MateDiscre_F01.pdf

Matemáticas discretas

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Presentación de la asignatura

La matemática discreta juega un papel importante en la formación de los Ingenieros Ingenieros de Sistemas por cuanto es el soporte conceptual y matemático ma temático que permite al estudiante abordar con mayor facilidad diversas temáticas temáticas contenidas en el currículo del Programa Académico de Ingeniería de Sistemas. La Matemática Discreta abarca abarca temáticas como: como: 1. Lógica proposicional: proposicional: aporta los fundamentos necesarios necesarios para el uso de operadores (aritméticos, booleanos, relacionales), jerarquía de operadores y el manejo de condicionales que le permiten al estudiante establecer controles en sus programas. 2. Grafos y árboles: permiten permiten entender el el concepto fundamental fundamental utilizado cuando estas estructuras se requieren en el diseño de programas de asignaturas como Estructuras de Datos y Estructuras de Información. 3. Teoría de Conjuntos, Conjuntos , relaciones y funciones: f unciones: aportan apo rtan en la compren comprensión sión de lo que sucede con las bases de datos, sus sus consultas, consultas, vistas, actualizaciones, actualizaciones, eliminación y modificación de la información. 4. Cuantificadores y conteo: ayudan a realizar análisis de algoritmos y determinan la eficiencia de los mismos. mismos. 5. Algebra 5. Algebra Booleana: Booleana: permite enfrentar enfrentar temáticas que tienen tienen que ver con circuitos digítales, digítales, su diseño gráfico, su optimización y diseño de d e tablas de verdad. 6. Cálculo de Predicados: Predicad os: facilita faci lita el abordaje abor daje de temáticas temáticas relacionada relacionada con el diseño de bases de datos de conocimientos utilizadas en la Inteligencia Inteligencia Artificial, específicamente en el desarrollo de sistemas sistemas expertos. Así, la matemática discreta se encuentra en una una buena proporción en la currícula de Ingeniería de Sistemas y por ende ende fortalece una de las áreas de ésta disciplina: la Programación de Computadores. Computadores. Fascículo No. 1 Semestre 2

El área de la lógica que se encarga de las proposiciones se denomina cálculo proposicional o lógica proposicional. Fue desarrollada sistemáticamente, por primera vez, vez, por el filósofo griego Aristóteles hace más de dos mil trescientos años.

CMatemáticas discretas

Matemáticas discretas Competencias generales de la asignatura

Los estudiantes a través del contenido deben desarrollar las siguientes habilidades, actitudes y aptitudes: Competencia comunicativa

Expresar y sustentar las soluciones a problemas de lógica matemática, de manera eficiente eficiente y demostrar si su razonamient razonamientoo es válido o no. Competencia cognitiva

Aplicar, de manera efectiva, efectiva, las reglas de inferencia para realizar realizar demostraciones directas y los cuantificadores en la abstracción de diversas situaciones cotidianas cotidianas que así lo requieran. Apropiar el concepto concepto de grafos, árboles y sus aplicaciones. aplicaciones. Demostrar, Demostrar , con solvencia, que a través de la utilización de un modelo de la lógica formal, denominado lógica bivalente, se puede explicar el funcionamiento funcionamiento de los circuitos circuitos electrónicos. electrónicos. Experimentar, de manera general, el funcionamiento que rige las compuertas lógicas. Competencia contextual

Aplicar, efectivamente, efectivamente, elementos de la lógica matemática en procesos pertinentes pertinentes a la utilización de lenguajes de Programación estructurados estructurados y orientados a objeto y a aquellos que se basan en reglas de inferencia, procesadores, circuitos electrónicos, electrónicos, probabilísticos probabilísticos y otros. Competencia valorativa

Comprobar el efecto de las decisiones de la matemática discreta en diferentes diferentes contextos de la Ingeniería. Identificar situaciones problemáticas en las cuales se pueden aplicar conceptos conceptos básicos de la matemática discreta para su solución. Matemáticas discretas

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Fascículo No. 1 Semestre 2

Matemáticas discretas Competencias generales de la asignatura

Los estudiantes a través del contenido deben desarrollar las siguientes habilidades, actitudes y aptitudes: Competencia comunicativa

