RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Funciones Función cuadrática t
1. Identicar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax 2 + bc + c. 2. Representar tabular, algebraica y gráca mente una función cuadrática.
Expresiones algebraicas t Factorización
3.
t t
División de polinomios Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
Racionalización.
4. 5. 6.
t
7.
Ecuaciones
8.
t
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita -
Raíces
-
Discriminante
Funciones t
Función cuadrática
9.
Factorizar y simplicar expresion expresiones es alge braicas. Expresar x 2 + px + q como (x + h) 2 + k. Efectuar división de polinomios. Efectuar operaciones con expresiones algebraicass fraccionaria algebraica fraccionarias. s. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
10. Trazar la gráca de una función cuadrá tica cuyo criterio es y = ax 2 + bx + c. 11. Analizar la inuencia de los parámetros a, b, c en la gráca de y = ax 2 + bx + c, utilizando software. 12. Plantear y resolver problemas utilizan do ecuaciones de segundo grado con incógnita.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Álgebra Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy poste rior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos si glos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra ál gebra se debió sobre todo a los matemáticos matemát icos árabes y, muy en particular, a Al – Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante núme ros que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Notación algebraica Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para repre sentar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades descono cidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Una misma letra puede representar distintos valores que se diferencian me diante el uso de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a 1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las can tidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación y en cursos posteriores la logaritmación, etc.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Signos de operación t
t
t
En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”. En la resta se utiliza el signo (–). Así, por ejemplo x–y se leerá “equis menos ye”. En la multiplic multiplicación ación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó ( ×). Así, por ejemplo x x y = x × y se leerá “equis multiplicado por ye”.
El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x ×y×z = xyz t
t
t
En la división se utiliza utiliza el signo signo dividido dividido entre (:)( ÷) ó (/). Así, por ejemplo x : y = x/y = x ÷y y se leerá “equis dividido entre ye”. En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x 4= x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno. En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”; 3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
Signos de relación Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades. t
El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”.
t
El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”.
t
El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”.
t
El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”.
t
El signo ≥ se lee mayor que o igual.
t
El signo ≤ se lee menor que o igual.
Signos de agrupación Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FUNCIONES Antes estudiamos un tipo especial de fun ciones, las funciones lineales; a partir de ahora, estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales son funciones polinómicas de grado 2.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astrono mía y Matemáticas.
f(x) = ax2 + bx + c
En su tratado sobre Álgebra, al khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado con palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.
Las ecuaciones de éste tipo de funciones ya las hemos utilizado anteriormente. En esta sección del libro Matemática Zapandí, además del estudio pormenorizado de esta función, conoceremos algo de la historia de la Matemática en la que se fundamentó su desarrollo. Los matemáticos ára bes hicieron importantes contribuciones a la Mate mática en la época llama da “la Edad de Oro” del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1200 d.C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y a la Trigonometría.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el plantea miento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor inuencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Viète (1540 - 1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coecientes de una ecuación, se impulso enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen mate máticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente:
f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
f(0) = – 2(0) 2 + 8(0) =0+0 =0
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace x = 1 y se calcula
Así: ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal c es el término independiente
f(1) = – 2(1) 2 + 8(1) =–2+8 =6
También se da el caso que se le llame trinomio cuadrático. Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en la Matemática, es el tema de las funciones cuadráticas. Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal en el libro de Matemática Ujarrás, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.
Y cuando han transcurrido 2 segundos: f(2) = – 2(2) 2 + 8(2) = – 8 + 16 = 8 También, podemos calcular cuando x = 3, x = 4 de igual manera. Es así como se puede construir la siguiente tabla de valores.
Por ejemplo Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: Se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contando a partir del momento en que fue lanzada.
x 0 1 2 3 4
f(x) 0 6 8 6 0
↑
↑
tiempo altura
La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.
De la anterior tabla de valores, se pueden inferir varias cosas acerca del fenómeno en cuestión: entre ellas:
Si se obtiene, en un caso especíco, la función f(x) = – 2x 2 + 8x.
2) La altura máxima la alcanza al haber transcu rrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.
Entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:
3) La velocidad de la pelota va disminuyendo des de que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento).
1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segun dos de haber sido lanzada.
196
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Esta tabla de valores nos permite construir la siguiente gráca así:
DATOS
ACTUAL
FUTURO
No de apartamentos alquilados
52
52 −
Precio por apartamento (mensual)
266
266 + x
Benefcio total
52 • 226 = 13 832
52 − 7 (266 + x) = __
x 7
x
Con las funciones cuadráticas podemos plan tear y resolver problemas de este tipo. En la columna datos tenemos los títulos (No de apartamentos alquilados ), Precio por apartamento (mensual) y benecio total.
Observe t
Entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros.
En la columna actual, se tiene que el número de apartamentos alquilados son 52 a razón de 266 dólares y producen un benecio men sual total de 52 multiplicado por 266, o sea, 13 832 dólares.
f(2) – f(3) = 8 – 6 = 2 metros t
Entre los segundo 3 y 4 se vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo:
En la columna futuro se tiene la expresión x 52 − , por qué esto así, porque si se aumenta 7 7 dólares, se tiene que 52 menos “x” entre 7 es 52 menos 7 entre 7, que es lo mismo que, 52 menos 1 que es igual a 51. Pierde un inquilino, y le queda un apartamento sin alquiler.
f(3) – f(4) = 6 – 0 = 6 metros
Otros ejemplos 1. El propietario de un edicio tiene alquilado 52 apartamentos del mismo al valor en dólares de 266 al mes cada uno. Por cada 7 dólares que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y por lo tanto queda el correspondiente apartamento sin alquiler. ¿Cuál será el alquiler, que más benecio le dé al propietario? ¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario?
La expresión 266 + x nos indica que los apar tamentos a este momento tienen un precio de 266 más el incremento de 7 ó 14 o más. Y que el benecio total del propietario se calcula resolviendo 52 − x ( 266 + x) = ____ . 7 2. La correspondencia mediante la cual a cada círculo de radio “r”, con r ∈ R+ se le hace corres ponder su área A, es una función cuadrática, pues la imagen de cada elemento r ∈ R+ viene dada por A(r) = πr2.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Como los puntos de la gráca tienen una dis posición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x = 50 y x = 150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x) = 0. Además el vértice (100,500)
3. Un agricultor tiene postes para construir 1000 metros de una cerca y un terreno muy grande. El área de la cerca con forma de rectángulo con dimensiones x metros y 500 – x metros puede describirse con una función. El caso en cuestión reere al uso de las fun ciones cuadráticas f(x) = ax 2 + bx + c para indicar que a cada rectángulo con medidas x, 500 – x se le hace corresponder su área “y”, donde y = x(500 – x) = – x 2 + 500x (m2: metros cuadrados).
Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es: 1 f(x) = − x2 + 40x − 1500 5
Muchas son las situaciones que se pueden presentar y resolver con las ecuaciones que representan las funciones cuadráticas.
4. En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha gracado.
La ecuación correspondiente a esta función es:
Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido.
x 50 60 80 100 120 140 150
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), con a, b, c ∈ ℝ Son ejemplos de funciones cuadráticas:
y 0 180 420 500 420 180 0
y = 2x2 – 3x – 1
donde a = 2, b = – 3, c = – 1
y = – x2 + 3
donde a= – 1, b = 0, c = 3
y = 3 x2 + x – 5 donde a = 3 2 1 y = x2 − x + 8 5 2 y = x2
3 , b = 1, c = –
5
3 2 1 donde a = , b = − , c = 8 5 2 donde a = 1, b= 0, c = 0
500
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto ℝ.
400
300
Representación gráca
200
de una función cuadrática
100 0 0
50
100
150
200
250
Cuando representamos en una gráca "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola. Es decir, una
198
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA parábola es la representación gráca de una
función cuadrática. Por ejemplo.
Esta distinta orientación está denida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (ax2): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en
t
La gura determinada por un puente es una parábola o bien, es la gura determinada mediante una función cuadrática.
9 8 7 6 5 4 3
2m
2 1
7m -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3 -2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -3 -4 -5
9.6 m
-6
4.416 m
-7 -8 -9
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien denidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en
t
Estas características o elementos son:
9 8
t
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
7 6
t
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
t
Punto de corte con el eje de ordenadas
t
Eje de simetría
t
5 4 3 2 1 -9
Vértice
-8
-7
-6
-5
-4
-3 -2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -3 -4 -5 -6
Orientación o concavidad
-7 -8
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orien tan hacia abajo.
-9
Además, cuanto mayor sea (a) más cerrada es la parábola.
199
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
Otra característica o elemento fundamental para gracar una función cuadrática la dá el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes con gruentes. Se puede imaginar como un espejo que reeja la mitad de la parábola.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos, f (x) = 0. Esto signica que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos, ax² + bx + c = 0 Las raíces o soluciones de la ecuación cua drática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coorde nada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Eje de simetría o simetría Ramas de la parábola
Vértice Como podemos ver en el gráco anterior, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola. Para una función cuadrática y = ax 2 + bx + c, −b . Como la coordenada x del vértice es siempre 2a el eje de simetría siempre pasa por el vértice, sig nica que el eje de simetría es una línea vertical − b x = . Cambiando los valores de a y b en la gráca 2a siguiente se puede ver dónde están el vértice y la línea de simetría.
Las grácas de las funciones cuadráticas
Como recordaremos cuando se estudio en el libro de Matemática Ujarrás para obtener la gráca de la función y = – 2x + 5 , por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación. Función: y = – 2x + 5
Vértice
x y PUNTOS 1 3 A(1,3) 2 1 B(2,1) 3 – 1 C(3,1) 4 – 3 D(4,– 3) 5 – 5 E(5,– 5
Eje de simetría
200
y = –2(1) + 5 = –2 + 5 = 3 y = –2(2) + 5 = 4 + 5 = 1 y = –2(3) + 5 = – 6 + 5 = – 1 y = –2(4) + 5 = – 8 + 5 = – 3 y = –2(5) + 5 = – 10 + 5 = – 5
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos grácamente.
lineales. Se dan valores a la variable independiente “x” y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obteniendo los valores de la variable depen diente “y”.
7 6
Por ejemplo.
5
Represente grácamente la función cuadrática dada por y = x 2 – 6x + 9
4
A
3
Solución:
2
B
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1
1
2
1º Construimos una tabla semejante a esta: 3
4
5
6
7
x
C
y PUNTOS
y = ax2 + bx + c
-2 -3
D
-4 -5
E
-6
La gráca de una función de primer grado se llama también función lineal porque su gráca es siempre una línea recta.
2º La completamos.
Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b , donde m y b pueden tener valores positivos o negativos.
Con los números “x” que son cualquier valor real y los números “y” que son números que se obtienen al sustituir el valor de “x” en la ecuación de la función cuadrática y = ax 2 + bx + c. Con estos valores se forman los puntos que corresponden a los pares ordenados (x, y) formados por los valores de “x” y sus correspondientes de “y”. Así.
Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el término x con exponente 2; ejemplos de esta función son: y = x 2 + 5; y = – 3x 2 + 1; y = 4x 2 – 1; y = (x – 3) 2, etcétera.
Representación tabular y grácamente de
una función cuadrática PRIMER CASO: Para obtener la gráca de la función cuadrática y = ax2 + bx + c , se procede primero a tabular, es decir, se construye una tabla semejante a la ya utilizada para construir grácas de funciones
201
x
y PUNTOS
y = x2 – 6x + 9
1
4
A(1,4)
y = (1)2 – 6(1) + 9 = 4
2
1
B(2,1)
y = (2)2 – 6(2) + 9 = 1
3
0
C(3,0)
y = (3)2 – 6(3) + 9 = 0
4
1
D(4,1)
y = (4)2 – 6(4) + 9 = 1
5
4
E(5,4)
y = (5)2 – 6(5) + 9 = 6
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3º Una vez tabulados los valores, éstos se repre sentan grácamente de la siguiente manera:
2. Puntos de corte con el eje OX.
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
7
Aquí hacemos uso de la ecuación:
6 5
E
D
4
x =
−b ± b2 − 4ac 2a
3
donde tenemos que:
2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1
1
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
A
B 2
3 C
4
5
6
7
t
-2 -3 -4
Dos puntos de corte: (x 1, 0) y (x2, 0) si b² – 4ac > 0
t
Un punto de corte: (x, 0) si b² – 4ac = 0
t
Ningún punto de corte si b² – 4ac < 0
-5 -6
La utilidad de las funciones lineales y cuadrá ticas encuentra un campo fértil. En la ciencia y la técnica, justicando con ello, la dimensión que la herramienta matemática ha alcanzado en estas áreas.
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c
(0,c)
Por ejemplo: Representar la función f(x) = x² – 4x + 3
SEGUNDO CASO:
1. Vértice − b − ( −4 ) 4 = = =2 xV = 2a 2 (1) 2 Para hallar el valor de y v sustituimos x v
Representación gráca
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice −b xv = 2a
3. Punto de corte con el eje OY.
yv = 2² – 4(2) + 3 = –1
−b y v = f 2a
−b −b ,f 2a 2a
El vértice es V(2, -1)
v
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. −b La ecuación del eje de simetría es: x v = 2a
2. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raí ces o soluciones) (eje de las X), eje OX. Para hallar los puntos del eje de las X, hacemos uso de la expresión: x =
202
−b ± b2 − 4ac 2a
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como x² – 4x + 3 = 0 , aquí tenemos que a = 1, b = – 4 y c = 3
Recuerde La gráca de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola.
Y como b 2 – 4ac > 0, tiene dos puntos de corte en el eje de las abscisas, puesto que b2 – 4ac = 4.
Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para gracar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.
4 ± 16 − 12 2 4+ 4 4+2 6 = = =3 x1 = 2 2 2 4− 4 4−2 2 = = =1 x2 = 2 2 2
x =
La forma estándar de una ecuación cua - drática es y = ax 2 + bx + c. Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, −b . x =
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son (3, 0), (1, 0). 3. Punto de corte con el eje OY
2 a
Este punto se halla sustituyendo en la ecuación de la función cuadrática y = x² – 4x + 3. y = x² – 4x + 3
TRABAJO INDIVIDUAL 1
(0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 El punto de corte con el eje de las ordenadas es (0, 3) Gráca: 6
A. Selección 1) A un cartón rectángular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguientes expresio nes algebraicas, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las esquinas?
5 4 3 2 x
1
-1
0
1
2
3
A) y = (5 – 2x)(4 – 2x)
4
-1
B) y = (5 + 2x)(4 + 2x)
-2
C) y = 4x2 – 18x – 20 D) y = – 4x2 – 18x + 20
203
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ¿Cuál de las opciones corresponde a la grá ca asociada a la relación entre la altura que alcanza el balón y el tiempo?
2) Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado “x”, uno de cada esquina.
A)
De las siguientes expresiones. ¿Cuál permite calcular el área “y” a partir del valor “x”?
10 a r u t l A
A) y = 4x2 – 8x – 4
5
B) y = 4x3 – 8x + 4x C) y = 4x2 – 8x + 4
0
D) y = 4x + 8x + 4 2
B) 3) El ancho de un rectángulo es siete unidades menor que el largo y el área es igual a 588 m 2, ¿cuál es la ecuación que representa correcta mente esta situación?
a r u t l A
5 Tiempo
10
5
A) x(x – 7) = 588
0 5 Tiempo
-5
B) x – 7 + x = 588 C) x2 + 7x + 588 = 0
C) a r u t l A
D) x2 – 7x + 588 = 0
10
4) La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de fútbol después de ser despejado.
Tiempo (en segundos
5
Altura alcanzada por el balón (en metros)
0
0
1
5
2
8
3
9
4
8
5
5
0 5 Tiempo
-5
D)
15
a r u t l A
10
5
-5
204
0 5 Tiempo
10
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Resuelva cada uno de los problemas siguientes en forma ordenada. 1) Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (A)?
Medida de un lado del cuadrado
Área del cuadrado
2 cm
4 cm2
3 cm
9 cm
5 cm
25 cm2
x cm
¿ ?
2
c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos?
Respuesta:
4) Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 30 m, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. Respuesta:
Respuesta:
2) Si al cuadrado anterior, se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión algebraica que determina el área (A) del rectángulo que se ha formado?
5) El parque de mi barrio está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado se ocupa como es tacionamiento y el resto es la zona verde con un área de 14 400 m 2.
Respuesta:
50
50
3) En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario.
x
a) ¿Cuántos saludos se realizan en total?
x
Respuesta:
¿Cuál es la función cuadrática en función de “x” que nos permite identicar a la situación anterior?
b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total?
Respuesta:
Respuesta:
205
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 6) La altura que alcanza una pelota arrojada ha cia arriba en función del tiempo se representa mediante la gráca siguiente:
c) ¿En qué intervalo de tiempo la función crece y en cuál decrece? Respuesta:
Altura (m) 4 3
C. De acuerdo a la siguiente información indique la función cuadrática que resuelve cada uno de los problemas siguientes:
2 1
1) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide x + 2 y su altura x - 2? 0
1
2
3
4 T (s)
Respuesta: a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente? Respuesta:
2) ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 2x + 1 y su altura 2x + 2?
b) ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo ocurre?
Respuesta:
Respuesta:
206
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FACTORIZACIÓN Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos como producto otra expresión algebraica (mono mios, binomios, …, polinomios). A partir de este momento, estudiaremos varios procedimientos que nos permitirán determinar los factores de una expresión algebraica dada, cuando existan.
podemos realizar aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, de la manera siguiente:
ma + mb = m ( a + b ) En este caso se dice que hemos extraído el factor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada.
Pero antes, recordemos algunos conceptos importantes: ❖
En general tenemos que: Si en una expresión algebraica dada exis - te un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.
Si dos expresiones algebraicas A y B se mul tiplican y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un factor o divisor de C. Ejemplos:
1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2 y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2. 2. Del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x + 7x + 12. Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores de x2 + 7x + 12.
Ejemplos de este tipo de factorización.
2
❖
a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a)
Solución:
A menudo, resulta conveniente determinar los factores de una expresión algebraica dada. La operación que consiste en hallar estos factores se denomina factorización o descomposición en factores de la expresión.
Se puede observar que 4 y 8a contienen como factor común al 4. El otro factor estará formado por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a, ya que 4 ÷ 4 = 1; y 8a ÷ 4 = 2a. Luego, tendremos que
Seguidamente estudiaremos algunos procedi mientos para factorizar determinadas expresiones algebraicas.
4 + 8a = 4(1 + 2a)
b) Factorizar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1)
A. Factorización por factor común
Solución:
1. Factor común monomio Por ejemplo, si queremos descomponer en factores o sea factorizar la expresión ma + mb , lo
207
En este caso tenemos que existe un factor numérico y un factor literal.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Como factor numérico tenemos al número 3, puesto que este es divisor de 6, 9 y 3 a la vez.
Por lo tanto, 10b 2 – 5b + 15b 3 = 5b (2b + 1 + 3b 2) = 5b (3b 2 + 2b +1)
Además, como factor literal tenemos a las letras a y b con el exponente 1 , entonces el factor común es 3ab.
d) Factorizar
Luego el trinomio se puede expresar
2
(6a2b) ÷ (3ab) = 2a
Para encontrar el factor numérico de los co 25 30 y ecientes ; obtenemos primero el 9 21 factor común de los numeradores así:
2
(– 9ab ) ÷ (3ab) = –3b (3ab) ÷ (3ab) = 1
c) Factorizar 10b – 5b + 15b 2
Para encontrar el factor común numérico, tomamos los coecientes 10, 5 y 15 y los simplicamos hasta saber cuál es el máximo común divisor entre ellos. Así procedemos: 15
2
1
3
5
6
9
21
3
7
25
10b2 = 2b 5b
15b3 = 3b2 5b
5
5
3
Juntando ambos factores, formamos una nue va fracción que va a ser el factor común, la misma tiene como numerador el factor común de los numeradores y como denominador el factor común de los denominadores, entonces tenemos que
Luego, dividimos el polinomio entre el factor común que tenemos:
5b =1 5b
30
Segundo obtenemos el factor común de los denominadores así:
Se puede observar que el factor literal es el factor b.
5
25 3
Solución:
10
Solución: Los factores literales corresponden a los fac tores x e y comunes del polinomio.
6a b – 9ab + 3ab = 3ab( 2a – 3b +1), puesto que 2
25 2 30 2 xy − x y 9 21
9
xy 2
30 −
21
x2 y
5 =
3
xy
5 3
y
6 −
7
x
Observe: el factor que posee paréntesis en el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre 5 xy . 3 e) Factorizar x2y2 + x3y2 + xy
Solución: El factor común es x e y…
208
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA x2 y 2 = xy; xy
x3y2 = x2 y; xy
Por lo tanto:
xy =1 xy
x2y2 + x3y2 + xy = xy(xy + x 2y + 1)
ACTIVIDAD 1 Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común. 1.
120a + 20b + 120 =
12. 42a 2b 2 − 18a7b + 30a3b 2 =
2.
9a 2 x − 18ax2 =
13. −hk2 + 2hk + h2 =
3.
x2 + x3 − x4 =
14. m3 + mn2 − mn4 + m =
4.
ab2 − a 3b + ab =
15. a 3b2 + a 3b =
5.
4a 3 + 30a2 − 50a =
6.
21c 4 + 7b2 c − 14b3 =
16. 5ab +
17. 25x 2 y + 30xy 3 + 20x =
7. 12 xy 2 − 18y 3 x 2 + 16xy = 8.
10 2 15 4 a b − b = 3 7
18. − x 2 y + y3 − xy4 − 4y =
b 3 c2 − 21c 2 + 14bc2 = 19.
25 15 10 xy − xy 2 − x 3 y = 9 9 9
20.
2 3 2 3 2 3 1 a b − a b − a= 15 20 5
21.
20 4 15 x y + x 3 y 2+ 30x 2 y 2 = 3 2
9. 112mn4 + 120m5n − 126m2n2 = 10. a 4b + a 2b4 + a5 + a 3b3 = 11. 15 y 2 + 20y 3 − 30y 4 + 40y 5 =
209
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Factor común polinomio
2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3)
Cuando factorizamos por el método del Fac tor Común en algunos casos el factor común será un polinomio. Para estas situaciones se procederá de la siguiente manera:
= 2a(m + 3) + 1(m + 3) El factor común es (m + 3); por eso si: 2a(m + 3) 1(m + 3) = 2a y =1 (m + 3) (m + 3)
a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y)
Solución:
tenemos como resultado que
Observando la expresión nos damos cuenta que los dos términos de la misma tienen de factor común el binomio (x + y); así entonces podemos realizar lo siguiente:
2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)
4
(x + y) =4 (x + y)
7
(x + y) =7 (x + y)
d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b
Solución: Vamos a acomodar esta expresión realizando los pasos siguientes: 5x(2 + b) – 2 – b = 5x(2 + b) – (2 + b) =
y tendremos entonces que
5x(2 + b) – 1(2 + b)
4(x + y) – 7(x + y) =
Luego, tenemos que el factor común es (2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1)
(4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)
Recuerde que: b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1)
– a – b = – (a + b) – a + b = – (a – b)
El factor común es (a – 1) Así entonces dividimos los términos entre este factor común y obtendremos 2x(a − 1) (a − 1) = 2x; − 3 =− 3 (a − 1) (a − 1)
Entonces tendremos como resultado nal:
en ambos casos estas expresiones son pro ducto del uso de la ley distributiva de la multi plicación con respecto de la suma. e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2)
2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)
Solución:
El factor común es (y + 2). Si dividimos cada término por este tenemos que: 3(y + 2) (x − 5)(y + 2) = x − 5 =3 (y + 2) (y + 2)
Esta expresión aunque en apariencia diferente a las demás se puede escribir así:
Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3) = (y + 2)(x – 2)
c) Descomponer: 2a(m + 3) + m + 3
Solución:
210
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2 A. Factorice las siguientes expresiones. 1.
a(x + 1) + 8(x + 1)
9. 1 − x + 2a(1− x)
2.
− 5(2n + 3) + p(2n + 3)
10. x 2 + 1 − b(x2 + 1)
3.
2a(x − 3) − 11(x − 3)
11. x(m + 7) − m − 7
4.
2x(m – n) + 3(m – n)
12. 12(b + c) − b − c
5.
4(x + 5) + n(x + 5)
13. 2 y(x + 2) − x − 2
6.
x(3 + 5y) + 3 + 5y
7.
m(1 − x) + 1 − x
14. − 3 − b + x( + b) 15. −2x − 3 + m(2x + 3)
8.
4x(m − 2) + m − 2
B. Factorice:
f)
a) m(a – 9) + (a – 9)
g) x – 8 + x(x – 8)
b) 3x (x – 2) – 2y(x – 2)
h) – 5(2a + b + 3) – 2a – b – 3
c) a(n + 2) + n + 2
i)
(x – 6)(n + 1) – 3(n + 1)
d) x(a + 1) – a – 1
j)
(x +1)(x – 2) + 3y(x – 2)
e) – x – 1 – 7y(x + 1)
k) (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)
211
–1 + 7x + 2a(1 – 7x)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Factorización de una diferencia de dos cuadrados
EJEMPLO 2 ¿Es – 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadrados?
Una expresión algebraica cuyos términos sean dos cuadrados, uno de ellos con signo negativo, puede relacionarse inmediatamente con el pro ducto notable correspondiente a la diferencia de dos cuadrados.
– 4x2 + 16 = 16 – 4x 2
En efecto, esta expresión se puede descom poner fácilmente en factores buscando la raíz cuadrada de cada término y formando una nueva expresión que contenga la suma por la diferencia de tales raíces.
a2 – b2 = ( a + b)( a – b)
Lo escribimos en forma de diferencia.
16 = ( 4) 2 y 4x2 = (2x)2
Los términos son cuadrados.
4x 2 = 2x
Poseen raíz cuadrada exacta.
16 = 4 y
Ya que hay un signo menos entre 16 y 4x 2, tenemos una diferencia de dos cuadrados.
Identicación de la diferencia de dos
cuadrados
Recuerde:
Para que una expresión sea la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir dos condiciones.
La diferencia de dos cuadrados se des - compone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados, esto es, de las raíces cuadradas de estos.
1. Debe haber dos términos, ambos cuadrados para extraer la raíz cuadrada exacta. 2. Debe haber un signo menos entre los dos términos.
En símbolos:
Analicemos los siguientes casos:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
EJEMPLO 1
Ejemplos
¿Es 16a – 49 la diferencia de dos cuadrados? 2
A. Descomponer en factores
El primer término del binomio es un cuadrado 16a2 = (4a)2 entonces 16a2 = (4a )2 = 4a
a) x2 – 25
Solución:
El segundo término del binomio es un cuadrado 49 = (7) 2 entonces 49 = (7)2 = 7 Existe un signo menos entre ellos.
Cómo x2 – 25 es una diferencia de cuadrados tal que x2 = x; 25 = 5 . Entonces la des composición o factorización es (x + 5)(x – 5)
Entonces tenemos una diferencia de dos cua drados.
Por tanto x 2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
212
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA b)
1 − 0, 49a2 4
Solución:
a2 a2 a = = 4 4 2 1 1 1 = = 9 9 3
1 − 0, 49a2 es una diferencia de cua 4 drados y como
Como
1 4
=
1 4
1
= además 2
0,49a2
Importante
= (0,7a)2 = 0,7a
n
se tiene que 1 4
−
0,49a
2
1 =
2
+
0,7a
1 2
−
0,7a
a =a
m÷n
E je mplo:
=a
m n
x 6 = x 6 ÷ 2 = x 3
3. – a8 + 1
B. Factorizar
Como –a8 + 1 = 1 – a 8, el binomio es una di ferencia de cuadrados y además
1. 9a – 25 4
m
Solución:
1=1
Tenemos que 9a 4 – 25 es una diferencia de
a8 = a 8 ÷ 2 = a 4
cuadrados y además 4
2 2
9a = (3a ) = 3a
Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 + a 4)(1 – a4)
2
25 = 52 = 5
Multiplicamos la suma de las raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3a 2 + 5)(3a2 – 5).
Pero observe, el segundo término de esta factorización (1 – a 4) sigue siendo una dife rencia de cuadrados perfectos, por lo que es necesario factorizado de nuevo: 1=1
Por tanto 9a4 – 25 = (3a 2 + 5)(3a2 – 5)
4
4 2
a = a = a2 2.
Así tenemos que (1 + a 2)(1 – a 2) = 1 – a 4
a2 1 − 4 9 Solución: a2 1 Como − es una diferencia de cuadrados y 4 9
Otra vez tenemos que el factor (1 – a 2) también sigue siendo una diferencia de cuadrados, el cual se descompone como (1 + a)(1 – a); por tanto: – a8 + 1 = 1 – a8 = (1 + a4)(1 + a2)(1 + a)(1 – a)
213
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. (a + 5)2 – 9
Solución: (a + 5)2 – 9 = ((a + 5) + 3)((a + 5) – 3) = (a + 5 + 3)(a + 5 – 3) = (a + 8)(a + 2)
ACTIVIDAD 3 A. Factorice las siguientes expresiones utilizando el método de la diferencia de cuadrados. 121 y 2 12. − 100 81
1.
n2 − 1
2.
x2 − 25
3.
1 − 4m2
4.
16 − y
2
5.
4x2 − 9
6.
4x2 − 81
a2 13. 1 − 4 14. b2 −
1 4
15. 100 −
1 4 a 16
16. 64a 2 − 7. 8. 9.
100 – m4 25 − 4n
1 10. − 9a2 4 11.
17. (7x + 1)2 − 81
2
−16 + 4b
1 25
2
18. (a + 4)2 − (a + 3)2 19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2 20. (1 + 6c )2 − (− 1 − c)2
a2 16 − 36 25
214
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Factorice.
❖
a) 162 – 9y2
_______ b) 16a2 – 9
c) 25x2 – 4
_______ d) 25m2 – 49 _______
e) 64y – 81
_______ f) –16 + a
4
_______
x4 – 1
_______
_______ j) 4x4 – 64
_______
_______ l) 5x4 – 80
_______
k) 16 – y4
EJEMPLO 1 ¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado?
12
g) 121a8 – 100 _______ h) 50a10 – 72 _______ i)
Si multiplicamos a y b y duplicamos el resul tado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su opuesto, – 2ab.
Observe que este trinomio contiene dos térmi nos cuadrados perfectos (x2 y 16), cuyas raíces cuadradas son x y 4 respectivamente. El doble producto de estas raíces es 2 • x • 4 = 8x que coincide con el término restante del trinomio. Como dicho término tiene signo positivo, en tonces el trinomio se descompone en el cuadrado de una suma.
Trinomio cuadrado perfecto
Luego, resulta:
Cuando estudiamos los productos notables se observó que el cuadrado de un binomio es un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
x2 + 8x + 16 = (x + 4) 2
Por ejemplo:
EJEMPLO 2
( x + 5) 2 = x2 + 10x + 25
¿Es x2 + 6x + 11 un trinomio cuadrado?
( x – 5) 2 = x2 – 10x + 25
La respuesta es no porque sólo hay un término al cuadrado.
Los trinomios x2 + 10x + 25 y x 2 – 10x + 25 son trinomios cuadrados, porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identicar un trinomio cuadrado como a 2 + 2ab + b 2 ó a2 – 2ab + b 2. ❖
Por consiguiente, x 2 + 8x + 16 es el cuadrado del binomio (x + 4).
Dos de sus términos son cuadrados perfectos, a2 y b2.
¿Cuál es?
EJEMPLO 3 ¿Es 16a2 – 56a + 49 un trinomio cuadrado? Sí. ❖
Dos de sus términos son cuadrados perfectos. 16a2 = (4a)2
❖
No debe de haber signo menos en a 2 o en b 2.
215
49 = (7)2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ❖ ❖
No hay signo menos antes de 16a 2 ni de 49
e) (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1
Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2 • 4a • 7 = 56a Por consiguiente, 16a 2 – 56a + 49 es (4a – 7b) 2
(y + 3)
2 • (y + 3) • 1 ➠ El signo del término medio es positivo. Luego (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1 = (y + 3 + 1) 2= (y + 4)2
f)
(y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 (y – 2)
C. Factorización de trinomios cuadrados
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las relaciones siguientes.
1
1
2 • (y – 2) • 1 ➠El signo del término medio es negativo. Luego (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 = (y – 2 – 1)2= (y – 3)2
a2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a2 – 2ab + b 2 = (a – b)2
ACTIVIDAD 4
EJEMPLOS a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2• x • 3 + 3 2 = ( x + 3 )2 x
3 2•x•3
b)
➠
9a2 – 6a + 1 =
3a
El signo del término medio es positivo
(3a)2 – 2• 3a • 1 + 1 2 = (3a – 1)2
1
2 • 3a • 1
➠ El signo del término medio es negativo.
c) 1 – 16x2 + 64x4 = 12 – 2 • 1 • 8x2 + (8x2)2 1 2 • 1 • 8x 2
8x
2
➠ El signo del término medio es negativo. 2
luego 1 – 16x 2 + 64x4 = (1 – 8x 2)
d) 27 + 72n + 48n2 = 3(9 + 24n + 16n2) = 3 (3 + 4n) 2
A. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cua drados perfectos? a) x2 + 8x + 16
b) x 2 – 10x + 25
c) x2 – 12x + 4
d) 4x 2 + 20x + 25
e) 9x2 – 14x + 16
f) 16x 2 + 40x + 25
B. Factorice completamente cada trinomio. a) x2 + 16x + 64
b) x2 + 14x + 49
c) x2 – 2x + 1
d) 1 – 4y + 4y2
e) 2x2 – 4x + 2
f) x3 – 18x2 + 81x
g) 20x2 + 100x + 125
h) 5y4 +10y2 + 5
i)
9x10 + 12x5 + 4
j) 1– 2a3 + a6
k)
49(x + 1)2 – 42(x + 1) + 9
l) (x + 7)2 – 4x – 24
m) (a + 4)2 – 6a – 15
216
n) 4 – 4(1 – x) + (1 – x) 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
D. Factorización completa combinando el factor común y los productos notables
e) 20x2 + 60x +45 = 5 (4x 2 + 12x + 9) 2x
3
= 5 (2x + 3) 2
Hagamos otros ejemplos. Si los términos de la expresión tienen un factor común, primero sacamos el factor común. Luego continuamos con la factorización.
ACTIVIDAD 5
Factorizar. a) 49x4 – 9x6 = x4(49 – 9x 2) = x4 [ (7)2 – (3x)2] = x4(7 + 3x)(7 – 3x)
A. Descomponga en factores. a) a2(a – 1) – 9(a – 1) = _________________
Sacamos el factor común x 4 . Factoriza la diferencia de cuadrados.
b) 4 (x + 2) – x 2 (x+2) = _________________ 9 c) b2(b – 3) – (b – 3) = ________________
b) 18a2 – 50a 6 = 2a2(9 – 25a4) = 2a2[(3)2 – (5a2)2] = 2a2(3 – 5a2)(3 + 5a2)
d) 3(x + 3)2 – 27 = ___________________ e) 2(y – 5)2 – 72 = ___________________ f)
Sacamos el factor común 2a 2 .
5(2y – 7)2 – 20 = _________________
Factoriza la diferencia de cuadrados.
g) 2x2 – 12x + 18 = _________________ c) 1 – 16x12 = = = =
(1)2 – (4x6)2 (1 – 4x 6)(1 + 4x6) [(1)2 – (2x3)2](1 + 4x 6) (1 – 2x3)(1 + 2x 3)(1 + 4x6)
h) 27x2 + 18x + 3 = _________________ i) 3x – 6x 3 + 3x5 = _________________ j) (x + 2)2 + 3x(x + 2) 2 = _________________
d) 3x2 – 42x – 147 = 3 (x 2 – 14x + 49) x = 3 (x – 7)2
k) (2 – 3x) 2 – (3x + 2)2 = _________________
7 l) (2 – 3x) 2 – (3x + 2)2 = ___________________
217
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Determinar el mayor factor común de cada polinomio. 1) 2a2 + 12a
2)
9b 2 – 81b
3) 12c2 – 6
4)
9d2 + 27
5) e2 + 9
6)
2f2 – 7
7) 3x2 – 12x + 18
8)
18n 2 – 27n + 9
9) 2x4 + 6x3 – 10x 2
10)
9y5 – 66y4 + 3y3
1) 3x2 + 12y 2
2)
18x2 – 12y
3) x2 + 7x
4)
3x2 – 21x3
5) 6x2 – 4x
6)
b3 + b2 + b
7) a2b + ab2
8)
15a2c – 3c
9) 25r2s – 10rs 2
10)
–12x2 – 6x
C. Factorizar
D. Factorizar las siguientes expresiones
1) y (y – 1) + 2 (y – 1)
2) a (a – 8) + 9 (a – 8)
3) (4c + 5) x – (4c + 5)
4) (x + 1) (2x + 3) – (x + 1)
5) (x – y)2 + (x + y) (x – y)
6) 2m (m – n) – (m + n)(m – n)
7) (1 – 3c) + (1 – 3c)y 2
8) – ( 1 –2y) – 8 (2y –1)
218
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Encuentre el factor común, si existe alguno. a) 6a3 + 30a2; 9a3 + 27 a 2 + 9a
Respuesta: _____________
b) 24a4 – 15a 3 + 6a ; 16a 4 + 24a3 – 48a 2 – 32a
Respuesta: _____________
c) 12b6 – 480b4 ; 144b8 + 72b2
Respuesta: _____________
d) 27x5 – 81x2 + 9x ; 8x4 – 16x + 4
Respuesta: _____________
2. Halle el factor común en las siguientes expresiones.
a)
54a4b3 − 36a3b4
b)
30x2 y − 24xy 2 + 18x2 y 2
c)
28a3b2 + 42a4b2 − 56a5b3
d)
15a2 x2 − 3a2 x 3 + 75a2 x 4 − 9a 2 x5
e) 12a2b3 − 30a3b2 − 42a4b + 18a2b4 f)
6xy + 6x + 6 + 6y
3. Halle el factor común y exprese como productos las expresiones siguientes: a) ab + ac =
____________
b) b 2 – 2b =
c) 3m – 3n =
____________
d) 2c + 8 =
____________
e) 2xy – 10x =
____________
f) 5y 2 + 15y 3 =
____________
219
____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) 8m2 – 12mn =
____________
h) 9a 3x2 – 18ax 3 =
____________
i) x3 + x2 + 2x =
____________
j) 4a 2 – 8a + 2 =
____________
k) 2a2 + 4ab – 6ac =
____________
l) 6m 3n2 – 12m2n + 3m =
____________
m) 9a5 – 6a2x + 3a3x2 =
____________
n) 6a 2b3 – 9ab + 12b 2 =
____________
4. Factorice las siguientes expresiones: a) 4a + 4b = b) x2 – xy = c) b2c2+ 3bc3 = d) 6x2 – 4xy = 2 2 2 e) 1b y − 1b y = 2 2
f) 24x + 28x 3 – 56x 4 =
5. Descomponga en factores. a) 4(a + 3) x – (a + 3) = _______
d) 3t(p – 6) + (p – 6) =
b) 2m(b – 5) + (b – 5) = _______
e) – 5(a – 10) + x(a – 10) – 2(a – 10) =_______
c) (2a – 1) – (2a – 1) 3q =
f) 7c (b 2 + 1) + 3(b2 + 1) =_______
_______
220
_______
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos ? a) x2 – 14x + 49
_______________
f) x2 + 2x + 4
_______________
b) x2 – 16x + 64
_______________
g) 8x2 + 40x + 25
_______________
c) x2 + 16x – 64
_______________
h) 9x2 + 18x + 9
_______________
d) x2 –14x – 49
_______________
i) 36m2 – 24m + 16
_______________
e) x2 – 6x + 9
_______________
j) 16 – 56y + 49y2
_______________
2. Transforme en productos los trinomios siguientes: a) x2 + 2x + 1
_______________
b) n 2 – 2n + 1
_______________
c) a2 + 8a + 16
_______________
d) y 2 – 12y + 36
_______________
e) m2 + 14m + 49
_______________
f)
_______________
g) 81 + 18p + p 2
_______________
b 2 – 3b + 9 4 h) b 2 – 10b + 25
i) a4 + 8a2 + 16
_______________
j)
1 – 1,6y + 0,64y 2
_______________ _______________
3. Factorice. Recuerde que primero hay que buscar un factor común. a) 2x2 – 4x + 2
_______________
e) 20x 2 + 100x + 125
_______________
b) 2x2 – 40x + 200
_______________
f)
_______________
c) x3 – 18x2 + 81x
_______________
g) 5y 4 + 10y2 + 5
_______________
d) x3 + 24x2 + 144x
_______________
h) 2a – 4a 4 + 2a7
_______________
12x 2 + 36x + 27
4. Determine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados. a) x2 – 4
_______________
e) x2 – 35
_______________
b) x2 – 36
_______________
f) x2 – 50
_______________
221
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA c) x2 + 36
_______________
g) –25 + 16x 2
_______________
d) x2 + 4
_______________
h) –1 + 36x 2
_______________
5. Factorice los siguientes polinomios. a) 24x 4 + 60x 3 − 18x 2
e) 12x9 − 36x6 + 27x 3
b)
45x11 + 60x 3 + 20x5
f)
c)
4x 2 − 9
g) 8x 4 − 84x 3 + 18x2
d) 6x6 − 96x2
h) 18x7 + 8x + 29x 4
x 4 + 16 − 8x2
6. Factorice. a) 4x2 – 25
_______________
e) 64y 4 – 81
_______________
b) 9a2 – 16
_______________
f) 36x – 49x 3
_______________
c) 100x2 – 1
_______________
g) 81y 6 – 25y2
_______________
d) 16x6 – 25
_______________
h) 8x2 – 98y2
_______________
7. Factorice. Observe los ejemplos e y f de la página 216. a) ( y – 2 )2 + 2 ( y – 2 ) + 1 =
___________________
b) 4( x + 5 )2 + 20( x + 5 ) + 25 =
___________________
c) ( h + 7 )2 – 10 (h + 7) + 25 =
___________________
d) ( b + 4 )2 – 2( b + 4 ) + 1 =
___________________
e) 49( a + 1 ) 2 – 42( a + 1 ) + 9 =
___________________
222
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto
C. Para x2 + 8x + 19, tenemos que a = 1, b = 8 y c = 19, luego el discriminante ∆ = b2 – 4ac = (8) 2 – 4 (1)(19) = 64 – 76 ∆ = –12
Si tenemos un trinomio en el cual no pueden hallarse dos términos que correspondan, cada uno, a un cuadrado perfecto y un tercer término que corresponda al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos, entonces el trinomio no será cuadrado perfecto y los métodos que se usan para factorizarlo son diferentes.
