Numeros Reales ~ Sistema de Coordenadas . Cartesianas en elPlano ~ Relaciones de R en R ~ .La Linea Recta ~ La Circunferencia ~ La Parabola ). La Elipse ~ La Hiperbola ~ Rotacion de los Ejes Coordenados ~ Vectores en Rn ~ Coordenadas Polares ~ Numeros Complejos ~ Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
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CARLOS VERA G.
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1
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MATEMAT1CA SA-SICA Aulor: Carlos Vera Gutierrez Prinvrn Edici6n: SeJi£mbre 2003
Prohibida la reproduccion total 0 parcial de esta obra por cualq"ier media, .sin 10 previa autorizacton por escrito de la editorial. Dec. Leg. 822 Dep6sito lega': 1501352003·4790 ISBN: 9972-B 13-26·6 Ediiado e lmpresa en los talletes graficosde: Distribuidora - Imprenta - Editorial - Llbreria MOSHERA 5.R.L R.U.C. 20101220584.
PEDIIIOS At POR MAYOR;
DiWibuidora - Imprenta . EdilOriaJ - Llbreria
MOSUERA S.R.L JI. Tacna 2975 . lima 31
Telefax: 567·9299
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AGR{ldECimiEntO: DeS"eo eXpY"'eS"c:r'r'> mi a9l"t':ldecimiento
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PRO LOGO
Con esmerada y dedicada aiencion, elprofesor Carlos Vera Gutierrez, ha querido oolcar su exJmiencia docente, esaibiendo algunos apuntes acerca de la MATEMAT/CA. BAS/CA., que trata de temas bdsicos, que es la iniciacion delestudio de las matematicas en toda universidad. EI autor ha planteado trece capitulos en esta iniciacion matematica que, en orden son:
• Numeros Reales • Sistema de Coordenadas Cartesianas en elPlano • Relaciones de JR en JR • La LineaRecta • La Circunferenda • La Parabola • La Elipse • La Hipirbola • Rotacum de los Ejes Coordenados • Vectores en JR" • Coordenadas Polares • Numeros Complejos • Mturices, Detsrminantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales. Ademds de poner especial cuidado en las definiciones y en las proposiciones, los ejemplos y problemas. se plantean fundamentalmente recurriendo a la iniuidtm grafica. un metoda que el estudianie debe aprender a explorar su imaginacion. Logrado este paso, empieza el razonamiento formal de las matemdticas, que es su objetivo principal.
lrnroduccion Definicion axiomatica del sistema de los nurneros reales Teoremas relalivos a la igualdad . Diferencia de dos numeros reales . Ecuaciones lineales canuna Incognita Teoremas pararesolver ecuaciones lineales con unaincOgnita
I
5
6
Ecuaciones cuadraticas
Orden en los nurneros reales La relaci6n menor 0 igual.. . La recta real e inlervalos . lntervalos Ineeuaciones Inecuaciones dr primer grado 0 lineales Ineeuaciones desegundo grado 0 cuadraticas
. .
.. .
6
7
.
10
. .
19
24
.
25
. .
38
. . .
55
58
62
67
77
Proposicicn Maximo y minimo de unafuneion cuadralica
Parordenado.2.2 Pafes ordenados iguales. 2.3 Producto cartesiano EI plano cartesiano Suma de parejas ordenadas. Producto de un numero
real poruna pareja ordenada Distancia entre dos puntos Division de un segmento en unarazon dada
105
106
107
107
112
CAPITULO 3
IRELACIONES DE m. EN m.1 1
2 3 4 5 6 7
Relacion binaria Dominio y range de una relacion ........ Tipos de relaciones: reflenva, sirnetrlca, Iransiliva, de equivalencia Relaciones de men IR, definicion, donunio y rango Discusio» de Ja gr.i6ea de una ecuacton con dos variables Grafica deuna inecuacion en ':'f" y en 'y" . Gratiea de inecuaciones en dosvariables con valor absoluto Lugar geornetnco
125
126
127
129
131
139
145
lSI
CAPiTULO 4
ILA LiNEA RECTA I
4.1 4.2
Angulo de inchnacion de una recta . Pendiente de una recta 4.3 Angulo entre dos rectas 4.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares 45 Eeuaeiones de la recta que pasapor un punto y tiene una pendicnte dada 4.6 Recta paralela atejeX y recta paralela al eje Y 4.7 Otras formas de la ecuaclon de lareela 4.8 Formagenerat de la ecuacion de una recta 4.9 Posiciones reianvas de dosrectas 4.10 Distancia de un puntoa una recta
163
164
164
165
170
180
180
181
184
187
4.11 Determinaclon lie las ecuaciones de las bisectrices de los angulos
412
suplementarios formados par dos rectas dadas quese cortan ...................... 197
Familia de rectas ................. ......................... , ............................................ 201
Miscelanea de problemas ............................................................................. 204
CAPITULO 5
ILA CIRCUNFERENCIA I
5.1 5.2 5.3 5.4
Ecuacion de lacircunferencia, forma ordinaria ......,..................................... Forma general de laecuacion de lacircunferencia .'" .................................... Familia de circunferencias ............................................................................. Eie radical ...................................................................................................... Traslacion de ejes ...........................................................................................
239
249
254
255
286
CAPiTULO 6
ILA PARABOLA I
6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
lntroduccion ................................................................................................. Elementos de la parabola ............................................................................... Definicior:, ia parabola .............................................................................. Ecuacion de la parabola de vertice en el origen y eieen un ejecoordenado ... Ecuacion de una parabola de vertice V(h,k) Y
eje paralelo a un ejecoordenado .................................................................... Recta tangente a una parabola .......................................................................
291
292
292
293
295
300
CAPiTULO 7
ILA ELiPSE I
70 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
Introduccton ................................................................................................. Definicion de elipse ........................................................................................ Rectas directrices ........................................................................................... Distancias conocidas en una elipse ................................................................ Ecuacfon de laelipse de centro (h ,k) Y
ejes paralelos a los ejes coordenados ..................................:.......................... Propiedades de la elipse: tangente y normal a una elipse ...............................
