Matematica Para Todos Os Concursos

Matemática para todos os Concursos Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos

John Taylor Paiva John Taylor Paiva

Professor, Matemático e Especialista em Educação, Consultor Imobiliário e Financeiro e Escritor. Escritor . • Professor, MATEMÁTICA, CÁLCULO, CÁLCULO, EDUCAÇÃO FINANCEIRA, FINANCEIRA, FÍSICA • Atua como PROFESSOR nas áreas de MATEMÁTICA, INFORMÁTICA , PROJETOS CULTURAIS e ARTES desde ARTES desde 1988 no desenvolvimento (Mecânica e Eletrônica), INFORMÁTICA, ESCOLAS do PIAUÍ, PIAUÍ, na cidade de PARNAÍBA CEARÁ, nas cidades de programas educacionais, e em várias ESCOLAS do de PARNAÍBA e e no CEARÁ, NORTE e FORTALEZA. de JUAZEIRO DO NORTE e

TRABALHOS DO AUTOR – 01. TAI – TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM INTEGRADA – Processo de ensino-aprendizagem  na FIGURATIVO fundamentado nas té cn i cas ca s de mem m emor or i zaç zação , refundidas para melhor compreensão, aplicação e versão FIGURATIVO fundamentado ARTÍSTICO fundamentado em mais rápida assimilação, na associação de imagens e histórias inusitadas e versão ARTÍSTICO r ecur sos ar tísticos sti cos , na associação de músicas, teatro e cordel em rima, prosa e verso; MATEMÁTICOS – BIZUZÃO  Dicas e táticas que facilitam a solução de problemas de – 02. ARTIFÍCIOS MATEMÁTICOS – Concursos e Vestibulares. – 03. - O SEGREDO DA EDUCAÇÃO PARA SAÚDE FINANCEIRA – Incrível Guia de Planejamento e Controle Financeiro  Fundamentos de Finanças que habilitam ao conhecimento do DNA Financeiro Financeiro Pessoal e Empresarial através do Poderoso Termômetro das Finanças P3 – P3 – Plano Plano de Planejamento Programado. – 04. MANUAL DO PODEROSO TERMÔMETRO DAS FINANÇAS P3 – Plano de Planejamento Programado  Conheça passo-a- passo P3” que mede, visualiza e monitora a atual passo essa poderosa ferramenta ”P3” Financeiro Pessoal e Empresarial e habilita a um melhor situação financeira possibilitando o conhecimento do DNA Financeiro Pessoal direcionamento na realização e ascensão pessoal e/ou profissional. – 05. LINGUA MATEMÁTICA – MATEMÁTICA – Uma Uma Forma Interessante e Útil de Ler o Mundo  O manual gerencial do dia-a-dia para adquirir habilidades especiais para a tomada de decisões conscientes no cotidiano através de teorias matemáticas com analogias à realidade, problemas curiosos e interessantes. Financeira , uma – 06. K-FUNÇÃO – Estratégias para Facilitar a Matemática Financeira, uma Estratégia Formular de Simplificação Financeira  Uma nova maneira de resolver operações comerciais e financeiras, usando uma única função matemática com apenas três variáveis e/ou 10 configurações que substitui todas as outras fórmulas usadas atualmente. NOTÁVEL – Os Os Sete Fundamentos para Aprender Matemática  A Cartilha do Cotidiano  – 07. TABUADA NOTÁVEL – Temas essenciais para o perfeito entendimento e desenvolvimento da matemática. matemática. – 08. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Básica (Aritmética e álgebra) essencial aplicada em concursos. Financeira essencial aplicada em – 09. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Financeira concursos. MILITARES – são q u estões estões – EPCAR – 10. – 10. QUESTÕES DE PROVAS RESOLVIDAS DE CONCURSOS MILITARES – são 162 qu – AFA – EEAr – ESA – ExPECex – CN – E A M – PM – CFO – (EXÉRCITO – (EXÉRCITO – MARINHA – MARINHA – AERONÁUTICA – AERONÁUTICA – PM) Coleção a FILOSOFIA ZEN  O Segredo Implícito na filosofia dos Sábios: Sábios : – 11. – 11. DIÁLOGO DAS MENTES  O Segredo que o segredo não revelou numa inédita e alucinante viagem à sede dos pensamentos. – 12. O DIÁLOGO SECRETO  Ensinando o segredo a Mente Visão. – 13. O DIÁLOGO DOS SÁBIOS  Os erros dos grandes filósofos. – 14. A BÍBLIA ENIGMÁTICA  Faz de conta, a brincadeira da imaginação com o sexteto mandamental que pode dar certo. – 15. A ARTE MATEMÁTICA DO SER  Princípios de precisão matemática para o cotidiano, o autoconhecimento para a verdadeira educação. – 16. AS FACETAS DOS TERRÁQUEOS  Engrisilhos e leriados para sintonia e harmonia Interpessoal. – 17. O LÍDER VIRTUAL  Ações para atuação gerencial em táticas simples e básicas. – 18. INFORMÁTICA GERENCIAL  Informática essencial para o gerenciamento pessoal e/ou profissional; O objetivo é dar uma visão geral sobre a informática (INFORmação autoMÁTICA), o computador atual e como tudo funciona, já que ter informação e saber o que fazer com ela é fundamental hoje em dia. IMÓVEIS – Fundamentos Básicos e Essenciais – 19. FERRAMENTAS PARA O CORRETOR DE IMÓVEIS – Cálculo de Escala, Área, Avaliação de Imóveis e Viabilidade Econômica e Financeira. – 20. MÉTODO ATOCAR  Princípios Básicos  para o aprendizado de violão em 10 aulas.

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John Taylor Paiva John Taylor Paiva

Professor, Matemático e Especialista em Educação, Consultor Imobiliário e Financeiro e Escritor. Escritor . • Professor, MATEMÁTICA, CÁLCULO, CÁLCULO, EDUCAÇÃO FINANCEIRA, FINANCEIRA, FÍSICA • Atua como PROFESSOR nas áreas de MATEMÁTICA, INFORMÁTICA , PROJETOS CULTURAIS e ARTES desde ARTES desde 1988 no desenvolvimento (Mecânica e Eletrônica), INFORMÁTICA, ESCOLAS do PIAUÍ, PIAUÍ, na cidade de PARNAÍBA CEARÁ, nas cidades de programas educacionais, e em várias ESCOLAS do de PARNAÍBA e e no CEARÁ, NORTE e FORTALEZA. de JUAZEIRO DO NORTE e

TRABALHOS DO AUTOR – 01. TAI – TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM INTEGRADA – Processo de ensino-aprendizagem  na FIGURATIVO fundamentado nas té cn i cas ca s de mem m emor or i zaç zação , refundidas para melhor compreensão, aplicação e versão FIGURATIVO fundamentado ARTÍSTICO fundamentado em mais rápida assimilação, na associação de imagens e histórias inusitadas e versão ARTÍSTICO r ecur sos ar tísticos sti cos , na associação de músicas, teatro e cordel em rima, prosa e verso; MATEMÁTICOS – BIZUZÃO  Dicas e táticas que facilitam a solução de problemas de – 02. ARTIFÍCIOS MATEMÁTICOS – Concursos e Vestibulares. – 03. - O SEGREDO DA EDUCAÇÃO PARA SAÚDE FINANCEIRA – Incrível Guia de Planejamento e Controle Financeiro  Fundamentos de Finanças que habilitam ao conhecimento do DNA Financeiro Financeiro Pessoal e Empresarial através do Poderoso Termômetro das Finanças P3 – P3 – Plano Plano de Planejamento Programado. – 04. MANUAL DO PODEROSO TERMÔMETRO DAS FINANÇAS P3 – Plano de Planejamento Programado  Conheça passo-a- passo P3” que mede, visualiza e monitora a atual passo essa poderosa ferramenta ”P3” Financeiro Pessoal e Empresarial e habilita a um melhor situação financeira possibilitando o conhecimento do DNA Financeiro Pessoal direcionamento na realização e ascensão pessoal e/ou profissional. – 05. LINGUA MATEMÁTICA – MATEMÁTICA – Uma Uma Forma Interessante e Útil de Ler o Mundo  O manual gerencial do dia-a-dia para adquirir habilidades especiais para a tomada de decisões conscientes no cotidiano através de teorias matemáticas com analogias à realidade, problemas curiosos e interessantes. Financeira , uma – 06. K-FUNÇÃO – Estratégias para Facilitar a Matemática Financeira, uma Estratégia Formular de Simplificação Financeira  Uma nova maneira de resolver operações comerciais e financeiras, usando uma única função matemática com apenas três variáveis e/ou 10 configurações que substitui todas as outras fórmulas usadas atualmente. NOTÁVEL – Os Os Sete Fundamentos para Aprender Matemática  A Cartilha do Cotidiano  – 07. TABUADA NOTÁVEL – Temas essenciais para o perfeito entendimento e desenvolvimento da matemática. matemática. – 08. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Básica (Aritmética e álgebra) essencial aplicada em concursos. Financeira essencial aplicada em – 09. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Financeira concursos. MILITARES – são q u estões estões – EPCAR – 10. – 10. QUESTÕES DE PROVAS RESOLVIDAS DE CONCURSOS MILITARES – são 162 qu – AFA – EEAr – ESA – ExPECex – CN – E A M – PM – CFO – (EXÉRCITO – (EXÉRCITO – MARINHA – MARINHA – AERONÁUTICA – AERONÁUTICA – PM) Coleção a FILOSOFIA ZEN  O Segredo Implícito na filosofia dos Sábios: Sábios : – 11. – 11. DIÁLOGO DAS MENTES  O Segredo que o segredo não revelou numa inédita e alucinante viagem à sede dos pensamentos. – 12. O DIÁLOGO SECRETO  Ensinando o segredo a Mente Visão. – 13. O DIÁLOGO DOS SÁBIOS  Os erros dos grandes filósofos. – 14. A BÍBLIA ENIGMÁTICA  Faz de conta, a brincadeira da imaginação com o sexteto mandamental que pode dar certo. – 15. A ARTE MATEMÁTICA DO SER  Princípios de precisão matemática para o cotidiano, o autoconhecimento para a verdadeira educação. – 16. AS FACETAS DOS TERRÁQUEOS  Engrisilhos e leriados para sintonia e harmonia Interpessoal. – 17. O LÍDER VIRTUAL  Ações para atuação gerencial em táticas simples e básicas. – 18. INFORMÁTICA GERENCIAL  Informática essencial para o gerenciamento pessoal e/ou profissional; O objetivo é dar uma visão geral sobre a informática (INFORmação autoMÁTICA), o computador atual e como tudo funciona, já que ter informação e saber o que fazer com ela é fundamental hoje em dia. IMÓVEIS – Fundamentos Básicos e Essenciais – 19. FERRAMENTAS PARA O CORRETOR DE IMÓVEIS – Cálculo de Escala, Área, Avaliação de Imóveis e Viabilidade Econômica e Financeira. – 20. MÉTODO ATOCAR  Princípios Básicos  para o aprendizado de violão em 10 aulas.

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MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos

AGRADECIMENTOS Ao Ser Supremo, o espírito criador e preservador do universo que fertilizou a inspiração com sua inteligência infinita, e possibilitou a intersecção para refundir experiências e transformar em técnicas para facilitar o processo de ensinoaprendizagem. A meus pais, esposa, filhos, irmãos, sobrinhos e cunhados que sempre estiveram do meu lado. A meus tios, primos e parentes que sempre que possível condescenderam condescenderam com meus ideais. A todos meus amigos pela força e incentivo. A todas as pessoas pelo apoio que viabilizou a edição deste livro. A todos os leitores que folhearem e queimarem as pestanas no intuito de pensar esse trabalho como uma ferramenta de estudo.

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John Taylor Paiva

Sumário

1. CONJUNTOS ................................................................ ............................................................................................. ............................. 9 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS .................................................. 10 1.2. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES............................... 16 16 2. OS NÚMEROS ............................................................... ......................................................................................... .......................... 22 2.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO .......................................................... 23 2.2. MÚLTIPLOS NÚMEROS NATURAIS ............................................ 27 27 2.3. DIVISORES NÚMEROS NATURAIS.............................................. 28 2.4. MÁXIMO DIVISOR COMUM – COMUM – MDC MDC ............................................ 32 2.5. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – COMUM – MMC MMC ......................................... 34 2.6. CRITÉRIOS de DIVISIBILIDADE ................................................... 39 39 2.7. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES............................... 45 45 3. POTENCIAÇÃO ...................................................................... ...................................................................................... ................ 48 3.1. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO .......................................... 50 4. RADICIAÇÃO ............................................................... ......................................................................................... .......................... 53 4.1. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO.............................................. 54 4.2. A RACIONALIZAÇÃO .................................................................... 58 4.3. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES............................... 61 61 5. NÚMEROS FRACIONÁRIOS OU FRAÇÃO......................................... 65 5.1. CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES ................................................. 66 66 5.2. PROPRIEDADE das FRAÇÕES ....................................................... 69 5.3. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ........................................................ 72 6. NÚMEROS DECIMAIS .......................................................................... 74 6.1. PROPRIEDADES dos NÚMEROS DECIMAIS ............................... 75 6.2. OPERAÇÕES com NÚMEROS DECIMAIS .................................... 76 6.3. DÍZIMA PERIÓDICA ou NUMERAIS PERIÓDICOS .................... 78 6.4. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES............................... 83 83 7. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................... 86 7.1. RAZÃO .................................................................. .............................................................................................. ............................ 86 7.2. APLICAÇÕES APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS RAZÕES ...................................... 89 89 8. PROPORÇÃO ................................................................ .......................................................................................... .......................... 93 8.1. TRANSFOR T RANSFORMAÇÕES MAÇÕES POSSIVEIS P OSSIVEIS NUMA PROPORÇÃO ............ 95 8.2. PROPRIEDADES das PROPORÇÕES ............................................. 96 8.3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO APLICAÇÃO ......................................................... 98 8.4. MÉDIAS........................................................................................... 102 8.5. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES............................. 106 10 6 9. PROPORCIONALIDADE - DIVISÃO PROPORCIONAL .................. 109 4


9.1. SUCESÃO de NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAL .. 109 9.2. SUCESSÃO NÚMEROS INVERSAMENTE INVERSAMENTE PROPORCIONAL .. 110 9.3. DIVISÃO em PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ...... 111 9.4. MÉTODO PRÁTICO – PRÁTICO – MP MP ........................................................... ............................................................... 111 9.5. DIVISÃO em PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS PROPORCIONAIS ... 113 9.6. DIVISÃO em PARTES DIRETAMENTE e INVERSAMENTE ROPORCIONAIS ..................................................................... ................................................................................... .............. 114 10. REGRA DE SOCIEDADE ................................................................ ................................................................... ... 118 11. REGRA DE TRÊS .................................................................. ................................................................................ .............. 121 11.1. GRANDEZAS GRANDEZAS DIRETAMENTE DI RETAMENTE PROPORCIONAIS .................. 121 11.2. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ............... 122 11.3. REGRA de TRÊS SIMPLES .......................................................... 124 11.4. MÉTODO CONVENCIONAL de RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MC........................................................................................................ MC........................................................................................................ 124 11.5. MÉTODO PRÁTICO de RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PROBLEMAS – MP124 MP124 11.6. REGRA de TRÊS COMPOSTA .................................................... 127 12. CÂMBIO .......................................................... .............................................................................................. .................................... 131 13. REGRA CONJUNTA ............................................................. ........................................................................... .............. 132 13.1. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES........................... 134 13 4 14. CÁLCULO LITERAL ............................................................ .......................................................................... .............. 138 14.1. EXPRESSÕES NUMÉRICAS ....................................................... 138 14.2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ALGÉBRICAS ou o u LITERAIS .............................. 138 13 8 14.3. CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ............ 139 14.4. POLINÔMIOS ............................................................................... 140 14.5. OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS de MONÔMIOS................................................................. ........................................................................................... .......................... 144 14.6. DISPOSITIVO PRATICO P RATICO DE BRIOT RUFFINI.......................... 147 14.7. TEOREMA DO RESTO ................................................................ 149 14.8. TEOREMA DE D’ALEMBERT .................................................... 149 14.9. RESOLUÇÃO de EXPRESSÃO MATEMÁTICA........................ 150 15 0 15. OS PRODUTOS P RODUTOS NOTÁVEIS ............................................................ ................................................................ 152 16. FATORAÇÃO ALGÉBRICA .............................................................. 155 16.1. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES........................... 159 15 9 17. EQUAÇÕES ................................................................ ......................................................................................... ......................... 163 17.1. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ........................................... 165 17.2. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES USANDO OS PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA ..................................................................... ................................................................................... .............. 168 16 8 5

John Taylor Paiva 17.3. EQUAÇÃO do 1.º GRAU a uma VARIÁVEL .............................. 169 17.4. MÉTODO PRÁTICO de RESOLUÇÃO de UMA EQUAÇÃO .... 171 17.5. EQUAÇÕES IDENTIDADES ....................................................... 172 17 2 17.6. EQUAÇÕES IMPOSSÍVEIS ......................................................... 173 17 3 17.7. EQUAÇÃO FRACIONARIA ........................................................ 173 17.8. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 175 17.9. DISCUSSÃO DA EQUAÇÃO DO 1.° GRAU .............................. 177 17.10. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................... 179 17.11. EQUAÇÃO LITERAL ............................................................... ................................................................... 179 17.12. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................... 180 18. PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU ............................................... 182 18.1. RESOLUÇÃO de PROBLEMAS do 1.º GRAU a uma VARIÁVEL ................................................................................................................. ................................................................ ................................................. 183 19. O PLANO CARTESIANO ................................................................ ................................................................... ... 187 19.1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA de PAR P AR ORDENADO ............... 189 20. EQUAÇÃO DO 1.º GRAU A DUAS VARIÁVEIS ............................ 191 20.1. GRÁFICO de uma EQUAÇÃO de 1º GRAU a DUAS VARIÁVEIS ................................................................................................................. ................................................................ ................................................. 192 21. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1.º GRAU ...................................... 193 21.1. RESOLUÇÃO de SISTEMAS ....................................................... 193 19 3 21.2. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES........................... 196 19 6 22. EQUAÇÕES DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA ................................ 200 22.1. RAÍZES de uma EQUAÇÃO do 2º GRAU.................................... GRAU...................... .............. 201 22.2. CASOS A CONSIDERAR DE ACORDO COM O DISCRIMINANTE ................................................................... ................................................................................. .............. 205 22.3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 206 22.4. RELAÇÕES DE GIRARD ........................................................... ............................................................... 207 (RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES)................. 207 22.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 207 22.6. COMPOSIÇÃO de uma EQUAÇÃO do 2º GRAU, CONHECIDAS as RAÍZES .............................................................................................. 209 22.7. FORMA FATORADA ................................................................ ................................................................... ... 211 22.8. EQUAÇÃO BIQUADRADA ......................................................... 213 22.9. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES BIQUADRADAS........................... 213 21 3 22.10. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................... 213 22.11. EQUAÇÃO IRRACIONAL ......................................................... 215 22.12. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS ............................ 215 22.13. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................... 215 6


23. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU ....................................... 217 23.1. RESOLUÇÃO de SISTEMAS ....................................................... 217 24. PROBLEMAS DO 2º GRAU ............................................................... 220 24.1. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ........................... 225 25. INTRODUÇÃO A FUNÇÃO ............................................................... 228 25.1. O PLANO CARTESIANO............................................................. 228 25.2. PRODUTO CARTESIANO ........................................................... 229 25.3. NÚMERO DE ELEMENTOS DE A X B ...................................... 230 25.4. RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO .................................... 230 25.5. FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO ....................................... 231 25.6. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES E/OU FUNÇÕES............................................................................................... 232 25.7. EXEMPLO DE APLICAÇÃO PRATICA ..................................... 233 25.8. DOMÍNIO ...................................................................................... 234 25.9. CONTRA-DOMÍNIO .................................................................... 234 25.10. IMAGEM ..................................................................................... 234 25.11. ANALISANDO A IMAGEM ...................................................... 235 25.12. CONDIÇÕES PARA UMA RELAÇÃO SER FUNÇÃO ............ 236 25.13. IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÃO EM GRAFICOS .................... 236 25.14. OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO ..................... 237 26. FUNÇÃO DO 1.º GRAU...................................................................... 239 26.1. CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1.° GRAU ........................ 240 26.2. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ........................... 242 26.3. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1.° GRAU ... 243 26.4. MÉTODO PRÁTICO ..................................................................... 243 26.5. ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO .................................................... 244 26.6. ESTUDO DO SINAL ..................................................................... 245 26.7. MÉTODO PRÁTICO PARA ESTUDO DO SINAL ..................... 246 26.8. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 247 26.9. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ........................... 250 27. INEQUAÇÃO DO 1.° GRAU .............................................................. 252 27.1. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES .................................................... 252 28. SISTEMA DE INEQUAÇÕES............................................................. 256 28.1. SOLUÇÃO SISTEMA de INEQUAÇÕES .................................... 256 28.2. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ........................... 260 29. FUNÇÃO DO 2.º GRAU OU QUADRÁTICA .................................... 264 29.1. GRÁFICO DA FUNÇÃO 2.º GRAU OU QUADRÁTICA ........... 264 7

John Taylor Paiva 29.2. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 2.° GRAU .......................... 265 29.3. RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO DO 2.º GRAU ..................... 266 29.4. CONJUNTO IMAGEM ................................................................. 267 29.5. PONTOS ESPECÍFICOS NA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS . 268 29.6. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 269 29.7. ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 2.° GRAU .................... 273 29.8. REGRA PRÁTICA para ESTUDO do SINAL .............................. 273 29.9. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..................................................... 275 29.10. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES......................... 279 30. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU.............................................................. 281 30.1. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES .................................................... 282 31. SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................................... 285 31.1. SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE INEQUAÇÕES .......................... 285 31.2. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ........................... 288 31.3. RESPOSTAS.................................................................................. 290

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1. CONJUNTOS Não possui definição, mas tem como noção intuitiva o agrupamento de qualquer tipo ou quantidade de objetos.

ELEMENTOS São os integrantes do conjunto, cada unidade do conjunto.

CONVENÇÕES Indicamos com letras maiúsculas os Conjuntos e com letras minúsculas os Elementos.

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Relacionar elementos com conjuntos usando os símbolos que deve ser lido como “é elemento de” ou “ pertence a”. O símbolo é a negação de e, lemos: “não é elemento de” ou “não pertence a”.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO Relacionar conjunto com conjunto usando o símbolo para dizer que “ A está contido em B” e a negação C D e lemos “C não está contido em B ”. Usamos ainda os símbolos e lemos “Contém” e a sua negação e lemos “não contém”.

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John Taylor Paiva

REPRESENTAÇÃO (NOTAÇÃO) DE CONJUNTO a) Por ENUMERAÇÃO (Forma Tabular ou de Listagem) indicamo-lo escrevendo seus elementos entre chaves e separados por vírgulas. Ex.: conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u} b) Por PROPRIEDADE (Forma Construtora) Enunciando uma propriedade comum aos seus elementos. Ex.: A = {x / x é vogal} c) Por DIAGRAMA de Euler-Venn (Forma Gráfica) – Os elementos são agrupados dentro de uma linha plana fechada. Ex.:

A

a e i

u o

1 e

3

B

9 5 7

Onde A seria o conjunto das vogais e B poderia ser o conjunto dos números naturais impares até 10. 1.1. OPERAÇÕES COM CONJU NTOS

UNIÃO: É o conjunto formado por todos os elementos de A e B, comuns e não-comuns. A  B = {x / x  A ou x  B}  Lê-se: A união B. 10


Ex.: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 4, 5}, então: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} INTERSECÇÃO: É o conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos. A  B = {x / x  A e x  B}  Lê-se: A interseção B.

Ex.: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, então: A  B = {2, 3}

DIFERENÇA: A – B É o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A – B = {x / x  A e x  B}

Ex.: se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3}, então: A – B = {5, 7} e B – A =  COMPLEMENTAR : C AB ou Ac Dados dois conjuntos A e B, em que A  B, chamamos de complementar de A em B (C AB ou Ac) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. A  B  C AB ou Ac = B – A 11

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Ex.: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então: ou Ac = B – A = {4, 5}

C

A B

NÚMEROS de ELEMENTOS da UNIÃO de CONJUNTOS n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

Ex.: Sendo A = {1, 2, 3, 4, 6, 8} e B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}? Sol.: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  n(AB) = 6 + 8 – 2 = 12 NÚMERO de SUBCONJUNTOS de UM CONJUNTO é: 2n.

Um conjunto com “n” elementos, o total de subconjuntos

Ex.: Qual o número de subconjuntos do conjunto A = {1, 2, 3}?

Sol.: Como n = 3, teremos: 2 3 = 2.2.2 = 8 subconjuntos que são: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, .

CONJUNTOS NUMÉRICOS É todo conjunto cujos elementos são números.

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CONJUNTO NÚMEROS NATURAIS – (N) (N)  N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} CONJUNTO NÚMEROS INTEIROS – (Z) (Z)  Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} SUBCONJUNTOS DE Z ● N; ● Z*; ● Z+; ● Z-; ● Z*+; ● Z*-;

CONJUNTO NÚMEROS RACIONAIS – (Q) (Q)  Q = {x / x = qp , p  Z e q  Z*} Tradução! Todos os números que podem ser colocados na forma de fração, com denominadores não-nulos. Ex.1: As decimais exatas ou finitas e às decimais periódicas ou infinitas:: 1 2

= 0,5

1 3

= 0,333...

5 4 7 6

= -1,25 = 1,1666...

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CONJUNTO NÚMEROS IRRACIONAIS – (I) Existem números que na forma decimal não são periódicos, nem tem um número finito de casas decimais, como , 2, 3 e muitos outros: os irracionais.

CONJUNTO NÚMEROS REAIS – (R) (R)

 R

= Q  I

SE LIGUE! Verifique que Q  I =  C QR = I Z+ = N 1.1. INTERVALOS São subconjuntos de números reais determinados por desigualdades, que substituem a notação utilizada anteriormente, ou seja, dados dois números reais a e b, onde a  b, o conjunto de números reais que está entre a e b é:

a) [a; b] – INTERVALO FECHADO (os extremos a e b estão incluídos, pode ser substituído por a  x  b);

Ex.: [a; b] = {x  R / a  x  b}

14


b) ]a; b[ - INTERVALO ABERTO (os extremos a e b não estão incluídos, pode ser substituído por a  x  b);

Ex.: (a; b) = {x  R / a < x < b} c) [a; b[ - INTERVALO FECHADO em a e ABERTO em b (o extremo a está incluído e b não está, ou a  x  b);

Ex.: [a; b) = {x  R / a  x < b} d) ]a;b] – INTERVALO ABERTO em a e FECHADO em b (o extremo a não está incluído e b está, ou a  x  b).

Ex.: (a; b] = {x  R / a < x  b}

15

John Taylor Paiva

1.2. QUESTÕES DE CONCURSOS AN TE RI ORES

01. Identifique as sentenças verdadeiras: a) 3  {3} b) 3  {3} c) {3}  {3} d) {3}  {3} e) {3} = {3} f) a  {a, b, c} g) a  {a, b, c} h) {a}  {a, b, c} i) x  {a, b, c} j) {a, m}  {a, b, c} 02. Copie e complete com os símbolos , ,  ou : a) 3 ___ {2, 3, 4} b) {3} ___ {2, 3, 4} c) 5 ___ {2, 3, 4} d) {5} ___ {2, 3, 4} e) 4 ___ {números pares} f) {4} ___ {números pares} g) 4 ___{números impares} h) {2, 3, 5} ___ {2, 3, 5, 6} i) {2, 6} ___ {2, 3, 4, 5} j) {2, 3, 4, 5} ___ {2, 3, 5} l) a ___ {a, b} m) {a} ___ {a, b} n) {a, b} ___ {a, b} o) {a, b} ___ {a} 03. Dados os conjuntos A = {0, 1, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {4, 6} e D = {2, 7}, determine: a) A  B b) A  B c) A  C d) A  C e) B  D f) C  D g) C  D h) B  C  D i) A  B  C j) B  C  D l) A – B m) A – (B  C) n) A – (B  C) o) (B  C) – A

16


04. Observe o diagrama e determine:

a) O conjunto A  B c) O conjunto B  C e) O conjunto A – B g) O conjunto A  B  C i) O conjunto (A  B)  C

b) O conjunto A  B d) O conjunto B  C f) O conjunto C – B h) O conjunto A  B  C j) O conjunto(A – B)(B – C)

05. A  B = {4, 5, 6}. Se A = {x, 5, 6, 7} e B = {4, 5, y, 8}, então x e y são, respectivamente: a) 7 e 8 b) 8 e 7 c) 4 e 6 d) 6 e 4 06. Se o conjunto A tem cinco elementos e o conjunto B têm três elementos, podemos afirmar que, certamente: a) A  B tem pelo menos três elementos b) B é subconjunto de A c) A  B tem no máximo oito elementos d) A  B tem três elementos 07. Indique a sentença falsa: a) Se x  A  B, então x  A e x  B b) Se x  A – B, então x  A e x  B 17

John Taylor Paiva

c) Se x  A e A  B, então x  B d) Se x  A  B, então x  A ou x  B

08. Indique a sentença falsa: a) Se x = y e y = 10, então x = 10 b) Se x > 10 e 10 > y, então x > y c) Se a < 10 e b < 10, então a < b d) Se a < b e b < 5, então a < 5 09. Dados os conjuntos X e Y, sabendo que X  Y = Y, então: a) X  Y c) X  Y = Y

b) X = Y d) X = 

10. Sendo A = {x  N / 2 < x < 8} e B = {x  N / x > 4}, determine: a) A  B b) A  B c) A – B 11. Sendo A = {x  N / x  5} e B = {x  N / x < 8}, pode-se afirmar que: a) A  B =  b) A  B = A c) A – B = A d) A  B = B 12. (FGV-SP) - Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme o esquema abaixo: Convênio com A 430 Convênio com B 160 Filiados somente ao INSS  60 O número de filiados simultaneamente as empresas é: a) 30 b) 90 c) 40 d) 25 e) 50 18


13. Em uma empresa foi realizada uma pesquisa sobre a preferência dos funcionários em relação a dois novos horários A e B de trabalho. Obteve-se o seguinte resultado: 256 escolheram o horário A, 168 o horário B, 26 os horários A e B, e 22 não opinaram. Determinar o número de funcionários da empresa. 14. Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra Sarampo e 12 não foram vacinadas. Determinar quantas dessas crianças receberam as duas vacinas. 15. (UFPE) - Se A = {-1, 0, 1, 2}, B = {x  Z / x2 =1} e C = {x / x é número par entre 1 e 9}, determine: a) A  B b) A  C c) (A  B)  C d) ABC 16. (UFPB) - Se A = {x  Z / x é impar e 1 x  7} e B = {x  z / x2 – 6x + 5 = 0}, determine: a) A – B b) B – A c) CBA 17. (UFRN) - Use os símbolos , ,  e  a) 16 __ Q b) 20 __ N* 4 c) 4 __ R e) Q ___ R*

d) {-1, 2, 4} __ Z

18. (URCA) – Enumere os elementos do conjunto {x  x = 3n – 2, n  N} 19. Indique com a notação de conjunto os seguintes intervalos: 19

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20. Dados os conjuntos A = {x  x R e x > 3} e B = {x  x R e 2 < x  6}, encontrar A B, A B, A – B e B – A na reta. 21. Utilizando a representação gráfica de intervalos sobre a reta real, determinar (A  B), (A  B), (A – B) e (B – A), sendo A = [0, 3] e B = ]1, 4]. 22. Escrever de duas maneiras: pela nomeação dos elementos e simbolicamente (por uma propriedade): a) Os números inteiros maiores que -5. b) O conjunto dos números inteiros menores ou igual a 10. c) O conjunto dos números inteiros maiores que -1 e menores ou igual a 100.

23. Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso as afirmações abaixo: a) ( ) Z+  Z_ = {0} b) ( ) Z*+  N c) ( ) Z*+  Z_ = Z d) ( ) Z+  Z_ = Z

20


Essa é a DICA de Facilitêixo e Kukalino para o Professor Jonteilo da UniR

Essa DICA não tem em livros convencionais Quando for resolver problemas de conjuntos que envolverem vários conjuntos, comece sempre pela intersecção. E quando não souber, chame-a de “x” Ok?

 Um exemplo típico é o problema seguinte: 01. (UFPE) - Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o porcentual de alunos que lêem ambos os jornais? n(B) = 60% n(AB) = 100% Sol.: n(A) = 80% n(AB) = ? n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  n(AB) = 80 + 60 – 100  n(AB) = 40 Ou então: 8 – x + x + 60 – x = 100  -x = 100 – 40  x = 40

A

B 80 - x x

60 - x 21

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2. OS NÚMEROS NÚMERO É a ideia que está associada à quantidade de elementos de um conjunto.

NUMERAL É a palavra ou símbolo usado para representar a ideia (número).

