MatematicaDoscreta_Estacio

MATEMÁTICA DISCRETA

autor JULIANO MINELLI

1ª edição SESES rio de janeiro 2015

Conselho editorial

regiane burger; roberto paes; gladis linhares; karen bortoloti;

helcimara afonso de souza juliano de paula minelli

Autor do original Projeto editorial

roberto paes

Coordenação de produção

gladis linhares

Coordenação de produção EaD

paulo vitor bastos

Projeto gráfico Diagramação

karen fernanda bortoloti

bfs media

Revisão linguística Imagem de capa

amanda carla duarte aguiar robsonphoto2011 | dreamstime.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) M664m Minelli, Juliano

Matemática discreta / Juliano Minelli. Rio de Janeiro : SESES, SESES, 2015. 112 p. : il. isbn: 978-85-5548-043-0 978-85-5548-043-0 1. Conjuntos. 2. Álgebra relacional. 3. Álgebra boolena. 4. Gráficos. I. SESES. II. Estácio. Estácio. cdd 620

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Conselho editorial

regiane burger; roberto paes; gladis linhares; karen bortoloti;

helcimara afonso de souza juliano de paula minelli

Autor do original Projeto editorial

roberto paes

Coordenação de produção

gladis linhares

Coordenação de produção EaD

paulo vitor bastos

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karen fernanda bortoloti

bfs media

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amanda carla duarte aguiar robsonphoto2011 | dreamstime.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) M664m Minelli, Juliano

Matemática discreta / Juliano Minelli. Rio de Janeiro : SESES, SESES, 2015. 112 p. : il. isbn: 978-85-5548-043-0 978-85-5548-043-0 1. Conjuntos. 2. Álgebra relacional. 3. Álgebra boolena. 4. Gráficos. I. SESES. II. Estácio. Estácio. cdd 620

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário Prefácio

7

1. Teoria de Conjuntos e Princípios da Contagem

9

Objetivos 1.1 Teoria de Conjuntos 1.1.1 Especificando os conjuntos 1.1.2 Operações com conjuntos 1.1.3 Relações de Pertinência e Contingência 1.1.4 Produto Cartesiano 1.1.5 Exercícios de Fixação 1.2 Princípios da Contagem 1.2.1 Árvore de possibilidades 1.2.2 Fatorial 1.2.3 Permutações 1.2.4 Arranjo Simples 1.2.5 Combinação Simples Atividades Reflexão Referências bibliográficas

2. Relações e Funções e Suas Propriedades Objetivos 2.1 Relações 2.1.1 Conceitos básicos 2.1.2 Composição de Relações 2.1.3 Tipos de Relação 2.1.4 Relações de Ordem 2.1.5 Relação de Equivalência 2.1.6 Exercícios de Fixação

10 11 11 12 15 15 16 19 19 21 22 25 27 29 29 30

31 32 33 33 34 37 38 38 39

2.2 Funções e suas propriedades 2.2.1 Domínio e Imagem de uma função 2.2.2 Funções Injetoras, bijetoras e sobrejetoras 2.2.3 Composição de funções 2.2.4 Função Inversa Atividades Reflexão Referências bibliográficas

3. Representação Gráfica de uma Função e Cardinalidade Objetivos 3.1 Representação Gráfica de uma Função 3.1.1 Plano cartesiano 3.1.2 Produto Cartesiano 3.1.3 Representação de uma função especial 3.1.4 Exercícios de fixação 3.2 Cardinalidade 3.2.1 Cardinalidade finita e infinita 3.2.2 Conjunto contável e não contável 3.2.3 Comparação de cardinalidades Atividades Reflexão Referências bibliográficas

4. Indução Matemática e Álgebra Relacional Objetivos 4.1 Indução Matemática 4.1.1 Princípio da Indução Matemática 4.1.2 Generalizações da PIM 4.1.3 Exercícios de Fixação 4.2 Álgebra Relacional

40 40 42 45 46 47 48 48

49 50 51 51 53 53 58 59 59 60 61 62 62 64

65 66 67 67 69 71 72

4.2.1 Relação e banco de dados 4.2.2 Operações relacionais Atividades Reflexão Referências bibliográficas

5. Operações Binárias e Álgebra de Boole Objetivos 5.1 Operações Binárias 5.1.1 Propriedades das operações binárias 5.1.2 Relações binárias 5.1.3 Exercícios de fixação 5.2 Álgebra de Boole 5.2.1 Circuitos lógicos 5.2.2 Álgebra booleana Atividades Reflexão Referências bibliográficas

Gabarito

72 72 78 79 80

81 82 83 83 84 85 85 86 89 94 95 98

98

Prefácio Prezados(as) alunos(as), Este livro deve ser visto, em primeiro lugar, como um “curso de alfabetização”, que procura ensinar as definições e conceitos essenciais para comunicação técnica em teoria da computação.  A disciplina de Matemática Discreta tem como objetivo principal estudar as estruturas algébricas que fundamentalmente são discretas (distintas), em vez de contínuas aplicadas diretamente à linguagem dos computadores, ou seja, algoritmos, linguagem de programação, desenvolvimento de softwares e outras. Os conteúdos desse livro foram organizados tendo como aporte teórico a Dialética Ferramenta – Objeto de Régine Douady, visando o desenvolvimento matemático a partir da construção do mais simples ao mais complexo, para que o aluno possa, de forma cronológica, verificar a construção de cada conceito matemático, desde a Teoria de Conjuntos, das Relações e Funções, chegando à Álgebra Booleana. Bons estudos!

7

1 Teoria de Conjuntos e Princípios da Contagem

Toda Matemática é formulada na linguagem de conjuntos, portanto, a noção de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser expressos.  A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da Matemática, ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às proposições desta ciência a precisão e a generalidade que constituem sua característica básica. Um problema comum em Matemática, e especialmente em computação, é contar objetos matemáticos com determinadas propriedades. Podemos citar alguns exemplos disso: no lançamento de um dado, qual a probabilidade de cair um número múltiplo de 2? De quantas formas 5 pessoas podem se sentar em uma mesa redonda? Pensando nesse pressuposto nesse capítulo iremos analisar alguns problemas deste tipo e aplicá–los a área da computação.

OBJETIVOS Este capítulo tem como objetivos levar o aluno a: •

•

•

•

•

•

Compreender os Princípios Fundamentais da Contagem; Estudar os diversos tipos de Análise Combinatória; Aplicar o conceito à sua própria realidade. Compreender as diversas classificações de Conjuntos; Operar com Conjuntos; Aplicar o conceito e a estrutura de Conjunto.

10

•

capítulo 1

1.1 Teoria de Conjuntos 1.1.1 Especificando os conjuntos Um conjunto pode ser especificado de muitas formas. Caso um conjunto possua poucos elementos pode ser representado entre chaves, agora se um con junto possuir vários elementos ou for infinito pode ser representado por uma determinada propriedade. Exemplos: 1. A: {1, 2, 3, 4} 2. B: {x : x ∈ R e x² + x = 0} Conjuntos numéricos: a) o conjunto dos números inteiros Z, b) o conjunto dos números naturais N = { x : x ∈ Z e x ≥ 0 }, c) o conjunto dos números racionais Q =  : a, b ∈ Z b d) Conjunto dos números reais R  a

e

b

 ≠ 0 

Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B dizem-se iguais (ou idênticos) se constam exactamente dos mesmos elementos e, nesse caso, escrevemos A = B. Se um dos conjuntos contém algum elemento que não pertence ao outro, dizemos que os dois con juntos são distintos e escrevemos A ≠ B . Exemplos: 1. Seja  A {x : x uma letra do alfabeto , x uma vogal} , observe que: =

b ∉ A, i ∈ A e p ∉ A

2. Seja 3. Seja

E = {x ∈ IR : x 2 − 3x + 2 = 0} = {1, 2}

 

E = {x ∈ IR : x 2 − 3x + 2 = 0}, F = {2, 1} e G = 1, 2, 2, 1,

6



3

Então E = F = G . Note que a igualdade do conjunto não depende da disposição dos elementos no conjunto.

capítulo 1 •

11

Conjunto Universal: Em qualquer aplicação da teoria de conjuntos, os elementos de todos os con juntos em estudo pertencem a algum conjunto maior chamado conjunto uni versal, que representamos por U.

Conjunto Vazio: Um conjunto sem elementos chama-se conjunto vazio e denota-se por ∅ ou { }

Só existe um conjunto vazio. Se S e T são dois conjuntos vazios, então S = T , uma vez que têm exatamente os mesmos elementos, nomeadamente, nenhuns.

1.1.2 Operações com conjuntos União e Intersecção  A união de A e B, representada por A B, é o conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos, A ou B. Exemplo Se A = {0, 2, 4} e B = {2, 3, 4, 5} então A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5}.  A intersecção de A e B, representada por A ∩ B, é o conjunto de todos os elementos que estão em ambos os conjuntos, A e B. Exemplo Se A = {0, 2, 4} e B = {2, 3, 4, 5} então A ∩ B = {2, 4}. Se A ∩ B = ∅; dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

Diferença, Universo e Complementar  A diferença de A e B é o conjunto de todos os elementos de A que não estão em B. Este conjunto é também chamado A menos B, ou o complemento de B em A, e é denotado por A − B ou A \ B.

12

•

capítulo 1

Em certos casos, é conveniente supor que todos os elementos de todos os conjuntos que nos interessam pertencem a um conjunto universal ou universo, que será aqui representado por U. Se A é o conjunto universo U, então U − B é chamado o complemento de B. Exemplo: Sabendo que o conjunto A: {1, 2, 3, 4) e B:{0, 2, 7, 9}, determine: A – B. Como a diferença de A e B representa todos os elemento que pentencem a  A e não a B, temos:  A – B:{1, 3, 4}  A figura abaixo mostra uma representação gráfica da operação entre conjuntos:

A

B

A

A

A

A ∪ B

A

B

B

B

A / B

B

A

B

A ∩ B

A

B

B / A

capítulo 1 •

13

Propriedades das operações com conjuntos  Assim como nos algoritmos básicos, as operações com conjuntos também possuem suas propriedades operatórias próprias: 1. Propriedade comutativa − A ∪ B = B ∪

A

− A ∩ B = B ∩

A

2. Propriedade associativa − A ∪

(B ∪ C ) = ( A ∪B ) ∪C

− A ∩

(B ∩ C ) = ( A ∩B ) ∩C

3. Propriedade distributiva − A ∪

(B ∩ C ) = ( A ∪B ) ∩ ( A ∪C )

− A ∩

(B ∪ C ) = ( A ∩B ) ∩ ( A ∩C )

4. Propriedade da idempotência − A ∪ A =

A.

− A ∩ A =

A.

5. Lei de De Morgan − A ∪ B =

A ∩ B.

− A ∩ B =

A ∪ B.

CONEXÃO Você encontra mais informações no site: http://www.ufjf.br/cursinho/files/2012/05/ pag-01.121.pdf

14

•

capítulo 1

1.1.3 Relações de Pertinência e Contingência

Pertinência Quando queremos dizer que um elemento x pertence a um conjunto Y, escrevemos x ∈ Y; Já quando queremos mostrar que x não pertence a y, anotamos x ∉ Y.

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A é um elemento de B. Neste caso, dizemos também que A está contido em B, ou que B contém A. Esta situação de conjunto é bem representada por A ⊂ B ou B ⊃ A.  Agora, se por exemplo existir uma elemento de A que não pertence a B, não será um subconjunto de B, sendo assim, representado por A ⊄ B. Exemplo: Seja o conjunto A:{1, 2, 3, 4} e B:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, como todos os elemento de  A pertencem ao conjunto B, dizemos que A B. Não podemos esquecer que a condição de contingência é de conjunto para conjunto e a condição de pertinência é de elemento para conjunto, ou seja, um conjunto está continho em outro, já um elemento pertence a um conjunto. Simbolicamente temos: Dados os conjuntos A:{2, 4, 6} e B:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, podemos dizer:  A ⊂ B e 6 ∈ B.

1.1.4 Produto Cartesiano Indicamos por (a, b) um par ordenado de elementos, no qual a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Um par ordenado não deve ser confundido com um conjunto de dois elementos, pois a ordem é importante (por exemplo, o par (10, 20) é diferente do par (20, 10)) e os dois elementos podem ser iguais (como por exemplo no par (10, 10)). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais (são o mesmo par) se, e somente se, a = c e b = d.

capítulo 1 •

15

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A e B, e designa-se por A x B, o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) com x ∈ A e y ∈ B.  A × B = {( x, y ) : x ∈ A ∧ y ∈ B}

Generalizando:  A1 x A 2 x xA n

=

{( x1 , x2 ,, x n ) : x1

∈

A1 ∧ x 2 ∈ A2 ∧  ∧ x n ∈ A n

}

Observações: I. (x, y) é um par ordenado II. (x, y,z) é uma terna ordenada III. ( x1 , x2 ,, x n )  é um n-uplo ordenado IV. Se A tem exatamente m elementos e B tem exatamente n elementos, então tem exatamente m · n elementos  V.  A × B ≠ B × A  VI. x ∈ ( A × B ) × C, x = ( d, e) onde d ∈ ( A × B), i.e. , x = ( ( a, b), e)  VII. x ∈ A × ( B × C ) ent o x = ( a,( b, c) ) ∴ A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C

CONEXÃO Aqui você encontrará mais informações sobre produto cartesiano: ftp://www.ufv.br/dma/ Listas%20Antigas/relacoes_ant.PDF

1.1.5 Exercícios de Fixação Este item é para que possam fazer uma revisão sobre os conteúdos estudados no capítulo 1 – Teoria de Conjuntos.

16

•

capítulo 1

Exercício 1: Coloque verdadeiro ou falso: Considere os conjuntos N , A={2,4,6,8,10} e B={1,3,6,7,8}. ( ) 2 ∈  A ( ) 11 ∈ B ( ) 4 ∉ B ( ) A ∈ N ( ) A ⊂ B Exercício 2: Diagramas de Venn podem ser usados para três ou mais conjuntos. Um diagrama de Venn para três conjuntos A, B e C, por exemplo, precisa dividir o plano em 8 regiões, correspondendo a todas as possíveis relações (pertence ou não pertence) entre um elemento e esses três conjuntos. Desenhe tal diagrama e use-o para mostrar as seguintes fórmulas: 1. A ∪ B ∪ C. 2. A ∩ B ∩ C. 3. (A ∪ B) − C. Exercício 3: Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, finito ou infinito: a) b) c) d)

A é o conjunto das soluções da equação 2x + 5 = 19. B = {x / x é número natural maior que 10 e menor que 11}. C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }. D = {0, 10, 20, 30, ..., 90}

Exercício 4: Dados os conjuntos A = {x ∈ I Ν / - 1< x ≤ 4} e B = {x ∈ Ζ | 0 ≤ x < 2}, o conjunto  A ∩ B é igual a: a) b) c) d) e)

{-1; 0; 1} {-1; 0; 1; 2} {0; 1} {1; 1; 2} {-1; 0; 1; 2; 3; 4}

capítulo 1 •

17

Exercício 5: Considere os conjuntos representados abaixo: P

Q 4

1

3 7 2

5

6

R

Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) b) c) d) e)

P, Q e R (P ∩ Q) – R (P ∪ Q) ∩ R (P ∪ R) – P (Q ∩ R) ∪ P

Exercício 6: Escreva o conjunto expresso pela propriedade: a) x é um conjunto natural menor que 8. b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31. Exercício 7: Dê exemplo de uma operação cujo resultado é um conjunto vazio. Exercício 8: Dados os conjuntos A:{0, 2, 4, 6} e B:{1, 2, 3, 4, 5} determine A – B Exercício 9: Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ ∅, então:

18

•

capítulo 1

a) b) c) d) e)

sempre existe x ∈ A tal que x ∉ B. sempre existe x ∈ B tal que x ∉ A. se x ∈ B então x ∈ A. se x ∉ B então x ∉ A. A ∩ B = ∅.