Expresar y sustentar las soluciones a problemas de lógica matemática, de manera eficiente eficiente y demostrar si su razonamient razonamientoo es válido o no. Competencia cognitiva

Aplicar, de manera efectiva, efectiva, las reglas de inferencia para realizar realizar demostraciones directas y los cuantificadores en la abstracción de diversas situaciones cotidianas cotidianas que así lo requieran. Apropiar el concepto concepto de grafos, árboles y sus aplicaciones. aplicaciones. Demostrar, Demostrar , con solvencia, que a través de la utilización de un modelo de la lógica formal, denominado lógica bivalente, se puede explicar el funcionamiento funcionamiento de los circuitos circuitos electrónicos. electrónicos. Experimentar, de manera general, el funcionamiento que rige las compuertas lógicas. Competencia contextual

Aplicar, efectivamente, efectivamente, elementos de la lógica matemática en procesos pertinentes pertinentes a la utilización de lenguajes de Programación estructurados estructurados y orientados a objeto y a aquellos que se basan en reglas de inferencia, procesadores, circuitos electrónicos, electrónicos, probabilísticos probabilísticos y otros. Competencia valorativa

Comprobar el efecto de las decisiones de la matemática discreta en diferentes diferentes contextos de la Ingeniería. Identificar situaciones problemáticas en las cuales se pueden aplicar conceptos conceptos básicos de la matemática discreta para su solución. Matemáticas discretas

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Matemáticas discretas Contenido mínimo de la asignatura

Fascículo 1.

Cálculo Proposicional (Parte I) Proposiciones -

Definición Clases

Términos de enlace -

Simbología Conjunciones Disyunciones Condicionales

-

Bicondicionales Negaciones

-

Simbología

-

Jerarquía de los Términos de enlace

Inferencia Lógica Reglas de Inferencia Fascículo 2.

Cálculo Proposicional Proposicional (Parte II) Certeza y Validez - Tablas de Verdad - Tautología Contradicción - Falacia o Contradicción

-

Contingencia Contingencia (casualidad / eventualidad) Implicaciones Implicaciones y Equivalencias lógicas Diagramas de Certeza y Validez Conclusiones Conclusiones no válidas

-

Demostración Condicional

-


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Matemáticas discretas -

Algebra Declarativa Leyes de la Lógica

Fascículo 3.

Cálculo de Predicados Términos y Predicados - Términos - Predicados -

Simbolización Cuantificadores Especificación universal y las Leyes de Identidad

Fascículo 4.

Elementos de la Teoría de Conjuntos -

Conjuntos y subconjuntos Operaciones fundamentales con conjuntos Leyes del Algebra de Conjuntos Cardinalidad

Fascículo 5.

Principios de Conteo - Regla de la Suma - Regla del Producto -

Principio de Inclusión-Exclusión Permutaciones Combinatoria

Fascículo 6.

Relaciones y Funciones Relaciones y su representación Dominios y Rangos Propiedades de las relaciones


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Matemáticas discretas -

Relación Reflexiva Relación Simétrica Relación Antisimétrica Relación Transitiva Relaciones de Equivalencia Órdenes Parciales Funciones Función Inyectiva Función Sobreyectiva

-

Función Biyectiva Función Entera

-

Función piso (suelo)

-

Función techo

-

Fascículo 7

-

Grafos y Árboles Definición y Modelado de grafos Caminos, accesibilidad y conexiones

-

Caminos y ciclos hamiltonianos

-

Caminos y ciclos de Euler Grafos Isomorfos Representación Matricial Matriz de Incidencia Matriz de Adyacencia

-

-

Árboles - Propiedades -

Tipos de árboles

Fascículo 8.

