo estatal de futbol participaron cinco equipos: el Marte, el Montecasino, el Xelajú, el Juventud y el Galaxia. Los puntos obtenidos por cada equipo, después de terminar el torneo, se exhiben en esta tabla. ¿Quién resultó campeón?, ¿quién quedó en último lugar?, ¿qué equipos quedaron empatados? En tu cuaderno construye una tabla que encabece el equipo triunfador del torneo, seguido por los demás en el orden que ocuparon. Montecasino Xelajú Marte Galaxia Juventud
5 puntos 10 puntos 3 puntos 5 puntos 2 puntos
Actividad 5 Diagrama de árbol En una bolsa de papel de estraza hay tres canicas: una negra, una roja y una blanca. Sin ver el contenido, se saca una canica, se escribe en un papel su color y se regresa la canica a la bolsa; se vuelve a sacar una canica, se escribe de nuevo el color y así cinco veces en total. Con base en el ejemplo del lanzado de monedas, donde usamos un diagrama de árbol con dos opciones, se trata de que ahora completes e interpretes uno de tres elementos, un diagrama de árbol para representar la totalidad de
54
Bloque 2 opciones posibles. ¿Cuántas combinaciones puedes obtener después de sacar cinco veces una sola canica? ______
Actividad 6 ¿Cuál es la tabla del 13? Seguro conoces las tablas de multiplicar hasta el diez: Completa la siguiente tabla hasta el 13. ¿Conoces otra forma de hacer las tablas de multiplicar? Coméntala con tus compañeros.
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3 3
6
5
20
45 35
20
100
Actividad 7 Mujeres diputadas La LIX Legislatura (2003-2006) de la Cámara de Diputados de la República Mexicana tiene un total de 500 legisladores, diputadas y diputados, de 6 partidos políticos. ¿Qué partido tiene un mayor número de mujeres diputadas? ¿Qué partido contaba con menos mujeres diputadas? Anota las respuestas en tu cuaderno. Diputados por género y partido político, con independencia de la vía de representación, en la LIX Legislatura de la Cámara de Diputados
Mujeres
Hombres
Tota l
PAN PRI PRD PVEM Convergencia PT Sin partido
50 42 43 4 0 0 5
98 162 54 13 5 6 18
148 204 97 17 5 6 23
Total
144
356
500
Diagramas y tablas
55
Actividad 8 La rifa En la clase de matemáticas organizaron un método para hacer una rifa en la kermés de fin de año. No saben cuántas personas participarán, pero suponen que no serán más de cien. Después de discutir un método eligen hacer cien bolas, cada una con un solo número entero entre 1 y 100. ¿Tendrías un método diferente en el cual uses menos bolas? Comenten en equipos integrados por tres compañeros.
Los conocimientos ¿Cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de Chilpancingo a Toluca?, o ¿de cuántas maneras pueden quedar los tres primeros lugares en una carrera de cien metros con 9 corredores? Existen métodos y técnicas que operan con principios matemáticos y que resultan útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemática, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden sistemático para luego contar cuántos son o desarrollando reglas de conteo.
El juego de dados Martha tira un dado y obtiene un 6, vuelve a tirar el dado y obtiene un 2, lo tira una vez más y obtiene 3. De este modo, sus resultados fueron consecutivamente 6, 2 y 3. Ella se pregunta cuántas combinaciones podrían obtenerse al tirar el dado tres veces consecutivas, es decir, todos los resultados posibles. Por ejemplo, cada que tire un dado, ella podría obtener alguno de los siguientes números: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Veamos esto en un diagrama: 1 123456
2 123456
3 123456
4 123456
5 123456
6 123456
Podemos presentar estos resultados de la siguiente forma: Una sola tirada-resultados posibles: 1
2
3
4
5
6
Dos tiradas-resultados posibles: 1y1
1y2
1y3
1y4
1y5
1y6
2y1
2y2
2y3
2y4
2y5
2y6
3y1
3y2
3y3
3y4
3y5
3y6
4y1
4y2
4y3
4y4
4y5
4y6
5y1
5y2
5y3
5y4
5y5
5y6
6y1
6y2
6y3
6y4
6y5
6y6
56
Bloque 2 Se puede deducir, por ejemplo, que: En la segunda tirada habrá 36 resultados posibles (6 6) En la tercera tirada habrá 216 (6 6 6) Un diagrama de árbol es una representación gráfica de algunos hechos —experimentos, eventos o informaciones en general— y consta de un cierto número de pasos. Podríamos compararlo con la imagen visual que presenta la formación de las ramas en los árboles.
La clasificación de los datos Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo con su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol se muestra en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico. N Solución:
A
M
B AB O
Paciente
A
F
B AB O
A B N A B N A B N A B N A B N A B N A B N A B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 4 3 24, mismas que podemos enumerar: MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etcétera.
Diagramas y tablas
57
Los métodos Elena, una compañera de tercer año, tiene tres pantalones y dos blusas. Los pantalones son de color rosa, negro y uno azul (de mezclilla); una de sus blusas es blanca y otra morada. ¿De cuántas formas puede combinar sus pantalones con sus blusas?
Método 1 Conteo con la ayuda de una tabla. Se busca el número de combinaciones posibles con la ayuda de una tabla. Podemos empezar colocando los dibujos de los pantalones y de las blusas; o bien, escribir mediante algún código las iniciales de los colores o la palabra completa o lo que ustedes sugieran. Se puede empezar como sigue:
Pantalones
Blusa s
Rosa
Blanca Morada
Negro
Blanca Morada
Azul
Blanca Morada
Puede combinar sus colores de 6 maneras posibles: el pantalón rosa con la blusa blanca, o bien con la blusa morada, y lo mismo para los otros dos pantalones.
Método 2 Conteo con la ayuda de un diagrama de árbol. Pantalón rosa
Blusa blanca Blusa morada
Pantalón negro
Blusa blanca Blusa morada
Pantalón azul
Blusa blanca Blusa morada
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Mediante un sondeo de opinión, se sabe que quienes comen en la fonda de la es-
quina prefieren combinar una sopa compuesta de verduras, con un guisado aderezado con leguminosas y, por supuesto, un rico postre coronado con fruta.
58
Bloque 2 Supongamos que el menú del día es el siguiente: Sopa de verduras pescado a la veracruzana coctel de frutas o o o crema de elote pollo con calabacitas fresas con crema ¿Cuántas combinaciones puedes formar con esas opciones, tomando una sopa, un guisado y un postre? Anota la respuesta en tu cuaderno. 2. En tu cuaderno diseña una tabla que sintetice las opciones de menú que obtuviste en el problema anterior y escribe una nueva carta, pero ahora con “paquetes” que tú formes; incluye las opciones que obtuviste. 3. En tu cuaderno narra una historia como la del problema 1, en la que se tengan como resultado 24 combinaciones posibles (2 3 4). a) ¿Qué cambios harías si el arreglo fuese 3 2 4? b) ¿Qué cambios si fuese 4 3 2? 4. Intenta hacer los siguientes ejercicios de manera mental. Cuántas combinaciones se obtienen al combinar a) 3 muchachos con cuatro muchachas. b) 2 guisos con cuatro sopas. c) 3 sacos con cuatro pantalones. d) 5 colores de camisetas con tres pantalones. e) 350 habitantes con opciones de votación de 4 diputados. f ) 5 tiradas de volados. 5. A partir de los siguientes diagramas de árbol, en parejas, construyan una historia que dé sentido a los diagramas siguientes:
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Calcula las combinaciones y anótalas en tu cuaderno:
a) De tres casas con cinco colores. b) El número de suscriptores de un periódico es de 13 000, si el periódico presen-
ta la opción de recibir gratuitamente una revista o un folleto turístico, ¿cuántas combinaciones se podrían formar? 2. En tu cuaderno diseña un diagrama de árbol. a) Gabriela y Josefina estudian el bachillerato en el pueblo vecino, al irse tienen la opción de tomar el autobús, un taxi, un colectivo, o bien esperar al camión de su amigo Juan. ¿Cuántas combinaciones de viaje tienen para ir de su pue blo a la escuela?
Diagramas y tablas
59
b) Ricardo rentó dos películas mexicanas y tres brasileñas, y espera verlas este fin
de semana. Mediante un diagrama de árbol encuentra el número de combinaciones posibles, para saber cuál ve primero, cuál después y así sucesivamente. 3. ¿Cuántas placas de motocicleta podemos formar con tres letras y un número de un dígito? Las 26 letras —sin incluir la ñ— y los dígitos 0, 1, 2, . . . , 9. Anota la respuesta en tu cuaderno.
Ejercicios de profundización 1. Cinco amigas, Ana, Karina, Martha, Escarlet y Landy se reunieron en San Cristó-
bal de las Casas, Chiapas, durante un encuentro académico. Se saludaron y se dieron la mano en diferentes momentos. Pero no sabes quién saludó a quién. En una ocasión tanto Ana como Karina estrecharon la mano de una sola de sus amigas, mientras que Martha, Escarlet y Landy, estrecharon cada una, la mano de dos. Sa bemos que Ana estrechó la mano de Landy, ¿quiénes no se dieron la mano en esta ocasión? _______________________________________________________________________ 2. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones, A, B y C. De manera que si del montón A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas como hay en el C, y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el mismo número de canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón A? __________________________________
Ejercicios de síntesis 1. En el siguiente juego la profesora o el profesor será el árbitro y competirán dos
equipos. Las reglas del juego son: a) Dividan al grupo en dos equipos. Uno será nombrado equipo A y el otro equipo B. b) Cada equipo podrá escoger tres dígitos de los cuatro disponibles. A lo más dos de tales dígitos podrán coincidir en sus listas, pero el tercero deberá ser invariablemente distinto entre un equipo y otro. c) Una vez con sus tres dígitos escogidos, formen todos los números posibles con esos tres dígitos. d) Finalmente calculen la resta entre el número más grande con el número más pequeño. e) Ganará el equipo cuya resta sea mayor. f ) Dígitos disponibles: 4, 5, 6 y 9. 2. ¿Cuál sería el resultado si en lugar de 9 se colocara al 1?, ¿o al 0? _______________ 3. El auditorio de la escuela secundaria tiene 15 filas con 17 asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y avanzando fila en fila hacia atrás. ¿En qué fila está el asiento número 187? 4. ¿Qué otros problemas se pueden resolver fácilmente mediante el uso de tablas? Coméntenlo en clase.
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
Lección 9
E n esta lección aprenderás a calcular sumas y restas de decimales y fracciones, además, utilizarás fracciones en la resolución de problemas.
A la Tierra se le llama comúnmente el planeta azul debido a su gran extensión de océanos y mares. Dos terceras partes de la superficie es agua; el resto, tierra firme. Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta, sólo 3% es agua, y apenas la mitad de ésta tiene la propiedad de ser potable.1 El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregulador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reacciones bioquímicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras. Además, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. ¿Tú cómo cuidas el agua? El agua se considera potable cuando está libre de gérmenes y sustancias químicas que dañan la salud del ser humano.
1
Para aprender Actividad 1 La hidrosfera Se llama hidrosfera a la superficie líquida de la Tierra, que forman los océanos, mares, ríos, lagos, pantanos, glaciares y polos. La mayor parte del agua se encuentra en los océanos. En el hemisferio norte, la superficie que ocupan las aguas es de unos 154.3 millones de km ; en el hemisferio sur, es de alrededor de 205.75 millones de km . 2
2
En la Tierra hay unos 1 400 millones de km de agua, de los cuales sólo la tercera parte es agua dulce. a) ¿Qué cantidad de agua dulce hay en la Tierra? ___________________________ b) ¿Qué cantidad de agua potable existe? __________________________________ 3
60
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
c) Si
3 4
61
partes del agua potable está en las capas de hielo de la Antártida y
Groenlandia,
1 5
1
en ríos y lagos y
25
en la atmósfera, ¿qué fracción consti-
tuye el resto de depósitos? ___________________________________________ d) La Organización de la Naciones Unidas (ONU) ha reportado que el agua con-
taminada causa 80% de las enfermedades del mundo. La mayor parte de los que sufren estos padecimientos son niños menores de 5 años. Comenta con tus compañeros la importancia del agua para mantener y cuidar la salud.
Actividad 2 Conversiones de unidades de medida Completa los espacios en blanco. a) b)
1 4 3 4
de km son ______ metros; un
1
de km
4
1 2
km ______ metros
horas son _____ minutos; una hora y media más tres cuartos de hora son
_____ minutos. c) 1
1 2
kg de cereal son ______ gramos. Para elaborar un pastel, se requieren 200 g de
harina de trigo,
1 4
de kg de fibra de avena y 125 g de amaranto, ¿qué cantidad
de cereales se necesitan? __________
Actividad 3 ¿Grasa, joven? Las grasas son compuestos orgánicos formados de carbono, hidrógeno y oxígeno. Representan la fuente más concentrada de energía en los alimentos, con las proteínas y los carbohidratos, y suministran calorías al cuerpo. Las grasas proporcionan 9 calorías por gramo, más del doble que las de los carbohidratos o las proteínas. Sin embargo, comer demasiadas grasas saturadas genera colesterol, una sustancia blanda y grasosa que, cuando se acumula en las arterias, representa un factor de riesgo de ataque al corazón y de algunos tipos de cáncer. Comparación de grasas en la dieta Contenido de ácido graso, normalizado al 100 por ciento
Grasa en la dieta
7% Aceite de linaza 9% Aceite de cártamo 10% Aceite de girasol 12% Aceite de maíz 13% Aceite de oliva 15% Aceite de soya 15% Aceite de cacahuate 19% Aceite de semilla de algodón 27% Manteca* 43% Cebo de res* 48% Aceite de palma 51% Grasa de mantequilla 68% 91% Aceite de coco Aceite de canola
21% 16%
9%
11%
61% 57% 76% 71% 57%
Trace 1% 1%
1% 54% 33%
8% Trace 54% 9% 1% 2% 1% Trace 10% 3% 1%
18% 14% 16% 29% 75% 23% 48% Trace 19% 47% 49% 39% 28% 2% 7%
* Contenido de colesterol (mg/cucharada): Manteca 12; Cebo de res 14; Grasa de mantequilla 33. No hay colesterol en ningún aceite vegetal. Fuente: POS pilot Plant Corporation, skatoon, Saskatchewan, Canada, Junio 1994. Impreso en Canadá.
Grasa saturada (mala) Grasa monoinsaturada (buena)
Grasa poliinsaturada (esencial) Ácido linoleico Ácido alfa linolénico (un ácido graso omega - 3)
62
Bloque 2 Con esta información completa la siguiente tabla.
Porcentaje Mantequilla
68%
Número fraccionario
Número decimal
68
0.68
100
Aceite de coco Aceite de canola Aceite de oliva Aceite de girasol a) En 100 g de aceite de cacahuate, ¿qué fracción no es grasa saturada? b) En un kg de mantequilla, ¿qué fracción es ácido linoleico? c) Al mezclar 100 g de mantequilla y 100 g de aceite de coco, ¿que fracción del
total corresponde a la grasa saturada? d) ¿Qué aceite contiene mayor cantidad de grasa monoinsaturada? ¿Cuál es la fracción que le corresponde? e) Comenta con tus compañeros sobre el riesgo para la salud que implica el consumo en exceso de grasas saturadas.
Actividad 4 Controlando mis gastos Ana María se propuso tener un mejor control en sus gastos, registrando los consumos y planeando sus próximas compras. Guardó todas las notas de compra, pero a este ticket se le desprendió una parte importante. ¿Puedes calcular cuánto gastó al comprar el pan?
Los conocimientos En las actividades anteriores observamos que la suma o resta de fracciones adquiere diferentes significados, según el contexto de la situación. Destacan las que mencionamos a continuación.
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
63
Suma de fracciones (contextos) a) Como relación en una parte del todo.
Cuando dividimos en partes iguales una superficie o una cantidad de objetos, sumar o restar equivale a integrar las partes.
1 3
1
3
2 3
Sucede lo contrario cuando restamos: 3 4
b) Como medida.
1 4
2 4
Es común que estemos en situaciones donde expresamos fracciones de unidades de medida, como medio km, tres cuartas partes de litro, un cuarto de kg, etcétera. 1 2
1
kg
kg
2
1 2
1 2
11 2
1
1 2
kg
21 2
c) Como porcentaje.
En algunas situaciones se expresan fracciones como partes de 100 por ciento. Por ejemplo, en un grupo 50% de estudiantes va al club de deportes, y el otro 50% al club de música; es decir, una mitad del grupo va a deportes y la otra mitad a música. Escrito como fracción es
1 2
1 2
, siendo el resultado 1, que equivale a 100%.
Los métodos Sumas y restas de fracciones con igual denominador Al sumar o restar fracciones con igual denominador, hacemos la suma o resta del numerador. Si consideramos las letras a, b, c como números naturales, tenemos un modelo general de cómo sumar o, en su caso, restar fracciones. a b
c b
ac b
mismo denominador
64
Bloque 2 Sumas y restas de fracciones con diferente denominador Método 1 Calcular
4 3
7 6
Intentamos cambiar a fracciones equivalentes con un mismo denominador. 4 7 8 7 4 4 2 8 ya que 3 6 6 6 3 3 2 6 Por lo que podemos aplicar el método anterior, pues ambas fracciones tienen al 6 como denominador. Su suma es: 8 6
7 6
87 6
15 6
Método 2 Convertir a un común denominador las fracciones multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por un mismo número diferente de cero. Al tener ya un mismo denominador, aplicamos el primer método. Por ejemplo: Sumar
1 3
y
3 7
.
Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por 7 y la segunda fracción por 3. 1 7 3 7
7 21
;
3 3 73
9 21
, sumando 7 9 16, obtenemos el resultado:
7 21
9 21
16 21
Método 3 Otra forma de sumar o restar fracciones es a través de los productos cruzados. El método consiste en lo siguiente: Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Los resultados de ambos productos se suman o restan, según sea el caso, y se colocan en el numerador de la fracción final. El denominador de la fracción final es el producto de los denominadores de las fracciones: a c b d a
ad bc bd
c
Siendo y dos fracciones cualesquiera, a, b, c y d números naturales, con b y d b d diferentes de cero. Ejemplo: 5 4
3 7
35
28
12
5 7 35 4 3 12 4 7 28
Sumas y restas de decimales Método 1 Convertimos a fracciones y hacemos la suma o resta como antes. Ejemplo: Sumar 0.75 y 0.50
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
0.75 en forma de fracción es forma de fracción queda:
75 100
, y 0.50 corresponde a 75 100
50 100
50 100
65
; la suma expresada en
125 100
Método 2 Otra forma de sumar o restar números decimales es colocarlos en columna alineando sus dígitos, tomando como referencia el punto decimal. Ejemplo: Sumar 454.343 y 43.2
454.343 43.200
Recuerda que iniciamos la suma de derecha a izquierda. En la resta sucede algo similar. Por ejemplo, al restar 1.2 a 5.34
5.34
1.20 4.14
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Completa los cuadros en blanco.
a) b) c)
1 5 1 2 1 2
4
5 1
4 2 8
d)
e) 1
2 3
2 3
2 6
2
8
2. Escribe fracciones en los espacios en blanco, de modo que cada fila y columna
sumen 1. 1
1
4
4 1 4
1
5
8
8
66
Bloque 2
El primer registro de un cuadrado mágico que aparece en la historia es en China, alrededor del año 2200 antes de nuestra era. Se le conoce como el “lo-shu”. Cuenta una leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del río Amarillo y que mandó copiarlo en una tablilla de barro inmediatamente. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro.
3. Suma
3 7
con una fracción, de tal modo que el resultado sea menor que
1 2
.
4. Indica el porcentaje que expresan estas fracciones:
a) b)
10
c)
100 1
d)
4
50 100 2 5
5. Realiza las siguientes operaciones:
a) 4.327 35.24
f ) 55.25 45.15
b) 13.15 8.4 11.7
g) 53.25 18.6 3.17
c) 27.53 8.3 6.800 4.27
h) 6
d)
1
e)
5
4 1
1 5
2
i)
1 8
4
3 5
j )
1
d)
3
2
4 7
3
3 15 1 4
2
5
2 10
1 8
6. ¿Qué fracción falta?
a)
1
b)
1
c)
4
6
4 5
1 4
1
1 2
e)
4 7 8
2
1
10
59
40
29 30
7. Ubica el punto decimal en los números que aparecen subrayados para que el
resultado sea el correcto. a) 383.5 7.623 391123
c) 21203 1.2179 22.4209
b) 233.286 712 240.406
d) 21231 2340 44.631
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
67
Ejercicios para consolidar los conocimientos Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Argumenta por qué funciona el método de productos cruzados para la suma o
resta de fracciones. Comenta con tus compañeros y explica su lógica. 2. Plantea un problema donde la suma de fracciones exprese la integración de áreas.
Compártelo con tus compañeros. 3. Diseña un problema sencillo donde la suma de fracciones indique unidades de
medida. Compártelo con tus compañeros. 4. Explica qué relación guardan las fracciones decimales con los números decimales. 5. Explica por qué, al sumar decimales en forma vertical, si el resultado de una co-
lumna es mayor a 9, entonces se anota la unidad y se pasa el dígito de las decenas a la siguiente columna.
Ejercicios de profundización 1. Haciendo una estimación, indica el número que señala la flecha.
A
B
5
C
D
6
E
F
G
7
8
A cada letra se asocia un número. Tomando como referencia la recta anterior, calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) B A
d) A D F
b) G B
e) E C 20
c) A B G 2. Encuentra el área de la región coloreada con una precisión de 3 cifras decimales.
7 cm
3. Se compraron 10 kg de café verde a $70.50 el kg. Si el café pierde
1 5
de su peso al
tostarlo, ¿en cuanto deberá venderse el kilogramo de café tostado para ganar del precio de compra? __________________________________ 4. Encuentra el valor que debe tener m:
a) 34.2 m 3.42 b) 12.5 m 36.3
1 10
68
Bloque 2 c) 1
m
4
2
d) El 50% de m, sumado nuevamente con m, es 7.5 5. Una familia consume la mitad del agua que contiene una cisterna en 15 días.
¿Cuánto consume en 10 días? _________________________________________
Ejercicio de síntesis 1. Un estudiante pasó al pizarrón a resolver una suma de fracciones, e hizo la
siguiente: 1 2
4 5
5 7
¿Qué procedimiento utilizó? ______________________________________________ ¿Qué opinas del resultado encontrado? _____________________________________
La música y las matemáticas
Los sonidos musicales son producidos, ya sea por vibraciones de cuerdas o por aire, en el interior de un instrumento de viento. Cuantas más oscilaciones ocurran, más aguda o “alta” será la nota musical, ya que cada tono o nota tiene relación con el número de oscilaciones oscilaciones por segundo, que se expresa como ; a esta unidad de medida se segundos le llama hertz. El hertz es la unidad de frecuencia del Sistema Internacional de Unidades, y su nombre proviene del apellido del físico alemán Heinrich Rudolf Hertz, quien descubrió la transmisión de las ondas electromagnéticas. Su símbolo es Hz.
El oído humano es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 hasta 20 000 Hz (de 20 hasta 20 000 oscilaciones por segundo) y puede distinguir sonidos cuyas frecuencias difieran de un solo hertz. Podríamos suponer que la música cuenta con unos 4 000 tonos, pero las diez octavas de un órgano son equivalentes a 130 tonos y el órgano es el instrumento con más tonos. En la fotografía de la página siguiente se observa un grupo de 12 teclas, con 7 tonos básicos: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do; 2 bemoles, Mib y Sib, y 3 sostenidos, Do#, Fa# y Sol#. A este grupo se le llama octava y su escala es 2:1; esto es, la frecuencia de la misma nota en la siguiente octava será el doble, mientras que en la anterior tendrá la mitad. La distancia de dos octavas corresponde a una relación de frecuencias de 4:1 y para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias.
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)
# o D 8 1 . 7 7 2
8 0 . 3 3 2
# e R 3 1 . 1 1 3
# a F 9 9 . 9 6 3
# l o S
# a L
0 3 . 5 1 4
6 1 . 6 6 4
69
246.94 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 523.26
Re
Do
Mi
Fa
Sol
La
Si
Una melodía suena igual si es tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes octavas, siempre y cuando las distancias entre las notas se conserven. Por ejemplo, la tecla del tono Do que aparece en la imagen tiene una frecuencia de 261.63 Hz, mientras que la frecuencia del tono Do de la siguiente octava será de 523.26 Hz, ya que 261.63 261.63 523.26. A cantar. . .
¿Te acuerdas de la canción de Martinillo? Martinillo
Letra Notas
Mar ti ni llo, Mar ti ni llo, ¿dón de estás?, ¿dón de estás? Sol La Si Sol Sol La Si Sol Si Do Re Si Do Re
Letra Notas
to ca la cam pa na, to ca la cam pa na, Re Mi Re Do Si Sol Re Mi Re Do Si Sol
Letra Notas
din, don, dan din, don, dan. Sol Re Sol Sol Re Sol
Las notas se escriben en el pentagrama, donde cada línea y el espacio entre ellas representan un tono. Observa que iniciamos en Re, después Mi, Fa, etcétera. La octava termina en Do. Para ejecutar esta canción se necesitan dos octavas.
70
Bloque 2
Fa Re Si
Mi Do
La Sol Fa Mi Re
Fa Re Si
Mi Do
La Sol Fa Mi Re Fa Re Si
Mi Do
La Sol Fa Mi Re
1. La nota La tiene una frecuencia de 440 Hz. Calcula las frecuencias de todas las notas La de la canción. 2. Observa que la nota Re aparece en el segundo y tercer pentagrama, pero en dife-
rente posición, es decir, está en diferente octava. ¿Qué frecuencias tienen cada una de ellas? ¿Por cuánto difieren? ¿Qué proporción guardan? 3. Consigue un teclado pequeño y ejecuta esta melodía. Trata de distinguir cómo cambia el sonido Re en las dos octavas donde se encuentra.
Problemas multiplicativos. Para aprender
Lección 10
E n esta lección aprenderás a hacer multiplicaciones con números fraccionarios y decimales, así como
a resolver problemas que implican la multiplicación de números fraccionarios y decimales en diferentes contextos. Ojo de Horus
1 8 1 16
1
1
4
2
1
1
32
64
Algunas fracciones usadas por los egipcios eran
1 2
,
1 4
,
1 8
,
1 16
,
1 32
y
1 64
,
las cuales tenían la particularidad de representarse como fracciones del Ojo de Horus. Cada signo jeroglífico de cada fracción se consignaba como una parte de este ojo. Horus es un dios de la mitología egipcia y se le consideró iniciador de la civilización egipcia.
Para aprender Actividad 1 Cuadrados y cuadraditos A continuación, utilizaremos el centímetro (cm) y el milímetro (mm) como unidades de medida para las longitudes, y el centímetro cuadrado (cm ) y el milímetro cuadrado (mm ) como unidades de medida para las áreas. 2
2
Recordemos que el área de un rectángulo es el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Por ejemplo, si dibujamos un cuadrado de 4 cm de largo por 2 cm de ancho, y trazamos dentro de él cuadrados de 1 cm de lado, el área del rectángulo es de 8 cm . 2
El área también se obtiene si multiplicamos los lados del rectángulo: (4 cm) (2 cm) 8 cm
2
Para llevar a cabo la siguiente parte de esta actividad, se requerirá de algunas ho jas milimétricas (pueden conseguirse en cualquier papelería). Colocamos la figura de una hoja milimétrica y a un lado la ilustración de un cuadrado de un centímetro.
71
72
Bloque 2
1 cm2
1 cm 1 cm
Utiliza rectángulos de medida adecuada y escribe los resultados de las siguientes operaciones: 1 1 cm a) (2 cm) (3 cm) 6 cm e) cm cm 2 2 2
b) (3 cm) (4 cm)
2
cm
f )
2
c)
1 cm (2 cm) 2
cm
d)
1 cm (4 cm) 2
cm
1
1
cm cm 4 2
g) (0.1 cm) (5 cm)
2
h) (0.2 cm) (0.3 cm)
2
i ) (0.4 cm) (0.5 cm)
cm
2
cm
2
cm
2
cm
2
Actividad 2 Cuadrado de cuadrados En la siguiente figura, que llamaremos cuadrado decimal, hemos dibujado un cuadrado de una unidad de ancho por una unidad de alto para que el área del cuadrado sea de 1. A los lados del cuadrado, que hemos dividido en 10 partes, están colocados los números 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 y 1. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Problemas multiplicativos. Para aprender
73
La división de cada lado del cuadrado en 10 partes determina la formación de 100 cuadrados, y como el área del cuadrado grande es 1, entonces el área de los cuadrados pequeños es de
1
100
0.01.
Si consideramos que el área de un rectángulo es la longitud de la base por longitud de la altura, podemos realizar diversos productos con los números decimales. En la figura anterior, tenemos que (0.4) (0.2) (0.4) (0.2) 0.08.
8 100
(8 cuadrados pequeños). De esta manera,
1. Escribe en cada entrada de la tabla el valor del producto de la base por la altura
correspondiente.
Longitud de la altura 0 e s a b a l
e d d u t i g n o L
0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.08
2. En tu cuaderno construye rectángulos de las dimensiones adecuadas para poder
calcular los siguientes productos: a) (1.7) (0.7) b) (1.8) (1.2) c) (1.5) (2.3)
Los conocimientos Multiplicación de un número natural por una fracción o un decimal La multiplicación de un número natural por una fracción o un decimal puede ser considerada como una suma reiterada. Así:
1 5 8
1 8 1 8
1 8
1 8
1 8
sumado 5 veces
1 8
5 8
74
Bloque 2 y 6 (0.25) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.5 0.25 sumado 6 veces
3
Por otro lado, para calcular las partes de un todo, como las partes de 20 se pue5 de proceder encontrando la quinta parte de 20 y después sumar 3 veces o multiplicar por 3. Lo anterior puede ser escrito de la siguiente manera: Las
3 5
20
partes de 20 son: 3 3 4 12 5
Otra forma de resolver el problema anterior sería pensar en términos de proporcionalidad. De esta manera, como 3 5
3 5
son las tres quintas partes de 1, podemos decir que
es a 1 como la cantidad buscada es a 20. Si utilizamos el siguiente arreglo para apli-
car la regla de tres: 3 5 ?
1 20
3 3 3 5 De modo que las partes de 20 son: 20 5 1 5 Si se considera la primera forma de resolver el problema, entonces: 20 3 3 20 12 5 5 De lo anterior, se desprende que otro de los significados del producto de un número natural por un número decimal o por uno fraccionario radica en saber las par30 tes de un todo. Así las de 50 pueden escribirse como: 20
100
30
50
30 100 50 100
1500 100
15
Multiplicación de dos fracciones o decimales Por otro lado, la multiplicación de dos fracciones o de dos números decimales no puede ser interpretada como una suma reiterada. ¿Qué significaría sumar “media vez” un 1
1
tercio para calcular en el producto ? ¿O sumar “0.3 veces” un décimo para 2 3 calcular en el producto (0.3) (0.1)? En las Actividades 1 y 2, Cuadrados y cuadraditos y Cuadrado de cuadrados, respectivamente, el producto representa áreas de rectángulos (la medida de su base por la de su altura es su área). De esta manera, tenemos que un rectángulo de base de 0.2 y altura de 0.3 es
6 100
del área del cuadrado grande; es decir (0.2) (0.3) 0.06.
Problemas multiplicativos. Para aprender
75
En términos de números fraccionarios, consideremos la multiplicación Podemos usar el siguiente dibujo y observar que
2 3
1 3
2 9
2 3
1 3
.
.
La parte coloreada son 2 del cuadrado grande 9
1 3 2 3
Otra forma de interpretar el producto anterior consiste en tomar la base de un rec2
tángulo dividido en tres partes y sombrear dos para representar la fracción . A con3 tinuación, la altura se divide en tres, lo cual permite sombrear una de las partes de la figura para representar
1 3
. 2 3
1 3
La conjunción de ambas divisiones resulta de calcular sombreada. Se puede considerar, por tanto, que el
2 3
1 3
de la parte inicialmente
inicial implica la división en tres 1
partes del todo, escogiéndose dos de ellas. Multiplicar por esto supone hacer una 3 nueva división del todo en 3 partes, con lo que el todo queda finalmente dividido en 3 3 9 partes, de las que se escogen 1 2 2 partes. Así,
2 3
1 3
2 1 3 3
2 9
2 9
Esta última explicación indica que la multiplicación de dos números fraccionarios significa tomar tantas partes de un factor como lo señala el otro factor, y que la manera de calcular el producto de dos números fraccionarios es otro número fraccionario, el cual es el cociente de multiplicación de los numeradores entre la
76
Bloque 2 multiplicación de los denominadores de los dos números fraccionarios. Entonces, en el producto
2 5
3 4
6 20
3 10
, quiere decir que
3
son las
10
2
partes de
5
3 4
.
Los métodos Producto de un número natural y un fraccionario o decimal Método 1 La multiplicación de un número natural por una fracción puede ser considerada una suma reiterada de la fracción tantas veces como indica el número natural. Ejemplo: 3
5 8
3
3
8 3 8
8
3 8
3 8
3 8
15 8
sumado 5 veces
Asimismo, la multiplicación de un número natural por uno decimal puede ser entendida como una suma reiterada tantas veces como el número natural lo indica. Ejemplo: 6 (0.25) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.5 0.25 sumado 6 veces
Método 2 Debido a que la multiplicación de un número natural por una fracción puede ser considerada como una suma reiterada de la fracción tantas veces como el número natural lo indica, la fracción resultante del producto tendrá el mismo denominador, mientras que el numerador será el producto del numerador de la fracción por el número natural. Ejemplo: 4
5 7
4 7
4 7
4 7
4 7
4 7
4 7
44444
7
54 7
sumado 5 veces
El producto de dos fracciones El producto de dos números fraccionarios da otro número fraccionario, que es el cociente de multiplicación de los numeradores entre la multiplicación de los denominadores de los dos números fraccionarios. Ejemplos: La multiplicación de La multiplicación de
5 9 3 2
y y
2 7 5 3
es es
10 63 15 6
, ya que
5 2
5 9
, ya que
2 7 3 2
5 2 97 5 3
10 63
35 23
15 6
5 2
Problemas multiplicativos. Para aprender
77
El producto de dos decimales Método 1 Para multiplicar dos números decimales, se puede transformar cada factor a su representación como número fraccionario y hacer el producto de fracciones, para finalmente volver a escribir la fracción resultante como número decimal. Ejemplos: (1.3) (2.4) (0.3) (1.72)
13 10 3 10
24
10 172 100
13 24 10 10
3 172 10 100
312 100
516 1000
3.120 0
0.516
Método 2 Cálculo de las partes de una cantidad. Para calcular las partes de una cantidad cualesquiera, se le puede multiplicar por la representación como número fraccionario o número decimal de las partes deseadas: Ejemplos: Las Las
2 5 5 6
partes de 55 son
2
5
partes de 90 kg es
5 6
55
110
90
5
450 6
22
75 kg
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La siguiente es una lista de ingredientes para elaborar Tortitas de pescado
(6 porciones): Ingredientes: • 1 kg de pescado en trozos • • •
1 2 1 2 3 4
taza de leche (125 mililitros) cebolla (100 g) de taza de aceite (187.5 mililitros)
• Un bolillo frío (70 g) • 6 cucharadas de mayonesa (60 g) • 2 dientes de ajo (4 g) • Hierbas de olor al gusto • Sal y pimienta al gusto
78
Bloque 2 a) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para hacer 12 porciones de Tortitas de pescado _______________________________________________________ b) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar 9 porciones de Tortitas de pescado _____________________________________________________ 2. Si las
3 8
partes de un número son 24, ¿cuál es el número? ____________________
Ejercicio para consolidar los conocimientos 1. Construye una explicación con áreas de rectángulos para argumentar que las
partes de
4 3
es igual al producto
2 7
4 3
8
2 7
21
Ejercicios de profundización 1. Un cuadrado aumenta una décima parte en cada uno de sus lados. ¿Cuánto au-
menta su área? __________________________________________________________ 2. Una llave de agua llena un tanque vacío en 5 horas y otra en 3 horas. Si ambas lla-
ves se abren juntas ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque? ____________________
Ejercicio de síntesis 1. Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de ju-
go y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien, se le quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué proporción de jugo hay en la mezcla final? _______________________________________________________________________ 2. ¿Es posible resolver el ejercicio anterior sin utilizar números fraccionarios o deci-
males? Comparte tu respuesta con tus compañeros.
Lección 11
Problemas multiplicativos. Para aplicar
E n esta lección utilizarás la multiplicación de números fraccionarios y decimales para resolver diversos problemas.
Aproximadamente, 97 centésimas partes de todo el suministro de agua de la Tierra se encuentra en los océanos. El agua dulce (que no tiene sal) representa menos de 3 centésimas partes del suministro total de la Tierra. Cerca de 70 centésimas partes del suministro de agua dulce están encerradas en las capas de hielo de la Antártida y Groenlandia. El resto se localiza en la atmósfera, los ríos, los lagos o las aguas subterráneas.
Para aprender Actividad 1 Kilómetros por hora a) Un auto recorre 94.5 kilómetros en 1 hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5
horas? ________________________________________________________________________ b) Un hombre recorre en su bicicleta
4 5
kilómetros en una hora. ¿Cuánto recorre
en 3 horas?____________________________________________________________
Actividad 2 Una parte y un porcentaje a) ¿A cuánto equivalen las b) ¿A cuánto equivalen las
3 5 3 10
partes de 20? _________________________________ partes de 50? _________________________________
79
80
Bloque 2
Actividad 3 Parte de partes a) ¿A cuánto equivalen las b) ¿A cuánto equivalen las
7 10 3 10
partes de partes de
20 21 10 9
? _______________________________ ? _______________________________
Actividad 4 Ampliación de un rompecabezas 5
6 6
2
7 7
9 4
7 2
5
2
1. El dibujo anterior es el de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes
en centímetros. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a éste, pero más grande (ampliarlo), respetando la regla siguiente: el segmento que mide 4 centímetros en el modelo deberá medir 7 centímetros en su reproducción. Es necesario reconstruir el rompecabezas entre todos los miembros de un equipo (3 o 4 integrantes). Cada alumno del equipo debe hacer una o dos piezas. Después de una breve discusión del equipo, se separan y comienzan a construir individualmente sus piezas. 2. Ahora se hace en equipo una reducción del rompecabezas, respetando la regla siguiente: el segmento que mide 4 centímetros en el modelo deberá medir 3 centímetros en su reproducción.
Los conocimientos La multiplicación de fracciones nos permite el cálculo de la fracción de un número o de la fracción de otra fracción. Tenemos dos casos: 5
Si calculamos de 24 estudiantes de un grupo, tenemos 8 lo que obtenemos 15 estudiantes.
5 24 8
⋅
1
El otro caso es cuando tenemos fracciones. Si queremos calcular mos
7 10
⋅
20 21
140 210
2
7 10
120 8
de
15
20 21
3
También la multiplicación de fracciones nos permite calcular porcentajes.
, por
, tene-
Problemas multiplicativos. Para aplicar
81
Los porcentajes son fracciones con denominador 100. Por ejemplo al tomar 60 partes de 100, decimos que hemos tomado 60% (por ciento), escrito como fracción se expresa
60 100
.
Así, para calcular el 30% de 550, basta plantear la multiplicación 30 100
⋅
550 1
16 500 100
165
Los métodos La multiplicación de fracción en el cálculo de porcentajes El porcentaje se expresa como fracción usando como denominador al 100, la cantidad sobre la que se quiere calcular el porcentaje se escribe como fracción usando como denominador al 1. Ejemplo. Calcular 28% de 500 28 100
⋅
500 1
14 000 100
140
28% de 500 es 140
Un primer contacto con el álgebra Un número natural cualquiera puede representarse con la letra n (que puede considerarse como una abreviación de la palabra natural). El número natural n puede representarse como el número fraccionario ; es decir, n
.
Un número fraccionario cualquiera (cociente de dos números naturales cualesquiera) puede representarse , que puede leerse como un número natural n entre otro natural m. Se utilizan n y m para
con el símbolo
dar a entender que los dos números naturales son distintos. De esta manera, el procedimiento para calcular el producto de dos números fraccionarios puede escribirse como:
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿A cuánto equivalen las
2 3
partes de 45? _______________________________
82
Bloque 2
b) ¿A cuánto equivalen las
6 7
partes de
21 12
? ______________________________
2. Daniel tiene un terreno en la playa. Un tercio lo dejó para construir una casa para 1
él. De los dos tercios restantes les dio a cada uno de sus hijos. ¿Qué fracción 4 del total del terreno dio a cada uno de sus hijos? ___________________________ 3. Pedro decide pintar así su recámara:
1
1
3
de color azul y a de los le pondrá 4 3 4 papel. ¿Qué operación resuelve cuál es la parte empapelada del total de la recámara? Justifica tu respuesta en tu cuaderno. a) b)
3 1 4 1 4
⋅
3
1 3
3
4
4. Los almacenes Yolanda venden ropa para toda la familia. A mitad de año reba-
ja el precio de todos sus departamentos a un 25% de descuento. Completa la tabla de precios.
Artículo
Precio original
Pantalón vaquero
$ 210.00
Blusa (de temporada)
$150.00
Camisa manga corta
$168.00
Descuento
Precio final
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Explica en tu cuaderno por qué funciona el siguiente algoritmo para el producto de números decimales: Para multiplicar dos números decimales, se puede efectuar el producto como si fueran números enteros y el resultado tendrá tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores. 2. Una forma para realizar divisiones de números decimales es transformar la di-
visión a un cociente de números naturales, recorriendo el punto decimal el mismo número de lugares en el numerador y el denominador. Por ejemplo: 0.35 1.25
35 125
, ya que “recorremos el punto decimal dos lugares”.
Verifica que en efecto el resultado es el mismo usando tu calculadora y argumenta por qué funciona este procedimiento.
Problemas multiplicativos. Para aplicar
83
Ejercicio de profundización 1. En dos jarras iguales tenemos una mezcla de agua con jugo de naranja. En una
de las jarras, la proporción es de 3:7; es decir, de 3 partes de agua y 7 de jugo de naranja, mientras que en la otra hay una proporción de 3:5. Si juntamos el contenido de las dos jarras, ¿cuál será la proporción? _______________________________________
Ejercicio de síntesis 1. Cuatro vasos, suficientemente grandes, contienen el mismo volumen de líquido.
El primer vaso tiene café solo; los otros tres, leche. Se vierte la cuarta parte del contenido del primer vaso en el segundo, se hace la mezcla homogénea y, a continuación, se vacía la cuarta parte del contenido del segundo vaso en el tercero. Se hace la mezcla homogénea y se echa la cuarta parte del contenido en el último vaso. ¿Cuál es la proporción entre los volúmenes de café y leche en el cuarto vaso?
Rectas y ángulos
Lección 12
E n esta lección aprenderás el concepto de bisectriz de un ángulo y de mediatriz de un segmento, y a
utilizar sus propiedades en la solución de problemas geométricos. También, a distinguir cómo se denotan una recta, una semirrecta y un segmento de recta.
Vista aérea de la pirámide de Gizeh
Para aprender Actividad 1 ¡Trazando rectas! 1. Toma un trozo de papel de china, corta un polígono cualquiera. A uno de sus lados llámalo AB. Dobla el papel de manera que hagas coincidir los puntos A y B.
Desdóblalo. El doblez ha determinado un segmento de recta. Observa las posiciones de las rectas que contienen a AB y al doblez que acabas de realizar.
84
85
Rectas y ángulos Ahora responde en tu cuaderno: • ¿Qué puedes decir de ellas? ¿Por qué?
• ¿Qué posición ocupa el punto de intersección de ambas en el segmento AB? ¿Por qué? 2. Sobre la base de las ideas anteriores, construye, con regla y compás, una recta perpendicular al segmento AB que pase por su punto medio M. A
B
Nota: El punto medio de un segmento, es el que lo divide en dos partes iguales. La recta perpendicular que trazaste en el segmento AB se llama mediatriz. Y coincide con el eje de simetría del segmento. Los puntos A y B equidistan de cada uno de los puntos de la mediatriz, en particular del punto M. a) ¿Cuánto miden los ángulos que forman la mediatriz y el segmento AB?
____________________________________________________________________ b) Explica lo que entiendes por mediatriz. Coméntalo con tus compañeros y
compañeras y con tu profesor.
Actividad 2 ¡Trazando mediatrices! a) Traza las mediatrices de los lados del triángulo CDE E
C
D
• ¿Cuántas mediatrices se pueden trazar en el triángulo? ____________________ • ¿Las mediatrices del triángulo CDE son ejes de simetría del triángulo? ¿Por qué? _________________________________________________________ ___________________________________________________________________
86
Bloque 2 b) En las siguientes figuras se trazaron rectas que pasan por M, punto medio del seg-
mento correspondiente. Marca de color azul las figuras que consideras que la recta señalada que pasa por M es la mediatriz del segmento correspondiente. C
C D
P
M
Q A A
Figura A
M Figura B
M
B
B Figura C
• ¿Todas las figuras quedaron marcadas? ¿Por qué? _______________________ ____________________________________________________________________ • ¿Todas las rectas que pasan por el punto medio de un segmento son mediatrices? ¿Por qué? ¿Cuántas de ellas son mediatriz de dicho segmento? Comenta con tus compañeros y compañeras y tu profesor las respuestas.
Actividad 3 Construir triángulos Construye en tu cuaderno un segmento AB y traza su mediatriz. Ahora construye un triángulo cuyos vértices sean: los extremos del segmento AB y un punto C colocado sobre la mediatriz. a) Mide con un transportador los ángulos interiores del triángulo y compara las medidas que encontraste. ¿Cuánto mide el ángulo ACB? _________ ¿Cuánto mide el ángulo ABC? ________ ¿Cuánto mide el ángulo CAB? _________ Nota: El triángulo construido se denomina isósceles. Una característica de cualquier triángulo isósceles es que su eje de simetría es una de sus mediatrices. b) Señala el punto de intersección de las mediatrices y los vértices del triángulo ABC que construiste. Traza el segmento que une cada vértice del triángulo ABC con el punto de intersección de las mediatrices. En el triángulo ABC traza una circunferencia cuyo radio sea la longitud del segmento formado por el punto de intersección de las mediatrices y alguno de sus vértices del triángulo. ¿Qué ocurre?
Actividad 4 Ahora, ¡a trabajar con ángulos! Así como dividimos en dos partes iguales a un segmento, podemos dividir en dos partes iguales a un ángulo. • Describe cómo propondrías hacerlo empleando la técnica de doblado de papel. • Otra manera de dividir ángulos en dos partes iguales es utilizando un transportador. Aplica este instrumento geométrico para dividir en dos partes iguales ángulos de 90°, 45°, 30° y 20°, respectivamente. Elabóralo en tu cuaderno.
Rectas y ángulos
87
a) Utilizando el transportador, encuentra cuánto mide cada uno de los siguientes án-
gulos:
O
O
O
O
Ahora divide en dos partes iguales los ángulos que mediste utilizando nuevamente el transportador. Traza una recta que pase por la mitad de cada ángulo. A la recta que trazaste se le llama bisectriz del ángulo. Después de los trazos realizados, explica con tus palabras qué entiendes por bisectriz. Explica las respuestas a tus compañeros y compañeras y profesor.
Actividad 5 Trazando las bisectrices a) Traza las bisectrices de los ángulos interiores de las siguientes figuras geométri-
cas. Utiliza la regla y el compás.
• ¿Cuántas bisectrices pueden trazarse en los triángulos? ___________________ • ¿Se cortan en un mismo punto? ________________________________________
• ¿Cuántas bisectrices pueden trazarse en un cuadrilátero? __________________ • ¿Se cortan en un mismo punto? ________________________________________ Halla una diferencia entre las bisectrices trazadas para los triángulos y polígonos de cuatro lados. Comenta las respuestas con tus compañeros y tu profesor.
88
Bloque 2 b) Traza las bisectrices del triángulo.
Señala el punto en el que se cortan las bisectrices. Traza una circunferencia con centro en ese punto y radio igual a la longitud del segmento formado por el punto de intersección de las bisectrices y uno de sus vértices. ¿Qué relación hallas entre la circunferencia trazada y el triángulo? Coméntalo.
Los conocimientos Dados dos puntos A y B, es posible considerar el segmento de recta AB o segmento rectilíneo. Los puntos A y B se llaman extremos. Los extremos de un segmento forman parte del mismo. En relación al segmento AB, si se extiende éste indefinidamente, obtenemos una recta. Por eso decimos que una recta está definida por dos puntos. Al considerar un punto de una recta, se llama semirrecta a cada una de las dos partes en que una recta queda dividida por uno de sus puntos, al que se llama origen. La mediatriz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes iguales y que es perpendicular a ese segmento. C
Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con el mismo origen.
circunferencia inscrita
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que es un punto situado al interior del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
A
incentro
B bisectriz
La longitud del radio de la circunferencia inscrita es el segmento formado por el incentro y el punto en que la bisectriz corta a uno de los lados del triángulo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. La circunferencia circunscrita tiene como radio el segmento que une el centro con uno de los vértices.
mediatriz C
A circuncentro B circunferencia circunscrita
Rectas y ángulos
89
Los métodos Trazo de la mediatriz de un segmento con regla y compás Paso 1 Paso 2
A
Segmento AB.
B
A
B
Construye una circunferencia con centro en A y radio de longitud mayor a la mitad del segmento AB.
Paso 3
Paso 4 P A A
Q B
B
Con la misma abertura del compás, construye otra circunferencia con centro en B. Las circunferencias se cortan en dos puntos, llamémosles P y Q.
