MATE-3-DEFLEXION-DE-UNA-VIGA.doc

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUEL APROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: MATEMÁTICA III

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN DEFLEXIÓN DE VIGAS ”

AUTORES : ALIAGA CHARCAPE, JAVIER CABANILLAS LUNA, JHONATAN CELESTINO DINO, LEYVA LEYVA QUIJANO ASPIROS, IGNACIO RASHTA VIVAR

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Chimbote, JUNIO JUNIO del !"#







INTRODUCCIÓ N

El $o%t&$ $o%t&$to to de l& 'e&li 'e&lid&d d&d $o% l&( ide&li ide&li)&$ )&$io% io%e( e( m&tem* m&tem*ti$ ti$&( &( h& i%d+$ido & lo l&'o del tiem-o & 'e(ol.e' -'oblem&(, (&ti(/&$e' %e$e(id&de(, me0o'&' me0o'&' l& $&lid& $&lid&d d de .id&, .id&, mi%imi mi%imi)&' )&' 'ie(o 'ie(o(, (, e%t'e e%t'e ot'&( ot'&( $o(&(1 $o(&(1 De(de De(de tiem-o( 'emoto(, el &%*li(i( h& e(t&do -'e(e%te e% $&d& &$$i2% 'e&li)&d& -o' el homb'e, de(de el $+e(tio%&mie%to & +%o mi(mo del $2mo 3 el -o'4+5 (+$e (+$ede de% %

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/e%ome%ol2i$&(, 3 el de(eo de model&', o -'ede$i', 3 -ode' m&%e0&' he$ho( 'e&le e&le(, (, $o% $o% .&'i .&'i&b &ble le( ( de7% de7%id id&( &(11 Se%t Se%ti' i' 4+e 4+e e( -o(i -o(ibl ble e $o%t $o%t''ol&' ol&',, o lo m&'&.illo(o 4+e h& de (e', &$e'$&'(e & l& i%$'e8ble %&t+'&le)&1 El me0o' 'e$+'(o 4+e -o(ee l& h+m&%id&d, el '&$io$i%io, (e $o%(olid& $o% l& /o'm+l /o'm+l&$i &$i2% 2% de 9odelo 9odelo( ( 9&tem* 9&tem*ti$ ti$o( o( 3 l& i%(e' i%(e'$i2 $i2% % de /+%$io /+%$io%e( %e(,, $omo e% el -'e(e%te t'&b&0o de i%.e(ti&$i2%, l&( e$+&$io%e( di/e'e%$i&le(1 E% $o%(i+ $o%(i+ie% ie%te, te, (e (i(tem& (i(tem&ti) ti)&% &% l&( e$+&$i e$+&$io%e o%e( ( 4+e obie' obie'%&% %&% el $om-o't&mie%to de .i&(1 E% e%e'&l (e 'e$+''e &l de%omi%&do m5todo de e4+ilib'io o m5todo de lo( de(-l&)&mie%to(, 4+e $o%(i(te e% e6-'e(&' l&( e$+&$io%e( di/e'e%$i&le( de e4+ilib'io e% /+%$i2% de lo( de(-l&)&mie%to(1 I%i$i&lme%te (e e(t+di& el $om-o't&mie%to /'e%te & $&'&( &6i&le(, l+eo (e e(t+di& el -'oblem& de :e6i2% 3 7%&lme%te el de to'(i2%1 L&( e$+&$io%e( di/e'e%$i&le( o'di%&'i&( 'e(+lt&%te(, $o% (+( $o''e(-o%die%te( $o%di$io%e( de $o%to'%o, -+ede% i%te'&'(e 3 obte%e' lo( de(-l&)&mie%to( 3 i'o( de +% eleme%to de .i& &i(l&do1







ECUACIÓN DIFERENCIAL 1. DEFINICIÓN U%& e$+&$i2% di/e'e%$i&l ;ED< e( +%& e$+&$i2% 4+e $o%tie%e l&( de'i.&d&( de +%& o m*( /+%$i2%;e(< de-e%die%te;(< de +%& o m*( .&'i&ble( i%de-e%die%te(1 EJE9PLO=

