MatemaFinanciera-6

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

http://www.ujcm.edu.pe/bv/links/cur_contabilidad/MatemaFinanciera-6.pdf

LECCIÓN Nº 11 y 12

ANUALIDADES VENCIDAS OBJETIVO: ¾ El objetivo de este capitulo es reconocer, definir y clasificar los diferentes de tipos de anualidades y en espacial las anualidades vencidas.; ¾ Identificar y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades ¾ Al terminar el estudio se podrán calcular: montos o valores futuros, valores actuales, rentas de anualidades, tasas de interés y tiempos o plazos de anualidades vencidas. Introducción Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que, a partir del segundo, los períodos de tiempo comprendido entre un flujo y el anterior son uniformes. Este período uniforme de tiempo: período de renta, no es necesariamente un año, sino un intervalo de tiempo fijo, por ejemplo día, quincena, mes, trimestre, etc. Bajo estas características, son ejemplos de anualidades: los sueldos, dividendos, depreciaciones, amortizaciones, pensiones de enseñanza, pensiones de jubilación, primas de seguros, etc. Dentro de la anualidad, el importe de cada flujo (ingreso o egreso), recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

Clasificación de las anualidades. Temporal Cierta Perpetua

Vencida u ordinaria Anticipada Diferida

Simple

General Eventual o contingente

Vitalicia Temporal

Vencida Anticipada Diferida

Impropia o variable

Anualidades ciertas Son aquellas anualidades cuyas condiciones se conocen de antemano (plazo, tasa, días del período capitalizable, etc.) y se establecen previamente, generalmente por contrato entre las partes intervinientes (deudor y acreedor). Estas anualidades de acuerdo a su duración pueden ser: ¾

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Temporales. Cuando el horizonte temporal es un plazo determinado. Por ejemplo, cuando se contrae un crédito a través de Leasing u otra modalidad a un plazo específico.

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¾

Perpetuidades. Son anualidades en la que el fin del horizonte temporal no está determinado, como por ejemplo: la emisión de bonos que en algunos países pagan una renta a perpetuidad.

Anualidades eventuales o contingentes. Son aquellas cuya fecha inicial o terminal dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede especificarse por estar en función de algún acontecimiento externo no previsible exactamente. Son ejemplos de anualidades eventuales los seguros de vida, en los cuales se conocen la renta pero su duración es incierta. El desarrollo de estos flujos corresponde al campo de las matemáticas actuariales, el cual demanda no sólo el conocimiento del interés compuesto sino también las probabilidades. Estas anualidades a su vez pueden ser: ¾

Vitalicias. Es una anualidad que tiene vigencia mientras dure la vida del rentista.

¾

Temporales. Es en esencia, una anualidad vitalicia cuya diferencia con ella estriba en que termina después de un determinado número de pagos, aun cuando el rentista continúe con vida.

Las anualidades ciertas y contingentes pueden ser a su vez: ¾

Vencidas u ordinarias: cuando las rentas se inician a fin de período.

¾

Anticipadas o imposiciones: cuando las rentas se inician a comienzo de período.

¾

Diferidas: cuando las rentas se inician después de un determinado numero de periodos de renta, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando. Las rentas diferidas pueden ser, a su vez, vencidas o anticipadas.

Las anualidades en general pueden ser a su vez: ¾

Simples: cuando el período de renta coincide con el período de capitalización.

¾

Generales: cuando el período de renta no coincide con el período de capitalización. Pueden darse varios períodos capitalizables por período de renta, o varios períodos de renta por período capitalizable.

¾

Impropias o variables: son anualidades cuyas rentas no son iguales.

Simbología P = Valor presente de una anualidad S = Monto de una anualidad, valor futuro R = Renta H = Número de días del plazo de la anualidad a interés compuesto f = Número de días del período de capitalización n = Número de períodos de capitalización en el Horizonte temporal (n = H/f) i = Valor constante que asume la tasa de interés del período capitalizable.

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m = Número de períodos de capitalización en un año de la TNA. Esquema de la clasificación de las anualidades ciertas temporales

Esquema de la clasificación de las anualidades ciertas temporales.

Vencida

Anticipada

Vencida diferida ( 2Rentas )

Anticipada Diferida (2 Rentas)

R

R

R

R

R

R

0

1

2

3

4

n-1

n

R

R

R

R

R

R

0

1

2

3

4

n-1

n

X

R

R

R

R

2

3

4

n-1

n

R

R

R

R

2

3

4

n-1

0

1

0

1

n

Las anualidades perpetuas tienen un esquema similar a las temporales con un numero de periodos capitalizados que tienden a infinito. 1.