Traza la semirrecta PQ, mediatriz del segmento AB. PQ es perpendicular al segmento AB por su punto medio.
Trazo de la bisectriz de un ángulo con regla y compás Paso 1 Paso 2
O
A
P
B
Q
Con centro en O y un radio cualquiera, traza un arco que corte los lados del ángulo AOB en los puntos P y Q.
O
A
P
B
Q
Apóyate en el punto P y abre el compás a una distancia mayor que la mitad entre P y Q, traza el arco.
90
Bloque 2 Paso 3
Paso 4 A
O
B
P A
Q O
Con la misma abertura del compás, traza otro arco con centro en Q que corte el arco anterior. Llámale R al punto de intersección de los arcos.
B
P
R
Q
Traza la semirrecta OR, bisectriz del ángulo AOB. Ángulo AOR igual al ángulo ROB.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. En tu cuaderno traza la mediatriz del segmento AB cuya longitud es igual a 4 cm,
a partir de este trazo dibuja un rombo. Describe el método que usaste. 2. En tu cuaderno construye un triángulo equilátero y traza las bisectrices de sus ángulos. Al punto de intersección llámale O.
Ahora construye una circunferencia, de radio igual al segmento formado por el punto O y cualquiera de los vértices del triángulo. ¿Qué puedes decir acerca de la circunferencia que construiste? 3. En el mismo triángulo equilátero anterior, traza las mediatrices de sus lados. Al
punto de intersección llámale Q. ¿Qué puedes decir de la ubicación de O y de Q? ¿ A qué conclusiones llegas? 4. Traza la bisectriz de los siguientes ángulos
5. Mediante el trazado de bisectrices, divide un ángulo recto en 4 partes iguales.
¿Cómo procederías para dividir el ángulo dado en 8 partes iguales? ¿Cuáles son tus conclusiones?, argumenta las mismas en tu cuaderno.
Rectas y ángulos
91
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Traza las bisectrices de los ángulos opuestos del rectángulo MNOP. ¿Cómo son
entre sí las bisectrices que trazaste? _______________________________________________________________________ M
P
N
O
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos en que queda dividido cada ángulo interior del rectángulo? ___________________________________________ ¿Cómo son las bisectrices del rectángulo? ___________________________________ 2. En tu cuaderno construye un cuadrilátero en el que las bisectrices y las diagona-
les coincidan. Argumenta por qué elegiste este cuadrilátero. 3. En tu cuaderno construye la circunferencia circunscrita al cuadrado cuyos lados
miden 5 cm. 4. Algunas letras de imprenta mayúsculas presentan simetrías con respecto a ejes
verticales u horizontales. Identifica de qué letras se trata y cuáles son los ejes de esas simetrías y anótalas en tu cuaderno. ¿Qué mediatrices y bisectrices que contienen trazos de esas letras identificas?
Ejercicio de profundización 1. El área del triángulo isósceles PQR mide 64 cm2. Si RM es mediatriz de PQ , ¿cuánto mide el área del triángulo Q MR? R
P
M
Q
92
Bloque 2
Ejercicios de síntesis 1. Localiza el centro de la siguiente circunferencia cuya
área es igual a 50.16 cm . 2
Si no hubieras conocido el área, ¿cómo podrías determinar el centro de la circunferencia aplicando los conocimientos que has aprendido en esta lección? Anota las respuestas en tu cuaderno. 2. Construye una circunferencia, donde la longitud del diámetro sea el segmento formado por el punto de intersección de las mediatrices del triángulo ABC y uno
de sus vértices. C
B
A
Lección 13
Figuras planas: Polígonos
E n esta lección aprenderás el concepto de polígono, los elementos que lo constituyen (vértice, lado, ángulo interior y exterior, diagonal), así como a reconocer las propiedades de los polígonos regulares y algunos criterios para construirlos. La palabra polígono proviene del griego poli (muchos) y gonía (ángulo). Las figuras de este tipo están presentes en la naturaleza y en la vida del hombre. El carbono, a través de sus compuestos, genera toda la química orgánica. Además de esta peculiaridad, debido a la cristalización de sus moléculas tiene otras formas alotrópicas aparte de las del grafito (sistema cúbico) y del diamante (sistema hexagonal). Entre ellas, se destaca la molécula gigante, hueca y esférica del carbono 60, que en un icosaedro truncado reúne con máxima economía pentágonos y hexágonos regulares. El domo exapenta es una forma semiesférica generada por la presencia armonizadora de pentágonos en conjuntos de hexágonos, que pueden estar reticulados por triángulos isósceles y equiláteros, respectivamente.
El buckminsterfullereno, C60, también llamado fullereno, es otra forma en que se presenta el carbono. Descubierto por el británico Harold Kroto y los americanos Robert Curl y Richard Smalley, el C60 tiene una forma de balón de futbol hueco y en su superficie aparecen hexágonos y pentágonos constituidos por átomos de carbono. El nombre buckminsterfullereno se debe a que el arquitecto alemán Richard Buckminster Fuller había utilizado la forma del C60 en alguna de sus obras. Carlos Calvimontes Rojas
(Información tomada de la página Web http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm)
93
94
Bloque 2
Para aprender Actividad 1 Polígonos ¿Recuerdas cuáles son las características de los polígonos? Con base en las siguientes figuras, responde las preguntas en tu cuaderno:
(a)
(f)
(b)
(g)
(c)
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
(k)
a) Si se define como polígono a una figura cerrada plana, delimitada por seg-
mentos rectilíneos, ¿cuáles de las figuras anteriores son polígonos? b) Un polígono es convexo, si al prolongar cualesquiera de sus lados, se cumple
que el polígono queda totalmente comprendido en una de las dos partes en que dicho lado prolongado divide al plano. Di cuáles de los polígonos que identificaste en el inciso anterior son convexos y cuáles no. Justifica tu respuesta. c) Una diagonal en un polígono convexo es un segmento de recta que une dos
vértices no contiguos. Traza al menos dos diagonales en cada uno de los polígonos convexos que reconociste en el inciso anterior. d) ¿Hay polígonos en los que no se puedan trazar diagonales? ¿Por qué?
Actividad 2 ¡En busca de la regularidad! Señala las diferencias entre los tres hexágonos siguientes:
Figuras planas: Polígonos
95
Elige el nombre que designe mejor las características de los tres hexágonos siguientes: equilátero, equiángulo o regular. Justifica tu respuesta.
Polígonos regulares A partir de la anterior secuencia de actividades, haremos una afirmación cuya veracidad irás descubriendo paulatinamente: Todo polígono regular es cíclico; es decir, todos sus vértices están sobre una circunferencia. ¿Es esta condición suficiente para afirmar que un polígono es regular? ¿Por qué? Anota la respuesta en tu cuaderno
Actividad 3 ¡Ángulo-lado: una relación fundamental! Pon atención a las siguientes figuras y contesta las preguntas en tu cuaderno:
a) Cuando el número de lados de un polígono regular crece, ¿la medida de sus án-
gulos centrales cambia? Argumenta por qué. b) Encuentra la medida del ángulo central en cada una de las figuras. c) ¿Cuál crees que sea la expresión general de la medida del ángulo central del n-ágono regular?
Construcción de polígonos Con base en las dos afirmaciones que aparecen enseguida, construiremos diversos polígonos regulares. 1. Todo polígono equilátero inscrito en una circunferencia es regular. 2. A todo polígono regular se le puede inscribir y circunscribir una circunferencia (figura de la derecha).
En tu cuaderno diseña, con base en las afirmaciones anteriores, un método para construir un polígono regular de n lados. Aplicando este método, construye un pentágono, un hexágono y un cuadrado.
96
Bloque 2
Actividad 4 Una variación que hace que radio y apotema coincidan En tu cuaderno realiza varios bosquejos de polígonos y después interpreta la afirmación: Si el número de lados de un polígono regular inscrito aumenta en una cantidad muy grande, la apotema tiende a tener la longitud del radio. Con regla y compás, traza un cuadrado dentro de la siguiente circunferencia.
Argumenta cómo se puede obtener un octágono regular a partir de su cuadrado inscrito. ___________________________________________________________________ ¿Cómo obtendrías ahora un polígono de 16 lados? ¿Te animas a generalizar la construcción anterior? Extrae conclusiones y coméntalas con tus compañeros y compañeras.
Los conocimientos Definición general de polígono Los polígonos tienen lados, vértices, ángulos interiores y exteriores, y diagonales: Ángulo exterior Diagonal
Vértice
Lado Ángulo interior
Polígono regular Un polígono es regular cuando todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos interiores son iguales (es equilátero y equiangular). Se le denomina como cíclico si todos sus puntos están sobre una circunferencia.
Figuras planas: Polígonos
97
Los métodos Construcción de polígonos Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
Un procedimiento para construir un polígono regular de n lados es el siguiente: En tu cuaderno: Traza una circunferencia. Divide 360° por n. Ésa será la medida del ángulo central del poliedro de n lados. Traza n radios de la circunferencia que formen entre sí el ángulo cuya amplitud aca bas de calcular. Une sucesivamente los puntos de la circunferencia en los que esos radios la cortan. El poliedro que has obtenido es el buscado. Este método hace uso de regla, compás y transportador y permite construir cualquier polígono regular. A partir de construcciones básicas, podemos enunciar métodos para construir (inscribir) polígonos de más lados aplicando el método de trazado de la bisectriz de un ángulo, por ejemplo: a) El octágono regular inscrito se obtiene duplicando el número de lados del cua-
drado regular inscrito; de la misma forma se construyen los polígonos regulares inscritos de 16, 32, 64 lados y así sucesivamente. b) El decágono regular inscrito se obtiene duplicando el número de lados del pentágono regular inscrito; del mismo modo se sacan los polígonos regulares inscritos de 20, 40, 80 lados y así sucesivamente. c) El dodecágono regular inscrito se obtiene al duplicar el número de lados del hexágono regular inscrito; esto también aplica para construir los polígonos regulares inscritos de 24, 48, 96 lados y así sucesivamente. Observación. Siempre que sea posible inscribir un polígono, es posible inscribir el po-
lígono que lo duplica en lados. Existen métodos de construcción para algunos polígonos regulares que sólo utilizan regla y compás. Indaga cómo construir polígonos regulares de 7, 9, y 11 lados.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Con la regla y el compás, dibuja en tu cuaderno tres polígonos distintos y señala
el número de lados y ángulos que tiene cada uno. 2. A continuación se presentan las longitudes de los tres lados de diferentes triángulos. Constrúyelos en tu cuaderno con tu regla y compás: a) 3 cm, 4 cm y 5 cm b) 2 cm, 4 cm y 2 cm c) 7 cm, 2 cm y 8 cm d) 3 cm, 4 cm y 7 cm
98
Bloque 2 ¿Qué características deben tener tres segmentos para que con ellos se pueda construir un triángulo? ______________________________________________________ 3. Dibuja en tu cuaderno con tu regla y compás tres cuadriláteros, basándote en las
siguientes longitudes: a) 3 cm, 4 cm, 3 cm y 4 cm b) 3 cm, 4 cm, 5 cm y 6 cm c) 3 cm, 5 cm, 7 cm y 9 cm 4. Construye en tu cuaderno un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono
regular donde cada lado mida 3 cm. Explica cómo los construyes.
Ejercicios para consolidar los conocimientos Utiliza tu cuaderno: 1. Argumenta cómo determinarías el centro de un polígono regular si tiene un número par de lados. • ¿Este mismo criterio aplica si el polígono tiene un número impar de lados? ¿Por qué? • ¿Habrá un criterio independiente del número de lados del polígono? 2. Con el transportador, divide una circunferencia en cualquier número de partes.
Explica el procedimiento que empleaste.
Ejercicio de profundización 1. Para que pueda cubrirse un plano con polígonos regulares de la misma clase, es
necesario que el ángulo interior del polígono sea divisor de cuatro ángulos rectos (360°). En el caso de un adoquinado con cuadrados, tenemos:
a) ¿Es posible cubrir un plano con triángulos, como los que aparecen a continua-
ción? Si tu respuesta es afirmativa, realiza un embaldosado como el de la figura anterior en tu cuaderno.
b) ¿Es posible construir un embaldosado con triángulos escalenos? Argumenta
tu respuesta en tu cuaderno.
Figuras planas: Polígonos
99
c) ¿Es posible cubrir un plano con hexágonos regulares? Si tu respuesta es afirma-
tiva, realiza un embaldosado como el de la figura de arriba en tu cuaderno. Una teselación o embaldosamiento es un conjunto de figuras geométricas cerradas que recubren una superficie sin dejar huecos y sin montarse unas sobre otras. En el siguiente dibujo puedes apreciar una teselación de triángulos:
Ejercicios de síntesis 1. El siguiente procedimiento permite dividir con cierta aproximación a la circunfe-
rencia en 7 partes iguales: Realízalo y verifica si el polígono que obtienes es un heptágono. B
N
O
A
D
Se traza el radio OA y, desde el punto A, con AO de radio, se corta la circunferencia en B y D. Une los puntos B y D, marca el punto en el que se cruzan ambas rectas como N y determina ND como la medida por lado de un heptágono. Traza siete segmentos de la misma medida dentro de la circunferencia a partir del punto D. 2. Considera las siguientes características de los polígonos regulares y analiza si es
cierto su cumplimiento: Los polígonos regulares: • Tienen todos sus lados iguales. • Tienen todos sus ángulos iguales. • Son inscriptibles en una circunferencia. ¿Alguna de estas tres características alcanzaría por sí sola para definir un polígono regular? ¿Por qué? ____________________________________________________ _______________________________________________________________________ Da ejemplos de polígonos no regulares y verifica estas propiedades por separado.
100
Bloque 2 3. Enuncia un criterio que permita decidir cuándo un polígono regular tesela el plano.
• ¿Cuáles son los divisores de 360°? • ¿Cuáles de esos valores pueden ser las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular? • ¿Qué conclusión puedes extraer de los puntos anteriores? Anota tus respuestas en tu cuaderno.
Las teselaciones en el a rte En la arquitectura
Los diseños que acabas de hacer también aparecen en el arte. Si bien artistas de todos los tiempos han utilizado figuras geométricas en sus trabajos, quienes trabajaban en construcciones arquitectónicas influidas por la religión islámica tenían prohibido representar figuras humanas o animales. Por ello, se veían obligados a em plear formas geométricas para decorar los edificios. Uno de los sitios donde se pueden apreciar teselaciones es el Palacio de la Alhambra, en Granada, España. Las dos fotografías que aparecen abajo son de este tipo. Los árabes decoraron los jardines con fuentes y plantas, mientras que el interior de las habitaciones y las salas del palacio con figuras geométricas que forman distintos patrones. Los polígonos utilizados no siempre son regulares e incluso en oportunidades se combinan varios tipos de polígonos. ¿Qué figuras geométricas notas que hay? Utiliza los polígonos que elaboraste en el ejercicio anterior e intenta reproducir esta teselación.
Algunos detalles de las teselaciones:
Teselación con polígonos
Figuras planas: Polígonos
101
En algunas casas se utilizan ciertos tipos de teselaciones para hacer ventanales, como los siguientes:
• Utiliza dos polígonos regulares para hacer la teselación de un ventanal. • Emplea dos o tres polígonos (no necesariamente regulares) para hacer la teselación de un ventanal. En la pintura
A principios del siglo XX , se comenzó a dibujar las formas que se observaban en la naturaleza con polígonos y otras figuras geométricas, lo cual dio lugar a un nuevo estilo artístico. 1. Investiga cómo se le conoce a esta tendencia, sus repercusiones en el arte y sus exponentes principales.
2. ¿Cuántos polígonos hay en este dibujo? ___________
Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
Lección 14
E n esta lección, aprenderás a utilizar las medidas más importantes que se emplean para medir cuerpos en el plano y en el espacio: perímetro, área y volumen; a distinguir entre perímetro y área, así como a justificar fórmulas para calcular perímetros y áreas del triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecio y polígonos regulares.
a
a2
b
ab
a B h L 2 R
D
A
Medir. . . ¿Qué medimos? ¿Para qué medimos? ¿Con qué medimos?
102
B
Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
103
Para aprender Actividad 1 ¿Qué, con qué y por qué medimos? Describe qué entiendes por medir, qué se mide, con qué se mide y por qué se mide. En equipo, comenta y analiza con tus compañeros las diferentes interpretaciones que dieron, destaquen los elementos en común y discútanlas con el resto de los equipos.
Actividad 2 ¿Con qué medimos? Escribe los nombres de los instrumentos que se emplean para medir: La temperatura del cuerpo humano
El peso de una persona
________________________________
________________________________
La estatura de una persona
El tiempo
________________________________
________________________________
El contorno de una figura geométrica
El área de una región
________________________________
________________________________
¿Podemos medir con objetos específicos todas las cosas? Comenta la respuesta con tus compañeros y tu profesor.
Actividad 3 Trabajando con el contorno y el interior de figuras geométricas Pinta de color rojo el contorno de las siguientes figuras y de color gris su interior.
Anota las respuestas en tu cuaderno: a) ¿Cuáles son los puntos del interior de las figuras? b) ¿Es posible calcular el perímetro de la recta? c) ¿Qué información se necesita para calcular el perímetro de la circunferencia y la
flecha? d) ¿Qué información se necesita para calcular el área del rectángulo, de la región que brada y de la región compuesta?
104
Bloque 2 e) ¿Hay alguna figura a la que no se pueda calcular su perímetro y área? Argumen-
ta tu respuesta.
Reconstruyendo fórmulas. . . Vamos a reconstruir fórmulas para calcular el perímetro y el área de polígonos como el triángulo, romboide, trapecio y polígonos regulares, a partir de la fórmula de una figura básica: el rectángulo. Como el perímetro de polígonos se determina sumando la medida de sus lados, la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden a y b (al que llamaremos rectángulo base) es: Perímetro del rectángulo 2a 2b. A los lados a y b también se les llama base y altura respectivamente
b
ab
Fórmula para calcular el área del réctangulo
a
Al marcar las medidas de los lados del rectángulo, queda dividido en cuadritos; cada uno mide un centímetro cuadrado.
b
Unidad cuadrada
1
a
El cuadrado es un caso particular de rectángulo, en el que la base y la altura son iguales: a
Como a b Área del cuadrado: l l l
2
a
Actividad 4 ¡A calcular perímetros y áreas de polígonos! a) Analiza el rectángulo de la derecha, que surgió de haber trazado una de las
diagonales al rectángulo base. La diagonal lo divide en dos triángulos iguales.
T 1 b
b T 2
a
a
Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
105
El triángulo T 1 es igual al triángulo T 2. El área de T 1 es igual al área de T 2. ¿Cómo es el área del triángulo respecto al área del rectángulo? _________________ Escribe la fórmula para calcular el perímetro del triángulo: ___________________________________________________________________________ Escribe la fórmula para calcular el área de triángulos: ___________________________________________________________________________ b) Te vas a apoyar nuevamente en el rectángulo base. Los lados opuestos del rec-
tángulo son paralelos. La base del rectángulo está fija. Si aplicamos un movimiento al lado opuesto del lado a sin que cambie la medida, el rectángulo se transforma en un romboide, como se muestra enseguida:
b
Al mover un lado, el réctangulo se transforma
T 2 b T 1
a
a
El rectángulo se transforma en un romboide El triángulo T 1 es igual al triángulo T 2. El área de T 1 es igual al área de T 2. ¿Cómo es el área del romboide respecto al área del rectángulo? Argumenta tu respuesta. _________________________________________________________________ Expresa la fórmula para calcular el área del romboide: ___________________________________________________________________________ Escribe la fórmula para calcular el perímetro del romboide: ___________________________________________________________________________
106
Bloque 2 c) Vamos a tomar como base el romboide resultante de la actividad anterior y lo
dividiremos en dos partes iguales (trapecios), como se aprecia en la figura de la derecha. Al dividir el romboide b
R2 R1
a
b
a
El trapecio R1 es igual al trapecio R2. El área de R1 es igual al área de R2. ¿Cómo es el área del trapecio respecto al área del romboide? __________________ Expresa la fórmula para calcular el área del trapecio.
Escribe la fórmula para calcular el perímetro de un trapecio. ___________________________________________________________________________
Los conocimientos El interés por medir magnitudes, dimensiones, estados o procesos de los cuerpos que ocupan un lugar en el plano y en el espacio ha llevado a la humanidad a desarrollar instrumentos de medición como la regla, la cinta métrica, el termómetro, la balanza, el anemómetro, la veleta y el densímetro. El perímetro, el área y el volumen son medidas de uso común que el ser humano aplica en diseños y edificaciones, en el estudio de estructuras o en la comparación de cuerpos de formas diversas y su clasificación. También se miden y calculan perímetros, áreas y volúmenes en figuras geométricas cerradas, como el polígono y la circunferencia. Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el área comprende la región interior de una figura y su medida. En algunas situaciones, el perímetro y el área aparecen ligados a un proceso de medida, ya sea para comparar, estimar, repartir o cuantificar. Se comparan medidas y formas de figuras al realizar movimientos o transformaciones sobre ellas. Al hacer transformaciones o movimientos sobre figuras geométricas cerradas y planas, el perímetro y el área pueden conservarse.
Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
107
Los métodos Perímetros y áreas
Polígono
Perímetro h
b + b + h + h = 2b + 2h
Área b×h
b Rectángulo
l
l +l +l +l
= 4 × l = 4l
l×l =l
2
l Cuadrado
a
c
h
a+b+c
b×h
2
b Triángulo
b
h
B + B + b + b = 2 b + 2 B
B × h
B Romboide
l d
l +l +l +l
D
= 4 × l = 4l
D
× d 2
Rombo b n
m
h
B + b + m + n
( B + b) h 2
B Trapecio
l
a
Polígono regular
l +l +l +l
+ l + l + ... + l = n × l
P×a
2
108
Bloque 2
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Marca con color rojo el perímetro de las figuras siguientes y con azul el área.
2. Construye sobre la cuadrícula tres figuras que tengan el mismo perímetro:
¿Qué es lo que hace diferente a las figuras que construiste?
3. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. lado 2.4 cm 3.5 cm
5.4 cm
4.1 cm
3.5 cm
3.5 cm
3.5 cm
apotema 2.9 cm
2.8 cm
3.5 cm
9.4 cm
Perímetro: ________
Perímetro: ________
Perímetro: ________
Área: ____________
Área: ____________
Área: ____________
Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos
109
4. Deduce la fórmula para calcular el área del rombo. Describe el método que uti-
lizaste. ___________________________________________________________________________
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Calcula el perímetro de un terreno que tiene forma pentagonal, cuyas longitudes
de sus lados consecutivos son 1.5 kilómetros, 3.5 kilómetros, 4.0 kilómetros, 5.0 kilómetros y 4.0 kilómetros.
2. Transforma las siguientes figuras en otro polígono, pero que conserve su área. Ex-
plica el método que usaste.
3. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras: 35 cm 29 cm 25 mm
27 cm
diámetro 8.0 cm 18 dm
57 cm 12 dm
Perímetro: ________
Perímetro: ________
Perímetro: ________
Área: ____________
Área: ____________
Área: ____________
110
Bloque 2 4. En las siguientes figuras, ¿cuántas veces es menor la región sombreada que el área
total de cada figura? 9.0 cm 7 cm
6.5 cm
4.5 cm 4.5 cm
8.6 cm
4.0 cm
7 cm
6.5 cm
Ejercicio de profundización 1. En la siguiente figura, ¿qué parte representa la región sombreada?
3.2 cm 6.4 cm
Ejercicios de síntesis 1. En la tabla aparecen los datos de un trapecio ABCD, donde AB es paralela a C D .
Completa la información.
Base AB
Ba se CD
12 m
9m
8m 7.5 m
Altura
Áre a 78.75 m
2
6m
39.0 m
4 dm
3 dm
21.0 dm
6 cm
5.4 cm
2
2
2. Determina el perímetro y el área del triángulo som-
C
breado, cuyos vértices pasan por el punto medio de los lados del triángulo ABC. El triángulo ABC es equilátero y su área mide 9 cm . 2
A
B
¿Cómo te afectaría no conocer la fórmula si tuvieras que resolver varios ejercicios como el anterior? Coméntalo con tus compañeros.
Estimar, medir y calcular
Es común ver triángulos y cuadriláteros en muchas cosas que nos rodean, como construcciones, muebles, juguetes, etc. La imagen anterior muestra una fotografía del zócalo de la Ciudad de México, que es la plaza más grande e importante de nuestro país. El zócalo es una explanada cuadrangular de 240 metros de lado; por tanto, su área es de 57 600 metros cuadrados, lo que la convierte en la segunda plaza pública más grande del mundo. • • • • •
Como resultado del estudio de este bloque se espera que: Resuelvas problemas que implican efectuar divisiones con números decimales. Resuelvas problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x a b; ax b c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. Resuelvas problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: porcentaje cantidad base tasa. Resuelvas problemas que implican el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Expliques la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
111
Lección 15
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa II
E n la lección 6 del primer bloque iniciaste el estudio de las relaciones de proporcionalidad directa. En esta lección aprenderás a identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contextos. Este dibujo, titulado Las proporciones del hombre, procede de un cuaderno de apuntes de Leonardo da Vinci (1452-1519). En él se muestra un estudio anatómico que busca la proporcionalidad del cuerpo humano o el ideal de belleza. Para este dibujo, Da Vinci se basó en las teorías de Marco Vitrubio, arquitecto romano del siglo I a. n. e., quien en su obra sobre arquitectura dice que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como si gue: 4 dedos hacen 1 palma y 4 palmas hacen 1 pie; 6 palmas hacen 1 codo y 4 codos hacen la altura del hombre; 4 codos hacen 1 paso y 24 palmas hacen un hombre. Las medidas que te mencionamos son las que Marco Vitrubio usaba en sus edificios.
112
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa II
113
Para aprender El rompecabezas Aquí se tiene un rompecabezas construido con 4 piezas ( A, B, C y D). 3 cm
m c 3
4 cm
A
B
m c 5
C
D
2 cm
1 cm
En equipos de 3 personas fabrica un rompecabezas semejante con las mismas 4 piezas, pero ahora de diferente tamaño. El segmento que mide 3 centímetros ahora medirá 5 centímetros en tu nuevo rompecabezas. Con esta condición, ya tienes la pieza A del nuevo rompecabezas: un cuadrado de 5 cm 5 cm.
Paso 1 Recorta el rompecabezas original y reparte las piezas B, C y D, entre el equipo. Paso 2 Cada integrante debe calcular las dimensiones de su pieza en el nuevo rompecabezas. • ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva pieza B? _________________________ • ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva pieza C? ________________________ • ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva pieza D? ________________________ • ¿Qué operaciones realizaste para hallar las dimensiones? Anótalas en tu cuaderno.
Paso 3 Reúne las nuevas piezas para formar el rompecabezas. • Dibuja en tu cuaderno tu nuevo rompecabezas, indicando las nuevas dimensiones de cada pieza. Si el rompecabezas no queda semejante al original, discute con tu equipo las estrategias utilizadas e inténtenlo de nuevo.
114
Bloque 3
Los conocimientos Dos cantidades son directamente proporcionales si al multiplicar una, varía también la otra en el mismo factor. Ejemplo: Un dulce vale 7 pesos, entonces 9 dulces valen 9 7 (pesos) 63 (pesos). El número por el cual se multiplican ambas cantidades puede ser entero, fraccionario o decimal. Si una dieta de 3 000 kilocalorías precisa de ciertos ingredientes, ¿qué cantidad de proporciones requerirías para formar otra dieta de 2 000 kilocalorías? Hay técnicas que puedes emplear para resolver estos problemas. Una muy conocida es la llamada regla de los extremos y los medios de las proporciones. Ésta dice que si 3000 2 000
3 2
entonces 3 000 2 2 000 3 O, equivalentemente, que en las proporciones se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios: 3 000 : 2 000 : : 3 : 2 Medios Extremos De este modo, si multiplicas a 3 000 por multiplicas cada ración por
2 3
2 3
resultará 2 000 y, equivalentemente, si
, tendrás la nueva dieta.
Los métodos La regla de tres Si un cuadrado cuyo lado mide 2 centímetros tiene un perímetro de 8 centímetros, ¿cuál es el perímetro de un cuadrado de 3 centímetros de lado? Expresado en proporciones, tenemos
2 8
3
(2 centímetros de lado son a 8 centímetros de perímetro, co-
mo 3 centímetros de lado son a centímetros de perímetro). La regla de tres consiste en multiplicar 8 centímetros de perímetro por 3 centímetros de lado y dividimos entre 2 centímetros de lado: 2 centímetros de lado 8 centímetros de perímetro
3 centímetros de lado ¿? centímetros de perímetro
divide multiplica
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa II
115
El resultado es la cantidad faltante:
(8 centímetros de perímetro) 3 centímetros de lado (2 centímetros de lado)
12 centímetros de perímetro
Sin importar dónde esté la cantidad faltante dentro de una igualdad de razones proporcionales, al aplicar la regla de tres su valor debe ser el mismo: 2 centímetros de lado 8 centímetros de perímetro
3 centímetros de lado ¿? centímetros de perímetro
divide multiplica
o bien, ¿? centímetros de perímetro 3 centímetros de lado
8 centímetros de perímetro multiplica 2 centímetros de lado
divide
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La semana pasada llegó el proveedor de La Pape de Pipo con 10 plumas y cobró por ellas $5.00. Si esta semana sólo trae 2, ¿cuánto debe cobrar a la tienda? _______ 2. Éste es el plano de la casa de Andrés. Cada centímetro del plano es un metro y medio de la casa. Mide cada estancia del plano y registra en la tabla los tamaños reales de cada una.
Dormitorio 2 Baño Dormitorio 1 Pasillo alón
S
Ta ma ño en el dibujo Dormitorio 1 Dormitorio 2 Baño Cocina Salón Pasillo
Cocina
Tamaño real
116
Bloque 3 3. Tras las elecciones de julio de 2006, se deben pintar de blanco los muros que los diferentes partidos utilizaron para sus campañas electorales. Para pintar 1 m se requiere de medio litro de pintura. Completa esta tabla para que cada municipio haga la solicitud de pintura necesaria, de acuerdo con los metros cuadrados que requiera pintar. 2
Metros cuadrados
Litros de pintura
1
1 — 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. Un automóvil que circula regularmente a la misma velocidad ha recorrido 80 km en una hora.
¿Podrías calcular su recorrido en una hora y media, en dos horas y en dos horas y media? Anota las respuestas en tu cuaderno.
Ejercicios para consolidar los conocimientos Anota todas las respuestas en tu cuaderno. 1. Si con la llave del agua abierta por 10 minutos el depósito ha subido 35 centímetros, ¿cuánto tiempo más debe permanecer abierta la llave para que el nivel suba a 70 centímetros?
¿Qué nivel alcanzará al minuto 28? 2. Adriana pintó una pared de 3 m con una mezcla de un litro de pintura azul y medio litro de pintura rosa. Si ahora quiere pintar una pared de 1 m , ¿cuánta pintura azul y cuánta pintura rosa necesita para que le queden ambas paredes del mismo color? 2
2
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa II
117
3. ¿Qué harías para calcular el tamaño de un pino con una regla de 30 centímetros?
• Imagina que a cierta hora del día colocas la regla frente al árbol, de tal manera que su sombra termina en el mismo punto en el que termina la sombra del árbol. • La sombra del árbol mide 1 m (100 centímetros) y la distancia de la regla hasta 1 donde termina la sombra es de 7 centímetros (sombra de la regla) 2
• Si los tamaños son proporcionales Tamaño de la regla Tamaño de su sombra ¿cuánto mide el árbol?
Tamaño del árbol Tamaño de su sombra
• Si realizaras este experimento a otra hora del día, ¿qué crees que suceda? ¿Cuáles medidas cambian y cuáles se mantienen? 6
5
4
3
2
1
Sombra de la regla
Sombra del árbol
Ejercicio de profundización 1. En la dulcería del cine venden a granel 100 gramos de cualquier golosina por $25.00. Con base en los datos dados completa la tabla con la cantidad que debe pagar cada niño o niña.
Niño
Golosina
Total a paga r
Carla
100 grs.
$ 25.00
Raúl
120 grs.
$
Samuel
140 grs.
$
Mariana
160 grs.
$
Andrés
180 grs.
$
Lupita
200 grs.
$
118
Bloque 3
Ejercicios de síntesis 1. Forma cuatro razones proporcionales diferentes con las siguientes razones: 1 2
;
2 5
;
6 15
3
;
7
1
;
3
;
9 ; 21
50 100
;
5 15
2. Calcula los valores faltantes en cada razón proporcional: a) b) c)
1 2 2 26 6 24
7
45
21
d) e) f )
6
4 5
24
2
g)
5 3
h) 40
60
i)
1 3 11 20 15
7
21 33 21
3. Tienes ahora dos espacios. Construye razones proporcionales usando los valores que te damos. a) b)
4
24
9
54
c) d)
24
2
54 8
e) f )
9
2
25
50
4. ¿Conoces otras situaciones que puedes resolver con lo que aprendiste en esta lección?___________________________________________________________________
Comparte tu respuesta con tus compañeros.
Lección 16
Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores constantes de proporcionalidad
E n esta lección aprenderás a usar las cantidades proporcionales, aplicando factores constantes en diversas situaciones.
El Programa de Educación, Salud y Alimentación (Progresa) fue una de las estrategias del gobierno para intentar aliviar las condiciones de pobreza extrema de las áreas rurales y ampliar sus oportunidades de desarrollo. El informe presenta un cuarto estudio sobre el impacto del Progresa en la inscripción a la secundaria, donde se indica que la mayoría de los becarios del Progresa a nivel secundaria acuden a telesecundarias (72%) y que, gracias al programa, el número de inscritos en esta modalidad se ha incrementado considerablemente. Mientras que durante 1996-1997 habían, en promedio, 57 becarios del Progresa por telesecundaria, en 19992000 el promedio fue de 70; en tanto que, en el mismo periodo, el número de estudiantes no beneficiados se mantuvo constante (53 alumnos por telesecundaria). Además, también en telesecundaria, la proporción de niñas inscritas tendió a equilibrar a la de niños, al pasar de una proporción de 82 por cada 100 niños a una pro porción superior a 90, lo que no hace sino reflejar la compensación de género que forma parte del diseño del programa. Por otra parte, este estudio, con una metodología distinta del primero, confirma la observación de que el Progresa incrementa hasta en 12 por ciento la probabilidad de que un estudiante en condiciones de pobreza logre ingresar a la secundaria.
119
120
Bloque 3
Para aprender Actividad 1 El lugar en el que habito Víctor Manuel vive en un edificio en Acapulco. Un plano del departamento se muestra enseguida:
RECÁMARA 1
BAÑO ESTANCIA COCINA COMEDOR
En este croquis un centímetro corresponde a un metro. ¿Cuánto mide la longitud de los lados de su recámara? _____________________________ ¿Cuál es el área total del departamento? _____________________________ a) Investiga, pregunta o calcula la medida del área del lugar en que vives. b) En tu libreta elabora un bosquejo de la superficie del lugar que habitas; utiliza la escala 1:200 y un croquis como el de Víctor Manuel.
Esta escala de 1:200 quiere decir que por cada 200 cm (que es lo mismo que 2 metros) del tamaño real del lugar que habitas, dibujarás en tu libreta 1 cm. ¿Cuál es el área real de la superficie del lugar en que vives? ________________ c) El área del departamento de Héctor, un amigo de Víctor Manuel, mide la tercera parte del que habita Víctor Manuel. ¿Cuál es su medida? Dibuja en tu cuaderno el departamento con la escala adecuada. d) Si el área del departamento de Héctor fuese el doble del que habita Víctor Manuel, ¿qué superficie tendría? __________________________________________
Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores
121
Actividad 2 El menú del día: 1 250 kilocalorías Día uno
Desayuno 3 • — de taza de cereal de maíz 4 • Una taza de leche • Medio plátano A media mañana • Un pan de caja, con 15 g de jamón y una cucharita de mayonesa • Agua de sabor • Una manzana Comida • Sopa de verduras • Una hamburguesa pequeña de carne, sin grasa • Un pan de hamburguesa y una cucharita de mayonesa, mostaza y catsup • Ensalada de zanahoria • Medio plátano • Agua fresca Cena • Una quesadilla • Ensalada de espinacas con aderezo • Una ración de papaya • Café o té
A continuación se te presenta una tabla que contiene la cantidad de kilocalorías que debe consumir un estudiante que tenga entre 11 y 18 años de edad.
Hombre s
Ligera
Moderada
Intensa
11-14 años
2 200
2 500
2 800
15-18 años
2 450
2 750
3 100
Mujeres
Ligera
Moderada
Intensa
11-14 años
1 800
2 200
2 500
15-18 años
1 950
2 350
2 750
Elabora una dieta de acuerdo con la cantidad de kilocalorías según tu edad y género en la tabla anterior. Utiliza la tabla de kilocalorías mostrada arriba.
122
Bloque 3
Los conocimientos Factores de proporcionalidad Podemos determinar la proporcionalidad, siempre que se establezca la igualdad entre dos razones como sigue: a b
c
d
Los factores de proporcionalidad también determinan qué tan grande o pequeña es una cantidad respecto de otra. Imaginemos que la población de estudiantes en la escuela secundaria aumentó en el presente periodo escolar el doble con respecto a la de hace diez años. Esto quiere decir que el factor de proporcionalidad constante entre la cantidad de alumnos de hace diez años y la actual será 2, mientras que si la población estudiantil hubiese disminuido a la mitad, el factor de proporcionalidad sería
1 2
.
Esta tabla indica la cantidad de estudiantes que hay en dos diferentes momentos.
Gene ración de hace diez años
Ge neración actual
250 estudiantes
400 estudiantes
En este caso, la cantidad de estudiantes aumentó de 250 a 400, así que la razón es de
40 25
, o bien
8 5
.
Si la cantidad de estudiantes hubiera disminuido de 250 a 50, ¿cuál sería el factor de proporcionalidad?
Escalas La representación a escala de un objeto es una muestra del planteamiento de razones y el uso de las proporciones. Por ejemplo, si tenemos un mapa de una cierta región geográfica podemos calcular las distancias entre regiones. Esto también se puede aplicar en el diseño de calles y edificios, entre otros.
Los métodos Regla de tres Tenemos una figura cuya área es de 39 cm . Queremos saber cuánto valdría el área de 2
una parte de este terreno que fuese dad de centímetros cuadrados.
1 3
del original. Contestemos empleando la uni-
Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores
123
El valor que buscamos se puede obtener mediante el método de la regla de tres, que ya estudiaste en la lección 15. Primero, establecemos las razones: 39 es el área total. la cantidad del área que nos falta. 1 3
es la porción que tomamos del total.
1 es la porción total del terreno. La igualdad de razones, de áreas y porciones nos queda de la siguiente forma: 39
1 1 3
Apliquemos ahora la regla de tres, que ya hemos visto previamente y lo que resulta lo dividimos entre 1.
1 3
39
,
Tenemos una multiplicación de fracciones y el resultado de esta operación es 13 cm . Ahora, si esta cantidad aumentara el doble en vez de disminuir la tercera parte, quiere decir que: 2
es la nueva cantidad después del aumento. 13 es la cantidad que ahora tenemos. 2 es la proporción que incrementa con respecto al total, es decir, 1. Si establecemos las razones de igualdad, nos queda: 13
1 2
De nuevo aplicamos la regla de tres, resultando 2 13 y lo que se obtiene 26, lo cual quiere decir que el área aholo dividimos entre 1. Por tanto, nos queda ra es 26 cm . 2
Método para determinar escalas Ejemplo: En una tienda de artesanías se compró una litografía del autorretrato titulado Autorretrato con sombrero de fieltro gris, 1887-1888 de Vincent Van Gogh, cuya escala es de 1:10. Deseamos saber cuáles con las medidas reales de la pintura original.
124
Bloque 3 Primero, establecemos la razón entre las cantidades de referencia por cada centímetro. Existen 10 centímetros del original y un lado de la litografía mide 4.4 centímetros. Establecemos la proporción de la siguiente forma: 1 cm 10 cm
4.4
Efectuamos la igualdad de razones para obtener la cuarta proporcional, elaborando la regla de tres. Por tanto, un lado del cuadro original mide 44 centímetros.
Para hacer Ejercicios fundamentales Anota todas las respuestas en tu cuaderno. 1. Si el área total de la litografía del autorretrato de Vincent Van Gogh es 16. 5 cm ¿cuáles son las dimensiones reales del autorretrato original?
2
2. Un triángulo tiene dimensiones de 4, 7 y 9 centímetros de longitud en sus lados, respectivamente. Si crecen proporcionalmente, de manera que el de 4 centímetros ahora es de 6 centímetros, ¿cuánto miden los otros lados?
Determina cuál es el factor de proporcionalidad en el que aumentan las longitudes de los lados del triángulo. 3. Los lados del triángulo ahora tienen 2.5, 6.2 y 7.25 cm de longitud. Si se modifican proporcionalmente, y el lado de 2.5 cm ahora es de 6 cm, ¿cuánto miden los otros lados? 4. Un automovilista conduce a una velocidad de 130 km/h. Si la incrementó en ¿cuál era su velocidad original?
3 4
,
5. En un grupo de la escuela secundaria hay 13 mujeres y 15 hombres. Determina la razón existente entre mujeres y hombres. ¿Cuál sería la proporción si la cantidad de hombres y mujeres aumentara al triple de su valor original? 6. En un recipiente de leche parcialmente descremada está impresa la siguiente información. Las cantidades de kilocalorías que contienen cada 100 gramos son:
Kilocalorías
115
Carbohidratos (gramos)
10.4
Proteínas (gramos)
5.0
Elabora una tabla en la que obtengas la cantidad de carbohidratos y proteínas si tomamos 30 gramos de leche.
Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores
125
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Diseña en tu cuaderno una tabla que tenga por cada entrada el doble de la tabla que se muestra:
Tabla
Si la tabla que se presenta es el doble de otra, ¿cómo era la tabla en la que se basó?
2 3
Elabora en tu cuaderno.
2.5
2. Intenta hacer los siguientes ejercicios de manera mental. A partir de una tabla dada, cómo obtendrías otra cuyas entradas sean: a) Doble. b) Triple. c) Cuádruple (por cuatro). d) De la mitad. e) De la tercera parte. f ) De la cuarta parte. g) De dos terceras partes. h) De tres medios.
7.5 4 1
3. Si tenemos como resultado de una operación al número 49, y éste es 7 veces la cantidad original, ¿cuál es la cantidad original? Plantea la proporción que corresponde. 4. Si el número 25 disminuye
2 3
de su valor, ¿cómo queda ahora?
5. Un albañil sabe que con 4 botes de arena y 5 botes de grava hace una buena mezcla: a) ¿Cuántos botes de arena necesita para tener 27 botes de mezcla? b) ¿Cuántos botes de arena y grava debe ocupar si requiere de 3, 12, 18, 21, 27, 30, 33, 36 y 45 botes de mezcla?
Llena los espacios de la siguiente tabla con la información que se solicita.
Botes de mezcla
3
9
Botes de arena
4
Botes de grava
5
12
18
21
27
c) Con los datos obtenidos, elabora una gráfica como se indica a la derecha:
30
33
36
45
Número de botes de mezcla Número de botes de arena
126
Bloque 3
Ejercicios de profundización Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Los inspectores de una fábrica rechazaron 20 piezas defectuosas. Si esta cantidad
representa
1 5
de la producción diaria, ¿de cuánto es la producción por día?
2. La siguiente tabla presenta tres columnas. En una se encuentra la lista de los productos, en la siguiente sus precios y en la tercera los precios de oferta durante la barata. En dicha tabla faltan los costos de algunos productos. Obtén las cantidades que hacen falta y la proporción de descuento que se efectuó en dicha barata.
Producto
Precios
Precios de barata
Crema
$30
$20
Zapatos
$180
Blusa
$150
Calcetas
$50
Total
$485
Ejercicios de síntesis 1. Investiga en el banco cuál es la cotización del dólar y del euro. Contesta después las siguientes cuestiones:
Si 800 pesos equivalen a _____ dólares y 100 pesos tienen el mismo valor que ____ euros, ¿cuántos dólares valen lo mismo que 100 euros? _______________________ 2. Al aumentar en la misma proporción la longitud de los lados de un cuadrado, su
área se incrementa en
3 6
de su tamaño. ¿Qué tanto se ampliaron sus lados? ______
3. Un pedazo rectangular de piel mágica se reduce a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho después de cumplirle un deseo a su dueño. Después de tres deseos tiene un área de 4 cm . Si su ancho inicial era de 9 cm, ¿cuál era su largo inicial? __________________________________________________________ 2
4. Rosa Elena, una compañera de tercer año, va a ocupar una receta para elaborar un pastel de zanahoria. Sólo tiene un problema: la receta dice que es para 10 personas y ella quiere hacerlo para 25. ¿Qué le sugieres que haga? ________________
______________________________________________________________________
Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores
127
Ingredientes
• 2 tazas de azúcar • 1
1 2
tazas de aceite de cocina
• 4 huevos • 1 cucharadita de sal • 2 cucharaditas de bicarbonato • 1 cucharadita de canela • 3 tazas de zanahoria rallada • 2 tazas de harina • 1
1 2
tazas de nueces picadas
Preparación: Mezclar todos los ingredientes secos. Combinar azúcar y aceite; luego añadir uno por uno los huevos y finalmente agregar todos los ingredientes secos. Hornear a 350 grados por una hora.
5. Ahora determina las kilocalorías de una dieta con las muestran: a) De 1 000 kilocalorías. b) De 3 000 kilocalorías.
3 4
partes de calorías que se
Lección 17
División de fracciones
E n esta lección aprenderás a hacer divisiones con números fraccionarios y decimales, así como a resolver problemas que implican división de tales números en diferentes contextos.
3 2 5
3 7
21
2 5
10
7
Los planetas giran a diferentes velocidades alrededor del Sol. Se sabe que la Tierra recorre el espacio interplanetario aproximadamente 2.3 veces más rápido que Júpiter y 4.4 veces más que Urano.
128
División de fracciones
129
Para aprender Actividad 1 Otro rompecabezas El rompecabezas que se presenta tiene algunas medidas de sus elementos en centímetros. Hay que construir un rompecabezas igual a éste, pero reducido, atendiendo a la regla siguiente: el segmento que mide 3.2 cm en el modelo deberá ser de 1.6 cm en su reproducción. Es necesario fabricar el rompecabezas entre los miembros de un equipo (3 o 4 integrantes); cada integrante debe hacer una o dos piezas. Después de una breve discusión en equipo, los alumnos se separan y comienzan a construir individualmente sus piezas.
4
4.8 4.8
1.6
5.6
5.6
7.2
3.2
5.6
1.6
4
1.6
Compara esta actividad con la realizada en la Lección 6. Comenta con tus compañeros las similitudes y diferencias entre ambas.
Actividad 2 Tortitas de carne y ejotes en caldillo En la sección Platillo sabio que se incluye en la página de Internet de la Procuraduría Federal del Consumidor (http://www.profeco.gob.mx/html/psabio/psabio.htm), está la siguiente receta para cocinar Tortitas de carne y ejotes en caldillo (seis porciones). Tortitas de carne y ejotes en caldillo (6 porciones)
Ingredientes: 1 4
kg de carne de res cocida y deshebrada
3 huevos (separar las yemas de las claras) 1 cucharada de harina de trigo 1 2
taza de pan molido
2 jitomates 1 4 1 2
kg de ejotes picados y cocidos cebolla
2 dientes de ajo 1 4
de taza de aceite
3 tazas del caldo de cocción de la carne Sal y pimienta al gusto
130
Bloque 3 Procedimiento: 1. Se licuan los jitomates con los ajos y la cebolla. Se fríen y se les agrega el caldo, se sazonan con sal y pimienta y se dejan hervir a fuego bajo durante cinco minutos. 2. Se baten las claras a punto de turrón. 3. Se agregan a las claras las yemas y la harina y se sigue batiendo. Luego, se incorporan la carne, los ejotes, el pan molido, la sal y la pimienta. 4. Con la preparación anterior se forman las tortitas, se fríen en el aceite caliente y se dejan escurrir para eliminar el exceso de grasa. 5. Al momento de que se sirven las tortitas, se añade el caldillo.
a) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar tres porciones de Tortitas de carne y ejotes en caldillo. Anota la respuesta en tu cuaderno. b) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar dos porciones de Tortitas de carne y ejotes en caldillo. Anota la respuesta en tu cuaderno.
Actividad 3 Balanza de fruta A continuación, hay una tabla relativa al peso de diversas frutas.
Plátano Dominico ( Musa regia) 60 gramos (0.060 kg)
Papaya (Carica papaya) 2.2 kg
Manzana ( Malus domestica Borkh) 200 gramos 0.2 kg
Dátil (Phoenix dactylifera) 8 gramos (0.008 kg)
Guayaba (Psidium guajava) 90 gramos 0.09 kg
Sandía (Citrullus lanatus) 6 kg
Uva (Vitis vinifera) 1.2 gramos (0.0012 kg)
Plátano ( Musa sapientum) 200 gramos 0.2 kg
División de fracciones
131
Imagina que usamos una balanza donde ponemos un tipo de fruta en cada lado. Responde las siguientes preguntas realizando los cálculos necesarios e interpreta el resultado correspondiente para dar cada respuesta. Anota la respuesta en tu cuaderno. 1. ¿Cuál es la fruta más pesada? ¿Y la menos pesada? 2. ¿Cuántas uvas pesan lo mismo que una guayaba? 3. ¿Cuántos dátiles pesan lo mismo que un plátano? 4. ¿Cuántas manzanas pesan lo mismo que una sandía? 5. ¿Cuántos dátiles pesan lo mismo que una guayaba? 6. ¿Cuántos plátanos dominicos pesan lo mismo que una papaya? 7. ¿Cuántas uvas pesan lo mismo que tú?
