Carlos Baltazar
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Cuaderno de trabajo
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Presentación
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asi todas las personas practicamos o somos aficionados a algún deporte. Si es tu caso, seguramente sabes bien que, durante un partido o una competencia, los jugadores no se limitan a repetir mecánicamente un movimiento, un pase, una brazada o un servicio, aunque estos elementos les resulten indispensables. Para triunfar en el deporte se necesita poner en práctica una estrategia. En el caso de los deportes individuales, esto implica conocer muy bien las propias capacidades y limitaciones y saber cómo sacarles provecho para vencer, poco a poco, las marcas que el propio deportista se ha propuesto. Si lo piensas bien verás que ganar un partido u ocupar el primer lugar en una carrera implican resolver un problema. Una de las actividades humanas más antiguas que involucran la solución de problemas son las matemáticas. En ellas, al igual que en el deporte, se requiere el dominio de ciertas técnicas, pero este dominio no es su parte esencial. De la misma forma en que, si te pasas una tarde entera practicando encestes no puedes decir que estés jugando basquetbol, tampoco se puede decir que has aprendido matemáticas si resuelves 50 ecuaciones, sumas muchos polinomios o trazas las gráficas de varias expresiones algebraicas. Las matemáticas sirven para algo: resuelven problemas.
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Este libro no es sólo para leerse. Es un cuaderno de trabajo y está hecho para que, realizando las distintas actividades que lo componen, aprendas matemáticas de la misma forma en que se aprende un deporte: practicándolo. Tú ya tienes experiencia en buscar estrategias y poner en práctica técnicas para resolver problemas. Quienes lo elaboramos tenemos confianza en que este libro te resultará útil para superar tus propias marcas y proponerte nuevas metas.
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Índice FICHA 15 • Figuras semejantes
44
FICHA 16 • Semejanza de triángulos I
46
FICHA 17 • Semejanza de triángulos II
48
FICHA 18 • Índices I
50
FICHA 19 • Índices II
52
10
FICHA 20 • Probabilidad I
54
FICHA 2 • Factorización I
12
FICHA 21 • Probabilidad II
56
FICHA 3 • Factorización II
14
FICHA 4 • Triángulos y cuadriláteros I
16
Uso de lA teCnologíA simulaciones
58
FICHA 5 • Triángulos y cuadriláteros II
18
PRePARA tU eXAMen
60
FICHA 6 • Propiedades de la circunferencia I
20
leCtURA el azar y la probabilidad
62
FICHA 7 • Propiedades de la circunferencia II
22
FICHA 8 • Razón de cambio I
24
FICHA 9 • Razón de cambio II
26
FICHA 10 • Interpretación de gráficas
28
Uso de lA teCnologíA Circunferencias y ángulos
30
PRePARA tU eXAMen
32
leCtURA sobre la recta
34
36
FICHA 12 • Ecuaciones cuadráticas I
38
FICHA 13 • Ecuaciones cuadráticas II
40
FICHA 14 • Ecuaciones cuadráticas III
42
FICHA 25 • Ecuaciones cuadráticas I
70
FICHA 26 • Ecuaciones cuadráticas II
72
FICHA 27 • Ecuaciones cuadráticas III
74
FICHA 28 • Teorema de Tales I
76
FICHA 29 • Teorema de Tales II
78
FICHA 30 • Homotecia I
80
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68
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FICHA 24 • Funciones III
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FICHA 23 • Funciones II
FICHA 31 • Homotecia II
82
FICHA 32 • Gráficas de funciones I
84
FICHA 33 • Gráficas de funciones II
86
FICHA 34 • Gráficas y expresiones algebraicas I
88
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FICHA 11 • Ecuaciones no lineales
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FICHA 22 • Funciones I
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Bloque 2
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Bloque 3
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• Productos notables
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FICHA 1
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Bloque 1
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FICHA 35 • Gráficas y expresiones algebraicas II
90
FICHA 36 • Gráficas de procesos
92
Uso de lA teCnologíA gráficas y soluciones
94
PRePARA tU eXAMen
96
leCtURA ecuaciones cuadráticas
98
Bloque 4
99
129
Bloque 5
FICHA 49 • Modelos algebraicos I
130
FICHA 50 • Modelos algebraicos II
132
FICHA 51 • Modelos algebraicos III
134
FICHA 52 • Sólidos
136
FICHA 53 • Conos y cilindros I
138
FICHA 54 • Conos y cilindros II
140
FICHA 55 • Fórmulas de volumen I
142
FICHA 56 • Fórmulas de volumen II
144
FICHA 57 • Fórmulas de volumen III
146
100
FICHA 58 • Cálculo de volúmenes
148
FICHA 38 • Teorema de Pitágoras I
102
FICHA 59 • Gráficas estadísticas I
150
FICHA 39 • Teorema de Pitágoras II
104
FICHA 60 • Gráficas estadísticas II
152
FICHA 40 • Teorema de Pitágoras III
106
FICHA 41 • Razones trigonométricas I
108
FICHA 42 • Razones trigonométricas II
110
Uso de lA teCnologíA Parábolas
154
FICHA 43 • Problemas de trigonometría I
PRePARA tU eXAMen
156
112
FICHA 44 • Problemas de trigonometría II
leCtURA ¿Por qué Matemáticas?