Álgebra Booleana y Mapas de Karnaugh Definición, variables y constantes Fascículo No. 1 Semestre 2

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Leyes del Algebra Booleana Expresiones Booleanas Forma normal disyuntiva Forma normal conjuntiva Compuestas lógicas Compuerta AND Compuerta OR Compuerta NOT Compuerta XOR Compuerta NAND Compuerta NOR Compuerta XNOR Mapas de Karnaugh Dos variables Tres variables Cuatro variables


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Matemáticas discretas Mapa conceptual de la asignatura

Introducción

La lógica se constituye en un elemento trascendental para cualquier razonamiento matemático con infinidad de aplicaciones en las ciencias de la computación como prácticas en el diseño de equipos informáticos, especificación de sistemas, inteligencia artificial, programación de computadores, lenguajes de programación, diseño de circuitos digitales, y muchas otras áreas más. Las reglas de la lógica le dan un significado preciso a los enunciados matemáticos, y son muy usadas para la determinación de la validez de los procesos de inferencia.


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Matemáticas discretas Conceptos previos

¿Cómo se denomina aquella primitiva de programación utilizada en el control de las variables, de la entrada de información, etc.? ¿Cómo se llaman los operadores que permiten comparar los valores entre dos variables? Cuando se emplean estos operadores, ¿cuáles cree que son los resultados que arroja esta comparación? Mapa conceptual fascículo 1


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Matemáticas discretas Logros

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidad de: 

 

Identificar y Clasificar una proposición de acuerdo con los términos de enlace que predominan. Simbolizar las proposiciones con sus respectivos términos de enlace. Realizar una demostración directa e indirecta, apoyándose en las reglas de inferencia.

Cálculo Proposicional (parte I)

La lógica cuenta con un lenguaje exacto que nos obliga a ser cuidadosos y fieles en su utilización. Con la lógica es posible la construcción y prueba de programas de computador, en donde las proposiciones juegan un papel importante. Proposiciones

Las proposiciones se consideran expresiones afirmativas y en ellas se puede demostrar si son verdaderas o falsas. Estas proposiciones, dependiendo de su estructura, se clasifican en atómicas y moleculares. Las proposiciones atómicas son aquellas consideradas básicas como por ejemplo: -

Hoy hace frío Mañana es martes

-

Juan estudia en la universidad.

-

Las proposiciones moleculares son aquellas que utilizan un término de enlace para su construcción. Términos de enlace

Los términos de enlace son palabras utilizadas para unir las proposiciones atómicas y cuando esto sucede reciben el nombre de proposiciones moleculares. Los términos de enlace son: Fascículo No. 1 Semestre 2

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-

Y O

-

Sí … entonces

-

Sí y solo sí

-

No

-

De acuerdo con el término de enlace utilizado, las proposiciones moleculares pueden ser: conjuntivas, disyuntivas , condicionales, bicondicionales y negativas, como se muestra en la siguiente tabla.

Y

Conjuntiva

O

Disyuntiva

Sí … entonces

Condicional

Sí y solo sí

Bicondicional

No

Negativa

Tabla 1.1

Clases de proposiciones moleculares.

Cabe resaltar que los términos de enlace se aplican a las proposiciones atómicas convirtiéndolas en moleculares. Así mismo, los términos de enlace “y”, “o”, “sí … entonces” y “sí y solo sí” permiten unir proposiciones atómicas, sin embargo, sólo el término de enlace “no” es aplicado a una

proposición atómica. Las siguientes proposiciones se consideran moleculares: - Está lloviendo y Juan se ha mojado.

-

Estudias o trabajas Sí estudias entonces aprobarás el examen. Sí y solo sí te capacitas podrás tener una mejor oportunidad en la vida.

-

No es cierto que esté lloviendo.

-


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Matemáticas discretas Simbología

Se utilizan las letras mayúsculas para representar las proposiciones, así: Conjunción: A la vez llueve y hace frío

Allí se evidencian dos proposiciones atómicas unidas a través del término de enlace “y”. En ocasiones al utilizar el término de enlace “y” pueden incluirse, también, las palabras “A la vez”. La simbolización

de esta

proposición molecular sería: P: Llueve Q: Hace frío Negación: El curso de Lógica Computacional no es difícil

Como se observa, la negación se aplica a la proposición atómica, razón por la cual se tiene que: P: El curso de Lógica Computacional es difícil

Disyunción: O estudias o trabajas

Esta es otra forma de expresar una disyunción y su simbología es: P: Estudias Q: Trabajas

Condicional Sí llueve entonces hace frío Fascículo No. 1 Semestre 2

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Su simbolización es: La proposición , comúnmente se lee: Sí P entonces Q; pero existen otras formas de leerse como: P condicional Q, P implica a Q. En donde a P se le conoce como Antecedente y a Q como Consecuente.