Si l& e$+&$i2% $o%tie%e de'i.&d&( 'e(-e$to & +%& (ol& .&'i&ble i%de-e%die%te, e%to e%to%$ %$e( e( (e di$e di$e 4+e 4+e e( +%& +%& e$+& e$+&$i $i2% 2% di/e' di/e'e%$ e%$i& i&ll o'di o'di%& %&'i 'i& & ;E1D ;E1D1O 1O<> <> 3 (i $o%tie%e l&( l&( de'i e'i.&d&( -&'$i&le( 'e(-e$ (-e$tto & do( o m*( .&'i&b i&ble( le( i%de-e%die%te(, (e ll&m& e$+&$i2% e% de'i.&d&( -&'$i&le( ;E1D1P1<1 ;E1D1P1<1 Se ll&m& orde de l& e$+&$i2% di/e'e%$i&l &l o'de% de l& de'i.&d& o de'i.&d& -&'$i&l m*( <& 4+e &-&'e$e e% l& e$+&$i2%1 Se di$e 4+e +%& e$+&$i2% di/e'e%$i&l ;de o'de% %< e(t* e6-'e(&d& e% /o'm&

!"#$%&!'( $+&%do tie%e l& /o'm&

, (ie%do ? +%& /+%$i2% i2%

, (ie%do @ +% (+b$o%0+%to ;e%e'&lme%te &bie'to< de R % Se di$e 4+e +%& e$+&$i2% di/e'e%$i&l ;de o'de% %< e(t* e6-'e(&d& e% /o'm& e6-l8 6-l8$i $itt& $+&% $+&%do do te%e te%emo mo( ( , (ie% (ie%do do l& %" /+%$i2% de7%id& e% el (+b$o%0+%to D ;e%e'&lme%te &bie'to< de R 1

1.1. CONDICIONES INICIALES C+&% C+&%do do +%& +%& e$+& e$+&$i $i2% 2% di/e di/e'e 'e%$ %$i& i&ll tie% tie%e e i%7% i%7%it it&( &( (ol+ (ol+$i $io% o%e(, e(, (e -+ed -+ede e e(-e$i7$&' +%& (ol+$i2% $o%$'et& im-o%ie%do +%& $o%di$i2% i%i$i&l1 E(to e(, 4+e l& (ol+$i2% (ol+$i2% $+m-l& +%& $o%di$i2% $o%di$i2% y(x y(x 0 )=y 0 -&'& $ie'to( .&lo'e( e(-e$87$o( x 0 ʌ y 01

1.). ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL







U%& e$+&$i2% di/e'e%$i&l li%e&l de o'de% % (e e6-'e(& de l& /o'm&=







*. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN DEFLEXÍON DE VIGAS *.1. VIGA U%& .i& e( +% eleme%to e(t'+$t+'&l 4+e (o-o't& $&'&( &-li$&d&( e% .&'io( -+%to( & lo l&'o del eleme%to1

*.). LA DEFLEXION DE VIGAS Co%(ide'e +%& .i& ho'i)o%t&l AB (e% l& 7+'&1 Se (+-o%e 4+e l& .i& e( +%i/o'me e% (+ (e$$i2% t'&%(.e'(&l 3 de m&te'i&l homo5%eo1 El e0e de (imet'8& (e e%$+e%t'& e% el -l&%o medio i%di$& -o' l& )o%& (omb'e&d&1









4+e $o%tie%e el e0e de (imet'8&, l& .i&, debido & (+ el&(ti$id&d, -+ede di(to'(io%&'(e e% (+ /o'm& $omo (e m+e(t'& e% l& (i+ie%te 7+'&1

E(t&( /+e')&( -+ede% (e' debid&( &l -e(o de l& .i&, & $&'&( &-li$&d&( e6te' 6te'%& %&me me%t %te, e, o & +%& $ombi ombi%& %&$ $i2% i2% de &mb& &mb&(1 (1 El e0e e0e de (ime (imet' t'8& 8& di(to di(to'( '(io io%& %&do do 'e(+ 'e(+lt lt&% &%te te,, (it+& (it+&do do e% el -l&% -l&%o o medio medio di(to di(to'( '(io io%& %&do do de l& (e+%d& 7+'&, (e ll&m& l& $+'.& el*(ti$&1 L& dete'mi%&$i2% de e(t& $+'.& e( de im-o't&%$i& e% l& teo'8& de el&(ti$id&d1 H&3 m+$h&( m&%e'&( de &-o3&' .i&(1 Po' e0em-lo, l& ?i+'& ;&< m+e(t'& +%& .i& e% l& $+&l el e6t'emo A e(t* '8id&me%te 70o, mie%t'&( 4+e el e6t'emo B e(t* lib'e, -&'& mo.e'(e1 E(to (e ll&m& +%& viga en voladizo 1 E% l& ?i+'& ;b< l& .i& .i& e(t e(t* &-o3& -o3&d& d& e% "!( "!( e6t' 6t'emo( emo( A 3 B1 E(t E(t& (e ll& ll&m& +%& viga simplemente simplemente apoyada1 E% t&l t&le( $&(o( &(o( l& .i& .i& e(t* e(t* &(e &(e+' +'&d &d& & e% lo( lo( e6t'emo( A 3 B de modo 4+e &+%4+e e(t5 70& e% e(to( e6t'emo(, l& 'ot&$i2% (e -+ede d&' &l'ededo' de lo( e6t'emo(1 L& ?i+'& ;$< m+e(t'& &% ot'& m&%e'& de &-o3&' .i&(1