Como podemos observar los trinomios que no son cuadrados perfectos poseen un discriminante que puede ser negativo, igual a cero o bien mayor que cero.
Para vericar si es factorizable un trinomio ax2 + bx + c, que no es cuadrado perfecto se obtiene lo que se ha dado por llamar el discriminante.
En consecuencia se tiene que:
Se llama discriminante del trinomio de segundo grado ax2 + bx + c, al número que resulta de calcular (b2 – 4ac) el cual se le simboliza con ∆ = b2 – 4ac, donde las letras a, b y c representan números reales jos y ∆ la cuarta letra del alfabeto griego.
Ejemplos.
1. Si el trinomio ax 2 + bx + c es tal que su dis criminante es un número real menor que cero (negativo), se dice que en este caso que el trinomio no es factorizable en ℝ, es decir, es irreducible en ℝ. 2. Los trinomios que no son cuadrados perfectos, y su discriminante es mayor que cero o igual a cero, como por ejemplo: 4x2 + 12x + 9
Calculemos el discriminante de los trinomios de segundo grado.
tenemos que b 2 – 4ac = (12) 2 – 4(4)(9) = 144 – 144 ∆=0
Veamos. A. Para x2 + 7x + 12, se tiene que a = 1, b = 7, c = 12.
La factorización se realiza variando los proce dimientos anteriores.
Recuerde x2 = 1 • x 2
Entonces ∆ = b 2 – 4ac = (7) 2 – 4(1)(12)
A continuación estudiaremos el caso de trinomios que no son cuadrados perfectos pero que son trinomios de segundo grado con una sola variable y de la forma ax 2 + bx + c.
= 49 – 48 ∆=1 B. En el caso x 2 – x – 20 si a = 1, b = –1 y c = – 20, tenemos que ∆ = b – 4ac = (–1) – 4(1)(–20) 2
= 1 + 80 ∆ = 81
2
Factorización por inspección Caso 1 Estudiaremos ahora, el caso en el que el trino mio ax2 + bx + c que no es un cuadrado perfecto, tiene discriminante positivo (mayor que cero) que
223
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA se puede descomponer en la forma (x + p)(x + q) en donde las letras p y q representan reales jos y además el coeciente a, que multiplica a la variable cuando está elevado al cuadrado, es igual a 1.
A continuación buscamos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es 7.
Como recordarán para multiplicar (x + 3) por (x + 7) se resuelve de la manera siguiente: x + 3 x + 7 x2 + 3x 7x + 21 x2 + 10x + 21
x + p x + q x2 + px qx + pq x 2 + (p + q) x + pq
Producto 12 2, 6
Suma 8
12, 1
13
3, 4
7
Los números que necesitamos son 3 y 4.
Por tanto x 2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
2. Factorizar x2 – 8x + 12
Esta manera de multiplicar nos proporciona una forma general para factorizar situaciones semejantes.
En este caso tenemos que a = 1 y además posee un discriminante ∆ = 16. ¡Verifíquelo! Sabemos que el trinomio se puede descom poner en la forma (x + _____)(x + _____)
Nótese que los factores de x 2 + 10x + 21 son (x + 3) y (x + 7) y los de x 2 + (p + q) y (x + q).
Ahora buscaremos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es – 8. Como el coeciente del término medio es negativo, necesitamos dos números negativos cuyo producto sea 12 y cuya suma sea – 8.
En general, un trinomio de la forma ax 2 + bx + c se puede descomponer en factores, el primer término de cada factor es x, y los segundos términos p y q son dos números cuya suma es b y cuyo producto es c. Es decir; Su suma es igual a b; p + q = b Su producto es igual a c; p • q = c A. Veamos el ejemplo cuando el término constante es positivo.
Producto 12 – 1, – 12
Suma – 13
– 2, – 6
– 8
– 3, – 4
– 7
Los números que necesitamos son – 2 y – 6.
1. Factorizar x + 7x + 12 2
En este trinomio a = 1 y el discriminante ∆ = 1, también como b = 7 y c = 12, el trinomio se puede expresar como
Por tanto x 2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)
3. Factorizar a2 + 7ab + 10b2
x2 + 7x + 12 = (x + p)(x + q)
Ya sea a2 es el producto de a y a, b 2 es el pro ducto de b y b, buscamos dos binomios de la forma.
Para factorizar x 2 + 7x + 12 como podemos apreciar el primer término de cada factor es x.
(a + ___b)(a + ___b)
(x + _____)(x + _____)
224
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Buscamos dos números cuya suma es 7 y cuyo producto es 10.
Producto 10
Suma
1, 10
11
2, 5
7
Producto – 6
Suma
1, – 6 – 1, 6 2, – 3 – 2, 3
– 5 5 – 1 1
Los números que necesitamos son 2 y 5.
Los números que necesitamos son –2 y 3.
a2 + 7ab + 10b 2 = (a + 2b)(a + 5b)
Luego a 2 + ab – 6b 2 = (a – 2b)(a + 3b)
B. Veamos ejemplos cuando el término constante es negativo. Algunas veces el término constante de un tri nomio es negativo. En este caso, el término medio puede ser positivo o negativo. 1. Factorizar x2 – 8x – 20. Encontrar dos números cuya suma sea – 8 y cuyo producto sea – 20.
Producto – 20
Suma
– 1, 20 1, – 20 – 2, 10 2, – 10 4, – 5 – 4, 5
19 – 19 8 – 8 – 1 1
ACTIVIDAD 6 A. Obtener el discriminante de cada uno de los siguientes trinomios. 1. x2 + 5x + 6
6. x 2 – 7x + 12
2. x2 + 6x + 5
7. x 2 – 8x – 9
3. x2 + 10x + 24
8. x 2 + 9x + 14
4. x2 – 6x – 16
9. x 2 – 1
5. x2 + x – 6
10. x 2 + 2x – 48
B. Factorizar. 1. x2 + 7x + 12
8. m 2 + 8mm + 15n 2
Los números que necesitamos son 2 y – 10.
2. x2 + 13x + 36
9. a 2 + 5ab + 6b 2
Por tanto x 2 – 8x – 20 = (x + 2)(x – 10)
3. x2 – 8x + 15
10. p 2 + 6pq + 8q 2
También podemos considerar en este caso situaciones como la siguiente:
4. x2 – 7x + 12
11. a 2 + 5ab – 14b 2
5. x2 + 4x – 12
12. x 2 – xy – 30y 2
6. x2 – 21x – 100
13. 4x 2 + 40x + 100
7. x2 – 21x – 72
14. 120y 2 – 23xy + x 2
2. Factorizar a2 + ab – 6b2. Buscamos dos binomios de la forma (a__b)(a__b). Es decir, debemos encontrar dos números cuya suma sea 1 y cuyo producto sea – 6.
225
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Caso 2
2. Factorizar 2x2 + 5x – 12
Supongamos que el coeciente principal a de un trinomio no es 1. Consideremos la siguiente multiplicación.
Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 2. Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea – 12
(2x + 5)(3x + 4) = 6x + 8x + 15 + 20 2
= 6x2 + 23 x + 20 Para factorizar los trinomios ax 2 + bx + c como el hallado anteriormente buscamos los binomios (__x + ___)(__x + ___) donde los productos de los números que van en los espacios son como sigue.
(2x – 1)(x + 12)
(2x – 3)(x + 4) (2x + 2)(x – 6)
(2x – 12)(x + 1)
El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 5x.
1. Los números de primer espacio de cada bino mio dan el producto a. 2. Los números del último espacio de cada bino mio dan el producto c.
(2x + 3)(x – 4) (2x – 2)(x + 6)
2x2 + 5x – 12 = (2x – 3)(x + 4) 3. Factorizar 8m2 + 8m – 6 8m2 + 8m – 6 = 2(4m 2 + 4m – 3)
3. Los productos exterior e interior dan la suma b.
Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 4.
Ejemplos
Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea –3.
1. Factorizar 3x2 + 5x + 2 Primero buscamos un factor común a todos los términos. No hay ninguno. Ahora buscamos dos números cuyo producto sea 3.
(4m + 3)(m – 1) (4m – 3)(m + 1) (2m + 3)(2m – 1) (4m – 1)(m + 3) (4m + 1)(m – 3) (2m – 3)(2m + 1)
1, 3 ó – 1, –3 Ahora buscamos números cuyo producto sea 2. Ya que el último término del trinomio es positivo, los signos de los segundos términos deben ser iguales. Aquí tenemos algunas posibles factorizaciones.
8m2 + 8m – 6 = 2(4m 2 + 4m – 3) = 2(2m + 3)(2m –1)
(x + 1)(3x + 2) ó (x + 2)(3x + 1) Cuando multiplicamos, el primero término será 3x2 y el último será 2 en cada caso. Solo la primera multiplicación da el término de 5x. 3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)
s e n o s i e c l a b i z i s r o o t p c a F
El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 4m.
1, 2 ó – 1, – 2
(x – 1)(3x – 2) ó (x – 2)(3x – 1)
s e n o s i e c l a b i z i s r o o t p c a F
ACTIVIDAD 7 Factorizar a) 6x2 + 7x + 2
b) 8x 2 + 10x – 3
c) 6x2 – 41x – 7
d) 3x 2 – 21x + 36
e) 8x2 – 2
f)
226
9a2 – 15a – 6
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) 2x2 + 4x – 6
h) 4a 2 + 2a – 6
i)
j)
20 + 6x – 2x 2
l)
30b 2 – b – 20
6m2 + 15mn – 9n 2
k) 2x2 + x – 1
De esta forma, sumando y restando 25 a la expresión original, se tiene 4x2 – 20x + 9 = 4x 2 – 20x + 9 + 25 – 25 = (4x2 – 20x + 25) + (9 – 25) = (4x2 – 20x + 25) + (–16)
Factorización por el método de completar cuadrados
Sumamos y restamos 25 para no alterar. Conmutamos al 9 con el 25.
Caso 1
Segundo producto notable a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
Este método se utiliza en el caso de que el trinomio no es un cuadrado perfecto.
Factorizando el primer sumando (primer pa réntesis) como un trinomio cuadrado perfecto se tiene
Ejemplos A. Consideremos el caso de 4x 2 – 20x + 9. Aquí tenemos que (4x 2) es un cuadrado perfecto cuya base es 2x, ya que
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5) 2 + (– 16) = (2x – 5)2 – (16)
(2x)2 = 4x2
= (2x – 5)2 – (4)2
y por otra parte, (–20x) es un término que corresponde a un producto en el cual (2x) es un factor, ya que
Como podemos observar, la última expresión del miembro de la derecha corresponde a una diferencia de cuadrados que, como hemos visto, se puede factorizar como la suma por la diferencia de las bases, las cuales en este caso son (2x – 5) y 4, por lo tanto,
–20x = (2x)(–10) Por lo tanto se conservan invariantes los térmi nos (4x2) y (–20x) y debemos sumar y restar un término que sea un cuadrado perfecto y que unido a (4x 2) y a (–20x) constituyan un trinomio cuadrado perfecto.
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5) 2 – (4)2 = (2x – 5 + 4)(2x – 5 – 4)
Para obtener este término, se divide el sumando (–20x), por el doble de la base del cuadrado perfecto que se ha mantenido invariante:
−20x 2(2x)
= (2x – 1)(2x – 9) Por lo tanto la factorización completa de 4x2 – 20x + 9 = (2x – 1)(2x – 9)
= −5
y el resultado de esta división elevado al cua drado es el término buscado, esto es,
B. Factorizar 9a2 + 12a – 5
(–5) = 25 2
227
Se mantiene invariante el cuadrado perfecto (9a2) y el término (12a).
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para calcular el término que se debe sumar y restar se tiene 12a = 2 2(3a) Luego, como (2) 2 = 4, el término a sumar y restar es 4, 9a + 12a – 5 = 9a + 12a – 5 + 4 – 4 = (9a2 + 12a + 4) + (–5 – 4) = (9a2 + 12a + 4) + (– 9) = (9a2 + 12a + 4) – (9) = (3a + 2)2 – (3)2 = (3a + 2 + 3)(3a + 2 – 3) = (3a + 5)(3a – 1) 2
2
C. Factorizar x2 – 5x + 4 Este no es un trinomio cuadrado perfecto, pues el término central debe ser –2(1x)(2) = – 4x. Observe que los términos extremos si son cuadrados perfectos, x 2 = (x)2 y 4 = (2)2. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, tenemos que −5x −5 2(1x)
=
2
Como −5 = 25 , el término a sumar y restar 2 4 25 es 4 25 25 2 x − 5x + 4 = x2 − 5x + 4 + − 4 4 25 −25 = x2 − 5x + + +4 4 4 2 5 −25 + 16 = x − + 2 4 2 5 9 = x − − 2 4 5 3 5 3 = x − + x − − 2 2 2 2 2 8 = x − x − = (x − 1)(x − 4) 2 2 Por tanto x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)
ACTIVIDAD 8 A. Completar los cuadrados y dar el equivalente cuadrado de un binomio. a) x2 + 14x + 49 = (x + 7) 2 b) x2 – 20x + _____ = _____ c) x2 + 5x + _____ = _____ d) y2 + 4 y + _____ = _____ 3 e) x2 + 6x + _____ = _____ f)
x4 – 8x2 + _____ = _____
g) 25x2 – 10x + _____ = _____ h) x2 – 5x + _____ = _____
B. Factorizar utilizando el método de completar cuadrados. a) x2 – x – 6 = b) y2 – 8y + 15 = c) x2 + 5x – 14 = d) c2 + 5c – 24 = e) x2 – 3x – 28 = f)
a2 + 12a + 35 =
g) b2 – 7b + 10 = 5 1 h) a2 − a + = 6 6
228
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA CASO 2
El coeciente del término lineal (el 12) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.
Cuando no es posible factorizar el trinomio cuadrado perfecto se completa con la única nalidad de poder factorizar al trinomio resultante. Recordemos que al elevar un binomio al cua drado se produce un trinomio cuadrado perfecto.
2
12 = 62 = 36 2
El resultado va a comple tar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado 2 x + 12x + 36 – 36 – 3 perfecto. Para no modi car la expresión matemá - (x2 + 12x + 36) – 39 tica, se suma y también se resta este número.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 ó
(a – b)2 = a2 – 2ab + b 2 Por lo que, al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, obtenemos un binomio al cuadrado:
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se ob tiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
a2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 ó a2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
x2 = x
36 = 6
Con la literal “x”, el núme ro y el signo del término lineal del trinomio cua drado perfecto se forma (x + 6)2 – 39 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.
Lo que haremos a continuación será agregar el término independiente representado por “b 2” para que, al estar completo el trinomio cuadrado perfecto, obtengamos una expresión semejante a la siguiente: a2 + px + q = (x + h) 2 + k
Para completar el trinomio cuadrado perfecto y así factorizarlos como binomios al cuadrado se realiza el siguiente procedimiento:
2 Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h) 2 + k el trinomio siguiente: x2 – 8x + 4
Recuerde que:
Ejemplos
1
El término cuadrático es x 2
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h) 2 + k el trinomio siguiente: x2 + 12x – 3
El término lineal es – 8x El término independiente es +4
Recuerde que:
El coeciente del término lineal (el 8) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.
El término cuadrático es x 2 El término lineal es +12x El término independiente es – 3
229
2
8 = 42 = 16 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El resultado va a comple tar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado x2 – 8x + 16 – 16 + 4 perfecto. Para no modi 2 car la expresión matemá - (x – 8x + 16) – 12 tica, se suma y también se resta este número. Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se ob tiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
x2 = x
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se ob tiene la raíz del término cuadrático y del término independiente. Con la literal “x”, el núme ro y el signo del término lineal del trinomio cua drado perfecto se forma el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + x – 1.
16 = 4
Con la literal “x”, el núme ro y el signo del término lineal del trinomio cua drado perfecto se forma (x – 4)2 – 12 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 – 8x + 4.
4
1 1 = 4 2
x 2 = x
2
x + 1 − 5 2 4
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 – 3x + 8
Recuerde que: El término cuadrático es x 2 El término lineal es – 3x
3
El término independiente es 8
Expresar de la forma, a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 + x – 1 Recuerde que: El término cuadrático es x 2 El término lineal es + 1x El término independiente es –1
El coeciente del término lineal (el 1) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.
El resultado va a comple tar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modicar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.
El coeciente del término lineal (el 3) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado. El resultado va a comple tar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modi car la expresión matemá tica, se suma y también se resta este número.
2
1 = 12 = 1 2 22 4 x2 + x + 1 − 1 − 1 4 4 x2 + x + 1 − 5 4 4
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se ob tiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
230
2
3 = 32 = 9 2 22 4
x2 − 3x + 9 − 9 + 8 4 4 x2 − 3x + 9 + 23 4 4
x2 = x
9 3 = 4 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Con la literal “x”, el núme ro y el signo del término lineal del trinomio cua drado perfecto se forma el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.
d) x2 – x + 5 = e) x2 – 5x – 1 =
2
x − 3 + 23 2 4
f)
ACTIVIDAD 9 Transforme cada uno de los siguientes trino mios en trinomios cuadrados perfectos a la forma: a(x – h)2 + k. a) x2 + 8x – 1 =
x2 + 11x + 11 =
En el libro de Matemática 1 volveremos a considerar a esta forma de factorizar un trinomio debido a que completar el cuadrado es una herramienta útil cuando convertimos una ecuación cuadrática que está en la forma estándar de una ecuación cuadrática y = ax 2 + bx + c a una que está en la forma vértice de una ecuación cuadrática, o y = a(x – h) 2 + k. En la forma vértice, el punto (h, k) será el vértice, el cual es el punto más bajo de una parábola (si el valor de a es positivo y la parábola se abra hacia arriba) o el punto más alto (si el valor de a es negativo y la parábola se abre hacia abajo).
b) x2 – 6x + 2 = c) x2 + 10x + 10 =
231
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Otra de las operaciones que se puede realizar con polinomios es la división, puesto que para realizar operaciones con polinomios se utilizan las propiedades de los números reales y además las leyes sobre las potencias ya utilizadas Matemática Ujarrás 2016.
Si m es igual que n am
÷
an = a0 = 1
Ejemplos: 52 25 =1 a) 5 ÷ 5 = 2 = 5 25 2
Muchas son las justicaciones que se pueden dar sobre el uso y desarrollo de esta operación; podemos decir, que su origen es netamente prác tico, y que en la mayoría de los casos lo que se pretende es resolver una necesidad inmediata: un caso concreto. También veremos casos donde ya no son situaciones normales para nosotros, sino que su manejo nos va a permitir desarrollar des trezas matemáticas, otro de los objetivos de este libro Matemática Zapandí 2016.
2
b) a 2 ÷ a 2 =
a2 2− 2 = a0 = 1 2 =a a
3. Si el exponente del denominador es el mayor, el cociente será otra fracción de numerador 1 y denominador la base elevada a la diferencia de los exponentes. Si m es menor que n 1 am ÷ an = n − m a
Pero antes recordemos lo siguiente sobre la división de potencias. Ejemplos:
1. Si el exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador se conserva la base y se le resta el menor de los exponentes al mayor.
a2 1 1 a) 6 = 6 − 2 = 4 a a a
Si m es mayor que n am ÷ an = am – n
b)
Ejemplos
a) b)
x7 7−6 = x1 = x 6 = x x y12 ÷ y6 = y12 – 6 = y6
2. Si los exponentes son iguales, se trata de la división de un número por sí mismo, el cociente valdrá 1.
a2 1 1 = 4−2 = 2 4 a a a
Otras de las expresiones algebraicas que se pueden simplicar son los productos
notables (a + b) 3 = ( a + b) 3 − 1 = ( a + b) 2 a) (a + b)
b)
232
(7 x + 1)4 = ( 7 x + 1)4 − 2 = ( 7 x + 1)2 2 (7 x + 1)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Tenga presente que la base se conserva y se restan los exponentes; en el caso de ( a + b) el exponente es el número 1.
c) Dividir – 5a4b3 entre – a 2b8
Solución:
☞ IMPORTANTE: En Álgebra la división se indica generalmente por la línea fraccionaria. b −5 =
1 b5
Veamos otros ejemplos de división de polinomios, en este caso división de monomios entre monomios a) Dividir – 8(x3y)4 entre 2(x2y2)3 3
4
2 2 3
− 8(x y) entre 2(x y ) =
− 8(x 3 y) 4
d) Dividir – 20x2y3 entre 4x 6y7
2(x 2 y 2 )3
12
=
=
− 8x y
Solución:
4
− 20x2 y 3 ÷ 4x 6 y 7 = − 20x2 y 3 = 6 7
6 6
2x y
4x y − 5x 2 − 6 y 3 − 7 =
− 4 • 2 x12 − 6 2 y6− 4
− 5x − 4 y − 4 = =
− 4x 6
−5 x4 y 4
y2
Importante: ❖
❖
Para dividir este tipo de monomios con parénte sis, aplicamos la ley de potencias: para elevar a potencia un producto: (a mbn)x = am•xbn•x . Para obtener el cociente
− 4x
6
utilizamos y2 las leyes de signos estudiadas de división de potencias de igual base.
b) Dividir 4a b entre – 2ab 3 2
Recuerde: Si dividen o simplican el coeciente del dividendo entre el coeciente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará
Solución: 4a b ÷ − 2ab 3 2
dado por la ley de signos.
4a 3b2 = − 2ab
− 2a 2b
233
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Así.
ACTIVIDAD 1
(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7 O así.
Efectúe las siguientes divisiones. 1.
2.
3.
(x 2 x 3 )4 = __________ (x 4 )3
12 + 9 12 9 = + = 4 + 3 = 7 3 3 3
Esto también se cumple en la división de los binomios por los monomios.
3(x 2 y 3 )2 = __________ −18(xy)4
En general:
−(a2b3 )4
Donde x es un monomio distinto de cero.
3ab4
a + b a b = + x x x
= __________
Consideremos algunos ejemplos. 4.
5.
6.
−(2m6n3 )5 = __________ 4(−3m2n3 )2
−6(p2 q3 )2 12p7 q2
Ejemplo 1 Dividir 15a3b2 – 9ab entre 3ab 15a3b2 − 9ab = 3ab
= __________ 15a3b2 9ab − = 3ab 3ab
2(x 4 y 3 )2 = __________ −3(xy)5
I. División de un binomio por un monomio
5a 2b − 3
Ejemplo 2 Dividir –81m4n8+108m8n4 entre –9m 3n3
El cociente de un binomio por un monomio es la suma de los cocientes, que resultan de dividir cada uno de los términos del binomio por el monomio.
− 81m4n8 + 108m8n4 = − 9m3n3
Veamos cuál es la razón.
− 81m4n8 108m8n4 + − 9m3n3 − 9m3n3
Una forma de simplicar la expresión numérica (12 + 9) ÷ 3 es usar las propiedades conocidas.
9mn5 − 12m5n
234
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2
Ejemplos: 1. Dividir (3a3 – 6a2b + 9ab 2) entre 3a
Determine los cocientes. 1.
3x 2 + 9 x = ____________ 3x
2.
5y + 15 = ____________ 10
3.
35p4m + 75p2m3 = ____________ 5p2m
2. Dividir (6a8b8 – 3a6b6 – a2b3) ÷ 3a2b3
(6a8b8 − 3a6b6 − a2b3 ) ÷ 3a2b3 = 4.
35m4 q3 − 15m5 q2 = ____________ −5m3
5.
64a2b3 − 48a4b3 = ____________ − 4a 2b2
6.
5a 2b2 − a2b2 = ____________ ab2
7.
4a2b3 − 6a2b5 = ____________ 24ab2
8.
− 2a6b3 − 16a2b3 = ____________ − 6ab
6a 8b8 − 3a6b6 − a2b3 = 3a2b3 6a 8b8 3a6b6 a 2b3 − − = 3a2b3 3a2b3 3a2b3 2a 6b5 − a 4b3 −
1 3
ACTIVIDAD 3 Determine los cocientes de
II. División de un trinomio por un monomio Para dividir un trinomio por un monomio se dividen cada uno de los términos del trinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos, lo que representa la Ley Distributiva de la división.
235
1.
( x 3 + 10x2 − 8x ) entre −2x
2.
(4x3 + 6x − 5) entre 2
3.
(3a 3 − 5ab2 − 6a2b3 ) entre −2a
4.
( x 3 − 4x2 + x) entre x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5.
(4x8 − 10x6 − 5x4 ) entre 2x3
6.
(6m3 − 8m2n + 20mn2 ) entre − 2m
7.
( x 4 − 5x3 + 15x ) entre − 5x
x2 – 1 x + 1 5. Se divide el primer térmi2 –x – x x–1 no del residuo parcial (–x – 1) por el primer –x – 1 término del divisor (x + 1); así (x ÷ –x = –1 x2 – 1 x + 1 6. Se multiplica este segun2 do término del cociente –x – x x–1 por el divisor; –x – 1 –(x + 1) –1(x + 1) = –x – 1. Luego se resta del dividendo 0 parcial. Observe que cada término del producto cambió a su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 0.
III. División de un binomio entre un binomio Cuando estudiamos la operación división, nunca pensamos que llegaríamos a dividir otra cosa que no fueran "números". Casos semejantes a 37 ÷ 4 eran muy familiares.
De acuerdo al procedimiento anterior se tiene que dividir x2 – 1 entre x +1 es igual a x –1.
37 4 -36 9 1 Es decir 37 = 9 • 4 + 1
Otro ejemplo
Una situación similar se presente con los po linomios de una sola variable, tales como x 2 – 1, x2 – 7x + 1 y muchos otros más. Dividir x2 – 1 entre x + 1
Solución x2 – 1 x + 1
Procedimiento
1. Se ordenan los binomios en forma descendente. x2 ____ – 1 x + 1 2. Se deja el espacio para el término de grado 1 (x) x2_____– 1 x + 1 3. Se divide el primer término del dividendo por el x primer término del divisor (x2 ÷ x = x). x2 – 1 x + 1 4. Se multiplica este primer –(x2 + x) x término del cociente por el binomio divisor; –x – 1 x(x+1) = x2 + x. Este resultado se resta del dividendo (x2 – 1).
Dividor (4x2 – 1) entre (2x + 3)
Solución: Lo ordenamos descendentemente así obsérvese que hay que dejar el espacio para el polinomio ausente x en el binomio dividendo (4x 2 – 1) 4x2 – 1 2x + 3 – (4x2 + 6x) 2x – 3 – 6x – 1 –(– 6x – 9) 8 1. Dividimos (4x 2) ÷ (2x) = 2x. 2. Multiplicamos 2x(2x + 3) = 4x 2 + 6x. 3. El resultado anterior lo restamos de (4x2 – 1). 4. Dividimos el primer término del residuo par cial (–6x – 1) por el primer término del divisor (2x + 3) (– 6x) ÷ (2x) = – 3
236
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5. Multiplicamos – 3(2x + 3) = – 6x – 9 y se lo restamos a – 6x –1.
Dividir (x2 – 5x + 7) por x + 1 Solución
6. Obtenemos un residuo parcial 8.
Procedimiento
x2 – 5x + 7 x + 1
1. Se ordenan los polinomios en forma descendente. x2 – 5x + 7 x + 1 2. Se divide el primer término del divix dendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x) x2 – 5x + 7 x + 1 3. Se multiplica este primer término del –(x2 + x) x cociente por el poli– 6x + 7 nomio divisor; x (x+1) = x 2 + x. Ese resultado se resta del dividendo (x2 – 5x + 7). x2 – 5x + 7 x + 1 4. Se divide el primer término del residuo – x2 – x x –6 parcial por el primer – 6x + 7 término del divisor (– 6x ÷ x = – 6) x2 – 5x + 7 x + 1 5. Se multiplica este segundo término del – x2 – x x –6 cociente por el divisor; – 6x + 7 – 6 (x + 1) = – 6x – 6. + 6x + 6
Así entonces tenemos que dividir 4x2 – 1 entre 2x + 3 es igual al cociente 2x – 3 y un residuo 8
Observe – 6x – 1 es igual – 6x – 1 esto es – 6x – 1 –(– 6x – 9) + 6x + 9 + 6x + 9 0 +8 8
ACTIVIDAD 4 Divida.
1. (2 – 4b2) entre (1 + b) 2. (25 – 36x 4) entre (5 – 6x2) 3. (1 – x2) entre (1 – x) 4. (2x2 – 18) entre (x + 3) 5. (9 – x4) entre (3 – x 2) 6. (10x2 – 6) entre (2x + 8)
13
7. (3x2 – 2) entre (x – 4) 8. (x2 – 9) entre (x + 5)
IV. División de un trinomio por un binomio
Luego se resta del dividendo parcial. Recuerde que cada término del producto cambia por su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 13.
Observe que hemos transformado el polinomio.
x2 – 5x + 7 = (x + 1) (x – 6) + 13
Anteriormente hemos dividido un binomio por un binomio, también podemos dividir un trinomio por un binomio. Consideremos los siguientes:
dividendo
237
divisor cociente
residuo
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA orden de las potencias, y con sentido contrario u opuesto en el resutlado del producto..
Veamos otros ejemplos. 2. Dividir (x2 + x3 + 2) por 1 + x2 Para dividir dos polinomios ordenamos a ambos en forma descendente:
x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2 – x2 –1
x3 + x2 + 2 por x 2 + 1 Colocamos los polinomios ya ordenados en forma descendente, como lo hacemos para una división de números reales:
x2 + 1 x + 1
Restamos x2 + 1 de x2 – x + 2
divisor
x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2 – x2 –1 –x+ 1
(x + x + 2) ÷ (x + 1) 3
2
2
dividendo
Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la mayor potencia del divisor. Así: x3 ÷ x2 = x,
x3 + x2
+2
x2 + 1 x
Recuerde: Dejamos de dividir cuando el grado del residuo (– x + 1) es menor que el grado de divisor (x 2 + 1)
Restamos este resultado del dividendo:
Por lo tanto
x2 + 1 x
x 3 + x 2 + 2 = (x 2 + 1) (x + 1) + (– x + 1) dividendo
Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente del polinomio x 2 – x + 2 por la potencia de mayor exponente del divisor x 2 + 1, es decir: x2 ÷ x2 = 1. x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2
cociente
residuo
Se multiplica este primer término del cocien te por el polinomio divisor x(x 2 + 1) = x3 + x
x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x 2 x – x +2
x2 + 1 x + 1
divisor cociente residuo
3. Vamos a dividir: (x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5) Colocamos los polinomios ordenados en po tencias de mayor a menor: x2 – 2x – 35
x2 + 1 x + 1
x+5
Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la potencia de mayor exponente del divisor:
Multiplicamos 1 • (x 2 + 1) = x2 + 1 y colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el
238
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así,
x2 – 2x – 35 x + 5 x
Restamos: x2 – 2x – 35 – x2 – 5x – 7x – 35 + 7x + 35 0
x2 ÷ x = x Multiplicamos el resultado por el divisor: x (x + 5) = x 2 + 5x Colocamos este resultado debajo del dividen do, respetando el orden de las potencias y con signo opuesto al resultado del producto x (x + 5) = x 2 + 5x esto es – x 2 – 5x. x2 – 2x – 35 x + 5 –(x2 + 5x) x
En este caso, hemos obtenido un residuo igual a cero. Decimos entonces que el polinomio x – 2x – 35 es divisible por el polinomio x + 5 2
Por lo tanto, tenemos que x2 – 2x – 3 = (x + 5)(x – 7)
x+5 x
Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente de –7x – 35 por la potencia de mayor exponente del divisor: –7x ÷ x = –7 x2 – 2x – 35 –(x2 + 5x) –7x – 35
División sintética A. División de un trinomio entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número real. 1. Analicemos la división siguiente:
x+5 x–7
x2 – 5x + 7 x + 1 – x2 – x x– 6 – 6x + 7 + 6x + 6 13
Multiplicamos –7(x + 5) = –7x – 35 y colo camos este resultado respetando el orden de las potencias y con signo opuesto, 7x + 35. x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 + 5x x–7 – 7x – 35 + 7x + 35
cociente
residuo
Restamos este resultado del dividendo: x2 – 2x – 35 – x2 – 5x – 7x – 35
x+5 x–7
Para resolver este tipo de divisiones se creó un método más rápido y sencillo donde se utiliza solo los coecientes. En lugar de escribir todos los pasos, veamos el siguiente arreglo de números.
239
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA coecientes del dividendo
1
1
Siempre consideramos del binomio (x – a) el valor opuesto de a o bien lo podemos hacer así: x – a = 0 cuando x = a
–5
7
–1
6
(x2 – 5x + 7) ÷ (x + 1) = x – 6
–6
13
con un residuo (r) de 13
1(–1) + –5
–1
2. Divida (5x2 + 2 + 7x) por (2 + x)
Antes de comenzar a dividir utilizando división sintética, ordenamos el polinomio dividendo 5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así 5x2 + 7x + 2 . Lo mismo con el polinomio 2 + x = x + 2.
De donde podemos decir que
Utilizamos los coecientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor.
–6 (–1) + 7
De esta manera:
coeciente residuo del cociente
5
Observe: 5
a) El grado del cociente es un grado menor que el grado del dividendo. (x – 6)
2
– 10
6
–3
8
–2
Recuerde:
b) El primer coeciente es igual al primer coe ciente del dividendo (1)
El coeciente del cociente es un grado menor: 5x – 3
c) Cada uno de los demás coecientes del cociente se obtiene multiplicando el coeciente anterior por el opuesto de "a" y sumando este producto al coeciente siguiente del dividendo. 1 (– 1) + — 5 = – 6 y – 6 (– 1) + 7 = 13 d) El residuo (13) es igual al producto del último coeciente del cociente más el término cons tante del dividendo.
7
El residuo es el último número donde se encuentra ubicado el cociente. Residuo = 8 Entonces, 5x 2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.
2. Divida (3x2 + 6x – 7) por (x – 1)
Utilizando los coecientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del poli nomio divisor tenemos que: 3
Recuerde Como el grado del residuo ha de ser inferior al del divisor que es 1, el residuo en estas divisiones es siempre un número real.
3
Si al ordenar el polinomio en forma des - cendente falta un término, se completa este con un cero.
6
–7
3
9
9
2
1
Cociente: 3x + 9 Residuo: 2 Entonces 3x 2 + 6x – 7 = (3x + 9)(x – 1) + 2
240
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. División de un trinomio entre un binomio de la forma (ax + b)
2. Dividir – 3x2 + 4x + 15 entre (3x + 5)
1. Dividir 4x2 – 9x + 1 por 2x + 3
Solución: El divisor es (3x + 5); este lo igualamos a cero así:
Solución:
3x + 5 = 0 3x = − 5 −5 x = 3
Paso 1. Tomamos el divisor 2x + 3 y lo igua lamos a cero; así: 2x + 3 = 0 2x = − 3 −3 x = 2
Considerando los coecientes del polinomio así:
−3
15 =5 3 −3 9 – 3x + 9
Consideramos los coecientes del polinomio (trinomio) así: −3 4 1 –9 2 − 12 45 =−6 2 2 47 − 15 4 Residuo 2 4x – 15
Veriquemos que:
15
−5 3
− 45 3 0
Residuo
Recuerde Los números –3 y 9, excluyendo el re siduo 0; debe ser divido por coeciente del divisor (x + 5); así;
Importante 47 Los números 4 y –15 excluyendo el residuo 2 deben ser divididos por el coeciente del divisor (2x + 3). Así tenemos que 4 = 2, − 15 = − 15 , 2 2 2 2 por lo tanto, el cociente de (4x – 9x + 1) ÷ (2x + 3) 47 es c: 2x – 15 y el residuo 2 2
4
Por lo tanto al realizar la división sintética de – 3x 2 + 4x + 15 entre 3x + 5 se obtiene como cociente: – x + 3 y residuo r: 0
ACTIVIDAD 5 Divida por división sintética. x 2 + 5x + 6 = a) x+2
15 47 + 2 2 30 45 47 = 4x2 − x + 6x − + 2 2 2 2 = 4 x 2 − 15 x + 6 x + 2 2 = 4x − 9x + 1
4x 2− 9x + 1 = (2x + 3) 2x −
241
b)
x2 − 15x + 56 = x−7
c)
(n2 − 7n − 9) ÷ (n + 1) =
d)
( 4 − 8n + 3n2 ) ÷ ( 3n − 2 ) =
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
e)
( x − 7x + 5 ) entre (x − 3) =
f)
(x2 − x − 6 ) entre (x − 3) =
g)
(a2 − 5a + 1) entre ( a + 2 ) =
h)
(2x2 − 7x + 1) entre ( x − 4 ) =
2
i)
(3x2 + 5x + 1) entre ( 2x − 1) =
j)
(10x + 8 − 7x ) entre ( − 3 + 5x ) =
k)
(11− 7x + x2 ) entre ( 4x + 1) =
l)
(2x4 − 7x − 6) entre ( 2x + 1) =
m)
(7x2 − 29x + 1) entre ( 4x + 1) =
División de un trinomio por un trinomio Como recordaremos dado un polinomio P(x) (polinomio dividendo) y otro D(x) ≠ 0 (polinomio divisor), siempre existen y son únicos otros dos polinomios C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polino mio resto) tal que: P(x) = D(x) • C(x) + R(x) donde: grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0. Es decir que si dividimos como con reales la notación simbólica representa esta división: P(x) D(x)
2
R(x) C(x) La división de polinomios, en este caso un trinomio por un trinomio, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamen te con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:
1. Dividir 4x3 – 3x2 + 3 entre x2 – x + 1 Así como puede observar, la división que usted conoce desde la primaria ha evo lucionado grandemente, como también lo ha hecho la humanidad; es por eso que debemos ponerle atención para no quedarnos atrás en el conocimiento humano. Tengamos presente que el valor y utilidad que tuvo en su momento la división que conoció en primaria son los mismos que tiene en el presente esta forma de división.
Solución:
Observe: Con los polinomios dividendo y divisor orde nados de mayor a menor grado: t
242
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA t
t
t
Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada tér mino se coloque otro semejante
3. Dividir 6x3 – 16x2 – 8 entre 3x2 + x + 4
Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial.
6x3 – 16x2 –8 3x2 + x + 4 – 6x3 – 2x2 – 8x 2x + 6 – 18x2 – 8x – 8 18x2 + 6x + 24 –2x – 16 Respuesta: C(x) = 2x – 6 y de resto R(x) = – 2x + 16
Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor.
Solución: 6x3 – 16x 2 – 8 ÷ 3x2 + x + 4
Respuesta: Como se ve se ha obtenido de co -
ACTIVIDAD 6
ciente C(x) = 4x + 1 y de resto R(x) = – 3x + 2.
Realice las siguientes divisiones:
2. Dividir x + 2x + 1 entre x + x + 1 3
2
Solución: x3 + 2x + 1
a) (2x4 + 11x2 – 3) ÷ (3x 3 – 5x + 3) = ___________ ÷ x 2 + x + 1
x3 + 0x2 + 2x + 1 – x3 – x2 – x – x2 + x2 + 1 – x2 – x – 1 0
x 2 + x + 1 x+1
Respuesta: C(x) = x + 1 y de resto R(x) = 0
b) (4x3 + 8x – 4) ÷ (2x 2 – 4x + 1) = ___________
c) (x3 – x2 – x) ÷ (x2 + x + 1) = ___________
d) (6x3 – 5x2 + x) ÷ (x 2 – 2x – 1) = ___________
243
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1
1
Resuelva las siguientes divisiones.
a)
(− 3a b − a b ) entre (3a b ) = __________
b)
(− 10m7n4 + 12m3n8 ) entre ( 2m2 ) = ________
c)
5x 3 − 2x 2 + 6x = ___________ 3x2
6 6
2 3
2 3
d)
− 7x5 − 4x 4 + 3x 3 3x2
= ___________
e)
6x 3 − 10x2 + 8x = ___________ 2x
f)
− 108a 7b6 − 14a2b3 + 2b6 = ___________ − a 2 b6
2. Simplique las expresiones siguientes: 4
(2 − 7x)2 = a) 4(2 − 7x)
_________________
− 2 ( a 4b + 2 ) = g) 2 ( a 4b + 2 )
(a2b − 7b)2 = b) 2(a 2b − 7b)
_________________
h)
28x2 y 2 = 7x
_________________
(x 2 y 2 − 1)4 = c) 5(x 2 y 2 − 1)2
_________________
i)
25 (a + b ) = (a + b )2
_________________
−3(a2 − b)4 = d) 5(a 2 − b)4
_________________
j)
( 2 x + 3y ) ( x + y ) = ( x + y )( 3x + 2y )
_________________
(x − y ) 4(x − y )
_________________
x 2 + 5x + 6 = k) x+3
3
e)
4
= 4
− 4 (a 2 − c ) f) 3 = 3 (a 2 − c )
_________________
244
_________________
_________________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Divida por a cada binomio. a) ax + ay =
__________
b) 3a – 7 ab =
___________
c) a2y – 3a5 =
___________
4. Efectúe las siguientes divisiones: a) px2 + p por p
___________
d) – ax + ay por a
__________
b) 3ax2 – 8ax2 por a
___________
e) – ax + ay por – a
__________
c) mp – 7m por m
___________
f) am2 – 5a por a
__________
5. Efectúe las siguientes divisiones 75a 5b 4 – 65a 3b 4 a) = ________ – 5a 3b 3
– 81m 4n 8 + 108 m 8n 4 b) = ________ – 9 m 3n 3
– 4b 2 – 6 b + 8 b 3 c) = ________ – 2a b
– 9n x 3 + 15n 2 x 2 – 3n d) = ________ – 3n
6. ¿Cuál es el primer término del cociente de a)
x2 – 5x + 6 dividido por x – 3?
b)
x2 –5x + 6 dividido por x – 2?
c)
8m2 – 10m – 3 dividido por 4m + 1?
d)
8 – 10n – 3n 2 dividido por 2 – 3n?
