Saber fazer TrigonomeTria no ciclo TrigonoméTrico
1. Determine os maiores arcos negativos, medidos em graus, que são representados pelos vértices do pentágono PQRST, PQRST, sabendo que PÔA mede 30°.
4. (UFTM) No intervalo [0, 2π], a equação |cos x| = 1/2 tem um número de raízes igual a: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 5. Resolva a equação
2. (UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1, passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD são paralelos ao eixo y e θ é o ângulo que o segmento de reta OD faz com o eixo x. Com respeito a essa figura, é correto afirmar que:
6. (Uneb-BA) No intervalo [0, 2 p], a equação trigonométrigonomé trica tg x = – 1: a) não possui raízes. raízes. b) possui uma única raiz. c) possui exatamente exatamente duas raízes. raízes. d) possui exatamente três raízes. e) possui uma infinidade de raízes. 7. (UnB-DF) A soma das raízes da equação
, é: a) p b) 2 p
y C
, com 0 ≤ x ≤ 2π.
D
c) θ
A B
O
x
d) e) 8. (PUC-MG) A soma das raízes da equação cos x – cos 2x = 0, 0 ≤ x ≤ 2π, em radianos, é: a) p b) 2 p c) 3p d) 4 p e) 5p
a) b) c) d) e) 3. (Cesgranrio-RJ) Se cos x =
a) b)
−4
e
−π
2
<
x
<
, então tg x vale:
0
a)
3
−3 4
c)
5
d)
7
e)
3 5
9. (Mack-SP) A equação 1 + tg 2 x = cos x tem uma solução pertencente ao intervalo:
3
4
b) c) d)
−7 4
e)
3
MÓDULO 8 10. (UFRJ-RJ) A equação x 2 – 2x cos θ + sen2 θ = 0 possui raízes reais iguais. Determine: θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
4
; k ∈»
4
x = kπ; k ∈ »}
17. (Udesc-SC) A expressão mais simples para
π
é:
4 π
b) –
d)
π
π d) x ∈ |x = (2k +1) ; k ∈»
e) {x ∈ |
:
c)
=k
11. A solução da equação
a)
c) x ∈ |x
a) 1 b) – 1 c) 0 d) tg x e) sec2x
4
7π 12
π 2
e) 0 12. Calcule: a) sen 105° b) cos 75° c) tg 15° 13. Se x é um ângulo agudo e
sen x =
2 3
, calcule:
a) sen (2x) b) cos (2x) c) sen (4x) 14. (Uece-CE) Se x é um arco do primeiro quadrante tal
que tg
, então sen x é igual a:
18. (Cefet-PR) A expressão equivalente a: a) sen x b) cos x c) tg x d) cotg x e) sec x
cos x 1+ senx
+
1+ senx cos x
1 −
cos x
é
1 – tg 4 x 19. (Ufam-AM) A simplificação de , é: cos4 x – sen4x a) cossec4 x b) cos4 x c) sen4 x d) sec4 x e) cotg4 x
a)
20. Prove que (1 + cotg 2 x) · (1 – cos 2 x) = 1 para todo x real, em que sen x ≠ 0.
b)
21. Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 representam os arcos apresentados abaixo no ciclo trigonométrico. Identifique os pontos com cada um dos arcos.
c)
y P1
d) 15. (Uespi-PI) A igualdade tg x = 1 é válida para: a) x = p/4 + 2k p (k ∈ ) b) x = p/4 + kp (k ∈ ) c) x = p/2 + 2k p (k ∈ ) d) x = p/2 + kp (k ∈ ) e) x = 3 p/4 + 2kp (k ∈ ) 16. (UEMS-MS) O conjunto solução da equação sen x – cos x = 0, é: π ; k ∈» 4 π b) x ∈ | x = (4k -1) ; k ∈» 4
a) x ∈ | x= (4k +1)
P2 O
x
P3
P4
a)
7π 6
rad
b) 290° c) 1 rad d) – 190° e)
−9 5
rad
P5
4
Matemática
22. (Fatec-SP) Na circunferência trigonométrica a seguir,
considere o arco
AM
, de medida
radianos. Logo:
d) e)
1 4
1
−
5
27. (UFRN-RN) A figura abaixo é composta por dois eixos perpendiculares entre si, X e Y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no ponto P. A semirreta OQ, com Q pertencente a Z, forma um ângulo a com o eixo Y.
a) AP = 1 b) c) d) Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é: a) sec a b) tg a c) cotg a d) cos a
e) OP = 2 23. Cacular a expressão: sen π 2
E=
sen π
·
cos π
+
+
cos0° · sen
tg0 · cos
π
2
3π 2
+ cos 2π
24. (UFRGS-RS) Considere as desigualdades abaixo sobre arcos medidos em radianos. (I) sen 1 < 0 (II) cos 2 < 0 (III) tg 1 < tg 2 Quais são verdadeiras? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III. 25. (UFRJ-RJ) Os valores que m pode assumir para que exista o arco x, satisfazendo a igualdade sen x = m – 4, são: a) m = 2 b) 3 ≤ m ≤ 5 c) 1 ≤ m ≤ 3 d) 0 ≤ m ≤ 2 e) m = 3 3
a) b) c)
2 3 1 6 2 5
a)
6−
b)
3 −1
c)
3+ 2
d) e)
3
6
2
3 2 2 +1 4
3 2−
6
9
29. (UFRGS-RS) O número real cos 3 está entre:
a)
−1 e −
b)
−
c)
−
d)
0e
3 2 2 2
3π
26. (Fuvest-SP) Se tgx = e π < x < , o valor de 4 2 cos x – sen x é:
sen 150o + cos 225o é igual a: tg 300o
28. (ESPM-SP)
e)
2 2
3 2
e−
e0
2 2 e1
2 2
MÓDULO 8 30. (UnB-DF) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferência de centro na origem e de raio igual a 1. A cada ângulo central a no intevalo [0, p], represente por A( a) a área delimitada pelo arco da circunferência e o segmento de reta que liga os pontos P e Q, como ilustrado na figura a seguir.
