Juego y Aprendo
Matemáticas con Soroban Fichas para desarrollar la capacidad de cálculo María Alonso García José Mª de Cuenca de la Cruz
!"#
Matemáticas con Soroban $ntroducci%n
La capacidad analítica es una competencia cada vez más valorada entre los profesionales actuales. Sin embargo, muchas veces se desarrolla a costa de la creatividad, porque el tiempo de juego se ve desplazado por la realización de cálculos y ejercicios. sí, la creatividad personal, que es la gran fuente de la innovación y una garantía de prosperidad para nuestra sociedad, se va convirtiendo en un recurso cada vez más escaso conforme crecemos. !l cálculo mental no gusta a todos los ni"os, aunque sí les gusta jugar. #ero podemos enfocar su juego al desarrollo de capacidades no tan atractivas como el cálculo mental. Las matemáticas manipulativas se basan en el uso de objetos $como las regletas de %uisenaire o los diferentes ábacos& para que sea posible 'jugar( con los cálculos. !stos 'juguetes( nos dan la oportunidad de aprovechar la innata capacidad de los ni"os para interactuar con el entorno mediante la manipulación de objetos, para desarrollar su capacidad analítica. !n las fichas de este volumen proponemos jugar con el ábaco japon)s o Sorobán como herramienta para obtener más fácilmente los resultados de un cálculo. Su uso a la vez nos obligará a pensar cual es la mejor forma de utilizarlo. !speramos que ir completando estos ejercicios sea una forma entretenida de aprender* y disfrutar. !l presente cuaderno comienza familiarizando al ni"o con los grandes n+meros y su manejo. la vez le introduce en un sistema de numeración peculiar por medio del manejo del ábaco japon)s. un manteniendo la base diez, en el Sorobán los n+meros se representan de distinta forma si son mayores o menores de cinco esto obligará al ni"o a centrar su atención en la descomposición de las cantidades probablemente por primera vez. -espu)s las fichas repasan la notación romana, antes de recorrer las operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división.
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Si te gust% la iniciati&a' por (a&or da a conocer estas publicaciones para )ue más ni*os puedan bene(iciarse de ellas+ y por (a&or' en&íanos ideas o sugerencias para me,orar.JoseMa/deCuenca 5mágenes de ábacos generadas desde la aplicación https66777.geogebra.org6material6simple6id6893 elaborada por :erzy ;il.
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Matemáticas con Soroban $ntroducci%n
La capacidad analítica es una competencia cada vez más valorada entre los profesionales actuales. Sin embargo, muchas veces se desarrolla a costa de la creatividad, porque el tiempo de juego se ve desplazado por la realización de cálculos y ejercicios. sí, la creatividad personal, que es la gran fuente de la innovación y una garantía de prosperidad para nuestra sociedad, se va convirtiendo en un recurso cada vez más escaso conforme crecemos. !l cálculo mental no gusta a todos los ni"os, aunque sí les gusta jugar. #ero podemos enfocar su juego al desarrollo de capacidades no tan atractivas como el cálculo mental. Las matemáticas manipulativas se basan en el uso de objetos $como las regletas de %uisenaire o los diferentes ábacos& para que sea posible 'jugar( con los cálculos. !stos 'juguetes( nos dan la oportunidad de aprovechar la innata capacidad de los ni"os para interactuar con el entorno mediante la manipulación de objetos, para desarrollar su capacidad analítica. !n las fichas de este volumen proponemos jugar con el ábaco japon)s o Sorobán como herramienta para obtener más fácilmente los resultados de un cálculo. Su uso a la vez nos obligará a pensar cual es la mejor forma de utilizarlo. !speramos que ir completando estos ejercicios sea una forma entretenida de aprender* y disfrutar. !l presente cuaderno comienza familiarizando al ni"o con los grandes n+meros y su manejo. la vez le introduce en un sistema de numeración peculiar por medio del manejo del ábaco japon)s. un manteniendo la base diez, en el Sorobán los n+meros se representan de distinta forma si son mayores o menores de cinco esto obligará al ni"o a centrar su atención en la descomposición de las cantidades probablemente por primera vez. -espu)s las fichas repasan la notación romana, antes de recorrer las operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división.
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Si te gust% la iniciati&a' por (a&or da a conocer estas publicaciones para )ue más ni*os puedan bene(iciarse de ellas+ y por (a&or' en&íanos ideas o sugerencias para me,orar.JoseMa/deCuenca 5mágenes de ábacos generadas desde la aplicación https66777.geogebra.org6material6simple6id6893 elaborada por :erzy ;il.
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echa ==================
1scribe el n2mero )ue aparece representado en los siguientes ábacos seg2n los e,emplos-
1,emplo-
1,ercicio-
0
////////////
03!
////////////
"4!!!
////////////
04000
////////////
!4!!!
