1
.................................................................................................................... 04
...................... ................................. ...................... ....................... ....................... ........................... ................
05
Implicancia L!ica.................. L!ica..... .......................... ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ...................... .........
0"
La in#$%$ncia L!ica................. L!ica............................ ...................... ....................... ....................... ...................... ...................... ....................... .............................. ..................
0"
.................................................................................................... 11 C(an)i#ica*+%$,......................................................................................................................... 14
....................... .................................. ..................................... ..........................
1/
...................... .................................. ....................... ............................................ .................................
&&
Ec(aci+n$, *$ S$!(n*+ !%a*+.................... !%a*+............................... ...................... ...................... ....................... ....................... ...................... ..................... ..........
&5
..................... ................................ ....................... ....................... ........................... ................
&
...................................................
--
Aplicaci+n$, Aplicaci+n$, *$ *$,i!(al*a*$, *$,i!(al*a*$, c(a*%)ica,..... c(a*%)ica,................. ....................... ...................... ...................... ...................... ........................... ................
-5
................................................
-"
...................... ................................. ....................... ....................... ...................... ...................... .................................. .......................
40
...................... ................................. ....................... ....................... ...................... ...................... ...................... .............................................. ...................................
-&
....................... .................................. ...................... ....................................... ............................
4
...................... .................................. ....................... ...................... ....................................... ............................
55
...................... ................................. ...................... ....................................... ............................
/1
Aplicaci+n$, Aplicaci+n$, *$ la #(ncin #(ncin c(a*%)ica.......... c(a*%)ica..................... ....................... ....................... ...................... ...................... ....................... ..................... ......... ..................
/4 /2
2
...................................
2-
..................................
2
..................... ................................ ....................... ....................... ...................... ...................................... ...........................
4
3
4
SEMANA 1
LÓGICA MATEMÁTICA
1. ENUNCIADO. Es toda toda orac oració ión n o fras frase e que que expr expres ese e algu alguna na idea idea,, a trav través és de afirmaciones, afirmaciones, negaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc. 2. ENUN ENUNCI CIAD ADO O ABIE ABIERT RTO. O. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. 3. PROP PROPOS OSIC ICIÓN IÓN LÓGI LÓGICA CA.. Una proposición es un enunciado cua propiedad fundamental fundamental es la de ser verdadera !"# o falsa !$#, pero no ambas a la ve%. &or tanto no puede ser ambigua. Una proposición se representa simbólicamente por letras min'sculas tales como( p , q , r , s ,)).. llamadas variables proposicionales. 4. VALOR ALOR DE DE VER VERDA DAD. D. *i p es una proposición, proposición, su valor de verdad se denota con V ( p) escribimos( V ( p ) = V si el valor de p es verdadero V ( p) = F si el valor de p es falso.
5. PROP PROPOS OSIC ICIÓ IÓN N SIMP SIMPLE LE.. Es aquella proposición lógica que consta de un solo su+eto un predicado. *e llaman variables proposicionales. proposicionales. 6. PROP PROPOS OSIC ICIÓN IÓN COMP COMPUE UEST STA. A. Es aquella proposición lógica compuesta de dos o ms proposiciones proposiciones simples. 7. OPER OPERAD ADOR ORES ES LÓGI LÓGICO COS. S. *on signos que representan palabras que son usados para relacionar proposiciones. -enemos( /on+ /on+un unci ción ón(( 0isunc 0isunción ión débil débil o inclu inclusiva siva(( 0isunc 0isunción ión fuerte fuerte o exclus exclusiva( iva(
D
/ond /ondici iciona onal(l( icon icondic dicion ional( al( ega egaci ción ón(( ~
8. TABLA ABLAS S DE DE VER VERDA DAD. D.
DIS#UNCIÓN UERTE $
%
$ D %
V V
V
V
V
V
NEGACIÓN
$
&$
V
V
9. SIGN SIGNOS OS DE AGR AGRUP UPAC ACIÓ IÓN. N. os signos de agrupación ( ) , [ ] , { } se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos ms comple+os. 5tra finalidad de estos signos es darle maor o menor +erarqu6a a los operadores. 10. ÓRM ÓRMUL ULA A LÓGI LÓGICA CA.. Es una combinación de variables proposicionales operadores lógicos. *e eval'a mediante tablas de verdad. as fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se eval'an mediante tablas de valores de verdad, el n'mero de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n es el n'mero de proposiciones. proposiciones. *i al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador TAUTOLOG!A. principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOG!A. CONTRADICCIÓN. *i todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN. *i es una combinación entre valores verdaderos falsos, entonces se tiene una CONTINGENCIA.
E"ERCICIOS
7
I. 0e las siguientes expresiones, indicar cules son proposiciones lógicas, +ustificar. 1. El d6a d6a de de 8o 8o es +ue +ueve ves. s. 2. 9:ac 9:ace e ca calor; or; 3. <=ué <=ué edad edad tien tienes es> > 4. &ro8 &ro8ib ibid ido o fum fumar ar.. . ?a@a ?a@ana na llo llove ver r.. 7. El veran verano o es una una estaci estación ón plae plaera. ra. A. as as rosas rosas son son 8er 8ermo mosa sas. s. B. El cer cero o es un un n'mer n'mero o natur natural al.. C. -odo n'mero n'mero entero entero es negativo. negativo. 1D. 5 x - 2 > 8 11. x - 8 �4 + 6 12. El n'mero 2221 2221 es divisible divisible por 2. 13. 3 + 8 = 1 + 2 + 3 14. CA es un n'mero primo. primo. 1. 3 x + 4 y = 10 II. *imboli%ar determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones( 1. El mes mes de ?ar%o ?ar%o tiene tiene 3D d6as d6as el mes mes de febrer febrero o 31 d6as. d6as. 2. requipa no no es la /iudad /iudad lanca lanca o -ru+illo -ru+illo es la /apital /apital de la eterna eterna &rimavera. &rimavera. 3. El d6a tiene tiene 24 24 8oras 8oras si sólo sólo si, una una 8ora tiene tiene 7D 7D minutos. minutos. 4. ?ario "argas "argas losa ganó el obel obel en el 2D11 2D11 o :umala es el &residente &residente del &er'. &er'. . *i, 3 + 2 = 5 , entonces 204 es m'ltiplo de 1A. 7. 1D es es m'ltipl m'ltiplo o de 3 3D 3D es divisor divisor de de 7DD. 7DD. A. F CC es es m'ltipl m'ltiplo o de 3 ó 4 no es es un numer numero o par. par. B. o es verd verdad ad que, que, 4 + 3 > 6 que 10 - 2 = 8 . C. *i Gun6n Gun6n est en el el &er' entonc entonces es H6o de Ganeir Ganeiro o est en rgentin rgentina. a. 1D. Es falso que, lan Iarc6a Iarc6a no sea el actual actual presidente presidente de la rep'blic rep'blica a a que perdió perdió en las elecciones generales del 2D11. 11. /ésar /ésar "alle+o alle+o escribió escribió JEl -ungste -ungstenoK noK no obstante obstante ?ario ?ario "argas argas losa losa escribió escribió Ja $iesta del /8ivoK.
A
12. El a@o de 1B21 se proclamó oficialmente oficialmente la independencia independencia del &er', sin embargo el 2 de mao 1B77 se inmortali%ó 0on Gosé Ilve% defendiendo al &er' de la invasión c8ilena. III. Esta Establ blec ecer er la taut tautol olog og6a 6a,, la cont contra radi dicc cció ión n la cont contin inge genc ncia ia de las las sigu siguie ient ntes es proposiciones(
� 1. ( p � q )��� ( p ~ q)
(p
2. ( ~ p �qD) �� ( p ~ q) �
(~
( p q� ) ~( p 3. ~ � �
q) p ~ q)
~ r )
q) � 4. � ( p �� (p �
r) � �
(~q
p) � ( p �� (q . � �
r)� �
(p
{
p) � 7. ~ � ( p �� (q �
r) � �
p) r )
}
(p
r)
q) r ~ ( p ~ q) ~ r� A. � ( ~ p ��� � � � �
� q ) ~� r� ~ ( p �� B. ~ � � � ~ ( p q r ) � ~ ( p �q ) �~ r ( ~ pD ~ r ) � � �
C.
{
1D. � ( p V���� ) ( q ~V ) � � � ( p q)
{
}
11. � ( p q���� ) ( ~ p ~ q) � � � ( p q)
p
}
V
{
}
~V ) ~V � 12. � ( p q����� (~ p V) V� � �� � �
V
~ p �~ ( ~ q �~ p ) � 13. ~ � � ��~ ( ~ p�~ q )
B
IMPLICACIÓN LÓGICA 0adas las proposiciones L se dice que, implica a cuando unidos con la condicional JMK, resulta una tautolog6a. *e simboli%a( simboli%a( ⇒ se lee( implica a , si no implica a , entonces se escribe( . E"ERCICIOS' 0emostrar que implica a , en los siguientes e+ercicios(
LA INERENCIA LOGICA *i de una o ms proposiciones llamadas premisas, se deduce la afirmación de una proposición, proposición, llamada conclusión, se dice que se 8a construido una inferencia. Una inferencia es vlida si sólo si la con+unción de premisas implica la conclusión, conclusión, es decir( si &1, &2, &3, ... &n L son las proposiciones premisas / la conclusión, conclusión, entonces(
E"ERCICIOS' N. 0emostrar por evaluación o por el método abreviado, si los siguientes esquemas representan o no una inferencia vlida.
C
NN. -raduce a forma simbólica comprueba la valide% de los siguientes argumentos lógicos( 1. *i el ?etropolitano ?etropolitano sufrió desperfectos en el camino entonces Gimm llegar tarde a la universidad. universidad. &ero, Gimm llegar tarde a la universidad. &or lo tanto, si el ?etropolitano ?etropolitano sufrió desperfectos en el camino entonces Gimm via+ó en colectivo. 2. *i B es par entonces 3 no divide a 1D. no es primo ó 3 divide a 1D. &or lo tanto, B es impar. 3. En el cumplea@os de mi esposa le llevaré flores. Es el cumplea@os de mi esposa o traba+o 8asta tardeL pero 8o no le llevaré flores a mi esposa. &or lotanto, 8ot traba+aré 8asta tarde. 4. *i traba+o no puedo estudiarL traba+o o apruebo matemticaL pero aprobé matemtica. &or lo tanto, estudié. . *i &ar6s no est en *uecia, entonces 5slo no est en oruegaL pero 5slo est en oruega. &or lo tanto, &ar6s est *uecia.
1D
SEMANA 2
CON"UNTOS (A)*+$,-/ ($,*, %+ En la vida vida diaria diaria nos nos encon encontra tramos mos ante ante situac situacio iones nes en las cuales cuales de manera manera natura naturall agrupamos ob+etos, personas, proectos, etc., que tienen alguna cualidad en com'n. &or e+emplo los compa@eros de la escuela, las enfermedades del cora%ón, estudiantes de matemtica, entre otros. os 8acemos preguntas respecto a estas agrupaciones sus componentes, por eso la matemtica se encarga de estudiarlas este estudio es conocido como -eor6a de /on+untos. 1. IDEA IDEA INTU INTUIT ITIV IVA A DE CON"U CON"UNT NTO. O. 0e manera intuitiva diremos que un con+unto es una colecc colecció ión n bien bien defini definida da de ob+eto ob+etos. s. cada cada uno uno de estos estos ob+et ob+etos os le denom denomin inamo amoss elemento del con+unto. Un con+unto se denota por una letra ma'scula, sus elementos se encierran entre llaves se separan por comas cuando el con+unto esta expresado por extensión. 2. DETE DETERM RMIN INAC ACIÓ IÓN N DE CON" CON"UN UNTO TOS. S. 2. 2.1. 1. POR POR ET ETENSI ENSIÓN ÓN.. qu6 se listan todos los elementos del con+unto. Esta lista de elementos la escribimos entre llaves. 2. 2.2. 2. POR POR COMP COMPRE RENS NSIÓ IÓN. N. qu6 se escribe una propiedad propiedad que cumplen todos los elementos que estn en el con+unto. 3.
RELACIÓN DE DE PE PERTENENCIA. /uando un elemento se encuentra en un con+unto se dice Jque este elemento pertenece al con+untoK se se denota denota por JperteneceK.
4.
SUBCON"UNTO. Es aquel que forma parte de otro. *e denota por se lee Jes subcon+unto deK ó Jest contenido enK. Un con+unto es subcon+unto de si sólo si cada elemento de también es elemento de se denota por A �B . El con+unto vac6o f es subcon+unto subcon+unto de todo con+unto .
5.
DIAGRAMA DE VE VENNEULER. *on grficos que nos audan a ilustrar algunas ideas. En el caso de la teor6a de con+untos se usan diagramas de "ennEuler. *e usan generalm generalmente ente c6rculos c6rculos para graficar graficar los con+untos con+untos un rectngu rectngulo lo para el con+unto con+unto universal.
11
6.
CARDINAL DE DE UN UN CO CON"UNTO. Es la cantidad o n'mero de elementos de un con+unto se denota por n ( A ) .
7. CON" CON"UN UNTO TOS S ESP ESPEC ECIA IALE LES. S. 7. 7.1. 1. CON" CON"UN UNT TO UNIV UNIVE ERSAL RSAL.. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos traba+ando en un problema particular. *e denota por U . Es mu importante establecer el con+unto universal, a que eso determinar nuestro marco de referencia. 7 . 2.
CON"UNTO VAC!O. Es aquel que carece de elementos. *e denota por f ó
{ }. 7 . 3.
CON"UNTOS DI DIS"UNTOS. 0os 0os con+ con+un unto toss son son dis+ dis+un unto toss si no tien tienen en elementos en com'n.
7 . 4.
CON"UNTO UNITARIO. Es aquel con+unto que tiene un solo elemento.
7 . 5.
CON"UNTO PO POTENCIA. El con+u con+unto nto potenci potencia a de un con+un con+unto to A , es el con+unto con+unto formado formado por todos los subcon+u subcon+untos ntos de A . *e deno denota ta por P ( A ) el n n'mero de elementos de P ( A ) = 2 , donde n es el n'mero de elementos de A .
7 . 6.
CON"UNTO INITO. Es un con+unto cua cantidad de elementos es limitada.
7 . 7.
CON"UNTO IN ININITO. Es un con+u con+unto nto cua cua cantid cantidad ad de elemen elementos tos es ilimitada. ilimitada. &or e+emplo el con+unto de n'meros reales.
E"ERCICIOS' I. Expresar por extensión los siguientes con+untos(
{
}
2
1. A = x / x = ( n - 1) ; n ��; -1 �n < 4
� �
Σ� x/x 2. B ==�
3-n n-3
;n
�+ ; 0 n 5
{
}
2 3. C = x / x = n - 1; n ��; -2 < n �4
4. D = { x ��/ -2 �x < 11; x es impar }
� �
. A = �x / x =
n n -3
; n ��; -3 �n < 3
7. B = { x / x es un día de la semana } número nat natural menor que 6} A. C = { x / x es un núm
{
}
2 B. A = x / x = n - 1; n ��; -2 < n �5
12
{
/ x n2 C. B ==+x�
n; n
}
;1 n 5 �* ;1
1D. D = { x ��/ -4 �x < 8; x es par } II.
Hesolver( 1. *i A = { x ��/ 1 < x �5} . 0eterminar P ( A ) .
{
x �* / 0 2. *i A =Σ�
x
}
3 . 0eterminar P ( A ) .
3. falsas(
/ules de las siguientes afirmaciones son
= { 0} a# f =
b#
{ f } = { 0}
f = { f }
d#
f �{ { f } }
c#
4. verdadero o falso, seg'n corresponda(
0ado el con+unto A = { 3,4,{ 6} ,8} , colocar
a# { 3} �A 8 �A
c# d#
{ 3,8} �A
g# { f } �A
{ 4} �A
b#
e#
f �A
f#
{ { 6} } �A
8#
{ 6} �A
i#
{ 6} �A
. /ules de los siguientes con+untos son vac6os( a# A = { x ��/ x ��} c#
C = { x ��/ ( 1 / x ) ��}
{ } D = { x ��/ x + 4 = 0}
3 b# B = x ��/ x = 3
d#
2
7. Establec Establecer er el valor valor de verdad verdad de las siguiente siguientess proposici proposiciones ones(( a# A = { x ��/ 6 < x < 7 } es un con+unto vac6o. b# B = { x / x es múltiplo de 3} es un con+unto infinito. c# A = { 1,2,3} B = { 1,1,3,2,3} son dis+untos = { 1,2,3,4} es subcon+unto de F = { x ��/ 1 < x �4} d# E =
e# A = { x ��* / x es par } B = { x ��/ x es impar } son dis+untos.
13
f# El n'me n'mero ro de elem elemen ento toss de de P ( A ) es 2n . = { 3,6,9,12,...,30 } es un con+unto finito. g# P =
8# N = { x / x es un número entero mayor que 42} es un con+unto finito.