¿Para dar las respuestas fue necesario partir las frutas? Especifica en qué casos y en cuántas porciones.
Los conocimientos División de un número fraccionario o un número decimal entre un número natural Uno de los significados de la palabra dividir es distribuir (repartir entre varios). Al momento de dividir un número decimal entre un número natural, este significado se con4
serva. De esta manera, calcular
0.4
4
entre 2, es decir que
0.4 2
10 2
2 2 5 2
10 2 1 5
2
5 2
es lo mismo que repartir
2 5
de algo
.
Si el numerador de la fracción no es divisible entre el entero, bastaría con encontrar una fracción equivalente donde esto sí ocurriera. Es posible realizar las Actividades 1 y 2 calculando las divisiones de un decimal o un número fraccionario entre un número natural.
División entre números naturales, números decimales y fraccionarios Otro de los significados de la división es calcular cuántas veces una cantidad, llamada dividendo, contiene a otra, llamada divisor. Este significado se da al dividir un número natural entre un decimal o fraccionario, o en la división entre dos números decimales o fraccionarios.
132
Bloque 3 División de un número natural entre un fraccionario o decimal 5
Para realizar la división • Calcular • Como
5
se puede hacer lo siguiente: 1
es lo mismo que calcular cuántas veces cabe
0.25
5
0.25
20
, calcular cuántas veces cabe
4
1
nar cuántas veces cabe
4
en 5 es lo mismo que determi-
20
en
4
1
en 5.
4
4 20
1
• Como
4
cabe 20 veces en
20 4
, tenemos que
5 0.25
5
25 100
5 1
4
4 1
20
4
División entre números fraccionarios y números decimales 1
Calcular 1 2
2 4
2 1
1
es lo mismo que preguntarse cuántas veces cabe 1
4
2 1
, tenemos que
4 1
1.25
2 5
2
. Como
2
.
4
5 2.5
1
2
4
Ejemplo:
4
en
10
4
4 5
2
4
Las divisiones no tienen porqué dar como resultado números enteros; por ejemplo, cuando el denominador es mayor que el numerador. En este caso, se interpreta la división como otra división. Así, determinar cuántas veces cabe preguntarse cuánto cabe
2 6
en
1
2 en 3. De esta manera,
2 1 3
3 6
1 3
en
1 2
es lo mismo que
, que es lo mismo que precisar cuántas veces cabe el
3
6 2
3 2
1.5
6
Asimismo, determinar cuántas veces cabe
5 7
en
3 2
es lo mismo que preguntarse 3
cuánto cabe
10 14
en
21 14
, o bien cuánto cabe el 10 en el 21. Entonces,
2 5 7
3 7 2 5
21 10
2.1
División de fracciones
133
Los métodos División de dos números fraccionarios La división de dos números fraccionarios da otro número fraccionario, cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Ejemplos: 17 1 2 5 7
1 7 2 5
54
5 3 10 4
7 10
25
5 4 10 3
20 30
2 3
3 10
División de dos números decimales Para dividir dos números decimales, se transforma cada número decimal a su representación como número fraccionario y se aplica el método 1. Ejemplo: 0.4 0.8
4 10 8 10
12
5
4 5
10 1 0.5 20 2
División de un número fraccionario o decimal entre un número natural Para dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural, se representan los números enteros y los decimales como fracciones y se utiliza el método 1. Ejemplo: 3 2 5
3
2 5 1
3 1 2 5
3 10
0.3
134
Bloque 3 Contacto con el álgebra
Un número fraccionario, o cociente de dos números naturales cualesquiera, puede representarse de la forma
n m
,
el cual puede leerse como un número natural n entre otro natural m. Se utilizan dos letras, m y n, para dar a entender que los dos números naturales son distintos, aunque podrían ser iguales. El procedimiento para calcular la división de dos números fraccionarios es el siguiente: n m r
n s m r
s
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Calcula las siguientes divisiones. 7
a)
3 5
3
c)
8
2 9
2
e)
4
7 2
3
1
b)
7 1
d)
2 4
f )
2
1.5 1
4
2. Realiza las siguientes divisiones. a) b)
0.8 4
2 0.25
c) d)
1.2 0.8
e)
1.1 0.001
f )
6 0.25 0.49 7
4
3. Una ración (100 mg) de pollo en adobo aporta 43 mg de colesterol a nuestro cuerpo. El médico le ha recetado a la señora Rita que no consuma más de 1 g de colesterol al día porque tiene problemas con su circulación sanguínea, ¿cuántas raciones de Pollo con adobo puede comer? __________________________________ 4. Miriam tenía un jarrón de vidrio en una vitrina. En un fin de semana Miriam decidió utilizar su jarrón pero, al sacarlo de la vitrina, éste cayó al suelo rompiéndose en tres partes: una de ellas era exactamente la mitad del jarrón y otra, la cuarta parte de la otra mitad. ¿Qué fracción del total representa la última parte?
División de fracciones
135
5. La siguiente tabla indica las distancias de los planetas con respecto al Sol, tomando como unidad la distancia promedio del Sol a la Tierra, conocida como UA (Unidad Astronómica).
Pla neta
Distancia al Sol (UA )
Mercurio
0.3871
Venus
0.7233
Tierra
1.0000
Marte
1.5237
Júpiter
5.202
Saturno
9.554
Urano
19.218
Neptuno
30.110
En tu cuaderno resuelve: a) ¿Cuál es el planeta más cercano al Sol? ¿Y el más lejano? b) ¿Cuántas veces está más alejado Neptuno que Mercurio? c) ¿Cuántas veces está más alejado Urano que Venus? d) ¿Estima cuántas veces está más alejado Urano que Júpiter? e) Si las
5 8
partes de un número es 12.5, ¿cuál es el número entero?
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Tomando en cuenta que la división entre dos números consiste en calcular el número de veces que cabe el denominador en el numerador, en tu cuaderno argumen-
ta por qué la siguiente igualdad es verdadera:
4 1.25
3.2
2. Realiza lo mismo que en el ejercicio anterior, pero ahora con la igualdad 5 7 8
5 9 7 8
45 56
9
3. Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: Multiplicar un número por 2 es lo mismo que dividirlo por
1 2
.
136
Bloque 3 4. Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: Dividir un número por 2 es lo mismo que multiplicarlo por
1 2
.
Ejercicios de profundización 1. Realiza en equipo una reducción del rompecabezas que se presentó en la Actividad 1, atendiendo a la regla siguiente: el segmento que mide 3.2 cm en el modelo deberá medir 2.4 cm en su reproducción. 2. Una llave de agua llena un tanque vacío en 4.5 horas y otra lo hace en 2.8 horas. Si una persona abre ambas llaves al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque? ________________________________________________________________ 3. En dos jarras iguales hay una mezcla de agua con jugo de naranja. En una de las jarras la proporción es de 4:9; es decir, de 4 partes de agua y 9 de jugo de naranja, mientras que la proporción de la otra es de 3:5. En proporción, si mezclamos el contenido de ambas jarras, ¿cuántas veces más o menos jugo de naranja habrá en la mezcla, en comparación con las dos jarras? ________________________________ 4. Gisela ha impreso una imagen para colocarla en el periódico mural que ha elaborado con sus compañeros de clase. Sin embargo, al notar que el tamaño de la impresión es mayor que el espacio reservado para colocarla, decide reducirla con una proporción de 1:2; como aún no se ajusta, la reduce nuevamente con una proporción de 3:4. ¿Cuál es la reducción total que hizo a la fotografía original?
____________________________________
Ejercicio de síntesis 1. De acuerdo con una nota del periódico La Jornada, en su edición del martes 18 de enero de 2005, informes de la Comisión Económica para América Latina (Cepal)
afirman que la quinta parte de población en esta región concentra
3 5
partes de la
riqueza. Dentro de América Latina, México sobresale por su desigualdad, ya que en la décima parte de los habitantes se concentra aproximadamente de
1 20
2 20
del ingreso total. Además,
parte de la riqueza del país está en manos de 11 mexi-
canos (de un total de aproximadamente 100 millones). • Comenta con tus compañeros sobre la manera en que está distribuida la riqueza en Latinoamérica y en México. 2. ¿Qué otros problemas puedes resolver dividiendo números fraccionarios? Discútanlo por equipos y compartan sus respuestas.
Lección 18
Ecuaciones
E n esta lección aprenderás a resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado.
Ésta es una fotografía del papiro de Rhind escrito por los egipcios antiguos. Se estima que este documento data del año 1650 a.n.e., en él se plantea un problema equivalente a lo que hoy conocemos como ecuación lineal. “Calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19”. Los egipcios llamaban aha a cierta cantidad de objetos reunidos (montón). Imagina el texto sustitu yendo el aha por la expresión “cantidad”.
Para aprender Actividad 1 Balanzas y balancines La balanza es un instrumento que es utilizado para comparar los pesos de objetos, es decir, pesarlos. Una balanza tiene las siguientes partes: • Las pesas son barras de metal con diferentes ma1 1 2 sas, por ejemplo 2 kg, 1 kg, kg. 1 kg 2
• Dos platillos recipientes, de metal o madera. • Un balancín, barra de metal o madera apoyada en equilibrio en su punto medio.
2 kg
137
138
Bloque 3 Si se desea pesar un kilogramo de arroz se coloca la pesa de un kilogramo en uno de los platillos y en el otro se va agregando arroz hasta que los dos platillos de la balanza estén equilibrados a la misma altura.
De aquí en adelante escribiremos números para hacer referencia a la masa de las pesas. Supón que tienes una pesa de cuatro kilogramos en el platillo izquierdo de una balanza. Para que los platillos estén a la misma altura podemos colocar dos pesas de dos kilogramos en el platillo derecho o bien una de un kilogramo con una de tres kilogramos. El signo “” se utiliza para indicar que se ha agregado la pesa a la derecha del signo. Observa los dibujos de las siguientes balanzas, en ellas hay una pesa misteriosa cuya masa se desconoce y la cual hace que los platillos estén equilibrados a la misma altura, obtén su valor en cada caso.
6?
0.5 ?
20
1
3 ?
5
Actividad 2 Balanzas y ecuaciones A partir de ahora se hará referencia al valor de la masa desconocida con la letra x. Con esta consideración, cada una de las situaciones de las balanzas de la actividad anterior puede escribirse como igualdades, llamadas ecuaciones, de la siguiente manera:
6?
20
6 x 20
0.5 ?
1
0.5 x 1
3 ?
5
3x5
A continuación, utilizando ecuaciones descritas como situaciones de balanzas, encuentra el valor de x. Debes encontrar una para cada ecuación. • 5 x 34
• 2.5 x 4
• 0.25 x 0.5
Ecuaciones
139
Con base en los tres ejercicios anteriores, ¿podrías encontrar un método para resolver la ecuación y encontrar el peso de x? En caso de que no logres encontrar un método o regla, abórdalo con otra estrategia y discútelo con tus compañeros y tu profesor.
Actividad 3 Los “recuerdos” de una calculadora Algunas calculadoras pueden “recordar” en el sentido de que “almacenan números” en su memoria. Una función que les permite obtener el número guardado cuando se desee. . . ¡igual que cuando recordamos! Para que la calculadora realice lo que se desea, se le debe “hablar” en su lenguaje, esto es semejante a cuando le hablas a una persona que habla otro idioma, si lo haces correctamente, te entiende. En la Pantalla 1, se muestra la orden dada a una calculadora, en su lenguaje, para guardar el número 10 en la memoria llamada Número. Mientras que en la Pantalla 2 se muestra cómo en la memoria nombrada Cantidad se ha guardado el número decimal 2.5.
Pantalla 1
Pantalla 2
Para indicarle que muestre el número guardado, únicamente se debe escribir el nombre de la memoria. En este caso es Número y Cantidad. Si se escribe la expresión: 2 Número, la calculadora hará esa operación y mostrará el resultado, observa estos pasos en la Pantalla 4.
Pantalla 3
Pantalla 4
Completa las siguientes tablas contestando qué cantidad se guardó en la memoria Número (columna 1) y produjo los resultados en las segundas columnas. Explica para cada caso, ¿cómo encuentras el resultado?
Tabla A Número
Tabla B
2 Número 50 10 7 4 0.5
Número
Tabla C 120 Número
Número
Número 20
120
50
60
30
40
27
30
21
140
Bloque 3
Actividad 4 Una memoria x En la memoria Número se guarda el número cinco, y después a ésta se aplican las siguientes operaciones, se multiplica por tres y se suma dos, el resultado que muestra la calculadora es diecisiete, observa la Pantalla 5. Nota que en esta pantalla no se ha escrito el símbolo “” de multiplicación, se ha introducido la expresión “3 Número2”, la calculadora interpreta esa instrucción automáticamente como multiplicación 3 por Número.
Pantalla 5
Pantalla 6
Algunas calculadoras utilizan una única letra para llamar a sus memorias, en vez de llamarle Número a la memoria que se utiliza se le puede llamar x o cualquier otra letra o palabra. En la pantalla 6 usamos la letra x. En cada caso, completa las siguientes tablas encontrando el número que se guardó en la memoria y que produjo los resultados mostrados en la columna de la derecha. ¿Cómo encontraste los números faltantes en las tablas?
Tabla 1 x
Tabla 2
x5
x
x5
x
Tabla 4
x7
x
Tabla 5
x3
x
x 0.5
5
4
8
8
1
8
8
12
21
4
21
9.5
17
60
6
57
28
21
63
9
Tabla 6 x
Tabla 3
Tabla 7
4 x 1
x
Tabla 8
4 x 1
x
Tabla 9
3 x 1
x
Tabla 10
3 x 1
x
5 x 1
3
5
4
2
6
7
13
10
8
11
11
17
16
23
41
55
53
37
35
66
Ecuaciones
141
Actividad 5 En búsqueda de la igualdad En términos de ecuaciones, lo que hiciste en la Actividad 4 fue encontrar el valor de x que satisface, en cada caso, a la ecuación. Por ejemplo, en la tabla 9 resolviste las siguientes: 3x 1 2, 3x 1 8, 3x 1 23, 3x 1 35 En tu cuaderno plantea en forma de ecuación, los elementos de las tablas del 1 al 10 descritas en la actividad anterior.
Los conocimientos Ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación tiene al menos una letra llamada incógnita. 5x
10
25
Primer miembro
Segundo miembro
En el ejemplo, la letra x es la incógnita, la solución de una ecuación es el valor de la incógnita x que hace verdadera la igualdad. Es decir, en la ecuación 5 x 10 25, el valor 7 es la solución de la ecuación, pues al sustituir 7 en vez de x obtenemos 5 7 10 25, mientras que 3 (u otro número distinto de 7) no sería solución, porque 5 3 10 no vale 25. Considera otro ejemplo. La ecuación: 5x
10
25
Al colocar 7 en lugar de x y realizar las operaciones indicadas, observa que se cumple la igualdad, 5 7 10 25 35 10 25 25 25 Es posible resolver todas las actividades de la sección Para aprender planteando ecuaciones de primer grado y encontrando su solución.
Los métodos Caso 1
Para encontrar la solución de una ecuación de primer grado de la forma x , donde la letra x es la incógnita y , son números, se dan dos subcasos. Subcaso 1. Se suma el valor de
sola a la x de un lado de la ecuación.
en ambos miembros de la ecuación para dejar
142
Bloque 3 Ejemplo: resolver la ecuación: x
6
60
En este caso se suma 6 a los miembros de la ecuación x
6
6
60
6
La igualdad se conserva, pues al sumar o sustraer la misma cantidad en ambos lados de la expresión, se mantiene la igualdad. x
el valor obtenido es x
0
66
66
Subcaso 2. Se resta el valor de
en ambos miembros de la ecuación para dejar sola a la x de un lado de la ecuación. Ejemplo: resolver la ecuación: x
En este caso
10
25
10, entonces se resta 10 a ambos miembros de la ecuación x
10
10
25
10
La igualdad se conserva porque se ha restado lo mismo en ambos miembros. x 0 15 el valor obtenido es x 15
Caso 2
Para encontrar la solución de una ecuación de primer grado de la forma , x en donde y son números, podemos interpretar que x es el número de veces que cabe en
, es decir x
.
Ejemplo: resolver la ecuación: 6x
9
Podemos interpretar que x es el número de veces que cabe 6 en el 9, es decir, x
x
9 6
1.5
Es decir, 1.5 es la solución de la ecuación 6x
9.
Ejemplo: resolver la ecuación: 0.5x
3.5
En este caso podemos interpretar que x es el número de veces que cabe 0.5 veces en el 3.5, es decir, x
x
3.5 0.5
7
Ecuaciones
Caso 3
143
Para hallar la solución de una ecuación de primer grado de la forma , x en donde cada cuadrito es un número. Para resolver las ecuaciones de esta forma se procede primero como en el caso 1, para obtener y posteriormente x
se resuelve de acuerdo al caso 2 y se obtiene x
.
Ejemplo: resolver la ecuación: 5x
10
25
Se suma 10 a ambos miembros de la igualdad: 5x
10
10
25
10
La igualdad se seguirá conservando porque se ha sumado la misma cantidad en ambos miembros. Se tendrá lo siguiente: 5x
35
Ahora se procede como en el caso 2 para obtener: x
7
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Piensa en un número. Si lo divides entre 4 y le restas 10, obtienes 15. ¿Cuál es ese número? _________________________________ 2. Escribe el valor de x para cada uno de los casos:
Ejemplo
Tabla A
Tabla B
x
5 x
1
5
0.5
4
2
2
10
1.5
8
8
5
25
4
9.5
17
8
40
5.5
16
30.5
x
– x
Tabla C
1
x
2
x5
x
3 x 1
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: x
1
7
4x
x
7
5
x
5
0.5
0.5x
3
0.25
144
Bloque 3
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Construye una ecuación, para cada inciso, del tipo lor de x sea su solución y valga: a) 0.5 b) 7 c)
x
donde el va-
3 5
2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x b) 2x c) 4x
1 7 2
7 5 5
d) 15 50 x e) 2.5 3 x f ) 5 1 2x
3. El 15% de un número es 30, ¿cuál es el número? ___________________________ 4. Un número más uno da en total 19, ¿cuál es el número? ____________________ 5. Encuentra un número x que haga que la suma de x más su triple sea igual a 84.
______________________________________________________________________
Ejercicio de profundización 1. En una carrera a campo traviesa, los atletas corren
que,
1 4
por la pradera,
2 5
1 5
de la distancia por el bos-
por caminos rurales. El resto, por zonas pedregosas. Si
la competencia tiene un recorrido de 6 500 metros, ¿cuántos metros corresponden a la zona pedregosa? ______________________________
Ejercicios de síntesis 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 24 cm y su base mide el doble que su altura. Calcula su área. 2. Resuelve las ecuaciones: a 2.5 10.5;
1 2
b 3; 2c 3.5 5.5; d 5 2; 2.5e
12.5; 0.5 f 5 6 y completa la figura: a
b c
3 e
4 d
0 f
Ecuaciones
145
• El pago de una carta enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 10 gramos se cobran $5.00, con un valor fijo de partida de $10.00. ¿Cuál es el pago requerido para enviar una carta cuyo peso es de 80 gramos? Alejandra pagó $400.00 de envío por una carta ¿cuántos gramos pesaba la carta? ____________________________________ • Un taxista cobra $6.50 por “el banderazo” y luego suma $0.50 por cada minuto que transcurre. Un segundo taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra $2.00 por cada minuto. En cuál taxi conviene viajar un recorrido de media hora. ____________________________________ • Tras el paso de la llamada época de lluvias, una zona baja quedó completamente inundada. Si un poste tiene
1 6
de su tamaño bajo tierra,
1 4
sumergido
en el agua y una parte sobre el agua que mide 4 metros, ¿cuál es el tamaño del poste? ____________________________________ ¿Te parece útil el uso de ecuaciones para resolver problemas? Describe por qué.________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
Lección 19
Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros
E n esta lección aprenderás a conocer algunas de las propiedades y condiciones para construir triángulos y cuadriláteros.
Las formas geométricas también pueden apreciarse en las expresiones artísticas como la escultura y la pintura. En la pintura, las encontramos en obras que pertenecen al cubismo, un movimiento artístico desarrollado por Pablo Picasso y Georges Braque donde se le da prioridad a la línea y las formas.
Para aprender Triángulos
Actividad 1 Tipos de triángulos Utilizando tus útiles geométricos (regla, compás o transportador) construye en tu cuaderno, si es posible, los triángulos siguientes: 1. Acutángulo, pero que sea escaleno 2. Equilátero, pero que sea rectángulo
146
Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros
147
3. Obtusángulo, pero que sea escaleno 4. Isósceles, pero que sea equilátero
Si consideras que algunas de las condiciones no son factibles de realizar, indícala y argumenta, después comenta con tus compañeros. En la siguiente tabla, marca con un SÍ el lugar donde las condiciones sean compatibles y con un NO en caso contrario.
Triá ngulo
Esca leno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Equilátero Discute las respuestas con tus compañeros.
Actividad 2 Lados y ángulos Con tu regla y transportador, mide los ángulos y lados de los triángulos siguientes. Enseguida, llena las tablas con la información que se te solicita. R P
1 q
p
p Q
P P
Q
R
q
p
r
q p
R
P
3 r
q
r
r
Q
2
4 Q
R
Triángulo 1 Ángulo
Magnitud del á ngulo
Magnitud del lado
Lado
P
p
Q
q
R
r
148
Bloque 3 Triángulo 2 Ángulo
Magnitud del á ngulo
Magnitud del lado
Lado
P
p
Q
q
R
r
Triángulo 3 Ángulo
Magnitud del á ngulo
Magnitud del lado
Lado
P
p
Q
q
R
r
Triángulo 4 Ángulo
Magnitud del á ngulo
Magnitud del lado
Lado
P
p
Q
q
R
r
Actividad 3 La desigualdad triangular Utilizando tu compás, construye un triángulo para cada grupo de segmentos que se te da a continuación. Si esto no es posible, argumenta la razón.
Grupo A
Grupo B
Grupo C
Grupo D
Grupo E
Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros
149
Cuadriláteros
Actividad 4 Distintos tipos de cuadriláteros
Marca los cuadriláteros que sean convexos y explica por qué los otros no lo son. Traza las diagonales en los cuadriláteros convexos. Ilumina con rojo los cuadriláteros que tengan al menos un par de lados paralelos y con tu transportador mide sus ángulos interiores. ¿Cuánto suman? Señala en cada cuadrilátero sus ángulos opuestos.
Actividad 5 Los cuadriláteros más conocidos Anota las respuestas en tu cuaderno. a) Con tus instrumentos de dibujo, construye un cuadrilátero que tenga sus cuatro lados distintos. b) Traza un cuadrilátero que tenga un par de lados opuestos paralelos. c) Dibuja un cuadrilátero que tenga un par de lados paralelos y de la misma longitud, cómo son el otro par de lados. d ) Si un cuadrilátero tiene sus pares de lados paralelos respectivamente, ¿siempre debe ser un rectángulo o un cuadrado? ¿Por qué? e) En el rectángulo y el cuadrado que se te dan a continuación, traza sus respectivas diagonales y mide el ángulo que forman al cruzarse en cada figura. ¿Constituyen el mismo ángulo? ¿Cómo se dividen entre sí las diagonales para cada caso?
f ) Construye un paralelogramo no rectángulo y traza sus diagonales. Compara esta situación con lo que sucede en el rectángulo y en el cuadrado.
Actividad 6 Cuadriláteros especiales ¿Es posible construir un cuadrilátero que tenga sus cuatro lados iguales, pero sus ángulos no sean rectos? Si es posible, dibuja en tu cuaderno un cuadrilátero cuyo lado mida 4 cm. También construye un paralelogramo cuyos lados midan 3.5 cm y 3.8 cm, y su diagonal sea de 4.2 cm.
150
Bloque 3 Ahora contesta estas preguntas: ¿Se puede construir un cuadrilátero si se conocen uno de sus lados y una diagonal? ¿Es posible trazar un trapecio conociendo las bases y las diagonales?
Los conocimientos Triángulos Si se conoce la longitud de un lado y la medida de los ángulos adyacentes a dicho lado, el triángulo queda determinado de manera única.
Si se conocen las medidas de dos lados y el ángulo formado por ellos, el triángulo queda determinado de manera única.
Cuadriláteros A continuación se muestra una tabla que contiene diferentes tipos de cuadriláteros:
Cuadriláte ro convexo
A D
Parale logramo
B C
Cuando al prolongar cualquiera de sus lados (recta), el cuadrilátero queda de un sólo lado de dicha recta. Lados opuestos, paralelos e iguales Ángulos opuestos iguales Las diagonales de un paralelogramo son de distinta magnitud y se bisecan mutuamente.
Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros Rombo
151
Un rombo es un cuadrilátero equilátero Todo rombo es un paralelogramo Las diagonales de un rombo son perpendiculares
Rectángulos y cuadrados
Un rectángulo es un paralelogramo Los ángulos del rectángulo son rectos Las diagonales del rectángulo son iguales Un cuadrado es un cuadrilátero que es equiangular y equilátero. Base
Trapecio Lado
Lado
Base
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos Los ángulos de las bases del trapecio isósceles son iguales Las diagonales del trapecio isósceles también son iguales
Los métodos Criterio general para los triángulos Para construir un triángulo único se necesitan al menos tres elementos, pero es indispensable que uno de ellos sea un lado.
152
Bloque 3 Caso 1 Para construir un triángulo equilátero, sólo se requiere saber la longitud del lado. Caso 2 Para construir un triángulo, si se conocen un lado o sus ángulos adyacentes, es indispensable que la suma de dichos ángulos sea menor de 180°.
Caso 3 Se puede construir un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Caso 4 Se puede construir un triángulo si se conocen los tres lados.
Para hacer Ejercicios fundamentales Anota todas las respuestas en tu cuaderno. 1. ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo? Argumenta. 2. ¿Puede tener un triángulo más de un ángulo obtuso? Argumenta. 3. Las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen dos vértices opuestos; en el cuadrado, las bisectrices y las diagonales coinciden. Busca otro cuadrilátero que tenga esta propiedad. 4. ¿Se puede construir un trapecio, conociendo las bases y los ángulos? 5. Elabora un rombo, del cual se conocen el lado y la diferencia de las diagonales.
Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros
153
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. ¿Puede ser isósceles un triángulo rectángulo? En tal caso ¿cuánto vale cada ángulo agudo? ___________________________________________________________ 2. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir que cumplan con la condición de que uno de sus lados mida 4 cm, otro 6 cm y el ángulo que forman estos dos lados sea de 45°? B
4 45º
A
6
C
3. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo y el segmento AC es una de sus diagonales. Con tu transportador, mide los ángulos , , y . ¿Cuáles son iguales? B
A
C
D
Ejercicio de profundización 1. Con ayuda de regla y compás, efectúa el siguiente procedimiento.
Paso 1 En el cuadrilátero que se da a continuación.
Paso 2 Traza los puntos medios de cada uno de los lados del cuadrilátero. Paso 3 Une los puntos medios encontrados con segmentos de recta y observa la figura que se forma. ¿De qué tipo es?
Paso 4 Dibuja otros dos cuadriláteros distintos en forma y tamaño al dado en el paso 1; ahora repite para cada uno de dichos cuadriláteros los pasos 2 y 3.
Paso 5 Observa y discute lo que le sucede a la figura contenida dentro del cuadrilátero original durante este proceso. Anota la respuesta en tu cuaderno.
154
Bloque 3
Ejercicio de síntesis 1. La figura 1 representa a un lago. Nos interesa conocer la longitud que existe entre los puntos A y B; sin embargo, no es posible obtener esta distancia en forma directa. Para solucionar este problema, aplica los conocimientos que has estudiado en esta lección y sigue los pasos que se indican a continuación. Figura 1
B
A
Paso 1 Clavaremos una estaca fuera del lago, que se representa en la figura 2 con el punto. Se ha optado por clavar la estaca en un lugar donde sea posible medir la longitud de los segmentos AO y BO . Figura 2
B
O A
Paso 2 Se prolongan los segmentos AO y BO y se colocan dos nuevas estacas (C y D, en la figura 3), de tal manera que AO
OC
Figura 3
B
y que BO
OD
.
C O A
D
Paso 3 Finalmente, se mide la distancia que hay de la estaca C a la D. Esta distancia será igual a la que existe entre A y B.
Lección 20
Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros
E n esta lección aprenderás a reconocer cambios en el perímetro y el área de figuras geométricas como triángulos y cuadriláteros, que se producen al modificar su forma.
Es común ver triángulos y cuadriláteros en muchas cosas que nos rodean, como construcciones, muebles, ju guetes, etc. Ésta es una fotografía del zócalo de la Ciudad de México, que es la plaza más grande de nuestro país. Es una explanada cuadrangular de 240 metros de lado; por tanto, su área es de 57 600 metros cuadrados, lo que la convierte en la segunda plaza más grande del mundo.
Para aprender Actividad 1 No basta la vista; también hay que medir ¿Qué propiedad deberá tener el cuadrilátero rojo para que la región verde siempre tenga la misma área?_______________________________
155
156
Bloque 3
Actividad 2 Un comportamiento aparentemente extraño El siguiente cuadrado tiene 1 cm de lado: 1 cm 1 cm 1. Numéricamente, ¿qué es más grande: su área o su perímetro? 2. Analiza el caso para cuando el lado es de 2, 3, 4 y 5 cm. Reconsidera la respuesta del inciso anterior. Anota las respuestas en tu cuaderno.
Actividad 3 No todo crece igual Retoma el cuadrado anterior y contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno. 1. Si incrementamos el área del cuadrado en un 10% de su área original, ¿en qué porcentaje aumentará su perímetro? 2. Si crece el área del cuadrado original en un 100%, ¿en qué porcentaje crecerá su perímetro respectivo? 3. Construye un cuadrado que tenga un área de 16 cm . Si amplías su área en un 10%, ¿en qué porcentaje se agrandará su perímetro? 2
Compara los resultados de las Actividades 2 y 3. ¿Qué puedes decir sobre las relaciones entre el perímetro y el área, en el caso del cuadrado?
Actividad 4 Calcular para verificar En la siguiente figura tenemos un cuadrado de lado a y un triángulo equilátero con altura aproximada a 0.87 centímetros. Visualmente, el perímetro del cuadrado es más grande que el del triángulo; lo mismo sucede con el área. 1. ¿Cuántas veces crees que es más grande el área del cuadrado respecto al área del triángulo? _____________________ 2. ¿Cuántas veces crees que es más grande el perímetro del cuadrado respecto al del triángulo? _____________________ 3. ¿La relación será en la misma cantidad, tanto para el área como para el perímetro? _____________________ 4. Compruébalo.
a 0.87 cm
a
a
Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros 157
Actividad 5 Calcular para estimar costos En un terreno rectangular de 10 por 25 metros se necesita hacer una banqueta de 1.5 metros de ancho que rodee dicho terreno. La banqueta podría colocarse de manera interna al terreno, pero también de manera externa, como indica la figura.
10 m
25 m
Si sabes que el costo de instalación del concreto es de $70.00 por metro cuadrado, ¿cuál sería el costo de construir la banqueta externa? _____________________________
Los conocimientos Perímetro y área El perímetro y el área vinculados a figuras planas. El perímetro se refiere al contorno y a su medida, mientras que el área a la región interior y a su medida. El perímetro y el área de una figura pueden cambiar o conservarse (no cambiar). 1. El perímetro de una figura cambia cuando se modifica la longitud de alguno de sus lados. 2. El área de una figura cambia:
• En un triángulo cuando se modifica la longitud de su base o de su altura. • En un trapecio cuando se modifica la longitud de su base menor, de su base mayor o de su altura. • En un cuadrilátero cuando se modifica la longitud de alguno de sus lados. 3. En algunas situaciones se puede cambiar la forma de la figura, pero el área se conserva. Esto sucede:
• En un triángulo cuando la longitud de sus lados cambia, pero la base y la altura se conservan. • En un trapecio cuando la longitud de sus lados no paralelos cambia, pero los lados paralelos y su altura se mantienen igual.
158
Bloque 3 Unidades de medida I. Sistema métrico decimal a) Unidades de longitud. La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa como m. Sus múltiplos y submúltiplos son:
Kilómetro (km) = 1 000 m Hectómetro (hm) = 100 m Decámetro (dam) = 10 m Metro (m) = 1 m Decímetro (dm) = 0.1 m Centímetro (cm) = 0.01 m Milímetro (mm) = 0.001 m b) Unidades de superficie. La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal; se representa como m . Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien: 2
Kilómetro cuadrado (km ) = 1 000 000 m 2
Hectómetro cuadrado (hm ) = 10 000 m 2
Decámetro cuadrado (dam ) = 100 m 2
Metro cuadrado (m ) = 1 m 2
2
2
Centímetro cuadrado (cm ) = 0.0001 m 2
2
2
Decímetro cuadrado (dm ) = 0.01 m 2
2
Milímetro cuadrado (mm ) = 0.000001 m 2
II. Sistema inglés
1 pulgada (in) = 2.54 mm 1 pie (ft) = 30.48 cm 1 yarda (yd) = 91.44 cm 1 milla (mi) = 1. 609344 km
2
2
Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros 159
Los métodos Área de polígonos irregulares Debido a la diversidad de formas que tienen los polígonos irregulares, no hay fórmulas para calcular su área. Algunos ejemplos en que aparecen figuras irregulares son los siguientes:
Una manera para calcular el área de las figuras irregulares puede ser: 1. Cada figura irregular debe dividirse en figuras regulares. 2. Calcular el área de dichas figuras. 3. La suma de las áreas de estas figuras nos dará el área total de la figura irregular.
Para hacer Ejercicios fundamentales B
A Área 72 cm2
1. El campo interno (infield) de un campo de béisbol es un cuadrado, llamado “diamante”, que tiene 90 pies de lado. Halla el área y el perímetro del campo interno. Expresa tus respuestas en metros y anótalas en tu cuaderno. 2. Un triángulo tiene un área de 72 cm y su altura mide 15 cm. ¿Cuánto mide su base? ___________________________ 2
C
160
Bloque 3 3. Determina cuál de los siguientes trapecios tiene un área mayor, considerando la medida de sus bases y alturas. a)
B
3 cm
b)
C
c)
6 cm
D
A
D 10 cm
C 8 cm 2 cm
7 cm
3 cm
B A A
6 cm
D C
4 cm
B
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Si uno de los lados de un rectángulo es 12 cm más largo que el otro y su perímetro mide 48 cm, ¿cuánto tiene de área? _____________________ 2. Existen 4 rectángulos con lados de medidas enteras, cuya área es igual a 24 m . Halla las dimensiones de cada rectángulo y calcula su perímetro. Anota las respuestas en tu cuaderno 3. A continuación se te presenta una tabla con dos renglones. El primer renglón contiene las bases y alturas de 5 triángulos; en el renglón inferior debes colocar el valor de sus correspondientes áreas. Cuando hayas completado el segundo renglón, responde las siguientes preguntas: • ¿El área de los triángulos aumenta o disminuye? ________________________ • ¿Cuánto aumenta o disminuye? _______________________________________ • ¿Es posible calcular el área de un triángulo que tenga una base de 3 cm y una altura de 11 cm, sin utilizar la fórmula del área del triángulo? Argumenta tu respuesta. 2
D imensiones del triángulo
Base 3 cm Altura 4 cm
Base 3 cm Altura 5 cm
Base 3 cm Altura 6 cm
Base 3 cm Base 3 cm Altura 7 cm Altura 8 cm
Áre a del triá ngulo
Ejercicio de profundización 1. Con un software (programa para computadora o calculadora) de geometría dinámica, hemos construido una animación en la cual un triángulo ∆ ABC se encuentra entre dos rectas paralelas. Además, el vértice B se desplaza por una de las líneas paralelas, mientras la base del triángulo permanece inmóvil. Este proceso dinámico produce varios triángulos diferentes, como se muestra en las siguientes imágenes. Nota: Si no cuentas con el programa de geometría dinámica, también es posible realizar el ejercicio. Con las siguientes figuras hemos simulado una animación en la cual un triángulo ∆ ABC se encuentra entre dos rectas paralelas. Imagina
Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros 161 que el vértice B se desplaza por una de las líneas paralelas, mientras la base del triángulo permanece inmóvil. Este proceso dinámico produce varios triángulos diferentes, como se muestra en las siguientes imágenes:
Después de que finaliza la animación, utilizamos el software o calculamos a mano el área de cada uno de los triángulos que se obtuvieron. Como podrás observar, el área nunca cambió.
• Explica por qué sucede esto. • ¿Qué crees que sucede con el perímetro?
Ejercicio de síntesis 1. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las figuras de las que se presentan los datos son rectángulos:
Base
Altura
4m
2.3 m
3m
Perímetro
Área
12.6 m 1m
1m
9.2 m
2
9.2 m
2
a) ¿Algún dato se mantiene constante? ____________________ b) ¿Alguno varía? ____________________ c) A partir de la tabla anterior, extrae conclusiones y anótalas en tu cuaderno.
Lección 21
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III
E n esta lección resolverás problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos. Los desposorios de la Virgen La obra Los desposorios de la Virgen (1504), de Rafael, es un ejemplo de perspectiva lineal. La composición está planteada como si la escena fuera observada desde un punto fijo. Todas las líneas que cruzan el plano pictórico se encuentran en un punto (llamado punto de fuga) situado en el horizonte, a la altura de los ojos del observador.
Para aprender La dieta de 1 250 kilocalorías Cada joven del grupo debe preparar su dieta de manera que el consumo de alimentos le proporcione, aproximadamente, 1 250 kilocalorías. Puedes apoyarte en la siguiente tabla, considerando que en cada comida hay que consumir alimentos de los cinco grupos. Si te falta información, consulta con tu maestro o maestra de ciencias.
Tabla gene ral de kilocalorías Hidratos de ca rbono Kilocalorías por cada 100 gramos Arroz
162
Pan
blanco (bolillo)
250
Blanco
360
Integral
350
de centeno
250
340
de gluten
340
de avena
400
integral
240
de maíz
360
de salvado
240
de trigo
340
Germen de trigo Harinas
Kiloca lorías por cada 100 gra mos
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III
163
Vegetales K ilocalorías por cada 100 gra mos
Cantidad
Kilocalorías por cada 100 gra mos
2 rebanadas
70
Espárragos frescos
17
Berenjenas frescas
Brócoli fresco
25
Zanahorias
1 taza
45
Champiñones frescos
7
Coliflor
1 taza
30
Lechuga romana
21
Calabaza
1 taza
45
Papas cocidas
125
Pepino
1 mediano
15
Apio crudo
17
Espinaca
1
1 2
taza
25
Frutas Kilocalorías por cada 100 gramos Piña Cerezas Ciruelas Coco Durazno Frambuesas Fresa Guayaba
52 70 45 320 50 50 35 50
Kilocalorías por cada 100 gra mos Mango Manzana Kiwi Naranja Pera Toronja Sandía Tamarindo
58 59 55 49 55 40 30 30
Kilocalorías por cada 100 gramos Melón Mandarina Papaya Uva Limón Higo Lima Plátano
30 45 35 65 30 80 30 90
Ca rnes Kilocalorías por cada 100 gramos
Kilocaloría s por cada 100 gramos
Carne vacuna (sin grasa)
200
Tocino
850
Carne ternera (sin grasa)
175
Chicharrón
680
Carne de cerdo (sin grasa)
275
Pechuga de pavo
115
Pollo (con piel)
170
Salami
475
Pollo (sin piel)
115
Salchicha de cerdo
396
164
Bloque 3
Lácteos Kilocalorías por cada 100 gramos Leche
entera
60
descremada
Kilocalorías por cada 100 gra mos cremoso
110
31
entero
85
condensada
320
parcialmente descremada
80
blanco
150
Queso
Yogurt
Pescado Kilocalorías por cada 100 gramos
Kilocalorías por cada 100 gra mos
Atún
170
Salmón
180
Bacalao
80
Sardina
190
Robalo
80
Trucha
110
Frutos secos Kilocalorías por cada 100 gramos
Kilocalorías por cada 100 gra mos
Almendra
547
Pistache
594
Avellana
647
Ciruela pasa
255
Cacahuate
560
Durazno
262
Nuez
664
Dátil
274
Uva pasa
289
Higo
274
Azúcare s, grasas y aceites Kilocalorías por cada 100 gramos
Kilocalorías por cada 100 gramos
Azúcar blanca
385
Azúcar morena
373
Manteca de cerdo
879
Mayonesa
800
Mostaza
75
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III
165
Azúcares, gra sas y aceites ( cont inuac ión ) K ilocalorías por 350 mililitros Refresco
189
Kilocalorías por 1 cuchara sope ra (10 gramos)
K ilocalorías por 1 cuchara sopera (10 gra mos)
Aceite de oliva
90
Mantequilla con sal
77
Aceite de girasol
90
Mantequilla sin sal
76
a) Si una ración de pan (medio bolillo o una rebanada de pan de caja) equivale a una tortilla, ¿cuántas tortillas equivalen a un bolillo? _________________ b) Comparen las dietas que se elaboraron entre el grupo. ¿Qué alimento es preferido por la mayoría del grupo, cuál es su proporción? ¿Qué proporción ocupa una ración de pescado en las dietas elaboradas por el grupo? ¿Qué proporción será la del brócoli?
Los conocimientos En el rompecabezas de la lección 6 te pedimos que construyeras un rompecabezas. Si ahora, en un nuevo rompecabezas, el lado del cuadrado A, que mide 3 centímetros, fuera de 6 centímetros, ¿cuánto mediría el lado del rectángulo B, que en el original era de 4 centímetros? Al establecer la igualdad de razones, tenemos que: 3 6
4
(3 es a 6 como 4 es a (
)
Ya que 6 es el doble de 3 (3 2 6), el valor faltante será el doble de 4, 4 2 8. Así podemos obtener las dimensiones de cada pieza. Sin embargo, el rompecabezas de la lección 15 tenía una condición distinta, ya que la pieza A, con dimensiones de 3 cm 3 cm, tendría en el nuevo rompecabezas dimensiones de 5 cm 5 cm. ¿Qué número multiplica a 3 para que dé como resultado 5? (3) (x) 5 Esta cantidad, ahora fraccionaria, recibe el nombre de factor de proporcionalidad y se puede calcular con la regla de 3 que aprendimos en la lección 15.
166
Bloque 3 Rompecabezas origina l
Nuevo rompecabeza s
Pieza A
lado de 3 centímetros lado de 3 centímetros
lado de 5 centímetros lado de 5 centímetros
Pieza B
lado de 4 centímetros
lado de 8 centímetros
lado de 2 centímetros
lado de 5 centímetros
Pieza C
Pieza D
lado de 1 centímetros
lado de 5 centímetros
(5 ) ⋅ (4 ) 3 ( 5) ⋅ (8 ) 3 ( 5) ⋅ (2 ) 3 ( 5) ⋅ (5 ) 3 ( 5 ) ⋅ (1) 3 ( 5) ⋅ (5 ) 3
20 3
centímetros
40
10
centímetros
3 25
centímetros
3 5
centímetros
3
3
centímetros
25
centímetros
3
(5) (medida original) . Esta 3 operación puede interpretarse como la medida original multiplicada por 5 y dividida Observa que la regla de tres, en cada caso, es
entre tres, o la medida original multiplicada por
5 3
.
Los métodos Sin importar que el coeficiente de proporcionalidad sea entero o fraccionario, aplicamos la regla de tres para encontrar el valor faltante de una razón proporcional. Si Si Si Si
c
a b
, entonces
, entonces
, entonces
, entonces
a b a
d c
d c
b
d
(b ) (c ) a
( a ) ( d ) b
( a ) ( d ) c
(b ) (c )
Ejemplo: en la razón proporcional
d
3 7
. . . .
5
,
(7 5 ) 3
35 3
.
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III
167
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Según un instructivo nutricional que busca prevenir enfermedades entre la población, se recomienda que cada persona coma, al día, diferentes tipos de alimentos: cereales y tubérculos, frutas y verduras, leguminosas y alimentos de origen animal, grasas y azúcares. Recuerda que los alimentos más saludables y que más de bemos consumir están en la parte baja de la pirámide, y los que menos debemos ingerir se encuentran hasta arriba. Lo ideal es que en cada comida haya algún elemento de los tres grupos principales; las grasas son importantes, pero debemos consumirlas con moderación. ¿Qué tipos de alimentos debes comer más? ¿Cuál menos? Da ejemplos de ellos.
Pirámide de alimentos más saludables La pirámide de alimentos más saludables es una guía visual útil para seguir una dieta equilibrada. En lo más alto están los alimentos que deben consumirse en menor cantidad. Observa que en la base de la pirámide está el agua, lo cual quiere decir que su consumo debe ser en mayor cantidad. Los médicos sugieren que es conveniente tomar 2 litros de agua pura al día. El siguiente grupo en la pirámide lo conforman los hidratos de carbono, que deben consumirse en mayor cantidad, en comparación con el resto de los grupos de la pirámide. 2. Con la tabla de kilocalorías (sección Para aprender) y la pirámide nutricional del ejercicio anterior, efectúa en tu cuaderno lo siguiente: a) Elabora una tabla de alimentación en la que repartas proporcionalmente al consumo diario. b) Si el consumo diario de kilocalorías para un joven de 11 a 18 años oscila entre las 2 300 a 2 500 kilocalorías, ¿cómo quedaría la distribución de los alimentos? 3. En noviembre de 2005 el precio de la gasolina Premium era de $7.65 el litro, mientras que la gasolina Magna costaba $6.47. Un grupo de amigos decidió ir de vacaciones en cuatro autos. La capacidad de los tanques de gasolina difiere en cada auto: el tanque del coche de Carlos es de 40 l, el de Mariana de 45 l, el de Raúl de 50 l y el de Claudia de 55 l. ¿Cuánto pagaría cada uno si llenara el tanque con gasolina Premium? ¿Cuánto pagaría cada uno si lo llenara con Magna?
Auto de
Capacidad del tanque
Carlos Mariana Raúl Claudia
40 litros 45 litros 50 litros 55 litros
Costo total (Pre mium) $ $ $ $
Costo total (Magna) $ $ $ $
168
Bloque 3
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. El auto de Ramón gasta 1 litro de gasolina cada 14 kilómetros. ¿Cuánto podrá recorrer si le puso $129.40 pesos de gasolina Magna? ___________________________ 2. Para cada una de las siguientes tablas de datos, indica cuáles muestran una situación de proporcionalidad y determina cuál es el factor de proporcionalidad. Justifica tus respuestas. Puedes resolver la actividad apoyándote en el uso de la calculadora. Si existe, la proporcionalidad se da entre los correspondientes elementos de las filas 1 y 2. a)
Fila 1
3
4
5
6
Fila 2
4.5
6
7.5
9
Fila 1
3
8
13
18
5
5
5
5
Fila 2
6
5
13
3
3
4
20
4
Fila 1
2.2
3.2
4.2
5.2
Fila 2
3.4
6.3
5.5
7.4
Fila 1
0.7
1.7
2.7
3.7
Fila 2
0.42
1.02
1.62
2.22
b)
c)
d)
3. En cierto mapa cada centímetro medido representa en la realidad 32 km. Se dice entonces que el mapa está hecho a escala 1:32. Completa la siguiente tabla:
Realidad
80 km
96
Mapa
2.5 cm
3 cm
50 km 1 cm
Ejercicios de profundización 1. Los marinos miden la velocidad de los barcos en nudos. Un nudo equivale a 1 852 km/h. Calcular: a) La velocidad en kilómetros de un barco que va a 61 nudos. b) La velocidad en nudos de un barco que va a 90 km/h.
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III
169
c) ¿Qué va más rápido, un barco a 60 nudos o a 120 km/h? Anota las respuestas en tu cuaderno. 2. Un tanque industrial consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro tanque consume 100 litros de gas en 3 horas y media. ¿Cuál de los dos tanques gasta más por hora? __________________________________ 3. Marisol invierte, en un negocio, un capital de $ 15 000 y obtiene, en cierto tiempo, una utilidad de $ 3 000. ¿Cuánto debería haber invertido en este negocio para obtener, durante el mismo tiempo, una utilidad de $ 4 000? _____________________
Ejercicios de síntesis 1. Francisca recorre 90 km en una hora, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas via jando con la misma rapidez? ______________________________ 2. Un bote de leche descremada en polvo cuyo contenido es de 350 g, dice que cada 100 g de leche contienen 51.8 g de lactosa. ¿Cuántos gramos de lactosa consume al mes una persona que consume 2 botes de esta leche? _______________________ 3. Dos figuras semejantes tienen sus lados directamente proporcionales y sus ángulos iguales. Si dos hexágonos tienen sus lados en la razón 2:6, ¿cuál es la razón de sus perímetros? _________________________________________________________ 4. ¿Conoces otra situación en la que necesites utilizar un procedimiento experto para encontrar algún valor faltante? Comenta tu respuesta en clase.
Lección 22
Porcentajes
E n esta lección aprenderás lo que es el porcentaje o tanto por ciento y también sabrás cómo calcularlo. Tal concepto te permitirá establecer comparaciones entre magnitudes de una manera práctica.
Una de las riquezas de nuestro país es su diversidad lingüística, en México se hablan 62 lenguas indígenas de manera distribuida en los 32 estados de la República. En el año 2000, el total de hablantes mayores de 5 años fue de 84 794 454. De este número, 6 044 547 hablaban lenguas indígenas. ¿Qué porcentaje de la población total de hablantes mayores de 5 años en México habla alguna lengua indígena?