////////////
0!!4!!0
////////////
0
echa ==================
1scribe el n2mero )ue aparece representado en los siguientes ábacos 5ci(ras simples6-
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3
echa ==================
7ee cada n2mero e8presado en letra' escribe sus ci(ras y dib2,alo pintando bolas en su ábaco %iento dos ========= / / / . / / / . / / / . / / / .
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?rece mil doscientos do scientos catorce ============= / / / . / / / . / / / . / / / .
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-oscientos veinte mil trescientos ============= / / / . / / / . / / / . / / / .
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#
echa ==================
7ee cada n2mero e8presado en letra' escribe sus ci(ras y represéntalos con tu ábaco
@n millón ciento once mil ciento once =============
;il cuatrocientos millones =============
-oscientos veinte millones dos mil veinte =============
?rescientos treinta y tres =========
%atorce mil catorce =============
Aeinte mil veinte =============
-oce millones trescientos mil =============
-oce millones trescientos =============
-oce millones tres =============
%iento once mil doscientos dos =============
%atorce mil doscientos treinta y uno =============
@n millón doce =============
%uatrocientos veintitr)s mil doscientos treinta y uno =============
9
echa ==================
1scribe los siguientes n2meros y dib2,alos pintando las bolas necesarias en su ábaco33.// ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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24.2// ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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./2/.// ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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0/ 01 / 2 3 4
:
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/
echa ==================
1scribe en letra los siguientes n2meros e introd2celos en tu ábaco-
22./2/ ====================================================================
34.2// ====================================================================
43/./// ====================================================================
21./21 ====================================================================
21./// ====================================================================
3.434 ====================================================================
22.// ====================================================================
//.// ====================================================================
2//./// ====================================================================
.234./// ====================================================================
4.23./// ====================================================================
3.//2.// ====================================================================
.1//./// ====================================================================
;
echa ==================
1scribe el n2mero )ue aparece representado en los siguientes ábacos 5ci(ras comple,as6-
1,ercicio-
1,emplo-
///////////////////////////////
#
#9
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19.8BC
///////////////////////////////
4!"#
///////////////////////////////
#:"4!;<
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<;:49#340"
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<
echa ==================
1scribe el n2mero )ue aparece representado en los siguientes ábacos 5ci(ras comple,as6-
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"!
echa ==================
7ee cada n2mero e8presado en letra' escribe sus ci(ras y dib2,alo pintando bolas en su ábaco Duinientos uno ========= / / / . / / / . / / / . / / / .
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;il cuatrocientos noventa y dos ========= / / / . / / / . / / / . / / / .
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Seis millones trescientos veintinueve mil ochocientos ocho ========= / / / . / / / . / / / . / / / .
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""
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echa ==================
7ee cada n2mero e8presado en letra' escribe sus ci(ras y represéntalos con tu ábaco
Echocientos siete ==========================
%uatrocientos doce ==========================
;il novecientos ==========================
;il noventa y dos ==========================
-os mil siete ==========================
Duinientos ochenta y dos mil setecientos nueve ==========================
Seiscientos trece mil setecientos noventa y uno ==========================
Siete millones tres ==========================
Echenta millones, novecientos mil trescientos cincuenta ==========================
-oscientos millones setecientos mil dos ==========================
Seiscientos cinco mil trescientos millones, noventa mil siete ==========================
"
echa ==================
1scribe los siguientes n2meros y dib2,alos pintando las bolas necesarias en su ábaco1.9// ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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81./C9 ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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13B.4/8 ==================================================================== / / / . / / / . / / / . / / / .
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"0
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echa ==================
1scribe los siguientes n2meros e introd2celos en tu ábaco-
.8B8 ====================================================================
3B./41 ====================================================================
1.//B ====================================================================
921./// ====================================================================
3./1/.981 ====================================================================
/.///./ ===================================================================
489.18C ====================================================================
32.14 ====================================================================
B./B/.//B ====================================================================
88./88 ====================================================================
9/9.9// ====================================================================
9/2.C/ ====================================================================
1/.B/4 ====================================================================
"3
echa ==================
1scribe las cantidades )ue están en n2meros romanos' y dib2,alos con ayuda tu ábaco-
!jemplo %%%F55 312
A ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
%%%FFA ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
;%%5A ==================================================================== =
>
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=
>
@
0/ 01 / 2 3 4
"#
M
C 56
B 576
$ 56
echa ==================
1scribe las cantidades )ue están en n2meros romanos' y dib2,alos con ayuda tu ábaco%F ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
%A5 ==================================================================== =
>
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=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
FL ==================================================================== =
>
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@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
%- ==================================================================== =
>
?
=
>
@
0/ 01 / 2 3 4
"9
M
C 56
B 576
$ 56
echa ==================
1scribe con n2meros romanos las siguientes cantidades' y dib2,alos con ayuda de tu ábaco-
!jemplo 33 CCCXIII
22/ ==================================================================== =
>
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=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
1 ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
1B ==================================================================== =
>
?