Anualidades y rentas ciertas vencidas.

Las rentas pueden ser capitalizadas (monto de una anualidad), descontadas (valor presente de una anualidad) o evaluadas en cualquier momento de un determinado horizonte temporal, aplicando el principio de equivalencia financiera. A partir de un stock de efectivo ya sea en el presente o en el futuro, es posible calcular el importe de su correspondiente flujo uniforme o renta constante. FORMULAS CLAVES DE CÁLCULO FINANCIERO DIAGRAMAS Indica entrada de dinero Indica salida de dinero

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CIRCUITO MATEMATICO FINANCIERO Sentido retrospectivo

P=S (FSA) P=R (FAS)

S (capital final)

R

R i

i

0

R i

i

n

R = Serie uniforme de pagos S=P (FSC)

P (capital inicial)

S=R (FCS)

Sentido proyectivo

FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION FSC = ( 1 + i) n Transforma una cantidad presente o capital inicial P en un valor futuro o capital final (S), por lo tanto al final de n periodos a interés compuesto se tendrá: S = P x FSC i - n

Donde i representa la tasa de interés nominal del periodo expresado en tanto por uno y n él numero total de periodos de tiempo. Esta formula no es otra que la empleada en el interés compuesto cuando necesitábamos hallar un monto (S) donde: S=Px(1+i)n

Ejemplo ¿Cuál será el monto de un deposito de ahorros de S/ 900.00 a una tasa nominal mensual de 5.65% con capitalización mensual si se cancela después de 5 meses? Datos P = 900 S=? P = 900 i = 5.65% ó 0.0565 n = 5 meses S = ? 1 2 3 4 5 Solución S =

i = 0.0565

P x FSC0.0565 – 5

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S S S

= = =

900 x ( 1 + 0.0565) 5 900 x 1.316278 1,184.65

Respuesta.- El monto o capital final después de 5 meses será S/ 1,184.65 FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION

FSA = 1 (1+i)n

Se deriva de la formula anterior despejando P: P=Sx donde : FSA =

1 (1+i)n

1 (1+i)n

Este factor transforma una cantidad futura (S) en una cantidad presente (P) cuando hay n periodos antes a una tasa de interés compuesto. P = S x FSA i - n

Ejemplo ¿Cuál será el valor actual de un depósito que puesto a una tasa efectiva anual del 11% producirá un monto de US$ $ 125,235 durante un año? Datos P i n S

= = = =

? 11% ó 0.11 anual 1 125,235

Solución P = S x FSA 0.11 – 1 P = 125,235 x ( 1 / ( 1 + 0.11)1) P = 112,824.32

S = 125,235

P=?

i = 0.11

1año

Respuesta: El valor actual de un monto de US$ 112,824 colocado a una tasa de 11% en un año será USD 112,824.32

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FACTOR DE CAPITALIZACION DE LA SERIE

FCS =

( 1+ i ) n - 1 i

S (capital final)

R x ( 1 + i ) n-1 R x ( 1 + i ) n-2 R x ( 1 + i ) n-3

i

0

R

i

i

R

R

i

3

2

1

R

n

R = Serie uniforme de pagos

Cada pago R esta sometido a interés compuesto por n periodos el primero durante n – 1 periodos, el segundo durante n – 2 periodos y así él ultimo no devenga interés. Una vez que todos los pagos uniformes se han capitalizado en el momento n se procede a sumar para llegar al monto o capital final (S. La formula general es:

S=Rx

(1+i)n -1 i

FCS =

(1+i)n–1 i

FACTOR DE CAPITALIZACION DE LA SERIE UNIFORME

Este factor transforma una serie uniforme de pagos o depósitos los cuales al capitalizarse a un interés compuesto generan un monto o capital final. S = R x FCS i - n Ejemplo: ¿Que monto habré acumulado si efectúo 4 depósitos mensuales iguales de US$ 150 en mi cuenta de ahorros la cual me paga una tasa mensual de 0.56% con capitalización mensual?