•

C&'& .&'i&ble (ob'e tod& l& .i& o (2lo e% +%& -&'te de ell&1

•

C&'& -+%t+&l o $o%$e%t'&d&1

Co%(id Co%(ide' e'e e l& .i& .i& ho'i)o ho'i)o%t& %t&ll OB OB de l& 7+'& (i+ie%te1 Colo$&%do el e0e de (imet'8& ;l8%e& -+%te&d&< e% el e0e X e0e X tom&do tom&do $omo -o(iti.o & l& de'e$h& 3 $o% o'ie% e% 01 E($o0& el e0e Y $omo $omo -o(iti.o h&$i& &b&0o1

Se& M(x) e$ "o"e'o +e,!o('e e% +%& (e$$i2% t'&%(.e'(&l .e'ti$&l de l& .i& e% 61 E(te mome%to :e6io%&%te (e de7%e $omo l& (+m& &leb'&i$& de lo( mome%to( de e(&( /+e')&( 4+e &$t&% (ob'e +% l&do de 6, lo( mome%to( (e tom&% (ob'e +%& l8%e& ho'i)o%t&l e% l& (e$$i2% t'&%(.e'(&l e% 61 Al $&l$+l&' lo( mome%to( &do-t&'emo( l& $o%.e%$i2% de 4+e /+e')&( h&$i& &''ib& -'od+$e% mome%t mome%to( o( %e&ti %e&ti.o( .o( 3 /+e')&( /+e')&( h&$i& h&$i& &b&0o &b&0o -'od+ -'od+$e% $e% mome%t mome%to( o( -o(iti+ -o(iti+o(, o(, &(+mie%do -o' (+-+e(to 4+e el e0e 3 (e tom& h&$i& &b&0o $omo (e me%$io%2 &%te(1 Como (e mo(t'&'* e% el E0em-lo il+(t'&ti.o ", %o im-o't& $+*l l&do de 6 (e tome -+e(to 4+e lo( mome%to( :e6io%&%te( $&l$+l&do( de(de $+&l4+ie' l&do (o% i+&le(1 E(to e( -o'4+e l& .i& e(t& e% e4+ilib'io1 El mome%to :e6io%&%te e% 6 e(t* (im-leme%te 'el&$io%&do $o% el '&dio de $+'.&t+'& de l& $+'.& el*(ti$& e% , (ie%do l& 'el&$i2% ;"<

do%de E e( el m2d+lo de el&(ti$id&d de Yo+% 3 de-e%de del m&te'i&l +(&do e% el di(eo de l& .i&, e  e( el mome%to de i%e'$i& de l& (e$$i2% t'&%(.e'(&l de l& .i& e% 6 $o% 'e(-e$to & +%& l8%e& ho'i)o%t&l 4+e -&(& -o' el $e%t'o de







Debido & l& &$$i2% de l&( /+e')&( e6te'%&( F1 3 F2 ;3 F2 ;3 (i e( &-'e$i&ble el -e(o de l& .i&< el e0e de (imet'8& (e di(to'(io%& e% l& $+'.& el*(ti$& 4+e (e m+e(t'& -+%te&d& e% l& 7+'& de &b&0o do%de hemo( tom&do l& .i& $omo 70& e% 01 El de(-l&)&mie%to 3 de l& $+'.& el*(ti$& de(de el e0e X e0e X (e ll&m& l& defexión o fecha de fecha de l& .i& e% l& -o(i$i2% x -o(i$i2% x 1 A(8, (i dete'mi%&mo( l& e$+&$i2% de l& $+'.& el*(ti$&, (e $o%o$e'* l& de:e6i2% de l& .i&1

*.*. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL L& de:e6i2% (e 'ie -o' +%& e$+&$i2% di/e'e%$i&l de $+&'to o'de%=

Dode: E e( el m2d+lo de Yo+% de el&(ti$id&d de l& .i&1 I e( el mome%to de i%e'$i& de +% $o'te t'&%(.e'(&l de l& .i&1

E-EMPLO:







