matemática

CONVERSA DE PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Este caderno complementa as séries da programação da TV Escola.

Informações: Tel.: 0800 61 6161

ÍNDICE O SIGNIFI SIGNIFICADO CADO DAS OPERAÇÕE OPERAÇÕES.......................... S................................................ ...................... ..........................5 TÉCNICAS TÉCNICAS DE DIVISÃO................................. DIVISÃO................................. ........................................................ ...........................................................1 ...111 MEDIDAS MEDIDAS ..................................................... ............................................................................................................. .............................................................17 .....17 CÁLCULO E RACIOCÍNIO........................................................................................22 FORMAS FORMAS GEOMÉTRIC GEOMÉTRICAS.............................. AS...................................................................................... ...........................................................28 ...28 NÚMEROS COM VÍRGULA......................................................................................34 RESOLUÇÃ RESOLUÇÃO O DE PROBLEM PROBLEMAS AS ....................................................... ................................................................................ .........................40 40 FRAÇÕES..................................................................................................................45

O SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES O ENSÍNO DAS OPERAÇÕES Quando ensinamos Matemática de 1 a a 4a série, uma boa parte do tempo é usada para tratar das quatro operações. O objetivo é fazer as crianças aprenderem as contas (somar, subtrair, multiplicar, dividir) e também a resolverem problemas, usando as operações. A segunda parte do objetivo, isto é, resolver problemas, é a rnais importante. As contas podem ser feitas por calculadoras, mas nenhuma máquina é capaz de entender uma situação-problema e nos dizer que operação (ou operações) devem ser feitas para achar a solução. No entanto, sabemos que muitos alunos têm dificuldades para resolver problemas. Todos nós, professores, estamos acostumados às crianças que lêem um problema e vêm nos perguntar: - E um problema de mais ou de vezes? Essas crianças não sabem qual operação usar. Provavelmente, elas não entendem as operações, não sabem os significados das operações. O que queremos dizer com a expressão significados das operações? Vamos explicar a seguir, partindo de um exemplo sobre a divisão.

UM PROBLEMA Vamos lhe propor um problema de Matemática. Após 1er o problema, pare e pense um pouco sobre como você poderia resolvê-lo. Coloco no visor da calculadora o número 256. Depois, começo a subtrair de 6 em 6. Isto é, faço 256 - 6 e aparece 250 no visor. Faço 250 - 6 e aparece 244 no visor. Continuando assim, quantas vezes devo subtrair 

Leu o problema? Em que tipo de solução você pensou? Muita gente imagina que o problema deve ser resolvido 6 até aparecer um número menor que 6 no visor?

por meio de subtrações sucessivas: 256 - 6 = 250 ..............Uma subtração 250 - 6 = 244 ..............Duas subtrações 244 - 6 = 238 ..............Três subtrações Etc. Efetuar todas as subtrações até que se obtenha um resultado inferior a 6 e contar quantas subtrações foram feitas é um método perfeitamente correto para resolver o problema proposto. No entanto, há um método rnais rápido para resolver o problema. Veja:

A divisão nos mostra que a quantidade 6 cabe 42 vezes em 256. Por isso, pode-se subtrair 42 seis de 256, até se obter, no final, o resultado 4. Obtémse 4 porque esse é o resto da divisão. Após efetuar a divisão, concluímos que a resposta à pergunta do problema é 42.

DOIS SIGNIFICADOS DA DIVISÃO Muitos adultos resolvem o problema que vimos, usando a subtração. Eles não percebem que a divisão pode resolver o problema. Por que não usam o método rnais rápido? Uma das razões é que as pessoas estão acostumadas a pensar na divisão como uma operação que serve para repartir quantidades em partes iguais. Esse é o significado habitual da divisão. Mas a divisão pode ser interpretada de outra maneira. No problema, quando dividimos 256 por 6, não pensávamos em repartir 256 objetos entre 6 pessoas e sim em verificar quantas vezes 6 resultaria 256. Essa é uma outra interpretação ou um segundo significado da divisão: verificar quantas vezes uma quantidade cabe na outra.

SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Todas as quatro operações têm mais de um significado, ou mais de um

uso. Isso precisa ser conhecido para saber qual operação empregar na resolução de um problema. As crianças não precisam saber explicar para que serve cada operação, mas precisam "sentir" quando cada uma deve ser usada. como ajudar as crianças a entenderem as operações? Vamos responder à pergunta, tomando como exemplo a subtração. Mostraremos os três principais usos ou significados dessa operação e, depois, veremos como as crianças podem apreendê-los.

SIGNIFICADOS DA SUBTRAÇÃO A primeira idéia associada a subtrair é a de tirar. Subtrair é tirar uma quantidade de outra. Considere agora este problema: Carlos coleciona as figurinhas da Copa do Mundo. No álbum, serão colocadas 160 figurinhas. Carlos já tem 73 delas. Quantas figurinhas lhe faltam  para completar o álbum?

Para verificar quanto falta para completar 160, tendo já 73, podemos subtrair: 160-73=87 A razão é que tirando aquilo que já temos (73 figurinhas), o que sobra é  justamente o que falta para completar 160. Assim uma segunda idéia associada à subtração é a de verificar quanto falta. Raramente as crianças de 2a série percebem por si mesmas que o problema acima se resolve por subtração. Muitas crianças resolvem o problema usando um raciocínio aditivo, como este: De 73 para 80, faltam 7. De 80 para 100, faltam 20. De 100 para 160, faltam 60. Então, no total, faltam 7 + 20 + 60 = 87. Esse raciocínio é perfeitamente correto.

Além de tirar  e verificar quanto falta, há uma terceira idéia associada à subtração, que aparece neste problema:  Jaílson economizou 72 reais. Sua irmã, Marlisa, economizou 155 reais. Quanto Marlisa economizou a mais que Jaílson?

Neste problema devemos calcular a diferença entre as quantias que os dois irmãos têm. Essa diferença é o quanto Marlisa tem a mais e também o quanto falta a Jaílson para alcançá-la. Achar a diferença é a terceira idéia associada à subtração. Por isso, resolvemos o problema efetuando: 155-72=83 Nós, professores, sabemos que muitas crianças de 3 a e, às vezes, até de 4 a série, costumam se enganar neste tipo de problema, efetuando 155 + 72. Um motivo para isso é uma compreensão insuficiente da operação. A palavra rnais que aparece no enunciado do problema também contribui para confundir as crianças.

APRENDENDO OS SIGNIFICADOS DAS OPERAÇÕES Alguns professores ensinam os significados das operações, levando as crianças a decorar palavras-chave. Por exemplo, elas dizem aos alunos que devem subtrair sempre que aparecer a expressão quanto falta num problema. Esse método pode dar algum resultado, mas acaba sendo nocivo para as crianças. Primeiro, porque elas aprendem como papagaios, sem desenvolver seu raciocínio. Em segundo lugar porque terão que decorar muita coisa e acabam ficando confusas com a Matemática. O melhor método para compreender as operações é refletir sobre elas e perceber seus significados por si mesmo. Isso acontece quando as crianças são incentivadas a resolver problemas. A professora pode preparar problemas especiais (ou retirá-los de alguns livros didáticos) para explorar os vários significados de cada operação e as relações entre eles. Por exemplo, numa 2a série a professora pode propor os dois problemas seguintes, em meio a alguns outros:  Maria já usou 52 folhas do caderno dela. O caderno tem 96 folhas.

Quantas folhas sobram ainda ? Carlos já usou 23 folhas de uma caderno de 50 folhas. Quantas ainda  faltam usar?

Esses dois problemas são, de propósito, parecidos. No primeiro, as crianças logo percebem que devem subtrair, devido à questão quanto sobra? No segundo, que muitas crianças fariam usando a adição, aqui, percebendo a semelhança com o problema anterior, é provável que optem pela subtração. Se isso não acontecer, não faz mal. A professora pode propor, em outra ocasião, novos problemas organizados da mesma maneira. Repare que estamos sugerindo que os dois problemas sobre subtração apareçam junto a outros, envolvendo outras operações. Não é adequado dar problemas todos do mesmo tipo porque a criança, percebendo essa regularidade, trabalha automaticamente e pára de pensar. A partir de problemas também é possível ajudar as crianças a perceberem que a subtração contém a idéia de diferença. Veja este problema, adequado para muitas 3as séries:  A mãe da Luisinha tem 158 cm de altura. Luisinha tem só 109 cm. a) Quanto falta para Luisinha alcançar sua mãe? b) Qual a diferença de altura entre as duas? c) Quantos centímetros a mãe de Luisinha tem a rnais?