SUCESSIVO É o resultado da soma desse número ao número 1. Número que vem depois do número dado, considerando também o zero. Portanto,

Ex.: O sucessor de 0 é 1.

O sucessor de 19 é 20.

CONSECUTIVO Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Ex.: 1 e 2 são números consecutivos ANTECESSOR É o resultado da diferença desse número com o número 1. Número que vem antes do número dado. 22


Ex.: O antecessor de 2 é 1. O antecessor de 56 é 55. CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA Quando dados dois conjuntos, os seus elementos estão relacionados um a um. A cada elemento de A está associado um e somente um elemento de B; cada elemento de B é correspondente de um e somente um elemento de A. 2.1. SI STEM A DE NU M ERAÇÃ O

É o conjunto de regras que permitem ler e escrever qualquer número usando palavras e símbolos.

SISTEMA de NUMERAÇÃO DECIMAL ou SISTEMA DE BASE DEZ É o sistema onde a base é dez, isto é, os elementos são contados de dez em dez. É o sistema de numeração que usamos.

PRINCÍPIO DA POSIÇÃO DECIMAL É usado para expressar um número qualquer no sistema decimal, onde, cada conjunto com um único elemento será associado à unidade, com dez à dezena, etc. Assim, todo algarismo colocado imediatamente à esquerda de outro representa unidade de ordem superior (dez vezes) à aquele.

23

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BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO São os grupos de um número quaisquer de elementos que separamos para fazer a contagem dos objetos de uma coleção. Ex.: quando contamos os dias do ano, formando grupos de sete dias (semana), estamos procedendo à contagem no sistema de base sete; quando os reunidos em grupos de trinta dias (mês), estamos procedendo à contagem, no sistema de base trinta.

SE LIGUE! Conforme a base seja: dois, quatro, dez, doze, etc., teremos um sistema: binário, quaternário, decimal, duodecimal, etc., de numeração. LEITURA E ESCRITA O numeral de um sistema diferente do decimal deve vir acompanhado da indicação da base, e a sua leitura é feita mencionando-se cada algarismo, seguido da designação de sua base.

Ex.: (234)5  lê-se: dois, três, quatro na base cinco. TRANSFORMAÇÃO DE UM NUMERAL Um numeral pode ser transformado transpondo-o de uma base à outra.

1.° CASO: DA BASE 10 PARA OUTRA BASE Para passar um número do sistema de Base 10 para o sistema de base qualquer , dividimos o número, pela base 24


desejada, a seguir, dividimos o quociente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos até encontrarmos um quociente menor que a base. O número escrito na nova base será então formado pelo último quociente seguido dos restos encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o primeiro.

Ex.: Escrever o número 370 no sistema de base 8. Sol.: 370 8 50 46 2 6

.  8 . 5

 (562)8

Ex.: O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base 6. Sol.: 584 6 44 97 2 37 1

.  6 . 16  6 4 2

 (2412)6

2.° CASO: DE QUALQUER BASE PARA A BASE 10 Para passar um número do sistema de base qualquer para o sistema de Base Decimal escreve-se uma soma, onde as parcelas são: o algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero. O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um. O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois. O algarismo dos milhares, vezes à base elevada a três; e assim por diante. 25

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Ex.: O número (562)8 está escrito no sistema de base 8. Escreva-o no sistema de base decimal. Sol.: (562)8 = 2 . 80 + 6 . 81 + 5 . 82 = 2 + 48 + 320 = 370 3.° CASO: DE QUALQUER BASE PARA QUALQUER OUTRA Para passar um número escrito em uma base qual quer para outra base difer ente da decimal , passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o número resultante para a base desejada. 5.

Ex.: Escrever o número (213)4 para um sistema de base Sol.: (a) Passando (213)4, para a base decimal, temos: (213)4 = 3 . 40 + 1 . 41 + 2 . 42 = 3 + 4 + 32 = 39

(b) Agora passando 39 que está escrito na base 10, para a base pedida 5: 39 5 4 7 2

26

.  5 . 1

 (124)5


VALOR RELATIVO do ALGARISMO É o valor do algarismo de acordo com a posição no numeral. Quando é levado em conta o principio da posição decimal.

Ex.: Em 7428, temos: VR(7) = 7.000; VR(4) = 400; VR(2) = 20; VR(8) = 8 VALOR ABSOLUTO do ALGARISMO É o valor do algarismo isolado. Quando não é levada em consideração o principio da posição decimal.

Ex.: Em 7428, temos: VA(7) = 7; VA(4) = 4; VA(2) = 2; VA(8) = 8 2.2. M ÚL TI PLOS NÚM EROS NA TURAI S

Numa divisão exata, diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que: a = k . b. Portanto, todos os números divisíveis por esse número.

Ex.: 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 × 5 SE LIGUE! Assim, numa divisão exata (resto zero) ocorre que: a) O dividendo é múltiplo (divisível) do divisor e do quociente; 27

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b) O divisor e o quociente são submúltiplos (divisores) do dividendo. DETERMINAÇÃO dos MÚLTIPLOS de NÚMERO NATURAL Dados dois números naturais “a” e “b”, quando a = k . b, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis.

Ex.: Múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42,...} PRESTENÇÃO! Assim, para obter o conjunto dos múltiplos de um número basta efetuar as multiplicações do número dado com a sucessão dos números naturais. SE LIGUE! O número 0 (zero) é múltiplo de qualquer número. E todo número é múltiplo dele mesmo. 2.3. DI VI SORES NÚM EROS NA TURAI S

Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b. Ou seja, existe um número natural k tal que: b = a . Portanto, todos números que dividem sem deixar resto, o k

número desejado.

Ex.: 3 é divisor de 15, pois 3 = de 3 e também é múltiplo de 5.

28

15 , 5

logo 15 é múltiplo


DETERMINAÇÃO dos DIVIDORES de NÚMERO NATURAL Dados dois números naturais “a” e “b”, quando b = basta fazer k assumir todos os números de 1 até a.

a

,

k

Ex.: Divisores de 18: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } PRESTENÇÃO! Para obter o conjunto dos submúltiplos (divisores) de um número basta verificar quais são os números naturais que são divisores do número dado numa divisão exata. SE LIGUE! O número 0 (zero) não é divisor de nenhum número natural, exceto dele próprio. E o número 1 (um) é divisor de qualquer número. E todo número é divisor dele mesmo. NÚMEROS PRIMOS É todo número que admite somente dois divisores: a unidade e ele mesmo.

Ex.: 2 é primo, pois D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3};

3 é primo, pois

RECONHECIMENTO de um PRIMO Divide-se o número dado pela sucessão dos números primos, até obter o quociente menor ou igual ao divisor antes de se obter o resto nulo. 29

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NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Quando o único divisor comum entre eles for o 1 (um). Ou então, quando o MDC entre eles é 1 (um).

Ex.: 5, 7, 27 são primos entre si, pois: D(5):{1;5}; D(7): {1,7} e D(27): {1, 3, 9, 27} e o único divisor comum, é o 1 (um). DECOMPOSIÇÃO de um NÚMERO em FATORES PRIMOS Procedemos da seguinte maneira: (a) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo. (b) Com o quociente encontrado, da mesma forma, até encontrarmos o quociente 1 (um).

Ex.: decompor o número 24 em fatores primos: 24 12 06 03 01

2 2 2 3

Assim: 24 = 23 . 3

30


DETERMINAÇÃO dos DIVISORES USANDO a DECOMPOSIÇÃO Procedemos Procedemos da seguinte maneira: (a) Decompõe-se o número dado em fatores primos. (b) Passa uma reta vertical ao lado da decomposição em fatores primos, e coloca-se a unidade uma linha acima. (c) A seguir efetua-se o produto do primeiro fator primo pela unidade após colocarmos o resultado na linha abaixo, à direita do fator. (d) Multiplicam-se cada um dos fatores por todos os números que estão acima da linha dele, formando-se então o conjunto dos divisores do número dado.

Ex.: determinar o conjunto dos divisores de 24: 24 12 06 03 01

2 2 2 3

1 2 4 8 3, 6, 12, 24

Logo, D(24): {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

31

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DETERMINAÇÃO da QUANTIDADE de DIVISORES de um NÚMERO Procedemos Procedemos da seguinte maneira: (a) Decompomos em fatores primos o número dado. (b) Após, tomamos os expoentes de cada um dos fatores primos (escritos uma única vez), a cada um dos expoentes adicionamos adicionamos uma unidade. (c) Em seguida multiplicamos os números obtidos, com o que obtemos a quantidade de divisores (QD) do número dado.

Ex1.: Qual o número de divisores de 72? Sol.: Como 72 = 23 . 32  QD(72) = (3 + 1).(2 + 1) = 4 . 3 = 12 2.4. M ÁXI M O DI VI SOR COM COM UM – M DC

O MDC entre dois ou mais números dados, é o maior dos divisores comuns aos números dados.

DETERMINAÇÃO do MDC de DOIS ou MAIS NÚMEROS 1.° PROCESSO INTERSECÇÃO ENTRE o CONJUNTO dos DIVISORES (a) Determinamos o conjunto dos divisores de cada um dos números dados; 32


(b) Determinamos o conjunto dos divisores comuns, ou seja, a intersecção entre os conjuntos de divisores; (c) O MDC entre os números dados é o maior dos divisores comuns aos números dados.

Ex.: Determinar o MDC entre 36 e 42. Sol.: Como: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; D(42) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42} e D(36)  D(42) = {1, 2, 3, 4, 6} Portanto, o MDC(36, 42) = 6 2.° PROCESSO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (a) Decompõem-se os números dados em fatores primos; (b) A seguir, forma-se o produto entre os fatores comuns a ambos, utilizando os fatores com menores expoentes.

Ex.: Determinar o MDC entre 24, 32 e 48. Sol.: Como: 24 = 23 . 3; 32 = 25; 48 = 24 . 3; Logo, MDC (24, 32, 48) = 23 = 8

33

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3.° PROCESSO DIVISÕES SUCESSIVAS (a) Divide-se o maior número dos números dados pelo menor; caso a divisão seja exata, o MDC é o menor deles. (b) Se não for exata, divide-se o menor número pelo resto obtido anteriormente, e assim sucessivamente até se obter resto nulo. O ultimo divisor obtido será o MDC entre os números dados.

Ex.: Qual o MDC entre 24 e 32.



1 3 32 24 8 08 0

Logo, MDC(24, 32) = 8 2.5. M ÍNI M O M ÚL TI PLO COM COM UM – M M C

O MMC entre dois ou mais números, é o menor múltiplo comum, diferente de zero.

DETERMINAÇÃO DO MMC DE DOIS OU MAIS NÚMEROS 1.° PROCESSO INTERSECÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DE MÚLTIPLOS (a) Determinamos o conjunto dos múltiplos de cada um. 34


(b) Determinamos o conjunto dos múltiplos comuns, isto é, a intersecção entre os conjuntos de múltiplos. (c) O MMC entre os números dados, é o menor dos múltiplos comuns aos números dados, diferente de zero.

Ex.: Determinar o MMC entre 5 e 6 Sol.: Como: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}; M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} ... } e M(5)  M(6) = {0, 30, ...} Portanto, MMC (5, 6) = 30 2.° PROCESSO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (a) Decompõe-se em fatores primos os números dados. (b) A seguir forma-se o produto entre os fatores comuns e não-comuns, utilizando os fatores com maiores expoentes.

Ex.: Determinar o MMC (24, 32, 48) Sol.: 24 = 23 . 3; 32 = 25; 48 = 24 . 3  MMC (24, 32, 48) = 25 . 3 = 96

35

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3.° PROCESSO DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA (a) Decompomos, simultaneamente, os números dados em fatores primos, onde ao lado direito destes, traçamos uma reta vertical, onde ficarão os divisores simultâneos. Abaixo de cada número, colocamos o quociente obtido. (b) Nesse processo, devemos seguir a ordem crescente dos números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...}, até que todos os quocientes sejam 1.

Ex.: Determinar o MMC (12, 16, 24)

12, 16, 24 2 6, 8, 12 2 3, 4, 6 2 3, 2, 3 2 3, 1, 3 3 1, 1, 1



Logo, (12, 16, 24) = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 24 . 3 = 48 

O MDC entre dois números em que o maior é múltiplo do menor é o menor deles.

Ex.: MDC (12, 24) = 12 O MDC entre dois números primos entre si é a unidade. É o processo geralmente usado para se saber se dois números quaisquer são primos entre si. 

Ex.: MDC (12, 13) = 1 36

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos 

O MMC entre dois números em que o maior é múltiplo do menor é o maior deles.

Ex.: MMC (12, 24) = 24 O MMC de dois números primos entre si é o produto desses números. 

Ex.: MMC (12, 13) = 156 

Para o cálculo do MMC usando o MDC ou viceversa, existe a seguinte relação: o MDC (a,b) multiplicado pelo MMC (a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:

MDC (a, b) . MMC (a, b) = a . b  MDC (a, b) = a.b MMC (a, b)

Ou MMC (a, b) =

a.b MDC (a, b)

Ex.: MMC (5, 15) =

5 . 15 = mdc (5, 1 5)

15 e MDC (5, 15) =

5 . 15 =5 mmc (5, 1 5)  O

produto de dois números diferentes de zero é igual ao produto do MMC pelo MDC desses números.

Ex.: MMC (15, 25) = 75

e

MDC (15, 25)= 5

Assim: 15 . 25 = 75 . 5  375 = 375 37

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MÁXIMO DIVISOR COMUM de FRAÇÕES O MDC de várias frações é uma fração que tem para numerador o MDC dos numeradores das frações dadas e para denominador, o MMC dos denominadores.

Ex.: Calcular o maior divisor comum das frações: e

6 7

3

,

5

12 15

Sol.: Como: MDC (6, 3, 12) = 3

e

MMC (7, 5, 15) = 105

Então o MDC será 3 . 105

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de FRAÇÕES O MMC de várias frações, é uma fração que tem para numerador o MMC dos numeradores das frações dadas e para denominador, o MDC dos denominadores das mesmas frações.

Ex.: Calcular o menor múltiplo comum das frações: 5 3

e

7 6

15 12

Sol.: Como: MMC (7, 5, 15) = 105 38

e

MDC (6, 3, 12) = 3

,


Então o MDC será

105 3

.

2.6. CRI TÉRI OS de DI VI SI BI L I DA DE

Em algumas situações precisamos apenas descobrir se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15.

DIVISIBILIDADE por 2 algarismo da direita for par.



Quando o ultimo

Ex.: 502, 406 DIVISIBILIDADE por 3  Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um número divisível por 3. Ex.: 249  pois 2 + 4 + 9 = 15 que é divisível por 3; DIVISIBILIDADE por 4  Quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos da direita (o das unidades e das dezenas) for um número divisível por 4, ou forem dois zeros. Ex.: 3640

 pois

termina em 40, que é múltiplo de 4; 39

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3600  pois termina em dois zeros.

DIVISIBILIDADE por 5  Quando o algarismo das unidades simples for zero ou cinco. Ex.: 4650  pois termina em zero; 3325  pois termina em cinco. DIVISIBILIDADE por 6  Quando a soma do algarismo das unidades com o quádruplo da soma dos demais algarismos, der um número divisível por 6. Ou então, quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3. Ex.: 8460  pois é divisível por dois e por três. Ou então: 0 + 4(6 + 4 + 8) = 0 + 4 . 18 = 72  72 = 2 + 4(7) = 2 + 28 = 30 3576  pois é divisível por dois e por três. Ou então: 6 + 4(7 + 5 + 3) = 6 + 4 . 15 = 6 + 30 = 36

DIVISIBILIDADE por 7  Apesar de não ser um critério, podemos aplicar a regra: um número é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Ex.: 1617 40


1. Separa-se o algarismo das unidades simples e dobra-se o valor absoluto dele. Logo: 1617  7  2 . 7 = 14 2. Subtrai-se o número assim obtido, do número que ficou à esquerda após a separação do algarismo das unidades simples. Logo: 161.7 – 14 = 147 3. Procede-se analogamente como nos passos anteriormente analisados, até se obter um número múltiplo de 7. Logo: 14.7  7  2 . 7 = 14 Já que – 14.7 – 14 = 00, o número 1617 é divisível por 7.

DIVISIBILIDADE por 8  Quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita (isto é: centena – dezena – unidade simples) formarem um número divisível por 8, ou forem três zeros. Ex.: 45128 é divisível por 8, pois 128 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE por 9  Quando a soma de seus valores absolutos de seus algarismos for um número divisível por 9. Ex.: 1935 é divisível por 9, pois: 1 + 9 + 3 + 5 = 18 que é divisível por 9. 41

John Taylor Paiva

DIVISIBILIDADE por 10 unidades simples for 0 (zero).

 Quando

o algarismo das

Ex.: 5420 é divisível por 10, pois termina em 0 (zero). DIVISIBILIDADE por 11  Quando a soma dos algarismos de ordem ímpar Si menos a soma dos algarismos de ordem par Sp for um número divisível por 11. Como um caso particular, se Si – Sp= 0 então o número é divisível por 11. Ex.: 1353 é divisível por 11, pois: Número Ordem

1

3

5

3

par ímpar par ímpar

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si = 3 + 3 = 6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: S p = 5 + 1 = 6, assim a soma dos algarismos de ordem ímpar Si, é igual à soma dos algarismos de ordem par S p logo o número é divisível por 11.

OUTRO PROCESSO Outro processo prático da divisibilidade por 11, é semelhante ao da divisibilidade por 7, mas neste caso não duplicamos o valor absoluto do algarismo das unidades simples.

Ex.: 1617 1. Separa-se o algarismo das unidades simples. 42


Logo: 161.7 2. Subtrai-se o número assim obtido, do número que ficou à esquerda após a separação do algarismo das unidades simples. Logo: 161.7 – 7 = 154 3. Procede-se analogamente como nos passos anteriormente analisados, até se obter um número múltiplo de 7. Logo: 15.4  Já que 15.4 – 4 = 11 , o número 1617 é divisível por 11. DIVISIBILIDADE por 12 simultaneamente divisível por 3 e por 4.



Quando

for

Ex.: 7200 é divisível por 12, pois é divisível por 3 (7 + 2 + 0 + 0 = 9) e também por 4 (pois termina em 00). DIVISIBILIDADE por 13  Quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Ex.: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar. 43

John Taylor Paiva

1656 Número sem o último algarismo +8 Quádruplo do último algarismo 1664 Soma Repete-se o processo com este último número. 166 +16 182

Soma sem o último algarismo Quádruplo do último algarismo da Soma Soma

Repete-se o processo com este último número. 18 +8 26

Soma sem o último algarismo Quádruplo do último algarismo da Soma Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

DIVISIBILIDADE por 14 simultaneamente divisível por 2 e por 7.



quando

for

Ex.: 1918, é divisível por 2 e por 7 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE por 15 simultaneamente divisível por 3 e por 5.



quando

Ex.: 4065, é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

44

for


2.7. QUESTÕES DE CONCURSOS ANTE RI ORES

24. Qual o sucessor e o antecessor do número natural m? 25. No numeral 23 547, o valor relativo de 5 é igual a: a) 10 vezes o valor absoluto de 5 b) 100 vezes o valor absoluto de 5 a) 1.000 vezes o valor absoluto de 5 a) 10.000 vezes o valor absoluto de 5 26. Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso as afirmações abaixo: a) ( ) Dois números opostos ou simétricos tem sinais diferentes. b) ( ) Dois números opostos ou simétricos tem mesmo módulo. c) ( ) O oposto de zero é zero. d) ( ) De dois números inteiros negativos o maior é o que tiver o menor módulo. e) ( ) De dois números inteiros positivos o maior é o que tiver maior módulo. f) ( ) Se na reta marcamos um ponto A à direita de um ponto B, então a abscissa de A é maior que a abscissa de B. 27. Qual o MDC das frações: 7 6

,

5 3

e

6 7

,

3 5

, e

12 e 15

o MMC de:

15 . 12

28. Se a, b e c são números naturais diferentes de zero, e a : b = c, então: 45

John Taylor Paiva

a) a é divisor de b b) a é divisor de c c) a é múltiplo de b d) c é múltiplo de a

29. Se x = 23 . 3 . 5 e y = 24 . 32 . 7, então: a) mdc(x,y) = 210 b) mdc(x,y) = 24 c) mdc(x,y) = 360 d) mdc(x,y) = 5040 30. Se x = 2 . 32 e y = 22 . 3, então: a) mmc(x,y) = 6 b) mmc(x,y) = 12 c) mmc(x,y) = 36 d) mmc(x,y) = 18 31. João recebe visitas periódicas de três amigos. O primeiro o visita a cada 20 dias, o segundo a cada 5 dias e o terceiro a cada 8 dias. No seu aniversário, em 2 de junho, os três foram visitá-lo. Depois dessa data, quando coincidirá a visita dos amigos? 32. Para desenvolver uma determinada atividade com seus alunos, Ana dispõe de 60 cartolinas verdes e 24 azuis. Deseja separá-las em pilhas de tal forma que cada uma contenha o mesmo número de cartolinas e sempre da mesma cor. Qual é o maior número de cartolinas que cada pilha pode ter?

46



Essa DICA não tem em livros convencionais Para calcular quantos números inteiros e consecutivos existem entre dois números, temos: (a) Incluídos subtrair ambos e somar 1; (b) Excluídos subtrair ambos e diminuir 1; (c) Incluído e Excluído/vice-versa subtrair ambos. seguinte:  Um exemplo típico é o problema seguinte: Para numerar um livro de 200 páginas 02. (EsPCEX) – Para são necessários: a) 300 alg. b) 492 alg. c) 489 alg. d) 452 alg. Sol.: Da página 1 a 9 usamos: 9 – 9 – 1 1 = 8 + 1 = 9 números de um algarismo e são necessários: 9 . 1 = 9 algarismos para escrevê-los. Da página 10 a 99 usamos: 99 – 99 – 10 10 = 89 + 1 = 90 números de dois algarismos e são necessários 90 . 2 = 180 algarismos para escrevê-los. Da página 100 a 200 usamos: 200 – 200 – 100 100 = 100 + 1 = 101 números de três algarismos e são necessários 90 . 2 = 180 algarismos para escrevê-los. Portanto, são necessários: 9 + 180 + 303 = 492 algarismos para escrevê-los, que são as 200 página do livro. 47

John Taylor Paiva

3. POTENCIAÇÃO É uma multiplicação de fatores iguais.

Ex.: 4 . 4 . 4;

3 . 3 . 3;

2 . 2 . 2 . 2

POTÊNCIA de EXPOENTE NATURAL Dados um número real “ a” e um natural n > 1, chama-se potência enésima de “a”, e indica-se indica-se por an, o produto de “n” fatores iguais a “a”.

SIMBOLICAMENTE an = a . a . a ... . a Onde “a” é a BASE (o número cuja potência se calcula); “n” o EXPOENTE (o número de ordem da potência, que indica quantas vezes o fator (base) se repete) e a seqüência de “ a” ... Os “n” fatores.

Ex.: 3 . 3 = 32  lê-se: três elevado a 2.ª potência (2.ª potência de três) ORDEM DA POTÊNCIA A ordem da potência é dada pelo número de fatores.

Ex.:

48

 5 é a 1.ª potência de 5;  5 x 5 é a 2.ª potência de 5;


CASOS ESPECIAIS definição, temos:  a1 = a a) EXPOENTE 1 (um)  Por definição, b) EXPOENTE ZERO  Por definição, temos:  a0= 1 SE LIGUE!  00 = 

e

 05 = 0

c) EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO 1 ,a≠0 an = n



Temos:

a

d) EXPOENTE PAR E IMPAR  Quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR , o resultado será positivo. Se for elevado em qualquer expoente IMPAR , o resultado será negativo. Ex.:

 (-5)2 = (-5) . (-5) = 25  (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8

e) PARÊNTESES  (-5)2 ≠ -52. No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado. Já no segundo s egundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5. Considera-se -52 = -(5 . 5) = -5 3

f) POTÊNCIA SUCESSIVA  52 ≠ (52 )3 , pois: em 3 3 8 52 efetua-se antes, 2 = 8 obtendo-se 5 e o segundo 6 8 (52 )3 multiplica-se os expoentes, resultando em 5 . Portanto, 5 ≠ 56.

49

John Taylor Paiva

3.1. 3.1. PROP PROPRI RI ED AD ES DA POTEN POTEN CI AÇÃ AÇÃ O

1- PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE É uma potência de mesma base e cujo expoente é a soma dos expoentes das potências que estamos multiplicando, ou seja, conserva-se a base e somam-se os expoentes. 

 am x an = am+n

Ex.: 53 . 57 = 53+7 = 510 2- DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE É uma potência de mesma base e cujo expoente é a diferença entre os expoentes das potências em operação, ou seja, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 



am an

= am-n

Ex.: 34 : 32 = 34-2 = 32 3- POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA É uma potência cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes que figuram no enunciado, ou seja, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 

50

 (am)n = amxn


Ex.: (52)3 = 52x3 = 56 4- POTÊNCIA DE UM PRODUTO Eleva-se cada fator ao expoente, ou seja, distribui-se o expoente para os fatores e multiplicam-se as potências assim obtidas. 

 (a . b)n = an . bn

Ex.: (2 . 3)3 = 23 . 33 5- POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE Eleva-se o dividendo e o divisor a esse expoente. n

an  bn

2

32  52



 a     b 

Ex.:

 3     5 



, b≠0

6- POTÊNCIA DE BASE FRACIONÁRIA E EXPOENTE NEGATIVO Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente. 



 a     b 

n

 b     a 

n

51

John Taylor Paiva

Ex.:

 3     5 

4

 5     3 

4

54  34

7- DISTRIBUTIVA DA POTÊNCIAÇÃO EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. Aqui temos o segundo caso: expoentes iguais.

GENERALIZANDO, temos: ● am . bm = (a . b)m

Ex.: 65 . 95  6 · 9 · 6 · 9 · 6 · 9 · 6 · 9 · 6 · 9  Então: 65 · 95 = (6 · 9)5 8- DISTRIBUTIVA DA POTÊNCIAÇÃO EM RELAÇÃO À DIVISÃO Esta propriedade acima também é verdade para uma divisão.

GENERALIZANDO, temos: ●

an  a    n  b  b

Ex.: 52

84 5

4



n

8 8 8 8 . . . 5 5 5 5

 Então:

84  8    4  5  5

4


4. RADICIAÇÃO É a operação inversa da Potenciação, porque a operação inversa de elevar a uma potência, é extrair uma raiz. = Símbolo de Raiz Quadrada SIMBOLICAMENTE : (Radical) n a  b  bn =

a  “b” é a raiz enésima de “ a” e por sua vez, “a” é a potência enésima de “ b”. Ou seja, “b” é o número que multiplicado por ele mesmo “n” vezes resulta “a”.

ONDE: b = raiz;

a = radicando;

n = índice

Ex.: 9 = 3  32 = 9  Quer dizer, como 32 = 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9, porque 3 2 = 9. Isto é, deve-se procurar qual o número que multiplicado por ele mesmo duas vezes resulta nove. RAIZ ENÉSIMA de um NÚMERO REAL “a” Para determinar a raiz enésima de um número real qualquer, temos:

1.º CASO – O ÍNDICE “n” É PAR a) QUANDO O NÚMERO REAL “a” é POSITIVO (a > 0) 53

John Taylor Paiva

 na = b Ex.: 49 = 7, pois 72 = 7.7 = 49 b) QUANDO O NÚMERO REAL “a” é NEGATIVO (a < 0)



na

Ex.:

não se define em R. 4  81 não se define em R. 4

2.º CASO – O ÍNDICE “n” É IMPAR bn = a.

 A expressão

na

é um único número real “ b” tal que

LEITURA A leitura do Radical é feita de acordo com o índice.

Ex.: 1 6

 Raiz

quadrada de dezesseis 3 8  Raiz cúbica de oito

4.1. PROPRI ED AD ES DA RADI CI AÇÃ O

1. PRODUTO das RAÍZES A Raiz enésima de um produto “a.b” é igual ao produto das raízes enésimas dos fatores, se a  0 e b  0. 54


● n a.b = Ex.: 4.9 =

n



a .nb

4.

9

2. QUOCIENTE das RAÍZES A raiz enésima de um quociente “ a b ”, para a  0 e b > 0, é igual ao quociente das raízes enésimas dos termos da divisão. ●



a b

n

=

25 = 9

Ex.:

n

a

n

b

52 32

ou

 5     3 

2

3. SIMPLIFICAÇÃO de RADICAIS Multiplicando-se ou dividindo-se o índice de um radical e o expoente do radicando por um mesmo número não-nulo, o valor do radical não se altera. ●

n

am

=

. n p

am. p

, a  0

n

am

=

n: p

am: p

, a  0, p  0 e “p” divisor comum de

“m” e “n”.

Ex.:

= 3.5 71.5 = 15 75 3 8 = 6 23 = 6:3 23:3 = 3

7

2

55

John Taylor Paiva

4. POTENCIAÇÃO de RADICAIS Para elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. 

●

n a m = n am , a  R + , n  Z+ , m  Z. 2

Ex.: 4 8  =

4

23 2 = 4 26 = 4 24.22 = 24 22 = 2

2

5. RADICIAÇÃO de RADICAIS Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices dos radicais e conserva-se o radicando.  mna

Ex.:

3

VEJA:

=

m.n

64 = 3

a

, a  R + , m e n  Z+.

3.2 6 4 = 6 26

=2

3 3 2

=2

64 = 38 =

6. EXTRAÇÃO de um FATOR do RADICANDO (POTÊNCIA de um EXPOENTE RACIONAL) 

●

n

am

Ex.: 101/2 =

56

= am/n , a  R + , n  Z+ , m  Z. 10


7. INTRODUÇÃO de um FATOR no RADICANDO Basta escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.

Ex.: dados 2.3.5, introduzir o fator 2: 2 3 5 = 3 23.5 = 3 8.5

= 3 40

RADICAIS SEMELHANTES Quando apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Ex.:

e 2 5 4 3 2 , 3 3 2 e 7 3 2 3 5

REDUÇÃO de RADICAIS ao MESMO ÍNDICE 1. Achar o m.m.c. dos índices; 2. O m.m.c. encontrado será o índice dos radicais procurados. 3. Divide-se o m.m.c. pelo índice do radical dado e multiplica-se o resultado pelo expoente do radicando. Ex.: Obtenha radicais semelhantes com mesmo índice: 3 5 e 4 2 . Sol.:

35

= 12 54

e

4

2

= 12 23 57

John Taylor Paiva

4.2. A RACI ONAL I ZAÇÃ O

Veja:

3 2

Numerais deste tipo, ou seja, frações que

apresentam radical em denominador tornam complicados determinados cálculos. Então é conveniente converter estas frações em outras equivalentes que não apresentem radical em denominador. O processo utilizado para fazer esta conversão recebe o nome de Racionalização de denominador.

CASO I termo.

 O

denominador é constituído por um único

1.º TIPO: o denominador contém radical de índice 2  Multiplicam-se ambos os termos da fração pelo radical de índice 2 do denominador. Ex.1:

5 3

= 5 3 =5 3 =5 3 3. 3

32

Ex.2: 4 = 4 2 = 3 2

3 2. 2

4 2 3 22

3

=4 2 =4 2 =2 2 3.2

6

3

2.º TIPO: o denominador contém radical de índice diferente de 2  Multiplicam-se ambos os termos da fração por um radical de mesmo índice, cujo radicando tenha a mesma base e expoente igual à diferença entre o índice e o expoente do radicando já existente. 58


Ex.1:

5 4

2

=

54 23 4 2.4 23

6

Ex.2:

55 22

= =

54 23 4 4 2

=

54 8 2

65 23 55 22 .5 23

=

65 23 55 25

=

65 8 5.2

=

65 8 10

=

35 8 5

FATOR RACIONALIZANTE Radical pelo qual os termos da fração são multiplicados.

CASO II  O denominador é constituído por uma soma ou diferença de dois termos, dos quais pelo menos um contém radical de índice 2. 1.º TIPO: o denominador é constituído por uma soma indicada  Multiplicam-se ambos os termos da fração pela diferença entre os mesmos termos da soma. Ex.1:

2 2( 5  1) = = 2( 5  1) = 2( 5  1) = 4 (5)  (1) 5 1 ( 5  1).( 5  1)

5  1 2

Ex.2:

2 2 2

=

2(2  2 ) = 2(2  2) = 2(2  2) = (4)  (2) 2 (2  2 ).(2  2 )

2 2

59

John Taylor Paiva

2.º TIPO: o denominador é constituído por uma diferença indicada  Multiplicam-se ambos os termos da fração pela soma dos mesmos termos da diferença. Ex.1:

6 15  3

6( 1 5  3) = 12

15  3 2

Ex.2:

14 3 2

=

=

6( 15  3) = 6( 15  3) = (1 5)  (3) ( 15  3).( 1 5  3)

14(3  2 ) = (3  2 ).(3  2 )

1 4(3  2 ) = (9)  (2)

1 4(3  2 ) = 2(3  2) 7 14 3 2

60



14(3  2) 14(3  2) 14(3  2)   2(3  3)  7  9 2 (3  2)(3  2)



33. Calcule as potências: a) 60 c) (-2)2 e) (a3)2

b) 12 d) 3-1 f) 52 . 51

3

g)   12    2  1  i)  3   

h) a5 : a3

34. (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? 35. Qual é maior: 36. Qual é maior:

3

2   2   

3 22 ?

ou

5 2

ou

4 3

?