Exercício 10: Observe o diagrama e responda: A

B 0

6

3

1

7

2 4

5

9 8

C

Quais os elementos dos conjuntos abaixo: a) b) c) d) e)

A= B= C= (A ∩ B) (B ∩ C) = (A ∩ C) B =

1.2 Princípios da Contagem 1.2.1 Árvore de possibilidades  Árvore de possibilidades é um esquema representativo que serve para ajudar na  visualização de quais e quantas são as possibilidades de algo acontecer.

capítulo 1 •

19

Observe os exemplos: 1. Da cidade A até a cidade B pode-se viajar de trem ou de navio.Existem duas companhias ferroviárias e duas de navegação. Em todas elas as passagens são de três categorias: 1ª, 2ª e turista. De quantos modos uma pessoa pode fazer sua escolha? TREM

NAVIO

Companhia

Classe

C1

1ª 2ª

C2

Companhia

Classe

C1

1ª 2ª

turista

turista

1ª 2ª

1ª 2ª

C2

turista

turista

 A pessoa pode viajar de trem de 6 (2 x 3) modos ou de navio de 6 (2 x 3) modos. Então, existem (2 x 3) + (2 x 3) isto é 12 modos de se viajar de A até B. 2. Numa urna existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e amarelas (A). Uma bola é retirada, tem sua cor observada e é devolvida à urna. Qual é o número de resultados possíveis em três extrações sucessivas? 1ª Extração

2ª Extração V

V

P

A

20

•

capítulo 1

3ª Extração

Resultado

V P A

VVP

V P A

VPV

V P A

VAV

VVP VVA VPP VPA

VAP VAA

1ª Extração

2ª Extração V

P

P

A

V

A

P

A

3ª Extração

Resultado

V P A

PVV

V P A

PPV

V P A

PAV

V P A

AVV

V P A

APV

V P A

AAV

PVP PVA PPP PPA

PAP PAA

AVP AVA APP APA

AAP AAA

1.2.2 Fatorial Observe o exemplo:  A quantidade de números naturais de 9 algarismos distintos que podem ser formados a partir de 9 algarismos não nulos e distintos é dada por: 9.8.7.6.5.4.3.2.1 Para facilitar operações desse tipo, adotamos o símbolo n! ( fatorial de n),  Assim: 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 Podemos generalizar esse resultado pela seguinte propriedade: n! = n . (n – 1)! (para todo n ∈ N*) Observações: 1! = 1 0! = 1

capítulo 1 •

21

Exemplos: Resolva a equação n!

(n

−

=

)

0

2 !

Solução Podemos escrever n! da seguinte forma: n!=n·(n-1)·(n-2)! Substituindo na equação inicial, obtemos: n

⋅

(n

) (n ( n 2 )! −

1

⋅

−

)

2 ! =

0

=

0

−

n

⋅

(n

) (n ( n 2 )! −

1

⋅

−

)

2 !

−

n

⋅

(n

−

1

)

=

0

n

=

0 ou n

−

1

n

=

0 ou n

=

1

=

0

1.2.3 Permutações Seja X um conjunto finito de n elementos. Informalmente, uma permutação de X é uma lista dos elementos de X em determinada ordem, sem repetições nem omissões. Mais precisamente, podemos definir uma permutação de X como uma função f bijetora do conjunto {0.. n − 1} = {0, 1, . . . , n − 1} para o conjunto X. Podemos interpretar o valor de f (k) como o elemento que está na posição k da lista, contando a partir de 0. Portanto chama – se permutação dos n elementos de um conjunto todo agrupamento simples desses n elementos tomados n a n. Exemplos: 1. Com as letras da palavra PASTEL: a) Quantos anagramas consigo formar? São seis letras, logo: 6! = 720 anagramas.

22

•

capítulo 1

b) Quantos começam por L? Começando com L, temos: L(_ _ _ _ _) com as cinco letras permutando: 5! = 120 anagramas.

c) Quantos terminam por vogal? Terminando com vogal, temos: _ _ _ _ _V = 5!. 2 = 120. 2 = 240, pois há duas  vogais possíveis.

2. De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8x8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes? Solução: Podemos dividir o problema nos casos de escolher que casa de que coluna será ocupada por uma torre [qualquer, pois não estamos nos preocupando com a ordem das torres, já que primeiramente são iguais]. Daí temos: Primeira coluna: 8 possibilidades Segunda coluna: 7 possibilidades [pois não pode estar na mesma linha que

a torre da primeira coluna]. Terceira coluna: 6 possibilidades [ pois não pode estar na mesma linha que a torre da primeira coluna e também não pode estar na mesma linha que a torre da segunda coluna]. . . . Sétima coluna: 2 possibilidades. Oitava coluna: 1 possibilidade. Pelo princípio multiplicativo temos: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 Resposta 1)  Podemos colocar oito torres IGUAIS, nestas condições, de

40.320 maneiras diferentes.

capítulo 1 •

23

No caso das torres sendo diferentes, temos que levar em consideração a ordem de escolha das torres. Como podemos ordenar 8 torres de 8! formas, temos que multiplicar o resultado anterior por 8! 8! x 8! = (8!)² Resposta 2)Se as torres fossem diferentes teríamos (8!)² de colocá-las no

tabuleiro.

Permutação com elementos repetidos Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., n k elementos iguais a ak, de modo que n1 + n2 + ... +nk = n e ai  a j se i   j. Esta permutação será determinada pela expressão: Pnn1 ,n2 ,...,nk

n! =

n1 ! n2 !....nk !

Exemplo: Quantos anagramas diferentes podemos formar com as letras da palavra CROMOSSOMO? Solução Os número de anagramas será uma permutação de 10 letras com repetição, onde a letra M aparece 2 vezes, O aparece 4 vezes, S aparece 2 vezes: 2,4,2

P10

10! =

10. 9. 8. 7. 6. 5. 4! =

2 ! 4! 2 !

=

2 ! 4 ! 2!

10. 9.2. 7. 6. 5 37800 =

Permutação Circular Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possí veis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: PCn ( n 1)! =

24

•

capítulo 1

−

Exemplo: 1. De quantas maneiras 5 pessoas poderão sentar em uma mesa redonda? PCn

=

(n

PCn

=

(5 1)!

PCn

=

4!

PCn

=

24

−

1 )!

−

2. Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes? PCn

=

(n

PCn

=

(4 1)!

PCn

=

3!

PCn

=

6

−

1 )!

−

1.2.4 Arranjo Simples Dado um conjunto finito X de n elementos, e um inteiro r 2 N, definimos um arranjo de r elementos de X como uma sequência de elementos de X com comprimento r, em determinada ordem e sem repetições. Ou seja, uma função dos inteiros {0.. r − 1} para o conjunto X. Observe o exemplo: Com os elementos do conjunto I = {a, b, c}, vamos formar todas as sequencias possíveis de dois elementos distintos: (a, b), (a, c) (b, a), (c, a) (b, c), (c, b) Essas sequencias são chamadas de Arranjo simples dos 3 elementos agrupados 2 a 2, representada pela simbologia A 3 x 2.

capítulo 1 •

25

Pelo exemplo anterior concluímos que algebricamente a representação da sequência será: n × (n − 1) × (n − 2) × • • • × (n − r + 1)

Esse número pode ainda ser calculado usando a fórmula:  A n,p

n!

=

(n p)! −

Exemplos: 1. Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto indi vidual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita. Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2. Resolução:  A

=

n!

( n p )! −

 A

=

15!

(15 2 )! −

 A

=

 A

=

 A

=

15! 13 15x14x13 ! 13! 210

2. Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família. Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.

26

•

capítulo 1

Resolução:  A

=

n!

( n p )! −

 A

=

12 !

(16 6 )! −

 A

=

 A

=

12 ! 6 12x11x 10x 9x8 x7 x6 !

6!  A 12x11x10 0 x9 x8 x7 =

1.2.5 Combinação Simples Dados n elementos distintos de natureza qualquer, denominamos combinação desses n elementos de ordem ou classe p, p  n, a todo agrupamento que pode ser formado tomando-se p dos n elementos dados, de tal forma que dois agrupamentos diferem pela natureza de seus elementos e a ordem dos elementos altera o conjunto. Observe: Dado o conjunto I = {a, b, c, d}, vamos formar todos os subconjuntos de I com três elementos: {a, b, c} {a, b, d} {a, c, b} {b, c, d} Tais subconjuntos são chamados de combinação simples dos 4 elementos de I tomados 3 a 3 e representamos por Cn,p. Generalizando essa situação temos: Cn,p

=

n! p !(n p)! −

capítulo 1 •

27

Exemplos: 1. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas com exatamente 3 homens, podem ser formado? Solução: Para montar as comissões devemos ter 3 homens e 2 mulheres, partindo dessa ideia temos: C5,3 .C4,2 10x6 60 Portanto, podem ser formadas 60 comissões. =

=

2. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas? Solução: Podemos pensar que a escolha de cada time será uma combinação simples. Para o primeiro time, temos que escolher 5 pessoas dentre 15, não importando a ordem, temos então: C (15,5 ) =

15!

(15 − 5 )! x 5!

= 3003

Para o segundo time, já tendo escolhido o primeiro, temos que escolher 5 pessoas dentre 10, não importando a ordem da escolha. Temos então: C (10, 5 ) =

10 !

(10 − 5)! x 5!

= 252

Para o terceiro time, já tendo escolhido o primeiro e o segundo, temos que escolher 5 pessoas dentre 5, não importando a ordem, fato que só pode ocorrer de uma forma, porém mesmo assim, se utilizássemos a fórmula da quantidade de combinações simples, seria compatível com este resultado. C(5,5) = 1 Daí, a resposta é: 3.003x252x1 = 756.756 Resposta: 756.756

28

•

capítulo 1

CONEXÃO Aqui você encontrará mais informações sobre análise combinatória: http://guiadoestudante. abril.com.br/estudar/matematica/resumo-matematica-analise-combinatoria-646795.shtml

ATIVIDADES Nessa seção você encontrará alguns exemplos de exercícios para treinar seu conhecimento baseado nas regras de Análise Combinatória. 11. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas? 12. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas? 13. Quantas são as soluções inteiras e positivas de x+y+z = 7? 14. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26, se a letra A deve figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra? E se a palavra devesse ter letras distintas? 15. As placas de veículos são formadas por três letras (de um alfabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas?

REFLEXÃO "O que são e quais são os conjuntos numéricos?" Com certeza esta pergunta não traria nenhum problema em sua resposta, que seria imediata. Mas, se mudássemos para: "Quais as aplicações dos conjuntos numéricos no dia - a - dia?" Agora nossa pergunta não seria respondida de uma forma tão direta, pense e tente refletir sobre ela.

capítulo 1 •

29

LEITURA O papel fundacional da Teoria de Conjuntos na Matemática . Essa leitura você encontra

em: http://www.academia.edu/9199149/Uma_reflex%C3%A3o_sobre_o_papel_fundacional_da_Teoria_dos_Conjuntos_na_Matem%C3%A1tica

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HALMOS. P. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora da USP, 1960. MONTEIRO. L.H. Elementos de Álgebra. Ao Livro Técnico, 1969. ROSEN. K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2003. Quinta Edição. GOMIDE. A, Stolfi.J. Elementos de Matemática discreta para computação, Unicamp, São Paulo, 2011

30

•

capítulo 1

2 Relações e Funções e Suas Propriedades

 A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem um modelo matemático que torna possível o processo de contagem, ou seja, eles respondem a pergunta: “quantos elementos há nesse conjunto?” Para contar esses elementos é necessário usar o conceito de relação biuní voca. Trata–se de um caso particular do conceito de função que será tratado nesse capítulo.  A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática em outras ciências, como a física e a química. Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia a dia, por exemplo: Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.

OBJETIVOS Este capítulo tem como objetivos levar o aluno a: • Compreender os conceitos básicos de Relações; • Verificar os diversos tipos de Relações; • Aplicar o conceito à sua própria realidade. • Compreender os conceitos básicos das funções; • Operar graficamente; • •Compreender alguns tipos de funções.

32 •

capítulo 2

2.1 Relações 2.1.1 Conceitos básicos Uma relação binária (ou simplesmente uma relação) R de um conjunto A para um conjunto B é um sub-conjunto de A × B. Em outras palavras, é um conjunto de pares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B. Em geral usa-se a notação aRb para dizer que (a, b) 2 R e a/Rb para dizer que (a, b) < R. Se (a, b) 2 R dizemos que a está relacionado com b pela relação R. Se os conjuntos A e B são finitos e suficientemente pequenos, uma relação pode ser representada pelo diagrama de Venn, em que cada elemento de A ou B é representado por um ponto, e cada par ordenado (a, b) por uma seta de a para b.

1

0

3

2

5

Diagrama da relação R = {(1, 0), (3, 2), (5, 2)} do conjunto A = {1, 3, 5} para o conjunto B = {0, 2}.

Domínio, contradomínio e imagem Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, dizemos que a relação é função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A, existe, em correspondência, um único y pertencente a B, tal que o par ordenado (x, y) pertença a f. Domínio de uma função f de A em B é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f. O domínio de f sempre é o conjunto A. D(R) = { a : (a, b) 2 R }

capítulo 2

 • 33

Contradomínio de uma função f de A em B é o conjunto B. Imagem de uma função f de A em B é o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f. A imagem de f é um subconjunto de B. Im(R) = { b : (a, b) 2 R } Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f → AxB, f ( x ) = x 2

0 0

1

1

2

2

3 4

Temos: Im(f) = { 0, 1, 4}, D(f) = {0, 1, 2} e CD(f) = B = {0, 1, 2, 3, 4} Numa função, quando não são fornecidos o domínio e o contradomínio, subentende-se que o domínio é o conjunto de todos os valores reais de x tais que f(x) seja real e o contradomínio é o conjunto dos números reais.

CONEXÃO Fique mais informado: http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/wpcontent/uploads/2013/08/ nota_aula_01.pdf

2.1.2 Composição de Relações Sejam A e B duas relações. A composição de A com B é a relação representada por A B.

34 •

capítulo 2

Exemplo Considere as relação:  A = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}  A composição = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)} Observe que (1, 0) ∈ A B  porque (1, 1) ∈ A e (1, 0) ∈B, (1, 1) ∈ A B  porque (1, 4) ∈ A e (4, 1) ∈B, (2, 1) ∈ A B  porque (2, 3) ∈ A e (3, 1) ∈B, (2, 2) ∈ A B  porque (2, 3) ∈ A e (3, 2) ∈B, (3, 0) ∈ A B  porque (3, 1) ∈ A e (1, 0) ∈B, (3, 1) ∈ A B  porque (3, 4) ∈ A e (4, 1) ∈B. •



•



•



•



•



•



Propriedades das relações Observe o esquema a seguir:

Reflexiva: Em cada ponto do diagrama

Simétrica:  Toda flecha deve ter duas

deve ter um laço.

pontas.

a

a

b

b

c

c

d

capítulo 2

 • 35

Transitiva: Todo par de flechas consecu-

Anti-simétrica: Não há flechas com

tivas deve existir uma flecha cuja origem

duas pontas.

