Matemática Completa Ftd

Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte!

Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”. Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta flâmula - Paz no futuro e glória no passado.

Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.

Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

ISBN 978-85-322-8490-7

9

788532 284907

MATEMÁTICA COMPLETA ensino médio

GIO bo VA pa nj NNI ul or no Jr o . câ m ar a

Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!

MATEMÁTICA

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

Matemática Completa

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva

componente curricular:

ensino médio

M pr an of ua es l so do r

1

HINO NACIONAL

1

componente curricular:

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA COMPLETA ENSINO MÉDIO

José Ruy Giovanni Jr. Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.

José Roberto Bonjorno Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.

Paulo Roberto Câmara de Sousa Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990. componente curricular:

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

3a edição São Paulo, 2013

1

Matemática Completa Copyright © José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno e Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2013 Todos os direitos reservados à

Editora FTD S.A. Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 Internet: www.ftd.com.br E-mail: [email protected]

Diretora editorial Silmara Sapiense Vespasiano Editora Juliane Matsubara Barroso Editora adjunta Flávia Renata P. de Almeida Fugita Editores assistentes Kátia Takahashi Assistentes de produção Ana Paula Iazzetto Lilia Pires Assistente editorial Gislene Aparecida Benedito Supervisora de preparação e revisão de textos Sandra Lia Farah Preparadores Amanda Lenharo di Santis José Alessandre da Silva Neto Revisores Carina de Luca Daniella Haidar Pacifico Desirée Araújo S. Aguiar Francisca M. Lourenço Giseli Aparecida Gobbo Júlia Siqueira e Mello Juliana Cristine Folli Simões Juliana Rochetto Costa Lilian Vismari Carvalho Maiara Andréa Alves Pedro Henrique Fandi Operadora de editoração eletrônica Gislene Aparecida Benedito Coordenador de produção editorial Caio Leandro Rios Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Projeto gráfico e capa Fabiano dos Santos Mariano Ilustrações que acompanham o projeto Editoria de Arte Fotos da capa Sergey Nivens/Shutterstock/Glow Images Imagens Plus RM/Dea Picture Library/Glow Images Pierre Colombel/Corbis/Latinstock Iconografia Supervisora Célia Rosa Pesquisador(es) Dulce Plaça Eliana Almeida Nelson Molinari Jr. Editoração eletrônica Diagramação Setup Bureau Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin Eziquiel Rachetti Vânia Aparecida Maia de Oliveira Gerente executivo do parque gráfico Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy Matemática completa : 1o ano / José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa . -- 3. ed. -São Paulo : FTD, 2013. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-322-8489-1 (aluno) ISBN 978-85-322-8490-7 (professor) 1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto. II. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. III. Título. 13-03933 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7

Apresentação Esta coleção do Ensino Médio tem como objetivo auxiliar e estimular você a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia. Após cada conceito, na intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os volumes destacam exemplos que analisam a resolução de atividades e oferecem vasta gama de exercícios, nos quais você pode priorizar a compreensão e aplicação do conteúdo abordado. Paralelamente aos contextos matemáticos específicos, a coleção propõe a leitura e interpretação de textos que buscam aguçar sua curiosidade e levá-lo(a) a refletir sobre a realidade socioeconômica atual e seu comprometimento em relação à cidadania e à sustentabilidade ambiental. Além de primordiais para o prosseguimento educacional nesse período, esses aspectos também são fundamentais para a formação humana contemporânea. Os autores

Conheça o seu livro CAPÍTULO

Função exponencial

78

Conteúdos apresentados neste capítulo No início de cada capítulo, é apresentada uma relação dos conteúdos que serão trabalhados.

s neste Conteúdos apresentado capítulo: Sequência numérica tica Progressão aritmé PA Termo geral de uma de uma PA Soma dos termos Progressão geométrica PG Termo geral de uma uma PG Soma dos termos de

·· ·· ·· · ·

finita de uma PG Soma dos termos infinita

Estabelecendo conexões

1 Sequência numérica Toda sequência pressupõe determinada ordem entre seus elementos. Por isso, costumamos representar cada termo de uma sequência por uma letra acompanhada de um índice, que informa a posição ou a ordem desse termo na sequência. Assim, podemos representar uma sequência, genericamente, da seguinte maneira:

Este boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Matemática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 ..., an  1, an, an  1) Considerando a sequência de Fibonacci, mostrada na abertura desse capítulo, temos:  a1  1 é o primeiro termo ou o termo de ordem 1;  a2  1 é o segundo termo ou o termo de ordem 2;  a3  2 é o terceiro termo ou o termo de ordem 3;  a6  8 é o sexto termo ou o termo de ordem 6, e assim por diante.

Se quisermos indicar um termo qualquer, cuja posição ou ordem não esteja definida, escrevemos an. Assim, an é o n-ésimo termo ou o termo de ordem n.

Definição de sequência Existem dois tipos de sequências numéricas: finita e infinita. Vamos estudar a definição de cada uma dessas sequências. Uma sequência finita de n elementos é uma função cujo domínio é o conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} e o contradomínio é um conjunto não vazio. Ou seja, a sequência f em que D(f)  {1, 2, 3, 4, ..., n} é indicada por (a1, a2, a3, ... , an), em que a1  f(1), a2  f(2), ..., an  f(n) é uma sequência finita. Por exemplo, a sequência numérica (3, 5, 7, 9) é uma sequência numérica finita, na qual a1  3; a2  5; a3  7e a4  9. Uma sequência infinita é uma função onde o domínio é N* e o contradomínio é um conjunto não vazio. Ou seja, a sequência f em que D(f)  N* é indicada por (a1, a2, a3, ... an  1, an, an  1, ...), em que a1  f(1), a2  f(2), ..., an  f(n), ... é uma sequência infinita.

(

)

Por exemplo, a sequência numérica 1, 3 , 1 , 1 , 0,... é uma sequência numérica infinita, em que 5 3 7 a1  1, a2  3 , a3  1 , a4  1 , a5  0 etc. 5 3 7

Lei de formação

Exercícios

FAÇA NOO CADERN

y  ax2  bx  6 tenha o vértice no ponto  5 ,  1  . 2 4

21. A parábola que representa graficamente a função y  2x2  bx  c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determine o valor de k.

20. Determine a função quadrática y  ax  bx  5

22. A parábola de equação y  ax2 passa pelo vértice

19. Determine a e b para que o gráfico da função

2

correspondente ao gráfico a seguir. y 9

Em algumas sequências, analisando os termos conhecidos, é possível identificar um padrão entre eles. Conhecendo esse padrão, podemos determinar outros termos dessas sequências. Esse padrão é chamado de lei de formação da sequência e pode ou não ser dado por uma expressão matemática.

Editoria de Arte

Apresenta um tema relacionado ao conteúdo matemático que será desenvolvido no capítulo. Este tema voltará a ser abordado na seção Retomando e pesquisando.

Yamix/Shutterstock/Glow Images

Abertura de capítulo

AQUI TEM MATEMÁTICA Presentes nos iogurtes e em outros alimentos derivados do leite fermentado, os lactobacilos são bactérias que colaboram para o equilíbrio da flora intestinal, evitando a proliferação de bactérias nocivas, melhorando a absorção de nutrientes e fortalecendo nosso sistema imunológico. Apesar de benéfico, o consumo desses alimentos em excesso pode acarretar alguns efeitos indesejados, como o desconforto intestinal, pois as bactérias se reproduzem rapidamente. Em geral, a reprodução de bactérias ocorre de forma exponencial, ou seja, pode ser estudada por um modelo matemático: a função exponencial. Este capítulo é dedicado ao estudo desta função.

V

Vejamos, a seguir, alguns padrões que podemos identificar nessas sequências.

238 Capítulo 9 Progressões 

0

2

x

de outra parábola cuja equação é y  4x  x2. Ache o valor de a.

23. Considere as seguintes funções: I. f(x)  2x2  6x  1 II. f(x)  x2  4 III. f(x)  2x2  3x IV. f(x)  3x2  4x  1 Para cada uma dessas funções, determine: a) o conjunto imagem; b) intervalos de crescimento e de decrescimento.

Foto.Fritz/Shutterstock/Glow Images

Estabelecendo conexões Formato das antenas e dos faróis

Ícone calculadora Os exercícios com este ícone trabalham o uso da calculadora para resolver a atividade.

Muitas vezes podemos observar, no alto de casas ou prédios, antenas conhecidas como parabólicas. O nome dado a esse tipo de antena tem relação com seu formato, que deriva da rotação de uma parábola sobre seu eixo de simetria. Para entender melhor, imagine um ramo de parábola realizando uma rotação de 360° sobre seu eixo de simetria. A figura formada é chamada de paraboloide. Antena parabólica de TV.

Ícone Desafio Os exercícios com este ícone apresentam uma ampliação da análise e aplicação do conteúdo estudado. Exemplo de um paraboloide.

152 Capítulo 5 Função quadrática 

Os ícones abaixo indicam pontos onde você encontra material complementar no livro digital. Clique em cada um deles para ter acesso.

Tecnologia Vamos resolver uma equação exponencial aplicada a uma situação prática, que pode ajudá-lo a compreender o valor do cálculo exponencial.

Vídeo/áudio

Objetos educacionais

Texto

Imagens enriquecidas

Usaremos o aplicativo Geogebra para construir gráficos de funções exponenciais. 1. Abra o Geogebra e exiba “Campo de Entrada”.

Professor, você encontrará mais informações sobre esse material nas Orientações do livro digital para o Professor.