=
>
@
0/ 01 / 2 3 4
":
M
C 56
B 576
$ 56
echa ==================
1scribe con n2meros romanos las siguientes cantidades' y dib2,alos con ayuda de tu ábaco/4 ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
/B5 ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
38/ ==================================================================== =
>
?
=
>
@
M
C 56
B 576
$ 56
0/ 01 / 2 3 4
441 ==================================================================== =
>
?
=
>
@
0/ 01 / 2 3 4
";
M
C 56
B 576
$ 56
echa ==================
Suma con tu ábaco a*adiendo al primer n2mero las cantidades del segundo-
1,emplo-
333 0
Solución
333 0 G 444
1,ercicios3/ 0 2 G =================
3// 0 // G =================
.2/ 0 2/4 G =================
2.3/2 0 .42G =================
3.3C/ 0 .// G =================
.2// 0 3.4/G =================
22./// 0 .B89 G =================
4./// 0 3C1G =================
4/1.8// 0 2/./CG =================
8//.88 0 8.///G =================
1// 0 /2 G =================
C8/ 0 21G =================
11 0 // G =================
218 0 .1//G =================
CC 0 33G =================
C/C 0 9G =================
4// 0 /1G =================
.42/ 0 ./24G =================
2.4/1 0 /4G =================
C.132 0 ./G =================
38/.B4 0 4./22G =================
B1.B1C 0 3.//2G =================
"<
echa ==================
Suma con tu ábaco a*adiendo al primer n2mero las cantidades del segundo-
8 0 G =================
C 0 2 G =================
3/C 0 1 G =================
4/C 0 13 G =================
1/1 0 1./1/ G =================
C/ 0 31G =================
2/ 0 21 G =================
32/021 G =================
311 0 // G =================
.81 0 / G =================
3.C// 0 3// G =================
1030G =================
4003G =================
!
echa ==================
Desta con tu ábaco )uitando del primer n2mero las cantidades del segundo-
1,emplo-
333 H
Solución
333 H G 222
1,ercicios para el ábaco34 H 2 G =================
3// H // G =================
.2/8 H 2/4 G =================
2.3C2 H .42G =================
3.3C/ H .// G =================
4.24/ H 3.4/G =================
22.B89 H .2 G =================
4.3C1 H C1G =================
4/.8C H 2/./1/G =================
8/.88 H 1/.33 G =================
4/4 H / G =================
C81 H 21G =================
2C1 H 1 G =================
.218 H 12G =================
B8 H 33G =================
C9C H 2G =================
4/8 H /1G =================
.42B H ./24G =================
2.4/1 H /4G =================
C.143 H .G =================
8.B2 H 3.4G =================
B1.B1C H44.11G =================
"
echa ==================
Erueba a sumar complementos' usando la (ila superior cuando no es posible poner toda la cantidad en la )ue correspondería' pero acordándote de )uitar lo )ue sobra en las de aba,o!jemplo 4// 0 // G 1//
Sitúo el primer número (400) en el ábaco:
Como el segundo (100) no puedo aadirlo! uso la "ila superior! # $uito lo $ue %a# en la segunda:
Eractica un poco con tu ábacoSuma uno utilizando el cinco y acordándote de quitar cuatro en esa columna G 1 H 4 /4 0 G =================
4//0// G ================= Sumar dos es igual a sumar cinco acordándote de quitar tres en esa columna 2 G 1 H 3 23 0 2 G =================
33/ 0 22/ G ================= Sumar tres es igual a sumar cinco acordándote de quitar dos en esa columna 3 G 1 H 2 82 0 3 G =================
44/03/ G ================= Sumar cuatro es igual a sumar cinco acordándote de quitar uno en esa columna 4 G 1 H 4 0 4 G =================
./24 0 ./24 G =================
echa ==================
Suma a la primera la segunda cantidad' a*adiendo su &alor redondeado en la columna siguiente y )uitando el redondeo a*adido después&'emplo: * + ,,,,,,,,,,,,,,,,, Como * + (10 - 1)! podemos %acer la suma anterior más "ácil! si lo escribimos antes como : * + ( 10 - 1 ) + ,,,,,,,,,,,,,,,,,
Erueba con el ábaco' escribiendo en el primer gui%n la cantidad redondeada entre paréntesis como en el e,emplo4 0B G ====================== G =================
211 0 B G ====================== G =================
39 0 B G ======================= G =================
38 0 8 G ====================== G =================
38 0 9 G ======================= G =================
2/ 0 B G ======================= G =================
21 0 B G ======================= G =================
3B 0 1 G ======================= G =================
B 0 B G ======================= G =================
4BB 0 BB G ======================= G =================
0
echa ==================
Erueba a sumar complementos compuestos' usando la menor cantidad posible en la columna siguiente cuando no es posible poner toda la cantidad en la )ue corresponde' pero acordándote de )uitar lo )ue sobra en la columna anterior!jemplo
3/ 0 9/ G //
Sitúo el primer número (30) en el ábaco:
Como el segundo (.0) no puedo aadirlo! uso la siguiente columna! # $uito lo $ue %a# en la segunda:
