MATEaplicada_2014

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO ESTADO DE NUEVO LEÓN DIRECCIÓN ACADÉMICA

PROGRAMA DE APOYO DIDÁCTICO BACHILLERATO BACHILLERATO TECNOLÓGICO TECNOLÓGICO SEMESTRE VI

MATEMÁTICA APLICADA SEMESTRE: FEBRERO —JULIO !"#

NOMBRE DEL ______________________________________

PLANTEL:

NOMBRE DEL ______________________________________

ALUMNO:

GRUPO:

_____

N°

DE

DIRECTORIO Ing. José Efrén Castillo Sarabia Director General Ing. Fortino Garza Rodríguez

Director Académico

Li. !itoriana !illanue"a #a$ata Directora Administrativa Ing. Eduardo %lonso Castillo &onte'a(or &onte'a(or Director de Planeación y Evaluación Ing. Rafael Co"arrubias Ortiz

Director de Vinculación

Semestre: febrero – julio 2014 Colegio Colegio Estudios Estudios Cientícos Cientícos y Tecnoló Tecnológicos gicos del Estdo Estdo de !ue"o #eón$ #eón$ %ndes !& 2'22$ Coloni (rdín )bis*do$ C+ ,40-0$ .onterrey$ !/#/$ .ico/  Telfono:  Telfono: 01131-1',00 et/ 124 ocentes colbordores colbordores en ls ediciones 2011 – 2012: .rí del Crmen Crmen 5r6 Sl6r$ 5eorgin 5eorgin Cstillo de 7oyos$ 7oyos$ (os 8brr 8brr .rtíne6 y 9icrdo +edr6 9odrígue6 Co'ité Ténio %adé'io

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PRESENTACIÓN

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A los maestros y alumnos El 18 de agosto de 1993 se creó el CECyTE-NL. Recién cu!lios los !rieros "einte a#os de "ida institucional y ya teneos 29 !lanteles con $ e%tensiones i!artiendo Educación &edia 'u!erior en las odalidades de (ac)illerato Tecnológico y (ac)illerato *eneral+ atendiendo una atr,c atr,cula ula de s de 9/ 9/// estudi estudiant antes es con 434 aestr aestros os.. Tene Teneos os !resen !resencia cia en 34 unici!ios de Nue"o León. 0urante este ciclo escolar 2/13  2/14+ el CECyTE-NL a"anó en su consolidación coo institución de Educación &edia 'u!erior de calidad al ingresar nue"e de sus !lanteles al 'istea Nacional de (ac)illerato+ teniendo encausados a otro gru!o i!ortante de !lanteles )acia )acia la con consec secuci ución ón de este este oeti oeti"o. "o. 5ara 5ara estos estos logros logros++ )eos )eos con contado tado y seguir seguireo eoss necesitando del es6uero y a),nco de docentes y alunos. 0e los !ro6esores re7uerios su "oluntad !ara 7ue logren su acreditación y certi6icación en Co!etencias 0ocentes+ !ues coo ya se )a dic)o+ son los actores !rinci!ales de la re6ora. 0e nuestros estudiantes necesitaos de su e!e#o !ara 7ue logren un a!rendiae a!rendiae signi6icati" signi6icati"oo con el desarrollo desarrollo de las co!etencias co!etencias 7ue de6inen su !er6il de egreso y 7ue constituyen el &arco Curricular Con del 'N(. En el Colegio nos interesa 7ue nuestros estudiantes !eranecan )asta concluir sus estudios+  !or eso entregaos gratuitaente en cada seestre+ a los estudiantes y aestros+ esta colección de te%tos escolares+ elaorados !or los !ro!ios docentes del CECyTE-NL. Estos liros re!resentan una !arte i!ortante de los recursos didcticos 7ue los aestros utiliarn !ara 6orar integralente a los ó"enes+ !ara 7ue en el corto !lao logren insertarse en el sector !roducti"o+ en la educación su!erior+ en el sector !lico o e!rendan su !ro!io negocio y se con"iertan en !e7ue#os e!resarios con !osiilidades de crecer y consolidarse en el ediano !lao. Taién uscaos 7ue estos recursos didcticos sean astión i!ortante contra el aandono escola escolarr y a 6a"or 6a"or de la e6icie e6icienci nciaa terin terinal+ al+ colao colaoran rando do !ara !ara 7ue los a!rendi a!rendiae aess sean sean rele"antes+ signi6icati"os+ oti"adores e interesantes. 0e igua iguall 6or 6ora+ a+ dese desea aos os 7ue 7ue sean sean !rec !recur urso sore ress de uen uenos os resu resulta ltado doss en las dist distin inta tass e"aluaciones+ coo las curriculares+ nacionales e internacionales+ trtese de la !ruea ENLCE &edia 'u!erior o 5:'; !or ello+ es!eraos 7ue este es6uero !ara dotarlos de recursos didcticos sicos+ sea "alorado y utiliado a!ro!iadaente.

tentaente :ng.
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PERFIL DE EGRESO DE LOS ALUMNOS DEL CECYTE-NL



Los alunos 7ue egresan del Colegio de Estudios Cient,6icos y Tecnológicos del Estado de  Nue"o León+ )an desarrollado las siguientes co!etencias+ las cuales constituyen el &arco Curricular Con del 'istea Nacional de (ac)illerato=

GENRICAS Las co!etencias genéricas 7ue articulan y dan identidad a la E&' y 7ue constituyen el !er6il del egresado del 'N( son las 7ue todos los ac)illeres deen estar en ca!acidad de dese!e#ar; les  !eriten  !eriten co!rend co!render er el undo undo e in6luir in6luir en él; les ca!acitan ca!acitan !ara continuar continuar a!rendiend a!rendiendoo de 6ora 6ora autónoa a lo largo de sus "idas+ y !ara desarrollar relaciones arónicas con 7uienes les rodean. Las co!etencias genéricas y sus !rinci!ales atriutos+ son las 7ue se estalecen a continuación= Se auto!eterm"na y #u"!a !e s$  1. 'e conoce conoce y "alor "aloraa a s, iso iso y aorda aorda !role !roleas as y retos retos teniendo teniendo en en cuenta cuenta los oet oeti"os i"os 7ue 7ue  !ersigu  !ersigue. e. triutos= °

En6renta las di6icultades 7ue se le !resentan y es consciente de sus "alores+ 6ortaleas y deilidades. ° :denti6ica sus eociones+ las anea de anera constructi"a y reconoce la necesidad de solicitar a!oyo ante una situación 7ue lo rease. ° Elige alternati"as y cursos de acción con ase en criterios sustentados y en el arco de un  !royecto  !royecto de "ida. "ida. ° nalia cr,ticaente los 6actores 7ue in6luyen en su toa de decisiones. ° sue las consecuencias de sus co!ortaientos y decisiones. ° dinistra los recursos dis!oniles teniendo en cuenta las restricciones !ara el logro de sus etas. 2. Es sensi sensile le al arte y !artici! !artici!aa en la a!reciaci a!reciación ón e inter!ret inter!retació aciónn de sus e%!resi e%!resione oness en distinto distintoss géneros. triutos= °

>alora el arte coo ani6estación de la ellea y e%!resión de ideas+ sensaciones y eociones. ° E%!erienta el arte coo un )ec)o )istórico co!artido 7ue !erite la counicación entre indi"iduos y culturas en el tie!o y el es!acio+ a la "e 7ue desarrolla un sentido de identidad. ° 5artici!a en !rcticas relacionadas con el arte. 3. Elige Elige y !rac !ractic ticaa estil estilos os de de "ida "ida salu saluda dales les.. triutos= °

Reconoce la acti"idad 6,sica coo un edio !ara su desarrollo 6,sico+ ental y social. ° Toa decisiones a !artir de la "aloración de las consecuencias de distintos )itos de consuo y conductas de riesgo. ° Culti"a relaciones inter!ersonales 7ue contriuyen a su desarrollo )uano y el de 7uienes lo rodean. Se e%&resa y #omun"#a 4. Escuc)a+ Escuc)a+ inter! inter!reta reta y eite eite ensaes ensaes !ertin !ertinente entess en distintos distintos conte%to conte%toss ediante ediante la utiliaci utiliación ón de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iados. triutos=

?

°

E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. ° !lica distintas estrategias counicati"as segn 7uienes sean sus interlocutores+ el conte%to en el 7ue se encuentra y los oeti"os 7ue !ersigue. ° :denti6ica las ideas cla"e en un te%to o discurso oral e in6iere conclusiones a !artir de ellas. ° 'e counica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. ° &anea las tecnolog,as de la in6oración y la counicación !ara otener in6oración y e%!resar ideas. P"ensa #r$t"#a y re'le%"(amente $. 0esarro 0esarrolla lla inno"ac inno"acione ioness y !ro!one !ro!one solucion soluciones es a !role !roleas as a !artir de étod étodos os estalec estalecidos idos.. triutos= °

'igue instrucciones y !rocediientos de anera re6le%i"a+ co!rendiendo coo cada uno de sus !asos contriuye al alcance de un oeti"o. ° Ardena in6oración de acuerdo a categor,as+ erar7u,as y relaciones. ° :denti6ica los sisteas y reglas o !rinci!ios edulares 7ue suyacen a una serie de 6enóenos. ° Construye )i!ótesis y dise#a y a!lica odelos !ara !roar su "alide. ° 'intetia e"idencias otenidas otenidas ediante la e%!erientación e%!erientación !ara !roducir conclusiones conclusiones y 6orular nue"as !reguntas. ° Btilia las tecnolog,as de la in6oración y counicación !ara !rocesar e inter!retar  in6oración. . 'ustenta 'ustenta una una !ostura !ostura !erson !ersonal al sore sore teas de interé interéss y rele"ancia rele"ancia genera general+l+ consider considerando ando otros otros  !untos  !untos de "ista "ista de anera anera cr,tica cr,tica y re6le% re6le%i"a. i"a. triutos= °

Elige las 6uentes de in6oración s rele"antes !ara un !ro!ósito es!ec,6ico y discriina entre ellas de acuerdo a su rele"ancia y con6iailidad. ° E"ala arguentos y o!iniones e identi6ica !reuicios y 6alacias. ° Reconoce los !ro!ios !reuicios+ odi6ica sus !untos de "ista al conocer nue"as e"idencias+ e integra nue"os conociientos y !ers!ecti"as al acer"o con el 7ue cuenta. ° Estructura ideas y arguentos de anera clara+ co)erente y sintética. A&ren!e !e 'orma aut)noma ?. !rende !rende !or iniciati" iniciati"aa e inter interés és !ro!i !ro!ioo a lo largo largo de la "ida. "ida. triutos= °

0e6ine etas y da seguiiento a sus !rocesos de construcción de conociiento. ° :den :denti ti6i 6ica ca las las acti acti"i "ida dade dess 7ue 7ue le resu result ltan an de eno enorr y ayo ayorr inte interé réss y di6i di6icu cult ltad ad++ reconociendo y controlando sus reacciones 6rente a retos y ostculos. ° rticula saeres de di"ersos ca!os y estalece relaciones entre ellos y su "ida cotidiana. Tra*a+a en 'orma #ola*orat"(a 8. 5artici! 5artici!aa y colaora colaora de aner aneraa e6ecti" e6ecti"aa en e7u e7ui!os i!os di"erso di"ersos. s. triutos= ° ° °

5ro!one aneras de solucionar un !rolea o desarrollar un !royecto en e7ui!o+ de6iniendo un curso de acción con !asos es!ec,6icos. !orta !untos de "ista con a!ertura y considera los de otras !ersonas de anera re6le%i"a. sue una actitud constructi"a+ congruente con los conociientos y )ailidades con los

8

7ue cuenta dentro de distintos e7ui!os de traao. Part"#"&a #on res&onsa*"l"!a! en la so#"e!a! 9. 5arti 5artici! ci!aa con una concie concienc ncia ia c,"ica c,"ica y ética ética en la "ida "ida de su counid counidad+ ad+ regió región+ n+ &é%ico &é%ico y el undo. triutos= °

5ri"ilegia el dilogo coo ecaniso !ara la solución de con6lictos. ° Toa decisiones a 6in de contriuir a la e7uidad+ ienestar y desarrollo deocrtico de la sociedad. ° Conoce sus derec)os y oligaciones coo e%icano y iero de distintas counidades e instituciones+ y reconoce el "alor de la !artici!ación coo )erraienta !ara eercerlos. ° Contriuye a alcanar un e7uilirio entre el interés y ienestar indi"idual y el interés general de la sociedad. ° cta de anera !ro!ositi"a 6rente a 6enóenos de la sociedad y se antiene in6orado. ° d"ierte 7ue los 6enóenos 7ue se desarrollan en los itos local+ nacional e internacional ocurren dentro de un conte%to gloal interde!endiente. 1/. &antiene una actitud res!etuosa res!etuosa )acia la interculturalida interculturalidadd y la di"ersidad di"ersidad de creencias+ creencias+ "alores+ "alores+ ideas y !rcticas sociales. triutos= °

Reconoce 7ue la di"ersidad tiene lugar en un es!acio deocrtico de igualdad de dignidad y derec)os de todas las !ersonas+ y rec)aa toda 6ora de discriinación. ° 0ialoga y a!rende de !ersonas con distintos !untos de "ista y tradiciones culturales ediante la uicación de sus !ro!ias circunstancias en un conte%to s a!lio. ° sue 7ue el res!eto de las di6erencias es el !rinci!io de integración y con"i"encia en los conte%tos local+ nacional e internacional. 11. Contriuye Contriuye al desarrollo desarrollo sustentale sustentale de anera anera cr,tica+ cr,tica+ con acciones acciones res!onsale res!onsales. s. triutos= ° ° °

sue una actitud 7ue 6a"orece la solución de !roleas !roleas aientales en los itos local+ nacional e internacional. Reconoce y co!rende co!rende las i!licaciones i!licaciones iológicas+ econóicas+ econóicas+ !ol,ticas !ol,ticas y sociales del da#o aiental en un conte%to gloal interde!endiente. Contriuye Contriuye al alcance de un e7uilirio entre los intereses de corto y largo !lao con relación al aiente.

DISCIPLINARES ,SICAS DEL CAMPO CIENCIAS E.PERIMENTALES Las co!etencias disci!linares sicas de ciencias e%!erientales estn orientadas a 7ue los estudiantes estudiantes conocan y a!li7uen los étodos y !rocediientos !rocediientos de dic)as ciencias !ara la resolución resolución de !roleas cotidianos y !ara la co!rensión racional de su entorno. Tienen un en6o7ue !rctico se re6ieren a estructuras de !ensaiento y !rocesos a!licales a conte%tos di"ersos+ 7ue sern tiles !ara los estudiantes a lo largo de la "ida+ sin 7ue !or ello deen de suetarse suetarse al rigor etodológico etodológico 7ue i!onen las disci!linas disci!linas 7ue 7ue las con6ora con6oran. n. 'u desarrollo desarrollo 6a"orece acciones res!onsales y 6undadas !or !arte de los estudiantes )acia el aiente y )acia s, isos. Co!etencias=

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1. Estale Estalece ce la interrelac interrelación ión entre entre la ciencia+ ciencia+ la tecnolog, tecnolog,a+ a+ la sociedad sociedad y el aiente aiente en conte%tos conte%tos )istóricos y sociales es!ec,6icos. 2. unda undaenta enta o!inion o!iniones es sore sore los i!actos i!actos de la ciencia ciencia y la tecnolog tecnolog,a ,a en su "ida cotidiana cotidiana++ asuiendo consideraciones éticas. 3. :denti6ica :denti6ica !roleas+ !roleas+ 6orula 6orula !reguntas !reguntas de carcter carcter cient,6ico cient,6ico y !lantea las )i!ótesis )i!ótesis necesarias necesarias  !ara  !ara res!o res!onder nderlas. las. 4. Atiene+ registra y sisteatia sisteatia la in6oración in6oración !ara res!onder res!onder a !reguntas !reguntas de carcter carcter cient,6ico+ cient,6ico+ consultando 6uentes rele"antes y realiando e%!erientos !ertinentes. $. Con Contras trasta ta los resultados resultados otenid otenidos os en una in"estigaci in"estigación ón o e%!eri e%!eriento ento con )i!ótesi )i!ótesiss !re"ias !re"ias y counica sus conclusiones. . >alora las !reconce!c !reconce!cione ioness !ersonal !ersonales es o counes counes sore di"ersos di"ersos 6enóen 6enóenos os naturales naturales a !artir  !artir  de e"idencias cient,6icas. ?. Da Dace ce e%!l e%!l,c ,cit itas as las las noci nocion ones es cien cient, t,6i 6ica cass 7ue 7ue sust susten enta tann los los !roc !roces esos os !ara !ara la solu soluci ción ón de  !role  !roleas as cotid cotidiano ianos. s. 8. E%!lica el 6uncionaiento 6uncionaiento de 7uinas 7uinas de de uso con a !artir de nociones cient,6icas. cient,6icas. 9. 0ise 0ise#a #a odel odelos os o !roto !rototi! ti!os os !ara !ara reso resol"e l"err !role !rolea as+ s+ satis satis6a 6acer cer neces necesida idade dess o deos deostra trar  r   !rinci!i  !rinci!ios os cient,6ic cient,6icos. os. 1/. Relaciona las e%!resione e%!resioness siólicas de un 6enóeno 6enóeno de la naturalea naturalea y los rasgos oser"ales oser"ales a si!le "ista o ediante instruentos o odelos cient,6icos. 11. nalia las leyes leyes generales 7ue 7ue rigen el 6uncionaiento 6uncionaiento del edio edio 6,sico y "alora las las acciones )uanas de i!acto aiental. 12. 0ecide sore sore el cuidado de su salud a !artir del conociiento conociiento de su cuer!o+ sus !roces !rocesos os "itales y el entorno al 7ue !ertenece. 13. Relacion Relacionaa los ni"eles ni"eles de organiació organiaciónn 7u,ica+ 7u,ica+ iológica+ iológica+ 6,sica y ecológic ecológicaa de los sisteas sisteas "i"os. 14. !lica noras noras de seguridad en el aneo de sustancias+ sustancias+ instruentos instruentos y e7ui!o en la realiación de acti"idades de su "ida cotidiana.

DISCIPLINARES E.TENDIDAS DEL CAMPO CIENCIAS E.PERIMENTALES Las co!etencias disci!linares e%tendidas i!lican los ni"eles de co!leidad deseales !ara 7uienes o!ten !or una deterinada trayectoria acadéica y+ en consecuencia+ tienen una 6unción  !ro!edéutica en la edida 7ue !re!ararn a los estudiantes de la E&' !ara su ingreso y  !eranencia en la educación su!erior. su!erior. 1. >alora de 6ora 6ora cr,tica y res!onsa res!onsale le los ene6icios ene6icios y riesgos riesgos 7ue 7ue trae consigo consigo el desarrollo desarrollo de la ciencia y la a!licación de la tecnolog,a en un conte%to )istórico-social+ !ara dar  solución a !roleas. 2. E"ala E"ala las i!lic i!licacio aciones nes del uso de la ciencia ciencia y la tecnol tecnolog og,a+ ,a+ as, coo coo los 6enóeno 6enóenoss relacionados con el origen+ continuidad y trans6oración de la naturalea !ara estalecer  acciones a 6in de !reser"arla en todas t odas sus ani6estaciones. 3. !lica !lica los a"ances a"ances cient,6ico cient,6icoss y tecnológicos tecnológicos en en el eoraiento eoraiento de las las condiciones condiciones de de su entorno social. 4. E"al E"ala a los los 6acto 6actore ress y ele eleen ento toss de ries riesgo go 6,si 6,sico co++ 7u, 7u,ico ico y iol iológ ógico ico !rese !resent ntes es en la natura naturalea lea 7ue altera alterann la calida calidadd de "ida "ida de una !o !olac lación ión !ara !ara !ro!o !ro!oner ner edida edidass  !re"enti"as. $. ! !li lica ca la eto etodo dolo log, g,aa a!ro a!ro!i !iad adaa en la real realia iació ciónn de !roy !royect ectos os inter interdi disc sci! i!lin linar ario ioss atendiendo !roleas relacionados con las ciencias e%!erientales. . Btilia Btilia )erraienta )erraientass y e7ui!os es!eciali es!ecialiados ados en la s7ueda s7ueda++ selección+ selección+ anlisis anlisis y s,ntesis s,ntesis  !ara la di"ulgación de la in6oración in6oración cient,6ica 7ue contriuya a su 6oración 6oración acadéica.