P: Llueve Q: Hace frío

Bicondicional Sí y solo sí estamos todos se empezará la reunión

Su simbolización es: P: Estamos todos Q: Se empieza la reunión

Jerarquía de los términos de enlace

La jerarquía de los términos de enlace se muestra en la siguiente tabla (1.2): 3 2 1 Tabla 1.2

Jerarquía de los términos de enlace.

Los términos de enlace “y” y “o” tienen el mismo nivel de jerarquía o

fortaleza, esto significa que es necesario utilizar los símbolos de agrupamiento, “()”, para establecer el término que predomina. De otra parte, el término de enlace condicional; y, por ende, el bicondicional tienen el nivel más alto, lo que significa que son los más fuertes; en tanto, el término de enlace negativo, es el más débil.


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Matemáticas discretas 1.1

1. Realice el siguiente pareo con las palabras que se encuentran a la izquierda y las definiciones de la derecha:

Antecedente Atómica proposición molecular Condicional

Conjunción Consecuente Disyunción Negación

a. La proposición molecular que utiliza el término de enlace “y” se denomina _____________________. b. La proposición molecular que utiliza el término de enlace “no” es una __________________________ c. La proposición molecular que utiliza el término de enlace “sí … entonces” es una _________________. d. La combinación de una o más proposiciones atómicas con un término de enlace se denomina __________________________. e. En lógica, una proposición completa que no tiene término de enlace se denomina ________________. f. La proposición situada antes del término de enlace condicional se denomina _________________ g. La proposición situada después del término de enlace condicional se denomina ________________. h. La proposición molecular que utiliza el término de enlace “o” se denomina _______________________.

2. ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones? a. No pasar. b. ¿Qué hora es? c. 2 + 3 = 5 d. Hoy es jueves e. El verano de Girardot es cálido y soleado. 3. Simboliza los siguientes enunciados a. Estamos bajo cero y nieva. b. Hoy es lunes c. Si llueve entonces hace frío d. No conduces a más de 80 km. por hora. e. Si conduces a más de 80 km. por hora, te multan f. Si y solo si nieva, entonces hace frío. g. El almuerzo incluye fruta o sopa.

La simbolización de las proposiciones juega un papel importante pues no solo facilita mucho más el proceso de inferencia lógica sino que estructuralmente permite evidenciarlo, de una manera más directa.


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Matemáticas discretas Inferencia lógica La Lógica Formal se dedica al estudio de los razonamientos correctos que se desarrollan de una manera formal y esquematizada.

El proceso de inferencia hace parte de la Lógica Formal y se apoya en las reglas de inferencia que permiten realizar una deducción lógica, la cual surge o se puede dar por la existencia de unas proposiciones denominadas premisas. Es así como las reglas de inferencia permiten obtener otras proposiciones denominadas conclusiones. Este proceso se conoce con el nombre de deducción lo cual implica que a partir de unas premisas, se obtiene una consecuencia lógica. Las premisas dadas se consideran hechos que son verdaderos, así por ejemplo, en una investigación, las pruebas que se utilizan para demostrar una determinada situación, al dotársele de esa característica permiten generar una conclusión, apoyados en las reglas de inferencia, esta conclusión también se considera verdadera. La siguiente figura muestra esquemáticamente estos procesos:

Figura 1.

Proceso de Inferencia


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Matemáticas discretas Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son consideradas esquemas que permiten la construcción de inferencias válidas y que utilizan las premisas para poder determinar una conclusión. Las reglas de inferencia se muestran en la siguiente tabla

1. Modus Ponendo Ponens 2.

(pp)

Modus Tollendo Tollens (tt)

3. Modus Tollendo Ponens (tp) 4. Doble Negación (dn) 5. Regla de Simplificación (s) 6. Regla de Adjunción (a)

7. Ley del Hipotético

Silogismo (sh)

8. Ley de Adición (la)

9. Ley de Morgan (lm)


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Matemáticas discretas 10. Ley de Simplificación Disyuntiva 11. Ley de Silogismo Disyuntivo

(dp)

(sd)

12. Ley Conmutativa (lc) 13. Ley Bicondicional

(lb)

14. Regla de Premisas

Una premisa se puede incluir en cualquier punto de una deducción.