é a primeira e extremidade é a segunda. a a

b

b

c

d

d

c

Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacio-

REFLEXIVA:

nado a ele mesmo, ou seja, para todo x ∈ A: (x,x) R, isto é, para todo x ∈ A: xRx.

Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y,

SIMÉTRICA:

implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x ∈ A e y ∈ A tal que (x,y) ∈R, segue que (y,x) R.

 Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está

TRANSITIVA:

relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x ∈ A, y ∈ A e z ∈ A, se (x,y) ∈R e (y,z) ∈R então (x,z) ∈R.

Sejam x ∈ A e y ∈ A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) ∈R e (y,x) ∈R implica que x = y. Alternativamente, uma relação é anti-

ANTISIMÉTRICA:

simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

36 •

capítulo 2

2.1.3 Tipos de Relação Relação Binária  A relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subcon junto de A x B . Sejam os conjuntos A e B:  A = {1, 2, 3} B = {2, 4, 6} O produto cartesiano de A por B, isto é, A x B é igual a:  A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6)} Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B: R 1

=

R 2

=

R 3

=

{( 2,2 )} {(1,6 ) ,( 2, 4)} {(1,2 ), ( 2, 4), (3,6 )}

Partindo das propriedades anteriormente citadas temos:

RELAÇÃO REFLEXIVA

ℜ = {( a, a) , (b, b) , (c, c) , (a , c) , (b ,a) }

RELAÇÃO SIMÉTRICA

ℜ = {(a, a ),( b, b),( a, b),( b, a)}

RELAÇÃO TRANSITIVA

ℜ = {( a, a) , ( a, b) , (b, c) , (a, c) }

RELAÇÃO ANTI-SIMÉTRICA

ℜ = {(a, a ),( b, b),( a, b),( b, a),( c, c)}

capítulo 2

 • 37

2.1.4 Relações de Ordem Uma relação R sobre um conjunto A é uma relação de ordem se ela é reflexiva sobre A, anti-simétrica e transitiva. Exemplo: Sejam A = R e R = { (x, y) ∈ R × R, : x ≤ y }. Verifique se é uma relação de ordem. R é reflexiva sobre A pois ( x ∈ R) x ≤ x logo ( x ∈ R) xRx. R é transitiva pois ( x, y, z ∈ R) ((x ≤ y ^ y ≤ z) → x ≤ z)). Portanto (x, y, z ∈ R) (xRy ^ yRz) → xRz R é anti-simétrica pois ( x, y ∈ R) (x ≤ y ^ y ≤ x) → x = y. Portanto (x, y ∈ R) (xRy ^ yRx) → x = y  •

•

•

2.1.5 Relação de Equivalência Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação R sobre A que é reflexiva sobre A, simétrica e transitiva. Portanto, deve obedecer as seguintes propriedades: III. se x ∈E, então x R x; IV. se x, y ∈E e xRy então yRx;  V. se x, y, z ∈ E e xRy e yRz, entao xRz. Exemplos: 1. A relação de R = {(a,a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}sobre E = {a, b, c} é uma relação de equivalência. 2. A relação de igualdade sobre IR é uma relação de equivalência, pois: (∀x ) ( x ∈ IR ⇒ x = x ) (∀x, y ) ( x = y ⇒ y = x) (∀x, y, z ) ( x = y e y = z ⇒ x = z )

38 •

capítulo 2

3. A relação de congruência módulo m (em que m Z e m > 1) sobre Z é uma relação de equivalência, pois: (∀ x ) ( x∈Z ⇒ x ≡ x (mod m )) ( ∀ x, y ) ( x ≡ y (mod m) ⇒ y ≡ x (mod, m ) (∀ x, y, z) ( x ≡ y (mod, m ) e y ≡ z (mod m ) ⇒ x ≡ z (mod m ))

4. A relação de paralelismo definida para as retas de um espaço E euclidiano é uma relação de equivalência, pois sendo x, y e z retas de E, tem se: I. (x // x) II. (x // y → y // x) III. (x // y e y // z → x // z) As relações binárias podem ser exemplificadas da seguinte forma: Determinados pares ordenados de objetos em um conjunto de pares ordenados se destacam dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem. Exemplos: • Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3} • O produto cartesiano é o conjunto S X T = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} • Relação de Igualdade: O conjunto de pares que atende essa relação é unitário, {(2,2)} • Relação formada pelos pares com primeiro número menor que o segundo: {(1,2),

(1,3), (2,3)}

2.1.6 Exercícios de Fixação Nesta seção você encontrará alguns exemplos de exercícios para que possa treinar seus conhecimentos. 1. Dados o conjunto A = {3, 7, 9} e o conjunto B = {1, 5, 11, 13}, além das relações R 1 = {(3, 1), (9, 13)}, R 2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R 3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)}, quais destas relações não se tratam de funções de A em B, sendo que R 1, R 2 e R 3 são relações de A em B?

capítulo 2

 • 39

2.

Dados os diagramas abaixo: A

B 5

0 2 1

4

3

6 2

7

Determine: a) O domínio; b) O contradomínio; c) A imagem.

2.2 Funções e suas propriedades 2.2.1 Domínio e Imagem de uma função Dizemos que uma relação F de A para B é uma função de A para B se, e somente se, para todo a ∈ A existe exatamente um b ∈ B tal que (a, b) ∈ F. Exemplo: 1. A relação F = {(1, 40), (2, 30), (3, 30)} é uma função do conjunto X = {1, 2, 3} para o conjunto Y = {20, 30, 40}, isto é F : X → Y. 2. Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = 3 · x, com x ∈  A e y ∈B, temos: A -2 -1 0 1 2

40 •

capítulo 2

B -8 -6 -4 -3 0 3 6 7

Note que: •

•

Todos os elementos de A têm correspondente em B;  A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

Nesse caso, temos uma função de A em B. Uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de correspondência. Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B). Considerando os conjuntos A = {-2, 0, 1, 2} e B = {0, 2, 3, 4, 6}, vamos associar cada elemento x de A a cada elemento y de B de modo que x² = y. R = {(0;0), (2;4), (-2;4)} Esse conjunto de pares ordenados é chamado de relação do conjunto A no conjunto B. Os primeiros elementos dos pares ordenados formam o domínio da relação que será indicado por D(R): D(R) = {0, 2, -2} Os segundos elementos dos pares ordenados da relação formam o conjunto – imagem que será indicado por Im(R): Im(R) = {0, 4} Generalizando, temos: Dados os conjuntos A e B, qualquer conjunto de pares ordenados (x;y), com x ∈ A e y ∈ B é chamado de relação de A em B. Existem algumas restrições no domínio, são elas: I.

Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);

II.

Não existe divisão por zero;

III.

Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;

IV.

Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;

V.

Não existe tangente de 90° nem de 270°.

capítulo 2

 • 41

De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras. Exemplo: Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: o domímio, a imagem e o contradomínio. A

B 5 7

5

15

12

14 16

23 25

26

O domínio é representado pelo diagrama A, portanto: D(f) = {5, 12, 23}. Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então: Im(f) = {7, 14, 25}

2.2.2 Funções Injetoras, bijetoras e sobrejetoras Injetora: são aquelas em que para todo elemento pertencente ao domínio existe um único elemento do contradomínio, ou seja, para todo x 1 e x2 ∈ Df, se x1 ≠ x2 , então f(x1) ≠ f(x2). A

42 •

capítulo 2

B

Exemplos: f é injetora quando cada elemento de A possuir apenas um elemento de B. g não é injetora porque 1 ∈ A, 2 ∈ A, 1 ≠ 2 e g (1) = g (2) = 4. •

•

A

B

A

f 

B

g

4

1

1

4

2

5

5 2 6 3

3

6

7

Sobrejetora: são aquelas em que todo elemento do contradomínio da função, está associado a pelo menos um elemento do domínio de f, ou seja, Im f  = CDf , ou seja, não pode “sobrar” nenhum elemento no contradomínio. A

B

Função Sobrejetora Im (f) = B

Exemplos: Im = B = {1, 2, 3}. Logo f é sobrejetora. Im = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, ou seja, Im ≠ B. logo não é sobrejetora. •

•

A

B 1

f 

A 4

B

g 1

2

2 5 3

1

2 3

6

3 4

4

capítulo 2

 • 43

Bijetora: são aquelas que satisfazem a definição de injetora e sobrejetora simultaneamente, ou seja, ∈ x1 e x2 ∈ Df , se x1 ≠ x 2 , então f (x 1) ≠ f (x2); e ainda Imf  = CDf 

A

B

Função Sobrejetora Im (f) = B Exemplo: A

B 1

•

•

•

f

1

2

2

3

3

f é injetora, quando um elemento de A está associado a um elemento em B. f é sobrejetora, pois Im = B = {4, 5, 6}. f é bijetora, pois é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

CONEXÃO Aprenda mais sobre funções em: http://www.fund198.ufba.br/apos_cnf/funcinsob.pdf

44 •

capítulo 2

2.2.3 Composição de funções Uma vez que funções são relações, a composição de duas funções F e G é definida da mesma forma que para relações, ou seja, é a relação: G F = {( a, c ) : ( ∃b)( a, b ) ∈ F ∧ ( b, c) ∈ G} 

Generalizando, a função composta g [h(x)] é a função formada pelas duas funções g(u) e h(x), substituindo-se u por h(x) na fórmula de g(u). Exemplo: Determine a função composta g [h(x)], se g (u) = u 2 e h (x) = x + 1 Solução: g [h (x)] = (x + 1)² g [h (x)] = x² + 2x + 1 Podemos representar a função composta da seguinte forma: Sejam os conjuntos A, B e C e consideremos as funções f : A → B sobrejetora e g : B → C, a função composta h : A → C é a função tal que h (x) = g (f (x)), denotada por, (g 0f) (x).

A

g (f (X))

a b

e f

C

g (X)

B

c d

capítulo 2

 • 45

2.2.4 Função Inversa Dado um conjunto X = {a, b, c, d ,e} e Y = {A, B, C , D , E}, definida como a função (f) que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo. X

Y

f

a

A

b

B

c

C

d

D

 Assim temos uma função bijetora do tipo: f = {(a,A) , (b,B) , (c,C) , (d,D) , (e,E)} Onde o domínio de f é: D(f) = X e a imagem de f é: Im(f) = Y.  Agora iremos definir uma função f -1 como sendo a função que associa cada letra maiúscula ao seu correspondente em minúsculo. Y

f

X

-1

A

a

B

b

C

c

D

d

Temos uma função bijetora do tipo: f = {(A.a) , (B,b) , (C,c) , (D,d) , (E,e)}. Note que, nesse caso, a relação inversa da função f também é função; por isso dizemos que f-1 é a função inversa de f. Uma função f : A → B é invertível se, e somente se, sua relação inversa f-1 de B em A também é uma função.  As funções f e f -1 são chamadas de funções inversas entre si.

46 •

capítulo 2

Técnicas para a obtenção da inversa de uma função: Se uma função real de variável real y = f(x)mé invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo: 1.

Trocamos x por y e y por x, escrevendo x = f(y).

2.

Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis, obtendo y = f –1 (x).

Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = 2x – 3, determine f -1(x). Escrevendo y = f(x) = 2x – 3, assim, teremos y = 2x – 3. tem-se: x = 2y – 3. → Trocando-se as variáveis, tem-se: → Isolando a variável y : x = 2y – 3 → x + 3 = 2y 3 → 2y = x + 3 →  y  = x + 3 x +3 2  Portanto: f 1 ( x ) = −

2

ATIVIDADES 03. Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6, teremos que a inversa de f(x), ou seja f-1 (x),  (x), será , x+6 x +6  pois y = 3x + 6 → para a inversa x = 3y + 6 , então Y =  . Calcular f(3). f 1( x ) = 3 3 −

04. Dada a função f: {–3, 2, 0, √5 } → R , definida pela fórmula f (x) = 2x² + 1. Determine a sua imagem: 05. (UCSal) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas dadas por f (x) = 2x – 3 e f(g(x)) = –4x + 1. Nestas condições, g(–1) é igual a: a) –5

c)

0

b) –4

d) 4

e) 5

06. Sendo f e g duas funções tais que: f (x) = ax ax + b e g (x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof (x) = fog (x) ocorrerá se e somente se: a)

b (1 – c) = d (1 – a)

b) a (1 – b) = d (1 – c) c)

d) ad = bc e) a = bc

ab = cd

capítulo 2

 • 47

REFLEXÃO As funções da matemática aplicada são ferramentas valiosas usadas no dia-a-dia das organizações especialmente para os cálculos de custos, receitas e lucros, pois vivemos num mercado altamente competitivo e cada vez as organizações precisam controlar minuciosamente os gastos com produção, busque novas aplicações do estudo das Funções na Computação. Comput ação.

LEITURA Qualquer conjunto de pontos em um espaço multidimensional apresentando uma tendência regular pode ser representado por uma função matemática. Frequentemente esta função é escolhida através de um processo de ajuste conhecido como método de mínimos quadrados. Para o caso mais simples de um conjunto de pontos em um espaço bidimensional, cada ponto será representado por coordenadas x e y. A função matemática a ser construída pode representar a tendência de y como uma função de x, y=f(x), y=f(x), ou o inverso, inve rso, com x sendo representado como uma função de y, x=f(y). Em outras palavras, pode-se ter y como uma variável dependente de x ou x como uma variável de y. O emprego desta terminologia, matematicamente correta, pode ser pedagogicamente inadequada, pois pode fazer com que um aluno deixe de perceber a simplicidade intrínseca do método, recorrendo posteriormente a argumentos tais como: a) a minha calculadora não é programável, b) minha calculadora não faz regressão, c) não me lembro das fórmulas, etc. Estes argumentos não se justificam, uma vez que não é necessário uma bagagem matemática sofisticada para utilizar-se o método dos mínimos quadrados. Saiba mais sobre as aplicações das Funções no texto:

O Ajuste de Funções Matemáticas a Dados Experimentais : http://www.scielo.br/ pdf/qn/v20n2/4938.pdf

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HALMOS. P. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora da USP, 1960. MONTEIRO. L.H. Elementos de Álgebra. Ao Livro Técnico, 1969. ROSEN. K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2003. Quinta Edição. GOMIDE. A, Stolfi.J. Elementos de Matemática discreta para computação, Unicamp, São Paulo, 2011

48 •

capítulo 2

3 Representação Gráfica de uma Função e Cardinalidade

No presente capítulo será tratado a forma de representação de uma função por meio gráfico, seja ela afim ou quadrática. A representação gráfica aqui utilizada será o plano cartesiano. No presente capítulo será tratado a cardinalidade de conjuntos finitos e infinitos. Na nossa vida cotidiana, utilizamos os números em algumas situações que tanto revelam seu aspecto cardinal como ordinal e ao mesmo tempo os que não possuem essa especificidade como é o caso dos códigos numerais. Um exemplo disso são os números de telefone. Este capítulo iniciará abordando definições de cardinalidade e no decorrer, exemplos e suas aplicações.

