Matemática básica para economistas Fundamentos de Sergio Monsalve.pdf

´ ´ MATEMATICAS B ASICAS PARA ECONOMISTAS 0

FUNDAMENTOS Con Notas Históricas y Contextos Económicos

SERGIO MONSALVE EDITOR

FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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Autores

Sergio Monsalve

Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Con la colaboración de: Fernando Puerta

Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Medell´ ın

Olga Manrique

Escuela de Econom´ıa Universidad Nacional de Colombia, Bogotá Facultad de Econom´ ıa Universidad Externado de Colombia

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“La ciencia se ha construido para satisfacer ciertas necesidades de nuestra mente; ella nos describe. Y aunque tiene cierta relación con el mundo real, esa relación es muy, muy compleja” J. Aumann (PremioRobert Nobel de Econom´ıa 2005)

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Presentaci´ on general Este libro es el resultado de varios años de trabajo de los autores como profesores de matemáticas y/o econom´ıa para nuestras Facultades de Ciencias y Ciencias Económicas de las Universidades Nacional (sedes Medell´ın y Bogot´ a), Externado de Colombia y Pontificia Javeriana, y su objetivo central es exponer algunos de los elementos fundamentales del lenguaje matemático que deber´ıan ser comunes a todos los estudiantes de econom´ıa de nuestras épocas. Pensando en esto, hemos optado por escribir el texto en cuatro volúmenes: en el volumen 0 (Fundamentos) presentamos los requisitos matemáticos que el estudiante debe llenar para acceder más cómodamente al corpus total; el volumen I consiste en las nociones básicas del álgebra lineal; el volumen II en las nociones básicas del cálculo diferencial e integral; y el volumen III en las nociones básicas de la teor´ıa de la optimizaci´ on y de la dinámica. En cada uno de los cuatro vol´ umenes, hemos dividido los temas tratados a trav´ es de lecciones con un tratamiento matemático riguroso y sin referencia a aplicación económica alguna. Todas estas lecciones presentan, además, notas históricas que esperamos ayuden a trazar el devenir de los conceptos matemáticos que se desarrollan al punto. Por lo tanto, aquellos que consideran que un curso de matem´ aticas básicas para economistas deber´ıa ser s´ olo eso y no un curso con aplicaciones, estar´ an aqu´ı servidos. Sin embargo, para aquellos que difieren de esta postura metodológica y pedagógica hemos tambi´ en separado la sección final

de casi todas las lecciones para el “contexto econ´ omico”. Pero ésta no es una sección ordinaria de aplicaciones a la econom´ıa: es, por el contrario, una aproximación coherente a problemas centrales en la teor´ıa econ´ omica y una orientación para el estudiante atento y disciplinado. Por ejemplo, en el volumen I aparecen discusiones sobre los modelos v

vi lineales fundamentales de la teor´ıa econ´ omica: el modelo walrasiano de Cassel, el modelo insumo-producto de Leontief, el modelo de equilibrio general de von Neumann, el modelo sraffiano, la teor´ıa de juegos de von Neumann y Morgenstern, el modelo “keynesiano” lineal IS-LM, y el análisis de actividades de Koopmans. En el volumen II se encuentran, entre otras discusiones, notas históricas y contextualizadoras del problema de la racionalidad, de la revolución marginalista y de la comuni´ on entre racionalidad y marginalismo; en el volumen III aparecen tres de las visiones modernas más importantes sobre el comportamiento econ´ omico: el modelo “keynesiano” IS-LM no-lineal de Hicks, el modelo walrasiano de Arrow y Debreu, y los modelos de interacciones econ´ omicas y sociales. El objetivo en cada uno de estos an´ alisis es el problema econ´ omico por s´ı mismo y las consecuencias que el desarrollo lógico de las hipótesis y herramientas matemáticas entregan para discusión tanto a nivel teórico-conceptual como de pol´ıtica econ´ omica. En ningún caso se centra en las herramientas matemáticas que están siendo utilizada s. En definitiva, este trabajo es una invitación a comenzar a entender el potencialen y, la sobre todo, losomica; l´ımites herramienta matemática tradicional teor´ ıa econ´ es de unalainvitación a entender que las matem´ aticas tradicionales están mejor diseñadas y adaptadas a ciencias exactas como la f´ısica, pero quiz´ as no para el estudio de los fen´ omenos sociales y económicos, y esto intentamos resaltarlo en el texto cuando presentamos numerosos ejemplos tomados de la f´ısica, de la qu´ımica, o de la biolog´ıa. Pero aunque estamos convencidos de que las matem´ aticas son más claras que cualquier otro lenguaje y de que en numerosas ocasiones muestran lo que no podr´ıa lograrse por introspecci´ on, probablemente el verdadero aporte de ellas a las ciencias sociales y económicas u ´ nicamente podrá ser evaluado por las generaciones futuras. No antes; y, por supuesto, no ahora. Sólo que en ese camino no deber´ıamos seguir ni la moda del d´ıa, ni la aprobaci´ on o desaprobación de nuestros colegas. En su lugar, nos deber´ıa preocupar alcanzar más y más claras comprensiones de lo que sucede en los fen´ omenos económicos que enfrentamos d´ ıa a lograrlo, d´ıa, y si habr´ estas, u otras matem´ aun ticas, mecanismo para ıamos avanzado pasoson máun s en este propápropiado osito. Una palabra final. Algunos tienen la creencia de que no hay manual ni texto, por bueno que sea, que pueda relevarnos de la lectura de los art´ıculos srcinales y de los textos clásicos; y que nadie deber´ıa

vii permitirse que “le cuenten” lo que dicen los escritos originales. Pero creemos que esta es una opinión, por lo menos, falaz. Claro está que es ideal poder leer los textos srcinales y los cl´ asicos. Sin embargo, el estudiante que apenas se insin´ ua en cualquier área del conocimiento, requiere de esquemas y de puntos de referencia para poder avanzar con mayor seguridad y consistencia; posteriormente, una vez haya adquirido cierta madurez y entendimiento, es absolutamente necesario que recurra, ahora s´ı, a los textos cl´ asicos y a los srcinales. Un estudiante que comience por esta estrategia correrá, creemos, un menor riesgo de confundirse o, lo que ser´ıa fatal, de extraviarse definitivamente. Por último, ha sido un honor para quien esto escribe, haber podido realizar en compañ´ıa de su antiguo profesor de matem´ aticas de la Universidad Nacional de Medell´ın, Fernando Puerta, los vol´ umenes 0 y II de este texto. Agradecemos al Departamento de Matem´ aticas, y a la Escuela de Econom´ ıa de la Universidad Nacional de Colombia. Tambi´ en a la Facultad de Econom´ıa de la Universidad Externado de Colombia, y al Departamento de Matemáticas de esta Universidad. De igual manera a aquellos queOscar recibimos sugerencias y comentarios: Ar´ evalo, Juli´ an de Ar´ elos valo, Benavides, Catalina Blanco, LinaDiego Ca˜ nas, Ang´ elica Chappe, Lola Coba, Luis Jorge Ferro, Jorge Gallego, Norma G´ omez, Carlos Augusto Jim´ enez, Crescencio Huertas, Norman Maldo´ nado, Juliana Moncada, Eduardo Mantilla, Angela Ospina, Diego Pardo, Sergio Parra, Carolina Peláez, Lida Quintero, Aida Sof´ıa Rivera, Diego Rojas, Marcela Rubio, Renata Samacá, Alejandra Sánchez, Humberto Sarria, Biviana Suárez, Jennifer Taborda, Mar´ıa del Pilar Tejada, Ana Tamayo, H´ ector Useche y Miguel Z´ arate. Un agradecimiento del editor al Banco de la República por su apoyo en la realización de estudios de econom´ıa a nivel de doctorado (University of Wisconsin-Madison y The Hebrew University of Jerusalem). Tambi´ en a Maribel Romero, Santiago Sierra, Danny Sierra, Dora Millán y Nathalie Jim´ enez, por su paciente digitación de nuestros dif´ıciles manuscritos. Pero, por encima de todo, a nuestras familias que son el gran aliento y nuestra raz´ on de ser. Sergio Monsalve Bogot´ a D.C., febrero de 2008

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Nota del editor para el volumen 0 El propósito central al escribir este primer volumen (Fundamentos) de la serie “Matemáticas Básicas para Economistas”, ha sido el de entregarle a los estudiantes de primer semestre de nuestras Facultades de econom´ıa, una visi´ on general e integradora del devenir histórico y conceptual de las matemáticas que, muy seguramente, ya hab´ıan sido presentadas por sus profesores en el Bachillerato. Aqu´ı intentamos mostrarle al estudiante, con un nivel de profundidad que podr´ıa ser apropiado, cómo fue el desarrollo histórico de algunas de las m´ as importantes ideas matemáticas desde las antiguas geometr´ıa y aritm´ etica griegas, pasando por el álgebra y la geometr´ıa anal´ıtica del Renacimiento, hasta la estructuraci´ on formal del siglo XX, basada en lógica y teor´ıa de conjuntos. Todo ello, por supuesto, sin descuidar el acompasamiento con los correspondientes ejercicios t´ıpicos (y otros no tan t´ıpicos) del Bachillerato, que le ayudarán al estudiante a tener una visión panorámica de cómo ha venido aprendiendo y entendiendo las matemáticas básicas del colegio. Cabe resaltar que, al final de la lecci´ on 4 del presente volumen, quisimos tambi´ en mostrarle al estudiante nuevo de econom´ ıa, dos direcciones principalmente. La primera es que, ahora que comienza su proceso educativo superior, observe algunas de las posturas generales que, con respecto a la participación de la herramienta matemática en la discusión de los problemas económicos, han tenido algunos de los m´ as notables economistas de la historia. Y la segunda, que comience a distinguir los tipos de funciones y otros objetos matemáticos que, casi con seguridad, requerir´ a conocer en distintos cursos y seminarios de su carrera. No sobra señalar que hacer una cantidad apreciable de los ejercicios planteados es fundamental para el desarrollo arm´ onico de este trabajo. A algunos de ellos les hemos prove´ıdo de respuesta. Sin embargo, es la opinión del editor que el entregar una cantidad abundante de ix

x repuestas es inconveniente. De hecho, el tener softwares adecuados como MATLAB hace la comprobación de muchos ejercicios algo rutinario. Y esto, p or supuesto, es también cierto para los siguientes tres volúmenes. Varias advertencias de notación, no sólo para este, sino tambi´ en para los otros tres volúmenes. Los números con expresión decimal se escriben utilizando el punto (.) para separar la cantidad entera de la decimal. No se recurre a la notación, tambi´ en com´ un, de la coma (,). De otro lado, utilizamos la notación  para indicar que una demostración (prueba de un teorema) ha finalizado, la notación  para indicar que un ejercicio (o ejemplo) ha terminado, y los asteriscos para indicar que un ejercicio propuesto puede ser “dif´ıcil” ( (∗ ) para los ejercicios “dif´ıciles” y (∗∗ ) para los “muy dif´ıciles”). Finalizamos diciendo que tenemos la esperanza de que este primer volu men, complementado con algunos de los numerosos textos de geometr´ıa, trigonometr´ıa, a´lgebra, etc., a los que se recurre en el Bachillerato, sirva tanto de estudio como de consulta para nuestros estudiantes nuevos de econom´ ıa, y que ayude a que, ya entendiendo por qu´ e y c´ omo ha devenido una idea o concepto matemático, la actitud hacia el pensamiento formal cambie muy positivamente en nuestras actuales aulas de clase y, ojalá, en el ambiente profesional de los economistas futuros.

xi Sergio Monsalve le dedica este esfuerzo a su profesor de matemáticas Jairo Charris A la memoria de Juan Alonso, Jorge Diego, Nancy y Adriana

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Sobre “Matem´ aticas B´ asicas Para Economistas” Por: Eduardo Mantilla P. En esta obra se recogen las experiencias did´ acticas de los autores en la enseñanza de la Matemática, especialmente en las carreras de ciencias económicas, tomando como eje central el trabajo de varios a˜ nos del profesor Sergio Monsalve. Los textos hechos a partir de los apuntes de clase tienen el encanto de traslucir la manera de trabajar del maestro. Su manera de enfocar los temas. Su particular manera de decir las cosas para hacerlas comprensibles a los estudiantes. Su manera de acercarse al conocimiento. A qu´ e le da prelación. Un texto hecho as´ı es como una radiograf´ıa del alma pedagógica del maestro. Por eso es tan importante que no se pierdan las experiencias de quienes trabajan bien, para que otros las aprovechen e inspirados en ellas adelanten su labor docente y cimenten su formaci´ on como educadores. Esta obra refleja una manera de hacer las cosas de manera atractiva y rigurosa y, en cuanto a su contenido, completa para las carreras de ciencias económicas. Sus autores logran darle unidad y sabor en un trabajo dispendioso para ellos y útil para quienes tienen a su cargo asignaturas de Matemáticas que aqu´ı pueden seleccionar los temas que les sean necesarios, con la seguridad de que están bien tratados y que son accesibles para los estudiantes. Al ver la totalidad de la obra resaltan el enorme trabajo que significó para el profesor Monsalve y sus compañeros recoger, ordenar y reelaborar sus experiencias y presentarlas como lo hacen. Para quien esto escribe, es especialmente atractivo el manejo de los temas geom´ etricos que tan buenos resultados dan desde el punto de vista formativo y para la comprensión general de la materia. La presentación de modelos económicos xiii

xiv y las notas históricas son herramienta formidable para mostrar y dar un contexto al devenir de los conceptos matemáticos y su utilización por parte de la Econom´ıa. Los autores merecen felicitaciones y el reconocimiento de la comunidad universitaria por haberse comprometido en tamaña tarea, y por la forma cuidadosa en que lo hicieron. Por lo bien que les qued´ o, y por lo útil que será para las futuras promociones de estudiantes. Ojal´ a esta obra sea probada por otros maestros que, en la práctica, son quienes con su frecuente utilización, califican la excelencia de este tipo de trabajo.

Bogot´ a, junio de 2007

Índice general 1. Sobre la geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa grie-

ga 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

1 Sobre la geometr´ıa y aritm´ etica griega cl´ asica . . . . . . . Sobre el Libro I de los Elementos de Euclides . . . . . . . a). Explicaciones y definiciones del Libro I de Euclides b). Postulados del Libro I de Euclides . . . . . . . . . c). Nociones comunes del Libro I de Euclides . . . . . d). Las proposiciones y problemas del Libro I de Euclides . . . . . . . . . . ........... . . . . 12 Sobre el Libro II de los Elementos de Euclides . . . . . . . Sobre el Libro III de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro IV de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro V de los Elementos de Euclides . . . . . . . Sobre el Libro VI de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro VII de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro VIII de los Elementos de Euclides . . . . . Sobre el Libro IX de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro X de los Elementos de Euclides . . . . . . . Sobre el Libro XI de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro XII de los Elementos de Euclides . . . . . . Sobre el Libro XIII de l os Elementos de Euclides . . . . .

3 5 5 9 11

29 32 35 36 38 39 40 41 44 44 50 53

15. Final . . . . . . . . . . . ........... ........ 54 16. Geometr´ıa y aritmética griega alejandrina . . . . . . . . . 55 17. Sobre la trigonometr´ıa en la Grecia alejandrina . . . . . . 58 a). Relaciones trigonométricas de Hiparco y Ptolomeo 68 18. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 xv

xvi 2. El ´ algebra de los siglos XVI y XVII 91 1. Las leyes fundamentales del álgebra de números . . . . . . 93 2. Breve sobre potenciación y radicales . . . . . . . . . . . . 98

3.

4. 5.

a). Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 b). Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . 101 Breve sobre factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 a). Algunos productos especiales y el proceso de factorizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 b). La fórmula binomial de Newton (1676) . . . . . . . 108 Racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 11 Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3. La geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat 125 1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 a). Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . 130 2. La ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 a). Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . 13 4 3. La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.

5.

6.

7. 8.

a). La ecuación de la circunferencia . . . . . . . . . . . 140 b). La ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . 142 c). La ecuación de la parábola . . . . . . . . . . . . . 1 46 d). La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . 150 e). Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . 153 Curvas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 a). La curva seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 56 b). La curva coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 57 c). La curva tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 60 a). Definición, norma e igualdad de vectores . . . . . . 161 ´ b). Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 a). Ecuación polar de una l´ınea recta . . . . . . . . . . 167 b). Ecuación polar de una circunferencia . . . . . . . . 169 c). Ecuación polar de una cónica . . . . . . . . . . . . 171 d). Ecuaciones polares de curvas clásicas . . . . . . . . 174 Coordenadas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . 181 a). Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

xvii b). Ra´ıces de una ecuación algebraica . . . . . . . . . 1 89 c). Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 12 10. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 16 4. Sobre los fundamentos para las matem´ aticas contem-

por´ aneas 1.

2.

3.

229

S´ımbolos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 a). Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 b). Los s´ımbolos conectivos de la lógica . . . . . . . . 2 33 c). Las tablas de verdad: axiomas de la lógica . . . . . 234 d). Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 36 Nociones de la teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 243 a). Noción de conjunto y definiciones básicas . . . . . 2 48 b). Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . 250 Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 a). Los números naturales ( N): descripción . . . . . . 264 Z

4. 5. 6.

7. 8.

b). Los n´ números umeros racionales enteros ( ():Qdescripci´ on .on . . .. .. . .. .. 266 c). Los ): descripci´ . . 2 68 d). Los números reales ( R): definición axiomática . . . 273 Intervalos de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . 291 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 99 a). Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 01 b). Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 c). Formas funcionales básicas . . . . . . . . . . . . . 316 ´ d). Algebra de funciones reales . . . . . . . . . . . . . 325 e). Composición de funciones reales . . . . . . . . . . 327 f). Inversión de funciones reales . . . . . . . . . . . . . 330 g). Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . 333 Funciones de dos variables reales . . . . . . . . . . . . . . 339 Contexto económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 a). b).

c).

Sobre los or´ıgenes de la econom´ıa matemática . . . 348 Algunos economistas sobre el m´ etodo matemático en econom´ıa (Cournot, Jevons, Marshall, Walras, Koopmans, Kantorovich, Allais y Debreu) . . . . . 349 Sobre ciertas funciones de la teor´ıa económica . . . 378

xviii Bibliograf´ıa

409

Respuestas

420

Índicealfab´ etico

439

Lecci´ on 1 Sobre la geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griega

Introducci´ on La palabra “geometr´ıa” que significa “medici´ on de la tierra” proviene del griego geo que significa “tierra”, y metron que significa “medida”. El srcen de la geometr´ıa se remonta a más de cuatro mil años y surgió de la actividad práctica. Las primeras formas geom´ etricas registradas en la historia estaban ´ıntimamente conectadas con la naturaleza: el c´ırculo y la luna llena; el plano y la superficie de un lago tranquilo; la l´ınea recta y un rayo de luz del sol. Tambi´ en, aqu´ı y allá, aparec´ ıan cuadrados y triángulos. Quizás esta es la principal razón del por qué los hombres gradualmente desarrollaron una concepción mental abstracta de estas figuras a partir de la observaci´ on activa de la naturaleza. As´ıcomenzaron la manufactura de objetos más y más regulares en forma: viviendas, edificios, plantaciones, vasijas, etc. Al reconocer la forma de los cuerpos, el hombre pudo mejorar su trabajo y desarrollar, con más precisión, la noción abstracta de forma, y as´ı la actividad práctica sirvió como base a los conceptos abstractos de la geometr´ıa. De la misma manera, las nociones de longitud, de área, de volumen, surgieron de la actividad práctica: se med´ ıan longitudes, se determinaban distancias, se estimaban (a ojo) ´ areas de superficies y volúmenes de cuerpos. Todo con propósitos prácticos. Fue de esta forma que aparecieron las “leyes generales” m´ as simples de la geometr´ıa: por ejemplo, la ley seg´ un la cual el ´ area de un rectángulo 1

2

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos

es igual a la multiplicación de las longitudes de sus lados era ´ util para el agricultor de una parcela en t´ erminos de cantidades de siembra y de cosecha. Obviamente, la medida de la tierra no fue el único problema que llevó a los antiguos a la geometr´ıa. De textos fragmentarios que han sobrevivido, es posible establecer que los egipcios y babilonios ya p od´ıan calcular áreas simples y algunos volúmenes; que además conoc´ıan con considerable exactitud la proporción de la circunferencia al diámetro del c´ırculo; y que, quizás, tambi´ en pod´ıan calcular el a´rea de la superficie de una esfera. En pocas palabras, ya pose´ıan una considerable cantidad de conocimientos geom´ etricos. Sin embargo, para ellos, la geometr´ıa nunca alcanz´ o el nivel de ciencia teórica con teoremas y pruebas. Más aún, la

geometr´ıa no se distingu´ıa claramente de la aritm´ etica: los problemas geom´ etricos eran problemas con c´ alculos aritméticos. Por su parte, la palabra “aritmética”, que hoy utilizamos, significa “el arte de los números” y proviene del adjetivo griego arithmos (que significa “número”) que, a su vez, modifica el sustantivo griego techne (que significa “arte” o “técnica”). Y este nombre proviene del hecho de que las op eraciones (cálculos) con los números surgieron en la historia como la reflexión sobre relaciones entre objetos concretos y no como abstracci´ on alguna: la suma de los n´ umeros correspond´ıa a colocar, juntas, dos o más colecciones de objetos dadas; la multiplicaci´ on surgió del hábito de contar colecciones iguales: de a dos, de a tres, etc. En este proceso de contar, se descubr´ıan y asimilaban relaciones entre los números que, gradualmente, se establecer´ıan como reglas generales. Por experiencia práctica se descubr´ıa, por ejemplo, que el orden en que se suman dos colecciones de objetos no afecta el resultado final. Los números comenzaban entonces a aparecer, no separados ni independientes unos de otros, sino en profundas interrelaciones. Y esto se notaba en la forma en que algunos nombres se expresaban en términos de otros: en español, “veintidós” es realmente “veinte y dos”; en inglés, “twenty” significa “two (times) ten” (dos (veces) diez); en francés, “ochenta” es

“quatrevingt” (cuatro - veintes); el numeral romano VIII denota 8=5+3

(donde V=5 y III=3). El objetivo de la aritmética era entonces el estudio del sistema de los números con sus relaciones y reglas: un n´ umero aislado no ten´ıa propiedades tangibles; sólo a través de sus relaciones con otros números era que pod´ıa identificarse. Por ejemplo, el n u ´mero 6,

Lecci´ on 1: Geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griegas

3

por s´ı mismo, no significa nada a menos que establezcamos que 6=5+1, 6=2x3, 6=4+2, etc. Estudiar aritm´ etica significaba entonces estudiar relaciones entre los números, donde éstos eran abstracciones de la men-

te humana acerca de relaciones cuantitativas reales entre colecciones de objetos. Podemos entonces decir que la aritmética es una ciencia que estudia relaciones cuantitativas reales consideradas de manera abstracta y, que, por lo tanto, no es “pensamiento puro”: es el resultado de la reflexi´ on humana a partir de una larga experiencia pr´ actica de muchas generaciones desde, por lo menos, las antiguas Babilonia y Egipto hace más de cuatro mil años.

1.

Sobre la geometr´ıa y aritm´ etica griega cl´ asica

En el siglo VII a.C. los conocimientos de aritm´ etica y geometr´ıa pasaron, de Babilonia y Egipto, a Grecia, donde fueron desarrollados por los grandes filósofos materialistas Tales de Mileto, Demócrito y otros, como tambi´ en por la escuela idealista de Pitágoras y sus sucesores. Esto tuvo, por lo menos, dos resultados importantes: primero, el concepto de “teorema” y el de “prueba”; y, segundo, la clasificaci´ on de cuándo una proposición puede ser fundamental y cuándo es deducida de otras más fundamentales a´ un: era el srcen de los “postulados” y de los “axiomas”. As´ı la aritmética y la geometr´ıa comenzaban a ser teor´ ıa matem´ atica. Pero la primera exposición sistemática de geometr´ ıa y aritm´ etica en la historia del pensamiento matemático sólo apareció en Grecia hasta el siglo III a.C. con los Elementos de Euclides. Puede decirse que aunque este libro fue seguramente una compilación de trabajos de sus predecesores, el m´ erito fundamental est´ a en la elegancia y habilidad con la que ordenó el conocimiento disponible hasta su época dentro de una argumentaci´ on lógico-deductiva. Los Elementos fue escrito en trece libros, en los que aparecen un total de 467 teoremas y un buen n´ umero de corolarios. En el Libro I, Euclides comienza definiendo algunos conceptos geométricos básicos como el punto, la l´ınea, la superficie, el angulo, ´ la circunferencia, el triángulo, el cuadrilátero, etc. Despu´ es, enuncia cinco postulados sobre los que en adelante basa todos sus razonamientos y, finalmente, cinco “nociones comunes” (axiomas).

4


El Libro II es acerca del ´ algebra geom´ etrica en donde aparecen expresiones geom´ etricas de identidades algebraicas. El Libro III discute acerca de circunferencias, tangentes, y ´ angulos relacionados con éstas. En el Libro IV aparecen las construcciones pitagóricas, con regla y comp´ as, de algunos pol´ıgonos regulares. El Libro V está dedicado a la teor´ıa de las proporciones de Eudoxio. Ser´ ıa esta teor´ıa la que, m´ as de dos mil años despu´ es, permitir´ıa establecer los fundamentos lógicos de los números reales por parte de Richard Dedekind en el siglo XX. En el Libro VI aparece la teor´ıa de la proporción de Eudoxio aplicada a teoremas de triángulos semejantes y a la solución geom´ etrica de problemas cuadráticos. Los Libros VII, VIII y IX tratan de la teor´ıa elemental de los n úmeros naturales, y son el primer tratado de aritmética desde una perspectiva articulada. El Libro X trata de las magnitudes inconmensurables, es decir, de aquellas que no son medibles con respecto a una unidad de medida dada. Es el srcen formal de los n´ umeros irracionales. Los tres Libros finales, XI, XII y XIII, est´ an dedicados a la geometr´ ıa de los sólidos, que es, esencialmente, el mismo material que se estudia hoy en el bachillerato, exceptuando el tema de las esferas. En el Libro XI encontramos definiciones y teoremas acerca de planos y rectas en el espacio, y tambi´ en de paralelep´ıpedos; en el XII encontramos el c´ alculo de ciertos volúmenes; y, en el XIII, las construcciones de los cinco poliedros regulares (tetraedro (cuatro caras), cubo (seis caras), octaedro (ocho caras), dodecaedro (doce caras), icosaedro (20 caras)). Los textos tradicionales de geometr´ ıa del Bachillerato constan, principalmente, del material de los Libros I, III, IV, VI, XI y XII de Euclides. Sólo algunos temas como los de mediciones de la circunferencia y la esfera, son de srcen posterior a Euclides y no se encuentran en los Elementos.


2.

5

Sobre el Libro I de los Elementos de Euclides

Como dec´ıamos antes, en el Libro I, Euclides define los t´ erminos fundamentales de punto, l´ınea, superficie, ángulo, figura, etc. Sin embargo, la forma en que Euclides define punto, l´ınea y superficie, difiere de las definiciones dadas en textos previos a los Elementos. Por ejemplo, la noción de punto se defin´ıa, antes de Euclides, como el extremo de una l´ınea; la l´ınea como el extremo de una superficie; y la sup erficie como el extremo de un sólido. Euclides (quizás en respuesta a las cr´ıticas que surgieron a estas definiciones) intenta definir cada t´ ermino independientemente de los otros.

a).

Explicaciones y definiciones del Li bro I de Eucli des

Son las siguientes: 1. Un punto es lo que no tiene partes. 2. Una ınea l´ es una longitud sin anchura. 3. Los extremos de una l´ınea son puntos. 4. Una l´ ınea recta es aquella que yace por igual respecto a los puntos que están en ella. 5. Una superficie es aquella que sólo tiene longitud y anchura. 6. Los extremos de una superficie son l´ıneas. 7. Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las l´ıneas que est´ an en ella. 8. Un ´ angulo plano es la inclinación mutua de dos l´ıneas que se encuentran una a otra en una superficie plana y no est´ an en l´ınea recta (ver figura 1).

´ Figura 1: Angulo plano

6


9. Cuando las l´ıneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se dice que es rectil´ ıneo (ver figura 2).

´ Figura 2: Angulo rectil´ ıneo

10. Cuando una recta se levanta sobre otra formando ańgulos adyacentes iguales, cada uno de los ángulos iguales se llama ´ angulo recto, y la recta que se eleva sobre la otra se llama perpendicular a esta otra (ver figura 3).

Figura 3: Rectas perpendiculares

11. Un ´ angulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto (ver figura 4).

´ Figura 4: Angulo obtuso

12. Un ´ angulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto (ver figura 5).

´ Figura 5: Angulo agudo

13. Un l´ ımite es lo que es extremo de algo.


7

14. Una figura es lo que está contenido en un l´ımite o en varios l´ımites. 15. Un c´ ırculo es una figura plana contenida en una l´ınea, llamada

circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto

particular que queda dentro de la figura, hasta puntos de ella, son iguales entre s´ı (ver figura 6).

Figura 6: Circunferencia y c´ırculo

16. El punto particular de la definición anterior se llama centro del c´ırculo (ver figura 7). 17. Un di´ ametro de un c´ırculo es una recta que pasa por su centro y termina, en ambos sentidos, en la circunferencia. Dicha recta biseca, además, a la circunferencia y al c´ırculo (ver figura 7).

C

•

Figura 7: Centro (C) y diámetro de un c´ırculo

18. Un semic´ ırculo es la figura contenida entre un di´ ametro y una semicircunferencia; o sea, la mitad de la circunferencia cortada por él. El centro del semic´ ırculo es el mismo que el del c´ırculo. 19. Figuras rectil´ıneas son las contenidas entre rectas; figuras triláteras (o triángulos) son las contenidas entre tres; cuadriláteras (o cuadriláteros) las contenidas entre cuatro y las multiláteras (o pol´ ıgonos) las contenidas entre más de cuatro rectas (ver figura 8).

8


Figura 8: Figuras rectil´ ıneas

20. De los triángulos, un tri´ angulo equilátero es aquel cuyos tres lados son iguales; un tri´ angulo isósceles es el que tiene dos de sus lados iguales (ver figura 9); y un tri´ angulo escaleno el que tiene sus tres lados desiguales.

Figura 9: Triángulo equilátero y triángulo isósceles

21. Además, de los triángulos, un tri´ angulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto; un tri´ angulo obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso; y un tri´ angulo acutángulo el que tiene sus tres ´ angulos agudos (ver figura 10).

Figura 10: Triángulos rectángulo, obtusángulo y acutángulo.

22. De los cuadriláteros, un cuadrado es el que es equil´ atero y sus ángulos son rectos; un rombo es el que es equilátero pero sin ángulos rectos; y un romboide el que tiene sus lados y ´ angulos opuestos iguales unos a otros, pero no es ni equilátero ni tiene ángulos rectos.


9

Los cuadriláteros distintos a los anteriores se llaman trapecios(ver figura 11) 1 .

Figura 11: Cuadrado, rombo y trapecio

23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos (ver figura 12). A

C

B D

Figura 12: Rectas paralelas

b).

Postulados del Libro I de Euclides

Cinco son los postulados sobre los cuales Euclides construye toda su ´ geometr´ıa. Estos, al igual que las nociones comunes, se admiten sin demostraci´ on. Pero no son tan evidentes, y por eso se postulan; es decir, se pide que se acepten: son las propiedades espec´ıficas de su geometr´ ıa. De todas maneras, los postulados y las nociones comunes que presentamos adelante, constituyen, quizás, uno de los textos cient´ıficos más notables jamás escrito. Veamos en qu´ e consisten estos postulados. POSTULADO 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. POSTULADO 2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 1´ Esta no coincide con el significado que se le da, en la geometr´ıa de hoy, a la palabra trapecio: Actualmente, se llama trapecio a un cuadrilátero con un par de lados paralelos. A su vez, un rombo es un cuadrilátero que tiene sus lados iguales.

10


POSTULADO 3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. POSTULADO 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre s´ ı. POSTULADO 5. Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ańgulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma de ´ angulos sea menor que dos recto s (ver figura 13).

β α Figura 13: Quinto Postulado: α + β es menor que dos rectos

En los primeros tres postulados, Euclides asume la existencia de puntos, l´ıneas y c´ırculos; la existencia de los otros objetos geom´ etricos se prueba en proposiciones posteriores. Sobre el cuarto y el quinto postulados se pensó durante mucho tiempo que deber´ıan ser teoremas en lugar de postulados; el cuarto asegura, fundamentalmente, que el ángulo recto es un punto de referencia para medir los otros ángulos; y el quinto postulado (que se cree que es del propio Euclides) se pens´ o que era demostrable debido a su complejidad y longitud de texto, además de que la afirmación rec´ıproca fue demostrada por el propio Euclides. Pero la imposibilidad de demostrar el p ostulado 5 (tambi´ en conocido como postulado de las paralelas) convenció a muchos matemáticos (entre los que se incluyen Karl F. Gauss [1777-1855] y Nicolai I. Lobachevski [1793-1856]), sobre la viabilidad de construir geometr´ ıas no-euclidianas. En 1829, Lobachevski publicar´ıa la construcci´ on de una muy útil geometr´ ıa que contradec´ıa precisamente el postulado de las paralelas. Un ejemplo clásico de geometr´ıa en la que no se cumplen los postulados de Euclides, es el de una esfera. Si dibujamos una recta sobre esta esfera, ésta no podrá ser infinita como lo es en un plano, puesto que volver´ıamos al mismo punto, es decir, no tendremos rectas en el sentido tradicional, sino que tendr´ıamos circunferencias que cumplen la misma


11

función que las rectas en la geometr´ıa tradicional. Este comportamiento sobre la esfera nadie lo hab´ıa estudiado seriamente, pues se consideraba que sólo eran casos degenerados de la geometr´ıa de Euclides. Sin embargo, desde el siglo XIX de Lobachevski, se les consideran tan válidas como la geometr´ ıa cl´ asica, y, de hecho, existen infinitas geometr´ıas posibles, dependiendo de la curvatura de la superficie que estemos estudiando. La geometr´ıa eucl´ıdea s´ olo es el caso particular cuando la curvatura es nula. 2

c).

Nociones comunes del Libro I de Euclides

Los axiomas de su geometr´ıa, que Euclides llama nociones comunes , son afirmaciones válidas en todas las ciencias, cuya evidencia las hace aceptables de manera general. Las siguientes son las que incluye: ´ COM UN ´ 1. Cosas iguales a otra son iguales entre s´ı. NOCION ´ COM UN ´ 2. Si a cantidades iguales se suman cantidades NOCION iguales, los totales serán iguales. ´ COM UN ´ 3. Si a cantidades iguales se restan cantidades NOCION iguales, los residuos serán iguales. ´ COM UN ´ 4. Las cosas que coinciden entre s´ı son iguales NOCION entre s´ ı ´ COM UN ´ 5. El todo es mayor que una parte. NOCION 2

Entendemos que vivimos en un universo de cuatro dimensiones: las tres espaciales m´ as la dimensión temporal. El problema de la curvatura del espacio-tiempo se puede entender m´ as fácilmente imaginando un universo plano. Si en ese plano se pone una pequeña esfera, ésta se quedar´ a quieta; pero si después colocamos una bola grande pesada, ésta curvar´ a el plano de tal forma que la pequeña esfera tenderá a acercarse a la bola pesada. Se puede decir que la curvatura del plano es un ejemplo en dos dimensiones de cómo el Sol curva el espacio a su alrededor atrayendo a los objetos. Albert Einstein [1879-1955] describió el funcionamiento de este “extraño” espacio: La curvatura del espacio-tiempo en una zona del universo que está relacionada con la masa y la energ´ ıa de esa regi´ on, y su geometr´ıa no es la de Euclides, sino una no-euclidiana que supone consecuencias que nos dan explicaciones distintas para fen´ omenos que hasta entonces se cre´ıan comprendidos. Por ejemplo, los planetas que giran alrededor del Sol en realidad están describiendo una “l´ınea recta” en este espacio-tiempo generado por la masa del Sol.

12


Sobre estos cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), Euclides construye todo el edificio de lo que hoy conocemos como geometr´ ıa euclidiana. Puesto que no es posible retroceder infinitamente en la búsqueda de los principios fundamentales, hubo de establecer en un punto dado, los fundamentales de su teor´ıa. Los primeros son propios del campo considerado (en este caso, la geometr´ıa); sin embargo, las segundas, son comunes a todas las ciencias.

d).

Las proposiciones y problemas del Libro I de Euclides

En las proposiciones y problemas del Libro I, Euclides presenta la geometr´ıa familiar de l´ıneas y angulos ´ del plano, incluyendo resultados sobre triángulos, l´ıneas que se intersecan, l´ıneas paralelas, y paralelogramos. Son 34 proposiciones y 14 problemas, algunos de los cuales presentamos aqu´ı, e invitamos al lector (recordando sus clases de geometr´ıa del Bachillerato) a ilustrar cada una/o con una figura correspondiente y a convencerse de su veracidad (no a demostrarlas, obviamente) . Tambi´ en, ojalá as´ı sea, es una invitaci´ on a la lectura del texto srcinal de Euclides en traducción al Ingl´ es del famoso helenista Thomas L. Heath.3 1. Dada una recta finita, constrúyase un triángulo equilátero. Para satisfacer nuestra curiosidad, y ver cómo utiliza Euclides el método deductivo, demostremos esta primera proposición: Sea AB una recta cualquiera (ver figura 14). Con centro en A y con radio AB descr´ ıbase (postulado 3) el c´ırculo BC D; y con centro en B y con radio AB descr´ıbase (postulado 3) el c´ırculo ACE . En el punto C , en donde los c´ırculos se cortan rec´ıprocamente, se trazan (postulado 1) para los puntos A y B, las rectas CA y CB. El triángulo ABC será equilátero pues siendo el punto A el centro del c´ırculo B CD, entonces AC y AB son iguales (definición 15); y siendo el punto B el centro del c´ırculo ACE , debe ser que BC y BA son iguales. Sin embargo, sabemos que CA y AB son iguales. Luego tanto AC , como C B, son iguales a AB. Pero puesto que cosas que son iguales a una tercera son iguales entre s´ı (noción común 1), debe ser que AC y C B son iguales. Luego las tres rectas 3

Heath, Thomas L. (1908), “The Thirteen Books of Euclid”, Cambridge.


13

CA, AB y B C son iguales, y, por consiguiente, el triángulo ABC , sobre la recta AB, es equilátero (definición 20). C

D

A

B

E

Figura 14: Ilustración de la proposición 1

En la demostración anterior se hace uso de las definiciones, postulados y nociones comunes (indicados entre par´ entesis). Obviamente, al tratarse de la primera proposici´ on no se hace uso de otras proposiciones. No obstante, obs´ ervese que Euclides asume, impl´ıcitamente, que el punto C donde se cortan los c´ırculos en la gráfica, existe. No hay, sin embargo, ningún postulado que lo garantice. 2. Por un punto dado trazar un rect a igual a una recta dada. Veamos tambi´ en c´ omo Euclides prueba esta proposición. Sean A y BC el punto y la recta dada, respectivamente (ver figura 15). Se debe construir una l´ınea recta igual a la recta dada B C que tenga al punto A como extremo. Desde el punto B trácese (postulado 1) una recta AB, y sobre ésta constr´ uyase (proposición 1 anterior) un triángulo equilátero DAB. As´ı se producen (postulado 2) las rectas AE , BF en dirección de las rectas DA y DB. Con centro B e intervalo BC se describirá (postulado 3) el c´ırculo CGH ; y tambi´ en con centro D e intervalo DG se describe el c´ırculo GKL. Siendo B el centro del c´ırculo CGH , debe ser que BC y BG son iguales (definición 15). Y siendo D el centro del c´ırculo GKL, deber ser que DL y DG son iguales. Además, las partes DA y DB de las rectas DL y DG son iguales. Luego las diferencias AL y BG ser´ an tambi´ en iguales (axioma 3). Y as´ı, tanto AL como BC serán iguales a BG. Mas como cosas iguales a una tercera, son iguales entre s´ı (noci´ on común 1), debe ser que AL y B C son iguales. Por

14


lo tanto, hemos construido, desde el punto A, una l´ınea recta AL igual a otra dada B C . K H D C

A L

B

E

G F Figura 15: Ilustración de la proposición 2

3. Dadas dos rectas desiguales, córtese o sepárese, de la mayor, una recta igual a la menor (ver figura 16). 4 C D

E A

B

F Figura 16: Ilustración de la proposición 3

En esta figura 16, los segmentos son AB (segmento mayor) y C . 4. Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales respectivamente a dos del otro, y los ´ angulos comprendidos por dichas parejas de rectas son iguales, tambi´ en tendr´ an la base de uno igual a la del otro, triángulo será igualdel al otro, los ángulos restantes de uno ser´ anun iguales a los restantes otro,yrespectivamente; es decir, que ser´ an iguales los ángulos opuestos a lados iguales (ver figura 17). 4 Debe tenerse en cuenta que, en general, la construcci´ on de las figuras que ilustran las proposiciones euclidianas, sigue un orden alfab´ etico.

15

Lecci´ on 1: Geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griegas B

E

A

C

D

F


En lenguaje geom´ etrico de hoy, esta proposición euclidiana es el conocido criterio “lado-ángulo-lado” de congruencia en triángulos. 5. En los triángulos isósceles, los ángulos de la base son iguales entre s´ı, y si las rectas iguales se prolongan, los ángulos que están bajo la base serán tambi´ en iguales (ver figura 18). A

B F

C G

D E Figura 18: Ilustración de la proposición 5

En la figura 18, el tri´ angulo isósceles que menciona Euclides es ABC ; los ángulos de la base, que tambi´ en son iguales, son ∠ABC y ∠BC A; y los ángulo externos que se forman por la prolongación de los lados iguales son ∠F BC y ∠BC G. Dice la tradición que esta Proposición 5, que al parecer se remonta a Tales de Mileto, era conocida en las universidades de la Edad Media como el “pons asinorum”, o el puente de los asnos . El nombre viene de la forma

△

de sombrero de su dibujo (figura 18) y de que a los malos alumnos les costaba pasar de esta proposición, como a los asnos, dicen, les cuesta cruzar un puente. Una diferencia entre las proposiciones de Euclides que podemos hacer en este punto, es que las tres primeras tratan de resolver

16


un problema sobre cómo podemos realizar cierta construcción; en cambio, las dos siguientes tratan de describir propiedades de una figura dada. Al primer tipo de proposiciones se les llama problemas, y, al segundo tipo, teoremas. 6. Si en un triángulo, dos ángulos son iguales, los lados opuestos a los ángulos iguales tambi´ en ser´ an iguales (ver figura 19). A D

B

C


En la figura 19, A, el tri´ anguloprueba es ABC los ángulos ∠ ABC = ∠BC y Euclides que ,AB = AC .

△

iguales son

7. Dadas dos recta s trazadas sobre otra (a partir de sus extr emos) y que se corten en un punto, no pueden trazarse sobre la misma recta (a partir de sus extremos), y del mismo lado de ella, otras dos rectas que se corten en otro punto y que sean iguales a las anteriores respectivamente, es decir, cada una igual a la que pase por el mismo extremo (ver figura 20).

C

A

D

B


17


En la figura 20, se trazan AC y B C sobre AB. Entonces Euclides muestra, con ayuda de esta misma figura, que B D = BC y AD = AC .





8. Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a otros dos del otro, y adem´ as tienen sus bases iguales, tendrán tambi´ en iguales los ańgulos opuestos a las rectas iguales. Este es el hoy conocido como criterio “lado-lado-lado” de congruencia de triángulos. Invitamos al lector a acompañar esta proposición con una gráfica que la ilustre. 9. Bis´ equese un ańgulo rectil´ ıneo dado (ver figura 21). A

D

E

B

C F Figura 21: Ilustración de la proposición 9

El ángulo a bisecar es ∠BAC en la figura 21. Euclides toma D sobre AB. Luego corta AE = AD de AC , y despu´ es junta los puntos D y E . Despu´ es construye el tri´ angulo equilátero DEF sobre DE , y traza AF . Esta última bisecará el ángulo ∠BAC .

△

10. Bis´ equese una recta finita dada (ver figura 22). C

A D B Figura 22: Ilustración de la proposición 10

18


Aqu´ı, la recta finita es el segmento AB. Euclides construye el triángulo equilátero ABC sobre AB, y luego biseca el ´ angulo ∠ACB mediante la l´ ınea C D. Entonces muestra que AB se biseca

△

en el punto D. 11. Trácese una recta perpendicularmente a otra dada desde un punto de ésta. 12. Trácese una recta perpendicular a otra infinita dada, desde un punto que no est´ e sobre esta u´ltima. 13. Si se traza una recta sobre otra, formando ´ angulo, formará dos ángulos rectos o bien ángulos cuya suma sea igual a dos ´ angulos rectos. 14. Si con una recta cualq uiera, y pasando por un punto sobre ella, dos rectas, que no estén al mismo lado de la primera, forman ángulos adyacentes cuya suma sea igual a dos ángulos rectos, las dos rectas ser´ an una continuación de la otra constituyendo una sola recta (ver figura 23). A

E

C B D Figura 23: Ilustración de la proposición 14

En la figura 23, la “recta” es el segmento de recta AB, el punto es B, y las dos rectas que menciona Euclides son all´ı BC y BD. Su argumento de prueba sigue esta l´ınea: Si BD no está en l´ınea con BC , entonces produce BE en l´ınea recta con CB. Como AB descansa sobre C BE entonces la suma de ∠ABC y ∠ABE es dos rectos. Pero como tambi´ en la suma de los ańgulos ∠ABC y ∠ABD es dos rectos, entonces ∠CBA + ∠ABE = ∠CBA + ∠ABD. Por lo tanto, ∠ABE = ∠ABD, es decir, un ángulo menor que es igual a un ángulo mayor, lo que es una contradicción. 15. Si dos rectas se cortan, forman ´ angulos opuestos por el v´ ertice iguales entre s´ı (ver figura 24).

19

Lecci´ on 1: Geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griegas A E

D

C B Figura 24: Ilustración de la proposición 15

Las dos rectas son los segmentos AB y C D. Los ángulos opuestos por el v´ ertice son ∠AEC = ∠ DEB . Tambi´ en son opuestos por el v´ ertice ∠AED = ∠CE B. 16. En un triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor que el ángulo del interior y que los ángulos opuestos (ver figura 25). A

F E

B

C

D

G Figura 25: Ilustración de la proposición 16

△

Aqu´ ı, el tri´ angulo es ABC , y el lado prolongado es BC hasta D. Entonces Euclides prueba que el ángulo exterior ∠ACD es mayor que el ángulo interior ∠CBA, y que el ángulo opuesto ∠BAC . 17. En un triángulo dado, la suma de dos ángulos cualquiera es menor que dos rectos (ver figura 26). A

B

C

D


20


En la figura 26, Euclides ha extendido el lado BC del triángulo ABC hasta D. Como ∠ACD es exterior al triángulo, entonces es mayor que el ángulo interior ∠CBA y que el opuesto ∠BAC .

△

Por lo tanto, ∠ACD + ∠ACB es menor que ∠CBA + ∠ACB . Pero ∠ACD + ∠ACB es igual a dos rectos; por lo tanto, ∠CBA+ ∠ACB es menor que dos rectos. 18. En un triángulo, el lado menor es opuesto al ángulo menor. 19. En un triángulo, el ángulo mayor es opuesto al lado mayor. 20. En un triángulo, la suma de dos lados cualquiera es mayor que el otro lado (ver figura 27). D A

B

C


En la figura 27, Euclides muestra que AB + B C es mayor que AC , siendo los otros casos de prueba similar. Esta proposici´ on, que hoy se conoce como la desigualdad triangular, se consideraba evidente en aquella época. Sin embargo, Euclides tuvo la claridad de distinguir que la percepción de verdad de un teorema es algo diferente de la prueba en s´ı misma. Hoy, la desigualdad triangular es tomada como axioma en la teor´ıa de espacios m´ etricos (ver volumen III: Optimización y dinámica). 21. Si sobre uno de los lados de un triángulo, y a partir de sus extremos, se trazan dos rectas que se corten dentro del tri´ angulo, la suma de las rectas as´ı trazadas ser´ a menor que la suma de los dos lados restantes del triángulo, pero el ángulo que comprendan será mayor (ver figura 28).

21

Lecci´ on 1: Geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griegas A

D

B

C


△

Desde los puntos B y C del lado BC del triángulo ABC , Euclides traza las “rectas” B D y DC que se cortan dentro de ABC en el punto D. Entonces prueba que B D + DC es menor que B A + AC , y tambi´ en muestra que ∠BDC es mayor que ∠BAC .

△

22. Con tres rectas, que sean iguales a tres rectas dadas, constrúyase un triángulo (por tanto, es necesario que la suma de dos cualesquiera de ellas sea mayor que la restante). 23. Sobre una recta dada y con vértice en un punto de ella, constr´ uyase un ángulo rectil´ıneo igual a otro dado. 24. Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales respectivamente a dos del otro, pero el ´ angulo comprendido por una de las parejas de lados es mayor que el de la otra pareja, entonces la mayor base la tendrá el triángulo de la pareja de mayor ángulo. 25. Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales, respectivamente, a dos del otro, pero la base del primero es mayor que la del segundo, el ángulo de la primera pareja de rectas ser´ a mayor que el de la segunda. 26. Si dos triángulos tienen dos ángulos de uno iguales, respectivamente, a dos del otro, y un lado igual a otro, es decir, los respectivos lados adyacentes a los ángulos iguales, o los respectivos lados opuestos a uno de los ángulos iguales, entonces tambi´ en tendrán los lados restantes del uno iguales a los lados restantes del otro, y el ángulo restante igual al otro ángulo restante.

22


27. Si una recta que atraviesa a otras dos, forma con éstas ángulos alternos iguales, las dos rectas serán paralelas (ver figura 29). E

A

B G

C

D

F


En la figura 29, la l´ınea recta es la que pasa por E y F , y que cae sobre las rectas AB y CD. All´ı, Euclides muestra que la igualdad de los ángulos alternos ∠AEF y ∠EF D, implica que las rectas AB y C D son paralelas. 28. Si una recta que atraviesa a otras dos, forma con una de éstas un ańgulo externo igual al interno y opuesto a la misma parte, o de la misma parte son iguales a dos rectos, las dos rectas serán paralelas. E A

G

B

H

D

C F


Aqu´ ı, la recta EF cae sobre AB y CD. Euclides muestra que si el ángulo externo ∠EGB es igual al ángulo interior y opuesto ∠GHD, o ∠BGH + ∠GHD es igual a dos rectos, entonces AB es paralela a CD. 29. Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con éstas ángulos alternos iguales, un ángulo externo igual al interno no adyacente del mismo lado de la transversal, y los ángulos internos del mismo lado de ésta son iguales a dos rectos.


23

Sólo hasta esta proposición 29, que es la rec´ıproca de la 27, llega Euclides a emplear el postulado quinto de las paralelas. Es normal que al analizar esta proposición se piense que se debe poder demostrar sin utilizar el quinto postulado, pues Euclides demuestra la proposición 27, que es su rec´ıproca, sin recurrir a tal postulado. Si eso pudiera hacerse, el quinto postulado ser´ıa un corolario inmediato de la proposici´ on 29. Y aunque muchos matem´ aticos propusieron “demostraciones” al postulado, hoy se sabe, y ya lo hab´ıamos mencionado antes, que aceptar otros postulados no equivalentes permite desarrollar otro tipo de geometr´ıas. 30. Las rectas paralelas a la misma recta son tambi´ en paralelas entre s´ı (ver figura 31). A

B

G

E

H

C

F

K

D


31. Trazar por un punto dado, una recta paral ela a otra dada (ver figura 32). E

B

A

D

F

C


32. En un triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ´ angulo externo formado es igual a la suma de los dos internos no adyacentes, y los tres ángulos internos del triángulo suman dos rectos (ver figura 33).

24

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos A

B

E

D

C


Aqu´ı, Euclides prueba que ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC , y también que ∠ABC + ∠BC A + ∠CAB es igual a dos rectos. 33. Las rectas que unen en la misma direcci ón los extremos de rectas iguales y paralelas, son paralelas e iguales. Obs´ ervese que esta proposici´ on garantiza la existencia de los paralelogramos, término que Euclides utiliza a partir de aqu´ı en sus proposiciones y construcciones. De otro lado, las proposiciones 27 a 33, junto con la 17, el quinto postulado, y la definici´ on de rectas paralelas, constituyen el núcleo de la teor´ıa de las paralelas en los Elementos. 34. En áreas paralelográmicas, los lados y los ´ angulos opuestos son iguales entre s´ı y el diámetro, o diagonal, biseca las ´ areas (ver figura 34). B

A

C

D


35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales 5 (ver figura 35). 5

Es decir, tienen la misma área.

Lecci´ on 1: Geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griegas D

A

E

25

F

G B

C


Aqu´ı, los paralelogramos son ABCD y EBCF . Euclides prueba que si tienen la misma base B C y las mismas paralelas AF y B C , entonces los dos paralelogramos tiene la misma ´ area. 36. Los paralelogramos que están sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales. 37. Los triángulos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales (ver figura 36). E

A D

F

B C Figura 36: Ilustración de la proposición 37

△

△

En la figura 36, los triángulos son ABC y DBC ; BC es la base común; y AD y BC son las mismas paralelas. Euclides muestra que aquellos triángulos tienen la misma área. 38. Los triángulos que están sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales. 39. Los triángulos iguales que están sobre la misma base y al mismo lado de ella tambi´ en est´ an entre las mismas paralelas. 40. Los triángulos iguales que están sobre bases iguales y al mismo lado de ellas están tambi´ en entre las mismas paralelas.

26


41. Si un paralelogramo tiene la base común con la de un tri´ angulo y ambos están entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo (ver figura 37).

A

D

E

B C Figura 37: Ilustración de la proposición 41

´ Aqu´ı, el paralelogramos es ABCD . Este, además de compartir la misma base con el triángulo EBC , está entre las mismas paralelas BC y AE que el triángulo EBC . Euclides muestra entonces que el paralelogramo ABCD es el doble del triángulo EBC . Esta proposición es, precisamente, el resultado que nos permite calcular áreas de triángulos. Es la que afirma, en términos de hoy, que el

△

△

△

´ area de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura (¿por qué?). 42. Construir, dentro de un ángulo rectil´ ıneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado. 43. En un paralelogramo, los complementos de los paralelogramos a un lado u otro de la diagonal, son iguales. 44. A una recta dada apl´ıquese, dentro de un ángulo rectil´ ıneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado. 45. Constrúyase, dentro de un ángulo rectil´ ıneo dado, un paralelogramo igual a una figura rectil´ınea dada. 46. Constrúyase sobre una recta dada un cuadrado (ver figura 38).


27

C D

E

A B Figura 38: Ilustración de la proposición 46

47. ( Teorema de Pitágoras) En triángulos rectángulos, el cuadrado sobre el lado opuesto al ´ angulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto (ver figura 39) 6 . G

H A

F

B

K

C

D

E L Figura 39: Teorema de Pitágoras

Esta proposición 47 se le atribuye, según la tradición, a Pitágoras. 6

Note que ésta no es m´ as que la expresión geom´ etrica de la identidad algebraica que hoy escribimos como 2 2 2 a =b +c donde a es la longitud de la hipotenusa, y b y c son las longitudes de los catetos del tri´ angulo rect´ angulo (ver final de la presente lección). Sin embargo, debe resaltarse aqu´ ı que la palabra hipotenusa que hoy utilizamos, no aparece en los Elementos pero s´ı en textos pitag´ oricos anteriores a Euclides. Por su parte, la palabra cateto proviene de la palabra latina cath´ ete que fuera utilizada por Nicolás Chuquet en el siglo XV.

28


Sin embargo, algunos matemáticos griegos como Proclo de Licia se lo atribuye al fundador de la escuela pitagórica. Veamos su prueba. Sea ABC un triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto ∠BAC . Mostremos que el cuadrado construido sobre BC es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre BA y AC . Para ello, construyamos sobre BC el cuadrado BDEC . Por A se traza la paralela AL a BD, y se une A con D, y F con C . Puesto que los ángulos BAC y BAG son rectos sobre BA en el punto A, las rectas AC y AG forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos; por eso CA es prolongación de AG. Y ya que el ´ angulo DBC es igual a F BA (pues cada uno es recto), al añadir ABC a ambos, tendremos que todo el DBA será igual a todo el F BC . Luego la base AD es igual a F C , y el triángulo ABD es igual al triángulo F BC . Mas el paralelogramo ABDL es el doble del triángulo ABD por tener la misma base BD, y estar entre las mismas paralelas BD y AL. Por otra parte, el cuadrado GF BA es el doble del triángulo F BC , pues tienen la misma base F B y están entre las mismas paralelas F B y GC . Por consiguiente, el paralelogramo ABDL es igual al cuadrado GF BA. Análogamente, trazadas AE y BK , Euclides demuestra que el paralelogramo ACEL es igual al cuadrado AHKC . Luego todo el cuadrado BDEC es igual a la suma de los dos cuadrados GF BA y AHKC . 48. Si en un tri´ angulo, el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los dos lados restantes del triángulo, el ángulo comprendido por los dos lados restantes del triángulo es recto (ver figura 40). B

A C E Figura 40: Ilustración de la proposición 48


29

Como hemos podido observar, las proposiciones ocupan la mayor parte de los Elementos. Note el extremo cuidado que tiene Euclides en los pasos que da, tratando que la obra sea inobjetable. Se constata f´ acilmente que este trabajo es una verdadera red en la que resulta dif´ıcil quitar o a˜ nadir algo sin cambiar todo el libro.

3.

Sobre el Libro II de los Elementos de Euclides

El Libro II de los Elementos, que contiene dos definiciones y catorce proposiciones, trata, fundamentalmente, de lo que se ha dado en llamar álgebra geométrica. De acuerdo con este punto de vista, los ge´ ometras griegos tomaron resultados algebraicos y los establecieron en términos geom´ etricos. Al menos esto era lo que afirmaban a finales del siglo XIX los influyentes matemáticos Hyeronimus Zeuthen y Paul Tannery. Sin embargo, en las ecadas esto se ha re-evaluado, pues se ha ido entendiendo que,últimas quizás, d´ no es hist´ oricamente válido. Las once primeras proposiciones se suelen interpretar como propiedades algebraicas cuando, en lugar de magnitudes de segmentos, se habla de cantidades. La proposición 1, por ejemplo, afirma que “Si hay dos rectas

y una de ellas se corta en varios segmentos, el rect´ angulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos” (ver figura 41). Obsérvese que e´sta no es más que una versión geom´ etrica un tanto confusa de la identidad algebraica a(b + c + d) = ab + ac + ad

a

c b d Figura 41: Ilustración de la proposición 1

30


Un ejemplo más es la proposición 2 que afirma que “Si se divide arbitrariamente una recta, la suma de los rectángulos contenidos en toda la recta y en cada una de las partes, es igual al cuadrado de toda la recta” que, algebraicamente, ser´ıa (a + b)a + (a + b)b = (a + b)2 Por su parte, en la proposici´ on 3, Euclides dice: “Si se divide arbitrariamente una recta, el rectángulo contenido en toda la recta y en una de las partes en que se halla dividida, es igual a la suma del rect´ angulo contenido en las dos partes, con el cuadrado de la parte ya considerada” .

a

a a

b


Esto, algebraicamente, es (ver figura 42) (a + b)a = ab + a2

“Si se corta arbitrariamente una l´ınea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rect´ angulo comprendido por los segmentos” (ver figura 43). Obsérvese que ésta, a su vez, no es Otro ejemplo de esto es la proposici´ on 4 que afirma que

más que la expresión geom´ etrica de la identidad algebraica (a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab a

b

b a+b a Figura 43: Ilustración de la proposición 4

31


Singularmente, en las proposiciones 12 y 13, Euclides presenta el que ser´ıa el equivalente geom´ etrico de la ley de cosenos 7 . La proposición 12 plantea que “En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado

opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ´ angulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso”. En la figura 44, Euclides prueba que sobre el tri´ ABC con ángulo obtuso ∠BAC , se tiene que

angulo obtusángulo

△

(BC )2 = (AB)2 + (AC )2

− 2AC AD

Note que esta ecuación no es más que la expresión geom´ etrica de la conocida identidad algebraica a 2 = b 2 + c2

− 2bc cos A 8

donde A =

∠BAC ,

a = BC , b = AB, c = AC , y AD = b cos A. B

D

A

C


De forma similar, en la proposici´ on 13 plantea que “En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado opuesto al ´ angulo agudo, es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ´ angulo agudo en dos veces el rect´ angulo comprendido por uno de los lados del ´ angulo agudo sobre el

que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo” (ver figura 45). 7

Ver la secci´ on de trigonometr´ıa al final de esta lecci´ on. Para la noción de coseno de un ángulo, ver la secci´ on de trigonometr´ ıa al final de la presente lecci´ on. 8

32

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos D

B

A

C


Finalmente, en la proposición 14, Euclides plantea el problema de “Construir un cuadrado igual a una figura rectil´ınea dada” . Claramente, este ser´ıa, en t´ erminos algebraicos, el problema de encontrar la solución a una ecuación cuadrática de la forma x 2 = a para a dada. Sin embargo, repetimos, Euclides presen ta estas proposicion es y sus demostraciones en forma puramente geom´ etrica: son problemas geom´ etri-

cos resueltos geom´ etricamente.

4.

Sobre el L ibro III d e los Elementos de Euclides

En el Libro III, Euclides estudia 11 definiciones y 37 proposiciones sobre los c´ırculos, y los sectores de c´ırculos. Algunas de las definiciones centrales son las siguientes: 1. Circunferencias iguales son aquellas cuyos diámetros son iguales, o los radios son iguales. 2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada, no corta a la circunferencia ulteriormente (ver figura 46). A

Figura 46: Tangente a una circunferencia


33

3. Dos c´ırculos se dicen tangentes entre s´ı, si teniendo un punto común no se cortan (ver figura 47).

A

Figura 47: C´ırculos tangentes

6. Un segmento de un c´ırculo es la figura comprendida por una recta y una circunferencia de un c´ırculo (ver figura 48). D

B

C

Figura 48: Segmento de un c´ırculo

7. Un ´ angulo de un segmento es el que está comprendido por una recta y una circunferencia de un c´ırculo. 10. Un sector de un c´ırculo es la figura constituida por dos radios del c´ırculo y el arco que ellos interceptan. Y algunas de las proposiciones centrales son las siguientes: 1. Dado un c´ırculo encontrar su centro. 3. Si en el c´ırculo, una recta conducida por el centro corta a otra que no pasa por el centro, en dos partes iguales, entonces es perpendicular a ella. Y viceversa, si es a ella perpendicular, la corta en dos partes iguales (ver figura 49). C

A

E B D Figura 49: Ilustración proposición 3

34


9. Si dentro de un c´ırculo se toma un punto cualquiera y desde este punto se pueden conducir hasta su encuentro con la circunferencia más de dos rectas iguales, aquel punto es el centro del c´ırculo. 10. Dos c´ırculos no se cortan en más de dos puntos. 11. Si dos c´ırculos se tocan interiormente, la recta que une sus centros prolongada encuentra a la circunferencia en el punto de contado (ver figura 50).

O

′

O

Figura 50: Ilustración proposición 11

15. En un c´ırculo, el di´ ametro es la recta mayor y, de las dem´ as, la más próxima al centro es siempre mayor que la m´ as lejana (ver figura 51).


17. Desde un punto dado, dibujar una l´ınea recta tangente a un c´ırculo dado. 18. Si una recta es tangente a un c´ırculo y del centro se dirige una recta hasta el punto de contacto, tal recta es perpendicular a la tangente (ver figura 52).


D

B A

35

F C


20. En un c´ırculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos comprenden el mismo arco (ver figura 53). C

A

O B


Sin embargo, varias de las proposiciones de este Libro III no se consideran completamente satisfactorias, y a algunas de las pruebas les falta claridad y rigor. De hecho, los textos de geometr´ıa modernos no presentan el material de la forma en que Euclides lo hace en el Libro III.

5.

Sobre el L ibro IV de l os Elementos de Euclides

El Libro IV consta de 7 definiciones y 16 proposiciones (todos problemas, ningún teorema). All´ı Euclides se interesa por las figuras inscritas (en) y circunscritas por c´ırculos. Todas las proposiciones aqu´ı son, de hecho, construcciones a realizar que consisten en cuatro ejercicios: el primero es inscribir una figura dada dentro de un c´ırculo; el segundo es circunscribir

36


una figura dada alrededor de un c´ırculo; el tercero es, dada una figura, inscribir un c´ırculo; y el cuarto es, dada una figura, circunscribir un c´ırculo. Y estos cuatro ejercicios los hace para triángulos de cualquier forma (proposiciones 2 a 5), para el cuadrado (proposiciones 6 a 9), para el pentágono regular (proposiciones 11 a 14), y para un pol´ıgono regular de 15 lados (proposición 16). Todas son construcciones pitagóricas, es decir, sólo con regla y compás. Este libro es el más sencillo de todos los anteriores. Aqu´ı, Euclides describe exactamente cómo se pueden construir estos pol´ıgonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Y aunque no lo mencione, a partir de esos pol´ıgonos es fácil dibujar también los de 8, 10, 12 o 16 lados, ya que bastar´ıa trazar las bisectrices de los ángulos centrales de las figuras halladas. Faltar´ıan, por ejemplo, las construcciones de los pol´ıgonos de 7, 9, 11, 13, 17, 19 lados, y los que se obtendr´ıan por bisección del ángulo central, a partir de ellos. Euclides nada dice de esas figuras, pero hoy se sabe que esos p ol´ıgonos, con una sola excepción, no se pueden construir con regla y compás: esa excepción es el pol´ıgono regular de 17 lados. Karl F. Gauss, en 1796 (aunque en 1801), queun únicamente se pueden construir con publicado regla y compás los demostr´ pol´ıgonoso de número n k impar de lados, cuando los factores primos de n son de la forma 2 2 + 1. As´ı, Euclides muestra la forma de dibujar con regla y compás todos los pol´ıgonos regulares de 15 o menos lados para los que esto es posible. Sin embargo, no explica, cómo se puede trazar, sólo con regla y compás, el 2 pol´ıgono regular de 17 = 22 + 1 que Gauss demostró que era posible.

6.

Sobre el Libro V de los Elementos de Euclides

En el Libro V, a trav´ es de 18 definiciones y 25 proposiciones, Euclides presenta una exposición magistral de la teor´ıa de las proporciones (que la tradición ha atribuido a Eudoxio (? 355 a.C)) y que es necesaria para poder definir figuras semejantes. En los libros anteriores s´ olo se discute sobre figuras iguales, mayores o menores; ahora se estudia la noci´ on de semejanza. Dos de las más importantes definiciones en este libro son la cuarta y la quinta. La cuarta afirma que dos magnitudes tienen una proporción


37

(ratio) entre s´ı, cuando es posible que, multiplicando una de ellas, exceda a la otra. Es decir, en términos de hoy, que A y B tienen una proporción si A : B :: m : n para números enteros m y n (y que se lee “ A es a B como m es a n”). Este es, esencialmente, el hoy conocido como

axioma arquimediano de los números, pero que el mismo Arqu´ımedes, posteriormente, atribuir´ıa a Eudoxio. La quinta definición, relativa a magnitudes que están en la misma proporci´ on, afirma:“Se dice que una primera magnitud guarda la misma proporci´ on con una segunda, que una tercera con una cuarta, cuando cualquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par, o resulten inferiores a la par, que cualquier equim´ ultiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente, y tomados en el orden correspondiente”. Es decir, en términos de hoy, que A y B están en la misma proporción que C y D (A : B :: C : D) si dados cualquier dos enteros positivos m y n, mC < nD cuando mA < nB ; mC = nD cuando mA = nB; y mC > nD cuando mA > nB . Otras definiciones presentan denominaciones que aún hoy se utilizan en algunos textos cuando discuten acerca de transformaci´ on de proporciones: antecedente, consecuente, y diferentes nombres a la igualdad entre razones dependiendo de las posiciones de los antecedentes y consecuentes dentro de la proporción: proporción alterna, proporción inversa, etc. Todas las proposiciones del Libro V están dirigidas al estudio de múltiplos de magnitudes, proporción de magnitudes y magnitudes en proporciones dadas. De ellas, la mayor´ıa son obvias si utilizamos la notación moderna. De hecho, Euclides mismo, a menudo, utiliza letras en reemplazo de las magnitudes. Dos ejemplos de esto son los siguientes: Proposición 4): Si A : B :: C : D, entonces mA : nB :: mC : nD, para todos los enteros positivos m y n, y Proposición 17): Si A : B :: C : D, entonces (A B) : B :: (C D) : D.

−

−

Sin embargo, cabe advertir que en las proposiciones, Euclides emplea magnitudes y equimúltiplos de ellas. Nunca se mencionan ni números ni fracciones como nosotros los entendemos hoy en d´ıa. De hecho, las demostraciones están acompañadas de dibujos que son siempre segmentos.

38


7.

Sobre el L ibro VI de l os Elementos de Euclides

El Libro VI de los Elementos trata de figuras rectil´ıneas semejantes, y extiende la t´ ecnica de transformaci´ on de áreas desarrollada en el Libro I a la manera de la aplicaci´ on de áreas. La primera definición de este libro establece que figuras rectil´ıneas semejantes son aquellas que tienen sus ángulos iguales, y los lados que forman estos ´ angulos, proporcionales. Obs´ ervese c´ omo la teor´ıa de las figuras semejantes depende de la noción de proporción, y esta es la razón por la que los teoremas de semejanza no aparecen en el Libro I: se requer´ıa el Libro V. En el caso particular de los triángulos, y en lenguaje moderno, lo anterior AB BC CA se puede leer como: Si α = α ′ , β = β ′ y γ = γ ′ y ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ A B ′ ′ B′ C CA entonces el triángulo AB C es semejante al triángulo A B C (ver figura 54). C

′

′

C

γ

γ α A

β

α

′

B A

′

β

′

B

′

Figura 54: Triángulos semejantes

En la proposición 1, Euclides prueba que los tri´ angulos de la misma altura son uno a otro como sus bases . La segunda proposición afirma que trazando una paralela a la base de un triángulo, los segmentos que se determinan en los lados son proporcionales. Las proposiciones 4 a 7 se refieren a triángulos semejantes. Esta es la teor´ıa básica que aparece en los textos de geometr´ıa del Bachillerato. A partir de la novena proposición, Euclides trata de la división de una l´ınea en partes proporcionales, explic´ andose cómo se obtiene la tercera proporcional de dos segmentos y la cuarta proporcional de tres segmentos. En la proposición 13 se muestra la forma de encontrar la media proporcional de dos segmentos. A estas proposiciones se les podr´ıa encontrar


39

una interpretación geom´ etrica simple. Por ejemplo, hallar la cuarta proporcional, es hacer una t´ıpica regla de tres; y la media proporciona l es equivalente a calcular la ra´ız cuadrada, ya que, en notaci´ on de hoy, si a : x :: x : b entonces x2 = ab, y as´ıx = ab. Sin embargo, nuevamente, no podemos perder de vista que el planteamiento y la soluci´ on de Euclides era puramente geom´ etrica.

√

Otro ejemplo: La proposición 16 afirma que: “Si cuatro l´ıneas son pro-

porcionales, el rectángulo hecho de las extremas será igual al de las medianas; y si el de estas es igual al de las extremas, las cuatro l´ıneas serán proporcionales”. En lenguaje algebraico actual esto es, simplemente, la conocida propiedad de las fracciones que dice que si ad = bc.

a c = entonces b d

En las proposiciones 27, 28 y 29 se mencionan propiedades de unos paralelogramos construidos sobre un segmento dado, que resultan extraños y su utilidad no es clara. Sin embargo, en lenguaje algebraico de hoy podr´ıan equivaler a las soluciones de las ecuaciones cuadráticas ax bx2 = c y ax + bx2 = c. Curiosamente, en la proposición 31 de este libro, Euclides plantea una generalizaci´ on del teorema de Pitágoras que ya hab´ıa establecido en el Libro I: En triángulos con un ángulo recto, la figura sobre el lado que

−

subtiende al ángulo recto, es igual a [la suma de las áreas de] las figuras de manera similar descritas sobre los lados que contienen el ángulo recto. Al parecer este teorema es del propio Euclides.

8.

Sobre el Libro VII de los Elementos de Euclides

En este libro, que consta de 22 definiciones y 39 proposiciones, Euclides establece la teor´ ıa de números pitagórica. En él, introduce los conceptos de unidad y n´ umero; explica cuándo un número es divisor o no de otro número; define los números pares e impares, junto con otros números como los parmente par (pares multiplicados por pares), imparmente par (impares multiplicados por pares), o imparmente impar (impares multiplicados por impares), que hoy ya no se utilizan; define lo que son los números primos y los números compuestos. Los números primos son aquellos que no pueden escribirse como el producto de dos

40


números menores que ellos ; los números 5 y 7 son primos pero no lo

·

·

son los números 14 = 7 2 ó 39 = 13 3. Una lista de n´ umeros primos es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... . Sin embargo, Euclides no considera al número 1 como número primo. Los números compuestos son aquellos que son producto de n´ umeros primos. Más adelante, expone lo que es multiplicar un n´ umero por otro y, con esta noci´ on de multiplicaci´ on, define los números planos (el producto de dos números); cuadrados (el producto de dos números iguales); sólidos (el producto de tres números); y cubos (el producto de tres n´ umeros iguales); finaliza con la noción de número perfecto como el que “es igual a sus propias partes”(es decir, números iguales a la suma de sus divisores, tal como 28=1+2+4+7+14). Estas definiciones sirven como base para los Libros VII, VIII, y IX (llamados los libros aritm´ eticos ) y que son, casi enteramente, independientes de los primeros seis libros. Comienza, como dijimos, con la definición 1 de unidad que es aquella en virtud de la cual cada una de las cosas que existen es llamada uno . En la definici´ on 2 establece que un número es una multitud compuesta de uniorico de número sólo incluye a los números dades. As´ı, el concepto pitag´

mayores que 1. Las proposiciones 2 y 3 presentan un m´ etodo para encontrar el máximo común divisor de dos y tres n´ umeros, respectivamente. Las proposiciones 4 a 20 establecen la teor´ıa pitagórica de la proporción basada en números conmensurables, es decir, en números que tienen un divisor com´ un. En las proposiciones 21 hasta 32 se estudian los n´ umeros primos y los primos relativos. Los m´ınimos com´ un múltiplos se discuten en las proposiciones 34 hasta 39; aqu´ı aparece el problema de encontrar el m´ınimo com´ un múltiplo de dos o tres números.

9.

Sobre el Libro VIII de los Elementos de Euclides

Las proposiciones del Libro VIII tratan, en su mayor´ıa, de n´ umeros en “proporción continua”; es decir, de números en progresión geométrica. En las primeras proposiciones se estudian progresiones que en nuestra notaci´ on de hoy se establecer´ ıan, algunas, de la forma b,ab 2 , a2 b3 , a3 b4 ,... y cuya razón entre un t´ ermino y el que lo antecede es siempre ab. En las proposiciones 8, 9 y 10 se indica la forma de interpolar entre dos números

41


dados, varios n´ umeros en progresión geom´ etrica. Hasta la proposici´ on 23 se indican propiedades de progresiones en las que los números son planos, cuadrados, sólidos o cubos. En las ´ ultimas proposiciones del libro se explica que cuando la razón entre dos números es igual a la razón entre dos cuadrados, si uno de los dos es cuadrado, entonces el otro tambi´ en lo es. Finalmente, se demuestra la misma propiedad con cubos y con números planos.

10.

Sobre el Libro IX de los Elementos de Euclides

El Libro IX (el último de los libros aritm´ eticos ) contiene 36 proposiciones que se ocupan, principalmente, de la multiplicación y clasificación de los números de acuerdo a progresiones geométricas a partir de la unidad. Comienza estudiando los n´ umeros planos y sólidos, y las propiedades que tienen estos productos. Por ejemplo, la proposición 1 afirma una versión de que si un número cuadrado se multiplica por otro n´ umero cuadrado, el producto será tambi´ en un n´ umero cuadrado. Y la proposición 5 afirma, expl´ıcitamente, que si un número cubo se multiplica por otro n´ umero cubo, el producto será tambi´ en un n´ umero cubo. A partir de la proposición octava se estudian progresiones geom´ etricas que comienzan en la unidad, demostrando, en la proposici´ on 14, el que hoy se conoce como el teorema fundamental de la aritm´ etica que afirma que cualquier número puede descomponerse en factores primos de una sola forma: “Si un número es el menor medido por números primos no

será medido por ningún otro número primo fuera de los que le med´ıan umero puede factorizarse, paso a desde el principio” (es decir, cualquier n´ paso, hasta que se haya reducido a un producto único de números primos. Ejemplos de esto son 6 = 2 3, 15 = 5 3, 24 = 3 2 2 2, 30 = 2 3 5).

·

·

· · ·

· ·

En la proposición 20, Euclides afirma que los números primos son más que cualquier cantidad propuesta de números primos, y lo prueba de una forma simple e ingeniosa que, en notación de hoy, se puede explicar as´ı: los números 3, 6, 9, 12, 15, 18,... son todos múltiplos de 3; a su vez, los números 4, 7, 10, 13, 16, 19,... que son los múltiplos de 3 aumentado en 1, no son divisibles por 3. De la misma forma, los múltiplos de 5 aumentado en 1 no son divisibles por 5; y lo mismo es cierto para 7, para 11, etc.

42


Despu´ es, Euclides anota lo que hoy podr´ıamos escribir as´ı: 2 3+1=7

· ·· 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2 , 311 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30 , 031 2 3 5 + 1 = 31

etc. Es decir, los dos primeros primos, los tres primeros primos, etc., se multiplican conjuntamente y luego se les agrega 1. Despu´ es observa que ninguno de estos números es divisible por ninguno de los primos que se utilizan para formarlo. Aplicando el mismo argumento, sea p cualquier número primo y formemos el producto de todos los primos desde 2 hasta p y le agregamos 1. Entonces obtenemos el número N = (2 3 5 7 11 . . . p ) + 1

· · · · · ·

Observemos que ninguno de los primos 2, 3, 5,..., p divide a N , as´ı que N debe ser un número primo (mucho más grande que p) o todos los factores primos de N son diferentes de 2, 3, 5,..., p. Cualquiera que sea el caso, siempre podremos encontrar un primo más grande que p: no importa qu´ e tan grande sea un n´ umero primo, siempre p odremos encontrar otro número primo más grande que él. Desde la proposición 21 hasta la 34, Euclides discute sobre la suma, la resta, la multiplicación y división de números pares e impares. En la proposición 35 indica la forma de encontrar la suma de los términos de una progresión geom´ etrica: “Si tantos n´ umeros como se quiera son conti-

nuamente proporcionales, y se quitan del segundo y del ´ ultimo, números iguales al primero, entonces el exceso del segundo es al primero, como el exceso del último será a todos los anteriores” . Y aunque esta no es la formaondeque expresarlo hoy ıamos en d´ıa, la descripci´ es correcta: Dadafijo, la progresi´ hoy escribir´ como an = r n ,on para r un número y n = 1, 2, 3,... , Euclides afirma que si S n = a 1 + a2 + ... + an entonces a2

− a1 = an − a1

a1

Sn−1


43

y esto, a su vez, es equivalente a Sn−1

=

a1 Pero como an = r n , entonces Sn−1 =

− a1 a2 − a1

an

rn r r 1

− −

que es una fórmula (hoy con recurrencia utilizada) que describe la suma de n t´ erminos en progresión geom´ etrica. La proposición 36 es famosa porque explica cómo se pueden obtener los números perfectos: “Si tantos números como se quiera a partir de una

unidad, se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total sea un número primo, y ese total se multiplica por el ´ ultimo, el producto será perfecto”. A la manera de hoy, esta proposici´ on afirma que para n = 1, 2, 3,... , el número N = (2n+1 1)2n es un número perfecto si 2n+1 1 es un número primo. As´ı, N = 6 (para n = 1), N = 28 (para

−

−

n = 2), N = 496 (para n = 4), N = 8,128 (para n = 6)..., son números perfectos. Hay cierta evidencia de que Euclides reconoc´ıa que no hab´ıa más números perfectos que aquellos dados por él mediante la descripción de la proposición 36, pero no se conoce prueba alguna de esto en los antiguos griegos. No obstante, es cre´ıble que s´ı lo hayan hecho, pues Leonhard Euler lo probó en el siglo XVIII utilizando f´ ormulas contenidas, esencialmente, en este libro de Euclides. De todas maneras, el problema de los números perfectos y los teoremas concernientes a ellos que se probaron después de Euclides, no son considerados hoy más que una curiosidad matemática. De nuevo, debemos advertir que en los tres libros aritméticos de Euclides, los números siempre se representan mediante segmentos. En la redacci´ on srcinal no se inclu´ıan ejemplos con números, aunque en versiones posteriores los traductores explicaban los resultados con valores num´ ericos. Aqu´ ı, el rigor es el de la geometr´ ıa de los libros anteriores:no

existe un desarrollo axiomático de la aritm´ etica en Euclides como s´ı lo tuvo para la geometr´ıa. Sin embargo, se cree que se escribieron algunos textos de Elementos de Aritm´ etica en la antigua Grecia, que desafortunadamente hoy están perdidos, aunque, probablemente, no incluir´ıan las esperadas “reglas aritm´ eticas del comercio” tales como la regla de tres

44


simple y compuesta, pues es sabido que las matem´ aticas aplicadas en Grecia se consideraban propias de mercaderes y no de matem´ aticos.

11.

Sobre el Libro X d e los Elementos de Euclides

La mayor parte de este libro está dedicada a la clasificación de las magnitudes conmensurables (racionales) e inconmensurables ( irracionales); es decir, de los segmentos de recta que son medibles respecto a alg´ un segmento rectil´ıneo dado, y los que no lo son, respectivamente. Las nociones de Euclides de las magnitudes racionales e irracionales son un tanto diferentes de las que hoy conocemos. De hecho, de acuerdo con la definici´ on 1, Euclides afirmaba que “se llaman magnitudes conmensura-

bles a aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables a aquellas de las que no es posible hallar una medida com´ un”. Al parecer, buena parte de toda esta teor´ıa se debe a Theaetetus [425369], pero Euclides la completó, ordenó y finalizó. Se le considera el más dif´ıcil de los trece libros (en traducci´ on e interpretación), y es el m´ as extenso en número de proposiciones: 115. Sin embargo, la mayor parte de sus proposiciones no tienen hoy en d´ıa mayor inter´ es pues actualmente se estudian los n´ umeros irracionales con procedimientos más directos que los desarrollados en este libro.

12.

Sobre el Libro XI de los Elementos de Euclides

En los tres libros finales, Euclides se concentra en la geometr´ıa del espacio. En el XI, establece 28 definiciones y 39 proposiciones, en donde se precisan los ob jetos y relaciones habituales de la geometr´ıa del espacio tales como rectas y planos; paralelismo y p erpendicularidad; ángulos diedros y poliedros; pirámide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, octaedro, icosaedro, y dodecaedro. En este libro, Euclides se aparta de la tradición en muchas de sus definiciones de figuras sólidas. Por ejemplo, Aristóteles define una esfera como un sólido cuyos “extremos son equidistantes de su centro”. Euclides, por su parte, en la definici´ on 14,

45


establece que una esfera es una figura descrita por la revoluci´ on de un semic´ ırculo alrededor de su di´ ametro fijo. Y se dan definiciones similares basadas en movimientos, tanto para el cono (definici´ on 18) como para el cilindro (definición 21). Veamos, expl´ıcitamente, algunas de estas definiciones: 1. Un s´ olido es aquello que tiene longitud, anchura y profundidad. 2. Y el extr emo de un sólido es una superficie. 3. Una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano. 4. Un plano es ortogonal a otro plano cuando las rectas dibujadas en uno de los planos formando ´ angulos rectos con la intersección común a los dos planos, forman ´ angulos rectos con el plano que queda (ver figura 55).

Figura 55: Planos ortogonales

5. Cuando desde el extremo de una recta elev ado sobre un plano se dibuja una perpendicular al plano y se traza otra recta desde el punto que va hasta el extremo que está en el plano de la primera recta, el ángulo comprendido por la recta dibujada y la que est´ a sobre el plano, es la inclinaci´ on de la recta con respecto al plano. 6. La inclinación de un plano respecto a otro plano, es el ´

angulo

dibujadas un mismo forman do angulos rectospor ćomprendido conlas la rectas sección común aa cada uno depunto los planos. 7. Se dice que un plano se inclina sobre un plano de manera semejante a como otro plano se inclina sobre otro, cuando los ´ angulos de inclinaci´ on son iguales entre s´ı.

46


8. Planos paralelos son los que no concurren (ver figura 56).

Figura 56: Planos paralelos

9. Figuras sólidas semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número. 10. Figuras s´ olidas iguales y semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número y tamaño. 11. Un ángulo s´ olido es la inclinación de más de dos l´ıneas que se tocan entre s´ı, y no est´ an en la misma superficie respecto a otras l´ıneas. O dicho de otra manera: Un ángulo sólido es el que está comprendido por más de dos ángulos planos construidos en el mismo punto, sin estar en el mismo plano (ver figura 57).

´ Figura 57: Angulo sólido

12. Una pir´ amide es la figura sólida comprendida por planos, construida desde un plano a un punto (ver figura 58).

Figura 58: Pirámide


47

13. Un prisma es una figura sólida comprendida por planos, dos de los cuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientras que los demás planos son paralelogramos (ver figura 59).

Figura 59: Prisma

14. Cuando, estando fijo el diámetro de un semic´ırculo, se hace girar el semic´ırculo y se vuelve de nuevo a la misma posición inicial, la figura comprendida es una esfera (ver figura 60).