. Esta função permite que você escreva um parâmetro que pode

ser alterado dentro de um intervalo predefinido. Crie o seletor com a instrução “a variando de 5 a 5 e com incremento de 0,1”. 3. Digite a equação: f(x)  a^x (o acento circunflexo indica a operação de potenciação). Observe que o seletor a é a base da função exponencial. 4. Acione o botão MOVER

Tecnologia

e faça variar o valor de a.

5. Você deve observar que:

Neste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora ou softwares matemáticos.

 quando a  0, nenhum gráfico é exibido;  quando 0  a  1, o gráfico mostra uma função decrescente;  quando a  1, o gráfico será uma reta paralela ao eixo x;

Geogebra

 quando a  1, o gráfico mostra uma função crescente.

Atividades

FAÇA NOO CADERN

RETOMANDO E PESQUISANDO

1. Abra um novo documento no Geogebra.

Na abertura desse capítulo, você aprendeu um pouco sobre os lactobacilos e como eles são benéficos para o nosso corpo. Contudo, existem muitas espécies de bactérias. Algumas delas provocam doenças, outras são úteis para fins industriais ou ainda realizam importantes funções ecológicas.

2. Crie um SELETOR a que varia de 5 a 5 com incremento de 0,1. 3. Escreva a função f(x)  2a  x. No Geogebra, você deve digitar assim: f(x)  2^(a*x) 4. Construa o gráfico e faça o parâmetro a variar, analisando o que acontece quando: a) a  0;

b) a  0;

c) aumentamos o valor de a.

Função exponencial



Capítulo 7

201

Yamix/Shutterstock/Glow Images

2. Construa um “SELETOR”

O texto a seguir, extraído de um site, traz mais algumas informações sobre algumas bactérias.

Retomando e pesquisando

As células bacterianas são pequenas e medidas em micrômetros (µm). 1 µm equivale 0,001 mm. A menor bactéria tem 0,2 µm (Chlamydia). Há células de Spirochaeta com 250 µm de comprimento. A maior bactéria conhecida é a Epulopiscium fishelsoni, que foi encontrada no mar Vermelho e na costa da Austrália no intestino de um peixe com mais de 600 µm de comprimento. Na maioria das vezes, o tamanho médio de uma bactéria é de 1-10 µm.

Apresenta sites, textos e atividades acompanhados de indicações de revistas ou livros em que são encontradas informações sobre o tema abordado na abertura do capítulo, proporcionando uma oportunidade de se pesquisar algum assunto relacionado a esse tema.

[...]

Bactérias e biotecnologia A indústria de laticínios utiliza as bactérias Lactobacillus e Streptococcus para a produção de queijos, iogurtes e requeijão. Na fabricação de vinagre são usadas bactérias do gênero Acetobacter que transformam o etanol do vinho em ácido acético. Bactérias do gênero Corynebacterium são utilizadas na produção do ácido glutâmico, substância utilizada em temperos para acentuar o sabor dos alimentos. As bactérias são utilizadas para a produção de antibióticos e vitaminas. O antibiótico neomicina é produzido por células do gênero Streptomyces. A indústria química utiliza bactérias para produzir substâncias como o metanol, butanol, acetona. [...] Disponível em: . Acesso em: 7 mar. 2013

1. De acordo com o texto, 1µm  0,001 mm. Podemos escrever essa igualdade usando potência de 10, por exemplo, 1µm  1  103 mm. Considerando essa informação, identifique no texto outras medidas indicadas em micrometros e indique-as em milímetros, usando potências de 10.

FAÇA NOO CADERN

2. A leptospirose é uma doença causada por bactéria. Pesquise no site indicado a seguir e em outros de sua confiança e responda. • Site : . Acesso em: 11 mar. 2013. a) Que bactéria causa essa doença? b) Explique quais são os principais sintomas e como ocorre o contágio. c) Cite algumas atitudes que podem ajudar a prevenir esta doença. Função exponencial

205

Torre de Pisa O caso mais clássico de recalque de apoio é sem dúvida o da Torre de Pisa [na Itália]. Sua construção foi iniciada em 1173, e terminada em 1350; desde o início, a torre apresentou recalques maiores de um lado que de outro, que a levaram a inclinar-se. Várias tentativas foram feitas para solucionar o problema [...]. Em 1990, porém, estando o topo da torre mais de 4,5 m fora do prumo e continuando a torre, que possui 58,5 m de altura, a inclinar-se a uma taxa de 1,2 mm por ano, foi constituída mais uma comissão de especialistas para salvá-la. A solução proposta [...] e executada a partir de 1997 foi a de, utilizando sondas especiais, retirar solo debaixo do trecho do bloco que havia recalcado menos, fazendo com que apenas esta região viesse a afundar [...]. [...] em junho de 2001, o desaprumo do topo da torre já havia diminuído em 40 cm. Em dezembro de 2001, a Torre de Pisa, que [...] havia sido fechada à visitação pública em 1990, pôde ser reaberta [...].

Juan Esteves/Folhapress

Em alguns capítulos, esta seção apresenta um texto relacionado aos conteúdos desenvolvidos, acompanhado de questões que trabalham a compreensão desse texto. Em outros, traz uma questão seguida de um encaminhamento que objetiva desenvolver habilidades e competências cognitivas.

Capítulo 7

LEITURA E COMPREENSÃO

Recalques de apoio

Sebastian Wasek/Age Fotostock/Easypix

Leitura e compreensão



A orla santista No Brasil há também um grande exemplo do problema de recalques de apoio: os prédios da orla santista. [...]. Décadas se passaram com os prédios a se inclinarem e, assim como com a Torre de Pisa, várias propostas de correção foram feitas [...]. Sabe-se que a origem do problema é a deficiência do solo de Santos, formado por uma camada superficial de areia que [...] recobre uma extensa camada de solo argiloso [...]. Tal formação do solo não suporta a fundação direta de prédios com mais de dez andares. Nas décadas de 1950 e 1960 foram construídos, na orla santista, inúmeros edifícios com mais de dez andares [...]. Muitos destes prédios passaram a inclinar-se [...]. Várias propostas para a correção deste problema vêm sendo feitas [...]. Um grande exemplo é a solução aplicada em um dos prédios mais famosos de Santos, o Núncio Malzoni. [...] Os recalques ocorridos neste edifício levaram-no a sair 2,10 m do prumo [...]. O projeto de reaprumo do prédio, desenvolvido pelos professores Carlos Eduardo Moreira Maffei, Heloísa Helena Silva Gonçalves e Paulo de Mattos Pimenta, do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da USP, considerado inédito no mundo, foi visitado por engenheiros de diversos países como México, Canadá e Japão, e até por um dos engenheiros responsáveis pela solução adotada na Torre de Pisa, que veio conhecer a técnica utilizada. Fonte: SAYEGH, S. Efeito solo. Téchne, p. 40, mar./abr. 2001. LABORATÓRIO de Mecânica Computacional. Recalque de apoio. In: Deslocamentos de apoio. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2001. Disponível em: . Acesso em: 17 maio 2013

Interpretando o texto e a questão

Edifício Núncio Malzoni, Santos, SP, 1987.

FAÇA NOO CADERN

1. O texto apresenta sobre dois grandes exemplos de recalques de apoio, um na Itália e outro no Brasil. Quais são esses exemplos? 2. Qual foi a origem do problema do recalque de apoio nos prédios da cidade de Santos? 3. Qual a altura da Torre de Pisa? Quando ela foi construída? 4. Explique em poucas palavras no que consistiu o procedimento para a solução do problema da Torre de Pisa. 5. Em Santos já houve alguma tentativa para solucionar o problema dos prédios inclinados? Cite uma. Torre de Pisa, cidade de Pisa, noroeste da Itália.

72 Capítulo 2 8 Trigonometria Funções logarítmicas nos triângulos 

6. Calcule o ângulo de inclinação da Torre de Pisa em 1990 usando os dados do texto. Consulte uma tabela trigonométrica. Trigonometria Funçõesnos logarítmicas triângulos



Capítulo 2 8

73

Sumário Capítulo 1 • Conjuntos 1 Conjuntos e subconjuntos ....................................... 10 Exercícios ................................................................. 12 2 Operações com conjuntos ........................................ 13 Exercícios ................................................................. 16 3 Conjuntos numéricos ................................................ 18 Estabelecendo conexões .......................................... 18 Exercícios ................................................................. 24 Tecnologia ................................................................ 25 4 Intervalos .................................................................. 27 Exercícios .........................................................28 e 29 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 29 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 31 Capítulo 2 • Trigonometria nos triângulos 1 Proporcionalidade .................................................... 36 Exercícios ................................................................. 38 2 Semelhança ............................................................. 38 Exercícios ...................................................40, 42 e 45 3 Relações métricas no triângulo retângulo .................. 45 Exercícios .........................................................48 e 51 4 Razões trigonométricas no triângulo retângulo ........... 51 Tecnologia ................................................................ 54 Exercícios ................................................................. 56 5 Ângulos notáveis ....................................................... 58 Exercícios ................................................................. 59 6 Seno e cosseno de ângulos suplementares ............... 60 7 Lei dos cossenos ....................................................... 61 Exercícios ................................................................. 63 8 Lei dos senos ............................................................ 65 Exercícios ................................................................. 67 Estabelecendo conexões .......................................... 68 9 Área de um triângulo qualquer................................... 68 Exercícios ................................................................. 70 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 71 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 72 Capítulo 3 • Funções 1 Sistema cartesiano ortogonal ................................... 76 Exercícios ................................................................. 78 2 A ideia de função ..................................................... 78 Exercícios ................................................................. 82 3 Conceituando função ................................................ 83 Exercícios ................................................................. 86

4 Estudo do domínio de uma função ........................... 87 Exercícios ................................................................. 87

5 Gráfico de uma função ............................................. 88 Exercícios .........................................................89 e 91

