3 MANUAL DO PROFESSOR
Matemática ciência e aplicações GELSON IEZZI OSVALDO OSV ALDO DOLCE DAVID DEGENSZAJN ROBERTO PÉRIGO NILZE DE ALMEIDA
ENSINO MÉDIO COMPONENTE CURRICULAR
MATEMÁTICA 3o ANO ENSINO MÉDIO
MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Gelson Iezzi Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo Professor da rede particular de ensino em São Paulo Osvaldo Dolce Engenheiro civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Professor da rede pública estadual de São Paulo David Degenszajn Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo Professor da rede particular de ensino em São Paulo Roberto Périgo Licenciado e bacharel em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Professor da rede particular de ensino e de cursos pré-vestibulares em São Paulo Nilze de Almeida Mestra em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Licenciada em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo Professora da rede pública estadual de São Paulo COMPONENTE CURRICULAR
MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
Volume 3
o
3 ANO
ENSINO MÉDIO
Ensino Médio 9ª edição
2 Matemática ciência e aplicações – 3o ano (Ensino Médio) © Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Deg enszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida, 2 016 Direitos desta edição: Saraiva Educação Ltda., São Paulo, 2016 Todos os direitos reservados
Dados internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Matemática : ciência e aplicações, volume 3 : ensino médio / Gelson Iezzi. . . (et. al.] . – 9. ed. – São Paulo : Saraiva, 2016.
Outros autores: Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze de Almeida Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. ISBN 978-85-472-0539-3 (alun (aluno) o) ISBN 978-85-472-0540-9 (professo (professor)r) 1. Matemática (Ensino médio) I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. V. Almeida, Nilze de.
16-0289 3
CDD – 510.7
Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : E nsino médio 510.7
Diretora editorial Gerente editorial Editor responsável Editores Gerente de produção editorial Gerente de revisão Coordenador de revisão Revisores Produtor editorial Supervisor de iconografia Coordenador de iconografia Pesquisa iconográfica Coordenador de artes Design e Capa Edição de artes Diagramação Assistente Ilustrações
Tratamento de imagens Protótipos
732.760.009.001
Lidiane Vivaldini Olo Luiz Tonolli Viviane Carpegiani Juliana Grassmann dos Santos, Pedro Almeida do Amaral Cortez , Érica Lamas Ricardo de Gan Braga Hélia de Jesus Gonsaga Camila Christi Gazzani Carlos Eduardo Sigrist, Ricardo Koichi Miyake, Lilian Miyoko Kumai, Raquel Alves Taveira Roseli Said Sílvio Kligin Cristina Akisino Fernando Cambetas José Maria Oliveira Sergio Cândido, com imagens de Thinkstock/Getty Images, Chad Baker, Rob A. Johnston/Walkabout Eolf Photography Marcos Zolezi Setup Bárbara de Souza Ari Nicolosi, Casa Paulistana de Comunicação, CJT/Zapt, Ilustra Cartoon, Luigi Rocco, Milton Rodrigues, Setup, [SIC] Comunicação, Wilson Jorge Filho/Zapt Emerson de Lima Magali Prado
Impressão e acabamento
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está s endo utilizado apenas para fins didáticos, não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
Avenida das Nações Unidas, 7221 – 1o Andar – Setor C – Pinheiros – CEP 05425-902
3
Apresentação Caros alunos
É sempre um grande desafio para um autor definir o conteúdo a ser ministrado no Ensino Médio, distribuindo-o pelos três anos. Por isso, depois de consultar as sugestões da Secretaria de Educação Básica (entidade pertencente ao Ministério da Educação) e de ouvir a opinião de inúmeros professores, optamos op tamos pelo seguinte programa: Volume 1: noções
de conjuntos, conjuntos numéricos, noções gerais sobre funções, função afim, função quadrática, função modular modular,, função exponencial, função logarítlog arítmica, progressões, semelhança e triângulos retângulos, áreas das principais figuras planas, trigonometria no triângulo retângulo e estatística descritiva. Volume 2: trigonometria
na circunferência, funções circulares, tr igonometria em um triângulo qualquer, geometria espacial de posição, áreas e volumes dos principais sólidos, matrizes, sistemas lineares, determinantes, análise combinatória e probabilidades. Volume 3: geometria
