Aula 36 – Cônicas 1-Elipse
2- Hipérbole
3- Parábola
Elipse 1) Elipse (definição)
2) Propriedades da Elipse
3) Equação reduzida
4) Resolução de exercícios
1) Elipse – definição. Ao seccionarmos com um plano uma curva denominada elipse.
12
a
a superfície de um cone, conforme figura, resulta em
Elipse é o conjunto dos pontos P de um plano de modo que a soma das distâncias de e PFPF é constante .Assim:
2PFPFdda+=
12
Elementos da elipse
B2 a
A1
F1
a
b
f
0
F2
f
b
B1 a
a 2a
A2
2b
12
e FF
• •
Focos são os pontos Vértices são os pontos
•
Eixo maior é o segmento
•
Eixo menor é o segmento
• •
. , A, e BAB
1212
AA
12
BB
12
.
e mede 2a e mede 2b.
12 e FF Distância Focal é a distância entre os focos e mede 2f. em que 0 < e < 1fea=
Excentricidade é a razão
.
2) Propriedades da elipse – relação fundamental
B2 a
b A1
0
F1
f
F2
B1 Se destacarmos o triângulo
0BF
22
,e aplicarmos Pitágoras:
B2 a
b
0
f
F2
Obtemos a relação fundamental:
222
b + fa=
A2
3) Equação reduzida da elipse. Temos que analisar quatro casos de elipse no plano cartesiano.
1º caso
Elipse centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das abscissas. A equação reduzida fica:
y B2
y + = 1xab
2222
P(x, y) x
A1
0
F1
F2
A2
B1
2º caso
Elipse centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das ordenadas.
y
A equação reduzida fica:
A2
y + = 1xba
2222
F2 P(x, y) B1
B2
x
0
F1 A1
Elipse centrada num ponto abscissas.
e com o eixo paralelo ao eixo das
A equação reduzida fica:
y
y0
(,)Oxy
´00
3º caso
()()220022y - y +
B2
A1
´
O
F1
F2
= 1xxab-
A2
B1 x0
0
x
(,)Oxy
´00
4º caso
Elipse centrada num ponto
e com o eixo paralelo ao eixo das
ordenadas.
A2
y
A equação reduzida fica:
()()220022y - y +
F2
y0
B2
´
B1
O
F1 A1 0
x0
x
= 1xxba-
4) Posições relativas da elipse. 4.1- Posição de um ponto em relação a uma elipse.
d
12
Uma elipse
e dd
de focos
12
e FF
separa o plano
a
, que a contém, em duas regiões
. Temos então que o conjunto dos pontos que formam 2d da elipse e
d
1
é denominado interior
é denominado exterior da elipse .Teremos então:
Um ponto P(x; y) do plano, em relação a uma elipse pode ser interno, externo ou pertencer à elipse. P interno à elipse
P dŒ
1
P externo à elipse
P dŒ
2
P pertence à elipse
P dŒ
4.2- Posição de uma reta em relação a uma elipse. : + by c = 0sax Uma reta do plano, em relação a uma exterior, tangente ou secante.
s é exterior à elipse
sd«=∅
s é tangente à elipse
{} Asd«=
elipse pode ser
s é secante à elipse
{} A,Bsd«=
5) Resolução de exercícios
1169xy+=
22
1) Dada a equação
, determinar:
a) a distância focal. Resolução:
1169xy+=
1xyab+=
22
2222
Comparando a equação , com a equação reduzida 2216 e b9a== 222abf=+ encontramos Lembrando da relação fundamental substituindo os valores obtemos: 221691697fff=+fi=-fi= 122FFdf= , e como
27FFd=
12
, ,e ,então:
b) a excentricidade. Resolução:
fea=
A excentricidade é obtida por
7 4e= .Então
2) Calcular a distância focal da elipse de equação
6424xy+=
22
.