1/

?. 0ise#a 0ise#a !rototi!os !rototi!os o odelos odelos !ara !ara resol"er resol"er !roleas+ !roleas+ satis6ac satis6acer er necesidades necesidades o deostrar  deostrar   !rinci!ios cient,6icos+ )ec)os o 6enóenos relacionados con con las ciencias e%!erientales. 8. Con6ronta Con6ronta las ideas ideas !reconce !reconceidas idas acerca acerca de los 6enóen 6enóenos os naturales naturales con el conocii conociiento ento cient,6ico !ara e%!licar y ad7uirir nue"os conociientos. 9. >alora el !a!el !a!el 6undaental 6undaental del ser ser )uano coo coo agente agente odi6icador odi6icador de su su edio natural natural  !ro!oniendo alternati"as 7ue res!ondan a las necesidades del )ore y la sociedad+ cuidando el entorno. 1/. 1/. Resu Resuel el"e "e !ro !role leas as esta estal lec ecido idoss o real reales es de su ento entorn rno+ o+ utili utilia and ndoo las las cien cienci cias as e%!erientales !ara la co!rensión y eora del iso. 11 11.. 5ro!one 5ro!one y eecuta eecuta acciones counitaria counitariass )acia la !rotección !rotección del edio y la iodi"ersidad iodi"ersidad  !ara la !reser"ación del e7uilirio e7uilirio ecológico. 12. 5ro!one estrategias estrategias de solución+ !re"enti"as y correcti"as+ correcti"as+ a !roleas !roleas relacionados con la salud+ a ni"el !ersonal y social+ !ara 6a"orecer el desarrollo de su counidad. 13. >alora las i!licaciones en su !royecto !royecto de "ida al asuir de anera anera aserti"a el eercicio de su se%ualidad+ !roo"iendo la e7uidad de género y el res!eto a la di"ersidad. 14. n nali aliaa y a!lica a!lica el con conoci ociie iento nto sore sore la 6unció 6unciónn de los nutrient nutrientes es en los !roceso !rocesoss etaólicos 7ue se realian en los seres "i"os !ara eorar su calidad de "ida. 1$. nalia nalia la co!osición+ co!osición+ caios caios e interde!endenc interde!endencia ia entre la ateria y la energ,a energ,a en los 6enóenos naturales+ !ara el uso racional de los recursos de su entorno. 1. !lica !lica edidas de seguridad seguridad !ara !re"enir !re"enir accidentes accidentes en su entorno entorno yo !ara en6rentar  desastres naturales 7ue a6ecten su "ida cotidiana. 1?. !lica noras de seguridad !ara disinuir riesgos y da#os a s, iso y a la naturalea+ en el uso y aneo aneo de sustancias+ instruentos y e7ui!os en cual7uier cual7uier conte%to conte%to

11

INDICE

Contenido

+gin 

;!8% ;!) Secuenci 1 # diferencil<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<
1=

2

# integrl indenid o ntideri"d<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1>

=

8ntegrción de funciones trscendentes<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
=

;!8% )S 4

8ntegrción de *otenci de funciones trigonomtrics<<<<<<<<<<<<<<<

4

-

8ntegrción *or sustitución trigonomtric<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
-4

,

8ntegrción de frcciones *rciles<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

->

'

8ntegrción *or *rtes<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<
,=

;!8% T9ES 

Sumtoris<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<

,'

>

Clculo de re de mner intuiti"<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
'0

10

8ntegrl denid: Clculo de res<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

'2

11

8ntegrl de denid: C Clculo de r res en entre cur"s<<<<<<<<<<<<<<<<
',

12

12

8nte 8ntegr grl l deni enid d:: C Clc lcu ulo de "ol? "ol?me mene ness y sóli sólido doss de re"olución<<<<<<< @ibliogrfí<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<

1 ,

UNIDAD UNO Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 1

La !"'eren#"al 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La tecnolog,a 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 ? )oras 40 Pro&)s"to3 a!licar el conce!to de di6erencial y sus de6iniciones sicas en la resolución de  !roleas de a!ro%iación del increento y de errores !e7ue#os+ utiliando las reglas de di6erenciación. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 La di6erencial 6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntroducción a la integral inde6inida+ 6orulas de integración de 6unciones algeraicas. 6or a indi"idual+ en 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros.

13

;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
Desarrollo

A#t"("!a! 1. Cuestionario

A#t"("!a! 40 Dallar la di6erencial di"ersas 6unciones A#t"("!a! 50 Calcula la di6erencial el !unto  x

!ara el "alor de

d x

dy

de

dy

en

C"erre A#t" A#t"(" ("!a !a! ! 63 Btiliación del conce!to de di6erencial.

 7ue se

indica en cada 6unción.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a APERTURA Las integrales indefinidas son el !rier !aso en la a!licación de di6erenciales !ara el clculo de las primitivas de una función y esto tiene a!licación en uc)as disci!linas.

ACTI7IDAD 10-

:n"estiga el tea de deri"ada deri"ada y contesta las siguientes !reguntas. !reguntas.

F 7ué se le llaa !roceso de deri"ación de una 6unciónG FCul es el conce!to de deri"adaG FHué signi6icado tiene el s,olo

FHué denota el s,olo

dy dx

FHué signi6icado tiene el s,olo

∆ x

 G

∆ y

 G

G

DESARROLLO LA DIFERENCIAL En cursos anteriores de ateticas se de6inió el conce!to de la deri"ada= “La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la  función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero”  Este conce!to !uede ser e%!resado coo=

14

lim

¿ ∆ x →

∆  y 0

∆x

=f ´ ( x )= y ´ 

derivada =

dy dx

Es i!ortante encionar 7ue la notación d y

ordinaria ordinaria con

d x

coo nuerador nuerador y

límite del cociente cuando

∆ x

dy ¿ = dx ¿

no dee considerase considerase coo una 6racción 6racción coo denoinador+ sino 7ue re!resenta re!resenta el 

tiende a cero.

E%isten uc)os !roleas+ en los 7ue es i!ortante dar inter!retaciones a

d x

y

d y

se!aradaente+ es!ecialente en las a!licaciones del Clculo integral. Este conce!to se llaa diferencial de una función. 0e tal anera+ 7ue si

 y = f  ( x )

la !riera deri"ada se e%!resa coo= dy =f ´ ( x ) dx

0onde oteneos la di6erencial de la 6unción= dy = f ´ ( x ) d x

5or lo tanto+ la la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el  incremento o diferencial de la variable independiente.

dy =

:N'TRBCC:ANE'.- Calcular la di6erencial

dy  d dx  x

en cada una de las siguientes siguientes

6unciones= unción  y = x

2

 y =6 x 2

4

 y =3 x − 4 x + 2

0eri"ada

0i6erencial

dy =2 x dx

dy =2 x d x

dy =24 x 3 dx

dy = 24 x d x

dy =6 x −4 dx

dy =( 6 x − 4 ) d x

1$

3

ACTI7IDAD 40-

dy

Dalla la di6erencial

1.

y =9 x

3.

y =7 x + x

$.

de las siguientes 6unciones=

2

2.

y =6 x

2

4.

y = cx + d x

y =6 x + 5 x + x

.

y =√ 3 x − x

?.

y =√ 3 x − x

8.

y =√ 2 x + 1

9.

y = sen 5 x

1/.

y = tan tan 5 x

3

2

2

4

INTERPRETACION DIFERENCIAL

GEOMETRICA

4

3

2

DE

3

LA

El tea de la deri"ada inicia con el !rolea de encontrar la  !endiente de la recta tangente a la gra6ica de una 6unción  y = f  ( x )  .

En la 6igu 6igura ra se ues uestr traa 7ue 7ue este este !ro !role le a se resu resuel el"e "e considerando 7ue la !endiente de la línea secante es secante es igual a= m sec=

f  ( ( x + ∆ x )− f  ( x ) ∆ x

=

5ara "alores !e7ue#os de

5ero saeos 7ue

∆ y ∆ x

∆ x

mtan= f ´ ( x )

+ teneos 7ue

m sec ≈ mtan

!uede escriirse ∆ y ≈ f ´  ( x ) ∆ x

1

∆ y ∆ x

  o ien

≈ f ´  ( x )

∆ y ∆ x

≈ mtan .

LA DIFER DIFERENC ENCIA IAL L INCREMENTO

COMO CO MO

APRO. APRO.IMA IMACIO CION N DEL DEL

El uso uso !rin !rinci ci!a !all de las di6e di6ere renc ncia iale less cons consis iste te en !rod !roduc ucir  ir  a!ro%iaciones.  y = f  ( x )

'u!óngase 7ue  x

en la 6igura 6igura.. Cuando Cuando se da a

∆ x

un increento

+ y recie un increento ∆ y

+

corr corres es!o !ond ndie ient nte+ e+ 7ue 7ue !ued !uedee cons consid ider eras asee co coo un "alo "alor  r  a!ro%iado de

d y

.

5or lo tanto+ el "alor a!ro%iado de

f  ( ( x + ∆ x )

es=

f  ( ( x + ∆ x ) ≈ f  ( ( x )+ d y = f  ( ( x  x ) + f ´ ( x ) ∆ x

1/ 3

Su*ong Aue necesit un buen *roimción *r 8.2 √ 8.2

$ *er *ero o

 x Considere la gra6ica de  y =√  x

diuada en la 6igura. La di6e di6ere renc ncia iall de la 6unc 6unció iónn es d y =  x 2

'i

−1 2

d x =

1

 x 2 √  x

d x

 x   caia de 4 a 4.

 x   caia de √  x

Ia!ro%iadaenteJ

y

Aue su clcul clculdo dor r est est desco descom*u m*uest est/ / Bu Bu

*odrí Dcer

1

4.6 √ 4.6

√ 4 =2

a

√ 4 + d y  .

1?

 x =4

5ara

d x =0.6

y

teneos 7ue el "alor de

dy  es de=

dy = f ´ ( x ) d x

dy =

dy =

1 2 √ 4

0.6 4

( 0.6 )

= 0.15

5or lo tanto+

4.6 ≈ √ 4 + d y = 2 + 0.15 =2.15 √ 4.6

(ao el iso !rocediiento !rocediiento !ara la a!ro%iación de  x =9

'i

d x =−0.8

y

8.2  = √ 8.2

teneos 7ue el "alor de

dy  es de=

dy = f ´ ( x ) d x

dy =

dy =

1 2 √ 9

(−0.8 )

−0.8 6

=−0.133

5or lo tanto+

8.2 ≈ √ 9 + d y = 3 +(−0.133 )= 2.867 √ 8.2

Los "alores "alores a!ro%i a!ro%iados ados de 2.1$ 2.1$ y 2.8? se !ueden !ueden co!arar co!arar con los "alores "alores "erdad "erdaderos eros 2.1448 y 2.83

2/ 3

El ldo de un cudrdo es igul   cm/ Clcul el incremento *roimdo *roimdo de su re re si el ldo ument 0/02 cm/

Considere lo siguiente= •

El clculo del rea de un cuadrado es rea es

•

 y = x

 A =l

2

 x =8  y d x = 0.02

18

2

entonces la 6unción re!resentati"a re!resentati"a del

•

d y =2 x d x

El clculo de

d y = 2 ( 8 ) ( 0.02 )=0.32

•

2

2

 y = x =( 8 ) =64

'i

 y + d y =64 + 0.32= 64.32 ∴ elincr elincrem emen ento to enel á rea esde 0.32 cm

ACTI7IDAD 50-

2

Calcula la di6erencial

dy

en el !unto  x

!ara el "alor de

d x

7ue se indica en cada 6unción= 2

 x =6

d x =0.004

2

x =5

d x =0.001

y =6 x + 5 x + x

x =1

d x =0.0005

 y =√ 3 x − x

x =2

d x =0.0003

1.

y =9 x

2.

y =7 x + x

3. 4.

3

2

2

CIERRE ACTI7IDAD 50-

Calcula Calcula edian ediante te di6ere di6erenci ncial al y resuel resuel"e "e cada cada uno de los eerci eercicio cioss siguientes.

1.

Calcula Calcula el incre increento ento del del rea rea de un un cuadrado cuadrado de lado lado de $ etros etros cuando cuando su lado lado auenta auenta 2.$

2.

0eter eter ina ina el incre incre ento ento del "olu "oluen en de un cuo cuo de lado lado de 3.$ etr etros os si sus sus lado lado

19

auenta /.//2 . 3.

Atener Aten er el "alor "alor a!ro% a!ro%ia iado do en el aue auento nto 7ue 7ue tendr tendr el el rea de de una es6er es6eraa de 8 c de radio cuando el radio auenta auenta 3 c.

UNIDAD UNO Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 4

La Inte2ral "n!e'"n"!a3 ant"!er"(a!a 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La tecnolog,a 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 9 )oras 40 Pro&)s"to3 conocer y a!licar el conce!to de antideri"ada coo una 6unción in"ersa a la de deri"ar+ ades de a!licar las di"ersas 6órulas de integración de 6unciones algeraicas y trascendentes. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 La antideri"ada 6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntroducción a la integral inde6inida+ 6orulas de integración de 6unciones algeraicas. aluno no desa desarr rrol olla lar r sus sus acti" acti"id idad ades es en 6or 6oraa 80 Conten"!o Conten"!oss &ro#e!"m &ro#e!"mentale entales3 s3 El alu indi"idual+ en e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
2/

A&ertura A#t"("!a! 1. Cuestionario

Desarrollo C"erre A#t"("!a! 40 ',ntesis y 6orulario. A#t"("!a! 5. Co!letar una tala re6erente al A#t"("!a! 110 conce!to de deri"ada+ di6erencial e integral. 0eterinación del "alor de la A#t"("!a! 60 :ntegrales de una 6unción constante. constante de A#t"("!a! 80 :ntegrales de !otencias de K%. integración.. A#t"("!a! :0 :ntegrales de "ariale inde!endiente contenida en una ra, de cual7uier ,ndice. A#t"("!a! ;0 :ntegrales del !roducto de una A#t"("!a! 140 constante !or una 6unción. Eercicios de a!licación del A#t"("!a! =0 :ntegrales de la sua yo resta de 6unciones. "alor de constante de A#t"("!a! >0 :ntegración del !roducto de 6unciones. A#t"("!a! 1B0 :ntegración de una 6unción co!uesta. integración. =0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL INDEFINIDA0 A#t"("!a! 10 Contesta indi"idualente los siguientes cuestionaientos.

?Cual es el &ro#e!"m"ento &ara !esarrollar ?ue s"2n"'"#a !er"(ar !er"(ar una 'un#")n@ Al o*tener una !er"(a!a la !er"(a!a@ ?Como (ol(er a o*tener o*tener la 'un#")n or"2"nal@

DESARROLLO A#t"("!a! 40 El tea 7ue a continuación se !resenta te dar la res!uesta al cuestionaiento de FCóo "ol"er a la 6unción original des!ués de )aer deri"adoG+ !or lo 7ue es necesario toar  nota nota !ara !ara )ace )acerr una una s$ntes"s de los conce!tos 7ue se aordan en el tea+ as, coo taién enlistar el 6orulario 7ue se utiliar en el !roceso de integración de 6unciones.

21

DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA INDEFINI DA O ANTIDERI7ADA ANTIDERI7ADA Las ate atetica ticass con contie tienen nen uc)as uc)as !ares !ares de o!e o!erac racion iones es in"ers in"ersas= as= adició adiciónn y sustra sustracció cción+ n+ ulti!licación y di"isión+ ele"ación a !otencias y e%tracción de ra,ces. En clculo integral+ la integración es una o!eración in"ersa a la deri"ación.

if  d  r  ern cia l  l    y =  )  x (   f 

 y= d  (x ´   f   x d   ) nt e i t r  n  g   ell g  a  

En clcul clculoo di6ere di6erenci ncial al a!rend a!rendio ioss a calcular la deri"ada

f ´ ( x )

de una

 ( x ) + o!eración 7ue 6unción dada f  ( dy  f  ( ( x )= f ´ ( x ) dx

se indica !or

o

 ien+ si e!leaos di6erenciales+ !or  d y = f ´ ( x  x ) d x .

El !ro!ósito 6undaental del clculo inte integr gral al de!e de!end ndee de la o!er o!erac ació iónn in"ersa a la di6erenciación+ es decir= Dallar una 6unción

 y = f  ( x )

cuya di6erencial

d y = f ´ ( x  x ) d x

es conocida. Lo anterior 

se !uede resuir y e%!oner con la siguiente ilustración. La 6unción

 ( x ) f  (

integral o antiderivada antiderivada   de la e%!resión 7ue 7ue se otie otiene ne se lla llaaa integral

integración; la o!er di6ere di6erenci ncial; al; el !roced !rocediie iiento nto !ara )allar )allarla+ la+ se llaa llaa integración; o!erac ació iónn se indi indica ca escriiendo el signo integral

∫❑

delante de la e%!resión di6erencial+ de anera 7ue=

∫ f ´ ( x ) dx = f ( x ) El térino antideri"ada se utilia indistintaente en lugar de integral !or ser una o!eración in"ersa a la di6erenciación.

