MALI_U2_A2_ARLO

UnADM UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

Asignatura:

.

Algebra Lineal 1

Unidad 2 Actividad 2.

ALUMNO

.

Linares Ojeda Arturo David.

Matricula: ES1611312069

Actividad 2.

b) = 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑦) 𝑥1 𝑠𝑖 𝑢 = 𝑦 1

𝑥1 𝑣=𝑦 2

𝑇(𝑐𝑢) = 𝑐𝑇(𝑢) 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑇 {[𝑦 ] + [𝑦 ]} = 𝑇 [𝑦 ] + 𝑇 [𝑦 ] 1

2

1

2

𝑥 +𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥1 ) 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 ) 𝑇 [𝑦1 + 𝑦2 ] ≠ [ ]+[ ] 𝑦1 𝑦2 1 2 Dado que: 𝑥 +𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑇 [𝑦1 + 𝑦2 ] = [ ] 𝑦1 + 𝑦2 1 2 =

𝑠𝑒𝑛(𝑥1 ) cos(𝑥2 ) + cos(𝑥1 )𝑠𝑒𝑛(𝑥2 ) [ ] no es lineal 𝑦1 + 𝑦2

h) = 𝑇(𝐴) = 𝑇(𝐴𝑇 ) = 𝑇(𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)𝑇

𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇

𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

j) 𝑎11 𝑇 [𝑎

21

𝑎12 𝑎22

𝑎11 𝑇 ([𝑎 21

𝑎13 2𝑎11 − 𝑎12 𝑎23 ] = [ 0

𝑎12 𝑎22

𝑎13 𝑏11 𝑎23 ] + [𝑏21

𝑏12 𝑏22

2(𝑎11 + 𝑏11 ) − (𝑎12 + 𝑏11 ) =[ 0

𝑎13 + 𝑎12 ] 0 𝑏13 ]) 𝑏23

(𝑎13 + 𝑏13 ) + (𝑎12 + 𝑏12 ) ] 0

= 𝑇(𝐴) + 𝑇(𝐵) 𝑎11 = 𝑇 [𝑎 21

𝑎12 𝑎22

𝑎13 𝑏11 ] + 𝑇 [ 𝑎23 𝑏21

2(𝑎11 ) − (𝑎12 ) = [ 0

𝑏12 𝑏22

𝑏13 ] 𝑏23

(𝑎13 ) + (𝑎12 ) 2(𝑏 ) − (𝑏12 ) ] + [ 11 0 0

(𝑏13 ) + (𝑏12 ) ] 0

𝐸𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

k) 𝑇(𝑓(𝑥)) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑇(𝑓1 + 𝑓2 ) = ∫(𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 = ∫(𝑓1 (𝑥))𝑑𝑥 + ∫(𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 = 𝑇𝑓1 + 𝑇𝑓2 𝑇(𝛼𝑓) = ∫ 𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝛼𝑇𝑓

𝑇(3,1) = (1,2)

𝑇(−1,0) = (1,1) 𝑇(𝑥, 𝑦) ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 (𝑥, 𝑦) = 𝛼(3,1) + 𝛽(−1,0) 𝑥 =3𝛼− 𝛽 𝑦=𝛼 𝛽 = 3𝑦 − 𝑥 𝛼=𝑦

Asi (𝑥, 𝑦) = 𝑦(3,1) + (3𝑦 − 𝑥)(−1,0) T (𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑇(3,1) + (3𝑦 − 𝑥)𝑇(−1,0) = 𝑦(1,2) + (3𝑦 − 𝑥)(1,1) = (4𝑦 − 𝑥, 5𝑦 − 𝑥) 1 −1 3 = ( ) = 𝑐1 ( ) + 𝑐2 ( ) 0 0 1 𝑐1 = 0 𝑐2 = −1 −1 3 =𝑇 [(0) ( ) + (−1) ( )] 0 1 =(-1,-1)

(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,0) + 𝑦(0,1) = 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇(𝑥(1,0) + 𝑦(0,1)) 𝑥𝑇(1,0) + 𝑦𝑇(0,1) = 𝑥(1,2) + 𝑦(1,1) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥 + 𝑦)

Asi (0,0) = (0,0) Imagen:

𝑆[1,0] =(-1,-1) 𝑆[0,1] =(4,5) Vector izamos: Img=[

−1 4 ] −1 5

= (4𝑦 − 𝑥, 5𝑦 − 𝑥) 𝑇(𝑥, 𝑦) = [

4𝑦 − 𝑥 ] 5𝑦 − 𝑥

Sea 𝑥1 𝑥2 𝑇 [𝑦 ] = 𝑇 [𝑦 ] 1

2

[

4𝑦1 − 𝑥1 4𝑦 − 𝑥2 ]=[ 2 ] 5𝑦1 − 𝑥1 5𝑦2 − 𝑥2 [

[

1 0 0 ]= 0 1 0

ker(T)={0,0}

4 5

−1 0 ]= −1 0

Al resolver en consecuencia es: inyectiva y es sobreyectiva pues su rango es ℝ2

𝐼∶𝑊→𝑊

La transformación identidad

Dado que F y G son invertibles: 𝐹 −1 : 𝑊 → 𝑉

𝐹 −1 °𝐹 = 𝐼𝑤

𝐺 −1 : 𝑍 → 𝑊

𝐺 −1 °𝐺 = 𝐼𝑧

Existen vectores tales que 𝑣´ = 𝑇 −1 (𝑣)

𝑤´ = 𝑇 −1 (𝑤)

→ 𝑇(𝑣 ′ ) = 𝑇(𝑇 −1 (𝑣)) = 𝐼𝑣 𝑇(𝑤 ′ ) = 𝑇(𝑇 −1 (𝑤)) = 𝐼𝑤 𝑇 −1 (𝑣 + 𝑤) = 𝑇 −1 (𝑇(𝑣′) + 𝑇( 𝑤′)) = 𝑇 −1 (𝑇(𝑣′ + 𝑤′)) = 𝑇 −1 °𝑇(𝑣′ + 𝑤′) =𝐼 (𝑣 ′ + 𝑤 ′ ) = 𝑣 ′ + 𝑤 ′ = 𝑇 −1 (𝑣) + 𝑇 −1 (𝑤) Son invertibles 𝐹 −1 °𝐺 −1 (𝑤) = 𝐹 −1 (𝐺 −1 (𝑤)) = (𝐹(𝐺(𝑤)))−1 = ((𝐹°𝐺)(𝑤))−1

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧) 𝑥−𝑦 =0 𝑥+𝑧=0 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0

1 1 1

−1 0 0 1 1 2

0 0 0

1 0 0

−1 0 1 1 1 1

0 0 0

R3→ 𝑅3 − 𝑅1 R2→ 𝑅2 − 𝑅1

→

𝑥=0

𝑁𝑓 = {(0, 𝑦, 𝑦)

𝑦=𝑧

𝑙𝑑

| 𝑦 ∈ ℝ}

𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝐷𝑖𝑚(𝑉) = 𝑁𝑢𝑙(𝑇) + 𝐷𝑖𝑚(𝑊) 3≠2+3 No es suprayectiva Al no cumplir estos dos parámetros decimos que no es inyectiva por lo tanto no es un isomorfismo.