6 Variação de uma função ........................................... 92 Exercícios ................................................................. 94

7 Função sobrejetora, injetora e bijetora ....................... 96 Exercícios ................................................................. 99

8 Função composta ....................................................100 Exercícios ...............................................................101

9 Função inversa ........................................................102 Exercícios ...............................................................104 Estabelecendo conexões ........................................105 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................105 LEITURA E COMPREENSÃO .......................................107 Capítulo 4 • Função afim 1 Função afim ...........................................................110 Exercícios ...............................................................113 2 Gráfico da função afim ...........................................115 Exercícios ...............................................................120 Tecnologia ..............................................................122 3 Crescimento e decrescimento da função afim .........123 4 Zero da função afim ...............................................124 5 Estudo do sinal da função afim ..............................125 Exercícios ...............................................................126 6 Inequações do 1o grau ...........................................128 Exercícios ...............................................................129 7 Sistemas de inequações do 1o grau.........................130 Exercícios ...............................................................131 8 Inequação-produto e inequação-quociente..............132 Exercícios ...............................................................134 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................134 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................136 Capítulo 5 • Função quadrática 1 Função quadrática ..................................................140 Exercícios ...............................................................142 2 Gráfico de uma função quadrática ..........................143 Exercícios ...............................................................144 Tecnologia ..............................................................145 3 Zeros de uma função quadrática ............................146 Exercícios ...............................................................148 4 Vértice da parábola ................................................148 Exercícios ...............................................................152 Estabelecendo conexões ........................................152

5 Valor mínimo ou valor máximo da função quadrática ..............................................153 Exercícios ...............................................................155

6 Estudo do sinal da função quadrática......................157 Exercícios ...............................................................159

7 Inequações do 2o grau.............................................159 Exercícios ...............................................................160

8 Sistemas de inequações do 1o e do 2o graus ...........161 Exercícios ...............................................................162

9 Inequação-produto e inequação-quociente..............162 Exercícios ...............................................................163 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................164 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................167

Capítulo 6 •

Função modular

1 Módulo de um número real ....................................170 Exercícios ...............................................................171 Estabelecendo conexões ........................................172

2 Função modular .....................................................172 Exercícios ...............................................................176

3 Equações modulares ..............................................177 Exercícios ...............................................................178

4 Inequações modulares ...........................................180 Exercícios ...............................................................183 Tecnologia ..............................................................184 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................184 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................185

Capítulo 7 •

Função exponencial

1 Revendo a potenciação ...........................................188 Exercícios ...............................................................191

2 Equações exponenciais ..........................................192 Exercícios .....................................................195 e 196

3 Função exponencial ................................................197 Exercícios ...............................................................199 Tecnologia ..............................................................201

4 Inequações exponenciais ........................................202 Exercícios ...............................................................204 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................205 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................206

Capítulo 8 • Função logarítmica 1 Introdução ..............................................................210 2 Definição de logaritmo ............................................210 Exercícios ............................................ 212, 213 e 215 Estabelecendo conexões ........................................215 Exercícios ...............................................................218 3 Propriedades dos logaritmos . ..................................... ..219 Exercícios .....................................................222 e 223 4 Equações logarítmicas ............................................224 Exercícios ...............................................................225 5 Função logarítmica .................................................226 Exercícios ...............................................................230 Tecnologia ..............................................................231 6 Inequações logarítmicas .........................................231 Exercícios ...............................................................232 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................233 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................234 Capítulo 9 • Progressões 1 Sequência numérica ...............................................238 Exercícios ...............................................................240 2 Progressão aritmética .............................................242 Estabelecendo conexões ........................................243 Exercícios ...............................................................245 Tecnologia ..............................................................246 3 Termo geral de uma PA ...........................................247 Exercícios ...............................................................249 4 Soma dos termos de uma PA ..................................250 Exercícios ...............................................................252 5 Progressão geométrica ...........................................254 Exercícios ...............................................................256 6 Termo geral de uma PG ...........................................257 Exercícios ...............................................................259 7 Soma dos termos de uma PG finita .........................261 Exercícios ...............................................................262 Tecnologia ..............................................................263 8 Soma dos termos de uma PG infinita.......................264 Exercícios ...............................................................267 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................268 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................269 Sugestões para pesquisa e leitura ............................270 Lista de siglas ............................................................272 Respostas ...................................................................274 Referências bibliográficas ...........................................288

Conjuntos

CAPÍTULO

lsar Palê Zuppani/Pu

1

tti/Pulsar Maurício Somone

ra. A uiú atinge 1,5 m de altu nto. ceres, MT, 2010). O tui Cá me , pri nal nta com (Pa de o 2,5 vin a bo m do, gado ra e de 2 Tuiuiús, garças e, ao fun 90 cm de altura. O boi atinge 1,5 m de altu cm e garça atinge entre 75

tanal chega a atingir até

Jac

10). O jacaré do Pan arés (Pantanal, MS, 20

3 m de comprimento.

i Fabio Colombin

comprimento.

André Seale/Pulsa

r

de vara atinge 1 m S, 2000). A capi M l, na ta an (P s ra Família de capiva

Bonito, MS). Rio Formoso, al ip ic un M io alneár mprimento. Piraputangas (B ega a atingir até 40 cm de co ch A piraputanga

Estação Ecológica do Taiamã (São José do Rio Claro, MT, 2010). Os seres vivos e não vivos representados nas imagens desta abertura de capítulo não mostram o seu tamanho real.

AQUI TEM MATEMÁTICA De acordo com algumas características predefinidas, os animais vertebrados são classificados em diferentes grupos, como répteis, mamíferos, peixes, anfíbios ou aves. Adotando-se outros critérios, porém, cada um desses grupos pode ainda ser dividido em subgrupos. Em Matemática, também usamos a ideia de agrupar elementos que possuem características comuns. Uma vez agrupados, esses elementos constituem um conjunto, assunto que vamos explorar neste capítulo.

éricos Conjuntos num

Phillip Minnis/Shutterstock/Glow Images

Intervalos

Usamos a noção de conjunto frequentemente. Ao organizar a lista de amigos para uma festa, ao preparar o material escolar ou, então, ao formar um time, por exemplo, estamos constituindo conjuntos.

Next

Operaçõe

O que é conjunto

tta Jr/The

s s com conjunto

Sérgio Do

· · · ·

bconjuntos

Conjuntos e su

1 Conjuntos e subconjuntos

Muzsy/Shutterstock/Glow Images

sentados neste

Conteúdos apre capítulo:

Conjunto de canetas. Banca de frutas em Dubai, Emirados Árabes Unidos (s. d.)

Cada time de futebol é um exemplo de conjunto. Na foto, disputa de bola entre as jogadoras tcheca e húngara (Youth Football Festival 2010, Hungria).

Em Matemática, um conjunto é formado por elementos que possuem uma propriedade comum ou que satisfazem a determinada condição. Podemos representar um conjunto de várias maneiras. Uma delas, quando possível, é listando seus elementos um a um, colocando-os entre chaves, separando-os por vírgula e usando uma letra maiúscula para nomeá-lo. Exemplos: u Conjunto das vogais do nosso alfabeto.

A  {a, e, i, o, u} B  {1, 3, 5, 7, 9, ...} As reticências indicam que o conjunto é infinito.

Também podemos representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Venn (criado pelo matemático e lógico inglês John

A

a e o

u i

Editoria de Arte

u Conjunto dos números ímpares positivos.

Venn, 1834-1923). Utilizamos a notação n(A) para indicar o número de elementos do conjunto A. No exemplo acima, temos n(A)  5. Lê-se: o número de elementos de A é igual a 5. Um conjunto também pode ser definido por uma propriedade que caracterize seus elementos. Veja: {x | x é vogal do alfabeto} Esse símbolo significa tal que. Comente com os alunos que dois-pontos ( : ) ou ponto e vírgula ( ; ) também podem ser usados para representar as palavras “tal que” ou “tais que”.

10 Capítulo 1 Conjuntos l

Para indicar que um elemento faz parte de determinado conjunto, usamos o símbolo  (pertence). Para indicar que ele não faz parte, o símbolo  (não pertence). Por exemplo: ‹‹i  A

Lê-se: i pertence a A.

‹dA

Lê-se: d não pertence a A.

Embora conjunto passe uma ideia de coleção, existem dois conjuntos muito especiais para a Matemática que não correspondem a essa noção: o conjunto unitário e o conjunto vazio. Conjunto unitário é aquele que possui um único elemento. Exemplo: A 5 {x | x é um número natural maior que 6 e menor que 8} 5 {7} Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. É representado por { } ou . Exemplo: B 5 {x | x é um número natural e 2 2 x 5 6} 5 

Subconjuntos Consideremos os conjuntos A e B, também representados por um diagrama.

1

A

B 5 {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}

7 5

6

3 8

Editoria de Arte

2

B

A 5 {1, 3, 7}

Note que qualquer elemento de A também pertence a B. Nesse caso, dizemos que A está contido em B ou A é subconjunto de B ou, ainda, que A é parte de B. Indica-se: A  B

Lê-se: A está contido em B. Esse símbolo significa está contido.

Podemos dizer também que B contém A. Indica-se: B  A

Lê-se: B contém A. Esse símbolo significa contém.

Um conjunto, A, é subconjunto de outro conjunto, B, quando qualquer elemento de A também pertence a B. Observações: ‹‹A relação A  B é chamada de relação de inclusão. ‹‹Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em

B ou que B não contém A. ‹‹O símbolo  significa não está contido. ‹‹O símbolo  significa não contém. ‹‹O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja,   A, qualquer que seja o conjunto A.