329
330
330
331
339
352
CAPiTULO 8
ILA HIPERBOLA I 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
Introduction Definicion de lahlperbola Elementos de la hiperbola Las rectas directrices, I. excentricidad, longitud dellado recto Primera ecuacton ordinaria dela hiperbola Ecuaciones de las asinlotas Hiperbola equilatera 0 rectangular Hiperbolas conlugadas Problemas Segunda ecuacion ordinaria delahiperbola Propiedades de la hlperbola Problemas resueltos Problemas propuestos
369
370
371
372
374
374
374
375
385
391
394
415
CAPITuLO 9
IROTAClON DE LOS QES COORDENADOS I
9.0
Introduccion
421
9.1 9.2 9.3
Rotacion de los ejes coordenados Traslacion y rotacion deejes Ecuacion general desegundo grado Problemas resueltos
422
427
430
433
CAPiTULO 10
IVECTORES EN /Rn I
1
2
3 4 5 6 7
Definicion Igualdad de vectores Adicion de vectores Multiplicacl6n de un numero real porun veelor EI espaclo vectorial /R" Dlferencia de dos vectores Rcpresentaci6n geometrica de los vectores
461
461
461
462
462
463
464
8
9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19
Paralelismo devectores .................................................................................. EI producto escalar yIa longitud de un vector ................................................ Ortogonalidad de dos vectores ........................................................................ Proyecci6n ortogonal. Componentes .............................................................. Ortogonal de un vector en IR' ........................................................................ Angulo entre dos vectores ............................................................................... Desigualdad deSchwarz ................................................................................. Area de un paralelogramo .............................................................................. Arca de un trlangulo ....................................................................................... Problemas resueltos ....................................................................................... EI producto vectorial ...................................................................................... Regia de la mano derecha, Bltriple producto escalar,
Volumen de un tetraedro, EI triple producto vectorial
Aplicaciones del producto escalar ydel producto vectorial a IaFisica ............. Geomctria analitica del espacio ...................................................................... Distancia entre dos puntos delespacio
Ecuaci6n vectorial de Ia recta ......................................................................... Pianos en IR' .................................................................................................. Distancia de un punto a un plano .................................................................
465
466
468
469
472
473
473
474
474
476
504
515
517
518
524
529
CAPITULO 11
ICOORDENADAS POLARES I
1.0 20 3.0 4.0 5.0
EI sistema de coordenadas polares ................................................................. La roseta polar
Relacion entre coordenadas polares yrectangulares ...................................... Ecuaclones polares de las conicas .................................................................. Discusi6n de lagrafica de una ecuacion polar ................................................
549
552
558
560
CAPITULO 12
INUMEROS COMPU;YOS I
0 I
1.1 1.2
13
Introducclon .................................................................................................. EI conjunto de los numeros complejos .......................................................... Componentc real ycomponente imaginaria de un niimero complejo ............ ldentiticacion del conjunto
569
57
570
570
571
1.4 1.5
La unidad imaginaria i;,J-l Polencias enieras de i
12.0
1':1 sistema de los numeros complejos Propiedades de laadicton y de lamultiplicacion de mirneros compleios Propiedad distributiva " 19uaidad de numeros complejos Sustraccion de dos numeros complejos · . " enIre dos numeros DIVISlOn compie''os Conjugada de un mirnero complejo Potencta de un numero complejo Propiedades de las conjugadas de mimeros complejos MOdulo de un numero complejo Argumenlo deun numero complejo . Propiedades del mOdulo Propiedades del argumenlo Forma polar de un numero complejo .. Produclo y cociente demimeros complejo, cuando estan expresados ensu forma polar Forma exponential deun numero complejo FOrmula deDemoivre Raiz de un numero complejo El logantmo natural de un numero complejo .. Raices de un nomero complejo Problemas resuehos .. Problemas propueslos .. Las n raices de la unidad .
2.1
'2.2
2.3 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
10.0 11.0 12.0
13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0
19.0
.. 571
. .. .. . . .. .. .. .. . ..
572
572
573
574
574
575
575
575
575
576
576
576
.. 578
57S
579
579
580
581
582
583
584
585
605
614
CAPiTULO 13
MATRICES, DETERMINANTES YSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1.
2.
Matrices, definiciones: orden deuna mamz, matriz cuadrada,
matriz triangular, igualdad de matrices, matriz transpuesta,
de las matrices, propicdades de lasuma de matrices,
multiplicacion de matrices, propiedades.
Determinantes, definicion, propiedades
615
624
>
4.
s.
Problemas propuestos . Rango de unamatriz e inversa de unamatriz Equivalencia de matrices
Matriz delos cofactores y adiurua de una rnatriz Inversa de unamatriz Metodos para hallar I. inversa de una matriz Ejemplos Problemas propuestos ...... Sistema deecuaciones lineales. Definicion Metodos para resolver un sistema deecuaciones lineales Metodo deGauss -Jordan Regia de Cramer Valores propios y vectores propios Problemas propuestos
~~
629
638
640
642
643
644
6S1
6SS
656
657
'.660
664
6{i'J
.,. =========...... /
.II'
CAPITULO 1
,
NUMEROS REALES
1.0
ImOlllCCIOI Damas por conocido los siguientes conjuntos numericos:
• EI conjunto de los ruirneros naturales IN
= {O,I,2,3,. .. }
• El conjunto de los mimeros enteros
Z = { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... }
• £1 conjunto de los mirneros racionales
Q={ t / aEZ ,bEZ ,b"'O l
• EI conjunto de los numeros irracionales (IT), son aquelJos que no se pueden expresar como la division de dos nurneros enteros. Son numeros irracionales:
.J3 .
Ji
.:r
e,
l/5 , ... ,etc.
• EI conjunto de los rnimeros reales es la union disjunta de los ruimeros racionales con los rnimeros irracionales, esto es :
IR=QuU
1.1
DEFINICION AIIOMATICA DEL SISTEMA DE lOS NUMEROS RULES £1 sistema de los mimeros reales, es el conjunto IR, provisto de la relaci6n igualdad, de dos operaciones: adicion y multiplicacwn, y de una relaci6n de orden: !!!£!!Q!. 0 igual gue. 1
Matematica ~a5ica
I AXIDMAS DE LA IGUALOAD I
I, . V a
E
lR
I,. Va, b e lR I, . v o , b , c
PROPIEDAD REFLEX IVA
a~a
E
si a JR
= b =>
si a=b
1\
b =a
PROPIEDAD SIMETRICA
b=c => a
»
c
PROPIEDAD TRANSITIVA
I AXIDMAS DE LA AOICliiN I La ley de clausura de la adicion de rulmeros reales, esta definida por la aplicaci6n +:lRxlR_lR (a.b) >------> a +b ULa suma de dos ruimeros reales es otro ruimero real"
A,)
Ley conmutativa
v o ,b
A,)
Ley asocianva
\;j
A,)
Existencia y unicidad del neutro
A.)