Eractica un poco con tu ábacoSuma cinco utilizando el diez, acordándote de quitar cinco en la columna anterior 1 G / H 1 801 G ================= 9/ 0 12 G ================= Suma seis utilizando el diez, acordándote de quitar cuatro en la columna anterior C G / H 4 B0C G ================= 2B20C3 G ================= Suma siete utilizando el diez, acordándote de quitar tres en la columna anterior 9G / H 3 809 G ================= 1/8 0 /9 G ================= Suma ocho utilizando el diez, acordándote de quitar dos en la columna anterior 8G / I 2 308 G ================= 4/4 0 //8 G ================= Suma nueve utilizando el diez, acordándosete de quitar uno en la columna anterior B G / H 30B G ================= 4/4 0 //B G =================
3
echa ==================
Sigamos practicando con el ábaco-
Sumar uno es igual a sumar / y restar nueve de la columna anterior G / H B B 0 G ================= B/1 0 // G ================= .B1/ 0 41 G ================= BB 0 G ================= BB 0 / G ================= BB 0 G ================= Sumar dos es igual a sumar diez y restar ocho de la columna anterior 2 G / H 8 8 0 2 G ================= 8/4 0 2/1 G ================= 88 0 22 G ================= 8/8 0 2/2 G ================= .82 0 2/4 G ================= Sumar tres es igual a sumar diez y restar siete de la columna anterior 3 G / H 9 9 0 3 G ================= 9/4 0 3/ G ================= 99 0 23 G ================= 949 0 332 G ================= 8.9/2 0 381 G =================
Sumar cuatro es igual a sumar diez y restar seis de la columna anterior- 3 F "! G 9 C 0 4 G ================= C/4 0 4/1 G ================= .C/C 0 4/4 G ================= C1 0 44 G ================= C1 0 44 G =================
#
echa ==================
Sigamos practicando con el ábaco-
Sumar seis es igual a sumar diez, restar cinco y volver a sumar uno C G / I 1 0 21 0 C G ================= /1 0 /C G ================= .2/8 0 2/C G ================= 3/8 0 /C G ================= 2.//9 0 C/C G ================= Sumar siete es igual a sumar diez, restar cinco y volver a sumar dos 9 G / I 1 0 2 8 0 9 G ================= 31 02/9 G ================= 2C 0 29 G ================= .B/B 0 2./9 G ================= .124 0 29 G ================= Sumar ocho es igual a sumar diez, restar cinco y volver a sumar tres 8 G / I 1 0 3 C 0 8 G ================= C/ 0 88 G ================= 9 0 8 G ================= /1 0 28 G ================= .128 0 8/ G ================= Sumar nueve es igual a sumar diez, restar cinco y volver a sumar cuatro C G / I 1 0 4 29 0 B G ================= .B/9 0 /B G ================= 2.929 0 2B G ================= 892 0 B3 G ================= B10B G =================
9
echa ==================
Eara repasar' suma con tu ábaco a*adiendo al primer n2mero las cantidades del segundo-
B 0 G =================
C 0 4 G =================
9/ 0 31G =================
3/C 0 /4 G =================
4/C 0 213 G =================
2/ 0 81 G =================
38/021 G =================
411 0 // G =================
.B1 0 / G =================
3.9// 0 3// G =================
1040G =================
C003G =================
81C 0 28B G =================
:
echa ==================
Eara terminar de repasar' sigue sumando con tu ábaco-
8B 0 9C G =================
B/B 0 111 G =================
BBB 0 444 G =================
B9 0 8 G =================
2.81B.B48 0 83 G =================
.3// 0 3/ 0 3 G =================
21 0 41/ 0 // G =================
2. // 0 .1/2 0 98 G =================
1.121 0 228 G =================
2.222./// 0 222.222 0 /.1/8 G =================
BB 0 BB G =================
BBB 0 888 G =================
9.999 0 1.111 G =================
;
echa ==================
Antes de continuar' &amos a repasar un poco la resta con los siguientes e,ercicios-
4.98B I 3.2C4 G =================
3.C48 I 2.123 G =================
24.1C8 I 2.1C G =================
4.BB3 I .91 G =================
8.8B I 1.9B/ G =================
8.2C/.3BB I 9./.343 G =================
2C1.938.B4C I /.22.34 G =================
21C H 4 G =================
C./B/ I ./4/ G =================
9./8/ I 2./1/ G =================
1/1 H /4 G =================
C/C H 2/ G =================
C/.1/9 I /./2 G =================
<
echa ==================
Como con la suma' con la resta también se puede redondear4 Eara ello )uita el &alor redondeado de la cantidad' )uitando lo )ue sobre después&'emplo: *2 / * + ,,,,,,,,,,,,,,,,, Como * + (10 - 1)! podemos %acer la suma anterior más "ácil! si lo escribimos antes como : *2 / * + *2 / ( 10 - 1 ) + ,,,,,,,,,,,,,,,,,
Erueba con el ábaco' escribiendo en el primer gui%n la cantidad redondeada entre paréntesis como en el e,emplo-
4 HB G ====================== G =================
238 H B G ====================== G =================
2.1// H BBB G ====================== G =================
2.8/ H B/ G ====================== G =================
.3// H B/ G ====================== G =================
1.89B H B// G ====================== G =================
1.89B H BB/ G ====================== G =================
241 H 8/ G ====================== G =================
241 H B/ G ====================== G =================
0!