analítica plana, números complexos, polinômios, estatística descritiva, matemática financeira e equações algébricas. Ao tratar de alguns assuntos, procuramos apresentar um breve relato histórico sobre o desenvolvimento das descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em capítulos como os que tratam de funções, matemática financeira e estatística descritiva, entre outros, recorremos a infográficos e matérias de j ornais e revistas, como forma de mostrar a aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento e no cotidiano. São textos de fácil leitura, que despertam a curiosidade do leitor e que podem dialogar sobre temas transversais, como cidadania e meio ambiente. No desenvolvimento teórico, procuramos, sempre que possível, apresentar os assuntos de forma contextualizada, empregando uma linguagem mais simples. Entretanto, ao formalizarmos os conceitos em estudo (os quais são abundantemente exemplificados), optamos por termos com maior rigor matemático. Tivemos também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das propriedades apresentadas, omitindo apenas demonstrações exageradamente longas, incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no Ensino Médio. Cada nova propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos, por meio dos quais é explicitada sua utilidade. Quanto às atividades, tanto os exercícios como os problemas estão organizados em ordem crescente de dificuldade. Cada capítulo do livro é encerrado com um desafio. Geralmente é um problema mais complexo, que exige maior raciocínio, articulação e criatividade do leitor na busca da solução. É mais uma oportunidade para vivenciar a resolução de problemas.
Os autores
Sumário
SUMÁRIO Capítulo 1 — O ponto
Equação reduzida (I)
Um pouco de História – Introdução à Geometria Analítica Plano cartesiano Distância entre dois pontos Ponto médio de um segmento
Equação reduzida (II)
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Mediana e baricentro
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Condição de alinhamento de três pontos Troque ideias – Resolvendo um problema com o circuncentro do triângulo ...................
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8 10 14 15
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7
..
18
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22
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Casos particulares
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Recíproca da propriedade Inclinação de uma reta Coeficiente angular
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Paralelismo Base média de um triângulo .....................
Perpendicularidade
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Forma paramétrica
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Distância entre ponto e reta Área do d o triângulo triâ ngulo Inequações do 1 o grau – resolução gráfica Aplicações Aplic ações – Uma introdução int rodução à programação linear Um pouco mais sobre: Demonstração da fórmula da distância de um ponto a uma reta ....................
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Outros modos de escrever a equação de uma reta Forma segmentária
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Função afim e a equação reduzida da reta
25
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24
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Equação reduzida de uma reta
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Método I: completando os quadrados Método II: analisando os coeficientes
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93
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33
Equação reduzida (II)
34
Parábolas com vértice fora da origem
36
Parábolas e funções quadráticas
41 43
Elipses
45
Hipérboles
46 50
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..
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107 108
........
108
...........
110
.....................
....
.....................
...
112 113
....
113 115
.....................
....................
.....................
....................
..................
116
Parábolas
Interseções de cônicas
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.....................
....................
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118
50 51 52 56 58
Capítulo 5 — Estatística básica
Introdução Aplicações Aplic ações – As pesquisas pesq uisas eleito eleitorais rais Medidas de centralidade e dispersão Medidas de centralidade .....................
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63
65
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Média aritmética Mediana Moda
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.....................
.....................
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73 75
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.....................
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....................
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....................
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135
.
137
........
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140 140
..................
.....................
129
141
.
....................
........
142
.....................
....................
.....................
....................
........
145
Medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados ....................
....................
Determinação da classe modal
83
Cálculo da mediana
89
.
129
.....................
80
89
.
128
....................