OBJETIVOS Este capítulo tem como objetivos levar o aluno a: •

Compreender produtos cartesianos;

•

Operar graficamente;

•

Relacionar graficamente os tipos de funções tratados.

•

Compreender cardinalidade de conjuntos;

•

Diferenciar os tipos de conjuntos finitos e infinitos;

•

Relacionar a cardinalidade a ordinalidade numérica.

50

•

capítulo 3

3.1 Representação Gráfica de uma Função 3.1.1 Plano cartesiano

"Penso, logo, existo." Desde o século 3 a.C., os matemáticos gregos descreviam pontos no plano utilizando o recurso de dar suas duas coordenadas - ou três, no caso de ser um ponto no espaço. O mesmo recurso era utilizado em mapas, nas representações leste-oeste e norte-sul. Por que motivo então o sistema de coordenadas está ligado a Descartes, um filósofo do século 17? Sabemos, desde a descoberta do papiro de Ahmés (cerca de 1.650 a.C.), que cálculos aritméticos podem ser atrelados a alguma interpretação geométrica. Na época de Tales (séc. 6 a.C.), a única interpretação geométrica do produto de dois comprimentos era uma área do retângulo com arestas de medidas adequadas.

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com n dimensões. y

2o quadrante

1o quadrante

x

0

3o quadrante

4o quadrante

Par ordenado  A representação de pontos neste plano é feita através de pares ordenados, onde o primeiro número se refere à abscissa e o segundo a ordenada. Se chama par ordenado, pois o sistema representa dus dimensões organizadas de ordem al-

capítulo 3 •

51

fabética. O ponto P1 (3,2) tem abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3,2) representa um par ordenado. O ponto P2 (2,3) tem abscissa 2 e ordenada 3. É importante frisarmos que os pontos P 1 e P2 são pontos distintos, pois como dito anteriormente é necessário que seja organizado em ordem alfabética tornando relevante a posição.Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d. Exemplo: 3. Quais pontos estão representados no plano cartesiano abaixo? y 6 B (6,5)

5 4

A (-5,3)

3 2 -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

D (0,0)

1

2

3

4

5

6

x

-2 -3 -4

C (4,5; -3,5)

-5 -6

Os pontos são:  A(-5;3), B(6;5), C(4,5;-3,5) e D(0;0) Nos quais A situa–se no quadrante II, B situa–se no quadrante I, C situa–se no quadrante IV e D situa–se na origem.

CONEXÃO Saiba mais em: http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/descartes-como-ogrego-chegou-ao-plano-cartesiano.htm

52

•

capítulo 3

3.1.2 Produto Cartesiano Indicamos por (x, y) um par ordenado de elementos, no qual x é o primeiro elemento e y é o segundo elemento. Dois pares ordenados (x, y) e (z, w) são iguais (são o mesmo par) se, e somente se, x = z e y = w. Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano, denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) com x ∈ A e b ∈ B. Como no produto cartesiano os pares são ordenados, temos que A × B , B × A (exceto quando A = B ou A = ∅  ou B = ∅  ). Graficamente, podemos representar: y

y

AXB

AXB

x

x

Exemplo: Dados A = {1, 2, 3} e B = {1 , 2}, determine AxB:  A x B = {(1;1), (1;2), (2;1), (2;2), (3;1), (3;2)} Observamos também que ao multiplicarmos o número de elemento do con junto A pelo número de elementos do conjunto B obtemos o número de pares ordenados do produto cartesiano AxB.

3.1.3 Representação de uma função especial Função Afim Uma função f : R →  R chama – se afim quando existem constantes a, b ∈ R tais que f (x) = ax + b para todo x ∈ R 

capítulo 3 •

53

y a

∝

1 a>0 ⇒ ∝< 90o

b

Função crescente

- b/a

∝

x

0

y

b

1 a

a < 0 ⇒ ∝ < 90o Função decrescente ∝

0

- b/a

Função constante Se na função y = a x + b, o coeficiente a for zero, teremos y = 0 x + b ou seja a lei da função fica reduzida simplesmente a y = b e sua representação gráfica assume um dos aspectos abaixo. Se b > 0 y

Se b = 0 y

Se b < 0 y

b b

x

x

x b

54

•

capítulo 3

Função Quadrática Uma função f : R R chama – se quadrática quando existem números reais a, b, c com a ≠ 0, tais que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ R.  A função quadrática é identificada como um trinômio do 2º grau. Exemplos: f (x) = -x² + 100x, em que a = –1, b = 100 e c = 0 f (x) = 3x² – 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1 f (x) = x² – 4, em que a = 1, b = 0 e c = – 4 f (x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0 •

•

•

•

y

y

a>0

a<0 x

x

 A concavidade de uma parábola depende da função ser crescente a>0 ou decrescente a < 0: y

y

x

x

a>0

a<0

concavidade para cima

concavidade para baixo

capítulo 3 •

55

 Abaixo temos alguns exemplos gráficos de funções especiais: y=x

y=-x

y

y

y=a

y = x2

y

y a

0

x

x

0

y = x3

y=

y

y

0

x

y = 2x

y=

 x 

0

1

y=

 x 

1

y

2

x

0

x

y = log2x

 x 

1

y

0

x

x

0

y

y =  2 

y

x

0

x

y = log1/2x

y

y

1 1 0

x

0

x

x

y

Representação de uma função Exemplos: 1. Analise o gráfico e responda: a) Que tipo de função está representada? Justifique: Por se tratar de uma reta, a sua representação, é uma função afim.

56

•

capítulo 3

x

0

2

0 0

-2

-2

2

x

b) Qual é a raiz da função? Justifique:  A raiz da função é 1, pois a reta intercepta o eixo das abscissas no ponto (1;0) 1

2. Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: domínio { -3, -2, -1, − , 2 b 0, 1, 2}. Primeiro atribuímos a x alguns valores xv = − , depois calculamos o 2a  valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. y

X

Y

-3

6

-2

2

-1

0

1

−

2

8

6

(- 3,6)

4

1

−

(2,6)

4

0

0

1

2

(- 2,2)

2

(1, 2)

0

2

6

(1, 0)

(0, 0)

 1 1 − ,−   2 4

3. a) b) c) d) e)

Considere a função f: IR →  IR definida por f (x) = 5x – 3. Verifique se a função é crescente ou decrescente O zero da função; O ponto onde a função intercepta o eixo y; O gráfico da função; Faça o estudo do sinal;

Solução. Analisando cada item de acordo com a caracterização da função afim, temos: a) Como a = 5 > 0, a função é crescente. b) O zero da função é o valor de “x” que anula a função: f ( x ) = 0 ⇒ 5 x − 3 = 0 ⇒ 5x = 3 ⇒ x =

3 5

c) O gráfico intersecta o eixo Y no ponto onde x = 0:  y f (0) 5(0) 3 =

=

−

3

= −

capítulo 3 •

57

y

d)

3   f 0 x IR / x < → ∈ <    5   3  f = 0 → x = 5   3  f > 0 → x ∈ IR / x >  5  

e)

6 5 f (x) = 5x - 3

4 3 2 1

3

x

5

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

-2 -3 -4

3.1.4 Exercícios de fixação 1. A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (–2, –63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f (16). 2. Qual a parábola abaixo que poderia representar uma função quadrática com discriminante negativo ( ∆  < 0)? y

y a)

b) x

x

c)

y

d)

y

x x

3. Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

58

•

capítulo 3

4. Determine a expressão da função representada pelo gráfico a seguir: y 2

0 -6

-4

0

-2

2 x

-2

3.2 Cardinalidade 3.2.1 Cardinalidade finita e infinita Informalmente, dizemos que um conjunto A é finito se ele tem um número finito n N de elementos. Este número é a cardinalidade de A, denotada por |A| ou # A. Observe que |A| = 0 se e somente se A = ∅  . Dizemos que um conjunto é infinito se ele não é finito. Os conjuntos N, Z, Q, e R são infinitos. Conjuntos infinitos não podem ter seus elementos listados explicitamente. Informalmente, é comum usar ‘. . . ’ nesses casos, Exemplos N = {0, 1, 2, . . .} Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, . . .} •

•

E fácil ver que dois conjuntos finitos tem a mesma cardinalidade se e somente se eles tem o mesmo número de elementos. Portanto a cardinalidade de um conjunto finito pode ser identificada com seu número de elementos. Para certos conjuntos A, não existe uma bijeção de A para In , para nenhum n ∈ N. Exemplos incluem o próprio conjunto N, bem como Z, Q e R. Dizemos que estes conjuntos são infinitos.

capítulo 3 •

59

Exemplo: Seja E ⊂N o conjunto dos números naturais pares, { 2k : k ∈ N}. Considere a função f : N →  E definida por f (n) = 2n. A função f é uma bijeção do conjunto dos naturais no conjunto dos números pares. Portanto N ~ E e portanto a cardinalidade de N é a mesma que E. Ou seja, é possível retirar elementos de um conjunto infinito sem alterar sua cardinalidade.  Verifica-se que esta é uma propriedade geral de conjuntos infinitos. Inclusive, muitos autores usam esta propriedade como definição, dizendo que um conjunto A é infinito se e somente se ele tem um subconjunto próprio B tal que A ~ B.

CONEXÃO Saiba das aplicações de cardinalidade e banco de dados em: http://www.devmedia.com.br/ tecnologias-de-banco-de-dados-e modelagem-de-dados-parte-2/1871

3.2.2 Conjunto contável e não contável Todos os conjuntos contáveis possuem mesma cardinalidade. Entretanto, nem todos os conjuntos não contáveis possuem a mesma cardinalidade. Dizemos que um conjunto A tem tantos elementos quanto um conjunto B, ou seja: #A ≤  #B Quando existe uma função injetora f : A →  B. Exemplo: O intervalo aberto (0, 1) = { x :2 R, 0 < x < 1 } não é contável.

Conjuntos Equipotentes Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes quando existe uma bijeção entre eles. Logo, podemos dizer que os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade. Pela definição de conjuntos equipotentes, podemos afirmar que todos os conjuntos contáveis são equipotentes.

60

•

capítulo 3

3.2.3 Comparação de cardinalidades Os axiomas a seguir nos garantem que para os números cardinais sempre há um conjunto com tal quantidade de elementos, assim como conjuntos que possuem uma função bijetora entre eles tem uma propriedade em comum que é o mesmo número cardinal.

Axioma 1: Cada conjunto A está associado a um número cardinal, denotado por cardA, e para cada número cardinal a, existe um conjunto A com cardA = a. Este axioma nos garante que podemos ordenar todos os conjuntos pelas suas cardinalidade, porque todo conjunto possui uma cardinalidade. E analogamente para todo cardinal podemos construir um conjunto com tal cardinalidade.

Axioma 2: cardA = 0 se e somente se A = ∅ . O vazio é um conjunto especial e por isso ele foi associado a um número especial, note que é bastante intuitivo que o conjunto vazio seja associado ao número zero.

Axioma 3: Se A é um conjunto finito não vazio, isto é, A possui uma bijeção com algum Nk para algum k ∈ N, então cardA = k.  Aqui temos um axioma que se refere apenas aos conjuntos finitos, e por isso fica a pergunta. Do que acontece com os conjuntos infinitos? Eles em bre ve também serão associados a seus cardinais, porém estes números cardinais não são naturais.

capítulo 3 •

61

ATIVIDADES 05. Explique o que é um conjunto vazio. 06. Justifique com suas palavras os seguintes axiomas: a)

Para toda coleção de conjuntos existe um conjunto que contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um conjunto da dada coleção.

b) Para cada conjunto existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos todos os subconjuntos do conjunto dado, isto é, existe um conjunto que tem como elementos outros conjuntos, e cada elemento deste conjunto é um subconjunto do con junto inicial. 07. Cite exemplos de conjuntos finitos. 08. Cite exemplos de conjuntos infinitos.

REFLEXÃO Muitos alunos apresentam dificuldades na resolução de exercícios envolvendo gráficos de funções polinomiais de grau maior que dois, visto que, desenhados manualmente, os gráficos podem não apresentar exatidão, interferindo na análise das propriedades das funções. Também a realização dos exercícios pela metodologia tradicional demanda bastante tempo, o que leva, por vezes, os professores a não desenvolverem o conteúdo como deveriam fazê-lo: significando-o para o aluno, garantindo a exatidão dos resultados, disponibilizando tempo para análise. Reflita sobre essa afirmação.

62

•

capítulo 3

LEITURA Hilbert sobre o infinito

“Sobre o Infinito “ por David Hilbert Weierstrass, através de sua crítica penetrante, conseguiu uma sólida fundamentação para a análise matemática. Elucidando, entre outros, os conceitos de mínimo, função e quociente diferencial, ele removeu as falhas que ainda persistiam no cálculo infinitesimal, livrou-o de todas as noções vagas a respeito do infinitesimal e desse modo resolveu definitivamente as dificuldades advindas desse conceito. Se em análise, hoje, existe harmonia e segurança no emprego dos métodos dedutivos baseados nos conceitos de número irracional e limite e se mesmo nas questões mais complexas da teoria das equações diferenciais e integrais, não obstante o uso das mais variadas e engenhosas combinações de diferentes tipos de limite, existe unanimidade com respeito aos resultados obtidos, isso ocorre substancialmente devido ao trabalho científico de Weierstrass. Contudo, a despeito da fundamentação que Weierstrass obteve para o cálculo infinitesimal, as disputas a respeito dos fundamentos da análise ainda não tiveram fim. A razão dessas disputas consiste no fato de que o significado do infinito para a matemática ainda não foi completamente clarificado. De fato, a análise de Weierstrass eliminou o infinitamente grande e o infinitamente pequeno, reduzindo as proposições correspondentes a relações entre magnitudes finitas. Contudo o infinito ainda aparece nas séries numéricas infinitas que definem os números reais e no conceito de sistema de números reais, o qual é concebido como uma totalidade completa e terminada. Em sua fundamentação da análise, Weierstrass recorreu livre e reiteradamente às formas de dedução lógica envolvendo o infinito, como por exemplo, quando se trata de todos os números reais com uma certa propriedade, ou quando se argumenta que existem números reais com uma certa propriedade. Portanto, o infinito pode reaparecer disfarçado na teoria de Weierstrass, escapando da sua aguda crítica e daí segue que o problema do infinito, no sentido indicado, é o que nós temos que resolver de uma vez por todas. Tal como nos processos limite do cálculo infinitesimal, onde o infinito no sentido do infinitamente grande e do infinitamente pequeno acabou se mostrando uma mera figura de linguagem, também o infinito na forma de totalidade, ainda utilizado nos métodos dedutivos, deve ser entendido como uma ilusão.

capítulo 3 •

63

Do mesmo modo em que operações com o infinitamente pequeno foram substituídas por operações com o finito que apresentam exatamente os mesmos resultados e as mesmas elegantes relações formais, os métodos dedutivos baseados no infinito devem ser substituídos por procedimentos finitos que produzam exatamente os mesmos resultados, isto é, que tornem possível as mesmas cadeias de provas e os mesmos métodos de obtenção de fórmulas e teoremas. Esta é a intenção da minha teoria. Ela tem por objetivo estabelecer de uma vez por todas a confiabilidade definitiva dos métodos matemáticos, o que o período crítico do cálculo infinitesimal ainda não conseguiu; essa teoria deveria portanto completar o que Weierstrass aspirou conseguir com sua fundamentação da análise e para a qual ele deu um passo essencial e necessário.