Existencia y unicidad del opuesto Va
E
lR
a+b=b+a
a , b , c E IR
I, +b)+c=a+(b+c)
3!OElR, VaEIR E
lR , 3! (-a) E 1R:
a+O=a a + (-a)
=0
I AXIDMAS DE LA MULTIPLICACliiN I La ley de c1ausura de la multiplicacion de numeros reales est. definida par la aplicacion lRxlR_lR
(a ,b) >------> ab
"El pmduc;:to de dos mimeros reales es otro mirnero real" MI)
Ley conmutativa :
Va, b e lR
M,)
Ley asociativa
Va, b ,c
M.,)
Exillienciu y unicidad de la identidad 3! 1
M.)
Elxllltencia y unicidad del inverso
E
ab = ba lR
(a b) c = a (bc) E
lR , Va E JR: a. 1 = a
v o .. 0, a donde a -I
E
lR . 3! a -r : aa -t = 1
= 1u
D. Ley de ~llllrlbucl6n de lu rnultiplicacion respecto de 1a adicion: V n , b , c e JR : a (b + c)
= ab + ac
----------:-::::===-=:::-:cc=::--------NUME:ROS RE:AL.E:S nOREMAS RElATIVOS AlA IGUlDAD
1.2
I TEORE~IA 1 l
(de la monotonfa y simplificaci6n)
Las siguientes cuatro condicionales son vcrdaderas:
I. Si
a=bAcelR
~a+c=b+c
2. Si
a+c=b+c
=:>
a
3. Si
a=bAcEIR
=:>
ac
=:>
a
4. Si
ac =bc
AC.;tO
=b = be =b
(monotonia para lasuma) (simplificacilin para lasuma) (monotonia para lamultiplicacilin) (simplificacion para lamultiplicacion)
L
Sf! lee entonces
Demo.c;traci6n : La demostracion de cada uno de estas proposiciones se haee aplicando correctarnente: las definiciones, los axiomas y las hipotesis, PRIJEBADE 1
(1)
a + C = a + C
V (a + c)
(2)
Pero
(3)
POI el principio de sustitucion; se sustituye (2) en (1), obteniendose a + c
,
lR
E
t a = !
• segun I,
. Ia hip . 6tesis . • segun
PRlJEBADE2
(I)
POI hip6tesis se tiene: a + c = b + c
(2)
Aplicar 1 delteorema 1 sumando -e en ambos miembros: (a + c) + (-e)
.
(3)
Por A,:
a+(c+(-e» ,
(4) (5)
Por A.:
a
Por A,:
+
.
0
= (b + c) + (-e) = b+(c+(-e» , , = b
a
=b
PRIJEBA DE 3 :
Queda como ejercicio
PRIJEBA DE 4
Queda como ejercicio
:
.
+ 0
=b + c
'''\
Matematica
ITIoREMA 2 I
r,~5ica
Para todo a e IR, se cumple:
a' 0 = 0
Demoslraci6n :
Paniendo de
a.O
=a. 0 + 0
Yhaciendo 0 = a + (-a) ,!legar a probar que
a.O =,a+(-a).
•
o ... Complete Ud. '" apJique los axiomas: A" 1 TEoIlEMA J
l
A2 , M), D, A•.
(referente al opuesto de un mirnero real).
-a =(-I)a
l.'iaelR 2. 'i a. be IR
a (-b) = -tab) = (-a) b
3. 'i a e IR
-(-a)
=a
4. 'ia,belR : (-a)(-b) =ab Demostracwn d. I : Bastara demostrar que a + (-I) a = 0 Tener en cuenta que:
La igualdad: a + (-a) = 0
La igualdad:
nos indica que x = -a es soluci6n de a + x = 0
ll2ii-I)~ nos indica que x = (-I) a es soluci6n de a + x = 0
Comparando: (I) con (2) y aplicando el axiorna I" se obtiene a + (-a) = a + (- l) a
Por el Teorema 1 pane 2 (cancelaci6n) se deduce que -a = (-1) a.
P,m9i1"mOl ,ue: a + (-1) a .: 0
o +(-I)a=
Partir de
'-..-'
J .0+(-I)a
M,
-o.l+a(-I)
M,
.a
D
m
•
CI
=0
•
•
•
0
..................
A.
Teor.2
(I)
(2)
NUMEROS REAL.ES
Demostracion de 2: Aplicar sucesivamente 1 y los axiomas M 2 • M J , Mz
Demostraci6n de 3: Hacer similar a la demostracirin de 1 Demos/ra.ion de 4: Aplicar sucesivarnente: I , M, , M 1 , 2, 3
I TEOREMA 41
(aeerea del inverso de un numero real)
I. Si a" 0 , a E lR ; entonces (a-I)
2. Si u e O
A
-I
=a
b"O; a,bElR;enlonees(a.b)-I=a-l.b- 1
Demos/radon de 1 : • Si a
entonces existe un unico numero real a-I, tal que, aa- I = 1 .... ~ .... (1)
'1: 0
• Si a-I
'1: O. existe
un unico numero real (a-I) -I , tal que a -I (a -I
' M 1: · d0 eIaxiorna • Pera, ap I lean
(a- I ) -t
)'-1
a -I = 1
.= I
. (2)
(a-I) -I a-I = aa- I
• Comparando (2) con (I) tenernos:
• Aplieando el Teorema 1,4 (cancelacion) obtenernos: (a-I) -I = a. Demos/radon de 2 :
0
A
b
• Si a " 0
A
b " 0,
• Si a
"#
'1:
0,
entonces existen sus inversos a -I y b-I respectivarnente. t
entonees ab e 0 y por tanto existe (a b
rl
(ab)(abr ' = I
tal que (i)
• Si en el produelo:
(ab) (a-I b- I) aplieamos M, y M"oblenemos: = (aa- I ) (bb- ') '---v--' '---v--'
I
I
I
(ii)
• Comparando (i) y el resultado (i i) obtenemos que:
(ab) (abr' = (ab) (a-I b- I ) • Por cancelaci6n:
(abr l
= a-I
b- I
Matematica ea5ica
1J
IIFERENCIA DE DDS NUMERDS REALES
Dejillu:wlI.- Va,b e lR sedefine: a-b=a+(-b) Se lee "Ia diferencia de a y b es igual a la suma de a con el opuesto de b",
LA DIVISION IE IDS NOMERDS RWES
lA
DejillU:il1II.- Va.belR con b"O,sedefine: t=a.b-' Se lee "la division de a entre b es igual al producto de a por el inverso de b".