158
114
FICHA 45 • Problemas de trigonometría III
BIBlIogRAFíA
159
116
FICHA 46 • Crecimiento lineal y exponencial I
118
FICHA 47 • Crecimiento lineal y exponencial II
120
FICHA 48 • Manejo de la información
122
Uso de lA teCnologíA el teorema de Pitágoras
124
PRePARA tU eXAMen
126
leCtURA Medir la tierra
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FICHA 37 • Sucesiones
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Bloque
Productos notables Factorización Triángulos y cuadriláteros Propiedades de la circunferencia Razón de cambio
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Interpretación de gráficas
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Ficha 6
Bloque 1 Completa
Propiedades de la circunferencia I
correctamente cada
1
una de las siguientes
Observa la figura y escribe los puntos que determinan cada elemento.
afirmaciones.
9 1. Una es una curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro llamado centro.
4. El segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia es una . 5. Una recta que corta a la circunferencia en dos puntos es una . 6. es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto.
Centro: Radios: , Cuerdas: ,
= @
2. El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia se llama . 3. El es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro.
:
;
8
<
Diámetro: Secante: Tangente:
?
Punto de tangencia: Punto exterior:
>
2
Subraya en cada caso la opción correcta.
a) S i O es el centro de una circunferencia, M un punto de ella y N un punto exterior, entonces:
•
OM = ON
•
OM > ON
•
OM < ON
b) M edida del ángulo que forman una tangente y un radio que contiene al punto de tangencia.
•
más de 90°
•
90°
•
menos de 90
secante
•
diámetro
c) Es la cuerda mayor de un círculo:
•
radio
•
3 d) Medida del radio de un círculo cuyo diámetro mide 8 de pulgada: 3 3 6 de pulgada • 16 de pulgada • de pulgada • 4 8
e) Medida del diámetro del un círculo cuyo radio mide 0.05 m
•
•
10 dm
•
1 cm
Traza una circunferencia y su diámetro, así como dos cuerdas paralelas a éste, una a cada uno de sus lados. Posteriormente traza una perpendicular al diámetro que pase por el centro del círculo. ¿Por qué punto de las cuerdas pasa esa perpendicular? Justifica tu respuesta.
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Propiedades de la circunferencia I 4
Bloque 1
Traza una circunferencia que pase por los siguientes puntos.
Reflexiona
9
En el ejercicio 3 trazaste cuerdas a ambos lados del diámetro y encontraste el punto en que la mediatriz al diámetro las corta. ¿Ocurrirá lo mismo para cualquier cuerda? ¿Ocurrirá lo mismo para cuerdas que sean paralelas a una tangente en lugar de al diámetro?
8
:
5
Encuentra el centro del círculo y traza todas las tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P.
Reto G
6
Una secante divide a la circunferencia en 2 regiones interiores.
Los puntos M, N y P representan la ubicación de tres pozos petroleros. Ubica el lugar en que se debe construir una estación de emergencia que esté a la misma distancia de los tres pozos.