Para aprender La palabra porce porcentaje ntaje viene de la expresión tanto por ciento, que es una forma de saber qué tantos de cada cien tienen alguna propiedad. Por ejemplo, si en un mercado hay cien puestos fijos, y de éstos sólo 30 venden fruta, decimos que treinta de los cien puestos venden fruta, o bien que treinta por ciento ciento vende fruta.
Act ctiv ivid idad ad 1 En lo loss dic dicci cion onar ario ioss Busca en diccionarios el significado de la palabra porcentaje. Si encuentras distintas interpretaciones, discute en pequeños grupos lo que se entiende por cada una de ellas.
Act ctiv ivid idad ad 2 “T “Tan anto to por por cie cient nto” o”
170
Para escribir abreviadamente la palabra porcentaje se usa el símbolo %, el cual se lee “por ciento”. Lean ahora las expresiones 30%, 45% y 100%; comenten qué entienden por ellas.
Relaciones de proporcionalidad. Porcentajes Aplicación sucesiva de valores
La expresión
30 100
es equivalente a
60 200
171
; como viste en el tema de proporciones,
pues ambos representan al mismo número. Es decir, si leemos las fracciones como porcentajes, diríamos: 30 de cada cien es el treinta por ciento y 60 de cada doscientos, el treinta por ciento. Con base en lo anterior, ¿qué porcentaje representa el 70 de 100 y el 35 de 50?, ¿el 140 de 200?, ¿el 105 de 150?, ¿el 280 de 400?, ¿el 210 de 300? Discute los resultados con tus compañeros y compañeras.
Acti tivvida dadd 3 La Lass som sombbras ¿Qué porcentaje del total de cuadritos está coloreado coloreado?? __________________________ ¿Qué porcentaje quedó sin colorear? _________________________________________
Act ctiv ivid idad ad 4 El per perrrit itoo cr crec ece e El porcentaje también puede ser mayor que 100%. Se sabe que pesamos el doble de lo que pesábamos de niños. Por ejemplo, el peso de un perrito al nacer al cabo de unos meses es del 300% de su peso inicial. ¿Pesa ahora el doble o pesa el triple?
Act ctiv ivid idad ad 5 ¿C ¿Cuá uánt ntoo pe pesa sa?? Si el peso al nacer del perrito era de aproximadamente 250 gramos, ¿cuánto pesará cuando alcance el 200% de su peso inicial? Como el 200% es el doble del 100%, el perrito pesará al cabo de unos meses el doble de su peso inicial. ¿Cuántos pesará en gramos? Platica con tus compañeros cómo realizarías el cálculo.
Act ctiv ivid idad ad 6 ¿C ¿Cuá uáll fue fue el el des descu cueent nto? o? Un comerciante vende camisetas a 50 pesos cada una. El día de ayer decidió dar un descuento y las ofreció a 40 pesos. ¿Cuál fue el porcentaje de descuento que ofreció a los clientes? ____________________________________________________________________
Act ctiv ivid idad ad 7 Ni Niño ñoss y niñ iñas as En una escuela primaria hay 745 estudiantes y 53% de ellos son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de niños? ___________ ¿Cuántos niños hay en esta primaria? ___________
172
B l o qu e 3
Act ctiv ivid idad ad 8 Mu Muje jerres di dipu puta tada dass La LIX Legislatura (2003-2006) tenía en la Cámara de Diputados un total de 500 legisladores, diputadas y diputados, de 6 partidos políticos. La gráfica muestra el total de mujeres que participan en la legislatura, por partido político. p olítico. ¿Qué partido cuenta con más mujeres diputadas? Mujeres diputadas 3% 3% 30% 35%
35% PAN 29% PRI 30% PRD 3%PVEM 0.0% Convergencia 0.0% PT 3% Sin partido
29% En la LIX legislatura, de un total de 500 diputados, hombres y mujeres, sólo 144 eran mujeres
Act ctiv ivid idad ad 9 El co corro via iaje jerro En un día de fiesta, las niñas del coro de la escuela secundaria viajaron 120 kilómetros para ofrecer un concierto en el kiosco del parque de un poblado cercano. Si hicieron su primera parada para caminar un poco a los 78 kilómetros, ¿qué porcentaje de su recorrido habían alcanzado en ese punto? _______________________
Actividad Activ idad 10 Los meses de de cumpleaños cumpleaños Formen equipos de trabajo y hagan la siguiente encuesta: pregunten por el mes en que cada una de sus compañeras y cada uno de sus compañeros cumple años. Luego completen la siguiente tabla:
Nombre Nombre uno Nombre dos Nombre tres ...
Me s en que cumple a ños ños Enero Febrero Marzo ...
¿Cuál es el mes —o meses— en que cumplen años más compañeros? ¿Qué porcentaje de tus compañeros cumple años en ese —o esos— mes(es)? Si existe algún mes en que nadie cumpla años, ¿cuál es el porcentaje que esto representa? Anota las respuestas en tu cuaderno.
Porcentajes
173
Los conocimientos Ejemplo: Guadalupe compró una caja de cereales para su desayuno. La caja tenía la leyenda “con 30% de fruta deshidratada”. Esa frase significa que hay una proporcionalidad entre la cantidad de cereales y la de fruta que contiene la caja. Ésta es de 3 a 10, es decir, que por cada 100 gramos de cereal habrá 30 gramos de fruta. Se puede deducir, por ejemplo, que: 60 gramos gramos de de fruta fruta por por 200 gram gramos os de cere cereale aless a) Hay 60 150 gramo gramoss de fruta fruta por por 500 500 gramos gramos de de cereal cereales es b) Hay 150 Podemos presentar estos resultados en una tabla de proporcionalidad:
Masa de cereal Masa en gramos
100
200
500
Masa de fruta Masa fruta e n gramos
30
60
150
30 100
Los métodos Ejemplo: En una comunidad de 250 familias, 80 son hablantes de español (monolingües), mientras que las demás hablan además otra de las lenguas mexicanas (bilingües). ¿Cuál es el porcentaje de la familias que, en esa comunidad son monolingües?
Méto Mé todo do 1 Co Conn la ay ayud udaa de una una tabl tablaa de pr prop oporc orcion ional alida idadd Queremos saber cuántas familias son monolingües (que hablan una sola lengua) de un total de 100 familias. Se sabe que en esa región, por cada 250 familias hay 50 monolingües. Completa con esos datos la siguiente tabla.
Número Nú mero de fa milias milias Número de fa milia milia s monolingües
100 50
174
B l o qu e 3
Méto Mé todo do 2 Co Conn la la ayud ayudaa de la lass frac fracci cion ones es Las familias monolingües representan 50 de las que integran esa comunidad. Se 250 5 0 busca una una fracción fracción igual a , cuyo denominador sea 100, y así tendremos 250 50 20 0.20 250 10 0 De este modo, el porcentaje de familias monolingües es de 20%.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Después de un sondeo de opinión 7 personas de cada 20 no se interesan por la retransmisión de un partido de futbol. ¿Qué porcentaje representan ellos? _________________ 2. Entre los números siguientes: 1; 2.3; 2.5; 3.2; 4; 5; 3.4; 4.1
¿Quéé porcent porcentaje aje son enter enteros? os? ______ _________ ______ ______ ______ _____ a) ¿Qu ¿Quéé porcent porcentaje aje no son enter enteros? os? _____ ________ ______ ______ ______ ___ b) ¿Qu ¿Quéé porcen porcentaj tajee son mayor mayores es que 3.5? 3.5? _____ ________ ______ _____ c) ¿Qu 3. En cada uno de los siguientes dibujos, ¿qué porcentaje del área total del cuadrado está coloreada? a)
b)
c)
d)
Porcentajes
175
4. Encuentra el porcentaje que representan: niños de un un grupo grupo de 5. 5. _____ ________ ______ ______ ___ a) 2 niños pesoss sobre sobre 90 peso pesos. s. ____ _______ ______ ______ _____ b) 30 peso litro ross sobre sobre 7 lit litro ros. s. _____ ________ ______ ______ ___ c) 3.5 lit kilogramos ramos sobre 100 kilog kilogramos. ramos. _____ __________ _________ ____ d) 13 kilog habitante ntess sobre sobre 1 000 habitan habitantes. tes. _____ ________ ______ ______ ___ e) 350 habita cuartaa parte parte de un un pastel pastel.. ______ _________ ______ _____ __ f ) La cuart mitad del númer númeroo de estudiant estudiantes es en clase clase de matemá matemáticas. ticas. ______ ___________ ________ ___ g) La mitad h) El doble doble de de los los mexicano mexicanoss en Califo California. rnia. _____ ___________ _________ ___ cada tre tress compr comprado adore res. s. ____ _______ ______ ______ _____ i) Dos de cada triplee de los los jóven jóvenes. es. ___ _____ ____ ____ ____ ____ ____ j) El tripl
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Cuánto es: 10% de $15 $150.0 0.00. 0. ____ ______ ____ ____ ____ ____ __ a) El 10% 15% de de 300 300 alum alumnos nos.. _____ ________ ______ ______ ___ b) El 15% 100 vivi vivienda endas. s. ____ _______ ______ ______ _____ c) El 25% de 100 50% del del preci precioo de vent venta. a. _____ ________ ______ ______ ___ d) El 50% 150% de su su peso peso inicia inicial,l, que que era de de 3 kg. kg. ______ _________ ______ _____ __ e) El 150% 2. Qué cantidad (masa) de azúcar hay en una lata de leche condensada de 150 gramos, si en la lata indica 62%. ______________ 3. Gisela hizo una encuesta entre tres de sus amigos para saber cuántas horas al día dedican a la práctica de su deporte favorito y cuántas en el periodo de exámenes finales. En la siguiente tabla se resumen los resultados:
Nombre
Horas dedicadas
Hora s dedicadas dura dur a nte nte exá menes menes
Guadalupe
2
0.5
Olda
3
1
Ricardo
1
0
¿Qué porcentaje de las horas de juego de cada uno se reduce durante el periodo de exámenes? ____________________ Guadalupe ________________ Olda ________________ Ricardo ________________ 4. En una ciudad del sureste mexicano había 25 750 estudiantes de secundaria al comenzar el año escolar 2001, y 20 600 al comenzar el correspondiente al 2005. ¿Cuál es el porcentaje en que se redujo la población de estudiantes? _________________
176
B l o qu e 3 5. Entre los empleados de una fábrica, 68% tiene menos de 46 años de edad. ¿Cuál es el porcentaje de los empleados que tiene 46 años o más? ____________________ 6. En cada caso explica si es posible traducir el enunciado por un porcentaje mayor que 50%. Justifica tus respuestas y discútelas con tus compañeras y compañeros: persona onass sobre sobre 80 les les gust gustaa la lec lectur tura. a. a) 44 pers personass sobre sobre 50 000 que fueron fueron al al estadio, estadio, le iban iban a los Pumas de la b) 15 000 persona Universidad. sobre 60 alumnos alumnos de la clase clase de prepa preparator ratoria ia come come fuera de sus casas. casas. c) 45 sobre
Ejercicios de profundización 1. La caja de leche evaporada dice en su información nutricional que contiene 8.33 % de proteínas de leche por cada 100 gramos de leche. ¿Qué cantidad de proteínas de leche hay en un kilogramo de leche descremada? __________________________ 2. Un frasco de mermelada de 250 gramos incluye 175 gramos de fruta y el resto de jarabe.. ¿Qué porcent jarabe porcentaje aje de fruta, fruta, en gramo gramos, s, tiene el frasco? frasco? __________ ________________ _________ ___ 3. Los libros de 110 pesos tienen una rebaja del 15%. ¿Cuánto cuestan ahora? ______ 4. En el torneo de futbol de la secundaria, el equipo campeón ganó 20 de los 25 partidos, empató 2 y perdió 3. ¿Qué porcentaje de partidos ganó, empató y perdió, respectivamente? Ganó ___________, empató ____________, y perdió ___________ 5. Localiza en un periódico o revista dos noticias que hablen de porcentajes e inflación. Exprésalas en forma de fracción y decimal. _____________ 6. En una encuesta de opinión hicieron 300 llamadas telefónicas para saber si las personas votarían por el candidato “del pueblo”. De ellas, 219 dijeron que sí le darían su voto. ¿Qué porcentaje representan éstos?
Ejercicios de síntesis 1. Calcula los porcentajes: para dormir dormir el lunes. ¿Qué porcent porcentaje aje del día duerme? duerme? a) Mario ocupa 6 horas para __________. El martes durmió 20% más, ¿cuánto durmió el martes? _________ número de de suscriptor suscriptores es de la revis revista ta de la la comunidad comunidad pasó de 500 a 1 500. b) El número ¿Qué porcentaje representa 1 500 respecto de 500? 2. Resuelve los siguientes problemas: Gabriela la estudia estudia un posgra posgrado do en la la Universidad Universidad de su estado. estado. Ella pagó pagó el lua) Gabrie nes $35.00 por su comida en la cafetería de su facultad. El martes gastó 10% más, pues tomó dos porciones de fruta, y el miércoles no comió su sopa, por eso dio 20% menos que el martes. ¿Cuánto le costó la comida el día miércoles? ______________ vimos, el el número número de mujer mujeres es diputadas diputadas fue fue menor menor que el númer númeroo de b) Como vimos, hombres diputados en el año 2002. ¿Cuántas diputadas dip utadas más se requerirían para que su número en la Cámara fuese del doble del de hombres? Considera que debe haber un total de 500 diputados. ______________
Lección 23
Diagramas y tablas
E n esta lección aprenderás a interpretar y comunicar información que se presenta a través de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
BOSQUES DE CONÍFERAS BOSQUES DE ENCINO BOSQUES DE MESOFILO DE MONTANA S ELVA PERENNIFOLIA S ELVA SUBCADUCIFOLIA S ELVA CADUCIFOLIA S ELVA ESPINOSA MATORRAL XEROFILO PASTIZAL VEGETACIÓN HIDROFILA OTROS TIPOS DE VEGETACIÓN A REAS SIN VEGETACIÓN APARENTE CUERPOS DE AGUA El mapa anterior presenta la diversidad de vegetación que existe en México. Tomado del Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática http://mapserver.inegi.gob.mx/map/datos_basicos/vegetacion/?c=556
Para aprender Actividad 1 Las personas con las que vives Reúne los siguientes datos. En tu salón de clases pregunta a tus compañeros y a tu profesor el número de personas con las que viven. ¿A cuántas personas encuestaste? ________
177
178
Bloque 3 Llena la siguiente tabla:
Nombres
Número de personas
¿Cuál es el número de habitantes que se repite con más frecuencia? _____________ Realiza en tu cuaderno una tabla que indique cuántos de los encuestados viven con 0, 1, 2, . . . personas.
Actividad 2 El porcentaje de personas con las que vives En la actividad anterior clasificaste al número de personas con las que viven tus compañeros y tu profesor. Ahora, elabora en tu cuaderno una tabla en la que obtengas el porcentaje de tus compañeros que viven con otras personas.
Actividad 3 Migración A continuación presentamos una tabla de la cantidad de migrantes por país, su porcentaje con respecto a la población total.
Núme ro de migrantes (miles)
Porcentaje de migrante s (con respecto al total de la población)
Kenia
327
1.1
Marruecos
26
0.1
Sudáfrica
1 303
3.3
Argentina
1 419
3.8
Brasil
546
0.3
Canadá
5 826
18.9
Chile
153
1.0
Colombia
115
0.3
Costa Rica
311
7.7
Ecuador
82
0.6
País seleccionado ÁFRICA
AMÉRICA
Diagramas y tablas
179
País seleccionado
Número de migrantes (miles)
Porcentaje de migrante s (con re specto a l tota l de la población)
MÉXICO
521
0.5
Perú
46
0.2
Uruguay
89
2.7
Venezuela
1 006
4.2
Estados Unidos de América
43
0.4
Guatemala
34 988
12.4
China
2 701
39.4
India
6 271
0.6
Japón
1 620
1.3
Turquía
1 503
2.3
Alemania
7 349
9.0
España
1 259
3.2
Francia
6 277
10.6
Italia
1 634
2.8
Reino Unido
4 029
6.8
4 705
24.6
ASIA
EUROPA
OCEANÍA
Australia
Fuente: UNFPA. Estado de la Población Mundial, 2002. Nueva York, 2002.
a) ¿Qué país tiene el mayor número de migrantes? ¿Cuál es el mayor porcentaje? b) Discute con tus compañeros porqué creen que exista el fenómeno migratorio. c) ¿Qué te indica el porcentaje de migrantes por país y las diferencias entre ellos? Anota la respuesta en tu cuaderno
180
Bloque 3
Los conocimientos La población y la muestra Cuando se realizan estudios estadísticos, lo primero que se hace es construir tablas con los datos de nuestro interés. Esta elección recae en los investigadores o estudiosos del tema, y en las tablas se registran datos que representan a la población, la región o cualquier información relevante. La elección de sobre qué o quiénes obtendremos información es lo que llamamos la muestra.
Frecuencia A cada elemento se le asigna un determinado número de representantes o de veces de aparición, o bien la proporción o porcentaje de aparición con respecto al total. Estos números reciben el nombre de frecuencias. Dos tipos de frecuencia muy útiles son la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa. a) La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable.
Por ejemplo, en la muestra que tomamos del número de hijos por parejas, obtuvimos los siguientes datos: 2, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 1, 6, 3, 4, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 7, 4, 2, 3, 0, 5, 1, 4, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 1, 2, 4, 0, 3, 3, 2, 6, 1, 5, 4, 2, 0, 3, 2, 4, 3, 1 La frecuencia con la que se tienen dos hijos es 12. Esto es, doce veces se registró el dato de dos hijos. b) La frecuencia relativa es la razón que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra. Esto nos permite conocer la proporción que se tiene con respecto a la población:
Frecuencia absoluta Tamaño de la muestra
Rangos o intervalos Cuando los datos numéricos son bastantes, es conveniente reunirlos en grupos, a los que se les llama intervalos para facilitar su interpretación. Generalmente, estos intervalos tienen un tamaño apropiado para que todos los datos queden dentro de alguna categoría. Cuando tenemos una gran cantidad de datos, una forma de clasificarlos es mediante intervalos o rangos. Ejemplo: En una clínica donde se ha suministrado un nuevo medicamento a los pacientes, se hace un estudio a los que van mejorando conforme avanza el tratamiento y se
Diagramas y tablas
181
mide el tiempo de reacción del medicamento (en minutos), como puedes ver en la tabla que se presenta en seguida.
Tiempo de reacción
No. de pacientes
0-10 min.
300
10-20 min.
500
20-30 min.
400
30-40 min.
500
40-60 min.
300
Los métodos Para obtener la frecuencia absoluta en una población, lo primero es clasificarla en una tabla. Por ejemplo, se entrevista a 40 personas en una ciudad y se les pregunta cuántas habitaciones existen en su casa. Los resultados fueron los siguientes: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 4, 5, 2, 2 , 2, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 4, 5, 2, 2. Clasificamos la información en una tabla que presente el número de habitaciones y la frecuencia con que se repite.
Número de habitacione s
Frecuencia
1
8
2
16
3
9
4
4
5
3
Total
40
182
Bloque 3 Para obtener la frecuencia relativa trabajemos con el mismo ejemplo: a) Aumentemos una columna, donde colocaremos la frecuencia relativa. b) Dividimos cada una de las frecuencias entre el total de la muestra. 8 40
16
0.2
40
9
0.4
40
4
0.225
40
3
0.1
40
Número de habitaciones
Frecuencia
Frecuencia relativa
1
8
0.2
2
16
0.4
3
9
0.225
4
4
0.1
5
3
0.075
0.075
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La siguiente tabla presenta el número de hermanos que hay en una muestra de 120 familias.
Completa la tabla:
No. de herma nos
Frecuencia
0
12
1
36
2
48
3
18
4
6
Total
120
Fre cuencia re lativa
Porcentaje
¿Cuál es el más alto porcentaje de hermanos? ______________________
Diagramas y tablas
183
2. La tabla presenta cómo se distribuye el personal de una escuela:
Actividad
Porcentaje
Dirección
5%
Docente
50%
Inspector
12.5%
Auxiliar
20%
Administrativo
12.5%
Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias absolutas, si en dicha escuela tra bajan 80 personas. 3. En tu escuela pregunta a 20 personas el número de horas que dedican a la semana a hacer deporte.
Clasifica esta información en una tabla, indicando la frecuencia. Utiliza tu cuaderno.
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de las calificaciones en conducta de 40 estudiantes:
Calificación
Frecuencia relativa
Excelente
0.125
Muy buena
0.50
Buena
0.25
Regular
0.1
Mala
0.025
¿Qué número de estudiantes obtuvo calificación de buena conducta? __________ Elabora en tu cuaderno la tabla de frecuencia absoluta.
184
Bloque 3 2. Con la información que se te presenta, indica cuál es la población y cuál la muestra. a) En tu escuela se quiere saber cuál es el deporte más practicado por los alumnos. Para esto, se entrevistó a 50 estudiantes.
Población: Muestra: b) Se quiere conocer la estatura promedio de los alumnos de la escuela. Para esto, se hace una encuesta a 30 estudiantes de diversas estaturas.
Población: Muestra: c) Se quiere saber en un salón de clases si los estudiantes tienen servicio de Internet en sus casas. Para eso, se encuesta a 15 estudiantes.
Población: Muestra: 3. Diseña una encuesta en la que clasifiques algún tipo de información. Elabora una tabla de frecuencias absoluta y relativa. Utiliza tu cuaderno.
Ejercicios de profundización Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Investiga cuál es la superficie en kilómetros cuadrados del estado de la República en que vives y de dos o tres de los estados vecinos. Organiza en una tabla los datos que hayas obtenido. En equipo, discute cuál es el estado que tiene mayor extensión.
¿Cuál es la proporción de cada uno con respecto al total de ellos? 2. La siguiente tabla presenta los nombres de las lenguas indígenas que se hablan en la República Mexicana y la ubicación geográfica de cada una.
Lenguas
Ubicación geográfica
Lenguas
Ubicación geográfica
Aguacateco
Veracruz
Guarijío (Varojío o macurawe)
Chihuahua y Sonora
Mayo (Yoreme)
Sinaloa y Sonora
Kiliwa (k´olew)
Baja California
Matlatzinca (Botuná o matlame)
México
Tarahumara (Rarámuri)
Chihuahua
Ixil
Campeche y Quintana Roo
Chichimeca jonaz (Uza)
Guanajuato
Tlapaneco (Me´phaa)
Guerrero
Le nguas
Ubicación geográfica
Diagramas y tablas
Le nguas
Ubicación geográfica
Lenguas
185
Ubicación geográ fica
Lenguas
Ubicación geográ fica
Cochimí (Laymon o m’ti-pa)
Baja California
Lenguas Pames (Xigüe o Xi’ui)
San Luis Potosí
Mixe (Ayook o ayuuk)
Oaxaca
Kikapú (Kikapoa)
Coahuila
Chontal de Oaxaca (Slijuala xanuk)
Oaxaca
Lenguas Chinantecas (Tsa jujmí)
Oaxaca y Veracruz
Kumiai (Kamia o ti’pai)
Baja California
Kanjobal (k’anjobal)
Chiapas
Purépecha (P’urhépechas)
Michoacán
Cucapá (Es-pei)
Baja California y Sonora
Tepehua (Hamasipini)
Veracruz
Chol (Winik)
Campeche, Chiapas y Tabasco
Pápago (Tono ooh´tam)
Sonora
Huave (Mero ikooc)
Oaxaca
Huasteco (Teenek)
San Luis Potosí y Veracruz
Paipai (Akwa´ala)
Baja California
Cuicateco (Nduudu yu)
Oaxaca
Mazateco (Ha shuta enima)
Oaxaca y Veracruz
Quiché
Campeche, Chiapas y Quintana Roo
Yaqui (Yoreme)
Sonora
Mazahua (Jñatjo)
México y Michoacán
Cakchiquel (Cachiquero)
Chiapas
Mame (Qyool)
Chiapas
Tzeltal (K’op o winik atel)
Chiapas y Tabasco
Motocintleco (Mochó o Qatok)
Chiapas
Cora (Naayeri)
Nayarit
Tzotzil (Batzil K’op)
Chiapas
Seri (Konkaak)
Sonora
Popoloca
Puebla
Totonaca (Tachihuiin)
Puebla y Veracruz
Ixcateco (Mero ikooa)
Oaxaca
Triqui (Driki)
Oaxaca
Otomí (Ñahñú o hñä hñü)
México, Hidalgo, Jalisco, Querétaro y Veracruz
Lacandón (Hach t’an o hach winik) (a)
Chiapas
Tepehuano (O’dam)
Durango
Lenguas Mixtecas (Ñuu Savi)
Guerrero, Oaxaca y Puebla
186
Bloque 3
Lenguas
Ubicación geográfica
Lenguas
Ubicación geográ fica
Lenguas
Ubicación geográ fica
Kekchí (k’ekchí o queckchí o quetzchí)
Campeche
Huichol (Wirrárika)
Jalisco y Nayarit
Lenguas Zapotecas (Ben’zaa o binnizá o bene xon)
Oaxaca y Veracruz
Jacalteco (Abxubal)
Chiapas
Tojolabal (Tojolwinik otik)
Chiapas
Maya
Campeche, Quintana Roo y Yucatán
Pima (Otam u o’ob)
Sonora y Chihuahua
Amuzgo (Tzañcue o tzjon noan)
Guerrero y Oaxaca
Náhuatl
Distrito Federal, Guanajuato, Guerrero, Hidalgo, Jalisco, México, Michoacán, Morelos, Oaxaca, Puebla, San Luis Potosí y Veracruz
Ocuilteco (Tlahuica)
México
Chatino (Cha’cña)
Oaxaca
Otras lenguas indígenas de América
Tacuate
Oaxaca
Popoluca (Núntahá’yi o tuncapxe)
Veracruz
Otras lenguas indígenas de México
Chocho (Runixa ngiigua)
Oaxaca
Chontal de Tabasco (Yokot’an)
Tabasco
No especificada
Chuj
Chiapas
Zoque (O’de püt)
Chiapas, Oaxaca y Veracruz
Fuente: CDI-PNUD, Sistema de Indicadores sobre la Población Indígena de México, 2002; CONACULTA, INI. La
Diversidad Cultural de México. Los pueblos indígenas y sus 62 lenguas. México, 1998.
Clasifica en una tabla el número de lenguas indígenas que se habla por entidad federativa. Utiliza tu cuaderno.
Diagramas y tablas
187
Ejercicios de síntesis 1. Hagamos una encuesta. Cada estudiante recopilará la siguiente información y la reunirá después con la que obtengan por su parte cada uno de sus compañeros:
Nombre: Edad: Sexo: Peso: Estatura: Con los datos de todas y todos los alumnos del grupo, ahora hay que llenar esta tabla, se presenta el ejemplo de Juan (bórralo cuando llenes tu tabla): Nombre
Edad
Sexo
Peso
Estatura
Juan
13
H
52 kg
160 m
La información nos permite averiguar algunas relaciones entre las variables. Por ejemplo, si dividimos el peso (en kilogramos) entre el cuadrado de la estatura (en metros) de todas las compañeras de la clase, y hacemos lo mismo con los compañeros, ¿encontraremos alguna similitud o diferencia en los resultados entre hom bres y mujeres? ________________________ 2. Los médicos han estudiado que el número que se obtiene con la operación Peso Altura
2
considerando
Tu peso en kilogramos El cuadrado de tu altura en metros
indica una medida importante para tomar decisiones sobre hábitos alimenticios y patrones genéticos. A tal número se le conoce como índice de masa corporal. Veamos cómo se calcula: Primero obtienes tu peso en kilogramos y tu altura en metros. Luego multiplicas el número que tienes de altura por él mismo, ésta es tu altura al cuadrado.
188
Bloque 3 Después divides tu peso entre tu altura al cuadrado, el número que obtengas lo aproximas con un decimal y te dará tu índice de masa corporal.
Para que la información se transforme en conocimiento, es conveniente que consultes con tus profesores de matemáticas, biología y educación física o con un doctor, cuál es el índice de masa corporal adecuado a tu edad y sexo y cuáles son los hábitos alimenticios y deportivos que debes tener. 3. ¿Conoces más casos donde la información se exprese en tablas de frecuencia? Menciona dos casos. ____________________________________________________
_______________________________________________________________________ Comparte tu respuesta en clase.
¿Me acerco o me a lejo? Imaginemos que vamos a “hacer un viaje” que irá desde la ciudad de México a la Luna. Para ello, utilizaremos una escala que nos permita cubrir ese trayecto “en pocos pasos”: las potencias de diez. El paso de una escena a otra se hace siempre con un factor de escala igual a 10. La altura de donde se percibe la imagen es diez veces menor que la siguiente y diez veces mayor que la anterior. Las figuras muestran nuestro viaje a la Luna.
10 kilómetros
100 kilómetros
10 000 kilómetros
• • • • • •
1 000 kilómetros
100 000 kilómetros
Como resultado del estudio de este bloque se espera que: Interpretes y construyas gráficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas. Compares la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones. Identifiques, interpretes y expreses, algebraicamente o mediante tablas y gráficas, relaciones de proporcionalidad directa. Resuelvas problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números y decimales. Construyas círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas. Justifiques y uses las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo.
189
Lección 24
Gráficas. Tratamiento de la información
E n esta lección aprenderás a interpretar y tratar información de diversas fuentes como periódicos, revistas y otros medios, a través del empleo y construcción de diagramas y tablas.
Estadísticas comparadas Estadística: Selecciona un tipo de datos
Especies amenazadas número
Medio ambiente Categoría: seleccione una categoría
Tasa de deforestación
1300
Especies amenazadas
1200
Densidad de población rural
1100 1000 900 800 700 600
País:
500 México Cuba Estados Unidos
400 300 200 100
Brasil
0
Según recientes estadísticas, cerca de 6 000 especies animales se consideran amenazadas de extinción, porque está disminuyendo el número de individuos que las forman, ya sea porque están destruyéndose sus hábitats debido a la sobreexplotación o porque se ha limitado mucho su área de distribución. La cantidad de especies amenazadas en México, Cuba, Estados Unidos y Brasil se presenta en la anterior gráfica de barras. ¿Cuántas especies están en amenaza de extinción en Estados Unidos? ¿Cuántas especies están en amenaza de extinción en Cuba? ¿Entre Brasil y México, cuál país es el que tiene más especies amenazadas de extinción? Fuente: INEGI. Censo general de población y vivienda
Para aprender Actividad 1 ¿Con cuántas personas vives? Pregunta a tus compañeros y profesor el número de personas con las que habitan y elabora una tabla. Con esta información elabora una gráfica de barras con la frecuencia en que aparece un cierto número de personas.
190
Gráficas. Tratamiento de la información
191
Posiciona en el eje horizontal el número de personas con las que habitan tus compañeros y profesor y en el eje vertical la frecuencia absoluta de cada uno. Recuerda que la frecuencia absoluta es el número de veces que aparece el dato en la lista.
Elabora en tu cuaderno una tabla de la frecuencia relativa para los mismos datos. También diseña una gráfica en la que pongas en el eje horizontal el número de habitantes y en el eje vertical, como altura, la frecuencia relativa. Compara las dos gráficas que obtuviste, la de frecuencia absoluta y la de frecuencia relativa. ¿Qué encuentras entre las dos gráficas, qué diferencias, qué similitudes?
Actividad 2 Gráfica circular En ciudad Guatemala, la capital y ciudad más grande del país con el mismo nombre, se tenía una población en 2001, de 1 022 000 habitantes. Otras ciudades guatemaltecas importantes por su tamaño y su historia son: Quetzaltenango (población estimada
Ciudad
Habita ntes
Guatemala
1 022 000
Quetzaltenango
152 228
Escuintla
114 626
Puerto Barrios
39 379
Mazatenango
43 316
Retalhuleu
40 062
Chiquimula
33 028
Antigua
27 000
Fuente: Microsoft® Encarta® 2006. © 1993-2005.
192
Bloque 4 para 2001, 152 228 habitantes), centro de una región productora de cereales; Escuintla (114 626 habitantes); Puerto Barrios (39 379 habitantes), principal puerto de la costa caribeña; Mazatenango (43 316 habitantes); Retalhuleu (40 062 habitantes); Chiquimula (33 028 habitantes); y Antigua (27 000 habitantes). Construye una gráfica circular para representar esta información. Puedes redondear los números para que los cálculos sean más sencillos, utiliza tu cuaderno.
Actividad 3 La cantidad de habitantes en los continentes A continuación presentamos una tabla del número de pobladores en miles que hay en algunos países del mundo.
País sele ccionado
Tota l (miles)
ÁFRICA
País seleccionado
Total (miles)
AMÉRICA
Kenia
32 849
Uruguay
3 463
Marruecos
31 564
Venezuela
26 640
Sudáfrica
45 323
ASIA
AMÉRICA
China
1 322 273
Argentina
39 311
India
1 069 917
Brasil
182 798
Japón
127 914
Canadá
31 972
Turquía
73 302
Chile
16 185
EUROPA
Costa Rica
4 327
España
41 184
Ecuador
13 379
Francia
60 711
Estados Unidos
300 038
Italia
57 253
MÉXICO
106 385
OCEANÍA
Perú
27 968
Australia
20 092
Fuente: INEGI. México en el mundo, 2005. Aguascalientes, Ags., México, 2005.
Para índice de dependencia y densidad de la población: www.un.org. (30 de agosto de 2005).
Clasifica la información en intervalos de frecuencia con la amplitud que consideres. La idea es tener, por ejemplo, una idea de cuántos países tienen entre 50 001 y 75 000 habitantes, cuáles tienen entre 25 001 y 50 000, y continúa en esa secuencia. Elabora una gráfica de barras con la tabla de frecuencias que diseñaste. Utiliza tu cuaderno.
Gráficas. Tratamiento de la información
193
Los conocimientos Representación gráfica de datos Para representar una serie de datos visualmente, puedes elegir diferentes tipos de gráficas. a) Gráfica de barras y poligonal
Ejemplo: la siguiente gráfica presenta el porcentaje de bosques por continente.
Gráfica de barras
En este caso la altura representa el porcentaje de bosques, y la base al continente. Así al mirar que Asia tiene un rectángulo de altura entre 15 y 10, quiere decir que este continente sólo tiene entre 10 y 15% de bosques. En general, las alturas de las barras pueden representar porcentaje, frecuencia, frecuencia relativa o valores netos.
Gráfica poligonal
La gráfica poligonal presenta las alturas que corresponden por medio de puntos que las determinan y posteriormente son unidas por segmentos de recta. Así como en el caso de gráficas de barras, brinda una información visual muy interesante, por ejemplo, permite mirar cuál dato es más grande o cuál más pequeño. b) Gráfica circular (o también llamada “gráfica de pastel”)
En este tipo de gráficas las medidas de los ángulos son proporcionales a la cantidad representada. Por ejemplo, si en la tabla tuviéramos sólo cuatro datos y todos ellos iguales, tendríamos que colocar un círculo dividido en cuatro sectores iguales como se muestra a continuación.
194
Bloque 4 Si ahora tenemos datos en proporciones diferentes, debemos colocar una re banada del pastel proporcional al dato, si África tiene 22% de bosques, entonces la rebanada del pastel debe tener un ángulo central de tamaño , donde ese valor se obtiene de la proporción / 360 22 / 100. Los programas de computadora permiten hacer los diagramas automáticamente como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: la gráfica circular que se presenta a continuación representa el porcenta je de bosques por continente. Porcenta jes de bosques por región Oceanía 6% África 22%
América 18%
Asia 18% Europa 36%
África Asia Europa América Oceanía
En la gráfica circular podemos presentar la frecuencia absoluta, relativa o porcentaje pero siempre proporcional al ángulo que corresponde. c) Histogramas
Cuando los datos se encuentran agrupados en intervalo de frecuencia la información generalmente se presenta en una gráfica llamada histograma. Esta gráfica se ela bora con barras y en el eje horizontal se tiene normalmente el intervalo de clases o rangos y en el eje vertical la altura que puede ser la frecuencia absoluta, relativa o porcentual que corresponde a cada intervalo. La siguiente gráfica presenta el número de personas que tienen cierta medida de glucosa en la sangre, los valores van desde “menos que 60”, hasta “más que 120”. 50 40 30 20 10 0 <60
60-80
81-100 101-120
Glucosa en mg/dl
>120
Gráficas. Tratamiento de la información
195
Los métodos Construcción de gráfica de barras Tomemos este ejemplo. En la siguiente tabla se presenta el porcentaje de mexicanos que migran a determinados estados de Estados Unidos.
Estados de de stino
Porcentajes
California
48.3
Texas
21.3
Arizona
6.6
Illinois
8.3
Nueva York
3.0
Fase 1 Sobre el eje horizontal ponemos a la misma distancia y en una escala adecuada el nombre de los estados de destino.
Fase 2 Sobre el eje vertical escogemos una escala adecuada para representar los datos. Debes observar el valor numérico de los datos.
Fase 3 Por último trazamos la altura que corresponde a cada uno de los países, es decir la cantidad que corresponde por habitantes.
Porcen ta jes de migrantes
60 50 40 30 20 10 0
Porcenta jes
California Texas
Arizona Ilinois
Nueva York
Gráfica poligonal Para elaborar una gráfica poligonal efectuamos las dos primeras fases señaladas anteriormente, mientras que para la última fase, en vez de representar la altura con una
196
Bloque 4 barra o línea la representamos con un punto y, posteriormente, unimos dichos puntos con líneas, como puedes ver en la gráfica siguiente. Porcenta jes de migrantes
60 50 40 30 20 10 0
ia n r l ifo a C
as x e T
na o z i A r
I l i n
o is
o r k Y va ue N
Construcción de gráficas circulares Pongamos un ejemplo. Humberto anotó en una hoja la lista de actividades que desarrolla durante un día. Tomando en cuenta que el día tiene 24 horas, distribuyó su tiempo de la siguiente forma: 5 horas en la escuela, 8 horas para dormir, 4 horas para hacer la tarea y estudiar, 1 hora de clases de inglés, 2 horas para ver televisión, 3 horas para practicar deporte y 1 hora de aseo personal distribuido en todo el día.
Etapa 1 Considerando que 360° equivalen al 100%, se divide el total de horas entre el tiempo de la actividad que se graficará y se divide 360° entre el resultado. Luego se construye una tabla de proporcionalidad. Actividad
D ormir
Escuela
Deporte
Inglés
Estudia r
Te levisión o juegos
Ase o persona l
Total
Horas
8
5
3
1
4
2
1
24
Ángulo (grados)
120
75
45
15
60
30
15
360
Lo que hacemos es representar en la circunferencia lo que corresponde en ángulos y así distribuir proporcionalmente las cantidades. Sumamos las horas 8 5 3 1 4 2 1 24 Como la medida de un giro de una vuelta completa es de 360º, debemos dividir proporcionalmente esos grados según la parte del día que Humberto destine a cada actividad.
Etapa 2 Con la ayuda de los instrumentos de geometría se traza la circunferencia y se mide el ángulo que corresponda desde el centro de la circunferencia.
A
Gráficas. Tratamiento de la información
197
Histogramas Ejemplo. Capacidad de las botellas A una fábrica de envases de vidrio, un cliente le está exigiendo que la capacidad de cierto tipo de botella sea de 13 ml, con una tolerancia cercana a 1 ml. La fábrica establece un programa de mejora de calidad para que las botellas que se fabriquen cumplan con los requisitos del cliente. Se elabora un muestreo obteniéndose los siguientes datos: 11, 12, 13, 12, 13, 14, 14, 15, 11, 12, 13, 12, 14, 15, 11, 12, 14, 13, 14, 14, 13, 15, 15. Para la elaboración de histogramas primero clasificamos la información en intervalos.
Clase
Intervalo
Frecuencia
Frec. relativa
1
11
3
0.12
2
12
5
0.25
3
13
5
0.25
4
14
6
0.24
5
15
6
0.24
Calculamos la frecuencia absoluta, relativa o porcentual, la que nos convenga, como se ve en la tabla anterior. Seguido posicionamos en el eje horizontal los intervalos. En el eje vertical posicionamos escalas adecuadas para determinar las frecuencias que corresponden a cada intervalo. 12 10 8 6 4 2 0 11
12
13 Intervalos
14
15
198
Bloque 4
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La siguiente gráfica presenta el crecimiento de la población en México durante el periodo 1960-2030. Población en México, 1960-2030 140.00
s 120.00 e t n 100.00 a t i b a h 80.00 e d s 60.00 e n o l l i 40.00 M 20.00 0
196 0
1 970
19 80
199 0 1 995
199 9 2 000
20 01
20 05
2010
20 15 2 020
20 25
203 0
a) ¿Entre qué décadas la población creció más rápido? Compara el crecimiento
visualmente. b) ¿En qué periodo la población creció menos? _____________________________ c) ¿Puedes predecir con esos datos, cómo podría ser el crecimiento en el 2035? Discute tus predicciones con tus compañeros. 2. La siguiente gráfica presenta el porcentaje de habitantes en México por intervalo de edades. Indica en el círculo qué sector corresponde al porcentaje.
Edades
0 a 4 años
5 a 14 años
15 a 24 años
25 a 59 años
60 y más años
Porcentaje
10.4
20.9
19.3
41.7
7.7
INEGI. México en el mundo, 2005. Aguascalientes, Ags., México, 2005. Para índice de dependencia y densidad de la población: www.un.org. (30 de agosto de 2005). Porcentaje por edades
Gráficas. Tratamiento de la información
199
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. La siguiente tabla la presentamos en la lección anterior, en ella se presenta la cantidad de hombres y mujeres en México de 1950 al 2000
Año
Tota l
Hombres
Mujeres
1950a 1960a 1970a 1990 b 1995c 2000 b
25 791 017 34 923 129 48 225 238 81 249 645 91 158 290 97 483 412
12 696 935 17 415 320 24 065 614 39 893 969 44 900 499 47 592 253
13 094 082 17 507 809 24 159 624 41 355 676 46 257 791 49 891 159
Fuente: aDGE. VII (1950); VIII (1960); IX (1970) Censo General de Población.
INEGI. XI (1990); XII (2000) Censo General de Población y Vivienda. c INEGI. (1995) Conteo de Población y Vivienda. Población mexicana según distribución por género. Una posible explicación de por qué hay más mujeres que hombres la puedes encontrar en el sitio: http://www.laflecha.net/canales/ciencia/200407262. b
Construye en tu cuaderno una gráfica de polígono poniendo la información de esta tabla. a) ¿Es mayor o menor la cantidad de mujeres respecto de la de hombres? b) ¿En tu salón de clases o en tu familia se cumple que haya más mujeres que hombres? ______________________ 2. Seis elementos químicos conforman la materia viva: oxígeno, carbono, hidrógeno, nitrógeno, azufre y fósforo. Hay que ordenar dichos elementos en proporción a la contribución que hacen en la conformación de la materia viva. Empieza diseñando una tabla y consigna en ella los elementos químicos ordenados de mayor a menor. Decide primero cuál es el elemento que contribuye mayormente y coloca a los demás en orden descendente. Proporción de elementos químicos previstos en la materia viva
Azufre Carbono Fósforo Hidrógeno Oxígeno Nitrógeno Total
0.64 partes por cada cien 19.37 partes por cada cien 0.73 partes por cada cien 9.31 partes por cada cien 64.81 partes por cada cien 5.14 partes por cada cien 100 partes por cada cien
Construye en tu cuaderno una gráfica de pastel con los datos de esta tabla.
200
Bloque 4
Ejercicios de profundización 1. En un restaurante se ofrecen 8 platillos: 2 sopas (de verdura y de pasta); 4 guisados (estofado de res, pollo, pescado y milanesa); 2 ensaladas (de lechuga y de calabaza) café y té.
Un día miércoles, cuarenta clientes pidieron lo siguiente: Sopas: 30 de verdura y 10 de pasta. Guisados: 13 estofados, 15 pollos, 5 pescados y 7 milanesas. Ensaladas: 25 de lechuga y 15 de calabaza. Café: 35 y Té: 5. a) Calcula el porcentaje por cada tipo, por ejemplo, hay dos tipos de sopas, pero
se pidieron 30 de verduras y sólo 10 de pasta. Así que del total de sopas, qué porcentaje corresponde a la sopa de verduras y cuál porcentaje a la de pasta. Haz lo mismo para los demás componentes del menú: guisados, ensaladas y bebidas. b) Construye para cada tipo de platillo una gráfica circular con los porcentajes de
cada elección. Utiliza tu cuaderno 2. Encuestas recientes del INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática) proporcionaron datos sobre cuáles son las principales causas de muerte de los mexicanos. Analiza el texto y el diagrama para construir una tabla que presente la misma información. Discutan en pequeños grupos sobre la importancia de mostrarla en diagramas y tablas.
Enf. cerebrovasculares Enf. del hígado Accidentes Diabetes mellitus Tumores malignos Enfermedades del corazón
4.9 3.5
7 8.5
4.3
11 14 9.1 11
14.8
14.6
17.6 38.8
Otras
40.9
Hombres
Mujeres
La tabla anterior presenta el porcentaje de defunción en hombres y mujeres y sus principales causas. ¿Cuál es la enfermedad que causa el mayor porcentaje de defunción en mujeres y hombres?__________________ ¿Cuáles son los patrones que encuentras en esta gráfica?_________________
Gráficas. Tratamiento de la información
201
Esperanza de vida en México 90 80 70
d 60 a d e e 50 d s o ñ 40 A
Total Hombres Mujeres
30 20 10 0 1980 1985 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
3. La tabla anterior presenta la esperanza de vida en hombres y mujeres en México.
¿Quiénes tienen la mayor esperanza de vida en México?______________________ ¿La esperanza de vida ha aumentado o disminuido con el paso del tiempo? Discute en equipo por qué consideras que suceda este hecho.
Ejercicios de síntesis 1. En la lección anterior elaboraste una tabla que muestra el índice de masa corporal entre tus compañeros. Ahora, a) elabora ahora una gráfica de los índices de masa corporal de los compañeros
de tu grupo. Utiliza tu cuaderno. b) ¿En qué intervalo de estaturas se presenta un índice mayor de masa corporal?
2. Haz una encuesta y pregunta a 20 personas de tu clase o de tu escuela, por la edad que tienen, y clasifica las edades en intervalos de frecuencia de 2 años. Elabora una gráfica que represente la información anterior. 3. ¿Por qué es importante aprender a interpretar la información a través de tablas y diagramas? Comenta tu respuesta en clase.
Lección 25
Nociones de probabilidad I
En esta lección aprenderás a tratar con la información desde un punto de vista probabilístico, a co-
municar ideas con base en ello, así como a emplear términos y conceptos matemáticos de manera con junta con tus expresiones cotidianas y conocimientos previos.
Cromosomas XX
Cromosomas XY
¿Qué es más probable, que nazca niña o niño? Seguramente has escuchado en los noticieros de radio y televisión expresiones como “tenemos probabilidad alta de que llueva mañana”; “la probabilidad de tener un día soleado este próximo domingo es de 60%”; “en las próximas elecciones, el candidato del partido P tiene pocas posibilidades de ganar”; “un estudio revela que si la elección fuese el día de hoy, tendría una probabilidad de triunfo de 0.19 puntos”. ¿De qué hablan en verdad cuando usan las palabras probabilidad y probable? Por ejemplo, el Diccionario de la Real Academia Española, que puedes consultar en la Web (http://www.rae.es/), ofrece la siguiente definición de probable: probable. (Del lat. Probabilis).
1. adj. Verosímil, o que se funda en razón prudente. 2. adj. Que se puede probar. 3. adj. Dicho de una cosa: que hay buenas razones para creer que se verificará o sucederá. El propósito de esta lección es estudiar desde el punto de vista matemático el significado y uso de la probabilidad. Una de las características principales del mundo contemporáneo radica en que la toma de decisiones se basa en el análisis de la información. Por tal motivo, resulta fundamental tener a la mano herramientas y nociones probabilísticas, estadísticas y, en términos más generales, disponer de formas eficaces para el manejo de la información.
Para aprender 202
Tratar con el azar es una característica distintiva de nuestras vidas. En muchas ocasiones estamos ante sucesos de los que no sabemos con exactitud cuál será su desenlace final, aunque conozcamos la totalidad de desenlaces posibles. Nunca se sabe, por
Nociones de probabilidad I
203
ejemplo, quién ganará en la final de un torneo de futbol, aunque estamos seguros de que habrá un ganador. No sabemos con certeza si al lanzar una moneda al aire alguien nos la robará en pleno vuelo (lo cual es una broma). No sabemos con certeza si al lanzar una moneda al aire caerá águila, pero sí que saldrá águila o sol. Sabemos que al tirar un dado obtendremos como resultado alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, pero no cuál de ellos aparecerá cara arriba. Sabemos que el riesgo de padecer cáncer de pulmón es un 90% más alto en fumadores que en no fumadores, pero no si una persona en lo particular padecerá de cáncer de pulmón.
Actividad 1 El azar ¿Recuerdas cómo aprendiste a registrar el resultado de distintos juegos, determinar si eran de azar y hasta a predecir resultados? a) Consulta en un diccionario el significado de la palabra azar. Discute con tus compañeros lo que entendiste por ella. b) Busquen en sus enciclopedias el significado de las palabras probabilidad y aleatorio. Si localizan distintas interpretaciones, comenten en pequeños grupos lo que entienden por cada una de ellas. c) Formen equipos de tres compañeras y compañeros y exploren diferentes situaciones donde el azar esté presente. Intenten encontrar qué es lo seguro de la situación y qué lo aleatorio.