(rp)

Tabla 1.3

Reglas de inferencia.

En una proposición condicional existen dos elementos que la componen: la causa y el efecto que genera esa causa o le que llamaremos en este curso el antecedente (la causa) y el consecuente (el efecto). Tomemos como ejemplo: , esto se leería como p implica q, siendo p el antecedente y q el consecuente. También se lee como: sí p entonces q. Una condicional también se nombra como una implicación A continuación se explican cada una de las reglas de inferencia de la tabla anterior . 1. Modus Ponendo Ponens (mp). Es un modo (modus) a través del cual

afirmando (ponendo) el antecedente se afirma (ponens) el consecuente. Ejemplo

¿Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones?: Matemáticas discretas

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Sí Alicia va a la fiesta esta noche; entonces, mañana se levantará tarde. Alicia va a la fiesta.

Simbolizando las anteriores proposiciones se tiene: P = Alicia va la fiesta esta noche Q = Mañana se levantará tarde

Como se observa, en la línea 2 se encuentra la afirmación del antecedente de la implicación que se encuentra en la línea 1

, esto

permite concluir, a través de la regla de inferencia Modus Ponendo Ponens (pp), que Alicia se levantará tarde mañana

. Tal y como se muestra en

la línea 3. 2. Modus Tollendo Tollens (tt). Es un modo (modus) a través del cual

negando (tollendo) el consecuente, se niega (tollens) el antecedente. Ejemplo

¿Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones?: Sí Carlos estudia a distancia nocturno; entonces, podrá trabajar en el día, pero Carlos no puede trabajar en el día.

Simbolizando las anteriores proposiciones se tiene: P = Carlos estudia a distancia nocturno Q = podrá trabajar en el día


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Como se observa, en la línea 2 se encuentra la negación del consecuente de la implicación, la cual se encuentra en la línea 1

,

esto permite concluir, a través de la regla de inferencia Modus Tollendo Tolllens (tt), que Carlos no estudiará a distancia nocturno

. Tal y

como se muestra en la línea 3, 3. Modus Tollendo Ponens (tp). Es un modo (modus) a través del cual

negando (tollendo) uno de los miembros de una disyunción se afirma el otro miembro. Ejemplo

¿Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones?: O Hace frío o Hace calor. No hace calor.

Simbolizando la anterior proposición se tiene: F = Hace frío C = Hace calor

Como se observa, en la línea 2 se encuentra la negación los miembros de la disyunción

de uno de

, por este motivo se concluye,

apoyados en la regla de inferencia Modus Tollendo Ponens (tp), que Hace frío

. Tal y como se muestra en la línea 3.

4. Doble Negación (dn). Esta regla permite aplicar el término de enlace

negativo dos veces a una proposición, o viceversa. Si existe una proposición con dos términos de enlace negativos, seguidos, estos se pueden anular. Ejemplo

¿Qué se puede concluir de la siguiente proposición?: No es cierto que no estaba en la fiesta.


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Simbolizando la anterior proposición se tiene: F = Estar en la fiesta

Con base en lo presentado en la línea 2, se concluye, apoyados en la regla de inferencia Doble Negación (dn), que sí estaba en la fiesta . 5. Regla de Simplificación (s). Esta regla

permite separar una

conjunción dependiendo de lo que se desee demostrar.

Ejemplo

¿Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones?: Alberto va al cine y después va a la fiesta.

Simbolizando las anteriores proposiciones se tiene: A = Alberto va al cine F = Alberto va la fiesta

Se puede observar que el anterior ejercicio puede tener dos posibles soluciones, tal y como se muestra en la línea 2

y en la línea 3

, apoyándose en la regla de inferencia Simplificación (s). 6. Regla de Adjunción (a). Esta regla permite unir dos proposiciones a través

del término de enlace disyuntivo.

