Matdas_SIMAKUI_2010

Tutur Widodo

Pembahasan Pem bahasan Matemati Matematik ka Dasar SIMAK UI 2010

Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2010 Kode 204

Oleh Tutur Widodo

Petunju Petunjuk k A: untuk untuk nomor 1 samp sampai dengan dengan nomor 18 pilih pilih satu satu jawab jawaban an yang yang tep tepat at

dengan melingkari abjad a, b, c, d atau e

1. Jika f (x) =

√ x x− 4 , x = ±2, maka f

−1

2

(x) adalah ...

a. f (x) =

√ x2x+ 2

d. f (x) =

b. f (x) =

√ x2x− 1 , x = ±1

e. f (x) =

c. f (x) =

2

2

√ x2x+ 1

√ x2x− 2 , x = ±√ 2 2

√ x x− 1 , x = ±1 2

2

Jawaban : b

Misal, y = f (x) =

√ x x− 4 maka diperoleh, 2

y =

x

√ x − 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2

x2

2

y =

x2

y 2 x2

−4 2

2

− 4y = x y x − x = 4y x (y − 1) = 4y 2

2

2

2

2

x2 = x = −1

y2

−1

2y

 −    −  − y2

⇔

f 1 (y ) =

⇔

f 1 (x) =

Visit us at at http://mathematic-room.blogspot.com

1

2y

f (x) =

f

−

2

4y 2

⇔

−

2

y2

1

2y

y2 1 2x

√ x − 1 2

1

Tutur Widodo

Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2010

1 1 2. Jika A dan B adalah dua kejadian dengan P (A) = dan P (B ) = serta P (A B ) = 8 2 11 , maka kejadian A dan B adalah ... 16

∪

a. saling bebas

d. saling lepas dan tidak bebas

b. saling lepas

e. tidak dapat ditentukan hubungannya

c. tidak saling bebas Jawaban : e

• Jika A dan B saling lepas maka berlaku P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) tetapi dari 11 1 1 soal diketahui P (A ∪ B ) =  = + = P (A) + P (B ). 16 8 2 Jadi, A dan B tidak saling lepas.

• Jika A dan B tidak saling lepas maka berlaku P (A∪B ) = P (A)+ P (B ) − P (A∩ 1 1 11 1 B ) . Oleh karena itu, P (A ∩ B ) = P (A)+ P (B ) − P (A ∪ B ) = + − = − 8 2 16 16

yang jelas tidak mungkin. Jadi, A dan B tidak dapat ditentukan hubungannya.

3. x1 dan x2 adalah bilangan bulat yang merupakan akar - akar persamaan kuadrat x2 (2 p + 4)x + (3 p + 4) = 0, dimana p adalah suatu konstanta. Jika x1, p dan x2 adalah tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka suku ke-12 dari deret geometri tersebut adalah ...

−

a.

−1

d. 6

b. 1

− 2√ 5

e. 4

√

c. 6 + 2 5 Jawaban : a

Karena x1 , p dan x2 adalah tiga suku pertama dari suatu deret geometri maka berlaku x1 x2 = p 2 (1)

·

selain itu x1 dan x2 merupakan akar - akar persamaan kuadrat x2 (3 p + 4) = 0 sehingga juga berlaku

− (2 p + 4)x +

x1 x2 = 3 p + 4

(2)

·

p2 3 p 4 = 0 Dari pers.(1) dan (2) diperoleh p2 = 3 p+4 0 sehingga p = 4 atau p = 1. Oleh karena itu,

−

⇔

− −

⇔

( p 4)( p +1) =

−

2

• Jika p = 4 diperoleh persamaan kuadrat x − 12x +16 = 0 yang tidak memiliki akar bulat

Visit us at http://mathematic-room.blogspot.com

2

Tutur Widodo

Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2010 2

• Jika p = −1 diperoleh persamaan kuadrat x − 2x + 1 = 0 ⇔ yang memiliki akar kembar x1 = x 2 = 1