Actividad 2 El juego de dados Formen parejas con sus compañeros para jugar el juego de los dados. El juego consiste en lanzar dos dados a la vez dos veces seguidas, tratando de anticipar todos los resultados posibles. Después, tira los dados y observa si el resultado está comprendido entre los que pensaste como posibles. Puedes utilizar diagramas de árbol o rectangulares.
Actividad 3 La encuesta en el grupo Llevemos a cabo una encuesta. Cada estudiante deberá recopilar la siguiente información y reunirla con la de sus compañeros en una tabla.
Nombre: Sexo:
204
Bloque 4 Con los datos de todas y todos los alumnos del grupo, contesta lo siguiente: ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un nombre de la lista, éste sea hombre?___________________ ¿Cuál la probabilidad de que sea mujer?_________________ Supongamos que en nuestro grupo hay 30 mujeres y 20 hombres. Entonces, nuestra tabla podría quedar:
Nombre
Sexo
Nombre
María del Carmen
Femenino
José Antonio
Masculino
Eusebio
Masculino
Octavio
Masculino
Luz María
Femenino
Se xo
Al completar la tabla, tenemos 30 mujeres y 20 hombres. La probabilidad de elegir un hombre al azar es 20 2 0.4 50 5
A la razón
número de alumnos hombres en el grupo total de alumnos en el grupo (mujeres y hombres)
Nociones de probabilidad I
205
se le llama probabilidad empírica, la cual se obtiene al dividir dos números. En el ejemplo anterior se interpreta como la probabilidad de que, ante la experiencia aleatoria de elegir un alumno de la clase, éste sea hombre o mujer. Recibe el nombre de empírica porque concierne a una medida basada en la experiencia y la toma de datos. Comenta con tus compañeros de clase sobre el hecho de que si en el ejemplo anterior calculásemos la relación que hay entre la probabilidad empírica de elegir a un compañero o compañera; si la probabilidad de elegir un hombre es p 0.4 ahora calcula la de elegir a una compañera: p _____. Explica el hecho de que estos dos números sumen 1.
Actividad 4 Riesgo de muerte Las encuestas y los censos ofrecen información relevante sobre el comportamiento de los miembros de una sociedad y de ésta en su conjunto. Según el INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática), las principales causas de muerte claramente localizadas en las y los mexicanos son: las enfermedades cerebrovasculares, las del hígado, las derivadas de accidentes, la diabetes mellitus, los tumores malignos, las enfermedades del corazón y otras más no localizadas o con proporciones muy pequeñas. Discute con tu maestro o maestra de biología cómo prevenir algunas enfermedades mediante hábitos alimenticios y ejercicio. Distribución porcentual de la s defunciones por principales causas de mortalidad por sexo, 2001 Enf. cerebrovasculares Enf. del hígado
4.9 3.5
Accidentes Diabetes mellitus Tumores malignos Enfermedades del corazón
7 8.5
4.3
11 14 9.1 11
14.8
14.6
17.6 38.8 40.9
Otras Hombres
Mujeres
Calcula la probabilidad empírica de que una mujer fallezca a causa de tumores malignos y que el deceso de un hombre se deba a la diabetes. Considera que la tabla da el porcentaje de muertes sobre el 100% de personas.
Actividad 5 Vínculos con otras ciencias Busca en tu libro de biología frases del tipo “es probable que. . .”, “es posible que. . .”, “no tenemos certeza. . .”. Discute con tus compañeros por qué esas frases plantean ex periencias o experimentos aleatorios. Recuerda que en un experimento aleatorio (como el de los volados) no es posible conocer de antemano sus resultados o sucesos.
206
Bloque 4
Actividad 6 ¿Cuál es el destino de los emigrantes? Sabemos que en los últimos años se ha incrementado la migración de mexicanos a los Estados Unidos en busca de empleo. ¿Pero podríamos saber si la probabilidad de que un emigrante llegue a San Diego es más alta con respecto a Los Ángeles? Utiliza la siguiente tabla de frecuencias. Ciudades con mayor población de origen mexicano, no necesariamente nacida en México
Ciudad
Población de origen hispano
Los Ángeles
4 327 574
San Antonio
875 130
Houston
772 002
Chicago
692 020
San Francisco
675 378
Mc Allen
668 440
Dallas
571 581
El Paso
550 849
Fresno
534 285
San Diego
516 096
Total
10 183 355
Nota: Las cifras incluyen residentes permanentes, residentes temporales e indocumentados. Fuente: Estudio de la SRE, 1996.
Actividad 7 En la bolsa de las sorpresas En una bolsa de estraza hay diez canicas negras y diez blancas. Sacamos una canica y vemos su color, registramos el resultado en una tabla y la regresamos a la bolsa, la cual revolvemos un poco y volvemos a sacar, sin ver, otra canica. Registramos su color y así seguimos. De este modo, se obtiene la siguiente lista: Extracción número
1
2
3
Negras
N
N
N
Blancas
4
5
6
7
8
9
N B
B
B
B
10
11 12
N B
13
14
N B
B
15
16
N
N
B
17
18
19
20 N
B
B
B
Extracción núme ro 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Negras Blancas
N
N B
N
N B
N B
B
B
N B
B
B
B
N
N B
N B
Nociones de probabilidad I
207
Calcula la probabilidad empírica de extraer una canica negra de la bolsa y la de extraer una blanca. Expresa la probabilidad en fracciones y decimales, y confirma si la suma de la probabilidad de sacar una canica blanca más la probabilidad de sacar una negra siempre es 1.
Actividad 8 Una llamada telefónica a la Cámara de Diputados Supongamos que tenemos la lista de teléfonos de cada uno de los diputados y de las diputadas. Si eliges un nombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que te conteste al teléfono una mujer diputada? Diputados por género, partido político independientemente de la vía de representación LIX Legislatura Cámara de Diputados.
PAN PRI PRD PVEM Convergencia PT Sin partido Total
Mujere s
Hombre s
Total
Proporción de mujeres diputadas respecto al total
50 42 43 4 0 0 5 144
98 162 54 13 5 6 18 356
148 204 97 17 5 6 23 500
34% 21% 44% 24% 0% 0% 22% 29%
Los conocimientos Después de trabajar con algunas situaciones probabilísticas, podemos decir que la pro babilidad es la rama de las matemáticas que trata de los experimentos aleatorios; en tal sentido, explora la incertidumbre y busca sus regularidades. El concepto de probabilidad, como las demás nociones científicas, evolucionó con el paso del tiempo; aunque su origen se atribuye a los juegos de azar, su utilidad en otros campos del conocimiento se fue dando paulatinamente. A mediados del siglo XIX, Gregor Mendel inició los estudios de la herencia y la genética. Su obra La matemática de la herencia fue una de las primeras y más importantes aplicaciones de la teoría de la probabilidad a las ciencias de la naturaleza. La noción frecuencial de la probabilidad emplea la idea de frecuencia relativa, como ya hemos visto: Número de veces que aparece un resultado Frecuencia relativa ——————————————————— Número total de observaciones
208
Bloque 4 Ejemplo. El juego de los estados de ánimo. Martha e Iván realizaron una experiencia aleatoria en la que tenían que sacar al azar un papelito de tres, que habían puesto en una urna no transparente. Antes ha bían escrito en los papelitos una palabra: en el primero “alegre”, en el segundo “triste” y en el último “aburrido”. El juego consistía en pronunciar el nombre de un amigo o una amiga y, al decirlo, completaban la frase: “fulanito. . . está. . .” Después de jugarlo 36 veces, registraron en una tabla los resultados:
Resultado
Alegre
Triste
Aburrido
Frecuencia absoluta
14
10
12
Frecuencia relativa
14 36
10 36
12 36
Si en lugar de extraer el papelito 36 veces lo sacaran cien o doscientas, los porcen1 tajes se parecerían más entre sí; éstos serían muy cercanos a . Este resultado es la 3 probabilidad empírica de cada uno de los resultados. Por ejemplo, la probabilidad empírica de que al sacar un papelito tenga la palabra “alegre” es de 1 . 3 La probabilidad empírica mide y describe, de manera aproximada, qué tan pro bable es un evento (lo que ocurre), y se obtiene mediante la experimentación (repetir la experiencia). Frecuencia absoluta Probabilidad empírica: Total de observaciones
Los métodos Ejemplo Rosa Isela y Gisela juegan a los dados. Ambas son compañeras en la secundaria y planean continuar sus estudios, ambas desean ser médicos. El juego consiste en tirar dos dados y sumar los números que marque cada dado. Si al tirarlos aparece, por ejemplo:
la suma será 3. De manera que cada una de ellas debe escoger un número de entre los que aparecen en la lista: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Luego, van a tirar cincuenta veces el par de dados y a registrar sus resultados en una tabla, ganará quien escoja el
Nociones de probabilidad I
209
número que aparezca más veces en la tabla de frecuencias absolutas. Queremos saber qué elección es más probable de triunfar.
Método 1 Probabilidad con ayuda del conteo Se colocan en una tabla todas las combinaciones de resultados posibles y se cuentan las veces que aparece cada una de ellas en la lista. Entonces, se calcula la probabilidad empírica y se sabrá qué suma es la más probablemente ganadora.
Dado 1
2 o d a D
1
2
3
4
5
6
1
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
2
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
3
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
4
4, 1
4, 2
4, 3
4, 4
4, 5
4, 6
5
5, 1
5, 2
5, 3
5, 4
5, 5
5, 6
6
6, 1
6, 2
6, 3
6, 4
6, 5
6, 6
Método 2 Probabilidad con ayuda de fórmulas Imagina cuántas posibilidades tienes de obtener un dos . . . sólo una: que aparezca en las dos caras un 1. ¿Cuántas posibilidades hay de que salga un 3? . . . sólo dos: 2 1 y 1 2. ¿Cuántas existen de obtener un 7? . . . El 7 aparece 6 veces porque tiene la pro babilidad 5 4 3 2 6 más alta, ya que es más grande que , , y . 36 36 36 36 36 Esta razón se expresa como: Probabilidad de un evento: número de resultados favorables número de resultados posibles
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La fábrica de tornillos La Choya produce mil tornillos al día; de ellos, algunos siempre salen defectuosos, lo cual se considera normal.
210
Bloque 4 La siguiente tabla muestra la cantidad de tornillos que el responsable de la producción de la fábrica La Choya detectó como defectuosos durante varios días.
Día
Número de piezas defectuosas
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Promedio
35 50 60 45 40 30 43.3
Supongamos que compramos cien tornillos y que, en promedio, por cada mil, cuarenta resultan defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los que adquirimos salga defectuoso? ___________________________________ 2. Intenta hacer los siguientes ejercicios de manera mental. a) Al lanzar dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos águilas? b) Al tirar una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila? c) Al tirar una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un
águila o un sol? d) Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un cinco? e) ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un seis o un cinco? f ) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un siete?
Ejercicios para consolidar los conocimientos Utiliza tu cuaderno para responder las preguntas. 1. Calcula la probabilidad de obtener una carta roja en una: a) baraja española (40 cartas, copas, oros, bastos, espadas), b) baraja inglesa (52 cartas, diamantes, corazones, picas, tréboles).
2. Encuentra la probabilidad empírica de que en tu salón haya un compañero de 13 años de edad.
Nociones de probabilidad I
211
Ejercicios de profundización 1. Supongamos que tenemos en una bolsa canicas rojas, azules y blancas. No sabemos cuántas hay en la bolsa ni cuántas de cada color. Se agita la bolsa y se saca una canica, se anota su color y se regresa a la bolsa; se revuelve de nuevo y así se sigue durante cien veces. Los resultados obtenidos fueron:
Roja
Azul
Bla nca
26
34
40
Con base en estos datos, ¿cuál consideras que será la probabilidad de que al realizar nuevamente una extracción la canica sea roja, cuál de que sea azul y cuál de que sea blanca? Anota las respuestas en tu cuaderno. 2. En una fábrica, el inspector de calidad encontró 15 piezas dañadas de una muestra de 2 000. ¿Cuál crees que sea la probabilidad de hallar una pieza no dañada?
Ejercicio de síntesis 1. ¿Cómo puedes determinar la probabilidad de que llueva este día? Comenta tu respuesta en clase. 2. Construye en tu cuaderno un problema que plantee una situación con datos de frecuencias absolutas, en el que el resultado de la probabilidad sea 1 . 2
Números con signo
Lección 26
E n esta lección aprenderás a manejar los números con signo y a representarlos en la recta numérica. El ca lenta miento de la Tierra La temperatura media de la Tierra ha aumentado en los últimos años a causa, principalmente, del efecto invernadero. Este fenómeno se origina cuando se acumulan gases contaminantes, sobre todo CO2 (dióxido de carbono), los cuales provocan que el calor absorbido por la atmósfera no se libere y, en consecuencia, aumente la temperatura. Entre sus efectos potenciales están el aumento del nivel del mar, que ha inundado zonas ba jas, el cambio de clima en algunas regiones del mundo, la desertización del suelo, huracanes y tormentas. El efecto invernadero más intenso se ha identificado en Venus, ya que su superficie alcanza temperaturas hasta de 460 °C y su atmósfera tiene 96% de CO2.
Ca mbio globa l de temperatura s 1995-2004
–
–
–
–
Escala que indica los grados en que ha aumentado la temperatura en la Tierra de 1995 al 2004, respecto al periodo 1940-1980 En la imagen aparecen en diversas tonalidades de rojo los lugares donde ha aumentado la temperatura.
212
Números con signo
213
Para aprender Actividad 1 Cuestión de temperaturas El 13 de septiembre de 1922 se registró en la ciudad de Azizia, Libia, una temperatura de 57.8 ºC, mientras que el 21 de julio de 1983 el termómetro llegó a los 89 ºC en la estación rusa Vostok, en la Antártida . . . ¿Te gustaría experimentar tanto frío o tanto calor? ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre la ciudad de Azizia y la estación rusa Vostok? En 1993, el promedio anual de temperatura en la estación meteorológica Plateau, en la Antártida, fue de 57.6 ºC, mientras que en Azizia fue de 57.8 ºC. ¿Hu bo una diferencia de 0.2 ºC entre estas temperaturas? Comenta con un compañero si este razonamiento es correcto o no lo es.
Actividad 2 La temperatura de la Tierra La imagen que aparece en la página anterior muestra una comparación del aumento de las temperaturas promedio que hubo en la Tierra de 1995 a 2004 con respecto al periodo 1940-1980. a) Identifica y marca en un mapa las regiones del mundo donde el aumento de tem-
peratura fue de 1 ºC. b) En el mismo mapa identifica y marca las regiones donde no se ha registrado au-
mento en la temperatura; es decir, se ha mantenido igual desde el periodo que va de 1940-1980. c) Identifica y marca en el mapa las regiones donde se registró una disminución de
temperatura de 1 ºC. d) En la base Esperanza, de la Antártida argentina,
la temperatura media en 1980 fue de 20 ºC. Con base en la información sobre el aumento global de temperatura, estima cuál es su temperatura actual. e) ¿Qué cambios ha sufrido la temperatura en
México? f ) En el mapa, ¿qué indican las regiones en blanco?
Actividad 3 Lectura del termómetro Un termómetro es un instrumento que mide la temperatura. Existen tres escalas de medida, pero la más usada mundialmente es la “Celsius”, que se representa como °C.
214
Bloque 4 ºC 50 40 30 20 10
En esta escala, el punto de congelación del agua es de 0 °C y el punto de ebullición de 100 °C, estando a presión atmosférica del nivel del mar. Marca en el termómetro las temperaturas 10 ºC, 8 ºC, 5 ºC, 0 ºC, 1 ºC, 5 ºC.
0
-10 -20 -30 -40
Actividad 4 Miremos de arriba hacia abajo En 1931 el físico Auguste Piccard logró elevarse 15 781 metros sobre el nivel del mar viajando en una cápsula presurizada colgada de un globo. Seis años después presentó un invento: el batiscafo, una cabina resistente a la presión del agua con la que se podrían explorar las profundidades del mar, y cuyo sistema era igual al de un globo estratosférico, pero a la inversa.
Fosa de las Marianas
El 23 de enero de 1960, con el batiscafo Trieste, Jacques Piccard y Don Walsh alcanzaron una profundidad aproximada de 11 000 metros del nivel del mar en la sima Challenger de la fosa de las Marianas, en el océano Pacífico. a) ¿A qué altura del nivel de mar se encuentra una lancha?________________ b) El mar Muerto, situado entre Israel, la región de Cisjordania y Jordania, se en-
cuentra a 416.5 metros bajo el nivel del mar, y su profundidad máxima está estimada en 396 metros. ¿A cuántos metros del nivel del mar está el fondo del mar Muerto? ___________________________________________________ c) En 1949, el italiano Raimoindo Bucher hizo una inmersión en el mar, alcanzan-
do una profundidad de 30 metros. El ruso Guennadi Misan tiene el récord de inmersión, al descender 154 metros. ¿Cuál es la diferencia entre las profundidades alcanzadas por cada quien? _________________________________
Actividad 5 Ganancias y pérdidas Andrea tiene un negocio de venta de libros por Internet. En su primer año tuvo un saldo de $6 000.00, en el segundo de $3 000.00 y en el tercero un saldo de $15 000.00.
Números con signo
215
• ¿En qué año hubo mayor ganancia?________________________ • ¿Cuál fue el año que tuvo más pérdidas?___________________ • Señala la diferencia de saldos entre el primer y el tercer año.______________ • Si consideras los tres años en conjunto, ¿Andrea ha ganado algún dinero por la venta de libros?_____________________
Los conocimientos Números con signo Debido a que en la medición de la temperatura los números naturales, es decir, el 1, 2, 3, 4, 5, . . . , son insuficientes para expresar los grados bajo cero, y el cero mismo, fue necesario incorporar a los números negativos y al cero en la escala de medida. El cero es el punto de referencia, ya que antes del cero ubicamos a los negativos y después del cero a los positivos. Los números negativos se distinguen de los positivos por el signo de menos ( ) que les antecede, mientras que por lo general a los positivos no se acostumbra colocarles el signo de más ( ).
Representación en la recta Los números negativos y positivos pueden ubicarse en la recta numérica para observar su orden y posición. A la izquierda El número del cero ubicamos de referencia a los negativos es el cero
6
5
4
3
3.5
2
1
1 4
A la derecha del cero ubicamos los positivos
0
1
2
3
2
4
5
1 3
En la recta, los números están ordenados de menor a mayor. Por ello, al comparar dos números siempre será mayor el que esté a la derecha. Ejemplos: • 1 y 1 no son iguales, ya que 1 está a la derecha de 1 • De
1 4
1
1
4
4
y ,
es mayor porque está a la derecha de
1 4
Números opuestos y valor absoluto Observa que el 1 y el 1 están a la misma distancia del cero, al igual que el 2 y el 2, el 3 y el 3, etc. Cada par de números tiene el mismo número, pero con signos opuestos o contrarios. Por tanto, el 5 se llama el número opuesto de 5, y 3 es el opuesto de 3.
216
Bloque 4 En la recta numérica el punto de referencia es el cero, ese es nuestro origen. Podemos calcular siempre qué tan lejos estamos de él, a esa práctica de hablar de la distancia al origen le llamamos valor absoluto del número. Por ejemplo, para obtener el valor absoluto de 5 se requiere conocer la distancia que existe entre el 5 al 0, el origen. La distancia es 5. Decimos entonces que el valor absoluto de 5 es 5. La operación valor absoluto se indica de varias formas, la más usual es mediante el empleo de dos barras verticales que rodean al número como se muestra a continuación. Por ejemplo |3|, |3|, |0|. |3| 3, se lee “valor absoluto de 3 es 3”.
Los métodos Ubicación de números con signo en la recta numérica a) Se ubica al cero como número de referencia (origen). b) A la izquierda del cero se ubican los números negativos, los números menores que
0, a los que identificamos con el signo menos ( ). c) A la derecha del cero se ubican los números positivos, los números mayores que 0. Números negativos
Números positivos Origen
Valor absoluto Para obtener el valor absoluto hay que tomar el número positivo, sin el signo en el caso de los negativos. |5| 5 o
1
5
1
5
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Ubica en la recta numérica a los números: 0, 2, 4, 5, 4. 0
2. Haz una estimación y escribe los números que corresponden a los cuadros señalados sobre la recta numérica. 2
1
Números con signo
217
3. Ubica en la recta numérica, tres números que estén entre los dos que se indican. 0
4 1
1
2
2
1.5
0.3
0
4. Obtén el valor absoluto de los siguientes números:
|2|
|0.05|
|34| 3
7
3
2 3
5. Completa el siguiente cuadro.
Número
Va lor absoluto
Opuesto
3
4 5
1 6. Descubre los números para cada caso. a) Es un número negativo; su valor absoluto es 1._________________ b) Es un número positivo; su opuesto es 3.______________________ c) Es un número negativo; su valor absoluto sumado con 1 da 5.____________ d) Es un número positivo; su opuesto es
3 .____________________ 2
218
Bloque 4
Ejercicios para consolidar los conocimientos Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Escribe una suma de un número positivo y un negativo cuyo resultado sea cero. 2. ¿Cuál es el único número que es igual a su opuesto? 3. Realiza lo que se indique: a) Ubica el número 3.5 en la recta numérica. b) Ahora súmale 1.5 y el resultado ubícalo en la recta. c) Ahora réstale 2.5 y sitúa ese nuevo número en la recta. d) Finalmente marca en la recta el opuesto a tu resultado. 3 4. Localiza los siguientes números en la recta numérica: 1, 3.4, , 0.5, 5. 6 Después, ordénalos de menor a mayor. 5. Sitúa en la recta numérica un número que esté comprendido entre el 0.5 y 0.6. Luego, suma a ese número el 3.3 y marca el resultado en la recta numérica.
Ejercicios de profundización Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Escribe siete números cuyo valor absoluto esté comprendido entre 3 y 8, ambos incluidos. 2. Escribe el número que falta en las operaciones siguientes:
1 un numero positivo
1 un numero negativo
1 cero
3. Escribe en el cuadro el número que hace falta para que se cumpla la igualdad:
33
2
4
0 8
4. Suma 3 números cuyo resultado sea cero. ¿Habrá otros? 5. La siguiente tabla muestra las temperaturas mínimas en la ciudad de Toluca, Estado de México, durante el mes de diciembre del 2005.
Fecha 10 diciembre 11 diciembre
Temperatura 3 °C
2.4 °C
12 diciembre
13 diciembre
1.5 °C
14 diciembre
1 °C 4 °C
Números con signo
219
a) ¿Qué mañana fue la más fría durante ese diciembre? b) ¿Qué mañana fue la menos fría en esos días? c) ¿Cuál fue la diferencia de temperaturas, entre la mañana más fría y la menos
fría? d) Ordena las temperaturas de mayor a menor en una recta numérica.
Ejercicio de síntesis 1. En la ciudad de Hermosillo, Sonora, la temperatura promedio en las madrugadas de diciembre del 2005 fue de 8 °C, mientras que en las madrugadas de julio del mismo año fue de 8 °C.
¿Cuál fue la diferencia de temperaturas promedio entre diciembre y junio? –––––––––––––––––––––––––––––––––––– Si marzo queda a la mitad entre diciembre de un año y junio del siguiente año, entonces ¿crees que la temperatura promedio en las madrugadas de marzo del 2005 fue de 0 °C? Comenta con tus compañeros la validez lógica de esta inferencia. 2. ¿Conoces otros usos de los números con signo negativo? Menciónalos en clase.
Potenciación y radicación
Lección 27
En esta lección, aprenderás a resolver problemas que requieran del cálculo de la raíz cuadrada y del empleo de la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Las siguientes fotografías han sido tomadas desde un satélite. Cada fotografía muestra cómo se vería una ciudad desde diferentes alturas: 10 km, 100 km, 1 000 km, 10 000 km, 100 000 km. La altitud en cada una de las fotografías se calcula multiplicando la altitud de la fotografía anterior por 10.
10 kilómetros
100 kilómetros
10 000 kilómetros
1 000 kilómetros
100 000 kilómetros
Para aprender Actividad 1 La población mundial Representa en notación desarrollada los siguientes números:
Dato
Número
Población mundial en enero de 2006, según un contador de la Web
6 525 486 603
Población de China hasta el 6 de enero de 2004, según Wikipedia
1 300 000 000
Población de México en 2005, de acuerdo con el Consejo Nacional de Población ( Conapo)
106 451 679
Número de mexicanas en 2005, según el Conapo
53 522 389
Número de mexicanos en 2005, según el Conapo
52 929 290
220
Notación desarrollada
Potenciación y radicación
221
Actividad 2 Cosas pequeñas La siguiente tabla contiene las medidas de algunos animales y cosas pequeñas. Completa la tabla, expresando la medida como una fracción de centímetro.
Tamaño
Fracción de centímetro
Tamaño de un microbio
0.000004 mm
Tamaño de un virus
0.00000002 cm
Tamaño de los glóbulos rojos
0.00000075 cm
Tamaño de una bacteria
0.00000002 cm
Diámetro del ADN
0.00000000002 cm
Diámetro de un protón
0.0000000000000001 cm
Masa de un neutrón
0.00000000000000000000000000017 kg
Actividad 3 Curva de Koch En 1904, Niels Helge von Koch definió a la curva que hoy lleva su nombre. Como muestran las siguientes figuras, esta curva se forma partiendo de un segmento de longitud de 1 m, que es dividido en tres partes iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño y, sucesivamente, se repite el mismo proceso por cada segmento formado.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
• Calcula qué longitudes tendrá la curva de Koch en los pasos 11 y 13. Utiliza tu cuaderno
Actividad 4 Cuadratura de un rectángulo Los babilonios y los griegos calculaban el área de una figura o terreno construyendo un cuadrado que tuviera su misma área. Todavía hoy utilizamos al cuadrado como unidad de medida del área; por eso hablamos de centímetros cuadrados o metros cuadrados. Esta actividad consistirá en construir una sucesión de rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado, que se aproximarán al área del siguiente rectángulo:
4
40
10
222
Bloque 4 El primer paso es calcular el promedio de las longitudes de los lados del rectángulo y construir otro rectángulo, donde uno de sus lados tenga como longitud a ese pro10 4
14
7 , uno de los lados tendrá una longitud de 7 y el otro medio. Como 2 2 será el resultado de dividir el área entre la longitud de dicho lado. Así, el segundo lado medirá 5.714. Ahora, tenemos el siguiente rectángulo:
Área aproximada 40 unidades cuadradas
5.714
7 Para encontrar el siguiente rectángulo, debemos repetir el procedimiento: 1) calcular el promedio de los lados del rectángulo anterior y 2) calcular las dimensiones del rectángulo, donde uno de sus lados tenga el promedio hallado. • Si se sigue tal procedimiento, ¿qué dimensiones tendrá el rectángulo en el paso 5? ¿Y cuáles en el paso 6?__________________________________________ • ¿Qué les pasa a los rectángulos durante este procedimiento?______________
Los conocimientos Potencias y exponentes La potencia de un número dado es el resultado de una multiplicación sucesiva por sí mismo. Así: Exponente
25 32
Potencia
Base
5 5 5 5 5 5 5 5 puede escribirse como 58 y 25 2 2 2 2 2 32
Potenciación y radicación
223
La expresión de la potencia de un número consta de dos partes: a) La base: es el número que se multiplica por sí mismo. b) El exponente, que es el número que indica las veces que la base aparece como
factor. Una potencia se escribe poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha, se escribe el exponente en un tamaño más pequeño. Ejemplos: 58, 25. Para nombrar o leer una potencia, decimos primero el número base y después lo concerniente al exponente. Por cuestiones históricas, cuando el exponente es 2, se expresa como “elevado al cuadrado”; cuando es 3, “elevado al cubo”; en los demás casos, se dice “elevado a la cuarta, a la quinta, a la sexta, a la séptima, a la octava potencia”, etc. En lo que sigue, mostraremos algunos números naturales y decimales con algunas de sus potencias. Una potencia es un modo abreviado de escribir el producto de un número por sí mismo. Algunos cálculos que hiciste en las Actividades previas pueden abreviarse con la notación baseexponente.
Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número dado es aquel número que da el número dado al multiplicarlo una vez por sí mismo. Esta operación se representa con el símbolo . El número al que queremos calcular su raíz cuadrada se llama radicando. Geométricamente, la operación de la raíz cuadrada de un número equivale a calcular la longitud del lado de un cuadrado cuya superficie mida el número dado. Esto se debe a que el área del cuadrado es lado lado (lado)2. Así, escribimos: •
25 5
porque 52 25
•
49 7
porque 72 49
•
porque (0.1)2 (0.1) (0.1) 0.01 0.01 0.1
•
•
1.44 1.2
4 25
2
5
porque (1.2)2 1.44
2 2 2 2 4 porque 5 5 5 25
Se dice que la operación de calcular la raíz cuadrada de un número es la operación inversa de calcular el cuadrado del número, ya que si calculamos la raíz cuadrada de un número y su resultado lo elevamos al cuadrado, volveremos al número original. Por ejemplo, si el 5 elevado al cuadrado da 25 y al sacarle raíz cuadrada al 25 da 5. 2
5
25
5
224
Bloque 4 Raíz cuadrada como número decimal El número 62 no es el cuadrado de un número natural ¿por qué? El 62 está comprendido entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos, 7 2 y 82, ya que 49 62 64. Por tanto, la raíz cuadrada de 62 quedará entre 7 (raíz cuadrada de 49) y 8 (raíz cuadrada de 64): 7 62 8. Así diremos que 7 es la parte entera de la raíz cuadrada de 62. Si deseamos conocer las décimas de
62
, podemos analizar la siguiente tabla:
Número
Cuadrado
7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8
49 50.41 51.84 53.29 54.76 56.25 57.76 59.29 60.84 62.41 64
De lo cual se sigue que 7.8 es decir: 7.8
62
7.9, o que
62
es, aproximadamente, 7.8;
Si deseamos saber cuáles son las centésimas de guiente tabla:
62
Número
Cuadrado
7.8 7.81 7.82 7.83 7.84 7.85 7.86 7.87 7.88 7.89 7.9
60.84 60.9961 61.1524 61.3089 61.4656 61.6225 61.7796 61.9369 62.0944 62.2521 62.41
, podemos analizar la si-
Potenciación y radicación De ahí que 7.87
62
7.88, o que
62
225
7.87
Se puede continuar con el proceso, dependiendo de la cantidad de cifras decimales de precisión que se desee o cuando se encuentre la raíz cuadrada exacta.
Raíz cúbica La raíz cúbica de un número dado es un número que al multiplicarse por sí mismo tres veces da el número dado; esta operación se representa con el símbolo . Por ejemplo 8 2 ya que 2 2 2 8 3
3
Así, escribimos que: •
3
125 5
•
3
27 3
•
3
porque 53 125
•
3
2.197 1.3
porque (1.3)3 2.197
porque 33 27
0.001 0.1
porque
•
(0.1)3 0.001
125 27
5 5 5 5 125 porque 3 3 3 3 27 3
5
3
Contacto con el álgebra Potencia enésima (n-ésima)
La representación de un número natural cualquiera puede abreviarse con la letra n, mientras que otro número, ya sea fraccionario o decimal, puede escribirse con la letra b (base). Entonces, la potencia n del número b se escribe: bn b b b · · · b b aparece n veces
De la misma manera, si r (radicando) representa un número cualquiera, fraccionario o decimal, la raíz de índice n del número r (siendo r positivo o cero), que llamaremos b, puede escribirse como: n
r
b
, si ocurre que b
n
r
Los métodos Cálculo de raíces cuadradas por el método babilónico El método babilónico para la extracción de la raíz cuadrada de un número dado consiste en buscar la longitud del lado de un cuadrado cuya área sea el número dado. Ejemplo: Calcular
52
, con precisión de dos cifras decimales.
En la página siguiente te damos el procedimiento.
226
Bloque 4 Paso 1 Dibujamos un rectángulo cualquiera de área 52. Podemos comenzar con lados 1 y 52, 2 y 26 o 4 y 13. Comenzaremos con este último.
4
Área 52 13
Primera aproximación:
52 ≅ 4
Se determinan las dimensiones (base y altura) de un rectángulo cualquiera, cuya área sea el radicando. La primera aproximación será aquella dimensión del rectángulo que, al elevarla al cuadrado, sea menor que el radicando.
Paso 2 Como
13 4 2
17
2
8.5, uno de los lados del segundo rectángulo tendrá una de lon-
gitud 8.5, y el otro deberá medir aproximadamente 6.117 (ya que 8.5 51.9945 52).
6.117
8.5
Área
52
6.117
Segunda aproximación: 52 ≅ 6.117
Se calcula el promedio de las longitudes de los lados en el rectángulo del Paso 1 y se determinan las dimensiones de otro nuevo, donde uno de sus lados tenga por longitud este promedio y el área aproximada sea el radicando. La segunda aproximación será aquella dimensión del rectángulo que, al elevarla al cuadrado, sea menor que el radicando.
Paso 3 Como
8.5 6.117 2
14.617
2
7.3085, uno de los lados del tercer rectángulo tendrá
longitud 7.3085, y el otro deberá medir aproximadamente 7.115 (ya que 7.3085 7.115 52). 51.999
7.3085
Área
7.115
52
Tercera aproximación: 52 ≅ 7.115
Potenciación y radicación
227
Se prosigue el procedimiento descrito en el Paso 2, dependiendo de la cantidad de cifras decimales de precisión que se desee, o cuando se encuentre la raíz cuadrada exacta.
Paso 4 Como 7.3085 7.115 14.423 7.2117 uno de los lados del cuarto rectángulo tendra 2 2 longitud 7.21175, y el otro deberá medir aproximadamente 7.2105.
7.2117
Área 52
7.2105
Cuarta aproximación:
52 ≅ 7. 21
Cálculo de raíces por el método de aproximaciones decimales En la sección Los conocimientos ya mencionamos el método de aproximaciones decimales para calcular las raíces cuadradas. Los pasos de este método son los siguientes: Ejemplo: Calcular
3
20
, con precisión de tres cifras decimales.
Paso 1 El número 20 está comprendido entre dos cubos de números enteros: 8 23 y 27 33 : 8 20 27. Por tanto, la raíz cúbica de 20 estará comprendida entre 2 (raíz cúbica de 8) y 3 (raíz cúbica de 27): 2 20 3; entonces su parte entera es 2. 3
Primera aproximación:
3
20 ≅ 2
Encontrar el número natural más grande, de tal manera que su potencia (2 si es raíz cuadrada, 3 si es raíz cúbica, 4 si es raíz cuarta, etc.) es menor que el radicando. El número hallado será la primera aproximación.
Número
Cubo
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
8 9.261 10.648 12.167 13.824 15.625 17.576 19.683 21.952 24.389
228
Bloque 4 Paso 2 De la siguiente tabla: Se desprende que 2.7 Segunda aproximación:
2.8
3
20
3
20 ≅ 2.7
De entre los números decimales con una cifra decimal que tengan como parte entera al número natural encontrado en el Paso 1, hay que localizar el más grande, de tal manera que su potencia (2 si es raíz cuadrada, 3 si es raíz cúbica, 4 si es raíz cuarta, etcétera) sea menor que el radicando. Este número constituirá la segunda aproximación.
Paso 3 De la tabla de la derecha: Se desprende que 2.71 Tercera aproximación:
3
3
20
2.72
20 ≅ 2.71
De entre los números decimales con dos cifras decimales que tengan como parte entera al número natural encontrada en el Paso 1 y la cifra de las décimas localizada en el Paso 2, hay que hallar el más grande, de tal manera que su potencia (2 si es raíz cuadrada, 3 si es raíz cúbica, 4 si es raíz cuarta, etc.) sea menor que el radicando. Este número dará la tercera aproximación.
Número
Cubo
2.7 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.8
19.683 19.902511 20.123648 20.346417 20.570824 20.796875 21.024576 21.253933 21.484952 21.717639 21.952
Paso 4 De la siguiente tabla: Número
Cubo
2.71 2.711 2.712 2.713 2.714 2.715 2.716 2.717 2.718 2.719 2.72
19.902511 19.9245514 19.9466081 19.9686811 19.9907703 20.0128759 20.0349977 20.0571358 20.0792902 20.101461 20.123648
Potenciación y radicación Se desprende que 2.714 Cuarta aproximación:
3
3
20
229
2.715
20 ≅ 2.714
Se prosigue el proceso, dependiendo la cantidad de cifras decimales de precisión que se desee o cuando se encuentre la raíz cuadrada exacta.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. La medida del diámetro del Universo antes del Big-Bang (así se denomina a un modelo teórico que establece que el origen del universo es producto de una gran explosión cósmica) se estima en 0.000000000000000000000000000000001 cm. Expresa esta cantidad en potencias de 10.________________________ 2. José Luis, que cursa el primer grado de secundaria en la escuela “República de Honduras”, ha contestado lo siguiente en su examen. Califícalo tú. a) 32 6 d)
49
g)
7
0.01
0.1
b) (1.3)2 1.9
c)
e)
3
12
4
f ) 26 12
h)
3
27
3
i)
50
25
21 4
Aciertos ______ de 9. Calificación: _______ Realiza la corrección de las respuestas equivocadas. 3. Sin usar calculadora redondea el valor de las siguientes expresiones, tal como se pide. a)
60 ≅
b)
natural c)
60 ≅
natural una décima d)
natural una décima 1 centésima e)
30
3
12
f )
3
30
natural una décima 1 centésima h)
natural i)
30
natural
natural una décima g)
60 ≅
3
12
natural una décima
12
natural una décima 1 centésima
Una vez que hayas resuelto este ejercicio, compara tus resultados con un compañero.
230
Bloque 4 4. Calcula, hasta con tres decimales de aproximación, la longitud del lado de un cuadrado con 40 cm2 de área. Utiliza tu cuaderno. 5. Calcula la mitad del cuadrado de 30. Utiliza tu cuaderno.
Ejercicios para consolidar los conocimientos Anota las respuestas en tu cuaderno 1. Calcula, con aproximación hasta de centésimos la longitud del lado de un cuadrado con 40 m2 de área. 2. ¿Qué valor tiene una potencia cuya base sea el número 1?, aunque cambie el exponente. 3. ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1? ¿Por qué? 4. Si la raíz cúbica de un número natural tiene como parte entera al 7, ¿cuántas cifras tiene el número? 5. Argumenta en qué sentido la siguiente proposición es verdadera: La operación de raíz cúbica es la operación inversa de elevar al cubo.
Ejercicios de profundización 1. ¿Cuál es el dígito que va en el lugar de las unidades de 2 100?__________________ 2. ¿Cuál es el dígito que va en el lugar de las decenas de 5 100?___________________ 3. Calcula los cuadrados y los cubos de los números: 0.1, 0.5, 1, 2. ¿Será cierto que el cubo de un número siempre es mayor que su cuadrado?_____________________ 4. Sea 1, 4, 9, 16, . . . la sucesión de los cuadrados de los números naturales. Si el número 94 es un término de tal sucesión, ¿cuál es el término que le sigue?
Ejercicios de síntesis La leyenda del tablero de ajedrez
El ajedrez es uno de los juegos más antiguos que se conocen y no es extraño que haya muchas leyendas relacionadas con él. A continuación, referiremos una de esas leyendas. Para comprenderla, no hay que saber las reglas del ajedrez; basta saber que se juega sobre un tablero dividido en 64 casillas o escaques negros y blancos, puestos en forma alternada. El ajedrez fue ideado en la India. Cuando el monarca hindú Sheram lo conoció, quedó admirado de su ingeniosidad y de la diversidad de situaciones que podían darse en él. Al saber que el juego había sido inventado por un súbdito suyo, ordenó que lo llamasen para premiarlo personalmente por su feliz idea. El inventor, llamado Zeta, era un sabio que vestía modestamente y que vivía de lo que le pagaban sus discípulos.
Potenciación y radicación
231
Cuando se presentó ante el soberano, éste le dijo: —Quiero premiarte dignamente, Zeta, por el magnífico juego que has ideado. El sabio hizo una reverencia. —Soy lo suficientemente rico para poder satisfacer tu deseo más atrevido —continuó el monarca—. Dime qué premio quieres y lo recibirás. Zeta permaneció callado. —No seas tímido —le animó el monarca—. Expresa tu deseo. Para complacerte no escatimaré nada. —Grande es tu bondad, señor. Pero dame un plazo para pensar la respuesta. Mañana, después de reflexionar bien, te haré mi petición. Cuando al día siguiente Zeta se presentó ante los peldaños del trono, le hizo al monarca la siguiente petición: —Señor, ordena que me den por el primer escaque del tablero de ajedrez un grano de trigo. —¿Un simple grano de trigo? —expresó el monarca con asombro. —Sí, señor. Y por el segundo escaque ordena que me den dos granos; por el tercero, cuatro; por el cuarto, 8; por el quinto, 16; por el sexto, 32. . . —¡Basta! —le interrumpió el monarca, irritado—. Recibirás los granos de trigo por los 64 escaques del tablero, de acuerdo con tu petición, es decir, correspondiéndole a cada uno el doble que al precedente. Pero ten presente que tu petición es indigna de mi generosidad. Pidiendo una recompensa tan insignificante, menosprecias irrespetuosamente mi gracia. En verdad que, como maestro que eres, debías dar mejor ejemplo de respeto a la bondad de tu soberano. ¡Puedes retirarte! Mis servidores te sacarán el saco de trigo. Zeta sonrió al salir del salón y se puso a esperar a la puerta del palacio. • ¿Crees, como el rey, que la petición de Zeta fue poca? Si se pudiera cortar una hoja de papel tamaño carta, con grueso de 0.1 mm, a la mitad y cada mitad a la mitad, y así 30 veces, y se formara con ellos una torre, ¿qué altura alcanzaría?
Lección 28
Relación funcional. Situaciones problemáticas
E n esta lección aprenderás a analizar situaciones problemáticas que tratan con cantidades relacionadas y a representarlas mediante tablas y expresiones algebraicas.
Las clepsidras o relojes de agua datan de la antigüedad egipcia. Se usaban especialmente durante la noche, cuando no podían emplearse los relojes de sol. Las primeras clepsidras consistieron en una vasija de barro que contenía agua hasta cierta medida, con un orificio en la base de un tamaño suficiente para asegurar la salida del líquido a una velocidad determinada y, por tanto, en un tiempo prefijado. El cuenco estaba marcado con varias rayas sobre su superficie, de tal suerte que indicaban la hora en las diferentes estaciones del año. Los relojes de agua también se usaron en los tribunales atenienses para señalar el tiempo asignado a los oradores. Más tarde se ocuparon en los tribunales de Roma con el mismo fin, y también en las campañas militares para señalar las guardias nocturnas. El reloj de agua egipcio, con algunas modificaciones, fue el instrumento más eficiente para medir el tiempo durante muchos siglos.
La versión más antigua de la clepsidra
La clepsidra moderna para decoración
Clepsidra del antiguo Egipto
Para aprender Actividad 1 Llenado de un recipiente Una llave de agua deja caer 100 mililitros por segundo a un recipiente de un litro de capacidad, que ya contiene 20 mililitros.
232
Relación funcional. Situaciones problemáticas
233
Llena las dos columnas de la siguiente tabla; la primera se refiere al tiempo transcurrido, y la segunda al agua contenida en ese instante en el recipiente.
Tiempo (segundos)
Agua contenida en el recipiente (mililitros)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
20 120
• ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el agua se desborda del recipiente? ___________________________ • Al pasar el tiempo, segundo a segundo, ¿qué ocurre con el respectivo incremento de agua en el recipiente?___________________________ • ¿Cuántos mililitros hay en el recipiente a los 3.5 y a los 4.5 segundos, respectivamente? _____________________________
Actividad 2 Automóviles O
20
Un automóvil que transita por una carretera recta mantiene una velocidad constante de 30 metros por segundo. Supongamos que empezamos a medir el tiempo cuando el automóvil se encuentra a 20 metros a la derecha de un punto marcado con O en la carretera. Completa la siguiente tabla:
Tiempo (segundos)
Distancia del punto O
0 1 2 3 4 5 6 7 8
20
234
Bloque 4 • Al incrementarse el tiempo de segundo en segundo, ¿cómo aumenta la distancia desde el punto O?_______________________ • ¿Qué distancia lleva recorrida el automóvil desde el punto O a los 3.5 segundos? ¿Y a los 4.5 segundos?_______________ y _________________
Actividad 3 Memorias de una calculadora Algunas calculadoras pueden recordar, en el sentido de que almacenan números en su memoria. En la pantalla 1 se muestra la instrucción dada a una calculadora, en su propio lenguaje, para guardar el número 10 en su memoria, a la que se llama x. La pantalla 2 ilustra cómo en la memoria nombrada Cantidad se ha guardado el número decimal 2.5.
Pantalla 1
Pantalla 2
Para indicarle a la calculadora que muestre el número guardado, sólo se debe escribir el nombre de la memoria; en este caso, x y Cantidad (pantalla 3). Si se escribe la expresión: 2x, la calculadora multiplicará por 2 el valor guardado en la memoria x y dará el resultado. Observa estos pasos en la pantalla 4.
Pantalla 3
Pantalla 4
En cada una de las tablas siguientes, la columna x incluye los valores que se han ingresado en la memoria de la calculadora. A cada uno se le aplicaron ciertas operaciones, resultando los valores que tienen a su lado. Para cada caso, escribe en la región naranja la operación u operaciones que se hicieron. x
x
x
x
0
0
0
0
0
1
0
0.5
1
5
1
0.5
1
6
0.5
2
2
10
2
1
2
11
1
3.5
3
15
3
1.5
3
16
1.5
5
Relación funcional. Situaciones problemáticas
235
Actividad 4 Operaciones del tiempo Para cada una de las tablas de las actividades 1 y 2 encuentra las operaciones que deben aplicarse a los valores del tiempo (primera columna) para determinar el valor de la segunda columna.
Los conocimientos La variable y la constante Muchas cosas están cambiando. El clima varía de una estación a otra, los precios de cualquier mercancía se modifican casi a diario, la temperatura cambia según la hora del día, la población aumenta minuto a minuto. . . El cambio caracteriza a los fenómenos; si pueden ser medidos con números reciben el nombre de variables. Así, la temperatura, las distancias, el tiempo, los precios o la cantidad de personas en una sociedad son variables. Pero también hay otras cosas que no sufren cambios; a éstas se les denomina constantes porque su estructura permanece íntegra. Ejemplos de constantes son la capacidad de un recipiente o la distancia entre dos ciudades. En la Actividad 1, donde se planteó el problema de llenado de un recipiente, las variables son el tiempo y la cantidad de agua en el recipiente. Una manera de representarlas es mediante letras que las identifiquen. De esta manera, podemos hablar de la variable T en temperatura o de t en tiempo. La siguiente tabla muestra las letras que comúnmente son usadas para representar algunas cantidades variables.
Tiempo
Velocidad
Distancia
Temperatura
Lado de un cuadrado
t
v
d
T
l
La relación funcional Uno de los objetivos que persiguen las matemáticas relacionadas con las variables es el de determinar sus dependencias. Si el valor de una variable y depende de x, y está en función de x, es decir y depende de x; x recibe el nombre de variable independiente, mientras que y el de variable dependiente.
Relación lineal entre variables Si la variable y depende de x, y ocurre que a incrementos constantes de x, le corresponden incrementos o decrementos constantes de y se dice que ambas variables están relacionadas de manera lineal o linealmente.
Fórmula de una relación funcional Una función se puede expresar como una fórmula en la que se utilizan expresiones algebraicas para mostrar la relación que existe entre la variable dependiente y la varia ble independiente.
236
Bloque 4 Tomemos como ejemplo la relación funcional representada en la siguiente tabla. Una manera de construir su fórmula es escribir la tabla de la siguiente manera: t
v
(segundos)
(metros/segundo)
0 1 2 3 4
10 19.8 10 9.8 29.6 10 9.8 9.8 10 2 9.8 39.4 10 9.8 9.8 9.8 10 3 9.8 49.2 10 9.8 9.8 9.8 9.8 10 4 9.8
De donde obtenemos que para determinar el valor de la variable v se debe multiplicar la variable t por 9.8 y al resultado agregarle 10. La fórmula es v 9.8t 10, o v 10 9.8t. Podemos afirmar que si la variable y depende de x de manera lineal, eso significa que la fórmula o expresión de la relación funcional sería y x (), donde y son números.
Los métodos Linealidad Para determinar si la relación entre dos variables es lineal, hacemos lo siguiente: a) Construimos una tabla de valores de la variable independiente con incrementos constantes. b) Determinamos los valores correspondientes a la variable dependiente. c) Si los incrementos (o decrementos) de la variable dependiente son constantes, entonces la relación entre las dos variables es lineal. Ejemplo 1: Consideremos la siguiente tabla de valores de x y y: x
y
1 de incremento
0
2
5 de incremento
1 de incremento
1
7
5 de incremento
1 de incremento
2
12
5 de incremento
3
17
4
22
5
27
Relación funcional. Situaciones problemáticas
237
Los incrementos de x siempre son iguales a 1, en tanto que los incrementos de y tienen la constante 5. Por tanto, la relación entre x y y es lineal. Ejemplo 2: Consideremos a y como una relación funcional de x y ubicamos sus valores en la siguiente tabla. p
q
1 de incremento
0
8
0.5 de decremento
1 de incremento
1
7.5
0.5 de decremento
1 de incremento
2
7
0.5 de decremento
3
6.5
4
6
5
5.5
Los incrementos de x son siempre iguales a 1, y los decrementos de y son de 0.5. Por tanto, la relación entre x y y es lineal.