Ejemplo

Demostrar: Si el Miércoles hay conferencia entonces no habrá clase. Si el Miércoles no hay clase entonces nos atrasaremos en el programa, pero no nos Fascículo No. 1 Semestre 2

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atrasaremos en el programa, por lo tanto el Miércoles hay clases y no hay conferencia.

La simbolización sería: N = El Miércoles hay conferencia C = El Miércoles hay clase A = Atrasarse en el programa

Demostrando lo anterior:

Se aprecia en el proceso anterior la utilización de la regla tollendo tollens, de tal manera que permita concluir como se hace en la línea 4, con ello se puede obtener a C que se necesita para obtener a N y así poder llegar a la demostración de


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, tal como aparece en la línea 7. Fascículo No. 1 Semestre 2

Matemáticas discretas 7. Ley del Silogismo Hipotético (sh). Esta ley permite deducir una

implicación a partir de otras dos; en donde deberá cumplirse que el consecuente de la primera premisa sea antecedente de la segunda premisa; de allí, se concluye con el antecedente de la primera premisa y el consecuente de la segunda premisa, uniéndolas a través del término de enlace condicional. Ejemplo

Demostrar: Sí llueve entonces hace frío, sí hace frío entonces tendrá que usar un abrigo, por lo tanto sí llueve entonces tendrá que usar un abrigo. La simbolización sería:

Demostrando lo anterior:

8. Ley de Adición (la). Esta ley hace posible unir dos proposiciones a través

del término de enlace disyuntivo. Ejemplo

Demostrar: Patricia prepara la comida. Patricia solicita un domicilio. Al simbolizar las anteriores proposiciones se tiene: P = Patricia prepara la comida D = Solicita un domicilio


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En la línea 3 se observa la conclusión del problema correspondiente a: Patricia prepara la comida o solicita un domicilio . Este ejercicio consiste en la unión de dos proposiciones a través del término de enlace disyuntivo, tal como se muestra en la línea 3, apoyándose en la Regla de Inferencia Adición (la). En el siguiente ejemplo se verá otra manera de utilizar esta regla: Demostrar: Él está equivocado o estaré sorprendido

La premisa dada es: Él está equivocado

La simbolización quedaría: E = Él está equivocado S = Estaré sorprendido

Como se observa en el ejercicio anterior, una de las premisas a demostrar no existe en el conjunto de las premisas consideradas verdaderas. En este caso, se puede adicionar, como se muestra a continuación:

En la línea 2 se muestra la conclusión, apoyándose en la Regla de Inferencia de Adición, quedando demostrado el ejercicio. 9. Ley de Morgan (lm). Para aplicar esta ley deberán cumplirse los siguientes

puntos: a. Negar cada miembro de la disyunción o conjunción, conforme sea el caso. b. Cambiar el término de enlace; sí es una conjunción cambia por una disyunción y si es una disyunción cambia por una conjunción. c. Finalmente se niega toda la fórmula.


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Matemáticas discretas Ejemplo

Qué se puede concluir de la siguiente proposición: Él está equivocado y yo tengo razón.

Al simbolizar las anteriores proposiciones se tiene: E = Él está equivocado R = Yo tengo razón Aplicando la Ley de Morgan, conforme a lo expresado anteriormente, se tiene que :

En la conclusión la línea 2 presenta la aplicación de las tres condiciones necesarias para aplicar Morgan: primero, negar cada proposición, en este caso de la conjunción; segundo, cambiar el término de enlace, una conjunción - línea 1-, quedando una disyunción como aparece entre paréntesis de la línea 2; tercero, se niega toda la expresión o fórmula, tal como se muestra en la línea 2. 10. Ley del Silogismo Disyuntivo (sd). Esta ley es la única que se aplica

utilizando tres premisas, para ello se debe cumplir con lo siguiente: 1. Deben existir una disyunción y dos implicaciones, como premisas del problema. 2. Los miembros de la disyunción deben ser los antecedentes de las dos implicaciones. Ahora bien, una vez cumplido con los dos requisitos anteriores, la conclusión se construye con los consecuentes de las implicaciones, los cuales se deben unir utilizando la disyunción como término de enlace. Ejemplo

Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones: O Francisco trabaja o Francisco estudia. Sí Francisco trabaja entonces podrá sacar adelante su familia. Sí Francisco estudia entonces podrá sacar adelante su familia.