Cálculo do desvio padrão
87
.....................
....................
........
127
...................
77
84
...........
....................
.....................
120
..................
.....................
Desvio médio
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
..................
70
............
103
....................
...............
....................
101
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Desvio padrão
...................
99
....................
70
.....
98
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............
. . . .
96
106
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........
Reconhecimento de uma cônica pela equação
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146 147 148 148
Capítulo 6 — Matemática Financeira
Introdução Aumentos e descontos desc ontos Variação percentual Juros .....................
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Equação reduzida (I)
Capítulo 4 — As cônicas .....................
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27
Variância
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....................
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....................
....................
O que é parábola?
70
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Interseção de circunferências Posições relativas de duas circunferências
....................
....................
........
94
98
.....
...............
....................
....................
Parábola
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...................
.....................
.....................
........
....................
....................
....................
....................
.....................
..................
Hipérboles e funções recíprocas
Amplitude
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..................
O que é elipse?
....................
.....................
Equação reduzida (II)
66
.....................
............
....................
91
Aplic ações – As órbitas Aplicações órbi tas dos do s planetas pla netas Hipérbole
...................
. . . . . . . . . .
Posições relativas entre ponto e circunferência Inequações do 2 o grau com duas incógnitas Posição relativa de reta e circunferência
..................
............
....................
...................
....................
.....................
....................
....................
O que é hipérbole?
91
.....................
Elipses com centro fora da origem e eixos paralelos aos eixos x e y
....................
...............
....................
Medidas de dispersão (ou variabilidade)
A equação equaç ão reduzida redu zida da d a circunferênci circ unferênciaa A equação equa ção geral ger al da circunf circunferência erência
Introdução Elipse
.....................
26
Capítulo 3 — A circunferência
Método alternativo
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Hipérboles com centro fora da origem
Capítulo 2 — A reta
Introdução Equação geral da reta
Translação de sistema
Equação reduzida (I)
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...................
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.....................
.....................
.....................
..................
....................
....................
....................
........
...............
...............
152 153 154 158
5
6
Sumário
Juros simples Conceito
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Juros compostos
.....................
.....................
..................
....................
....................
.....................
.....................
.....................
....................
....................
.....................
Juros compostos com taxa de juros variável
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Juros simples
..................
Juros compostos
....................
.....................
....................
.....................
....................
....................
....................
.....................
.....................
...
........
........
...........
....................
Aplic ações – Trabal Aplicações rabalhando, hando, poupando p oupando e planejando o futuro ....................
163
....
................
....................
.....................
159
.
Troque ideias – Compras à vista ou a p razo ( I) Aplicações Aplic ações – Compras à vista vist a ou a prazo (II) – Financiamentos Juros e funções .....................
159
...........
.
166 169
170
........
....................
....................
.....................
...................
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Forma trigonométrica ou polar
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.....................
.
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173 173
176
178 179 182 186 186
188 190
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.....................
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...................
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....................
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212
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.....................
....................
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212
Introdução Definição Raiz
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....................
....................
....................
....................
....................
....................
200 201
....................
...............
...............
214
....................
.....................
.....................
....................
.....................
....................
....................
219
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.
..................
....................
....................
218
.
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....................
Relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes)
218
....................
....................
.....................
218
....
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Consequência do teorema da decomposição
Multiplicidade de uma raiz
217
..................
.....................
.....................
..................
Equação do 3 o grau
200
....................
.....................
....................
192
196
....................
Um pouco de História – A resolução de equações Teorema fundamental da Álgebra (TFA) Teorema da decomposição
Equação do 2 grau
193
.....................
.....................
.............
...............
.....................
Equação de grau n
Raízes complexas ...................
219 220 220 224 225
..................
...........
o
226
..................
.....................
....................
...............
226
..................
.....................
....................
...............
227
..................
.....................
....................
...............
228
....................
.....................
....................
...............
229
....................
.....................
....................
....................
....................
.....................
.....................