245
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Divida por el método de la división sintética. a)
a2 + 3a + 2 por a + 1
___________
b) b 2 + 5b + 4 por b + 1
___________
c)
c2 + 8c + 12 por c + 2
___________
d) x 2 – 3x – 40 por x + 5
___________
e)
x2 + 4x + 4 entre x + 2
___________
f)
___________
g)
12 + 5x − 2x 4 − x
___________
h)
(–9x 2 + 3 + x) ÷ (x + 3)
7 − 9x + 8x2 3x − 1
___________
8. Divida por la forma D d las siguientes expresiones ( D: dividendo, d: divisor, c: cociente; r c r: residuo)
a)
23 − 11x2 + 2x 3 = 2x − 3
___________
b) (3x 2 – 7x + 2) ÷ (3x – 1) =
___________
c)
2x2 + 3x – 5 entre –2x – 5 = ___________
d) d 2 – 5d – 24 entre d – 3 =
___________
e)
1 + c – 6c 2 entre 1 + 3c =
9. Divida por la forma:
___________
las siguientes expresiones.
a) p3 – 8p – 3 divido por p 2 + 5p – 2 b) p3 – 8p – 10 dividido por p 2 + 2p + 1 c) x4 + 2x + 1 dividido por x 2 + x + 3 d) 6x3 – x + 3 dividido por 3x 2 + 2x + 4
246
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Antes cuando estudiamos números racionales usamos fracciones de un tipo muy sencillo, aque llas cuyo numerador y denominador eran números enteros. En la antigüedad ya se empleaban estas fracciones sencillas: la palabra «fracción» procede del latín «fractus» que quiere decir «roto», «quebra do». Los romanos consideraban una fracción como un todo roto, tal como una parte de un bastón o de un pastel, los romanos, como los babilonios antes que ellos, dividían un todo, o unidad, en sesenta vos y llamaban a estas partes «partes minutiae primae» que signica «partecitas primeras» y por una segunda división cada una de estas partes se subdividía en otras sesenta «partes minutiae secundae» o «segundas partecitas». Este dio origen con el tiempo a que un «minuto» fuera la sesentava parte de una hora o de un grado y el «segundo» la sesentava parte de un minuto o 1 3600 de hora o de grado.
Además. a 2 − 7 es una fracción algebraica racional donde el numerador es a 2 – 7 y el 1 denominador es 1. No olvide que una constante es un polinomio de grado cero, con la excepción del 0.
Las expresiones algebraicas racionales tie nen las mismas propiedades que los números racionales. Por ejemplo consideremos las siguientes frac ciones algebraicas.
También solían los romanos subdividir un todo en 12 partes llamadas cada una «uncial» de don de se derivan la palabra onza y la inglesa «inch» (pulgada). En el sistema inglés de medidas Troy, la libra está subdividida en 12 onzas.
Fracción algebraica racional Llamamos fracción algebraica racional a toda a expresión de la forma (a sobre b), donde a o b, b o ambos, son polinomios y además el denominador es un polinomio no nulo. x2 + 3x − 10 Por ejemplo, 3x + 2 signica (x2 + 3x –10) ÷ (3x +2)
2 a2
“a” no debe ser 0. Esta observación nos indica que la expresión racional que corres ponde al denominador debe estar denido para todos los números reales menos el cero; así ℝ – {0}
x
“y” no debe ser – 4. Esta observación y + 4 nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar denido para todos los números reales menos el –4, así ℝ – {–4} x + y “x” no debe ser igual a 3. Esta observación x − 3 nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar denido para todos los números reales menos el 3, así ℝ – {3}
RECUERDE En adelante y salvo indicación en con - trario supondremos que los valores de la variable o variables que aparezcan en un denominador son tales que no anulen dicho denominador.
247
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA También, en una fracción algebraica, al igual que una fracción numérica, es posible multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo factor (diferente de cero), obteniéndose así una fracción equivalente a la fracción dada.
B)
2(b + 5) 4b + 20 Como omo se puede observar, no se puede reali reali-zar directamente ninguna simplicación. Sin embargo podemos factorizar por factor común el denominador así: 4b + 20 = 4 (b + 5) 2(b + 5) 2(b + 5) 2 1 = = = 4b + 20 4(b + 5) 4 2
2 2 C) a2 − b a + ab Aquí tampoco podemos simplicar directa mente; por tanto procedemos previamente a descomponer en factores el numerador y el denominador. Debemos combinar los métodos de factorización: por producto notable y factor común. a 2 – b2 = (a − b)(a + b)
En la práctica se presenta muchas veces la necesidad de simplicar fracciones algebraicas. Para ello debe tener presente que: Simplicar una fracción algebraica consiste en dividir el numerador y el denominador por un mismo factor que sea común a ambos.
a2
+ ab = a(a + b)
Ejemplos Simplicar las fracciones algebraicas siguientes: 2 A) 16x2 y3 2x y Para simplicar esta fracción algebraica, di vidimos el numerador y el denominador por 2x2y (que es el mayor factor común a ambos). Luego resulta
− b2 (a − b)(a + b) a − b = = Luego tenemos a 2 + ab a (a + b) a a2
2 D) 2x2 − 3x − 2 x + 3x − 10 Factorizando ambos trinomios tenemos por el método de inspección. 2x2 − 3 − 2 (2x + 1)(x − 2) 2x + 1 = = x2 + 3x − 10 (x + 5)(x − 2) x + 5
Observe: Recuerde
El numerador y el denominador en la expre x − 4 sión racional o fracción algebraica parecen 4 − x no tener ningún factor común diferente de 1. Sin embargo, ya que (x – 4) y (4 – x) son inversos aditivos, podemos reescribir uno de ellos como inverso del otro.
248
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Así tenemos que para proceder a simplicar esta expresión hacemos 1)
x − 4 −1 (4 − x) = = −1 4 − x (4 − x)
2)
3)
c) ¿Para qué valores de x (x ∈ ℝ) está denida la expresión C?
Se factoriza el numerador
Solución a)
2 – x = –(– 2 + x) = – 1(x – 2)
C =
3x 3 + 9x 2 3x2 (x + 3) = x2 + 6x + 9 (x + 3)(x + 3)
=
3x 2 x + 3
Simplicamos
1 − y2 (1 − y)(1 + y) = 2 y − 4y + 3 (y − 1) (y − 3) −1 (y − 1)(1 + y) = (y − 1)(y − 3) −1(1 + y) = ( y − 3)
=
a) Calcule y simplique b) Halle el valor numérico de C cuando x = – 5
Otros ejemplos semejantes a este. 3x − 6 3(x − 2) = 2 − x 2 − x 3(x − 2) = −1(x − 2) 3 = = −3 −1
6) Sean A = 3x3 + 9x2 y B = x 2 + 6x + 9
Combinamos métodos de factorización.
−1 − y ( y − 3) A c) Los valores donde está denida C = B son todos ℝ – {– 3}
7. Por cual expresión debe amplicarse x − 1 2 5 para obtener como resultado x − 1 ? 5x + 5 Solución x2 − 1 Como se dice que el resultado es ; 5x + 5 Podemos aplicar la operación inversa de la amplicación (la simplicación) es proceso nos indicará la expresión para amplicar.
Observe : Como 2 = 0,4 x 5 tenemos que (5n + 2) = (5n + 0,4 x 5) = 5 (n + 0,4)
249
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Veamos: x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = 5x + 5 5(x + 1) x − 1 = 5 Entonces, podemos decir que x + 1 es la ex presión que amplica a x − 1 para obtener 2 x −1 5 5(x + 1)
g)
2a − 3 (a − 7)2
_________
h)
x+3 x(x + 2)
_________
i)
b +1 b2 − 9
_________
j)
3c c − 7c − 18
_________
Respuesta: Debe ampliarse por (x + 1)
x 2 – 1 es una diferencia de cuadrados
2
B) Simplique tanto como sea posible:
5x + 5 = 5(x + 1) se factoriza por factor común.
ACTIVIDAD 1 A) Diga para qué valores están denidas las fracciones algebraicas siguientes.
250
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4c 2 + 7c − 15 22) 2 = ____________ c + 12c + 27 3x2 − 7x − 20 = ____________ 23) 2x2 − 5x − 12 4y 2 + 20y + 25 24) = ____________ 2y 3 + 3y 2 − 5y
C. Sean A = 3a2 + 2a – 8 y B = 9a 2 – 16. A 1) Calcular y simplicar C = B 2) Hallar el valor numérico de C cuando a = –4 3) ¿Para qué valores de a (a ∈ ℝ) está denida la expresión C? D. ¿Por cuál expresión debe amplicarse m + n 2 2 2 para obtener como resultado m − n ? 2m − 2n x + 4 E. La expresión se obtiene al simplicar x − 1 una fracción cuyo numerador era x 2 + 5x + 4. ¿Cuál era la fracción original? F. La expresión 2a − 3 se obtiene al simplicar 3a + 1 una fracción cuyo denominador era 6a2 + 11a + 3. ¿Cuál era la fracción original?
Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores iguales Para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales, sumamos o restamos los numeradores y escribimos la suma o diferencia sobre el denominador común.
251
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA A. EJEMPLOS Sumar y simplicar. 1.
4x 5x 4x + 5x + = 3 3 3 9x = 3 = 3x 2
2.
3.
2
Se escribe la suma sobre el denominador común.
2y2 + 4y − 3 y2 − 2y − 12 2y2 + 4y − 3 − (y2 − 2y − 12) 2. − = y + 3 y + 3 y + 3 2y2 + 4y − 3 − y2 + 2y + 12 = y + 3
Sumamos los términos semejantes del numerador.
=
Simplicamos
2
6a 4a 6a + 4a + = a + 2 a + 2 a + 2 10a2 = a + 2
+ 3x − 7 x2 + x − 8 2x2 + 3x − 7 + x2 + x − 8 + = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2 3x + 4x − 15 = 2x + 1 (x + 3)(3x − 5) = 2x + 1
Se factoriza para buscar posibles factores comunes.
(y + 3)
= y + 3 Podemos sumar o restar cualquier número de expresiones con denominadores comunes su mando o restando los numeradores y colocando el resultado sobre el denominador común.
ACTIVIDAD 2 Efectuar cada una de las operaciones indi cadas.
B. EJEMPLOS. Restar y simplicar. 1.
y + 3
(y + 3)(y + 3)
=
2
2 x2
y 2 + 6y + 9
3m m − 4 3m − (m − 4) − = m+2 m+2 m+2 3m − m + 4 = m+2 2m + 4 2(m + 2) = = m+2 (m + 2) =2
a)
3a 2a + = ____________ 5 5
b)
6m 8m + = ____________ 11 11
c)
7x 2x − = ____________ 10 10
d)
18xy 11xy − = ____________ 7 7
e)
4x + 3 3x + 4 + = ____________ x+2 x+2
f)
−6m m − 10 + = ____________ m− 5 m− 5
Los paréntesis son necesarios orque se debe restar el numerador completo. Simplicamos.
252
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA EJEMPLOS
1. Encontrar el mcd de 8x2y2 y 12xy3 8x2y2 = 2 • 2 • 2 • x • x • y • y 12xy3 = 2 • 2 • 3 • x • y • y • y mcd = 2 • 2 • 2 • 3 • x • x • y • y • y = 24x2y3 2. Encontrar el mcd de x2 + 5x – 6 y x 2 – 1 x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1) x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) mcd = (x + 6)(x + 1)(x – 1) 3. Encontrar el mcd de x2 + 4 y x+1 Como estas expresiones no son factorizables, el mcd es su producto, (x 2 + 4)(x + 1).
Suma con denominadores diferentes Para sumar expresiones racionales con deno minadores diferentes, 1. Encontramos el mcm de los denominadores.
Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores diferentes
Mínimo común denominador (mcd) Para sumar fracciones algebraicas racionales con denominadores diferentes, primero es nece sario encontrar el mínimo común denominador de éstas.
2. Escribimos cada expresión racional como una expresión equivalente con el (mcd). Para es cribir una expresión equivalente, multiplicamos por una expresión equivalente a 1. 3. Sumamos los numeradores. Escribimos la suma sobre el (mcd).
EJEMPLOS Sumar y simplicar. 5x 2 7x 5x 2 7x a) + = + 8 12 2 • 2 • 2 2 • 2 • 3
Cómo encontrar el mínimo común de- nominador (mcd)
5x 2 3 7x 2 • + • = 2•2•2 3 2•2• 3 2
Para encontrar el mcd de dos o más ex - presiones algebraicas, 1.
Factorizamos cada expresión.
2.
Formamos el producto usando cada factor el mayor número de veces que aparece.
15x 2 + 14x 24 x(15x + 14) = 24
=
El mcm de los denominadores es 2 • 2 • 2 • 3 = 24 2
Multiplicamos cada térnino por una forma del número 1 = 2 para obtener el mcd.
253
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA b)
3
x +1
+
x − 1 5 x + 1 • + x −1 x +1 x −1 x −1 x +1 3(x − 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x − 1) 5
=
3
•
d) Resolver
x + 1 x − 1 x + 1 x 2 − 1 3
+
x
+
Solución 3
3x − 3 + 5 x + 5 = (x + 1)(x − 1)
+
x
+
x +1
x −1 x +1 x
2
+ 1 − 1 x − 1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) 3
=
+
x
x
+
8x + 2 = (x + 1)(x − 1)
=
3 ( x + 1) x ( x − 1) x +1 + + ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
2 ( 4 x + 1) = (x + 1)(x − 1)
=
3x + 3 + x2 − x + x + 1 ( x − 1) ( x + 1)
=
El mcd es (x + 1)(x – 1)
Como el numerador y denominador no tienen factor común, diferente de 1, no podemos simpli car más. 2x x − 1 + 2 c) Resolver 2 x − 1 x − 2x + 1 Solución 2x 1 2x x − 1 + 2 = + 2 x − 1 x − 2x + 1 x + 1 ( x − 1)2
=
x2 − 2x + 1+ 2x2 + 2x
( x + 1) ( x − 1) x2 + 3x + 4
( x + 1) ( x − 1)
Resta con denominadores diferentes EJEMPLOS Restar y simplicar x + 2 x + 1 x + 2 x + 4 x + 1 x − 4 − = − • • 1) x−4 x+4 x−4 x+4 x+4 x−4
(x – 1) + 2x ( x + 1) = ( x + 1) ( x – 1) 2
2
=
2
x 2 – 2x + 1 + 2x 2 + 2x ( x + 1) ( x − 1)2
=
(x + 2 )(x + 4 ) (x + 1)(x − 4 ) − (x − 4 )(x + 4 ) (x + 4 ) (x − 4 )
=
(x + 2 )(x + 4 ) − [(x + 1)(x − 4 )] (x + 4 )(x − 4 )
x 2 + 6 x + 8 − (x 2 − 3 x − 4 ) = (x − 4 )(x + 4 )
3x 2 + 1 = (x + 1) ( x − 1)2
x 2 + 6 x + 8 − x 2 + 3 x + 4 = (x − 4 )(x + 4 ) Factorizamos cada uno de los denominadores
=
x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) x 2 – 2x + 1 = (x – 1) 2 mcd = (x + 1)(x – 1) 2
9 x + 12 (x − 4 )(x + 4 )
mcd = (x – 4)(x + 4) Restamos los numeradores.
254
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
El mínimo común divisor es 4(n + 3)(n +3)
3)
2x + 6 x + 5 − x 2 − 3x x2 − 4x + 3 Solución: Se factorizan los denominadores x2 – 3x = x(x – 3) x2 – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1) El mínimo común múltiplo ó sencillamente el mínimo denominador común es x (x – 3) (x – 1). Por lo tanto:
ACTIVIDAD 3 A. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm). 1. c2d, cd2
2. 2x2, 6xy 3. a – b, a + b 4. m – 6, m + 6 5. 3(a – 3), 6 (3 – a) Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que obtener el común denominador.
6. 4(b – 1), 8(1 – b)
Después igual que con los números, basta sumar o restar los numeradores.
7. x + 2, x – 2
255
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 8. x + 3, x – 3
h)
9. x2 – 4, x 2 + 5x + 6 10. x2 + 3x + 2, x 2 – 4
i)
11. t3 + 4t2 + 4t, t2 – 4t
1 2
c +c
,
c 1 y 2 c + 2c + 1 c −1 2
x−2 x−3 1 , y x2 + 2x − 3 x2 − 4x + 3 x2 − 9
12. y3 – y2, y4 – y2 C. Sumar y simplicar.
13. a + 1, a 2 – 1
1.
a 2 3a 2 + = _____________ 2 8
16. 2x2 + 5x + 2, 2x 2 – x – 1
2.
8y 2y + = _____________ 10 5
B. Reduzca a común denominador. x+2 x+3
3.
4x 8x + = _____________ 15 25
4.
2 5 + = _____________ x x2
5.
5 7 + = _____________ 6a 8a
x + y 3 x + y + 2 = _____________ xy 2 x y
14. x – y , x + 2xy + y 2
2
2
2
15. m2 – 5m + 6, m2 – 4m + 4
a)
b)
x
y
x2
x 2x + 6 y 2 x −1 x + x + 2
c)
1 4 y x + x − 2 x+2
6.
d)
5 v y 2 v + 2v + 1 v − 3v − 4
7.
2
2
3
x − 2
+
3
x + 2
= _____________
e)
x + 2 1 1 , y x 4 − x 2 x 2 + 2 x + 1 x
8.
2 = _____________ x + 1 3 x
f)
b 1 1 , 3 y 3 2 2 b + b − 6 b b − 6 b b−2
9.
x + 4 x + = _____________ x x + 4
10.
x − 5 = _____________ x − 5 x
x 1 1 g) 2 , 2 y 2 x − 10 x + 25 x − 25 x + 10 x + 25
256
3
x
+
+
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 11.
Multiplicación de fracciones algebraicas
1 x + 2 = _____________ x + 2x + 1 x + 5x + 4 2
Como vimos anteriormente, el producto de números racionales se calcula multiplicando los numeradores y los denominadores. 3 5 3 • 5 15 • = = 4 6 4 • 6 24 También multiplicamos fracciones algebraicas de la misma manera.
7 5 12. 2 + 2 = _____________ a + a − 2 a − 4a + 3
D. Restar y simplicar. 1.
2.
5x + 3y 3x − 4y − = ____________ 2x 2 y xy 2 5
−
3
x+5 x−5
Ejemplos Efectuar las multiplicaciones siguientes y sim plicar el producto.
= ____________ a)
3.
4.
2 x − 2 = ____________ x + 2 x + 1 x + 3x + 2 2
5 x − 2 = ____________ x + 11x + 30 x + 9x + 20 2
b) E. Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes.
5a 3 2 5a 3 • 2 = • 4 5a 4 • 5a 10a3 = 20a a2 = 2
Multiplicamos los numeradores y los denominadores Se simplica
3a3b 15b • 2 3 10 6a b
Solución: Tanto los numeradores como los denominadores monomios se multiplican como antes lo hicimos. Luego, procedemos a simplicar. 3a3b 15b 3 • 15 • a 3 • b • b = • 10 6a 2b3 10 • 6 • a 2b3 45 a 3 b2 = 60 a 2b3 3a = 4b 18x2 y x + y = c) 2 2 • x − y 6xy
257
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución: Aquí primeramente debemos facto rizar la diferencia de cuadrados que aparece en el primer denominador y luego se simplica la expresión. 18x 2 y x + y 18x2 y (x + y) 3 x = • • • x2 − y2 6xy (x + y)(x − y) 6xy x − y
ACTIVIDAD 4 Efectúe las multiplicaciones siguientes y sim plique tanto como sea posible
3x 2 − 11x + 10 2x = d) • 2 2 8x x − 2x
Solución: En este caso se factoriza por ins pección el numerador del primer factor y por factor común el denominador del segundo factor. 2x 3x − 5 (3x − 5)(x − 2) = • 8x 2 x(x − 2) 4x2
Otros ejemplos donde se combinan diferentes métodos de factorización es el siguiente
258
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
División de fracciones algebraicas Podemos dividir fracciones algebraicas con el mismo procedimiento que utilizamos para dividir dos números racionales. Para dividir fracciones algebraicas, multiplicamos la primera expresión por el recíproco del divisor.
EJEMPLOS. Dividir y simplicar. 1.
8n 5 2n 2 8n 5 9 ÷ = • 3 9 3 2n 2
Factorizamos e identicamos los factores comunes. Simplicamos
5
=
72n 6n 2
= 12n
4 2 (x + 2) x + 2 x + 2 ( x + 2 ) ÷ = ÷ 3 2 34 22 4
3
5.
Multiplicamos por el recíproco de divisor.
4 x + 2) ( = •
Multiplicamos los numeradores y los denominadores.
81
Simplicamos
2.
=
2x + 8 x + 4 2x + 8 9 ÷ = • 3 9 3 x + 4 (2x + 8)(9) = 3 (x + 4) 2(x + 4)(9) = 3 (x + 4) =6
4
( x + 2 )2
4 2 x + 2) ( 81
Elevando a potencia una fracción algebráica
Simplicamos utiliando división de potencias
Multiplicamos por el recíproco del divisor.
(x + 2)4 = (x + 2)4 − 2 2 (x + 2)
Multiplicamos Factorizamos y simplicamos.
3.
2
x + 1 x + 1 x + 1 x + 3 • ÷ = x + 2 x + 3 x + 2 x + 1 (x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 1) x + 3 = x + 2
6)
x2 ( x − 1) x 2 + x x2 ( x − 1) x 2 − 9 • ÷ = x 2 + 5x + 6 x2 + 9 x2 + 5x + 6 x2 − x x 2 ( x − 1) • ( x − 3) ( x + 3) = ( x + 3) (x + 2) x (x − 1)
=
Multiplicamos por el recíproco del divisor. Multiplicamos y simplicamos.
259
x ( x − 3) x + 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 5 2x x 2 + x ÷ A. Hallar el resultado de x + 1 x + 5
+ + B. Hallar el resultado de 5x2 10 ÷ 3x 6 x −1 x + 1 C. Efectúe las siguientes divisiones y simplique.
Operaciones combinadas con fracciones algebraicas A. Sin signos de agrupación 5u − 3 2 + u 4u − 5 Ejemplo 1. Resolver 2 − 2 + 2 au au au Solución En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen el mismo denominador. Es claro que el resultado será una nueva fracción algebraica en donde el denominador será el mismo. (5u − 3) − (2 + u) + (4u − 5 5u − 3 − 2 − u + 4u − 5 a 2u
=
=
260
a 2u 8u − 10 a 2u
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
IMPORTANTE En este tipo de operaciones cuando tiene que eliminar paréntesis que le antecede el signo + no produce cambios en sus términos, por ejemplo en (5u – 3), en cambio, el términos (2 + u) le antecede el signo – por eso colocamos – 2 – u; en realidad, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma con el – 1. Por lo tanto 5u 2− 3 − 2 +2 u + 4u 2− 5 = 8u −2 10 au au au au
Por lo tanto 6n2 − 7 n n − 1 35n2 + n − 40 + − = n + 2 3n + 6 6 6(n + 2)
2 Ejemplo 2. Resolver 6n − 7 + n − n − 1 n + 2 3n + 6 6 Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “ale gebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (n + 2), (3n + 6) y 6 que es 6(n + 2).
Ejemplo 3. Resolver
Así:
Recuerde: Dividimos el mcd por cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador de cada uno.
4x 2 7x − 3 + − 2 x + x − 6 x + 3 2x − 8 2
Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (x2 + x – 6), (x + 3) y (2x 2 – 8); pero antes observe que (x2 + x – 6) = (x + 3)(x – 2). Con respecto de (x + 3) no hay nada que hacer. Por último, (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) pero este es una diferencia de cuadrados, así que aplicamos el método de la factorización por diferencia de cuadrados; por esto se tiene (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) = 2(x – 2)(x+ 2). Así tenemos que el mínimo común divisor es: (x2 + x – 6) (x + 3)(x – 2)
(x + 3) (x + 3)
m.c.d = 2(x + 3)(x – 2)(x + 2)
261
(2x 2 – 8) 2(x – 2)(x + 2)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Con signos de agrupación 2x 1 1 Ejemplo 1: Resolver 1 + x + 1 − x2 • 1 − x Solución Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, parénte sis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí comen1
1 2x + zamos con y luego con 1 − x 1 + x 1 − x2 al nal colocamos los resultados simplicados completamente.
Comencemos con . 2x 1 + 2x = 1 + 1 + x 1 − x2 1 + x (1 − x)(1 + x)
Entonces
Factorizamos por la fórmula de diferencia de cuadrados 1 – x 2 = (1 – x)(1 + x). El mínimo común denominador es (1 – x)(1 + x). (1 − x)(1 + x) = (1 − x ) 1 + x
(1 − x)(1 + x) =1 (1 − x)(1 + x)
(1 − x) (1) (1) ( 2 x ) (1 − x) (1) + (1) ( 2 x ) 1 2x + = 2 (1 − x)(1 + x) 1 + x 1 − x
=
1 − x + 2 x (1 − x)(1 + x)
=
1 + x (1 − x)(1 + x)
Entonces se tiene que 1 + 2x = 1+ x 1+ x 1 − x (1 − x)(1+ x) 2
Por lo tanto, Sigamos resolviendo 1 − 1 , mínimo común x denominador es x por esto se tiene que
2
4x 2 7x − 3 5x − 2x − 7 + − 2 = x + x − 6 x + 3 2x − 8 2(x + 3)(x − 2)(x + 2) 2
1−
262
1 x − 1 = x x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Entonces tenemos que
x2 x Entonces tenemos que − y ÷ 1 + = y y
1 + 2x • 1 − 1 1 + x 1 − x2 x
x2 x (x − y)(x + y) y + x ÷ y − y ÷ 1 + y = y y
1+ x x − 1 (1 + x) ( x − 1) = • (1 − x)(1 + x) x x(1 − x)(1 + x)
= =
− 1(1 + x) (1 − x) x(1 − x)(1 + x) −1 x
=
(x − y)(x + y) y • y x + y
=
y (x − y)(x + y) y ( x + y)
= (x – y )
Por lo tanto 1 + 2x 2 • 1 − 1 = − 1 1 + x 1 − x x x
Recuerde: a c a d ÷ = • b d b c
x2 x Ejemplo 2: Resolver − y ÷ 1 + y y
y + x = x + y
Solución Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, parénte sis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí x x2 comenzamos con − y y luego con 1 + y y al final colocamos los resultados simplificados completamente.
Por lo tanto se tiene que
x2 x y − y ÷ 1 + y = ( x − y)
1 Ejemplo 3: Resolver + 1 • 3x − x − 1 Solución
x2 Comcencemos con − y . Es claro que el y mínimo común denominador es “y”. Por esto x2 x 2 − y 2 se tiene que − y = . Y como el nu y y merador es una diferencia de cuadrados se x2 x 2 − y2 (x − y)(x + y) = tiene que − y = y y y x Sigamos resolviendo 1 + , mínimo común y denominador es “y” por esto se tiene que x y + x 1 + y = y
263
3 x
1 + 1 y luego con Comenzaremos con x − 1 3x − 3 al nal colocamos los resultados x simplicados completamente. 1 + 1 Comencemos con . Es claro que el x − 1 mínimo común denominador es “x – 1”.
Por esto se tiene que
1 + 1 = 1 + (1) ( x − 1) = (1 + x − 1) = x x − 1 x − 1 ( x − 1) x − 1
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Efecuar las siguientes operaciones.
3 Sigamos resolviendo 3x − , mínimo común x denominador es “x” por esto se tiene que
x−2 x + 2 x 2 − 9 = __________ a ) 2 + 2 • x − 4 x − x − 6 4x − 10
2 3x – 3 = 3x2 − 3 = 3 ( x − 1) = 3 ( x − 1) ( x + 1) x x x x
x − 2 x + 2 x 2 − 9 b) 2 • + = ____________ x − 4 x2 − x − 6 4x − 10
Entonces se tiene que
1 + 1 • 3x − x − 1
3 x 3 ( x − 1) ( x + 1) = • x x − 1 x 3x(x – 1)(x + 1) = x ( x − 1)
2x + 6 x + 3 x x − 7 + ÷ = __________ c) 2 • x − 9 x − 7 x + 7 5
= 3(x + 1) Por lo tanto se tiene que
1 + 1 • 3x − x – 1
TRABAJO INDIVIDUAL 1
3 = 3(x + 1) x
1. Los siguientes ejercicios corresponden a multiplicaciones y divisiones de expresiones fraccionarias. En ellos se sugiere factorizar, simplicar y nalmente, efectuar la operación indicada.
ACTIVIDAD 6 A. En las expresiones siguientes, efectúe las operaciones indicadas y simplique:
1)
1 1− x 2 + 2 − = _____________ x x + 2x x + 1
2)
3 + 2 = _____________ 2 x 2 − x − 1 1− 2 x + x 2
3)
1 3 2 + − = _____________ x 2 + 4x + 3 x 2 − 1 x + 3
4)
2 3 1 − + 2 = __________ 9x − 6x + 1 x + 1 3x + 2x − 1
x
−
2
264
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Para resolver ejercicios de suma o resta de expresiones fraccionarias es necesario sa ber determinar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. En cada uno de los tríos de números o de expresiones algebraicas se pide determinar el MCM correspondiente.
3. Los siguientes ejercicios corresponden a su mas o restas de expresiones fraccionarias. Determinar en cada uno el MCM de sus de nominadores y efectuar la(s) operación(es) correspondiente(s).
1) 28, 49, 21 2) 4a3b2, 6a2b4, 8ab3 3) a2 – b2, a2 – 2ab + b 2, 2a + 2b 4) x2 – 25, x2 – 2x – 35, x 2 – 14x + 49 5) a – b, ab – b 2, a2b – b2
265
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA d)
4 3• 5 23 x 2 y 6
ACTIVIDAD 2
Solución:
Racionalizar el denominador de:
4 4 •1 = 3 2 6 3• 5 2 x y 3 • 5 23 x2 y 6
22 x 3 y 4 1= 2 3 4 5 2 xy 5
1.
5 2 3 4 2 xy 4 = 5 3 2 6 •5 2 3 4 3• 2 x y 2 xy
= =
2.
4 5 22 x 3 y 4 3 • 2xy 2
3.
4 5 4x 3y 4 3 • 2xy 2
2 5 4x 3 y 4 = 3xy 2 5
23 x2 y 6 • 5 22 x 3 y 4 = 5 25 x 5 y10 = 2xy 2
7y 3 432y10
e)
5 2 4 3
= _________
3 = _________ 5 3 10
3
3 = _________ 3
4.
3 = _________ 3 6
5.
7 = _________ 3 5
6.
4 = _________ 3 16
7.
7 = _________ 3 11
8.
2 = _________ 3 4
Solución: 7y 7y = •1 10 3 3 432y 432y10
22 y 2 1= 2 2 3 2 y 3
3 2 2 2 y 7y = 3 4 3 10 • 3 2 2 23y 2 y
=
432 144 48 16 8 4 2 1
3 3 3 2 2 2 2
7y 3 22 y 2 3 4 + 2 3 10 + 2 2 3y
9.
7y 3 4y 2 = 12y 4 10. 3
24 33 y10 • 3 w2 y 2 = 3 24+2 33 y10+ 2 =
3
26 33 y12 = 22 • 3y 4 = 12y 4
11.
12.
432 = 2 4 • 33
268
3
1 = _________ 2
5 = _________ 3 2 9 = _________ 9
3
1 = _________ 23 3
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3
c)
2( 5
− 2)
= =
binomio conjugado
(
=
5 + 2)
= =
3( 5 2( 5
+ 2)
− 2 )(
5
f)
+ 2)
+ 2) 2 2 2 ( 5 ) − (2 ) 3( 5
3( 5
=
+ 2) + 2)
2 + x + 1)
2
2
18 − x − 1 ( x − 1)(3 2 + x + 1) = 17 − x
2 •1 3( 5
( x − 1)(3
(3 2 ) − ( x + 1) ( x − )(3 2 + x + 1) = (9 • 2) − ( x + 1) ( x − 1)(3 2 + x + 1) =
2 (5 – 4 ) 3( 5
( x − 1)(3 2 + x + 1) x −1 = 3 2 − x + 1 ( 3 2 − x + 1)( 3 2 + x + 1)
+ 2)
2
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Racionalice el denominador.
2. Racionalice el denominador en cada expresión.
270
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Racionalice y simplique
4. Determine el binomio conjugado en cada uno de los siguientes casos. a) 3 + x
______________
b) 5 x + 2 − x ______________ c) 3 2 − x + 1 ______________
5. Racionalice. a)
1 = _____________ 3
b)
8 = _____________ 3
c)
3 = _____________ 5
d)
x = _____________ y
6. Racionalice el denominador.
271
a)
2 3 3
= _____________
b)
3 6 6 2
= _____________
c)
5 2 3 5
= _____________
d)
3 15 5 32
= _____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Racionalice y simplique el resultado.
Ejemplos Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplicando los resultados en caso de ser posible. 1.
(
3+ x − 3 3+ x − 3 = •1 x x 3 + x = 3 )( 3 + x + 3 )
x( 3 + x + 3) 2
=
2
( 3 + x ) − ( 3) = x( 3 + x + 3) 3 +x−3 = x( 3 + x + 3)
x(
2.
(
1 3 + x + 3)
2+x + 2 2+x + 2 = • 1 x x 2 + x + 2 )( 2 + x − 2 )
x( 2 + x − 2 )
(
0
2
x( 2 + x − 2 ) 2+x−2 = x( 2 + x − 2 )
Se podrá racionalizar el numerador, así como el denominador de una fracción.
x = x( 2 + x − 2 ) 1 2+x − 2
272
2
2 + x) −( 2)
=
=
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA x + 1− 2 x +1− 2 = •1 x−3 x−3
3.
( x + 1 − 2 )( x + 1 + 2 ) = ( x − 3)( x + 1 + 2 ) 2 ( x + 1) − (2 )2 = ( x − 3)( x + 1 + 2)
TRABAJO INDIVIDUAL 2 Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplicando los resultados en caso de ser posible. 1)
x + 1− 4 = ( x − 3)( x + 1 − 1) x−3 = ( x − 3)( x + 1 + 2)
2)
1 x + 1+ 2
(
x + 1 + 1)( x + 1 − 1) x ( x + 1 − 1)
=
2
( x + 1) − (1)2 = x ( x + 1 − 1) x + 1− 1 = x ( x + 1 − 1) 1
x (( x + 1 − 1))
273
4− x = _____________ x − 16
3)
8+x − 8 = _____________ x
4)
x + 2 − 5 = _____________ x − 23
x +1+1 x + 1+1 •1 = x x
4.
x + 2 − 2 = _____________ x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ECUACIONES CUADRÁTICAS En este tema empezamos a trabajar con ex presiones matemáticas matemáti cas en las que guran, no sólo números, sino también letras ligadas con el signo de igualdad. En las ecuaciones, las letras designan incógni tas: cantidades desconocidas, cuyo valor estamos buscando. En esta unidad vamos a resolver ecuaciones de segundo con una incógnita o bien, ecuaciones cuadráticas; las cuales son de la forma
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Consideraremos varios métodos para su facto rización y su posterior solución entre ellos tenemos: el factor común, por agrupamiento, por fórmula notable, por diferencia de cuadrados, método de inspección y la fórmula general entre otros. También resolveremos problemas prácticos cotidianos que se pueden resolver con este tipo de ecuaciones.
Los babilonios de modo sorprendente resolvían estas ecuaciones completando cuadrados y con el uso de ciertas fórmulas generales. Los egipcios, por su parte, las resolvían usando un procedimiento muy engorroso, conocido como método de falsa posición. En el siglo VI antes de Cristo, la escuela de Pitá goras aplicaba para la resolución de estas ecuacio nes, el afamado método griego del Álgebra geomé trica y para ello aplicaban el cálculo de áreas. Dos siglos más tarde los discípulos del lósofo Platón (424–347 antes de Cristo) resolvían las ecuaciones cuadráticas utilizando proporciones. Los hindues y en particular Bhaskara (1114 – 1185 d.C.) utilizaron para resolver las ecuaciones cuadráticas nuevamente el método de completar el cuadrado. Como podemos apreciar, muchos son los metódos que se han utilizado para resolver dichas ecuaciones. Nosotros resolveremos este tipo de ecuaciones utilizando primeramente los métodos de factorización ya estudiados y posteriormente la fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0.
− b ± b2 − 4ac 2a
Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
− b ± b2 − 4ac 2a
La expresión ax 2 + bx + c = 0, donde a,b,y c son números reales cualesquiera y a≠ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado o ecuacio nes cuadráticas, como otros logros matemáticos, aparecen alrededor del año 2000 antes de Cristo, en las tablillas aritméticas de los babilonios y en los papiros egipcios del año 1650 antes de Cristo. Crist o.
Pero antes recordemos estos conceptos que se encuentran en el libro de Matemática Ujarrás 2016, en la Semana Décimoquinta, titulada Ecuaciones.
Las ecuaciones y las fórmulas pueden estar compuestas ya sea de proposiciones verbales o bien, de proposiciones numéricas.
274
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA La solución de una ecuación es el número que hace que la igualdad sea cierta al sustituir la letra por dicho número
aún, si el producto es 0, al menos uno de los fac tores debe ser 0. En general, podemos establecer el siguiente principio:
Por ejemplo:
Para cualquier par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0, y si a = 0 ó b = 0 entonces ab = 0.
El valor x = 2 hace que la igualdad x + 3x – 10 = 0 sea cierta para dicho número. 2
1 1
g
(2)2 + 3(2) – 10 = 0 (4) + 3(2) – 10 = 0 4 + 6 – 10 = 0 10 – 10 = 0 0= 0
Esto es, a • b = 0
↔ a = 0 ó b = 0
g
Este principio matemático nos permite esta blecer que si tenemos una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, la podemos resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
Conjunto solución Se llama conjunto solución a todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el con junto de todas las raíces o resultados de la ecuación.
EJEMPLO 1
Para comprobar si un número es solución de una ecuación, se sustituye la letra por el número y se hacen las operaciones, si queda el mismo resultado a la derecha y a la izquierda del igual el número es la solución.
Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se reere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica ax 2 + bx + c = 0, donde a es el coeciente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de cero, b es el coeciente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización Como ya sabemos, el producto de dos o más números es 0 si alguno de los factores es 0. Más
275
Resolvamos la ecuación cuadrática (5x + 1)( x – 7) = 0 Solución (5x + 1)(x − 7) = 0 5x + 1 = 0 ó x − 7 = 0 5 x = −1 ó x = 7 −1 ó x=7 x= 5 Vericación x =
−1 5
Aplicamos el principio principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Resolvemos cada factor.
(5x + 1)(x − 7) = 0 −1 −1 5/ • 5/ + 1 5 − 7 = 0 −1 ( −1 + 1) 5 − 7 = 0 (0) • −1−5 35 = 0 0 = 0
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Por lo tanto, las coluciones de la ecuación 9 x(2x – 9) = 0 son x = 0 y x = y el conjunto 2 solución es 0, 9 2
x = 7 (5x + 1)(x − 7) = 0 ( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 ) = 0
( 35 + 1)( 0 ) = 0 (36 • 0) = 0 0 = 0
Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. Los anteriores ejemplos, también repre sentan ecuaciones cuadráticas.
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son −1 −1 x= y x = 7 y el conjunto solución es , 7 5 5
(5x + 1)(x – 7) = 0 ↔ 5x2 – 34x – 7 = 0 donde a = 5, b = – 34, c = – 7 x(2x –9) = 0 ↔ 2x2 – 9x + 0 = 0 donde a = 2, b = – 9 , c = 0.
EJEMPLO 2 Resolvamos la ecuación x (2x – 9) = 0 Solución x(2x − 9) = 0 x = 0 ó 2x − 9 = 0 x = 0 ó 2x = 9 9 x=0 ó x= 2
EJEMPLO 3 Resolvamos la ecuación x 2 + 5x = – 6 Solución
La expresión comprende a la forma factorizada de la ecuación cuadrática: 2x 2 – 9x = 0
x2 + 5x + 6 = 0
Aplicamos el principio
(x + 3)(x + 2) = 0
a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x+3=0 ó x+2=0
Resolvemos cada factor
x=–3 ó x=–2
Aplicamos el principio: a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Es una ecuación cuadrática donde a = 1, b = 5, c = 6
y resolvemos cada factor.
Vericación: con 0 x(2x − 9) = 0 0(2 • 0 − 9) = 0 0 • (0 − 9 ) = 0 0•− 9 = 0 0=0
Vericación con
El trinomio x 2 + 5x + 6 = 0, lo factorizamos por el método de inspección.
9 2
9 9 •( 2/ • − 9) = 0 2 2/ 9 • ( 9 − 9 ) = 0 2 9 • 0 = 0 2 0 = 0
Vericación: con – 3
Vericación con – 2
(x + 3)(x + 2) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
0g–1=0
1 g 0 = 0
0=0
0=0
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es {– 3, – 2}.
276
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA EJEMPLO 4
x =0 ó x –5= 0 x=0 ó x=5
Resolvamos la ecuación x 2 – 8x + 16 = 0 Solución
Ordenamos la ecuación del trinomio ax 2 + bx = 0, observe que el término c en este caso es c = 0.
x2 – 8x + 16 = 0
Factorizamos por el método de factor común.
(x – 4)(x – 4) = 0
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x –4 =0 ó x –4 =0 x=4
Resolvemos cada factor.
x=4
Es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática donde a = 1, b = – 8, c = 16 coecientes de ax 2 + bx +c = 0
Vericamos estos resultados.
Vericación: con 0
x2 = 5x x(x – 5) = 0 0 ( 0 – 5) = 0 0g–5=0 0 = 0
Se factoriza por el método de factorización por fórmula notable: (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Comprobación
Vericación: con 5
x2 = 5x x(x – 5) = 0 5 (5 – 5) = 0 5g 0 =0 0= 0
Por lo tanto el conjunto solución es el conjunto {0,5}
Vericación: con x = 4
x2 – 8x + 16 = 0
EJEMPLO 6 Resolvamos la ecuación cuadrática 4x 2 = 25
(x – 4)(x – 4) = 0
4x2 = 25 4x2 – 25 = 0 (2x + 5)(2x – 5) = 0 2x + 5 = 0 ó 2x – 5 = 0 2x = – 5 ó 2x = 5 −5 5 ó x = x = 2 2
(4 – 4)(4 – 4) = 0 0g 0 = 0
0 =0 Por lo tanto la única solución es 4, esto es, el conjunto solución es {4}.
EJEMPLO 5
Se ordena el trinomio de segundo grado, ax 2 + bx + c = 0, observe el término bx es cero.
Resolvamos la ecuación x 2 = 5x Solución
Se factoriza por el método de la diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x2 = 5x x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor.
