Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática.
Questão 01 Um tabuleiro possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível colocar 4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e em cada coluna, seja colocada apenas uma peça? a) 4096
b) 576
c) 256
d) 64
e) 16
Resolução: A primeira peça tem 16 possibilidades de colocação. Como a segunda peça não pode estar nem na mesma linha nem na mesma coluna do primeiro, restam 9 possibilidades. Exemplo: Se a posição do primeiro for na 2ª linha e 3ª coluna, eliminam-se esta posições para o segundo. O terceiro restam 4 posições, e o ultimo só terá uma possibilidade de Escolha. 16 . 9 . 4 . 1 = 576
Resposta: B
Questão 02 Em um grupo de três crianças de idades diferentes foi notado que a soma das duas idades menores menos a maior é igual a 2 anos e que a menor idade mais o dobro da maior é igual a 28 anos. As idades são números inteiros positivos. Dentre todas as possibilidades existe uma em que a soma das idades das crianças é a maior possível, observando-se observando-se sempre o fato de as crianças terem idades diferentes. Essa soma, em anos, é: a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
Resolução: x = y − z = 2 y + 2. z = 28 x + y + z = máximo
x, y → Idades menores; z → Maior idade
X + y + z = 2 z + z = 2 + 2z = 2 + 28 – y) Queremos maximizar maximizar 2 + (28 – y) Pelo fato de y + z . 2 = 28, podemos concluir portanto que u e z são números pares. Portanto o menor valor que y pode assumir é 2. Se y = 2 → x + 2 – z = 2 → x = z (absurdo) O máximo valor de y a verificar é 4. Se y = 4 → z = 12 e x = 10 Logo x + y + z = 26,
Resposta: D
Questão 03 Um comerciante aumenta o preço inicial (PI) de um produto em x% e, em seguida, resolve uma promoção, dando um desconto, também de x%, sobre o novo preço. Nessas condições, a única afirmativa correta, dentre as apresentadas abaixo, em relação ao preço final (PF) do produto é: a) o PF é impossível de ser relacionado com o prelo inicial. b) o PF é igual ao preço inicial. 10−2 2 .x 2 d) PF = PI . 10 -4 . x2 e) PF = PI(1 – 10-4 . x2) c) PF = PI .
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. Resolução: Como o preço inicial PI sofreu, inicialmente, um aumento de x%, temos que o preço após o aumento é dado por PI x 1 + 100
1 + x sofreu um desconto de x%, temos que o preço após o desconto é 100 x x x2 x2 = PI − PI = PI (1 − x2.10− 4 ) 1 − = PI 1 − PI 1 + 100 100 10000 10000
Agora, esse preço PI
Assim, PF = PI (1 – x2.10-4)
Resposta: E
Questão 04 A fim de incentivar o gosto pela corrida, a seção de treinamento Físico Militar da EsPCEx criou prêmios com base numa pontuação mensal que estabelece: . 3 pontos para cada 3 000 m corridos (até 45 000 m corridos); . após 45 000 m, cada 3 000 m corridos vale 5 pontos. Se num mês um determinado aluno fez 100 pontos, então, nesse mês, ele correu: a) 96 Km b) 86 Km c) 80 Km d) 78 Km e) 76 Km
Resolução: 4500 .3 = 45 pontos 3000 Como ele fez 100 pontos, faltam 55 pontos que foram conseguidos analisando a pontuação correspondente a mais de 55 4500m percorridos. Como cada 3000m vale 5 pontos e ele ganhou 55 pontos, ele percorreu 5.3000m = 33000m Logo, o aluno correu 4500m + 3300m, ou seja, 78 km.