:N'TRBCC:ANE'.- Calcular la di6erencial

dy =

dy  d dx  x

y su integra integrall en cada una de las

siguientes 6unciones=

F$%&'(%

D')*+*%&',-

22

I%.*/+,-

 y = x

 y =6 x

∫ 2 x d = x

dy =2 x d x

2

4

∫ 24 x

3

dy =24 x d x

 x

 x

 y = e

2

 x

3

d x =6 x

 x

dy = e d x

e d x =¿ e

4

 x

∫¿ >eaos >eaos el siguiente cuestionaiento=

 ( x ) S" la !er"(a!a !e f  (



2

3 x

es

dx



?CUL ES LA

5riero recordeos las 6orulas de deri"ación y oteneos 7ue

f  ( ( x )= x

 ( x ) @ f  (

3

 a esta 6unción se

primitiva. 5ero oser"aos 7ue esta le llaa función llaa función primitiva. esta 6unción no es la nica+ ya 7ue taién taién lo f  ( ( x )= x + 5 3

es

f  ( ( x )= x + 7

+

taién

if  d  en al d  r  ca ir l  (x  y =   f  ?¿f   )

=  y d   xd   3xd   x ral  ra i g  n tt  e g    l 

3

+ de )ec)o cual7uier cual7uier 6unción f  ( ( x )= x + C    3

con la 6ora

austa

 !er6ectaente. En general+ la ant"!er"(a!a o 'un#")n

&r"m"t"(a de una 6unción 6unción

 F ( x )

f  (  ( x )

cuya deri"ada

y cuya di6erencial es

es otra f ´ ( x )

d y = f ´ ( x  x ) d x

0

5ara re!resentar la integral se e!lea el s,olo

∫❑

7ue tiene tiene su origen en la inicial de

la !alara sua y se re!resenta coo=

∫

 F ( x )=  F ( x ) dx

5uesto 7ue la deri"ada de una constante es cero+ es !osile suar una #onstante ar*"trar"a C  a la 6unción  F ( x )  . indefinida se escrie coo= 0e odo 7ue la integral indefinida se

23

∫ f ´ ( x) dx = F ( x ) +C 

ACTI7IDAD 50-

Co!leta la siguiente tala=

DIFERENCIAL

FUNCION  y = x

INTEGRAL

DERIVADA

3

d y d x

= 4 x

2

3

d y =6 x dx

∫ 5 x dx = 2

5 x 3

3

− 15

2

 y =2 x −3 x d t =5 x dx

SIGNIFICADO GEOMTRICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Cuando se integra una di6erencial dada+ lo 7ue se est oteniendo es una 6ailia de 6unciones de la 6ora

f  ( ( x ) + C    donde C se denoina constante de integración; integración; y es una constante

arbitraria !or arbitraria !or 7ue se le !uede asignar cual7uier "alor real. 3

 y = x + 1

3

 y = x −2

F$%&'(%  y = x 3

D*+'0,1,

 y = x

I%.*/+,∫ 3 x dx = x +C  2

dy 3  ( x x )=3 x 2 dx

3

24 Fa'ilia de

3

3

dy 3  ( x x + 1 )=3 x 2 dx

∫ 3 x dx = x +1

3

dy 3  ( x x −2 ) =3 x 2 dx

∫ 3 x dx = x −2

 y = x + 1  y = x −2

2

2

3

3

0ado 7ue !odeos dar a C  cuantos   cuantos "alores 7ueraos+ de lo cual si una e%!resión di6erencial dadaa tiene dad tiene una integr integral+ al+ tiene tiene taié taiénn una in6inid in6inidad ad de integr integrale aless 7ue di6ier di6ieren en solo solo en constantes. 5or lo tanto+

∫ f ´ ( x) dx = F ( x ) +C 

y !uesto 7ue C  es   es desconocida e inde6inida+ la e%!resión indefinida de

 F ( x )+ C 

se llaa llaa la integral 

f ´ ( x ) dx -

LA INTEGRAL INDEFINIDA Y LAS REGLAS REG LAS PARA LA INTEGRACIÓN INMEDIAT I NMEDIATA A DE FUNCIONES ALGE,RAICAS0 Coo la deri"ación y la integración son o!eraciones in"ersas+ ello !erite otener las 6orulas de integración directaente de las 6orulas de deri"ación. En el !roceso de deri"ación nos a!oyaos en una serie de 6órulas 7ue !erit,an deterinar  las deri"adas. En la integración taién )ay un conunto de 6órulas 7ue ayudaran a realiar el  !roceso de anera sencilla. un7ue es necesario encionar 7ue no todas las integrales se  !ueden realiar autoticaente+ !ues cada caso necesita un trato es!ecial+ y se llega a la integral de una e%!resión di6erencial dada a!licando nuestro conociiento de los resultados de di6erenciación. La integración se realia !or edio de talas de integración las cuales se conocen con el nore IN&!'I$$% . de IN!"#$L!% de IN!"#$L!% IN&!'I$$%  En siguiente cuadro resue las 6orulas sicas de integración en 6unciones algeraicas+ las cuales !osteriorente sern detalladas ee!los y eercicios !ara cada una de ellas.

CUADRO DE INTEGRALES INT EGRALES INMEDIA INMEDI ATAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 1 LA INTEGRAL ∫ dx = x +C  INDEFINIDA DE / UN FACTOR

2$

2 / = /

4 /

/

CONSTANTE2 LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA POTENCIA2 LA INTEGRAL DEL PRODUCTO DE UNA CONST CONSTANT ANTE E POR UNA FUNCIÓN2 INTEGRAL INDEFINIDA DE LA SUMA DE UN N3ME N3MERO RO FINI FINITO TO DE FUNCIONES2 INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA:

n +1

 x + C   x dx = n +1

∫

n

n ≠− 1

∫ k f  ( ( x x ) dx = k ∫ f  ( ( x x ) dx +C  ∫ [ f  ( ( x ) + g ( x )−h ( x )] dx =∫ f  ( ( x ) dx +∫ g ( x ) dx −∫ h ( x x ) dx

∫ u

n

n ≠1

Sustitución por cambio de variable

du

=

u n +1 n +1

+ C 

Considere  l literl

función de l "rible

1/

 si

u

 como culAuier

 x

#% 8!TE 8!TE59 59%# %# 8!EF8 8!EF8!8 !8% % E ;! ;! F%CT F%CT)9 )9 C)!ST C)!ST%!T %!TE/ E/

∫ dx = x +C 

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

"2

∫ 3 dx

Considerndo Aue es l integrl de un fc fctor constnte y *lic icndo l integrl inmedit 1/

2

∫ −25 d

∫ 3 dx =3 x +C 

t 

Considerndo Aue es l integrl de un fctor constnte y *licndo l integrl inmedit 1/

2

∫ −25 d

t 

Es nece neces srio rio not notrr Aue Aue l difer diferen enci cil l

d t 

5

¿−  t + C  2

identic  GtH como l "rible de integrción/

∫ a dx

42

Considerndo Aue es l integrl de un fctor constnte y *licndo l integrl inmedit 1/ Es neces necesr rio io not notrr Aue Aue l dife difere renc nci ill

∫ a dx

d x

¿ a x + C 

identic  GH como l "rible de integrción ión$ *or lo cul ul l "rible GH re*resent un "lor constnte/

Encuentr l integrl indenid/

ACTIVIDA D #2 1/ =/ -/

'/

>/

2

2/

∫  ∫ − ? dx = 2 dx =

$ 4

∫ 

dv

dx

∫  3

4/ ,/

=

/

=

∫  dw = 1

∫ 2

dx

∫ −

4

a

=

dx

?

∫ 

dt 

=

∫ 9

π  dx

=



10/

∫ 

a dx =

=

LA INTE INTEGR GRAL AL INDE INDEFI FINI NIDA DA DE UNA UNA POTENCIA2 n +1

 x + C   x dx = n +1

∫

n

n ≠−1

Observa que para antiderivar antideriva r una potencia de “x se aumenta ! al exponente y se divide entre el nuevo exponente" #onsiderando que el exponente debe ser di$erente de uno"

2?

:N'TRBCC:ANE'.:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las l as siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

∫ 

 x 2 dx =

"2 Considerndo Aue es l integrl de un *otenci$ donde el e*o e*one nent nte e es *osi *ositi ti"o "o y ente entero ro$$ *lic *licm mos os l inte integr grl l inmedit 2/

∫  x ∫ 

2

 x dx = 2

x 2+1

dx =  x3

2 +1

=

3

1 3

 x 3 + C 

∫ 

 x −$ dx =

2 Considerndo Aue es l integrl de un *otenci$ donde el e*onent ente es negti"o y entero$ *licmos l integrl inmedit 2/

∫  x ∫  x

−$

−$

dx =

dx =

∫ 

1/

=/

Encuentr l integrl indenid/

∫ 

2/

∫ 

∫ 

4/

∫ 

 x dx =  x 9 dx =

28

 x −2 dx =  x  dx =

−$+1

− $ +1

 x −4

−4

 x −$ dx = −

ACTIVIDA D 52

x

+

1 4 x 4

C 

+ C 

-/

,/

∫ 

w? dw =

∫ 

 x −12 dx =

n Cuando intentaos integrar una e%!resión esta !uede !resentarse ele"ada a un e%!onente  + el cual !uede ser un "alor entero o una 6racción. En aas situaciones+ utiliaos la isa 6órula de integración inediata de !otencia I6órula nero 2J. n +1

 x +C   x dx = n +1

∫

n

Bna 6unc Bna 6unció iónn !or !or inte integr grar ar !ued !uedee esta estar  r  contenida en un radical de cual7uier ,ndice+ este este inte integr gran ando do !ued !uedee odi6 odi6ica icars rsee a su 6or 6oraa e%! %!on onen enci cial al !ar !ara 6aci 6acili lita tarr su integración.

FORMA

FORMA

RADICAL

EXPONENCIAL

 x 2

2

3

0es!ués a la e%!resión oten tenida ida la integraos a tra"és de la a!licación de la 6óru 6órula la de integr integraci ación ón de !otenc !otencias ias.. 5or  ee!lo+ en el siguiente cuadro+ se uestra la 6or 6oraa radi radica call y e%!o e%!one nenc ncia iall de una una e%!resión !or integrar=

 x

 x $

 x

 x ?

 x

1

?

3

2

$

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

∫ 

3

 x 2 dx =

"2 do Aue es l integrción de un e*resión contenid en un rdicl$ es necesrio seguir dos *sos: I E*resmos el rdicl en form f orm e*onencil$ bI integrmos l e*resión resultnte  tr"s de l fórmul de *otencis/ +orAue n=

2 3

 1 =

n= 2 3 3 3

∫   x 3

2

∫ 

2

dx =  x 3 dx

2 3

=

∫  x

5 3

29

2 3

+1

dx =

x 2 3

2 3

+1

+1

$

n=

5

=

3

 x 3 $

=

3

3

!ue"mente trnsformmos de e*resión e*onencil  e*resión rdicl/

3

$

3 $

 x $

$

 x 3

+ C 

+ C 

∫   x dx =

2 do Aue es l integrción de un e*resión contenid en un rdicl$ es necesrio seguir dos *sos: I E*resmos el rdicl en form f orm e*onencil$ bI integrmos l e*resión resultnte  tr"s de l fórmul de *otencis/ +orAue n=

1 2

1=

n= 1 2 2 2

∫   x dx = ∫  x

1 2

1 2

=

∫  x

3

1

+1

2

dx =

x 1 2

dx

1 2

+1

+1

2 3

n=

5

=

3

 x 2 3

=

2

2 3

ACTIVIDA D 62 1/

=/

Encuentr l integrl indenid/

∫ 

 x dx =

2/

∫ 

∫ 

 x 9 dx =

4/

∫   x dx =

?

3/

$

3

 x dx = ?

2

2 3

 x 3

3

 x 2

+ C 

+ C 

-/

'/

>/

42

∫ 

 y

∫  x

1

∫ 

8

 x

4

3

,/

dy =

/

dx =

10/

dx =

∫  x



∫ 

?

∫ 

4

 x

$

dx =

2

dx =

w ? dw =

LA INTEG INTEGRAL RAL INDEF INDEFINI INIDA DA DEL DEL PRO PRODUC DUCTO TO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN2 ∫ k f  ( ( x x ) dx = k ∫ f  ( ( x x ) dx +C 

5ara realiar la integración de una 6unción es necesario considerar lo siguiente= • 'i (  es una constante 7ue esta esta coo 6actor en el integrando se !uede !uede !oner coo 6actor de la integral. • La "ariale de integración K% no !uede 7uedar 6uera del signo de integral.

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

∫ 

$ x 2 dx

"2

Considerndo Aue es l integrl indenid del *roducto de un constnte *or un función$ es decir$ Aue reli6mos el *roducto de l constnte - *or l integrl de l "rible/

∫ 

$  x 2 dx =

∫ 

$  x

31

2

  x 2+1     dx = $     2 + 1  

  x3   $ 3 = $     = 3 x + C  3    

∫ 

2

$

 x 4 dx =

2 Cons Co nsid ider ernd ndo o Aue Aue es l inte integr grl l de un *otenci$ donde el e*onente es un un frcc frcció ión$ n$ *lic *licm mos os l inte integr grl l inmedit 2/ 9eli6ndo o*erciones con el e*onente frccionrio:

4

∫ 

2  x

$

+ 1=

4 $

$

9

$

$

+ =

dx

  4 + 1     x $     = 2  4 + 1        $  

2 4

$

=

  9     x $       9        $  

9 9 $   $ 1/ $   2   x =  x + C  9  9  

1/

$

9

4

∫ 3  x

=/3

2

+ 1=

−? 2

+ 2= 2

9

+ C 

−7 2

dx

Considerndo Aue es l integrl de un *otenci$ donde el e*onente es negti"o y entero$ *licmos l integrl inmedit 2/ 9eli6ndo o*erciones con el e*onente frccionrio: −?

 x

4

∫ x 3 4 3

−$ 2

4 3

2

dx

  −? + 1     x 2   4   = 3  − ? + 1       2  

  −$     x 2       − $       2  

 − 2   −2$ − 8 −2$   −  x + C     x = $ 1$     −8 1$ x

32

−7

$

= 2

-8 1$  x

$

+ C 

ACTIVIDA D7 1 / = / / ' /

> /

#2

Encuentr l integrl indenid/

∫ 

2/

∫ 

3 − 12  x ∫  dx =

4/

1

3 x 4 dx =

$

∫ 2

∫ 

∫ 3

∫ 3 x dx = 2

−9

,/

∫ 2

8

/

3

 x dx =

9 x dx =

2

$ x  dx =

3

10/

1 ?

 x dx =

∫ 2 1

∫ 8

 x  dx =

$

 x

−4 ?

dx =

1

 x 3 dx =

INTEG INTEGRA RAL L INDE INDEFIN FINIDA IDA DE LA SU SUMA MA DE UN N3ME N3MERO RO FINITO DE FUNCIONES2 ∫ [ f  ( ( x ) + g ( x )−h ( x )] dx =∫ f  ( ( x ) dx +∫ g ( x ) dx −∫ h ( x x ) dx

%ecuerda que la inte&ral de una suma es i&ual a la suma o resta de las inte&rales

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

"2

∫ ( x +2) dx 33

∫ x dx +∫ 2 dx

Considerndo Aue es l integrl de un sum de funciones$ *licmos l integrl inmedit 4/

(

%*licmos l integrl inmedit 2 y 1 en cd un de ls funciones res*ecti"s/

 x

#onsidere que a cada inte&ral 'abr(a que sumarle una constante #) pero solamente se escribe la del *nal  porque la suma suma de varias varias constantes constantes es otra constante" 2   x +  x ( $ 3 ) ∫ 

2 Cons Co nsid ider ernd ndo o Aue Aue es l inte integr grl l de "ri "ris s e*r *res esio ione ness$ *l *licm icmos os l integrl inmedit 4/ % su "e6 "e6$ es nec eces esr rio io *li *liccr l integrl inmedit de un constnte *or un función y l integr egrl de *otencis/

2

2

)

+ C  + ( 2 x + C  ) 1

 x

2

2

2

 + 2 x + C 

dx

∫ 

$  x 2 dx

+

∫ 

3  x  dx =

  x 2+1     x +1     $   + 3   + 1     + 2 1        

= $  x3 + 3  x ? + C  3

?

ACTIVIDA Encuentr l integrl indenid/ D 82 1/ 2/ I x  + 8 x3 + 2 x 4 J dx = I3 x 2 + 2 x$ +  xJ dx =

∫ 

=/ -/

∫  ∫ I3w

∫ 

4/

I−8 x 3 + 3 x 2 + 2J dx = 4

+ w − 1J

,/

dw =

∫ 

I$ x 

+ 2 x 3 J dx =

∫ ( π  −1 ) dx 2

'/

 3 1? 32   ∫   4 t  + t     dt  =

/

∫ 

>/

 $ 14       +  x  x ∫   3  dx =  

1 0/

∫ 

I2 $  x 

I x

8

$

+ 3 x 2 J +  x$ J

dx =

dx =

En la integración de !roductos o cocientes de !olinoios+ en algunos casos este !roceso !uede 6acilitarse si se e6ectan !re"iaente las o!eraciones algeraicas indicadas en cada uno de los casos.

34

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

 x !3) dx ∫ ( 2 x + 1) ( x! "2 9eli6ndo l multi*licción ∫ ( 2 x lgebric de ls e*resiones/

∫ x

8ntegr 8ntegrndo ndo cd cd termino termino lgebr lgebric ico o del *roducto resultnte

2

2

2

−  x +  x − 3)

∫

dx −5  x dx − 3

2

5

3

dx

∫ dx

2

¿ x −  x −3 x + C  3

2

Encuentr l integrl indenid/

ACTIVIDA D 92 1/

2/

∫ 

=/

∫ I3 x

-/

∫ I2 x − $ x J I1 − xJ dx

52

INTEG INTEGRA RAL L INDE INDEFIN FINIDA IDA DE UNA FUNCI FUNCIÓN ÓN COM COMPUE PUEST STA: A:

I3 x 4 +  xJ  x dx = 2

4/

+ 2 x $ +  xJ I2 x 2 J dx =

,/

2

∫  ∫ I4 x

+ 2 x3 J  x 2 dx =

I2 x  2

∫ I−8 x

− 8 xJ I x − 1J dx 3

+ 3 x 2 + 2J I$ +  xJ

dx

Sustitui)n $or a'bio de "ariable

∫ u

n

du

=

u n +1 n +1

+ C 

Considere  l literl

u

 si

n ≠1

 como culAuier función de l "rible

 x

 "l propósito de esta t#cnica es identificar en el integrando una función $ue est# multiplicada  por la diferencial  de   de esa función% para poder aplicar una fórmula de integración% e sta técnica

de sustitución es llaada taién cambio de variable.

3$

u En este étodo se elige una literal + 7ue se iguala a la 6unción 7ue incluye el integrando+ !or  ello es necesario se#alar 7ue est en 6unción de la "ariale de dic)a 6unción. En la integración de una 6unción co!uesta se !ueden !resentar dos casos !osiles= • 

Cuando la función elevada a una potencia es multiplicada por su derivada.

•

Cuando Cuando la 6unción 6unción ele"ada ele"ada a una !otencia es ulti!licada ulti!licada !or otra 6unción 6unción di6erente a su deri"ada

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integración en las siguientes e%!resiones !or edio de la 6orula de integración res!ecti"a.