CUANTIICADORES UNCIÓN PROPOSICIONAL. a PROPOSICIONAL. a función proposicional es un enunciado abierto de la forma P ( x ) , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición. proposición. &or e+emplo( P ( x ) : x 2 + 3 > 10 es un enunciado abierto P ( 2) : 22 + 3 > 10 es una proposición falsa P (3) : 32 + 3 > 10 es una proposición proposición verdadera
CUANTIICADOR CUANTIICADORES. ES. os cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o funció función n prop proposi osici ciona onall en una propo proposic sició ión n para para lo cual su misió misión n es indica indicarr cunto cuntoss elementos de un con+unto dado, cumplen con cierta función proposicional. proposicional. 1.
CUAN CUANTI TII ICA CADO DOR R UNIV UNIVER ERSA SAL. L. Heprese Hepresentado ntado por " , se emplea para afirmar que todos los elementos de un con+unto cumplen con determinada función proposicional. otación( " x A (, se lee( J para para todo todo x , que pertenece al con+unto A , se cumple queK
2.
CUAN CUANTI TII ICA CADO DOR R EIST EISTEN ENCI CIAL AL.. Hepresenta Hepresentado do por $ , se usa para indicar que al menos un elemento de un con+unto cumple con determinada función proposicional. otación( $ x A O, se lee( Jexiste alg'n x , que pertenece al con+unto A , tal que se cumple queK
NEGACIÓN DE LOS CUANTIICADORES.
[
]
~ $ x A / p ( x ) " x A : ~ p ( x ) Jla negación de un existencial da un universalK
~ [ " x A : p( x)] $ x A / ~
p ( x ) Jla negación de un universal da un existencialK
NOTA.
14
En general, la proposición universal " x �A : P ( x ) es verdadera si la propiedad P ( x ) lo es, es decir, decir, si cumple cumple con cada uno de los elementos elementos de A es falso si 8a al menos un elemento de A que no cumple la propiedad P ( x ) . En general, la proposición existencial $ x �A : P ( x ) es verdadera si en A 8a al menos un elemento x que cumple P ( x ) es falsa si ning'n elemento de A cumple con P ( x ) , esto es, todo elemento de A no cumple P ( x ) . E"ERCICIOS 0,1, 2,3} 2,3} . 0ete I. 0ado 0ado el con+ con+un unto to A = {-3, -2, -1, 0,1 0eterm rmin ine e el valo valorr de verd verdad ad de las las siguientes proposiciones. proposiciones.
1# $ x A / x + 5 A 3# $ x �A O
# " x �A (
x - 4 2
2# " x �A : x 2 - 5 x - 6 = 0
�8
x - 4 =6 x + 1
4# $ x �A O x 2 - 10 �2 7# " x �A ( 2 x + 4 �-5
II. /onsider /onsideremos emos el con+unto con+unto(( A = { x ��/ -4 < x < 7 } , diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, +ustificando su respuesta. 1# " x �A ( x 2 + 4 > 8
2# $ x �A O 4 x + 2 = 12
3# " x �A ( 3 x + 2 �6
4# $ x �A O
# " x �A (
3 x - 1 2
>7
A# $ x �A O 2 x - 3 > 13 C# $ x �A O III.
x - 2 >5 5
3 x - 2 >5 5
7#
" x �A ( 4 x 3 - 5 > 6
B#
24 " x �A ( 3 x - 9 �24
1D# $ x �A O ( x + 8 )( x 2 + 1) = 0
0,1, 3, 4,5,7} . ega 0ado el con con+unto nto B = {-2, -1, 0,1, egarr cada cada una una de las las sigu siguie ient ntes es proposiciones luego establecer su valor de verdad.
1# " x �B ( x 2 + 5 > 16
2# " x �B ( 2 x - 3 = 26 26
3# $ x �B O 5 x + 1 = 38
4# " x �B (
# $ x �B O
2 x - 3 2
> 10
A# " x �B ( 4 x - 2 �30
4 x + 1 <5 5
7# $ x �B O x 2 - 2 �45 B# $ x �B O 5 x + 3 �10
1
C# " x �B (
x - 2 =2 x - 4
1D# $ x �B O ( x - 6 )( x + 9 ) = 0
SEMANA 3
OPERACIONES CON CON"UNTOS 1. UNIÓN. 0ado dos con+unto , la unión de se define como( A U B = { x / x �A �x �B}
U
B
A
= A *iempre se cumple que A U f =
2. INTE INTERS RSEC ECCI CIÓN ÓN.. 0ado dos con+untos , la intersección de se define como( A I B = { x / x �A �x �B}
U
A
B
0os con+untos son dis+untos si A I B = f . dems siempre se cumple que A I f = f . 3. DI DIERE ERENCIA NCIA.. 0ados dos con+untos , la diferencia de los con+untos se define como( A - B = { x / x �A �x �B}
17
U
B
A
4. DIER DIEREN ENCIA CIA SIM SIMTR TRIC ICA. A. 0ado 0ado dos con+untos , la diferencia simétrica de se define como( ADB = { x / x �( A - B )
U
�x �( B - A ) } B
A
5. COMPLEMENTO. 0ado 0ado un con+unto con+unto el con+un con+unto to univer universal sal U, donde donde A �U , se define el complemento de como( A ' = A c = { x / x �U
U
�x �A}
A
*iempre se cumple que( U ' = f f ' = U .
E"ERCICIOS I. Hesolver( 1. *ean los con+untos( B = { x ��/ 0 < x
a#
A - B
{
U = x Σ �+ / 0
}
x<9 ,
A =γ� { x < �/ x
1
x
5}
�9 � x es par pa r } . :allar( b# A '- B '
c# ADB
1A
d#
f# P ( A) I P (B )
e# P ( B )
P ( A)
2. *ean *ean los los con con+u +unt ntos os A = { x ��/ -3 �x < 6} , B = { x ��* / - 2 < x < 4} U = A U B , determine( a#
b# ( A I B ) '- A
B - A
3.
*ean
{
(
los
c# ADB
A = { x ��* / x ( x + 2 ) ( x - 1) = 0} ,
con+untos
) }
)(
B = x ��/ x 2 - 1 x 2 - 4 = 0 U = A U B , determine E
4. /onsiderando
U = { x ��/ - 4 < x
B = { x ��/ -2 �x < 7
=
( A - B) '
{
A =γ� x < �* / x
�7 } ,
0
x
4
}
�x es par } , determinar(
a#
b# A '- ( B I A ) '
A - U
c# ADB d# P ( A ) .
*ean
f# P ( A ) I P ( B )
P ( B )
e#
lo los
A = { x ��* / - 2 < x �6}
co con+untos
B = { x ��/ -1 < x �4} , determine( ( ADB ) U ( A U B ) U ( B - A ) U ( A - B ) .
7.
*ean
{
(
los
con+untos
{
}
A = x ��+ / ( x - 3) ( x + 1) ( x - 1) = 0 ,
) }
)(
B = x ��/ x 2 - 1 x 2 - 9 = 0 U = A �B , determine E = ( A U B ) � I ( A - B)
A.
*ean B = { 1, 2, 2 , 3, 3, 4, 4 , 5, 5, 6 } - { 4 , 5, 5, 6 } ,
los
con+untos
C = = { 3,4,5,6}
A = { x ��/ -5 < x < 3} , U = A U B U C ,
dete determ rmin ine e
E = ( C - A ) ´D ( A - B ) ´ .
II II.. APLI APLICA CACI CION ONES ES 1. un grupo grupo de 3 alumnos se les 8a tomado un examen de ?atemtica un examen examen de Econom Econom6a, 6a, obten obtenién iéndo dose se los siguie siguiente ntess result resultado ados( s( 2D alumn alumnos os aprob aprobaro aron n ?atemticaL 24 alumnos aprobaron Econom6a 14 aprobaron ambas asignaturas. , , >, .
1B
2. 0e un total de 2DD personas sobre su preferencia acerca de dos productos , D di+eron no consumir el producto 4D no consumir el producto . *i 1 personas manifestaron no consumir ninguno de ellos. 3. 0e un con+unto de 4D personas se tiene la siguiente información( 1 personas que no estudian ni traba+an, 1D personas que estudian 3 personas que estudian traba+an. . 4. En una reunión 8a 17D personas de los cuales se tiene la siguiente información( los que toman son el triple de los que fuman, los que fuman toman son 4D los que no fuman ni toman son 12. . 5. En un aula 8a A2 alumnos que gustan de la m'sica rocP o salsa. a cantidad de los que gustan el rocP es el qu6ntuplo de los que sólo gustan la salsaL la cantidad de los que sólo gustan el rocP es el triple de los que gustan ambos géneros. 6. En un aula de 2 alumnos deportistas 8a( 17 alumnos que practican bsquet, 14 f'tbol 11 tenis. 7 alumnos practican los tres deportes, 2 practican f'tbol bsquet pero no tenis, 1 practica bsquet tenis pero no f'tbol, 3 practican sólo tenis. . 7. Una Una agen agenci cia a de -uris urismo mo conv convoc ocó ó a un conc concur urso so para para admi admini nist stra rado dore ress con con conocimientos de alg'n idioma extran+ero. 0e los que se presentaron, 2 saben inglés, 21 francés 1A alemn. dems 1A saben inglés francésL 14 inglés alemnL 11 francés alemn C inglés, francés alemn. . 8. En una encuesta reali%ada en 1DD viviendas de un distrito se obtuvo que( 7D casas ten6an aparatos de -" a color 3D casas ten6an equipo de sonido 2D casas ten6an 0"0 21 casas ten6an -" a color equipo de sonido. 1 casas ten6an -" a color 0"0 4 casas ten6an equipo de sonido 0"0.
9. Un grupo de alumnos de dministración dministración 8a planeado reali%ar una investigación sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pel6culas , /. 0espués de encuestar a D personas se obtuvo la siguiente información( 2D 8an visto la pel6cula L 1A 8an visto la pel6cula L 23 8an visto la pel6cula /. 7 8an visto las pel6cula pel6culass , B 8an visto visto las pel6culas pel6culas /, 1D 8an visto visto las pel6culas pel6culas /. dems se sabe que 2 8an visto las tres pel6culas. pel6culas. , 10. En una encuesta reali%ada a personas adultas de la región norte del pa6s, con respecto al género de cine que prefer6an, se obtuvo la siguiente información( 12D prefieren la comediaL 1DD prefieren el género policialL D les gusta el suspenso. 1D
1C
prefie prefieren ren los los géner géneros os polic policial ial comed comediaL iaL 17 prefie prefieren ren comed comedia ia suspen suspensoL soL 17 prefiere prefieren n suspenso suspenso policial policial.. 7 les agrada los tres géneros. géneros. *i se entrevistó entrevistó a un total de 2CD personas, personas, géneros> , 11. Un grupo de 7D c8ef se presentaron a un /oncurso de /ocina en las siguientes especialidades( postres, cremas pastas. 5bteniéndose como resultado que( 3D ganaron en la especialidad de pastas. 2 ganaron en la especialidad de postres. 2D ganaron en la especialidad de cremas. ganaron en pastas postres pero no en cremas. A ganaron en pastas cremas. 1 ganó en las tres especialidades. dems se sabe que el n'mero de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron la especialidad especialidad de pastas. 0etermine cuantos ganaron, al menos, en dos de las especialidades. 12. &ara obtener la licencia de conducir, 8a que aprobar necesariamente 3 exmenes( el médico, el de mane+o el de reglas de trnsito. En una evaluación de BD personas que solicitaron la licencia licencia de conducir, conducir, aprobaron el examen médico médico 27, son tantos como los que aprobaron el examen de mane+o, pero la mitad de los que aprobaron el examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen médico el de mane+oL B aprobaron el examen médico el de reglas, 1D aprobaron el examen de mane+o reglas. *i ninguno pudo obtener su licencia para conducir !es decir, ninguno aprobó los tres exmenes#, determine cuntos aprobaron sólo uno de los exmenes. 13. 0e una encuesta reali%ada a 13D personas para establecer sus preferencias de lectur lecturas as de las las Hevist Hevistas as ?agal ?agal -", -", Iisel Iisela a /areta /aretas, s, se obtie obtiene ne el resul resultad tado o siguien siguiente( te( todos todos leen algun alguna a de las tres tres revistas revistas,, A leen leen ?agal ?agal -" , 1 leen leen ?agal -" -" Iisela pero no /aretas, /aretas, 11 leen Iisela /aretas pero no ?agal -" , 2D leen sólo /aretas. El n'mero de personas que leen las tres revistas es 12 el n'mero de los que leen leen ?agal -" /aretas es el doble del n'mero n'mero de los que leen leen las 3 revistas. El n'mero de los que leen sólo Iisela es el mismo que el total de los que leen ?agal -" /aretas. 0etermine( a# b# c#
El n'me n'mero ro de pers person onas as que que lee leen n sol solam amen ente te ?aga ?agal l -" . El n'me n'mero ro de pers person onas as que que leen leen solo solo dos dos rev revis ista tass El n'me n'mero ro de pers person onas as que que lee leen n sol solo o ?ag ?agal al -" -" /are /areta tas. s.
14. En la Unidad cadémica de Estudios Estudios Ienerales, se reali%ó reali%ó una encuesta a un grupo de 2DD alumn alumnos, os, sobre sobre la respo responsa nsabi bilid lidad ad en el cumplim cumplimien iento to de sus tarea tareas, s, puntualidad puntualidad a clase confian%a en aprobar sus cursosL obteniendo obteniendo los los siguientes siguientes resultados( 1DD responden que son son responsables responsables con sus tareas, 11D 11D responden tener confian%a en aprobar aprobar sus cursos 12D responden responden que su asistencia es puntual a claseL claseL 7D respo responde nden n ser resp respons onsab ables les en sus sus tareas tareas conf6an conf6an aprob aprobar ar sus cursos, 2D responden responden ser responsables responsables con sus tareas ser puntuales puntuales a clase pero pero no conf6an aprobar sus cursos, BD responden ser puntuales a clase conf6an en aprobar sus cursos. dems, seg'n la respuesta de los alumnos, se estima que D alumnos alumnos son son responsa responsable bles, s, puntuales puntuales conf6an conf6an aproba aprobarr sus cursos. cursos. , , cursos>,
2D
15. Un grupo de 17D +óvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas marcas de bebida gaseosa !/oca /ola, Nnca Qola &epsi# se obtuvo el resultado siguiente( los que beben /oca /ola son C, los que beben Nnca Qola A3 los que beben &epsi AA. os que beben Nnca Qola &epsi son 22, &epsi /oca /ola 1A, solamente /oca /ola 3D. dems, los que beben Nnca Qola &epsi, pero no /oca /ola, son la mitad de los que solamente beben /oca /ola. , b# c# automóvil> 17. En una encuesta reali%ada a 3DD personas, se determinó que 2D sólo leen el diario , 1D leen sólo los diarios diarios , 4D leen sólo los los diarios /, 2D leen sólo los diarios diarios /. *e conoce que, el n'mero de personas que leen los tres diarios, es el cudruplo de los que leen sólo el diario / a la ve% es el doble de los que leen sólo el diario . *i todas leen al menos un diario, 8alle el n'mero de personas que leen al menos dos diarios. 18. /ésar, funcionario de una agencia de via+es, reali%a una encuesta a un grupo de turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en *udamérica se obtuvo que( 13 prefieren rasil &er' pero no rgentinaL 12 prefieren sólo rasil. C sólo prefieren &er'. D prefieren &er' o argentina, de los cuales A prefieren rasil pero no &er' 4 prefieren &er' argentina pero no no rasil. rasil. 4D prefieren rasil. *i todos los turistas prefieren por lo menos un pa6s, determine( a# El n'mero n'mero de de turistas turistas que que prefiere prefieren n al menos menos dos pa6ses. pa6ses. b# El n'mero n'mero de de turistas turistas que que prefie prefieren ren solo solo un pa6s. pa6s. c# El n'mer n'mero o de turistas turistas que fuero fueron n encues encuestado tados. s.