De propósito, as três perguntas do problema têm a mesma resposta. Para responder à primeira, as crianças provavelmente fazem 158 - 109 = 47, porque numa 3a série já devem ter percebido que a expressão quanto falta está ligada à subtração. Na segunda questão, como a palavra diferença costuma já ser conhecida, pois é usada no dia a dia, muitas crianças conseguem associá-la ao quanto falta. A diferença entre duas quantidades é aquilo que falta a uma delas para alcançar a outra. Finalmente, vem a terceira questão, na qual costumava haver engano. Aqui, as crianças têm boas chances de acertar porque podem compará-la com as questões próximas. Quase sempre percebem que a mãe tem a rnais em altura a quantidade que é a diferença entre as alturas.

PARA FINALIZAR Compreender as operações, suas várias interpretações ou significados, é um processo lento que vai ocorrendo de acordo com o amadurecimento intelectual das pessoas. Nós, professores, em geral usamos corretamente as operações, sabemos seus significados. No entanto, nossos professores não nos ensinaram o assunto e, muitas vezes, nem conseguimos explicar esses significados para outras pessoas. O que ocorreu é que fomos aprendendo sobre as operações à medida que aumentava nossa experiência de vida. Nossos alunos também aprenderão os significados das operações devagar, ao longo do tempo, mas esse processo poderá ser rnais eficaz que o nosso, se soubermos ajudá-los. A melhor maneira de ajudar não é dar explicações detalhadas para as crianças ou fazê-las decorar conceitos. É criar oportunidades para que elas pensem, troquem idéias e façam descobertas, como acontece quando resolvem e discutem problemas.

TÉCNICAS DE DIVISÃO AS DIFICULDADES COM A DIVISÃO Algumas vezes, colegas nossos reclamam da operação divisão, dizendo que é o maior obstáculo que seus alunos enfrentam nas 3 as e 4as séries. Nossos colegas dizem operação divisão por hábito. Na verdade, eles não estão pensando na operação e seus vários significados como um todo, e sim na técnica ou método para dividir. Em outras palavras, o grande obstáculo dos alunos é a conta de dividir, o algoritmo da divisão. Realmente, o algoritmo da divisão é bastante complexo e é natural que os alunos tenham dificuldades no seu aprendizado. Surge, então, a pergunta: Será que não poderíamos ajudar nossos alunos a superar rnais facilmente esse obstáculo? Para poder responder, vamos examinar o algoritmo da divisão por meio de um exemplo.

EXAMINANDO UMA CONTA DE DIVIDIR Considere a conta

Todos nós sabemos efetuá-la, mas, nem sempre sabemos o porquê de cada passagem da conta. Para facilitar o entendimento desse algoritmo, vamos imaginar que o número 342 corresponde a 342 reais em 3 notas de cem reais, 4 notas de dez reais e 2 moedas de um real. Veremos, então, que dividir 342 por 3 é bastante parecido com a ação de repartir a quantia de 342 reais entre 3 pessoas. Acompanhe. Para repartir o dinheiro, começamos dividindo as 3 notas de cem.

Na conta, dividimos 3 centenas por 3, resultando 1 centena, sem deixar resto.

Depois, repartimos as 4 notas de dez. Agora, sobrará uma nota.

Na conta, dividimos as 4 dezenas por 3. Restará 1 dezena.

Para dividir a nota de dez que restou, devemos trocá-la por 10 moedas de um real. Teremos 12 reais, no total.

Na conta, descemos o algarismo 2. Isso corresponde a juntar aquela dezena que restou com as duas unidades, resultando 12 unidades.

Agora pode-se completar a repartição do dinheiro. Dividindo as 12 moedas, cada pessoa recebe 4. No final, cada uma ficou com 114 reais.

Encerramos a conta dividindo 12 unidades por 3, o que dá 4. O resultado final é 114.

COMENTARIOS SOBRE A CONTA Mostramos um exemplo simples do algoritmo da divisão, envolvendo

números relativamente pequenos como 342 e 3. Mesmo nesse caso simples, pode-se notar que as crianças têm de trabalhar um bocado para chegar ao resultado. Precisam saber por qual algarismo começar a divisão, perceber quando dá resto, decidir o que fazer com o resto, etc. Trata-se de uma tarefa complexa, não é mesmo? Por outro lado, é importante notar que todas as passagens que são executadas na conta têm uma correspondente na repartição das notas de dinheiro. Para que o colega se convença disso, recomendamos que volte a 1er a descrição do cálculo, comparando cada passo feito na repartição do dinheiro com os que são efetuados na conta. Assim, a divisão do dinheiro ajuda a entender a conta, a explicar, a saber o porquê de cada passagem efetuada na conta. Por isso, este exemplo nos sugere uma boa maneira de ensinar a conta de dividir, facilitando seu aprendizado por parte das crianças. Vamos apresentála a seguir.

ENSINANDO A CONTA DE DIVIDIR A idéia é simples. Antes de ensinar a conta deve-se propor aos alunos que passem por várias experiências de repartição de quantias em dinheiro. As próprias crianças podem fabricar dinheiro "de mentira". Devem usar apenas notas de cem, de dez e moedas de um real para representar com o dinheiro as centenas, dezenas e unidades do sistema de numeração. E preciso ter notas suficientes para efetuar as trocas: uma nota de eem por 10 notas de dez ou duas notas de dez por 20 moedas de um, etc, conforme a conta exigir. As repartições podem ser dramatizadas por três o quatro crianças, que fariam um teatro para a classe acompanhar e comentar. Também podem ser feitas por toda a classe, que estaria dividida em grupos. Cada grupo recebe uma certa quantidade de notas, usa-as para efetuar as divisões que o professor escreveu no quadro de giz e, depois, registra cada conta e seu resultado. (Não registra, é claro, o processo do cálculo, porque este ainda não foi aprendido). É conveniente que as contas propostas envolvam números relativamente pequenos. Dividir, por exemplo, 878 reais por 9 pessoas daria muito

trabalho e provocaria confusão. O ideal é efetuar apenas divisões por 2 ou 3 ou 5, para que se compreenda bem o processo. Nesse estágio, o professor deve dar o mínimo possível de explicações. As crianças devem encontrar sozinhas os meios para dividir quantias com dinheiro, de maneira que possam exercitar o raciocínio e compreender realmente o processo de dividir. Depois que o processo de dividir quantias em dinheiro está dominado, o professor deve explicar como registrar a conta. Nas primeiras vezes é preciso mostrar cuidadosamente como cada passagem da repartição do dinheiro é indicada. Além disso, os números devem continuar sendo relativamente pequenos.

A CONTA PELO PROCESSO LONGO Quando mostramos a divisão de 342 por 3, registramos o cálculo naquilo que chamamos de processo breve, ou abreviado. Há um outro processo de registro, o processo longo, do qual damos um exemplo a seguir. Vamos examinar a divisão 7 15 / 8 . Para começar, devemos dividir 71 dezenas por 9. Podemos fazer tentativas para encontrar o resultado: 8 x 7 = 5 6 ; 8 x 8 = 6 4 ; 8 x 9 = 72. Daqui se conclui que dividindo as 71 dezenas por 8, o resultado é 8 dezenas.

Bem, o resultado é 8, mas qual é o resto? Repare que encontrar esse resto não é tão fácil como na primeira conta que mostramos. Lá, estávamos representando a divisão com notas de dinheiro. Podíamos ver  o resto, isto é, a nota que sobrava. Além disso, os números eram pequenos, facilitando o cálculo do resto. Na divisão atual, os números são maiores. Para uma criança, é difícil calcular qual é o resto na divisão de 71 por 8. Para encontrar o resto, raciocinamos assim: dividindo 71 por 8 o

resultado é 8; como 8 x 8 dá 64, o resto dessa divisão é a diferença entre 71 e 64. Devemos, então, efetuar 71 - 64. No processo breve, essa subtração deve ser feita mentalmente. No processo longo, que estamos vendo, a subtração é registrada:

Continuamos a divisão, descendo o 5. Matematicamente, isso significa juntar as 7 dezenas do resto com 5 unidades, obtendo 75 unidades que serão divididas por 8. Das tentativas anteriores, sabemos que o resultado é 9. Para encontrar o resto, efetuamos 9 x 8 = 72 e 75 - 72 = 3. Veja como fíca o registro:

como vimos, o processo longo facilita a realização do cálculo quando temos números relativamente grandes. Ele é especialmente útil quando o divisor é um número de dois algarismos, como, por exemplo, em 4872 / 24.

ENSINAR O LONGO OU O BREVE? Muitos professores pensam que se deve iniciar o ensino da conta de dividir pelo processo longo, que é rnais fácil, e depois passar para o breve, que é rnais rápido. Nós estamos propondo o contrário: que se comece a dividir com o processo breve e, depois, se passe para o longo. A razão é que sugerimos que os cálculos comecem com apoio concreto (como as notas de dinheiro) e sejam feitos com números pequenos. Nessas condições, o processo longo só complica o registro da conta. Mais tarde, o processo longo se torna útil, quando o aluno estiver operando com números maiores, sem material de apoio.