5
35. (Mack-SP) Se x é ângulo agudo, tg (90° + x) é igual a: a) tg x b) cotg x c) – tg x d) – cotg x e) 1 + tg x 36. (UERJ-RJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir. A
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1. A área A é uma função crescente do ângulo cen tral a. B
2. 3. 31. (Inatel-MG) Se sen x ≠ cos x, então o valor de
é: a) 1 b) –1 c) zero d) tg x e) cotg x 32. (PUC-SP) Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, calcule tg y.
C
D
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a: a) 60° b) 45° c) 30° d) 15° 37. (UFPE-PE) As raízes da equação x 2 – 3x + 2 = 0 são tg a e tg β. Pode-se afirmar que tg( a + β)é igual a: a) 3 b) 2 c) –2 d) –3 e) 0 38. (Mack-SP) Se, no triângulo retângulo da figura, tem-se
33. (Ufop-MG) A expressão
, então o valor de sen(2 a + 3b) é:
é equivalente a:
β
a) tg x b) cotg x c) –tg x d) –cotg x 34. (UFMA-MA) A equação cos x = cos
α 12 cm
com 0 ≤ x < 2p:
a) b)
a) tem infinitas soluções. b) não tem solução. c) admite apenas as soluções
.
d) admite apenas as soluções
.
e) admite apenas as soluções
.
c) d) e)
6
Matemática
39. (Vunesp-SP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é a = 30°, a medida do ângulo AED é b e x = BE.
D
C
A
B
E
Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando b = 75°.
c)
41. (Unifesp-SP) A expressão sen (x – y) cos y + cos (x – y) sen y é equivalente a: a) sen (2x + y) b) cos (2x) c) sen x d) sen (2x) e) cos (2x + 2y) 42. (Mack-SP) A soma dos valores inteiros de k para que a equação apresente soluções reais é: a) 7 b) 10 c) 13 d) 15 e) 20 43. (UFRGS-RS) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, π 2π respectivamente, e , OP= 2 e OQ = 3. 4 3 y
45. (Unifesp-SP) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e sen x = 3 cos x, então sen(2x) é igual a:
a) b)
3
c)
1+
d)
4
e)
x
3
b)
b) 3 +
2
e)
c)
2+
3
5
5 3 2
47. (Mack-SP) Se
a) 2 +
d) 2 −
5
e) cos x = 0,8
a)
2+ 2
5
46. (UEPB-PB) Considere x um arco do primeiro quadrante de modo que sen x = 0,6. Então podemos afirmar que: a) cos 2x = – 0,6 b) sen 2x = 1,2
então, (PQ)2 é:
c)
5 5
d) cos
v u
d)
c) sen
Q
P
a) b)
40. (Fuvest-SP) Resolva (em ) a equação cos x sen 2x = sen x (1 + cos 2x).
0
44. (AFA-RJ) Um passageiro em um avião, voando a 10,5 km de altura, avista duas cidades à esquerda da aeronave. Os ângulos de depressão em relação às cidades são 30 o e 75 o, conforme a figura abaixo. A distância, em km, entre os prédios A e B situados nessas cidades é igual a:
− 24 7 −8 3
d)
3
e)
−4 3
e tg x < 0, então tg 2x vale:
7
MÓDULO 8 48. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD, em que os ângulos  e são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen é:
c) d) e) kπ; k∈ 55. (Cefet-MG) A expressão trigonométrica em que sec x ≠ ± 1, equivale a: a) – tg2 x b) – cotg 2 x c) 1 – tg2 x d) 1 – cotg2 x e) cossec2 x
a) b)
1 − tg2 x 1 − sec 2 x
,
56. Sendo a = 26°36’51” e b = 72°41’42” as medidas de dois arcos, calcule: a) a + β b) β – a
c) d) e) 49. (UFV-MG) Mostre que para todo x ∈ vale a identidade: cos (4x) = 8 cos 4x – 8 cos 2x + 1.
57. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semirreta Ot forma um ângulo a com o semieixo Ox (0° < a < 90°) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente.
50. (UFRJ-RJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x. 51. (AMAN-RJ) Os valores de x que satisfazem a equação 3cos 2x = 1 tomam a forma:
a) kπ + b)
2kπ
π
2
, k ∈
π +
c) kπ + 2
2 π
4
,k ∈
,k ∈
A área do DTAB, como função de a, é dada por:
d) kπ ,k ∈
a)
4
52. Os valores de x que satisfazem a equação
são: 7π
a)
x
=
b)
x
=
c)
x
=
d)
x
=
30
+
k
+
k
+
k
+
k
7π 15 7π 2 7π 5
c)
π
d)
3 π
e)
3 π
3 π
2
53. Resolva a equação (cos x + sen x) 2 =
1
.
2
54. (Mack-SP) Dê a expressão geral dos arcos x para os quais 2 (cos x + sec x) = 5.
a) b)
b)
58. (UFPE-PE) Sabendo-se que sen 2x – 3sen x · cos x + + 2cos2 x = 0, temos que os possíveis valores para tg x são: a) 0 e –1 b) 0 e 1 c) 1 e 2 d) –1 e –2 e) –2 e 0
8
Matemática
59. (Unicamp-SP) Considere a função: S (x) = 1 + 2 sen x + 4(sen x) 2 + 8(sen x) 3 para x ∈ .
a) Calcule
64. (Ufop-MG) Um retângulo possui lados medindo
a = sen α e b = cos α, onde 0 < α <
.
.
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈ [–2p, 2p].
b = cos a
60. (Fuvest-SP) Nos triângulos retângulos da figura, AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que: sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a, o valor de sen x é:
a = sen a
D
Determine a área do retângulo, sabendo-se que o perímetro é igual a . C
65. (ITA-SP) A expressão
x A
B
a)
a)
b)
b)
c)
c) d)
d)
e)
e)
61. (Uece-CE) Seja p um número real positivo. Se π
sen (2 θ) = 2p e sen θ = 3p,0 < θ < , então, p é igual a: 2
a) b) c) d)
, 0 < θ < p, é idêntica a:
2 3 2 8 2 6 2 2
66. (UFPI-PI) Seja n o número de soluções da equação 2 sen x · cos x = 0 no intervalo [0, π]. O valor de n é: a) um. b) dois. c) três. d) quatro. e) cinco. 67. (Unimontes-MG) Quantas soluções reais tem a equa-
ção 2 cos
no intervalo [–p, 4p]?