21
SEMANA 4
ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. as dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, estn separados por el signo de igualdad JRK. -oda ecuación lineal con una incógnita se puede expresar de la forma( ax + b = 0 , con a �0 . Hesolver una ecuación consiste en 8allar el valor de la variable que 8ace verdadera dic8a igualdad. a solución es también llamada ra6% de la ecuación siendo expresada por( x =
-
b
a
1. Hesolver " x �� 5) - (x - 2) 2) } , 5 x - { - x - (-4 x + 1) } = -6 - { -(3x + 5)
: 4 [ 3 x - ( x - 2) ] + 2( x + 8) = 4 - ( x - 6)
c# 6 ( x - 2 ) - 8 ( 3 x - 2 ) = 14 x 2 2 ; 4 - 3 � x - ( 5 x - 4 ) � � �- x = 3 - ( x + 1) 2
2
e# ( 3 x - 1) - ( 5 x - 3 ) = - ( 4 x - 2 )
2
f#
7 x + 3 9 x - 8 =6 2 4
g#
x + 11 4 + 10 x = 2 x - 3 3 6
8#
2 x - 7 8 x - 9 3 x - 5 + = 3 14 21
( x + 1) ( x - 2) = x
<
( 2 x - 1) ( x + 1) = 2[ x + ( x + 1)() ( x - 1) ]
P#
( x + 2)
2
2
- 3( x - 4)
- ( x - 2) 2 = 5
=
5 x x - 1 1 3 = x + + x + 1 6 2 3 8
>
4 3 x - 1 3 2 x + 5 6 8 x - 7 - - =0 5 2 5 6 5 12
(
)
22
APLICACIONES 1. El ingreso mensual total de una guarder6a por el cuidado de x ni@os est dado por I = 450 x , sus costos mensuales totales estn dados por C = 380 x + 3500 . . 2. Una compa@6a de refinación de ma6% produce gluten de ma6% para alimento de ganado, con un costo variable variable de SA7 por tonelada. *i los costos fi+os fi+os son S11DDDD S11DDDD por mes el alimento se vende vende en S127 por tonelada, 3. Un fabricante fabricante de cartuc8os para +uegos +uegos de video, vende cada cartuc8o cartuc8o en S2D. El costo costo de fabricación fabricación de cada cartuc8o es de S12. S12. os costos fi+os mensuales son de SBDDD. 0urante el primer primer mes de ventas de un nuevo +uego, +uego, 4. Un fabricante de lmparas vende 'nicamente a maoristas en su sala de ex8ibición. El gasto semanal total, incluendo seguros, costos de mantenimiento alquiler de la sala de ex8ibición, es de BDD dólares. *i cada lmpara es vendida en 1A2 dólares, el costo de produc producci ción ón de cada cada lmpa lmpara ra es de 2 dólare dólares, s, . 5. &ara una compa@6a que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra obra material material es de S21 por calentador calentador .os costos costos fi+os son SADDDD. *i el precio de venta de un calentador es S3. a# b#
6. a compa@6a 0avis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de S2D un costo unitario de S1. S1. *i los costos fi+os son de S7DDDD, determine( determine( a# El n'mero n'mero de unidades que deben deben venderse venderse para para obtener obtener una una utilidad utilidad de SCDDDD. b# dad> c# dad> 7. Un fabricante de casacas, vende cada casaca a BD soles. *i el costo de fabricación es de 7D soles por unidad, unidad, los costos fi+os es de 12DD soles soles semanal. semanal. :alle( a# El numero numero de unida unidades des que debe vende venderr el fabrican fabricante, te, semanalm semanalmente ente,, para obten obtener er una utilidad de 2BDD soles. b# El ingr ingreso eso para para esa esa util utilida idad d 8. Una empresa de bebidas energi%antes determina que puede vender a un precio de 2. soles cada unidad. unidad. *i tiene un costo costo que no depende depende de la producción producción de 2DDD soles semanal, un costo de producción producción de 1, soles cada unidad, determine( determine(
23
a# El n'mer n'mero o de unida unidades des que debe debe produ producir cir vend vender er la emp empres resa a para para tener tener una una utilidad de 4DDD soles por semana. b# El costo costo tota totall para para esa esa utili utilidad dad.. 9. &ara producir una unidad de un producto nuevo, una compa@6a determina que el costo del material es de S 2,D el de mano de obra de S 4. El gasto general, sin importar el volumen volumen de ventas ventas es de S DDD. DDD. *i *i el precio precio para para un maor maorista ista es es de S A,4D A,4D por unidad, determine el n'mero de unidades que debe venderse para que la compa@6a tenga utilidades de S74C3. 10. *uponga que los los consumidores consumidores comprarn q unidades de un producto al precio de 1000 q
+ 2 dólare dólaress por por unida unidad. d.
ingreso de SDDD>. 11. *e sabe que los consumidores consumidores comprarn q unidades de un un producto producto si el el precio precio es de
200 20 0 q
+ 10 dólares por unidad.
ingreso de S4DDD>. 12. Un comerciante vende, mensualmente, mensualmente, q unidades de un art6culo de su tienda al precio de
323 q
+ 15 dólares por unidad. *i tiene un costo que no depende de la producción de
S7DD un costo de producción unitario de SB, determine el n'mero de unidades que debe vender, para que sus utilidades sean de S12DD mensuales.
24
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACION DE SEGUNDO GRADO D?-@. Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente mximo es 2, siendo adems racional entera , de la forma( ax 2 + bx + c = 0 L dond donde e a , b , c , son n'meros reales a �0 . C=,' C/>$=,( C/>$=,( ax 2 + bx + c = 0 I-/>$=,( I-/>$=,( ax 2 + bx = 0 donde c = 0 L
ax 2 + c = 0 donde b = 0
METODOS DE SOLUCION os métodos para resolver una ecuación de segundo grado son( , P/* P/* ,-/ ,-/* *,,-@ @.. *e factori%a factori%a a través del aspa simple. simple. &ara obtener obtener las solucio soluciones nes o ra6ces se iguala cada factor a cero( E<>$=/' Hesolver ' 2 x 2 + x - 3 = 0 $actori%ando por aspa simple(
2 x 2 + x - 3 = 0
2 x
3
x
-1
os factores son( ( 2 x + 3 ) ( x - 1) = 0 Ngualando a cero cada factor(
2 x + 3 = 0 ;
Hesolviendo Hesolviendo se obtiene( x = - 3
{
x =1
;
2
3 El con+unto solución es( C . = - ; 1 2
x -1 = 0
}
2
:
P/* ==,, /*>+ *>+=, G *,=' *,=' Una ecuación de segundo grado puede resolverse utili%ando la formula general(
x =
- b � b 2 - 4ac
donde
a
b
,
c
son los coeficientes de la
c
2a
ecuación. P*/-;>/ a# *e 8alla 8alla el valor valor de de los los coeficie coeficientes( ntes(
a
,
b
.
b# *e reempla% reempla%a a el valor valor de los coefici coeficientes entes en la la fórmula fórmula general general.. c# *e reducen reducen los términ términos os seme+a seme+antes ntes en cada miembro miembro d# *e despe+ despe+a a la la incó incógni gnita. ta. A;> ; ,-+*;/ ,= ,=/* ;= ;-*>, '
*i, b 2 - 4 ac > 0 , entonces las ra6ces son reales diferentes. *i, b 2 - 4 ac < 0 , entonces las ra6ces son comple+as. *i, b 2 - 4 ac = 0 , entonces las ra6ces son reales e iguales.
E<>$=/' Hesolver( 2 x 2 - 8 x + 6 = 0 os valores de
a
,
b
c
son( a = 2 , b = -8 , c = 6
Heempla%ando en la formula general !$.I.#, se tiene( x =
- ( -8) � ( -8 )2 - 4 ( 2 )( 6 )
R
8 � 64 - 48 4
2(2)
Entonces( x1 =
8+ 4 4
x 2 =
8-4 4
R
8 � 16
R
84 4
3
4 x
1
=
x
2
=1
El con+unto solución es( C . = { 3 ; 1 }
27
E"ERCICIOS Hesolver las siguientes ecuaciones( a# x 2 + 6 x - 5 5 = 0
b# x 2 - 10 x + 25 = 0
c# 6 x 2 + 1 3 x - 5 = 0
d# x 2 - 2 x + 9 = 0
e# 2 x 2 - 6 x = 6 x 2 - 8 x
f# 2 x 2 - x - 3 = 0
g# 1 4 x 2 - 2 8 = 0
8#
i#
x 2 4
+
x 2
=2
5 3
x 2 -
2 7
x=0
+# 0, 3 x 2 + 1, 3x - 1 = 0
P# 5 x ( x - 1) - 2 ( 2 x 2 - 7 x ) = -8
l# (2 x + 1) 2 = x (3x + 2)
( 2 x - 3) 2 m# x (3x - 2) = (2
n# 2( x - 1)(2 x + 1) - 6( x - 1) = 10 x 2 - 5 x - 1
o#
p# 4 x 2 - 4 x + 1 = 0
3 x + 4 = x - 6
2A
E"ERCICIOS DE REPASO REPASO Hesolver las siguientes ecuaciones( 1# x 2 = 81
2# 14 x 2 - 28 = 0
3# ( x - 6)( x + 6) = 13
119 = 0 4# ( 2 x - 5)( 2 x + 5) - 11
# ( x + 11)( x - 11) = 23
7# x 2 = 7 x
A# 21 x 2 - 100 = 5
B# 2 x 2 - 6 x = 6 x 2 - 8 x
C# ( x - 3)2 - ( 2 x + 5) 2 = -16
1D# (4 x - 1)( 2 x + 3) = ( x + 3)( x - 1)
11# x 2 + 12 x + 35 = 0
12# x 2 - 3x + 2 = 0
APLICACIONES 1. Un terreno rectangular de 4xB m. se usa como +ard6n. *e decide poner una vereda en toda la orilla interior de modo que 12 m 2 del terreno se de+en para flores. 2. Una compa@6a determina que si produce vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas ser 100 q . *i el costo variable por unidad es de *O. 2 el costo fi+o es *O. 12DD, 12DD, determine los valores de q para que la utilidad sea cero. 3. a ecuación de ingresos de cierta compa@6a es( I = 340 p - 4 p 2 L donde p es el precio en dólares dólares del producto producto que fabrica esa compa@6a. compa@6a. 4. El ingreso mensual de cierta compa@6a est dado por ! = 800 p - 7 p 2 , donde p es el precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compa@6a. < que precio el ingreso ser de *O. 1D,DDD, si el precio debe ser maor de *O. D> 5. /uando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrar 3 p 2 - 4 p unidades del producto al mercado que los consumidores consumidores demandarn 24 - p 2 unidad unidades. es. *i *i el valor valor de p para el cual la oferta oferta es igual igual a la la demanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, 8alle el valor de p . 6. Una compa@6a de muebles para computadoras computadoras tiene la ecuación de ingresos mensuales dada por( I = 450 p - 9 p 2 , donde p es el precio en dólares de cada mueble. 0etermine
e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 4DD dólares, si el precio debe ser maor que 2D dólares. 7. *uponga que un comerciante vender q unidades de un producto, cuando el precio es de (110 - q ) dólares por unidad. 0etermine el n'mero de unidades que debe vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3DDD dólares, si debe vender ms de D unidades. 8. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por unidad, en donde p = 150 - q . El costo total de producir q unidades de camisas es de (1800 + 40q ) dólares. :alle el n'mero de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 12DD dólares, si el n'mero de camisas debe ser maor que D. 9. Un fabricante fabricante de pantalon pantalones es puede vender q unidades unidades semanales semanales al precio precio de p dólares dólares por unidad, unidad, en donde p = 185 - q . El costo total de producir q unidades de pantalones es de (2800 + 45q ) dólares. :alle el n'mero de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 2DDD dólares, si el n'mero de camisas debe ser maor que 7D. 10. El ingreso obtenido al vender q unidades de un producto est dado por I = 400 q + 900 el costo total para producir q unidades de este producto es C" = 10 q 2 - 400 q + 5000 . :alle el menor n'mero de unidades que se debe vender para obtener una utilidad de *O. 117D. 11. IH5ET&5H11. IH5ET&5H - vende J q ” toneladas mensuales de mangos al precio de J p ” dólares por tonelada, en donde p = 690 - q . El cost costo o tota totall de produ produci cirr q toneladas es de (1810 18100 0 + 250 q ) dólares. :alle el n'mero de toneladas que debe vender al mes para obtener obtener una una utili utilidad dad de de 23CDD 23CDD dólar dólares, es, si si debe debe ser ser maor maor que que 2BD. 2BD. 12. El ingreso ingreso obten obtenido ido en soles soles al vender vender q unidades de un producto est dado por producción de una unidad de este producto producto es *O.2DD I = 300 q - q 2 . *i el costo de producción los costos sin importar el volumen de ventas es *O.1DDD,
SEMANA 5
DESIGUALDADES DESIGUALDADES LINEALES P*/$;,; ; =, ;)+,=;,; 1# *i a < b � a + c < b + c bc y 2# *i a < b y c > 0 � ac < bc
a
bc y 3# *i a < b y c < 0 � ac > bc
a
c
c
<
b
>
b
c
c
D)+,=;,; L,= ax + b < 0 , a y b son constantes a �0 <
se lee menor que se lee menor o igual que
>
se lee maor que se lee maor o igual que
E<>$=/ 1' Hesolver( 4 x + 8 �-3 x - 5 &asando las variables al primer miembro(
4 x + 3 x
�-5 - 8
*implificando( 7 x �-13 -13 0ividiendo 0ividiendo entre A( x � 7
El con+unto solución es(
C = -�, - 13 7
E<>$=/ 2' Hesolver( -2 x - 6 > 6 x - 9 &asando las variables al primer miembro( *implificando( -8 x > -3
-2 x - 6 x > -9 + 6
3 ?ultiplicando ?ultiplicando por ( -1) dividiendo dividiendo entre B( x < 8
El con+unto solución es(
C = -�, 3 8
E<>$=/ 3' 4 x 3 2 x < + Hesolver( 2 3
2
4
16 x < 18 + 6 x ?ultiplicando por 12 !?/0#( 24 - 16
&asando las variables al primer miembro(
-16 x - 6 x < 18 - 24
*implificando( -22 x < -6 3 ?ultiplicando ?ultiplicando por ( -1) dividiendo dividiendo entre 7( x >
11
El con+unto solución es(
C =
3 ; +� 11
E"ERCICIOS' I. Hesolver( 1. 3 x - 5 > 5 x + 1
2. 4 x + 5 > 6 x - 13
03 x + 4) �0, 02 02 x + 0, 43 434 3. 0,1(0, 03
4. 4 x -
.
A.
C.
11.
7 4
x > -
8 3
9 - 0,1 x 3( 2 x - 2) 2 2
7.
x
�
>
2 - 0, 01 01 x
6x - 3 5
+
x 10
4 ( 4 x + 2) - ( x - 2) � ( 4 x + 5) 3 13
-3 x - 3
1D.
12.
3
� x
2
5 x - 1
B.
0,2 0, 2
1
2
<
+
3
2
2
-2 5
<
4
6 x - 3
x
7( x + 1)
+
6 5
x
+
12
2x + 9 15 x -3
- ( 2 x - 6) �
<
3x 4
+
11 11 5
4
> 2 x -
14 5
13. 11 -
3 2
x <
1 3
(5 x + 14)
9
� ( 2 + x) 5
14.
2 x - 15 2
<
10 10 - 5 x 3
>
2 3
(8 - 5 x)
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES
O:* ),,-,'
U > 0
I t - C t > 0 N/ /:* $*;;,' U � �0 I t - C t �0
1. *i al doble de la edad de Guan se resta 1A a@os resulta menor que 3, pero maor que 31. . 2. ?iguel tiene *O.2D para gastar en ropa. *i compra un terno que cuesta *O. 2D el precio de unas camisas es de *O. 3D cada una, determine el maor n'mero de camisas que él puede comprar. 3. Una empresa produce +arras de vidrio. as +arras tienen un precio unitario de venta de *O. 1B un costo unitario de *O. 13. *i los costos fi+os son de *O. 3DDDDD, determine el n'mero m6nimo de +arras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. 4. Hicardo, se dedica a la venta de sndic8 de pollo. El precio de venta al p'blico es de *O. 1,D cada uno. *i el costo unitario de *O. D,BD los costos fi+os de *O. 2D,D determine el n'mero de sndic8 de pollo que deben venderse para que Hicardo no tenga pérdidas. 5. En la producción del periódico Ja "o%K se tiene que los costos de materia prima es de *O. D,2D el costo de mano de obra es *O. D,3D, por unidad. unidad. El costo que se tiene tiene sin importar el volumen de ventas, es de *O. 1DDD mensual. El precio de cada periódico es *O. 1,DD. 0etermine el n'mero de periódicos que se deben vender para que la empresa editorial obtenga utilidades. 6. os ni@os de una escuela compran q unidades de galletas J0ulce saborK al precio de 10 q
+ 2 por unidad.
venderse para que el ingreso sea maor que *O. 13D> 7. :o, un fabricante tiene 2 DD unidades de un producto. El precio unitario del producto es *O. 4,D. El próximo mes el precio por unidad se incrementar en *O. D,D. El fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2DD unidades no sea menor que *O. 1DAD, 8. upita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Iasta *O. D,2D en fruta *O. D,2D D,2D en otros otros insumo insumoss !como !como a%'car a%'car,, bolsa bolsass de marci marcian anos, os, etc... etc...## por unida unidad. d. dems, debe aportar *O. 2D,D mensual por consumo de lu%, agua gas que utili%a para la preparación de los mismos. *i los vende a *O. D,D cada uno.