O processo breve é mais rápido, mas não há razão para os alunos serem rápidos nas contas. Primeiro, porque quem quer rapidez deve usar uma calculadora, como se faz nos escritórios, nas lojas, nos, bancos, etc. Em segundo lugar, porque o objetivo de ensinar contas na escola de nossos dias é a compreensão e não a rapidez e a precisão. Isto é, as crianças precisam aprender a fazer algumas contas para entenderem melhor os números, as operações, a Matemática em geral e não para serem melhores que as máquinas, o que seria impossível. como a compreensão das contas é fundamental, estas não devem ser ensinadas muito cedo. O algoritmo da divisão só deveria ser ensinado a partir da 3a série, o que não impede que antes disso se trabalhe com a operação divisão. uma observação final: o processo de dividir apresentado (na forma longa e na breve) é o rnais usado aqui no Brasil, mas não é o único. Convidamos o colega a pesquisar outros processos possíveis. Alguns deles são muito úteis para se dividir mentalmente, ou seja, de cabeça, sem lápis e papel. Por exemplo, um aluno de 4a série pode dividir 342 por 3, pensando assim: 300 / 3 = 100 30 / 3 = 10

12 / 3 = 4

Então 342 / 3 = 100 + 10 + 4 = 114 Incentivar os alunos a raciocinarem com números da maneira que vimos acima é algo que vale a pena!

MEDIDAS É IMPORTANTE ENSINAR MEDIDAS? Alguns professores não dão atenção ao trabalho com medidas. como, na maioria dos livros didáticos, o capítulo sobre medidas é um dos últimos, acontece muitas vezes de o ano letivo terminar e os alunos não terem tido experiência alguma com medidas. Será que o assunto é realmente de importância secundária? Em nossa opinião é extremamente importante e proveitoso trabalhar com medidas desde a 1a série. Vamos justificar nossa opinião. Medidas fazem parte de nosso dia a dia. O combustível que colocamos no automóvel é medido em litros. O arroz que compramos no supermercado é medido em quilogramas. Usando unidades de medida como o metro e o centímetro, o médico mede a altura da criança para verificar se ela está crescendo adequadamente, a mocinha mede sua cintura para saber se não engordou, o pedreiro mede o comprimento do muro que irá construir, etc. Esses exemplos mostram que o professor que trabalha com medidas está propiciando a seus alunos um conhecimento útil nas rnais variadas profissões e na vida diária. E um tema que tem importância social.

OS NÚMEROS E A MEDIDA Há outras razões (além daquela que já apresentamos) que tornam importante o trabalho com medidas. Considere o ensino dos números. Os primeiros números que as crianças aprendem são os chamados números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, etc. Mais tarde, elas aprendem as frações e os números com vírgula (3,2 ou 7,25, etc). Os números naturais foram inventados há milhares de anos. uma forte razão para inventá-los foi a necessidade dos seres humanos contarem coisas. Por exemplo, um pastor de ovelhas daquela época usava a contagem para saber quantos animais tinha seu rebanho. As crianças de hoje percebem a importância dos números naturais porque os usam nas contagens. Por exemplo, contam quantos gols o time fez na partida.

E as frações? E os números com vírgula? Por que surgiram? como as crianças podem perceber sua utilidade? Na resposta a estas questões, entram as medidas. Frações surgiram há muitos séculos, para expressar medidas que não podiam ser expressas por números naturais. Isso acontece ainda hoje. Por exemplo, numa receita de torta, pode ser necessário usar 1/2 xícara de óleo. Nesse exemplo, a fração indica uma medida entre zero e um, que não pode ser expressa por números naturais. Da mesma forma, os números com vírgula expressam medidas. Por exemplo, a altura de uma professora pode ser l,63m (um vírgula sessenta e três metros ou um metro e sessenta e três centímetros). Essa medida em metros está entre 1 e 2, não havendo número natural (ou inteiro) para expressá-la. Vemos então que os números com vírgula e as frações estão ligados às medidas. Quando o professor trabalha com medidas, esses números surgem naturalmente e mostram sua utilidade. Assim, as medidas ajudam no aprendizado dos números em geral e esta é mais uma razão para se trabalhar com elas.

MEDIDAS E RACIOCÍNIO uma professora contou para seus alunos, que precisava saber o peso de sua gatinha para saber que quantidade de remédio o bicho devia tomar. Foi então à farmácia, onde havia uma balança. Só que, na farmácia, a gatinha estava tão assustada que foi preciso mantê-la no colo. como saber o peso da gata, já que não se podia pô-la na balança? As crianças deram algumas sugestões, mas elas mesmas perceberam que eram inadequadas. Até que uma menina apresentou uma solução. A professora deveria se pesar com a gata no colo. Depois, deveria pesar-se sozinha, sem o animal. A diferença entre os pesos seria o peso da gata. Belo raciocínio, não é? E mais que isso, este caso real mostra rnais um motivo para se trabalhar com medidas. Balanças, fitas métricas, litros, enfim, os instrumentos e as unidades de medidas em geral, são matéria prima para a criação de diversos problemas interessantes e significati-

vos para os alunos. Dessa forma, o trabalho com medidas exercita o raciocínio de nossas crianças.

MEDIDAS NA PROGRAMAÇÃO ESCOLAR Até aqui, fizemos propaganda do ensino de medidas, procurando mostrar que tem utilidade no dia a dia, que ajuda no aprendizado dos números fracionários e contribui para exercitar o raciocínio dos alunos. Muitos colegas devem estar de acordo com essas idéias e ter, no entanto, dúvidas sobre como trabalhar o assunto na sala de aula. Nossa primeira recomendação é de que o trabalho vá alem das unidades de medida. É importante que todos vivenciem experiências com medidas, usem instrumentos de medida como balanças, termômetros, régua, fita métrica, etc. A segunda recomendação refere-se às unidades de medida. Certamente não é preciso um trabalho exaustivo. Unidades não usadas na prática, tais como hectômetro ou decalitro, nem deveriam ser mencionadas até a 4 a série. O professor das séries seguintes pode tratar delas se for necessário. uma última recomendação é que o trabalho com medidas se estenda por todo o ano letivo, um pouco por vez. Não é necessário concentrar o assunto num bimestre, porque a todo momento, em atividades de Ciências, de Língua Portuguesa, etc, há oportunidades para abordar as medidas.

SUGESTÕES PARA A SALA DE AULA O tema medidas pode surgir acidentalmente nos rnais variados momentos de uma aula. O professor precisa estar atento e aproveitar a deixa. Sob certas condições, as crianças se interessam por questões como estas: - Qual é o caminho rnais curto daqui da sala de aula até o pátio de recreação? - Qual sala é rnais larga, a nossa ou a da 2a série aqui ao lado?

Eis o ponto de partida para uma atividade sobre medidas. Pode-se, por exemplo, medir as distâncias citadas com passos. Nesse caso, alunos diferentes costumam obter resultados diferentes, porque o comprimento médio dos passos varia de uma pessoa para outra. Mas isso também é interessante para o aprendizado. A professora pode conversar com a turma sobre os motivos da diferença. Pode explicar que justamente porque há variação no tamanho dos passos das pessoas é que foram inventadas unidades de medida padronizadas, como o metro. uma professora de 1 a série, conversando com os alunos sobre o que é uma boa alimentação, teve a idéia de lhes pedir uma pesquisa sobre quais são os ingredientes habituais de um bolo. Na seqüência, ela e as crianças resolveram preparar um bolo, em sala de aula, que foi assado na cozinha da escola. Essa atividade envolveu Ciências e Saúde (estudo da alimentação), Língua Portuguesa (leitura da receita) e Matemática (a medida de cada ingrediente do bolo, a leitura dos números da receita, etc). uma interessante atividade de 2 a série consiste em medir a altura de cada aluno no começo do ano, registrar essas alturas num cartaz e repetir essa medida no final do ano. As crianças têm muito interesse em saber dados sobre a própria altura e sobre seu crescimento. Nessa atividade, pode-se usar uma régua ou uma fita métrica de costureira. As próprias crianças devem efetuar as medições, ficando o professor apenas como orientador para evitar erros muito graves. Pode-se dividir a classe em grupos de três alunos, cada dois elementos do grupo medindo o terceiro. Crianças de todas as séries se interessam pelo tamanho (comprimento e peso) dos animais. Um elefante pode ter 3 metros de altura! como avaliar essa altura? Naturalmente, não se pode levar um elefante para a sala de aula! Um jeito é marcar essa altura numa parede da escola. As crianças ficam assombradas quando vêem a altura do elefante. uma atividade adequada para 3 as séries consiste em avaliar o peso de objetos variados. Por exemplo, uma criança estima o peso de uma caixinha de giz: Será que pesa meio quilo? Depois, a estimativa é comparada com o valor real, obtido numa balança de cozinha ou de

feira: 250 gramas. Experiências como essa desenvolvem intuição, senso numérico, capacidade de fazer estimativas. Às vezes, não se consegue levar uma balança para a sala de aula, mas pode-se pedir como tarefa de casa que a criança vá a uma venda ou a um mercadinho perto de sua casa e pese alguns objetos. Na 3a série é conveniente o professor estar rnais atento à escrita correta das medidas. Assim, a atividade acima descrita pode ser complementada pelo registro do peso dos objetos. Por exemplo, um peso de 250 gramas pode ser expresso assim: 250g ou 0,250kg. A escrita 0,250kg fíca rnais fácil de ser compreendida, quando associada à experiências concretas com medidas. Convém não esquecer também das unidades de medida de tempo: horas, minutos e segundos. Ler horas inteiras em relógio de ponteiros na 1 a série, 1er horas e minutos na 2 a série, resolver problemas com horas e minutos na 4a série, deve estar na programação. Além de atividades como as sugeridas acima, há também o trabalho desenvolvido pelos livros didáticos. Ele deve ser aproveitado e não é preciso ter trabalhado todos os capítulos, que vêm antes do capítulo de medidas, para poder abordar esse assunto. Nós vamos encerrar, mas esperamos que seja aqui mesmo, o começo do trabalho e da pesquisa do colega professor.