9
62. (Ibmec-SP) Seja ABC um triângulo retângulo em C, a bissetriz do ângulo A C, sendo R um ponto do lado AC. Se BR = 2 m e AB = 12 m, quanto mede ? 63. (Ibmec-SP) O triângulo ABC é isósceles (figura), com = = 1. Se BH é a altura relativa ao lado , então, a medida de é: a) sen a · cos a b) 2 cos a – sen a c) 1 – cos2a d) 1 – sen 2a e) 2 · sen 2a
a) 5 soluções b) 4 soluções c) 3 soluções d) Infinitas soluções. 68. (Cesesp-PE) Assinale a alternativa abaixo que corresponde ao conjunto solução da equação:
a) x ∈ | x ≠ π + kπ, k ∈ »
2
b) x ∈ | x = π + kπ, k ∈ »
2
c) {x ∈ | x ≠ kπ, k ∈ »} d)
∅
e) x ∈ | x ≠ 2kπ + π , k ∈ »
2
MÓDULO 8 69. Resolver em a equação: sen3 x + cos 4 x = 1
c) x = (k + 1) π, k ∈
70. O conjunto solução de (tg 2x –1) (1 – cotg 2 x) = 4, x ≠ kp/2, k ∈ , é:
e) x = (4k + 2)π, k ∈
π hπ , h ∈ a) + 4 3
π
b) 4 +
hπ 4
, h ∈
π 6
hπ
π 8
hπ
π
hπ
c) + d) + e) + 12
4
4
4
, h ∈
72. (Vunesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão: S(t)
( t − 1) ⋅ π = λ − cos 6
com l uma constante positiva, S(t) em “milhares” e t em meses, 0 ≤ t ≤ 11. Determine:
a) a constante l, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue; b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.
, h ∈
71. (ITA-SP) Quais os valores de x que satisfazem a equa-
a) – π ≤ x ≤ – π 2 2 b) x = k π, k ∈
d) x = (2k + 2) π, k ∈
, h ∈
ção cos x –
9
= 2?
73. (Vunesp-SP) Determine um valor de n ∈ *, tal que seja solução da equação:
Saber fazer + TrigonomeTria no ciclo TrigonoméTrico
1. Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca: a) 14h b) 14h15min c) 14h8min 2. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às: a) 3h00min b) 3h30min c) 3h45min 3. (Fuvest-SP) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é: a) 27° b) 30° c) 36° d) 48° e) 72° 4. Na figura, OA = 2 cm e o arco AXB tem 4 cm de comprimento. Quanto mede o ângulo a, em graus? A
9. (ITA-SP) O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é: a) 142°30’ b) 142°40’ c) 142° d) 141°30’ e) 145° 10. (UFPR-PR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às 23h45min é: a) 189°30’ b) 277°30’ c) 270° d) 254°45’ e) 277°45’ 11. Se o raio de uma circunferência aumenta de 1 m, de quanto aumenta o comprimento? 12. Duplicando o raio de uma circunferência, o que acontece com seu comprimento? 13. As rodas de um automóvel têm 32 cm de raio. Que distância percorreu o automóvel depois que as rodas deram 8000 voltas? 14. a) Exprimir 120° em radianos.
O
α
x
B
5. Calcule o comprimento de um arco definido numa circunferência de raio 10 cm por um ângulo central de 280°. 6. Em uma circunferência de 5 cm de raio tomam-se os arcos AB e CD , de comprimentos 2 cm e 15 cm, respectivamente. Determine as medidas desses arcos em graus. 7. Na figura, calcule l, e β. c m 4 ,0
β
3,6 cm
3 ,2 c m
8. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio que marca: a) 12h b) 12h20min c) 10h d) 9h24min
b) Exprimir
π
radianos em graus. 2 15. Calcule quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 1 radiano. 16. (UFPA-PA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? 16π a) 9 5π b) 3 4π c) 3 4π d) 2 3π e) 3 17. (Mack-SP) A medida de um ângulo é 225°. Em radianos, a medida do mesmo ângulo é: 4π a) 5 5π b) 4 π 3 c) 4 π 7 d) 4 π e) 2 3
MÓDULO 8 18. (Fuvest-SP) Quantos graus mede, aproximadamente, um ângulo de 0,105 radiano? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 19. (Cesesp-SP) Tomando para p a aproximação 3,14, se um arco de circunferência mede 1,57 cm e o diâmetro 8 cm, então o ângulo correspondente a este arco mede: a) 22°5’ b) 22°30’ c) 11°25’ d) 11°15’ e) 39°25’ 20. Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são vértices de um octógono regular, inscrito no ciclo trigonométrico. Dê a primeira determinação positiva dos arcos AB, AD, AF e AH.
11
23. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são: a) 60° b) 120° c) 240° d) 300° e) –60° f) –300° g) 420° h) 840° 24. Os pontos B1, B2, B3, B4 são os vértices de um quadrado inscrito no círculo trigonométrico. Determine, em radianos, a primeira determinação positiva dos arcos com extremidade inicial A e extremidade final em cada um dos vértices do quadrado. B2
B3
A ; B1
C B
D
E
B4
A
H
F G
21. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são: a) 45° b) –45° c) 135° d) –135° e) 405° 22. Os pontos B1, B2, B3, B4, B5 e B6 são os vértices de um hexágono regular inscrito no ciclo trigonométrico. Dê a primeira determinação positiva de cada um dos arcos com extremidade inicial em A e extremidade final em B 1, B2, B3, B4, B5 e B6. B3
26. Qual a medida em radianos de um arco de comprimento 42 cm, numa circunferência de raio 6 cm? 27. Qual a medida em radianos de um arco de comprimento 5 cm numa circunferência de raio 10 cm? 28. Na figura, calcule l e a (medidas em cm).