SEMANA 6
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO P*/-;>/( P*/-;>/( Hesolver la inecuación como si fuera una ecuación, las ra6ces o soluciones de la ecuación, sern los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes correspondientes al con+unto solución. 0epende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el con+unto solución. *ea la inecuación( inecuación( ax 2 + bx + c �0 , entonces( 1#
resolver supongamos supongamos que obtenem obtenemos os como solucio soluciones nes ax 2 + bx + c = 0 , al resolver
x1 = m
x 2 = n 2#
/omo
la
x � -�; m ]
relación
de
U [ n ; +�
orden
es
F,
enton tonces ces
el
con con+unto unto sol soluci ución ser ser
mV n
N/,' *i la desigualdad 8ubiera sido solo el el con+unto solución ser6a( x � -�; m U n ; +� *i la inecuación fuera( ax 2 + bx + c �0 se procede de la misma forma pero el con+unto solución estar6a dado por [ m, n ] , en el caso de ser solo H el con+unto solución ser6a .
m; n
E<>$=/' Hesolver x 2 - x - 6 �0 1# x 2 - x - 6 = 0
( x - 3)( x + 2) = 0
x1 = 3 ó x 2 = -2
2# /omo la inecuación es el con+unto solución es x � -�; -2 ] U [ 3 ; + �
P,*, ,,=,*' *i la inecuación es de la forma ))))))))).
(ax + b) 2
�0
el con+ con+un unto to solu soluci ción ón
es( es(
*i la inecuación es de la forma ))))))))))
(ax + b) 2
�0
el con+ con+un unto to solu soluci ción ón
es( es(
E"ERCICIOS Hesolver( 1. x 2 + 11x + 28 �0
2. 3 x 2 - 8x + 5 �0
3. 3 x 2 - 14 x - 5 �0
4. 4 - x 2 �0
. 4 x 2 - 81 �0
7. -4 x 2 + 4 x + 3 �0
A. 12 + x - x 2 �0
B. x 2 + 3x - 5 �0
C. x 2 - x < 0
1D. 3 x 2 - 8x + 5 �0
11. 5 x 2 + 14 x �55
12. x 2 - 6 x + 9 �0
13. x 2 + 8 x + 16 �0
14. ( x + 3)( x + 2) 11 x + 12
1. x 2 + 7 x - 10 �2 x + 4
17. 2( x - 3) 3( x + 2)( x - 3)
1A. 3 x 2 + 2 x - 5 �x 2 + x + 1
1B. 3 x 2 - 8x + 4 �0
1C. ( x - 4 )2 > 0
2D. ( 2 x - 5) 2 < 0
APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS P*/;+--@ J +=;,;. as ventas mensuales x de cierto art6culo cuando su precio es p dólares estn dadas por p = 200 - 3 x . El costo de producir x unidades unidades al mes mes del del art6cu 6culo es C = (650 + 5 x ) dóla dólare res. s. S/=+-@. unidad ades es vendi vendida das s) (prec precio io por por unid unidad ad) I = (unid I = xp
I = x ( 200 - 3 x )
I = 200 x - 3 x 2
El costo / !en dólares# de fabricar x unidades es C = 650 + 5 x , la utilidad utilidad U !mensual# obtenida por producir vender x unidades est dada por( U = I - C U = ( 200 x - 3 x 2 ) - (650 + 5 x)
U = 195 x - 3x 2 - 650
0ado que la utilidad U debe ser al menos de S22DD, tenemos que U 2200 195 x - 3x 2 - 650
� 2200
l escribir esto en la forma estndar dividir todo entre 3 !notando que el signo de la desigualdad se invierte#, se obtiene la desigualdad( x 2 - 65 x + 9 50 50
�0
=ue es una inecuación cuadrtica, por lo tanto, el con+unto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [ 22.2 ; 42.8] R$,. &ara alcan%ar la meta requerida el n'mero de unidades producidas vendidas por mes debe estar entre 23 42 inclusive. D-@ ; $*-/. Una peluquer6a tiene un promedio de 12D clientes semanales a un costo actual de SB por corte de cabello. &or cada incremento del AW en el precio, la
peluquer6a perder 1D clientes. S/=+-@. *ea x el n'mero de incremento de AW por encima de SB. Entonces el precio por corte de ,75 x) dólares, el n'mero de clientes ser de (120 - 10 x ) por semana. cabello es (8 + 0,75 Entonces( Nngresos totales semanales R numero de clientes X precio por corte I = (120 - 10 x )(8 + 0.75 x )
os ingresos por los 12D clientes actuales son 120 8 = $960 por tanto los nuevos ingresos deben ser al menos SC7D (120 - 10 x )( )(8 + 0,75x) �960
*implificando 10 x - 7, 5 x 2
�0
&or tanto la solución de la desigualdad es el intervalo
[ 0 , 4/3]
Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre SB S! B Y D,A!4O3# # R SC,DD R$,. R$,. El precio mximo que puede cobrarse cobrarse es SC,DD I)*/ ;= ?,:*-,. l precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo pueden pueden venderse venderse al mes en el mercado mercado con p = 500 - 5 x . S/=+-@. Nngresos totales semanales R numero de unidades x precio I = x (500 - 5 x )
x(500 - 5 x)
� 12500
x 2 - 100 x + 2500 � 0
I 12500
500 x - 5 x 2
� 12500
( x - 50) 2 � 0
a solución de la desigualdad es x = 50 R$,. l mes se deben venderse D unidades.
5 x 2 - 500 x + 12500 � 0
E"ERCICIOS 1.
a fbrica de cierto art6culo 8a estimado que su ganancia en miles de dólares est dado por la expresión # ( x) = -6 x 2 + 582 x - 76 donde ! x en miles# es el n'mero de unidades producidas. <=ué nivel de producción le permitir obtener una ganancia de al menos *O. 14DDD> 14DDD>
2.
a demanda mensual de un cierto art6culo cuando su precio es de p dólares viene
�200 - p � 3
dada por �
unidades. os os costos generales generales de la planta planta son 7D 7D dólares
mens mensua uale less el cost costo o de prod produc ucci ción ón de cada cada unid unidad ad es de 47 dóla dólare res. s. <=ué <=ué producciones garanti%an que el beneficio mensual sea de por lo menos 132 dólares> 3.
El costo de producir J x K lmparas esta dado C = 300 + 70x + x 2 . *i estas se pueden vender a 14D soles.
4.
Gugu Guguet etes es * * puede puede vend vender er al mes, mes, a un prec precio io de p dólare dólaress por por unida unidad, d, x unidades de cierto art6culo, con p = 120 - x . *i los costos totales son de (950 + 15 x ) dólares,
5.
Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a S2 cada una. El cost costo o / !en !en dól dólares res# de prod roducir cir x unid unidad ades es cada cada sema semana na,, est est dado dado por por
6.
as ventas mensuales J x K de cierto producto cuando su precio es J p K dólares est dada por( p = 240 - 4 x . El costo de producir producir J x K unidades del mismo art6culo es C = 700 + 20 x dólares.
7.
*i el precio J p K de cierto articulo depende de la cantidad demandada J q K est dado por p = 120 - 2q , adems se tienen costos fi+os de S3DD el costo de producción de cada unidad es de S2D.
8.
l precio de J p K dólares por unidad, J x K unidades de cierto art6culo pueden venderse al mes en el mercado con p = 600 - 5 x .
9.
En el e+er e+erci cici cio o ante anteri rior or,, si cues cuesta ta (3500 + 75 x ) dólare dólaress produc producir ir J x K unidades unidades..
(2800 + 45 x ) dólares producir x unidades. < qué precio 10. En el e+ercicio B, si cuesta (28 p deber venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos S12DD>
11. UN=UE vende 3DD unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de S7D. &or cada disminución de S en el precio se vendern 4 unidades ms. <=ué precio mximo deber fi+ar para obtener ingresos de al menos S1CDD> 12. Un editor puede vender 12DDD e+emplares de un libro al precio de S2 cada unoL por cada dólar de incremento en el precio, las ventas ba+an en 4DD e+emplares. <=ué precio mximo deber fi+arse a cada e+emplar con el ob+eto de lograr ingresos de por lo menos de S 3DDDDD> 13. Un peluquero atiende en promedio a 12D clientes a la semana cobrndoles S4 por corte. &or cada incremento de DW en el precio el peluquero pierde B clientes. <=ué precio mximo deber fi+ar para obtener ingresos semanales de al menos S2D> 14. Un estilista cobra S2D por cortar el cabello, con ese precio tiene 12D clientes por semana. *i sabe que por cada dólar que aumente el precio, perder cuatro clientes, <=ué precio mximo deber fi+ar para obtener ingresos semanales de al menos S2DD> 15. Un come comerc rcia iant nte e pued puede e vend vender er B elec electro trodo domé mésti stico coss a S1 S1 cada cada uno. uno. &or &or cada cada incr increm emen ento to de S2 en el prec precio io,, de+a de+a de vend vender er 1 elec electr trod odom omés éstitico co.. /ada /ada electrodoméstico le costó al comerciante SA, quien desea generar utilidades de al menos S74. <=ué precio mximo podr fi+ar qué cantidad se vender a este precio> 16. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de man%anas que debe vender rpidamente. El gerente sabe que si las man%anas se ofrecen a p céntimos 1000 - 20 p . <=ué precio deber fi+ar con el fin de por Pilo, vender x Pilos, con x = 100 obtener ingresos de por lo menos S12DDD>
SEMANA 7
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO DEINICION DE VALOR ABSOLUTO' El valor absoluto de un n'mero real J x K, denotado por x , se define como(
� x x = � �- x
; si: x ;
si:
�0
x < 0
*e lee Jel valor absoluto del n'mero real J x K es igual al mismo n'mero x , si x es positivo o ceroL o es igual a ( - x ) , si x es negativo. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO' *e presentan las siguientes propiedades( x = 0
x = 0
x = b
[
b �0
� ( x = b �x = - b )
x = y
x = y
]
x=-y
E"ERCICIOS I. Hesolver en
, las siguientes ecuaciones ecuaciones con valor absoluto(
1. x - 2 = 5
2.
1 - x = 3
4.
5 x + 3 = 3
7.
5 x - 1 =
3.
4 x - 1 = 2
.
3 x - 2 =
A.
x + 1 = 19 - x
B. 3 + x = 17 - x
C.
x - 1 = 2 x - 1
1D. 3 x - 5 - x + 7 = 0
3 2
1 2
11. 4 x - 2 + 5 = 3 x -1
12. 3 x + 3 = 10 + x + 1
18 + x + 1 13. 2 2 x + 2 = 18
14. x - 2 + 4 x - 2 = 0
1. 1 - 3 x = 5 - 15 x
17.
1A. 3 - x - 1 = 1
1B.
1C.
3 x - 2 - x - 2
= 0
2D.
3 x - 4 x
=
2x -1
x - 1 - x + 2
= 0
2 x - 1 x -1 +6 = 45 2
SEMANA 8
UNCIONES I.
SIST SISTEM EMAS AS DE COO COORD RDEN ENADA ADAS S RECT RECTANGU ANGULAR LARES ES continuación se indica como asignar un par ordenado, ( a, b) de n'meros reales a cada punto de un plano. *e representa un sistema de coordenadas rectangulares, o cartesiano, en un plano mediante dos rectas perpendiculares, llamados e+es coordenados, coordenados, que se intersectan en el origen 5. la l6nea 8ori%ontal se le llama e+e x !e+e de abscisas#, a la l6nea vertical, e+e y !e+e de las ordenadas#. /ada punto p en un plano xy debe tener asignado un par ordenado P (a , b) . a se llama llama abscisa abscisa de p b ordenada ordenada de p . *e dice que p tiene las coordenadas ( a, b) .
< ; =, /*;,;,
y
y ( a, b)
I CUADRANTE
II CUADRANTE
b
o
x III CUADRANTE
a
x < ; =, ,:-,)
IV CUADRANTE
E"ERCICIOS Ubicar los los puntos puntos en un sistema sistema de coordenadas coordenadas rectangulares rectangulares si es posible, indique el cuadrante al que pertenece cada punto. a#
( -2, 6) 6)
(1, -1)
b#
(1,-8)
c#
( 0 , -3 )
( 2 , -1)
( 3 ,5 )
d#
( 0 ,0 )
( 3 , -3 )
( 4 , -5 )
(-2,0)
(0,-11)
(5, 7) 7)
(6, -3)
( -2,9)
( -4 , 6 ) ( -1, -6 )
II II.. PROD PRODUC UCT TO CAR CARTE TESI SIAN ANO O 0ados dos con+untos A B , el producto cartesiano se define como(
A �B = {
(
x , y ) / x �A
� x �B }
E<>$=/ 1 0ado los con+untos( A = { 0;1;2 } B = { 2; 4 } , 8allar( A B S/=+-@' A �B = { (0,2);(0,4);((1,2);(1,4);(2,2);(2,4) }
E<>$=/ 2 3; - 1 } 8allar( A �A 0ado el con+unto( A = { 4; 3;
S/=+-@' (4,4);(4,3); (4, -1); (3, (3, 4); 4); (3,3) (3,3);(3, ;(3, -1); ( -1, 4); 4); ( -1,3); ,3); ( -1, -1) } A �A = { (4,4);(4,3);
P*/$;,; A B B A
II III. I. RELA RELACI CION ONES ES *=,-@ como un subcon+unto del *ean los con+untos A B entonces se define la *=,-@ como producto cartesiano( S>:@=-,> J ! es una relación de A en B si sólo si
! A B
O:*,-@ *i A B tiene n elementos entonces existen 2 n relaciones de A en B E"ERCICIOS 1. *i
A
=
{
- 1; 0;1;
}
2
B
=
{
-
}.
2; 0; - 1;1
:allar las las relaciones relaciones siguientes( siguientes(
a# !1 = { ( x , y ) Σ A B / x. y es un número par } b# ! 2 = { ( x , y ) Σ A B / x + y = 0 } x, y) c# ! 3 =δ{ -(�
A B/ x
2}
y
d# ! 4 = { ( x , y ) Σ A B / x . y = -1 } e# ! 5 = { ( x , y ) Σ B A / x - y = 0 } f# ! 6 = { ( x , y ) Σ B A / x + y < 1 } g# ! 7 = ( x , y ) Σ B A / x y = 1
{
}
1; 3 } , 8allar las relaciones siguientes( 2. *i A = { -2; 0; 1;
a# !1 = { ( x , y ) Σ A A / x = y
}
b# ! 2 = { ( x , y ) Σ A A / x - y = 0 }
{ ( x, y ) c# ! 3 =δ�
A B / 2x
y
}
d# ! 4 = { ( x , y ) Σ A A / x - 1 = y
{ ( x, y ) e# ! 5 =δ�
y
}
f# ! 6 = ( x , y ) Σ A A / x y = 1
}
A A/ x
{
}
IV. IV. UNC UNCIO IONE NES S D?-@ ; +-@ Una función función de A en B , es una relación $ A B que 8ace corresponder a cada elemento " x " del con+unto A a lo ms un elemento " y " del con+unto B. a notación de una función es y = $ ( x) que se lee J y es igual a es la variable independiente e " y " la variable dependiente.
$ de
x K, donde " x "
El con+unto de valores que puede tomar " x " se denomina denomina ;/>/ de ;/>/ de una función, al con+unto de valores que puede tomar " y " se le denomina *,)/ de la función. /*>, ; R$*,* +, +-@ /on el fin de describir una función espec6fica podemos usar las siguientes formas( , V*:,= >;, +, ;-*$-@ -/ $,=,:*,. ?+-@ del tiempo que esté El interés bancario bancario producido producido por un capital, capital, ?+-@ depositado. : A=):*,-, $/* >;/ ; +, ?@*>+=, K$=-,. /on una fórmula( A ( r ) = .r 2 que es el rea de un c6rculo. - V+,= -/ +, )*?-,. y $ ( x )
x
; N+>*-, , *, ; +, ,:=, ; ,=/*. /on una tabla de valores. !Pilos#
/!# !dólares#
D V 1
4
1 V 2
7.
2 V 3
B.
3 V 4
1D
/osto de enviar por correo de primera clase una encomienda. D,)*,>, S,),= $ A
B
0ominio
Hango
? C/<+/ ; P,* O*;,;/
% =
� �1 � �2 � �( 4 , - 2 ) ; � , 3 �; ( 0 ,1 ) ; ( -6 , 0 ) ; � , -3 � �2 � �5 � �
% es una función.