PDRNCIICIOII DE DPDNENTE EmRO
1.5
DefUlicwn.- Si a es un mimero real que no sea cero y m es un numero natural (IN), definimos: aO = I . { a'" =aIfl - I a,slm:2:1 a-III =(a-1r
ECUAClOIlES DIlEAtES CON UNA INCOGNITA Una eeuacion lineDI con inc6gnita x tiene la forma ax + b
=0
.
(/:,c. O.
EI siguiente lcnrcrnD afirma que la solucion de esta ecuaci6n es el numerc real
x = _l!.. Y rcclprocamcnte. el ruimero real x •
ax + b = 0.
=
-!!- es solucioh de la ecuacion u
NUMEfWS REALES
I TEOREMA6l
Si Q. b, .r E lR Y a ~ 0 • entonces ax + b = 0 si y s610 si x =_!. u
Demostracion: Partiendo de ax + b
(=»
= 0 , probar que
.r =_P u
La demostraci6n se haee aplicando cuidadosamente los axiornas de adici6n y multiplicaci6nde numeros reales: Partir de ax + b = 0
•
• Sumar en ambos miembros el numero real -b :
•
ax+~b+(-b»)
= =
-b
A,
•
ax+O
=-b
(ax + b) + (-b)
•
0 + (-b)
Teo 1,1
• ax • Como a" 0,3 ! a-I => a-'(ax)
;-b
A, A,
= a-I (-b)
Teo 1,3
•
(a-1a)x
=
-a-'b
M" Teo 3.2
•
1• x
=
-a-I
.r
:::;
_l!..
• (¢co)
b
M,
M"I.4
a
si x=-l!.. ~ ax+b=O u
Demostrocion: (queda como ejercicio: aplicar los axiomas y teoremas de manera similara la demostraci6n anterior).
1.1
•
noR_ PAIA RESOLVER
ECIACIONES UlWES COlINA IICOSIITA
I TEOREMA 7 I
ab
=0
si y s610 si a
=0
v
b =0
; D~mostraci6n: La demostraci6n tiene dos partes: una es de ida venida [cc)
La de ida (=» (=»
si ~;...Q, Hip6tesis
=>
a=O v b=O
'--v-----' Tesis
Haremos la demostraci6n por el metoda de reduccion 31 absurdo.
(~)
y la otra es de
MatemAtica r,Asica
S•• mpieza negando la rssrs:
I. Negando la tesis :
a",
0 /\ b '" 0
2. En base a la nueva hip6tesis b", 0 y la hip6tesis ab
=
0 • dado en el teorema, pasar
al siguiente paso. 3. Hacer el siguiente razonamiento:
b = I. b
M,
4. Si a e 0 => 3 a-I tal que 5. Sustituir en 3: b = (a-I alb = a-I (ab) = a-I (0) •
a-I a =
1
M,
......... ....... .. .... .. ...M2 pues ab = 0 • segun hip6tesis
b =0 6. Hay una contradiccion, no puede ser que h . 0 y luego b = O. Esta contradicci6n se present6 porque heruos negado la tesis, Para que no ocurra esta contradiccion, simplemente no debe negarse fa tesis, esto es, la hipotesis ab = 0 implica que a = 0 v b = O.
La venida (eo)
(=»
si
a
=b
v b = 0 => ab
= 0
Dcmostracidll :
Crllo1: SI a = 0
enlonces
ab = 0 . b = 0
Caso 2: Si b = 0
entonces
ab ;: a . 0 ;: 0
A.plleaclon•• :
Resolver 'd x
SoIud'" ;
E
lR: ;. - x - 6 = 0
1° Pactorizar 2" Apliear Teo 7 :
3" C'.S.
L
= {3 • -2) Conl.nlD SoIucl6n
(x - 3) (x + 2) ~ 0
x 3 =0 x =3
v v
x+2=0 x ;:-2
NUM£RQS RE:ALE:S
<%J
Resolver 'V x
E
lR: 6x' +x - 2 =0
Solac;;;n: W+x-2
10 Factorizar
3x>< 2
2x -I
(3x+2)(2x-I)=0
2° Aplicar Teo T:
3" C.S. = 1_1. \ 3'
3x+2 =0 x =-
v 2/ 3
2x-1 =0
V
X
= ~
.11
2 .
I COROLARIO 7.1 I a· b '" 0 I TEOREMA 81
a' = b'
si y s610 si a'" 0
si y 0610 si a = b v
Demos/radon: Hacer
a'- b' = O. factorizar y aplicar el Teorema 7.
Ap/icaciones: ~
Resolver 'V x
E
lR : (x + 3)' = 9
Solacion .Escribir en la forma del Teorema 8: (x + 3)' = (3)' AplicaralTeorema8:
x+3=3 x=O
v x+3 =-3 v
x =-6
C.S. = {O. -6}
ev
Resolver 'V x
E
lR: 16x' - 16x + 3 = 0
A
b '" 0
a = -b
Matematice r>a.sica
SqlHci6n:
COMPLETAR QJADRADOs: Multiplicar por
1° completar cuadrados en: 16x 2 -16x + 3 = 0
f6 .
Elegir el coeficiente de .r, que es -1.
.r
2
3 -x=-T6
Dividir-I emre2,quees
4
4
16
=
x-.!.. =1. 2
4
que es
t.
en ambos miembros. As!
se forma un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 1 __ 1.
v
x-"2-
x=.l v
4
x=.l
4
3° CS =
t
Sumar
(x-t)2=1~ 2° Aplicar eI Teorema 8 :
+.
Elevar al cuadrado -
x 2_x+ l = l _ 2..
-t.