5
α
8 4
B2
B4
B1 = A (1, 0)
B5
25. Calcule o comprimento de um arco definido numa circunferência de raio 20 cm, por um ângulo central de 1 radiano.
B6
29. Exprima em radianos: a) 30° b) 45° c) 60° d) 150° e) 240° f) 15°
12
Matemática
30. Exprima em graus: a) p rad 3π b) rad 2 7π c) rad 6 11π d) rad 6 π e) 5 rad 3 π f) 7 rad 4 31. Calcule quantos graus mede, aproximadamente, um arco de: a) 2 radianos b) 6 radianos
35. (Fuvest-SP) Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros? a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764 36. (UFRN-RN) No ciclo trigonométrico da figura, os pontos B1, B 2, B 3, B 4 e B 5, são vértices de um pentágono regular. Dê a primeira determinação positiva de cada um dos arcos de extremidade inicial A, e extremidade final em cada um daqueles pontos. B2 B3
32. (UFRN-RN) Se um ângulo mede 40°, então sua medida em radianos vale:
a)
π
b)
π
B4
3
B5
4 2π c) 9 π d) 3 7 π e) 5 6 33. (UFPA-PA) Qual a medida em radianos de um arco de 135°?
a)
π
b)
π
4
37. Determine o quadrante em que se encontra a extremidade final de cada um dos seguintes arcos:
–π 4 π – b) 3 –2π c) 3 π d) –4 3 –7 e) π a)
4
2 3π c) 4 d) p π e) 5 4 34. (UFMG-MG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 4,5 radianos é:
a)
A ϵ B1
4,5 π
b) 4,5π 810 c) π
d) 810 e) 810π
38. (Mack-SP) A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 5. Calcule a soma dos comprimentos dos arcos da figura. A F
B
E
C D
39. Um trator tem as rodas da frente com 0,60 de diâmetro, e as traseiras com o dobro desse diâmetro. Qual a distância percorrida pelo trator, se as rodas da frente deram 2 000 voltas a mais que as traseiras? 40. (Cesgranrio-RJ) Os centros das três polias de um mecanismo estão sobre os vértices de um triângulo equilátero de lado l. O diâmetro de cada polia é
MÓDULO 8 muito próximo de l, como sugere a figura. Calcule o comprimento aproximado da correia MNPQRSM, que movimenta as polias.
d)
13
–3π 2
M
S
N
R
P Q
41. (Cesgranrio-RJ) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. Qual é o número aproximado de voltas que ele deve dar? 42. Dando-se um acréscimo Dr ao raio da Terra, o equador aumentaria 1 m. Quanto vale aproximadamente Dr, em cm? 43. Assinale no ciclo trigonométrico os arcos de medidas: 5π a) 2
44. Determine o quadrante em que se encontra a extremidade final de cada um dos seguintes arcos: –π a) 6 –11π b) 6 c) 13π
6
π d) 19 6 π e) 8 3
45. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são: a) 390° b) 420° c) 750° d) 1 920° 46. Assinale, no círculo trigonométrico, as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias:
a) A = a|a = n · 3π , n ∈ 2 b) 5 p
c)
–π 2
b) B = b|b =
n · p, n ∈ 2
14
Matemática
c) C = γ |γ = (2n) · π , n ∈ 6
47. Determine o quadrante em que se encontra a extremidade final de cada um dos seguintes arcos: a) 10π 3 11π b) 4 17π c) 6 48. Considere um pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência geométrica com o vértice A sobre o eixo horizontal. Determine a expressão de todos os números associados aos vértices A, B, C, D e E desse polígono, simultaneamente, em graus e radianos. 49. Descubra o sinal de: a) sen 45° b) sen 120° c) sen 225° d) sen 330° 50. Coloque em ordem crescente: sen 90°, sen 120°, sen 240°, sen 180°, sen 15°: 3π ; 2 p e sen x = 3n – 1, então n 51. (PUC-RS) Se x ∈ 2 varia no intervalo: –1 a) ;1 3 b) (–1, 1) c) (–1, 0) d) (0, 1) 1 e) 0; 3 52. Descubra o sinal de: a) sen 40° b) sen 150° c) sen 160° d) sen 200° e) sen 315° f) sen 280°
53. Coloque em ordem crescente: π 3π 3π 5π sen 0, sen , sen , sen , sen . 2 4 3 2 54. (PUC-SP) Todos os valores de x , de modo que a 2x – 1 expressão sen θ = exista, são: 3 a) – 1 ≤ x < 1 b) –1 < x ≤ 0 c) –1 ≤ x ≤ 2 1 d) –1 ≤ x ≤ 2 1 e) –1 ≤ x < 3 55. Descubra o sinal de: a) cos 40° b) cos 150° c) cos 225° d) cos 300° 56. Coloque em ordem crescente: cos 90°, cos 120°, cos 0°, cos 60°, cos 5°, cos 180°. 57. Para que valores de m é possível a igualdade cos 2m – 1 x= , com 0 ≤ x < 2p? 3 58. Determine o sinal de: a) cos 50° b) cos 170° c) cos 230° d) cos 290° 59. Coloque em ordem crescente: π 3π 5π 5π 7π cos , cos , cos , cos 2p, cos , cos . 2 6 6 4 4 2a – 1 60. (PUC-RS) A afirmação cos x = é verdadeira se, 5 e somente se, a é tal que: a) –1 > a ou a > 1 b) –1 ≥ a ou a ≥ 1 c) –1 ≥ a ou a < 1 d) –2 ≤ a ou a ≤ 3 e) –4 ≤ a ≤ 6 61. (UFSE-SE) Se M é tal que M = cos 5, então: 3π 7π < M < cos a) cos 2 4
b) cos
π
2
<
M < cos p
c) cos p < M < cos d) cos
5π 4
7π < M < cos 2p 4
e) M > cos
π
4 π 1 62. Se sen a = , sendo a um arco do < a < p, calcule 3 2 cos a.
15
MÓDULO 8 1 a+2 e sen x = , determine a, de a+1 a+1 modo que se verifiquem, simultaneamente, as duas igualdades.