Jadi, deret geometri yang dimaksud adalah 1, 1, 1, 1, 1, suku ke-12 dari deret tersebut adalah 1 4. Jika 3

   4 3 2 1

− 31 −3c6

−

−

 − 

3 = 21

3 4a

2b

d

−

(x

− 1)

2

=0

······ . Oleh karena itu,

, maka nilai a + b + c + d adalah ...

a. 47

d. 17

b. 37

e. 7

c. 27 Jawaban : d

3

    −  − −     −  − −  −  −  4 3 2 1

3c 3 = 6 21

1 3

12 9 6 3

1 = 2 7

c

12

8 = 4

c

8

−

3 4a

2b

d

3 4a

2b

d

3 4a

2b

d

Oleh karena itu, 12

− c = −3 ⇔ 8 = 2b ⇔ 8 = 4a ⇔ d = −4

c = 15 b = 4 a = 2

sehingga, a + b + c + d = 2 + 4 + 15 + ( 4) = 17

−

5. Agar pertidaksamaan 2x2 + 4x + a2 > 6 dipenuhi oleh semua bilangan riil x, maka ... a. a < b.

−2 atau x > 2

−2 < a < 2 √ √ c. − 2 2 < a < 2 2

−2√ 2 atau x > 2√ 2 e. a < −3 atau x > 3 d. a <


3

Tutur Widodo


Jawaban : c

2x2 + 4 x + a2 > 6 riil x maka haruslah

⇔

2x2 + 4x + a2

D = 42

− 6 > 0 agar dipenuhi oleh semua bilangan

2

2

− 4.2.(a − 6) > 0 ⇔ 64 − 8a > 0 ⇔ 8 − a > 0 √ √ ⇔ (2 2 − a)(2 2 + a) > 0 √ √ sehingga −2 2 < a < 2 2 2

6. Garis y = mx + 5 memotong parabola y = x2 P = (1, 6) maka koordinat Q adalah ... a. b.

c.

   √  − √ 3 13 , 2 2

d.

√ 21 15 + 21

5+

2

5

,

2

Jika

  9 29 , 4 4

e. (4, 9)

2

21 15 ,

  √ −

− 4mx + 4n di titik P dan Q.

21

2

Jawaban : e

Garis y = mx +5 memotong parabola y = x 2 berlaku, 6 = m + 5

− 4mx +4n di titik P = (1, 6) sehingga

⇔

m = 1

dan 6=1

− 4m + 4n ⇔

6=1

− 4 + 4n ⇔

n =

Sehingga diperoleh garis y = x +5 memotong parabola y = x 2 itu, x + 5 = x 2

− 4x + 9 ⇔ ⇔

9 4

− 4x +9. Oleh karena

x2

− 5x + 4 = 0 (x − 1)(x − 4) = 0

Sehingga, x = 1 atau x = 4.

• Jika x = 1 maka y = 6 • Jika x = 4 maka y = 9 Visit us at http://mathematic-room.blogspot.com

4

Tutur Widodo


7. Jika f (x) =5 log(x + 1) +5 log

  1

x

−2

, maka f 1 (5 log 2) =... −

a. 3

d. 6

b. 4

e. 7

c. 5 Jawaban : c

Misal, f 1 (5 log 2) = t , maka kita punya −

5

sehingga, t+1 =2 t 2

−



−1

5

5



5

log 2 = f f ( log 2) = f (t) = log(t + 1) + log

⇔

t + 1 = 2t

−4 ⇔

=5 log

  t+1 t 2

  1

t

−2

−

t = 5

8. Jika x + y + 2z = k, x + 2y + z = k dan 2x + y + z = k, k = 0 maka x2 + y 2 + z 2 jika dinyatakan dalam k adalah ... a.



k2

3k 2 d. 8

16

3k 2 b. 16

2k 2 e. 3

4k 2 c. 17 Jawaban : b

x + y + 2 z = k

(3)

x + 2y + z = k

(4)

2x + y + z = k

(5)