Expresión algebraica de una relación lineal Para determinar la fórmula para una relación lineal entre dos variables procedemos de la siguiente manera: a) Construimos una tabla de valores de la variable independiente x, empezando con cero y tomando incrementos de 1 en 1. b) Determinamos los valores correspondientes a la variable dependiente y. • Si los incrementos de la variable y son constantes, la fórmula de la relación funcional y en términos de x será: y (incremento de la variable y) x (valor de y cuando x 0) • Si los decrementos de la variable y son constantes, la fórmula de la función y en términos de x será: y (valor de y cuando x 0) (decremento de la variable y) x Ejemplo 1: A partir de la siguiente tabla, encuentra su expresión algebraica. x
y
1 de incremento
0
2
5 de incremento
1 de incremento
1
7
5 de incremento
1 de incremento
2
12
5 de incremento
3
17
4
22
5
27
238
Bloque 4 Como el incremento de y tiene constante igual a 5, y el valor de y es 2 cuando x 0, la fórmula es: y 5 (x) 2 5x 2. Ejemplo 2: A partir de la siguiente tabla, encuentra su expresión algebraica. p
q
1 de incremento
0
8
0.5 de decremento
1 de incremento
1
7.5
0.5 de decremento
1 de incremento
2
7
0.5 de decremento
3
6.5
4
6
5
5.5
Como el decremento de y es constante e igual a 0.5, y el valor de y es 8 cuando x 0, tenemos que la fórmula es y 8 (0.5) x 8 0.5x.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. A una cisterna le quedan 30 litros de agua. Cuando se abre la llave de llenado, caen 7.5 litros por minuto. Elabora una tabla que muestre la relación entre los minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna; asimismo, construye una tabla y una fórmula que relacione la cantidad de agua respecto del tiempo. Utiliza tu cuaderno. 2. Patricia tiene siete años y su hermana Hortencia es dos años mayor. Elabora una tabla y una fórmula que represente la relación de edades entre ambas a partir del nacimiento de Patricia. Utiliza tu cuaderno. 3. A continuación, se muestran varias tablas con valores numéricos de dos variables relacionadas. Determina cuáles están relacionadas linealmente y cuáles no, y encuentra las fórmulas de relaciones lineales. p
q
x
f
w
z
0
1
0
0
0
6
1
6
1
3
1
7
2
11
2
6
2
8
3
16
3
9
3
9
4
21
4
12
4
10
5
26
5
15
5
11
Relación funcional. Situaciones problemáticas
239
R
s
x
f
w
z
0
0
0
0
0
4
1
1
1
3
1
5
2
8
2
6
2
8
3
27
3
9
3
11
4
64
4
12
4
14
5
125
5
15
5
17
Ejercicio para consolidar los conocimientos 1. Las dos escalas más usadas para medir la temperatura son los grados centígrados o Celsius (°C) y los grados Fahrenheit (°F). Si la relación entre ambas escalas es lineal, ya que 100 °C 212 °F y 0 °C 32 °F, ¿cuál es la fórmula para transformar los grados centígrados a grados Fahrenheit?_________________________
Celsius
Fahrenheit
°C
°F
Temperatura de ebullición del agua
100
212
Temperatura de congelamiento del agua
0
32
Ejercicios de profundización 1. Una llave de desagüe vacía un tanque lleno con 120 litros en 5 horas y otra lo hace en 3 horas. Si ambas llaves se abren juntas, ¿en cuánto tiempo se vaciará el tanque? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2. A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen 6.5 litros por minuto y al abrir la llave de desagüe salen 3.5 litros por minuto. Elabora una tabla y una fórmula que represente la relación entre el número de minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna. Utiliza tu cuaderno.
Ejercicio de síntesis 1. Una cadena del club “El más barato” ofrece dos formas de pagos:
• Forma 1. Pagar una cuota de $250.00 para ser miembro por un año y, con ello, lograr un descuento de 5% en cualquier compra. • Forma 2. Pagar el precio del los productos sin ningún descuento y no efectuar ningún pago como miembro. Anota las respuestas en tu cuaderno. ¿Quieres ser miembro del club? ¿Tendrás alguna ventaja económica al hacerlo? ¿Bajo qué condiciones?
Lección 29
Figuras planas: Construcción de círculos
En esta lección aprenderás a construir círculos y circunferencias a partir de condiciones específicas.
El círculo es una de las figuras geométricas más utilizadas en las diferentes producciones del ser humano, como la arquitectura, la ingeniería, el arte, el diseño gráfico, etc. Un ejemplo son los anillos olímpicos, principal símbolo de los Juegos Olímpicos. Dicho emblema se compone por cinco aros entrelazados de colores azul, negro, rojo, amarillo y verde, los cuales representan las cinco partes del mundo que se unieron al olimpismo y aceptaron competir sanamente. Este diseño fue concebido en 1913 por el francés Pierre de Coubertin.
Para aprender Actividad 1 ¿Descubrimos los círculos en nuestro entorno? La percepción de hombres y mujeres sobre las formas de tipo circular en el entorno puede ser la base de un largo proceso para llegar a lo que ahora conocemos como círculo y circunferencia, así como a diseñar objetos cuyo uso se base en las propiedades de dichos conceptos.
240
Figuras planas: Construcción de círculos
241
a) Describe tres formas circulares que se puedan ver en la naturaleza. b) Sobre el siguiente esquema del círculo cromático, señala los elementos fundamen-
tales de la circunferencia (radio, centro, círculo, circunferencia). Marca una cuerda, un diámetro, un ángulo central y un arco de circunferencia. 16
17
18 19 20
1
2
3
4
15
5 6
14 13
7
12
8 9
11 10
10
9
11
8
12
7
13
6
14
5
15
4
16 17
3
18
2
19
1
20
20 1
19 2
18 3
17 4
16 15
14
13
12 11
10
9
8
7
6
5
Círculo cromático
Actividad 2 ¿Acercamientos y alejamientos, para entender? En esta actividad, además de hacer geometría tendrás que realizar un gran esfuerzo de imaginación. Te invitamos a que lo intentes. a) En la siguiente figura marca tres puntos, uno que esté afuera del círculo, otro
que esté adentro del círculo y otro más que esté sobre el círculo.
b) Ahora, imagina que la circunferencia anterior tiene un radio grande, pero de
verdad muy grande, y que tú estás en el interior de dicha circunferencia, pero no en el centro. Es tan grande el radio que tú sólo miras una porción de circunferencia (en una especie de zoom.)
Tú
Dibuja cinco trayectorias rectilíneas para aproximarte a la circunferencia (denotándolas con una letra a cada una; recuerda que estamos imaginando).
242
Bloque 4 De todas esas trayectorias que trazaste, ¿cuál es la más corta? Explica por qué. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Analizando tus argumentos, ¿podrá haber una trayectoria más corta a las que tú trazaste?___________________________________________________________________ c) Si regresamos a la situación del inciso anterior, pero nos alejamos, tendríamos:
Vuelve a dibujar tus trayectorias del inciso anterior. ¿Cuál crees que pueda pasar por el centro de la circunferencia? Justifica tu respuesta.__________________________ d) Finalmente, vuelve a dibujar tus trayectorias en la siguiente figura, después de
un nuevo alejamiento.
Actividad 3 ¡Cuidado con los arcos! ¿Cualquier arco que se trace es parte de una circunferencia? ¿Cómo podrías saber que un arco que se te dé forma parte de una circunferencia? Realiza bosquejos para explicar tus ideas.
Una breve nota. La no colinealidad Se dice que dos o más puntos son colineales si están sobre una misma recta. En el caso en que uno o más puntos, queden fuera de la recta, decimos que tales puntos son no colineales, es decir, no hay una misma recta que los contenga a todos.
Figuras planas: Construcción de círculos
243
Hasta ahora, sabemos que para trazar una circunferencia requerimos de un punto y la longitud de su radio. Es tiempo de explorar otras posibilidades. Tomemos tres puntos no colineales en el plano. A simple vista ubica un punto que llamaremos P, que equidiste (que esté a la misma distancia) de dichos puntos. B
C A
a) ¿Conoces una técnica para ubicar el punto P de manera exacta? Si no, observa la siguiente figura:
P
b) Siguiendo la técnica del inciso anterior, se te dan los siguientes puntos: F
B C
A
D
E
• Traza la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C • Traza la circunferencia que pasa por los puntos C, E y F • Traza la circunferencia que pasa por los puntos A, C y D • Señala lo que tienen en común cada una de las circunferencias y responde: ¿es posible que dos circunferencias distintas se corten en más de dos puntos?
244
Bloque 4
Los conocimientos Las ideas de circunferencia y círculo son inseparables; incluso suelen tomarse una por otra. Si bien círculo conlleva la noción de superficie y circunferencia la de límite o contorno, también se suele llamar círculo a la circunferencia y disco al círculo. Circunferencia. Línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior de la figura llamado centro. Círculo. Superficie plana limitada por la circunferencia. Radio. Segmento rectilíneo que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro. Diámetro. Segmento de recta que pasa por el centro del círculo y sus extremos están en la circunferencia. Cuerda. Todo segmento de recta que tenga sus extremos en la circunferencia. Es posible construir una circunferencia a partir de: 1. Tres puntos no alineados. 2. Una cuerda dada.
Los métodos En esta sección se ilustrarán algunas formas en que se pueden dibujar circunferencias que cumplan con condiciones particulares. Las construcciones que se mostrarán son las siguientes: 1. Trazar una circunferencia a partir de tres puntos no alineados ( no colineales). 2. Encontrar el centro de un círculo dado. 3. Trazar una circunferencia a partir de una cuerda dada. 4. Trazar una circunferencia a partir de un diámetro dado.
Construcción 1. Trazar una circunferencia a partir de tres puntos no alineados Paso 1 Sean A, B y C los tres puntos dados.
C
A
B
Paso 2 A partir de estos puntos, traza los segmentos AB y BC .
C A
B
Figuras planas: Construcción de círculos
245
Paso 3 Dibuja las mediatrices de los segmentos AB y BC .
C
D
A B
Paso 4 Siendo D el punto en el que se cortan las mediatrices, verifica con tu compás que los segmentos AD , BD y CD tienen la misma longitud. Ahora traza la circunferencia con centro en D y radio igual a la longitud de cualquiera de los segmentos AD , BD y CD . Ésa es la circunferencia que se busca.
C
D
A B
Observa que estas dos mediatrices se intersecan en el punto D.
Construcción 2. Encontrar el centro de un círculo dado Paso 1 Consideremos el círculo del cual queremos localizar su centro.
Paso 2 Dibuja tres puntos A, B y C sobre la circunferencia del círculo. B A
C
Paso 3 A partir de los puntos A, B y C, traza los segmentos de recta AB y BC . B A
C
246
Bloque 4 Paso 4 Dibuja las mediatrices de los segmentos AB y BC . El punto de intersección entre estas mediatrices es el centro del círculo. B A
C
Construcción 3. Trazar una circunferencia a partir de una cuerda dada Paso 1 Sea el segmento AB la cuerda dada. A
B
Paso 2 Traza otro segmento de recta CD, no paralelo a AB . A
B
D
C
Paso 3 Traza las mediatrices de AB y CD , tales mediatrices se intersecan en el punto E. E A
B D
C
Paso 4 Tomando como centro a E y con un radio igual a la longitud de circunferencia buscada.
E A
B D
C
EA o EB , dibuja la
Figuras planas: Construcción de círculos
247
Construcción 4. Trazar una circunferencia a partir de un diámetro dado Paso 1 Sea AB el diámetro. B
A
Paso 2 Localiza el punto medio del segmento AB . A
B
0
En el dibujo, el punto medio corresponde al punto O.
Paso 3 Haciendo centro en el punto O y con un radio igual a AO OB , traza un círculo. Ése es el círculo que buscamos.
A
0
B
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Traza una circunferencia que pase por los puntos C y D. C
D
2. Considera la siguiente circunferencia. Traza en ella una cuerda, un radio, un diámetro y su centro.
248
Bloque 4
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. ¿Cuál es la diferencia entre un círculo y una circunferencia?
_______________________________________________________________________ 2. Considera la siguiente circunferencia y su centro. Traza en ella la cuerda de mayor longitud.
3. Dibuja dos circunferencias diferentes que tengan como cuerda al segmento de recta MN . M
N
4. Construye una circunferencia que tenga como cuerda al segmento tenga al punto R.
PQ
y que con-
Q
P R
Ejercicio de profundización 1. Construye una circunferencia que pase por los puntos A y B, y que tenga un radio igual a la longitud del segmento CD . B
A
C
D
Figuras planas: Construcción de círculos
249
Ejercicios de síntesis 1. Construye una circunferencia inscrita en un cuadrado de área igual a 16 cm 2.
2. Reproduce la siguiente figura, con ayuda de círculos que tengan un diámetro de igual longitud que los lados del cuadrado.
3 cm
Lección 30
Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo
E n esta lección, aprenderás a calcular el área y el perímetro de un círculo, y la relación que existe entre estas magnitudes y el diámetro del círculo.
El juego de pelota era una práctica deportiva que se realizaba hace 3 000 años en diferentes culturas prehis pánicas. pánica s. Este juego, juego, que tuvo tuvo un papel papel ritual ritual y político político en las cultur culturas as donde se practi practicó, có, tenía tenía como objetivo objetivo principal princi pal hacer hacer pasar pasar una una pelota pelota de hule hule a través de un aro de de piedra, piedra, impulsán impulsándola dola únicam únicamente ente con con la cadera cadera,, rodillas y codos. En el caso del juego de pelota maya, la pelota era de unos 20 centímetros de diámetro.
Para aprender Hasta ahora sabemos determinar perímetros de figuras con contornos rectilíneos, enfrentar la medición de contornos curvos como es el caso de la circunferencia. En este caso no podremos recurrir a la regla graduada y además deberemos explorar relaciones que no son evidentes.
250
Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo
Actividad 1
251
, , ...
una cinta gradua graduada da (consígue (consíguela la o hazla), hazla), mide la longitu longitud d de distintas distintas a) Con una circunferencias y sus diámetros respectivos (tapas de frascos, latas, botes cilíndricos de distintos tamaños, etc.) como muestran las figuras y llena la ta bla con los valores obtenidos. obtenidos.
Perímetro
Diám etro
Perímetro/Diámetro
Contesta en tu cuaderno. Con base en la información anterior: Calcula cula cuál cuál es la longitud longitud de una una circunfe circunferen rencia cia de diámet diámetro ro 28.34 28.34 cm. b) Cal es el diámetro diámetro y el radio de una circunfe circunferencia rencia cuya longitud es c) Calcula cuál es de 96.2 cm. es la relación relación entre entre la longitud de la circunfere circunferencia ncia y su diámetr diámetro? o? d) ¿Cómo es Construye ye una una expresión expresión para calcular calcular el perímetro perímetro de una una circunfere circunferencia. ncia. e) Constru
252
B l o qu e 4
Actividad 2 Más , , . . .
Organízate zate en equipos de 4 o 5 compañer compañeros. os. El material material que utilizarás utilizarás en esta aca) Organí tividad es: papel, tijeras, compás y pegamento. circunferencia cia considerando considerando cualquie cualquierr medida medida del diámetr diámetroo (que no b) Traza una circunferen sea demasiado pequeña, ni demasiado grande).
Constru truye ye un octágo octágono no regular regular inscr inscrito ito en la circu circunfer nferenci encia. a. c) Cons
Marca ca las las diagon diagonale aless del octá octágo gono no.. d) Mar
Cortaa el cír círculo culo por las diag diagonal onales es del del octágo octágono. no. e) Cort los sectores sectores obtenidos obtenidos como te indica la figura figura siguiente siguiente y pega los los trozos trozos f ) Ubica los sobre unas hoja de papel para que no se muevan:
g) Puedes pensar pensar que la figura figura que obtuviste se asemeja asemeja a un un rectángulo rectángulo.. ¿Cuál es
su base y su altura? ¿Cuál es su área?
Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo
253
repitieras la actividad actividad para para un polígono de más lados, ¿qué ¿qué puedes puedes decir de la h) Si repitieras base del rectángulo? rectángulo? ¿A qué valor se aproxima?_____ aproxima?_____________ ________________ ________________ ________ i)
¿Y la altura, altura, a qué qué valor valor tiende?_ tiende?_____ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _______ ______ ___
j)
Discute con Discute con tus compañ compañero eross la causa causa por la la que se puede puede afirma afirmarr que el área área del del círculo es: A r2
Compara para las las conclusi conclusiones ones de de tu equipo equipo con con el resto resto de los equip equipos. os. k ) Com l)
De acuerd acuerdoo con lo visto visto,, calcula calcula cuál cuál será el radio de un círcu círculo lo si su área área es es 30 cm2.
¿Cuáll es el área área de un círcu círculo lo de radio radio 5.4 m? m? m) ¿Cuá
Los conocimientos El número
(Pi) es el símbolo que representa la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro:
equivale aproximadamente a 3.1416
Los métodos Perímetro y área r
Perímetro
Área
Circunferencia
Círculo
P 2 r
A r2
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Un corte transversal en el tronco de un árbol genera una superficie de forma casi circular. Si el radio de una de estas superficies es de 25 cm, ¿cuál es su área total?
254
B l o qu e 4 2. La longitud aproximada de la circunferencia de un “centenario” es de 11.62 cm. Encuentra el valor de su diámetro.
3. En la siguiente figura, el segmento BC es el diámetro del círculo y su longitud es de 4.5 cm. Determina el valor del área coloreada.
Ejercicios para consolidar los conocimientos En la figura de abajo se muestra un círculo inscrito en un cuadrado. Cada lado de este cuadrado mide 3 cm de longitud. Halla el valor del área de la región coloreada.
Ejercicios de profundización 1. La tabla siguiente tiene tres columnas. La primera (de izquierda a derecha) contiene la medida de los radios de diferentes círculos. Completa la segunda y la tercera, escribiendo la longitud de la circunferencia y el área de cada círculo.
Radio Rad io del círculo círculo 1 metro 2 metros 3 metros 4 metros 5 metros 6 metros
Longitud de la circunferencia 2
r
Áre a a
r 2
Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo Radio del círculo
Longitud de la circunferencia 2
r
Áre a a
255
r 2
7 metros 8 metros 9 metros Con base en los resultados, responde la siguiente pregunta en tu cuaderno: conforme aumenta la longitud del radio, también se incrementan la longitud de la circunferencia y del área. ¿Cuál de las dos dimensiones crece más rápido? ¿Por qué? Ahora, utilizando los valores de la tabla anterior y una hoja de cálculo (aunque también es posible realizar este ejercicio sin este instrumento) construye dos gráficos como se indica: Para construir la primera gráfica, coloca en una columna todos los valores numéricos que corresponden a las longitudes de los radios. En la columna siguiente escribe los valores numéricos de las longitudes de las circunferencias (ver Figura).
Valores de las Valores de
circunferencias
los radios
Utilizando estas dos columnas de datos, traza una gráfica de los valores de los radios, que conforman una lista a la que nombramos X , y los valores de las longitudes de las circunferencias, la lista Y . Al finalizar, contesta la siguiente pregunta: obtuviste?_________ ________________ ________________ _____________ _____ a) ¿Qué forma tiene el gráfico que obtuviste?_ Para elaborar el segundo gráfico, se seguirá un procedimiento similar al anterior. La primera columna, que contiene los valores numéricos de los radios, permanecerá igual, pero ahora en la segunda columna coloca los valores de las áreas de los círculos. Traza el gráfico 2, de tal manera que los valores de los radios
256
B l o qu e 4 formen una lista que llamaremos X y los de las áreas otra lista, que nombraremos Y . Al terminar, contesta lo siguiente: segundo gráfico que obtuviste? obtuviste?_________ _________________ _____________ _____ b) ¿Qué forma tiene el segundo c) Com Compara para los gráfi gráficos. cos. ¿Son ¿Son igual iguales? es? ¿A qué cree creess que se se deba esto esto?? ComénComén-
talo con un compañero o compañera.
Ejercicio de síntesis 1. Si pudiésemos recorrer la Tierra caminando por el Ecuador, nuestros ojos descri birían una línea más larga que cualquie cualquierr punto de la planta de nuestro nuestross pies. ¿Qué tamaño tendrá esa diferencia? Caminando sobre la Tierra, exagerando el tamaño del caminante, veríamos la siguiente situación: h r
2. Describe una situación cotidiana en la que calcular el área y el perímetro de un círculo sea de gran utilidad.
Poesía y matemáticas POEMA MATEMÁTICO En el que predominan los términos matemáticos La señora circunferencia daba la conferencia. Una multiplicación discutía con la división. Llegó la suma tan presumida como ninguna: —Calma, señoras, la geometría viene ahora. Diámetro con perímetro, pentágono con hexágono, cuadrado de medio lado se sentaron en círculo. Alumnos y alumnas de 1o. (tomado de la Web de Gloria Almendáriz
http://personal.telefonica.terra.es/web/poesiainfantil/escritos5.htm) Como resultado del estudio de este bloque se espera que:
• Uses las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo. • Resuelvas problemas aditivos que implican el uso de números con signo. • Expliques las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiproba bles o no equiprobables. • Resuelvas problemas que implican una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades. • Resuelvas problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.
257
Lección 31
Estimar, medir y calcular: Área y perímetro del círculo
E n esta lección aprenderás algunas propiedades y relaciones que se obtienen de estimar, medir y calcular.
La anterior imagen muestra la figura llamada Flor de la Vida que es una figura geométrica compuesta de múltiples círculos, igualmente espaciados y superpuestos, que se encuentran acomodados de tal manera que forman un diseño parecido a una flor con seis pétalos simétricos. En otras palabras, el centro de cada círculo está sobre la circunferencia de seis círculos circundantes del mismo diámetro. Esta forma ha sido encontrada en lugares arqueológicos de civilizaciones viejas. El Templo de Osiris en Egipto es el ejemplo más antiguo: se encuentra grabada en granito y posiblemente representa el Ojo de Ra, un símbolo de la autoridad del Faraón.1
Para aprender Actividad 1 ¡Comparando círculos! Trabaja con tus compañeros de equipo cada uno de los siguientes incisos y para cada caso, auxiliándote de tu compás, traza en tu cuaderno las circunferencias asociadas a las preguntas que se te hacen. a) Dibuja de manera concéntrica los círculos que se te indican: Un círculo de perímetro 5.7 cm y un círculo de área 5.7 cm . b) Construye una circunferencia cuyo perímetro valga cm. 2
Información obtenida de la versión en inglés de Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Flower_of_Life. 1
258
Estimar, medir y calcular: Área y perímetro del círculo
259
c) ¿Es posible que el área de una circunferencia mida cm2? Explica tu respuesta. d) Si el área de una circunferencia se incrementa en 15% en qué porcentaje se in-
crementa el perímetro. e) Si el perímetro de un círculo se incrementa en 15%, en qué porcentaje se incre-
mentará su área.
Actividad 2 ¡Haciendo conjeturas! a) En la figura, O es el centro del círculo A. Cuántas veces deberías sumar el área del círculo B para que sea mayor o igual al área del círculo A. _____________________ b) Ahora con un compás traza todas las circunferencias B que consideres se requieren para cubrir totalmente el círculo A. c) Sin hacer cálculo alguno, indica cuántas veces el perímetro del círculo A, es el perímetro del círculo B. ____________________ d) Traza dos segmentos rectilíneos uno de ellos con la longitud del perímetro de los círculos A y el otro con la longitud de perímetro de círculo B. Analiza visualmente
qué tan acertada fue tu conjetura. A
O B
Los conocimientos El perímetro y el área de la circunferencia dependen respectivamente de su radio; sin embargo ambas variaciones son de características distintas. Si vemos a estas fórmulas como relaciones funcionales, las podemos escribir: Perímetro: P(r) 2 r. A una relación de este tipo se le denomina como una variación de tipo lineal.
Área: A(r) r . A una relación de este tipo se le denomina como una variación de tipo cuadrática.
2
260
Bloque 5
Los métodos El área y perímetro de un círculo se pueden hallar si se conoce el radio. Pero si lo que conocemos es el valor del área o bien del perímetro, podemos desprender de ese hecho el valor del radio: A P En el caso del perímetro: r . En el caso del área: r 2 π π Como sabemos que el diámetro es d 2r, entonces también tenemos: d
P π
A
y d 2 π
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Calcula la circunferencia de un círculo si: a) el radio es 6, b) el diámetro es 14, c) el área es 25 , d) el área es 3 , 2. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras: a)
b)
5
5
5
5
4
5
5
4
4 12
3. ¿Cuántas vueltas dará una rueda de 70 cm de diámetro al recorrer 440 m?
4
Estimar, medir y calcular: Área y perímetro del círculo
261
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Si la rueda de un automóvil da 330 vueltas en un recorrido de 1 km, ¿cuál es la
longitud del diámetro de la rueda en cm? 2. Es posible que el valor numérico del área de una circunferencia coincida con el
valor numérico de su perímetro. Si es así, di qué características deberá tener su radio.
Ejercicio de profundización 1. Si se funden dos monedas de $10.00, para hacer una sola moneda con el mismo
espesor, ¿Qué relación existiría entre su diámetro y el de las monedad dadas? _______________________________________________________________________
Ejercicios de síntesis Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Hallar el área de un semicírculo que tiene un perímetro de 36.43 cm. 2. Trazar una circunferencia de 10 cm de diámetro y que denotaremos por I. a) Disminuyendo en 5% el perímetro de I, encuentra la nueva circunferencia y
trázala concéntrica con I. b) Ahora disminuyamos 5% el área de I, antes de trazar la nueva circunferencia,
conjetura si la nueva circunferencia será mayor o menor que cuando redujiste el perímetro. Encuentra la nueva circunferencia y trázala concéntrica con I. c) Por último disminuye el radio de I en 5%, traza la nueva circunferencia con-
céntrica con I. d) Escribe junto con tus compañeros de equipo, las conclusiones que puedas desprender de la actividad de los incisos a), b) y c).
Lección 32
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
En esta lección aprenderás a identificar la proporcionalidad con la expresión y
kx y con su gráfica.
En las Lecciones 6, 15, 16 y 21 tratamos con relaciones proporcionales, encontramos valores faltantes de una proporción y reconocimos las razones de cambio. Retomemos ahora dichos conocimientos para tra bajar esta lección.
Perspectiva lineal En la perspectiva lineal podemos percibir que las líneas paralelas, como estas vías del ferrocarril, desembocan o convergen a gran distancia en un punto situado en el horizonte. Las personas utilizamos nuestros conocimientos de perspectiva lineal para poder valorar mejor las distancias de los objetos.
Para aprender Actividad 1 Los focos y la cantidad de luz La corriente eléctrica circula por el cableado de tu casa, en los pequeños cables de la lámpara de mano o en el sistema eléctrico del camión que te lleva al mercado o a tu escuela. La corriente depende del voltaje que se aplica; si se usan pilas de 1.5 volts, éste es el voltaje que aporta cada pila al foco. Una lámpara puede necesitar de una a diez pilas para encender. La cantidad de luz que emita la lámpara se relaciona con el voltaje que recibe de las pilas y se mide en lúmenes. • Si a 1.5 volts la cantidad de luz es de 0.75 lúmenes, ¿cuál es la cantidad de luz a 9 volts? ___________________ • Establece el coeficiente de proporcionalidad de los valores anteriores.
262
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
263
• Con base en esta información, completa la siguiente tabla:
Número de pila s
Voltaje de la pila (V )
Cantidad de luz (l m )
1
1.5 volts
0.75 lúmenes
2 3 4 5 6
9 volts
7 8 9 10 En el siguiente plano hemos colocado dos puntos que relacionan el voltaje (medido en volts) de la pila con la cantidad (medida en lúmenes) de la luz que emita la lámpara. Al valor 1.5 volts le corresponden 0.75 lúmenes, por lo cual tomamos al punto (1.5, 0.75). Al valor 9 volts le corresponden 4.50 lúmenes, y en el plano colocamos al punto (9, 4.5). • Ubica en el plano todos los puntos que encontraste de la relación voltaje-cantidad de luz. Cantidad de l uz (lm)
y 7 6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Volta je (V )
Supongamos que el voltaje no proviene de las pilas, sino de otra fuente de energía. • ¿Podrías calcular la cantidad de luz si la corriente fuera de 2 volts? ________
264
Bloque 5 • Completa la siguiente tabla:
Voltaje de la pila Cantidad de luz (volts) (lúmenes)
Voltaje de la pila Cantidad de luz (volts) (lúmenes)
0.5
8
1
8.5
1.5
9
2
9.5
2.5
10
3
10.5
3.5
11
4
11.5
4.5
12
5
12.5
5.5
13
6
13.5
6.5
14
7
14.5
7.5
15
• Coloca en el plano todos los datos que hallaste. Cantidad de luz (lm)
y 7 6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Volta je (V)
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
265
• En el contexto del problema, ¿tiene sentido calcular la cantidad de luz para 0.2 volts o 3.1 volts, si la fuente de energía no son las pilas? _________________ ____________________________________________________________________ • Sin hacer cálculos, bosqueja en el plano dónde estarían los puntos que relacionen a 0.2, 0.3, 1.7, 2.8, 4.2, 5.9, 7.3, 8.6, 9.4, 13.6 y 14.9 volts con la cantidad de luz que emitía una lámpara.
Los conocimientos En la siguiente tabla se muestran datos que están en proporción:
3
x
y
2
6
4
12
7
21
10
30
Los números de la segunda columna son el triple de sus correspondientes de la primera, es decir, la proporción es 3, en otras palabras cada número de la derecha es tres veces el número de la izquierda, eso lo representamos así: y 3x. Por lo cual podemos decir que los elementos de la segunda columna son el triple de los de la primera. Las columnas anteriores las podemos considerar como dos listas de números. Por tanto podemos decir que dos listas tienen una proporción k cuando una lista es k veces la otra, esto es, si x y y son las dos listas entonces y kx.
Los métodos En la sección Ejercicios de profundización de la Lección 15 hay un problema sobre cuánto pagar en la dulcería del cine por cierta cantidad de golosinas, si 100 gramos costaban $25.00. La tabla quedó como se muestra en la página siguiente.
266
Bloque 5 Golosina (gramos)
Total a paga r
Carla
100
$25.00
Raúl
120
$
Samuel
140
$
Mariana
160
$
Andrés
180
$
Lupita
200
$
120 25 100
140 25 100 160 25 100
180 25 100 200 25 100
30
35
40
45
50
La cantidad a pagar se determinaba con la siguiente operación: $ (gramos de golosinas) 25 100
es decir, multiplicando por la razón 25 . Con base en esto, podríamos construir una 100
expresión general para calcular lo que se debe pagar por una cantidad cualquiera de golosinas: cantidad a pagar 25
100
(gramos de golosina)
incluso podríamos usar cantidades en decimales, si es que en el contexto del problema tuvieran sentido. Esto es, hablar de 35.5 gramos. La cantidad a pagar depende de los gramos que uno se sirva de golosina, de ahí que sea la variable dependiente, mientras que los gramos de golosina es la variable independiente.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Retoma la Actividad 1 y construye la expresión general que te sirva para calcular la intensidad de luz de la lámpara. Usa iniciales v e i para nombrar las variables. 2. Cecilia conduce a 80 km/h por la autopista México-Querétaro y su primo Ramiro
maneja a 120 km/h por la autopista México-Acapulco.
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
267
• Completa las tablas que relacionan la velocidad con la distancia que recorre cada uno. Toma en cuenta que la velocidad está indicada en horas y la tabla en minutos.
Cecilia viaja a 80 km/h Tiempo (minutos)
Ramiro viaja a 120 km/h
Distancia (kilómetros)
Tiempo (minutos)
10 20 30 40 50 60
una hora
70 80 90 100 110 120
dos horas
130 140 150 160 170 180
tres horas
Distancia (kilómetros)
268
Bloque 5 •
En la siguiente gráfica coloca en color rojo los puntos que relacionen tiempodistancia de Cecilia y en negro los que relacionen tiempo-distancia de Ramiro.
Distancia (km)
y 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
x
Tiempo (minutos)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1 50 160 170 180 1 90
• Construye las expresiones generales para calcular la distancia que han recorrido Cecilia y Ramiro en diferentes tiempos. 3. El reporte anual de consumo de agua indica que en el año 2005 la población de Coacalco, Estado de México, consumió 30 decámetros cúbicos (Dm ) de agua en los cinco primeros meses. En el mes de enero se consumieron 6 Dm , en febrero otros 6 Dm , lo que da un total acumulado en febrero de 12 Dm . De esta manera, sigue todo el año, completa la tabla con la información sobre el consumo mensual acumulado del 2005. 3
3
3
3
2005 Mes
No. de meses
Consumo (Dm3)
Enero
1
6
Julio
7
Febrero
2
12
Agosto
8
Marzo
3
Septiembre
9
Abril
4
Octubre
10
Mayo
5
Noviembre
11
Junio
6
Diciembre
12
30
Me s
No. de meses
Consumo (Dm3)
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
269
Se sabe que anualmente hay un incremento del 2% en el consumo de agua. Completa la tabla de proyecciones a futuro para el consumo de agua en el 2006.
2006 Mes
No. de meses
Enero
Consumo (Dm )
Me s
No. de meses
1
Julio
7
Febrero
2
Agosto
8
Marzo
3
Septiembre
9
Abril
4
Octubre
10
Mayo
5
Noviembre
11
Junio
6
Diciembre
12
3
30.6
Consumo (Dm ) 3
La siguiente gráfica muestra el gasto de agua cada mes del 2005, así como las proyecciones al 2006 y 2007. Indica qué color se corresponde con qué año y anótalo en el recuadro.
a) 2005
(
) rojo
b) 2006
(
) negro
c) 2007
(
) azul
270
Bloque 5 A partir de la gráfica, determina aproximadamente el consumo de agua para los tiempos que se te pide:
Consumo de Agua (Dm ) 3
Tiempo
2005
2006
2007
6 meses y medio 7 meses y medio 8 meses y medio 9 meses y medio 10 meses y medio 11 meses y medio
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Pamela está llenando su alberca inflable, que tiene una capacidad de 40 litros, y se
da cuenta que cada segundo entra
1 2
litro de agua. ¿Cuántos segundos puede dis-
traerse después de haber abierto la llave para que no se salga el agua de la al berca? ________________ ¿Cuánta agua habrá en el segundo 60? ______________ • Completa la tabla relacionando los segundos transcurridos y la cantidad de agua en la alberca.
Tiempo en segundos
Volumen en litros
Tiempo e n segundos
1
14
2
16
3
18
4
20
5
25
6
30
7
35
8
40
9
45
10
50
12
Volumen en litros
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
271
• Dibuja un plano en un papel cuadriculado. Coloca en él los elementos que creas necesarios para representar la relación tiempo-volumen (capacidad de la alberca): a) Etiquetas para los ejes tiempo y capacidad. b) Cuadrícula graduada. c) Puntos que relacionen ambas cantidades. 2. Si la mamá de Pamela abre más la llave, haciendo que entren dos litros por cada
segundo a la alberca, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse ésta? • Construye la tabla que relacione el tiempo y los litros de agua, tomando en cuenta esta nueva condición. • Elabora la expresión general para este caso. • Marca con un color distinto los puntos de estos datos en la cuadrícula que hiciste. • ¿Cuáles son las diferencias más notorias entre los datos bajo la primera condición (
1 2
litro por segundo) y la segunda (2 litros por segundo)?
Ejercicio de profundización 1. Llena las tablas con los valores de las expresiones algebraicas que se te piden: x
y 1 0.5 x
y 1 2 x
y 1 4 x
y 1 10 x
1
0.5
2
4
10
2 3
4 1.5
20 12
4 5 6 7 8 9 10 • Ubica en el plano todos los puntos, usando un color distinto para cada expresión. Utiliza tu cuaderno.
272
Bloque 5
Ejercicios de síntesis 1. Un autobús que viaja de Tuxtla Gutiérrez a Tijuana cubre un recorrido de 3 788 ki-
lómetros y mantiene constante su velocidad máxima, que es de 100 km/h. • Construye en tu cuaderno una expresión que proporcione la distancia que llevaría recorrida el autobús en diferentes momentos, suponiendo que no hace paradas. 2. Antonio viajó de Querétaro a Acapulco el viernes pasado, a una velocidad cons-
tante de 100 km/h, y su recorrido duró aproximadamente 6 horas. A su regreso aumentó la velocidad e hizo 5 horas de recorrido. • Indica en la gráfica siguiente qué gráfico corresponde al recorrido de ida y cuál al de regreso. i. Querétaro-Acapulco
(
) Negro
ii. Acapulco-Querétaro
(
) Azul
Kilómetros recorridos
600
500
400
300
200
100 tiempo (en horas)
0 0
0
1
2
3
4
5
6
• ¿A qué velocidad manejó Antonio en el regreso?__________________________ • Señala en la gráfica el punto que indique la mitad del recorrido QuerétaroAcapulco. ¿Qué coordenada le corresponde? _____________________________ • Usando la gráfica, aproxima la distancia que recorrió Antonio a su regreso en 1, 2, 3, 4 y 5 horas.
Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano
273
3. Construye la expresión algebraica para encontrar las distancias que recorrió An-
tonio en su trayecto de ida.
4. Construye la expresión algebraica para encontrar las distancias que recorrió An-
tonio en su trayecto de regreso.
5. Utiliza las dos expresiones para completar la tabla siguiente:
Tiempo (horas)
Querétaro-Acapulco
Acapulco-Querétaro
100 km/h
_ __ _ km/h
Distancia (kilómetros)
D istancia (kilómetros)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6. ¿Consideras que visualmente es mayor la claridad de la información expresada en
un plano cartesiano que la representada en una tabla? Comparte tu opinión en clase.
Lección 33
Problemas aditivos
En esta lección aprenderás a calcular sumas y restas de números con signo.
El Medioevo: El isla m | La Europa cristiana Muchos creen que las matemáticas durmieron un largo sueño durante la Edad Media; sin embargo, no es del todo cierto. Los árabes, además de recuperar un buen número de obras griegas, proporcionaron a Occidente un gran tesoro que van a desarrollar de forma increíble.
274
Problemas aditivos
275
Para aprender Actividad 1 Excesos con la tarjeta Samuel tiene una tarjeta de crédito con un límite de $3 200. En agosto hizo las siguientes compras para el regreso a clases: • Uniformes: $1 200.00 • Útiles escolares: $750.00 • Zapatos: $830.00 • Accesorios de cómputo: $850.00 Cuando el banco realizó el corte, le informó lo siguiente: • Compras: $3 630.00 • Disposiciones en efectivo: $0.0 • Saldo (deudor) a la fecha: $3 630.00 • Disponible: $430.00 ¿Qué significa que Samuel tenga disponible en su tarjeta la cantidad de $430.00? _______________________________________________________________________ • ¿Cuánto deberá pagar para que tenga su tarjeta en “ceros”? _______________ • Supongamos que el banco le sigue dando crédito a Samuel (aunque haya re basado su límite) y compra unos libros por $330.00. ¿Cuánto dinero tendrá disponible? ________________ • Si después sólo paga $450.00, ¿de qué cantidad podrá disponer en su tarjeta? ________________________
Actividad 2 . . .¿Y dónde está la ballena? Las ballenas son mamíferos que respiran a través de pulmones y no de branquias, como lo hacen los peces. Cuando bucean pueden aguantar la respiración hasta 50 minutos. Los cachalotes, otra especie de ballenas, llegan a aguantar la respiración hasta 75 minutos.
276
Bloque 5 Una bióloga marina que estudia el comportamiento de las ballenas registró los siguientes datos:
Hora
Actividades
D escensos y a scensos en metros
7:00 a. m.
Sale a la superficie a respirar
Nivel del mar
7:15 a. m.
Primer descenso
7:20 a. m.
Segundo descenso (a partir de su posición anterior)
7:25 a. m.
Tercer descenso (a partir de su posición anterior)
7:30 a. m.
Cuarto descenso (a partir de su posición anterior) para comer
7:37 a. m.
Primer ascenso (a partir de su posición anterior)
5m
7:40 a. m.
Segundo ascenso (a partir de su posición anterior)
15 m
7:52 a. m.
Tercer ascenso. Sube a la superficie para respirar
Nivel del mar
35 m
12 m
15 m
14 m
Señala a qué profundidad se encuentra la ballena: a) Después del segundo descenso. ____________ b) Después del tercer descenso. _______________ c) Después del cuarto descenso. ______________ d) Después del primer ascenso. _______________ e) Después del segundo ascenso. ______________
Actividad 3 Sobre la recta En las siguientes escalas numéricas se registraron de forma aproximada las temperaturas de la Ciudad de Puebla durante una mañana de invierno. Observa detenidamente. Hora
Registro de temperaturas
4:00 a. m. 10
10
10
5
0
5
10
5
0
5
10
5
0
5
10
4:30 a. m.
5:00 a. m.
Problemas aditivos
277
5:30 a. m. 10
10
10
10
5
0
5
10
5
0
5
10
5
0
5
10
5
0
5
10
6:00 a. m.
6:30 a. m.
7:00 a. m.
¿Recuerdas cómo obtener tu promedio de calificaciones? Sumas todas las cantidades y el resultado lo divides entre el número de datos. Si queremos sacar un promedio de temperaturas, hacemos lo mismo. Deseamos calcular la temperatura promedio durante una hora de la mañana, particularmente entre las 4:00 y las 5:00 a. m. Tenemos tres registros durante esa hora: (1) (3) (3 .5 ) 3
7 .5
3
2.5
Los paréntesis contienen las cantidades negativas para que no se confunda el signo del número con el de la operación. Calcula el promedio de temperaturas (temperatura media) en los siguientes intervalos de tiempo. a) De las 5:00 a las 7:00 a. m. b) De las 4:00 a las 4:30 a. m. c) De las 6:30 a las 7:00 a. m. d) De las 4:00 a las 7:00 a. m.
Si a las 4:00 a. m. había una temperatura de 1 °C y a las 4:23 a. m. disminuyó 1.6 °C, ¿cuál es la nueva temperatura? Esto lo escribimos como: (1) (1.6) 2.6 e) A las 4:30 a. m. el termómetro registró una temperatura de 3 °C, mientras
que a las 4:38 a. m. indicó una disminución de 0.25 °C. ¿Cuál es la nueva temperatura? ________________ f ) A las 6:00 a. m. la temperatura era de
0.5 °C y a las 7:15 a. m. aumentó 4.25 °C. ¿Cuál es la nueva temperatura? ________________
g) A las 6:00 a. m. hubo una temperatura de 1 °C; a las 8:00 a. m. aumentó 5 °C.
¿Cuál es la nueva temperatura? ________________
Actividad 4 Recorriendo la recta numérica Si sumamos dos números negativos, por ejemplo ( 2) (3), como vimos en la Actividad 3, el resultado da 5.
278
Bloque 5 Sumar dos números negativos en la recta numérica, equivale a recorrer distancias a la izquierda; así, la suma (2) (3) 5 puede ser interpretada de la siguiente manera: 10
5
2
0
5
10
¿Cómo sumamos un número negativo con uno positivo? En la recta, sumar un positivo es recorrer distancias a la derecha. Por ejemplo, la suma 3 5 2 puede ser interpretada como: 3 5 10
5
3
0
2
5
10
Observa que recorremos 5 a la derecha del 3. Así determinamos el resultado. Ahora unas restas. . .
La sustracción de dos números se puede entender como la ubicación de la distancia que hay entre ambos números sobre la recta numérica. Por ejemplo, para calcular ( 3) (5) contamos las unidades que median entre 5 y 3. 10
5
3
0
5
10
Advierte que lo hicimos hacia la izquierda, por lo cual el resultado será un valor negativo. Esto lo podemos escribir como: (3) (5) 8 Ahora, ¿qué sucede con la operación ( 2) (5)? Nos ubicamos en 5 y avanzamos al 2, pero ahora el recorrido es a la derecha, por lo cual el resultado será positivo. 10
5
2
0
5
10
El resultado es 3, que se puede expresar: (2) (5) 3 Apoyándote en la recta numérica, efectúa las operaciones que se indican. (5) (3) 10
10
5
0
5
10
5
0
5
10
(4) (2)
Problemas aditivos
279
(3) (1) 10
10
10
5
0
5
10
5
0
5
10
5
0
5
10
(5.5) (1)
(1.2) (2)
Los conocimientos En la lección 26 vimos qué son los números con signo y su representación en la recta numérica. De aquí en adelante a los números con signo les llamaremos números negativos o números positivos. Para que los números negativos sean considerados números, como los naturales o los decimales, también debemos hacer operaciones con ellos. ¿Qué significa sumar o sustraer dos números negativos?
Suma de dos números negativos Si consideramos que un número negativo representa una deuda, un número positivo representa lo que se tiene y la suma consiste en agregar, podemos interpretar las siguientes expresiones a través de los siguientes casos: a) Número positivo más un número negativo
7 (3)
significa que TIENES 7 y DEBES 3
significa que TIENES 4
7 (3) 4
5 (8)
significa que TIENES 5 y DEBES 8
significa que DEBES 3
5 (8) (3)
4 (4)
significa que TIENES 4 y DEBES 4
significa que TIENES 0
4 (4) 0
7 (9)
significa que TIENES 7 y DEBES 9
significa que DEBES 2
7 (9) (2)
b) Número negativo más un número positivo
(3) 7
significa que DEBES 3 y TIENES 7
significa que TIENES 4
(3) 7 4
(8) 5
significa que DEBES 8 y TIENES 5
significa que DEBES 3
(8) 5 (3)
(4) 4
significa que DEBES 4 y TIENES 4
significa que TIENES 0
(4) 4 0
c) Número negativo más un número negativo (3) (5)
significa que DEBES 3 y DEBES 5
significa que DEBES 8
(3) (5) (8)
(8) (3)
significa que DEBES 8 y DEBES 3
significa que DEBES 11
(8) (3) (11)
280
Bloque 5 En caso de que los números negativos y/o positivos sean fraccionarios o decimales, se pueden interpretar como tener o deber fracciones de una unidad para proceder de la misma manera.
Sustracción con números negativos La sustracción se puede interpretar como una distancia entre puntos. Ahora, para la diferencia entre números negativos y positivos haremos la consideración de que la sustracción es la operación inversa de la suma. El siguiente diagrama muestra en qué sentido ocurre esto: 5 5 25
20
25
Se vuelve al número original
De esta manera, para calcular el valor de ( 3) (8) se pueden hacer las siguientes observaciones: 8
8
3
3
(3) (8) Se vuelve al número original
Entonces, (3) (8) es igual al número que, al sumarle 8, dé como resultado 3. Por la sección anterior, sabemos que ( 8) (5) 3; entonces, (3) (8) 5.
Los métodos Calcular sumas con números negativos Este método considera que un número negativo representa una deuda, uno positivo lo que se tiene y la suma consiste en agregar. Así pues, la suma entre dos números ( ) es calcular lo que se tiene o lo que se adeuda. Ejemplos: 7 (3)
significa que TIENES 7 y DEBES 3
significa que TIENES 4
7 (3) 4
5 (8)
significa que TIENES 5 y DEBES 8
significa que DEBES 3
5 (8) (3)
(8) 5
significa que DEBES 8 y TIENES 5
significa que DEBES 3
(8) 5 (3)
(8) (3)
significa que DEBES 8 y DEBES 3
significa que DEBES 11
(8) (3) (11)
Problemas aditivos
281
Calcular sustracciones con números negativos Este método concibe a la sustracción como la operación inversa de los números negativos. Así, la resta entre dos números ( ) es encontrar otro número que cumpla con lo siguiente:
Se vuelve al número original
Ejemplo: Calcular la diferencia: (2) (4). (2) (4) es un número que cumple con el siguiente diagrama: 4
4
2
2
(2) (4) Se vuelve al número original
Entonces, (2) (4) es igual al número que, al sumarle 4, da 2. Como sabemos que (4) (2) 2; entonces (2) (4) 2.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Tenemos que a y b toman diferentes valores en cada renglón. Calcula para cada co-
lumna el resultado de las operaciones:
Valor pa ra a
Valor pa ra b
1
2
1
2 1.5 1 2
0 1.5
3
1 2
a b
a b
b a
b a
282
Bloque 5 2. Escribe los números que hacen falta:
3
0
( 2.5) 3
2.2
5
5
1 5
3
5
7
3. En el siguiente ejercicio, encuentra tres parejas de números que, al sumarlos o res-
tarlos, den cada uno de los resultados que se indican. Verifica tus respuestas con la calculadora. Resultado: 32
Resultado: 45
Resultado: 27
Resultado: 40
4. En las siguientes tablas, los números de la columna de la derecha se obtienen al
sumar los de la columna de la izquierda con un valor desconocido. Descubre el número desconocido y completa las tablas. 4
6
1
?
12
?
5
?
0.125
?
0.3
0.7
4
?
10
?
0
1 8
? ?
3
3.125
6
?