Um aluno que percorre 4500m ganha
Resposta: D
Questão 05 Em uma cabine de um estádio de futebol, um computador registra todos os lances de uma partida. Em desses lances, Zaqueu cobrou uma falta, fazendo a bola descrever um arco de parábola contido num plano vertical, parábola esta simétrica ao seu eixo, o qual também era vertical. A bola caiu no chão exatamente a 30 m de Zaqueu. Durante o trajeto, a bola passou raspando a cabeça do juiz. O juiz, qual não interferiu na trajetória da bola, tinha, 1,76 m de altura e estava ereto, a 8 m de distância de onde saiu o chute. Desse modo, a altura máxima, em metros, atingida pela bola foi de: a) 2,25 m d) 9,21 m
Resolução:
y = a (x-0) (x-30) y = ax (x-30) 1,76 = a.8(8-30)
b) 4,13 m e) 15,92 m
c) 6,37 m
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. 1,76 = -
16.11 = 8a(−2) 100
22 = −22a 100
a=
y=
−1 100
−1
x (x-30)
100
Como xv =
Yv =
−1 100
x 1 + x2 2
= 15, yu é dado por :
.15.(15 − 30) =
−1 100
.15.(−15) =
225 = 2,25m 100
Resposta: C
Questão 06 Um triângulo tem o lado maior medindo 1 m e dois de seus ângulos são 27° e 63°. O valor aproximado para o perímetro desse triângulo, dados 2 = 1,4 1,4 e cos 18° = 0,95, é de: de: a) 1,45 m b) 2,33 m c) 2,47 m d) 3,35 m d) 3,45 m
Resolução:
2P = 1 + Sen 27° = cos 27° 2P = 1 + Sen (45° - 18°) + cos (45° - 18°) 2 2 2 2 cos 18° Sen 18° + cos 18° + Sen 18° 2 2 2 2 2P = 1 + 2 cos 18° → 2P = 1 + 1,4 . 0,95 2P = 2,33
2P = 1 +
Resposta: B
Questão 07 A probabilidade de ocorrer um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis: Número de resultados favoráveis Número de resultados possíveis 1 1 a) b) 4060 812 1 1 d) e) 203 10 P( A ) =
c)
1 406
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. Resolução: 30! 30x29x28x27x26 = 25!5! 5! Resultados favoráveis cx1 cx2 Resultados possíveis: C 530 =
Cx1 ⇒ contém os 3 números sorteados Cx 2 ⇒ contém os dois números errados Cx 1 ⇒ possibilidade 27! 27x26 2 Cx2 = C 27 = = 25!2! 2 27x26 27x26 5x4x3x2 1 2 P(A) = x = = 30x29x28x27x26 2 30x29x28x27x26 2x29x7 5x4x3x2
P(A) =
1 406
Resposta: C
Questão 08 Este ano, duas empresas patrocinarão a premiação, em dinheiro, dos alunos de uma escola pelo destaque no critério “Melhor rendimento escolar”. A empresa Alfa doará um montante de R$9600,00 e a empresa Bravo de R$ 7 800,00. Cada aluno deve receber como prêmio um cheque de somente uma das empresas e todos os cheques devem ter o mesmo valor. Se todo esse montante for distribuído, o número mínimo de alunos que poderá ser contemplado nessa premiação é de: a) 25 b) 29 c) 30 d) 32 e) 40
Resolução: Como todos os cheques devem ter o mesmo valor, o número mínimo de alunos cada cheque for o maior possível, sabendo que R$ 9.600,00 e R$ 7.800,00 mesmo valor. Assim, temos: mdc (9600,7800)=600. Logo, o valor de cada cheque será de R$ 600,00 e, assim, como o valor doado como esse montante será dividido em cheques de R$ 600,00, o número contemplado nessa premiação é 29 alunos, pois 17400/600 = 29.
contemplados será quando o valor de devem ser divididos em cheques de pela duas empresas é R$ 17400,00 e mínimo de alunos que poderá ser
Resposta: B
Questão 09 Um tonel, em forma de cilindro circular reto, tem 60 cm de altura. Uma miniatura desse tonel tem 20 cm de altura e raio diretamente proporcional à altura. Se a miniatura tem 100 mL de volume, então o volume do tonel original é de: a) 30 L b) 27 L c) 2,7 L d) 3 L e) 300 mL
Resolução: 2
2
r 1
20 cm
60 cm
π.
=
r1 9
0,05.9
π
2
= 0,05
r2 r1
(π.r22 ).2 = 0,1
Volume do túnel 1 = 0,45 .6 = 2,7L π.