2 secantes dividen una circunferencia en 3 ó 4 regiones interiores.
D G
3 secantes dividen una circunferencia hasta en 7 regiones.
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Traza una circunferencia, nombra C a su centro y M y N a dos puntos cualesquiera de ella. Después traza el triángulo que se forma al unir los puntos C, M y N. ¿Este triángulo es equilátero, isósceles o escaleno? ¿Ocurre lo anterior con cualesquiera 2 puntos M y N? Justifica tu respuesta.
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¿Cuál es mayor número de regiones interiores en que puede quedar dividida una circunferencia al trazar 4 secantes?
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Bloque
Ecuaciones no lineales Ecuaciones cuadráticas Figuras semejantes Semejanza de triángulos Índices
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Probabilidad
Ficha 21
Bloque 2 Indica si cada una
Probabilidad II
de las siguientes
1
afirmaciones es falsa (F) o verdadera (V).
1. El simular un acontecimiento nos ayuda a conocer cuál es la probabilidad de que ocurra. [ ] 2. Al realizar una simulación es necesario repetir el experimento todas las veces que la situación lo indica para conocer la probabilidad de que el fenómeno ocurra. [ ] 3. Una simulación nos permite obtener conclusiones sobre la probabilidad frecuencial de eventos azarosos cuya naturaleza hace difícil su experimentación. [ ] 4. Al simular un acontecimiento, entre más veces se repita el experimento la probabilidad frecuencial se parece más a la probabilidad teórica. [ ]
Según observaciones hechas por el gerente de un cine, una de cada tres personas que asisten compran palomitas, una de cada cuatro adquiere un refresco y una de cada cinco consume dulces. El gerente quiere calcular qué probabilidad hay de que una persona que compra palomitas compre también dulces, y de que quien compra un refresco consuma también palomitas.
a) Diseña un experimento que sirva para simular cada una de estas situaciones.
b) Realiza los experimentos para responder las preguntas.
2
¿Cuál de los siguientes experimentos te ayudaría a calcular la probabilidad frecuencial de obtener un cerillo defectuoso de una caja con 20?
a) C olocar 19 canicas rojas y 1 amarilla en una bolsa. Extraer una, registrar el color obtenido y no regresar la canica a la bolsa. Realizar 80 extracciones. b) C olocar 19 canicas rojas y 1 amarilla en una bolsa. Extraer una, registrar el color obtenido y regresar la canica a la bolsa. Realizar 100 extracciones. c) Colocar 19 canicas rojas y 1 amarilla en una bolsa. Extraer una, registrar el color obtenido y no regresar la canica a la bolsa. Realizar 20 extracciones y multiplicar por cuatro el número de extracciones de la canica amarilla.
3
Una vendedora de productos por teléfono se ha dado cuenta que por cada 25 llamadas que realiza, 3 personas adquieren el producto que vende.
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a) D escribe una simulación que puede servir para calcular la probabilidad de que al llamar a 100 personas logre realizar una venta.
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4
Un examen está integrado por 20 preguntas con respuestas de falso o verdadero. Víctor está seguro de haber contestado correctamente 10 de esas preguntas y las demás las contestó al azar. ¿Qué calificación es más
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probable que obtenga Víctor?
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b) Realiza el experimento con tu modelo y encuentra la probabilidad que se solicita.
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¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?
Probabilidad II
Bloque 2
a) Describe una simulación que sirva para modelar esta situación.
Reflexiona Describe una situación cuyos posibles resultados puedan simularse con el lanzamiento de un dado.
b) Realiza el experimento con tu modelo para responder las preguntas planteadas.
5
En una fábrica, en cada lote de 20 paquetes de galletas se coloca un premio en alguno. ¿Qué probabilidad existe de que al comprar dos paquetes de cada uno de 5 lotes diferentes se obtengan al menos dos premios?
a) Describe una simulación que sirva para modelar esta situación.
7
Piensa en al menos cinco situaciones azarosas para las cuales convendría usar simulaciones para calcular la probabilidad de alguno de sus posibles resultados.