Mas a questão da clarificação do conceito de infinito leva em consideração uma perspectiva ainda mais geral. Um leitor atento encontrará a literatura matemática repleta de disparates e absurdos que têm sua raiz no infinito. Assim, por exemplo, quando se afirma, à guisa de condição restritiva, que em matemática rigorosa somente um número finito de deduções é admissível numa prova – como se alguém houvesse obtido uma prova com infinitas deduções!

CONEXÃO Para continuar lendo sobre Hilbert acesse: http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:-mMO7S-x3doJ:https://www.ime.usp.br/~bianconi/recursos/C06.DOC+&cd=6&hl=pt-BR&ct=clnk&gl=br

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HALMOS. P. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora da USP, 1960. MONTEIRO. L.H. Elementos de Álgebra. Ao Livro Técnico, 1969. ROSEN. K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2003. Quinta Edição. GOMIDE. A, Stolfi.J. Elementos de Matemática discreta para computação, Unicamp, São Paulo, 2011

64

•

capítulo 3

4 Indução Matemática e Álgebra Relacional

No presente capítulo irá tratar de forma sintética o Princípio da Indução por ser um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por esse pressuposto esse capitulo terá algumas demonstrações de sua real utilidade. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. Discutiremos Também as duas linguagens formais do modelo relacional: a álgebra relacional e o cálculo relacional. Um modelo de dados inclui um conjunto de operações para manipular o banco de dados, além dos conceitos de modelo de dados para a definição das restrições e estrutura do banco de dados. O conjunto básico de operações para o modelo relacional é a álgebra relacional.

OBJETIVOS Este capítulo te como objetivos levar o aluno a: •

•

•

•

•

Compreender o princípio da Indução Matemática; Demonstrar situações Matemáticas com o auxilio da Indução. Revisar conceitos de relações; Introduzir conceitos relacionados a baco de dados; Relacionar as teorias estudadas e banco de dados

66

•

capítulo 4

4.1 Indução Matemática 4.1.1 Princípio da Indução Matemática Seja P uma propriedade referente a números naturais. Se 1 utiliza de P e se, além disso, o fato de o número natural n utilizar de P implica que seu sucessor s(n) também utilizara, então todos os números naturais utilizam da propriedade P. Para ver que o Princípio da Indução é verdadeiro basta observar que, dada a propriedade P cumprindo as condições estipuladas no enunciado do Princípio, o conjunto X dos números naturais que se utilizam da propriedade P contém o número 1 e é indutivo. Logo X = N, isto é, todo número natural utiliza da propriedade P. As propriedades básicas dos números naturais são demonstradas por indução. Observe agora: Seja P(n) uma sentença matemática que depende de uma variável natural n, a qual se torna verdadeira ou falsa quando substituímos n por um número natural dado qualquer. Estas sentenças são chamadas sentenças abertas definidas sobre o conjunto dos números naturais N. Exemplos: 5. P (n): “n é ímpar.” Observe que esta afirmação é verdadeira para alguns  valores de n e falsa para outros. 6. P (n) : “n² − n + 41 é um número primo.” Neste exemplo podemos  verificar, não tão facilmente, que P (1), P (2), . . . , P (40) são verdadeiros mas P (41) = 41² é falso. 7. P (n) : “2n + 6 é par.” É fácil ver que 2n + 6 = 2 (n + 3) para qualquer n, portanto P (n) é verdade para todo n. 8. P (n): “1 + 3 + 5 + • • • + (2n + 1) = (n + 1)².” Será que conseguiremos encontrar algum m tal que P(m) seja falso? Depois de algumas tentativas começamos a desconfiar que a sentença P (n) do exemplo 4 é verdadeira para todo n ∈ N. Como poderíamos provar isso? Obviamente não podemos testar, um por um, todos os números naturais pois eles são em número infinito. Por esse motivo utilizamos o Princípio da Indução Matemática como método de demonstração.

capítulo 4 •

67

Este princípio pode ser visto como uma propriedade fundamental dos números naturais. Estes podem ser definidos por um conjunto de axiomas enunciados pelo matemático Giuseppe Peano em 1889; e um dos postulados de Peano é equivalente ao PIM. Para demonstrar uma afirmação “(∀n ∈ N) P (n)” usando o PIM, podemos então seguir este roteiro:

BASE DA INDUÇÃO:

 Mostrar P (0) é verdade.

HIPÓTESE DE INDUÇÃO: PASSO DA INDUÇÃO:

 Supor que para algum k 2 N, P (k) é verdade.

 Mostrar que P (k + 1) é verdade.

Exemplo: Provar que, para todo n ≥ 0: 1 + 3 + 5 + • • • + (2n + 1) = (n + 1)² Prova: • Base:  P(0) é verdade pois a expressão acima é trivialmente válida para n = 0.

1 = (0 + 1)² 1=1 • Hipótese de Indução: suponhamos que para algum k, P (k) é verdade, isto é, 1 + 3 + 5 + • • • + (2k + 1) = (k + 1)² • Passo de indução: temos de provar que P (k + 1) é verdade, isto é temos

que mostrar que: 1 + 3 + 5 + • • • + (2k + 1) + (2 (k + 1) + 1) = ((k + 1) + 1)²

Pela hipótese de Indução, temos: [1 + 3 + 5 + • • • + (2k + 1)] + (2(k + 1) + 1)) = [(k + 1)2] + (2(k + 1) + 1)

((k + 1) + 1)² = ((k + 1) + 1)²

68

•

capítulo 4

Isto mostra que P(k + 1) é verdade, toda vez que P(k) é verdade. Portanto, pelo PIM, a fórmula é válida para todo número natural n.

4.1.2 Generalizações da PIM Muitas vezes precisamos provar que uma sentença aberta P (n) vale para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo n; ou seja, que “( ∀n ∈ N) n ≥ n → P(n).” Por exemplo, a afirmação n² > 3n é verdadeira para todo natural n maior ou igual a 4, embora não seja verdadeira se n for 0, 1, 2 ou 3. Exemplos: 1. Provar, por indução matemática, que: 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n2 Prova: • Base:  Verifiquemos que é válida para n = 1.

3 = 3 (proposição verdadeira) • Hipótese: Suponhamos que a propriedade se verifica para a ordem p, isto é, 3 + 9 + 15 + ... + (6p − 3) = 3p2

• Passo: Provemos que se verifica para a ordem (p+1), isto é, que 2

3 + 9 + 15 + ... + (6(p + 1) − 3) = 3( p + 1) ou seja 2

3 + 9 + 15 + ... + (6p + 3) = 3( p + 1)

Seadicionarmos6p +3,númeroprimo quesesegueao 6p–3 ,aosdois membros da hipótese de indução, fica-se com 3 + 9 + 15 + ... + (6p − 3) + 6p + 3 = 3p2 + 6p + 3 , que é o mesmo que 3 + 9 + 15 + ... + (6p − 3) + 6p + 3 = 3( p + 1)2  Depois de provado que a propriedade é verificada para n=1 e é hereditária, pode-se concluir que é válida para todo o n ∈ N

capítulo 4 •

69

2. [Descobrindo a Moeda Falsa] Num conjunto de 2n moedas de ouro temos uma que é falsa, ou seja pesa menos que as outras. Mostrar, por indução, que é possível achar a moeda falsa com n pesagens usando uma balança de dois pratos sem usar peso. Prova: • Base: Para n = 1 temos duas moedas e, portanto, basta colocar uma em

cada prato para descobrir a falsa. • Hipótese de Indução: Usando k pesagens podemos descobrir a moeda fal-

sa dentre 2k moedas. Mostrar que, num conjunto de 2k+1  moedas, podemos descobrir a moeda falsa com k + 1 pesagens. Divide o conjunto de 2 k+1 moedas em dois conjuntos de 2 moedas. Coloca-se esses conjuntos em cada prato da balança. Dessa forma descobrimos em qual conjunto de 2k moedas se encontra a falsa. Pela hipótese de Indução descobre-se a moeda com k pesagens, e, mais a pesagem anterior temos um total de k + 1 pesagens. • Passo:

Exemplos específicos: 1. Prove a conjectura “Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar” . Siga os seguintes passos para prová-la: a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “se P então Q” b) Para provar a frase original “não (se P então Q)” basta refutar “se P então Q” Prova: a) Como o enunciado fala em suficiência o P será a segunda parte “o número é impar”. Logo, o enunciado sem a negação será “se um número é ímpar então ele é primo” b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo a conjectura original está provada.

70

•

capítulo 4

2. Mostre, por indução, que para a sequência de Fibonacci vale a relação F (n) < 2n (N.B. a sequência de Fibonacci é dada por F (1) = 1; F (2) = 2 e F (n) = F (n – 1) + F (n – 2)) Prova: • Hipótese de indução: F (1) = 1 < 21, F (2) = 2 < 22, F (n – 1) < 2n – 1 e F (n) < 2n.

 Vamos mostrar que F (n + 1) = < 2n + 1 para n > 2 Por definição temos que F (n + 1) = F (n) + F (n – 1), substituindo a hipótese de indução, temos que F (n + 1) < = 2 · 2 n – 1 + 2n – 1  = 3 · 2n – 1 < 4 · 2n – 1 = 2n + 1  está provada a conjectura. Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova por indução simples seria: F(n + 1) = F (n) + F(n – 1), pela definição de F (n) = F (n – 1) + F (n – 2) + F (n – 1), pela hipótese de indução < 2n + F (n – 1) como F (n – 1) = F (n) – F (n – 2) < 2n + 2n – F (n – 2) = 2n+1 – F (n – 2) Então temos F (n+1) + F (n – 2) < 2 n + 1 e, como F (n – 2) > 0 teremos F (n + 1) < 2n + 1

CONEXÃO Testes seus conhecimentos em Indução Matemática acessando: www.dcc.ufmg.br/~loureiro/ md/md_LE4_Solucao.pdf

4.1.3 Exercícios de Fixação 1. Prove por indução que vale para todo inteiro positivo n a sequência: 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n (2 n – 1). 2. Seja A um conjunto com n elementos. Mostrar que o conjunto potência P(A) tem 2n elementos.

capítulo 4 •

71

4.2 Álgebra Relacional 4.2.1 Relação e banco de dados

Linguagens de consulta formal são linguagens em que o usuário solicita informações à base de dados. Geralmente formam uma linguagem de mais alto nível que as linguagens de programação. A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta formal, porém procedimental, ou seja, o usuário dá as instruções ao sistema para que o mesmo realize uma sequência de operações na base de dados para calcular o resultado desejado.

Um esquema de relação é uma lista de atributos e seus domínios correspondentes. Um esquema de banco de dados é o projeto lógico do BD enquanto uma instância de banco de dados é o conjunto de dados no BD em um determinada instante.  A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta procedimental que possui seis operações fundamentais e diversas outras. Cada uma das operações da  Álgebra Relacional que se seguem produz como resultado uma relação. Operações fundamentais: • Seleção (unária) • Projeção (unária) • Renomeação (unária) • Produto cartesiano (binária) • União (binária) • Diferença (binária)

4.2.2 Operações relacionais  Aqui trataremos algumas Operações relacionais citadas anteriormente:

Seleção Seleciona tuplas (linhas) que satisfazem um dado predicado (uma condição lógica) nos valores dos atributos.

72

•

capítulo 4

Exemplos: 1. Selecione os empregados que trabalham no departamento 4. σDEPTO = 4 (Empregado)

2. Selecione os empregados que ganham mais de R$ 3.000,00 σSalário>3000 (Empregado)

3.

σCidade = "Curitiba" (Fornecedor)

COD_FORN

NOME

CIDADE

ESTADO

F03 F10

Olacyr Mário

Curitiba Curitiba

PR PR

σQuantidade <= 100 (Estoque)

COD_FORN

COD_PROD

QTDE

PROCEDÊNCIA

F01 F06

P01 P01

100 80

Araraquara Bebedouro

σQuantidade > 100^Loc_Armaz= "Maringá" (Pedido)

COD_FORN

COD_PROD

QTDE

LOC_ARMAZ

F10

P03

220

Maringá

Projeção Copia a relação dada como argumento, deixando alguns atributos (colunas) de lado. Pode ser entendida como uma operação que filtra as colunas de uma tabela. Por operar sobre apenas um conjunto de entrada, a projeção é classificada como uma operação unária. Exemplos: 1. Liste os nomes e salários dos empregados: π(Empregado)

capítulo 4 •

73

2. SEXO

SALÁRIO

M M F F M M M

30000 40000 25000 43000 38000 25000 55000

Produto Cartesiano Permite combinar informações de duas relações. Exemplo: Correntistas x Clientes

NOME_C

GERENTE

NOME_C

RUA

CIDADE_C

Laura

João

Laura

Cotingo

Rio de Janeiro

Lindalva

João

Lindalva

Alfenas

Petrópolis

União Requer que as duas relações fornecidas como argumento tenham o mesmo esquema. Resulta em uma nova relação, com o mesmo esquema, cujo conjunto de linhas é a união os conjuntos de linhas das relações dadas como argumento.

Intersecção: A intersecção com B Esta é uma operação adicional que produz como resultado uma tabela que contém, sem repetições, todos os elementos que são comuns às duas tabelas fornecidas como operandos. As tabelas devem ser união-compatíveis.

74

•

capítulo 4

Diferença de Conjuntos Requer que as duas relações fornecidas como argumento tenham o mesmo esquema. Resulta em uma nova relação, com o mesmo esquema, cujo conjunto de linhas é o conjunto de linhas da primeira relação menos as linhas existentes na segunda. πCod_Forn (Pedido) – πCod_Forn (Estoque)

COD_FORN F07 F09 F10

Renomeação: r ( A ) Esta operação unária, redefine o nome de uma tabela em um determinado contexto. É útil para auto-relacionamentos, onde precisamos fazer a junção de uma tabela com ela mesma, e nesse caso cada versão da tabela precisa receber um nome diferente da outra.