277
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Vericación
Luego: x = 6 y x =
−2
3 − 2 , 6 Por lo tanto el conjunto solución es 3
Ejemplo 8 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 5 x − 2 1 x − 1 = 0 3 5 2 Solución
− 5 ,5 2 2
Por lo tanto, el conjunto solución
Ejemplo 7 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 1 x − 3 3 x + 1 = 0 2 4 2 Solución
1 x − 3 3 x + 1 = 0 2 4 2 1 x − 3 = 0 2
3 x + 1 = 0 4 2
1 x − 3 = 0 2 1 x=3 2
3 1 x + = 0 4 2 −1 3 x= 4 2 −1 x= 2 3 4 −4 x= 6 −2 x= 3
3 1 2 6 x= 1
x=
x=6
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor.
6 y x=2 25 6 Por lo tanto el conjunto solución es , 2 25
Luego x =
Ejemplo 9 Resolvamos la ecuación de segundo grado 6x2 + 19x + 10 = 0
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Solución:
Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.
6x2 + 19x + 10 = 0 Como 6 • 10 = 60
278
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 15 • 4 = 60
ACTIVIDAD 1
15 + 4 = 19 Es una ecuación de segundo grado donde a = 6, b = 19, c = 10, coecientes de ax 2 + bx + c = 0
A) Resolver las ecuaciones siguientes: 1.
(x + 8)(x + 6) = 0
2.
(a – 3)(a + 5) = 0
(6x2 + 15x ) + ( 4x + 10) = 0
3.
(x + 12)(x – 11) = 0
3x ( 2x + 5 ) + 2 (2x + 5 ) = 0
4.
x(x + 5) = 0
5.
y(y – 13) = 0
6.
0 = y(y + 10)
7.
(7x – 28)(28x – 7) = 0
8.
2x( 3x – 2) = 0
Utilizamos el método de inspección con ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 1.
6x2 + (15 + 4) x + 10 = 0
(2x + 5) (3x + 2) = 0 (2x + 5) = 0
(3x + 2) = 0
2x + 5 = 0
3x + 2 = 0
2x = − 5
3x = − 2
x=
−5 2
x=
−2 3
Utilizamos el método de agrupamiento para encontrar la factorización nal. Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.
−5 La solución son los valores x = y 2 −2 x= 3 Por lo tanto el conjunto solución es − 5 , −2 2 3
279
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B) Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
20. 2x2 – 50 = 0 21. 9x2 –16 = 0
1.
x2 + 6x + 5 = 0 22. x2 – 36 = 0.
2.
x2 + 7x + 6 = 0 23. 4x2 + 4x + 1 = 0
3.
x2 + 7x – 18 = 0 24. 9x2 – 12x + 4 = 0
4.
x2 + 4x – 21 = 0 25. 9x2 – 6x + 1 = 0
5.
b2 – 8b + 15 = 0 26. 4x2 + 20x + 25 = 0
6.
x2 – 9x + 14 = 0 27. 9x2 + 24x + 16 = 0
7.
16x – 60x = x 2 28. 16x2 – 24x + 9 = 0
8.
u2 = 182 – u
9.
9x – 5x 2 = 0
10. X – 3x 2 = 0 11. 5x2 = – 45 12. 12y 2 + 12y = –10 13. 12y 2 – 5y = 2 14. 5x2 – 2x – 3 = 0
Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado Ya conocemos cómo resolver una ecuación de segundo grado aplicando la descomposición de factores; pero hay ecuaciones cuadráticas donde este procedimiento no es de fácil aplicación. Por esta razón en esta parte vamos a aprender a resolver ecuaciones de segundo grado ax 2 + bx + c = 0, utilizando la fórmula general.
15. 10x 2 + 7x – 26 = 0
− b ± b2 − 4ac 2a
16. 20 – 4y = 3y 2 17. – 9x2 + x = 0
Solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita
18. – x2 + 6x = 0
En la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de la forma ax 2 + bx + c = 0, en donde a,b y c son números reales, los cuales
19. x2 – 49 = 0
280
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA juegan un papel muy importante la expresión: b2 – 4ac, la cual recibe el nombre de discriminante.
x1 =
− b + D
=
2a
− 7 +
25
6
7+5 6 12 = 6 =2
= Discriminante Se llama «discriminante» de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 a la expresión ∆ = b 2 – 4ac
A. Consideremos cuando el discriminante es mayor que cero.
x2 =
− b − D 2a
D = b2 – 4ac > 0 Si el discriminante es un número real mayor que cero (positivo), D > 0, entonces ∆ es un número real positivo y el conjunto solución de la ecuación tiene dos elementos, esto es
−b + D − b − D , 2a 2a
S =
7 − 25 6 7−5 = 6 2 = 6 1 = 3
=
1 El conjunto solución de la ecuación es , 2 3
EJEMPLO 1: Resolver la ecuación 3x 2 – 7x + 2 = 0
EJEMPLO 2: Resolver la ecuación 2x 2 – 5x + 1 = 0
Solución
Solución
Puesto que a = 3, b = – 7 y c = 2, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
Puesto que a = 2, b = – 5 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos:
Veamos: 2
D = b − 4ac = (− 7)2 − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25 D > 0
D = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4(2)(1) = 25 – 8 = 17 D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones:
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones
281
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x1 = x2 =
− b + D 2a
− b − D 2a
Solución
5 + 17 = 4
=
Como x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
5 − 17 4
x2 + 5x – 3 = 2x 2 – 12x x2 – 2x2 + 5x + 12x – 3 = 0
Por lo tanto, el conjunto solución es
–x2 + 17x – 3 = 0
5 + 17 , 5 − 17 4 4
x2 – 17x + 3 = 0 Resolvemos esta operación hasta obtener una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0
EJEMPLO 3: Resolver la ecuación x 2 + x = 0
En orden del grado trasladamos los términos al lado izquierdo y reducimos.
Solución Puesto que a = 1, b = 1 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
La ecuación se multiplica por (– 1) para quitar el signo menos del término de segundo grado
Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 podepode mos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(0) = 1 – 0 =1
Veamos:
D = b2 – 4ac
D> 0 Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones
x1 = x2 =
− b + D 2a
− b − D 2a
=
− 1+ 1 − 1+ 1 0 = = =0
=
− 1− 1 − 1− 1 − 2 = = =−1
2•1
2 •1
2
2
= (–17)2 – 4(1)(3) = 289 – 12 = 277 D > 0 Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones
2
2
x1 = x2 =
Por lo tanto, el conjunto solución es {– 1, 0}
− b + D 2a
− b − D 2a
=
− ( − 17) + 277 17 + 277 =
=
− ( − 17) − 277 17 − 277 =
2 •1
2 •1
Observe que 277 no es una raíz exacta, 277 = 16,64331699…
EJEMPLO 4: Resolver la ecuación x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
282
2
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación x(x + 5) − 3 = 2x(x − 6) es
B. Consideremos cuando el discriminante es igual a cero.
17 − 277 , 17 + 277 2 2
D = b2 – 4ac = 0 Si el discriminante es igual a cero, D = 0, entonces ∆ es también igual a cero y el conjunto solución de la ecuación es unitario, es b decir, tiene un único elemento que es − , esto es 2a − b S = 2a
EJEMPLO 5: Resolver la ecuación 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
Solución: Como 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
EJEMPLO 1:
5x2 + 10x = 2x 2 + 2x
Resolver la ecuación 4x2 – 20x + 25 = 0
5x2 – 2x2 + 10x – 2x = 0
3x2 + 8x = 0
Solución Puesto que a = 4, b = –20 y c = 25 pode mos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Puesto que a = 3, b = 8 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos: D = b2 – 4ac = (–20)2 – 4(4)(25) = 400 – 400 = 0
Veamos:
D = b2 – 4ac = (8)2 – 4(3)(0) = 64 – 0
El discriminante D = 0, luego la solución viene dada por la expresión
= 64
− b
D > 0
2a
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones x1 =
2•3
6
6
− b − D − ( 8) − 64 − 8 − 8 − 16 − 8 x2 = = = = = 2a
2• 3
6
6
EJEMPLO 2: Resolver la ecuación 6x – x 2 – 9 = 0
3
Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación es − 8 ,0 3
20 20 5 = = 2(4) 8 2
5 El conjunto solución es . 2
− b + D − (8) + 64 − 8 + 8 0 = = = =0 2a
=
Solución Ordenamos y cambiamos signos multiplicando por –1 a ambos lados. x2 – 6x + 9 = 0
283
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puesto que a = 1, b = – 6 y c = 9, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b 2 – 4ac.
Veamos: D = = = =
= (12)2 – 4(9)(4)
b2 – 4ac (– 6)2 – 4(1)(9) 36 – 36 0
= 144 – 144 = 0 La solución de esta ecuación se obtiene con la expresión − b x= 2a − b = − 12 = − 12 = − 4 = − 2 S = 2a 2 • 9 18 6 3
El discriminante D = 0, también la solución la podemos hallar con x1 =
− b + D 2a
=
− b + D 2a
6+ 0 2 •1 6+0 = 2 6 = 2 =3
Por lo tanto, la solución de la ecuación 9x 2 + −2 12x + 4 = 0 es el conjunto 3
=
x2 =
− b − D 2a
=
Importante: Los resultados se tienen que factorizar al máximo, esto es, has su forma canónica.
− b − D 2a
EJEMPLO 4:
6− 0 = 2 •1 6−0 = 2 6 = 2 =3
Resuelva la ecuación cuadrática x – x 2 = 1 – x. Solución x – x2 = 1 – x x – x2 – 1 + x = 0 –x2 + x + x – 1 = 0 –x2 + 2x – 1 = 0
Esto quiere decir que el conjunto de soluciones reales de la ecuación es el conjunto unitario {3}
EJEMPLO 3: Resolver la ecuación 9x 2 + 12x + 4 = 0
Veamos: D = b2 – 4ac
x2 – 2x + 1 = 0
multiplicamos por (–1) ambos lados del igual
Como a = 1, b = –2, c = 1 y el discriminante es ∆ = b2 – 4ac. ∆ = b2 – 4ac
Solución
∆ = (– 2) 2 – 4(1)(1)
Puesto que a = 9, b = 12 y c = 4, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b 2 – 4ac.
∆=4–4 ∆= 0
284
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puesto que el ∆ = 0, podemos encontrar la solución de esta ecuación con la expresión; la cual − b es única x =
EJEMPLO 2:
Por lo tanto, la solución de x – x 2 = 1 – x. es el conjunto { 1 }.
Determinar el conjunto solución de la ecuación x2 – x + 1 = 0
2a
Solución Puesto que a = 1, b = –1 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
C. Consideremos cuando el discriminante es menor que cero.
Observe:
D = b2 – 4ac < 0
D = b2 – 4ac D = (– 1)2 – 4(1)(1)
Si el discriminante es un número menor que cero (negativo), D < 0, entonces ∆ carece de sentido en el conjunto ℝ ya que, como sa bemos, en ℝ no existen las raíces cuadradas de los números negativos.
D = 1 – 4 D = – 3 Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de
Por lo tanto el conjunto solución de la ecua ción, en este caso, es vacío, es decir, no tiene ningún elemento y por ello decimos que:
x2 – x + 1 = 0 es f, es decir, S = { } ó S = ∅
S = f
RESUMIENDO:
EJEMPLO 1: Determinar el conjunto solución de la ecuación 2x2 + x + 8 = 0
Para una ecuación de segundo grado con una incógnita ax 2 + bx + c = 0 con discriminante igual D, se tiene:
Solución Puesto que a = 2, b = 1 y c = 8 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac. Observe:
I.
D > 0, tiene dos soluciones reales distintas − b − D , − b + D 2a 2a
D = b2 – 4ac
S =
D = (1)2 – 4(2)(8)
− b 2a
D = 1 – 64
II. D = 0, tiene una solución real S =
D = – 63 Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de 2x2 + x + 8 = 0 es S= ∅ que es lo mismo que S = { }.
285
III. D < 0, ninguna solución real S = f
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2
16) x2 = –15x – 56
Utilizando la fórmula general, determine el conjunto de soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones:
17) 15x = 24x 2 + 2
1) 6x2 + x = 2
19) –9x2 + 17x + 2 = 0
2) x2 – 4 – 3(x – 2)2 = 0
20) x2 = –15x – 56
3) 3x2 + 8x – 35 = 0
21) 3x2 + 8x + 3 = 0
4) 4x(x –20) + 5 = 0 5) 3x2 + 8x + 3 = 0 6) 8x2 + x = 0 7) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2) 8) 5x(x – 2) + 6 = 0
18) x + 11 = 10x 2
22) 3x2 + 8x – 35 = 0 23) –v2 – v = –1 24) 3m = 2m2 − 25)
9 8
2 2 x − 8x + 3 3
26) u2 + u + 1 = 0
9) 123x2 = 0 27) 2(3m – 1) 2 + ( 3m – 1) = 1 10) 2x2 – 8 = 0 28) 4x ( x – 20) + 5 = 0 11) 8x2 = 24x + 2 29) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2) 12) 3x2 +12 = 0 30) 5x ( x – 2) + 6 = 0 13) x2 + x + 16 = 0 31) – 3x 2 – x + 4 14) –3x2 – x + 4 = 0 32) 3y2 + 4y = y + 5 15) x2 = 16x – 63
286
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas
Problema 1 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
En la misma forma a lo ya estudiado para el caso de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, existen muchos problemas cuya solución requiere del uso de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Solución:
Sin embargo, en el caso de los problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita, dado que el conjunto de soluciones reales en éstas tienen, a lo sumo, dos elementos; resulta que, en muchos casos es pre ciso descartar uno de esos elementos (¡y a veces ambos!) como respuesta al problema planteado. Ahora bien, ¿cómo saber cuál de los elementos del conjunto de soluciones reales debe ser des cartado como respuesta?, tal cosa se hace con base en el enunciado mismo del problema, así por ejemplo, si el problema nos pregunta por el número de personas presentes en una sala de cine y uno de los elementos del conjunto de soluciones 2 de la correspondiente ecuación es , entonces, 3 naturalmente debe ser descartado como respuesta pues no puede haber tal número de personas en una sala de cine. De igual forma si se nos pide la altura en metros de un árbol y uno de los elementos del conjunto de soluciones de la correspondiente ecuación es –12, entonces, naturalmente debe ser descartado como respuesta, pues la altura de un árbol en metros no puede ser un número negativo. En resumen, al resolver un problema mediante una ecuación de segundo grado, se debe prestar especial atención para determinar si las respuestas numéricas tienen sentido en relación con el enun ciado del problema, a n de descartar aquellas que, por la naturaleza misma del problema, no tienen signicado.
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x: primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será: 10 – x: segundo número Con la condición nal dl problema se establece que la suma de los cuadrados de ambos números es 58. Así entonces tenemos que: x2 + (10 – x) 2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
x2 + (100 – 20x + x 2) = 58 Aplicamos la segunda fórmula notable con el término (10 – x)2 (a– b)2 = a 2 – 2ab + b 2
x2 + 100 – 20x + x 2 = 58
Eliminamos el parén - tesis
2x2 – 20x + 100 – 58 = 0
Resolviendo
2x2 – 20x + 42 = 0
Dividimos por 2 a am - bos lados el trinomio obtenido
x2 – 10x + 21 = 0 21 = –7 g –3
– 10 = –7 + –3
287
Utilizamos el método de inspección para a=1
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA (x – 7)(x – 3) = 0 x–7=0 ó x–3=0
Aplicamos el principio
x=7
a g b
x=3
=0 b = 0
↔ a = 0
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3m y el largo aumenta en 2m, así que, luego del aumento quedan: x + 3: nuevo ancho de la sala
ó
x + 5: nuevo largo de la sala (x + 3)(x+ 5): nueva área de la sala.
obtenemos los valo - res de x.
La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:
Respuesta: Los números buscados son 3 y 7.
(x + 3)(x+ 5) = 2 g x (x + 3)
Comprobación:
x2 + 5x + 3x + 15 = 2x 2 + 6x Efectuamos las
3 + 7 = 10
multiplicaciones
3 + 7 = 9 + 49 = 58 2
2
x2 – 2x2 + 8x – 6x + 15 = 0
Problema 2 –x2 + 2x + 15 = 0
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo aumenta 2m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. Solución:
En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x.
x2 – 2x – 15 = 0
Multiplicamos por –1 ambos lados
–15 = 3 g –5
aplicamos el método de inspección
–2 = 3 + – 5 (x + 3)(x – 5) = 0
Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Así que supongamos: x: ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que: x + 3: largo de la sala // El área de un rec tángulo es la multiplicación de ambos: x (x + 3): área de la sala (Estos son los datos iniciales)
y reducimos términos semejantes
x + 3= 0 ó x –5 = 0
Aplicamos el principio
x = – 3 ó x =5
a g b
=0 b = 0
↔ a =0
ó
Observando las dos soluciones x = – 3 y x = 5, tenemos que la solución x = – 3 se debe desechar, puesto que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.
288
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Entonces la solución x = 5, debe ser el ancho original.
x2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1 + x 2
Así que x + 3 = 5 + 3 = 8 metros debe ser el largo. Por lo tanto, el área original es 8 m 5m = 40 m2. g
Desarrollamos cada cuadrado utilizando la primera fórmula notable: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
x2 – x2 – x2 + 4x – 2x + 4 – 1 = 0 Reducimos términos semejantes
Problema 3
–x2 + 2x + 3 = 0
Calcular la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos.
x2 – 2x – 3 = 0
Multiplicamos por –1 a ambos lados.
( x + 1)(x – 3) = 0
Factorizamos por el método de inspección.
Solución
Podemos ayudarnos de un dibujo para plantear este problema
¡Hágalo usted!
x+1 = 0 ó x–3=0
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x = –1 ó x = 3 Como x = –1 no es una de las respuestas, puesto que las medidas no son negativas; tenemos que la medida de uno de los catetos es 3, el otro es 4 y la medida de la hipotenusa es 5.
Sean: x: un primer cateto
Respuesta: La medida de la hipotenusa es 5.
x + 1: el segundo cateto Recuerde las medidas de sus lados son tres números consecutivos
Problema 4
x + 2: la hipotenusa Considerando el Teorema de Pitágoras tene mos: (x + 2) = (x + 1) + x 2
2
2
Cada graduado de un grupo de noveno año escribe la dirección de los demás alumnos de su aula. Si en total se copian 600 direcciones, ¿cuántos alumnos tiene el grupo? Solución:
En todo triángulo rec tángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
289
Sea n el número de alumnos del grupo. n – 1 el número de direcciones que escribirá cada alumno.
600 el número total de direcciones.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El número de alumnos por el número de direc ciones es igual a 600 n(n – 1) = 600 n2 – n = 600 n2 – n – 600 = 0 (n – 25)(n + 24) = 0 n – 25 = 0 ó n + 24 = 0 n = 25 ó n = – 24
x–9=0óx+7=0 x = 9 ó x = –7
Resolvemos cada ecuac ión
Dejamos por fuera la respuesta x = – 7 porque la edad de David no puede ser – 7 años. Luego tenemos que la edad de David será 9 años y por consiguiente la edad de Fernando es x – 2 = 7 años.
Lógicamente dejamos por fuera la respuesta n = – 24, puesto que no es posible, luego se dice que el grupo tiene 25 alumnos.
ACTIVIDAD 3
Problema 5 David es dos años mayor que Fernando y la suma de los cuadrados de ambas edades es de 130 años. Hallar ambas edades.
1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
Solución Siendo x: la edad de David Entonces x – 2: la edad de Fernando Según el problema: x2 + ( x – 2)2 = 130
Utilizamos para desarrollar (x – 2)2
x2 + x2 – 2(x)(2) + 2 2 = 130
La fórmula notable:
Respuesta:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
2 x2 – 4x + 4 – 130 = 0
Reducimos términos semejantes y dividimos por dos a ambos lados
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno.
x2 – 2x – 63 = 0 (x – 9)(x + 7) = 0
Factorizamos por inspección y aplicamos
Respuesta:
a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
290
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Si al triple de un número se suma su cuadrado se obtiene 88. ¿Cuál es el número?
7. El número de diagonales de un polígono de n n(n − 3) lados está dado por D = 2 Encontrar el polígono que tiene 54 diagonales.
Respuesta: Respuesta: 4. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número resultan 10 unidades más del séptuplo del número.
8. La suma de los primeros n números n(n + 1) naturales es S = 2 ¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el 1 suman 1275?
Respuesta:
5. Halle dos números cuya suma es 32 y su pro ducto es 255.
Respuesta:
Respuesta:
9. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado más su triple es igual a 40?
6. ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en el dibujo, sabiendo que las dimensiones dadas están en metros?.
Respuesta:
10. El producto de dos números consecutivos po sitivos es 210. ¿Cuáles son esos números?
Respuesta:
Respuesta:
291
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1 A. Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada. 1. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
2. Halle dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 145.
Respuesta:
3. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. ¿De qué número se trata?
Respuesta:
4. Calcule los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide 2 cm más que la altura.
Respuesta:
292
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5. Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm 2. Halle los catetos de este triángulo.
Respuesta:
6. Si se duplica el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm 2. ¿Cuánto mide el lado del cua drado?
Respuesta:
7. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en 2 cm, el área del nuevo rectángulo será 60 cm 2. Halle los lados del rectángulo.
Respuesta:
8. El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m 2. Calcule sus dimensiones.
Respuesta:
293
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Escriba las siguientes ecuaciones de segundo grado ordenada de acuerdo con la expresión general: ax2 + bx + c = 0 a) 3x • (x + 4) = x 2 – 5x + 3 b) (x – 3)2 + 1 = 2x – 5 c) 4x2 – 3x = 2x 2 + 7x d) (4x – 8) • (6x – 3) = 0
294
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresa, variación de la población de una deter minada especie de ser vivo y que responde a un tipo de función, y a obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.
Cada uno de estos elementos y comportamien tos de la parábola pueden ser identicados y nos permitirán construir su gráca hallar su expresión algebraica y además obtener información de la función en general. La magnitud del coeciente principal nos va a dar información sobre el lado recto y hacia dónde abre la parábola.
Además de estas características geométricas de la parábola, tenemos que existen otras aplicaciones, como en los espejos parabólicos de los faros de los carros, en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite, presenta también ese tipo de diseño.
Coeciente
Grácas de funciones cuadráticas
Cuando iniciamos el estudio de las funciones y en especial de las funciones cuadráticas, las representamos en la forma tabular, gráca y alge braicamente. Se identicaron situaciones dadas y que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bx + c. Recordemos que las grácas de todas las funciones cuadráticas son parábolas. El eje de simetría de todas las parábolas son paralelas al eje Y, donde el signo del coeciente de x2 en la función y = ax2 + bx + c determina la concavidad de su gráca. Eje de simetría La parábola abre hacia arriba Cero de la función
Cero de la función
Lado recto
Efecto en la parábola
principal a<1
Longitud de lado recto mayor
a>1
Longitud de lado recto menor
a<–1
Longitud de lado recto menor
a>–1
Longitud de lado recto mayor
Positivo
Abre hacia arriba
Negativo
Abre hacia abajo
Veamos las siguientes grácas:
Ejemplo 1 La función y =5x tiene un coeciente principal a = 5, es decir, es mayor que uno y positivo. Por lo tanto, su gráca tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia arriba. 1 La función yB = x2 tiene un coeciente princi2 1 pal a = , es decir, es menor que uno y positivo, 2
Vértice de la parábola
295
2
A
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia arriba.
Además de la forma general ó polinómica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c , donde la parábola queda denida por los parámetros "a", "b" y "c", existe la llamada "forma canónica" que a menudo es más útil, pues nos permiten determinar las coordenadas del vértice (h, k) utilizando las 4ac − b2 b . expresiones h = − y k = 2a 4a Además se tiene que el factor "a" como lo vimos anteriormente dene la forma de la curva.
y 6 5 4 YA =
3
1 x 2
2 1
-4
-3
-2
-1
YB= 5x
0 1
2
3
x
4
Forma canónica o estándar de la función cuadrática
Ejemplo 2 La función y C = – 3(x – 2) 2 + 4 tiene un coe ciente principal a = – 3, es decir, es menor que menos uno y negativo. Por lo tanto, su gráca tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia abajo. La función y D = – 1 (x – 2)2 + 4 tiene un coe3 ciente principal a = – 1 , es decir, es mayor que 3 menos uno y negativo, lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia abajo.
Cuando estudiamos las expresiones alge braicas transformamos ecuaciones de la forma y = ax2 + bx + c a la forma y = a(x + h)2 + k, esto lo realizamos considerando el método de completar cuadrados.
Ejemplos 1. Transformar la función y = x 2 + 14x + 60 a su forma canónica o estándar.
y 4
YD = -
k=
1 (x-2)+ 3
14 = −7 2 •1
4ac − b2 4a
=
( ) ( ) − (14) 4 (1)
4 1 60
2
=
240 − 196 4
= 11
La forma canónica corresponde a
1 0 -1
Como a = 1, b = 14, c = 60 4ac − b2 b tenemos que h=− y k = 2a 4a
d
2
-2
y = x2 + 14x + 60
h= −
3
-3
Solución:
0 1
2
3
4
5
6
7
x
y = 1 • (x + 7) 2 + 11
-1 -2
Siempre se debe escribir dentro del parén - tesis el valor opuesto del valor h obtenido.
Yc = -3(x-2) +
-3
296
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:
y = –x2 –8x –16 – 7
y = 1 • (x + 7) 2 + 11
En conclusión, la forma estándar de y = – x 2 – 8x – 23 es y = –1 • (x + 4) 2 – 7
y = – x 2 – 8x – 23
y = 1 • (x2 + 14x + 49) + 11 y = x2 + 14x + 49 + 11 y = x2 + 14x + 60 En conclusión, la forma estándar de y = x2 + 14x + 60 es y = 1 • (x + 7) 2 + 11
3. Transformar la función y = – x 2 + x + 6 a su forma canónica o estándar.
Solución: y = – x2 + x + 6 Como a = –1, b = 1, c = 6 4ac − b2 b k = h=− tenemos que 2a 4a 1 1 1 =− = h=− 2 • −1 −2 2
2. Transformar la función y = – x 2 – 8x – 23 a su forma canónica o estándar.
Solución:
– x2 – 8x – 23 = –1 • (x2 + 8x + 23)
y = – x2 – 8x – 23 y = – (x2 + 8x + 23)
4 ( −1)( 6 ) − (1) k = 4 ( −1)
2
Como a = 1, b = 8, c = 23 4ac − b2 tenemos que b h= − y k = 2a 4a h= −
2
− 24 − 1 − 25 25 = = −4 −4 4
La forma canónica corresponde a 2 1 25 y = −1• x − + 2 4
8 8 = = −4 2 •1 2
4ac − b2 4 (1) ( 23) − ( 8 ) = k = 4a 4 (1)
=
Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:
92 − 64 = =7 4
2
1 25 y = −1• x − + 2 4 2 1 25 2 y = −1• x − x + + 4 4
La forma canónica corresponde a y = –1 • (x + 4) 2 – 7
1 25 y = − x 2 + x − + 4 4 2 y = −x + x + 6
No olvidemos que el –1 es factor común del trinomio cuadrado.
Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:
En conclusión, la forma estándar de 2 1 25 y = – x 2 + x + 6 es y = −1• x − + . 2 4
y = –1 • (x + 4) 2 – 7 y = –1 • (x 2 + 8x + 16) – 7
297
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Forma factorizada de la función cuadrática
2. Transformar la función y = 6x 2 – 13x – 5 a su forma factorizada.
Solución:
Una tercera forma de expresión de una función cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres parámetros que denen a la parábola son las dos raíces x1 y x 2 (cuando son reales y distintas) y el coeciente cuadrático "a".
Forma factorizada de la parábola
y = 6x2 – 13x – 5 Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 2 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 6, tenemos que: 5 1 y = 6 • x − x + 2 3
➠ y = a(x – x 1)(x – x2)
Es natural aceptar esta forma de expresión expres ión de la función cuadrática, pues se verica veri ca que cuando "x" toma el valor de las raíces x 1 y x2 la función “y” se anula. Además tiene el coeciente "a" que dene la forma de la curva. Quedando denida la forma y los dos ceros de la función, la parábola queda totalmente denida.
En conclusión, la forma factorizada de 5 1 y = 6x2 – 13x – 5 es y = 6 • x − x + 2 3 3. Transformar la función y = – x 2 + 9x – 8 a su forma factorizada.
Solución: y = – x2 + 9x – 8 Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = –1, tenemos que:
Ejemplos
y = –1 • (x – 8)(x – 1)
1. Transformar la función y = x 2 – 3x – 28 a su forma factorizada.
En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = –1 • (x – 8)(x – 1)
Solución: y = x2 – 3x – 28 Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 1, tenemos que:
Las tres formas una función cuadrática
y = 1 • (x – 7)(x + 4) En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = 1 • (x – 7)(x + 4)
Forma
Expresión
Parámetros
Pol olin inóómic icaa
y = ax2 + bx + c
a, b, c
Canónica
y = a(x + h)2 + k
a, h, k
Factoriz Fact orizada ada y = a(x – x1) • (x – x 2)
298
a, x1, x2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplo Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = ax2 + bx + c
y = a(x – x 1)(x – x2)
y = a(x + h)2 + k
Nos permite visualizar la ordenada al origen
Nos permite visualizar las raíces de la función
Nos permite visualizar las coordenadas del vértice v(– h, k)
Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = –2x2 + 8x – 6
y = –2(x – 1)(x – 3)
y = –2(x – 2) 2 + 2
Trazo de la gráca de una
ACTIVIDAD 1
función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c
1. Si f(x) = 2x2 – 8x + 5, exprésela de la forma f(x) = a(x – h) 2 +k
La forma más sencilla de trazar una función cuadrática es tabulando.
2. Encuentre la ecuación estándar de la parábola y = – x2 – 3x + 6 3. Encuentre la ecuación estándar de las siguien tes parábolas. a) y = 3 x2 + 6x –2 b) y = 2 x2 – 8x– 4 c) y = – 3x2 + 9x– 7
Esto es hacer un cuadro en donde se le dé varios valores a x (la variable independiente) para obtener y (la variable dependiente) y así con va rios pares de coordenadas ubicar los puntos en un plano para trazar la gráca de la función. Por ejemplo: y = x2 – 4x + 3 Vamos a tabular, asignándole valores v alores a x, para ser reemplazados en la función y así obtener el valor de y, los cuales son los valores de f(x), y así obtener el par de coordenadas:
d) y = – 4x 2 – 8x + 3
y = x2 – 4x + 3 x
y
0
3
a) y = – x2 + 6x – 8
1
0
b) y = x2 + 4x
2
–1
c) y = – x2 + 1
3
0
d) y = 2(x – 2)(x + 3)
4
3
4. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, exprese en las restantes formas.
e) y = –2(x – 4) 2 + 8
299
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Al llevar estos pares de coordenadas a la gráca se obtiene:
resultante es la homotecia de ésta, es decir, es otra transformación geométrica geométr ica en el plano porque cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados a un centro O y además los segmentos homotéticos son paralelos. Además, es obvio, que del mismo modo que ésta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.
y 6 5 4
Ahora vamos a interpretar las curvas que nacen de la función y = ax².
3 Ordenada 2 al origen 1 0
d
d Eje de simetría x= Xv
d 1
Pero antes…
d 2
3
Vértice V (Xv, Yv)
4
5
6
7
8
9 x
Traslación Tr aslación vertical
Ceros X y X
Como podemos observar de la gráca anterior, las parábolas siempre tienen algunas caracterís ticas o elementos bien denidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. t
t
Si realizamos una traslación vertical de una función, la gráca se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido senti do del Eje Y, Y, es decir, hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo:
Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de las abscisas (raíces o ceros)
t
Puntos de corte con el eje de las ordenadas
t
Eje de simetría
t
Vértice
y
Traslación hacia arriba Función original Traslación hacia abajo x
Apoyado en lo anterior vamos a realizar el trazo de funciones cuadráticas en cualquiera de sus formas: polinómica, canónica o factorizada. Una de las cosas que queremos descubrir aquí es el hecho de “que tiene que ver el cambio que puede sufrir una gráca en relación al cambio en la función algebraica”.
Es claro que si decimos que una función se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo o bien hacia los lados sufre una translación. La gura
Traslación horizontal Si realizamos una traslación horizontal de una función, la gráca se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del Eje X, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.
300
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplo:
Ejemplos 1. La gráca de la función cuadrática: y = x 2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es:
Función original y
y
x Traslación hacia la izquierda
Traslación hacia la derecha
Las traslaciones tanto verticales como hori zontales, están ligadas al concepto de incremento o decremento de un valor constante (que denominaremos c), por lo cual son únicamente en forma de suma o diferencia, y se expresan matemáticamente de la siguiente forma:
Operación sobre la función
y = f(x)
Traslación de una función con c > 0
Observemos a continuación, cómo es afectada la gráca cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y).
i.
Gráca de y = x 2 + 1: La gráca de esta función se traslada una unidad hacia arriba.
Función original y
y = f(x + c)
Se traslada en forma hori zontal "c" unidades hacia la izquierda.
7
Se traslada en forma hori zontal "c" unidades hacia la derecha.
6
y = f(x) + c
Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia arriba.
3
y = f(x) – c
Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia abajo.
y = f(x – c)
5 4
2 1
301
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Gracar la función: y = (x – 1) 2 + 2
ii. Gráca de y = x 2 – 1: La gráca de la parábola parábol a se traslada una unidad hacia abajo.
y 7 6
Solución: Según lo visto anteriormente, el gráco corresponde a una traslación de la gráca de la parábola y = x 2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba.
5
y
4
7
3
6
2
5
1 -3
-2
-1
4
0
1
2
x
3
3
-1
2 1
iii. Gráca de y = (x – 1) : La gráca de la pará bola se traslada una unidad hacia la derecha. 2
-3
-2
-1
6
b) Indique en la misma gráca: gráca: el vértice vértice inicial, inicial, el vértice posterior a la traslación, el eje de simetría de la gráca original, original , el eje de simetría de la gráca posterior a la traslación.
4 3 2 1 0
1
2
c) ¿Cuál es el punto de intersecci intersección ón con el eje y de la gráca trasladada?
x
3
-1
iv. Gráca de y = (x + 1) 2: La gráca de la pará bola se traslada una unidad hacia la izquierda. izquier da.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica?
Solución:
y
y
7
7
6
6
5
5
4
4
0
Vértice (2,3) eje de simetría f(x) = x
1
1 -1
eje de simetría y = (x-2)+3
2
2
-2
Función trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba
3
f (x) = x Función original
3
-3
x
3
a) ¿Cuál es la representación gráca?
5
-1
2
3. Trasladar la función f (x) = x2, dos unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba.
7
-2
1
-1
y
-3
0
1
2
3
-4
x
-3
-2
-1
1 -1
-1
302
2
3
Vértice (0,0)
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) Grácamente.
IMPORTANTE
c) El punto de intersecció intersecciónn con el Eje y es (0,7), puesto que:
Toda función cuadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c se puede expresar de la forma y = f(x) = a(x a(x – h)2 + k. La gráca de esta última función es una traslación de la gráca f(x) = ax 2, desplazada “h” unidades horizontalmente, derecha o izquierda, y “k” unidades verticalmente, arriba o abajo.
y = (x – 2)2 + 3 y = (0 – 2)2 + 3 y = (2)2 + 3 = 7 d) Algebraicamente
5. Representar grácamente la parábola de la ecuación y = 2x 2 – 8x + 7.
Solución: Estas funciones se pueden representar me diante traslaciones solo que expresándolas de la forma y = a(x – h) 2 + k. y = 2x2 – 8x + 7
4. Gracar la función: y = (x + 2) 2 + 3.
y = 2(x2 – 4x) + 7 sacamos el factor 2 (coe ciente del término ax 2)
Solución: El vértice de esta función estará ubicado en la coordenadas (– 2, 3)
y = 2(x2 – 4x + 4) – 8 + 7 dentro del paréntesis sumamos el 4 pero afuera Ponemos un – 8 por el factor 2.
y = 2(x – 2) 2 – 1
Observe que la gráca de y = 2x2 – 8x + 7 = 2(x – 2) 2 – 1 es la parábola obtenida al trasladar la función y = 2x 2 de modo que su vértice sea el punto (2, –1). y
y
7
y = 2x
6
6
5
4
4 3
(-2, 3)
2 2 1
-4 -4
-3
-2
-1
1
2
3
x
-2
0 -2
303
2
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Un resultado importante
y
2 y = 2x- 8x+7
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeciente a de x 2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax 2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax 2.
6 4 2
-4
-2
0 -2
y = 2x -16x+35
y = 2x 8
2 4 (2,-1)
x 6
4
ACTIVIDAD 2
(4,3)
1. Represente por traslación las siguientes fun ciones:
2
a) y = x2 + 3
-2
2
4
6
b) y = x2 – 2 c) y = (x + 1)2 d) y = (x – 4)2
TRABAJO INDIVIDUAL 1
2. Represente por traslación las siguientes fun ciones:
1. Obtenga el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = (x – 1) 2 + 1
a) y = (x + 1)2 + 3
b
b) y = (x – 4)2 – 2
c) y = 2(x – 1) 2 – 3
c) y = (x + 1) – 3 2
y = 3(x – 1) 2 + 1
d) y = – 3(x – 2) 2 – 5 e) y = x2 – 7x – 18
d) y = (x + 4)2 – 2
f)
304
y = 3x2 + 12x – 5
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Identique el eje de simetría para cada una de las siguientes grácas.
c) y = 2(x – 1) 2 + 1
a) y = 2(x + 2)2 – 3 b) y = (x – 3)2 + 1 1 c) y = − (x + 5)2 − 8 2
3. Dibuje en la cuadrícula la gráca de la función y = 2x 2 y a partir de ella obtenga las siguientes grácas. a) y = 2x2 – 3
b) y = 2(x + 3)2
d) y = 2(x + 1) 2 + 3
4. Halle el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. a) y = – 4(x + 7) 2 – 1 b) y = 6(x – 12) 2 + 14 c) y = 3(x – 1) 2 + 4
Observe t
305
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que la divide en dos mitades congruentes.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA t
t
La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función:
La función cuadrática f(x) = a(x – h) 2 + k tiene el eje de simetría x = h. La función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c donde a,b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las siguientes propiedades: −b . El eje de simetría es la recta x = 2a −b −b El vértice es el punto 2a , f 2a .
h(t) = 10t – 5t 2 0 = 10t – 5t 2 0 = 5t(2 – t) t1 = 0 ó t 2 = 2
El punto de intersección con el eje Y es C.
Interpretando físicamente lo anterior, podemos armar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo. Por otro lado, se puede observar en el grá co en t = 1 segundo se encuentra la máxima altura, y si reemplazamos t = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 – 1 2 = 5 m
Aplicaciones de las funciones cuadráticas 1. Una de las aplicaciones de la función cua drática, consiste en determinar la altura h(t) que alcanza un objeto después de transcurri dos t segundos, cuando es lanzado vertical mente hacia arriba con una rapidez inicial v o: 1 h( t) = v 0 t − gt2 2
Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s 2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t 2. Si gracamos esta función para algunos valores para t, obtenemos:
t 0 1 1,5 2
h(t) 0 5 3,75 0
Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la pará bola.
2. Se lanza una pelota en un campo de jue go. Su trayectoria está dada por la función 1 f(x) = − x2 + 2x + 4 . 12 a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿A qué distancia horizontal del punto de lanzamiento alcanzó la altura máxima?
h(t) 5
c) ¿Cuál es el valor máximo de la función f.
3,75
Solución: Expresamos la función f en la forma estandar.
0
1
1,5
2
t
306
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA f(x) = −
f(x) = −
1 2 x + 2x + 4 12 1 2 ( x − 24x ) + 4 12
3. Encontrar la fórmula de la función cuadrática f cuya gráca se muestra a continuación. 1 24 =2 • 24 = 12 12 10 2
24 = 122 = 144 2
8 6
1 f(x) = − ( x2 − 24x + 122 − 122 ) + 4 12
4 2
f(x) = −
1 2 1 x − 24x + 144) − • ( −144) + 4 ( 12 12
1 2 f(x) = ( x − 12) + 12 + 4 12 f(x) =
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
Solución:
1 144 − • −144 = = 12 12 12
Hay varios métodos para responder a la pre gunta anterior, pero todos ellos tienen una idea en común: es necesario comprender y luego seleccionar la información correcta de la gráca
1 2 x − 12) + 16 ( 12
Método 1: La gráca tiene dos raíces o ceros en el Eje X (– 3,0) y (– 1,0) y interseca al Eje Y en (0,6).
La representación gráca de f es y
20
Las coordenadas del Eje X se pueden usar para escribir la ecuación de la función f como sigue: f (x) = a (x + 3) (x + 1)
18 16 14 12
Como la intersección con el Eje Y es (0,6) sabemos que f (0) = 6
10 8
6 = a (0 + 3) (0 + 1) = a(3)(1) = 3a
6 4 2 -2
2
4
6
a=
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
x
6 =2 3
La fórmula para la función cuadrática f es dado por:
Observando la gráca podemos indicar que: a) Como la función representa la altura que viaja la pelota, su altura máxima es k = 16.
f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2 x 2 + 8 x + 6
Método 2
b) La distancia horizontal del punto de lanzamiento que alcanzó la altura máxima es x = h = 12. c) El valor máximo de la función f se alcanza en el punto (12, 16).
307
La parábola tiene un vértice en (– 2, –2) y la intersección con el Eje Y en (0,6). La forma estandar (o vértice) de una función cuadrática f puede escribirse así: f (x) = a (x + 2) 2 – 2.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Como tenemos que f(0) = 6
6 = a (0 + 2) 2 – 2 = 4a – 2 – 4a = 6 + 2 ↔ 4a = 8 ↔ a = 2 La fórmula para la función cuadrática f es dado por: f (x) = 2 (x + 2) 2 – 2 = 2x 2 + 8x + 6
2. En la parábola siguiente se tiene que su punto mínimo es 1 , − 16 . Si la intersección en el 2 Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la fun ción cuadrática? A) f(x) = – 4 x2 – 4x – 63 B) f(x) = 4 x2 – 4x – 63
TRABAJO INDIVIDUAL 2
C) f(x) = – 4 x2 + 4x – 63 D) f(x) = 4 x2 + 4x – 63
1. En la parábola siguiente se tiene que su punto máximo es (–1,49). Si la intersección en el Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la fun ción cuadrática?