63. Sendo cos x =
64. Se cos a =
–5 e p < a < 3π , calcule sen a. 2 13
m+1 1 65. (PUC-SP) Sendo cos x = e sen x = , determim a+1 ne m. 66. Determine o sinal de: a) sen 35° b) sen 170° c) sen 210° d) sen 250° e) sen 340° f) sen 260° 67. Coloque em ordem crescente:
sen p, sen
π π 5π 2π 3π , sen , sen , sen , sen . 4 12 3 6 2
68. Se: x ∈ p,
3π , e sen x = 2k + 1, então k varia no 2
intervalo: a) 0 < k < 1 –1 b) –1 < k < 2 –1 c) –1 ≤ k ≤ 2 d) –1 < k < 0 e) –1 ≤ k ≤ 0 69. Para que valores de m existe x tal que: sen x = 2m + 3? (sugestão: –1 ≤ sen x ≤ 1) 70. Obtenha o sinal de: a) cos 50° b) cos 70° c) cos 100° d) cos 305° e) cos 280° 71. Coloque em ordem crescente: cos 0°, cos 100°, cos 50°, cos 280°, cos 70°, cos 350°, cos 180°, cos 270°. 72. Se x ∈ p,
intervalo: a) ]–1, 0[ b) [–1, 0[ 1 2 d) ]0, 1[ c) 0,
e)
1 ,1 2
3π e cos x = 2k – 1, então k varia no 2
73. (Mack-SP) Dentre os valores a seguir, o que mais se aproxima de cos 1 é: a) 0,80 b) 1,15 c) 0,90 d) 0,45
e)
π
3
74. (Udesc-SC-Adaptada) Os arcos cujo cosseno é 2 podem estar nos quadrantes: a) 1º e 4º b) 1º e 2º c) 1º e 3º d) 2º e 3º sen 30° · 75. (Mack-SP) O valor da expressão M = sen 45° cos 45° sen 0° · · é um número: sen 60° cos 15°
a) par b) divisor de 2 c) divisor de 3 d) primo e) ímpar 1 π 76. Determine cos a, sendo dados sen a = e < a < p. 4 2 1 3π 77. Determine sen a, dados: cos a = – e p < a < . 5 2 78. (UGF-RJ) Calcule os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades: sen x = k – 1 e cos x = 3 – k 2 a) 1 b) 0 c)
3 2
d) 2 e) –1 79. (FGV-SP) Os valores de m que satisfazem simultanea-
m – 1 são mente as relações: sen x = 1 + m e cos x = tais que seu produto vale: a) –3 b) –2 c) –1 d) 0 e) Nenhuma das anteriores.
2
3
16
Matemática
80. (UFPI-PI) Se sen x =
2 e x é um arco do 1 o quadrante, 3
então cos x é igual a: 1 a) 3 b)
5 9
c) 5 3 5 d) 3 81. O valor de sen
π
4
+ cos
π
4
+ cos
π
4
é:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 2 d) 2 2 82. Calcule o valor da expressão: sen 5x + sen 3x , para cos 4x x = 60° 83. Coloque em ordem crescente: a) tg 0°, tg 50°, tg 15° π 2π b) tg p, tg , tg 6 3 84. Os quadrantes em que estão os ângulos a, b, γ , tais que sen a < 0 e cos a < 0, cos b < 0 e tg b < 0, sen γ > 0 e tg γ > 0, são, respectivamente: a) 3º, 2º, 1º b) 2º, 1º, 3º c) 3º, 1º, 2º d) 1º, 2º, 3º e) 3º, 2º, 2º 85. Coloque em ordem crescente: a) tg 120°, tg 150°, tg 180° 5π 11π b) tg 0, tg , tg 4 6 86. Se 0 ≤ x ≤ 2p, a afirmação falsa é:
a) Se sen x > 0 e cos x > 0, então 0 < x <
π
2 3π b) Se tg x > 0 e cos x < 0, então p < x < 2 3π c) Se sen x < 0 e cos x < 0, então p < x < 2 3π < x < 2p d) Se cos x > 0 e tg x < 0, então 2 3π e) Se cos x > 0 e tg x < 0, então p < x < 2 3 o 87. Dado cos x = , com x no 4 quadrante, calcule tg x. 5
3π , calcule cos x. 2 1 89. Dado sen x = , com π < x < p, calcule tg x. 2 4 90. (Cesgranrio-RJ) Se x é um arco do 3 o quadrante e tg x = 1, então cos x é: 88. Sabendo que tg x = 3 e que p < x <
a) – 5 2 b) –1 –1 c) 2 d) – 2 2 e) – 3 2 3π 3 91. (Fuvest-SP) Se tg x = e p < x < , o valor de cos 2 4 x – sen x é: 7 a) 5 7 b) – 5 2 c) – 5 1 d) 5 1 e) – 5 5π . 92. Determine o seno, o cosseno e a tangente de 6 7π . 93. Determine o seno, o cosseno e a tangente de 4 4π . 94. Determine o seno, o cosseno e a tangente de 3 95. Obtenha o seno, o cosseno e a tangente dos seguintes arcos: 2π a) 3 5π b) 3 11π c) 6 96. Se  = 45°, Bˆ = 60° e Cˆ = 2 + Bˆ , então, tg  – cos Bˆ + tg Cˆ é igual a: sen Bˆ a) 3 – 2 3 b) 6 – 5 3 3 c) 3 + 2 3 d) 3 – 6 3 e) 6 – 3 – 2 3
17
MÓDULO 8 97. Coloque em ordem crescente: a) tg 0°, tg 130°, tg 40°, tg 80°; π 5π 7π b) tg p, tg , tg , tg . 4 6 4 98. a, b e γ são três arcos trigonométricos, tais que: cos a < 0 e sen a > 0 tg b > 0 e sen b < 0 cos γ < o e tg γ < 0 Em que quadrantes estão, respectivamente, a, b e γ ? a) 1º, 2º e 3º b) 2º, 3º e 4º c) 1º, 1º e 2º d) 2º, 2º e 3º e) 2º, 3º e 2º 99. Descubra o sinal de y em cada caso: a) y = sen 130°, tg 300°, cos 200° b) y = cos 68°, sen 95°, tg 140° 5π 11π c) y = sen · tg 7 8 π 1 100. Sabendo que sen x = , e que < x < p’, calcule tg x. 3 2
101. (PUC-RS) Se tg x = –
a) 1 8
7 π<
14 4 c) 7 8 d) 3 4 e) 2 4 102. Calcule sen 150°, cos 150°, tg 150°. b)
103. Calcule sen 225°, cos 225°, tg 225°. 104. Calcule sen 330°, cos 330°, tg 330°. 105. Calcule sen 240°, cos 240°, tg 240°. 106. Calcule sen 315°, cos 315°, tg 315°. 107. Calcule sen 120°, cos 120°, tg 120°. 108. (Cesgranrio-RJ) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e ABC = 60°. O lado AC mede: a) 5 b) 13 c) 37
d) 2 3 e) 3 3
109. (PUC-RS) O valor de x no triângulo abaixo é: x 5 120° 10
a) b) c) d) e)
5 5 5 5 5
2 3 5 7 10
110. (PUC-SP) Com os dados da figura abaixo, qual o valor do cos θ? 4
θ
5
6
a) 0,092 b) 0,125 c) 0,150 d) 0,222 e) 0,375 111. Num triângulo ABC, o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4, respectivamente. Então: a) BC < 4 b) BC < 5 c) BC > 7 d) 5 < BC < 7 112. Classifique quanto aos ângulos os triângulos cujos lados medem: a) 12, 13 e 9 b) 4, 5 e 8 c) 15, 12 e 9 113. Classifique quanto aos ângulos os triângulos cujos lados medem: a) 10, 8, 17 b) 17, 8 e 12 c) 2 5 , 2 10 , 2 15 114. Considere o triângulo abaixo, satisfazendo a relação a = 2b cos Cˆ . A
b
c
B
a
C
Podemos afirmar que o triângulo é: a) equilátero. b) retângulo. c) acutângulo. d) obtusângulo. e) isósceles.