echa ==================
Erueba a restar complementos' usando las e)ui&alencias de manera similar a la suma)uitando cinco o diez unidades en la primera columna )ue se pueda y de&ol&iendo las necesarias en las columnas de la derecha 5complemento6 hasta completar la operaci%n!jemplo
9/ H 3/ G //
Sitúo el primer número (.0) en el ábaco:
Como el segundo (30) no puedo $uitarlo! $uito 0:
ero debo deoler el eceso retirado! $ue son 20! #a $ue 30 + 0 / 20:
Eractica un poco con tu ábacoJestar es igual que quitar 1 y devolver 4 1 H G ================= 21 H G ================= 21 H G ================= 1/ H G ================= 1// H G =================
Jestar es igual que quitar / y devolver B 2/ H G ================= 4/ H G ================= / H G ================= 2// H G ================= 23./// H G =================
0"
echa ==================
Sigamos practicando con el ábacoJestar 2 es igual que quitar 1 y devolver 3 1 H 2 G ================= 21 H 2 G ================= 1 H 2 G ================= 31 H 2 G ================= 3/ H 2 G =================
Jestar 2 es igual que quitar / y devolver 8 H 2 G ================= 2/ H 2 G ================= 3/ H 2 G ================= 3// H 2 G ================= 2./// H 2 G =================
Jestar 3 es igual que quitar 1 y devolver 2 21 H 3 G ================= 241 H 3 G ================= C2 H 3 G ================= 212 H 3 G ================= 4/2 H 3 G =================
Jestar 3 es igual que quitar / y devolver 9 3/ H 3 G ================= C/ H 3 G ================= 2/ H 3 G ================= 2// H 3 G ================= 3./// H 3 G =================
0
echa ==================
Jestar 4 es igual que quitar 1 y devolver 21 H 4 G ================= 241 H 4 G ================= 1/ H 4 G ================= 13 H 4 G ================= 123 H 4 G ================= .1/2 H 4 G ================= 21./// H 4 G =================
Jestar 4 es igual que quitar / y devolver C 4/ H 4 G ================= C/ H 4 G ================= 92 H 4 G ================= 3/ H 4 G ================= 3// H 4 G ================= 4.// H 4 G ================= 3/./// H 4 G =================
Jestar C es igual que quitar / y devolver 4 C/ H C G ================= C2 H C G ================= 32/ H C G ================= 18/ H C G ================= 9// H C G ================= 2./// H C G ================= 2/./// H C G =================
00
echa ==================
Jestar 9 es igual que quitar / y devolver 3 4/ H 9 G ================= 13 H 9 G ================= CC H 9 G ================= 44/ H 9 G ================= C// H 9 G ================= 9./// I 9 G ================= 9/./// I 9 G =================
Jestar 8 es igual que quitar / y devolver 2 / H 8 G ================= 34 H 8 G ================= 89 H 8 G ================= 23/ H 8 G ================= 9// H 8 G ================= 8./// I 8 G ================= 8/./// I 8 G =================
Jestar B es igual que quitar / y devolver / H B G ================= 94 H B G ================= C8 H B G ================= 328 H B G ================= 8// H B G ================= B./// I B G ================= BB.B// I B G =================
03
echa ==================
Eara repasar' resta con tu ábaco del primer n2mero la cantidad del segundo-
9 I 8G =================
8 I B G =================
8/ I B/ G =================
8/ I B G =================
12C I 28B G =================
C.42 I .C84 G =================
42 I 21 G =================
4./// I / G =================
2.9// I 8// G =================
.332 I BBB G =================
./ I B.BBB G =================
.22 I BBB G =================
9.19C I 8// G =================
0#
echa ==================
Si ya conoces bien las tablas de multiplicar' usaremos el ábaco para calcular un producto4 #rimero colocamos los dos n+meros a multiplicar en las filas a la izquierda del ábaco, con una columna de separación entre multiplicando y multiplicador. Luego multiplicamos cada n+mero en las columnas del multiplicando por cada columna del multiplicador. #ara anotar estos productos simples en el ábaco comenzaremos por la fila más a la derecha de las que dejamos libres para el resultado. l cambiar de dígito en el multiplicador, nos pondremos en su columna.