Conjuntos

l

Capítulo 1

11

Exemplo Verifique se o conjunto A  {0, 3, 5} é subconjunto de B  {0, 1, 2, 3, 4}. Resolução O elemento 5 do conjunto A não pertence a B, ou seja, 5  B. Logo, A não está contido em B, isto é, A  B.

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

1. Copie no caderno apenas as afirmações verdadeiras.

3. Observe o diagrama:

a) {5}  {0, 5, 10, 15} X b) {a, b, c}  {b, a, c} c) 2  {0, 2, 4} X d) 8  {2, 4, 6, 8, 10} X e) {1, 2, 3}  {1, 2} X f) {1, 6}  {números naturais} X g) 3  {0, 3, 6, 9} X h)

E F

H

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X

Quais afirmativas são verdadeiras? EF X d) E  H b) F  E X e) F  H c) H  F X f) H  E

X a)

1  {números naturais} 2

4. Quantos conjuntos M satisfazem à sentença:

2. Sendo P e Q dois conjuntos não vazios, de modo

{1, 2}  M  {1, 2, 3, 4}

que P  Q, copie no caderno apenas as afirmações verdadeiras. a) Sempre existe x, x  P, tal que x  Q. b) Sempre existe x, x  Q, tal que x  P. c) Se x  Q, então x  P. X d) Se x  Q, então x  P. e) P e Q não têm elementos em comum.

3 conjuntos.

5. Determine todos os subconjuntos de F  {1, 2, 3, 4} que possuem: Respostas no final do livro. a) 1 elemento. c) 3 elementos. b) 2 elementos. d) 4 elementos.

6. Determine todos os subconjuntos de A  {1, 2, 3}. Respostas no final do livro.

Igualdade de conjuntos Se A  {vogais da palavra livro} e B  {i, o}, os conjuntos A e B têm exatamente os mesmos elementos. Nesse caso, dizemos que A e B são iguais. Indica-se: A  B Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, A  B e B  A. Se pelo menos um elemento de um dos conjuntos não pertence ao outro, dizemos que esses conjuntos são diferentes. Por exemplo, os conjuntos X  {1, 2, 3} e Y  0, 1, 2, 7 são diferentes, pois 3  X e 3  Y. Indica-se: X  Y

{

}

Conjunto universo Em inúmeros casos, é importante estabelecer o conjunto ao qual pertencem todos os elementos relacionados a determinada situação. Esse conjunto é chamado de conjunto universo, que indicamos por U. Por exemplo, quando estudamos a população humana, o conjunto universo é constituído de todos os seres humanos. Assim, quando estudamos os números envolvidos em situações de contagem, o conjunto universo é igual ao conjunto dos números naturais.

12 Capítulo 1 Conjuntos 

2 Operações com conjuntos União de conjuntos Sejam os conjuntos A  {0, 2, 4, 6} e B  {0, 1, 2, 3, 4}.

Ilustrações: Editoria de Arte

Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mais os elementos que pertencem a B, isto é: AB

A

0 6

2

1

4

B

3

O conjunto C é denominado união ou reunião dos conjuntos A e B. Indica-se: A  B. Lê-se: A união B. O símbolo  significa união ou reunião.

C  {0, 1, 2, 3, 4, 6} A união de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B. A  B  {x | x  A ou x  B}

Intersecção de conjuntos Agora vamos determinar o conjunto E dos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B. Veja: AB

A

0 6

2

1

4 3

B

O conjunto E é denominado intersecção dos conjuntos A e B. Indica-se: A  B. Lê-se: A intersecção B. O símbolo  significa intersecção.

E  {0, 2, 4} A intersecção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. A  B  {x | x  A ou x  B}

Diferença de conjuntos Sejam os conjuntos A  {1, 2, 3, 4, 5} e B  {2, 4, 6, 8}. Vamos determinar o conjunto C formado por todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Obtemos, então, o conjunto C  {1, 3, 5}. O conjunto C assim formado é a diferença de A e B.

A diferença de dois conjuntos, A e B, nessa ordem, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A  B  {x | x  A e x  B}

Indica-se: A  B  C. Lê-se: A menos B é igual a C.

Conjuntos



Capítulo 1

13

A  B está em azul 1

A

B

2

3

6

4

5

8

Ilustrações: Editoria de Arte

Em diagrama:

Se B  A, a diferença A 2 B denomina-se complementar de B em relação a A. Indica-se: CBA 5 A 2 B Por exemplo: se B 5 {2, 3} e A 5 {0, 1, 2, 3, 4}, então CBA 5 A 2 B 5 {0, 1, 4}. Em diagrama: CBA está em amarelo A 2

0 1

B

3 4

O complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A.

Propriedades das operações com conjuntos Apresentamos, a seguir, algumas propriedades das operações com conjuntos. Vamos admiti-las sem demonstração. Elas podem ser verificadas utilizando-se as ideias de lógica ou representando-se os conjuntos por diagramas. Dados três conjuntos, A, B e C, valem as seguintes propriedades: 1a propriedade: AB5BA  

  comutativa da união

AB5BA  

  comutativa da intersecção

2a propriedade: (A  B)  C 5 A  (B  C)  

  associativa da união

(A  B)  C 5 A  (B  C)  

  associativa da intersecção

3a propriedade: A  (B  C) 5 (A  B)  (A  C)  

  distributiva da intersecção em relação à união

A  (B  C) 5 (A  B)  (A  C)  

  distributiva da união em relação à intersecção

4a propriedade: Leis de Morgan Sendo A e B subconjuntos de um conjunto universo , temos: ‹‹(A  B)! 5 A!  B!, ou seja, o complementar da união é igual à intersecção dos complementares; ‹‹(A  B)! 5 A!  B!, ou seja, o complementar da intersecção é igual à união dos complementares.



14 Capítulo 1 Conjuntos l

Número de elementos da união de conjuntos Sendo A e B dois conjuntos finitos, o número de elementos do conjunto A  B, que indicamos por n(A  B), é dado pela seguinte relação: n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B)

Ilustrações: Editoria de Arte

Veja o porquê: AB

A

Quando adicionamos o número de elementos de A ao número de elementos de B, o número de elementos de (A  B) é contado duas vezes. É por isso que subtraímos n(A  B).

0 6

2

B

1

4 3

No exemplo acima, temos: n(A  B) 5 4 1 5 2 3 ⇒ n(A  B) 5 6 Observação: Quando (A  B) 5 , temos: n(A  B) 5 0 e n(A  B) 5 n(A) 1 n(B)

Exemplos 1. Sejam os conjuntos A 5 {0, 1, 2, 3, 4} e B 5

A

5 {1, 3, 5, 7}.

0

2

Determine A  B, A  B, A 2 B e faça a representação de cada um desses conjuntos por meio de um diagrama.

1

4

B

5

3 7

Resolução

AB

Juntando todos os elementos que pertencem a A ou a B, temos: A  B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} A

0 2

4

5

3

B

Tomando os elementos comuns a A e a B, temos: A  B 5 {1, 3} AB A

0 4

A 5 {0, 2} e B 5 {1, 3, 5}. Resolução

1 7

2

2. Determine a união e a intersecção dos conjuntos

A união dos conjuntos A e B é igual a A  B 5 5 {0, 1, 2, 3, 5}. A intersecção dos conjuntos A e B é vazia. Portanto: A  B 5 . Por meio de diagrama, temos: A

1 5

3

0

B

B

7

Considerando os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, temos: A 2 B 5 {0, 2, 4}

3

1 5

2

Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos comuns. Nesse caso, A e B são chamados de conjuntos disjuntos. Conjuntos

l

Capítulo 1

15

3. Numa cidade são consumidos dois produtos, S e P, sendo S um tipo de sabonete e P um tipo de perfume. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos levantou os seguintes dados: Produto

S

P

SeP

Nenhum dos dois

Número de consumidores

210

180

50

40

Quantas pessoas foram consultadas? Ilustrações: Editoria de Arte

Resolução Em primeiro lugar, A B vamos considerar os conjuntos A e B, que correspondem aos consumidores dos produtos S e P, respectivamente, e fazer um diagrama. Observe que o diagrama deve apresentar intersecção, pois existem pessoas que consomem os dois produtos (S e P ). Em seguida, vamos A B colocar 50 na in50 tersecção de A e B, pois 50 pessoas consomem os dois

Exercícios

produtos. Observe que começamos sempre pela intersecção, pois assim não corremos o risco de contar mais de uma vez as 50 pessoas. Depois, colocamos A B 160 (210  50) 50 160 somente em A, pois, das 210 pessoas que consomem o produto S, as 50 pessoas que também consomem o produto P já estão representadas no diagrama. Em seguida, coloca- A B mos 130 (180  50) 50 160 130 somente em B, pois, das 180 pessoas que consomem o produto P, as 50 pessoas que também consomem o produto S já estão representadas no diagrama. Por último, colocaA B mos 40 pessoas fora 50 160 130 de A e B, pois elas não consomem ne40 nhum dos produtos. Para achar quantas pessoas foram consultadas, vamos adicionar os números marcados no diagrama: 160  50  130  40  380 Foram consultadas 380 pessoas.

FAÇA NOO N CADER

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7. Numa pesquisa verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B ) e 110 não liam jornal. Quantas pessoas foram consultadas? 340

8. (UnB-DF) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem; 101 assistem às corridas de Fórmula 1 e 27 assistem às corridas de Fórmula 1 e de Motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade? 44 9. Considere o diagrama a seguir, representando os conjuntos A, B e C. A

1 3

2 6

4 5

8 C

16 Capítulo 1 Conjuntos 

7

9

B

9. a) A 5 {1, 2, 3, 4, 9}; B 5 {2, 6, 7, 9}; C 5 {2, 4, 5, 6, 8} b) {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9}, {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Determine: a) A, B e C b) A  B e B  C c) A  B  C {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} d) A  C {2, 4}

e) B  C {2, 6} f ) A  B  C {2} g) C 2 (A  B) {5, 8} h) (A  B) 2 C {1, 3, 7, 9}

10. (PUC-RN) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B? 3 pessoas.