3. Una parábola tiene que su punto mínimo en (3, – 5) y la intersección en el Eje Y en –2 ¿Cuál es la ecuación de la parábola? 2 A) f(x) = x2 − 4x − 2 3 1 B) f(x) = x2 − 2x − 2 3 1 C) f(x) = x2 − x − 2 6 7 14 D) f(x) = x2 − x + 2 9 3
40
30
20
10 x -10
0
10
-10
-20
-30
-40
A) f (x) = – 9 x 2 –18x + 40
4. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usarán, en donde 10 n •(12 − n), (0 ≤ n ≤ 12) 9
B) f (x) = 9 x2 –18x + 40
f(n) =
C) f (x) = – 9 x 2 + 18x + 40
Estime el número máximo de familias que usarán el producto.
D) f (x) = 9 x2 + 18x – 40
Respuesta:
308
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína con sistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje p de levadura de la mezcla de proteína se estimó que el peso medio ganado en gramos de una rata en un periodo fue
b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad? Respuesta:
c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad? Respuesta:
8. Un delfín toma impulso y salta por encima de la supercie del mar siguiendo la ecuación y – x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
Encontrar el máximo peso ganado. Respuesta:
6. La cotización en bolsa de las acciones de la empresa va a seguir en 2016, aproximadamen te la evolución siguiente f(t) = 342 + 39t – 3t 2, donde t es el tiempo en meses.
a) Calcule cuándo sale a la supercie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profun didad del lugar es de 20 metros. Respuesta:
a) ¿En qué mes alcanza la máxima cotización? Respuesta: b) ¿Cuánto duró el salto? Respuesta:
b) Calcule el porcentaje de benecios que habrá obtenido. Respuesta:
7. El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función f(x) = – x 2 + 40x + 84, donde x repre senta el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule:
9. La empresa de servicio tiene costos variables por mantenimiento del edicio, dada por la función C(x) = 60 000 + 5x 2 – 1000x y costos jos de 60 000. ¿Cuántas personas se necesitan hospedar para minimizar los costos?
a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día? Respuesta:
Respuesta:
309
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 10. Un fabricante determina que su ingreso "R" obtenido por la producción y venta de "x" artículos está dada por la función: R(x) = 350x – 0,25x2. a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.
a) ¿Cuál fue la temperatura máxima?
b) Si el ingreso obtenido es de ¢120 000, deter mine la cantidad de artículos vendidos. Respuesta:
12. Las temperaturas entre las 0 hs y las 2 hs en una zona rural se ajustan por la función 1 2 T(x) = − ( x − 12) + 10 , donde T es la tem10 peratura en ºC y "x" es la hora del día.
b) ¿A qué hora del día se registró? c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de la tarde? Respuestas:
11. Supongamos que la temperatura de un cierto día de la ciudad de San José luego de t horas pasada la media noche está dada por la función: 1 T(t ) = − t2 + 4P + 10o 4
a) Gracar la temperatura en función del tiempo. b) ¿Cuál fue la temperatura a las 2 de la mañana. c) ¿A qué hora la temperatura fue máxima? Respuesta:
13. El arco de un puente que cruza un río, se adapta 1 a la función cuadrática h(x) = − x ( x − 20 ) 20 donde "h" es la altura del arco y "x" es el ancho del río, ambos en metros. a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el arco? b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máxima? c) Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla? Respuestas:
310
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABLIDAD CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Variables cuantitativas t Discretas t Continuas
1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: dis cretas y continuas. 2. Clasicar variables cuantitativas en discretas o continuas.
Distribuciones de frecuencia t Clases o intervalos t Frecuencia absoluta t Frecuencia relativa y porcentual t Representación tabular Representación gráca t 3 Histogramas Polígonos de frecuencia 3
3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos. 6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la infor mación que proporcionan estas representaciones grácas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cál culo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones grácas.
Muestras aleatorias
1.
Identicar la importancia del azar en los procesos de muestreo estadístico.
Probabilidad frecuencial 2. Identicar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico. t Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa 3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproxi mación al concepto de Probabilidad, en eventos en los (concepto frecuencial o empírico) cuales el espacio muestral es innito o indeterminado. Introducción a la ley de los gran t 4. Identicar que las propiedades de las probabilidades que des números están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identicación frecuencial. 5. Identicar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.
311
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
312
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Estadística Continuamos con la unidad Estadística y probabilidad en el libro de Matemática Zapandí 2016 con la denición de algunos conceptos elemen tales y básicos, y sin embargo pilares, para una comprensión intuitiva y real de lo que es la Estadística. Se pretende introducir al estimado estudiante en los primeros pasos sobre el uso y manejo de datos numéricos: distinguir y clasicar las características, enseñarle a organizar y tabular las medidas obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por último los métodos para elaborar una imagen que sea capaz de mostrar grácamente unos resultados (histogramas y polígonos de frecuencia) El aserto “una imagen vale más que mil palabras” se puede aplicar al ámbito de la estadística descriptiva diciendo que “un gráco bien elaborado vale más que mil tablas de frecuencias” Cada vez es más habitual el uso de grácos o imágenes para representar la información obtenida. No obstante, debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar grácos, puesto que una misma información se puede representar de formas muy diversas, y no todas ellas son pertinentes, correctas o válidas. Nuestro objetivo, consiste en establecer los criterios y normas mínimas que deben vericarse para construir y representar adecuadamente los grácos en el ámbito de la estadística descriptiva.
313
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Cuando coloquialmente se habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre este término y que cada vez está más extendido debido a la inuencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, bien sea el periódico, la radio, la televi sión y otros no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráco, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etc. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más especíco como es el campo de la investigación, por ejemplo, de las Ciencias Sociales: Medicina, Biolo gía, Psicología, etc. se empieza a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto benecios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordados desde la perspectiva de las leyes deterministas. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, denir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones practicas que entrañan incertidumbre. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasicar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar infe - rencias a partir de ellos, con la nalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones .
Podríamos por tanto clasicar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio.
Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y grácos que resumen y presentan la información contenida en ellos.
Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.
Conceptos básicos sobre estadística Anteriormente en los libros de Matemática Térraba y Matemática Ujarrás 2016 conocimos y estudiamos estos conceptos, aquí nuevamente va mos a repasarlos debido a que haremos referencia continuamente de estos a lo largo del desarrollo de las siguientes páginas.
Población, elementos y variables estadísticas Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.
315
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con exis tencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consi deramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres: Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, Etc. Luego por tanto de cada elemento de la po blación podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres que se llaman variables estadísticas.
Variables estadísticas Como hemos visto, los caracteres de un ele mento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasicar en: dos grandes clases: a) Variables cuantitativas
Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números. Por ejemplo El peso, la altura, la edad, número de hijos posibles: 0, 1,2, 3, 4, 5,… A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases: t
La población puede ser según su tamaño de dos tipos: t
Población nita: el número de elementos que
la forman es nito, por ejemplo el número de alumnos de una escuela primaria. t
t
Población innita: el número de elementos
que la forman es innito, o tan grande que pudiesen considerarse innitos. Como por ejemplo si se realiza un estudio sobre lo pro ductos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas cualidades que esta población podría considerarse innita. Ahora bien, normalmente en un estudio esta dístico, no se puede trabajar con todos los elemen tos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma al que se llama muestra, es decir, un determinado número de elementos de la población.
Cuantitativas discretas.Son aquellas que pueden tomar solo ciertos valores en un in tervalo, de manera que no admite un valor intermedio entre dos valores consecutivos jos, por ejmplo el número de hermanos, páginas de un libro, etc. Cuantitativas continuas: Son las variables que pueden medirse, cuanticarse o expre sarse numéricamente, ellas admiten cualquier valor de rango numérico determinado (edad, peso, talla).
No obstante en muchos casos el tratamiento hace que a variables discretas las trabajaremos como si fueran continuas y viceversa. b) Variables cualitativas
Las variables cualitativas son aquellos carac teres que para su denición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número. Por ejemplo 1. Supongamos que en una urna tenemos 20 bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de
316
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA color blanco. Sacamos una bola al azar, esto es sin mirar la urna. Si suponemos que la variable es “el color de la bola extraída de la urna”. Entonces los valores posibles de esta variable son el extraer {rojo, azul, blanco}.
ACTIVIDAD 1 1. Diga de las variables siguientes cuáles repre sentan datos discretos y cuales datos conti nuos.
2. El grupo sanguíneo tiene por modalidades: grupo sanguíneo A, grupo sanguíneo B, grupo sanguíneo AB y grupo sanguíneo O.
A. Censos anuales realizados por el INEC (Instituto Nacional de Estadística y Censo)
3. Si estudiamos el grado de recuperación de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades:
B. Temperaturas registradas del cráter del Volcán Arenal cada hora en una estación sismográca.
Grado de recuperación: Nada, Poco, Modera do, Bueno, Muy Bueno.
C. Longitud de 20 000 llaves producidas en una fábrica.
A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin em bargo realizar operaciones algebraicas con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2!
D. Número de jabones vendidos en uno de los supermercados en el Cantón de Aserrí. E. Las medidas de los diámetros de los torni llos producidos en un día en una fábrica. F. Las alturas de los estudiantes de una escuela. G. El número de hijos en cada una de las familias que integran la Escuela Manuel Hidalgo Mora de Aserrí.
IMPORTANTE Si la variable estadística es continua, y hay muchos valores entre sí, que en algunos casos se repiten, es con - veniente agrupar estos valores de la variable estadística en intervalos para poder manejar la información de forma más cómoda. Para ello dividimos todos los valores de la variable estadística en n partes iguales , y cada uno de los intervalos obtenidos se les llama intervalo de clase. La marca de clase (x ) es el punto medio de los intervalos i de clase.
2. Diga qué tipo de variables son: A. X = Los países de Centroamérica. B. T = Número de libros en uno de los es tantes en la recepción de ICER. C. L = Número de litros de agua en una pis cina. D. M = El radio de un circulo. E. Ñ = El número de pedacitos de lotería vendidos cada día por Don Alejandro.
317
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Indique si estamos tomando una muestra o toda la población en cada caso:
d) Estatura de los recién nacidos en Costa Rica durante el último año.
a) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos de los estudiantes del nivel Zapandí del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a los estudiantes del Zapandí C.
b) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos y hermanas de los estudiantes del nivel Zapandí C del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a cada uno de los estudiantes de la clase.
5. Clasique cada una de las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. Si son cuan titativas clasifíquelas a su vez en discretas o continuas. a) ocupación
b) zona de residencia
c) peso
4. Diga en cada una de las siguientes situaciones, cuál es la variable y de qué tipo es (cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua): a) Tiempo de espera para entrar en la consulta de un médico.
d) altura
e) número de automóviles que ha poseído
f)
número de hermanos
b) Color favorito. g) número de empleados de una fábrica
c) Número de veces al mes que van al cine los estudiantes de la Escuela de Barrio Corazón de Jesús de Aserrí.
h) peso en kg de los recién nacidos en un día en la provincia de Limón.
318
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tabla de distribución de frecuencia
1. Rango o amplitud total (recorrido)
A menudo en una investigación se recogen grandes cantidades de datos numéricos. Cuando esto ocurre es difícil visualizar un orden o estructura que ayude a analizarlos. Para lograrlo es necesario condensar los datos en grupos de acuerdo a ciertas divisiones de la recta numérica (intervalos o clases).
Es el límite dentro del cual están compren didos todos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que tome la variable en un estudio o investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango es el tamaño del intervalo en el cual se ubican todos los valores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de valores, desde el menor de ellos hasta el mayor estando incluidos ambos extremos. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.
Intervalo de clase : Intervalos empleados en las tablas de frecuencias estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (L )i y un límite superior (Ls ).
Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Otro punto importante que el estadista debe denir, es la cantidad de intervalos de clase que empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad de intervalos no deberían ser muchos, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir la información, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información.
Observe: El rango R grácamente se puede interpretar de la manera siguiente:
Aunque con esta agrupación la información inicial sobre cada dato individual se pierde, es más fácil visualizar rápidamente las características principales del grupo total de datos. La frecuencia de un intervalo es el número de datos que corresponden a ese intervalo. Una distribución de frecuencia es una tabla en la que aparecen todos los intervalos y las frecuen cias de datos correspondientes a cada intervalo. Esta agrupación de datos numéricos por intervalos o clases se llama una distribución de frecuencia porque en ella se indica cuan frecuentemente aparecen datos en cada intervalo. Aspectos importantes que se deben tener en cuenta cuando se crea una distribución de frecuencia
2. Clase o intervalo de clase Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores comprendidos entre los límites.
319
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pe queño puede ocultar la naturaleza de los valores y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en investigación.
En este libro de Matemática Zapandí 2016, agruparemos los datos de variable continuas en clases o intervalos que incluyen todos los valores desde un número dado hasta otro número pero excluyendo a este número. Además aquí optaremos por manejar un número de intervalos solo entre 5 y 15.
b)
Se recomienda que en una distribución de frecuencia no haya más de 15 ni menos de 5 intervalos. No existe una fórmula, ni unos principios únicos para establecer el número de intervalos. Cuando sea necesario estableceremos el número de inter valos NC calculando la raíz cuadrada del total de elementos considerados en el estudio.
Peso 100 – bajo 120 120 – bajo 130 130 – bajo 140 Lo representaremos así:
Peso 100 – 120 120 – 130 130 – 140
Nc = n
Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.
Frecuencia 5 8 6
Frecuencia 5 8 6
En el ejemplo anterior 100 es el límite inferior y 120 es el límite superior del primer intervalo.
4. Tamaño de los intervalos de clase 3. Límites de los intervalos El límite inferior de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede incluirse en el intervalo. El límite superior de un intervalo corresponde al valor máximo que puede incluirse o no en el intervalo. Por ejemplo:
Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos según el tamaño que estos presentan en una distribución de frecuencia: a) clases de igual tamaño b) clases desiguales de tamaño c) clases abiertas
a)
Puntuaciones 200 – 299 300 – 399 400 – 499
Frecuencia 2 8 6
En el ejemplo anterior 200 es el límite inferior y 299 es el límite superior del primer intervalo.
5. Amplitud de los intervalos (A) Se reere al tamaño que debe tener cada intervalo de clase. Para determinar la amplitud (A) de los intervalos de una distribución se divide la amplitud o alcance
320
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA de la distribución: Rango (R) entre el número de intervalos (Nc). R A = Nc
Las edades de los alumnos fueron: 17 21 24 23 21 19
El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos. No debe haber traslapo de intervalos.
En la tabla de frecuencia absoluta (f i) se señala, para cada intervalo o clase, la cantidad de datos cuyos valores pertenecen al intervalo.
La frecuencia relativa (h i) es la razón que se ob tiene al dividir la frecuencia absoluta de un intervalo entre el número total de datos en la distribución.
t
19 21 24 21 20 20
31 22 24 19 20 21
Solución:
7. Distribución de frecuencia relativa
t
19 27 25 29 21 23
Construya una tabla de distribución de fre cuencias absolutas y relativas que resuma los resultados obtenidos.
6. Distribución de frecuencia absoluta
t
17 18 19 20 22 19
PASO 1: Ordenamos la información en forma creciente 17 19 20 21 22 24
17 19 20 21 23 25
18 19 20 21 23 27
19 19 21 21 24 29
19 20 21 22 24 31
La frecuencia relativa (h i) se puede expresar como una proporción o como un por ciento.
PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc)
La distribución de frecuencia relativa (h i) es esencial para comparar datos de dos distri buciones diferentes.
Como tenemos 30 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n )
Si la frecuencia relativa (h i) del intervalo se multiplica por 100 se obtiene el por ciento correspondiente a dicho intervalo. Esto es la frecuencia porcentual (%).
Por lo general, en las publicaciones no espe cializadas, se utiliza más la frecuencia porcentual (%) que la frecuenica relativa (h i). Sin embargo esta se obtiene luego de haber calculado la frecuencia relativa.
Nc = n
(Nc = 30 = 5,477 ≅ 6 intervalos) Se debe siempre aproximar el número de intervalos al entero más próximo, recordando que este valor no será menor a 5, ni un valor mayor a 15. Nuestra tabla estará constituida por seis intervalos.
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
Ejemplo 1
Un sondeo realizado en la facultad de Adminis tración de una universidad del país sobre 30 alumnos del sexto semestre de Administración Industrial, pretende mostrar que edad es la más representativa.
321
Antes de hallar el ancho de los intervalos de clase, debemos calcular el rango (R) como primera medida. Observando la tabla tenemos que el termino menor es 17 y el mayor 31 (R = 31 – 17 = 14).
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Con el Rango y el número de intervalos, po dremos hallar el ancho: R 14 = A = Nc 6 A = 2, 333 El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros, aproximamos al entero superior
Con los valores máximos y mínimos, y el ancho, podremos armar cada intervalo de clase. El primer intervalo parte del valor mínimo, al cual le agregamos el ancho.
Ni Li Ls 1 15 18 El segundo intervalo parte del límite superior del intervalo anterior
Ni Li Ls 1 15 18 2 18 21
A ≅ 3
El ajuste del ancho no podrá ser menor al valor obtenido inicialmente.
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’). En el momento de realizar el ajuste del ancho del intervalo, el rango se incrementa automáticamente. Este “Nuevo Rango” lo denotaremos como R’:
• • • Seguimos realizando este proceso hasta al canzar el valor máximo:
Ni 1 2 3 4 5 6
R’ = A • Nc R’ = 3 • 6 = 18 Nuevo Rango ( R’): rango que es con - venido por el ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su cálculo se realiza multiplicando el ancho ajustado por el número de intervalos:
Li 15 18 21 24 27 30
Ls 18 21 24 27 30 33
IMPORTANTE :
R’ = A • Nc El rango se incremento en cuatro años. El incremento se le sumará al valor Máximo (X max’) o se restará al valor Mínimo (X min’). En este caso optaremos por aumentar el valor Máximo y reducir el valor Mínimo en dos. Incremento = R’ – R = 18 – 14 = 4 (Xmax’) = 31 + 2 = 33
Observe que esta primera distribución pre - senta algunos inconvenientes al momento de repartir las frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del total de encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían ser clasicados en el intervalo dos o en el tres.
Ni Li Ls 2 18 21 3 21 24
(Xmin’) = 17 - 2 = 15
PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.
322
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Este caso se le conoce como el “Problema de la Ambigüedad”, y el cual debe ser solucio nado antes de terminar la tabla de frecuencia.
nemos la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, o sencillamente clase.
En este libro de Matemática Zapandí 2016 realizaremos lo siguiente: Se trabajan con intervalos cuyos límites superiores e inferiores tendrán un decimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.
Estimado estudiante. Este procedimiento de conteo, lo estudia - mos en el libro de Matemática Térraba 2016.
Por ejemplo, si el Límite Superior del primer intervalo es 21 y los datos trabajados son valores enteros, el nuevo límite superior será 21,1. Si los datos trabajan con un decimal, el nuevo Límite Superior sería 21,01.
Si posee alguna duda ahí puede volver a repasarlo.
El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo) se mantendrán sin modicación.
El problema quedaría solucionado de la si guiente manera: Ni 2 3
Li Ls 18,1 21,1 21,1 24,1
Las seis personas que tienen 21 años queda rían registradas en el intervalo número 2.
PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales. Ni 1 2 3 4 5 6
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
PASO 7: Cuando ya se tiene denidos quienes son los intervalos reales, por conteo, y ayudándonos con la tabla obtenida en el PASO 1, obte -
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0
Ni 1 2 3 4 5 6
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0
Conteo /// //// //// //// / //// // // / /
PASO 8: La columna de frecuencias absolutas se completa de acuerdo al conteo obtenido en el PASO 7. Ni 1 2 3 4 5 6
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0 Total
fi 3 16 7 2 1 1 30
Observe que el número total de datos corres ponde a 30.
323
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 9: La columna de frecuencias relativas se completa de acuerdo a la información ob tenida en el PASO 8. Recuerde que la frecuencia relativa de cada clase se obtiene dividiendo la frecuencia ab soluta por el número total de datos, en este caso N = 30.
Ni Li 1 15,0 2 18,1 3 21,1 4 24,1 5 27,1 6 30,1
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0 Total
fi 3 16 7 2 1 1 30
hi 3 ÷ 30 = 0,10 16 ÷ 30 = 0,53 7 ÷ 30 = 0,23 2 ÷ 30 = 0,07 1 ÷ 30 = 0,03 1 ÷ 30 = 0,03 1,00
f i hi 3 0,10 16 0,53 7 0,23 2 0,07 1 0,03 1 0,03 30 1,00
a) Calculemos h1 Como h1 corresponde a la frecuencia relativa de la primera clase,
Como n2 corresponde a la frecuencia absoluta del segundo intervalo de clase, n2 = 0, 40 200 n2 = 200 • 0, 40 n2 = 80
absolutas, frecuencias relativas es la siguiente:
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0 Total
Sabemos que el total de los datos N es igual al total de observaciones, luego N = 200.
b) Calculemos n2
PASO 10: Respuesta: la tabla de frecuencias
Ni Li 1 15,0 2 18,1 3 21,1 4 24,1 5 27,1 6 30,1
Solución:
c) Calculemos h3 Como h3 corresponde a la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase,
d) Calculemos n4 Como n4 corresponde a la frecuencia absoluta del cuarto intervalo de clase, n4 = 0,10 200 n2 = 200 • 0,10 n4 = 20
2. Ejemplo de cálculo con frecuencias Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:
Li Ls fi 0 10 60 10 20 n2 20 30 30 30 40 n4 40 50 n5 total N = 200
hi h1 0,40 h3 0,10 h5
e) Calculemos n5 n5 corresponde a la frecuencia absoluta del quinto intervalo de clase, puesto que n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n 1 = 60, n2 = 80, n3 = 30, n4 = 20
324
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA se tiene que 60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200 190 + n5
t
= 200
Frecuencia relativa
hi
=
f i N
, resultado
de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la población.
= 200 – 190 n5 = 10 n5
f) Calculemos h5 h5 corresponde a la frecuencia relativa del quinto intervalo de clase, puesto que Representaciones grácas
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 donde h 1 = 0,30, h2 = 0,40; h3 = 0,15, h4 = 0,10 se tiene que 0,30 + 0,40 + 0,15 + 0,10 + h 5 = 1,00 0,95 + h5 = 1,00 h5 = 1,00 – 0,95 h5 = 0,05
Hemos visto que la tabla de distribución de frecuencias resume los datos que disponemos de una población, de forma que ésta se puede analizar de una manera más sistemática y resumida. Para darnos cuenta de un solo vistazo de las caracterís ticas de la población resulta aún más esclarecedor el uso de grácos y diagramas, cuya construcción abordamos en Matemática Ujarrás 2016.
La tabla completa corresponde a
Li Ls fi 0 10 60 10 20 80 20 30 30 30 40 20 40 50 10 total N = 200
hi 0,30 0,40 0,15 0,10 0,05
Recuerde : Tablas de datos Tabular datos consiste en confeccionar una tabla en la que aparecen bien organizados los valores de la variables que se están estudiando, junto con otros datos que ahora explicamos: t
Frecuencia absoluta f i es el número de individuos que toma cada valor.
Grácos para variables cuantitativas
Para las variables cuantitativas, se conside ran dos tipos de grácos, en función de que para realizarlos se usan las frecuencias (absolutas o relativas o porcentuales) a saber:
Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas (porcentuales). En ellos se representa el número o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada. Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acu muladas, lo que da lugar a grácos crecientes, y es obvio que este tipo de grácos no tiene sentido para variables cualitativas.
325
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Según hemos visto existen dos tipos de varia bles cuantitativas: discretas y continuas.
Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de vericación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.
Veamos a continuación las diferentes repre sentaciones grácas que se pueden realizar para cada una de ellas así como los nombres especícos que reciben.
El objetivo básico de un histograma es transmitir la información de forma tal que pueda ser captada rápidamente, de un golpe de vista. Luego, un histograma debe ser ante todo sencillo y claro, a pesar de su aspecto artístico, ya que se elabora para ser incluido en un trabajo cientíco.
Estimado estudiante: Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y conti - nuas. En el libro de Matemática Zapandí 2016 sólo vamos a considerar el tipo de grácos para variables continuas en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales) los cuales corresponden a los diagramas diferenciales.
Este tipo de gráco se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua.
Método de elaboración del histograma 1. Obtener una muestra y los valores de la va riable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es recomendable utilizar una hoja de registros.
Construcción y análisis de histogramas En muchas ocasiones la información proporcionada en una tabla de distribución de frecuencias es tan singular o importante que se decide presentar esos resultados de forma gráca. Cuando se decide utilizar el gráco, este sustituye a la tabla, no la complementa. Por ello no se deben tener tantos grácos como tablas. Como se presenta sólo uno de los dos se acostumbra reejar la información numérica en el gráco para que no sea necesaria la tabla correspondiente. Incluso, un número innecesariamente grande de grácos le puede restar lucidez al trabajo en lugar de proporcionarle calidad o rigor cientíco. Se debe lograr un balance entre estas dos formas de presentación de resultados.
2. Calcular el rango o amplitud de los datos (diferencia entre el mayor y el menor de los datos). 3. Determinar el ancho de cada intervalo que servirá para construir el histograma. Se ob tiene dividiendo el rango calculado en el paso anterior en el número de intervalos: c = R . Nc 4. A cada barra corresponde un intervalo de clase o “clase”.
326
Es recomendable que el histograma tenga de 5 a 15 barras. Una buena aproximación del número de intervalos aconsejable se obtiene calculando la raíz cuadrada del número de datos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Se aconseja que el tamaño o amplitud de intervalo tenga un grado de aproximación no mayor a aquel con el que se registran los datos.
t
Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias absolutas, a las frecuencias rela tivas o porcentuales.
5. Establecer los límites o fronteras de cada clase, es decir, los valores de inicio y terminación de cada intervalo.
El análisis de sus características nos puede conducir a diferentes conclusiones acerca de la población de la cual se ha tomado la muestra en estudio.
6. Construir la tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias se puede construir de diferentes formas pero hay que tener en cuenta que el primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Asimismo, la presen tación de los datos en la tabla de frecuencias no debe generar confusiones acerca del intervalo que contiene cada dato. En lo posible, todos los intervalos deben tener el mismo ancho.
Ejemplo 1
7. Es usual que en la primera columna se registre el número de orden de cada clase, en la se gunda se escriban los intervalos, en la tercera las marcas de clase en la cuarta las frecuen cias absolutas y en la quinta las frecuencias relativas. 8. Gracar el histograma. En lo posible dar una presentación tal que la altura sea aproxima damente ¾ del ancho de la gráca. El histograma de frecuencias en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente: t
t
t
En una Clase de Matemática se pesan todos los estudiantes para realizar una práctica de es tadística. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla y están expresados en kg. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51 58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61 62 60 56 55 62 65
Calcule: a) El tamaño de la población. b) Construya una tabla estadística asociada con intervalos de amplitud de 3 kg. c) Construya el histograma de frecuencias abso lutas asociado a esta tabla. d) Construya el histograma de frecuencias rela tivas asociado a esta tabla.
Solución: a) El tamaño de la población es 30. b) Para construir una tabla estadística de dis tribución absoluta o simple en intervalos de amplitud 3 kg necesita
Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal, Eje X. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo.
PASO 1. Se ordenan los datos de la tabla de
valores en forma creciente. Ver tabla siguiente:
Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical, Eje Y y corresponden a las frecuencias de las clases.
49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58
Las áreas de los rectángulos son proporcio nales a las frecuencias de las clases.
66 66 68 69 69 72
59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65
327
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA El Valor inferior es 49 y el Valor superior es 72.
Intervalos
Frecuencia absoluta
49 - 52
2
52 – 55
3
55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67 67 – 70 70 – 73
5
Total
30
PASO 2: Construimos los intervalos con una amplitud de 3 kg (este es un dato previo), así, no olvidemos que el valor inferior es 49 y el valor superior es 72. Intervalos 49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67 67 – 70 70 – 73
Observando la tabla de valores del PASO 1 y los intervalos construidos en el PASO 2, podemos construir la columna de fre cuencias absolutas de los intervalos de clase.
n
5 5 3 1
PASO 4. De igual manera, observando la tabla de valores del PASO 1 y la tabla de frecuencias absolutas construidas en el PASO 3, podemos construir la columna de frecuencias relativas de los intervalos de clase.
PASO 3.
n
6
Recuerde que para obtener las frecuencias relativas debemos realizar la división de la frecuencia absoluta entre el total de datos, en este caso es N = 30.
Los datos 49 51 están en el intervalo 49 – 52.
Intervalos
Frecuencia absoluta
49 - 52
2
Los datos 53 53 54 están en el in tervalo 52 – 55, observe que el 55 queda afuera, recuerde, antes se combino para este libro de Matemática Zapandí 2016 que el extremo superior del intervalo no es un valor de este.
52 - 55
3
55 - 58
5
58 - 61
6
61 - 64
5
64 - 67
5
67 - 70
3
70 - 73
1
Total
30
Los datos 55 56 56 57 57 están en el intervalo 55 – 58. . . . Procediendo de igual manera completamos la siguiente tabla con las frecuencias absolutas. n
328
Frecuencia relativa 2 3 5 6 5 5 3
÷ 30 = 0,067 ÷ 30 = 0,100 ÷ 30 = 0,167 ÷ 30 = 0,200 ÷ 30 = 0,167 ÷ 30 = 0,167 ÷ 30 = 0,100
1 ÷ 30 = 0,033 1,00
Importante: Cuando el propósito de la tabla que estamos creando es construir un polígono asociado a ella, necesitamos la columna de las marcas de clase o puntos medios de los interva -
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA los. Para las marcas de clase solo se necesita la columna de los intervalos. Pero como todo está junto, la vamos a colocar después de la columna de las frecuencias relativas. s o l a v r e t n I
a i a c t n l u e o u s c b e r a F
a i c a n i v e t u l a c e e r r F
49 – 52
2
0,067
52 – 55
3
0,100
55 – 58
5
0,167
58 – 61
6
0,200
61 – 64
5
0,167
64 – 67
5
0,167
67 – 70
3
0,100
70 – 73
1
0,033
49 + 52 = 50,5 2 52 + 55 = 53,5 2 55 + 58 = 56,5 2 58 + 61 = 59,5 2 61+ 64 = 62,5 2 64 + 67 = 65,5 2 67 + 70 = 68,5 2 70 + 73 = 71,5 2
TABLA 1: Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática
49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67 67 – 70 70 – 73 Total
Frecuencia Frecuencia absoluta relativa
2 3 5 6 5 5 3 1 30
0,067 0,100 0,167 0,200 0,167 0,167 0,100 0,033 1,000
Observe: Habitualmente se representa la frecuencia observada en el Eje Y, esto es, la información reunida en la columna de las frecuencias abso lutas, la escala vertical o Eje Y generalmente comienza en cero.
s e a s a c r l a c e M d
Realizando lo anterior, tenemos que la tabla de frecuencias estadística asociada es la siguiente:
Intervalos
c) El histograma de frecuencias absolutas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente:
Marcas de clase
50,5 53,5 56,5 59,5 62,5 65,5 68,5 71,5
Frecuencia absoluta 2 3 5 6 5 5 3 1 30
En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje hori zontal, el Eje X o escala horizontal puede iniciarse con cualquier número adecuado que convenga como punto de partida para iniciar clases. La escala del eje correspondiente a la varia ble se rotula con los límites inferiores de notación de las clases consideradas y se agrega al nal el que le correspondería a una clase subsiguiente inexistente. En este caso, las frecuencias deben resultar proporcionales no a la altura de las barras, sino al área de las mismas, lo que signica que la obtención de las alturas de las barras resulta un poco más compleja que en los grácos anteriores.
329
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal.
Gráfico 1: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática a t u l o s b a a i c n e u c e r F
Gráfico 2: Histograma de frecuencias relativas p orcentuales Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática
Escala 3 : 2
a v i t a l e r a i c n e u c e r F
Peso (kg)
Recuerde: Un histograma se emplea para ilustrar mues - tras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vérti - ces de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas, Eje X. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.
Escala 3 : 2
Ejemplo 2: El siguiente dibujo corresponde a un histo grama de frecuencias absolutas de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el eje vertical o Eje Y, la frecuencia absoluta.
d) El histograma de frecuencias relativas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente. Observe, en el Eje Y, se coloca la información reunida en la columna de las frecuencias re lativas expresadas en porcentajes.
Frecuencia Relativa (%) 6,7 10,0 16,7 20,0 16,7 16,7 10,0 3,3 100,0
Peso (kg)
Gráfico 3:
Histograma de frecuencias absolutas Edades (años) de los obreros de una fábrica a t u l
o s b a a i c n e u c e r F
Edades (años)
330
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplo 3: El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias relativas o porcentuales de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el Eje vertical o Eje Y, la frecuencia de los datos dados en porcentajes. Gráfico 4:
Histograma de frecuencias relativas o porcentuales Edades (años) de los obreros de una fábrica
con los histogramas: histograma de frecuencias absolutas e histogramas de frecuencias relativas, también se tiene polígonos de frecuencias abso lutas y polígonos de frecuencias relativas.
Ejemplo 1: El siguiente polígono que construiremos es un polígono de frecuencias absolutas. Consideremos la Tabla 2 sobre la velocidad (kg/h) en una zona escolar: Li
Ls
2,0 6,1 6,1 10,1 10,1 14,1 14,1 18,1 18,1 22,1 22,1 26,1 26,1 30,0 Total
a v i t a l e r a i c n e u c e r F
Edades (años)
Frecuencia absoluta 12 15 21 24 21 12 8 113
Marcas de clase 4,1 8,1 12,1 16,1 20,1 24,1 28,1
PASO 1: Para crear el polígono de frecuencias
Polígonos de frecuencia Se utiliza, al igual que el histograma, para re presentar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo grá co más de una distribución o una clasicación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribución.
absolutas primero se debe crear el histograma de frecuencias absolutas de acuerdo a la Tabla 2 anterior: Observe que ya lo tenemos construido, usted debe seguir todos los pasos que ya estudiamos anteriormente.
Para su confección, una vez construidas y ro tuladas las escalas, de manera a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el punto medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se pro cede a unir esos puntos con segmentos de recta. Para elaborar un polígono de frecuencia parti mos de una tabla de frecuencia dada. Al igual que
331
Gráfico 5:
Histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) en zona escolar
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
Velocidad (km/h)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 2: Trazar los segmentos de recta entre los puntos medios de los techos de columnas contiguas, partiendo desde el punto de origen (0,0) hasta el punto nal denido en el eje horizontal
t
t
Gráfico 5.1: t
Polígono e histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar
t
El punto con mayor altura representa la mayor frecuencia. Suelen utilizarse para representar tablas de datos agrupados. El área bajo la curva representa el 100% de los datos. El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas.
Consideremos la siguiente porción de un grá co cualquiera para probar la anterior armación.
a t u l
o s b a a i c n e u c e r F
“El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las co - lumnas”.
Velocidad (km/h)
PASO 3: Nuestro polígono de frecuencias sin el histograma quedaría de la siguiente forma: Gráfico 5.2:
Polígono de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar
a t u l
o s b a a i c n e u c e r F
Observe que cada línea corta una porción de la columna, pero a su vez, agrega una porción adicional. Ambas porciones son iguales (triángulos rectángulos iguales), manteniendo el área global en el gráco.
Velocidad (km/h)
Características de los polígonos de frecuencias t
t
No muestran frecuencias acumuladas Se preere para el tratamiento de datos cuan titativos.
332
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA IMPORTANTE:
Solución:
Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que adya centes a estos rectángulos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, que se unen por una línea recta a los puntos del histograma correspondiente a las marcas de clase. Observe el dibujo siguiente, el polígono de frecuencias tiene en común con el histograma el que las áreas de las grácas sobre un intervalo son idénticas. Considere ambas grácas diferenciales representadas en la parte superior de la gura siguiente:
PASO 1: Para construir un polígono de fre cuencias, se debe construir primero el histograma de frecuencias absolutas, no olvide, debemos suponer un rectángulo al inicio y adyacente a los obtenidos, también al nal de los rectángulos con frecuencias nulas. Gráfico 7: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Gráfico 6: Histograma y polígono de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante el mes de mayo en el Hospital de la Mujer
a v i t a l e r a i c n e u c e r F
a t u l
o s b a a i c n e u c e r F
Peso (kg)
10
PASO 2: En el histograma construido, marca mos los puntos medios de los rectángulos, inclu yendo los adyacentes a los dibujados de acuerdo con la tabla de frecuencias.
Peso (kg)
Ejemplo 2:
Gráfico 7.1: Histograma y polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Considere la Tabla 3 de frecuencias que corres ponde al peso en kilogramos de 65 personas adultas:
TABLA 3: Peso en kilogramos Ejemplo de ilustración
Intervalos 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 100 – 110 110 – 120
Marcas de clase 55 65 75 85 95 110 115
Frecuencia absoluta 8 18 16 14 10 5 2 Total : 65
a t u l
o s b a a i c n e u c e r F
Construir un polígono de frecuencias absolutas.
333
Peso (kg)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 3: La respuesta debe ser dada retirándole
❖
Límites de Clase
los triángulos y dejando solo los segmentos que unen los puntos medios de los intervalos de clase.
❖
Marca de Clase
❖
Frecuencia de clase
❖
Rango o recorrido
❖
Frecuencia absoluta
❖
Frecuencia relativa
Gráfico 7.2: Polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
2. Los siguientes puntajes representan el número de tomates rechazados en un día en un mer cado mayorista. Los puntajes corresponden a 50 días seleccionados aleatoriamente. 29 58 80 35 30 23 88 49 35 97 12 73 54 91 45 28 61 61 45 84 Peso (kg)
83 23 71 63 47 87 36 Recuerde:
94 26
95 63 86 42 22 44 88 27 20 33
Un polígono de frecuencias es una gráca de líneas de una distribución de frecuen - cias, en donde para el eje horizontal se anota las marcas de clase y en el eje vertical la frecuencia absoluta o relativa. También un polígono de frecuencias pue - de formarse colocando un punto sobre la mitad de la cúspide de cada rectángulo del histograma y luego uniendo dichos puntos por medio de una línea). Este representa curvas útiles para describir los datos.
28 91 87 15 67 10 45 67 26 19
❖
❖
Construya una tabla de frecuencias con 9 clases. Construya un histograma de frecuencias ab solutas que corresponde a la tabla anterior.
3. La siguiente tabla registra la temperatura máxima en una ciudad durante 20 días.
ACTIVIDAD 2 1. Escriba el signicado de cada una de las si guientes palabras: Clase
❖ ❖
8
Intervalo de clase
334
Temperatura (°C) 27 – 29 30 – 32 33 – 35 36 – 38
Frecuencia fi 2 6 8 4
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA ¿Cuál es el histograma correspondiente a la tabla anterior? Seleccionar entre a, b y c. a)
4. En una clase se pesan todos los alumnos y los datos obtenidos en kilogramos se resumen en la siguiente tabla. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51 58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
62 60 56 55 62 65
Calcule:
a) El tamaño de la población. b) Construye una tabla estadística asociada. Temperatura (°C)
c) Construya el polígono de frecuencias asociado a esa tabla.
b) 5. Organice los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200.Construya una tabla de frecuencias y elabore un polígono de frecuencias simple:
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
171 158 150 185 186 178 166 185 199 183 175 173 175 164 173 178 179 164 176 159 190 173 189 163 156 169
Temperatura (°C)
Resumiendo:
c)
El análisis de la distribución de frecuencias en las variables cuantitativas continuas tiene el interés de que las categorías mediante las que se ordena la distribución no viene determinado por la variable, sino que debe elegirse. El primer paso para cons truir la tabla de la distribución de frecuencias es dividir el recorrido (conjunto de posibles valores de la variable)en clases o intervalos (preferentemente que no se solapen). Al punto central de cada un de estos recorridos lo llamaremos marcas de clase y lo representamos por Mc.
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
Temperatura (°C)
335
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
o l a v r e t n I
e s l b a í a r i o r g a e v t a a l C e d
l0, l1
Mc1
n1
…
…
…
lf–1, l j
Mc j
n j
…
…
…
lk–1, lk
Mck
nk
n1 N … n h j = 1 N … n hk = k N
N
1
a i a c t n l u e o u s c b e r A F
a i c a v n i e t a u l e e r R F
Li + Ls La marca de clase queda jada por Mc = 2 donde Li es el límite inferior del intervalo y Ls es el límite superior del intervalo.
h1 =
Se llama amplitud del intervalo a la cantidad de unidades del recorrido de la variable que contiene un intervalo.
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Construya una tabla de frecuencia con la siguiente tabla de datos: 96,65 546,56 376,43 358,48 718,43 859,76 705,55 73,16 731,09
118,94 949,14 97,94 835,14 869,57 950,77 461,15 673,45 235,69
353,18 717,34 72,06 146,19 251,83 742,90 167,49 137,28 927,49
831,52 189,10 897,99 992,42 473,74 243,41 174,51 490,94 43,07
170,72 226,96 510,13 722,36 253,90 558,50 919,39 87,95 224,61
136,76 888,39 774,02 56,06 852,44 965,75 784,01 763,32 829,01
SOLUCIÓN
PASO1: Debemos ordenar la tabla de datos en forma creciente 43,07 97,94 170,72 243,41 461,15 673,45 742,90 835,14 919,39
56,06 118,94 174,51 251,83 473,74 705,55 763,32 852,44 927,49
72,06 136,76 189,10 253,90 490,94 717,34 774,02 859,76 949,14
73,16 137,28 224,61 353,18 510,13 718,43 784,01 869,57 950,77
336
87,95 146,19 226,96 358,48 546,56 722,36 829,01 888,39 965,75
96,65 167,49 235,69 376,43 558,50 731,09 831,52 897,99 992,42
ESTADÍSTICA EST ADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc).
Incremento = R’ – R = 949,36 – 949,35 = 0,01 (Xmax’) = 992,42 + 0,005 = 992,425
Como tenemos 54 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n )
(Xmin’) = 43,07 – 0,005 = 43,065
Nc = n
PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.
(Nc = 54 = 7,348 ≅ 8 intervalos)
Observe con atención lo siguiente:
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
t
Pero antes debemos determinar el rango como primera medida utilizando Xmax = 992,42 t
Xmin = 43,07 R = 992,42 – 43,07 = 949,35 Con el Rango y el número de intervalos, po dremos hallar el ancho: R 949, 35 = Nc 8 A = 118,67 A =
El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados, son dos decimales. A ≅ 118,67
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’). Como el ancho fue ajustado, se procede a hallar el nuevo rango (R’).
t
La columna Ni nos indica el número del intervalo o clase, para este caso lo vamos a incluir, pero no necesariamente se hace todo el tiempo. El colocar la columna Li y la columna Ls en algunos casos es relativamente más cómoda. Seguidamente se dará la información de los intervalos de clase iniciales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente.
