ANTÔNIO ARNOT CRESPO 14a edição Atualizada
MATEMÁTICA FINANCEIRA
FÁCIL www.saraivauni.com.br
Matemática Financeira FÁCIL
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Matemática Financeira FÁCIL Antônio Arnot Crespo
14a edição Atualizada
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ISBN 978-85-02-08348-6 CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ. C94m 14.ed. Crespo, Antônio Arnot Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva, 2009.
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1. Matemática financeira. I. Título. 09-2315.
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apresentação
Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Secretariado etc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo introdutório de Matemática Financeira. Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino particular e oficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino objetivo e prático, sem fugir ao necessário rigor matemático. Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação, que resultou na atualização do texto e dos assuntos. No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária e os vários Planos Econômicos. O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos trabalhar com situações práticas. Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divididos em três seções:
• Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado; • Resolva — exercícios de aprendizagem imediata; • Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos.
VI
Matemática financeira fácil
No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática, onde apresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da Matemática Financeira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da necessidade do aluno. Há também uma seção com Tábuas Financeiras e de Logaritmos e tabela para contagem de dias. Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para o aprendizado da Matemática Financeira. Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, utilizando este livro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportunidade de melhorá-lo. Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste trabalho. O autor
Sumário
Capítulo 1 – Proporções 1.1 Introdução........................................................................................................................................1 1.2 Razões..............................................................................................................................................1 1.2.1 Razão de dois números.............................................................................................................................................. 1 1.2.2 Razão de duas grandezas........................................................................................................................................... 3
1.3 Proporções........................................................................................................................................4 1.3.1 Definição................................................................................................................................................................... 4 1.3.2 Elementos................................................................................................................................................................. 4 1.3.3 Propriedade fundamental......................................................................................................................................... 5 1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido........................................................................................................................... 6 1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental..................................................................................................................... 8 1.3.6 Transformações........................................................................................................................................................ 10
1.4 Série de razões iguais.......................................................................................................................11 1.4.1 Propriedade fundamental....................................................................................................................................... 11
Capítulo 2 – Grandezas proporcionais 2.1 Introdução......................................................................................................................................17 2.2 Grandezas diretamente proporcionais..............................................................................................17 2.2.1 Definição................................................................................................................................................................. 17 2.2.2 Gráfico..................................................................................................................................................................... 18 2.2.3 Propriedade característica....................................................................................................................................... 19 2.2.4 Números diretamente proporcionais....................................................................................................................... 19 2.2.5 Propriedade dos números proporcionais.................................................................................................................. 21
VIII
Matemática financeira fácil
2.3 Grandezas inversamente proporcionais............................................................................................22 2.3.1 Definição................................................................................................................................................................. 22 2.3.2 Gráfico..................................................................................................................................................................... 23 2.3.3 Propriedade característica....................................................................................................................................... 24 2.3.4 Números inversamente proporcionais..................................................................................................................... 24
2.4 Grandezas proporcionais a várias outras...........................................................................................26 2.4.1 Definição................................................................................................................................................................. 26 2.4.2 Propriedade............................................................................................................................................................. 26
Capítulo 3 – Divisão proporcional – Regra de sociedade 3.1 Divisão proporcional........................................................................................................................29 3.1.1 Introdução............................................................................................................................................................... 29 3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais......................................................................................................... 30 3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais........................................................................................................ 33 3.1.4 Divisão proporcional composta................................................................................................................................ 34
3.2 Regra de sociedade..........................................................................................................................37 Capítulo 4 – Regra de três 4.1 Definição.........................................................................................................................................41 4.2 Regra de três simples.......................................................................................................................41 4.3 Regra de três composta...................................................................................................................44 Capítulo 5 – Percentagem 5.1 Introdução......................................................................................................................................48 5.2 Taxa percentual...............................................................................................................................48 5.3 Elementos do cálculo percentual......................................................................................................50 5.4 Problemas de percentagem.............................................................................................................50 5.5 Taxa unitária...................................................................................................................................52 5.6 Fórmula para o cálculo percentual....................................................................................................54 Capítulo 6 – Operações sobre mercadorias 6.1 Introdução......................................................................................................................................58 6.2 Vendas com lucro.............................................................................................................................58 6.2.1 Sobre o preço de custo............................................................................................................................................. 59 6.2.2 Sobre o preço de venda............................................................................................................................................ 60