Multiplicador
7ibres para resultado
&'emplo: multiplicar 12 12 bsera $ue %emos denominado con letras a las columnas del multiplicando (6! &) # del multiplicador (7!5) para $ue te sea más "ácil seguir el e'emplo sin perderte
1 &
2 6
/ libre
1 7
2 5
/ libre
para resultado
ara multiplicar 12 12! %acemos las multiplicaciones siguientes! anotándolas en el ábaco ;ultiplicador ;ultiplicando & 6 libre
7
5
7 & 7 6 5 & 5 6
5 6 + 2 2 + 04 (columnas 1 # 2)
5 & + 2 1 + 02 (columnas 2 # 3)
7 6 + 1 2 + 02 (columnas 2 # 3! por$ue es el segundo d8gito en el multiplicador)
7 & + 1 1 + 01 (columnas 3 # 4) 9e#endo el resultado de las columnas a la derec%a del ábaco emos $ue 12 12 + 144 .
09
echa ==================
amos a entrenar un poco la anotaci%n de los productos simples en las columnas correspondientes' utilizando las tablas como pistas en la multiplicando los siguientes n2meros" " 8 " " F //////////// & 6
7 5 Columna 4 1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
" 0 8 " F //////////// & 6
7 5 Columna 4 1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
" 9 8 3 F //////////// & 6
7 5 Columna 4 1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
: 8 0 " F //////////// & 6
7 5 Columna 4 1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
" 8 " ! F //////////// & 6
7 5 Columna 4 1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
0:
echa ==================
Sigamos practicando con las siguientes multiplicaciones' ahora sin la pista de las tablas' aun)ue tenemos la ayuda de los productos simples )ue debemos realizar-
" 8 0 0 F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
K - G =======
K ! G =======
# 3 8 9 F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
0 8 9 ; F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
< 8 ; # F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
3 : 8 " ! F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
; 0 8 9 F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
0 : 8 3 9 F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
< 8 " ! F //////////// & 6
7 5
K - G =======
K ! G =======
0;
echa ==================
amos ahora a multiplicar n2meros con más ci(ras' con la pista de las tablas-
3 ; 8 0 < F //////////// & 6 C
7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 C F ///////////////// A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 C F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
0 3 # 8 ! F //////////// & 6 C
7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 C F ///////////////// A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 C F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
< # 8 # 3 F //////////// & 6 C
7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 C F ///////////////// A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 C F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
9 ; 9 8 : 0 F //////////// & 6 C
7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 C F ///////////////// A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 C F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F /////////////////
0<
echa ==================
Seguimos multiplicando n2meros con más ci(ras' ahora sin la pista de las tablas' aun)ue tenemos la ayuda de los productos simples )ue debemos realizar-
" ; 8 3 0 F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
0 3 8 # : F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
# 9 8 " F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
0 " 3 8 < " F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
# 3 9 8 ; 3 F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
< 8 # F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
3 " ! 8 0 F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
" # 8 ! F //////////// & 6 C
7 5
K % G ======
K - G ======
K ! G ======
3!