π
2
r π. 1 .2 = 0,1 3
Resposta: C
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática.
Questão 10 Conforme a figura, a 60 metros do chão o helicóptero H avista, sob um ângulo α, dois alvos, B e C, que serão logo abatidos.
Se AB = 40 m e BC = 260 m, então α mede a) 15° b) 30° c) 45°
d) 60°
e) 75°
Resolução:
tg x =
40 2 ∴ tx = 60 3
tg (x+x)=
300 ∴ tg(x + x) = 5 60
Usando a transformação tg (x+x) =
tgx + tgx 1 − tgx.tgx
2 3 ⇒ 5 − 5tg. 2 = 2 + tgα Então 5 = 2 3 3 1 − tgx 3 tgx +
tgx +
10tgx 2 = 5 − ⇒ 3tgx + 10tgx = 13 3 3
13tgx = 13 ⇒ tgx=1 ∴ x = 45º
Resposta: C
Questão 11 Os ângulos agudos α e β pertencem aos triângulos retângulos abaixo.
α
β
Se o seno de β é o dobro do seno de, α, então o ângulo α pertence ao intervalo: a) ]0°,45°[ b) [45°, 60°] c) ]30°, 45°[ d) ]0°, 60°[ e) ]0°, 30°[
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. Resolução: Sabendo que α e β são ângulos agudos. Escreve-se: 1 Se α = 30º ⇒ sen30º = 2 Então sen β = 1, logo β = 90º Como β <90 (ângulo agudo), nos conduz a escrever que α = 30º ou α ∈ ]0, 30º [
Resposta: E
Questão 12 No semestre passado houve, no curso de matemática, três provas, cada uma com um peso diferente do peso das demais. A tabela abaixo indica as notas e as médias de alguns alunos do curso. Provas Aluno Prova 1 Prova 2 Prova 3 Média Apolônio 8,0 5,0 7,0 7,0 Bolzano 5,0 5,0 7,0 6,0 Copérnico 4,0 4,0 4,0 4,0 Demócrito 5,5 1,0 10,0 ? Se a soma dos pesos é igual a 6, a média do aluno Demócrito é: a) 4,5 b) 5,0 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0
Resolução: Sejam x, y e z , respectivamente, os pesos das provas 1, 2 e 3 assim, analisando a tabela dada, temos: 8x + 5y + 7.z Apolônio: = 7 (i) x+y+z Bolzano:
5x + 5y + 7.z = 6 (ii) x+y+z
Copérnico:
4x + 4y + 4z 4x + 4y + 4z x+y+z x+y+z = 4:(4) ⇒ = 1⇒ 1 =1 x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z
Como a soma das pessoas é igual a 5, temos x + y +z = 6 (iii) e, assim, chegamos ao seguinte sistema; usando as equações(i), (ii) e (iii) x + y + z = 6 8x + 5y + 7z = 42(L ) 2
5x + 5y + 7z = 36(L ) 3
Fazendo L2 = 8L1 e L3 = -5L1 , temos: x + y + z = 6(Li ') x + y + z = 6(Li ') −3y − z = −6(L2 ') −3y − z = −6(L2 ')
2z = 6 ⇒ z = 3(L3 ') 2z = 6 ⇒ z = 3(L3 ')
Substituindo z= 3 em (L2’) encontramos -3y -3 = -6, ou seja, y= 1 Substituindo, agora , y=1 e z =3 em (L 1)’ encontramos x = 2 5, 5x 5x + 1y10z Queremos a média do aluno Demócrito. Ela é dada por x+y+z 5, 5x 5x + 1y10z 5, 5.2 + 1 + 10.3 5, 5.2 + 1 + 10.3 42 42 = = =7 x+y+z 6 6 6 6
Resposta: E
Questão 13 A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas? a) 80 b) 96 c) 240 d) 640 e) 1280
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. Resolução: Temos no banco de questões de matemática 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferência e 4 sobre retas. Queremos montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferência e 3 de retas. Com isso, queremos: 5! 4! 4! 5.4.3! 4.3.2! 4.3! = = 5.4.3.4 = 240 provas distintas. . . . . C5,3.C4,2.C4,3= 3!2! 2!2! 3!1! 3!.2 2!.2 3!