4
{i4' 1\ 4
I COROLARJO
8,1
I
Si K;;' 0 entonces a'
=K
si y s610 si a ~
Jk
v a
=-Jk
IJlIIJ!B Resolver en IR :
•
x' = 3
Solu.i6n:
=
x=,[3
Resolver en IR:
_I)'
(x
=5
Solucion; v
x=-,[3
Cs ={-,[3,,[3] Resolver en IR:
•
@
x' =-4
SolucMn "
AI extraer ralz cuadrada He nbtiene numeros imaginarios, eruonces el C" = 0
=x-I=.,[5 v = x=I+.,[5 v
x-l=-.,[5
x=I-.,[5
Cs=(I+.,[5,I.,[5)
® =
Resolver en IR: (x 2 _I)'
=2
x 2 -I =.J2 v x 2 -I 2
-I
<:==::> x -
+"'"2 L
V
X
2 _ -
=-,fi I r-; }~O Sl' l'ILcde aplicar - " .: el ClIIUlariO 8.1.
=X=~I+.J2 v x=-.JI+J2
c, ={~I+.J2 ,-~I+.J2}
1.
ECUICIOIU CUIDRAnCAS Definicion.- Si (I • b • c son numerus reales cualesquiera y a*- 0, diremos que: ax 2 + bx + (' = 0 es una ecuaci6n cuadratica en x.
10
NUMEROS REALES
Son ecuaciones cuadraticas con una sola inc6gnita "r", las siguientes igualdades
F.JEMPLO.-
CD
2x'-3x+2 =0
G)
x'+4 ~O
@
x 2_x ::::0
@
.<'-4 =0
BAlZ DE UNA ECUACION CUADRATICA Definicion» Diremos que el mimero r (real 0 complejo) es raiz de la ecuacion cuadratica ax' + bx + c = 0 si y s610 si + br + c " O.
or
Eiemplns:
CD
x = 2 es raiz de
@
x
ee
2.<' - 3x - 2 = 0, porque 2(2)' - 3(2) - 2 " 0
3 no es raiz de 2x' - 3-' - 2 = 0, porque 2(3)' - 3(3) - 2.,,0 '._------.- ..-----_.__ ._---~.
7
I TEOREl\1A 9 }
a:C + bx + c ::; 0
La ecuacion cuadratica
" (
.a ecuacion
b)2
x+~
h
,a
':/<
0 es equivalente a
2-4ac
=~.
DemostraciOn : a:i+bx+c =0
Formar un trinomio cuadrado en
Paso 1.
Si a > 0 , multiplicar por 1.: a
x 2 +.Q.x+.£.=O
Paso2.
Asociar los dos terrninos en x2 y x:
x 2 +l!.x+ a
Paso 3.
Elegir el coeficiente de x :
l!.
dividir entre 2
..!L
elevar al cuadrado
~
en (I)
X
a
a
=-£+ a
(I)
a
2.
a
2
Sumar ~ en ambos miembros
4a
4a
2 +-x+--=--- b h2 b2 c a
4a 2
-----....,..
(
..-'
4a2
a
'-_.~,-_.j
x+-k.... ) 2 =b'--4." -2 2a
4a
11
ITEoREMA 9.1 I Las rakes de la ecuaci6n cuadratica ax .{
2
+ bx + C
:::: 0
, a ;/:-
0
son
-b+~ -b-~} 2a • 2a
Dtmostraci6n:
Puo1.1
Por el Teorema 9 se tiene que:
ax 2 +bx+c=O ~
Puo2·1 Aplicar el corolario 8.1 para todo numero bl_4ac
reaI - -
c:::::::::)
( x+JL. ) 2a
b' - 4", =--,- 4a
2
x+JL~ ~ 2u 2a
~
x+...£..._V b-- 4m ; 2a -
2a
~ x=-b+~ 2u
v
-b -1/b--4uc "'---;-b'
v
x
2"
4"'
Paso 3.1
c.s ~ {
-b+~ . -b-~~' -4a' 1
IISCRIMINAm IE II ECUACIO. CUAIUTICA Definicion .-
El nrlmero real b2 - 4ac se llama discrirninante de la ecuaci6n cuadratica ax 2+ bx + c> 0 , a 7:- 0
NOTACION:
Con la letra griega 6. (delta) vamos a denotar al discriminante. esto es, b'-4ac~!1.
I TEOREMA 10 I (CLASES DE RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA) La ecuaci6n cuadratica
a;c2
'*
+ bx + c:::: 0 , a 0 : si y s610 si,
(1) tiene dos rakes reales diferentes,
.1 > 0; (las rakes son ~
rj
y I~)
0; (r, = r,)
(2) uene solo una rafz real,
si y s610 si.
Ii
(3) no tiene rufces reales,
si y s610 si,
1'1 < 0; (rl :;;:: m + in , rz::::)
-+-X *t-x +x ftx y
y
'1 Y'2 Ion ralces feillcs dlfel'tllkS L. pa",bola corb ,I eJc X en '1 Y'1'
y
y
ralces iguales Le padbola ecrte .1 eje X CD un 1610 punto.
V IX
- in)
Yl
m
"I Y'2 noson numerus rcales La paniibola DO eorta 81 ejc X.
NU""EROS REALES
PROPIEOADES DE lAS KAICES DE UNA ECUACION COAORAnCA
I TEOREMA11 I
Si
-b+~
rl
Y
r2
2"
-h-~ son 2"
las rakes de la
'* 0,
se cumplen las
ecuaci6n cuadratica ax 2 + bx + C = 0 , a siguientes propiedades:
=--;h
r, r2 -S -- tJ
(I)
r l + r2
(2)
ax 2 + bx + C = a (x - r1 )( x - r2)
y
Demostracion: (Por el corolario 9.1 se conocen las rakes
rl
Y r» luego sumarlas.
despues multiplicarlas, para demostrar (I). La demostraci6n de (2) se empieza factorizando a).