37. Considerando as seguintes afirmações: I. 2

1  2 2

II.

(a2 )m 

2

m 2

III.

 1     2 

1

 2

IV.

(2) 2   1 4

Podemos concluir que: a) II é falsa e III é verdadeira b) I é falsa e IV é falsa c) III é verdadeira e II é verdadeira d) I é verdadeira e III é falsa e) n.d.r. 61

John Taylor Paiva

38. O valor da expressão: {(-2)3 + [(-2)2 – 3 + (-3) . 4 9 ] : [ 25 6 : (-4)]} : (-3) é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) n.r.a. 39.  1     3 

2

Calcule

o

valor

da

expressão:

0   52  13207

40. Efetue reduzindo as potencias à mesma base: 1 2    9 .81 .3   2 72.9

41. Resolva

2.(23 /2)1.2 3 4.3 2

42. Calcule

3 .331 33

43. Retire do radical os fatores possíveis do radicando. a) 224 b) 3 4 0 5 c) 4 405 d) 5 1 2 1 44. Introduza no radical os fatores que se acham fora dele. a)

2 7

b) 53 4

c)

7 5

d) 26 3

45. Reduzir ao mesmo índice os radicais abaixo. a) 2;3 3; 4 5 b) 3 2;5 3;1525 c) 4 3;5 43 d) 7 4;3 5;216 62


46. Efetuar a radiciação dos radicais abaixo. a) 3 2 b) 3 2 5 c)

5 2

47. Calcule 48. Calcule

d) 4 23 3 5 2 1  2 .32  .    3 

3

30  (1 )2  23 2  1     2 

49. (UniR ) Calcule: a) (-1)n, se n for par. b) (-1)n, se n for impar.

63

John Taylor Paiva


Essa DICA não tem em livros convencionais A preposição “de” acompanhada de fração significa multiplicação.

 Um exemplo típico é o problema seguinte 03. (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? Sol.:

1 22 .2 = 2

222  2221  221 2

04. (UniR ) Qual é a metade de Sol.:

64

1 4

de 250?

1 1 5 0 1 5 0 25 0  24 7 . 2  .2 = 2 4 2 23


5. NÚMEROS FRACIONÁRIOS ou FRAÇÃO É uma ou mais partes da unidade. Nós adquirimos a noção de número fracionário dividindo uma coisa, considerada como um todo, em partes iguais e tomando apenas uma ou algumas dessas partes. O todo é chamado de UNIDADE e cada uma das partes em que foi dividido é representada por um numeral chamado FRAÇÃO.

TERMOS DA FRAÇÃO NUMERADOR  Indica quantas partes iguais são tomadas. DENOMINADOR  Indica em quantas partes iguais a unidade, ou seja, o todo foi dividido. a)

3 5

 »

São tomadas três partes iguais (numerador).

» O todo foi dividido em cinco partes iguais (denominador).

b)

7 5

 »

São tomadas sete partes iguais (numerador).

» Cada unidade foi dividida em cinco partes iguais (denominador). 65

John Taylor Paiva

LEITURA NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1.º Caso: O denominador é 2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8 ou 9. Lê-se: meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo e nono.

2.º Caso: O denominador é 10, 100, 1.000 etc. Lê-se: décimo, centésimo, milésimo, décimo milésimo, centésimo milésimo, milionésimo. 3º Caso: O denominador não é 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 nem potência de dez (10,100, 1000, etc.). Lê-se: diz o número e em seguida a palavra avos. NOMES das FRAÇÕES FRAÇÕES DECIMAIS As frações que apresentam como denominador o dez ou uma potência de dez (10, 100, 1.000, etc.).

FRAÇÕES ORDINÁRIAS São as demais frações. 5.1. CLASSI F I CAÇÃ O DAS F RAÇÕES

FRAÇÃO PRÓPRIA Quando o numerador é menor do que o denominador. Ela é um numeral que representa uma parte do objeto tomado como unidade. 66


Ex:

3 4

< 1.

FRAÇÃO IMPRÓPRIA Quando o numerador é maior do que o denominador. Ela é um numeral que representa uma quantidade maior que a unidade.

Ex.:

6 5

> 1.

FRAÇÃO APARENTE Quando o numerador é múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador. Ela é um numeral de um número natural.

Ex.:

8 4

= 2.

NUMERAL MISTO É uma fração com a parte inteira. Lê-se: primeiramente, a parte inteira do numeral acompanhada da palavra inteiro(s) e, em seguida, lê-se a parte fracionária.

Ex.: 2

1 3



7 3

unidade

unidade

2 inteiros

unidade 1 3

67

John Taylor Paiva

Cada uma das unidades representadas acima foi dividida em 3 partes iguais. Observe que 7 é o mesmo que duas 3

unidades inteiras e mais

1 3

Portanto, a fração escrevemos

7 3

= 2

1 3

da unidade. 7 3

é igual a dois inteiros mais

. O número 2

1 3

1 3

e

é composto de uma parte

inteira (2) e de uma parte fracionária ( 1 ) e, por isso, é chamado 3

“Número Misto”.

FRAÇÃO EQUIVALENTE Duas ou mais frações são equivalentes quando apresentam a mesma parte do inteiro. 2 3 4 6 8

Indicação: 2 3



4 6



8 12

12

As figuras representam o mesmo objeto dividido em 3, 6 e 12 partes. Os objetos podem ser representados pelos numerais 2 4 ; e 8 . Tais frações são denominadas frações equivalentes. 3

68

6

12


O RECONHECIMENTO de DUAS FRAÇÕES EQUIVALENTES Duas frações são equivalentes quando o produto do numerador da 1.ª com o denominador da 2.ª é igual ao produto do denominador da 1.ª com o numerador da 2.ª. 5.2. PROPRI EDADE das F RAÇÕES

1- Multiplicar (ou dividir) o numerador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, ela ficará multiplicada (ou dividida) pelo número. 3

Ex.: 

7

3 7

6

. 2 =

: 3 =

7

1 7

 6 é 2vez >

3

7 1

7 3

7

7

 é 3vez < .

2- Multiplicar (ou dividir) o denominador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, o valor da fração ficará dividido (ou multiplicado) por esse número. Ex.: 

2 12 2

12

. 2 =

: 4 =

2 3

2  2 é 24 24

2vez <

 é 4vez >

2 12

2 12

.

3- Multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma fração por um mesmo número diferente de zero, o valor da fração são se altera. 69

John Taylor Paiva

Ex.:

2 7

=

4 14

=

8 = 1 6 = 28 56

...

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO Significa em reduzir a uma fração equivalente cujos termos sejam primos entre si. A divisão não é mais possível. A fração obtida é chamada de Fração Irredutível. (Quando o m.d.c. entre o numerador e o denominador é 1).

1.º PROCESSO – Dividir sucessivamente os termos da fração por um divisor comum, diferente de 1 Ex.:

24 36

=

12 18

=

6 9

=

2 3

(São primos entre si – fração

irredutível).

2.º PROCESSO – Dividir ambos os membros da fração pelo M.D.C. entre eles. Ex.:

24 = 2  M.D.C. 3 36

(24, 36) = 12

REDUÇÃO de FRAÇÕES ao MESMO DENOMINADOR Basta extrair o M.M.C. entre os denominadores, o qual será o denominador comum. A seguir, divide-se o M.M.C. obtido pelo denominador de cada uma das frações, e o resultado obtido multiplica-se pelo numerador – ou seja: constroem-se frações equivalentes às frações dadas.

70


Ex.:

2 3

,

3 4

,

4 5

 M.M.C.

(6 0: 3).2 (6 0: 4).3 ; 60 60

Logo:

;

(3, 4, 5) = 60

(6 0 : 5).4 60

40 , 4 5 , 4 8 60 60 60

COMPARAÇÃO de FRAÇÕES 1.º Caso: Frações com o mesmo Denominador maior a que tiver o MAIOR numerador. Ex.:

4

5

4



2

 Será

5

3

5

 3

2 5

5

2.º Caso: Frações com o mesmo Numerador maior a que tiver o MENOR denominador. Ex.:

>

3 5

 Será

>

3 7

7

3.º Caso: Frações com Numeradores e Denominadores diferente  Reduz-se a um dos casos anteriores.

71

John Taylor Paiva

5.3. OPE RA ÇÕES COM F RA ÇÕES

1) ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO de FRAÇÕES 1.º Caso: Frações com o mesmo Denominador  Conserva-se o denominador comum e adicionam-se ou subtraem-se os numeradores. Ex.1:

2 7

+

1 7

=

2 1 7

=

3 7

Ex.2:

2 7

-

1 7

=

2 1 7

=

2 7

2.º Caso: Frações com o Denominador diferentes  Determina-se o M.M.C. entre ao denominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores, e recai-se no primeiro caso. Ex.1: 9 15

2 3

9 10  9 19 + 35 = 10 + = = 15 15 15 15

Ex.2:

2 3

- 35 = 10 15

1 = 1015 9 = 15

2) MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO de FRAÇÕES MULTIPLICAÇÃO  O produto de várias frações é obtido pela multiplicação dos numeradores entre si e dos denominadores entre si. Ex.: 

2 3

.

5 7

.

1 3

=

2.5.1 3.7.3

=

10 63

Na multiplicação, podemos simplificá-la antes de efetuar a multiplicação. A simplificação pode ser feita com numerador e denominador da mesma fração ou com numerador de uma fração e denominador de outra. 72


Ex.:

3 1 17 16 4 1 17 4 68  x x x x  5 4 1 3 1 5 1 1 5

Ex.:

4 1 3 15 3 1 3 3 9  x x  x x 5 1 7 8 2 1 7 2 14

Ex.:

4 2 7 2 7 14 x  x  10 5 9 5 9 45

Ex.:

2 6 2 2 2 4 x  x  3 1 5 1 5 5

ÔPA! A simplificação só pode ser feita na multiplicação. DIVISÃO  Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda. Ex.:

6 15 6 2 4 2x4 8 : x    5 4 5 15 5 5x5 25

Ex.: 2 1 : 3

3 4



7 4 28 x  3 3 9

Ex.:

3 1 3 11 3 5 1 3x1 3 :2  : x    5 5 5 5 5 1 11 1x11 11

Ex.:

2 2 4 2 1 1 1x1 1 :4  :  x   7 7 1 7 4 2 7x2 14

73

John Taylor Paiva

6. NÚMEROS DECIMAIS São todos os números caracterizados pela presença de uma vírgula.

Ex.: 0,3 e 0,12. Veja que 0,3 e 31 0 são numerais diferentes do mesmo número e que a virgula separa a parte inteira da parte decimal. LEITURA dos NÚMEROS DECIMAIS Lê-se a parte inteira (se tiver), seguida do nome “unidades” e depois a parte decimal, seguida da posição decimal de seu último algarismo da direita.

Ex.: 0, [décimos] [centésimos] [milésimos] [décimos milésimos] ... 0,4  quatro décimos; 0,0012  doze décimos de milésimos 7,342 milésimos.



sete unidades e trezentos e quarenta e dois

TRANSFORMAÇÃO de FRAÇÃO DECIMAL em NÚMERO DECIMAL Escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantas forem os zeros do denominador. 74


Ex.:

2 10

=0,2 

1 casa decimal, 1 zero

4 =0,004  1000 3 casas decimais, 3 zeros

TRANSFORMAÇÃO de NÚMERO DECIMAL em FRAÇÃO DECIMAL O numerador é o número decimal sem a virgula e sem os zeros iniciais; o denominador é o número 1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número.

Ex.: 3,25 = 3 2 5 100

6.1. PROPRI ED AD ES dos NÚM EROS DE CI M AI S

1- Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou retira-se um ou mais zeros de sua parte decimal. Ex.: 0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,700... 2- Ao multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 etc., a vírgula se desloca uma, duas, três, etc. casas decimais para a direita. Ex.: 27,342 . 10 = 273,42

27,342 . 100 = 2734,2

3- Ao se dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca uma, duas, três, etc. casas decimais para a esquerda. 75

John Taylor Paiva

Ex.: 27,342 : 10 = 2,7342

27,342 : 100 = 0,27342

6.2. OPERA ÇÕES com NÚM EROS DE CI M AI S

ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO  Colocam-se os números decimais uns sob os outros, de modo que as vírgulas fiquem uma embaixo da outra. A seguir igualam-se as casas decimais completando-as com zeros e, efetua-se a adição ou subtração. Ex.: 13,273  2,48 = 13,273 + 2,48 15,753

13,273 - 2,48 10,793

MULTIPLICAÇÃO  Considere-se como se fossem números naturais, e após obtermos o produto levaremos em conta as casas decimais, tantas quantas as do multiplicando com as do multiplicador. Ex.: 243,5 x 2,53 =

243,5 2,53 7305 12175 4870 . 616,055

1 casa + 2 casas = 3 casas

DIVISÃO  Efetua como se fossem naturais, reduzindo-se tanto o dividendo como o divisor a numerais contendo o mesmo n.º de casas decimais; e cortando-se as vírgulas. Se após igualarmos as casas decimais o dividendo for menor do que o divisor, coloca-se no quociente um zero, 76


seguido de uma vírgula e acrescentando-se zero no dividendo, e assim efetua-se a operação.

Ex.1: 215,8 : 104,2 = (Aproximação: 0,01) 2158 007400 01060

 1042 2,07

Ex.2: 346,32 : 191,4 = (Aproximação: 0,001) 34632 154920 018000 07740

 19140 1,809

Ex.: 432,32 : 211,6 = (Aproximação: 0,01) 43232 0091200 06560

 21160 2,04

Ex.: 2,3 : 11,42 = (Aproximação: 0,001) 2300 001600 0458

 1142 0,201

77

John Taylor Paiva

CONVERSÃO de FRAÇÃO ORDINÁRIA em NÚMERO DECIMAL Divide-se o numeral correspondente ao numerador pelo numeral correspondente ao denominador.

Ex.:

3 4

= 0,75

CONVERSÃO de NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO ORDINÁRIA Transforma-se o numeral decimal em fração decimal e, em seguida, faz-se a simplificação.

Ex.: 0,6  6

10



3 5

6.3. DÍZI M A PERI ÓDI CA ou N UM ERAI S PERI ÓDI COS

São os numerais decimais em que há repetição periódica e indefinida de um ou mais algarismos.

Ex.: 6

11

 0,54 5

... Veja que sempre se repetem os

algarismos 5 e 4. O resto nunca será zero. 0,(54) PERÍODO

=

0,5 4 =

0,[54] =

Parte que se repete indefinidamente. No exemplo anterior é “54”. 78


DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES Quando o período começa logo após a virgula.

Ex.: 1,55...

Ex.: 2,33...

DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA Quando o período não aparece logo após a virgula.

Ex.: 1,244...

Ex.: 0,266... FRAÇÃO GERATRIZ

É a fração que dá origem a uma dízima periódica.

Ex.: A geratriz do n.º 1,666... é

5 3

TRANSFORMAÇÃO de DÍZIMAS em SUA GERATRIZ 1.º CASO: A DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES O numerador é o período e o denominador é o n.º formado de tantos 9 quantos forem os algarismos do período.

Ex.: 0,555... = 0,5 =

5 9

 1

algarismo 1 nove

1,45... = 1,4 5 = 1 45  144  16  2 algarismos 2 noves 99

99

11

79

John Taylor Paiva

2.º CASO: A DÍZIMA É PERIÓDICA COMPOSTA O numerador é a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica e o denominador é o n.º formado de tantos 9 quantos forem os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Ex.: 1,51212.. 1,5 1 2  1

512 5 507 1497 499 1   990 990 990 330

PROCESSO MATEMÁTICO PARA DETERMINAR A FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA a) seja x = 1,333... Multiplicando x por 10, temos que 10x = 13,333... Observe a subtração 10x – x 10x = 13,3333... - x = 1,3333... 9x = 12,0000

Portanto, x = Assim:

4 3

12 9

 x =

= 1,3333...

b) seja x = 25,2121...

80

4 3


Multiplicamos x por 100, portanto 100x = 2521,2121... Subtraindo x de 100x temos: 100x = 2521,2121... - x = 25,2121... 99x = 2496,0000... Portanto, x = 2496  x = 832 99 33

CONCLUSÃO Devemos procurar um múltiplo de 10 de tal forma que, ao efetuarmos o produto, e, a seguir, a diferença (conforme os exemplos), tenhamos um número inteiro.

VEJA: no caso do número 4,58123123123... Note que o período da dizima aparece a partir da segunda casa decimal. Nesse caso, multiplicamos, inicialmente por 100 para isolar o período: 100x = 458,123123123... Aí procedemos como nos exemplos anteriores, como o período tem três algarismos multiplicamos 458,123123... por 1.000: 1.000 (100x) = 1000 (458,123123...) 100000x = 458123,123123... - 100x = 458,123123... 99900x = 457665,000000... 81

John Taylor Paiva

Portanto, x = 457665  30511 99900 6600 SE LIGUE! Os números 3 = 1,7320508..., 2 = 1,414213562... e  = 3,1415926535...  eles não possuem um período, portanto, não podem ser expressos sob forma de fração.

82



50. Quais os termos de uma fração, o que representa cada um e qual o significado de 35 e 75 . Faça uma figura que representa essas frações. 51. Efetue a operações: a) 45,347 + 3,45 c) 437,52 : 213,4

b) 345,7 . 2,54 d) 2,4 : 12,37

52. Faça a conversão da fração ordinária número decimal.

3 4

em

53. Faça a conversão do número decimal 0,6 em fração ordinária. 54. Marque na reta numérica: a) 12 b) 94 d)

1 3

e)



3 2

12 5

c)



f)

10 3

55. Determine o valor de: a)   12  :   29   3.  14  

 





b)

3  2    2  5  : 1  3      

c)

 1 1    2   0,4.  2      3 1    .1,8 2

2



2

1   1  2   

2

83

John Taylor Paiva

56. (UniR ) Determine fração geratriz das dízimas periódicas: a) 0,5 b) 0,32... c) 0,444... d) 0,1313... e) 0,3222... f) 0,3212121... g) 0,83555... h) 0,2353535... i) 0,21444... 57. (UniR ) Transforme os números decimais em frações decimais: a) 0,25 b) 2,32 c) 2,5 d) 33,5 e) 0,12 f) 0,4 g) 0,06 h) 3,454 i) 0,036 j) 12,0615 58. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra enche o mesmo tanque em 6 horas. Juntas, elas enchem o tanque em quantas horas? 59. Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Outra esvazia em 3 horas. Em quanto tempo, as 2 juntas enche o tanque?

84



Você já sabe que não tem em livros convencionais. A unidade é o número básico para resolver problemas de números fracionários. E para maior facilidades de cálculos, devemos escrever a unidade como uma fração aparente (numerador igual ao denominador), de acordo com o problema. Veja: Se você perdeu

2 5

do que possuía, era porque você possuía 1,

mas você escreve 55 . Assim: 55 -

2 5

=

3 5

Um exemplo típico é o problema seguinte: 05. (EsPCEx) Qual é o número cujos Sol.:

5 5 2 5

 

2 5

é igual a 10?

x 10

 2x = 50  x = 25

85

John Taylor Paiva

7. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA O estudo da Matemática Comercial e Financeira envolve noções de proporcionalidade e para isso é necessária a compreensão de importantes conceitos preliminares como razão e proporção, assim como alguns métodos de resolução de problemas como regra de três simples e compostas.

GRANDEZA É qualquer coisa que possa ser medida.

Ex.: velocidade (km/h), tempo (h), comprimento (m), etc.

SE LIGUE! Toda grandeza é expressa por um número e uma unidade. 7.1. RAZÃ O

É a comparação entre dois números, através de uma divisão, isto é, a razão entre duas grandezas é o quociente dos números que expressam essas grandezas em suas respectivas unidades. É o quociente de dois números.

Ex1.: Para compararmos o tamanho de uma porta de 4 m de comprimento com uma janela de 2 m de comprimento, basta dividirmos o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

86


A razão 4  2 2

 Diz

que o tamanho da porta é duas

vezes o tamanho da janela. Podemos afirmar também que a janela tem do comprimento da porta. A razão

1 2

1 2

(a metade)

significa que cada metro

da janela corresponde a 2 m da porta.

SE LIGUE! Como vimos, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. LEITURA DE UMA RAZÃO Ex.:

5 6

é um numeral (fração) que representa o número

racional “cinco sextos”, e, também, a razão “cinco está para seis”.

TERMOS DE UMA RAZÃO Generalizando a razão entre dois números, temos: a : b Ou

a b

, sendo (b  0).

Onde: a é chamado de Antecedente e b de Consequente

87

John Taylor Paiva

Ex.1: Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. A Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 24 0 1  (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 1200 5

Ex.2: Se um aluguel sobe R$ 200,00 em cima de R$ 100,00 representa um aumento de 200%, no entanto se for em relação a R$ 2.000,00, o mesmo aumento representaria apenas 10%. Ex.3: Agora se quisermos saber a preferência das pessoas com relação ao gosto por futebol ou novelas, se para cada 50 pessoas pesquisadas 30 gostam de futebol e 20 de novelas, isto significa que 30, em cada 50 ( 3 0 = 0,6). 50

Ou seja, 60%, gostam de futebol e 20, em cada 50 ( 2 0 = 50

0,4), portanto 40%, gostam de novelas.

SE LIGUE! Assim, constatamos que a comparação de grandezas de mesma espécie revela, de forma clara e objetiva, a preferência ou gosto por determinado produto ou tipo de atividade, e pode ser expressa, matematicamente, como um quociente chamado razão. Ex.3: Numa partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos. Daí, 10  1 =0,5  O que significa que o 20

2

jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso. 88


RAZÕES EQUIVALENTES Quando os números que representam seus quocientes forem iguais.

Ex.:

10 25 e ambas 12 30

são:

5 6

OBTENÇÃO DE RAZÃO EQUIVALENTE Para obtermos uma razão equivalente, basta multiplicar ou dividir os termos de uma razão.

RAZÕES INVERSAS ou RECÍPROCAS Quando o produto entre as razões for à unidade.

Ex.:

5 9

e

9 5

 são razões inversas, pois

5 9

e

9 5

= 45= 1 45

7.2. APL I CAÇÕES PRÁTI CAS DA S RAZÕES

Algumas razões especiais que são muito utilizadas em nosso cotidiano, são: Velocidade Média, Escala, Densidade Demográfica e Densidade de um corpo.

VELOCIDADE MÉDIA (Vm) É uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos). 89

John Taylor Paiva

Velocidade Média 

Ou

distância percorrida tempo gasto s Vm  t

Ex.: Qual a velocidade média do carro que percorreu 328 Km em 2 h? Sol: Vm 

s  Vm  3 28km t 2h

Vm = 164 km/h

SE LIGUE! Significa que para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km. ESCALA De redução ou de ampliação, de um desenho e a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade. Escala 

Compriment o no Des enho Compriment o Re al

ou

Escala 

D R

SE LIGUE! Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc. Ex.1: Dizer que a escala da planta de uma casa é 1:100 (lê-se: um para cem). Isto significa que cada 1 cm na planta (desenho) corresponde a 100 cm na realidade. 90


Ex.2: Um mapa está desenhado na escala 1:30 000 000, isto é, cada centímetro no mapa corresponde na realidade, a 30 000 000 cm. a) No mapa, à distância entre Miami e São Paulo é de 22,2 cm. Qual é na realidade, à distância em quilômetros entre essas duas cidades? Sol:

E 

D R



1 = 2 2,2  R 30 000 000

R = 666 000 000  R = 6660 km

b) A distância real, em linha reta, entre Lisboa e Roma é de aproximadamente 1950 km. Qual é a distância representada no mapa? Sol:

E 

D R



D 1   D = 6,5 cm 30000000 19500000

DENSIDADE DEMOGRÁFICA Ou População Relativa de uma região expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região. Densidade Demográfic a 

n.º de habi tantes área ocupada

ou

Dd 

H A

Ex.1: Num jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sem haver substituição, observa-se que sobra mais espaço 91

John Taylor Paiva

vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Ex.2: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km2. De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim: Dd 

H  D  H = 12.000.00 0Hab A A 2 00.0 00km2 2



D = 60 habitantes/km

SE LIGUE! Isto significa que para cada 1 Km 2 existem aproximadamente 60 habitantes. DENSIDADE DE UM CORPO A densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m3, dm3 ou qualquer outra unidade de volume.

Ex.: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm3 então para cada dm 3 há uma massa de 8,75 kg. SE LIGUE! Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. 92


8. PROPORÇÃO É uma igualdade entre razões equivalentes.

Ex.:

a c   b d

Onde, a, b, c e d são os termos da

proporção, sendo: b e c os meios da proporção e a e d os extremos da proporção.

Ex.: 4  8 5

10

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL das PROPORÇÕES (PFP) Em toda proporção o produto dos EXTREMOS é igual ao produto dos MEIOS.

PROPORÇÃO CONTÍNUA É aquela que tem meios ou extremos iguais. Assim ela é da forma: a b   b2  ac  b  b d

ac

MÉDIA PROPORCIONAL ou MÉDIA GEOMÉTRICA De dois outros termos é o termo igual da proporção contínua (x). 93

John Taylor Paiva

Ex.: Determinar a média geométrica positiva entre 2 e 50.

Sol: 2

x

x



50

 x2 = 100  x =

1 00 x = 10

TERCEIRA PROPORCIONAL É o quarto termo de uma proporção continua. a b  Então: b x

x = terceira proporcional.

Ex.: Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 10.

Sol: 2

10



10 x

 2x = 100  x = 50

QUARTA PROPORCIONAL É quarto termo de uma proporção não continua. a c  Então b x

x = quarta proporcional.

Ex.: Determinar a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6.

Sol: 3



6

1 0 x

94

 3x = 10 . 6  x =

60  x 3

= 20


8.1. TRANSF ORM AÇÕES POSSI VE I S NUM A PROPORÇÃ O

São chamadas transformações equivalentes possíveis numa proporção a qualquer modificação que os seus termos sofra, de tal modo que a propriedade fundamental seja sempre verificada. Há oito maneiras distintas:

SEJA A PROPORÇÃO COM OS TERMOS1: A C  B D

ALTERNÂNCIA DOS TERMOS: A B   (meios) C D

ALTERNÂNCIA DOS TERMOS: D C   (extremos) B A

INVERSÃO DOS TERMOS: B D   (antecedente A C

e conseqüente)

TRANSPOSIÇÃO DOS TERMOS2: C A   (nova D B

proporção) 95

John Taylor Paiva

ALTERNÂNCIA DOS TERMOS: C D   (meios A B

da nova 5)

ALTERNÂNCIA DOS TERMOS: B A   (extremos D C

da nova 5)

INVERSÃO DOS TERMOS: D B   (antecedente C A

e consequente da nova 5)

8.2. PROPRI EDADES das PROPORÇÕES

ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO DOS TERMOS A soma (ou diferença) entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) termo, assim como a soma (ou diferença) entre os dois últimos termos esta para o terceiro (ou quarto) termo. A C  B D

96

 A  B A



C  D C

ou

A  B C  D  B D


ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente esta para o seu consequente. A C   A  C  A B D BD B

ou

A  C C  BD D

MULTIPLICAÇÃO DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente esta para o quadrado de seu consequente. A C A.C A2    B D B.D B2

ou

A.C C 2  2 B.D D

DIVISÃO DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES O quociente dos antecedentes está para o quociente dos consequentes, sendo identicamente unitário. A : C 1 B:D

97

John Taylor Paiva

POTENCIAÇÃO/RADICIAÇÃO DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES Se elevarmos cada termo a uma mesma potência nésima, ou extrairmos a raiz n-ésima de cada termo, então os termos assim determinados formarão também uma proporção. A C A2   2 B D B

ou

C 2 D2

e n A C A   n B D B

ou

n

C

n

D

*SE LIGUE! Muitos problemas podem ser resolvidos de forma simplificada se conhecermos as propriedades das proporções. 8.3. EX EM PLOS DE APL I CAÇÃ O

Ex.1: 28 livros foi dividido entre duas bibliotecas, cuja razão é 34 . Com quantos livros ficou cada biblioteca? Sol: Supondo que x e y são as partes de cada biblioteca, temos:  x  y  28   x 3  y  4 

(1) (2)

● Aplicando uma propriedade das proporções, temos: 98

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos x  y 3  4 28 7     x  12 livros 3 x x 3

● Calculando y 12 + y = 28  y = 28 – 12  y = 16 livros

Ex.2: Quando Paulo nasceu Maria tinha 32 anos. Hoje, o quociente entre as idades de Maria e Paulo é 5. Quais as idades? Sol.: Deduzimos que a diferença entre as idades de Maria e Paulo é 32, pois essa diferença não se altera e quando Paulo nasceu Maria tinha 32 anos. Representando por y a idade de Paulo e por x a idade de Maria, temos: ` x  y  32   x 5  y  1 

(1) (2)

● Aplicando uma propriedade das proporções, temos: 32 4 5 . 32 x  y 5  1     x  5 4 x x 5

 x = 5 . 8  x = 40 anos

● Calculando y 40 – y = 32  y = 40 – 32  y = 8 anos

Ex.3: O produto entre dois números é 56. Quais são esses números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7 para 8? 99

John Taylor Paiva

Sol.: Chamamos os dois números de x e y, logo: x.y  56 `   x 7  y  8 

(1) (2)

● Aplicando uma propriedade das proporções, temos: x

7



y

8



56 x 2  56 49

x . y

7.8

ou

=

x 2 72

y 2

ou

82

56 y 2  56 64

● Calculando x 56 . x2 = 56 . 49  x 2  56.49 56 x2 = 49  x 

49  x

=7

Calculando y x . y = 56  7 y = 56 

y 

56  y 7

=8

 Ex.4: Calcule x, y e z, sabendo que x 2 + z = 65.

65  y  z 65    Sol.: x 13 2  4  7 13

100

x

2

y z  e

4

7

que x + y


ou

65 y 65 z   ou 13 4 13 7

● Calculando temos: x = 10

y = 20

e

z = 35

Ex.5: Num jardim há cravos e rosas na razão de 8 para 11. há 88 rosas. Descubra qual é o número de cravos existentes no jardim? Sol.:

C 8  R 11



C

88



8  11

C=

88 . 8 11

C=

704 11

C=

64

Ex.6: (Unicamp-SP) Na planta de um edifício que está sendo construído, cuja escala é de 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada em metros. Sol.: E = E=

D R



D R



1 8  50 R

1 10  50 R

 R = 400 cm = 4 m

 R = 500 cm = 5 m

● Assim, como a área é: A = b . h  A = 20 m2

101

John Taylor Paiva

Ex.7: Um ônibus de 12 m de comprimento foi desenhado. No desenho, seu comprimento é de 40 cm. Qual é a escala do desenho? Sol.: E =

D R

 E =

40 1  1200 30

A Escala é: 1 : 30 8.4. 8.4. M ÉD I A S

MÉDIA ARITMÉTICA – ARITMÉTICA – ( ( Ma ) É o quociente da soma entre dois ou mais números, pela quantidade de parcelas. x  x 2  ... ...  x n Ma  1 n

Ex.: Suponhamos que se queira comparar o grau de aproveitamento dos estudantes Maria e José em determinada disciplina, sabendo-se que a nota varia de zero a dez, tomando como base os meses de fevereiro (7 e 6), março (6 e 8,5), abril (8 e 4), maio (4 e 4) e junho (10 e 5,5) com as respectivas notas de Maria e José. Sol.: Para calcular os valores médios das notas de Maria e José, é preciso achar um valor compreendido entre a menor e a maior nota de Maria, portanto entre 4 e 10, como também, a mesma coisa com José, ou seja, um valor compreendido entre 4 e 8,5. A esses valores é o que chamamos de Médias. 102


Para achar a média aritmética das notas de Maria: 7 ; 6 ; 8 ; 4 e 10. Somaremos as notas de Maria e, em seguida, dividiremos o total obtido pelo número de notas apresentadas. No caso, foram 5 notas, referentes aos meses de fevereiro, março, abril, maio e junho. Ma 

7  6  8  4  10 35  Ma   Ma  7 5 5

Para achar a média aritmética das notas de José: 6 ; 8,5 ; 4 ; 4 e 5,5. Usamos o mesmo procedimento, lembrando que o número de notas é o mesmo, apenas variaram os seus valores. Ma 

6  8,5  4  4  5,5 28  Ma   Ma = 5,6 5 5

MÉDIA PONDERADA – PONDERADA – ( ( Mp ) É o quociente da soma do produto de dois ou mais números pelos seus respectivos pesos, pela soma dos pesos. Ma 

x 1 p1  x 2 p2  ... ...  x n pn p1  p2  ... ...  pn

Ex.: Qual a média global de João em um concurso da Receita Federal, Federal, se ele obteve o resultado abaixo? Disciplinas Português Matemática Direito

Pesos 4 3 2

Notas 70 90 85 103

John Taylor Paiva (70.4) 70.4)  (90.3 (90.3))  (85.2 (85.2)) 432 280  270  170 720  Mp   Mp   80 9 9 Mp 

MÉDIA GEOMÉTRICA – GEOMÉTRICA – ( Mg ) É a raiz n-ésima do produto de dois ou mais números, onde n representa a quantidade desses mesmos números. Assim:

Mg  n x1.x2...xn

Ex.1: Calcular a média geométrica entre 5 e 20 Mg  5.20  Mg  100  Mg  10

Ex.2: Calcular a média geométrica entre 1, 2 e 32 Mg  3 1.2.32  3 64  Mg  4

MÉDIA HARMÔNICA – HARMÔNICA – ( Mh ) É a média aritmética dos inversos de dois ou mais números. 1

Assim:

Mh 

x1



1

 ...

x2 n

1 x n

Ex.: Calcular a média harmônica entre 2 e 3.