Resposta:
Questão 14 Temos as funções: f(x) = x + 1 g(x) x3 + ax2 + bx + c h(x) = g(f(x)). Considerando Considerando que as raízes de h(x) são {-1,; 0; 1}, determine h(-2). a) 0 b) -3 c) 4 d) 5 e) -6
Resolução: Sabemos que: f (x) = x + 1 g (x) = x3 + ax2+bx+c h (x) = g (f(x)). Temos: h(x) = g (f(x)) = (x + 1)3 + a (x + 1)2 + b (x+1) + c Como – 1,0 e 1 são raízes de h (x), então: h (-1) = 0 ⇒ (-1+1)3 + a (-1+1)2 + b (-1 + 1) + c = 0 ⇒ c = 0 h (0) = 0 ⇒ (0 + 1)3 + a (0 + 1)2 b (0 + 1) + c = 0 ⇒ 1 + a + b + c = 0 ⇒ a + b = -1 ⇒ ⇒ b = -a -1 (i) h (01) = 0 ⇒ (1 + 1)3 + a (1 + 1) 2 b (1 + 1) + c = 0 ⇒ 8 + 4ª + 2b + c = 0 ⇒ ⇒ 4ª + 2b = -8 : 2 ⇒ 2ª + b = -4 (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: 2ª – a – 1 = - 4 ⇒ a = -3 ⇒ b = 2 Logo, h(x) = (x+1)3 – 3 (x + 1)2 + 2 (x + 1) Queremos h (-2) h (-2) = (-2 + 1)3 – 3 (-2 + 1)2 + 2 (-2 + 1) h (-2) = -1 -3 – 2 = -6 Portanto, h (-2) = -6
Resposta: E
Questão 15 O valor da expressão a) 3
b) 4
Cos15° + Cos75° Sen15° + Sen75° + é igual a Sen15° Cos15° c) 5 d) 6 e) 7
Resolução: cos 15 + cos 7 75 5 o
A=
o
sen15
o
sen15 + sen75 o
+
o
cos15
o
cos 15 + cos 75 = 2 cos 45 . cos 30 = 2 o
o
o
o
sen15 + cos 75 75 = cos 75 75 . co cos 15 = o
o
o
o
6 2
cos 15 (cos 15 + cos 75 75 ) + sen15 (sen15 + sen75 ) o
=
2 3 6 . = 2 2 2
o
o
o
sen15 sen15 .cos15 o
o
o
o
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. 6 6 6 cos15 + sen15 (cos15 + sen15 ) 6(cos15 s15 + cos75 s75 ) 2 ⇒A= 2 = A= 2 sen15 co cos15 sen15 co cos15 2sen15 co cos15 o
o
o
o
o
o
o
6 2 = 6 .2 ⇒ A = 6 →(d) A = 1 2 2
6. A=
o
o
o
o
o
6 2 = 6 .2 ⇒ A = 6 →(d) 1 2 2
6.
Resposta: D
Questão 16 Dispondo de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento: . mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm 3 de volume; . mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm 3 de volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm 3. Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da água passou para 39 cm.
37 cm 7 cm
14 cm
Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de: a) 54 cm2 b) 42 cm2 c) 24 cm2 2 2 d) 150 cm e) 216 cm
Resolução:
Vc = 196 cm3 , onde VC é o volume de todos os cubos.a1 = 1 cm3 a2 = 3 cm3 a3 = 5 cm3 . . . an = 1 (x – 1) 2 an = 1 + 2n – 2 ... an = 2x – 1
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 Matemática. Então (1 + an)a Sn = 2 Sn
n + 2n2 − n 2
Sn = n2
Então: n2 = 196 n = 14 Com isso, an = 2n – 1 an = 28 - 1 ... na = 27 Temos que o ultimo cubo possui volume igual a 27 cm 3, então sua aresta e 3 cm. A área total do mesmo será at = 6 a 2 At = 6 . (3) 2 ... At = 54 cm 2.
Resposta: A