APLICACIONES:
EI discriminante 6. = b2 - 4ac de la ecuaci6n cuadratica ax 2 + bx + c
= 0,
tiene gran
irnportancia en el . .oilisis de las rakes (TEOREMA 10) y en el analisis de las inecuaciones cuadraticas:
a;c2
+ bx + c S D y ax 2 + bx + c ~ 0 (ver mas adelante).
u'-3x-l~ol d~(-3')-4(2)(-1)~17
r = J+m l 4
Porque A> 0,
lias
rakes son reales
r = z
diferentes. 9x'-6x+ 1 ~O
x2+x+I=O
s
~(-6')-4(9)(1) ~O
s ~(1)'-4(1)(I) =-3
Porque /1 = O. tiene 5610 una rarz. Porque /1 < 0,
r
6±JQ
I
= """2(9) = "3 Ii = -I+H 2
tiene rakes complejas conjugadas
J-m 4
"2 =
-I-H a
Matem~tica ~~5ica
1.8
(
_
.
_
a) DeRnlaon: La raiz 'cuadrada de un numero real negatrvo se llama NUMERO IMAGINARlO.
IEjemp/o 0 1 1 b) Definicion:
,H
n ,H
'N
; son nameros imaginarios.
La expresion ~ se llama numem imaginario unitario y se denota
con la letra i, esto es ~ = i En base a esta definicion, los niimeros del ejemplo I, se pueden expresar de la siguiente forma:
n=2i ,H=,[3i . H = f i ,N=,[5i c) Definicion: Los numeros complejos son donde a y b son numeros reales.
.niellos que tienen la forma: a + bi.
Notation: Los nurneros complejos se denotan con la letra Z
IEjemplo 021 Z, =3+5i
, Z2 =O-+i , Z3 =-f+4i
d) CONJUGADA DE UN NUMERO COMPLEJO.
Deflnlclon: La conjugada del niimero complejo Z = a + hi es Z 1 Ejemp/o
= a - hi
03 1
Laconjugadade Z=-3+2i es 2=-3-2i
Laconjugadade Z=5-3i
es
Z =5+3i
. . Si el ruimero complejo m c ni , es rafz de 1'1 tlx 2+bx+c=O. entonces su conjugada m
r
Cl'U:\
16n cuadratica
ni , tambien es r.uz de la
ccuaci6n. . . Si cl numero irracional
111
+ flJP ' con p > O. es raiz de {Ix:! + bx + c = 0,
entonces su conjugada m - nJP • tarnbien es raiz.
NUM£ROS REALES
E.JEFICICIDB
GRUPO 1
GRUP002
Dadas las siguicntes ecuaciones cuadra
Sea ax2 + bx + C ;; 0 una ecuaci6n de segundo grado de rafces a y p. Sea S la suma de estas rafces y p su producto.
ticas, se pide: a) Hallar el discriminante de cada ecuacion. b) Segun el resultado obtenido en a) diga si las rakes son reales y di Ferentes 0 tiene raiz iinica 0 las rakes son mirneros complejos
a) Calcular, cada una de las siguientes, expresiones algebraic as. en funci6n de S y p. b) Expresar, luego, en funcion de a, b y
c.
conjugados.
01
c) Hallar las rafces.
.
2a-1 2a+1
+
2fJ-1 2,0+1
d) Ubique en la recta real las rakes reales, en caso que existan.
02
01. x'-3x+2=0
03.3(a 3+p3)+a2+p2
02. x' - 4.< + 4 = 0
fJ-l . a+2
+
a-I
P+2
1+_1
03. x' + 4x + 13 = 0
04. a'-S
04.4.<' + 12x + 9 = 0
05. (a+p)2 _4a 2 p2
fJ'-S
05.6x'+7x-3=0 06. x' - 6x + 34 = 0
GRUPO03
07. x'-6x+ 1 =0
01. Hallar los valores de a y b, si se sabe que la ecuacion cuadratica:
Hallar el valor de a y la otra rafz. 03. Las rakes de la ecuacion:
2"-16x+c=0 15
Matematica
siguen una progresi6n aritmetica de raz6n 2. Hallar las rafces y el valor dec.
~a5ica
10. Hallar el valor de ecuaci6n:
4x' + (Sc - 3)x + 108 = 0
05. Una raiz de la ecuaci6n:
x' + (IOn
+m - 9)x + mn = 0
es 3 + S;, donde i = ~, i' =-- I. Hallar los valores positives de m y 11.
tiene solucion unica.
Sol"ewn:
02. a = 2 • r, = I
01. a = 3 ,b = I
, 5 , =9
03. c=30 . Ii =3 ,
r
04. c=-9 , rl =3 ,
r
"
01. b=£. m :'.10.
J
m ==2" III
=- 1.,
=
OS. m=~
.X05. m = 3 . n = 2
"1.
06. Hallar el valor de m sabiendo que la ecuaci6n cuadratica:
sabiendo que la
nu' +( 4m + I )x+ 7m -I = 0
04. Las rakes de la ecuaci6n: estan en progresion geometries de razon 3. Hallar el valor de c y las rakes de la ecuacion,
III,
08.
111
=J
1
m==-2" I
m==(;
, z +(2my\ -2m-x, ' -4)x
m x
+ ( YI' + m " xI 2 m x, Y\ ) ee 0
,-,-4px =0
Nota: Los problemas del 6) a 10) san muy (Hiles para resolver problemas de tangencia en GEOMETRIA ANALITICA.
tiene una sola raiz y edemas: YI
1
01. Hallar el valor de b en terrninos de p y m. si la ecuaci6n:
m'x' +(2bm-4p)x+b' =0 tiene una s61a ralz. 01. Hallar el valor de m, si la ecuaci6n:
GRUPO04 Los siguientes sistemas de ecuaciones se resuelven por sustitucion 0 igualaci6n para hallar los valores de las parejas (.x,y). Resolver los siguientes sistemas.
01.
{x' -
02.
{x'
03.
{y = 2 - x'
nu' -4x+ 4(2-m) =0 tiene soluci6n unica. 08. Hallar eI valOf d. m, si la ecuaci6n: nu' - (3 + 8/1/ ).t +9+ 19m = 0 tiene una unica solucion, 18
y ~ 3 x-y=1
+ y' = S x-y=l
y=x
04.{x+i=3 x-y=1
06.
{X 2-6x- y = 0
SolucUJn:
y=O
06. {
X
2
+ 2x - y + 1 = 0
01. (2,1), (-1,-2)
02, (-1,-2), (2,1)
03. (-2,-2), (1,1)
04. (-1,-2) , (2,1)
05. (0,0), (6,0)
0&, (-2,1) , (2,9)
2x-y+5=0
07. (1,-{),(-q),({,-I),(-{,I) 07. {4(X
3-y')-3(X
Y)=0
08. (-1,5), (3,-3)
2xy+I=0
08.