Figura 60: Esfera

15. Y el eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a la que gira el semic´ ırculo. 16. Y el centro de la esfera es el mismo que el del semic´ırculo. 17. Y el di´ ametro de la esfera es cualquier recta dibujada a través del centro y limitada en las dos direcciones por la superficie de la esfera. 18. Cuando, estando fijo uno de los lados que compr enden el ángulo recto de un triángulo rectángulo, se hace girar el tri´ angulo y se vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cono. Y si la recta que permanece fija es igual a la que queda del ángulo recto, el cono será rectángulo, y si es menor, obtusángulo, y si es mayor, acutángulo (ver figura 61).

48


Figura 61: Conos acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

19. Y el eje del cono es la recta que permanece fija. 20. Y la base del cono es el c´ırculo que describe la recta que gira. 21. Cuando estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un paralelogramo rectángulo, se hace girar el paralelogramo y vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cilindro (ver figura 62).

Figura 62: Cilindro

22. Y el eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a la que gira el paralelogramo. 23. Y las bases son los c´ırculos descritos p or los dos lados opuestos que giran. 24. Conos y cilindros semejantes son aquellos en los que los ejes y diámetros de las bases son proporcionales. 25. Un cubo es la figura sólida que está comprendida por seis cuadrados iguales (ver figura 63).


49

Figura 63: Cubo

26. Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros (ver figura 64).

Figura 64: Octaedro

27. Un icosaedro es la figura sólida comprendida por veinte triángulos iguales y equiláteros (ver figura 65).

Figura 65: Icosaedro

28. Un dodecaedroes la figura sólida comprendida por doce pentágonos iguales equiláteros y equiángulos. Es p osible que estas definiciones est´ en tomadas de alg´ un texto anterior y que Euclides no las corrigiera con tanto rigor como las del primer Libro. Eso podr´ıa explicar tambi´ en el que establezca algunas definiciones que luego no utiliza.

50


En las primeras proposiciones demuestra que una recta no puede tener segmentos en dos planos paralelos, y que dos rectas que se cortan determinan un plano. En la tercera se afirma que dos planos que se cortan definen una recta. Le siguen varias proposiciones dedicadas a estudiar el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas, entre rectas y planos, y entre planos. Desde la proposición 20 hasta la 26 se estudian los ángulos sólidos, y desde la proposici´ on 27 hasta la última, los paralelep´ıpedos y los prismas. La proposición 34, por ejemplo, afirma que si dos paralelep´ıpedos son iguales, es decir, tienen el mismo volumen, sus bases son inversamente proporcionales a sus alturas. Algunas de estas proposiciones sirven como lemas a proposiciones en el Libro XII.

13.

Sobre el Libro XII de los Elementos de Euclides

El Libro XII está dedicado a la obtención del área del c´ırculo y los vol´ umenes de los sólidos más corrientes: pir´ amides, conos y cilindros . En este libro, Euclides emplea el m´ etodo de exhausción de Eudoxio (es decir, inscribiendo o circunscribiendo en el sólido, otras figuras (sólidas) de las que se conocen ciertas propiedades esenciales, y haciendo cada una de estas figuras más y más próximas a la figura srcinal), por lo que algunos creen que, en su mayor parte, se debe al mismo Eudoxio. Las proposiciones 1 y 2 sirven para demostrar que los c´ırculos son proporcionales al cuadrado de sus diámetros. Esto lo hace (recurriendo al m´ etodo de exhausci´ on) inscribiendo pol´ıgonos (cuadrados, octágonos, pol´ıgonos de 16 lados, etc.) y mostrando que todos estos pol´ıgonos, a su vez, satisfacen la condición de que son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros. r

´ Figura 66: Area de un c´ırculo

51


Y esta proposición, a su vez, servir´ ıa para mostrar, en términos de hoy, que existe una constante que notamos π (y se lee “pi” ) tal que [Area ´ del c´ırculo de radio r] = πr 2 Sin embargo, Euclides nunca estableció la constante de proporci´ on π, ni una fórmula como esta. Como señalaremos adelante, este trabajo lo comenzar´ ıa a establecer posteriormente Arqu´ımedes en su trabajo cl´ asico Medidas de una circunferencia, a mediados del siglo III a.C. En las proposiciones 3, 4 y 5, Euclides demuestra, tambi´ en por el método de exhausción, que las pirámides de igual altura y base triangular tienen el volumen proporcional a sus bases. Para complementar esto, en las proposiciones de la 6 a la 9, también p or exhausción, Euclides relaciona los volúmenes de los prismas con los de las pirámides, y establece lo que en notación algebraica actual ser´ıa: [Volumen de un cubo] = base por altura = ( l l) l = l 3

· ·

[Volumen de un prisma] = base por altura [Volumen de una pirámide] =

1 base por altura 3

altura l l

base

l

Figura 67: Volumen de un cubo y de un prisma

altura base Figura 68: Volumen de una pirámide

52


La proposición 10 muestra que el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro que tiene la misma base y altura ( h). Es decir, en notación algebraica actual, [Volumen de un cilindro] = base por altura = ( πr 2 ) h

·

[Volumen de un cono] =

1 base por altura = 3

 · 1 2 πr 3

h

Y en las proposiciones siguientes, hasta la 16, se estudia la relación entre el volumen y las bases o las alturas en los conos y en los cilindros.

altura

base

Figura 69: Volumen de un cono

En la proposición 18 establece una relación que ayuda a determinar el volumen de la esfera: “Las esferas son entre s´ı como las razones triplicadas de sus diámetros” (aqu´ı triplicadas significa, en términos de hoy, cúbicas). Pero tampoco en este caso podr´ıa indicar una expresión tal como se escribe actualmente: [Volumen de una esfera de radio r] =

4 3 πr 3

Euclides, dada la tradicional dicotom´ıa de los griegos clásicos entre magnitud y número, sólo señala la proporcionalidad entre las magnitudes que intervienen. Este resultado ser´ıa establecido posteriormente tambi´ en por Arqu´ımedes quien afirmaba en Sobre la Esfera y el Cilindro que el volumen de la esfera es 2 /3 del volumen del cilindro circunscrito. Y, a su vez, afirmaba que el área de la superficie de la esfera es 2 /3 de la superficie total del cilindro circunscrito; es decir, en notaci´ on algebraica de hoy, [Superficie de una esfera de radio r] = 4 πr 2 o, en otra forma, el área de la superficie de una esfera es igual a 4 veces el área del c´ırculo m´ aximo de ésta.


53

d r

Figura 70: Esfera y cilindro

Y es que la dificultad principal al tratar de especificar los vol´ umenes de estos sólidos, ten´ıa que ver no s´ olo con la concepci´ on griega de número, sino tambi´ en con que los métodos de l´ımites estaban en su infancia. S´ olo el m´ etodo de exhausción de Eudoxio permit´ıa hacer algunos cálculos de este tipo. Y la t´ ecnica que generaliza el método de exhausci´ on, que es el c´ alculo integral, estaba aún lejos: en el siglo XVII de Isaac Newton y Gottfried Leibniz (ver volumen II: Cálculo).

14.

Sobre el Libro XIII de los Elementos de Euclides

El Libro XIII consta de 18 proposiciones en las que Euclides construye los cinco sólidos regulares ( tetraedro (cuatro lados), cubo (seis lados), octaedro (ocho lados), dodecaedro (doce lados), icosaedro (veinte lados) ). Se asume que una parte importante de este trabajo est´ a basado en uno previo de Aristaeus. Por su parte, Proclo, reconocido comentador de Euclides, afirmaba que el objetivo de los Elementos era, precisamente, la construcción de estas “figuras plat´ onicas”, basado en la creencia de que Euclides era platonista. 9 Sin embargo, no hay una base seria que apoye esta afirmación: las proposiciones de este libro ten´ıan que ir al final porque depend´ıan importantemente del resto de libros. Además, la mayor parte de los temas que trata Euclides en los Elementos nada 9

Nombre que proviene del filósofo griego Platón que vivió entre los siglos IV y V a.C.

54


tienen que ver con estos cinco sólidos. Al parecer, este último libro no tiene un peso especial en el conjunto de la obra.

Figura 71: Cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.

En las primeras proposiciones del Libro XIII, Euclides estudia ciertos problemas planos que le sirven de base para las construcciones posteriores. En la proposición 13 muestra cómo inscribir un tetraedro en una esfera; en la proposición 14 inscribe un octaedro; en la 15 un cubo; en la 16 un icosaedro; y en la 17 un dodecaedro. La ´ ultima proposición est´ a dedicada a comparar entre s´ı los lados de las cinco figuras regulares y all´ı, finalmente, demuestra que no hay más sólidos regulares que esos cinco (ver figura 71).

15.

Final

A pesar de que los Elementos tienen una precisión y una claridad inesperadas en una obra escrita hace más de 2400 años, poco a poco se han ido descubriendo numerosas lagunas en su sistema de postulados y axiomas, como hemos resaltado en algunos puntos anteriores. Pero habr´ıa


55

que esperar hasta finales del siglo XIX para que se desarrollaran estructuras axiomáticas de la geometr´ıa diferentes a la euclidiana, más acordes con la creciente exigencia de rigor matemático. De hecho, en el sistema axiomático de la geometr´ ıa m´ as difundido y aceptado hoy en d´ıa que es el de David Hilbert [1862-1943], publicado en el a˜ no 1899 en su trabajo Fundamentos de la Geometr´ ıa, no se diferencia entre nociones comunes y postulados y no se incluyen definiciones; además, contiene el llamado axioma de las paralelas en una versión equivalente popularizada por John Playfair [1748-1819] que afirma que “ Por un punto dado que no esté en una recta dada s´ olo se puede trazar una única recta paralela”. Es de observar aqu´ı que sin cambiar los objetos y palabras primitivos es posible encontrar otros grupos de axiomas básicos a partir de los cuales se puedan deducir los mismos teoremas y proposiciones de Euclides, pues, en una misma teor´ıa, un axioma se puede considerar una proposición con respecto a otro grupo distinto de axiomas. Y tambi´ en se pueden cambiar los objetos y palabras primitivos y elaborar teor´ıas diferentes. Esta observación ha sido central en el desarrollo de las matemáticas modernas. Sin duda, el trabajo geom´ etrico de Euclides ha jugado un papel definitivo en la forma como entendemos hoy las matem´ aticas. 10 Muy pocos libros en el mundo han tenido el impacto y la duraci´ on de los Elementos de Euclides. Y aunque las matemáticas han continuado su avance, y nuestra comprensión de los fundamentos de la geometr´ıa se ha ampliado notablemente, los Elementos llegaron a ser (y siguen siendo) el modelo de un libro de matemáticas puras.

16.

Geometr´ıa y aritm´ etica griega alejandrina

La aritm´ etica de los Elementos no tiene, como vimos, una estructura axiomática similar a la de la geometr´ ıa. Adem´ as, no tuvo la misma utilidad para las matemáticas aplicadas que la parte dedicada a la geometr´ıa. As´ı, el aporte de los griegos cl´ asicos a problemas aritm´ eticos prácticos no fue imp ortante comparado con su aporte al pensamiento geom´ etrico formal. Alrededor del año 300 a.C., a la civilizaci´ on griega clásica le siguió lo 10

Si el lector está interesado en realizar un estudio adicional de la geometr´ıa plana y del espacio, recomendamos el texto “Curso de Geometr´ıa” (1958), Reuni´ on de Profesores, Leigel, Par´ ıs.

56


que se conoce como la civilizaci´ on griega de Alejandr´ ıa, que surgir´ıa en aquella ciudad egipcia luego de que las campañas conquistadoras de Alejandro Magno desplazaran la Grecia antigua e hicieran de Alejandr´ıa el centro del mundo helénico y de todo su imperio. Esta fusión entre la Grecia clásica y las civilizaciones egipcia, babilónica e india produjo curiosos resultados en la matemática deductiva y emp´ırica. De esta época fueron Arqu´ımedes [s. III a.C.], Erat´ ostenes [s. III a.C.], Hiparco [s. II a.C], Herón [s. I d.C], Ptolomeo [s. II d.C.], Apolonio [s. III d.C] (autor del monumental Secciones C´ onicas y con cuya muerte llegar´ıa a su fin la edad de oro de la geometr´ıa griega), Diofanto [s. III d.C.], y Pappus [s. IV d.C.]. De ellos, Herón estudió ciertos problemas de medición de áreas y volúmenes; Eratóstenes, Hiparco y Ptolomeo contribuyeron a la creación de la trigonometr´ ıa como m´ etodo para la geograf´ ıa y la astronom´ıa; Diofanto contribuy´ o a fundamentar el álgebra como ciencia independiente de la aritm´ etica y de la geometr´ıa; y Pappus, el “´ ultimo de los geómetras griegos”, en su trabajo Colecci´ on, tratar´ıa en vano de revivir la geometr´ıa griega que entonces comenzaba a desaparecer como estudio vivo. Una muestra excepcional de este giro de los griegos alejandrinos con respecto a sus antecesores de la Grecia clásica lo encontramos precisamente en Herón quien en uno de sus escritos presentaba su famosa fórmula para calcular el área de cualquier triángulo que, en nuestra notación moderna, es A=



p(p

− a)(p − b)(p − c)

donde a,b , c son las longitudes de los lados y p es la mitad del per´ımetro (ó semi-per´ımetro). Esta notable expresión, que surgió al inscribir un c´ırculo en un tri´ angulo,11 rompe con algunos de los preceptos de la matem´ atica griega clásica. Las matemáticas de los griegos alejandrinos no estaban pensadas en t´ erminos axiom´ atico-deductivos: estaban diseñadas, en su lugar, para construir calendarios, medir el tiempo, construir instrumentos ´ opticos. La geograf´ ıa, la neum´ atica, la hidrostática, etc., necesitaban de la utilizaci´ on de los números (en particular, de los n´ umeros irracionales) y lo hicieron sin dudar. En este ambiente tuvo su g´ enesis la astronom´ ıa 11

Ver ejercicios complementarios.


57

cuantitativa de Hiparco y Ptolomeo que era una astronom´ıa geoc´ entrica que permit´ıa predecir el movimiento de los planetas, el Sol, la Tierra y la Luna. En este camino, Hiparco y Ptolomeo crearon la trigonometr´ ıa que, aunque difiere en notación, es esencialmente la misma que se estudia hoy. All´ı, obligadamente, utilizaban longitudes irracionales aunque, para propósitos prácticos, sólo hac´ıan aproximaciones racionales de ellas. Y tambi´ en n´ umeros como π eran utilizados a trav´ es de aproximaciones. Una de estas fue realizada p or el mismo Arqu´ımedes quien afirmara que ´mero irraπ estaba entre 223/71 y 22 /7. Supiera o no que éste era un n u cional, lo calculó para fines prácticos en Medidas de una Circunferencia que es uno de sus cinco grandes trabajos (junto con la Cuadratura de la Parábola y Sobre Espirales , Sobre la Esfera y el Cilindro , y Sobre Conoides y Esferoides ). Induciendo, a partir de los trabajos de los pitagóricos, y de Eudoxio, que la longitud de la circunferencia de diámetro 1 era, precisamente, dos veces aquella constante π de proporcionalidad que buscaba 12 , y que la longitud de la circunferencia estaba entre el per´ımetro de un pol´ıgono inscrito y el de uno circunscrito, calculaba entonces estos per´ıduplicaba metros partiendo del pol´ y circunscrito de seis lados, luego el n´ umero deıgono ladosinscrito de estos dos pol´ıgonos, y repet´ıa el proceso anterior, obteniendo as´ı que π estaba entre 223 /71 y 22/7, que significa que, con dos lugares decimales, π está dado por 3· 14. Este novedoso m´ etodo (que es el ya mencionado “m´ etodo de exhausción”) de obtener aproximaciones cada vez más exactas del número π permitir´ıa obtener una descripción del número que, sabemos hoy en d´ıa, est´ a compuesto de infinitos lugares decimales. Pero el más alto punto de la aritm´ etica griega no se alcanzó con Euclides, ni con Arqu´ımedes, ni con Her´ on, sino con Diofanto en el siglo III d.C., de quien poco se sabe acerca de sus or´ıgenes y vida. En su Aritm´ etica , Diofanto dio grandes pasos en la introducción de s´ımbolos en los c´ alculos aritméticos que es el srcen mismo del álgebra. Según la historia (porque de la Aritm´ etica sólo existe información de segunda mano que data del siglo XIII), all´ı utilizaba s´ımbolos que correspond´ıan a nuestra x; a potencias de x desde 2 hasta 6; y a nuestra 1/x. Su ejecución de operaciones era completamente algebraica sin recurrir a ninguna idea geom´ etri12

Ya para los pitagóricos y para Eudoxio era claro que la longitud y el di´ ametro de la circunferencia eran proporcionales. Sin embargo, Euclides no establece expl´ıcitamente esta propiedad en sus Elementos.

58


ca para substanciar sus afirmaciones. Por ejemplo, una expresi´ on como (x 1)(x 2) la llevaba a cabo algebraicamente como lo hacemos hoy en d´ıa. También utiliz´ o expresiones como a 2 b2 = (a b)(a + b) y aún

−

−

otras más complicadas. Además, otro elemento esencial de la Aritm´ etica de Diofanto fue la solución de ecuaciones indeterminadas como, por

−

−

ejemplo, ecuaciones en dos incógnitas y otros tipos aún más complicados de ecuaciones. A u ´ n as´ı, a p esar de este notable uso del álgebra, Diofanto s´ olo aceptaba ra´ıces racionales positivas e ignoraba las otras: cuando una ecuaci´ on conduc´ ıa a ra´ıces negativas, irracionales o imaginarias, afirmaba que la ecuación no era soluble. Puede entonces observarse que los griegos tuvieron dos caminos notablemente diferentes de entender las matemáticas: uno fue el deductivo, sistem´ atico y casi totalmente geométrico de los cl´ asicos; y el otro, el de la aritmética emp´ırica y el algebra ´ sin ninguna estructura lógica de los alejandrinos. Esta llegar´ıa a ser, precisamente, una de las grandes dificultades en el posterior desarrollo de las matem´ aticas, como veremos más adelante.

17.

Sobre la trigonometr´ıa en la Grecia alejandrina

La trigonometr´ ıa (del lat´ın trigonus (triángulo) y metros (medida)) como rama de las matemáticas tuvo su srcen, hab´ıamos ya afirmado, en la aplicación de la geometr´ ıa a los c´ alculos geográficos y astronómicos. A los matemáticos griegos alejandrinos (particularmente a Hiparco [siglo II a.C.] y Ptolomeo [siglo II d.C.] se les asigna su “invenci´ on” expuesta por primera vez en el Almagesto (que significa “la (colección) más grande”), nombre con el cual los ´ arabes bautizaron la obra completa sobre teor´ıa astron´ omica de estos dos matem´ aticos, y que dominó en la astronom´ıa hasta el siglo XV de Copérnico y Kepler 13 . Mediante la trigonometr´ıa, los griegos alejandrinos calculaban tamaños y distancias de cuerpos celestes; y también latitudes, longitudes y superficies de las regiones conocidas: fue la herramienta del conocimiento geogr´ afico del mundo antiguo. 13

No obstante, no podemos perder de vista que la historia de muchos de los conceptos trigonom´ etricos tienen ra´ız en las matem´ aticas egipcias y babilónicas.


59

La tradición trigonom´ etrica griega fue heredada por los árabes a partir ´ del siglo VIII. Estos la aplicaron para sus propios propósitos astronómicos y geográficos, y con tal precisi´ on que las tablas de seno y coseno 1 grados, ten´ que produjeron para cada paso de 60 ıan sólo un error de 1 es del Almagesto de Ptolomeo, el Libro de la Figura 700′ 000,000 . Despu´ Transversal de Nasir ad-Din at-Tusi en el siglo XIII, resumir´ıa todo el conocimiento trigonom´ etrico alcanzado por los árabes hasta entonces.

Occidente se familiarizar´ıa con la tradici´ on griega y árabe a trav´ es de las traducciones al Lat´ın de sus libros. El primer trabajo que aparecer´ıa sobre trigonometr´ıa fue el del astr´ onomo alemán Regiomontanus en el siglo XV. A él le debemos expresiones expl´ıcitas de la ley de senos y del área del triángulo en forma trigonométrica (que estudiaremos al final de la presente lección). Despu´ es, ya en el Renacimiento, matem´ aticos del nivel de Fran¸ cois Viete [1540-1603] y John Neper [1550-1617] simplificar´ıan la notación y ampliar´ıan el nivel de aplicaci´ on de la trigonometr´ıa, entre otros, a “triángulos oblicuos”. No obstante, el t´ ermino mismo, trigonometr´ıa, fue acuñado en 1595 por Bartholomaeus Pitiscus en su trabajo Trigonometria sive de Dimensione Triangulea. Un siglo despu´ es de Neper, Isaac Newton [1642-1727] escribir´ıa, en t´ erminos de lo que hoy se conoce como series (infinitas) de Taylor, expresiones para sen x, cos x y tan x sin importar el valor del “ángulo x”(ver Volumen II: Cálculo). Con la “invención”de la geometr´ ıa anal´ıtica y del c´ alculo diferencial e integral, las curvas trigonom´ etricas sen x, cos x y tan x, etc. reemplazaron a las antiguas “tablas de cuerdas” de Ptolomeo y at-Tusi: ahora no era necesario recurrir a triángulos, ni a hipotenusas, ni a catetos, para estudiar el comportamiento de los números trigonom´ etricos pues bastaba con ciertas nociones de función y de l´ımite para abarcar toda la trigonometr´ıa conocida y ampliarla aún más. De hecho, en el siglo XVIII, Leonhard Euler definir´ıa las funciones trigonom´ etricas para “números complejos” de la forma x = a + bi donde i = 1 y a y b son números cualquiera. Esto mostrar´ıa que, en el fondo, la trigonometr´ıa era un problema reducible a la aritm´ etica de los números complejos (ver

√−

lecci´ on 3). Regresando entonces a nuestro objetivo central, y para introducir las ideas trigonom´ etricas b´ asicas, consideremos dos triángulos rectángulos como en la figura 72, y supongamos que el ´ angulo θ es igual al ángulo θ ′ . Uno de los teoremas del Libro VI de los Elementos que expusimos

60


antes, afirma que, puesto que los dos triángulos son semejantes, entonces la razón que hay entre los lados correspondientes, es la misma. As´ı, en notaci´ on algebraica actual 14 , esto es BC AC = ′ ′ B′C ′ AC ó, equivalentemente,

BC B ′C ′ = ′ ′ AC AC

C

′

C

θ

θ

A

B

′

′

A

B

′

Figura 72: Triángulos semejantes

De all´ı que para cualquier tri´ angulo rectángulo que tenga θ como uno de los ángulos internos, la razón BC AC es siempre la misma. A esta razón se le llama sen( θ) (“seno de θ”) y es independiente del triángulo rect´ angulo. Pero lo expuesto para la razón BC AC se aplica a cualquier otra razón entre los lados de cualquiera dos triángulos rectángulos ABC . Las seis razones resultantes son las siguientes: i) iii) v) 14

sen(θ) =

BC AC

tan(θ) = sec(θ) =

BC AB

AC AB

;

ii) cos(

θ) =

AB AC

;

iv) cot(

θ) =

AB BC

;

vi) csc(

θ) =

AC BC

En lo que sigue utilizaremos libremente la notaci´ on algebraica moderna, de la que, esperamos, el lector ya tenga un conocimiento suficiente de sus cursos del Bachillerato. De otra manera ser´ıa dif´ıcil exponer, en este punto hist´ orico del siglo II d.C., las ideas trigonom´ etricas fundamentales de Hiparco y Ptolomeo que son, salvo esta notación algebraica, esencialmente las mismas que hoy, m´ as de 1800 a˜ nos después, estudiamos en nuestros textos escolares. Aún as´ı, los temas del algebra los abordaremos propiamente (es decir, desde el punto de vista histórico) ´ en la próxima lecci´ on 2.


61

donde leeremos, mediante las abreviaciones anteriores, as´ı: i)

sen(θ)

iii)

≡≡ tangente de θ sec(θ) ≡ secante de θ

v)

seno de θ

;

tan(θ)

ii) cos( ;

;

iv) cot( vi) csc(

θ)

coseno de θ

≡≡ cotangente de θ θ) ≡ cosecante de θ θ)

La variable de estas razones es el ´ angulo θ. Generalmente, los ángulos se miden en grados en el estándar sistema sexagesimal: una circunferencia equivale a 360 o (se lee “360 grados”), y de all´ı las correspondientes divisiones de la circunferencia tendrán medidas acorde s con la misma división de los 360o (por ejemplo, 30o , 45 o , 90 o (ángulo recto), 180◦ (ángulo llano), etc.). A su vez, el grado se divide en 60 ´ angulos iguales, cada uno de los cuales se denomina minuto (y se nota con una prima superior ( ′ ); cada minuto, a su vez, se divide en 60 ´ angulos iguales, cada uno de los cuales se denomina un segundo (y se nota con una doble prima superior (′′ )). As´ı, un ańgulo tal como 47 ◦ 34′ 12′′ se lee como “cuarenta y siete grados, treinta y cuatro minutos, y doce segundos”. Y al parecer, existe la idea de que los ´ angulos sexagesimales vienen de Babilonia pues all´ı el 60 jugaba un papel importante en el sistema num´ erico. De la misma manera, se cree que los babilonios divid´ıan el c´ırculo en 360 partes iguales, debido a que para ellos un año consist´ ıa en 360 d´ıas. Y no parece que haya raz´ on para dudar que el número 60 les hubiera llegado a los griegos desde la tradici´ on babilónica. Además, fue utilizada por Ptolomeo en el Almagesto aunque con notación diferente 15 . Ahora: sobre la primera aparición del s´ımbolo de grados (◦ ) parece que hubiera sido en un ap´ endice sobre fracciones astronómicas de Jacques Peletier que data de 1558. A su vez, Erasmus Reinhold en su Prvtenicae tabulae coelestium motuum de 1571, utiliza, por primera vez, además de la notación ◦ de Peletier para grados, tambi´ en la notación ′ y ′′ para minutos y segundos, respectivamente. La necesidad de medidas exactas para cualquier ´ angulo (pues los grados, minutos y segundos son, en la mayor´ıa de los casos, sólo medidas 15

Por ejemplo, en el primero de los trece libros del Almagesto, Ptolomeo presenta una tabla que muestra las longitudes de las cuerdas de todos los ángulos centrales, 1◦ en una circunferencia de radio 60, en intervalos de medio grado desde hasta 2 180◦ , que se asemeja a una tabla de senos.

62


aproximadas de un ángulo dado) llevó, casi 300 años despu´ es, en 1869, al matemático James Muir y al f´ısico James Thomson a acu˜ nar una medida diferente para los ángulos que, en general, resulta más conveniente:

el radián16 . Un radi´ an puede definirse como el tamaño del ángulo θ formado por un arco de longitud igual al radio (ver figura 73). Y puesto que la circunferencia del c´ırculo tiene una longitud total de 2πr (donde π=3.14159...), una circunferencia completa debe contener un ´ angulo de 2π radianes que, en t´ erminos de grados, corresponde a 360 o . Igualando 2π radianes a 360 o obtenemos la Tabla 1 de conversión.

r θ r

Figura 73: θ mide 1 radián

Grados

360 270 180 90 45 0

Radianes

2π

3 π 2

π

π 2

π 4

0

Tabla 1: Grados vs. radianes

Continuando con nuestra descripción de la trigonometr´ıa, ahora calculamos tres de los seis valores definidos arriba (seno, coseno, tangente) para algunos ángulos especiales. Esto es posible a partir de la geometr´ıa de los Elementos que estudiamos al comienzo de la presente lecci´ on. i. Un caso muy simp le es el del triángulo equilátero (ver figura 74). All´ıhemos construido AM perpendicular a BC . Por lo tanto, como la suma de los ángulos interiores del triángulo AB C es igual a un ángulo llano (180 ◦ ), el ángulo ABM es 60 ◦ , y el ángulo BAM es 30◦ , y, como BM = 1 y AB = 2, entonces, por el teorema de Pitágoras, AM = 3. Por lo tanto,

√

16 Para una histo ria completa sobre el origen del concepto de radian, ver “Florian Cajori (1929), History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147-148; y Nature (1910), Vol. 83, pp. 156, 217, y 459-460”.

63


A

2

B

1

C

M

Figura 74: Trigonometr´ ıa en un tri´ angulo equilátero

All´ıhemos construido AM perpendicular a BC . Por lo tanto, como la suma de los ángulos interiores del triángulo AB C es igual a un ángulo llano (180 ◦ ), el ángulo ABM es 60 ◦ , y el ángulo BAM es 30◦ , y, como BM = 1 y AB = 2, entonces, por el teorema de Pitágoras, AM = 3. Por lo tanto, sen 60◦ = cos 30◦ =

√ √3

AM = ; cos60 2 AB

√3

AM = ; tan60 AB 2

◦ = BM = 1 ; sen30 ◦ = BM = 1 AB

2

AB

2

◦ = AM = √3; tan30 ◦ = BM = √1 ; BM

AM

3

ii. Otro caso simple es el del triángulo isósceles con ángulo recto (ver figura 75). A

1 C

1

B

Figura 75: Trigonometr´ ıa en un tri´ angulo rectángulo

En la figura 75 se tiene que el ´ angulo B es recto (90 ◦ ), y AB = BC = 1. Por lo tanto, por el teorema de Pit´ agoras, AC = 2. Seg´ un la geometr´ıa del primer libro de los Elementos, se tiene que el ángulo A es igual al ángulo C , y como la suma de los ´ angulos interiores de todo triángulo es igual a un ´ angulo llano (180 ◦ ), y

√


65

jiva (o jaib) para la última parte del nombre del texto. Después, la versión latina de Gerardo de Cremona en 1150, la convertir´ıa en sinus que significa curva. A partir del siglo XII se utilizar´ıa frecuentemente la palabra sinus o seno en los textos matemáticos europeos, aunque no siempre fue reconocida esta acepci´ on. Al parecer, la primera vez que aparece el s´ımbolo expl´ıcito sen para seno es en un texto de trigonometr´ıa del matemático franc´ es H´ erigone en 1634, aunque podr´ıa tener un srcen previo en 1632 en el Addition vnto the Vse of the Instrvment called the Circles of Proportion de William Oughtred. Otros, inclusive, remontan el srcen del t´ ermino hasta Thomas Fincke quien en su Geometria Rotundi de 1583, utilizaba el s´ımbolo sen. (con punto). b) Por su parte, la palabra coseno surgió de la necesidad de calcular el seno del ángulo complementario. Aunque, al parecer, el nombre coseno fue acuñado por Edmund Gunter en 1620 y lo escrib´ıa como co.sinus, otros autores le dan prioridad a Thomas Fincke quien en su Geometria Rotundi de 1583, utilizaba sen.com para el coseno. Sin embargo, el uso extendido de cos para el coseno, algunos historiadores lo asocian con Leonhard Euler, quien lo utilizara ampliamente en el Commentarii Academiae Scient. Petropollitanae, ad annum de 1729. c) El t´ ermino tangente , que proviene del Latin tangere que significa tocar, fue introducido en 1583 por Thomas Fincke quien en su ya mencionada Geometria Rotundi utilizaba tan. (con punto), y tambi´ en tang, para la tangente. d) El t´ ermino cotangente fue introducido por Thomas Fincke en su Geometria Rotundi de 1583. All´ı, utilizaba tan.com para la cotangente. Pero quizás el primero en utilizar el t´ ermino cot para la cotangente fue A.G. Kastner quien en su Anfangsgrunde der Arithmetik Geometrie...Trigonometrie de 1758 utilizó la notación cot de hoy. e) Secante fue otro de aquellos t´ erminos introducidos en 1583 por Thomas Fincke en su Geometria Rotundi. All´ı utilizaba sec. (con punto) para la secante. En 1632, William Oughtred utilizar´ıa ya la notación actual, sec, para secante.

66


f) El término cosecante tambi´ en ser´ıa introducido en 1583 por Thomas Fincke en su Geometria Rotundi. All´ı utilizaba sec.com para la cosecante. Al parecer, la primera vez que se utiliz´ o la notación actual, csc, para la cosecante fue en 1881 en el

nometry de los autores Oliver, Wait y Jones.

Treatise on Trigo-

Ejemplo 1. (Un ejemplo sencillo de Her´ on de Alejandr´ıa) Her´ on, el celebre matemático de la grecia alejandrina, mostró cómo ser´ıa posible construir un túnel bajo una montaña, cavando simultáneamente desde ambos extremos, para que al final se encontraran las dos perforaciones. Eligió, por un lado, el punto que juzg´ o conveniente para sus planes, A; por el otro lado escogi´ o el punto B; y, por último, escogió el punto C como v´ ertice del ángulo recto AC B. A continuación midió AC y BC ; las longitudes respectivas fueron de 100 y 75 m. Con esto pudo calcular los ángulos A y B. Luego dio instrucciones a los trabajadores que se encontraban en el punto A para que siguieran la l´ınea que formaba el ángulo ya calculado con el lado AC ; y análogas instrucciones se dieron a la cuadrilla que esperaba en B para iniciar la perforación. ¿Cómo logró Herón calcular los ángulos A y B ? Soluci´ on. 75 En la figura 76, puesto que tan A = entonces A = 36o 52′ ; y as´ıB = 100 ′ ′ o o o 90 - (36 8 ) = 53 8 . B 75

C 100

A Figura 76: Problema trigonométrico de Her´ on


67

Ejemplo 2. (Cartograf´ıa del cielo) Despu´ es de los c´ alculos de latitud y longitud terrestres, Hiparco y Ptolomeo trataron de calcular distancias y tama˜ nos de cuerpos celestes. Basados en relojes de sol y de agua, pero, fundamentalmente, en los datos astronómicos que egipcios, babilonios, y otros alejandrinos compilaron por siglos, pudieron entonces “triangular” los cielos. Por ejemplo, veamos cómo calculaban la distancia de la Tierra a la Luna. Supongamos (ver la figura 77) que P y Q son dos puntos del ecuador terrestre, escogidos de la siguiente forma: la Luna debe estar exactamente encima de P ; es decir, la Luna, L, considerada como un punto, debe estar en l´ınea con el centro de la tierra, T , y con P (la Luna se encuentra en esta posición en ciertas fechas de cada mes). Se elige Q de tal forma que la Luna apenas sea visible desde él, y as´ı la l´ınea LQ será tangente al ecuador en el punto Q y, por tanto, el ángulo T QL será recto pues el radio del c´ırculo que pasa por el punto de contacto de una tangente es perpendicular a ésta. Q

T

L

P

Figura 77: Distancia a la Luna

Ahora: T Q es el radio de la Tierra y éste lo conoc´ıan; el ángulo T es la diferencia de la longitud entre los puntos P y Q y, si conoc´ıan las longitudes de estos lugares de la Tierra, conoc´ıan entonces este ángulo. Hoy se sabe que este ángulo es T = 89o 4′ , que es más preciso que el que ellos utilizaban. El cálculo de T L es inmediato pues TL =

TQ cos T

Pero cos T = 0.0163 y T Q=6,400 km; luego TL =

6, 400 = 392, 638 km 0.0163

68


Restando a esta cifra el radio de la Tierra, encontramos que la distancia de la Tierra a la Luna, P L, es P L = 392, 638

− 6, 400 = 386.238 km

Hiparco realmente obtuvo que esta distancia era de, aproximadamente, 450,615 km. Cab e aqu´ı decir que, aunque su cálculo de T no era preciso, tambi´ en la distancia de la Tierra a la Luna var´ıa durante el a˜ no. El valor de 386,238 km es un valor promedio.

a).

Relaciones trigonom´ etricas de Hiparco y Ptolomeo

En lo que sigue mostraremos algunas de las relaciones trigonométricas básicas, casi todas ya conocidas en su época por Hiparco y Ptolomeo hace más de 1800 años, y que ahora escribimos en notación algebraica y trigonom´ etrica actual: son las f´ ormulas de reducción, y las fórmulas de

suma de ángulos. I

). Fórmulas de reducción a) sen 2 α+cos2 α = 1 (versi´ on trigonométrica del teorema de Pit´ agoras) En efecto, de la figura 78, sabemos que sen α = BC/AC y cos α = AB/AC . Elevando cada una de estas expresiones al cuadrado, tenemos sen 2 α = (BC )2 /(AC )2 y cos 2 α = (AB)2 /(AC )2 . Y sumando estas dos últimas igualdades obtenemos que sen2 α + cos2 α =

(BC )2 (AB)2 (BC )2 + (AB)2 + = (AC )2 (AC )2 (AC )2

Pero, por el teorema de Pit´ agoras, (BC )2 + (AB)2 = (AC )2 , y as´ı tendremos que, efectivamente, sen2 α + cos2 α = 1


69

C

α A

B

Figura 78: sen 2 α + cos2 α = 1

−

b) sen( α) =

17

− sen α ; cos( −α) = cos α.

En efecto, de la figura 79 tenemos que sen α =

−

sen( α) = De igual forma, cos α =

−

A′ B AB = = OA OA

−

AB . Por tanto, OA 18

− sen α

OB y, por tanto, OA

cos( α) =

OB OB = = cos α OA′ OA O -α

α

A

′

B Figura 79: sen( α) =

−

II

A

− sen(α)

). Fórmulas de suma de ángulos a) sen( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β 17

Evidentemente, en esta propiedad estamos pensando en el sentido del “movimiento” para formar un ángulo. Si es formado en el sentido contrario de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; y si es formado en el otro sentido, el ´ angulo ser´ a negativo. 18 No hay duda de que, aqu´ı, hemos utilizado argumentos propios de la geometr´ıa anal´ ıtica (ver lecci´ on 3) que nunca estuvieron en la mente de los pioneros griegos Hiparco y Ptolomeo. Sólo que nos hemos visto obligados a hacerlo as´ı, debido a necesidades expositivas y temáticas del texto. ¿Cu´ ales podr´ıan ser estos “argumentos propios (...)”?

70


B

H

C

β α O

A

D

Figura 80: Fórmulas de suma de ángulos

En efecto, de la construcción de la figura 80, sabemos que sen( α + AB β) = , y que AB = AH + H B y AH = DC . Luego, sustituOB yendo tendremos que AB = DC + HB y, por tanto, sen(α + β ) =

DC + HB DC H B = + OB OB OB

Ahora: multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracci´ on por OC y el numerador y el denominador de la segunda fracci´ on por C B tendremos que sen(α + β ) =

DC OC HB CB + OC OB CB OB

Pero como DC = sen α, OC

OC = cos β, OB

HB CB = cos α, , = sen β CB OB

entonces tendremos que, efectivamente, sen(α + β ) = sen α cos β + cos α sen β b) cos( α + β ) = cos α cos β

− sen α sen β

OA En efecto, en la misma figura 80, sabemos que cos( α + β ) = OB . Pero como OA = OD AD y AD = HC , tendremos que OA = OD HC . Por tanto,

−

−

cos(α + β ) =

−

OD HC OD = OB OB

− HOBC

71


Multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracción por OC , y el numerador y el denominador de la segunda fracci´ on por CB , tendremos que cos(α + β ) =

OD OC OC OM

CB − HCBC OB

HC OD CB OC = sen α, = cos α, = sen β , = cos β . Luego, CB OC OB OB sustituyendo estos valores, tendremos entonces que, efectivamente, Pero

cos(α + β ) = cos α cos β

c) tan( α + β ) =

− sen α sen β

19

tan α + tan β En efecto, sabemos que 1 tan α tan β

−

tan(α + β ) =

sen(α + β ) sen α cos β + sen β cos α = cos(α + β ) cos α cos β sen α sen β

−

Dividamos ahora el numerador y el denominador por cos α cos β , de manera que podamos escribir la igualdad anterior como sen α sen β + cos α cos β tan(α + β ) = sen α sen β 1 cos α cos β

−

sen α sen β = tan α y = tan β , entonces tendremos cos α cos β que, efectivamente, Pero como

tan(α + β ) =

tan α + tan β 1 tan α tan β

−

19

Aunque esta fórmula del coseno y la correspondiente fórmula del seno, fueron demostradas s´ olo para los casos en que la suma de los ´ angulos α y β es menor que 90o , es posible tambi´ en utilizarlas, extrapolando, para el caso en que la suma de estos dos ángulos es cualquier ángulo. Por ejemplo, utilizando la Tabla 2, tendremos que sen 150 ◦ = sen(90 o + 60o ) = sen90 o cos 60o + cos90 o sen 60o = cos60 ◦ = 12 , y√ cos 150 o = cos(90 o + 60o ) = cos90 o cos 60o sen90 o sen 60o = sen 60◦ = o o o o 3 . Y tambi´ en, por ejemplo, que sen 180 = sen(90 + 90 ) = sen90 cos90 o + 2 cos 90o sen 90o = 0 y cos180 o = cos(90o +90o ) = cos 90 o cos90 o sen90 o sen90 o = 1.

−

−

−

−

−

72 III


). Fórmulas para cualquier triángulo

Dos de las fórmulas básicas de la trigonometr´ ıa son la ley de senos y la

ley de cosenos . Son las siguientes: a) a b c = = (ley de senos) sen α sen β sen γ donde a, b y c son los lados de un triángulo (ver la figura 81), α es el ángulo opuesto a a; β es el ángulo opuesto a b; y γ es el ángulo opuesto a c. C γ

E a

b

A

α

β

D

c

B

Figura 81: Ley de senos

CD En efecto, en el triángulo ACD de la figura 81, sen α = y, b por tanto, CD = b sen α; y en el tri´ angulo CBD se tiene que CD sen β = y, por consiguiente, CD = a sen β . Igualando los dos a valores de CD anteriores, tendremos que b sen α = a sen β , que es igual a a b = . sen α sen β De forma similar, en el triángulo AC E de la figura 81, se tiene que AE sen γ = , y por tanto, AE = b sen γ ; y en el triángulo AEB se b tiene que sen β = AE, y por tanto, AE = c sen β . Igualando los c dos valores de AE anteriores, tendremos que b sen γ = c sen β y, por consiguiente, b c = sen β sen γ

73


Resumiendo, hemos encontrado entonces que, efectivamente, a

b

=

sen α

=

sen β

c sen γ

b) a 2 = b 2 + c2

− 2bc cos α

(ley de cosenos)

donde a,b,c son los lados del triángulo y α el ángulo entre los lados b y c. En efecto, consideremos el triángulo AB C de la figura 82. Por el teorema generalizado de Pitágoras de los Elementos de Euclides (proposiciones 12 y 13, Libro II), se tiene que a2 = b2 + c2 2cAD donde AD = b cos α. Sustituyendo este AD en la fórmula del teorema generalizado tendremos que, efectivamente,

−

a2 = b 2 + c2

− 2bc cos α

B c

β

a

h γ

α

A

D

b

C

Figura 82: Ley de cosenos

´ Ejemplo 3. ( Area del pol´ ıgono regular) Mediante la trigonometr´ıa de Hiparco y Ptolomeo podemos obtener una fórmula para el área de un p ol´ıgono regular inscrito en una circunferencia. Es de la siguiente manera: en la figura 83, notemos que, si n es el 2π número de lados del pol´ıgono, entonces el ángulo AOB es θ = , y el n 1 1 2π ángulo ABO es α = (π θ) = π . Ahora notemos que la 2 2 n altura del triángulo AOB es h = r sen α; y la base es x = 2r cos α. Por xh 2 2 sen2 α lo tanto, el área del triángulo AOB es 2 = r sen α cos α = r 2 . As´ ı, el a´rea del pol´ıgono regular de n lados es

−

An = n

− 

  −  

r 2 sen2 α n = r2 sen π 2 2

2π n

= r2

n 2π sen 2 n



74

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos A x

r h O

r

B

´ Figura 83: Area del pol´ıgono regular

Nota 2. En el volumen II (Cálculo), mostraremos que si n es grande, entonces n 2π sen es cercano a π. ¿Ser´ ıa esta una prueba v´ alida de que el ´ area 2 n del c´ırculo de radio r es πr 2 ? Notemos que hemos utilizado, en alguna parte de la deducción de la fórmula, el hecho de que la circunferencia de radio r tiene longitud 2 πr. ¿En qu´ e punto sucedi´ o esto? Ejemplo 4. En la figura 84, dados a, α y β , podemos mostrar que h = a sen β sen α ; sen(α β )

x = a sen β cos α sen(α β )

−

−

γ h

β

α

a

x Figura 84

En efecto: notemos primero que γ = α se tiene que sen(α a

− β; después, por la ley de senos,

β − β ) = √ sen 2

x + h2

(1)

y luego observamos que cos α =

√x2x+ h2 ,

h = x tan α

(2)


75

De (1) y (2) el lector puede deducir fácilmente las fórmulas de arriba. Como aplicación de esto, veamos un ejemplo simple. Supongamos que deseamos encontrar la altura de un edificio ( h) si el ángulo de elevación desde un extremo crece desde β = 20o hasta α = 40o cuando la persona que está haciendo la medida avanza a = 75 mt hasta el pie del edificio. Aplicando la fórmula a sen β sen α h= sen(α β )

−

obtendremos que h=

75 sen 20 o sen40 o mt = 75 sen 40 sen20 o

o

mt = 48 mt

Ejemplo 5. (Distancia entre dos puntos remotos) Supongamos que se conoce la distancia entre dos puntos C y D, pero que queremos encontrar la distancia entre otros dos puntos remotos A y B, basados en la observación de los dos primeros puntos (ver figura 84). Este problema es de particular interés ya que puede no ser fácil ir hasta el lugar remoto para hacer la medici´ on correspondiente. Sin embargo, veamos cómo p odemos utilizar la trigonometr´ıa para estimar la distancia entre A y B . A

B

β α

C

ψ θ

D

Figura 84: Distancia entre dos puntos remotos

Observemos que, de la ley de senos, si conocemos dos ´ angulos interiores y la longitud de uno de los lados de un tri´ angulo, podemos conocer las longitudes de los otros dos lados. Y de la ley de cosenos, si conocemos la longitud de dos lados y el ´ angulo entre ellos, podemos conocer la longitud del otro lado. Con la ayuda de la figura 84, mostraremos que

76


si conocemos α, β , θ y ψ, y además sabemos que CD = d, entonces podremos encontrar AB. En efecto, por la ley de senos, tenemos que AC = d sen θ sen(π β

− − θ)

y, por tanto, AC =

d sen θ sen(β + θ)

De manera similar, se tiene que BC =

d sen ψ sen(α + ψ)

Ahora: de la ley de cosenos se tiene que (AB)2 = (AC )2 + (BC )2

− 2(AC )(BC )cos( β − α)

Por lo tanto, AB = d



18.

sen θ sen(β + θ)

  2

+

sen ψ sen(α + ψ)

− 2

2

sen θ sen ψ cos(β sen(β + θ) sen(α + ψ)

− α)

Nota final

El per´ıodo que va desde la ca´ıda del Imperio Romano (a mediados del siglo V) hasta el siglo XI, se conoce como la Edad del Oscurantismo en Europa, debido a la decadencia de la escolaridad, a la casi desaparici´ on de la enseñanza griega y a que, en general, el legado del mundo antiguo fue casi totalmente olvidado. Los hindúes y árabes fueron entonces quienes tomaron el relevo del desarrollo matem´ atico despu´ es de la destrucci´ on de la Grecia alejandrina por parte de los mismos ´ arabes en el 641 d.C. Sin embargo, el pensamiento riguroso y la demostración deductiva de los griegos estaba en contradicción con la forma de aproximación árabe-hindú. Utilizando números enteros y fraccionarios, números negativos y números irracionales, éstos arribaron a nuevas y correctas reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir cualquier clase de n´ umeros, pero

77


√ √

√√ √√

sin ningún fundamento lógico. Por ejemplo, llegaban a que ab = a b para todos los números a y b, sólo porque era verdad que 36 = 4 9, y as´ı el método axiom´ atico-deductivo de los griegos clásicos fue reemplazado por el m´ es claramente inclinado hacia el etodo inductivo . Su inter´ cálculo num´ erico pr´ actico, dándole mayor importancia a temas como la escritura simbólica de los números, a las operaciones entre ellos, y a las aplicaciones tales como la regla de tres, no les permitir´ıa ver los profundos problemas que hab´ıan perturbado tanto a los griegos, aunque, a su vez, esto mismo tambi´ en ayudar´ıa a facilitar un inmenso (pero inconsciente) progreso matemático: la aritm´ etica comenzaba a independizarse de la geometr´ıa y se acercaba al algebra ´ . 20

20 Si el lector desea profundizar en el estudio de la trigonometr´ıa plana, de nuevo, recomendamos el texto “Curso de Geometr´ ıa”, Reuni´ on de Profesores, Leigel, Par´ıs.

78


Ejercicios complementarios 1. Ilustre con una figura todas las proposiciones del Libro I de los

Elementos de Euclides. Además, en cada una de aquellas proposi-

ciones a las que ya se les ha incluido la correspondiente figura, trate (hasta donde le sea posible) de explicar el posible razonamiento de Euclides al demostrarla. Si encuentra dificultades en esto, recurra al texto de T. Heath (1908) que aparece en la bibliograf´ıa. 2. Utilizando regla, transport ador y compás, conteste lo siguiente: a) ¿Será posible construir un triángulo que tenga un ángulo de 40o y dos lados de 4 y 3 unidades de longitud? b) Dos ángulos de un triángulo miden 40 o y 30o , respectivamente, ¿cuánto mide el tercer ángulo y cada uno de los ´ angulos exteriores? c) ¿Será p osible construir un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa que mida 5 unidades de longitud lineal y un ángulo que mida 45 o ? ¿Cuánto miden los otros dos lados? 3. La siguiente es una paráfrasis de la prueba del teorema de Pitágoras (proposición 47 del Libro I de los Elementos ). Pedimos al lector estudiarla cuidadosamente y explicar las razones por las que Euclides no la habr´ıa probado de esta forma.

b2 a2

b

a

a

a c2

c

En la figura de la izquierda, el ´ area total está descompuesta en cuatro triángulos iguales, más el cuadrado de lado a (con área a2 ). A su vez, el cuadrado de la derecha, igual al primero, se ha descompuesto en seis regiones: los mismos cuatro tri´ angulos de la izquierda (explicar esto último es el núcleo de este ejercicio), más

79


dos cuadrados de lados b y c, y áreas respectivas b2 y c2 . Eliminando a ambos lados los cuatro triángulos, obtenemos, a la izquierda a 2 , y a la derecha b 2 + c2 . 4. Sea a la hipotenusa y b y c los catetos de un triángulo rectángulo. Calcule en cada caso el lado que falta: a) b = 5, = 4c

b)

c) a = 30, = b10

a = 3, c = 2

d)

b = 20, c = 15

5. Halle, si exis ten, las áreas de las siguientes figuras: a) Un cuadrado cuya diagonal mide 8

√3 unidades de longitud.

b) Un rectángulo con una diagonal de 20 unidades de longitud y una altura de 12 unidades de longitud. c) Un triángulo cuya base mide 7 unidades de longitud y altura 10 unidades de longitud. d) Un paralelogramo con una base de 15 unidades de longit ud y una altura de 10 unidades de longitud. 6. Muestre que la suma de los ´ angulos internos de un pol´ıgono (no necesariamente regular) de n lados es 180 o (n 2). [Indicación: “triangule” el interior del pol´ıgono y recuerde que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 o ].

−

7. Utilizando el resultado ante rior, calcule el ángulo interno de un pol´ıgono regular de n lados. * 8. ( Demostraci´ on geométrica del teorema de Herón ) Sea triángulo dado, y AB, B C , C A, sus lados dados. Se quiere encontrar el área del triángulo

△ABC

el

ABC . Se inscribe en el

triángulo, el c´ırculo DEF cuyo centro sea G (Libro IV de Euclides), y se trazan las “rectas” AG, BG, CG, DG, EG, F G. As´ ı, BC EG es el doble del ´ area del triángulo BGC ; y asimismo CA F G es el doble del área del triángulo AGC , y AB DG es el doble del triángulo ABG.

△

· ·

△

△ △

·

80

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos A

D

H

B

G

E

F

K

C

L

Sumando, tendremos que el producto del per´ımetro 2p del triángulo ABC y del radio E G del c´ırculo DEF es el doble del área del ABC .

△

△

Se prolonga ahora CB, y sea BH igual a AD. Puesto que AD = AF , entonces DB = BE , F C = C E y C H = p. Por consiguiente,

·

CH EG = área y as´ı (área

△ABC

△ABC )2 = C H 2 · EG2

Tracemos la perpendicular GL a F G, y BL a AB, y unamos C con L; entonces el cuadrilátero CGBL se puede inscribir en un c´ırculo (¿por qu´ e?), y, por tanto (Libro III, proposición 22 ( Elementos )21 ), la suma ∠ CGB + ∠CLB es igual a dos rectos; y también ∠CGB + ∠AGD es igual a dos rectos, porque los ángulos en G están divididos por mitad, por AG, B G y CG. Luego ∠CGB

+ ∠AGD =

∠AGC + ∠DGB

y estos todos juntos, son cuatro rectos. Se tiene, pues, que los triángulos AGD y CB L son semejantes; luego,

△

△

CB : BL = AD : DG = BH : EG 21

La proposici´ on 22 del Libro III afirma que la suma de los ´ angulos opuestos de un cuadril´ atero inscrito en un c´ırculo es igual a dos ángulos rectos.


81

y alternando CB : BH = BL : EG = BK : K E de las cuales, componiendo, CH : H B = BE : EK Por tanto, tambi´ en 2

· ·

·

CH BE CE BE EC = = 2 CH HB CE EH EG

·

Luego

· EG2 = C H · HB · BE · EC = = p(p − BC )(p − AB)(p − AC ) = = p(p − a)(p − b)(p − c) 

(área ABC )2 = C H

△

2

9. Escoja casos concretos de triángulos y corrobore la fórmula de Her´ on. 10. Muestre que el área de un triángulo equilátero, en t´ erminos de su 3 2 lado a, es a . [Indicación: El área del triángulo equilátero es 4 ah A= donde h = a2 ( a2 )2 ] 2

√



−

11. Responda, yendo a otras fuentes bibliográficas si es necesario, la siguiente pregunta: El resultado geom´ etrico que hoy escribimos en notaci´ on algebraica como [longitud de una circunferencia de radio r] = 2πr es: a) Original de Pitágoras. b) Anterior a Euclides y posterior a Pitágoras. c) Original de Euclides en sus Elementos. d) Original de Arqu´ımedes en su Medidas de la Circunferencia.

82


12. Responda, yendo a otras fuentes bibliográficas si es necesario, la siguiente pregunta: La notaci´ on π para la razón entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su di´ ametro es: a) Original de Babilonia (Mesopota mia). b) Original de Egipto. c) Original de Pitágoras. d) Anterior a Euclides y p osterior a Pitágoras. e) Original de Euclides en sus Elementos. f) Original de Arqu´ımedes en su Medidas de la Circunferencia. g) Original de Leonhard Euler quie n adoptó este s´ımbolo en el siglo XVIII. h) Posterior al siglo XVIII de Leonhar d Euler. 13. Muestre que el área de un sector circular que subtiende a un ángulo θ está dado por 1 As = 2 r 2 θ donde θ está medido en radianes (ver figura abajo). [Indicaci´ on: Una simple “regla de tres” resuelve el problema asumiendo que πr 2 es el área con ángulo 2π].

r O

θ

14. ¿Cuál es una fórmula para calcular la superficie lateral de un cono? ¿y la de un cilindro? ¿y la de un cubo? ¿y la de una pir´ amide? 15. Halle la superficie lateral de un cono, si la base tien e un radio de 2 unidades de longitud y la generatriz (es decir, la hipotenusa del triángulo rectángulo que lo genera) tiene 12 unidades de longitud. 16. Muestre que el volumen del prism a de altura h en el que la base es 3 2 un triángulo equilátero de lado, a es a h (ver figura siguiente). 4

√


83

h a

17. Halle el volumen de un cubo cuyo lado (arista) mide 5 unidades de longitud. 18. Halle el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 5 unidades de longitud. 19. Halle el volumen de un cilindro cuyo radio de la base mide 9 unidades de longitud, y tiene una altura de 20 unidades de longitud. 20. Suponga que una pelota est´ a contenida en una caja c´ ubica de forma tal, que toca cada una de las caras en su punto medio. Halle el volumen de la pelota dado que se conoce que el volumen de la caja es 125 unidades cúbicas. 21. Resuelva los siguientes problemas aritm´ eticos euclidianos: a) Escriba la descomposición en números primos de 218 y 1 .540. b) Calcule el máximo divisor común de 218 y 1 .540. c) Calcule su m´ınimo múltiplo común. d) Asuma que un número m es par si m = 2k para alg´ un número natural k; y, de forma similar, el número m es impar si m = 2k + 1 para algún número natural k (los números naturales (los números de contar) son k = 1, 2, 3, 4,... ). Pruebe entonces que el producto de dos números pares, es par; que el producto de dos n´par umeros impares, es impar; y que el par. producto de un número con otro impar, es un número *e) (Fibonacci (1202)) Encuentre un número que sea divisible por 7 y que tenga un residuo de 1 cuando se divide por 2, 3, 4, 5, ó 6.

84


*f) (Fibonacci (1202)) Encuentre un número que sea múltiplo de 7 y que tenga residuos 1, 2, 3, 4 y 5 cuando se divide por 2, 3, 4, 5 y 6, respectivamente. 22. En el Libro X de los Elementos, Euclides estudia el problema de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad de las magnitudes. Y aunque el análisis all´ı presentado no tiene hoy pertinencia dados los desarrollos actuales del concepto de número, en aquella época permit´ıa el entendimiento de magnitudes tales como la hipotenusa de un tri´ angulo rectángulo de catetos de magnitud unitaria, que nosotros escribimos hoy como 2. Obviamente, los griegos nunca escribieron ni entendieron un s´ımbolo como este, debido a que, como ya hemos advertido, la concepci´ on griega de número sólo admit´ıa relaciones de magnitudes, pero nunca n´ umeros por s´ı mismos. A´ un as´ı, hoy en d´ıa se presenta, t´ıpicamente, la demostraci´ on de que 2 es un número inconmensurable (irracional), de la siguiente forma:

√

√

a Se comienza asumiendo, por el contrario, que 2 = b para ciertos enteros a y b que no tienen ningún número primo como factor a2 común. Entonces tendr´ıamos que 2 = 2 y, por tanto, a2 = 2b2 , b que muestra que a2 es par, y, por tanto, que a mismo es par; es decir, existe un número entero k tal que a = 2k. Por lo tanto, (2k)2 = 2b2 , y as´ı 2k2 = b 2 , lo que muestra, a su vez, que tambi´ en b2 es par, y, por tanto, que el mismo b es par. Pero as´ı, hemos arribado a la contradicción de que a y b son pares, y que, por tanto, tienen al número primo 2 como factor común.

√

Pruebe, siguiendo lineamie ntos similares al anterior, que inconmensurable.

√3 es

23. Recuerde que en el Libro IX de los Elementos, Euclides escrib´ıa lo que, en notación algebraica moderna, podr´ıa ser r + r2 + r 3 + ... + r n =

r n+1 r r 1

− −

a) Deduzca de esto, utilizando las reglas algebraicas aprendidas

85


en el Bachillerato, que si r = 1

1

1 10

entonces

1

1

n

1 n+1 [ 10 ]

10 + 100 + 1000 + ... + [ 10 ] =

1 10

1 10

−−1

b) Si n es un número entero “grande”, entonces la igualdad anterior se puede asimilar a la igualdad 0· 1111··· =

1 10

1

1

− 101 = 9

que es la equivalencia entre la notación decimal estándar y la notación fraccionaria. Sólo que, en el camino, hubo de requerirse de un concepto fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas: el de l´ ımite (ver volumen II: Cálculo), pues all´ı asumimos que si n es “muy grande” entonces 1 n+1 [ 10 ] es “muy pequeño”. El ejercicio aqu´ı consiste en que el lector encuentre, imitando lo realizado arriba, a qu´ e n´ umero fraccionario corresponde el decimal 2 · 44444...22 . 24. Calcule, en cada caso, sen( α + β ) y cos( α + β ) si se sabe que: 3 y sen β = 5 4 √3 5 ; cos β = 13 ]

a) sen α =

b) cos α =

√

√213

[Indicaci´ on: Note que cos α =

√

2 5 2 y s en β = 5 2

25. Pruebe las siguientes “identidades trigonométricas”: a) sen 22

± π 2

α = cos α y

cos(

π 2

± α) = ∓ sen α

Una observaci´ on pertinente aqu´ı, es que este ejercicio nos da ejemplo de una regla general, que podr´ıamos probar de forma similar a lo realizado en este ejercicio 23, y que afirma que los números que tienen descomposici´ on decimal periódica o finita, son precisamente los n´ umeros fraccionarios (racionales) y que, as´ı, los n u ´meros irracionales, todos, tendr´ ıan descomposici´ on decimal infinita y no periódica. As´ı, un n´ umero como 2 tiene infinitos decimales en su descomposici´ on. Otro número irracional es, precisamente, π .

√

86


b) sen2 α = 2 sen α cos α [Indicación: sen 2α = sen(α + α)] c) cos2 α = cos 2 α 2

d) sen 2 α = e) cos α =

− sen2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sen 2 α

1 2 (1 cos2 α) 1 2 (1 + cos 2α)

−

2tan α [Indicación: tan 2α = tan(α + α)] 1 tan2 α 2 g) sen3 α = 3 cos α sen α sen3 α [Indicación: sen 3α = sen(2α+ α)] f) tan2 α =

−

h) cos3 α = cos 3 α

−

− 3sen 2 α cos α

− − −

α+β α β cos 2 2 α+β α β j) sen α sen β = 2 cos sen 2 2 α+β α β k) cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 i) sen α + sen β = 2 sen

−

α+β α β 2 sen 2 sen(α + β ) m) tan α + tan β = cos α cos β sen(α β ) n) tan α tan β = cos α cos β α+β tan sen α + sen β 2 o) = α β sen α sen β tan 2 l) cos α

− cos β = −2sen

−

−

−

−

−

26. Pruebe, utilizando algunas de las identidades trigonom´ etricas del ejercicio anterior, que: a) sen35 o cos 25o = 12 (sen 60o +sen10 o ) [Indicación: Haga 35◦ ; α −2 β = 25 ◦ , y utilice el ejercicio 25 i) anterior] b) sen25 o cos 75o = 12 (sen 100o sen50 o ) c) cos50 o cos 70o = 12 (cos 120o + cos 20 o )

−

d) sen40 o + sen 20 o = cos10 o e) sen 105 o + sen15 o =

√6/2

α+β 2

=


87

27. Simplifique las siguientes expresiones: a) b) c) d)

− β) cos(α + β ) + cos(α β ) sen(α + β ) − sen(α − − β) sen(α + β ) + sen(α − β ) cos(α + β ) − cos(α − β ) sen(α + β ) − sen(α − β ) cos(α + β ) + cos(α − β ) sen(α + β ) + − sen(α − β ) sen(α + β ) + sen(α

28. [ Ecuaciones trigonom´ etricas] Encuentre, en cada caso, todos los α′ s, 0 α 2π, tales que:

≤ ≤ a) sen 2 α−sen α = 0 [Indicación: sen2 α−sen α = sen α(sen α − 1)] b) cos α +2sen 2 α − 1 = 0 [Indicación: Haga sen 2 α = 1 − cos2 α] 1 [Indicación: Recuerde una identidad para 2 sen2 α en el ejercicio 25 anterior]

c) sen α cos α =

29. Si en el triángulo de la figura de abajo se tiene que: a) a = 25.1, α = 26o , γ = 35o 30′ b) c = 680, β = 38o 50′ , γ = 92o 20′ c) b = 139, c = 133, γ = 60o 10′ encuentre, si es posible, los otros tres elementos en cada caso, utilizando alguna(s) fórmula(s) trigonom´ etrica(s) conveniente(s).

β

a

c

γ

α b

30. La escalera de un carro de b omberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 18 metros cuando se levanta hasta un ´ angulo de 60 o . La base de la escaler a se colocó en el carro, a 2 metros sobre el suelo. ¿Qu´ e altura sobre el suelo podrá alcanzar la escalera?

88


31. Si se proyecta construir una carretera que deberá ascender 500 metros con una pendiente de 7 o , ¿cuál debe ser su longitud? 32. Para medir la altura de un edificio AB se colocan dos listones CD = 3 metros. y EF = 2 metros, y separados por 5 metros. El listón CD está a una distancia de 10 metros de la base del edificio. Calcule la altura del edificio, suponiendo que B , D y F están alineados (ver figura siguiente). B D F 3m 10m A

C

2m

5m

E

33. Eratóstenes (230 a.C.) hizo una famosa medición de la Tierra. S

l

A

α

α

Observ´ o en Siena (Italia), al mediod´ıa y en solsticio de verano 23 , que una barra vertical no arrojaba sombra mientras que en Ale23 Durante el solsticio de verano, en el hemisferio boreal (norte) ocurren el d´ıa mayor y la noche menor del año, y en el hemisferio austral (sur) todo lo contrario. Adem´ as, Erat´ ostenes afirmaba que al mediod´ıa (12 m.) el Sol se proyectaba perpendicularmente sobre Siena.


89

jandr´ıa (Egipto), en el mismo meridiano de Siena24 , los rayos del 1 Sol estaban inclinados 50 de una circunferencia completa respecto a la vertical. Calculó entonces la circunferencia de la Tierra a partir de la distancia conocida de 5,000 estadios entre Alejandr´ıa y Siena. Obtenga el resultado de Eratóstenes de 250,000 estadios para la circunferencia de la Tierra. Hay razones para suponer que un estadio es, aproximadamente, igual a 157.5 metros. Asumiendo esto, calcule, del resultado anterior, el diámetro polar de la Tierra en kilómetros. (El diámetro polar real de la Tierra es, aproximadamente, 12,714 kilómetros). 34. En la figura de abajo, mostr emos que x, b, y h están relacionadas mediante b 2 h b = , h>b x h+b



−

h

b

α α

x

En efecto, el resultado se obtiene del hecho de que, seg´ un la figura, tan α =

b , x

tan2 α =

y de que, además, tan2 α =

1

2tan α tan2 α

−

h+b x

(1)

(2)

pues reemplazando (1) en (2) obtenemos el resultado pedido como puede comprobar , fácilmente, el lector. 24 Aunque la tradición afirma que es Siena la ciudad que Erat´ ostenes tomó como punto de comparaci´ on con Alejandr´ ıa, una simple observaci´ on de mapa nos muestra que, realmente, Siena y Alejandr´ıa no est´ an sobre el mismo meridiano.

90


Lecci´ on 2 El ´ algebra de los siglos XVI y XVII

Introducci´ on La palabra “álgebra” proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo árabe Mahommed ibn Musa Al-Khwarizmi [780-835], llamado Al-jebr al-muqabala, que significa “transposición y remoción”. Por “transposición” ( al-jebr ) se entend´ıa la transferencia de t´ erminos negativos al otro lado de una ecuaci´ on; y por “remoción” ( al-muqabala) se entend´ıa la cancelaci´ on de términos iguales a ambos lados de la ecuaci´ on. Tambi´ en podr´ıamos notar aqu´ ı que el t´ ermino “algoritmo”, que significa para nosotros “conjunto de reglas (o método) para calcular”, proviene del nombre del matemático mencionado arriba: Al-Khwarizmi. El álgebra está caracterizada, primero que todo, p or un m´ etodo que implica el uso de letras, y expresiones en letras, con las cuales llevamos a cabo operaciones de acuerdo con claras reglas expl´ıcitas. En el álgebra elemental las letras denotan números ordinarios, as´ı que las operaciones sobre expresiones en letras están basadas en leyes generales de operaciones sobre números. Por ejemplo, que la suma no depende del orden de los sumandos, se escribe en álgebra a + b = b + a; que al multiplicar la suma de dos números con otro número podemos multiplicar cada uno de los números individualmente y luego sumar los productos obtenidos, se escribe (a + b)c = ac + bc, etc. As´ı, en cualquier prueba algebraica de un teorema, es fácil ver que ésta depende s´ olo de las leyes de operaciones

de los números y no de lo que representan las letras. 91

92


El m´ etodo algebraico, es decir, el método de calcular con letras , se ha adentrado en todas las matemáticas. De hecho, una parte sustancial de muchos problemas matemáticos a menudo resulta ser sólo un cómputo algebraico. Además, una consecuencia del método algebraico con números es que en matemáticas se emplean diferentes cálculos simbólicos en los cuales las letras ya no denotan n´ umeros sino otros objetos, y las operaciones entre ellos pueden ser diferentes de las leyes del álgebra elemental de números. Los vectores de la geometr´ ıa anal´ıtica y los n´ umeros complejos que discutiremos en la siguiente lecci´ on son un buen y elemental ejemplo de ello. En las épocas antiguas, cualquier ley de n´ umeros que se identificaba, se conservaba en palabras o en signos m´ as o menos aislados ya que a´ un no exist´ıa un lenguaje simb´ olico suficientemente amplio: era lo que se conoc´ıa como “´ algebra retórica”. Y a pesar de los trabajos de Diofanto (siglo III) en la antigua Grecia, de los hindúes y árabes, y del importante trabajo de Al-Khwarizmi en el siglo IX (en el que ya aparecen las primeras leyes generales para la solución de ecuaciones de primer y segundo orden) que dieron carácter al per´ıodo conocido como del “álgebra sincopada”, fueron Fran¸cois Viete [1540-1603] y Ren´ e Descartes [1596-1650] quienes primero introdujeron realmente la notación simbólica denotando, tanto las cantidades conocidas como las desconocidas, con letras. Es

en este momento que el ´ algebra realmente comienza como ciencia del cálculo simbólico, de transformación de fórmulas escritas en letras, de ecuaciones algebraicas, etc., en contraste con la aritm´ etica que siempre operaba con números enteros concretos. Aún hasta hace 250 a˜ nos, el “´ algebra” era el álgebra desde este punto de vista de Viete y Descartes. Esta es la que hoy se conoce en algunos libros de texto como “´ algebra superior”. A´ un as´ı, a pesar de estos pincelazos de su historia, siempre es dif´ıcil trazar el devenir histórico de las ideas matem´ aticas que conforman lo que hoy conocemos como álgebra. Quizás el lector coincida con nosotros en que all´ı (como en cualquier intento de descripción) se entrelazan varias historias: en primer lugar, la historia del sistema simb´ olico matem´ atico que utiliza el álgebra; en segundo lugar, la historia del concepto mismo de número, y la historia de las tradiciones en resolución de problemas matemáticos concretos; y, finalmente, la historia de los m´ etodos de análisis para resolverlos. Precisamente sobre estos problemas generales

93

Lecci´ on 2: El álgebra de los siglos XVI y XVII

centraremos nuestra atención en esta, y en posteriores lecciones.

1.

Las leyes fundamentales del ´ algebra de n´ umeros

En este punto, asumiremos que la suma, la resta, la multiplicaci´ on y la división entre números, son operaciones familiares al lector; que los números naturales (enteros positivos) n = 1, 2, 3, ; los números enteros z = 0, 1, 2, 3, ; los números fraccionarios (números racionales) r = p/q donde p y q son números enteros, q = 0; y que algunos números no-fraccionarios (o “irracionales”) como 2, tambi´ en son conocidos. Además, asumiremos que podemos construir nuevos n´ umeros ba jo cuatro operaciones entre n´ umeros (suma (+), resta ( ), producto ( , ), división ( , /), y que las siguientes “leyes fundamentales” son ciertas: Si a, b, c y d son números, entonces 1

··· √

± ± ± ···

−

÷

1) (a + b) + c = a + (b + c)

2) a + b = b + a

3) a + 0 = a 5) a(bc) = (ab)c = abc

4) a a = 0 6) ab = ba

· − −ab a·1=a

−

− −

7) a ( b) =

8) ( a)( b) = ab;

9)

10) a

11) a(b + c) = ab + ac a ad 13) cb = ; b,c,d =0 bc d



15) 1

×·

−a =

a

;

b =0

12)

1 = 1; a = 0 a



a c ad + bc + = ; b, d = 0 b d bd



   a b

14)

16)

c ac = ; b, d = 0 d bd

a

=



a

;

b =0

b

−b  −b − b  No se preocupe el lector, en este punto, sobre los nombres dados a algunas de las

propiedades, ni sobre justificación alguna de ellas. Sólo deber´ıa preocuparse por aplicarlas correctamente teniendo un manejo adecuado y ´ agil de cada una. Más adelante, en la lección 4 (Fundamentos para las matemáticas contempor´ aneas), las estableceremos axiom´ aticamente.

94


Nota 1. (Sobre los s´ımbolos =, +,

−, × , · , ÷, :)

1. Como curio sidad histórica, la tradición afirma que el s´ımbolo = (igual) fue introducido por primera vez en la historia en 1557 por Robert Recorde, quien en su The Whetstone of Witte afirmaba que “nada puede ser más igual que dos paralelas”. 2. Según afirman connotados historiadores de la notaci´ on simbólica en matemáticas, la primera vez que aparecieron impresos los s´ımbolos + (suma) y (resta) fue en 1489, en el Mercantile Arithmetic de Johannes Widmann, aunque no en el contex to de números positivos o negativos sino como excedentes o d´ eficits en problemas comerciales. Al parecer, el primer signo (+) tiene su srcen en cierta ligadura en el conectivo et, que significa y en Lat´ ın, que se encontr´ o en manuscritos no impresos anteriores a Widmann y que van hasta el Algorismus Proportionum de Nicolás Oresme escrito entre 1356 y 1361.

−

3. Por su parte, el s´ımbolo de producto ( ) aparece en 1618 en un ap´ endice, al parecer de William Oughtred, de una traducci´ on del Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio de John Neper [15501617] en donde se establecen las primeras versiones de los logaritmos actuales.

×

4. Aunque no está del todo claro, al parecer fue Gottfried W. Leibniz [1646-1716] quien primero introdujo el punto ( ) como s´ımbolo de multiplicaci´ on. En una carta en 1698 a John Bernoulli, escrib´ıa: “No me gusta el s´ımbolo X para la multiplicación, ya que se confunde fácilmente con la variable x; ... a menudo, simplemente re-

·

laciono dos cantidades mediante un punto interpuesto e indico la multiplicaci´ on por ZC LM . As´ı, al designar una proporci´ on, no utilizo un punto sino dos puntos, que también utilizo para la división”.

·

5. El s´ımbolo / para la división fue utilizado por Leonardo de Pisa (mejor conoci do como Fibonacci) [1175-1250] en el año 1220. No sabemos de un uso de este s´ımbolo anterior a éste. A su vez, el s´ımbolo de división fue utilizado por primera vez en 1659 por Johann Rahn en su Teutsche Algebra. Por su parte, el s´ımbolo : de

÷


95

proporción fue utilizado por primera vez por Leibniz. Apareci´ o en su Acta Eruditorum de 1684. Ejemplo 1. 1 1 1 + 3+2 4 5 8 a) + 1 1 2 2 5 4 6 3

·

− ·

−

5+4 1 3+ 20 4 = + 1 15 2 2 24 3 9 12 + 1 4 = 20 + 48 1 13 24 3 9 24 13 3 54 3 = + = + 20 47 4 13 235 4 921 = 940

−

−

− ·

·

b) Jorge, trabajando solo, estima que puede hacer una casa en 36 meses; Giancarlo, a su vez, cree que la hace en 20 meses; y Diego supone que la hace en 40 meses. ¿Cu´ antos meses se estima que necesitar´ıan los tres para hacer juntos la casa? Soluci´ on. 1 1 de la casa en un mes; Giancarlo hará de la casa 36 20 1 en un mes; y Diego hará del mismo trabajo en un mes. Por lo 40 1 1 1 10 + 18 + 9 37 tanto, los tres juntos harán + + = = 36 20 40 360 360 de la casa en un mes. Luego para hacer toda la casa, necesitar´ an 360 27 = 9+ meses. 37 37 Jorge hará

 

Ejercicios 1 1. Utilizando las propiedades fundamentales de los números que escribimos antes, simplifique las siguientes expresiones num´ ericas, mostrando claramente el proceso:

97


2. Utilizando las propiedades fundamentales de los números que escribimos al comienzo de esta sección 1, simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a)

a(b

− 1)

b+

b)

e c

a a c) bcd( + b c a a 2 3 e) a 8

− ad )

−  −

g)

a a 16 + 3 9

b 1 a(7 + ) 25 + a c d e + 4 3

−

1 d c a + b 7

d)

b a ( c b

− cb + 1)

f)

b 17

h)

a 1 b + 1+a 3 2 c d 1 + 9 4

− 6b − 3b −

− e − −3

3. Indique cómo cada una de las primeras seis leyes fundamentales de los números (numerales 1) a 6) al comienzo de esta sección) pueden establecerse geom´ etricamente, asumiendo que las cantidades a, b, c son positivas. 4.

a) ¿Qué número (si existe) debe sumarse a los t´ erminos de la fracci´ on 4/5 para obtener una razón igual a 4/3? [Indicación: 4+a 4 = y resuelva para a.] 5+a 3 b) La suma de dos n´ umeros es 195. Si al mayor se le agrega 15 tendr´ıamos un cociente exacto de 5 al ser dividido por el menor. Muestre que los números son 35 y 160. c) Pruebe que una piscina demora 6 horas en vaciarse si tanto la la llena en 12 horas, como el sumidero que la manguera vac´ıa en 4 que horas, permanecen abiertos. d) Dos tipos de vino tienen, hoy, 8 y 12 a˜ nos de añejamiento. ¿Ser´ a posible que en el futuro la edad del vino más joven sea la tercera parte del más añejo?

98


5. El señor González tiene 114 .000 dólares en el Banco, colocados al 5 % anual. Los retira para com prar una finca (para la jubilaci ón) que le produce 10 .000 dólares al año. ¿Cuánto gana o pierde en esta operación despu´ es de un a˜ no? 6. Un comerciante que se ha declarado en quiebra le debe $30 millones al Banco A, $9 millones al Banco B, y $12 millones al Banco C . ¿Cuánto recibirá cada acreedor, si sólo le quedan $7 millones, y el comerciante quiere pagarles proporcionalmente a lo que les debe? 7. Un agente compró 15 acciones al precio de $1 ′ 900.000 cada una. Al año cobró $125.000 de dividendo y luego las vendió en $1 ′ 980.000. ¿Cuánto obtuvo de beneficio al final? 8. Tres operarios han realiza do una obra en tres etapas independientes que ha necesitado de 85 d´ıas de trabajo (un operario para cada etapa). ¿Durante cuántos d´ıas trabaj´ o cada uno sabiendo que uno de ellos recibió $525 .000, otro $420 .000, y el tercero $330 .000, y que el salario diario es el mismo para todos?

2.

Breve sobre potenciación y radicales

La noción de potenciación surge naturalmente de procesos de multiplicaci´ on reiterada, a los que la aritm´ etica recurre en diversas situaciones. Veamos c´ omo.

a).

Exponentes enteros

El primer paso es definir la operaci´ on de multiplicar un número por s´ı mismo, una y otra vez. Definici´ on 1. (Exponentes enteros) Si a es un número cualquiera y m un número natural cualquiera, podemos definir: am = a a a

 · · ···  m veces

a

99


a0 = 1

a− m

=

1/am



si a = 0

De esta definición es inmediato probar el siguiente teorema: Teorema 1. (Reglas de los exponentes enteros) Si a es un número cualquiera, y m, n números enteros positivos, en-

tonces am an = a m+n

i)

·

iii)

am = a m−n , an

si a = 0

am , bm

si b = 0

 a b

v)

m

=



ii)

(a b)m = a m bm

iv)

(am )n = a mn

·



Como veremos, estas propiedades sólo son una aplicación directa de las propiedades de los números: En efecto:

i) am an = (a a

a) (a a

a) = a a

a

 · ···  ·  · · · ·   · ······   ···   ·· ·  ·  ···   ···  ·  ···   ···   ······  m veces

m+n veces

n veces

ii) (ab)m = (ab)(ab)

(ab) = (a

m veces

b) = a m bm

a) (b

m veces

m veces

iii) Supongamos que m es mayor que n. Entonces n veces

am (a = an

m n veces

−

a) (a (a a) n veces

a)

a) = a m−n

= (a

(m n) veces

−

Si m es menor que n, utilizamos la propiedad de que aplicamos lo anterior para obtener el mismo resultado.

iv) (am )n = (am

am ) = (a

a) (a

a)

am 1 = n y a an am

(a

a) =

 ······   ······   ······  ···  ······   ······  n veces

(a

a) = a mn

mn veces

m veces

m veces

n veces

m veces

100


v) Supongamos b = 0. Entonces:



m veces

m veces

a b

m

a = b

a b

a (a b = (b

a) am = b) bm



     ···    ···  m veces

Ejemplo 2.

Veamos cómo operan, en los siguientes casos, las reglas de los exponentes enteros. Aqu´ı y en adelante, a menos que se especifique de otra

manera, supondremos, por simplicidad, que todas las letras desconocidas representan n´ umeros positivos. a) 32 33 = 32+3 = 35 =243 c)

x3 1 = x 3−4 = x4 x 2x

e)

3y



2

=

b) (2 d) ((2

x)5 = 25 x5 = 32x5 x)2 )3 = (2x)6 = 64x6

(2x)2

4x2

(2y)4

16y 4

(3y)2

9y 2

f)

(y 2 )3

y6

h)

(ab)5 = (ab)5−3 = (ab)2 (ab)3

=

g) (ab2 )(c2 d)(abc)2 = a 3 (bc)4 d

=

16 = y2

Nota 2. (Sobre los exponentes enteros ) La notación de exponentes enteros que utilizamos hoy en d´ıa fue introducida por René Descartes en 1637 (con enteros positivos, u ńicamente) en su Geometrie (en donde, además, introducir´ıa el nuevo m´ etodo de la geometr´ ıa anal´ıtica ). Sin embargo, ya antes, Simon Stevin (1585) y James Hume (1636) hab´ıan dado una discusión sistemática de los exponentes enteros positivos. Este u ´ltimo escrib´ ıa, por ejemplo, A iii en lugar 3 de A ; pero exceptuando esta notación en números romanos de sus exponentes, Hume hab´ıa ya desarrollado toda la notación de exponentes positivos que utilizamos hoy. Por su parte, los n´ umeros enteros negativos como exponentes fueron utilizados por primera vez, con notación moderna, por Isaac Newton [1642-1727] en 1676 en una carta en la que describ´ıa su descubrimiento, veinte años antes, del conocido teorema binomial que estudiaremos adelante.

102


√ √

v) Basta observar que [( n a)( m a)]mn = (a)m (a)n = am+n vi) Es similar a v) y queda como ejercicio para el lector.



Nota 3. Podemos tambi´ en escribir el anterior teorema mediante exponentes fraccionarios, de la siguiente forma: 1

i)

1

1

1

a m b m = (ab) m 1

1

ii)

1

n

am b

a 1 = ( )m b

1

m

n

1

iv) ( a m )n = a m

iii) ( a m ) = a mn

1

1

1

v) (a n )(a m ) = a

n+m mn

vi)

an 1

am

=a

m n mn

−

que muestra la conveniencia de la notación fraccionaria en lugar de la de radicales. Sin embargo, esta última notación contin´ ua (y probablemente continuar´ a) utilizándose. Nota 4. Debemos aclarar aqu´ı que el teorema 2 anterior de reglas para exponentes fraccionarios a´ un se tiene en los casos en que a es negativo, siempre y cuando los radicales implicados tengan sentido para el álgebra ordinaria. Por ejemplo, el lector no deber´ıa dudar en escribir

√−27)5 = (−3)5 = −243,

(3

ó

√−8 √−4 = (−8)(−4) = √32 = 2 5



5

5

Ejemplo 3.

5

Veamos c´ omo operan, en los siguientes casos, las reglas de los exponentes fraccionarios. Asumamos aqu´ı que, p or simplicidad, las letras desconocidas representan n´ umeros positivos. 6

3

6

a)

1

√√8 =3 √2√3 = 22 √ = 2 = √√2 b) 8ab = 4b 2ab = 2b 2ab = 2 a b √3c √3c 3c √ c) = = = 3 c d−1 e−2 3 6 d3 e6 de2 6

2

3 2



3

3

3

d e

3

1 3

1 3

1 2

3 2

103


d) e) f) g)

  √ √ √ √     √ 4

16x7 y 9 = 2xy 2

9

27x3 y 6 =

3

2

3

6

8x3 =

2x 3y

3

i)

1

3

(

6

  3

27x3 y 6

4

3

2x 2 ) = 3y

√xy 1 √xy = √xy = x− 2

2

8x3 =

3

h)

7

9

x3 y = 2x 4 y 4 1

2

3xy 2 = 3 3 x 3 y 3

2

=

4

1 6

8x3 = 3

2

1

1

2x = 2 2 x 2

4x2 = 9y 2

3

4x2

3

9y 2

2

2

2

2

= 2 3 3− 3 x 3 y − 3

1

y− 6

16x4 y 8 = (3xy 2 )(2xy 2 ) = 6x2 y 4

Nota 5. (Sobre los exponentes fraccionarios )

√

A menudo se sugiere que el s´ımbolo moderno de radical proviene de una r alterada, que es la primera letra de la palabra latina radix. De hecho, esta era la opini´ on de Leonhard Euler [1707-1783] en su Institutiones Calculi Differentialis de 1775. La primera vez que se utilizó para la ra´ız cuadrada, fue en 1525 en el Die Cross de Cristoff Rudolff,

√

aunque éste no utilizaba ´ındices de ra´ıces superiores sino que modificaba la apariencia del s´ımbolo de la ra´ız cuadrada. En 1637, Descartes, en su ya mencionada Geometrie, lo har´ıa universal. De otro lado, los primeros en explicar el significado de los exponentes fraccionarios fueron John Wallis (1656)(en su Arithmetica Infinitorum ), e Isaac Newton (1676)(en la misma carta mencio nada en la Nota 2 anterior). Es a ellos a quienes les debemos la notaci´ on que es hoy reconocida.