CONEXÃO Fique por dentro: http://www.devmedia.com.br/algebra-relacional-parte-i/2663

Operações adicionais Interseção  A operação de interseção retorna uma relação que contém as tuplas que estejam em ambas as relações argumentos da interseção. r ∩ s = r - (r - s) Exemplo: Empréstimos e depósitos empresa Madureira

capítulo 4 •

75

EMPRÉSTIMOS EM MADUREIRA empréstimo_# nome_c 3367 Pedro

nome_f Madureira

valor 2000

EMPRÉSTIMOS EM MADUREIRA nome_c Pedro DEPÓSITOS EM MADUREIRA conta_# nome_c 19880 Rosa 19890 Pedro

nome_f Madureira Madureira

saldo 5312 4111

DEPÓSITOS EM MADUREIRA nome_c Rosa Pedro

USUÁRIOS COM EMPRÉSTIMOS E DEPÓSITOS EM MADUREIRA nome_c Rosa Pedro

Junção Natural  A operação de junção natural combina o produto cartesiano e a seleção em uma só operação. A seleção força a igualdade nos atributos que aparecem nos esquemas das duas relações. Exemplo: Empréstimos + correntistas EMPRÉSTIMOS X CORRENTISTAS EMPRÉSTIMOS

CORRENTISTAS

nome_f

empréstimo_#

nome_c

valor

nome_c

Bingen

6698

Lindalva

1500

João

Bingen

6698

Lindalva

1500

Laerte

Bingen

6698

Lindalva

1500

Lindalva

Miguel de Frias Gavião Peixoto Alfenas

Bingen

6698

Lindalva

1500

Geraldo

Curimatá

76

•

capítulo 4

rua

cidade_c Niterói Niterói Petrópolis Rio de Janeiro

EMPRÉSTIMOS X CORRENTISTAS EMPRÉSTIMOS

CORRENTISTAS

Bingen

6698

Lindalva

1500

Laura

Cotingo

Bingen

6698

Lindalva

1500

Paulo

Mem de Sá

Bingen

6698

Lindalva

1500

Pedro

Curimatá

Bingen

6698

Lindalva

1500

Rosa

Uruguai

Flamengo

5578

Paulo

2000

João

Flamengo

5578

Paulo

2000

Laerte

Flamengo

5578

Paulo

2000

Lindalva

Miguel de Frias Gavião Peixoto Alfenas

Flamengo

5578

Paulo

2000

Geraldo

Curimatá

Flamengo

5578

Paulo

2000

Laura

Cotingo

Flamengo

5578

Paulo

2000

Paulo

Mem de Sá

Flamengo

5578

Paulo

2000

Pedro

Curimatá

Flamengo

5578

Paulo

2000

Rosa

Uruguai

Icaraí

1455

João

1000

João

Icaraí

1455

João

1000

Laerte

Icaraí

1455

João

1000

Lindalva

Miguel de Frias Gavião Peixoto Alfenas

Icaraí

1455

João

1000

Geraldo

Curimatá

Icaraí

1455

João

1000

Laura

Cotingo

Icaraí

1455

João

1000

Paulo

Mem de Sá

Icaraí

1455

João

1000

Pedro

Curimatá

Icaraí

1455

João

1000

Rosa

Uruguai

Madureira

3367

Pedro

2000

João

Madureira

3367

Pedro

2000

Laerte

Madureira

3367

Pedro

2000

Lindalva

Miguel de Frias Gavião Peixoto Alfenas

Madureira

3367

Pedro

2000

Geraldo

Curimatá

Madureira

3367

Pedro

2000

Laura

Cotingo

Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Niterói Niterói Petrópolis Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Niterói Niterói Petrópolis Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro Niterói Niterói Petrópolis Rio de Janeiro Rio de Janeiro

capítulo 4 •

77

EMPRÉSTIMOS X CORRENTISTAS EMPRÉSTIMOS

CORRENTISTAS

Madureira

3367

Pedro

2000

Paulo

Mem de Sá

Madureira

3367

Pedro

2000

Pedro

Curimatá

Madureira

3367

Pedro

2000

Rosa

Uruguai

Rio de Janeiro Rio de Janeiro Rio de Janeiro

EMPRÉSTIMO.NOME = CORRENTISTAS.NOME EM EMPRÉSTIMOS X CORRENTISTAS EMPRÉSTIMOS CORRENTISTAS nome_c

valor

nome_c

rua

cidade_c

Bingen

empréstimo_# 6698

Lindalva

1500

Lindalva

Alfenas

Flamengo

5578

Paulo

2000

Paulo

Mem de Sá

Petrópolis Rio de Janeiro

Icaraí

1455

João

1000

João

Miguel de Frias

Niterói

Madureira

3367

Pedro

2000

Pedro

Curimatá

Rio de Janeiro

nome_f

NOME_C Lindalva Paulo João Pedro

CIDADE_C Petrópolis Rio de Janeiro Niterói Rio de Janeiro

ATIVIDADES 03. Considere as seguintes relações: R1 (A:Dom1; B:Dom2; C:Dom3) R2 (D:Dom3; E:Dom4) R3 (F: Dom4) R4 (G:Dom3; H:Dom4) Onde A, B, C, D, E, F, G e H representam atributos e Domi representa os domínios de valores desses atributos. Suponha, ainda, que R1, R2, R3 e R4 possuam 100, 50, 25 e 10 tuplas, respectivamente. Calcule o máximo e o mínimo de tuplas na relação resultante da seguinte expressão da Álgebra Relacional: R3 U R4.

78

•

capítulo 4

04. Dadas duas relações R1 e R2, onde R1 contém n1 tuplas, R2 contém n2 tuplas e n2 >n1>0, calcule o máximo e o mínimo de tuplas na relação resultante de cada uma das seguintes expressões da Álgebra Relacional: R1 U R2

REFLEXÃO A Indução Matemática é um importante método de demonstração matemática trabalhado geralmente, nos cursos de Álgebra ou de Teoria dos números dos cursos de formação de professores, tendo aplicações em quase todas as áreas da matemática. Busque as aplicações do PIM na área da Computação.

LEITURA Por volta de 1880, o matemático francês Edouard Lucas idealizou a “Torre de Hanói”, famoso jogo que consiste em transferir um determinado número de discos de uma haste para outra, em um instrumento de madeira, movendo-se apenas um disco por vez, sem que um disco fique sobre outro de diâmetro maior. Nosso objetivo com este trabalho é o de explorar, com a Indução Matemática, a sua solubilidade para um número qualquer de discos e, caso exista tal solução, buscaremos determinar o número mínimo necessário de movimentos com os discos. Continue lendo o texto: Indução Matemática e aplicações: o problema da Torre de Hanói, disponível em: https://uspdigital.usp.br/siicusp/cdOnlineTrabalhoVisualizarResumo?numeroInscricaoTrabalho=2153&numeroEdicao=18 Leia atentamente ao texto: Álgebra Relacional Linguagem de consulta formal

Linguagens de consulta formal são linguagens em que o usuário solicita informações à base de dados. Geralmente formam uma linguagem de mais alto nível que as linguagens de programação. A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta formal, porém procedimental, ou seja, o usuário dá as instruções ao sistema para que o mesmo realize uma seqüência de operações na base de dados para calcular o resultado desejado. A Álgebra Relacional define operadores para atuar nas tabelas (semelhante aos operadores +, -, etc. da álgebra que estamos acostumados) para chegar ao resultado desejado. A forma de trabalho desta

capítulo 4 •

79

linguagem de consulta é a de pegar uma ou mais tabelas (conforme necessidade) como entrada de dados e produzirá uma nova tabela como resultado das operações. A continuação desse texto você encontra em:http://www.devmedia.com.br/algebra-relacional-parte-i/2663 Um outro texto interessante é: Ferramenta didática para o ensino da Álgebra Relacional A álgebra relacional é uma linguagem de consultas procedural. Consiste em um conjunto de operações tendo como entrada uma ou duas relações e produzindo, como resultado, uma nova relação. É usada para manipular relações em banco de dados relacionais. A algebra relacional possui operações fundamentais, que são select, project, união, atribuição, produto cartesiano e nomeação. Através das operações básicas podem ser definidas novas operações, nas quais encontramos interseção, junção, divisão, junção natural e atribuição. Uma das aplicações da álgebra relacional está na formação da SQL (Structured Query Language). A SQL é hoje um padrão na realização de consultas em bancos de dados, em razão da sua simplicidade e facilidade de uso. A SQL foi criada originalmente pela IBM, e sua padronização foi feita pela American National Standards Institute (ANSI) em 1986 e pelo International Organization for Standardization (ISO) em 1987. Foi revista em 1992 e ä versão deu-se o nome de SQL-92. Outras revisões aconteceram em 1999 e 2003. Poucas ferramentas implementam a algebra relacional. Entre elas encontram-se duas gratuitas, a LEAP (http://leap.sourceforge.net) e a dbTools (http://www.cc.gatech.edu/computing/Database/ dbTools/), e o Simular, desenvolvido por Manoel Pereira Júnior como aluno do Curso de Ciência da Computação da FUOM, em Formiga Verde-MG. O EnsinAR vem complementar essa lista, incluindo algumas funcionalidades não presentes nas duas primeiras, e utilizando ambiente de gerenciamento de relações e realização de consultas diferentes e com ferramenta livre. Para continuar lendo esse texto acesse: https://projetos.inf.ufsc.br/arquivos_projetos/ projeto_295/ArtigoTCCEderson.pdf

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HALMOS. P. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora da USP, 1960. MONTEIRO. L.H. Elementos de Álgebra. Ao Livro Técnico, 1969. ROSEN. K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2003. Quinta Edição. GOMIDE. A, Stolfi.J. Elementos de Matemática discreta para computação, Unicamp, São Paulo, 2011

80

•

capítulo 4

5 Operações Binárias e Álgebra de Boole

Neste capítulo, faremos mais preciso o conceito de operação binária (ou simplesmente operação), e introduziremos também a nomenclatura já consolidada de propriedades notáveis de operações binárias.  Abordaremos também algumas aplicações da álgebra booleana de forma bastante breve. Em seguida, elementos comuns dessas aplicações serão abstraídas para se chegar as definições e fundamentos teóricos da álgebra booleana. Paralelamente, serão estudados também a relação e a aplicação dos mesmos no projeto de circuitos lógicos.

OBJETIVOS Este capítulo tem como objetivos levar o aluno a: • Compreender conceitos das operações binárias; • Operar com números binários; • Compreender conceitos da Álgebra Boolena; • Operar com circuitos lógicos.

82

•

capítulo 5

5.1 Operações Binárias Para iniciar o presente capítulo vamos voltar a alguns conceitos e definições das Relação binárias: Sejam A e B conjuntos, não vazios. Chama-se relação binária, R, de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é, R ⊂  A x B. Para indicar que um par (a, b) pertence à relação R, utilizaremos a seguinte notação aRb. Exemplo: Sejam A = {1 , 2 , 3} e B = {a , b}. Então  A x B = {(1 , a) ; (1 , b) ; (2 , a) ; (2 , b) ; (3 , a) ; (3 , b)}. R α é subconjunto de A x B. Daí tem-se que R α pode ser: R 1 = {(1 , a) ; (2 , a) ; (3 , b)} é uma relação binária R 2 = {(1 , a) ; (2 , a) ; (3 , a)} é uma relação binária R 3 = {(1 , b) ; (2 , a) ; (3 , a) ; (3 , b)} é uma relação binária R 4 = AxB é uma relação binária R 5 = ∅ é uma relação binária

5.1.1 Propriedades das operações binárias

CONEXÃO Continue lendo alguns conceitos acessando: http://www.inf.puc-rio.br/~inf1626/Apostila/ LFA-LivroRangel.pdf

Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escre ver cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa uma potência positiva e à direita, uma potência negativa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. Exemplo: 1011(binário) 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 11 Portanto, 1011 é 11 em decimal

 • 83

capítulo 5

Propriedades: Seja * uma operação definida num conjunto não vazio A. 3. Dizemos que * é uma operação associativa se ∀a, b, c ∈ A,( a * b) * c = a * ( b * c)

4. Dizemos que * é uma operação comutativa se ∀a, b ∈ A, a * b = b * c

5. Dizemos que um elemento e A é um elemento neutro da operação * se ∀a ∈ A, e * a = a * e = a

 As notações denotadas neste livro são universais: Quando uma operação num conjunto A é denotada por +, ela é denominada adição em A e, nesse caso, assume-se implicitamente que ela é associativa e comutativa. Em outras palavras, causa estranheza denotar operações não comutativas ou não associativas por \+.

5.1.2 Relações binárias  Aqui serão apontadas algumas relações binárias de adição e subtração:  Adição:

Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco, veja o exemplo abaixo: Exemplo: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10, ou seja 0 e vai 1* (para somar ao digito imediatamente à esquerda) * 1100 + 111 = 10011

84

•

capítulo 5

Subtração:

Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1. Observe o exemplo a seguir: Exemplo: 0–0=0 0 – 1 = 1 e vai 1* para ser subtraido no digito seguinte 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 * 1101110 – 10111 = 1010111

5.1.3 Exercícios de fixação 1. Considere a seguinte operação ∗ definida sobre o conjunto dos números reais: x ∗ y = 2xy . Verifique se ∗ e comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro. 2. Seja E um conjunto com uma operação ∗ que admite elemento neutro. Mostre que ∗ é comutativa e associativa se, e somente se, x∗ (y ∗ z) = (x ∗ z) ∗  y para quaisquer x, y, z ∗ E

5.2 Álgebra de Boole  A representação das funções lógicas pode ser realizada utilizando-se expressões matemáticas e diagrama de blocos. Os blocos funcionais usados para representar as funções lógicas elementares são denominados, de um modo geral, de blocos lógicos ou, mais particularmente de “portas lógicas”. Funções lógicas mais complexas podem ser obtidas em termos de combinações das funções elementares e a representação destas funções em termos de diagrama de blocos é denominada de Diagrama Lógico ou Circuito Lógico.  A Análise e Projeto de Sistemas Digitais é convertida na Análise e Projeto de Circuitos Lógicos. Os circuitos lógicos podem ser classificados em dois tipos:

 • 85

capítulo 5

CIRCUITOS COMBINACIONAIS:

As saídas em qualquer instante de tempo dependem apenas dos valores das entradas nesse instante de tempo. A Estrutura de Processamento utiliza, normalmente, este tipo de circuito.

CIRCUITOS SEQÜENCIAIS:

 As saídas em um dado instante de tempo dependem não só dos valores das entradas nesse instante de tempo, mas também dos valores em instantes anteriores: ou seja, estes circuitos possuem memória. A Estrutura de Controle utiliza, normalmente, este tipo de circuito.

5.2.1 Circuitos lógicos Considere dispositivos e suas respectivas classificações como os mostrados na figura abaixo, que recebem sinais de entrada a esquerda e produzem sinais de saída a direita: a) Circuito Inversor 

A

 A 

Usando apenas portas NAND  A ⋅ A = A 

86

•

capítulo 5

A

Usando apenas portas NOR A + A = A 

b) Circuito AND

A

 A 

A

A+B

B B

Usando apenas portas NOR

Usando apenas portas NAND

A ⋅B = A ⋅B = A + B

 A ⋅ B = A ⋅ B

c) Circuito OR  A

 A 

A

A+B

A+B

B B

B

Usando apenas portas NAND

Usando apenas portas NOR

 A + B = A + B = A ⋅ B

A+B= A+B

Suponha que nestes dispositivos tanto as entradas como as saídas tomam apenas o valor 0 (zero) ou 1 (um). A relação entrada-saída desses dispositivos está descrita a seguir, onde x1, x2 ∈ {0, 1} denotam entradas. Por exemplo, a saída da porta E é denotada por x1 x2 e toma valor 1 se e somente se x1 = 1 e x2 = 1. Quando esses dispositivos se interconectam, denominados de circuitos.