104

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos 1 1 32 5  5 Mh  2 3  Mh  6  Mh  6  Mh  2 2 2 12

SE LIGUE! Entende-se por peso o valor que se dá a um determinado número, indicando, portanto, quantas vezes ele comparece. SE LIGUE! Quando não se atribui a mesma importância aos diversos valores das grandezas, calculamos outro tipo de média: a ponderada. O valor atribuído a cada grandeza chama-se peso. Ex.2: Para preparar uma laranjada, foram gastos 3 litros de suco de laranja a R$ 3,40 o litro; e 2 litros de água mineral a R$ 1,20 o litro. Qual o preço do litro da mistura obtida? Sol.:

Mp 

(3,40 ,40.3)  (1,20 ,20.2) 12,60 ,60  Mp   2,52 32 5

105

John Taylor Paiva

8.5. 8.5. QU QU ESTÕES ESTÕES DE CONCU RSOS RSOS A N TE RI ORES

60. A idade de Ana é 12 anos e a de José, 20 anos. Qual a razão entre as idades de Ana e José? 61. O peso de João é 100 kg e o de Marcos 50.000 g. Qual a razão entre os pesos de João e Marcos? 62. Sejam a e b dois números positivos. Sabe-se que a razão de a para b é 5. Qual é maior, a ou b? 63. A razão entre a e 3 é 17 . Qual o valor de a? 64. Numa escola, a razão de professores para alunos é de 1 . Se nessa escola existem 50 professores, qual é o número de 30 alunos? 65. Dada a proporção 26, ache os valores de x e y.

x y  2 3

, e sabendo-se que 2x + 3y =

66. O produto de dois números é 300 e a razão entre eles é 34 . Determine-os. 67. Determine, em cada caso, a quarta proporcional dos números dados: a) 10, 6 e 20 b) 2, 4 e 6 c) 3, 10 e 9 d) 6, 8 e 15 e) 23 ,16 e 16 f) 2, 0,9 e 0,4 106


68. Determine, em cada caso, a terceira proporcional dos números dados: a) 4 e 9 b) 16 e 23 c) 0,3 e 0,5

d) 0,2 e

1 2

69. Dois automóveis partem de um mesmo ponto A e fazem percursos diferentes para chegar a um mesmo ponto B. O 1.º automóvel percorreu 36 km em 20 minutos, enquanto o 2.º automóvel percorreu 48 km em 30 minutos. Qual a velocidade média dos dois automóveis? 70. Um automóvel, com velocidade média de 70 km/h, percorreu uma certa distância em 5 horas. Qual foi a distância percorrida? 71. Para percorrer o trecho Rio-São Paulo um automóvel viajando a velocidade de 80 km/h gastou 5 horas. Quanto tempo gastaria se tivesse viajado a 100 km/h? 72. A distância entre duas cidades é 800 km. Um trem com velocidade constante percorreu em 3 horas os primeiros 120 km. Quanto tempo levará para percorrer os quilômetros restantes? 73. A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de 400 km, aproximadamente. Num certo mapa, essa distância corresponde a 10 cm. Qual foi a escala utilizada?

107

John Taylor Paiva

74. Na figura, vemos um mapa feito numa escala 1 : 3 000 000, ou seja, cada centímetro no desenho corresponde a 30 km no real.

De acordo com as medidas expressas na figura, determine: a) a distância entre as cidades A e B. b) a distância entre as cidades A e C. c) a distância entre as cidades C e D. d) a distância entre as cidades A e D. 1 75. A miniatura de um automóvel foi feita na escala 40 . O comprimento real do automóvel é de 4 m. Qual é o comprimento correspondente na miniatura?

76. Numa residência, a razão entre a área construída e a área livre é de 35 . Sabendo-se que a área construída é de 60 m 2, qual é a área livre?

108


9. PROPORCIONALIDADE - DIVISÃO PROPORCIONAL 9.1. SUCESÃ O de NÚM EROS DI RETAM EN TE PROPORCIONAL

Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões entre os elementos correspondentes são iguais.

Ex.: Os números de uma sucessão  10, 15 e 20 são diretamente proporcionais aos números de outra sucessão  2, 3 e 4 quando a razão entre os elementos correspondentes das duas sucessões é constante. Assim:

10 15 20   5 2 3 4

SE LIGUE! O valor comum ou a razão constante 5 nessa proporção é chamada de coeficiente, constante ou fator de proporcionalidade. GENERALIZANDO Em geral, se y e x são duas grandezas e y  k ou y  k . x , onde k é uma constante positiva, dizemos x que y varia proporcionalmente a x.

SE LIGUE! O gráfico cartesiano associado à equação y = k.x é uma reta que passa pela origem do referencial. 109

John Taylor Paiva

9.2. SUCESSÃ O NÚM EROS I NVE RSAM EN TE PROPORCIONAL

Duas sucessões de proporcionais quando os correspondentes forem iguais.

números são inversamente produtos dos elementos

Ex.: Os números de uma sucessão  81, 27 e 9 são inversamente proporcionais aos números de outra sucessão  1, 3 e 9 se forem diretamente proporcionais aos inversos dos números desta segunda sucessão. Em outras palavras, podemos dizer que os produtos dos elementos correspondentes devem ser iguais. 27 9    81 Assim: 81 1 1 1 1

3

Ou 81 . 1 = 27 . 3 = 9 . 9 = 81

9

SE LIGUE! A constante 81 igual a cada produto é chamada de coeficiente, constante ou fator de proporcionalidade . GENERALIZANDO Em geral, se y e x são duas grandezas e k y . x  k ou y  , onde k é uma constante positiva, dizemos x que y é inversamente proporcional a x.

SE LIGUE! O gráfico cartesiano associado à equação k y  é uma hipérbole. x 110


9.3. DI VI SÃ O em PARTES DI RETAM EN TE PROPORCIONAIS

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a dois ou mais números é dividi-lo de tal forma que, ao maior dos números dados, corresponda a maior parte da divisão e ao menor número dado, corresponda a menor parte da divisão.

Ex.: Dividir 22 balas entre Luiza e Maria, de tal modo que as partes correspondentes a cada uma sejam diretamente proporcionais respectivamente a 4 e 7. Sol.: Sejam x e y os números de balas procurados respectivamente de Luiza e Maria. x  y  22 `   x y   4 7

(1) (2)

● Aplicando em (2) uma propriedade das proporções, vem: 88 x  y x y 22 x      11 x  88  x   x  8 balas p / Luiza 11 4  7 4 7 11 4

● Calculando em (1) y Maria.

 8

+ y = 22  y = 14 balas p/

9.4. M ÉTOD O PRÁTI CO – M P

Um método prático de resolver esse tipo de problema é o seguinte: 111

John Taylor Paiva

1. Usando a Adição  Acha-se o valor total das partes; 2. Usando a Divisão uma das partes;

 Calcula-se

o valor referente a

3. Usando a Multiplicação  Multiplica-se o valor de uma parte pelos números envolvidos na divisão. Ex.1: Baseado no exemplo anterior, temos: (1) 4 + 7 = 11

(2) 22 : 11 = 2

(3) 2 . 4 = 8 e 2 .

7 = 14

Ex.2: Num campeonato de futebol, será dividido um prêmio de R$ 3.204,00 entre os três primeiros colocados. Qual o valor do prêmio a ser conferido a cada time, se ao final obtevese os seguintes resultados: time A  18 pontos ; time B  12 pontos ; time C  6 pontos.

Sol.: Vamos achar o prêmio correspondente a 1 (um) ponto ou uma parte. Depois, multiplicar esse valor pela quantidade de pontos de cada time. Assim, pelo MP: (1) 18 + 12 + 6 = 36 Vemos que os três times juntos perfizeram um total de 36 pontos, que correspondem ao prêmio total: R$ 3.204,00. Dividindo-se pelo total de pontos, acharemos o valor do prêmio correspondente a 1 (um) ponto ou uma parte. 112


(2) R$ 3.204,00 : 36 = R$ 89,00

Portanto, pelo MP: (3) R$ 89,00 . 18 = R$ 1.602,00  time A R$ 89,00 . 12 = R$ 1.068,00  time B R$ 89,00 . 6 = R$ 534,00  time C SE LIGUE! Veja que o time que fez mais pontos receberá maior prêmio e o que fez menos pontos receberá o menor prêmio, pois é diretamente proporcional. 9.5. DI VI SÃ O em PARTES I NVERSAM ENT E PROPORCIONAIS

É o contrário, ou seja, ao maior dos números corresponde a menor das partes; e ao menor dos números será conferida a maior das partes da divisão. É a mesma coisa de dividir um número em partes diretamente proporcionais aos inversos dos números dados.

Ex.: Dividir 14 balas entre Ana e Maria, de tal modo que as partes correspondentes a cada um sejam inversamente proporcionais a 3 e 4. Sol.: De maneira tradicional armaríamos assim:  x  y  14 (1)   x  y (2) 1 1 4  3

Pela MP, vem: (1)

1 1  3 4

=

43 7  12 12

113

John Taylor Paiva

(2) 14 : 7 = 2 (3) 2 . 4 = 8 balas para Ana 2 . 3 = 6 balas para Maria 9.6. DI VI SÃ O em PARTES DI RETAM EN TE e I NVE RSAM EN TE ROPORCI ONAI S

Se uma grandeza é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a outros, a grandeza será diretamente proporcional ao produto deles. Para dividir um número “x ” em partes proporcionais a duas ou mais sucessões ao mesmo tempo, basta dividi-lo em partes proporcionais aos produtos dos elementos correspondentes. Se for inversamente, aos produtos inversos. 

Ex.1: Divida o número 3745 em três partes que sejam, simultânea e diretamente proporcionais as sucessões (5, 4, 9) e (6, 8, 5). Sol.: Apenas armando tradicionalmente: y z  x    5 . 6 4 . 8 9 .5  x  y  z  3745 

(1) (2)

MP: (1) 5 . 6 + 4 . 8 + 9 . 5 = 30 + 32 + 45 = 107 (2) 3745 : 107 = 35 (3) 35 . 30 = 1050 35 . 32 = 1120 35 . 45 = 1575 114


Ex.2: Divida o número 5840 em partes que sejam, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a (3, 5, 6) e (4, 6, 9). Sol.: Apenas armando tradicionalmente: y z  x    1 1 1 1 1 1 . .  . 3 4 5 6 6 9   x  y  z  5840

MP: (1)

(1) (2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1   .  .  . = 3 4 5 6 6 9 12 30 54

73 18  10 = 45 540 = 540

(2) 5840 : 73 = 80 (3) 80 . 45 = 3600 80 . 18 = 1440 80 . 10 = 800

Ex.3: Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4 e inversamente proporcionais a 2 e 3, respectivamente. Sol.: Apenas Pela MP, vem: (1) 5. 12  4. 13 = (2) 46 : 23 = 2 (3) 2 . 15 = 30

5 4  2 3

e

= 156 8



23 6

2 . 8 = 16

Ex.4: Dividir 642 em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 10 e 16. 115

John Taylor Paiva

Sol.: Apenas Pela MP, vem: (1)

1 1 1  5.  8. 2 10 16 411 6  2 2

4.

(2) 642 : 6 = 107 (3) 107 . 4 = 428

=

4 5 8   2 10 16

= 2  12  12 =

107 . 1 = 107

107 . 1 = 107

Ex.5: João jogou R$ 5,00 e Maria R$ 7,00 na loteria e ganharam R$ 6.000,00. Quanto caberá para cada um se a divisão for proporcional? Sol.: Apenas Pela MP, vem: (1) 5 + 7 = 12 (2) 6.000 : 12 = 500 (3) 500 . 5 = R$ 2.500,00 e 500 . 7 = R$ 3.500,00

Ex.6: Dividir 536 em partes diretamente proporcionais a 1 2 1 , , . 5 3 4

Sol.: Apenas Pela MP, vem: 40  15 67  (1) 15  23  14 = 12  60 60 (2) 536 : 67 = 8 (3) 8 . 12 = 96 8 . 40 = 320

8 . 15 = 120

Ex.7: Uma empresa quer distribuir uma gratificação de R$ 1.280,00 a seus 3 empregados: João, José e Pedro. O empregador deseja fazer a divisão de modo inversamente 116


proporcional ao número de faltas de cada funcionário. O resumo das faltas é: João = 4 faltas; José = 9 dias e Pedro = 12 dias.

Sol.: Apenas Pela MP, vem: 1 4  3 16  (1) 14  19  12 = 9 36 36 (2) 1.280 : 16 = 80 (3) 80 . 9 = R$ 720,00 80 . 4 = R$ 320,00 80 . 3 = R$ 240,00

Vemos que quem teve menor número de faltas receberá a maior gratificação e quem teve maior número de faltas, receberá menor gratificação.

Ex.8: Dividir 360 em partes inversamente proporcionais a 13 , 16 e 19 . Sol.: Apenas Pela MP, vem: (1) 3 + 6 + 9 = 18 (2) 360 : 18 = 20 (3) 20 . 3 = 60 20 . 6 = 120

20 . 9 = 180

117

John Taylor Paiva

10. REGRA de SOCIEDADE É um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de do lucro ou prejuízo de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais e também tempos distintos. É uma das aplicações da Divi são em Par tes Proporcionais . Consiste na distribuição do Lucro ou responsabilidade no Prejuízo de uma Empresa, em partes rigorosamente proporcionais aos Capitais Investidos por cada um dos sócios, e ao tempo/período de permanência de cada sócio na sociedade. Existem três problemas importantes a respeito da divisão de um número em partes proporcionais. Todos eles se referem à divisão de lucros e prejuízos de vários sócios que compõem uma sociedade levando-se em conta os capitais e os tempos de sociedade de cada sócio.

PROBLEMA 1 – Todos tem o mesmo capital e seus tempos de participação na sociedade são distintos. A divisão de lucros é então feita diretamente proporcional aos tempos de sociedade de cada um. Ex.: Uma empresa fez a divisão de R$ 2.700,00 de lucros entre seus 3 sócios. O primeiro tem apenas 6 meses de firma, o segundo 9 meses e o terceiro 12 meses. Quanto receberá cada um? Sol.: Supõe-se no problema que o capital de cada um é o mesmo. Assim, sejam x, y e z os lucros de cada um. 118


Apenas

armando

 x  y  z  R$ 2.700,00   x y z  6  9  12 

de

modo

tradicional

(1) (2)

Sol.: Pela MP, vem: (1) 6 + 9 + 12 = 27 (2) 2.700 : 27 = 100 (3) 100.6 = R$ 600,00 100.9 = R$ 900,00 100.12 = R$ 120,00

PROBLEMA 2 – Os capitais são diferentes e o tempo de sociedade é o mesmo. A divisão de lucros ou prejuízos é feita diretamente proporcional aos capitais dos sócios. Ex.: Três pessoas fizeram uma sociedade entrando com os capitais de R$ 5.000,00, R$ 7.000,00 e R$ 8.000,00 respectivamente. Se ao fim de um ano devem repartir R$ 2.000,00 de lucros, quanto caberá a cada uma delas. Sol.: Armando de modo tradicional:

 x  y  z  R$ 20.000,00 (1)  y z  x (2)    5.000 7.000 8.000 

Pela MP, vem: (1) 5.000 + 7.000 + 8.000 = 12.800 (2) 2.000 : 20.000 = 0,1 (3) 0,1 . 5.000 = R$ 500,00 0,1 . 7.000 = R$ 700,00 119

John Taylor Paiva

0,1 . 8.000 = R$ 800,00

PROBLEMA 3 – É o caso em que tanto o capital como o tempo é diferente para cada sócio. A distribuição no caso é feita diretamente proporcional aos produtos dos tempos pelos capitais. Ex.: João, José e Carlos fizeram uma sociedade. João está a 6 meses, José a 8 meses e Carlos a 10 meses. O capital de João é de R$ 70.000,00, o de José R$ 50.000,00 e o de Carlos R$ 80.000,00. De que maneira eles deverão receber um lucro de R$ 81.000,00?

Sol.:

  (1)  x  y  z  81.000,00  x y z (2)    (6) . 70.000,00 (8) . 50.000,00 (10) . 80.000,00    João José Carlos 

Pela MP, vem: (1) 6 . 70.000 + 8 . 50.000 + 10 . 80.000 = 420.000 + 400.000 + 800.000 = 1.620.000 (2) 81.000 : 1.620.000 = 0,05 (3) 0,05 . 420.000 = R$ 21.000,00 0,05 . 400.000 = R$ 20.000,00 0,05 . 800.000 = R$ 40.000,00

120


11. REGRA DE TRÊS No cotidiano, assim como na matemática, na física, na química e outras ciências, surgirão problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais. A técnica para resolvê-los é chamada Regra de Três. Se o problema envolve duas grandezas apenas, a regra de três é simples, se envolver mais de duas grandezas, a regra de três é composta. 11.1. GRAN DE ZAS DI RETAM EN TE PROPORCI ONAI S

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.

Ex.: Um automóvel em 1 hora percorre 80 km. Em 2 horas percorre 160 km. Em 3 horas percorre 240 km. Observe que se duplicarmos a hora, duplicaremos o km; logo, ao tomarmos a hora um certo número “n” de vezes maior, seu km também ficará “n” vezes mais distante. ● As razões entre os elementos correspondentes são iguais: 1 2 3   80 160 240

● As grandezas “tempo” e “distância” são diretamente proporcionais. 121

John Taylor Paiva

SE LIGUE! Assim, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual à razão dos valores correspondentes da outra. 11.2. GRAN DE ZAS I NVE RSAM EN TE PROPORCI ONAI S

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.

Ex.: A professora de um colégio, tem 24 livros e pretende distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno. Observe que escolhendo apenas o melhor aluno, este aluno terá 24 livros. Os 2 melhores alunos, cada aluno terá 12 livros, os 3 melhores alunos, 8 livros, os 4 melhores alunos, 6 livros, os 6 melhores alunos, 4 livros. ● Vamos colocar esses dados numa tabela: Alunos escolhidos  1 2 3 4 Livros p/ cada aluno  24 12 8

6

6 4

● De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

 Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade. 122


 Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.  Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.  Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte. SE LIGUE! Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais. Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6. Notemos que essas razões não são iguais, são inversas: 2 1  4 12 6

12 1  6 2 4

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 2 1  6 12 4

12 1  4 2 6

Assim, quando duas grandezas são inversamente proporcionais à razão de dois valores quaisquer de uma delas, são iguais a razão inversa dos valores correspondentes da outra. 123

John Taylor Paiva

11.3. REGRA de TRÊS SI M PL ES

É um processo prático para resolver problemas envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

SE LIGUE! Vejamos dois métodos de resolução, um tradicionalmente usado e um outro prático. 11.4. M ÉTODO CONVE NCI ONAL de RESOL UÇÃ O DE PROBLEMAS – M C

(i) Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido. (ii) Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário. 11.5. M ÉTOD O PRÁTI CO de RESOL UÇÃ O DE PROBLEMAS – M P

(i) Se o resultado da pergunta der MAIS, o número MAIOR irá para o numerador e o MENOR para o denominador. (ii) Se o resultado da pergunta der MENOS, o número MENOR irá para o numerador e o MAIOR para o denominador.

Ex.1: Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35m2. Quantos litros são necessários para uma parede de 15m2? 124


Sol.: litros 14 x

m2 35 15

 MC 

14 x



35 15

RACIOCÍNIO: Se com 14 litros pintamos 35m2, para pintar uma de apenas 15m2, precisamos de mais ou menos litros? Resp.: Menos, então o número menor vai para o numerador (no caso 15). . 15 210  MP  x  1435  x = 6 litros 35

Ex.2: Um homem percorreu 30 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 18 horas? h Sol.: km 30 5  30 5  MC  x 18 x 18 RACIOCÍNIO: Se em 5 horas ele percorre 30 quilômetros, em 18 horas ele percorrerá mais ou menos quilômetros? Resp.: Mais, então o número maior vai para o numerador (no caso 18). MP  x  18 5. 30  540  x = 108 km 5

125

John Taylor Paiva

Ex.3: Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre uma certa distancia em 4 horas. Quantas horas levaria se tivesse uma velocidade média de 80 km/h. Sol.: km 60 80

h 4

 MC 

80 4  60 x

x

SE LIGUE! Note que no MC invertemos a grandeza km.

RACIOCÍNIO: Se com uma velocidade de 60km/h ele percorre uma certa distância em 4 horas, com uma velocidade de 80km/h ele levaria mais ou menos horas para percorrer a mesma distância? Resp.: Menos, então o número menor vai para o numerador (no caso 60). MP  x 

4 . 60 240  80 80

 x = 3 h

Ex.4: Com 12 operários podemos construir um muro em 3 dias. Quantos dias levarão 4 operários para fazer o mesmo muro? Sol.: Operários 12 4

126

dias 3 x

 MC 

4 35  12 x


SE LIGUE! Note que no MC invertemos a grandeza operário. RACIOCÍNIO: Se com 12 operários podemos construir um muro em 3 dias, com apenas 4 operários construiremos o muro em mais ou menos dias? Resp.: Mais, então o número maior vai para o numerador (no caso 12). MP  x  3 .412  36  x = 9 dias 4 11.6. REGRA de TRÊS COM POSTA

É um processo prático que envolve problemas com mais de duas grandezas.

Ex.1: Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia? Sol.: Para colocar as setas, compara-se cada grandeza com aquela que contém a incógnita x, como se fosse várias regras de três simples. km 2232 x

dias 6 10

horas 12 14

1.ª) COMPARAÇÃO: Comparamos os dias com o percurso andado, mantendo fixo a quantidade de horas. 127

John Taylor Paiva

RACIOCÍNIO: Se o ônibus percorre uma certa distância em 6 dias rodando 12 horas/dia, em 10 dias andando a mesma quantidade de h/d (12 horas/dia), ele vai percorrer maior ou menor distancia. Claro que maior, portanto é direta. Sol.: km 2232

dias 6

x

horas 12  MC  2232 6 x

10

10

12

SE LIGUE! No MP  Maior para o numerador. MP  x  2232. 10  2232  x = 3720 km 6

6

2.ª) COMPARAÇÃO: Comparamos agora a quantidade de horas/dias rodados diariamente com o percurso andado, mantendo fixo a quantidade de dias. RACIOCÍNIO: Se o ônibus percorre uma certa distância rodando 12 horas/dia em 10 dias, aumentando a quantidade para 14 horas/dia, ele vai percorrer maior ou menor distancia. Claro que maior, portanto é direta. Sol.: km 3720 x

dias 10

horas 12  MC  3720 12

10

14

x

SE LIGUE! No MP  Maior para o numerador.

128

14


MP  x  3720. 14  5208  x = 4340 km 12

12

Ex.2: Se 10 operários fazem em 8 dias 25 de um serviço, em quantos dias 12 operários farão o resto do serviço? Sol.: Antes de resolver analisemos o seguinte: O serviço todo é: 5  2  3 5

5

5

SE LIGUE! Quando os denominadores forem iguais, não trabalhamos com eles para facilitar os cálculos, pois o resultado não será alterado. Ok? Portanto, procedendo da mesma maneira que nos problemas anteriores, temos: Operários 10 12

dias 8

serviço 2  MC  8

x

3

MP  x  8 . 10 . 3  x  12 . 2

12 2  X 10 3

240 x 24



= 10 dias

Ex.3: 8 operários desejam construir um muro de 20 metros de comprimento. Depois de 6 horas de trabalho fizeram apenas 12 metros. Quantos operários serão necessários para, trabalhando 16 horas por dia terminarem o serviço? 129

John Taylor Paiva

Sol.: operários 8 x

horas 6

metros 12  MC  8

16 12  X 6 8

16

MP  x  8 . 6 . 8  x  16 . 12



8 384 192

 x = 2 operários

Ex.4: 8 operários fizeram em 5 dias de trabalho

2 3

de

uma obra. Em quantos dias, 15 operários poderão fazer o serviço todo?

Sol.: operários 8 15 O serviço todo é:

dias 5

serviço 2  MC  5

x

3

X

3 3

MP  x  5 . 3 . 8  x  1 2 0  x = 4 dias 2 . 15

130

30



2 15  3 8


12. CÂMBIO É o conjunto de operações que tem como objetivo realizar pagamentos em praças, cujas moedas sejam diferentes, através da conversão dessas moedas.

CÂMBIO DIRETO É a operação que envolve apenas duas espécies de moedas; sua operação se processa com aplicação da regra de três simples.

Ex.1: Sabendo-se que 1US$ está cotado a R$ 2,80 quanto gastarei para adquirir 350 US$? Sol.: 1 US$ 350 US$

 

2,80 x  x  350 .12,80  x  R$ 980,00

Ex.2: Qual a cotação do escudo, se com R$ 960,00 posso adquirir 80 escudos? Sol.: 960,00 x

 

80 esc.  x  R$ 12,00 1 esc.  x  960.1 80

CÂMBIO INDIRETO É a operação que se processa envolvendo moeda de 3 ou mais países. Para fazermos as conversões, utilizamos o processo da regra conjunta. 131

John Taylor Paiva

13. REGRA CONJUNTA É o processo que consiste em solucionar questões, por meio da conversão de unidades de uma espécie, em unidades de espécies diferentes, quando são fornecidas as diversas equivalências.  Escreve-se

uma serie de igualdades, de forma que a primeira igualdade contenha a incógnita do seu lado esquerdo, ou seja, no primeiro membro. As demais igualdades escrevemse de tal forma, que a unidade que as iniciem sejam obrigatoriamente, da unidade do segundo membro da igualdade anterior. Determina-se o termo desconhecido dividindo-se o produto dos segundos membros pelo produto dos primeiros membros das diversas igualdades.

Ex.1: Sabendo-se que 5 abacaxis custam tanto quanto 10 maças, que 3 maçãs valem 6 pêras e que 4 pêras valem 12 jacas e que 8 jacas custam R$ 4,80; Qual o preço de um abacaxi em reais? Sol.: “x” R$

132



1 abacaxi.

5 abacaxis



10 maçãs.

3 maçãs



6 pêras

4 pêras



12 jacas

8 jacas



4,80


x 

1 . 10 . 6 . 1 2 . 4,80 345  x   x = R$ 7,20 5.3.4.8 480

Ex.2: Sabendo-se que 2 libras esterlinas valem 4 dólares e que 5 dólares valem 10 marcos; 2 marcos correspondem a 20 escudos, calcular em escudos, o equivalente 100 £. Sol.: “x” esc 2£

x 

 

100 £. 4 US$

5 US$



10 marcos

2 marcos



20 esc.

100.4.10.20  x  R$ 4.000 escudos 2.5.2

133

John Taylor Paiva

13.1. QUE STÕES DE CONCURSOS AN TE RI ORES

77. Dividir 340 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 7.

78. Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4. 79. Dividir 642 em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 10 e 16. 80. Um pai distribuiu a importância de R$ 5.000,00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades, que são 4, 7 e 9 anos. Quanto coube a cada um? 81. Três amigos, A, B e C, saíram para comer uma pizza. Ao final, perceberam que o amigo “A” comeu 14 , o amigo “B”, 1 3

5 e o amigo “C”, 12 da pizza. O preço cobrado pelo restaurante foi de R$ 1.200,00. Calcule a parte dessa quantia devida a cada um, sabendo que desejam dividir a despesa em partes proporcionais ao que cada um comeu.

82. Um pai ofereceu R$ 6.000,00 para serem repartidos entre seus três filhos, em partes inversamente proporcionais às suas faltas à escola durante o mês. Quanto coube a cada filho, sabendo que dois deles faltaram 2 vezes cada um e o outro faltou 5 vezes? 83. Um pai resolve premiar seus dois filhos com 16 livros que serão repartidos entre eles em partes inversamente 134


proporcionais ao número de erros que tiveram em uma determinada prova. Sabendo que o primeiro filho cometeu 3 erros e o segundo, 5 erros, determine o número de livros que cada um recebeu.

84. Vinte pedreiros constroem um muro em 10 dias. Quantos pedreiros seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 8 dias? 85. Duas torneiras gastam 6 horas para encher um reservatório de água. Quantas horas gastarão 3 torneiras iguais a essas para encher o mesmo reservatório? 86. Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras 2 horas consegui ler 25 páginas. Quantas horas levarei para ler esse livro? 87. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 30 caminhões com 4 m 3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5 m 3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 88. Um muro terá 40 m de comprimento. Em três dias foram construídos 12 m de muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o restante do muro será construído? 89. Uma placa de alumínio de 8 cm de comprimento e 6 cm de largura pesa 50 kg. Quanto pesará uma placa desse mesmo alumínio de forma quadrada e de 10 cm de lado? 135

John Taylor Paiva

90. Um terreno retangular tem 12 m de comprimento e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m o comprimento do terreno, quantos metros devemos aumentar a sua largura, para que a área permaneça a mesma? 91. Quinze pessoas, trabalhando 3 horas por dia, durante 20 dias, produzem 300 peças. Quantas pessoas serão necessárias para fazer 600 peças iguais a essas, em 30 dias, com 4 horas de trabalho por dia? 92. Uma fábrica produz 300 peças de um certo produto em 4 dias de 9 horas. Quantos dias de 6 horas levará para produzir 250 peças do mesmo produto? 93. Dezoito operários trabalhando 7 horas por dia, durante 12 dias, fazem um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? 94. Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 kg de alfafa durante 7 dias. Para alimentar 8 cavalos durante 10 dias, quantos quilos de alfafa serão necessários? 95. Um automóvel, com velocidade de 60 km/h, rodando 5 horas por dia, faz certo percurso em 12 dias. Se a sua velocidade fosse de 75 km/h e se rodasse 6 horas por dia, em quantos dias ele faria o mesmo percurso? 96. Dois operários produzem em 5 dias 320 peças de um certo produto. Quantas peças desse produto produzirão 5 operários em 8 dias? 136


97. O motorista de um automóvel deseja fazer em 8 dias um trajeto já feito em 10 dias de 5 horas, com velocidade de 60 km/h. Quantas horas por dia deverá fazer, se aumentar a velocidade 14 da anterior? 98. Se 20 operários levam 16 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento, quantos dias levarão 18 operários para construir outro muro de 3 m de altura e 30 m de comprimento? 99. Para abrir um poço de 3 m de comprimento por 2 m de largura e 10 m de profundidade, um trabalhador leva 5 dias. Quantos dias levará para abrir um poço de 4 m de comprimento por 3 m de largura e 8 m de profundidade?

137

John Taylor Paiva

14. CÁLCULO LITERAL Na Álgebra, procuraremos com o auxilio de Letras, representar ou traduzir em linguagem Matemática as operações estudadas em Aritmética.

VARIÁVEL ou INCÓGNITA A letra que representa qualquer número ou um conjunto de números.

Ex.: 2x  onde “x” poderá representar qualquer número. Então 2x estará representando o dobro desse número. CONSTANTE OU COEFICIENTE O número que representa uma quantidade que no caso do exemplo anterior é o valor dois. 14.1. EX PRESSÕES NUM ÉRI CAS

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Ex.: 7 + 5 + 4 (6 + 8) – 10

5 + 20 – 87 (5 . 4) + 15

14.2. EX PRESSÕES AL GÉBRI CAS ou L I TERAI S

São expressões matemáticas que apresentam letras e/ou números. 138


Ex.: 2a + 7b

(3c + 4) – 5

23c + 4

TERMO ALGÉBRICO ou LITERAL Todo produto de constantes e variáveis. 14.3. CL ASSI F I CAÇÃ O DAS EXPRESSÕES AL GÉBRI CAS

RACIONAL NÃO contém variável sob radical NEM variável elevada à expoente fracionário. Ex.:

x2 + 4 x +

3 .x + 5 = 4

3

1 2

=0

IRRACIONAL CONTÉM variável sob radical OU variável elevada à expoente fracionário. Ex.:

x  1 =

1 1 2 x  5 x 2 =

3

4

INTEIRA NÃO contém variável em denominador NEM variável elevada à expoente negativo. Ex.:

x  3 2x  1  3 4 5

x  2 x  3  8 ab ab

139

John Taylor Paiva

FRACIONÁRIA CONTÉM variável em denominador OU variável elevada à expoente negativo. Ex.: x  1  x  3  5 x  3

x  2

x 2  3 x 1  4  0

14.4. POLI NÔM I OS

É uma expressão algébrica de dois ou mais termos, onde os expoentes são números naturais, ou seja, é toda expressão algébrica racional inteira.