CÁLCULO E RACIOCÍNIO POR QUE ELES NÃO PARAM PARA PENSAR? Veja este problema:  Na festa, Maria comeu 7 docinhos e João comeu 17. No total, quantos copos de refrigerante eles tomaram?

Quando se propõe esse problema em classes de 1 a ou 2a séries, há crianças que efetuam 7 + 17 e dão a resposta 24. Diante de situações desse tipo, nós, professores de Matemática, acabamos fazendo a célebre pergunta: -Por que eles não param para pensar? Há muitas razões para essas respostas a esmo, sem reflexão, que os alunos produzem às vezes. uma delas é que nem sempre a criança está atenta e interessada e isso pode ocorrer com qualquer um de nós. No entanto, o motivo rnais importante está no fato de que, freqüentemente, não estimulamos nossas crianças a pensar. E claro que temos intenções bem diferentes. Queremos que nossos alunos exercitem o raciocínio. No entanto, nossa forma de trabalhar pode não contribuir para isso. Veja porque: • usamos boa parte do tempo da aula de Matemática ensinando cálculos, técnicas para efetuar operações; • quase sempre explicamos o jeito de efetuar o cálculo e esperamos que a criança reproduza igualzinho; • nesse processo, a criança não tem oportunidade para pensar por si mesma e compreender o que aprende; ela apenas reproduz o que mandamos e não pensa. Em resumo, a criança é treinada para encontrar respostas certas, mesmo sem saber o que está fazendo. Ela age assim quando faz contas e acaba agindo assim também nos problemas, como no exemplo que mostramos no início. O QUE FAZER PARA MUDAR? Desejamos que as crianças pensem, tenham idéias próprias, exercitem

o raciocínio. Para atingir esse objetivo devemos aproveitar todas as oportunidades, entre elas o tempo que usamos para trabalhar cálculos. Devese trabalhar cálculos de forma que as crianças entendam o que estão fazendo e raciocinem durante a aprendizagem. Em outras palavras, deve-se trabalhar cálculos como se fossem problemas.

Certamente a maioria dos colegas que estão nos lendo, concorda com o que acabamos de dizer. Mas alguns devem estar pensando: - como fazer isso? Vamos, então, mostrar exemplos.

ENSINANDO UM MÉTODO DE CÁLCULO Suponha que a professora deva ensinar sua turma a efetuar multiplicações como 13 x 25 ou 57 x 88 (números de dois algarismos por números de dois algarismos). Ela pode ir ao quadro de giz e mostrar, por meio de exemplos, como deve ser feita a conta. Depois, ela chama alguns alunos ao quadro para que eles efetuem outras contas, repetindo todas as passagens que ela fez. Esse é o procedimento habitual no ensino de cálculos, mas certamente não exercita o raciocínio dos alunos, uma vez que estes apenas seguem ordens. Haveria outro método de ensino? uma professora nos contou que ensina esse tipo de conta na 3 a série. Ela parte de algum problema fácil, cuja solução seja o resultado de, por exemplo 12 x 13. Quando os alunos chegam a esse cálculo, costumam reclamar: - Não sabemos fazer! Nesse ponto, a professora os desafia a efetuar a conta: - Eu ainda não ensinei como fazer, mas vocês são capazes de descobrir! Por que não tentam? Trabalhando em duplas ou em grupos de três, motivados pelo desafio, os alunos são capazes de produzir soluções interessantes: • o mais comum é fazer 12 x 13, somando 12 parcelas iguais a 13: 13 + 13 + 13 + 13 +13 +13 +13 +13 + 13 + 13 + 13 + 13= 156 • alguns separam 12 em 10 + 2, multiplicam cada parcela por 13 e somam os resultados: 10x13=130 1 3 x 2 = 26 130 + 26=156

• uma solução rara consiste em perceber que 12 = 2x6; assim 12x13 pode ser efetuado multiplicando-se 13 por 6 e o resultado por 2. As diferentes resoluções dos alunos são apresentadas por eles mesmos, para o resto da classe. Repare que o método habitual para fazer esse tipo de conta é igual à segunda das soluções. Assim, após algumas aulas em que as crianças fazem os cálculos da maneira que cada um prefere, a professora retoma o segundo método e mostra como registrá-lo de modo simplificado, efetuando uma só conta no lugar de três:

13 x12 . 2 6 Este é o resultado de 2 x 13 + 130 Este é o resultado de 10 x 13 1 56 Nessa experiência de ensino, o verdadeiro problema era como multiplicar dois números de dois algarismos. Foram os alunos que descobriram o método de cálculo e, por isso mesmo, exercitaram o raciocínio. A professora orientou todo o processo. Quando, no final, ela mostrou como registrar a conta, estava organizando um conhecimento que, na maior parte, já havia sido construído pelas crianças. Acreditamos que este foi um bom exemplo de bom ensino.

DESENVOLVENDO O CÁLCULO MENTAL O melhor recurso para juntar raciocínio e cálculo é dar oportunidades para a criança desenvolver o cálculo mental. Devem ser propostas contas para ser feitas de cabeça, desde a 1a série ou no ciclo básico, um pouquinho por dia, durante todo o ano letivo. Para que o raciocínio seja exercitado convém: • evitar ensinar métodos para fazer as contas; (às vezes, porém, é válido o professor mostrar seu próprio método para um determinado cálculo); • deixar cada aluno escolher livremente o método que vai utilizar; (às vezes, porém, deve-se propor que toda a classe use o método que uma das crianças inventou, quando este é muito bom); • volta e meia perguntar às crianças que acertaram uma conta, de que maneira elas pensaram.

Infelizmente não há espaço para estender nossa conversa sobre o cálculo mental, mas vamos mostrar exemplos do que as crianças podem fazer. A conta é 7 + 8 = 15 : Marcos (1a série) explicou assim: - Sete rnais sete é quatorze. Sete rnais oito é quatorze rnais um. Dá quinze. Marilda (1a série) pensou assim: - Para somar oito, eu somo três e cinco. Sete rnais três é dez. Dez rnais cinco é quinze. A conta é 16 + 16 = 32 : Explicação de Vantuir (1 a série) : - Dezesseis é dez rnais seis. Dez rnais dez é vinte. Seis rnais seis é doze. Vinte rnais doze é trinta e dois. Então, dezesseis mais dezesseis é trinta e dois. Observe que Vantuir efetuou 16 + 16 sem usar a técnica conhecida como "vai um". Seria muito bom que as crianças só aprendessem essa técnica na 2 a série, depois de dominarem cálculos como 16 + 16 ou 18 + 23, etc. efetuando-os da maneira que Vantuir fez. Pelos exemplos que mostramos de crianças de 1ª série, é fácil imaginar que crianças de 4a série podem efetuar de cabeça, cálculos bem rnais complicados, como, por exemplo 253 - 87 ou 8 x 54. Realmente isso não é difícil, nem exige muito exercício, desde que o trabalho com cálculo mental seja contínuo.