6.3 Vendas com prejuízo........................................................................................................................61 6.3.1 Sobre o preço de custo............................................................................................................................................. 61 6.3.2 Sobre o preço de venda............................................................................................................................................ 62
6.4 Abatimentos sucessivos...................................................................................................................66 6.4.1 Fórmula do valor líquido.......................................................................................................................................... 66
Capítulo 7 – Operações sobre mercadorias 7.1 Correção monetária.........................................................................................................................71 7.1.1 Moeda..................................................................................................................................................................... 71 7.1.2 Inflação................................................................................................................................................................... 72
sumário
7.1.3 Correção monetária................................................................................................................................................. 72
7.2 Os vários planos econômicos............................................................................................................73 7.2.1 O Plano Cruzado...................................................................................................................................................... 73 7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão..................................................................................................................... 73 7.2.3 O Plano Collor.......................................................................................................................................................... 73 7.2.4 O Plano Real............................................................................................................................................................ 73
7.3 Câmbio............................................................................................................................................74 7.3.1 Taxa de câmbio........................................................................................................................................................ 74 7.3.2 Tabela de taxas de câmbio....................................................................................................................................... 74 7.3.3 Conversão de moedas.............................................................................................................................................. 75 7.3.4 Operação cambial.................................................................................................................................................... 76
Capítulo 8 – Juro simples 8.1 Introdução......................................................................................................................................79 8.2 Juro – capital – taxa........................................................................................................................79 8.3 Regimes de capitalização.................................................................................................................80 8.4 Juro simples....................................................................................................................................81 8.5 Cálculo do juro simples....................................................................................................................81 8.6 Taxas proporcionais.........................................................................................................................83 8.7 Taxas equivalentes..........................................................................................................................85 8.8 Juro comercial e juro exato...............................................................................................................87 8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas..................................................................88 8.10 Montante......................................................................................................................................95 Capítulo 9 – Desconto simples 9.1 Introdução....................................................................................................................................102 9.2 Títulos de crédito...........................................................................................................................102 9.3 Desconto.......................................................................................................................................103 9.4 Desconto comercial........................................................................................................................104 9.4.1. Definição.............................................................................................................................................................. 104 9.4.2 Valor do desconto comercial.................................................................................................................................. 104 9.4.3 Valor atual comercial............................................................................................................................................. 104 9.4.4 Taxa de juro efetiva................................................................................................................................................ 106
9.5 Equivalência de capitais.................................................................................................................108 9.6 Desconto racional..........................................................................................................................111 9.6.1 Definição............................................................................................................................................................... 111 9.6.2 Valor do desconto racional..................................................................................................................................... 111 9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal........................................................................................ 112 9.6.4 Valor atual racional................................................................................................................................................ 112
Capítulo 10 – Juro composto 10.1 Introdução..................................................................................................................................117 10.2 Juro composto.............................................................................................................................118 10.3 Cálculo do montante....................................................................................................................118
IX
Matemática financeira fácil
10.4 Determinação do fator de capitalização........................................................................................119 10.4.1 Calculadora eletrônica....................................................................................................................................... 119 10.4.2 Tábua financeira................................................................................................................................................ 120 10.4.3 Logaritmos........................................................................................................................................................ 121