E"ERCICIOS 1 nali%a cules de las siguientes correspondencias correspondencias son funciones cules no. $undamenta tus respuestas. a# cada n'mero n'mero real real se le asocia asocia su su doble. doble. b# El costo costo del del servicio servicio de lu% lu% del distri distrito to de ?iraf ?iraflore loress los vecin vecinos. os. c# El peso peso de un estudi estudiante ante el el n'mero n'mero de estudi estudiantes antes de de un salón salón.. d# as persona personass la 8uella 8uella digital digital de su su dedo 6ndice 6ndice de la la mano derec8a derec8a.. e# El n'mer n'mero o de latid latidos os del cora%ó cora%ón n de una una person persona a las las persona personass a las las que se les tomo las medidas. 2 Dee!"#$e %# & !!e%*$+e$# ++ *! e& $$ +e *!e% !+e$+% e% $ $#$.
(3; 4), (-3;1), ;1), (4;5) (4;5)} a# { (2; -3), (3;
f#
2;1),(6; ),(6; -2),(3 2),(3;; { (-2;1
16),(4;1 16),(4;1),(3, ),(3, - 4)
( 2;2), (3;3) (3;3)} b# { (1; 2), (2;2),
g#
3;0),(0;0),(2 ;0),(2;; { (-3;0),(0
8),(5;3),(2 ),(2;; -2) -8),(5;3
8#
(3;2),( -3 ;7),( ;7),( -1;2 ),(0; ),(0; 2),(9;7) 2),(9;7)} { (3;2),(
i#
��1 �,(2;1), �4 ;2 � ,( a, a ) ��3 + 1;3 y�,(2 �3 � � � � ��
;1), (2;7), (2; 7), (1; 4), ( -2;7)} c# { (1;1), ;2),(5;2),(3;; a ),(a ; - 2),( 2),( a ,5)} d# { (1;2),(5;2),(3 y 6 �(0; (0; 2),( 2),( -1;3),(0; ;3),(0; ),( -1; 2),(1 2),(1,, -6) e# � 3 �
3 *i $ es una función determinar
a, b e
2
3
}
}
2
indicar su dominio rango.
x (3;4),(7;8),(3 ),(3;; b ),(7; a ) } a# $ = { (3;4),(7;8
x
2; 4 ), ), ( 3; 3; 5) 5 ) , ( 2; 2 ; 3 a - 2 ), ), ( 4; 4 ; 6 ), ), ( 3, 3, b + 1) } b# $ = { ( 2;
c# $ = { ( a ; a !+ab# ) , ( a ; 14 ) , (b ; b - a ) , (b ; 4 ) }
!b#
), (1 (1; 5 - a ) , (1 (1, 6 ) } d# $ = { (1; a y+ b ) , ( - 3; 2 ),
{
2; b ) , (3 ( 3; a 2 - b ) , ( 2; 2; 2) 2) e# $ = ( 3; - 1) , ( 2;
f#
y
}
{
+ 2; 5a - 3 b ) , ( 3; 3; 5) 5 ), ( 2, 2, 62 6 2 5 ), ) , ( -1; 64 64 ) $ = ( - 1; 2 2 a b ) , ( 2;
}
x 2 g# $ = ( 5; 7 ) , ( -1; a + b ) , ( a - b ; 2b - a ) , ( 5; a - 2b ) , ( -1; 2 )
8#
{ $ = { (1; 2 7 ), ), ( 7 ; 2 ), ), ( 2 ; 4
2
2 a +b
) , (1 (1, 3a - b ) , ( 2; 2; 1 6 )
}
x
}
!c# !d# 4# n> y
y B
A
a#
c#
!
!
!
!
!
!
b#
x
B
. d#
B
A
A
!
x
B
A !
!e#
!f#
y
!
y
!
5) 0e los siguientes grficos, determinar cuales son funciones.
x
x
!g# E"ERCICIOS
!8#
1. & &% %##e$e% $#$e% e$ &% &!e% #$+#+%: $unción
$ ( -4)
$ (- 2 3)
$ ( a )
$ (1)
$ ( a + 2)
$ ( x ) = 3x - 5 $ ( x ) = 1 x
$ ( x ) = 3 x 3
$ ( x ) = 1 + x 2
2. 0ee!"#$! e& &! +e & $#$, *! + $ +e &% %##e$e% $#$e%: a# $ ( x) = 9 , $ (4) ; $ (&) ; $ (-5) b# $ (x) = 3x 2 - 5 , $ (-1) ; $ (a) ; $ (x + &) c# $ ( x) =
x + 5 , x + 3
i#
$ (-1) ; $ (0) ; $ ( x + &)
d# $ ( x ) = 2 x - x + 4 , $ (&) ; $ (0) ; $ (- 3)
1 $ ( ) ; $ (- 6 ) 3
2
e#
$ ( x ) =
f#
$ ( x ) =
g#
$ ( x)
=
1 3 x 2 + 6 x - 1 , $ ( ) ; $ (11) 3 1 x-6 2 7
-
x2
1 $ ( ) ; $ (0) ; $ (-1) 1) 3
,
$ x2 - 5 x + 2 , x < 2 $ x( ) = # "6 x - 8 , x > 2 ; $ (0)
$ ( -2 )
+#
1 3
, $ ( ) ; $ (- 5 ) ; $ (0)
$% x 2 ; - 4 x 4 , $ x( ) = # 2 %"16 - x ; 4 < x < 8 ' =
8# $ ( x ) = x + 1 - 7 x + 3 , 1 $ ( ) ; $ (t ) ; $ (3) 3
P#
( )
( )
3 $ - 3 + 2 $ 4
- 3 $ (1) + 2 $ ( - 6 )
$a ; x ( 0 ,5] % $ ( x) = #a + b ; x ( 5 ,10] %b - a ; x 11;+& " ' =
() ( ) $ (12 ) - a
2 $ 1 + 3 $ 4
L
3. 0ada 0ada la la grfi grfica ca de de la funció función( n( y 3 2
-8
-6
1
-5 -3
1
3
5
8
-3
-6
, :allar
$ (8) + $ ( -3) $ (5) + $ (3) + $ ( -5)
: :allar los valores de J x K para los cuales se cumple que( $ ( x) = 0.
x
SEMANA 10
UNCIONES ESPECIALES +-/ $-,= 1.
+-@ -/ -/,. $ ( x ) = c , donde
2.
Do m ( $ ) = c es una constante, Dom
, !an ( $ ) = { c }
+-@ =,= $ ( x ) = ax + b , con a 0 , Dom ( $ ) = �.
3.
+-@ -+ -+,;*-, Do m ( $ ) = �. $ ( x ) = ax 2 + bx + c , con a 0 , Dom
4.
+-@ $/ $/=/>,= $ ( x ) = p ( x ), donde p ( x) es un
5.
+-@ R, R,-/,= $ ( x) =
p ( x ) q( x)
Dom ( $
6.
, donde
) = �- {
p ( x ) y q ( x ) son
x / q (x) = 0}
n
p ( x ) , si
n es par entonces(
( )
Dom $ : p ( x ) 0
+-@ $/* $,* * / *,> *,>/
� $1 ( x ) , x �Do m ( $ 1 ) � � $ ( x ) = �$ 2 ( x ) , x �Do m ( $ 2 ) � � � $ 3 ( x ) , x �Do m ( $ 3 ) 8.
funciones polinomiales.
+-@ *,;-,= $ ( x ) =
7.
Do m ( $ ) = polinomio, polinomio, Dom
Dom Dom( $ ) = Dom Dom ( $ 1 ) ' Dom Dom ( $ 2 ) ' Dom ( $ 3 ) .
+-@ , ,=/* ,: ,:/=+/
� � x , si x �0 $ ( x ) = x , donde x = � Do m ( $ ) = , Dom x , si x 0 < �
DOMINIO DE UNA UNCIÓN ?' RR
&&! e& +"#$# +e &% %##e$e% $#$e%:
1. $ ( x) =
2. $ ( x) =
4- x
6 - 3 x - 3 3 + 4 x
x 2 - x
4 - x 0
4 x
x 2 - x 0 x ( x - 1) 0 x 0 x 1
6 - 3x 0 2 x
)
-3 4
4
( Dom ( $ ) = -�, 4] -{ 0,1}
3 + 4x > 0
x
> -3
4
2
( Dom ( $ ) = -3/ 4,2 ]
E"ERCICIOS 0etermine el dominio de las siguientes funciones( 1. $ ( x) = 9
C.
$ ( x ) =
2. $ ( x ) = x - 2 x 2
3.
$ ( x ) =
8 x - 1 + 5 x
4.
$ ( x ) =
16 - x 2
.
$ ( x ) =
7. $ ( x ) = A. $ ( x ) = B.
2
1D. $ ( x) =
11. $ ( x ) =
5 - 2x
3 - x x 2 - 2 x
5 x 4 + x - 2
12. $ ( x) = 13. $ ( x ) =
2 x 2 - 3 x - 2
$ ( x ) =
x - 4 x + 2 2
x
14. $ ( x ) =
3 x x 2 - 2 x + 1 2+
25 - x 2
x 2 - 16
6 x - 2 - 3 x 2 + 1 x
$ ( x ) =
17.
$ ( x ) =
1A.
$ ( x ) =
1B.
$ ( x ) =
x 2 - 5 x + 6
1C. $ ( x ) =
x 2 - 5 x + 6 x + 4
x 2 + x - 6
7 x
( 4 x - 1)
x - 2
1.
x + 1 - 2
2 - x - 3 6 + 2 x
x + 4 - 5 x 2 + 10 x 2 + 2 x + 1
2
9 x + 4 2 - 3 x
+ 5x
$% 2 - x x; 2 2D. $ x ( )=# %" x3 - 1 ; x > 0
:allar el dominio el rango de cada función representada en los grficos siguientes( y
y (2,3)
(0,3) ( -3, 0) 0)
x
x
!a#
!b#
y
y
( -3, 5 )
1 ( , 2) 2 (0,1) x
x
4
!c#
!d#
y
y
(3,6)
3
(0,4) (4,4)
-5
-1
-3
x
( 0, -1)
-2
3
x
-4
!e#
!f# y
y
6
4
3
2 -5
-5 -4 -3
1
!g#
3
-2
x
-1 -2
!8#
2
x
!
I*--/ -/ =/ < -//*;,;/ I*--@ -/ = < x :acemos y = $ ( x ) = 0 8allamos el valor de x . I*--@ -/ = < y :acemos x = 0 8allamos el valor de y .
E<>$=/ 0ada la siguiente grfica y = $ ( x) y 3 2 1
-8
-6 -5
1
-2 -3 -4
-enemos(
D/>/'
dom$ = -�, -8 U{ -6} U -5 , 0 ] U 1, 8
R,)/' !an$ =
- �, -4
] U{ -3} U [ -2 , 3
P+/ ; *--@ -/ = < x (3, (3, 0), (7, 0)
P+/ ; *--@ -/ = < y (0, (0, -4)
3
5
7 8
x
OPERACIONES CON UNCIONES 1.
S+>, ; ?+-/
( $ 2.
D?*-, ; ?+-/
( $ - % ) ( x ) = $ ( x ) 3.
Dom Do m ( $ . % ) = Dom ( $ ) * Dom ( % )
D@ ; ?+-/ $ ( x) � $ � x ) = � � ( � % � % ( x) � �
5.
Dom ( $ - % ) = Dom ( $ ) * Dom ( % )
% ( x)
M+=$=-,-@ ; ?+-/
( $% ) ( x ) = $ ( x ) . % ( x ) 4.
Dom ( $ + % ) = Dom ( $ ) * Dom ( % )
+ % ) ( x ) = $ ( x ) + % ( x )
{
}
Dom ( $ + % ) = Dom ( $ ) * Dom ( % ) - x / % ( x ) = 0
C/>$/-@ ; ?+-/
( $ % ) ( x) = $ ( % ( x)) ,
Dom ( $ o% ) =
{ x �Dom ( % ) �% ( x ) �Dom ( $ ) }
( % $ ) ( x) = % ( $ ( x)) ,
Dom Do m ( % o $ ) =
Do m ( $ ) �$ ( x ) �Dom Do m ( % ) } { x �Dom
O:*,-@ as operaciones entre funciones estn definidas siempre cuando el dominio de las nuevas funciones sea distinto de vac6o. E<>$=/ 1. *i $ ( x ) =
1- x
y % ( x ) = x + 2 , 8allar ( $ + % )( x ) (
S/=+-@ /omo
Dom ( $ ) = -�;1 ]
Dom ( $ + % ) = -�;1 ] ,
Dom ( % ) = �, entonces(
� $ � Dom � �= -�;1 ] - { -2 } � % �
uego( ( $ + % ) ( x ) = $ ( x ) + % ( x ) = 1 - x + x + 2
� $ � � % �
$ (x) 1- x � = �( x ) = � % ( x ) x+2 �
$ )( x ) %
[ ]
2. *i $ ( x) = 2 - x ,
x 3,7
% ( x )
=
x
+
4 , x 0,3
. :allar
( $ % ) ( x)
( %
)
$ ( x)
S/=+-@ a# Dom ( $ % ) = { x Dom ( % ) ) % ( x ) Dom ( $ )}
x 0,3
( x + 4 ) [ 3,7]
)
3 x + 4 7
- 1 x 3 Dom ( $ % )
0,3
=
-1
0
3
&or lo tanto(
( $
% ) ( x) = $ ( % ( x) ) = $ ( x + 4) = 2 - ( x + 4) = -2 - x
D om ( % o $ ) = { x �Do m ( $ ) �$ ( x ) �Do m ( % ) } b# Dom
[
x 3,7
]
( 2 - x)
)
0,3
0 < 2 - x < 3
- 2 < - x < 1 - 1 < x < 2 Dom ( % $ ) = f
-1
2
3
7
&or lo tanto(
( %
)
$ ( x ) no
est definida.
E"ERCICIOS ?+-/( 1# D,;, =, ?+-/( !
$ ( x ) = 3 x - 1 y % ( x ) = 4 x + 2,
) ( $ - % )( x)
a# ( $ + % )( x)
!
$ ( x ) =
x
8allar las operaciones siguientes( c#
% ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1,
J
a# ( $ + % )( x )
( $ . % )( x)
d#
(
$ %
,==,* =, /$*,-/ )+
b# ( $ - % )( x)
c#
d#
( $ . % )( x)
(
% $
2# *ean las funciones(
� �2 x - 4 ; x < 2 $ ( x ) = � �3 x - 6 ; x �2 8allar(
a)
' =
3# *ean *ean as as func funcio ione nes( s(
3 ( %. $ ) 2 + 5 2 ( $
o% ) ( 2 ) - 6
)( x)
2 � �4 x - 2 % ( x ) = � � x - 4
b)
' =
; x<4 ;
x
�4
2 ( $ .% ) ( 6 ) + ( % o $ ) ( 12 ) 7 ( $ / % ) ( 0 )
)( x)
2 � x 6 + 4 ; x <1 ( ) � $ ( x ) = � � �6 x - 5 + 2 ; x �1
a# ' =
8allar '
� �4 x - 2 ; x < 0 % ( x ) = � 2 ; x �0 � x
3 ( $ / % ) ( 2 ) + 2 ( $
o% ) ( 1)
b) ' =
3 ( % o $ ) ( 3)
4# *i $ = { ( -3 , 2 ) , ( -1, 5 ) , ( 0 , 4 ) , ( 5 , 9 ) }
3 ( $ .% ) ( 2 ) + ( $ + % ) ( -2 )
( $ o% ) ( 2 ) + ( % o $ ) ( 1 / 2 )
3 , 2 ) , ( 5, 5 ,1 ) , ( 8, 8, 6 ) } % = { ( 2 , 4 ) , ( 3,
2 ( $ + % ) ; ( $ - % ) ; ( $ .% ) ; ( $ / % ) ; ( $ - 3% )
:allar(
# *ean *ean las las fun funci cion ones es(( $ = {
:allar(
(
2 , 2 ) , ( -1 , 5 ) , ( 0 , 4 ) , ( 3, 3, 2 ) ( =
}
3 , 2 ) , ( 5, 5 ,1 ) , ( 0 , 6 ) } % = { ( 2 , 4 ) , ( 3,
( $ / % ) (2) + 2 ( $ + % ) (0) 4 ( % o $ ) (3)
7# *ean *ean las las $un $unci cion ones es(( y
y
$ ( x )
6
% ( x )
8
2 -6
-4
2
-3
-6
x
4
5
x
-3 -4
-4
:allar(
2( $ . % .)( 5) - 4( $ + % )( 0) 3( $ - % )( - 6)
a# E =
b# E =
3( $ - % )( -15) + 2( $ + % )(8) 5( $ % )( -20 )
A# En cada cada uno de de los e+erci e+ercicios cios,, indicar indicar el domin dominio io de ( $ o% ) , ( % o $ ) 8allar su regla de correspondencia si existe.