JOGOS E CÁLCULOS Atividades com jogos levam as crianças a exercitar o raciocínio, porque, nessas situações, elas devem tomar decisões por si mesmas e têm o estímulo de vencer o jogo. Muitos jogos contribuem para desenvolver o cálculo mental e recomendamos que o professor procure utilizá-los em suas aulas. Vamos dar, como exemplo, dois tipos de jogos e convidamos o colega a pesquisar ou criar outros. JOGOS COM TRILHA E DADOS

Apresentamos uma versão adequada a uma 1 a série. Começa-se desenhando uma trilha no quadro de giz. Veja um trecho dela:

Os jogadores, cada um na sua vez, lançam um dado e andam na trilha o correspondente ao número de pontos obtido. Por exemplo, se Luisinha inicia tirando 5 no dado, ela vai parar na casa 5 e marcar um L (é a letra inicial de seu nome) nesse local.. Quando jogar novamente, se ela tirar 4, vai parar na casa 9, porque 5 + 4 = 9 ou porque 4 casas à frente do 5 está o 9. Ela apaga o L que havia marcado na casa 5 e coloca um novo L na casa 9. E assim por diante. Vence o primeiro jogador que atingir o final da trilha, que pode ser 30 ou 50 ou 60, dependendo do aprendizado das crianças. O esquema que descrevemos pode ser modificado de muitas maneiras. Por exemplo: podem ser usados dois dados. Em vez de jogadores individuais podemos ter equipes jogando, etc. Nesse jogo, as crianças ampliam bastante seus conhecimentos da adição. A partir de jogos como esse, elas chegam depois a um bom desempenho em cálculo mental. Jogos com baralho comum Veja uma versão adequada a uma 4ª  série. Usam-se as cartas numéricas do baralho (com números de 2 a 10), das quais sorteiam-se oito que ficam sobre a mesa:

São 4 jogadores. Um deles fala um resultado de uma multiplicação, que possa ser obtido com os números da mesa. Por exemplo, ele diz: -Quarenta e dois! e os outros três procuram pegar as cartas cujos números dão esse produto. No caso, são as cartas 6 e 7 e quem as pegar primeiro, guarda-as para si. Duas novas cartas são sorteadas para substituir as que foram retiradas. Depois, é a vez de outro jogador falar um produto e assim por diante até acabar o baralho. O vencedor é quem guardou rnais cartas. É fácil ver que esse jogo, nessa versão, ajuda a memorizar a tabuada. Pode-se modificá-lo de muitas maneiras, usando até duas ou três operações diferentes, desenvolvendo outros aspectos do cálculo mental.

FORMAS GEOMÉTRICAS A IMPORTANCIA DA GEOMETRIA Em vários países, pedagogos, psicólogos e professores de Matemática vêm se esforçando para que a Matemática tenha significado para a criança, contribua para seu desenvolvimento cognitivo e seja também útil para a vida na sociedade atual. Por isso, o ensino de Matemática vem mudando, e mudando para melhor. As novas tendências valorizam o ensino da Geometria. Ele é considerado muito importante e os livros didáticos de vários países dão bastante espaço ao assunto. No entanto, isso não vale aqui no Brasil. A maioria dos livros didáticos traz pouca Geometria. Além disso, o capítulo de Geometria (assim como o de Medidas) costuma ficar no final do livro. O resultado é que o ano letivo acaba sem que as crianças tenham noções de Geometria. O ensino da Geometria vem sendo valorizado porque colabora com o desenvolvimento cognitivo das crianças. Há indícios de que crianças que trabalham com formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual, melhoram a leitura, compreendem rnais rapidamente gráficos, mapas e outras informações visuais. Além disso, a Geometria é uma parte essencial da Matemática. Desde que os seres humanos começaram a produzir Matemática, milhares de anos atrás, duas coisas sempre estiveram presentes: números e formas geométricas. A Aritmética (os números e as operações) e a Geometria (as formas) são os dois ramos básicos da Matemática. Foi a Geometria que orientou os povos antigos na divisão de terras de cultivo, na construção de vários objetos e utensílios, nos desenhos que enfeitavam seus tecidos. Você já deve ter visto uma foto das pirâmides do Egito, não é? Pois bem, esses monumentos gigantescos, construídos há milhares de anos, foram fruto do conhecimento geométrico daquele povo. Atualmente, a Geometria continua presente em nossas vidas, na arquitetura, na organização urbana, nas embalagens de produtos variados, nas rnais diversas máquinas e motores e nos utensílios em geral.

O QUE ENSINAR? como ENSINAR? Um programa para a Geometria depende das secretarias de educação de estados e municípios. No entanto, algumas idéias gerais sobre o que ensinar podem ser apresentadas. Quando chegarem ao final da 4 a série, seria bom que as crianças conhecessem formas planas (quadrados, triângulos, retângulos, etc), formas espaciais como (cubo, blocos retangulares, cilindros, etc), reconhecessem ângulos retos e ângulos maiores ou menores que ele, tivessem noções sobre perímetro e, talvez, alguma noção de área. Por outro ado, é desnecessário que as crianças tenham idéias abstratas, como as noções matemáticas de reta, semi-reta, etc. É claro que a criança deve diferenciar linha reta de linha não reta, mas não precisa saber sobre a Feta dos matemáticos que é infinita, sem espessura, etc. Pode ser que as noções apresentadas acima pareçam muito pouco. No entanto, elas não são adquiridas rapidamente. Conhecer uma forma plana como a do quadrado, não é uma questão de mostrar a figura e dizer qual é seu nome. Conhecer o quadrado implica conhecer algumas de suas propriedades fundamentais, como por exemplo:

E como as crianças vão conhecer todas essas propriedades? Certamente não adianta nós, professores, contarmos quais são as propriedades dos quadrados, pedirmos que as crianças as decorem. Só podemos garantir que as crianças entendam essas propriedades se elas puderem percebê-las por si mesmas. Para isso, é necessário participar de atividades variadas em que se usam as figuras geométricas. Vamos apresentar três exemplos dessas atividades para esclarecer o que acabamos de afirmar.

EXEMPLO 1: ARTE GEOMETRICA uma professora de 2a série disse a seus alunos que queria um trabalho bonito para decorar o mural da sala de aula. Deu a cada criança um pedaço de papel quadrado. Primeiro, o papel foi dobrado váDepois, outras linhas forarn rias vezes, nos eixos de simetria traçadas com régua. do quadrado.

A professora aproveitou o momento e perguntou quantos quadrados as crianças viam naquele papel (note que há pelo menos 7 quadrados!), quantos triângulos, etc. Depois, pediu que o papel fosse inteiramente pintado, usando-se apenas duas cores, de modo que triângulos vizinhos ficassem com cores diferentes.

Isto é um exemplo de atividade simples em que se usam figuras geométricas e, na qual, as crianças vão percebendo propriedades enquanto dobram, traçam linhas, pintam figuras. E uma atividade agradável porque o resultado é bonito e as crianças gostam disso. E também uma atividade útil, que produz conhecimento geométrico, por meio da experiência, sem teoria ou exercícios.

EXEMPLO 2: GEOMETRIA E GEOGRAFIA Os alunos de uma 3a série montaram uma espécie de cidade no chão da sala de aula. Os "prédios" eram caixas de pasta de dente, caixas de maizena, latas de ervilhas, etc. A professora contribuiu com caixas menos comuns, como uma de panetone. Para as caixas ficarem parecendo edifícios, as crianças colaram papel sobre as faces, com desenhos de portas, janelas, etc.

Nesse trabalho, as crianças aprenderam diversos fatos sobre as cidades, sua organização geográfica e sua estrutura administrativa. Ficaram sabendo dos vereadores, dos secretários municipais, das atribuições do prefeito, etc. Aprenderam também muita Geometria. A professora ensinou o nome de cada forma espacial, e levou os alunos a observarem vários detalhes da forma. Veja um exemplo:

A caixa tem a forma de um bloco retangular.

Apresenta vértices, arestas e faces. Cada face é uma superfície plana.

Os alunos notaram que as 6 faces são retângulos. Contaram ainda 8 vértices e 12 arestas.

Pronta a cidade, o professor propôs outro desafio: fazer o mapa da cidade!

EXEMPLO 3: PROBLEMAS DE GEOMETRIA Palitos de fósforo constituem um material simples e barato, que possibilita aos alunos participarem de várias atividades instrutivas e algumas até artísticas.

Eis um problema adequado para 2 a ou 3a série em cuja resolução os palitos ajudam: Usando 14 palitos de fósforo sem quebrar nenhum, quantos retângulos diferentes posso fazer?

A resposta é três. Veja as soluções:

Em todos esses retângulos, o perímetro é 14 palitos.

O colega já imaginou quantos problemas diferentes ele pode inventar, utilizando como auxiliar os palitos de fósforo?

CONCLUSÕES Neste texto, citamos algumas das noções geométricas que as crianças deveriam adquirir e demos exemplos de atividades nas quais as formas geométricas são usadas. A criança pode brincar com elas, manipulá-las, pintá-las, falar sobre elas e, dessa maneira, adquirir conhecimento sobre elas. Os exemplos de atividades foram dados, principalmente, para reforçar

a idéia de que ensinar Geometria não significa ensinar nomes de figuras e sim propiciar uma vivência com a Geometria. Não é importante que o colega siga as atividades apresentadas e sim que entenda seu espírito para criar outras, que estejam de acordo com seu programa e seu estilo de trabalho.