....................
.
.
Teorema das raízes racionais Troque ideias – Interpretando e construindo gráficos de funções polinomiais de grau maior que 2 com um softwa re livre ...................
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231 231 233
237
201 202 203
Respostas Índice remissivo Sugestões para os estudantes Referências bibliográficas ....................
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208
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Capítulo 9 — Equações algébricas
Teorema
....................
206
..................
....................
190
Capítulo 8 — Polinômios
Introdução aos polinômios Troque ideias – Problemas com polinômios Definição Coeficiente dominante Função polinomial Polinômio nulo Valor numérico Raiz
.....................
205
....................
Equação do 4 o grau
Representações geométricas do argumento principal ...................
....
.....................
.
173
Definição
....................
Interpretação geométrica do módulo
Argumento Argument o
...............
.....................
Quociente de dois números complexos na forma algébrica Módulo .....................
....
....................
....................
..................
Interpretação geométrica do conjugado
...................
....................
Conjunto solução
....................
....................
....................
....................
..................
Capítulo 7 — Números Nú meros complexos ..................
....................
..................
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Um pouco de História – Introdução aos números complexos Conjunto dos números complexos Forma algébrica de z Conjugado de um número complexo
Polinômios iguais (ou idênticos) Adição, Adiçã o, subtração subtr ação e multip multiplica licação ção de polinômios Divisão de polinômios Divisões por x – a Teorema do resto Dispositivo prático de Briot-Ruffini
203 204
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Manual do Professor – Orientações Didáticas
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240 253 256 256
257
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7 CAPÍTULO
1
O ponto
UM POUCO DE
HISTÓRIA
Introdução à Geometria Analítica O segundo terço do século XVII foi um importante período da história da Matemática, com destaque para a grande intercomunicação de ideias entre os matemáticos franceses, dos quais destacamos René Descartes e Pierre de Fermat. A eles usualmente atribui-se a invenção da Geometria Analítica. Outros nomes dessa época também devem ser lembrados, como Roberval, Desargues, Mersenne e Pascal. René Descartes (1596-1650) recebeu, desde cedo, uma educação diferenciada e dedicou grande parte de sua vida à filosofia e à ciência. Sua obra mais importante, datada de 1637, é o Discurso sobre o método, em que apresenta as bases filosóficas do seu método para o estudo das ciências. Descartes acreditava que o conhecimento matemático é mais cumulativo e progressivo que o de outras áreas do conhecimento, crescendo por acréscimos e não por substituições, como ocorria em outras ciências, à medida que eram feitas novas descobertas. As demonstrações usadas para validar determinadas propriedades na Matemática possibilitavam a aquisição segura do conhecimento, e esse poderia ser o caminho para a verdade e para novas descobertas das ciências. Segundo Descartes, não se poderia aceitar nada como verdade se não fossem apresentadas provas com clareza e distinção. Esse método de organizar o pensamento científico, conhecido como racionalismo, rompia com o empirismo do passado. Em um dos três apêndices do Discurso sobre o método encontra-se “Le Geométric”. A maior contribuição desse texto é a ideia de dar significado às operações algébricas por meio de interpretações geométricas e, reciprocamente, “libertar” a Geometria dos diagramas por meio de processos algébricos. Esses princípios originaram a Geometria Analítica que conhecemos hoje e que passaremos a estudar nos primeiros quatro capítulos desse volume. Os pontos são representados por pares ordenados de números reais; as retas, circunferências e outras curvas podem ser descritas por meio de expressões algébricas, com as quais podemos estudar propriedades das figuras geométricas. As figuras são representadas em um referencial forRené Descartes ensinando astronomia à rainha Cristina I da mado por dois eixos perpendiculares, conhecido Suécia, por volta de 1649. Ilustração de D. Jaime Seix, 1876.
K C O T S N I T A L / L P S / Y R R E T A L I E H S / R A L U C I T R A P O Ã Ç E L O C