Ejercicios 2 1. Simplifique las siguientes expresiones: a) (ab2 c3 )(a3 b)2 (ac3 )5

b) (2 x2 y 4 )3 (ax5 y 11 )2

c) (2 a2 x3 y 7 )5

d) (x2 y 8 z 7 )7

e) (a2 bm c3 )2n

f) (am bn cm )n

104


2. Reduzca cada uno de los siguientes radicales a su forma más simple con exponentes fraccionarios: a) d) g)

j) m) p)

√18 √ 9

1000

  3

e)

3 4

h) c(n+3)

3

a(3n) b(3n+2)

1

4

f)

3 16

i)

z 16 a 8 x8

l)

1

t) (32

o)

√3 √3 3

q)

s) a 5 a− 3 a− 15

3.

5

3 2

n) ( 12)3

3n

3

2

k)

  

c)

√

√a √a √ 2 2

2n



√588

b)



3

a10 ) 5

r)

√272 3

 

3 2

3

12

√ 3

8x6 y 9 z 15

√ 3

a2 bc2 ab2 c

√ 3

2m

2



18

√am n

3

5

u) a 3 a 4 a 6

Breve sobre factorización

Los procesos de factorización son, esencialmente, procesos de simplificaci´ on algebraica que, en muchas ocasiones, revelan ciertas caracter´ısticas de la expresión, que pueden ser muy útiles dentro del problema bajo estudio. De hecho, la idea inicial es que algunas expresiones algebraicas pueden tener un t´ ermino que podr´ıa tomarse como factor com´ un, por aplicaci´ on de la ley distributiva; es decir, la regla de n´ umeros que afirma que ab + ac = a(b + c) para a,b , c, números cualquiera. Veamos en detalle los m´ etodos de factorizaci´ on más recurrentes en la práctica. Pero antes, para darnos una idea general, observemos los siguientes ejemplos de factorizaciones.

105


Ejemplo 4. Factoricemos las siguientes expresiones: a) a2 c c) e)

− abd − abc + a2d a + ab − bd − ad + ac − cd x4 − x3 + x − 1

b) ac + bd + ad + bc

2

d) x5

− x3 − 8x2 + 8

f) x4 + x3 + x2 + x

Soluci´ on a) a2 c

− abd − abc + a2 d = ac(a − b) + ad(a − b) = a(a − b)(c + d)

b) ac + bd + ad + bc = a(c + d) + b(d + c) = (a + b)(c + d) c) a2 +ab bd ad+ac cd = a(a+b+c) d(a+b+c) = (a d)(a+b+c)

− − − − − d) x5 − x3 − 8x2 + 8 = x 2 (x3 − 8) − (x3 − 8) = ( x2 − 1)(x3 − 8) e) x4 − x3 + x − 1 = x 3 (x − 1) + (x − 1) = ( x3 + 1)(x − 1) 4

3

2

2

2

2

2

2

f) x(x x ++x1)(x + 2x ++1)x = x (x + x) + (x + x) = (x + 1)(x + x) = Enseguida, cuando conozcamos otros casos t´ıpicos de factorizaci´ on, podremos escribir algunos de estos productos más expl´ ıcitamente.

a).

Algunos productos especiales y el proce so de fact orizaci´ on

Existe un número de productos especiales que, cuando se presentan, podr´ıan hacer expedito el proceso de factorizaci´ on: los cuadrados per-

fectos, las diferencias de cuadrados, y la suma y diferencia de potencias en general. I

).

Cuadrados perfectos

Si a y b son dos números cualquiera, entonces: a) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 b) a2 2ab + b2 = (a

−

− b)2

y la prueba de esto es inmediata expandiendo los respectivos términos de la derecha en ambas igualdades.

106


Ejemplo 5. Factoricemos como cuadrados perfectos las siguientes expresiones: a) 9x2

− 12xy + 4y2

b) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Soluci´ on. a) 9x2

− 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2(3x)(2y) + (2y)2 = (3x − 2y)2

b) a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc = (a+ b)2 +2(a+ b)c+ c2 = (a + b+ c)2

En estos dos últimos ejemplos podemos observar la virtud principal de los procesos de factorización, y es que al simplificar as´ı una expresión

algebraica, es posible que revelemos información que antes no se ten´ıa a simple vista. Por ejemplo, notemos cómo la factorización de las expresiones algebraicas del ejemplo anterior nos muestra que ambas expresiones son no-negativas, puesto que todo n´ umero elevado al cuadrado es nonegativo. Y esa información era, en absoluto, obvia, a partir de las expresiones srcinales antes denofactorizar. II

).

Diferencia de cuadrados

Si a y b son dos números cualquiera, entonces a2

− b2 = (a − b)(a + b)

y la prueba de esto es inmediata expandiendo el término de la derecha de la igualdad. Ejemplo 6. Observemos cómo podemos factorizar las dos siguientes diferencias de cuadrados: a) x2 y 2 z 2 + 2yz = x2 (x + y z)(x y + z)

− − − −

− (y2 − 2yz + z 2) = x2 − (y − z)2

b) x4 + x 2 y 2 + y 4 = x4 + 2x2 y 2 + y 4 (x2 + y 2 xy)(x2 + y 2 + xy)

−

=

− x2y2 = (x2 + y 2)2 − x2 y2 =

107

Lecci´ on 2: El álgebra de los siglos XVI y XVII III

).

Suma y diferencia de potencias en general

La generalización directa del caso anterior, y de otros casos, la encontramos en las tres siguientes expresiones: i) Si n es cualquier número natural, se tiene que an

− bn = (a − b)(an−1 + an−2b + ... + abn−2 + bn−1)

ii) Si n es par, se tiene que an

− bn = (a + b)(an−1 − an−2b + ... + abn−2 − bn−1)

iii) Si n es impar, tambi´ en se tiene que an + bn = (a + b)(an−1

− an−2b + ... − abn−2 + bn−1)

y la prueba de estos tres casos se realiza efectuando los respectivos productos en cada uno de los lados derechos de las tres igualdades. Ejemplo 7. Veamos algunas factorizaciones de sumas o diferencias de potencias: a) x6

− 1 = (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) b) x6 − 1 = (x + 1)(x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1) c) x7 + 1 = ( x + 1)(x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1) d) 8a3 + 27b3 c3 = (2a)3 + (3bc)3 = (2a + 3bc)[(2a)2 (3bc)2 ] = (2 a + 3bc)(4a2 6abc + 9b2 c2 )

−

− (2a)(3bc) +

e) x6

− y15 = (x2)3 − (y5)3 = (x2 − y5)(x4 + x2y5 + y10) f) x5 − x3 − 8x2 + 8 = x2 (x3 − 8) − (x3 − 8) = ( x2 − 1)(x3 − 8) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x2 + 2x + 4) 2

2 Algunas de estas factorizaciones podr´ıan ir más allá, encontrando otros factores. ¿Podr´ıa el lector, como ejercicio opcional de este punto, identificar cuáles son éstos, y hacerlo efectivamente? Cuando conozcamos en la pr´ oxima lección algo más sobre factorizaci´ on, en particular sobre ra´ıces de polinomios, será claro cuáles pueden ser estos factores.

108

b).


La f´ ormula binomial de Newton (1676)

La fórmula binomial es la forma ampliada de la expresi´ on algebraica (a + b)n donde n es un número entero positivo. En el camino de este desarrollo nos encontramos con que los coeficientes de esta expansi´ on satisfacen ciertas caracter´ ısticas que el matem´ atico franc´ es Blaise Pascal (1654) resumió en lo que ahora se llama el triángulo de Pascal . I

).

El triángulo de Pascal

Aunque el triángulo de Pascal debe su nombre a este matem´ atico, ya era conocido desde mucho antes. Las primeras referencias del tri´ angulo corresponden a China, donde se constata que el tri´ angulo se estudiaba alrededor de 1100. En relación con él, se suelen citar al matem´ atico chino Yang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de sus propiedades, y al matemático persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que fue independiente de los matemáticos chinos. 1 1 1

1 2

1

1331 1 1 1 1

7

4

տ 5ր 6 21

15

տ 6ր 4 տ 10ր 10 20

տ 35ր

15

6 35

1 5

1

տ 21ր

7

1 1

Figura 1: Triángulo de Pascal

Para entender cómo se construye el triángulo de Pascal, tomemos las filas del triángulo de la figura 1 comenzando a numerarlas desde 0, de modo que la fila n contiene n + 1 elementos, de los cuales el primero y el u ´ ltimo toman el valor 1, mientras que los dem´ as elementos de esta fila se obtienen sumando los elementos inmediatamente superiores de la fila anterior. El triángulo de arriba muestra s´ olo las primeras filas del triángulo. El inter´ es del tri´ angulo de Pascal tiene diferentes razones, pero la principal es que los n´ umeros que aparecen en cada fila son los

109


coeficientes que se obtienen al desarrollar ( a + b)n . Por ejemplo, si observamos la fila 3, notamos que los números 1, 3, 3, 1 son, precisamente, los coeficientes del desarrollo de ( a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . Esta propiedad del triángulo de Pascal permite, en particular, los c´ alculos en la fórmula binomial de Newton, que presentamos a continuación. II

).

La fórmula binomial de Newton

La fórmula binomial de Newton

3

para un número natural n, es

− ·

−

n n(n 1) n−2 2 n(n 1)(n (a + b)n = a n + an−1 b + a b + 1 1 2 1 2 3 Por ejemplo,

· ·

− 2) an−3b3 + ... + bn

i) Para n = 2 es

( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

ii) Para n = 3 es

( a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

iii) Para n = 4 es

( a + b)4 = a 4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4

Observamos que la formación de los coeficientes, efectivamente, coinciden con la prescrita por el triángulo de Pascal: para n = 2 los coeficientes de la fila 2; para n = 3 los coeficientes de la fila 3; etc. Cabe agregar que si cambiamos b por b en la fórmula binomial y simplificamos t´ erminos, se obtiene que

−

(a

− 2) an−3b3 + ... + (−b)n − b)n = an − nan−1b + n(n1 ·−2 1) an−2b2 − n(n −1 ·1)(n 2·3

Ejemplo 8. Encontremos la expansión por la fórmula binomial de (2 x

− y3)6.

Soluci´ on. (2x

− y3)6 = (2x)6 − 6(2x)5 y3 + 61 ·· 52 (2x)4(y3 )2 − 61 ·· 52 ·· 43 (2x)3 (y3)3 + ... + (y3 )6 = (2x)6 − 6(2x)5 y 3 + 15(2x)4 (y 3 )2 − 20(2x)3 (y 3 )3 + 15(2x)2 (y 3 )4 − 6(2x)(y3 )5 + (y3)6 = 64x6 − 192x5 y 3 + 240x4 y 6 − 160x3 y 9 + 60x2 y 12 − 12xy 15 + y 18

3 Sin embargo, Newton nunca publicó este resultado. En su “Treatise of Algebra” de 1685, John Wallis afirma que el resultado es de Newton.

110


Ejemplo 9. Encontremos la expansión por la fórmula binomial de ( x3 + y 3 )3 . Soluci´ on. 3 2 3 3 2 3 2 1 3 0 3 3 (x3 + y 3 )3 = (x3 )3 + 3(x3 )2 y 3 + (x )(y ) + (x ) (y ) 1 2 1 2 3

· ·

· · · ·

= x9 + 3x6 y 3 + 3x3 y 6 + y 9 Ejemplo 10.

− 

Encontramos la expansión por la fórmula binomial de Soluci´ on

−  1

1 x

10

=1

1 x

1

10

.

210 120 45 10 1 − 10x + 45 − 120 + 210 − 252 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 x2 x3 x4 x5 x x x x x

Nota 6. La generalizaci´ de la afórmula para enteros negativos y fraccionarios de n osen debe Newtonbinomial (1676), aunque su prueba formal requiri´ o de los trabajos posteriores de Colin MacLaurin (1742), Leonhard Euler (1774) y Niels H. Abel (1825) (ver Volumen II: C´ alculo).

Ejercicios 3 1. Factorice, si es p osible, las siguientes expresiones algebraicas: a) a2 c

− abd − abc + a2 d

b) a2 + cd

c) x4 + x3 + x2 + x e) x3 + 3x2

d) 10

− ab − bd + ac + ad

xy + 5y 2 + 18x + 9y

f) x3 + 2x2 + 2x + 1

− 2x − 6

2. Pruebe la verdad de la igualdad 2

2

2

2

2

2

(a + b )(c + d ) = (ac + bd) + (ad bc) e inmediatamente deduzca que si dos números son sumas de cuadrados, entonces su producto también es suma de cuadrados. Compruebe esto en el cas o de 13 = 9 + 4, 41 = 25 + 16, 533 = 13 41 = (32 + 22 ) (52 + 42 ) = (3 5 + 2 4)2 + (3 4 2 5)2 = 232 + 22 .

−

·

·

·

· − ·

·

111


3. Factorice, si es p osible, las siguientes expresiones algebraicas: a) 12 a3 x3 c) 36 x4 6

75axy 2

− 1−

f)

g) 64 x3

h)

i)

j)

k)

2

m) x + 3x2 + n ˜) x2 + 20x 96 + p) abx2

6ab2

d) x4

6

−y − 125y3 x8 − 1 x3 − 1

e) x

b) 6a3

l) n) o)

− (ac − b2)x − bc

q)

−−3x2 y2 + y4 25 x4 − 49y 4 16 x4 − 81y 4 x7 − 1 x4 − 1 x2 + x − 30 x2 − 21x + 80 6x2 − 13x + 6

4. Expanda las siguientes expresiones algebraicas con la ayuda del binomio de Newton: 2

a) (3 x + 2y) c) (a2

4.

 

− b)4

e) (a2 + ax

2 3

b) (1 + 2 x ) 1 5 d) 2+ y

− x2)2

f) (a2 + ax

− x2)3

Racionalizaci´ on

Cuando el producto de dos expresiones es “racional” (es decir, sin radicales), a cada una de estas se le llama un factor racionalizador del otro. El proceso de “racionalización” es, esencialmente, de simplificación de expresiones algebraicas cuya conveniencia depende, estrictamente, del problema que se está estudiando. Consiste en eliminar, de ser posible, los radicales de un numerador o de un denominador. Es de creer que este tipo de procedimiento podr´ıa provenir del temor y confusión que la aparición de expresiones con ra´ıces (cuadradas, cúbicas, etc), particularmente en los denominadores, causó durante muchos años en el pensamiento matemático.

114


Inclusive los mismos irracionales se utilizaron en una de las m´ as importantes creaciones matemáticas del Renacimiento: los logaritmos. Estos, inventados por John Neper [1550-1617] con el u ´ nico objeto de hacer más r´ apidos ciertos cálculos aritméticos, fueron, por esta misma raz´ on, más que bienvenidos. Hubo tambi´ en, sin embargo, afirmaciones p ositivas sobre que los números irracionales eran entidades leg´ıtimas. Simon Stevin [1548-1620] reconoc´ıa los irracionales como n´ umeros al aproximarlos, más y más, median´ te fraccionarios; y John Wallis [1616-1703] en su Algebra de 1685 tambi´ en aceptaba los números irracionales como n´ umeros por s´ı mismos. Sin embargo, ni Stevin ni Wallis dieron fundamentos lógicos a sus afirmaciones y esto privó a las matemáticas de desarrollos más tempranos en su lógica. Aún as´ı, cuando Descartes en su Geometr´ ıa (1637) creó, junto con Fermat en su Isagoge (1629), la geometr´ ıa anal´ıtica, estaba presuponien-

do una correspondencia uno-a-uno entre todos los n´ umeros positivos y los puntos de una l´ınea recta; y como muchos de estos números eran irracionales, aceptaron, impl´ ıcitamente , la naturaleza real de estos números a pesar de tampoco tener ninguna fundamentación lógica para ellos. De hecho, ser´ıan los sucesores de Descartes y Fermat quienes introducir´ıan los números negativos (otra de las dificultades que debi´ o enfrentar el desarrollo del álgebra) en la geometr´ ıa anal´ıtica, y esto le dar´ıa quiz´ as el mayor impulso a la aceptación de estas “extrañas” cantidades. La segunda etapa del álgebra comenzó por aquella misma época con la aparici´ on en 1770 de la Introduction to Algebra de Euler en la que defin´ıa el álgebra como la teor´ıa de los cálculos con cantidades de distintos tipos. La primera parte de su libro conten´ıa la teor´ıa del cálculo con números enteros, fracciones ordinarias, ra´ıces cuadradas y c´ ubicas, teor´ıa de logaritmos, progresiones, teor´ıa de c´ alculos con polinomios, y la teor´ıa de la serie binomial de Newton. La segunda parte consist´ıa en la teor´ıa de las ecuaciones de primer grado y sistemas de tales ecuaciones, y en la teor´ıa de las ecuaciones cuadráticas y de soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado mediante radicales. Tambi´ en mostraba que la ecuaci´ on de Fermat x3 + y 3 = z 3 no pod´ıa resolverse mediante n´ umeros enteros x,y,z (“Problema de Fermat” para n = 3). Ya a finales del siglo XVIII y comienzos del XIX, un problema hasta entonces particular del álgebra llegar´ ıa a ser su eje central: la teor´ ıa de la


115

solución de ecuaciones algebraicas. Este problema consist´ıa en encontrar las soluciones a la ecuación algebraica con una incógnita: a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

··· + an−1 x + an = 0

donde los coeficientes a 0 , a1 , a2 ,...,a n son números enteros. Y esto sucedió no sólo como consecuencia natural de la importancia del problema para la matemática pura y aplicada, sino tambi´ en debido a la dificultad y profundidad de la mayor´ıa de teoremas conectados con ella. La fórmula general de solución para la ecuación lineal ax + b = 0 con a = 0 b es bien conocida como x = , y la fórmula general para la ecuación a cuadrática ax2 + bx + c = 0, a = 0,



−



tambi´ en conocida por todos, es x=

−b ± √b2 − 4ac 2a

Adem´ as, los algebristas del siglo XVI encontraron reglas generales análogas, aunque más complicadas, para las ecuaciones de tercer y cuarto grado. 4 Sin embargo, resolver de manera general ecuaciones de grado superior resultó ser una empresa imposible. Los más grandes matemáticos de los siglos XVI, XVII, XVIII y principios del XIX crearon un impresionante edificio de teoremas y métodos conectados con este problema. De hecho, el influyente texto de álgebra de Joseph Alfred Serret aparecido en 1866 (aproximadamente 100 años despu´ es del de Euler) defin´ıa “´ algebra”como la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas. A´ un as´ı, bien merece anotarse aqu´ı que el a´lgebra de todo este per´ıodo se representa bien en los libros de texto que hoy conocemos como álgebra superior, todos ellos evidentemente inspirados en el Introduction to Algebra de Euler. Ya en la segunda mitad del siglo XX ocurrió (sobre la base de las ideas del matemático franc´ es Evariste Galois [1811-1832] en la primera mitad 4

Si el lector está interesado en profundizar en los temas algebraicos desarrollados ´ aqu´ı, recomendamos “Hall, Henry y Samuel Knight (1948), Algebra Superior, Uteha”.

116


del siglo XIX acerca de la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas) un profundo desarrollo en estructuras matemáticas como la teor´ıa de grupos y la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas, que permitieron el desarrollo del aparato algebraico en diversas direcciones; por ejemplo, la teor´ıa de determinantes, matrices, formas cuadráticas, transformaciones lineales, y la teor´ıa de invariantes, abarcados todos dentro de la estructura de “espacio vectorial”, tuvieron el impulso desde la mec´ anica y la f´ısica. Se comenzaron a estudiar, más y más, objetos que ya no eran n´ umeros y para los cuales era natural considerar operaciones de adici´ on, substracci´ on y, algunas veces, de multiplicación y división, pero que estaban sujetas a leyes diferentes de las que aplicamos a los n´ umeros: vectores, matrices, tensores, espines, n´ umeros hipercomplejos, todos estos objetos se denotaban, nuevamente, mediante letras pero con leyes de operaci´ on diferentes a las de los n´ umeros. As´ı, si un conjunto de objetos satisfac´ıa ciertas operaciones o leyes de operación, entonces dec´ıamos que se hab´ıa definido un “sistema algebraico”. Surgieron sistemas algebraicos abstractos como la teor´ıa de grupos, la teor´ıa de anillos, la teor´ıa de espacios vectoriales base del ´ algebra lineal), .etc., y ésta es la que hoy se conoce(que comoes la´ Sin embargo, algebra abstracta o moderna debe reconocerse que su base de construcción fue, precisamente, la gran cantidad de material algebraico recogido a lo largo de muchos siglos de esfuerzos.

117


Ejercicios complementarios 1. Indique cómo, cada una de las siguientes propiedades de los n´ umeros, tambi´ en puede establecerse geom´ etricamente , suponiendo que a, b son cantidades positivas: a) (a

− b)2 = a2 − 2ab + b2

b) a2

− b2 = (a + b)(a − b)

2. [F´ ormula de Herón de Alejandr´ıa] Es posible ofrecer una prueba esencialmente algebraica y trigonométrica del teorema de Her´ on de Alejandr´ıa (ya probado geom´ etricamente en los ejercicios complementarios de la lección 1), sobre el área de un triángulo en t´ erminos de sus lados y su semi-per´ımetro. El ejercicio aqu´ı consiste en seguir atentamente esta prueba: A=



p(p

− a)(p − b)(p − c)

(f´ ormula de Herón)

donde a , b, c son las longitudes de los lados y semiper´ımetro.

p = a + 2b + ces el

B c

b

A

C

a

En efecto, consideremos el triángulo de la figura de arriba. De la relaci´ on trigonom´ etrica en el tri´ angulo ABC , sen 2 C + cos2 C = 1, tendremos que sen C = 1 cos2 C . As´ı,

√ − 1

1

2

Area ABC = 2 ab sen C = 2 ab 1 Ahora: de la ley de cosenos se tendrá que cos C =

√ − cos

a 2 + b 2 c2 2ab

−

C

118


Y, por consiguiente,

Area ABC = 1 ab 1 2 = = = = =

( a2 + b2 c2 )2 2ab

−  −   −  −  − −

−

1 4

(2ab)2

1 4

(2ab + a2 + b2

1 4

((a + b)2

1 4

(a + b

p(p

a)(p

(a2 + b2

− c2)2

− c2)(2ab − a2 − b2 + c2)

c2 )(c2

− (a − b)2)

c)(a + b + c)(c + a b)(p

− b)(c − a + b)

− c)

Es evidente aqu´ ı la emayor simplicidad con la prueba geom´ trica de la lecci´ on de 1. esta prueba, comparada

3. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a)

c)

  −  3x 3+x

− 23 + 58 8+ a

e) a

 9 2

x 3

2

3 x

b)

− 172 3 2 1+ · 8 9 1 1 x+1

d) 1

−

f)

−

2

a

−b − a+b b b + a−b a+b

5 3

3

1

1

4+x + 4 x 3+x 4 x 2+x 2 x

− −−

−



119


4. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas: a) b)

c) d)

e) f)

− b)2(b − c)3 (c − a)4 (b − a)(c − b)2 (a − c)3 30a2 b3 c4 − 25a3 b2 c5 + 20a4 b4 c7 −5ab2c3 3(x − y)4 − 2(x − y)3 + 5(x − y)2 (y − x)2 (a

4a7 (3ab3 c2 ) (abc2 ) bc

   27x6 y 15 b9 z 12

3

(x4 y 2

6

− 2x3 y3 + x2y4)3



5. Simplifique las potencias siguientes: a) (2 a2 x3 y 7 )5

b) (a2 bm c3 )2n

c) (am bn c2n )n

d) ( ab2 c3 )(a3 b)2 ( ac3 )5

e) ( 2x2 y 4 )2 (bx7 y 12 )3

f) (3 a3 b)2 (b2 c3 )3 (2ac)

−

−

−

6. Simplifique las siguientes expresiones:

a) c)

e)

b)2 (b

c)3 (c

a)4

− − − − a)(c − b)2(a − c)3 30a2 b3 c4 − 25a3 b2 c5 + 20a4 b4 c7 −5ab2c3 (a (b

a

(a

b

b) d)

4a7 (3ab3 c2 )5 (abc)3 abc a3 c

2 − aa2b−+abab − b2

− b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b)

120


7. Reduzca cada uno de los siguientes radicales a su forma más simple con exponentes fraccionarios: a) (81) 34

b)

√ −5 b √ −1 −2 1 12

b− 3

d)

b

1



j)

m)

√3 √5

p)

√2

c) ((3 a )a )a

√

5

f)

√ √ 3

y −3

6

h) b b4 b5

√2 √2 √2 3

a−1 4 a3

e) (8) − 2

b

g) x− 2

3



4

k)

6

n)

4

4 q)

3

i)

√35



l)

7 5

√ √ √ √ 2 35 65 √91 2 3 3 2

o)

√  √ 1

x−5

x− 2

y −3 − 2 y x− 3

√105 √√ √

6 10 15

√ 4

r)

−4

3

2

a

8. Pruebe que el coeficiente de x 4 en la expansión de (1 + 2 x + 3x2 )5 es 530. 9. Factorice, si es p osible, las siguientes expresiones algebraicas: a) x5 c)

b) x4

−1 x5 − 32

d) 2

2

2

2

2 2

− (a + b − c − d ) g) a2 bc − ac2 d − ab2 d + bcd2 i) 3x6 − 192y 6 k) (ax + by)2 − (bx − ay)2 e) 4(ab + cd)

m) abcx2 + (a2 b2 + c2 )x + abc o) x2 (y

− z) + y2(z − x) + z2(x − y)

− y4 x6 − y 6 f) 4(1 − b2 − ab) − a2 h) a3 (a − b) + b3 (b − a) j) x − x2 + 42 l) (x2 + 2x − 1)2 − (x2 − 2x + 1)2 n) x2n − 3xn − 18 p) yz(y − z) + zx(z − x) + xy(x − y)

121


10. Reduzca los siguientes radicales a su forma más simple: 3

a)

a3

1

b)

b3

4

c)

a+b a

  −− a4 b4

2a3 b5 + a2 b6

d)

b

 − − ax2 b3

2ax 1 + b2 b

11. Resuelva para x las siguientes ecuaciones:

− (7 − 8x) = 2x + (3 − 4x) − 4x(x − 5) = 3 x(5 − x) − 8 c) (x + a)(x + b) = (x − a)2

a) 15

b) x(x + 3) d) x = 1 + e) 3

− 5 −5

m

f)

+

x x x + + 2 3 4 2x 2 =4

n

− −108x

x=

m g) (( an + b)x i) x j)

3

n

2x

n ((a m b)x + c)2 c)2 =

 − − √ − √ − −√

h) (x

m

− −− 2)(x + 3)(2x − 5)(3x + 2) = 0

7

x

x+a=

5=0 b

12. Una mezcla de 25 litros de las susta ncias A y B contiene 30 por ciento de la sustancia A. ¿Cuántos litros de la sustancia A deben agregarse a la mezcla inicial para obtener una mezcla final que tenga un 45 por ciento de la sustancia B ? [Indicación: Usted 7· 5 + x podr´ıa arribar a la ecuaci´ on = 0· 55 donde x es la cantidad 25 + x pedida de litros de la sustancia A]. 13. Jorge puede contestar un parcial de microeconom´ıa en 3 horas, pero cuando lo hace con Norman, lo pueden contestar en 1 hora. ¿Cuánto tiempo necesitar´ıa Norman para contestar el parcial sin la ayuda de Jorge? 14. Dos lugare s X y Y están a una distancia a entre s´ı. A su vez, dos personas parten en el mismo momento de cada uno de los

122


lugares hacia el otro sitio. El que sale de X viaja a una velocidad promedio vX , y el que sale de Y viaja a una velocidad promedio vY . Muestre que las personas se encontrarán a una distancia x de X determinada por la ecuación x = a x . ¿Cuál es el valor de vX vY x?

−

15. Una suma A se reparte entre cierto n´ umero de personas por partes iguales. Si el número de personas hubiera aumentado en 15 , cada 1 una habr´ıa recibido 60 A. ¿Qu´ e parte de A recibió cada persona y cuántas personas hab´ıa? 16. Ana invierte 23 de su salario en arriendo y alimentación, y 15 en gastos generales. Sin embargo, en un año logra ahorrar $2 ′ 400.000. ¿Cuánto es su salario mensual? 17. El padre de una familia dejó una cantidad de 650 millones de pesos de herencia a la madre, al hijo y a la hija. El testamento dec´ıa que la madre deb´ıa recibir el doble del hijo, y que la hija 50 millones más que el hijo. ¿Cuánto recibió cada uno? 18. El fabricante de cierto producto pued e vender todo lo que produce al precio de $20 , 000 cada uno. Le cuesta $12 , 500 producir cada art´ıculo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7 ′ 000, 000 al mes, con el fin de operar la planta. Encuentre el n´ umero de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5 ′ 000, 000 mensuales. 19. La produc ción diaria de cierto art´ıculo cuesta $2, 000 la unidad. Hay unos costos fijos (local, materiales) diarios de $50 , 000. ¿A cómo se debe vender cada art´ıculo para obtener utilidades de por lo menos $15 , 000 diarios si se venden 50 art´ıculos? 20. Un ganadero compró 100 reses a $1 ′ 500, 000 cada una. ¿M´ınimo, a cómo debe vender cada una, para obtener una utilidad total de por lo menos $20 ′ 000, 000? 21. Expanda las expresiones siguientes mediante la fórmula binomial de Newton: a)



2

2

x 3 + y− 3



3

b)



1

x2

−y

1 4

1

z4



4

123


 

22. Encuentre el sexto t´ ermino de 1 +

x 2

23. Encuentre el coeficiente de x 4 en (3

12

.

2x)7 .

−

24. ¿Cuál es, si existe, el t´ ermino constante de

  x+

1 x

5

?

* 25. Pruebe las siguient es identidades algebraicas: a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 + + =a+b+c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) b) + + = cb + ca + ab (a c)(a b) (b a)(b c) (c b)(c a) 3 3 3 c) (b + c) + (c + a) + (a + b) 3(b + c)(c + a)(a + b) = 2( a3 + 3 3 b +c 3abc) a)

(c

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

* 26. En el siglo XVIII, Euler des cubrió la identidad (a21 +a22 +a23 +a24 )(b21 +b22 +b23 +b24 ) = ( a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 +a4 b4 )2 + (a1 b2 + a2 b1 + a3 b4 a4 b3 )2 + (a1 b3 a2 b4 + a3 b1 + a4 b2 )2 + (a1 b4 + a2 b3 a3 b2 + a4 b1 )2

−

−

−−

que muestra que si dos números son la suma de cuatro cuadrados, entonces su producto tambi´ en lo es. Corrobore la identidad de Euler. El matemático franc´ es Joseph L. Lagrange [1736-1813] utilizar´ıa esta identidad para probar la versi´ on del teorema de Fermat que afirma que todo número natural puede expresarse como la

suma de, a lo más, cuatro cuadrados. * 27. Joseph Liouville [1809-1882] al probar (utilizand o el teorema de Fermat) que todo número es la suma de, a lo más, 53 potencias de grado cuatro, utilizó la siguiente identidad, que pedimos al lector verificar: 6(a21 + a22 + a23 + a24 )2 = (a1 + a2 )4 + (a1 + a3 )4 + (a2 + a3 )4 + (a1 + a4 )4 + (a2 + a4 )4 + (a3 + a4 )4 +

− a2)4 + (a1 − a3)4 + (a2 − a3 )4 + (a1 − a4)4+ (a2 − a4 )4 + (a3 − a4 )4 . (a1

124


Lecci´ on 3 La geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y 1 Fermat Introducci´ on La geometr´ıa anal´ıtica es la parte de las matemáticas que, aplicando el método coordenado, investiga objetos geom´ etricos mediante métodos algebraicos. Apareció a principios del siglo XVII como una rama com-

pletamente nueva de las matemáticas y no lo hizo por accidente. La transición en Europa a los nuevos m´ etodos de manufactura requer´ıan el avance de muchas ciencias y, poco antes, la mecánica (f´ısica) hab´ıa sido desarrollada por Kepler y Galileo, además de que exist´ ıan muchos datos e información acumulada de investigaciones dispersas. Los métodos de observaci´ on estaban perfeccionándose y las obsoletas teor´ıas escol´ asticas estaban permitiendo el paso a nuevos paradigmas. Por otro lado, el arte de la guerra tambi´ en requer´ ıa matem´ aticas; elipses y parábolas, cuyas propiedades ya conoc´ıan los griegos 2000 años antes, no estar´ıan m´ as en el reino de la geometr´ ıa. Despu´ es de que Kepler hubiera descubierto que los planetas giran alrededor del sol en elipses, y Galileo hubiera afirmado que una bala de cañón disparada al aire trazaba una parábola, era necesario calcular estas elipses y encontrar estas parábolas. Era necesario entender tambi´ en que la presi´ on atmosf´ erica decrece con la altura (Pascal); y adem´ as, era necesario calcular ´ areas y volúmenes de muchos cuerpos sólidos. Problemas como estos dieron vida a nuevas ramas de las matemáticas como la geometr´ ıa anal´ıtica y 1

Con la colaboraci´ on de Mar´ ıa Cristina Rodr´ ıguez.

125

126


el cálculo diferencial, y estas dos áreas le cambiar´ıan la cara a las matem´ aticas completamente, pues permit´ıan resolver y entender problemas que hasta ese momento eran considerados imposibles. Fueron Pierre de Fermat [1608-1665] y Ren´ e Descartes [1596-1650], dos de los más grandes matemáticos franceses de todos los tiempos, quienes han recibido (especialmente el segundo) todos los cr´ editos de ser los “creadores” de la geometr´ ıa anal´ıtica. Descartes, en su Discours de la

Méthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences plus la Dioptrique, les Météores et la Géometric qui sont de essais de lette méthode publicado en 1637 presenta, en su última parte, una descripción suficientemente completa (aunque algunas veces confusa) de la teor´ıa matem´ atica que desde entonces se ha llamado geometr´ ıa anal´ıtica. 2 Descartes quer´ıa crear un método general que pudiera aplicarse a la soluci´ on de problemas geom´ etricos. Para esto, bas´ o su teor´ıa en dos conceptos: el concepto de coordenadas y el concepto de representar, mediante éuna stas, cualquier ecuaci´ on algebraica conde dos la forma de curva en el plano . Por coordenadas unincógnitas punto en elen plano, Descartes entend´ ıa la abscisa (o corte) y la ordenada de este punto; es decir, los valores x y y de sus distancias (con signos correspondientes) a dos rectas perpendiculares entre s´ı (ejes coordenados) que se cortan en un punto de coordenadas llamado srcen . Con esto, Descartes hab´ıa “aritmetizado” la geometr´ ıa: en lugar de calcular cualquier punto geom´ etricamente, calculaba sus coordenadas x, y con respecto al srcen (ver figura 1). ordenada Y y

O

P (x, y ) x

abscisa X

Figura 1: Coordenadas cartesianas 2

Desafortunadamente, las ediciones comerciales que encontramos del Discours de la M´ ethode no incluyen la última parte del texto srcinal que es donde aparecen las ideas fundacionales de la geometr´ ıa anal´ ıtica.

127

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica

En referencia al segundo concepto de Descartes, deber´ıa decirse primero que, hasta su época, toda ecuaci´ on algebraica con dos incógnitas F (x, y) = 0 se consideraba indeterminada, ya que de la ecuaci´ on era imposible caracterizar cada una de las incógnitas: podr´ıan existir m´ ultiples soluciones. Sin embargo, Descartes vio el problema de forma diferente: propuso que en una ecuación con dos incógnitas, a x se le considerara la abscisa y a y la ordenada, y as´ı, variando x, podr´ıamos calcular los posibles valores correspondientes de y, obteniendo un conjunto de puntos (x, y) que describir´ıan una curva en el plano coordenado. De esta manera, asignaba a cada ecuación algebraica de dos variables ( F (x, y) = 0), una curva del plano completamente determinada (ver figura 2). Esta

observación de Descartes abrir´ıa la puerta a las matemáticas que hoy conocemos. y F (x, y ) = 0

x

Figura 2: Curva en el plano

Fermat, por su parte, sólo compuso un corto tratado sobre la geometr´ıa anal´ıtica llamado Ad Locos Planos et Solidos Isagoge de 1629 que es un libro dedicado a la l´ınea, a la circunferencia, y a las secciones c´ onicas. Su trabajo comienz a con la afirmación de que “aunque los antiguos estudiaban lugares geom´ etricos (loci ), esto lo encontraban dif´ıcil en la medida en que en algunos casos les era imposible establecer el problema en forma general”. Fermat entonces propon´ıa remitir la teor´ıa de los lugares geom´ etricos a un an´ alisis que cre´ıa que s´ ı era apropiado a tales problemas y que, según él, abrir´ıa el camino al estudio de lugares geom´ etricos generales. Pero Fermat no sólo introduce la geometr´ıa anal´ıtica sino tambi´ en la inmensamente útil idea de variable algebraica . Su visión dio significado a ecuaciones en dos incógnitas (que antes hab´ıan sido rechazadas por

128


la geometr´ıa) permitiendo a una de las variables tomar valores sucesivos a lo largo de una l´ınea medida sobre un eje dado, a partir de un punto inicial, y a la otra variable corresponder a los valores determinados por la primera variable. Para los antiguos griegos la curva aparec´ıa primero; luego le superpon´ıan ciertas l´ıneas asociadas que hac´ıan las veces de “coordenadas”, y finalmente ven´ıa una descripción verbal a partir de las propiedades geométricas de la curva. Fermat hizo posible invertir esta situación, pues comenzando con una ecuación algebraica, mostraba c´ omo esta ecuación pod´ıa definir cierta curva con respecto a un sistema coordenado dado. Pero aunque ni Fermat ni Descartes inventaron las coordenadas, ni fueron los primeros en utilizar representaciones gr´ aficas, además de que el razonamiento anal´ıtico ya hab´ıa sido utilizado en matemáticas desde por lo menos la época griega, y la aplicación del álgebra a la geometr´ıa hab´ıa llegado a ser un lugar común, parece que no se entend´ıa antes de ellos que, en general, una ecuación algebraica en dos incógnitas determina, per se , una curva geom´ etrica unica . El re´ conocimiento de este principio, junto con su uso como procedimiento algor´ ıtmico formalizado, constituir´ıan una contribuci´ on decisiva al desarrollo de las matemáticas.

1.

El plano cartesiano

El método de Fermat y Descartes que se emplea para dibujar en el plano los pares de números, consiste entonces en elegir una recta horizontal, que se denomina eje X , y una recta p erpendicular a ésta, llamada eje Y . El punto de intersección de los ejes X y Y recibe el nombre de srcen y se designa por la letra O. Se elige una unidad de medida, que suele ser la misma en cada eje (aunque esto no es indispensable); se acostumbra establecer los sentidos positivos de los ejes X y Y hacia la derecha y hacia arriba del srcen, respectivamente. A cada par ordenado ( a, b ) de números se le asocia un único punto P del plano de la siguiente forma: Por el punto de coordenada a sobre el eje X y por el punto de coordenada b sobre el eje Y se trazan segmentos de rectas perpendiculares a los ejes X y Y , respectivamente. La intersección de estos dos segmentos de rectas perpendiculares determina el punto P asociado con un par de números ( a, b ) (ver figura 3). El primer n´ umero, a, recibe el nombre de abscisa o coordenada x de P ; y el segundo, b, se denomina ordenada

129


o coordenada y de P . Rec´ıprocamente, a cada punto P del plano se le asocia un par ( a, b ) de números, donde a y b son las coordenadas de las proyecciones perpendiculares de P a los ejes X y Y , respectivamente. A esta correspondencia biun´ıvoca3 entre los pares ordenados de números y los puntos del plano se le conoce como el sistema coordenado cartesiano rectangular o, simplemente, plano cartesiano. y

2 P (a, b)

ordenada b

1

−5 −4 −3 −2 −1

1 2 3 4 5 a abscisa

x

Figura 3: Plano cartesiano

Los ejes coordenados dividen entonces al plano en cuatro cuadrantes. El interior del primer cuadrante es aqu´ el en el cual tanto la abscisa como la ordenada son positivas; esto es, el cuadrante superior derecho. Los otros cuadrantes se enumeran en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj; por lo tanto, el cuarto cuadrante es el inferior derecho. La figura 4 muestra los cuadrantes y los signos correspondientes a los puntos que están en el interior de cada uno de ellos. y segundo cuadrante ( ,+)

primer cuadrante ( +, + )

−−

( +, ) cuarto cuadrante

−

x ( , ) tercer cuadrante

−

Figura 4: Cuadrantes del plano cartesiano

Ejemplo 1. (Ubicación en el plano cartesiano) Los puntos (1 , 1), ( 2, 1), ( 3, 1) y (2 , 1) están indicados en el plano cartesiano de la figura 5.

−

3

Es decir, uno a uno.

− −

−

130

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos y 2

−

•

( 2, 1 )

1

− 4 −3 −2 − 1 − − •

•(1, 1) x

1234

( 3, 1)

•(2, −1)

−1 −2

Figura 5: Ubicación en el plano cartesiano

El primer ejemplo sobre la conveniencia de “algebrizar”, de forma cartesiana, la geometr´ıa euclidiana, lo encontramos en la “fórmula de la distancia” entre dos puntos en el plano. Veamos c´ omo se hace este paso que, aunque simple, fue trascendental en el desarrollo de las matemáticas de hoy.

a).

Distancia entre dos puntos

Encontremos la distancia d entre los puntos P 1 y P 2 , cuyas coordenadas en el plano son ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ) respectivamente. En el triángulo de la figura 6 obtenemos, utilizando el teorema de Pit´ agoras, que d=



(x2

− x1 )2 + (y2 − y1)2

y

P2 (x2 , y2 )

d y2

P1 (x1 , y1 ) x2

−x

−y

1

Figura 6: Recta en el plano cartesiano

1

x

131


Ejemplo 2. a) La distancia entre los puntos A y B, cuyas coordenadas en el plano son (3, 5) y (7 , 11) es: d = (7 3)2 + (11



−



(12

− 5)2 =



42 + 62 =

√52 ≈ 7.2

b) La distancia entre los puntos C y D, cuyas coordenadas en el plano son (6, 7) y (12 , 14) es: d=

− 6)2 + (14 − 7)2 =



62 + 72 =

√85 ≈ 9.2

Ejercicios 1 Ubique en el plano cartesiano los siguientes puntos: a) (3, 1)

b)(

−

f)(

e) (0, 1)

−1, 2) −2, −2)

−4, −2) g)(1 , −4)

c)(

d)(4 , 3) h)(3 , 3)

Indique, adem´ as, acada qu´ edos cuadrante en calcule la distancia entre de ellos.pertenece cada uno, y tambi´

2.

La ecuaci´ on de primer grado

De la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, pasar a la ecuación de la recta, es inmediato. Veamos cómo se “algebriza” el concepto geométrico de recta. Sean entonces P1 y P 2 dos puntos cuyas coordenadas en el plano son ( x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) respectivamente (ver figura 7). y P2 (x2 , y2 )

P3 (x, y )

P1 (x1 , y1 ) A

B

x Figura 7: Ecuación cartesiana de una recta

132


Seg´ un la geometr´ıa griega, un punto P3 en el plano con coordenadas (x, y) está en la recta que pasa por P1 y P2 si, y sólo si, los triángulos P1 AP3 y P 1 BP 2 son semejantes; es decir, si, y sólo si, sus lados respectivos son proporcionales: y x As´ı, si llamamos m

− y1 y2 − y1 − x1 = x2 − x1

(1)

≡ xy22 −− yx11 = tan( ∠P2P1B) (pendiente de la recta)

obtenemos la forma estándar y

− y1 = m(x − x1)

o bien, y = m(x

− x1 ) + y 1

Por lo tanto, si conocemos la pendiente de la recta ( m) y un punto P (x1 , y1 ) por el cual pasa, entonces la ecuación de la recta será y = m(x

− x1 ) + y 1

(2)

que se conoce como forma punto-pendiente de la recta. (¿Cuál es aqu´ı la ecuaci´ on F (x, y) = 0 de la que hablaban Fermat y Descartes?) 4 Definici´ on 1. (Ecuación general de primer grado) La ecuaci´ on general de primer grado (ecuación de la l´ınea recta) en el plano cartesiano tiene la forma Ax + By + C = 0 donde A , B,C son constantes no todas nulas. Claramente, en este caso, si B = 0, entonces



y=

− BA x − BC

y la pendiente será A m=

−B

4 En estos argumentos hemos supuesto que x 1 = x 2 . Si x 1 = x 2 entonces la recta se regir´ a por una ecuación de la forma x = x 1 que consiste en la recta perpendicular al eje X (recta vertical) que pasa por ( x1 , 0).



133


Ejemplo 3. Encontremos la ecuación de la l´ınea que intercepta el eje X en x =

−3,

y al eje Y en y = 4. Soluci´ on.

−

Esta l´ınea pasa entonces p or ( 3, 0) y (0 , 4). Utilizando la forma (1) para la ecuación de la recta, encontramos y 0 4 0 = x ( 3) 0 ( 3) ó 4 y = (x + 3) 3

− −−

− −−

que es la ecuación pedida (ver figura 8). 6 5 4

y y = 43 (x + 3)

3 2 1 x

−5 −4 −3 −2 −1

01234

Figura 8

Ejemplo 4. Encontremos la ecuación de la l´ınea recta que pasa por los puntos (1, 2) y ( 3, 4).

−

−

Soluci´ on. etodo. Si en la ecuación Ax + By + C = 0 substituimos i) Primer m´ sucesivamente las coordenadas de los puntos dados, obtenemos: A − 2B + C = 0 −3A + 4B + C = 0

que, resolviendo, resultan en

A = 3C y B = 2C

134


y que, a su vez, reemplazando en Ax + By + C = 0 muestra que 3Cx + 2Cy + C = 0 y, dividiendo por C , que 3x + 2y + 1 = 0 que es la ecuación requerida (ver figura 9). (¿Por qu´ e podemos dividir por C ?) y

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

x

Figura 9

ii) Segundo m´ etodo. Sabemos que m 3

≡

y2 x2

− y1 , por tanto − x1

m =

. Reemplazando las coordenadas del punto (1 , 2) en la forma 2 punto-pendiente y = m(x x1 ) + y1 . tenemos

−

−

y=

−

−32 (x − 1) − 2

de donde 3x + 2y + 1 = 0

−

De forma similar, si reemplazamos las coordenadas del punto ( 3, 4), tenemos 3 y= (x + 3) + 4; 2 de donde 3x + 2y + 1 = 0

−

que es la misma ecuación encontrada antes.

a).

Rectas paralelas y perpen diculares

Dos tipos de relaciones fundamentales entre rectas en la geometr´ ıa griega eran las rectas paralelas y las rectas perpendiculares. Veamos entonces la caracterizaci´ on algebraica que la geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat le da a estos dos conceptos.

135


Definici´ on 2. (Rectas paralelas y perpendiculares) i) Dos rectas no-verticales y = m 1 x + b1 y y = m 2 x + b2 son paralelas si pendientes iguales; es decir, m1 = m2 donde m1 es la sus pendiente de lason primera recta, y m si 2 la pendiente de la segunda 5 recta (ver figura 10). y

x Figura 10: Rectas paralelas

ii) Dos rectas, y = m 1 x + b1 y y = m 2 x + b2, son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es el rec´ 1ıproco negativo de la p endiente de la otra. Es decir, si m1 = donde m1 es la pendiente de m2 la primera de las rectas, y m2 la pendiente de la otra recta (ver figura 11).

−

y

x Figura 11: Rectas perpendiculares

La justificación detrás de esta última definición algebraica de perpendicularidad entre rectas, se encuentra en el siguiente argumento: Consideremos, de nuevo, las dos rectas no-verticales y = m 1 x+b1 y y = m 2 x+b2 5 Las rectas verticales x = x1 y x = x2 siempre ser´ an paralelas y, por ello, no requieren de ninguna descripci´ on algebraica desde la geometr´ ıa anal´ ıtica.

136


(ver figura 12). Además, sean θ 1 y θ 2 las inclinaciones (ángulos) respectivas(os) de las dos rectas. Geom´ etricamente, tenemos que α = θ 2 θ1 , y as´ı se llega a

−

tan(α) = tan( θ2

2 ) − tan(θ1 ) − θ1) = 1tan(θ + tan(θ1 )tan( θ2 )

despu´ es de utilizar la fórmula correspondiente de la suma de ´ angulos para la tangente (ver lección 1). Pero esto nos conduce a tan(α) =

−

m2 m1 1 + m1 m2

ya que m1 = tan( θ1 ) y m2 = tan( θ2 ). Ahora: Para estudiar el caso π α = , que es cuando las rectas son perpendiculares, entonces recu2 rrimos a un “argumento de aproximación”: Puesto que tan(α) crece indefinidamente cuando el ángulo agudo α se acerca a π2 , de la última f´ ormula tendr´ıamos que esto obligar´ıa a que 1 +m1 m2 decreciera hacia cero cuando α se acerca a π2 , y as´ı, es plausible asumir que 1 + m1 m2 = 0 sea la condición algebraica de perpendicularidad entre l´ıneas rectas.

6

y θ2 α

θ1 x

Figura 12: Condición m 1 m2 =

−1 de perpendicularidad

Ejemplo 5.

a) Las rectas 2 x

3y = 8 y 5 x + 4y = 7 no son paralelas puesto 5que la pendiente de la primera es 23 , y la pendiente de la segunda es 4.

−

−

6 ¿Existe alguna condición algebraica de perpendicularidad cuando alguna de las dos rectas es vertical?

137


b) Las rectas y = x y y =

−xxson perpendiculares; y, de forma similar, − 2 + 7 son perpendiculares.

las rectas y = 2x + 1 y y =

ecuaci´ deellapunto recta que es perpendicular a la recta ecuaci´ on c) 5x La3y +2 =on 0 en donde x = 1 se obtiene as´ı: de Reemplazando x = 1 en la ecuación dada, se llega a que y = 1. Además, la pendiente de la recta dada es 53 , y, por tanto, la pendiente de la recta perpendicular es 35 . De esta manera, la ecuación de la recta perpendicular que pasa por ( 1, 1) y tiene pendiente 35 es 3 3 8 y ( 1) = (x ( 1)) ó y = x 5 5 5

− − − − −

−

−−

−

− −−

−

− −

Ejercicios 2 1. Dibuje en el plano cartesian o las rectas siguientes: a) x +0=y

b)

c) 5x + 2y = 0

x+y+3=0 d) 5

x

− 12y − 60 = 0 −

2. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto (1 , 2) y que: 1 a) Tiene pendiente b) Pasa por el punto (4 , 5) 4

−

c) Pasa por(0, 2)

−

d) Pasa por(1 , 0)

Dibuje en el plano cartesiano en cada caso. 3. Determine, en cada caso, si el punto perte nece a la recta correspondiente: 1 a) 3x 4y + 12 = 0; ( 3, ) b) 21 x + 7y = 0; (1 , 3) 2 c)

− − − 12x − 5y + 18 = 0; ( −1, 4)

−

d) 2 x

− y = 0; (2 , 4)

4. ¿Cuáles son las pendientes de las rectas siguientes?: a) 3x + 5y+7=0 b) x y c)

− 7x − 8y+1=0

Dibuje en cada caso.

d)

− −8=0 y −8= 0

138


5. De las rectas de los ejercicios 1, 2, 3, 4, inmediatamente anteriores, ¿cuáles son paralelas o perpendiculares entre s´ı? 6. Muestre que la◦ ecuación de la l´ınea que pasa por (1,0) y forma un ángulo de 150 con el eje X positivo, es x + 3y = 1.

√

*7 Muestre que las l´ıneas perpendiculares a 3x + 4y = 1 y que forman con los ejes coordenados triángulos de área 8, son 4 x 3y = 8 3 (¿Por qu´ e son dos rectas?).

−

±√

*8 Encuentre una l´ınea recta de p endiente 23 y que forme con los ejes X y Y un triángulo de área 43 . ¿Es única esta recta?

3.

La ecuación de segundo grado

El siguiente paso en la descripción de formas estandarizadas dentro del plano cartesiano es el estudio de la ecuaci´ on general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde A, B y C no pueden ser, todas, cero. Un punto central aqu´ı es que, en general, es posible obtener estas formas est´ andar como ecuaciones de las curvas de intersección cuando un cono circular recto se corta mediante diferentes planos. Debido a esto, a tales curvas se les conoce como secciones c´ onicas ó, simplemente, cónicas (ver figura 13). El gran matemático griego alejandrino, Apolonio [262 - 192 a.C.], sucesor de Euclides, fue, quizás, el primero en estudiar las formas c´ onicas (la par´ abola, la elipse y la hipérbola ) de una manera sistemática en el texto clásico (por extraordinario y monumental) conocido como Secciones Cónicas, consistente en ocho libros y en, aproximadamente, 400 proposiciones. De hecho, los términos elipse, par´ abola e hipérbola fueron tra´ıdos por el mismo Apolonio de la antigua terminolog´ıa pitag´ orica. A este conocimiento puramente geom´ etrico de Apolonio, le agregar´ıa su casi contemporáneo Arqu´ımedes, varios trabajos: Sobre la Esfera y el

Cilindro, Sobre Conoides y Esferoides, y la Cuadratura de la Parábola.

Todos ellos trataban de extensos cálculos de áreas y volúmenes mediante el método introducido por Eudoxio, y que más tarde ser´ıa conocido como el m´ etodo de exhausción. Estos problemas se resuelven de manera general, hoy en d´ıa, mediante el C´ alculo Integral a trav´ es del m´ etodo de l´ımites y de la noción de integral (ver volumen II: Cálculo).

139


Circulo, Elipse, Parábola, Hipérbola Figura 13: Cónicas

Los griegos se preocuparon tambi´ en por el problema de la reflexi´ on de la luz mediante espejos de distintas formas. Entre éstos se cuentan la Catoptrica de Arqu´ımedes y Sobre el Espejo Quemante de Apolonio, ambos, desafortunadamente, hoy perdidos. Los “espejos quemantes” eran espejos cóncavos en la forma de porciones de esfera, o de paraboloides de revolución (formados al girar una par´ abola alrededor de su eje), y elipsoides de revolución (formados al girar una elipse alrededor de su eje) (ver secciones b) y c) adelante). Apolonio, por ejemplo, mostraba que un espejo paraboloidal refleja la luz que emana de su foco en un haz de luz paralelo al eje del espejo (ver figura 14).

Foco

Figura 14: Reflexión de la luz en una parábola

Y, viceversa, si los rayos provienen paralelos al eje del espejo, ellos se concentrar´ an, despu´ es de la reflexi´ on, en el foco. Por ejemplo, los rayos del sol concentrados de esta forma producen una gran cantidad de calor en el foco, y de all´ı el t´ ermino de “espejos quemantes”. Esta es, precisamente, la propiedad que se dice que Arqu´ımedes utiliz´ o para concentrar

140


rayos del sol sobre los barcos romanos, que asediaban su ciudad de Siracusa (hoy en Italia) y as´ı quemarlos. Apolonio tambi´ en sab´ıa de las propiedades de reflexión de las otras cónicas, tales como que los rayos que emanen de uno de los focos de un espejo elipsoidal se reflejar´ an en el otro foco (ver figura 15). Ya en el siglo XVII, la conveniencia del método de Descartes y Fermat en problemas que antes sólo podr´ıan tener un tratamiento geom´ etrico mucho más complicado, opacar´ ıa el m´ etodo geom´ etrico de los antiguos griegos, y le abrir´ıa al estudio de las ecuaciones de segundo grado un espacio más profundo dentro del análisis.

Foco

Foco

Figura 15: Reflexión de la luz en una elipse

a).

La ecuación de la circunferencia

De las secciones cónicas es, con seguridad, una circunferencia la más sencilla en descripción. Una circunferencia, sabemos, es el lugar geom´ etrico del plano formado por los puntos que est´ an a una distancia constante (llamada radio) de un punto fijo del plano (llamado centro) (ver figura 16). Como consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la figura 16, un punto M (cuyas coordenadas en el plano son (x, y)) est´ a en la circunferencia de radio r > 0 y centro en el srcen O(0, 0) si su distancia al srcen es igual a r; es decir, si

o bien, si



(x

− 0)2 + (y − 0)2 = r

x2 + y 2 = r 2 (circunferencia con centro en ( 0, 0)) En general, la ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r > 0 está dada por (x

− h)2 + (y − k)2 = r 2

(circunferencia con centro en (h, k) )

141

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica y

y r

M (x, y) r

C (h, k) x

O(0, 0)

x

Figura 16: Circunferencias con centros en (0,0) y ( h, k)

Ejemplo 6. La ecuación de la circunferencia de radio 3 y centro ( (x + 1)2 + (y

− 2)2 = 9 x2 + y 2 + 2x − 4y = 4

ó

−1, 2) es

Ejemplo 7. Confirmemos que la ecuación x2 + y 2 + 6x

− 4y + 9 = 0

es la de una circunferencia. En efecto: Basta, en primer lugar, escribir x2 + y 2 + 6x

− 4y + 9 = ( x − h)2 + (y − k)2 − r2 = x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r 2 Luego, comparando t´ ermino a t´ ermino, obtenemos que h = −3, k = 2 y h2 + k2 − r2 = 9; y as´ ı r = 2. Por lo tanto, nuestra ecuación es la de la circunferencia (x + 3)2 + (y − 2)2 = 4. Ejemplo 8. Encontremos la ecuación de la circunferencia que pasa a trav´ es de los puntos (0, 6), (4 , 2), y (9 , 3).

−

Soluci´ on. Escribiendo la ecuación de la circunferencia de la forma x2 + y 2 2hx obtenemos en cada caso:

−

− 2ky + (h2 + k2 − r2) = 0,

142


− 12k + (h2 + k2 − r2) = 0 ii) Si ( x, y)=(4,-2): 20 − 8h + 4k + (h2 + k 2 − r 2 ) = 0 iii) Si ( x, y)=(9,3): 90 − 18h − 6k + (h2 + k2 − r 2 ) = 0 De las dos primeras ecuaciones tenemos que h = 2k − 2; y de las dos u ´ ltimas tenemos que k = 7 − h. Resolviendo simultáneamente, tenemos i) Si ( x, y)=(0,6): 36

entonces que h = 4 y k = 3. Por tanto, la ecuación de la circunferencia ser´ a (x 4)2 + (y 3)2 = 25

−

b).

−

La ecuación de la elipse

La segunda cónica que estudiaremos es la elipse. Esta es su definici´ on: Una elipse es el lugar geométrico del plano formado por los puntos en los que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos ) es constante (ver figura 17). 7 Para encontrar la ecuación cartesiana de la elipse, utilizamos sus propiedades geométricas. De la figura 17 y de la definici´ on de elipse, tenemos que ′ F M + F M = 2a para cierta constante fija a, y

B(0, b)

′

−

F ( c, 0)

O

M (x, y)

F (c, 0)

A(a, 0) x

Figura 17: Elipse

donde la distancia entre ambos focos, F y F ′ con c < a, es 2 c. As´ ı, F (c, 0) y F ′ ( c, 0) son las coordenadas de los focos, y ( a, 0), ( a, 0) son

−

7

−

Como afirm´ abamos antes, el término “elipse”, que en Griego significa “ausencia”, fue acu˜ nado por Apolonio en el siglo III a.C. en su trabajo clásico “Secciones C´ onicas”.

143


las coordenadas de los v´ ertices. Ahora: M (x, y) pertenece a la elipse si, y sólo si, satisface la ecuación 2

2

2

2

(c x) + (y 0) + (c + x) + (y 0) = 2a Trasponiendo el primer radical y elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación resultante se obtiene que



−

−

x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2

 −

− 4a

(x

−

c)2 + y 2 + x2

− 2cx + c2 + y2

Y algo más de álgebra (simplificando y, de nuevo, elevando al cuadrado) nos conduce a la expresión (a2

− c2 )x2 + a2y2 = (a2 − c2)a2 Pero si llamamos a 2 − c2 ≡ b 2 (podemos hacer esto pues

a > c) entonces

obtenemos

b2 x2 + a2 y 2 = a 2 b2 o bien, dividiendo a ambos lados de la ecuaci´ on por a 2 b2 , arribamos a 2

2

x a2 + yb2 = 1

(ecuaci´ on de la elipse )

En la figura 17, al segmento OA se le llama semieje mayor de la elipse; c al segmento OB se le llama semieje menor ; y al número e = < 1 se a le llama la excentricidad de la elipse. En el caso de una circunferencia, se tiene c = 0, y, por tanto, e = 0.8 Ejemplo 9. Encontremos las longitudes del semieje mayor y del semieje menor, y localicemos el foco y los v´ ertices de la elipse 9 x2 + 16y 2 = 144 (ver figura 18). Soluci´ on. Escribiendo la ecuación de la elipse de la forma x2 y 2 + 2 =1 42 3 identificamos que a = 4, b = 3, y c = 8

√a2 − b2 = √7.

Esto último explica el srcen del t´ ermino “excentricidad”.

144

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos y

3

− √7

√7

O

Figura 18: Elipse

4 x

x2 y 2 + 2 =1 42 3

Ejemplo 10. Encontremos la ecuación de la elipse con centro en (0 , 0), que tiene foco (3,0) y v´ ertice en ( 5, 0).

−

Soluci´ on. Sabemos que c = 3 y a = 5; y como b =

√a2 − c2 entonces obtenemos

b = 4. Luego la ecuación de la elipse tiene la forma figura 19).

x2

+

52



y2

= 1 (ver

42

y

4

−5

−3

5 O

Figura 19: Elipse

3

x

x2 y 2 + 2 =1 52 4

Nota 1. (Elipses en las leyes de Kepler) Quiz´ as la más impresionante muestra de consistencia de la doctrina griega de que la naturaleza p odr´ıa estar matem´ aticamente dise˜ nada se encuentra en los trabajos de Nicol´ as Cop´ ernico [1473-1543] y Johannes Kepler [1571-1630]. Hasta el siglo XVI, la única teor´ ıa astron´ omica útil y “sólida” era el sistema geoc´ entrico de Hiparco y Ptolomeo. En 1507, Cop´ ernico escribi´ o la primera versión de su trabajo clásico On the Revolutions of the Heavenly Spheres, aunque el libro sólo apareció en 1543, el

145


año en que murió. En él, Cop´ ernico utilizaba el esquema ptolomaico de epiciclos (ver ejercicio 9 de los ejercicios complementarios) para describir los movimientos de los cuerpos celestes, s´ olo que con la importante diferencia de que ahora era el sol el centro del sistema, y la Tierra s´ olo un planeta que se mov´ıa en un epiciclo mientras rotaba sobre su eje. ´ Pero la más notable simplificación la lograr´ ıa Kepler. Este hab´ıa tenido la fortuna de ser asistente del famoso astr´ onomo Ticho Brahe quien ten´ıa a su disposición las más extensas y nuevas observaciones de los cuerpos celestes desde la época griega. Con estas observaciones y las realizadas por él mismo, encontr´ o algunas relaciones matemáticas armoniosas. Estos importantes resultados se conocen hoy como las tres leyes de Kepler del movimiento planetario; las dos primeras aparecen en La Nueva Astronom´ ıa de 1609; y la tercera ley aparece en Comentarios sobre el Movimiento del Planeta Marte . La primera de estas tres leyes (primera ley de Kepler ) es particularmente notable pues, con ella, Kepler romp´ıa una tradici´ on de más de dos mil años sobre que los movimientos celestes se describ´ıan bien en circunferencias, esferas y epiciclos como hab´ıan dicho Ptolomeo y Cop´ ernico. Kepler encontr´ o que una sola elipse era suficiente. Su primera ley afirma que cada planeta se mueve sobre una elipse, y que el sol est´ a en uno de los focos de cada una de estas trayectorias el´ıpticas (ver figura 20). Planeta

Sol

Figura 20: Primera ley de Kepler

Pero, además, las observaciones de Kepler le mostraban que un planeta movi´ endose en su elipse no via ja a una velocidad constante. De hecho, lo hace “barriendo” áreas iguales en tiempos iguales ; es decir (ver figura 21), el movimiento es tal que el área P SQ es igual al área P ′ SQ ′ . As´ ı, se moverán más rápido en las vecindades del sol que en otras regiones de la elipse (esta es la “segunda ley de Kepler” ).

146

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos Q P

P

′

Sol(S )

′

Q

Figura 21: Segunda ley de Kepler

M´ as aún: Kepler encontró otra “ley” (la “tercera ley de Kepler” ) en el movimiento de los planetas. Mediante una sorprendente combinación de argumentos matemáticos y musicales, encontró que si T es el periodo de revolución de un planeta y D es su distancia media al sol, entonces T2 es una constante que es la misma para todos los planetas! Esto lo D3 publicar´ıa en 1619 en The Harmony of the World .

c).

La ecuaci´ on de la par´ abola

La tercera cónica que estudiaremos es la parábola. Veamos su definición. Una par´ abola es el lugar geométrico del plano formado por los puntos en los que las distancias a un punto fijo (llamado foco) y a una l´ınea recta fija (llamada directriz), son iguales (ver figura 22). El punto medio de la perpendicular del foco a la directriz, es el v´ ertice de la parábola.9 Para encontrar la ecuación cartesiana de la parábola, utilizamos la propiedad geométrica que la define. En la figura 22, el eje de la parábola coincide con el eje x; el vértice con el de un cono, en este caso como srcen O(0, 0); y el foco F con el punto ( a, 0). La ecuación de la directriz DD ′ es x = a.

−

Tomemos un punto cualquiera P (x, y) sobre ella, y dibujemos una perpendicular desde P a la directriz DD ′ . Entonces P (x, y) debe satisfacer que F P = P Q. Es decir,



(a

− x)2 + y2 = a + x

9 Al igual que la elipse, el término “parábola”, tambi´ en fue acu˜ nado por Apolonio en el siglo III a.C. Este vocablo se deriva del griego “parabolé” que significa “comparaci´ on”. En nuestro caso, posiblemente se hace referencia a la “comparabilidad” entre el cono y el plano que lo atraviesa.

147


y2 (ecuaci´ on de la parábola). La excen4a tricidad de la parábola está definida por e = P F/PQ = 1. que, por simplificación, es x =

D x=

y

′

−a Q

P (x, y)

•

( a, 0) O

−

F (a, 0)

x

D Figura 22: Parábola

De la misma forma, es fácil mostrar que la parábola de la figura 23 tiene x2 como ecuación y = . 4a y

F (0, a)

O

x y=

−a

Figura 23: Parábola y =

x2 4a

Ejemplo 11. La t´ıpica par´ abola y = x 2 tiene su foco en el punto (0 , 14 ), y su directriz es la recta y = 14 . Por su parte, la t´ıpica curva “ra´ız cuadrada” y = x es la mitad superior de la parábola y 2 = x con foco en ( 14 , 0) y directriz x = 14 . Invitamos al lector a ilustrar lo anterior con las correspondientes gráficas.

−

√

−

Otras ecuaciones de la parábola Por un procedimiento similar al anteriormente descrito, se pueden mostrar otras ecuaciones-tipo para la par´ abola con v´ ertice en (h, k) (ver

148


figura 24) donde a > 0:

− k)2 = 4a(x − h), (y − k)2 = −4a(x − h),

− h)2 = 4a(y − k) (x − h)2 = −4a(y − k)

(y

y

(x

y

a

− h

= x a

v(h, k)

v(h, k)

F (h

F (h + a, k)

− a, k)

+ h

= x

x x

(y

− k)2 = 4a(x − h)

(y

y

− k)2 = −4a(x − h)

y F (h, k + a) v(h, k) v (h, k) y= k

(x

F (h, k

−a

y=k+a

− a)

x

x

− h)2 = 4a(y − k)

(x

− h)2 = −4a(y − k)

Figura 24: Ecuaciones de parábolas

Ejemplo 12. Localicemos el vértice, el foco, y la ecuaci´ on de la directriz de la parábola 2

y 24x + 6y + 57 = 0. Soluci´ on. La ecuación y 2 24x + 6y + 57 = 0 es equivalente a

−

−

(y + 3) 2 = 4 6(x

·

− 2)

149


−

−

Luego h = 2, k = 3, a = 6. El v´ ertice entonces está en (2 , 3); el eje a lo largo de la l´ınea y = 3; y el foco a 6 unidades a la derecha del v´ ertice, es decir, en (8, 3); la directriz es x = 4 (ver figura 26).

−

−

y

−

O

x

4 −

= x

v(2,

−3)

Figura 26: Parábola y 2

F (8,

−3)

− 24x + 6y + 57 = 0

Nota 2. (Parábolas en la descripción del movimiento) La parábola tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, Galileo Galilei (1632) en Dos Nuevas Ciencias describe el movimiento de un proyectil lanzado hacia abajo desde cierta altura, como la composici´ on de un movimiento horizontal igual, y de un movimiento naturalmente acelerado hacia abajo, que conlleva a que la trayectoria descrita sea una curva semi-parab´ olica. Sin embargo, Galileo tambi´ en cre´ıa que cuando uno sosten´ ıa un cable pesado de ambos lados, la figura que se conformaba era una par´ abola. Y estaba equivocado: la figura es lo que se conoce como una catenaria (tambi´ en llamada “coseno hiperb´ olico”(ver volumen II: Cálculo)). Pero lo que s´ı es cierto es que la curva que conforman los cables en un puente en suspensión, es una parábola. Y la razón de esto, que escapa a nuestra explicaci´ on a este nivel, es que el peso del puente “se distribuye” a lo largo de la curva, llevando el cable de la forma de catenaria a la forma parabólica. Pero debe señalarse que tambi´ en la configuraci´ on parabólica es útil en situaciones donde la radiación necesita concentrarse en un punto. Por ejemplo, en radiotelescopios, antenas parabólicas de T.V., y colectores de radiación solar, entre otros.

150

d).


La ecuación de la hip´ erbola

Por último, analizaremos el comportamiento de la cuarta cónica: la Estadiferencia es el lugardegeom´ etrico del plano por(llamados los puntos hip´ erbola en los que. la sus distancias a dos formado puntos fijos 10 focos ) es constante (ver figura 27). Para hallar la ecuación cartesiana de la hipérbola, utilizamos la propiedad geométrica que la define. En la figura 27, el eje transversal de la hip´ erbola coincide con el eje x, y el centro está en el srcen. Designemos los focos por F (c, 0) y F ′ ( c, 0); y los v´ ertices por v(a, 0) y v′ ( a, 0), donde c > a.

−

−

y P (x, y)

• F (−c, 0) v(−a, 0)

v(a, 0) •

′

• F (c, 0)

x

Figura 27: Hip´ erbola y sus as´ıntotas

Tomemos un punto P (x, y) cualquiera sobre ella. Entonces P (x, y) debe satisfacer que P F ′ P F = 2a

−

±

±

con el signo dependiendo de la “rama” de la hipérbola a la que pertenezca el punto ( x, y) (¿Sabe el lector por qué podemos asumir que la constante de la definición de la hip´ erbola es 2a?). O, en otra forma, (x + c)2 + y 2



−

(c

− x)2 + y2 = ±2a;



que, al simplificarse trasponie ndo el radical P F y elevando al cuadrado, arroja una ecuación más simple: 10 Al igual que la elipse y la parábola, el t´ ermino “hip´ erbola”, que en Griego significa “lanzar m´ as allá”, tambi´ en fue acu˜ nado por Apolonio en el siglo III a.C.

151


x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2

c)2 + y 2 + x2

4a (x



±

−

2cx + c2 + y 2

−

Aqu´ ı, dejando s´ olo el término radical de la derecha, y trasponiendo los otros t´ erminos a la izquierda, y elevando nuevamente al cuadrado, nos lleva a c 2 x2

− 2a2 cx + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y2)

o (c2

− a2 )x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)

y esto a la ecuación x2 a2

2

− c2 y− a2 = 1 Pero como c > a, podemos definir b 2 ≡ c 2 − a2 , y as´ ı obtenemos x2 a2

2

− yb2 = 1

(ecuaci´ on de la hipérbola )

La excentricidad de la hipérbola es e = c/a. Observe que e > 1. Ahora, además, p odemos mostrar que para cualquier hipérbola con esta u ´ ltima forma estándar, las ecuaciones de las dos as´ ıntotas , es decir, las de las dos rectas a las cuales se aproxima la curva cuando x es grande (positivo o negativo) (las diagonales en la figura 27) son x a

± yb = 0

ó

y=

±ab x

que son los factores del lado izquierdo de la ecuaci´ on de la hipérbola x2 a2

y2

− b2 = 1

En efecto, de esta última ecuación se obtiene que y=

±ab



x2

− a2

152


y observemos que cuando x es muy grande entonces la diferencia entre la hip´ erbola y la recta es aproximadamente 0; 11 es decir, y = [ ab

±

x2



− a2] − [± ab x] ≈ 0

Ejemplo 13. Encontremos la ecuación de la hipérbola con centro en (0, 0), v´ ertice en (3 , 0) y foco en (5 , 0). Encontremos también las ecuaciones de las as´ ıntotas. Soluci´ on. Sabemos que a = 3 y c = 5, por lo que obtenemos, de b 2 = c 2 a2 , que b = 4. Podemos entonces escribir la ecuación de la hipérbola de la forma

−

x2 9

2

y − 16 =1

cuyas ecuaciones para las as´ıntotas son x 3

y

±4 =0

Nota 3. (Hip´ erbolas en la radionavegaci´ on) El sistema de navegación LORAN ( Long Range Navigation ) utiliza las hip´ erbolas de una manera muy conveniente. Transmite, simult´ aneamente, señales de radio desde las estaciones F y F´(ver figura 27) que a su vez son escuchadas por un avión ubicado en P en dos momentos distintos. As´ı, la diferencia en tiempo permite determinar 2a y, por tanto, la hipérbola sobre la que se encuentra P, puesto que la distancia entre las estaciones F y F´ es conocida. Inmediatamente después, otro par de se˜ nales da otra hipérbola sobre la que se encuentra P , y la intersección de las dos hip´ erbolas fija la posición aproximada del aeroplano. El cálculo tiene un error de, aproximadamente, 50 metros o menos. El sistema LORAN fue srcinalmente desarrollado como mecanismo de radionavegaci´ on para el servicio de guardacostas de los Estados Unidos. Existen, aproximadamente, unas 20 estaciones LORAN en asocio con los servicios de guardacostas de Canadá y Rusia para proveer del servicio en sus mares. 11 Aqu´ ı est´ a impl´ıcito el concepto de ımite l´ que estudiaremos en la lección 1 del volumen II (Cálculo).

153


e).

Ecuaci´ on general de segundo grado

Como ıamos antes, la ecuaci´ on general de segundo grado en el plano tiene ladec´ forma Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde al menos uno de A ,B, C es no nulo. Obs´ ervese que la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola satisfacen, todas, una ecuación de segundo grado. Sin embargo, si tenemos una de estas ecuaciones ser´ıa importante tener alg´ un criterio que nos p ermitiera clasificar qu´ e tipo de cónica es la que describe. Esto es, que si simplificamos la ecuaci´ on de segundo grado mediante traslaciones y/o rotaciones entonces podr´ıamos llevarla a una de las formas canónicas de la circunferencia, de la elipse, de la parábola, o de la hipérbola, como las que hemos estudiado previamente. Esta caracterización (Euler (1770)), de hecho, existe, y se tiene en el siguiente resultado de clasificación (que se mostrará en el ejercicio complementario 28, al final de la presente lección): Sea ∆ = 2(4 AC B 2 )F +2BDE 2E 2 A 2D2 C . Si tenemos que ∆ = 0, entonces la ecuación general de segundo orden

−

−

−



Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 es: i) Una par´ abola si B 2

− 4AC = 0

ii) Una elipse si B 2 iii) Una

− 4AC < 0 y ∆( A + C ) < 0 hipérbola si B 2 − 4AC > 0

Ejemplo 14. Clasifiquemos la cuadrática dada por la ecuación 8x2 4 5x 2 5y 15 = 0.

√ − √ −

12xy + 17y 2

−

−

Soluci´ on. Comprobemos el signo de B 2 4AC y de ∆( A+C ). De la ecuación, sabemos que A = 8, B = 12, C = 17, de forma que B 2 4AC = 400 < 0.

−

−

−

−

154


−

−

Tenemos que ∆ = 16, 000, y as´ı ∆(A + C ) = 400, 000 < 0. Por ii) del resultado anterior, tenemos entonces que la ecuaci´ on corresponde a una elipse. Ejemplo 15. Clasifiquemos la cuadrática dada por la ecuación 2x2 + 4xy + 2y 2 6y + 10 = 0.

− 6x −

Soluci´ on. De la ecuación general de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 sabemos, comparando con la ecuaci´ on propuesta, que A = 2, B = 4 y C = 2; luego B 2 4AC = 0. Por la parte i) del resultado de arriba, tenemos entonces que la ecuación corresponde a una parábola.

−

Ejercicios 3 1. Encuentre la ecuación de la circunferencia y dibuje la figura: a) De radio 5 y centro en (4 , 0). R/ (x

−

− 4)2 + y2 = 25

b) Que contiene a (1 , 4) y tiene centro en (0 , 0). c) Que contiene el srcen y tiene cen tro en (3 , 0).

2. Compruebe que la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3), (1,4), y (5,2), es ( x 5)2 + (y 7)2 = 25.

−

3.

−

a) Encuentre el foco, los semiejes y dibuje las siguientes elipses: i) 9x2 + 25y 2 = 225 ii) 4 x2 + 9y 2 = 36 iii) 3 x2 + y 2 = 9 iv) 25 x2 + 16y 2 = 400 b) Encuentre la ecuación de la elipse con centro en (0, 0), y dibuje la figura, que: i) Tiene foco en (4 , 0) y longitud de semieje mayor horizontal igual a 5. ii) Tiene foco en (0 , 1) y longitud de semieje menor horizontal igual a 43 .

155


4. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol como foco. Si las distancias más corta y más larga del Sol a la Tierra son (aproximadamente) 93’000,000 millas y 96’000,000 millas, respectivamente, ¿cuál es la excentricidad de la órbita terrestre? 5. Encuentre la ecuación de la parábola y dibuje la figura con: a) Foco en (1 , 0), v´ ertice en el srcen. b) Foco en ( 15 , 0), v´ ertice en el srcen. c) V´ ertice en el srcen, directriz x = 3.

−2. y = − 13 .

d) V´ ertice en el srcen, directriz y = e) V´ ertice en el srcen, directriz

6. Encuentre la ecuación de la hipérbola con centro en el srcen, y dibuje la figura, que: a) Tiene foco en ( 5, 0) y vértice en (3, 0). b) Tiene foco en (0 , 13) y v´ ertice en (0, 5).

−

−

−

7. Utilizando el resultado de clasifi cación de cónicas, identifique, si es posible, el tipo de cuadrática en cada uno de los casos siguientes: a) 4x2 + 24xy + 11y 2 b)

3x2

+ 2xy

+ 3y 2

− 48x − 44y + 24 = 0 − 20x − 12y + 32 = 0

− 4x + 4y − 9 = 0 d) 144 x2 − 120xy + 25y 2 − 668x − 454y − 125 = 0 e) 5x2 − 4xy + 2y 2 − 9x − 2 = 0 f) x2 + 3xy − 2y 2 + 3x + 2y + 5 = 0 c) 2xy

8. Que no toda ecua ción de segundo grado es una c´ onica, lo vemos en el caso x2 + 2xy + y 2 = 0 ¿por qu´ e? [Indicaci´ on: Factorice]. Observe, además, que en este caso = 0, y as´ı el teorema de clasificaci´ on no aplica.

△

156

4.


Curvas trigonom´ etricas

Como afirmamos en la lección 1, aunque la palabra trigonometr´ ıa proviene de las palabras griegas trigonus (tri´ angulo) y metros (medida), el t´ ermino mismo s´ olo fue acuñado en 1595 por Bartholomaeus Pitiscus en su trabajo Trigonometria sive de Dimensione Triangulea. Siglos de interpretaci´ on sobre la geometr´ıa de los triángulos rectángulos, y las relaciones de sus lados y ángulos similares, condujo as´ı, desde Hiparco y Ptolomeo en la Grecia alejandrina, hasta este esquema de descripci´ on en coordenadas cartesianas de las curvas trigonométricas. Con el desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII, las curvas trigonom´ etricas entrar´ıan entonces a la escena del an´ alisis matemático, y el uso primario de la trigonometr´ ıa en la cartograf´ıa, la astronom´ıa y la navegaci´ on, se transformar´ ıa, dos mil a˜ nos despu´ es, en una herramienta indisp ensable y central del pensamiento matemático moderno. Con ayuda de la geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat, fue entonces realmente f´ acil la descripción gráfica de las tres curvas trigonométricas más importantes: la curva seno, la curva coseno y la curva tangente que aqu´ı presentamos. En la lección 4 presentaremos las tres curvas trigonom´ etricas restantes.

a).

La curva seno

Como ya hab´ıamos establecido en la lecci´ on 1, al parecer el primer trabajo en referirse a la idea del seno es el Aryabhatiya del siglo VI d.C. Despu´ es, la etimolog´ ıa conducir´ıa, a trav´ es de la versi´ on latina de Gerardo de Cremona en 1150, a la palabra sinus que significa curva. La primera vez que apareció el s´ımbolo sen para la palabra seno fue en un texto de trigonometr´ıa de H´ erigone en 1634. La gr´ afica de la curva y = sen x (conocida como curva seno ) aparece en la figura 28. En esta figura, el eje θ tiene como unidad de medida el ´ angulo de un 180◦ radian (= ), y el eje y tiene una medida num´ erica estándar. Una π tabla de valores para esta curva es la siguiente:

θ sen θ

0 0

π/6 1 2

π/4

π/3

√2

√3

2

2

π/2 1 0

π -1

3π/2 0

2π

157

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica Tabla de valores de la curva seno

y

y = sen θ

1

−π

−2π − 3π2

−π 2

−1

π

π 2

2π θ

3π 2

Figura 28: La curva seno

Observe que esta curva, basada en las propiedades trigonométricas establecidas al final de la lección 1, 12 consiste en una serie de jibas hacia arriba y hacia aba jo, en per´ıodos de longitud π . Además:

i) La curva intercepta al eje θ (es decir, se anula) en ..., 2π, π, 0, π, 2 ,....

− −

El intercepto con el eje y es 0.

ii) Dado que sen( θ) = sen(θ), los cambios simultáneos de θ por θ, y

−

−

−

y por y, dejan la curva sin ning´ un cambio; es decir, la curva es sim´ etrica con respecto al srcen. iii) La curva seno sólo toma valores entre 1 y 1; es decir, tiene amplitud 1. 13

−

−

iv) La curva seno es periódica: se repite cada per´ıodo de 2π pues para ángulos α entre 0 y 90 grados se tiene que sen(2 π + α) = sen(α).

b).

La curva coseno

La gráfica de la curva y = cos θ (conocida como curva coseno ) y que aparece en la figura 29, se obtiene inmediatamente de un desplazamiento complementario de la curva seno pues (ver figura 29) π cos θ = sen(θ + ) 2 Una tabla de valores para la curva coseno, es la siguiente: 12

sen(π α) = sen α. Esto se desprende de que para ´ angulos α entre 0 y 90 grados, es claro, de la definici´ on, que tanto sen α como cos α son números entre 0 y 1, y que para los demás ángulos se tienen las identidades trigonom´ etricas sen( π2 + α) = cos α; sen( π α) = sen α; sen( 32π + α) = cos α. 13

∓

±

∓

±

158


θ cos θ

0

π/6

π/4

1

√3

√2

2

2

π/3

π/2

1 2

0 - 1

π

3π/2

0

2π

1

Tabla de valores de la curva coseno

Ella surgió, es aparentemente claro, de la necesidad de calcular el seno del ángulo complementario. El nombre coseno, recordemos, fue acuñado por Edmund Gunter en 1620. Lo escrib´ıa como co.sinus; éste se convertir´ıa posteriormente en coseno. De manera similar a lo observado con la curva seno, en este caso podemos notar que: y y = cos θ 1

−π

− 3π2

− π2

−1

π

π 2

θ

3π 2

Figura 29: La curva coseno

i) La curva intercepta al eje θ (es decir, se anula) en ..., π 3π , , ... El intercepto con el eje y es 1. 2 2

ii) Puesto que cos( θ) = cos(θ), el cambio de θ por

−

−3π , −π , 2

2

−

θ deja inalterada; es decir, la curva es simétrica con respecto al eje y.

iii) La curva coseno sólo toma valores entre 1 y amplitud 1.

−1; es decir, tiene

iv) La curva coseno tiene per´ıodo 2π.

c).

La curva tangente senθ

(conocida como curva tangente ) cos θ 3π π π 3π aparece en la figura 30. Obs´ ervese las as´ıntotas en ..., , , , ,... 2 2 2 2 que es donde cos θ se anula. Observemos, además, que la curva tangente es periódica de per´ıodo π. El t´ ermino tangente, que proviene del Latin tangere que significa tocar, fue introducido en 1583 por Thomas Fincke. La gráfica de la curva y = tan θ =

−

−

159

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica y = tan θ

y

−2π −

−π −

3π 2

π

π

2

2

π

2π θ

3π 2

Figura 30: La curva tangente

Una tabla de valores para esta curva es la siguiente: θ tan θ

0

π/6

0

√3

π/4

π/3

π/2

1

√3

no existe

3

π 0

3π/2 no existe

2π 0

Tabla de valores de la curva tangente

Ejercicios 4 1. Dibuje las siguientes curvas trigonom´ etricas, y establezca sus respectivas amplitudes y per´ıodos: π a) y = sen(θ + ) 4 π b) y = 2 cos( θ ) 2 c) y = 4 cos(2 θ)

−

2.

a) Dibuje y = sen2 θ entre nom´ etrica y =

sen 2 θ

−π y π , utilizando la identidad trigo1 = (1 − cos2 θ). ¿Es periódica? 2

b) Dibuje y = cos 2 θ entre nom´ etrica y =

cos 2

π y π, utilizando la identidad trigo-

1 (1 + co s 2θ). ¿Es periódica? θ= − 2

π θ 3. Dibuje las curvas: a) y = tan( θ + ); b) y = tan ( ). Establezca 2 2 sus respectivas amplitudes y per´ıodos.