Ni Li 43,065 1 43,065 2 161,735 3 280,405 4 399,075 5 517,745 6 636,415 7 755,085 8 873,755
Ls 161,73 161 ,7355 280,405 280,4 05 399,075 399,0 75 517,745 517,7 45 636,415 636,4 15 755,085 755,0 85 873,755 873,7 55 992,425 992,4 25
Intervalos 43,065 – 161,735 161,735 – 280,405 280,405 – 399,075 399,075 – 517,745 517,745 – 636,415 636,415 – 755,085 755,085 – 873,755 873,755 – 992,425
PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales.
R’ = A • Nc
Observe
R’ = 118,67 • 8 = 949,36 El incremento entre el nuevo rango (R’) y el rango inicial (R), se reparte entre el valor mí nimo y el valor máximo.
337
El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y el último límite Superior 992,425 (Valor Máximo) se deben mantener sin modicación.
ESTADÍSTICA EST ADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILI DAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Como el límite superior del primer intervalo de los intervalos originales es 161,735 (tiene tres decimales) para crear el primer intervalo de clases reales, se debe agregar un cuarto decimal uno, así: 161,7351 y al límite inferior del primer intervalo real, siempre manteniéndolo sin cambios se le agrega un cero, así: 43,0650, por esto el intervalo en la tabla inicia así:
Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Li 43,065 43, 06500 161,7351 161,7 351 280,4051 280,4 051 399,0751 399,0 751 517,7451 517,7 451 636,4151 636,4 151 755,0851 755,0 851 873,7551 873,7 551
Ls 161,73 161 ,7351 51 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551 992,4250
54
total
Paso 8: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas.
Ni Li Ls 43,0650 161,7351 161,7351 1 43,0650
Para obtener la frecuencia relativa dividimos el total de los datos por la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase.
Haciendo el mismo procedimiento creamos el último intervalo de clases reales así:
Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
992,4250 250 8 873,7551 992,4
Estos son los intervalos de clase reales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente. Ni Li 43,06500 1 43,065 161,7351 351 2 161,7 280,4051 051 3 280,4 399,0751 751 4 399,0 517,7451 451 5 517,7 636,4151 151 6 636,4 755,0851 851 7 755,0 873,7551 551 8 873,7
Ls 161,73 161 ,7351 51 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551 992,4250
fi 14 7 3 4 2 7 9 8
Intervalos 43,0650 - 161,7351 161,7351 - 280,4051 280,4051 - 399,0751 399,0751 - 517,7451 517,7451 - 636,4151 636,4151 - 755,0851 755,0851 - 873,7551 873,7551 - 992,4250
Li Ls 43,065 43, 06500 161 161,73 ,7351 51 161,7351 161,7 351 280,4051 280,4051 280,4 051 399,0751 399,0751 399,0 751 517,7451 517,7451 517,7 451 636,4151 636,4151 636,4 151 755,0851 755,0851 755,0 851 873,7551 873,7551 873,7 551 992,4250 total
fi hi 14 0,26 7 0,13 3 0,06 4 0,07 2 0,04 7 0,13 9 0,17 8 0,15 54 1,00
Paso 9: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcas de clases. Para obtener la marca de clase de cada intervalo se suma el límite inferior y el límite superior, al resultado de esta suma se le divide d ivide por dos.
Paso 7: Determinar las frecuencias absolutas. Para obtener la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, se realiza el conteo de los datos ubicados en la tabla de datos que per tenecen en dicho intervalo.
338
Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Li Ls 43,065 43, 06500 161 161,73 ,7351 51 161,7351 161,7 351 280,4051 280,4051 280,4 051 399,0751 399,0751 399,0 751 517,7451 517,7451 517,7 451 636,4151 636,4151 636,4 151 755,0851 755,0851 755,0 851 873,7551 873,7551 873,7 551 992,4250 total
fi hi 14 0,26 0,133 7 0,1 0,066 3 0,0 0,077 4 0,0 0,044 2 0,0 0,133 7 0,1 0,177 9 0,1 0,155 8 0,1 54 1,00
MC 102,40 102 ,40 221,07 221 ,07 359,67 359 ,67 339,74 339 ,74 577,08 577 ,08 704,82 704 ,82 814,42 814 ,42 933,09 933 ,09
ESTADÍSTICA EST ADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. En el siguiente conjunto de datos, se proporcio nan los pesos (redondeados) a libras de niños y niñas nacidos en cierto intervalo de tiempo: 4 10 7 8 7
8 9 6 8 6
4 6 8 7 6 10 4 7 6 9 11 8 5 10 8
6 7 8 5 9 7 7 10 9 7
7 9 4 8 5
7 6 7 5 6
b) A la tabla anterior, vamos a unirle la columna de las frecuencias relativas.
8 3 6 7 5
a) Construir una tabla de distribución de frecuencia absoluta de estos pesos. b) Luego encontrar las frecuencias relativas c) Construir un histograma de frecuencias rela tivas con los datos de las partes a) y b).
Intervalos
fi
2,0
4,1
5
hi (%) 10%
4,1
6,1
14
28%
6,1
8,1
21
42%
8,1
10,1
9
18%
10,1 10 ,1,1 ,1 12 12,0 ,0
1
2%
Total
50
100
c) Construcción del histograma de frecuencias relativas
d) ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráca de barras?
Solución: a) Antes de comenzar a construir la tabla de fre cuencias debemos ordenar los datos en forma creciente: 3 6 7 7 9
4 6 7 8 9
4 6 7 8 9
4 6 7 8 9
4 5 6 6 7 7 8 8 9 10
5 6 7 8 10
5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 10 10 11
Vamos a construir una columna con los 5 intervalos de clase reales y amplitud de 2 y la columna de las frecuencias absolutas.
hi (%) 2,0 4,1 10% 4,1 6,1 28% 6,1 8,1 42% 8,1 10,1 18% 10,1,1 12,0 2% 100 Total
d) Interpretación del gráco: Se puede observar que la mayor cantidad de niños tuvieron un peso de 6 a 7 libras.
Intervalos
Además, se utiliza un histograma en lugar de un gráco de barras porque la variable peso es una variable cuantitativa continua. A los efectos de facilitar los cálculos se la redondea, pero su naturaleza igual sigue siendo cuantitativa continua.
339
ESTADÍSTICA EST ADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILI DAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Se tiene la siguiente distribuci distribución ón de frecuen cias de los salarios (por 1000 colones) de los 65 obreros de una compañía puricadora de agua.
C. Construya un histograma de frecuencias rela tivas. D. Construya un polígono de frecuencias abso lutas.
SALARIOS (por 1000 colones)
NÚMEROS DE OBREROS
¢50,00 - ¢59,95
8
Solución:
¢60,00 - ¢69,95
10
1. Columna de las frecuencias relativas.
¢70,00 - ¢79,95
16
¢80,00 - ¢89,95
14
¢90,00 - ¢99,95
10
¢100,00 - ¢109,95
5
¢110,00 - ¢119,95
2
E. Construya un polígono de frecuencias relativa.
Para obtener las frecuencias relativas (hi) se divide la frecuencia absoluta (fi) del intervalo de clase (número de obreros) por el total de de los obreros N= 65 SALARIOS (por 1000 colones)
NÚMEROS FRECUENCIAS DE RELATIVAS OBREROS (En tanto por ciento)
¢50,00 - ¢59,95
8
8 = 0,123 = 12, 3% 65
Construya la columna de frecuencias relativas y la columna de las marcas de clase faltantes y luego conteste:
¢60,00 - ¢69,95
10
10 = 0,154 = 15,5% 65
¢ 7 0 ,0 0 - ¢ 7 9 , 9 5
16
24,6
1.- El límite inferior de la sexta clase.
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5
2:- El límite superior de la cuarta clase.
¢90,00 - ¢99,95
10
1 5 ,4
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10
TOTAL: 65
TOTAL: 100,00%
TOTAL: 65
3.- La marca de clase de la tercera clase. 4.- Los límites reales de la quinta clase. 5.- Tamaño del quinto intervalo de clase. 6.- Frecuencia de la tercera clase. 7.- Frecuencia relativa de la tercera clase. 8.- Intervalo de clase que que tiene tiene mayor mayor frecuen cia.
2. Columna de las marcas de clase.
B. Construya un histograma de frecuencias ab solutas.
340
Para obtener las marca de clase (Mc) se suman los extremos inferior y superior de los intervalos de clase y luego se divide por dos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
SALARIOS NÚMEROS (por 1000 colones) DE OBREROS
FRECUENCIAS RELATIVAS (En tanto por ciento)
Marcas de clase
¢50,00 - ¢59,95
8
12,3%
50 + 59,95 = 55 2
¢60,00 - ¢69,95
10
15,5%
50 + 69,95 = 65 2
¢70,00 - ¢79,95
16
24,6%
75
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5%
85
¢90,00 - ¢99,95
10
15,4%
95
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70%
105
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10%
115
TOTAL:
65
100,00%
Respuesta 1: El límite inferior de la sexta clase (¢100,00 - ¢109,95) es ¢100,00. Respuesta 2: El límite superior de la cuarta clase (¢80,00 - ¢89,95) es ¢89,95. Respuesta 3: La marca de clase de la tercera clase 1 (¢70,00 - ¢79,95) es (¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En 2
la práctica se redondea a ¢75,00.
Respuesta 5: Tamaño del quinto intervalo de clase (¢90,00 – ¢99,95) es igual al límite real superior de la quinta clase menos límite real inferior de la quinta clase es igual ¢99,975 – ¢89,975 = ¢10,00. Respuesta 6: La frecuencia de la tercera clase ¢70,00 - ¢79,95 es 16 Respuesta 7: La frecuencia relativa de la tercera
Respuesta 4:
clase ¢70,00 - ¢79,95 es
Límite real inferior de la quinta clase: 1 (¢90,00 + ¢89,95) = 89,975 2
16 = 0,246 = 24,6% 65
Respuesta 8: El intervalo de clase que tiene mayor frecuencia es ¢70,00 – ¢79,95.
Límite real superior de la quinta clase: 1 (¢99,95 + ¢100,00) = 99,975 2
341
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Un histograma de frecuencias absolutas.
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
C. Un histograma de frecuencias relativas en porcentajes.
D. Un polígono de frecuencias absolutas.
20 16 A I C14 N E U C E10 R F
8
5 2 55
65
75
85
95
SALARIOS ( en colones )
342
105
115
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA E. Un polígono de frecuencias relativas.
4. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados:
Estos es lo mismo que:
Peso (en kg) fi
Peso (en kg) Número de niños 6 2,5 – 3,0 23 3,0 – 3,5 12 3,5 – 4,0 9 4,0 – 4,5 50 Total A. Construya una tabla de frecuencias relativas. Graque: B.- El histograma de frecuencias absolutas C.- Un polígono de frecuencias relativas. Solución:
fi
hi
2,5 – 3,0
6
6 ÷ 50 = 0,120 = 12%
3,0 – 3,5
23 23 ÷ 50 = 0,460 = 46%
3,5 – 4,0
12 12 ÷ 50 = 0,240 = 24%
4,0 – 4,5
9
Total
2,5 – 3,0
6
12%
3,0 – 3,5
23
46%
3,5 – 4,0
12
24%
4,0 – 4,5
9
18%
Total
50
100%
B. Histograma de frecuencias absolutas.
A. Tabla de frecuencias relativas. Peso (en kg)
hi
9 ÷ 50 = 0,180 = 18%
50 50 ÷ 50 = 1,00 = 100%
343
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA C. Un polígono de frecuencias relativas.
Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas:
POLÍGONO
a) ¿Cuántos obreros fueron consultados? s o ñ i n e d o r e m ú N
Respuesta:
b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Clase
Frecuencia Frecuencia (fi) relativa porcentual (%)
45 – 55
4
3
55 – 65
16
11
65 – 75
36
24
75 – 85
60
40
85 – 95
31
20
95 – 105
0
0
105 – 115
3
2
Totales
150
c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 mi nutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minu tos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
100,00
Respuesta:
344
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA f)
¿Cuántos obreros emplean menos de 75 mi nutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Determine: A.- Límite superior de la quinta clase.
B.- Limite inferior de la octava clase.
Respuesta:
C.- Marca de clase de la sétima clase.
g) ¿Cuál es el porcentaje de los obreros que duran más tiempo en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
D.- Límites reales de la última clase.
Respuesta:
E.- Tamaño del intervalo de clase.
2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias que indica el tiempo de duración efectivo de una muestra de 400 CD. Si se establece que el número de intervalos son 9, complete la columna de frecuencias relativa y la columna de marcas de clase. DURACIÓN (Horas)
NUMERO DE CD’S
300 - 400
14
400 - 500
46
500 - 600
58
600 - 700
76
700 - 800
68
800 - 900
62
900 - 1000
48
1000 - 1100
22
1100 - 1200
6
Frecuencias Marcas de Relativas clase
F. Frecuencia de la cuarta clase.
G.- Frecuencia relativa de la sexta clase.
3. El gerente de una agencia bancaria, de acuer do a un estudio del tiempo de espera de los clientes, antes de ser atendidos por parte de los cajeros, obtiene para un día laborable cualquiera la siguiente información:
Tiempo de espera (en minutos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 Total
TOTAL: 400
N. de clientes 8 20 32 40 24 16 140
Construya la columna de las marcas de clase y la frecuencia relativa.
345
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. La siguiente información se reere a una muestra de 120 componentes electrónicos y su duración.
DURACIÓN (en miles de horas) 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 Total
7. La siguiente tabla muestra de distribución de frecuencia de los salarios ( en miles de colones) de los 110 obreros de una fábrica.
Nº de Componentes 8 24 44 28 16 120
Construya la tabla de distribución de frecuen cias relativas 5. Las horas de estudio que 50 universitarios de dicaron a la preparación de un examen fueron: 25, 16, 42, 8, 36, 25, 19, 14, 12, 18, 21, 36, 46, 24, 18, 26, 31, 42, 26, 16, 5, 29, 14, 20, 26, 19, 32, 45, 28, 17, 34, 28, 9, 15, 24, 40, 36, 32, 23, 25, 35, 35, 26, 18, 7, 22, 17, 12, 16, 32
Salarios (en miles de colones)
Número de obreros
800 – 899
10
900 – 999
13
1000 – 1099
17
1100 – 1199
21
1200- 1299
22
1300 – 1399
15
1400 – 1499
9
1500 – 1599
3
Total
110
CONTESTE: a) La frecuencia porcentual correspondiente a la segunda clase es: A) 50
Agrupe los datos en cinco intervalos, y cons truye una tabla de frecuencias porcentuales.
B) 12 C) 55
6. Los siguientes valores corresponden a los índi ces de productividad de 20 establecimientos: 45,0
55,0
48,9
40,5
42,8
52,0
49,0
52,5
51,7
50,0
50,0
56,5
57,0
52,0
45,0
49,0
44,3
41,0
59,2
46,3
a) ¿Cuál es el valor extremo inferior? Resp./ _____________________________
b) La frecuencia relativa correspondiente a la quinta clase es: A) 22 B) 0,02 C) 0,2 c) El valor medio o marca de clase correspon diente a la sexta clase es: A) 1399 B) 1300
b) ¿Cuál es el valor extremo superior?
C) 1349,5
Resp./ _____________________________
346
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 8. Considere la siguiente tabla de frecuencias:
Ni 1 2 3 4 5 6 7
Lm 21,20 29,21 37,21 45,21 53,21 61,21 69,21 Total
10. En una revisión se ha pesado a un grupo de 50 alumnos, con los resultados (en kilos) que se exponen en el cuadro. Complete la tabla de frecuencias.
Ls fi hi(%) Mc 29,21 5 12,50 25,21 37,21 2 5,00 33,21 45,21 10 25,00 41,21 53,21 7 17,50 49,21 61,21 12 30,00 57,21 69,21 3 7,50 65,21 77,20 1 2,50 73,21 40 100,00
53 66 64 58 69 60 54 70 57 73
a) ¿Cuál es el rango? b) ¿Cuál es el límite superior del sexto inter valo? 9. Debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultora perdió información de un estudio de mercado que realizó a una impor tante compañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se conoce algunos datos parciales sobre una entrevista que se elaboró a 150 personas.
Nc 1 2 3 4 5 6 7
Lm Ls fi 24 0,0 2,1 2,1 4,1 35 4,1 6,1 6,1 8,1 8 8,1 10,1 10,1 12,1 12,1 14,0 Total 150
hi
61 65 43 72 64 50 71 61 56 69
71 54 62 60 56 62 52 65 63 66
63 67 55 61 68 45 70 56 64 74
58 76 81 72 63 67 61 74 59 48
Intervalos
Frecuencias
42,5 - 47, 5 47,5 - 52, 5 52,5 - 57, 5 57,5 - 62, 5 62,5 - 67, 5 67,5 - 72, 5 72,5 - 77, 5 77,5 - 82, 5 Total
11. Las estaturas (en centímetros) de los socios de un club de jóvenes, son las siguientes: 153 138 152 145 152
Mc
123 128 128 124 136
129 134 146 132 160
132 148 143 138 159
147 125 138 144 157
138 139 138 141 150
137 146 122 137 160
134 145 146 146 142
131 148 137 138 148
147 135 151 146 130
Con los datos de esta tabla, construya una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos.
0,246 0,134
12. A partir de la siguiente tabla de frecuencias con datos parciales:
0,107
Ni 1 2 3 4 5
13,05 1,00
Reconstruya la tabla de frecuencia. a) ¿Cuántas personas toman 4 gaseosas o menos por semana? b) ¿Cuántas personas toman 6 gaseosas a 12 por semana?
Li 10 14 18 22 26 Total
Ls fi hi(%) Mc 14 5 18 2 22 10 26 7 30 12 36
a) Calcule las frecuencias: h i(%) y Mc . b) ¿Calcule el rango?
347
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 13. Los siguientes datos corresponden a la tempe ratura medida en grados Celsius durante tres semanas en el distrito de Lourdes de Montes de Oca de la provincia de San José en cierta época del año.
Completar la tabla para luego determinar: a) Límite superior de la quinta clase. b) Límite inferior de la octava clase. c) Marca de clase de la sétima clase.
1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,7
d) Tamaño del intervalo de clase.
2º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,1
e) Frecuencia de la cuarta clase.
3º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6
f)
Frecuencia relativa de la sexta clase.
Con base en el cuadro anterior, complete la siguiente tabla de frecuencias relativas. 15. Antes de construir una presa sobre un río, se efectuaron una serie de pruebas para medir el ujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de las pruebas se usaron para preparar la siguiente distribución de frecuencia:
Temperatura (en Marca de Frecuencia Frecuencia Grados Celsius) clase absoluta relativa 14,75
3
15,5 – 17,0
Flujo del río (miles de galones por minuto) 1001 – 1051 1051 – 1101 1101 – 1151 1151 – 1201 1201 – 1251 1251 – 1301 1301 – 1351 1351 – 1401 Total
2 28,6 20,75 21,5 – 23,0 Total
21
100%
14. La tabla muestra una distribución de frecuen cias de la duración de 400 bombillos de una fábrica.
Duración (horas) 300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700 700 – 800 800 – 900 900 – 1000 1000 – 1100 1100 – 1200 Total
Número de tubos 14 46 58 76 68 62 48 22 6 N = 400
Frecuencia 7 21 32 49 58 41 27 11 246
Con los datos de la tabla anterior construya una distribución de frecuencias relativas.
16. Los siguientes datos corresponden a la duración real, en años, de 21 baterías para automóvil, los cuales tienen una garantía de 3 años otorgada por el fabricante: 3,6 2,3 3,1 3,7 4,1 1,7 3,4 3,7 4,7 3,3 3,9 2,6 4,8 3,9 3,3 2,9 3,5 4,4 4,0 3,2 3,8
348
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Con base en esta información complete la siguiente tabla y luego conteste lo que se pide: Intervalo Marca de Frecuencia de clase clase de clase 1,50 - 2,12
TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Analice el histograma siguiente donde se especican los años de servicio del personal docente y administrativo de una escuela.
Frecuencia de clase relativa
1,81
2,12 - 2,74 3,05 3,36 - 3,98
3,67
3,98 - 4,60 4,60 - 5,22
4,91 Totales
17. La siguiente tabla muestra las alturas (en centímetros) de todo el personal del ICER (profesores y administrativos). 1,81 1,76 1.21 1,58 1,66 1,65 1,69
a) ¿Cuántos docentes y administrativos posee la escuela? b) ¿Cuántos de ellos llevan más de 20 años de laborar?
1,69 1,62 1,16 1,24 1,71 1,65 1,60 1,50 1,66 1,50 1,21 1,64 1,50 1,83 1,55 1,75 1,44 1,68 1,54 1,64 1,93 1,61 1,56 1,40 1,84 1,60 1,71 1,67
2. A partir de los siguientes datos, construya una tabla de frecuencia absolutas que contenga 7 intervalos de clase, para los siguientes datos: 31,2 19,0 66,1 96,6 42,7 87,7 5,3 51,2 60,7 67,0 81,2 40,4 26,6 6,4 57,3
1,75 1,62 1,52 1,74 1,51 1,50 1,63 1,69 1,34 1,53 1,66 1,61 1,73 1,61 1,83 1,30 1,45 1,67 1,66 1,65 1,60 1,45 1,31 1,41 1,61 1,38 1,77 1,57 1,58 1,31 1,28 1,69 1,61 1,68 1,60
Represente en una tabla lo siguiente: a) La distribución de frecuencias absolutas. b) La distribución de frecuencias relativas.
349
44,3 59,9 5,4 36,5 10,6 11,7 11,7 67,0 29,6 32,1 75,5 42,4 70,1 19,1 62,1
31,8 87,9 47,9 74,0 56,0 30,1 31,4 46,8 55,6 82,2 91,0 31,8 30,4 77,6 40,9
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Además, construya un histograma de frecuen cias absolutas.
Intervalos 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 Total
3. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a continuación.
Clase
Frecuencia
45 – 55 55 – 65 65 – 75 75 – 85 85 – 95 95 – 105 105 – 115 Totales
4 16 36 60 31 0 3 150
Frecuencia porcentual (%) 3 10 24 40 21 0 2 100
Construya un histograma de frecuencias absolutas (histograma de frecuencias) y un histograma de frecuencias porcentual (%).
Marca de clase
Frecuencia (fi) 6 18 76 70 22 8 200
5. En una empresa se vienen reprogramando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente una mues tra de 35 tiempos de recorridos entre tales ciudades. Los datos, en horas, se muestran a continuación:
4. Utilizando el siguiente histograma, complete en la tabla de frecuencias relativas dada, la columna de marcas de clase y dibuje un polígono de frecuencias.
3.49
3.59
3.69
3.42
3.31
3.60
3.66
3.57
3.51
3.61
3.40
3.53
3.50
3.57
3.53
3.67
3.51
3.24
3.58
3.54
3.52
3.04
3.69
3.48
3.61
3.61
3.24
3.63
3.61
3.51
3.70
3.70
3.50
4.40
3.58
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
a t u l o s b a a i c n e u c e r F
a) Realice un histograma de frecuencias absolutas y describa lo que se perciba en él. b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos de la muestra. ¿Eso signica que el tiempo máximo que hicieron los autobuses en los últimos tres meses fue ese valor? Argumente.
350
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 6. Considere el siguiente histograma y complete la siguiente tabla de frecuencias.
Intervalo
Frecuencia
Marca de clase
Frecuencia relativa
Intervalo de clase
Marca de clase
Frecuencia relativa porcentual (%)
8. En una nca productora de papas en Tierra Blanca de Cartago se realiza un análisis sobre la producción anual del año anterior. Este mostró los siguientes resultados:
7. Complete la tabla de frecuencias relativas porcentuales a partir del siguiente histograma.
a) ¿Cuáles son los cuatro meses de mayor producción? b) ¿A qué porcentaje equivalen los tres meses de menor producción? c) ¿Qué recomendación haría?
351
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 9. El siguiente gráco corresponde a la precipitación anual.
Con base en la información suministrada: a) ¿En cuales años se dieron las mayores precipitaciones? b) ¿Cuál fue el promedio de precipitación anual en los 10 años mostrados? c) Elabore una tabla de distribución de frecuencias absolutas que resuma el gráco anterior. 10. En una pequeña nca ganadera guanacasteca se han registrado 52 nacimientos en ocho meses, como se describe a continuación:
a) ¿Cuál es el mes con mayores nacimientos? b) ¿Cuál el menor número de nacimientos que se registró en un solo mes? c) Elabore una tabla de frecuencias relativas y otra de frecuencias absolutas.
352
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 11. En una determinada empresa se realiza un estudio sobre la calidad de su producción. La distribución siguiente informa sobre el número de piezas defectuosas encontradas en 100 cajas examinadas con 50 unidades cada una de ellas:
N. de piezas defectuosas N. de cajas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 9 10 11 14 16 16 9 4 3 2
Construya el polígono de frecuencias absolutas.
12. A partir de los siguientes datos, construya la correspondiente tabla de frecuencia y graque: 6,42 92,64 64,86 14,97 13,22 66,85
66,49 49,55 9,80 42,92 5,32 77,37
72,71 37,33 36,33 19,60 85,45 93,43
a) Un histograma b) Un polígono de frecuencia. 13. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 colegiales. La característica es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo: 0,110 0,110 0,126 0,112 0,117 0,113 0,135 0,107 0,122 0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117 0,113 0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109 0,117 0,111 0,012 0,101 0,112 0,111 0,119 0,103 0,100 0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134 0,118 0,106 0,128 0,094 0,114
a) ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de la distribución de los datos? b) Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas. c) Dibuje el polígono de frecuencias relativas.
353
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 14. La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojinetes de bolas fabricadas por una compañía. 0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735 0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744 0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740
Construir una tabla de distribución de frecuencias relativas de los diámetros utilizando intervalos de clase, luego construya a) Un histograma de frecuencias absolutas. b) Un histograma de frecuencias relativas. c) Un polígono de frecuencias absolutas. d) Un polígono de frecuencias relativas. 15. La tabla muestra la cantidad de material radiactivo que se encuentra en el suelo de áreas recupe radas de minas de fosfato. Las mediciones de las cantidades de uranio 238 es 25 muestras fueron las siguientes (medidas en picocuries por gramo). 0,74
6,47
1,90
2,69
0,75
0,32
9,99
1,77
2,41
1,96
1,66
0,70
2,42
0,54
3,36
3,59
0,37
1,09
8,32
4,06
4,55
0,76
2,03
5,70 10,00
Constrúyase un histograma de frecuencias relativas con estos datos y su respectivo polígono de frecuencias relativas.
354
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 16. Se ha preguntado a los pacientes que han acudido un determinado día a la Clínica de Aserrí acerca del tiempo (en minutos) que han pasado en la sala de espera antes de entrar en la consulta. Se obtuvieron los siguientes valores: 28 4 12 35 2 26 45 22 6 23 27 16 18 32 8 47 8 12 34 15 28 37 7 39 15 25 18 17 27 15
a) Construya una tabla de frecuencias agrupando estos datos en los siguientes intervalos: 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50
b) Represente los datos mediante un histograma de frecuencias absolutas.
17. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxi ma) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7, 6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5. a. Construir una distribución de frecuencias de estos pesos. b. Encontrar las frecuencias relativas porcentuales. c. Dibujar un histograma con los datos de la parte a. d. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráca de barras.
18. Un investigador médico desea conocer la ecacia de un tratamiento de diálisis en cuanto al mejo ramiento de los niveles de calcio en pacientes renales que concurren habitualmente a cierta unidad hospitalaria. Para ello midió los niveles de calcio de una muestra de 49 pacientes antes del tratamiento en cues tión. Las mediciones obtenidas fueron las siguientes: 98 100 93 83 85 75
109 91 102 77 83 86
97 96 96 81 91 88
106 97 98 84 82 87
99 90 102 83 89
355
100 90 99 86 87
96 103 103 82 87
105 101 94 81 82
90 99 72 81 73
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) Identicar la variable en estudio, a qué tipo pertenece. b) Construya una tabla de frecuencias para las mediciones efectuadas, considere 10 intervalos de amplitud 4. c) Calcule todas las frecuencias aprendidas d) Graque la distribución, histograma y polígono de frecuencias absolutas. e) Extraiga las conclusiones que pueda obtener.
356
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
INTRODUCCIÓN El estudio de la probabilidad tiene gran im portancia en la actualidad al ofrecernos un modo de medir y tratar la incertidumbre. Gracias a la probabilidad se han llegado a desarrollar y com prender diversos métodos estadísticos que son de múltiple utilidad en campos como el cientíco, profesional y social. Este desarrollo ha supuesto que sea esencial un conocimiento básico sobre las probabilidades y sobre todo del análisis de datos para llegar a ser un ciudadano bien informado y además un consumidor inteligente.
Recordemos. P(A) =
número de resultados en los que se presenta el evento A número total de resultados posibles
Donde cada uno de los eventos deben ser igualmente posibles, esto es “un evento o suceso A es igualmente probable si la probabilidad es un 1 , esto es, P(A) = 1 . 2 2 Por ejemplo: En el experimento, lanzar una moneda al aire, los eventos: caer cara o bien caer escudo, tienen la misma probabilidad:
La probabilidad, en particular, juega un papel destacado en la toma de decisiones en situaciones que involucran cierto grado de incertidumbre.
P(lanzar una moneda) =
cae cara número total de resultados posibles
=
cae escudo número total de resultados posibles
=
1 2
Antes iniciar el desarrollo de los contenidos de Probabilidades de este libro Matemática Zapandí es necesario recordar un poco de donde provienen.
La Estadística provee una manera racional de cuanticar esa incertidumbre, las probabili-
Hay tres formas de estimar o calcular la pro babilidad. t
dades.
Al nal de la semana decimoctava de Matemática Ujarrás resolvimos problemas donde se utilizo el cálculo de la probabilidad, de acuerdo con el enfoque clásico o laplaciano. El cual considera a la probabilidad como una medida de la incertidumbre asociada a la ocurrencia de eventos o resultados.
La primera forma es la denición clásica de probabilidad que fue una de las primeras que se dieron a principios del siglo XX y se le atribuye a Simón Laplace, también se le conoce como probabilidad a priori. Para calcular la probabilidad en este caso es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. Los sucesos o eventos son igualmente probables.
357
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA t
La segunda forma es la denición empírica, “a posteriori” o frecuencial que se basa en la fre cuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de experimentos repetidos. Se le reconoce como probabilidad frecuencial o de Von Mises.
t
La tercera y ultima, la denición axiomática de probabilidad o denición de Kolmogorov la cual se basa en la frecuencia subjetiva de ocurrencia de un evento.
13 tréboles A, 2, 3,…, 10, J, Q, K ); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes):
Espadas
Diamantes
Seleccionar uno de los tres enfoques depen derá de la naturaleza del problema. Aquí en este libro consideraremos la proba bilidad de acuerdo con la denición empírica, “a posteriori” o frecuencial que considera la frecuencia relativa de presentación de un evento denotada por fi y que corresponde a la razón entre el número de veces (ni) que se observa un evento i y el número n total (n) de repeticiones del experimento fi = i . n Es decir, este enfoque propone que se calcule la probabilidad con base a la frecuencia relativa histórica, observada durante un gran número de experimentos: P(E) =
Corazones n
n
n
número de veces que ocurre el evento E número de veces que se realizó el experimento
En seguida haremos un breve repaso de algunos ejemplos que permitieron identicar eventos o sucesos para los cuales su probabilidad podía ser determinada empleando la denición clásica de Laplace o “a priori”, para luego realizar el cálculo de las probabilidades de sucesos utilizando la denición empírica “a posteriori” o probabilidad frecuencial.
Tréboles
La probabilidad de que la carta sea un as es 4 = 0,0769. 52 Porque el evento de “extraer un as” consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es 26 = 0,50 . 52 La probabilidad de que la carta sea un corazón 13 = 0,25. negro es 52
Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?
Solución: Usando “a” para niña y “o” para niño, el espacio muestral es:
Ejemplo 1 Considere el experimento: se extrae una
carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3,…, 10, J, Q, K ; y
E = {aaa, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} ⇒n(E) = 8
358
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA n (E) 8 = =1 P(E) = n (E) 8
t
El evento A en que haya dos niñas y un niño es A = {aao, aoa, oaa} ⇒ n(A) = 3 t
n (A) 3 P(A) = = = 0, 3750 n (E ) 8
Recuerde siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(E).
Sucesos compuestos son aquellos subcon juntos del espacio muestral E que constan de dos o más sucesos simples o elementales.
Distinguimos tres tipos de eventos o sucesos n
Ejemplo 3 En un matrimonio, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabi lidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.
Solución: Gen de la madre
Sucesos simples, es cada uno de los re sultados posibles del experimento aleatorio. Los sucesos simples o elementales son sub conjuntos del espacio muestral E con un solo elemento.
Gen del padre
Evento seguro
Decimos que un evento es seguro cuando el suceso aleatorio consta de todos los puntos muestrales del espacio muestral E, es decir, co incide con E. Se le denomina evento seguro porque ocurre siempre. Por ejemplo: a) El experimento de tirar un dado y mirar el re sultado, el suceso o evento “sacar un número menor o igual que 6” es un suceso seguro. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Puesto que, salga lo que salga, siempre el resultado será menor o igual que 6.
E = {CC, CA, AC, AA} Casos posibles = {CC, CA, AC, AA}
b) Si en una bolsa hay 10 bolas verdes, al sacar una bola de la bolsa, el suceso “que la bola que saque sea verde” es un evento seguro.
Casos favorables = {CC, CA, AC} P(ojos castaños) = 3 4
n
También debemos recordar lo siguiente:
Clasifcación de los sucesos o eventos
Se pueden clasicar los sucesos o eventos según el número de elementos que entren a for mar parte:
Evento imposible
Decimos que un evento es imposible cuando no puede darse en el experimento. Se denota por Ø a cualquier evento imposible. Por ejemplo a) El suceso A: “sacar un 7” al tirar un dado de seis caras, o bien
359
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) El suceso B: “sacar una bola blanca” de un
t
recipiente que sólo contenga bolas negras. El último tipo de evento que estudiaremos se denomina evento o suceso probable .
n
t
Un evento o suceso A es muy probable si la probabilidad es mayor que un 1 , esto es, 2 P(A) > 1 . 2 Un evento o suceso A es igualmente probable si la probabilidad es un 1 , esto es, P(A) = 1 . 2 2
Evento probable
Decimos que un evento es probable cuando representan acontecimientos que puede presentar más de un resultado.
ACTIVIDAD 1 Ordene desde el menos probable hasta el más probable los siguientes eventos. Si hubiera eventos imposibles y eventos seguros, señálelos.
Por ejemplo a) En el evento, cada nacimiento que se registra solo hay dos posibilidades: que el bebé que nazca sea hombre o mujer.
a) El dueño de la tiendita vivirá 105 años. b) La próxima semana no tendrá día martes.
b) Si en una bolsa hay diez bolas, varias verdes y varias negras, el suceso “que la bola que saque sea negra” es un evento probable.
c) En el mes de octubre lloverá en la provincia de San José.
c) En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3.
d) El próximo 1º de enero comenzará otro año.
El experimento de extraer una bola y anotar su número produce los siguientes eventos probables.
f)
e) El próximo animal mamífero que vea en la calle será un perro.
g) Obtendré calicación aprobatoria en el examen de Matemáticas.
{ }, {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3} Haciendo uso de las probabilidades de un evento o suceso A y considerando que el valor de estas se encuentran en el intervalo P(A) ∈ [0,1], podemos concluir que: t
t
t
Si tiro un dado obtendré un 6.
Un evento o suceso A no puede suceder o es imposible si P(A) = 0. Un evento o suceso A siempre sucede o es seguro si P(A) = 1.
h) El próximo bebé que nazca en su familia será varón.
¡Pero si la experiencia es irregular!, ¿cómo calculamos la probabilidad de cada uno de los sucesos o eventos?
Probabilidad frecuencial
Un evento o suceso A es poco probable o menos probable si la probabilidad es menor que un 1 , esto es, P(A) < 1 . 2 2
Es el valor jo que tienen las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento, de acuerdo con la regularidad estadística. Dicha probabilidad
360
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA proporciona resultados aproximados, es decir, pro porciona estimaciones y no valores reales; además, los resultados son “a posteriori”, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. Cuanto mayor es el número de pruebas reali zadas más se aproxima el valor obtenido al valor desconocido de la probabilidad teórica. El número de pruebas a realizar dependerá del experimento y del número de sus posibles resultados.
de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. P(A) =
Número de veces que ocurre el evento A Número de veces que se realizó el experimento
Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Veamos algunos ejemplos.
Por ejemplo Al tirar un chinche puede ser que caiga con la “punta hacia arriba” o con la “punta hacia abajo”.
Ejemplo 1 Consideremos el experimento anterior de tirar 1000 veces el chinche con el suceso que este quede con la punta hacia abajo. Si suponemos que los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Punta hacia abajo 7 31 67 309 623 Nº de tiradas 10 50 100 500 1000 Se observa que conforme aumenta el número de tiradas la frecuencia relativa del suceso “caer con la punta hacia abajo” se aproxima a 0,623. Para asignar la probabilidad a estos dos su cesos o eventos no se puede aplicar la regla de Laplace ya que no son equiprobales, (puede que el chinche caiga de lado), es por esto, que debemos recurrir a la experimentación.
Punta hacia aba jo 7 = = 0,70 Nº de tiradas 10 Punta hacia aba jo 31 = = 0,62 Nº de tiradas 50
La probabilidad frecuencial es una medida que se obtiene de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite a futuro un comportamiento.
Punta hacia aba jo 67 = = 0,67 Nº de tiradas 100
Sin embargo tengamos siempre presente, que no es denitiva por lo que es importante saber in terpretar los resultados que se obtienen. Así pues tenemos que…
Punta hacia aba jo 623 = = 0,623 Nº de tiradas 1000
La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número
Punta hacia aba jo 309 = = 0,618 Nº de tiradas 500
La probabilidad 0,623 es la probabilidad de que el chinche caiga con la punta hacia abajo, por lo tanto, la probabilidad de que el chinche caiga hacia arriba o bien de lado es 1 – 0,623 = 0,377.
361
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Esto se puede observar en el siguiente gráco de barras:
Recuerde a) Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
1 a v i t a l e r a i c n e u c e r F
b) La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
Ejemplo 2 Si consideramos que la moneda de la imagen está dañada en la cara del escudo su probabilidad ya no es igual.
C
E
Esto nos indica que algo no está bien con la moneda, por lo tanto se concluir está dañada. También mediante la probabilidad frecuencial podemos resolver problemas como los siguientes:
Para vericar que la probabilidad ya no es igual con este evento, podemos partir de las fre cuencias relativas obtenidas cuando repetimos el experimento un buen número de veces. Suponiendo que se realiza el experimento lan zando esta moneda dañada 200 veces, los datos se pueden resumir, por ejemplo, así: f
fr
81
0,405
Escudo
119
0,595
Total
200
1,000
Cara
Ejemplo 3 Si una cara de un dado está cargada de tal forma que la probabilidad de que al lanzar el dado es cinco veces más probable su salida que cada una de las otras caras. ¿De que cara se trata?, ¿cuál es su probabi lidad? Si lanzamos dicho dado 1000 veces y anota mos cada una de las salidas, y la resumimos en una tabla como la siguiente:
Lanzadas f 1 97 2 501 3 96 4 97 5 108 6 101 Total 10000
La probabilidad de cada evento (cara o escudo) se obtienen mediante las proporciones: P(cara) =
81 = 0,405 200
P(escudo) =
119 = 0,595 200
362
fr 0,097 0,501 0,096 0,097 0,108 0,101 1,000
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Se comprueba que el dado está cargado en la cara del número 2, calculando la frecuencia relativa, esto es: 97 = 0,097 P(1) = cinco veces 1000 501 P(2) = = 0,501 1000 96 P(3) = = 0,096 1000 97 P(4) = = 0,097 1000 108 P(5) = = 0,108 1000 101 = 0,101 P(6) = 1000
Solución:
Esto se puede observar mediante el gráco de columnas horizontales
b) Las personas probables producto de la entrevis ta que sufrieron un accidente de trabajo son 5 (0,05 x 100) personas.
1 a v i t a l e r a i c n e u c e r F
a) N = 10 000 personas que equivale al número de veces que se repite el experimento. Sea el evento A: “una persona que sufrió un accidente de trabajo de cierta industria”, en tonces n(A) = 500. Por lo tanto se tiene que: P(A) =
n(A) 500 = = 0,05 n 10 000
La probabilidad que una persona sufra un acci dente de trabajo, en 12 meses en la industria, es 0,05.
Observación Aquí se supone implícitamente que las nor mas de seguridad no han cambiado desde que se realizó el muestreo a las 10 industrias.
Ejemplo 5 1
2
3
4
5
6
Ejemplo 4 Una muestra aleatoria de 10 fábricas de cierta industria que emplean un total de 10 000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses.
Cuatro personas igualmente calicadas hacen solicitud para ocupar dos puestos idénticos en una empresa. Un y sólo un solicitante es mujer. Los puestos se llenan al seleccionar dos de los solicitantes a azar. a) Indique los posibles resultados para este ex perimento.
a) Obtenga la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.
b) Asigne probabilidades razonables a los puntos muestrales.
b) Si se entrevistaron a 100 personas en forma aleatoria, ¿cuántas personas es probable que sufrieron un accidente de trabajo?
c) Encuentre la probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para un puesto.
363
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución:
Observando esto Jacob Bernoulli, genial ma temático y cientíco suizo, postuló la ley de los grandes números, también llamada ley del azar, la cual arma:
a) Los posibles postulantes los podemos indicar como: P1, P2, P3, (hombres) y P 4 (mujer). Como la empresa necesita dos personas para puestos idénticos, el espacio muestral es: E = {(P1, P2), (P1, P3), (P1, P4), (P2, P3), (P2, P4), (P3, P4)} Cuando se utilice la probabilidad frecuencial, cada par ordenado de postulantes se concibe como un experimento. E = {E1, E2, E3, E4, E5, E6} b) Las probabilidades razonables de cada punto muestral, por lo tanto será: 1 P(Ei ) = ; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6
La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.
c) La probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para una posición ocurre en el evento. A = { (P1, P4), (P2, P4), (P3, P4)} A = {E3 , E5 , E7 } ⇒ P(A) =
ACTIVIDAD 2
n(A) 3 1 = = n(E) 6 2
Por lo tanto, tanto las mujeres como los hombres tienen igualdad de probabilidad para puestos idénticos en dicha empresa.