11. (UEPA) As belezas naturais da cidade de Salinópolis, localizada aproximadamente a 220 km de Belém, estado do Pará, fazem dessa cidade um centro turístico, recebendo milhares de turistas ao ano. Numa pesquisa encomendada por uma empresa de turismo, verificou-se que, dos turistas consultados, 120 000 visitaram a Praia do Atalaia, 80 000 visitaram a Praia do Maçarico, 60 000 visitaram essas duas praias e 10 000 não visitaram nenhum dos dois lugares. O número de turistas consultados foi de: a) 100 000 c) 200 000 e) 370 000 d) 270 000 X b) 150 000 12. Numa escola de 630 alunos, 350 estudam Português, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas disciplinas (Português e Espanhol). Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas Português? (Estudam Português, mas não estudam Espanhol.) 260 b) Quantos alunos estudam apenas Espanhol? (Estudam Espanhol, mas não estudam Português.) 120 c) Quantos alunos estudam Português ou Espanhol? 470 d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? 160 13. (UFBA) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir.



Atividade

Número de pessoas matriculadas

alongamento

109

hidroginástica

203

musculação

162

alongamento e hidroginástica

25

alongamento e musculação

28

hidroginástica e musculação

41

as três atividades

5

outras atividades

115

Com base nessas informações, pode-se concluir: (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas. (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. (04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento e musculação. (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela. (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa. 01 1 02 1 16 5 19 Comentar com os alunos que, nesse tipo de questão, a resposta é a soma dos números que indicam as afirmações verdadeiras.

14. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei,

20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Quantos jogam: a) tênis e não jogam vôlei? 460 b) xadrez ou tênis e não jogam vôlei? 130 c) vôlei e não jogam xadrez? 410

15. (Enem-MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: a) 135 b) 126 X c) 118 d) 114 e) 110 16. (UFRJ) Um clube oferece, a seus associados, aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação? 23 17. Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e B 5 5 {1, 3, 5, 6}, calcule CBA. CBA 5 {0, 2, 4} Conjuntos

l

Capítulo 1 17

3 Conjuntos numéricos Os números foram criados e desenvolvidos pelo ser humano como recursos que permitem contar e medir, ou seja, registrar as diferentes quantidades de uma grandeza. Com o passar do tempo, novas necessidades exigiram o aperfeiçoamento desse recurso. Assim, surgiram os conjuntos numéricos. Neste item, vamos rever os conjuntos numéricos, que estudamos em anos anteriores, e utilizá-los para resolver novas questões, ampliando nosso conhecimento.

Conjunto dos números naturais Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos do conjunto dos números naturais, que é indicado pela letra N. N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O conjunto dos números naturais é infinito e, por isso, usamos reticências. Para representar graficamente o conjunto N, usamos uma semirreta sobre a qual marcamos pontos equidistantes A, B, C, D, E, ..., a partir da origem O, como mostra a figura: O

A

B

C

D

E …

origem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

n

n1

0 1 unidade de medida

Ilustrações: Editoria de Arte

A cada ponto marcado, fazemos corresponder, ordenadamente, um número natural.

A representação gráfica dos números naturais facilita a compreensão de alguns conceitos. ‹‹Todo número natural n tem seu sucessor n 1 1. Exemplo: o sucessor de 5 é 6; o sucessor de x é x 1 1. ‹‹O número natural que vem imediatamente antes de um número natural diferente de zero é denominado antecessor. Exemplo: o antecessor de 9 é 8; o antecessor de 1 000 é 999. ‹‹Dois ou mais números naturais que se seguem são denominados consecutivos. Exemplo: 4 e 5 são consecutivos; 18, 19 e 20 são consecutivos. Vale lembrar que um asterisco (*) colocado junto à letra que simboliza um conjunto significa que o zero foi excluído de tal conjunto. Desse modo: N* 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 5 N 2 {0} Observe que N*  N.

Estabelecendo conexões

Ver Orientações para o Professor.

Contando até dois Você já deve ter notado que quando precisamos contar um grupo de objetos, por exemplo, usamos os números naturais, em que cada quantidade é representada por um número. Desse modo, sempre conseguimos contar quantos objetos há em um grupo. Para alguns grupos de pessoas isso não acontece, como por exemplo, a tribo dos Pirahãs. A tribo dos Pirahãs vive na Amazônia brasileira em uma cultura seminômade e isolada do restante da população. Ela apresenta características comuns em relação a outras tribos locais, mas possui particularidades no que diz respeito a sua comunicação, como não apresentar nomes para cores nem mesmo tempos verbais. Tudo é contado no presente, além de não ter um símbolo ou palavra para associar a

18 Capítulo 1 Conjuntos l

cada quantidade de objetos, como estamos acostumados a fazer. O cientista americano Peter Gordon, da Universidade de Columbia, verificou em suas pesquisas que esses índios têm apenas três palavras para representar quantidades: a palavra “hói” é usada para representar um, ou um punhado; a palavra “hoí” representa dois; e os termos “baagi” e “aibai” são usados para representar “muitos”. Fontes de pesquisa: O mistério dos Pirahãs. Veja, São Paulo: Abril, ed. 2004, 18 abr. 2007. Disponível em: . Acesso em: 5 out. 2012. AMORIM, Cristina. Tribo do Amazonas só sabe contar até três. Folha de S.Paulo, São Paulo, Caderno Ciência, 20 ago. 2004. Disponível em: . Acesso em: 5 out. 2012.

Conjunto dos números inteiros

…

4

3

2

0

1

1

2

3

4

Editoria de Arte

Com base em cada número natural diferente de zero e utilizando os símbolos 1 e 2, obtemos, respectivamente, um número inteiro positivo e um número inteiro negativo. O conjunto formado por esses números e pelo zero é denominado conjunto dos números inteiros e representado pela letra Z: Z 5 {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Observe que os números inteiros positivos podem ser identificados com os números naturais maiores que zero. Então, o conjunto dos números inteiros pode ser escrito como: Z 5 {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Na reta numérica, o conjunto Z pode ser representado na forma: …

Observamos que: ‹‹todo número inteiro possui um oposto ou simétrico. O oposto de 1 é 21. O oposto de 24 é 4. ‹‹um número inteiro é sempre menor que o número inteiro que está à sua direita na reta numérica: 24 , 21 (24 é menor que 21) 22 , 0 (22 é menor que 0) 3  23 (3 é maior que 23) ‹‹o antecessor de 210 é 211. ‹‹o sucessor de 25 é 24. Vejamos o exemplo de um subconjunto de Z indicado por uma propriedade característica de seus elementos: C 5 {x  Z | 24  x , 3} Vamos escrever, agora, importantes subconjuntos de Z: ‹‹números inteiros não nulos: Z* 5 {... , 24, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 4, ...} ‹‹números inteiros não negativos: Z1 5 {0, 1, 2, 3, 4, ...} ‹‹números inteiros não positivos: Z2 5 {0, 21, 22, 23, 24, ...}

Conjunto dos números racionais a , sendo a e b números inteiros e b  0, b são denominados números racionais. Esse conjunto é representado pela letra Q.

Números que podem ser expressos sob a forma

  a Q 5  x x 5 , com a 7 Z e b 7 Z*  b   Exemplos: 55

5 1

0,444... 5

0,25 5 4 9

1 4

9 29 9 2 5 5 2 2 22

0,13 5 2,4 5

13 100 12 5

Os números inteiros também são racionais, pois podem ser expressos por uma fração de denominador 1. 7 212 225 75 212 5 225 5 1 1 1 Para passar um número expresso na forma de fração para a forma decimal, dividimos o numerador pelo denominador. 14 13 1 5 2, 8 5 2 ,1666... 5 0 ,25 5 6 4

Conjuntos

l

Capítulo 1

19

Quando dividimos o numerador pelo denominador, podemos obter: ‹‹um número decimal que tem uma representação finita (número finito de casas decimais).

12 53 4

9 5 4,5 2

3 2 520,375 8

3 5 0,75 4

‹‹uma dízima periódica, isto é, um número decimal que tem uma representação infinita (número infinito

de casas decimais) e periódica (há algarismos que se repetem periodicamente). 1 13 5 0,333... 5 0,3 5 2,1666... 5 2,16 3 6 14 5 0,424242... 5 0,42 33

40 5 0 , 404040... 5 0 , 40 99

Percebemos, assim, que toda fração de números inteiros, com denominador não nulo, tem uma representação decimal finita ou é uma dízima periódica. Todos esses números – fracionários, decimais que possuem representação finita, dízimas periódicas e inteiros – formam o conjuntos dos números racionais. O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. Na reta numérica, temos, por exemplo: 5 4 2

23 2

1,2 1

0

0,5 2 1 3

0,25

0,5

1

6 5

3 2

1,875 2

Observe que: ‹‹todo número racional possui um oposto ou simétrico.

O oposto de 0,5 é 20,5. O oposto de 2

3 3 é . 2 2

‹‹entre dois números racionais distintos sempre existe outro número racional.

Por exemplo, entre 0 e 0,5 existe o número racional 0,25 (que é a média aritmética de 0 e 0,5). 0 1 0,5 5 0,25 2 Entre 0,25 e 0,5 existe o número racional 0,375, que é a média aritmética de 0,25 e 0,5.