 • 87

capítulo 5

Portas Lógicas Símbolo antigo

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO E

Símbolo novo

A S

S

=

A x B

&

B

Símbolo antigo

Símbolo novo

A

     

S

S

=

A x B

&

B

Símbolo antigo S

S= A + B ≥1

B

Símbolo antigo

Símbolo novo

A

S= A + B

S

≥1

B

Símbolo antigo

Símbolo novo

A

S = A ⊕B

S B

88

•

capítulo 5

=1

B 0 1 0 1

S 0 0 0 1

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO NÃO E A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 1 1 0

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO OU

Símbolo novo

A

A 0 0 1 1

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 1 1 1

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO OU NÃO A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 0 0 0

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO OU EXCLUSIVO A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 1 1 0

Símbolo antigo

EXPRESSÃO DA FUNÇÃO TABELA DE VERDADE DA FUNÇÃO NEGAÇÃO

Símbolo novo A

1

=

S

A 1 0

S 0 1

Exemplo de circuito lógico completo: Circuito Somador Completo A

A#B

B

S = Ci# (A#B)

Ci Ci (A#B) Co=Ci . (A#B) + A.B

A.B

CONEXÃO Leia mais sobre circuitos lógicos em: http://www.inf.ufsc.br/~guntzel/isd/isd2.pdf

5.2.2 Álgebra booleana  As operações básicas da Álgebra de Boole são: 1. NOT → x = A 2. AND → x = A ⋅ B 3. OR → x = A + B 4. NAND → x = A ⋅ B 5. NOR → x = A + B 6. XOR  →  A ⊕ B

 • 89

capítulo 5

Uma expressão booleana é uma expressão formada por sinais de entrada (chamados variáveis de entrada) ligados por conectivos lógicos, produzindo como resultado um único sinal de saída.

Propriedades da Álgebra de Boole PROPRIEDADE 1. Identidade 2. Elemento Nulo 3. Equivalência

VERSÃO OR X+0=X X+1=X

4. Complemento 5. Involução

VERSÃO AND X·1=X X·0=0

X+X=X

X⋅X

X + X =1

X ⋅X

X

=

X

X

=

=

0

X

=

X

X ⋅Y

=

Y ⋅X

6. Comutativa

X+Y=Y+X

7. Associativa

(X + Y) + Z = X + (Y + Z)

8. Distributiva

X + Y⋅Z = X + Y ⋅ Y + Z

9. Absorção 1

X + X⋅Y = X

X⋅ X +Y = X

X + X ⋅Y = X + Y

X⋅ X + Y = X⋅Y

(

10. Absorção 2 11. Consensus

)(

(X

)

⋅

Y

)

(

⋅

(

Z = X ⋅ Y ⋅Z

)

)

X ⋅ Y + Z = X⋅ Y + X⋅Z

(

(

)

)

( X + Y )⋅( X + Z )⋅( Y + Z) X ⋅ Y + X ⋅ Z + Y ⋅Z = X ⋅ Y + X ⋅ Z =

12. De Morgan

( X + Y )⋅( X + Z )

X⋅Y + X ⋅Y

X⋅Y = X + Y

Essas propriedades acima citadas podem ser descritas em Leis que são úteis no tratamento das equações lógicas, como por exemplo: •

•

•

Lei da identidade:  A + 0 = A

e

A • 1 = A;

 A + 1 = 1

e

A • 0 = 0;

e

A •  A

Lei do zero e do um:

Lei da inversão:  A +  A

90

•

capítulo 5

=1

 = 0;

•

Lei da comutatividade:  A + B = B + A

•

e

A • B = B • A;

e

A • (B • C) = (A • B) • C;

e

A + (B • C) = (A + B) • (A+ C).

Lei da associatividade:  A + (B + C) = (A + B) + C

•

Lei da distributividade: A • (B + C) = (A • B) + (A • C)

 Além dessas leis existem dois teoremas conhecidos como Teoremas de De Morgan, cuja formulação é dada por:  A + B = A ⋅ B e A ⋅B = A + B

Qualquer conjunto de funções lógicas pode ser escrito como uma série de equações com uma saída do lado esquerdo de cada equação e com uma fórmula lógica à direita, relacionando as variáveis da função por meio dos três operadores mencionados, NOT, AND e OR. Exemplos: 1. Simplifique cada uma das seguintes funções usando as propriedades das operações lógicas: a) =

=

( A B ( A B

=

F = A B+C+ A →

 Lei de Morgan. A negação está aplicada à disjunção

+

C ) A → A nega

+

C ) A → distributividade da c onju

o de uma nega o . o em rela o

 A AB + C A → A A = 0 e elemento absorvente da conjun

=

0 + C A → Elemento neutro da disjun

=

CA

o (0 + C A

=

disjun

o

o (0 B = 0)

C A)

F=CA

 • 91

capítulo 5

(

b)

F = A B C D+D

→D+D =1

)

+

A C D (B + A + C ) + A C (B + D )

e 1⋅ A B C = A B C

=  A

BC

+

A C D ( B + A + C ) + A C ( B + D ) → Distributividade

=  A

BC

+

A C D B + A C D A + A C D C + A C B + A C D → E videnciar A C B

=  A

B C ( D + 1 + 1) + A C D A + A C D C + A C D → D + 1 + 1 = D

=  A

BC

=  A

B C + A C D → Evidenciar A C

+

A C D + A D C+ A C D→ A C D+ A D C+ A C D = A C D

F = C A (B + D)

2. Imaginemos um sistema de segurança de uma loja num centro comercial. Há um sensor de contato que indica que a porta está fechada. Existe outro sensor infravermelho que, ligado, indica que não há pessoas ou coisas que se movem no interior da loja. Há, também, um alarme que é acionado quando um dos dois sensores é desligado. Isto é, basta um único sensor ser desativado para soar o alarme. Denominando cada sensor pelos símbolos A e B:  A = "sensor de contato" , {1: porta fechada, 0:porta aberta} B = "sensor infravermelho", {1:Não há pessoas,0:Existe pessoas} Temos: S = f (A, B), em que f é a função alarme. Sugerimos então que tente completar a tabela de verdade da função S: A

B

S

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

 A função booleana seria: F = A⋅ B + A ⋅ B + A ⋅ B

92

•

capítulo 5

O Circuito logico é: B

A

3. Representar a função booleana da seguinte Tabela verdade. X

Y

Z

F

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

X+Y+Z

1

1

0

0

1

X+Y+Z

1

1

1

1

0

F

MAXTERMOS X+Y+Z

X+Y+Z

juç

 A função booleana é F = ( X + Y + Z).(X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z)

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capítulo 5

Manipulação Algébrica com método de simplificação. Uma forma de simplificar as funções booleanas é através do uso de axiomas e teoremas. A redução do número de termos e/ou literais deve resultar num circuito com menos portas. Exemplo 4. Considerando o exemplo 3, pode ser simplificada a função booleana através do uso de suas propriedades. F( X, Y , Z) = X. Y. Z + X. Y. Z + X. Z

Usando a lei distributiva , tem-se F( X, Y , Z) = X. Y( Z + Z) + X.Z

Usando a lei da inversão chamada também a propriedade do complemento temos: F( X, Y , Z) = X ⋅ Y(1) + X ⋅ Z F( X, Y, Z)

=

X ⋅ Y + X ⋅Z

Esta funçõe tem 2 termos e 4 literais, o que origina um circuito logico com 4 portas , 3 portas de 2 entradas e uma porta de 1 entrada.

ATIVIDADES 03. Desenhe só com portas NAND o circuito seguinte: A

F C D

94

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capítulo 5

04. Desenhe só com portas NOR o circuito seguinte: A B F C D

REFLEXÃO Usando as propriedades apresentadas, todo e qualquer circuito pode ser representado usando exclusivamente as função NAND ou as função NOR. Para que serviria tal artimanha, além da dor de cabeça? Há neste caso uma razão maior que a comodidade ou a aparente dificuldade: a razão econômica. Por diversas razões construtivas, fica mais barato construir TODOS os circuitos de um computador usando APENAS UM ÚNICO TIPO DE CIRCUITO. Aceitando essa afirmação, reflita e tente representar os nossos circuitos já conhecidos usando apenas funções NAND ou os NOR.

LEITURA 6. O campo de aplicação da Álgebra Booleana é bastante amplo, suas técnicas algébricas são necessárias principalmente na Ciência da Computação, mas aparecem também nos jogos, os quais ajudam a desenvolver o raciocínio lógico e podem ser aplicados na Matemática. Em ambas as situações é o uso das técnicas que permite conhecer a essência das operações lógicas, permitindo assim a sua aplicação. Tanto na Matemática quanto na Ciência da Computação, a Álgebra Booleana é formada por estruturas algébricas que capturam a essência das operações lógicas E, OU e NÃO, bem como das operações da teoria de conjuntos soma, produto e complemento. Ela também é o fundamento da matemática computacional, baseada em números binários composto apenas pelos números 1 e 0. Continue lendo: Álgebra booleana o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Você o encontrará acessando: https://www.unochapeco.edu.br/static/data/portal/downloads/1410.pdf

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capítulo 5

7. Outra leitura interessante é: Implementação de circuitos lógicos fundamentados em uma classe de lógicas paraconsistentes anotadas. O autor nos mostra mais aplicações dos circuitos lógicos em outras áreas do conhecimento científico. Os circuitos eletrônicos utilizados em sistemas digitais, funcionam baseados nalógica binária, desde a época em que foram primeiramente projetados. As primeiras máquinas eletromecânicas construídas na década de 40, precursoras dos atuais computadores eletrônicos, já utilizavam o sistema binário porque com apenas dois símbolos podiam efetuar seus cálculos. Esta particularidade da lógica binária facilita a sua representação por sinais elétricos. Com o aparecimento dos dispositivos semicondutores, por volta de 1950, ocorreu um aumento significativo de projetos de circuitos digitais que utilizam a lógica binária. Este aumento deve-se principalmente ao fato dos dispositivos semicondutores, utilizados nos 17 circuitos digitais serem facilmente polarizados e transformados em chaves do tipo On-Off . Estas chaves em determinado momento deixam passar corrente elétrica, e no instante seguinte podem impedir a passagem da corrente. Nos sistemas digitais encontramos sinais variáveis que são especiais, porque só podem assumir dois valores possíveis. Idealmente considera-se que as transições que ocorrem entre estes dois valores, são tão abruptas, que não existe nenhum outro valor intermediário. Portanto, as palavras “Falso” (F) e “Verdadeiro” (V) são usadas para definir estes dois valores. O sinal verdadeiro é em geral representado por um certo nível de tensão (V1) de polaridade positiva, e o sinal falso é representado por um nível de tensão (V2) de polaridade negativa. A lógica que adota esta convenção é chamada de lógica binária positiva. 8. Como outra sugestão de leitura: A história do desenvolvimento da teoria das funções computáveis e da indecidibilidade até 1970. 1834

O matemático inglês Charles Babbage, 1791–1871, projeta seu Engenho Analítico, o primeiro computador digital para múltiplos propósitos. Consistia de um compartimento de armazenagem, uma unidade aritmética, entradas e saídas por cartões perfurados e um mecanismo para controlar a sequência de cartões que controlava a iteração e a bifurcação condicional. Apesar de se acreditar que as ideias de Babbage estavam muito avançadas para a tecnologia da época, a verdade é que em 1834 dois engenheiros suecos, Georg e Edward Scheutz, construíram uma versão do Engenho Diferencial, o predecessor no Engenho Analítico que ele nunca completou. Em 1876, apenas cinco anos após a morte de Babbage, um inventor chamado George Bernard Grant exibiu um engenho diferencial baseado em projeto

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capítulo 5

próprio na Philadelphia Centennial Fair. Partes da máquina estão hoje no Museu de Ciências de Londres. A influência de Babbage foi quase nula até a Segunda Guerra Mundial, quando seu trabalho foi redescoberto. 1970

O matemático russo Yuri Matiyasevich, 1947–, aos 22 anos coloca a última peça no quebra-cabeças que resolve o Décimo Problema de Hilbert de 1900: não existe um algoritmo geral que possa determinar, para uma equação polinomial qualquer em qualquer número de variáveis, e com coeficientes inteiros, se a equação tem ou não uma solução nos números inteiros (veja Davis, 1958, segunda edição). 1971

O problema da satisfatibilidade para a lógica proposicional, conhecido como SAT, consiste em determinar se uma dada fórmula proposicional é satisfatível ou não. A extrema relevância desse problema aparentemente trivial foi desvendada por Stephan Arthur Cook , 1939–, no artigo de 1971 pelo qual ele recebeu a Medalha Turing em 1982. Os problemas recursivos da classe NP são aqueles solúveis por uma máquina de Turing não-determinística em tempo polinomial, ou equivalentemente, aqueles para os quais, proposta uma solução, pode-se verificá-la em tempo polinomial por uma máquina de Turing determinística usual. Por outro lado, os problemas da classe P são aqueles simplesmente solúveis por uma máquina de Turing determinística em tempo polinomial. Cook mostrou que qualquer problema da classe NP pode ser polinomialmente reduzido a SAT, mostrando que a computação polinomial que verifica um problema da classe NP equivale à satisfatibilidade de uma fórmula proposicional (isto é, SAT é NP-completo). Considerando que a classe P está obviamente contida em NP, o problema de decidir se NP está ou não contida em P tornou-se a maior questão em aberto da ciência da computação. Esta questão se reduz, no fundo, à existência ou não de um algoritmo computável em tempo polinomial para decidir a satisfatibilidade da lógica proposicional.   No texto mencionado acima, o autor escreve de ordem cronológica os avanços das funções computacionais. Esse texto na íntegra você lê acessando: http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:PWut1F0u1OMJ:https:// www.ime.usp.br/~bianconi/recursos/Cronologia.doc+&cd=6&hl=pt-BR&ct=clnk&gl=br

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capítulo 5

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HALMOS. P. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora da USP, 1960. MONTEIRO. L.H. Elementos de Álgebra. Ao Livro Técnico, 1969. ROSEN. K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2003. Quinta Edição. GOMIDE. A, Stolfi.J. Elementos de Matemática discreta para computação, Unicamp, São Paulo, 2011

GABARITO Capítulo 1 01. (V)2∈A ( F ) 11 ∈ B ( V ) 4 ∉ B (F)A∈N ( F ) A ⊂ B 02. a) A ∪ B ∪ C.

A

B

C

b) A ∩ B ∩ C.

A

B

C

98

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capítulo 5

c) (A ∪ B) – C.