09. (1,-3) , (-3,1)
2
10. (0,3), (5,-2)
y-e x =6 { Y +2x-3 = 0 2
Nota: La solucion de los sistemas de ecuaciones: 1,2, 3,4,5,6,8 Y 10 son intersecciones de una parabola con una
l
09. { x - xy + = 13 x+ Y =-2
10.
recta.
Las soluciones de 7 son interseccio nes de dos curvas. La solucion de 9 son las interseccio nes de una curva y una recta.
{X = 9-l x+y=3
2.0 ORDEN EN lOS NOMEROS REIlIS. Para poder establecer la relad6n de orden "rnenor que" entre los mimeros reales vamos a suponer que existe un subconjunto de mimeros reales, que denotaremos con IR+ y se llama el conjunto de los mimeros nates positivos.
o
-00 . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( ;
•
\
01.
+00
.
Ley de la tricotomia: Para cualquier mirnero real "an se verifica una y solamente una de las siguientes relaciones:
a 02,
E
lit
v
- a E JR+
v
Ley de Clausura de JR+ . Si a y b pertenecen 31 conjunto JR+ , entonces (0 + b)
a =0
E
JR+ yo. b
.
E
JR+
17
P,OpIsl6" I.
Decimos que el rnirnero real a es positive. si a E /R+. Y un mimero real a es negative, si -a E JR+.
Dt/lnkiO" 2.
Dados dos numeros reales, decimos que a es menor que b. si b - a es positive; esto es:
a < b
'----.,.--_."
<==:::)
b - a e /R+
a es rnenor que b, si y sOlo si. b - a penenece al conjunto /R"
Si a es menor que b diremos que b es mayor que
II
'-------- ~- t:"::'
'._------ ~-~ b---------,
~
A continuaci6n enunciarernos varies teorernas sobre el orden de los mimeros reales, cuya demostracion la dejaremos como ejercicio
EI objetivo de este capitulo es aprendcr a resolver inecuaciones aplicando correctamente las definiciones y los teoremas.
lEOREMA01.
Corolorio 2.1.
1. a es positive
=
1. Para todo numero real "an que no sea 2 cero. se cumple: a > 0
a > 0, y
2. a es negative <==::> a < 0
2. Para todo numero cumple: ,,';, 0
[)eOnki6" 3. I. Los nurneros a y b tienen signos
iguales, si ambos son positives
0
umbos son negatives.
2. Los numeros
II y b tienen signos diferentes si uoo es positivo y el otro e. negative,
".1> > 0
2. ". b < 0
= =
Ejemplos:
1. Resolver: (x -I)' > 0 La soluci6n es: m- {I } 2. Resolver: (x - I)' '" () La soluci6n es: JR Corolorio 2.2. El conjunto vacio. Es decir JR+ :J; 0
TEOREMA02.
1.
real "c", se
(a> 0
1\
m:
no es
b > 0] v
la < 0 1\ b OJ v I" > 0 1\ b < OJ
nOREMA03. (Transitividad de la relacion "menor que") Si [a < b /\ b < c] entonces a < c, para los mimeros reales a. b, c.
TEOkEMA 04,
Si a >0~1.>0
Estoes:
a
1. a cb =a+c
Si a
2. a cb 1\ c c.d ~ a s c cb v d aJ sumar dos desigualdades con relaci6n "mellor que", se obtiene otra desigualdad con relacion "menor
1.
t
es
positivo,
su
inversa:
2. -5 es NEGATIVO y su inversa
1. a < b 1\ c > 0 ~ ac < be (orden multiplicacion)
TEOREMA07, (Multiplicacion - Cancelacion)
2. a c b
I. ae
1\
c>O
~
sc
1\
c
~ a i-
ccD 1\
I
-5'
tarnbien es negative.
TEOkEMAOS.
3. O
2
tambien es positive.
que".
1\
1
~
ac v be
O
~
ac c.bd
2. a c c
nOkEMA06,
b
TEOkEMAOa, (Invertir una desigualdad)
Si a es un mimero real diferente de cero, entonces a y a-I tienen signos iguales.
1. 0 < a < b :::::> ~ > 2. a c b c
lA RElIGION .DlOR 0 IGIIl Definicion: a b
a cb
t) ~
i
1.>1. a
b
2.1.
v v
a e- b a=b
EI siguiente teorema agrupa un conjunto de propiedades referentes a la relacion "menor
o igual"
TEOREMA 09, Para los numeros reales a. b. c se cumplen las siguientes propiedades. 1. 2. 3. 4. S. 6.
".$ a (Todo niimeroreal a, es menor 0 igual a sf mismo) ~
a =b
a -5. b
1\
b -5. a
aS b
1\
b.$ c => a S c
ae b as b asb
~
a c b va>b a+c -5. b s c c z O ~ a c s bc c s O => at: ~ be
7. a c b
~ 1\
1\
___
~
(Definicion de la relacion igual) (transitividad)
......JL.
PROBLEMAS RESUELTOS
Las siguientes demostraciones se haee en base de una buena aplicacion de las de.finiciones y teoremas que se han enunciado.
mJ Si i)
;;)
a < b. demuestre que:
2a <
30+h
a <
30+h
2
u +h
a<-2-
.2.
a < 3a+b < a+b
< a+3b
Bastara aplicar el teorerna 4. dos veces y el teorema 3. Si a < b, sumar "a" en ambos miem bros. a+a < a s b
parte de
Ja+h
u+b -2-
({+b
-2-+a < b+a
(I)
sumar "b" en ambos miem
a v b < b+b
se
< b+a
(j+b+2a 2
u+b
-2-
lI+h
-.-<~
Asl: Sumar "a" en ambos rniembros:
2a < a «b
Si a < b. bros.
(4)
Para dernostrar que:
Demostraclen de i)
a <
-.
3Q+b
-2-
< a+
b
Multiplicar por ~ en ambos miembros: 30+b
u wb
-'-<-2-
(5)
a+b < 2b
a+h
< b
............... (2)
2
Por demostrar que:
En (I) y (2) aplicar la transitividad: Partimos de:
u+h
a <-2-
Sumar
u,,"
(l+h "< -2-
a+b<-2-+ b
--,-
a+b
(3)
en ambos miembros de (3).
f' III a+a < """"2'""""+(1 2a < 20
b
u+b
3u+b
Para dernosrrar que: a < - . .
a< a;
a+3h
< -.- .