[
a# $ ( x ) = x + 4 ,
x - 1, 4
b# $ ( x ) = 3 x - 3,
x 1, 7
c#
$ ( x ) = ( x - 1) , 2
[
[
x 3, 8
]
]
]
% ( x ) = 2 x - 1, x ( 0 , 5
]
% ( x ) = x + 12, x � -2 ; 4 ] % ( x ) = 3 - x ,
SEMANA 11
UNCIÓN LINEAL
x � -5 ; 2 ]
RECTAS P; ; +, *-, *ean ( x1 , y1 ) y ( x2 , y 2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. a pendiente de la y2 - y1 cambio cambio vertic vertical al = recta se define como( m = x2 - x1 cambio 8ori%onta 8ori%ontall +e"% !e!#! & !#e$#$ +e $ !e *! % *e$+#e$e:
&endiente cero
Hecta 8ori%ontal
&endi &endient ente e ind indefi efinid nida a Hecta Hecta vertic vertical al &end &endie ient nte e posi posititiva va
Hect Hecta a que que sube sube de de i%qu i%quie ierd rda a a der derec ec8a 8a
&endi &endient ente e negat negativa iva
Hecta Hecta que que desc descie iende nde de i%qu i%quier ierda da a dere derec8a c8a
ECUACIONES DE RECTAS !
E-+,-@ $+/ $; *ea la recta ) con pendiente m que pasa por el punto ( x0 , y0 ) , tiene por ecuación( y - y0 = m( x - x0 ) E<>$=/ 1' :allar 1' :allar la recta que pasa por !1,4# que tiene pendiente . S/=+-@. S/=+-@. -enemos punto de paso !1,4# m = 5 luego la ecuación de la recta es y - 4 = 5( x - 1) simplificando ) : y = 5 x - 1 .
!
E-+,-@ %+ $,, $/* ;/ $+/ *ea *ea la recta recta ) que que pasa por los puntos puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Entonces la ecuación de � y2 - y1 � ( x - x1 ) recta es( y - y1 = � � x - x � � �2 1 � E<>$=/ 2' :allar la ecuación de la recta ) que pasa por( S/=+-@.
( -1; 2)
( 3;5 ) .
Es clar claro o que que m =
5-2 3 - ( -1)
=
3 4
tomando como punto de paso cualquiera de ellos,
digam digamos os el punto punto ( 3;5 ) , se tiene tiene la ecuació ecuación( n( y - 5 = ) : y =
3 4
x+
11 4
3 4
( x - 3) . Heduciendo tenemos(
.
RECTAS PARALELAS # PERPENDICULARES !
R-, P,*,==, 0os rectas )1 y )2 son paralelas, si sus pendientes pendientes m1 y m2 son iguales. Es decir( )1 // ) 2 si sólo si m1 = m 2 .
!
R-, P*$;-+=,* 0os 0os rect rectas as )1 y )2 son perpend perpendicu icular lares, es, si sus pendien pendientes tes m1 y m2 satisfacen satisfacen la siguiente relación m1.m2 = -1 . Es decir )1 )2
si solo si m1 = -
1 m2
.
E<>$=/ 3'
( 1; 2 )
:allar la ecuación de la recta ) ! su perpendicular# que pasa por el punto
es paralela a la recta y = 2 x - 3 . S/=+-@. *i S/=+-@. *i ) pasa por el punto ( 1; 2 ) es paralela a la la recta y = 2 x - 3 entonces la pendi ndiente nte de ) es 2. ueg uego o apli aplica cand ndo o la ecua ecuaci ción ón punt punto o pend pendie ient nte e tene tenemo moss y - 2 = 2( x - 1) 1) � ) : y = 2 x .
uego la ecuación de la recta )1 perpendicular a ) que
pasa por !1,2# es )1 ( y - 2 = -
1 2
( x -1) resolviendo tenemos )1 ( y = - 1 x + 3 2
2
que es la
recta perpendicular a ) . E<*--/ 1# :allar :allar la pendi pendiente ente de de la recta recta que pasa pasa por por los puntos puntos(( a#
( 1;1 ) ( 2; 5 )
�1 � � 3 �2 � � 4
5, b# � , 3 � y �
c# ( -2; 3 ) ( 0; 6 )
2# En cada cada uno uno de los los e+er e+erci cici cios os sigu siguie ient ntes es,, 8all 8allar ar la ecua ecuaci ción ón de la rect recta a con con las las condiciones dadas( 2; 1 ) con pendiente m = 3 . a# &asa &asa por por el el pun punto to ( -2;1
� b# &asa por �2;
4
�
5
�1 �5
6
c# &asa por � ;
5
m = 5 . m = 2 -
3 4
d#
&asa por !1,3# !2,#
e#
�3 &asa por el punto � ,1 �2
f#
&asa &asa por por el orig origen en de pend pendie ient nte e 4. 4.
g#
/orta al e+e x en 3, de pendiente pendiente 2. 2.
8#
/orta al e+e y en de pendiente 4.
i#
/orta al e+e x en 7 al e+e y en 3.
+#
&asa por ( 1; 5 ) es paralela paralela a la recta( y = - x + 3 .
P#
&asa por el punto ( -2; 5 ) perpendicular a la recta( y = 3x + 2 .
l#
(
&asa por el punto ( 2; 4 ) es paralela a la recta que pasa por los puntos( ( 0; 2 ) - 1;5 ) .
(
&asa po por el el pu punto ( 2;1 ) 2; 6 ) ( 9;1 9; 1 ) .
m#
m =
2
�7 3 1-� �2 4
es perpendic perpendicula ularr a la recta que pasa pasa por los puntos puntos
n#
=ue pasa por ( 0; 4 ) paralelo paralelo a la recta ) ( 2 x + y = - 1 .
o#
Es perpe rpendicul icula ar a la la re recta y = - x + 2 pasa por el punto
p#
( 3; 4 ) .
&asa por el punto ( 5; 6 ) perpendicular perpendicular a la recta recta que corta corta a los e+es e+es x e y en 3 4 respectivamente. respectivamente.
q#
&asa por ( 5; 4 ) paralela al e+e y .
r#
&asa por ( 2; 4 ) paralela al e+e x .
APLICACIONES
p
p
&endiente negativa
&endiente positiva q
q
D>,;, L,=
O?*, L,=
p n
!m,n# &unto de equilibrio
m
q
> es cantidad de equilibrio es precio de equilibrio. equilibrio.
E<>$=/ *upongamos que la demanda por semana de un producto es de 1D unidades a un precio de S 4D por unidad de 3DD unid. un precio de S 3 por unidad. :allar la ecuación de demanda, si dic8a ecuación es lineal.
S/=+-@. *eg'n los datos, es claro que q = 150 p = 40 L también q = 300 p = 35 . &or el 8ec8o que es lineal, el precio p la cantidad q estn relacionados linealmente, de modo que podemos representar tar en un plano cartesiano de e+es q p , los puntos ,35 ) , 8allando as6 la ecuación de la recta que pasa por dic8os puntos. ( 150,40) y ( 300,35 :allando :allando la pendient pendiente, e, tenemos tenemos que m =
35 - 40 300 - 150
=
-1 30
, tomando como punto de paso,
cualquiera de ellos, digamos !4D, 1D# tenemos la recta p =
-1 30
q+
454 3
, que es la ecuación
de demanda. E"ERCICIOS 1 E-+ E-+,,-@ @ ; ;>, ;>,;, ;,. . *uponga *uponga que los clientes demandaran 7D unidades de un producto cuando el precio es de S 2D por unidad, 2 unidades cuando el precio es de S 4D cada una. 8allar 8allar la ecuación ecuación de la demanda, demanda, suponiend suponiendo o que es lineal. lineal. :allar :allar el precio por unidad cuando se requiere 3 unidades. 2 E-+ E-+,- ,-@ @ ; ; ;>, ;>,;, ;,. . a demanda semanal para un libro que se vende muc8o es de 3DDDD e+emplares cuando el precio es de S 1 cOu de 2DDDD libros cuando el precio es de S 2 cOu. 8allar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal. 3 E-+ E-+,- ,-@ @ ; /?* /?*, ,.. Un fabricante de cocinas produce 2DD unidades cuando el precio es de S BDD de 3DD cocinas cuando el precio es de S 1DD. :allar la ecuación de oferta, sabiendo que es lineal. 4 E-+ E-+,,-@ @ ; /? /?* *, ,.. *uponga que un fabricante de %apatos colocara en el mercado D mil pares cuando el precio es S 3 el par 3 mil pares de %apatos cuando el precio es de S 3D. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p q estn relacionados linealmente. 5 + +-@ -@ ; ; ;> ;>, ,;, ;,. . *ea la función de demanda de un producto( p = $ ( q) =
551 - q 4
.
*i la demanda de un producto es de 2, 6 +-@ p = $ ( q ) =
;
;>,;,.
2200 - 2q 3
*ea
la
función
de
demanda
de
un
producto(
. *i la demanda de un producto es de 3D,
unitario !en dólares# del producto> 7 + +- -@ @ ; ;> ;>, ,;, ;,. . *e tienen dos bienes 1, 2, cuas funciones de demanda son(
q = $ (q) =
90 - 3 p 5
q = $ ( q ) = 140 - 12 p ,
respectiv tivamente, donde
p est
expresado en dólares.
*i el precio unitario de ambos bienes es de S ,A, .
8 + +- -@ @ ; ; /?* /?*, ,. . *e tienen tienen dos bienes , , , con ecuacion ecuaciones es de oferta dadas dadas por p = $ ( q ) = 5q - 20 p = $ ( q) = 15q - 120 respec respectiv tivame amente nte.. Un consu consumid midor or acude acude al mercad mercado o con las las intenc intencion iones es de compra comprarr uno, uno, cualqu cualquier iera a de dic8o dic8oss bienes bienes.. *i el consumidor esta dispuesto a pagar S 12 por cada unidad del bien comprado, 9 + +- -@ @ ; /?* /?*, , Una compa@6a va a entregar mensualmente DDD linternas de bolsillo a un precio de *O.D la unidadL si el precio unitario es de *O.3, ofrece 2DDD unidades. *uponiendo que la función de la oferta es lineal. 5btenga la función de la oferta. 10 P+/ P+/ ; %+=:*/ %+=:*/ *i las ecuaciones de la demanda de la oferta de un determinado bien son, respectivamente( respectivamente( q=
180 - 15 p 2
s = 6 p - 18 . 5btenga el punto
de equilibrio.
11 E-+,-@ E-+,-@ ; -//. -//. *uponga que el costo para producir 1D unidades de un producto es de S 4D el costo para para 2D unidades unidades es de S AD. *i el costo / esta relacion relacionado ado de forma lineal con la producción q , determine el costo de producir 3 unidades. 12 E-+,-@ E-+,-@ ; ;>,;, ;>,;,.. Una compa@6a 8a anali%ado sus ventas 8a encontrado que sus clientes compran 1D art6culos mas de sus productos por cada *O. 2,D de reducción en el precio unitario. /uando el precio es de *O. 12,A la compa@6a vende DD unidades. sumiendo que la relación entre la cantidad demandada q el precio precio unitar unitario io p es lineal. 13 E-+,- E-+,-@ @ ; /?*, /?*,. . En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una lmpara es de *O. 2DDD, no 8a lmparas disponibles, disponibles, sin embargo, por cada *O. 1DDD de aumento en el precio, se dispone de 2D lmparas ms para el mercado. sumiendo que la relación entre la cantidad ofrecida q el precio precio unitario unitario p es lineal.
SEMANA 12
UNCIÓN CUADRTICA
UNCIÓN CUADRÁTICA una función cuadrtica si sólo si puede escribirse en la forma $ ( x) = ax 2 + bx + c L donde a , b c son constantes, con a 0 . $ es
!
R$*,-@ )*?-, ; +, ?+-@ -+,;*-,. *u grfica es una curva, llamada $,*:/=,, $,*:/=,, es simétrica respecto a la recta vertical x = & , llamada e+e de simetr6a con vértice V ( &, * ) . si a > 0 , y = ax 2 + bx + c
si
a<0
y = ax 2 + bx + c
la parbola se abre 8acia arriba.
y
la parbola se abre 8acia aba+o.
y
(h;k)
k
k
(h;k)
h
Dom( $ ) = ! L
h
x
!an ( $ ) = [ * , + �
Dom( $ ) = ! L !an !a n ( $ ) = - �, * ]
= valor m6nimo de la función * =
!
x
= valor m,ximo de la función * =
C//*;,;, ;= *-
�- b �- b � � as coordenadas del vértice son( V ( & , * ) = � , $ � �2 a
�2 a �
E<>$=/ 1 0eterminar dominio, dominio, rango grfica de y = $ ( x ) = 2 x 2 - 5 x + 3
L
S/=+-@'
&rimero 8allamos el vértice
/o /omo
a = 2,
b = -5
c = 3,
b
&=-
luego
=-
2a
-8 2(2)
=2
$ ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 - 5 ( 2 ) + 3 = 1
Entonces el vértice vértice es( es( V = (2,1)
/omo a = 2 > 0 , entonces la parbola se abre 8acia arriba
Irfica y
3 Dom( $ ) = ! !an( $ ) = [ 1, +�
1
!2L1# 2
x
E<>$=/ 2 0eterminar dominio, dominio, rango grfica de y = $ ( x ) = 2 - 4 x - 3 x 2 S/=+-@'
&rimero 8allamos el vértice /omo
a = -3,
b = -4
c = 2,
luego
8R -
-6 b == -1 2a 2( -3)
$ ( -1) = 2 - 4( -1) - 3( -1) 2 = 4
Entonces el vértice es( V = ( -1, 4)
/omo a = -3 < 0 , entonces la parbola se abre 8acia aba+o
Irfica
Dom Do m ( $ ) = �
y
( -1 ; 4 )
4
!an !a n ( $ ) = -�, 4 ]
4
-1 1
E"ERCICIOS
x 2
0eter 0etermin minar ar domini dominio, o, rango, rango, siguientes funciones(
inter intersec secci cione oness con los e+es e+es coorde coordenad nados os grafic graficar ar las
a# y = $ ( x) = x 2 - 4 x + 1 b# y = $ ( x ) = 2 - 3 x - 2 x 2 c#
y = $ ( x) = 2 - 4 x - 3x 2
d#
y = * ( x) = 3 x + 4
e#
y
f#
$ ( x ) = x( x + 3) - 14
g#
t = $ ( s ) = s + 6 s + 13
8#
y = % (t ) = -2 + 4t - t
i#
$ ( x ) = x( x + 3) - 14
2
=
&( x ) = -2 x
2
- 8x
2
2
+#
y = $ ( x ) = 1 + 6 x + x 2
P#
y = $ ( x ) = 4 x 2 + 5 x - 1
l#
y = $ ( x ) = 2 - x x + 3
m#
y = $ ( x ) = x 2 + x
n#
y = $ ( x ) = 5 - x 2
o#
y = $ ( x ) = x 2 + 7
(
)
APLICACIÓN DE LA UNCIÓN CUADRTICA CUADRTICA
R-+*;,' U = I" - C "
I" = pq
L
donde( p precio unitario q cantidad.
�-b �-b � V (& , * ) = � , $ � � es el vértice de una parbola. �2a �2a �
E<>$=/' El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función I = -24t 2 + 288t - 64 , donde I es el ingreso en miles de dólares t es el tiempo medido en a@os. a#
El mximo ingreso se alcan%ar en el 7to a@o. El mximo ingreso ser de BDD mil dólares.
b# Irfica( I (6,800)
800
6
APLICACIONES
t
1. a función de demanda de un fabricante de muebles es p = $ ( q ) = 1400 - 7 q , donde p es el precio !en euros# por unidad cuando se demandan q unidades !por semana#. a# Encuentre el el nivel de producción producción que que maximi%a maximi%a el ingreso ingreso total total del fabricante. fabricante. b# 0eterm 0etermine ine el el ingre ingreso so mxim mximo. o. 2. a fun función de demanda para una compa@6a de seguros para autos es p = $ ( q ) = 2600 - 13q , donde p es el precio !en dólares# por unidad cuando se demandan q unidades !semanales#. a# 0etermine el nivel nivel de producción producción que maximi%ar maximi%ar el ingreso total total del fabricante. b# 0eterm 0etermine ine el ingr ingreso eso mximo mximo.. c# Irafiq Irafique ue la funció función n ingr ingreso eso.. 3. a función de demanda para el fabricante de un producto es p = $ ( q ) = 1200 - 3q , en donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. a# 0etermin 0etermine e el nivel nivel de producci producción ón que maximi maximi%ar %ar el ingre ingreso. so. b# 0eterm 0etermine ine este este ing ingres reso o mximo mximo.. c# Irafiq Irafique ue la funció función n ingr ingreso eso.. 4. a utilidad utilidad diaria por por la venta de de rboles de +ardiner6a +ardiner6a de un almacén, almacén, esta dada dada por 2 P ( x ) = 169 + 16 x - x , en donde x es el numero de rboles vendidos. a# 0etermine la cantidad cantidad de de rboles rboles vendidos vendidos que que maximi%ar maximi%ar la la utilidad. utilidad. b# 0eterm 0etermine ine dic8a dic8a util utilida idad d mxima. mxima. 5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto art6culo est dado por I ( q ) = 12 q - 0.01q 2 soles. 0etermine el el n'mero de unidades que que debe venderse venderse cada mes con el propósito propósito de maximi%ar maximi%ar el ingreso. ingreso. 6. &ara una empresa dedicada dedicada a la venta de materiales de construcción construcción se tiene que la 2 func funció ión n ingr ingres eso o se exp expre resa sa com como o I = p - 10 0 p + 2 50 0 , determ determin inar ar el ingre ingreso so mximo de dic8a empresa. 7. Un grupo de inversionistas le encargó a una compa@6a de investigación de mercado que estimara los $ ( t ) miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los a@os a@os 2DDD 2DDD 2DDB 2DDB,, dond donde e $ (t ) =
10 t (12 - t ) , 2000 t 2008 . Esti Estime me el n'me n'mero ro 9
mximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos a@os. Nndique el a@o en que se obtuvo la mxima cantidad de alumnos.