5. Efectúa las siguientes operaciones mentalmente:
1 3 4 1 5 5 10 1 2 3 3 2 0 10 5 3 8 5 1 10 5 1 10 11 6. Pedro salta de una avioneta que vuela a 10 metros sobre el nivel del mar y, cuando
cae, se sumerge 5 metros bajo nivel del mar. ¿Cuántos metros descendió? ________ 7. El punto de fusión (temperatura a la que una sustancia pasa del estado sólido al
líquido) del elemento químico mercurio es de 38.83 °C, y su punto de ebullición (temperatura a la que una sustancia pasa del estado líquido al gaseoso) es de 356.73 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre el punto de fusión y el de ebullición? __________________________
Problemas aditivos
283
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Presta atención a los siguientes pares de números y determina
,
o , según co-
rresponda. 1.23 (2.56) ______ 4.4 (2) 5.5 (2) 4 ______ 3.1 (2) 5 3 4
1 1 _____ 2 3
1 4
2.5 (1.5) ______ 3.1 (1.9)
5 (1) 2 ______ 4 (1) 2 (4)
2. Las siguientes columnas indican operaciones donde la variable n toma diferentes
valores. Completa los espacios en los que hace falta el resultado correcto.
n
n 1
n (3)
n 1
0 2
4
4
5
4
1 4
3. Coloca en las columnas de “Operación” el signo de la operación que corresponde
para que se obtenga el resultado indicado en la última columna. Operación
Operación
O peración
2
2
4
4
2
4.2
5
6
3
3
6
2
1
1
2
7
4
17.2
4
3
284
Bloque 5 4. En la siguiente tabla, se indican operaciones para los diferentes valores asignados a las letras a y b. Encuentra los valores y completa la tabla.
a b a 1 b4
3
a0 b2
2
|a |
|b |
Opuesto Opuesto de a de b
|b | el
|a b |
1 2
a 2 b2
3
5
2
2
a 3.3 b0
Opuesto opuesto de a b de a
0 0
3.3
Ejercicios de profundización Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Omar está pasando por una mala racha porque le ha pedido dinero a Pedro y a Enrique. Al hacer cuentas, llegó a la conclusión de que debe $4 000.00, ya que a Pedro le adeuda $3 500.00. ¿Cuánto le debe a Enrique? 2. La fosa de Java tiene 7 450 m de profundidad y la de las Marianas mide 11 022 m. ¿Qué diferencia de profundidad hay entre esos dos puntos de la Tierra? 3. Un caracol está en el fondo de un pozo de 10 m. Para salir, asciende 3 m cada día, pero por la noche resbala y desciende 2 m. ¿Cuántos días tardará en llegar al borde del pozo? 4. La temperatura de un congelador desciende 2 grados cada 5 minutos, hasta que llega a 20 °C. Si cuando lo conectamos a la electricidad la temperatura es de 18 °C, ¿cuánto tardará en llegar a 12 °C? 1
Ejercicio de síntesis Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Braulio es un estudiante de primer año de secundaria. Observa cómo resolvió el
siguiente ejercicio: 2 (2) 4 • Explica cuál fue la lógica de su procedimiento. • ¿En qué se equivocó Braulio? • Resuelve en forma correcta el ejercicio.
Tomado de Bruno, A. y García J. A. (2004), Futuros profesores de primaria y secundaria clasifican pro blemas aditivos con números negativos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 7 (1), 25-48 1
Relación funcional
Lección 34
E n esta lección estudiaremos situaciones de variación proporcional y la representación mediante ta-
blas, gráficas y expresiones algebraicas.
René Descartes (1596-1650), considerado el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas.
Para aprender Actividad 1 Galileo y la caída de un cuerpo
Galileo Galilei fue uno de los primeros científicos que se interesaron en el estudio de la caída de los cuerpos, en términos de su medición. Él partió de la siguiente consideración: Cuando observo, . . . una piedra que cae desde cierta altura y va adquiriendo poco a poco cada vez mayor velocidad, ¿por qué no he de creer que tales aumentos de velocidad no ten gan lugar, según la más simple y evidente regla? Ahora bien, si observamos con cierta atención el problema, no encontramos ningún aumento o adición más simple que aquel que va aumentando siempre de la misma manera.
Hoy sabemos que Galileo tenía razón. El aumento de la velocidad a la que se refirió es 9.8 metros/segundo; es decir, que cada segundo la velocidad se incrementa en 9.8 metros. Acontinuación, llena las dos columnas de la siguiente tabla. En la primera está el tiempo transcurrido desde que se dejó caer el cuerpo, mientras que la
285
286
Bloque 5 segunda se refiere a la velocidad del cuerpo (nota que el objeto se arroja hacia el suelo con una velocidad de 10 metros/segundo).
Tiempo (segundos)
Velocidad del cuerpo (metros/segundo)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 19.8
• Al incrementarse el tiempo, de segundo en segundo, ¿qué ocurre con el aumento de la velocidad del cuerpo? ______________________________________ • ¿Con qué velocidad cae un objeto al pasar 3.5 segundos? Y ¿después de 4.5 segundos? _____________________ _____________________
Actividad 2 ¡La leche se enfría! 20 ºC
ºC 50 40 30 20 10 0
-10 -20 -30 -40
Una taza de leche se calienta en un horno de microondas, alcanzando una temperatura de 70 °C. La taza de leche se extrae del horno y se expone al medio ambiente, donde hay una temperatura de 20 °C. Para todo fin práctico, supongamos que en los primeros 10 minutos la temperatura de la taza de leche disminuye uniformemente a razón de 2 °C por minuto. Completa la siguiente tabla.
Tiempo (segundos)
Temperatura °C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
70
Relación funcional
287
• Al incrementarse el tiempo de minuto en minuto, ¿qué ocurre con el decremento de la temperatura? ______________________ • ¿Qué temperatura tiene la leche a los 3.5 y a los 4.5 segundos? _____________
Actividad 3 El incremento en tablas En las siguientes tablas hemos colocado la fórmula para encontrar el valor de y, haciendo ciertas operaciones con x. Contesta lo que se te pide. x
y 3 (x ) 1
y 2 0.5 (x )
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Al incrementar x de 1 en 1, ¿qué ocurre con el aumento de y? ________________________
y 10 2 (x )
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Al crecer x de 1 en 1, ¿qué sucede con el incremento de y? ________________________
Al elevarse x de 0.5 en 0.5, ¿qué ocurre con el crecimiento de y? ________________________
¿Qué característica comparten las tres tablas? ________________________________
Los conocimientos La función se puede interpretar de diferentes formas. Como una fórmula explícita. La expresión f (x) x 2 determina la forma en cómo se asocian dos valores, por ejemplo si a x le asignamos el valor de 2, entonces f (x) 4, así 2 se relaciona con 4. Mediante el trazo de una curva. A partir de datos que se relacionan, se puede trazar una gráfica que exprese ese comportamiento variacional. helados
5 vasitos 10 vasitos 15 vasitos 1 vasito
precio $15 $30 $45 $3
45 30 15 5
10
15
288
Bloque 5 Como tabla que relaciona variables. En la Actividad 1 se pudo apreciar de la tabla que los incrementos de la variable tiempo (t) se dan de una en una unidad, mientras que los correspondientes a la varia ble velocidad (v) son de 9.8. t
v
(segundos)
(metros/segundo)
0
10
1 de incremento
1
19.8
9.8 de incremento
1 de incremento
2
29.6
9.8 de incremento
1 de incremento
3
39.4
9.8 de incremento
1 de incremento
4
49.2
9.8 de incremento
1 de incremento
5
59
9.8 de incremento
1 de incremento
6
68.8
9.8 de incremento
1 de incremento
7
78.6
9.8 de incremento
Como puedes observar, existen varias formas para expresar una relación funcional.
Los métodos Graficar una recta (sin tabla). Por ejemplo, grafiquemos la recta: y 3x 1
La forma general de la expresión es y mx b. El valor de b indica el lugar sobre el eje y por donde pasará la recta. La m indica qué tan inclinada está la recta y mantiene este comportamiento: Si m es positiva, entonces la recta tiene el aspecto:
Su aspecto es:
, mientras que
si m es negativa
Para el caso de y 3x 1, el 1 indica el lugar del eje y por donde pasará la recta, así ubicamos el primer punto. El segundo punto se determina avanzando 3 valores hacia arriba (dado que se trata de 3 positivo) y un valor a la derecha (dado que b 1 y también es positivo).
Relación funcional
289
1
1
3
3
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Con las explicaciones dadas grafica las rectas que siguen, en el sistema de ejes. y 2x 2
1 x 2 2
y 1
x 2 3 y 3x 2 y 2x 3 y
y
1
x 3 3 y
x
290
Bloque 5 2. A continuación aparecen varias tablas con valores numéricos de dos variables que
se relacionan linealmente. Busca fórmulas que expresen una relación de las varia bles para cada una de ellas. x 1 2 3 . . .
t 0 1 2 . . .
n 0.1 0.2 0.3 . . .
y 2 4 6 . . .
g 0 2 4 . . .
m
t 0.1 0.2 0.3 . . .
x
1 2 3 ...
y 0.1 0.2 0.3 . . .
w 1
r 3 3.7 4.6 . . .
y 0.5 1 1.5 . . .
x 19 18 17 . . .
s 18 16 14 . . .
2 4 6 ...
m 0
1 2 ...
n 3.5 5 6.5 . . .
2 3 ...
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Un automóvil transita por una carretera recta. Mantiene una velocidad constante
de 20 metros por segundo. Supongamos que empezamos a medir el tiempo cuando el automóvil se encuentra 10 metros a la derecha de un punto marcado con O sobre la carretera y viaja alejándose de O. Construye una tabla y una fórmula que nos dé la distancia del automóvil al punto O con respecto del tiempo. 2. Escribe la fórmula para las siguientes gráficas. 2
2
4
1
Ejercicios de profundización 1. Para la expresión 3 4x 1 y, grafica la función y f (x). Utiliza tu cuaderno. 2. Fernando sale en su auto, de Chilpancingo rumbo a Acapulco, a las 7:00 horas y
maneja a una velocidad de 100 kilómetros por hora. Al mismo tiempo, Cristina sale en su automóvil de Acapulco rumbo a Chilpancingo, a una velocidad de 100 kilómetros por hora. Si la distancia entre ambas ciudades es de 96 kilómetros y tanto
Relación funcional
291
Fernando como Cristina conservaron sus velocidades durante todo el trayecto, ¿cuál es la fórmula de la distancia entre ambos autos en función del tiempo? ¿A qué distancia de Acapulco se encontrarán? _____________________ _____________________
Ejercicios de síntesis 1. Tenemos tres puntos: A: (2;
3 5
), B: (4;
7 8
), C: (4;
4 5
). ¿Pertenecen o no a la
misma recta? Justifica. Anota la respuesta en tu cuaderno. 2. Halla las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafica.
• Una recta que pasa por el punto 3, 4. Se admite más de una respuesta, explica por qué. 3. ¿En qué situación concreta aplicarías un ejercicio como el anterior? Descríbela y
compártela en clase.
Lección 35
Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas
En esta lección aprenderás a resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas.
POEMA MATEMÁTICO En el que predominan los términos matemáticos La señora circunferencia daba la conferencia. Una multiplicación discutía con la división. Llegó la suma tan presumida como ninguna: —Calma, señoras, la geometría viene ahora. Diámetro con perímetro, pentágono con hexágono, cuadrado de medio lado se sentaron en círculo. Alumnos y alumnas de 1o. (tomado de la Web de Gloria Almendáriz
http://personal.telefonica.terra.es/web/poesiainfantil/escritos5.htm)
Para aprender Actividad 1 Embaldosando un patio En los embaldosados de los patios se realizan diseños en los que la matemática brinda la posibilidad de aplicar sus contenidos a cuestiones prácticas y estéticas, pues muchos de esos diseños combinan figuras circulares y polígonos. En el siguiente problema, te encontrarás frente a la necesidad de realizar cálculos de áreas y de porcentajes; además, podrás aplicar varios conocimientos que has aprendido en este curso.
292
Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas
293
En un embaldosado se utilizan baldosas cuadradas de 10 cm de lado, con el siguiente diseño:
El patio donde se han colocado es rectangular y sus dimensiones son de 2 por 3 m. Determina y anota las respuestas en tu cuaderno: • Cuál es el área de la región azul y cuál la de la región blanca de cada baldosa. • Cuántas baldosas se utilizan en el patio. • Cuál es el área de la región azul y cuál la de la región blanca del patio. • Qué porcentaje de cada baldosa y del patio es azul. • Extrae conclusiones de las dos respuestas anteriores. • Sugiere diversos diseños para el embaldosado del patio. Constrúyelos en una hoja de papel y compáralos con los de tus compañeros.
Actividad 2 El pintor de la cancha de baloncesto El siguiente problema es un ejemplo de cómo algunas áreas que requerimos calcular pueden estar compuestas por formas geométricas conocidas, de las cuales contamos con sus fórmulas para calcular sus respectivas áreas. Asimismo, relaciona un problema de carácter matemático con uno de toma de decisiones: ¿Es adecuada para el pintor la propuesta que le hace el club? Un conveniente conocimiento matemático, en particular sobre las formas y propiedades de las figuras geométricas planas, así como el cálculo de sus áreas, le permitirá al pintor tomar la decisión correcta. La administración de un club deportivo le solicita a un pintor que pinte ciertas áreas de una cancha de baloncesto hecha de cemento; las áreas están señaladas con color blanco en la imagen inferior. La tarifa de este pintor por metro cuadrado es de 50 pesos, y la administración del club le ofrece 3 240 pesos por pintar las áreas señaladas ¿Es conveniente para el pintor esa tarifa? ¿Por qué? 5 . 8 m 6 . 0 m
3 . 5 m
294
Bloque 5
Los conocimientos Una de las principales utilidades del conocimiento de las figuras planas es que se pueden aplicar sus propiedades, tanto en el diseño de espacios y objetos como en el cálculo de contornos y superficies. Conocer los requerimientos mínimos para la construcción de triángulos y círculos —o bien otras alternativas para elaborarlos—, al igual que el cálculo de sus contornos y superficies, es de suma utilidad para tomar decisiones en asuntos de naturaleza práctica. Por ello, es importante que no sólo desarrolles la habilidad para trazar paralelas o perpendiculares, ya sea para medir ángulos, construir triángulos, saber las propiedades a las que se sujetan ángulos y lados en él, sino también que identifiques y traces sus puntos y segmentos más notables (bisectrices, mediatrices, alturas, circuncentro). En el caso del círculo, que sepas distinguirlo de la circunferencia; además, cómo trazarlos y calcular su perímetro y área. Hasta ahora, lo que hemos estudiado muestra una estrecha relación entre triángulo, cuadrilátero y circunferencia. Es el uso de esas propiedades combinadas las que darán rigor a tus análisis sobre situaciones geométricas.
Los métodos La geometría ofrece herramientas para la resolución de situaciones problemáticas reales, donde a partir del análisis de los datos se efectúan cálculos y comparaciones. La práctica en el cálculo de áreas de figuras planas en las que se combinan círculos y cuadriláteros, así como el empleo de porcentajes y el diseño artístico, te ayudarán a profundizar en las propiedades geométricas de las figuras y utilizarlas en el cálculo. Como ejemplo, tenemos: 1. Haciendo centro en un vértice de un cuadrado de lado 20 cm, se traza un arco
(exterior al cuadrado) que arranque de un vértice contiguo y termine en la prolongación de ese lado. De esta manera, se dibujan los otros tres arcos análogos en el mismo sentido que el anterior, obteniéndose la siguiente figura:
a) Calcula el área de la figura anterior.
Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas
295
b) Si se duplica el lado del cuadrado y se realiza la misma construcción a partir
de él, ¿cuál será el área de la nueva figura? _________________________ Comentarios sobre el ejercicio: • Para la resolución de este problema, debes identificar cuál es la información que se da y cómo se relaciona para llegar a la solución. • La figura está compuesta por un cuadrado y cuatro semicírculos. • El único dato numérico que aparece en el enunciado es la longitud del lado del cuadrado, que también coincide con el radio de cada semicírculo. • Calcula por separado el área de cada figura y luego súmalas para obtener el resultado solicitado. • ¿Qué pasa con el área de la figura cuando el radio crece? 2. El segmento AB mide 3 cm y la altura del triángulo correspondiente es 2.5 cm.
Calcula el área verde de la figura y el perímetro de toda la figura. B A
Comentarios sobre el ejercicio: • La figura está compuesta por un hexágono regular y seis semicírculos. • La longitud de cada lado del hexágono es el diámetro de los semicírculos, que mide 3 cm. • El hexágono está formado por seis triángulos equiláteros iguales. • Calcula por separado el área de cada figura (del hexágono y de los semicírculos), luego súmalas para obtener el resultado solicitado. • El perímetro de la figura es la suma de los contornos verdes.
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Traza un cuadrado. Une el punto medio de un lado con los dos vértices del lado
opuesto. Utiliza tu cuaderno. a) Clasifica el triángulo obtenido. Justifica tu respuesta.
296
Bloque 5 b) Calcula su área. c) ¿Cuántas veces más grande es el cuadrado que el triángulo mencionado? 2. Determina el área sombreada de cada una de las siguientes figuras, considerando
que el lado de cada cuadrado es de 1 m:
3. Dado el siguiente rombo, decide si son verdaderas o falsas cada una de las afirma-
ciones. Argumenta tus respuestas. Utiliza tu cuaderno.
a) Tiene dos ejes de simetría. b) Tiene dos ángulos rectos. c) Tiene cuatro lados iguales. d) Tiene cuatro ángulos iguales. e) Su área es el cuadrado de la longitud de su lado. f ) Su perímetro es el cuádruple de la longitud de su lado. 4. El cuadrado siguiente está seccionado en cuatro partes.
6 dm
¿Cuánto mide el área de la región en color azul? ____________________________
Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas
297
Ejercicio para consolidar los conocimientos 1. Carmelo quiere comprar un anillo para su esposa. Antes de ir a la joyería, midió
el diámetro de un anillo de su esposa para tener esta medida como referencia; el diámetro es de 1.5 cm. Cuando Carmelo llegó a la joyería, el encargado le proporcionó una tabla que contiene los diferentes números de anillos y el correspondiente valor de la longitud de las circunferencias. La tabla es la siguiente.
No. de anillo
Circunferencia en mm
1
37.7
1
1 2
2 2
1 2
3 3
1 2
4 4
1 2
5 5
1 2
6 6
1 2
7
No. de anillo
39.3 40.8
1
7
2
8 1
8
41.5
2
9 1
43.0
9
44.6
10
44.9 46.8 47.8 49.3 50.3 51.2 52.8
10
2
1 2
11 11
1 2
12 12
1 2
13
Circunferencia en mm 53.4 55.6 55.9 57.8 61.6 61.8 62.5 62.8 67.2 67.5 68.8 69.7
298
Bloque 5 Carmelo quiere llevar dos anillos para que se los pruebe su esposa y saber cuál de los dos le queda mejor. ¿Qué números de anillos le recomendarías a Carmelo que compre? __________________________
Ejercicio de profundización 1. En un campo han crecido tres árboles. El dueño del campo decide plantar un cuar-
to árbol, de manera que equidiste de los tres existentes. • Escribe una carta al dueño del campo, en la que le expliques un procedimiento para que determine dónde plantar el árbol. • Explica por qué propones ese procedimiento, utilizando en tus argumentaciones los conocimientos matemáticos que has adquirido. Anota las respuestas en tu cuaderno. • El siguiente croquis representa la ubicación de los árboles en el campo. Sitúa al cuarto árbol.
Ejercicios de síntesis 1. Los perímetros de las figuras planas también se encuentran presentes en los pro-
blemas cotidianos. A diario aplicamos la matemática, por ejemplo, cuando vamos a una tienda a comprar algo. En estas situaciones no sólo aplicas los conocimientos matemáticos, sino también debes expresar lo que deseas para que se comprenda lo que necesitas. La abuela de Graciela está terminando una carpeta tejida para la mesa del comedor y quiere comprar un encaje para el borde. La forma de la carpetita es la siguiente:
A
B
Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas
299
Siendo el segmento AB de 15 cm de longitud y todos los segmentos de borde de la carpeta iguales, excepto los cuatro de las puntas que miden el doble, anota las respuestas en tu cuaderno. a) ¿Qué unidad elegirías para medir la cantidad de encaje a comprar? ¿Por qué? b) ¿Cuánto mide el perímetro de la carpeta con respecto a esta unidad? c) ¿Conviene esta unidad para ir a comprar el encaje a la mercería? ¿Por qué? d) Si el metro de encaje cuesta $ 1.30 en la mercería “El botón rojo” y 80 cm cues-
tan $ 0.90 en “El dobladillo descosido”, ¿en cuál de los dos negocios conviene comprar? 2. Dos hermanas han comprado un terreno que limita, por un lado, con un río, y por otro con dos cercas rectas que se unen en un punto P, donde crece un añoso árbol.
Deciden dividir el campo, de manera que ambas sigan teniendo acceso al árbol y al río, y que la nueva cerca que coloquen equidiste de las ya existentes. Anota las respuestas en tu cuaderno. • Explica de qué manera deben hacer la división. • Justifica matemáticamente la construcción que deben realizar para colocar el alambrado. • ¿Piensas que así estarán seguras las hermanas de que la división es equitativa? ¿Por qué?
Lección 36
Nociones de probabilidad II
En esta lección aprenderás a tratar con el azar desde un punto de vista matemático. Calcularás la proba-
bilidad clásica de un evento aleatorio y reconocerás a los eventos equiprobables de aquellos que no lo son.
66 Suma 12
Jugando a los dados Número de jugadores: No más de once personas. Se trata de que cada jugador elija un número entero entre 2 y 12. A continuación se tiran dos dados simultáneamente. Se observa el resultado de cada dado y se suman los dos números. Ganará aquel que primero haga coincidir su tirada (es decir, la suma de los números de cada dado) con el número de su elección... ¿Jugamos?
Para aprender Si bien la probabilidad nace de los juegos de azar, se ha extendido a una gran diversidad de áreas del conocimiento humano. La genética y la biología se nutren de ella. Por ejemplo, en tu clase de ciencias podrás calcular la probabilidad de que en un nacimiento el bebé sea niña o niño. Observa el diagrama de la derecha:
Hombre XX
X
XX
300
Mujer X Y
X X Y X Y X Y X XX XX
X
X Y
X Y
XX
X Y
Determinación del sexo, tipo XX XY
Nociones de probabilidad II
301
En los seres humanos el sexo del recién nacido depende del tipo de espermatozoide que realice la fecundación. Si el espermatozoide que fecunda el óvulo es portador del cromosoma X el cigoto resultante dará lugar a una niña (XX) y si el espermatozoide que fecunda al óvulo es portador del cromosoma Y el cigoto dará lugar a un niño (XY). La probabilidad de que nazca un niño o una niña es exactamente la misma.
Las experiencias aleatorias y la probabilidad Una experiencia aleatoria es aquella que depende del azar, es decir que no sabemos de antemano qué resultado va a salir, aunque conozcamos los resultados posibles que se pueden tener. Se suele llamar evento seguro cuando no hay ninguna posibilidad de que no suceda. Por ejemplo, si en una bolsa hay diez bolas blancas, al meter la mano en ella y sacar una bola, el suceso “que la bola que saque sea blanca” es seguro. Por otra parte, es un evento imposible aquel que no tiene posibilidad de suceder. Por ejemplo, en la bolsa anterior, el suceso “que la bola que saque sea negra” es imposible, puesto que todas las que hay en ella son blancas. Los eventos que estudiaremos en esta lección son los probables, sucesos para los que existe alguna posibilidad de ocurrir. Si en la bolsa hay diez bolas, varias blancas y varias negras, el suceso “que la bola que saque sea negra” es un suceso probable. Podemos ver distintos valores de la probabilidad, desde el valor cero para el evento imposible, hasta el valor 1 para el suceso seguro. Diremos desde un punto de vista cualitativo, que un suceso puede ser muy probable, igual de probable que otro o poco probable. Por ejemplo, si en la bolsa hubiera 10 bolas blancas y 2 bolas negras, el evento “que la bola que saque sea blanca” sería muy probable; y “que la bola que saque sea negra” sería poco probable. Pero si en la bolsa hubiera la misma cantidad de blancas que de negras, diríamos que los eventos, “que la bola que saque sea blanca” y “que la bola que saque sea negra”, serían igual de probables. De este modo, al medir la probabilidad de que ocurra un evento, estamos hablando de la probabilidad como la fracción que representa la posibilidad de que un suceso ocurra.
La probabilidad del evento, “que salga sol” es la misma que la del evento “que salga águila”, ésos son eventos equiprobables.
Actividad 1 Sobre los resultados posibles Una característica de los experimentos aleatorios es que, como dijimos, no podemos predecir su resultado. Aunque sepamos cuáles resultados sean posibles. Por ejemplo,
302
Bloque 5 si lanzamos una moneda al aire, sabemos que los resultados posibles son sólo dos: que salga águila o que salga sol, pero al tirar una moneda (experiencia aleatoria) no sabemos qué caerá, si es que aparecerá un sol o bien un águila. Como el número de resultados posibles es 2 (A o S), y el número de resultados favorables de cada uno de los eventos (que caiga águila o que salga sol) es uno, decimos que la probabilidad de que salga un sol es
1 2
y de que salga un águila es
1 2
. Pues la
probabilidad clásica se calcula de la siguiente manera:
Veamos para este caso, lo que son el evento, los resultados favorables al evento y su número, los resultados posibles del experimento y su número y la probabilidad clásica del evento. Evento: sacar un águila al tirar un volado. Resultado favorable: que salga un águila. Número de resultados favorables al evento: 1 (uno). Resultados posibles: que salga águila o que salga sol. Número de resultados posibles del experimento: 2 (dos). Por tanto, la probabilidad clásica del evento de sacar un águila al tirar un volado es: 1 2
Actividad 2 Tirando dados
Por ejemplo, si tiramos un dado, sabemos que los resultados posibles son sólo seis: que salga un punto (1), dos puntos (2), tres puntos (3), cuatro puntos (4), cinco puntos (5) o seis puntos (6), pero al tirar el dado (experiencia aleatoria) no sabemos en verdad cuál de las seis caras caerá hacia arriba.
Nociones de probabilidad II
303
Como el número de resultados posibles es seis (1, 2, 3, 4, 5 y 6), y cada evento (que caiga alguna de ellas) sólo puede aparecer una vez, decimos que la probabilidad de que salga un 1 es de caras.
1 6
, de que salga un 2 es
1 6
, o lo mismo para cada una de las otras
Recuerda que la probabilidad clásica se calcula de la siguiente manera: Probabilidad clásica de que salga un 3
Evento favorable: sacar un 3 al tirar el dado. Resultado favorable: que salga un 3. Número de resultados favorables al evento: 1 (uno). Resultados posibles: que salga 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Número de resultados posibles del experimento: 6 (seis). Por tanto, la probabilidad clásica del evento de sacar un tres es
1 6
.
Actividad 3 Jugando a la botella En la fiesta de cumpleaños de Cecilia, se reunieron a festejarla sus siete amigas. Ellas acostumbran jugar a la botella cuando se reúnen. El juego consiste en sentarse las ocho en círculo y colocan en su centro una botella de refresco vacía. Proponen un castigo (éste depende de la imaginación. . .) y giran la botella, una vez que deja de girar, la boca de la botella apunta hacia algún lado. A quien apunte la boca de la botella o de quien más cerca quede será quien “cumpla el castigo”. Imagina que la botella al girar hace lo siguiente y termina apuntando a alguien.
304
Bloque 5 Se sientan en torno de un círculo imaginario distribuidas uniformemente, como se observa en el siguiente dibujo:
ella cumple el castigo
¿Cuál es la probabilidad de que alguna de ellas sea señalada por la botella? ¿Es la misma probabilidad para cada uno de los participantes? ¿Cuál es la probabilidad de que señale a alguna de cuatro de sus amigas? Anota las respuestas en tu cuaderno.
Actividad 4 Eventos equiprobables . . . El prefijo “equi” viene del latín aequi que significa igual, así que equiprobable significa con la misma probabilidad. Del mismo modo que triángulo equilátero, significa un triángulo con tres lados iguales; y equidistante significa “a la misma distancia”. Recuerda que al tirar una moneda, los eventos “salir un sol” y “salir un águila” son eventos equiprobables, pues ambos eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, su 1
probabilidad es . Comenta con tus compañeros, en equipos de tres personas, lo que 2 entiendes por evento equiprobable y da ejemplos de ellos. Haz lo mismo para eventos que consideres no sean equiprobables. Enuncien ejemplos de experiencias aleatorias de ambos tipos. Es conveniente que comenten con su profesor sus ideas al respecto.
Los conocimientos Tanto el lanzamiento de una moneda como el lanzamiento de un dado, son eventos que tienen una característica en común; sus resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir. A este tipo de eventos les llamamos eventos equiprobables, debido a que la probabilidad de todos ellos es la misma, sus valores son iguales. En este caso la definición clásica de la probabilidad señala que si consideramos que cada suceso es un evento equiprobable cada evento tendrá una probabilidad igual a la de los demás. Así tenemos: Número de resultados favorables al evento
Probabilidad clásica de un evento Número de resultados posibles del experimento
Nociones de probabilidad II
305
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un dos al tirar un dado? El evento que estamos estudiando es sacar un 2, pero los eventos posibles son seis, sacar 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Así que el número de resultados posibles es 6 y el número de resultados favorables es 1, luego la probabilidad es
1 6
.
Seis eventos equiprobables: “que salga 1”, “que salga 2”, “que salga 3”, “que salga 4”, “que salga 5” y “que salga 6” En la misma tirada de dados, nos preguntamos por la probabilidad de que ocurra el evento: sacar un tres o un cinco (es decir, cualquiera de los dos). En este caso tenemos dos de las seis opciones en nuestro evento. Por tanto, la probabilidad de que ocurra que al tirar un dado éste caiga en 3 o en 5, es mayor que aquella probabilidad de que sólo caiga en 5, ¿no crees? En efecto, apliquemos la fórmula de probabilidad clásica. Probabilidad clásica de que salga un 3 o un 5 Número de resultados favorables al evento ( son dos, que salga el 3 o el 5) Número de resultados posibles del experimento (son seis que salga el 1, o el 2, o el 3, o el 4, o el 5 , o el 6 )
Observa además que la probabilidad de que caiga un 3 es 1 6
, luego la probabilidad de que caiga un 3 o un 5 es
mo que
1 3
1 6
1 6
1 6
y de que salga un 5 es
2 6
, lo que es lo mis-
.
Decimos que el evento de sacar un 3 y el evento de sacar un 3 o un 5 no son equiprobables, pues no tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Los métodos Método 1 Cálculo de la probabilidad clásica Si llamamos P a la probabilidad del evento E, llamamos f al número de resultados favorables del evento y N el número de resultados posibles del experimento, tendremos que: P
f N
306
Bloque 5
Método 2 Cálculo de la equiprobabilidad Si se trata de N eventos equiprobables en la misma experiencia aleatoria, cada uno de ellos tiene una probabilidad de
1
N
.
Método 3 Cálculo de probabilidades Si la probabilidad de un evento equiprobable es
1
N
, con N como el número de resulta-
dos posibles, la probabilidad de que ocurran dos de esos eventos será 1
N
1
N
2
N
, pues
2
N
.
Si la probabilidad de que ocurra un evento es P, la probabilidad de que no ocurra ese evento es 1 P, es decir 1 probabilidad de que ocurra. ¿Por qué consideras que es válida esta fórmula? Piensa en el ejemplo del dado donde la probabilidad de que salga 3 es
1 6
, mientras que la probabilidad de que no salga 3 es la suma de las
probabilidades de que salgan 1, 2, 4, 5 y 6; esto es que salga un 3 es
1 6
5 6
. Por tanto, si la probabilidad de
, la probabilidad de que no salga un 3 es 1
1 6
5 6
.
Para hacer Ejercicio fundamental 1. Anota las respuestas en tu cuaderno.
Al tirar un dado: 1. Calcula la probabilidad de sacar un 4. 2. Calcula la probabilidad de sacar un 3 o un 2. 3. Calcula la probabilidad de obtener un 4, un 5 o un 6. 4. Calcula la probabilidad de no obtener un 6 al tirar un dado. 5. Calcula la probabilidad de obtener un número par al tirar un dado. 6. Calcula, ahora, la probabilidad de obtener un número impar (1, 3, 5) al tirar un dado. 7. Presenta y discute con tus compañeros diferentes ejemplos de experimentos aleatorios. 8. Comenta con tus compañeros lo que entiendes por equiprobable. 9. ¿Qué entiendes por “no equiprobable”? 10. Construye un diagrama de árbol para la experiencia de tirar tres volados seguidos.
Nociones de probabilidad II
307
Ahora calcula la probabilidad de obtener las secuencias que se indican: • AAA. • ASA. • SSS. • AAA o SSS. • Al menos dos águilas en la serie de tres tiradas.
Ejercicios para consolidar los conocimientos Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Carmen y Ramiro juegan a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes. En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, Carmen gana una ficha. Si resulta 3, 4 o 5, Ramiro gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Si tuvieras que jugar, ¿Qué jugador preferirías ser?, ¿por qué? 2. Se tienen las letras a, b, e, d. Cualquier combinación de ellas produce una palabra de cuatro letras, eventualmente sin sentido. ¿Cuántas palabras podemos formar?, ¿cuál es la probabilidad de que una palabra no contenga ninguna a? 3. En un cuadrado de lado 10 centímetros, se trazan las mediatrices de los lados y las bisectrices de los cuatro ángulos, dibuja el cuadrado con los trazos descritos en una hoja de papel, en cuántas partes se dividió el cuadrado. ¿Es equiprobable el evento de que al tirar una piedrita sobre el dibujo del cuadrado caiga ésta en una de las figuras formadas con la construcción anterior? ¿Cuál es la probabilidad de caer en una de tales figuras?
Ejercicios de profundización
A
B
D
C
Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. En una bolsa de estraza hay dos canicas blancas y una negra. Se extrae una canica, se mira el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra canica: • Escribe el conjunto de resultados posibles • ¿Cuál es la probabilidad de que las dos canicas sean blancas? • ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea blanca? 2. Divide una hoja de papel en cuatro partes, y llámalas A, B, C y D. Coloca la hoja sobre una mesa e imagina la siguiente experiencia aleatoria: Tira un botón o un fri jol sobre la hoja, y responde: • ¿Son equiprobables los eventos de caer en A, caer en B, caer en C y caer en D? • Si la hoja se hubiese dividido en cuatro partes de área diferente, ¿sería equiprobable el evento de caer en alguna de ellas? 3. Considera la siguiente figura, un rectángulo de AB y CD. Trazamos una diagonal, entonces el área del rectángulo se divide en dos partes iguales. ¿Cuál es la proba bilidad de que al dejar caer un frijol sobre el rectángulo, éste caiga en el triángulo BDA? ¿Cuál es la probabilidad de que el frijol caiga en el triángulo BCD?
308
Bloque 5
Ejercicios de síntesis Anota las respuestas en tu cuaderno. 1. Un evento no equiprobable. En una bolsa hay cinco canicas, dos rojas y tres azules.
Al sacar una canica de la bolsa, sin ver su contenido, ¿tienen la misma probabilidad de salir rojas que azules de la bolsa? ¿Qué es más probable, sacar una roja o una azul? 2. Alicia tiene en su caja 10 bolas blancas y 20 negras. David tiene en su caja 30 bo-
las blancas y 60 negras. Juegan una partida de azar. El ganador será aquel que saque primero una bola blanca. Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa. Alicia afirma que el juego no es justo porque en la caja de David hay más bolas blancas que en la suya. ¿Cuál es tu opinión sobre esto? Tomado de Fischbein, E. y Gazit, (1984). Does the teaching of probability improve probabilistic intuitions? Educational Studies in Mathematics, 15(1), 1-24.
3. Lilian y Juan juegan a los dados. Lilian gana 5 pesos si el dado sale 2 o 3 o 4 o 5 o 6.
Si resulta un 1, Juan gana una cierta cantidad de dinero. ¿Cuánto debe ganar Juan cuando le sale el 1 para que el juego sea justo o equitativo? Respuesta $ _________. ¿Por qué? Tomado de Green, D.R. (1983). A survey of probability concepts in 3000 pupils aged 11-16 years. En D.R., Grey y cols. (Eds.), Procedings of the First International Conference on Teaching Statistics (v.2, pp. 766-783). Universidad de Sheffield.
4. Karla y Matías quieren practicar las tablas de multiplicar y han inventado un jue-
go. Tiran dos dados y si la multiplicación de los números resultantes es un número par Karla gana $1.00. Por el contrario, si la multiplicación da como resultado un número impar Zoe gana $1.00. Ambos se divierten mientras aprenden, pero ¿se trata de un juego equitativo?
Lección 37
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad inversa
E n esta lección aprenderás a identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.
Una gran cantidad de sangre permite al elefante marino permanecer tres minutos en la superficie y sumer girse hasta por cuarenta minutos.
Estos mamíferos de enormes proporciones pertenecen a la familia de las focas. Apenas están en el agua se sumergen profundamente y algunos bajan hasta 600 metros, soportando una presión de 60 atmósferas. Los elefantes marinos pueden estar sumergidos de 20 a 40 minutos; tres minutos en la superficie les son suficientes para tomar aire. Algunos registros han demostrado que, en un periodo de cuatro meses, cada ele fante marino se había sumergido más de siete mil veces. Ello significa que estos mamíferos pasan más del 90% de su tiempo debajo del agua, donde se alimentan abundantemente de presas pelágicas, sobre todo de calamares de las profundidades. Una de las razones de su gran capacidad buceadora reside en que los elefantes marinos tienen mucha san gre, que transporta una gran cantidad de oxígeno, equivalente al 12% de su masa corporal (en el hombre sólo es del 7%). Durante la inmersión, las arterias periféricas del elefante marino se contraen para enviar más sangre al cerebro; el corazón, por su parte, frena su ritmo para mantener la presión sanguínea a un nivel normal. Por ello, no padecen el mal de las profundidades, pues llevan muy poco aire en sus pulmones y durante su zambullida no toman oxígeno. Si los elefantes marinos pasan 90% del tiempo debajo del agua, ¿cómo duermen? Sabemos que en los mamíferos terrestres el sueño parece estar en proporción inversa al peso corporal: las vacas, los caballos, los ele fantes y las jirafas duermen muy poco. ¿Se llegará a la conclusión de que los elefantes marinos tampoco tienen necesidad de dormir? ¿Y que tampoco les queda tiempo para soñar?
(Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos).
309
310
Bloque 5
Para aprender Actividad 1 Por razonamiento inmediato 1. Si seis trabajadores descargan un camión en una hora, ¿cuánto tardarán tres tra-
bajadores? ____________________ 2. Si 10 trabajadores construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tardarán 20 personas trabajando la misma cantidad de horas? ____________________ 3. Una llave provee 3 litros de agua a un estanque y tarda una hora en llenarlo. ¿Cuánto tiempo tardarán tres llaves en llenar el mismo estanque? ______________ 4. Un coche que va a 60 km/h hace su recorrido en 2 horas. Si aumentara su veloci-
dad a 120 km/h, ¿cuánto tardaría en hacer el mismo recorrido? ________________
Actividad 2 Enunciados coherentes Subraya la frase, que indica cantidad, con la cual se construye un enunciado coherente con las situaciones previas. 1. (La mitad|El doble) de trabajadores tarda (la mitad|el doble) de horas en descar-
gar el camión. 2. (La mitad|El doble) de trabajadores de la construcción tarda (la mitad|el doble)
de meses en construir la casa. 3. (El triple|La tercera parte) de llaves tarda (el triple|la tercera parte) de una hora
en llenar el estanque. 4. (Al doble|A la mitad) de velocidad el auto tarda (el doble|la mitad) del tiempo
en hacer su recorrido.
Actividad 3 Directa e inversa Lee con cuidado las siguientes situaciones: • Un granjero utiliza diariamente 105 kilogramos de forraje para alimentar a sus 30 vacas. ¿Cuánto utiliza en una semana completa? ____________________ • ¿Cuánto le duraría el forraje si sólo tuviera 20 vacas? ____________________ Subraya la palabra que dé coherencia a las situaciones anteriores: • Primero tenemos que si en un día se consumen 105 kg, en 7 días se consumen 735 kg. Esto es, la cantidad de días aumenta y el alimento que se necesita (aumenta|disminuye). • Segundo tenemos que si el número de vacas disminuye, el tiempo que dura el alimento debe (aumentar|disminuir).
Actividad 4. Proporción inversa • Si 30 vacas consumen diariamente 105 kg de forraje, ¿cuánto consume al día una sola vaca? ____________________
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad inversa
311
• Si sólo hubiera 20 vacas, ¿cuánto consumirían todas ellas diariamente? _________ • Si el ganadero tiene 105 kg, diarios de forraje, ¿cuánto le sobraría si tuviera sólo las 20 vacas?___________________ • ¿Para cuántos días le rendiría este sobrante con 20 vacas? ____________________ • ¿Cuánto le rinden los 105 kg con 20 vacas? ____________________
Los conocimientos Proporcionalidad inversa Dos variables son inversamente proporcionales si, por ejemplo, el valor de una se duplica, en tanto que el valor de la otra se reduce a la mitad. a →b b En general, dada la relación inversamente proporcional ,a cy d. c → d Si a Si Por lo que
c a
b d
b
c, entonces
d, entonces
c
a b d
.
.
o su equivalente c d a b
Ejemplo: Si 10 trabajadores construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto demorarán 20 traba jando la misma cantidad de horas? Como hay el doble de personas y trabajan la misma cantidad de horas, es notorio que tomarán la mitad del tiempo en hacer la casa. Esta relación se establece de la siguiente forma: 10 2
10 trabajadores → 6 meses 20 trabajadores → 3 meses
62
Y podemos corroborar que 10 6 20 3 60 (la propiedad c d a b).
Los métodos Método 1 Reducción a la unidad Ejemplo: Si 10 trabajadores construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto demorarán 20, trabajando la misma cantidad de horas al día? La reducción a la unidad consiste en establecer cuánto tiempo tarda en construir la casa un solo trabajador.
312
Bloque 5 Como un trabajador es la décima parte del personal, si él solo construyera la casa, le tomaría 10 veces el tiempo regular. Esto es: 10 10
10 trabajadores → 6 meses 1 trabajador → 60 meses
6 10
Entonces, si a una sola persona le toma 60 meses construir la casa, 20 deberían repartirse esos 60 meses. De aquí que: 60 meses 20
Método 2 Producto horizontal En la relación inversamente proporcional
3 meses
a →b c → d
, sabemos que c d a b. Por tanto, si
tenemos un valor faltante podemos calcularlo de la siguiente forma: a → b a ⋅b Si , entonces c . a b. De donde c → c a → c⋅d Si , entonces c d a . De donde . c → d a a → b a ⋅b Si , entonces . d a b. De donde → d d → b c⋅d Si , entonces c d . b. De donde c → d b Para el caso de nuestro ejemplo, teníamos que: 10 trabajadores → 6 meses 20 trabajadores → meses 10 6 En 3 meses se completa la construcción. Calculando, tenemos 20
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Ocho máquinas tejedoras hacen en 4 días un total de 384 chalecos de talla mediana. 2. 3. 4. 5.
¿Cuántos chalecos de la misma talla se podrán hacer con 5 máquinas? __________ Matilde tarda tres horas en llegar a casa de sus abuelos si va a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo ahorraría si condujera a 120 km/h? _________________ Cuatro palas excavadoras tardan 14 días en mover la tierra de un lugar a otro para una construcción. ¿En cuántos días harían esta labor 7 palas excavadoras? _______ Ayer compré monografías con $2.50. Hoy llevaba la misma cantidad de dinero, pero habían subido 1% de su valor. ¿Cuántas monografías podría comprar? ________ Si 15 personas tardaron 6 meses en construir el distribuidor vial de Tultepec, ¿cuánto hubieran tardado de haber contratado a 20 personas más? _____________
Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad inversa
313
Ejercicio para consolidar los conocimientos 1. Coloca en el paréntesis una D si la situación plantea una relación proporcional directa o una I si plantea una relación proporcional inversa. a) Pagué $1 800.00 por una docena de sillas de plástico. ¿Cuántas más podré
comprar con $750.00? b)
c)
d)
e)
( ) Si un automóvil mantiene una velocidad constante de 90 km/h puede recorrer una distancia dada en 6 horas. ¿Qué velocidad deberá llevar para recorrer la misma distancia en tan sólo 4 horas? ( ) Llevamos a una expedición alimentos para 30 personas. Diariamente, a cada una le tocan tres porciones de 300 gramos. ¿Cuánto le correspondería a cada una de haber 5 personas más en la expedición? ( ) Dos socios invierten 1 850, 2 300 y 4 000 pesos para poner un videoclub. Al ca bo de un año, han obtenido un beneficio de 25 294 pesos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? ( ) Un automóvil a 100 km/h hace un recorrido en 7 horas. ¿Cuánto tiempo ganaría si aumentara su velocidad en 20 km/h? ( )
Ejercicio de profundización
1. El autobús que va del Distrito Federal a Mexicali recorre aproximadamente 2 700
kilómetros. Calcula el tiempo que tardaría si llevara una velocidad constante de:
Ve locidad constante km/h 80 ___ 90 ___ 100 ___ 110 ___
Tie mpo para el recorrido completo
80 85
___ ___
90 95
___ ___
100 105
___ ___
110 115 120
___ ___
314
Bloque 5
Ejercicios de síntesis 1. Tres trabajadores cavan una zanja de 30 metros de longitud trabajando 4 días.
¿Cuánto tiempo tardarán en cavar otra zanja de 40 metros, si un trabajador se ha reportado enfermo? 2. Encuentra el valor faltante en las siguientes relaciones inversamente proporcio-
nales: 60 → 90 → 120 1 → d) 2 2 → 40 a)
b)
15 → 9 → 45
c)
e)
→ 129 21 → 43
f )
84 12 5 3
→ → → →
2
9
3. Coloca, en cada inciso, dos valores que hagan una relación inversamente propor-
cional: a)
d)
3 4
42
→ → → →
5
6
→ 45 → 5
b)
e)
3 5
→ →
7 9
c)
f )
50
→ → 35
→ 144 60 →
4. Ramón se dirige a Pachuca. A partir de la caseta de San Cristóbal, Ecatepec, man-
tiene una velocidad constante de 60 km/h, y desde este punto tarda una hora exactamente en llegar a su destino. Si a su regreso viaja a una velocidad constante de 110 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la caseta de San Cristóbal? 5. Describe una situación que puedas resolver aplicando la proporcionalidad in-
versa.__________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
Lección 38
Medidas de tendencia central y de dispersión
E n esta lección aprenderás a procesar la información, a inferir ideas con base en ella y a emplear me-
didas de tendencia central y de dispersión para analizar datos ligados con situaciones de la vida cotidiana. Como hemos insistido en lecciones anteriores, la era actual se caracteriza por el manejo de grandes cantidades de información, la cual debe ser transformada para volverse conocimiento.
Carpintería “La Buena Made ra” En el taller de carpintería de Don Chepe necesitaban cortar, de las tablas más largas (de 2.40 metros), una pie za rectangular pequeña para construir una repisa. Ana tiene en su departamento una colección de libros sobre biodiversidad y ecología que quiere colocar en una repisa, así que pidió a Don Chepe, un carpintero experto, una tabla de 70 centímetros de largo 20 centímetros de ancho. ¿Dónde cortamos?
Para aprender Actividad 1 La repisa. . . Retoma la situación que se narra al principio de esta lección: Ana le había pedido al carpintero Don Chepe que le cortara una tabla de 70 centímetros de largo 20 centímetros de ancho para su repisa. Don Chepe midió varias veces su tabla y la cortó con esas medidas, pero Ana, al medir de nuevo el largo de la tabla para verificar sus dimensiones, obtuvo tres diferentes resultados, y exclamó: ¡no puede ser! Lectura de Don Chepe 1a. medida de Ana 2a. medida de Ana 3a. medida de Ana 70 centímetros 70.2 centímetros 69.7 centímetros 70 centímetros
El carpintero le dijo a Ana que se tranquilizara, ya que todos los instrumentos de pesas y medidas tienen un margen de error, es decir, no son exactos.
315
316
Bloque 5 Con base en lo anterior, decimos que los instrumentos de pesas y medidas sólo se aproximan al valor buscado; por ello, empleamos algunas técnicas para tomar un dato como representativo de la medición. Apoyándose en su experiencia, Don Chepe le explicó a Ana que, al hacer varias medidas, puede que se obtengan valores diferentes, pero siempre serán cercanos entre sí, ¡claro, si se mide con cuidado! Si uno se queda con la medida que más se repitió o se obtiene el promedio de las medidas, éstas serán una “buena aproximación” a la medida que se desea. ¿Esto lo aprendió en la escuela? —le preguntó Ana. Don Chepe le contestó: —Mire, Ana, yo hago lo mismo que usted. Mido una vez, mido otra y si obtengo la misma medida, pues terminé, pero si me salen medidas diferentes, entonces hago una más. La verdad, como suelo tener datos distintos, saco su promedio y ese dato tomo como bueno. ¿Qué hizo Don Chepe? Veámoslo en este diagrama:
Formen equipos de tres personas y discutan la estrategia de solución de Don Chepe. ¿Qué es lo que obtiene al elaborar esta estrategia? Anota la respuesta en tu cuaderno.
Actividad 2 De los diccionarios a los periódicos . . . Consulta en tu diccionario lo que significa la palabra promedio. Después, localiza en los periódicos expresiones que utilicen el promedio. Busca, por ejemplo, frases del tipo: “la edad promedio de los mexicanos que . . .”, “el costo promedio de un auto compacto del año 1990 es de. . .”, etc. Discute con tus compañeros las distintas formas en que usan la expresión promedio o media.
Actividad 3 Jugando con promedios Tenemos a continuación dos listas diferentes de números enteros, pero tienen el mismo promedio. Calcúlalo y comprueba que son iguales. ¿Por qué crees que listas de números diferentes tengan el mismo promedio? Discutan en equipos de tres compañeros las razones que encuentren.
Medidas de tendencia central y de dispersión
317
Lista 1: 40, 30, 20, 10, 50, 60, 70, 40 Lista 2: 35, 45, 25, 55, 15, 65, 40, 40
Actividad 4 Duro y dale con el promedio . . . ¿por qué? Cuando vayas a ingresar al bachillerato te pedirán varios requisitos. Uno de ellos será el promedio general de tus calificaciones de secundaria, el cual deberá ser de 8 como mínimo. La calificación final de cada materia se obtiene promediando tus calificaciones parciales. Supongamos que en tu curso de Matemáticas tuviste diez meses de clases y sacaste en cada uno lo que se indica en la tabla:
Me s 1
Mes 2
Mes 3
Mes 4
Mes 5
Mes 6
Mes 7
Me s 8
8
7
9
7
6
8
7
10
PromeMes 9 Mes 10 dio 9
¿?