18
Matemática
115. (Cesgranrio-RJ) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal desse paralelogramo mede: a) 5 b) 6 c) 40 d) 37 e) 6,5 116. (Fuvest-SP) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o 3 ângulo b mede 60° e sen a = 4 B
β α O
A
a) Determine sen OÂB em função de AB. b) Calcule AB 117. (Cesgranrio-RJ) O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas na figura. O cosseno do ângulo QMN vale: M
5
3 2 d) 59 70 113 e) 120 c)
119. (Fuvest-SP) Os lados de um paralelogramo medem a e b, e suas diagonais d 1 e d2. Prove que: d1 2 + d2 2 = 2a2 + 2b2. 120. (FGV-SP) Em um triângulo ABC, os ângulos  e Bˆ
medem, respectivamente, 60° e 45°, o lado BC mede 5 6 cm. Então, a medida do lado AC é: a) 18 cm b) 5 12 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 10 cm 121. (ITA-SP-Adaptada) Sejam d e L respectivamente os comprimentos da diagonal BD e do lado BC do paralelogramo ABCD abaixo. Conhecendo-se os ângulos a e b, o comprimento x do lado AB é dado por: A
x
N
8
P
d) – 2 2 e) – 3 2
B
A
C
α Solo
2 2
L
C
a) x = d · cos a cos (a + β) b) x = d · sen a sen (a + β) c) x = L · sen a cos (a + β) d) x = d · cos a sen (a + β) 122. (Fatec-SP) No triângulo ABC representado na figura, o comprimento do segmento BC é (em cm): B
118. (UFRGS-RS) A figura representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 km em BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da inclinação a é:
b)
d x
B
a) – 3 5 4 b) – 5 c) –1
a) 1 2
D
β α
5
Q
L
45°
A
a) 5 b) 5 2 6 c) 10 3 d) 5 6 e) 10 2
30° 10 cm
C
MÓDULO 8 123. (UFRG) Na figura, a =
π
radianos, b =
π
6 12 AC mede 15 2. A distância de B até C é:
radianos e
B
α
β
A
C
15 2
a) b) c) d) e)
10 10 6 15 15 2 15 3
124. (ITA-SP-Adaptada) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa um farol L e calcula o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separa o farol do ponto B? a) 4 b) 2 2 8 c) 3 d) 2 2 125. (PUC-SP) Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 120°. O terceiro lado mede: a) 8 m b) 10 m c) 12 m d) 14 m e) 16 m 126. (Ueba-BA) Um triângulo ABC é tal que: AB = AC = 4. Se  = 120°, a medida do lado BC é: a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 8 3
128. (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações 3a = 7c e 3b = 8c: a) 30° b) 60° c) 45° d) 120° e) 135° 129. Classifique, quanto aos ângulos, os triângulos cujos lados medem: a) 20, 25, 40. b) 5, 2, 3 c) 5, 3, 7 130. Os lados de um triângulo estão na proporção 6:8:9. Então: a) o triângulo é obtusângulo. b) o triângulo é acutângulo. c) os lados estão na razão 6:8:9. d) o ângulo oposto ao lado maior é o dobro do lado oposto ao lado menor. 131. (Mack-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 e 12 e formam um ângulo de 60°. As diagonais medem: a) 4 e 4 7 b) 4 7 e 4 19 c) 4 17 e 4 19 d) 4 7 e 4 17 e) 4 e 4,5 132. (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60°. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? 133. (FGV-SP) O perímetro da figura abaixo é: A x
127. (UFRGS-RS) Na figura, A e B são vistos de C sob um
ângulo de
π
radianos. Se AC = 80 e BC = 100, então 3 AB é a raiz quadrada de: a) b) c) d) e)
32 400 24 400 16 400 8400 400
45°
AB = 2 BC = 3 B
90°
30° x
A
B
a) 2( 2 + 3) b) ( 2 + 3)2 c) 4 + 2 + 6 d) 3 + 2 + 2 6 e) 5
y
45° 30° y C
C
19
20
Matemática
134. (Cesgranrio-RJ) Para traçar uma circunferência de 40p cm de comprimento usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. O ângulo a de abertura do compasso deve ser:
de A. A seguir, mede os ângulos  e Cˆobtendo 115° e 44°, respectivamente. Com estes dados, é possível medir a distância entre A e B. Faça esse cálculo, utilizando a tabela trigonométrica. B
α 2 0 c m
a) b) c) d) e)
75° 60° 55° 50° 45°
C
135. (UFRN-RN) Na figura, os três ângulos assinalados têm a mesma medida a e BD = 10. O perímetro do triângulo retângulo ABC é:
A
138. (UFRGS-RS) Numa fazenda o galpão fica 50 metros distante da casa. Com os dados da figura, a soma x + y, em metros, das distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia é 50 vezes: y
β
B
x
α α
50
α A D
α
a) C
a) 15( 3 + 1) b) 5(6 + 2 3) c) 5(6 + 2 3)
d)
sen (a + β)
sen a + sen β
e) sen a + sen β) sen (a + β)
136. Calcule x, em cada caso: a) 45° x 30°