DENOMINAÇÃO Conforme a quantidade de termos, o polinômio recebe denominação especial. As expressões podem ser dos tipos: Monômio, Binômio, Trinômio, etc.

Ex.: m(x,y) = 3 xy b(x,y) = 6 x2y - 7y f(x) = a x2 + bx + c MONÔMIOS Quando não apresenta as operações de adição e subtração entre constantes e variáveis, ou seja, constituída por um único termo algébrico.

Ex.: -6x2y3 140


Onde o coeficiente = -6 e a parte literal = x2y3 GRAU DE UM MONÔMIO É indicado pela soma dos expoentes da parte literal.

Ex.: O monômio 2x2y3 é do 5.° grau. SE LIGUE! Pode-se, no entanto, indicar o grau de um monômio em relação a uma determinada letra. Ex.: O monômio 2x2y3 é do 2.° grau em relação a “ x ” e do 3.° grau em relação a “ y ”. GRAU DE UM POLINÔMIO É indicado pelo termo de maior grau.

Ex.: O polinômio 2x2y – 3x2y3 + 5xy é do 5.° grau. SE LIGUE! Podemos também determinar o grau de um polinômio em relação a uma das variáveis. O maior grau da variável considerada indica o grau do polinômio. Ex.: O polinômio 2x2y4 – 3x3y + 4xy2 é do 3.° grau em relação a “x ” e do 4.° grau em relação a “ y ”. POLINÔMIO HOMOGÊNEO É o polinômio que tem todos os termos do mesmo grau. 141

John Taylor Paiva

Ex.: 2x2y3 – 3x3y2 + 5x4y + 7x5 é homogêneo do 5.° grau.

POLINÔMIO COMPLETO Em relação a uma letra, quando ele contém todas as potências dessa letra, desde a de maior grau até a de grau zero.

Ex.: 2x3y2 – 3xy4 + 5x2y5 – xy3 + 2x5y + 7x7 É completo em relação a “y”, porque contém todas as potencias dessa letra, desde a do 5.° grau (5x2y5), até a de grau zero (7x7), inclusive. É incompleto em relação a “x”, porque não contém os termos do 6.° grau, do 4.° grau e zero, em relação a “x”.

SE LIGUE! Podemos completar um polinômio incompleto, em relação a uma letra, acrescentando-se os termos das potências dessa letra que estejam faltando, termos esses com coeficientes nulos. Ex.: Completar o polinômio: 5x5 – 3x + 4x3 – 7 Sol.: 5x5 – 3x + 4x3 – 7 + 0x4 + 0x2 POLINÔMIO ORDENADO Em relação a uma letra, quando os termos desse polinômio, se dispõem numa ordem natural crescente ou decrescente das potências dessa letra. 142


Ex.: 2xy5 – 4x3y3 + 3x4y – 2x5 Está ordenado decrescentemente em relação à letra “ x”.

Ex.: 5x4 + 3x2 – 2x – 8  Ordenado decrescentemente. Ex.: – 8 – 2x + 3x2 + 5x4  Ordenado crescentemente. VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Ex.: Se p(x,y) = 3x2y P/ x = 7 e y = 2 p(7,2) = 3 . 72 . 2 = 294

TERMOS SEMELHANTES São termos que possuem a mesma parte literal.

Ex.: -3a e 4a são termos semelhantes. REDUÇÃO de TERMOS SEMELHANTES Quando tivermos dois ou mais termos semelhantes, reduzimos todos a um único termo somando ou subtraindo os coeficientes e conservando a parte literal. 143

John Taylor Paiva

Ex.: 2x2 – 4x2 + 5x2 = 3x2 ELIMINAÇÃO de PARÊNTESES em MONÔMIOS Deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro dos parênteses com o uso da regra dos sinais.

Ex.: a) -(4x)+(+7x)=-4x+7x=3x b) +(4x)+(-7x)=4x-7x=- 3x

A IMPORTÂNCIA das EXPRESSÕES MATEMÁTICAS No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Ex.: São encontradas em fórmulas matemáticas e no cotidiano, como por exemplo, na compra de um livro e dois lápis, se V é o total de dinheiro disponível e T é o troco, então temos uma expressão do tipo V - (1x+2y) = T. 14.5. OPE RAÇÕES COM EXPRESSÕES AL GÉBRI CAS de MONÔMIOS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Faz-se a eliminação dos parênteses e a seguir a redução dos termos semelhantes, se existirem.

Ex.: 4x+(3x – 2)=4x+3x – 2=7x – 2 144


8x – (2x+4)=8x – 2x – 4=6x – 4

VEJA que na subtração troca-se os sinais dos termos nos parênteses. MULTIPLICAÇÃO Efetuam-se a multiplicação dos coeficientes observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, e, após das partes literais, obedecendo às regras de potenciação.

Ex.: (3x) . (4xy) = 12x2y MULTIPLICAÇÃO de MONÔMIO por POLINÔMIO Efetua-se a multiplicação do monômio por todos os termos do polinômio (Propriedade Distributiva).

Ex.: 2x2 . (3x + 2x2 – 4x3) = 6x3 + 4x4 – 8x5 DIVISÃO Para dividir monômios, devem-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, e, após das partes literais, obedecendo as regras de potenciação.

Ex.: a) (12x5) : (2x3) = 6x2

145

John Taylor Paiva

DIVISÃO de um POLINÔMIO por um MONÔMIO Efetua-se a divisão de cada um de todos os termos do polinômio pelo monômio.

Ex.: 12x3 – 18x2 + 4x por 3x = (12x3 – 18x2 + 4x) : (3x) DIVISÃO de um POLINÔMIO por POLINÔMIO Nesta divisão podemos utilizar alguns métodos.

MÉTODO DA CHAVE Ex.: 3x2 – 2x – 10 por x – 3 a) Divida o 1.º termo do dividendo (3x2) pelo 1.º termo do divisor (x) e obtenha o 1.º termo do quociente (3x). b) Multiplique o 1.º termo do quociente (3x) pelos termos do divisor, colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes. Reduza os termos semelhantes.

 x – 3 Ex.: 3x2 – 2x – 10 -3x2 + 9x 3x + 7 7x – 10 . -7x + 21 11  Resto

146


RESUMINDO D = Dividendo; Q = Quociente D = d . Q + R

d = Divisor;

R = Resto;

gr(R) < gr(d) ou R(x) = 0

Ou seja, o Grau do Resto é menor que o grau de divisor ou o Resto é igual a zero. 14.6. DI SPOSI TI VO PRATI CO DE BRI OT RUF F I NI

É um método muito simples e pratico para efetuar a divisão de um polinômio D(x) por um binômio do 1.° grau, da forma ax + b.

REGRA 1. Escrevemos numa mesma linha, separados por um traço vertical todos os coeficientes do dividendo D(x) escrito na forma completa e ordenada e logo abaixo, no inicio da segunda linha a raiz do divisor d(x); 2. Repetimos o 1° coeficiente do dividendo D(x) na segunda linha, ao lado da raiz, logo após o traço, que será o 1.° coeficiente do quociente Q(x); 3. Multiplicamos a raiz pelo 1.° coeficiente do quociente obtido e adicionamos o resultado ao 2.° coeficiente do dividendo, obtendo assim, o 2.° coeficiente do quociente Q(x); 147

John Taylor Paiva

4. Repetimos a última seqüência para os coeficientes restantes. ILUSTRAÇÃO Coeficientes de D(x) Raiz De d(x)

Coeficientes de Q(x)

Resto R(x)

Ex.: Dividir: D(x) = x3 + 3x2 – 2x – 6 por d(x) = x - 2 +

2

1

3

-2

-6

1

5

8

10

x

Como pelo método de Descartes temos: gr(Q) = gr(D) – gr(d), vem: gr(Q) = 3 – 1  gr(Q) = 2 Portanto, o polinômio quociente é do tipo: Q(x) = ax2 + bx + c  Q(x) = x2 + 5x + 8 148


Pela condição: gr(R) < gr(d), podemos concluir: R(x) = 10 14.7. TEOREM A DO RESTO

O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x – a) é R = P(a).

Ex.: O resto da divisão de P(x) = 2x2 + 3x2 – 3x – 2 por: a) (x – 1) é P(1) = 2 . 13 + 3 . 12 – 3 . 1 – 2  P(1) = 0 Aqui, verificamos que 1 é raiz de P(x)

b) (x + 1) é P(-1) = 2 . (-1)3 + 3 . (-1)2 – 3 . (-1) – 2  P(-1) = 2 SE LIGUE! Como conseqüência do teorema do resto temos: 14.8. TEOREMA DE D’ALEMBERT

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0.

Ex.: O polinômio P(x) = 3x3 – 10x2 + 2x + 3: a) É divisível por (x – 3), pois: P(3) = 3 . 33 – 10 . 32 + 2 .3+3=0 149

John Taylor Paiva

b) Não é divisível por (x – 1), pois: P(1) = 3 . 13 – 10 . 12 + 2 . 1 + 3 = -2 ≠ 0. 14.9. RESOL UÇÃ O de EX PRESSÃ O M ATEM ÁTI CA

Nas operações em uma expressão numérica ou algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração SE LIGUE!: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }. Vejam algumas: Ex.1: (-3a) + [(5a) – (-4a) + (-a)] = -3a + [5a + 4a – a] = -3a + 5a + 4a – a = 5a

Ex.2: (6a) – [(-8b) – (5a) – (-2b)] = 6a – [-8b – 5a +2b] = 6a + 8b + 5a – 2b = 11a + 6b

Ex.3: (8x2) – {(-3y2) – [(7x2) – (6y2)]} = 8x2 – {-3y2 – [7x2 – 6y2]} 15x2 - 3y2 150

= 8x2 – {-3y2 – 7x2 + 6y2} = 8x2 + 3y2 + 7x2 – 6y2 =


Ex.4:

 1   1   2   3          ax ax ay ay  4   2   5   10             

=



 1 1 3  2  ax   ax   ay  ay   4 10    5  2

=



1 ax 4

=



1 1 2 3 1 13 ax  ax  ay  ay = ax  ay 4 2 5 10 4 10

-

2 3   1 ay   ax  ay  5 10   2

151

John Taylor Paiva

15. OS PRODUTOS NOTÁVEIS São produtos que surgem com bastante frequência no cálculo algébrico. Para obter esses produtos, podemos utilizar a propriedade distributiva. No entanto, podemos obtê-los de forma menos trabalhosa se usarmos algumas regras (identidades) especiais.

1- QUADRADRO de um BINÔMIO-SOMA - (Da SOMA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ex.: (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4 2 - QUADRADO de um BINÔMIO-DIFERENÇA - (Da DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ex.: (x – 4)2 = x2 – 2.x.4 + 42 = x2 – 8x + 16 3 - PRODUTO de um BINÔMIO-SOMA PELO SEU BINÔMIO DIFERENÇA - (Da SOMA PELA DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b).(a – b) = a2 – b2 Ex.: (x + 3).(x – 3) = x2 – 32 = x2 – 9

152


4 - O CUBO de um BINÔMIO-SOMA - (CUBO da SOMA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Ex.: (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x +8

5 - CUBO de um BINÔMIO-DIFERENÇA - (CUBO da DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 Ex.: (x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8 6 – PRODUTO DE DOIS BINÔMIO-SOMA COM O SEGUNDO TERMO DIFERENTE Sx + P

REGRA  (x + a).(x + b) =.x2 + x(a + b) + ab ou x2 + Ex.: (x + 2).(x + 3) = x2 + 5x + 6

7 – SOMA DE DOIS TERMOS ELEVADOS AO CUBO REGRA  a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ex.: x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)

153

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8 – DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ELEVADOS AO CUBO REGRA  a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) Ex.: x3-8 = (x – 2).(x2 + 2x + 4) 9 – QUADRADO DE UM POLINÔMIO REGRA  (a + b  c)2 = [a + (b  c)]2  a2 + b2 + c2 + 2ab  2ac  2bc Ex.: (x3 + 2x + 3)2 = x4 + 4x2 + 9 + 4x3 + 6x2 + 12x x4 + 4x3 + 10x2 + 12x + 9

154


16. FATORAÇÃO ALGÉBRICA É a operação que permite transformar uma expressão num produto indicado equivalente a esta expressão.

Ex1.: Decompor o número 90 em fatores primos. 90 = 2 x 32 x 5  Forma fatorada do número.

Ex2.: 2x + 6 = 2(x + 3) FATORAÇÃO ALGÉBRICA (a) FATOR COMUM  FATORES EM EVIDÊNCIA Separamos o fator comum e formamos um produto de dois fatores, onde um dos fatores é o fator comum e o outro, que será colocado entre parênteses, obtido pela divisão do polinômio pelo fator comum.

Ex.: ax + ay = a(x + y) DETERMINAÇÃO DO PRODUTO INDICADO EQUIVALENTE (a) Escreve-se o fator comum; (b) Abrem-se parênteses e escrevem-se os quocientes da divisão de cada termo da expressão pelo fator comum, fechando-se o parêntese após o último quociente. 155

John Taylor Paiva

DETERMINAÇÃO do FATOR COMUM (a) Isola-se a parte numérica da variável; (b) Extrai-se o M.D.C. da parte numérica, que será a parte numérica do fator comum; (c) Escrevem-se as letras que constam de todos os termos da expressão, com os seus menores expoentes, que será o fator comum literal (a parte variável do fator comum).

Ex.: 2x2y + 8x3y2 – 4x2y3 = 2x2y.(1 + 4xy – 2y2) m.d.c. (2,8,4) = 2 (numérica) e x2y (literal)  Fator comum  2x2y

Veja:

2 x 2y 2 x 2y

1

8 x 3 y 2 2 x 2 y

 4 xy

4 x 2y 3 2 x 2y

 2y 2

Ex.: 3a4x2 – 9a3x3 + 3a2x4 = 3a2x2 (a2 - 3ax + x2) m.d.c. (3,9,3)=2 (numérica) e (literal) a2x2  Fator comum  3a2x2 3a4 x 2 a2  3a2 x 2

156

9a3 x 3  3ax 2 2 3a x

3a2 x 4 x 2  3a2 x 2


(b) FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Agrupamos em vários grupos e se aplica quando não existe fator comum para todas as parcelas, mas partes da expressão (grupos) possuem.

Ex.: 3a2 + ac + 6ab + 2bc = a(3a + c) + 2b(3 a + c) = (3a + c) (a + 2b). Ex.: ax + ay + bx = by = a(x +y) + b(x + y) = (x + y) (a + b).

(c) OS PRODUTOS NOTÁVEIS Todos os produtos notáveis vistos anteriormente estão aqui incluídos.

(d) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio.

Ex.: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

x2  x

e

4 2

 O dobro do produto das raízes 2 . x . 2 = 4x, logo o trinômio é um quadrado perfeito. Ex.: a2 – 6a + 9 = (a – 3)2

a2  a

e

93

157

John Taylor Paiva

 O dobro do produto das raízes 2 . 3 . a = 6a, logo o trinômio é um quadrado perfeito. SE LIGUE! Como vimos fatorar um trinômio quadrado perfeito significa descobrir o quadrado do binômio-soma ou do binômio-diferença que lhe dá origem.

158



100. O preço de custo de um par de tênis é de c reais e o preço de venda, de v reais. Escreva uma expressão algébrica que indique o lucro obtido na venda de três pares de tênis. 101. Ao resolver um exercício, Paulo chegou à conclusão de que 2 = 0. observe como Paulo procedeu: “Considere a = 2 e b = 2. a) Logo, a = b b) De a = b, temos a . a = b . a e, portanto, a2 = a . b. c) De a2 = a . b, temos a2 – b2 = a . b – b2. d) De a2 – b2 = a . b – b2, temos (a + b) . (a – b) = b . (a – b). e) De (a + b) . (a – b) = b . (a – b), temos (a + b) = b. f) De a + b = b, vem a = 0. Mas, como a = 2, concluímos que 2 = 0. Ajude Paulo a descobrir em que passagem cometeu o erro.

102. A fórmula da área de um trapézio é dada por A = (b + B) . 2h , onde b e B são as medidas de suas bases e h a medida de sua altura, numa mesma unidade de comprimento. Dê a expressão algébrica que indica: a) A altura h de um trapézio, conhecidas as bases e a área. b) A base b de um trapézio, conhecidas a base B, a altura h e a área A.

159

John Taylor Paiva

103. Uma fórmula empregada em Física é a seguinte: F = K. mM . Expresse cada letra do 2.º membro em função das d demais letras sabendo que d é positivo. 2

104. Efetue e justifique: a) +2 + 3; -3 – 4; b) +5 – 8; -2 + 7; c) (-8) : (-4) (12) : (6) d) (-2) . (-3) (15) . (3) e)  12  13 f)

 1  2  2 :  3    

g)

 2   1    .   3   2 

(-8) : (+4) (-7) . (+2)

105. Efetuar a divisão de D(x) = 2x4 – 3x2 – 15 por d(x) = x + 3 pelo método das chaves e pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. 106. Calcular “a”, de modo que x3 + 5x2 + 4x + a seja divisível por x – 3. 107. Calcule: a) (10a3 – 18a2 + 8a) . 3a2 c) a . x + b . x + c . x e) x2 + 3x g) (x – 2) . (x + 2) i) (x – 2) . (x – 2) l) ( 2  1).( 2  1) 160

b) -6y . (y3 + 5y – 1) d) 5x – 10y + 15z f) 2x2 – 6x h) (x + 2) . (x + 2) j) ( 5  3).( 5  3) m) ( 3  5).( 3  5)


n) (x – 2).(x – 3)

o) (x + 5).(x – 4)

108. Desenvolva as expressões: a) (3a + b)2 b) (y + 0,1)2 c) (x + 13 )2 d) (0,8 + m)2 e) ( 14 + a)2 3

g) (x – 2)

f) (1,1 + x)2 h)

2t 2  6t  4 2

109. Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, dizer quanto vale a2 – b2. 110. Sabendo que x – y = 8 e x2 – y2 = 96, calcule x + y. b2.

111. Sabendo que a + b = 7, calcule o valor de a 2 + 2ab + 112. Sabendo que a – 1a = 10, calcule o valor de a 2 – a1 . 2

+ y2.

113. Sabendo que x – y = 20, calcule o valor de x 2 – 2xy

161

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Você já sabe que não tem em livros convencionais Para desenvolver a expressão: (a + b)4, vem: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 4.3 = 12= 2 2

6

6.2 3

=

12 3

=4

4.1 = 4

4 4

=1

a) Coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades. b) Entre a4 e b4 coloque o produto ab (n – 1) vezes. c) Decrescer os expoentes de “a” e crescer os expoentes de “b” (a4 até a0 e b0 até b4). d) Colocar o expoente “4” no coeficiente do termo seguinte e multiplicar pelo valor do expoente de a 3 e em seguida dividir pela quantidade de termos. Um exemplo típico é o problema seguinte: 06. (CN) Desenvolva: (a + b)5 Sol.: Seguindo a dica temos: (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 162


17. EQUAÇÕES SENTENÇA MATEMÁTICA (ou ORAÇÃO) É um conjunto de palavras que envolvem ideias matemáticas.

Ex.: 3 + 7 = 10

8>0

-2 ≠ 2

4  N

SENTENÇA MATEMÁTICA FECHADA Quando é possível associar de imediato um valor “ V” ou “F”.

Ex.: 4 + 10 = 14  (V)

3 + 6 > 15  (F)

SENTENÇA MATEMÁTICA ABERTA Quando não é possível associar de imediato um valor “V” ou “F”, pois apresentam valores desconhecidos.

Ex.: x + 4 = 6  (?)

x – 3 < 2y  (?)

EQUAÇÕES É toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.

Ex.: x – 5 = 0 3b + c = 0

10x – 3 = 2x – 1

x – y = 5

2a 163

John Taylor Paiva

MEMBROS da EQUAÇÃO Na expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1.º membro da equação, e a situada à direita, de 2.º membro da equação. Ex.: -3x + 12

=

2x – 9

TERMO da EQUAÇÃO É cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação.

Ex.: 4x – 9 = 1 – 2x  4x, – 9, 1, e – 2x são os termos da equação.

VARIÁVEL ou INCÓGNITA de uma EQUAÇÃO São os elementos desconhecidos de uma equação, portanto, a letra.

Ex.: A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x Ex.: A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y SE LIGUE! Quando substituímos a incógnita de uma equação por um valor numérico, a equação (sentença aberta) transforma-se em uma sentença fechada do tipo verdadeira ou falsa. 164


COEFICIENTE O fator numérico que acompanha a variável ou incógnita.

RAIZ DA EQUAÇÃO Cada um dos valores que, colocados no lugar da variável ou incógnita, transforma a equação em uma sentença verdadeira.

VERIFICAÇÃO DA RAIZ Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

Ex.: Verificar se 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6 5 (3) – 3 = 2 (3) + 6  15 – 3 = 6 + 6  12 = 12  (V) 17.1. RESOL UÇÃ O DE U M A E QUAÇÃ O

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução.

Ex.: Quais os elementos do conjunto U = {-2, 1, 2} que tornam a equação x 2 = 4 uma sentença verdadeira? Sol.: P/ x = -2 vem: (-2)2 – 4  4 = 4 P/ x = 1 vem: (1)2 = 4  1= 4

 (V)  (F)

165

John Taylor Paiva

2}

P/ x = 2 vem: (2)2 = 4  4 =  4 (V)

S = {-2,

CONJUNTO SOLUÇÃO ou VERDADE É o conjunto formado pelas raízes da equação que pertencem ao conjunto universo. Os valores que tornam verdadeira a equação.

CONJUNTO UNIVERSO É o conjunto formado por todos os valores pelos quais a variável deve ser substituída. Os valores que a variável pode assumir.

Ex.: Resolva a equação x + 3 = 5, sendo U = {1, 2, 3} Sol.: Substituindo os valores do conjunto universo, temos: P/ x = 1  1 + 3 = 5  4 = 5

 (F)

P/ x = 2  2 + 3 = 5  5 = 5

 (V)

P/ x = 3  3 + 3 = 5  6 = 5

 (F)

Então, S = {2} Ex.: Resolver a equação 2x – 3 = 5, sendo 2} 166

U = {-1, 0,


Sol.: substituindo os valores do conjunto universo, temos: P/ x = -1  2(-1) – 3 = 5  -2 – 3 = 5  -5 = 5

 (F)

P/ x = 0  2(0) – 3 = 5  0 – 3 = 5  -3 = 5

 (F)

P/ x = 2  2(2) – 3 = 5  4 – 3 = 5  1 = 5

 (F)

Assim, como a equação não tem raízes no conjunto U analisado, então a solução é: S =  EQUAÇÕES EQUIVALENTES Duas ou mais equações que tem o mesmo conjunto solução (não-vazio), relativo ao mesmo conjunto universo.

Ex.: Sendo U = {2, 4, 6} temos: a) x + 2 = 6  S = {4} e x = 6 – 2  S = {4} b) 5x = 10  S = {2} e x = 10/5  S = {2} c) x = 3  S = {6} e x = 3 . 2  S = {6} 2

PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA Vejamos dois princípios de equivalência válidos para as igualdades e como toda equação é uma igualdade, podemos estender para as equações: 167

John Taylor Paiva

PRINCIPIO ADITIVO Adicionando, ou subtraindo, um mesmo número aos dois membros de uma igualdade (equação), obteremos uma nova igualdade (equação) equivalente à dada.

Ex.: a) 5 + 7 = 12  (5 + 7) + 3 = 12 + 3 b) 5 + 7 = 12  (5 + 7) – 3 = 12 – 3 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Multiplicando, ou dividindo, os dois membros de uma igualdade (equação), por um mesmo número diferente de zero, obteremos uma nova igualdade (equação) equivalente à dada.

Ex.: a) 4 + 6 = 10  (4 + 6) . 2 = 10 . 2 b) 4 + 6 = 10  (4 + 6) : 2 = 10 : 2 17.2. RESOLUÇÃ O DE EQUAÇÕES USANDO OS PRI NCÍPI OS DE E QUI VAL ÊNCI A

Ex1.: Seja a equação x – 3 = 9 (U = R) Adicionando 3 aos dois membros da equação, temos: x – 3 + 3 = 9 + 3  x = 12

Assim, as equações x – 3 = 9 equivalentes, pois em ambos S = {12}.

e

Ex2.: Seja a equação 5x = 10 + 4x (U = R) 168

x = 12 são


Subtraindo 4x aos dois membros da equação, temos: 5x – 4x = 10 + 4x – 4x  x = 10

Assim, as equações 5x = 10 + 4x equivalentes, pois em ambos S = {10}.

e

x = 10 são

Ex3.: Seja a equação 3x = 15 (U = R) Dividindo os dois membros da equação por 3, temos: 3 x 3

=

15 3

 3x = 15  x =

15 3

 x = 5

Assim, as equações 3x = 15 equivalentes, pois em ambos S = {5}.

e

x = 5 são

17.3. EQU AÇÃ O do 1.ºGRAU a uma VA RI ÁVEL

As que apresentam apenas uma variável, sempre com o expoente um.

Ex.: x – 5 = 0

Ex.: 13 – 2x = 5

RESOLUÇÃO de uma EQUAÇÃO do 1.º GRAU a uma VARIÁVEL Sabemos que resolver uma equação significa encontrar o seu conjunto solução (verdade). As equações do 1.º grau a uma variável podem ser resolvidas empregando-se os princípios de 169

John Taylor Paiva

equivalência, que nos permitem simplificar a equação até tornála a mais elementar possível.

CONSEQÜÊNCIAS dos PRINCÍPIOS de EQUIVALÊNCIA Algumas consequências dos princípios de equivalência tornam mais simples a resolução de equações de 1.º grau a uma variável.

1.ª CONSEQÜÊNCIA (Do PRINCIPIO ADITIVO) Numa equação, pode-se mudar qualquer termo de um membro para o outro, desde que se troque o sinal do termo. A nova equação obtida é equivalente à equação dada.

Ex.: x – 15 = 20 é equivalente a x = 20+ 15 2.ª CONSEQÜÊNCIA (Do PRINCIPIO MULTIPLICATIVO) Em uma equação, pode-se trocar o sinal de todos os seus membros, bastando, para isso, multiplicar os dois membros da equação por (-1).

Ex.: a) -x + 3 = 5  x – 3 = -5 b) 3 – 5x = 2 + 3x  -3 + 5x = -2 – 3x

170


3.ª CONSEQÜÊNCIA (Do PRINCIPIO MULTIPLICATIVO) Quando todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, este poderá ser cancelado.

Ex.: a) b)

2 x 1 2    2x + 1 = 2 3 3 3 x 1 3 5x     x – 1 15 15 15 15

= 3 + 5x

SE LIGUE! Quando os termos de uma equação têm denominadores diferentes, torna-se necessário reduzir todos os termos ao mesmo denominador. Assim como, no caso em que o número que multiplica a variável for negativo, devemos multiplicar os dois membros da equação por (-1). 17.4. M ÉTOD O PRÁTI CO de RESOL UÇÃ O de UM A EQUAÇÃ O

PASSOS (a) Colocamos no 1.º membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. (b) Eliminamos os sinais auxiliares, se houver. (c) Eliminamos os denominadores, se houver. (d) Quando um termo trocar de membro, ele muda o sinal da operação. (e) Quando o coeficiente da incógnita for negativo, multiplicamos todo a equação por (-1). 171

John Taylor Paiva

(f ) O coeficiente da incógnita passa para o outro membro dividindo.

Ex.: Resolver a equação Sol.:

1 1  ( x  2)  (x  3)  4 3 5

1 2 1 3 5x 10 3x 9 60     x   x   4   15 15 15 15 15 3 3 5 5

5x + 10 – 3x – 9 = 60  5x + 10 – 3x + 9 = 60  5x – 3x = 60 – 10 – 9  2x = 41  x = 41 2 Essa é a equação elementar e o conjunto solução é: S = { 41 } 2 17.5. EQU AÇÕES I DEN TI DA DES

São equações em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação uma sentença verdadeira.

Ex.: Resolver a equação 5(2x – 3) – 4(x – 4) = 6x + 1 Sol.: 10x – 15 – 4x+16 = 6x+1  10x – 4x – 6x = 1 – 16+15  0x = 0 Essa equação é uma sentença verdadeira para qualquer número racional, porque qualquer número multiplicado por zero dá zero.

Então, S = Q 172


17.6. EQUAÇÕES I M POSSÍVEI S

São equações em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação uma sentença falsa.

Ex.: Resolver a equação 3(x + 1) + x= 4x + 10 Sol.: 3x + 3 + x = 4x + 10  3x + x – 4x = 10 – 3  0x =7 Essa equação é uma sentença falsa para qualquer número racional, porque não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 7.

Então, S =  17.7. EQUA ÇÃ O F RACI ONARI A

Como vimos são equações que possuem variável em denominador ou variável elevada a expoente negativo.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO FRACIONÁRIA Aplicamos a mesma regra já estabelecida para a resolução de equação inteira.

ÔPA! Porém, na eliminação dos denominadores de uma equação fracionaria, teremos que multiplicar os seus dois membros por uma expressão (mmc) que contém a variável, o que pode acarretar o aparecimento de raízes estranhas à equação dada que são os valores da variável que anulam a expressão 173

John Taylor Paiva

multiplicadora (mmc), portanto devemos exclui r do conjunto- universo os valores de variável que anularem o m.m.c .

EI, PSIU! Se a equação contiver variável (incógnita) elevada à expoente negativo, devemos, inicialmente, transformar esses expoentes negativos em expoentes positivos. PRESTENÇÃO! Como sabemos, não se pode dividir um número por zero. Então, numa equação fracionaria, a variável não pode assumir valores que anulam o denominador, ou seja, a equação somente tem existência se os valores da variável não anulam o denominador. Ex.: 1

3 x 3  x x  1 x  2 4 

2



Denominadores diferentes de zero: x≠0

x – 1 ≠ 0  x ≠ 1

Condição de existência: x ≠ 0

x + 2 ≠ 0  x ≠ – 2 x≠1

x ≠ – 2

Isto significa que a variável pode assumir qualquer valor que não seja 0, 1 ou – 2.

PRESTENÇÃO! O conjunto universo de uma equação fracionaria pode ser qualquer conjunto de números: N, Z, Q, R ou outro qualquer, com a exclusão dos valores da variável que anulam os denominadores. Ex.1: 174

1 2 x  1   x x  2 x  2


Denominadores diferentes de zero: x≠0

x – 2 ≠ 0  x ≠ 2

Condição de existência: x ≠ 0

x≠2

Então, o conjunto universo pode ser: U = N – {0,2} = R – {0,2}

U = Z – {0,2}

1 Ex.2: Na equação 3 x 2

U = Q – {0,2}

U

3 x  1 x  16 x  4 

Como x 2 – 16 = (x – 4) (x + 4), o primeiro denominador se anula para x = -4 ou x = 4 e o outro denominador se anula para x = -4. Então os números -4 e 4 não pertencem ao conjunto universo da equação. Logo: U = R – {-4, 4} ou U = {x Є R / x ≠ -4 e x ≠ 4} 17.8. EX EM PLOS DE APL I CAÇÃ O

Resolver as equações fracionarias

a)

x  1 2  x  3 3

mmc = 3(x + 3)

Condição de existência: x + 3 ≠ 0  x ≠ -3. 175

John Taylor Paiva

Daí: U = R – {-3} 3x + 3 = 2x + 6  3x – 2x = 6 – 3  x = 3. Daí: V = {3}

b) x –

2 x + x  1

3x = 4x + 8

mmc = 3(x + 3)

Condição de existência: x – 1 ≠ 0  x ≠ 1. Daí: U = R – {1} x2 – x – 2x + 3x2 – 3x = 4x2 – 4x + 8x – 8 – 10x = - 8  x=

4 5

Daí: V = { 4 } 5

c)

2 x  1 x  1 x 2  21   x  3 x  3 x 2  9

mmc = (x + 3)(x – 3) = x2 + 9 Condição de existência: x + 3 ≠ 0  x ≠ -3. x – 3 ≠ 0  x ≠ 3. Daí: U = R – {-3, 3} (x + 3) (2x – 1) – (x – 3) (x + 1) = x2 + 21 176


2x2 – x + 6x – 3 – x2 – x + 3x + 3 = x2 + 21  7x = 21  x = 3 A equação é impossível, porque o valor de 3 anula o mmc, e como tal não pode ser aceito como raiz da equação dada. Daí: V = Ø 17.9. DI SCUSSÃ O D A EQUAÇÃ O D O 1.° GRAU

A equação do 1.° grau a uma variável, após eliminados os denominadores, os sinais de reunião, feita a transposição de termos e reduzidos os termos semelhantes, se reduz à forma:

FÓRMULA DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1.° GRAU A UMA VARIÁVEL ax = b  x = b , que é a fórmula de resolução a

SE LIGUE! Discutir uma fórmula consiste em estabelecer todas as hipóteses possíveis sobre os valores dos parâmetros que nela figuram e para os quais a equação é determinada, indeterminada ou impossível. HIPÓTESES Vejamos quatro hipóteses sobre os valores que podem ser atribuídos aos parâmetros “a ” e “b ”:

177

John Taylor Paiva

1.ª HIPÓTESE: a ≠ 0  b ≠ 0  A equação se reduz a: ax = b Então a equação terá uma única raiz que é x = portanto, é DETERMINADA.

b a

, e

2.ª HIPÓTESE: a ≠ 0  b = 0  A equação se reduz a: ax = 0 Então a equação terá uma única raiz que é x = 0, e, portanto, é DETERMINADA.