Continuando com o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois números racionais distintos existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibilidade de se escrever todos os números racionais situados entre dois números racionais quaisquer. Q Podemos representar os conjuntos numéricos estudados até aqui pelo diagrama ao lado. Z Além desses dois subconjuntos de Q, destacamos os N seguintes: ‹‹números racionais não nulos: Q* 5 Q 2 {0} ‹‹números racionais não negativos: Q1 ‹‹números racionais não positivos: Q2



20 Capítulo 1 Conjuntos l

Ilustrações: Editoria de Arte

0,25 1 0,5 5 0,375 2

Conjuntos dos números reais

D

Editoria de Arte

C

Números irracionais Vamos calcular a medida da diagonal d do quadrado cujo lado mede 1. d

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

1

d2 5 12 1 12 V d2 5 2 Para determinar o valor de d, devemos responder à seguinte questão: ‹‹Qual é o número racional positivo cujo quadrado é igual a 2?

Inicialmente, vamos calcular:

A

1

B

12 5 1 22 5 4 Logo, d está entre 1 e 2 (1 , d , 2). Em seguida, vamos determinar a primeira casa decimal de d. (1,1)2 5 1,21

(1,3)2 5 1,69

(1,2)2 5 1,44

(1,4)2 5 1,96

(1,5)2 5 2,25

Logo, d está entre 1,4 e 1,5, ou seja, 1,4 , d , 1,5. Então, 1,4 é o valor aproximado de d, por falta, com uma casa decimal. Usando o mesmo procedimento, determinamos a segunda casa decimal de d. (1,41)2 5 1,9881 (1,42)2 5 2,0164 Logo, d está entre 1,41 e 1,42, ou seja, 1,41 , d , 1,42. Aqui, 1,41 é o valor aproximado de d, por falta, com duas casas decimais. Mediante outras tentativas, vamos perceber que a medida d da diagonal está entre 1,414 e 1,415, ou seja, 1,414 , d , 1,415. Observe: (1,414)2 5 1,999396 (1,415)2 5 2,002225 Nesse caso, 1,414 é o valor aproximado de d, por falta, com três casas decimais. Se continuarmos repetindo esse processo, vamos obter quantas casas decimais quisermos, mas encontraremos sempre um valor aproximado para d, por falta, pois esse valor, elevado ao quadrado, é sempre um número menor que 2. Os matemáticos representam o valor exato para a medida da diagonal do quadrado de lado 1 por 2. 2 5 1,414213562... Esse número tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto, não é uma dízima periódica e, por isso, não pode ser escrito na forma de fração de inteiros (com denominador diferente de Ver demonstração de irracionalidade de 2 nas zero). Assim, 2 não é um número racional. É um número irracional. Orientações para o Professor. O conjunto dos números irracionais, que indicaremos pela letra I, é formado por todos os números que têm uma representação decimal infinita e não periódica.



Conjuntos

l

Capítulo 1 21

Veja outros exemplos de números irracionais: ‹‹ 5 5 2,236067978... ‹‹p 5 3,141592654...

(conhecido como número pi)

‹‹e 5 2,718281828459... (conhecido como número neperiano) ‹‹3 6 5 1,817120593...

As raízes quadradas dos números naturais que são quadrados perfeitos (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...) são números naturais. 0 50

4 52

16 5 4

36 5 6

1 51

9 53

25 5 5

49 5 7

As raízes quadradas dos números naturais que não são quadrados perfeitos são números irracionais. 3 5 1,732050808...

10 5 3,16227766...

7 5 2,645751311...

61 5 7,810249676...

Todo número irracional também possui um oposto ou simétrico. ‹‹O oposto de

2 é 2 2.

‹‹O oposto de p é 2p. ‹‹O simétrico de 2 3 é

3.

Veja, por exemplo, como representamos os números irracionais

2, 3 e 2 2. Ver detalhes nas Orientações para o Professor.

2

2

 2

1

0

Ilustrações: Editoria de Arte

r // x

3

1

2

3

2

x

1,7320508...

1,4142135...

1,4142135...

Reunindo os números racionais aos números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, que representamos por R. Assim, todo número natural, inteiro, racional ou irracional também é real. Podemos estabelecer uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos de uma reta, ou seja, a cada número real relaciona-se um único ponto da reta e vice-versa.

RQ (irracionais) N

Z Q

Escolhemos um ponto O qualquer da reta, ao qual associamos o número zero, dividindo a reta em duas semirretas: uma com sentido positivo e a outra com sentido negativo. O ponto O é chamado origem.

22 Capítulo 1 Conjuntos l

3

2

1

 

O

A

0

1

5 4

2

1 2

3

Ilustrações: Editoria de Arte

Em seguida, escolhemos um ponto A qualquer da semirreta positiva ao qual associamos o número 1. O segmento OA é a unidade de medida de comprimento. A reta OA é chamada reta real ou eixo real.

4



2

Assim, dado um ponto na reta real, podemos facilmente associá-lo ao número real que, em módulo, representa sua distância até o ponto O, na unidade OA. Se o ponto estiver à direita de O, o número real será positivo; se estiver à esquerda, o número será negativo. 3 unidades Q

P

R O

5,2 unidades

4 unidades

Dessa maneira, na reta, cada ponto é identificado a partir de um número, que é a coordenada desse ponto. Identificação: Q (25,2)

R

coordenada do ponto Q

( 3)

P (4)

coordenada do ponto R

coordenada do ponto P

No conjunto R, destacamos os seguintes subconjuntos: ‹‹números reais não nulos: R* 5 R 2 {0} ‹‹números reais não negativos: R1 5 {x  R | x  0} ‹‹números reais não positivos: R2 5 {x  R | x  0}

As letras N, Q e R são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente e real. A letra Z é inicial da palavra zahl, que significa número em alemão. LIMA, Elon L. e outros. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 2006. p. 57. v. 1. (Coleção do Professor de Matemática).

Exemplos 9 2

1. Marque na reta real os seguintes números reais: 23,5; 20,8; , 5 e 1,4. Resolução Na reta real, temos: 5 0,8 3,53

2

1

0

1 1,4

1 2 5

3

4

9 2

Conjuntos

l

Capítulo 1

23

2. Qual o menor número inteiro maior que 2 9 ? 4



3

Ilustrações: Editoria de Arte

Resolução Como 2 9 522,25, na reta real temos: 4 9 4 2

0

1

1

2

3

4

O número inteiro maior que 2 9 é 22. 4 3. Sendo A 5 {x  N | x  5} e B 5 {x  Z | 22  x , 3}, calcule: a) A  B

b) A  B

Resolução

Resolução

Escrevendo os elementos de cada conjunto, temos: A 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B 5 {22, 21, 0, 1, 2} Daí, vem: A  B 5 {22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Exercícios

Os elementos comuns a A e a B são: A  B5 {0, 1, 2}

FAÇA NOO N CADER

18. Sendo N 5 {0, 1, 2, 3, ...}, escreva os seguintes conjuntos, listando seus elementos: a) A 5 {x 5 2k, k  N} {0, 2, 4, ...} b) B 5 {x 5 k2, k  N} {0, 1, 4, 9, ...} c) C 5 {x | x  N e x2 1 x 2 42 5 0} {6}

19. Dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos. Verifique se os conjuntos A 5 {x  N | 2   x , 4} e B 5 {x  R | x2 2 5x 1 6 5 0} são iguais. A 5 {2, 3} e B 5 {2, 3}, portanto, são iguais.

20. Sendo A 5 {x  N | x , 6}, B 5 {x  Z | 21   x , 4} e C 5 {x  Z | 23 , x , 5}, determine: a) A  B  C {22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5} b) A  B  C {0, 1, 2, 3} 21. Escreva os seguintes conjuntos, listando seus elementos: a) A 5 {x  N | x , 8} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) B 5 {y  N | 2 , y  5} {3, 4, 5} c) C 5 {z  Z* | 23 , z , 4} {22, 21, 1, 2, 3} d) D 5 {m  Z | m  22} {22, 21, 0, 1, 2, ...}

23. Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, definindo-os por uma propriedade de seus elementos. a) M 5 {6, 7, 8} M 5 {x  N | 6  x  8} b) S 5 {4, 5, 6, 7, ...} S 5 {y  N | y  3} c) T 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21} T 5 {x  Z | x  21} d) V 5 {22, 21, 0, 1, 2, 3} V 5 {y  Z | 22  y  3} 24. (Unicamp-SP) Ache dois números inteiros, positivos e consecutivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 481. 15 e 16 25. (UFAL) No universo N, sejam A o conjunto dos números pares, B o conjunto dos números múltiplos de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de 5. Determine os 10 menores números que pertencem ao conjunto B 2 (A  C). {3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69} 26. Determine os seguintes conjuntos, listando seus elementos: a) A 5 {x  R | x2 2 x 2 12 5 0} {23, 4} b) B 5 {x  R | 3 1 x2 5 4} {1, 1}

{

22. Qual é o oitavo termo das sequências abaixo?

c) C 5 y 7 R

a) 25, 10, 220, 40, ... 640 b) 220, 215, 210, 25, ... 15

  d) D 5 a 7 R 1 1 a 5 2 a  

24 Capítulo 1 Conjuntos l

}

{22

y2 11 5 3

{1}

2, 2 2

}

27. Escreva dois números racionais que estão entre: a) 0 e 3 5

b) 1e

9 4

Resposta pessoal.

c) 2 3 e 1 5 5

28. Usando os símbolos  ou , relacione, no caderno:  a)

27 e N

 b)

2 eQ

 c)

4eZ

1eZ 2  e) 10 e   d)

 f)

 g)

0,166... e Q

 h) 3

modo que o produto dos dois olhos seja igual ao número acima da cabeça e que o produto de cada olho e da boca seja igual ao número do lado da respectiva face. (Sugestão: Onde o 9 pode ficar?) Fonte: RPM – Revista do Professor de Matemática, São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 78, p. 53, 2012.