C$,%1 -, )$%&'(% *-*0,1, , $%, ;.*%&', *< =$-.';-'&,1, ;+ <$ 1*+'0,1,2

∫ (3 x 2 + 3)

"2

3

 x dx =

∫ 

u 3 du =

Considerndo Aue: 2

u=3 x + 3

=

du =6 x dx

Sustituyendo:

=

2

u por 3 x + 3

u 3+1 3 +1

I3 x 2

=

u4

+ 3J 4 4

4

+ C 

C$,%1 -, )$%&'(% *-*0,1, , $%, ;.*%&', *< =$-.';-'&,1, ;+ .+, )$%&'(% 1')*+*%.* , <$ 1*+'0,1,2

∫ 

I x 3 + 4J $ x 2 dx =

2 9eli6ndo el cmbio "rible: Considerndo Aue: u= x + 4

de

∫ 

u $ du

=

1

=

3

∫ 3 u

2

du =3 x dx

)bse )bser" r"mo moss Aue Aue

1')*+*%.* 

du

es

=

dx / En est

3

1

$

u 3 ∫ 

du

$

du

=

situción es necesrio determinr un fctor tor Aue *ermit Aue mbs deri"ds sen igules/ 3 x

2

1  = x 2  3 

8ntegrndo l e*resión:

1   u $+1

   1   u    u   =      =   = 18 3  $ + 1   3           

Sustituyendo: 3

u por x + 4

18

1/

∫ 

=/

∫ I3 x + 8J  x dx ∫  x I x + 4J dx ∫  3 x + 4 dx

'/

3

( 3 x − 2) 3 dx 2

3

2

+ C 

Clcul Clc ulr r ls ls sigu siguie ient ntes es inte integr grle less me medi din nte te un cmbio de "rible/

ACTIVIDAD "!2

-/

+ 4J 

I x 3

1/

2/

∫ ($ x 2 + 2)

4/

∫  ? − 4 x

,/

∫ 

/

∫ 

$

 x

 x

2

4

3

1/ x dx

 x 2 dx

( $ + 2 x ) 3

8

dx

1 + 2 x 2 dx

DETER DETERMIN MINAC ACIÓN IÓN DE LA CONST CONSTA ANTE DE INTEG INTEGRA RACIÓ CIÓN N MEDIAN MEDIANTE TE LAS CONDICIONES INICIALES0 'e )a encionado 7ue la ecuación

∫ f ( x ) dx

 y =

tiene uc)as uc)as soluciones soluciones++ las cuales

constante. Esto signi6ica 7ue las gra6icas de cuales7uiera dos antideri"adas o di6ieren en una constante.  !riiti"as de

 ( x ) f  (

son traslaciones "erticales una de otra.

integración es necesario tener la e%!resión di6erencial 5ara calcular el "alor de la constante de integración es 7ue se )a de integrar y algunos datos+ !rocediiento 7ue ilustrareos con los ee!los siguientes.

3?

l oser"ar la 6igura+ !odeos se#alar lo siguiente= • Las gra6icas de "arias antideri"adas o !riiti"as de la 6ora !ara di"ersos "alores enteros de C es

∫ ( 3 x −1 ) dx = x − x +C 

 y =

•

2

3

Cada una de estas antideri"adas o !riiti"as es una solución de la ecuación di6erencial dy =3 x 2−1 dx

En a!l a!licac icacio ionnes de inte integr graación ción++ se da su6i u6icien ciente te in6oración !ara deterinar una solución particular . 5ara esto+ solo se necesita conocer el "alor de

 y = F ( x )

 !ara un "alor de K%. Esta in6oración in6oración recie el nore de condicional inicial . 5or ee!lo en la 6igura+ solo una cur"a !asa !or el !unto I2+ 4J. 5ara encontrar esta cur"a se utilia la in6oración inicial ao el siguiente !rocediiento=

 F ( x )= x − x + C 

Solución generl

 F ( 2 )= 4

Condición inicil

3

J2$ 4I

;til ;tili6 i6n ndo do l co cond ndic ició ión n inicil en l solución generl$ obtenemos:

 F ( 2 )=( 2 ) −( 2 )+ C = 4

es*ejndo *r l constnte de integrción:

C =4 −8 + 2

e tl modo$ se obtiene l solución *rticulr:

F ( x )= x − x −2

3

 F ( 2 ) =8 −2 + C = 4

=−2 C =− 3

2 H,-H,--, , *- 0,- 0,-++ 1* -, &%< &%<., .,%. %.* * 1* '%.* '%.*/+ /+,& ,&'( '(% % y -, )$%&' )$%&'(% (%  ( x ) f  ( f  ( x ) =6 x − 2 x 1* -, *>;+*<'(% *>;+*<'(% 1')*+*%& 1')*+*%&',',*% *;$%. ?@ 42 2

 ( x ) # deri"d de f  (

dy =6 x2 −2 x dx

es:

Su diferencil es:

d y =( 6 x − 2 x ) dx 2

38

∫ d =∫ 6 x dx −∫ 2 x dx

 ( x ) : 8ntegrmos y obtenemos f  (

2

 y

 y =

6 x

3

−

3

3

2 x 2

2

+ C 

2

 y =2 x − x + C 

Sustituyendo los "lores del *unto J2$ =I 9esol"iendo o*erciones y des*ejndo:

3

3=2 ( 2)

2

−( 2 ) + C 

3=16 − 4 + C 

C =3−16 + 4 C =− =−9

Sustit Sustituyen uyendo do en l función función tenemo tenemoss Aue:

3

2

y =2 x − x −9

El "lor de l constnte de =−9 y l C =− integrción es función originl es

Conclusión:

3

2

 y =2 x − x − 9

SIGNIFICADO FSICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN0 'e re6iere a las condiciones iniciales 6,sicas de un !roceso+ coo !uede ser+ la !osición inicial de una !art,cula en o"iiento+ el in"entario de un negocio+ los costos 6ios+ el nero de  acterias al coenar un e%!eriento+ e%!eriento+ etcétera.  &rolemas sore movimientos'

C%<'1*+*=< $*: +osición

V*-&'1,1 v ( t )

s ( t )

9e*resentn en el momento

t 

A&*-*+,&'(% a ( t ) de un un obje objeto to Aue Aue se se

mue"e en el eje coordendo$ entonces: 2 ds d v  d s     v ( t ) =s ( t )= a ( t ) =v ( t ) = = dt  d t  d t 

2

La gra"edad !uede e%!resarse con los siguientes "alores= g= 9.8

m 2

s

=980

 cm 2

s

 = 32

 pies s

2

En cursos anteriores encionaos 7ue v ( t )

y

s ( t )  era conocida+ y a !artir de ella calculaos

a ( t ) . )o )ora ra necesitaos necesitaos estudiar el !roceso in"erso= in"erso= dada la aceleración+ aceleración+

encontrar la "elocidad y la !osición.

39

"2 A-*> -,%, $%, ;*-., ,&', ,++', 1*<1* $%, ,-.$+, 1*  =*.+< <+* *- %'0*- 1*- <$*- &% $%, 0*-&'1,1 '%'&',- 1*

5

m s  2

E%&$*%.+, s ( t ) -, )$%&'(% $* 1, -, ,-.$+, 1* -, ;*-., &% +*<;*&. ,- .'*=;2

e l físic sbemos Aue l "elocidd res*ecto l tiem*o est determind *or l función: v ( t )=v 0 + at  v ( t ) =v 0 + g t 

Si el cuer*o se mue"e Dci rrib o Dci bjo$ l celerción debido  l gr"edd GgH es siem*re Dci bjo/

Sustituyendo los dtos:

v ( t ) =5 +(−9.8 ) t 

Considerndo Aue ds   v ( t ) =s ( t )= dt 

s ( t ) =5 −9.8 t   

∫ 5 dt −∫ 9.8 t dt  s ( t )=5 ∫ dt −9.8 ∫ t dt   

s ( t )=  

9.8

s ( t )= 5 t −

Sbemos Aue cundo el tiem*o inicil

2

2

t  + C 

t = 0

l ltur de l *elot es de 2 metros JgurI$ es decir ls condiciones iniciles son el *unto J0$ 2I/ Sustituyendo Sustituyendo los "lores del *unto J0$ 2I en l s ( t ) funció función n obte obtene nemo moss el "lo "lorr de l constnte C: 9esol"iendo o*erciones y des*ejndo:

2= 5 ( 0 ) −

9.8 2

2

( 0) +C 

C =2 s ( t )=5 t −

Entonces l ecución solicitd es:

4/

9.8 2

2

t  + 2

2 U%, ;*-., <* -,%, ,&', ,++', &% $%, 0*-&'1,1 '%'&',- 1* 6# ;'*< ;+ <*/$%1 , ;,+.'+ 1* $%, ,-.$+, '%'&',- 1* 8! ;'*<2 # tryectori de l *elot se describe en l gur/

, E%&%.+,+ -, )$%&'(% ;<'&'(% s ( t ) $* *>;+*<, -, ,-.$+, < *% $%, )$%&'(% 1*- .'*=; .2  C$%1 --*/,+, -, ;*-., ,<$*-K

E%&%.+,+ -, )$%&'(% ;<'&'(% s ( t ) $* *>;+*<, -, ,-.$+, < *% $%, )$%&'(% 1*- .'*=; .2 v ( t )= v 0 + g t 

el curso de físic sbemos Aue l "elocidd res*ecto l tiem*o est determind *or l función:

g=−32

donde

 pies

Sustituyendo los dtos:

v ( t ) =64 − 32 t 

Considerndo Aue ds   v ( t ) =s ( t )= dt 

s ( t )= 64 −32 t 

2

s

 

∫ 64 dt −∫ 32t dt  s ( t ) =64 ∫ dt −32∫ t dt   

s ( t ) =  

Entonces l función *osición con res*ecto l tiem*o *uede e*resrse como: Sbemos Aue cundo el tiem*o inicil

t =0

41

32 2

2

t  + C 

s ( t )= 64 t −16 t  + C  2

l

ltu ltur r de l *elo *elot t es de 0 *ies *ies$$ es deci decirr ls ls condiciones condiciones iniciles son el *unto J0$ 0I/ Susti Sustitu tuyen yendo do los "lor "lores es del del *unt *unto o J0$ 0I 0I en l función s ( t ) obtenemos el "lor de l constnte C: 9esol"iendo o*erciones y des*ejndo:

s ( t )= 64 t −

80= 64 ( 0 )−16 ( 0 )+ C 

C =80

Entonces l ecución solicitd es: •

s ( t )= 64 t −16 t  + 80 2

C$%1 --*/,+ -, ;*-., ,- <$*-K t 1=−1 t 2 =5

do Aue l nterior e*resión resultnte es un ecución cudrtic: 2 s ( t )= 64 t −16 t  + 80 Su fctori6ción nos *ermite determinr el tiem*o:

Como el tiem*o debe ser *ositi"o$ se *uede concluir Aue Aue l *elo *elot t gol*e ol*e  el suelo - segundos des*us de Dber sido ln6d/

CIERRE0

etermin el "lor de l constnte de integrción y l func funció ión n f  ( ( x )  de l e*resión diferencid dd y el *unto ddo/   f  ( x )=2 x + 5 g ( x )=−2 x − 5 x *r J=$ 2 *r J1$ 2I

ACTIVIDA D "" 1/

2

/

32I =/

h ( x  x )= 8 x −2 x + 2 3

 

*r J32$

4 /

f  ( x )=5 x − 4  

4

*r J32$ 31I

-I

ACTIVIDA D "

Con l inf infor orm mci ció ón *ro*or *orcion ciond d  deter eterm min in solicitdo en cd uno de los siguientes csos/

lo

1 ;n *elot es ln6d Dci rrib desde un ltur de 2-, *ies sobre el /  pies 96 ni"el del suelo con un "elocidd inicil de seg / •

Encuentr s (t ) tiem*o

l función Aue d l ltur de l *elot l

t   /

BCunto tiem*o trdr l *elot en llegr l *iso 2 Si se ln6 un objeto Dci rrib desde un ltur inicil de 1000 *ies / con un "elocidd inicil de -0 *ies *or segundo/ • Encuentr l "elocidd y l ltur des*us de 4 segundos/ = ;n *elot es ln6d Dci rrib con un "elocidd inicil de ,0 *ies / *or segundo/ • Bu distnci scender l *elot 4 1 2 / ;n ;n min min  de de cr crbó bón n *r *roduc oduce e  r6 r6ón ón de 40 + 2 t − 5 t   tonelds de •

crbón *or Dor/ • Encuentr un fórmul Aue describ l *roducción totl de l min

42

des*us de t  Dors de o*erción/ - ;n *oblción es tcd *or un e*idemi de gri*e/ / Se  ! ( t )  el numero de *ersons enferms l tiem*o t   medido en dís$ dems cundo inici l e*idemi es de 100 *ersons$ es decir  ! (t )= 0 y un mtemtico mtemtico determin determin Aue l *ro*gc *ro*gción ión de l gri*e gri*e est dd *or l ecución de •

d !

2

=120 t −3 t   *ersons *or dí/ d t 

7llr 7ll r cun cunto toss enfe enferm rmos os Dbr Dbr  des* des*u uss de 10 dís dís si no se control l e*idemi/ Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 5 Inte2ra#")n !e 'un#"ones tras#en!entes

10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La sociedad 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 8 )oras 40 Pro&)s"to Pro&)s"to33  conocer y a!licar las 6orulas de integrales inde6inidas !ara las 6unciones trascendentes+ ya sean trigonoétricas directas+ in"ersas+ logar,ticas y e%!onenciales. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. • E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 La antideri"ada. 6040 Con#e&to Con#e&toss su*s"!"ar su*s"!"ar"os3 "os3 unciones trascendentes Itrigonoétricas directas+ in"ersas+ logar,ticas y e%!onenciales. aluno no desa desarr rrol olla lar r sus sus acti" acti"id idad ades es en 6or 6oraa 80 Conten"!o Conten"!oss &ro#e!"m &ro#e!"mentale entales3 s3 El alu indi"idual+ en e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
43

ciencias.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

APERTURA A#t"("!a! 10 Contesta de anera indi"idual las !reguntas 7ue a continuación se !resenta.

1/ .encion los ti*os de funciones con ls Aue Aue Demos Demos *li *lic cdo do *roc *roces esos os de deri"ción/

CLASIFICACION DE FUNCIONES

CLASIFICACION DE FUNCIONES TRASCENDENTES

2/ .encion ls funciones trscendentes Aue cono6cs/

=/ Clsic Clsic ls funcione funcioness de cuerdo cuerdo  ls res*uest res*uests s seKlds seKlds en ls ls nteriores *regunts/

44

)?>AL4>M" )?>A L <*% ?>A )?>A L -% ?>M>A )?>A L ?>M>A4 )?>A L *>M5

DESARROLLO LA INTEGR INTEGRAL AL INDEF INDEFINI INIDA DA Y LAS LAS REGLAS REGLAS PARA ARA LA INTEGR INTEGRACI ACIÓN ÓN INMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3 )*NCI+N!%  #I"+N+&#IC$% 'I#!C$%. En la integración de las 6unciones trigonoétricas es necesario utiliar la técnica de sustitución  !or caio de "ariale. des utiliareos las 6órulas de integración descritas en el siguiente cuadro=

CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS "2 ∫ senudu=−cos u + C  2

∫ cos u du = senu +C 

42

∫ tan u du=−ln cos u +C 

#2

∫ cot u du =ln senu +C 

52

∫ secudu = ln ( secu+ tan u ) +C 

62

∫ sec u du =tan u +C 

72

∫ secu tan u du= secu + C 

82

∫ cscudu =−ln ( cscu −cot u ) +C 

 92

∫ csc u du =−cot u +C 

"!2

∫ cscu cot u du=−cscu +C 

2

2

4$

C$,%1 -, )$%&'(% .+'/%=.+'&, *< =$-.';-'&,1 ;+ -, 1*+'0,1, 1* u "2 9eli6ndo "rible:

∫ en I? xJ ? dx = el

cmbio

de

∫  sen u du =

Considerndo Aue: u=7 x

∫  sen u du = − cos u + C 

du =7 dx

Sustituyendo:

¿− cos u + C 

u por 7 x

en l función trigonomtric resultnte:

¿− cos7 x +C 

C$,%1 -, )$%&'(% .+'/%=.+'&, *< =$-.';-'&,1, ;+ .+, )$%&'(% 1')*+*%.* ,- 1* -, 1*+'0,1, 1*

u

2

∫ cos I3 x J  x dx = 2

2 9eli6ndo "rible:

el

cmbio

de

∫ cos u du =

Considerndo Aue: u=3 x

1

∫  cos u du =

2

du =6 x dx

)bse )bser" r"mo moss Aue Aue

du

es

=

1

=

1



∫ cos u du =

dx / En est 1')*+*%.*  situción es necesrio determinr un fctor tor Aue *ermit Aue mbs deri"ds sen igules:

 1  =  x   

 x 

8ntegrndo l trigonomtric:

e*resión

4



I sen u J + C 

Sustituyendo: u por 3 x

2  sen 3 x

2



+ C 

E"l? l integrl indenid dd usndo un sustitución de u  donde se reAuerid/ 2/   x   CosI$ xJ dx

ACTIVIDA D 2 1/

∫ 

=/

∫ (?Cos  x + 3 x

-/

∫ an I3 xJ.dx 2 ∫ tanI $ x J dx ∫ ( ec I xJ + 3 x − 4) dx ∫ Csc I3 + $ xJ dx

'/ >/ 11 /

∫ 

$ Cos

$

4/

) dx

,/ /

2

2

  x dx  2  

∫ enI3 xJ  x dx ∫ enI x + 4J x dx ∫ ec I1? x J  x dx 2

2

2

10 /

∫ CscI$ xJ Cot I$ xJ dx

12 /

∫ 

(ec

 x     x   )an      )an  dx   3     3  

LA INTEGR INTEGRAL AL INDEF INDEFINI INIDA DA Y LAS LAS REGLAS REGLAS PARA ARA LA INTEGR INTEGRACI ACIÓN ÓN INMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3 )*NCI+N!%  #I"+N+&#IC$% #I"+N+&#IC$% IN-!#%$%. CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS "2 du  u  

∫  a

2 42

∫ a

∫ u

2

− u2

du 2

+ u2

=

= arcsen   + C   a   1 a

du u2

− a2

 u  + C     a  

arctan 

=

1 a

  u      + C  a  

arc sec 

5ara a!licar las anteriores 6órulas de trigonoétricas in"ersas es necesario identi6icar y calcular los "alores de las siguientes e%!resiones=

4?

a2

u2

du

a

u

dx

D*.*+='%,+ -, '%.*/+,- '%1*%'1, 1* -, <'/$'*%.* *>;+*<'(%:

∫ 

dx

4 − 9x2

"2 8denticndo l formul de integrción trigonomtric in"ers:

∫  a

u   = arcsen     + C   a  

du 2

− u2

=4

u2

= 9 x 2

a=2

u

= 3x

a2

Clculndo "lores:

1

Sustitución de "lores:

3

=3

dx =

dx

du

3

1 = 1  3 

3

8gulndo ls diferenciles:

du

arcsen

 3 x  + C   2 

D*.*+='%,+ -, '%.*/+,- '%1*%'1, 1* -, <'/$'*%.* *>;+*<'(%:

∫  x

dx

4 x 2

2 8denticndo l formul de integrción trigonomtric in"ers:

−9

∫ u

du u2

− a2

=

=9

u2

= 4 x 2

a

=3

u

= 2x 2

48

a

a2

Clculndo "lores:

8gulndo ls diferenciles:

1

 u  + C    a    

arc sec 

1  = 1  2 

du

=2

dx =

dx

du

2

1

Sustitución de "lores:

3

ACTIVIDA D 42 1/ 3 =/ 3

2

-/ 3

2

+ 1

dx

∫ 1 − x

2

∫  x

>/ 3

− 4 xdx ∫  9 − x 4 =

dx 2

−4

∫ 9 x

4/3

=

∫  x

2

2

+2 + 1

4

=

+ 1

 x dx

∫  x

/3

=

dx

3 dx

,/3

=

'/ 3

 x

2/3

=

dx

∫  9 x

 2 x   3  + C   

Clculr ls integrles siguientes/

dx

∫  9 − x

arc sec

= =

 x 2 dx

∫  4 − 1// x

10/3

∫  x

dx 9 x 2 − 1



=

=

LA INTEGRACIÓN INMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3 )*NCIN '! L+"$#I&+ N$*#$L / )*NCIN !01+N!NCI$L.