139. Calcule:
a) sen 390°, cos 390° b) sen 870°, cos 870° c) sen (–60°), cos (–60°)
2
b)
d) sen (–1 485°), cos (–1 485°) 13π 13π e) sen , cos 3 3
x 120° 4
c) 4
cos a + cos β b) cos a + cos b c) sen a + sen b
d) 5 5 3 + 2 3 e) 40
30°
cos (a + β)
105°
x
30°
137. Os pontos A e B estão em margens opostas de um rio, e um agrimensor deseja saber a distância entre eles. Para isso, fixa uma estaca no ponto C, a 10 m
140. (PUC-SP) Sen 1 200° é igual a: a) cos 60° b) –sen 60° c) cos 30° d) –sen 30° e) cos 45°
MÓDULO 8 141. Calcule: a) sen 765°, cos 765° b) sen (–120°), cos (–120°) c) sen (–3 645°), cos (–3 645°)
d) sen
21
145. Assinale no ciclo trigonométrico as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias: a) A = {a | a = kp · k, k ∈ }
19π 19π , cos 6 6
142. Se y = cos 2 280°, então y é igual a: a) –cos 12° b) –cos 30° c) –cos 60° d) cos 12° e) cos 60° 143. Assinale, no ciclo trigonométrico, as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias: a) A = {a | a = k · 2 p, k ∈}
b) B = a | a = π + 2kp, k ∈ 6
c) C = a | a = kπ , k ∈ 3
b) B = a | a = π + k · p, k ∈ 4
c) C = a | a = 2kπ , k ∈ 3
144. Que valores distintos pode assumir a expressão y = cos kπ , com k ∈ . 2
k 146. Que valores distintos a expressão y = sen π pode 3 assumir? 147. (Cesgranrio-RJ) Para k = 1, 2, 3 ... o número de valores distintos de cos kπ é: 7 a) 2 b) 6 c) 8 d) 16 e) infinito 148. Calcule: a) tg 390° b) tg 870° c) tg (–60°) d) tg (–1 485°) e) tg 13π 3
22
Matemática f ) tg 765° g) tg (–120°) h) tg (–3 645°) i) tg 19π 7
149. Se sen a = 1 , calcule o valor de y = sen a · cos a · tg a. 5
150. Sabendo que tg x = 2, calcule o valor de 2 y = sen2 · cos x . cos x · sen x sen x + sen x . 151. Se tg a = 7, calcule o valor de y = 1 + sen x 1 – sen x
cos2 q 152. Se θ ≠ + 2kp, k inteiro, então é igual a: 2 1 – sen q a) tg θ b) sen θ · cos θ c) 1 + cos θ d) 1 + sen θ π
153. (Unesp-SP) A expressão 1 – 2 sen2 x + sen4 x + sen 2 x cos2 x é equivalente a: a) cos4 x b) 2cos2 x c) cos3 x d) cos4 x + 1 e) cos2 x 154. Calcule sen x, sabendo que sen 2 x + cos 4 x = 1. 155. Sabendo que 10sen2 x + 14cos2 x = 11, calcule tg x. 156. (Fuvest-SP) Sendo a uma solução da equação tg 2 a = cos2 a – sen2 a, o valor de tg2 a é: a) 2 – 1 b) 2 + 1 c) 3 – 1 d) 3 + 1 e) 2 + 3
π 1 x 160. (Fatec-SP) Se f(x) = sec x + 3 sec , então f 2 2 3 é igual a:
a) 5 3 3 b) 2 3 3 3 c) 3 d) 2 e) 3 1 161. Se cos x = , calcule o valor de 3 2 sec x – sec x · cossec x y= . 1 – cotg x 162. Simplifique a expressão y =
(tg x + cotg x) 2 . sec2 x · cossec2 x
163. Sabe-se que sen x = a ≠ 0 e cos x = b ≠ 0. Logo, tg x + cotg x é igual a:
a) b) c) d) e)
a+b ab a–b ab ab 2 a + b2 1 ab 1 a2 + b2
164. (Unesp-SP) Se x e y são números reais tais que
y= a) b) c) d) e)
cos3 x – 2cos x + sec x , então: cos x sen2 x y = sec2 x y = tg2 x y = cos2 x y = cossec2 x y = sen 2 x
157. Calcule: a) cotg 45° b) sec 420° c) cossec 660°
165. Calcule cos 15° e cos 75°.
158. Determine m para que exista x: sec x = m + 5.
166. Calcule cos 105°.
159. (Uece-CE) O valor de (2 · sen4 20° – 2cos4 20°) · cossec4 20° é: 3 – 3 · cotg 4 20° 2 a) – 3 2 b) 3 c) 1 3 d) – 1 3
167. Demonstre que cos
π
+ x = –sen x. 2 168. (Cesgranrio-RJ) Se cos x = a, então cos (11 p – x) vale: a) b) c) d) e)
a –a 2a –2a p–a
169. Calcule sen 15° e sen 75°.
MÓDULO 8 170. (Mack-SP-Adaptada) Se 0 < a <
π
π
e 0 < b < , então: 2 2 a) sen (a + b) < sen a + sen b, quaisquer que sejam a e b.
c)
b) sen (a + b) > sen a + sen b, quaisquer que sejam a e b. c) sen (a + b) > sen a + sen b, somente se a > b. d) sen (a + b) < sen a + sen b, somente se a < b.
e)
171. (UFV-MG) O valor de sen 195° é:
a)
6 – 2 4
b)
12 4
173. Se M = (sen x – cos y) 2 + cos2 x + sen2 y, em que π
– y, então M é igual a: 2 tg x cos x cos 2 x 2cos2 x 2sen2 x
174. Sabe-se que tg 75°= 2 + 3 e tg 60° = 3. O valor de tg 15° é: 1 a) 3 b) – 3
c)
3
d) 2 + 3 e) 2 – 3 175. (FGV-SP) Se a + b = , então (1 + tg a) (1 + tg b) é 4 igual a: a) 1 b) 2 c) 2tg a d) 2tg b e) tg a · tg b 176. (PUC-BA) Se cos x =
2
3 e sen y = 3
< y < p, o valor de cos (x – y) é:
a) 3 2
+
3
6
b)
3–3
6
6
3–3 2 6
–
π
177. É dado que x – y = . Nessas condições, calcule o valor 3 da expressão E = (sen x + sen y) 2 + (cos x + cos y)2.