8eN

8

1

9 eQ 4

29. Localize os números 2 , 3, 5, 6 , 7 na reta real. Respostas no final do livro.

3

6

30. Face de dígitos Refaça a figura no caderno e preencha os espaços indicados com os dígitos de 1 a 9, sem repetição, de

2

7

9

5

4

Tecnologia

Geogebra

Você estudou que podemos associar um número real a um ponto de uma reta, chamada de reta real. Agora, vamos usar uma construção geométrica para localizar os pontos de uma reta real que estão 1 associados aos números e 2 . Para isso, vamos usar um software chamado Geogebra. 3 3 Como em um eixo real, a distância de 0 a 1 é a unidade de medida de comprimento. Para localizar o 1 2 ponto associado ao número e ao número , basta dividirmos em três partes iguais o segmento cujos 3 3 extremos são os pontos de coordenadas 0 e 1. Usando o eixo real disponível na janela de visualização do Geogebra, considere os pontos 0 e 1 que já estão indicados. Para dividir em três partes iguais o segmento limitado pelos pontos de coordenadas 0 e 1, siga os passos: Ver Orientações para o Professor. 1. Usando a ferramenta Novo ponto, marque sobre o eixo real os pontos A e B de coordenadas 0 e 1, respectivamente. 2. Com a ferramenta Reta definida por dois pontos, crie uma reta passando pelo ponto A, mas que não passe pelo ponto B, conforme a figura.

Conjuntos

l

Capítulo 1

25

3. Usando a ferramenta Compasso, desenhe uma circunferência de qualquer raio, com centro em A. 4. Em seguida, com a ferramenta Intersecção de dois objetos, marque o ponto G na intersecção entre a reta desenhada no passo 2 e a circunferência desenhada no passo anterior. 5. Com a ferramenta Compasso, desenhe outra circunferência, com o mesmo raio da desenhada no passo 3, mas com centro em G. 6. Com a ferramenta Intersecção de dois objetos, marque o ponto I na intersecção entre a circunferência desenhada no passo anterior e a reta traçada no passo 2. 7. Usando a ferramenta Compasso, desenhe outra circunferência, com o mesmo raio da desenhada no passo 3, mas com centro em I. Com a ferramenta Intersecção de dois objetos, marque o ponto K na intersecção entre a circunferência desenhada nesse passo e a reta desenhada no passo 2. 8. Desenhe as retas que passam pelos pontos B e K. Use a ferramenta Reta definida por dois pontos. 9. Com a ferramenta Reta paralela, trace duas retas paralelas à reta BK : uma passando pelo ponto I e uma passando pelo ponto G.

Geogebra

10. Usando a ferramenta Intersecção de dois objetos, marque os pontos L e M, conforme a figura abaixo.

Observe que o segmento cujas extremidades são os pontos de coordenadas 0 e 1 ficou dividido em 3 partes iguais. Logo, a distância, em módulo, do ponto de coordenada 0 até o ponto M é 1 e a do ponto de 3 coordenada 0 até o ponto L é 2 . 3

Atividades 1. Para desenhar a circunferência no passo 3, você usou dois pontos. Movimente esses pontos e veja o que acontece com as circunferências e com os pontos M e L marcados. 2. Use uma nova janela para localizar no eixo real os pontos associados aos números 1 e 3 . 4

26 Capítulo 1 Conjuntos l

4

4 Intervalos O conjunto dos números naturais, o dos números inteiros, o dos números racionais e o dos números irracionais são subconjuntos dos números reais. Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades. Esses subconjuntos são chamados de intervalos. Vejamos alguns exemplos: ‹‹Conjunto dos números reais maiores que 5 e menores que 9. 5

9

Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos 5 e 9. A bolinha vazia ( ) indica que os extremos não pertencem ao intervalo, por isso ele é chamado de intervalo aberto. Indica-se: {x  R | 5 , x , 9} ou ]5, 9[ A notação 5 , x , 9 significa que 5 , x e, também, x , 9. Assim, x situa-se entre 5 e 9 na reta real. ‹‹Conjunto dos números reais maiores que 24 ou iguais a 24 e menores que 3 ou iguais a 3. 4

3

Esse intervalo contém todos os números reais de 24 até 3. A bolinha cheia (•) indica que os extremos pertencem ao intervalo, por isso ele é chamado de intervalo fechado. Indica-se: {x  R | 24  x  3} ou [24, 3] ‹‹Conjunto dos números reais maiores que 2 ou iguais a 2 e menores que 7. 2

7

Observe que o extremo 2 pertence ao intervalo e o extremo 7 não pertence, por isso ele é chamado de intervalo semiaberto à direita. Indica-se: {x  R | 2  x , 7} ou [2, 7[ 5 ‹‹Conjunto dos números reais maiores que 2 e menores que 6 ou iguais a 6. 3 25 3

6

5 não pertence ao intervalo e o extremo 6 pertence, por isso ele é chamado 3 de intervalo semiaberto à esquerda. Indica-se: Note que o extremo 2

Sendo a um número real, temos ainda os intervalos: {x  R | x  a} ou ]a, 1[ {x  R | x  a} ou [a, 1[ {x  R | x , a} ou ]2, a[ {x  R | x  a} ou ]2, a] O símbolo 1 (lê-se: mais infinito) indica que o intervalo infinito) indica que o intervalo decresce indefinidamente.

a a a a a a a a a a a a a a a cresce a

Ilustrações: Editoria de Arte

{x 7 R | 2 53 , x  6} ou 2 53 , 6

infinitamente, e 2 (lê-se: menos

Observe que 1 e 2 não são números reais. Eles são partes da notação de intervalos ilimitados.

Conjuntos

l

Capítulo 1

27

FAÇA NOO N CADER

Exercícios

31. Usando colchetes, escreva no caderno o subconjunto de R formado pelos números reais: a) maiores que 3.

c) maiores que 2 ou iguais a 2. [2, [

]3, [

b) menores que 21.

 1 2∞, 2   

d) menores que 1 ou iguais a 1 . 2 2

]2, 21[

32. Usando a notação de conjuntos, escreva no caderno os intervalos: a) [6, 10]

b) [0, 1[

{x  R | 6  x  10}

c) ]210, 10[

{x  R | x  0}

{x  R | 210 , x , 10}

33. Represente, na reta real, os intervalos: a) [2, 8]

Respostas no final do livro.

b) ]2, 2]

c) [0, 1[

e){x  R | 2  x  7}

d) {x  R | 2 , x , 5}

f ){x  R | x , 1}

34. Usando a notação de conjuntos, escreva no caderno os intervalos que estão representados na reta real a seguir: a)

2

x

4

{x  R | 2  x  4}

b)

5

2

x

{x  R | 2 , x , 5}

Operações com intervalos Como os intervalos são subconjuntos dos números reais, neste item também vamos efetuar operações com eles.

Exemplo Se A 5 {x  R | 2 , x , 5} e B 5 {x  R | 3  x , 8}, determine A  B e A  B. Resolução Observe que: • 3 é elemento de A e também de B. • 5 é elemento de B e não é elemento de A. Os elementos de 3 até 5, excluído este último, pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Logo: 2 3

B A6B

5

2

8 8 união pedida

A B A5B

5

2 3

3

8

5

intersecção pedida

Assim, obtemos: A  B 5 {x  R | 2 , x , 8} e A  B 5 {x  R | 3  x , 5}

28 Capítulo 1 Conjuntos l

Ilustrações: Editoria de Arte

A

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

35. Determine A  B, quando: a) A 5 {x  R | 21  x  2} e B 5 {x  R | 0   x  5} {x  R  0  x  2} {x  R | 1 , x , 3} b) A 5 {x  R | x , 3} e B 5 {x  R | 1 , x , 4} c) A 5 {x  R | 23  x , 1} e B 5 {x  R | 0   x  3} {x  R | 0  x , 1} d) A 5 {x  R | x  5} e B 5 {x  R | x  2}

36. Determine A  B, quando:

{x  R | x  2}

a) A 5 {x  R | 0 , x , 3} e B 5 {x  R | 1 , x , , 5} {x  R | 0 , x , 5} b) A 5 {x  R | 24 , x  1} e B 5 {x  R | 2   x  3} {x  R | 24 , x , 1 ou 2  x  3} c) A 5 {x  R | 2 , x , 5} e B 5 {x  R | 1 , x , , 4} {x  R | 1 , x , 5} d) A 5 {x  R | 22  x , 2} e B 5 {x  R | x  0} {x  R | x  22}

37. Dados A 5 [2, 7], B 5 [21, 5] e E 5 [3, 9[, calcule: a) A 2 B b) B 2 A

]5, 7] [21, 2[

c) A 2 E d) E 2 B

]2, 3[ ]5, 9[

RETOMANDO E PESQUISANDO

38. Sejam os conjuntos A 5 [21, 6[, B 5 ]24, 2] e E 5 ]22, 4[, calcule: a) (B  E) 2 A ]24, 21[ b) E 2 (A  B) ]22, 21[  ]2, 4[

39. (OBMEP) Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afirmações: • Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas. • Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas. • Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas. Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para o número de bolas dentro da caixa? a) 1 d) 13 b) 5 X e) 16 c) 11

Ver Orientações para o Professor.

Na seção Aqui tem Matemática, na abertura deste capítulo, você observou algumas espécies de animais que vivem no Pantanal. Esses animais fazem parte de diferentes grupos, por exemplo, as capivaras fazem parte do grupo dos mamíferos; o jacaré, dos répteis; os pássaros, do grupo das aves.