NÚMEROS COM VÍRGULA ELES ESTÃO A NOSSA VOLTA Repare bem: números como 1,5, 74,55, 0,2, etc. estão por toda a parte. São números com vírgula. Antigamente eram chamados de números quebrados, porque os algarismos à direita da vírgula indicam partes ou uma fração da unidade. Na Matemática são chamados de números decimais, porque são escritos no mesmo sistema decimal que usamos para os números naturais (que são os números 0, 1, 2, 3, etc). Veja alguns exemplos do uso dos números com vírgula: • nas balanças eletrônicas de supermercados (por exemplo, a balança pode mostrar que o peso de um frango é 1,545 kg); • indicando preços (por exemplo, um pãozinho custa atualmente R$0,13); • no registro de medidas do sistema métrico (por exemplo, a altura de uma pessoa pode ser 1,63 m); • nos jornais e revistas (por exemplo, os jornais usam números com vírgula para escrever quantias muito grandes de maneira abreviada: 1,2 milhão de reais para indicar 1 200 000 reais; outro exemplo: a sessão de economia dos jornais está repleta de números com vírgula que indicam índices como IGP, IGPM, rendimentos da poupança, etc). Esses números são importantes nos mais diversos tipos de cálculos. Em particular, eles são usados nos cálculos de porcentagens. Por exemplo, usando uma calculadora, a maneira mais simples de calcular 23% (vinte e três por cento) de R$ 340,00, consiste em efetuar 0,23 x 340 = 78,2. Assim, 23% de R$ 340,00 é R$ 78,20. Às vezes, os números decimais aparecem um pouco disfarçados. Você já ouviu falar das lapiseiras  zero-cinco? Examinando a lapiseira, vemos escrito 0.5 (zero ponto cinco). Essa é a maneira dos norte-americanos e ingleses escreverem 0,5 (zero vírgula cinco), porque eles usam ponto

no lugar da vírgula. No caso da lapiseira, o número indica o diâmetro da ponta, em milímetros. Lapiseira  zero-cinco é a que tem uma ponta com 0,5 (ou meio) milímetro de diâmetro. Outro exemplo de número com vírgula disfarçado está na conhecida expressão motor um ponto oito. Nesse caso, o número é 1,8. Isso significa que os cilindros do motor têm uma capacidade de 1,8 litros. Quanto maior essa capacidade, mais potente é o motor.

ENSINO DOS NÚMEROS DECIMAIS Os exemplos apresentados mostram a importância dos números decimais no dia a dia. Note que eles são muito mais usados que as frações. Estas também servem para representar partes da unidade, mas não aparecem em preços, medidas ou quantias em dinheiro. Estão menos presentes no dia a dia. Mesmo sendo importantes, os decimais não são agradáveis aos alunos. Temse constatado que alunos do final do 1° Grau e até do 2" Grau encontram grande dificuldade em lidar com eles. Confundem 0,2 com 0,02, acham que 0,20 é maior que 0,2, freqüentemente erram divisões simples como 0,34 + 3,4. Dessas observações tiramos duas conclusões em relação ao ensino. A primeira é de que os decimais deveriam ocupar mais tempo das aulas do que as frações. Atualmente, acontece o contrário, as frações ocupando um ou dois bimestres letivos na 4a e na 5a séries. A segunda conclusão é que deveria ser mais trabalhada a compreensão da escrita decimal com vírgula, evitando as dificuldades às quais já nos referimos. Em geral, já na 4 a série são dadas as regras para efetuar as quatro operações com decimais e tudo isso é repetido na 5 a série. No entanto, toda essa informação é de eficácia duvidosa, porque os alunos não entendem essas regras. Melhor seria saber menos sobre contas e compreender as idéias relativas aos números decimais. Por exemplo, parece desnecessário ensinar divisão de decimais na 4a série, já que ela é pouco usada na prática e difícil de compreender. O tempo que seria utilizado na divisão pode ser muito bem aproveitado, como veremos a seguir. Passamos a apresentar algumas idéias para um ensino dos decimais voltado para a compreensão.

IDÉIAS PARA ENSINO DOS DECIMAIS NÚMEROS DECIMAIS E QUANTIAS EM DINHEIRO

Os sistemas monetários costumam ter uma unidade monetária dividida em cem partes iguais, cada uma das quais é um centavo. Em épocas de inflação alta, os centavos deixam de ser usados porque o dinheiro perde valor rapidamente. Ultimamente, no Brasil, a inflação tem sido baixa e os centavos estão em uso. Para o ensino dos decimais isso é muito bom. Apresentando os números com vírgula, relacionados com o real e os centavos de real, o professor favorece o aprendizado das crianças. Veja porquê. • Desde a 2a série, os alunos podem se familiarizar com o números com vírgula escrevendo quantias em dinheiro. • As quantias em dinheiro ajudam a entender adições e subtrações. Por exemplo, alunos de 3 a série costumam fazer mentalmente o cálculo 7 0,30 = 6,70 pensando em dinheiro: 7 reais menos 30 centavos é igual a seis reais e 70 centavos. Por outro lado, já é mais difícil que eles compreendam esse cálculo feito no papel, devido ao fato de escrevermos 7,00 no lugar de 7:

7 - 0,30

->

7,00 - 0,30 6,70

• Os centavos também ajudam a compreender certas multiplicações. Por exemplo, se uma criança nunca foi ensinada a efetuar multipli cações envolvendo números com vírgula, é natural que ela pense que 10 x 0,10 = 0,100. No entanto, se no lugar de 0,10 a criança pensar em R$ 0,10 (dez centavos de real), é provável que ela perceba que 10 x 0,10 = 1, pois 10 vezes dez centavos resultam em um real. (Ou pensando com o vocabulário matemático: dez vezes 10 centési mos é igual a 100 centésimos, que é igual a uma unidade.) NÚMEROS DECIMAIS E MEDIDAS

Em geral, os números com vírgula ganham significado se forem trabalhados  junto com medidas, ou seja, com as unidades de medida e os instrumentos de medida mais conhecidos. Assim, convém que se exer-

cite a escrita e a leitura dos decimais, bem como o cálculo com eles, em situações-problema envolvendo pesos, comprimentos, fitas métricas, balanças, etc. Tendo esse objetivo, repare que: números como 1,25 ou 3,70 (além de indicar quantias em dinheiro) podem ser relacionados com metros e centímetros. números como 1,5, 3,2, 7,5 (com uma só casa decimal) podem ser relacionados com temperaturas. Com um termômetro comum, desses que medem a febre, pode-se realizar uma atividade que ajuda a entender números com vírgula e contribui para o aprendizado das Ciências. Trata-se de fazer cada criança medir, 1er e registrar sua própria temperatura com o termômetro. Ao 1er as temperaturas na escala do termômetro, percebe-se, entre outras coisas, como os números com vírgula podem ser organizados numa linha reta, como podem ser escritos em ordem crescente, etc.

números como 0,655 ou 3,750 (com três casas decimais, isto é, chegando aos milésimos) podem ser relacionados com quilogramas e gramas. As atuais balanças eletrônicas são um bom exemplo do uso desses números. Esses números talvez só devam ser trabalhados na 4 a série, pois não é fácil para as crianças formar a idéia do que é um milésimo. NÚMEROS DECIMAIS E MATERIAL BASE DEZ

Mesmo usando dinheiro, unidades e intrumentos de medida como recursos de ensino, há propriedades importantes da escrita decimal com vírgula, que não ficam claras para as crianças. uma delas refere-se ao zero à direita da vírgula, no final da escrita do número. É fundamental perceber o papel desse zero e saber que, por exemplo, 7,00 = 7 ou 0,2 = 0,20. Por isso, sugerimos mais um auxiliar do aprendizado: o material dourado ou material base dez.

Convém usar três tipos de peças do material: a placa, a barra e o cubinho. Em vez do material em madeira, é equivalente usar cartolina: um quadrado, uma faixa e um quadradinho, de modo que o quadrado contenha 10 faixas, cada uma das quais contém 10 quadradinhos. Convenciona-se que a placa vale 1 unidade, a barrinha vale 1 décimo da unidade e o cubinho vale 1 centésimo da unidade.

Veja a representação de 1,23 com esse material:

O material permite visualizar que: • o algarismo à esquerda da vírgula ( 1 no exemplo) corresponde às unidades; • o primeiro algarismo à direita da vírgula corresponde aos décimos (2 décimos no exemplo); • o segundo algarismo corresponde aos centésimos (3 centésimos no exemplo). Com essas idéias pode-se perceber que 0,2 e 0,20 são iguais. (A tendência das crianças é supor que 0,20 > 0,2.) Veja uma maneira de explicar a igualdade: • 0,2 corresponde a 0 unidade e 2 décimos; • 0,20 corresponde a 0 unidade, 2 décimos e 0 centésimo;

• a diferença entre os dois números é zero centésimo, ou seja, nenhuma! Esse raciocínio deve ser muito abstrato para crianças. No entanto, o material ajuda a explicar o mesmo fato de outro jeito. Observe: O material permite ver que cada 10 centésimos formam 1 décimo. Portanto, 20 centésimos formam 2 décimos. Assim, 20 centésimos são iguais a 2 décimos.