2
raízes tg u e tg v, com u + v = . Prove que c = a + b. 4 179. Demonstre a identidade: sen (a + b) · cos (a – b) = sen a cos a + sen b cos b. π 180. (Uece-CE) Se sen θ = 5 , sen b = 10 , 0 < θ < e 2 10 5 π
0 < b < , então tg ( θ + b) é igual a: 2 a) 1 b) 5 c) 10 d) 5 + 10 181. (Unicamp-SP) Sabendo que x – y = 60°, assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão (cos x + cos y) 2 + (sen x + sen y) 2. a) 1 1 b) 2 c) 2 d) 3 3 e) 2 182. (Osec-SP-Adaptada) O valor de cos 58° cos 32° + + sen 32° cos 28° – sen 58° sen 32° + sen 28° cos 32° é: a) 0 b) 1
c)
π
π
d) 3 2 – 3
π
172. Calcular o valor da expressão sen 105° – cos 75°.
a) b) c) d) e)
3+3 2 6
178. (Fuvest-SP) A equação ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tem como
c) –1 2 d) 2 – 6 4 e) 1 2 (Sugestão: reduza 195 o ao 1º quadrante.)
x=
23
3 ,0
3
2
1 d) 2 183. (Uece-CE) Se P =
igual a: a) sen2 20° b) cos2 20° c) tg2 20° d) cotg2 20°
sen 40° cos 40° – , então P2 – 1 é sen 20° cos 20°
184. Demonstre a identidade: cos (a + b) · cos (a – b) = cos 2 b – sen2 a. π
185. Calcule sen 2x, sabendo que sen x = 0,6 e 0 < x < . 2 186. Calcule cos 2x, sabendo que cos x = 0,4.
24
Matemática
187. Calcule sen 2x, sabendo que sen x + cos x = 0,5. 1
188. Calcule tg 2x, sabendo que tg x = . 3
194. Na figura, calcule o valor de CD. Sabe-se que AB = 4 cm, AC = 1 cm e ABˆ C @ CBˆ D. D
2
189. (PUC-SP-Adaptada) Se sen x = e x é um arco do 1º 3 quadrante, então sen 2x é igual a:
a) b)
3
α
5
9 9
5 3 3
190. (UFU-MG) Se sen x = , então cos 2x vale: 4 1 a) 4
b) c) d) e)
1
2
196. (Fuvest-SP) Sabendo que cos 2a = cos 2 a – sen2 a,
8 –1
2 –1
4 1+
4
5 , então
5
2
b)
5 – 1
c)
5 – 1
4 2
d)
1–
e)
1–
x
5
2 5
4
192. (PUCCamp-SP) Sabendo que sen x – cos x = a, qual é o valor de y = 1 + sen 2x? a) y = 2 – a2 b) y = a2 – 2 c) y = a2 d) a2 – 1 e) 1 – a2 193. (Mack-SP) Se tg x = m e tg 2x = 3m, m > 0, o ângulo agudo x mede: a) 15° b) 60° c) 45° d) 30° e) 22° 30’
=±
1 – cos x
. 2 2 197. Se cos 2x = 2 cos2 x – 1, então o valor de cos 4x é: a) 2cos4 x – 1 b) 8(cos4 x – cos 2 x) + 1 c) 4cos2 x – 1 d) 4cos4 x – 2cos2 x +1
–1
1+
B
195. Sabe-se que sen 2x = 2 · sen x · cos x. Portanto, sen 4x é igual a: a) 4sen x cos x b) 4sen 2x cos 2x c) 2sen 2x cos x d) 2sen x cos 2x e) 2sen 2x cos 2x
demonstre quesen
191. (UCP-PR) Sabendo que cos 36° = cos 72° vale:
a)
α
A
c) 4 5 d)
C
1
198. (FGV-SP) Sendo x um arco do 4º quadrante e sendo
sen x =
–1
2
, o valor de sen 4x é:
a) – 3 8 b) 3 8 c) – 3 4 d) 3 4 e) – 3 2 199. Sabendo que cos 2a = cos 2 a – sen2 a, demonstre
que cos
x
1 + cos x
. 2 2 200. (Fuvest-SP) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula: tg 2x =
=±
2tg x
. 1 – tg 2 x Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22° 30’. a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00
MÓDULO 8 201. (Ufes-ES) Sabendo que sen θ =
te, o valor de tg a) b)
5+
q
2
5
13
, θ no 2º quadran-
é:
tg x
26 1
26 26 2
3
5 6
5
e)
1
a)
1
5 203. (Mack-SP) O valor de cos 15° · cos 75° é: 2 b) 1 c)
tg x
204. A expressão + é idêntica a: 1 + tg x 1 – tg x a) sec 2x b) tg 2x c) tg 4x d) cossec 4x
202. Sabendo que cos 2x = , então o valor de tg 2 x é: 3 11 a) 5 b) 1
d)
4
26
d) 26
c)
1
e) 3
5 c) 5 e)
d)
205. Demonstrar as identidades: a) sen 3θ = 3sen θ – 4sen3 θ
b)
sen 2q
sen q
–
cos 2q
cos q
= sec θ
206. (FGV-SP) Sendo x um arco do 1º quadrante e sen x = a, a expressão 2cos2 x + sen2 2x é igual a: a) 2(1 – 2a4) b) –2(–1 + 2a 2 – 2a4) c) 2(1 – 2a2) + 4a 1 – a2 d) 4(1 – a2 – a4) e) 2(1 + a2 – 2a4) 207. Demonstre as identidades:
a) 1 + cos 2x = 2cos2 x 3 2
25
b)
sen 2q + sen q
cos 2q + cos2 q + 1
= tg θ