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i

i

0

R = 150

R = 150

R = 150

S=?

i

i

1

R = 150

2

3


N = 4 meses

i = 0.0056

Datos R = 150 i = 0.0056 mensual n = 4 meses S=? Solución S = R x FCS 0.0056 – 4 S = 150 x

( 1 + 0.0056 ) 4 - 1 0.0056

S = 150 x 4.033726 S = 605.06 Respuesta: Acumularé US$ 605.06 FACTOR DE DEPOSITO AL FONDO DE AMORTIZACION FDFA = i ( 1 + i) n – 1 Viene a ser la inversa del Factor de capitalización de la serie. Este factor nos ayuda a calcular las series de pagos uniformes que tendríamos que hacer para que transcurrido un plazo n y ganando una tasa de interés, lleguemos a formar un monto o capital final predeterminado. R=Sx

i (1+i)n–1

Este factor transforma un valor futuro S en pagos o series uniformes de pagos por lo tanto: R = S x FDFA i – n

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Ejemplo Me he trazado la meta de comprarme un auto usado cuyo precio es US$ 4,500 y me he propuesto efectuar depósitos en mi cuenta de ahorros que me permitan llegar a esa cantidad en un plazo de 12 meses. ¿Cuánto tendré que depositar mensualmente? S = 4,500

R=?

R 0

R

R

R

i = 0.0056

R

3

R

R

R

R

6

R 9

R

R

n = 12 meses


Datos S = 4,500 n = 12 i = 0.0056 o 0.56% mensual R= ? Solución R = S x FDFA 0.0056 – 12 R = 4,500 x

0.0056 ( 1 + 0.0056 ) 12 – 1

R = 4,500 x 0.080798 R = 363.59 Respuesta: Tendré que depositar mensualmente US$ 363.59 FACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL

FRC =

i x ( 1+ i)n (1+i)n–1

Transforma un capital inicial o presente en una serie de pagos uniformes que contienen un interés y una amortización. Esta es la formula mas utilizada a nivel bancario y se basa en el cobro de una tasa de interés a rebatir sobre el saldo impago así como en la amortización del préstamo durante el plazo del crédito. R = P x FRC i - n Ejemplo ¿Cuál es la cuota mensual que deberé pagar si en lugar de efectuar los depósitos en mi cuenta de ahorros decido solicitar un crédito a 12 meses a una tasa efectiva anual de 22% y con pagos y capitalización mensual?

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P = 4,500

R

R

i =22% anual

R

R

R

R

R

R

3

6 i R = Serie uniforme de pagos

R

R

R

R 0

9

n = 12 meses

Datos n = 12 i = 22% o 0.22 anual R= ? P = 4,500 Solución Como mi i esta en términos anuales y mi n esta en términos mensuales, tengo que hallar la tasa equivalente mensual para una TEA = 22% luego: ieq

( 1 + 0.22) 1/12 - 1

ieq = ieq

= ( 1 + ief) f / H - 1

= 0.016709

R = P x FRC 0.016709 – 12 R = 4,500 x

0.016709 x (1+0.016709)12 ( 1 + 0.016709 ) 12 – 1

R = 4,500 x 0.092659 R = 416.96 Respuesta: Tendré que pagar mensualmente US$ 416.96 FACTOR DE ACTUALIZACION DE LA SERIE

FAS =

(1+i)n–1 i x ( 1+ i )n

El FAS transforma una serie de pagos mensuales en un valor presente o capital inicial. Es exactamente la inversa del FRC por lo tanto: P = R x FAS i – n Ejemplo ¿Cuál será el valor actual de los pagos de US$ 416.96 mensuales que tengo que hacer en los 12 meses? P=?

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i =22% anual

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R = 416.96

R 0


R

R

R

R

R

3

R

R

6

R

R

R

R

9 n = 12 meses

Datos n = 12 i = 22% o 0.22 anual R = 416.96 P=? Solución P = R x FAS 0.016709 - 12 R = 416.96 x

(1+0.016709)12 - 1 0.016709 x (1 + 0.016709)12

R = 416.96 x 10.792260 R = 4,500 Respuesta: El valor actual es US$ 4,500 (sí consideramos todos los decimales se redondea a US$ 4,500) CALCULO DE n EN UNA ANUALIDAD. A partir de las formulas: S = R x FCS ó P = R x FAS ó

R = S x FDFA R = P x FRC.