8. Una compa@6a de productos de belle%a estima que t meses después de la introducción de un nuevo perfume, & ( t ) miles de mu+eres lo usarn, donde
2 & ( t ) = - 18 t + 3 6 00 ,
0
�t �12 . Estime el n'mero mximo de mu+eres que usarn
el producto. 9. Una fbrica vende 3DD carteras al mes, a S1 cada una. *e desea aumentar el precio se estima que por cada incremento de S1 en el precio de venta, se vendern 4 carteras menos. *i el costo de cada cartera es de S1D. a# :allar :allar la la funció función n utili utilidad dad mensual. mensual. b# 0eterm 0etermina inarr el n'mero n'mero de carter carteras as que se deben deben vender vender para obtene obtenerr la utilida utilidad d mxima. c# Irafic Iraficar ar la la funci función ón util utilid idad. ad. 10. os costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa mediante la función C ( q ) = 3 q 2 - 7 8 0 + 6 0 0 0 0 , en donde q representa el n'mero de computadoras ensambladas. a# 0eterm 0etermina inarr la cantid cantidad ad de computa computador doras as que se deben deben ensamb ensambla larr para para que el costo sea m6nimo. b# 0eterm 0etermina inarr dic8o dic8o costo. costo. c# Irafic Iraficar ar la funció función n cost costo. o. 11. *e estima que, de aqu6 a J t K a@os, el n'mero de personas que visitarn el parque de las leendas ser dado por la función N ( t ) = 3 0 t 2 - 1 20 t + 3 00 0 . a# ctu ctual alme ment nte e
SEMANA 13
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES # NO LINEALES S>, ; E-+,-/ L,=. 2 x + 4 y = 5 3 x + 5 y = 2
l con+unto de ecuaciones( ecuaciones( #
se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con
2 variables. as variables o incógnitas son x e . el problema consiste en encontrar valores para x e para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas !de manera simultnea#. a estos valores se les llama soluciones soluciones del sistema. I*$*,-@ G/>*-,. /omo las ecuaciones del sistema son lineales, sus grficas son rectas. *i los dibu+amos en un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades( posibilidades( 1.
y U @=/ $+/ ; *--@. E= >, /=+-@ Q-,' Q-,' � � x = x0 � � y = y0
L1
( x xo, yo)
xo
x L2
y
L
1
L
2.
2
N/ ,J *--@. E= >, / /=+-@.
x
y L1
L2
I?/ $+/ ; *--@. E= >, ?, /=+-/. S = ==,>, S/=+-@ $,*,>*-,.
3. x
ESTUDIOS GENERALES
� x = r � y = $ ( r ) �
r �!
7B
M/;/ $,*, */=* + >, ; -+,-/ =,=. &ara resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es conveniente alinear alinear los términos en x en ( A. M/;/ M/;/ ; ; =>, =>,-@ -@ $/* $/* ,;-@ ,;-@ $ 2 x + 4 y = 5 .....(1) "3 x + 5 y = 2 .....( 2)
Nlustramos este método para el sistema( #
usquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto multiplicamos multiplicamos a la ecuación !1# por por 3 a la ecuación !2# por por 2, as6 queda queda un sistema sistema $ 6 x + 12 y = 15
equivalente( # " - 6 x - 10 y = -4 uego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos( ecuación lineal en la variable , fcil de resolver( y = 11 / 2 &ara &ara obten obtener er el valor valor de x, reempl reempla%a a%amos mos
y = 11 / 2 en
2 y
=
11 que
es una
cualquiera de las ecuaciones
ori originale ales !1# !1# ó !2#, !2#, para este caso caso elegi egimos mos la ecua cuació ción !1#( 1#(
$2 x + 4 y = 5 # " y = 11 / 2
ó
2 x + 4 (11 / 2 ) = 5
que es una ecuación lineal en la variable x, fcil de resolver, as6 x = -17 / 2 . &or lo tanto, la solución del sistema es 'nica( x = -17 / 2 , y = 11 / 2 Esta solución cumple en ambas ecuaciones. B. M/;/ M/;/ ; ; =>,=>,-@ @ $/* $/* ++ ++-@ -@ $ 2 x + 4 y = 5 .....(1) "3 x + 5 y = 2 .....( 2)
Nlustramos este método, con el sistema( #
&rimero escogemos una de las ecuaciones, en este caso !1# despe+amos una de las variables, en este caso despe+amos la variable , as6 obtenemos( 5 - 2 x % y = # 4 %3 x + 5 y = 2
uego sustituimos el valor de en la ecuación !2#, resultando una ecuación lineal, de una variable, fcil de resolver(
ESTUDIOS GENERALES
7C
3 x + 5(
5 - 2x ) = 2, 4
luego x = -17 / 2
.
Heempla%amos, Heempla%amos, el valor 8allado de x en la ecuación !1# se obtiene una ecuación lineal en la variable , fcil de resolver( 2(
- 17 2
) + 4 y = 5 ,
&or lo tanto, la solución del sistema es 'nica(
luego
y = 11 / 2
.
x = -17 / 2 , y = 11 / 2 .
Esta solución cumple en ambas ecuaciones. *e pudo 8aber elegido la ecuación !2# despe+ar la variable x, proceder de manera similar.
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES. Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no es linea lineal.l. *e puede puede resolver resolver un sistem sistema a no lineal lineal,, por el ?étod ?étodo o de elimin eliminaci ación ón por por sustitución. E<>$=/( E<>$=/( 1.
y = x 2 Hesolver( # x + y = 0
0espe+amos una variable !cualquiera# de la ecuación lineal. &or e+emplo ,
y = x 2 as6( # x + y = 0
luego luego reempl reempla%a a%amos mos en la ecuaci ecuación ón no lineal lineal(( x = x 2 , cuadrtica, que al resolver se obtiene( x = 0 0 x = -1 .
la cua cuall es una una ecuac ecuació ión n
&ara 8allar los valores de , 8acemos los reempla%os respectivos( s6 x = 0 entonces
y = 0 L
s6 x = -1 entonces
y
=
&or lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son(
1.
x = 0 $ x = -1 ó # # y = 0 " y = 1
/*>, G*?-, y
(-1,1)
(0,0)
ESTUDIOS GENERALES
x x - y . /
AD
y = x + 1 y = x + 1
2. Hesolver( #
5bservamos que en la ecuación lineal, la variable est despe+ado. *ólo queda sustituir en la ecuación no lineal( x + 1 = x + 1 , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a una ecuación cuadrtica. Hesolviendo se obtiene( ( x + 1) 2 = x + 1 , entonces resolviendo resolviendo se tiene( x = 0 0 x = -1 &ara 8allar los valores de , 8acemos los reempla%os respectivos( s6 x = 0 entonces
y
=
1 L
y = 0
s6 x = -1 entonces
$ x = -1 $ x = 0 ó # " y = 0 " =1
&or lo tanto las soluciones soluciones del sistema no lineal son( # y /*>, G*?-, y y . x-1
(-1,0)
(0,1)
y =
x +1
x
I. R R/= /=** =/ )+ )+ > >, , ; -+, -+,-/ -/ =,= =,=' '
a#
$ x + 4 y = 3 # "3 x + 12 y = -5
c#
$2 1 %% 3 x + 2 y = 2 # % 3 x + 5 y = - 11 %" 8 6 2
e#
$4 p + 12q = 6 # "6q + 2 p = 3
b#
$52 - 21 = 36 # "82 - 31 = -54
d#
$1 1 1 %% 2 3 - 4 1 = 6 # % 3 + 1 1 = 2 %" 2 3
f#
$- p - q = -3 # "2q + 3 p = 19
II. R/=* R/=* =/ )+ )+ >, >, ; -+,-/ -+,-/ / =,=' =,='
ESTUDIOS GENERALES
A1
$ x = y + 6 b# # " y + x = 18
$ = 4 - x 2 a# # "3 x + y = 0
2
$% p = q d# # %" p = q
$% x 2 - y = 8 c# # %" y - x 2 = 0
2
2
� p - q 2 = 0 e# � �3q - 2 p - 1 = 0
2
� p = 5 - q 2 f# � � p = q + 1
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES # NO LINEALES. 1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuación de oferta una de demanda para un producto. *i J p Jrepresenta el precio precio por unidad en dólares J q K el n'mero de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio. a# 5ferta( p = b# 5ferta( 35 q
3 100 -
q+2 L
2p
+
250
c# 5ferta ( p = 2 q + 20
=
L
demanda( p = 0
7 100
q + 12
L demanda( 65 q + p - 785 = 0 demanda ( p = 200 - 2 q 2
2. En los problemas a# , b# c# se representa el ingreso total en I " dólares C " el costo total en dólares para un fabricante. si J q K representa tanto el n'mero n'mero de unidades producidas producidas como el n'mero de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio. equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio C " = 2q + 4500 a) # I " = 3q
I " = (q - 10) 2 c) # C " = 3q + 30
I " = 0.05q b) # C " = 0.85q + 600
3. *i las ecuaciones de oferta demanda de cierto producto son( 125 p - p - 250 = 0 100 p + q - 1100 = 0 respectivamente, encuentre encuentre el precio de equilibrio equilibrio la cantidad de equilibrio. . *i las ecuaciones de oferta de demanda sonL p -
6
9
q - 20 = 0 150 respectivamente, respectivamente, donde J p K representa el precio por unidad en dólares dólares J q K el n'mero 150
q = 5 p +
de unidades, encuentre el punto de equilibrio muéstrelo grficamente. grficamente. p - 2 q = 20
p + 2 q 2 - 200 = 0 , respectivamente, donde J p K representa el precio por unidad en dólares J q K el n'mero
7. *i las ecuaciones de oferta de demanda son
de unidades, encuentre el punto de equilibrio muéstrelo grficamente.
ESTUDIOS GENERALES
A2
A. *i las ecuaciones de oferta de demanda son p - 4 q = 24 p + 4 q 2
-
248
=
0,
respectivamente, respectivamente, donde J p K representa el precio por unidad en dólares dólares J q K el n'mero de unidades, encuentre el punto de equilibrio muéstrelo grficamente. grficamente. B. as ecuaciones ecuaciones de oferta demanda para para cierto producto producto son( 3 q - 200 p + 1800 = 0 3 q + 100 p - 1800 = 0 , respectivamente, donde J p K representa el precio por unidad en dólares J q K el n'mero de unidades vendidas por periodo. a# Encuentre, Encuentre, algebrai algebraicame camente, nte, el precio de equilibrio equilibrio ded'%calo ded'%calo por medio de una grfica. b# Encue Encuentre ntre el preci precio o de de equilib equilibrio, rio, cuando cuando se se fi+a fi+a un un impues impuesto to de de 2A 2A centavo centavoss por por unidad, al proveedor. C. un precio de S24DD, la oferta de cierto bien es de 12D unidades, mientras que su demanda es 7D unidades. *i el precio aumenta a S2ADD por unidad, la oferta la demanda sern de 17D 3BD unidades respectivamente. a# 0etermine las ecuaciones de oferta de demanda, suponiendo que son lineales. b# 0etermine el precio la cantidad de equilibrio. 1D. El punto de equilibrio equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando cuando se produce produce 13DD 13DD unidades unidades a un precio precio de S 4,D por unidad. El productor productor no ofertar ofertar unidades unidades a S1 el consumid consumidor or no demand demandara ara unidades unidades a S2D. S2D. Encuen Encuentre tre las ecuaci ecuaciones ones de de oferta oferta demandas si ambas son lineales. 11. un precio de D soles por Pg. la demanda de un cierto art6culo es de 4DDPg., mientras que la oferta es de 33DDPg. *i el precio se incrementa en 1D soles soles por Pg., la demanda la oferta sern de 44DD 42DDPg., 42DDPg., respectivamente. Encontrar la ecuación ecuación de la oferta demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio. 12. Un empresario de ropa para ni@os observa, que el punto de equilibrio del mercado ocurre ocurre cunado cunado se produce producen n 1DDDD 1DDDD unidades unidades a un precio precio de de 4D soles soles por unidad. unidad. El consumidor consumidor no demandar unidades unidades a un precio de D soles la unidad unidad el productor no oferta ofertar r unidad unidades es a 2D soles soles la unidad unidad.. :all :allar ar la ecuaci ecuación ón de la oferta oferta demand demanda a sabiendo que son lineales. 13. Un fabricante vende todo todo lo que produce .*u .*u ingreso ingreso total esta dado dado por ( I " = 7 q el cost costo o tota totall es C " = 6 q + 800 donde donde J q K represen representa ta el n'mero n'mero de de unidade unidadess producidas producidas vendidas .a# Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio equilibrio dibu+e dibu+e el diagrama de equilibrio. equilibrio. b# b# Encuentre Encuentre el nivel nivel de producción producción en el punto de equilibrio, si el costo total se incrementa en W. 14. Un fabricante vende un producto a S B,3 por unidad, vende todo lo que produce. os costos fi+os son de son de S2117 S2117 el costo variable es de S A,2D por unidad . < que nivel nivel de producci producción ón existirn existirn utilida utilidades des de S 47DD>. 47DD>. < que nivel nivel de producción ocurre el punto de equilibrio>
ESTUDIOS GENERALES
A3
1. a compa@6a de *andalias *andalias /ómodas fabrica sandalias para las que el costo del material es de de S D.BD por par, par, el costo costo de de de mano de obra es de de adicionales adicionales e S D,CD por par. par. :a costos adicionales adicionales por par de SD.3D SD.3D .os costos fi+os son son de S AD,DDD.*i AD,DDD.*i cada cada par se vende a S 2,D
SEMANA 14
DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO *i en un plano plano P consideram consideramos os una recta ) éste queda dividido en tres con+untos( el con+unto de puntos que estn en la recta misma, los semiplanos p1 p 2 formados por los puntos que estn a uno otro lado de la recta ) . /onsideremos /onsideremos la recta vertical
x
=
a.
p 1
p
2
a
os puntos que estn en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. os puntos que estn a la i%quierda i%quierda satisfacen satisfacen la inecuaci inecuación ón x < a , los puntos que estn a la derec8a satisfacen la inecuación inecuación x > a . E"EMPLO 1. Iraficar en el plano plano cartesiano cartesiano la desigualdad desigualdad y < x &rimero graficamos a la recta y = x . y = x
ESTUDIOS GENERALES
A4
a recta 8a sido tra%ada en forma punteada a que los puntos sobre ella no forman parte del con+unto solución de la desigualdad !semiplano abierto#. &or tanto, la recta tra%ada es la frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad desigualdad los puntos que no la satisfacen. &ara determinar el semiplano que representa grficamente a la inecuación se toman dos puntos. Uno que este por encima de la recta el otro por deba+o. El punto que satisface la desigualdad determina el semiplano que representa la solución. 3; -2 ) , entonces el punto que satisface la En nuestro caso tomamos los puntos ( -2 ; 2 ) ( 3; (3; -2) , por desig desigual ualda dad d es (3; por lo que que la grafi grafica ca de y < x es el semiplano ba+o la recta fronteri%a.
y = x
E"EMPLO 2. Iraficar en el plano plano cartesiano cartesiano la desigualdad desigualdad y
x + 1
&rimero graficamos a la recta y = x + 1 . y
y = x + 1
1
E S T U D I O S G E N E R A-L1E S
x
A
uego verificamos si las coordenadas del punto !D, D# satisfacen la desigualdad. /omo este es el caso, entonces el semiplano que representa grficamente a la inecuación es el que contiene al origen. y = x + 1
y
1
-1
x
E"EMPLO 3. 3. Iraficar en un mismo sistema de coordenadas el con+unto formado por las siguientes desigualdades( x + y �25 � � x �0 � � y �0 �
/omo /omo las desigu desiguald aldade adess deben deben satisf satisface acerse rse simul simultn tneam eament ente, e, se debe debe grafi graficar car la intersección de las regiones correspondientes correspondientes a cada una de ellas. &rimero graficamos la desigualdad x 0 ( Es decir( x = 0 . *e observa que esta recta es coincidente con el e+e 4 del sistema. *u grafica es el semiplano semiplano ubicado a la derec8a del e+e 4 !puesto que x 0 # *egundo graficamos la desigualdad desigualdad y �0 ( Es decir( y = 0 . *e observa que esta recta es coincidente coincidente con el e+e 5 del sistema. *u grafica es el semiplano semiplano ubicado arriba del e+e 5 !puesto que y �0 #. -ercero graficamos la desigualdad x + y
25 (
Es decir( x + y = 25 .