1. Según la encuesta de hogares en el cantón central de San José del año 2000 se ha obte nido el siguiente resultado. En 3 meses de observación a una muestra de 16 684 personas entrevistadas, 4955 sufrieron una enfermedad o accidente.
Importante
Halle la probabilidad de elegir una persona que ha sufrido una enfermedad o accidente.
Cuanto más grande es el número de veces que se realiza un experimento, la frecuen - cia relativa se aproxima a la probabilidad de ocurrencia de cada evento antes de - nominada probabilidad clásica.
Resp/.
364
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Si lanzamos una moneda 1000 veces y halla mos que 532 veces resultan caras, ¿cuál es la probabilidad de salida cara y cúal de escudo? Resp/.
Cara Cara Cara Cara Cara Cara Total 1 2 3 4 5 6 3. En la siguiente tabla tenemos el resumen del sexo de los bebés cuyas madres asisten a la Clínica Mercedes Chacón de Aserrí.
Calcule la probabilidad frecuencial para cada evento.
El resumen se hace desde una fecha deter minada tomando sólo los partos de un único feto, (gemelos no se consideran).
Resp/.
Número de partos Niñas Niños 1º parto
1
-
2º parto
1
1
3º parto
2
2
10º parto
4
6
100º parto
57
43
1000º parto
545
455
5. De un recipiente con 5 bolinchas de diferentes colores, Anabelle sacaba bolinchas de una en una, regresando cada bolincha antes de volver a sacar otra. En la siguiente tabla se registraron los resul tados del experimento.
Color de las bolinchas Veces que salió 132
Obtenga la probabilidad de que sea niño, ¿cuál es la probabilidad de que sea niña? ¿Qué opinión le merece el resultado?
Verde
Resp/.
Rojo
108
120
Anaranjado 4. Tiramos un dado 40 veces y anotamos para cada vez cuando sale cara. Complete la tabla de frecuencias para el total de lanzamientos de acuerdo a la siguiente información:
126
Amarillo 114
Azul
365
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA ¿De qué color es la bolincha cuyo porcentaje de probabilidad de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir?
Total de lanzamientos
La pelota de color rojo. La pelota de color verde.
¿Cree usted que si se repite el experimento de lanzar el dado pero ahora 10 veces se obtendrá la misma probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos? ¿Por qué?
t
La pelota de color azul. Resp/.
¿Y para 30 veces?
6. Tome un dado…, láncelo 20 veces.
7. Se ha realizado una encuesta a 400 jóvenes sobre el número de libros leídos en los últimos tres meses; 60 han leído novelas, 265 han leído libros de relatos y el de distintos tipos. Con estos datos, complete el histograma y la tabla de frecuencias.
¿Qué cree que suceda?
1 %
t
¿Qué número caerá con mayor frecuencia?
t
¿Qué número caerá con menor frecuencia?
t
¿Qué probabilidad tiene de salir un 2?
t
¿Qué probabilidad tiene de salir un 3?
20 = 1 100% 20
Sale uno Sale dos Sale tres Sale cuatro Sale cinco Sale seis
La pelota de color amarillo.
t
20
Considere sus resultados y complete la si guiente tabla
366
%
%
Calcule la probabilidad de los tres casos. Respuesta:
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 1: NÚMEROS
3. ab2
7. a
NÚMEROS REALES
4. –b3
8. b 5 b
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 9
o)
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 25
NOTACIÓN DE INTERVALO
a) irracional
1.
a)
b) irracional
NOTACIÓN GRÁFICA
c)
c) racional
a)
1.
f)
racional
h) racional irracional
j)
racional
3, 9 2 ]− 4 , 6] ]− 1 , + ∞[ ]0 , + ∞[ ]− ∞ , + ∞[ ]− 3 , 2 ]
i)
c)
i)
]− ∞ , − 4] ]− ∞ , 0[
e) g)
b)
g) racional
−14 , 10 13 − 3 9 , +∞
d)
d) irracional e) irracional
[−2, 5 [
e)
j) l) n) ñ) o)
f)
NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN
d)
k) racional
PÁGINA 10 2. 9
− 3
− 4
o o o o o n n n n n o o i o i n n s n s
… 8 7 6 o o o o i 5 n n n n s 6 3 , 2 5 4
b) {x/x ∈ ℝ, – 5 < x ≤ 8} g)
c) {x/x ∈ ℝ, −14 < x ≤ 10 } 3 d) {x/x ∈ ℝ, x > − 3 9 }
h)
f) i)
g) {x/x ∈ ℝ, x < 0}
i o o o i n n n s s
… 7 1 o i 7 o o i 1 n n s n s 7 1 , 2 i i i o i 4 s s s n s ? ? ? l l ? a a o r l n n o ? e a r o r i o i u e c c l m t t a ú a n a a e r r N N E R I R
h) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}
j)
k) {x/x ∈ ℝ, − 2 < x < 5 } k)
m) {x/x ∈ ℝ, x ≤ 0,5}
l)
PÁGINA 26 2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
m) n)
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 21 1. a
5. – 7b
2. –b
6.
{x/x ∈ ℝ, x > – 2}
ñ)
a 2
367
∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈
8. ∈ 9. ∉ 10. ∈ 11. ∉ 12. ∉ 13. ∈ 14. ∈
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 27
PÁGINA 29
6.
1.
4.
a) verdadera
b) falsa
X
c) verdadera
d) verdadera
X
e) verdadera
f) falsa
g) verdadera
h) falsa
5 2
a)
3
2 3 2
−
2 3 2
X
X
i)
−
b)
2
X
+ 3
7
X
5 2 2 1
O R E M Ú N
c)
d)
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
X
,
0
3 3 3 , 0 … 3 3 3 , 0 % 0 2
X X X X
X X
0
3 –
X
l
5.
8
7
2.
a) – 5 b) 3 c) 3
–3 6
3.
a) <
g) <
b) <
h) >
c) >
i) >
O O I O I N N S N S
6
I I I O I S S S N S
… 4 2 4 2 , 2 -
O O I O I N N S N S
5
I I I O I S S S N S
… 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 , 1 8 0 , 2 – 0 1
<
j) =
e)
>
k) <
7
f)
=
l) >
O R E M Ú N
∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈
8.
N S S N S
4
d)
10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)
I I O I 2 O
−
PÁGINA 28
∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∈ ∈
X
a o o l o n o v r a r i o o o e v t i i r a e n r t o m c e i e g m i t s t n o n e ú c ú a r r E p E n N a r N i
e)
PÁGINA 30 7.
X
9 0
0 0 1
d)
verdadera
4
O O O I I N N N S S
9. 1) ⊄ 2) ⊂
7) ⊄ 8) ⊂
3) ⊄
9) ⊂
4) 5) 6)
⊂ ⊄ ⊄
10 ) ⊄ 11 ) ⊂ 12 ) ⊂
10.
1. verdadero O O I O I N N S N S
2. falso 3. verdadero
O O O I I N N N S S
4. falso
I I I O I S S S N S L A L O L A A N L R R N I O A O U E I C E T T C A N A A R N E R R R I
5. verdadero
368
11.
a)
>
h) >
b) <
i) >
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 32
c) {x/x ∈ ℝ, 2 ≤ x < 4}
c) {x/x ∈ ℝ, – 8 ≤ x < – 2}
c) >
j) =
5.
12.
d) <
k) <
a)
a)
e) <
l) =
f) =
m) =
b) ]– 2, 5[
b)
g) <
n) =
c) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 5}
c) {x/x ∈ ℝ, x < 0}
12.
]– ∞,0[
6.
PÁGINA 34
a) V
e) V
a)
b) V
f) V
c) V
g) V
b) [– 3, 2[
1.
d) V
h) V
c) {x/x ∈ ℝ, – 3 ≤ x < 2}
a) ]– 7 , – 2[
i) F
j) V
7.
15.
a)
PÁGINA 33
b) ]1, 10[
13. Resuelta como ejemplo.
b) ]– ∞, + ∞[
14.
c) {x/x ∈ ℝ}
1.
8.
a)
a)
b)
]− ∞, 4[
c) [5, 10]
b) [11, + ∞ [
d) [– 2, 9[
c) {x/x ∈ ℝ, x > 4}
c) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 11}
2.
9.
a)
a)
b) ]1, 3]
b) ]– ∞, 1[
c) {x/x ∈ ℝ, 1 < x ≤ 3}
c) {x/x ∈ ℝ, x < 1}
PÁGINA 35
3.
10.
16.
a)
a)
a) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 4}
3 b) − ∞, 4
b)
c)
c)
4.
11.
a)
a)
e) ]– 5, + ∞[
b) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}
1 , 12 3 7
c) {x/x ∈ ℝ, 1 ≤ x ≤ 6}
d) {x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 0} b) [2, 4[
b)
[– 8, – 2[
369
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA e) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 0}
d) No
3. a)
e) No
12
( 2)
4
f)
b) 24 ( 3 )
{x/x ∈ ℝ, x ≤ 5}
c)
125 2 π 2
d)
(
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 43 1.
a) 2
d) 5
b) 5
e) 2, 10
3•5 5 72 a 5 x 3 y 5 z5
c) 8
f) 3 , 5
m5 a 5 n5 p4 x 4 1 6 π • 37 • 3
a) 4
12
11)
5
4
PÁGINA 36
e)
17.
f)
1. C
g)
2. B 3. D
h)
4. A 4.
CÁLCULO Y ESTIMACIONES ACTIVIDAD 1, PÁGINA 41 1.
a) 2
b) 2
4 3
c) 7
f) 8
3.
d) 3x e) – 4d
3 2
f)
x + 3
1 5
g)
1 x 2
p
h)
1 5
3 5
a) 1
0,01
0,0001
b) 4
0,04
0,0004
d) 2
c) 9
0,09
0,0009
e) a a
d) 16
0,16
0,0016
e) 25
0,25
0, 0025
f)
36
0,36
0,0036
g) 49
0,49
0,0049
h) 64
0,64
0,0064
i)
0,81
0,0081
a
f)
yx
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 47
3 5
6 5
3 5
4
5
10
g) 3 a b
1. a ) 8x 3 y yz
h) 2 7 a 7 b 7
b)
PÁGINA 42
3x 2 z4 3 2x
c ) 9a2 c 3 ab
5. a)
2.
b) – 2
1 125 e) – 0,5
d)
c) t
c) 7
81
2.
d)
215
4a 2 c5 3 2a 2 b2
a) 1
0,3162…
0,01
b)
3
32 2
2.
b) 3
0,3
0,03
c)
3
94
a)
c) 6
0,6
0,06
d)
3
m
b) 2x 2 y 8 xy 2
d) 8
0,8
0,08
e)
4
( a b) 3
c)
e) 0,2
20
200
3
4
40
0,04
x 6y 7z4
d) 2 4 x
f)
f)
g) 5
0,5
50
6.
e) 4mn 16 (mn)
70
0,07
b. NO
f)
8
h) 0,7
3
0,9
900
c.
g)
24
i)
2
9
Si
6
370
15
18
3x
32x 2 y 2
3
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
e.
( 2,5)
= 22 + (1,5 )2 6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25 2
rectángulo
2.
a) si b) si c) si d) no e) si f) si
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 87 Parte A a) si
Parte D Si, puesto que 37 2 ≠ 302 + 202 Parte E Si, puesto que (22,1)2 ≠ 142 + (17,)2 PÁGINA 90 Parte F Debe tener una longitud de 6,18 m aproximadamente. Parte G La diagonal de la cancha tiene de longitud 122,06 m Parte H El área es de 60 pies cuadrados. Parte I No es rectangular ACTIVIDAD 4, PÁGINA 93 Parte A
b) no
PÁGINA 88 c) no d) no e) no
x = 5 2 d) x = 5 ; y = 5 ; z = 9,16
h 17 41 51 1 5 12
b a 15 8 9 40 9 50,20 3 4 5 5 1 1 4 3
c) x = 8 d)
x = 2 6
e)
x = 19
f)
x=4
3. a ) AB = 6 3 6 2
3 6
Perímetr o ABCD = 6 +
+
2 3 6 2
+
3 2 3 6
3 hipotenusa: 2
Área D BCD =
2) cateto: 3 hipotenusa: 2 3 3) cateto: 2 cateto: 2 3 4) cateto: 1 hipotenusa: 2
7) cateto:
Parte C
b) x = 25
= 9 +
5) cateto: 3 3 hipotenusa: 6 3 6) cateto: 19 hipotenusa: 38
PÁGINA 89
a) x = 5
AD = 3 3 + 3
1) cateto:
c)
2.
2) cateto: 17 hipotenusa: 17 2 3) cateto: 5 cateto: 5 4) cateto: 4 cateto: 4
a)
x = 1,80 ; y = 3,354
PÁGINA 96
BC =
Parte B b)
f) incorrecta, debe ser s = r 2 + t 2 g) correcta h) correcta
1) 2 2
PÁGINA 94 Parte B
91
d) correcta e) correcta
3 ; cateto: 3
8) cateto: 8 7 ; cateto: 8 21
2
•
2
2
2 2 2
2 2 2
+ 3 + 3 3
+3 3
9 12
=
2 2
=
9 12 8
b) Respuestas: La medida del segmento BC es 2 El perímetro del triángulo ACE es 4 + 4 + 4 = 12 El área del rectángulo ABDE es El área del triángulo ACE es
1. a) correcta
4•2 3 8 = 3=4 3 2 2
376
4
PÁGINA 97
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 95
c) incorrecta, debe ser b2 = a 2 + c 2
9 3
1
4•2 3 = 8 3
b) incorrecta, debe ser y 2 = x 2 + z2
=
c) Respuestas: La medida de BC es 6
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3 La medida de RC es 2 6 La medida de AQ es 3 4. a) BC = 10 b) AC = 12
c) BC = 2 2 d) AC = 5
PÁGINA 98 e) BC = 5 f) AC = 2 6 5. a) mide 55 m b) mide 185 m
PÁGINA 99 c) La longitud debe ser de 18,5 m d) Si caben las varillas en la bodega. e) No caben, pues ni diagonalmente se pueden acomodar, ya que esta diagonal mide 2,6 m.
2.
2.
a) Si porque 32 + 42 = 52
a ) d = 20
b) Si porque 62 + (2,5 ) = ( 6,5) 2
2
c) Si porque 32 + (7,2 )2 = ( 7,8)2 d) No porque 42 + 62 ≠ 82 3. a) Mide de ancho 30 m b) Mide de ancho 7m
b) d = 37 3. a) A (1, 1); B(3, 3) d= 8
b) A (–1,3); B(5,-3) d = 12
c) A (– 4, –2); B(0, –3) d = 17
PÁGINA 103 c) La longitud del cable debe ser de 2 veces 15,02m ( 30,04 m) d) La altura es de 3,82 m aprox. 4. a) x = 4 cm b) x = 3,60 cm
PÁGINA 109 4. Resp. El perímetro de la gura es: 5 ul +2 ul +6,71 ul =13,71 ul 5. Resp. El perímetro de la gura es P = 8 + 5 + 8,25 + 7 = 28,25 ul 6.
) 4 , 7 (
7
c) x = 5,2 cm d) x = 3,87 cm
) 2 , 5 , 5 (
6
5
PÁGINA 104
) 0 ,
) 4 , 4 (
5.
4 4 (
3
a) AB = 18; CA = 9 3 2
PÁGINA 100 f) La medida del lado mayor es 10 y tiene un perímetro de 24. 6. La distancia es 13 m PÁGINA 101 7. a) Mide aproximadamente 64,03 m b) Mide aproximadamente 11,66 m 8. 1. x = 6
2. x = 3 + 2 5
b) BC = 6; CA = 6 3 c) AB = 12; CA = 6
) 0 ,
) 4 , 1 (
1 1
(
0 5
4
27 27 ; CA = 3 2 2 e) AB = 8 3 ; CA = 12
d) BC =
10 20 3 3 ; BC = 3 3 g) XZ = 6 2 ; YZ = 6 2
f)
AB =
3
2
) 2 , 5 , 0 – (
1
0
1 –
) 0 ,
2 2 –
– (
a) Perímetro: 6 + 5 + 6 + 5 = 22 ul
h) XY = 6; YZ = 3 2
1 b) Puntos medios: (4,4) 5 , 2 (1, 2 0), (– 0,5, 2)
i)
XY = 4 2 ; XZ = 4
c) Diagonal: 9,85 ul
j)
XZ = 8; YZ = 8
Diagonal menor: 5
PÁGINA 110
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 102
TRABAJO INDIVIDUAL 3, PÁGINA 108
7. Libre
1. Respuesta: El lote mide de largo 48 m.
1. Libre
8. Libre 9. Libre 10. Libre
377
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 2: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 114
(a) a c b cos A = c a tan A = b b cot A = a
sen A =
1. a ) 60 ° = 60 •
π 180
=
3
rad
2π rad 180 3 π 7π = c ) 210 ° = 210 • rad 180 6 π 3π = d ) 135 ° = 135 • rad 180 4 π 11π = e ) 330 ° = 330 • rad 180 6
b) 120 ° = 120 •
π
π =
sen A =
d ) 4 π rad = 4 π • e)
π
= 720 °
m p m tan A = n n cot A = m
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 119 20 1 = posición 1 40 2
b) razón: 30 = 1 posición 2 60 2 razón: 50 = 1 posición 3 100 2 c) No 2. 5 13 12 5 12 13
12 15 9 cos B = 15 12 tan B = 9 9 cot B = 12
sen A =
sen B =
Razón
α
β
5 6 74 = 74 74 7 74 74 5 7 7 5
7 74 74 5 74 74 7 5 5 7
4.
m p n cos B = p m tan B = n n cot B = m
sen B =
sen cos tan
cot 5.
a sen A = c b cos A = c a tan A = b b cot A = a
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 117 Libre para discusión.
a) razón:
b c a cos C = c b tan C = a a cot C = b
sen C =
(c)
11π 11π 180 • = 330 ° rad = π 6 6
1.
n p
cos A =
π
180
9 15 12 cos A = 15 9 tan A = 12 12 cot A = 9
(b)
2. π 180 = 36 ° a ) rad = • 5 5 π 3π 3 π 180 b) • = 77 ° 8 ' 3 4 " rad = π 7 7 7π 7 π 180 • = 420 ° c) rad = π 3 3
(e)
3.
a) a = 9
b sen B = c a cos B = c b tan B = a a cot B = b
b) b = 15,33 c) a = 8
PÁGINA 121 Complementario 90º – 36º = 90º – 14º = 90º – 69º = 90º – 85º = 90º – 47º 15` =
PÁGINA 120 (d) sen A = cos A = tan A = cot A
=
6
sen B=
7 13 7 6 13 13 6
cos B = tan B = cot B =
13 7 6
ACTIVIDAD 4, PAGINA 122
7
a)
13
sen α =
6 6 13
=
6 13 13
sen β =
4 3 4 tan α = cot α = 5 4 3 4 3 3 cos β = tan β = cot β = 3 4 5 5 3
5 4
cos α =
b) Libre para discusión c) Libre para discusión
378
Ángulo 54º 76º 21º 5º 42º45`
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 124
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 136
Libre
1.
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 135 a) sen2 39º + cos 2 39º sen2 89º + cos 2 89º sen2 12º + cos 2 12º sen2 17º + cos 2 17º b)
= 0,3961 + 0,6039 = 1 = 0,9997 + 0,0003 = 1 = 0,0432 + 0,9568 = 1 = 0,0855 + 0,9145 = 1 ′ ′
7 5 ′ 7
º
3 0 1
s 1 o
2
º
0 5 1
º
1
5 3 1
= 0 0 5 7
s o
2
s o
2
,
c
+
º
c
+
º
0
+
0 5 1
5 3 1
0 0 5 2
2
n e
s
2
,
n e
=
=
s
0
=
1
= 0 0 0 5
,
0
+
0 0 0 5
5 1
º 2
=
=
s o
s o
2
c
c
2
n e
n e
s
s
c) 1
º
7 7
2
s o
)
d a r
π 2
,
8 1
1
(
2
2
n e
n e
s
1 = ′ ′ 5 5 ′
6 = 3 ′ º ′ 4 5 2 3 ′ 1 8 2
c
+
c
2
s o
2
s o
+
s
1 = ′ ′ 8 5 ′ 1 5
2
s o
c 1 + = ′ ′ º 5 5 5 4 ′
s o
c + ′ ′ 8 5 ′
,
0 π π 9 3 ( 1 4 2 3 7 1 s 2 2
s o
2
s
o
c o c c + + + π π π 3 3 4 7 9 1 1 2
n e
s
2
n e
s
cot A =
a = 2880 a = 53,65 cm 3. a)
2
n e
c +
)
d a r 9 ,
b)
2
n e
2 3+3 2 2 2 3 3 + = 2 2
,
PÁGINA 137
3 3 2 + = 1 2
2.
2 3+3 2 2 3+3 2 = 2 2
Para hallar c La gura nos indica que sen B = b . c Como b = 48; sen B = 48 . c Pero como la información que tenemos es que sen B = 2 . Podemos 3 comparar:
sen B =
4. tan A =
144 2
c = 72 cm
tan 60º =
3 1
cot 30º =
3 1
6.
Para hallar a
3+2
a)
En este caso podemos encontrar el valor de a utilizando el teorema de Pitágoras así: a 2 + b2 = c 2
b) c) d)
a2 + 482 = 722
s s
379
tan B = 4 8
cot 60º = 1 = 3 3 3
3 • 48 c = 2 c =
8 4
5. tan 30º = 1 = 3 3 3
48 2 = despejamos c c 3
0
(
3 2 1 1 + = 2 1 1+ 2 3 = 2 2
PÁGINA 138
7
º
c + 2 7 ′ 6 ′ º 3 s 5 1 o º 3 5 c ′ 4 2 8 + 2 n º º 1 e 7 2 5 s 7 n 4 2 = 2 e n s ) n e d e = s s a r = = 9 π
s o
12 5 5 cot B = 12 5 tan A = 12 12 tan B = 5 5 sen A = 13 12 sen B = 13 12 cos A = 13 5 cos B = 13
a2 = 2880
(
2
+ π 4 3
,
8 1
π 2 1
+ π
6 5
,
s
3
s
5 1
π 4
2
,
c
+
π 6 5
º
s o
n e
,
0 7 0 3 + 3 3 9 0 4 8 1 0 2 4 + n 9 0 e 0 7 6 = = 0 ) d 0 a = r
2
,
0
c = + 6 ′ 1 1 ′ 5 7 = 5 0 ′
º
4 3 3 cot B = 4 3 tan A = 4 4 tan B = 3 3 sen A = 5 4 sen B = 5 4 cos A = 5 3 cos B = 5 cot A =
a2 = 722 − 482
1 4 1 2 4
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. a)
b)
3 2− 3 3 1
c)
2− 6 2
d)
3
e) f)
b) c) d)
1. Semejante al problema 4 de la página 157, trabajo individual 2 Sugerencia puede plantear sen16 s en 66 = h 210 210 • sen 16 = h sen 66
c) m Y = 35°, YZ = 36,86 dm XZ = 25,81 dm
PÁGINA 143
Respuesta: La altura del edicio es 63,36 m
4. 1.
3 −1 4
2.
2
3.
2 ( 2 − 1)
6 6 61 = 61 61 5 61 61 6 5
4. 5. 6.
5 61 61 6 61 61 5 6
5. Libre.
8. a)
a) m C = 55°, AC = 50,56 mm b) m P = 71°, PQ = 47,59 mm
PÁGINA 139 h)
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 151 AB = 41,42
1− 2 3 2 1
g)
3.
34, 5 x + 34, 5 = sen 57 sen63 34, 5 • sen 63 = x • sen 57 + 34, 5 • sen 57 30, 74 − 28, 93 = x • sen 57 1, 81 sen57 2,16
6.
3 5 4 5 4 5 3 5
2. Plantee la ecuación
b) La distancia es 11,548 m d) Debe recorrer 28,80 cm e) Necesita avanzar el buzo 188,19 m
PÁGINA 152 3. Plantee la ecuación x y 200 = = s en 3 7 s e n 6 3 s e n 8 0
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 147 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 141 x 30 30 • sen 22° = x
1. sen 22° =
Libre para discusión
a = 3,23
Respuesta: La altura del árbol es 11,25 m aproximadamente.
y=
200 • se n 8 0 = 327 , 28 s en 37
4. La distancia desde R hasta S es 244,93 m y la m RST = 32
b = 3,55 2. γ = 40°
5.
b = 2,58
2.
∆ CHJ 15 25 20 25 15 20
200 • se n 6 3 = 296,11 mm s en 37
Respuesta: La distancia a través del río mas corta es 296,11 m
1. α = 40°
11,238 = x
∆ CFG 12 20 16 20 12 16
x=
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 149
30 • 0,3746 = x
∆ CDE 6 10 8 10 6 8
= x
Respuesta: La altura del asta es 2,16 m
a) La sombra mide 41,40 m c) La escalera mide 9,47 m
∆ CAB 18 30 24 30 18 24
= x
a) Las distancias son 4,51km y 4,06 km.
a = 2,84
b) La altura del avión es 0,705 km
3. β = 40°
a = 3,25
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 153
b = 4,27
1. Como m α +m β + m δ = 180° entonces m
380
δ = 180° – 130° – 20°
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA m
δ = 180° – 150°
δ = 30° 2. Como m α + m β + m δ = 180° m
a
=
6, 40
sen 64° sen 35°
↔ a =
m 3.
β = 180° – 57° – 48° β = 75°
b = 35,46 cm, c = 53,29 cm
PÁGINA 154 4. δ = 65°, a = 65,20cm, b = 38 5. α = 52°
c = 51,24 cm
°
6, 40 • sen 64
sen 35° 6, 40 • 0,8988 ↔ a = 0,5736 5,75232 ↔ a = 0,5736 ↔ a = 10 m
entonces m
↔ a • sen 35° = 6,40 • sen 64°
a)
β = 58°
Luego, tenemos que en el triángulo PQR el m QPR = 180° – 25° – 45° = 110°.
b)
α = 42°
c)
β = 45°
a = 59,30 cm, c = 69,17 cm
d)
β = 35°
a = 323,65 dm, b = 370,19 dm
b = 1395,50 mm, c = 1512,84 mm
Calculo de
b) α= 92° b = 3,01 mm, c = 3,89 mm c)
f)
δ = 105° a = 26,9 cm, c = 8,04 cm
α= 91° β = 26°, a = 15,82 mm
g) α = 24° β = 141°, b = 12,16 m h) α = 59° δ = 80°, a = 44,39 m 8. Libre
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 156
β = 90° – 9° = 81° m δ = 180° – 64° – 81° = 35°
1. m
Para calcular la longitud del poste, es decir, el lado a del triángulo ABC, se procede como sigue:
a b despe jamos a = sen 52° sen 88°
Para hallar la distancia recorrida, debemos encontrar la medidas p, q.
e) α = 45° b = 18,6 dm, c = 8,37 dm
a) δ = 80° a = 20,16 m, c = 20,16 m
b a = sen 52° sen 88° para calcular a utilizamos
a =
8 • sen 52° sen 88°
a =
8 • 0,7880 0,9994
Aplicamos la ley de los senos.
d) β = 45° b = 11,6 m, c = 11,6 m
7.
b a c = = sen 52° sen 88° sen 40° y además b = 8
PRQ = 70° – 25° = 45°
Calculo de q q 3,0 = sen 25° sen 45° 3,0 • sen 25° q= sen 45° 3,0 • 0, 4226 q= 0,7071 1,2678 q= 0,7071 q = 1,80 km
PÁGINA 155
Por la ley de los senos tenemos que:
2. Como las rectas que pasan por son paralelas, los ángulos alternos internos PQR y QRS. miden 25°. Por lo tanto, m
c = 49,84 cm, b = 67,16 cm
3. Como las rectas que pasan por BD y AC son paralelas, entonces m DBC = m BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es m B = 180° – 52° – 40° = 88°
Respuesta: La longitud aproximada del poste es 10 m.
b = 24,47 cm 6.
PÁGINA 157
p
=
p
a = 6, 308 km
b c = sen 88° sen 40° para calcular c
utilizamos
b c = sen 88° sen 40° 8 c despe jamos c = sen 88° sen 40° c =
8 • sen 40° sen 88°
c =
8 • 0,6428 0, 9994
c =
5,1424 0, 9994
3,0
sen 110° = sen 70° sen 110° sen 45° 3,0 • sen 70° p= sen 45° 3,0 • 0,9397 p= 0,7071 2,8191 p= 0,7071 p = 4,0 km
Respuesta: La distancia que recorrió, p + q = 1,8 + 4, 0 = 5,8 km aproximadamente.
381
c = 5,145
Respuesta: La distancia total de recorrido es 8 km + 6,308 km + 5,145 km = 19,453 km
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Sea h la altura del edicio que está sobre la pendiente y construya el triángulo rectángulo ABC.
Ahora, m α + 15° = 42° entonces m α = 42° – 15° = 27°
Como el ∆ ABC es un triángulo rectángulo; m δ = 90° – 42° = 48° Con la Ley de los senos, se sigue que
3. Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm 4. Resuelto en la página 165 -166 de libro Matemática Zapandí 2016 5. Resuelto en la página 166 de libro Matemática Zapandí 2016
Respuesta: Área total = 30 00 cm 2 +
5. Área total = área de las bases + área lateral
= 2(0,8 m x 0,5 m) + 2(0,5 m x 0,7 m) + 2(0,8 m x 0,7 m) = 0,8 m2 + 0,7 m2 + 1,12 m2
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 171
= 2,62 m2
A.
La madera cuesta a razón 1600 colones el m2.
1. 20 m2 + 20 m2 + 12 m2 + 12 m2 + 15 m2 + 15 m2 = 94 m2
2,62 m2 x 1600 colones = 4192
25 cm x 25 cm = 0,25 m x 0,25 m = 0,0625 m2 94 m2 ÷ 0,00625 m2 = 1505 azulejos 2. 45 m2 + 45 m2 + 18 m2 + 18 m2 + 90 m2 = 216 m2 El área total a pintar son 216 m2. Respuesta: La altura aproximada del edicio es 6,72 m 5. La longitud del alambre más cercano al tubo mide 6,77 m
PÁGINA 158 6. La distancia es 96,03 m 7. La longitud del poste de luz es 9,06 m
625 3 c m2 2
Respuesta: El precio del cajón de embalaje cuesta 4192 colones. 6. Como posee una base triángular de 6 cm de lado es un triángulo equilátero Área base = A (triángulo equilátero)
3. El área lateral es de A = 2 •
756 m2 + 756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3024 m2
3 4
3 4 3 A = 36 cm2 • 4 36 A = 3 cm2 = 9 3 cm2 4 A = ( 6 c m) • 2
El área total es de 441 m2 +441 m2 +756 m2 +756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3096 m2
PÁGINA 172
Son dos triángulos equiláteros:
4. Área lateral = P base x hprisma
2 • (9 3 cm2 ) = 18 3 cm2
8.
= (25 cm + 25 cm + 25 cm) x 40 cm
a) α = 12
= 75 cm2 x 40 cm
b) 9,30 m
= 3000 cm
= (6 cm + 6 cm + 6 cm) x 12 cm
c) 290,3 m
Área base = A (triángulo equilátero)
= 18 cm x 12 cm
d) 42,60 m
A = 2 •
ÁREA 2: GEOMETRÍA GEOMETRÍA DEL ESPACIO ACTIVIDAD, PÁGINA 165 1. Área es de 389 .25 cm² 2. Área es de 10,83 cm 2.
Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm
Área lateral = Pbase x hprisma
2
3 4
= 216 cm2
3 A = ( 25 cm) • 4 3 A = 625 cm2 • 4 625 A = 3 cm2 4
Respuesta:
2
Son dos triángulos equiláteros: 625 625 2 • 3 cm2 = 3 cm2 4 2
382
Área total = 216 cm2 + 18 3 cm2 7.
Área total = 2 (A base) + (P base x h prisma) = 2 (2 cm)2 + {(4 x 2 cm) x 5 cm} = 2(4 cm2) + 40 cm2 = 8 cm2 + 40 cm2 = 48 cm2
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA Respuesta: El área total es de 48 cm2. 8. Como posee una base triángular de 35 cm de arista de la base es un triángulo equilátero Área base = A (triángulo equilátero) A = 2 •
Área total del tetraedro regular: 4 3 cm2 = 6,93 cm2
PÁGINA 182 Area de la cara lateral:
3 4 3 A = 1225 cm2 • 4 1225 A = 3 cm2 4 2
1. Respuesta.
Área lateral + Área de la base 15 m2 + 6.25 m2 = 21.25 m2 2. Respuesta: El área lateral es de 69,96 dm 2 y el área total es de 105,96 dm 2.
Área lateral = Pbase x hprisma = (35 cm + 35 cm + 35 cm) x 20 cm = 105 cm2 x 20 cm
3. Respuesta: Área total es 96 dm2
2
4. Respuesta: El área total de la pirámide es de 121,5 dm 2.
Respuesta: 1225 3 cm2 2
PÁGINA 173
3. A
5. Respuesta: Libre para discusión. 6. Respuesta: El área total de la pirámide es 756 cm2.
PÁGINA 205 B. Resuelva… 1) A = x2 2) A = (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 3) a) 10 x 10 = 100 saludos. b) 10 x 9 = 90 saludos c) La expresiónalgebraicaquese deriva de lo que he resuelto anteriormente: y = x (10 – x) = 10x – x2 4) x(15 – x) = y ↔ y = 15 x – x2 5) x2 – 100 x – 11 900 = 0 PÁGINA 206
9. Semejante al número 2, anterior. 10. Semejante al número 1, anterior.
TRABAJO INDIVIDUAL 4, PÁGINA 189
6.
1.
a) variable independiente: t(s); variable dependiente: altura
11. Semejante al número 4 y número 8 anteriores.
a) 521, 16 cm2.
B. Libre para discusión
b) Libre para discusión. c) Libre para discusión.
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 181 2
1. Respuesta: ST = 87,71 m apb = 2,32 cm. 2. Respuesta: a = 12,16 m; 2
ST = 252,72 m . 3. Respuesta Area de la cara lateral: 3 cm2
2. C
PÁGINA 184
1225 1225 2 • 3 cm2 = 3 cm2 4 2
Área total = 2100 cm2 +
PÁGINA 204
4. C
Son dos triángulos equiláteros:
3 cm2
Area total del tetraedro regular: 4 3 cm2 = 6,93 cm2
A = ( 35 cm) •
= 2100 cm
1. A
4. Respuesta.
3 4
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA FUNCIÓN CUADRÁTICA TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 203 A. Selección
d) 88 228 cm2. 2. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188) 3. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188) 4. Área de la torre: 400 m2 + 660 m2 = 1060 m2
b) altura máxima: 4 m, tiempo: 2 seg c) Intervalo de tiempo la función crece [0,2[, y en cuál la función decrece ]2,4] Parte C
1) Respuesta: A = bh A = (x + 2)(x – 2) = x 2 – 4 2) Respuesta: bh 2 ( 2x + 1) (2x + 2) = (2x + 1) 2/ ( x + 1) A = 2 2/ 2 A = ( 2x + 1) ( x + 1) = 2x + 3x + 1 A =
5.
a) 280 cm2 b) 352 cm2
383
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 209 1. 20(6a + b + 6) 2. 9ax (a – 2x) 3. x2(1 + x – x2) 4. ab(b2 – a2 + 1) 5. 2a(2a2 + 15a – 25) 6. 7 (3c4 + b2c – 2b3) 7. 6xy(2y – 3y2 x+ 3) 2
3
8. c (b – 21 + 14b) 3
4
9. 2mn (56n + 60m – 63mn) 2
2
4
3
10. a ( a b + b + a + ab ) 2
2
3
11. 5y (3 + 4y – 6y + 8y ) 12. 6a2b(7b – 3a5 + 5ab)
13. –h(k2 – 2k – h) 14. m(m2 + n2 – n4 + 1) 15. a3b(b + 1) 16. 5b a + 2 a2 − 3 b3 3 7
17. 5x (5xy+ 6y3 + 4) 18. – y (x2 – y2 + xy3 + 4) 5 xy(5 − 3y − 2x2 ) 9 1 2 3 20. a a 2 b2 − ab3 − 1 5 3 4
19.
3 4 21. 5x 2 y x2 − xy + 6y 3 2
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 211 A. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
(x + 1)(a + 8) (2n + 3)(– 5 + p) (x – 3)(2a – 11) (2x + 3)(m – n) (4 + n)(x + 5) (x + 1)(3 + 5y) (1 – x)(m + 1) (m – 2)(4x + 1) (1 – x)(1 + 2a) (x2 + 1)(1 – b) (x – 1)(m + 7)
12. 13. 14. 15. B. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
11(b + c) (2y – 1)(x + 2) (3 + b)(– 1 + x) (– 1 + m)(2x + 3) (m + 1)(a – 9) (x – 2)(3x – 2y) (a + 1)(n + 2) (a + 1)(x – 1) (x + 1)(–1 – 7y) = – (x + 1)(1 + 7y) (1 – 7x)(–1 + 2a) (x – 8)(1 + x) (2a + b + 3)(–5 – 1) = – 6a(2a + b + 3) (n + 1)(x – 9) (x – 2)(x + 3y + 1) (a + 1)(a – 1)
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 214 A. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
(n – 1)(n + 1) (x – 5)(x + 5) (1 – 2m)(1 + 2m) (4 + y)(4 – y) (2x + 3)(2x – 3) (2x + 9)(2x – 9) (10 – m2)(10 + m2) (5 – 2n)(5 + 2n) (–4 + 2b)(4 + 2b)
1 1 10. − 3a + 3a 2 2 a 4 a 4 11. − + 6 5 6 5
17. (7x – 8)(7x + 10) 18. 7(2a + 7) 19. (7a + 1)(–a + 11) 20. 5c(2 + 7c)
PÁGINA 215 B.
a) (16 – 3y)(16 + 3y) b) (4a + 3)(4a – 3) c) (5x – 2)(5x + 2) d) (5m – 7)(5m + 7) e) (8y2 – 9)(8y2 + 9) f)
6
6
6
h) 2(25a10 – 36) = 2(5a5 – 6)(5ª5 + 6) i)
(x2 + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1)
j)
4(x4 – 16) = 4(x 2 – 4)(x2 + 4) = 4 (x + 2)(x – 2) (x 2 + 4)
k) (4 – y2)(4 + y2) = (2 – y)(2 + y)(4 + y2) l)
5(x4 – 16) = 5(x 2 – 4) (x2 + 4) = 5(x – 2) (x – 2) (x2 + 4)
PÁGINA 216 A. a) b) d) f) B.
a) (x + 8)2 b) (x + 7)2 c) (x – 1)2 d) (1 – 2y)2 e) 2(x – 1)2 x(x – 9)2(x + 9) = x (x – 9) 2
f)
a a 13. 1 − 1 + 2 2
h) 5(y2 + 1)2
1 1 14. b + b − 2 2
i)
(3x5 + 2)2
j)
(1 – a3)2
1 1 15. 10 − a 2 10 + a 2 4 4
l)
384
3
g) (11a4 – 10)(11a4 + 10)
a 4 a 4 12. − + 6 5 6 5
1 1 16. 8a − 8a + 5 5
3
(a – 4)(a + 4) = (a – 2)(a + 2) (a + 4)
g) 5(4x + 5)2
k) (7x + 4)2 (x + 5)2
m) (a + 1)2 n) (x + 1)2
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 5, PÁGINA 217
3) x(x + 7)
PÁGINA 220
A.
4) 3x2(1 – 7x)
g) 4m(2m – 3n)
a) (a – 1)(a – 3) (a + 3)
5) 2x(3x – 2)
h) 9ax2(a2 – 2x)
2 2 b) (a + 2) − x + x 3 3
6) b(b2 + b + 1)
i)
x(x2 + x + 2)
7) ab(a + b)
j)
2(2a2 – 4a + 1)
8) 3c(5a2 – 1)
k) 2a(a + 2b – 3c)
9) 5rs(5r – 25)
l)
c) (b – 3)(b + 1) (b – 1) d) 3x (x + 12) e) 2(y + 1) (y – 11) f)
1) (y + 2)(y – 1)
h) 3(3x + 1)2 3x(1 – x2)2
j)
(x + 2)2 (1 + 3x)
2) (a + 9)(a – 8) 3) (4c + 5)(x – 1) 2
k) 2(1 – 5x)(1 – 10x) (3 –10x) l)
n) 3b(2a2b2 – 3a + 4b)
D.
g) 2(x – 3)2 i)
m) 3a2(3a3 – 2x + ax2)
10) –6x(2x + 1)
5(2y – 9) (2y – 5)
– 24x
PÁGINA 218 B.
1) 2a (a + 6)
Mayor factor común: 2a
2) 9b (b – 9)
3m(2m2n2 – 4mn + 1)
4) 2(x + 1)
4.
a) 4(a + b) b) x(x – y) c) bc2(b + 3c) d) 2x(3x – 2y)
5) 2x(x – y) 6) (m – n)2
e)
7) (1 – 3c)(1 + y)2
f)
8) –7(2y – 1)
5.
1 2 b y(y – b) 2 4x(6 + 7x2 – 14x3)
a) (4x – 1)(a + 3)
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 219
b) (b – 5)(2m + 1)
Mayor factor común: 9b
1.
c) (2a – 1)(1 – 3q)
a) 3a
d) (3t + 1)(p – 6)
Mayor factor común: 6
b) a
e) (a – 10)(–7 + x)
4) 9 (d2 + 3)
Mayor factor común: 9
d) 1
5) 1 (e2 + 9)
Mayor factor común: 1
2.
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 221
a) 6a3b3
1.