echa ==================
Seguimos multiplicando n2meros' ahora con el multiplicador mayor )ue el multiplicando-
; 8 0 3 : F //////////// & 6
C 7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F ///////////////// C 8 F ///////////////// C 8 1 F /////////////////
9 # 8 " 3 F //////////// & 6
C 7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F ///////////////// C 8 F ///////////////// C 8 1 F /////////////////
: 9 8 " 0 F //////////// & 6
C 7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F ///////////////// C 8 F ///////////////// C 8 1 F /////////////////
# 3 8 9 : F //////////// & 6
C 7 5 Columna
1< operaci=n 2< operaci=n 3< operaci=n 4< operaci=n < operaci=n >< operaci=n
Columna 4
Columna 3
Columna 2
Columna 1
A 8 F ///////////////// A 8 1 F ///////////////// H 8 F ///////////////// H 8 1 F ///////////////// C 8 F ///////////////// C 8 1 F /////////////////
3"
echa ==================
Seguimos multiplicando n2meros con más ci(ras' ahora sin la pista de las tablas' aun)ue tenemos la ayuda de los productos simples )ue debemos realizar-
" # 8 3 0 F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
K ! G ======
% K - G ======
% K ! G ======
; 8 " 0 : F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
: " 8 3 # 9 F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
< 8 ; 9 F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
0 3 8 9 : " F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
9 ; 8 : : F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
# " 8 " < F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
: 8 3 F //////////// & 6
C 7 5
K - G ======
K ! G ======
K - G ======
3
echa ==================
Si has resuelto bien todas las operaciones anteriores' creo )ue ya sabes multiplicar con el ábaco4 Compruébalo resol&iendo las siguientes multiplicaciones sin usar las pistas-
3C K 2 G ==========
B1 K 23 G ==========
12 K / G ==========
2C1 K 14 G ==========
249 K 29 G ==========
2/ K 42 G ==========
91 K G ==========
41 K 28 G ==========
.234 K 21 G ==========
4.32 K 12 G ==========
8.134 K 2B G ==========
C14 K 32 G ==========
432 K 22C G ==========
30
echa ==================
Aprendamos a di&idir con el ábaco4 1s aconse,able )ue ya sepas de la (orma tradicional4 La división consiste en restar del dividendo una serie de veces el divisor. #ara ello comenzamos tomando grupos de n+meros de izquierda a derecha en el dividendo, obteniendo cada una de las cifras del cociente $n+mero de veces que podemos restarle de ese grupo&. !l grupo siguiente lo formaremos con el resto obtenido y la siguiente cifra del dividendo. %uando se acaben las cifras del dividendo, si el resto no es cero podemos seguir, a"adiendo un cero para obtener cada cifra decimal del cociente. La longitud del cociente determinará las columnas del ábaco que tendremos que usar para anotarlo. May varias formas de utilizar el ábaco para dividir, en función de donde anotemos el dividendo y el cociente. Seg+n la que utilicemos emplearemos más o menos columnas, y tendremos que hacer más o menos cálculos
1 1
mentales. quí usaremos la más parecida a la división tradicional, que se /
desarrolla en el ejemplo
2 3 3
>
4 3
> > 0
&'emplo: 1> ? 4 6iidendo 1 > 5notamos el diidendo (1>) a la i@$uierda del ábaco! # el diisor (4) a la derec%a Atili@aremos las columnas centrales! de'ando una separaci=n desde el diidendo! para ir anotando el cociente 6el diidendo tomamos un grupo de ci"ras (1) ma#or $ue el diisor (4) # emos cuantas eces podemos restarlas (3)! $ue anotamos en la columna del centro 1 B4,,,, /12 3 acemos la resta del producto del cociente por el diisor ( 34+12 ) a la i@$uierda del ábaco! donde nos $uedará el resto (03) 1 B 4,,,, /12 3 03 Depetimos la operaci=n! tomando el resto obtenido antes # la siguiente ci"ra del diisor odemos restar el diisor * eces! $ue anotamos en la columna siguiente: 3> B 4,,,, /3> * acemos la resta anterior! donde nos $uedará de nueo el resto (04): 3> B 4,,,, /3> * 00
33
Cociente
6iisor 4
*
echa ==================
1 1
Eara terminar de entender la di&isi%n con el ábaco' realiza paso a paso también el siguiente e,emplo-
/
2 0 2 2 /
&'emplo: 124 ? 6iidendo 1 2 4 5notamos el diidendo (124) a la i@$uierda del ábaco! # el diisor () a la derec%a Atili@aremos las columnas centrales! de'ando una separaci=n desde el diidendo! para ir anotando el cociente 6el diidendo tomamos un grupo de ci"ras (12) ma#or $ue el diisor () # emos cuantas eces podemos restarlas (2)! $ue anotamos en la columna del centro 12 B ,,,, /10 2 acemos la resta anterior sobre el diisor $ue ten8amos anotado a la i@$uierda del ábaco! donde nos $uedará el resto (02) 12 B ,,,, /10 2 02 Depetimos la operaci=n! tomando el resto obtenido antes # la siguiente ci"ra del diisor odemos restar el diisor 4 eces! $ue anotamos en la columna siguiente: 24 B ,,,, /20 4 acemos la resta anterior! donde nos $uedará de nueo el resto (04): 24 B ,,,, /20 4 04 Eo %a# más números en el diidendo pero nos %a $uedado un resto ara obtener un decimal! aadiremos un cero al resto (40) 6e este número podremos restar el diisor eces: 40 B ,,,, /40 acemos la resta anterior! $ue #a no de'ará ningún resto &l diidendo %a desaparecido del ábaco! # el resultado obtenido es 24,8 40 B ,,,, /40 00
3#
4 4 0 4 4
Cociente
2
4!
0 0 0
6iisor
echa ==================
Dealiza las siguientes di&isiones con el ábaco4 Si )uieres para empezar puedes apoyarte con las anotaciones del método tradicional hasta )ue co,as más práctica1
4
1
3
2
4
>
3
*
.
