Algebra Lineal Unidad 3 Evidencia de Aprendizaje
DETERMINANTES 11 de mayo de 2014
Algebra Lineal Unidad 3 Evidencia de Aprendizaje Sustancias que funcionan como superproteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.
Instrucciones: Lee los problemas que se te presentan y al final efectúa lo que se te pide. Problema 1 Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico. Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.
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Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y de esta manera encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.
1
1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera obteniendo 4.5 litros de la sustancia final. 2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros.
Para resolver este problema, realiza lo siguiente:
• Integra, en este archivo la solución que diste al problema por el método de Gauss-Jordan. MÉTODO GAUSS JORDAN SISTEMA DE ECUACIONES 2𝑆1 + 2𝑆2 + 1𝑆3 = 4.5𝑙 4𝑆1 + 6𝑆2 + 3𝑆3 = 12𝑙 6𝑆1 + 9𝑆2 + 7𝑆3 = 𝑚
Representación Matricial 1 𝑆1 4.5 3 ∗ 𝑆2 = 12 7 𝑆3 m
2 2 4 6 6 9
2 4 6
2 6 9
1 4.5 3 12 7 𝑚
Resolución por medio de Gauss- Jordan con el valor para m=20.5
1 4.5 3 12 7 20.5
PASO 1 Multiplicar el renglón UNO por -2 y sumarlo al renglón DOS y colocar el resultado en el renglón DOS. 2 2 0 2 6 9
1 4.5 1 3 7 20.5
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2 2 4 6 6 9
2
PASO 2 Multiplicar el renglón UNO por 1/2 y colocar el resultado en el renglón UNO
1 1 0 2 6 9
1 2.25 2 3 1 20.5 7
PASO 3 Multiplicar POR -6 el renglón UNO y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado en el renglón TRES 1 1 0 2 0 3
1 2.25 2 3 1 7 4
PASO 4 Multiplicar el renglón DOS por 1/2 y colocar el resultado en el renglón DOS 1 1 0 1 0 3
1 2 1 2
4
2.25 1.5 7
PASO 5 Multiplicar el renglón DOS por -3 y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado correspondiente en el renglón TRES 1 1 0 1 0 0
1 2 1 2.25 1.5 2 2.5 5 2
PASO 6 Para obtener los tres UNO´S en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5
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1 1
3
0 1 0 0
1 2 2.25 1 1.5 1 2 1
PASO 7 Al renglón UNO restarle el renglón DOS y colocar el resultado en el renglón UNO 1 1 0 1 0 0
0 1 0.75 1.5 2 1 1
Paso 8 Multiplicar el renglón TRES por ½ y restarlo al renglón DOS y colocar el resultado en el renglón DOS
1 0 0 1 0 0
0 0.75 0 1 1 1
De esta forma sabemos que la cantidad en litros usada en cada vaso de sustancia es: S1= 0.75L S2= 1L S3= 1L
• Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer.
REPRESENTACIÓN MATRICIAL 𝟐 𝑨 = (𝟒 𝟔
𝟐 𝟔 𝟗
𝟏 𝟑) 𝟕
𝒙𝟏 ∴ 𝒙 = (𝒙 𝟐 ) 𝒙𝟑
𝟒. 𝟓 𝒃 = ( 𝟏𝟐 ) 𝟐𝟎. 𝟓
Por lo tanto el sistema de ecuaciones está representado como:
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1. 2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L 2. 4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L 3. 6s1 + 9s2 + 7s3 = 20.5
4
𝟐 (𝟒 𝟔
𝟐 𝟔 𝟗
𝒙𝟏 𝟏 𝟒. 𝟓 𝟑) (𝒙𝟐 ) ( 𝟏𝟐 ) 𝒙𝟑 𝟕 𝟐𝟎. 𝟓
Desarrollo para encontrar los elementos para aplicar la Regla de Cramer Encontrar las submatrices A2
𝟒. 𝟓
𝟐 𝟏 𝟐 𝟒. 𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒. 𝟓 𝟔 𝟑) 𝐴2 = ( 𝟒 𝟏𝟐 𝟑) 𝐴3 = ( 𝟒 𝟔 𝟏𝟐 ) 𝟐𝟎. 𝟓 𝟗 𝟕 𝟔 𝟐𝟎. 𝟓 𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟎. 𝟓