8!TE59%# 8!TE59%# E #% F;!C8L! #)5%98T.) !%T;9%#

∫ 

u

−1

du =

1

∫ u

du =

du

∫  u

= ln u + C 

INTEGRAL DE LA FUNCIÓN EPONENCIAL F;!C8L! F;!C8L! EM+)!E!C8%# EM+)!E!C8%# E a E @%SE e @%SE

∫e

u

u

du= e

8!TE59%# E #% F;!C8L! #)5%98T.) !%T;9%#

∫ u 49

∫ a du =( ln1a ) a +C 

+ C 

u

−1

du =

1

∫ u

du =

u

du

∫  u

= ln u + C 

INTEGRAL DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

1

"2 9eli6ndo "rible:

∫ 2 x dx = el

cmbio

de

1

∫ u du = ln u + C 

Considerndo Aue: u=2 x

1 1 2

du =2 dx

u

 du = ¿

∫¿

du

)bse )bser" r"mo moss Aue Aue

es

dx / En est 1')*+*%.*  situción es necesrio determinr un fctor tor Aue *ermit Aue mbs deri"ds sen igules:

1

u

 du =¿ 1 2

∫¿

1  = 1  2 

2

8ntegrndo l e*resión :

1 2

Sustituyendo:

1

u por 2 x

2

ACTIVIDA D #2 1/ 3 =/ 3

2/3

2

1

∫ 2 x + 3

|u|+ C 

| |+ C 

 ln 2 x

Clculr ls integrles indenids siguientes/

dx

∫  x

 ln

dx

4/3

$/

∫  x

 x 2

+1 $

dx

∫ 2 x + ? dx

-/ 3

 x 3

∫ 3 x

4

−$

,/3

dx

3

∫ 2t + 1 dt  ∫e

:NTE*RL 0E L BNC:MN E5ANENC:L 0E ('E

e

u

u

du= e + C 

INTEGRAL DE LA FUNCIÓN E.PONENCIAL E.PONENC IAL DE ,ASE

∫e

"2

3 x + 1

dx

∫e

9eli6ndo el cmbio de "rible:

u

du= e

u

+ C 

Considerndo Aue: u=3 x + 1

1 3

du =3 dx

)bser"mos Aue

u

 e du =¿

∫¿ du

es 1')*+*%.* 

dx /

En es estt situción ión es necesri rio dete determ rmin inr r un fct fctor or Aue Aue *er *ermit mit Aue Aue mbs deri"ds sen igules: 1 3  =1  3

1

∫ e du 3

8ntegrndo l e*resión :

u

1 3

Sustituyendo:

1

¿  e

u por 3 x + 1

2

3 x + 1

3

∫

+ C 

2

− x

5 x e

dx

∫e

9eli6ndo el cmbio de "rible: Considerndo Aue: u=− x

u

 e + C 

u

u

du= e + C  u

5e

2

du =−2 x dx

$1

du =¿

∫¿

e

)bser"mos Aue

du

es 1')*+*%.* 

∫−2 e

5

dx /

En es estt situción ión es necesri rio dete determ rmin inr r un fct fctor or Aue Aue *er *ermit mit Aue Aue mbs deri"ds sen igules: 1 − 2 x −  =  x  2

−5 2

8ntegrndo l e*resión :

u

−5

Sustituyendo:

du=¿

∫ e du =¿

2

u por − x

u

1

u

e + C 

5

¿−  e− x + C 

2

2

2

0.07 t 

16.1 e 42 # ts mundil de consumo de *etróleo l tiem*o GtH es de millones de brriles nules/ • 7llr l cntidd totl de *etróleo Aue se consumió de 1>>0 JtN0I l 2000 JtN10I/ t  C ( t ) C ( t )=∫ 16.1 e dt + C  Cons Co nsid ider ermo moss Aue Aue es el consumo consumo totl del tiem*o 0 l tiem*o GtH/ t  Considerndo Aue: 16.1 e dt  ∫ u= 0.07 t  0.07

0.07

du =0.07 dt  16.1

)bser"mos Aue

du

∫e

0.07 t 

es 1')*+*%.*  

dx / En est situción es necesrio

determinr un fctor Aue *ermit Aue mbs deri"ds sen igules:  1  =1 /./?   /./?  8ntegrndo l e*resión :

 

Sustituyendo:

16.1

u

1

∫ 0.07 e du =¿

16.1

∫ e +C  0.07 u

0.07 t 

¿ 230 e

u por 0.07

C ( t )=230 e

Si tN0

du =¿

el "lor de l constnte es:

C ( 0 )=230 e

+C 

0.07 t 

+ C 

0.07 ( 0 )

+ C 

C ( 0 ) =230 e + C  0

$2

−230 =C  Sustit Sustituyen uyendo$ do$ obtene obtenemos mos el consum consumo o totl en culAuier GtH: Entonces el consumo Aue " de 1>>0  2000 t es:

C ( t )= 230 e

0.07 t 

−230

0.07 (10 )

C ( 10 )= 230 e

−230

C ( t ) ≈ 233 miles miles de mill millon ones es de "arri "arriles les #

ACTIVIDA D 52 1/ 3

∫ 

=/ 3

∫ 

Clculr ls integrles indenids siguientes/ 3 2/3  x 2 e − x dx

∫ 

e 3x dx

1/ e

∫ √ e

-/ 3

$x

 x

dx

dx

4/3

∫

,/3

∫e

4

(−4 x ) dx 3

ax + "

dx

∫ a du =( ln1a ) a +C 

:NTE*RL 0E L BNC:MN E5ANENC:L 0E ('E

− x

e

u

a

u

:NTE*RL 0E L BNC:MN BNC:MN E5ANENC:L 0E ('E

"2 9eli6ndo "rible:

∫ 3 el

cmbio

2 x

dx

de

= u

a du =¿

∫¿

Considerndo Aue: u=2 x

1 2

du =2 dx

u

 a du= ¿

∫¿ $3

a

)bse )bser" r"mo moss Aue Aue

du

u

a du =¿

es

1

dx / En est

1')*+*%.*  situción es necesrio determinr un fctor tor Aue *ermit Aue mbs deri"ds sen igules:

2

∫¿

1  = 1  2 

2

∫ a du =( ln13 )3

8ntegrndo l e*resión :

u

Sustituyendo:

1

u por 2 x

2 ln 3

ACTIVIDA D 62 1/ 3 =/ 3 -/ 3

( ) 1

3

2 x

2 x

+ C 

+ C 

Clculr ls integrles indenids siguientes/

∫ 2 dx ∫ 3 dy ∫ 2 cos x dx  x

2/3

5  y

4/3

sen x

,/3

∫ 10 dx ∫ ( e +7 ) dx ∫ 3 2 t dt  2  x

3 x

3 x

2 t 

CIERRE

ACTI7IDAD ;0-

nalia las siguientes situaciones !lanteadas y resuel"e !or edio de la integración de 6unciones trascendentales.

$4

 

1.- La tasa de !roducción de gas natural industrialiado en Estados Bnidos )a sido de  $ (t ) 0 # 02 t     illones de (TB anuales al tie!o Kt+ donde tO/ corres!onde a 19? y  $ ( t )=20 e .

•

Dallar una 6órula 7ue descria la !roducción total de gas natural industrialiado de 19? )asta el tie!o Kt.  

2.- Estados Bnidos )a consuido ineral de )ierro a raón de

 $ (t )

étricas anuales al tie!o Kt+ donde tO/ corres!onde a 198/ y

 $ ( t )=94 e

•

illones de toneladas

 

0 # 016 t 

.

Dallar una 6órula 7ue descria el consuo total del ineral )asta el tie!o Kt.

3.- Bn !a7uete de 6resas congeladas se retira de un congelador a -$P C y se trans!orta a una )aitación a 2/P C. l tie!o Kt la te!eratura !roedio de las 6resas esta creciendo a raón −0.4 t 

10 e

de •

grados cent,grados cent,grados !or )ora.

Encuentra la te!eratura de las 6resas en relación al tie!o Kt.

ACTI7IDAD =0-

La integral+ al igual 7ue la deri"ada+ es i!ortante i !ortante deido a su a!licación a uc)os !roleas. Realia una in"estigación donde se#ales la a!licación de la integración en las ciencias+ considera ee!li6icar y encionar la 6uente iliogr6ica consultada.

UNIDAD DOS Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 6 Inte2ra#")n !e &oten#"a !e 'un#"ones tr"2onom9tr"#as 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La sociedad 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 ; 40 Pro&)s"to3 !licar el étodo de integración de !otencia de 6unciones trigonoétricas a tra"és de las 6órulas estalecidas elaorando di6erentes !roleas. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 :ntegración de !otencia de 6unciones trigonoétricas.

$$

6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegración de !otencia de 6unciones trigonoétricas. 6or a indi"idual+ en 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad acti"i dad 7ue "aya a realiar. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA A#t"("!a! 10 Aser"a las siguientes integrales y contesta lo 7ue se te !ide.

∫  sen 2 xdx

∫  sen

2

2 xdx

∫  sen

3

2 xdx xd x

∫  sen

4

2 x cos 2 x dx

aJ FCul es la seeana entre ellasG  J FCul es la di6erencia entre ellasG ellasG cJ FCul de las integrales !uedes resol"erG Q F!or7ué Co!arte tus res!uestas con tus co!a#eros y aestro+ !ara llegar a un acuerdo a cerca de las res!uestas realiadas.

DESARROLLO

$

A#t"("!a! 40 5ara resol"er las integrales+ deers )acer uso de identidades trigonoétricas 7ue a continuación se te !ro!orcionan. 2

2

a ¿ sen u + cos u=1

2

2

 ¿ cos u = f  ¿

2

" ¿ 1 + tan u= sec u

2

g ¿ cscu =

2

c ¿ 1 + cot u =csc u

h ¿ secu =

d ¿ sen 2 u=2 senucosu

2

e ¿ sen u=

1−cos 2 u 2

1 + cos 2 u 2

1

senu 1

cosu

i ¿ tanu=

senu cosu

% ¿ cotu=

cosu senu

Inte2ra#")n !e &oten#"a !e 'un#"ones tr"2onom9tr"#as Cuando se intenta otener la solución de una integral es !roale 7ue ésta no esté considerada con alguna de las 6órulas de integración corres!ondientes a 6unciones si!les. En este caso+ los étodos de integración ayudan a trans6orar esas integrales en otras 7ue se resuel"en con las 6órulas de integración ordinarias. En este étodo+ el integrando est 6orado !or 6unciones 6unciones trigonoétricas Iseno+ coseno+ coseno+ etc.J ele"adas a una !otencia dada. 5ara la integración de 6unciones trigonoétricas de seno y coseno se consideran tres casos+ y se re7uiere el uso de identidades !itagóricas e identidades de edio ngulo. Consideran Considerando do el ti!o de 6unción trigonoétri trigonoétrica ca !or integrar as, coo su !otencia !otencia !odeos !odeos )acer uso de la siguiente tala !ara e6ectuar la integración de dic)as 6unciones=

CASO I0

m

',

∫ en

m

en 2 Iu J = 1 − Cos 2 Iu J

 es :&5R 

≠1

Btiliar la identidad trigonoétrica

Iu Jdu

Btiliar la identidad trigonoétrica m

',

en2 Iu J =

 es 5R 

CASO II0

$?

1 2

S1 − CosI 2u JR

m

', m

∫ 

Cos Iu Jdu

Cos 2 Iu J = 1 − en 2 Iu J

 es :&5R 

≠1

Btiliar la identidad Cos 2 Iu J =

m

',

 es 5R 

∫ 

 p

',

$

2

S1 + CosI 2u JR

Btiliar la identidad

m

en m Iu J Cos n Iu J du

1

CASO III0

n

y

Btiliar la identidad

 son

:&5RE'

en Iu J = 1 − Cos 2 Iu J 2

≠1

 en la !arte de ! ó Cos Iu J = 1 − en Iu J 2

2

en la !arte de 7 m

',

es 5R n

y

y

≠1

 es :&5R 

n

2

en la !arte de 7

≠1

  es :&5R  m

',

Cos Iu J = 1 − en Iu J 2

en 2 Iu J = 1 − Cos 2 Iu J

 en la !arte de !

 es 5R  m

',  y 5RE'

n

 son

en2 Iu J =

1 2

S1 − CosI2u JR

en la !arte ! y Cos 2 Iu J =

1 2

S1 + Cos I2u JR

en la !arte 7 7

E+em&los3 Caso I

1J Calcular la integral de Pro#e!"m"ento3

∫  sen

4

x dx

 sen (u) = 2

En este caso es necesario utiliar las identidades del ngulo edio  xse n2 xdx xd x ∫  sen 4 xdx = ∫  sen 2 xsen

 + al sustituir la identidad se tiene=

 1 − cos 2 x   1 − cos 2 x  dx  xse n2 xdx  xd x = ∫  ∫  sen 2 xsen       2    2   $8

1 2

[1 − cos ( 2u)]

 1 − cos 2 x  2 dx = 1 (1 − 2 cos 2 x + cos2 2 x )dx ∫  2   ∫  4     Ele"ando al cuadrado= 1

4 ∫ 

1dx −

2

4 ∫ 

cos 2 xdx +

1

cos 2 x dx 4 ∫  2

'e!arando e integrando= 1

1 1dx =  x + C  4 4

∫ 

1J

2 4

∫ 

cos 2 xdx

2J

se otiene uO2% du O2d%

 1  2 cos 2 xdx = 1  sen2 x + C     4  2  4 ∫ 

3J En la tercera integral se dee utiliar nue"aente la identidad=

1 − cos 4 x   1 1 1 1  dx = dx − cos 4 xdx =  x −  sen4 x + C  2 8 8 32   8

  cos 2 xdx = ∫  ∫  4 4   1

2

1

∫ 

∫ 

5or lo tanto el resultado 6inal es= 1 1 1 1 3 1 1  sen 4 x =  x +  sen 2 x +  x −  sen 4 x =  x +  sen 2 x −  sen 4 x + C  4 4 8 1 8 4 32

∫ 

2J Calcular la integral de

∫  sen

3

xdx

Pro#e!"m"ento3

2 2  sen (u) = 1 − cos Iu J

En este caso es necesario utiliar las identidades

$9

 xse nxdx ∫  sen2 xsenx

'e resta 1 al e%!onente de la 6unción 7uedando

 + al sustituir la identidad se tiene=

 sen x dx = ∫ I1 − cos2  x J  senx  sen x dx ∫  sen 2 x senx

 sen x)dx ∫ ( sen x − cos2  x  senx

'e ulti!lican la identidad !or la 6unción de seno 7uedando=

 xd x − ∫ cos  x  senx dx ∫  sen  xdx 2

'e!arando e integrando=

1J 'e a!lican 6órula sica de integración

∫ cos  x  senx dx

∫  senxdx = − cos x + C 

− ∫ u

2

2J

2

du = −

u3 3

+ C  = −

cos3  x 3

+ C 

se otiene otiene uOcos % du O-sen% O-sen% d% ;

5or lo tanto el resultado 6inal es=

∫  sen

  cos3 x    cos3  x      xdx  xd x = − cos x −  −  + C  = − cos x +  3    + C  3        

3

A#t"("!a! 50 Resuel"e las siguientes integrales de !otencias de 6unciones de trigonoétricas en tu lireta. xd x ∫ en xdx 2

1J

∫ en 2 x dx 2

2J

∫ en 1/x dx 3

3J

/

∫ en 3xdx 2

4J

∫ en xdx $

$J

∫ en $xdx 3

J

E+em&los Caso II

3J Calcular la integral de Pro#e!"m"ento3

∫ cos

2

xdx

cos (u) = 2

En este caso es necesario utiliar las identidades del ngulo edio sustituir la identidad se tiene=

 1 + cos 2 x  dx  xd x = ∫  ∫ cos4  xdx     2   1 2

∫ 

1dx +

1 2

∫ cos 2 xdx

'e!arando e integrando= 1

1 1dx =  x + C  2 2

∫ 

1J 1 2

2J

∫ 

cos 2 xdx

se otiene uO2% du O2d%

 1  1 cos 2 xdx = 1 sen2 x + C     4  2  2 ∫ 

1

1

∫ cos  x = 2 x + 4 sen2 x + C  2

5or lo tanto el resultado 6inal es=

1

1 2

[1 + cos( 2u)] + al

3J Calcular la integral de Pro#e!"m"ento3

∫ cos

3

xdx

cos (u) = 1 −  sen Iu J 2

2

En este caso es necesario utiliar las identidades

∫ cos2  x cos xdx 'e resta 1 al e%!onente de la 6unción 7uedando

 + al sustituir la identidad se tiene=

∫ cos2  x cos x dx = ∫ I1 −  sen 2 x J cos x dx ∫ ( cos x −  sen 2 x cos x )dx 'e ulti!lican la identidad !or la 6unción de seno 7uedando=  x dx − ∫  sen  x cos x dx ∫ cos  xdx 2

'e!arando e integrando=

1J 'e a!lican 6órula sica de integración

∫  sen  x cos x dx

cos xdx =  senx + C  ∫ cos

2J

u3

∫ u du = 3 + C  = 2

2

 sen 3 x

3

+ C 

se otiene uOsen % du Ocos% Ocos% d% ;

5or lo tanto el resultado 6inal es=

∫ cos

  sen 3 x      xdx  x dx =  senx −   + C  3    

3

A#t"("!a! 60 Resuel"e las siguientes integrales de !otencias de 6unciones de trigonoétricas en tu lireta.

∫ Cos ? xdx

∫ Cos 1/ xdx

1J 4J

∫ cos

3

2

2J

∫ cos

$

xdx

$J

4

x dx

3J

∫ cos

2

$ xdx

J

2

∫ cos

3

3xdx

E+em&los Caso III  5ara este caso tendrs 7ue utiliar los casos anteriores de!endiendo de los e%!onentes de las 6unciones.

Anal"
9estr 1 l e*onente e*onente *r descom*oner  l función

∫  sen

3

2 x cos2 2 xdx

S e s u s t it u y e l

∫

 sen 2 x sen 2 x cos 2 xdx  x dx = 2

2

∫ (1 − cos2 2 x ) sen2 x cos2 2 xdx

El siguiente !aso es realiar la ulti!licación=

'e!arar la integral

id e n t id  d

∫

 sen 2 2 x sen2 x cos 2 2 xdx =

∫ (1 − cos

2

2 x ) sen2 x cos 2 2 xdx

= ∫ I sen2 x cos 2 2 x − sen2 x cos 4 2 xJdx

 xd x − ∫  sen 2 x cos 2 xdx ∫ sen 2 x cos 2 xdx 2

4

Bsando el étodo de sust sustit ituc ució iónn de una una "ari "aria ale le u = cos 2 x+ du = −2 sen2 xdx; dx = teneos=

3

du

− 2 sen2 x

'ust 'ustit ituy uyen endo do en la inte integr gral al teneos

∫

=

'e regresan originales

los

datos

du

− 2 sen2 x

− ∫ u 4 sen2 x

1

−u

2

u  sen2 x

−1 2

∫ u du + 2 ∫ u du = 2

− cos 3 2 x 

+

4

cos $ 2 x 1/

3



+

du

− 2 sen2 x u

$

1/

+c

A#t"("!a! 80 Resuel"e las siguientes integrales de !otencias de 6unciones de trigonoétricas en tu lireta.