160


4. Explique el comportamiento de las curvas sen α, cos α y tan α, a partir del tradicional c´ırculo con centro en (0, 0) (ver figuras) en y x y donde sen α = , cos α = , tan α = . r r x y

r

y (x, y)

(x, y) α

r

α x

x

Definici´ on de seno y coseno en el primero y segundo cuadrantes y

y

α r (x, y)

α x

r

x (x, y)

Definici´ on de seno y coseno en el tercero y cuarto cuadrantes

5.

Vectores

En su Mec´ anica Anal´ıtica, publicada en 1773, el matem´ atico francés Joseph L. Lagrange [1736-1813] “aritmetizaba” fuerzas, velocidades y aceleraciones de la misma forma que Descartes y Fermat hab´ıan ya aritmetizado puntos con su geometr´ıa anal´ıtica. Esta idea de Lagrange se convertir´ıa posteriormente en la teor´ ıa de vectores que tan útil ha probado ser en F´ısica y en otras ciencias. La palabra vector proviene del Latin veh˘ere, que significa transportar, y fue acuñado, ochenta años después de Lagrange, por William R. Hamilton en 1853. De esta época en adelante

161


datan los primeros desarrollos de la teor´ıa de vectores, particularmente en la mecánica y en la teor´ıa de la electricidad, constituy´ endose en una teor´ıa general que entonces dieron en llamar an´ alisis vectorial, y que es un constitutivo esencial de la geometr´ ıa anal´ıtica. Veamos, de forma un tanto esquemática, en qu´ e consiste este ob jeto matem´ atico.

a).

Definici´ on, norma e igualdad de vectores

En geometr´ıa y F´ısica se utilizan dos clases de cantidades: escalares y vectores. Un escalar es un número cualquiera: longitud, temperatura y voltaje, son ejemplos de escalares. Un vector, por su parte, es un concepto determinado, no sólo por su longitud, sino por su direcci´ on; una fuerza, una velocidad, y una aceleración son ejemplos de vectores, y, por ello, tambi´ en a los vectores se les llama flechas o segmentos de recta dirigidos. Desde esta perspectiva, un vector (como flecha) tiene un punto inicial A (cola de la flecha), y un punto final B (cabeza de la flecha). A tal vector se le nota entonces como AB (ver figura 31).

−−→

B

−→ AB A

−−→

Figura 31: Vector AB

A la longitud de la flecha se le llama la norma del vector . La longitud, AB , del vector AB con cola A y cabeza B, cuyas coordenadas en el plano son ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ) respectivamente, se determina, utilizando el teorema de Pitágoras (ver figura 32):

−−→

−−→

−→ = −AB

(x1

− x2)2 + (y1 − y2)2

Pero si se elige un sistema de coordenadas XY del plano, podemos anclar la cola A de cualquier vector al punto (0,0) del sistema XY, y determinar la cabeza B del vector, mediante una pareja coordenada ( x, y). De esta manera, la descripción del vector AB se reduce a la del punto B = (x, y), y su norma a la de la distancia de ( x, y) a (0 , 0).



−−→

162


−→

−→

Entonces, desde esta perspectiva, dos vectores A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) serán iguales si, y s´ olo si, éstos son iguales como parejas de números, es decir, cuando x1 = x 2 y y 1 = y 2 . Aqu´ı estaremos suponiendo entonces que dos vectores AB y CD son iguales, si cuando ellos son anclados al srcen (0,0) (es decir, cuando A y C son transportados al srcen) entonces coinciden en direcci´ on y magnitud, (es decir, B y D tambi´ en coincidir´ an) (ver figura 33).

−−→ −−→

y B ( x2 , y 2 )

−→   AB −→ AB A(x1 , y1 ) x2

−x

y2

1

−y

1

x

O

Figura 32: Norma de un vector

Y aunque esta puede parecer una forma un poco extra˜ na de definir la igualdad entre vectores (y, de hecho, algunos autores prefieren llamarlos “equivalentes” pues no es claro el p or qué los vectores se puedan “transportar” de esta manera), para nuestros propósitos algebraicos será suficiente con este tipo de “vectores transportables”. 14

B

D

−→ AB A

−CD −→ C

−−→ −−→ Figura 33: AB = CD 14 Para un tratamiento m´ as amplio del concepto de vector, ver volumen I: lineal.

´ Algebra

163


b).

´ Algebra de vectores

−→

−→

i) Los vectores pueden sumars e: Si A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) entonces el vector suma A + B, puede definirse mediante la “regla del paralelogramo” (ver figura 34) as´ı:

−−− −→ −−−−→ A + B = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y

A+B

B

A

x Figura 34: Suma por regla del paralelogramo

−→

Al vector de igual longitud que A pero con dirección opuesta, se = le llama el vector inverso de A , y se denota por A . As´ ı, si A  (x1 , y1 ) entonces A = ( x1 , y1 ) y, por lo tanto, A + ( A ) = (0, 0).

→ − − −

−

−−→−→ −→ −

y

−→ A x

−→ −A Figura 35: Vector inverso

−A → −

ii) Y también los vectores pueden multiplicarse p or escalares (números cualquiera). Si A = (x1 , x2 ) es un vector y k es un escalar dado, entonces el producto de A con el escalar k, notado k A , es

−→

−→

−→

164


−→

−→

el vector kA = (kx1 , kx 2 ) cuya longitud es igual a la de A multiplicada por k si k es mayor que cero, ó por k si k es menor que cero; y además su dirección es igual a la de A si k es mayor que cero, ó a la opuesta de A si k es menor que cero (ver figura 36).

−−→

−→

y

y k>0

−→ A

−kA → x

x

Figura 36: Multiplicación de un vector por un escalar

Ejemplo 16.

→ − → − −−−−→ b) −−−−→ −→ a) A + B A−B c) 3A

Si A = (3, 4) y B = (5, 6) calculemos

−−→ −

d) 2B

−−−−−−→ − 2B f) −−−−−→ −A − B

e) 3A

Soluci´ on

−−− −→ −−− −→ b) A − B = (3 − 5, 4 − 6) = ( −2, −2) −→ c) 3A = 3(3, 4) = (9, 12) −−→ d) −2B = −2(5, 6) = ( −10, −12) a) A + B = (3 + 5 , 4 + 6) = (8 , 10)

e) 3A 2B = 3(3, 4) 2(5, 6) = (9 , 12) (10, 12) = (9 ( 1, 0)

−−−−− −− − → − − − 10, 12 − 12) = −−−− −→ f) −A − B = −(3, 4) − (5, 6) = ( −3 − 5, −4 − 6) = ( −8, −10)

165


Ejemplo 17.

→ − → − B  = −(3)2 + (−4)2 = √ −→ −25 = 5.

−→

( 2)2 + (1)2 =

Si A = ( 2, 1) y B = (3, 4) entonces A =



 

√5, y

−

Sobre vectores y sus propiedades algebraicas profundizaremos en la lec´ ción 4 del volumen I: Algebra lineal.

Ejercicios 5 1. Para cada uno de los siguientes pares de vectores:

−→ −→ −→ −→ A = (4, −8); B = (1, −6)

− − − −→ − − → −→ −→ A = (−7, 1); B = (2, −4)

a) A = (0, 1); B = (3, 0)

b) A = ( 1, 3); B = ( 2, 5)

c)

d)

calcule las siguientes operaciones a partir de las propiedades algebraicas de vectores:

−−−−−−−−→ − − −−−→ iv) −A + B i) 3( A) + 2B

−−−−−−→ − 12 B −−− −→ v) A − B ii) 2A

−−A−−−→ −B −−−−− − → vi) 2A + 3B

iii )

Dibuje en un plano cartesiano cada uno de los pares de vectores anteriores y aquellos resultantes de las operaciones indicadas. 2. Calcule la norma (longitud) de cada uno de los vectores del ejemplo 1 anterior.

−→

−→

3. Ubique en el plano cartesiano los vectores A = (0, 0), B = (8, 0), C = (8, 6) y calcule el área del triángulo AB C .

−→

6.

−

Coordenadas polares

Las coordenadas polares 15 , que fueran introducidas por Jacob Bernoulli alrededor de 1700, es una forma alternativa a la descripci´ on cartesiana de ubicación en el plano. Veamos en qu´ e consiste. 15

Material optativo.

166


Sea O un punto fijo, al que llamaremos polo, sobre una l´ınea fija horizontal, a la que llamaremos eje polar , y una dirección positiva a lo largo del eje polar (ver figura 37). P (r, θ)

P (r, θ) r

y

r

θ

θ

x

O

x

O

Figura 37: Coordenadas polares

Sea P (r, θ) cualquier punto cuya ubicación relativa al polo y al eje polar se describe mediante el vector OP de la figura donde r es su longitud (el radio-vector), y θ (el ángulo polar ) el ángulo formado por OP con la

−−→

−−→

direcci´ on p ositiva del eje polar. Se acostumbra asumir que el eje polar es una l´ınea horizontal cuya direcci´ on p ositiva es a la derecha. Esto facilita el uso de coordenadas rectangulares y polares dentro de la misma gráfica. El eje polar se identifica entonces con el eje X y el polo con el srcen. La relación entre coordenadas polares y rectangulares se establece as´ı: Dado el vector P (r, θ) se tiene que (ver figura 37), x = r cos θ r= Ejemplo 18.



y = r sen θ

x2 + y 2

tan θ =

y x

i) Encontremos la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia x2 + y 2 2x = 0.

−

ii) Encontremos la ecuación en coordenadas cartesianas de la ecuación en coordenadas polares r=

2sen 2 θ cos θ

167


Soluci´ on. i) Puesto que x2 + y 2 = r 2 y x = r cos θ, entonces la ecuación es 2

reste punto 2r cos est´ θ =a 0yaódescrito r(r 2cos = 0; pero es elθpolo por θ) la ecuaci´ on rr = = 02cos para, O pory π ejemplo, θ = ; luego ( ) es la ecuación buscada. 2 y 2( )2 2sen 2 θ 2y 2 ii) De r = obtenemos r = xr = ó, lo que es igual, cos θ rx r 2y 2 2y 2 x3 r2 = , ó x2 + y 2 = , ó y 2 = que está representada x x 2 x en la figura 38.

−

− ∗

−

y

2

Figura 38: y2 =

a).

x

x3 2

−x

Ecuaci´ on polar de una l´ınea recta

Puesto que la ecuación cartesiana general de una l´ınea recta es ax + by + c = 0 entonces su forma polar general será r(a cos θ + b sen θ) + c = 0 Ahora: si p es la distancia OD perpendicular desde el polo O hasta la l´ınea recta, y α mide la inclinación de OD, entonces la ecuación puede describirse como p = r cos(θ α) ( )

−

que es la ecuaci´ on normal polar de la l´ınea recta (ver figura 39).

∗∗

168


y

y

P (r, θ) r

D

θ

α O

α

x

Figura 39

x

Figura 40

∗∗

Por ejemplo, de la ecuación ( ) arriba, obtenemos la forma de las l´ıneas rectas que pasan por el polo O pues en este caso p = 0, y as´ı cos(θ α) = 0 ó π θ=α 2 donde α es el ángulo formado por la perpendicular a la recta con el eje

−

±

x (ver figura 40). Por ejemplo, la recta y = x se describe mediante θ = 3π + π 4 − 2 , que incluye las semirrectas inferior y superior, respectivamente. Ejemplo 19. i) La recta y = 2x + 1 se escribe en forma polar como sen θ) + 1 = 0.

−

r(2cos θ

−

−

−

ii) La recta y = 3x + 2 se escribe en form a polar como r( 3cos θ sen θ) + 2 = 0.

iii) La recta paralela al eje polar a través de (8, 150o ) es p = r cos(θ α) donde p = 8sen30 o ; α = 90o , es dec ir, 8 sen 30 o = r cos(θ 90o ) ó r sen θ = 4 (ver figura 41).

−

y

8

150o

Figura 41: Recta r sen θ = 4

x

−

169


b).

Ecuaci´ on polar de una circunferencia

Si una circunferencia de radio a tiene su centro en el polo (srcen), su ecuaci´ on polar es, simplemente, r = a. y

P (r, θ ) a r

θ

r1

C

θ0

x

Figura 42: Circunferencia en forma polar

Pero si la circunferencia no está centrada en el polo, su ecuación polar es más complicada (ver figura 42): Sea P (r, θ) un punto cualquiera sobre la circunferencia de radio a y centro C (r1 , θ0 ); entonces, aplicando la ley de cosenos de la trigonometr´ıa b´ asica, encontramos que: a2 = r 2 + r12

− 2r1r cos(θ − θ0)

Y si r1 = a, simplificando llegamos a la ecuación del c´ırculo que pasa por el polo, r = 2a cos(θ θ 0 ), donde los casos θ0 = 0 y θ0 = π2 son particularmente importantes. Del primero resulta r = 2a cos θ y del segundo r = 2a sen θ. Las gráficas para estos casos son, respectivamente, las de las figuras 43 y 44.

−

a)

b)

(a, π2 ) (a, 0)

Figura 43: r = 2a cos θ

Figura 44:

r = 2a sen θ

170


Ejemplo 20. La gráfica de r = 8cos θ corresponde a la de una circunferencia con centro (4, 0) y radio 4 (ver figura 45).

(4, 0)

Figura 45: r = 8cos θ

Ejemplo 21. Encontremos la ecuación polar de la circunferencia (x 2)2 +(y+3) 2 = 4.

−

Soluci´ on. Reemplazando x = r cos θ, y = r sen θ en la ecuación dada, obtenemos que

r 2 cos2 θ + r 2 sen2 θ + 4 + 9

− 4r cos θ + 6r cos θ = 4 − 4cos θ) + 9 = 0 , que es

Y al simplificar llegamos a que r 2 + r(6sen θ la forma polar de la circunferencia dada. Ejemplo 22.

Encontremos la ecuación polar para cada una de las circunferencias de las figuras 46 y 47. a)

b)

√ radio = 3

Figura 46: r =

√3

1 2

radio =

−

centro (0, 0)

centro (

Figura 47:

r=

− cos θ

1 2

, 0)

171


Soluci´ on. a) Como la circunfe rencia de la figura 46 tiene cen tro en el srcen, su ecuaci´ on polar es r = 3. b) La circunferencia de la figura 47 tiene su cent ro en el punto ( 12 , 0) y su radio es 12 ; por lo tanto, su ecuación polar es r = 2( 12 )cos θ = cos θ.

√

−

−

−

Ejemplo 23.

−

Tracemos la gráfica de la circunferencia r = 2sen θ, y especifiquemos las coordenadas del centro y la longitud del radio. Soluci´ on.

−

Como 2 a = 2, la circunferencia está situada debajo del eje polar y su radio es r = 1. Las coordenadas de su centro son ( 1, π2 ) (ver figura 48).

−

( 1, π2 )

−

Figura 48: r =

c).

−2sen θ

Ecuaci´ on polar de una cónica

En general, la ecuación polar de una cónica (elipse, parábola o hip´ erbola) no es sencilla, pero si el foco (o uno de sus focos) se sit´ ua en el polo (srcen) (ver figura 49) y su directriz d está a p unidades de distancia de éste, la ecuaci´ on que define la cónica toma una forma más simple. Observemos, en efecto, que la ecuación P F = e(P Q) toma la forma r = e(p

± r cos θ)

donde e es la excentricidad de la cónica; ó, aún más simplemente, r=

ep 1

± e cos θ

172


donde (hip´ erbola );

a) e > 1

b) e = 1 (par´ abola); directriz

p

P (r, θ ) r

c) e < 1

(elipse )

directriz Q

Q

p

P (r, θ )

θ

θ

F

F

Figura 49

Figura 50

Si la directriz está a la derecha del foco como en la figura 49, en la ecuaci´ on se toma el signo positivo, y si la directriz est´ a a la izquierda del foco como en la figura 50, en la ecuación se toma el signo negativo. Las siguientes figuras ilustran el caso en que la directriz es paralela al ep eje polar. La ecuación polar para la figura 51 es r = , y para 1 + e sen θ ep la figura 52 es r = . 1 e sen θ

−

directriz

F (0, 0)

F (0, 0) directriz

Figura 51: r =

ep 1 + e sen θ

Figura 52:

R=

ep 1

− e sen θ

Ejemplo 24. (Parábola en forma polar) Para trazar la gráfica de r = 2/(1 cos θ), observamos primero que

−

173


e = 1, y, por lo tanto, la fórmula corresponde a una parábola (ver figura 53); además, como ep = 2, entonces p = 2. La ecuación cartesiana de la directriz es x = 2. El v´ ertice de la parábola se obtiene dándole a θ el valor de π : r = 2/(1

− − cos π) = 1 y as´ı,v = (1, π). directriz

v F (0, 0)

Figura 53: r =

2

1

− cos θ (parábola)

Ejemplo 25. (Hip´ erbola en forma polar) Para trazar la gráfica de r = 12/(2+4sen θ), comenzamos escribi´ endola en la forma r = 6/(1 + 2 sen θ). All´ı vemos que e = 2 y, por lo tanto, la ecuaci´ on representa una hipérbola. Puesto que ep = 6 entonces p = 3, y la directriz tiene ecuaci´ on cartesiana y = 3. Los v´ ertices aparecen cuando θ = π /2 y θ = 3π/2, de manera que son (2 , π/2) y (6 , π/2). Su gráfica es la de la figura 54.

v(6, π2 ) π

directriz

v(2, 2 ) F (0, 0)

Figura 54: r =

12 (hipérbola) 2 + 4 sen θ

174


Ejemplo 26. (Elipse en forma polar) Encontremos la ecuación de la elipse con e =

1 2

y directriz y =

−4.

Soluci´ on. Como la directriz es paralela al eje polar, la ecuaci´ on de la elipse es (ver figura 55): 1 4 2 (4) r= ó r= 2 sen θ 1 12 sen θ

−

−

v(4, π2 )

F (0, 0)

v( 43 , 3π 2 ) directriz Figura 55: r = 2

−

4 senθ (elipse)

No sobra aqu´ı anotar que ahora podr´ıa ser claro para el lector que la descripción de las cónicas mediante coordenadas polares es, en general, engorrosa. Sin duda, la descripción cartesiana es más clara y directa.

d).

Ecuaciones polares de curvas cl´ asicas

Cinco de las más hermosas figuras clásicas que pueden expresarse mediante fórmulas polares relativamente simples, son las siguientes: i) La rosa de cuatro hojas r = a sen2 θ para a > 0 135◦

45◦

Figura 56

ii) La cardioide r = a(1 cos θ) 120◦

−

Figura 57

60◦

175


iii) La lemniscata de Bernoulli r2

=

2a2

◦

cos2 θ

◦

135

225

iv) La espiral de Arqu´ımedes θ r= π

45

◦

315

◦

Figura 59

Figura 58

v) La lima¸con (r a cos θ)2 = b 2

−

Figura 60

i) La rosa de cuatro hojas (o quadrifolium) (ver figura 56) apareció por primera vez en los escritos del matem´ atico italiano Guido Grandi [1671-1742] en 1713. Esta curva es simétrica con respecto al eje polar. El rango de variaci´ on de r está entre a y a ya que sen(2θ) sólo toma valores entre 1 y 1. La curva tocará la circunferencia con centro en el polo y radio a, en cuatro puntos regularmente espaciados en los valores θ = 45◦ , 135◦ , 225◦ , 315◦ donde sen(2 θ) toma los valores máximo y m´ınimo. Algunos de los valores para esta curva son los de la siguiente tabla:

−

−

θ r

0o 0

15o a 2

30o

√ a 3 2

45o

60o

90o

a

√ a 3

0

2

Tabla de valores de la rosa de cuatro hojas ii) La cardioide recibió tal nombre de G.F. Salvemini [1708-1791] en 1741. Esta curva (ver figura 57) tiene intersecciones con el eje polar

176


en (0, 0◦ ) y (2 a, 180◦ ). Corta la l´ınea que pasa por el polo y que es perpendicular al eje polar, a una distancia de a unidades arriba y abajo del polo. Además, es simétrica con respecto al eje polar. Una tabla de valores para la cardioide se puede ver enseguida:

θ

0o

30o

r

0 0.13 a

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

0.29a

0.5a

a

1.5a

1.71a

1.87a

2a

Tabla de valores de la cardioide iii) La lemniscata de Bernoulli fue mencionada por primera vez por Jacobo (Jacques) Bernoulli en 1694, pero la teor´ıa anal´ıtica de la curva se debe a Euler (1751,1752). La lemniscata (ver figura 58) interseca el eje polar 2a unidades a ambos lados del polo. Adem´ as, es sim´ etrica con respecto al eje polar, al polo, y a la l´ınea que pasa por el polo y es p erpendicular al eje p olar. También, el rango de r var´ ıa entre 0 y 2a. Debido a la simetr´ıa y a la longitud de la lemniscata, es suficiente tabular r para valores de θ entre 0◦ y 45◦ . Veamos una tabla de valores:

√

√

θ r

15o

22.5o

30o

±1.32a ±1.19a ±a

45o 0

Tabla de valores de la lemniscata de Bernoulli iv) La espiral de Arqu´ımedes (o h´ elice como Arqu´ımedes la llamó en el 225 a.C.) se asocia generalmente con la curva que se forma sobre un cilindro al cortarse en un ´ angulo constante. La espiral de Arqu´ımedes (ver figura 59) tiene infinitos intersecciones con el eje polar y tambi´ en con la l´ınea que pasa por el polo y es perpendicular al eje p olar. La curva es simétrica con respecto a esta última, ya que nada cambia en la ecuación r = θ/π si cambiamos r por r, y θ por θ. En la figura 59 hemos omitido la gr´ afica para valores

−

−

177


negativos de r, que esperamos el lector pueda construir sin dificultad a partir de los valores para r positivo que son los que aparecen en esa gráfica. Una tabla de valores que nos ayuda a trazar esta curva es la que aparece enseguida: θ r

0

π 4

π 2

3π 4

0

1 4

1 2

3 4

π

5π 4

3π 2

7π 4

2π

1

5 4

3 2

7 4

2

Tabla de valores de la espiral de Arqu´ımedes v) La palabra francesa lima¸con significa “caracol”; esta curva, que aparece en la figura 60, fue estudiada por primera vez en el siglo ´ XVII por Etienne Pascal (el padre de Blaise Pascal). Su descripción, imitando lo hecho anteriormente para las otras curvas, queda como ejercicio para el lector.

Ejercicios 6 1. Para cada una de las siguientes circunferencias encuentre su ecuación polar, halle su centro y dibuje su gráfica: a) x2 + 2x + y 2 = 0 c) x2 + (y

− 5)2 =25

e) x2 + y 2 =5

x2

b) d) 2 f)3(

− 16x + y2 = 0

x2 + 2y 2 = 8 x

− 7)2 + 3(y + 4)2 = 69

2. Escriba la ecuación polar de la cónica con foco en el polo, a partir de los datos dados: a) e = 23 , directriz x=3 c) e = 1, v´ ertice (5, π2 )

b)

e = 4, directriz y = 5 d) e = 0.4, v´ ertice (2, 0)

178


e) e = 43 , directriz x =

f) e = 56 , directriz x = 7

−3

3. Para cada una de las cuatro siguientes cónicas, encuentre: i) Excentricidad. iii) Directriz.

a) r = c) r =

7.

ii) Vértice (o vértices). iv) Gr´ afica.

10 3

− 2sen θ

4

− 3cos θ

1

b) r =

7 2 + 5 sen θ

d) r =

4 1 + 3 cos θ

Coordenadas param´ etricas

Para la geometr´ıa anal´ıtica de los siglos XVIII y XIX, en ocasiones fue conveniente representar una curva en el plano por medio de dos ecuaciones; una, dando la coordenada x, y la otra, la coordenada y, de un punto en t´ erminos de una variable t que llamaban par´ ametro, y que normalmente era el parámetro “tiempo”. A las dos ecuaciones las llamaban ecuaciones param´ etricas de la curva. Claramente, si se eliminaba el par´ ametro t de ambas ecuaciones, se obten´ıa la ecuaci´ on cartesiana. Veamos cómo operan las ecuaciones paramétricas en las figuras cartesianas más elementales. Ejemplo 27. (Ecuaci´ on param´ etrica de la recta (Cauchy (1826))) Una ecuación param´ etrica de la l´ ınea determinada por los puntosA(x0 , y0 ) y B (x1 , y1 ) es, por similitud de triángulos (ver figura 61), x x1

− x0 = − x0

t

 

ó x = x 0 +

− x1)2 + (y0 − y1)2 ; t(x1 − x0 ) ; (x0 − x1 )2 + (y0 − y1 )2

(x0

y y1

− y0 = − y0

y = y0+

t

 

− x1)2 + (y0 − y1)2 t(y1 − y0 ) (x0 − x1 )2 + (y0 − y1 )2 (x0

179


P (x, y )

t

B (x1 , y1 )

A(x0, y0 )

Figura 61: Ecuaciones paramétricas de la recta

Ejemplo 28. (Ecuaciones param´ etricas de las c´ onicas) i) Ecuaciones param´ etricas de la circunferencia x2 + y 2 = a2 son x = a cos t, y = a sen t como el lector inmediatamente puede comprobar. y

a

(a cos t, a sen t)

t

x

Figura 62: Ecuaciones paramétricas de la circunferencia

x2 y 2 ii) Ecuaciones paramétricas de la elipse 2 + 2 = 1 son x = a cos t, a b y = b sen t como fácilmente se observa. y (a cos t, b sen t) b

t

x a

Figura 63: Ecuaciones paramétricas de la elipse

180


iii) Según la mecánica clásica de Galileo y Newton, una ecuación param´ etrica de un proyectil lanzado en una direcci´ on formando un ángulo α con la horizontal y con la velocidad inicial v 0 es: x = (v0 cos α)t,

y = (v0 sen α)t

− 12 gt2

donde t es la variable “tiempo” medida en segundos; g es la aceleraci´ on gravitacional medida en mts/seg2 ; x y y son las posiciones con respecto al srcen O y están medidas en metros. y P (x, y)

v0 α

x

O

Figura 64: Ecuaciones paramétricas de movimientos parab´ olicos

x2 y2 iv) Una ecuación param´ etrica de la hip´ erbola 2 = 1 es x = a b2 a sec t, y = b tan t como el lector puede comprobar recurriendo a la descripción anal´ıtica y geom´ etrica de la hip´ erbola previamente estudiada.

−

y

(a sec t, b tan t) t

x

Figura 65: Ecuaciones paramétricas de la hipérbola

181


Ejercicios 7 1. Dibujar en un plano cartes iano xy (eliminando el parámetro t) las siguientes ecuaciones param´ etricas: a) x = 4 + 2 t, y = 2 b) x =

1

1

− t,

y=

− 3t t

1

−t

c) x = 3 sen t, y = 4 cos t d) x = cos t, y = cos 2t [Indicación: En algunos casos “despeje” t en ambas ecuaciones e iguálelas para as´ı eliminar el parámetro t; en los otros, utilice alguna identidad trigonom´ etrica adecuada.] 2. Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos: a) (1, 2), (3 , 4) b) ( 1, 2), (0 , 0). 16

− 8.

Teorema fundamental del ´ algebra

Al final de la lección 2, se hab´ıa se˜ nalado sobre los intentos durante tres siglos por resolver mediante radicales la ecuación algebraica general de grado n xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0 donde a 1 , a2 ,...a n−1 , an son números enteros cualquiera, y que este problema resultó ser tan profundo y dif´ıcil que condujo a la creación de nuevos conceptos matemáticos. En el siglo XVII ya era claro que la soluci´ on por radicales estaba lejos de ser posible para todas las ecuaciones algebraicas y, a´ un en el caso de estar disponible, era de escaso valor práctico debido a su complejidad, excepto en el caso lineal y en el de la ecuación cuadrática. Por lo tanto, el 16 Si el lector está interesado en profundizar en la geometr´ıa anal´ıtica hasta este punto, recomendamos “Smith, Edward, Meyer Salkover y Howard Justice (1959), Analytic Geometry, Wiley”.

182


trabajo comenzó a dirigirse en tres direcciones: (1) Hacia el problema de existencia de ra´ıces; (2) Hacia el problema de qu´ e pod´ıamos saber de las soluciones a partir de los coeficientes de la ecuaci´ on pero sin resolverla (por ejemplo, si tienen soluciones racionales (fraccionarios), y cu´ antas); y finalmente, (3) Hacia el cálculo aproximado de las ra´ıces de la ecuaci´ on. Primero que todo, la pregunta era si la ecuación algebraica general ten´ıa siempre ra´ıces. La respuesta afirmativa a esta pregunta, el teorema fundamental del álgebra, es uno de los resultados m´ as importantes de las matem´ aticas modernas, aunque permaneció por mucho tiempo sin una prueba rigurosa. De hecho, su nombre contrasta con sus t´ ecnicas de demostraci´ on, pues la mayor´ıa de ellas est´ an más relacionadas con el c´ alculo diferencial que con el álgebra. La primera “prueba” fue dada por Jean L. R. d’Alembert (1745) aunque, como despu´ es se hizo claro, ésta ten´ıa un problema que consist´ ıa en que d’Alembert asum´ıa como trivial la proposición general del cálculo diferencial de que una función continua (es decir, que “no tiene interrupciones”) definida sobre un intervalo cerrado de números (o sea, los números x tales que a x b para ciertos

≤ ≤

númerosesto fijosesacierto, y b con a ıa
a).

Números complejos

Las dificultades que condujeron a la creación de la teor´ıa de los números complejos se encontraron primero al intentar resolver ecuaciones cuadr´ aticas de la forma ax 2 + bx + c = 0. ¿Qu´ e podemos hacer si, en la conocida fórmula, que mostraremos adelante y que señala las soluciones x=

−b ± √b2 − 4ac , 2a

183


el t´ ermino b 2 4ac, bajo la ra´ız cuadrada, es negativo? No existe n´ umero, ni positivo, ni negativo, que sea la ra´ız cuadrada de un número negativo. Despu´ es de largas dudas de m´ as de un siglo, los matemáticos llegaron a

−

la conclusión de que era necesario introducir nuevos “números”. Quizás fue Jerónimo Cardano [1501-1576] en su Ars Magna de 1545 el primero en obtener soluciones en n´ umeros complejos al resolver ecuaciones cuadráticas. Al estudiar la ecuaci´ on x(10 x) = 40, Cardano obten´ıa las ra´ıces 5 + 15 y 5 15 y “haciendo a un lado las torturas mentales involucradas” multiplicaba 5 + 15 y 5 15 y obten´ıa 25 ( 15) = 40. Cardano necesariamente tuvo que verse obligado a pensar en números complejos al resolver las ecuaciones (cuadrática y c´ ubica): aunque buscaba y obten´ıa s´ olo números reales, sus fórmulas tambi´ en arrojaban ra´ıces complejas cuando éstas estaban presentes.

√−

− √−

− √−

−−

− √−

Por su parte, Descartes tambi´ en rechazaba las ra´ıces complejas y fue él quien acu˜ nó el t´ ermino “imaginario” para estas ra´ıces. En cualquier caso, para Descartes no eran números. Tampoco Newton consideraba las ra´ıces complejas como algo con sentido, probablemente porque hasta ese entonces éstos no ten´ıan un significado geom´ etrico inmediato que era la forma t´ıpica del pensamiento newtoniano: sólo cuando los problemas no tuvieran sentido f´ısico o geom´ etrico podr´ıan aparecer las ra´ıces complejas. Para Leibniz, la utilización de los complejos sólo la justificaba con el argumento de que nada ilógico surg´ıa de su uso. Y aunque trabaj´ o con ellos formalmente, era claro que no ten´ıa ninguna comprensión de su naturaleza. “[Un] anfibio entre ser y no ser, ... [es] la ra´ız imaginaria de la unidad negativa” dec´ıa con respecto a 1.

√−

A pesar de la evidente falta de una clara comprensi´ on de los números complejos durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operacionales hab´ıan avanzado. En su Algebra de 1685, John Wallis fue el primero en mostrar cómo representar geom´ etricamente, en el plano, ra´ıces complejas de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Wallis dec´ıa que los números complejos no eran más absurdos que los mismos números negativos. Sin embargo, las abstracciones de Wallis fueron ignoradas por los matemáticos de su época. En 1751, Euler publicó un art´ ıculo titulado Investigations on the Imaginary Roots of Equations en el que obtuvo el extraño resultado (con un

184


argumento incorrecto) de que log(a + ib) = log(re iθ ) = (log r) + i(θ

∓ 2nπ)

√−1) para cualquier número n = 1, 2, 3,... , √ b utilizando la forma polar de un número complejo r = a2 + b2 , tan θ = (donde e = 2.7182... y i =



que veremos adelante. Y a partir de all´ı dedujo la famosa fórmula eiθ = cos θ + i sen θ Sin embargo, el art´ıculo de Euler nunca pudo ser entendido por los matem´ aticos de su época. Cauchy, en su famoso Cours d’analyse (1821), dec´ıa que expresiones como a + b 1 no ten´ıan sentido como totalidad, sino sólo como representaci´ on simbólica de una ecuación entre cantidades reales. As´ı, la igualdad a+b 1 =c+d 1

√−

√−

√−

era cierta si, y sólo si, a = c y b = d. Siempre evitó el uso de términos escuetos como 1.

√−

Pero fue Gauss, en 1831, el primero que al describir la representaci´ on trigonom´ etrica (polar) de los números complejos y su adición y multiplicaci´ on, facilitar´ıa el camino para que los números complejos alcanzaran el lugar que hoy ocupan dentro de las matem´ aticas. Afirmaba que

“aqu´ı [en la representaci´ on geom´ etrica] est´ a sustentada la demostración 1 y no se necesita más para admitir estas del significado intuitivo de cantidades en el dominio de los objetos de la aritm´ etica”.

√−

Y aunque el camino hacia la aceptación de los números complejos comenzaba a despejarse, no lo har´ıa del to do hasta tanto el concepto mismo de número real hubiese sido aclarado. Fue, sin duda, esta relación de los números complejos con los vectores, y el que al usarse en pasos intermedios de argumentos matemáticos los resultados finales fueran correctos, lo hizoque quesegu´ los matemáticos los utilizaran efectivamente, a pesar de lasque dudas ıan despertando. Al final de avatares, el siglo XIX de Cauchy y Weierstrass recibe la ´ versi´ on moderna de los n´ umeros complejos. Esta introduce un nuevo car´ acter abstracto i 1 tal que i2 = 1, y estudia números de la

≡ √−

−

a



185


forma a + ib donde a y b son números reales, a los que llaman n´ umeros complejos. Dos números a + ib y c + id serán iguales si, y sólo si, a = c y b = d. La suma de dos de estos n´ umeros, a + ib y c + id, es el número complejo (a + c) + i(b + d), y su diferencia es el número complejo (a c)+i(b d). En la multiplicación se acuerda multiplicar estos n´ umeros como si fueran números corrientes sólo teniendo en cuenta que i 2 = 1. As´ ı,

−

−

−

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = (ac

− bd) + i(ad + bc)

Pero tambi´ en es posible dividir n´ umeros complejos, es decir, tiene sentido a + ib escribir pues si multiplicamos numerador y denominador de esta c + id fracci´ on por el número complejo c id (al que se acostumbra llamar el conjugado del número complejo c + id) obtendr´ıamos que

−

a + ib (a + ib)(c = c + id (c + id)(c

− id) (ac + bd) + i(bc − ad) = ac + bd + i bc − ad − id) = c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2

As´ı, se muestra que podemos sumar, restar, multiplicar, y dividir n´ umeros complejos, algo que hasta esa e´poca s´ olo pod´ıa hacerse con los n´ umeros ordinarios. Es decir, ahora era posible operar de manera formal con objetos que no eran intuitivamente claros, ni tampoco “evidentes por s´ı mismos”. Este paso de pensar en “estructuras abstractas” en lugar de

números concretos, ser´ıa fundamental en el desarrollo de las matemáticas como las conocemos hoy en d´ıa. Ahora: tambi´ en podemos establecer una conexión interesante de los números complejos con ob jetos aparentemente dis´ımiles. Si en el número a + ib, pensamos en a y b como coordenadas rectangulares, entonces la suma y producto por escalar de n´ umeros complejos coinciden con las de los vectores que hab´ıamos descrito antes; es decir, con la de segmentos dirigidos que van desde el srcen (0 , 0) hasta el punto ( a, b), pues as´ı tendr´ıamos la identificaci´ on z1 = a + ib y además

≡ (a, b) ,

z1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) (a + c) + i(b + d)

z2 = c + id

≡ (c, d)

≡ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) =

186


kz 1 = k(a + ib) = k(a, b) cualquiera.

≡ (ka,kb ) = ka + i(kb) para k un número

Por esto, en ocasiones (es decir, cuando el an´ alisis lo requiere), se llama al plano cartesiano el plano complejo (ver figura 66). y

y z1 + z2 = (a + c, b + d) (c, d) z = (a, b) z2 (a, b) z1

x

x

Figura 66

Con respecto al significado vectorial de los números complejos, esto se puede fácilmente si consideramos vector (( a a,+ b)ib)) (quey en estever contexto llamaremos númerodel complejo módulo ρladelnorma el ´ angulo φ que forma el vector con el eje positivo x (a este ángulo lo llamaremos aqu´ ı el argumento (amplitud) del número complejo a + ib). En la figura 67 observamos que a = ρ cos φ, b = ρ sen φ (y as´ı, ρ = b a2 + b2 y tan φ = ). Luego, a

√

a + ib = ρ(cos φ + i sen φ) que es la representaci´ on polar del número complejo a + ib. y (a, b) = a + ib ρ

φ

Figura 67: Representación polar

x

187


As´ ı, si multiplicamos a+ib = ρ 1 (cos φ1 +i sen φ1 ) con c+id = ρ 2 (cos φ2 + i sen φ2 ) obtenemos que ac

φ1 cos φ2 − sen φ1 sen φ2 ) − bd == ρρ1ρρ2(cos cos(φ + φ ) 1 2

1

2

bc + ad = ρ 1 ρ2 (sen φ1 cos φ2 + cos φ1 sen φ2 ) = ρ 1 ρ2 sen(φ1 + φ2 ) y as´ı, (a + ib)(c + id) = (ac

− bd) + i(ad + bc)

= ρ 1 ρ2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sen(φ1 + φ2 )] y, con un poco de trigonometr´ ıa, tambi´ en que a + ib ρ1 (cos φ1 + i sen φ1 ) = c + id ρ2 (cos φ2 + i sen φ2 ) = ρ1 [cos(φ1 ρ2

− φ2) + i sen(φ1 − φ2)]

Adem´ as (y esto muestra la conveniencia de la representaci´ on polar), si z = a + ib = ρ(cos φ + i sen φ) entonces z n = (ρ(cos φ + i sen φ))n = ρ n (cos nφ + i sen nφ) Esta relación (conocida como teorema de De Moivre ) fue sugerida por Abraham de Moivre [1667-1754] en 1730 pero al parecer ya él mismo la conoc´ıa en 1707. Y aunque no podemos probarlo aqu´ı, para efectos de exposición, asumiremos como cierta, por ahora, 17 la ecuación de Euler que hab´ıamos mencionado antes: eiφ = cos φ + i sen φ

∗

( )

Por lo tanto, tambi´ en ser´ a cierto que e −iφ = cos φ sen φ = 17

eiφ

− e−iφ 2i

cos φ =

eiφ

− i sen φ

y que

+ e−iφ 2

Ver la secci´ on de ejercicios complementarios, lección 3, volumen II (Cálculo).

188


∗

La igualdad ( ) de arriba relaciona la base e (que dará srcen a la función exponencial y que en números decimales corresponde a e = 2.7182...), el número imaginario i, y las funciones periódicas seno y coseno. Es la fuente de muy importantes desarrollos en las matem´ aticas de hoy. Una consecuencia, simple y profunda, resulta cuando en ( ) hacemos φ = π; en tal caso obtendremos eiπ = 1, que relaciona en forma compacta cuatro números fundamentales de la matemática: la unidad (1), el área del c´ırculo de radio 1 (π), la base exponencial ( e), y la unidad imaginar ia (i).

∗

−

Ejemplo 29. a) Escribamos los siguientes números de la forma a + ib, donde a, b son números cualquiera:

− 4i) = (5 + 2) + (3 − 4)i = 7 − i ii) (6 + 2i) − (3 + 4i) = (6 − 3) + (2 − 4)i = 3 − 2i i) (5 + 3i) + (2

2

iii) (2+3 i)(1+4 2 +2(4 i)+ (2 12) + (8i)+=3)i = 10 +3i+ 11i (3i)(4i) = 2+8 i+ 3i+ 12i =

−

−

iv) (1+ i)2 = (1+ i)(1+ i) = ( 1 + i) + i(1 + i) = 1+ i + i + i2 = 2i v)

5 + 7i (5 + 7i)(2 + 4i) = = 2 4i (2 4i)(2 + 4i)

−

−

−18 + 34i = − 9 20

10

+

17 i 10

√

b) Para encontrar la forma polar de a + ib = (1 + 3i), tenemos primero que ρ = 1 + 3 = 2; luego√encontramos el valor de θ tal que cos θ = aρ = 12 y sen θ = ρb = 23 . Este valor de θ es π3 y, por tanto, π π π 1 + 3i = 2 cos + i sen = 2e 3 i 3 3

√

√





3

√

3 3

c) Encontremos también la forma polar a + ib = 2 + 2 i. Aqu´ı, 36 tenemos que ρ = = 3, y podemos encontrar el valor de θ 4 √ 3 3 3 √ a b 2 1 tal que cos θ = = = 2 y sen θ = = 2 = 23 . Este θ es ρ 3 ρ 3



189


tambi´ en 3

+

2

π 3

y, por tanto,

√ 3 3

i = 3 cos

2



π

+ i sen

3

π 3

1

=3

 

+i

2

√3 2

π

= 3e 3 i



d) Para hallar los n´ umeros complejos a + ib tales que su cuadrado sea el número 7 24i, podemos proceder as´ı: Si a y b son dos números tales que

− −

−7 − 24i = (a + ib)2 = a2 + 2abi − b2 entonces, igualando t´ erminos, se tendr´ a que: a2

− b2 = − 7 (1) 2ab = −24 (2) Por lo tanto, ( a2 + b2 )2 = (a2 − b2 )2 + (2ab)2 = 49 + 576 = 625; y as´ı se tiene que

a2 + b2 = 25

(3)

De (1) y (2) se obtiene que a2 = 9, b2 = 16 y, por consiguiente, a = 3, b = 4. Pero como de (2) vemos que ab es negativo, entonces los números complejos serán 3 4i y 3 + 4i.

±

±

−

−

* e) ¿Cuál es el “error” que nos lleva a la siguiente contradicción?: Sean a, b dos números positivos; entonces

√−a√−b = (−a)(−b) = √ab √ √ √ √√ √√ √ √ ii) −a −b = ( a −1)( b −1) = ( a i)( b i) = − ab i)

b).



Ra´ıces de una ecuaci´ on algebraica

Una ecuaci´ on algebraica de grado n con una incógnita, es una ecuación de la forma xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0 donde a1 , a2 ,...,a n son coeficientes dados, y resolver esta ecuaci´ on algebraica es encontrar todos los n´ umeros x’s que la satisfacen. A estos números x’s se les llama ra´ıces (o ceros) de la ecuación.

190


Estudiemos los cuatro primeros casos: las ecuaciones de primero, segundo, tercer y cuarto grado. i) La ecuaci´ on algebraica de primer grado (o ecuación lineal) es la ecuaci´ on de la forma x+a= 0 cuya solución es x=

−a

ii) La ecuaci´ on algebraica de segundo grado (o ecuación cuadrática) puede escribirse como x2 + bx + c = 0 y su solución tambi´ en es muy simple: Transfiramos c al lado dereb2 cho de la ecuación y luego sumemos a ambos lados para obtener 4 x2 + bx +

b2 b2 = 4 4

Pero como

b2 x + bx + = 4 entonces obtendremos que 2

  x+

b 2

−c

 

2

x+

b 2

=

b2 4

−c

 ±

b2 4

−c

2

ó, lo que es equivalente, b x+ = 2 y, as´ı, las soluciones son: x=

 − ± b 2

b2 4

− c = −b ±

√b2 − 4c 2

que es la muy conocida fórmula de solución de la ecuación cuadrática. Aqu´ ı, la expresi´ on b 2 4c (conocida como el discriminante de la ecuaci´ on cuadrática) determina cuándo este número es real o complejo: Si b 2 4c < 0 tendremos soluciones complejas; si b 2 4c 0, las soluciones serán reales.

−

−

− ≥

191


iii) Sin embargo, la ecuaci´ on algebraica de tercer grado (o ecuación cúbica), que puede escribirse como 3

2

x + ax + bx + c = 0 ya no es tan simple de resolver como las dos anteriores. Baste decir que requirió de profundas consideraciones y que resistió a todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo pudo resolverse a principios de los 1500 ′ s (en la era del Renacimiento en ´ Italia) por el matemático italiano Scipio del Ferro. Este, siguiendo la costumbre de su tiempo, no publicó sus descubrimientos y sólo se los comunicó a uno de sus estudiantes. Despu´ es de la muerte de del Ferro, este estudiante retó a uno de los m´ as grandes matemáticos italianos de la época, Tartaglia [1500-1557], a proponer una solución a la ecuación de tercer grado. Este ´ ultimo aceptó el reto, y encontró un m´ etodo para resolver cualquier ecuaci´ on cúbica de la forma x3 + px + q = 0. En Milán, Cardano [1501-1576], sabiendo de los hallazgos de Tartaglia, le pidió a éste que le revelara el m´ etodo, a lo cual Tartaglia finalmente accedió con la condición de que Cardano lo mantuviera en secreto. Cardano, por el contrario, publicó el resultado de Tartaglia en su Ars Magna . As´ ı, la fórmula para la solución de la ecuación cúbica, que se conoce como F´ ormula de Cardano, deber´ıa ser llamada, justamente, Fórmula de Tartaglia. El siguiente es, en forma moderna, el método utilizado por Tartaglia para resolver la ecuación cúbica. Consideremos, de nuevo, la ecuación de tercer grado x3 + ax2 + bx += 0c

−

(1) a . Sustituyendo esta última expresión en (1) 3

y hagamos x = y obtenemos a 3 a 2 a y +a y +b y +c 3 3 3 2 3 a a a a a = y 3 3 y 2 + 3y + a(y 2 2y + 32 3 3 3 3 a a 3 a = y3 y + 2 b + by + c 3 3 3 a2 a a 2 3 =y b y+ 2 b +c= 0 3 3 3

−  − −    −   −  − − −  −   − 

−

2

)+ b y

a 3

 −

+c

192


que es una ecuación de la forma y 3 + py + 0= q donde p =

  − − a2

3 resolver la ecuación

b

y q =

(2)

−

a a 2 3 3

2

b + c. Ahora: para

y 3 + py + q = 0 p hagamos, en (2), y = u + v y uv = . Entonces obtenemos 3

−

(u + v)3 + p(u + v) + q = 0 ó u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0 ó u3 + v 3 + q = 0

pues ( 3 uv + p = 0)

As´ı, tendremos que u, v deben satisfacer u3 + v 3 = u3 v 3 =

−q 3

p − 27

y, consecuentemente,u 3 y v 3 son las ra´ıces de la ecuaci´ on cuadrática p3 z 2 + qz 0= (3) 27 Resolviendo (3) se tiene que

−

u3 = v3 =

  − − −2q + q 2

q2 p3 + 4 27 q2 p3 + 4 27

y, hemos as´ı arribado a la F´ ormula de Cardano para una ra´ız de la ecuación cúbica dada por la ecuación (2): yTartaglia =

  − 3

q + 2

q2 p3 + + 4 27

  − − 3

q 2

q2 p3 + 4 27

193


Más adelante veremos que, entonces, es inmediato obtener las otras ra´ıces de la ecuaci´ on cúbica (2). Pasar de all´ı a las ra´ıces de la ecuaci´ on cúbica general, es directo mediante la sustitución x = y

− a3 .

iv) Poco después de que Tartaglia resolviera la ecuaci´ on de tercer grado, Ferrari [1522-1565] resolvió la ecuaci´ on algebraica de cuarto grado (o ecuación cuártica) x4 + ax3 + bx2 + cx += 0d

(4)

Y lo hizo de la siguiente forma: Re-escribamos (4) as´ı: x4 + ax3 =

−bx2 − cx − d

a2 x2 ; Entonces tendremos a la izquierda 4

y sumemos a ambos lados un cuadrado perfecto:

2



x2 + ax 2

a 4

  − − −     −   −  − 2

=

b x2

cx

d

ax y2 y sumando a ambos lados x2 + y + , donde y es una nueva 2 4 variable, se tiene otro cuadrado perfecto:



x2 +

ax y + 2 2

2

a2 4

=

b + y x2 +

ay 2

c x+

y2 4

d

y se ha reducido el problema a uno con dos inc´ ognitas. Ahora: si seleccionamos y tal que satisfaga la ecuación cúbica

 −−  ay 2

c

2

4

a2 4

−b+y

 −  y2 4

d =0

(5)

entonces la segunda parte de la ecuaci´ on (4) será un cuadrado completo:



x2 +

ax y + 2 2

  2

=

a2 4

−b+y

2

  −  x+

ay 4

c 2

(6)

194


y as´ı x2 +

ax

+

y

a2

=

ay

b+y x+

c

2 2 4 4 2 y si conocemos y, entonces de (6) obtenemos las cuatro soluciones buscadas. Esta y se puede encontrar, si es necesario, resolviendo, mediante la fórmula de Cardano, la ecuación (5).

±



  − 

−

Ejemplo 30. Encontremos, mediante la fórmula de Cardano, una ra´ız de la ecuaci´ on de tercer grado x3 + 2x2 + x 9 = 0

−

Soluci´ on. Podemos escribir la ecuación x3 + 2x2 + x 9 = 0 de la forma y 3 + py + q = 0. Según lo anterior, para ello debemos encontrar p y q como allá, y esto lo hacemos recordando las igualdades (2) de arriba: Como a = 2, b = 1, c = 9 entonces

−

−

 − − − −    −     − − p=

q=

a a 2 3 3

a2 3

−

2

b =

b +c=

(

4 3

2 2 2 3 3

1) =

1 3

2

1

9=

− 245 27

Encontremos ahora las ra´ıces u 3 y v 3 de la ecuación cuadrática z 2 + qz p3 1 245 = 0. Estas son, para p = yq= : 27 3 27

−

u3 =

− q2 +

y

−

−



q2 p3 + = 9· 07 4 27

2

3

p − 2q − q4 + 27 = 0· 00015 Tenemos entonces que y = √9· 07 + √0· 00015 = 2 · 1390345, y, por tanto, a 2 x = y − = y − = 1· 47236786. Las otras dos ra´ıces de la ecuaci´ on 3 3 v3 =

3



3

c´ ubica srcinal se pueden hallar mediante la f´ ormula cuadrática como entenderemos en la próxima sección (ver ejercicio 8, Ejercicios 8).

195


Ejemplo 31. Resolvamos la ecuación 12x4

− 56x3 + 89x2 − 56x + 12 = 0

Soluci´ on. Si dividimos esta ecuación por x 2 (¿por qué podemos hacerlo?) obtenemos



12 x2 +

1 x2

−   56 x +

1 x

+89=0

1 1 = w se tendrá que x 2 + 2 = w 2 x x de (7) se tendrá que y haciendo x +

12(w2 5

− 2) − 56w + 89 = 0 13

(7)

− 2, y, por lo tanto, 1

5 13

Y as´ı se tiene que w = 2 ó w = 6 . Reemplazando x + x = w = 2 , 6 , tendremos que x = 2,

1 3 2 , , . 2 2 3

Nota 4. As´ ı era como resolv´ ıan los matem´ aticos italianos las ecuaciones de tercer y cuarto grado en los 1500’s. Este éxito produjo un gran efecto: era

la primera vez que la ciencia moderna hab´ıa descubierto algo verdaderamente nuevo que los antiguos no sab´ıan. Hasta entonces, sobre todo en la Edad Media, el prop´ osito de los matemáticos de Occidente hab´ıa sido, principalmente, entender el trabajo de los antiguos. Pero ahora, finalmente, se hab´ıan conquistado terrenos imposibles para ellos. Y esto suced´ıa en los 1500’s, más de un siglo antes de la invenci´ on de nuevas ramas de las matemáticas como la geometr´ ıa anal´ıtica y el c´ alculo diferencial e integral que, finalmente, afirmaron el despegue de la nueva ciencia. Despu´ es de estos éxitos de los italianos, no existi´ o matemático importante que no intentara extender sus logros resolviendo las ecuaciones de quinto, sexto y superiores grados de forma an´ aloga a lo hecho para

196


las de segundo, tercero y cuarto. Por ejemplo, un importante algebrista del siglo XVII, Tschirnhansen [1651-1708], cre´ıa haber encontrado un m´ etodo general de soluci´ on de la ecuación de quinto grado basado en la transformación de una ecuación a una más simple que implicaba la soluci´ on de otras ecuaciones auxiliares. Más tarde se mostrar´ ıa que este m´ etodo requer´ıa de la soluci´ on de una ecuación auxiliar de sexto grado cuya solución no se conoc´ıa. Despu´ es de tres siglos de esfuerzos por parte de muchos matemáticos, no fue sorpresa cuando en 1824 el matemático noruego Niels Heinrich Abel [1802-1829] dio prueba de que no exist´ ıa

ninguna expresión en radicales de los coeficientes de una ecuaci´ on de grado mayor o igual a 5 . As´ı, se hab´ıa demostrado que el problema de encontrar fórmulas para las soluciones de una ecuación algebraica sólo era posible si su grado era 1,2,3, ó 4. Desarrollos casi simultáneos de esta teor´ıa fueron los del matemático franc´ es Evariste Galois [1811-1832] quien obtuviera resultados en este sentido muy avanzados para su tiempo, y que vendr´ıan a jugar un papel central en el desarrollo del álgebra moderna y, en general, en las matemáticas de hoy.

c).

Polinomios

Conectados ´ıntimamente con las ecuaciones algebraicas (y, por tanto, con sus soluciones) están los polinomios, que son expresiones de la forma p(x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +



··· + an−1x + an

donde a 0 = 0, a1 , a2 ,...,a n son números independientes de x, y a las que llamaremos, más expl´ ıcitamente, polinomios en x de grado n. As´ı, por ejemplo, en p(x) = 5x6 x 3 + 2x2 + x 3 tenemos que n = 6, a0 = 5, a1 = a2 = 0, a3 = 1, a4 = 2, a5 = 1, a6 = 3; y en q (x) = x5 x4 + 2x3 + 5x2 x + 1 tenemos que n = 5, a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2, a3 = 5, a4 = 1, a5 = 1.

−

I

).

−

−

−

−

−

−

−

Suma y resta de Polinomios

Si p1 (x) y p2 (x) son polinomios en x, podemos sumar (restar) p1 (x) y p2 (x) encontrando otro polinomio s(x) tal que sus t´ erminos son la suma (resta) de los t´ erminos de igual grado de los polinomios p1 (x) y p2 (x). Esto es, s(x) se obtiene sumando (restando), término a t´ ermino, los coeficientes de los t´ erminos de igual grado.

197


Ejemplo 32. i) Si p 1 (x) = 12 x4 + 8x3 5x + 1, entonces

−

−

s(x) = p 1 (x) + p2 (x) = +

− −  − 1 4 x 2

s(x) = p 1 (x) 1 =

3

− 3x2 + 2x

II

).

−

4

4 6x3 + x2 5x + 1 3 5x2 3x 3 3

−

− −

3

2

2

1

4

1

3

2

3x + 8x 5x + 3 3x 8x + 5x 1 2 4 1 3 1 2 13 = x5 x + x x + x+2 3 3 2 5 5



−

 − 

− 25 x + 3 y p2(x) = 23 x4 − 18 x3 + 15 x2 − 3x − 1,

− p2(x)

5

−

6x3 + 43 x2

−

1 4 x + 8x3 2

= 2x3 ii) Si p 1 (x) = 13 x5 + 38 x3 entonces

4 y p 2 (x) = 12 x4

3x2 + 2x

−

−

−

−

− 3x − 1



Multiplicaci´ on de polinomios

Si p1 (x) y p2 (x) son polinomios en x, podemos multiplicar p1 (x) por p2 (x) y encontrar otro polinomio m(x) tal que sus t´ erminos son la multiplicación de cada uno de los t´ erminos de p1 (x) con cada uno de los términos de p 2 (x). Ejemplo 33. i) Si p 1 (x) = 5x2 + 3x y p 2 (x) = 3x3 2

− 2x2 + x − 4 entonces 3

2

m(x) = p 1 (x)p2 (x) = (5 x + 3x)(3x 2x + x = 5x2 (3x3 2x2 + x 4)

− 4) − − + 3x(3x3 − 2x2 + x − 4) = 15x5 − x4 − x3 − 17x2 − 12x −

198


ii) Si p 1 (x) = 12 x4 + 32 x3 + 2 y p2 (x) = 12 x4 + 2x2 1

3 1 4 x4 + x3 + 2 x + 2x2 x + 1 2 2 1 3 5 3 = x8 + x7 + x6 + x5 + x3 + 4x2 2x + 4 4 4 2 2

m(x) = p (x)p (x) = 1

III

).

2

− x + 1, entonces



2



−

−



Divisi´ on de polinomios

Si p1 (x) y p2 (x) son polinomios en x, con el grado de p1 (x) mayor o igual que el de p 2 (x), p odemos dividir p 1 (x) por p 2 (x) encontrando otros polinomios q (x) y r(x) tales que p1 (x) = p 2 (x)q (x) + r(x) donde el grado de r(x) es inferior al de p2 (x). Al polinomio q (x) se le conoce como cociente, y al polinomio r(x) como residuo. Ejemplo 34. i) En la igualdad x3 + 2x2 3x 4 = (2 x 1)(x2 + 52 x 74 ) 39 8 se tiene p 1 (x) = x 3 + 2x2 3x 4; p 2 (x) = 2x 1; q (x) = x 2 + 52 x 74 ; r(x) = 39 8 , como el lector puede comprobar.

− − − −

−

−

− −

−

−

ii) En la igualdad 4 x2 + 11x + 10 = 4( x2 2x + 3) + (19 x 2) se tiene que p1 (x) = 4x2 + 11x + 10; p2 (x) = x 2 2x + 3; q (x) = 4; r(x) = 19 x 2, como el lector puede tambi´ en comprobar.

−

−

−

−

iii) Dividiendo el polinomio 2x4 + 3x3

− x − 3 entre x + 2, obtenemos q (x) = 2x3 − x2 + 2x − 5

y el residuo es r(x) = 7 como fácilmente se comprueba. iv) Dividiendo el polinomio 3x3

5x2 + 3x

−

q (x) = 3x2

1 entre x

−

− 2x + 1

1, obtenemos

−

y el residuo es r(x) = 0, como el lector puede comprobar.

199


Ejemplo 35. Dividamos p 1 (x) = x 4

− 45x2 + 22x − 5 entre p 2(x) = x − 7.

Soluci´ on. i) Dispongamos inicialmente los p olinomios en la siguiente forma: x4

− 0x3 − 45x2 + 22x − 5 |x − 7

ii) Tomamos ahora x elevada a la potencia, tal que multiplicada por la x del divisor x 7, nos arroje el t´ ermino x 4 del dividendo x 4 45x2 +22x 5. Este t´ ermino buscado es x3 . Despu´ es, multiplicamos x3 por x 7 y el resultado lo colocamos, con signos contrarios, debajo del dividendo, y sumamos los términos que aparecen en las dos filas a la izquierda; as´ı:

−

− −

x4

− x4

−

−0x3 −45x2

22x

−5 | xx−3 7

−45x2

22x

−5

+7x3 7x3

iii) Ahora repetimos el proceso co n 7 x3 45x2 + 22x 5 en lugar del dividendo srcinal x 4 45x2 + 22x 5, y se obtiene, que

− −

−

x4

− x4

−0x3 −45x2

+22x

−45x22

+22x

+7x3 7x3 7x3

−

+49x 4x2

+22x

−

−5 x|3x+−7x72 −5 −5

iv) Una vez más, repetimos la operación anterior con 4x2 + 22x lugar de 7 x3 4x2 + 22x 5, y se tiene que x4 x4

−

− − −0x3 −45x2

+22x

+7x3 7x3

−7x3

−45x22

+22x

−

+22x +28x 50x

+49x 4x2 4x2

−5 | x3 +x7x−27+ 4x −5 −5 −5

− 5 en

200


v) Y finalizamos reiterando la op eración anterior, ahora con 50 x en lugar de 4 x2 + 22x 5:

−

x4

−

−0x3 −45x2

x4

+22x

−5 | x3 + 7xx2 −+ 74x + 50

−45x2

+22x

−

+22x 28x 50x 50x

−5 −5 −5

+7x3 7x3

−7x3

+49x2 4x2 4x2

−

−5

+350 345

Por lo tanto, q (x) = x 3 + 7x2 + 4x + 50 y r(x) = 345; es decir, x4

− 45x2 + 22x − 5 = (x − 7)(x3 + 7x2 + 4x + 50) + 345

Ejemplo 36. Dividamos p1 (x) = x 5

− 5x4 + 2x + 8 entre p2(x) = x2 + 7x − 9

Soluci´ on. i) Dispongamos inicialmente los p olinomios en la siguiente forma: x5

− 5x4 + 2x + 8 |x2 + 7x − 9

ii) Tomamos ahora x elevada a la potencia tal, que multiplicada por la x2 del divisor x2 +7x 9, nos arroje el t´ ermino x5 del dividendo x5 5x4 + 2x + 8. Este t´ ermino buscado es x 3 . Despu´ es, multiplicamos x3 por x2 +7x 9 y el resultado lo colocamos, con signos contrarios, debajo del dividendo, y sumamos los términos que aparecen en las dos filas a la izquierda; as´ı:

−

−

−

x5

−x5

−5x4 −7x4 −12x4

0x3

0x2

2x

8

9x3 9x3

0x2

2x

8

| x2 + 7x − 9 x3

201


iii) Ahora repetimos el proceso con 12x4 + 9x3 + 2x + 8 en lugar del dividendo srcinal x 5 5x4 + 2x + 8, y se tiene que

−

−

−12x4 −12x4

9x3

0x2

2x

+8

84x3 93x3

−108x2 −108x2

2x

8

| x23 + 7x −2 9 x − 12x

iv) De nuevo, repetimos la operación anterior y llegamos a que 93x3

−108x2 −651x2 −759x2

−93x3

2x

8

837x 839x

8

| x2 + 7x − 9 − 12x2 + 93x

x3

v) Y finalizamos reiterando la operación anterior, 2

759x2

−759x

839x

−6831 −6823

5313x 6152x

Por lo tanto, q (x) = x3 decir, x5

+8

x3

| −

12x2

x2 + 7x 9 + 93x 759

−−

− 12x2 + 93x − 759 y r(x) = 6152 x − 6823; es

− 5x4 + 2x + 8 = ( x2 + 7x − 9)(x3 − 12x2 + 93x − 759)+6152 x − 6823

Seguimos adelante, presentando uno de los teoremas más importantes en el estudio de los polinomios y, en general, en el estudio de las ecuaciones algebraicas: Teorema 1. (Teorema del residuo)

Si un polinomio p(x) se divide por x a (para a fijo) entonces el residuo de la división de p(x) por x a es p(a).

−

−

Demostraci´ on En efecto, puesto que existen q (x) y r(x) tales que p(x) = (x

− a)q(x) + r(x)

202


entonces, en particular, para x = a, se tiene que p(a) = r(a) Pero como el grado de r(x) es menor que 1, entonces r(x) = r es constante; as´ı p(a) = r  En este punto ser´ıa interesante que, a manera de ejercicio, el lector corroborara este teorema mediante el ejemplo 35, probando que si reemplazamos la x por 7 en x4 45x2 + 22x 5 obtenemos el residuo 345. Inmediatamente, del teorema 1 se obtiene un resultado fundamental para la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas:

−

−

Corolario 1. ( Teorema del factor ) p(a) = 0 si, y sólo si, x a es un factor de p(x).

−

Definici´ on 3. (Ra´ız de un polinomio) Si consideramos la curva que representa en coordenadas rectangulares al polinomio p(x) = a 0 xn + a1 xn−1 +

··· + an−1x + an

entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, es decir, aquellos a0 donde p(a0 ) = 0 se llaman las ra´ ıces reales de la ecuación polinomial p(x) = 0. Por ejemplo, la gráfica de p(x) = x 3 3x + 1 (figura 68), y la gráfica de p(x) = x 4 + x3 4x2 + 4x 1 (figura 69) ilustran la localización de sus ra´ ıces.

−

−

− y

Ra´ız

a´ıces R x

Figura 68: Ra´ıces de p(x) = x3

− 3x + 1

203


Ra´ız

Ra´ız y

x Ra´ız

Figura 69: Ra´ıces de p(x) = x4 + x3

2

− 4x

+ 4x

−1

Teorema 2.

Un polinomio de grado n no puede tener más de n ra´ ıces. Demostraci´ on

−

En efecto, si un polinomio p(x) de grado n es divisible por ( x a) p(x) entonces es un polinomio de grado n 1, y el proceso se repetir´ıa. x a 

−

−

Ejemplo 37. a) x = 3 es una ra´ız de p(x) = x 3 9 = 27 18 9 = 0

− −

− 2x2 − 9 pues p(3) = (3) 3 − 2(3)2 −

b) Un polinomio cuyas tres ra´ıces son 2, 12 , 1, es el polinomio de grado 4, p(x) = (x 2)2 (x 12 )(x + 1).

−

−

−

Teorema 3.

Si a + ib es ra´ız de la ecuación polinomial entonces su conjugado a también es ra´ız de la ecuaci´ on.

− ib

Demostraci´ on En otro caso, el polinomio tendr´ıa números complejos como coeficientes. 

Ejemplo 38. i) En la ecuación polinomial x2 + 1 = 0 las ra´ıces son x = i, x =

−i.

204


ii) Para hallar una ecuación polinomial cuyas únicas ra´ıces son 2 + 3i y 2 3i escribimos (x (2+3 i))(x (2 3i)) = 0; as´ı, la ecuaci´ on es

−

−

− −

x2

− 4x + 13 = 0

Corolario 2.

Todo polinomio puede expresarse como el producto de factores lineales y cuadráticos. Cada factor lineal es de la forma x a donde a es una ra´ız real; y cada factor cuadr´ atico es de la forma x2 + bx + c con ra´ ıces conjugadas, es decir, de la forma z = d + ie y z = d ie.

−

−

Ejemplo 39. Un polinomio cuya única ra´ız real es x = 1 y las otras dos son los números complejos x = 2 + 3 i, x = 2 3i, es:

−

− 1)(x − (2 + 3i))(x − (2 − 3i)) = (x − 1)(x2 − 4x + 13) = x 3 − 5x2 + 17x − 13

p(x) = (x

Teorema 4. (Ra´ıces racionales) p es una ra´ız racional de la ecuación polinomial con coeficientes enq teros a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0 con a0 = 0, an = 0 entonces p divide a an y q divide a a0 .

Si





Demostraci´ on. p En efecto, como es una ra´ız de la ecuación polinomial dada, entonces q podemos escribir a 0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = (qx p)(b0 xn−1 + b1 xn−2 + ... + bn ); donde todos los b′i s son enteros; as´ı, a0 = qb0 y an = p bn

−

−

y, por tanto, q divide a a 0 y p divide a an .



Ejemplo 40. Encontremos las ra´ıces racionales de la ecuaci´ on 3x5 4 = 0.

8x4 + x2 + 12x +

−

Soluci´ on. Seg´ un el teorema 4, las únicas posibles ra´ıces racionales son 1, 2, 4, 1 2 4 on, notamos que, de estas, 2 y 13 son las únicas 3 , 3 , 3 . Por inspecci´

± ± ±

−

± ± ±

205


ra´ıces. Sin embargo, esta ecuaci´ on tiene una caracter´ıstica particular: la ra´ız 2 tiene doble multiplicidad. ¿Como lo notamos? Primero, dividamos 3x5 8x4 + x2 + 12x + 4 = 0 por ( x 2)(3x + 1) = 3 x2 5x 2 as´ ı:

−

− 3x5

−3x5 −3x4 3x4

8x4

+x2

+5x4 +2x3 5x3 3x3 3x3

+2x3 +x2 2x2 x2 5x2 6x2 6x2

− − −

− − − −

+12x

+4

+12x

+4

+12x 2x +10x 10x 0

+4

− −

− − − −2 − − −2

3x2 5x x3 x2 x

|

+4 4

−

De nuevo, por el teorema 4, las ´ unicas posibles ra´ıces racionales del cociente x3 x2 x 2 = 0 son 1 y 2. Y de estas, s´ olo 2 es ra´ız.

− − −3 2 ± ± Ahora: si dividimos x − x − x − 2 por x − 2 obtenemos x3 −x2 −x −2 |x2 + xx −+ 12 −x3 +2x2 x2 −x −2 −x2 +2x x −2 −x +2 0

Y, finalmente, las ra´ıces de x 2 +x+1 = 0 son encontrado las cinco ra´ıces:

−

1 , 2, 2, 3

−1 ± √3i. Con esto hemos

−1 ± √3i .

2

2

Teorema 5. (Relaci´ on coeficientes-ra´ ıces) , rn , son las n ra´ ıces de

Si r1 , r2 ,

···

xn + a 1 xn − 1 + a 2 xn − 2 +

··· + an−1x + an = 0

206


entonces a1 =

−(r1 + ··· + rn)

a2 = r 1 r2 + r1 r3 + a3 = .

r2 r3 +

+ rn

1 rn

−(r1r2r3 + r1r···2r4 + ··· +···rn−2r−n−1rn )

. . an = ( 1)n r1 r2

−

··· rn

Demostraci´ on El resultado se obtiene de la siguiente igualdad entre polinomios: xn +a1 xn−1 +a2 xn−2 +

···+an−1x+an = (x−r1)(x−r2) ··· (x−rn−1)(x−rn ) = x n −(r1 +···+rn )xn−1 +(r1 r2 +r1 r3 +...+rn−1 rn )xn−2 +···+(−1)n r1 r2 ··· rn 

Ejemplo 41. i) Resolvamos la ecuación x 3 + 8x2 + 5x de las ra´ıces es doble.

− 50 = 0 si sabemos que una

ii) Caractericemos las ra´ıces de la ecuaci´ on 3x3

− 6x + 2 = 0. iii) Dos de las ra´ıces de 2x3 + 3x2 − 23x − 12 = 0 son 3 y −4; ¿Cuál es la otra?

Soluci´ on i) Si r1 , r2 son las ra´ıces, entonces, por el teorema anterior, 2r1 +r2 = 8, r12 +2r1 r2 = 5, r 12 r2 = 50. Resolviendo obtenemos que r 1 = 5 y r 2 = 2.

−

−

ii) Si r 1 , r2 , r3 son las ra´ıces, entonces, por el teorema anterior, (r1 + r2 ) = 0; r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = 2; r1 r2 r3 = 23 . (¿Qu´ e m´ as podr´ıa decirse de r1 , r2 y r3 ?).

−

iii) La restante es

− 32 − (3 + (−4)) = − 12 .

−

−

207


Ejemplo 42. Si r 1 y r 2 son las ra´ıces de x 2

− px + q = 0, calculemos el valor de

r 1 + r2

y el de r 13 + r23 . Soluci´ on. i) Puesto que r1 + r2 = p, r1 r2 = q entonces r12 + r22 = (r1 + r 2 )2 2r1 r2 = p 2 2q

−

ii) Ahora: ( r1 )3 + (r2 )3 = (r1 + r 2 )(r12 + r22 3r1 r2 ] = p(p2 3q ) 

−

−

− r1r2) = p[(r1 + r2)2 −

Y ahora presentamos uno de los resultados más importantes, no sólo del álgebra o de la geometr´ ıa anal´ıtica, sino de todas las matem´ aticas: Teorema 6. (Teorema fundamental del ´ algebra)

Cualquier ecuación algebraica z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + an = 0

con coeficientes enteros a1 ,...,a n tiene exactamente n ra´ıces reales o complejas (no necesariamente distintas todas). 18 Ejemplo 43. La ecuación algebraica x3 2x2 4x + 8 = ( x 2)2 (x + 2) = 0 tiene a x = 2 como ra´ız doble, y a x = 2 como ra´ız simple, lo que da, en total, tres ra´ıces ¿Podr´ ıa el lector dibujar este polinomio?

−

− −

−

Ejemplo 44. 2 2 La ecuación algebraica x3 + √ √3x 3x 14 = ( x 2)(x + 5x+7) = 0 tiene 5+ −3 5− −3 3 ra´ıces: 2, y ¿Podr´ıa el lector dibujar este polinomio?. 2 2

−

− −

−

−

Ejemplo 45. 4

3

2

2

La 2 x ra´ıces: 9x + 2 =0.41. (2 x Una 1)(xgráfica 2)(x del 1 10x + x 2x ecuaci´ 1) =on0 algebraica tiene cuatro 2 , 2, 2 .41 y polinomio ser´ıa conveniente en este punto.

−

−

− −

−

−

−

18 La demostraci´ on de este inmenso resultado requiere de conocimientos en an´ alisis de variable compleja, y está (mucho) más allá de los alcances de este texto.

208


Ejemplo 46. (Ra´ıces de la unidad) Sabemos que si x = r(cos θ + i sen θ) es la forma polar de un n´ umero complejo, entonces x n = r n (cos nθ + i sen nθ) y, por tanto, las n soluciones de la ecuación x n = 1 son de la forma x = cos 2πk n + i sen 2πk n con k = 0, 1, 2, , n 1. Por ejemplo, si n = 3, las tres soluciones de la ecuación 2π algebraica x3 = 1 son x1 = 1, x2 = cos 2π 3 + i sen 3 = ( 0.5) + i(0.87), 4π 4π x3 = cos 3 + i sen 3 = ( 0.5) + i( 0.87) (ver figura 70).

··· −

−

−

−

En general, las ra´ıces de la unidad forman un pol´ıgono regular de n lados, con cada v´ ertice sobre la circunferencia unitaria. y x2 2π 3 2π 3

x1

x

x3 Figura 70: Ra´ıces de x 3 = 1

Ejemplo 47. (Solución de otras ecuaciones) Ocurre, en ocasiones, que una ecuaci´ on con apariencia no-polinómica puede todav´ıa resolverse mediante m´ etodos como los estudiados en esta secci´ on para ecuaciones algebraicas, recurriendo a una sustituci´ on adecuada, o a algún otro artificio. Veamos un ejemplo de esto. Para resolver la ecuación x2

− 5x + 2

− − x2

5x + 3 = 12

sumamos 3 a ambos miembros de la igualdad para obtener x2

− 5x + 3 + 2 x2 5x + 3 = 15 √ y as´ı, haciendo w = x2 − 5x + 3, tener que nuestra ecuación srcinal se transforma en

209


w2 + 2w = 15 cuyas soluciones son w = 3 ó w =



x2

− 5x + 3 = 3

−5. As´ı,

ó



x2

− 5x + 3 = −5

(1)

(la segunda igualdad es posible puesto que no podemos descartar las soluciones complejas). Elevando al cuadrado ambas ecuaciones √ en (1) y resolviendo, se obtiene x = 6 ó x = 1 de la primera, y x = 5± 2 113de la segunda. Sin embargo, llevando estas soluciones a la ecuaci´ on srcinal, encontramos que sólo x = 6 y x = 1 la satisfacen, y estas son sus u ´ nicas soluciones. (¿Podr´ıa el lector decir por qu´ e se “filtraron” otros números que no son ra´ıces de la ecuaci´ on srcinal?)

−

−

Ejercicios 8 1. Calcule el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: a) (i) d)

b) (1+

√ ( 3 + 2i)

g) (5 + 3 i)

e) (

i)

√3

h) (6+4

−i) √ f) ( − 3 + i) i) (7 − 4i)

c) (

− i) i)

2. Escriba en forma comple ja a + ib: a)

c)

  1+i 2 3i

− 3−i

4 + 2i

 

b)

 

d)

1+i 1 i

1 1+i

3

−

3. Escriba todos los números complejos de los ejercicios 1, 2 anteriores, en representación polar. 4.

a) Resuelva la ecuación cuadrática 3x2 + 5x

− 1 = 0.

210


1 b) Calcule los números x tales que sumando a su rec´ıproco, , x da como resultado 10. 2

c) Muestre que la ecuaci´ on x 10x + a = 0 tiene dos ra´ıces reales distintas si, y sólo si, a < 25.

−

5. Multiplique, en cada caso, los siguientes polinomios: a) p1 (x) = 5x3

− 3x2 + 2x + 1, p2(x) = 3x2 + x − 2 b) p1 (x) = − 2x + 1, p2(x) = 3x3 − 2x2 + 5 c) p1 (x) = x 4 − 2x2 , p 2 (x) = 2x5 + x4 + x3 − x2 + 2x − 1 7x2

6.

a) Divida: i) p1 (x) = 5x4 + 6x + 2 por p 2 (x) = x + 4 ii) p1 (x) = x 4 4x3 + 6x2 4x + 1 por p2 (x) = 3x 2 iii) p1 (x) = 53 x5 + 6x4 2x3 x 2 2x + 4 por p2 (x) = x2 + 2x 1

−

−

−

−

−

− −

b) Si p 1 (x) = 4x4 (a 1)x3 + ax2 6x + 1 se puede divi dir por p2 (x) = 2x 1, encuentre el valor de a.

− − −

−

7. Encuentre, en cada caso, una ecuaci ón algebraica cuyas ra´ıces son:

−

1 b) 3, 4, , 2

−

d)

a) a, b, a + b c) 1, 1, 0

− 13 , 0

1 , 3, 2, b 3

8. Halle las tres ra´ıces de la ecuaci´ on cúbica x3 + 3x2 2x 4 = 0 [Indicación: No se apresure a utilizar la f´ ormula de Cardano: la ecuaci´ on tiene una ra´ız muy simple].

− −

9. Cada una de las sigu ientes ecuac iones tiene una o más ra´ıces racionales; calc´ ulelas en cada caso: a) x3 x2 14x + 24 = 0 b) 3x4 + 11x3 + 9x2 + 11x + 6 = 0

− −

c) x5 d)

− 7x4 + 10x3 + 18x2 − 27x − 27 = 0 − 17x3 + 25x2 + 74x − 120 = 0

2x4

211


e) 4x5

− 9x3 + 6x2 − 13x + 6 = 0 f) 5x6 − 7x5 − 8x4 − x3 + 7x2 + 8x − 4 = 0 g) x4 − 39x2 + 46x − 168 = 0 10. Resuelva completamente las ecuaciones siguientes: a) x4 =1

x5 =2

b)

c)

x6 = 3

11. Resuelva las siguientes ecuaciones:

√

a) 6 x = b) 8 + 9 c)



x 1

√5x − 13 (3x − 1)(x − 2) = 3 x2 − 7x 1−x 13 + =

x

x

6

− 

12. Encuentre dos números cuya suma sea 1, y cuyo producto sea

−72.

*14 Un terreno rectangular, con uno de sus lados a la orilla de un lago, debe cercarse con 300 metros de malla. ¿Qué longitudes deben tener sus lados para que el ´ area que quede encerrada sea lo m´ as grande posible? [Indicación: Usted podr´ıa llegar a la igualdad 2a + b = 300 donde a y b son los lados del terreno ( b es el lado que est´ a sobre el lago). Si busca maximizar el área ab, tendrá que maximizar a(300 2a) = 2[(75) 2 (a 75) 2 ] ¿Qu´ e a escoger´ıa usted?]

−

− −

*15 ¿Será que entre todos los rectángulos de per´ımetro fijo, es el cuadrado el que encierra la mayor área? *16 ¿Será que entre todos los rectángulos inscritos en un c´ırculo dado, es el cuadrado el de mayor área? 19 19 Para los estudiantes interesados en la teor´ıa del teorema fundamental del ´ algebra, recomendamos “Spivak, Michael (1968), Calculus, Editorial Revert´ e”.

212

9.


Superficies

Por u ´ ltimo en esta lección, una vez descritas algunas curvas fundamentales en el plano (curvas trigonom´ etricas, circunferencias, elipses, parábolas, hipérbolas y polinomios), pasamos a describir las superficies en el espacio. Veamos algunas de ellas, pero antes introduzcamos su definición. Una ecuación f (x,y,z ) = 0, donde x y y son la abscisa y la ordenada, respectivamente, y z la “altura”, representará cierta superficie que puede obtenerse levantando perpendiculares de “altura” z sobre los puntos (x, y) del plano cartesiano OXY . i) La ecuación de primer grado en tres variables Ax+By +Cz+D = 0 representa, en general, un plano en el espacio (figura 71). z

y x Figura 71: Plano en el espacio

ii) La superficie que representa la ecuaci´ on x2 +y 2 +z 2 = r 2 representa una esfera de radio r y centro en (0 , 0, 0) (figura 72). z

x

y Figura 72: Esfera

iii) La ecuación

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 es una elipsoide (figura 73). a2 b c

213

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica z

y

x Figura 73: Elipsoide

iv) La ecuación (figura 74).

x2 y2 + 2 2 a b

2

− zc2

= 1 es un

hiperboloide de una hoja

z

y

x

Figura 74: Hiperboloide de una hoja

v) La ecuación (figura 75).

x2 a2

2

2

− yb2 − zc2 = 1 es un

hiperboloide de dos hojas

z

x

y

Figura 75: Hiperboloide de dos hojas

vi) La superficie que representa la ecuaci´ on z = xy aparece en la figura 76.

214

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos z x

y Figura 76: Silla de montar z = xy

vii) La ecuación

x2 y 2 + a2 b2

2

− zc2 = 0 es un

cono de dos hojas (figura 77).

z

y x Figura 77: Cono de dos hojas

viii) La ecuación z =

x2 a2

+

y2 es un paraboloide el´ ıptico (figura 78). b2 z

x

y

Figura 78: Paraboloide el´ıptico

x2 y2 ix) La ecuación z = 2 representa un paraboloide hiperbólico a b2 (que es similar a la silla de montar (¿Por qu´ e? (ver ejercicio complementario 28 adelante))) (figura 79).

−

215

Lecci´ on 3: geometr´ıa anal´ıtica z

y

x

Figura 79: Paraboloide hiperbólico

x) La ecuación

x2 y 2 + 2 = 1 representa un cilindro (figura 80). a2 b z

x

y

Figura 80: Cilindro

Nota 5. Aunque Descartes s´ı mencionaba la geometr´ ıa anal´ıtica de s´ olidos (superficies), realmente no avanzó en esto. El primer trabajo sobre geometr´ıa anal´ıtica de tres dimensiones fue escrito por Antoine Parent en 1700. Por su parte, Alexis C. Clairaut (1729) fue el primero en escribir sobre curvas de “doble curvatura”. El tercero en contribuir de forma importante en este punto fue Euler (1748), con cuyo trabajo el an´ alisis de superficies alcanzó un mayor nivel. Por ejemplo, Euler clasificó las superficies de segundo orden Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 inspirado, evidentemente, en la clasificación que los griegos hab´ıan hecho de las cónicas.20 20 Si desea ampliar su estudio sobre el tema de superficies, recomendamos el ya citado texto “Smith, Salkover y Justice (1959), Analytic Geometry, Wiley”.

216


Ejercicios 9 1. Dibujar mediante computador y un software adecuado, las siguientes superficies: a) 3x + 2y + z = 1 (plano ) b) 5x x2 c) 9

− 3y + 3z = 7 (plano) 2 − y4 = 1 (cilindro hiperbólico)

2. Dibujar en computador, mediante algún software apropiado, ejemplos concretos de las superficies indicadas en esta sección 9, y compruebe la forma (sencilla) de la figura presentada en el texto.

10.