Sumar "b" en ambos miembrus:
Oemostraclon de ii)
parurnos de:
a+b -2-
II I " I
2
2/1
Multiplicar por ~ en ambos rniembros: a eo
a+3h
-2-<-'-
,
.
(6)
1
£I
Fa ta demostrar que:
+ 31>
-4-
a w b > I+ab
· de: -2a wb < b Parnrnos
+b < b+b
a+3b 2
=
a - I > (a - J)b
(a-I)-(a-l)b>O
Veamos:
......
b ...
(7)
• Conectamos las desigualdades: (4), (5), (6) y (7) aplicando eI teorema 4 (de transirividad) y obtenemos.
Si c c I => a-I
AI multipliear las desigualdades (1) y (2); obtenernos:
(a-1)(1-b) > 0
2
(a - 1)(1) - (a - I)(b) > 0
4
a-J-ab+b>O
Nota: Aplieando i) Se puede hacer ii)
L·Observacwn:."" -1. ',;. ~,,:
a-v b > I+ab
·.:t." :
.,
'':' _, .~~'"' .N?,
Comopode'1'
algeb{a;~I~mentilI. *:'~p'\~~o
.correctamente -',:'108 < aX~9ma,~'-'_';'r:Jas ",tleijl1icio~ y los teoremas, se pueden ~eri demostraciones, desil~Jl!Sl1JAAi rsimples basta las DIlls compUc,a¢i;':', :,:
Sean a, b
(1)
multipliear por - J => I - b < 0 ... (2)
< 3a+h < a+b < a+3b
m
un bum indicio para cmpezar II demO$lr2Ci6n.
Si b > I => b - J > 0
a+3h -4- <
.de
<----- Esle ""vJ1IdD"
(a - 1)(1 - b) > 0
< 2b
Multiplicar par ~ en ambos miembros:
II
a-I >ab-b
= =
Sumar "b" en ambos rniernbros: I/+b 2
=
a < 0, entonces
@Si I;f
a
E
JR
-2 ,
JR.
Demoslracron.. Para
saber
partir,
"borrador" con E
a +.1:5 a
a
ensayemos
en
+ 1- :5'-2. que es a
equivalente al siguieme desarrollo:
Si a < I y b > I, dernostrar que:
a+..L+2,;O a
a+b> I +ab.
2 0
Demostraclon.«
+1+2u a
:5 0
Partiremos de: a < I y b > I
~ :5 0 . En esta desigualdad se tiene a
Sugerencia: para mayor facilidad y tener una idea clara se puede ensayar, en
que (a+I)2;,O ya
2
borrador, con la desigualdad: II
Elite ensayo es uti] para darse cuenta de d6nde partir.
=> a 4 _2a 2 +1 ;, 0 a 4 + 1 ;::: 2a 2
=:0
La dernostracion empieza asf: • Por el COlORARIO 2.1. Va
E
lR se
cumple (a+I)2;,0
Multiphcar
en
ambos
miembros: 1 > 2rl~
~7:J
t
Multiplicar par De a < O. deducimos que 1- < O. pues el
•
teorema 6 afirrna que: Si a es negativo,
en ambos miembros:
l>~ 2 -
,,4 ... J
..L. tambien es
entonces su inversa
"
negative.
:@J Dernostrar
Resumiendo, tenernos:
aJ+b J UT h ) 3 (~ ~--2-'
que:
Va, bE IR+.
Si (a + 1)2;, 0, al multiplicar por L u
se obtiene:
Demostracion: Haciendo previo ensayo, partimos de:
s
o.
I .
porque. -u es negativo
(a _b)2;, 0 , vi a. b
el sentido cambia. AI
+I
(14
• Se tiene que a < O. segun dato del problema.
(" + 1)2 -u -
_1_
por
los
cuadrados
~ a 2 - ab - ab + b!;::: 0
y
~ a 2-ab+b2;:::ab
mulliplicar por 1. se obtiene: u
2+2u+1
Multiplicar ambos miembros por (a + b):
:5;0
u
=> (a + b)(a' - ab + b') ;, (a + blab
~a+2+!';0
~
u
~
IR ICorolerio 2.1;
=> a'-2ab+b';,0
desarrollar
u
E
a+!';-2 u
•
J
2
a + bJ
2:: a b + ab
2
Multiplicar por 3. en ambos miembros: -r- Jab'
=> 3(a' + b') ;, 3a'b
~ Demostrar que
+-,;! 'V a u +1
E
lR
=:)
Demostmcl6n:
Hacer, previarnente, un ensayo.
Partir de:
2 (a 2 _ I ) " 0 ,
22
Sumar (a] + b 3) en ambos miembros: 3(a] + b]) + (a
J
=:)4(,,3+ bJ);:::.(a+b)3
Multiplicar par
segun cl corolario 2.1
+ b 3);:::. 3a 1b + 3ab 2 + a 3 + b 3
k
b)'
~ 2:: .~i)+-/)
(
PROBLElIIAS
ill Sean
GRUPO 05
a, b, m, n b > 0 Y /I> O.
ill Probar
cada uno de las siguientes proposiciones:
1. Si
a <.0 /\ b <.0
2. Si
a>O /\ b ab
:=:}
ab>0
3. Si ab > 0 =::> a y b tienen el rnismo signa (Demostrar por el metodo del absurdo). 0 =::- a 2 > 0
4. Si
a
5. Si
aa
6. Si
a a+c < b s c
7. Si
a c.b /\ c c d-xs a wc c b w d
8. Si
a < b . se cumplen:
Si c > 0 ::::::> ea < {'IJ
Si c < 0 ::::::> ((1 > cb
i) ii)
'$.
9. a < b ::::::> -a > -b 10. Si [a y b tienen el mismo signo y a.l>-h' a
@ Si o -<; a < b y eruonces
.'2;:..'
@ Demostrar existe
0 -<; c < d , < bd
C E
que si a < b, entonces JR, tal que a < c < b.
E
fR, tal que a> b, prober que
@ Si a, b 3b
h2
£.+->-+3 b a II)
~ Si 0 < a S b , entonces a 3h < /12 3 -b+--"""2+ a a