Jika ketiga persamaan kita jumlahkan maka didapat 4x + 4y + 4 z = 3k Dari pers.(3) dan (6) didapat z = Dari pers.(4) dan (6) didapat y = Dari pers.(5) dan (6) didapat z = 3k 2 Jadi, x2 + y 2 + z 2 = . 16

⇔

x + y + z =

3k 4

(6)

k

4

k

4

k

4


5

Tutur Widodo


9. Perhatikan gambar di bawah ini! A

45

◦

4 cm B

105

◦

30

◦

C

Luas segitiga pada gambar adalah ... cm2

− √ 3) √ b. 4( 3 − 1) √ c. 4( 3 + 1)

√

a. 4(1

d. 2( 3 + 1) e. 2(1

− √ 3)

Jawaban : b

1 Luas segitiga ABC = .AC.AB. sin A 2 1 4 = .4. . sin 30 . sin45 2 sin 105 4 1 1 = 2. 2 . . sin 105 2 2 1 = 2 2. cos15 2 = 2 2. cos30 + 1 4 = 1 3+1 2 ◦

◦

◦

√

◦

√

=

√   √

◦

◦

√ 38+ 1 = 4(√ 3 − 1)

10. Risma membeli 5 kg jeruk impor berlabel diskon 10% dan 7 kg jeruk lokal berlabel diskon 5%. Risma membayar dengan pecahan Rp 100.000,00 dan menerima uang kembali Rp 26.350,00. Kasir menyatakan bahwa jumlah potongan harga sesuai label diskon adalah Rp 5.850,00. Jika pada waktu dan toko yang sama Prima membeli 2 kg jeruk impor dan 3 kg jeruk lokal sejenis dengan yang dibeli Risma, maka Prima harus membayar sebesar ... a. Rp 30.600,00

d. Rp 34.500,00

b. Rp 31.650,00

e. Rp 35.150,00

c. Rp 33.000,00


6

Tutur Widodo


Jawaban : a

Misal, harga jeruk impor per kg adalah a dan harga jeruk lokal per kg adalah b maka kita dapat 5a + 7b = 79500 0.5a + 0.35b = 5850

⇔

10a + 7b = 117000

yang memilki penyelesaian a = 7500 dan b = 6000. Jadi, Prima harus membayar sebesar : 15000+18000-(1500+900)=30600 11. Sebuah menara dan gedung masing - masing memiliki tinggi 50 m dan 62 m. Pada saat sudut elevasi matahari mencapai 60 , selisih bayangan menara dan gedung adalah ... ◦

√ 3 √ b. 2 3 √ c. 3 3

√ √ e. 8 3

a.

d. 4 3

Jawaban : d

62 tan 60 1 = 12 3

Selisih bayangan menara dan gedung =

◦

50 − tan60

◦

· √ √

=4 3 12. Koeﬁsien suku tengah dari (3

6

− 2x)

adalah ...

a. 4320

d.

− 2160 e. − 4320

b. 2160 c. 160 Jawaban : e

Dengan rumus Binom Newton didapat

  6

(3

− 2x)

6

=

i=0

6 i


36

i

−

i

· (−2x)

7

Tutur Widodo


sedangkan suku tengah diperoleh ketika i = 3 sehingga nilai suku tengah dari perpangkatan (3 2x)6 yaitu

−



6 3 3 ( 2x)3 = 20 27 ( 8)x3 = 3

·−

· ·−

13. Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya 125π liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai h = ... meter.

−4320x

3

h

r

a. 1

d. 50

b. 5

e. 100

c. 10 Jawaban : a

Misal, V menyatakan volume tempat air dan L menyatakan luas permukaan tempat air maka kita dapat 1 125 = V = πr 2 h 2 sehingga, 250 r = (7)



h

selain itu 1 2πr 2 + 2πrh 2 250 250 h = π +π

L =







h h 250π = + π 250h h

√

L akan minimum jika turunan pertamanya, L = 0. Padahal kita ketahui 



L

√ −250π + π √ 250 = h 2


2 h

(8)

8

Tutur Widodo


Oleh karena itu,

−250π + π√ √ 250 = 0 h 2 h √ ⇔ − 500π + π 250h √ ⇔ 250h = 500 √ ⇔ h = 2 250 ⇔ h = 10 2

3 2

=0

3 2

3 2

Jadi, h = 10 dm = 1 meter 14. Persamaan ...