A#$!&(do $( &od!&!oe !!&!($e: Y ;!< ;!<  ! d&do 4+e %o h&3 de:e6i2% Y’ ;!< ;!<  ! d&do 4+e l& $+'.& de de:e6i2% e( t&%e%te &l e0e 6 Y ;L< ;L<  !, Y’ ;L< ;L<  ! e% lo( e6t'emo( %o h&3 de:e6i2% .e'ti$&l Se de(-e0&% l&( $o%(t&%te(

ci , obte%i5%do(e 7%&lme%te=

Re#ree'(&!0: Si (e de7%e -o' e0em-lo 4+e l& .i& (e& de "m de lo%it+d 3 w0 = 24 EI, +%& 'e-'e(e%t&$i2% '*7$& de l& de:e6i2% de l& .i& e( =







CONCLUSIONES

Co%$l+imo( 4+e=

•

L&( e$+&$io%e( di/e'e%$i&le( (o% m+3 i%te'e(&%te( e% $+&%to & l& -o(ibilid&d 4+e 4+ e -'e( -'e(e% e%t& t&% % -&'& -&'& i%d& i%d&& &'' (ob' (ob'e e .&'i .&'ied ed&d &d de -'ob -'oble lem& m&( ( de%t de%t'o 'o de l& i%e%ie'8& $i.il, +%& de l&( mlti-le( &-li$&$io%e( de e$+&$io%e( di/e'e%$i&le( e(t* 'el&$io%&d& $o% el e(t+dio de l&( :e6io%e(1 C+&%do +%& .i& :e6io%& debido & l&( /+e')&( e6te'io'e( 4+e (e &-li$&%, e6i(te% &l+%&( -&'te( de l& .i& 4+e (e &$o't&% 3 h&3 ot'&( )o%&( 4+e (e &l&'&%1 Pe'o h&3 +%& l8%e&, de%omi%&d& e0e %e+t'o, 4+e %o (e &$o't& %i (e &l&'&1 E(te e0e (e e%$+e%t'& e%









e(t'+$t+'&' el -e%(&mie%to l2i$o 3 &%&l8ti$o, T&mbi5% le &3+d&% & e(t'+$t+'&' el -e%(&mie%to (i%t5ti$o 3 de(-ie't&% l& $'e&ti.id&d1 C&-&$id&d de &b(t'&$$i2%, &%*li(i( 3 $o%$e-t+&li)&$i2% 'e4+e'ido( -&'& e%$o%t'&' l&( e(t'+$t+'&( l2i$&( -'o$e(o( 3 -'o3e$to(, 3 l& $'e&ti.id&d 3 $&-&$id&d de &%*li(i( 3 de (8%te(i( -&'& t'&%(/o'm&'l&(1







REFERENCIAS 3I3LIOGRAFICAS

?'ee' 'ee' P1 D1 A-li$& A-li$&$io $io%e( %e( de l&( e$+&$i e$+&$io%e o%e( ( di/e' di/e'e%$ e%$i&l i&le(1 e(1 LAURA LAURATE TE I%te' I%te'%& %&tio% tio%&l &l +%i.e'(itie( e% l8%e&1 !"K1 /e$h& de &$$e(o ! de J+%io de !"#> URL di(-o%ible e%= htt-(=MMm31l&+'e&te1%etM/&$+lt3 htt-(=MMm31l&+'e&te1%etM/&$+lt3Mebi%&'(MDo$+me%t(MI Mebi%&'(MDo$+me%t(MI%e%ie'i&!"KMNo %e%ie'i&!"KMNo.embe'!"K .embe'!"K !"!!A-li$&$iCKBK%! !"!!A-li$&$iCKBK%!de!l&(!E$+&$io%e(! de!l&(!E$+&$io%e(!Di/e'e%$i&le(1-d/ Di/e'e%$i&le(1-d/ 9+''&3 R1 E$+&$io%e( di/e'e%$i&le(1 K&1 ed1 956i$o= P'e%ti$eH&ll Hi(-&%o&me'i$&%& e% l8%e&> "K1 URL di(-o%ible e%= htt-=MMdme1+/'o1$lM$li%i$&m&tem&ti$&Mim&e(ML htt-=MMdme1+/'o1$lM$li%i$&m&tem&ti$&Mim&e(MLib'o(ME$+&$io%e ib'o(ME$+&$io%e(Di/e'e%$i&le(Me$+&$io% (Di/e'e%$i&le(Me$+&$io% e(!di/e'e%$i&le(!&-li$&d&(1-d/ G&ll&'do J1 91 E$+&$io%e( Di/e'e%$i&le( O'di%&'i&(1 C'e&ti.e Commo%( e% l8%e&1 !" /e$h& de &$$e(o ! de J+%io de !"#> URL di(-o%ible e%= htt-(=MMed&%3&1+m&1e(M-+b'ehtt-(=MMed&%3&1+m&1e(M-+b'e-o(MEDO$o%S&e1"!1-d o(MEDO$o%S&e1"!1-d//

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