Nota final

Despu´ s de Descartes y Fermat, un paso desarrollo de la egeometr´ ıa anal´ıtica fue la aparici´ on importante en 1748 del en ya el comentado Introduction to Algebra de Euler. All´ı, entre otras cosas, relaciona la geometr´ ıa anal´ıtica con la teor´ıa de funciones y otras ramas del an´ alisis, haciendo un estudio detallado de ecuaciones de segundo orden y ordenes mayores. El siguiente paso relevante de la geometr´ıa anal´ıtica fue el desarrollo de la teor´ıa de vectores por parte de Lagrange en 1773. All´ı, como dijimos, Lagrange “aritmetizó” fuerzas, velocidades y aceleraciones de la forma en que Descartes y Fermat hab´ıan aritmetizado puntos. Luego vendr´ıa el desarrollo de la geometr´ ıa anal´ıtica del espacio que, como mencionamos en la Nota 5 anterior, hab´ıa comenzado Clairaut tambi´ en en la primera mitad del siglo XVIII. El estudio de rectas, planos, superficies, “transformaciones afines y ortogonales” de éstos, e invariantes bajo estos tipos de transformaciones, convergir´ıa, en particular, en la geometr´ ıa proyectiva ; es decir, en la geometr´ıa de los objetos vistos en proyecci´ on de perspectiva, que fuera utilizada emp´ıricamente desde tiempos remotos por los artistas en sus “leyes de perspectiva”. La geometr´ıa proyectiva fue pensada a comienzos del siglo XIX como una extensión de la geometr´ıa euclidiana, y fue Jean V. Poncelet [1788-1867] el primero en visualizar esta posibilidad pues ahora probar resultados geom´ etricos se


217

hab´ıa facilitado notablemente mediante los métodos algebraicos de la geometr´ıa anal´ıtica introducidos por Descartes y Fermat m´ as de cien años o notablemente atrás. Desde entonces, la geometr´ıa anal´ıtica se desarroll´ y produjo muchas nuevas ideas que abrir´ıan el espectro de estudios matemáticos en áreas tales como el álgebra lineal, el análisis funcional y la geometr´ ıa algebraica. Sin embargo, a comienzos del siglo XIX ninguna rama de las matem´ aticas estaba segura desde el punto de vista de la l´ ogica. El sistema de los números reales, el álgebra, las geometr´ ıas no euclidianas y la geometr´ ıa proyectiva no ten´ıan fundamentaci´ on adecuada; y al cálculo diferencial e integral (y sus extensiones) le faltaba, no sólo los fundamentos lógicos de los números reales y del álgebra (que all´ı se utilizaban libremente), sino tambi´ en claridad sobre sus propios conceptos (la derivada, la integral y las series infinitas y, fundamentalmente, el concepto de ımite l´ ). Sin temor a error, podr´ıa decirse que hasta hace menos de doscientos años, nada en matemáticas ten´ıa una base s´ olidamente establecida. Inclusive, muchos matemáticos de estas épocas ni siquiera se preocupaban por encontrar una que prueba de determinado resultado: se contentaban con afirmar no completa lo probar´ıan porque estaban “seguros” de que era cierto; y además utilizaban ese resultado para inferir otros. Quizás la preocupación por los fundamentos proven´ıa de que los matemáticos se daban cuenta de que las matemáticas hab´ıan venido cambiando su morfolog´ıa: ya los conceptos no eran idealizaciones o abstracciones que part´ıan de la experiencia: los números irracionales, los números complejos, los infinitesimales, etc., no ten´ıan una base emp´ırica inmediata, sino que eran creaciones de la mente humana. Los matemáticos hab´ıan venido contribuyendo con conceptos que no eran abstra´ ıdos del mundo real y, por tanto, apelar a “verdades evidentes por s´ı mismas” que part´ıan de la experiencia no podr´ıa ser base para una axiom´ atica como la euclidiana. Pero nadie, por los 1850’s, imaginó siquiera que el objetivo de darle fundamentaci´ on a todas las matemáticas existentes ser´ıa tan dif´ıcil y sutil. Precisamente sobre este arduo proceso discutiremos en la próxima lección.

218


Ejercicios complementarios 1. Transforme a coordenadas polares cada una de las siguientes curvas: 4 a) = x

b)

c) y 2 =36 12x +

xy + 12 = 0 x2 = 12y

d)

e) (x2 + y 2 )2 = 2a2 (y 2

− x2 )

f) ay 2 = x 3

2. Muestre que la ecuación en coordenadas cartesianas de la lima¸con es (x2 + y 2 ax)2 = b 2 (x2 + y 2 )

−

3. Transforme a coordenadas cartesianas cada una de las siguientes curvas: a) r = 3 sec θ c) r = e) r =

√ 6 2 cos(θ + 45 o ) 3 2 + cos θ

b) r 2 cos2 θ

6=0

−

d) r 2 sen2 θ = f) r = 4 cos θ

−10

− sec θ

4. Encuentre la ecuación polar de la l´ınea determinada por las condiciones siguientes: a) A través del punto (2, 150o ) y formado por el ángulo de 60 o con el eje polar. π b) A trav´ es del polo y el punto (2, 30o ). R/ θ = 6 5. Encuentre la ecuación polar del c´ırculo determinado p or las condiciones dadas, y dibuje tambi´ en la figura, en los siguientes casos: a) Centro en el polo y radio 4. R/ 12 cos( θ π4 ) b) Radio 5 y tangente al eje polar en el polo. c) Centro en (6 , 45o ) y radio 6.

−

219


6. Clasifique y dibuje las cónicas siguientes: 3

a) r = 1

c)

1

b) r =

− cos θ 9 r= 4 − 5cos θ

2

d)

− √3cos θ 16 r= 3 − 5cos θ

*7. En los siguientes casos, dibuje la gráfica: (curva kappa )

a) r = tan θ

± b (concoide) c) r = a(4cos θ − sec θ) (trisectrix )

b) r = a sec θ

d) r =

a θ

(espiral hiperb´ olica)

[Indicación: Construya una tabla de valores r vs

]

* 8. Un c´ırculo de radio a gira sin deslizar sobre el eje x. Un punto P del c´ırculo inicialmente coincide con el srcen. Demostrar que las ecuaciones param´ etricas de la curva trazada por P , utilizando como parámetro el ángulo t (en radianes) a trav´ es del cual ha girado el radio a P , son: x = a(t

− sen t)

y = a(1

− cos t)

(a esta curva se le llama la cicloide ) [Indicación: En la figura 81 se puede observar que x = OQ M Q; y = a N C ].

−

−

y

y x, P( O M

)

C t N x

Q 2πa Figura 81: La cicloide

220


En el volumen III ((Optimización y dinámica) (lección 4)) probaremos, con m´ etodos del “c´ alculo de variaciones”, que la forma de la curva a lo largo de la cual debe rodar una bola para caer en el menor tiempo posible de un punto a otro es, precisamente, la

cicloide. Esta curva fue primero estudiada por Bouelles en 1501; luego atrajo la atención de Galileo en 1599 y tambi´ en la del f´ısico Christian Huygens [1629-1695] en 1673, debido a que sus propiedades se han aplicado al movimiento del p´ endulo. **9. Un c´ırculo de radio b rueda sin deslizarse sobre la parte externa de un c´ırculo de radio a y centro en el srcen O. Un punto P (x, y) del primer c´ırculo inicialmente coincide con A(a, 0). Utilizando como parámetro al ángulo t descrito por el radio-vector al centro C del c´ırculo que rueda (ver figura 82), muestre que las ecuaciones param´ etricas de la curva trazada por P son: x = (a + b)cos t

− b cos

y = (a + b)sen t

− b sen

   

a+b t b a+b b

t

[Indicación: Provisionalmente, llame t′ al ángulo OCP ] y

C ′

t

P (x, y)

t O

x

a A

Figura 82: Epicicloide

b

221


A esta curva se le llama la epicicloide, y fue reconocida por Hiparco en el año 140 a.C. al tratar el problema de los epiciclos celestes. También Desargues (1639) y Euler (1781) se interesaron en esta curva. 10.

a) Muestre que e l cociente y el res iduo de la di visión de 3 x7 x6 + 31x4 + 21x + 5 por x + 2 son, respectivamente, 3 x6 7x5 + 14x4 + 3x3 6x2 + 12x 3 y 11.

−

−

− −

b) Muestre que el cociente y el residuo de la divisi´ on de 3 x5 8x4 5x3 + 26x2 33x + 26 por x3 2x2 4x + 8 son, respectivamente, 3x2 2x + 3 y 5x + 2.

−

11.

−

−

−

−

−

−

a) Si p(x) = x 4 +16x3 +72x2 +64x 129, pruebe que el polinomio p(x 4) es x4 24x2 1.

−

−

−

−

b) Si p(x) = ax8 + bx5 + cx + d pruebe que p(x + h) p(x h) = 16axh(x6 + 7x4 h2 +7x2 h+ h6 )+2bh(5x4 +10x2 h2 +h4 )+2ch.

−

−

12. Encuentre el cociente y el residuo cuando el primer polinomio se divide por el segundo, en los siguientes casos: a) 5x4 + 6x + 2; x + 4 b) x5

− 1; 2x + 1 c) 3x4 − 5x3 − 11x2 + x − 1; x2 − 2x − 2 d) x5 − 5x4 + 7x2 − 2; x3 − 3 e) x6 − 4x3 + 8x2 − 14; x2 − 5x + 8 f) x6 + 7x4 + 9x3 − 5; 2x3 − 4x2 + 7 g) x7 + 8x2 + 7x − 11; 5 x4 − x + 3 h) x8 − 4x6 + 11x3 − 2x2 + 15; x3 + x2 − 3 i) x9 − 7x7 − 5x4 + 7x2 − 2; x5 + x4 − 3

222


13. Escriba en la forma a + bi los siguientes números complejos: a)

√

49

b)

−

√ 8√ 14 − − i−9

e)

g) (4 + 2 i)2

h) (1 + 2 i)3

i)

1 + i3 1 i

l)

c + di c di

k)

−

2)2

− √−3)(1 + √−2)

d) i13

j)

√

c) (

f) (2 +

−

4 + 6i 1+i 4 1+

√−3

14. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) x2 + 2x = 35 c) 12x2 + 56x

e) g) i)

x2 + 6x + 5 = 0

b)9

− 2)2(x − 7) = (x + 2)(x − 3)(x − 6)

− 255=0

2x + x +2=2 x+2 2x

d) (

x

x+1 +1 = x x x 1

f)

4 1 3 2 − 1 − 4 − x = x − 2 − 3 − x h) x2 − 2ax + a2 − b2 =0 j)3 x

−

x2

− 6acx + a2(9c2 − 4b2) = 0 x2 + (9a − 1)x − 3a = 0

15. Encuentre dos ente ros conse cutivos cuyo producto sea 506. 22 y 23.

R/

* 16. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) x4

− x3 − 5x2 − 7x+12=0

b)

x4 + x2 + 1 = 0

17. Resuelva, recurriendo, si lo considera conveniente, al ejemplo 46 (ra´ıces de la unidad), las siguientes ecuaciones: a) x3

−=05

c) x4 + = 10

b)

x3 + 8 = 0

d)

x4 + 2 = 0

223


* 18. Resuelva las siguientes ecuaciones: 3

3

a) 3x 2

4x 4=7

−1

c) x2 +

x2

x2

b)(

= a2 +

1 a2

d)

√x −+

4)(x2

9) = 7 x2

 −−√ − x

1

19. Resuelva simultáneamente el sistema de ecuaciones y x y 2 = 0. Lo mismo para y x3 = 1, y, x + y 3 = 1.

−

−

x= 1

− x2 = 0, y,

20. Forme la ecuación de menor grado con coeficientes enteros, en la que una de las ra´ıces sea: a)

√3 + √2i

b)

√5 − i

− √2 − √2i

c)

d)



√

2+5 6

21. Encuentre el polinomio (con coeficien tes enteros) de menor grado posible que tenga como ra´ıces 12 , 32 , 2, i.

− ±

22. Si , , son las ra´ıces de 2x3 + 3x2 ecuaci´ on cuyas ra´ ıces son: a)

− α, −β, −γ

x

1 = 0, encuentre una

− − c) α − 1, β − 1, γ − 1

* 23. Utilizando la fórmula de Cardano, resuelva la ecuación cúbica x 3 6x2 + 6x 2 = 0.

−

−

24. Determine los l´ımites entre los que puede variar p para que la ecuaci´ on: 2ax(ax + pc) + ( p2 2)c2 = 0

−

tenga ra´ıces reales (asuma a y c conocidas y no-nulas). 25.

a) Encuentre todas las ra´ıces del polinomio p(x) = x 4 86x2 176x + 105, si dos de ellas son 1 y 7.

−

− 16x3 +

*b) Encuentre todas las ra´ıces del polinomio p(x) = 6x4 29x3 + 40x2 7x 12 siendo el producto de dos de ellas igual a 2.

− −

−

26. Muestre que las dimensiones de un rectángulo cuyos lados están en una relación de 4 a 9, y cuya ´ area es igual a la de un tri´ angulo de base 84 mt y altura 42 mt, son 28 mt y 63 mt.

224


27. Calcule las dimensiones de un lote rectangular de área 360 mt 2 y cuyo per´ımetro es 80 mt. 2

** 28. En la presente lección se afirmó que para ∆ = 2(4 AC B )F + 2BDE 2E 2 A 2D 2 C , si tenemos ∆ = 0 entonces la ecuación general de segundo orden

−

−



−

Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 es: i) Una par´ abola si B 2

− 4AC = 0 − 4AC < 0 y ∆( A + C ) < 0 si B 2 − 4AC > 0

ii) Una elipse si B 2 iii) Una hipérbola

Veamos una demostración guiada de esto, y el ejercicio para el estudiante aventajado aqu´ı, es que complete los detalles faltantes de la siguiente prueba: Primero buscamos eliminar los t´ erminos de primer grado (x y y) de la ecuación de segundo orden Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Para ello, escribimos las ecuaciones de traslaci´ on de ejes x = x′ + h , y = y ′ + k y las sustituimos en la ecuaci´ on de segundo orden, para obtener que Ax′2 + Bx ′ y ′ + Cy ′2 + (2Ah + Bk + D)x′ + (Bh + 2Ck + E )y ′ + (Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F ) = 0 Pero como deseamos encontrar h y k tales que 2Ah + Bk + D = 0 , Bh + 2Ck + E = 0 entonces para resolver estas dos ecuaciones lineales, debemos tener, al menos, que B 2 4AC = 0

−



225


Es decir, podemos eliminar los t´ erminos de primer grado x y y si, y s´ olo si, B 2 4AC = 0. Y arribamos entonces a la ecuación de segundo orden transformada a nuevos ejes con srcen ( h, k)

−



Ax′2 + Bx ′ y ′ + Cy ′2 + F ′ = 0 donde F ′ = Ah2 + Bhk + Ck 2 + Dh + Ek + F . Pasamos ahora a realizar la rotación. Escribimos entonces las ecuaciones para una rotación a trav´ es de un ańgulo θ: x′ = X cos θ

− Y sen θ

, y ′ = X sen θ + Y cos θ

(¿Podr´ıa el lector corroborar estas f´ ormulas en la figura de abajo? Sólo note que x′ = OM = ON M N y que y ′ = M P = N M ′ + QP ).

−

y

′

′

′

P (x , y ) Y θ Q M

Y

X ′

θ θ O

M

N

x

′

Figura 37: Ecuaciones de rotación

Sustituyendo estas transformaciones en la ecuación cuadrática inmediatamente anterior, se obtiene que (A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen2 θ)X 2 + [B(cos2 θ sen2 θ)+2( C A)sen θ cos θ]XY + (A sen2 θ B sen θ cos θ + C cos2 θ)Y 2 + F ′ = 0

−

−

Pero como queremos que el “t´ ermino de rotación” rezca, debemos encontrar θ tal que

XY desapa-

−

B(cos2 θ

sen2 θ) + 2(C

A)sen θ cos θ = 0

− − de donde obtenemos, con un poco de trigonometr´ıa y asumiendo que A − C =  0, la igualdad tan2 θ =

B

A

−C

226


Para resumir hasta este punto, hemos podido entonces reducir la ecuaci´ on cuadrática 2

2

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 a la ecuación cuadrática (sin términos x, y ni xy ) A′ x2 + C ′ y 2 + F ′ = 0 donde A′ = A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen2 θ C ′ = A sen2 θ

− B sen θ cos θ + C cos2 θ

F ′ = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F, y (h, k) están determinadas (si B 2 h=

−

BE 2CD , 4AC B 2

tan2 θ =

− 4AC = 0) por BD − 2AE k=

−C

B2

4AC

−

B A

−

Ahora: Obs´ ervese que sumando los coeficientes de X 2 y Y 2 en la u ´ltima cuadrática se obtiene A + C = (A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ)+(A sen2 θ B sen θ cos θ+C cos2 θ)

−

Y restando los mismos coeficientes de X 2 y Y 2 se obtiene que (A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ) (A sen2 θ B sen θ cos θ+C cos2 θ) =

−

(A

−

− C )cos2 θ + B sen2 θ

lo que nos lleva, despu´ es de algunos c´ alculos trigonom´ etricos, a que (A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ) (A sen2 θ B sen θ cos θ+C cos2 θ)

−

=B



(A

−

− C )2 + 1

B y esto nos permite reducir la ecuación cuadrática Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

227


a la ecuación cuadrática y rotada

(

A+C+B



C 2 ( A− B ) +1

2

)X 2 +(

A+C

−B



C 2 ( A− B ) +1

2

)Y 2 +F ′ = 0

donde F ′ = Ah 2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F y (h, k) están determinadas (si B 2

− 4AC = 0) por BE − 2CD BD − 2AE h= , k= 4AC − B 2 4AC − B 2 i) El caso parab´ olico ocurre cuando B 2 − 4AC = 0. Para esto compruebe que B 2 − 4AC es invariante ante la rotación de ejes, ya que su valor no cambia con un giro.

ii) Cuando B 2

A+C+B

− 4AC < 0 y A + C > 0 entonces



C 2 ( A− B ) +1

2

> 0,

A+C

−B



C 2 ( A− B ) +1

2

>0

y as´ı el caso el´ıptico ocurre cuando F ′ > 0, y esto es equivalente a que ∆ = 2(4 AC B 2 )F + 2BDE 2E 2 A 2D 2 C < 0 como el lector puede comprobar. Para verificarlo ap´ oyese en el mismo argumento del caso anterior. De manera similar, si B 2 4AC < 0 y A + C < 0 entonces

−

−

−

−

−

A+C+B



C 2 ( A− B ) +1

2

< 0;

A+C

−B



C 2 ( A− B ) +1

2

<0

y as´ı el caso∆el´ ocurre F ′ < 0, es equiva2C > 0 lente a que =ıptico 2(4 AC B 2cuando )F + 2BDE 2Ey2esto A 2D como el lector puede, nuevamente, corroborar.

−

− −

−

iii) Cuando B 2 4AC > 0 se tiene el caso hiperbólico. Para esto suficiente que A′ C ′ sea negativo. ¿Por qu´ e?

−

228


Ejemplo 48. Mediante una traslación y una rotación, reduzcamos la cuadrática dada por la ecuación 4x2 4xy + 7y 2 + 12x + 6y 9 = 0, a su forma estándar.

−

−

Soluci´ on Colocando x = x ′ + h, y = y ′ + k obtenemos que debemos resolver 8h 4k + 12 = 0 , 4h + 14k + 6 = 0

−

−

Y esto nos conduce a que el nuevo srcen debe ubicarse en h=

−2, k = −1

Adem´ as, F ′ = 4( 2)2

− − 4(−2)(−1) + 7( −1)2 + 12(−2) + 6(−1) − 9 = −24

As´ı que la nueva ecuaci´ on es 4x′2

− 4x′ y′ + 7y′2 − 24 = 0

La rotación apropiada de ejes est´ a determinada por el ángulo θ que satisface que B 4 tan2 θ = = A C 3 Por lo tanto, la suma de los coeficientes a, c de esta cuadrática es a + c = A + C = 11, y su resta es a c = B csc2 θ = 5, lo que nos lleva a que a = 3, c = 8. La ecuación final es entonces la de la elipse 3X 2 + 8Y 2 = 24 o, lo que es lo mismo,

−

−

−

X2 Y 2 + =1 8 3 29. Encuentre la forma canónica de la elipse (desplazada) 3 x2 + 5y 2 6x + 20y + 8 = 0

−

1 30. Muestre que la ecuación y = corresponde a la hipérbola rotada. x ¿D´ onde están ubicados sus focos? 31. En el teorema presen tado en el ejercic io 28 anterior, ¿cuáles ser´ıan condiciones suficientes para que la cónica sea un c´ ırculo ?

Lecci´ on 4 Sobre los fundamentos para las matem´ aticas contempor´ aneas Introducci´ on1 As´ı como Euclides trajo a la geometr´ıa griega la rigurosidad, el pensamiento ordenado y la presentación sistemática de muchos años de desarrollo matemático, as´ı tambi´ en surgi´ o la necesidad de colocar sobre bases sólidas lo que Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, y muchos otros, hab´ıan creado. Pero colocar toda una teor´ıa de más de dos mil años de actividad obligaba un completo examen de su desarrollo para tener una idea clara de a qué exactamente se le iba a proveer de fundamento. A comienzos del siglo XIX comenzar´ ıa un periodo de cr´ıtica y sistematización de los fundamentos del an´ alisis del que surgieron definiciones precisas de número real, variable, función, l´ımite y continuidad por parte de Augustin Louis Cauchy [1789-1857], Karl Weierstrass [1815-1897] y Bernard Bolzano [1781-1848], entre otros. Pero, aún as´ı, ninguna de estas definiciones pod´ıa considerarse como absolutamente rigurosa. A pesar de que Euclides, y todos los matem´ aticos más de dos mil a˜ nos despu´ es de él, no dudaban en considerar a los Elementos como el l´ımite máximo del rigor lógico, una visión contemporánea de los fundamentos desde las geometr´ıas no-euclidianas nos muestra que no existe la idea de rigor “final” o “absoluto” dentro de las 1

Algunos de los lineamientos históricos que aqu´ı y en lecciones anteriores hemos presentado, est´ an parcialmente inspirados en el excelente libro de Morris Kline (1980), Mathematics, the Loss of Certainty , Oxford.

229

230


matem´ aticas. Es posible decir que en los fundamentos de cualquier teor´ıa matem´ atica de hoy subyacen particulares concepciones de precisión lógica y de estructura axiomática. La profundización en los conceptos b´ asicos y en la l´ llev´ o finalmente a nuevas y, tal vez, más profundas conogica prensiones de lo que hoy entendemos por “matemáticas”.

1.

S´ımbolos l´ ogicos

La lógica matemática se desarrolló, precisamente, como el resultado de las dificultades intr´ınsecas que surgieron en las matemáticas y sobre el problema de qu´ e, exactamente, deber´ıamos entender por “prueba” o “demostraci´ on” matemática. Un resultado de este esfuerzo es una de las caracter´ısticas fundamentales de las matemáticas modernas: el m´ etodo

axiom´ atico basado en la teor´ıa de conjuntos y en instrumentos lógicos precisos de demostración. Este punto de vista le debe su importancia al hecho de que resume (en cierto sentido) el rico contenido de todas las matemáticas que le precedieron y son conceptos primitivos desde los cuales se puede describir casi toda la matemática actual. La lógica fue fundada por Aristóteles en su Organon en (aproximadamente) el año 300 a.C. All´ı dec´ıa que los principios de razonamiento utilizados por los matemáticos eran abstra´ıbles y que, fundamentalmente, eran los mismos que se aplicaban a cualquier otro tipo de razonamiento. M´ as de dos mil años despu´ es, el mundo cient´ ıfico todav´ıa aceptaba la lógica aristot´ elica, a pesar de que ésta no era, quiz´ as, más que una lógica de silogismos. En el siglo XVII, Descartes y Leibniz intentaron ampliar las leyes de la lógica aristot´ elica a una universal de pensamiento, y propusieron utilizar un simbolismo (similar al del álgebra) que aclarara y facilitara el uso de las leyes de razonamiento. El plan de Leibniz era el de construir inicialmente los elementos de su lógica universal, y el primer elemento fue el de la characteristica universalis o lenguaje cient´ıfico que pudiera aplicarse a cualquier razonamiento; el segundo elemento era el calculus rationator que era una colección de formas lógicas de razonamiento que le permitiera pasar de principios a deducciones; el tercero era el ars combinatoria ó colección de conceptos básicos en términos de los cuales pudieran definirse todos los conceptos en un alfabeto que asignara s´ımbolos a toda

231

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas

idea para permitir su tratamiento en combinaciones de s´ımbolos más complicados. Aunque podr´ıa decirse que Leibniz fue el fundador de la lógica simbólica, su trabajo en esta área sólo se conoció hasta 1901. Pero no fueron ni Descartes ni Leibniz quienes desarrollaron el c´ alculo simb´ olico de razonamiento que hoy utilizamos. Fue George Boole [18151864] quien en An Investigation of the Laws of Thought (1854) introdujo lo que ahora llamamos lógica de proposiciones. En su interpretación, una proposición P ser´ ıa algo como “Horacio es un estudiante”; y, por ejemplo, la ley del tercero excluido (es decir, que una proposición es cierta o es falsa, pero no ambas cosas) Boole la notaba algebraicamente por P + ( P ) = 1 donde 1 representaba una proposición siempre verdadera (o “la verdad”); el producto P Q de dos proposiciones significaba la conjunci´ on de ambas, y P + Q su disyunción. Era evidente que buscaba hacer algebraico el cálculo simbólico de proposiciones.

−

La lógica de proposiciones fue expandida por Charles Peirce [1839-1914] fundamentalmente sobre la idea de que el razonamiento pod´ıa exten2

derse a funciones comoas, “ zfue=precisamente 3x es cierto”Peirce en lugar de afirmar “75 = 3 proposicionales 52 es cierto”. Adem´ quien introdujo lo que hoy llamamos cuantificadores. La frase “para todo x” es un cuantificador que Peirce notaba Vx (y que despu´ es se convertir´ıa en x) y la frase “existe al menos un x tal que” es otro cuantificador que, utilizando la notación de Giuseppe Peano, escrib´ ıa x. As´ ı, podr´ıa decirse que el aporte fundamental de Peirce fue el de extender la l´ ogica de Aristóteles, Leibniz y Boole a relaciones, a funciones proposicionales y a cuantificadores, reuniendo los tipos de razonamiento utilizados en las matemáticas dentro de un sistema lógico organizado.

·

∀

∃

Otro paso del siglo XIX busca ndo estab lecer un sistema lógico para ´ las matemáticas fue dado por Gottlob Frege [1848-1925]. Este tomó los elementos peirceanos de la lógica de proposiciones, de las relaciones proposicionales, de las funciones proposicionales y de los cuantificadores, e introdujo además la distinci´ on entre la simple afirmación de una proposición y la afirmación de que ésta fuera cierta. Su trabajo de organización deductiva de la lógica fue desarrollado desde Concept - Writing (1879) y The Foundations of Arithmetic (1884) hasta The Fundamental Laws of Arithmetic (1893, 1903).

232


Otra figura importante en esta b´ usqueda por los fundamentos lógicos de las matemáticas fue el ya mencionado Giuseppe Peano [1858-1932]. Peano afirmaba que las matem´ aticas deber´ ıan estudiarse unicamente ´ con

s´ımbolos (lenguaje formal), pues estos evitaban el peligro de apelar a las intuiciones asociadas con el lenguaje común. El trabajo de Peano fue muy influyente debido tambi´ en a que editaba una revista de matem´ aticas ( Rivista di Matematica ) y a la publicación en cinco volúmenes de su Formulary of Mathematics (1894-1908). Los trabajos de Peirce y Frege, sin embargo, pasaron desapercibidos hasta que Bertrand Russell los descubriera, tambi´ en, en 1901. A partir de Boole, Peirce, Frege y Peano, las innovaciones en lógica consistieron en la aplicación de simbolismo y prueba deductiva a partir

de axiomas de la l´ ogica. Este método descartaba entonces discusiones epistemol´ ogicas, psicológicas y hasta metaf´ısicas que ninguno de los matemáticos hasta entonces hab´ıa podido evitar.

a).

Proposiciones

Quiz´ as sea claro de lo anterior que el concepto básico de nuestra teor´ıa es el de proposici´ on. Veamos entonces en qué consiste. Definici´ on 1. (Proposición) Una proposici´ on es una expresión de la cual podemos afirmar que es verdadera o que es falsa. Ejemplo 1. 1. “Caracas est´ a al nivel del mar” es una proposición. 2. “Ayer, la tasa de interés estuvo por encima del 13 %” es una proposición. 3. “El año pasado, más del 60 % de los colombianos estuvieron por en es una proposición. debajo de la l´ınea de pobreza” tambi´ 4. “Es mejor ser rico que pobre” es una proposición. 5. “La gente no se muere de cáncer sino de envidia” tambi´ en es una proposición.

233


6. “Los estudiantes de econom´ıa de todas las universidades del pa´ıs tienen un promedio semestral superior a 2.0/5.0” es una proposición. 7. “El año pasado no sal´ı de vacaciones” es una proposición. 8. “¡Qué fr´ ıo hace!’ ’ no es una proposición (¿Por qué?) 9. “¿Podr´ıa ayudar a empujar el carro?” tampoco es una proposición. (¿Por qu´ e?) De hecho, ninguna frase interrogativa o exclamativa puede ser una ´ proposición. Estas deben ser frases indicativas.

b).

Los s´ımbolos conectivos de la lógica

Consideraremos aqu´ı los cinco s´ımbolos que conectan las proposiciones, y que nos permiten crear unas nuevas: son las “operaciones” del ´ algebra de proposiciones. Tambi´ en especificamos los cuantificadores universal y existencial: Si P y Q son proposiciones,

i) ∼ P es la negaci´ on de P .

2

ii) P

∧ Q es la conjunción de P y Q. iii) P ∨ Q es la disyunción de P y Q. 3 iv) P =⇒ Q es la implicaci´ on de P (como antecedente (hipótesis)) a Q (como consecuente (tesis)).

v) P

⇐⇒Q es la equivalencia de P

y Q.

4

i) El cuantificador universal “Para todo x” se escribe x .

∀

El s´ımbolo de negaci´ on ∼ fue introducido por Bertrand Russell en 1908 en su art´ ıculo Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. El simbolo aparece en el mismo articulo de Bertrand Russell de 1908 Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. 4 El s´ ımbolo se le atribuye al famoso matemático norteamericano Paul Halmos[1916-2006]. 2

3

∨ ⇐⇒

234


ii) El cuantificador existencial “Existe un x” se escribe

c).

∃ x.

5

Las tablas de verdad: axiomas de la lógica

Del lenguaje ordinario podemos obtener las siguientes s´ıntesis, llamadas “tablas de verdad” de la l´ ogica ordinaria, sobre las cuales estar´ an basadas, en adelante, todos nuestros argumentos formales.

I

).

Tabla de verdad para la negación

Si P es una proposición entonces la proposición P (que se lee “no P” ) es su negación, y se rige por la tabla de verdad de la figura 1.

∼

P V F

∼ P

F V

Figura 1: Tabla para la negación II

).

Tabla de verdad para la conjunci´ on

Si P y Q son proposiciones, entonces P Q (que se lee “P y Q” ) es su conjunción. La conjunción de proposiciones se rige por la tabla de verdad de la figura 2. As´ı, la u ńica forma en que la conjunción de dos proposiciones es verdadera es que ambas proposiciones sean verdaderas.

∧

Q

∧

V P F

V V F

F F F

Figura 2: Tabla para la conjunción 5

El s´ ımbolo fue utilizado, por primera vez, en 1935 en el “Investigations into Logical Deduction” de Gerhard Gentzen [1909-1945]. All´ı, debido a que, en su Formulaire, Peano hab´ıa llamado al cuantificador del Existe, , con una E al revés, entonces utiliz´ o el s´ımbolo de una A al rev´ es, , para designar al cuantificador de Para Todo, que en Alemán es All-Zeichen .

∀

∀

∃

235

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas III

).

Tabla de verdad para la disyunci´ on

Si P y Q son proposiciones, entonces la proposición P

∨ Q (que se lee

es su disyunci´ on. La n de forma proposiciones rige por la “P ó Q” tabla de )verdad de la figura 3. disyunci´ As´ı, la u ónica en que lasedisyunción de dos proposiciones es falsa es que ambas proposiciones sean falsas. Q

∨

V P F

V V V

F V F

Figura 3: Tabla para la disyunción

IV

).

Tabla de verdad para la implicación

⇒

Si P y Q son proposiciones, entonces la proposición P Q (que se lee “P implica Q” ; ó “si P entonces Q ”; ó “P es condición suficiente

para Q” ; ó “Q es condición necesaria para P” ) es su implicación. A la proposición P se le llama hip´ otesis y a la proposición Q se le llama tesis. La implicación de proposiciones se regirá por la tabla de verdad de la figura 4. As´ı, la uńica forma en que la implicación de P a Q es falsa es cuando la hip´ otesis P es verdadera pero la tesis Q es falsa.

⇒

= V P F

Q V F V F V V

Figura 4: Tabla para la implicación

).

V

Tabla de verdad para la e quivalencia

Si P y Q son dos proposiciones, entonces la proposición P Q (que se lee “P si, y s´ olo si, Q” ; ó “P es condición necesaria y suficiente para Q”) es su equivalencia. La equivalencia de proposiciones se rige por la tabla de verdad de la figura 5. As´ı, para que la equivalencia de dos proposiciones sea verdadera, ambas deben ser verdaderas o ambas falsas.

⇐⇒

236


Q V F V F F V

⇐⇒ V F

P

Figura 5: Tabla para la equivalencia

).

VI

Cuantificadores

Los cuantificadores

∀ y ∃ están relacionados mediante negación: ∼ ((∀x)P (x)) ⇔ ( ∃x)(∼ P (x))

donde P (x) es una proposición que depende de x. Similarmente,

∃

∼ ( x)(P (x))

d).

⇔ (∀x)(∼ P (x))

Tautolog´ıas

A partir de las proposiciones, los conectivos l´ ogicos y las tablas de verdad, po demos construir otras proposiciones conocidas como tautolog´ ıas ; es decir, proposiciones que son siempre verdaderas sin importar la verdad o falsedad de las proposiciones involucradas en su construcci´ on. Es

precisamente sobre estas tautolog´ıas que se fundamentan todos los métodos de demostración en nuestras matemáticas básicas. Veamos algunos ejemplos.

i) P

⇐⇒ P P V F

⇐⇒ V V

P V F

Esta tautolog´ ıa afirma que toda proposici´ on es equivalente a s´ı misma.

ii) [P

∧ P ] ⇐⇒ P

Esta tautolog´ıa afirma que la conjunci´ on de una proposición consigo misma es equivalente a esta proposición.

237


P V F

iii) [∼ (P

∧

P V F

V F

⇐⇒ V V

P V F

∨ Q)] ⇐⇒ [∼ P ∧ ∼ Q]

Esta tautolog´ıa afirma que si se requiere demostrar que no es cierta la disyunción de dos afirmaciones, es suficiente probar que ninguna de las dos es cierta. ∼

F F F V

(P VV VV FV F F

∨

V F V F

Q)

⇐⇒ V V V V

∼P

F F V V

∧

F F F V

∼Q

F V F V

Quizás no sobre aqu´ı, utilizando la tabla de verdad de esta tautolog´ıa, explicar c´ omo se construye una tabla como esta. Inicialmen te, se colocan los valores posibles (verdadero (V) y falso (F)) de las proposiciones P y Q, en las respectivas columnas 2 y 4 de la tabla. Despu´ es, en la columna 3 de la disyunci´ on ( ), se colocan los valores V o F, de acuerdo a la tabla de verdad para la disyunci´ on (ver figura 3). Enseguida, se colocan, en la columna 1, los valores de negaci´ on (∼) de la columna 3 para la disyunción según la tabla de verdad para la negación (ver figura 1). Despu´ es, en las columnas 6 y 8, se colocan los valores de negaci´ on ∼ de las proposiciones P (columna 6) y Q (columna 8), respectivamente. Enseguida, en la columna 7, se establecen los valores de la conjunci´ on de las negaciones de P y Q, utilizando la tabla de verdad para la conjunción (ver figura 2). Finalmente, se comparan las columnas 1 ( ∼) y 7 ( ), y se aplica la tabla de verdad de la equivalencia (figura

∨

∧

∧

⇐⇒

5), para obtener la columna 5, en la que deben aparecer todos los valores como verdaderos (V) para que la proposici´ on srcinal sea, efectivamente, una tautolog´ıa.

239


vii) [P =

⇒ Q] ⇐⇒ [∼ (P ∧ ∼ Q)]

Una consecuencia de esta importante tabla de verdad es que si debemos probar que una proposición P implica a otra proposición Q, bastará con probar que es falsa la conjunción de P y la negación de Q. P V F V F

⇒ F V V V

Q F F V V

⇐⇒ V V V V

∧

(P

∼

FVVV VFFV VVFF VFFF

∼Q)

viii) [P =

⇒ Q ∧ Q =⇒ R] =⇒ [P =⇒ R]

Una consecuencia de esta tautolog´ıa es que si sabemos que la proposición P implica a la proposición Q, y tambi´ en sabemos que la proposición Q implica a la proposición R, entonces podemos estar seguros de que, tambi´ en, la proposici´ on P implica a la proposición R.

⇒

∧

P Q Q VV V VVVV VFFFFVF FVVVVVV FVFVFVF FVFVFVV FVVFVFF VFFFFVV VVVFVFF

⇒

R

⇒ V V V V V V V V

P V V F F F F V V

⇒ V F V V V V V F

R V F V F V F V F

Ejercicios 1 1.

a) ¿Cuál es la negación de la proposición “En el grupo hay al menos dos personas que tienen camisas diferentes”? b) ¿Cuál es la negación de la proposición “Toda persona de camisa blanca tiene zapatos blancos”?

240 2.


a) Qu´ e conclusiones pueden deducirse con respecto a la verdad o falsedad de las proposiciones P , Q, R, a partir de las siguientes proposiciones: i) Si P es cierta entonces Q es cierta. ii) Si Q es cierta entonces R no es cierta. iii) P es cierta. ¿Qu´ e suceder´ ıa si cambi´ aramos iii) por iii’): “ Q es falsa”? b) Lo mismo, ahora para P , Q, R, S , en el siguiente caso: i) ii) iii) iv)

3.

Si P Si R Si Q P es

es cierta entonces Q es cierta. es cierta entonces S no es cierta. es cierta entonces S es cierta. cierta.

a) Sean P : La tasa de inflación, hoy, es alta. Q: Altas tasas de inflación producen altas tasas de desempleo. R: Altas tasas de desempleo reducen la demanda agregada de la econom´ıa. Si P ,Q y R son ciertas, ¿qué podemos afirmar como cierto de esta econom´ıa?; ¿qu´ e proposiciones deducidas de las tablas de verdad está aplicando? b) Sean P : Estudiar matemáticas dos horas diarias mejora las notas de los estudiantes de econom´ ıa. Q: Dos horas de estudio diarias de matem´ aticas reduce el tiempo de estudio de macroeconom´ıa. R: Un estudiante de econom´ıa puede dedicar 2 horas al d´ıa a estudiar matemáticas ó a estudiar macroeconom´ ıa. Si P , Q y R son ciertas, ¿qu´ e podemos afirmar como cierto del tiempo que dedican los estudiantes diariamente?; ¿qu´ e tauto-

log´ıas de las estudiadas en esta Lecci´ on está aplicando? 4. Corrobore las dos siguientes tautolog´ıas y se˜ nale con claridad en qu´ e situaciones de demostraci´ on pueden ser útiles:

a) (P

∨ Q) ∨ R ⇐⇒ P ∨ (Q ∨ R)

242


6. Pruebe que las siguientes proposiciones son tautolog´ıas :

⇒ P] b) [( P ∨ P ) =⇒ P c) P =⇒ P ∨ Q d) [P ∨ Q] ⇐⇒ [Q ∨ P ] e) [P ∧ Q] ⇐⇒ [Q ∧ P ] f) [( P ∧ Q) ∧ R] ⇐⇒ [P ∧ (Q ∧ R)] g) [P ∨ (Q ∧ R)] ⇐⇒ [(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)] h) [( P ∨ Q) ∧ R] ⇐⇒ [(P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)] i) [P =⇒ (Q ∨ R)] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∨ (P =⇒ R)] j) [P =⇒ Q] ⇐⇒ [(P ∧ Q) ⇐⇒ P ] k) (P =⇒ Q) ⇐⇒ ( ∼ P ∨ Q) l) [( P ⇐⇒ Q) ∧ (Q ⇐⇒ R)] =⇒ [P ⇐⇒ R] a) [P =

m) [P (P = Q)] = Q n) [P = Q] = [(R P ) =

∧⇒ ⇒⇒ ⇒∨ ⇒ (R ∨ Q)] o) [P ⇐⇒ Q] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P )]

7. ¿Serán tautolog´ıas las siguientes proposiciones?:

∼ P =⇒∼ Q] =⇒∼ [P ∨ Q] b) ∼ (P ∧ Q) =⇒ [( ∼ P ) ∧ (∼ Q)] c) ∼ (P ∨ Q) =⇒ [( ∼ P ) ∨ (∼ Q)] d) [P =⇒ Q] =⇒ [Q =⇒ P ] e) [∼ P ∧ (P =⇒ Q)] =⇒∼ Q f) [P =⇒ (Q =⇒ R)] =⇒ [(P =⇒ Q) =⇒ (P =⇒ R)] a) [

* 8. Reconstruya, en t´ erminos de prop osiciones, la demostración de “Si a es par entonces a 2 tambi´ en es par” que aparece planteada en los ejercicios complementarios de la lección 1. * 9. Reconstruya, en t´ erminos de prop osiciones, la demostración de “Si a2 es par entonces a tambi´ en es par”.


243

* 10. Reconstruya, en t´ erminos de proposiciones, la demostración por reducci´ on al absurdo de “ 2 es un número irracional” que aparece en los ejercicios complementarios de la lección 1.

√

* 11. Reconstruya, en términos de proposiciones, la demostraci´ on de la proposición 1 del Libro I de los Elementos de Euclides que aparece en la lección 1. * 12. De manera similar a lo afirmado en el ejercicio anterior, llévelo a cabo ahora para la proposición 2 del Libro I de los Elementos de Euclides que aparece en la lección 1.

2.

Nociones de la teor´ıa de conjuntos

Hacia principios del siglo XX, las matemáticas ya ten´ıan, aparentemente, una estructura ideal similar a la delineada por Euclides en sus Elementos : se ten´ıan bases axiom´ aticas rigurosas para los números (como explicaremos más adelante), y para la noción de l´ımite (como veremos en el volumen II: Cálculo); además las pruebas deductivas basadas en la lógica de Boole, Pierce, Frege y Peano, hab´ıan reemplazado a las conclusiones basadas en la intuición. Pero mientras se celebraba, algunos desarrollos que estaban en camino vendr´ıan a perturbar esta tranquilidad. La nueva teor´ıa que dio origen a serias preocupaciones fue la teor´ ıa de los conjuntos infinitos. La formalización del análisis de Weierstrass y otros, hab´ıa llegado al punto de distinguir perfectamente entre series infinitas que converg´ıan (es decir, que ten´ıan sumas finitas ) y las que diverg´ıan (que ten´ıan sumas infinitas ), a trav´ es del concepto de l´ımite. Pero un tipo particular de series ya conocidas, llamadas series de Fourier (en honor de Joseph Fourier [1768-1830]), vino a jugar un papel central cuando algunas preguntas surgidas de all´ı fueron respondidas por George Cantor [1845-1918]. Cantor, al intentar resolver estos problemas, desembocó en la teor´ıa de conjuntos infinitos donde vio la necesidad de entenderlos como totalidades y asignarles ciertos números que dio en llamar cardinales del conjunto ; es decir, introdujo definiciones que determinaban cu´ ando dos conjuntos infinitos ten´ıan el mismo o diferente número de objetos, y su idea básica fue la correspondencia uno-a-uno . As´ı como 8 libros y 8 casas pueden expresarse mediante el mismo número pues ellos pueden

244


emparejarse uno con una, de la misma manera Cantor aplic´ o la correspondencia uno-a-uno a los conjuntos infinitos. Entonces encontr´ o que exist´ıa una correspondencia uno-a-uno entre todos los números enteros positivos y los números pares positivos as´ı: 12345



2 4 6 8 10

... ... ...

De esta forma, a cada número entero positivo le corresponde uno, y sólo un número par, y viceversa. De all´ı, Cantor afirm´ o que los dos conjuntos ten´ıan el mismo cardinal, es decir, el mismo n´ umero de objetos . Que un conjunto de números pudiera colocarse en correspondencia uno-auno con apenas una parte de ese conjunto, no parec´ıa razonable, y esto har´ ıa m´ as dif´ıcil el avance de la teor´ıa de los conjuntos infinitos. Pero Cantor defin´ ıa, precisamente, que un conjunto era infinito cuando pod´ıa colocarse en correspondencia con un subconjunto propio de s´ı mismo. Por este camino probó que tambi´ en hab´ıa una correspondencia uno-auno entre los puntos de una l´ınea y los puntos de un plano. Por los primeros 1900’s su teor´ıa de conjuntos comenzaba a emplearse en otras áreas de las matemáticas e, inclusive, él y Richard Dedekind cre´ıan que ser´ ıa útil en la fundamentación de todas las matemáticas, y esto también empezaban a entenderlo Emile Borel [1871-1956] y Henri Lebesgue [1871-1941]. Pero Cantor hab´ıa descubierto, en 1895, un problema con su teor´ıa. Estudiando los números cardinales, intentó buscar el más grande de estos y, para ello, pens´ o en el conjunto de todos los umeconjuntos. Y como ya antes hab´ıa probado que siempre hab´ıa un n´ ro cardinal más grande que cualquier cardinal propuesto previamente, entonces la conclusión era que exist´ıa un cardinal más grande que el más grande! Con esta dificultad en frente, afirmaba que era mejor no considerar el conjunto de todos los conjuntos ni su cardinal. Con sólo esta (conocida despu´ es como “la paradoja de Russell” ) y otras paradojas similares, la mayor´ıa de los matem´ aticos no dudar´ıan en estar intranquilos en el para´ıso que las matem´ aticas que Cauchy y Weierstrass hab´ıan creado en el siglo XIX, y con su rigor. Adem´ as, tambi´ en estaban preocupados debido a los resultados de Cantor, puesto que sab´ıan que, en algún punto de sus trabajos, hab´ıan utilizado conceptos similares a la


245

idea de asignarle un n´ umero al conjunto de todos los conjuntos, no sólo en las nuevas creaciones sino tambi´ en en las matem´ aticas (supuestamente) bien establecidas. Entonces llamaron a estos problemas “paradojas” pues cre´ıan que eran simples contradicciones que podr´ıan resolverse con las matemáticas ya disponibles. Ejemplos no matemáticos de paradojas que, de alguna forma, involucraban el problema del todo como parte de s´ı mismo, eran ya abundantes mucho tiempo atrás, pero en esos tiempos s´ olo se consideraron como divertimentos mentales. Una clásica es la “paradoja del mentiroso” discutida desde la época de Arist´ oteles. La versión clásica tiene que ver con la afirmación “esta frase es falsa” ; si esta afirmación es verdadera, entonces lo que dice es cierto, y as´ı la afirmaci´ on es falsa. Y si la afirmación es falsa, entonces tambi´ en lo es lo que dice, y as´ı la afirmaci´ on es verdadera. Otro caso de estos es la afirmaci´ on “toda regla tiene su excepci´ on”. Mientras que muchos matemáticos de principios del siglo XX no le prestaban atención a las paradojas pues ellas implicaban, de alguna forma, la teor´ıa de conjuntos de Cantor, otros reconoc´ıan que s´ı afectaban el razonamiento matemático. Algunos lógicos como el joven (y tambi´ en economista) Frank P. Ramsey [1903-1930] trataron de distinguir entre paradojas semánticas y paradojas lógicas. Cre´ıa que una definici´ on estricta de estos conceptos resolver´ıa el problema. Bertrand Russell, en 1905, por su parte, cre´ıa que todas las paradojas surg´ıan de una falacia que el llamó “el principio del c´ırculo vicioso” y que describ´ ıa as´ı: “Lo que involucre todo de una colección no debe ser uno de la colección”. En otra forma, si para definir una colección de objetos uno debe usar la colecci´ on del todo , entonces la definición no tiene sentido. El problema sobre cómo construir unas bases matemáticas que eliminaran estas (y otras) contradicciones surgidas de la teor´ıa de conjuntos, abrió el esp´ıritu cr´ıtico de los matem´ aticos a examinar todo lo que antes se hab´ıa aceptado sin ninguna preocupación. En este proceso, fijaron su atenci´ on en una hipótesis aparentemente inocente que a´ un las matemáticas de Cauchy y Weierstrass utilizaban. Esta hipótesis consist´ ıa en que

dada una colección de conjuntos, finita o infinita, uno puede elegir un objeto de cada conjunto y con estos elementos formar un nuevo conjunto (por ejemplo, de cada departamento en Colombia podemos elegir una

246


persona y, con ellas, formar un nuevo conjunto). Esta hip´ otesis, conocida en adelante como el axioma de elecci´ nado por Ernest on (nombre acu˜ Zermelo [1871-1953] en 1904) ser´ıa central a la matem´ atica futura. De hecho, este axioma hab´ıa sido utilizado p or Cantor en 1887 de manera inconsciente, y tambi´ en aparecer´ ıa en algunas pruebas de las matem´ aticas de la época. Sin embargo, el axioma de elección ser´ıa un punto de serias disputas, fundada s en el hecho de la importancia (o no) de la regla expl´ıcita con que se determinaba la elecci´ on. El punto neurálgico en todo esto era que siempre se desembocaba en la discusión sobre qué era lo que deber´ıa considerarse leg´ıtimo y aceptable en matemáticas. Sobre los fundamentos en matemáticas exist´ıan, en aquella época de principios del siglo XX, dos filosof´ıas básicas: la logicista y la intuicionista. Diametralmente opuestas, la primera afirmaba que toda la matemática deb´ıa ser derivable de la lógica que, para esta época, ya hab´ıa sido desarrollada en “leyes de la l´ ogica” como cuerpo de verdades. La segunda escuela aseguraba, en vez, que cualquier afirmaci´ on matemática sólo era sólida y aceptable si pod´ıa “concebirse mentalmente”. Pero estas dos filosof´ıas dar´ıan srcen a una tercera escuela de pensamiento, llamada formalista y desarrollada por David Hilbert [1862-1943]; y a una cuarta, llamada la escuela de teor´ıa de conjuntos, iniciada por Zermelo. Para los formalistas, las matemáticas eran una colección de sistemas formales donde cada uno construye su propia lógica, y sus propias matem´ aticas; es decir, sus propios conceptos, axiomas, reglas de deducci´ on y, por tanto, sus propios teoremas. El desarrollo de estos sistemas

deductivos independientes de la realidad era el verdadero prop´ osito de las matemáticas, y este fue el programa Hilbert para la construcci´ on de las matemáticas presentado en 1900. De otro lado, la escuela de la teor´ıa de conjuntos cre´ıa que si se lograba construir una teor´ıa de n´ umeros mediante conceptos de conjuntos, entonces todas las matemáticas se deducir´ıan de ella, y para construir esta teor´ıa creyeron que una fundamentaci´ on axiom´ atica cuidadosa remover´ıa todas las paradojas de la teor´ ıa de conjuntos. La axiomatización de la teor´ıa de conjuntos fue, inicialmente, el trabajo ´ de Zermelo en 1908. Este, como otros, cre´ıa que las paradojas surg´ıan porque Cantor no hab´ıa definido bien el concepto mismo de conjunto, y


247

confiaba en que unos cuantos axiomas claros y expl´ıcitos dar´ıan cuenta de ellas. En particular, Zermelo asumió el axioma de elección. Sin embargo, el sistema axiomático de Zermelo fue revisado y mejorado en 1922 por Abraham Fraenkel [1891-1965] debido a que, en particular, Zermelo no hab´ıa logrado distinguir entre la propiedad que define a un conjunto, y al conjunto mismo. El sistema resultante, conocido como sistema Zermelo-Fraenkel, podr´ıa describirse, verbalmente, as´ı: i) Dos conjuntos son id´ enticos si tienen los mismos miembros. ii) El conjunto vac´ ıo existe. iii) Si A y B son conjuntos, entonces el par

conjunto.

{ A, B } también es un

iv) La unión de un conjunto de conjuntos existe. v) Los conjuntos infinitos existen. vi) Cualquier propiedad que pueda formalizarse en el lenguaje de la

teor´ıa puede utilizarse para definir un conjunto. vii) Es posible formar el conjunto de todos los posibles subconjuntos de

un conjunto dado. viii) El axioma de elección es cierto. ix) Ning´ un conjunto pertenece a s´ı mismo. Con estos axiomas, se puede mostrar (aunque no lo haremos aqu´ı) que es imposible la existencia del conjunto de todos los conjuntos, y que todas las paradojas (lógicas o semánticas) se reducen a absurdos lógicos. Más aún, son adecuados también a las necesidades del análisis clásico; y (lo más importante) con ellos se pueden definir los n´ umeros naturales y, desde all´ı, toda la matem´ atica pura fue reducida a la teor´ıa de conjuntos. Este trabajo (desde una axiomática de conjuntos más complicada) fue llevado a cabo por Alfred Whitehead y Bertrand Russell en el Principia Mathematica de 1913. Desde este momento en adelante, la teor´ ıa de conjuntos sirve como fundamento para las matemáticas. De hecho, un grupo de importantes matemáticos que operaban bajo el seudónimo colectivo de Nicolás Bourbaki llevó a cabo, en 1936, la tarea de demostrar que

248


si se aceptan los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teor´ıa de conjuntos (incluyendo algunas modificaciones posteriores de Paul Bernays y Kurt Gödel), y ciertos principios de la lógica, entonces era posible construir todas las matemáticas que conocemos. Por los 1930’s, hab´ıan cuatro aproximaciones diferentes a las matem´ aticas y todas ellas en conflicto. En aquel entonces ya no se pod´ıa decir que un teorema matemático estaba correctamente probado sin especificar los estándares bajo los cuales era cierto. Y los desarrollos del siglo XX han corroborado la visión de que siempre serán necesarias revisiones constantes de los fundamentos de las matemáticas.6

a).

Noci´ on de conjunto y definiciones b´ asicas

En nuestra discusión, un conjunto será una colección de objetos donde se puede decir (mediante alguna caracter´ıstica o regla bien especificada), de cualquier objeto, si éste p ertenece o no a la colección. Si un conjunto A consiste de los objetos a,b, c, ..., y no de otros, entonces escribiremos, en notación de Cantor (1895),

{

}

A = a,b,c,...

Y si el conjunto A consiste de los objetos x que satisfacen cierta proposici´ on ϕ(x) entonces escribiremos

{|

}

{

}

A = x ϕ(x) o bien

A = x : ϕ(x)

Los objetos que conforman un cierto conjunto se llamarán (sus) elementos. El hecho de que un objeto pertenezca a un conjunto A se escribirá, en notación de Peano(1894) y Russell (1903), en la forma a

∈A

y se leerá “a pertenece a A ’ ’ ó “a es un elemento de A”. Si un objeto m

no pertenece al conjunto A, se acostumbra escribir como

∈

m/A 6

Para aquel estudiante que desee profundizar m´ as en este tema, lo remitimos al buen texto “ Muñoz, Jos´ e M. (2002), Introducci´ on a la Teor´ıa de Conjuntos, Universidad Nacional de Colombia”.

249


Definici´ on 2. (Igualdad entre conjuntos) Sean A y B dos conjuntos; entonces A = B si, y sólo si, ( x)(x A

∀

x

B)

∈ ⇐⇒ ∈

Definici´ on 3. (Conjunto vac´ıo (Bourbaki (1939)) Al conjunto φ determinado por la regla de no tener elementos, es decir, por la regla ( x)(x / φ), lo llamaremos conjunto vac´ ıo .

∀

∈

Definici´ on 4. (Inclusión entre conjuntos (Schröder (1890))) Sean A y B dos conjuntos; entonces, A B si, y sólo si, ( x)(x A = x B)

⊆

∀

∈

⇒ ∈

B A

Figura 6: Inclusión entre conjuntos

Teorema 1. (Propiedades de la inclusi´ on 7 ) Sean A , B , C tres conjuntos; entonces

i) A = B

ii) A

⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

iii) φ v)

iv)

⊆A A ⊆ B ∧ B ⊆ C =⇒ A ⊆ C

⊆A A ⊆ φ =⇒ A = φ

Demostraci´ on i)

∈ ⇐⇒ ∈

7

∈ A ⇐⇒ x ∈ B =⇒ x ∈ B ; ⇒ ∈ A; luego A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

a) Supongamos A = B; entonces x además x B x A= x

En adelante, el lector encontrará m´ ultiples demostraciones en la que deber´ a observar cu´ ales de las tautolog´ ıas estudiadas en la secci´ on anterior han sido aplicadas.

250


⊆ ∧ ⊆

∈

⇒

b) De manera similar, si A B B A se tiene que x A = x B y x B = x A; luego x A x B y esta es la definición de A = B.

∈

∈

⇒ ∈

∈ ⇐⇒ ∈

∈ A =⇒ x ∈ A siempre es cierto. iii) x ∈ φ =⇒ x ∈ A es cierto pues la proposición x ∈ φ es falsa. iv) Si A ⊆ φ entonces, como por iii) también φ ⊆ A, se tiene que A ⊆ φ ∧ φ ⊆ A y, por i), A = φ. v) Si A ⊆ B ∧ B ⊆ C se tiene que x ∈ A =⇒ x ∈ B y x ∈ B =⇒ x ∈ C ; luego x ∈ A =⇒ x ∈ C . ii) x



b).

Operaciones entre conjuntos

En lo que sigue, estudiaremos las cuatro operaciones b´ asicas de la teor´ ıa de conjuntos: la intersección, la unión, la diferencia y el complemento . Definici´ on 5. (Intersección de conjuntos (Peano (1888))) Sean A y B dos conjuntos; definimos el conjunto intersecci´ on de A y B (notado A B) as´ ı:

∩

x

∈ A ∩ B si,y sólo si, x ∈ A ∧ x ∈ B A

B

Figura 7: Intersección de conjuntos

251


Teorema 2. (Propiedades de la intersecci´ on) Sean A ,B ,C conjuntos; entonces:

i) A

B = B A. Demostraci´ on x 

∩

∩

∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B ∧ x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∩ A.

ii) (A

∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).

Demostraci´ on

∈ ∩ ∩ ⇐⇒ ∈ ∩ B) ∧ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ B ∧ x ∈ C ) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∩ ⇐⇒ ∈ ∩ ∩  iii) A ∩ A = A. x (A B) C x (A B) x C x A (x (B C ) x A (B C ).

Demostraci´ on

∈ A ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A ⇐⇒ x ∈ A ∩ A. A ∩ φ = φ. x

iv)



Demostraci´ on

∈ ∩ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ ∈

x A φ x A x φ x φ pues las dos últimas proposiciones son falsas ya que la proposición x φ es falsa. 

v) A

∈

∩ B ⊆ A ; A ∩ B ⊆ B.

Demostraci´ on

∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ A. ii) x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ B. A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ B = A. i) x

vi)



Demostraci´ on

⊆ ∈ ∩ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ x ∈ A (¿Por qué es cierto ∩

i) Supongamos A B; entonces: x A B x A x B esto último?); luego A B = A.

252


∩ ∈ ⇐⇒ ∈ ∩ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ B =⇒ x ∈ B . Luego ⊆

ii) Supongamos A B = A; entonces: x A x A B x A x A B. 

Definici´ on 6. (Unión de conjuntos (Peano (1888))) Sean A y B dos conjuntos; definimos el conjunto unión de A y B (notado ı: A B) as´

∪

x

∈ A ∪ B si, y sólo si, x ∈ A ∨ x ∈ B A

∪B

A

B

Figura 8: Unión de conjuntos

Teorema 3. (Propiedades de la unión)

Sean A, B , C conjuntos. Entonces: i) A

∪ B = B ∪ A.

Demostraci´ on

∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ∨x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B ∨x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∪A.  (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). x

ii)

Demostraci´ on

∈ ∪ ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇐⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C ). 

x (A B) B) x C


iii) A

253

∪ A = A.

Demostraci´ on x

iv)

∈ A ∪ A ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A ⇐⇒ x ∈ A. A ∪ φ = A.



Demostraci´ on

∈ A ∪ φ ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ φ ⇐⇒ x ∈ A puesto que la afirmación ∈ φ es siempre falsa.  A ⊆ A ∪ B ; B ⊆ A ∪ B. x x

v)

Demostraci´ on

⊆ A ∪ B. ⇒ ∈ ∨ ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∪ B

i) Probemos primero A x A= x A x

∈

ii) Ahora probe mos B A B. x B= x A x B x

vi)

∈ ⇒ ∈ ∨ ⊆∈ ∪⇐⇒ ∈ A ∪ B A ⊆ B ⇐⇒ A ∪ B = B.



Demostraci´ on

⊆

i) Supongamos A B; entonces: x A B x A x B

∈ ∪ ⇐⇒ ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ x ∈ B. Luego A ∪ B = B ∪ ∈ ⇒ ∈ ∪ ⇐⇒ ∈ ⊆B  A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇐⇒ A ∪ B ⊆ C . ii) Supongamos A B = B; entonces: x A= x A B x B. Luego A

vii)

Demostraci´ on i) Supongamos Entonces: x A B A x CA Bx CB. = x C

∈ ∪ ⇐⇒ ⊆ ∈ ∧∨ ⊆∈ ⇒ ∈ ∨ x ∈ C =⇒ x ∈ C . ii) Supongamos A ∪ B ⊆ C . Entonces: x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪ B =⇒ x ∈ C ; y x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪ B =⇒ x ∈ C. 

254


Teorema 4. (Relaciones entre la intersección y la unión de conjuntos)

Sean A, B , C conjuntos; entonces: i) (A

∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )

Demostraci´ on

∈ ∪ ∩ ⇐⇒ ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ C ) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C ) ∨ x ∈ (B ∩ C ) ⇐⇒ x ∈ ∩ ∪ ∩ (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) x (A B) C (x C ) (x B x C ) (A C ) (B C ). 

ii)

Demostraci´ on

∈ ∩ ∪ ⇐⇒ ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ ∈ ∨ x ∈ C ) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇐⇒ x ∈ ∪ ∧ ∈ ∪ ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ). 

x (A B) C x B) x C (x A (A C ) x (B C )

Definici´ (Diferencia de conjuntos) Sean A yon B 7. dos conjuntos; definimos el conjunto diferencia de A y B (notado A B ó A B) as´ı:

−

x

A

A

\

∈ (A − B) si, y sólo si, x ∈ A ∧ x ∈/ B B

A

−B

B

B

Figura 9: Diferencia entre conjuntos

Teorema 5. (Propiedades de la diferencia de conjuntos )

Sean A, B , C conjuntos. Entonces:

−A


i) A

255

−A=φ

Demostraci´ on x A A x A x / A x φ siendo la última equivalencia cierta pues ambas proposiciones son falsas. 

∈ − ⇐⇒ ∈ ∧ ∈

ii) A

⇐⇒ ∈

− (A ∩ B) = A − B

Demostraci´ on

∈ A − (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈/ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈/ ∨ x ∈/ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈/ A) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈/ B) ⇐⇒ x ∈/ ∨ x ∈ (A − B) ⇐⇒ x ∈ φ ∪ (A − B) ⇐⇒ x ∈ A − B.  iii) A ∩ (A − B) = A − B x A φ

Demostraci´ on

∈ ∩ − ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ − ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ ∈ −

x A (A B) x A (x A B) x A (x A x / B) (x A x / B) x A B. ¿Podr´ıa explicar el lector el por qu´ e de la tercera equivalencia? 

iv) (A

− B) ∪ B = A ∪ B

Demostraci´ on

∈ − ∪ ⇐⇒ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ ∈ ∨ ∈ ⇐⇒ ∈ ∪

x (A B) B (x A x / B) x B (x A x B) (x / B x B) x A x B x A B ¿Podr´ıa tambi´ en aqu´ ı decir el lector el por qu´ e de la tercera equivalencia? 

v) (A

∪ B) − B = A − B

Demostraci´ on

∈ ∪ − B ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈/ B ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈/ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈/ B) ⇐⇒ x ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ x ∈ A − B. 

x (A B) B) x / B A x /B

vi) (A

B)

B=φ

∩ − x ∈ (A ∩ B) − B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ / B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ / B ) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ (B − B) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ φ ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∩ φ ⇐⇒ x ∈ φ.  Demostraci´ on

256


vii) (A

− B) ∩ B = φ

Demostraci´ on

x (A B) B x (A B) B) x B x A (x / B x B x / B es siempre falso. 

viii)

x ∈ / ∈∧ −∈ ⇐⇒ ∩ ⇐⇒∈ ∈∧ −∈ ∧∧ xx ∈∈ BB)⇐⇒ ⇐⇒(xx ∈∈ Aφ,∧pues ∈ ∧ ∈ A − (B ∪ C ) = (A − B) ∩ (A − C ) Demostraci´ on

∈ − ∪ ⇐⇒ ∈ A ∧ (x ∈/ B ∧ ∈/ C ) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈/ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ (A − C ) ⇐⇒ x ∈ − ∩ − A − (B ∩ C ) = (A − B) ∪ (A − C ) x A (B C ) x B) (x A x / C ) (A B) (A C ). 

ix)

Demostraci´ on

∈ − ∩ ⇐⇒ ∈ A ∧ x ∈/ (B ∩ C ) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈/ ∨ ∈ ∧ ∈ ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (A − C ) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∪ (A − C ).  x A (B C ) x B) (x A x / C )

Definici´ on 8. (Complemento de un conjunto) Definimos el complemento de un conjunto A, notado A (o A c , o también A′ ), as´ı: x

∈ A si, y sólo si, x ∈/ A

A

A

Figura 10: Complemento del conjunto A

257


Teorema 6. (Leyes de DeMorgan) i) El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la inter-

secci´ on de los complementos de dichos conjuntos . As´ı, si A y B son dos conjuntos, entonces (A

∪ B) = A ∩ B

Demostraci´ on

∈ ∪ ⇐⇒ x ∈/ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈/ A ∧ x ∈/ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ⇐⇒ ∈ ∩ B). 

x (A B) B x (A

A

Figura 11: A

B

∪B= A∩B

ii) El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementos de dichos conjuntos . As´ ı, si A y B son

dos conjuntos, entonces A

∩B =A∪B

Demostraci´ on

∈ ∩ B) ⇐⇒ x ∈/ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈/ A) ∨ (x ∈/ B) ⇐⇒ (x ∈ ∨ ∈ B) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B). 

x (A A) (x

Definici´ on 9. (Familia de conjuntos) Un conjunto C es una familia de conjuntos si, y sólo si, ( X )(X C = X es un conjunto).

⇒

∀

∈

258


A

B

Figura 12: A

∩B= A∪B

Definici´ on 10. (Unión de una familia de conjuntos) Si C es una familia de conjuntos, definimos la uni´ on de la familia de A) as´ı: conjuntos de C (notada



A C

∈

x

∈

A si, y sólo si, x A C

∈

Si C = A1 , A2 , A3 ,

 ···

{

, An ,

···}

∈ A para algún A ∈ C

entonces



A se escribirá

A C

∈

∞ Ai .



i=1

Definici´ on 11. (Intersecci´ on de una familia de conjuntos) Si C es una familia de conjuntos, definimos la intersecci´ on de la familia de conjuntos de C (notada A) as´ı:



A C

x

∈



∈

A si, y sólo si, x

A C

∈

{

Si C = A1 , A2 , A3 ,

··· An , ···}

∈ A para todo A ∈ C

entonces



A C

∈

A se escribirá

∞



i=1

Ai .

Teorema 7. (Propiedades de la unión e intersecci´ on de familias) i) Si C ii)

⊆ D entonces

    A=

A C

iii)

∈

A=

A C

∈

A

A C

∈

A C

∈

A

 ⊆ A

A C

A D

∈

∈

A

259


iv) Si C = C 1

∪ C2 , entonces (

Demostraci´ on

 



 

A) = (

A C

A) (

A C1

∈

A)

A C2

∈

∈

∈ A ⇐⇒ x ∈ A para algún A ∈ C =⇒ x ∈ A para algún A∈ C A ∈ D.  ii) x ∈ A ⇐⇒ x ∈ / A ⇐⇒para todo A ∈ C , x ∈ / A ⇐⇒ x ∈ i) x





A∈ C

A.

A C

∈



A C

∈

∈





⇐⇒ x ∈/ A ⇐⇒ x ∈/ A para algún A ∈ C ⇐⇒ x ∈ A∈C A para algún A ∈ C ⇐⇒ x ∈ A. 

iii) x

A

A C

∈



A C

∈

iv) x

∈

A A C

∈



⇐⇒ x ∈ A para todo A ∈ C ⇐⇒ x ∈ A para todo A ∈ C1 ó para todo A ∈ C2 ⇐⇒ x ∈ A para todo A ∈ C1 ó x ∈ A para todo A ∈ C2 ⇐⇒ x ∈ A ó x ∈ A A∈C A∈C ⇐⇒ x ∈ ( A) ( A) 

    1

A C1

∈

Ejemplo 2.

{

Sea C = A1 , A2 , A3 0, 2, 6 . Entonces:

{

}

}

2

A C2

donde A1 =

∈

{1, 2, 3}, A2

=

{−1, 2, 4}, A3

=

3

a)

    A=

A C

∈

i=1

Ai =

{−1, 0, 1, 2, 3, 4, 6}

3

b)

A= A∈ C

i=1

Ai = 2

{}

Más adelante, cuando hayamos desarrollado formalmente los conjuntos de números, daremos otros ejemplos de estas operaciones de familias de conjuntos.

260


Finalmente, desarrollamos la última operación entre conjuntos sobre la que haremos énfasis. Definici´ on 12. (Conjunto de partes) Si A es un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de partes de A, notado (A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A; es decir,

P

B

∈ P (A) ⇐⇒ B ⊆ A

Ejemplo 3.

{ } P (A) = {φ, {1}, {2}, A}. ii) Si A = {a,b,c } entonces P (A) = {φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}. i) Si A = 1, 2 entonces

Nota 1. Si el cardinal de A (es decir, su número de elementos) es n, entonces el cardinal de (A) es 2 n . ¿Podr´ıa el lector probar esto? (ver ejercicio complementario 4).

P

Teorema 8. (Propiedades del conjunto de partes)

i) Si A

⊆ B entonces P (A) ⊆ P (B) ii) P (A) ∩ P (B) = P(A ∩ B) iii) P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B) Demostraci´ on

∈ P (A) ⇐⇒ C ⊆ A =⇒ C ⊆ B ⇐⇒ C ∈ P (B).  ii) C ∈ P (A ∩ B) ⇐⇒ C ⊆ A ∩ B ⇐⇒ C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇐⇒ C ∈  P (A) ∧ C ∈ P (B) ⇐⇒ C ∈ P (A) ∩ P (B). iii) C ∈ P (A) ∪ P (B) ⇐⇒ C ⊆ A ∨ C ⊆ B =⇒ C ⊆ (A ∪ B) ⇐⇒ C ∈ P (A ∪ B).  i) C


261

Ejercicios 2 1.

a) Kurt Gödel [1906-1978], quizás el más importante lógico del siglo XX, escrib´ıa la siguiente paradoja: “En mayo 4 de 1934, A hace la afirmación siguiente: “Toda afirmación que A haga en mayo 4 de 1934 es falsa”” . Analizarla similarmente a la Paradoja del Mentiroso. b) Bertrand Russell [1872-19 72] presentó una paradoja que, en su forma popular, se conoce como la Paradoja del Barbero :

“En un pueblo, su ´ unico barbero afirmaba que no afeitar´ıa a nadie que se afeitara a s´ı mismo, y que sólo afeitar´ıa a aquellos que no lo hicieran as´ı”. ¿Quién afeita al barbero? c) Russell en su Principia Mathematica de 1913, considerab a otra paradoja. La Ley del Tercero Excluido establece que todas las proposiciones son falsas o verdaderas, y no ambas. Pero esta ley, por s´ı misma, es una proposición. Russell dice que, por tanto, esta ley puede ser falsa. Analice. 2. En un diagrama apropiado, como los enseñados en esta sección, ilustre los siguientes conjuntos: a) A

∩B ∩ B) ∪ (A ∩ B)

c) (A

b) A d)(

{

∩B ∪ B) ∩ (A ∪ B)

A

}

3. Si S = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 , describa los elementos de los siguientes subconjuntos:

{ ∈ S/a es divisible por 8 } b) B = {b ∈ S/b es divisible por 4 } a) A = a

c

c) C = c

{ ∈ S/ 10 es un número primo } 4d d) D = {d ∈ S/ ∈ S} 3 4. Con los conjuntos A ,B, C y D anteriores, determine:

262


a) A

b) A

c) A B e) (A C )

d) A C f) A B

g)

h)

∩ ∩ ∪D A∪D

B

∩∪ ∩ A∪ B ∪ C ∪D

5. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre S, A, B,C,D del ejercicio 3, son ciertas?: a) B = D c) A

b) A

∩C =S

{

d) A

∪B ⊆B ⊆C

}

6. Si S = 1, 3, 5, 7, 9, 11 , halle sus siguientes subconjuntos:

{ ∈ S/ a > 3.5} b) B = {b ∈ S/ b − 7 = 7 − b} c) C = {c ∈ S/ 4c − 4 < 3c} d) D = {d ∈ S/ 3 + d = 20 − d} a) A = a

7. ¿Será cierto que para cualquier tres conjuntos A ,B, C, se tiene que (A B) C = (A C ) (C B)?

− ∩

∩ ∩ −

8. Si A y B son dos conjuntos, se define la diferencia sim´ etrica de A y B como el conjunto A △ B = (A

− B) ∪ (B − A)

Pruebe entonces que: a) A △ φ = A b) A △ B = B △ A c) (A △ B) △ C = A

△

(B

△

C)

∩ (B △ C ) = (A ∩ B) △ (A ∩ C ) e) A = B ⇐⇒ A △ B = φ

d) A

263


f) A △ C = B

△

C implica A = B

¿Podr´ıa el lector establecer alg´ un tipo de semejanza entre esta operación de conjuntos y las operaciones estándar de los números? 9. Si A es un conjunto cualquiera, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?:

10. Si A1 =

{ } A ∈ {{A}, A}

⊆ {{A}, A} {A} ∈ {{A}, A}

a) φ = φ

b) A

c)

d)

{ 12 , 13 , − 14 , 1}, A2 = { 34 , 13 , 1}, A3 = { 1}, calcule

       3

3

3

Ai ,

Ai ,

i=1

i=1

11. Calcule

P (A) si:

3

Ai ,

i=1

3

Ai ,

i=1

{} A = {1, 2, 3}

Ai .

3



Ai ,

i=1

i=1

{ } A = {1, 2, 3, 4}

a) A = 1

b) A = 1, 2

c)

d)

Muestre que 2, 4, 8 y 16 son los correspondientes cardinales de los conjuntos en a), b), c) y d).

3.

Los números reales

Ya antes hab´ıamos afirmado que desde los tiempos de los egipcios y los babilonios se utilizaban números enteros naturales, fracciones y aún números irracionales como 2 y 3. Obviamente, la base emp´ırica de utilización de estos números imped´ıan un an´ alisis más cr´ıtico. El primer tratamiento lógico conocido sobre los números enteros naturales fueron los Libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides (ver lección 1).

√

√

All´ı, Euclides daba definiciones tales como unidad (“en virtud de la cual a algo se le puede llamar uno ”) y número (como una cantidad compuesta de unidades). Claramente estas definiciones son inadecuadas, e inclusive algunas de las pruebas son equivocadas. Aún as´ı, los griegos y sus sucesores cre´ıan que la teor´ıa de los n´ umeros enteros era satisfactoria hasta

264


el punto de que se permit´ıan hablar acerca de razones entre n´ umeros enteros (que generaciones más tarde llamaron fraccionarios) aunque estas no estaban definidas. Dos mil años después de los griegos, fue Weierstrass el primero en darse cuenta de que no pod´ıa hacerse riguroso el análisis matemático (y, en particular, el cálculo diferencial e integral) sin una mejor comprensi´ on del sistema de los números, y fue él el primero en dar una definición rigurosa de número irracional, y en derivar sus propiedades basadas en las propiedades ya familiares de los números racionales. Este trabajo se conoció en los 1860’s. Posteriormente, Dedekind y Cantor también definieron los números irracionales (dando por conocidos los racionales) y establecieron sus propiedades. Los trabajos de ambos fueron publicado s en los 1870’s. Pero la lógica de los números racionales a´ un faltaba. En 1888, Dedekind, en su The Nature and Meaning of Numbers , describió las propiedades básicas de lo que podr´ıa ser un aparato axiom´ atico para los racionales. Peano basándose en ideas de Dedekind y de Hermann Grassmann ( Textbook on Arithmetic (1861)) logró, en su Principles of Arithmetic de 1889, producir los números racionales a partir de axiomas sobre los números enteros. Con esto, finalmente, se ten´ ıa una estructura l´ ogica de los números reales: ¡ En 1890, seis mil a˜ nos despu´ es de los egipcios y babilonios, los matemáticos hab´ıan podido finalmente probar que 1 + 1 = 2.

a).

Los números naturales ( N): descripción

Comenzamos el estudio de los fundamentos de los sistemas numéricos con los n´ umeros naturales (ó enteros positivos ) que están en la base misma de la construcción hipotético-deductiva de las matem´ aticas contemporáneas. Los números naturales, es decir, los “números de contar” se acostumbran notar mediante el conjunto

{

N = 1, 2, 3, 4....

}

Los reconocemos aqu´ı (mas no los definimos) mediante ciertas propiedades con respecto a la suma (adición) y multiplicación (o producto) que son:

265


I. Propiedades de N para la suma ( +) i) a + b

∈ N para todo a, b ∈ N (la suma de dos números natu-

rales es otro número natural ).

∈ N (conmutatividad). iii) a + (b + c) = (a + b) + c para todo a,b , c ∈ N ( asociatividad). II. Propiedades de N para el producto ( ·) i) a · b ∈ N para todo a, b ∈ N (la multiplicaci´ on de dos números ii) a + b = b + a para todo a, b

naturales es otro número natural ). N ( conmutatividad). iii) a (b c) = (a b) c para todo a,b , c N ( asociatividad).

· · · ·

ii) a b = b a para toda a, b

· ·

∈

∈

·

iv) existe un número natural 1 (uno) tal que a 1 = a para todo a N.

∈

III. propiedad de distributividad en N Para todo a , b, c

N,

∈ ·

·

·

a (b + c) = a b + a c IV. Propiedades de orden en N Sobre N se define un “orden”, notado “ <” (se lee “menor que”), as´ı: para a, b N, diremos que a a) si, y sólo si, existe un c N tal que a + c = b.

∈

∈

Algunas propiedades del orden < en N son:

∈

i) Para todo a, b N, se tiene una, y sólo una, de las siguientes tres relaciones: i)a
ii

a)>b

iii

) a=b

ii) Si a < b y b < c entonces a < c, para todo a,b,c (transitividad). iii) Si a < b entonces para todo c a+c
∈N

(monotonicidad de la suma )

∈

N

266


iv) Si a < b y 1 < c entonces (monotonicidad de la multiplicaci´ on )

ac < bc

En la recta num´ erica, los n´ umeros naturales aparecen como en la figura 13. 1234567

8

Figura 13: Los números naturales

b).

Los números enteros ( Z): descripción

La creación de los números enteros está motivada, claramente, por la necesidad de que la operación de sustracción fuese siempre posible. Los números enteros, es decir, los números de la forma n o n, donde n es un número natural (además del 0) y n su opuesto negativo, forman un conjunto notado por Z (del alemán Zahlen (entero )) en el que tambi´ en est´ an definidas las operaciones básicas de suma y multiplicación. Estas operaciones, además, satisfacen propiedades similares a las de los números naturales, que son:

−

−

I. Propiedades de Z para la suma ( +) Z para todo a, b Z (la suma de dos números enteros es, de nuevo, un número entero ). ii) a + b = b + a para todo a, b Z ( conmutatividad). iii) a + (b + c) = (a + b) + c para todo a , b, c Z ( asociatividad).

i) a +b

∈

∈

∈

∈

iv) Para todo a, b Z existe un único c (existencia de inverso ).

∈

∈ Z tal que a + c = b

En particular, esta última propiedad implica que existe un único número entero notado 0 (cero) tal que a + 0 = a; y que la suma tiene una “operación inversa” (sustracción o resta) válida en Z y notada “ ” tal que para todo a Z, existe un único número entero, notado a, tal que a + ( a) = 0; a esta operación a + ( a) la acostumbramos notar a a; y en general, a la operación a +( b)

−

−

−

−

∈

− −

267


−

−

la notaremos a b, dando as´ı sentido a la afirmaci´ on de que “ ” (la resta o diferencia) es tambi´ en una “operación” entre los números enteros.

·

II. Propiedades de Z para el producto ( ) Z para todo a, b Z (la multiplicaci´ on de dos números enteros es, nuevamente, un número entero ).

· ∈

∈

i) a b

∈ Z (conmutatividad). ∈ Z (asociatividad). iv) Existe un número entero 1 (uno) tal que a · 1 = a para todo a ∈ Z. · · · ·

ii) a b = b a para todo a, b

· ·

iii) a (b c) = (a b) c para todo a,b , c

III. Propiedad de distributividad en Z Para todo a , b, c Z

∈

a (b + c) = a b + a c

·

·

·

IV. Propiedades de orden en Z Sobre Z tambi´ en se define un “orden” notado “<” (que igualmente se lee “menor que”), as´ı: para a, b Z, diremos que a a) si, y sólo si, existe un c N tal que a + c = b.

∈

∈

Algunas propiedades del orden < en Z son:

∈

i) Para todo a, b Z, se tiene una, y sólo una, de las siguientes tres relaciones: i)a
ii

a)>b

iii

ii) Si a < ). b y b < c entonces a < c, para todo a,b , c tividad iii) Si a 0 entonces

·

(monotonicidad de la multiplicación )

·

a c
En la recta num´ erica, los números enteros aparecen como en la figura 14.

−4 −3 −2 −1

01234

Figura 14: Los números enteros

Observemos que, con estas caracter´ ısticas, N

⊆ Z.

Nota 2. Una consecuencia de los axiomas es que a 0 = 0 para todo a efecto, a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, y as´ıa 0 = 0.

·

·

·

·

·

·

∈ Z. En

Nota 3. Quiz´ as el punto principal en la multiplicación de números positivos y negativos es la conocida regla de signos a ( c) = ( c) a = (a c) y ( a) ( a) = a a (esta última conocida como la regla del “menos por menos da más”). Probar, por ejemplo, que a ( c) = a c es fácil a partir de las otras propiedades: Puesto que a c + ( (a c)) = 0 y tambi´ en a c + a( c) = a (c + ( c)) = a 0 = 0 entonces se tendrá que (a c) = a ( c).

− ·−

− · c).

·

·−

·

·−

−

·

−

·

− · − · ·− −· · − ·

Los números racionales ( Q): descripción

La segunda extensión en el sistema num´ erico natural es la de los números racionales (o fraccionarios). Hacer el paso de los números enteros a los fraccionarios cambia sustancialmente el escenario: del n´ umero de cosas, debemos seguir a la medida de las mismas. Los números racionales, es m decir, los números de la forma n donde m y n son enteros y n = 0 forman un conjunto (notado por Q (del Ingl´ es quotient (cociente))) en el que tambi´ en est´ an definidas las operaciones básicas. Estas operaciones satisfacen algunas propiedades como las siguientes:



269


I. Propiedades de Q para la suma (+) i) a + b

Q (la suma de dos fraccionarios

Q para todo a, b

es un fraccionario ).

∈

∈

∈ Q ( conmutatividad). iii) a + (b + c) = (a + b) + c para todo a , b, c ∈ Q ( asociatividad). iv) Para todo a ∈ Q existe un único c ∈ Q tal que a + c = 0; este b usualmente se nota −a ( existencia de inverso ). II. Propiedades de Q para el producto ( ·) i) a · b ∈ Q para todo a, b ∈ Q (el producto de dos fraccionarios ii) a + b = b + a para todo a, b

es otro fraccionario).

· · ∈ Q (conmutatividad). iii) a · (b · c) = (a · b) · c para todo a,b , c ∈ Q (asociatividad). iv) Para todo a, b ∈ Q, a =  0 existe un ´ unico c ∈ Q tal que a · c = b ( existencia de inverso ). ii) a b = b a para todo a, b

En particular, esta propiedad implica que existe un ´ unico número racional notado 1 (uno) tal que a 1 = a; y que la multiplicación tiene una “operación inversa” (división) válida en Q y notada “/”(ó “ ”) tal que para todo a Q, a = 0, existe un único núme1 1 1 ro racional notado tal que a = 1; a esta operación a la a a a a acostumbramos notar (ó a/a, ó a a); y en general, a la opea 1 a raci´ on a , para b Q, b = 0, la notamos , dando as´ı sentido b b a la afirmación de que la división “/” es una “operación”entre los números racionales.

·

÷

∈ ·



·

÷

·

∈



III. Propiedad de distributividad en Q

·

·

·

(a + b) c = a c + b c para todo a , b, c

∈ Q.

270


IV. Propiedades de orden en Q Sobre Q está definido un “orden”notado “ <” (se lee “menor que”) m p as´ı: para a, b Q , diremos que a = n 0, si, y sólo si, q m < n p, donde en la última desigualdad utilizamos el orden < de Z.

· ∈ ·

Algunas propiedades de < en Q son:

∈

i) Para todo a, b Q, se tiene una, y sólo una, de las siguientes tres relaciones: i) a b

iii) a = b.

ii) Si a 0 entonces

·

·

a c< b c

(monotonicidad de la multiplicaci´ on )

Q tal que a < c < b (densidad de los números racionales ). En particular, podemos escoger c =

v) Si a < b existe un c

∈

a+b . 2

|

a

|

a+b

2

|

b

x

Figura 15: Densidad de los números racionales

Con estas propiedades se tendrá entonces que N

Z

⊆ ⊆

Q.

Ahora: es fácil observar que los números racionales (con estas propiedades) son insuficientes a´ un para medir todas las cantidades y, en particular, para medir la longitud de ciertos intervalos. Para ver esto, tomemos una l´ınea, un srcen (el número 0) y una cantidad de escala (el número

271


1). Entonces queda claro lo que significa un segment o con punto final en 1 1 1 2 , 4 , 5 , etc. En general, es posible asignarle, a cada n´ umero racional, un punto sobre la recta (se acostumbra a colocar los racionales positivos a la derecha y los racionales negativos a la izquierda) que es el punto final del segmento de recta con tal longitud dirigido a la derecha si el n´ umero racional es positivo, y dirigido a la izquierda si el n´ umero racional es negativo (ver figura 16).