6) 1 (2f2 – 4)
Mayor factor común: 1
b) 6xy
a) si
Mayor factor común: 3
c) 14a3b2
b) si
7) 3 (x2 – 4x + 6)
d) 3a2x2
c) no
8) 9 (2n2 – 3n + 6)
Mayor factor común: 9
e) 6a2b
d) no
f)
e) si
3) 6 (2c2 – 1)
c)
f)
12b2
6
(b2 + 1)(7c + 3)
9) 2x2 (x2 + 3x – 13) Mayor factor común: 2x2
3.
f)
10) 3y3 (3y2 – 22y + 1) Mayor factor común: 3y3
a) a(b + c)
g) no
b) b(b – 2)
h) si
C.
c) 3(m – n)
i)
no
1) 3(x2 + 4y2)
d) 2(c + 4)
j)
si
2) 6(3x2 – 2y)
e) 2x(y – 5)
2.
f)
si
a) (x + 1)2
5y2(1 + 3y)
385
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) (n – 1)2
d) (4x3 – 5)(4x3 + 5)
ACTIVIDAD 7, PÁGINA 226
c) (a + 4)2
e) (8y2 – 9)(8y2 + 9)
a) (3x + 2)(2x + 1)
f) x(6 – 7x)(6 + 7x)
b) (4x – 1)(2x + 3)
2
d) (y – 6)
e) (m + 7)
2
2
2
2
g) y (9y – 5)(9y + 5)
c) (x – 7)(6x + 1)
h) 2(2x – 7y)(2x + 7y)
d) 3(x – 4)(x – 3)
g) (9 + p)2
7.
e) 2(2x – 1)(2x + 1)
h) (b – 5)2
a) (y – 1)
i) (a2 + 4)2
b) (2x + 15)
f)
3
(b – 2 )2
2
f)
j) (1 – 0,8y)2
c) (h + 2)2
PÁGINA 227
2
3.
d) (b + 5)
a) 2(x – 1)2
e) (7a + 4)
2
c) x(x – 9)
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 225 A.
2
1. 1 2 raíces
e) 5(2x + 3) f) 3(2x + 3)
h) 2(2a + 3)(a – 1)
2
d) x(x + 12)
2
g) 5(y2 + 1)2 3 2
h) 2a(1 – a ) 4.
b) sí
g) 2(x + 3)(x – 1)
2
b) 2(x – 10)2
a) sí
e) no f) no
PÁGINA 222 c) no
g) sí
d) no
h) si
5.
a) 6x2 (4x2 + 10x –3) b) 5x3 (9x8 + 12 + 4x2) c) (2x – 3) (2x + 3) d) 6x2 (x2 + 4)(x – 2)(x + 2) e) 3x3 (2x3 – 3)2
i) 3(2m – n)(m+ 3n) j) 2(5 – x)(2 + x) k) (2x – 1)(x + 1) l) (6b – 5)(5b + 4)
2. 16
2 raíces
3. 4
2 raíces
4. 100
2 raíces
5. 25
2 raíces
6. 1
2 raíces
b) 100
7. 85
2 raíces
c)
8. 25
2 raíces
9. 4
2 raíces
10. 196
2 raíces
B.
1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 9)(x + 4)
ACTIVIDAD 8, PÁGINA 228 A.
(x − 10)2
x + 5 2
4 d) 9 e) 9 f) 16
y + 2 3 (x + 3)2 (x 2 − 4)2 2 x − 5 2
g)
25 4
B.
4) (x – 4)(x – 3)
a) (x – 3)(x + 2)
5) (x + 6)(x – 2)
b) (y – 5)(y – 3)
6) (x – 25)(x + 4)
c) (x + 7)(x – 2)
7) (x – 24)(x + 3) 8. (m + 5n)(m + 3n)
g) 2x2 (4x2 – 42x + 9)
9. (a + 3b)(a + 2b)
h) x (18x6 + 8 + 29x3)
10. (p + 4q)(p + 2q)
6.
11. (a + 7b)(a – 2b)
a) (2x – 5)(2x + 5)
12. (x – 6y)((x + 5y)
b) (3a – 4)(3a + 4)
13. 4(x + 5)(x + 5)
c) (10x – 1)(10x + 1)
14. (x – 8y)(x – 5y)
386
2
25 4
3) (x – 5)(x – 3)
(x – 2)2 (x + 2)2
f)
3(3a – 1)(a – 2)
2
d) (c + 8)(c – 3) e) (x – 7)(x + 4) f)
(a + 7)(a + 5)
g) (b – 5)(b – 2) h)
x − 1 a − 1 2 3
2
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 9, PÁGINA 231
ACTIVIDAD 3
a) (x + 4)2 – 17 b) (x – 3)2 –7 c) (x + 5)2 – 15
1.
−x2
2.
2x 3 + 3x −
3.
−3
2
1 19 d) x − + 2 4 2 5 29 e) x − − 2 4
4.
2
Cociente: x – 8 Residuo: 0
− 5x + 4 5 2
c) (n2 – 7n – 9) ÷ ( n + 1 ) 1 –7 –9 –1 –1 8 1 –8 –1 Cociente: n – 8
5 a 2 + b2 + 3ab3 2 2 2 x − 4x + 1
2
11 77 f ) x + − 2 4
5.
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 234 1. 2. 3. 4. 5. 6.
6. 7.
x8 −1 2 y 6 −1 7 8 ab 3 −8 26 9 m n 9 −1 q4 2 p3 −2 3 xy 3
5 2x 5 − 5x 3 − x 2 2 −3m + 4mn − 10n2
d) (4 – 8n + 3n2) ÷ ( 3n - 2 ) (3n2 – 8n + 4) ÷ ( 3n - 2 ) 3
1 − x3 + x2 − 3 5
3. Cociente: x + 1, residuo: 0
3 −6 =, =− 2 3 3
Por lo tanto
6. Cociente: 5x – 20, residuo: 154
Cociente: n – 2
7. Cociente: 3x + 12, residuo: 46
Residuo: 0 e) (x2 – 7x + 5) entre ( x - 3 )
x 2 + 5x + 6 x + 2 1
5 –2 1 3
2 2
4. – q m ( 7q – 3m ) = – 7q + 3m q 2
5. – 4b ( 4 – 3a ) = – 16b + 12 a b
1 1 ab − ab3 6 4
8.
1 5 2 8 2 a b − ab 3 3
6 –6 0
–2
Residuo: 0 b)
387
–7 5 3 –12 1 –4 –7 Cociente: x – 4
3
f) (x2 –x – 6) entre (x – 3) 1
–1 3 1 2 Cociente:
–6 6 0 x+2
3
Residuo: 0
x 2 – 15x + 56 x − 7 1 – 15 56 7 – 56 1 –8 0
1
Residuo: – 7
Cociente: x + 3
6. 4a 7.
0
5. Cociente: x2 + 3, residuo: – 2
3. 7p2 + 15m2
2
= −4
Dividimos 3 y – 6 por 3; así
a)
3
3
3
2. Cociente: 6x2 + 5, residuo: 0
ACTIVIDAD 5, PÁGINA 241
2
−12
2
1. Cociente: – 4b + 4, residuo: – 2
8. Cociente: x - 5, residuo: 16
1 1 3 y + 3) = y + ( 2 2 2
4
3 –6 3n – 6
4. Cociente: 2x – 6, residuo: 0
1. x + 3
–8 6 =2 3
ACTIVIDAD 4, PÁGINA 237
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 235
2.
Residuo: – 1
PÁGINA 236
g) (a2 –5a + 1) entre (a + 2) 7
1 1
–5 –2 –7
1 14 15
–2
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA Cociente: a - 7
1
Residuo: 15 h) (2x2 –7x + 1) entre (x – 4)
2
–7 8 2 1 Cociente:
1 4 4 5 2x + 1
(3x +5x + 1) entre (2x – 1)
3
5
1
3 2 13 2
4 17 4
Cociente:
2
l)
No olvidemos, se dividen los coecientes 3 y
2
Por lo tanto Cociente: 3 x + 13 2 4 Residuo: 17 4 2
j) (10x + 8 – 7x) ÷ (–3 + 5x ) (10x2 – 7x + 8) ÷ (5x – 3) 10
–7
8
30 =6 5
−3
10 –1 10x – 1
3 5
5 37 5
Se divide 10 y – 1 por 5 Por lo tanto Cociente: 2x −
Residuo: 37 5
4
1. a) − a 4 b 3 −
1 29 x − 4 4
1 5
k) (11 – 7x + x2) entre ( 4x + 1 ) (x2 – 7x + 11) entre ( 4x + 1)
1 3
b) −5m5 n4 + 6mn8 5 2 2 c ) x − + 3 3 x −7 3 4 2 x − x + x d) 3 3 2 e) 3x − 5x + 4 14 2 f) 108a 5 − 3 − 2 b a 2.
Residuo: 205 16 Libre
a)
m) Libre
b)
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 243
c)
a) 2x4 + 0x3 + 11x2 + 0x − 3 10 −2x4 + 0x3 + x 2 + 2x 3 43 2 x − 2x 3
d)
por el coeciente
del divisor (2x – 1)
29 16 205 16
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 244
Se divide 1 y −29 por 4 4 Por lo tanto
2
3
−1
−1
10x – 1
(3n2 – 8n + 4) ÷ (3n – 2)
11
4 29 1 − 4
Residuo: 5 i)
−7
3x3 + 0x2 − 5x + 3 2 x 3
2 Respuesta: C(x) = x y el resto 3 43 2 R(x) = x − 2x 3
b) 4x 3 + 0x 2 + 8x − 4 −4x 3 + 8x 2 − 2x 8x 2 + 6x − 4
2x 2 − 4x + 1 2x
e) f)
g) h) i)
j) k)
(2 − 7x) 4 2 a b − 7b 2 2 2 (x y − 1)2 5 −3 5 1 4(x − y) −4 2 ( a − c) 3 −2(a 4b + 2)2 4xy 2 25 a+b 2x + 3y 3x + 2 y x+2
Respuesta: C(x) = 2x y el resto R(x) = 8x2 + 6x – 4 3
2
c) x − x − x − x 3 − x2 − x − 2x 2 − 2x
2
x + x +1 x
Respuesta: C(x) = x y el resto R(x) = –2x2 – 2x d) Libre.
388
PÁGINA 245 3. a) x + y
b) c) 4. a) b) c) d)
3 – 7b ay – 3a4 x2 + 1 3x2 – 8x2 = – 5x2 p–7 –x + y
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA e) x – y f)
b), c) y d) Libre para discusión.
m2 – 5
5.
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
a) –15a2b + 13b
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
b) 9mn5 – 12m5n 2
2b 3 4b + − a a a d) 3x3 – 5nx2 + 1
c)
6.
a) x b) x c) 2m d) n
PÁGINA 246 7. Libre para discusión 8.
14. x + 1 15 h a s ta 24 los e s tudiante s
Parte C
A. Parte A a ) a ≠ 0 ↔ IR − {0}
b) c) d) e)
x ≠ 1 ↔ R − {1} m ≠ 0 ↔ IR − {0} ∀ x ∈IR, b ≠ − 3 ↔ IR − { −3}
f ) z ≠ −1 ↔ IR − { −1}
2 2 g) a ≠ 7 ↔ IR − {7}
h) x ≠ 0, x ≠ −2 ↔ IR − { −2, 0} i) b ≠ 3,b ≠ -3 ↔ IR − { −3, 3} j) c ≠ −2, c ≠ 9 ↔ IR − {−2, 9}
1. 2.
3 + x2
8.
a − 2b
3
,o
Parte D
Debe amplicarse por (m – n)
Parte F
La fracción original era
PÁGINA 252 a) a
b) 14m 11 c ) 1 x 2 d) xy 7(x + 1) e) x + 2 − 5(m + 2) f) m−5
PÁGINA 251 9.
−4
2 La fracción original es x +25x + 4 x −1
3a x + 1 a3 4. (b − c )2 2x − 1 5. 2x 6. y 7.
3. Para valores distintos de 4 sea a ∈ ℝ – 3
Parte E
4c 2 a − 5x
3.
9.
p 2 p − q
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 250
Parte B
b), c), d) y e) libre para discusión.
13.
5 + 6x2
m−2 m+2 1 11. a−4 1 − 4n 12. 10 10.
PÁGINA 253 g) − 2 − 2(b − 6) h) b+2
389
4a2 − 9 6a2 + 11a + 13
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
(3n + 2)(n − 4) n+ 4 j) 3x + 5 k) x − 2 y 2 + 4y + 1 l) 5y + 1
41 24a x2 + 4xy + y2 6) x2 y 2 7) 26x x −4 8) 11x + 2 3x(x + 1) 5)
i)
2 9) 2x + 8x + 16 x(x + 4)
PÁGINA 255 Parte A
2 10) 2x − 10x + 25 x(x − 5)
1) c2 d2 2) 6x2 y
PÁGINA 257
3) (a - b)(a + b) 4) (m - 6)(m + 6)
11)
x2 + 5x + 1 ( x + 1)2 (x + 4)
12)
12a − 11 (a + 2)(a − 1)(a − 3)
5) − 6(a − 3) 6) − 8(b − 1) 2
7) x − 4
13xy − 6x2 + 3y 2 1) 2x 2 y 2
8) x2 − 9
12) y (y − 1)(y + 1)
2(x − 20) x 2 − 25 x − 3 3) (x + 3)(x + 1) x − 6 4) (x + 6)(x + 4)
13) (a + 1)(a − 1)
Parte E
9) (x − 2)(x + 2)(x + 3) 10) (x + 1)(x + 2)(x − 2) 11) t(t + 2)2 (t − 4) 2
15) (m − 3)(m − 2)
16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1)
Parte B
Libre. Parte C 1) 2) 3) 4)
7 a2 8 6 y 5 44 x 75 2x + 5 x2
g) 3(x − 4) h) 1 i) 2 ( x2 + y2 )
j) 1
− ( x − 2 ) ( x + 3) (x + 2) ( x − 3) ( x − 2) ( x + 1) l) ( x − 1) k)
ACTIVIDAD 5, PÁGINA 260 2(x + 5) (x + 1)2
5 3(x − 1) Parte C
2 2
f) p+17
Parte B
2)
14) (x − y)(x + y)
e) c
Parte A
Parte D
PÁGINA 256
c ) b2+b5 d) 2(a − 9)
a)
x4 y 1 5 2 = xy xy
b)
x2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1) (x + 1) = = x2 − 1 (x − 1)(x + 1) (x − 1)
x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1) = = x 2 + x − 2 (x + 2)(x − 1) (x − 1) xy(x + 1) xy(x + 1) 1 = 2 2 = d) 3 2 2 2 x y + x y x y (x + 1) xy c)
Respuesta: Son equivalentes a y d y la b y c.
ACTIVIDAD 4, PÁGINA 258 a ) ab b) 2yx2
390
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Parte B
x − 2 + x + 2 • x2 − 9 a) 2 x − 4 x 2 − x − 6 4x − 10 ( x − 3) ( x + 3) x − 2 x + 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) + ( x − 3) ( x + 2) • 2 (2x − 5) ( x − 2 ) ( x − 3) + ( x + 2) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 2) ( x + 2)
( x − 3) ( x + 3) • 2 (2x − 5 ) (x + 3) • 2 ( 2x − 5)
x 2 − 3x − 2x + 6 + x2 − 2x + 2x − 4 ( x − 2) ( x + 2) 2x 2 − 5x + 2 ( x + 3) ( x − 2 ) ( x + 2 ) • 2 ( 2x − 5 )
p) 3(x – 2) q)
(2x − 1) ( x − 2 ) ( x + 3) ( x − 2 ) ( x + 2 ) • 2 (2x − 5 ) (2x − 1) ( x + 3) 2 ( x + 2 ) ( 2x − 5 )
( x − 1) ( x − 2) ( x − 4)
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 264 Parte A 1.
1
1 − x
+
b) Estudiante c) Estudiante
−
2
x x(x + 2) x + 1 (x + 2)(x + 1) + (1 − x)(x + 1) − 2(x)(x + 2) x ( x + 1) (x + 2)
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1)
(a − b)(a + b) • 2 (a − b) = 2 3 ( a + b ) (a − b ) (a + b ) 3
2)
( x − 7)( x − 6) • (x + 7)( x − 5) = x − 6 x ( x − 7)( x + 7) x (x − 5)
x2 + x + 2x + 2 + x + 1 − x2 − x − 2x2 − 4x x ( x + 1) (x + 2)
− 2x2 − x + 2 x ( x + 1) (x + 2)
3)
2)
3 +2 1 − 2x + x2 3 x − +2 (2x + 1)(x − 1) (x − 1)(x − 1) x
2x 2 − x − 1
−
3(2x + 1) 2(2x + 1)(x − 1)(x − 1) x(x − 1) − + (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1) 2
3
2
− x − 6x − 3 + 4x − 6x + 2 (2x + 1)(x − 1)(x − 1) 3 4x − 5x 2 − 7x − 1 (2x + 1)(x − 1)(x − 1) x
PÁGINA 265 2. Libre 3. 1) 2)
3) Estudiante 4) Estudiante
( x + 8)( x + 7) • (x − 8)( x + 7) ÷ (x + 7) ( x − 8)( x + 8) (x + 7)( x − 5) (x − 5) ( x + 8)( x + 7) • (x − 8)( x + 7) • (x − 5) = 1 ( x − 8)( x + 8) (x + 7)( x − 5) (x + 7)
3)
a 2 + b2 − 1 ab 3c − 2a + b abc
(
a a−b
4 y 5 libre.
391
) + b (a + b ) − (a (a - b) (a + b)
2
+ b2 )
=
a2 − b2 + ab + b2 − a 2 − b2 a−b a+b
(
)(
)
=0
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PÁGINA 280
4 14) S = −1, 3
Parte B
15) S = {7, 9}
1) S = {1, 5}
16) S = {− 8, − 7}
2) S = {– 6, – 1}
5) S = {3, 5}
15 − 129 15 + 129 , 48 48 11 18) S = − 1, 10
6) S = {2, 7}
19 hasta 32) Los estudiantes
3) S = {– 9, 2} 4) S = {– 7, 3}
7) S = {– 15, 4}
5 3 12 ) d d − 6 = 0 7 4 5 7 3 4
d = 0 → d =
d − 6 = 0 →
0
5 7 3 4
→ d = 0
d = 6 → x =
6 24 = =8 3 3
4
S = {0, 8 }
1 2 1 3 13) y − y − = 0 3 3 4 2 2 3 6 1 2 1 2 = = 2 y − = 0 → y = → y = 3 3 3 3 1 3 3
8) S = {– 14, 13}
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 290
9 9) S = , 10 5 1 10) S = 0, 3 11) S = { }
1. x, x+ 2, x + 4
− 5 − 1 12) S = , 2 3 13 hasta 28) Los estudiantes
2. x edad hijo
(x + 4)2 – x2 – (x + 2)2 = 7 Respuesta: Los números son 5, 7, 9.
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 286
−2 1 1) S = , 3 2 2) S = {2, 4 }
7 3) S = −5, 3 3 2 12 1 3 1 3 20 - 395 20 + 395 = =6 y − = 0 → y = → y = , 4) S = 4 2 4 2 1 2 2 2 4 5) S = ∅ S = {2, 6} −1 6) S = , 0 8 7 1 2 12 14) x − x − = 0 7) S = {0, 8 } 4 12 3 11 8) S = ∅ 1 12 4 1 9) S = {0} 7 1 7 1 x − = 0 → x = → x = = = 4 12 4 12 7 84 21 10) S = {− 2, 2} 4 3 − 10 , 3 + 10 11) S = 12 2 2 11 36 18 2 12 2 12 x − = 0 → x = → x = = = 3 11 3 11 2 22 11 12) S = { } 3 13) S = { }
= , 11
S
18
17) S =
21 1
394
x2 edad de padre x2 + 24 = 2(x + 24) Respuesta: El padre 60 años El hijo 30 años
PÁGINA 291 3. x es el número 3x + x2 = 88 Respuesta: El número es 8 4. x es el número x2 – 2x = 10 + 7x Respuesta: El número es 10 5. x primer número 32 – x segundo número x(32 – x) = 255 Respuesta: los números son 15 y 17 6. Por el Teorema de Pitágoras se tiene (x + 3)2 + (x – 4)2 = (2x – 5)2 El valor de x = 18 Respuesta: El área total es de 147. El perímetro total es de 66.
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Número de lados n(n − 3) 2 n(n − 3) 54 = 2 2 108 = n − 3n
3. x es el número que buscamos.
D =
(n – 12) (n + 9)
Hay dos soluciones. El número puede ser 12, o bien, – 3; pero un número natural es 12.
n = 12, n = – 9
4.
Resp./ El polígono es de 12 lados. 8. Suma de los números consecutivos n(n + 1) 2 n(n + 1) 1275 = 2 S=
2550 = n 2 + n
(n − 50 )(n + 51) = 0 Re sp ue s ta : 50
9. x es el número
La altura mide 6 cm y la base 8 cm.
x2 + 3x = 40 Respuesta: El número es 5 10. x, x+ 1 son los números
PÁGINA 293 5.
x(x+1) = 210 Respuesta: Los números son 14 y 15.
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 292 Parte A
1. x es el número buscado
El número puede ser 13 ó – 10. Hay dos soluciones
Los catetos miden 7 cm y 11 cm respectivamente.
2. Los numeros son x y x + 1.
Son 8 y 9, o bien, –9 y – 8. Hay dos soluciones.
395
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA FUNCIÓN CUADRÁTICA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 299 1. Respuesta: f(x)= 2(x - 2)2 – 3
6.
d)
y
2
3 33 2. Respuesta: y = − x + + 2 4 3. Considere las anteriores. Libre para discusión 4. a) y = −(x − 3)2 + 1 y = −(x − 2)(x − 4) 2 b) y = (x + 2) − 4 y = x(x + 4) 2 y = −(x + 1)(x − 1) c ) y = − x + 1
1 0
x
1
2.
a) y
2
El lado del cuadrado mide 7 cm. 7.
d)
y = 2x2 + x − 12
1 25 y = 2 x + −
e)
y = −2x + 16x − 24
y = −2(x − 2)(x − 6)
2
2
2
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 304
1
1.
0
a)
y
b)
1
x
y
1 1 0
1
0
x
x
1
La altura mide 7 cm, y la base, 12 cm. 8.
x(50 − x) = 600 → x = 30; x = 20
b)
y
c)
y 1 0
x
1
1 0
1 x
El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho.
PÁGINA 294
c)
y
d)
y
Parte B.
Libre para discusión 1 0
1 1
396
x
0
1 x
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Libre para discusión
Y el número de familias que corresponde a f(n) es 40 miles de familias, esto es 40 000 familias.
2. Libre para discusión 3.
f(x) = 2x
12.
Respuestas:
y 8 7 6
5.
5 4
f(n) =
3
−100 = (−50)2 = 2500 2 −1 2 −1 f(n) = (p − 100p + 2500) − 50 2500 + 20 50 −1 f(n) = (p − 50)2 + 70 → (−h, k) = (50, 70)
f(n) =
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -3
−1 50 −1 50
a) 10ºC p + 2p + 20
b) 12 hs
(p − 100p) + 20
c) 9,1 ºC
2
2
2
2 1 1 2 3 4 5 x g(x) = 2x - 3
b, c y d son para el estudiante. (Puede utilizar el software libre geogebra) 4. Libre para discusión (Puede utilizar el software libre geogebra)
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 308 1. A 2. B 3. B 4. 10 n(12 − n) 9 120 10 2 f(n) = n− n 9 9 −10 f(n) = (−12n + n2 ) 9 −10 2 f(n) = (n − 12n) 9 2 -12 = (−6)2 = 36 2 −10 2 −10 f(n) = n − 12n + 36) − 36 ( 9 9 −10 2 f(n) = n − 6) + 40 → (−h, k) = (6, 40 ) ( 9 f(n) =
50
Esto nos permite concluir que el por centaje máximo de porteína es de 50%. Y el peso máximo que ganará f(p) es 70 gramos. 2
f( t) = −3 t −
13.
Respuestas. a) 5 m b) 10 m c) 3,75 m
ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ESTADÍSTICA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 317
6. Respuesta a: 13 1875 + 2 4
A mediados de junio Respuesta b: 468,75% 7. Respuesta a: 259 personas Respuesta b: 20 días Respuesta c: 40 días (simétrico) 8. Respuesta a: y = –1(x – 3)2 + 21. Iguale a cero y factorice. Desde que toma impulso dura 1,58 segundos, vuelve a sumergirse a los 7,58 segundos Respuesta b: 6 segundos 9. Respuesta:
1.
A. discretos B. continuos C. continuos D. discretos E. continuos F. continuos G. discretos 2.
A. discretos B. discretos C. continuos D. continuos
Valor
E. discretos
17500 15000 12500 (100, 10000) 10000
5000
0
PÁGINA 318 3.
7500
a) Muestra
2500
Esto nos permite concluir que: el máximo sí alcanza una los 6 meses.
10. Respuesta: Libre 11. Respuesta: Libre
PÁGINA 309
a)
PÁGINA 310
25
50
75 100
397
Personas
b) Muestra
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4.
5. Libre para discusión
a) cuantitativa continua
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 344
b) cualitativa
1. a) b) c) d) e)
c) cuantitativa discretas d) cuantitativa continua 5.
a) cualitativas b) cualitativas c) cuantitivas continuas d) cuantitivas continuas
3. Seleccionar c)
e) cuantitativa discretas f)
cuantitativa discretas
4.
h) cuantitativa continuas
b) Ordenamos los datos en orden creciente
1. Libre para discusión.
49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58
2. Ordenamos en forma creciente la tabla de datos. 20 22 23 23 26
26 27 28 28 29
30 33 35 35 36
42 44 45 45 45
47 49 54 58 61
61 63 63 67 67
71 73 80 83 84
86 87 87 88 88
91 91 94 95 97
Construimos la tabla de frecuencias con 9 clases
Intervalos 8 – 18 18 – 28 28 – 38 38 – 48 48 – 58 58 – 68 68 – 78 78 – 88 88 – 98 Total
Frecuencias Marcas absolutas de clase 4 8 8 6 2 7 2 6 7 50
N ó ) I s C a A r o R h U ( D
a) Tamaño de la población 30
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 158
8 10 12 15 19
PÁGINA 345 f) 56 obreros g) 2% 2. 1.
PÁGINA 335
g) cuantitativa discretas
13 23 33 43 53 63 73 83 93
150 obreros 36 obreros 52 obreros 0 obreros 34 obreros
59 59 60 60 61 61 63 63 63 64 65 65 66 66 68 69 69 72
Intervalos Frecuencias Marcas de clase 48,5 – 52,5 50,5 2 52,5 – 56,5 54,5 6 56,5 – 60,5 58,5 8 60,5 – 64,5 62,5 6 64,5 – 68,5 66,5 5 68,5 – 72,5 70,5 3 Total 30 c) El polígono de frecuencias
300 – 400 400 - 500 500 – 600 600 – 700 700 – 800 800 - 900 900 - 1000 1000 - 1100 1100 – 1200 Total A. 800 B. 1000 C. 950 D. 1200 E. 100 F. 76 G. 0,155
E D S O R ’ E D C M ú N
s a s i c a n i v e t u l a c e e r r F
14 46 58 76 68 62 48 22 6 400
0,035 0,115 0,145 0,190 0,170 0,155 0,120 0,055 0,015 1,000
e d s e a s a c r l a c M
350 450 550 650 750 850 950 1050 1150
3.
Tiempo de Nº de espera clientes (en minutos) 10 14 8 14 18 20 18 22 32 22 26 40 26 30 24 30 34 16 Total 140
Construimos el histograma de frecuencias de la tabla anterior.
398
hi (%) 5,71 14,29 22,86 28,57 17,14 11,43 100
Mc 12 16 20 24 28 32
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA 9.
PÁGINA 346 4.
13.
Nc
s e t e n d e . n o º N p m o c
e N d ó I s ) e s C l a A i r o R m h U n e D (
s s e a l i c a u ) n t e n % u e ( c c r e r o F p
8 24 44 28 16 Total 120 5. Ordenamos los datos 10 15 20 25 30
6,67 20,00 36,67 23,33 13,33 100
15 20 25 30 35
5
7
8
9
12
12
14
14
15
16
16
16
17
17
18
18
18
19
19
20
21
22
23
24
24
25
25
25
26
26
26
26
28
28
29
31
32
32
32
34
35
35
36
36
36
40
42
42
45
46
Ls fi hi Mc 2,1 24 0,160 1,05 4,1 37 0,25 3,10 6,1 35 0,234 5,10 8,1 20 0,134 7,10 10,1 8 0,05 9,10 12,1 16 0,11 11,10 14,0 10 0,067 13,05 Total 150 1,00 a) 61 personas 1 2 3 4 5 6 7
i f
l a u t n ) e c r % ( o p r F
s e a s a c r l a c e M d
15,5 – 17,0 16,25
5 23,80
17,0 – 18,5 17,75
2
18,5 – 20,0 19,25
6 28,60
b) 26 personas
20,0 – 21,5 20,75
2
10.
21,5 – 23,0 22,25
3 14,30
Intervalos 42,5 – 47,5 47,5 – 52,5 52,5 – 57,5 57,5 – 62,5 62,5 – 67,5 67,5 - 72,5 72,5 - 77,5 77,5 – 82,50 Total
4
8
12 – 21
16
32
16,5
21 – 30
15
30
25,5
30 – 39
10
20
34,5
39 – 48
5
10
43,5
Total
50
100
6.
a) Valor del extremo inferior 40,50 b) Valor del extremo superior 59,20 7. Libre para discusión
PÁGINA 347 8.
a) Rango: 77,20 - 21,20 = 56 b) Límite superior del sexto intervalo: 69,21
14 – 15,5
a a l i i a c a c e u n t n a t d e e u v n a e u l u i e c o c t c r s c a r ) s e l a l a e r b r e o % M c F a F r p (
3 14,30
Total
Frecuencias 2 3 8 11 12 9 4 1 30
Intervalos 120 – 127 127 – 134 134 – 141 141 – 148 148 – 155 155 – 162 Total
fi 4 7 14 13 8 4 50
21
9,50 9,50 100
14. n ó i ) c s a a r r o u h D (
hi 0,080 0,140 0,280 0,260 0,160 0,080 1,000
s o o r b e u t m ú e i N d f
300 – 400
14
400 – 500
46
500 – 600
58
) i h % (
c M
3,5
350
11,5
450
14,5
550
600 – 700
76 119,0
650
700 – 800
68
17,0
750
800 – 900
62
15,5
850
900 – 1000
48
12,0
950
1000 – 1100
22
5,5
1050
1100 – 1200
6
1,5
1150
Total
400
100
11.
7,5
3- 12
a r u s t o a r d s s e a u o i p r g d s m n a l e e r e T ( g C
14,75
Construimos la tabla de frecuencias con los 5 intervalos de clase s o l a v r e t n I
Lm 0,0 2,1 4,1 6,1 8,1 10,1 12,1
a) límite superior de la quinta clase 800
12.
b) límite inferior de la octava clase 1000
a)
c) Marca de la clase de la sétima clase 950
Ni
Li
Ls
1 2 3 4 5 Total
10 14 18 22 26
14 18 22 26 30
fi
hi(%) 5 13,89 2 5,55 10 27,78 7 19,00 12 34,00 36 1,000
b) Rango: 30 – 10 = 20
399
Mc 12 16 20 24 28
d) tamaño del intervalo 100 e) frecuencia de la cuarta clase 76 tubos f)
frecuencia relativa de la sexta clase 15,5
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA a)
15. ) o i o r t l e u e d s n d s e i m o l e n j o r i l u l m a o F ( g p
a i c n e u c e r F
1001 – 1051
7
1051 - 1101
21
0,086
1101 – 1151
32
0,130
1151 - 1201
49
0,199
1201 - 1251
58
0,236
1251 – 1301
41
0,167
1301 - 1351
27
0,110
1351 – 1401
11
Total
246
b)
Intervalos 1,8 – 15,8 15,8 – 29,8 29,8- 43,8 43,8 – 57,8 57,8 – 71,8 71,8 – 85,8 85,8 – 100,1 Total
a i c s n a e v u i c t a e r l F e r
0,028
fi
6 4 12 7 7 5 4 45
b)
0,044 1,00
16. e d o l a v r e e s t a n l I c
e d a e c r s a l a M c
a i c n e e s a u l c c e r e F d
a v i a i t a c l n e e r u e c s e a r e l F d c
1,50 – 2,12 1,81
1
0,0476
2,12 – 2,74 2,43
2
0,0952
2,74 – 3,36 3,05
5
0,2380
3,36 – 3,98 3,67
8
0,3809
3,98 – 4,60 4,29
3
0,1428
4,60 – 5,22 4,91
2
0,0952
Totales
PÁGINA 350 3.
a)
4.
21 1,0000
PÁGINA 349 17. Libre
TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. a) 105 b) 32 2.
a i c n e f i u c e r F
30 – 40
35
6
0,03
40 – 50
45
18
0,09
50- 60
55
76
0,38
60 – 70
65
70
0,35
70 – 80
75
22
0,11
80 – 90
85
8
0,04
200
1,00
Totales
400
s a s i c a n i v e t u l a c e e r r F
e d e a s c a r l a c M
s o l a v r e t n I
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA Se observa que el tiempo máximo co rresponde al intervalo 3,42 – 3,62, por parte de 24 unidades de autobuses b) El tiempo máximo de los 35 datos de la muestra lo indica la marca de clase del intervalo 3,42 – 3,62 con un tiempo de 3 horas con 52 minutos. 6.
1)
Intervalos 3,02 – 3,22 3,22 – 3,42 3,42 – 3,62 3,62 – 3,82 3,82 – 4,02 4,02 – 4,22 4,22 – 4,42 Total 2)
fi
1 4 22 7 0 0 1 35
Mc 3,12 3,32 3,52 3,72 3,92 4,12 4,32
PÁGINA 352 9.
a i c n e u c e r F
o l a v r e t n I
5.
4, 25 = 13, 71% 31 c) incrementar el riego en estos meses de verano.
1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales
e d e a s c a r l a c M
6 10 4 2 1 23
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
a i c a n i v e t u l a c e e r r F
0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000
a) Las mayores precipitaciones se dieron en los años 2000 y 2001, 2003 y 2004. b) El promedio de precipitación anual en los 10 años es 175 + 150 + 225 + 225 + 175 + 225 + 225 + 125 + 100 + 150 10
c)
Intervalos 1998 – 1999 1999 – 2000 2000 – 2001 2001 – 2002 2002 – 2003 2003 – 2004 2004 – 2005 2005 – 2006 2006 – 2007 2007 – 2008 Total
PÁGINA 351 6. a i c n e u c e r F
o l a v r e t n I
1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales 7.
6 10 4 2 1 23
e d e a s c a r l a c M
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
a i c a n i v e t u l a c e e r r F
0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000
175 150 225 225 175 225 225 125 100 150 1775
10.
a) abril b) 3 nacimientos
Frecuencia Marca Intervalo relativa de clase porcentual 9,6 – 15,6 15,6 – 21,6 21,6 – 27,6 27,6 – 33,6 33,6 – 39,6 Total 8.
fi
12,6 18,6 24,6 30,6 36,6
10 15 25 10 25 100
a) julio, agosto, setiembre, noviembre b) 1,5 + 1,25 + 1,5 = 4,25 toneladas de enero, febrero y marzo
401
c)
Intervalo Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Total
fi 6 14 7 5 3 4 8 5 52
hi 0,115 0,270 0,135 0,096 0,058 0,077 0,154 0,096 1,000
= 177, 50 cm
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 353
PÁGINA 354
PÁGINA 355
11. Libre para discusión
14. Libre para discusión
16.
12.
15.
a)
Intervalos 4,32 – 22,32 22,32 – 40,32 40,32 – 58,32 58,32 – 76,32 76,32 – 94,43 Total
fi 6 2 2 4 4 18
Mc 13,32 31,32 49,32 67,32 85,37
Intervalos 0,16 – 2,16 2,16 – 4,16 4,16 – 6,16 6,16 – 8,16 8,16 – 10,16 Totales
fi
13 6 2 1 3 25
hi 0,52 0 ,24 0 ,08 0 ,04 0,120 1,000
Mc 1,16 3,16 5,16 7,16 9,16
Intervalos 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Total
fi
hi (%)
6 20 9 30 8 26,6 5 16,6 6,6 2 30 100
b)
a)
17.
a) y b)
Intervalos
fi
Frecuencias porcentuales
3–5 5–7 7–9 9 – 11 Totales
5 14 21 10 50
10 28 42 20 100
b)
c)
d) Respuesta libre para discusión 18.
a) variable de estudio: niveles de calcio en pacientes renales. 13. Libre para discusión.
Tipo de variable: continua Escala de medición: intervalos
402
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
b) y c)
Intervalos
fi
hi
Mc
PROBABILIDAD
72 – 76
3 0,060
74
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 360
76 – 80
1 0,020
78
80 – 84
9 0,183
82
De a hasta la h para discusión de los estudiantes.
84 – 88
7 0,142
86
88 – 92
7 0,142
90
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 364
92 – 96
2 0,040
94
1. Solución:
96 – 100
10 0,204
98
100 – 104
7 0,142
102
104 – 108
2 0,040
106
108 – 112
1 0,020
110
Totales
49 1,000
d)
N = 16 684 es el número de personas entrevistadas. Sea el evento A: “elegir una persona que halla sufrido una enfermedad o accidente”, n(A) = 4 955. (Total de personas que sufrieron alguna enfermedad o accidente en la muestra). n(A) 4955 = = 0,297 P(A) = n(S) 16 684
La probabilidad de elegir una persona que haya sufrido alguna en fermedad o accidente es de 0,297.
Cálculo del porcentaje de probabilidad de la bolincha que buscamos. En este caso buscamos una bolin cha cuya probabilidad frecuencial de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir:
20% - 2% = 18% Hay que encontrar la bolincha que tiene un porcentaje de probabilidad frecuencial del 18% de salir en este experimento. Calculemos la cantidad total de veces que se repitió el experimento:
132 + 108 + 120 + 126 + 114 = 600 El experimento se repitió en total 600 veces.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color verde en este experimento: 132 = 0,22 600
PÁGINA 365 2. La probabilidad de una cara es 532
= 0,632 y de escudo es 368 . 1000 1000 3. Libre para discusión 4. Libre para discusión 5. Solución
La probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 0,22.
0,22 x 100 = 22% El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 22%.
Cálculo de la probabilidad teórica de que salga una bolincha de cada color.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color rojo en este experimento:
En este caso hay la misma cantidad de bolinchas de cada color por lo que la probabilidad teórica es igual para todas las bolinchas.
108 = 0,18 600
En este caso el espacio muestral es de 5 bolinchas y hay 1 bolincha de cada color. 1 = 0,20 5
e) Esta al nal de la pregunta.
El porcentaje de probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20 x 100 = 20%
La probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20.
403
La probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 0,18.
0,18 x 100 = 18% El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 18%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color anaranjado en este experimento:
RESPUESTAS Matemática - EL MAESTRO EN CASA
120 = 0,21 600
La probabilidad de sacar una bolin bolin-cha de color anaranjado es de 0,20.
0,20 x 100 = 20% El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color anaranjado es de 20%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color amarillo en este experimento: 126 = 0,21 600
La probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 0,21. 0,21 x 100 = 21% El porciento de probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 21%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color azul en este experimento: 114 = 0,19 600
La probabilidad de sacar una bolincha de color azul es de 0,19.
0,19 x 100 = 19% El porciento de probabilidad de sacar una pelota de color azul es de 19%. Respuesta: La bolincha de color rojo 6. Libre para discusión 7. Libre para discusión
404
PROGRAMA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
programa matemática zapandí (9º año) NÚMEROS CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Números reales Números irracionales Concepto de número real Representaciones Comparación Relaciones de orden Recta numérica
1. 2. 3. 4.
Cálculos y estimaciones Suma Resta Multiplicación División Potencias Radicales
8. Estimar el valor de la raíz de un número entero. 9. Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros consecutivos. 10. Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.
Cantidades muy grandes y muy pequeñas
11. Utilizar los prejos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas. 12. Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucren las unidades.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Identicar números irracionales en diversos contextos. Identicar números con expansión decimal innita no periódica. Realizar aproximaciones decimales de números irracionales. Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares. 5. Comparar y ordenar números irracionales representados en notación decimal y radical. 6. Identicar números reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos. 7. Representar números reles en la recta numérica, en aproximaciones apropiadas.
t
t
t
GEOMETRÍA Triángulos Teorema de Pitágoras Trigonometría Radianes Seno Coseno Tangente Razones trigonométricas de ángulos complementarios Ángulos de elevación y depresión Ley de senos t
t
t
t
t
t
t
1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos. 2. Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras. 3. Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa. 4. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos. 5. Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno. 6. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios. 7. Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos. 8. Aplicar que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1. 9. Aplicar la ley de senos en diversos contextos. 10. Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión. 11. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.
405
PROGRAMA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Geometría del espacio Pirámide recta Apotema Prisma recto Área lateral Área total
12. Identicar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero. 13. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. 14. Calcular el área lateral y el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
t
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t
Relaciones y álgebra Funciones Función cuadrática
1. Identicar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c. 2. Representar tabular, algebraica y grácamente una función cuadrática.
Expresiones algebraicas Factorización División de polinomios Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalización.
3. 4. 5. 6. 7.
Ecuaciones Ecuaciones de segundo grado con una incógnita - Raíces - Discriminante
8. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 9. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Funciones Función cuadrática
10. Trazar la gráca de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax 2 + bx + c. 11. Analizar la inuencia de los parámetros a, b, c en la gráca de y = ax 2 + bx + c, utilizando software. 12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.
t
t
t
t
Factorizar y simplicar expresiones algebraicas. Expresar x2 + px + q como (x + h) 2 + k. Efectuar división de polinomios. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.
t
t
t
Estadística y probabilidad ESTADÍSTICA Variables cuantitativas Discretas Continuas
1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas.
Distribuciones de frecuencia Clases o intervalos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa y porcentual Representación tabular
3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos.
t
2. Clasicar variables cuantitativas en discretas o continuas.
t
t
t
t
t
4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos.
406
PROGRAMA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Representación gráca
t
Histogramas
3 3
Polígonos de frecuencia
6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones grácas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones grácas.
PROBABILIDAD Muestras aleatorias
1. Identicar la importancia del azar en los proesos de muestreo estadístico.
Probabilidad frecuencial Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico) Introducción a la ley de los grandes números
2. Identicar eventos para los cuales suprobabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.
t
3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es innito o indeterminado.
t
4. Identicar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identicación frecuencial. 5. Identicar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estu diantil.
407