3.ª HIPÓTESE: a = 0  b = 0  A equação se reduz a: 0x = 0 Então a equação representa um número ilimitado de soluções, pois qualquer valor de “x ” multiplicado por zero, dá igual a zero, e, portanto, é INDETERMINADA.  S = R

4.ª HIPÓTESE: a = 0  b ≠ 0  A equação se reduz a: 0x = b Então a equação não tem raiz, pois não há valor de “x” que multiplicado por zero, dê igual a “b”, ou seja, dê um produto b ≠ 0, e portanto, é IMPOSSIVEL.  S = 178


17.10. EXEM PLOS DE APL I CAÇÃ O

01. Determine “a ”, a fim de que a equação (a – 1)x = b, seja determinada. 02. Qual é o valor de “ m ” para que a equação (m 2 – 1)x = m – 1 seja indeterminada. 03. Quais os valores de “m ” e “k ” para que a equação (2k – 1)x = m – 1 seja impossível. 04. Determinar “p ” e “q ” para que a equação 2p(x – 1) = q + 2 seja indeterminada. 05. Determine os valores de “ m ” e “n ” para que a equação mx = n seja impossível. 17.11. EQUA ÇÃ O L I TERAL

São equações que contém, além da variável (incógnita), outras letras, que denominamos parâmetros.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LITERAL Aplicamos a mesma regra já estabelecida para a resolução de equação inteira.

ÔPA! Porém, atente:

179

John Taylor Paiva

a) A redução dos termos semelhantes que contém a variável (incógnita), é feita, colocando-se a variável em evidência. b) Quando o valor da variável (incógnita), é obtida em função de parâmetros que figuram na equação, devemos em certos casos, estabelecer uma discussão em torno dos valores desses parâmetros para os quais se tenha um valor determinado para a raiz. EI, PSIU! Uma vez encontrada a raiz, devem-se excluir os valores das letras que anulam o denominador. Isso porque não é possível a divisão por zero. 17.12. EXEM PLOS DE APL I CAÇÃ O

01. x =

8 3a  2

O denominador 3a – 2 deve ser diferente de zero. Portanto: 3a – 2 ≠ ou 3a ≠ 2 ou a ≠

2 3

02. ax + b = bx + a ax – bx = a – b  (a – b)x = a – b  Então: V = {1}, sendo a ≠ b 180

ab ab

 x = 1


03. 1 + x  1  x a

=

0

ab

b

mmc = ab

ab + bx = ab – ax  ax + bx = 0  (a + b)x = 0  x  x = 0 Então: V = {1}, sendo a ≠ -b

181

John Taylor Paiva

18. PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU A LINGUAGEM MATEMÁTICA Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática. Assim, como a transformação de enunciados verbais em expressões algébricas é de grande importância na resolução de problemas, é necessário, antes de tudo, que saibamos representar simbolicamente certos fatos escritos em linguagem corrente.

Ex.: Passe para a linguagem matemática: a) O dobro de um número  2x b) A terça parte de um número  x 3

2

c) O quadrado de um número  x d) A raiz cúbica do número x  3 x e) Dois números inteiros e consecutivos  x e x + 1 f) A soma de um número com sete x + 7 g) A diferença entre o dobro e a metade de um número  2x 

x 2

h) Dois terços de um número aumentados de cinco 2 3

x5

182




18.1. RESOLUÇÃ O de PROBL EM AS do 1.ºGRAU a uma VARIÁVEL

PASSOS (a) Tradução do seu enunciado para linguagem matemática; (b) Escrevemos a equação; (c) Verificamos a solução da equação estabelecida, ou seja, procuramos a raiz da equação.

MODELOS de ALGUNS PROBLEMAS do 1.º GRAU 1. A soma do dobro de um número com 30 é igual a 100. Calcular esse número. Sol.: número procurado: x Equação: 2x + 30 = 100 2x = 100 – 30  2x = 70  x =

70  x 2

= 35

2. Na compra de um objeto, gastei 25 do dinheiro que tinha e ainda me sobraram R$ 600,00. Quanto dinheiro eu tinha? Sol.: quantia procurada: Preço do objeto comprado:

2 5

x 183

John Taylor Paiva

Equação:

2 2 x 3000 5x   x  600  x   2x 5 5 5 5

 2x – 5x = - 3 000 - 3x = - 3 000  3x = 3 000 

x 

+ 3000 = 5x

3000  x  1000 3

Portanto, tinha R$ 1.000,00 3. A soma de dois números é 620. O maior deles é igual ao menor mais 160. Determinar esses números. Sol.: Número menor: x Número maior: x + 160

Equação: x + (x + 160) = 620 x + x + 160 = 620  2x = 620 – 160  2x = 460  x 

460  x  230 2

Assim, número menor: 230 e o número maior: 230 + 160 = 390

4. A soma de dois números naturais é 95 e sua diferença é 31. Determinar esses números. Sol.: maior número: x Menor número: x – 31

Equação: x + (x – 31) = 95 184


x + x – 31 = 95  2x = 95 + 31  2x = 126  x 

126  x  63 2

Assim, maior número menor: 63 e o menor número: 63 – 31 = 32 5. A soma de três números é 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em 7 unidades, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar esses números. Sol.: Números: x ; x + 7 ; x + 10 Equação: x + (x + 7) + (x + 10) = 47 x + x + 7 + x + 10 = 47  3x = 47 – 7 – 10  2x = 30  x  10  x  30 3

Os números procurados são: 10,17 e 20. 6. Fez-se uma compra de R$ 300,00, com notas de R$ 10,00 e R$ 5,00, usando-se 35 notas. Calcular o número de notas de cada tipo. Sol.: número de notas de 10: x Número de notas de 5: 35 – x Quantia paga com notas de 10: 10x 185

John Taylor Paiva

Quantia paga com notas de 5: 5(35 – x)

Equação: 10x + 5(35 – x) = 300 10x + 175 – 5x = 300  10x – 5x = 300 – 175  5x = 125  x  125  x  25 5

Assim: o número de notas de 10 é: 25 Número de notas de 5 é: 35 – 25 = 10.

186


19. O PLANO CARTESIANO Antes de entrarmos nas equações de 1.º grau a duas variáveis é de fundamental importância analisar e definir alguns conceitos como par ordenado, coordenadas cartesianas, plano cartesiano e gráficos.

PAR – é todo conjunto formado por dois elementos. Ex.: {1,2} ; {x,y} ; {-3,4} ; {a,b} etc LEMBRANDO: DO CONCEITO DE IGUALDADE DE CONJUNTOS: Observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par. Isso quer dizer que: {1,2} = {2,1};

{x,y} = {y,x}; {b,a}.

{-3,4} = {4,-3}; {a,b} =

MAS acontece que em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Ex.: o sistema de equações:  x` xy y 13 

Veja: x = 2 e y = 1 é solução do sistema, ao passo que x = 1 e y = 2 não é solução. Assim, se representássemos por um conjunto teríamos: {2,1} seria solução e {1,2} não seria solução. 187

John Taylor Paiva

HÁ UMA CONTRADIÇÃO Pois sendo {2,1} = {1,2}, o mesmo conjunto é e não é solução!?

POR CAUSA DISSO Dissemos que a solução é o PAR ORDENADO (2,1) onde fica subtendido que o primeiro elemento “2” refere-se a incógnita “x” e o segundo elemento “1” refere-se a incógnita “y”. Assim:

PAR ORDENADO É um conjunto, formado por dois elementos x e y, onde x é o primeiro elemento e y é o segundo elemento, e indica-se (x, y). 2.° Elemento

(x, y) 1.° Elemento

IGUALDADE de PAR ORDENADO 1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: (x, y)  (y, x) Ex.: (1, 3)  (3, 1) 2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s. 188


19.1. REPRESEN TAÇÃ O GRÁF I CA de PAR ORDENA DO

Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

COORDENADAS CARTESIANAS São os números do par ordenados.

Ex.: A(3, 5)  3 e 5 são as coordenadas do ponto A. Sendo a abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. PLANO CARTESIANO Representamos um par ordenado num plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

189

John Taylor Paiva

LOCALIZAÇÃO DE UM PONTO PASSOS (a) O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. (b) O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. (c) No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado.

Ex.: Localize o ponto (4, 3).

Observe que, o primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for positivo ) ou para a esquerda (se for negativo ). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo ) ou para baixo (se for negativo ).

190


20. EQUAÇÃO do 1.º GRAU a DUAS VARIÁVEIS São equações que apresenta duas variáveis, x e y sempre com o expoente “um”, escrita na forma: ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente. Assim: x e y variáveis ou incógnita

a - coeficiente de x b - coeficiente de y c - termo independente Ex.: a) x – y = 2 c) 3y – 2x = 10

b) x – 3 = 2(y – 1)  6(y  2x ) d) x 4

SOLUÇÃO de uma EQUAÇÃO de 1º GRAU com DUAS VARIÁVEIS Tem infinitas soluções, as quais determinamos atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra.

Ex.: Determine uma solução para a equação 3x – y = 8. Sol.: Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 3x - y = 8  3 . (1) - y = 8  3 - y = 8  -y = 5 .(-1)  y = -5 O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. V = {(1, -5)} 191

John Taylor Paiva

SE LIGUE! Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não nulos simultâneos), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira. 20.1. GRÁF I CO de uma EQU AÇÃ O de 1ºGRAU a DUAS VARIÁVEIS

Sabemos que uma equação do 1º grau a duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). Portanto, dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los graficamente em um plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto da solução dessa equação.

Ex.: Construir um gráfico da equação x + y = 4. Sol.: Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

1º par: A (4, 0)

192

2º par: B (0, 4)


21. SISTEMAS de EQUAÇÕES do 1.º GRAU Alguns problemas são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1.º grau a duas variáveis. Nesse caso, dizemos que as equações formam um sistema de equações do primeiro grau a duas variáveis.

Ex.: Beto, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Sol.: Podemos traduzir essa situação através de duas equações: x + y = 25 (total de arremessos certo) 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) x  y  25 `  2 x  3y  55

Sol.: É o par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras. SE LIGUE! Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 21.1. RESOL UÇÃ O de SI STE M AS

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos: 193

John Taylor Paiva

MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO Ex.: Resolver o sistema:

 x  y  4  2 x  3y  3

Sol.: Determinamos o valor de x na 1ª equação: x = 4 – y e substituímos esse valor na 2ª equação: 2 . (4 - y) - 3y = 3. Daí , vem: 8 – 2y – 3y = 3  – 5y = 3 – 8  – 5y = – 5  ( – 1)  5y = 5  y  55  y  1 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. x + 1 = 4  x = 4 – 1  x = 3 Portanto: V = {(3, 1)}

MÉTODO DA ADIÇÃO Ex.: Resolva o sistema abaixo:

 x  y  10   x  y  6

Sol.: Adicionamos membros a membros as equações:  x  y  10   x  y  6

2x = 16  x = 194

16 2

 x = 8


Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, vem: y: 8 + y = 10  y = 10 – 8  y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2).

Assim, V = {(8, 2)}

195

John Taylor Paiva


114. Resolva as equações: a) 3 x 5 1  4 c)

4 x  3  1 5

e) 5x + 4 = 3x – 2x + 4 = 14 + 2x g) 7(x – 1) – 2(x – 5) = x – 5 7  i) x 4

x

2

5

b) d)

x  9 1 9 x  3  10

5

f) 0,1x + 3x + 0,9x x 1   h) x 2 4 2

j)

x  1

5

 x 

2x  1 3

115. Se 6 lápis custam R$ 18,00, qual o valor de 8 lápis? 116. A soma de dois números consecutivos é 35. Quais são eles? 117. A soma de dois números pares consecutivos é 86. Quais são esses números? 118. A soma de um número com o dobro do consecutivo dele dá 206. qual é esse número? 119. João, Paulo e José receberam um total de 43 medalhas em competições esportivas. Paulo recebeu 3 medalhas mais que João, e José, o triplo de João. Quantas medalhas receberam cada um? 120. Um automóvel percorreu 34 de uma estrada de 240 km. Quantos quilômetros ele percorreu? 196


121. Se 25 de uma estrada correspondem a 80 km, qual o comprimento dessa estrada? 122. Um automóvel já percorreu 37 da distância entre duas cidades. Resta ainda percorrer 60 km. Qual a distância entre essas cidades? 123. Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 5,00 no taxímetro. Sabendo que cada quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 47,00, calcule quantos quilômetros foram percorridos. 124. Lia comprou um objeto que foi pago em três prestações. Na primeira prestação ela pagou a terça parte do valor do objeto, na segunda prestação, a quinta parte e na última, R$ 35,00. Quanto ela pagou pelo objeto? 125. Um estacionamento mantém um padrão entre o número do pátio e a quantidade de carros estacionados, que obedece à seqüência: Pátio 1  3 carros pátio 2  5 carros pátio 3  7 carros, etc. a) Quantos carros terão num pátio qualquer? b) Qual a quantidade de carros no pátio 30? 126. Uma firma de assistência técnica cobra uma taxa de visita de R$ 30,00 e mais R$ 20,00 a hora da mão-de-obra. a) Dê uma expressão algébrica que expresse o total t recebido pela firma em uma visita de x horas. 197

John Taylor Paiva

b) Qual o valor numa visita de 2,5 horas para dar a assistência.

127. Ana tem um salário mensal de x reais. Expresse algebricamente: a) A metade do salário de Ana. b) 15% do salário de Ana. c) O novo salário de Ana, equivalente a 150% do salário anterior.

198



Você já sabe que não tem em livros convencionais Ao traduzir um problema para a linguagem matemática, na montagem da equação, saiba que se perde ou paga, por exercício ou tiros, etc. que erra, devemos subtrair. Um exemplo típico é o problema seguinte: 07. (EPCAR ) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. No fim de 30 exercícios tinha 110 pontos. Calcule quantos exercícios errou. y = exercício que erra Sol.: x = exercício que acerta x + y = 30 (quantidade de exercícios = fatores e a variação geral). 5x – 3y = 110 (total de pontos = fatores com a variação individual). Assim:  x  y  30  5 x  3y  110

 x  30  y

5(30 – y) – 3y = 110  150 – 5y – 3y = 110 -8y = -40  y = 5 exercícios que erra. 199

John Taylor Paiva

22. EQUAÇÕES DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA Chama-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0; a, b, c  IR e a ≠ 0.

COEFICIENTES São os números reais a, b e c da equação, sendo: “a” é o coeficiente de x²; “b” é o coeficiente de x; “c” é o coeficiente ou termo independente.

Ex.: x2 - 5x + 6 = 0 Onde a = 1, b = -5 e c = 6. EQUAÇÃO COMPLETA do 2.º GRAU Quando todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Ex.: -x² + 10x - 16 = 0 Onde a = -1, b = 10 e c = -16

200


EQUAÇÃO INCOMPLETA do 2.º GRAU Quando os coeficientes b ou c são nulos, juntos ou separadamente. Mesmo na equação incompleta o coeficiente a é sempre diferente de zero.

Ex.: a) x² - 36 = 0  (b = 0) b) x² - 10x = 0  (c = 0) c) 4x² = 0  (b = c = 0) 22.1. RAÍZES de uma EQUAÇÃ O do 2ºGRA U

É o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

CONJUNTO VERDADE ou CONJUNTO SOLUÇÃO É o conjunto formado pelas raízes de uma equação, ou seja, os valores que tornam a sentença verdadeira.

Ex.: Dentre os elementos do conjuntos A = { -1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação: x² - x - 2 = 0 ? Sol.: Basta substituir a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificar quais as sentenças são verdadeiras. Assim: Para x = -1  (-1)² - (-1) - 2 = 0  1 + 1 - 2 = 0  0 = 0  (V)

201

John Taylor Paiva

(F) (F) (V)

Para x = 0  0² - 0 - 2 = 0  0 - 0 -2 = 0  -2 = 0  Para x = 1  1² - 1 - 2 = 0  1 - 1 - 2 = 0  -2 = 0  Para x = 2  2² - 2 - 2 = 0  4 - 2 - 2 = 0  0 = 0 

Logo, -1 e 2 são raízes da equação. Ex.: Determine k sendo 2 raiz da equação (2k – 1)x² – 2kx² – 2 = 0. Sol.: Basta substituir a incógnita x por 2 e determinar o valor de k. (2k – 1) . 22 – 2k . 2 – 2 = 0  (2k – 1) . 4 – 4k – 2 = 0

 8k – 4 – 4k – 2 = 0  4k – 6 = 0  4k = 6  k 

6 3  k  4 2

SOLUÇÃO de EQUAÇÕES INCOMPLETAS Como sabemos resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 202


1ª PROPRIEDADE Se x  R, y  R e xy = 0, então, x = 0 ou y = 0.

2ª PROPRIEDADE Se x  R, y  R e x2 = y, então, x 

y ou x   y .

1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0. Ex.: Determine as raízes da equação x² - 8x = 0, sendo U = R.

Sol.: Inicialmente, colocamos x em evidência: x . (x - 8) = 0  Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: x = 0 ou x - 8 = 0  x=8 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: V = {0, 8}

SE LIGUE! De modo geral, a equação do tipo ax² + bx = 0 tem para soluções x = 0 e x = b . a

2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0 Ex.: Determine as raízes da equação 2x² - 72 = 0, sendo U = IR. 203

John Taylor Paiva

Sol.: 2x2 = 72  x2 = 36  x = x   36

x=6

simétricas.



36

ou

x   36



A equação tem duas raízes

SE LIGUE! De modo geral, a equação do tipo ax² + c = 0 possui duas raízes reais se c for um número positivo, não a

tendo raiz real caso

c seja a

um número negativo.

RESOLUÇÃO de EQUAÇÕES COMPLETAS Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara:  b  b2  4ac x  2a

Ex.: Resolver a equação: 7x² + 13x - 2 = 0 Sol.: Temos: a = 7, b = 13 e c = -2 x 

 13  132  4.7(2)

2.7  13  225 x  14 x 

204

13  15

14

 x 

 x 

13  15

14

 1 3  1 69 5 6

 x 

14

2  x  1 7 14




x 

13  15

14

x

28

14

 x  2

Portanto, V =  2, 17

DISCRIMINANTE Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega  (delta).

 = b2 – 4ac  assim podemos escrever x 

b  2a

22.2. CASOS A CONSI DE RAR D E A CORDO COM O DISCRIMINANTE

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

1º CASO: O discriminante é positivo ( > 0).  O valor de  é real e a equação tem duas raízes reais diferentes. 2º CASO: O discriminante é nulo ( = 0)  O valor de  é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais. 3º CASO: O discriminante é negativo  < 0.  O valor de  não existe em R, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números complexos.

205

John Taylor Paiva

22.3. EX EM PLOS DE APL I CAÇÃ O

Ex1.: Para quais valores de k a equação x² - 2x + (k - 2) = 0 admite raízes reais e desiguais? Sol.: Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter  > 0. b2 – 4ac > 0  (-2)2 – 4.1(k – 2) > 0  4 – 4k + 8 > 0  -4k+12 > 0 Multiplicar por -1  4k – 12 < 0  4k < 12  k < 3

Logo, os valores de k devem ser menores que 3. Ex.2: Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + (p - 2) = 0 admita raízes iguais. Sol.: Para que a equação admita raízes iguais é necessário que  = 0 b² - 4ac = 0  [-(p-1)]²- 4.1.(p - 2)=0  p² - 2p + 1 - 4p +8=0 p² - 6p + 9 = 0  (p - 3)² = 0  p = 3

Logo, o valor de p é 3. Ex.3: Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? 206


Sol.: Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

 < 0 b2 – 4ac < 0  62 – 4.3.m < 0  36 – 12m < 0 -12m < -36  (-1)  12m > 36  m > 3

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. 22.4. REL AÇÕES DE GI RARD (REL AÇÕES ENTRE OS COEF I CI ENTE S E AS RAÍZES)

SOMA DAS RAÍZES (S) S = x1 + x2 =

PRODUTO DAS RAÍZES (P)

b a

P = x1 . x2 =

c a


Ex.1: Determine soma e produto das raízes da equação 10x2 +x-2=0. Sol.: Temos: a = 10, b = 1 e c = -2. Como a soma das raízes é igual a

b a

. O produto das

raízes é igual a c . a

Assim:

S 

1

e 10

P  

2 1  10 5

207

John Taylor Paiva

Ex.2: Determine o valor de k na equação x2 + (2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7. Sol.: Temos: a = 1,

b = 2k – 3

S = x1 + x2 = 7  S =



b a

=



e

(2k  3)

1

7

c = 2.

 -2k + 3 = 7

 -2k = 7 - 3  -2k = 4  k = -2 Ex.3: Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2. Sol.: Temos: a = 4, b = -7 e c = 3m. P= x1. x2= -2 

P 

8 c 3m   2  3m  8  m   4 3 a

Ex.4: Determine o valor de k na equação 15x 2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8. Sol.: Considere x1 e x2 as raízes da equação. A soma dos inversos das raízes corresponde a x1  x 1 . Assim: x1  x 1  8  1

2

1

2

mmc = x1x2 x 2  x 2 8 x 1 x 2



k

1

8



soma das raízes 8 produto das raízes



b

a 8 c a

 c b

8

 k = -8

Ex.5: Determine os valores de m para os quais a equação (2m - 1).x2 + (3m - 2).x + m + 2 = 0 admita: 208


a) raízes simétricas; b) raízes inversas.

Sol.: Se as raízes são simétricas, então S = 0. S=



b

=

a

(3m  2) =0 2m  1a

 -3m + 2 = 0  -3m = -2  m =

2 3

Se as raízes são inversas, então P = 1. P = c = a

m2  m+2 2m  1

= 2m -1  m – 2m = -1 – 2  -m

= -3  m = 3 22.6. COM POSI ÇÃ O de uma EQU AÇÃ O do 2ºGRAU, CONH ECI DAS as RAÍZE S

Considere a forma genérica da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a (a  0), obtemos: ax2 bx c b c    0  x2  x   0 a a a a a

Como

b =S a 2

e

c a

= P , podemos escrever a equação

desta maneira: x - Sx + P= 0 209

John Taylor Paiva

2 e 7.

Ex.1: Componha a equação do 2º grau cujas raízes são Sol.: A soma das raízes corresponde a: S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 O produto das raízes corresponde a: P = x1 . x2 = (-2) . 7 = -14 A equação do 2º grau é dada por: x 2 - Sx + P = 0 Onde S = 5 e P = -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. Ex.2: Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é 1  3 . Sol.: Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz 1  3 , a outra raiz será 1  3 . Como sabemos: x1  b2a  Assim: x1  1  Assim:

3

e

x 2  1  3

S  (1  3)  (1  3)  S  2 P  (1  3).(1  3)  P  1  3  2

210

x 2 

b   2a


Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada. 22.7. F ORM A F ATORADA

Considere a equação ax 2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos: bx c    0 a  x 2  a a 

Lembrando que: x1  x2  ab

e

x1.x 2 

c a

Então, podemos escrever: a x 2  x  1  x 2 x   x  1x 2   0   a x 2  x 1 . x  x 2 . x  x 1 . x 2   0  

x é fator comum x2 é fator comum  x   x 1  x 2 x   x 1  0 a x

fator comum fator comum   x 1 . x   x 2   0 a . x

Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é: a.(x – x1) . (x – x2) = 0 211

John Taylor Paiva

Ex.: Escreva na forma fatorada a equação

x 2 - 5x + 6

= 0.

Sol.: Calculando as raízes da equação x 2 - 5x + 6 = 0, obtemos: x1 = 2 e x2 = 3. Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: 1(x – 2).(x – 3) = 0  (x – 2).(x – 3) = 0


2x 2 - 20x +

50 = 0.

Sol.: Calculando as raízes da equação 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

2x 2 - 20x + 50 =

Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de 2x 2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita: 2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2 = 0


x2 + 2x + 2

= 0.

Sol.: Como o  < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR. 212


22.8. EQUA ÇÃ O BI QUAD RADA

Chama-se equação biquadrada com uma variável x toda equação da forma: ax4 + bx2 + c = 0; a, b, c Є IR e a ≠ 0.

Ex.: a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) x4 – 16x2 = 0 c) 3x4 – 48 = 0 SE LIGUE! Quando uma equação do quarto grau apresenta a variável somente com expoentes pares, ela recebe o nome particular de equação biquadrada. 22.9. SOL UÇÃ O DE EQU AÇÕES BI QUA DRAD AS

Podemos resolver uma equação biquadrada aplicando a fórmula de Báskhara adaptada ou então através de um artifício matemático onde se usa uma variável auxiliar em substituição à variável considerada.

FÓRMULA DE RESOLUÇÃO x  

 b  b2  4ac 2a

22.10. EXEM PLOS DE APL I CAÇÃ O

01. Resolver em U = R, a equação x 4 – 5x2 + 4 = 0 213

John Taylor Paiva

Sol.:  = b2 – 4ac   = (-5)2 – 4 . 1 . 4   = 25 – 16   = 9  b  b2  4ac 2a

x  

 (5)  9

 x  

 x  

2.1

x1 =



5  3 2

 x1 = + 2

e

x2 =

x3 =



5  3 2

 x3 = - 2

e

x4 =

 

5  3 2 5  3 2

53 2

 x2 = + 1  x4 = - 1

V = {-2, -1, 1, 2}

02. Resolver em U = R, a equação x 4 – 13x2 + 36 = 0 Sol.: Podemos escrever: (x2)2 – 13(x2) + 36 = 0 Fazendo x2 = y, vem: y2 – 13y + 36 = 0

 = b2 – 4ac   = (-13)2 – 4 . 1 . 36   = 169 – 144   = 25 y= x1 = x2 =

 (13)  25

 y =

13  5 2

2.1 13  5 18 x =   x1 = 9 1 2 2 13  5 8   x1 = 4 x 1 = 2 2

Como x2 = y temos, então: P/ y = 9 vem: x2 = 9  x =  214

9  x

=  3


P/ y = 4 vem: x2 = 4  x = 

 x =  2

4

V = {-3, -2, 2, 3} 22.11. EQUA ÇÃ O I RRACI ONAL

Chama-se irracional toda equação que tem variável sob radical.

Ex.: a) x  2 = 5 b) 2 x  1 = x – 2 c) x  5 = 1 + x d) x – 1 = 0 e) 3 3 x  7 = 2 22.12. SOL UÇÃ O DE EQU AÇÕES I RRACI ONA I S

Para resolver uma equação irracional, devemos elevar ambos os membros a uma potência conveniente, a fim de transformá-la numa equação racional.

SE LIGUE! A equação obtida nem sempre é equivalente à equação dada. Devemos, então, verificar entre as soluções encontradas aquelas que são raízes verdadeiras. 22.13. EXEM PLOS DE APL I CAÇÃ O

01. Resolva a equação Sol.: x  3 = 9 – 2 

+ 2 = 9 2 2 x  3 = 7   x  3  = (7) x  3

215

John Taylor Paiva

x + 3 = 49  x = 49 – 3  x = 46

Verificação: x  3

+ 2 = 9 

46  3 +

2=9

49

+ 2 = 9  7 + 2

=9 7=7

 (V)

Logo: V = {46} 02. Determine o conjunto verdade da equação

x  1 +

5

=x

Sol.: 10 + 25

x  1 =

x – 5   x  1 2 = (x – 5)2  x + 1 = x2 –

- x2 + x + 10x + 1 – 25 = 0  - x2 + 11x – 24 = 0 x2 – 11x + 24 = 0  x1 = 8 e x2 = 3

Verificação: x = 8 vem: 8  1 +

5 = 8  3 + 5 = 8  8 = 8 (V)

x = 3 vem: 3  1 +

5 = 3  2 + 5 = 3  7 = 3 (F)

Logo: V = {8} 216


23. SISTEMAS de EQUAÇÕES do 2º GRAU Assim como nos sistemas do 1.° grau, alguns problemas são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1.º grau a duas variáveis e do 2.° grau. Nesse caso, dizemos que as equações formam um sistema de equações do segundo grau. 23.1. RESOL UÇÃ O de SI STE M AS

A resolução é idêntica e consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Observe o problema:

Ex.: Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura. y

2x

x

y x

2x

2x x y

x 2x

y

De acordo com os dados, podemos escrever: 8x + 4y = 64 2x . (2x + 2y) = 192  4x2 + 4xy = 192 Simplificando, obtemos:

2 x  y  16  2  x  xy  48

(1) (2)

217

John Taylor Paiva

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau. Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: Assim: Em (1) temos: 2x + y = 16  y = 16 - 2x ● Substituindo y em (2) , temos: x2 + x . (16 - 2x) = 48  x2 + 16x - 2x2 = 48  - x 2 + 16x - 48 = 0 ● Multiplicando ambos os membros por -1 temos: x2 - 16x + 48 = 0  x1 = 4

e

x2 = 12

● Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y1 = 16 - 2 . 4  y1 = 8

y2 = 16 - 2 . 12  y2 = -8

● As soluções do sistema são os pares ordenados (4, 8) e (12, -8). ● Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra: Comprimento = 2x + 2y = 2 . 4 + 2 . 8 = 24m Largura = 2x = 2. 4 = 8m

Ex.: Verifique agora a solução deste outro sistema: 218


(1) y  3x  1  2  x  2xy  3 (2)

● Isolando y em (1): y - 3x = -1  y = 3x – 1 ● Substituindo em (2): x2 - 2x . (3x - 1) = -3  x 2 - 6x2 + 2x = -3  -5x2 + 2x +3=0 ● Multiplicando ambos os membros por -1: 5x2 - 2x - 3 = 0  x' = 1

e x'' =



3 5

● Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y1  3.1  1  y 1  2

14  3  y2  3.   1  y 2  5  5 

● As soluções do sistema são os pares ordenados (1, 2) e  3 14   5, 5  . 



●

Logo,

temos

para

conjunto

verdade:

  3 14  V  (1,2),   ,   5   5 

219

John Taylor Paiva

24. PROBLEMAS DO 2º GRAU Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

1. Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática. 2. Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. ● Vejamos a resolução de alguns modelos de problemas do 2º grau:

01. Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja 13 . 42 Sol.: Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por 1 1 e . x x  1 Temos então a equação: x1

e

● Resolvendo-a: x1



e

1 x  1

1 x  1

13 42



13 . 42 mmc  42.x(x  1)

42(x + 1) + 42x = 13x(x + 1)  42x + 42 + 42x = 13x 2 + 13x  13x2 – 71x – 42 = 0 220


Daí, x1  6

e

x 2  

● Observe que a raiz

7 13

7 13

não é utilizada, pois não se trata

de número inteiro. Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

02. Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. Sol. : Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x. Observe: Número:

10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x. Temos, então, o sistema de equações: 10y  x  10x  y  27   x.y  18

(1)  (2)

Resolvendo

o

sistema,

temos: 9 x  9x  27   x.y  18

(1)  *  (2)

Dividindo ambos os membros

por 9 na (1)  x  y  3   x.y  18

(1) (2)

 Isolando y em (1): -x + y = 3  y = x

+3 221

John Taylor Paiva

● Substituindo y em 2: xy = 18  x . (x + 3) = 18  x 2 + 3x = 18  x2 + 3x - 18 = 0  x' = 3 e x'' = -6 ● Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y' = 3 + 3 = 6

y'' = -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= {(3,6), (-6,-3)}. ● Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, os números (x = 3 e y = 6). Resposta: O número procurado é 36.

03. Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente. Sol.: Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x + 5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque: 1.ª torneira: 1 x e 2.ª torneira: 1 x  5 Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão tanque; observe a equação correspondente: mmc = 6x(x + 5) 222

1 x



1

6

1 x  5

do 

1 6


● Resolvendo-a, temos: 6.( x + 5 ) + 6x = x.( x + 5 )  6x + 30 + 6x = x2 + 5x  x2 - 7x - 30 = 0 x1 = -3

e

x2 = 10

● Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x = 10. ● Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

04. Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram presentes nesse jantar? Sol.: Podemos representar por:

24.000 x

* O valor que cada uma das pessoas receberia se não houvesse faltas. 24.000  ** O valor recebido por cada uma das pessoas. x  5 Temos, então, a equação

24.000 24   400 x  5 x

 Resolvendo-a:

223

John Taylor Paiva 24.000 24.000   400  * x  5 x

Dividindo ambos os membros

por 400. 60 60  1 x  5 x

mmc  x(x  5)

60x = 60(x – 5) + x(x – 5)  60x = 60x – 300+x2 – 5x  x2 – 5x – 300 = 0 Daí: x1 = 20

e

x2 = -15 (não utilizada)

Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

224



128. O que é necessário para que um produto de fatores desconhecidos seja nulo? 129. Resolva as equações usando a lei do anulamento do produto. a) x(x + 1) = 0 b) 2x(x – 5) =0 c) (x + 3)(x – 1) = 0 d) (x – 6)(4x – 8) = 0 130. Resolva as equações usando o recurso da fatoração. a) x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x =0 c) 9x2 = 5x d) 5x2 = -10x 131. Em um quadrado de lado “x”, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o dobro de seu perímetro. a) Quanto mede o lado do quadrado? b) Qual é o perímetro do quadrado? c) Qual é a área do quadrado? 132. (Unicamp – SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 481.

225

John Taylor Paiva

133. A área de um retângulo é de 84 m 2. A medida do comprimento supera em 5m a medida da largura. Quais são as dimensões desse retângulo? 134. Se um quadrado de lado 5 cm tiver seu lado aumentado de x, passará a ter uma área de 49 cm 2. Quanto vale x? 135. Um estacionamento retangular tem 23 m de comprimento por 12 m de largura. O proprietário deseja aumentar a área para 476 m 2, acrescentando duas faixas laterais de mesma largura. Qual deve ser a medida da largura da faixa acrescida? 136. (Vuneso – SP) Numa festa de final de ano, da qual participou um certo número de pessoas, ficou combinado que cada participante daria uma lembrança aos demais. E assim foi feito. Quantas pessoas participaram desta festa, sabendo-se que foram trocadas 132 lembranças? 137. (PUC – SP) Quantas raízes reais tem a equação 2x 2 – 2x + 1 = 0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 138. (PUC – SP) Uma das raízes da equação 0,1x 2 – 0,7x + 1 + 0 é: a) 2 b) 7 c) 0,2 d) 0,5 139. (Fuvest – SP) Se x(1 – x) = 14 , então: a) x = 0 226

b) x =

1 2

c) x = 1

d)

1 4


140. (UF – PA) As dimensões de um retângulo são indicadas por x – 2 e x + 2. Se esse retângulo tem 12m2 de área, seu perímetro é, em metros, igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 141. (Saresp – SP) Um laboratório embalou 156 comprimidos de analgésico em duas caixas, uma com duas cartelas de x comprimidos cada e outra com quatro cartelas de y comprimidos cada. Sabendo-se que y é o quadrado de x, quantos comprimidos havia em cada cartela? a) 4 e 6 b) 5 e 25 c) 6 e 36 d) 7 e 49 142. (TTN/97) A soma de todas as raízes da equação x 4 25x2 + 144 = 0 é igual a: a) 9 b) 16 c) 0 d) 49 e) 25 143. Calcule o valor de k na equação 4x² + kx + 2 = 0, de modo que as duas raízes sejam reais e iguais. 144. Resolva a equação de 2º grau em R: (x - 4).(x + 3) = 0

145. Determinar o valor de m na equação x² - 5x + m = 0, de modo que as raízes não sejam reais.

227

John Taylor Paiva

25. INTRODUÇÃO A FUNÇÃO 25.1. O PL AN O CARTESI AN O

Como sabemos, o plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

SE LIGUE! Assim, cada ponto P = (a, b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. PRESTENÇÃO! Sendo que o primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for positivo ) ou para a esquerda (se for negativo ). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo ) ou para baixo (se for negativo ). ÔPA! Não esqueça: (a, b)  (b, a) se a  b. Veja figura abaixo: EI, PSIU! Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominados quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). 228


25.2. PRODUTO CARTE SI AN O

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A x B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. Quer dizer, os primeiros elementos dos pares pertencem a A e seus segundos elementos a B.

SIMBOLICAMENTE A x B = { (x,y)  x  A e y  B } O símbolo A x B lê-se: “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”.

Ex: Dados A = {1, 2} e B = {3, 4, 5} A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}

ÔPA! Observe que A x B ≠ B x A, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A = Ø ou B = Ø, por definição: A x Ø = Ø = Ø x B. 229

John Taylor Paiva

25.3. NÚM ERO DE EL EM ENT OS DE A X B

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então A x B possui m x n elementos. Assim: n(A x B) = n(A) . n(B)

Ex: Dados A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, o produto cartesiano A x B, terá 12 pares ordenados e será dado por: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}

25.4. REL AÇÕES NO PL AN O CARTESI AN O

Uma relação em A x B é qualquer subconjunto R de A x B. Uma relação é, portanto, qualquer conjunto de pares ordenados.

A relação mostrada na figura acima é: R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)} 230


NOTAÇÃO Uma relação R de A em B pode ser denotada por R : A  B.

Ex.: Se A = {1,2} e B = {3,4} então: A x B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em A x B:

 R 1 = {(1,3),(1,4)}  R 2 = {(1,3)  R 3 = {(2,3),(2,4)} 25.5. FUNÇÕES NO PL AN O CARTESI AN O

Uma função f de A em B é uma relação em A x B, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Quer dizer , uma relação de A em B é chamada de Função ou Aplicação quando associa a todo elemento de A um único elemento em B.

Ou seja, toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. SE LIGUE! O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. 231

John Taylor Paiva

25.6. REPRESENTA ÇÕES GRÁF I CAS DE RE L AÇÕES E/OU F UNÇÕES

A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

232


A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado à somente um elemento do conjunto B.

CONCLUSÃO ● Não pode existir elemento em A sem está associado. ● Não pode existir elemento em A associado a mais de um em B.

NOTAÇÃO Uma das notações para uma função de A em B, é: f : A  B

25.7. EXEM PLO DE APLI CAÇÃ O PRATI CA

Numa loja a dúzia de lápis é vendida a R$ 2,00. A partir deste dado, fazendo uma tabela, sendo x o número de dúzias y o total a pagar, podemos deduzir a seguinte fórmula: y = 2x Dúzias 1 Total a pagar 2,00

2 4,00

3 6,00

4 8,00

5 10,00

CONCLUSÃO Para todo x em A temos um único y em B, onde x e y obedecem a uma lei de formação.

233

John Taylor Paiva

25.8. DOM ÍNI O

É o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. 25.9. CONT RA-DOM ÍNI O

É o conjunto de chegada. 25.10. I M AGEM

É o conjunto de valores obtidos da aplicação da fórmula da função f. É o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é: Im(f) = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) }

SE LIGUE! Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y = f(x) e lê-se “y é igual a f de x”). Ou seja, os elementos do conjunto imagem podem ser representados por y ou f(x). DÊ AS CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES: Ex.1: A função f : N  N definida por y = x + 2 Sol.: D(f) = N

CD(f) = N

Im(f) = x + 2

Ex.2: A função f : R  R, definida por f(x) = x2,: 234


Sol.: D(f) = R

CD(f) = R

Im(f) = [0,+infinito)

Ex.3: A função f : [0,2]  R, definida por f(x) = x2, Sol.: D(f) = [0,2]

CD(f) = R

Im(f) = [0,4]

Ex.4: A função f : R  R, definida por f(x) = |x|, Sol.: D(f) = R

CD(f) = R

Im(f) = [0,+infinito)

25.11. ANAL I SANDO A I M AGEM

Observando especificamente o exemplo anterior (1) na função definida por y = x + 2, temos que:

 A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1) = 1 + 2 = 3;

 A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2) = 2 + 2 = 4;

Portanto, de modo geral, a imagem de x através de f é x + 2, ou seja: f(x) = x + 2 SE LIGUE! Para ficar claro, note que se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

235

John Taylor Paiva

25.12. COND I ÇÕES PARA UM A REL AÇÃ O SER F UNÇÃ O 

Com base nos diagramas vistos anteriormente, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função. 2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função. SE LIGUE! Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação ou de Correspondência y = f(x) entre os seus elementos (geralmente uma expressão matemática que associa a cada elemento de A um único elemento em B). 25.13. I DEN TI F I CAÇÃ O DE F UNÇÃ O EM GRAF I COS 

As características uma função nos informam que geometricamente pode ser vista como uma linha no plano, contida em A x B, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta. Isto é, analisando gráficos, é possível identificar funções: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo (x,0), onde x  A, encontra o gráfico de f em um só ponto. 236


Ex.: A 1.ª e a 2.ª fig. não são funções, pois para o mesmo valor x temos três e dois valores diferentes de y, respectivamente. Agora a 3.ª fig. É função, pois para cada valor x temos um único y associado: x1  x2  y1  y2.

25.14. OBTEN ÇÃ O DO D OM ÍNI O DE UM A F UN ÇÃ O

O domínio é o subconjunto de R no qual todas as operações indicadas em y = f(x) são possíveis.

DÊ O DOMÍNIO DAS FUNÇÕES: Ex.1: Seja a função f(x) = Sol.: Como seja, temos que ter:

2 x  4 só

2 x  4

é possível em R se 2x – 4 ≥ 0, ou

2x – 4 ≥ 0  2x ≥ 4  x ≥ 4. Então: D = {x Є R / x ≥ 2}

Ex.2: Seja a função f(x) =

5 x  1

237

John Taylor Paiva

Sol.: Como x + 1 é denominador, ele não poderá ser nulo (zero), pois não existe divisão por zero, portanto, temos que ter: x + 1 ≠ 0  x ≠ -1. Então: D = {x Є R / x ≠ 2}

Ex.3: Seja a função f(x) =

x  2

3  x

Sol.: Analisando primeiro o denominador: Como x – 2 está dentro da raiz, então devemos ter x – 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ 2 (condição 1). Agora analisando o denominador: Como 3 - x está dentro da raiz devemos ter 3 - x  0, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3 - x  0. Juntando as duas condições devemos ter: 3 - x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:

Assim, devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Portanto, D = {x  IR | 2  x < 3}. 238


26. FUNÇÃO DO 1.º GRAU É uma função f de R em R definida por: f(x) = ax + b, onde a, b reais e a  0.

Ex.1: As funções f : R  R definidas por: f(x) = -3 x + 1 f(x) = 2 x + 7

a = -3 a=2

e e

b=1 b=7

Ex.2: Vamos supor uma aplicação prática em que um vendedor trabalha em uma loja com as seguintes condições salariais: um fixo de R$ 200,00 mais 3% sobre as vendas efetuadas. Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final de cada mês. Sol.: Chamando o total do salário de y, lembrando que 3% = 0,03 e supondo que ele vendeu R$ 700,00, ele receberá: Y = 200 + 0,03 . 700 = 221 ● Vamos fazer uma tabela para visualizar melhor a situação:

Salário Fixo 200 200 200

Venda 700 1.000 1.200

% 3 3 3

Total 221 230 236 239

John Taylor Paiva

GENERALIZAÇÃO De forma geral, se vender “x”, temos que: y = 200 + 0,03x

SE LIGUE! A fórmula y = 200 + 0,03x expressa uma função do 1.° grau e a representação gráfica de uma função deste tipo sempre será uma reta. 26.1. CL ASSI F I CAÇÃ O DA F UNÇÃ O DO 1.° GRAU

A função de 1.° grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos, considerando sempre a forma genérica: y = ax + b, assim definidas: a) FUNÇÃO CONSTANTE Quando a = 0, então y = b, b Є R

Ex.: y = 7 é uma função constante, pois para qualquer valor de x, o valor de y ou f(x) será sempre 7. GRÁFICO DA FUNÇÃO CONSTANTE y 7

x

b) FUNÇÃO IDENTIDADE Temos duas situações: 240


1. Se a = 1 e b = 0, então y = x

Ex.: y = x Nesta função y e x tem sempre os mesmos valores e a reta y = x ou f(x) = x é denominada BISSETRIZ DOS QUADRANTES IMPARES (Gráfico A). 2. Se a = -1 e b = 0, então y = -x

Ex.: y = -x Nesta função y e x tem sempre valores iguais em módulos, porém com sinais contrários e a reta y = -x ou f(x) = -x é denominada BISSETRIZ DOS QUADRANTES PARES (Gráfico B).

GRÁFICOS DA FUNÇÃO IDENTIDADE GRÁFICO A y y= x

GRÁFICO B y y = -x

1 0

1 1

x

-1 0

x

c) FUNÇÃO LINEAR Quando a ≠ 0, a ≠ 1 e b = 0 (a e b  R)

Ex.: As funções f : R  R definidas por 241

John Taylor Paiva

f(x) = -3x

f(x) = 2x

GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0), tal qual o exemplo anterior, diferenciada dos valores de “x” e “y”. d) FUNÇÃO AFIM É a função do 1.° grau quando a ≠ 0 e b ≠ 0, (a e b  R)

Ex.: As funções f : R  R definidas por f(x) = 3x + 1

f(x) = 4x – 2

f(x) = -x + 7

GRÁFICO DA FUNÇÃO POLINOMIAL OU AFIM

26.2. PROPRI EDAD ES DA F UNÇÃ O DO 1ºGRAU

1) O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta.

242


2) O gráfico intercepta o eixo dos “ x” na raiz da equação y = f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x   b a . 3) O gráfico intercepta o eixo dos “ y” no ponto (0, b), onde o termo constante b é chamado COEFICIENTE LINEAR DA RETA e indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo 0y. Para x = 0, temos y=a·0+b=b. 4) O coeficiente de “x”, ou seja, “a”, é chamado COEFICIENTE ANGULAR da reta ou DECLIVIDADE da reta e, dá a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 5) Se a > 0, então f é crescente e se a < 0, então f é decrescente. 26.3. CONSTRUÇÃ O DO GRÁFI CO DA F UN ÇÃ O DO 1.° GRAU

De forma geral, basta atribuir valores a “ x” e encontrar “y”, MAS como vimos, a representação geométrica da função de 1.° grau é uma reta, portanto, para determinar o gráfico é necessário obter dois pontos desta reta.

SE LIGUE! Em particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos Ox e Oy. 26.4. M ÉTOD O PRÁTI CO

a) Para encontrar o ponto que corta o eixo Ox, basta fazer y = 0; 243

John Taylor Paiva

b) Para encontrar o ponto que corta o eixo Oy, basta fazer x = 0.

Ex.: construir o gráfico da função y = 2x + 1 Sol.: Procedendo de acordo com método prático temos: a) Achando o ponto que corta o eixo dos x: Fazendo y = 0  0 = 2x + 1  2x = 1  x =

1 2

 P(

1 2

,

0) b) Achando o ponto que corta o eixo dos y: Fazendo x = 0  y = 2 . 0 + 1  y = 1

 P(0,

1)

EI, PSIU! Agora é só marcar os pontos no plano cartesiano e fazer a reta, o que pode ser visto logo abaixo: y y = 2x + 1 (0, 1)

(- 1 , 0) 2

x

26.5. ZERO OU RAI Z D A F UN ÇÃ O

É o valor de x para o qual y = f(x) = 0.

244


GRAFICAMENTE É o ponto em que a reta “corta” o eixo 0x. Portanto, para determinar a raiz da função basta igualarmos a zero: f(x) = 0  ax + b = 0  ax = -b  x   ba

Ex.: Determinar o zero de f(x) = 2x – 2. Sol.: Construímos o gráfico da função para entendermos o significado geométrico do zero da função.

2x – 2 = 0  2x = 2  x = 1

O zero da função do 1.º grau é único e corresponde à abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x. 26.6. ESTUDO DO SI NA L

Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, y é zero e y é negativo.

Ex.: Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. 245

John Taylor Paiva

1º) CASO: a > 0 (a função é crescente) y > 0  ax + b > 0  x   ba y < 0  ax + b < 0  x   ba

CONCLUSÃO: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz. 2º) CASO a < 0 (a função é decrescente) y > 0  ax + b > 0  x   ba

y < 0  ax + b <

0  x   ba

CONCLUSÃO: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. y x < -b a

y< 0 -

-b a

+ 0

y y> 0

y>0

-b a

+ x < -b a

0

x > -b a

y<0 -

x

26.7. M ÉTODO PRÁTI CO PARA ESTU DO DO SI NA L

1. Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero; A raiz é x   ba

246


2. Verificamos se a função é crescente (a > 0) ou então decrescente (a < 0); então temos duas possibilidades: a) A função é crescente se x   ba então y = 0 a > 0

se x   ba então y < 0

f (x ) = ax + b

y

f (x ) > 0 f (x ) < 0

0

-b/a x Zero da função

se x   ba então y > 0

b) A função é decrescente se x   ba então y = 0 a < 0

y

se x   ba então y > 0

f (x ) > 0

Zero da função -b/a

0

x f (x ) < 0 f(x) = ax + b

se x   ba então y < 0 26.8. EX EM PLOS DE APL I CAÇÃ O

Ex.: Estude o sinal das funções: a) f(x) = 3x + 1 Sol.: Usando o Método Prático 247

John Taylor Paiva

● Determinação da raiz da função: 3x + 1 = 0  x   13 ● Como a = 3 > 0, a função é crescente. Fazendo um esboço, temos:

Logo: x   13  y = 0 1  y 3 1 x    y 3 x  

>0 <0

b) f(x) = -3 – x Sol.: Usando o Método Prático ● Determinação da raiz da função: -3 - x = 0  x = -3 ● Como a = -1 < 0, a função é decrescente. Fazendo um esboço, temos:

248


Logo: x = -3  y = 0 x > -3  y < 0 x < -3  y > 0

249

John Taylor Paiva


146. Sejam A = {1,3} e B = {4}, obter e representar graficamente A x B e B x A. 147. Sendo A = {x  R / 3 ≤ x ≤ 6} e B = {4}, obter e representar graficamente A x B. 148. Sendo A = {x  R / 2 ≤ x ≤ 5} e B = { y  R / 1 ≤ y ≤ 4}, representar graficamente A x B. 149. Dados os conjuntos A = {1,2,5} e B = {2,4}, obter a relação R = {(x,y) / x  A, y  B e x < y}. 150. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9} e B = {1, 6, 8, 10}, obter a relação R = {(x,y) / y = x + 3} de A em B. 151. Das relações de A = {1, 2, 3} em B = {0, 4} colocadas abaixo, qual delas é uma função? R1 ={(1,0), (1,4), (2,0), (2,4), (3,0), (3,4)} R2 ={(1,0), (2,0), (3,0)} R3 ={(1,0), (2,0), (2,4)} R4 ={(1,0), (2,0), (2,4), (3,4)} 152. Sendo A = {-2, -1, 1, 2, 4}, consideremos a função f : R  R definida por y = x2 – 2x + 1. Pergunta-se: a) Qual é o valor de x  D(f) para o qual y = 0? b) Qual é o conjunto imagem de f? 153. Sejam as funções f e g de R em R definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 3x. Pede-se: 250


a) f(1) . g(1) c) f   12  + g   12   

 

b) f(-2) . g(2) d) f g((01))

154. Determine o domínio das seguintes funções: a) f(x) = x 5 3 b) f(x) = 4 x  5 c) f(x) =

7 x x  2

d) f(x) =

x  2  6  2 x

251

John Taylor Paiva

27. INEQUAÇÃO DO 1.° GRAU É toda sentença matemática aberta que exprime uma desigualdade e que pode ser colocada das seguintes formas: ax + b < 0

ax + b > 0

ax + b  0

ax + b  0

Onde a, b  R e a  0 e x é a variável.

Ex.: a) x – 1 < 0

b) 2(x + 1) > x

c)

2 x 1  0 2 2

27.1. SOL UÇÃ O DE I NEQUAÇÕES

Resolver uma inequação significa determinar seu conjunto solução ou conjunto verdade.

SE LIGUE! Quando o conjunto universo não for mencionado, significa que a inequação deverá ser resolvida no conjunto dos números reais. RESOLVER EM “R ” AS INEQUAÇÕES Ex.1: Resolver em R a inequação 2x – 1 > 3 Sol.: Devemos determinar o conjunto de números que, substituídos por x, forneçam números maiores que 3. Assim: 2x – 1 > 3  2x > 3 + 1  2x > 4  x > 2 V = {x  R / x > 2} 252


Ex.2: Resolver em R a inequação 5(x + 2) – 7  3x – 2 Sol.: 5(x + 2) – 7  3x – 2 5x + 10 – 7  3x – 2  5x + 3  3x – 2  5x – 3x  - 2 – 3  2x  -5  x  25 V = {x  R / x  25 }

Ex.3: Qual é o conjunto solução das inequações simultâneas -3 < x  2, se o universo da variável “x” é o conjunto U = {-4, 2, 0, 2, 5} Sol.: Para x = -4  -3 < 4  2 Para x = 0  -3 < 0  2 Para x = 2  -3 < 2  2 Para x = 5  -3 < 5  2

(F) (V) (V) (F)

S = {0, 2}

Ex.4: Quais os elementos do conjunto {y Є Z / -2  y  2} são soluções das duas inequações simultâneas? a) -2 < y < 2

Sol.: -1, 0, 1

b) -2 ≤ y ≠ 1

Sol.: -2, -1, 0, 2

c) -2 < y ≤ 0

Sol.: -1, 0

d) 0 < y ≤ 2

Sol.: 1, 2 253

John Taylor Paiva

Ex.5: O domínio da variável “x” é U = {-2, -1, 0, 1, 2}. Qual o conjunto solução de cada inequação? a) x2 ≥ 0

Sol.: S = U

b) -2x2 > 0

Sol.: S = ø

c) x2 – 1 > 0

Sol.: S = {-2, 2}

d) x2 – x – 2 < 0

Sol.: S = {0, 1}

Ex.6: Calcule:

a 1 3

-

a2

5

≥1+a

Sol.: S = {a Є R / a ≤ -2} Ex.7: Determine os conjuntos dos números reais descritos nos problemas a seguir: a) O dobro de um número é maior que 1.

Sol.: 2x > 1  x  12 S = {x Є R / x  21 } b) A quarta parte de um número é menor ou igual a -2.

Sol.:

x 4

≤ -2  x ≤ -8

S = {x Є R / x ≤ -8} 254


c) A diferença entre um número e é maior que o dobro desse número.

Sol.: x – 3 > 2x  -x > 3  x < -3 S = {x Є R / x < -3} d) O dobro da soma de 21 com o dobro de um número é menor ou igual ao próprio número.

Sol.:

 3

  2x   2 

2

≤ x  3 + 4x ≤ x  3x ≤ -3  x ≤ -1

S = {x Є R / x ≤ -1}

255

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28. SISTEMA DE INEQUAÇÕES Um sistema de inequação é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente (ligadas pelo conectivo e). 28.1. SOL UÇÃ O SI STE M A de I NEQUAÇÕES

O conjunto verdade do sistema é a intersecção dos conjuntos verdades das inequações que o formam.

SE LIGUE! Portanto, resolver um sistema é determinar o conjunto de valores de “ x” que podem ser substituídos nas duas equações, tornando-as verdadeiras. Para isto, resolvemos separadamente cada uma das inequações, e efetuamos a intersecção dos resultados. RESOLVA AS INEQUAÇÕES Ex.1: Resolver em R o sistema:

 x  3  2x   x  2  1  4 x  5

(I ) (II )

Sol.: Resolvendo separadamente cada uma das inequações e em seguida efetuar a intersecção dos resultados, temos: (I) x + 3  – 2x  x + 2x  – 3  3x  – 3  x  – 1 (II) 256

 x 2

+ 1 > 4x + 5 

 x  2

2



8 x  10 2




-x – 8x > 10 – 2  -9x > 8 (-1)  9x < -8  x <

8 9

EI, PSIU! Veja que Multiplicamos por (-1) e invertemos o sinal de desigualdade. Agora, representamos cada solução numa reta e efetuamos a intersecção:

S = { x  R / -1  x <

Ex.2: Resolver em R o sistema:

8 9

}

 x  1 x  1  3  2  4 (I )  1  x  2  0 (II )  3

Sol.: Resolvendo separadamente cada uma das inequações e em seguida efetuar a intersecção dos resultados, temos: (I) x 3 1  x 2 1  4  6  x 3 1   6  x 3 1   24  







2(x – 1) – 3(x + 1)  24  2x – 2 – 3x – 3  24  - x  29  x  - 29 (II) 1 - x 3 2  0  3 – (x + 2)  0  3 – x – 2  0  -x

 -1  (-1)  x  1 257

John Taylor Paiva

EI, PSIU! Veja que Multiplicamos por (-1) e invertemos o sinal de desigualdade. Agora, representamos cada solução numa reta e efetuamos a intersecção:

S = { x  R / x  -29} = (-; -29]

SE LIGUE! Quando for resolver simultâneas, devemos proceder como segue.

inequações

Ex.1: Resolver as inequações simultâneas: 2x + 4  3x + 8  2x + 12 Sol.: Temos que resolver o sistema: 2 x  4  3x  8  3 x  8  2x  12

(I ) (II )

(I) 2x + 4  3x – 8  2x – 3x  8 – 4  -x  4  x  -4 (II) 3x + 8  2x + 12  3x – 2x  12 – 8  x  4 ^

258


S = { x  R / -4  x  4} = [-4; 4]

259

John Taylor Paiva

28.2 28.2.. QUE STÕES TÕES DE D E CONCU RSOS RSOS AN TE RI ORES

155. Resolva as inequações a) x2  18  1  4x b) 1  x  x3  32x  32 c) x 4 2  x 6 2  1

d)

2 x  1 x  2 3x   1 3 6 4

156. Dado o produto P = (x – 1)(2x – 1), calcule os valores de x em cada caso: a) Para que se tenha P = 0. b) Para que se tenha P > 0. 4 1  0 157. Resolva a inequação x 2 1 1 158. Resolva a inequação x 1 1  10

159. Resolva as inequações a) 2x + 6 > x + 8 b) 7x – 7x – 1 1  3(x – 3(x – 3) 3) c) 1 + 2x + 2(1 + x) < 4(1 + 2x) d) 3x – 3x – (6 (6 + 5x)  1 – 1 – (3 – (3 – 7x) 7x) 160. Resolva o sistema:

 x  1 x  1  3  2  4 (I )  1  x  2  0 (II )  3

a inequação: 161. Resolva em R a

3 x  4 0 x  3

162. Resolver as inequações simultâneas: 260


2x + 4  3x + 8  2x + 12

163. (FCC/97) O conjunto de todos os valores reais de x para os quais -3 < 1 - 2x < 5 é dado por: a) x = 2 b) x < 2 ou x > 2 c) x  -2 ou x > 2 d) 2 > x ou x < -2 e) -2 < x < 2 164. (FUMARC/03) Um caixa eletrônico trabalha apenas com cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Bernardo retirou, nesse caixa, quinze cédulas num total de R$ 95,00. O número n de cédulas de R$ 5,00 retiradas por Bernardo é tal que: a) n < 5 b) 5 < n < 9 c) 9 < n < 12 d) n > 12

261

John Taylor Paiva


Você já sabe que não tem em livros convencionais. Ao relacionar duas grandezas “x” e “y” identificadas por fatores de influencia e valores, arme um sistema, onde uma equação é formada por “x” e “y” e a variação geral, e a outra equação por “x” e “y” com seus respectivos fatores e a variação individual. Um exemplo típico é o problema seguinte: 08. (ESA) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 pontos pontos por exercício que erra. No fim de 30 exercícios exercícios tinha 110 pontos. Calcule quantos exercícios errou. Sol.: Uma pessoa pagou uma conta no valor de R$ 500,00, usando notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Quantas notas de cada espécie ela usou, se o pagamento foi efetuado com um total de 60 notas? Chamando: x = notas de 5 e y = notas de 10 262


1.ª equação: x + y = 60 (quantidade de notas = fatores e a variação geral). 2.ª equação: 5x + 10y = 500 (total usado = fatores com a variação individual). Assim:  x  60  y  x  y  60  5 x  10y  500

5(60 – y) y) + 10y = 500 300 – 5y+10y 5y+10y = 500  5y = 200  y=40 Notas de R$ 10,00 10,00 Ex = 60 – 60 – y y  x = 60 – 60 – 40 40  x = 20 Notas de R$ 5,00

263

John Taylor Paiva

29. FUNÇÃO DO 2.º GRAU OU QUADRÁTICA É uma função f : R  R que para cada x em R, associa f(x) = ax2 + bx + c, de domínio R e contradomínio R, onde a, b e c Є R e a  0.

Ex.: As funções f : R  R definidas por: f(x) = x2 (a=1 e b=c=0) e f(x) = x2 -4x + 3 (a=1, b=4 e c=3) 29.1 29.1.. GRÁ GRÁF I CO DA F UN ÇÃ O 2.º 2.ºGRAU OU QU AD RÁTI RÁTI CA

O gráfico de uma função do 2.º grau ou quadrática é uma curva denominada parábola. y

y

x

x

CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO Atribuímos valores a x e determinamos o valor de y correspondente.

Ex.: Veja logo abaixo os gráficos de y = x2 e de y = -x2, respectivamente respectivamente depois de atribuir e tabelar alguns valores

264


x

y

-1

1

0

0

1

1

y = x2

y

1 -1

0

1

x y -1 -1 0 0 1 -1

-1

y

y = -x2 0 1

x

1

x

29.2. 29.2. PROPRI E D A D E S D A F U N ÇÃ O DO D O 2.° 2.° GRAU GRA U

As propriedades da função do 2.° grau destaca, entre alguns aspectos, pontos importantes que ajudam na construção de gráficos:

1. O gráfico é uma curva denominada PARÁBOLA. 2. O gráfico INTERCEPTA O EIXO “x” na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, nos pontos (x1, 0) e (x2, 0). 3. O gráfico INTERCEPTA O EIXO “y” no ponto (0, c), onde “c” é o TERMO INDEPENDENTE, pois na função y = ax2 + bx + c, se x = 0  y = c e os pontos em que “x = 0” estão no eixo Ou. ela pode ter 4. A CONCAVIDADE DA PARÁBOLA – ela a concavidade voltada para cima ou para baixo. De modo 5. ANÁLISE DO COEFICIENTE DE “a” – De geral, o sinal de “a” determina a posição da concavidade concavid ade da parábola. Assim, Assim, se:

a > 0  a concavidade está voltada para cima. 265

John Taylor Paiva

a < 0  a concavidade está voltada para baixo. 6. VÉRTICE DA PARÁBOLA E MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO – o vértice da parábola será: O ponto de mínimo, se a concavidade está voltada para cima (a > 0). O ponto de máximo, se a concavidade está voltada para baixo (a < 0)

7. COORDENADAS DO VÉRTICE:

 b     ,  2a 4a 

29.3. RAÍZE S OU ZEROS DA F UNÇÃ O DO 2.ºGRAU

É valor de “x” para qual y = f(x) = 0. Graficamente, as raízes da função são os pontos onde a parábola corta o eixo Ox. Assim como a função do 1.º Grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a zero, ou seja, equivale a resolver a equação do 2.º grau: ax 2 + bx + c = 0.

O DISCRIMINANTE A existência dos zeros reais (raízes) de uma função do 2.º grau depende do sinal de . Temos três casos a considerar:

1.º Caso: > 0  A parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos de abscissas x 1 e x2 (dois zeros reais desiguais). 266


2.º Caso: = 0  A parábola tangencia o eixo dos x no ponto de abscissas x0 = b 2a (zero real duplo x1 = x2 = b 2a ). 3.º Caso: < 0  A parábola não tem ponto em comum com o eixo dos x (não existe zero real). 29.4. CONJU NTO I M AGEM

Conhecendo a coordenada do vértice da parábola é possível determinar a imagem da função. Basta proceder da seguinte maneira:

1. Já sabemos que se a parábola tem a concavidade voltada para cima, o vértice é o ponto de mínimo da função. Assim, se a > 0 temos: Im = {y  R / y ≥

 4a

}

Ex.: Supondo o vértice V(3,-1), Então, se projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo Oy, obteremos valores de y maiores ou igual a -1. Portanto o conjunto imagem nesse caso é: Im = {y  R / y ≥ -1} 2. Já no caso da parábola que tem a concavidade voltada para baixo, o vértice é o ponto de máximo da função. Assim, se a < 0 temos: Im = {y  R / y ≤

 4a

}

Ex.: Supondo o vértice V(1,2), Então, se projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo Oy, obteremos valores 267

John Taylor Paiva

de y menores ou igual a 2. Portanto o conjunto imagem nesse caso é: Im = {y  R / y ≤ 2}

A IMAGEM GRAFICAMENTE a

0

a 0 yv = -

y

y

V

2a

xv = -b

xv = -b

x

2a

2a

yv = -

4a

x V

29.5. PONTOS ESPECÍF I COS NA CON STRU ÇÃ O DE GRÁFICOS

Como vimos, de modo geral na construção do gráfico da função do 2.° grau, podemos atribuir valores aleatórios a “ x”, calcular “y”, marcar os pontos no plano cartesiano e uni-los formando uma parábola. Esse processo é válido, mais podemos utilizar pontos específicos como: ● As raízes da função; ● O termo independente; ● O vértice da parábola.