∫ en I x J cos I x Jdx 2

1J

2

∫ en I xJ cos I x Jdx 3

2J

3

∫ en I x J cos I xJdx 2

3J

3

CIERRE conce!tuall en tu lireta del tea= tea= :ntegración :ntegración de !otencia !otencia de A#t"("!a! :0 Elaora un a!a conce!tua 6unciones trigonoétricas.

A#t"("!a! ;0 5ara resol"er las integrales+ deers )acer uso de identidades trigonoétricas !or  lo 7ue te in"ito a leas la siguiente in6oración y elaores un 6orulario.

∫ en

2

∫ en 2 x dx 3

3xdx

1J 2

4J

3J

∫ Cos 2 x dx

xd x ∫ Cos 3xdx $

3

$J

∫ en I xJ.Cos I xJdx 2

?J

$

2J  x Jdx ∫ cos I4 xJ $

J

∫ en I3 xJ.Cos I3 xJdx 2

8J

∫  sen 3xdx

2

4

∫ en I2 x JCos I2 x Jdx 2

9J

$

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 8 Inte2ra#")n &or sust"tu#")n tr"2onom9tr"#a 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 Tecnolog,a 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 : 40 Pro&)s"to3 !licar el étodo de integración !or sustitución trigonoétricas a tra"és de las 6órulas estalecidas elaorando di6erentes !roleas. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 :ntegración !or sustitución trigonoétricas. 6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegración !or sustitución trigonoétricas. 6or a indi"idual+ en 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad acti"i dad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
C"erre A#t"("!a! 60 Elaoración de un 6orulario. 'oluci ción ón de A#t"("!a! 80 'olu :ntegrales A#t"("!a! :0 Re!orte de la relación entre la tecnolog,a y las ateticas.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a3

$

APERTURA A#t"("!a! 10  !artir del siguiente tringulo "e contestando lo 7ue se te !ide= 1J FHué ti!o de tringulo esG 2J 'i u es el cateto o!uesto y a es el cateto adayacente. FCunto "ale la )i!otenusaG 3J Co!arte con tus co!a#eros las res!uestas y con ayuda a yuda de tu aestro deterinen !ara 7ue ser"ir el tringulo en la integración.        O

DESARROLLO A#t"("!a! 40 Lee la siguiente in6oración suraya lo s i!ortante. Inte2ra#")n &or sust"tu#")n tr"2onom9tr"#a Este étodo se utilia !ara resol"er integrales inde6inidas 7ue contengan en su integrando u2

+ a2

u2

− a2

a2

− u2

e%!resiones del ti!o + y . En este caso se recoienda odi6icar  la integral original introduciendo un caio de "ariale trigonoétrica. Este étodo de integración consideran los siguientes casos=

CASO I0 I0

Suma uma !e !e #u #ua!ra a!ra! !os

u2

+ a2 u = a tan θ 

u2

+ a2

du = a ec 2θ  d θ 

u

θ 

u2

a

CASO II0

D"'eren#"a !e #ua!ra!os

u2

+ a2 = a

ecθ 

− a2 u = a ecθ 

u u2

du = a ecθ  an θ  d θ 

− a2 u2

θ 

a CASO III0

D"'eren#"a !e #ua!ra!os

a2

− u2 

− a2 = a

an θ 

u = a enθ  a

du = a Cosθ  d θ 

u θ 

a

2

−u

a2 2

∫ 

− u2 = a

dx

4 + x2

E+em&los3 Resuel"e las siguientes integrales. El radical corres!onde al caso :+ !or lo tanto teneos=  x = 2 tan θ 

= 2 sec 2 θ  d θ  4 +  x 2 = 2 sec θ 

dx

'ustituyendo en la integral original se tiene= 2 sec 2 θ  d α 

dx

∫  4 +  x = ∫  ( 2 sec 2

θ  )

= ∫ sec θ d θ 

Recordando las 6órulas de integración de 6unciones trigonoétricas se tiene=

∫ sec

θ  d α 

= ln secθ  + tan θ  + C 

Btilia el tringulo del caso : !ara encontrar el "alor del sec θ  =

tan θ  =

 *ipotenusa cateto adyacente cateto opuesto cateto adyacente

4 +  x 2

sec θ  =

tan θ  =

2

x 2

'ustituios en el resultado 6inal= ln sec θ  + tan θ 

+ C  = ln

?

4 +  x 2 2

+  x + C  2

Cosθ 

∫  x

dx 2

 x 2

−9

2J El radical corres!onde al caso ::+ !or lo tanto teneos=  x = 3sec θ 

 x 2

= 9sec 2θ 

dx = 3sec θ  tan θ  d θ   x 2

− 9 = 3 tan θ 

'ustituyendo en la integral original se tiene=

∫  x

dx 2

 x 2

−9

= ∫  3sec2θ  tan θ  d θ  = 1 ∫  d θ 

( 9 sec θ  )( 3 tan θ )

9 secθ 

Bna "e 7ue si!li6ica la e%!resión dees oser"ar 7ue no cuentas con 6órula 7ue te integre el resultado otenido !or lo cual es necesario utiliar util iar identidades trigonoétricas+ en este caso= cos + =

1

1 sec  +

1 cosθ  d θ  =  senθ  + C  9 9

∫ 

5or lo tanto teneos=  senθ 

Btilia el tringulo del caso :: !ara encontrar el "alor del seno es igual al cateto o!uesto entre la )i!otenusa=  senθ  =

 x 2

1

−9

9

 x

 !ara ello dees recordar 7ue el

 senα  + C  =

2 1     x

− 9    + C     9    x  

'ustituios en el resultado 6inal= 6inal=

∫  =I

dx

4 − x2

'i oser"a el radical+ !odrs "er 7ue !riero se encuentra la constante y des!ués la "ariale+ este ti!o de radical corres!onde al caso :::. Realia un anlisis

= asenα  du = a cos α  d α  a 2 − u 2 = a cos α 

u

∫ 

4 − x2

= 2 senα  dx = 2 cos α  d α  2 4 −  x = 2 cos α 

 x

dx

4 −  x 2

'e sustituye en la integral original=

8

= ∫ 2 cos α  d α  = ∫ d α  = α  + C  2 cos α 

 x

'e toa=

= 2 senα 

 !ara des!ear el ngulo

 x   =  sen −1      ó  2     x   α  = arc  sen    2   α 

sustituyendo en el el resultado 6inal se se tiene= α 

 x   + C  = arc sen    + C   2  

A#t"("!a! 50 :ntegra cada una de las siguientes e%!resiones+ utiliando el étodo de integración  !or sustitución trigonoétrica. trigonoétrica.

∫   x

 x

+4

2

1/

∫ 

 x  x 2

dx

dx

+ 4dx

∫  1 + x

∫   x

∫ 

-/

'/

.

∫ I x

dx 2

− 9J

∫ 4 − x

2

>/

∫  4 − x

2

∫  x

2

3

2

−9

dx

8.

dx

∫ 

11/

 xdx  x dx

3

4/  x

 x 1 −  x 2 dx

− 1

2

∫   x

2

3.

2. dx

 x 3

3 − 81 x 2 .dx

∫  x

1 −  x dx 2

dx 2

− a2

12.

1/.

CIERRE te a 'ustitución Trigonoétrica Trigonoétrica A#t"("!a! 60 Elaora un 6orulario del tea

A#t"("!a! 80 Resuel"e las siguientes integrales. dx

1/

∫  9 + x ∫   x

4/

2

 x 2

∫   x

−1

dx 2

+ 2$

2.

∫  ∫ 

1 −  x 2 dx

 x

dx

3.  x 2

∫  9 −  x

dx

− 2$

 x 2

2

dx

.

$.

A#t"("!a! :0 En 6ora indi"idual elaora un re!orte acerca de la relación entre la tecnolog,a y las ateticas y co!arte tu traao en el gru!o.

9

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 : Inte2ra#")n !e 'ra##"ones &ar#"ales 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La sociedad 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 : 40 Pro&)s"to3 !licar el étodo de integración !or 6racciones !arciales a tra"és de los casos estalecidos elaorando di6erentes !roleas. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas.

?/

E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales o

60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 :ntegración de 6racciones !arciales 6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegración de 6racciones !arciales 6or a indi"idual+ en 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad acti"i dad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
C"erre A#t"( #t"("! "!a! a! 60 0esco!oner  las e%!resiones en 6racciones  !arciales. 'olución ón de A#t"(" "("!a! 80 'oluci int integrales les a!lica icando el étodo de 6racciones  !arciales. A#t"(" "("!a! :0 :n"estigación de la a!licación de las atéticas.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA A#t"("!a! 10 0e anera indi"idual contesta las siguientes !reguntas. 1J FHué es una 6racciónG 2J FHué es una 6racción !ro!iaG 3J FHué es una 6racción i!ro!iaG i !ro!iaG 4J 0e las siguientes 6racciones identi6ica el ti!o de 6racción 3 x  x

3

−2 2

−  x − 2 x

 x

2

−1

 x + 1

 UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU   UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU   UUUUUUUUUUUUUUU  Coenta con tus res!uestas con tus co!a#eros y con ayuda de tu aestro lleguen alguna conclusión.

DESARROLLO ?1

A#t"("!a! 40 Lee la siguiente in6oración suraya lo s i!ortante. Inte2ra#")n &or 'ra##"ones &ar#"ales 'e llaa 6unción racional racional a7uella a7uella cuyos térinos térinos algeraicos+ algeraicos+ tanto el nuerador nuerador coo el denoinador+ son e%!resiones en donde la "ariale tiene solaente e%!onentes enteros y  !ositi"os+ es decir no tienen literales literales con e%!onentes 6raccionarios. 6raccionarios.  & I xJ  f  I x J = , I x J 'ea es una 6unción racional+ donde donde 5 y H son son !olinoios !olinoios 'i el grado de  es enor al grado de caso contrario+ es impropia

impropia    L    9    N    A    :    C    9    R    N    A    :    C    N    B    

 f  I xJ

,

 & 

+ entonces

es una 6racción 6racción racional propia racional propia;; en

En este este caso caso++ se e6ec e6ect taa una una di"i di"isi sión ón alge algeraic raicaa del del nu nuerad erador or entr entree deno denoi ina nado dor. r. La e%!r e%!res esió iónn resu resulta ltant ntee da coo coo resu resulta ltado do la sua sua de un  !olinoio y de una 6unción racional !ro!ia. Es decir+ el !rolea de integrar  6unciones racionales se reduce a las racionales !ro!ias. ,I xJ

En este ti!o de 6unción racional+ se 6actoria el denoinador  !roducto de 6actores lineales o cuadrticos.

 propia  propia

Las Las 6rac 6racci cion ones es raci racion onal ales es !ro! !ro!ias ias !ued !ueden en e%!r e%!res esar arse se coo coo una una sua sua de 'ra##"ones &ar#"ales s"m&les+ cada una de las cuales se integra a!licando la integ integra raci ción ón ine inedi diat ata. a. El ne nero ro de 6rac 6racci cion ones es !arc !arcia iale less de!e de!end ndee de la naturalea de los 6actores lineales o cuadrticos. El nero de constantes !or  deterinar es igual al grado del denoinador.

5ara desco!oner una 6unción racional en 6racciones racionales se tienen los siguientes casos=  Todos los 6actores lineales l ineales del denoinador son distintos. Caso 10 Todos Ee!lo 3 x  x

3

−2 2

−  x − 2 x

3 x

  Cactor  iaosel denoinador y se otiene =  x I x

−2

− 2 JI x + 1J

El resultado se e%!resa en 6racciones 6racciones !arciales de la siguiente 6ora= 3 x  x I x

−2

− 2 JI x + 1J

=

 +  x

+

  x

−2

+

C   x

+1

6actores lineales del denoinador se se re!iten Caso 40 lgunos 6actores Ee!lo 1  x

3

2

− 2 x +  x

 coo un

1

  Cactor  iaosel denoinador y se otiene =  x I x

− 1J

2

El resultado se e%!resa en 6racciones 6racciones !arciales de la siguiente 6ora=

?2

1  x I x

− 1J

2

=

 +  x

+

  x

−1

+

C 

( x − 1)

2

Caso 50 actores cuadrticos del denoinador distintos. 1  x

3

Cactoria os el denoinado r y se otiene

+  x

1

=  x I x

2

+ 1J

Ee!lo= 1  x I x

2

+ 1J

 +

=

 x

+

+ C  x2 + 1

 -x

El resultado se e%!resa en 6racciones 6racciones !arciales de la siguiente 6ora=

Caso 60 actores cuadrticos del denoinador re!etidos.  x  x

3

4

+ 2 x + 1 2

+  x + 9

 Cactori aos el denoinado r y se otiene

=

 x

3

+ 2 x + 1

( x + 3) 2

2

Ee!lo= El resultado se e%!resa en 6racciones 6racciones !arciales de la siguiente 6ora=  x

3

I x

+ 2 x + 1 2

+ 3J

2

=

 +x  x

2

+  + +3

Cx I x

2

+  . + 3J 2

 x − 2

∫ I x + 4JI x + 2J dx E+em&lo3 Resuel(e la siguiente integral Coo Co o el deno deno inad inador or est est 6act 6actor ori iad adoo se !roc !roced edee a desc desco o!o !one nerr en 6rac 6racci cion ones es !arc !arcia iale less este este !ro !role lea a corres!onde al caso 1 'e !rocede a encontrar los "alores de  y (

 x I x

 x

−2

=

+ 4 JI x + 2J

 +  x

+4

+

  x

+2

− 2 =  +I x + 2 J +  - I x + 4 J

'e dan "alores a % de tal 6ora 7ue se eliine uno de los S" %H-4 − 2 − 2 =  +I −2 + 2 J +  - I −2 + 4 J 6actores − 4 = 2 -

 -

= −4 E 2 = −2

S" %H-6 − 4 − 2 =  +I −4 + 2 J +  - I −4 + 4 J −  = −2 +

'e sustituyen los "alores en la 6racción

3  x

'e integra cada una de las 6racciones

+

+4 3dx

 +

= − E − 2 = 3

−2 x+2 2 dx

∫  x + 4 − ∫  x + 2 3 ln  x

A#t"("!a! 50En 6ora gru!al resuel"an los siguientes !roleas.

?3

+ 4 − 2 ln  x + 2 + C 

1I

2I

$ x − 1 dx 2  x − 1

=I

∫ 

∫  x

-I

,I

+1 dx 2  x − 4

>I

− 3 x − 4

dx

∫  x

$ x + 3 3

− 2 x − 3 x

dx

'I

∫ I x − 3J

∫ 

2

2

 x

 x 3

∫  x

$ x

4I

∫  x

dx 2

dx

10I

− a2

∫  x I x + 2J dx 2

2

∫  x

−  x − 

2

dx

I

 x − 1 3

−  x − 2 x 2

11I 4 x + 12

3 x − 1

dx

∫  x

$ x 2

− 3 x − 4

dx

12I  x + 4

∫  xI x

2

+ 4J

dx

4 x 2 − 11 x + 3

∫   x

3

− 4 x 2 + 3 x

dx

CIERRE A#t"("!a! 6. 0esco!one en 6racciones !arciales.

1I

2I

=I 2 x + 2

2 x + 3

 x + 2

I x − 3JI x + 1J

 x 2

4I 3 x − 1

I x − 1JI x − 3J 2

+ 1/ x + 2$

I x + 1JI x 2

+ 2J

A#t"("!a! 80 En 6ora indi"idual+ integra en cada caso utiliando el étodo de 6racciones  !arciales.

1I

2I  x − 2

∫ I x + 4JI x + 2J -I 2 x 2

dx

− 9 x + 1/dx ∫  2 x2 − $ x + 3

=I

∫  x

 x + 3 2

+ ? x + 1/

,I

+  dx ∫  x 2 − 3 x  x 2

dx

4I

 x + 1 ∫  xI x + 3J dx

∫ I x

'I

I  x + 2

∫  xI x − 2J

dx 2

∫  x

2 x − 1 2

− 4JI x − ?J

1 4

dx

dx

−1

A#t" A#t"(" ("!a !a! ! :0 En e7ui!os deern in"estigar la a!licación de las ateticas en la "ida cotidiana+ cada e7ui!o e%!ondr su traao.

?4

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 ; Inte2ra#")n &or &artes 10 Datos 2enerales3 1010 Nom*re !e la mater"a3 &ateticas !licadas 1040 Tema "nte2ra!or3 La sociedad 1050 Cate2or$a3 orden y es!acio 1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1080 Ses"ones3 : 40 Pro&)s"to3 !licar el étodo de integración !or !artes a tra"és de las 6órulas estalecidas elaorando di6erentes !roleas. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar0 5010 Gen9r"#as3 • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos c onte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 5040 D"s#"&l"nares3 • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales 60 Conten"!os #on#e&tuales0 6010 Con#e&tos 'un!amentales3 'un!amentales3 :ntegración !or !artes 6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegración !or !artes 6or a indi"idual+ en 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora e7ui!o ó gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de los co!a#eros. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
1.

Desarrollo Contestar  A#t"("!a! 40 Suraya lo s i!ortante. A#t"("!a! 50 'olución de  !roleas.

C"erre A#t"("!a! 60  !roleas.

'olu 'oluci ción ón

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en ésta secuencia te ser"irn  !ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiación de cada una de las acti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de &ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica. >0 Momentos !e la se#uen#"a3

?$

de

APERTURA

∫ $ xe

2 x

dx

 identi6ica sus eleentos A#t"("!a! 10 0ada la siguiente integral :ntegrandoUUUUUUUUUUUUUU0i6erencialUUUUUUUUU  F'e !uede resol"er el integrandoGUUUUUU F!or 7uéGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU. 7uéGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU. F!arece 6unciones e%!onencialesGUUUUUUFCulGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU e%!onencialesGUUUUUUFCulGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU. UUUUUUUUU. Co!ara las res!uestas con tus co!a#eros y lleguen a una conclusión 6inal con la ayuda a yuda de tu aestro.

DESARROLLO A#t"("!a! 40 Lee la siguiente in6oración suraya lo s i!ortante. Inte2ra#")n &or &artes Cuando 6racasa la integración !or sustitución+ se intenta una dole sustitución+ conocida coo integración !or !artes. Este étodo se asa en la integración de la 6órula de la deri"ada del !roducto de dos 6unciones. 'e usa !ara integrar un gran nero de integrales no inediatas 7ue se !lantean coo 6unciones algeraicas+ logar,ticas y trigonoétricas in"ersas. dy  dy dy  u  x v  x v  x u x I J I J I J I J +  dx  dx dx

v = v I x J

u = I xJ

'ea y . Entonces y ediante la integración de aos ieros ie ros de esta ecuación+ se otiene y en 6ora siólica la integración !or !artes de integrales inde6inidas=

∫ udv = uv − ∫ vdu 5rocediiento !ara integrar !or !artes= 1.0ada la integral 2.-

3.-

udv ∫ udv

+ se seleccionan

 y

.

dv

u La 6unción 6cilente.

dv

u

 dee ser deri"ale y

 dee ser un térino 7ue se !ueda integrar

En la 6órula 6órula de integración integración !or !artes se sustituy sustituyen en los datos otenidos otenidos del !aso !aso anterio anterior+ r+ considerando 7ue

∫ vdu

no dee ser s co!licada 7ue

udv ∫ udv

.