𝐴1 = ( 𝟏𝟐
Ahora debemos encontrar los determinantes de las submatrices anteriores 𝐷1 = |𝐴1 | (4.5 ∗ 6 ∗ 7) + (2 ∗ 3 ∗ 20.5) + (1 ∗ 12 ∗ 9) − (1 ∗ 6 ∗ 20.5) − (2 ∗ 12 ∗ 7) − (4.5 ∗ 3 ∗ 9) = 189 + 123 + 108 − 123 − 168 − 121.5 = 7.5 𝐷2 = |𝐴2 | (2 ∗ 12 ∗ 7) + (4.5 ∗ 3 ∗ 6) + (1 ∗ 4 ∗ 20.5) − (1 ∗ 12 ∗ 6) − (4.5 ∗ 4 ∗ 7) − (2 ∗ 3 ∗ 20.5 = = 168 + 81 + 82 − 72 − 126 − 123 = 10
𝐷3 = |𝐴3 | (2 ∗ 6 ∗ 20.5) + (2 ∗ 12 ∗ 6) + (4.5 ∗ 4 ∗ 9) − (4.5 ∗ 6 ∗ 6) − (2 ∗ 4 ∗ 20.5) − (2 ∗ 12 ∗ 9) = = 246 + 144 + 162 − 162 − 164 − 216 = 10
Ahora hay que calcular el determinante de la matriz principal A
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(2 ∗ 6 ∗ 7) + (2 ∗ 3 ∗ 6) + (1 ∗ 4 ∗ 9) − (1 ∗ 6 ∗ 6) − (2 ∗ 4 ∗ 7) − (2 ∗ 3 ∗ 9) = = 84 + 36 + 36 − 36 − 56 − 54 = 10
5
• Utiliza el método de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia. Ahora obtenemos el resultado aplicando las reglas de Cramer 𝑥1 =
𝐷1 7.5 = = 0.75 𝐷 10
𝑥2 =
𝐷2 10 = =1 𝐷 10
𝑥3 =
𝐷3 10 = =1 𝐷 10
• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación. Para comprobar que los resultados anteriores son correctos sustituiremos m en la ecuación x 1, x2, x3 X1= -2.85 +2/10(20.5) -2/10(20.5) +3.6 X1= -2.85 +4.1 – 4.1+3.6 X1= 0.75
X2= 5.1 -2/10 m X2= 5.1 -2/10 (20.5) X2= 5.1 – 4.1 X2= 1 X3 = 2/5 m – 7.2 X3 = 2/5 (20.5) – 7.2 X3 = 8.2 – 7.2 X3 = 1
.Ahora, la sustitución consiste en que los resultados sean colocados en el sistema de ecuaciones lineales
2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L 2(0.75) + 2(1) + (1)= 4.5 1.5 + 2 + 1= 4.5 4.5=4.5
6s1 + 9s2 + 7s3 = m 6(0.75) + 9(1) + 7(1) = 20.5 4.5 + 9 + 7= 20.5 20.5=20.5
Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.
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4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L 4(0.75) + 6(1)+ 3(1)= 12 3 + 6 + 3= 12 12= 12
6
Problema 2 Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: - 1/2 kilo de calidra, - 1/2 kilo de cemento blanco, - 1/3 de kilo de pega azulejo, - 1/2 kilo de arena gris (cernida), - 2/3 de barra de jabón de pasta, - 1/6 de kilo de alumbre en piedra, y - 1/2 nopal de penca.
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En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².
7
Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067.5, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos. Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.
1. ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?
Calidra= x1 = $ 12.00 Cemento blanco= x2 = $ 12.00 Pega azulejo= x3 = $ 12.00 Arena gris= x4 = $ 12.00 Barra de jabón= x5 = $ 9.00 Alumbre en piedra= x6 = $ 12.00 Pieza de nopal= x7 = $ 1.00
2¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?
Cada cubículo mide 9 m2. Esto se determino mediante una regla de tres. 20y= $5490.00 1m2= $ 30.50 20y= $ 5490.00 (1m2)/ $30.50 = 180m2 y= 180m2/20 y= 9m2
Para solucionar este problema, realiza lo siguiente: •
Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar impermeabilizante natural.
•
Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este problema en la evidencia de la unidad 2.