√ 3cos x − sin x = 2 − p dapat dicari penyelesaiannya jika p memenuhi

a.

−4 ≤ p ≤ 0 b. 0 ≤ p ≤ 4 c. − 4 ≤ p ≤ 2

d.

− 2 ≤ p ≤ 2 e. p ≤ −2 atau p ≤ 2

Jawaban : b

Ingat rumus berikut, a sin x + b cos x = k cos(x

dengan k = Sehingga

√ a

2

− α)

+ b2 dan α = arctan ab .

√

3cos x

◦

− sin x = 2 cos(x − 330 )

oleh karena itu

− 330 ) = 2 −2 p karena −1 ≤ cos x ≤ 1 maka −1 ≤ ≤ 1. Jadi, 0 ≤ p ≤ 4 ◦

cos(x

2− p 2

15. Segitiga OAB adalah segitiga samakaki dengan OA = OB . Titik O merupakan titik asal dan B terletak pada sumbu X positif. Jika koordinat A(3, 4) maka koordinat titik berat segitiga OAB adalah ... a. b. c.

      4 8 , 3 3

d.

4 2 , 3 3

e.

    8 4 , 3 3

8 2 , 3 3

2 8 , 3 3


9

Tutur Widodo


Jawaban : d

Panjang OA = 5 maka koordinat B adalah (5, 0). Misalkan T adalah titik tengah AB maka T (4, 2). Jika X adalah titik berat segitiga OAB maka X terletak pada 8 4 OT dengan perbandingan OX : X T = 2 : 1 sehingga X = , 3 3

 

4

2

2

4

5

16. Jika log( log x) + log( log x) = 2, maka log a. 1

d. 5

b. 2

e. 16



x+

√ x + 5 = ...

c. 4 Jawaban : a 4

log(2 log x) +2 log(4 log x) = 2

1 2

⇔

2

log(2 log x) +2 log(

1 2

2

log x) = 2

(9)

Misal, 2 log x = t maka pers.(9) menjadi 1 2

1 log t +2 log( t) = 2 2 1 2 log t +2 log( t) = 2 2 1 2 t) = log(t 2 2

1 2

1 2

·

t

2

log4

3 2

2 t = 4

=4

Jadi, 2 log x = t = 4 sehingga x = 16. Oleh karena itu, 5 log 5 = 1

5

log



x+

√ x + 5

=

17. Jumlah nilai x dan y yang merupakan bilangan bulat dari sistem persamaan berikut: 2x + 3y

x2

− xy − 2y

2

−1=0 − x − 4y − 2 = 0

adalah ... a.

−7 b. − 1

d. 3 e. 7

c. 1 Visit us at http://mathematic-room.blogspot.com

10

Tutur Widodo


Jawaban : b

Dari pers. pertama diperoleh x = 2

1

− 3y , substitusikan ke pers. kedua 2

 −  − −  − − − − 1

3y

1

3y

1

2y 2

3y

−2=0 (1 − 3y ) − 2y (1 − 3y ) − 8y − 2(1 − 3y ) − 16y − 8 = 0 1 − 6y + 9 y − 2y + 6 y − 8y − 2 + 6 y − 16y − 8 = 0 7y − 18y − 9 = 0 (7y + 3)(y − 3) = 0 2

2

y

2

2

4y

2

2

2

2

2

Sehingga nilai y bulat yang memenuhi adalah y = 3 yang berakibat x = x+y = 1

−

−4. Jadi,

18. . R

4

x Q

4 x 4 x

P

Garis Horisontal Jarak dari titik R ke garis horisontal adalah ...