En la integr integraci ación ón !or !artes+ !artes+ se usa general generalente ente !ara resol"e resol"err integr integrale aless en las 7ue el integrando est 6orado !or !roductos yo cocientes de di"ersas 6unciones+ tales coo=  

unción algeraica con 6unción algeraica. unción algeraica con trascendente+ y

?



unción trascendente con 6unción trascendente.

En este étodo de integración+ en ocasiones es necesario a!licar "arias "eces la integración !or   !artes+ es decir realiaos una iteración de este !rocediiento. Pro#e!"m"ento3 1J :denti :denti6ic 6icaa de la la integ integral ral 7uie 7uienn es u y dv u dv tiene 7ue ser un térino 7ue se !ueda integrar 2J La 6u 6unción dee ser deri"ale y dv tiene 6cilente. 3J 'e sustituye sustituye los datos datos otenido otenidoss del !aso anterio anterior+ r+ conside considerando rando 7ue 7ue co!licada 7ue la integral original. Ee!los 1J Calcul Calculaa la integra integrall inde6in inde6inida ida en cada cada caso= caso=  x e ∫ $ xe

2 x

aJ

dx u =  x

= e 2 x dx ∫ dv = ∫ e 2 x dx

dv

du = dx

l integrar se otiene = v

=

1 2

e 2 x

'e sustituyen los datos en la 6órula y se integra=

∫ udv = uv − ∫ vdu ( x )  1 e =  xe dx $ $  ∫    2

 − 1 e2 x dx   ∫     2 1   1  1   = $( x )    e2 x  −  e2 x     2   2  2   2 x

2 x

= $  xe2 x − $ e2 x + C  2

4

∫  x cos 2 x dx  J u =  x

= cos 2 xdx ∫ dv = ∫ cos 2 xdx

dv

du = dx

l integrar se otiene = v

??

=

1 2

 sen 2 x

vdu ∫ vdu

 no sea s

'e sustituyen los datos en la 6órula y se integra=

∫ udv = uv − ∫ vdu  1  sen2 x  − 1  sen2 xdx ( ) =  x  xdx  x cos 2    ∫  ∫   2   2 =

 xsen 2 x

=

 xsen 2 x

2 2

1 1   −    − cos 2 x  + C  2   2  

+

1 4

cos 2 x + C 

∫  x 2 ln  x dx cJ u

= ln  x

du

=

1  x

dv =  x 2 dx

∫ dv = ∫  x dx 2

dx

l integrar se otiene = v =

 x 3

3

'e sustituyen los datos en la 6órula y se integra= vd u ∫ udv = uv − ∫ vdu   x   1  1      ( ) =  x  xdx  x dx  x l n l n   dx ∫   − 3 ∫  x    x   3     3

2

3

  x 3   1 2 = ( ln  x )     − ∫  x dx   3   3   x 3 ln  x   1   x 3     x 3 ln  x    x 3   =   − 3  3    =  3    − 9 + C  3             A#t"("!a! 50 Bsa la integración !or !artes !ara realiar las integraciones indicadas

∫  x enI3 x J dx

 x CossI x J dx ∫  xCo

∫  x(en   2    dx  x

∫ 

∫  x CosI xJdx

 xe  x e2 x dx

 xe  x e x dx

∫ 

∫ 

∫ 

3 x

∫ 

∫ 

∫ 

∫   xC osI8 x Jdx ∫  xCos

∫ 

∫  ∫  x e dx

 x 1 −  x dx

 x3  x 2

− 4dx

 x 2 enI xJdx

 x 2e3 x dx

e 2 x enI 2 xJ dx

 x lnI  xJdx

?8

2

 x 2e 2 x dx

e x en I x J dx

∫ 

 x 3  x 2 − 4dx

∫  x arctan xdx ∫ arctan xdx

∫ 

 x e x dx

CIERRE0 A#t"("!a! 60 Resuel"e las siguientes integrales  x e dx ∫ 2 xe ∫ 3 xsen2 x dx ∫  x cos 3xdx 3x

2

∫  xe −  x dx

∫  x cos $ x

∫  x

 x + 2 dx

∫  xsen 4 x dx

dx

∫  x enI2 xJdx

∫  x CosI? xJdx

2

2

UNIDAD TRES Se#uen#"a !"!/#t"#a = Sumator"as 10 Datos tos 2en 2enera erales les 1.1 Nore Nore de la ateria= &ateticas &ateticas !licad !licadas as 1.2 Tea Tea integrado integrador= r= la "i"ienda "i"ienda 1.3 Catego Categor,a r,a== Es!aci Es!acioo 1.4 >alores= alores= orden+ res!eto y traao colaorati"o 1.$ 'esion 'esiones es== $ )oras )oras 2

Pro&)s"to3 0esarrollar la )ailidad del uso de las suatorias+ considerando las 6orulas 7ue !ueden ser utiliadas en cada cada uno de los casos+ lo anterior anterior con la realiación de las acti"idades designadas en el tea+ traaando de anera indi"idual+ e7ui!o y gru!al.

5

Com& Co m&et eten en#" #"as as &or &or !es !esar arro roll llar ar33 3.1 *e *enér néricas icas== • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iados. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. 3.2 0isci! 0isci!lin linare aress • orula y resuel"e !roleas ateticos+ a!licando di6erentes en6o7ues.

6

Cont Co nten en"! "!os os #on# #on#e& e&tu tual ales es 4.1 Conce!tos 6undaentales= !licación de las integrales 4.2 Conce!tos Conce!tos susidiar susidiarios= ios= La notación siga siga IVJ.

8

Conten Cont en"! "!os os &ro# &ro#e! e!"m "men enta tale les3 s3 !licar las di6erentes 6orulas de la suatoria !ara resol"er los !roleas 7ue se !lantean+ con la ayuda de co!a#eros y aestro.

?9

:

Conten Cont en"! "!os os a#t" a#t"tu tu!" !"na nale les3 s3 0esarrollar cada una de las acti"idades 7ue sean encargadas !or el docente de anera ordenada+ traaando con la ayuda de los co!a#eros y res!etando las ideas 7ue cada uno  !resente de los conociientos conociientos del tea.

?

Pro!u#tos !e a&ren!"
!ertura= A#t"("!a! 10 5reguntas contestadas.

0esarrollo= A#t"("!a! 40 Lectura surayada y 6orulario. A#t"("!a! 50 Eercicios.

Cierre= A#t"("!a! 60 Bso de notación siga. A#t"("!a! 80 Co!roación de  !ro!osiciones.

8

Rela#")n #on otras as"2naturas= el a!rendiae de este tea+ les rinda las !osiilidades de a!licar sus conociientos en clculo a"anado 7ue se a!lica a ni"el !ro6esional+ as, coo taién los acerca a la solución de !roleas cotidianos+ con un grado de di6icultad ayor.

>

Mome Moment ntos os !e !e la se# se#ue uen# n#"a "a !"! !"!/# /#t" t"#a #a

APERTURA A#t"("!a! 1. Contestar las !reguntas 7ue a continuación se !resentan+ las cuales se deen realiar en la lireta y de anera indi"idual. 1. El s,olo s,olo V es una letra letra griega griega llaada llaada Ksiga+ Ksiga+ recuerdas recuerdas Fdónd Fdóndee la utiliasteG utiliasteG 2. FCul FCul es el uso uso 7ue 7ue se le le da a este este s,ol s,oloG oG 3. Realia Realia el conteo conteo de uno en en uno de los neros neros del del 1 al 1/ 4. Realia Realia el conteo conteo de uno en en uno de los neros neros del del 1 al 1/// 1/// $. 5uedes 5uedes e%!resar e%!resar una una anera anera s s sencilla sencilla de realiar realiar aas aas suas. suas.

DESARROLLO A#t"("!a! 4. Realia la lectura del tea surayando lo 7ue consideres i!ortante y elaora t 6orulario. La nota#")n s"2ma 5ara 6acilitar la escritura de suas con uc)os térinos+ se      % utilia la notación siga. Esta notación i!lica el uso del

     .      5      8      S

s,olo

∑

+ la letra sigma ayscula del al6aeto griego.

En 6ora general+ teneos 7ue= n

∑ 0 IiJ =  0 ImJ + 0 Im + 1J + 0 Im + 2J + ... + 0 InJ  / = m

0onde  y n son

m ≤ n

enteros y . En la sua+ sua+ el nero nero m se denoina denoina l,ite l,ite in6erior in6erior y a n se le llaa l,ite su!erior; el s,olo i se denoina ,ndice de la sua. 5ro!iedades de suatorias

'uatorias es!eciales

8/

n

n

∑i =

∑1 c = cn i=

 

i =1

donde c es cual7uier constante

n

n

n

∑ c f  IiJ = c∑  f  IiJ i =1

∑i

i =1

  donde c es cual7uier constante n

n

n

i =1

i =1

n

i =1

n

i =1

= 14 In 4 + 2n3 + n 2 J

4

= 3/1 In $ + 1$n 4 + 1/n 3 − nJ

n

∑ [  f  IiJ − g IiJ] = ∑  f  IiJ − ∑ g IiJ i =1

3

i =1

n

∑i

i =1

+ nJ

= 1 I2n 3 + 3n 2 + nJ

i =1

∑i

In 2

2

n

∑ [  f  IiJ + g IiJ] = ∑  f  IiJ + ∑ g IiJ

1 2

i =1

Ee!lo 1.- 0esarrolle en detalle la sua indicada. $

∑2 i

i

= 21 + 2 2 + 23 + 2 4 + 2 $

=1

Ee!lo 2.- 0esarrolle en detalle la sua indicada. n

∑ i

i

3

= 13 + 23 + 33 + ... + n 3

=1

Ee!lo 3.- Bsa la notación siga !ara re!resentar la sua dada= n

2

1

+ 2 + 3 + ... + n = ∑ i 2 2

2

2

i

=1

A#t"("!a! 5. En cada uno de los siguientes eercicios+ desarrolla en tu lireta la sua re!resentada !or el s,olo dado y encuentra su "alor corres!ondiente.

∑

i

i =1 8

∑2 =1

.

∑ i =1

3

4

−i

2

∑

3iIi

i =1

i

=1

∑I

i i

2

− 2J

+ 1J

=1



∑31 I1  + 1J 1 =1

8

∑

J

i

i =1

?

1 

1 

i

∑ Ii

$

4

1/

2/

  2      ∑ i = 3  i + 1   $

i

2

81

∑

4

∑ I4

I3i + 1J

i

i =1

i

∑    i1     

2/

∑

21 

i =1

1 =1

i

=1

2

4

8

∑

− $J

= −2

I 3i

−

2J

∑ [I 2 − 1J  2 =1

2

+ I 2 + 1J3 ]

A#t"("!a! 6. Bsa la notación siga !ara re!resentar las suas dadas

1

+ 2 + 3 + ... + n

1

+

2

1 4

+

1 8

+

12

+ 2 2 + 32 + ... + n 2

1

1

1

3

+1+ 9

1 2?

+

1 81

CIERRE3 A#t"("!a! 80 Daga uso de las !ro!iedades de las suatorias y de las suatorias es!eciales !ara co!roar las siguientes !ro!osiciones. n

∑

i

n

i3

i

=1 n

∑n i =1

2

4

=

=

1 2

1 4

+

+

n

∑I

i i

i

=1

− 1J =

n

1

∑n

2n

1 2n

1 3

i2

i =1

+

∑ I2

i

2

i

In

3

+

1 2n

+

1 n 2

∑I

− nJ

i i

i

− 1J = n 2

=1

n

3

1

n

1 4n

=

3

=1

+ 1J = 1 n3 + n 2 + 3

2

n

3

Se#uen#"a !"!/#t"#a > C/l#ulo !e /rea !e manera "ntu"t"(a 10

Datos 2enerales 1.1 1.1 No No re re de la ater ateria ia== &at &ate et tic icas as !lic !licad adas as 1.2 Tea in integrador= La La "i" "i"ie iennda 1.3 Categor,a= Es!acio 1.4 1.4 >alore lores= s= orde orden+ n+ res! res!et etoo y tra traa aoo cola colaor orat ati" i"oo 1.$ 'esiones= $ )oras 40 Pro&)s"to= 0esarrollar la )ailidad del uso de las suatorias+ considerando las 6orulas 7ue !ueden ser utiliadas en cada uno uno de los casos+ lo anterior anterior con la realiación de las acti"idades designadas en el tea+ traaando de anera indi"idual+ e7ui!o y gru!al. 50

Com&eten#"as &or !esarrollar3 3.1 *enéricas= • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iados.

82

•

E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas.

3.2 W

60

0isci!linares or orul ulaa y resu resuel el"e "e !ro !role leas as ate atet tico icos+ s+ a!lic a!lican ando do di6e di6ere rente ntess en6o en6o7u 7ues es..

Conten"!os #o #on#e&tuales 4.1 Conce!tos 6undaentales= 6undaentales= :ntroducción al clculo de reas en 6ora intuiti"a 4.2 Conce!tos susidiarios= susidiarios= Clculo de reas !or edio edio del conce!to de l,ite

80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 !licar las di6erentes 6orulas de la suatoria !ara resol"er los !roleas 7ue se !lantean+ con la ayuda de co!a#eros y aestro. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 0esarrollar cada una de las acti"idades 7ue sean encargadas !or el docente de anera ordenada+ traaando con la ayuda de los co!a#eros y res!etando las ideas 7ue cada uno !resente de los conociientos del tea. ;0

Pro! Pro!u# u#to toss !e !e a&r a&ren en!" !"
=0 Rela#")n #o #on ot otras as as"2naturas3 se relaciona con Xlgera+ 6,sica+ tecnolog,as de in6oración y todas las re6erentes a a!licación+ !or7ue es una anera de desarrollar el  !ensaiento. >0

Momentos !e la se#uen#"a !"!/ "!/#t"#a

APERTURA A#t"("!a! 10 En las "i"iendas 7ue a continuación se !resentan calcula el rea de cada una de ellas+ considerando 7ue cada cuadro ide 1 c2.

El /rea a&ro%"ma!a es3    

83

El /rea a&ro%"ma!a es3

DESARROLLO A#t"("!a! 40 Realia la lectura del tea !ara 7ue )agas una s,ntesis. Xreas de su!er6icies !lanas 1J 'ea R la región región liitad liitadaa su!erior su!eriorente ente e in6erio in6eriorent rentee !or la cur"a cur"a  y = F ( x ) + e in6eriorente !or el ee % IyO/J y lateralente !or las rectas  x =a y x ="  + la integral !ara encontrar el rea de dic)a región se calcula de la siguiente anera= 

∫ 

 + =  0 I x Jdx a

2J 'ea R la región región liitada liitada a la derec)a derec)a !or !or la cur"a cur"a con con ecuación ecuación  x =& ( y ) + a la i7uierda el ee y I%O/J e in6erior y su!eriorente !or las rectas  y = c e y =d  + la integral !ara encontrar el rea de dic)a región se calcula de la siguiente anera=

 + =

d 

∫  3I yJdy c

CIERRE A#t"("!a! 5= Realia los siguientes eercicios en t lireta+ deterinando el rea ao la cur"a. 1.-

 y

= 2x + 3

Calcular el rea ao la recta

en el inter"alo S-1+ S-1+ 2.

2.-

 y

= 8 − 2 x

Calcular el rea del tra!ecio 7ue es la región acotada !or la recta + el ee  x+ y las rectas  xO 1 y xO3 3. y =  x 2 Considérese la región R liitada !or la !arola !arola + el ee de las K% y la "ertical % O 2. 4. y = 2 x Calcular el rea de la región acotada !or + el ee  x+ y las rectas x O1 y  x O4. $.-

 y

Calcular el rea de la región

= x +1 + el ee  x+ y las rectas x O / y x O 2 .

.-

 y

Calcular el rea de la región liitada !or

= 2x + 3 + el ee  x+ y las rectas

Se#uen#"a !"!/#t"#a 1B Inte2ral !e'"n"!a3 C/l#ulo !e /reas 10 Datos tos 2en 2enera erales les 1.1 Nore de la ateria= &ateticas !licadas 1.2 Tea integrador= Los de!ortes

84

 x = −1  x

+

=2

1.3 Categor,a= Es!acio 1.4 >alores= >alores= Res!eto+ traao en colaorati"o+ res!onsailidad 1.$ 'esiones= $

40 Pro&)s"to3 0esarrollar en el aluno la )ailidad !ara realiar los clculos de reas utiliando el teorea del l,ite central+ con la realiación de las acti"idades indi"iduales+ en e7ui!o y de anera gru!al. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar3 3.1 *enéricas • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iados. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas 3.2 0isci!linares • E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales

60 Conten"!os #on#e&tuales 4.1 Conce!tos 6undaentales= !licaciones de la integral de6inida 4.2 Conce!tos susidiarios= Clculo de reas !or edio del Teorea Teorea 6undaental del clculo+ Clculo de reas ao la cur"a en coordenadas rectangulares+ sore el ee de las %. 80 Conten"!os &ro#e!"mentales= Las acti"idades se desarrollan !artiendo de sus conociientos  !re"ios y con la realiación de los di6erentes eercicios 7ue se !lantean+ !lantean+ los cuales deen  !racticar indi"idualente+ !or e7ui!o o ien de anera gru!al+ !ara !ara 7ue se desarrollen los a!rendiaes signi6icati"os. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 se solicita a cada uno de los alunos deuestre su res!onsailidad !ara el desarrollo de cada una de las acti"idades+ as, coo el res!eto y el traao colaorati"o 7ue deen deostrar a lo largo de la realiación del traao asignado+ de!endiendo cada caso. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
C"erre A#t"("!a! 80 Eercicios de reas

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 se relaciona con Xlgera+ Clculo+ ,sica+ ya 7ue en el  !lanteaiento de di"ersas situaciones situaciones reales deen a!licar sus conociientos conociientos res!ecti"os de cada caso. >0 Momentos !e la se#uen#"a !"!/#t"#a

APERTURA de cada uno de los autoó"iles+ desde el A#t"("!a! 1. 0e anera a!ro%iada calcula el rea de  !unto a )asta el !unto .

8$

El /rea es3        

El /rea es3

DESARROLLO A#t"("!a! 40 nalia cuidadosaente la siguiente in6oración 7ue a continuación se !resenta del tea y realia tus anotaciones res!ecti"as del tea. Teorema 'un!amental !el C/l#ulo Teorea Teorea 6undaental del Clculo y sus !ro!iedades.



∫  a

  f  I xJdx

 f  

'i una 6unción

es continua continua en el inter"alo cerrado

[ a+ ]

[ a+  ]

 f  

entonces sie!re

  es integrale en

.

El teorea 6undaental del clculo se#ala=

[ a+  ]

 f  

'i una 6unc 6unció iónn

es contin continua ua en el inter inter"a "alo lo

+ y sea  una anti deri"ada

 f  

cual7uiera de

 .Entonces= 

∫  f  I xJdx =  0 IJ − 0 IaJ a

A#t"("!a! 50 E"ala cada una de las siguientes e%!resiones !or edio del teorea 6undaental del clculo. 1.-



∫  /

3.-

9

∫  2

$.-

$

∫  2

?.-

1

∫  /

2.-

4 x 2 dx

8

∫ $ xdx −4

4.-

 x $ dx

$

1

∫  2  x dx 2

/

I x 2

I x 2

.-

+ $ x + 3Jdx

2

∫  I4 x

2

/

8.-

+ 1J1/ 2 xdx

3

∫ 

−1

8

I2 x 2

+ 3 x Jdx

− 8Jdx

C/l#ulo !el /rea !e la "nterse##")n !e (ar"as #ur(as0 1J 'ea la región región R liitada liitada su!er su!erior ior e in6erior in6eriorente ente !or las las cur"as cur"as  y 2

=  0 I xJ

 y  y1

=  0 I xJ  x

=a

 y  x = .