10.5 Cálculo do capital........................................................................................................................125 10.6 Taxas proporcionais.....................................................................................................................128 10.7 Taxas equivalentes.......................................................................................................................129 10.8 Cálculo da taxa equivalente.........................................................................................................130 10.9 Montante para períodos não-inteiros...........................................................................................131 10.10 Taxa nominal.............................................................................................................................132 10.11 Taxa efetiva...............................................................................................................................134 10.12 Taxa real e taxa aparente...........................................................................................................136 Capítulo 11 – Desconto composto 11.1 Introdução..................................................................................................................................140 11.2 Cálculo do valor atual...................................................................................................................140 11.3 Equivalência de capitais diferidos.................................................................................................144 Capítulo 12 – Capitalização e amortização compostas 12.1 Introdução..................................................................................................................................148 12.2 Rendas........................................................................................................................................148 12.3 Capitalização composta...............................................................................................................150 12.3.1 Renda imediata................................................................................................................................................. 150 12.3.2 Renda antecipada............................................................................................................................................. 156
12.4 Amortização composta................................................................................................................160 12.4.1 Renda imediata................................................................................................................................................. 160 12.4.2 Renda antecipada............................................................................................................................................. 165 12.4.3 Renda diferida................................................................................................................................................... 168
Capítulo 13 – Empréstimos 13.1 Introdução..................................................................................................................................174 13.2 Sistema Francês de Amortização..................................................................................................175 13.2.1 Determinação do saldo devedor........................................................................................................................ 179 13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência............................................................................................................. 181 13.2.3 Sistema Price..................................................................................................................................................... 183
13.3 Sistema de Amortização Constante..............................................................................................185 13.3.1 Determinação do saldo devedor........................................................................................................................ 188 13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência............................................................................... 189
13.4 Sistema de Amortização Misto.....................................................................................................191 13.5 Empréstimo com correção monetária...........................................................................................193 APÊNDICE – Complementos de Matemática 1. Medidas de tempo...........................................................................................................................197 1.1 Transformação de complexo em não-complexo........................................................................................................ 198
sumário
1.2 Transformação de não-complexo em complexo........................................................................................................ 198
2. Potenciação.....................................................................................................................................200 2.1 Definição.................................................................................................................................................................. 200 2.2 Bases especiais......................................................................................................................................................... 200 2.3 Propriedades............................................................................................................................................................ 201 2.4 Expoentes especiais.................................................................................................................................................. 201
3. Funções...........................................................................................................................................202 3.1 Função afim.............................................................................................................................................................. 202 3.2 Função linear............................................................................................................................................................ 203 3.3 Função recíproca....................................................................................................................................................... 203 3.4 Função exponencial.................................................................................................................................................. 204
4. Progressões.....................................................................................................................................206 4.1 Seqüência................................................................................................................................................................. 206 4.2 Progressão aritmética............................................................................................................................................... 207 4.3 Progressão geométrica............................................................................................................................................. 212
5. Logaritmos decimais........................................................................................................................217 5.1 Definição.................................................................................................................................................................. 217 5.2 Conseqüências da definição...................................................................................................................................... 218 5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos............................................................................................................... 219 5.4 Característica e mantissa.......................................................................................................................................... 223
Tábuas e tabelas.................................................................................................................. 229 RESPOSTAS............................................................................................................................. 247
XI
1
Proporções
1.1 Introdução O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Matemática, como também no cotidiano. Freqüentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos. Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito grande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser “muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira; é “muito grande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua. O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a serem desenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais.
1.2 Razões 1.2.1 Razão de dois números Razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.
Matemática financeira fácil
Indicamos: a ou a : b (lemos: a para b) b Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é: 3 1 = 12 4 2. A razão de 20 para 5 é:
20 =4 5 3. A razão entre 5 e
1 é: 2
4. A razão entre 2 +
5 2 =5 × = 10 1 1 2
1 e 7 é: 3 1 1 7 2+ 7 1 1 3 = 3 = × = 7 7 3 3 7 1
Resolva 1. Calcule a razão entre os números: a) 256 e 960
c) 5 e
b) 1,25 e 3,75
d)
1 3
1 e 0,2 2
1 e) 2 − e 3 5