1
*
2
1
2
4 6 3 G ===============
24C 6 3 G ===============
1B1 6 9 G ===============
B2 6 8 G ===============
21 6 1 G ===============
1
29 6 1 G ===============
39
2
.
echa ==================
Eractica un poco más di&idiendo con el ábaco' para resol&er-
122 6 C G ===============
33C 6 9 G ===============
9/ 6 1 G ===============
29C 6 3 G ===============
328 6 4 G ===============
14 6 9 G ===============
341 6 1 G ===============
938 6 B G ===============
.482 6 2 G ===============
2.223 6 3 G ===============
2.3C 6 3 G ===============
.331 6 1 G ===============
.888 6 8 G ===============
4.B23 6 B G ===============
4/ 6 2 G ===============
8/ 6 4 G ===============
.12/ 6 4 G ===============
48/ 6 4 G ===============
.B8/ 6 B G ===============
.38/ 6 C G ===============
.1// 6 3 G ===============
3.1/ 6 1 G ===============
.9// 6 8 G ===============
3.// 6 9 G ===============
C4 6 1 G ===============
C3 6 2 G ===============
48 6 1 G ===============
2B 6 C G ===============
9/4 6 1 G ===============
1/ 6 8 G ===============
42 6 8 G ===============
.C1 6 4 G ===============
3:
echa ==================
Euedes aprender a obtener el cociente con di&isores de más de una ci(ra de una (orma similar' siguiendo el e,emplo&'emplo: .>0 ? 24 + 3> &n la "orma tradicional %acemos:
/ /
. 1 1 /
. 2 4 1 1 0
> > 4 2 2 0
0
2 3
4 >
0 0 0
ero tambiFn podr8amos %acer las cuentas de una manera
/
más "ácil para el ábaco! %aciendo las restas ci"ra a ci"ra! (&n e@ de 3 24 + .2 en la primera ci"ra del cociente! %ar8amos primero 32 + >! # luego 3 4+ 12 ! etcG)! escribiendo: Si te fijas, la suma por columnas de los n+meros que están en el mismo color es igual de ambas formas. unque calculando cifra a cifra se hacen más operaciones,
/ /
> 2 1 1 1 0 / /
son más sencillas, porque solo se multiplica por un n+mero cada vez. !sto es importante cuando en vez de apuntar
. . 2 2 3 2 1 1 /
>
0
2 3
4 >
> > 4 2 0 2 2 0
0 0 0 0
sobre un papel, estamos utilizando el ábaco para realizar las cuentas. %onforme avanzamos, las columnas del dividendo se irán quedando a cero por la izquierda. %ompru)balo por ti mismo con el ábaco
5notamos el diidendo (.>0) a la i@$uierda! # el diisor a la derec%a (24)
Comen@amos a anotar el primer cociente en el medio ( 3 )! # restamos de la primera columna del diidendo () su producto por la primera columna del diisor ( 32+> )! $uedando 2 en esa primera columna 5%ora multiplicamos el primer cociente por la segunda columna del diisor ( 3 4 + 12 )! # tambiFn lo restamos del diidendo Como en la primera columna no %a# su"iciente! tomo tambiFn la segunda: 2. - 12 + 1
3;
echa ==================
Heniendo en cuenta la ci"ra $ue %a# en las dos primeras columnas del diidendo! buscamos # anotamos la segunda ci"ra del cociente: >
&sa segunda ci"ra del cociente! multiplicada por la primera ci"ra del diisor ( >2+12 )! la restamos de las dos primeras columnas: 1 - 12 + 3 5%ora multiplicamos tambiFn la segunda ci"ra del cociente por la segunda ci"ra del diisor ( >4+24 )! # la restamos! tomando tambiFn la siguiente columna del diidendo: 3> - 24 + 12
6e nueo! considerando el alor en las columnas del diidendo ( 12 ) buscamos una ci"ra más para el cociente ( )
;ultiplicamos la tercera ci"ra del cociente por la primera del diisor! # lo restamos de las columnas correspondientes del diidendo: ( 2 + 10 )! donde $uedará 02 acemos lo mismo con la segunda ci"ra del diisor: 4 + 20 # lo restamos de lo $ue $uedaba en las anteriores columnas del diidendo ( 2 )! aadiendo la ci"ra de la última ( 0 ) Como #a no $ueda ningún alor en las columnas del diidendo! %emos terminado la diisi=n &n las columnas del cociente %a $uedado anotado nuestro resultado: 3>
3<
echa ==================
Dealiza las siguientes di&isiones con el ábaco4 Si )uieres para empezar puedes apoyarte con anotaciones tradicionales como en el e,emplo' hasta )ue co,as más práctica2
288 6 2 G ===========
1
2
0
1
2
0
2
0
*
>
3
2
/ / /
/
.
98/ 6 1 G =========== / / /
/
>
C.21/ 6 21 G =========== / / /
/
2
2./BC 6 32 G =========== / / /
/
#!