1. Ecuación. 1 Para 1 m2 ½ x1 + ½ x2 + ⅓ x3 + ½ x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + ½ x7 = $ 30.5
40 80 20 x3 + 20 x4 + x5 + x + 20 x7 = $1,220.00 3 3 3 6
20 x1 + 20x2 +
3. Ecuación. 3 Para la dirección 35 2
x1 +
35 x 2 2
+
35 3
x3 +
35 x 2 4
+
70 3
x5 +
35 6
x6 +
35 2
x7 = $1,067.50
4. Ecuación. 4 Para el auditorio 25x1 + 25x2 +
50 100 50 x3 + 25 x4 + x5 + x + 25 x7 = $1,525.00 3 3 6 6
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2. Ecuación 2 Para la biblioteca
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5. Ecuación. 5 Para los 15 salones (15 (20m2)) = 300m2 150x1 + 150x2 + 100x3 + 150 x4 + 200 x5 + 50 x6 + 150 x7 = $9,150.00 6. Ecuación. 6 para los 20 cubículos (20y= 5490; y= (5490(1) / 30.5)/20= 9m2) 90x1 + 90x2 + 60x3 + 90 x4 + 120 x5 + 30 x6 + 90 x7 = $5,490.00
•
Integra además la solución que diste al problema por el método que hayas elegido en la evidencia de la unidad 2.
Ahora conocemos los valores de x5 y x7 por lo que requerimos de 5 ecuaciones para hacer un arreglo matricial de 5x5. 1/2
1/2
1/3
1/2
1/6
24
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
150
150
100
150
50
7200
90
90
60
90
30
4320
3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de GaussJordan.
Para resolver por el método de Gauss se deberá reducir la matriz mediante operaciones por renglón,
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hasta obtener una matriz triangular superior.
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Paso 1
Multiplicar el renglón UNO por 2 y colocar el resultado en el renglón UNO
1
1
2/3
1
1/3
48
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
150
150
100
150
50
7200
90
90
60
90
30
4320
1
1
2/3
1
1/3
48
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
1
1
2/3
1
1/3
48
60
90
30
4320
90
90
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Paso 2 Multiplicar el renglon TRES por 6 y dividirlo entre el renglon CUATRO y colocar el resultado en el renglon CUATRO.
10
Paso 3
Multiplicar el renglon DOS por 1/20 y colocar el resultado en el renglon DOS.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
50/3
25
25
25
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1200
1
1
2/3
1
1/3
48
90
90
60
90
30
4320
Paso 4
11
25/3
Multiplicar el renglon TRES por 1/25 y colocar el resultado en el renglon TRES.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
90
90
60
90
30
4320
Paso 5 CINCO
Multiplicar el renglon CINCO por 1/30 y colocar el resultado en el renglon
1
1
2/3
1
1/3
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
3
3
2
3
1
144
Multiplicar el renglon TRES por 3/2 y colocar el resultado en el renglon TRES.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
3/2
1/2
3/2
3/2
1
1
2/3
1
1/3
3
3
2
3
1
72
48
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Paso 6
48
12
Ahora los UNO´S se encuentran en la diagonal principal. Pero dado que todos los renglones son equivalentes unos con otros es imposible convertir en ceros los elementos debajo de la diagonal principal, sin hacer que los numeros por encima de ella y la misma diagonal se conviertan en cero.
1
1
2/3
1
1/3
48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∴ 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑋3 = 𝑋4 = 𝑋6 Con el resultado obtenido de la matriz obtenemos: 2 1 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋6 = 48 3 3 Que sería lo mismo que expresarlo así: 2 1 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 3 3
= 48
4 𝑋1 = 48 48 𝑋1 = 4 𝑋1 = 12
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∴ 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑋3 = 𝑋4 = 𝑋6 = 12
13
20
20
40/3
20
80/3
20/3
20
35/2
35/2
35/3
35/2
70/3
55/6
35/2
25
25
50/3
25
100/3 50/6
25
150
150
100
150
200
50
150
90
90
60
90
120
30
90
•
Obtén los determinantes asociados a cada una de las variables del sistema de ecuaciones. Dado que la 6ª propiedad de los determinantes dice "Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero."
•
Resuelve el problema por el método de Cramer. Para sacar la regla cramer se tiene que obtener sus determinantes menores y dividirlo con su determinante principal, pero nos daría cero por la 6ª propiedad de los determinantes
•
Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que aprendiste.
Resultados en la Ecuación 1 Ecuación 1 Para 1 m2 x1 + x2 + ⅓ x3 + x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + . x7 = $ 30.5 (12) + (12) + ⅓ (12) + (12) + ⅔ (9) + 1/6 (12) + (1) = $ 30.5 6 + 6 + 4 + 6 + 6 + 2 + 0.5 = 30.5 30.5 = 30.5 Responde la siguiente pregunta: ¿Tus respuestas a las preguntas a partir del método de Cramer son iguales a las que obtuviste en la evidencia de la unidad 2? Explica por qué. No porque en el método cramer da cero debido a la 6ª propiedad de los determinantes
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•
14