268



Ex.1: Determinar k para que a parábola cuja função é: y = k 3  7 x  2  2x  1 tenha: a) Concavidade voltada par cima b) Concavidade voltada para baixo Sol.: Vejamos item por item: a) Queremos que a concavidade esteja voltada para cima. Nesse caso o coeficiente de x2 deve ser positivo, então: k 3

+ 7 > 0 

k 3

> -7  k > -21

b) Aqui a concavidade deve estar voltada para baixo. Nesse caso o coeficiente de x2 deve ser negativo: k 3

+ 7 < 0 

k 3

< -7  k < -21

Ex.2: Sabe-se que a função y = ax2 + bx + 1 tem como raízes -1 e 12 . Determine a função. Sol.: Se as raízes são -1 e temos y = 0.

1

2,

então para estes valores

● Substituímos x = -1 e y = 0 em y = ax2 + bx + 1 vem: 269

John Taylor Paiva

0 = a.(-1)2 + b.(-1) + 1  0 = a – b + 1  a – b = -1 (I) ● Agora substituímos x = 12 e y = 0 em y = ax 2 + bx + 1 vem: 0 = a. 122 + b.

1

2

+10=

a  2b  4 4

 a + 2b + 4 = 0

 a + 2b = -4 (II) ● Agora é só resolver o sistema formado pelas equações I e II a  2b  4  a  b  1

(I ) (II )

multiplicando II por -1 vem:

a  2b  4   a  b  1

(I ) (II )

Somando as duas equações vem: 0 + 3b = -3  b = -1 Substituindo em II vem: a – b= -1  a – (-1) = -1  a+1 = -1 a = -2 Substituindo os valores de a e b em y = ax 2 + bx + 1 temos:

y = -2x2 – x + 1

Ex.3: Construir o gráfico de cada função, determinando o respectivo conjunto imagem. 270


a) y = 2x2 – 3x + 1 Sol.: Vamos seguir os seguintes passos: ● DETERMINAR AS RAÍZES da equação igualando-a a zero: 2x2 – 3x + 1 = 0  x =

3 98 4

 x =

 x 1  1 31   1 4  x 2  2

Portanto, a parábola corta o eixo Ox nos pontos P 1(1, 0) e P2( 12 , 0). ● DETERMINAR O VÉRTICE DA PARÁBOLA: x v 

b 2a

 x v  2(.23)  34

y v 

 4a



y v 

1

4.2



1

8

● O TERMO INDEPENDENTE - O ponto em que a parábola corta o eixo Oy é c = 1. ● DETERMINAÇÃO DA IMAGEM - Como a = 2 > 0 (a é positivo) a concavidade da parábola está voltada para cima. Note que, ao projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo Oy, encontraremos sempre valores de y maiores ou igual a 1 . 8 Portanto: Im = {y  R / y ≥

1 8

271

John Taylor Paiva

b) y =

 x 2

3

 x  9

Sol.: Vamos seguir os seguintes passos: ● DETERMINAR AS RAÍZES da equação igualando-a a zero:

x =

  1   1  (1)2  4. .(9) 3   2.  1

 x =

3

1

 1  1  4.3 2

 x=

3

 11

2

3

Como  < 0, não existem raízes reais que satisfaçam a equação, então a parábola não intercepta o eixo Ox.

● DETERMINAÇÃO PARÁBOLA 1 1  2   1  2  3  3  (11) 11  y v  4  1  4   3  3 

x v 

=

DO

VÉRTICE

DA

 3  3  1   2   2

= 11 43   33 4 



● O TERMO INDEPENDENTE - O ponto em que a parábola corta o eixo Oy é c = -9.

272


● DETERMINAÇÃO DA IMAGEM – Como a = 1 < 0 (a é negativo), a concavidade da parábola está voltada 3 para baixo. Veja que a equação não tem raízes reais, porém existe um gráfico para representá-la, e a parábola não corta o eixo Ox, ela estará abaixo do eixo Ox. Note que, ao projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo Oy, encontraremos sempre valores de y menores ou igual a 33 4 . Assim: Im = {y  R / y ≤ 33 4 } 29.7. ESTUD O DO SI NAL DA F UNÇÃ O DO 2.° GRAU

Estudar o sinal da função quadrática é determinar os valores de x para que y seja: positivo, negativo ou zero. 29.8. REGRA PRÁTI CA para ESTU DO do SI NA L

Dada a função f(x) = y = ax 2 + bx + c, para saber os sinais de y:

1. Determinamos as raízes (se existirem) da função, igualando-a a zero. 2. Analisamos o valor do discriminante. Então, temos as seguintes possibilidades: a)

> 0  então as raízes são x1  x2:

Se a > 0 temos: x < x1 ou x > x2  y > 0 x1 < x < x2  y < 0 x = x1 ou x = x2  y = 0 273

John Taylor Paiva

x1

x2

x

....................................................................................................... Se a < 0 temos: x < x1 ou x > x2  y < 0 x1 < x < x2  y > 0 x = x1 ou x = x2  y = 0 x1

x2 x

....................................................................................................... ....................................................................................................... b)

= 0 então as raízes são x 1 = x2:

Se a > 0 temos: x = x1 = x2  y = 0  x  R  x  x1  x2  y > 0

x1 =

x2

x

...................................................................................................... Se a < 0 temos: x = x1 = x2  y = 0  x  R  x  x1  x2  y < 0 274

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos x1

=

x2 x

....................................................................................................... ....................................................................................................... c)

< 0 então não existem raízes reais:

Se a > 0 temos:  x  R  y > 0

x

...................................................................................................... Se a < 0 temos:  x  R  y < 0 x

....................................................................................................... ....................................................................................................... 29.9. EX EM PLOS DE APL I CAÇÃ O

Ex.1: Estude o sinal de cada função: 275

John Taylor Paiva

a) y = x2 + x +

1 4

Sol.: Fazendo o estudo do sinal temos: ● Raiz  x =

 1  12  4.1. 1

2.1

4

x=

1  0

2

 x1 = x2 =

1 2

● Discriminante   = 0 Como a = 1 > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, temos, então: Os sinais da função são: x = - 12  y = 0 x ≠ - 12  y > 0

-1 2

x

b) y = 5x2 – 6x + 2 Sol.: Determinamos o discriminante: 276


● Raiz  x = 6 

62  4.5.2 2.5

x = 6 10 4  Como  < 0

  x  R ● Discriminante   = -4 < 0 Sendo a = 5 > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, então: Concluímos que:  x  R  y > 0

x

c) y = -2x2 + 18 Sol.: Inicialmente determinamos as raízes: ● Raiz



-2x2 + 18 = 0  -2x2 = -18  x2 = 9 

 x 1  3   x 2  3

● Discriminante   > 0 Como a = -2 < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. Assim: Os sinais da função são: 277

John Taylor Paiva

-3

3 x

x < -3 ou x > 3  y < 0 -3 < x < 3  y > 0 x = -3 ou x = 3  y = 0

278


29.10. QUESTÕES DE CONCU RSOS AN TE RI ORES

165. (FGVSP/02) Ao adquirir um automóvel 0 km, um cidadão resolveu acompanhar a sua cotação no mercado de veículos usados durante os primeiros seis meses após a compra, obtendo os seguintes dados através de certa revista especializada: Mês Cotação (em mil reais)

0 (mês da compra) 24,3

1º

2º

3º

4º

5º

6º

22,5 20,7 18,9 18,9 19,2 19,5

166. (FCC/98) Seja f a função do 2° grau representada no gráfico abaixo.

Essa função é dada por:

279

John Taylor Paiva

a) f(x)= – x2+4x d) f(x) =

1 2 x 4

– x

b) f(x)=  14 x 2 +x d) f(x) =

167. Seja a função f: R determine: a) f (3)

 R,

1 2 x 2

c) f(x) = x2 + 4x

– 2x

dada por f(x) = 2x + 5,

b) f (0)

168. (NCE/UFRJ/01) Considere o gráfico da função real definida por f(x) = -2x + 6 . As coordenadas do ponto em que esse gráfico corta o eixo horizontal X são: a) (0, -3) b) (0, 3) c) (6, 0) d) (-3, 0) e) (3, 0) que:

169. Seja a função f: R  R, determine f(3), sabendo-se f(1) = 4 f(3x) = 5.f(x) 170. Sendo f(3x + 2) = x 4 1 , determine f(5). 171. Sendo h(4+2x) = x 2 , determine h(0). 172. Numa função f: R  R tem-se f(x) = 3. Determine: a) f(0) b) f(-5)

280

173. Determine f(5), sabendo-se que

f(7) = 25 f(x – 1) = f(x) – 2

174. Determine f(2), sabendo -se que

f(8) = 10 f(2x) = f(x) – 2


30. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU Em muitas situações é necessário saber quando é que uma certa função é positiva ou negativa. A partir do gráfico da função indicar com uma boa aproximação o intervalo do domínio em que a função é positiva, negativa, não negativa ou não positiva, então, podemos resolver a inequação do 2º grau considerando os seguintes fatores:

FATORES DE INFLUÊNCIA 1. O sinal de a, coeficiente do termo do 2º grau, que nos indica que a parábola tem a concavidade voltada para cima (se a > 0) ou voltada para baixo (se a < 0). 2. O sinal de (b2 - 4ac) que nos fornece indicações sobre a existência de zeros, que devem ser determinados, caso existam. CORRESPONDÊNCIA GRÁFICA Então, agrupando estas duas informações, o gráfico corresponderá a um dos seguintes:

a>0

281

John Taylor Paiva

a<0

30.1. SOL UÇÃ O DE I NEQUAÇÕES

Resolver uma inequação quadrática é determinar o conjunto de valores de “x” que satisfazem a desigualdade pedida, ou seja, determinar seu conjunto solução ou verdade. Adotamos os procedimentos descritos vejamos:

Ex.: Resolver as inequações: a) x2 – 4x + 3 > 0 Sol.: Devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os valores de “x” para que a função seja positiva. ● Raiz  x =

4  16  12 2

= 4 2 2 

 x 1  3   x 2  1

● Discriminante  ∆ = 4 > 0 Como a = 1 > 0  A concavidade para cima. Então, na equação inicial, queremos os valores de “x” para que a função seja positiva. Portanto, a solução são os intervalos em que aparece esse sinal: 282


S = {x Є R / x < 1 ou x > 3

b) 3x2 – x + 1 ≤ 0 x1

x2

x

Sol.: Devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os valores de “x” para que a função seja negativa ou nula. ● Raiz  x =

1  1  12 2.3

=1

 12 6

 Como  < 0   x

 R ● Discriminante  ∆ = -11 < 0 Como a = 3 > 0  A concavidade para cima. Então,os sinais da função são: Para qualquer valor de x Є R a função é sempre positiva. Como na equação inivial, queremos os valores de “x” para que a função seja menor ou igual a zero. A função é sempre positiva, não há solução para essa inequação, então: S=ø x

c) – x2 + 6x -9 ≥ 0

283

John Taylor Paiva

Sol.: Devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os valores de “x” para que a função seja positiva ou nula. ● Raiz  x =

 6  36  36 2.(1)

= 6 2 0  x1 = x2 = 3

● Discriminante  ∆ = 0 Como a = -1 < 0  A concavidade para baixo. Então,os sinais da função são: Para qualquer valor de x Є R a função é sempre negativa, e somente se anula para x = 3. Como na equação inicial, queremos os valores de “x” para que a função seja maior ou igual a zero, então: S = {3}

x1

=

x2 x

284


31. SISTEMA de INEQUAÇÃO do 2º GRAU É o conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente. 31.1. SOL UÇÃ O DE SI STE M AS DE I NE QUA ÇÕES

Assim como nos sistemas de inequações do 1.° grau, para resolver o sistema de equações do 2.° grau, resolvemos cada uma das inequações e procuramos a interseção entre elas.

Ex.1: Resolver o sistema:  x 2  x  2  2 2 x  x  1

(1) (2)

Sol.: Devemos resolver cada inequação separadamente e depois achar a intersecção dos conjuntos soluções delas. Podemos reescrever o sistema assim:  x 2  x  2  0  2 2 x  x  1  0

(1) (2)

(I)  = (-1)2 – 4 . 1 . (-2) = 9  x =

13 2

 x1 = 2

e x2 = -1 (II)  = (-1)2 – 4 . 2 . (-1) = 9  x =

13 4

 x1 = 1

e x2 = - 12 285

John Taylor Paiva

S = {x  R / -1  x  - 12 ou 1  x  2}

Ou então: [-1; - 12 ]  [1; 2] Ex.2: Resolver as inequações simultâneas 4x
(1) (2)

 reescrever o sistema

2 4 x  x  0  4 x 2  4  0

(1) (2)

(I) x2 – 4x = 0  x(x – 4) = 0 Daí, temos: x1 = 0 ou x2 = 4 (II) 4x2 – 4 = 0  x2 = 1 Daí, temos: x1 = -1 ou x2 = 1 286


S = {x  R / x < -1 ou x > 4}

Ou então: ]-; -1[  ] 4; +  [

287

John Taylor Paiva


175. (CESGRANRIO) O conjunto solução da inequação x2 - 3x - 10 < 0 é: a) (-, -2) b) (-, -2)(5, ) c) (-2, 5) d) (0, 3) d) (3, 10) 176. (PUC-MG) A solução da inequação x 2  x é o intervalo real: a) (-, -11] b) [- 1, ) c) [-1, 0] d) [-1, 1] e) [0, 1) 177. (UEL-PR ) O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x 2 - x < 1, é: a) {x  R /  12 < x < 1} b) {x  R / x > 1 ou x <



1 2

}

c) {x  R / x < 1} d) {x  R / 1/2 < x < 1} e) {x  R / x <  12 }

178. (CESGRANRIO) As soluções de x2 - 2x < 0 são os valores de x pertencentes ao conjunto: a) (0, 2) b) (-, 0 ) c) (2, ) d) (-, 0 )  (2, ) e) (0, ) 179. (UNESP) O conjunto-solução da inequação (x - 2) 2 < 2x - 1, considerando como universo o conjunto IR, está definido por: a) 1 < x < 5 b) 3 < x < 5 c) 2 < x < 4 288


d) 1 < x < 4

e) 2 < x < 5

180. (UFSE) O trinômio y = x2 + 2kx + 4k admitirá duas raízes reais e distintas se, e somente se: a) k > 4 b) k > 0 e k ≠ 4 c) k < 0 ou k > 4 d) k ≠ 0 e k ≠ 4 e) 0 < k < 4 181. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x 2 2x - 35 < 0 é: a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1 182. (UFSC) A equação 2x 2 - px + 8 = 0 tem raízes reais e distintas para “p” satisfazendo as condições: a) p ≤ 8 ou p ≤-8 b) -8 ≤ p ≤ 8 c) p ≥ 8 ou p > 8 d) p < -8 ou p ≥ 8 e) p < -8 ou p > 8 183. (PUC/SP) Os valores de m  R, para os quais o trinômio y = (m-1)x2 + mx + 1 tem dois zeros reais e distintos, são: a) m ≠ 1 e m ≠ 2; b) 1  m  2; c) m  1; d) m  2; e) m = 2

289

John Taylor Paiva

31.3. RESPOSTA S

01. Letras: a, d, e, f e h. 02. a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  l)  m)  n)  o) . 03. Temos: a) A  B = {0, 1, 4, 5, 6, 7} c) A  C = A e) B  D = {7} g) C  D =  i) A  B  C = {4} l) A – B = {0, 5, 6} n) A – (B  C) = {0,1,5,6}

b) A  B = {1, 4} d) A  C = C f) C  D = {2, 4, 6, 7} h) B C D = {1,2,4,6,7} j) B  C  D =  m) A – (B  C) = {0, 5} o) (B  C) – A = {7}

04.Temos: a) O conjunto A  B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} b) O conjunto A  B = {1, 3} c) O conjunto B  C = {1, 2, 3, 5, 6, 9} d) O conjunto B  C = {3, 5} e) O conjunto A – B = {2, 7, 8} f) O conjunto C – B = {2, 9} g) O conjunto A  B  C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} h) O conjunto A  B  C = {3} i) O conjunto (A  B)  C = {2, 3, 5} j) O conjunto (A – B)  (B – C) = {1, 2, 6, 7, 8} 05. Letra C. 08. Letra C. 290

06. Letra C. 09. Letra A.

07. Letra C.


10. Temos:

11. Letra A.

a) A  B = {3, 4, 5, 6, 7} b) A  B = {5, 6, 7} c) A – B = {3, 4}

12. Letra E.

13. 420

14. 46.

15. a) A  B = {-1, 0, 1, 2} b) A  C = {-1, 0, 1, 2, 4, 6, 8} c) (A  B)  C = {2} d) A  B  C =  16. a) A – B = {3, 7}

b) B – A = 

c) CBA = {3, 7}

17. a) , b) , c) , d) , e) . 18. Como n  N, então n = {0, 1, 2...}. Assim, se n = 0  x = 3n – 2  x = 3 . 0 – 2 = -2, etc. portanto: {-2, 1, 4, 7, ...}. 19. a) {x R / < x ≤ 3} b) { x R /x < 2 ou x ≥ 5} c) { x R /x > 7} 20. A = (3, +) e B = (2, 6]

291

John Taylor Paiva

A B = {x  R / x > 2} Entram os elementos de ambos os conjuntos A B = {x  R / 3 < x  6} Apenas os elementos comuns A – B = {x  R / x > 6} Tiramos o 6, pois ele pertence a B B – A = {x  R / 2 < x  3} Não tiramos o 3, pois ele não pertence a A 21. R  A = [0, 3] e B = (1, 4]

22. a) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} {x  Z / x > -5} b) {... -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} {x  Z / x  10} c) {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100} {x  Z / -1 < x  100} 23. a) V

b) V

24. m + 1 e m – 1. 292

c) V

d) V

25. Letra B.


26. a) V, b) V, c) V, d) V, e) V, f) V. 27. MDC = 28. Letra C.

3 . 105

e o MMC =

105 3

.

29. Letra B.

30. Letra C.

31. Na resolução desse tipo de problema, calculamos o MMC dos números. Vamos assim, analisar o conjunto dos múltiplos de 5, 8 e 20. M(5)= {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45, ...} M(8) = {0,8,16,24,32,40,48, ...} M(20) = {0,20,40,60, ...} Observe que o menor múltiplo comum aos três conjuntos, com exceção do zero, é 40, portanto, os amigos se reencontrarão após 40 dias, em 12 de julho.

32. Na resolução desse tipo de problema, calculamos o MDC dos números. Vamos assim, formar o conjunto dos divisores de 60 e 24. D(60) = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} D(60) ∩ D(24) = {1,2,3,4,6,12} Queremos que cada pilha tenha o maior número possível de cartolinas, devemos então considerar o maior divisor comum (MDC) dos dois conjuntos: “12”. Teremos então 60 : 12 = 5 pilhas de cartolinas verdes e 24 : 12 = 2 pilhas de cartolinas azuis, cada pilha com 12 cartolinas. 293

John Taylor Paiva

33. a) 60 = 1 d) 3-1 = 1

b) 12 = 1 e) (a3)2 = a6

3

g)

 1     2 

3

=

1

5

3

c) (-2)2 = 4 ; f ) 52 . 51 = 53 2

h) a : a = a

8

i)

 1     3 

2

= 32 = 9;

34. 222 = 221 3

35. Como: 22 

 26 e 22  28

36. Como: 5 2

 4 50 e

3



3

22  22  3

4 3  4 48  5 2  4 3

37. a) II é falsa e III é verdadeira 38. a) 1 ;

39. -15;

40.

1 ; 27

41.

245 12 6 12 4 12 3 2 ; 3 ; 5

b) 3 2;5 3;1525 = c) 4 3;5 43 =

15 5 15 3 15 2 ; 3 ; 25

20 5 20 12 3 ; 4

d) 7 4;3 5;216 = 294

;

42.

36 3 ;

b) 53 4 = 3 5 0 0 d) 26 3 = 6 1 9 2

28

45. a) 2;3 3;4 5 =

2 2

b) 3 4 0 5 = 33 1 5 d) 5 1 2 1 = 35 5

43. a) 224 = 4 1 4 c) 4 405 = 34 5 44. a) 2 7 = c) 7 5 =

4

21 3 21 7 21 4 ; 5 ; 6


46. a) 3 2 = c)

5 2

b) 3 2 5 = 6 20

62

=

8

47. 48;

d) 4 23 3 5 =

50

48. 2;

24 2880

49. a) (+); b) ( – ).

50. Os termos de uma fração são: numerador e denominador. Na fração 3 o numerador é o número 3 e 5

representa as partes tomadas. O numerador é o número 5 e representa em quantas parte o todo foi dividido. Assim, temos: 3 5

7 5





 São

tomadas três partes iguais (numerador).  O todo foi dividido em cinco partes iguais (denominador).

 São

tomadas sete partes iguais (numerador).  Cada unidade foi dividida em cinco partes iguais (denominador).

51. Efetue a operações: a) 45,347 + 3,45 = 48,797 b) 345,7 . 2,54 = 878,078 c) 437,52 : 213,4 = 2,050234302 d) 2,4 : 12,37 = 0,194017785 52. 0,75;

53.

3 5

295

John Taylor Paiva

-1

-2

0

1

3

2

4

54. 

55. a)

12 5

3 2



3

1

1

9

2

3

2

4

;

b)

56. a) 0,5 = 1 ;

309 ; 100

b) 0,32... =

2

13 ; 99 f) 0,3212121... = 5 3 165 h) 0,2353535... 2 3 3 990

d) d) 0,1313...

25 ; 100 = 3 3 5; 10 = 6 ; 100 36

57. a) 0,25 = d) 33,5 g) 0,06 i) 0,036 =

100

58. 2 horas.

c) 32 ; 99



i)

29

4 9

;

;

90 0,83555... = 1 8 8; 225 0,21444... = 1 9 3 900

232 ; 100 e) 0,12 = 1 2 ; 100 h) 3,454 = 3 4 5 100 j) 12,0615 = 1 2 0 6 1 10000

b) 2,32 =

21 34

c) 0,444... =

e) 0,3222... = g)

10 3

25 10 =4 10

c) 2,5 = f) 0,4

59. 560 min.

60. R  a razão é

12 3  20 5

Tradução: para cada 3 anos que Ana viveu, José já viveu 5. 296

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Essencial de Aritmética e Álgebra Aplicada em Concursos 100 kg 2 50 kg

61. R  Como 50 000 g = 50 kg, temos:

Tradução: João é duas vezes mais pesado que Marcos.

62. R 

a  5  a  5b, b

63. R 

a

3



Logo, a é maior que b.

1 3 a 7 7

64. R  1 500 alunos

65. R  x = 4 e y = 6 67. R  a) 12 68. R  a) 69. R  Vm2 

b) 12 c) 30

81 4

Vm1 

66. R  x = 15 e y = 20

b)

d) 20

8 3

c)

e) 4 5 6

f) 0,18 d)

5 4

s 36 km   Vm  1,8 km /min t 20min

s 48 km   Vm  1, 6 km / min t 30min

70. R  350 km

71. R  4 h

72. R  17 h

73. R  Comprimento do desenho: 10 cm Comprimento real: 400 km = 40 000 000 cm Escala 

10 D  R 40 000000

74. R  a) 180 km c) 90 km 75. R  10 cm

ou

1: 4 000 000

b) 90 km d) 60 km

76. R  100 m2 297

John Taylor Paiva

77. R  80; 120 e 140. 78. R  200; 80 e 100. 79. R  428; 107 e 107. 80. R  1000; 1750 e 2250. 81. R  450; 600 e 150. 82. R  2500; 2500 e 1000. 83. R  10 e 6. 84. R  10 pedreiros. 85. R  4 horas. 86. R  30 horas. 87. R  24 caminhões. 88. R  7 dias. 89. R  104,17 kg 90. R  3 metros. 91. R  15 pessoas 92. R  5 dias. 298


93. R  14 dias. 94. R  800 quilos. 95. R  8 dias. 96. R  1280 peças. 97. R  5 horas. 98. R  32 dias. 99. R  8 dias. 100. R  3v – 3c = 3.(v – c). 101. R  O erro está no item (e). Paulo dividiu os dois membros da igualdade por a – b. Mas a – b = 0. Logo, houve uma divisão por zero, que é impossível. 102. R  a) A altura h de um trapézio, conhecidas as bases e a área. R  b2 AB b) A base b de um trapézio, conhecidas a base B, a altura h e a área A. R  2 A h Bh

103. R  K =

d 2F mM

; m=

d 2F KM

;M=

d 2F Km

;

d=

KmM F

299

John Taylor Paiva

104. R  a) +2 + 3 = 5

-3 – 4 = -7

Na adição de números inteiros de mesmo sinal, conserva-se o sinal e somam-se os números em valores absolutos. -2 + 7 = 5 -3 + 3 = 0 b) +5 – 8 = -3 Na adição de números inteiros de sinais contrários, dá-se o sinal do maior número em valor absoluto e faz-se a diferença. c) (-8) : (-4) = 2 (12) : (6) = 2 (-2) . (-3) = 6 (15) . (3) = 45 Na divisão ou multiplicação de dois números de mesmo sinal o resultado será positivo. (-7) . (+2) = -14 d) (-8) : (+4) = - 2 Na divisão ou multiplicação de dois números de sinais contrários o resultado será negativo. e)  12  13 = mmc(2,3) = 6   36  26   16 Ao somar frações de denominadores diferentes, devemos tirar o mmc par igualar os denominadores. f )   12  :   23     12  .  23   34 

 





 



Na divisão de dois números fracionários, devemos conservar a 1.ª fração e multiplicar pelo inverso da 2.ª fração, observando as regras de sinais. g)   23  . 12  =  26 =  13 

300

  


Na multiplicação de números fracionários devemos multiplicar os numeradores e os denominares, observando as regra de sinais.

105. R  Q(x) = 2x3 – 6x2 + 15x – 45; R(x) = 120 106. R  – 84. 107. a) 30a5 – 54a4 + 24a2; c) x(a + b + c) e) x(x+ 3); g) x2 – 4; i) x2 – 4x + 4; l) 1; n) x2 – 5x + 6;

b) -6y4 – 30y2 + 6y; d) x – 2y + 3z; f) 2x(x – 3); h) x2 + 4x + 4; j) 2; m) -2; o) x2 + x – 20.

108. a) (3a + b)2 = 9a2 + 6ab + b2; b) (y + 0,1)2 = y2 + 0,2y + 0,01 c) (x + 13 )2 = x2 + 2 x + 1 ; 3

9

d) (0,8 + m)2 = 0,64 + 1,6m + m2; e) ( 14 + a)2 = 1 + 1 a + a2; 2

16

2

f) (1,1 + x) = 1,21 + 2,2x + x2; g) (x – 2)3 = x2 – 2x + 4; h) 2t 26t  4 = t2 – 3t + 2. 2

109. R  a2 – b2 = (a + b) . (a – b). Como a + b = 20 e a – b = 5, então a2 – b2 = 20 . 5 = 100 301

John Taylor Paiva

110. R  x2 – y2 = (x + y) . (x – y). Como x – y = 8 e x2 – y2 = 96, então 96 = (x + y) . 8. Logo, x + y = 12.

111. R  Se a + b = 7, então (a + b)2 = 72. Logo, a2 + 2ab + b2 = 49 1

112. R  Se a – a = 10, então

2

1  a   102   a 

113. R  Se x – y = 20, então (x – y)2 = 20. Logo, x2 – 2xy + y2 = 400. 114. a) b) c)

3 x  1 4 5

 x = 7;

x  9 1 9 4 x  3  1

 x = 0

5

 x = -2:

 3  10  x = 65 d) x 5

e) 5x + 4 = 3x – 2x + 4  x = 0 f) 0,1x + 3x + 0,9x = 14 + 2x  x = 7 g) 7(x – 1) – 2(x – 5) = x – 5  x = -2; x 1    x = 2; h) x 2 4 2 7  i) x 4

x

2

5

 x = 8;

j) x 5 1  x  2x 3 1  x =

115. R  x = R$ 3,00; 302

-4.

116. R  17 e 18;


117. R  42 e 44;

118. R  x = 68;

119. R  8, 11 e 24;

120. R  180km;

121. R  200 km;

122. R  105;

123. R  14 km;

124. R  R$ 75,00

125. R  a) 2p + 1;

b) 61 carros.

126. R  a) t = 30x + 20; 127. R  a)

x 2

;

b) R$ 95,00.

b) 0,15x;

c) 0,225x

128. R  Um dos fatores tem que ser zero. 129. a) x(x + 1) = 0  x = 0 ou x = -1; b) 2x(x – 5) =0  x = 0 ou x = 5; c) (x + 3)(x – 1) = 0  x = -3 ou x = 1; d) (x – 6)(4x – 8) = 0  x = 6 ou x = 2. 130. a) x2 – 8x = 0  x = 0 ou x = 8; b) x2 + 3x =0  x = 0 ou x = -3; c) 9x2 = 5x  x = 0 ou x = 5 ; 9

d) 5x2 = -10x  x 0 ou x = -2;

131. a) 8;

b) 32;

132. R  15 e 16;

c) 64;

133. R  12m e 7m; 303

John Taylor Paiva

134. R  2cm;

135. R  5m;

136. R  n = 12;

137. R  Letra a) 0;

138. R  Letra a) 2;

139. R  Letra b) x = 12 ;

140. R  Letra d) 16;

141. R  Letra c) 6 e 36;

142. R  Letra c) 0;

143. R   4 2

144. R  x1 = 4 e x2 = -3. 146. R  A B x A = {(4, 1), (4, 3)}

x

B

145. R  =

AxB

147. R  A x B = {[x, 4) / x  A}

304

{(1,

m

4),

25 4

(3,

4)}

BxA


148.

149. R  R = {(1, 2), (1, 4), (2, 4)} 150. R  R = {(3, 6), (5, 8), (7, 10)} 151. R  R2 ={(1,0), (2,0), (3,0)} 152. R  a) x = 1; 153. R  a) 6;

b) Im = {0, 1, 4, 9} b) -6;

c) 3;

d) 3;

154. a) D = {x  R / x  3}; b) D = {x  R / x ≥ 3}; c) D = {x  R / x > 2}; d) D = {x  R / 2 ≤ x ≤ 3}; 155. R  a) x >

3 2

b) x ≤ 2

156. R  a) x = 1 ou x = 157. R  x < 8;

1 2

;

d) x >

4 3

b) x < 1 ou x >

1 2

c) x ≥ 2

158. R  x ≤



1 9

305

John Taylor Paiva

159. R  a) x > 2 c) x ≥  1

b) x ≤ -2 d) x ≤  4

160. R  x ≤ -23;

161. R 

162. R  -4 ≤ x ≤ 4,

163. R  Letra e) -2 < x < 2;

4

9

4 3

≤ x < 3;

164. R  Letra c) 9 < n < 12 165. R  Letra E; 166. R  Letra d) f(x) = 167. R  a) f (3) = 11;

1 2 x 2

– 2x

b) f (0) = 5;

168. R  Letra e) (3, 0) 169. R  f(3) = 20; Sol.: f(3x) = 5 . f(x) Fazendo x = 1, tem-se: f(3.1) = 5 . f (1)  f(3) = 5 . f(1) Como sabemos que f(1) = 4, temos que: f(3) = 5 . 4  f(3) = 20 170. R  f(5) = 0 Sol.: Para determinarmos f(5), devemos fazer: 3x + 2 = 5  3x = 5 – 2  3x = 3  x = 1 Assim, fazendo-se x = 1, obtemos: f(3 . 1 + 2) = 1  1  f(5) = 0  f(5) = 0 4

306

4


171. R  h(0) = -1 Sol.: Para determinarmos h(0), fazemos: 4 + 2x = 0  2x = 0 - 4  2x = -4  x = -4/2  x = -2 Desta forma, fazendo-se x = -2, obtem-se: h(0) = -2/2  h(0) = -1 172. R  a) f(0) = 3 b) f(-5) = 3 Sol.: Note que a função não depende do valor de x. É a chamada função constante. Assim, f(x) = 3, qualquer que seja o valor de x. Logo: a) f(0) = 3 b) f(-5) = 3 173. R  f(5) = 21 Sol.: f(x-1) = f(x) - 2 para x = 7, tem-se: f(7 - 1) = f(7) – 2  f(6) = f(7) - 2 Como sabemos que f(7) = 25, f(6) = 25 – 2  f(6) = 23 para x = 6, tem-se: f(6-1) = f(6) – 2  f(5) = f(6) - 2 Como chegamos que f(6) = 23, f(5) = 23 – 2  f(5) = 21 174. R  f(2) = 14 Sol.: f(2x) = f(x) – 2  f(x) = f(2x) + 2 para x = 4, tem-se: f(4) = f(2 . 4) + 2  f(4) = f(8) + 2 Sabemos que f(8) = 10, então: f(4) = 10 + 2  f(4) = 12 para x = 2 f(2) = f(2 . 2) + 2  f(2) = f(4) + 2 Sabemos que f(4) = 12, então: f(2) = 12 + 2  f(2) = 14 307

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