A

B

C

03. a) A é o conjunto das soluções da equação 2x + 5 = 19. (UNITÁRIO) b) B = {x / x é número natural maior que 10 e menor que 11}. (VAZIO) c) C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }. (INFINITO) d) D = {0, 10, 20, 30, ..., 90} (FINITO) 04. c) {0; 1} 05. a) P: {3, 4, 5, 7} b) Q:{1, 2, 3, 87} c) cR:{2, 5, 6, 7} d) (P ∩ Q) – R :{3} e) (P U Q) ∩ R:{2, 5, 7} f) (P U R) – P:{6} g) (Q ∩ R) U P:{2, 3, 4, 5, 7} 06. a) x é um conjunto natural menor que 8. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31. {5, 10, 15, 20, 25, 30}

07. Resposta do aluno 08. A – B:{0, 6} 09. c) se x ∈ B então x ∈ A. 10. a) A = {0, 1, 2, 3, 4} b) B = {2, 3, 5, 6, 7} c) C = {2, 4, 5, 8, 9} d) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = {2, 3, 5} e) (A ∩ C) ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

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capítulo 5

11. Primeiramente podemos calcular em quantas filas diferentes Helena e Pedro estão juntos. No caso, para tanto, podemos considerá-los como se fossem apenas um elemento para permutar, daí temos 7!, como Helena e Pedro podem se permutar entre si de 2 formas, temos que multiplicar este resultado por 2. Temos então: Filas com Helena e Pedro juntos: 2 x 7! = 10.080 Agora, nestes 10080 casos que foram contados, existem aqueles em que Vera e Paulo estavam juntos e aqueles em que Vera e Paulo não estavam juntos. Vamos então calcular em quantos deles Vera e Paulo estavam juntos, para que possamos fazer a subtração. Da mesma maneira, vamos considerar Vera e Paulo como se fossem um elemento, e em seguida considerar que eles podem se permutar entre si de 2 formas. Filas com Helena e Pedro juntos e Vera e Paulo JUNTOS: 2 x 2 x 6! = 2.880 A resposta é então: 10.080 - 2.880 = 7.200 R: 7.200 12. Como vimos no exercício anterior, podemos pensar em uma fila de 15 atletas ou na combinação simples. Mas, no que este exercício se diferencia do anterior então? Neste exercício, a primeira, segunda e terceira equipes formadas, não possuem nomes, o que faz com que a ordem de escolha das equipes não faça diferença. Como a ordem das três equipes não faz diferença, temos que dividir o resultado anterior [756756] pela quantidade de maneiras de permutar 3 equipes, no caso 3!. Daí temos: 756.756/3! = 756.756/6 = 126.126 R: 126.126 13. Cada solução pode ser representada por um conjunto de traços e sinais +. Por exemplo, a solução (5,1,1) pode ser representada da seguinte forma: |||||+|+| Então, a quantidade de soluções será equivalente a quantidade de maneiras de ordenar sete barras e dois sinais de adição, tendo em mente que o fato de que todas as soluções serem positivas faz com que na representação pelos traços e sinais de adição, necessariamente não se comece ou termine por sinal de adição, e nem que estes sinais apareçam juntos. Podemos então primeiramente pensar em 7 barras dispostas e de quantas formas podemos inserir entre elas os dois sinais +. Para o primeiro sinal + temos 6 possibilidades entre as sete barras. Já tendo colocado o primeiro sinal de +, para o segundo sinal, temos 5 possibilidades [não pode ser no início, no fim e nem ao lado do primeiro sinal +]. Pelo princípio multiplicativo, temos 6x5 possibilidades, como a ordem da escolha dos sinais de + não importa, temos que dividir este resultado por 2. A resposta é 30/2 = 15 R: 15

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capítulo 5

14. a) Há 26 x 26 x 26 x 26 x 26 = 11.881.376 palavras de 5 letras. Delas devemos subtrair as palavras que começam por A, 1 x 26 x 26 x 26 x 26 = 456.976, e aquelas nas quais a letra A não figura, 25 x 25 x 25 x 25 x 25 = 9.765.625. A resposta é 11.881.376 - 4.569.76 - 9.765.625 = 1.658.775. b) Há 4 posições para colocar a letra A; depois disso, as quatro casas vazias podem ser preenchidas de 25,24,23 e 22 modos. A resposta é 4 x 25 x 24 x 23 x 22 = 1.214.400 R: 1.658.775 e 1.214.400 15. Temos que escolher 3 letras, cada uma pode ser escolhida de 26 maneiras. Temos que escolher 4 números, cada um pode ser escolhido de 10 maneiras. Logo: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 R: 175.760.000

Capítulo 2 01. Embora não seja estritamente necessário, a resolução desta questão também se utiliza de diagramas de flechas para que você tenha uma visão gráfica do conteúdo explanado.  Pela definição de função sabemos que uma relação de A em B é função quando todos os elementos do conjunto A estão relacionados a um, e somente um, elemento do conjunto B. Segundo tal definição a relação R1 não é função, pois não existe nenhum par ordenado que relacione o elemento 7do conjunto A, a qualquer elemento do conjunto B. Em nenhum dos pares ordenados da relação R1 o primeiro elemento do par ordenado é o número 7 do conjunto A. Observe no diagrama de flechas desta relação, que do elemento 7 do conjunto A não parte nenhuma flecha. Então, segundo da definição de função, a relação R1 não é função. A

B

3

1 5

7

R1

11 9

13

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capítulo 5

Na relação R2, para todo elemento do conjunto A há ao menos um par ordenado que relaciona um elemento de Aa um elemento de B. O problema neste caso é que o elemento 7 do conjunto Aesta relacionado a mais de um elemento do conjunto B, através dos pares ordenados (7, 5) e (7, 11). Note no diagrama de flechas da relação R2, que do elemento 7 do conjunto A partem duas flechas em direção ao conjunto de chegada, relacionando-o com os elementos 5 e 11 do conjunto B. Então, segundo da definição de função, a relação R2também não é função. A

B

3

1 R2

5

7 11 13

9

A R3 relaciona cada elemento do conjunto A a um, e somente um, elemento do conjunto B. Veja que nem todos os elementos de B recebem flechadas de algum elemento de A, mas isto não contraria a definição de função. Os elementos 5 e 13 pertencem ao contradomínio da função, mas não pertencem ao seu conjunto imagem. Observe também que o elemento 1 do conjunto B recebe mais de uma flechada, não contrariando contudo, a definição de função. Portanto, a relação R3 é função. As relações R1 e R2 não se tratam de funções de A em B. A

B

3

1 R3

5

7 11 9

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capítulo 5

13

02. f = { (1,2),(2,4),(3,6)} O conjunto A é o domínio da função (conjunto de partida) No exemplo temos: Domínio = {1,2,3} O conjunto B é o contradomínio da função (conjunto de chegada) No exemplo, temos: Contradomínio = {2, 3, 4, 5, 6, 7} A imagem da função é formada por todos os elementos de B que ficam associados a elementos de A (elementos de B que rebem flechas ) No exemplo temos: Imagem = {2, 4, 6} O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio. 03. Temos f (3) = 3.3 + 6 = 12. Agora ao calcularmos f-1 (12) = 12 6 2  . Assim perce3 be-se a relação entre a função e a sua inversa. 04. Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, 5  } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formação: - a imagem do -3 é também representada por f(–3), e f (–3) = 2. (–3)² +1, então f (–3) = 19 – f(2)=2 · (2)²+1, então f (2)=9 – f (0)=2 · (0)²+1, então f (0)=1 – f ( 5 ) = 2 · ( 5 )²+1, então f ( 5  ) = 11. Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im(f) = {19, 9, 1, 11} 05. Como f(x) = 2x –3, podemos escrever: f[g (x)] = 2 · g(x) – 3 = - 4x + 1 Logo, 2 · g(x) = – 4x +4 · g(x) = –2x + 2 Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4. Logo, a alternativa correta é a letra D. 06. Teremos: fog (x) = f [g(x)] = f (cx + d) = a (cx + d) + b portanto fog (x) = acx + ad + b gof (x) = g [f(x)] = g (ax + b) = c (ax + b) + d portanto gof (x) = cax + cb + d Como o problema exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d Simplificando, vem: ad + b = cb + d ad – d = cb – b portanto d (a – 1) = b (c – 1), que é equivalente a d (a – 1) = b (c – 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. −

=

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capítulo 5

Capítulo 3 01. Cada ponto (x, y) é da forma (x, f (x)). (x)). Utilizando Utilizand o o sistema, temos:  f ( −2 ) = a( −2) + b   −2a + b = −63 → (× − 1) 2a − b = 63 63 ⇒ ⇒ ⇒ 7a = 63 ⇒ a = = 9⇒  5 a b 0 + = 5 a b 0 + = 7 f 5 a ( 5 ) b  = + ( )    ⇒ b = −5(9) = −45

Logo, a função é: f( x ) 9x 45  . O valor é f(16 ) 9(16 16 ) 45 14 1 44 45 99 02. Como ∆ < 0, a equação não admite raízes reais, portanto a parábola não intercepta o eixo das abscissas. =

−

=

d)

−

=

−

=

y

x

03. Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.y. O conjunto dos pares ordenados: f = {(–2, {(–2, 1), (1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)} y

X

Y = F ( X) = X + 1

–2

–1

3

–1

0

2

0

1

1

1

2

0

2

3

1

2

3

4

x

04. Uma equação do 1º grau é definida definida por y = ax + b com a ≠ 0 . Logo, pelo gráfico, concluímos: Quando x = 0, y = 2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2 Quando y = 0, x = – 4 (raiz ou zero da função)

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capítulo 5

Substituindo os valores em y = ax + b: 0 = – 4a + 2 1 a= 2 1 Logo, a expressão é y =  x+2. 2 05. Este conjunto é um conjunto sem elementos, e é essencial porque até agora podíamos estar falando de conjuntos sendo que eles nem existissem, a garantia da existência de pelo menos um conjunto nos levará a construção de outros conjuntos. O conjunto vazio é simbolizado por ∅, este conjunto é muito especial, pois para todo conjunto A temos que ∅ ⊂ A. A prova é simples, suponha por absurdo que ∅ não está contido em A, isto implica que existe um elemento no ∅ tal que este elemento não pertence a A, A , mas o conjunto vazio não possue elementos, logo isto é um absurdo. 06. a) Parece natural que se temos dois conjuntos A e B queremos saber se existe um con junto ∪ que contenha todos os elementos de A e de B. Este conjunto união existe e é único, a Existência vem do Axioma das Reuniões e a unicidade do Axioma de Extensão. Para toda coleção C existe este conjunto ∪ tal que se x ∈ X para algum X em C, então x ∈ ∪, aplicando o Axioma da Especificação formamos o conjunto {x ∈ ∪ : x ∈ X para algum X em C }. b) Este conjunto também é conhecido como o conjunto das partes (P) ou das potências, porque esta também é uma forma de separar o conjunto em partes. O nome potências é por causa de um teorema que diz que se o dado conjunto tem n elementos, então o seu conjunto das potências tem 2n elementos. 07. Esse tipo de conjunto representa uma quantidade limitada de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números compreendidos entre 1 e 10 será representado da seguinte maneira: {x / 1 < x < 10} ou {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 08. Apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de termos). Por exemplo: O conjunto dos reais é considerado um conjunto infinito, pois não possui fim. O conjunto dos números inteiros também é considerado infinito.

Capítulo 4 01. Base: Para n = 1 temos 4n – 3 = 1 a sequência terá um só termo como 1 = 1 (2 · 1 – 1) = 1. Hipótese: vale para n, para n+1 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) + (4 (n + 1) –3) = (n + 1)(2 (n + 1) –1)  n (2n – 1) + 4n + 4 – 3 = 2n 2 – n + 4n +1 = 2n2 + 3n + 1 A outra parte fica sendo (n + 1) (2n + 2-1) = (n + 1)( 2n + 1) = 2n2 + n + 2n + 1 = 2n2 + 3n + 1

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capítulo 5

02. Base: Se n = 0 temos que o conjunto A é vazio portanto P (A) = { }, logo o número de elementos de P (A) é igual a 1 = 2 . Hipótese de indução: Para um dado conjunto A com k ≥ 0 elementos temos que o con junto potência P (A) tem 2k elementos. Passo: Mostrar que para um conjunto A com k + 1 elementos o conjunto P(A) tem 2k+1 elementos. Seja A um conjunto com k + 1 elementos. Como k ≥ 0, A tem pelo menos um elemento. Seja a este elemento. Considere o conjunto B = A – {a}. Logo B tem k elementos, o que, pela hipótese de indução, implica que P(B) tem 2k elementos. O P(A) pode ser dividido em dois sub-conjuntos, ou seja: P( A ) = P(B) ∪ {C ∪ {a} : C ∈ P (B )}

 Como P(B) ∪ {C ∪ {a} : C ∈ P (B )} = ∅  é o número de elementos de |P(B)| = |{C ∪ {a} : C ∈ P(B) }| = 2k, concluímos que o número de elementos de P(A) = 2k+1. 03. Considerando que R3 e R4 possuem 25 e 10 10 tuplas, respectivamente, temos que: • o máximo de tuplas de E3 ocorrerá quando R3 e R4 forem disjuntas, isto é, quando não possuírem tuplas em comum. Neste caso, o número de tuplas da união será igual à soma do número de tuplas nas duas relações (35); • o mínimo de tuplas de E3 ocorrerá quando R4 estiver totalmente contida em R3. Nesse caso, o número de tuplas da união será igual ao número de tuplas de R3 (25). Logo, max(E3) = 35 e min(E3) = 25 04. Considerando que: • R1 e R2 possuem n1 e n2 tuplas, respectivamente; e • n2 > n1 > 0; Temos que: • o máximo de tuplas geradas pela operação de união ocorrerá quando R1 e R2 forem disjuntas, isto é, quando não possuírem tuplas em comum. Nesse caso, o número de tuplas será igual à soma do número de tuplas nas duas relações (n1 + n2); totalme nte • o mínimo de tuplas geradas pela operação de união ocorrerá quando R1 estiver totalmente contida em R2. Nesse caso, o número de tuplas será igual ao número de tuplas de R2 (n2). Logo, max(R1 ∪ R2) = n1 + n2 e min(R1 ∪ R2) = n2

Capítulo 5 01. Para quaisquer x, y ∈ R, temos x * y = x * y = 2x · y = x * y = 2x · y = y * x. Logo, * é comutativa. • 0 * (1 * 2) = 2 0*(1*2)= 20 = 1 e (0 * 1) * 2 = 2 0*1 * 2 = 2 * 2 = 1 * 2 0 = 21·2 = 2² = 4. Logo, 0 * (1 * 2) , (0 * 1) * 2 o que significa que * não é associativa.

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capítulo 5

• Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, devemos ter e *

x = x para todo x ∈ R. Daí, temos 2ex = x. Escolhendo dois valores distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equação anterior, obtemos: 2e = 1 e 22e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que e um absurdo. ´ Logo, nao existe elemento neutro para essa operação. 02. Suponhamos * comutativa e associativa. Então para quaisquer x, y,z ∈ E temos • x * (y * z) = x * (z * y) (porque * ´e comutativa) • x * (z * y) = (x * z) * y (porque * ´e associativa) • Logo, x * (y * z) = (x * z) * y.

Suponhamos x * (y * z) = (x * z) * y para quaisquer x, y,z ∈ E. Em particular, escolhendo x = e = elemento neutro, temos que e * (y * z) = (e * z) * y, ou seja, y * z = z * y para quaisquer y,z ∈ E. Isso significa que a operação * e comutativa. ´ Como x * ( y * z |{z} z * y ) = (x * z) * y → x * (z * y) = (x * z) * y para quaisquer x, y, z ∈ E. Logo, * é associativa. 03. Transformando os AND em NAND, temos de negar as suas saídas. Para a função se manter equivalente, temos de negar as entradas do OR. Um OR com as entradas negadas é um NAND segundo as Leis de Morgan. O circuito fica: A B F C D

04. Transformando os OR em NOR basta negar os OR. Para a função não se alterar, temos de negar as entradas do AND. Um AND com as entradas negadas é um NOR segundo as Leis de Morgan, logo o circuito fica: A

B F C D

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capítulo 5

ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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capítulo 5

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capítulo 5