Podemos calcular n, empleando el método del “tanteo” o despejándola directamente de cualquiera de lasa formulas señaladas anteriormente. ¾ Cálculo de n en función al FCS o FDFA. Ya que el FCS y FDFA son recíprocos, el despeje de n a partir de las fórmulas antes señalada nos dará el mismo resultado:

S=

R(1+i)^n-1 i

Si = R ( 1 + i ) n - R R ( 1 + i ) n = Si + R Log R + n Log ( 1 + i ) = Log ( Si + R ) n Log ( 1 + i ) = Log ( Si + R ) - Log R

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Log

n=

Si +1 R Log ( 1 + i )

Cálculo de n en función al FRC o FAS. Ya que el FRC y el FAS son recíprocos, el despeje de n a partir de las formulas antes mencionadas nos dará el mismo resultado. R = P

i(1+i)^n (1+i)^-1

R = P

i 1-(1+i)^-n

R 1 -( 1 + i ) ^ - n

=Pi

- ( 1 + i ) ^ -n = Pi/ R - 1 ( 1 + i ) ^ -n = 1 - Pi/ R

Log

n= -

1-

Pi R

Log ( 1 + i )

Ejemplo: ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/. 500 serán necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/. 5474.86 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual? Solución: Planteando la ecuación de equivalencia S = R x FCS ó R = S x FDFA y despejando en cualquiera de ellas llegamos a la fórmula, que se resuelve del siguiente modo.

n=

n=? i = 0.24/12 R = 500

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Log

Si +1 R Log ( 1 + i )

Reemplazando datos: n = 10.

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S = 5474.86 Ejemplo: ¿Con cuantas cuotas constantes trimestrales vencidas de S/. 500 se podrá amortizar un préstamo de S/. 5000, por el cual se paga una TET del 6.1208%?. Solución. Planteando la ecuación de equivalencia P = R x FAS ó R = P x FRC y despejando n en cualquiera de ellas, llegamos a la formula, que se resuelve del siguiente modo.

n= -

Log

1-

Pi R

Log ( 1 + i )

n=? i = 0.061208 R = 500 P = 5000

Reemplazando datos. n = 15.93990757

Ya que no es aplicable pactar un crédito a 15.94 trimestres, la presente operación puede pactarse con 15 cuotas: 14 de S/. 500 y la última de un importe mayor, o con 16 cuotas: 15 de S/. 500 y la ultima de un importe menor. Adoptando esta última decisión la equivalencia financiera puede plantearse del siguiente modo: 5000 = 500 x FAS 0.061208 : 15 + X x FSA 0.061208 : 16 5000 = 4818.02 + 0.3865376086 X 181.98 = 0.3865376086 X X = 470.79 El diagrama de tiempo – valor de la anualidad impropia o variable es el siguiente: i=6.12%

P = 5000 0

1

2

3

R = 500

R = 500

R = 500

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n-1

R = 500 R = 500

n = 16 Trim x = 470.79

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Práctica Nro. 05 Nota: Los siguientes problemas deben ser resueltos por los estudiantes, cualquier consulta lo realizaran por correo del Docente: 1. Efectué las seis transformaciones financieras equivalentes considerando un capital inicial de S/. 1000, una TNA del 36% con capitalización mensual y 5 rentas vencidas de 30 días cada una. Respuesta: S=PxFSC = 1159.27; R=SxFDFA = 218.35; R=PxFRC = 218.35; P=SxFSA = 1000.00; P=RxFAS = 1000.00; S=RxFCS = 1159.27 S = P x FSC. 2. ¿Cuál será el monto de un Certificado de Depósito a Plazo Fijo comprado el 16 de marzo y cancelado el 15 de mayo? La inversión inicial fue de S/. 800 y la TNA fue del 12% con capitalización diaria. Respuesta: S = 816.16 3. ¿Cuál será el monto nominal de un pagare que será descontado faltando 38 días para su vencimiento? Al pagare se le aplicara una TNM del 3% con capitalización diaria y se requiere disponer un importe neto de S/. 1000. Respuesta: S = 1038.71 4. ¿Por qué monto tendrá que aceptarse un pagaré con vencimiento a 45 días necesitándose disponer de S/. 5000? En las operaciones de descuento el banco cobra una TEA del 20%. Respuesta: S = 5115.26 5. Hoy una persona deposita en un banco S/. 300, dentro de tres días S/. 400 y 14 días después de este último depósito, S/. 200 ¿Cuánto habrá acumulado 40 días después de haber efectuado el primer depósito si percibe una TNA del 18% con capitalización diaria? Respuesta: S = 915,84 S = R x FCS 6. Calcular el monto de una serie de 6 depósitos de S/. l000 efectuados cada uno de ellos al final de cada 15 días. Los depósitos perciben una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Respuesta: S = 6227.82 7. Industrias del Mar S.A. (Indumar) y Peruexport han celebrado un contrato por medio del cual la primera le alquila a la segunda un terreno por un período de dos años y por una renta de $ 500 mensuales, los cuales deberá depositar a fin de cada mes en una cuenta bancaria que le reportará a Indumar una TEA del 15%. Asumiendo que Peruexport cumplirá con su compromiso ¿qué importe habrá acumulado Indumar al finalizar el contrato de alquiler? Respuesta: S = 13764.50 8. En el mes de abril, la compañía SARA tuvo el siguiente movimiento en su cuenta corriente: efectuó depósitos de S/ 2000, los días 4 y 8 y S/. 3000 los días 12, 16 y 20; asimismo efectúo retiros de S/. I000 los días 12, 16 y 20; calcule el saldo de la cuenta corriente al día 20, si por los saldos deudores paga una TEM del 4% y por los saldos acreedores gana una TEM del 3%? Respuesta: S = 10079.29 P = R x FAS. 9. Calcule el importe a depositar hoy en un banco que paga una TEM del 3%, el cual permitirá retirar durante 5 meses ( a fin de cada mes ) una renta de S/. 900. Respuesta: P = 4121.74