Resolução: Dividindo-se a equação dada por 24, obtemos:
64241 , verificamos que a6 e b424242446xyxy+=fi+===
222222
Essa equação é do tipo com centro na origem e eixo maior sobre o eixo das 222abf=+ ordenadas.Lembrando da relação fundamental e substituindo os valores obtemos: 12 FF 2264642fff=+fi=-fi=
2 df=
e como
22FFd=
12
, então:
3) Determinar a equação reduzida da elipse da figura abaixo: Resolução:
Y
Como a elipse não esta centrada na origem ()() 220022utilizaremos 1xxyyab--+=a equação:
2 0
.Na figura observamos que o centro C(4,0), a = 4 e b = 2222 2. 40142xy--+= Então ficamos com: ()()
X
4
, logo:
()2241164xy-+=
4) Esboçar o gráfico da elipse em cada um dos casos seguintes:
()()22161169xy+-+= a) Resolução: Como o maior denominador está na fração de numerador que contém x, concluímos que o eixo maior é paralelo ao eixo das abscissas. Temos então: 2216493(1,6)aabbCÏ=fi=Ô=fi=ÌÔ-Ó
Y 9 O gráfico fica:
6 C
-5
-1 0
3
X
()2251436yx-+= b) Resolução: Como o maior denominador está na fração de numerador quem contém y, concluímos que o eixo maior é paralelo ao eixo das ordenadas. Temos então: 2236642(0,5)aabbCÏ=fi=Ô=fi=ÌÔÓ
11
Y
O gráfico fica:
5 C
-2
0
2
X
-1
149xy+£
22
5) Representar no plano cartesiano os pontos que satisfazem a inequação Resolução:
194xy+£
22
229 e b4a== Observando a inequação , encontramos .Portanto 3 e b2a== , então temos a seguinte representação gráfica para a inequação:
.
Hipérbole
1) Hipérbole (definição)
2) Propriedades da Elipse
3) Equação reduzida
4) Hipérbole Eqüilátera e Assíntotas
5) Resolução de exercícios
1) Hipérbole – definição. A intersecção de um plano a com a superfície de um cone pelo vértice, conforme figura, resulta em uma curva denominada hipérbole.
Hipérbole é o conjunto a diferença em 12 e PFPFdos pontos P de um plano de modo que 12FF módulo distâncias de é constante e menor que a distância .Assim: 12
2PFPFdda-=
Elementos da hipérbole
Y B1
P f
b F1
F2 A1
0 f
A2
a f
B2
X
12
e FF
• •
Focos são os pontos Vértices são os pontos
•
Eixo real é o segmento
. , AA
12
AA
12
•
e mede 2a 12BB Eixo imaginário é o segmento e mede 12 2b. e FF Distância Focal é a distância entre os focos e mede 2f. em que 0 < e < 1cea=
•
Excentricidade é a razão
•
.
Propriedades da hipérbole – relação fundamental
B1
P f
b
A1
Se destacarmos o triângulo
0
0BA
12
a
A2
,e aplicarmos Pitágoras:
B1 f
b
0
a
obtemos a relação fundamental.
222
f+ba=
A2
2) Equação reduzida da hipérbole. Temos que analisar quatro casos de hipérbole no plano cartesiano.
1º caso
Hipérbole centrada na origem e eixo real sobre o eixo das abscissas.
Y
A equação reduzida fica:
P(x,y)
y - = 1xab
2222
b
f F2
F1 A1
a
A2
X
Hipérbole centrada na origem e eixo maior sobre o eixo das ordenadas.
F2 A equação reduzida fica:
A2
2222
f
a 0
2º caso
0
b
F1
- = 1yxab
(,)Oxy
´00
3º caso
Hipérbole centrada num ponto das abscissas.
e com o eixo paralelo ao eixo
Y
f
b y0
F1
A1
O´
a
A2
3
X
x0
0
A equação reduzida fica:
()()220022y - y -
F2
= 1xxab-
(,)Oxy
´00
4º caso
Hipérbole centrada num ponto das ordenadas.
e com o eixo paralelo ao eixo
Y F2
A2 f
a y0
O´
b
A1
0
X x0
A equação reduzida fica:
()()220022x - x +
= 1yyab-
4) Hipérbole Eqüilátera e Assíntotas. 4.1 Hipérbole eqüilátera.