PARA ENCERRAR Os números decimais são um tema rico e importante do ensino de Matemática do 1° Grau. Apresentamos algumas idéias fundamentais para seu ensino, mas, de maneira alguma, esgotamos o assunto. Fica para o colega um campo vasto para reflexão e pesquisa.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS O PROBLEMA DOS PROBLEMAS É muito frequente professores dizerem que ensinam Matemática para desenvolver o raciocínio das crianças. Quase todos concordam que a melhor forma de atingir esse objetivo de ensino é por meio da resolução de problemas. Portanto, quase todos acreditam na extrema importância dos problemas. Pena que eles sejam também uma tremenda dificuldade! Dizemos dificuldade, porque a maioria dos professores apontam a resolução de problemas como o maior obstáculo que os alunos enfrentam. Isto é, problemas de Matemática constituem um problema no ensino! Será que é possível melhorar essa situação?

PRIMEIRAS IDÉIAS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Pode-se até pensar que nada se pode fazer para superar as dificuldades das crianças na resolução de problemas. Afinal, nós, professores, não podemos pensar por nossos alunos. De nada adianta ensinar-lhes a resolver um problema porque, se eles não pensam por si mesmos, o próximo problema já não saberão fazer. No entanto, o argumento apresentado não se sustenta. Há vários procedimentos que melhoram o desempenho dos alunos em problemas. Começamos mostrando algumas sugestões de professoras experientes e que observam bastante suas crianças. Algumas professoras já notaram que a simples menção da palavra  problema é  perturbadora para certos alunos. Provavelmente, essas crianças têm lembranças negativas em relação a problemas de Matemática desde séries anteriores, ou receberam essas idéias negativas de irmãos mais velhos ou dos pais. Por isso, essas professoras evitam a palavra problema. Às vezes, quando vão propor um problema mais difícil que o habitual, elas dizem que vão propor um desafio. E isso até aumenta o interesse das crianças! Outras professoras notaram que os problemas tratam, às vezes, de situações com as quais as crianças não têm familiaridade. Por exemplo,

crianças de classe média que vivem em grandes cidades não costumam fazer compras para os pais e mal sabem o que é troco. Por isso, não sabem o que fazer em problemas envolvendo compras. Por outro lado, muitas crianças de zona rural não têm idéia do que é um supermercado e acabam também não compreendendo esses problemas. Esse tipo de dificuldade pode ser solucionado! uma boa forma é dramatizar o problema, isto é, junto com os alunos fazer uma espécie de teatro, representando o que acontece no problema. Um menino faz o papel de vendedor, uma menina representa a compradora e assim por diante. Os alunos se divertem e aprendem. Outra contribuição à resolução de problemas é eliminar os problemas artificiais, mal feitos, que tratam de situações muito fora da realidade. Por exemplo, veja este caso:  No almoço, Maria comeu 0,265 da melancia. Quanto sobrou para o jantar?

Ninguém separa a melancia em milésimos para comer 265 milésimos. Esse problema é absurdo e não deveria ser proposto aos alunos porque os faz perder o interesse pela Matemática. Há só uma situação em que os problemas absurdos poderiam ser trabalhados. E quando eles podem ser criticados. Se a professora e os alunos dialogam sobre esses problemas e os alunos percebem que são irreais, então alguma coisa se aprende. Algumas professoras também observaram que é bastante negativo dar como tarefa seqüências de problemas parecidos (todos de subtração, por exemplo). Da mesma forma, é negativo explicar um  problema-modelo e passar como tarefa problemas iguais ao modelo. Esses dois procedimentos tornam a criança incapaz de enfrentar desafios. Ele se . acostuma a resolver apenas problemas que ela já sabe e nem tenta pensar em situações diferentes das conhecidas. Da última observação conclui-se que o raciocínio necessário para resolver problemas precisa ser exigido em situações novas e variadas, para que seja exercitado e se desenvolva. uma última observação. Às vezes, as crianças não resolvem certos problemas por desconhecerem os significados das operações. Esse tema já

foi tratado em outro artigo e não vamos repetir o que já dissemos. Recomendamos que o colega leia o referido artigo.

IDÉIAS FUNDAMENTAIS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS As idéias da sessão anterior contribuem para a resolução de problemas, mas não bastam. Apresentaremos agora idéias mais importantes, que são muito eficazes e afetam não só o trabalho com problemas, como também o ensino de Matemática como um todo. A ABORDAGEM PROBLEMATIZADORA

O que quer dizer isso? O objetivo é exercitar o raciocínio em todas as oportunidades em que isso é possível. Deve ocorrer em todas as aulas e não só nas aulas de Matemática. A razão é que não podemos ficar esperando que nossos alunos raciocinem, apenas no dia em que trabalhamos problemas de Matemática. Vejamos um exemplo do que é a abordagem problematizadora. Imagine que a professora e os alunos estão lendo uma história numa aula de Língua Portuguesa. A heroína da história é uma menina que vive algumas aventuras. Em certos momentos da leitura, a professora pode fazer perguntas como esta: - Vocês notaram que a Luisinha se meteu numa encrenca? Se você fosse a  Luisinha, como é que você sairia dessa?

Essa questão é um problema, embora não seja problema de Matemática. Foi proposto oralmente para ser respondido com palavras, mas isso não impede que exercite o raciocínio. Assim, uma abordagem problematizadora consiste em tratar os mais diversos assuntos como se fossem problemas. Em outras palavras, problemas escritos e problemas de Matemática não são os únicos que merecem nossa atenção. Já recomendamos que a abordagem problematizadora seja usada também no ensino das contas. Recomendamos que o colega leia o artigo Cálculo e raciocínio.

O DIÁLOGO

Logo no início deste texto dissemos que não podemos pensar por nossos alunos. Portanto, cada problema deve ser resolvido pelas crian-

ças e não por nós. Sendo assim, de que maneira será possível ajudá-los na resolução, sugerir caminhos e raciocínios? A resposta está na troca de idéias, no diálogo. Vamos esclarecer esse diálogo por meio de um exemplo. Suponha que a professora proponha que seus alunos resolvam em grupo alguns problemas de Matemática. Os problemas podem ter sido selecionados de um livro didático ou criados por ela. Os alunos reúnem-se em grupos de três, vão lendo os problemas, conversando entre si e tentando resolver. A professora, passeia pelos grupos, pára ora num, ora noutro, faz perguntas. Ela percebe que um grupo escolheu um caminho incorreto e pergunta - Por que você está fazendo essa conta de vezes? Ela não quer corrigir esses alunos; ela quer fazê-los refletir sobre o que fizeram para que eles mesmos se corrijam. Outro grupo não faz progresso. A professora percebe e tenta ajudar com uma pergunta: - O que a gente tem que descobrir: o   preço do refrigerante ou a quantidade de garrafas? Assim, ela procura orientar o raciocínio do grupo. Na situação de nosso exemplo está ocorrendo diálogo, troca de idéias, entre os alunos e entre estes e o professor. Em conseqüência, cada um ajuda os demais, sugere idéias para os outros, sem pensar por eles. Em particular, o professor passa um pouco de sua experiência com a Matemática para seus alunos, ao mesmo tempo ajudando-os a viverem suas próprias experiências. O diálogo, tal como o descrevemos, valoriza o raciocínio do aluno, porque este é constantemente ouvido pelo professor e pelos colegas. Em conseqüência, o aluno se sente estimulado a raciocinar. Normalmente, uma maneira ideal de complementar uma aula de problemas, resolvidos em grupo, consiste em pedir que alguns alunos expliquem para o resto da classe como resolveram um ou outro dos problemas. Assim, mais uma vez, o raciocínio dos alunos é valorizado e cada um aprende com os demais. O diálogo não está presente apenas quando problemas são resolvidos em grupo. Ele é a base de qualquer abordagem problematizadora. Sempre que o professor pergunta, ouve seus alunos e estes também podem apresentar suas idéias, promove-se o diálogo e estimula-se o raciocínio.

PARA CONCLUIR Apresentamos duas idéias fundamentais e outras idéias de menor alcance, mas muito úteis, sobre resolução de problemas. Aplicando essas idéias, consegue-se melhorar significativamente o desempenho dos alunos. Alguns progredirão mais, outros menos, mas alguma melhora é garantida sempre. Alertamos o colega, porém, que a aplicação dessas idéias exige dedicação, reflexão e experiência. Aos poucos, adquire-se a sensibilidade para ajudar os alunos sem pensar por ele, encontram-se problemas adequados e motivadores e consegue-se abordar de maneira problematizadora cada assunto tratado na sala de aula. Não é fácil, mas todo professor concordará que vale a pena!