Simbolizando las anteriores proposiciones se tiene: Fascículo No. 1 Semestre 2

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T = Francisco trabaja E = Francisco estudia P = Francisco podrá sacar adelante su familia

Siguiendo lo expresado por el Silogismo Disyuntivo: existe una disyunción , y cada proposición de la disyunción son los antecedentes de las implicaciones de las líneas 2 y 3 . Como se cumple con esta estructura se puede concluir:

La conclusión - línea 4- corresponde a los consecuentes de las implicaciones de las líneas 2 y 3. 11. Ley de la Simplificación Disyuntiva (dp). Esta ley permite separar una

disyunción siempre y cuando las premisas sean iguales, de lo contrario no es posible.

Retomando el ejercicio anterior y apoyándonos en la Regla de Inferencia Simplificación Disyuntiva (dp), es posible concluir que:

12. Ley Conmutativa (lc). Esta ley permite cambiar la ubicación de dos

proposiciones que se encuentran unidas a través del término de enlace disyuntivo o conjuntivo.


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Matemáticas discretas Ejemplo

Demostrar:

Sonia tendrá que trabajar y estudiar

Las premisas son: Si Sonia viaja a Europa entonces Sonia tendrá que estudiar y trabajar, pero Sonia viaja a Europa.

La simbolización queda: V = Sonia viaja a Europa E = Sonia tendrá que estudiar T = Sonia tendrá que trabajar

En este ejemplo se observa la aplicación sencilla de un ponendo ponens para poder obtener la conjunción – línea 3- puesto que esta es la solución, Finalmente se reordena y se concluye –línea 4- utilizando la ley conmutativa. Esta ley permite dividir una proposición bicondicional en sus dos componentes condicionales y viceversa. 13. Ley Bicondicional (lb).

Ejemplo

Qué se puede concluir de las siguientes proposiciones: Sí y solo sí practicas con dedicación, podrás aprender a conducir el auto.

La simbolización queda: P = Practicas con dedicación C = Aprender a conducir el auto Fascículo No. 1 Semestre 2

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El ejercicio anterior tiene dos alternativas de solución:

Como se observa, de una expresión bicondicional es posible concluir lo expresado en las líneas 2 o 3, de acuerdo con lo que se necesite demostrar. Ahora bien, si en el ejercicio anterior se hubiese tenido:

La conclusión - línea 3 - corresponde a una bicondicional resultado de aplicar la Regla de Inferencia Ley Bicondicional. 14. Regla de Premisas (rp). Esta es una regla especial, pues permite incluir

una premisa en el proceso de deducción, bajo ciertos parámetros:

i. Si en el proceso de demostración se llega a un punto en que no es

posible utilizar las demás reglas de premisas, entonces, se puede incluir la que se necesite.

ii. Si se pide demostrar una proposición que no se encuentra dentro de las

premisas dadas, entonces, es factible incluirla para realizar el proceso de inferencia.

Ejemplo

Demostar:

Como se observa en el ejercicio anterior, una de las proposiciones a demostrar no se encuentra dentro del cuerpo del problema, lo que implica,


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que debemos adicionarla, y para ello, nos apoyamos en la regla de premisas, tal como se muestra a continuación:

En la línea 6 se evidencia la inclusión de la premisa R , de tal manera que permita la demostración de lo solicitado inicialmente .

Existen algunas reglas de inferencia que hablan de antecedentes y consecuentes, por lógica se sabe que se refiere a proposiciones condicionales. Cuando se dice “afirmando el antecedente”, esto hace referencia a que el antecedente debe dejarse en el mismo estado y cuando se refiere a negar el consecuente, significa que el consecuente debe encontrarse en el estado contrario. Así pues, observe la siguiente tabla: Se está afirmando Se está afirmando Se está negando Se está negando

1.2

Demuestre, utilizando las reglas de inferencia, los siguientes ejercicios: 1. Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo; entonces, la fiesta del Año Nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, la banda pudo tocar rock.