Mayor que 8
¿Cuánto debes sacar de calificación en el último mes para que tengas un promedio mayor que ocho? Considera que sólo puedes dar números entre 0 y 10.
Actividad 5 Las elecciones y la moda. . . Los alumnos del grupo 1o. A tienen que tomar acuerdos sobre diversos asuntos y necesitan elegir a un representante, a través del método democrático. Una vez que tiene la terna de candidatos que aparecerán en la boleta, conformada por Verónica, Flor y Gilberto, cada uno de los 22 compañeros del grupo emitirá su voto por uno solo.
Votación para elegir representante Grupo 1o. A Coloca una paloma en la casilla de quien deseas sea el representante del grupo. La lista de candidatos está escrita en orden alfabético. Candidatos
Flor Gilberto Verónica Abstención
( ( ( (
) ) ) )
318
Bloque 5 El representante del grupo será quien obtenga más votos. Tras la votación, estos fueron los resultados: F, F, F, G, G, abstención, G, V, F, G, G, V, F, V, G, V, V, V, G, V, V, V Hubo, en total: 5 votos para Flor 7 votos para Gilberto 9 votos para Verónica 1 voto de Abstención 22 en T O TAL Como en la votación Verónica apareció más veces que Flor y que Gilberto, ella será la representante del grupo. ¿Esta elección es justa? ¿Cuál es el criterio que utilizaron para elaborar las elecciones? ___________________ ___________________
Actividad 6 La mediana . . . ¿qué es eso? Mariana llegó a su casa y le dijo a su mamá: “saqué 8 en mi tarea, que fue la mediana de mi equipo de trabajo. En la lista de calificaciones, la mía estaba justo en medio de todas; había el mismo número antes que después de mi calificación”. Si la lista de resultados de su equipo fue 7, 6, 7, 8, 9, 9, 9.5, ¿se equivocó Mariana en lo que le dijo a su mamá?
Actividad 7 La dispersión de los datos Victoria es mi compañera de grupo. Con ella hago la tarea en las tardes porque somos vecinos. A ella siempre le han gustado las matemáticas y las ciencias; en lo que va del año, lleva un buen promedio en ambas materias. Las tablas de sus calificaciones por mes en Matemáticas y Ciencias son:
Matemáticas Ciencias
Mes 1
Mes 2
Mes 3
Mes 4
Mes 5
Mes 6
Mes 7
9.6 8
9 10
9.5 8.5
9.5 9.5
9.3 8.7
9.4 9.3
9.8 9.0
Eje x Me ses
Notas de matemáticas Calificacione s
Nota s de ciencia s Calificaciones
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7
9.6 9.0 9.5 9.5 9.3 9.4 9.8
8.0 10 8.5 9.5 8.7 9.3 9.0
Medidas de tendencia central y de dispersión
319
“Las calificaciones de Victoria”
Calif icaciones 12 10 8 6 4 2 0 Mes 1
Mes 2
Notas de Matemática s
Mes 3
Mes 4
Mes 5
Mes 6
Mes 7
Notas de Ciencia s
s as calif icaciones se ref ieren a s us materias favoritas
E t
Aunque en ambas materias Victoria tiene muy buenas notas, ¿en cuál encuentras mayor dispersión? Localiza, por ejemplo, la diferencia entre el dato máximo y el mínimo de cada una de las listas y observa los resultados. Matemáticas
Calificación máxima:
9.8
Calificación mínima:
9.0
Diferencia:
0.8
(9.8 9 0.8)
Ciencias
Calificación máxima:
10
Calificación mínima:
8
Diferencia:
2
(10 8 2)
Los conocimientos Al número promedio de una colección de datos se le conoce como la media o media aritmética. Por ejemplo, 5 es la media de la lista 5, 3, 7, 5. En una serie de datos, aquel que aparece con mayor frecuencia se llama la moda. Ejemplo, la moda de la lista 1, 2, 6, 3, 8, 2, 6, 7, 6, 9, 134 es 6 porque se aprecia en tres ocasiones. Cuando se ordenan los números de una lista en forma creciente (también puede ser decreciente), la mediana es aquel número que parte la lista en dos secciones con el mismo número de elementos: Es decir, la cantidad de números que preceden a la mediana es igual a la que le sigue.
320
Bloque 5 Ejemplo: La lista siguiente tiene como mediana a 18: 3, 5, 8, 18, 21, 22, 22 18 es la mediana hay tres números a la izquierda y tres a la derecha Si la lista no tiene un elemento al centro, entonces tomamos cualquier número entre los dos centrales. Por ejemplo: 18.2 o 18.5, 18.64 o 18.7, etcétera. 3, 5, 8, 18, 19, 21, 22, 22 Los números centrales son 18 y 19 un número entre 18 y 19 puede ser 18.2 o 18.5 o cualquier otro número entre ellos Una manera para medir la dispersión de los datos de una lista es obtenerla restando del valor máximo de las observaciones el valor mínimo. El valor máximo es el número más grande la lista, y el valor mínimo el más pequeño. Esta medida de dispersión, que se conoce como rango, mide la mayor distancia entre dos datos de una lista. El rango es una medida de dispersión que sólo depende de los valores máximo y mínimo de una lista; no cambia si se modifican los valores intermedios. Por ejemplo, de la lista 3, 5, 8, 18, 19, 21, 22, 22, el valor máximo es 22 y el mínimo 3, de ahí que su rango sea 22 3 19. Esa lista tiene una dispersión muy grande. A la media, la moda y la mediana se les denominan medidas de tendencia central. La media o media aritmética proporciona el valor medio o promedio de los datos; la mediana el valor central y la moda el valor más frecuente. El rango es una medida de dispersión que indica el tamaño de la región en el que tenderán a dispersarse los datos respecto del total o de algún valor central.
Los métodos Calcular la media de los datos Sumamos los valores de la lista y dividimos el resultado entre el número total de datos de la lista. Retomemos la situación de la Actividad 1 de esta lección. Don Chepe primero toma las medidas: La primera medida le dio 70.2. La segunda medida fue de 69.7. La tercera medida obtuvo 70. Suma las tres medidas, divide su resultado entre tres y redondea la cifra final.
Medidas de tendencia central y de dispersión
321
Es decir, se redondea a 70 centímetros, que es la medida de la tabla que quería Ana para su repisa. Veamos lo que se hizo paso a paso: • Sumamos los números 70.2 69.7 70 209.9 • Dividimos el resultado entre 3 (número de medidas) 70.2 69.7 70 209.9 2 099 3 3 30
Buscamos un decimal por redondeo, después de dividir en la calculadora: 2 099 ≅ 69.9666667 ≅ 69.97 ≅ 70 30
El número 209.9 es el promedio de 70.2, 69.7 y 70. Si se redondea a centésimas da 3 69.97, un decimal que lo aproxima. Si redondeamos las cifras a enteros, queda 70. Al sumar las tres cifras y dividir su resultado entre tres, se obtiene el promedio de los tres números: ab c
3
es el promedio de los números a, b y c
Lo mismo sería si tomamos uno, dos, tres, cuatro o cualquier cantidad de números, ya que el promedio de N números es el resultado de sumarlos y de dividirlos entre el valor de N . El promedio de N números
Suma de los N números N
En algunas ocasiones, al promedio le llaman también la media.
322
Bloque 5 Encontrar la moda de los datos Contamos el número de veces que aparece cada dato. La moda es el número que se encuentra más veces.
Determinar la mediana de los datos Ordenamos la lista de mayor a menor. Después, ubicamos el término que deje la misma cantidad de números de la lista a su izquierda que a su derecha.
Obtener el rango de los datos Localizamos el valor máximo y el mínimo de la lista, es decir, el número más grande y el más pequeño. Entonces, restamos del valor máximo el mínimo y el resultado da el rango. Ejemplo: Si la lista es 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 La media es 5.09 La moda es 1 La mediana es 5 El rango es 9
Para hacer Ejercicios fundamentales 1. Considera la siguiente lista de números: 12, 14, 35, 36, 37, 27, 2. Calcula la media
y el rango, y determina cuál es la moda y la mediana. 2. Determina qué lista tiene una media más grande: a) 1, 3, 5, 7, 9 b) 2, 4, 6, 8, 10 3. Construye, en cada caso, una lista de cinco valores en los que a) La media sea 8 b) La mediana sea 11 c) La moda sea 7 d) El rango sea 9
Medidas de tendencia central y de dispersión
323
Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. La precipitación pluvial (en milímetros cúbicos) del estado de Baja California Sur
durante todo un año aparece registrada en la siguiente tabla: Entidad federat iva Baja California Sur
Enero
Febrero
Ma rzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agos to
13
5
2
1
1
1
18
44
Septie mNoviembre Octubre bre 56
17
Diciembre
Total
13
177
6
Fuente: Semarnat, CNA. Estadísticas del agua en México, 2005. México, DF., 2005.
Determina el rango, la moda, la mediana y el valor promedio de sus precipitaciones pluviales al año. Anota las respuestas en tu cuaderno. 2. A continuación, se presenta una tabla que muestra la distribución de diputados
por género y por partido político en la LIX legislatura (2003-2006).
Diputados por género en partido político, independientemente de la vía de representación LI X Legislatura Cámara de Diputados Muje res
Hombres
Total
PAN PRI PRD PVEM Convergencia PT Sin partido
50 42 43 4 0 0 5
98 162 54 13 5 6 18
148 204 97 17 5 6 23
Total
144
356
500
• ¿Cuál es el promedio de mujeres diputadas por Partido en esa legislatura? ____________ ¿Qué lista de números debes considerar? __________ • ¿Cuál es la media de hombres diputados por Partido en esa legislatura? ____________ ¿Qué lista de números debes considerar? _____________ • ¿Cuál es el rango en la lista de totales de diputados por Partido? ____________
Ejercicios de profundización 1. En un salón hay 11 personas y el promedio de edad es de 25 años. En el salón de
al lado, hay 9 personas con un promedio de edad de 40 años. Si se juntaran en un salón todas esas personas, ¿cuál sería el promedio de edad? ___________________
324
Bloque 5 2. Dos listas tienen como moda 45 y 19, respectivamente. Si juntamos las listas, ¿po-
dremos saber cuál es la moda? Discutan distintas posibilidades.
Ejercicio de síntesis 1. En una clase, la media de las calificaciones de un examen parcial fue de 6.5 y la
mediana de 8. La nota más baja la obtuvo un alumno, quien sacó 3.8, y la más alta la tuvo una alumna, quien sacó 9.2. • ¿Es cierto o falso que la mitad del grupo sacó 8 o más que ocho? ____________ • Conformen equipos de tres integrantes y discutan la razón por la que la media es menor que la mediana en este ejemplo. • ¿Qué información nos da el rango? _________ ¿Cuánto vale en este caso? _________ • Si eliminamos de la lista de calificaciones a la nota más baja y a la más alta, ¿cuánto valdrá ahora la mediana? ________ ¿Qué le pasa a la media? ________ • Si eliminamos de la lista al valor más alto, el 9.2, la media cambia a 6.2, ¿podrías obtener con estos datos el número de alumnos en el grupo? ___________ 2. Discute con tus compañeros cómo pueden analizar datos de situaciones cotidia-
nas utilizando medidas de tendencia central y de dispersión.
Una síntesis necesaria S eamos conscientes al brindar por el comienzo, de que sólo es posible comenzar si se ha terminado y terminar en el idioma de la vida es aprender, ya que los sucesos son lecciones. Para comenzar, terminar; para terminar, confiar. . .
Poema de Isabella Di Carlo Surraco.
Ana Guevara, mexicana campeona del mundo
Foto tomada de http://www.cronica.com.mx/galeria/data/media/11/Ana1.jpg
325
326
Una síntesis necesaria
Presentación Con ayuda de este libro, aprendiste a tratar con nociones y procedimientos matemáticos que la humanidad fue construyendo lentamente a lo largo de siglos. Has trabajado con conceptos fundamentales que servirán de base para tu formación académica y ciudadana y has construido conocimientos y desarrollado competencias y habilidades que te ayudarán en tu vida futura. Dado que el objetivo último de toda enseñanza es el logro de los aprendizajes de los alumnos, nos esforzamos por hacer de este libro un instrumento para tu aprendizaje, un medio que te permitiera articular los conceptos con sus procedimientos y que te ayudara a vincular lo que trabajaste en preescolar y primaria, con aquello que ahora estudiaste en tu primer año de secundaria. Todo con el fin de desarrollar tu propio pensamiento matemático. Sabemos que lo lograste y que ahora estás mejor preparada o preparado para seguir adelante. Como viste, los temas que trataste con tu profesor o con tu profesora en esta clase de matemáticas, no se limitaron a una temática específica, pues transitaste por un mar de ideas matemáticas que están presentes en diversos ámbitos del conocimiento humano: biología, física, español, geografía, demografía y temas de salud. Para introducir un nuevo concepto matemático o para desarrollar competencias y habilidades en ese ámbito, nos hemos valido del empleo de tus conocimientos y de tus prácticas cotidianas. Nos hemos apoyado en tus conocimientos para construir otros nuevos. Todas las actividades y ejercicios que te hemos propuesto en el libro, tienen por objetivo que cuando las realices logres construir ideas matemáticas y con ello desarrolles algún aspecto de tu pensamiento matemático; es por ello que seguramente muchas de las actividades propuestas te han costado mucho esfuerzo que sin duda valdrá la pena. El libro está organizado con base en tus necesidades de aprendizaje, por ello las lecciones están distribuidas atendiendo a los indicativos de la SEP que fueron señalados en la Reforma Integral de la Enseñanza Secundaria, donde se señala que la vinculación entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los que se tratan en otras asignaturas es un asunto de suma importancia. El contenido del programa se articula en tres ejes: • Sentido numérico y pensamiento algebraico. • Forma, espacio y medida. • Manejo de la información. Sentido numérico y pensamiento algebraico . Éste eje alude a los fines más relevan-
tes del estudio de la aritmética y del álgebra: por un lado, encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente entre la aritmética y el álgebra, en el entendido de que hay contenidos del álgebra en la primaria que se profundizan y consolidan en la secundaria.
Una síntesis necesaria
327
Forma, espacio y medida. Trata los tres aspectos esenciales alrededor de los cua-
les gira el estudio de la geometría o la medición en la educación básica. Es claro que no todo lo que se mide tiene que ver con formas o espacio, pero sí la mayor parte, las formas se trazan o se construyen, se analizan sus propiedades y se miden. Manejo de la información. Este título tiene un significado muy amplio. En estos
programas se ha considerado que la información puede provenir de situaciones deterministas, definidas —por ejemplo, por una función lineal—; o aleatorias, en las que se puede identificar una tendencia a partir de su representación gráfica o tabular (SEP, RIES, Matemáticas, p. 11).
Pensamiento numérico y algebraico Las ideas matemáticas que trabajaste en Pensamiento numérico y algebraico son: 1. Significado y uso de los números 2. Significado y uso de las operaciones 3. Significado y uso de las literales Trabajamos estos temas en las lecciones 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 17, 18, 26, 27, 28, 33 y 34 en ellas se abordaron el estudio de los sistemas de numeración, los diferente tipos de números; los fraccionarios, los decimales, con signo, también a operar con ellos dándoles significado en diferentes contextos. Finalmente en el pensamiento algebraico, conocimos y usamos las literales en situaciones donde se les trata como incógnita, como variable, y como número generalizado, reconocimos su potencial para interpretar y construir modelos matemáticos.
Lección 1 Números naturales En esta lección conociste las propiedades del sistema de numeración decimal, conocimos otros sistemas de numeración, como en la Actividad 4, y distinguimos los posicionales de los no posicionales. Una idea central en los sistemas de numeración es el uso de símbolos para representar las cantidades de objetos, como en la Actividad 1, particularmente, el sistema decimal utiliza los dígitos, {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, reconocimos su característica posicional distinguiendo que 12 es distinto que 21. Para recordar algunos aspectos de estas ideas podrías volver a resolver la Actividad 7. El sistema de numeración maya.
Un ejercicio de aplicación Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: si el dígito de las unidades de un número es cero o múltiplo de cinco, entonces el número es múltiplo de cinco.
Lección 2 Números fraccionarios y decimales En esta lección estudiaste los números fraccionarios y decimales, su equivalencia, orden, ubicación en la recta (Actividad 1), los métodos para convertir un decimal a fracción y viceversa, de fracción a decimal. Planteamos diferentes contextos, donde los
328
Una síntesis necesaria usamos para medir cosas que los números enteros no podrían medir, en mediciones, como partes de entero, y en situaciones cotidianas. También observamos que es posi ble que los números fraccionarios y decimales “llenen” la recta numérica. Para recordar esto puedes revisar la Actividad 3. Un ejercicio de aplicación
Una pieza de aluminio de un microscopio tiene un grosor de 0.025 pulgadas y se permite un rango de error en el grosor de 0.005 pulgadas. Ubica en una recta la cantidad de 0.025, expresa en forma de fracción esta cantidad, también ubica en la recta el rango de error del grosor de la pieza de aluminio
Lecciones 3 y 4 Patrones y fórmulas En estas lecciones aprendiste a identificar los patrones que siguen ciertas listas de números (Actividad 4 lección 3) y arreglos geométricos ( Actividad 1 lección 3) para expresarlos a través de una regla general. Ésta puede ser escrita en términos de una letra, por ejemplo n, que puede ser interpretado como un número generalizado. Así, se puede decir que el siguiente patrón numérico: 2, 4, 6, 8,...; posee como regla general a la expresión 2n. Un ejercicio de aplicación
Encuentra la regla general de la siguiente lista de números: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .
Lección 9
Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios) En esta lección aprendiste a calcular sumas y restas con los números fraccionarios. Los significados de fracciones desde donde se construyó la idea de suma, fueron los de relación parte-todo, medida y una introducción de porcentaje. Desde el primer punto de vista, la suma de fracciones significa agregar partes de un todo, por ejemplo: la mitad de algo, agregado a la otra mitad es el todo
1 2
1 2
1
.
Un ejercicio de aplicación A, B, C y D pueden tomar un solo valor del conjunto {1, 2, 3, 4}, pero no necesaria-
mente en ese orden. ¿Cuánto vale la suma de A y C si equivale a del conjunto?
1 2
de la suma total
Lecciones 10 y 11 Problemas multiplicativos En estas lecciones aprendiste a calcular los productos de números fraccionarios y decimales. La idea de producto se formuló a partir de situaciones en las que se considera ban partes de partes (Actividad 2 lección 10). Así, entendiendo la fracción como una relación parte-todo, el producto significa las partes de una parte y la igualdad significa que la mitad de un tercio es un sexto.
1 2
1 3
1 6
Una síntesis necesaria
329
Un ejercicio de aplicación
Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien, se le quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final?
Lección 17 División de fracciones En esta lección aprendiste la división entre números fraccionarios y decimales. El significado otorgado a esta operación fue que el cociente significa el “número de veces que cabe” el denominador en el numerador (que puede ser número natural o fraccionario). 2.5 Así, es igual a 5 porque 0.5 cabe cinco veces en 2.5. 0.5 Un ejercicio de aplicación
En dos jarras iguales hay una mezcla de agua con jugo de naranja. En una de las jarras, la proporción es de 4:9, es decir, de 4 partes de agua y 9 de jugo de naranja, mientras que la proporción de la otra es de 3:5. En proporción, si mezclamos el contenido de ambas jarras, ¿cuántas veces más o menos jugo de naranja habrá en la mezcla, en comparación con las dos jarras?
Lección 18 Ecuaciones En esta lección aprendiste a resolver problemas que implican el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado. A las tareas que realizaste para contestar la Actividad 1 en matemáticas se le llama resolver una ecuación de primer grado, ¿lograste descifrar los métodos para resolver las ecuaciones allí planteadas? Por otra parte, cuando resolviste las Actividades 3 y 4, así como en la solución de los problemas te iniciaste en la tarea de plantear ecuaciones de primer grado. Un ejercicio de aplicación
El pago de una carta enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 5 gramos se cobran $2 pesos, con una valor fijo de partida de $4. Alejandra pagó $40 pesos de envío por una carta ¿cuánto pesó la carta?
Lección 26 Números con signo En esta lección, aprendiste a manejar los números con signo y a representarlos en la recta numérica. Cuando resolviste las Actividades 1 a la 5 habrás notado que con los números 1, 2, 3, . . . se dificulta abordar ciertas problemáticas, como ejemplo, lo relativo a las temperaturas de grados bajo cero, a los problemas de inmersión en el mar o al asunto de las ganancias y pérdidas.
Lección 27 Potenciación y radicación En esta lección se introducen dos nuevas operaciones: la potenciación y la radicación. La potenciación es una forma abreviada de escribir multiplicaciones reiteradas de un mismo número llamado base.
330
Una síntesis necesaria La radicación es la operación inversa de la potenciación en el sentido siguiente: 5
2
25
5 25 5 Se estudiaron los diferentes métodos para calcular raíces cuadradas y raíces cú bicas. Un ejercicio de aplicación
Si se pudiera cortar una hoja de papel tamaño carta, con grueso de 0.1 mm, a la mitad y cada mitad a la mitad, y así 30 veces, y se formara con ellos una torre, ¿qué altura alcanzaría?
Lección 28 Relación funcional En esta lección aprendiste a analizar situaciones problemáticas que tratan con cantidades relacionadas, a representarlas mediante tablas y expresiones algebraicas. Por ejemplo, cuando en la Actividad 1 consideraste el fenómeno de llenar un recipiente y medir la capacidad que se tiene al cabo de cierto tiempo. Las variables fueron tiempo y la capacidad, a medida que el tiempo pasaba, la capacidad aumentaba. Con las Actividades te iniciaste en la tarea de escribir en términos matemáticos tales relaciones funcionales. Un ejercicio de aplicación
A una cisterna le quedan 10 litros de agua. Cuando se abre la llave de llenado, caen 12.5 litros por minuto. Construye una fórmula que relacione la cantidad de agua respecto del tiempo.
Lección 33 Problemas aditivos Los números con signo se introducen cuando en situaciones, por ejemplo, en la medición de la temperatura, los números naturales, como el 1, 2, 3, 4, 5, . . . , son insuficientes para expresar los grados bajo cero y el cero mismo. Es por ello que es necesario incorporar a los números negativos y al cero en la escala de medida ( Actividad 3 y 4). El cero es el punto de referencia, al que llamamos origen y antes del cero ubicamos a los negativos y después del cero a los positivos. Un ejercicio de aplicación
La temperatura de un congelador desciende 2 grados cada 5 minutos, hasta que llega a los 20 °C. Si cuando lo conectamos a la electricidad la temperatura es de 18 °C, ¿cuánto tardará en llegar a 12 °C?
Lección 34 Relación funcional. Situaciones de variaciones proporcionales En esta lección aprendiste a trabajar e identificar situaciones de variación proporcional (Actividad 1) así como la representación de esta variación mediante tablas, gráficas y expresiones algebraicas.
Una síntesis necesaria
331
Un ejercicio de aplicación
Formen grupos de tres personas y cada equipo plantee una situación de variación proporcional. Comenten los diferentes casos de variación proporcional que se plantearon en los grupos.
Forma, espacio y medida En este libro las ideas que trabajaste en geometría se relacionan con: 1. Formas geométricas. Estudio de figuras planas, rectas y ángulos. 2. Transformaciones. Movimientos en el plano por simetría axial. 3. Medida. Medida, estimación y cálculo de medidas; reconstrucción de las fórmulas para área y perímetro de figuras planas. Hemos trabajado temas de geometría en las lecciones 5, 12, 13, 14, 19, 20, 29, 30, 31, 35 que te permitieron conocer y aplicar las propiedades de las figuras geométricas planas, a construir argumentos para validarlas, a identificar sus elementos, a anticipar las formas que se obtienen al modificarlas, a establecer relaciones y aplicarlas en la resolución de problemas diversos.
Lección 5 Movimientos en el plano En esta lección aprendiste el concepto de simetría. A partir de ejemplos, identificaste la existencia de ejes de simetría en figuras, como en la Actividad 1 y en el ejercicio 1 de los ejercicios para consolidar la teoría. Observaste las propiedades invariantes por este movimiento: la alineación de puntos, las distancias, la amplitud de ángulos, el paralelismo entre las rectas y las áreas. Esto te permitió encontrar los simétricos de puntos, segmentos y diversas figuras geométricas, como en los ejercicios 2 y 3 de los ejercicios para consolidar los conocimientos y en los ejercicios 2 y 3 de los ejercicios de profundización. Un ejercicio de aplicación
Busca en la naturaleza ejemplos de simetrías axiales e identifica las propiedades invariantes.
Lección 12 Rectas y ángulos Estudiaste los conceptos de bisectriz de un ángulo y mediatriz de un segmento, sus propiedades y métodos para trazarlas; y los aplicaste al resolver ejercicios. En la Actividad 2 aprendiste a caracterizar y explicar qué es la mediatriz de un segmento a partir de las propiedades que identificaste. Un ejercicio de aplicación
Enuncia un problema que aplique el concepto de mediatriz, resuélvelo e intercámbiaselo a tus compañeros, explicándoselo.
332
Una síntesis necesaria
Lección 13 Figuras planas: Polígonos En esta lección estudiaste las propiedades de los polígonos regulares y los métodos para construirlos. En la Actividad 1 identificaste polígonos entre figuras de diversas formas, a partir de su definición, en la Actividad 2, encontraste regularidades en polígonos, que te permitieron descubrir que un polígono regular es cíclico. La Actividad 3 te ayudó a encontrar un método para construir polígonos regulares, apoyándote en la relación entre el ángulo central de un polígono y el número de sus lados. Un ejercicio de aplicación
Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Todo polígono en el que todos sus lados son iguales es regular.
Lección 14 Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos En esta lección aprendiste a interpretar fórmulas para calcular perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; a determinar condiciones en las que la medida del perímetro y del área se conservan. Te permitió entender por qué se mide, para qué se mide y con qué se mide. Comprendiste que no todas las cosas se miden con instrumentos concretos de manera directa. Aprendiste a diferenciar entre perímetro y área de figuras planas cerradas, aplicando esta idea en el ejercicio 3 de los ejercicios fundamentales. La Actividad 4 te permitió encontrar una expresión general para calcular el área y el perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Un ejercicio de aplicación
¿Qué responderías a alguien que afirma que si una figura tiene el doble del área que otra, su perímetro también es del doble?
Lección 19 Figuras planas: Triángulos y cuadriláteros En esta lección estudiaste las características de los distintos tipos de triángulos ( Actividades 1 y 2). Construiste triángulos y cuadriláteros en las Actividades 3 y 4, y reflexionaste acerca de las propiedades que poseen, en los ejercicios fundamentales. Aprendiste a partir de estas ideas a determinar distancias entre puntos inaccesibles en el ejercicio de síntesis. Un ejercicio de aplicación
Explica cómo determinarías de manera indirecta las dimensiones de un bosque.
Lección 20 Estimar, medir y calcular: Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros Sobre la base de asumir la importancia y necesidad de las mediciones en las Actividades 1 y 2, estudiaste las relaciones entre perímetro y área en la Actividad 3 y en los ejercicios 3 y 4 de consolidación y, 1 y 2 de profundización. Aplicaste los conceptos aprendidos a la estimación de costos sobre cálculo de áreas y el uso de unidades. Finalmente aprendiste a calcular el área de figuras irregulares.
Una síntesis necesaria
333
Un ejercicio de aplicación
¿Cómo puedes generar triángulos que tengan la misma área? ¿Y el mismo perímetro? ¿Cómo puedes generar paralelogramos que tengan la misma área? ¿Y el mismo perímetro?
Lección 29 Figuras planas: Construcción de círculos Tras identificar círculos y circunferencias en la naturaleza en la Actividad 1 caracterizaste las circunferencias y aprendiste a construir circunferencias dados dos puntos no colineales, en la Actividad 3, y en el ejercicio 1 de la sección fundamental y ejercicio 2 de profundización. Un ejercicio de aplicación
Un grupo de 6 niños se ubican en una ronda y se sientan en el piso a jugar un juego en el que requieren de un tablero. Ubica geométricamente el tablero para que todos equidisten de su centro.
Lecciones 30 y 31 Justificación de fórmulas: Área y perímetro del círculo Determinamos las relaciones existentes entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, y entre el área de un círculo y su radio. En estas relaciones, apareció el número , cuyo valor pusiste en juego para la resolución de ejercicios 1 y 2 de la consolidación de los conocimientos, 1 y 2 de profundización y 1 y 2 de síntesis.
Un ejercicio de aplicación
Mide el radio de la rueda de una bicicleta y determina cuántas vueltas da desde tu casa a la escuela.
Lección 35 Estimar, medir y calcular: Áreas de diversas figuras planas Esta lección consistió básicamente en integrar los contenidos que habías aprendido en las lecciones anteriores a través de la resolución de ejercicios y problemas. En algunos ejercicios, calculaste áreas y perímetros utilizando contenidos provenientes de otros ejes, como son porcentaje y proporcionalidad. Por ejemplo, en la Actividades 1 y 2, y en el ejercicio 1 de profundización y ejercicio 3 de síntesis. Algunos de los ejercicios que realizaste dan importancia a la argumentación y comunicación de información matemática, como el ejercicio 1 de síntesis y 2 de profundización. Esta comunicación tiene gran importancia pues es la manera en la que la matemática ayuda a resolver situaciones cotidianas mediante la aplicación de los temas que estudias. Un ejercicio de aplicación
Mide las dimensiones de tu aula y determina el área de sus paredes y realiza un presupuesto de la pintura necesaria para pintarla. Redacta una carta a tu director, explicándole cuál es el presupuesto y cómo lo hallaste.
334
Una síntesis necesaria
Manejo de la información Ésta será una síntesis necesaria, te permitirá reconocer, reforzar y profundizar lo que aprendiste hasta ahora en este año escolar. En este apartado, se trata del manejo de la información y se hace en un sentido muy amplio. Por un lado, interesa que estés en contacto con informaciones recientes y relevantes de ámbitos diversos, de la sociedad, las ciencias y tecnologías y las humanidades, a la vez que desarrolles tu propio pensamiento matemático y adquieras competencias y habilidades en asuntos matemáticos relativos al tratamiento y manejo de la información. El tipo de información que se ha manejado en el libro ha sido diversa, incorpora estadística como un aspecto relevante, a fin de que tú aprendas a trabajar con datos originados a partir de situaciones reales o experimentales que te resulten familiares y significativas. La información manejada también se ocupa de cuestiones matemáticas más amplias, como las relaciones funcionales, entre las cuales destacan las de proporcionalidad directa e inversa, que requieren de representaciones para analizar, interpretar y comunicar distintos tipos de situaciones cotidianas. Asimismo, debido a que mucha de la información que se maneja proviene de experiencias aleatorias, se incluyó la probabilidad: la finalidad primordial de la enseñanza de la probabilidad no es únicamente el aprendizaje de nociones probabilísticas, sino la posibilidad de estimar, calcular e interpretar la probabilidad de diversos fenómenos aleatorios con base en las leyes básicas de esta teoría. Un tema más de este eje fue la representación, a través de la cual se busca que los alumnos comuniquen distintos tipos de información, con eficacia y claridad, mediante tablas, diagramas y gráficas. Tu trabajo no se reduce a la construcción de representaciones a partir de los datos que te sean propuestos, más bien, se pretende que paulatinamente éstas lleguen a formar parte de tu lengua je natural para comunicar información, ya sea sobre una relación funcional, o sobre una relación estadística o probabilística relativa a fenómenos específicos. En este sentido, desarrollarás conocimientos y habilidades para deducir información a partir de la que muestran explícitamente las representaciones.
Lección 6 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa I En esta lección aprendiste a tratar con los datos de una tabla cuando son proporcionales entre sí, si es posible pasar de una fila a otra multiplicando o dividiendo por un mismo número a cada uno de ellos, por ejemplo: Cantidad de. . .
7
10
13
17
Cantidad de. . .
14
20
26
2
2
34
Al número 2 se le llama coeficiente de proporcionalidad entre esas listas de datos. La proporción es la igualdad de dos razones como: naturales a, b, c y d cumplen con la proporción si c es a d.
a b
3 18
c d
10 60
. En general, los números
, y se dice que a es a b como
Una síntesis necesaria
335
Ejercicio de aplicación
Organicen una actividad en grupo, vayan al mercado más cercano y tomen la lista de precios del puesto de frutas. Elijan las frutas que más les gusten y anoten el precio que señalan en los letreros. Un kilogramo de esto cuesta tanto, medio kilogramo de aquello cuesta esto, etc. Luego pregunten por el precio del doble, del triple, de la mitad, . . . y llenen su tabla. ¿Se cumplen las relaciones de proporcionalidad?
Lección 7 Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional En este espacio trataste con situaciones de reparto proporcional, lo que se buscó es que desarrollaras estrategias para distribuir entre los participantes de un juego, una cantidad en proporción a un cierto número de datos. Por ejemplo, en la Actividad 2, Patricio, Mariana y Ángel querían distribuir el espacio que tenían de un terreno proporcionalmente, de acuerdo con la cantidad de personas que habitarían la casa. Ejercicio de aplicación
Formen equipos de diferente cantidad de miembros. Por ejemplo, dividan al grupo en varios equipos de una persona, otros más en equipos de dos personas y algunos otros en equipos de tres personas. Luego distribuyan equitativamente entre equipos, los ejercicios de esta lección, ¿cuántos ejercicios resolverá cada equipo si el reparto es equitativo?
Lección 8 Diagramas y tablas En esa lección aprendiste a tratar con la información, a comunicar ideas con base en ellas y a emplear diagramas, gráficas y tablas para representar situaciones cotidianas. La era actual se caracteriza por el manejo de grandes cantidades de información, la cual debe ser transformada para volverse conocimiento. Construiste diagramas de ár bol para representar situaciones de conteo, como una forma de sintetizar la totalidad de opciones posibles, como se hizo en las Actividades 3 y 5, los volados y la forma en que se sintetizó la información en el ejercicio de Autoevaluación 4. Diagramas y tablas. Otro tipo de tablas también fueron discutidas. Ejercicio de aplicación
En el siguiente juego una de tus compañeras será la juez en esta contienda y competirán dos equipos. Las reglas del juego son las siguientes: Dividan al grupo en dos para formar dos equipos. Uno será nombrado equipo A y el otro, equipo B. Cada equipo podrá escoger tres dígitos de los siguientes cuatro 1, 2, 6 o 7. A lo más dos de tales dígitos podrán coincidir en las listas de los dos equipos, pero el tercero deberá ser invariablemente distinto entre un equipo y otro. Una vez con sus tres dígitos escogidos, formen todos los números posibles combinando a esos tres dígitos. Calculen la diferencia entre el número más grande y el número más pequeño. Gana el equipo cuya resta sea mayor.
Lección 15 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa II En esta lección aprendiste a identificar y a tratar con situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, empleamos diversos contextos para diversificar y
336
Una síntesis necesaria fortalecer la idea de proporción. En ese momento habías ya establecido que dos cantidades eran proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número dado la otra queda multiplicada por el mismo número. El número por el cual se multiplican ambas cantidades puede ser entero, fraccionario o decimal. En el rompecabezas te pedimos que construyeras un nuevo rompecabezas. Si el lado del cuadrado A, de 3 centímetros, fuera de 6 centímetros en el nuevo rompecabezas, ¿cuánto mediría el lado del rectángulo B, que en el original era de 4 centímetros? Si se hace la igualdad de razones, tenemos que 24 3
8
3 6
4
(3 es a 6 como 4 es a
) y aplicando regla de tres,
6 4 3
. Así podemos obtener las dimensiones de cada pieza.
Ejercicio de aplicación
Calcula los valores faltantes en cada razón proporcional. A) G)
1 2
6 24
5
, B)
21
, H )
8
24
2 5
, C) 40 60
1 2
, I )
20 15
7
, D)
2 26
45
, E)
4 5
3
, F)
11
21 33
,
21
Lección 16 Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de valores constantes de proporcionalidad En esta lección, aprendiste a tratar con los factores de proporcionalidad que se obtienen de aplicar sucesivamente valores constantes de proporcionalidad. Conviene que antes de hacer el siguiente ejercicio, revises la lección 14. Ejercicio de aplicación
En la generación de hace diez años había 250 estudiantes, en la generación actual hay 400 estudiantes. En este caso, la cantidad de estudiantes aumentó, así que el factor fue de
40 25
, o bien
8 5
. Si la cantidad de estudiantes hubiera disminuido de 250 a 50, ¿cuál
sería el factor de proporcionalidad?
Lección 21 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa III En esta lección aprendiste a resolver problemas de proporcionalidad directa de tipo valor faltante utilizando casos de la vida cotidiana como es el caso de la elaboración de dietas. Ejercicio de aplicación
Elabora una dieta para una persona adulta, investiga el consumo de calorías que debe consumir y obtén la proporción en la porción de los alimentos con respecto a tu dieta.
Lección 22 Porcentajes En esta lección aprendiste lo que es el porcentaje o tanto por ciento y cómo se encuentra, asimismo supiste representarlos de diversas maneras. Como viste, el porcentaje te
Una síntesis necesaria
337
permitió establecer comparaciones entre magnitudes de una manera práctica y flexi ble. Discutimos el ejemplo en que Guadalupe compra una caja de cereales para su desayuno y la caja tenía la leyenda “con 30% de fruta deshidratada”. Ésta es de 3 a 10, es decir, que por cada 30 gramos de fruta habrá 100 gramos de cereales. De ahí obtuvimos, que: a) Hay 60 gramos de fruta por 200 gramos de cereales b) Hay 150 gramos de fruta por 500 gramos de cereales
Se presentaron estos resultados en una tabla de proporcionalidad como la siguiente: Masa de cereal en gramos
100
200
500
Masa de fruta en gramos
30
60
150
Ejercicio de aplicación
Busquen en los periódicos o pregunten a sus maestros sobre el número de mujeres diputadas en la Legislatura vigente y encuentren el porcentaje de mujeres diputadas. ¿Cuántas diputadas más se requerirían para que su número en la Cámara fuese del doble del de hombres? Considera que debe haber un total de 500 diputados.
Lección 23 Diagramas y tablas En esta lección aprendiste a distinguir entre la población y la muestra al realizar estudios estadísticos, y discutieron sobre el papel de construir tablas con los datos de nuestro interés. Trabajaste también con la noción de frecuencia, tanto frecuencia absoluta como frecuencia relativa, y las clasificaste en clases mediante el empleo de rangos o intervalos. Ejercicio de aplicación
Hagan una encuesta. Cada estudiante recopile la siguiente información de una muestra de los estudiantes de segundo año, reúnanla y clasifíquenla en tablas. Pregunten por el nombre de su compañero o compañera, su edad, anoten su sexo y pidan el peso y la estatura de todas y todos los compañeros que entrevisten. Completa con esos datos la siguiente tabla para sintetizar la información y procesarla:
Nombre
Edad
Sexo
Pe so
Estatura
Juan
13
H
52 kg
1.60 m
Calculen el índice de masa corporal (IMC) de los miembros de la muestra y discutan si sus resultados se parecen a los de ustedes o no. Traten el tema con sus profesores y profesoras.
338
Una síntesis necesaria
Lección 24 Gráficas. Tratamiento de la información En esta lección, aprendiste a interpretar y a manejar información a través del empleo de diagramas y tablas, construirás diversos tipos de representación de datos a partir de las gráficas. Utilizaste gráfica de barras y poligonal, gráfica circular (o también llamada “gráfica de pastel”) y los histogramas. Ejercicio de aplicación
La siguiente tabla muestra la estructura demográfica en México por grupos de edad. Estructura demográfica en México
e a
j
t
n e c r o P
40 35 30 25 20 15 10 5 0
37.52 32.85
37.15
35.7 32.58
26.9
31.34 2000
24.9
2010 2020
22.04
4.6
0-15
15-34 35-64 Grupos de edad
6.05
8.22
85 y mas
Observa cómo el color de las columnas de esta gráfica de barras, muestran datos del pasado en lila, del año 2000, a la vez que presentan pronósticos para el año 2010 y para 2020. Si observas las barras amarillas, podrás saber qué se espera para el año 2020, por ejemplo, que disminuya el número de personas entre 0 y 34 años respecto del año 2000 y que crezca la cantidad de mayores a 35 años. Intenta analizar la gráfica y extrae informaciones para el año 2010. ¿Qué otras observaciones puedes hacer? ¿Te imaginas el mundo del mañana?
Lección 25 Nociones de probabilidad I En esta lección aprendiste a tratar con la información desde un punto de vista proba bilístico, a comunicar ideas con base en ello, así como a emplear términos y conceptos matemáticos de manera conjunta con tus expresiones cotidianas y conocimientos previos. Al trabajar con situaciones probabilísticas, dijimos que la probabilidad es la rama de las matemáticas que trata de los experimentos aleatorios; en tal sentido, explora la incertidumbre y busca sus regularidades. La noción frecuencial de la probabilidad emplea la definición siguiente: Número de veces que aparece un resultado Frecuencia relativa ———————————————————— Número total de observaciones La probabilidad empírica o frecuencial mide y describe, de manera aproximada, qué tan probable es un evento (lo que ocurre), y se obtiene mediante la experimentación (repetir la experiencia) Frecuencia absoluta Probabilidad empírica —————————— Total de observaciones
Una síntesis necesaria
339
Ejercicio de aplicación
Diseña una situación que plantee datos de frecuencias absolutas, en el que el resultado de la probabilidad sea
1 2
, o cercana a ella. En la lección calculamos la frecuencia en
que aparece un águila o un sol en una secuencia de volados. Inventa otra situación semejante y realízala. ¿Cuál sería la situación si la probabilidad obtenida fuese aproximadamente de
2 5
?
Lección 32 Gráficas: La relación proporcional en el plano cartesiano En esta lección, aprendiste a identificar la proporcionalidad con la expresión y ax y mediante su gráfica. Tratamos con relaciones proporcionales, encontramos valores faltantes de una proporción y reconocimos las razones de cambio. En la tabla siguiente se muestran datos que están en proporción:
3
x
y
1
3
2
6
3
9
4
12
Los números de la segunda columna son el triple de sus correspondientes números de la primera, es decir, la proporción es 3, en otras palabras cada número de la derecha es tres veces el número de la izquierda, eso lo representamos así: y 3x. Por lo cual podemos decir que los elementos de la segunda columna son el triple de los de la primera. Las columnas anteriores las podemos considerar como dos listas de números. Por lo tanto podemos decir que dos listas tienen una proporción a cuando una lista es a veces la otra, esto es, si x y y son las dos listas entonces y ax. Ejercicio de aplicación
Un camión de carga va de Tres Marías a Huitzilac, en el estado de Morelos (busca en un mapa la distancia aproximada entre esos dos poblados, te damos la pista de que ambos están entre las ciudades de México y Cuernavaca) y viaja con velocidad constante de 45 km/h. Encuentra la distancia que llevaría recorrida el camión a los cinco, diez y quince minutos si éste viajara sin detenerse y a la misma velocidad. Construye una expresión que represente la relación entre distancia y tiempo y bosqueja en un plano la recta que representa la distancia recorrida contra el tiempo empleado.
340
Una síntesis necesaria
Lección 36 Nociones de probabilidad II En esta lección aprendiste a tratar con el azar desde un punto de vista matemático. Calculaste la probabilidad clásica de un evento aleatorio y aprendiste a reconocer a los eventos equiprobables de aquellos que no lo son. Discutimos que tanto el lanzamiento de una moneda como el lanzamiento de un dado, son eventos que tienen una característica en común; sus resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir. A este tipo de eventos les llamamos eventos equiprobables, debido a que la probabilidad de todos ellos es la misma, sus valores son iguales. En este caso la definición clásica de la probabilidad señala que si consideramos que cada suceso es un evento equiprobable cada evento tendrá una probabilidad igual a la de los demás. Así dijimos que la Número de resultados probables al evento Probabilidad de un evento —————————————————————— Número de resultados probables del experimento Ejercicio de aplicación
Gisela tiene en su caja 10 bolas blancas y 20 negras. Flor tiene en su caja 30 bolas blancas y 60 negras. Juegan una partida de azar. La ganadora será aquella que saque primero una bola blanca. Si ambas sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa. Gisela afirma que el juego no es justo porque en la caja de Flor hay más bolas blancas que en la suya. ¿Cuál es tu opinión sobre esto?
Lección 37 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad inversa En esta lección aprendiste a identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. Trabajamos situaciones de proporcionalidad inversa y discutimos que dos variables son inversamente proporcionales si, por ejemplo, el valor de una se duplica, en tanto que el valor de la otra se reduce a la mitad. a →b En general, dada la relación inversamente proporcional ,a c y c d → b d. c, entonces Si a su equivalente c d a b.
c a
. Si
b
d, entonces
b d
. Por lo que
c a
b d
o
Ejercicio de aplicación
Tres vecinos de la comunidad construyen una barda de 40 metros de longitud en 4 días de trabajo. ¿Cuánto tiempo tardarán en levantar otra barda, pero ahora de 50 metros si una de ellas tres no podrá colaborar dado que se ha enfermado?
Lección 38 Medidas de tendencia central y de dispersión En esta lección aprendiste a procesar la información, a inferir ideas con base en ella y a emplear medidas de tendencia central y de dispersión para analizar datos ligados con situaciones de la vida cotidiana. Al número promedio de una colección de datos
Una síntesis necesaria
341
se le conoce como la media o media aritmética. Cuando se ordenan los números de una lista en forma creciente, la mediana es aquel número que separa la lista en dos secciones con el mismo número de elementos: es decir, la cantidad de números que preceden a la mediana es igual a la que le sigue. Una manera para medir la dispersión de los datos de una lista es obtenerla restando del valor máximo de las observaciones el valor mínimo. Esta medida de dispersión, que se conoce como rango, mide la mayor distancia entre dos datos de una lista. A la media, la moda y la mediana se les denominan medidas de tendencia central. La media o media aritmética proporciona el valor medio o promedio de los datos; la mediana el valor central y la moda el valor más frecuente. Ejercicio de aplicación
En una clase la media de las calificaciones de un examen parcial fue de 6.5 y la mediana de 8. La nota más baja la obtuvo un alumno, quien obtuvo 3.8, y la más alta la tuvo una alumna, cuya calificación fue de 9.2. •
¿Es cierto o falso que la mitad del grupo sacó 8 o más que ocho?
•
Conformen equipos de tres integrantes y discutan la razón por la que la media es menor que la mediana en este ejemplo.
•
¿Qué información nos da el rango? ¿Cuánto vale en este caso?
•
Si eliminamos de la lista de calificaciones a la nota más baja y a la más alta, ¿cuánto valdrá ahora la mediana? ¿Qué le pasa a la media?
•
Si eliminamos de la lista al valor más alto, el 9.2, la media cambia a 6.2, ¿podrías obtener con estos datos el número de alumnos en el grupo?
Bibliografía Referencias para alumnas y alumnos: Páginas de interés relativas a números enteros y sus operaciones
http://www.aaamatematicas.com/cmp64b2.htm http://www.escolar.com/matem/13nument.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/ conmates/unid-4/actividades.htm Operaciones con decimales:
http://www.aaamatematicas.com/dec.htm Páginas relativas a secuencias numéricas y patrones
En esta liga se presentan varios casos en que los estudiantes deberán determinar el número que falta en determinado patrón, así como determinar ciertos patrones. http://www.aaamatematicas.com/pat.htm Ecuaciones de primer grado:
Una página interactiva sobre distintos tipos ecuaciones de primer grado: http://www.aaamatematicas.com/equ7232.htm Libros:
Clemson, W., Clemson, D., Cundale, O., Berry, L. y King, M. (2006). Usa las Matemáticas. Desafío deportes extremos. México: Altea. Clemson, W., Clemson, D. y Gower, J. (2004). Usa las Matemáticas. Sé un doble de acción. México: Altea. Clemson, W., Clemson, D., y Noble, J. (2006). Usa las Matemáticas. Gana un Grand Prix. México: Altea. Clemson, W., Clemson, D., y Sayers, G. (2004). Usa las Matemáticas. Sé un veterinario de zoológico. México: Altea. Zaslavsky, C. (2005). Juegos y actividades matemáticas de todo el mundo. México: Selector.
Referencias para las profesoras y profesores: Aragón, M. y Valiente, S. (1989). En el amable mundo de la Matemática. México: Editorial Patria. Ball, J. (2005). Piensa un número. México: SM de Ediciones. Berrondo-Agrell, M. (2006). 100 Enigmas de Geometría: Juegos divertidos para potenciar tu mente. España: Grupo Editorial CEAC.
342
Bibliografía
343
Chimal, C. (2003). El viajero científico. México: Alfaguara. Enzensberger, H. (2001). El diablo de los números. Madrid, España: Siruela. Recamán, B. (2006). Las nueve cifras y el cambiante cero. Divertimentos matemáticos (juegos educativos aficionados). España: Gedisa. Ruiz, C. y Régules, S. (2000). El piropo matemático. De los números a las estrellas. México: Lectorum. Tahan, M. (1972). El hombre que calculaba. Barcelona, España: Verón Editores. Yakov, P. (1987). Matemáticas recreativas. España: Ediciones Martínez Roca. Zeisel, H. (1980). Dígalo con números. México, FCE. Wagemann, E.(1973). El número, detective, México, FCE.