√ 3 cm √ b. 3 − 3 cm √ c. 3 + 2 3 cm a. 3 +

√ √ e. 6 − 2 3 cm

d. 6 + 2 3 cm

Jawaban : d

Perhatikan gambar di bawah!


11

Tutur Widodo

Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2010 R

4

x Q

4 x D

x 4 x P x 2x

C

B

A

Dari segitiga BC Q diperoleh 3x = 90 kaki ABP dengan aturan sinus diperoleh ◦

sin30 AB = sin 120

◦

x = 30 . Perhatikan segitiga sama ◦

⇔

√ · 4 = √ 3 · 4 = 34 3 1 2

◦

1 2

Karena P D = AB , pada segitiga ACD berlaku ◦

cos30 =

AC AD

⇔

◦

AC = AD cos 30 = (4 +

√ √

√

4 1 3) 3=2+2 3 3 2

Perhatikan pula AC = CQ dan CR = CQ + QR , sehingga CR = AC + C R = 2+2 3+4=6+2 3

√

√

Petunjuk B : untuk nomor 17 sampai nomor 20 pilihlah

a. Jika pernyataan (1), (2) dan (3) yang benar b. Jika pernyataan (1) dan (3) yang benar c. Jika pernyataan (2) dan (4) yang benar d. Jika hanya pernyataan (4) yang benar e. Jika semua pernyataan benar

√

 −

3sin x 1 sin2 x cos x

3π dan det(A) = 1, maka x mempunyai 2


12

19. Jika A = nilai ... (1) (2)

untuk

π

2

π

2 5π 6

Tutur Widodo

(3)

3π 2

(4)

7π 6


Jawaban : e

Karena det (A) = 1 maka

√ 3cos x sin x + sin

2

x = 1 yang equivalen dengan

√ 3cos x sin x = 1 − sin √ 3cos x sin x = cos x √ cos − 3cos x sin x = 0 √ cos x(cos x − 3sin x) = 0

2

x

2

x

sehingga, cos x = 0 atau cos x

− √ 3sin x = 0.

• Jika cos x = 0, untuk π2 < x < 32π maka tidak ada nilai x yang memenuhi • Jika cos x − √ 3sin x = 0 ⇔ tan x = 31 √ 3, untuk π2 < x < 32π maka nilai x yang memenuhi hanya x =

7π 6

20. Diberikan sepasang persamaan 2x 3y = 13 dan 3x + 2 y = b dengan 1 b 100 dan b bilangan bulat. Misalkan n 2 = x + y , dengan x dan y adalah solusi persamaan di atas, yang berupa bilangan bulat, maka nilai n yang memenuhi adalah ...

−

≤ ≤

(1) 4 (2) 3 (3) 1 (4) 2 Jawaban : c

Penyelesaian dari sistem persamaan, 2x

− 3y = 13

3x + 2y = b 3b 2b adalah x = + 2 dan y = 3. 13 13 Karena x dan y bilangan bulat maka haruslah b bilangan bulat kelipatan 13. Selan jutnya tinggal keempat pilihan dicoba,

−


13

Tutur Widodo


5b • n = 1, maka 1 = 13 − 1 ⇔ 5b • n = 2, maka 4 = 13 − 1 ⇔ 5b • n = 3, maka 9 = 13 − 1 ⇔ 5b • n = 4, maka 16 = 13 − 1 ⇔

5b = 2, tidak ada nilai b yang memenuhi 13 5b = 5, sehingga b = 13 13 5b = 10, sehingga b = 26 13 5b = 17, tidak ada nilai b yang memenuhi 13

3b 2b 5b Note : Karena b 100 maka nilai n2 = x + y = +2 + 3= 1 < 49. 13 13 13 Jadi, secara umum kemungkinan nilai n adalah pada interval 6 n 6.

≤

− − − ≤ ≤

Disusun oleh : Tutur Widodo

Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke [email protected] Terima kasih. My blog : http://mathematic-room.blogspot.com


14

Matdas_SIMAKUI_2010

Recommend Documents