Q lateralente !or las rectas La integral !ara encontrar el rea de dic)a región se calcula de la siguiente anera=

 + =



∫ S y a

2

−  y1 Rdx

2J La región región R liitada liitada a la derec)a derec)a y a la i7uierd i7uierdaa !or las cur"as cur"as  x2

= 3I y J

 y  x1

=  g I y J  y = c  y

 y = d .

E in6erior y su!eriorente las rectas la integral !ara encontrar el rea de dic)a región se calcula de la siguiente anera=

 + =

d 

∫  S x c

2

−  x1 Rdy

A#t"("!a! 60 0eterina el rea de la región liitada !or las gra6icas de las ecuaciones dadas. En cada caso+ diue una 6igura e indi7ue claraente la región cuya rea se !ide. 1.-

 y =  x 2

 y

=/

+ 2.-

 en un inter"alo de S2+4 .

 y =  x 2 − 9

 y

=/

 x = 1+ x

=4

+ 3.-

 y

= − x 2 + 2 x + 3

 x

= /+ x = 2

+ el ee % y las l,neas "erticales 4.-

 f  I x J = 4

 x

= 2+ x = $

+ el ee % y las l,neas "erticales $.-

 x = − y 2 +  y + 12

 y

= /+ y = 4

+ el ee % y las l,neas "erticales .-

 y =  x 2

?.-

 f  I x J = x − 4

− 2 x − 3+

y=/  x

+ el ee % y las l,neas "erticales

8?

= −3+ x = −1

8.-

 y

= 9 − x2 + y el ee %

9.-

 x =  y 2 − 4

 x = /

+ 1/-

 f  I xJ =

1 3

 y

= −2+ y = 2

 el ee ee y y las l,neas

x2

 x

= /+ x = $

+ el ee % y las l,neas "erticales

CIERRE0 A#t"("!a! 80 Resuel"e los siguientes !roleas 7ue a continuación se !resentan 10-



∫  /

50-

2

∫ 

−1

40-

3 x 3 dx

1

8

∫  3 xdx /

I x 4

60-

− 2 x 3 + 2Jdx

π 

∫  Ien

θ J d θ 

2

/

reas entre #ur(as 0eterina el rea de la región liitada !or las gra6icas de las ecuaciones dadas. En cada caso+ diue una 6igura e indi7ue claraente la región cuya rea se !ide.

1  y  = 3 x 2  x = −1+ x = 1 + el ee % y las l,neas "erticales 2 -

1  f  I x J =  x 3

 x

= /+ x = 8

+ el ee % y las l,neas "erticales 3  y = $ x  x =  + el ee % y la ordenada . 4  y =  x 2 -

+ x +1

 x

+ el ee % y las l,neas "erticales

88

= 2+ x = 3

$  x 2 -

= 4 y + 1

 y

= −2+ y = /

+ el ee y las l,neas

.

Se#uen#"a !"!/#t"#a 11

I%.*/+,- 1*%'1,: C-&$- 1* +*,< *%.+* &$+0,< 10 Dato atos 2en 2enera erales les 1.1 Nore de la ateria= &ateticas !licadas 1.2 Tea integrador= Tradiciones 1.3 Categor,a= Es!acio+ tie!o 1.4 >alores= >alores= Res!eto+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1.$ 'esiones= $ 40 Pro&)s"to3 0esarrollar en el aluno la )ailidad !ara deterinar las reas de 7ue se tienen al gra6icar las di6erentes 6unciones+ !artiendo de sus conociientos !re"ios de clculo de reas anal,ticaente+ !ara desarrollarlo des!ués con la ayuda a yuda de las integrales de6inidas. 50 Com&eten#"as &or !esarrollar3 3.1 *enéricas • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. • 3.2 0isci!linares o nalia las relaciones entre dos o s "ariales de un !roceso social o natural !ara deterinar o estiar su co!ortaiento. 60 Conten"!os #on#e&tuales 4.1 Conce!tos 6undaentales= :ntroducción al clculo de reas en 6ora 6or a intuiti"a 4.2 Conce!tos susidiarios= Clculo de reas de regiones liitadas !or dos cur"as

89

80 Conten"!os &ro#e!"mentales= Cada una de las acti"idades estn dise#adas !ara 7ue el aluno desarrolle las )ailidades necesarias !ara la ad7uisición de los a!rendiaes en el clculo de reas ao cur"as. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 En el desarrollo de las acti"idades es necesario 7ue cada uno de los alunos deuestre res!onsailidad en la elaoración de cada una+ as, coo taién res!eto  !or las o!iniones de sus sus co!a#eros y elaorar los traaos 7ue sean necesarios necesarios de anera colaorati"a. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"
C"erre A#t"("!a! 60 Xreas de cur"as A#t"("!a! 80 Eercicios de integrales

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas. 'e relaciona con Xlgera+ Clculo+ 6,sica en el desarrollo de cada una de las acti"idades+ ya 7ue se re7uiere 7ue el aluno conoca lo sico de cada asignatura. >0 Momentos !e la se#uen#"a !"!/#t"#a

APERTURA continuación se !resentan una serie de soreros+ de los cuales elige 3 de ellos A#t"("!a! 10  continuación y tralos en la cuadricula !ara 7ue calcules el rea a!ro%iada de cada uno de ellos y co!arte con tus co!a#eros el !rocediiento 7ue realiaste.

9/

Xrea sorero 1=UUUUUUUUUUUU 3=UUUUUUUUUU 

Xrea sorero 2=UUUUUUUUUUUU Xrea sorero

5rocediiento realiado=  UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU  UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU  UUUU 

DESARROLLO A#t"("!a! 40 Realia la lectura del tea 7ue a continuación se !resenta y toa las notas 7ue consideres necesarias !ara la co!rensión del iso. rea !e re2"ones l"m"ta!as &or !os #ur(as

 f  I xJ 'i

y

[ a+  ]

 x

 g I xJ son dos 6unciones continuas de6inidas !ara

 f  I x J ≥  g I x J

ace!tando 7ue=

+ 7ue los e%treos del inter"alo sean

El rea de la región entre las rectas

 +4"+ =



∫  a

 x = a  x = 

 f  I xJ dx −



∫  a

 g I x J dx

91

 en un inter"alo a ≤  x ≤ 

.

 y las dos cur"as est dada !or= 

= ∫ a [  f  I xJ −  g I x J] dx



∫ [  f  I xJ −  g I xJ]dx = a



∫  f  I xJdx a



− ∫ a g I xJdx

E+em&lo 13 Calcular el rea liitada liitada !or las gr6icas de las 6unciones y2 O 4% e y O %2 • 5ara resol"er !riero sustituye el "alor de Ky K y de la segunda 6unción en la !riera. • Resol"er la ecuación cuadrtica otenida !ara deterinar los "alores de la K+ 7ue "a a ser el inter"alo de "alores en los 7ue "aos a utiliar en la integral. •

!asa E+em&lo 40 Calcular el rea de la región liitada !or la !arola y O %2 Y 2 y la recta 7ue !asa  !or los !untos I-1+ /J /J y I1+4J

92

A#t"("!a! 5= *ra6ica y deterina el rea de la región liitada !or las siguientes cur"as. 1.-

 y

El rea de la región co!rendida entre las cur"as 2.-

 y = − x 2 − 2 x

=/ ;

 y =  x

3

El rea de la región co!rendida entre las cur"as 3.-

 y =  x

3

+4

El rea entre las cur"as 4.-

 y =

El rea ao la l,nea $.-

 y =  x

+ x

2

2

[ /+1]

 y = 2 x

+ en el inter"alo

+1 + entre las rectas

+2

.

 x = /  x = 2

+

 y =  x 2

 y arria de la !arola  x = 9 −  y 2 El rea co!rendida !or la !arola y el ee y

.-

 x = y 2

−4

El rea de la región co!rendida entre las cur"as+ ?.-

 y = 9 − x 2

+ entre el ee Ky y % O /.

 x = /  y =  x + ?

El rea de la región co!rendida entre las cur"as

CIERRE A#t"("!a! 6= 0eterinar el rea entre las cur"as traadas en las siguientes gra6icas. 1.2

 y = 2 x − x

0eterina el rea de la región co!rendida entre las cur"as en la siguiente 6igura.

 y =  x 4

 +

2.-

0eterina el rea de la región co!rendida entre las cur"as

 y

= $ x − x 2

 y =  x  +

 traadas en la siguiente 6igura.

93

  traadas

3.-

 y =  x 2 0eterina el rea de la región co!rendida entre las cur"as en la siguiente 6igura.

4.-

 y

 y

= x+2

 +

 traadas

=  x − x 2

0eterine el rea de la región liitada !or la cur"a

.

A#t"("!a! 8= Realia en t lireta los siguientes eercicios de integrales deterinando el "alor a!ro%iado del rea !or edio del étodo indicado y calcule des!ués la integral ediante el uso del teorea 6undaental del clculo. 1.-

 y  =  x 2

Calcular el rea de la región acotada !or la recta 2.-

 + el ee  x+ y las rectas xO / y xO1.

 y = 4 − x 2

Encuentra el rea ao la cur"a

+ y acotadas !or las rectas

3.-

 x = /  x = 1

+

+

 y =  x 3

Calcular el rea de la región acotada !or la cur"a 4.-

 y

Calcular el rea a!ro%iada !ara la cur"a

=  x

 + di"idiendo de  xO 2 a  xO1/ . 2$ − x 2

 + en el inter"alo de  xO / a  xO4.

Se#uen#"a !"!/#t"#a 14 Inte2ral !e'"n"!a3 C/l#ulo !e (olJmenes (olJmenes y s)l"!os !e re(olu#")n re(olu#")n 10 Dato atos 2en 2enera erales les 1.1 Nore de la ateria= &ateticas !licadas

94

1.2 Tea integrador= 1.3 Categor,a= Es!acio 1.4 >alores= >alores= Res!eto+ res!onsailidad y traao colaorati"o 1.$ 'esiones= $ "ol enes de las 40 Pro&)s"to3 0esarrollar en el aluno la )ailidad gr6ica y calcular los "olenes di6erentes igenes otenidas a !artir de las gr6icas+ con la ayuda de cada uno de los co!a#eros y del docente+ en la realiación de cada una de las acti"idades 7ue se !lantean.

50 Com&eten#"as &or !esarrollar3 3.1 *enéricas • Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliación de edios+ códigos y )erraientas a!ro!iadas. o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas. • 3.2 0isci!linares o nalia las relaciones entre dos o s "ariales de un !roceso social o natural !ara deterinar o estiar su co!ortaiento. 60 Conten"!os #on#e&tuales 4.1 Conce!tos 6undaentales= :ntroducción al clculo de reas en 6ora 6or a intuiti"a 4.2 Conce!tos susidiarios= Clculo de "olenes de sólidos de re"olución. 80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 Cada uno de los eercicios tiene coo 6inalidad 7ue cada uno de los alunos desarrolle las )ailidades+ los conociientos y las actitudes necesarias !ara 7ue  !ueda a!licar sus conociientos a lo largo de la "ida. :0 Conten"!os a#t"tu!"nales3 Cada aluno dee deostrar res!eto+ res!onsailidad y traao colaorati"o en la realiación de cada una de las acti"idades+ ya 7ue con ello est desarrollando  !arte de las actitudes necesarias !ara acreditar su asignatura. ;0 Pro!u#tos !e a&ren!"0 Momentos !e la se#uen#"a !"!/#t"#a0

APERTURA A#t"("!a! 10 Aser"a detenidaente el diuo 7ue a continuación se !resenta y realia un esoo del iso en la cuadricula 7ue a continuación se !resenta.

9$

E%!lica el  !rocediiento 7ue realiaste !ara )acer el esoo del diuo.

DESARROLLO A#t"("!a! 40 Realia la lectura del tea y suraya lo 7ue consideres s i!ortante del iso+  !ara la realiación de un resuen.

C/l#ulo !e (olJmenes !e s)l"!os !e re(olu#")n

[ a+  ]

 f  

'ea

 una 6unción no negati"a en un inter"alo cerrado

'i se gira esta región del !lano alrededor de cual7uiera de los ees del !lano cartesiano o de una recta del !lano al sólido resultante es cono conoci cido do coo coo sólido de revolución  revolución  y al ee citad tado coo ee de re"olución.

9

.

G"ran!o alre!e!or !el e+e %  y =  f  I xJ

'ea la región liitada !or la cur"a lateralente !or las rectas

 x = a

y

 x = 

 4

 x I y = /J + in6eriorente !or el ee

+y

.

 x

l girar la región  alrededor del ee + se otiene un sólido+ llaado lla ado sólido de re"olución. La 6órula !ara otener el "oluen "olu en de este sólido es la siguiente= 6  = l arg o Z anc5o Z altura 6  =  +rea Z altura

∆ x = altura

6  = π r 2 Z 5

 n π  2 ∆  r   x  ∑ n →∞  i =1 

6  =  7ím 

6  =



∫  a

2

π r 

dx



∫ 

6  = π  r 2dx a

6  = π 



∫ 

2 [  f  I x J] dx a

G"ran!o alre!e!or !el e+e y  x =  g I y J

'ea la región liitada liitada !or la cur"a cur"a su!eriorente !or las rectas

 4

+ a la i7uierda !or el ee

 y = d 

 y = c

e

 y I x = /J + e in6erior y

.

 y

l girar la región  alrededor  alrededor del ee + se otiene un sólido+ llaado sólido de re"olución. La 6órula !ara otener el "oluen "olu en de este sólido es la siguiente=

6  = π 

d 

∫ 

2 [  f  I y J] dy c

9?

E+em&lo 10 La ona soreada est co!rendida entre los !untos de corte de aa aass gr6 gr6ic icas as++ 7ue 7ue se oti otien enen en reso resol" l"ie iend ndoo el sist siste eaa de ecuaciones corres!ondiente=

 x2O4 x    x2 ⇔ 2 x2 4 xO/ ⇔ 2 xI x  x 2JO/ ⇔ xO/ ó xO2

l girar la ona soreada alrededor del ee de ascisas+ se otiene un sólido de re"olución cuyo "oluen se otendr,a restando al "oluen del sólido generado !or la gr6ica 7ue est !or  encia Ientre %O/ y %O2J + el "oluen del sólido generado !or la gr6ica 7ue est !or deao. 'i  f y g  son  son las res!ecti"as 6unciones+ entonces=

>O En nuestro caso= >O

O

u.l3.

O

región R  liitada liitada !or las A#t"("!a! 5= 0eterina el "oluen del sólido generado al girar la región gr6icas de las ecuaciones dadas alrededor del ee indicado= 1.-

 y =  x

0eterinar el "oluen de re"olución re"olución dado !or la 6unción  x = 1

considerar "alores de

a

 x = 4

 y = /

  y !or

+

. La región gira alrededor del ee K%.

2.Encontrar el "oluen del sólido generado al girar la región acotada entre

 y = $ −  x  x = /

+

 y = /

 y

 + en torno al ee %. 3.-

Encuentre Encuentre el "oluen "oluen del sólido sólido de re"olución re"olución otenido otenido ediante ediante la rotación rotación de la región !lana  y =  x

liitada !or

+ el ee de las x y la recta

 x = 4

 alrededor del ee de las x.

 y =  x

4.El "oluen del sólido de de re"olución generado !or !or la rotación de la recta las ordenadas $.-

 x = /

 y

 x = 1

+ liitada !or 

 en torno al ee K%.

Encuentre Encuentre el "oluen "oluen del sólido sólido de re"olución re"olución otenido otenido ediante ediante la rotación rotación de la región !lana

98

 y =  x

liitada !or

+ el ee de las x y la recta

 x = 4

 alrededor del ee de las x.

.-

 y

= x+3

0eterinar 0eterinar el "oluen "oluen de la región co!rendida co!rendida entre la cur"a cur"a de la ecuación+  y = /  x = 3  x = 1/  y las rectas  . Dacer girar dic)a región alrededor del ee K%. ?.?.-

+

Dall Da llar ar el el "olu "olue enn del del sóli sólido do de de re"o re"olu lució ciónn gene genera rado do alr alred eded edor or del del ee ee K% K% !or !or la regi región ón  y

=

4

[1+4]

 x

liitada !or la cur"a

 en el inter"alo

.

8.-

 y =  x 3 Encuentra el "oluen del sólido generado !or la rotación de la región de la cur"a  y

+ el

=3

ee de las Ky y la recta

. Dacer girar dic)a región alrededor del ee Ky.

9.-

 y =  x 3 Encuentra el "oluen del sólido generado !or la rotación de la región de la cur"a  y

=/

 y

=2

 + y la recta

+ alrededor del ee Ky.

1/.-

 y =  x Calcula el "oluen del sólido otenido al )acer girar la región liitada !or

 x = /

+

3

 y

=8

+

y

. Dacer girar dic)a región alrededor del ee Ky.

CIERRE los !roleas 7ue a continuación se se !resentan. A#t"("!a! 60 Resuel"e los

 y =  x 2  y 1. 0eterinar el "oluen de la región co!rendida entre la cur"a de la ecuación+  x = 1  x = $ las rectas  .Dacer girar dic)a región alrededor del ee K%.  y =

2. 0eterinar el "oluen de la región generado cuando la región de la cur"a del ee de K%+ y liitada !or

 x = 4

+

4

  gira alrededor 

 .

 y 3. 0eterinar el "oluen de la región co!rendida entre la cur"a de la ecuación+  y = /

y

 y

 x 2

 y = /

 y

=/

.Dacer girar dic)a dic)a región alrededor del ee K%.

99

= 4 −  x +

 x = /

 y =

 − 3x 2

4. 0eterinar el "oluen de la región co!rendida entre la cur"a de la ecuación

+

 y = /

y

 x = /

.Dacer girar dic)a región alrededor del ee K%+ segn el trao siguiente=

ee!los de a!licación de "olenes y sólidos de A#t"("!a! 80 :n"estiga !or lo enos 2 ee!los re"olución.

,I,LIOGRAFA

No0 10 40 50

AUTORES

NOM,RE DEL LI,RO


1//

EDITORIAL Cengage Learning Es6inge &c*ra[Dill

60

(osc) *uerra y Dernnde Ateya

80

Larson Dostetler

:0 ;0

5urcell+ >arerg y Rigdon :#e Carrasco 5. y *arc,a Torres *

=0


>0

&.C. Ricardo 5edraa *arc,a

Clculo 0i6erencial e integral Clculo >oluen 1 Clculo &ateticas >:. Clculo :ntegral Calculo :ntegral !untes de Clculo :ntegral

&atetica !licada. Liro de te%to+ es una una ora ora real reali iad adaa !or !or doce docent ntes es del del CECyTE CECyTE N.L.+ N.L.+ ao la coordinac coordinación ión del Coit oitéé Técnico de la 0irección cadéica+ !ara el 'e%to 'eestre del (ac)illerato Tecnológico. Tecnológico. 'e i!riió ediante 6otoco!iado con la su!er"isión de Roerto *la6iro lan,s Duerta. &onterrey+1/1 N.L+ Enero 2/14.

5ulicaciones Cultural &c*ra[Dill 5rentice Dall CE**E Learning 5ER'AN Educación :C-BNL

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