ESTUDIOS GENERALES
A7
*u graf grafic ica a es el semi semipl plan ano o ubic ubicad ado o por por deba deba+o +o de la rect recta a x + y = 25 !puesto !puesto que x + y �25 #. 4
25
25
5
E"EMPLO 4. 4. Iraficar en un mismo sistema de coordenadas el con+unto formado por las siguientes desigualdades(
� x + 2 y �6 � � x + y �4 � � x �0 � � y �0 Nndicar los vértices del pol6gono formado. /omo /omo las desigu desiguald aldade adess deben deben satisf satisface acerse rse simul simultn tneam eament ente, e, se debe debe grafi graficar car la intersección de las regiones correspondientes correspondientes a cada una de ellas. Es claro que la región que corresponde a x 0 es el semiplano ubicado a la derec8a del e+e 4 , la que que cor corresp respon ond de a y 0 es el semi semipl plan ano o ubic ubicad ado o arri arriba ba del e+e 5 . Iraficaremos las rectas x + 2 y = 6 x + y = 4 .
y 4
x + y = 4
3
x + 2 y = 6
4
6
x
E"ERCICIOS
ESTUDIOS GENERALES
AA
1. -race -race la la grfica grfica del del sistema sistema de desigu desigualda aldades( des(
a#
� x - y �5 � x + 2 y �14 �� � x 0 � y �0
b#
�2 x - y �2 �2 y - x �8 �� � x 0 � y �0
c#
�2 x + y �10 � � y + 2 x �20 � y �0 � � x �0
d#
�3 x - 4 y �12 � � x - 2 y �2 � y �5 � � x �9
e#
� x + y �2 � x + 2 y �10 � � x �8 � x �0 � � y �0
f#
�2 x + y �8 � �2 x + 3 y �12 � x �0 � � y �0
g#
� x - 2 y �3 � �3 x + 2 y �9 � x + y �6 � � x �1
x - 2 y �3 � � �3 x + y �9 8# � x + y �7 � � x �2
i#
x + 2 y �8 � � �0 � x �4 � �0 � y �3
�2 x + 3 y �6 � 0 � x �5 +# � � �0 � y �4
ESTUDIOS GENERALES
AB
SEMANA 15
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL a teor teor6a 6a de la prog progra rama maci ción ón line lineal al fue fue desa desarr rrol olla lada da en la déca década da 1C4D 1C4D1 1C CD D por por matem matemti ticos cos tales tales como como Go8n Go8n von euma eumann, nn, Ieorge Ieorge 0ant% 0ant%ig ig,, -. Qoopm Qoopman ans, s, etc. etc. a programación programación lineal sirve para encontrar el valor mximo o el valor m6nimo de una expresión lineal su+eta a un con+unto de desigualdades lineales. a aplicación ms com'n abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la me+or manera manera posibl posible, e, esto esto es, es, en forma forma óptima óptima.. -iene iene aplica aplicacio ciones nes en la invest investig igaci ación ón de operaciones, operaciones, ciencias administrativas, administrativas, f6sica biolog6a. "eamos el e+emplo de una fbrica que produce una gama de art6culos que dispone de una variedad de recursos !personal, materias primas, mquinas, créditos, etc.# cada uno de los cuales supone un costo a considerar.
E"EMPLO 1. Una empresa fabrica fabrica dos modelos de 0"0( 0"0( el modelo el modelo modelo . *e dispone de D Pilogramos de cauc8o de BD 8oras de mano de obra. &ara fabricar un 0"0 del modelo se utili%a 1 Pilogramo de cauc8o 1 8oras de traba+o, para fabricar un 0"0 del modelo se utili%a 1 Pilogramo Pilogramo de cauc8o 2 8ora 8ora de traba+o. traba+o. *i la venta le le genera una utilidad 3D soles por cada modelo modelo 4D soles soles por cada modelo modelo . , . /onsideremos x ( n'mero de 0"0 del modelo y ( n'mero de 0"0 del modelo .
?50E5
?50E5
-5-
/antidad de cauc8o
1x
1x
D Pg.
:oras de mano de obra
1x
2x
BD 8oras
ESTUDIOS GENERALES
AC
U ( utilidad mensual.
a función ob+etivo, que se debe maximi%ar, es( U = 30 x + 40 y
*u+eta a las condiciones siguientes(
� x + y �50 � x + 2 y �80 � � � x �0 � � y �0
(1) ( 2) (3) (4)
las restricciones restricciones !3# !4# se les denomina condiciones de no negatividad. negatividad. a región que ?,-:=. satisface simultneamente simultneamente las condiciones condiciones !1# a !4# se denomina *)@ ?,-:=. Iraficando las desigualdades e identificando la *)@ ?,-:= se ?,-:= se tiene( 4
50
D 40
C
A
B 50
80
5
*e puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada no vac6a tiene un valor mximo !o m6nimo# se encuentra en uno de sus vértices. &ara 8allar este valor es suficiente evaluar la función ob+etivo en cada uno de los vértices de la región factible después elegir aquél en que la función ob+etivo resulte óptima. En nuestro caso, las coordenadas coordenadas de los vértices de la región factibles son( A ( 0, 0 )
B ( 50,0 )
C ( 20,30 )
D ( 0,40 )
Entonces, se eval'a la función ob+etivo en cada punto( U ( 0, 0 ) = 3 0(0) + 40(0) = 0 U ( 50,0 50,0 ) = 30( 30(50) 50) + 40( 40(0) = 1500 1500 30(20 0) + 40( 40(30) 30) = 1800 800 U ( 20,30 ) = 30(2
ESTUDIOS GENERALES
BD
60 0 U ( 0, 4 0 ) = 3 0(0) + 4 0( 4 0) = 1 60
&or consiguiente consiguiente U tiene un valor mximo en C , en donde( x = 20 e y = 30 . *e debe fabricar vender 2D 0"0 del modelo 3D 0"0 del modelo . a utilidad mxima es de de *O. 1BDD.
E"EMPLO 2. *upongamos *upongamos que una compa@6a fabrica dos tipos de artefactos, manuales eléctricos. /ada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres mquinas( , /. Un artefacto manual requiere del empleo de la mquina durante dos 8oras, de una 8ora en la mquina de una 8ora en la mquina /. Un artefacto eléctrico requiere de una 8ora en , dos 8oras en una 8ora en /. *upóngase, adems, que el n'mero mximo de 8oras disponibles por mes para el uso de las tres mquinas es 1BD, 17D 1DD, respectivamente. a utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de S4 de S7 para los eléctricos. *i la compa@6a vende todos los artefactos que fabrica Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla
Utilidad
?anual
28
18
18
4
Eléctrica
18
28
18
7
:oras disponibles
1BD
17D
1DD
/onsideremos x ( numero de artefactos manuales que se fabrican en el mes. y ( n'mero de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. U ( utilidad mensual.
a función ob+etivo es( ?aximi%ar : U = 4 x + 6 y
*u+eta a las condiciones siguientes(
ESTUDIOS GENERALES
B1
�2 x + y �180 � x + 2 y �160 � � � x + y �100 � x �0 � � � y �0
(1) (2) ( 3) (4) (5 )
las restricciones restricciones !4# !# se les denomina condiciones de no negatividad. negatividad. a región que ?,-:=. satisface simultneamente simultneamente las condiciones condiciones !1# a !# se denomina *)@ ?,-:=. unque existen una cantidad infinita de soluciones, soluciones, se debe 8allar la que maximice a la función de utilidad. y 180
100
2 x + y = 180
x + y = 100 E
80
A
x + 2 y = 160
B
4
C
90 100
D
160 16 0
x
*e puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada no vac6a tiene un valor mximo !o m6nimo# se puede encontrar este valor en un vértice. Esta afirmación permite 8allar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función ob+etivo en cada uno de los vértices de la región factible después elegir aquél en que la función ob+etivo resulte óptima. En nuestro caso, tenemos A ( 40,60 )
B ( 80,20 )
C ( 90,0 )
D ( 0, 0 )
E ( 0,80 )
Entonces, se eval'a la función ob+etivo en cada punto( 0) = 5 20 20 U ( 40, 6 0 ) = 4( 40) + 6(6 0) 0, 2 0 ) = 4(8 0) + 6(2 0) 0) = 4 4 0 U ( 8 0,
ESTUDIOS GENERALES
B2
U ( 9 0, 0 ) = 4(90) + 6(0) = 3 6 0 U ( 0, 0 ) = 4(0) + 6(0) = 0 U ( 0, 80 80 ) = 4(0) + 6(80) = 4 8 0
&or consiguiente consiguiente U tiene un valor mximo de S2D en A , en donde x = 40 e y = 60 .
E"ERCICIOS 1. ?axi ?aximi mi%a %ar( r( 3 = 5 x + 7 y *u+eta a las condiciones condiciones x �0 L y �0 L 3 x + 2 y �7 L 2 x + 5 y �12 2. ?ini ?inimi mi%a %ar( r( 3 = 4 y - 3 x *u+eta a las condiciones condiciones x �0 L y �0 L 3 x + 4 y �4 L x + 6 y �8 3. ?axi ?aximi mi%a %ar( r( 3 = x + 2 y *u+eta a las condiciones condiciones x �0 L y �0 L 2 y - x �-1 L 4 y + x �9 4. ?ini ?inimi mi%a %ar( r( 3 = 2 y + x *u+eta a las condiciones condiciones x �0 L y �0 L - y + x �-1 L 3 y - x �-2 . 0ada 0ada las siguient siguientes es restriccio restricciones( nes( 2 x + y �4 L x + 2 y �5 L x �0 L y �0 a# Irafica Irafica la región región defina defina por las restric restriccion ciones es indicand indicando o sus vértices. vértices. b# /alcule /alcule el el valor valor mximo mximo de de la funció función n ob+etivo ob+etivo 3 = 5 x + 2 y su+eta a las restricciones dadas.
7.
x + y 3 %1 % x - y -5 Irafiq fique el el si sistem tema de de in inecuaciones # 4 % y x % x 0, y 0
A.
ma x : $ ( x , y ) = 5 x + 4 y 0ado ado el el sig sigui uien ente te pro probl blem ema a de de pro progr gram amac ació ión n lin linea eal(l( max $3 x + 5 y 150 % *u+eta a # 2 x + y 60 % x 0, y 0 "
ESTUDIOS GENERALES
B3
Esboce la grfica
B.
2 x + y 4 % 0ada la las re restricciones # x + y 3 % x 0, y 0
0etermine el mximo valor de $ ( x, y ) = 2 x + 3 y
C.
?aximi%ar la función $ ( x, y ) = 2000 x + 5000 y
�2 x + 3 y �-3 � �2 x - y �9 *u+eta a las restricciones � �2 x - 5 y �5 � x �0, y �0
ESTUDIOS GENERALES
B4
SEMANA 16
APLICACIONES 1. Un estudiante de la *an ?art6n dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitar6a. a empresa le paga soles por cada impreso repartido la empresa , con folletos ms grandes, grandes, le paga A soles por impreso. El estudiante estudiante lleva dos bolsas( una para los impresos , en la que cabe 12D, otra para los impresos , en la que cabe 1DD :a calculado que cada d6a es capa% de repartir 1D impresos como mximo. o que se pregunta el estudiante es( . 2. Una fbrica quiere producir bicicletas de paseo de monta@a. a fabrica dispone de BD Qg. de acero 12D Qg. de aluminio. &ara construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 Qg. de acero 3 Qg. de aluminio, para construir una bicicleta bicicleta de monta@a se necesitan 2 Qg. de acero otros 2 Qg. de aluminio. *i vende las bicicletas de paseo a 2DD soles las de monta@a a 1D soles. . 3. Una empresa fabrica dos modelos de 0"0 el modelo el modelo . El modelo produce una ganancia de S12D por unidad el modelo SBD por unidad. &ara cumplir con la demanda diaria, dic8a empresa debe producir como m6nimo 2D 0"0 del modelo un m6nimo de 1D 0"0 del modelo . *i la producción diaria no debe sobrepasar de 2D 2D 0"0, 0"0, . 4. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de muebles que le generan una ganancia de *O. 4D *O. 2D respectivamente. &ara confeccionar confeccionar una funda del modelo se emplean 4 8oras de traba+o 3 metros de tela. &ara confeccionar una funda del modelo se emplean 3 8oras de traba+o metros de tela. a empresa dispone de 4B 8oras de traba+o 7D metros de tela. *i a lo ms pueden 8acerse C fundas del modelo , .
ESTUDIOS GENERALES
B
5. Un fabricante produce un art6culo en dos presentaciones( , usando las materias primas ?1 ?2. 0iario se necesita por lo menos 1B Pg. de ?1 12 Pg. de ?2L como mximo 34 8oras de mano de obra. *e requiere 2 Pg. de ?1 para cada art6culo 1 Pg. de ?1 para cada art6culo . &ara cada art6culo de se requiere 1 Pg. de ?2. dems en la fabricación de un art6culo de se emplean 3 8oras 2 8oras en un art6culo de . *i la utilidad por art6culo en el modelo es de S S3 por el art6culo , . 6. Una compa@6a petrolera, que tiene dos refiner6as, necesita al menos BDD, 14DD DD barriles de petróleo de grados ba+o, medio alto, respectivamente. /ada d6a, la refiner6a N produce 2DD barriles de grado ba+o, 3DD de medio 1DD de alto grado, mientras que la refiner6a NN produce 1DD barriles de grado alto, 1DD de ba+o 2DD de grado medio. *i los costos diarios son de S2DD para operar la refiner6a N de S2DDD para la refiner6a NN, . 7. El ?inis ?inister terio io de &esqu &esquer6 er6a a obli obliga ga a cierta cierta empres empresa a a pescar pescar como como mximo mximo 2DDD toneladas de merlu%a 2DDD toneladas de +urelL adems la captura de éstas dos especies no pueden pasar de 3DDD toneladas. *i el precio de venta de la merlu%a es de *O. 1 por Pilogramo el de +urel *O. 1, por Pilogramo, determine( determine( a# a cantidad de cada cada especie que que debe de pescar pescar para que el ingreso sea mximo. mximo. b# El ingreso mximo. mximo. 8. Una fbrica de muebles fabrica dos tipos de sillones . a fbrica cuenta con dos secciones( carpinter6a tapicer6a. &ara 8acer un sillón del tipo requiere 1 8ora de carpinter6a 2 de tapicer6a, mientras que uno de tipo requiere 3 8oras de carpinter6a 1 8ora de tapicer6a. El personal de tapicer6a traba+a en total BD 8oras el de carpinter6a CD 8oras. 8oras. as as ganancia gananciass por por la la venta venta de cada sillón sillón del del tipo son S7D S3D respectivamente. a# /alcula /alcularr cuntos sillone silloness de cada tipo tiene que fabrica fabricarse rse para que las las ganancias ganancias sean mximas. b# 0eter 0etermin minar ar la la ganan ganancia cia mxi mxima ma 9. Una empresa empresa de transport transportes es desea vender vender a lo ms 27D pasa+es pasa+es de la ruta JimaZ JimaZ -ru+i ru+illlloK oK,, de dos dos clas clases es(( clas clase e e+ec e+ecut utiv ivo o !E# !E# clas clase e medi media a !?#. !?#. a gana gananc ncia ia correspondiente a cada pasa+e de clase E es de 4D soles de clase ? es de 3D soles. dems la empresa empresa decide vender vender 1D pasa+es pasa+es como m6nimo de clase ?. a# a cantidad cantidad pasa+es de de cada clase clase que deben deben venderse para que las ganancias ganancias sean mximas. b# a gan ganan anci cia a mxim mxima. a. 10. Una escuela prepara una excursión para 4DD alumnos. a empresa de transporte que desean contratar tiene B buses de 4D asientos 1D buses de D asientos, pero solo dispone de C c8óferes. El alquiler de un bus con maor capacidad cuesta *O. 3D uno
ESTUDIOS GENERALES
B7
de menor menor de capacid capacidad ad *O. 2BD. 2BD. 0eter 0etermin mine e cunto cuntoss buses buses de cada tipo se debe contratar para que la excursión resulte lo ms económica para la escuela.
ESTUDIOS GENERALES
BA