-2

- 32

-1

- 21

0

1 2

1

3 2

2

x

Figura 16: Los números racionales

Sin embargo, no a toda longitud de segmento de recta se le puede asignar un número racional. Por ejemplo, ya los antiguos griegos (en particular, desde los pitagóricos), sab´ıan que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede medirse mediante ning´ un número racional.8 As´ı que p odemos concluir que la recta de arriba está “agujereada” pues habrá longitudes a las que no es posible asignarles n´ umeros racionales. Sin embargo, los griegos nunca lograron desarrollar método alguno para definir, aritm´ eticamente, los n´ umeros que no eran racionales (irracionales). Esto fue el resultado de los desarrollos del siglo XIX. 9 La idea general de n´ umero irracional apareció al final del siglo XVII como consecuencia de la introducción a los n´ umeros decimales que necesitaban los logaritmos neperianos. Si transformamos un n´ umero racional en uno decimal, podemos obtener infinitos decimales (aunque peri´ odicos), o simplemente, un número finito de ellos; un caso t´ıpico es 13 = 0.3333.... Sin embargo, todo número irracional se transformará en uno decimal con infinitos decimales no-periódicos. As´ı, podr´ıa establecerse la noci´ on de número irracional a trav´ es de aproximaciones por números racionales. 8

√

Es el número 2. Una anotaci´ on con respecto a la palabra irracional. Es, sin duda, la traducción del lat´ın de la palabra griega “αλoγ os”, que, presumiblemente, significa “inexpresable”. Esto porque los nuevos números no pod´ıan (como s´ı los racionales) expresarse mediante la razón de dos números enteros. La equivocaci´ on de colocar sobre la palabra latina “razón” el sentido de “razonable”, parece todav´ıa estar anclado al t´ ermino “n´ umero irracional”.

9

272


El problema de averiguar cómo es posible determinar la posición de un

número arbitrario sobre la l´ınea, fue la idea que condujo al concepto de número real. Hab´ıamos dicho que Cantor y Dedekind, simultáneamente en 1872, dieron las bases al concepto de n´ umero. Dedekind, en particular, part´ıa de que los números racionales eran conocidos. Para alcanzar la definici´ on de número irracional, Dedekind creó la noción de corte en el dominio de los números racionales: si a es un número, entonces separa la totalidad de los números racionales en dos partes A y B tales que cualquier número en A es menor que cualquier número en B, y todo número racional pertenece a uno (y sólo a uno) de estos dos conjuntos. A estos cortes propios se le anteponen los cortes impropios que son separaciones de todos los números racionales en dos clases, A y B, en las que no hay, ni uno m´ as pequeño racional en B, ni uno más grande en A. F´ acilmente se ve que un corte es propio si el decimal es peri´ odico, e impropio si no es peri´ odico. A

B

a Figura 17

un corte en el dominio de los racionales se llama “racional” si el corte es propio, e “irracional” si el corte es impropio . Y dos números son iguales si son Con estas definiciones como base, Dedekind define que

el mismo corte. Ser´ ıa dif´ıcil aqu´ ı extendernos m´ as en la concepción de número de Dedekind; basta con decir que, simultáneamente a esta definici´ on, Cantor formulaba en el Mathematische Annalen de 1872 un axioma para los números que ya hab´ıa sido establecido por la geometr´ ıa anal´ ıtica de Descartes y Fermat: este principio fundamental dec´ıa que,

correspondiente a todo n´ umero racional o irracional, existe un punto que tiene este número como abscisa en una recta; y, rec´ıprocamente, que correspondiente a todo punto sobre la l´ınea existe un número racional o irracional del cual aquél es su abscisa. A este axioma que establece una correspondencia entre los n´ umeros reales, de un lado, y los puntos de una l´ınea recta, del otro, se le conoce como axioma de Cantor o de continuidad. Basados en los desarrollos de Weierstrass, Dedekind y Cantor, hoy contamos con una definición (axiomática) precisa de número real como “extensi´ on continua” de los números racionales. Veamos cuáles son estas propiedades.

273


d).

Los números reales ( R): definici´ on axiom´ atica

Se asume que existe un conjunto de objetos, llamados n´ umeros reales, sobre se han definido “operaciones”, y producto , notadas (+) y los ( ) cuales respectivamente, las cuales satisfacensuma las siguientes propiedades:

·

I. Propiedades de R para la suma (+) R si a, b R (la suma de dos n´ umeros reales es, de nuevo, un número real). ii) a + b = b + a para todo a, b R (conmutatividad). iii) a + (b + c) = (a + b) + c para todo a , b, c R (asociatividad).

i) a + b

∈

∈

∈

iv) Existe un número real 0 (cero) tal que a R.

∈

∈

a + 0 = a para todo

v) Para todo a R existe un unico ´ c R (notado a + c = a + ( a) = 0 ( existencia de inverso ).

∈ −

∈

−a) tal que

II. Propiedades de R para el producto ( )

·

(el producto de dos números reales es, de nuevo,un número real). ii) a b = b a para todo a, b R (conmutatividad).

· ∈ R si a, b ∈ R

i) a b

· · · ·

∈

· ·

iii) a (b c) = (a b) c para todo a,b , c



∈R

(asociatividad).

·

iv) Existe un número real 1 (uno), 1 = 0, tal que a 1 = a para todo a R.

∈

v) Para todo a R , a = 0 existe un único c R (notado a−1 o 1 ) tal que a c = 1 (existencia de inverso ). a III. Propiedad de distributividad en R Para todo a , b, c

∈ ·



∈

∈R ·

·

·

(a + b) c = a c + b c IV. Propiedades de orden en R Supondremos que existe un cierto subconjunto R++ R (conjunto de números reales positivos ) que satisface los tres axiomas siguientes:

⊆

274


i) Si x, y



∈ R++ entonces x + y ∈ R++ y x · y ∈ R++. ∈ R++ ó −x ∈ R++, pero no ambos.

ii) Si x = 0, entonces x iii) 0 / R++ . Notaci´ on

∈

• x > y (se lee “ x es mayor que y ”) si, y sólo si, x − y ∈ R ++. Adem´ as x > y tambi´ en puede escribirse y < x.

• x ≥ y (se lee “ x es mayor o igual que y”) si, y sólo si, x > y ó x = y. Además x ≥ y tambi´ en se puede escribir como y ≤ x. V. Axioma de completez (o de continuidad) en R Como ve´ıamos antes, la diferencia esencial entre los números racionales y los reales es que estos ´ ultimos se pueden caracterizar mediante una correspondencia uno-a-uno con los puntos de una l´ınea recta continua. Pero axiomatizar esto, requiere de una definición fundamental: Definici´ n 13. superiormen te)es acotado suDiremos oque un (Conjunto conjunto no acotado vac´ıo A de números reales periormente si, y sólo si, existe un n´ umero real M tal que para todo a

∈ A,

a

≤M

A este número M se le llama una cota superior de A. A

M

cota superior

)

Figura 18: Conjunto acotado superiormente

Ejemplo 4.

{ ∈ − ≤ ≤ }

El conjunto x R/ 1 x 0 es acotado superiormente por 0, pero tambi´ en por cualquier n´ umero real mayor que 0.  El siguiente axioma es, como ya lo discut´ıamos, el más profundo y dif´ıcil sobre el comportamiento de los números reales:

275


Axioma de completez

Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales, acotado superiormente, tiene una m´ınima cota superior; es decir, si c es tal m´ınima cota superior de A, y M es otra cota superior de A, entonces c M .

≤

m´ınima cota superior de A A

)

cota superior de A

M

c

Figura 19: Conjunto con una cota superior m´ınima

Fácilmente, se puede probar que esta m´ınima cota superior es única, pues si existiera otra m´ınima cota superior c′ , entonces, como c es una cota superior de A, se tendrá que c′ c; y, de manera similar, como c′ es una cota superior de A, se tendrá que c c ′ ; por lo tanto, c = c ′ (esta u ´ ltima igualdad se obtiene de un resultado que se deduce de los axiomas de orden, y que probaremos abajo en b) xii)).

≤

≤

A esta única m´ınima cota superior del conjunto acotado y no vac´ıo, A, se le denota por SupA (se lee “el supremo de A”, ó “extremo superior de A” ó, simplemente, “el S up de A”). Si SupA A entonces escribiremos SupA = Ma x A ( m´ aximo de A ).

∈

Ejemplo 5. i) Para el conjunto A = MaxA = 0.

{x ∈

R/x

{ ∈

≤ 0} se tiene que

SupA =

}

ii) Para el conjunto B = x R/x < 0 se tiene que Su p A = 0, mas este conjunto no tiene máximo. iii) Para el conjunto C = 1 12 , 1 13 , 1 14 ,..., 1 n1 ,... , se tiene que Su p C = 1. Claramente, éste no pertenece al conjunto y, por tanto, C no tiene máximo. 

{ −

−

−

−

}

El axioma de completez distinguirá entonces a los n´ umeros reales, R, de cualquier otro conjunto (como el de los n´ umeros racionales, Q) que satisfaga los otros dos conjuntos de axiomas (algebraicos y de orden).

276


Un ejercicio interesante aqu´ı es que el lector muestre que el conjunto de los números racionales, Q, no satisface el axioma de completez. Tome, por ejemplo, un conjunto de racionales que tenga como extremo superior a

√2.

Nota 4. (Propiedades de los números deducidas de los axiomas) Utilizando los axiomas se puede probar que, también, las siguientes son caracter´ ısticas algebraicas b´ asicas de los números reales. Se podrá observar (y esto es lo realmente notable del m´ etodo axiomático) cómo a partir de unos pocos axiomas, es posible deducir cualquier otra propiedad ya conocida de los números con que operábamos en la aritm´ etica y el álgebra en lecciones previas. Advertimos que, para simplificar un poco la notación, en adelante escribiremos, en general, ab en lugar de a b.

·

a) Algunas propiedades algebraicas que pueden ser deducidas de los axiomas: i) Si a , b, c R y a + b = a + c entonces b = c ii) Dados a, b R existe uno y sólo un x R tal que a + x = b. A este x se le designa b a. As´ı, b a = b + ( a)

∈

∈

−

∈

− −(−a) = a iv) a(b − c) = ab − ac v) 0 · a = a · 0 = 0 vi) Si ab = ac y a =  0 entonces b = c vii) Dados a, b ∈ R , a =  0, existe un único x ∈ R tal que ax = b. iii)

−

b 1 . Además, tambi´ en se escria a (rec´ ıproco de a)

Esta x se denota por x =

birá como a −1 b viii) Si a = 0, = b(a)−1 a



1

1

ix) Si a = 0, ( a− )− = a x) Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0



−

−

− −  

xi) ( a)b = (ab) ; ( a)( b) = ab a c ad + bc xii) + = si b = 0, d = 0 b d bd

277


xiii)

xiv) xv)

ac ac = bd bc a



ad cb = bc si b = 0, c = 0, d = 0 d 0=0

  −



si b = 0, d = 0







xvi) 1−1 = 1 xvii)

−(a + b) = −a − b

xviii) (ab)−1 = a − b−1 si a = 0, b = 0 a a a xix) = = si b = 0 b b b a c ad bc xx) = si b = 0 y d = 0 b d bd

 − −  − 

− −











Demostraci´ on [Probaremos i), ii), iii), iv), v), vi) y viii). Las pruebas de las demás propiedades quedan como ejercicio para el lector.]

∈

−

−

i) Si a,b , c R y a + b = a + c entonces ( a) + (a + b) = ( a) + (a + c); luego, por asociatividad de la suma, (( a) + a) + b = (( a)+ a)+ c; despu´ es, por el axioma de existencia de inverso para la suma, se tiene que 0 + b = 0 + c; de esta manera, por la condición iv) para la suma, se tendr´ a b = c, que es lo que se quer´ ıa mostrar.

−

−

−

−

ii) Si a + x = b entonces ( a) + (a + x) = ( a) + b; luego, por asociatividad, se tiene que (( a) + a) + x = ( a) + b; despu´ es, p or el axioma de existencia de inverso para la suma, 0 + x = ( a) + b; y as´ı, por la condici´ on iv) para la suma, se tendrá que x = ( a) + b; finalmente, por la conmutatividad para la suma, se obtiene x = b + ( a). Por tanto, b a = b + ( a) que era lo que se quer´ıa mostrar en segundo lugar.

−

−

−

−

−

−

−

iii) Como ( a) + a = 0 según el axioma de existencia de inverso para la suma, y ( a) ( a) = 0 pues esta es la solución a la ecuaci´ on ( a) + x = a, entonces, por la parte i) anterior, se tendrá que a = ( a) que era lo que se quer´ıa probar aqu´ı.

−

− −− − −− iv) a · 0 = a(0 + 0) = a · 0 + a · 0 y as´ıa · 0 = 0 por −

ii) arriba.

278


− −

−

− −

v) a(b c) = a(b + ( c)) por ii) arriba. Luego, a(b c) = ab + a( c) por la propiedad distributiva de R. Pero a( c) = (ac) pues ambos son soluciones a la ecuación ac + x = 0: en efecto,

−

ac + a( c) = a(c + ( c)) = a 0 = 0, siendo esto último cierto por la condición iv) anterior.

−

−

·

vi) De la ecuación ax = b se tiene que, por la propiedad v) para el producto de R, (a−1 )ax = a −1 b; y por la propiedad asociativa del producto iii) se tiene que ( a−1 a)x = a−1 b; luego por la propiedad v) para el producto se tiene que 1 x = a −1 b; y, finalmente, por la propiedad iv) para el producto, se tendrá que x = a −1 b. b viii) En efecto, puesto que según vii) arriba, a( ) = b; y también a a(ba−1 ) = a(a−1 b) por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´ on; y a(a−1 b) = (aa−1 )b por la propiedad asociativa de la multiplicación; y ( aa−1 )b = 1b = b por la propiedad iv) del producto; entonces, como consecuencia, a(ba−1 ) = b; peb

·

ro b como−1ya ten´ıamos que a( a ) = b entonces, por vii) arriba, = ba . a b) Algunas propiedades de orden que pueden ser deducidas de los axiomas: i) Para a , b, c

∈ R, se tiene una, y sólo una de las tres relaciones: a
ii) Si a 0 entonces ac < bc multiplicaci´ on)

(monotonicidad de la

v) Si a = 0 entonces a2 > 0 vi) 1 > 0



vii) Si a bc viii) Si a −b ; y as´ı, si a < 0 entonces −a > 0

ix) Si ab > 0 entonces a > 0 y b > 0, ó a < 0 y b < 0

279


x) Si a < c y b < d, entonces a + b < c + d 1 1 xi) Si a > 0 entonces > 0; y si a < 0 entonces < 0 a a xii) Si a b y b a entonces a = b

≤

≤

Demostraci´ on [Probaremos i), ii), iii), iv), v) y vi). Las pruebas de las demás propiedades quedan como ejercicio para el lector.]

−

i) Sea x = a b; entonces, por la propiedad i) de orden en R, se tiene que si a = b entonces a > b ó b > a.



− ∈

− ∈ −

ii) Si a < b y b < c entonces b a R++ y c b R++ . Luego por la propiedad i) de orden de R , se tendrá que ( b a) + (c b) R++ . Pero despu´ es de utilizar las propiedades conmutativa, asociativa, de existencia de cero (0), y de inverso para la suma, encontramos que c a R++ ; es decir, a < c.

− ∈

− ∈

iii) Si a a + c.

∈

− ∈

(a

− −

− ∈

R++ ; y por la propiedad i) de orden iv) Si a ac.

−



∈

− ∈

v) Si a = 0 entonces, por la propiedad ii) de orden en R tendremos a > 0 ó a > 0, pero no ambos. Pero si a > 0 entonces a2 > 0 por la propiedad i) de orden en R; y, de manera similar, si a > 0 entonces ( a)( a) > 0; pero ( a)( a) = a2 por propiedades algebraicas de los números, ya deducidas (¿cuáles?).

−

− −

− −

vi) Puesto que 1 2 = 1, basta aplicar la propiedad obtener que 1 > 0. 

−

v) anterior para

Nota 5. (Definición de N, Z y Q) Partiendo de los axiomas de los n´ umeros reales desarrollados en esta sección, po demos definir formalmente los números naturales N, los números

280


enteros Z, y tambi´ en los n´ umeros racionales Q, que hab´ıamos estudiado antes de una manera descriptiva. Para ello, definimos los n úmeros naturales de la siguiente forma: N es el menor conjunto (en el sentido de la

intersecci´ on de la familia de todos los conjuntos ) que satisface: i) 1

ii) Si n

∈N

∈ N entonces n + 1 ∈ N

(Obs´ ervese que R mismo, y tambi´ en R++ , satisfacen las condiciones i) y ii), y, por tanto, la intersección que define a los naturales no es vac´ıa). Ahora: los enteros Z se definen como la unión de N con 0 y con los inversos para la adición de los números naturales N. Finalmente, los números racionales se definen como los cocientes de los n´ umeros enteros Z (obviamente sin considerar la “divisi´ on por 0”). 

{}

Otra consecuencia de los axiomas de los n´ umeros reales es una propiedad profunda de los números reales: el axioma arquimediano. Teorema 9. (Axioma arquimediano)

Si a > 0 , b

R, entonces existe un número natural n tal que na > b .

∈

na

0

a

b na

Figura 20: Ilustración del axioma arquimediano

Demostraci´ on

i) En primer lugar, probemos que el conjunto de los n´ umeros natu-

⊆

rales N R no es acotado superiormente, pues, si lo fuera, por el axioma de completez, existir´ ıa un n = Sup N; por lo tanto n 1 no puede ser cota superior de N, y as´ı debe existir un m N tal que m > n 1; es decir, un m N tal que m + 1 > n. Pero m + 1 N y acabamos de afirmar que era mayor que la m´ınima cota superior n; esto es una contradicción y, as´ı, los n´ umeros naturales no son acotados. b b entonces, de n , deducir´ ıamos ii) Si para todo n N, na a que los números naturales son acotados, y esto, según i) arriba, es imposible. 

−

∈

∈

∈

≤

≤

−

∈

281


Notaci´ on. Es posible extender la propiedad de orden deducida ii) (a < b y b < c implica a < c), y entonces utilizar la siguiente notación:

• El par de desigualdades a < b y b < c se escribirán como a 0 y, además, a n, entonces b = a .

∈

≤ b ≤ a + nc para todo número natural

Demostraci´ on Se deduce del axioma arquimediano. En efecto, si b > a entonces existe un número natural n 0 tal que n0 (b a) > c, y esto conduce, aplicando las propiedades algebraicas y de orden de los números reales ya conocidas, a c c que b > a+ , y esto, a su vez, contradice la hipótesis de que b a + . n0 n0 Pero como b a por hipótesis, entonces necesariamente b = a. 

−

≤

≥

Teorema 10. (Existencia de ra´ıces cuadradas)

Si a 0 entonces existe un único número b 0 tal que b2 = a (este número lo llamaremos la “ra´ız cuadrada (positiva) de a ”, y se notará por 1 a o a 2 ).

≥

≥

√

Demostraci´ on En primer lugar, si a = 0 entonces, claramente, b = 0. Ahora: si a > 0, tomemos T = x

{ ∈

R / x2

a

≤ }

Puesto que ( a + 12 )2 > a entonces T es acotado, y además T = φ pues 0 T . Por el axioma de completez, T tiene una m´ınima cota superior; sea b = Su p T , y veamos que b2 = a. Para probar esto, descartemos las posibilidades b 2 > a y b 2 < a:

∈



282


i) b2 > a es imposible pues, en tal caso, tomando c =

b a + se 2 2b

b2 a a2 tendr´ a que c2 = + + 2 > a, siendo esto último cierto pues 4 2 4b b a > 0 por hipótesis; y as´ ı c ser´ıa una cota superior de T que, 2 2b b a adem´ as, es mayor que 0 y menor que b, pues + < b es equivalente 2 2b a a < b2 , que es cierto por hip´ otesis.

−

ii) Pero b2 < a tambi´ en es imposible, pues si tomamos un c con 0 < c b, no puede ser que b sea cota superior de T .

−

−

∈

Finalmente, para probar que solamente existe una ra´ız cuadrada, basta suponer dos ra´ıces diferentes b1 y b2 y utilizar la igualdad algebraica (b1 )2 (b2 )2 = (b1 b2 )(b1 + b2 ) para obtener una contradicción. 

−

−

Nota 6. (Sobre las ra´ ıces n-´ esimas) De manera similar a lo realizado para la ra´ız cuadrada, para un número natural impar n podr´ıamos encontrar que para todo n´ umero real a existe un unico número real b tal que bn = a. A este número se le conoce ´ como la ra´ ız n-ésima de a. Sin embargo, en el caso en que n sea par, el número b puede ya no ser único. De todas maneras, la notación cono1 cida b = n a = a n , se asigna, en cada caso, a la ra´ız n-´ esima positiva (ver el ejercicio 8, Ejercicios 3). Las propiedades de exponentes ente´ ros y fraccionarios que estudiamos en la lecci´ on 2 ( Algebra) se siguen inmediatamente a partir de los axiomas de los números reales y de las propiedades deducidas de ellos. De hecho, las demostraciones que hicimos allá asumiendo la existencia de las ra´ıces n-´ esimas, podr´ıan venir aqu´ı, nuevamente, satisfaciendo bien los requerimientos formales de esta instancia.

√

Ejercicios 3 1. Defina los términos: conjunto acotado inferiormente ; cota inferior; y demostrar, utilizando el axioma de completez, que todo conjunto

283


no vac´ıo, acotado inferiormente, tiene una máxima cota inferior que, además, es única. A este número se le denota por “´ınf A” y se lee “el ´ınfimo de A”, el “extremo inferior” ó, simplemente, “el

Inf de A” . [Indicación: considere el conjunto

−

determine Sup( A)].

−A = {−x/x ∈ A} y

2. Confirme (únicamente dibujando el conjunto sobre la recta num´ erica) el supremo y el ´ınfimo (si existen) en cada uno de los siguientes casos:

{ ∈ Z/x < 1}; sup A = 1; ´ınf A no existe. b) A = {x ∈ Q/1 ≤ x ≤ 2 }; sup A = 2; ´ınf A = 1 (−1)n c) A = { }n∈ ; sup A = 12 ; ´ınf A = −1 n 1 d) A = { 2 }n∈ ; sup A = 1; ´ınf A = 0 n a) A = x

N

N

3. ¿Será que, siempre, ´ınf A

A? De hecho, si ´ınf A

A, diremos

que A tiene valor m´ınimo y, por tanto, m´ın A =´ınf A.

∈

∈

4. (El s´ımbolo sumatoria ( )) Existe un s´ımbolo muy u´til y simple, introducido por Euler en 1736, que permite escribir una suma de varios n´ umeros reales

∗

a1 + a2 + a3 + ... + an de una manera muy simple, utilizando la letra griega

( )

sigma :

n



ai

i=1

que se lee “sumatoria de los a i desde i = 1 hasta i = n” donde a i se le llama el “´ındice de la sumatoria”, y que puede reemplaz arse por cualquier otra letra; es decir, a la suma ( escribir en notación de sumatoria as´ı: n



k=1

∗) también la podremos

n

ak

ó

 j=1

aj ,

etc.

284


Por ejemplo: 3

4 2

a) c)

  i=1 3

i = 1+2+3 = 6

b)

ii = 12 + 22 + 33 = 32

i=1

  i=1 4

d)

i=1

2

2

2

2

i = 1 + 2 + 3 + 4 = 30

1 1 1 1 1 25 = + + + = i 1 2 3 4 12

Y también: n

a)

 

n

k = k + k + ... + k = nk

b)

i=1 n

c)

(2i

i=1

− 1) = 1 + 3 + ··· + (2n − 1)

d)

 

i=1+2+

i=1 n 2

i =1+4+

i=1

··· + n ··· + n2

El ejercicio aqu´ı consiste en que el lector calcule las siguientes sumas: 7

a)

  i=1 5

c)

4

(2i + 1)

j=1

b)

 

22k+1

k=1 6

1 j(j + 1)

d)

m=1

1 m2

5. [Densidad de los números racionales ] Dados dos números reales fijos a y b con a < b, pruebe que existe un n´ umero racional r tal que a < r < b . [Indicación: Si a está “lejos”de b entonces existe al menos un número entero (y, por lo tanto, racional) entre ellos. Si a está “cerca”de b, entonces “ampliamos” la distancia entre a y b as´ ı: existe N N tal que N (b a) > 1 (propiedad arquimediana); es decir, N b N a > 1. Por lo tanto, existe m Z m m tal que Na < m < Nb ; o sea que a < N < b. Sea r = N y concluya].

∈

−

−

∈

∈ R. Pruebe que si a − n1 b, y aplique el axioma

6. Sean a, b

285


arquimediano para garantizar la existencia de un 1 n(a b) > 1; es decir a > b y concluya] n

−

−

n

∈ N tal que

* 7. Pruebe que si A y B son dos conjuntos de números reales tales que maxA y maxB existen, entonces max(A + B) = maxA + maxB donde A + B = a + b/a A, b b . De manera similar, se puede probar que si minA y minB existen, entonces min(A + B) = minA + minB. Ilustre ambas igualdades mediante ejemplos concretos de conjuntos A y B. [Indicación: Sean a A, b B; entonces a maxA y b maxB, y as´ı a + b maxA + maxB; luego max(A + B) maxA + maxB, pues esta última es una cota superior de A + B. De otro lado, dado n N sean a′ A, b′ B 1 1 tales que a′ > maxA y b′ > maxB ; entonces a′ + b ′ > n n 2 2 maxA + maxB ; y as´ ı max(A + B) > maxA + maxB ; pero n n como esto último es cierto para todo n N, aplicamos el ejercicio 6 anterior para llegar a que max(A+ B) max + maxB. Concluya].

{

≤

∈

∈ }

≤

≤

≤

∈ −

−

−

∈ ≥

∈

∈

∈

∈

−

N, ** 8. En consonancia con la Nota 6, pruebe que si a > 0 y n existe un único b > 0 tal que bn = a. Esta es la ra´ız n-´ esima de a. [Indicación: Siga las ideas de la demostraci´ on del teorema 10 (existencia de ra´ıces cuadradas)]

∈

9. [Un problema existencial ] ¿Dónde está el problema lógico del siguiente argumento?: “1 es el mayor de los enteros. En efecto, representemos p or x el máximo entero; si fuera x > 1, entonces x2 > x y, por tanto, no ser´ıa x el máximo. En consecuencia, x debe ser igual a 1” [ Aqu´ı el problema fue asumi r que los números enteros, efectivamente, tienen un máximo. Este es un ejemplo claro (y simple) de que las pruebas de existencia son esenciales y no deben soslayarse en ning´ un caso].

4.

Intervalos de números reales

Algunos subconjuntos t´ıpicos de los números reales (muy importantes para el análisis matemático) son los intervalos. Existen cuatro tipos básicos:

286


a) El intervalo cerrado: Si a, b R con a < b, definimos el intervalo cerrado (con extremos a y b), notado [ a, b], como el conjunto de números,

∈

{ ∈ R/a ≤ x ≤ b}

[a, b] = x [

///////

]

a b Figura 21: Intervalo cerrado [a, b]

b) El intervalo abierto: Si a, b R con a < b, definimos el intervalo abierto (con extremos a y b), notado ( a, b), como el conjunto de números, (a, b) = x R/a < x < b

∈

{ ∈

(

}

)

a b Figura 22: Intervalo abierto (a, b)

c) El intervalo semiabierto: De manera similar, definimos los inter-

valos semiabiertos

{ ∈ R/a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} (a, b] = x

(

]

a

b

[ a

) b

Figura 23: Intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b)

d) Y, finalmente, los intervalos infinitos :

−∞, b) = {x ∈ R/ x b } (

287


[b, +

∞ ) = {x ∈ R / x ≥ b } (−∞, +∞) ≡ R

cuyas gráficas correspondientes sobre la recta real el lector no deber´ıa tener problemas en dibujar. Ejemplo 6. Una manera de ilustrar la conveniencia de definir el concepto de intervalo, la vemos utilizando las propiedades de orden deducidas de los axiomas de los números reales, y resolviendo (para x) las desigualdades siguientes: i) 2(2x + 3)

− 10 < 6(x − 2) ;

ii)

− 3 ≤ 4 − 7x < 18

Soluci´ on.

−

−

i) Simplificando tenemos que 4x 4 < 6x 12. Y as´ı, debemos tener que x > 4; es decir, las soluciones son los n´ umeros del intervalo (4, ).

∞

− ≤−

− −

ii) Simplificando tenemos que 7 7x < 14; por tanto, 2 < x 1; es decir, las soluciones son los números del intervalo ( 2, 1].

≤

Ejemplo 7. i) Mostremos que sólo los números x del intervalo ( satisfacen la desigualdad x(x + 2)(x 1) < 0.

−

−∞, −2) ∪ (0, 1)

− −

ii) Mostremos que sólo los números x del intervalo ( 2, 1) satisfacen x la desigualdad > 2. x+1 iii) Mostremos que sólo los números x del intervalo (1, 1 la desigualdad 0 < < 1. x

∞) satisfacen

iv) Sean a,b,c,d,e,f , números positivos, con e perteneciente al interb d f d+e+f valo , ; mostremos que pertenece al mismo intera c a+b+c valo.

 

288


Soluci´ on. i) Para analizar cuándo x(x + 2)(x distinguiendo que:

1) < 0, podemos comenzar

−

a) La condición x < 0 divide la recta real en dos intervalos signados como lo ilustra la figura 24:

+ + + + + ) 0

x

Figura 24

b) La condición x + 2 < 0, a su vez, divide la recta real en dos intervalos signados como se ve en la figura 25:

) 2

−

+ + + + + + ) 0

x+2

Figura 25

−

c) Finalmente, la condición x 1 < 0 divide la recta real en dos intervalos signados como en la figura 26:

) 2

−

) 0

++ + ) 1

x

−1

Figura 26

Si incluimos las tres rectas signadas anterio res, encontramos la siguiente figura 27:

289


)

)

−2

0

+ + ++ )

+

+

1

x

+ ++ + + + + + + + + + ) ) ) 2 0 1

−

)

+ ++ ++ ) 1

) 0

−2

x+2

x

−1

Figura 27

Y de aqu´ı podemos deducir, multiplicando los signos de cada una de las semirrectas en cada uno de los intervalos ( , 2), ( 2, 0), (0, 1), (1 , + ), que sólo en los intervalos ( , 2) y (0,1) se satisface la condición x(x + 2)(x 1) < 0.

∞

−∞ − −∞ −

−

ii) Para determinar cuándo

−

x > 2 analizamos dos casos: x+1

−

a) Si x + 1 > 0 (es decir, si x > 1) obtenemos x > 2(x + 1); y esto es equivalente a x < 2 que, a su vez, conjuntamente con la condici´ on x > 1 nos da una intersección vac´ıa como lo muestra la figura 28.

−

−

)

)

−2

−

///////// ) 1 0

x+1

290

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos /////// )

) 2

1 Figura 28

−

) 0

x+2

−

− − − −

b) Si x + 1 < 0 (es decir, si x < 1) entonces tendremos que x < 2(x +1); y esto implica que x > 2. Las condiciones x < 1 y x > 2 nos conducen al intervalo ( 2, 1) como solución, y esto lo muestra la figura 29.

−

/ / // // / / / / ) ) 2 1

−

) 0

−

///////

//////// )

)

)

−2

−1

−

x+1

//////

0 Figura 29

x+2

1 < 1 se obtiene inmediatamente que x > 1, x y as´ı la soluci´ on es el intervalo (1 , + ).

iii) De la condi ción 0 <

∞

f d e iv) Sea = r, entonces se tiene que < r y < r. Puesto que a y c a b b son positivos, entonces d < ar y e < br ; además, f = cr. Por tanto, d + e + f < ar + br + cr luego, d + e + f < r(a + b + c) y as´ı da + + eb + + fc < r porque a + b + c es positivo. Por lo tanto, d+e+f f < a+b+c c

291


d d+e+f < de la desigualdad se puede demostrar de a a+b+c forma similar. La parte

Ejercicios 4 1. Muestre que: a)

∞



[1 +

n=2

1 ,2 n

− n1 ] = (1 , 2)

∞

b)



(1 +

n=2

1 ,2 n

− n1 ) = { 32 }

2. Resuelva las siguientes desigualdades:

− 1 ≥x − 8 x(x − 3) ≤ 5 − (x − 1) − 4 ≥ −2(x − 7) − 4x

a) 5x c) e)

g) x i) k)

5.

2

− 2)(x + 4) ≤ 0 x +x−6 ≤0 3 x−3 − 2 ≤ x −3 2 4

b) x(x d) f)

2

h) x2 < 0

0

2 3x

≥− 1 < 1 x 3 5−x +3 ≥ x−2 x−2

1 +1 x+2 3 1 l) x x j)

≥ 12

≤

Valor absoluto de un número real

Un concepto central en la comprensión cabal de la recta num´ erica, es el de valor absoluto. El valor absoluto de un número real a se define como su distancia al srcen. As´ı, este es igual a a si a 0, es decir, si a es no negativo; igual a a si a 0, es decir si a es negativo.

−

≥

≤

Definici´ on 14. (Valor absoluto de un número real) Si a

∈ R, entonces definimos



|a| = −aa sisi aa ≥< 00

292


|a| O a

0 O

−a

0

|a| Figura 30: Valor absoluto

En consecuencia,

|a − b| = a − b |a − b| = −(a − b)

si

a

si

a

− b ≥0 ; − b <0 ;

≤a

es decir, si

b

es decir, si

a
Teorema 11. (Propiedades del valor absoluto)

Para todo par de números a, b i) a

| | ≥0 iii) − |a| ≤ a ≤ |a| v) |a + b| ≤ |a| + |b| √ vii) |a| = a2 a |a| , si b = 0 ix) | | = b |b| xi) ||a| − |b|| ≤ |a − b|

∈ R, ii) |a| = 0 si, y sólo si, a = 0 iv) Para a ≥ 0, |x| ≤ a si, y sólo si, − a ≤ x ≤ a vi) |a|2 = a 2 viii) |ab| = |a||b| x) a + b

|

xii) Si a

| ≥ |a| − |b|; |a − b| ≥ |a| − |b| ≥ 0, |b| ≥ a si, y sólo si, b ≤ −a

Demostraci´ on i) Es inmediato de la definición. ii) También es inmediato de la definici´ on.

ó b

≥a

293


iii)

• Si a ≥ 0 entonces de −a ≤ a ≤ a |a|. Si a

0 entonces de a

a

se tendrá que

a se tendrá que

−|a| ≤ a ≤ a

a

• |a|. ≤ ≤ ≤− −| | ≤ ≤ iv) • Supongamos |x| ≤ a; entonces − a ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ a; luego −a ≤ x ≤ a. • Supongamos ahora −a ≤ x ≤ a; entonces: ◦ Si x ≥ 0 tendremos que |x| = x ≤ a; y ◦ Si x ≤ 0 tendremos también que |x| = −x ≤ a. v) Como −|a| ≤ a ≤ |a| y −|b| ≤ b ≤ |b|, entonces sumando se tiene que −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|. Luego por la propiedad anterior, |a + b| ≤ |a| + |b|. vi) • Si a ≥ 0 entonces |a2| = (a)2 • Si a ≤ 0 entonces |a|2 = (−a)2 = a2. Luego, en cualquier caso, a 2 = a 2 .

||

vii) Es consecuencia inmediata de vi). viii) ab 2 = (ab)2 = a 2 b2 = a 2 b 2 y el resultado se sigue.

| | |||| a ab a | a| . ix) |b| = = |a|; luego = b b b |b| x) • |a| = |a + b − b | ≤ |a + b | + | − b | = |a + b | + |b|; luego |a + b| ≥ |a| − |b|. • |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|; luego |a − b| ≥ |a| − |b|. xi) • |a| ≤ |a − b| + |b| según x); luego |a| − |b| ≤ |a − b|. • De manera similar, |b|−|a| ≤ |b − a| = |a − b|, y, por lo tanto, −|a − b| ≤ |a| − |b|. • De las dos desigualdades anteriores obtenemos que −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|

 





 

que es equivalente a

||a| − |b|| ≤ |a − b|

294


xii) Se deja como ejerc icio al lector.



Ejemplo 8. Hallemos el valor de cada una de las siguientes expresiones si y = 6:

x=3y

− i) |3x + 2y | = |3(3) + 2(−6)| = |9 − 12| = |− 3| = −(−3) = 3 ii) |3x| + |2y | = |3(3)| + |2(−6)| = |9| + | − 12| = 9 − (−12) = 21 iii) |xy | = |3(−6)| = | − 18| = −(−18) = 18 iv) |x − y | = |3 − (−6)| = |9| = 9 |x| = |3| = 3 = 1 v) |y| | − 6| −(−6) 2

Ejemplo 9. Resolvamos la desigualdad x2 + 2x

− 9| < 6.

|

Soluci´ on. Si x2 + 2x 9 < 6, entonces 6 < x2 + 2x 9 < 6. Para resolver la desigualdad debemos hallar un conjunto de valores de x que satisfaga, simult´ aneamente,

|

− |

−

x2 + 2x

−9<6

−

y x2 + 2x

− 9 > −6

De la primera desigualdad se obtiene x2 + 2x

− 15 < 0

ó (x + 5)(x

− 3) < 0

Resolviendo gráficamente obtenemos la figura 31.

−5

++ + + + + +

x+5

++++++

+

( +++

x

( 3

−3 Figura 31

295


−

Por tanto ( x + 5)(x 3) < 0 se tendrá para aquellos x tales que x + 5 y x 3 tengan signos opuestos, lo que se puede representar de la figura 32. Es decir, la solución es el intervalo ( 5, 3).

−

+

−

+

+

+

)

(

−5

3 Figura 32

De forma similar, de la otra desigualdad se obtiene x2 + 2x

−3>0 ,

ó (x + 3)(x

− 1) > 0

En este caso, el conjunto solución es la unión de los intervalos ( (1, ).

∞

−∞, −3)∪

La intersección de las dos soluciones obtenidas es, por tanto, ( 5, 3)

−

, −3)] ∪ [(−5, 3) ∩ (1, ∞)] ∩ [(−∞, −3) ∪ (1, ∞)] == [((−−5,5,−3)3)∩∪(−∞ (1, 3)

Ejemplo 10.

|−| ||

Determinemos el conjunto solución para la desigualdad x 3 +2 x < 5. Soluci´ on. Sabemos que

|x − 3| =

− x 3

3 si x si x

−x

≥3 ≤3 | − | ||

Por lo tanto, resultará fundamental encontrar el signo de x 3 + 2 x en los intervalos ( ,0), [0,3), [3, ). Se tiene entonces que:

−∞

∞

2x = 3 − 3x ||xx −− 33|| ++ 22||xx|| == 33 −− xx +− 2x = 3+x |x − 3| + 2|x| = x − 3 + 2x = 3x − 3 De manera que se han de resolver tres problemas:

si x < 0 si 0 x < 3 si x

≤ ≥3

296


−

a) 3 3x < 5 junto con x < 0; o sea x > resultado 23 < x < 0.

−

−23 y x < 0, lo que da como

b) 3como + x resultado < 5 junto 0con 0x < 2. x < 3; o sea x < 2 y 0

≤ x < 3, lo que da 8 3 y x ≥ 3. Y como no

≤ ≤

−

≥

c) 3x 3 < 5 junto con x 3; o sea x < existen números que satisfagan estas dos condiciones, el resultado es vac´ ıo. As´ı pues, la soluci´ on de la desigualdad dada es:

− 23 , 0) ∪ (0, 2) ∪ φ = (− 23 , 2)

( Ejemplo 11.

Determinemos el conjunto solución de la desigualdad

|2 + |x − 1|| ≤ 3 Soluci´ on. a) Si x 1 entonces, 2 + x 1 esto si, y sólo si, x + 1 3 ó 3 soluci´ on para este caso es [1 , 2].

≥

|

| |

|≤

| − || ≤ 3, si, y sólo si, |2 + x − 1| ≤ 3, y − ≤ x + 1 ≤ 3 ó −4 ≤ x ≤ 2. Luego la

| − || ≤ − ≤ − ≤

|

− |≤

b) Si x < 1 entonces, 2 + x 1 3 si, y sólo si, 2 + 1 x 3, si, y sólo si, 3 x 3, ó 3 x 3 3 o´ 0 x 6. Luego la solución aqu´ı es [0, 1).

| − |≤

≤ ≤

La solución total es, entonces, el intervalo cerrado [0 , 2]. Ejemplo 12.

| − | | − 2| > 1

Resolvamos la desigualdad x 1 + x Soluci´ on. Por definición de valor absoluto,

|x − 1| = |x − 2| =

x 1

 −− − x 2

1 si x x si x 2

−x

≥1 ≤1 si x ≥ 2 si x ≤ 2

297


−

−

Teniendo en cuenta que los puntos en los cuales x 1 y x 2 cambian de signo son 1 y 2 respectivamente, analizaremos los siguientes intervalos: ( , 1), (1, 2) y (2 , ).

−∞ ∈ −∞ ∞ | −| | −|

| − | − | − | − − − − −∞

a) Si x ( , 1) entonces x 1 = 1 x y x 2 = 2 x. As´ ı, x 1 + x 2 > 1 equivale a que 1 x + 2 x > 1 o sea 2x + 2 > 0, o x < 1. Luego el conjunto ( , 1) es parte de la solución. Claramente, x = 1 no pertenece a la solución.

∈ | − | | − |

| − | −

−

| − |

−

b) Si x (1, 2) entonces x 1 = x 1 y x 2 = 2 x, luego x 1 + x 2 = (x 1) + (2 x) = 1. Por lo tanto, ningún x (1, 2) es parte de la solución.

−

∈ ∞ −

| − | | − |

−

∈

−

c) Si x (2, ) entonces x 1 + x 2 = (x 1) + (x 2) > 1; es decir, 2x 3 > 1, o x > 2. Luego todo el intervalo (2 , ) hace parte de la solución. Además, claramente x = 2 no pertenece a la solución.

∞

El conjunto solución de la desigualdad es, entonces, la unión de las soluciones parciales que encontramos en a), b) y c) arriba: ( , 1) (2, ).

−∞ ∪ ∞

Ejercicios 5 1. Resuelva en Z (es decir, encontrar los números enteros que satisfacen las siguientes condiciones):

|| |2x + 3| ≤ 5

| | −1 |x − 1| < 3x − 10

a) x < 3

b) 3x <

c)

d)

2. Resuelva en R: a) c)

| x3 | ≤ 0 |x − 1| + 1 < 3x

| | |2x − 1| < 2

b) 2x + 1 < 2 d)

3. ¿Para qu´ e valores de x son válidas las siguientes proposiciones?:

| − 5| = x − 5 |5x − 2| = 7x +2

a) x c)

| | −(x + 8) |3x − 7| = 1

b) x + 8 = d)

298


4. Encuentre todos los números x para los cuales se cumple:

| − 1| + |x − 2| > 1 |x − 1| − |x + 1| < 1 |x − 1||x + 2=3|

| − 1| + |x + 1| < 2 d) |x − 1||x + 1 | = 0 |x| + |x − 1| = 2

a) x c) e)

b) x

f)

5. Represente en la recta real los siguientes conjuntos: a) c) e) 6.

{x/x > 1} ∩ {x/1 > x} {x/0 < x1 < 1} {x/x2 + 1 > 2x}

{x/x < 1} ∩ {x/1 > x} d) {x/x2 > 0 } f) {x/(x − 1)2 + (x − 2)2 < 1 } b)

a) Prue be que la desigualdad (x

1)(x + 5)

−x − 3 ≥ 0 sólo se satisface en [ −5, 1] ∪ (3, ∞).

* b) Pruebe que la desigualdad

−

5x 1 12x + 5 < x+1 x 3

−

sólo se satisface en



√ √ −∞, −33 −14 1033 ∪ −1, −33 +14 1033 ∪ (3, ∞)



Dibuje este conjunto en la recta real. c) Pruebe que la desigualdad

|x − 2| ≤ 4 + |3x − 5| + 3x sólo se satisface en el intervalo [ −7, ∞).




6.

299

Relaciones y funciones

Los distintos objetos o fenómenos que observamos en la naturaleza parecen estar orgánicamente conectados unos a otros; dependen unos de otros. Desde mucho tiempo atrás se sabe de algunas relaciones simples (y otras complicadas) que se conocen como “leyes” fundamentales de la naturaleza. Estas leyes se˜ nalan que si distintas magnitudes caracterizan un fenómeno natural, entonces algunas de ellas están determinadas por las otras. Por ejemplo, el área de un rectángulo está determinada por la longitud de sus lados; el volumen de una cantidad dada de gas est´ a determinado por la temperatura y la presión a la que está sometida el gas; la potencia de un circuito el´ ectrico var´ıa proporcionalmente a la resistencia, y al cuadrado de la corriente, etc. Uniformidades de esta clase fueron las que dieron srcen al concepto de función. Los conceptos de variable y función, que hoy utilizamos, surgieron de manera paulatina a partir de los trabajos de muchos matem´ aticos. Quizás el proceso comenzó con Neper en conexión con la función logar´ ıtmica y avanz´ o Fermat, de una forma másLeibniz o menosy clara (aunque Bernoulli. no definitiva) conúltimos Descartes, Newton, los hermanos Estos utilizaban el concepto de función sólo en ejemplos tales como polinomios o funciones trigonom´ etricas. Posteriormente, Euler, en su Introduction to Algebra de 1770, da dos diferentes explicaciones de la palabra función : una, es que una función es una expresión y(x) conformada por polinomios, logaritmos y funciones trigonométricas, etc., p ero no aclara cuáles clases de combinaciones eran admisibles; la otra, que una funci´ on y(x) se tendr´ıa cuando se pudiera dibujar una curva en el sistema coordenado cartesiano X Y . Para Lagrange, en su Th´ eorie des Fonctions Analytiques (1797), la noción de función se restringe sólo a aquellos casos que resultan de potencias de x. Posteriormente, Fourier en su principal trabajo Théoire Analytique de la Chaleur de 1822 analizaba complicadas funciones al estudiar el problema de la conducción del calor en una superficie, y esto ampliar´ıa la idea de lo que deber´ıa considerarse como función. Pero fue Lejeune Dirichlet (1854) quien primero defini´ o una función: si de alguna forma se determina un valor y para cada valor x en un intervalo dado, entonces a y se le llama una funci´ on de x. Su forma presente, como aparece en esta lección, se remonta a los trabajos de Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor y, particularmente, de Kazimierz Kura-

300


towski [1896-1980] (este u ´ ltimo a comienzos del siglo XX). En especial, la definici´ on rigurosa general de par ordenado desarrollada por Kuratowski en 1921 (basándose en el sistema de Zermelo-Fraenkel) desempeña un papel central en el estudio general de relaciones y funciones que ahora vamos a adelantar. Definici´ on 15. (Par ordenado (K. Kuratowski (1921)) 10 ) Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente a y segunda componente b, simbolizado ( a, b ), se define mediante el conjunto a , a, b . Esto es, ( a, b ) a , a, b .

{{ } { }}

≡ {{ } { }}

No es entonces dif´ıcil probar que dos pares ordenados ( a, b ) y ( c, d ) son iguales si, y sólo si, a = c y b = d; es decir, ( a, b) = (c, d) si, y sólo si, a = c y b = d. En efecto, si a , a, b = c , c, d entonces pueden ocurrir dos situaciones: i) Que a = c y c, d = a, b en cuyo caso a = c y, por tanto, b = d, al igualar los conjuntos. ii) Si, en vez, sucede que a = c, d y a, b = c , entonces a = c = d y a = b = c; y, por tanto, a = c y b = d.

{{ } { }} {{ } { }} { } {} { } { } { } { } { } {}

Definici´ on 16. (Producto cartesiano) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota A B, es el conjunto de todos los pares ordenados ( a, b ) con a perteneciente a A y b perteneciente a B ; esto es,

×

A

× B = { ( a, b ) : a ∈ A y b ∈ B }

Ejemplo 13.

{−1, 0, 2 } y B = {−1, 1 }, entonces A × B = { (−1, −1 ), (−1, 1 ), ( 0, −1 ), ( 0, 1 ), ( 2, −1 ), ( 2, 1 ) } B × A = { (−1, −1 ), (−1, 0 ), (−1, 2 ), ( 1, −1 ), ( 1, 0 ), ( 1, 2 ) } B × B = { (−1, −1 ), (−1, 1 ), ( 1, −1 ), ( 1, 1 ) }

a) Si A =

×

{

}

b) Si A B = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 2) A = 0, 1, 2 y B = 0, 2

{

}

{ }

entonces

10 Kuratowski, Kazimierz (1921), Sur la Notion de L’Ordre dans la Th´ eorie des Ensembles, Fundamenta Mathematicae 2.

301


{− }

{− }

×

c) Si A = 1, 4 y B = 2, 3 entonces la representación de A B en el plano cartesiano son los cuatro puntos que aparecen en la figura 33. y 3

−

( 1, 3)

(4

−1

4

x

−2

− −

( 1, 2)

, 3)

−

(4, 2)

Figura 33

a).

Relaciones

Y pasamos ahora a un concepto central de las matem´ aticas contemporáneas: la noción de relaci´ on. Estas tienen por objeto permitir “ordenar la información” acerca de una colecci´ on de objetos para poder entender mejor cuál es el problema matemático que tenemos a la mano. Veamos esta definición. Definici´ on 17. (Relación (Bourbaki (1939) 11 )) Sean X y Y dos conjuntos no vac´ıos. Diremos que es una relaci´ on de X en Y (o de X a Y , o entre X y Y ) si, y sólo si, X Y . Si la pareja ( x, y ) está en , se escribe ( x, y ) , ó x y, y se dice que x está relacionado con y por (o según ).

ℜ

ℜ

ℜ

∈ℜ

ℜ ℜ⊆ × ℜ

Definici´ on 18. (Dominio de una relaci´ on) El dominio de una relación de X en Y , que se denota

ℜ

conjunto elementos elemento de de Y ; esto es de X que están relacionados por

{ ∈ X/ existe algún y ∈ Y

Dℜ = x 11

tal que ( x, y )

Dℜ , es el

ℜ con algún ∈ℜ}

´ ements de Mathématiques, Hermann, Par´ Bourbaki, Nicholas (1939), El´ ıs.

302


Definici´ on 19. (Recorrido de una relaci´ on) El recorrido (o rango) de una relación de X en Y , que se denota R ℜ , es el conjunto de elementos de Y que están relacionados p or con algún

ℜ

elemento de X ; es decir,

{ ∈ Y / existe algún x ∈ X

Rℜ = y

tal que (

ℜ x, y ) ∈ ℜ }

Definici´ on 20. (Igualdad de relaciones) Dos relaciones 1 , 2 de X en Y son iguales si, y sólo si, son iguales como conjuntos.

ℜ ℜ

Definici´ on 21. (Gráfica de una relación de números reales) Si X y Y son conjuntos no-vac´ıos de números reales, la gráfica de la de X en Y es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) del relaci´ on sistema coordenado para los cuales ( x, y ) .

ℜ

∈ℜ

Ejemplo 14.

ℜ { − − { }

}

a) Dada la relación = ( 1, 1 ), ( 1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ) , entonces Dℜ = 1, 1 , Rℜ = 1, 0, 2 , y la gráfica de es la de la figura 34.

{− }

ℜ

y

(1, 2) ( 1, 1)

−

(1 , 1)

x

−

( 1, 0)

Figura 34

b) Dado X = 1, 2, 3, 4, 5 y la relación

{

}

       

ℑ = {(x, y)/x ∈ X,xy = 5} =

(1, 5), 2, 52 , 3, 53 , 4, 54 , (5, 1)

entonces Dℑ = X , Rℑ = 1, 54 , 53 , 52 , 5 (ver figura 35).

303

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas y (1, 5)

5

(2, 52 ) (3, 53 ) (4, 5 ) 4

(5, 1)

x

12345

Figura 35

{

}

c) Dado X = 1, 2, 3, 4 , y la relación

ℑ = {(x, y)/x ∈ X, y = 5} = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)} El rango de

ℑ es Rℑ = {5}, y el dominio de ℑ es Dℑ = X (ver

figura 36). y 5

(1, 5)

(2 , 5)

1234

(3 , 5)

(4 , 5)

x

Figura 36

Y ahora nos concentramos en ciertos tipos particulares de relaciones de un conjunto en s´ı mismo, y que resultarán de notable importancia posteriormente. Definici´ on 22. (Tipos básicos de relaciones (Bourbaki (1939))12 ) i) Una relación x x. 12

ℜ

ℜ de X en X se llamará reflexiva si para todo x ∈ X ,

´ ements de Mathématiques, Hermann, Par´ Bourbaki, Nicholas (1939), El´ ıs.

304


ii) Una relación de X en X se llamará simétrica si para todo x, y X , x y implica y x.

ℜ

ℜ

ℜ

∈

X se llamar´ ℜℜy dey yXℜ zenimplica x ℜ z. a transitiva si para todo iv) Una relación ℜ de X en X se llamará completa si para todo x, y ∈ X , se tiene que x ℜ y ó y ℜ x. v) Una relación ℜ de X en X se llamará antisimétrica si para todo x, y ∈ X, x ℜ y y y ℜ x implica x = y.

iii) Una x,y,z relaci´ X ,on x

∈

Ejemplo 15. (Ejemplos abstractos de relaciones) Si X = a,b,c , entonces:

{

}

i) La relación

ℜ = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (c, a)} es una relación reflexiva de X en X pues (a, a), (b, b), (c, c)

{

}

ii) Si X = a,b,c , entonces la relación

.

∈ℜ

ℜ = {(a, b), (a, a), (b, a), (c, c), (c, a), (a, c)} es una relación sim´ etrica porque (a, b), (b, a) ∈ ℜ y (c, a), (a, c) ∈ ℜ. iii) Si X = {a,b,c }, entonces la relación ℜ = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, c), (a, c)} es una relación transitiva porque ( a, b) ∈ ℜ , (b, c) ∈ ℜ y tambi´ en (a, c) ∈ ℜ. Definici´ on 23. (Tipos especiales de relacio nes (Bourbaki (1939))) i) Una relación de X en X se llamará un preorden si es reflexiva y transitiva. Y es un preorden completo si es, tambi´ en, completa; en otro caso tambi´ en se llamar´ a un preorden parcial.

ℜ

ii) Una relación de X en X se llamará un orden parcial si es reflexiva, transitiva y antisim´ etrica. Y es un orden completo si, además, es una relación completa.

ℜ

305


iii) Una relación de X en X se llamará de equivalencia si es reflexiva, sim´ etrica y transitiva.

ℜ

Ejemplo 16. a) En los números reales R, la relación definida por a b si, y sólo si, a b es un orden completo. En efecto: es reflexiva porque a a para todo a R; es transitiva porque a b y b c implica a c para todo a,b , c R; es antisim´ etrica porque a b y b a implica a = b para todo a, b R ; y es completa porque para todo a, b R, a b ó b a.

≤ ≤

≤

∈

∈

≤

ℜ

∈

ℜ

≤

≤ ≤

∈

≤

{

}

≤

ℜ

b) En la familia de conjuntos A1 , A2 ,...,A n , la relación Ai Aj si, y sólo si, Ai Aj , es un orden parcial que no es completo pues dados A i , A j no podemos garantizar que A i A j ó A j A i .

⊆

⊆

{

⊆

}

c) En el conjunto de los n´ umeros naturales 1, 2, 3,... , la relación a b si, y sólo si, b es divisible por a, es un orden parcial que tampoco es completo, ya que dados dos naturales a, b, no podemos asegurar que a sea divisible por b, o que b sea divisible por a.

ℜ

{

d) Si X = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2) entonces la relación definida por (a, b) (c, d) si, y sólo si, a c y b d, es una relación de orden. Muestre que no es un orden completo.

≤

}

ℜ

≤

ℜ

e) En un conjunto no vac´ıo cualquiera de números, si definimos la relaci´ on a b si, y sólo si, a = b, es claro que es una relaci´ on de equivalencia sobre ese conjunto. Es, sin duda, la relaci´ on de equivalencia más elemental.

ℜ

ℜ

−

f) Si X = Z, y a b si, y sólo si, a b es par, es una relación de equivalencia sobre Z, como es fácilmente comprobado. ¿Y si cambiamos la palabra “par” por “impar”? g) Si X es el conjunto de todos los triángulos del plano y a sólo si, a y b son triángulos semejantes, entonces de equivalencia sobre X . 

ℜ b si, y

ℜ es una relación

Ahora: descomponer un conjunto dado en subconjuntos disjuntos entre s´ı, juega un pap el muy importante en muchos problemas matem´ aticos.

306


Por ejemplo, el plano R2 = R R considerado como un conjunto de puntos, puede descomponerse en l´ıneas paralelas al eje X ; o en l´ıneas paralelas al eje Y ; ó, inclusive, en discos concéntricos con centro en

×

(0, 0). Otros ejemplos incluir´ıan los habitantes de una ciudad descritos en términos de edad, o de estrato social, etc. A estas descomposiciones se les llama particiones del conjunto. Sin embargo, la posibilidad de estas particiones exige cierta condición, que consiste en que sobre el conjunto en cuestión se haya definido una relaci´ on de equivalencia . Veamos esto. Definici´ on 24. (Clase de equivalencia) Si es una relación de equivalencia sobre X y a de equivalencia de a es

ℜ

∈ X , entonces la clase

{ ∈ X/ b ℜ a}

[a] = b

Teorema 12. (Relaci´ on de equivalencia y particiones) i) Toda relaci´ on de equivalencia sobre X determina una partición de X ; es decir, determina una colección de subconjuntos de X , mu-

ℜ

tuamente disjuntos (que incluye al conjunto vac´ıo) cuya unión es, precisamente, X ; estos subconjuntos son, exactamente, las clases de equivalencia generadas por sobre los elementos de X .

ℜ

ii) Toda partici´ on sobre un conjunto X define una relación de equi-

valencia sobre él. Demostraci´ on

{ } ∩

i) Mostremos que la familia de clases de equivalencia [ a ] a∈X es una partición de X . En efecto, pues es suficiente ver que [ a ] [ b ] = si a no está relacionada con b; y esto es cierto, ya que si existiera x [ a ] [ b ] entonces x a y x b, y as´ı, por transitividad, tendr´ıamos que a b, y esto es una contradicci´ on a la hipótesis de que a no est´ a relacionada con b.

∩

ℜ

ℜ

ℜ

{ } ℜ

∅

∈

ii) Si Xi i∈I es una partición de X , definamos una relación sobre X as´ı: a b si, y sólo si, a y b pertenecen al mismo Xi . Entonces es claro que:

• ℜ es reflexiva pues a ℜ a, para todo a ∈ X .

307


• Si a ℜ b entonces b ℜ a, para todo a, b ∈ X . • Si a ℜ b y b ℜ c entonces a ℜ c, para todo a,b , c ∈ X .



Ejemplo 17. (Ejemplos de clases de equivalencia) a) En el conj unto de los números enteros, Z , la relación de equivalencia a b si, y sólo si, a b es par, divide el conjunto en dos clases de equivalencia: los números pares y los números impares.

ℜ

−

b) En general, también en el conjunto de los números enteros, Z, la relaci´ on de equivalencia a b si, y sólo si, a b es divisible por un número natural fijo m, divide el conjunto de los enteros en m clases de equivalencia: los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo 0; los n´ umeros enteros que al dividirlos por m tienen residuo 1; ... los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo m 1.

ℜ

−

−

b).

Funciones

Hemos as´ı llegado a la definici´ on de una de las nociones centrales de las matemáticas modernas: la noción de funci´ on. Ejemplos de funciones abundan en cada entorno: en un c´ırculo de radio r, su área A está determinada por la “función” A = πr2 ; el volumen v de un cono recto de radio r y altura h, está dado por la “función” v = 13 πr 2 h; el periodo de l oscilaci´ on T de un p´ endulo de longitud l está dado por T = 2π donde g g es la constante de aceleración gravitacional en la Tierra. Fundamentar esta idea de “función” (en una y dos variables) dentro del marco general de la teor´ıa de conjuntos, y, en particular, de la teor´ıa de relaciones, es nuestro propósito en este resto de cap´ıtulo.



Definici´ on 25. (Función (Dirichlet (1854), Kuratowski (1921))) Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos. Una funci´ on f de A en B es una relaci´ on de A en B que satisface la condición de que para todo elemento x de A existe un unico elemento y de B tal que ( x, y ) f . Esto es ´ equivalente a que:

∈

a) Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f .

308


∈

∈

b) Si ( x, y1 ) f , y ( x, y2 ) f , entonces y 1 = y 2 ; es decir, en f no hay dos parejas distintas con la primera componente igual. Ejemplo 18. (Ejemplos elementales (e inútiles) de función)

{

− }

a) f = (2, 3), (7, 1), (8, 2), (10, 1) 2, 7, 8, 10 en Z.

{

}

es una función del conjunto

{ − } { −} c) h = {(3, 4), (2, 7), (3, 5)} no es una función pues el elemento 3 tiene

b) g = (1, 2), (4, 5), ( 1, 8) es una función de 1, 4, 1 en N.

dos imágenes: 4 y 5.

d) La relación f de la figura 37 no define una función porque b no tiene imagen por f (asumimos que a, b y c son distintos entre s´ı).

a b

x y

c

z

Figura 37: Relación que no es función

e) La relación f de la figura 38 no define una función porque ( c, x ) f y ( c, z ) f y, sin embargo, x = z (asumimos que x, y y z son diferentes entre s´ı).

∈

∈



a

x

b

y

c

z

Figura 38: Relación que no es función

309


f) El diagrama de la figura 39 s´ı define una función con dominio a,b,c y recorrido x, z (suponemos a, b y c distintos):

{

}

{

}

a

x

b

y

c

z

Figura 39: Relación que s´ı es función

Notaci´ on. Si f es una función de A en B, escribiremos, indistintamente,

−→ B x → y = f (x)

f :A

f −→ B x → y = f (x)

A

ó

13

Para cada x A, al único y B tal que ( x, y ) f se le denota y = f (x) y se dice que y es la imagen por f de x; tambi´ en se dice que x es una preimagen de y por f , aunque esto último no es de uso corriente.

∈

∈

∈

Esta condición de una función, consistente en que a cada elemento le corresponde uno, y sólo un elemento del recorrido, está aparentemente fundamentada en el hecho de que al escribir f (x), se asegure que éste es un sólo elemento y no varios , lo que la hace conveniente para la mayor´ıa de los propósitos particulares del análisis matemático. Ejemplo 19. a) Si A = 1, 2, 3, 4 entonces f : A A definida por f (1) = 2 , f (2) = 3, f (3) = 4 , f (4) = 1 es una función.

{

}

−→

{

}

−→

b)Si A = 1, 2, 3, 4 entonces g : A A definida por g(1) = 1 , g(2) = 1, g(1) = 3 , g(4) = 3 no es una función. Teorema 13. (Igualdad de funciones)

Dos funciones f : A B, g : C D son iguales si, y s´ olo si, A = C , B = D y f ( x ) = g( x ) para todo x A .

−→

13

−→

∈

Aunque no ocultamos nuestra preferencia por la primera forma de notaci´ on.

310


Demostraci´ on Se deduce inmediatamente de la definición de función y de la definición de igualdad de relaciones.  Definici´ on 26. (Función real) Si f : (A R) (B R) es función, se dice que f es una funci´ on real de variable real o simplemente una función real. En lo que sigue, notaremos a toda función real f mediante f ( ). Aqu´ı, con esta notaci´ on, siempre estaremos impl´ıcitamente asumiendo que D f = A, y Rf B.

⊆

−→

⊆

·

⊆

Nota 7. Observemos que una relación de A( R ) en B ( R ) es una funci´ on si toda recta paralela al eje Y que intersecte la gráfica, sólo la intersecta en un punto.

⊆

y

⊆

y

Varios puntos de intersecci´ on

B

B

Un sólo punto de intersecci´ on

A

A

x

Figura 40: Función(izquierda) y no-función (derecha)

Ejemplo 20. a) Sea f : R

−→ R definida por f (x) = x2 + x. Entonces: i) f (0) = 0 2 + 0 = 0

b) Sea f : R

f (1) = 1 2 + 1 = 2

ii)

R la función real definida por

−→ f (x) =

 

1/x x2

+ 2x x

si

−1 s i si

x<0 0

≤x <1 x ≥1

x

311


Hallemos los siguientes valores: a) f ( 2 ) d) f

b)

1

f

10 e) f ( 5 )

5

 

−  9 10

1

c) f f)

− 

f (10)

Soluci´ on. Teniendo cuidado en evaluar la función de acuerdo al intervalo en el que se encuentra el valor en cuestión, encontramos que:

−

a) f ( 2 ) =

− 

1 = 2

−

1 = 5 e) f ( 5 )=5; c) f

−12 ;

−5;

d) f)

     −      − 1 10

2

9 9 = 10 10 f ( 10 ) = 10

2

b) f f

1 10

=

+2

1 10

1=

79 − 100

+2

9 10

1=

161 100

Ejemplo 21. 2

2

2

R / x + y = 1 es una relación de a) [El 1,c´ırculo 1] en [ unitario 1, 1], que(x, noy)es funci´ on pues, por ejemplo, para x = 0 tenemos dos imágenes diferentes: y1 = 1, y2 = 1.

−

{

−

∈

}

b) Para la forma funcional f (x) =

−

1 tendremos que x2 + x

{ ∈ R/x2 + x = 0} = {x ∈ R/x(x + 1) = 0} = R − {0, −1}

Df = x

Notemos, y esto lo haremos siempre, que tomamos el mayor conjunto, para el cual la forma funcional tenga sentido en los n´ umeros reales. c) Para la forma funcion al f (x) = encontramos que

1 12x4

− 56x3 + 89x2 − 56x + 12 3 2 1 2, , ,

Df = R

2 3 2 despu´ es de observar las soluciones de la ecuaci´ on 12 x4 56x3 + 2 89x 56x + 12 = 0 que encontramos en el ejemplo 31 de la lecci´ on 3 (Geometr´ıa anal´ıtica). ¡Para objetivos como este es que es importante saber resolver ecuaciones algebraicas!

−

−





−

312


d) Para la formal funcional x2 + 2x

f (x) = se tiene que

−3



{ ∈ R/x2 + 2x − 3 ≥ 0} = {x ∈ R/(x + 1) 2 − 4 ≥ 0 } = {x ∈ R/|x + 1 | ≥ 2 } = (−∞, −3] ∪ [1, +∞)

Df = x

x2 x

−1 − 1 entonces D f = R − {1}. Pero notemos que, para (x − 1)(x + 1) x = 1, f (x) = = x + 1, que, aunque s´ı est´ a definida x−1 en x = − 1, coincide con la forma funcional srcinal s´ olo cuando x = −1.

e) Si f (x) =

Definici´ on 27. (Función sobre) Una función f : A B es sobreyectiva (o simplemente sobre) si, y sólo si, el recorrido de f es B o, en forma equivalente, si todo elemento de B es la imagen de al menos un elemento de A.

−→

Ejemplo 22. R Mostremos que la función f : R 1 2x + 3 f( x ) = es sobreyectiva (ver figura 41). x 1

− { } −→ − { 2 } definida por

−

Soluci´ on. Basta ver que para cualquier y R 2 existe alg´ un x R 1 tal 2x + 3 que y = ; es decir, debemos ver que para cualquier y R 2 , x 1 2x + 3 la ecuación y = tiene solución para x R 1 . En efecto, para x 1 y R 2 se tiene que

∈ −{ }

−

∈ −{ }

−

∈ −{ }

∈ −{ } ∈ −{ }

y = 2x x +13 si, y sólo si, si, y sólo si,

−

si, y sólo si,

xy

− y = 2x + 3 x(y − 2) = y + 3 x=

y+3 y 2

−

y

y

x=1

 y x= 1 x=  1; y = 2


313

−{ }

y esto significa que Rf = R 2 . En la figura 41 representamos esta función. No se preocupe el lector si en este punto no comprende completamente cómo se dibujó esta gráfica. Sin embargo, p or ahora podr´ıa intentar construir una tabla de valores xvsf (x) (particularmente para x cercanos a 1) y corroborar el comportamiento de esta figura. y y=

2x + 3 x 1

2

−

x

1

Figura 41

Definici´ oon n 28. onesuno-a-uno) Una funci´ f : (Funci´ A B uno-a-uno (o inyectiva) si, y sólo si, para todo x 1 , x2 en el dominio de f ,

−→

si f ( x1 ) = f ( x2 ) entonces

x1 = x 2

Nota 8. Observemos que una función real es una funci´ on uno-a-uno si, y sólo si, en el plano cartesiano, toda recta paralela al eje X que intersecte la gráfica, sólo la intersecta en un punto. Ejemplo 23.

·

Sea h( ) definida por h : R 42):

−→ R, donde

h( x ) = x 2

− 2x +4 (ver figura

R y h( x1 ) = h( x2 ), a) h( ) no es uno-a-uno, ya que si x1 , x2 entonces x21 2x1 + 4 = x22 2x2 + 4

·

−

−

∈

o ( x1

− x2 )( x1 + x2 − 2) = 0

314


y, por tanto, x1 = x 2

ó x1 = 2

− x2

As´ ı que, ejemplo, tomando x2 = 0 y x1 = 2 se tiene x1 = x 2 , pero h( xpor 2 ) = h( 0 ) = 4 = h(2 ) = h( x1 ).



· ∈ R, R si, y s´ olo si, existe alg´ un x R ∈ h ∈ tal que y = x2 − 2x + 4; 2 ± 4 − 4( 4 − y ) si, y sólo si, existe algún x ∈ R tal que x = ; 2 si, y sólo si, existe algún x ∈ R tal que x = 1 ± y − 3 O sea, Rh = { y ∈ R : y ≥ 3 } = [ 3, +∞ ). Por tanto, Rh =  R. Observemos que, en este caso, el rango de h(·) tambi´ en se puede

b) h( ) no es sobreyectiva porque para y y

 

hallar as´ı:

y = x2

− 2x + 4

si, y sólo si,

y = ( x2

si, y sólo si,

y = (x

− 2x + 1 ) + 3 1 )2 + 3

∈ [ 3, +∞ ) ya que ( x − 1 )2 ≥ 0 para−todo x ∈ R. Ahora: si se restringe el dominio de h(·) al intervalo [1 , +∞ ) o ( −∞, 1 ] y el rango al intervalo [ 3 , +∞ ), entonces la función h1 (·) Luego, y

definida como:

∞ ) −→ [ 3, +∞ ) ó h1 : (−∞, 1 ] −→ [ 3, +∞) con h 1 ( x ) = x 2 − 2x + 4, es uno-a-uno y sobre. Ser´ıa conveniente h1 : [ 1, +

en este punto que el lector mostrara, utilizando la figura 42, que la función no es uno-a-uno sobre todo su dominio, utilizando el criterio de la Nota 8 anterior.  y

3

h(x) = x 2

1

− 2x + 4 x

Figura 42: Función que no es uno-a-uno

315


Definici´ on 29. (Función biyectiva) Una función f de A en B es biyectiva (o biun´ ıvoca ) si, y sólo si, f es uno-a-uno y sobreyectiva. Ejemplo 24.

−{−3} −→ R definida por g( x ) = xx −+ 32 es uno-a-uno (ver figura 43). En efecto, si x1 , x2 ∈ R − {−3}, entonces x1 − 2 x2 − 2 g( x1 ) = g( x2 ) si, y sólo si, = La función g : R

si, y sólo si,

x1 + 3 x2 + 3 x1 x2 2x2 + 3x1

si, y sólo si,

x1 = x 2

−

· ∈ − {− }

− 6 = x1x2 − 2x1 + 3x2 − 6

Sin embargo, la función g( ) no es biyectiva puesto que no es sobreyectiva. En efecto, si y R y x R 3 , entonces x 2 y= si, y sólo si, yx + 3y = x 2 x+3 3y + 2 si, y sólo si, x = con y = 1 1 y

∈ −

−



Luego, Rg = R g1 : R

− { 1 }. Observemos, sin −embargo, que si se define − {−3 } −→ R − { 1 }, donde g1 ( x ) = xx −+ 32 , entonces g1 (·)

s´ı es ahora biyectiva.

y

1 x

-3

Figura 43: g(x) =

−

x 2 x+3

Ejemplo 25. Sea f : R

−→ R la función real definida por y = f (x) =

 

1/x

x2

+ 2x x

si

−1 s i si

x<0 0

≤x < 1 x≥1

316


Mostremos que esta función (ver figura 44) es sobreyectiva pero no es uno-a-uno. y

1

x

Figura 44

Soluci´ on.

≥

En primer lugar, para y 1 se tie ne que y = x; luego en este caso la funci´ on es sobreyectiva. Para el caso en que y < 0 se toma x R tal 1 que x = y se satisface la condición de sobreyectividad. Sin embargo, para 0 yy < 1, debemos analizar un poco más cuidadosamente:

∈

≤

∈ R tal que y = x2 + 2x − 1 −2 ± 4 + 4( 1 + y ) si, y sólo si, existe algún x ∈ R tal que x = 2 si, y sólo si, existe algún x ∈ R tal que x = −1 ± 2 + y Por lo tanto, para cada y ∈ R existe x ∈ R tal que y = f ( x ), y podemos concluir que f (·) es sobreyectiva. Sin embargo, no es uno-a-uno pues, y

∈ Rf

si, y sólo si, existe algún x

 

por ejemplo, un valor como f (x) = 1 es tomado por x = 1, y por otro valor (¿cuál es éste?). No sobrar´ ıa aqu´ı que el lector corroborara que no es uno-a-uno utilizando el método gr´ afico indicado en la Nota 8 anterior, es decir, trazando rectas paralelas al eje x y observando que, en algunos casos, la recta corta la curva en más de un punto.

c).

Formas funcionales b´ asicas

Comenzamos definiendo funciones reales básicas para análisis posteriores. Estas son algunas de las más simples:

317


a) Una función f ( ) se dice constante si existe un número real c tal que para todo x en el dominio de f ( ), f ( x ) = c. Por ejemplo,

·

f :R x

·

−→ R → f ( x ) = 2

g:R x

−→ R → g( x ) = −3

y

c

f ( x) = c x

Figura 45: Función constante

b) Si A R es un conjunto no vac´ıo, la funci´ on idéntica sobre A se define como:

⊆

f :A x

−→ → f A( x ) = x

Por ejemplo, la función id´ entica sobre R está dada por f :R x

−→ R → f ( x ) = x

y su gráfica es la de la figura 46. y f (x) = x

x

Figura 46: Función idéntica

318


c) Una función f : R R se dice lineal (o af´ ın) si f ( x ) = a1 x+a0 para algún número a 1 = 0; su gráfica, para a1 > 0 es como en la figura 47.

−→



y

f ( x ) = a 1 x + a0

x

Figura 47: Función lineal

d) La función f : R

−→ R definida por

f ( x ) = x2 se denomina la

función parab´ olica (o cuadrática) y su gráfica es la de la figura 48. y

f ( x ) = x2

x

Figura 48: Función cuadrática

e) La función f : R R definida por f ( x ) = a2 x2 + a 1 x + a0 para a 2 = 0 se denomina la funci´ on cuadrática general.



f) La función f : R

−→

R definida por f ( x ) = x3 se denomina la

función cúbica y su gráfica es la de la figura 49.

−→ g) La función f : R −→ R definida por f ( x ) = a 3 x3 +a2 x2 +a1 x+a0 para a 3 =  0 se denomina la función cúbica general .

319

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas y f ( x) = x 3

x

Figura 49: Función cúbica

−→ R definida por f ( x ) = a n x + an−1 xn−1 + ··· + a1 x + a0 donde n es un entero no negativo y an , an−1 , ··· , a1 , a0 son cons-

h) En general, la función f : R n

tantes reales, se llama funci´ on polinómica o polinomial (ver figura 50). Si an = 0, el grado de la función polinómica es n.



y

x

Figura 50: Función polinomial

i) Una función f ( ) se dice racional si se puede expresar como el cociente de dos funciones polinómicas; es decir, si f ( ) puede expresarse en la forma g( x ) f( x ) = h( x )

·

·

·

·

donde g( ) y h( ) son funciones polinómicas. El domin io de una función racional consiste en todos los n´ umeros reales excepto los que el denominador; decir, Df = Las anulan siguientes son funciones es racionales: a) f ( x ) =

x4 x

− x3 ; −4

Df = R

−{ 4 },

{ x ∈ R / h( x ) = 0 }. −

pues x 4 = 0 si x = 4.

320


2x3 + x 4 ; Dg = R 1, 3 , pues x2 2x 3 = x2 2x 3 3)(x + 1) = 0 si x = 1 ó x = 3.

b) g( x ) = = (x

− {√ ∈

− − −

−{ − }

−

≥ }

− −

−→

j) Si R+ = x R / x 0 , la función f : R + R + definida por f ( x ) = x se denomina la funci´ on ra´ız cuadrada y su gráfica es la de la figura 51. y

f (x) =

√x x

Figura 51: Función ra´ız cuadrada

− { } −→

k) La función f : R 0 R definida por f ( x ) = 1/x se denomina (en ocasiones) la funci´ on hiperbólica y su gráfica es la de la figura 52. y

f (x) =

1 x

x

Figura 52: Función hiperbólica

b l) La función f : R 0 R definida por f ( x ) = a + , x a, b = 0 se denomina la funci´ on hiperbólica general y su gráfica, para a,b > 0, es como la de la figura 53.



− { } −→

321

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas y

f (x) = a +

b x

a

x

Figura 53: Función hiperbólica general

m) La función f ( x ) = x se denomina la funci´ on valor absoluto y se define como

| |

| |

f (x) = x =

≥



∈

≥

x si x 0 x si x < 0

−

·

Puesto que f ( x ) 0 para x R, el dominio de f ( ) es R y el rango R+ . Su gráfica es como en la figura 54. y y= x

||

x

Figura 54: Función valor absoluto

n) A una función cuya gráfica consiste en la unión de segmentos de rectas se le llama lineal a trozos (o seccionalmente lineal ). Por ejemplo, la función f ( x ) de la figura 55 es seccionalmente lineal.

322


y

4

f (x) =

-2 4

x

-2

  −

4 si 4 < x 2 x x si 2 si 2>x

− ≤ ≤4 −

Figura 55: Función lineal a trozos

o) La función definida por f ( x ) = [[ x ]] es la funci´ on mayor entero contenido en x (o función parte entera de x ). Esta función se puede expresar como f (x) = [[x ]] = n

si n

≤x < n+1

donde n es un núque mero Es decir, es el mayor que es menor o igual x.entero. Su dominio es R[[yxsu]] rango son losentero números enteros. Por ejemplo, [[ 1 ]] = 1, [[ 1.25 ]] = 1, [[ 0.5 ] = 1, [[ 1.5 ]] = 2 y su gráfica es la de la figura 56.

−

−

−

−

y

x

Figura 56: Función parte entera

p) Consideremos una circunferencia en R2 de radio r > 0, centro ( 0,0 ) y un pun to ( x, y ) sobre este c´ırculo. Tomemos el ángulo θ formado por el eje x y por el rayo que pasa por el punto ( x, y ). Esto se ilustra en la figura 57.

323


(x, y ) r θ x

Figura 57: C´ırculo trigonométrico

i) La funci´ on seno , denotada sen ( ), se define por sen θ =

·

y r

ii) La funci´ on coseno, denotada cos ( ), se define por cos θ =

·

x r

y iii) La funci´ on tangente , denotada tan ( ), se define por tan θ = x r iv) La funci´ on cosecante, denotada csc ( ), se define por csc θ = y r v) La funci´ on secante, denotada sec ( ), se define por sec θ = x

· ·

·

vi) La funci´ on cotangente, denotada cot ( ), se define por cot θ =

·

x y

A las seis funciones anteriores se les conoce como funciones trigonom´ etri-

cas. Sus gráficas son las siguientes: y y = sen x

− 2π

−|π

|

π

Figura 58: Función seno

2π x

324

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos y y = cos x

| − 2π

−|π

|

|

π

2π x

Figura 59: Función coseno

y

y = tan x

− 2π −

3π 2

−π −

π

π

2

2

π

2π x

3π 2

Figura 60: Función tangente

y

y = csc x

−2π − |

3π 2

−π

−

|

π

π

2

2

|

π

Figura 61: Función cosecante

|

3π 2

2π

x

325


y = sec x

− 2π −

| −π −

3π 2

π

π

2

2

|

3π 2

π

2π x

Figura 62: Función secante y

y = cot x

−2π −

3π 2

−π

−

π

π

2

2

3π 2

π

2π

x

Figura 63: Función cotangente

d).

´ Algebra de funciones reales

Las siguientes son las tres operaciones básicas para el álgebra de funciones reales: la suma, el producto, y el cociente de funciones . ´ Definici´ on 30. ( Algebra de funciones) Sean f ( ) y g( ) dos funciones reales con Df y D g los respectivos dominios. Se definen ahora las siguientes funciones:

·

·

a) La suma de f ( ) y g( ), denotada ( f + g )( ), definida por

·

·

·

( f + g )( x ) = f ( x ) + g( x )

326


b) El producto entre f ( ) y g( ), denotado ( f g )( ), definido por

·

·

· ·

( f g )( x ) = f ( x ) g( x )

·

·

c) El cociente entre f ( ) y g( ), denotado

·

·

f ( ), definido por g

·



f f( x ) (x) = g g( x )

∩

El dominio de cada una de estas funciones está dado por Df Dg y en el caso c) se excluyen los valores de x para los cuales g( x ) = 0.

Ejemplo 26. Dadas las funciones f( x ) =

Hallemos



x 0

≥

si x 0 si x < 0

·

a) ( f + g )( ),

y sus gráficas.

b)( f

y

g( x ) =

− g )(·),

−

≤

x 0

si x 0 si x > 0

· ·

c) ( f g )( ) y d)

f () g

·

Soluci´ on. a) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g( x ) = es decir, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g( x ) =

  −− −

x +0 x x 0 x x x

≥

si x 0 si x = 0 si x < 0 si si

x 0 x<0

≥

Esta función coincide con la función valor absoluto. Su gráfica es la de la figura 54.

327


b) (f

x x

− g )( x ) = f ( x ) − g( x ) =

Como puede verse, la función ( f identidad f (x) = x.

≥

si x 0 si x < 0



− g )(·) coincide con la función

c)

·

·

( f g )( x ) = f ( x ) g( x ) = 0 O sea que es la funci´ on constante nula que gráficamente corresponde al eje x. d) Para x < 0,

 f g

(x) =

f( x ) = g( x )

−x0 = 0

f (x) Para x 0, g( x ) = 0 y as´ı g(x) no está definida. Gráficamente, f la función ( ) es el semieje negativo de las x′ s. g

≥

e).

·

Composici´ on de funciones reales

La siguiente es una cuarta operaci´ on para el estudio de funciones: composici´ on de funciones .

la

Definici´ on 31. (Función compuesta) Sean las funciones g : A B y f :B C . La compuesta de f y g, denotada por ( f g ), es la función definida por

◦

f

−→

−→

◦ g : A −→ C x

(f

g )( x ) = f ( g( x ) )

→ ◦ El dominio de ( f ◦ g ) consta de todos los elementos

x en el dominio de g para los cuales g( x ) está en el dominio de f ; es decir,

{

D f ◦g = x / x

∈ Dg

y g( x )

∈ Df }

328


Nota 9. El elemento de entrada x se convierte en el elemento de salida g( x ) mediante la función g. Si el objeto de salida g( x ) pertenece al dominio de la función f , entonces f puede operar sobre g( x ) para producir un nuevo objeto de salida f ( g( x ) ) (ver figura 64). Funci´ on compuesta f

◦g

g ( x)

Entrada de x

Salidade

g

f [g (x)]

f

Figura 64

Ejemplo 27.

·

·

·

Sean las funciones reales f ( ), g( ) y h( ) definidas para todos los números reales y dadas por f ( x ) = x 2 + 1,

g( x ) = 2x

− 3,

h( x ) = x 3

Determinemos: a) ( f

◦g) ◦

c) ( f ) f

b) ( d)( (

◦

g f) f

◦ g ) ◦ h)

Soluci´ on. a) ( f

◦ g )( x ) = f ( g( x )) = (2 x − 3 )2 + 1 = 4 x2 − 12x + 10

b) ( g f )( x ) = g( f ( x ) ) = 2( x2 + 1 )

3 = 2x2

1

◦ − − c) ( f ◦ f )( x ) = f ( f ( x ) ) = ( x2 + 1 )2 + 1 = x 4 + 2x2 + 2 d) (( f ◦ g ) ◦ h )( x ) = f ( g( h( x ) ) ) = 4 ( x3 )2 − 12x3 + 10 = 4x6 − 12x3 + 10.

329


Nota 10. (Propiedades de la función compuesta) Puede notarse en el ejercicio anterior que se cumple la propiedad asociativa para la operación de composición de funciones. Y esto es cierto en general. Más aún: puede probarse que esta propiedad se cumple para cualquier tres (o más) funciones. Esto es, (f

◦ g ) ◦ h = f ◦(g ◦ h)

Sin embargo, en general, no es cierto que se cumpla la propiedad conmutativa. Es decir, en general, (f

◦ g ) = ( g ◦ f )

Ejemplo 28. Probemos que ( f g )( ) = ( g f )( ) en los siguientes casos y encontremos sus respectivos dominios:

◦ ·  ◦ ·

a) f ( x ) =

√x ,

g( x ) =

2

;

Df = R+ , Dg = R

0

b) f ( x ) = sen x ,

x g( x ) = 1 + x; Df = R, Dg = R

c) f ( x ) = cos x ,

g( x ) =

−{ }

1 ; x2 + 1

Df = R, Dg = R

Soluci´ on. a) ( f

◦ g )( x ) = f ( g( x ) ) = ◦

( g f )( x ) = g( f ( x ) ) =



2 ; Df ◦g = x/x > 0 = R++ x

√2x ;

{

}

{

}

Dg◦f = x/x > 0 = R++

◦ g )( x ) = f ( g( x ) ) = sen( 1 + x ); Df ◦g = R ( g ◦ f )( x ) = g( f ( x ) ) = 1 + se n x; Dg◦f = R

b) ( f

c) ( f

◦ g )( x ) = f ( g( x ) ) = cos ◦

( g f )( x ) = g( f ( x ) ) =

  1 x2 + 1

1 ; cos2 x + 1

;

Df ◦g = R

D g ◦f = R

330

f).