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10 En un concurso de precios llevado a cabo para la adquisición de una Computadora (HP), los proveedores han presentado las siguientes propuestas: Proveedor

Meses 0

1

2

3

4

A

4000

3000

3000

3000

3000

B

3000

3250

3250

3250

3250

Los importes en el momento 0 representan la cuota inicial. Asumiendo una TEM del 5%. ¿Cuál seria su recomendación? ¿Por qué? Respuesta: PA = 14637.85; PB = 14524.34 11. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes propuestas a) al contado por S/. 10000 y b) al crédito con una cuota inicial de S/. 2000 y seis cuotas mensuales de S/. 1500. ¿Qué opción escogería usted si el costo del dinero es del 5% efectivo mensual? Respuesta: P = 9613.54 P = S x FSA. 12. Una deuda de S/. 4000 que vence dentro de 45 días se propone cancelarla hoy efectuando un pago de S/. 3800, ¿es conveniente para el acreedor esta propuesta, si su costo de oportunidad es del 5% efectivo mensual? Respuesta: P = 3717.71 13. Una letra con valor nominal de S/. 2000 ha sido descontada faltando 48 días para su vencimiento aplicando una TEM del 5%. ¿Qué importe neto recibirá el descontante?. Respuesta: P = 1849.81 R = S x FDFA. 14. Si deseamos acumular S/. 5000 en un banco mediante 5 depósitos iguales cada fin de trimestre ganando una TEM del 3%. ¿Cuál será el importe de cada depósito? Respuesta: R = 830.94 15. La empresa Textiles S.A. ha decidido ahorrar una determinada suma constante durante dos años, para adquirir una nueva máquina automatizada, cuyo costo será en esa fecha aproximadamente de $ 9000, Si la TEA que ganará en una institución de crédito es 15%, ¿a cuánto ascenderá cada depósito de fin de mes? Respuesta: R = 326.93 R = P x FRC. 16. Cuál es la cuota fija a pagar por un préstamo bancario de S/. 8000 pactado a una TNA del 24% para ser amortizado en 8 cuotas trimestrales? Respuesta: P = 1288.29 17. Un automóvil cuyo precio al cash es de $ 10000, es vendido al crédito con una cuota inicial del 35% y 12 cuotas mensuales uniformes vencidas. Calcule el importe de cada cuota si por el financiamiento cobran una TEM del 5%. Respuesta: P = 733.37 Cálculo de n (FCS y FDFA). 18 Se necesita adquirir una máquina evaluada en $ 8000. ¿Dentro de cuántos meses podrá disponerse ese importe, ahorrando cada fin de mes una suma constante de $ l800 en una institución financiera que paga una TEM del 2%? Respuesta: n = 4.300328793. Calculo de n (FRC y FAS) 19. ¿En cuánto tiempo podrá cancelarse un préstamo de S/. 15000 con pagos de S/. 2000 cada fin de trimestre? La entidad financiera cobra una TNA del 24% capitalizable trimestralmente. Respuesta: n = 10.25996573

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