Uma hipérbole é dita eqüilátera se as medidas dos eixos real e imaginário são iguais. Ou seja:
22 ou ainda a = bab=
Graficamente teríamos, por exemplo, hipérbole com centro na origem e eixo real sobre as abscissas:
Y B1
b F1
F2 A1
A2
0 a
B2 a=b
2a = 2b
X
4.2 Assíntotas de uma hipérbole.
y - = 1xab
2222
Consideremos a hipérbole de equação
,cujo gráfico é:
r2
r1 Y A
B b
-a
a
X
-b C 21
As retas
D
e rr , que contêm as diagonais do retângulo ABCD são denominadas
assíntotas da hipérbole e, e têm as seguintes equações: 1r Equação da assíntota : 110022122xyabbxayababbxaybxayoabbxbyyxaa-=fi-+-++=fi+=fi-fi=-fi=-
2r Equação da assíntota : 110022122xyabbxayababbxaybxayoabbxbyyxaa=fi-+-+-=fi-=fi--fi=fi=
5) Resolução de exercícios
194xy-=
22
1. Dada a hipérbole de equação a) a distância focal Resolução:
determinar:
194xy-=
1xyab-=
22
2222
Comparando a equação , com a equação reduzida 229 e b4a== 222fab=+ encontramos Lembrando da relação fundamental substituindo os valores obtemos: 12213FFd= 22941313ff=+fi==
, ,e
2FFdf=
12
, e como
, então:
b) a medida do eixo imaginário 29 a=3 a=fi Temos que AAAAAAdadd=fi=fi= , e a medida do eixo real é dada por: 121212 22.36 c) a medida do eixo real 24 =2 bb=fi Temos que , e a medida do eixo real é dada por: 12121222.24BBBBBBdbdd=fi=fi=
1169xy-=
22
2. Dada a hipérbole de equação
determinar as coordenadas dos focos , dos
vértices e das extremidades do eixo imaginário. Resolução: 221169xy-=
1xyab-=
2222
Comparando a equação , com a equação reduzida 222fab=+ 229 e b4a== encontramos Lembrando da relação fundamental 2216925ff=+fi= substituindo os valores obtemos: . Y Portanto temos: 22216493255aabbffÏ=fi=Ô=fi=ÌÔ=fi=Ó
, ,e
4
-5
-3
0
-4 Logo as coordenadas são: ()()()()()()1212125,0 5,0;0,4
f
b
que graficamente representam:
0,4; F-5,0 e F5,0. AeABeB--
a
3
5
X
3) Determinar a equação da hipérbole que tem centro no ponto
()1,2P-
e eixo real
paralelo ao eixo das abscissas.São dados a = 2 e b = 1.
()()220022y - y -
Resolução:
= 1xxab-
A equação é do tipo
então teremos:
()()()()()()()222222221y - 21y - 21 -
= 1 - -y - 241421xxx--++fifi
4) Obter a equação reduzida da hipérbole do gráfico abaixo. Y
F1
6
0
A1
C
4
A2
7
F2
9
X
Resolução: Observando o gráfico obtemos: ()4,6C 743a=-= Centro tem coordenadas , a medida do semi-eixo real é .A medida 945f=-= da semidistância focal é . A medida do semi-eixo imaginário é obtida utilizando-se a relação fundamental, daí: 2222222 53259164fabbbbb=+fi=+fi=-fi=fi= Como o eixo real é paralelo ao eixo das abscissas utilizamos a equação: ()()()()()()222222002222y - y4y - 64y - 6 - = 1 - = 1 - =1 91634xxxxab---fifi
12516xy-=
22
5) Dada a hipérbole de equação
, determinar a equação das assíntotas.
Resolução: 2225 a=5 e b164.ab=fi=fi= Da equação observamos que As assíntotas têm equações do tipo: 124:545bryxyxabryxyxaÏ=-fi=-ÔÔÌÔ==fi=ÔÓ
44: e r:55ryxyx=-=
12
Logo as equações são:
Parábola
1) Parábola (definição)
2) Propriedades da Parábola
3) Equação reduzida
4) Resolução de exercícios
1) Parábola
– definição.
A intersecção de um plano a com a superfície de um cone, conforme figura, resulta em uma curva denominada parábola.
Parábola é o conjunto dos pontos P de um plano eqüidistantes de uma reta d e de um ponto F fixo desse plano. Assim:
dd=
PdPF
Elementos da parábola
dPd P dPF V F
p d • • • •
F é o foco. V é o Vértice. D é a diretriz (reta). P é o parâmetro da parábola.
2VFpd=
VFsuur •
é o eixo de simetria e
.
2) Equação reduzida da parábola. Temos que analisar quatro casos de parábola no plano cartesiano.