Inversi´ on de funciones reales

Otra operación básica en el estudio de funciones es el cálculo de la llamada . Sea xf una función y rango funci´ on inversa B (es decir, para cada A existe unbiyectiva único y conBdominio tal que A y= f( x ) (por ser f función), y para cada y en B existe un único x en A tal que y = f (x) (por ser uno-a-uno y sobre)). Como a cada y B le corresponde un único x A, se puede definir la función g de B en A tal que g(y) = x, donde y = f (x). A esta función g se le llama funci´ on inversa de f y se denota por f −1 . Como se aprecia en la figura 65, g invierte la asignación dada por f . Como g( y ) = x y f ( x ) = y, donde x A y y B, se tiene, por sustituci´ on, que

∈

∈

∈

∈

∈

g( f ( x ) ) = x

∈

y f ( g( y ) ) = y

o, en otra forma, que

◦

( g f )( x ) = x para todo x

∈ A y todo y ∈ B.

y (f

f

y

x

A

◦ g )( y ) = y

g = f −1

B

Figura 65: Diagrama de la función inversa

Definici´ on 32. (Función inversa) Sea f una función biyectiva con dominio A y rango B. La función f −1 con dominio B y rango A es la funci´ on inversa de f si, y sólo si, f −1 ( f ( x ) ) = x

para todo x en A

f ( f −1 ( y ) ) = y

para todo y en B

331


Ejemplo 29. Calculemos la función inversa, si existe, de las siguientes funciones reales: a) f : R+

−→ R+ definida por f ( x ) = x2 b) f : R −→ R definida por f ( x ) = x 3 c) f : R − { 0 } −→ R − { 0 } definida por f ( x ) = 1/x Soluci´ on. Observemos que si definimos

−→ R+ por f −1( x ) = √x (ver figura 66) √ b) f −1 : R −→ R por f −1( x ) = x c) f −1 : R − { 0 } −→ R − { 0 } por f −1 ( x ) = 1/x a) f −1 : R+

3

entonces f ( f −1 ( y ) ) = y y f −1 ( f ( x ) ) = x en cada caso. f (x) = x 2

y

y=x

f −1 (x) =

√x

x

Figura 66: Función inversa de f (x) = x2

Nota 11. a) En la figura 67 se observa que la funci´ on f −1 ( ) es la imagen espectral de la función f ( ); es decir, la función f −1 ( ) es el “reflejo” de la función f ( ) a trav´ es de la recta y = x.

·

·

·

·

332


·

f( )

y

y=x

·

f −1 ( )

x

·

Figura 67: Función inversa de f ( )

b) En algunos casos es fácil obtener la función inversa de una función biyectiva con un procedimiento algebraico consistente en seguir los siguientes pasos: i) Verifique si la función es biyectiva en todo su dominio. ii) “Despeje” x en t´ erminos de y de la ecuación y = f ( x ) obteniendo una ecuación de la forma x = f −1( y ). iii) Verifique las condiciones f −1( f ( x ) ) = x y f −1 ( f ( x ) ) = x para todo x en los dominios de f ( ) y f −1 ( ), respectivamente.

·

·

Sin embargo, el éxito de este m´ etodo depende de la naturaleza de la ecuaci´ on y = f ( x ), y se requiere que sea posible “despejar” x en términos de y. Ilustremos con un ejemplo. Ejemplo 30.

− {− } −→

a) Ya hab´ıamos estudiado antes que la funci´ on g : R 3 R x 2 definida p or g( x ) = (ver ejemplo 24) no es biyectiva puesto x+3 que no es sobre, a pesar de ser uno-a-uno. Y encontrabamos que si y R y x R 3 , entonces

−

∈

y=

} −∈ −si,{−y sólo si,

x 2 x+3

si, y sólo si,

yx + 3y = x 3y + 2 x= 1 y

−

−2 

con y = 1

333


− {− } −→

Pero tambi´ en observ´ abamos que si se defin´ıa g1 : R 3 x 2 R 1 , donde g1 ( x ) = , entonces g1 ( ) s´ı era ahora x+3

−

−{ }

·

1

biyectiva. Claramente, la función inversa de esta g 1 ( ) es g 1− (y) = 3y + 2 con dominio R 1 y recorrido R 3 . 1 y

−

−{ }

· − {− } f : R − {1} → R − {2} definida

b) Siguiendo el ejemplo 22, se ve que 2x + 3 por f (x) = es, además de sobreyectiva, biyectiva, pues x 1 tambi´ en es uno-a-uno como el lector puede comprobar. All´ı es claro y+3 que f −1 : R 2 R 1 est´ a determinada por f −1(y) = . y 2

− −{ } → −{ }

g).

−

Funciones trigonom´ etricas inversas

Cuando en lecciones anteriores estudiábamos las ideas centrales de la herramienta trigonom´ etrica, not´ abamos que las seis curvas básicas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante) al estar determinadas por movimiento alrededor de unasecircunferencia, tendr´ ıanelque ser peri´ odicas , es decir, repet´ıan, una necesariamente y otra vez, cada per´ıodo. En lengua je formal esto significa que si f ( ) representa una de las seis funciones trigonom´ etricas, entonces existe un n´ umero positivo T tal que f ( x ) = f ( x + T ) para todo x; y, por lo tanto, no son funciones biyectivas y sus relaciones inversas no son funciones. Sin embargo, todav´ıa podemos realizar cierta t´ıpica manipulaci´ on con estas curvas para hacerlas biyectivas: basta restringir sus dominios. Veamos cómo.

·

a) Consideremos (abusando un tanto de la notación) la función y = sen x :

 −  −→ − π π , 2 2

[ 1, 1 ]

·

Entonces, con esta restricción de dominio, la función sen( ) es ahora biyectiva. Su inversa, denotada por arcsen( ) o sen −1 ( ), se define como

·

 

·

− −→ − π2 , π2 Las gráficas de sen( ·) y sen −1 (·) se ilustran a en la figura 68 . x = sen −1 (y) : [ 1, 1 ]

334


y

1

| −

−

2

− |

π

π

2

2

-1

y = sen −1 x

π

y = sen x

|

x

|

-1

x

1

−

π

− − 2

Figura 68

Por tanto, y = sen −1 x si, y sólo si, x = sen y , π2 y x 1. Por ejemplo, sen−1 12 = π6 ya que sen π6 = 12 .

− ≤ ≤ π2 , −1 ≤



≤

−→ −

b) Consideremos ahora la funci´ on y = cos x : [ 0, π ] [ 1, 1 ]. Con esta restricción de dominio, la función es ahora biyectiva. Por 1 ( ) como consiguiente, la función coseno inverso, denotada por arccos( ) opuede cos −definirse

·

·

x = cos −1 y : [ 1, 1 ]

−

−→ [ 0, π ]

Por lo tanto, y = cos −1 x si, y sólo si, x = cos y , 0 y π, 1 x 1. De esta man era, cos −1 ( 1 ) = π porque cos π = 1. Las gráficas de cos( ) y cos −1 ( ) se muestran en la figura 69.

− ≤ ≤

·

·

≤ ≤

−

−

y = cos x π

−

y = cos −1 x

π 2

1

π 2

-1

 π

x

− Figura 69

|

-1

1

x

335


− 

π π c) Es natural restringir el dominio de la función tangente a 2, 2 para que sea biyectiva y, por tanto, poder definir su inversa. Lueπ π

go, si y = tan x : ( 2 , 2 ) −1 R, la función tangente inversa, denotada por arctan( ) ó tan ( ), se define as´ ı

−·

−→·

x = tan −1 (y) : R

 

−→ − π2 , π2

y y = tan −1 x

y = tan x

π 2

−

π

π

2

2

x

x

−

π 2

Figura 70

Luego y = tan −1 x si, y sólo si, x = tan y, π2 < y < π2 , x π As´ı, por ejemplo, tan−1 ( 1 ) = π4 ya que tan 4 = 1

−

−

−

− 

−

∈ R.

Definici´ on 33. (Función estrictamente creciente) Una función f ( ) definida en un intervalo I se dirá estrictamente creciente en ese intervalo si, y sólo si,

·

f ( x1 ) < f ( x2 ) siempre que para cualquier x1 , x2

x1 < x2

∈ I.

Definici´ on 34. (Función estrictamente decreciente) Una función f ( ) definida en un intervalo I se dirá estrictamente decre-

·

ciente en ese intervalo si, y sólo si, f ( x1 ) > f ( x2 ) siempre que para cualquier x1 , x2

∈ I.

x1 < x2

336


Ejemplo 31.



i) La función lineal f ( x ) = ax + b, a = 0 sobre R es estrictamente creciente si a > 0, pues si x 1 < x 2 , entonces ax1 + b < ax 2 + b. De otro lado, si a < 0 la función lineal es estrictamente decreciente. ii) La función f ( x ) = x 3 sobre R es estrictamente creciente ya que (x1 )3 < (x2 )3 siempre que x1 < x2 . iii) La función f ( x ) = x 2 definida sobre R+ = x/x 0 es estrictamente creciente ya que (x1 )2 < (x2 )2 siempre que 0 x 1 < x2 . Sin embargo, la función f ( x ) = x 2 para x 0 es estrictamente decreciente ya que si x1 < x2 0 entonces x21 > x22 . 

{ ≤

≤

≥ } ≤

El siguiente teorema relaciona las nociones de crecimiento y decrecimiento estricto con la existencia de inversa para una funci´ on real: Teorema 14.

Una función real que es creciente estrictamente o decreciente estrictamente en un intervalo de números reales, es uno-a-uno en ese intervalo. Demostraci´ on Supongamos que la función es creciente estrictamente en el intervalo. Si x1 y x2 son dos números en el intervalo y x1 = x2 , entonces x1 < x2 ó x2 < x1 . Luego:





a) Si x 1 < x2 , entonces f ( x1 ) < f ( x2 ), o sea que f ( x1 ) = f ( x2 ).



b) Si x 2 < x1 , entonces f ( x2 ) < f ( x1 ) y, por tanto, f ( x2 ) = f ( x1 ).

·

As´ı se deduce que f ( ) es uno-a-uno en el intervalo. De forma similar se demuestra si f ( ) es decreciente estrictamente en el intervalo. 

·

Por lo tanto, si una función es estrictamente creciente (o decreciente) y, adem´ as, es sobreyectiva en su dominio, tendrá una (su) función inversa. Por ejemplo, para las funciones del ejemplo 31 anterior, las inversas son, respectivamente:

−b √a iii) f −1 (y) = y ó i) f −1 (y) =

y

ii) f −1 (y) = f −1 (y) =

−√y

√y 3

¿por qu´ e dos funciones?

337


Ejercicios 6 1) Dado X =

1, 2, 3, 4 , ¿cuáles de las siguientes relaciones son

reflexivas, sim´ etricas, transitivas, antisim´ etricas, de equivalencia, preorden, orden parcia l, u orden completo? :

{

}

ℜ1 = {(2, 1), (4, 4), (3, 3), (2, 2), (2, 3), (1, 1)} ℜ2 = {(1, 2), (3, 4), (4, 1)} c) ℜ3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)} d) ℜ4 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} a)

b)

2) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son de equivalencia? : a) X es el conjunto de todas las rectas del plano y L sólo si, L es paralela a M .

ℜM

si, y

ℜ b si, y sólo si, a = ±b. c) X = R y a ℜ b si, y sólo si, a > b. d) X ≡ la gente del mundo hoy, y a ℜ b si, y sólo si, a y b tienen b) X = Z y a

la misma madre.

¿Cuáles son las clases de equivalencia en los casos en que la relación es de equivalencia?

{

3) Dados los conjuntos A = 1, 2, 3

}

{

}

y B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) Exprese las siguientes relaciones de A en B :

ℜ = { ( x, y )/( x, y ) ∈ A × B, y = x } ℑ = { ( x, y )/( x, y ) ∈ A × B, y = x2 } ℘ = { ( x, y )/( x, y ) ∈ A × B, x < 0 } b) ¿Cuáles son sus dominios y recorridos? c) Dibuje , , y ℘ en un sistema coordenado.

ℜℑ

4) En los siguientes casos, dibuje, lo mejor que pueda, la funci´ trozos dada por:

on a

338


a)

f( x ) =

b)

1 3 2 0

    

g( x ) =

c) h( x ) =

 

c)

≤x <1 x <2 ≤≤ x < 3 ≤x <4

0 1 2 3

x

para

−

x2

para

x2

−8

4

p ara

1/x

si x > 0

x3

si x

5) Si f ( x ) = 2x2 a) Df , Dg

si si si si

−2.5 − 2 ≤ x ≤2 3 ≤x<4 x<

≤0

x y g( x ) = sen x, encuentre:

−

b) f 2 ( ) , g 2 ( ) y sus dominios

·

· ·

f( ) y su dominio g( )

d)

·

1 y su dominio g( )

· √ 6) Dadas f ( x ) = x 2 − 1 y g( x ) = x2 + 4x + 2 ·

· ◦ g )(·)? ¿y el de ( g ◦ f )(·)? c) ¿Cuál es el rango de ( f ◦ g )(·)? ¿y el de ( g ◦ f )(·)? 7) Considere las funciones re ales f (·) y g(·) definidas as´ ı: x2 − x x f( x ) = 2 g( x ) = x −1 x+1 a) Dibuje, lo mejor que pueda, las func iones f (·) y g(·). b) Halle los dominios de f (·) y g(·) y sus rangos. a) Halle los dominios de f ( ) y g( ).

b) ¿Cuál es el dominio de ( f

c) Calcule Df ◦g y D g◦f .

339


8) Si f ( x ) =

√ x2 + x − 3

y g( x ) =

1 x(x

Df , Dg , Df ◦g , Dg◦f .

− 1)(x + 2)

determine

9) Dadas f (x) = a 0 + a1 x y g(x) = b 0 + b1 x, para a0 , a1 , b0 , b1 constantes, ¿será que ( f g)(x) = (g f )(x)?

◦

◦

10) ¿Cuáles de las funciones siguientes, definidas sobre sus dominios, son uno-a-uno? ¿Cuáles son sobre? ¿Cuáles biyectivas?: a) f (x) = x 2 c) f (x) =



x2 + x



x2 + 4x + 2 1 d) f (x) = (x 1)(x + 2)

−1

b) f (x) =

−3

−

En caso de ser biyectivas, encuentre sus respectivas funciones inversas. 11) Si f : A

→ B y g : B → C son dos funciones, pruebe que:

a) Si f y g son uno-a-uno entonces g f tambi´ en es uno-a-uno. [Indicaci´ on: Asuma que ( g f )(x) = (g f )(y) para algunos x, y A. Entonces g(f (x)) = g(f (y)), y as´ı, como g( ) es uno-a-uno, entonces f (x) = f (y); y, a su vez, como f ( ) es uno-a-uno, entonces x = y].

∈

◦

◦

◦

· ·

◦

b) Si f y g son sobreyectivas entonces g f tambi´ en es sobreyectiva.

◦

c) Si f y g son biyectivas entonces g f tambi´ en es biyectiva. d) Muestre, además, que las rec´ıprocas de a), b) y c) no son, en general, ciertas, recurriendo a contraejemplos adecuados. 12) Restringiendo apropiadamente los dominios, construya las funciones inversas de cot (cotangente), sec (secante), y csc (cosecante). 14

7.

Funciones de dos variables reales

Podemos adaptar algunos de los desarrollos anteriores para funciones reales de una sola variable real, al caso de funciones de dos variables 14

Si el lector está interesado en profundizar sobre las secciones 3 a 6, recomendamos el texto clásico Spivak, Michael (1968), “Calculus”, Editorial Revert´ e.

340


reales de la forma z = f (x, y), donde a cada par ( x, y) le asignamos (mediante la función f ( , )) el número real z = f (x, y). Ejemplos de este tipo de “uniformidades” abundan. Por ejemplo el área de un rectángulo,

··

A, está determinada por las longitudes de sus lados ( b y h) mediante la regla A = b h. Tambi´ en el volumen de un cono est´ a determinado mediante la regla V = 13 πr 2 h donde r es el radio del c´ırculo de la base, y h es la altura del cono; otra de estas uniformidades es el per´ıodo de oscilaci´ on de un péndulo regido por T = 2π l/g donde l es la longitud de la cuerda y g es la constante de aceleración gravitacional en la Tierra. Como dec´ıamos antes, fueron uniformidades de este tipo las que, sin duda, dieron srcen al concepto abstracto de funci´ on.

·



Definici´ on 35. (Funciones de dos variables reales) Si f : A( R 2 ) B ( R ) es una función (donde R2 = R R) se dice que f ( , ) es una funci´ on real de dos variables reales o, simplemente, que f ( , ) es una funci´ on de dos variables .

⊆ ·· ··

−→ ⊆

×

En general, la gráfica de una función de dos variables requiere, ya no del plano bidimensional sino del espacio cartesiano tridimensional . El resultado es la superficie tridimensional que describe la funci´ on. z

y

x

Figura 71: f ( x, y ) = x2 + y 2

Ejemplo 32. Supongamos que A = R2 y f : R 2 R es tal que f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Entonces su representación gráfica en el espacio tridimensional es la de la figura 71.

−→


341

Ejemplo 33. Supongamos que A = R2 y f : R2

−→ R tal que f ( x, y ) = 1 −x−y. Su

representaci´ on tridimensional es el plano de la figura 72. Y, en general, toda función de la forma f (x, y) = a 0 +a1 x+a2 y, con a 0 , a 1 , a 2 n´ umeros cualquiera, corresponde a un plano en el espacio. z

y x Figura 72: f ( x, y ) = 1

Ejemplo 34. Supongamos A = ( x, y ) f ( x, y ) =

 − {− 1

x2

−x−y

∈ R2 / x2 + y2 ≤ 1} y f : A −→ R tal que

y 2 . La gráfica es la de la figura 73. z

y

x

Figura 73: f ( x, y ) =

− 1

x2

−y

2

Ejemplo 35. Supongamos A = R2 y f ( x, y ) = x 2 y 2 . La gráfica es la de la figura 74. Esta es la misma g(x, y) = xy despu´ es de realizar una rotación conveniente (ver lección 3, ejercicio complementario 28).

−

342

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos z

y

x Figura 74: f ( x, y ) = x2

−y

2

Definici´ on 36. (Curvas de nivel) Otro m´ etodo para representar funciones de dos variables f ( x, y ) es el de las curvas de nivel . Este método consiste en dibujar su “mapa topográfico”, encontrando, para distintas elecciones de la constante α, el conjunto

{

Γα = ( x, y )

∈ Df / f ( x, y ) = α }

Este conjunto α es, simplemente, el “corte” de la superficie f ( x, y ) al nivel α de altura sobre el plano xy, y luego proyectado perpendicularmente al mismo plano xy (ver figura 75).

z

y

x Figura 75: Curvas de nivel

Ejemplo 36. En el caso de la función f ( x, y ) = x 2 +y 2 , las curvas de nivel para α > 0 lucen como en la figura 76.

343


y

Circunferencias x2 + y 2 = α -1

1

x

Figura 76: Curvas de nivel de f (x, y) = x 2 + y 2

Ejemplo 37. En el caso de la función f ( x, y ) = 1 como en la figura 77.

− x − y, las curvas de nivel

α lucen

y

Rectas y = 1

x

α

− − x

Figura 77: Curvas de nivel de f (x, y) = 1

Ejemplo 38. Cuando f ( x, y ) = 1 x2 lucen como en la figura 78.

−

−x−y

− y2, las curvas de nivel para 0 ≤ α ≤ 1 y

x2 + y 2 = 1

-1

1

Figura 78: Curvas de nivel de f (x, y) =

2

−α

x

− 1

x2

−y

2

344


Ejemplo 39. Cuando f ( x, y ) = y 2 en la figura 79.

− x2, la curva t´ıpica de nivel para α > 0 luce como y

hip´ erbola y 2

−x

2

=α

x

Figura 79: Curva de nivel α de f (x, y) = y 2

−x

2

Ejemplo 40. Supongamos que f ( x, y ) = x 2 y 2 . Las curvas de nivel α > 0 están dadas por α = x2 y 2 ; es decir, por hip´ erbolas de la forma y = α/x. Dos de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 80.

√

y

y=

√α x

x

Figura 80: Curvas de nivel α > 0 de f (x, y) = x2 y 2

Ejemplo 41. 1 1 Sea f ( x, y ) = x 2 y 2 . Las curvas de nivel α > 0 asociadas a esta función 1 1 est´ an dadas por α = x 2 y 2 ; es decir, por y = α2 /x. Un par de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 81.

345


y

y=

α2 x

x 1 2

Figura 81: Curva de nivel α > 0 para f (x, y) = x y

Ejemplo 42.

1 2

1 2

1 3

1 1 Consideremos la función función est´ f (ax, ) = x de nive l α > 2 y 3 , es decir, por asociadas a esta n ydadas pory α. La = xcurvas y =0 3 3 α /x 2 . Un par de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 82. y

y=

α3 3

x2

x 1 2

Figura 82: Curvas de nivel α > 0 para f (x, y) = x y

1 3

346


Ejemplo 43. Consideremos la función f ( x, y ) =m´ın x, y . Las curvas de nivel α > 0 asociadas a esta función están dadas por α = min x, y . Un par de estas

{ }

curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 83.

{ }

y

crecimiento de los niveles y= α

x

{ }

Figura 83: Curva de nivel α > 0 para f (x, y) = min x, y

Ejemplo 44.

{ }

Consideremos ahora la función f ( x, y ) = max x, y . Las curvas de nivel α > 0 asociadas a esta función están dadas por α = max x, y . Dos de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 84.

{ }

y

crecimiento de los niveles y= α

x

{ }

Figura 84: Curva de nivel α > 0 para f (x, y) = max x, y


347

Ejercicios 7 1. Escribir, si es posible, las ecuaciones expl´ıcitas de las curvas de nivel α > 0 dado, para las siguientes funciones: a) f (x, y) = x 2 + y + 1 con x,y > 0 b) f (x, y) = x 2 y 3 + 1 con x,y > 0 c) f (x, y) = 3xy + 2y + 1 con x,y > 0 d) f (x, y) = 4xy 2 + 5y + 3 con x,y > 0 e) f (x, y) = y 3 + x3 + 3 con x, y > 0 Represente estas curvas en el plano.

348


8.

Contexto económico

a).

Sobre los or´ıgenes de la econom´ıa matem´ atica

Con respecto a la F´ısica y otras ciencias, la econom´ıa, como ciencia matem´ atica, tiene un desarrollo tard´ıo. Hasta donde se conoce, el uso del lenguaje matemático tiene una tradición que se remonta al ingeniero italiano Giovanni Ceva quien en 1711 escribiera sobre algunas aplicaciones elementales de las matemáticas a la econom´ ıa, llamado De re Nummaria, Quoad Fieri Potuit Geometrice Tractata. Más tarde, en 1864, Cesare Beccaria escribir´ıa Tentativo Analytico sui contrabbandi en el que empleaba algo de álgebra para describir los riesgos y beneficios del contrabando; y a éste le siguieron otras obras menores, entre las que podr´ıa mencionarse el Der Isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und National¨ okonomie de Johann Heinrich von Thünen [1783-1850] de 1826 y el Mathematical Exposition of some Doctrines of Political Economy de W. Whewell de 1829. Pero tratado en explorar problema Recherches sistemáticamente fue la primerde pieza elmaestra Antoine AugustinelCournot sur les Principes Math´ ematiques de la Théorie des Richesses, un trabajo inmensamente influyente publicado en 1838. Cournot [1801-1877] era matemático, filósofo y estudioso de la teor´ıa de la probabilidad. Sin embargo, al comienzo, el libro de Cournot parec´ ıa destinado al fracaso: era muy avanzado para su tiemp o. Sus m´ etodos de solución a ecuaciones simultáneas y, fundamentalmente, las t´ ecnicas del c´ alculo diferencial de Newton y Leibniz eran extraños para los economistas contemporáneos y sus razonamientos demasiado intrincados para las crudas nociones de econom´ıa pol´ıtica de la época. Fue quiz´ as el economista y lógico inglés William Stanley Jevons [1835-1882], quien fuera reconocido por sus desarrollos de la teor´ıa de la utilidad, el primero en comprender las virtudes del trabajo de Cournot y del m´ etodo matem´ atico. Sin embargo, ser´ıa Alfred Marshall [1842-1924] el que atrajo la atención de economistas serios en favor del etodo atica y a suhauso generalapoyos aunque prudente. Desde entonces recibido y desprecios por parte de losla econom´ ıam´ matem´ economistas en todas las épocas. Sin duda, el valor de gráficas y s´ımbolos para expresar hechos simples de la econom´ıa es ampliamente reconocido y no requiere discusión. Pero es


349

el uso de sus desarrollos (derivadas, integrales, etc.) buscando organizar el cuerpo completo de la teor´ıa econ´ omica dentro de un conjunto independiente de proposiciones matemáticas, lo que causó más controversia a lo largo del siglo XX . De todas maneras, es un hecho que las matem´ aticas

pueden extenderse a cualquier rama del conocimiento, incluida la econom´ıa, siempre y cuando los conceptos est´ en bien definidos y permitan una representación simbólica exacta. Además, es claro que el m´ etodo matemático facilita la inferencia en algunos problemas de pensamiento econ´ omico; en este sentido, su utilidad está fuera de disputa. De otro lado, no se ha establecido (al menos con las matem´ aticas tradicionales que hoy enseñamos) que las matemáticas puedan manejar todo tipo de problemas económicos y mucho menos que sea posible una matematizaci´ on fruct´ ıfera del cuerpo de la teor´ıa econ´ omica con las t´ ecnicas de hoy. Tambi´ en algunos sospechan que la econom´ıa se utiliza simplemente como una oportunidad para el ejercicio matem´ atico, algo que es valioso para los matemáticos que se entrenan en este terreno, pero que ofrecen un producto (en términos de los problemas en que el economista está verdaderamente interesado) muy pequeño: es fácil encontrar desarrollos matemáticos que no hacen más que re-establecer algún punto muy obvio, pero ahora en “t´ erminos esot´ ericos”; sin embargo, tambi´ en hay problemas económicos sustanciales en que esto no es as´ı. Y all´ı, precisamente, comienza el debate.

b).

Algunos economistas sobre el m´ etodo matem´ atico en econom´ıa (Cournot, Jevons, Marshall, Walras, Koopmans, Kantorovich, Allais y Debreu)

La percepción sobre si la matematización de la teor´ıa econ´ omica ayuda a estrechar o a ampliar la mirada de los problemas econ´ omicos es discutida enseguida por algunos de los m´ as importantes economistas de los dos últimos siglos: Augustin Cournot, William Jevons, Alfred Marshall, L´ eon Walras, Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Maurice Allais y Gerard Debreu. I

).

Augustin Cour not (1838) sobr e las matemáticas en econom´ ıa

A. Cournot en la Introducción de sus “Mathematical Principles of the

Theory of Wealth” de 1838 dec´ıa:

350


“La ciencia conocida como Econom´ıa Pol´ıtica, que por un siglo tanto ha atra´ıdo la atenci´ on de pensadores, es hoy más difusa que antes. Comparte con la pol´ıtica la atenci´ on de los grandes periódicos, que son hoy el más importante medio de difusión de la información; pero el público está tan cansado de teor´ıas y sistemas que ahora busca lo que se llama cuesti´ on “positiva”, esto es, en econom´ıa pol´ıtica, res´ umenes de comportamientos de hogares, documentos, reportes gubernamentales, que arrojen luz de experiencias sobre las importantes cuestiones que hoy se agitan en el pa´ıs, y que tanto interesan a todas las clases sociales. No tengo objeción a esta tendencia; está bien, y está de acuerdo con las leyes que gobiernan el desarrollo de todas las ramas de la ciencia. Solo har´ıa la observaci´ on de que la teor´ıa no deber´ıa confundirse con los sistemas, aunque en la infancia de todas las ciencias el instinto de sistematizar necesariamente pretende delinear las teor´ıas. A˜ nadir´ıa que la teor´ ıa siempre tener una parte, importa lode peque˜ na,ıa endeber´ el desarrollo de una ciencia; y que,no a un hombre mi profesión en particular, más que a cualquier otro, deber´ıa permit´ırsele hacer consideraciones desde un punto de vista exclusivamente te´ orico sobre un asunto de inter´ es general que tiene tantos lados diferentes. Pero el t´ıtulo de este trabajo no solo se˜ nala investigaciones teóricas; tambi´ en muestro que intento aplicarle las formas y s´ımbolos del an´ alisis matemático. Este es un plan que probablemente, debo confesar, me colocará en la fila de los condenados por parte de teóricos de renombre. Con seguridad se colocarán en contra del uso de formas matemáticas, y sin duda será dif´ıcil escapar al prejuicio que pensadores, como Smith y otros escritores más modernos, han contribuido a fortalecer. Las razones para este prejuicio parecen estar, de un lado, en el falso punto de vista desde el cual ha sido considerada la teor´ıa por un número pequeño de aquellos que han pensado en aplicarle matemáticas; y, de otro lado, la falsa noción que se ha formado de esta forma de an´ alisis por hombres que en otros temas tienen un juicio correcto,


a la vez que son versados en Econom´ıa Pol´ıtica, pero para quienes las ciencias matemáticas no son familiares. Los intentos que seconocidos, han hechoyenapenas esta dirección hancono per-manecido muy poco he p odido cer algunos de estos t´ıtulos, excepto uno, Les Principes de l’Economie Politique de Canard, que es un peque˜ no trabajo publicado en el año X [de la República Francesa; 1801], y coronado por el Institut. Estos pretendidos principios son tan radicalmente equivocados, y la aplicación de ellos es tan err´ onea, que un cuerpo distinguido de académicos no pudieron evitar atacarlos. Es fácil ver porqué ensayos de esta naturaleza no deber´ıan inclinar a economistas como Say y Ricardo al álgebra. He dicho que la mayor´ıa de autores que se han dedicado a la econom´ ıa pol´ıtica parecen tambi´ en tener una idea equivocada de la naturaleza de las aplicaciones del an´ alisis matemático a la teor´ıa de la riqueza. Imaginaban que el uso de s´ımbolos y f´ ormulas solo pod´ıan conducir a c´ alculos num´ ericos, y como fue claramente percibido que la materia no se adecuaba a tales determinaciones num´ ericas de valores por medio de la teor´ıa u ńicamente, la conclusión que se obtuvo fue que el aparato matemático, si no conduc´ıa a resultados erróneos, era por lo menos in´ util y pedante. Pero aquellos s´ı h´ abiles en el análisis matemático saben que su objeto no es solo calcular números, sino que tambi´ en se emplea en encontrar relaciones entre magnitudes que no pueden expresarse mediante n´ umeros, y entre funciones cuya ley no tiene ninguna expresión algebraica [...] El empleo de s´ımbolos matem´ aticos es perfectamente natural cuando las relaciones entre magnitudes están bajo discusión; y as´ı, si no son rigurosamente necesarias, dif´ıcilmente ser´ıa razonable rechazarlas, solo p orque no le son familiares a todos los lectores o porque algunas veces son utilizadas equivocadamente, si ellas pueden facilitar la exposici´ on de problemas, los hacen más concisos, abren el camino a desarrollos ulteriores, y evitan las disgresiones de la argumentación vaga.

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Hay autores, como Smith y Say, quienes, al escribir sobre econom´ıa pol´ıtica, han preservado todas las bellezas de un estilo puramente literario; pero hay otros, como Ricardo, quienes, al tratar la cuestiones más abstractas, o al buscar gran precisión, no han podido evitar el ´ algebra, y solo la han disfrazado ba jo largos y agotadores cálculos aritm´ eticos. Cualquiera que entienda la notación algebraica, lee inmediatamente en una ecuación resultados que aritméticamente solo se alcanzan con mucho trabajo y dolor. Me propongo demostrar en este ensayo que la soluci´ on de las cuestiones generales que surgen de la teor´ıa de la riqueza, depende esencialmente no del álgebra elemental, sino de aquella rama del análisis que estudia funciones arbitrarias que simplemente se restringen a satisfacer ciertas condiciones. Como solo se considerarán cuestiones muy simples, los primeros principios del cálculo diferencial e integral serán suficientes para comprender este pequeño tratado. Tambi´ en, aunque me temo que podr´ parecer obstruso la mayor´ ıa de la gente que ıa tiene gustodemasiado por estos t´ opicos, noa me atrevo a esperar que vaya a merecer la atenci´ on de matemáticos profesionales, excepto en la medida en que puedan descubrir aqu´ı el germen de cuestiones que est´ en a la altura de sus potencialidades. Pero hay una clase amplia de personas, y, gracias a una escuela famosa, especialmente en Francia, quienes, despu´ es de un entrenamiento matemático intenso, han dirigido su atenci´ on a aplicaciones de aquellas ciencias que le interesan particularmente a la sociedad. Teor´ıas de la riqueza de la comunidad deben atraer su atención; y al estudiarlas es seguro que sientan, como yo, la necesidad de utilizar s´ımbolos familiares en análisis que son generalmente indeterminados y a menudo oscuros, cuando los autores sólo utilizan recursos del lenguaje ordinario. Al pensar que sus reflexiones al respecto los puedan conducir a seguir por este camino, espero que mi libro pueda ser de algún uso para ello, y pueda facilitarles su trabajo.”

Lecci´ on 4: Fundamentos matem´ aticas contempor´ aneas II

).

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William S. Jevons (1871) sob re las mat emáticas en econom´ ıa

William Jevons en sudec´ Theory of Political Economy and The de 1871 ıa: PrinciplesStanley of Science “Es claro que la econom´ıa, si va a ser una ciencia, debe ser una ciencia matemática. Existen muchos prejuicios contra los intentos por introducir los métodos y el lenguaje de las matemáticas dentro de cualquier rama de las ciencias morales. Muchas personas parecen pensar que las ciencias f´ısicas forman la esfera propia del m´ etodo matem´ atico, y que las ciencias morales demandan un método diferente - yo no s´ e cu´ al. Mi teor´ ıa de la econom´ ıa, sin embargo, es puramente matemática en carácter. Y, creyendo que las cantidades con las cuales tratamos deben ser sujeto de variación continua, no dudo en utilizar la rama apropiada de la ciencia matemática, implicando, si es necesario, consideraciones de cantidades infinitamenteapeque˜ nas. La teor´ıa consiste en aplicar el c´ alculo diferencial la nociones familiares de riqueza, utilidad, valor, demanda, oferta, capital, interés, mano de obra, y todas las otras nociones cuantitativas de las operaciones diarias de la industria. As´ı como la teor´ıa completa de casi cualquier otra ciencia implica el uso del cálculo, nosotros no podemos tener una teor´ıa verdadera de la Econom´ ıa sin ayuda. Para m´ı, nuestra ciencia debe ser matemática, simplemente porque trata con cantidades. All´ı donde las cosas tratadas sean susceptibles de ser mayores o menores, las leyes y las relaciones deben ser matemáticas por naturaleza.”

III

).

Alfred Marshall (1890,1906) sobre las matemáticas en econom´ ıa

Como una ilustración de la actitud de Alfred Marshall sobre la forma en que un economista debiera estudiar econom´ıa, podemos tomar sus puntos de vista sobre el uso de las matemáticas. Comenzando entonces con su firme posición de que la ciencia económica es fundamentalmente

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valiosa, y no puede ser gimnasia intelectual y tampoco un medio de obtener verdades por su propio goce, sino como un ayudante de la ética y un sirviente de la práctica, Marshall moldeó su traba jo a lo largo de l´ıneas que se acercaban a ese ideal. Aunque fue un h´ abil matemático, utilizaba las matemáticas cuidadosamente. Ve´ıa que el apoyarse excesivamente en este instrumento podr´ıa conducirlo a perseguir juegos intelectuales ó a problemas imaginarios que no se ajustaban a las condiciones de la vida real; y más aún, podr´ıan distorsionar nuestro sentido de la proporción llevándonos a despreciar factores que no podr´ıan ser fácilmente considerados por la máquina matemática. Cuando era joven, Marshall fue un matemático de considerable habilidad y, por consiguiente, sab´ıa de la ventajas que ten´ıa el tratamiento matem´ atico de un problema. En su Principios de Econom´ıa de 1890 dec´ ıa: “El entrenamiento en matemáticas es útil pues da control sobre un lenguaje maravillosamente terso y exacto para expresar claramente algunas relaciones generales y algunos procesos cortos de razonamiento económico, los cuales pueden, de hecho, expresarse en lenguaje ordinario, pero no con igual claridad. Y, lo que es de mucha m´ as importancia, la experiencia en manejar problemas f´ısicos mediante métodos matemáticos da una comprensión, que no puede obtenerse igualmente bien de ninguna otra forma de la interacción mutua de los cambios económicos.” Y en 1906, Marshall escrib´ıa lo siguiente acerca de cómo deber´ıan utilizarse las matemáticas: “(1) Utilice las matemáticas como un lenguaje de simplificación y no como una máquina para resolver preguntas. (2) Manténgase cerca de ellas hasta que haya terminado. (3) Traduzca al Ingl´ es. (4) Luego ilustre con ejemplos lo que sea importante en la vida real. (5) Queme las matemáticas.


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(6) Si no tiene éxito en (4), queme (3). Esto último me ha tocado hacerlo muy a menudo.” ¿Qué era lo que encontraba objetable acerca del uso de las matem´ aticas cuando se utilizaban extensamente? Tal vez cre´ıa que faltaban datos o información que apoyaran las construcciones matemáticas menos simples; o quizás tem´ıa que algunos factores que no pod´ıan modelarse bien matemáticamente, fueran puestos a un lado. Pero todo parece indicar que, por encima de esto, estaba el temor a que existiera la tentaci´ on de hacer “diversiones matemáticas” con los dif´ıciles problemas econ´ omicos reales. Marshall siempre recibió bien todos los métodos que le ayudaran a hacer un trabajo constructivo y las matemáticas fueron esto para él. Pero siempre creyó que se deber´ıa comenzar con el sistema económico real y que era una obligación tratar de explicar c´ omo funcionaba y que sólo deber´ıamos estar interesados en aquellas t´ ecnicas que nos ayudaran a alcanzar el objetivo principal. IV

).

L´ eon Walras (1900) sobre las matem´ aticas en econom´ ıa

En su última edición (1900) de los Elementos de Econom´ ıa Pol´ıtica Pura, L´ eon Walras escrib´ıa: “(...) Poco despu´ es de su publicaci´ on, la Teor´ıa de Jevons y la m´ıa fueron traducidas al italiano, as´ı como los primeros trabajos de Whewell o Cournot. Despu´ es en Alemania, el libro de Gossen, al principio, se unió a trabajos ya conocidos de Thünem, de Mangoldt. Despu´ es entonces en Alemania, Austria, Inglaterra, Italia y los Estados Unidos ha aparecido un considerable número de trabajos de econom´ıa matemática. La escuela que se est´ a abriendo camino ahora no tendrá dificultad alguna en determinar, entre todos los sistemas, cuál debe constituir la ciencia. En cuanto a los economistas que, sin saber matemáticas, o incluso sin saber exactamente en qué consisten las matem´ aticas, ya han decidido que éstas no pueden servir para elucidar los principios econ´ omicos, dej´ emosles seguir su camino repitiendo que “la

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libertad humana nunca podr´ a introducirse en ecuaciones” o que las matemáticas hacen abstracción de los roces que lo son todo en las ciencias sociales y otras gentilezas de tanto peso como éstas. No podrán impedir que la teor´ıa de la determinaci´ on de los precios en libre competencia sea una teor´ıa matem´ atica y, por tanto, se encontrarán siempre ante la alternativa bien de evitar esta disciplina elaborando la teor´ıa de la econom´ıa pol´ıtica pura, bien de abordar los problemas de econom´ıa pol´ıtica pura sin el instrumental necesario haciendo por tanto no sólo una econom´ıa pol´ıtica pura muy defectuosa, sino, tambi´ en, unas malas matem´ aticas (...) En cualquier caso, el que esta conversión sea más rápida o lenta, ni es asunto nuestro, ni debe preocuparnos. Hoy d´ıa es perfectamente claro que la econom´ ıa pol´ıtica, como la astronom´ıa y la mec´ anica, es una ciencia tanto emp´ırica como racional. Y nadie puede reprochar a nuestra ciencia el haber tardado tanto tiempo en unificar el carácter racional y el emp´ırico. La astronom´ıa de Kepler y la mec´ anica de Galileo necesitaron de cien a ciento cincuenta o doscientos años para convertirse en la astronom´ıa de Newton y Laplace, y en la mec´ anica de D’Alembert y Lagrange. Pero ha pasado menos de un siglo entre la publicación del libro de Adam Smith y las aportaciones de Cournot, Gosse n, Jevons y m´ıas. Estamos, por tanto, en nuestro sitio y hemos cumplido nuestra obligación. Si la Francia del siglo XIX, que ha visto nacer esta nueva ciencia, la ha ignorado completamente, la falta se debe a una concepci´ on de la cultura intelectual, de una estrechez de mira burguesa, que la divide en dos compartimentos separados: uno que produce calculistas desprovistos de conocimientos filosóficos, sociológicos, históricos y económicos, y otro donde florecen las letras sin noción alguna de matemáticas. El siglo XX, que no se encuentra lejos, har´ a sentir la necesidad incluso en Francia, de poner las ciencias sociales en manos de hombres de cultura amplia, acostumbrados a ra-


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zonar tanto inductivamente como deductivamente y que se encuentren familiarizados con el razonamiento y la experiencia práctica. Entonces la econom´ ıa matem´ atica adquirirá un rango parejo al de la astronom´ıa y la mec´ anica matemáticas, y ese d´ıa se har´ a justicia a nuestro trabajo.”

).

V

Tjalling C. Koop mans (19 57) sobre las mat emáticas en econom´ ıa

Más de cincuenta años despu´ es de Walras, Tjalling C. Koopmans (premio Nobel en econom´ıa en 1975) en sus Tres Ensayos sobre el Estado de la Ciencia Económica de 1957 dec´ıa al respecto lo siguiente: “La utilización expl´ıcita de las matem´ aticas en econom´ıa data de hace más de un siglo. Igual de antiguo es el debate sobre las contribuciones de dicho instrumento. La viva polémica sobre el papel de las matem´ aticas en econom´ ıa a la que hemos asistido ennuevos los últimos diez a n ˜ya os,mencionados: la desataron presumiblemente los dos desarrollos el aumento de la cantidad de escritos económicos en forma matemática, y la diversidad de teor´ıas y conceptos matem´ aticos introducidos en econom´ ıa. Iniciada ante las objeciones planteadas por la sabidur´ıa y la experiencia de E. B. Wilson y J. M. Clark, y reavivada recientemente por una respuesta bastante organizada a la apasionada y heroica defensa de tales objeciones por parte de David Novick, la discusión ha clarificado razonablemente bien los temas generales que se debat´ıan. Se ha apelado a la equivalencia lógica esencial entre las matemáticas y el lenguaje (Samuelson), junto a la mayor eficacia y concisi´ on del razonamiento matemático en numerosos problemas importantes (Samuelson, Stigler y otros). En lo que respecta a la relación entre los supuestos y el razonamiento, se ha reconocido generalmente que la aplicación correcta del m´ etodo matemático fuerza al investigador a ofrecer una presentación completa de hipótesis no contradictorias (Marshak, Samuelson). A esto habr´ıa que a˜ nadir que al no tener los s´ımbolos

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matemáticos ningún significado natural más que el que les atribuyen los postulados o definiciones, las connotaciones de las palabras en el lenguaje común no pueden interferir con el proceso de razonamiento. Sin embargo, como han se˜ nalado varios de los autores citados (Clark, Ruggles, Bodenhorn), no hay nada en el método matem´ atico per se que obligue al investigador a especificar criterios operativos que liguen los conceptos postulados con entidades observables. Esta tarea, esencial para la verificación y la interpretación de las conclusiones obtenidas del análisis económico, suelen dejarla sin hacer los economistas matemáticos que se concentran en el razonamiento. Tambi´ en ha habido advertencias ante el exceso de eńfasis en el razonamiento formal como un fin en s´ı mismo (Stigler, Allais). Existe un acuerdo general en que los economistas matemáticos - si no individualmente, s´ı como grupo - deber´ıan esforzarse al m´ aximo para comunicar en forma verbal los supuestos y las conclusiones de su análisis, aunque muchas veces sea imposible su razonamiento de modo similar. Persisten diferencias de opinión respecto a dónde comienza el “formalismo” est´ eril, y respecto a la relevancia y amplitud de aquellas partes de la econom´ıa en que las matemáticas son un instrumento esencial. Como las cuestiones en que subsisten diferencias de opinión sólo podrán resolverse definitivamente a la vista de los desarrollos futuros, parece innecesario continuar la discusión en los t´ erminos generales en que se ha venido conduciendo. Sin embargo, merece la pena estudiar más de cerca algunos desarrollos concretos dentro de la variedad de instrumentos matemáticos utilizados, y los problemas que plantean para el economista general. Acaso los instrumentos matemáticos más antiguos en econom´ıa sean el ejemplo num´ erico y el diagrama. La naturaleza de la utilización del ejemplo numérico ha ido cambiando a lo largo del tiempo. Inicialmente, el ejemplo num´ erico se empleaba como un instrumento de análisis propiamente dicho,


es decir, sin que las conclusiones que apuntaba se sostuvieran con la ayuda de otro instrumento m´ as poderoso o de aplicaci´ on más general. Más adelante, el ejemplo num´ erico qued´ o reducido al papel de un instrumento expositivo; el diagrama o el análisis matemático expl´ıcito pasaron a utilizarse para demostrar de modo más concluyente las proposiciones sugeridas por los ejemplos [...] La representación diagramática, que por su naturaleza es más aconsejable a efectos expositivos, ha ocupado durante mucho tiempo una posición dominante como instrumento anal´ıtico a pesar de que se dispon´ıa de otras t´ ecnicas m´ as fiables. Su facilidad de interpretación ha hecho aparecer al diagrama como un atajo tentador hacia la verdadera visi´ on en profundidad. Es cierto que muchas veces pueden estudiarse correctamente problemas referidos a dos, o incluso a tres variables, utilizando gráficos como único medio de análisis formal. La justificación lógica de esta práctica reside en el hecho de que los postulados que subyacen a la descripci´ on anal´ıtica del espacio son idénticos a los que se emplean para representar la adición, la sustracción y el producto escalar de combinaciones de bienes. Los argumentos que se refieren tan sólo a unas pocas variables pueden ser por tanto visualizados en muchas ocasiones en un espacio bi o tridimensional. Pero la vista es esencialmente un órgano de percepción más que de razonamiento. No hay nada en el proceso de lectura de un gráfico que fuerce a explicitar por completo los supuestos de partida y que obligue a avanzar paso a paso hasta las conclusiones a través de implicaciones sucesivas, como es propio del razonamiento lógico. Ciertas hipótesis pueden quedar encubiertas bajo la forma en que las curvas se trazan “habitualmente”, con el peligro de que se acepten incondicionalmente conclusiones que dependen en realidad de tales supuestos impl´ıcitos. Estos riesgos pueden parecer mayores cuando el instrumento diagramático lo utilizan nuestros estudiantes que cuando se deja en manos de analistas experimentados. En cual-

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quier caso, el hábito de inspeccionar gráficos trazados de una manera particular puede obstaculizar nuestra visión durante largos periodos de tiempo, ¿c´ omo puede explicarse de otro modo, por ejemplo, que se hayan desatendido durante tanto tiempo las importantes implicaciones del carácter no negativo de muchas variables económicas? La utilización de diagramas, para ser adecuada, debe limitarse a la discusión heur´ıstica o expositiva de problemas relativamente sencillos [...] Trataremos a continuación de los conceptos y teor´ıas matemáticas más formalizados que han llegado a utilizarse en econom´ıa. Los u´ltimos veinte años han presenciado una ampliación considerable del horizonte del economista. Ya hemos comentado en el primer ensayo de este volumen la tendencia a abandonar el cálculo como método para analizar el modo en que un sistema de precios puede servir para descentralizar la asignación eficiente de recursos. Existen varias consideraciones que justifican esa tendencia. En primer lugar, como hemos visto, el cálculo es un instrumento miope en la búsqueda de configuraciones óptimas; sólo permite comparar posiciones dentro de un entorno reducido. Hemos visto tambi´ en que los criterios sugeridos por el c´ alculo deben modificarse y complementarse cuando las restricciones que toman la forma de desigualdades pasan a ser efectivas [...] La teor´ıa de juegos de von Neumann y Morgenstern nos proporciona otro ejemplo. Se ocupa de una situación que surge sólo en la esfera de los fenómenos sociales, donde cada uno de dos o más individuos controla únicamente alguna de las variables que determinan conjuntamente el resultado de un proceso en el cual los participantes tienen interes es al menos parcialmente opuestos. El concepto central de esta teor´ıa es el de estrategia, una regla según la cual el individuo elige su propia respuesta frente a cualquier conjunto concebible de acciones por parte de sus adversarios [...] Se utiliza en teor´ıa de juegos para determinar (cuando sea posible) qu´ e estrategia garantiza a cada participante la mayor ganancia posible


de la que no pueden privarle sus rivales. Esta formulaci´ on constituye un avance, desde el punto de vista de la coherencia, en relación con los análisis anteriores del oligopolio basados en reglas sim´ etricas de respuesta donde cada agente atribuye a sus adversarios una conducta más automática y menos calculadora que la que él mismo est´ a siguiendo. La lista de ejemplos se podr´ıa ampliar. Se han utilizado teoremas topológicos15 fundamentales para investigar la existencia de un equilibrio en un sistema económico perfectamente competitivo donde el ámbito de elección de cada agente depende de las decisiones adoptadas por los dem´ as. Los métodos de la l´ ogica simbólica se han empleado para estudiar las posibilidades de derivar un orden de preferencias social a partir de las preferencias individuales de los miembros del grupo. Aunque podr´ıan citarse m´ as ejemplos, los casos mencionados son suficientes para ilustrar una tendencia hacia lo que, a falta de un término mejor, podr´ıan llamarse matem´ aticas m´ s fundamentales. y otra vez nos encontramos con que esaposible construir yUna deducir conceptos y proposiciones matemáticas a partir de los postulados básicos que se utilizan para representar los fenómenos estudiados. La estructura postulacional del instrumental matemático resulta ser paralela a la de la teor´ıa substantiva que se pretende construir, y ambas se estudian y se aprenden simultáneamente. Afortunadamente, el resultado es que la econom´ıa “matem´ atica” y la “literaria” tienden a aproximarse cada vez más. Convergen a través de la exigencia com´ un en favor de un pensamiento válido y profundo establecido a partir de postulados b´ asicos expl´ıcitos, m´ as que basados en la habilidad para manipular el cálculo, las ecuaciones diferenciales o los determinantes. Para ilustrar este punto indicaré que la “distancia”, en un sentido intuitivo, entre la obra de A. P. Lerner, The Economics y la on matem´ atica en de las proposicione of de Control la econom´ ıa formulaci´ del bienestar revisadas el primer ensayos de este volumen es, en mi opini´ on, muy pequeña. Si existe alguna diferencia, radica en lo sucinto de la exposici´ on más 15

Ver volumen II (Cálculo) y volumen III (Optimización y dinámica).

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que en el contenido, los conceptos o el objetivo. Si estas afirmaciones tienen alguna validez, conducen a una concepci´ on sobre la enseñanza y el auto-aprendizaje de las matem´ aticas por parte de los economistas bastante distinta de la práctica actual. En lugar de un curso de cálculo, seguido en una minor´ıa de los casos por el estudio de ecuaciones diferenciales, la necesidad primordial del economista consiste en leer o seguir un curso de fundamentos matem´ aticos. El objetivo de este curso ser´ ıa introducirle a la estructura postulacional y a los primeros teoremas de diversas teor´ıas matemáticas. Aunque la combinación espec´ıfica de teor´ıas seleccionadas no es crucial, las teor´ıas de conjuntos, de relaciones, del sistema de números reales, de funciones, cálculo e integración, de la probabilidad, de los espacios lineales y el álgebra matricial, de la topolog´ıa combinatoria y algunos resultados de topolog´ıa general, han resultado todas apropiadas y útiles en una u otra parte del análisis económico. Probablemente, el beneficio más importante que se obtendr´ıa del estudio de algunas de estas teor´ıas ser´ıa el aumento del interés del economista p or los postulados básicos de las teor´ ıas econ´ omicas que construye o examina. Además, éste quedar´ıa mejor preparado para decidir, sobre la base de su área de inter´ es en econom´ıa, en qu´ e instrumentos matemáticos, llegado el caso, deber´ıa alcanzar un m´ınimo de competencia t´ ecnica.” ).

VI

Leonid V. Kantorovich (1975) so bre las ma temáticas en econom´ ıa

Leonid Vitaliyevich Kantorovich (Premio Nobel en econom´ıa en 1975) en Las Matem´ aticas en la Econom´ıa: Logros, Dificultades, Perspectivas de 1975 dec´ ıa: “En nuestra época, las matem´ aticas han penetrado en la econom´ıa de modo tan sólido, generalizado y diversificado, y el tema escogido está relacionado con tal diversidad de hechos y problemas, que nos sentimos inclinados a citar las


palabras de Kozma Prutkov, muy populares en mi pa´ıs: “no podemos abarcar lo inabarcable”. La aplicabilidad de esta sabia oración no disminuye por el hecho de que el nombre del gran pensador sea sólo un seudónimo. Quiero pues restringir mi tema a los elementos que me quedan más cerca, sobre todo a los modelos de optimización y su empleo en el control de la econom´ıa a fin de lograr el uso mejor de los recursos para obtener los resultados mejores [...] Los m´ etodos nuevos En los años veinte se realizaron los primeros intentos de utilizaci´ on de las matemáticas en las investigaciones económicas sovi´ eticas. Podr´ıamos citar los conocidos modelos de demanda de E. Slutsky y A. Konjus, los primeros modelos de crecimiento de G. Feldamn, el análisis de balance de “ajedrez” realizado en el Departamento Central de Estad´ıstica, que más tarde se desarrollara en t´ erminos matemáticos y econ´ omicos por W. Leontief, con los datos de la econom´ıa norteamericana. El esfuerzo de L. Jushkov por determinar la eficiencia de la tasa de inversión tuvo continuación profunda en las investigaciones de V. Novojilov. Las investigaciones antes mencionadas ten´ıan algunos rasgos en común con la direcci´ on matemática de la ciencia económica de Occidente desarrollada al mismo tiempo y presentada en las obras de R. Harrod, E. Domar, F. Ramsey, A. Wald, J. von Neumann, J. Hicks y otros. Quisiera referirme aqu´ı sobre todo a los modelos de optimizaci´ on aparecidos en nuestro pa´ıs a fines de los a˜ nos treinta (y despu´ es en los Estados Unidos, en forma independiente), que en cierto sentido fueron los instrumentos más adecuados para el tratamiento de los problemas aqu´ı mencionados. El enfoque de optimización es aqu´ı una cuesti´ on de primordial importancia. El tratamiento de la econom´ıa como un sistema singular, que debe ser controlado hacia una meta congruente, permitió la sistematización eficiente de una cantidad enorme de material de información, y su análisis

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profundo para la toma válida de decisiones. Resulta interesante el hecho de que muchas inferencias sigan siendo válidas aún en los casos en que no pueda formularse esta meta congruente, ya sea porque la meta misma no esté muy clara o porque est´ e integrada por varias metas diferentes, cada una de las cuales deba ser tomada en cuenta. Por ahora se utilizan sobre todo los modelos de optimización lineal de productos múltiples. Supongo que ahora se han generalizado estos modelos en la ciencia económica en medida no menor que, por ejemplo, las ecuaciones de Lagrange del movimiento en la mecánica. No creo que deba describir en detalle este modelo bien conocido, basado en la descripción de la econom´ıa como un conjunto de clases principales de producción (o actividades, seg´ un el t´ ermino utilizado por el profesor T. Koopmans), cada una de ellas caracterizada por el uso y la generaci´ on de bienes y recursos. Es bien sabido que la elección del programa o´ptimo, es decir, el conjunto de intensidades de estas actividades sobre alguna restricción de los recursos o del plan, se traduce en un problema de máximo de una función lineal de muchas variables que satisfaga ciertas restricciones lineales. Esta reducción ha sido descrita tan a menudo que puede tratarse como algo bien conocido. Es m´ as importante indicar las propiedades que determin an su uso amplio y variado. Puedo citar las siguientes: a) Universalidad y flexibilidad. La estructura del modelo permite diversas formas de su aplicación; puede describir situaciones reales muy diversas para ramas de la econom´ıa y niveles de su control muy diferente [...] b) Sencillez. A pesar de su universalidad y buena precisión, el modelo lineal es muy elemental en cuanto a sus medios, que son sobre todo los del ´ algebra lineal, de modo que aún las personas dotadas de un adiestramiento matem´ atico muy modesto pueden entenderlo y dominarlo. Esto último es muy importante para el uso creativo y no rutinario de los medios anal´ıticos provistos p or el modelo.


c) Eficiencia de la computación. La urgencia de la solución de problemas lineales extremos condujo a la elaboración de métodos especiales, muy eficientes, tanto en la URSS como en los Estados Unidos (el conocido m´ etodo simplex de G. Dantzig), as´ı como a la producción de una teor´ıa detallada de estos métodos [...] d) An´ alisis e indicadores cualitativos. Junto con la solución de planeación óptima, el modelo produce ´ utiles instrumentos de análisis cualitativo de tareas concretas y del problema en conjunto. Esta posibilidad está dada por un sistema de indicadores de las actividades y factores limitantes que encuentra al mismo tiempo que la solución óptima y de acuerdo con ella. El profesor T. Koopmans llam´ o “precios sombra” a estos indicadores; yo los llamé “multiplicadores de resolución” porque se utilizan como un recurso auxiliar para el hallazgo de la soluci´ on óptima, a la manera de los multiplicadores de Lagrange [...] e) Concordancia Aunque de los medios losorganismos problemas.gubernaalgunas empresas individuales y a´ ucon n los mentales de estados de econom´ıas capitalistas han utilizado con éxito estos m´ etodos, su esp´ ıritu corresponde m´ as de cerca a los problemas de una econom´ıa socialista [...] Debo señalar tambi´ en la posición actual de la planeación óptima y los m´ etodos matem´ aticos en las investigaciones teóricas de la ciencia económica soviética. El modelo lineal ha resultado ser un buen medio de la descripci´ on lógica más sencilla para los problemas del control de la planeaci´ on y el análisis económico. Ha contribuido a grandes adelantos en los problemas de la fijación de precios [...] Ha producido tambi´ en un enfoque cuantitativo para reflejar el factor del tiempo en las inversiones [...] Junto con el análisis de insumo-producto y los modelos de optimización derivados de la actividad de una gran comunidad de cient´ıficos, la teor´ıa y la pr´ actica económicas obtuvieron herramientas anal´ıticas tales como la programación estad´ ıstica y estoc´ astica, el control óptimo, los m´ etodos de simulación, el análisis de la demanda, la ciencia económica

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social, etc. En resumen, podemos afirmar que tenemos algunos resultados importantes como consecuencia de cerca de 15 años de desarrollo y difusión de los métodos mencionados.

Las dificultades Sin embargo, el nivel de desarrollo y sobre todo el de las aplicaciones, puede producir un sentimiento de insatisfacción. No se ha completado la solución de muchos problemas. Muchas aplicaciones son esporádicas, no se convierten en regulares ni se unifican en un sistema. En los problemas m´ as complicados y de perspectiva, como los referentes a la planeaci´ on nacional, no se ha encontrado hasta ahora formas de realización eficaces y generalmente aceptables. La actitud ante estos métodos, como ante muchas otras innovaciones, pasó a veces del escepticismo y la resistencia al entusiasmo y las esperanzas exageradas, y luego a cierto desencanto e insatisfacci´ on. Podemos afirmar sin duda que los resultados no son demasiado malos para un periodo tan breve como el que ha transcurrido. Podemos referirnos a los periodos m´ as largos de difusión de muchas innovaciones t´ ecnicas, o a la f´ısica y la mecánica, donde no se han realizado algunos modelos teóricos a pesar de la experiencia de doscientos a˜ nos [...] Las dificultades surgen de los aspectos espec´ıficos del objeto investigado y de los defectos de las investigaciones y de su realizaci´ on práctica. La descripción formal de las cuestiones económicas constituye un objeto en vista de su complejidad y peculiaridad. Los modelos ponen de relieve s´ olo algunos de sus aspectos y toman en cuenta la situación económica real en forma muy y aproximada, que generalmente, resulta dif´ıcilburda estimar la correcci´ ondedemodo las descripciones e inferencias [....] A menudo una solución de problemas económicos nuevos, y en particular de los relacionados con la revolución


367

cient´ ıfica-t´ ecnica, no puede basarse en los métodos existentes sino que requiere ideas y enfoques nuevos. Tal es el problema de la protección de la naturaleza [...] Perspectivas A pesar de las dificultades mencionadas, observo con optimismo las perspectivas de la difusión de los m´ etodos matemáticos, sobre todo los referentes a la optimizaci´ on en la ciencia económica, y, en todos los niveles, del control económico. Tal difusión puede mejorar considerablemente nuestra actividad de planeación, puede generar un uso mejor de los recursos, as´ı como el aumento del ingreso nacional y de los niveles de vida. Las dificultades de la construcción de modelos y de datos pueden superarse como han sido superadas las dificultades similares de las ciencias naturales y t´ ecnicas. Mi esperanza se basa en la intensidad cada vez mayor de la investigaci´ on de métodos y algoritmos nuevos en este campo, en el hecho de la aparición de nuevos enfoque te´ oricos y nuevos enunciados de problemas, en una serie de estudios concretos de problemas generales y especiales referentes a diversas ramas econ´ omicas, en el hecho de que ahora trabaje en este campo todo un ej´ ercito de jóvenes investigadores talentosos. Se ha alcanzado un adelanto importante en el desarrollo de la maquinaria y los programas de computador y en su dominio. Los matemáticos, los economistas y los administrad ores prácticos han logrado un mejor entendimiento rec´ıproco[...]”

VII

).

Maurice Allais(1988) sobre las matem´ aticas en econom´ ıa

En su discurso al recibir el premio Nobel en econom´ıa de 1988, Maurice Allais escrib´ıa: “ (...) Constantemente me he visto obligado a utilizar las matemáticas en todos aquellos casos donde la l´ ogica ordinaria era manifiestamente insuficiente para el an´ alisis de los fenómenos económicos, que son esencialmente cuantitativos,

368


y a menudo muy complejos. Esto me ha p osibilitado obtener soluciones rigurosas a problemas que, de otro modo, ser´ıan intratables debido a su complejidad. Sin embargo, las matemáticas no son, y no pueden ser, más que una herramienta, y todo mi trabajo descansa sobre la convicción de que en su uso, los únicos dos estados

realmente fruct´ıferos en la aproximaci´ on cient´ıfica son, en primer lugar, un examen completo de las hip´ otesis iniciales; y, segundo, una discusión sobre el significado y relevancia emp´ırica de los resultados obtenidos. El resto es sólo cálculo tautológico que es de interés u ´ nicamente al matemático, y el rigor del razonamiento matemático nunca puede justificar una teor´ıa basada en postulados si estos postulados no corresponden a la verdadera naturaleza de los fen´ omenos observados. A´ un el uso de las m´ as sofisticadas matemáticas, nunca puede considerarse como garant´ıa de calidad. Las matemáticas son, y s´ olo pueden ser, una forma de expresi´ on y razonamiento. La sustancia real sobre la cual el economista trabaja, sigue siendo económica y social. De hecho, se debe evitar el desarrollo de un aparato matem´ atico complejo siempre y cuando no sea estrictamente indispensable. El progreso genuino nunca consiste en una exposición puramente formal, sino siempre en el descubrimiento de las ideas que est´ an detrás de cualquier prueba. Son estas ideas básicas las que deben ser establecidas y discutidas expl´ıcitamente. Las matemáticas no pueden ser un fin es s´ı mismas. Pueden y deber´ıan ser uńicamente herramientas”.

VIII

).

Gerard Debr eu (19 91) sobre las ma temáticas en eco-

nom´ ıa Gerard Debreu [1921-2004] (Premio Nobel en econom´ıa en 1983) en The Mathematization of Economic Theory de 1990, y publicado en 1991 en The American Economic Review (Vol. 81, No. 1, p. 1-7) dec´ıa:


I “ Cuando la Segunda Guerra Mundial estaba por finalizar, la teor´ıa econ´ omica entró en una fase de matematización intensiva que transformó profundamente nuestra profesión. En varias de sus caracter´ısticas esenciales esa fase no tuvo precedentes y no tendrá sucesores. Explicarlo requiere un reconocimiento de análisis multidimensional de las contribuciones que se hicieron a la econom´ıa, como también de las tensiones entre los economistas que se destacaron. El desarrollo de la econom´ıa matemática durante el pasado medio siglo puede verse en el número total de páginas publicadas cada año por los principales periódicos en el campo, cuyos ´ındices ahora mostrar´ e. Desde 1933, fecha en que comenzaron ambas publicaciones, hasta 1959, Econometrica y Review of Economic Studies muestran el declive desde un punto alto, por encima de 700 páginas en 1935 hasta un punto más bajo, a lasde400 aginasdeencrecimiento 1943-1944. exPero 1944 marc´ o elinferior comienzo un p´ periodo plosivo en el cual a las dos revistas se les uni´ o en 1960 el International Economic Review, en 1969 el Journal of Economic Theory, y en 1974 el Journal of Mathematical Economics. En 1977, estas cinco revistas juntas publicaron m´ as de 5,000 páginas. Durante el periodo 1944-1977, el ´ındice se hac´ ıa m´ as del doble cada nueve años. De acuerdo con esto, 1944 fue un punto cr´ıtico en la historia de la econom´ıa matemática. Fue tambi´ en el a˜ no en el que John von Neumann y Oskar Morgenstern publicaron el Theory of Games and Economic Behavior. Mientras que los journals profesionales en el campo de la econom´ıa matem´ atica crec´ıa a una tasa insosteniblemente rápida, el American Economic Review llevó a cabo un cambio radic al en identidad. En 1940, menos del 3 % de las páginas de su volumen 30 se aventuraron a incluir expresiones matemáticas rudimentarias. Quince a˜ nos más tarde, casi 40% de las páginas del volumen 80 mostraba matemáticas de un tipo más elaborado.

369

370


Al mismo tiempo, la matematización de los economistas procedió a un más rápido paso en los 13 departamentos americanos de econom´ıa etiquetados por una reciente valoraci´ on de los programas de doctorado en los Estados Unidos como “distinguido” ó “fuerte” de acuerdo a la calidad de estudios en sus facultades. Cada año los miembros de la Econometric Society (ES) certifican nuevos miembros por elección en su gremio internacional, los cuales se incrementaron en tama˜ no de 46 en 1940 a 422 en 1990. Para los 13 departamentos juntos, la proporción de miembros en la ES entre profesores fue menos del 1 % en 1940; y ahora es aproximadamente 50 %. Iguala o excede 50 % para seis de ellos , los cuale s estaban entre aquellos evaluados como los ocho más fuertes. As´ı, matematizar una facultad supone que sus estudiantes tengan que considerar tener habilidades matemáticas m´ınimas, y se requiere el conocimiento de cálculo y álgebra lineal, o estar muy bien recomendado, para ser admitido a todos los 13 programas. Algunos reconocidos eruditos ponen un énfasis adicional al papel que la cultura matem´ atica está ahora jugando en nuestra profesión. De los 152 miembros de la secci´ on econ´ omica de la American Academy of Arts and Sciences , 87 son miembros de la ES; y de los 40 miembros de la secci´ on econ´ omica de la National Academy of Sciences of the United States, 34 son miembros de la ES. Desde 1969 hasta 1990, 30 economistas fueron premios Nobel, y 25 de los laureados son, o fueron, miembros de la ES. Desde que fue primero otorgada a Paul Samuelson en 1947, la medalla John Bates Clark de la American Economic Association ha sido entregada a 21 economistas, de los cuales 20 son miembros de la ES; y de los 26 pasados presidentes de nuestra asociaci´ on, 13 son miembros de la ES. Uno desear´ıa que esas cuentas no fueran hechas. Uno podr´ıa argumentar acerca de los puntos de su interpretación. Pero ellas pertenecen a nuestro conocimiento com´ un, y su verdad es inequ´ıvoca. Ellas indican qu´ e tan extensiva fueron la matematización de la econom´ıa y qu´ e tan profundo


371

el cambio que acompañó nuestro campo en las pasadas cinco d´ ecadas. La percepción de la profundidad de dicho cambio es reforzado por una comparación de los niveles de matemáticas requeridas en 1940 y en 1990 para seguir los desarrollos de la teor´ ıa econ´ omica en cada dirección que ésta iba tomando. Hace 50 años, la preparación en matemáticas del estudiante era casi siempre suficiente. Hoy, el entrenamiento en matemáticas es necesario. Si, en lugar de ser un seguidor, uno desea ser un participante activo en ese desarrollo a lo largo de sus caminos más t´ ecnicos, se requiere un alto grado de profesionalismo matemático. Varios miembros de las facultades de los 13 departamentos de econom´ıa mencionados fueron realmente identificados como matemáticos por sus doctorados; cuatro de ellos fueron presidentes de aquellos departamentos durante los pasados 25 años. Si aún el enfoque más intenso sacara a los l´ıderes intelectuales de ese desarrollo, prominente entre ellos es John von Neumann, uno de los principales matemáticos de su generación. En ese proceso de desarrollo, los economistas matem´ aticos estuvieron continuamente re-definiendo cómo incluir nuevos territorios, moviendo fronteras y tópicos que estuvieron alguna vez en la frontera y que se convirtieron en temas est´ andar del curriculum de la teor´ ıa económica. II Antes del periodo contemporáneo de las pasadas cinco d´ ecadas, la f´ısica te´ orica hab´ıa sido un ideal inaccesible hacia el cual la teor´ıa econ´ omica en ocasiones se dirig´ıa. Durante aquel periodo, esta búsqueda se convirtió en un potente est´ımulo en la matematizaci´ on de la teor´ıa econ´ omica. Las grandes teor´ıas de la f´ısica cubren un inmenso rango 16 hab´ de fen´ omenos conMaxwell una suprema ıa expresi´ on. De esto, James Clerk (1865)econom´ ıa de dado un notable ejemplo, al describir el campo electromagn´ etico por medio de 16

Maxwell, James Clerk (1865), “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Wipf and Stock (1996).

372


ocho ecuaciones cuando la econom´ıa matem´ atica nac´ ıa en la mitad del siglo XIX. Esta precisión extrema fue posible por la relación privilegiada, desarrollada a trav´ es de varios siglos, entre la f´ısica y las matem´ aticas. A su vez, ésta presentaba a aquella con problemas abiertos, o encontraba que preguntas surgidas desde la teor´ ıa f´ısica ya ten´ıan respuestas a la mano descubiertas por los matemáticos en su abstracto universo. Algunas veces el lazo causal de investigación hecho en cada uno de estos dos campos no pod´ıa develarse fácilmente; y, en ocasiones, el mismo cient´ıfico hac´ıa contribuciones a ambas disciplinas con ideas interrelacionadas. Los beneficios de esa relación especial fueron grandes en ambos campos; pero la f´ısica no se rindió completamente al espacio de las matemáticas y su inherente compulsión hacia el rigor lógico. Los resultados experimentales y las observaciones verdaderas que están en la base de la f´ısica, y que proveen una revisión constante sobre sus construcciones teóricas, ocasionalmente llevaban, por atrevidos razonamientos, a romper conocidos cánones de la deducción matemática. En estas direcciones, la teor´ıa econ´ omica no pod´ıa seguir el modelo ofrecido por la f´ısica teórica. Al lado de la más suntuosa herramienta cient´ıfica de la f´ısica, el superconductor Super Collider, cuyo costo de construcci´ on se estima por el orden de $10 10 [David P. Hamilton, 1990 17 ; ver tambi´ en Science, 5 de octubre de 1910], los experimentos de la econom´ıa lucen excesivamente frugales. Estándole negada una base experimental suficientemente segura, la teor´ıa econ´ omica tiene que adherirse a las reglas del discurso l´ ogico y debe renunciar a la facilidad de la inconsistencia interna. Una estructura deductiva que tolera una contradicci´ on lo hace as´ı ba jo el castigo de resultar inútil, ya que cualquier afirmaci´ on puede deducirse tonta e inmediatamente de esa contradicci´ on. En su forma matemática, la teor´ıa económica está abierta a un escrutinio eficiente de todos sus errores l´ ogicos. 17

Hamilton, David P. (1990), “The SSC Takes On a Life of Its Own” , Science.


El rigor que se ha alcanzado como consecuencia está en fuerte contraste con los estándares de razonamiento que eran aceptados al final de los 1930’s. Pocos de los art´ıculos que aparecieron entonces en Econometrica o en Review of Economic Studies pasar´ıan la dura prueba de retirar todas las interpretaciones económicas y solo dejar su infraestructura matemática. La mayor solidez l´ ogica del análisis más reciente ha contribuido a la rápida construcción contemporánea de la teor´ıa econ´ omica. Ha posibilitado a los investigadores construir sobre el trabajo de sus predecesores y acelerar el proceso acumulativo en el que están participando. Pero una Gran Teor´ ıa Unificada permanecerá fuera del alcance de la econom´ ıa, lo que la tendr´ a apelando a una gran colecci´ on de teor´ıas individuales. Cada una de ellas trata con un cierto rango de fenómenos que intenta comprender y explicar. Cuando alcanza una forma axiomática, sus hipótesis expl´ıcitas delimitan su dominio de aplicabilidad y hacen flagrante una el traspaso de sus fronteras. Algunas estasomico teor´ıas toman vista comprehensiva de un sistemadeecon´ y traen visión sobre las soluciones de varios problemas globales. Por ejemplo, los precios contribuyen a alcanzar un uso eficiente de recursos, a igualar oferta y demanda de mercanc´ıas, y a prevenir la formación de coaliciones desestabilizantes. En cada caso debe proveerse de una explicación teórica. Las hipótesis que no pueden ser satisfechas por todas las observaciones económicas, son el resultado presente de un proceso de debilitamiento continuo. Una visión global de una econom´ıa que quiere tomar en cuenta el gran número de sus mercanc´ıas, el igualmente grande número de sus precios, la multitud de sus agentes, y sus interacciones, requiere de un modelo matem´ atico. Los economistas han construido exitosamente un modelo como este, debido a que el concepto central de cantidad de una mercanc´ ıa tiene una estructura lineal. As´ı, la acci´ on de un agente puede describirse listando la cantidad de insumos y productos (con signos opuestos para diferenciar insumos de productos). Tal lista puede tratarse como la lista de coor-

373

374


denadas en el espacio de mercanc´ıas lineal. Similarmente, el sistema de precios de una econom´ıa puede tratarse como un punto en el espacio lineal de precios, dual del espacio de mercanc´ıas, cuya dimensi´ on es tambi´ en el n´ umero de mercanc´ ıas. En esos dos espacios lineales, la escena la colocaron los deslumbrantes desarrollos matemáticos que comenzaron con los elementos del cálculo diferencial y el álgebra lineal, y que gradualmente requirieron de t´ ecnicas m´ as amplias y potentes, y de otros resultados matemáticos fundamentales. As´ı, los tres roles de los precios dados antes como ejemplos fueron iluminados por teoremas matemáticos básicos: el primero, la obtención de un uso eficiente de recursos, mediante resultados del análisis convexo; el segundo, la igualdad entre oferta y demanda para las mercanc´ıas, mediante resultados de la teor´ıa de puntos fijos; la tercera, el evitar la formación de coaliciones desestabilizadoras, como resultado de la teor´ıa de la integraci´ on y del análisis no-estándar. En esos tres casos, el rezago entre la fecha del descubrimiento matemático y la fecha de su aplicaci´ on a la teor´ıa econ´ omica decrece en el tiempo. Este rezago fue notablemente corto para el análisis no-estándar, fundado a comienzos de los 1960´s por Abraham Robinson, y aplicado a la econom´ıa por Donald Brown y Abraham Robinson (1972) 18 . Elijamos el último y más recientemente desarrollado de estos tres ejemplos, para hacerle una ilustración más detallada, aunque p od´ıamos haber elegido cualquiera de las otras dos. La competencia es perfecta cuando la influencia de cada agente sobre el resultado total de la actividad econ´ omica es insignificante. La influencia de la totalidad de los agentes sobre este total es, sin embargo, significativa. Fue precisamente debido a los intentos por resolver el problema de obtener una suma no-despreciable a partir de la agregación de cantidades despreciables, que se inventó el proceso de integraci´ on. En esta perspectiva, la aplicación de la teor´ıa de la integraci´ on 18

Brown, Donald y Robinson, Abraham (1972), A Limit Theorem on the Cores of Large Standard Exchange Economies, Proceedings of the National Academy of Sciences, USA.


375

al estudio de la competencia econ´ omica es completamente natural. Tal aplicación requiere que el conjunto de agentes sea mucho más grande que el conjunto de enteros. Tratar el conjunto de agentes de una econom´ıa como la colecci´ on de puntos de un intervalo de n´ umeros reales ha sido muy familiar en descripciones de datos económicos. Llegó a ser familiar en teor´ıa econ´ omica despu´ es de que Robert Aumann (1964)19 probara que, en una econom´ıa de intercambio puro compuesta por agentes insignificantes, se puede prevenir la formaci´ on de coaliciones desestabilizadoras si, y sólo si, todos los agentes basan sus decisiones en un sistema de precios. El concepto de un conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta cualquiera dos de sus puntos) hab´ıa sido colocado repetidamente en el centro de la teor´ ıa econ´ omica hasta antes de 1964. Con la introducci´ on de la teor´ıa de la integraci´ on en el estudio de la competencia p erfecta, aquel concepto adquirió una nueva luz: si se asocia, con cada agente de una econom´ıa, un conjunto arbitrario en el espacio de mercanc´ ıas, y despu´ es se promedia todos esos conjuntos individuales sobre la colección de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo. Y las explicaciones de las tres funciones de los precios tomadas como ejemplos pueden apoyarse en la convexidad de los conjuntos derivada de un proceso de tomar promedios como este. La convexidad en el espacio de mercanc´ ıas obtenida por agregaci´ on sobre una colección de agentes insignificantes es una mirada penetrante que la teor´ ıa econ´ omica le debe, en su claridad revelante, a la teor´ıa de la integraci´ on. Un economista que experimente una visión como esta pertenece al grupo de economistas matemáticos a cuyas ventajas se adhiere. Las matemáticas le proveen de un lenguaje y de un m´ etodo que permite un estudio efectivo de sistemas económicos de gran complejidad; pero es un maestro exigente. Constantemente está pidiendo el debilitamiento 19

Aumann, Robert J. (1964), “Markets with a Continuum of Traders”, Econometrica.

376


de hipótesis, el fortalecimiento de las conclusiones, y mayor generalidad. Cuando toma la forma matem´ atica, la teor´ ıa econ´ omica se ve obligada a responder a tales exigencias. Los beneficios en generalidad que se han alcanzado en poco m´ as de un siglo, se ven claros cuando se comparan las primeras formulaciones de las teor´ıas del equilibrio general (L´ eon Walras (1874, 1877)) y del n´ ucleo ( core) de una econom´ ıa (Francis Edgeworth, 188120 , pp.34-8.) Las matemáticas tambi´ en dictan el imperativo de simplicidad. Constantemente buscan pruebas transparentes y cortas para los sistemas teóricos en los cuales se insertará. Al participar de esa búsqueda, la teor´ıa econ´ omica ha sido conducida a veces hacia una mayor generalidad y mayor simplicidad en la misma dirección, y no en direcciones opuestas. Generación tras generación, estudiantes de la teor´ıa del consumidor han aprendido acerca del concepto de tasa de sustitución marginal decreciente, y acerca de su extensión al caso de es varias mercanc´ Mucho m´ as general, mucho más simple, el concepto deıas. convexidad del conjuntoy de puntos preferido a un punto dado en el espacio de mercanc´ıas. El bienestar económico presenta otro ejemplo. Uno de sus principales teoremas formula precisamente el principio enunciado por Adam Smith (1776) 21 . Si todos los agentes de una econom´ıa est´ an en equilibrio respecto a un sistema de precios, entonces utilizan sus recursos de forma óptima. La prueba de ese teorema (Kenneth J. Arrow (1951)22 ) ha llegado a ser tan simple que puede hacerse sin s´ımbolos matemáticos. Es, al mismo tiempo, de la mayor generalidad; al relacionar dos conceptos básicos de la teor´ıa econ´ omica, no utiliza hipótesis alguna. (...)

20

Edgeworth, Francis Y. (1881), Mathematical Psychics, London: Paul Kegan. Smith, Adam (1776), An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, London. 22 Arrow, Kenneth J. (1951), An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics, Berkeley: University of California Press. 21


377

III La lista de avances en que la matematización de la teor´ ıa econ´ omica ha ayudado es ya larga; y en cierta forma puede parecer grande. Ceteris Paribus, uno no puede permitir menos a más rigor, menos a más generalidad, o complejidad a simplicidad; pero otras cosas no son iguales, y, de acuerdo a muchos miembros de la Asociaci´ on, el costo de esa matematizaci´ on a menudo sobrepasa sus beneficios. Dos de los discursos presidenciales confrontan esa dificultad y enfatizan el precio que la econom´ıa paga por el aumento en el uso de las matemáticas. Las observaciones de Wassily Leontief (1971)23 fueron directas en este punto, y también los comentarios de Robert A. Gordon (1976)24 fueron importantes cuando se hicieron en 1970 y en 1975. Y todav´ıa lo son, aunque, a pesar de su autoridad, aumentada por el sitio desde el cual estaban hablando, y a pesar de la amplia difusión de sus cr´ıticas, ni Leontief ni Gordon alteraron el curso del desarrollo como buscaban. En las u ´ ltimas dos d´ ecadas, la teor´ ıa econ´ omica ha sido llevada aún más lejos por una corriente aparentemente irresistible que sólo puede explicarse en parte por los exitos intelectuales de su matematización. Los lazos que unen a los economistas en el estudio de un problema común no ha sido probado únicamente a trav´ es de las diferencias metodológicas. Tambi´ en ha sido probado por las diferencias en ideolog´ıas. Buscando hacer de su campo una ciencia, los economistas deben renunciar a un modo muy popular de pensamiento –pensar con el deseo; deben ser espectadores imparciales de un juego en el cual ellos mismos son actores. Mientras intentan mantener ese estado inhumano, son tambi´ en presionados a dar respuestas inmediatas a problemas sociales de inmensa complejidad y, por consiguiente, a abandonar la lentitud exacta del paso-a-paso de la aproximación cient´ıfica. Las divisiones de acuerdo a 23

Leontief, Wassily (1971), Theoretical Assumptions and Non-observed Facts , American Economic Review. 24 Gordon, Robert A. (1976), Rigor and Relevance in a Changing Institutional Setting, American Economic Review.

378


metodolog´ıas e ideolog´ ıas, las cr´ıticas desde afuera y desde adentro, y las modas intelectuales que se despliegan por nuestra disciplina, realzan cada uno de estos lentos desarrollos. Y la matematización de la teor´ıa econ´ omica ha sido uno de estos desarrollos durante siglo y medio. Durante las ´ ultimas cinco décadas ha llegado a ser uno de los movimientos principales en la transformación de nuestro campo. El grado de esa matematización ha dado srcen a discordantes argumentos sobre sus efectos y tambi´ en a intentos por cambiar esta orientaci´ on. Las re-afirmaciones acerca de los m´ eritos de esta fase que la teor´ıa econ´ omica ahora recorre, y tambi´ en los intentos por alterar el curso de esta evoluci´ on, se ver´ıan beneficiados de un análisis detallado del proceso que la condujo a su estado actual”.

c).

Sobre ciertas funciones de la teor´ıa económica

La idea detrás de todo modelo matemático, tanto en las “ciencias exactas” como en las económicas y sociales, es buscar concentrar y simplificar aquellos elementos aparentemente relevantes que, de acuerdo al juicio subjetivo de quien construye el modelo, le permitan una descripción adecuada (es decir, simple, directa y clara) del problema que pretende estudiar de esta manera abstracta. Y, sin duda, en este sentido, las funciones, que han sido la herramienta fundamental en la modelaci´ on matemática de otras ciencias, han venido a jugar su papel tambi´ en aqu´ı en las ciencias econ´ omicas. Las funciones, aplicadas a la teor´ıa económica, son herramientas que conllevan una gran cantidad de información comprobada o hipot´ etica, y siempre marcadas por un halo de irrealismo. Pero hoy, para bien o no de la teor´ıa econ´ omica, ellas juegan un papel cr´ıtico, y actualmente no se ve forma alguna de desacreditar la razón de su presencia. En lo que sigue, describiremos entonces algunos de los principales tipos de funciones que utiliza la teor´ ıa econ´ omica actual para el estudio de diversos problemas. I

).

Funciones homog´ eneas

El primer tipo de funciones que estudiaremos son las funciones homogéneas. Ellas son convenientes instrumentos en la descripción de una

379


idea central que ha estado en el pensamiento de los economistas desde, por lo menos, Adam Smith: la noción de escala en los procesos de producción y consumo. Definici´ on 37. (Función homog´ enea) Decimos que una función (de una o dos variables) homogénea si, y sólo si, existe un α R+ tal que

f : D

∈

−→ R

es

f ( tx ) = t α f ( x )

∈

para todo t > 0 y x D tal que tx es homog´ enea de grado α.