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Matemáticas discretas 2. Si Domingo va a la carrera de autos; entonces, Elena se enojará. Si Rafael juega cartas toda la noche; entonces, Carmen se enojará. Si Elena o Carmen se enojan, le avisarán a Verónica (su abogado). Verónica no ha tenido noticias de estos dos clientes. En consecuencia, ni Domingo fue a las carreras ni Rafael jugó cartas toda la noche. 3. Realiza la siguiente demostración:

1. 2. 3. 4. 5.

Reúnase con sus compañeros y consulten la epistemología de la lógica, sus inicios, su evolución y los pensadores que hicieron posible su utilización a través de sus aportes. Finalmente realice un cuadro sinóptico, que permita observar la evolución a través del tiempo.

En este fascículo se desarrollaron conceptos básicos del Cálculo Proposicional, es decir, las proposiciones, su clasificación y su utilización a través del proceso de inferencia apoyado en las reglas de la misma para llegar a realizar demostraciones directas o deducciones proposicionales. Uno de los aspectos importantes en el desarrollo de software, sin interesar el paradigma utilizado (Procedimental u Orientado a Objetos), radica en el establecimiento de controles a procesos o eventos que se puedan dar. Esto es posible integrando expresiones lógicas las cuales utilizan estructuras condicionales para ello; por consiguiente, se podrá ver el siguiente trozo de un algoritmo:


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Matemáticas discretas …

If ( x > 0) { entonces mostrar “El número es positivo”

} …

Al observar el ejemplo anterior, se puede hacer la simbolización, tal como hasta el momento se ha hecho; para ello consideremos a la proposición x > 0 como P y a la instrucción mostrar “El número es positivo”, como Q, luego ya tendríamos una implicación: . Cada vez que se cumpla con x > 0 se va a ejecutar la instrucción mostrar, lo que quiere decir que siempre que sea verdad el antecedente P se cumple el consecuente Q; en otras palabras, afirmando el antecedente se afirma el consecuente y esto corresponde al uso de la regla de premisas Modus Ponendo Ponens:

En este orden de ideas, a lo largo del desarrollo de software se encuentran diversas estructuras de control las cuales permiten validar los campos, eventos y/o situaciones que se puedan dar en la ejecución de un programa.

GRASSMANN, Winfried Karl; Tremblay, Jean Paul, Matemática Discreta y Lógica: Una perspectiva desde la Ciencia de la Computación. España: Prentice Hall: 1998. ROSS, K. – Wright, Ch. Matemáticas Discretas 2a. edición. México. Prentice Hall. 1990. SUPESS, Patrick; HILL, Shirley. Introducción a la Lógica Matemática, Barcelona:Editorial Reverté Colombiana, 1988. (Texto guía) Fascículo No. 1 Semestre 2

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En este fascículo se abordó la utilización de la demostración directa haciendo uso de las reglas de inferencia para realizar una inferencia lógica a partir de unas premisas dadas. En el próximo fascículo se estudiará el tema de la validez y certeza de estas proposiciones, al igual que sus implicaciones.


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Seguimiento al autoaprendizaje Matemáticas discretas - Fascículo No. 1 Nombre_______________________________________________________ Apellidos ________________________________ Fecha: _________________ Ciudad___________________________________ Semestre: _______________

1. Demostrar:

P

1. P

Q( P )

2. R

S ( P )

3.T

S ( P )

4.

( P ) T U

5.

U

( P )

2. Demostrar: U 1. P

Q

2.Q 3. R

( P )

S

( P )

T U

( P )

R

4. P T

( P )

3. Si Ivonne va a su clase del lunes en la tarde; entonces, deberá presentar el taller para ese día. Si va al paseo el fin de semana, llegará el lunes por la mañana. Si Ivonne llega a su casa el lunes por la mañana y va a clase por la tarde; entonces, tendrá que presentar el taller. Por desgracia, Ivonne no alcanza a realizar el taller. De esta manera, ¿ qué debió haber hecho, Ivonne, no ir al paseo o faltar a clase el día lunes? 4. “Y ahora llegamos a la gran pregunta del ¿por qué?. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció ¿Fue por motivos políticos, o fue una mujer? Ésta es la pregunta con que me enfrento. Fascículo No. 1 Semestre 2

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MateDiscre_F01.pdf

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