FRAÇÕES AS CRIANÇAS E AS FRAÇÕES Na maioria das escolas, as crianças começam a aprender sobre frações na 3 a série. Esse aprendizado continua na 4a série. Em alguns momentos, especialmente quando são ensinadas as operações com frações, as crianças encontram enormes dificuldades. Às vezes, chegam a saber como efetuar as operações, mas, examinando com atenção, perceberemos que não se trata de verdadeiro aprendizado. Elas não entendem o que estão fazendo e apenas repetem os procedimentos ensinados pelo professor de maneira mecânica. Além disso esquecem rapidamente o que lhes foi ensinado. Tanto é assim que o assunto é inteiramente repetido na 5 a série. Assim, é natural fazer perguntas como estas: • Qual o motivo dessa dificuldade em aprender as operações com frações? • Vale a pena todo o esforço que muitos professores fazem para as crianças aprenderem a calcular com frações?

UM POUCO DE HISTÓRIA As frações foram criadas há milhares de anos, no antigo Egito, no tempo dos faraós e das pirâmides. Serviam, entre outras coisas, para expressar medidas. Por exemplo, se um muro tem mais de 1 metro e menos de 2 metros de comprimento, para expressar seu comprimento exato podemos usar uma fração. Ele pode ter, digamos, 2 metros mais 3/4 de metro de comprimento ou, usando números mistos, 2 3/4 metros. No entanto, atualmente, ninguém expressaria esse comprimento usando frações. No exemplo que vimos, como 3/4 é igual a 0,75, diríamos que o comprimento do muro é 2,75 metros. Os números decimais foram inventados há cerca de 500 anos, justamente para expressar medidas no lugar das frações, porque é mais fácil operar com decimais do que com frações. Também é mais fácil comparar (isto é, determinar qual o maior número) decimais do que comparar frações. Pelo que vemos a nossa volta, a invenção dos decimais foi

bem sucedida. Os números decimais com vírgula vêm substituindo as frações em quase todas as aplicações. No dia a dia, estas só aparecem constantemente nas receitas de culinária, nas quais usam-se medidas como 1/2 colher ou 3/4 de xícara.

AS FRAÇÕES NA ESCOLA As frações são, então, pouco usadas no dia a dia. O que não se usa, acaba se perdendo. É por essa razão que poucas pessoas adultas sabem fazer cálculos com frações, mesmo tendo ido à escola e aprendido o assunto por muito tempo. Essa é também uma das razões pelas quais as crianças têm dificuldades com as frações. O dia a dia não oferece exemplos de fração, não contribui para que elas se familiarizem com essa idéia. Essas considerações são importantes para o ensino de Matemática. Os números decimais são mais úteis que as frações, do ponto de vista prático. Por que, então, na escola, as frações ocupam mais tempo que os números com vírgula? Por outro lado, embora tenham atualmente menos utilidade prática, as frações não podem ser abandonadas. Elas têm importância para diversos conteúdos de Matemática que muitos alunos aprenderão mais tarde, como Álgebra ou Probabilidade. Assim, no ensino, deve-se dar às frações seu justo lugar. De 1 a à 4a série, convém trabalhar o conceito de fração, mas não as operações e outras técnicas mais complicadas (tais como conversão em número misto, etc), que são pouco usadas. No entanto, a partir da 5 a série, essas técnicas podem ser abordadas (sem exageros em cálculos como alguns ainda fazem), sendo razoável continuar seu estudo na 6 a e mesmo na 7a série. Dessa maneira, elimina-se boa parte das dificuldades que os alunos enfrentam na 3a e 4a série com as frações. Quando, mais tarde, eles estudarem os temas mais complexos, terão melhores condições para entendê-los, pois possuirão mais experiência e maturidade. Ao mesmo tempo, são atendidas as necessidades do dia a dia. Reduzindo o esforço com frações nas 3 as e 4as séries, pode-se trabalhar temas mais relevantes socialmente, como números decimais ou Estatística.

O CONCEITO DE FRAÇÃO Dissemos que a maior parte do trabalho com frações até a 4 a série deve-se concentrar no conceito de fração. Esse conceito está, no início, ligado à divisão de uma unidade ou um total em partes iguais. Esse total pode ser uma figura (uma unidade) ou uma quantidade (uma classe de alunos, por exemplo). Assim, para começar, devemos tratar de frações de figuras e de quantidades. FRAÇÕES DE FIGURAS

É muito freqüente o professor apresentar a idéia de um todo, dividido em partes iguais por meio de desenhos. Por exemplo, desenha-se um retângulo dividido em 3 partes iguais e diz-se ao aluno que cada parte é 1/3 do retângulo. Diversas experiências de ensino têm mostrado que essa abordagem é insuficiente. Há vários motivos para isso. Um deles é que, devido à pouca experiência das crianças com as formas geométricas, muitas delas não são capazes de perceber que um retângulo está dividido em partes iguais, a partir do desenho. Assim, no ensino das frações, mais do que conveniente, é necessário começar o trabalho usando unidades concretas, como um círculo ou retângulo de cartolina, e suas partes. Por exemplo, a professora, antes mesmo de falar em fração pela primeira vez, pode dar às crianças uma unidade de cartolina e meios, terços, quartos e sextos dessa unidade, também em pedaços de cartolina, mas de cores diferentes:

As crianças devem manipular essas peças e, aos poucos, perceberem as relações de tamanho entre elas. Por exemplo, perceberem que duas

verdes fazem uma branca ou duas vermelhas fazem uma amarela. Só depois dessa percepção é que se deve nomear as peças (a branca corresponde a 1, cada verde corresponde a 1/2, cada amarela corresponde a 1/3, etc). E, depois disso, pode-se traduzir para a linguagem das frações as descobertas dos alunos em relação ao material. Por exemplo, o fato de duas vermelhas terem o mesmo tamanho que uma amarela significa que 2/6 = 1/3. Desse fato, outros podem ser deduzidos (como 1/ 6 < 1/3). Repare, então, que o material permite aos alunos descobrirem e visualizarem uma série de fatos sobre as frações que, somente a partir de desenhos, parecem incompreensíveis para eles. Apresentamos acima um material muito simples para iniciar o trabalho com frações. É conveniente notar que, se esse material for usado, o professor não deve se restringir a ele. É preciso trabalhar com outros materiais, de outras formas. A razão é que, quando lidamos com frações, o todo ou a unidade é variável. Podemos ter 1/3 de uma xícara, de uma peça de tecido, de um comprimento, etc.

FRAÇÕES DE QUANTIDADES Frações de retângulos ou círculos ajudam a formar o conceito de fração, mas não bastam. É preciso estender a idéia para situações do dia a dia, como nas receitas de bolo (- Encha 1/4 de xícara de água.) ou na linguagem comuni (Que fração da tarefa já foi feita?). Finalmente, é preciso chegar às frações de quantidades. Nos livros didáticos são comuns problemas como este:   Marialva comprou 20 adesivos para enfeitar o caderno. Já usou Quantos ela já usou ?

1/5 deles.

Mesmo tendo trabalhado com frações de figuras, usando materiais e desenhos, muitos alunos não percebem que a quinta parte de 20 objetos é obtida dividindo-se 20 por 5. Isto é, eles não associam a divisão das figuras em partes iguais com a divisão de quantidades em partes iguais. Por isso, o professor deve ser cuidadoso ao iniciar o trabalho com frações de quantidades. Nas primeiras vezes em que trabalhar com problemas desse tipo, o professor deve pedir que os alunos desenhem os objetos e separem-nos

em partes iguais. Por exemplo, desenham-se os 20 adesivos, para separá-los em 5 grupos de mesma quantidade, permitindo verificar que l/õ de 20 é igual a 4. Em pouco tempo os alunos perceberão que não é necessário desenhar e que, nessas situações, pode-se efetuar uma divisão. Mas é importante que percebam por si mesmos para garantir o entendimento.

PARA CONCLUIR As idéias de fração de figura e de quantidade parecem o bastante para uma 3 a série. Se os alunos forem capazes de nomear partes de um todo usando frações de denominadores "pequenos", como meios, terços, sextos, se conseguirem representar essas frações por meio de desenhos, se usarem essas frações na fala do dia a dia, se souberem calcular, digamos, dois terços de uma quantia, então, já têm um conhecimento adequado para a faixa escolar de 3a / 4a série.

ANOTAÇÕES

Imenes, Luis Márcio. I32c Conversa de professor: Matemática/Luís Márcio Imenes e Marcelo Lellis. — Brasilia, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação ã Distância, [1996]. 49p. il. (Cadernos da TV Escola) 1. Matemática — Material institucional. I. Lellis, Marcelo. II. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação à Distância. III. Série. CDU: 372.47:371.671.12