∈ D. En tal caso, diremos que f (·)

Ejemplo 45. a) Si f ( x ) =

√x,

≥ 0, entonces √ √√ √x = t f ( tx ) = tx = t x = t x

1 2

1 2

f( x ) 1

para todo t 0. Luego f ( ) es homog´ enea de grado 2 . b) Otro ejemplo es la función lineal f ( x, y ) = x + y, x, y

≥

·

∈ R;

aqu´ı,

f ( tx,ty ) = tx + ty = t( x + y ) = tf ( x, y )

∈ R. Luego, f (· , ·) es homogénea de grado 1. c) Ahora consideremos la función f ( x, y ) = xy, x, y ∈ R; aqu´ı, para todo t

f ( tx,ty ) = ( tx ) ( ty ) = t 2 xy = t 2 f ( x, y )

∈ R. As´ı, f (· , ·) es homogénea de grado 2. x d) Finalmente, consideremos la función f ( x, y ) = , x ∈ R, y  = 0; y para todo t

aqu´ı,

f ( tx,ty ) =

tx

x

= f ( x, y ) ty y para todo t = 0. As´ ı, f ( , ) es homog´ enea de grado 0.



=

··

e) No sobra agregar que no todas las funciones son funciones homog´ eneas. ¿Podr´ ıa el lector dar ejemplos de esto?

380


).

Funciones con rendimientos decrecientes, constantes o crecientes a escala

II

El concepto de rendimientos a escala en el sentido tecnológico es tan antiguo como la econom´ıa misma, aunque no fue cuidadosamente definido hasta, quizás, Alfred Marshall (1890) 25 . Marshall utilizaba el concepto de rendimientos a escala para capturar la idea de que las firmas pueden, alternativamente, enfrentar “econom´ıas de escala” (es decir, ventajas de tama˜ no) o “deseconom´ıas de escala” (desventajas de tama˜ no). Marshall presentaba razones por las cuales las firmas podr´ıan enfrentar rendimientos a escala cambiantes. La definición de este concepto de rendimientos a escala fue discutido posteriormente, con más profundidad, por Knut Wicksell (1900, 1901, 1902)26 , 27, 28 , P. H. Wicksteed (1910) 29 , Piero Sraffa (1926) 30 , Austin Robinson (1932)31 , y John Hicks (1932, 1936) 32 , 33 , entre otros. Definici´ on 38. (Rendimientos a escala) 2 es tal Diremos on que (de si unax o dos variables) : D t > 1,R, donde D R oque D laRfunci´ D, tx D paraftodo

⊆

⊆

∈

∈

−→

a) Tiene rendimientos decrecientes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) < tf ( x ) b) Tiene rendimientos constantes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) = tf ( x ) 25

Marshall, Alfred (1890), Principles of Economics, London, Macmillan and Co. Wicksell, Knut (1900), Marginal Productivity as the Basis for Economic Distribution, M.E. Sharpe. 27 Wicksell, Knut (1901), Lectures on Political Economy, Augustus M Kelley. 28 Wicksell, Knut (1901), On the Problem of Distribution , Routledge. 29 Wicksteed, P. H. (1910), The Common Sense of Political Economy: including a study of the human basis of economic law , London: Macmillan and Co. 30 Sraffa, Piero (1926), The Laws of Returns under Competitive Conditions, Routledge. 31 Robinson, Austin (1932), The World’s Economic Outlook , Atlantic Monthly. 32 Hicks, John (1932), Marginal Productivity and the Principle of Variation, Transaction Publishers 33 Hicks, John (1936), Mr Keynes’s Theory of Employment , Economic Journal. 26

381


c) Tiene rendimientos crecientes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) > tf ( x ) Y el siguiente teorema relaciona los dos conceptos introducidos hasta aqu´ı: homogeneidad y rendimientos a escala. Teorema 15. (Homogeneidad y rendimientos a escala) R+ con D R + o D R 2+ tales que si x D entonces Sea f : D tx D para todo t > 1 .

∈

−→

⊆

⊆

∈

a) Si f ( ) es homog´ enea de grado α con 0 < α < 1, entonces f ( ) tiene rendimientos decrecientes a escala.

·

·

b) Si f ( ) es homog´ enea de grado α = 1, entonces f ( ) tiene rendimientos constantes a escala.

·

·

c) Si f ( ) es homog´ enea de grado α > 1, entonces f ( ) tiene rendimientos crecientes a escala.

·

·

Demostraci´ on. Para todo t > 1, a) f ( tx ) = t α f ( x ) < tf ( x ), pues 0 < α < 1. b) f ( tx ) = t α f ( x ) = tf ( x ), pues α = 1. c) f ( tx ) = t α f ( x ) > tf ( x ), pues α > 1.



Nota 12. El rec´ıproco del teorema 15 no es necesariamente cierto, como p odemos mostrar con mayor claridad en la lección 1 del volumen I II (optimización y Dinámica). ¿Cuál de los tres casos s´ı es cierto de manera inmediata? III

).

Funciones lineales como func iones de cons umo

Para John Maynard Keynes (1936) 34 , la función de consumo de una R, definida por econom´ ıa es una funci´ on lineal del ingreso C : R+

−→

C( y ) = α + 34

y,

>0,

0< β <1

Keynes, John Maynard ( 1936 ), The General Theory of Employment, Interest and Money. London: Macmillan.

382


donde C ( y ) es la variable consumo; y es la variable ingreso agregado ; β es la propensi´ on marginal al consumo , es decir, la proporci´ on que es consumida de cada unidad monetaria que se recibe; y α es el consumo básico de subsistencia.

C ( y ) = α + βy

C (y )

α

y

Figura 85: Función de consumo

).

IV

Funciones de demanda

Dos de las más t´ıpicas funciones de demanda son las siguientes: i) Funciones lineales como funciones de demanda La función x : R+ R+ R definida por

×

−→

x( p, m ) = α + β p + cm ,

> 0, β < 0, c > 0

es utilizada a menudo como una funci´ on de demanda, donde x es la cantidad demandada de cierta mercanc´ıa, p es el precio por unidad de esa mercanc´ıa y m es el ingreso. Observemos que si p crece y m no var´ ıa, x( p, m ) disminuye y viceversa (ley de la demanda). Además, a medida que aumenta el ingreso, aumenta la cantidad demandada y viceversa. x(p) α x( p ) = α + βp

p

Figura 86: Función lineal de demanda

383


ii) Hip´ erbolas como funciones de demanda La función x : R+

R definida por

R+

×

−→

x( p, m ) = α +

β + cm , p

,

, c >0

se utiliza tambi´ en como una funci´ on de demanda. Esta función de demanda (ver figura 87) se caracteriza por ser una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada, y por ser una relaci´ on directa entre el ingreso y la cantidad demandada. x(p)

x=α+

β p

p

Figura 87: Función hiperbólica de demanda

).

V

Funciones de ingreso

Para Keynes (1936) (ver Hicks (1937) 35 ) el ingreso agregado de una econom´ıa puede describirse mediante la función Y : R+ R + R definida por M Y ( M, P ) = α + β , α > 0, β > 0 P

×

−→

donde α es el gasto autónomo del gobierno , β es el “multiplicador monetario”, M es la cantidad de dinero disponible en efectivo y bonos , y P es el nivel agregado de precios (cuya variación es una medida de la inflación). 35

Hicks, John (1937), Mr. Keynes and the Classics: A Suggested Interpretation , Econometrica.

384

Matem´ aticas b´ asicas para economistas 0: Fundamentos Y (P )

Y = α+ βM p

P

Figura 88: Curva hiperbólica de ingreso

).

VI

Curva de Phillips (1958)

Seg´ un observaciones estad´ısticas del economista inglés A. W. Phillips (1958)36 en el Reino Unido, durante los a˜ nos 1861-1957, existió una relaci´ on inversa entre la tasa de desempleo y las tasas de cambio de los salarios monetarios. La curva de Phillips se aseme jaba a la función estrictamente decreciente de la figura 89. Tasa de cambio de salarios monetarios 1861-1957

6%

Tasa de desempleo

Figura 89: Curva de Phillips (1958)

VII

).

El ciclo económico como una función oscilante

Muy vagamente, el problema del ciclo económico es el estudio de la trayectoria del nivel de actividad económica (aproximado por el nivel de ingreso nacional) trav´ es de sus y contracciones, y una de la idea básica de que aestas ocurren enexpansiones forma intercalada alrededor de trayectoria de largo plazo como se muestra en la figura 90. 36

Phillips, A.W. (1958), The Relationship between Unemployment and the Rate of Change of Money Wages in the United Kingdom 1861-1957 , Economica.


385

Ingreso Nacional Trayectoria de Largo Plazo

Tiempo

Figura 90

Los primeros esfuerzos alrededor de esta idea los encontramos en Keynes (1936)37 , Schumpeter (1947)38 , y Hicks (1950) 39 , entre otros. VIII

).

Funciones de producci´ on

Una tecnolog´ıa que utiliza dos insumos para producir un u ´ nico producto puede describirse por medio de una funci´ on de producción f : R2+ R que indica el máximo nivel de producto que puede producirse por cada combinaci´ on de insumos. Despu´ es de Cournot, fue, quiz´ as, Philip Wicksteed (1894) 40 el primero en escribir una forma funcional y = f (x1 , x2 ) para relacionar un producto y con sus factores x 1 , x 2 . Obs´ ervese que al escribir as´ı las funciones de producción, estamos excluyendo la producción conjunta (es decir, procesos de producción que arrojan más de un producto).

−→

i) Funciones Cobb-Douglas (1928) como funciones de producci´ on Las funciones de producción Cobb-Douglas son de la forma f ( x, y ) = x α y β , 37

x

≥ 0, y ≥ 0

Keynes, J.M. (1936), The General Theory of Employment, Interest and Money. Ed. McMillan, C. London. 38 Schumpeter, Joseph (1947), Theoretical Problems of Economic Growth , Journal of Economic History. 39 Hicks, John (1950), A Contribution to the Theory of the Trade Cycle , Oxford University Press. 40 Wicksteed, Philip (1894), An Essay of the Co-ordination of the Laws of Distribution.

386


donde α, β son constantes positivas41 . Observemos que para todo t > 0, f ( tx,ty ) = ( tx )α ( ty )β = t α+β xα y β = t α+β f ( x, y ) y, por tanto, las funciones Cobb-Douglas son siempre homog´ eneas de grado α + β . Por el teorema 15 sabemos entonces que: a) Si α + β < 1, la función Cobb-Douglas tiene rendimientos decrecientes a escala. b) Si α + β = 1, la función Cobb-Douglas tiene rendimientos constantes a escala. c) Si α + β > 1, la función Cobb-Douglas tiene rendimientos crecientes a escala. La función Cobb-Douglas fue introducida en 1928 por Charles Cobb y Paul Douglas en su art´ıculo A Theory of Production (American Economic Review ). All´ı (aunque anticipados p or Knut Wicksell (1901) 42 ), afirmaban que esta funci´ on de producción, con x=unidades de capital, y=unidades de mano de obra, α = 14 y β = 34 , se ajustaba a los datos de la industria manufacturera de los Estados Unidos si no se consideraba el progreso tecnol´ ogico (ver figura 91). y

x

Figura 91: T´ıpica curva de nivel Cobb-Douglas 41

Por simplicidad, asumiremos α, β racionales positivos. Wicksell, Knut (1901), Lectures on Political Economy, London:Routledge y Kegan Paul.

42

387


ii) Funciones insumo-producto de Leontief (1936)43 como funciones de producción La funci´Leontief on de producción fue introducida Wassily en 1936 en insumo-producto su Quantitative Input and Output por Relations in the Economic System of the United States. La forma de esta función de producción es x y f ( x, y ) = m´ın , , x 0, y 0 a b donde a y b son constantes positivas, y por lo tanto, es homog´ enea de grado 1:

 

f ( tx,ty ) = m´ın

  tx ty , a b

≥

= t m´ın

≥

  x y , a b

= tf ( x, y )

para todo t > 0; As´ı, la funci´ on insumo-producto de Leontief tiene rendimientos constantes a escala. y

րcrecimiento de los niveles x

{ }

Figura 92: Curvas de nivel de f (x, y)=m´ın x, y

iii) Funciones lineales como funciones de producción La función de producción lineal está definida como f ( x, y ) = ax + by,

x

≥ 0, y ≥ 0

donde a y b son constantes positivas. Esta función, al igual que la función insumo-producto de Leontief es homog´ enea de grado 1, y as´ı, tiene rendimientos constantes a escala: f ( tx,ty ) = a( tx ) + b( tx ) = t( ax + by ) = tf ( x, y ) para todo t > 0. 43

Leontief, Wassily (1936), Quantitative Input-Output Relations in the Economic System of the United States, Review of Economics and Statistics.

388


ր crecimiento de los niveles

x

Figura 93: Curvas de nivel de f (x, y) = ax + by

iv) Funciones CES (1961) como funciones de producción Las funciones de producción CES 44 son de la forma 1

f ( x, y ) = A [ γ xρ + ( 1 donde A > 0, 0 < γ < 1, t > 0,

− γ )yρ ] x ≥ 0, y ≥ 0 ρ ≤ 1.45 Observemos que para todo ρ

f ( tx,ty ) = A [ γ ( tx )ρ + ( 1 = t A [ γx ρ + ( 1

−

−

1

γ )( ty )ρ ] ρ 1

γ )y ρ ] ρ = tf ( x, y )

Las funciones de producción CES son, entonces, homog´ eneas de grado 1 y, por tanto, todas tienen rendimientos constantes a escala. y

x

Figura 94 44

CES significa, en Ingl´ es, “Constant elasticity of substitution” (es decir, elasticidad de sustituci´ on constante). 45 Por simplicidad asumiremos que γ es racional positivo.

389


Esta función fue introducida en la teor´ıa econ´ omica en 1961 por Arrow, Chenery, Minhas y Solow en Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency (Review of Economic Studies). IX

).

Funciones de utilidad

En teor´ıa econ´ omica, una funci´ on de utilidad es una representación num´ erica de las preferencias que tiene un consumidor sobre las diferentes combinaciones de consumo que están a su disposición en el mercado. Más precisamente, una función de utilidad u : R2 R asigna, a cada “canasta”de consumo ( x, y ) (donde x mide la cantidad de, digamos, el bien 1; y y mide la cantidad de, digamos, el bien 2), un n´ umero real u(x, y) de tal forma que si el consumidor prefiere estrictamente una canasta (x, y) a otra canasta ( x′ , y ′ ), entonces u(x, y) > u(x′ , y ′ ) (es decir, el número asignado a la canasta preferida es mayor); y si es indiferente entre las dos canastas de consumo, entonces u(x, y) = u(x′ , y ′ ) (les asigna a ambas el mismo n´ umero). Sobre el srcen de las funciones de utilidad discutiremos con amplitud en el volumen II: C´ alculo (lección 3). Enseguida, sin embargo, examinaremos algunas de las funciones de utilidad que más se utilizan en el análisis del comportamiento económico.

−→

i) Funciones Cobb-Douglas como funciones de utilidad Un ejemplo protot´ıpico de una funci´ on de utilidad es la funci´ on Cobb-Douglas que, para el caso de dos bienes, está definida por u( x, y ) = x α y β ,

x

≥ 0, y ≥ 0 ;

,

>0

46

ii) Funciones CES como funciones de utilidad Otro ejemplo de una función de utilidad es la función de utilidad CES, la cual está definida por 1

u( x, y ) = ( αxρ + βy ρ ) ρ donde x, y 46

≥ 0;

α, β > 0; ρ

≤ 1.

Aqu´ ı, de nuevo, asumiremos que α, β son racionales positivos.

390


iii) Funciones de utilidad separable Es usual en ciertos contextos asumir que la funci´ on de utilidad es

aditivamente separable, es decir, que es de la forma u( x, y ) = v( x ) + β v( y )

≥

donde x 0 representa el consumo presente, futuro, y 0 < β < 1.

y

≥ 0 el consumo

Este tipo de funciones de utilidad tiene ciertas propiedades a veces convenientes: el requerimiento de que la utilidad del consumo futuro sea descontada ( β < 1 ) significa que el consumido r es “impaciente” en el tiempo: β cercano a cero significa que el consumidor es “impaciente” y β cercano a 1 significa que el consumidor es “paciente”. En otra forma, β cercano a cero significa que al consumidor le interesa, primordialmente, su consumo actual y no su consumo futuro; y β cercano a 1 significa que el consumidor está preocupado por su consumo actual pero tambi´ en por su consumo futuro. Esta idea de “antes” y “despu´ es” en el consumo puede trazarse al menos hasta Eugene Böhm-Bawerk (1889)47 e Irving Fisher (1930) 48 . ).

X

Funciones de costo

La función C : R+

× R+ −→ R definida por C ( w, y ) = wy α

es la función de costos de cierta firma, donde w es el precio del insumo utilizado en el proceso productivo y y es el nivel de producción deseado. Observemos que si w crece y el nivel de producción y no var´ıa, el costo de producción aumenta. Además, esta función de costos corresponde a una función de producción con rendimientos crecientes a escala si α < 1, constantes si α = 1 y decrecientes si α > 1. 47

B¨ ohm-Bawerk, Eugene (1889), Capital and Interest, South Holland, Libertarian Press. 48 Fisher, Irving (1930), The Theory of Interest: As Determined by the Impatience to Spend Income and Opportunity to Invest it, Porcupine, editors.


391

En general, las funciones de costo de producción y su análisis se deben al famoso trabajo Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (1947)49 , y tambi´ en al de Ronald Shephard (1953) 50 . α> 1

C (y )

α= 1

α< 1

y

Figura 95: Función de Costo XI

).

Funciones de beneficio

La función π : R+

R definida por

R+

×

−→

1

α

π( p, w ) = A p 1−α w α−1

es la función de beneficios de cierta firma, donde A > 0 es constante, p > 0 es el precio del producto y w > 0 es el precio del insumo. Observemos que si w aumenta y el precio del producto p no cambia, el beneficio disminuye; y si p aumenta y w no cambia, el beneficio aumenta. El primer estudio de las funciones de beneficio fue el trabajo pionero de Harold Hotelling (1932)51 . XII

).

Funciones con interacciones econ´ omicas: algunos ejemplos espec´ ıficos

Los problemas de elección en forma estrat´ egica est´ an el corazón de la toma de decisiones económicas, y el intentar modelarlas ha servido para mostrar los enormes problemas que surgen al tratar de entender el Samuelson, Paul (1947), Foundations of Economic Analysis, Harvard Economic Studies. Shephard, Ronald (1953), Cost and Production Functions, Princeton University Press. 51 Hotelling, Harold (1932), Edgeworth’s Taxation Paradox and the Nature of Supply and Demand Functions, Journal of Political Economy. 49

50

392


comportamiento humano al momento de interactuar unos con otros en pos de objetivos económicos. El primer esfuerzo consolidado en teor´ıa formal se ha dado en llamar teor´ ıa de juegos, un término evidentemente tomado de los juegos de salón como el ajedrez y el bridge. Este aparato teórico, desarrollado en sus inicios por John von Neumann y Oskar Morgenstern en 1944 en su Games and Economic Behavior, ha provisto a la teor´ıa econ´ omica de un lenguaje preciso que describe la toma de decisiones conscientes por parte de individuos con grandes capacidades para calcular y evaluar las consecuencias futuras de decisiones tomadas ´ hoy. Sin embargo, como veremos más adelante (ver vol´ umenes I (Algebra lineal)y III (Optimización y dinámica)), las limitaciones y debilidades de esta aproximación son ahora claras. Veamos, no obstante, algunos ejemplos (simples) de cómo la teor´ ıa econ´ omica moderna ha comenzado a modelar los problemas de interacciones económicas. i) Funciones de utilidad con interacciones

• Dos individuos quieren construir cierto bien. El proceso de

construcci´ on de este bien exige la disponibilidad de ciertos niveles de inversión por parte de los individuos. Medido en unidades monetarias, la utilidad que cada individuo obtenga depende del nivel de inversión que el otro individuo lleve a cabo. Las funciones de utilidad podr´ıan ser de la siguiente forma: u1 ( x, y ) = x( y 1 )

≥

•

− u2 ( x, y ) = y( x − 1 ) ≥ 0 son los niveles de inversión de los

donde x 0 y y individuos 1 y 2, respectivamente. Consideremos una situación en la cual la utilidad de un comprador de automóviles depende, no solamente del automóvil que él elija, sino tambi´ en del que elija su vecina (¿por qu´ e?). La función de utilidad de este individuo p odr´ıa ser de la siguiente forma: u( x, y ) =

√x + 2xy,

−

x, y = 1, 1

donde x indica el tipo de carro elegido por él y y el tipo de carro elegido por la vecina. ¿Cuál es la utilidad del individuo si él elige un carro tipo 1 y su vecina un tipo 1?

−

393


ii) Funciones de producción con interacciones Un grupo de pescadores puede pescar libremente en un lago. Mientras sea el Si número de pescadores, mayor será número de pecesmayor atrapados. b pescadores están pescando, el nél umero de peces capturados es g( b ). Por tanto, si la repartici´ on de los peces es proporcional al número de pescadores, la producción de cada g( b ) pescador puede considerarse como f ( b ) = . Observemos que b el número de peces que recibe cada pescador depende del n´ umero total de pescadores en el lago. iii) Funciones de costo con interacciones Consideremos una econom´ıa en la cual hay dos firmas: la firma 1 produce el bien x y la firma 2 produce el bien y. El costo para la firma 2 de producir y unidades de su producto es ( y 3 )3 . Además, la producción de x impone un costo de x2 sobre la firma 2. Por ejemplo, la producción de ciertas unidades de x genera polución que afecta a la firma 2. Por tanto, la funci´ on de costos de esta firma es

−

C ( x, y ) = x 2 + ( y

− 3 )3,

x

≥ 0, y ≥ 3

iv) Funciones de beneficio con interacciones: el modelo de duopolio de Cournot (1838) Supongamos que exist en dos firmas que producen un bien homog´ eneo. Los niveles de producci´ on de las firmas 1 y 2 ser´ an denotados q1 y q2 , respectivamente. La función inversa de demanda es p( Q ) = α + βQ, donde α > 0, β < 0 y Q q 1 + q2 es la producción agregada. La firma i tiene una función de costos c i ( qi ) = cq i , donde c > 0 para i = 1, 2. 52 Por tanto, las funciones de beneficio de las firmas 1 y 2 son, para q 1 , q2 0,

≡

≥

π1 ( q1 , q2 ) = [ α + β ( q1 + q2 ) ]q1

cq1

π2 ( q1 , q2 ) = [ α + β ( q1 + q2 ) ]q2

−− cq2 

52

Cournot, A. (1838), Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth, London: Macmillan.

394


Sobre la utilización espec´ıfica de las funciones econ´ omicas estudiadas en este “contexto económico”, regresaremos en los siguientes volúmenes (I, II y III) del presente texto.


395

Ejercicios complementarios 1) Pruebe que si a, b son números reales positivos ( > 0), entonces a+b > 2

√ab

es decir, la media aritm´ etica de dos cantidades positivas es mayor que su media geom´ etrica. 2) Pruebe que si a , b, c son números reales positivos ( > 0), entonces a2 + b2 + c2 > bc + ca + ab [Indicación: b2 + c2 > 2bc; c2 + a2 > 2ac; a 2 + b2 > 2ab.] 3) Pruebe que si a2 + b 2 1 y x2 + y 2 1 entonces ax + by [Indicación: a2 + x2 2ax; b2 + y 2 2by]

≥

≤

≥

≤

≤ 1.

*4) ( Inducci´ on matemática (t´ ermino on matemática) El método de inducci´ acu˜ nado por Augustus DeMorgan en 1838 en la Penny Cyclopedia) es un método de demostraci´ on que consiste en identificar cuándo una propiedad de los números es satisfecha por los números naturales: si el número 1 satisface la propiedad; y cuando el número n satisface la propiedad entonces tambi´ en el n´ umero n + 1 la satisf ace, tendremos que todos los números naturales la satisfacen (ver la Nota 5 de la presente lección para ver por qué esta propiedad, de hecho, define a los números naturales). Esta caracter´ ıstica est´ a en la ra´ız de un tipo de argumento que se ha constituido en un m´ etodo de demostración : es el m´ etodo de inducci´ on matemática. i) Utilizando el método de inducci´ on matemática, pruebe que para todo n N:

∈

a)

1 1 < 2n n n(n + 1)

b) 1 + 2 + 3 c)

··· + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + ··· + n2 = 6

396


d) 13 + 23 + 33 +

··· + n3 =



n(n + 1) 2



2

; es decir ,

13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2

··· + (2n − 1) = n2 1 − an+1 ai = si a  =1 1−a i=0

e) 1 + 3 + 5 + n

f)



[Indicaci´ on: En cada caso, se requiere probar que la hip´ otesis es cierta para n = 1; después, se asume cierta la hipótesis para cierto número natural n, y se prueba cierta tambi´ en para n + 1. El m´ etodo de inducción matemática le asegura que, entonces, la hipótesis es cierta para todos los números naturales]. Para ilustrar esto, resolvamos los literales a) y b). 1 1 1 a) Probar que n < si n = 1 es inmediato pues < 1. 2 2 n 1 1 Supongamos ahora que n < para un cierto n 2 n N, y probemos que, entonces, tambi´ en es cierto que 1 1 < . En efecto, 2n+1 n+1

• •

∈

1 2n+1

=

      1 2

1 2n

<

1 2

1 n

b)

•

1 2n

≤ n +1 1 ≤

siendo esto último cierto puesto que n + 1 2n ya que n 1. 1 1 As´ı, n < para todo n N. 2 n n(n + 1) Probar que 1 + 2 + 3 + 4 + +n= para 2 1(1 + 1) n = 1 es inmediato pues 1 = . 2 Ahora supongamos que la hipótesis es cierta para n

≥

• •

=

∈

···

∈

N y prob´ emosla para n +1; es decir, debemos ver que

1+2+3+

+ 2) ··· + n + (n + 1) = (n + 1)(n 2

397


Pero, en definitiva, lo que debemos probar, dada la n(n + 1) hipótesis cierta de que 1+2+3+ +n = , 2

···

es que n + 1 = 2(n + 1) lo cual es, evidentemente, 2 cierto. n(n + 1) As´ ı, 1 + 2 + 3 + + n = para todo n N. 2 * ii) Pruebe, por inducción matemática, que si el cardinal del conjunto A es n, entonces el cardinal de (A) es 2 n . [Indicación: H´ agalo primero para n = 1, 2, 3]

•

···

∈

P

* iii) Pruebe, por inducci´ on matemática, que la suma de los coeficientes en la expresión de ( a + b)n es 2n . ¿Qu´ e relaci´ on tiene este resultado con el numeral ii)? 5) Pruebe que en X = R2++ (es decir, los pares ( x1 , x2 ) con x1 , x2 0), la relación (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) si, y sólo si, xα1 xβ2 = y 1α y2β para , >0, es de equivalencia. Dibuje las clases de equivalencia en que se establece la partición de R2+ . Pruebe que éstas coinciden con las curvas de nivel de la función Cobb-Douglas f (x1 , x2 ) = x 1 α x2 β .

≥

ℜ

6) El mismo problema anterior, pero ahora con la relaci´ on definida x1 y1 por (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) si, y sólo si, = y la función f (x1 , x2 ) = x2 y2 x1 . x2

ℑ

7) Dadas las siguien tes funciones, determine su dominio y dibújelas lo mejor que pueda: a) f ( x ) = c) f ( x ) =

√x − 2

b) f ( x ) =

x2 1 )( x + 2 )

(x

d) f ( x ) =



x2 + 4x + 4

− √x

−

8) Dadas las funciones f( x ) =

1 x2 + 1

y

g( x ) =

√x 3

x

≥0

398


halle: a) ( f + g )( x )

b)(

·

c) ( f g )( x )

f

f g



d)

y determine sus respectivos dominios. 9) Escriba la función f (x) =

dos formas diferentes.

√x21+ 1

− g )( x ) (x)

como función compuesta en

10) Considere las siguientes funciones definidas cada una p or la fórmula f ( x ) = x 2 x 2:

− −

  → 1 ,5 2

−

→  R

b)f2 :

−

→  R

d)f4 : (

a)f1 : [ 2, 2 ] c)f3 : [ 5, 3 )

R

−∞, ∞) → R

y determine, en cada caso, si son o no inyectivas (uno-a-uno), sobreyectivas (sobre), biyectivas. Graf´ıquelas lo mejor que pueda. 11)

| − 1|, resuelva, gráficamente,

a) Dibujando la función f (x) = x la desigualdad x 1 < 3.

| − |

b) Dibujando al función f (x) = 1/x muestre que sólo en el intervalo (1, + ) se satisface la desigualdad 0 < 1/x < 1.

∞

c) Sabiendo que f (x) = x 3 + x2 2x = x(x +2)( x 1), resuelva gráficamente la desigualdad x(x + 2)(x 1) < 0 y muestre que su solución es ( , 2) (0, 1).

−

−∞ −



−

−

12) Grafique, lo mejor que pueda , las curvas de nivel α > 0 de las siguientes funciones, distinguiendo claramente su direcci´ on positiva de crecimiento: a)f ( x, y ) = x 2

−y

b)f ( x, y ) =

1 xy

c)f ( x, y ) = x 2

− y3

d)f ( x, y ) =

1 x2 + y 2


399

13) ¿Se podrán extender las nociones de sobreyectividad (sobre), univocidad (uno-a-uno) y biyectividad definidas para funciones de una sola variable a funciones de dos o más variables? * 14) Extienda el concepto de función real de una y dos variables a variables con n 3.

n

≥

15) Si A n = 16) Si A n = 17)

−   −  1 1 ,4+ n n

1 ,1 n

pruebe que

An = [0, 4].

n=1

1 pruebe que n2

∞

n=2

An = (0, 1).

⊆ A, definimos la imagen de M por f como f (M ) = {f (x)/x ∈ M } f : A → B y N ⊆ B , definimos la imagen rec´ıproca de N →

a) Si f : A ByM el conjunto

b) Si

∞

 

por f como el conjunto

f −1 (M ) = x

{ ∈ A/f (x) ∈ N }

c) Pruebe, mediante una gráfica, que si f (x) = x 2 entonces a) f ([0, 1]) = [0, 1] b) f ([ 1, 1]) = [0, 1] c) f −1 ([1, 4]) = [ 2, 1]

−

− − ∪ [1, 2]

−→ B una función cualquiera. Pruebe que: a) Si M 1 ⊆ M 2 ⊆ A entonces f (M1 ) ⊆ f (M2 ) b) Si M 1 , M2 ⊆ A entonces f (M1 ∪ M2 ) = f (M1 ) ∪ f (M2 ) c) f Mi = f (Mi ) donde {Mi }i∈I es una colección no

** 18) Sea F : A

i I

i I

∈ vac´ıa∈ de subconjuntos de A. d) Si M 1 , M2 A entonces f (M1

  

⊆ ∩ M2) ⊆ f (M1) ∩ f (M2) ⊆ N2 ⊆ B entonces f −1(N1) ⊆ f −1(N2 ) N 1 , N2 ⊆ B entonces f −1 (N1 ∪ N2 ) = f −1(N1 ) ∪ f −1(N2 )

e) Si N 1 f) Si

400


g) f −1

     ⊆  Ni

=

i I

f −1 (Ni ) donde

i I

∈

∈

{Ni}i∈I es una colección

no vac´ıa de subconjuntos de A. h) Si N 1 , N2 i) f −1

B entonces f −1 (N1

Ni

=

i I

i I

∈

∈

∩ N2 ) = f −1(N1) ∩ f −1(N2) f −1 (Ni ) donde {Ni }i∈I es una colección

no vac´ıa de subconjuntos de B . j) f −1 (N ) = f −1(N ) donde N B es cualquier conjunto. (Aqu´ı N denota el complemento de N )

⊆

Ilustre estos resultados con conjuntos y funciones espec´ıficas. 19) Si f : A general,

→ B es una función, pruebe con contraejemplos que, en

a) f (M1

∩ M2 ) = f (M1) ∩ f (M2) para M 1, M2 ⊆ A 

b) f (M1 ) = f (M1 )

20) (Nota En la que segunsobre cardinalidad en conjuntos de números) da secci´ on delaesta lección afirm´ abamos, siguiendo a Cantor, el conjunto de los números naturales ( N) pod´ıa colocarse en correspondencia (biyectiva) con el conjunto de los n´ umeros naturales pares, as´ ı: 12 34 5 6

...

↓↓↓↓↓ ↓

↓

2 4 6 8 10 12

...

n ... 2n ...

y que esto mostraba una caracter´ ıstica t´ıpica de los conjuntos infinitos que consist´ıa en que era siempre posible colocarlo en correspondencia (biyectiva) con un subconjunto propio de él. El prop´ osito de este ejercicio es que el estudiante observe algunos de los problemas que surgen al momento de establecer estas correspondencias entre los conjuntos de números que ya conocemos. i) En primer lugar, desde Cantor se ha denotado el cardina l de los números naturales como 0 (aleph cero), y, as´ı, dadas las correspondencias entre N y los números pares, entonces su cardinal es el mismo; es decir,

ℵ

401


{

# 2n/n

∈ N} = ℵ 0

ii) Similarmente, se puede establecer que existe una correspondencia entre N y los números naturales impares as´ı: 12345

...

↓↓↓↓↓

↓

13579

...

n ... 2n

−1

...

que muestra que, tambi´ en,

{ − 1/n ∈ N} = ℵ0

# 2n

A todos los conjuntos cuyo cardinal sea 0 se les llama conjuntos contables (o numerables). Por lo tanto, los n´ umeros (naturales) N, los números (naturales) pares, y los números (naturales) impares, son conjuntos contables.

ℵ

iii) Pero notemos que también se puede establecer una correspondencia (biyectiva) entre los números naturales ( N) y los números enteros (Z), as´ı: 1234567

↓↓↓↓↓↓↓ 0 1 −1

... etc 2

−2

3

−3

... etc

(¿cuál es la regla general aqu´ı?) que muestra que #Z=

ℵ0

iv) Más aún: podemos mostrar que existe una correspondencia (biyectiva) entre los números naturales ( N) y los n´ umeros racionales Q. N´ otese que podemos ordenar los n´ umeros racionales de la siguiente forma:

402


0 1 1 1

1 1

− −→ − 21 −→ − 12 −→ − 31 . . .

. . .

−→ − 13 −→ . . .

. . .

. . .

. . .

1 2

. . .

−→

1 3

2 1

−→

3 1

||

donde el número racional p/q , q > 0, está en la fila p + q , y as´ı establecer, de arriba a aba jo, la siguiente correspondencia: 1234

↓ ↓ ↓ 1↓ −1

0 1

56 1 1

78

↓↓ ↓↓ − 21 − 12

9 1 2

... etc

↓

2 1

− 31 − 13

... etc

Siguiendo esta idea, Cantor demostró que, tambi´ en, #Q =

ℵ0

y, por lo tanto, Q es un conjunto contable. v) Pero, al intentar continuar en este sentido, tambi´ en Cantor, con un tipo de argumento que presentamos adelante, prueba que los números reales R no son un conjunto contable y que, por tanto, los n´ umeros irracionales (I) tampoco lo son (porque si lo fueran, al unirse con el conjunto contable Q har´ ıan de R = Q I, un conjunto contable). Es por está razón que se afirma popularmente que “existen m´ as números irracionales

∪

que racionales”. Ahora: que el conjunto de los números reales no es contable se ve del hecho de que el intervalo [0 , 1] tampoco es contable. En efecto, supongamos (por el contrario) que, de alguna forma s´ı hubi´ eramos podido contar todos los n´ umeros en [0,1].


403

Entonces podr´ıamos listarlos, en notaci´ on decimal, as´ı: α1 = 0. a11 a12 ... a 1n ... α2 = 0. a21 a22 ... a 2n ... . . . . . . . . . . . . αn = 0. an1 an2 ... a nn ... . . . . . . . . . . . . donde aik es el k-´ esimo d´ıgito en la expansi´ on decimal del número α i . Pero ahora tomemos el decimal β = 0. b1 b2 ... b n ... construido as´ ı: como b 1 escojamos cualquier d´ıgito (de 1 a 8) diferente de a11 ; como b 2 cualquier d´ıgito diferente de a22 , etc. Entonces β no puede coincidir con ninguno de los decimales αi de la lista de arriba, y esto finaliza la prueba. Al conjunto de los n´ umeros reale s se le asigna el cardinal notado como ( aleph 53 ). As´ ı,

ℵ

#R=

ℵ

Por lo tanto, se acostumbra a escribir,

ℵ0 < ℵ En este ejercicio le pedimos al lector que resuelva los siguientes literales: a) ¿Podr´ıa dar ejemplos de otros conjuntos contables y nocontables de números? b) Pruebe quedelan´ uni´ on de número de conjuntos contables umeros es, un de nuevo, unfinito conjunto contable. c) Pruebe que todo conjunto infinito de n´ umeros tiene un subconjunto contable. 53

Primera letra del alfabeto hebreo.

404


d) Pruebe que el producto carte siano de dos conjuntos contables es, de nuevo, contable. e) Pruebe que existe una correspondencia biyectiva entre el intervalo (0, 1) y todos los números reales, demostrando que la función f : (0, 1) R definida por f (x) =

−→ 

1 1 tan −1 x + π 2

es un biyección entre estos dos conjuntos. **f) Muestre, utilizando los resultados en este ejercici o, que: i) Todo intervalo [a, b] es no-contable. ii) R2 es no-contable. iii) C = a + bi/a, b R, i2 = 1 el conjunto de los números complejos, es no-contable.

{

∈

−}

21) Una igualdad importan te para ciertos cálculos del álgebra lineal n

n

(ver volumen I) es que si aik i,k=1 y bik de números cualquiera, entonces

{ }i,k=1 son dos conjuntos

{ }

      n

n

n

n

k=1

i=1

(bik aik ) =

i=1

k=1

(bik aik )

Demuestre esta afirmación. [Indicación: Pruebe primero para n = 2, 3 y 4]. * 22) Si en el teorema binomial de Newton (ver lección 2) escribimos

 n k

=

n! k!(n k)!

− para n, k números naturales con k ≤ n, donde n! = 1 · 2 · 3 · · · n se conoce como el factorial de n, o, simplemente, como “ n factorial ” (aqu´ı, 0! = 1), entonces pruebe que n

(a + b)n =

  k=0

n k n− k a b k

405


[Indicación: Pruebe primero que si

k

≥

1 entonces

n

  n

k

−1

+

n+1 = . Despu´ es utilice el m´ etodo de inducción mak k temática para probar la proposición del ejercicio. Se le pide al estudiante que llene los detalles de la siguiente demostraci´ on de esto último:

  

    n

n k n−k a b es cierto para n = 1 pues a + b = k 1 0 1−0 1 a b + ab1−1 . 0 1 ii) Supongamos que la proposición es cierta para n, y prob´ emosla para n + 1. Debemos entonces probar que i) (a + b)n =

k=0

n+1

  k=0

Ahora: n

(a+b)

  k=0

n k n− k a b = k

n

        

n + 1 k n+1−k a b = (a + b) k

n

k=0

k=0

n k n− k a b k

n

n k+1 n−k a b + k

k=0

n k n+1−k a b k



Pero n

    k=0 n

k=0

n k+1 n−k = a b k n k n+1−k a b = k

∗

∗∗

n

 −        n

k

k=1

1

n n+1 b + 0

ak bn+1−k + n

k=1

n n+1 a n

n k n+1−k a b k

∗

( )

∗∗

( )

Sumando ( ) y ( ), y utilizando el primer resultado de esta indicaci´ on, obtendremos que n

(a+b) k=0

n k n k k a b − =

 

n+1

=

n

n n+1 n + 1 k n+1 k n n+1 0 b +k=1 k a b − + n a

      k=0

n + 1 k n+1−k a b . k



406 23)


a) E n la función Cobb-Douglas f ( x, y ) = x 2 y 3 , evalúe f ( 0, 0 ), f ( 1, 2 ), f ( 0, 2 ). 1

2

1

b) En la función CES f ( x, y ) = 3 13 x 2 + 23 y 2 f ( 2, 3 ), f ( 4, 1 ).



c) En la función de demanda x( p, m ) = 2 +



, eval´ ue f ( 0, 0 ),

4 + 3m, evalúe p

x( 4, 3 ), x( 2, 5 ), x( 7, 1 ). d) E n la función de consumo C ( y ) = 100 + C (100) , C (220) , C (645).

4 y, evalúe 5

24) Considere las siguientes funciones de producción: a) f ( x, y ) = [ m´ın ax, by ]2 1 2

{

b) f ( x, y ) = ( x + y c) f ( x, y ) = a x +

1 2

)2

}

√x y + by

a, b > 0

a,b > 0

Determine si estas funciones son homog´ eneas y, si lo son, de qu´ e grado. Además, decida, si es posible, el tipo de rendimientos que tiene cada una. 25) ¿Será cierta o falsa la siguiente afirmación?: “Toda función de

producci´ on tiene rendimientos decrecientes a escala, rendimientos constantes a escala, o rendimientos crecientes a escala”. Explique. 26) ¿Será cierta o falsa la siguiente afirmaci´ on?: “Toda función con rendimientos constantes a escala es lineal” . Explique. 30) Halle la función inversa, si existe, de cada una de las funciones de demanda e ingreso de la sección “contexto econ´ omico” de esta lecci´ on, e interprete económicamente cada una de ellas. 31) ( Funci´ on de costos de electricidad ). La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $20 por unidad para las primeras 50 unidades, y a $5 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la función C (x) que da el costo de usar x unidades de electricidad, y dibuje C (x) lo mejor que pueda.


407

32) ( Funci´ on de costo del az´ ucar ). El azúcar tiene un costo de $30 por libra para cantidades hasta de 70 libras, y de $20 por libra en el caso de cantidades por encima de 70 libras. Si C (x) denota el costo de x libras de azúcar, exprese C (x) por medio de expresiones algebraicas convenientes, y dibuje C (x) lo mejor que pueda. 33) ( Contaminaci´ on atmosf´ erion atmosférica). El´ındice de contaminaci´ ca C (t) en cierta ciudad var´ıa durante el d´ıa as´ı:

C (t) =

  

2 + 4t si 0 6 + 2t si 2 14 si4 26 t si 12

−

≤t<2 ≤t<4 ≤ t < 12 ≤ t < 24

donde t es el tiempo, con t = 0 siendo las 0:00 a.m. y T = 24 las 12:00 p.m. Dibuje la gráfica de C (t). ¿Cuál es el nivel de contaminación a las 2:00 p.m.?

408


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420


Respuestas Lecci´ on 1: Sobre la geometr´ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griega Ejercicios complementarios 4.a) a =

√41

5.a) 96 7.

180◦ (n n

4.b) b =

√5

√

4.c) a = 20 2 4.d) a = 25

5.c) 35

− 2)

13. Puesto que el área del c´ırculo, πr 2 , es a un ´ angulo barrido de 2 π radianes como el área del sector circular, A s , es a un ángulo barrido de θ radianes, entonces basta resolver, para As , la proporción πr 2 As = . 2π θ 14. El área lateral del cono es πr 2 + πrg donde r es el radio de la base, y g es la generatriz del cono, es decir, el lado que al girarse genera el cono (note que g = ( 2r )2 + h2 donde h es la altura del cono). Por su parte, el área lateral del cilindro es 2 πrh + 2πr 2 donde r es el radio de la base y h es la altura del cilindro. Finalmente, el



a´rea lateral de un cubo es 6 a2 donde a es su arista (que es el lado del cuadrado que forma cada cara del cubo). 16. Según el ejercicio 10 de esta secci´√ on, el área de la base es Luego el volumen del prisma es 43 a2 h. 421

√3 4

a2 .

422

Matem´ aticas B´ asicas para Economistas 0: Fundamentos

17. 125 unidades cúbicas. 18. 125 π/6 unidades cúbicas. 20. El volumen de la esfera es 43 πr 3 con r = 2l donde r es el radio de la esfera y l es la arista de la caja c´ ubica. Sabiendo que el volumen de la caja es l3 = 125 unidades cúbicas, entonces l = 5 unidades lineales y, por consiguiente, el volumen de la esfera es 4 3 3 π(2.5) = 65.45 unidades cúbicas. 21.a) 218 = 2 109 y 1540 = 2 2 5 7 11

·

21.b) mdc(218, 1540) = 2

· · ·

21.c)

mmc(218, 1540) = 2 2 5 7 11 109

··· ·

21.d)i) El produ cto de dos números pares es par: En efecto, basta tomar dos números pares de la forma m1 = 2k1 y m2 = 2k2 donde k1 y k2 son dos números naturales; entonces es inmediato ver que m1 m2 = 2(2k1 k2 ) tiene la forma de un número par. 21.d)ii) El produc to de dos números impares es impar: En efecto, basta tomar dos números impares de la forma m1 = 2k1 + 1 y m2 = 2k2 + 1 donde k1 y k2 son dos números naturales; entonces se ve inmediatamente que m 1 m2 = 2(2k1 k2 + k1 + k2 ) + 1 tiene la for ma de un número impar. 21.d)iii) El product o de un número par con uno impar es, de nuevo, un número impar: En efecto, basta tomar dos n´ umeros de la forma m1 = 2k1 y m 2 = 2k2 +1 donde k1 y k2 son dos números naturales; entonces es inmediato ver que m 1 m2 = 2(2k1 k2 +k1 ) tiene la forma de un número par. 1 22 23. 2 .4444... = 2 + 0 .4444... = 2 + 4(0 .1111...) = 2 + 4( ) = 9 9 4 3 24.a) Aqu´ ı, cos α = , cos β = y, por tanto, 5 13

√

sen(α + β ) = sen α cos β + sen β cos α = 25.a)ii) sen(

π 2

17 5 13

√

± α) = sen π2 cos(±α) + cos π2 sen(±α) = cos α

423

Respuestas

25.a)i) cos(

π 2

± α) = cos π2 cos(±α) − sen π2 sen(±α) = ∓ sen α

25. b) sen(2 α) = sen(α + α) = sen α cos α + sen α cos α = 2 sen α cos α 25.f) tan(2α) = tan( α + α) = 25.g)

tan α + tan α 2tan α = 1 (tan α)2 1 (tan α)2

−

−

sen(3α) = sen(2α + α) = sen(2α)cos α + sen α cos(2α) = 2 sen α cos2 α + sen α(2cos 2 α = 4 cos 2 α sen α

− sen α

= 3 cos 2 α sen α + (cos2 α = 3 cos 2 α sen α

− sen3 α

− 1)

− 1)sen α

25.i) Se obtiene de sumar, t´ ermino a t´ ermino, las dos igualdades siguientes: α+β α β sen(α) =sen( + ) 2 2 α+β α β α β α+β =sen( 2 )cos( 2 ) + sen( 2 )cos( 2 )

−

−

−

− −

α+β α β ) 2 2 α+β α β =sen( )cos( ) 2 2

sen(β ) =sen(

− − sen( α − β )cos( α + β ) 2 2

25.j) Esta identidad trigonométrica se obtiene restando las dos primeras igualdades en el ejercicio 25 .i) anterior. 25.k) De forma similar, se obtiene de sumar, término a t´ ermino, las dos igualdades siguientes:

−

α+β α β + ) 2 2 α+β α β =cos( )cos( ) 2 2

cos(α) =cos(

− − sen( α − β )sen( α + β ) 2 2

− −

α+β α β ) 2 2 α+β α β α β α+β =cos( )cos( ) + sen( )sen( ) 2 2 2 2

cos(β ) =cos(

−

−

424


25.o) Esta identidad trigonom´ etrica es inmediata de la división de las dos identidades obtenidas en 25 .i) y 25 .j). 26.a) Haga α + β = 35 ◦ , α β = 25◦ , y utilice el ejercicio 25.i). 2 2

−

26.c) Haga

−

α+β α β = 70 ◦ , = 50◦ , y utilice el ejercicio 25.k). 2 2

26.e) Haga α = 105◦ , β = √ 15◦ , y utilice el ejercicio √ 25.i). Necesitará re◦ cordar que sen 60 = 23 y que cos 45 ◦ = 22 . 27.a)

− −

sen(α + β ) + sen(α β ) = cos(α + β ) + cos(α β ) sen α cos β + sen β cos α + sen α cos β sen β cos α = cos α cos β sen α sen β + cos α cos β + sen β sen α 2sen α cos β = = tan α 2cos α cos β

−

−

28.a) sen2 α sen α = 0 si, y s´ olo si, sen α = 0 ó sen α = 1. Luego π α = 0, , π, 2π. 2

−

28.c) 2sen α cos α = 1 si, y sólo si, sen 2α = 1. Luego α =

π . 4

29.a) b = 50.32, c = 33.25, β = 118 ◦ 30′ . 29.a) a = 125.38, α = 54◦ 50′ , β = 65◦ .

√

30. 2 + 9 3 metros. 32. La altura del edificio es 5 metros. α 2π A = C donde C es la 2πA circunferencia máxima de la Tierra; por lo tanto, C = , y α 1 Eratóstenes pudo calcular que A = 5, 000 estadios y α = 50 (2π) = 0.1256 radianes. Por lo tanto, C = 250, 000 estadios.

33. En la figura del ejercicio se tiene que

425

Respuestas

Lecci´ on 2: El álgebra de los siglos XVI y XVII Ejercicios 1.

− 144 7 ac(b − 1) 2.a) 1.a)

1.c)

− 163

1.e) 2.c) a(cd + bd

bc + e

2.e)

4 3

47 − 144 a

2.f)

30 7

− bc)

− 15b 34

6. A = 4.11, B = 1.23, C = 1.64

Ejercicios 2. 1.a) a12 b4 c18

1.b) 8 a2 x16 y 34

14 56 49

1.d) x y z 1 2.a) 3 2 2

·

2.k)

·

z4 x2

1

1

3

2.d) 10 5

2.i) 2 4 x 2 y 4 z 4

a2

·

mn n2 mn

1.f) a b c 1 1 2.o) 2 6 3 3

1

5

2.m) a 6n

5

2.b) 14 3 2

1 3

1

2.q) 3 12

2.r) a 2n

Ejercicios 3.

− b) √ √ 1.e) ( x − 2)(x + 2)(x + 3)

1.a) a(c + d)(a

2.a) 3 ax(2ax

− 5y)(2ax + 5y)

1.c) x(x + 1)(x2 + 1) 1.f) (( x + 1)(x2 + x + 1) 2.c) 6( x

− √16 )(x + √16 )(6x2 + 1)

− y)(x2 + xy + y3)(x3 + y3) 2.i) ( x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) 2.j) ( x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

2.e) ( x

426


2.m) ( x + 1)(x+ 2)

2.n) ( x

− 5)(x+ 6)

4.a) 9 x2 + 12xy + 4y 2 4.e) a6 + 3a5 x

2.q) ( ax + b)(bx

4.c) a8

4a6 b + 6a4 b2

−

− 5a3 x3 + 3ax5 − x6

− c)

4a2 b3 + b4

−

Ejercicios 4. 1

3

a2 b5 1.a) ab 1.d)

1.c)

2x + 2x2 2y

b

− √b2 − a2 a2

3

− 2y2

1.g)

x4

−x

1 2

1

+ x4 x 1

−

−1

Ejercicios complementarios 3.a) x

−3

4.a) ( b

a)(b

−

4.d) 12 a7 b3 c

c)(a

−

c)

6.d)

6.e)

1

(a

− y)

5.e) 4 x25 y 44 b3

a−b+c − b)(a − c)(b − c)

5

1

7.f) x− 10

7.d) b 4 1

7.i) y 2 /x 2

9.b) ( x

4.f) xy(x

4a3 b2 c4

−

− b)(b − c)(a − c)

7.b) a− 12

9.a) x5

6abc + 5a2 c2

−

5.d) a12 b4 c18

a a2 + b

1

3.e) 2 4.b)

−

5.a) 32 a10 x15 y 35 6.a) ( a

−x

3.d)

7.l) 2

1 = (x

·5

1 2

7.o) 30

1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

−− y)(x + −y)(x2 + y2)

1

7.r) a 6

427

Respuestas

− cd)(ac − bd)

9.g) ( ab

√7+1

9.j) ( 3

√7+1

x)( 3

2

2

9.h)( a

− b)2(a2 − ab + b2)

+ x)

− 9.k) (( a − b)x + (a + b)y)((a + b)x + (a − b)y) 9.n) ( xn

− 6)(xn + 3) 9.p) yz(y − z)+zx(z − x)+xy(x − y) = zy 2 − zx 2 − yz 2 +xz 2 +yx2 − xy 2 = z(y − x)(y + x) − z 2 (y − x) − xy(y − x) = (y − x)(z(y + x) − z 2 − xy) = (y − x)(z − x)(y − z ). [Esta es de aquella clase de expresiones algebraicas en que sólo una heroica convicción de que es factorizable nos lleva a lograrlo.]

√b3 − a3 3

10.a)

10.b)

b

√

1 10.d) ax2 b 11.a) x =

√aa2+−bb2

− 2abx + b2

−1/2

11.c) a(a b) 3a + b

11.g) x = 0, x = c/b

11.e) x =

−

−9/2

11.i) x = 9

13. Hora y media: En efec to, Jorge respond e 13 del parcial en 1 hora; y Norman contesta N1 del parcial en una hora (aqu´ı N es el tiempo que necesitar´ıa Norman para contestar el examen). Puesto que juntos lo pueden responder en una hora, entonces 13 + N1 =1. De all´ı que N = 32 . (Note aqu´ ı c´ omo es fundamental la hipótesis de que el trabajo en el examen es directamente proporcional al tiempo, en forma lineal. Si esta hipótesis no se tuviera, el ejercicio no podr´ıa plantearse tan simplemente.) 15. Cada una de las 50 personas r ecibió

1 50

de la suma inicial A.

16. Ana recibe un salario mensu al de $1 , 500, 000. 17. La madre recibe 300 millones, la hija recibe 200 millone s, y el hijo 150 millones. 19. $3 , 300 la unidad.

428


20. $1 , 700, 000 4

2

2

4

21.a) x2 + 3x 3 y − 3 + 3x 3 y − 3 + y −2 22. 14 .4375 x6 23. 15 , 120 24. No tiene término constante.

Lecci´ on 3: La geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat Ejercicios 1. 1.a) (3 , 1) está en el primer cuadrante. 1.c) ( 4, 2) está en el tercer cuadrante.

− − 1.e) (0 , −1) está sobre el eje Y negativo; podr´ıa decirse que está tanto en el tercero como en el cuarto cuadrante.

−

1.g) (1 , 4) está en el cuarto cuadrante.

Ejercicios 2. 1.a) Utilice algún software apropiado como Derive o Matlab. 2.a) 4 y + x +7=0

− 35 4.c) m = − 78

4.a) m =

2.d)

x= 1 4.b) m = 1 4.d) m = 0

8. Son dos re ctas y una de ell as es 3 y

− 2x = 4.

429

Respuestas

Ejercicios 3. 4)2 + y 2 =25

1.a) ( x

1.c) (

−

3)2 + y 2 = 9

x

−

3.a)i) Longitud semieje mayor es 5; longitud de semie je menor es 3; el foco está en x = 4. 3.a)iii) Longitud semieje mayor es 3; longitud de semieje menor es foco está en x = 6.

√

3.b)i) La elipse es

√3; el

x2 y 2 + = 1. 25 9

4. Por la definición de la elipse, se debe tener que 93 106 +96 106 = 2a. As´ ı que a = 94.5 10 6 millas. Y como a c es la distancia más corta entre la Tierra y el Sol, entonces c = a (93 106 ) = (94.5 93) 106 = 1.5 106 millas. Por lo tanto, la excentricidad c 1.5 es muy pequeña: = = 0.0158; y esto indica que la ´ orbita a 94.5 de la Tierra alrededor del Sol es, aproximadamente, circular.

− ×

5.a) y 2 = 4x 6.a) 16 x2

× −

× ×

5.c) y 2 =

−12x

×

−

×

5.d) x2 = 8y

− 9y2 = 144

7.a) Hipérbola

7.c) Hipérbola

7.e) Elipse

Ejercicios 4. 1. Utilice algún software apropiado como Derive o Matlab. 2. Utilice algún software apropiado como Derive o Matlab. 3. Utilice algún software apropiado como Derive o Matlab.

Ejercicios 5.

−

1.a)i) (6, 3)

1.a)ii) (

−3/2,2)

1.a)iii) (

−3, −1)

430


−

1.a)iv) (3, 1)

−3, 1)

1.a)v) (

1.a)vi) (9 , 2)

√29;

2. Las longitudes son: a) 1; b)

c)

√37;

d) 2

√5.

3. 24 unidades cuadradas.

Ejercicios 6. 1.a) La ecuación cartesiana es ( x + 1)2 + y 2 = 1 y, por lo tanto, el centro es ( 1, 0) y el radio 1. La ecuaci´ on polar resulta de hacer x = r cos θ y y = r sen θ en la ecuación cartesiana, lo que conduce a la ecuación r = 2cos θ si r = 0.

−

−

x2

 + (y − 5)2 = 25 y, por consiguiente, el

1.c) La ecuación cartesiana centro es (0, 5) y el radio 5. De manera similar al ejercicio anterior, la ecuación polar resulta de hacer x = r cos θ y y = r sen θ en la ecuaci´ on cartesiana, lo que conduce a la ecuación r = 10sen θ si r = 0.



6 2.a) r = 3 + 2 cos θ 3.a) Escribamos primero la ecuación en la forma canónica como r = 10/3 . De all´ı podemos ver que e = 23 (elipse) y p = 5; 1 (2/3) sen θ π 3π luego la directriz es y = 5, y los v´ ertices son (10, ) y (2 , ). 2 2

−

−

Ejercicios 7. 1.a) 3 x + 2y =16 1.c)

1.b)

x2 y 2 + =1 9 16

−y= 1 1.d) y = 2x2 − 1 x

Ejercicios 8. 1.a) 1 ,

π 2

1.b)

√2,

π 4

1.c) 1

,

3π 2

431

Respuestas

1.d)

√7, 1

2.a)

− 4.b)

0.577 rad.

5

+

13

5

1.g)

i

√34,

2.b)

13

± 4√6

0.54 rad.

1

i

2

2

−

1.i)

√65,

5.2332 rad.

i

2

4.c) Puesto que x = si, a < 25.

10

± √100 − 4a, entonces 100 − 4a > 0 si, y sólo 2

5.b) p1 (x)p2 (x) = 21 x5

− 20x4 + 7x3 + 33x2 − 10x + 5 6.a)iii) El cociente es 53x3 − 100x2 +149x − 399 y el residuo es 647 x − 395. 7.a) ( x − a)(x + b)(x − a − b) 7.c) x(x − 1)(x + 1) 9.a) Las tres ra´ıces son x =

4, x = 3 y x = 2.

−

9.c) Las ra´ıces son x = 3 con multiplicidad 3, y x = dad 2.

−1 con multiplici-

−i, x = 32 , x = 12 , y x = −2. √ 1 ± 15i 9.g) Las ra´ıces son x = −7, x = 6, x = . 2 10.a) x = 1, x = −1, x = i, x = −i √ 1 ± 3i −1 ± √3i ), 10.c) x = 3 , x = −3 , x = 3 ( ), x = 3 ( 9.e) Las cinco ra´ıces son x = i, x =

1 6

11.c) Haga z =

1 6



1 6

2

1 6

2

x

1

on para z. − x y resuelva la correspondiente9 ecuaci´ 4

Luego resuelva para x para encontrar que x =

13

Ejercicios 9. 1.a) Utilice Derive, Matlab, o algún software similar.

y

13 .

432


Ejercicios complementarios 1.a) r cos= 4θ 1.e) r 2 =

r cos2 θ = sen θ si r = 0

1.d)

−2a cos(2θ)





si r = 0

−

−

− √

3.a) ( 2, 0); (0, 3); ( 1, 1); ( 2, 2 3); ( 3.b) xy=3

− y=12

3.c)

x

5.c)

r = 12 cos(θ

−√3, 1)

3.e) 3

x2 + 4y 2 + 6x = 9

4.b) θ = 30◦ 5.a) = r4 6.a) Parábola

6.b) Elipse

− 45◦ ) 6.c) Hipérbola

7. Despu´ es de construir una tabla de valores, utilice un software adecuado como Derive o Matlab. 12.a) El cociente es 5x3 20x2 + 80x

−

− 314, y el residuo es 1258. 12.c) El cociente es 3x2 + x − 3, y el residuo es −3x − 7. 12.e) El cociente es x 4 + 5x3 + 17x2 + 41x + 77, y el residu o es 57 x

− 630. 1 278 12.g) El cociente es 15 x3 + 25 , y el residuo es − 35 x3 + 8x2 + 176 25 x − 25 . 12.i) El cociente es x4 − x3 − 6x2 + 6x − 6, y el residuo es 4 x4 − 3x3 − 11x2 + 18x − 20. √8 i)(√14 i) = −4√7 13.a) 7 i 13.b) ( √ 13.c) ( 2 i)2 = −2 13.g) 12 + 16 i 13.i. Multiplicando el numerador y el denominador del n´ umero complejo por el conjugado del denominad or, obtenemos 5 + i. Corrobore su respuesta notando que (5 + i)(1 + i) = 4 + 6 i. 14.a) x = 5 y x =

−7

433

Respuestas

2x 1 y resuelva para z la ecuación z + = 2. Esto lo x+2 z lleva a que z = 1 y, por lo tanto, x = 2 es la solución de la ecuación

14.e) Haga z =

srcinal. 14.h) x = a(3c

± 2b)

15. Los números son 22 y 23. 16.b) Las ra´ıces son x = 12 (1

± √3i) y x = 12 (−1 ± √3i).

1

1

1 6

17a) Las ra´ıces son x = 5 3 y x = 12 ( 5 3

− ± (675) ). 17.d) Las ra´ıces son x = 1 (−1 ± i) y x = 1 (1 ± i). 2 2 1 4

1 4

3

18.a) Haga y = x 4 y resuelva la ecuación resultante 3 y 2 4y 7 = 0, 3 para obtener que y = 1, 73 . Por lo tanto, x 4 = 73 , lo que nos lleva 4

− −

−

a que x = ( 73 ) 3 .

√ −

18.d) Un poco de manipulación algebraica lo puede llevar a 2 x 1 x = 1, y, de all´ı, dos procesos (uno después de otro) de elevaci´ on al cuadrado lo conducir´ıan a la ecuaci´ on 25x2 16x = 0, cuyas ra´ıces son x = 0 y x = 16 . Pero x = 0 no es solución de la 25 ecuaci´ on srcinal; as´ı que la única solución es x = 16 25 .

√ −

20.a) x4

− 2x2 +25=0

−

20.d)

x4

− 4x2 − 146 = 0

22.a) 2 x3

− 3x2 − x + 1 = 0 24. −2 ≤ p ≤ 2

25.a) Si r 1 y r 2 son las ra´ıces desconocidas, entonces r1 + r2 + 8 = 16 y 7r1 r2 = 105; de donde r1 + r2 = 8 y r1 r2 = 15, y esto nos lleva a que r 1 = 5 y r 2 = 3.

434


Lecci´ on 4: Sobre los fundamentos para las matem´ aticas contempor´ aneas Ejercicios 1. 1.a) La negación de la proposición es “Todas las personas del grupo tienen la misma camisa”. 1.b) La negación de la proposición es “Hay una persona que tiene camisa blanca y zapatos que no son blancos”. 2.a) Se deduc e que P y Q son ciertas, y que R no es cierta. En su lugar, si cambiáramos iii) por la proposición “Q es falsa” entonces deducir´ ıamos que P y Q son falsas, pero no hay criterio para decidir sobre la verdad o falsedad de R. 6.j) (P

⇒ Q ) ⇐⇒ ((P ∧ Q) ⇐⇒ P) es una tautolog´ıa: P V V F F

⇒ V F V V

Q V F V F

⇐⇒ V V V V

P

∧ Q ⇐⇒

V F F F

V F V V

P V V F F

Ejercicios 2. 9.a) V

9.b) F

9.c) V

9.d) V

P (A) = {∅, {1}} 11.c) P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

11.a)

Ejercicios 3. 4.a) 63

4.d)

5, 396 3, 600

435

Respuestas

Ejercicios 4. 2.a) [

7 4,

)

−√29 , 3+ √29 ) 2.e) [ 2 2

3

2.c) [

−−∞∞ , ∞) = R 2.k) R − {2} 2.g) (

2.i) ( 2.l) (

17 5,

)

∞

−∞, − 13 ) ∪ (0, ∞) −∞, −1] ∪ (0, 1]

Ejercicios 5.

{−2, −1, 0, 1, 2} 1.b) ∅ 2.a) {0} 2.b) [ −3/2, 1/2] 2.c) (1 /2, ∞) 3.a) (5 , ∞) 3.b)( −∞, −8] 3.d) {8/3, 2} 4.a) ( −∞, 1] ∪ [2, ∞ ) 4.f) {−1/2, 3/2} 1.a)

R

5.a)

5.b) (

∅

5.e) R

−∞, 1)

5.c) (1 ,

∞)

5.d)

− {0}

− {1}

Ejercicios 6. 2.a) Es relación de equivalencia. 2.b) Es relación de equivalencia. 2.c) No es de equivalencia. 3.a.i)

ℜ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

3.a.iii) ℘ =

2.d) Es relación de equivalencia. 3.a.ii)

∅

3.b.i) D = 1, 2, 3 , R = 1, 2, 3

ℜ

{{ } } 3.b.iii) D℘ = ∅, R℘ = ∅

ℜ

{{ } }

3.b.ii) Dℑ = 1, 2 , , Rℑ = 1, 4 5.a) Df = D g = R

ℑ = {(1, 1), (2, 4)}

436


5.b) f 2(x) = (2 x2

− x)2; g2 (x) = sen 2(x); Df = Dg = R 5.c) ( f /g)(x) = (2 x2 − x)2 / sen x; (1/g)(x) = 1/ sen(x); Df /g = D1/g = {0, ±π, ±2 ,...,±n ,...} 9. En general, f ◦g =  g ◦f , y aqu´ı se confirma la regla pues (f ◦g)(x) = a0 + a1 b0 + a1 b1 x pero ( g ◦ f )(x) = b 0 + a0 b1 + a1 b1 x. Sin embargo, 2

2

ambas funciones s´ı son rectas.

Ejercicios 7. 1.a) y = α

− 1 − x2

1.d) y =

−5 +



25

−

16(3 8x

− α)x

Ejercicios complementarios 3.a) 40, 80

3.c) 20, , 30, 50, 70

{ } { } 4.a) {10, 20, 30, 50, 60, 70, 90, 100} 4.d) ∅ 4.g) {10, 20, 50, 70, 90, 100} 4.h) {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 100} 5.a) F

5.b) V

{

5.c) V

}

5.d) V

{ } 7.a) Df = [2, ∞) 7.b) f (x) =| x + 2 |, Df = R 7.c) Df = R − {1, −2} 7.d) Df = [0, ∞) = R+ √ 1 8.a) ( f + g)(x) = f (x) + g(x) = + x; D =R 6.a) A = 5, 7, 9, 11

6.c) C = 1, 3

3

x2 + 1

√x 3

·

8.c) ( f g)(x) = f (x)g(x) =

x2

+1

,

Df ·g = R

f +g

437

Respuestas

9. f (x) = (g

◦ h)(x) donde

bién f (x) = (g

g(x) =

√x1+ 1 ,

h)(x) donde g(x) =

1

h(x) = x2 . Pero tam-

, h(x) =

√x2 + 1. (¿Por

x ı este ejercicio?) qu´ e cree el lector que hemos asignado aqu´

◦

12. a) Las curvas de nivel α satisfacen la ecuación y = x 2 12. d) Las curvas de nivel α satisfacen la ecuación y =

−  ± − α.

1 α

x2 .

∈ ∈ ∈ ∈ 18.f) Sea x ∈ f −1 (N1 ∪ N2 ); entonces f (x) ∈ (N1 ∪ N2 ), y, as´ı, f (x) ∈ N 1 o f (x) ∈ N 2 ; lo que nos lleva a que x ∈ f −1 (N1 ) o x ∈ f −1 (N2 ), y por tanto x ∈ (f −1 (N1 ) ∪ f −1 (N2 )). De otro lado, si x ∈ (f −1 (N1 ) ∪ f −1 (N2 )) entonces x ∈ f −1(N1 ) o x ∈ f −1 (N2 ) y, por esto, f (x) ∈ N1 o f (x) ∈ N 2 , por lo que f (x) ∈ (N1 ∪ N2 ), que nos lleva a que −1

18.a) Sea f (x) f (M1 ) con x M 1 ; entonces, como por hipótesis también x M 2 , se tendrá que f (x) f (M2 ).

x

f

∈

(N1

N2 ).

∪

23.a) f (0, 0) = 0; f (1, 2) = 8; f (0, 2) = 0 23.c) x(4, 3) = 12;

x(2, 5) = 19;

x(7, 1) = 39 /7

24. a) Homog´ enea de grado 2, y, por tanto, tiene rendimientos crecientes a escala. 24. b) Homog´ enea de grado 1, y, por tanto, con rendimientos constantes a escala. 24. c) Homog´ enea de grado 1, y, as´ı, con rendimientos constantes a escala. 1

1

≥

26. No: f (x, y) = x 2 y 2 para x, y 0 tiene rendimientos constantes a escala y, sin embargo, no es lineal.

≤ x ≤ 50, la función de costos de electricidad es C (x) = 20x, pero para x ≥ 51 la función de costos es C (x) = 5x.

30. Para 0

438


Índice alfab´ etico ´ Algebra de funciones, 323 ´ Angulo agudo, 6 de un segmento, 32 obtuso, 6 plano, 5 rectil´ıneo, 6 recto, 6 sólido, 45 ´ Area del paralelogramo, 23 álgebra, 89 Elementos de Aritm´ etica, 42 Abel, Niels Heinrich, 194 Al-Khwarizmi, Mahommed, 89 Apolonio, 55, 136, 137, 140 Arist´ oteles, 43, 228, 243 Aritm´ etica, 2, 56 Aritm´ etica griega, 3 Arqu´ımedes, 55, 56, 136, 137 At-Tusi, Nasir, 58 Axioma arquimediano, 36, 278 de Cantor, 270 de completez, 272 de la lógica, 232de Euclides, 9 fundamentales Babilonios, 2, 60 Beccaria, Cesare, 345 Bernays, Paul, 245

Bernoulli, Jacob, 163 Bolzano, Bernard, 227 Boole, George, 229 Borel, Emile, 242 Bourbaki, Nicolás, 245 Brahe, Ticho, 143 Cálculo integral, 52 C´ırculo, 7, 137 área, 50 segmento, 32 Cantor, George, 241, 262 Cardano, Jerónimo, 111, 181, 190 Cardinales, 241, 347 Cardioide, 173 Cartograf´ıa del cielo, 66 Cauchy, Augustin Louis, 183, 227 Ceva, Giovanni, 345 Ciclo económico como una función oscilante, 381 Cicloide, 217 Cilindro, 47, 51, 213 Circunferencia, 7, 50 Civilizaci´ on babil´ onica, 55 egipcia, 55 Civilizaci´ on griega de Alejandr´ ıa, 54 Clairaut, Alexis C., 213, 214 Clase de equivalencia, 304 Clasificaci´ on de cónicas, 151 Concoide, 217 Conjunto, 246 acotado inferiormente, 280

439

440

Matem´ aticas B´ asicas para Economistas 0: Fundamentos acotado superiormente, 272 cardinalidad, 397 complemento, 254

Dem´ ocrito, 3 Desargues, 219 Descartes, René, 90, 98, 101, 112, 124,

contable, de partes, 397 258 intersecci´ on, 248 uni´ on, 250 vac´ ıo, 247 contable, 398 Cono, 46 de dos hojas, 212 base, 47 eje, 47 Coordenadas paramétricas, 176 polares, 163 rectangulares, 184 Copérnico, Nicol´ as, 57, 142 Correspondencia uno-a-uno, 241 Cosecante, 59, 60, 65

138,triangular, 228 Desigualdad 19 Di´ ametro, 7 Diferencia de conjuntos, 252 de potencias en general, 105 sim´ etrica, 260 Diofanto, 56, 57 Distancia a la Luna, 66 Distancia entre dos puntos, 128 Divisi´ on de polinomios, 196 Dodecaedro, 48, 53

Coseno, 59, 60, 64 Cota inferior, 280 Cotangente, 59, 60, 64 Cournot, Antoine Augustin, 345 Cremona, Gerardo, 64 Cuadrado, 8 perfecto, 103 Cuadril´ ateros, 7 Cuantificadores, 234 Cubo, 47, 53 Curva coseno, 155 de nivel, 340 de Phillips, 381 kappa, 217 seno, 154 tangente, 156

algebraica c´ ubica, 189de segundo grado, 188 cu´ artica, 191 de la circunferencia, 138 de la elipse, 140 de la hipérbola, 148 de la parábola, 144 de primer grado, 129, 130 de segundo grado, 136 paramétrica de la recta, 177 polar de curvas clásicas, 173 de una cónica, 170 de una circunferencia, 167 de una l´ınea recta, 165 Edad del oscurantismo, 76 Egipcios, 2

trigonométrica, 154 D’Alembert, Jean L. R., 180 De Moivre, Abraham, 186 Dedekind, Richard, 242, 262, 270 Del Ferro, Scipio, 189

Ecuaci´ on algebraica de tercer grado, 189 algebraica de primer grado, 188

Eje polar, 164 Elipse, 137, 140, 151, 222 Elipsoide, 211 Epicicloide, 218, 219 Eratóstenes, 55, 87 Escalar, 159

441

Respuestas Esfera, 43, 46, 51, 210 centro, 46 di´ ametro, 46

Fermat, Pierre, 112, 121, 124, 138 Ferrari, Lodovico, 191 Figuras

eje,hiperb´ 46 olica, 217 Espiral Euclides, 3, 5, 28, 31, 34, 35, 37–40, 42, 43, 49, 52, 227, 261 Elementos de, 3 Libro I de, 5 problemas, 15 Libro II de, 28 Libro III de, 31 Libro IV de, 34 Libro IX de, 40 Libro V de, 35 Libro VI de, 37 Libro VII de, 38 Libro VIII de, 39 Libro X de, 43 Libro XI de, 43

Fórmula de Cardano, 191 de Herón de Alejandr´ ıa, 115 de reducción, 67 de suma de ángulos, 69

rectil´ ıneas, 7 rectil´ıneas semejantes, 37 sólidas iguales y semejantes, 45 sólidas semejantes, 45 Figuras platónicas, 52 Fincke, Thomas, 156 Forma punto-pendiente, 130 Fourier, Joseph, 241, 297 Fraenkel, Abraham, 245 Frege, Gottlob, 229 Funci´ on, 305 biyectiva, 313 c´ ubica, 317 c´ ubica general, 316 compuesta, 325 constante, 315 cosecante, 321 coseno, 321 cotangente, 321 cuadr´ atica, 316 decreciente, 334 hiperbólica, 318 id´ entica, 315 inversa, 325, 328 lineal, 316 lineal a trozos, 319 mayor entero contenido, 320 parab´ olica, 316 parte entera, 320 polinomial, 317 ra´ız cuadrada, 318 real, 308 secante, 321

para cualquier tri´ angulo, 71 trigonom´ etricas, 67 Factorizaci´ on, 102 Familia de conjuntos, 255 intersecci´ on, 256 uni´ on, 256

seno, 321 sobreyectiva, 310 tangente, 321 trigonom´ etrica inversa, 331 uno-a-uno, 311 valor absoluto, 319

Libro XII de, 49 Libro XIII de, 52 teor´ıa de n´ umeros pitagórica, 38 Eudoxio, 56, 136 Euler, Leonhard, 42, 58, 64, 101, 112, 182, 213, 219, 297 Exponentes enteros, 96 fraccionarios, 99 Extremo inferior, 281 Extremo superior, 273

442


creciente, 333 Funciones, 297 álgebra de, 323 CES ci´ como funciones de producon, 385

Hiparco, 55, 57, 66, 67, 142, 154, 219 Hiperboloide de dos hojas, 211 de una hoja, 211

Icosaedro, 48, 53 Cobb-Douglas, 382 con interacciones económicas, 388 Igualdad de funciones, 307 con rendimientos decrecientes, de relaciones, 300 constantes o crecientes a esentre conjuntos, 247 cala, 377 Imagen, 307 de beneficio, 388 Imperio romano, 76 de costo, 387 Inclusi´ on entre conjuntos, 247 de demanda, 379 Inducci´ on matemática, 392 de dos variables reales, 338 Intervalos, 283 de ingreso, 380 abiertos, 284 de producción, 382 cerrados, 284 de utilidad, 386 infinitos, 284 homogéneas, 375 semiabiertos, 284 insumo-producto de Leontief, 384 lineales como funciones de consumo, 378 G¨ odel, Kurt, 246, 259 Galilei, Galileo, 123, 147 Galois, Evariste, 113, 195 Gauss, Karl F., 10, 35, 181, 182 Gentzen, Gerhard, 232 Geometr´ıa, 112 Geometr´ ıa del espacio, 43 Geometr´ıa griega, 1 Grados, 60 Grassmann, Hermann, 262 Gunter, Edmund, 64, 156

Jevons, William S, 345 Kepler, Johannes, 57, 123, 142 Kuratowski, Kazimierz, 298

Hérigone, 154 Halmos, Paul, 231 Hamilton, William R., 158

L´ımite, 6 L´ınea, 5 L´ınea recta, 5 Lagrange, Joseph L., 121, 158, 297 Lebesgue, Henri, 242 Leibniz, Gottfried, 52, 92, 93, 227, 228 Lemniscata, 173 Leonardo de Pisa, 92 Ley de cosenos, 30, 72 de perspectiva, 214 de senos, 71

Her´ oán,rea 55,del 65,tri´ 115 angulo, 115 Hicks, John, 377 Hilbert, David, 54, 244 Hip´ erbola, 137, 151, 222 Hip´ erbolas en la radionavegaci´ on, 150

Leyesdel tercero excluido, 259 de DeMorgan, 255 fundamentales del álgebra de n´ umeros, 91 Leyes de Kepler, 142

443

Respuestas primera ley, 143 segunda ley, 143 tercera ley, 144

Newton, Isaac, 52, 98, 101, 227 Nociones comunes de Euclides, 10

Lima¸ con, 173 Nicolai, 10 Lobachevski,

Octaedro, 48,entre 53 conjuntos, 248 Operaciones

Método de exhausci´ on, 49, 52 Método de inducci´ on matemática, 392 Método de l´ımites, 136 Método inductivo, 76 Magnitudes conmesurables, 43 inconmesurables, 43 Marshall, Alfred, 345 Matem´ aticas en econom´ıa Alfred Marshall, 350 Augustin Cournot, 346 Gerard Debreu, 365 Leonid V. Kantorovich, 359 Tjalling C. Koopmans, 354

Pappus, 55 Par ordenado, 298 Par´ abola, 137, 151, 222 Paraboloide el´ ıptico, 212 hiperbólico, 212 Paradoja del barbero, 259 del mentiroso, 259 Paradoja de Rusell, 242 Paradoja del mentiroso, 243 Paralelogramo, 23 Parent, Antoine, 213 Pascal, Blaise, 106, 123

William S. Jevons, Léon Walras, 352 350 Medici´ on de la Tierra, 87 Mileto, Tales de, 3 Minuto, 60 Modelo de duopolio de Cournot, 390 Muir, James, 61 Multiplicaci´ on de polinomios, 196 Números complejos, 181, 182 enteros, 264 naturales, 262 racionales, 266 densidad de los , 282 reales, 261, 271 compuestos, 38

Peano, Charles, Giuseppe,229 230, 262 Peirce, Perpendicular, 6 Pirámide, 45, 50 Pit´ agoras, 3, 62, 72 teorema de, 26, 27, 38 Pitiscus, Bartholomaeus, 58, 154 Plano cartesiano, 126 complejo, 184 ortogonal, 44 paralelo, 45 Plano en el espacio, 210 Playfair, John, 54 Pol´ ıgonos, 7 Pol´ ıgonos regulares, 35 Polinomios, 195

conmensurables, perfectos, 39, 42 39 planos, 39 primos, 38, 40 sólidos, 39 Neper, John, 58, 92, 112

Poncelet, Jean Victor, 214 Pons asinorum, 15 Potenciaci´ on y radicación, 96 Preimagen, 307 Preorden parcial, 302 Prisma, 46

444


Producto cartesiano, 298 Productos especiales, 103 Progresión geométrica, 39, 42 Propiedades de la diferencia de conjuntos, 252 de la inclusión, 247 de la intersección, 249 de la unión, 250 del conjunto de partes, 258 del valor absoluto, 290 Proposición, 230 Ptolomeo, 55, 57, 58, 60, 66, 67, 142, 154 Punto, 5 Ra´ız de la unidad, 206 de un polinomio, 201 de una ecuación algebraica, 188 enésima, 280, 283 racional,o203 Racionalizaci´ n, 109 Radi´ an, 61 Ramsey, Frank P., 243 Recta ortogonal a un plano, 44 paralela, 9, 132 perpendicular, 132 tangente, 31 Reflexi´ on de la luz, 138 Regla del paralelogramo, 161 Regla y compás, 35 Relaci´ on, 297, 299 coeficientes-ra´ıces, 204 de orden, 302 completo, 302 parcial, 302 decompleto, preorden, 302 302 dominio de una, 299 gráfica de una, 300 recorrido de una, 300 antisimétrica, 302

completa, 302 equivalencia, 303 reflexiva, 301 sim´ etrica, 302 transitiva, 302 Relaciones entre la intersección y la unión de conjuntos, 252 trigonométricas, 67 Rendimientos a escala, 377 Representaci´ on polar del número complejo, 185 Resta de polinomios, 195 Robinson, Austin, 377 Rombo, 8 Romboide, 8 Rosa de cuatro hojas, 173 Rudolff, Cristoff, 101 Russell, Bertrand, 231, 243, 245, 259 Sóolidos lido, 44 S´ regulares, 53 S´ımbolo sumatoria ( ), 281 S´ımbolo /, 92 S´ımbolo , 92 S´ımbolo (+), 92 S´ımbolo ( ), 92 S´ımbolo (=), 92 S´ımbolo ( ), 92 S´ımbolos, 92 conectivos de la lógica, 231 S´ımbolos l´ ogicos, 228 Secante, 59, 60, 65 Secciones cónicas, 136 Sector de un c´ırculo, 32 Segundo, 60



·

− ×

Semic´ rculo, Seno, ı59, 60, 764 Serret, Jean P., 113 Sexagesimal, sistema, 60 Silla de montar, 211 Sistema

445

Respuestas LORAN, 151 Stevin, Simon, 98, 112 Stifel, Michael, 111

Theaetetus, 43 Thomson, James, 61 Tipos básicos de relaciones, 301

Sumade polinomios, 195 y diferencia de cuadrados, 104 Superficie, 5 plana, 5 Superficie de una esfera, 51 Superficies, 210

Trapecio, Tri´ angulo 8 semejante, 37 acut´ angulo, 8 equil´ atero, 8, 62 escaleno, 8 is´ osceles, 8 obtus´ angulo, 8 Pascal, 106 rect´ angulo, 8, 62 Tri´ angulos, 7 Trigonometr´ıa, 57 Trisectriz, 217 Tschirnhansen, 194

Término cosecante, 65 coseno, 64 cotangente, 64 secante, 65 seno, 64 tangente, 64 Tabla de valores trigonométricos, 63 Tabla de verdad, 232 para la negaci´ on, 232 para la conjunción, 232 para la disyunción, 233 para la equivalencia, 233 para la implicación, 233 Tablas de cuerdas, 58 Tangente, 59, 60, 64 Tartaglia, 189 f´ ormula de, 190 Tautolog´ıas, 234 Teor´ıa de conjuntos, 241 Teorema binomial, 106 binomial de Newton, 401 de Herón, 115 del residuo, 200

Valor absoluto, 289 Variable algebraica, 125 Vector norma, 159 Vectores, 158 álgebra de, 161 Viete, Fran¸cois, 58, 90, 111 Volumen de un cono, 51 Volumen de un cubo, 50 Volumen de un prisma, 50 Volumen de una esfera, 51 Volumen de una pirámide, 50 von Thünen, Johann Heinrich, 345 Wallis, John, 101, 112, 182 Weierstrass, Karl, 183, 227, 262 Whitehead, Alfred, 245 Wicksell, Knut, 377 Wicksteed, Philip H., 377

fundamental Zermelo, Ernest, 244 de De Moivre,del 186álgebra, 180 del factor, 200 fundamental de la aritm´ etica, 40 Teorema fundamental del álgebra, 205 Tetraedro, 53

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Matem´ aticas b´ asicas para economistas Sergio Monsalve (editor)

Volumen 0: Fundamentos

´ Volumen I: Algebra Lineal

Lec 1. Sobre la geometr´ ıa, aritm´ etica y trigonometr´ıa griega. Lec 2. El álgebra de los siglos XVI y XVII. Lec 3. La geometr´ ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat. Lec 4. Sobre los fundamentos para las matem´ aticas contemporáneas.

Lec 1. Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´ on por eliminación gaussiana. Lec 2. Matrices y determinantes. Lec 3. Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´ on por matriz inversa. Lec 4. Vectores. Lec 5. Bases y dimensión. Lec 6. Transformaciones lineales. Lec 7. Diagonalización en Rn . Lec 8. Conjuntos convexos.

Volumen II: C´ alculo

Volumen III: Optimizaci´ on y din´ amica

Lec 1. El método de l´ımites. Lec 2. La derivada. Lec 3. Elementos básicos de la teor´ıa de la optimización. Lec 4. La integral.

Lec 1. Funciones cóncavas, convexas, cuasic´ oncavas y cuasiconvexas. Lec 2. Optimización estática. Lec 3. Sistemas dinámicos. Lec 4. Optimización dinámica.

Matemática básica para economistas Fundamentos de Sergio Monsalve.pdf

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