1º caso
Parábola com vértice na origem e foco no eixo das abscissas. Quando o foco F estiver à direita de V, a equação reduzida fica:
Y P(x,y)
2ypx=
2 F
V
d
X
p 2
p 2
Quando o foco F estiver à esquerda de V, a equação reduzida fica:
Y P(x,y)
2ypx=-
2
V F
X
p 2
p 2
d
2º caso
Parábola com vértice na origem e foco no eixo das ordenadas.
Y
Quando o foco F estiver acima de V, a equação reduzida fica:
F p 2
P(x,y) V
p 2
X
2xpy=
2
d
Y
Quando o foco F estiver abaixo de V, a equação reduzida fica:
d
p 2
X
p 2
V
2xpy=-
P(x,y)
2 F
3º caso
Parábola com vértice no ponto
()00,Vxy
e eixo de simetria paralelo ao
eixo das abscissas.
Y
Quando o foco F estiver à direita de V, a equação reduzida fica:
P(x,y)
()()2002yypxx-=y0
V( Xo,Yo)
F
0 x0 p 2
d
X p 2
Y Quando o foco F estiver à esquerda de V, a equação reduzida fica:
P(x,y)
y0
()()2002yypxx-=--
V( Xo,Yo)
F 0
x0 p 2
p 2
X d
4º caso
Parábola com vértice no ponto
()00,Vxy
e eixo de simetria paralelo ao
eixo das ordenadas.
Y
Quando o foco F estiver acima de V, a equação reduzida fica:
F p 2
P(x,y)
()()2002xxpyy-=-
V( Xo,Yo)
p 2
d X
Quando o foco F estiver abaixo de V, a equação reduzida fica:
Y
()()2002xxpyy-=-d
y0
V( Xo,Yo)
0
F
p 2 p 2
x0
X
P(x,y)
4) Resolução de exercícios 1) Dados os gráficos abaixo determinar suas equações: a) Resolução:
Y
Observando o gráfico verificamos que a parábola 22ypx= é do tipo lembrando que:
.Vamos calcular o valor de p
61222VFppdp=fi=fi=
F(6,0)
V
X Substituindo 2222
p =12 na fórmula, fica que: 22.12.24240ypxyxyxyx=fi=fi=fifi-=
240yx-=
2
Logo a equação é
b) Resolução:
Y
Observando o gráfico verificamos que a parábola é 22ypx=do tipo lembrando que:
.Vamos calcular o valor de p,
4822VFppdp=fi=fi= F(-4,0)
V X Substituindo 2222
p=8 na fórmula, fica que: 22.8.16160ypxyxyxyx=-fi=-fi=-fifi+=
160yx+=
2
Logo a equação é
4yx=
2
2) Dada a equação da parábola
determinar:
a) as coordenadas do foco. Resolução:
4yx=
2ypx=
2
2
Comparando a equação com a equação do tipo,02pFʈÁ˜Ë¯ , 2p= encontramos que .Sabemos que F tem coordenadas : logo ()2,0,01,022pFFFʈʈfifiÁ˜Á˜Ë¯Ë¯ teremos b) A equação da diretriz. Resolução: A equação da diretriz é do tipo 2122pKKK=-fi=-fi=-
xK=
2pK=-
, e no nosso caso ,
.Ficamos então com
110xx=-fi+=
c) O gráfico.
Y
d
F -1
V
1
X
, daí:
3) Dado que uma parábola ()5,3F tem eixo de simetria paralelo ()2,3Vao eixo das abscissas , que o foco tem coordenadas e o vértice coordenadas , determine a equação da parábola. Resolução: Como a parábola tem
()2,3V
e
()5,3F
concluímos que o foco está à direita Ox vértice e200 tendo o eixo de simetria paralelo ao eixo , ela tem equação do 2yypxx-=-
()()
tipo
.Teríamos o seguinte gráfico:
Y
d
-1
3
V
0
2
2VFpd= Agora como
32.362ppp=fi=fi=
F
5
X
523VFVFdd=-fi= e
, então ficamos com .Assim a substituindo na equação:
()()()()()()22200232.623122yypxxyxyx-=-fi-=-fi-=portanto a equação fica:
()()23122yx-=-
()()2143xy-=4) Esboçar o gráfico da parábola
.
Resolução:
()()2143xy-=a equação ()()Comparando 2002xxpyy-=-
com a equação do tipo 1,3 e p=2xy== , encontramos que .Então o vértice V e o ()1,3 e p = 2.V parâmetro p são respectivamente Logo o gráfico fica: 00
Y
4
F
3 V 2
0
d
1
X