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En el equipo de futbol americano de la escuela, Juan tiene una eficiencia del 90% al patear un gol de campo y Gerardo tiene un 80% de eficiencia. Si durante el juego se presenta esa situación, el entrenador normalmente decide que Juan realice la patada, pero si falla y se presenta una segunda oportunidad, no sabe si decirle a Juan que vuelva a patear o pedirle a Gerardo que lo haga. ¿Cómo se puede realizar una simulación para ayudarle al entrenador a tomar una decisión? ¿Qué le recomendarías en este caso al entrenador?
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b) Realiza el experimento con tu modelo para responder la pregunta.
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Bloque
Sucesiones Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas Problemas de trigonometría Crecimiento lineal y exponencial
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Manejo de la información
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Ficha 37
Bloque 4 Observa la sucesión e indica si cada una de las siguientes
Sucesiones 1
Observa la siguiente sucesión.
frases es falsa (F) o verdadera (V).
=`^liX(
=`^liX)
=`^liX*
=`^liX+
a) ¿Cuántos elementos forman las figuras 5 y 6 de la sucesión? b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 10 de la sucesión? 1. El crecimiento de cada figura en todas sus dimensiones. [ ] 2. Existe una expresión algebraica que permite conocer el enésimo término de la sucesión. [ ]
c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 100 de la sucesión? d) Escribe la expresión algebraica que permite conocer el número de puntos de cualquier figura de la sucesión. e) Si uno de los términos de la sucesión tiene 1 225 puntos, ¿qué número de figura es?
2
Observa la siguiente sucesión.
3. La expresión algebraica que define esta sucesión es de primer grado. [ ] 4. El enésimo término se puede definir mediante una ecuación cuadrática. [ ]
=`^liX(
=`^liX)
=`^liX*
=`^liX+
a) Dibuja la siguiente figura de la sucesión. b) ¿Cuántos cuadros tendrá la figura 10 de la sucesión? c) ¿Cuántos cuadros tendrá la figura 100 de la sucesión? d) Subraya las expresiones algebraicas que permiten obtener la enésima figura de la sucesión. n2 + 2n
n(n + 1) + n
(n + 1)2 − 1
n2 − n
e) Si una de las figuras de la sucesión tiene 440 cuadros, ¿qué número de figura es en esa sucesión?
1
2
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=`^liX*
3
4
5
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Número de figura
=`^liX)
M
=`^liX(
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Observa la siguiente sucesión y completa la tabla.
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Cantidad de cuadros en los lados
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Cantidad total de cuadros
(n + 1)2
n2 + 2n − 1
2n2 − 2n + 1
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2n2 + 2
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n2 + 2n + 1
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Subraya las expresiones algebraicas que permiten conocer el número total de cuadros que tiene la enésima figura de la sucesión.
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Sucesiones 4
Bloque 4
Considera la sucesión cuyos primeros cinco términos son 11, 19, 29, 41, 55, …
Reflexiona
a) Completa la siguiente tabla. Número de término
1
2
3
4
¿El número 667, pertenece a la sucesión −5, 0, 7, 16, 27,…? Si es así, ¿qué número de término le corresponde?
5
Número que corresponde al término Primera diferencia Segunda diferencia
b) Supón que la expresión ax2 + bx + c como la que rige la sucesión anterior y obtén las diferencias indicadas. valor de x Sustitución del valor de x
x=1
x=2
x=3
a(1)2+b(1)+c =
a(2)2+b(2)+c =
a(3)2+b(3)+c =
x=4
x=5
Primera diferencia Segunda diferencia
c) Combina los resultados finales de las tablas para resolver las ecuaciones que resultan. i)
2a =
ii) 3a + b = iii) a + b + c = d) Resuelve la ecuación (i) e) Sustituye el valor que obtuviste para a en la ecuación (ii) y encuentra el valor de b. 3(
)+b=
b= f) Sustituye los valores que obtuviste para a y b en la ecuación (iii) y encuentra el valor de c. +c=
IÓ N
+
O
C
c=
O
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g) Sustituye los valores que obtuviste para a, b y c en la expresión ax2 + bx + c para
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obtener la regla que rige la sucesión.
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¿Cuál es el número que ocupa el lugar 31?
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¿Y el lugar 50?
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¿Qué lugar ocupa en la sucesión el número 419?
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