1. Veja, a seguir, a definição de bioma segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE): Bioma é um conjunto de vida vegetal e animal, constituído pelo agrupamento de tipos de vegetação contíguos e que podem ser identificados em nível regional, com condições de geologia e clima semelhantes e que, historicamente, sofreram os mesmos processos de formação da paisagem, resultando em uma diversidade de flora e fauna própria. Disponível em: . Acesso em: 6 maio 2013. Palê Zuppani/Pulsar

O Pantanal é um dos seis biomas brasileiros. Pesquise nos sites indicados no final desta seção e anote em seu caderno as principais informações sobre as espécies animais e vegetais desse bioma.

Mata ciliar no Rio Paraguai (MT, 2010).

Conjuntos

l

Capítulo 1

29

Ricardo Azoury/Pulsar

Edson Grandisoli/Pulsar

2. Os outros biomas do Brasil são os seguintes:

Cerrado. Brasília, DF, 2012. Gerson Gerloff/Pulsar

Joãio Prudente/Pulsar

Amazônia. Caracacaraí, RR, 2012.

Ernesto Reghran/Pulsar

Mata Atlântica. Santo Amaro da Imperatriz, SC, 2012.

Caatinga. Carnaúba dos Dantas, RN, 2012.

Identifique as principais características climáticas e de vegetação de cada um desses biomas.

3. A suçuarana – também conhecida como onça-parda ou puma – é um mamífero com facilidade de adaptação a qualquer ambiente. Por isso, pode ser encontrada em qualquer dos seis biomas brasileiros. Considerando cada bioma como um conjunto e a suçuarana como um elemento desse conjunto, podemos dizer que esse mamífero pertence à intersecção desses biomas? Explique sua resposta.

Loren McIntyre/Stock Connection/Easypix

Pampa. São Pedro do Sul, RS, 2012.

Suçuarana (Puma concolor): 1,8 m (comprimento com cauda).

Site 1: Ministério do Meio Ambiente (MMA). Pantanal. Disponível em: . Acesso em: 9 out. 2012. Site 2: Portal Brasil. Meio ambiente – biomas. Disponível em: . Acesso em: 9 out. 2012. Site 3: Embrapa. Onça-parda, suçuarana. Disponível em: . Acesso em: 9 out. 2012. Site 4: (IBGE 7 A 12. Vamos conhecer o Brasil: nosso território – biomas.) Disponível em: . Acesso em: 6 maio 2013.

30 Capítulo 1 Conjuntos l

LEITURA E COMPREENSÃO Leia a questão apresentada a seguir.

Frank Maia

(Unisinos-RS) Como funciona o código de barras?

Um dos objetivos desta questão é explicar o funcionamento do código de barras, que aparece na maioria dos produtos que compramos em lojas e supermercados. Quem se lembra da operação de varejo no Brasil, antes dos anos 1990, sabe o avanço que representa a automação comercial. Nos supermercados, por exemplo, o funcionário do caixa procurava a etiqueta de preço de cada item e digitava o valor em sua máquina registradora, fazendo a soma. Muito usual também era ver uma empresa do comércio “fechada para balanço”, visto que o controle era praticamente todo manual e demandava muito tempo, espaço e recursos humanos. Aqui cabe muito bem a expressão: “Isso é coisa do século passado!” Mas, lembre-se: isso faz menos de 20 anos. Com a entrada dos microcomputadores no Brasil, houve uma revolução na administração de varejo. O funcionário do caixa, ao invés de simplesmente somar preços, passou a digitar o código dos produtos, e o sistema informatizado fazia o resto: totalizava as vendas, dava baixa no estoque, emitia relatórios atualizados, informava aos vendedores sobre a comissão etc. Foi um enorme salto de produtividade. Mesmo assim, ainda era possível melhorar: ao invés de o usuário entrar com os dados, por que não o próprio sistema capturá-los? É aqui que entra o código de barras, uma tecnologia aplicada a muitas áreas: indústria, comércio, bancos, bibliotecas, hospitais, bancos de sangue, correios, transportes, controles de acesso etc.

O que são os códigos de barras? A sequência de barras pretas e brancas, de diferentes espessuras, indecifráveis para nós, nada mais é do que a representação de um pequeno conjunto de números e/ou de letras, impressos de uma forma que o leitor ótico possa interpretar: o preto retém a luz, e o branco a reflete, de forma que sejam capturados os sinais e se interprete a sequência de números, representada pelas barras.

Funções logarítmicas Conjuntos

l

Capítulo 1 8

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Atualmente, a maioria dos produtos é identificada por meio de um código numérico. O progresso da tecnologia, que tornou relativamente baratos e acessíveis aparelhos de leitura óptica e computadores, tornou também o uso desse tipo de códigos bastante frequente. Por exemplo, os produtos que compramos num supermercado estão identificados por um código de barras, como o que mostramos na Figura 1.

Ilustrações: Editoria de Arte

LEITURA E COMPREENSÃO

7 891079 0 0 0 2 2 9 Figura 1

Ele não é mais do que um número, associado à identificação do produto, escrito de forma a permitir uma leitura rápida no caixa. Note que, imediatamente abaixo das barras, aparece o mesmo número, escrito em algarismos correntes, de forma que o leitor humano também possa fazer a leitura. Porém, algumas vezes, ao passar um produto pela leitora óptica (por exemplo, quando a embalagem está úmida ou enrugada), não é possível realizar-se a leitura. O que vemos, então, é o funcionário do caixa tentar passar o produto em sentido contrário, ou inverter o produto, de modo que o código de barras fique de cabeça para baixo, e tentar passá-lo mais uma vez. Se nem assim der certo, então ele próprio lê o código e o digita. Naturalmente, essas atitudes sugerem algumas perguntas. Em primeiro lugar, uma vez que o desenho das barras é totalmente simétrico para a máquina, que o lê usando um feixe de luz transversal, ao passá-lo “de ponta-cabeça”, ela não deveria ler o número na ordem contrária? E, o que é pior, o operador do caixa, ao digitar o número rapidamente, não poderia cometer um erro, e nós acabarmos pagando por um produto muito mais caro do que aquele que estamos comprando? Para compreender como funciona o processo de detecção de erros, precisamos entender, inicialmente, como se atribui, a cada produto, o dígito de verificação.

O Código EAN13 O código EAN13 é o mais usado na identificação de itens comerciais. É composto de 13 dígitos: os 3 primeiros representam o país (no Brasil é 789); os 4 seguintes representam o código da empresa filiada à EAN; os próximos 5 representam o código do item comercial dentro da empresa; e o 13o dígito é o verificador, obtido por meio de cálculo que será explicado a seguir. De acordo com a grade (quantidade) de itens da empresa, a composição pode ser mudada para que o item comercial tenha de 3 a 6 dígitos, e a empresa tenha de 6 a 3. Ou seja, a combinação de código da empresa 1 código do item deve ter 9 dígitos: Suponhamos que determinado produto esteja identificado, no sistema EAN13, pela sequência de dígitos ABCDEFGHIJKLX, em que X é o dígito de controle.

7 899999 9 1 2 3 4 9

789 País 3 dígitos concedidos pela EAN (789  Brasil)

99999 Empresa 6, 5 ou 4 dígitos concedidos pela EAN Brasil

1234 Produto 3, 4 ou 5 dígitos elaborados pela empresa

Figura 2

O cálculo feito pelo computador é: A  3B  C  3D  E  3F  G  3H  I  3J  K  3L  X

32 Capítulo 1 8 Conjuntos Funções logarítmicas l

9 D.C. dígito de controle (cálculo algoritmo)

O dígito de verificação X é escolhido de modo que o resultado da soma seja um número múltiplo de 10. Vamos supor que o caixa do supermercado digite a seguinte sequência: 7891079000229, conforme a Figura 1. O cálculo a ser feito é o seguinte: 7389310379300302329  7  24  9  3  21  9  2  6  9  90 que é múltiplo de 10. Fontes consultadas: (acesso em: 15 out. 2010); (acesso em: 15 out. 2010); (acesso em: 15 out. 2010).

Tarefa Ilustrações: Editoria de Arte

Veja os códigos de barras abaixo:

7 891000 3 6 6 7 0 X

7 891095 H 0 0 8 0 8

Figura 3

Figura 4

a) Suponha que você pegou o último item de determinado produto na prateleira de um supermercado e o leitor óptico não consegue ler o código de barras. O caixa começa a digitar os dígitos e verifica que só aparecem os 12 primeiros: 789100036670 (Figura 3). Determine o dígito de verificação X. b) Agora, suponha que, em outro produto, não aparece o oitavo dígito ( H ). Aparece apenas 7891095H00808 (Figura 4). Encontre o valor de H.

Interpretando o texto e a questão

FAÇA NOO N CADER

Ver Orientações para o Professor.

A questão apresentada é composta de duas partes: uma com textos com os subtítulos Como funciona o código de barras? O que são os códigos de barras? O Código EAN13; e outra com a proposta de atividade (com o subtítulo TAREFA). Vamos analisar e resolver o item a da TAREFA. Com os colegas, faça o que se pede nos passos a seguir.

1. Leiam o item a da tarefa e identifiquem quais dados são fornecidos nesse enunciado. 2. O que vocês precisam determinar nesse item? 3. Encontrem, no texto, uma informação necessária para resolver esse item. 4. Relacionando as respostas dadas nos passos anteriores, elaborem uma estratégia para resolver esse item. 5. Agora, resolvam o item a usando a estratégia que vocês elaboraram no passo anterior. 6. Verifiquem se a resposta obtida realmente é a solução do problema. 7. Resolvam o item b da tarefa proposta. Conjuntos Funções logarítmicas

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Capítulo 1 8

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